aritmetica - raz.matematico 2012 final 3° Y 4° SEC.

F. Sarmiento CEPDomingo “SANTA MARÍA DE LA PROVIDENCIA”

Verano Aritmética 2012

Boletín Académico de Ciencias

PROBLEMAS EN CLASE

Clase # 1 – RAZ. MATEMÁTICO

1) Hallar la suma de las cifras del resultado de: M  666......66  35 " n " cifras

INDUCCIÓN Ejemplo 1 Hallar la suma de las cifras del resultado de: E  (999....995)2

a) 3n d) 3(n + 2)

b) 3n + 1 e) 3(n  1)

c) 3n - 1

101 cifras 2) Hallar la suma de las cifras del resultado de: E  (111......111)2

RESOLUCIÓN: Analizando por partes, tenemos :

9 cifras 95 2



Res ultado S uma de c ifras 9025  1 9 7

2 99 5



990025



999 5 2



99900025



3 9 7

 9999000025 

4 9 7

2 9999  5

2 9 7

Ca ntidad de cifras "9" (999 ... 99 5 )2



 100  9  7 = 907

a) 81 d) 49

b) 100 e) 121

c) 64

3) Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión : (100......005)2

10 0 cifra s

105 cifras

Ejemplo 2 ¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?

a) 11 d) 12

b) 9 e) 8

c) 10

4) ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 20? Fig.1

Fig.2

Fig.3

Fig.20

Fig. 1

RESOLUCIÓN 3 puntos de contacto = 3 1 = 3(1) 1 2 2

Fig. 1

a) 190 d) 200

Fig. 2

b) 240 e) 210

Fig. 3

c) 420

5) ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "INGRESO"? I N

9 puntos de contacto = 3 3 = 3(1+ 2)

G

2 3 2

Fig. 2

R

N G

R E

G R

E S

R E

S O

18 puntos de contacto = 3 6 = 3(1+ 2+ 3) 3 4 2

Fig. 3

a) 16 d) 20

b) 24 e) 30

c) 14

6) Calcular la suma de las cifras del resultado de M: M  3(1+ 2+ 3+ .....+ 20) = 630 20  21 2

Fig. 20

3ero. – 4to de Sec.

a) 300 d) 900

111....111  222....222 200 cifras 100 cifras

b) 100 e) 200

c) 450

1

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7) Calcular "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras. M  (666......666)2

4. Calcular la suma de las cifras del resultado de: M = 999 … 98 x 999 … 92

"6n " cifras a) 18n d) 45n

b) 27n e) 54n

20 cifras

c) 36n

8) Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar : E  (33......34)2

a) 172

b) 174

d) 178

e) 180

b) 128 e) 125

52 cifras

c) 129

9) De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "YESSICA"?

S S S I I I C C C C

E S S I C

Y E S S I C

E S S I C

S S S I I I C C C C

A A A A A A A A A A A A A

a) 696 d) 729

b) 781 e) 700

c) 176

5. Calcule la suma de cifras del resultado de: A = (333 … 333)2 + (999 … 99)2

21 cifras a) 127 d) 130

20 cifras

c) 821

a) 465

b) 466

d) 469

e) 490

52 cifras c) 468

6. Calcular la suma de las cifras de: JORGIT 54321

Sabiendo que JORGIT es el menor # de 6 cifras significativas diferentes. a) 9

b) 5

d) 7

e) 8

c) 6

7. ¿De cuántas formas distintas se puede leer “SEBASTIAN” en el siguiente arreglo?.

AHORA TÚ:

S E

1. Hallar la suma de las cifras del resultado. E = 333 … 33 x 12

A S I

200 cifras

A N

b) 1820

d) 1560

e) 1800

c) 1760

2. Dar como respuesta la suma de las cifras de: M = (666 … 66)2

b) 5400

d) 3600

e) 6400

c) 4800

40 cifras b) 328

d) 348

e) 344

3ero. – 4to de Sec.

N

I A

d) 257

e) 258

S T

T

I A

N

b) 255

8. Si : M = 9 x

T

I A

A S

N

I A

N

I A

N

A N

N

c) 256

888 … 88 1997 cifras

3. Dar como respuesta la suma de las cifras de: E = (999 … 995)2

a) 352

T

I

B A

S

a) 259

600 cifras a) 7200

A

T

A N

B

S

T

a) 2100

E

B

c) 358

Hallar la suma de las cifras de: “M” a) 1997

b) 8856

d) 4273

e) 888

c) 17973

9. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencia?. a) b) c) d) e)

1305 5130 2610 4652 N.A.

1 2 3

28 29 30

2

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b) 43; 49 y 100

CLASE # 1 – aritmética

e) N.A.

c) 45, 46 y 130

conjuntos 1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar

A = {7- a ; b + 4; 5}

verdadero (V) o Falso (F), según corresponda: i) 7  A (

)

iii) {10}  A

(

)

ii) 9  A (

)

iv) {15}  A

(

)

5. Si el conjunto “A” es unitario, hallar “a + b”:

a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

c) 5

6. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que a) VVFF

b) VFFV

d) VFFF

e) N.A.

c) VVFF

posee 5 elementos?

