Aritmética_3°.pdf
January 24, 2017 | Author: Juan Victor Beltran Perez | Category: N/A
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Índice UNIDAD 1
La fórmula matemática de la belleza
Capítulo 1 Razones............................................................. 5
Capítulo 3 Serie de razones geométricas equivalentes....... 18
Capítulo 2 Proporciones..................................................... 11
UNIDAD 2
¿Cómo determinarías el ancho de este río?
Capítulo 1 Magnitudes proporcionales............................... 25
Capítulo 5 Regla de compañía............................................ 46
Capítulo 2 Complemento.................................................... 32
Capítulo 6 Repaso............................................................... 53
Capítulo 3 Reparto proporcional simple............................. 35
Capítulo 7 Regla de tres simple.......................................... 56
Capítulo 4 Reparto proporcional compuesto...................... 40
Capítulo 8 Regla de tres compuesta................................... 62
UNIDAD 3
¡Qué tal pendiente!
Capítulo 1 Porcentaje I....................................................... 70
Capítulo 3 Complemento.................................................... 82
Capítulo 2 Porcentaje II..................................................... 76
UNIDAD 4
Las tarjetas de crédito
Capítulo 1 Regla de interés simple I................................... 85
Capítulo 3 Repaso............................................................... 96
Capítulo 2 Regla de interés simple II.................................. 91
UNIDAD 5
El más grande de todos los tiempos
Capítulo 1 Promedios......................................................... 99
Aritmética UNIDAD 6
Un precio justo
Capítulo 1 Mezcla............................................................... 105
UNIDAD 7
Los circuitos digitales
Capítulo 1 Lógica proposicional......................................... 112
Capítulo 3 Complemento.................................................... 122
Capítulo 2 Cuantificadores................................................. 119
UNIDAD 8
¿Dios es lo más grande?
Capítulo 1 Conjuntos.......................................................... 125
Capítulo 3 Repaso bimestral............................................... 139
Capítulo 2 Operaciones con conjuntos............................... 132
UNIDAD 9
Un detalle importante
Capítulo 1 Estadística I...................................................... 143
Capítulo 5 Complemento de Estadística............................. 170
Capítulo 2 Estadística II..................................................... 150
Capítulo 6 Probabilidades................................................... 174
Capítulo 3 Estadística III.................................................... 156
Capítulo 7 Repaso bimestral............................................... 181
Capítulo 4 Medidas de tendencia central............................ 163
TRILCE
UNIDAD 1
Las matemáticas están presentes en el arte y en la naturaleza, por ejemplo, el número áureo fue usado profusamente por destacados artistas. El rostro de la Mona Lisa de Leonardo tiene la proporción del número áureo (ver imagen). Asimismo, podemos ver en el fósil del Nautilus y también en algunos moluscos actuales, como la forma del caparazón corresponde a una espiral logarítmica, que es también dependiente de la relación áurea.
La fórmula matemática de la belleza BELLEZA =
S
(Largo del rostro)(Ancho del rostro)(Tamaño de la oreja)2
ería extraño que de esta manera pudiéramos calcular la belleza de una persona, pero esta fórmula no es real sin embargo: • ¿Existirá alguna fórmula matemática que determine la belleza de una persona? • Y si existe, ¿en qué conceptos matemáticos estará basada dicha fórmula?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • •
2p Amor
Identificar y relacionar las clases de razón y proporción. Interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de índole real.
Comunicación matemática • •
Representar matemáticamente enunciados vinculados a la proporción. Utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de proporciones.
Resolución de problemas • •
Resolver problemas que involucren razones aritmética y geométrica así como proporciones. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas.
Razones
Razones
1
En este capítulo aprenderemos: • • • •
L
A reconocer la razón aritmética y razón geométrica así como identificar los tipos de razón y su aplicación. A elaborar modelos de la vida real donde se aplique las razones. A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones. A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas.
El mapa topográfico nacional os mapas topográficos son aquellos que utilizan escalas muy grandes (1:25 000 y 1:50 000) porque representan superficies muy pequeñas de la Tierra. Son los mapas adecuados para estudiar las poblaciones y sus comarcas adyacentes.
En los mapas topográficos, como en el Mapa Topográfico Nacional editado en Perú, aparecen aspectos físicos (relieve, red hidrográfica, vegetación, etc.) y aspectos humanos (ciudades importantes, capitales, límites políticos, etc.), en la leyenda, está la escala que permite identificarlos. Esto nos da una idea de la importancia que tiene en la vida real la aplicación de la comparación que se hace entre la medida real, es decir en el terreno y la medida en el papel, es decir en el mapa, ahora responde: • ¿Sabes qué es una escala? • ¿Qué escala usarías para realizar un mapa de tu colegio? Central: 619-8100
UNIDAD 1
5
Aritmética
Saberes previos 4. Encuentra el valor de "a" y "b", si son números enteros y positivos mediante el tanteo:
•
¿Sabes simplificar? 12 × 45 × 54 × 18 1. = 16 × 81 × 15
a . b = 15 a+b=8
•
Es importante que sepas despejar: 3x 15 = ⇒x= 2. 8 4 3.
⇒
a= b=
5. Resuelve: (2k)2 + (3k)2 = 52
x+1 4 = ⇒x= 3 9
Conceptos básicos Razón Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra nos preguntamos: ¿en cuántas unidades es mayor? ó ¿cuántas veces contiene la mayor a la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por división respectivamente.
Clases de razón
Razón aritmética
Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Dicha diferencia determina en cuántas unidades excede una cantidad a la otra. Ejemplo:
•
En el 3er año del colegio Trilce asisten 25 varones y 18 mujeres. ¿Cuál es la razón aritmética?
Comparando: 25 varones – 14243 18 mujeres = 14243 Antecedente Consecuente
•
7 varones 14243 Valor de la razón aritmética
En general: a–b=r
Razón Consecuente Antecedente
Razón geométrica
Es la comparación de dos cantidades utilizando la división. Ejemplo:
•
La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 años respectivamente. Padre 40 años =8 Comparando: = Hijo 5 años
Interpretación: • La edad del padre es ocho veces la edad del hijo. •
6
Colegios
La edad del hijo es la octava parte de la edad del padre.
TRILCE
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Razones
¡Ahora hazlo tú!
• •
La altura de un edificio "A" es: 120 m La altura de un edificio "B" es: 60 m
1
Compara las alturas (utilizando la razón geométrica) e interpreta.
•
En general:
a =k b
Donde:
a: antecedente b: consecuente k: valor de la razón geométrica
Recuerda que... "Razón es la comparación de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operación de sustracción o división existiendo la razón aritmética y la razón geométrica respectivamente".
Síntesis teórica Razón Puede ser
o puede ser
Aritmética
Geométrica
Es decir
Es decir
a: antecedente b: consecuente
a–b=r
a =k b
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Coloca verdadero (V) o falso (F) según sea el siguiente caso: 8 – 3 = 5 • 8 excede en 5 a 3................................ (
)
• 3 es 5 unidades menor que 8.............. (
)
• Es un ejemplo de razón geométrica..... (
)
2. Coloca el nombre que corresponde a cada término:
↓ 15 – 5 = 10 ←
3. • Representa matemáticamente: "La edad de Pedro es a la edad de Luis, como 2 es a 3". •
Representa como una razón geométrica: "Ana tiene el doble de dinero que Rosa".
4. Coloca el nombre que corresponde a cada término:
↓
a =c← b
↑
↑ 5. Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a 9 y su suma es 84. Hallar la edad de Juan. Central: 619-8100
UNIDAD 1
7
Aritmética
Aprende más 1. La razón aritmética de dos números es 20 y su razón geométrica es 2. El número mayor es: 2. La razón entre dos números es 3/5. Determinar la diferencia entre ellos, sabiendo que su suma es 72. 3. Dos números están en la razón de 3 a 2. Si la suma de dichos números excede a la diferencia de los mismos en 80, hallar el mayor de los números. 4. La edad de Carlos es a la edad de Julio como 5 es a 6 y después de cierto tiempo sus edades están en la relación de 9 a 10. ¿En qué relación están el tiempo transcurrido y la edad inicial de Julio? 5. Si:
A 9 = y B 4
A – B = 4, hallar "A – B"
6. De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son mujeres. Si en el colegio hay 50 varones, ¿cuántos alumnos son en total? 7. Dos números son entre sí como 11 es a 4. Hallar el mayor de los números, sabiendo que su razón aritmética es 77. 8. En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo el número de hombres al número total de personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres, si se retiran 33 mujeres? 9. La razón de las cantidades de dinero de Pedro y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 soles a Pedro ambos tendrían la misma suma de dinero. ¿Cuánto tiene Juan?
10. Dos números están en la relación de 2 a 7. Agregando a uno de ellos 73 y 138 al otro se obtienen cantidades iguales. Hallar la suma de los números. 11. Si el corredor "A" compite con el corredor "B" en una carrera de 100 metros, "A" le da a "B" una ventaja de 20 metros. Cuando corre "B" contra "C" en una carrera de 100 m, "B" le da a "C" 25 metros de ventaja. ¿Qué ventaja debería darle el corredor "A" a "C" en una carrera de 200 m, si en los dos primeros casos los competidores llegan al mismo tiempo a la meta? 12. Un termómetro defectuoso indica 2º para fundirse el hielo y 107º para el agua hirviendo. ¿Cuál es la temperatura real en ºC cuando marca 23º? 13. Por cada 100 huevos que compro se me rompen 10 y por cada 100 huevos que vendo doy 10 de regalo. Si vendí 1 800 huevos, ¿cuántos huevos compré? 14. En una reunión el número de hombres que bailan es al número de mujeres que no bailan como 1 a 2 y además el número de mujeres es al número de hombres que no bailan como 3 es a 5. Determinar cuántas personas bailan, si en total asistieron 72 personas. 15. El número de vagones que lleva un tren "A" es los 5/11 del que lleva un tren "B" y el que lleva un tren "C" es los 7/13 de otro "D". Entre "A" y "B" llevan tantos vagones como los otros dos. Si el número de vagones de cada tren no excede de 60, ¿cuál es el número de vagones que lleva el tren "C"?
Aplicación cotidiana Congestión vehicular 16.
8
Colegios
TRILCE
La Unión Europea pierde 100 mil millones de euros anuales por congestión vehicular. Sin embargo los accidentes automovilísticos son una constante en estos países. Se sabe que uno de cada mil vehículos sufre un accidente en 1 kilómetro. ¿Cuántos vehículos de cada millón sufren un accidente en 2 kilómetros?
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Razones
1
¡Tú puedes! 1. Una empresa dispone de S/. 28 710 para ser distribuidos entre 25 obreros, 12 empleados y 10 ejecutivos. Se sabe que la parte de un obrero es los 5/7 de las de un empleado y también representa los 5/11 de un ejecutivo. El haber de un empleado es: a) S/. 630
b) 2 250
c) 400
d) 210
e) 120
2. Un auto consume un galón de gasolina para recorrer 40 km y otro auto consume un galón para recorrer "m" km. ¿Cuántos km puede recorrer el primer auto con la gasolina que el segundo emplea para recorrer 120 km? 4 800 480 a) 480 m b) 4 800 m c) 4 800 + m d) e) m m 3. Newton parte a caballo de "A" hacia "B", al mismo tiempo que Einstein y Trilce parten a pie desde "B" hacia "A". Newton se encuentra primero con Einstein y 16 km más adelante con Trilce, esto debido a que el caballo se desplaza con una rapidez que es cuatro y cinco veces la de cada peatón. Hallar la distancia de "A" a "B". a) 520 km
b) 480
c) 400
d) 360
e) 320
4. Las alturas de tres cubos son proporcionales a 1; 2 y 3. El primero está lleno de agua por completo y las cantidades de agua son proporcionales a 3; 4 y 5. Se arrojó la mitad del contenido del primero en cada uno de los otros dos. ¿En qué relación quedan los volúmenes vacíos de los otros dos? a) 2,4
b) 4,3
c) 3,5
d) 4,027
e) 4,02
5. Se tiene un aula de tres filas "A", "B" y "C", en donde la cantidad de varones con la cantidad de mujeres en la fila "A", en la fila "B" y en la fila "C" están en la relación de 2 a 3, de 3 a 4 y de 5 a 2 respectivamente. Hallar el total de alumnos, si los varones de la fila "A" son tantos como las mujeres de la fila "C" y además la cantidad de varones de la fila "C" excede a la cantidad de mujeres de la fila "B" en 12. En la fila "A" y "B" la cantidad de alumnos están en la relación de 10 a 7. a) 62
b) 65
c) 70
d) 80
e) 85
18:10:45
Practica en casa 1. Un padre tiene 34 años y su hijo 7. ¿Al cabo de cuánto tiempo, la razón de las edades será 1/2? 2. Si "a3" es a "b3" como 125 es a 8, ¿cuánto valdrá "b" cuando "a" sea 35? 3. Si "m" y "n" son entre sí como 5 es a 9, ¿cuál 5n + 3m ? será el valor de: E = n–m 4. En un corral hay gallinas y pavos. Se sabe que el número de gallinas es al total de aves como 2 es a 9 y la diferencia entre pavos y gallinas es 30. Hallar el número de pavos.
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5. Dos números están en la razón de 2 es a 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? 6. Los volúmenes que contienen dos recipientes están en la relación de 5 a 8. Si agregamos 22 litros a cada uno, la nueva relación será de 7 a 9. ¿Cuántos litros tenía al inicio cada recipiente? 7. La suma de tres números es 18 300. El primero es al segundo como 25 a 10 y su diferencia es 300. Hallar la suma de las cifras del número mayor. 8. La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. ¿Cuál es su diferencia, si la razón vale 0,04? UNIDAD 1
9
Aritmética
9. Un alumno que mide 1,60 m proyecta una sombra de 3,20 m. Si en el mismo instante un poste de luz proyecta una sombra de 12 m, ¿cuánto mide el poste? 10. Lo que gana y gasta un hombre suman 6 000 soles y la razón entre lo que gasta y gana es 2/3. ¿Cuánto tiene que disminuir lo que gasta para que la razón anterior se transforme en 3/5? 11. Un jugador de billar "A" le da 40 puntos de ventaja a otro "B", para un total de 100. "B" le da de ventaja a otro "C", 30 puntos para 50. ¿Cuántos puntos de ventaja debe dar "A" a "C" en un partido de 150? 12. Un termómetro mal calibrado indica 6 ºC para el hielo al fundirse y 81 ºC para el vapor de agua hirviendo. Si la lectura real es 32 ºC, ¿cuál será la lectura incorrecta?
10
Colegios
TRILCE
13. A una fiesta asisten 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de hombres y el número de mujeres que se quedan en la fiesta? 14. Para elegir la directiva de un club que consta de 1 200 socios se presentan las listas "A" y "B". Antes de las elecciones, "B" es favorito en la relación de 7 a 5, pero en el día decisivo los votos favorecieron a "A" en la relación de 5 a 3. ¿Cuántos socios cambiaron de opinión, si no hubo abstenciones? 15. En un salón de clases, el número de varones es al de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo se retiran 1/5 de las mujeres y 1/3 de los varones, ¿cuál es la nueva relación entre el número de varones y de mujeres?
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Proporciones
Proporciones
2
En este capítulo aprenderemos: •
A definir y distinguir las clases de proporciones.
•
A identificar los términos de una proporción aritmética y una proporción geométrica.
•
A codificar y decodificar los enunciados y símbolos relacionados con las proporciones.
•
A resolver problemas referidos a la proporción.
U
El número de oro presente en nuestro cuerpo nas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el NÚMERO DE ORO (j =
1+ 5 ≈ 1,61803….) 2
Éste número de oro es el que determina la fórmula de la belleza o de la estética. • ¿Crees que tu cuerpo coincidiría con este número de oro? • ¿Cualquier persona tendrá un cuerpo armonioso? Central: 619-8100
UNIDAD 1
11
Aritmética
Saberes previos •
¿Cuánto vale?
•
Hallar "x".
1.
42 × 9 3 = 362
3.
12 16 ⇒x= = 15 x
2.
64 × 121
4.
50 x = x 2
5.
x+a b ⇒x= = b a
Conceptos básicos Proporciones Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases.
Proporción aritmética (Equi – diferencia)
Igualdad de dos razones aritméticas.
Observación: a–b=c–d Medios Extremos
Además: "a" y "c": antecedentes "b" y "d": consecuentes
•
La suma de medios es igual a la suma de extremos:
a+d=b+c
Las proporciones aritméticas se dividen en dos tipos:
P. A. Discreta
Cuando se cumple que sus términos medios son diferentes entre sí. a–b=c–d ;b≠c
Observación: •
Al último término "d" se le denomina cuarta diferencial de "a", "b" y "c".
Ejemplo:
•
Calcular la cuarta diferencial de 18; 14 y 46
Luego:
Resolviendo:
18 – 14 = 46 – x x = 42 ¡Ahora hazlo tú! •
12
Colegios
TRILCE
Calcular la cuarta diferencial de 35; 26 y 56
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Proporciones
P. A. Continua
Cuando los términos medios son iguales.
2
a–b=b–c
Observación: •
"b" se denomina media diferencial o media aritmética de "a" y "c".
•
"c" se denomina tercera diferencial de "a" y "b".
Ejemplo:
•
Calcular la tercera diferencial de 78 y 65
Luego:
Resolviendo:
78 – 65 = 65 – x x = 52
¡Ahora hazlo tú!
•
Calcular la tercera diferencial de 41 y 34
Ejemplo:
•
Calcular la media diferencial de 28 y 20
Luego:
Resolviendo:
28 – x = x – 20 x = 24
¡Ahora hazlo tú!
•
Calcular la media diferencial de 34 y 30
Observación: •
La media diferencial de "a" y "c" también se puede calcular de la siguiente manera: a+c 2
Proporción geométrica (Equi – cociente) Igualdad de dos razones geométricas.
a c = b d
Central: 619-8100
"a" y "d": extremos "b" y "c": medios "a" y "c": antecedentes "b" y "d": consecuentes
Observación: •
El producto de medios es igual al producto de extremos: a.d=b.c
UNIDAD 1
13
Aritmética
Las proporciones geométricas se dividen en dos tipos:
P. G. Discreta
Cuando se cumple que sus términos medios son diferentes entre sí: a c = b d
;b≠c
Observación: •
Al último término "d" se le denomina cuarta proporcional de "a", "b" y "c".
Ejemplo:
•
Calcular la cuarta proporcional de 28; 14 y 16 28 16 = Luego: 14 x
Resolviendo:
x=8
¡Ahora hazlo tú!
•
Calcular la cuarta proporcional de 45; 15 y 36
Observación:
P. G. Continua
Cuando los términos medios son iguales.
•
A "b" se le denomina media proporcional o media geométrica de "a" y "c".
a b = b c
•
A "c" se le llama tercera proporcional de "a" y "b".
Ejemplo:
•
Calcular la tercera proporcional de 40 y 20. 40 20 = Luego: 20 x
Resolviendo:
x = 10
¡Ahora hazlo tú!
Calcular la tercera proporcional de 27 y 9.
Ejemplo:
•
14
•
Calcular la media proporcional de 48 y 3 48 x = Luego: x 3
Resolviendo:
Colegios
TRILCE
x = 12 www.trilce.edu.pe
Proporciones
•
¡Ahora hazlo tú!
Calcular la media proporcional de 20 y 5.
2
Observación: La media proporcional de "a" y "c" también se puede calcular de la siguiente manera:
•
a.c
Síntesis teórica pROPORCIÓN Puede ser
Puede ser
Proporción aritmética es
Proporción geométrica
es
a–b=c–d
es
a c = b d
es
P.A. Discreta Cuarta diferencial
P.A. Continua Tercera y media diferencial
P.G. Discreta Cuarta proporcional
P.G. Continua Tercera y media proporcional
a–b=c–d
a–b=b–c
a c = b d
a b = b c
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 4. Aplica la propiedad:
1. Coloca verdadero (V) o falso (F): • P.G. es comparar razones aritméticas
(
)
• P.A. es comparar razones geométricas (
)
2. Si:
a c = b d
"a" y "c": .................... "b" y "d": .................... "a" y "d": .................... "b" y "c": .................... 3. En la siguiente proporción: proporcional es:
Central: 619-8100
8 4 = , la tercera 4 2
Producto de extremos = Producto de medios Resuelve: x 28 • = 6 24 •
24 72 = x 9
5. Halle "x" • 24 – x = 12 – 6 • x – 18 = 24 – 6
UNIDAD 1
15
Aritmética
Aprende más 1. El producto de los extremos de una proporción geométrica es 12. Hallar el producto de los cuatro términos. 2. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Hallar la media proporcional. 3. La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a: 4. Hallar la tercera diferencial entre la media proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. 5. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en relación de 4 a 9 siendo su suma 65. Hallar la media proporcional. 6. En una proporción aritmética continua, se sabe que los extremos son 10 y 4. Hallar la media diferencial. 7. Si la tercera proporcional de 9 y "a" es 25, hallar la cuarta proporcional de "a"; 35 y 12. 8. En una proporción geométrica continua, el producto de los cuatro términos es 50 625. Hallar la media proporcional.
9. La diferencia entre el mayor y menor término de una proporción geométrica continua es 25. Si el otro término es 30, hallar la suma de los términos, si los cuatro son positivos. 10. En una proporción aritmética continua, la media diferencial es igual a 16 y la razón aritmética de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos. 11. Si "m" es la media proporcional de 9 y 4 y "n" es la cuarta proporcional de 8; "m" y 12, hallar "m + n". 12. En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en relación de 4 a 9, siendo su suma 39. Hallar la media proporcional. 13. En una proporción aritmética continua, la suma de los cuatro términos es 36 y el producto de los extremos es 32. Calcular la razón aritmética, sabiendo que es positiva. 14. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1 296 y la suma de los cuadrados de los extremos es 97. Calcular uno de los extremos. 15. Determinar una proporción geométrica continua, sabiendo que el producto de sus cuatro términos es 312 y además uno de sus extremos es nueve veces el otro. Dar como respuesta la suma de sus términos.
Aplicación cotidiana Elecciones en el club 16.
Para elegir los nuevos dirigentes del club Lima Deport Center se presentaron dos listas "A" y "B" y para votar se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial la elección favorece a "B" en la proporción de 3 a 2; pero en la segunda votación legal ganó "A" en una proporción de 5 a 3. Si no hubo abstenciones, ¿cuántos socios que inicialmente votaron por "B" cambian de opinión por "A"?
¡Tú puedes! 1. ¿Cuántas proporciones geométricas continuas de términos naturales existen, tal que la suma de sus términos sea 81 y su razón sea mayor que 1? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
16
Colegios
TRILCE
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Proporciones
2. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica cuya razón es 2/3, es 656 100. Si los antecedentes están en la relación de 3 a 5, determinar la suma de los cuatro términos de dicha proporción. a) 90 b) 100 c) 120 d) 125 e) 15
2
3. La media proporcional de los números "a" y "b" es 12 y la tercera diferencial de "a" y "b" es 2. La media diferencial de "a" y "b + 1" es: a) b + 1
b) b + 2
c) b + 3
d) b + 4
e) b + 5
4. En una proporción geométrica continua, el producto de los antecedentes es 400 y el de los consecuentes es 6 400. Hallar la suma de los cuatro términos. Indique la suma de cifras del resultado. a) 9
b) 10
c) 12
d) 13
e) 15
5. Quince es la media proporcional de "a" y 25 y "2a" es la tercera proporcional de 8 y "b". ¿Cuál es la cuarta proporcional de "a"; "b" y 15? a) 18
b) 20
c) 15
d) 30
e) 45
18:10:45
Practica en casa 1. Julio tiene 38 años y Juan 24 años. ¿Hace cuántos años sus edades fueron como 2 es a 1? 2. Tres números están en la misma relación que 5; 9 y 13. Si la suma de ellos es 216, indicar el mayor de ellos. 3. La suma de los extremos de una proporción geométrica continua es 15 y su diferencia es 9. Hallar la media proporcional. 4. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es 1 296. Si uno de los extremos es 3, la suma de cifras del otro es: 5. La media proporcional de "a" y 27 es "b" y además "a" es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar "a – b". 6. Determinar la tercera proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. 7. Las edades de tres hermanas hace 4 años estaban en la misma relación que 2; 3 y 4. Si dentro de 4 años será como 6; 7 y 8, ¿qué edad tiene la mayor? 8. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 51 y su diferencia 45. Hallar la media proporcional. 9. En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si llegaron 10 hombres y 8 Central: 619-8100
mujeres, la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas personas habían inicialmente en la reunión? 10. Si 5 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b" y además "b" es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30, halle "a + b". 11. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12. 12. La suma de los cuadrados de los términos de una proporción geométrica continua es 400. Hallar el mayor término, sabiendo que un extremo es la cuarta parte del otro. 13. Si 8 es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b", y "a" es la cuarta proporcional de "b"; 16 y 48, hallar el valor de "a + b". 14. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica es 50 625. Sabiendo que los medios son iguales y que uno de los extremos es 75, indicar la suma de los cuatro términos de la proporción. 15. En una reunión social las cantidades de ingenieros, médicos y arquitectos forman una proporción aritmética continua de razón 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2 arquitectos, ¿cuántos son en total? UNIDAD 1
17
3
Aritmética
Serie de razones geométricas equivalentes En este capítulo aprenderemos: •
A analizar el concepto de serie de razones geométricas equivalentes.
•
A identificar una serie de razones geométricas equivalentes y continuas.
•
A demostrar y aplicar las propiedades de serie de razones geométricas equivalentes.
•
A resolver situaciones problemáticas que requieran para su solución propiedades de la serie de razones geométricas equivalentes.
Una mezcla gaseosa muy proporcional
L
a idea de que los compuestos tienen fórmulas químicas definidas fue propuesta, primero, al final del año 1700 por el químico francés Joseph Proust. Éste realizó varios experimentos y observó que no importaba cómo diferentes elementos reaccionan con el oxígeno, pues ellos siempre reaccionan en proporciones definidas. Por ejemplo: Dos partes de hidrógeno siempre reaccionan con otra parte de oxígeno al formar agua. Una parte de mercurio siempre reacciona con una parte de oxígeno al formar el óxido de mercurio. Dalton usó la ley de proporciones definidas de Proust al desarrollar su teoría atómica.
+
2 partes de hidrógeno
→
1 parte de oxígeno
1 parte de agua gaseosa
La ley también se aplica a los múltiplos de la proporción fundamental.
+
4 partes de hidrógeno
→
2 partes de oxígeno
2 partes de agua gaseosa
Ahora responde: Si queremos formar agua y tenemos ocho partes de hidrógeno, doce partes de hidrógeno o diez partes de hidrógeno, ¿con cuántas partes de oxígeno deben reaccionar, respectivamente? •
18
¿En qué relación se encuentran el hidrógeno y el oxígeno en todos los casos anteriormente mencionados?
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Serie de razones geométricas equivalentes
3
Saberes previos •
•
Sabemos que: 80 = 16 . 5 = 4 5
Resuelve las ecuaciones:
3. 3k + 4k + 5k = 48
Entonces a qué es igual: 1.
50
4. Hallar "a" y "b" en:
2.
48
5. Reducir:
a b = =2 3 5
(2m)2 + (2n)2 + (2p)2 = m2 + n2 + p2
Conceptos básicos Serie de razones geométricas equivalentes Se denomina así al conjunto de más de dos razones geométricas que tienen el mismo valor. Ejemplos:
15 7 14 8 = = = = 0,5 ← Valor de la razón 30 14 28 16
35 10 40 25 = = = = 5 ← Valor de la razón 7 2 8 5
En general: Donde: a1 a a = 2 = 3 = ... = c1 c2 c3
an =k cn
"a1"; "a2"; "a3"; ...; "an" → antecedentes " c1"; "c2"; "c3"; …; " cn" → consecuentes k → constante de proporcionalidad o valor de la razón
También: a1: Primer término
a2: Tercer término
c2: Cuarto término
c1: Segundo término
etc.
Propiedades •
a1 + a2 + a3 + ... + an = k c1 + c2 + c3 + ... + cn
•
m m m am 1 = a 2 = a 3 = ... = a n = km m m m c1 c2 c3 cm n
•
a1 . a2 . a3 . ... . an = kn c1 . c2 . c3 . ... . cn
Sabías que...?
Una serie de razones geométricas equivalentes y continuas, se expresa de la siguiente manera: a b c d = = = = ... = k b c d e
A partir de la segunda razón, el antecedente es igual al anterior consecuente.
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UNIDAD 1
19
Aritmética
Síntesis teórica Serie de razones geométricas equivalentes
a b c d = = = =k m n p q
"a"; "b"; "c"; "d" ⇒ Antecedentes "m"; "n"; "p"; "q" ⇒ Consecuentes
Propiedades
a = mk b = nk c = pk d = qk
a+b+c+d =k m+n+p+q
Serie de razones geométricas equivalentes y continuas
a.b.c.d = k4 m.n.p.q
a b c d = = = b c d e
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Completar:
4. Dada la siguiente serie:
• En una serie de razones geométricas equivaantecedentes lentes, la suma de……………… dividido entre consecuente la suma de…………………. es igual a la constante de proporcionalidad. 2. Completar la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: 7 14 15 = = = 30 28 16 14 3. En la siguiente serie:
Deduce y completa en el espacio en blanco: • a = e.k 4
20
a b c d = = = =k b c d e
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• b = e.k
18 24 12 15 = = = 6 8 4 5
Completa:
6 • El segundo término es……...................... 12 • El tercer antecedente es………............. quinto • El 12 es el …..........…… término 5. Se tiene la serie:
a b c d = = = b c d e
Completar:
d • El último antecedente es ……….................. c • El segundo consecuente es ……………........ c • El tercer término diferente es …..................
