Aritmetica A

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ANTONIO ABAD DEL CUSCO  

“AÑO DEL BICENTENARIO DEL PERÚ: 2 AÑO AÑOSS DE INDEPENDEN CIA”

 

PRU

CENTRO DE ESTUDIOS PRE UNIVERSITARIO UNSAAC

CICLO PRIMERA OPORTUNID OPORTUNIDAD AD 2 22

 ÁREA “A “A” ”  RITMÉTI

 

DIRECTORIO CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO UNSAAC

DIRECTOR:  Dr. FRANCISCO MEDINA MARTINEZ F

INTEGRANTES:  Dr. SANTIAGO SONCCO TUMPI  Ing. VICTOR DUEÑAS AQUISE   Mgt. CAYREL CAYREL GENOVEVA JIMENEZ PAREDES F F F

PERSONAL ADMINISTRATIVO:   PEDRO PAUL PAUL LABRA QUISPIC QUISPICURO URO   TEODORO WILDER MORA CARRILLO CARRILLO  JODY MURILLO NEYRA    WILBER CELSO GAMERO HANDA   AMERICO FARFAN PORTOCARRERO   FREDY ROLANDO GOMEZ YARAHUAMAN YARAHUAMAN F F F F F F

 

1.  IDEA DE CONJUNTO Y ELEMENTO Y RELACIÓN DE PERTENENCIA 1.1  Idea de conjunto. Intuitivamente un conjunto se entiende como una colección, agrupación o reunión de objetos reales o abstractos llamados ELEMENTOS. Los conjuntos se suelen nombrar con letras mayúsculas del alfabeto: A, B, C, D, La teoría de conjuntos parte de algunos conceptos primitivos como: conjunto, pertenencia y elemento. Ejemplos:  Ejemplos: 

=       = ,,,,  =     í      = ;; ; ; ; ; ; ; ;    = 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ; 50

 

 

 

 

1.2  Relación de pertenencia. Es una relación exclusiva sólo de elemento a conjunto. Si un elemento está en un conjunto, entonces diremos que pertenece ( ) a dicho conjunto; en caso contrario, diremos que no pertenece ( ) a dicho conjunto:

∈

∉

Ejemplo:: Ejemplo

4∈ 5∉ ∈ 

   

  = 4, 5, 4,8, 6}  6∈ 6∈

 ∈ ó ∉  ∈ 

4∉  4,8∈ 

 

 



 

OBSERVACIÓN:: OBSERVACIÓN  se lee:  pertenece a A , es elemento de A ,  es miembro de A ,  es un punto de A . 1.  2.   Sea  " " el elemento del conjunto  A   y sea B  otro conjunto, puede cumplirse sólo una de las siguientes . posibilidades: .  3.  Siempre se cumple que: 2.  DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO 2.1  Por extensión. Un conjunto se determina por extensión, cuando se enumera o nombra a cada uno de los elementos del conjunto. Esta forma también es conocida como FORMA TABULAR de un conjunto. Ejemplos:

  == 4,4,6, 6,8, 8,10, 10,12, 12,14 14 ,ñ,,   

2.2  Por comprensión. comprensión. Un conjunto se determina por comprensión cuando se da una o más características o propiedades que cumplen todos y cada uno de los elementos del conjunto. Esta forma también se llama FORMA CONSTRUCTIVA de un conjunto. Ejemplos:

 = 22 / 1 <  < 8; ∈ ℤ   = /    ú ú       20 OBSERVACIÓN: OBSERVACIÓN:

 

Cuando un conjunto está dado por comprensión, es posible expresarlo por extensión; pero cuando un conjunto está dado por extensión, no siempre es posible expresarlo por comprensión. 3.  CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO. El cardinal del conjunto A viene a ser la cantidad de elementos diferentes dos a dos que posee y se denota por n(A). Ejemplos:

  = 4;4;4;5;5;5;5,6,6;6;6:6 = 4;5;6; ⟹ ( ) = 3   = ⁄       É} É}; ⟹ () = 3 4.  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS: 4.1  Diagrama de VENN EULER Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones y las operaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler. Un conjunto se representa por medio de regiones planas cerradas. F

Ejemplo:

 = 1; 2;2; 3; 4; 55 

.1 .2 .4 .5 .3

OBSERVACIÓN:: OBSERVACIÓN a.  Dos conjuntos A y B se pueden representar, a priori, de cinco maneras diferentes y sólo uno de ellos le corresponde, si se conocen sus elementos.  A  A B B  A B  A B B  A

 b.  Lo curioso en estas representaciones ésta en que la primera genera a las demás, por lo que se ha hecho común su uso. Algo similar ocurre para el caso de tres conjuntos. 4.2  Mediante diagramas lineales E

U 

U 

E

 A D

B

B

C

D

 A

∅

C

 

4.3  Diagrama de LEWIS CARROL. Está dado para conjuntos comparables y consiste en segmentos de recta que ilustran i lustran la relación de comparación entre conjuntos.

 

Para un conjunto

 

 

 

Para dos conjuntos

 

 

 

 

 

Para tres conjuntos

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

  5.  RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 5.1  Relación de inclusión. Sean los conjuntos A y B, se dice que A está incluido en B o A es subconjunto de B, y se representa como , si todo elemento de A es también elemento de B. A



B



( x  A implica que x  B,

  .

 



x  A

AB

) 

 

 

Propiedades:

Para cualquier conjunto A, siempre se cumple que: 1.    A   2.

A



A

 

Observaciones:

1.  Si

A

B



 se dice que:

 A es subconjunto de B, A está incluido en B, A está contenido en B, A es parte de B, B contiene a A, B incluye a  A 2.  A 3.  Si A



B 

se escribe también como H  entonces A  H  

A



B

 

4.  Si m, n, t  A   entonces m A n A t A   5.  Se dice que M no está incluido en N, el cual se denota por 

M que no pertenece a N. Ejemplo: M

=

a, e, b, o ,  N

=

M  N









M  N

, si existe por lo menos un elemento de

, si existe por lo menos un elemento de M que no pertenece a N.

a, e, i, o, u   luego

M  N

 

5.2  Subconjuntos propios. Si el conjunto A está contenido en B, y si existe por lo menos un elemento de B que no pertenece a A, entonces se dice que A es subconjunto propio de B. Si A B  y A  B  entonces a es un subconjunto propio de B Ejemplo   A = 2, 3, 4, 5   

B

=

2, 3,

4, 5, u

 

.2 .4

B A   .3

.5

.u

NOTA: Si A es un conjunto finito, entonces el número de subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1   5.3  Relación de igualdad.

 

Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen también al conjunto A, entonces se dice que, estos dos conjuntos son iguales y se anota como A = B.   5.4  Conjuntos disjuntos. Dos conjuntos son disjuntos (que se excluyen mutuamente) cuando no poseen elementos comunes.  

  ⊂  ∧  ⊂  ⇔  =    ∩  = ∅

A 

B 

5.5  Conjuntos comparables. Dos conjuntos A y B son comparables, cuando solamente uno de ellos está incluido en el otro, es decir, o bien  A   B  B  A

⊂ ∨ ⊂

Ejemplo:

  ==   //    í      Sabemos que B ⊂ A (toda ballena es mamífero), pero A ⊂B (no todo mamífero es ballena). Por lo tanto, A y B son dos conjuntos comparables.  

NOTA: Si A = B; entonces A y B no son comparables. Ejemplo.  Si  A = {1,3,5} y

B = {1,5,3}, entonces A y B no son comparables.

5.6  Conjuntos coordinables (conjuntos equipotentes). Dos conjuntos son coordinables, cuando se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los dos conjuntos. (Si tienen el mismo número de elementos)  A es coordinable con B



  n (A)

=

( ) 

n B

B 

A  .2

.4

.3

.9

6.  CLASES DE CONJUNTOS: 6.1  Conjunto finito. Es aquel que consta de cierto número de elementos distintos, que, al contarlos de uno en uno, este proceso tiene fin. Ejemplo:

 =  ∈  / 4 <  < 9; (() = 6 

6.2  Conjunto infinito. Se conoce como conjunto infinito a aquel conjunto sobre el cual, al efectuar el proceso de conteo de sus elementos este no tiene fin o que sus elementos son imposibles de contarlos. Ejemplo:

 =  ∈  /  > 2 

 

7.  CONJUNTOS ESPECIALES: 7.1  Conjunto vacío. Llamado también como conjunto nulo, es aquel conjunto que no tiene elementos, se suele anotar como     y algunas veces en la forma

.

Ejemplo: H

=



xR /

x

2

 

+ 16 = 0

Propiedades 1.-       2.-       3.-       4.-    A , para todo conjunto A. Conjunto  unitario.  unitario.  7.2  Conjunto Conocido también como conjunto singular o singletón, es aquel conjunto que tiene sólo un elemento. Ejemplos: A

=

5;

5; 5; 5; 5

=

5 ,

B

=

x  N /

4



x



 

6

7.3  Conjunto universal. Un conjunto denotado por U, se llama conjunto universal del conjunto A (conocido también como conjunto referencial) si U es superconjunto de A. Un conjunto puede tener varios conjuntos universales por lo que no existe un conjunto referencial absoluto, sin embargo, las situaciones matemáticas referido a conjunto universal la plantean como Único. Se conviene en representar al conjunto universal por medio de una región rectangular.

 A  

U 

Ejemplo: En geometría plana, el conjunto universal es el etc. conjunto de todos los puntos del plano. el estudio de triángulos, cuadriláteros, hexágonos, pentágonos, el conjunto universal es el conjunto de En polígonos. 7.4  Conjunto Conjunto  potencia.  potencia.  Dado el conjunto A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, se le llama conjunto de partes de A o conjunto potencia de A, se anota como P ( A )  o 2A . Nro. De subconjuntos de A = n  P ( A )  = 2n(A)   PROPIEDADES: 1.   P ( A )   2.

 





P ( )

3. A  P ( A )  

 

4. A

=

B



5. Si

A



B

P (A) 

=

( )

P A

P ( B)  

( ) 

P B



6. n ( P ( A ) ) =  n ( 2A ) =  2n ( A )  

  ú       = 2 ú    ( ) = 2  2− 1− 1     í = = 2 (  ) =  ⟹ ú −2 ú     í = 2 ú    =   =  ú    =     { ú    =           

 

                       

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: Si B {2,4,6} , entonces P(B) { ;{2 ;{2};{4 };{4};{6 };{6};{2 };{2,, 4};{2 };{2,, 6};{4 };{4,, 6}; };B B}   =

=

7.5  Conjunto de conjuntos o familia de conjuntos Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. Ejemplo: A=

2 , 33;;4 , 6 ;;77  ,

B

=

  ,   , 2, 5 , 0; 7  

8.  OPERACIONES CON CONJUNTOS: 8.1  Uunión o reunión de conjuntos ( A  B ). ).   Dados dos conjuntos A y B, se llama reunión de éstos, a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos.  Así por ejemplo; para: A = {1; 2; 33}} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que los conjuntos formados por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de A y de B, se llama reunión de A con B y se simboliza, por: A  B , y se lee “A unión B”. 