2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o (F), según corresponda:

a) 30

b) 31

d) 33

e) 34

c) 32

7. Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios, i) {7}  A

(

)

iv) {9}  A

(

)

ii) 9  A

(

)

v)   A

(

)

iii) 7  A

(

)

vi) 10  A

(

)

a) VFVFVF

b) VFFVVF

d) VVFFFV

e) N.A.

3. Dado el conjunto

c) VVVFFF

M = {a, {b}, {m}, p}. iv) {{b}, p}  M

ii) b  M

v) {{b}, {m}}  M

iii) {{m}}  M

vi) m  M

d) 4

e) 5

;

B = {4; a - b}

a) 79

b) 80

d) 82

e) 83

c) 81

según corresponda:

i) {b}  M

b) 2

A = {a + b; 12}

8. Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar (V) o (F)

¿Cuántas proposiciones son falsas?

a) 1

hallar “a2 + b2”

4. Hallar la suma de

i) {5}  A

(

)

iii) {9}  A

(

)

ii) {7}  A

(

)

iv) {5; {2}}  A (

)

a) FVVF

b) FVFV

d) VFFV

e) VVFF

9. Dado: A = {x/x  N; 5 < x < 12} .

c) 3

Indicar (V) o (F) según corresponda: i)

elementos de

conjunto:

c) FVVV

cada

{7; 8; 11}  A (

ii) 5  A (

)

)

iii) {8; 10}  A ( iv) n(A) = 6

)

(

)

A = {x/x  N; 6 < x < 12}

a) VFVF

b) VFVV

B = {x + 4/ x  Z ; 5 < x < 10}

d) FVVF

e) FFVV

C = {x2 + 1/ x  Z; 3 < x < 8}

10. ¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los

c) VFFV

siguientes conjuntos? a) 40; 41 y 50

3ero. – 4to de Sec.

d) 47; 45 y 129

A = {c, o, l, e, g, i, o}

; B = {j, o, r, g, e, l}

3

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a) 64 y 32

b) 128 y 64

d) 32 y 64

e) 128 y 32

c) 64 y 64

d) 18

e) 20

6. Dado el conjunto A = {x2 + 1 / x  Z; - 3  x  3} a. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A”?

AHORA TÚ :

b. Hallar la suma de elementos de “A”

1. Dado el conjunto A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}; ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas? i) {5; 7}  A

(

)

iv) {}  A

(

)

a) 16 y 10

b) 16 y 18

d) 32 y 18

e) 4 y 16

c) 32 y 16

7. Dados los conjuntos “A” y “B” subconjuntos del universo “U”

ii) {5; 7}  A

(

)

v) 3  A

iii) {7}  A

(

) vi) {8}  A

a) 3

b) 4

d) 2

e) 1

(

)

A = {x2 / x  N; 1 < x < 6}

(

)

B = {x + 2 / x  N; 4 < x < 10}

c) 5

C = {x/x  N ; 1  x  10} Hallar: n(A) + n(B)

2. Hallar la suma de elementos de “A”, si:

a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

A = {x2 + 2 / x  Z; -4 < x < 3} a) 18

b) 29

c) 31 8.

d) 45

e) 22

Dado el conjunto A = {k, a, r, i, n, a}

¿Cuántos subconjuntos de “A” tienen dos o más

3. Si los conjuntos “A” y “B” son iguales, hallar:

elementos?

m + p (“m” y “p”  N)

a) 25

b) 27

A = {10; m2 - 3}

; B = {13; p2 - 15}

d) 31

e) 26

a) 7

b) 8

d) 10

e) 12

c) 32

c) 9

4. Hallar Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios, ¿Cuántos elementos tiene el conjunto? a) 2

b) 4

d) 6

e) N.A.

c) 5

5. Calcular la suma de los elementos del conjunto: A = {x/x  N; 7 < 2x + 1 < 15} a) 12

b) 15

3ero. – 4to de Sec.

c) 17

4

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Clase # 2 – RAZ. MATEMÁTICO

Ejemplo: Si el mañana del pasado mañana es Lunes. ¿Qué

JUEGOS DE INGENIO

día será el anteayer del mañana del pasado

TRANSMISIONES: H : Horario

;

AH

AH : Antihorario H

H

A

RELACIÓN DE TIEMPO:

B

H

B

A : Ayer (-1)

AH

AA : Anteayer (-2)

B

A

M : Mañana (1)

H

Como A es más grande que B, Entonces :

H

A da m enos vueltas que B

H

Ambos recorren la misma cantidad de dientes

Resolución : Considerando :

H A

mañana de hace 2 días?

Las ruedas ubicadas en un mismo eje giran a la misma velocida d y en el mismo sentido

PM : Pasado Mañana (2) H : Hoy (0) Luego :

Ejemplo:

AAA

AA

-3

-2

A

H

M

PM

MPM

-1

0

1

2

3

Si la rueda A da 4 vueltas. ¿Cuántas vueltas dará la

Entonces cuando decimos el mañana (1) del pasado

rueda B?

mañana (2) es Lunes, nos referimos a que: 1 + 2 = 3 es Lunes. A 40 dientes

Hoy

B 20 dientes

# # # #

de de de de

dientes de A : n A dientes de B : n B vuelta s de A : VA vuelta s de B : VB

-3

-2

-1

0 Vi

1 Sa

2 Do

3 Lu

Nos preguntan: El anteayer (-2), del mañana (1), del pasado mañana (2), de hace 2 días (-2), nos

n A  VA  n B  VB

referimos a que: -2 + 1 + 2 - 2 = - 1 es ...........