3
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Serie de razones geométricas equivalentes
3
Aprende más 1. En una serie de razones equivalentes los consecuentes son: 3; 5 y 9 y la suma de los antecedentes es 102. Hallar la razón geométrica. 2. Si se tiene:
a b c d = = = 4 8 10 15
a . b + c . d = 1 638
hallar "a + b + c + d"
3. Si:
4 7 8 10 = = = y además: b . c = 504 d a b c
hallar "a + b + c + d"
4. En una serie de tres razones geométricas equivalentes, los consecuentes son 30; 35 y 15. Si el producto de los antecedentes es 1 008, hallar la constante de proporcionalidad. a b c (a + b + c)b y además: 5. Si: = = = 375 3 5 7 (a + b – c)
9. Si:
7. Si se tiene:
p2 q2 r2 s2 = = = 12 27 48 147
(p + s) – (q + r) = 36, hallar "p + q + r + s" A B C D = = = a b c d
8. Si se cumple:
A + B + C + D = 45
a + b + c + d = 125
y además: c – a + b – d = 6, hallar "a . c"
10. Si:
a2 + c 2 + e 2 a c e = = =k, hallar: b d f ab + cd + ef
11. Los pesos de tres recipientes son proporcionales a los números 8; 12 y 15. Si el peso total contenido en los tres asciende a 2 100 kg, ¿cuánto pesa el menor de los tres? 12. Las edades actuales de tres hermanos son proporcionales a los números 3; 4 y 7. Si el menor nació cuando el mayor tenía 12 años, hallar la suma de las edades de los hermanos dentro de 10 años. a c e = = =k b d f 20 20 20 a +c +e Hallar: 20 b + d20 + f20
13. Dada la serie:
Calcular: 5a – b – c
9 b 18 d = = y además: 6. Dada la serie: = a 35 c 20 b – d = 9, hallar "a + b + c + d"
9 15 33 21 = = = a b c d
14. Si se tiene:
A B C = = m n p
A2 + B2 + C2 = 324 5 Am + Bn + Cp hallar: E = 2 m2 + n2 + p2 15. En una serie de tres razones geométricas continuas y equivalentes, la suma del primer antecedente y último consecuente es 189. Si la suma de las tres razones es 6, calcular el segundo antecedente.
2 Hallar: E = ( Aa + Bb + Cc + Dd ) 3
Aplicación cotidiana Tres días con La Ley 16.
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El número de asistentes en los tres días que duró la última presentación del grupo "La Ley" el mes pasado se observó que por cada 4 del primer día asistieron 5 del segundo día y 8 del tercer día. Si las entradas tuvieron un precio único de $ 25, ¿cuántas personas asistieron el último día, si la recaudación por las tres presentaciones ascendió a $ 85 000?
UNIDAD 1
21
Aritmética
¡Tú puedes! 1. Sabiendo que:
a b c d = = = y: a + b + c = 36, calcular el valor de "d". 7 9 11 15
a) 20 2. Si:
b) 25
d) 52
e) 48
a b c y además: 3a – 5b + 2c = 245, hallar el valor de "a + b + c". = = 5 8 15
a) 892 3. Si:
c) 42
b) 1 436
c) 842
d) 982
e) 1 372
d) 16
e) 17
a c e 1 2a4b2 + 3a2e2 – 5e4f –1 = = = , hallar: b d f 2 2b6 + 3b2f2 – 5f5
a) 13
b) 14
c) 15
4. Se tiene tres números "a"; "b" y "c" que suman 1 270 y cumplen que: a+b b+c 13 23 y = = . Hallar "a" a–b b–c 7 7 a) 400
b) 200
5. Hallar "a + b", si: a) 120
c) 300
d) 550
e) 750
1111 2222 3333 = = y: a + b + c = 360 aaaa bbbb cccc b) 180
c) 150
d) 160
e) 280 18:10:45
Practica en casa 1. Si:
a b c = = 4 5 7
2. Si:
4m – n + 2p m n p = = ; calcular: E = 3 7 8 n + 2p
y
a + 3c = 75, hallar "b"
3. Si: a . b . c = 1 008, hallar "a + b + c", en: a b c = = 30 35 15 32 b c 4 4. Si: = = = , hallar "e" b c 4 e 5. Si:
a b 4 = = 9 6 c
además "a" es a "b" como "b" es a "c", hallar: a–b
6. En una serie de razones iguales, los antecedentes son los cuatro primeros números primos, siendo la suma de los cuadrados de los consecuentes 34 800. Entonces el consecuente mayor es:
22
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7. En una serie de razones geométricas, los antecedentes son 2; 3; 4 y 5. Si la suma de los consecuentes es 98; luego la suma de las cifras del mayor consecuente es: 8. En una serie de razones geométricas, los antecedentes son los tres primeros impares naturales. Si la suma de los consecuentes es 108, entonces el mayor consecuente es: 9. Tres números son entre sí como 5; 7 y 8. Si se suman 5; 10 y "n" al primer, segundo y tercer término respectivamente, la nueva relación es ahora 11; 16 y 21. Hallar "n" a c e = = b d f 2 2 2 2 a .c .e a + c 2 + e2 = 4 112 + b2 . d 2 . f 2 b2 + d 2 + f 2
10. Dada la serie:
Si:
hallar: E =
a + b
c + d
e f
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Serie de razones geométricas equivalentes
11. En una serie de cuatro razones geométricas, los antecedentes son los cuatro primeros números naturales. Si la suma de los consecuentes es 190, entonces el mayor consecuente es: a c e 12. Si: = = = K2 b d f hallar:
y
R2 b.d.e = 2 (R > 0) K
a.c.f
14. Si:
a2 b2 c 2 d2 = = = 12 27 48 75
3
(b + d) – (a + b) = 210, hallar: a + b + c + d
15. Si:
a2 – 16 b2 – 25 = = 68 85
además: a + b + c = 12
Determinar: 2a + 3b – c
c2 – 49 119
15 24 33 13. Sabiendo que: = = A B C
y que: 4A – 2B + 5C = 295
calcular: A + B + C
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UNIDAD 1
23
UNIDAD 2
¿Cómo determinarías el ancho de este río?
E
l río Marañón es el más importante del Perú, porque es uno de los principales afluentes del curso alto del río Amazonas. • ¿Te parece esta zona muy inaccesible? • ¿De qué manera podríamos estimar el ancho de este río?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración •
Interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de carácter real.
Comunicación matemática •
Representar matemáticamente en forma adecuada enunciados vinculados a la proporción.
• •
Interpretar enunciados de proporcionalidad. Comprender que la proporcionalidad resuelve muchos problemas de carácter comercial.
Resolución de problemas •
Resolver problemas que involucren reparto proporcional así como su aplicación que es regla de compañía y ejercicios de regla de tres.
Magnitudes proporcionales
Magnitudes proporcionales
1
En este capítulo aprenderemos: •
A identificar la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.
•
A interpretar los gráficos entre magnitudes D.P. e I.P.
•
A resolver ejercicios de gráficos con rectas e hipérbolas.
C
La proporcionalidad, herramienta auxiliar de la electrostática
oulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a regresarla a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de que sus cargas sean negativas o positivas.
Saberes previos 1. Determina el valor de "x": •
18 24 ⇒x= = 21 x
3.
Suma las componentes del punto "A".
2.
3
A
6
•
Con: A = 3; B = 2 y C = 6, hallar: A . B2 4. C 4
6 5.
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B
9
B
18 12
A
18
A2 . B C UNIDAD 2
25
Aritmética
Conceptos básicos Magnitud Es todo aquello que puede ser medido o cuantificado; ejemplo: el área de un terreno, la edad de una persona, etc.
Magnitudes proporcionales Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía.
Clases de magnitudes
Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
También denominadas simplemente proporcionales. Las magnitudes "A" y "B" son directamente proporcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante.
"A" D.P. "B" ↔
Es decir:
A = k (constante) B Se denota: A ∝ B
o también:
Si una magnitud se duplica, triplica, cuadruplica, etc. la otra magnitud lo realiza en la misma relación.
A = Bk
Ejemplo:
Gráficamente:
Sean las magnitudes "costo" del kg de arroz y "cantidad" de arroz. Magnitudes A: Costo B: kg arroz
A Costo (S/.) 10
Valores correspondientes 2 1
4 2
6 3
10 5
… …
Del cuadro, observamos que si dividimos el costo entre el número de kg de arroz se obtiene una cantidad constante. Esta gráfica nos indica que a medida que "B" (número de kg de arroz) aumenta; también "A" (costo) aumenta, o si "B" disminuye también "A" disminuye.
¡Ahora hazlo tú!
•
Recta 6 4 2 1
2
3
4
5 B (kg arroz)
Del gráfico anterior, ¿cuál es el costo de 7 kg de arroz?
Recuerda que... "Cuando dos magnitudes son D.P. entonces la división de sus valores correspondientes es siempre constante".
26
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Magnitudes proporcionales
Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes "A" y "B" son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante. Es decir:
"A" I.P. "B" ↔ A. B = k (constante)
A=
k B
1
o también:
Esto significa que al duplicarse "A", "B" se reduce a su mitad y si "A" se cuadruplica, "B" se reduce a la cuarta parte, etc.
∝
B
Gráficamente:
Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad de 20 km/h se demoró 8 horas. Si duplica su velocidad, entonces se demorará menos tiempo en recorrer el mismo tramo específica8 mente la mitad del tiempo; es decir horas = 4 horas. 2 Magnitudes
Se denota: A
Ejemplo:
1
Valores correspondientes
A: Velocidad
20
40
80
…
B: Tiempo
8
4
2
…
Del cuadro, observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para este cuadro, 160 una cantidad constante. ¡Ahora hazlo tú! •
A (Velocidad) 80
Hipérbola equilátera
60 40 20 2
4
6
8
B (Tiempo)
Del gráfico anterior, ¿cuánto tiempo se demora para una velocidad de 10 km/h?
Recuerda que... "Cuando dos magnitudes son I.P. entonces el producto de sus valores correspondientes es siempre constante".
Propiedades •
Si:
"A" D.P. "B" "A" D.P. "C"
⇒
A =k B.C
•
Si:
"A" D.P. "B" "A" I.P. "C" "A" D.P. "D"
⇒
A. C =k B.D
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UNIDAD 2
27
Aritmética
Síntesis teórica Magnitudes
Magnitudes proporcionales pueden ser
pueden ser
Directamente proporcionales
Inversamente proporcionales
"A" D.P. "B"
"A" I.P. "B"
A =k B
A.B=k
Proporcionalidad compuesta más de dos magnitudes
Hipérbola
Recta
Propiedades "A" D.P. "B" "A" I.P. "C"
A.C =k B 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Une con una flecha, la gráfica que corresponda: • Magnitud D.P.
• Hipérbola equilátera
• Magnitud I.P.
• Recta
• an D.P. bn ⇒ "a" I.P. "b"....................... ( 1 • "A" I.P. "B" ⇒ A D.P. ...................... ( B
) )
3. Coloca verdadero (V) o falso (F) según convenga:
•
28
1 B
"A" D.P. "B" "A" D.P. "C"
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• Velocidad de un auto................... Distancia • Número de obreros...................... Obra
2. Coloca verdadero (V) o falso (F) según convenga:
• A D.P.
4. Escribir en los espacios en blanco, la relación entre las magnitudes:
⇒ An (I.P.) Bn .........
(
)
⇒ "A" D.P. "BC".....
(
)
• Obra............................................ Tiempo 5. Une con una flecha: a a a • 1 = 2 = ... = n b1 b2 bn
(I.P.)
• a1 . b1 = a2 . b2 = … = an . bn
(D.P.)
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Magnitudes proporcionales
1
Aprende más 9. El gasto de un profesor es D.P. a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Si su sueldo equivale a S/. 900 ahorra S/. 90. ¿Cuál será su sueldo, cuando su gasto sea de S/. 1 260?
1. Si "A" es D.P. a "B", hallar: x + y A 15 12
10. Se tienen dos magnitudes "A" y "B" tales que "A" es D.P. a B2. Si cuando "B" aumenta en 2 unidades, el valor de "A" se cuadruplica, ¿qué sucede con el valor de "A", si "B" aumenta en 4 unidades?
y
4
x 10
B
2. Se sabe que "A" es D.P. a B e I.P. a C2. Si: A = 3 cuando B = 36 y C = 8, hallar "B", cuando A = 6 y C = 4.
11. Si "A" es directamente proporcional a la raíz cuadrada de "B", completar el siguiente cuadro y dar la suma de los valores obtenidos.
3. "P" varía D.P. a "Q" e I.P. a "R", cuando Q = 240 y R = 600 entonces P = 30. Hallar "P", cuando Q = 500 y R = 150. 3
4. "M" es D.P. a "B" e I.P. a C . Calcular el valor de "M" cuando B = 2 y C = 64, si se sabe que cuando M = 16; C = 216 y B = 6. 5. "A" varía D.P. con la diferencia de dos números. Cuando: A = 15, la diferencia es 6. ¿Cuánto vale esta diferencia, si: A = 18? 6. Si "A" es D.P. a B2 y D.P. a C , hallar "A", cuando B = 2 y C = 25, si cuando B = 5 y C = 16 entonces A = 15. 7. Si la siguiente gráfica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales, hallar "a + b". P a
25
A
240
B
81
160 225
12. "A" es directamente proporcional a "B" y C2 e inversamente proporcional a "D" y "E". Cuando A = 2B; D = 4; C = 2 entonces E = 3. Calcular "E", cuando A = 72; D = 6; B = 2 y C = 3E 13. El precio de un televisor a color varía en forma D.P. al cuadrado de su tamaño e I.P. a la raíz cuadrada de la energía que consume. Si cuando su tamaño es de 14 pulgadas y consume "E" de energía su precio es de S/. 360, ¿cuánto costará un televisor cuyo tamaño es de 21 pulgadas y E consume de energía? 4 14. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 80 gramos cuesta $ 320, ¿cuánto costará otro diamante de 100 gramos de peso? 15. Del gráfico, calcular "x". A
10
5
8
b
Q
8. Se sabe que "A" es D.P. a B2, ¿en cuántas veces aumenta "A", cuando "B" aumenta en su triple?
b x
4
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12
b2
B
UNIDAD 2
29
Aritmética
Aplicación cotidiana La ley de Boyle 16.
Es la ley de los gases ideales que relaciona el volumen y la presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante. Cuando la presión se multiplica por un número el volumen se divide entre el mismo número y si la presión se divide entre un número entonces el volumen se multiplica por el mismo número. ¿A qué presión está sometida un gas, si al aumentar esta presión en 2,5 atmósferas, el volumen varía en un 20%?
¡Tú puedes! 1. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e I.P. a su sección y rigidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y 31 mm2 de sección se le aplican 2 000 newton, sufre un alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamiento ocasiona 800 newton aplicado a una barra de aluminio de 70 cm de largo y 12,4 mm2 de sección, sabiendo que la rigidez del aluminio es la mitad que la del acero. a) 1,4
b) 1,2
c) 3
d) 2,5
e) 1
2. La magnitud "A" varía proporcionalmente a la magnitud B2 e I.P. a la magnitud "C"; así mismo "B" varía D.P. a la raíz cuadrada de "D" y "C" varía I.P. a la magnitud "E". Si: A = 40; D = 2 y E = 5, hallar "A", cuando: D.E = 20. a) 40
b) 80
c) 30
d) 50
e) 100
3. En cierto proceso de producción se descubre que ésta era D.P. al número de máquinas e I.P. a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas. Si inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso y se consiguen 8 máquinas más con 4 años de uso cada una, determinar la relación entre la producción actual y la anterior. a) 5:9
b) 4:9
c) 5:4
d) 4:11
e) 9:11
4. La potencia del motor de un automóvil es D.P. a su capacidad e I.P. a los años de uso. Si un motor de 4,2 litros de capacidad y 3 años de uso tiene una potencia de 72 caballos, ¿cuántos caballos de potencia tiene otro motor de 6,3 litros de capacidad y 6 años de uso? a) 54
b) 42
c) 36
d) 40
e) 45
5. La resistencia de un conductor metálico de sección recta circular es proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. ¿Qué sucede con la resistencia, cuando su longitud se duplica y el radio se hace la mitad de su valor? a) Se multiplica por 4 d) Se divide entre 8
30
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b) Se multiplica por 8 e) Se multiplica por 15
c) Se divide entre 16
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Magnitudes proporcionales 18:10:45
1
Practica en casa 7. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico, calcular "x".
1. Si "A" es D.P. a "B", calcular: x . y A 15
A a
12 y
40 4
x 10
B
2. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales representadas mediante el siguiente gráfico, calcular "x". A 18
6 B
x
4
3. Si las magnitudes "P" y "Q" son inversamente proporcionales, hallar "a + b" P Q
4 a
b 10
M M =k b) 2 3 = k 2 R S R S MS3 MR2 c) 2 = k d) =k R S3
a)
5. Sabiendo que "A" es D.P. a B2, y las variaciones de las magnitudes "A" y "B" se muestran en el siguiente cuadro. Hallar: a + b + d. 27 a
6a + d b
d 4
a 8
6. Siendo "A" D.P. al cuadrado de "B" e I.P. al cubo de "C", hallar "m" y "p" del siguiente cuadro: A 12 125 p
Central: 619-8100
B 4 m 8
C 5 3 2
4
20
x
B
8. La presión de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. Si a la temperatura de 300 K la presión es de 2 atmósferas, ¿a qué temperatura la presión es de 2,5 atmósferas? 9. "A" es D.P. a B2 y D.P. a C . Hallar "A", cuando B = 2 y C = 25, si cuando B = 5 y C = 16 entonces A = 15. 10. "M" es D.P. con P2 e I.P. con N/2, cuando M = 18; P = 3 y N = 8. Hallar "N", cuando "P" es 6 y "M" es 45. 11. "A" varía D.P. con la diferencia de dos números. Cuando A = 15, la diferencia es 6. ¿Cuánto vale esta diferencia, si: A = 20?
12 5
4. Se sabe que "M" varía D.P. al cuadrado de "R" e I.P. al cubo de "S". ¿Cuál expresión representa la relación entre las tres magnitudes? (K = constante de proporcionalidad).
A B
16
12. El precio de una casa es directamente proporcional al área e inversamente proporcional a la distancia que la separa de Lima. Si una casa ubicada a 75 km cuesta S/. 45 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? 13. La potencia del motor de un automóvil es directamente proporcional a su capacidad e inversamente proporcional a los años de uso. Si un motor de 4 litros de capacidad y tres años de uso tiene una potencia de 80 caballos, ¿cuántos años de uso tiene otro motor de 6 litros de capacidad y 90 caballos de potencia? 14. El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 gramos cuesta 4 000 dólares, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 25 gramos? 15. "A" y "B" son dos magnitudes D.P. Cuando el valor inicial de "B" se triplica, el valor de "A" aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo valor de "B" se divida entre 5, ¿qué sucederá con el valor de "A", respecto al inicial? UNIDAD 2
31
2
Aritmética
Complemento Aprende más 1. Las edades de tres hermanas hace cuatro años estaban en la misma relación que 2; 3 y 4. Si dentro de cuatro años será como 6; 7 y 8, ¿qué edad tiene la mayor? 2. Cinco es la cuarta proporcional de "a"; 6 y "b" y además "b" es la cuarta proporcional de "a"; 9 y 30, halle "a + b". 3. Halle la cuarta proporcional de 56; "m" y "n", sabiendo que "m" es la media proporcional de 28 y 7 y "n" es la tercera proporcional de 9 y 12. 4. Determinar la tercera proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. 5. En una reunión social las cantidades de ingenieros, médicos y arquitectos forman una proporción aritmética continua de razón 20. Si por cada 7 ingenieros hay 2 arquitectos, ¿cuántos son en total? 6. La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto de los dos números es 5 040, indicar la diferencia de los numerales. 7. En un momento de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 3 es a 20. Encontrar el número de damas que están bailando, si en total asistieron 456 personas. 8. En un corral hay patos y gallinas. Si el número de patos es al total como 3 a 7 y la diferencia entre patos y gallinas es 20, ¿cuál será la relación entre patos y gallinas al quitar 50 gallinas?
32
Colegios
TRILCE
9. Cuatro números son proporcionales a: 1; 2; 3 y 5, además la suma de los cubos de dichos números es 1.288. El mayor es: 10. En una proporción geométrica continua, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 15, entonces la diferencia entre los términos mayor y menor es: 11. En una serie de razones geométricas equivalentes de razón 3, los consecuentes son tres números consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendo que el producto de antecedentes es 5 670. 12. Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180, se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor, hallar su producto. 13. En una tienda el número de lapiceros azules es al número de rojos como 24 es a 31. Si en un día se vendieron la quinta parte de los lapiceros de los cuales los rojos y azules están en la proporción de 9 a 13, ¿en qué relación quedaron los lapiceros sin vender? 14. En una proporción geométrica continua, la suma de los consecuentes es 9 y el producto de los términos diferentes es 216. Hallar la suma de los antecedentes. 15. Del gráfico, hallar "a + b". y 8 6 1,6 a
15 b
x
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Complemento
2
¡Tú puedes! 1. Dos ruedas de 24 y 39 dientes están concatenadas. En el transcurso de 4 minutos una da 50 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad del menor en rev/min. a) 38,5
b) 20
c) 37,5
d) 32,5
e) 22,5
2. El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se impriman. Se editaron 2 000 ejemplares de un libro de 400 páginas cuyo costo es $ 6 el ejemplar. ¿Cuánto costará editar un ejemplar, si se mandaron a imprimir 1 800 libros de 360 páginas? a) $ 6
b) 8
c) 4
d) 7
e) 5
3. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/. 600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Carlos, si su rendimiento es como 8 y faltó 3 días? a) S/. 960
b) 1 080
c) 1 280
d) 1 440
e) 980
4. La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales: La producción de una fábrica respecto al número de obreros. La primera recta se ha obtenido con obreros experimentados y la segunda con obreros nuevos. La gerencia desea averiguar en primer lugar, ¿cuál sería su producción con 60 obreros experimentados?, y en segundo lugar, ¿cuántos obreros nuevos necesitaría para producir con ellos 1 760 artículos? Obreros Producción experimentados 1300 Obreros nuevos 1 100
50
a) 1 560; 90
b) 1 240; 70
c) 1 560; 80
Número (Obreros)
d) 1 560; 70
e) 1 650; 90
5. La cantidad de demanda de cierto bien es directamente proporcional al cubo de la inversión en publicidad e inversamente proporcional al cuadrado del precio unitario. Si el año pasado se vendieron 64 millones de artículos a S/. 200 e invirtió en publicidad S/. 4 000 , ¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, si se quiere vender 80 millones de artículos a S/. 250 cada uno? a) S/. 5 000
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b) 4 000
c) 6 000
d) 8 000
e) 7 000
UNIDAD 2
33
Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Tres números son proporcionales a 2; 5 y 7. Si la diferencia del segundo y el primero es 15, indicar el tercer número. 2. En una reunión el número de hombres es al número de mujeres como 8 es a 7. Si en total asistieron 90 personas, indicar el número de mujeres, si se retiran 7 parejas. 3. En un corral el número de patos excede al número de gallinas en 75 y además se observa que por cada 8 patos hay 5 gallinas. ¿Cuál es el número total de patos y gallinas que hay en el corral? 4. Se tiene dos magnitudes "A" y "B" tales que "A" es D.P. a B2; además cuando A = 75, entonces B = 5. Hallar "A", cuando B = 4. 5. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, ¿dentro de cuántos años cuadruplicará su sueldo? 6. La gráfica muestra los valores que toman dos magnitudes "A" y "B". Calcular "m + n". A m
8. Se tienen tres magnitudes "A", "B" y "C" tales que "A" es D.P. a "C" e I.P. a B . Hallar "A", cuando B = C2 sabiendo que A = 10; B = 144 y C = 15. 9. La razón geométrica entre dos números cuya suma es 91, se invierte si se añade 19 al menor y se quita 19 al mayor. ¿Cuál es el mayor de dichos números? 10. La razón aritmética de dos números es a la razón geométrica de los mismos, como el menor es a 7/4. ¿En qué relación se encuentran dichos números? 11. En una proporción aritmética discreta los extremos son entre sí como 4 a 3 y los medios son entre sí como 5 a 9. Si la suma de los antecedentes es 68, calcular la cuarta diferencial. 12. En una reunión la relación del número de hombres con el número de mujeres es 8/5, pero luego el número total de personas aumentó en un 20%, quedando el número de hombres aumentado en su 30%. Hallar la nueva relación que hay entre el número de hombres y el número de mujeres.
8 13. Si A + B es D.P. a C2; cuando A = 6 y B = 3, entonces C = 3. Hallar "B", si: C = 6 y A = 9.
n 12
18
36 B
14. El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima y D.P. a su área. Un cierto terreno cuesta 500 mil soles y otro terreno de doble área y situado a una distancia cuádruple que la anterior costará:
7. En el siguiente gráfico, calcular "a + b". A a + 16
a a – 24 24
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b
B
15. Dos veteranos de guerra tienen concedidas pensiones que son D.P. a las raíces cuadradas del número de balazos que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos más que el segundo y las pensiones están en la relación de 91 a 65, ¿cuántos balazos recibió el segundo?
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Reparto proporcional simple
Reparto proporcional simple
3
En este capítulo aprenderemos: •
A comparar los dos tipos de reparto proporcional simple.
•
A comprender que el reparto proporcional simple es un ejercicio de proporciones.
•
A resolver problemas de reparto proporcional simple directo e inverso.
•
A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar reparto proporcional simple directo o inverso.
El reparto: ¿habilidad o técnica?
E
l reparto proporcional ha sido fuente de inspiración para ingeniosos problemas relacionados con la vida cotidiana y que incluso se les puede encontrar en algunas narraciones que tienen como principal objetivo entretener al lector; textos como "El hombre que calculaba" o "Aritmética recreativa" son solo dos ejemplos que podemos citar. Si bien es cierto que en la actualidad ya no se requieren tantas complicaciones para hacer un sencillo reparto, nos sirve como ejercicio para posteriormente podernos adaptar a situaciones reales en las cuales la distribución toma en cuenta muchas variables las que interactúan simultáneamente, para ello se estructuran pequeños modelos que nos permitirán idealizar la situación y poder lograr el cometido. Leamos la siguiente historia: "Cuando con un amigo íbamos por un camino, encontramos a un hombre que ansiosamente nos preguntó: –¿Traéis quizás algo de comer? Me estoy muriendo de hambre... –Me quedan tres panes –respondí –Yo llevo cinco –dijo a mi lado mi compañero –Pues bien, sugirió él, yo os ruego que juntemos esos panes y comamos en forma equitativa e igual. Cuando lleguemos a Bagdad prometo pagar con ocho monedas de oro por el pan que coma. Al llegar a aquella ciudad y sacando las ocho monedas nos dijo: –Quiero repetiros mi agradecimiento por el gran auxilio que me habéis prestado y para cumplir la palabra dada os pagaré lo que tan generosamente disteis. Y dirigiéndose al hombre que calculaba le dijo: –Recibirás cinco monedas por los cinco panes y volviéndose a mi añadió: –Y tú ¡Oh Bagdalí!, recibirás tres monedas por los tres panes Mas con gran sorpresa mía, el calculador objetó respetuoso. –¡Perdón, oh, Jeque! La división, hecha de ese modo, puede ser muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta. "EL HOMBRE QUE CALCULABA" • ¿Puede usted, alumno sagaz, decirme como deben repartirse las valiosas ocho monedas?"
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UNIDAD 2
35
Aritmética
Saberes previos 1. ¿Cómo plantearías "cuatro números son proporcionales a 2; 4; 5 y 7"? 2. Calcula el m.c.m. de: 24; 30 y 15 2 3. Determina la inversa de: 3
4. Resolver: 3k + 5k + 6k = 280 2 = 5. Simplificar: 18 × 15
Conceptos básicos Reparto proporcional simple El reparto proporcional simple es un procedimiento aritmético que consiste en descomponer una cantidad en varias partes que son directamente o inversamente proporcionales a dichos números llamados convenientemente índices.
Reparto simple
Reparto simple directo.
En este caso las partes son directamente proporcionales. Ejemplo:
•
Repartir 600 en partes D.P. a los números 2; 3 y 7. Dar la mayor parte.
Solución: D.P. 600
Partes
2
⇒
a = 2k
3
⇒
b = 3k
7
⇒
c = 7k
¡Ahora hazlo tú!
•
donde: k =
600 = 50 2+3+7
∴ a = 100 b = 150 c = 350
Repartir 250 en partes D.P. a los números 9; 11 y 5.