Notación: A



B

=

{x / x



A



x  B}  

Propiedades: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la reunión de ellos. 2. Conmutativa: A  B = B  A   3. Asociativa: ( A  B )  C = A  ( B  C )   4. Idempotencia: A  A = A   5. De la inclusión: Si A  B , entonces 6. Del elemento neutro: A    = A , 7. Si

A



B

=





Representación gráfica:

A

=





A



B

=

A



U

=

B

=

   

B  (ver gráfico)

U 

 

  8.2  Intersección. La intersección de dos conjuntos cualesquiera A y B es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir, está formado por todos los elementos comunes a A y B. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe: A  B  y  y se lee “A intersección B”.  Notación:

A



B

=

x / x



A



x



 

B

Propiedades: 1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es única la intersección de ellos. 2. Idempotencia: A  A = A   3. Conmutativa: A  B = B  A   4. Asociativa: ( A  B )  C = A  ( B  C )   5. De la inclusión: Si A  B  entonces A  B = A  (ver gráfico) 6. De la exclusión: Si A y B son disjuntos entonces, A  B =    (ver gráfico) 7. Del elemento neutro: A 8. Propiedad distributiva 



) C)

C

=

(A (A



=

 ,

A



U

=

A 

)  (A  C)   A   =  B)  ( A  C )   9. Propiedad Absorción: A  ( A  B ) = A , puesto que ( A  B )  A  ( A  B ) = A , puesto que A  ( A  B )   A

(B (B





B

A

 

Representación gráfica gráfica  

8.3  Diferencia La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. Se denota por: A – B, que se lee “A menos B”, o también “A diferencia B”.  Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5} Observamos que el elemento 1 está en el conjunto A pero no está en el conjunto B. Entonces al conjunto formado por el elemento 1, se llama diferencia de A con B.  A – B = {1} Notación: A – B = Representaban gráfica.

x / x 

A y x  B  

 

 

Propiedades

∅

1. A – A =   2. A –   = A

∅

3. A – B =

( A  B)

– B = A –

(A

 B)  

∅

4. Si B es subconjunto de A, entonces B – A =   5. B 

(A

– B) =  o ( A – B)  B =   

8.4  Diferencia simétrica. Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A – B” con “B –   A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” p pero ero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen p ertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A  B  

Notación:

x / x

A B =

(



A B = A – B

)

(A 

– B

(B

)



– A

(B

– A

)  

) 

Representación gráfica

Propiedades 1.- A  A =     2. Conmutativa:

A B = B A 

3. Asociativa: ( A  B)  C = 4. De la inclusión: Si

A

( B  C)  

A  B , entonces A  B = B – A  

5. De la exclusión: Si “A” y “B” son disjuntos, entonces A  B = A  B  

Observación: a. 

Si A y B son dos conjuntos disjuntos: n ( A  B) = n ( A ) + n ( B) .

 b. Si A, B y C son dos conjuntos disjuntos 2 a 2: n ( A  B  C ) = n ( A ) + n ( B) + n ( C )  

 

c. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera:

(

)

n AB

= n ( A ) + n ( B) – n ( A  B)  

d. Si A, B y C son tres conjuntos cualesquiera:

(

n ABC

)

( ) + n ( B) + n ( C) – n ( A  B) – n ( A  C ) – n ( B  C ) + n ( A  B  C )  

n A

=

8.5  Complemento. Sean los conjuntos A={a, b, c, d, e} y el conjunto B={a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos

elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por:

C

B

.

Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A – B” se llama complemento de “B” respecto a “A”  

Notación:

B

C

x

=

/ x  A  x  B

,

B

C

=



x  A  x  B

 

Observación:

Si el complemento es respecto al conjunto universal U donde se cumple que: B B

c

= B

−

x

=

/ x  U y x  B = U – B  

PROPIEDADES 1.  Del complemento:

(A ) c

c

=A; c

A  A =U

c

 =U;

U

c

=

 

2. De la diferencia

=

A – B

=

A B

c

c

B – A

c

 

3.- Leyes de Morgan (A  B)c = A c Bc (A  B)

c

=

A

c

B



c

 

4.- de absorción. A  (A  B) = A A  (A  B)

c

c

A  A =U;

A – B

c

(( A  ) ) =A c

c

=

A

A  (A c  B)

=

AB

A  (A c  B)

=

AB

Representación grafica

 

 



U , entonces:

 

Complemento de B con respecto a U

Complemento de B con respecto a A.

 

8.6  Producto Cartesiano. Par ordenado: Un par ordenado de componentes a, b es el conjunto a , a, b  y se denota por

( a, b ) .

Donde a y b son elementos denominados primera y segunda componente. Igualdad de pares ordenados ( a, b ) = ( c, d )



a=c



b=d  

Producto cartesiano. - Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de A y B denotado por A x B , es el conjunto formado por todos los pares Ordenados

( a, b )  que se forman con los elementos de A y

B es decir: AxB= 2

Nota:  A x A = A =

( a, b ) / a



( a, b ) / a



A  b  B  

A  b  A  

Propiedades: Sean A, B y C conjuntos no vacíos, se cumplen:

( B  C) = A x B  A x C   2.- A x ( B  C ) = A x B  A x C  

1.-

Ax

3.-

AxB

4.-

n AxB

5.6.-

AxA=A

(



B x A  .n ( B )   ) = n ( A ).n

  R x R = R    2

2

 

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

2; 4 ; 7 . ¿Cuánt ¿Cuántas as de las siguiente siguientess afirma afirmaciones ciones son verd  verdadera aderas? s? 1)  Dado el conjunto: A = 8 ;2;

2; 4 A   II. 8 A   III. 7 A   IV. 8 ; 7 A    V  V.. 7 A   I.









 A) 1 2) 

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Dados los conjuntos:



A = x N



B = xA

   ( x² − 2x )  A 2 2x x  13

Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I.  

 x  A / x² − 5 > 4 II.   x  (A − B) / 2x + 5 < 8 III. 

 x  (A − B) / x²  B

 A) VVF

B) FVF

C) VFV

D) VFF

E) VVV

3)  Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera(V) o falsa (F): I.  A  B  C  B, entonces A  C = B   II. 

Si AB  A  B  C  A  B, entonces

III. 

c Si B - A  C , entonces

 A) VVV

B) VVF

CA



C) VFV

C  A - B  C  B -A  

B 

D) VFF

E) FFF

4)  Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.  Si A =   , entonces A  P ( A ) ; P ( A )  Potencia de A . II.  III.   A) VVV

(

A  BP A  B

) 

Si A B  , entonces A B) VVF C) VFV −

=

=

B 

D) VFF

E) FFF

5)  Sean A, B y C tres tr es conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: a.   A  B  B  A  b.  si x  C → x  B Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I.  A y B son disjuntos II. 

 (AC B)  (A  C  B) IV.  C  (A  B) III. 

 A) FVVF

B) FFVV

C) FFFF

D)

VFVF

E) FFFV

 

  6)  Sean a, b y c números enteros tales que:

k=a+b+c 

2 2 Si: a 2 + 9; b − c − 5 = −1; −6a 6 a; a + b − 7  Determinar la suma de todos los valores de

 A) 15

B) 18

C) 13

D) - 12

7)  Dados los conjuntos unitarios “A” y “B”: “ B”: A  =

a

+

k   

E) -14

b; 16 . B

=

a

−

b; 4  

Hallar “a.b” 

 A) 36

B) 42

8)  Determinar

C) 45

n P A  B

 (

D) 50

E) 60

)  ,si:

 3x + 1   x+2   2 ;     Z / 2 0 x 1 0 0 ; x Z B = y / y  Z +  5  x  10 10    =    3    4  

A = 

 A) 3

B) 7

C) 2

D) 4

E) 8

9)  Dados los conjuntos: 3x + 5   A = x  N /  N 4   x x + 1  B=  N /  N   2  2  C = x  N / 2x  25 Calcule: n [(AB)  Cc ]    A)

2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

8)  Sean los conjuntos A  E ; B  E y C  E; E conjunto universal, tal que: E = {x Z+ / x < 10} c A = x  E x  7    A B = {x  E / x  9  x > 2} BC = {3} BC = {x  E / x  7} A  B = A  B  C =    Determinar n(A) + n(B) + n(C) c

c

 A) 9

B) 12

c

C) 10

D)

13

E) 11

9)  Sean: A = 1; 2;4 ; B = 3; 4;5;6 ; R= ( x,y )  AxB / y = x + 2 , determinar el número de subconjuntos propios de  A) 7 9)  Si :

R  .

B) 15

n P A  B

 A) 16

(

C) 8

D) 4

) = 128 ; n P ( A − B) = 64 ; n  AxB

B) 3 2

C) 8

D) 24

E) 16 =

195 determinar: n B



E) 40

−

A

.

 

10)  Dados los conjuntos

se sabe qué n ( A ) + n ( B ) = 50 ;

A y B :

 ( ) n ( A) n B

 

7

=

18

;además n  ( A

−

B

)

=

( )

2 n B

Determinar n ( A  B )    A) 44

B) 4 2

C) 45

D) 52

E) 40

11)  Determinar el número de elementos que tiene el conjunto A sabiendo que: el número de subconjuntos ternarios, excede en 14 a su número de subconjuntos binarios.

 A) 5 12)  Sea

B) 1 2



C) 8

D) 7

E) 9

 

+

A = nZ

n  60 600

Calcule la suma de elementos del conjunto B; si B

=

a

+

3

2

a



A

 A) 1000



 

aA

B) 1296

C) 1312

D) 1424

E) 1528

13)  Dados los conjuntos unitarios A

{a

=

+

b; a

Halle el valor de ( x  A) 81

2b − 3; 12}  y B

+

+

y

+

B) 92

a²

+

=

x

y

x



; y ; 16 ;  

b)  

C) 96

D) 87

E) 90

14)  Calcular el número de subconjuntos binarios del conjunto D, si: D

=

{(x ² −1)  Z / 0

 A) 132

B) 126



x  4}  

C) 105

D) 124

E) 120

15)  Si: n  P ( A )  =  128; n  P ( B )  = 32 y n [ P ( A  B )] = 8    Halle el cardinal de P(A B) sumado con el cardinal de: C = (3x + 1)  Z+ 

 A) 521

B) 517

C) 519

D) 512

 

x



5 3

  

E) 520

16)  Manuel compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. La mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener?  A) 512

B) 246

C) 247

D) 503

E) 502

17)  El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá?  A) 64

B) 56

C) 48

D) 21

E) 35

18)  Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además:    n ( A ) = 4 P + 2 ; n ( B ) = 3P + 6 y n ( A  B ) = 2 P − 2   Halle n(A B) a)  14

B) 16

C) 18

D)17

E) 20

 

 

  19)  Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(A B)  A) 14

B) 13

C) 12

D)11

E) 10

20) Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:

(A



B

)   ( A 



) (A

c

B



c

c



B

)  

B) A   Bc  

 A) A  B

C)

A

c



B 

D)

(A



B

c

)  

E)  

21)  En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por:  A

B C

I.  II. 

D

[A −(B−C)]  [C  D] (A  B) − (B − C)

III. 