Reemplazando:

A

Hoy

4  40  VB  20

-1 Jueves

0 Viernes

VB  8 vueltas

CERILLOS:

Respuesta: Jueves

Ejemplo:

PROBLEMAS EN CLASE

¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

1) ¿Cuántas ruedas giran en sentido antihorario?

Resolución:

Respuesta: 1 palito

3ero. – 4to de Sec.

a) 2 d) 5

b) 4 e) 6

c) 3

5

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2) ¿Cuántas ruedas giran en sentido opuesto a la rueda A?

7) El otro día en los jardines del parque escuché a dos personas la siguiente conversación: "Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre".

A

¿Qué parentesco une a las 2 personas?

a) 4 d) 2

b) 5 e) 6

a) Padre - hijo. c) Hermanos. e) Padrino - ahijado.

c) 3

b) Tío - sobrino. d) Abuelo - nieto.

8) En una reunión se encuentran presentes un 3) La figura muestra los engranajes : A, B, C, ..., Z de 8; 12; 16 ; .... ; 64 dientes respectivamente; si "A" da 72 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará Z en media hora? A

a) 9 d) 10

B

Z

c) 270

4) Si la rueda "A" da 48 vueltas. ¿Cuántas vueltas más que "D" da "C"?

40 dientes

a) 16 d) 10

B

C

30 dientes

60 dientes

b) 8 e) 7

D 80 dientes

c) 12

5) ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

2 esposas, una tía, 1 nuera, 1 nieto, una nieta, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran

C

b) 45 e) 300

A

abuelo, una abuela, 2 padres, 2 madres, 2 esposos,

c) 3

6) ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo

presentes en la reunión? a) 6 d) 9

b) 7 e) 5

c) 8

9) Si dentro de tres días ocurrirá que el mañana del antes de ayer del ayer del pasado mañana de ayer será jueves. ¿Qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace 3 días? a) Martes c) Miércoles e) Lunes

b) Jueves d) Domingo

10) La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi : a) Tía b) Hija c) Hermana d) Sobrina e) Madre

AHORA TÚ: 1) Si "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran "B" y "C" respectivamente? A

para obtener sólo 3 cuadrados del mismo tamaño que los originales? (No dejar cabo suelto)

B

C

a) 4 d) 2

b) 3 e) 5

3ero. – 4to de Sec.

c) 6

a) b) c) d) e)

Horario - Antihorario. Horario - Horario. Antihorario - Horario. Antihorario - Antihorario. No se mueven.

6

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2) Si la rueda "A" da 20 vueltas.

CLASE # 2 – aritmética

¿Cuántas vueltas da la rueda "E"?

Representación gráfica A 6

a) 25 d) 40

B 4

C 3

b) 30 e) 35

D 5

E 4

AUB A

c) 28

B

3) ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para que la igualdad incorrecta que se da a continuación, se convierta en una igualdad verdadera?

A B A

a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

B

c) 3

4) ¿Cuántos palitos debemos mínimo para dejar 6 en la figura?

retirar

como

A-B A

a) 4 d) 7

b) 5 e) 17

B

c) 6

A B 5) Si el mañana del pasado mañana del ayer de

A

mañana de hace 3 días es miércoles.

B

¿Qué día será el ayer del pasado mañana del mañana de pasado mañana? a) Lunes c) Sábado e) Martes

b) Miércoles d) Domingo

PROBLEMAS EN CLASE 1. ¿Qué operación, representa cada una de las regiones sombreadas?

6) El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, éstos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo

a)

A

B

hermano del hijo del padre de Marco? a) Juan c) Mario e) Iván 3ero. – 4to de Sec.

b) El Sr. Lazo d) Marco

Rpta.: _____________

7

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b)

A

B

d) A – C = {2; 5}

(

)

e) B  C = {4; 6; 8}

(

)

a) FVFVV

b) FVVFF

d) FVFFF

e) FVVVV

c) FVVVF

2. Dados los conjuntos: Rpta.: _____________

A = {1; 2; 3; 4; 5} ;

B = {2; 3; 5; 6}

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

c)

A Indicar

B

verdadero

(V)

o

falso

(F)

según

corresponda:

Rpta.: _____________ d)

M

Q

a) A’ = {6; 7; 8}

(

)

b) B’ = {7; 8}

(

)

c) A’  B = {6; 7}

(

)

d) B’ – A = {4; 7; 8}

(

)

e) A’  U = {6; 7; 8}

(

)

a) VFVVF

b) VFFFV

d) VFFVF

e) VFVFV

3. Si:

c) VFFFF

A = {a, b, e, d}

B = {x/x es una vocal} Rpta.: _____________ e)

M

Q

Hallar: A  B a) {a, e}

b) {a, i}

d) {a, u}

e) {a}

4. Si:

c) {a, o}

A = {a, b, m, t}

B = {x/x es una vocal de la palabra martes} Rpta.: _____________ 1. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8}

verdadero

b) {a, i}

d) {a, u}

e) {a}

c) {a, o}

U = {x/x  N; 0 < x < 10}

A = {x/x  N; 4 < x < 9} (V)

o

falso

(F)

según

corresponda:

B = {x/x  N; 3 < x < 8} Hallar: A’ – B’

a) A  C = {1; 3; 5; 6}

(

)

b) B – A = {6; 8}

(

)

c) B  C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

(

)