Reparto simple inverso
En este caso las partes son inversamente proporcionales. Ejemplo:
•
Repartir S/. 1 800 en forma I.P. a los números 3; 4 y 6. Dar la parte intermedia.
Solución:
1800
I.P. D.P. Partes 1 × 12 = 4 ⇒ a = 4k 3 3 1 × 12 = 3 ⇒ b = 3k 4 4 1 × 12 = 2 ⇒ c = 2k 6 6
Donde: k =
1 800 = 200 4+3+2
∴ a = 800 b = 600 c = 400
Ojo: El número 12 resulta de calcular el m.c.m. de 3; 4 y 6
36
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Reparto proporcional simple
¡Ahora hazlo tú!
•
Repartir S/. 370 en forma I.P. a los números 5; 6 y 4.
3
Síntesis teórica reparto proporcional simple
Puede ser
o puede ser
Directo
Inverso
Cuando se reparte en forma D.P.
Cuando se reparte en forma I.P.
Ejercicios 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Repartir 3 300 D.P. a 3; 1 y 7.
4. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
2. Repartir 6 200 I.P. a 3; 7 y 1. 3. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: •
•
Cuando al mayor le toca más y al ( menor menos, se trata de un reparto inverso. 1 1 Repartir D.P. a ; y 1 es lo mismo ( 3 5 que repartir D.P. a 5; 3 y 15.
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)
)
•
Cuando se reparte 390 I.P. a 1; 4 y 7, la mayor cantidad obtenida fue 280.
(
)
•
Si un reparto de ganancias se hace a los capitales impuestos, se hace en forma I.P.
(
)
1 1 1 5. Repartir 600 en forma I.P. a ; y . 2 5 7
UNIDAD 2
37
Aritmética
Aprende más 1. Repartir 900 en partes D.P. a los números 2; 3 y 4. Dar la menor parte. 2. Dividir el número 3 280 en partes I.P. a 2/3; 6 y 11/9. Hallar la parte mayor. 3. Repartir S/. 4 950 en forma I.P. a 12; 18 y 6. Indicar la mayor parte. 4. Repartir 36 en partes proporcionales a 28 ; 63 y 343 . Dar como respuesta al mayor. 5. Repartir 3 330 D.P. a 1010; 1011 y 1012. 6. Repartir 240 D.P. a 1/2 y 1/3, indicar la parte mayor. 7. Repartir S/. 1 600 D.P. a 1; 4; 5 y 6. Dar como respuesta la parte mayor. 8. Repartir 900 en forma I.P. a 1/20; 1/30 y 1/40. Dar como respuesta la parte intermedia. 9. Repartir 2 600 en forma I.P. a 14; 21 y 28. Indicar la menor parte. 10. Repartir 420 en partes D.P. a los números 2,5; 4,5 y 3,5. Dar la menor parte.
11. Dividir 400 directamente proporcional a 12 ; 75 ; 147 y 363 . Dar como respuesta la suma de las dos menores partes. 12. Un padre de familia reparte semanalmente una propina de S/. 148 entre sus hijos que tienen respectivamente: 12; 15 y 18 años, con la condición de que se dividan esta suma I.P. a la edad que tienen. Una de las partes es: 13. Ricardo tiene tres sobrinos de 15; 17 y 19 años respectivamente y les deja S/. 24 000 con la condición de que se dividan esta suma D.P. a las edades que tendrán dentro de 3 años. Una de las partes será: 14. Se reparte una herencia de $ 19 270 entre tres hermanos en razón inversa a sus edades, que es la del primero 30 años, la del segundo 40 y la edad del tercero 50. ¿Cuánto más corresponde al menor que al intermedio? 15. Se reparte 720 en tres partes que son D.P. a la suma, la diferencia y el producto de dos números, correspondiéndole 540 al producto. ¿Cuál es el menor de los números?
Aplicación cotidiana Premio a repartir 16.
Tres ciclistas que compiten en el gran premio "El Valle" en el circuito El Mirador de Pachacámac deben recorrer una distancia y se ponen de acuerdo para distribuirse S/. 94 500 de tal forma que lo que reciba cada uno tenga relación con los tiempos que demoran en recorrer una distancia acordada. Efectuado el recorrido resultó que el primero tardó 3 horas, el segundo 5 horas y el tercero 6 horas. ¿Cuánto recibió el más veloz?
¡Tú puedes! 1. Se reparten 180 kilos de un producto entre cinco personas, según una progresión aritmética, donde la suma de los dos primeros términos resulta ser la quinta parte de la suma de los otros tres términos. ¿Cuántos kilos reciben la primera y quinta persona juntas? a) 36
38
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b) 72
c) 45
d) 90
e) 70
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Reparto proporcional simple
2. Tres automovilistas deciden repartirse S/.2 800 en forma proporcional a las velocidades de sus vehículos. Si luego de 5 horas han recorrido "3a" km; "4a" km y "7a" km, ¿cuánto recibe el más veloz? a) S/. 1 600
b) 700
c) 1 400
d) 900
3
e) 1 440
3. Repartir 1 491 en tres partes de manera que la primera tenga 2/3 más que la segunda y la segunda 2/5 más que la tercera. Hallar la mayor parte. a) 735
b) 715
c) 445
d) 690
e) 700
4. Un canal para riego en cuya construcción se ha gastado 1 644 000 soles, fue construido y usado en común por tres propietarios. La superficie de riego del segundo propietario es 5/8 de la del primero y la del tercero es 4/9 de la del segundo. ¿Cuál es la aportación del tercer propietario? a) S/. 360 000
b) 720 000
c) 240 000
d) 900 000
e) 700 000
5. Al repartir 110 700 en tres partes que sean D.P. a las raíces cúbicas de los números 16; "x" y 128 se ha obtenido que la parte proporcional a la raíz cúbica de "x" es 36 900. Determinar cuál es la mayor parte obtenida. a) 36 000
b) 42 000
c) 45 000
d) 29 000
e) 49 200
18:10:45
Practica en casa 1. Repartir 8 800 en partes D.P. a los números 2; 5 y 4. Dar la menor parte.
mitad del mayor y el tercero S/. 80 000. ¿Cuánto recibe el quinto, si el primero es el mayor?
2. Repartir 2 300 en forma I.P. a los números 1; 3 y 5. Dar la parte intermedia.
10. Las edades de cuatro hermanos son cantidades enteras y consecutivas. Se reparte una suma de dinero proporcionalmente a sus edades de tal manera que el menor recibe los 4/5 del mayor. ¿Cuánto recibe el mayor, si el segundo recibe S/. 140?
3. Dividir 500 directamente proporcional a 8 ; 50 ; 98 y 242. Dar como respuesta la suma de las dos menores partes. 4. Repartir 48 en partes proporcionales a 63 ; 28 y 7 . Dar como respuesta la mayor de las partes. 5. Repartir S/. 4 536 en cuatro partes cuyos cuadrados sean directamente proporcionales a 20; 45; 80 y 125. ¿Cuál es la mayor cantidad repartida? 6. Al dividir 480 en forma proporcional a 1/2; 2/3 y 5/6, se obtiene que la mayor parte es: 7. Se reparte cierta cantidad en forma I.P. a 4; 6 y 9. Si la diferencia de la parte mayor con la menor es "A", calcular la suma de las partes menores. 8. Repartir 6 513 inversamente proporcional a los números: 0,2; 0,3; 2,5 y 16/5. Una de dichas cantidades es: 9. Las edades de siete hermanos son números consecutivos, si se reparte una suma de dinero proporcionalmente a sus edades, el menor recibe la Central: 619-8100
11. Repartir 7 200 D.P. a 200 ; 392 y 288 . Dar como respuesta la menor de las partes. 12. Una cantidad se reparte en forma proporcional 3 3 3 a 24k ; 81k y 192k donde la menor de las partes resultó 14. ¿Cuál es la suma de cifras de la cantidad repartida? 13. Calcular la suma de cifras de la mayor parte que se obtiene al repartir el número 1 240 en forma D.P. a 2400; 2401; 2402; 2403 y 2404. 14. Se reparte S/. 6 500 entre tres personas en forma proporcional a b; b2 y b3. Si el menor recibe S/. 500, ¿cuánto recibe el mayor? 15. Dos pastores llevan 5 y 3 panes respectivamente. Se encuentran con un cazador hambriento y comparten con éste los 8 panes. Si el cazador pagó 48 soles por su parte, ¿cuántos soles le tocó a cada pastor? UNIDAD 2
39
5
Aritmética
Reparto proporcional compuesto En este capítulo aprenderemos: •
A identificar un problema de reparto proporcional compuesto
•
A interpretar los resultados obtenidos del reparto proporcional compuesto
•
A resolver problemas de cierto grado de dificultad de reparto proporcional compuesto
E
Un justo reparto
n la escuela de Pablo se ha organizado una kermés, para la cual deben cooperar con lo que puedan. Cuatro compañeros ponen el puesto de los refrescos, se organizan para comprarlos y juntan sus ahorros de la siguiente manera: Pablo S/. 50, Pepe S/. 80, Lucho S/. 35 y Juan S/. 95. Al final del evento el total de la ganancia fue de S/. 520.
Ahora se disponen a repartir el dinero en forma proporcional de acuerdo con la inversión hecha. ¿Qué cantidad le toca a cada alumno? Respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto le debe tocar a Pablo? b) ¿Y a Pepe? c) ¿A Lucho? d) ¿A Juan? Lucho propuso dividir la ganancia total entre 4, de modo que a cada uno le tocaría S/.130. Juan no está de acuerdo con la forma de repartir el dinero como propuso Lucho. Comenta: a) ¿Por qué crees que Juan está en desacuerdo? b) Juan puso más de la cantidad de dinero que puso Lucho. Del dinero que van a repartir, ¿cuánto le debe tocar a Juan respecto a lo que le toca a Lucho? c) ¿Cuánto dinero juntaron entre todos?
40
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Reparto proporcional compuesto
5
Saberes previos 1. Repartir 1 430 en forma D.P. a los coeficientes 75 ; 12 y 48 . Dar la parte mayor.
4. Descomponer 600 en forma D.P. a 27 . Dar la parte mayor.
2. Repartir 7 900 en forma I.P. a 3; 8 y 5. Dar la parte menor.
5. Hallar "a", "b" y "c", si:
1 1 1 1 3. Repartir 1 440 en forma I.P. a ; ; y . Dar la 2 3 4 7 parte menor.
3 ; 12 y
a b c = = y además: a + b + c = 60 3 4 5
Conceptos básicos Reparto proporcional compuesto Es cuando las partes son proporcionales a varios grupos de índices. Procedimiento: •
Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices).
•
Se multiplica los índices de las dos relaciones D.P. (o más según el caso)
•
Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices. Ejemplo:
•
Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.
Solución: D.P. D.P. Índices 1 4 ×3 = 4 → 3 3 1 2 ×3 = 6 → 9 3
648
¡Ahora hazlo tú!•
4
÷2
2
÷2
→ →
2k 1k
Luego: 2k + k = 648 ⇒ k =
648 = 216 3
\ 1ero: 2 × 216 = 432 2do: 1 × 216 = 216
Repartir S/. 460 en forma D.P. a 2 y 5 y a la vez en forma I.P. a 3 y 4
Ejemplo:
•
Partes
Repartir S/. 7 000 D.P. a 12 y 24 y a la vez D.P. a
1 1 y . Indicar la parte menor. 3 8
Solución:
7 000
D.P. D.P. Índices Partes 7 000 Donde: k = = 1 000 1 7 12 4 ⇒ ⇒ a = 4k 3 ∴ a = S/. 4 000 1 24 3 ⇒ ⇒ b = 3k b = S/. 3 000 8
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UNIDAD 2
41
Aritmética
Recuerda que... El reparto proporcional compuesto siempre tiene más de dos grupos de índices de reparto.
¡Ahora hazlo tú!
•
Repartir S/. 6 000 D.P. a 18 y 16 y a la vez D.P. a 1/9 y 1/4. Indicar la parte mayor.
Síntesis teórica reparto proporcional
Simple (Intervienen solo un grupo de índices de reparto)
Compuesto (Intervienen dos o más grupos de índices de reparto)
puede ser
puede ser
Directo (D.P.)
Inverso (I.P.)
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Completa:
3. Completa:
"Cuando se tienen dos grupos de índices, en forma D.P. y a la vez D.P. entonces los índices
nes, para facilitar el reparto, se debe multiplicar
se………………………………."
por el……………………. de los denominadores y
2. Completa:
"Cuando se tienen dos grupos de índices, en forma D.P. y a la vez I.P. entonces se convierte la relación I.P. a ……………………… y luego se ………………………… los índices de las dos relaciones."
42
"Cuando una cantidad se reparte D.P. a fraccio-
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no se altera el reparto." 4. Si se hace un reparto D.P. a 4; 6; 8 y 9 y a la vez I.P. a 2; 3; 1 y 3, ¿a qué índices deberá hacerse el reparto en forma D.P.? 5. Si se hace un reparto I.P. a 1/4; 1/5 y 1/9 y a la vez D.P. a 2; 4 y 3, ¿a qué índices deberá hacerse el reparto en forma D.P.?
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Reparto proporcional compuesto
5
Aprende más 1. Repartir 9 640 en forma D.P. a los números 3; 5 y 8 e I.P. a los números 4; 3 y 5. Dar como respuesta la parte menor. 2. Repartir 4 536 en forma D.P. a 2; 3 y 5, e I.P. a 3; 5 y 6. Hallar la parte mayor. 3. Repartir $ 9 900 en forma I.P. a 1; 2; 3 y 4 y a la vez D.P. a 5; 4; 3 y 4. Indicar la diferencia que hay entre la mayor y la menor de las partes. 4. Repartir S/. 4 500 en forma I.P. a 1; 2; 3 y 4 y a la vez D.P. a 6; 4; 3 y 9. Calcular la suma de las dos mayores partes. 5. Repartir S/. 175 en forma D.P. a 2 y 12 y a la vez I.P. a 1/2 y 2. Dar como respuesta la suma de cifras de la parte menor. 6. Se reparte una herencia de $ 54 000 en forma D.P. a las edades de tres hermanos que son 8; 12 y 16 y a la vez I.P. al promedio general de notas que son 14; 12 y 16 respectivamente. Calcular la parte menor. 7. Al repartir una cantidad en forma I.P. a 1 y 2 y a la vez I.P. a 1/6 y 1 se obtuvo que la parte menor fue S/. 7 200. ¿Cuál fue la cantidad repartida? 8. Se reparte una cantidad en forma D.P. a 7 y 12 y a la vez I.P. a 10 y 15 y además se obtuvo que la parte menor resultó ser S/. 5 600. ¿Cuál fue la cantidad repartida?
9. Al repartir una cantidad de dinero en forma I.P. a 2; 3 y 4 y a la vez D.P. a 7; 3 y 9 se obtuvo que la parte intermedia resultó ser S/. 8 190. ¿Cuál fue la cantidad repartida? 10. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 36; 60 y 45 e I.P. a 16; 24 y 60, se observó que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es 5 600. La suma de cifras de la cantidad repartida es: 11. Se reparte una cantidad "N" directamente proporcional a 3; 5 y 2 e inversamente proporcional a 2; 3 y 5 respectivamente. Si la diferencia entre la cantidad mayor y la intermedia es 10, hallar la cantidad menor. 12. Repartir una cantidad "N" D.P. a 5; 7 y 9; también D.P. a 3; 2 y 8 e I.P. a 45/2; 7/3 y 24/5. Si la parte intermedia es igual a 360, hallar "N". 13. Repartir una cantidad "N" I.P. a 2; 3 y 5, también D.P. a 2/5; 5/7 y 4/9 e I.P. a 8/20; 3/21 y 2/18. Si a la parte mayor le toca 150, hallar cuánto le toca a la cantidad menor. 14. Repartir S/. 3 936 entre tres personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 7 es a 6 y que la parte de la segunda sea a la tercera como 4 es a 5. La parte intermedia es: 15. Una cantidad "N" se reparte D.P. a 2/13; 5/11 y 7/23 e I.P. a 4/26; 10/33 y 7/46. Si la menor parte es igual a 500, hallar "N".
Aplicación cotidiana Pago de impuestos 16.
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A los distritos de San Miguel; Bolívar y San Gregorio de Cajamarca les correspondió abonar un impuesto (por derecho de limpieza) de S/.113 982, que se repartió en partes proporcionales a 21 600; 12 960 y 8 910, que son respectivamente los habitantes que tienen cada uno e inversamente proporcional a 510; 420 y 360, que son el número de calles que tiene cada distrito. Calcular lo que le correspondió abonar al distrito de San Miguel.
UNIDAD 2
43
Aritmética
¡Tú puedes! 1. Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir, su herencia se reparta entre sus sirvientes I.P. a sus edades, pero D.P. a sus años de servicios. Al morir dicho anciano las edades de sus sirvientes eran 30; 45 y 50 años y tenían 12; 20 y 25 años de servicio respectivamente. Al hacerse el reparto se observó que el que tenía más años de servicio recibió 9 000 soles más que el joven. Determinar la herencia repartida. a) S/. 200 000
b) 120 000
c) 121 000
d) 240 000
e) 180 000
2. Cuando un hombre va a almorzar a un restaurante y le sirve una mujer y un hombre, le da doble de propina a la mujer que al hombre, y si le sirve el hombre y un muchacho, le da el doble de la propina al hombre que al muchacho. Si un día le sirven el hombre, la mujer y el muchacho y les da S/. 14 de propina, ¿cuánto recibió cada uno? a) S/. 8; 3 y 3
b) 8; 4 y 2
c) 7; 6 y 1
d) 5; 5 y 4
e) 6; 6 y 2
3. Al repartirse cierta cantidad en tres partes que sean D.P. a 3N; 3N – 1 y 3N + 1 e I.P. a 4N – 1; 4N + 1 y 4N respectivamente se observa que la primera parte excede a la última en 216. Hallar la suma de cifras de la cantidad a repartir. a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
4. Tres obreros "A", "B" y "C" trabajan en cierta obra. El propietario de la obra otorga quincenalmente una gratificación de 52 dólares para repartirla entre los que trabajan. En la quincena que trabajan "A" y "B", corresponde a "A" los 3/4 de la gratificación y a "B" el resto. En la quincena que trabajan "B" y "C", el primero cobra los 3/4 y el segundo el resto. Determinar la cantidad que debe recibir "B" en la quincena que trabajan los tres. a) $ 36
b) 42
c) 12
d) 16
e) 4
5. Un hombre muere dejando a su esposa embarazada, un testamento de 130 000 soles que se repartirá de la siguiente forma: 2/5 a la madre y 3/5 a la criatura si nace varón y 4/7 a la madre y 3/7 a la criatura si nace niña. Pero, sucede que la señora da a luz un varón y una niña. Entonces, lo que les toca a la niña y al varón, en ese orden es: a) S/. 25 000; 65 000 d) 28 000; 62 000
b) 30 000; 60 000 e) 32 000; 58 000
c) 35 000; 55 000
18:10:45
Practica en casa 1. Al repartir $ 490 en dos partes D.P. a 8 y 9 e I.P. a 2 y 3 se obtuvieron las partes: 2. Repartir S/. 3 100 I.P. a 2 y 18 y a la vez I.P. a 4 y 3. Dar como respuesta la mayor cifra de la parte mayor.
44
5. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 16; 6 y 40 e I.P. a 8; 4 y 10, se observó que la diferencia entre la mayor y menor de las partes es 600. La suma de cifras de la cantidad repartida es:
3. Repartir S/. 7 000 D.P. a 12 y 24 y a la vez D.P. a 1/3 y 1/8. Indicar la parte menor.
6. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 2 y 3 y a la vez también I.P. a 1/5 y 1 se obtuvo que la parte menor fue 1200. ¿Cuál fue la cantidad repartida?
4. Repartir S/. 845 en forma I.P. a los números 1; 5; 2 y 4 y a la vez D.P. a 2; 5; 3 y 8. Calcular la suma de las dos mayores partes.
7. Dividir 156 en tres partes de modo que la primera sea a la segunda como 5 es a 4 y la primera sea a la tercera como 7 es a 3. La segunda parte es:
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Reparto proporcional compuesto
8. Dividir S/. 880 en tres partes de modo que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 y la primera sea a la tercera como 5 es a 3. La segunda es: 9. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 10; 35 y 45 y a la vez I.P. a 1/4; 3/2 y 5/2, se obtuvo que la parte mayor resultó ser S/. 3 000, ¿cuál fue la cantidad menor? 10. Se reparte una cantidad en cuatro partes proporcionales a 4; 12; 3 y 5 e inversamente proporcionales a 7; 14; 3 y 7. ¿Cuál es la cantidad repartida, si las dos últimas partes juntas, exceden a las dos primeras partes en 480? 11. Dividir 42 entre "A", "B" y "C" de manera que la parte de "B" sea el doble del cuadrado de la parte de "C" y la de "C", la diferencia de las partes de "A" y "B". ¿Cuál es la mayor de las partes señaladas? 12. En un juego de lotería participan cuatro amigos "A", "B", "C" y "D"; los cuales realizaron
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los aportes siguientes: "A" aportó el doble que "C" y "B" aportó un tercio de "D" pero la mitad de "C". Ganaron el premio y se repartieron de manera proporcional a sus aportes. ¿Cuánto recibió "A", si "D" recibió S/.1.650?
5
13. Se contratan tres camiones para el transporte de 24 toneladas de cemento por un total de S/. 49 590. El primero tiene que transportar 6 toneladas a 22 km, el segundo 10 toneladas a 15 km y el tercero el resto a 30 km. ¿Cuánto debe pagarse al tercer camión? 14. Daniel, Miguel y Alberto deciden repartirse S/. 5 699 en partes inversamente proporcionales a 1/3; 1/5 y 1/7, proporcionalmente a 5/6, 6/7 y 7/8 e inversamente a 10/3, 3/14 y 7/16 respectivamente. ¿Cuánto recibe Miguel? 15. Repartir S/. 20 500 entre tres personas de modo que la parte de la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y la segunda a la tercera como 4 es a 7. Dar la mayor parte.
UNIDAD 2
45
5
Aritmética
Regla de compañía En este capítulo aprenderemos: •
A proponer comparaciones entre el reparto proporcional compuesto y la regla de compañía.
•
A clasificar la regla de compañía de acuerdo a los diferentes casos que existen.
•
A reconocer un ejercicio de regla de compañía como una aplicación particular del reparto proporcional.
•
A codificar en forma matemática un enunciado de regla de compañía.
•
A resolver problemas de regla de compañía.
•
A usar las operaciones básicas para realizar problemas de regla de compañía.
Las primeras compañías
L
as primeras compañías del mundo occidental se constituyeron por los gremios o hansas que formaban los armadores de barcos (sociedades en commenda) de Venecia, Génova y Pisa a partir del siglo IX. Hay referencias históricas que en los países árabes situados en el medio oriente ya se habían constituido incipientes empresas que tenían por objeto comercializar de manera organizada los productos oriundos de esos lugares. La regla para las reparticiones de ganancias o pérdidas de las compañías fue desarrollada y publicada en manuscritos árabes y que son atribuidos a Abul‘I Wefa de Bagdad (940–998 D.C.) y que fue recogida por Leonardo de Pisa (Fibonacci) en uno de sus viajes como mercader, y se encargó de difundirla por todo occidente a través de su libro "Aritmética comercial". En la actualidad para los repartos en las sociedades mercantiles hay toda una legislación plasmada en códigos de comercio que tienen sus pequeñas variantes de acuerdo a la realidad de cada país.
46
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Regla de compañía
5
Saberes previos 1. Resolver:
3. Si: 4a = 2b = c
I. 3k + 11k + 8k = 132
hallar "a", si: a + b + c = 140
II. 8k + 5k + 2k = 90
4. Si una empresa gana S/. 15 000 anualmente, ¿cuánto le corresponde a cada uno de los seis socios? (Todos están con iguales condiciones).
2. Simplifica y resuelve, si: a + b + c = 120 a b c I. = = 14 21 35
5. "A", "B" y "C" forman un negocio y al cabo de 1 año tienen una ganancia de S/. 4 000. Si "A" ganó S/. 800 y "B" el doble, ¿cuánto ganó "C"?
a b c II. = = 200 300 500
Conceptos básicos Regla de compañía En este capítulo los problemas son comerciales. Es normal que personas se asocien formando una empresa por eso veremos que la regla de compañía es un caso particular del reparto proporcional y se emplea para realizar distribuciones de beneficios o pérdidas entre los socios de una empresa mercantil, proporcionalmente al capital aportado y/o al tiempo de permanencia en la sociedad. Los elementos son: Capital aportado Tiempo de permanencia Ganancia Pérdida
(C) (T) (G) (P)
Y se cumple que: (Ganancia o pérdida) D.P. (Capital)(tiempo)
Para "n" socios: G1 G2 G3 Gn = = = ... = C1 . t 1 C2 . t 2 C3 . t 3 Cn . t n Siendo "Gi", "Ci" y "ti" la ganancia, capital y tiempo de permanencia en la sociedad respectivamente del i–ésimo socio (1 ≤ i ≤ n).
Casos especiales
1er caso: Reparto de ganancia o pérdida dependiendo de los capitales, permaneciendo el mismo tiempo en el negocio. Ejemplo:
•
Giancarlo y Ximena se asocian para formar un negocio aportando cada uno S/. 3 200 y S/. 1 800 respectivamente. Culminado el negocio, hubo S/. 2 500 de ganancia. ¿Cuánto ganó Ximena?
Solución:
2500
D.P. 3 200 1 800
¡Ahora hazlo tú!
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⇒ ⇒
16 9 •
→K=
2 500 = 100 ⇒ Ximena ganó: 9 × 100 = S/. 900 16 + 9
Inés y Carlos se asocian para formar un negocio aportando cada uno S/. 1 200 y S/. 1 440 respectivamente. Culminado el negocio hubo S/. 2 750 de ganancia. ¿Cuánto ganó Inés?
UNIDAD 2
47
Aritmética
2do caso: Reparto de ganancias o pérdidas dependiendo de los tiempos de permanencia, aportando el mismo capital en el negocio. Ejemplo:
•
Inés forma una empresa con cierto capital y tres meses más tarde acepta una socia que aporta el mismo capital. Si el negocio duró 9 meses, produciendo una pérdida por S/.18 500, ¿cuánto perdió cada una?
Solución: El negocio duró 9 meses y la primera formó dicho negocio, entonces permaneció 9 meses pero la segunda entró 3 meses más tarde, entonces permaneció 6 meses, luego hacemos el reparto:
18 500
Cada socia perdió:
D.P. 9 meses 6 meses
18500 = 3 700 3+2
José forma una empresa con cierto capital y cuatro meses más tarde acepta un socio que aporta el mismo capital. Si el negocio duró 10 meses, produciéndose una pérdida de S/.8 000, ¿cuánto perdió cada uno?
3er caso: Reparto de ganancias o pérdidas dependiendo de los capitales y los tiempos de permanencia en el negocio. Ejemplo:
•
Dos amigos "A" y "B" se asociaron para formar un negocio, el primero aportó S/. 12 000 y el segundo S/. 15 000 y han permanecido tiempos que son proporcionales a 8 y 6 respectivamente. Si al liquidar la sociedad hay una ganancia de S/. 74 400, ¿cuánto más ganó uno con respecto al otro?
Solución: D.P. 74 400
D.P.
12 000 × 8 15 000 × 6
⇒ ⇒
96 90
⇒ ⇒
16 15
→k=
74 400 = 2 400 16 + 15
Uno ganó (16 – 15) × 2 400 = S/. 2 400 más que el otro. ¡Ahora hazlo tú! •
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→k=
2 × 3 700 = S/. 7 400
3 2
3 × 3 700 = S/.11 100
¡Ahora hazlo tú! •
⇒ ⇒
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Dos socios formaron un negocio, el primero aportó S/.20 000 y el segundo S/.25 000 y han permanecido tiempos que son proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si al liquidar la sociedad hay una ganancia de S/.62 000, ¿cuánto más ganó uno con respecto al otro?
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Regla de compañía
5
Síntesis teórica reparto proporcional es
es
Simple
Compuesto
Regla de compañía
1° caso: G =k C
2° caso: G =k t
3° caso: G =k C.t
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Cuando un grupo de socios forman un negocio, las ganancias de cada uno de ellos se reparten en forma ……… a los ………….. aportados. 2. Coloca verdadero o falso según sea el caso, en el siguiente ejemplo:
Se repartió 540 soles de ganancia entre tres socios. Sabiendo que sus aportaciones al negocio fueron 120; 100 y 180 soles; entonces: •
La ganancia del primero fue 162 so- ( les
)
•
El tercero ganó 100 soles más que el ( segundo
)
4. Completa:
"El reparto de ganancias o pérdidas se hace en forma ……………… proporcional a los capitales y …………….. de permanencia en el negocio."
5. Completa:
"Cuando se reparte 28 000 soles entre tres socios, se sabe que aportaron el mismo capital pero permanecieron 3; 5 y 6 meses en el negocio. Entonces el segundo recibió ……………… soles y el tercero recibió ……………… soles."
3. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda: •
Al socio que aportó más capital le co- ( rresponde menos ganancia.
)
•
Al socio que estuvo más tiempo en el ( negocio le corresponde más ganancia.