[(A  D) − C]  [A − (B−C)]

 A) Solo I

B) solo II

C) solo I y II

D) solo II y III

E) todos

22) Dado 3 conjuntos A; B y C: Si n(A) = m ; n (B (B)) = m + r; n(C n(C)) = m + 2r; ademá además: s: n [P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896 Se sabe además que A, B y C son disjuntos. Calcule n(A  B  C)  A) 16

B) 22

C) 24

D) 32

E) 48

23)  ¿Qué conjunto corresponde a la parte sombreada en la siguiente figura?  A) B)

A A

C)

A

D)

B

E)

A

C B C

B 

C

B 

A

C

 

B

 

C

 

A B  

24) 72 alumnas del colegio María Auxiliadora se preparan para postular a la Universidad San Antonio Abad del Cusco (UNSAAC) y/o Universidad Andina del Cusco (UAC). La cantidad de postulantes a la UNSAAC es el quíntuple de quienes sólo postulan a la UAC, la cantidad de la que exclusivamente postula a la UNSAAC es el triple de las que exclusivamente postulan a la UNSAAC y a la UAC. ¿Cuántas de las postulantes se presentaron solamente a una universidad?  A) 57

B) 60

C) 45

D) 27

E) 69

 

 

25)  Dados los conjuntos: A B

3, 8

 

xR/x

El valor de  A)

3, 4

3

x

A

2

B

 

20 x

 es:

B)

C)

4, 

D)

,8

 

 

0, 8

E)

0, 4

 

V

F

26) En el siguiente diagrama de Venn: n(A)=70, n (B)=30. Determinar n (U).  A) 85

A

B) 110 C) 120 D) 100 E) 77

 

C

E

12 25 7

27)  En el diagrama siguiente:

A V

F

J

La región sombreada está representada por:  A) D)  

A V

F F

V

 A

J

 

B) E)  

J

V

V

F

F

A

A

J

 

C)

J

A

 

 J

23

28) En un avión viajan 120 personas, de las cuales: Los  de ellas no beben Los 4/5 de ellas no fuman 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?  A) 88

B) 60

C) 16

D) 27

E) 72

29) De los 100 alumnos de un salón, 70 aprobaron el curso “M”, 80 aprobaron “H” y 78 aprobaron el curso “N”. si los 90 aprobaron exactamente 2 cursos; ¿Cuántos aprobaron los tres cursos?  A) 19

B) 38

C) 20

D) 22

E) 15

30) En una población: 50% toma leche, el 40% come carne, además solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54%, ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne?  A) 20%

B) 28%

C) 45%

D) 27%

E) 22%

31)  De los 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades, ¿Cuántas se inscribieron en ambas disciplinas?  A) 22

B) 20

C) 30

D) 27

E) 25

32)  En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron solo aritmética, ¿Cuántas mujeres aprobaron solo literatura?  A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

33)  De un grupo de 64 alumnos que estudian idiomas se observó que los que estudian solo inglés es el triple de los que estudian inglés y francés. Los que estudian solo francés son la mitad de los que estudian inglés y 4 no estudian ingles ni francés, ¿Cuántos estudian solo inglés?

 

   A) 10

B) 30

C) 45

D) 27

E) 40

34) De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40 laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas solamente?  A) 22

B) 20

C) 25

D) 27

E) 30

35)  De un grupo de 80 personas: 27 leían la revista A, pero no leían la revista B 26 leían Clapero revista 19 leían no B, A pero no C 2 las tres revistas mencionadas ¿Cuántos preferían otras revistas?  A) 5

B) 6

C) 4

D) 7

E) 9

36) Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?  A) 24

B) 30

C) 32

D) 36

E) 4

37)  A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. car tera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?  A)8

B)9

C) 10

D) 11

E) 12

38) En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. •  Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. •  Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. •  Los que practican atletismo y fulbito son 7. •  Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. •  Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. •  4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. •  Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?  A) 21

B)17

C)19

D)2

E)18

39) Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que: n (A - B) = 21 n (B - C) = 25 n (C - A) = 32 c 3 n( A B C ) n A B C    

Determinar:  A) 93



n

A

B  C

B) 95



c

C) 87

D) 77

40) En una encuesta a los estudiantes se determinó que: •  68 se portan bien   ••  •  •  • 

160 habladores 138 son inteligentes 55 son habladores y se portan bien 48 se portan bien y son inteligentes 120 son habladores e inteligentes

E) 91

 

• 

40 son habladores, inteligentes y se portan bien. ¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente?

 A) 10

B) 20

C) 40

D) 12

E) 8

41)  En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne?  A) 15%

B) 23%

C) 20%

D) 10%

E) 30%

42) En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; el tercero,por pero los dosdos primeros. ¿Cuántos19aprobaron losnomenos exámenes?  A) 19

B) 38

C) 24

D) 27

E) 29

 

ARITMÉTICA

TEMA 2 2.1. SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES  NATURALES   Se llama sistema de los números naturales al conjunto:      ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;    el cual está provisto de dos operaciones binarias bien definidas llamadas ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN,  además está dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación de orden “menor que” que”.

2.1.2 ADICIÓN A+B = S sumandos

suma

PROPIEDADES a) Propiedad de clausura o cerradura.   La suma de dos números naturales es otro número natural.        se cumple:         

b) Propiedad conmutativa.  El orden de los sumandos no altera la suma.  a,b

  se cumple:

a

b

b

a 

c) Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma. a;b;c  se cumple: a (b c ) (a b) c  

d) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el “”, po porque rque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.  !  0   tal que: a 0 0 a a  , a  

e) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple.

f) Propiedad de monotonía.  Si en ambos miembros de una igualdad se suma el mismo número natural, entonces el resultado será otra igualdad.  a;b;c   Si a b a c b c 

g) Propiedad cancelativa.   Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos cancelarlo y resultará otra igualdad.  a;b;c   Si a c b c a b 

 – 1  –   – 

 

CEPRU – UNSAAC

2.1.3 MULTIPLICACIÓN A : mu multip ltiplic licando ando

A B= factores

P

B : multip multiplic licado adorr

producto

P : produc producto to

PROPIEDADES a) Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural a,b

 se cumple

a b

c, c

 

b) Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto.  a,b,c

  se cumple:

a (b c )

(a b ) c  

c) Propiedad de la existencia del elemento Neutro Mult Multiplicativo: iplicativo:   (Elemento identidad multiplicativo) multiplicativo) Viene a ser el “”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. !1   tal que: a 1 1 a a   , a  

d) Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple.

e) Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera altera el producto. producto.   se cumple: a b b a   a,b

f) Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.           se cumple:

a×(b+ ×(b+c) c) = a×b a×b + a×c a×c   (b + c) c) × a = b × a + c ×a ×a

 

g) Propiedad del elemento absorbente:  Viene a ser el cero y es tal que:

a

  se cumple: a× a×0 0 = 0×a = 0  

2.1.4 RELACIÓN DE IGUALDAD Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 16 = 9+7 = 4 x 4 = 2 + 14 = 8 x 2 = .....  

PROPIEDADES a) a,b   a b ó a b  b) a a , a   c) Si a b b a  d) Si a =b b = c a = c   e) Si a =b a×c = b×c , c f) a b = a x b  

Propiedad de dicotomía.   Propiedad reflexiva. Propiedad simétrica. Propiedad transitiva.

0 

 – 2  –   – 

 

ARITMÉTICA

2.1.5 RELACIÓN MENOR QUE Sean a, b  , a

b

n

, n

0

/ a

n

b 

Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado

PROPIEDADES a)  a b b a  b)  a b a b

a

b 

Propiedad de tricotomía a b a b  c)  a b d)  Si a b b c a c   Propiedad transitiva e)  Si a b a c b c si si c   0   f)  Si a c b c a b   g)  Si a c b c a b si c   0  

2.2 SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Se llama sistema de los números enteros al conjunto:  {…;-4;-3;-2;{…;-4;-3;-2;-;; ;; ; ; ; ; ; ; … } =

0

 

operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación de orden “menor que” que”.

el

cual

está

provisto

de

tres

2.2.1 ADICIÓN  A + B = S   sumandos

suma

Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo: Para ca cada a , ! a a a   0   tal que: a ( a)

2.2.2 SUSTRACCIÓN Se verifica que: M-S=D

M:

Minuendo S: Sustraendo D:

 M=S+D  Si M - S=D     M - D=S  2M=M+S+D 

 – 3  –   – 

Diferencia

   

CEPRU – UNSAAC

2.2.3 MULTIPLICACIÓN A : mu multip ltiplic licando ando

A B= factores

P

B : multip multiplic licado adorr

producto

P : produc producto to

Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales.

2.2.4 RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE Sean : a,b

a

b

a

c

b si si b

tal que a

c

b  

 

a

Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. 

Ejemplos: a) 3b ; se cumple:

xy  enton  entonces ces x + y = 9

8. En todo número de tres cifras: ab c , donde a>c; se cumple: si abc

cba

xyz   entonces y = 9 ; x + z = 9

9. En todo número de cuatro cifras: abcd

dcba

xyzw   donde:

abcd ; donde a > d; se cumple:

x + y + z + w = 18

 – 5  –   – 

   

CEPRU – UNSAAC

2.2.7 COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número. Para un número de una cifra: CA(a) = 10 10 –  – a  a Para un número de dos cifras: CA( ab ) = 100 – 100 – ab  = (9 - a)(10 - b)   n ab b ... xy = (9 - a)(9 - b) ... (9 - x)(10 - y)   Para un número de “n” cifras:  cifras:   CA(ab ... xy ) = 10 - a n: cifras

2.2.8 SUMAS NOTABLES n( n(n n +1) 2 2) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2 n = n ( n + 1 )

1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .. ... + n =

3) 1+ 3+ 5+ 7+ ...+ ( 2n- 1) = n 2

 

4) 12 + 22 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + ... + n2 = 3

3

3

3

3

5) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n

3

=

6) 2 2 + 42 + 6 2 + 8 2 + ... + (2 n )2 =

n( n(n n +1)(2n +1)(2n +1) 6 n( n(n n +1) 2

2

2n((n + 1) 2n 1)(2 (2n n + 1)

3 n( n(2n 2n -1)(2n -1)(2n +1) 3 n(n n(n + 1)( 1)(n + 2) 8) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + . . . + n ( n + 1 ) = 3 7) 12 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + ... + (2n - 1 )2 =

9) 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + 4 × 5 × 6 + . . . + n ( n + 1 ) ( n + 2 ) =

n(n n(n + 1) 1)((n + 2)( 2)(n + 3) 4

n+1 -1 10) 1 + a1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n = a a -1 11) Progresió Progresión n Aritmét Aritmética ica :  

térm ino ge g e n e ra l :   sum a de de lo los pr prim eros n - térm inos :

an = a1 + ((n n - 1) 1 )r   s n = n (a 1 + a n ) 2

 

12) ProgresiónGeométr ProgresiónGeométrica ica :   términ término o ge gene nera ral: l:

  an = a1r n-1  

n   sum a de d e lo los pr prim eros n - térm inos : sn = a1 1- r  1- r 

 – 6  –   – 

 

 

ARITMÉTICA

EJERCICIOS ¿Cuántas proposiciones proposiciones son falsas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? I. La propiedad de la tricotomía se enuncia de la siguiente forma: Dados a,b  se cumple una de las siguientes b 0 Ù a ×c < b ×c Þ a < b   g)  " a,b Î ¤   a < b Û $c Î ¤ tal que a + c = b   h)  " a, b Î ¤ a ×b > o Û (a > o Ù b > o)Ú(a < o Ù b < o)   a,b b Î ¤   a < b Û - a > - b  i)  " a,

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  DENSIDAD DE UN CONJUNTO Un conjunto A es denso con respecto a la relación de orden, si para dos elementos diferentes a, b Î A   donde a < b , siempre existe por un elemento c A, tal que:

a< c< b   De lo anterior se concluye, que:

3

1º) Los conjuntos ¤

y ¡  son densos. y

¢  no son densos. NÚMEROS FRACCIONARIOS

2º) Los conjuntos ¥

Son los números racionales que no son números enteros.