3ero. – 4to de Sec.

a) {a, e}

5. Si:

C = {1; 3; 4; 5; 6} Indicar

Hallar: B – A

a) {1}

b) {2}

d) {4}

e) {5}

c) {3}

8

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6. Dados los diagramas de Venn

3. Dado los conjuntos:

A

A = {1; 2; 5; 8; 10}

B 4

B = {2; 3; 6; 8}

7 2

5

C = {x/x  A, x < 7}

1 9

8

Hallar el cardinal de (B  C)  A Hallar: A  B

a) 1

b) 2 e) N.A.

a) {4; 5; 7; 8}

d) {4; 5; 9; 7}

d) 4

b) {4; 5; 2; 1}

e) {4; 5; 9}

4. Dados los conjuntos:

c) 3

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

c) {4; 5; 9; 7; 8}

A = {2x / x  N; 2 < x < 8}

AHORA TÚ : B = {x + 2 / x  N; 2 < x < 8} 1. ¿Qué

operación

representa

la

región Hallar la suma de los elementos de A’  B’

sombreada?

M

Q

a) 12

b) 14

d) 8

e) 7

5. Si:

n(A) = 13

R

n(B) = 15

a) M  Q

d) (Q  R)  (M  Q)

n(A  B) = 23

b) (M  Q)  R

e) (Q  R)  M

Hallar: n(A  B)

c) (M  R)  (Q - R) 2. ¿Qué

operación

representa

la

región

sombreada?

c) 10

a) 3

b) 4

d) 6

e) 8

c) 5

6. Dados los conjuntos A, B, se sabe que :

A

B

C

n(A  B) = 18 n(A - B) = 7 n(A  B) = 13 Hallar: n(A) + n(B)

a) (A  B)  C

d) (A  C)  B

b) (B  C)  A

e) (A - B)  (B  C)

a) 25

b) 20

d) 23

e) 17

c) 21

c) (A  B)  C

3ero. – 4to de Sec.

9

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5) En la siguiente operación :

CLASE # 3 REPASO – PREPÁRATE PARA TU PRÁCTICA 1) Hallar la suma de las cifras del resultado de:

¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para obtener 132?

S  (999......94)2 20 cifras a) 90

b) 270

d) 810

e) 190

c) 187

a) 1

b) 2

d) 4

e) 0

c) 3

6) En la figura mostrada hay 22 palitos del mismo tamaño y forma.

Si cambiamos de posición 2

palitos. 2) Hallar la suma de las cifras del resultado de:

¿Cuál es el máximo número de cuadrados que resultan en la figura?

1010101......101  19 61 cifras a) 520

b) 320

d) 480

e) 310

c) 290

3) ¿De cuántas maneras diferentes se podrá leer la

a) 9

b) 10

d) 12

e) 13

c) 11

palabra "CALLADO"? 7) Sean los conjuntos: A = {a, b}

C A L A D O

A D

O

A L D

O

a) 52

b) 48

d) 50

e) 49

B = {a, b, {a}, {b}}

L A

A D

O

Hallar el cardinal de P(A)  B

D O

O

c) 44

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

8) Si los conjuntos “A” y “B” son unitarios. 4) ¿En qué sentido se moverán los engranajes 30; 52; 71? (Horario : H ; Antihorario : A)

Hallar: A  B A = {a + b; 12} B = {b – 4; 2a - b}

1

2 3

4 5

6 7

a) H , H , H

b) A , H , H

c) A , A , A

d) A , A , H

8 9

a) {12; 5}

b) {12; 7}

d) {12}

e) {8}

c) {12; 3}

e) H , A , H

3ero. – 4to de Sec.

10

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9) Dados los conjuntos:

CLASE # 4 – raz.matemático

A = {x + 2 / x  N; 2 < x < 10}

ANALOGíAS Y DISTRIBUCIONES

B = {3x / x  N; x  2}

Ejemplos: ¿Cuántos subconjuntos tiene A - B? a) 4

b) 8

d) 32

e) 64

1. ¿Qué número falta? c) 16

10) Hallar la suma de elementos del conjunto:

9 8 6

b) 182

d) 156

e) 192

4 5 4

Solución.#central = (Diferencia de extremos) x 4

A = {3a2 + 5 / a  Z; 1 < a < 6} a) 172

(20) (12) ( )

c) 148

1º Fila

: 9-4=5

5 x 4 = 20

2º Fila

: 7-5=3

3 x 4 = 12

3º Fila

: 6-4=2

2x4= 8

11) Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 12}.

Rpta :

8

Indicar (V) o (F), según corresponda, si P(A) representa el conjunto potencia de A. i)

{B}  P(A)

Ejemplo: (

)

ii) {10; 12}  P(A)

1. ¿Qué número falta? (

) 2

iii) 10  P(A)

(

)

iv)   P(A)

(

)

(

)

v)

  P(A)

a) VVFVF

b) FVVFV

d) VFFVV

e) VVFVV

5

4

?