)
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UNIDAD 2
49
Aritmética
Aprende más 1. Tres hermanos se asociaron para comprar un carro aportando cada uno $1 600; $1 400 y $ 1 000. Si por cada mes que lo hacen trabajar perciben $ 3 700 de ganancia, ¿cuánto le corresponde al que aportó más?
9. "A" empieza un negocio con $ 24 000 y 2 meses después de ello se incorpora "B" con $ 16 000. A los 6 meses de iniciado el negocio, se liquida por quiebra retirándose "A" con $ 10 500. ¿Con cuánto se retiró "B"?
2. A dos diseñadores por computadora se les encarga elaborar un proyecto, para el cual trabajan en distintos horarios. Si el primero trabaja 14 horas en el proyecto y el segundo 6 horas más, ¿cuál será el beneficio que obtiene el segundo, si en total percibieron S/. 510?
10. Tres amigos forman una sociedad, el primero puso $ 120 000, el segundo $ 80 000 y el tercero $ 40 000. Si el segundo y el tercero impusieron su capital durante 6 y 8 años respectivamente por lo cual ambos recibirán medio millón de dólares de beneficio, ¿qué tiempo estuvo colocado el primero, si el beneficio total fue de un millón de dólares?
3. Cuatro alumnas del 3er año del Colegio Trilce se asociaron para formar una empresa de cosméticos juntando sus propinas que fueron: S/. 26, S/. 22, S/. 14 y S/. 8 durante 4; 3; 5 y 6 días respectivamente. Si al final obtuvieron de ganancia S/. 36, ¿cuánto recibió la última de las socias? 4. Tres amigos se asociaron para formar una empresa, el primero aportó S/. 6 000 durante 5 años, el segundo S/. 3 000 durante 8 años y el tercero S/. 9 000. Al repartir los S/. 15 000 de ganancia, el tercero recibió la mitad del total. Calcular el tiempo de imposición del tercero en años. 5. Dos industriales forman una sociedad por un año con un capital total de $ 10 000, pero el segundo solo pudo imponer su capital 4 meses más tarde. Si obtuvieron la misma ganancia, hallar la diferencia de los capitales. 6. Para la explotación de un negocio se asocian tres individuos aportando S/. 8 500; S/. 10 400 y S/. 9 000. Si el negocio se declaró en quiebra y dejó un activo de S/. 13 392, ¿cuánto recibe el primer individuo? 7. La empresa Trilce inició una actividad con un capital de S/. 1 500. A los 8 años admiten un socio que aporta S/. 1 000, 7 años después a otro socio con un capital de S/. 2 000 y 5 años después se liquida la empresa obteniéndose una ganancia de S/. 42 432. ¿A cuánto ascendió la ganancia de la empresa Trilce? 8. Un industrial empezó un negocio y a los 9 meses admitió un socio y 3 meses después de este entró un tercer socio. Cada uno de ellos aportó en el negocio $3 300. Si el negocio duró 16 meses, al cabo de los cuales la utilidad fue de $ 99 900, ¿cuánto le toca al industrial?
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11. Dos personas "A" y "B" se unen para formar un negocio aportando S/. 4 000 y S/. 7 000 cada uno y 4 meses después entra "C" aportando S/. 5 000. ¿Cuántos meses después de iniciado el negocio entró "D" a la sociedad sabiendo que aportó S/. 8 000 y que del beneficio anual de S/. 86 700, "A" recibió S/. 20 400? 12. Cuatro personas hicieron un fondo común y han ganado S/. 48.000. El primero recibió la tercera parte, el segundo la cuarta parte, el tercero S/. 11 800 y el cuarto que había impuesto S/. 32 800 recibió el resto de la ganancia. ¿Cuánto invirtió el segundo socio? 13. Juan inicia un negocio con $ 14 000, al cabo de 2 meses se le une Miguel aportando $ 7 000 y 7 meses después de haber empezado el negocio se les une Carlos imponiendo $ 10 500. Si al año el negocio se cerró con un beneficio de $ 12 450, ¿cuánto ganó Juan? 14. En un negocio de dos años entre "A"; "B" y "C", "A" empezó con S/.3 000 y a los 8 meses aumentó su capital en 1/4; "B" empezó con S/.4 000 y a los 12 meses disminuyó su capital en 1/4 y "C" empezó con S/.5 000 y a los 18 meses se retira. Si al liquidar el negocio la utilidad fue de S/.172 000, ¿cuánto le corresponde a "A"? 15. Pepe y Alberto deciden formar una empresa de servicio técnico para lo cual invirtieron 7 000 y 5 000 dólares. Si luego de 4 meses Pepe le compra su parte a Alberto y además se sabe que la ganancia total hasta ese momento fue 7 260 dólares, calcular con cuánto se retiró Alberto.
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Regla de compañía
Aplicación cotidiana 16.
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Con una visión de futuro y buscando maximizar las eficiencias a través de las sinergías en el negocio cervecero, en 1996 los accionistas de Cervecería Backus y Johnston S.A., Compañía Nacional de Cerveza S.A., Cervecería del Norte S.A. y Sociedad Cervecera de Trujillo S.A. deciden asociarse y crear Unión de Cervecerías Peruanas Backus y Johnston S.A.A., la empresa cervecera más importante del Perú. La primera puso 1/3 del capital, la segunda 1/4, la tercera 5/18 del capital necesario y la cuarta puso los 250 millones de dólares restantes. Si al cabo de un año el negocio rinde ganancias y el primero se retira con 900 millones de dólares, ¿con cuántos millones se retira el segundo?
¡Tú puedes! 1. Tres socios convienen en formar un negocio para lo cual el primero aporta un capital de S/. 5 000, el segundo 3 meses después aporta S/. 1 000 más que el tercero y el tercero 6 meses después del inicio aporta 40% más que el primer socio. ¿Cuánto recibió el segundo socio, si el negocio se liquidó a los 24 meses de iniciado y la utilidad fue el 17,25% del total aportado? a) S/. 1 300
b) 1 400
c) 1 500
d) 1 000
e) 1 200
2. Después de tres meses que Antonio había fundado una empresa para lo cual depositó S/. 12 000, se asoció con Beto quien aportó 20% menos que Antonio y dos meses más tarde se unió Carlos que aportó el 75% de lo que habían depositado Antonio y Beto. Si al cabo de dos meses liquidaron la empresa y tuvieron que afrontar una pérdida de S/. 7 740, ¿cuánto perdió Carlos? a) S/. 1 290
b) 1 920
c) 1 620
d) 1 260
e) 1 200
3. Un industrial funda una empresa imponiendo un capital de S/. 400 000, al año y 4 meses acepta un socio con una aportación de S/. 300 000, 1 año y 2 meses después admite otro socio con un capital de S/. 600 000 y luego de 8 meses los dos primeros socios incrementan su capital en S/. 200 000. ¿Cuánto gana el industrial, si al cabo de 6 años de actividades se obtuvo una ganancia de S/. 2 532 000? a) S/. 726 800
b) 756 400
c) 708 000
d) 800 040
e) 1 068 000
4. Moisés forma una empresa con 400 mil soles, después de 5 meses ingresa Aarón con 200 mil soles y 5 meses después retira la mitad de su capital, entonces ingresa Abraham con 250 mil soles y a los 6 meses aumenta su capital en su quinta parte. Si la empresa duró 1 año y 8 meses y las utilidades fueron de 88 900 soles, calcular el mayor valor de la razón aritmética que se obtiene comparando las ganancias obtenidas. a) S/. 53 000
b) 13 000
c) 40 000
d) 42 000
e) 43 000
5. Se asocian "N" capitalistas para formar una empresa cuyos capitales son proporcionales a los números primos entre sí con 10, menores que 50. Si estuvieron el mismo tiempo, al término del cual obtuvieron una ganancia global de $ 30 060, calcular "N" y la diferencia del mayor y menor de las ganancias. a) 49; $ 2 870
Central: 619-8100
b) 20; $ 2 880
c) 19; $ 2 860
d) 25; $ 2 880
e) 18; $ 2 860
UNIDAD 2
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Aritmética 18:10:45
Practica en casa 1. Se han asociado tres personas, aportando la primera S/. 1 400 durante 6 meses, la segunda S/. 2 000 durante 7 meses y la tercera S/. 3 500 durante 10 meses. Si al finalizar el negocio se obtuvo una pérdida de S/. 6 150, ¿cuánto perdió el segundo socio? 2. Antonio emprende un negocio con S/. 17 000, a los 2 años se asocia Bruno con S/. 21 000 y después de 4 años se asoció Carlos aportando S/. 32 000 quien estuvo 6 años en el negocio. Si la ganancia fue de S/. 80 800, ¿cuánto le corresponde a Carlos? 3. Dos personas participan en un negocio, aportando cada uno S/. 1 500 y 4 meses después aceptaron un tercer socio con S/. 1 200 de capital. A los 10 meses de iniciado el negocio, se liquidó, encontrándose una ganancia de S/. 4 030, ¿cuánto le corresponde al segundo socio? 4. Dos socios reunieron un capital de S/. 4 200 para hacer un negocio, el primero dejó su capital durante 2 meses y el otro durante 4 meses. Se pide encontrar la diferencia de los capitales aportados, sabiendo que las ganancias fueron iguales. 5. Tres personas se asociaron para establecer un negocio. La primera puso mercaderías y la segunda S/. 10 000 obteniéndose una ganancia de S/. 20 000 de los cuales la primera recibe S/. 8 000 y la tercera S/. 7 000. Determinar el capital del tercer socio. 6. Dos socios "A" y "B" forman una empresa. El capital de "A" es el doble de "B", pero el tiempo que permanece "A" en la empresa es el triple del tiempo que permanece "B". Si al repartir las utilidades, la diferencia entre la de "A" y la de "B" es S/. 12 600, hallar la utilidad total de la empresa. 7. Se asociaron dos personas para un negocio, la primera contribuyó con S/. 4 500 y la segunda con S/. 3 600. Al terminar el negocio, resulta que el capital se redujo a S/. 6 300. ¿Cuál es la pérdida de cada uno de los socios? Dar como respuesta la mayor parte. 8. Tres amigos se asociaron para establecer un negocio, el primero contribuyó con mercaderías y el segundo con S/. 240. Se sabe que al terminar el negocio el capital total se redujo a S/. 570; de los
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cuales el primero solo recibió S/. 135 y el tercero S/. 255. Calcular el importe de las mercaderías. 9. Se repartió una cierta cantidad de dinero entre tres individuos, el primero se quedó con los 5/9, el segundo con los 2/7 y el resto se dividió entre los tres, en partes iguales. Después del reparto formaron una sociedad y en dos años obtuvieron un beneficio de S/. 181 440. Sabiendo que al segundo le correspondió en el reparto primitivo S/. 198 000, se desea saber la ganancia del primero. 10. Tres amigos compraron un billete de lotería de S/. 1.000. El primero contribuyó con S/. 340, el segundo con S/. 510 y el tercero con el resto. Si el billete salió premiado con S/. 50 000 y le dieron al vendedor de la lotería el 1,2%, ¿cuánto le correspondió al tercero? 11. "A" inició un negocio con $ 6 000 y a los 5 meses acepta como socio a "B" el cual aporta $ 9 000 y 3 meses después "C" se une al negocio aportando $ 12 000. Si al año de iniciado el negocio se decide liquidarlo con una pérdida de $ 9 150, ¿cuánto perdió "A"? 12. Tres amigos se asociaron y formaron una empresa. El primero aportó 60 mil soles durante 6 años, el segundo, 30 mil soles durante 8 años y el tercero 90 mil soles. Al repartirse la ganancia de 150 mil soles, el tercero recibió la mitad del total. Calcular la utilidad de los otros dos. 13. Al finalizar un negocio, sus tres socios reciben entre aportes y ganancias S/. 8 000, S/. 7 500 y S/. 6 250. Si la ganancia total fue de S/. 8 700, calcular la menor de las tres ganancias. 14. Margarita y Liliana se asocian formando un restaurante aportando 12 000 y 8 000 dólares respectivamente, pero al cabo de 5 meses Margarita le compra su parte a Liliana. Si hasta ese momento el restaurante ha rendido una utilidad total de 3 500 dólares, calcular con cuanto se retira Liliana. 15. Luis empieza un negocio con 2 000 dólares y 2 meses después Juan ingresa como socio aportando 3 000 dólares. Si 5 meses después la utilidad obtenida es repartida entre ambos, ¿cuánto le corresponderá a Luis, si las utilidades son de $ 8 700? www.trilce.edu.pe
Repaso
Repaso
6
Aprende más 1. La razón geométrica de dos números es de 3 a 8 y su suma es 2 497. Uno de los números es: 2. La razón geométrica de la razón aritmética y la razón geométrica de dos números es 16. Si la diferencia de estos es 24, entonces el mayor de los números es: 3. Determinar la media diferencial de la tercia proporcional de 25 y 15 y la cuarta diferencial de 34; 20 y 30. 4. La cuarta proporcional de "a + 1"; "a – 1" y "a + 8" es "a + 4". Hallar la tercera proporcional de "a2" y "4a". 5. En un salón de clases el número de alumnos hombres es al número de alumnas como 3 es a 5. Si se considera al profesor y una alumna menos, la nueva relación será de 2 a 3. Hallar cuántas alumnas hay en el salón. 6. Si:
a 3 = y a2 + b2 = 657, hallar "a". b 8
7. Hallar "m . p", si "A" y "B" son magnitudes I.P. y su gráfica correspondiente se muestra a continuación: A m+8 m m – 16 16
20
p
B
8. La diferencia entre el mayor y menor término de una proporción geométrica continua es 25 y el otro término es 30. Hallar la suma de los términos, si los cuatro son positivos. 9. Los tres números positivos en progresión aritmética que aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente forman una progresión geométrica de suma 28, son: Central: 619-8100
10. Sabiendo que:
15 24 33 = = y que: A B C
4A – 2B + 5C = 295 Calcular "A + B + C" 11. El profesor de Razonamiento Matemático y el profesor de Literatura tienen 80 y 55 bizcochuelos respectivamente. Si se encuentran con el coordinador y se reparten los 135 bizcochuelos en partes iguales y luego de comérselos el coordinador les entrega S/. 45 como recompensa. ¿Cuánto demás recibe el profesor de R.M, respecto al profesor de Literatura? 12. Se reparte 12 540 soles proporcionalmente a las edades de dos personas que tienen actualmente 22 y 16 años. ¿Cuántos años debe postergarse el reparto para que la segunda reciba 420 soles más? 13. Tres obreros deben repartirse 42 389 soles por haber fabricado dos tipos de productos ("A" y "B"). El primero fabrica 2 productos del tipo "A" y 20 del tipo "B". El segundo, 5 del tipo "A" y 12 del tipo "B" y el tercero 6 del tipo "A". Se sabe además que un producto del tipo "A" equivale a 5 productos del tipo "B". Si el reparto debe ser proporcional al número de productos fabricados, ¿cuánto le tocará al segundo obrero? 14. Una viuda debía repartirse la herencia de $ 13 400 que le dejó su esposo, con el bebé que esperaba. Si nacía niño, la madre y el hijo se repartían la herencia proporcionalmente a 4 y 7 respectivamente. Si nacía niña, la madre y su hija se repartían proporcionalmente a 5 y 3 respectivamente. Al fin y al cabo, nacieron mellizos: un niño y una niña. ¿Cuánto recibió la niña? 15. Cuatro obreros han empleado 6 días de 10 horas en cierto trabajo y otros 3 han empleado 5 días de 11 horas en otro trabajo. ¿Cuánto recibirá el segundo grupo, si en total se les paga 540 000 soles?
UNIDAD 2
53
Aritmética
Aplicación cotidiana Producción e ingreso son directas 16.
En una planta la producción de unidades es D.P. al número de días hasta el día ocho donde se ha producido 500 unidades, luego la producción se hace I.P. al número de días hasta el día 16; luego se hace nuevamente D.P. hasta el día en que se producen 375 unidades para finalmente volver a ser I.P. hasta el día 36. Si la producción del cuarto día fue vendida en 5 soles la unidad y la producción del día 36 en 6 soles la unidad, la suma del ingreso de esos días es:
¡Tú puedes! 1. Si de los números 15; 69; 27 y 63 restamos una misma cantidad, los cuadrados de los números resultantes son proporcionales a 28; 847; 112 y 700. Si dicha cantidad es igual a la constante de proporcionalidad del siguiente conjunto de razones geométricas equivalentes: 2a + 5b 3b – c 7a + 2c = = 5e + 2d 3e – f 2f + 7d
Calcular: ad + be + cf a3 + b 3 + c 3 . d 2a + e 2b + f 2c d 2 + e 2 + f 2 a) 4
b) 8
c) 9
2. Si: (a2 + b2) es a (a2 – b2) como 3 a 1 entonces la razón a) 1,21
b) 1,41
c) 1,73
d) 16
e) 27
a es aproximadamente: b d) 2,1
e) 2,31
3. "A" y "B" son dos magnitudes que cumplen la siguiente regla de proporcionalidad: "A" D.P. "B" cuando B ≤ 8 por otro lado "A" I.P. "B" cuando 8 ≤ B ≤ 15 asimismo "A" I.P. B2 cuando B ≥ 15. Si cuando B = 4; A = 15, calcular el valor de "A" cuando B = 30. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. La magnitud "A" es D.P. a la inversa de B3 cuando la magnitud "C" permanece constante y "C" es I.P. a B2 cuando "A" es constante. Si "C" se cuadruplica mientras "B" se mantiene constante, entonces: a) "A" se multiplica por 4. d) "A" se divide entre 8.
b) "A" se multiplica por 8. e) "A" no se altera.
c)1 "A" se divide entre 4.
5. Al repartirse cierta cantidad en tres partes que sean D.P. a: 3n; 3n – 1 y 3n + 1 e I.P. con: 4n – 1; 4n + 1 y 4n respectivamente se observa que la primera parte excede a la última en 216. Hallar la cantidad repartida. a) 1 480
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b) 1 580
c) 1 660
d) 1 630
e) 1 530
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6
Practica en casa 1. A una fiesta concurrieron 320 personas entre hombres y mujeres, observándose que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si se retiraron 20 parejas, ¿cuál es la nueva razón entre hombres y mujeres? 2. Las edades de Antonio y Bernardo están en la razón de 5 a 3 y las edades de Bernardo y César están en la razón de 4 a 7. Si la suma de las tres edades es 159 años, hallar la edad de César. 3. Se divide una cierta cantidad en forma D.P. a los cuadrados de los 8 primeros números enteros positivos y se observa que la mayor diferencia entre dos de las partes es 50 400. Hallar la cantidad repartida. 4. La razón geométrica, entre dos números cuya suma es 35, se invierte si se añade 15 al menor y se quita 15 al mayor. Calcular el producto de los números. 5. El costo (C) de un diamante varía proporcionalmente al cuadrado de su peso (W) e inversamente proporcional al número de diamantes (N) del mismo tipo. Hallar "x + y". c
w n
200 10 24 x
15
9
300 5
y
6. "A" le da a "B" una ventaja de 20 m en una carrera de 200 m y "B" le da una ventaja de 40 m a "C" en una carrera de 360 m. ¿Cuántos metros de ventaja debe dar "A" a "C" en una carrera de 400 m? 7. Se sabe que "A" es D.P. a B2, ¿en cuántas veces aumenta el valor de "A", cuando "B" aumenta en su triple? 8. Una acequia de regadío debe atravesar dos chacras "A" y "B", la primera de 320 m y la segunda de 232 m. Para construir dicha acequia los propietarios contratan a un obrero por S/. 920 y los tres hacen el trabajo en partes iguales. ¿Cuánto debe pagar el propietario de "A"? 9. Si se reparte cierta cantidad de dinero directamente proporcional a las edades de "A", "B" Central: 619-8100
y "C", se observa que a "A" le corresponde S/. 124 y a "B" le toca S/. 186; pero si el reparto se hace en forma inversa a dichas edades, entonces a "B" le corresponde S/. 200 y a "C" le toca S/. 120. Hallar la cantidad de dinero repartida y dar como respuesta la suma de sus cifras. 10. Se reparte 180 kilos de un producto entre cinco personas, según una progresión aritmética, donde la suma de los dos primeros términos resulta ser la quinta parte de la suma de los otros tres términos. ¿Cuántos kilos reciben la primera y quinta persona juntas? 11. Se reparte una fortuna entre tres personas en partes proporcionales a 7; 6 y 5. Por mutuo acuerdo deciden repartirlo en forma proporcional a los números 4; 3 y 2, de tal manera que uno de los tres recibe $ 7 200 más. El valor de la fortuna es: 12. Luego de repartirse una cantidad entre tres personas, en partes proporcionales a 14; 24 y 22, la tercera le paga a la segunda S/. 2 800 que le debía y esta a su vez cancela su deuda con la primera. Hallar a cuánto asciende dicha deuda, si al final todos han quedado con partes iguales. 13. En una reunión se observó que si se retiran 10 varones quedan 4 varones por cada 3 mujeres. Si después se retiran 20 mujeres entonces quedan 4 varones por cada mujer. ¿Cuántas personas estaban en la reunión inicialmente? 14. Un recipiente "A" tiene 2 litros de vino y 1 litro de agua, otro recipiente "B" tiene 2 litros de agua y 1 litro de vino. Se saca 1 litro de la mezcla "A" y se echa en "B", luego se saca 1 litro de la mezcla de "B" y se echa en "A". ¿En qué relación están las cantidades de vino de "A" y de "B", luego de ello? 15. Un artesano observó que mientras él hacía 7 cerámicas el otro hacía 11, cuando ya habían 90 cerámicas, el más lento decidió aumentar su producción, ahora por cada 5 cerámicas que él hace, el otro hace 3. Si para este último caso la diferencia del número de cerámicas producidas es 90, calcular el exceso de cerámicas producidas en total por el primero sobre el segundo. UNIDAD 2
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7
Aritmética
Regla de tres simple En este capítulo aprenderemos: • • •
A aplicar los conceptos de proporcionalidad y reforzar con ejercicios de alto grado de dificultad. A resolver problemas de situaciones reales. A reconocer un problema de regla de tres simple directa de uno de regla de tres simple inversa.
Ayudando a Rómulo
R
ómulo va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.
•
¿Cómo podría Rómulo conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?
•
¿Se podría aprovechar la sombra del muro y utilizar algún procedimiento matemático para calcular la altura de éste?
Saberes previos •
¿Cómo resolverías la siguiente ecuación? x+4 2x + 3 1. = 12 18 2. En un trabajo si el número de obreros aumenta, el tiempo _____________.
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3. Si aumenta la cantidad de obra, el número de obreros debe: _______ 4. Si una persona aumenta su rendimiento, el tiempo que demorará en hacer su trabajo __________. 5. Del ejercicio anterior, también ____________ cantidad de obra
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Regla de tres simple
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Conceptos básicos Definición Es un método práctico que sirve para relacionar magnitudes proporcionales, recuerde que las magnitudes son directamente o inversamente proporcionales. Según la cantidad de magnitudes, la regla de tres se clasifica en: •
Regla de tres simple
•
Regla de tres compuesta
Regla de tres simple Se utiliza para relacionar los valores de dos magnitudes, y dependiendo de la proporcionalidad tenemos:
Regla de tres simple directa
Cuando las magnitudes son directamente proporcionales Ejemplo:
N° de obreros Obra a
120
(a + 6)
200
Luego: a 120 ⇒ 5a = 3a + 18 → a = 9 = a+6 200
+
+
A↑
D.P.
B↑
a1
b1
a2
x
a1 b = 1 ⇒ a 1x = b 1a 2 a2 x
Ejemplo:
Un depósito lleno de gasolina cuesta S/. 275. Si se extrae 85 entonces solo cuesta S/. 150. ¿Cuántos litros contenía el depósito? Solución: ¡Ubiquemos las magnitudes! Costo
Litros x
( )
( ) 150
Formamos la proporción geométrica: 275 x ⇒x= = 150 x – 85
Regla de tres simple inversa
Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales
Ejemplo:
Luego:
N° de obreros Obra x
20
Son inversamente proporcionales. +
– (x + 6)
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15
x . 20 = (x + 6) . 15 20x = 15x + 90 x = 18 UNIDAD 2
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A
I.P.
B
a1
b1
a2
x
a1 x ⇒ a 1b1 = a 2x = a2 b1
Ejemplo:
Un barco tiene víveres para 22 días. Si lleva 69 tripulantes, ¿cuánto puede durar un viaje de 33 tripulantes? •
Ubiquemos las magnitudes.
•
Analicemos dichas magnitudes. N° de tripulantes
N° de días
69
22
Luego: +
– 33
x=
x
69 . 22 ⇒ x = 46 33
Síntesis teórica REGLA DE TRES SIMPLE es
es
Directa A a1 a2
D.P.
Inversa B b1 x
A a1 a2
I.P.
B b1 x
a1 b = 1 a2 x
a1 x = a2 b1
a 1x = a 2b 1
a 1b1 = a 2x
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Coloca verdadero (V) o falso (F) • El tiempo es D.P. a la obra..................... ( ) • Los obreros son I.P. a las horas diarias... . ( ) • El tiempo es I.P. al grado de dificultad... . ( ) 2. Coloca verdadero (V) o falso (F) • Días y horas diarias – D.P...................... ( ) • Horas diarias y obreros – I.P. ................. ( )
3. Un caño arroja 40 litros de agua en 25 minutos. ¿Cuántos litros arrojará en 5 minutos? 4. Para terminar una obra en 9 días se necesitan 32 obreros. ¿En cuántos días terminarán la obra 24 obreros? 5. Veinticuatro obreros hacen una casa en 30 días. El doble de obreros, ¿qué tiempo tomarán para hacer la misma obra?
• Obreros y obra – D.P............................. ( )
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Regla de tres simple
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Aprende más 1. Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 33 días, pero solo viajaron 66 personas. ¿Qué tiempo durarán los víveres?
9. Un automóvil pesa 2,7 toneladas métricas. ¿Cuánto pesará en una reducción a escala de 1:10 hecho del mismo material?
2. Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera pero de doble arista?
10. Las máquinas "M1" y "M2" tienen la misma cuota de producción semanal, operando 30 y 35 horas respectivamente. Si "M1" trabajó 18 horas y se malogra debiendo hacer "M2" el resto de la cuota, diga, ¿cuántas horas adicionales debe trabajar "M2"?
3. Un buey atado a una cuerda de 2,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 3 días. ¿Cuántos días emplearía, si la longitud de la cuerda fuera 5m? 4. Por cada docena de lapiceros que compro me regalan uno. Si en total tengo 2 184 lapiceros, ¿cuántas docenas he comprado? 5. "A" puede realizar un trabajo en 6 días. Si "B" es 50% menos eficiente que "A", ¿en cuánto tiempo harían el mismo trabajo juntos? 6. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado un peón cobra S/. 300. ¿Cuánto cobró por sembrar otro terreno cuadrado de 12 m de lado? 7. En un recipiente que contiene 8 litros de agua se han disuelto 750 g de azúcar. ¿Qué cantidad de agua se habrá evaporado cuando el litro de líquido restante contenga 220 g de azúcar? (Aproximadamente). 8. Para levantar 800 kg se emplean 3 obreros que utilizan una máquina que duplica la fuerza. Si para levantar 1 600 kg se emplea una segunda máquina que triplica la fuerza empleando "n" obreros, hallar "n".
11. Un envase esférico lleno de cierta sustancia pesa 5 libras, pero vacío 1 libra. ¿Cuánto pesará otro envase esférico del mismo material y lleno con la misma sustancia, si su radio es el doble del anterior? 12. Hugo, Luis y Paco han hecho 360 m de una zanja. El rendimiento de Hugo es el 120% del de Luis y el de Paco es el 140% del de Luis. ¿Cuántos metros hizo Paco? 13. Cuatro hombres se comprometen en pintar una casa en 15 días. Si después de 5 días, llega uno más, ¿cuántos días antes terminarían la obra? 14. Un grupo de 45 obreros pueden hacer una obra en 30 días. Si luego de 6 días de trabajo se les pide que terminen lo que falta de la obra en 18 días, ¿cuántos obreros deben reforzarse a partir del séptimo día? 15. Si la arista de un cubo de madera se aumenta en 1/5 de su valor, su peso aumenta en 9,1 kg. Hallar el peso del cubo de madera antes del aumento de la arista.
Aplicación cotidiana 16.
El tabaquismo genera en el fumador dos tipos de dependencia: psicológica y fisiológica. La primera de ellas hace referencia a la costumbre que tiene la persona fumadora de fumar. La segunda está provocada por las diferentes sustancias adictivas que contiene el tabaco, entre las que se encuentra la nicotina y otros aditivos usados por los fabricantes con el fin de aumentar los efectos adictivos del tabaco. Esto último ha provocado numerosas críticas por parte de la población hacia la industria tabaquera. Los cigarros están hechos para crear dependencia entre sus consumidores. El tabaco es, posiblemente, la droga que con más frecuencia se consume, comprobándose que el síndrome de abstinencia suele aparecer, aproximadamente, a la hora de haber consumido el último cigarrillo. Un fumador empedernido, se fuma 5 cigarros por cada 4 horas que transcurren. Compra una caja de fósforos y observa que para encender un cigarro tiene que utilizar siempre 2 fósforos. ¿En cuántas horas este fumador consumirá toda la caja de fósforos (1 caja de fósforos de 40 palitos) y cuántos cigarros consumirá?