FRACCIONES Son números fraccionarios positivos.  Numerador

a f  =   b

Denominador

Donde: a, b  Z   y a no es múltiplo de b +

OPERACIONES CON FRACCIONES: a c a ×d + b ×c   + = b d b ×d a c a´ c   ▪ Producto: × = b d b´ d a c a d a ×d   ▪ División: ¸ = ´ = b d b c b ×c ▪ Suma:

CLASES DE FRACCIONES 1)  SEGÚN SU VALOR RESPECTO A LA UNIDAD CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  a. Fracción propia. El valor de la fracción es menor que la unidad:

f=

a 1

(a > b)  

4

NOTA: Toda fracción impropia se puede expresar como la suma de un entero más una fracción propia (fracción mixta).

Ejm: 7 1 1 = 3+ = 3   2 2 2

2)  SEGÚN SU DENOMINADOR a.  Fracción decimal. Su denominador es potencia entera de 10.

b.  Fracción común u ordinaria Su denominador no es potencia entera de 10.

3) POR GRUPO DE FRACCIONES a.  Fracciones homogéneas. Un grupo de fracciones son homogéneas cuando todos sus denominadores son iguales.

b.  Fracciones heterogéneas. Un grupo de fracciones son heterogéneas cuando al menos un denominador es diferente de los demás.

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  4)  POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS. a.  Fracción reductible. Sus términos tienen más de un divisor común.

b.  Fracción irreducible. Sus términos tienen como único divisor común a la unidad.

NOTA: A partir de una fracción irreducible se puede obtener una fracción equivalente a ella.

f=

PROPIEDAD:

a k.a = kÎ ¢+   b k.b

5

Dada las fracciones irreductibles f1 =

Si

a c y f 2 =   b d

a c + = k Ù kÎ ¢ Þ b= d b d

 

Si a los términos de una un a fracción propia se les suma un mismo valor entero positivo, la nueva fracciona si formada será mayor que la primera

f1 =

a a+ m < 1 y f2 = Þ f1 < f2 ; m Î ¢ +   b b+ m

Si a los terminos de una un a fraccion impropia se le suma un valor será menor que la primera

f1 =

a b

> 1 y f2 =

a+ m

¢ + , la nueva fracción así formada

Þ f1 > f2 ; m Î ¢ +

 

b+ m

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  Sean las fracciones irreductibles

a c e ; ; , entonces: b d f  éa c e ù MCD(a; cc;; ee)) MCD ê ; ; ú=   ê ú b d f M C M ( b ; d d; ; f ) ë û

éa c e ù MCM(a; c c;; ee)) MCM ê ; ; ú=   ê ú b d f M C D ( b ; d d; ; f ) ë û

NÚMEROS DECIMALES  ìï Número decimal exacto ïï ïï ï ìï Periodico Puro   Numero Decimal ïí ïï ïï   inexacto í ïï Número decimal     ïï ïï    ïïî Periodico Mixto ïî  

6

CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES 1.  Generatriz de un número decimal exacto. 0,abc =

abc   1000

2. Generatriz de un número decimal inexacto periódico puro. ¼   abc =   0,abc 999

3. Generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto.

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  ¼   abxyz - ab   0,abxyz = 99900

NOTAS: 1) Número decimal exacto: Una fracción irreductible origina un número decimal exacto cuando el denominador esté conformado  por sólo factores primos primos 2 o 5 o ambos. El número de cifras cifras decimale decimaless es el mayor exponente de 2 o 5 del denominador.  Ejemplo:

3 cifras decimales

2) Número decimal inexacto periódico puro. Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico puro si el denominador no tiene como factores primos a 2 ni 5.  El número de cifras del periodo es la cantidad de cifras del menor número formados por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción generatriz.

9 = 32 99 = 32 ×1 11 1

7

3

  999 = 3 ×37 9999 = 32 ×11 ×101 99999 = 32 ×41 ×271 999999 = 33 ×7 ×11 ×13 ×37  Ejemplo:

Tienen 6 cifras en el periodo por que el menor número de cifras 9 que lo contiene es 999 999 y tiene 6 cifras.

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  3)  Número decimal inexacto periódico mixto. Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer eldiferentes. denominador en sus de factores se está encuentran loslasprimos y/o 5 y otros factores primos El número cifras primos decimales dado por reglas 2anteriores.  Ejemplo:

Tienen 2 cifras decimales no periódicos y 3 cifras decimales periódicos puros

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.  hallar una fracción equivalente a 7/12 sabiendo que, si al termino menor la sumamos70 para que el valor de la fracción no se altere, entonces el otro termino debe triplicarse. a) 28/48

b) 42/72

c) 56/96

d) 35/60

e) 21/36

2.  Hallar una fracción cuyo valor no cambie si le añadimos simultáneamente 20 al numerador y 25 al denominador, si se sabe que el MCM de ambos términos es 340. a) 65/85

b) 68/85

c) 142/170

d) 13/17

3.  Se tiene 4 volúmenes de hielo tales como: V 1, V2, V3 y V4. sí se sabe que: V1 < >

4 5

V2

V2 < >

3 4

V3

V3 < >

5 8

V4

  , , Determinar que fracción e V4 de V1 

e) 135/170

8

a) 3/8

b) 8/3

c) 10/3

d) 24/5

e) 12/5

4.  Hallar E si: E=

1

+

2

3

+

4

7

511

+ …+

8

512  

a) 9/29 

b) 9 1/29

c) 1/26 

d) 8 1/29 

e) (212 -1) / 29 

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  5.  Un automovilista observa que 1/5 de lo recorrido equivale a los 3/5 de lo que le falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento si todo el viaje lo hará en 12 h horas? oras? a) 9

b) 7

c) 5

d) 4

e) 2 

6.  Al simplificar la expresión: 666... ( 0, 5 + 0, 66 E=

3,111...

0, 05 0555...) .

−

−

9 10

2, 0 06 666...

  Indicar la diferencia entre el denominador y el numerador de la fracción obtenida. a) 4

b) 3

c) 2

d) 5

e) 1

7.  Hallar E, si: E=

3 10

+

5 10

+

a) 0.35

3 100

+

5 100

+

3 1000

 b) 0.3535…

+

5 1000

+

...

 

c) 8/9

d) 0.0808…

e) 1,88… 

8.  Hallar una fracción equivalente a 0,22… cuyo numerador está comprendido entre 15 y 35 y su denominador entre 50 y 75. a) 15/70

b) 26/53

c) 18/72

d) 16/72

e) 19/74

9.  La fracción generatriz: 1/ab genera el número decimal: 0, 0(a - 1)b   ¿Cuál es el valor de a+b? a) 10

b) 9

c) 11

d) 12

e) 8

10.  hallar la suma de las cifras del periodo generado por la fracción: E=

83 37037 370 370.. 0..... ..... ( 32cfs 32cfs)

a) 11

  b) 13

c) 15

d) 9

e) 21

9

11.  Encontrar la fraccion , cuyo valor no cambia , cuando se suma al mismo tiempo 35 al numerador y 42 al denominador , sabiendo ademas que los 2 terminos de dcha fraccion tiene por MCM a 570.Dar como respuesta la suma de las cifras del numerador hallado.

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  a) 11

b) 13

c) 15

d) 14

e) 12

12.  Un comerciante vende 1/4 de su mercadería, perdiendo 1/5 de lo que costo; luego vende 1/3 de lo que quedaba perdiendo 1/20 de su costo. ¿Cuánto debe ganar en el resto para recuperar su capital? a) 1/8

b) 1/3

c) 1/5

d) 1/4

e) 1/2

13.  Después de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su hacienda, 1/9 del resto y 5/12 del nuevo resto, una persona hereda $45 600 y de esta manera, la perdida se reduce a la mitad de la cantidad inicial. ¿Cuál era su fortuna inicial? a) $295 200

b) $259 200

c) $250 200

d) $290 200

e) $259 100

14.  Un padre reparte dinero a sus hijos de la manera siguiente: al hijo mayor le da S/. 1000 más 1/5 del resto; al segundo S/2000 más 1/5 del resto; al tercero S/ 3000 más 1/5 del resto y así sucesivamente. Hallar la cantidad que repartió el padre y el número de hijos, sabiendo que todas las partes son iguales. a) S/16000 y 3 hijos d) S/12000 y 4 hijos

b) S/15000 y 4 hijos e) S/16000 y 6 hijos

c) S/16000 y 4 hijos

15.  Para x1 = 30; x 2 = 40; x3 = 56; ...  Encontrar el número entero positivo “m”, tal que: 1 1 1 1 + + + ... +   = 0.15   x1 x 2 x3 xm a) 18

b) 13

c) 14

d) 15

e) 12

16.  Si m n = 1,28787...   n  - m Hallar “m+n”, sabiendo que m/n es una fracción impropia irreductible.

a) 18

b) 16

c) 14

d) 15

e) 17

17.  Dos velas de la misma longitud están hechas de diferentes materiales, de tal manera que una se consume completamente en 3 horas y la otra en 4 horas. ¿A qué hora fueron encendidas simultáneamentee las velas, si a las 9pm, la longitud de una era el doble de la otra? simultáneament a) 06:35p.m

b) 06:00 p.m.

c) 06:36p.m

d) 06:05 p.m.

e) 06:30 p.m.

10

CEPRU ORDINARIO 2020 

11

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  18.  Clasifique verdadero como (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirmaciones: i. ∀a, b números enteros, ii. ∀ a números enteros,

a  es un número racional. b

(a + b)

 es

un número racional.