8 20

Solución: c) FVFVV

12) En la sección de 3ro. “B” hay 25 alumnos, se

Se relacionan los opuestos por el vértice: 5 x 8 = 40 2 x 20 = 40 4 x ? = 40 ? = 10

sabe que a 12 alumnos les gusta el curso de

Rpta :

10

historia y los 18 el curso de lenguaje. Si a todos les gusta al menos uno de los dos cursos

PROBLEMAS EN CLASE

mencionados, ¿a cuántos les gusta sólo historia o I. Encontrar el número que falta en cada caso, en las siguientes analogías.

sólo lenguaje?

a) 15

b) 12

d) 23

e) 20

c) 18

1.

a) 6 d) 5

3ero. – 4to de Sec.

4 3 2

(24) (18) ( ) b) 4 e) 2

3 3 1 c) 7

11

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2.

2 7 5

a) 40 d) 48 3.

5 10 25

20 21 16

B E G

(H) (Ñ) ( )

2 3 4

4 6 5

a) 6 d) 9

13 20 2

4

11

9

8

X

5

a) 3 d) 5

3ero. – 4to de Sec.

6 4 4 b) 12 e) 4

7

c) 21

10. 3

12

8 17

8

4

7

c) 13

4

b) 18 e) 17

4

15 14 12

4

7

9

a) 6 d) 5

x

8

5

b) 3 e) 4

c) 7

11. 12 24

D C C

1 11 x

6

x

6

4

3

8

3

8

4

7

x

c) U

15

5

a) 28 – 2 c) 26 - 2 d) 29 - 1

2

b) 27 - 3 e) 27 - 1

12. 12

c) 12

13. c) 8

8

x

15

b) 82 e) 102

c) 90

2

1 0

2 3

1

5

4 1 3 9

8 7 x

7

5 49 60

a) 72 d) 98

8 7 8

b) 7 e) 10

8 6 4

6

a) 15 d) 19

4

8.

2

5

b) 13 e) 10

15 x 26

6

3

c) 9

b) T e) Y

a) 15 d) 16

7.

(12) (6) ( )

9.

4 5 2

b) 12 e) 15

a) S d) Z

6.

(3) (5) ( )

III. Hallar el valor de «x» cada caso:

c) 20

b) 5 e) 4

a) 11 d) 14

5.

10 14 30

b) 32 e) 35

a) 6 d) 3 4.

(14) (28) ( )

6 -2

11

12 x

13

15

5

4

c) 17

a) -5 d) 5

b) 4 e) -4

c) 6

12

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6)

AHORA TÚ:

4

*

En las siguientes analogías y distribuciones,

23

(7)

2

5

(22)

3

6

(

7

)

a) 28 d) 27

2) 2

b) 33 e) 29

(72)

3

4

(1600)

5

5

(

8

a) 8000 d) 5000

)

b) 7000 e) 6000

3) 3

4

3

5

2

3

6

x

8

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

x

20

9

7

hallar el número o letra que falta. 1) 3

8

5

5

28

12

8

a) 48 d) 53

b) 54 e) 52

c) 50

c) 31 7) 43

56

26

10

16

x

12

23

32

a) 13 d) 10

c) 4000

b) 15 e) 12

8) 6 5 4

(30) (26) ( )

9 8 11

a) 32 d) 24

c) 8

c) 17

b) 30 e) 25

c) 28

9) 4) 5

2

25

2

4

16

x

3

27

a) 6 d) 3

b) 7 e) 5

5) 6

5

31

4

x

13

5

7

18

a) 2 d) 4

3ero. – 4to de Sec.

b) 3 e) 6

20 3

c) 8

5 1

8

a) 6 d) 12

10) 10 12 25 a) 13 d) 15

36

3 4

b) 10 e) 9

(3) (7) ( )

90 5

x 5

c) 8

11 22 17 b) 14 e) 17

c) 16

c) 5

13

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CLASE # 4 – aritmética

6. Principios

Numeración

Numeración:

Fundamentales

Convencionales

de

los

o

Reglas

Sistemas

de

I. CONCEPTOS BÁSICOS



1. Número.- Es un ente abstracto, carente de

menor que su base y además es un entero no

definición, sólo se tiene una idea de él.

negativo.

Toda cifra de un numeral es necesariamente

Cifra: {0; 1; 2; 3; …; (b - 1)} 2. Numeral.-

Es

la

figura

o

símbolo

que

representa o da la idea del número, por ejemplo, para el número cinco.

Consecuencia: Cifra máxima = Base -1 Cifra < Base

2

IIIII; V ; 3 + 2; 2 + 1; cinco; five; 5 Ejemplos: 3. Sistema Numeración.-

Es un conjunto de

símbolos y leyes que nos permiten representar y

-

expresar correctamente los números. Tenemos

sistema de b = 10 : 999

diversos sistemas de numeración, entre los

-

cuales destaca el sistema de numeración decimal

diferentes de b = 10 : 1023

o décuplo.

-

4. Sistema de Numeración Decimal.- Es el

diferentes de

sistema cuyo principio fundamental es que la

b = 9 : 87654(9)

formación de sus unidades va de diez en diez.

-

5. Base de un sistema de numeración: Es el número de unidades de un orden cualquiera que forma una unidad de un orden inmediato superior. También se define como aquella que nos indica el número de cifras disponibles en un sistema

de

numeración,

para

escribir

o

representar cualquier número.