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UNIDAD 2
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Aritmética
¡Tú puedes! 1. Un obrero al pintar una pared rectangular cobra "N" soles, pero señala que si cada lado de la pared se duplica tendría que cobrar 108 soles más. ¿Cuánto cobraría, si en otra pared un lado es la mitad del anterior y el otro lado es 1/3 más que su correspondiente? a) S/. 12
b) 18
c) 24
d) 30
e) 20
2. Si Pedro es el triple de rápido que Cristian y este hace una obra en 30 días, ¿qué parte haría Pedro de esa obra en 1 día? 1 1 1 1 a) b) c) d) e) 1 5 30 3 10 3. Un grupo de 36 obreros pueden hacer una obra en 30 días. Si luego de 8 días de trabajo se les pide que terminen lo que falta de la obra en 18 días, ¿con cuántos obreros deben reforzarse a partir del noveno día? a) 6
b) 8
c) 7
d) 9
e) 10
4. Cuatro obreros pueden hacer 10 m de una zanja y otros 5 obreros pueden hacer 15 m de la misma zanja y en el mismo tiempo que los anteriores. Si un obrero del primer grupo puede hacer la zanja en 24 días, ¿en cuántos días haría la misma zanja un obrero del segundo grupo? a) 20 días
b) 18
c) 30
d) 21
e) 27
5. Si la arista de un cubo de madera se aumenta en un 40%, su peso aumenta en 21,8 kg. Hallar el peso del cubo de madera antes del aumento de la arista. a) 18 kg
b) 25
c) 12,4
d) 12,5
e) 16 18:10:45
Practica en casa 1. Para una fiesta de matrimonio se preparan 14 mesas para 9 invitados cada una. ¿Cuántas mesas se deben preparar, si estas son para 6 invitados cada una? 2. Quince barriles contienen 240 litros de vino. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 21 200 litros de vino? 3. Trabajando 10 h/d una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra. Trabajando 6 h/d, ¿en cuántos días terminarán la misma obra?
60
6. Cien obreros pueden hacer una obra en 15 días. Si se quiere emplear 75 obreros menos, ¿en cuántos días más acabarán la obra? 7. Trece hombres tienen víveres para un viaje de 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días más, ¿cuántos hombres no podrán viajar? 8. Dos personas alquilan un terreno de cultivo. El primero siembra los 8/15 del terreno y paga S/. 24 000 de alquiler anual. ¿Cuánto paga mensualmente el segundo?
4. Una fábrica tiene petróleo suficiente para 20 días, consumiendo 13 barriles diarios. ¿Cuántos barriles menos se debe consumir diariamente para que el petróleo alcance para 26 días?
9. La sombra proyectada por una persona de 1,82 m de altura es de 0,65 m. Calcular la sombra proyectada por un niño de 1,40 m a la misma hora.
5. En una plaza hay 1 500 hombres provistos de víveres para 6 meses. ¿Cuántos habrá que despedir, para que los víveres duren dos meses más, dando a cada hombre la misma ración?
10. Dos ruedas engranadas tienen respectivamente 30 y 20 dientes. ¿Cuántas vueltas dará la segunda rueda al mismo tiempo que da 200 vueltas la primera rueda?
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Regla de tres simple
11. "x" máquinas hacen una obra en 30 días y "x + 4" máquinas hacen la misma obra en 20 días. ¿En cuánto tiempo harán "x +2" máquinas dicha obra? 12. La capacidad de un tanque de agua es de 6 400 litros y el desagüe lo desaloja en 64 minutos. Estando lleno el tanque, ¿cuántos litros de agua quedan después de 30 minutos de funcionamiento del desagüe? 13. Una mesa tiene 5,2 m de largo y 2,4 m de ancho. ¿En cuánto se debe aumentar la longitud
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para que sin variar la superficie, el ancho sea de 2 m?
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14. Juan es el doble de rápido que José y este es el triple de rápido que Miguel. Si entre los tres pueden terminar una obra en 18 días, ¿en cuántos días José y Miguel harán la misma obra? 15. Una oveja sujeta a una estaca por medio de una cuerda de 3,6 m demora 24 minutos en comer el pasto que está a su alcance. ¿Cuánto demoraría si la cuerda fuese de 5,4 m?
UNIDAD 2
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Aritmética
Regla de tres compuesta En este capítulo aprenderemos: •
A utilizar las técnicas aprendidas en regla de tres simple.
•
A aprender los diferentes métodos que existen para resolver ejercicios de regla de tres compuesta.
•
A resolver problemas de contexto real acerca de regla de tres compuesta.
La tostadora y el efecto Joule
T
ú te preguntarás que tiene que ver una tostadora en nuestro estudio de la proporcionalidad, pues gracias al efecto Joule esta tostadora puede funcionar. Y ¿qué es el efecto Joule? es un fenómeno por el cual si en un conductor circula corriente eléctrica, parte de la energía cinética de los electrones se transforma en calor debido a los choques que sufren con los átomos del material conductor por el que circulan, elevando la temperatura del mismo. El nombre es en honor a su descubridor el físico británico James Prescott Joule. Este efecto fue definido de la siguiente manera: "La cantidad de energía calorífica producida por una corriente eléctrica, depende directamente del cuadrado de la intensidad de la corriente, del tiempo que esta circula por el conductor y de la resistencia que opone el mismo al paso de la corriente". •
¿Crees que se puede deducir una expresión matemática para este enunciado?
•
Cuando varía la intensidad de corriente eléctrica, el tiempo que demora en circular por un conductor y la resistencia, ¿cómo varía la cantidad de energía calorífica de esta tostadora?
Saberes previos •
Calcular:
4.
1. 20% de 40 2. 40% de 30 + 50% de 8 •
Resuelve las siguientes reglas de tres simple:
3.
62
5.
Carpinteros
Mesas
15
20
12
x
Días
Horas/día
Obreros
Días
8
6
12
10
12
x
15
x
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Regla de tres compuesta
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Conceptos básicos Definición Es la regla de tres, en la cual intervienen más de dos magnitudes proporcionales.
Métodos para resolver
Usando proporcionalidad •
El número de obreros es directamente proporcional a la cantidad de obra que hacen, es decir:
•
(número de obreros)
(número de obreros)
I.P.
(tiempo)
Por lo tanto: (N° de obreros) × (tiempo) =K (obra)
(obra)
El número de obreros es inversamente proporcional al tiempo que emplean en hacer la obra, es decir:
D.P.
Donde "K" es la constante de proporcionalidad.
Usando los cocientes •
Ordenar las magnitudes tal como se muestra en el esquema.
•
Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con las demás magnitudes y se determina si son D.P. o I.P.
•
Finalmente la incógnita "x" es igual a su "valor homólogo" (d1) multiplicado con los cocientes que resultan de cada magnitud colocando en el mismo orden cuando las magnitudes sean I.P. y en orden inverso cuando las magnitudes sean D.P. Véase el esquema: DP
IP
DP
A
B
C
a1 a2
b1 b2
c1 c2
IP D d1 x
E e1 e2
⇒
a b c x = d1 . 2 . 1 . 2 . a 1 b2 c 1
e1 e2
Ejemplos
Una cuadrilla de 30 obreros hace una obra de 200 m2 en 20 días trabajando 6 h/d. ¿Cuántos obreros se aumentarán, si se hace una obra de 600 m2 en 15 días trabajando 4 h/d? Por el método de proporcionalidad: (30) . (20 . 6) (30 + x) . (15 . 4) ................................................................................. = 200 600
(1)
Por el método de cocientes:
Obreros
IP
IP
DP
Días
h/d
Obra
20 6 600 ⇒ x + 30 = 30 . . . 30 20 6 200 ....................... 15 4 200 (2). ........................................................................................................................................ x .+ 30 15 4 600 Despejando "x+30" de (1) o (2)→ x + 30 = 180 → x = 150
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UNIDAD 2
63
Aritmética
Observaciones: Dos magnitudes son inversamente proporcionales, esto permite que al multiplicarlas forma una sola magnitud. •
Obreros – eficiencia, rendimiento
12 obreros de doble eficiencia 12 × 2 = 24 obreros
15 obreros con un rendimiento del 80% 15 × 80% = 12 obreros
•
Obra – dificultad
Sembrar 200 m2 de triple dureza 200 × 3 = 600 m2.
Coser 50 pantalones de doble costura 50 × 2 = 100 costuras
•
Días – horas diarias
Trabajo de 12 días a 6 horas diarias 12 × 6 = 72 horas de trabajo
Se trabaja 3 meses, 25 días cada mes y 8 horas diarias 3 × 25 × 8 = 600 horas de trabajo
Recuerda que... "Cuando te den la eficiencia de los obreros, esta se debe multiplicar por el número de obreros; cuando te den el grado de dificultad de la obra, también se multiplicará por la cantidad de obra"
Ejemplos
1. Diez peones demoran 15 días de 7 horas de trabajo en sembrar 50 m2. ¿Cuántos días de 8 horas de trabajo demorarán en sembrar 80 m2, 15 peones doblemente hábiles?
Resolución: Reemplazando los datos:
(10) . (15 . 7) (2 . 15) (x . 8) = 50 80
de donde: x = 7 días
Nota: En el tiempo se reemplazó el producto (días × horas diarias)
2. Se sabe que 44 obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 12 días para hacer una zanja de 440 m de largo, 2 m de ancho y 1,25 m de profundidad. ¿Cuánto tiempo más emplearán 24 obreros trabajando 8 horas diarias para abrir otra zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 1 m de profundidad?
Resolución: (44) . (12 . 10) (24) (x . 8) = 440 . 2 . 1,25 200 . 3 . 1
x = 15 días
pero la pregunta es cuánto tiempo más: 15 – 12 = 3 días más
64
Nota: En la obra se reemplazó el producto de (largo × ancho × profundidad); es decir el volumen de la zanja.
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Regla de tres compuesta 10 x 5 50
8
Aplica lo comprendido 1. Completar:
4. Del esquema, hallar "x".
"Cuando nos den la eficiencia de los obreros, esta se debe multiplicar por _____________; cuando nos den el grado de dificultad de la obra, también se multiplicará por _____________________"
2. Si 12 gatos cazan 12 ratones en 12 minutos; entonces, ¿en cuántos minutos un gato cazará un ratón? 3. Del esquema, hallar "x". Obreros Eficiencia Días h/d Dificultad 15
8
20
8
6
x
12
16
3
9
Hombres Obra
Días
40
2 5
15
10
1
x
5. Al resolver el siguiente esquema se obtiene: Obreros
h/d
Eficiencia
Producción
25
8
1
100%
9
8
2
x
Aprende más 1. Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos, ¿cuántos plátanos comerán 60 monos en media hora? 2. Diez campesinos se demoran 12 días de 8 horas de trabajo en sembrar un terreno rectangular de 40 m × 90 m. ¿Cuántos días de 10 horas de trabajo se demorarán en sembrar un terreno cuadrado de 60 m de lado, 12 campesinos doblemente hábiles? 3. Un automóvil emplea 4 horas en recorrer 1/3 de su camino, viajando a 60 km/h. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, ¿qué tiempo empleará en recorrer 1/4 de su camino? 4. Quince obreros trabajando 6 horas diarias durante 8 días han realizado 3/5 de una obra. Si se retiraron 3 obreros y ahora trabajan 8 horas diarias, ¿en cuántos días acabarán lo que falta de la obra? 5. Nueve máquinas empaquetadoras trabajando 10 horas diarias durante 6 días puede empaquetar 900 pedidos. Si solo 4 de estas máquinas trabajaran 2 horas diarias más durante 8 días, ¿cuántos pedidos podrían realizar? 6. Dieciséis obreros realizan los 4/9 de una obra en 6 días. Si se retiran seis obreros, ¿cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra? Central: 619-8100
7. Se pensó terminar una obra en 45 días empleando 30 obreros y laborando 8 h/d. Luego de 24 días de trabajo se pidió terminar la obra 12 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se necesitarán, si se aumentó en 2 horas la jornada de trabajo? 8. Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de altura que debe abastecer a 50 personas durante 2 meses? 9. 8 hombres hacen 8 casas en 8 días, trabajando 3 horas diarias. ¿Cuántos hombres harán el doble de casas en la mitad del tiempo anterior, trabajando 6 horas diarias; en un terreno que ofrece una doble dureza con respecto al anterior? 10. Se tienen 16 máquinas cuyo rendimiento es del 90% y produce 4 800 artículos en 6 días trabajando 10 h/d. Si se desea producir 1 200 artículos en 8 días trabajando 9 h/d, ¿cuántas máquinas cuyo rendimiento es del 60% se requieren? 11. Una cuadrilla de 60 hombres se comprometieron en hacer una obra en "n" días. Luego de hacer la mitad de la obra, 20 obreros aumentan su eficiencia en 25%, terminando la obra 3 días antes de lo previsto. Hallar "n". UNIDAD 2
65
Aritmética
12. Un grupo de 20 obreros se comprometen hacer una zanja de 12 m de largo, 9 m de ancho y 4 m de profundidad en 18 días. Si al término del octavo día se le pide que la profundidad de la zanja sea de 6 m, ¿con cuántos obreros tendrán que reforzarse para hacer lo que falta de la obra ampliada en el tiempo fijado? 13. Para realizar una obra en 60 días se contrató una cuadrilla de 48 obreros. Luego de 15 días de labor se les pidió terminar la obra 9 días antes del plazo ya establecido para lo cual se contrató "n" obreros que son 20% más eficientes que los primeros y que van a reemplazar a 12 obreros. Hallar "n".
14. Si 36 peones en 15 días de 8 h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240 m de lado, ¿en cuántos días, 24 peones trabajando 10 h/d podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior? 15. Ocho obreros pueden preparar una cancha de fulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo en 5 días trabajando 10 h/d. Si 4 de los obreros aumentaran su rendimiento en 25%, ¿en qué tiempo podrán hacer otra cancha de fulbito de 18 m de ancho y 24 m de largo trabajando 2 h/d menos cada día?
Aplicación cotidiana 16.
El grupo Gloria tiene entre sus objetivos mejorar los procesos agroindustriales en la empresa agroindustrial Casa Grande S.A. adquiriendo nueva maquinaria y modernizando la ya existente para alcanzar estándares de la más alta calidad. Así mismo, ampliar el área de siembra que actualmente se encuentra en 11 000 hectáreas y el cumplimiento de las obligaciones contraídas con terceras derivadas de administraciones anteriores, para lograr un bienestar general en las comunidades aledañas. Actualmente, Casa Grande trabajando 15 días de 8 horas diarias fabrica 42 000 bolsas de azúcar rubia empleando 6 máquinas que trabajan a un 70% de rendimiento. Si por renovación de maquinaria adquieren 5 máquinas de 90% de rendimiento que reemplazan a las anteriores, ¿cuál será su nueva producción en 10 días de 9 horas diarias de trabajo?
¡Tú puedes! 1. Si en 2 horas, dos monitos comen 2 plátanos, ¿cuántos plátanos comerán 6 gorilas en 6 horas, sabiendo que un gorila come el doble que un monito en la mitad del tiempo? a) 36
b) 12
c) 6
d) 72
e) 60
2. Si 8 obreros levantan una pared de 50 m de largo por 2.m de alto en 8 días, ¿cuántos días necesitan 12 obreros para hacer una pared de 20 m de largo por 10.m de alto, siendo la eficiencia del primer grupo a la eficiencia del segundo grupo como 3 es a 2? a) 12
b) 16
c) 15
d) 8
e) 20
3. Una cuadrilla de 42 obreros pueden terminar un trabajo en 21 días, trabajando 10 h/d. Al cabo del décimo día de labor renuncian 28 obreros y 4 días después comunican al contratista que termine la obra en el tiempo fijado anteriormente, para lo cual contrata nuevos obreros. ¿Cuántos obreros contrató? a) 32
b) 40
c) 36
d) 33
e) 44
4. Un trabajo puede ser hecho por 8 hombres en 16 días, trabajando 5 horas diarias. Cuando habían hecho la mitad del trabajo, se retiraron la mitad de los hombres. ¿Cuántos días adicionales habrá que darles para que acaben el trabajo? a) 16
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b) 4
c) 8
d) 12
e) 10 www.trilce.edu.pe
Regla de tres compuesta
5. Un hombre y dos mujeres pueden hacer una obra en 10 días. Determinar el tiempo necesario para que 2 hombres y una mujer puedan hacer un trabajo cuatro veces considerable, sabiendo que el trabajo de un hombre y el de una mujer están en la misma relación que los números 3 y 2. a) 30
b) 42
c) 28
d) 25
8
e) 35
18:10:45
Practica en casa 1. Cuarenta obreros en 12 días, pueden fabricar 600 artículos trabajando a razón de 8 horas diarias con un rendimiento del 90%. ¿Cuántos artículos podrán hacer 20 obreros en 18 días laborando 6 horas diarias con un rendimiento del 60%? 2. Carlos inventa 50 problemas de Geometría en 4 días, dedicándole 5 horas diarias. ¿Cuántos días necesita para inventar 80 problemas, si pretende trabajar en ellos 2 horas por día? 3. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 días, ¿cuántos días necesitarán 100 hombres 50% más eficientes para cavar una zanja de 1 200 m3 cuya dureza es 5 veces la anterior? 4. Una compañía posee 3 máquinas de 70% de rendimiento para producir 1600 envases cada 6 días de 8 h/d de trabajo. Si se desea producir 3600 envases en 4 días trabajando 7 h/d, ¿cuántas máquinas de 90% de rendimiento se requieren?
a los 5/4 del primero, si la dificultad del trabajo es como 8? 8. Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de altura que debe abastecer a 50 personas durante 2 meses? 9. Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tienen víveres para 180 días, si consumen 900 gramos por hombre y por día. Se recibe un refuerzo de 100 soldados, pero no recibirán víveres antes de los 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles? 10. Una cisterna suministra 400 litros de agua a cada una de las 25 familias que habitan un edificio y demora en vaciarse 150 días. Por arreglos en la tubería debe hacerse durar el agua en el reservorio 50 días más, y se alojan 5 familias más en el edificio. ¿En cuánto debe reducirse el suministro de agua a cada familia para atender esa contingencia?
5. Si 20 peones se demoran 21 días de 5 horas diarias de trabajo en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo demorarán en sembrar un terreno cuadrado de 40 m de lado y de una dureza 3 veces más que el terreno anterior con 30 peones doblemente hábiles?
11. Un contador y 3 asistentes pueden elaborar 2 balances generales en 30 días. ¿En cuánto tiempo 3 contadores y 1 asistente pueden hacer 3 balances generales? Observación: El trabajo de un contador y el de un asistente están en la misma relación que los números 4 y 3.
6. Un pozo de 6 m de diámetro y 15 m de profundidad fue hecho por 18 hombres en 25 días. Si se quiere aumentar en 1 m el radio del pozo y el trabajo sea hecho por 14 hombres, ¿cuánto tiempo demorará?
12. Un grupo de 21 obreros han hecho en 12 días de 8 h/d "L1" m de una carretera y otro grupo de 40 obreros, 20% más eficientes que los anteriores, han hecho "L2" m de la misma carretera en 7 días trabajando 10 h/d. Hallar la relación: L1/L2.
7. Catorce obreros cuya fuerza y actividad está representada por 27 hacen en 20 días de 17 horas diarias de trabajo, una obra cuya dificultad es como 7. ¿Cuántos días de 10 horas diarias de trabajo emplearán 12 obreros cuya actividad y fuerza es como 34 para hacer un trabajo igual
13. Noventa obreros pueden excavar una zanja de 96 m de largo, 4 m de ancho y 1 m de profundidad en 72 días trabajando 8 horas diarias. Después de 12 días se enferman 18 obreros y además el largo se incrementa en la mitad de su valor. ¿Cuántos obreros se necesitan contra-
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UNIDAD 2
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Aritmética
tar para terminar la obra en el plazo fijado, si además todos los obreros trabajaron 1 hora más por día? 14. Veinte obreros y 5 aprendices pueden cavar una zanja de 9 m de largo, 9 m de ancho y 9 m de profundidad en 27 días a razón de 12 horas diarias, siendo la habilidad de los obreros como 5 y la de los aprendices como 3. ¿En cuánto
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tiempo 10 obreros y 10 aprendices cavarán una zanja de 48 m de largo, 12 m de ancho y 3.m de profundidad, trabajando 9 horas diarias y esforzándose solo los 2/3 que los primeros? 15. Se necesitan 12 hombres o bien 18 mujeres para efectuar una obra en 30 días. ¿Cuántas mujeres hay que añadir a 8 hombres para hacer una obra el triple que la primera de difícil en 36 días?
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UNIDAD 3
V
¡Qué tal pendiente! emos muchas veces avisos como este y no nos percatamos de la importancia que tiene entender el tanto por ciento. • ¿Qué nos indica este letrero? • ¿Cómo interpretaríamos el 6%?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • •
Definir el tanto por ciento y realizar sus cálculos respectivos Interpretar un tanto por ciento dándole el contexto real.
Comunicación matemática • •
Expresar en forma matemática y adecuada los enunciados vinculados al tanto por ciento. Utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados con porcentaje.
Resolución de problemas • •
Resolver problemas que involucren tanto por ciento. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los descuentos y aumentos sucesivos.
1
Aritmética
Porcentaje I En este capítulo aprenderemos: •
A definir porcentaje, así como los cálculos que se pueden realizar.
•
A realizar cálculos de tanto por ciento contextualizándolos en una situación real.
•
A resolver problemas de tanto por ciento y realizar su interpretación
¡Qué símbolo tan original!
E
l tanto por ciento como regla práctica data de las primeras transacciones comerciales que se realizaron en tiempos no precisados por la historia, pero su difusión en obras de Aritmética es conocida a partir del siglo XV. Se conjetura que fue en la Italia de esos años en la que se dio origen al símbolo % como modificación de la abreviatura de ciento (cto) con el propósito de darle mayor practicidad a las operaciones mercantiles. El primero que difundió el uso de dicho símbolo fue el mercantilista francés Delaponte, quien en 1685 lo expuso en su libro "Le Guide des Negotien" (La Guía del Comerciante). Aunque hay algunas versiones que el símbolo % proviene de la alteración de 1/100, estas no tienen mayor fundamento pues la escritura de las fracciones de dicha forma ha sido posterior a la aparición del tanto por ciento. En la actualidad el tanto por ciento ha cobrado importancia formal cuando lo introducimos como cantidad asignada a la variable de una función en matemática financiera, las cuales permiten elaborar modelos para simular complicadas operaciones mercantiles.
Saberes previos •
Simplificar: 1 4 12 1. × × = 2 5 8
•
•
4. Si de 60 soles gastamos 15 soles, nos queda:
¿Cómo resolverías la siguiente ecuación? 3x 2 6 2. = . ⇒x= 100 5 10
70
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Reducir: 20 40 3. × × 200 = 100 100
5. Si a 80 soles le aumentamos 12 soles, tendremos:
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Porcentaje I
1
Conceptos básicos Definición Si una cantidad se divide en cien partes iguales, cada parte representa 1/100 del total, que se puede representar por 1 %, al que denominaremos "uno por ciento". Si tomamos 18 partes tendremos 18/100 del total o simplemente 18 %. Notación: r = r% 100
"r" por ciento =
Cálculo de porcentajes El a% de "N" = •
a ×N 100
Ejercicios: 1. El 25% de 28 =
2. El 10% de 550 =
3. El 24% de 25 =
4. El 30% de 240 =
Operaciones con porcentajes
Suma y Resta: a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N •
Ejercicios: 1. 23% A + 17% A =
2. x + 20% x =
3. 35% B – 10% B =
4. N – 15%N =
Multiplicación: a% × b% = •
a×b % 100
Ejercicios: 1. 20% × 25% =
2. 40% × 13% =
3. 30% × 90% =
4. 80% × 60% × 50% =
Aplicaciones •
Hallar el 15% de 200
•
¿Qué porcentaje de 300 es 20?
• El 20% de qué número es 60.
Variaciones porcentuales Se refieren a las variaciones o cambios en forma de porcentaje que experimentan las magnitudes. Veamos algunos ejercicios que expliquen mejor la idea. Central: 619-8100
UNIDAD 3
71
Aritmética
Ejemplos
•
Si "x" aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta "x2"?
Resolución: Si "x" aumenta 15% de su valor, entonces será: x + 15% x = 115% x
→ A "x2" le corresponde un aumento de:
(115%x)2 = 115% . 115% . x2 = 132,25%x2
→ El aumento será: 132,25 – 100 = 32,25%
•
Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su altura en 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?
Resolución:
Método práctico Área del triángulo =
base × altura 2
Anulamos el dos que divide porque es constante y no interviene en el análisis de la variación porcentual, luego:
área = base × altura
Ahora:
base = 100%, después: base = 130%
altura = 100%, después: altura = 150%
área = 100%, después: área = 1442443 130% × 150% 130 × 150 = % 100
=195%
∴ El aumento es: 195 – 100 = 95%
Síntesis teórica TANTO POR CUANTO
PORCENTAJE O TANTO POR CIENTO
Operaciones con porcentaje
Cálculo de porcentajes
a%N ± b%N = (a ± b)%N
a% de N =
a .N 100
Aplicaciones de porcentaje
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Porcentaje I 10 x 5 50
1
Aplica lo comprendido 1. Hallar el 20% del 10% de 800. 2. ¿Qué porcentaje representa la región sombreada?
3. Expresar un tanto por ciento como una fracción: •
30% = _______
•
15% = _______
4. Expresar una fracción como un tanto por ciento: 5 7 • = • = 4 2 5. Calcular:
El 30% del 40% del 20% de 12 000
Aprende más 1. a) ¿De qué número es 345 el 15% más? b) El 5 por 6 de 36 es: 2. a) ¿De qué número es 441 el 16% menos? b) El 7 por 8 del 9 por 11 de 176 es: 3. Un cofre contiene 800 monedas y se reparten entre tres personas: Ana, Betsy y Carlos. Ana recibe el 25%, Betsy recibe el 40% y Carlos recibe el resto. ¿Cuánto le tocó a Carlos? 4. Si el 40% de "A" es el 50% de "B", ¿qué tanto por ciento de "A" es "B"?
10. Una tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 m de ancho, ¿qué longitud debe comprarse, si se necesitan 36 m2 de tela después de lavado? 11. Una mezcla de alcohol contiene 27 litros de alcohol y 63 litros de agua, ¿cuál es la concentración de esta mezcla? (La concentración es el porcentaje de alcohol en la mezcla). 12. El gráfico muestra la distribución de los gastos de un hogar. Si del sector de alimentación el 25% corresponde al sector carnes, ¿cuántos grados corresponde al sector carnes? Casa
5. En cada caso, simplifique:
Otros
• El 30% del 10% de 2 000. • El 60% del 45% del 75% de 1 000 Dé como respuesta la suma de resultados. 6. Si el peso de Lucho aumenta en 25%, entonces va a ser igual al peso de Giancarlo. ¿Qué porcentaje del peso de Giancarlo es lo que aumentó Lucho? 7. En la expresión: "abc", si "a", "b" y "c" disminuyen en 20%, entonces el valor de la expresión disminuye en: 8. ¿Cuánto de agua debo añadir a 10 litros de alcohol que es 95% puro, para obtener una solución que sea 50% puro? 9. Un fabricante reduce en 10% el precio de venta de cada artículo que fabrica. Para que aumente en 8% el total de sus ingresos, ¿en cuánto tendrá que aumentar sus ventas? Central: 619-8100
40%
Alimentación
30% 10% Luz
13. En una granja el 40% son patos, el 20% gallinas y el resto, conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de conejos el cuádruple, ¿qué porcentaje del total son patos? 14. Si el precio de una tela se rebaja en un 15%, entonces compraría 6 metros más. En las actuales condiciones, ¿cuántos metros puedo comprar? 15. En un avión viajan 114 personas. El número de mujeres es el 40% del número de hombres y el número de niños es el 30% del número de mujeres. Diga cuántos niños viajan en este avión.