(1 + a2 )

iii. SSii  ∈  y k   es par, entonces “k” es par.   2

a) FVV

b) FFV

c) VFV

d) VFF

e) FFF

19.  Dos fracciones que tienen denominadores 13 y por numeradores dos números enteros consecutivos comprenden entre ellas la fracción cuyo valor decimal es 0.154545…. Halle la menor de las fracciones. a) 2/13

b) 3/13

c) 4/13

d) 6/13

e) 5/13

20.  En la expresión siguiente: 0.ab 0.ab - 0,ba 0,ba = 0,44 0,44 ; b ¹ 0   Entonces la suma de todos los valores posibles de 0,abb . Que satisfacen la ecuación anterior es: a) 0,611…

b) 1,33…

c) 2,166…

d) 3,11…

e) 4,166… 

c) 12

d) 13

e) 14

c) 4

d) 12

e) 6

d) 4

e) 3

21. Hallar la el valor de “n” 

) 5 5 5 5 + + + + .... = 4,6   2444444444 6 122 444444444 20 1 4444444442 4444444443 3 "n" fracciones

a) 10

b) 11

22. Hallar “x + y” , si: a) 8 » 23. Dado: 0,m1

a) 5

x 9

+

y

º = 0,62  

11 b) 5

  14 ; hallar “m”   11

» » +  0,m2 +  0,m3 =

b) 2

c) 1

24. ¿cuántas fracciones impropias menor menores es que 3/2 y cuyo denominador es 12 eexisten? xisten? 12

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  a) 5

b) 2

c) 1

d) 4

e) 3

25. Halle la suma de los dígitos del numerador de una fracción equivalente a 2584/4199, de tal manera que la suma de sus términos sea 252. a) 15

b) 21

c) 17

d) 14

e) 16

26. De las fracciones que tiene como numerador a 150, determine el número de fracciones impropias a) 150

b) 121

c) 138

d) 140

e) 160

27. De las fracciones que tiene como numerador a 150, determine el número de fracciones impropias irreductibles. a) 49

b) 38

c) 39

d) 41

28. ¿Para cuantos valores de p menores que 28 la fracción  f  = a) 6

b) 7

c) 5

 p

e) 20 2

+

28 p

 p + 1 d) 4

 es reductible? e) 3

29. Compare las siguientes fracciones e indique que fracción esta después de la fracción menor 12 18 2 24 ; ; ;   17 23 7 29

a)

12   17

b)

18   23

c)

2   7

d)

24   29

e) N.A

30. Compare las siguientes fracciones e indique que fracción esta antes de la fracción mayor 19 31 37 23 13 ; 25 ; 31 ; 17   a)

19   13

b)

31   25

31. Calcule m + n + p + q , dado que

c)

37   31

d)

23   17

e) N.A

17 pq  + = m+ q   mn 19

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO 

13

a) 16

b) 17

c) 15

d) 14

e) 13

32. La suma de dos fracciones impropias irreductibles es 3. Si la suma de los numeradores más la suma de los denominadores es 15, determine el mayor valor de la suma del producto de numeradores y denominadores a) 26

b) 27

c) 25

d) 30

e) 29

24 8 16 33. Las dimensiones de un ladrillo en forma de paralepipedo son 25 dm; 15 dm; 35 dm , respectivamente. ¿Cuántos ladrillos como mínimo se tendrán que utilizar para formar un cubo compacto? a) 3780 m

b) 2780

c) 3781

34. Cuál será la última cifra del periodo de E = a) 6

b) 7

d) 3782

e) 398

1   329

c) 5

d) 4

e) 3

35. Sean ,09 9 + 0,0 ,02 27 + 0,0 ,00 081 + ...   S = 5,4 + 0,02 ,027 + 0,00 ,00027 + 0,00 ,0000027 + .. . W = 1 + 0,3 + 0,0 Indique el valor de S - W  

a)

3079   770

b)

3070   772

36. Dada la fracción irreductible

c)

N (2 (2a a - 1)a

3781   770

d)

3077   770

e) N.A

¼   = 0,abc(2 ,abc (2a a + 1) , si bc es el menor numeral que tiene

12 divisores y no es múltiplo de 5, calcule la suma de cifras de 3N a) 6

b) 11

c) 5

d) 9

e) 7

  (1 + 2 + ... + m)(m + 1 1)) 37. Calcule a + b + m máximo, si 0, (¼   a + 2)(b - 2) = m(1 + 2 + ... + (m + 1)) a) 46

38. Si

b) 120

c) 115

d) 90

e) 107

31 ¼   = m,ab...xy , halle a + b + x + y + m   29

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  a) 16

b) 13

c) 15

39. Establezca para cada afirmación si es Verdadera o Falsa:

d) 14

e) 17

14

I.  I.  II.  II.  III.   III. IV.   IV.

Un número racional es un conjunto de fracciones equivalentes. Todo número entero es un número racional. A todo punto de la Recta Numérica le corresponde un número racional Si a, b son números enteros primos distintos, entonces b a/b es una fracción irreductible.

a) FVVF

b) FFVV

c) VFVF

d) VFF F

e) N.A

40. Establezca para cada afirmación si es Verdadera o Falsa: I. Un número racional siempre se puede expresar como número decimal. II.  II. Todo Todo número decimal infinito es un número racional. III.  Entre III. Entre dos números racionales se puede intercalar sólo un número racional. a c a+ c y  son dos racionales distintos, entonces IV.  S IV. Sii está entre ellos. b d b+ d a a.c V. V.  Entre Entre los números racionales  y  hay infinitos números racionales. b b.c a) FVVFV

b) FFVVF

c) VFVFF

d) VFFVV

e) N.A

41. halle la diferencia entre el número de cifras periódicas y no periódicas del número decimal generado por la fracción a) 29

17   26650

b) 19

c) 30

d) 28

e) 27

42. Halle la suma suma de las tres últimas cifras del número decimal que genera la fracción a) 16

b) 11

c) 15

d) 19

23   1600

e) 17

¼ donde N  es el cubo de otra fracción, determine el mayor valor de “p+q+r”   N   = 0,pqr; 43. Si M M

a) 16

b) 11

c) 15

d) 19

44. Halle la última cifra del número decimal generado por

3 5399

e) 17

.

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO  a) 1

b) 4

c) 2

45. Al sumar las fracciones propias y homogéneas

d) 8

e) 5

10 11 20  se obtiene como resultado + + ... + x1 x 2 x11

el mayor entero posible. Hallar el valor de x2  

46. Las fracciones

19

2 20 0

21

91

son irreductibles. Halar el menor

15

46. Las fracciones

; x + 21 x + 22

x+ 2 23 3

...

x + 98

  son irreductibles. Halar el menor

valor entero positivo que toma “x”  

a) 95

b) 92

47. Cuantas fracciones equivalentes a a) 1

b) 4

c) 97

d) 100

e) 98

68 ab    existen que sean de la forma 119 ba c) 2

d) 8

e) 5

48. Halle la suma de las dos últimas cifras de periodo del número decimal generado por la fracción 14   14 !+ 1 a) 12

49. sí

b)1 3

c) 17

d) 14

e) 9

d) 4

e) 9

xy m+ n+ p   = 0,mnpqz;  halle el valor de   q+ z zx

a) 2

b)3

c) 7

50. Cuantas fracciones irreductibles existen entre 1 y

47 , tal que genere un número decimal 30

 periódico mixto con con dos cifras periódicas y 5 como cifra no periódica a) 50

b)64

c) 63

d) 53

e)54

CEPRU ORDINARIO 2020 

 

 

CONCEPTOS BÁSICOS Numeración  Parte de la aritmética que se ocupa o cupa del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los numerales.

Número  Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.

Numeral 

16

Es la representación simbólica del número mediante determinados símbolos o guarismos.  Ejemplo:

, , , , 3

Cifras (dígitos)  Son símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales: 0,1,2,3,4,5,6,…   0,1,2,3,4,5,6,…

2.  SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es el conjunto de reglas, principios y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los numerales.

PRINCIPIOS FUNDAMENTAL FUNDAMENTALES ES Principio del orden Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden or den determinado, el cual se indica de derecha a izquierda.  Ejemplo:

5º 4º 3º 2º 1º N=2 5 736 Lugar

12

Orden

3 4 5

Principio de la base Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.

Sistemas de numeración más usados: Base Nombre del sistema

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Eptal o Heptanario Octal u Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal . . .

Cifras disponibles 0, 1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11) . . .

Lectura de un numeral 2523 y = escritura Dos mil quinientos veintitrés.   2104(5) = Dos, uno, cero, cuatro en base 5.

 

 

ARITMÉTICA |30

NOTAS Para cifras mayores a 9, se usa el convenio:  

 A    B  C   Ejemplo:  N = 3(11)7(12)(15) = 3B7C(15) Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base y viceversa.  En un sistema de base (n) se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son:   Cifra máxima

0, 1, 2, 3, 4, 5, … , (n-1) (n -1)

Cifra Cifras significativas no significativa

 A mayor numeral numeral aparente le corresponde menor base y viceversa.  Ejemplo: N = 132(n) = 52(k)  Como 132  52 entonces n  k

Principio del valor de las cifras Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores

 Valor Absoluto (V.A.) (V.A.) Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura (cantidad de unidades simples que representa).

 b) Valor Relativo (V.R.) (V.R.) Es el valor que toma una cifra por el orden que ocupa en el e l numeral.  Ejemplo:  VA = 2 (Símbolo)  VA =6

N=52 367  VR =60  VR = 2000 (Orden)

REPRESENTACIÓN LITERAL DE NUMERALES Cuando se desconocen las cifras de un numeral, éstos se representan con letras minúsculas, teniendo en cuenta que: Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La cifra de mayor orden (primera cifra) debe ser diferente de cero.   Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen.   Ejemplo:

Numeral de dos cifras en base 10.

 

ab : 10, 11, 12, 13, 14, 15 , . . ., 98, 99   Mayor numeral de tres cifras en base n:

= (n − 1)(n − 1)(n −1)(n)    Mayor numeral de tres cifras diferentes en base n: = (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n) , n>2 NUMERAL CAPICÚA Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes extremas son iguales.  Ejemplos: N=75157  N = abcdcba(8) 

N = anitalavalatina  N = adannocallaconnada 

 

ARITMÉTICA |31

4. DESC DESCOMPO OMPOSICIÓN SICIÓN POLINÓMIC POLINÓMICA A

Es la suma de los valores relativos de las cifras que conforman dicho numeral.  Eemplo:

= 52367 = 50000 +2000 +300 +60 +7 5104 +2103 + 3102 +610 +7  En general:  abcdef (n) = a  n 5 + b  n 4 + c  n 3 + d  n 2 + e  n + f  Ejemplos: 1. Descomposición polinómica simple: 20435(7) = 274 +073 + 472 + 37 + 5 

•  abc

100a

10b

c

ab = 10a + b  Descomposición por bloques ababab(5) = ab (5)  54 + ab (5)  52 + ab(5)  abcabc = abc  103 + abc = 1001abc 

5. CAMBIOS DE BASE BASE EN LOS SISTEMAS SISTEMAS DE NUMERA NUMERACIÓN CIÓN Primer caso

De base (n) a base (10)

Descomposición polinómica

Métodos : 

Ruffini  Ejemplo: Expresar Expresar  12456( 7)  en base 10.