Hallar el mayor numeral de 3 cifras del Hallar

Hallar

Hallar

el

el

el

menor

numeral

de

4

cifras

mayor

numeral

de

5

cifras

menor

numeral

de

4

cifras

significativas de b = 2 : 1111(2) 

Cifra significativa es aquella cifra diferente

de cero (0) 

Existen infinitos sistemas de numeración,

7. Descomposición Polinómica de un numeral del sistema decimal: “Cualquier número se puede descomponer como Se representa: 33(7) y se lee: 3 grupos de 7 y 3 unidades simples en base 7 ó tres de la base 7. Como vera usted, querido alumno, la base se coloca en la parte inferior de la derecha del número como subíndice y si en caso no aparece se asumirá que está en base 10 (ver sistema de numeración decimal). Condiciones de la base: a) Debe ser entero: b  Z b) Debe ser positivo: b  Z+

la suma de los valores relativos de sus cifras”. Así por ejemplo: 1234 = 1 unidad de millar + 2 centenas + 3 decenas + 4 unidades. En unidades simples, sería: 1234

= 1000 + 200 + 30 + 4

= 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 4

c) Debe ser mayor o igual a dos: b  2

3ero. – 4to de Sec.

14

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6) A un número de 2 cifras se le agregan dos

PROBLEMAS EN CLASE

ceros a la derecha, aumentándose el número en 1) Indicar verdadero (V) o Falso (F) según

4752. Calcular el número original.

corresponda. I. Existen solo 10 sistemas de numeración. II. En el sistema de base 5, se utilizan 5 cifras diferentes. III. En el sistema de base 7, no existe la cifra 7. a) FFV

b) FVV

d) VVV

e) VFF

c) FVV

2) Completar: En el sistema octal, existe ……….... cifras diferentes y la mayor es ……….. a) 8 y 8

b) 7 y 8

d) 8 y 7

e) 7 y 6

Rpta.: ______________ 7) Si a un número de 3 cifras se le agrega un 5 al

c) 7 y 7

comienzo y otro 5 al final, el número obtenido es 147 veces el número original.

Dar como

respuesta la suma de las cifras de dicho número.

3) ¿Cómo se expresa en base 7 un número formado por 48 unidades? a) 65(7)

b) 66(7)

d) 34(7)

e) 44(7)

c) 56(7)

Rpta.: ______________ 4) ¿Cómo se expresa el menor número de 4 8) Hallar: (x . y), si:

cifras diferentes de la base 7? a) 1234(7)

b) 1320(7)

d) 1023(7)

e) 1032(7)

c) 1203(7)

xy ( 4)  yx (5)  xx(6)  yy ( 7 )  66

5) Si: N = 2 x 83 + 4 x 82 + 3 x 8 + 5, ¿Cómo se escribe el número “N” en base 8? a) 2135(8)

b) 2243(8)

d) 2433(8)

e) N.A.

3ero. – 4to de Sec.

c) 2435(8) Rpta.: ______________

15

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9) Hallar el valor de: (a + b + n), Si: abab n = 15

AHORA TÚ: 1. Si a un número de 3 cifras se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 432. Hallar la suma de la cifras del número. a) 7

b) 8

d) 10

e) 11

c) 9

2. Hallar el mayor número de 3 cifras que al restarle 459 dé como resultado la suma de sus cifras. Rpta.: ______________

a) 539

b) 519

10) Hallar “a”, si 25 a  a75(8)

d) 479

e) 509

c) 499

3. Hallar “a” para que se cumpla:

a11(7)  37 a(8) a) 2

b) 3

d) 6

e) 4

c) 5

4. Si “a” , “b” y c son cifras diferentes entre Rpta.: ______________ 11) Si las cifras: “a”, “b” y “c” son diferentes

sí, hallar “m + p”, si se cumple:

abc ( 4)  bc (3)  c(2)  mp

entre sí y además:

aa (2)  bb (3)  cc( 4)  bx . Hallar “x”

a) 10

b) 11

d) 14

e) 15

c) 12

5. Calcular “a + b + c” si se cumple:

56d  abcd (8) a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

c) 8

Rpta.: ______________ 3ero. – 4to de Sec.

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CLASE # 5 – raz. Matemático

PROBLEMAS EN CLASE

Cortes y postes

1. Un tronco de árbol es seccionado en trozos de 11cm de largo c/u para leña; para esto se ha efectuado 20 cortes. ¿Cuál fue la longitud inicial del tronco? a) 231 cm b) 217 c) 242

Por inducción elemental se puede obtener una relación entre el número de cortes que se debe aplicar a una soga y el número de partes iguales en que quedará dividida.

L

e) 180

soga

a

entera 1 corte  2 partes

a

b

d) 253

2. Un carpintero cobra S/. 15 por dividir un

b

b

2 cortes  3 partes tronco de árbol en 4 partes dando cortes

paralelos. ¿Cuánto tendremos qué pagarle sin necesitamos que corte el árbol en 5 partes? a) S/. 25 b) 22 c) 20

En general :

# cortes = partes – 1

d) 30

e) 16

Una relación parecida se establece por analogía cuando se colocan partes o estacas a lo largo de un camino, por ejemplo:

4 postes

a

a

#postes = #partes + 1

a

3 partes

d) 7

En cualquier caso se cumple:

#partes =

3. Se desea efectuar cortes de 5 metros de longitud de arco en un aro de 45 metros de longitud de circunferencia. ¿Cuántos cortes podremos efectuar? a) 6 b) 9 c) 8

Longi tud Total Longi tu Uni tari a

Cuando los cortes se hacen sobre una “longitud cerrada” como por ejemplo una circunferencia la relación entre cortes y partes es aún más sencilla.