UNIDAD 3
73
Aritmética
¡Tú puedes! 1. A fines del año 2000, una ciudad "A" tenía 100 000 habitantes, en el año 2001 la población aumentó en 10% y se proyecta que en el año 2002 la población aumentará en 20%. De acuerdo a estos datos, ¿cuántos habitantes tendrá esta ciudad a fines del año 2002? a) 130 000
b) 132 000
c) 128 000
d) 140 000
e) 120 000
2. En una fiesta el 40% son hombres y el resto mujeres. Después ingresan 70 hombres y salen 20 mujeres, siendo el número de hombres el 60% del nuevo total. ¿Qué porcentaje del nuevo total de damas son las personas que ingresaron después? a) 58, 3 %
b) 60%
c) 80%
d) 70%
e) 64%
3. El año pasado el a% de los clientes de cierto doctor fueron hallados enfermos de gravedad. De estos b% murieron. Si el doctor tenía "c" clientes, ¿cuántos murieron? abc abc ab ab2c a 2b2c 2 a) b) c) d) e) 10 000 1 000 10 000 10 000 10 000 4. Treinta ejemplares del primer volumen del libro "Análisis Matemático" y 35 ejemplares del segundo volumen cuestan en total S/.390. Sin embargo, un descuento del 15% en los ejemplares del primer volumen y del 10% de los ejemplares del segundo, reduce el precio a un total de S/. 342. ¿Cuál es el precio inicial de dos ejemplares, uno de cada volumen? a) S/. 6 – S/. 7
b) 7 – 6
c) 6 – 6
d) 5 – 6
e) 5 – 7
5. Para hacer 1 000 tizas se necesita 25 kg de materia prima, perdiéndose un 8% en la fabricación. De una tiza se desperdicia un 20% al utilizarla. Si reunimos los desperdicios cuando se utilizan las 1 000 tizas y las empleamos como materia prima, ¿cuántas tizas podríamos hacer? a) 185
b) 182
c) 192
d) 190
e) 184 18:10:45
Practica en casa 1. Se tiene una mezcla de 40 litros de alcohol al 80%, averiguar, ¿cuántos litros de agua contiene la mezcla? 2. Se tiene 40 litros de una solución que contiene alcohol y agua, al 40% de alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para tener una nueva solución al 10%? 3. En una jaula se encuentra 80 loros y 120 gorriones. ¿Cuántos gorriones se escaparon, si el porcentaje de loros aumenta en 40%? 4. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya ha convertido 40, ¿cuántas veces más debe convertir para tener una eficiencia del 70%? 5. Al precio se una tela se le hace un descuento del 20%. Luego se le hace un descuento del
74
Colegios
TRILCE
30% pagando por la tela S/.3 360. ¿Cuál era el precio original de la tela? 6. En una oficina hay 160 personas de las cuales 1/4 son mujeres y el resto, hombres. Si se desea que el 40% del personal sean mujeres, ¿cuántas se tendrán que contratar? 7. Al preguntar un padre a su hijo, cuánto había gastado de los S/.60 que le dio, el hijo contestó: "gasté el 20% de lo que no gasté". ¿Cuánto gastó? 8. Tres descuentos sucesivos del 10%; 30% y 50% equivalen a un único descuento de: 9. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo varía en 160 m2. ¿Cuál era el área inicial? www.trilce.edu.pe
Porcentaje I
10. Al sueldo que tengo se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en el mes de julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de sueldo del año anterior, estaré recibiendo en agosto? 11. En un cajón, el 4% del total son huevos rotos. Si el 5% de la diferencia entre este total y los rotos es 36, ¿cuántos huevos hay en total, en el cajón? 12. De un conjunto de 400 personas, el 75% son hombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres fuman, ¿cuántas personas no fuman?
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13. Si a un trabajador le rebajan su sueldo en un 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar su nuevo sueldo, para obtener el sueldo original?
1
14. En una encuesta se observa que el 15% de los entrevistados no son hinchas de Alianza Lima, ¿cuántos fueron entrevistados, si en total hay 340 hinchas íntimos de corazón? 15. Si 50 litros de una mezcla contiene 15 L de vino, ¿cuántos litros de agua debemos agregar para tener una solución al 20% de vino?
UNIDAD 3
75
2
Aritmética
Porcentaje II En este capítulo aprenderemos: •
A aplicar los conceptos de tanto por ciento a las actividades comerciales.
•
A reconocer los descuentos y aumentos sucesivos que se presentan en las actividades mercantiles.
Una ocasión para aprovechar
• •
¿Por qué debemos aprovechar?
¿Cuánto es el descuento del primer departamento cuyo valor es 92 000 euros?
Saberes previos •
Hallar:
4. Si a 80 le descontamos su 20%, obtenemos:
1. 80 + 25% 80 2. 20% del 40% de 500
5. Si a 75 le aumentamos su 20%, obtenemos:
3. 4 por 5 de 35
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Porcentaje II
2
Conceptos básicos Aumentos y descuentos Aumentos sucesivos
Son aumentos que se van efectuando uno a continuación de otro considerando como el nuevo 100% a la cantidad que se va formando. Ejemplo:
Dos aumentos sucesivos del 25% y 40% equivalen a un único aumento de:
Solución:
Asumimos como cantidad inicial a 100, entonces: 100 A1 = 25% de 100 = 25 125 A2 = 40% de 125 = 50 175
\ Aumento equivalente (AE): 175 – 100 = 75% • REGLA PRÁCTICA:
Aumentos sucesivos de 40% y 20%.
A .A AE = A1 + A 2 + 1 2 % 100
40 + 20 +
40 × 20 % = 68% 100
25 × 40 = 75% 100
Es decir: AE = 25 + 40 +
Descuentos sucesivos Son descuentos que se efectúan uno a continuación de otro; considerando como el nuevo 100% a la cantidad que va quedando. Ejemplo:
En las tiendas SAGA anuncian descuentos sucesivos del 20% y 20%, en todas las conservas y vinos. ¿A qué descuento único equivalen?
Solución:
Asumimos como cantidad inicial a 100, entonces: 100 D1 = 20% de 100 = 20 80 D2 = 20% de 80 = 16 64
\ Descuento equivalente (DE): 100 – 64 = 36%
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UNIDAD 3
77
Aritmética
•
Regla práctica: DE = D1 + D 2 –
Es decir: DE = 20 + 20 –
D1 . D 2 % 100
Descuentos sucesivos de 40% y 30%. 40 + 30 –
20 × 20 = 36% 100
40 × 30 % = 58% 100
Aplicaciones comerciales del tanto por ciento
Relación costo, ganancia y venta
PC: Precio de compra o costo PV = P C + G
PV: Precio de venta G: Ganancia bruta
Un comerciante dice: Me costó S/. 30 y quiero ganar S/. 8. ¿A cómo debo vender? V = 30 + 8 = S/. 38
Observación: • La ganancia o pérdida mientras no se diga nada, será referida al precio de costo.
Relación venta, descuento y lista Carlos compra un medicamento: Precio de lista: S/. 18 Le descuentan: S/. 4 ¿Cuánto pagará? V= 18 – 4 = S/. 14
PV: Precio de venta PV = P L – D
PL: Precio de lista D: Descuento
Observación: • El descuento o aumento mientras no se diga nada, será referida al precio de lista.
Ganancia neta, bruta y gasto GB: Ganancia bruta GN = GB – GA
GN: Ganancia neta GA: Gasto
Observación: • Si deducimos los gastos que ocasiona el transporte, el embalaje, etc. la ganancia (ganancia bruta) se verá afectada, por tal motivo se obtendrá una nueva ganancia (ganancia neta).
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Porcentaje II
2
Síntesis teórica Porcentaje II
Descuentos sucesivos
Aumentos sucesivos
a% + b% a + b –
ab % 100
a% + b% a + b +
ab % 100
Aplicaciones comerciales
Costo: C V – C = Ganancia Venta: V L – V = Descuento Lista: L 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. ¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50%? 2. Un artículo se vendió ganando el 20% del precio de costo, ¿cuánto costó dicho artículo, si se vendió en S/.6 000? 3. Indicar verdadero (V) o falso (F). • Aumento único de 40% y 60% es 68% .................................................
(
)
• Aumento único de 20% y 20% es 44% .................................................
(
)
4. Indicar verdadero (V) o falso (F). • Aumento único de 30% y 60% es 99% ................................................
(
)
• Aumento único de 20% y 80% es 110% ...............................................
(
)
5. Un artículo que costo S/. 160 se vende ganando el 20% del precio de venta. ¿En cuánto se vendió?
Aprende más 1. Dos computadoras se han vendido en $ 2 970 cada una. Si en la primera se ganó el 10% y en la segunda se perdió el 10%, entonces, ¿cuánto se gana o pierde?
3. El señor López vendió dos pipas a $ 120 cada uno. Basada en el costo, su ganancia en una fue el 20% y su pérdida en la otra fue el 20%. En la venta de las dos pipas él, ¿ganó o perdió?
2. Se vende un pantalón en S/. 120, ganando el 30% del precio de costo más el 9% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo del pantalón?
4. Si el precio de una refrigeradora, luego de haberle hecho dos descuentos sucesivos del 10% y 30% es de S/.945, ¿cuál fue el precio antes de dichos descuentos?
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UNIDAD 3
79
Aritmética
5. En una tienda de abarrotes el 40% es arroz, el 30% es azúcar y el resto es fideos. Si se consume el 20% de arroz y el 70% de azúcar, ¿en qué tanto por ciento disminuyó la bodega?
11. Un comerciante que vendió un artículo en S/. 51 750 lo hizo ganando el 15% del costo más el 15% del precio de venta. Hallar el precio de costo de dicho artículo.
6. Si con "W" soles se pueden comprar 80 artículos más que con el 75% de "W", ¿cuántos artículos se pueden comprar con el 75% del 50% de la mitad del 45% de "W"?
12. Un comerciante vendió dos artículos a S/. 6 210 cada uno. Si en uno de ellos ganó el 8% de su costo y en el otro perdió el 8% de su costo, al final, ¿el comerciante ganó o perdió y cuánto fue?
7. Un comerciante disminuye el precio de sus artículos en un 20%. ¿En qué tanto por ciento deberá aumentar el volumen de sus ventas, para que su ingreso bruto aumente en un 30%? 8. Al vender un artículo, un comerciante hace un descuento del 15% al precio fijado, luego hace una rebaja adicional de S/. 25 ganando así S/. 19. Si el costo del artículo es S/. 126, ¿cuál es el precio fijado del artículo? 9. El precio de venta de un artículo se fija en S/. 42 más que su precio de costo. Al momento de venderlo se rebaja el 10%. Si se ganó el 8% del precio de costo, halle el precio de venta. 10. Una persona vendió su camioneta Pathfinder ganando el 60% del precio de venta. Si lo hubiera vendido ganando el 60% del precio de costo habría dejado de recibir $ 11 340. ¿A cuánto vendió dicha camioneta?
13. Para fijar el precio de venta de un televisor se incrementa su costo en 22%, pero al venderlo se le hace un descuento del 12% de este precio fijado. Si se ganó $ 36,8; ¿cuál fue el costo del televisor? 14. Un vendedor de autos pone a la venta un auto Nissan año 95 a un precio de $ 5 400 y por la venta ganó el 25% de su costo. Si el beneficio neto fue de $ 480, calcular los gastos que produce la venta. 15. Una tienda de artefactos compra cierto número de TV. Vende el 20% de ellos ganando el 48%, enseguida vende el 25% de lo que le quedaba perdiendo el 8% y para que la ganancia total sea del 55% vende el resto ganando S/. 188 en cada uno. ¿Cuánto le costó cada TV?
¡Tú puedes! 1. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta el precio de costo en S/. 600, pero al momento de realizar la venta se rebaja en un 20% y aún así se vende ganando el 30% del costo. ¿Cuál es el precio de costo del artículo? a) S/. 1 000
b) 920
c) 960
d) 1 080
e) 1 200
2. El precio de venta de un artículo representa un 30% más que el precio de costo. Si al venderse el artículo se hace un descuento del 10% sobre el precio de venta, ¿cuál es el porcentaje de ganancia efectiva? a) 18,18%
b) 18%
c) 20%
d) 15%
e) 12%
3. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que costó S/. 40, si se desea hacer un descuento del 20% de dicho precio y aún así obtener una ganancia del 20% del costo? a) S/. 80
b) 55
c) 45
d) 50
e) 60
4. Para fijar el precio de un artículo, se aumenta su costo en 56%. Si al momento de la venta se hace un descuento de S/.90 y se obtiene una ganancia del 20% del costo, hallar el precio de costo. a) S/. 200
80
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TRILCE
b) 250
c) 240
d) 270
e) 300 www.trilce.edu.pe
Porcentaje II
5. Si el precio de lista es el 25% más que el precio de costo, determinar cuál es el máximo tanto por ciento que se le puede descontar para que al final no se pierda. a) 15%
b) 30%
c) 25%
d) 20%
2
e) 16%
18:10:45
Practica en casa 1. Se vende un objeto en S/. 2400 ganando el 20% del costo. Hallar el costo de dicho objeto. 2. El precio de costo de un artículo es S/. 280. Si se vende ganando el 20%, ¿cuál es el precio de venta? 3. ¿Qué porcentaje de la venta se ha ganado cuando se vende en S/. 120 lo que ha costado S/. 96? 4. El precio de venta de un producto fue S/. 7 360. Si en su venta se perdió el 8% de su precio de costo, calcular su precio de costo.
10. Una persona compra 200 objetos "A" y los vendió ganando el 10%, con el importe de la venta compró 80 objetos "B", y los vendió ganando el 15% y por último con el importe de esta venta compró 828 objetos "C", al precio de 99 dólares la docena. Calcular el precio de un objeto "A". 11. Se compra un objeto que luego se vende en S/. 550, ganando el 10% del costo más el 4% del precio de venta. Hallar el costo de dicho objeto.
5. ¿Qué precio se fijó a un artículo, si haciéndole un descuento del 15% de su precio fijado se vendió en $ 1 062,5?
12. Un comerciante compra al contado un artículo con un descuento del 20% del precio de lista. ¿Qué tanto por ciento del precio fijado representa el precio de venta del comerciante, si se gana el 20% del precio de compra?
6. Yossy compró un minicomponente en S/. 630. ¿En cuánto debe aumentar este precio para que durante la venta haga una rebaja del 10% y aún así gana el 40% del costo?
13. El precio de venta de un artículo se fija en S/. 210 más que su precio de costo. Al momento de venderlo se rebaja el 10%. Si se ganó el 8% del precio de costo, hallar el precio de venta.
7. Un comerciante vende dos artefactos a $ 360 cada uno. Si en uno de ellos se gana el 20% del costo y en el otro se pierde el 10% de su costo, al final, ¿el comerciante ganó o perdió y cuánto fue?
14. El precio de un artículo es S/. 15 en una fábrica. Un comerciante adquiere 5 de tales artículos por lo que le hacen un 20% de descuento. Luego los vende obteniendo por ellos S/. 80. ¿Cuánto es su ganancia?
8. Un artículo costo S/.324 y se vendió ganando el 20% del costo más el 60% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de venta?
15. Se vende 400 relojes, una parte ganando el 25% y el resto perdiendo el 15%. Si al final no se gana ni se pierde, ¿cuántos relojes se vendieron con ganancia?
9. Se vende dos productos en S/. 4 800. En uno de ellos se gana el 10 por 50 de su costo y en el otro se pierde el 16 por 64 de su costo. Decir qué cantidad se gana o se pierde.
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UNIDAD 3
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3
Aritmética
Complemento Aprende más 1. Si 6 obreros pueden terminar una obra en 24 días y después de 8 días se les junta 2 obreros más, ¿en cuántos días menos de lo calculado se acabó la obra? 2. Si por pintar un cubo me cobran 30 soles, ¿cuánto me cobran por pintar otro cubo cuyo volumen es 8 veces el anterior? 3. Si 20 obreros construyen 28 metros de pared en cada día, ¿cuál será el avance diario, si se retiran 5 obreros? 4. Un obrero puede hacer una pared en 15 días, pero tarda 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente? 5. Un grupo de excursionistas tenía víveres para 24 días. Si cuatro de ellos no pueden realizar la excursión, entonces los víveres durarían 6 días más. ¿Cuántas personas realizarán la excursión? 6. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado un peón cobra S/. 200. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno cuadrado de 14 m de lado?
9. Si 12 máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas, ¿cuántos miles de lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas? 10. Una persona ha caminado 360 km en 16 días a razón de 5 horas diarias. ¿Cuántos días tardará para recorrer 693 km caminando 7 horas diarias? 11. Una agrupación de 1 600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de tres raciones diarias cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres, si cada hombre toma dos raciones diarias? 12. En 24 horas, 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántas horas empleará otra cuadrilla de 30 hombres doblemente hábiles para terminar la obra? 13. Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días, trabajando 5 horas diarias?
7. Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra 8 mm en una madera, ¿cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50 mm?
14. Quince obreros trabajando 8 horas diarias durante 15 días han hecho 120 metros de una obra. ¿Cuántos días demorarán 25 obreros trabajando 10 horas diarias para hacer 100 metros de una obra en un terreno de doble dificultad?
8. Un grupo de 36 náufragos llega a una isla y tiene víveres para 40 días. Si luego de 13 días, 9 náufragos fallecen, ¿cuántos días más podrán durar los víveres para los restantes?
15. Tres obreros trabajando 8 horas diarias durante 12 días han hecho 24 m de zanja. ¿Cuántos hombres se necesitarán para hacer 32 m de zanja en 4 días trabajando 6 horas diarias?
¡Tú puedes! 1. En un salón de clases el número de hombres equivale al 80% del total. Si se retira el 25% de los hombres, entonces el porcentaje del resto que son mujeres es: a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 40%
e) 10%
2. Un hombre al morir dispone que su fortuna que asciende a $ 20 000, se entregue el 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. ¿Cuánto correspondió al asilo? a) S/. 9 100
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b) 10 400
c) 2 600
d) 7 800
e) 5 200 www.trilce.edu.pe
Complemento
3. En una granja el 30% de los animales son pollos, el 45% son patos y el resto son gallinas. Si se vende la mitad de los pollos; 4/9 de los patos y los 3/5 de las gallinas, ¿qué porcentaje del nuevo total son patos? a) 50%
b) 40%
c) 30%
d) 28%
3
e) 60%
4. Dos recipientes contienen alcohol al 40% y 60% respectivamente, cuyos volúmenes están en la relación de 8 a 5. Si se agrega a cada recipiente igual número de litros de agua, resulta que tienen la misma concentración de alcohol. ¿Cuál es la concentración? a) 8%
b) 7%
c) 6, 6 %
d) 5%
e) 10%
5. La base de un triángulo aumenta en 30% y la altura correspondiente disminuye en 20%, entonces su área varía en 0,3 cm2. Hallar la suma de las medidas de la base y altura originales, sabiendo que son números enteros y diferentes de la unidad (medidas en cm). a) 9 cm
b) 12
c) 7
d) 16
e) 8
18:10:45
Practica en casa 1. Un artículo que costó S/. 150 se vendió ganando el 40% del precio de venta, ¿cuál fue el precio de venta? 2. Un objeto comprado en S/. 700 se ha vendido en S/. 490, ¿qué porcentaje del precio de compra se ha perdido? 3. Entre tú y yo tenemos 750 soles. Si tú me prestas el 30% de lo que tienes, entonces a ti te quedaría solo 280 soles, ¿cuántos soles tengo?
resto no están horneados en su punto, ¿cuántos panetones horneó adecuadamente? 9. En una fiesta, el 40% de los asistentes eran mujeres. Si se retiran el 25% de las mujeres y el 50% de los varones, ¿qué tanto por ciento representan las mujeres al final? 10. Una tela al lavarse se encoge 10% en el ancho y 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 1,5 metros de ancho, ¿qué longitud debe comprarse, si se necesitan 81 m2?
4. En una compañía trabajan 240 personas donde el 80% son varones, ¿cuántas mujeres deben contratarse para que el 50% del personal sean mujeres?
11. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 20%, resulta que el área aumenta en 176 m2. Calcule el lado inicial del cuadrado.
5. Se compra un artículo en S/. 160, ¿qué precio debe fijarse para su venta al público, para que haciendo un descuento del 20% todavía se esté ganando el 25% del costo?
12. Dos computadoras se han vendido en $ 3 960 cada una. Si en la primera se ganó el 10% y en la segunda se perdió el 10%, entonces, ¿se gana o pierde y cuánto?
6. En una industria se han fabricado 500 productos, el 60% de ellos han sido fabricados por la máquina "A" y el resto por "B". Si se sabe que el 5% y el 4% de lo fabricado por "A" y "B" respectivamente son defectuosos, ¿cuántos productos en total son defectuosos?
13. Al vender un artículo un comerciante hace un descuento del 15% al precio fijado, luego hace una rebaja adicional de S/. 28 ganando así S/. 16. Si el costo del artículo es S/. 160, ¿cuál es el precio fijado del artículo?
7. Si a un trabajador le rebajan su sueldo en un 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar su nuevo sueldo para obtener el sueldo original?
14. El precio de venta de un artículo se fija en S/. 60 más que su precio de costo. Al momento de venderlo se rebaja el 20%. Si se ganó el 10% del precio de costo, halle el precio de venta.
8. En la panadería "Don Lucho", han contratado un nuevo panadero el cuál tenía que hornear 850 panetones. Si al cumplir con su labor, el 20% de los panetones se le queman y el 30% del
15. Al vender un pantalón en S/. 240, se gana el 30% del precio de costo más el 9% del precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo del pantalón?
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UNIDAD 3
83
UNIDAD 4
•
Las tarjetas de crédito ¿Qué tienen en común estas tarjetas de crédito? •¿Cómo se involucra el interés en este caso?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • •
Definir el interés simple y realizar sus cálculos respectivos. Interpretar interés simple dándole el contexto real.
Comunicación matemática • •
Expresar en forma matemática y adecuada los enunciados vinculados al interés simple. Utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de interés simple.
Resolución de problemas • •
Resolver problemas que involucren interés simple. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los elementos del interés simple.
Regla de interés simple I
Regla de interés simple I
1
En este capítulo aprenderemos: •
A definir el interés simple así como los cálculos que se pueden realizar.
•
A realizar cálculos de interés simple contextualizándolos en una situación real.
•
A resolver problemas de interés simple y realizar su interpretación.
Una economía basada en el crédito
U
na persona con más dinero del que necesita puede esconderlo bajo el colchón o depositarlo en una cuenta de cheques. De esta manera, el dinero estará siempre disponible para gastarlo, pero no aumenta su cuantía. Si por el contrario, se permite a alguien más su uso, el prestamista experimenta la agradable sensación de verlo crecer. Por otra parte, el deudor a pesar de pagar interés por su utilización, puede satisfacer sus necesidades económicas; adquirir algún bien tangible (como por ejemplo una casa), o bien utilizarlo en una empresa financiera que no solo pagué el préstamo, sino que también permita obtener beneficios monetarios adicionales. El crédito representa en nuestros días un estilo de vida y un medio necesario en la mayor parte de los negocios por lo que resulta importante utilizarlo de manera racional. Su uso apropiado requiere conocer su costo real y la capacidad para analizar su rentabilidad.
Saberes previos •
Resolver:
1.
C.5.6 = 450 ⇒ C = 100
300 . t . 16 2. = 80 ⇒ t = 1 200 3. Completar:
1 trimestre = _______ meses
1 bimestre = _______ meses
•
Simplificar:
4.
400 × 18 × 25 = 3 600 Calcular:
1 mes = _______ días
•
1 semestre = _______ meses
5. 40% de 25 =
1 año = ________ meses Central: 619-8100
UNIDAD 4
85
Aritmética
Conceptos básicos Interés (I) Es el pago que debe realizarse por un agente económico, por utilizar fondos prestados. Remuneración que un prestatario paga a un prestamista por la utilización de su dinero. Ejemplo:
El señor Álvarez financia con el banco BCP la compra de un departamento cuyo precio es de S/. 30 000 y debe pagar S/. 400 mensuales durante 10 años. ¿A cuánto asciende el interés?
Tasa de interés (r%) Nos indica la parte del capital que se obtendría de interés y se expresa como un porcentaje por unidad de tiempo. Ejemplo:
•
Crediscotia cobra 0,99% mensual de interés
•
Banco Saga Falabella cobra 18% semestral
Si la tasa es 20% mensual, el interés será el 20% del capital cada mes
Monto (M) Es la suma obtenida añadiendo el interés al capital. Monto (M) = Capital (C) + Interés (I)
Ejemplo:
Si José Aguilar depositó $ 2 000 en el Banco Scotiabank y al cabo de 1 año obtuvo $ 120 de interés, ¿cuánto fue el monto obtenido? Si S/. 2 000 después de 2 años se convirtió en S/. 2 300. Capital = S/. 2 000 Monto = S/. 2 300 Interés = S/. 300
Interés simple El interés simple se cancela sobre el capital inicial que permanece invariable, en consecuencia el interés que se obtiene en cada intervalo unitario de tiempo es siempre el mismo. Puede afirmarse también que el interés simple es la ganancia solo del capital (cantidad de dinero prestada) a una tasa de interés, durante todo el tiempo que dure el préstamo.
86
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Regla de interés simple I
Ejemplos
1
El Sr. Medina le presta al Sr. Castro la suma de S/. 2 000 a una tasa de interés simple del 10% mensual. Si el préstamo duró 3 meses, entonces: • • •
Interés del primer mes: Interés del segundo mes: Interés del tercer mes:
10% . 2 000 = 200 10% . 2 000 = 200 10% . 2 000 = 200
Por lo tanto, el interés por los tres meses será: 200 + 200 + 200 = 600 Los elementos que además podemos identificar son: C = 2 000;
r% = 10% mensual;
t (tiempo) = 3 meses
Fórmula general I = C . r% . t
Debiendo r% y "t" estar expresados en las mismas unidades de tiempo. Ejemplo:
Se presta S/. 5 000 al 7% anual durante 5 años. ¿Cuál será el monto acumulado? •
Identificando los elementos:
C = 5 000 ; r% = 7% anual ; t = 5 años (la tasa y el tiempo tienen las mismas unidades)
•
I = C . r% . t = 5 000 .
•
M = C + I = 5 000 + 1 750 = 6 750
7 . 5 = 1 750 100
Observación: •
Equivalencia comercial de tiempo:
1 mes comercial < > 30 días
1 año comercial < > 360 días
Además: 1 año común < > 365 días
•
Tasas equivalentes:
2% mensual < > 24% anual
15% trimestral < > 5% mensual
r% semestral < > 2r% anual
•
Cuando no se especifica el periodo de la tasa de interés, se sobreentiende que es un año (tasa anual).
Central: 619-8100
UNIDAD 4
87
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Hallar las equivalencias de las siguientes tasas de interés. • 24% anual
.............. % mensual.
• 18% anual
............ % semestral.
• 2% bimestral
.................. % anual.
2. Pepito deposita S/. 2 000 en el banco a una tasa anual del 5%. ¿Cuál es el interés en 2 años?
3. Se deposita S/.5 000 en una cooperativa de ahorro a una tasa del 8%. ¿Cuánto se ganará en 5 años? 4. Carlitos prestó S/. 1 000 a Rosa con la condición de ganar el 25% del capital al cabo de un año. ¿Cuánto es el interés producido? 5. S/. 20 000 se impone al 4% semestral para 5 semestres. Hallar el interés que produce dicho capital.
Aprende más 1. A los 5 años se retira un capital de $ 48 000 con un interés de $ 12 000. ¿A qué tasa de interés se depositó dicho capital?
9. ¿Cuál es el interés generado por un capital de $ 3 400 durante 2 años y 3 meses, si la tasa anual es del 5%?
2. ¿Durante cuántos meses se debe colocar S/. 5 000 al 20% cuatrimestral para que produzca S/. 2 500 de interés?
10. Una persona deposita $ 600 000 a plazo fijo, que paga 35% de interés anual. ¿Cuánto dinero recibe trimestralmente?
3. Don Pedrito obtuvo como interés la mitad del capital impuesto al 10%. Calcular el tiempo de imposición del capital.
11. Pepito compra un carro de segunda mano con los intereses ganados después de haber depositado S/. 50 000 al 5% durante un año. ¿Cuánto costó el carro?
4. Ronald y Rosita depositan en el banco S/. 5 000 al 2% mensual y S/. 4 000 al 4% trimestral respectivamente. Al cabo de un año, ¿cuánto será la renta total?
12. Al depositar un capital al 12% anual, los intereses producidos alcanzan las 3/5 partes del capital. ¿Cuál fue el plazo de imposición?
5. ¿Qué interés produce un capital de S/. 160 000 al 6% anual durante un año y siete meses a un interés simple?
13. Milagritos depositó S/. 10 000 al inicio de enero impuesto al 8% bimestral. ¿Qué monto obtendrá al finalizar el mes de julio?
6. Se depositaron S/. 20 000 en un banco durante un año y medio a una tasa del 26% anual a interés simple. ¿Cuánto interés se obtuvo?
14. Por S/. 8 000 que se depositó en una entidad financiera al 25% anual se obtuvo S/. 4 000 de ganancia. ¿Cuánto duró la imposición del capital?
7. Susana deposita en el banco S/. 15 000 al 2% cuatrimestral durante un año y María deposita también la misma cantidad al 4% semestral. ¿Cuánto más gana María que Susana?
15. José obtuvo S/. 500 de interés después de haber depositado S/. 4 000 durante 2 años. ¿A qué tasa de interés estuvo impuesto el capital?
8. Un capital se impone al 30% semestral durante un año y medio transformándose en un monto de S/. 2 660. Calcular el capital.