Descomposición Descomposic ión polinómica:  N =12456(7) =174 +273 + 472 + 57 +6 = 3324

• Ruffini:

1 7 1

2 7 9

4 63 67

5 469 474

Segundo caso De base (10) a base (n) Método :  Divisiones sucesivas  Ejemplo: Expresar   246 en base 4. 246 4 6 61 4 2 21 15 4 1 3 3 246 3312(4) 

Tercer caso

 

De base (n) a base (m), nm10 n

10

m

6 3318 3324

 Ejemplo: Pasar 351(6) al sistema heptal.

6

351(6) = 139 139 = 256

10 7

 10

(7)

351(6) = 256(7)

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE NUMERACION 1.  Dadas las proposiciones. Identificar con (V) si es verdadero o (F) si es falso: •  En todo sistema de numeración se dispone delas cifras 0 y 1 •  En un sistema de numeración de base n se disponen de n cifras es. •  En un sistema de base n el mayor numeral de 3 cifras es.

  1    1 1  1 1 ,  > 2 

• 

En un sistema de base n el mayor numeral de 3 cifras diferentes diferentes es.

  1   2 2  3,  > 3 

La secuencia correcta es: A.VVVV B.FFVF

C.FVFV

D.VFVF

E. VFFV

2.  Hallar la suma de cifras del numeral.

3    =  3  5  2 2   A. 8

B. 9

2  22 2 ; 2

C. 10

     ;   ×  ×  

3.  Sean −      − Determinar el valor de A. 16. B. 15 C. 8 4. 

D. 11

D. 65

 , calcular 175  5  7 =    : A. 6.

B. 7

C. 8

D. 9

E. 12

E. 10

E. 10

  = 468  = 

5.  Si     . Datos: I. d>3 II.   III. N>250 Para hallar N se necesita los datos A. I y II B. II y III

 10% semestral < > 0,1 (tanto (tant o por 1) 6

M 10000(1 0,10)

17715 

 

Otra fórmula similar al anterior.

M

k.t

i

C 1

 

k 

k :  Número de periodos al año. t:

 Número de años

i: tasa de interés anual.

fórmula para el cálculo de la tasa de interés anual; t en años. i

t

 M

1 

C

i: Tasa de interés anual t: tiempo en años

EJERCICIOS DE TASA DE INTERES SIMPLE. 1. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. I. El monto representa la suma del capital más el interés. II. Una tasa de interés del 0,7% semanal equivale a una tasa de interés del 36% anual III. En el interés simple, el capital se incrementa periódicamente con los intereses que se produce. La secuencia correcta es:  A) VFV

B) VVF

C) VFF

D) VVV

E) FFV

2. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. I. En el interés simple, el capital se incrementa periódicamente con los intereses que produce II. En el interés compuesto, el capital permanece constante durante toda la operación comercial III. La tasa de interés es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias en un cierto tiempo. La secuencia correcta es:  A) FFV

B) FVF

C) VVF

D) VVV

E) FFF

 

3. El interés que produce un capital de 'A" dólares prestados durante "B" "B" meses a una tasa de C% trimestral, generando un monto de “D” dólares es:   A)

ABC 1200

BC

 

B)

DBC 1200

BC

 

C)

ABC 300

BC

D)

DBC 300

BC

 

E)

ABC 1200

 

4. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. I. En el inte interés rés simple, el capital se incrementa incrementa periódicamente con los los interese que produce. II. En el interés interés compuesto, el capital permanece constante durante toda la operación comercial. III. La tasa de interés es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias en un cierto tiempo. La secuencia correcta es:  A) FFV B) FVF C) VVF D) VVV E) FFF

5. En llos os negocios se considera: I. 1 a año ño igual a 12 meses II. 1 mes mes igual a 30 dias III. 1 año año igual a 365 dias IV. 1 mes mes igual a 4 semanas  A) VFFF B) VVFF C) VVFV D) FFVF E) VVVF 6. La tasa porcentual r debe estar expresada en forma anual, por lo que: I. 15% anual significa r=15 II. 4% mensual significa r=4 III. 7% trimestral significa r= 7 IV. 2% cada 80 dias significa r=9  A) VFFF B) VVFF C) VFFV D) FFVF E) VVVF 7. Para calcular el interés I que gana un capital C a una tasa de interés R durante un tiempo T generando un monto M, se emplea la expresión: I. 

CT R 

CT R  36 10 100 0

 

II.

MT R  III

 

MT R   

IV.

100 +TR 

 A) VFVF

120 12 0

360100-TR 

 

B) VVFF C) VFFV D) FFVF E) VVVF

8. Un capital impuesto al 5% a anual nual de interés simple, ha producido durante un tiempo una renta equivalente al 4% del monto. ¿Cuál es este tiempo?  A) 11 meses B) 10 meses C) 4 meses D) 6 meses E) 9 meses 9. Una casa cuesta S/. 250 000 y se desvaloriza uniformemente en S/. 25 000 por año. Si una persona tiene S/. 125 000 y los deposita en una entidad financiera al 4%, ¿Al cabo de qué tiempo podrá comprarlo?  A) 2 años y 2 meses B) 4 años y 3 meses C) 3 años y 4 meses D) 4 años y 2 meses E) 4 años y 4 meses 10. Calcule el beneficio que se obtiene al colocar S/. 1200 al 6,25% semestral durant durante e 300 días.  A) S/.100 B) S/.120 C) S/.125 D) S/.110 E) S/.115 11. ¿Cuál es el capital que durante 260 días, prestado al 3% bimestral, genera un interés de S/. 156?  A) S/. 1 000 B) S/. 1 530 C) S/. 1 280 D) S/. 1 320 E) S/. 1 200 12. Se ha impuesto cierto capital dura durante nte 16 meses capitalizable cuatrimestralmente a una tasa de 5% mensual. Si se sabe que el interés generado en el e l segundo período, el interés en el cuarto período y el monto del segundo período suman S/. 101 280, halle el capital impuesto.  A) S/. 30 000 D) S/. 48 000

B) S/. 36 000 E) S/. 50 000

C) S/. 40 000

 

13. Un capital de S/. 2648 se presta al 40% sobre el saldo deudor de cada trimestral. Si la deuda debe ser pagada con 3 cuotas trimestrales de igual valor, ¿cuánto debe ser la cuota trimestral?  A) S/.1 020,2 B) S/.1 024,8 C) S/.1 050,3 D) S/.1 060,2 E) S/.1 064,8 14. Una señora solicita un préstamo de 2000 soles a una institución financiera. Cada mes debe amortizar 100 soles del capital prestado, y además pagar un interés al inicio de cada mes del 1% sobre el saldo deudor. Determine el interés

total.  A) 210 soles

B) 220 soles

C) 225 soles

D) 230 soles

E) 235 soles

15. ¿Cuál es el interés semestral, en dólares, al que fue invertido $120 000 al 0.7% semanal?  A) 21600 B) 25000 C) 63200 D) 45000 E) 6500

16. Dos personas tienes juntos 167 280 soles, so les, la primera impone su dinero al 4% durante dur ante 3 meses y recibe r ecibe un interés doble del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%, durante 7 meses, en soles, el capital menor es  A) 32450 soles B) 24480 soles C) 40480 soles D) 36480 soles E) 23320 soles

17. Un comerciante depositó su capital al 7% anual y el e l monto que obtuvo fue S/. 6 470; 4 70; pero si hubiese depositado al 3% trimestral el monto monto seria S/. 7 890. Halle la suma de cifras del capital.  A) 14 B) 16 C) 18 D) 12 E) 20 18. Para la construcción de su casa, Jorge solicito un prés préstamo tamo de 20 000 soles a una entidad financiera, f inanciera, la cual se lo aprueban fijándole una tasa de 8% anual. Si debe pagar mensualmente recibos de 550 soles, se pide calcular el plazo fijado para el préstamo expresado en años.  A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 3 19. El capital de Pedro g gana ana 6%, el de Juan gana 8% de intereses anuales. La diferencia de capitales ca pitales es 4 000 00 0 soles pero después re ciben reciben interés. capitales, en soles, E) suman: su man:  A) 2600 soles de unB)año 2700 soles el mismo C) 2500 solesLosD) 2800 soles 2900 soles 20. Un capital se impone a un interés simple dividido en tres partes: el 25% al 40% anual el 40% del resto al 30% semestral el resto al 20% trimestral al cabo de que tiempo (en meses) se habrá quintuplicado el capital.  A) 74

B) 75

C) 68

D) 72

E) 80

21. Se deposita $ 4 000 al 18% anual durante “t” meses de modo que el interés y capital están en la relació n de 3 a 20, ¿qué monto se recibirá si se deposita el mismo capital por (t + 2) meses?  A) 4 270 dólares

B) 4 000 dólares

C) 4 820 dólares

D) 4 020 dólares E) 4 720 dólares

22. Se coloca $ 5 400 por partes en dos bancos que pagan el 1% y 0. 0.75% 75% mensual. Los intereses producidos en tres años son como 5 a 3, respectivamente. Indique la parte del capital que produce menos interés.  A) 4200 dólares B) 3400 dólares C) 2400 dólares D) 2000 dólares E) 4420 dólares 23. Se tiene un capital cuyo monto alcanzado en 10 meses es los 5/6 del monto obtenido o btenido en 15 meses. En tres meses, ¿qué tanto por ciento del capital gana?  A) 14 B) 16 C) 18 D) 12 E) 20 24. Marilia se presta cierta suma de dinero al 18% semestral durante cierto tiempo; pero con él efectúa el pago cuatro meses antes, se ahorra $120. En dólares halle el capital prestado.  A) 1400 B) 1600 C) 1800 D) 1200 E) 1000 25. En un banco que paga el 8% trimestral se depositó un capital el 20 julio ju lio del 2011. Luego, el 18 septiembre se deposita otra suma que es un tercio más que la anterior. Si el 16 enero del siguiente año se retiró un monto total de $ 23 720, halle el primer capital depositado.  A) 8000 B) 9000 C) 7000 D) 9500 E) 8500

 

  26. Valeria impone su capital a una tasa mensual y por equivocación el banco considera una tasa trimestral, con esto deja de ganar en un año $240. Halle la ganancia de tres tre s años que recibiría ella, si el banco considera la tasa correcta.  A) 1080 B) 1600 C) 1800 D) 1200 E) 2000 27. ¿A qué porcentaje debe ser colocado un capital para que en tres años cuatro meses produzca un interés equivalente a los 2/5 de la mitad del monto?