4. A lo largo de un pasaje se desea plantar árboles cada 6 metros de tal modo que aparezca un árbol en cada extremo del pasaje que además tiene 138 metros de longitud. ¿Cuántos árboles se requieren para tal fin? a) 22 b) 23 c) 24 d) 25

2 cortes



2 partes

3ero. – 4to de Sec.

e) 10

3 cortes

4 cortes

3 partes

4 partes

#cortes = # partes

e) 48

17

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5. Se desea plantar postes cada 15m a lo largo de una avenida de 645 m. si senos ha cobrado S/. 308 por el total de mano de obra. ¿Cuánto nos han cobrado por plantar cada poste sabiendo que pusieron uno al inicio y otro al final de la avenida? a) S/. 5 b) 7 c) 8

9. En una varilla de madera de 196 cm de longitud se colocaron 28 clavos. Si los hay al inicio y al final de la varilla. ¿Cada cuántos centímetros se colocaron dichos clavos? a) 5 m b) 8 c) 9

d) 10

d) 12

e) 9

6. Se tiene un terreno rectangular cuyo perímetro es 60m. ¿Cuántos postes deberían colocarse cada 3 metros, si uno de estos miden 2 metros de longitud? a) 20 b) 19 c) 21 d) 40

e) 23

e) 7

10. Un hombre cercó un jardín en forma rectangular y utilizó 40 estacas. Puso 14 por cada uno de los lados más largos del jardín. ¿Cuánto puso en cada lado más corto? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10

e) 12

7. En una pista de salto con vallas hay 15 de estas separadas por una distancia de 4m ¿Cuál es la longitud entre la primera y la última valla? a) 52 m b) 56 c) 60 d) 64

e) 68

AHORA TÚ: 1. Un joyero nos cobra S/. 25 por partir una barra de oro en dos pedazos. ¿Cuánto tendré que pagar si deseo partirla en seis pedazos? 8. Se elevaron 28 postes a lo largo de una avenida cada 3 metros. Si cada poste mide 1,5 metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre el primer y último poste? a) 82 m b) 54 c) 81 d) 84

a) S/. 125

b) 75

d) 150

e) 175

c) 50

e) 104

3ero. – 4to de Sec.

18

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2. Un sastre tiene una tela de 40 metros de

5. En un terreno rectangular de 60 metros de

longitud, la misma que necesita cortarla en

ancho y 80 metros de largo, se plantan árboles

retazos de dos metros cada uno. Sabiendo que en

en el perímetro y en las diagonales, espaciados

cada corte se demora 8 segundos. ¿Qué tiempo

10 metros. ¿Cuántos árboles hay?

emplearía como mínimo para cortar toda la tela?

a) 45

b) 46

d) 48

e) 50

a) 1 min 32 seg

d) 4 min

b) 3 min.

e) 2min. 32 seg.

c) 47

d) 2 min. 36 seg.

3. Calcular el número de estacas de 8 metros de altura que se requieren para plantarlas en una línea recta de 300 metros, si se sabe que entre estaca y estaca la longitud debe ser de 4 m. a) 74

b) 72

d) 76

e) 75

c) 68

6. Se instalan 25 postes alineados y separados entre sí por una distancia de 25 metros uno de otro. ¿Cuál es la distancia entre el primer y el último poste? a) 1000 m b) 625 c) 650 d) 600

e) 576

4. Un comerciante tiene una pieza de paño de 60 metros de longitud que quiere cortar en trozos de 1 me3tro. Necesita 5 segundos para hacer cada corte. ¿Cuánto tarda en cortar toda la pieza? a) 295 seg. b) 300 c) 285 d) 305

e) 290

3ero. – 4to de Sec.

19

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clase # 5 ARITMÉTICA TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN

Ejemplos: 

abc n



123(4) = 1 . 42 + 2 . 4 + 3 = 27



876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717

= a . n2 + b . n + c

I. MAPA CONCEPTUAL

TRANSFORMACIÓN DE SIST. DE NUMERACIÓN

También se puede utilizar el “Método de Ruffini”

QUE PUEDE SER

De una base

De base 10 a

De una base

diferente de

una base

diferente de

10 a base 10

diferente de

10 a otra

10

diferente de 10

Por

medio

usando

9

8

7

6



72

711

8

79

717

2. De base 10 a una base diferente de 10: Se

utilizando

utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado entre la base

de la Descompo-

Divisiones

sición

sucesivas

 Descomposición Polinómica

polinómica

“n” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que “n” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división

 Divisiones Sucesivas

donde el cociente sea menor que “n”.

Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo

EJERCICIOS

hacia el primero y ese será el número escrito en base “n”. II. CONCEPTOS BÁSICOS Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de

Ejemplo: Convertir: 100 a base 3 100

3

numeración, pero sin dejar de poseer estos 1

números, la misma cantidad de unidades.

0

Se presentan 3 casos: 1. De una base diferente de 10 a la base 10: Para este caso, se utiliza el procedimiento de descomposición

polinómica,

operaciones indicadas.

33

efectuando

la

3 11

3

2

3

3

0

1

Luego:

100 = 10201(3) 3ero. – 4to de Sec.