88
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Regla de interés simple I
1
¡Tú puedes! 1. Los 4/9 de un capital se coloca a una tasa de interés del 12% anual, la cuarta parte del resto se coloca al 18% anual y lo que queda al 20%, obteniéndose una renta anual de 64 020 soles. ¿Cuánto fue el capital? a) S/. 270 000
b) 450 000
c) 360 000
d) 396 000
e) 400 000
2. Dos capitales son entre sí como 4 es a 5. Uno se coloca a una tasa de interés del 50% anual y el otro al 20%. ¿Después de cuánto tiempo la relación de los montos es la inversa de la relación original de sus capitales? a) 3 años
b) 4
c) 6
d) 2
e) 2,5
3. El 30% de un capital se coloca a una tasa de interés del 3% anual, el 25% al 4% y el 35% al 6%. ¿A qué porcentaje se deberá imponer el resto, para obtener en un año un monto igual al 105% del capital? a) 15%
b) 20%
c) 5%
d) 12%
e) 10%
4. Un capital se coloca a una cierta tasa de interés y en 6 meses produce un interés que es el 20% del monto producido. ¿Durante cuánto tiempo en meses debe prestarse dicho capital para que a la misma tasa produzca un interés que es igual al 60% del monto? a) 2 años
b) 30 meses
c) 3 años
d) 40 meses
e) 45 meses
5. Tres hermanos colocan sus capitales que suman S/. 101.000 a las tasa de interés del 4%, 3% y 5% respectivamente, cobrando el primero un interés de 690 soles más que el segundo y el tercero un interés anual de 560 soles más que el primero. Hallar la diferencia de capitales de los dos primeros. a) S/. 18 000
b) 4 000
c) 15 000
d) 10 000
e) 11 000
18:10:45
Practica en casa 1. Si el capital y los intereses producidos en tres años al 5% ascienden a S/.1 150, ¿cuánto fue el capital?
6. ¿Al cabo de cuántos meses un capital colocado al 5% anual, producirá un interés equivalente a 1/8 del capital?
2. ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual que se paga por un préstamo de 250 000 soles, si se han cobrado 15 000 soles de interés en dos meses?
7. Se depositó un capital de $36 000 a una tasa de 2% bimestral. ¿Cuántos trimestres estuvo depositado, si el monto retirado ascendió a $ 41 400?
3. ¿Qué tasa de interés anual se aplica a un capital de S/. 125 000 para producir un interés de S/. 50 000 en 5 años? 4. Un señor deposita en un banco S/. 5 000 y le pagan un interés de 4% anual. Si retira todo el dinero a los 45 días, ¿cuánto dinero tiene? 5. Un señor presta S/.850 y al cabo de 4 meses le devuelven en total S/.1 003. ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que cobró? Central: 619-8100
8. Si una persona coloca el 50% de su capital al 50% de interés anual y lo restante al 30% de interés anual, entonces recibe un interés que equivale al N% de su capital. El valor de "N" es igual a: 9. Un capital es S/.2 000 mayor que otro. El mayor se coloca al 0,5% trimestral y el otro al 0,75% trimestral y luego de 4 años uno de los montos obtenidos excede al otro en S/. 2 840. Calcular la suma de estos dos capitales iniciales y dar como respuestas la suma de las cifras. UNIDAD 4
89
Aritmética
10. Durante un número de meses igual al tanto por ciento al que estuvo impuesto un capital, aumentó este en su cuarta parte. ¿Cuál fue el tanto por ciento?
13. Un capital de S/. 960 se impone durante 320 días, a una tasa del "r" % mensual. ¿Cuál es la tasa mensual, si el monto generado fue de S/. 4 032?
11. Un capital estuvo impuesto a interés simple durante 2 años y 3 meses. La suma del capital e intereses que se obtuvieron estaba con el capital en la relación de 134/80. ¿A qué tanto por ciento estuvo impuesto el capital?
14. El monto que genera un capital de $ 200 al 20% mensual durante "T" años fue de $ 1 640. Calcular el tiempo "T".
12. Un capital, un número exacto de soles produce anualmente S/.439,75. El tanto por ciento es igual a la cifra de las unidades del capital. Hallar la suma de las cifras del capital.
90
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15. El monto que genera un capital de S/. 360 al 12% trimestral, durante "T" meses fue de S/. 2 088. Calcular el tiempo "T".
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Regla de interés simple II
Regla de interés simple II
2
En este capítulo aprenderemos: •
A aplicar los conceptos de interés simple y reforzar con ejercicios de alto grado de dificultad.
•
A resolver problemas de interés y montos ubicándolos en una situación real.
•
A reconocer un problema de regla de interés simple.
Cuando el interés nos ahoga
• •
¿Qué te sugiere este dibujo?
¿Conoces el interés de algún Banco?
Saberes previos •
Completa:
4. Se tiene S/. 1 500 al 10% mensual.
1. Un bimestre = _________ meses
En medio año, los intereses serán:
2. 36 meses = _________ años
•
Completa:
3. Se tiene S/. 200 al 15% anual.
5. 12% semestral = _______ % anual
En dos años el interés es: Central: 619-8100
UNIDAD 4
91
Aritmética
Conceptos básicos Monto Se sabe que: Monto (M) = Capital (C) + Interés (I) Pero: I =
C.r.t 100
Es decir que: M = C +
C.r.t 100 r.t
\ M = C 1 + 100 Ejemplos
•
¿En cuánto se convierte un capital de S/. 8 000 colocado en un banco durante 7 meses al 10% bimestral?
Resolución: C = S/. 8 000 t = 7 meses = (7/12) años
C . r . t 8 000 . 60 . (7/12) Luego: I = = 100 100
r = 10% bimestral = 10 . 6 = 60% anual
I = S/. 2 800
\ M = 8 000 + 2 800 = S/. 10 800
•
Si un capital prestado al 3% mensual durante 20 meses ha producido un interés de S/. 225, entonces dicho capital es:
Resolución: I = S/. 225 r = 3% . 12 = 36% anual t = 20 meses = (20/12) años
Usando la fórmula: C.r.t C . 36 . (20/12) I= ⇒ 225 = 100 100
∴ C = S/. 375
Síntesis teórica Interés simple
Cálculo del interés simple C.r.t I= 100
M = Capital + Interés
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Regla de interés simple II 10 x 5 50
2
Aplica lo comprendido 1. Una tasa de interés del 5% bimestral es equivalente a: • ……… % semestral • ……… % trimestral • ……… % bianual 2. Determinar las tasas equivalentes: A) 5% mensual C) 2,5% quincenal a) A y B d) A, B y C
B) 10% bimestral D) 30% semestral
b) B y D e) Todas
3. Calcular el monto producido por S/. 3 680 que se ha impuesto al 30% durante 5 años. 4. ¿Qué monto produce S/. 120 000 en 2 meses y 10 días al 16% cuatrimestral? 5. ¿En cuánto se convierte un capital de S/. 3 000 que fue impuesto al 3% bimestral durante 2 años?
c) A y C
Aprende más 1. Habiendo colocado en una cuenta de ahorros S/. 3 000 a una tasa anual de interés simple de 24%, ¿cuánto se habrá aumentado en 46 días? 2. Una persona debía S/. 1 440. Deseando retrasar dicho pago 9 meses, convino en pagar 5% de interés anual. ¿Qué cantidad deberá pagar transcurrido el plazo? 3. ¿Después de cuántos años un capital colocado al 20% de interés simple se triplica? 4. ¿Cuál es el monto producido por un capital de S/. 7 200 colocado al 4% anual durante 3 años y 4 meses? 5. ¿Qué capital colocado al 24% de interés anual ha producido S/. 210 de interés simple al término de 18 semanas? 6. Si un capital se prestara durante 4 años, el monto que se obtendría sería S/. 12 000, pero si se prestara por 5 años sería S/. 13 500. Hallar el valor de la tasa de interés. 7. Hallar el interés que produce un capital de S/. 40 000 prestado al 72% anual, desde el 20 de julio hasta el 28 de setiembre del mismo año. 8. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual aplicada para que un capital de S/. 80 000 colocado a 2 años y 6 meses haya ganado S/. 6 000? Central: 619-8100
9. Se coloca S/. 1 000 al 5% durante un cierto número de años y el capital se duplica. Si colocamos los S/. 1 000 al 5% durante un tiempo que es 8 años mayor que el anterior, ¿qué interés produciría? 10. ¿Cuánto se podrá obtener al final de 4 años, si colocamos hoy día un capital de S/. 5 000 bajo dos tasas de interés: 1% mensual durante los primeros dos años y 4% trimestral en el plazo restante? ¿Cuánto interés simple se habrá ganado? 11. Un capitalista tiene dos capitales que se diferencian en S/. 221 000, el mayor de ellos lo impone al 20% anual y el menor al 16% anual. Así al cabo de 3 años, el monto producido por el mayor es el doble de lo que produce el menor. Hallar la suma de los capitales. 12. Un capital fue depositado al 5% mensual y produce un interés de S/. 800 en 2 bimestres. ¿Qué interés producirá el mismo capital a una tasa de interés del 3% semestral en 2 cuatrimestres? 13. La tercera parte de un capital se deposita a una tasa de interés de 4,5% semestral. ¿A qué tanto por ciento anual se debe depositar el resto del capital para obtener un interés total del 11% anual de dicho capital?
UNIDAD 4
93
Aritmética
14. Dos hermanos reciben una herencia de 140 000 soles. El mayor deposita en un banco al 7% anual y el menor al 4% anual. Si al cabo de 20 años sus capitales se igualaron, ¿qué parte de la herencia le correspondió al mayor inicialmente?
15. La relación entre dos capitales es de 2 a 7 y la relación de los intereses ganados después de algún tiempo es de 8 a 21. Si el segundo capital estuvo colocado a una tasa de interés de 6% semestral, ¿a qué tanto por ciento estuvo colocado el primer capital?
¡Tú puedes! 1. Tres hermanos colocan sus capitales que suman 180 000 soles a las tasas de interés del 4%; 3% y 5% respectivamente, cobrando el primero un interés de 900 soles más que el segundo y el tercero un interés anual de 1 100 soles más que el primero. Hallar la diferencia de capitales de los dos primeros. a) S/. 11 000
b) 9 000
c) 8 000
d) 10 000
e) 12 000
2. Tres socios acumulan 4.800 dólares colocándose durante 2 años y obteniéndose un interés de 4 000; 2.400 y 1 280 dólares respectivamente. Hallar en cuánto se hubiera convertido el mayor capital en 3 años, si se hubiera colocado al 35% de tasa anual. a) $ 5 000
b) 5 125
c) 5 200
d) 5 400
e) 5 800
3. Un capital está impuesto al 20% semestral y un segundo capital al 25% semestral. El exceso de un capital sobre el otro es de 35 000 soles. Si el interés trianual que produce el primer capital es al interés cuatrianual que produce el segundo como 13 es a 10, ¿cuál es el capital mayor? a) S/. 70 000
b) 75 000
c) 85 000
d) 30 000
e) 65 000
4. Mario tiene "N" soles y los puede depositar en el banco "A" al 4% bimestral o en el banco "B" al 10% semestral, pero al elegir uno de estos bancos observa que dejo de ganar S/. 30 por cada año por no haber elegido el otro banco. Calcule el monto que obtiene en 2 años. a) S/. 1 110
b) 1 200
c) 1 050
d) 1 000
e) 750
5. Alberto deposita un capital "C" al 7% mensual durante un semestre y el monto obtenido lo deposita durante 15 meses al 5% trimestral, al cabo del cual el nuevo monto es de S/. 4 260. Calcule "C". a) S/. 4 720
b) 3 000
c) 1 260
d) 3 500
e) 2 400
18:10:45
Practica en casa 1. ¿Qué interés produce 120 000 soles en 2 meses y 10 días a una tasa de 16% cuatrimestral? 2. ¿Durante cuánto tiempo habría que colocar a un capital al 20% trimestral para que el monto sea 5 veces el capital? 3. ¿En qué tiempo se triplica un capital impuesto a interés simple del 4% mensual?
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4. Un capital impuesto al 30% anual durante 4 años produce un monto de S/. 550. ¿Cuál es el capital? 5. La diferencia de dos capitales es S/. 200. El primer capital se impone al 16% anual y el segundo se impone al 20%. Si al cabo de un año los montos son iguales, halle el mayor capital. www.trilce.edu.pe
Regla de interés simple II
6. ¿Cuál es el capital que prestado al 15% semestral durante 6 meses y 17 días, produce un monto de S/. 4400,55? 7. Se presta un dinero por un año y el monto obtenido fue de 5 500 soles. Si se hubiese prestado por 2 años, el monto hubiese sido de 6 000 soles. ¿Cuál fue la tasa de interés? 8. Un cierto capital impuesto durante un año a una tasa de interés del 3% anual produce una ganancia de 21 soles más que otro impuesto durante 9 meses al 4%. ¿Cuál es la diferencia de dichos capitales? 9. Se tiene dos capitales tales que los 3/4 del primero igualan a los 4/5 del segundo. Si se colocasen al 9% trimestral durante 4 meses los 2/3 del primero y la mitad del segundo, se obtendría 11 336 soles como interés. ¿Cuánto es el capital menor? 10. El interés que produce un capital al 6% mensual durante 1 año y medio es mayor en S/. 2 112 al que produce dicho capital al r% anual en el mismo tiempo. Calcule el interés que produce el capital mencionado al r% diario durante 2 meses. (5 < r < 10)
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11. Los montos generados por dos capitales están en la relación de 2 a 3, siendo la relación de tiempo de 1 a 3 respectivamente. Si el primero se colocó al 9% y el segundo al 0,25% mensual, ¿en qué relación se encuentra la suma y diferencia de los cuadrados de dichos capitales?
2
12. Tres años después de un préstamo se debía incluyendo intereses S/. 3 200, como aún no se podrá pagar se pidió un año más de plazo y al cabo de dicho año se pagó S/. 3 400. ¿Cuál es la tasa de interés? 13. Rosario recibe un préstamo de S/. 500 con un interés simple del 3% mensual, al cabo de 5 meses amortiza S/. 175 de su deuda y su saldo debe pagarlo al 3% mensual. Si cancela su deuda luego de 8 meses, calcule el interés total que pagó Rosario. 14. Tres capitales que están en progresión aritmética se colocan durante un año al 3% y el interés total producido es S/. 189. La diferencia entre el tercer y el primer capital es de S/. 2 400. Calcular el menor capital. 15. Los 2/5 de un capital se prestan al r1% anual y el resto al r2% anual. Si al cabo de un año producen montos iguales, hallar la relación: r2/r1 sabiendo que: r2 + r1 = 100.
UNIDAD 4
95
3
Aritmética
Repaso Aprende más 1. Una joya se vende en S/. 200, ganando el 25% del precio de costo, ¿cuál fue su costo? 2. Se vendió un objeto ganando el 10% sobre el precio de venta, ¿qué porcentaje se gana sobre el precio de compra? 3. Susana vendió una pulsera ganando el 60% del precio de venta. Si lo hubiera vendido ganando el 60% del precio de compra hubiera perdido S/. 720. ¿Cuánto costó dicha pulsera? 4. Se venden dos artículos en S/. 840 cada uno. En uno se gana el 20% de su costo y en el otro se pierde el 20% de su costo, ¿se ganó o se perdió y cuánto? 5. Hallar el interés que produce $ 40 000 en dos años y 6 meses al 48% bianual. 6. Un capital impuesto al 20% trimestral de interés simple se convirtió al cabo de ocho meses en $ 49 680. ¿Cuál fue el capital? 7. Un libro se vende recargándole el 25% del precio de costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el P%. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante? 8. En una caja hay cierta cantidad de frutas, de los cuales el 40% es naranja, el 25% del resto es manzana y el resto melocotones. ¿Qué tanto por ciento del total son los melocotones?
9. En un aula, el número de hombres equivale al 80% del total. Si se retiran el 25% de los hombres, ¿qué porcentaje del resto son mujeres? 10. Del total de estudiantes de un colegio, el 40% son varones y el 30% son gorditos. ¿Cuántas mujeres no son gorditas, sabiendo que la tercera parte de los varones no son gorditos y 240 mujeres son gorditas? 11. Un capital con sus intereses de 10 meses es $ 297 600 y el mismo capital disminuido en sus intereses de 17 meses es $ 271 680. ¿Cuál es el capital? 12. Se vende una refrigeradora y una cocina en S/. 1 820 cada una. En la primera se gana el 30% de su costo y en la otra se pierde el 30% de su costo. ¿Se ganó o se perdió y cuánto? 13. Susana gana mensualmente S/. 400. Si con el 60% de este sueldo paga la mensualidad del bachillerato, el 50% del resto lo gasta en movilidad y lo demás lo ahorra, ¿cuánto ahorra mensualmente? 14. Un capital impuesto a interés simple durante 7 meses produjo un monto de $ 41 040. Si el mismo capital se hubiera impuesto al mismo rédito por 10 meses, el monto hubiera sido $ 43 200. Determinar la tasa. 15. Hallar un capital, sabiendo que si se impone al 2% anual durante 2 años, produce un interés que es S/. 600 menos que el 5% del monto obtenido.
¡Tú puedes! 1. Un capital de S/. 960 se impone durante 320 días a una tasa del "r%" mensual, ¿cuál es la tasa mensual, si el monto generado fue de S/. 1 472? a) 20 %
b) 5 %
c) 32 %
d) 10 %
e) 2 %
2. El monto que genera un capital de S/. 2 000 al 10 % mensual durante "t" años fue de S/. 6 800. Calcular el tiempo "t". a) 6 años
96
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b) 2
c) 20
d) 4
e) 12
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Repaso
3. El monto que genera un capital de S/. 4 800 al 30% trimestral durante "t" meses fue de S/. 9 600. Calcular el tiempo "t". a) 12 meses
b) 10
c) 16
d) 14
3
e) 8
4. ¿A qué tasa anual debe estar impuesto un capital para que en dos años produzca un interés igual al 20% del monto? a) 10%
b) 20%
c) 25%
d) 12,5%
e) 12%
5. Un capital impuesto al 72% semestral durante 5 meses produce S/. 13 920 más que si se impusiera al 24% semestral durante el mismo periodo de tiempo. Determinar el capital y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 18
b) 12
c) 15
d) 24
e) 9
18:10:45
Practica en casa 1. ¿Qué capital es aquel que colocado al 5% anual durante 10 meses, produce S/. 3 300 menos que si se hubiera impuesto al 5% mensual durante el mismo tiempo?
9. Un capital se divide en tres partes iguales, las cuales se imponen al 14%, 17% y 19% anual. ¿Al cabo de cuánto tiempo producirá un interés igual al capital?
2. Se presta un capital al 21% trianual. Si se hubiese impuesto a 2 años más, a la misma tasa, el interés hubiera sido el 125% del anterior. ¿Cuál fue el tiempo de imposición?
10. La quinta parte de un capital se presta al 60% anual y el resto al 50% anual. Si al cabo de 15 meses produce un monto de S/. 79 200, hallar el capital.
3. Un capital impuesto durante 2 años produce un interés igual al 10% del monto. ¿Qué porcentaje del monto producirá en 6 años?
11. Hallar durante cuánto tiempo habría que poner un capital al 20% trimestral para que el monto obtenido sea 5 veces el capital.
4. Una persona depositó su dinero en un banco que paga interés simple y a los dos meses el monto era de S/. 2 400, cumplidos los 6 meses el monto era S/. 5 400. ¿Cuál era el capital inicialmente depositado?.
12. Juan prestó a Pedro $ 900 hace 10 meses. Hoy que se encontraron por casualidad, Pedro le pagó una cantidad de $ 1 350. ¿Cuál fue la tasa trimestral establecida para el préstamo?
5. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual, si los intereses producidos alcanzan el 60% del capital?
13. El interés que produjo un capital durante ocho meses y al 12 % anual fue de S/. 48. Calcular el capital.
6. Un capital impuesto al 3% en 9 meses produce S/. 18 más que otro impuesto por 9 meses al 3%. ¿Cuál es la diferencia de dichos capitales?
14. Un capital del 30% de S/. 8 000 se impone durante un tiempo de cuatro meses a una tasa anual del "r%". ¿Cuál es la tasa anual, si el interés producido fue de S/. 80?
7. Se prestó un capital por un año y el monto fue de $ 5 500. Si se hubiera prestado por dos años el monto sería de $ 6 000. ¿Cuál fue la tasa? 8. La diferencia de dos capitales es S/. 2 000. El primer capital se impone al 15% anual y el segundo capital se impone al 25%. Si al cabo de un año los montos son iguales, hallar el mayor capital. Central: 619-8100
15. Un capital de S/. 440 se impone durante cinco años a una tasa anual del "r%", ¿cuál es la tasa anual, si el interés producido fue de S/. 352?
UNIDAD 4
97
UNIDAD 5
http://www.taringa.net/posts/deportes/2866217/De–pie–se%C3%B1ores,–Michael–Jordan_–(Mega–Post).html
El más grande de todos los tiempos
A •
lgunos de sus logros: • Más títulos de máximo anotador (10) • Mayor promedio anotador en una carrera de la historia ( 30,1 por partido) • Mayor promedio anotador en una carrera de la historia en playoffs ( 33,4 por partido) • Mayor promedio anotador en los finales ANUs (40,1 por partido en 1993) ¿Cómo crees que habrán calculado estos promedios por partido?
AprendiZajes esperados
•
Razonamiento y demostración • •
Definir el promedio así como sus clases. Reconocer la utilización del promedio en la vida real.
Comunicación matemática •
Expresar correctamente los enunciados de promedio y de esa manera diferenciar las clases de promedio.
Utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de promedio.
Resolución de problemas • •
Resolver ejercicios que fijen claramente el concepto de promedio. Resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar las distintas clases de promedio.
Promedios
Promedios
1
En este capítulo aprenderemos: •
A definir el promedio e identificar las clases de promedio.
•
A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar el promedio aritmético y el promedio ponderado.
Homogenizando valores
L
a estatura media como resumen de una población homogénea (abajo) o heterogénea (arriba).
http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_estad%C3%ADstico
• •
¿Cómo se habrá determinado la estatura media? ¿Crees que es importante calcular la estatura media?
Saberes previos •
¿Sabes operar? 1 1 1 1. + + = 3 5 4 2.
36 × 25 × 144 =
Central: 619-8100
3.
1 1 1 – + = 5 7 3
4.
3
125 × 64 × 8 = UNIDAD 5
99
Aritmética
Conceptos básicos Promedios ¿Qué es un promedio? Se denomina "promedio" a aquella cantidad que representa a un conjunto de datos, con la condición que se encuentre comprendida entre el mínimo y el máximo de dichos datos. Sean las cantidades: a1 < a2 < a3 < ... < an
⇒
a1 < Promedio < an
Clasificación Promedio aritmético (PA) Sean las cantidades: a1; a2; a3;...; an a + a2 + a3 + ... + an PA = 1 n Ejemplo:
•
Calcular el promedio aritmético de 18; 12; 9 y 14 18 + 12 + 9 + 14 PA = = 13,25 4 Promedio ponderado: Sean las notas de un alumno en Cálculo I en su primer ciclo en la UNI. Promedio de prácticas: 09 → Peso 1 Examen Parcial: 11 → Peso 2 Examen Final: 10 → Peso 3 1 × 9 + 2 × 11 + 3 × 10 Promedio: = 10,16 1+2+3
Promedio geométrico (PG) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an PG =
n
a1 × a2 × a3 × ... × an
Ejemplo:
•
Calcular el promedio geométrico de 8; 343 y 125.
PG =
3
8 × 343 × 125 → PG = 70
Promedio armónico (PH) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an PH =
100
Colegios
TRILCE
n 1 1 1 1 + ... + + + a1 a2 a3 an
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Promedios
Ejemplo:
•
1
Calcular el promedio armónico de 2; 4 y 6 3 36 PH = → PH = 1 1 1 11 + + 2 4 6
Media: es el promedio de dos cantidades: Propiedades 1. Para cantidades diferentes se tiene que: ma > mg > mh
2. Para cantidades iguales se tiene que:
ma = mg = mh
3. Para dos números se cumple que: ma =
a+b 2
→ media aritmética
a . b → media geométrica 2ab mh = → media armónica a+b mg =
ma × mh = mg2
Síntesis teórica pROMEDIOS
Aritmético (ma)
Geométrico (mg)
Armónico (mh)
Promedio ponderado
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Hallar la media armónica de 2 y 4.
3. Si: mg = 20 y mh = 16, ¿cuánto vale su ma?
2. Juan obtuvo en el 1er trimestre 12 en matemática, en el 2do trimestre 14 y en el último 16. ¿Cuál fue su promedio?
4. Hallar la media aritmética de 100 y 4.
Central: 619-8100
5. Hallar la media geométrica de 4 y 49. UNIDAD 5
101
Aritmética
Aprende más 1. El mayor promedio de dos números es 21. Si la diferencia entre ambos números es 12, ¿cuál es el número menor? 2. Hallar dos números, sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5. 3. Se sabe que el promedio aritmético de dos números es 12 y el promedio armónico es 3. ¿Cuál es el promedio geométrico de los dos números?
9. Si a cinco números se le agregan los números 20 y 30 se observa que su promedio aritmético disminuye en 6 unidades. Hallar el promedio de esos cinco números. 10. El promedio de edad de los tres hermanos de Juan es 12 años, y el promedio de edad de los cinco hermanos de María es 10 años. ¿Cuál será el promedio de edad de todos ellos, incluidos Juan y María, si las edades de estos dos últimos sumarán dentro de 10 años, 48 años?
4. El promedio aritmético de dos números es 22,5 y su promedio geométrico es 18. Entonces, la diferencia de los números es:
11. El promedio de cincuenta números es 30. Si se retiran cinco números cuyo promedio es 48, ¿en cuánto varía el promedio?
5. Las edades de cuatro hermanos son proporcionales a 2; 3; 4 y 5. Hallar la edad del menor, si el promedio de todas las edades es 21.
12. ¿Cuál es el valor de uno de los tres números que tienen como promedio "2x", si el promedio de los otros dos es "y"?
6. Si el promedio armónico de dos números es 1 y el promedio aritmético es 25, ¿cuál es su promedio geométrico?
13. El promedio de treinta números es 50. Si agregamos diez números cuyo promedio es 20, ¿cuál es el promedio final?
7. El promedio aritmético de cinco números es 12. Si uno de ellos es 20, ¿cuál es el promedio aritmético de los otros cuatro números?
14. Seis señoras están reunidas. Si ninguna pasa de los 60 años y el promedio de las edades es de 54 años, la mínima edad que puede tener una de ellas es:
8. El promedio aritmético de cinco números es 85. Si consideramos un sexto número, el promedio aumenta en 15. ¿Cuál es el sexto número?
15. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es de 14 años. Calcular el promedio de edad del grupo.
Aplicación cotidiana 16. En un grupo de 30 personas, el promedio de las edades de los 15 mayores es 42 y el promedio de los restantes es 28.
Si el promedio de los 10 mayores es 45 y el de los 10 menores es 22, ¿cuál es la edad promedio de los 10 restantes?
¡Tú puedes! 1. La media armónica y la media geométrica de dos números son 200 y 160. ¿Cuál es la media aritmética? a) 250
102
Colegios
TRILCE
b) 240
c) 220
d) 230
e) 200 www.trilce.edu.pe
Promedios
2. La media aritmética de dos números es 10 y la media armónica de los mismos es 7,5. Hallar los números. a) 13 y 7
b) 15 y 5
c) 18 y 2
d) 14 y 6
1
e) 12 y 8
3. El promedio de cuatro números es 75. Si al aumentar un quinto número, el nuevo promedio disminuye en 10 unidades, el quinto número es: a) 20
b) 25
c) 30
d) 15
e) 35
4. Sean dos números "A" y "B". Calcular la relación que hay entre su media geométrica y su media armónica, si: A = 4B a) 1
b) 1,25
c) 2
d) 2,5
e) 3
5. La edad promedio de seis personas es 48 años. Si ninguna de ellas es mayor de 50 años, entonces la mínima edad que puede tener cualquiera de ellas es: a) 40 años
b) 38
c) 36
d) 30
e) 34
18:10:45
Practica en casa 1. Hallar la media armónica de 2 y 12. 2. Hallar la media geométrica de los números 3; 4 y 18 3. ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo de nota 14; 10 y 18 respectivamente y su promedio final fue de 15? 4. El promedio de cinco números es 105. Si se considera un sexto número, el promedio aumenta en 25. El sexto número es: 5. El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4. Hallar su promedio aritmético. 6. Halle el promedio geométrico de 4; 8; 16 y 1/32. 7. El promedio armónico de dos números es 8. Si uno de los números es 12, ¿cuál es el otro? 8. La media aritmética de tres números es 6 y la media aritmética de otros dos números es 16.
Central: 619-8100
Hallar la media aritmética de los cinco números. 9. La media aritmética de dos números es 6 y su media geométrica es 4 2 . Hallar el mayor de los números. 10. Calcular el promedio aritmético de: 12; 14; 16; …; 50 11. Halle "n", si el promedio geométrico de: 21; 22; 23; 24; …; 2n es 64. 12. El promedio aritmético de 15; 40; "n" y 15 es 20, hallar "n" 13. En una clase de 30 alumnos, el promedio de las estaturas de los hombres es 1,70 m y el promedio de las mujeres, 1,60 m. Si el promedio total es 1,63 m, averiguar el número de hombres. 14. Hallar la media armónica de 1; 2; 3 y 6 15. Hallar "x", si el promedio geométrico de los números 2x; 4x y 8x es 64
UNIDAD 5
103
UNIDAD 6
Las mezclas de productos de diferente calidad es frecuente en el comercio, quizá las más recurrentes las de diversos tipos de café, como las de variedades de arroz y vinos de diferente tipo.