 A) 7.2

B) 8.5

C) 5.7

D) 8.2

E) 7.5

28. Dos capitales que son entre sí como 4 a 5 se colocan a interés simple, uno al 50% y el otro al 20%. Luego de qué tiempo la relación de los montos es la inversa de la relación original de sus capitales.  A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 3 29. Se impone un capital a all 6%, 4 años y 3 meses después desp ués se retira el e l capital más los intereses y se impone todo al 8%. ¿Cuál era el capital inicial si ahora se recibe como renta anual 200.80?  A) 2400 B) 1600 C) 1800 D) 1200 E) 2000 30. Una persona impone los 4/5 de u un n capital al 4% y el rresto esto al 5% resultando un interés anual de $3100. Determine el capital original.  A) 40 000 B) 60 000 C) 70 000 D) 50 000 E) 80 000 31. La media aritmética de dos capitales es $ 855 Se Se impone el mayor al 40% y el otro al 50% de interés simple durante 5 meses. Si luego de este tiempo los montos son iguales, hallar la diferencia de los capitales.  A) 30 B) 35 C) 40 D) 25 E) 20 32. Tres capitales que están en progresión aritmética, se colocan durante un año a ño al 24%. El interés total producido es $75 600 y además la diferencia entre el tercero y primer capital es $30 000, calcular el menor capital.  A) 70 000 B) 60 000 C) 80 000 D) 50 000 E) 90 000 33. La diferencia de los intereses producidos en un año por 2 capitales de S/. 8000 cada uno, es de 320 soles. s oles. Si la tasa de uno de ellos es el triple de la otra; entonces, la tasa menor, es: a)1,5% bimestral b) 1% semestral c) 0,6% trimestral d) 0,8% anual e) 4% anual 34. Después de cuánto tiempo un capital colocado al 40% trimestral de interés simple se quintuplica: a) 1año y 3 meses b) 1 año y 9 meses c) 2 años y 6 meses d) 2 años y 5 meses e) 2 años y 8 meses 35. Los 4/7 de un capital se coloca al 2% anual durante 3 años y el resto al 3% anual durante 2 años. Si la diferencia de los intereses es de S/120 entonces el capital menor, es: a)4000 b)6000 c)8000 d)10000 e)12000 36. Se tienen dos capitales de S/10 000 y S/8 000. Se imponen al 2k% y 3k% respectivamente; al cabo de 8 años producen el mismo monto. El valor de k, es: a) 4,25 b) 6,25 c) 7,25 d) 8,25 e) 9,25 37. Si luego de al tres meses de ahorrar ende uninterés conocido bancoque peruano pagan equivalente 20% del monto. La tasa mensual ofrece donde el banco es: interés simple, la ganancia es a) 6%

b) 8%

c) 6,666…..6%

d) 8,3333….3%

e) 7% 

38. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo, el primero al 4% semestral y el segundo al 11% anual. El primero produce S/726 y el segundo que le excede en S/4800 ha producido S/1309. El tiempo en días, es: a)115 b)120 c)180 d)200 e)212 39. Se depositó un capital de S/ 10 000 00 0 a una tasa de 3,5% mensual y a un régimen de interés simple. ¿Cuántos trimestres estuvo depositado si el monto retirado fue de S/ 15 250? a)5 b)6 c)7 d)8 e)9 40. Dos capitales de S/2000 y S/ 3000 son colocados durante el mismo tiempo al 60% y 30% respectivamente. Determinar el tiempo, si se sabe que al término de éste los montos son iguales? a)25 meses b)35 meses c)40 meses d)47 meses e)53 meses

 

PROBLEMAS DE TASA DE INTERES COMPUESTO 1) Se depositan S/. 8000 en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro años?

a)  8000 1,03

8000 1,02

48

48

 

b) 16000 1,13

 

e) 16000 1,12

48

48

c) 8000 1,23

 

48

 

d)

 

2.- Se deposita s/ 50000 en un banco durante 3 meses. Hallar el valor final a la tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente. a)  50000 1,125

100000 1,025

37

35

b) 100000 1,125

 

36

e) 50000 1,025

 

36

c) 5000 1,025

 

36

 

d)

 

3.- Calcular el valor de un capital de s/20000 s/200 00 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente. a)  20000 1,02

17,5

b) 40000 1,02

 

14,5

40000 1,02

16,5

 

c)

20000 1,02

15,5

 

d)

13,5

e) 20000 1,02

 

 

4.- Se invierte s/ 8000 por un año a la tasa del 12% capitalizable mensualmente. Determinar el monto al final del año, si transcurrido 3 meses la tasa se incrementó al 18% capitalizable mensualmente. 3

9

9

800 01 1,, 01 1, 01 015 5   b)  80

8000 00 1, 01 1, 01 015 5   a)  80 9

8000 80 00 1 1,, 01 011 1 1, 01 015 5  

3

9

800 0 1, 01 1,1 ,15 5   c)  80

d) 

9

8000 00 1 1,, 00 001 1 1, 01 015 5   e) 80

5.- Si S/ 2000 se invierten a un interés compuesto anual del 6°/o, encuentre el valor de la inversión después de 4 años. 3

8(53)  b)  25

4

8(43) a)  25

 

c)

8(52)4   25

4

4

4(53) d) 25

 

 

e) 

8(53) 25

 

6.- Un capital de S/ 2000 se invierte a una tasa de interés nominal anual del 12%. Calcule su valor después de 1 año si la capitalización es mensual. 12

12

a) (101) 8   5(10)

12

b) (100) 8   5(10)

 

12

d)

(111)

8

5(10)

12

 

e)

(110)

8

5(10)

 

c) (102) 8   5(10)

7.- ¿Qué tasa de interés compuesto duplica el valor de una inversión a 2 años? A) 2  

b)

2 

3 

c)

2 − 1 

d)

e) 0

8.- ¿Qué tasa de interés compuesto triplica el valor de una inversión a 10 años? 9

a) 10

3 − 1 

b)

3 − 1 

e)

10

2 − 1 

10

3 − 2 

c)

8

3 − 2 

d)

9.- Suponiendo que s/. 500 alcanzo la suma de s/. 588,38 depositado en una cuenta de ahorros después de tres años. Si el interés fue capitalizado semestralmente, encuentre la tasa de interés compuesto semestralmente. a)

d)

6

3

 588,38   − 1  500

 588,38   500

+

1 

b)

e)

6

6

 588,38   + 1  500

c)

3

 588,38   − 1  500

  500   − 1  588.38

10.- Se tiene un capital el cual se deposita a un 20% semestral capitalizable semestralmente durante 18 meses, si el mismo capital se hubiera depositado al 10% trimestralmente capitalizable trimestralmente. cuál sería la relación de los capitales finales. a)

(1,2)3 6   (1,1)

b)

e)

(1,2)3 6  (1,3)

c)

(1,2)6 3   (1,1)

d)

(1,6)3 6   (1,5)

(1,02)3   (1,01)6

 

ARITMÉTICA |1

 7

1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 EXPERIMENTO ALEATORIO (E)  Es cualquier acto cuyo resultado no se puede predecir antes de realizar el experimento por que consta con más de un resultado posible. Ejemplos: E1: Lanzar una moneda normal sobre una superficie plana y observar la cara superior. Puede ocurrir cara o sello. E2: Lanzar un dado sobre una superficie plana y observar la parte superior. Puede ocurrir que aparezca uno de los siguientes números: números: 1, 2,3 4, 5, 6. E3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos artículos defectuosos “D” y no defectuosos “N”  “N” 

1.2 ESPACIO MUESTRAL ( S o )  Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A su vez éste se comporta como el conjunto universal.

Ejemplos: Para el experimento E1 su espacio muestral es: S1 = {C, S} Para el experimento E2 su espacio mues muestral tral es: S 2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para el experimento E3 su espacio mues muestral tral es: S 3 = {D, N}.

CLASIFICACION DE LOS ESPACIOS MUESTRALES Por el número de elementos se clasifican en: 1.  ESPACIO MUESTRAL DISCRETO:  Si tienen un número finito o infinito numerable de elementos: a)  ESPACIO MUESTRAL DISCRETOS FINITOS:  Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos. b)  ESPACIO MUESTRAL DISCRETOS INFINITOS: Si el espacio muestral tiene un número infinito de elementos numerables  2.  ESPACIO MUESTRAL CONTINUOS Si tiene un número no numerable de elementos. Es decir, cuyos elementos son todos los puntos de algún intervalo. 

1.3 Evento o Suceso Es cualquier subconjunto del espacio muestral   A es un evento   A  

NOTAS:  es el evento nulo o imposible.   es el evento seguro. seguro. 

 Ejemplo: Consideremos el experimento: E : “lanzar dos dados y sumar las caras”  caras”    (1,1);(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6); 

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);(3,5);(3,6); (4,1);(4,2);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6); (5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6); (6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6)

  

 

ARITMÉTICA |2 Entonces son eventos eventos  o sucesos sucesos:: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5 (3,4),(4,3),(5,2),(6,1) ,2),(6,1)   A  {Se obtiene 7 puntos}  (1,6),(2,5), B  {Se obtiene menos de 4 puntos}  (1,1),(1,2),(2,1)  C  {Se obtiene al menos 10 puntos}  (4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,4),(6,6)  D  {Se obtiene a lo sumo 4 puntos}  (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1) 

Eventos mutuamente excluyentes Si A  B     A y B son eventos eventos mutuamente excl excluyentes. uyentes.

Eventos complementarios complementarios Si A  B   y A  B    A y B son eventos complementarios.

1.4 OPERACIONES CON EVENTOS • 

UNION. El evento

• 

, describe el evento de que “OCURRA POR LO MENOS UNO DE ELLOS”  

INTERSECCION.

: Describe el evento de que “OCURRAN AMBOS A Y B”  B”  • 

DIFERENCIA El evento

, se describe el evento de que “OCURRA  A  A Y NO OCURRA B”  B” 

2. TECNICAS DE CONTEO Estaremos interesados solo en el número de elementos que tiene un espacio muestral o un evento particular, en tales situaciones acudiremos a las técnicas de conteo.

2.1  Principio de adición Si un experimento

puede ocurrir de

formas y un segundo experimento

puede ocurrir de

formas,

entonces el experimento ,consiste en realizar o (“o” en el sentido de exclusión ,es decir  y no pueden asociados a y ocurrir juntos) ocurre de formas, siempre que los espacios muéstrales respectivamente sean disjunt disjuntos. os. Ejemplo:  Andrés decide regresar regresar a Tumbes y debe decidir entre hacerlo por vía aérea o vía terr terrestre, estre, y existen cuatro rrutas utas para el transporte aéreo y 5 rutas para el transporte terrestre. ¿De cuántas maneras distintas puede hacer su  viaje? a)20 b)5 c)12 d)9 e)7 

2.2 Principio de multiplicació m ultiplicación n Si un experim experimento ento aleator aleatorio io puede ocurrir formas y si para cada una de estas, un experim experimento ento formas, entonces los dos experimentos experim entos juntos ocurren de formas.

ocurre de

Ejemplo: Sí Laura tiene para vestirse cuatro pantalones, 6 blusas y 5 pares de zapatillas, todas prendas distintas ¿de cuántas maneras podría vestirse? a)44 b)15 c)120

d)29

e)260 

 

ARITMÉTICA |3

2.3 Factorial de un número.  Si n un número entero positivo, el factorial de n, se denota por “n! “n!”” y se define define como el producto de todos los números enteros consecutivos hasta n inclusive, es decir.