20

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3. De una base diferente de 10 a otra diferente

PROBLEMAS EN CLASE

de 10: Se utilizan en este caso, los 2 métodos vistos anteriormente, es decir: 1. 1º Llevamos el número del sistema diferente de 10 a base 10 por descomposición polinómica.

Completar:

a. 136(7)

= ……………………..

b. 255(9) = ……………………..

(9)

(6)

2º Luego llevamos el número hallado en el sistema decimal a la base que nos piden por

c. 1110(2) = ……………………..

(5)

divisiones sucesivas. d. 846(12) = ……………………..

(7)

Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4 

2.

543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207

207 3

Expresar en el sistema senario el menor

número de 3 cifras diferentes de la base 8.

4 51

4

3

12

4

0

3 Rpta.: _____________ 3.

Luego :

Dada la igualdad: a51(7 )  10b4(n)

¿Cuál(es) de las afirmaciones es verdadera?

543(6) = 207 = 3033(4)

I.

n < 7

4. Propiedad: Si un numeral que representa la

II.

n > 4

misma cantidad de unidades simples en dos

III.

n < 4

sistemas

de

numeración

diferentes,

deberá

cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa.. Rpta.: _____________ 



N = PAVO ( x)  RATON ( Y)  

Entonces:

4.

Hallar “a + b + c”, si se cumple:

abc ( 7 ) = 246(8)

x>y

Rpta.: _____________ 3ero. – 4to de Sec.

21

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5.

Hallar “a . b . c . d”, si se cumple:

abcd (6) = 605(9)

8.

Si

el

número

( a  1)(a  1)(a  2)

está

expresado en base 4, expresarlo en base 6 y dar la suma de sus cifras.

Rpta.: _____________ 6.

Hallar “a + b + c”, si se cumple:

abc ( 7 ) = 1230(5)

Rpta.: _______________ 9.

Dada la igualdad:

(a  2)(b  1)(c  2)(8) = 256(9) Expresar “a . b . c” en base 4.

Rpta.: _______________ Rpta.: _______________ 7.

Si se cumple: 201(3) = abcde (n)

Hallar: a + b + c + d + e + n

10. Si se cumple 3ab(7)  5cd(n) Hallar: n

Rpta.: _______________

3ero. – 4to de Sec.

Rpta.: _______________

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Ahora tÚ: 1.

CLASE # 6 - REPASO – PREPÁRATE

El Si se cumple: 1312(101

(n)

PARA TU PRÁCTICA ) = 1312

1)

Hallar: n

2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

2.

4

3

6

9

8

c) 3

7

5 ?

a) 8

b) 6

d) 5

e) 4

6

c) 7

2) 2

13

4

3

?

a) 15

b) 18

d) 24

e) 26

6

9

8 3

20

c) 20

1

7

a) 24

b) 28

d) 30

c) 26

e) 32

Si se cumple: 3)

2abc (7)  3254(n)

A

Hallar: a + b + c + n a) 8

b) 9

d) 11

e) 12

c) 10

Hallar “a + b + c + d + e + n”, si se cumple:

a) 4

b) 5

d) 8

e) 10

B

C

D

E

F

F

L

?

C

E

G

a) R

b) P

d) S

e) T

c) Q

4) Se va a electrificar una avenida de 3km de largo, con la condición que en uno de sus lados, los

211(3) = abcde (n)

5.

7

8

8

Hallar: a + b + n

4.

4

Si se cumple:

abc (8)  1036(n)

3.

5

postes se colocarán cada 30 metros y en el otro c) 6

lado cada 20 metros. Si los postes empezaron a colocarse desde que empieza la avenida. ¿Cuántos postes se necesitan en total?

a) 250

b) 248

d) 254

e) N.A.

c) 252

Hallar “a + b + c”, si se cumple: 121(n) = 8ab

a) 34

b) 32

d) 21

e) 17

3ero. – 4to de Sec.

c) 27

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5) Un sastre para cortar una cinta de tela de 20

9) Hallar “a + b + c” si se cumple:

metros de largo, cobra S/. 10 por cada corte que

aaaa (5)  bc 2

hace, si cada corte lo hace cada 4 metros. ¿Cuánto cobrará por toda la cinta? a) S/. 50

b) 60

d) 30

e) N.A.

a) 5

b) 7

d) 6

e) 10

c) 8

c) 40

10) Hallar “a + b + c + d + e”, si:

ababab (5)  9cde 6) Para cercar un terreno en forma de triángulo equilátero se utilizaron 60 estacas colocadas cada 4 metros y empezando en un vértice del triángulo.

a) 32

b) 16

d) 21

e) 25

c) 20

¿Cuál es la longitud de cada lado del terreno? a) 120

b) 80

d) 84

e) 96

c) 76

11) Si se cumple:

4 abb (n)  mmmm(6) Hallar: a + b + m + n 7) Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 36 veces la suma de sus cifras. Dar la mayor de sus cifras. a) 2

b) 7

d) 8

e) 4

a) 8

b) 10

d) 12

e) 13

c) 11

c) 3

12) Hallar “a + b + c”, si se cumple:

abc ( a ) = 2553(c) = 1611(a) = 1205(b) 8) Calcular la suma de las cifra de un número capicúa de tres cifras que sea igual a 23 veces la suma de sus cifras diferentes. a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

3ero. – 4to de Sec.

a) 9

b) 10

d) 13

e) 14

c) 12

c) 8

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