Observe que, Luego definimos convencionalmen convencionalmente te

2.4 Variación Se denominan variaciones de k objetos tomados de n objetos distintos, a cada uno de los arreglos que se hagan con los k objetos, de manera que, estos arreglos difieran en algún elemento o en el orden de la colocación. El número número total de varia variaciones ciones diferentes de k objetos tomados de n objetos distintos, distintos, se denota denota por . Importa el orden.

Permutaciones “El número de permutaciones de n objetos tomados de tomados de n a n” n ” o simplemente número de permutaciones permutaciones de n objetos diferentes y se escribe.

2.5 C ombinación Combinació n Se denominan combinaciones de k objetos tomados de n objetos distintos a cada selección que podamos hacer de k objetos de los n dados, sin tener en cuenta el orden de los mismos y de manera que no puede haber dos combinaciones con los mismos elementos. El número total de combinaciones de orden k que se puede formar a partir de n elementos elemen tos d distinto istintos, s, denota por . No importa el orden

Propiedades:        

 

ARITMÉTICA |4 

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.  En las siguientes proposiciones, escribe (V) si es  verdadero o (F) si es falsa. I. Un Un experimento aleatorio es aquel acto cuyo resultado se predice con exactitud. II. El El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. III. Un Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. La secuencia correcta es: a)   VVF b) VVV c) FFF d) FVF e) FVV 2. 

En las siguientes proposiciones, escribe (V) si es verdadero o (F) si es falsa I.  El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. II.  Todos subconjuntos de un espacio muestral es un evento III.  Todo evento seguro no siempre es igual al espació muestral. Determina la secuencia correcta.

a)  FVV

b) VVF

c) VVV d) FFF e) VFV

3.  En las siguientes proposiciones, escribe (V) si es  verdadero o (F) si es falsa I.  El experimento que consiste en extraer dos  bolas de una urna que contiene contiene 5 bolas idénticas de diferentes colores es aleatorio. II.  Dos eventos mutuamente excluyentes siempre serán independientes. III.  El fenómeno tiempo de vida de una  bombilla de luz no eess aleatorio. aleatorio. La secuencia correcta es: a)   VFV b) FFF c) VV VVV V d) VFF e) FVV 4.  De las siguientes proposiciones: I.  El evento seguro es el mismo espacio muestral. II.  Un espacio muestral puede tener infinitos elementos. III.  Las permutaciones son casos particulares de las  variaciones.  variacione s. IV.  Las variaciones son casos particulares de las permutaciones. ¿Cuántas son falsas? a)1   b)2  c)3  d)4 e)5 5.  Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I.  En las combinaciones el orden es indispensable. II.  En las variaciones no importa el orden. III.  Las combinaciones de un conjunto de tres elementos tomados de dos en dos es tres. La secuencia correcta es: a) VVV

b) VVF 

c) FFV  

d) FVV

e) FFF

6.  Cuántos elementos tiene el espacio muestral

7.  Tres urnas contienen fichas numeradas del 1 al 5. Se extrae una ficha al azar de cada urna y se forma un numero de 3digitos. -  ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? -  ¿Qué porcentaje de fichas suman seis? a)120 y 10% b)125 y 30% c) 120 y 12% d)125 y 8% e)115 y 19% 8. 

Una persona tiene 8(tres camisas (cuatro iguales), siete que pantalones iguales) y 6 pares de zapatos (tres iguales). ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir? a)80 b) 336 c)100 d)72 e)90

9. 

¿De cuántas formas pueden ordenarse 6 personas en una hilera, si una de ellas debe estar siempre en uno de los extremos? a) 240 b) 360 c) 120 d) 480 e) 720

10.  Se quiere ubicar 8 niños en una fila, si dos de ellos deben estar siempre juntos ¿De cuántas formas diferentes es posible realizarlo? a) 240 b) 360 c) 120 d) 480 e) 720 11.  Maribel le dice a Pablo de mi casa a la universidad existen 10 caminos. ¿De cuántas maneras puedo ir y regresar, si de regreso no puedo usar el camino de ida? a) 80 b) 100 c) 90 d) 20 e) 19 12.  En una u na caja h hay ay 4 corbatas n nacionales, acionales, 5 corbatas americanas, 6 corbatas inglesas, y 7 corbatas ecuatorianas ecuatorianas.. Determinar de cuántas maneras diferentes puede elegirse corbatas de modo que haya una de cada tipo: nacional, americana, inglesa y ecuatoriana. a) 960 b) 840 c) 24 d) 1680 e) 120 13.  En un jardín juegan 8 niños y 6 niñas. ¿De cuántas formas se pueden escoger cinco niños y cuatro niñas? a) 420 b) 630 c) 900 d) 840 e) 120 14.  Se tiene un estante con capacidad para 7 libros, se quiere ordenar 3 libros de  Algebra,  Algeb ra, libros de Razonam Razonamiento iento Matemático Matemático y 2 libros de Trigonometría. ¿De cuántas maneras se podrá ordenar? Si los libros de trigonometría siempre se ubican en los extremos. a) 420 b) 240 c) 920 d) 840 e) 5040 15.  ¿Cuántas señales diferentes se puede hacer con cinco banderas de diferentes colores izando cada vez dos; 3; 4 o cinco banderas? a) 360 b) 280 c) 300 d) 320 e) 380

asociado al experimento de extraer al azar 3  bolas rojas de una urna que contiene 6 bolas rojas: I.  A la vez II.  Una a una sin reposición. a)20 y 110 b)25 y 130 c) 20 y 120 d)15 y 120 e)18 y 115

16.  Un equipo científico consta de 20 miembros de los cuales 4 son ingenieros; determinar el número de grupos de tres miembros que se puede formar de manera que en cada grupo haya por lo menos un ingeniero a) 590 b) 600 c) 560 d) 570 e) 580

 

17.  ¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente 4 frutas, podemos realizar si disponemos de 10 frutas diferentes? a) 720 b) 40 c) 420 d) 210 e) 1260

28.  Bruno tiene 5 clases de pantalones y 6 camisas diferentes. El número de posibilidades para cambiar ambas prendas es: a)10 b)15 c)20 d)35 e)30

18.  Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir a los operadores que sepan cuando inspeccionara, varia el orden de las visitas. ¿De cuantas maneras puede

29.  El Club Cienciano del cusco tiene un directorio conformado por 16 personas, sin importar la  jerarquía se conforma una comisión para la Copa sudamericana la que está constituida por 4 personas miembros del directorio. ¿De cuantas

hacerlo? a)720 b)650

c) 850 d) 710

e)680

maneras diferentes se puede formar la comisión? a)2818 b)1988 c)1820 d)64 e)24

19.  ¿De cuantas maneras se pueden colocar 10 chicas en una fila, de manera que dos chicas, en particular, no queden juntas? a)9x8! b)7x8! c)6x8! d)8x9! E)10x9!

30.  Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares (de izquierda a derecha). ¿De cuántas 31.  formas diferentes pueden sentarse las 7 personas? a) 144 b) 5040 c) 1800 d) 288 e) 120

20.  Un grupo está formado por 5 personas y desean formar una comisión integrada por presidente y secretario. ¿De cuantas maneras puede nombrarse esta comisión? a)15 b)160 c) 80 d)20 e)60

32.  Se quieren sentar 4 hombres y 2 mujeres en una fila, de modo que las mujeres estén siempre  juntas. ¿De cuántas cuántas formas formas puede pueden n sentarse? sentarse? a) 24 b) 32 c) 12 d) 60 e) 240

21. Se va a colorear un mapa de cuatro países, con colores diferentes para cada país. Si hay disponible 6 colores maneras puede colorear diferentes. el mapa? ¿De cuantas a)300 b)320 c)360 d) 350 e)310 22.  Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. -  ¿De cuantas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas? -  Si las tres primeras son obligatorias, ¿De cuantas maneras puede escoger las preguntas? a)45 y 21 b)35 y 15 c)30 y 35 d)40 y 25 e)50 y 21 23.  ¿De cuantas maneras se puede sentar 2 chicos y 3 chicas en el cine; en una butaca de 5 asientos si se sabe además que las chicas no quieren estar a)6 juntas? b)25

c)80

d)12

e)15

24.  Un producto se vende en 3 mercados; en el primer mercado se tienen disponibles 5 tiendas, en el segundo 4 y en el tercer mercado 6 tiendas. ¿De cuantas maneras puede venderse el producto? a)15 b)18 c)30 d)90 e)20 25.  Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuantas formas puede hacer el viaje? a)30 b)6 c)11 d)20 e)15

33.  Héctor, por equivocación contó el total de saludos de despedida que hubieron al final de una reunión, en vez de contar el número de personas que se reunieron. ¿Cuántas personas se reunieron, si Héctor contó 630 saludos de despedida? a) 32 b) 33 c) 36 d) 34 e) 35 34.  ¿De cuántas maneras se puede colocar 5 libros de historia, 3 libros de aritmética y 2 libros de filosofía sobre un estante, de manera que los libros de cada materia estén siempre juntos.? a) 8640 b) 4320 c) 5680 d) 2880 e) 1440 35.  ¿De cuántas maneras se puede repartir 15 libros entre 2 personas de manera que a uno le toque 11 y al otro el resto de los libros?   a) 2840 b) 2420 c) 2630 d) 1365 e) 2730  36.  De cuantas formas se puede escoger 3 puntos colineales en la siguiente figura.

26.  En una urna hay 6 fichas numeradas. ¿De cuantas fichas? formas se puede extraer por lo menos 4 a)24 b)20 c)23 d)18 e)22 27.  En una reunión de padres de familia, se elegirá una junta directiva entre seis candidatos. Si dicha directiva debe estar conformada por un presidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuantas maneras distintas se puede constituir la  junta? a)132 b)110 c)120 d)100 e)140

 

38.  ¿Cuántos números de tres cifras tienen al menos una cifra 5 en su escritura? a) 546 b)434 c)252 d)354 e)654 39.  Con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9 ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse si los dos primeros (millar y centena) son impares y los demás (decena y unidad) son pares?  Además en un mismo número las cifras no se repiten. a) 120 b)60 c)225 d)96 e)144

a) 12

b)16

c)20

d)24

e) 32

37.  En un juego infantil se van diciendo números consecutivos del 1 al 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. El juego termina cuando se llega al número 100. ¿Cuántas veces se aplaudió durante el juego? a) 10 b)33 c)39 d)43 e) 47