La ilustración del puesto de abarrotes en un mercado local, corresponde a http://blogs.elcomercio.pe/vidayfuturo/2010/06/
P
Un precio justo roductos como el café, el arroz, el vino y otros no se presentan para su consumo, en forma "pura", sino que se hace una mezcla de diferentes variedades, el motivo es lograr precios manejables para el gran público. • ¿Cómo se habrá calculado el precio medio de alguno de estos productos?
AprendiZajes esperados Razonamiento y demostración • •
Definir el "precio de mezcla" de varios ingredientes. Interpretar el "precio de mezcla" en un contexto real.
Comunicación matemática •
Verbalizar adecuadamente los símbolos utilizados para calcular el "precio de mezcla".
Resolución de problemas • •
Operar correctamente al calcular el "precio de mezcla". Resolver problemas de contexto real y matemático que expliquen la importancia del "precio de mezcla".
Mezcla
Mezcla
1
En este capítulo aprenderemos: •
A definir el precio de la mezcla o precio medio de varios ingredientes; así como el proceso inverso.
•
A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar el precio de la mezcla y su proceso inverso.
Los Jonas Brothers
http://jonasbrothers2.com/los–jonas–brothers–se–pelean–con–harina/
• •
¿Qué están haciendo estos muchachos? ¿Crees que esto haremos en este capítulo?
Saberes previos •
¿Sabes operar?
1. 6 × 2,5 + 24 ÷ 8 + 3,2 ÷ 1,6 2. 8 × 1,25 + 4,5 × 6 + 12 ÷ 0,2 3. 3,45 × 8 + 5,5 × 4 – 2,4 × 4 Central: 619-8100
UNIDAD 6
105
Aritmética
Conceptos básicos Conceptualmente hablando se llama "Mezcla" a la unión de varias sustancias, aunque comercialmente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tiene por finalidad reunir artículos o sustancias de una misma especie, tratando de obtener de varios precios diferentes, uno en común para ellos. Comúnmente se presentan dos casos conocidos de la regla de mezcla:
Primer caso (Precio medio: Pm)
Consiste en determinar el precio de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes. Ejemplo:
•
¿Cuál es el precio de la mezcla que resulta de combinar 36 kg de té a 15 soles el kg, con 22 kg de té a 12 soles el kg y con 42 kg de té a 30 soles el kg?
Resolución: Cantidad (kg) Precio Unit. (S/.) Costo Parcial (S/.) 36 22 42
15 12 30
540 264 1 260
100 Si 100 kg cuestan 2 064 soles ⇒ 1 kg costará:
2064 = S/. 20,64 100
Cantidades: C1; C2; ...; Cn
En general:
Precios unitarios: P1; P2; ...; Pn Pm =
2 064
C1 × P1 + C2 × P2 + ... + Cn × Pn C1 + C2 + ... + Cn
Es decir: Pm =
Costo total Cantidad total
Segundo caso (Método del aspa)
Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio medio, los precios unitarios y la cantidad total. Ejemplo:
•
Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otro de 27 soles el litro, resultando en total 128 litros a 32 soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno?
Resolución: Cantidad
Precio unitario
a
43
b
27
Relación
↓
32 – 27 =
5
43 – 32 =
11
32 Se cumple:
a = 5k y b = 11k
Entonces:
16k = 128 → k = 8
Finalmente: a = 40 L y b = 88 L
106
Colegios
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Mezcla
Mezclas alcohólicas
1
La pureza o fuerza de un alcohol se mide en grados, que equivale al porcentaje de alcohol presente en la mezcla, siendo el resto agua. Por ejemplo: i. Un alcohol de 90°, significa que el 90% es alcohol y el resto es agua. ii. Una mezcla alcohólica de 75°, significa que el 75% es alcohol y el resto agua. iii. Una mezcla de alcohol puro, tendrá 100°. Si tenemos diferentes volúmenes de alcohol (V1; V2; V3; ...) con diferentes grados de pureza (G1; G2; G3; ...) el grado de pureza de la mezcla se determinará de la siguiente manera: Gm =
V1 . G1 + V2 . G2 + V3 . G3 + ... + Vn . Gn V1 + V2 + V3 + ... + Vn
Ejemplo:
•
Si se mezclaron 18 litros de alcohol de 70°, con 24 litros de alcohol de 80° y 8 litros de alcohol de 90°, ¿cuál es el grado de la mezcla?
Resolución:
Tenemos: V1 = 18; G1 = 70°; V2 = 24; G2 = 80°; V3 = 8; G3 = 90°
V . G 1 + V2 . G 2 + V3 . G 3 18(70) + 24(80) + 8(90) ⇒ Gm = ⇒ Gm = 78° Gm = 1 V1 + V 2 + V 3 18 + 24 + 8
Síntesis teórica Regla de mezcla Directo
Inverso Mezclas alcohólicas
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Si se mezclan 20 kg de arroz de S/. 3 el kg, con 30 kg de arroz de S/. 3,50 el kg, ¿cuál será el precio de 1 kg de esta mezcla?
4. Si se tiene 14 litros de vino de S/. 8 el litro y se le añade 6 litros de agua, ¿a cómo sale el litro de la mezcla?
2. Si se mezclan 25 litros de alcohol de 80°, con 15 litros de alcohol de 72° y 10 litros de alcohol de 90° se obtendrá una mezcla de................... grados.
5. ¿Qué cantidad necesito de harina de S/. 10 el kg y S/. 15 el kg, para obtener harina que pueda venderla a S/. 13 sin ganar ni perder, si la mezcla tiene 10 kg?
3. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino de S/. 8,40, con 8 litros de S/. 9 y con 12 litros de S/. 12? Central: 619-8100
UNIDAD 6
107
Aritmética
Aprende más 1. ¿A cómo debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 40 litros de S/. 2,50 el litro con 30 litros de S/. 3,00 el litro y 30 litros de S/. 4,00 el litro? 2. Si mezclamos 150 kg de arroz de S/. 4,00 el kilogramo con 250 kg de arroz de S/. 3,60 el kilogramo y 100 kg de arroz de S/. 4,50 el kilogramo, ¿cuál es el precio de un kilogramo de esta mezcla? 3. En un tonel se mezclaron 15 litros de alcohol de 80°; 20 litros de alcohol de 90° y 25 litros de alcohol de 72°. ¿Cuál es el grado de pureza de la mezcla? 4. En un tonel de 100 litros de capacidad se echan 40 litros de vino de $ 6; 50 litros de $ 8 y se completa con agua. ¿A cómo sale el litro de la mezcla? 5. Se mezcla 48 litros de vino de 60 soles el litro con 36 litros de vino de 50 soles el litro y para que la mezcla resulte a 40 soles el litro, se agregó una cierta cantidad de agua. ¿Cuál es esa cantidad? 6. Una cierta cantidad de azúcar que cuesta S/. 120 el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar de S/. 180 el kilo. Si el precio medio de la mezcla es S/. 142,5; hallar dicha cantidad. 7. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino de S/. 8,40 con 8 litros de S/. 9 y con 12 litros de S/. 12? 8. Un comerciante tiene 12 litros de vino que cuesta S/. 5 el litro. Si se agrega cierta cantidad de agua se obtiene un precio medio de S/. 4 el litro. Calcular la cantidad de agua que se agregó.
9. Con dos clases de café de S/. 11 y S/. 12 el kg se quiere hacer una mezcla que resulte a S/. 11,70 el kg de manera que haya de la segunda clase 12 kg más que de la primera. ¿Qué cantidad debe entrar de cada clase? 10. Si 20 litros de agua contiene 15% de sal, ¿cuánto de agua se debe evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? 11. Se tiene 40 litros de alcohol de 90°. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para reducir a 72° la pureza de la mezcla? 12. ¿Cuál debe ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol de 96°, para obtener 100 litros de alcohol de 90°? 13. Se mezcla tres tipos de vinos de S/. 8, S/. 5 y S/. 4 el litro. La cantidad de vino del primero es a la del segundo como 3 es a 5 y se tiene 20 litros del más barato. Si el precio promedio por litro de la mezcla es S/. 5,70; ¿cuántos litros del primero y segundo se necesitaron? 14. En un recipiente de 80 litros de capacidad, se vierten 40 litros de vino de S/.6 el litro, 10 litros de vino de otra calidad de S/.5 el litro y se completa el recipiente con agua. Si se vende toda la mezcla con una utilidad del 30%, ¿cuál será el ingreso obtenido? 15. Se quiere preparar 30 kg de café de S/. 12 el kilogramo para lo cual se dispone de cantidades suficientes de café de S/. 9 el kilogramo y S/. 14 el kilogramo. ¿Qué cantidad se debe emplear de cada uno?
Aplicación cotidiana 16. Javier compra fresas de dos calidades: una de S/. 2 el kilo y otra de S/. 5 el kilo. Si compra 10 kilos más de la primera que de la segunda clase y el precio promedio por kilo de fresas que compra es S/. 3, ¿cuántos kilos de fresas compra en total?
108
Colegios
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Mezcla
1
¡Tú puedes! 1. De un recipiente lleno de agua, retiro el 40% de lo que no retiro y de lo que he retirado devuelvo el 40% de lo que no devuelvo, quedando entonces 78 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros no devolví? a) 10
b) 9
c) 8
d) 20
e) 15
2. Enrique tiene una mezcla de 4 litros de vino y agua. Si se extraen "x" litros y se sabe que la concentración de vino en la mezcla es a%, ¿cuántos litros de vino quedan? a a+x a a x a) (x – 4) d) (4 – x) e) (4 –a) b) c) (4 + x) 100 100 100 100 100 3. Irene tiene 100 litros de alcohol con una concentración de q%. ¿Cuál es la nueva concentración de la mezcla, si se agregan "q" litros de alcohol al n%? 100 + nq qn(100 + n) q(100 – n) n(100 + n) q(100 + n) % b) % c) % d) % e) % a) 100 + q 100 + q 100 + q 100 + q 100 + q 4. Roxana tiene "z" litros de una mezcla de alcohol y agua en la que hay "a" litros de agua. Si se extraen "b" litros de la mezcla, ¿qué cantidad de agua quedó? (z – a)(z – b) a(z – b) b(z – a) a(z – b) a(z – a) b) c) d) e) a) z z z b z 5. Se tiene dos tipos de vino. En la primera, la relación de vino puro y agua es de 2 a 3 y en la segunda, la relación es de 1 a 4. Si se desea obtener 60 litros de una mezcla de los dos, de tal manera que la relación sea de 7 a 13, ¿cuántos litros se debe tomar del primero? a) 30
b) 40
c) 35
d) 50
e) 45
18:10:45
Practica en casa 1. Pepe mezcla 25 litros de alcohol al 40% con 15 litros de alcohol al 80%. ¿Cuál es la concentración de la mezcla resultante?
6. ¿Cuántos litros de agua debe añadirse a 10 litros de alcohol que es 95% puro, para obtener una solución que sea 50% puro?
2. En un recipiente se mezclan 20 L de alcohol puro y 60 L de agua. Determine la concentración o pureza alcohólica de la mezcla.
7. Se tiene una mezcla alcohólica de 240 litros donde el volumen de agua representa el 60% del volumen de alcohol puro. ¿Cuántos litros de alcohol se le debe echar a la mezcla alcohólica, para obtener una mezcla de 80°?
3. Se mezclan 15 L de alcohol de 80° con 45 L de alcohol de 60°. ¿Cuántos grados tendrá la mezcla? 4. ¿Cuál es el grado de la mezcla alcohólica que resulta de la combinación de alcohol de 80°, alcohol puro y agua con volúmenes de 20 L; 40 L y 40 L respectivamente? 5. Se tiene 25 litros de alcohol al 80%. ¿Cuántos litros de agua se debe agregar para rebajarlo al 60%? Central: 619-8100
8. Se quiere obtener 100 L de alcohol de 74%, mezclando 30 litros de alcohol al 80%, con cantidades de alcohol puro y agua. ¿Qué cantidad de agua se usa? 9. En un costal se colocan 20 kg de arroz tipo "A" de S/. 3 el kg con 30 kg de arroz tipo "B" de S/. 2 el kg. ¿Cuánto costarán 25 kg de dicha mezcla? 10. Se han mezclado dos tipos de aceites cuyos precios son S/. 5 y S/. 8 el litro, resultando un UNIDAD 6
109
Aritmética
precio medio de S/. 5,9. Hallar la proporción en que se encuentran los dos tipos de aceite. 11. Halle el grado de una mezcla de: • •
9 L de alcohol puro con 66 L de agua. 8 L de alcohol puro con 32 L de agua.
12. A 80 L de una mezcla alcohólica al 60% se le agrega una cierta cantidad de agua pura, para reducir su pureza a sus dos terceras partes. Hallar la cantidad de agua añadida.
110
Colegios
TRILCE
13. Se mezcla alcohol de 54°, alcohol de 90° y agua en la proporción de 6; 6 y "n". Hallar "n", si la mezcla es del mismo grado de uno de los ingredientes. 14. La mezcla de "x" litros de alcohol de 60°, con "2x" litros de alcohol de 45° y 360 litros de agua, da una mezcla alcohólica de 40°. Hallar "x". 15. La cantidad de onzas de agua que se necesita para rebajar al 30% el contenido de alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9 onzas que contiene el 50% de alcohol es:
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UNIDAD 7 http://www.esacademic.com/pictures/eswiki/67/Chip.jpg
smartlifemagazine.net/tag/uncategorized/page/4/ www.wix.com/.../diseno-de-sistemas-logicos/site
E
Los circuitos digitales s increíble que en estos circuitos se utilice la lógica proposicional • ¿Qué tipos de códigos se manejarán en este sistema tan complejo de los circuitos digitales?
AprendiZajes esperados
Razonamiento y demostración • •
Definir una proposición lógica. Interpretar las proposiciones utilizando los conectores lógicos.
Comunicación matemática •
Expresar y leer adecuadamente los enunciados o proposiciones lógicas.
•
Leer correctamente los cuantificadores (universal y existencial).
Resolución de problemas • •
Evaluar convenientemente las operaciones que se efectúen con las tablas de valores. Resolver situaciones problemáticas utilizando los cuantificadores y los conectores lógicos.
1
Aritmética
Lógica proposicional En este capítulo aprenderemos: •
A definir la proposición lógica y sus conectores.
•
A utilizar el lenguaje formal de los conectores para llegar a conclusiones.
La mente humana
http://deltasoft.com.ve/logica.html
• •
112
Colegios
¿Qué observas en el gráfico?
¿Tendrá alguna importancia los unos y los ceros en el funcionamiento de los circuitos?
TRILCE
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Lógica proposicional
1
Conceptos básicos Lógica proposicional Estudia las proposiciones lógicas, sus valores de verdad (V o F) así como la aplicación de sus conectores y cuantificadores.
Proposición lógica Es un enunciado que contiene información que puede ser Verdadera (V) o Falsa (F). Si un enunciado puede definir su valor de verdad, es un enunciado cerrado, por lo tanto es una proposición lógica. Se considera enunciado abierto cuando no puede definir su valor de verdad. Las oraciones exclamativas e interrogativas no se consideran como proposiciones lógicas. Ejemplos:
p: 5 + 4 = 8 ......................... (F) q: Todo hombre es mortal ...... (V)
Proposición lógica
r: Juan es abogado r ≡ V ó r ≡ F s: x + 3 < 5 Si: x = 1 ⇒ s ≡ V Si: x = 2 ⇒ s ≡ F
Enunciado abierto
No son proposiciones lógicas
t: ¿Cómo estás? u: ¡Auxilio!
Clases de proposiciones a) Simple: sin conectores lógicos b) Compuestos: con conectores lógicos
Conectores lógicos Negación: (~) es la contradicción de una proposición lógica
•
p: Juan es abogado
∼ p: no es cierto que Juan sea abogado
•
q: Todos los varones son fieles
∼q: Algunos varones son fieles
•
r: x + 3 = 5
∼ r: x + 3 ≠ 5
•
∼ p: no p ∼ (∼ p) ≡ p ∼ (V) ≡ F ∼ (F) ≡ V
t: x + 3 ≥ 0
∼t: x + 3 < 0
Conjunción: (∧)
p
q
Si: p: Carlos es artista
V V F F
V F V F
p
q
V V F F
V F V F
q: Carlos es profesor
p ∧ q: Carlos es artista y profesor Disyunción inclusiva (∨) p ∨ q: Carlos es artista o profesor
Central: 619-8100
p∧q V F F F p∨q V V V F UNIDAD 7
113
Aritmética
Disyunción exclusiva (D)
p
q
V V F F
V F V F
p
q
V V F F
V F V F
Bicondicional (↔)
p
q
p ↔ q: Carlos es artista si y solo si sea profesor
V V F F
V F V F
p D q: O Carlos es artista o profesor
Condicional: (→) p → q: Si Carlos es artista entonces es profesor
p∆q F V V F p→q V F V V p↔q V F F V
Tautología, contradicción y contingencia
Tautología
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadera (V), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por "V". Ejemplo:
La proposición: "p → (p ∨ q)" es una tautología, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. p
q
p
→ (p ∨ q)
V V F F
V F V F
V V F F
V V V V
V V V F
Entonces "p → (p ∨ q)" = V
Contradicción
Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso (F), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por "F". Ejemplo:
114
Colegios
La proposición: "(p ∧ q) ∧ ~q" es una contradicción, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. (p ∧ q) ∧ ∼q
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
Entonces "(p ∧ q) ∧ ∼q" = F
TRILCE
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Lógica proposicional
Contingencia
Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un valor verdadero (V) y un falso (F).
1
Ejemplo:
La proposición: "(p ∨ q) → ~p" es una contingencia, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. p
q
V V F F
V F V F
(p ∨ q) → ∼ p V F F V F F V V V F V V
Síntesis teórica Lógica proposicional Conectores lógicos • • • •
Negación Disyunción inclusiva Conjunción Condicional Tautología Contradicción Contingencia
10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una proposición lógica? a) b) c) d) e)
El oxígeno es diatómico Paraguay limita con Bolivia El país más poblado es la China ¿Cómo estás? Solano es el capitán de la selección de fútbol
2. De los siguientes enunciados: I. II. III. IV. V. VI.
2 es un número impar Perú es un país latino La ballena es un animal acuático 3+2=6 x + y = 11 ¿Mario está presente?
3. Hallar el valor de verdad de: I. ∼ p ∧ F II. ∼ q ∨ V 4. Hallar el valor de verdad de: I. p ∨ ∼ p II. p ↔ ∼ p 5. Hallar el valor de verdad de: I. ∼ p → V II. F → ∼ q
¿Cuántas son proposiciones lógicas? Central: 619-8100
UNIDAD 7
115
Aritmética
Aprende más 1. Dadas las proposiciones:
p: Juan sube al ómnibus q: José sube al ómnibus r: Pedro compra una galleta
I. Si Juan es administrador y Luis no es abogado, entonces Carlos no es biólogo. II. Luis es abogado, pero Juan no es administrador.
Simbolizar los siguientes enunciados: a) Juan no sube al ómnibus y Pedro compra una galleta b) José sube al ómnibus o Pedro no compra una galleta c) Si Juan sube al ómnibus, entonces Pedro se compra una galleta 2. Indicar los valores de verdad de cada proposición: I. II. III. IV.
(4 – 1 = 3) → (2 + 7 > 10) (9 + 4 < 12) ∨ (5 – 3 = 2) (4 + 10 > 12) ∧ (9 < 15 – 6) (8 + 4 = 12) ↔ (6 + 4 > 8)
a) b) c) d) e)
4. Si los valores veritativos de "p", "q" y "r" son V, V y F respectivamente, hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p ∧ ~q b) q ∧ (p → ~r) c) (r ∨ p) → (~p ∨ ~r) 5. Si los valores veritativos de "m", "t" y "s" son V; F y V respectivamente, hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) m ∨ q c) (m ∨ n) ∧ (t ∧ q)
b) t ∧ (~s ∨ p) d) (p → t) → s
p: Luis es abogado q: Carlos es biólogo r: Juan es administrador
116
Colegios
TRILCE
II. p ∧ r II. p ∧ ~r II. p → ∼r II. p ∧ r II. p ∨ ~r
9. Si la proposición compuesta: (p ∧ q) → (~s ∨ t)
es falsa, sin hacer la tabla de verdad, hallar el valor de verdad de las proposiciones "p", "q", "s" y "t" respectivamente.
10. Si la proposición compuesta: (p ∧ q) → (q ∧ ∼r) es falsa, hallar el valor de verdad de: • •
(p ↔ ~q) ∨ (~r ∧ q) ~(p ∨ ~r) ↔ (~q ∨ ~p)
11. Si la proposición: p → (q ∨ r) es falsa, entonces se puede afirmar que: I. "p" es necesariamente verdadero II. "q" es siempre verdadera III. "r" puede ser verdadero 12. Si la proposición: (p ∧ ~q) → (p → r) es falsa, ¿cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. (p ∨ q) es falso II. (r → q) es verdadero III. (~q ∧ p) es verdadero 13. Sabemos que: (p ∧ ~t) → (q ∨ r) es falsa. Hallar el valor de verdad de cada proposición. I. (p ↔ t) ∧ ~r II. (~r ∨ p) → (~t ∧ r)
Indicar sus valores de verdad respectivamente. 7. Dadas las siguientes premisas:
(r ∧ ~p) → q (r ∧ ~p) → ~q r ∧(~p → q) (r ∧ ~p) → ∼q (r ∧ ~p) → ~q
(p ∨ ~q) → (p ∧ q) es una:
6. De las siguientes proposiciones compuestas: I. Si: 5 + 3 = 7 entonces 8 < 7 II. 9 es mayor que 5 y 4 es menor que 3 III. Si 25 = 5 entonces – 42 = 16 IV. 3 > 4 si solo si 13 + 6 < 5 + 6
I. I. I. I. I.
8. La siguiente proposición compuesta:
3. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) p → ~q b) ∼ p ∨ (p → q) c) (p ∨ ∼q) ∧ (~p ∨ ~q)
¿Cuál es la expresión simbólica de los siguientes enunciados?
14. Si la proposición compuesta: (∼p ∧ r) → (r ∧ ∼ q)
es falsa, hallar el valor de verdad de las proposiciones "r"; "q" y "p" respectivamente. www.trilce.edu.pe
Lógica proposicional
1
¡Tú puedes! 1. Si {∼[(p ↔ ∼ s) ∧ ∼ (r * s)] ∨ (p → r) } es falsa, entonces "r * s" puede ser: I. r ∧ s
II. r ∨ s.
III. r → s
IV. r ∆ s
a) I y II
b) III y IV
c) II y IV
d) I; II y IV
e) I; III y IV
2. Si la proposición: (p ∧ ∼ q) → (p → r) es falsa, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. (p ∨ q) no es verdadera. a) I y II
b) I y III
II. (r → q) no es falsa.
III. (p ∧ ∼ q) es verdadera
c) II y III
d) Todas
e) Solo una de ellas
3. Para determinar el valor de verdad de: (p ∆ ∼ q) ∨ (q → ∼ r) es suficiente saber que: a) "p" es verdadera. d) "r" es verdadera.
b) "q" es falsa. e) Ninguna de las anteriores.
c) "p" es falsa y "q" es verdadera.
4. Hallar la expresión equivalente del circuito mostrado: p p q r a) p ∧ q
b) p ∨ q
c) p ∧ r
e) p ∨ (r ∧ q)
d) p v r
5. "Todos los pintores son artistas y ningún artista es deportista". Se concluye: a) Algunos pintores son deportistas c) Ningún pintor es deportista d) Algún deportista es pintor
b) Todo deportista es pintor e) Algún pintor no es deportista
18:10:45
Practica en casa •
Según la definición, ¿cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones lógicas?
1. 3 + 7 = 10 2. La suma de dos números naturales es un número natural. 3. ¿Estás contenta? •
Dadas las siguientes proposiciones, diga si cada una de ellas es simple o compuesta. 4. Si el cielo está nublado entonces el avión despegará del aeropuerto.
7. O Carlos es matemático y profesor universitario o es empresario y dueño de una editorial. 8. No es el caso que si amanece la temperatura baje. 9. Dadas las proposiciones: p: Marco es comerciante q: Marco es un próspero industrial r: Marco es ingeniero Simbolizar el enunciado:
"Si Marco es un comerciante y un próspero industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante".
5. En el imperio de los incas la llama era usada como animal de carga.
10. Sabiendo que: (∼p ∨ q) es falsa, hallar "p" y "q"
6. Un número es positivo si y solo si es mayor que cero.
11. Sabiendo que: (∼p → ∼q) es falsa, hallar "p" y "q"
Central: 619-8100
UNIDAD 7
117
Aritmética
12. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. p ∨ V
II. q ∧ F
III. F → p
14. Si la siguiente proposición: (p ∧ q) → (q → r)
13. Se da la siguiente proposición lógica:
I. (p ∨ q) es falsa
[(p ∧ q) → r]
Averiguar el valor de verdad de dicha proposición en cada uno de los siguientes casos: Caso p q
r
1
V V F
2
F V V
Los valores de verdad en ese orden son:
118
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Es falsa, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? II. (r → q) es verdadera
15. Si la proposición: ~(p ∨ ~q) es verdadera
Hallar el valor de verdad de: I. q → p II. ~p ∧ q
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Cuantificadores
Cuantificadores
2
En este capítulo aprenderemos: •
A utilizar el lenguaje formal de los conectores para llegar a ciertas conclusiones.
•
A resolver problemas de cuantificadores utilizando los conjuntos.
Demuestra que:
http://matematicaentretenida.espacioblog.com/post/2007/07/20/una–demostracion–terminos–pikachu–
Muchas demostraciones se pueden realizar utilizando la matemática formal, es decir lo que vamos a aprender en este capítulo.
Conceptos básicos Se tiene un enunciado abierto llamado "función proposicional" que es una proposición lógica que está en función de una variable p(x). Si p(x): x + 3 ≤ 5
Si: x ∈ A
A = {2; 3; 4; 5}
Si x = 2; p(x) = V Si x = 4; p(x) = F Entonces se observa que no se puede definir su valor de verdad; para solucionar este problema se le antepone a la función proposicional un cuantificador: a) Existencial: (∃) que significa: Por lo menos un valor de "x" Cumplen con p(x) Algunos valores de "x" No todos los valores de "x"
Del ejemplo anterior:
∃ x ∈ A / x + 3 ≤ 5 ....... (V) 123 Algunos valores de "x" Central: 619-8100
b) Universal: (∀) que significa: Para todo "x" Todos los valores de "x"
Cumplen con p(x)
Del ejemplo anterior:
∀ x ∈ A / x + 3 ≤ 5 ....... (F)
UNIDAD 7
119
Aritmética 10 x 5 50
Aplica lo comprendido 1. Dada la función proposicional: p(x): 2x4 + x < 0 hallar los valores de verdad para: x = 1; x = 0; x = −2 •
Dado el conjunto: M = {2; 1; −1} hallar el valor de verdad de cada proposición.
3. ∃ x ∈ M / x < 0 4. ∀ x ∈ M : x (x + 1) < 0 5.
Dada la función proposicional p(x): "x" es un cuadrado perfecto. Hallar los valores de verdad para: x = 16; x = 25 y x = 5
2. ∀ x ∈ M : x2 > 0
Aprende más 1. Dadas las proposiciones lógicas: p: ∃ x ∈ q: ∃ x ∈ r: ∀ x ∈
/ x2 ≤ 0 / xx = 1 1 / =1 x
Hallar el valor de verdad de:
(~p ↔ r) ∧ (~q ∨ ~r) 2. Hallar la negación de la proposición:
∀x∈ :
•
Si: A = {1; 2; 3; 4}, hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
x3
+
x2
+x=0
3. ∀ x ∈ A; x > 2 ∨ x < 5 4. ∃ x ∈ A; x < 4 ∧ x > 1 5. La negación de la expresión: Para todo número natural "x", existe un número natural "y" tal que x2 + y2 = 0, es: •
Si: B = {1; 0; 2; 5}, el valor de verdad de las siguientes proposiciones es: p: ∀ x ∈ B; ∃ y ∈ B / x . y = 0 q: ∃ x ∈ B; ∃ y ∈ B / x + y = 3 r: ∀ x ∈ B; ∀ y ∈ B / x2 + y2 < 27 Luego evaluar las expresiones:
6. (~p ∨ r) ↔ (~q ∧ p) 7. ~ (p ∆ r) ∨ (q ∨ ~p)
120
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8. Si: A = {2; 5; 8}, ¿cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? I. ∃ x ∈ A; ∃ y ∈ A / x + y = 0 II. ∀ x ∈ A; ∃ y ∈ A / x . y < 0 III. ∀ x ∈ A; ∀ y ∈ A / x2 + y2 = 70 9. La negación de: "Algunos no quieren a sus padres" es: 10. Negar las siguientes proposiciones para el conjunto : I. II. III. IV.
∀x∈ ∃x∈ ∃x∈ ∀x∈
:x+1>x / x2 + 1 = 0 / x2 = 0 : x2 – 1 > 0
11. Dado el conjunto: B = {–1; 0; 1; – 2}, hallar el valor de verdad de cada proposición: I. ∀ x ∈ B/ x2 < 0 II. ∀ x ∈ B/ x2 + 1 ≥ 0 III. ∃ x ∈ B/ (x + 1)(x – 1) > 2 12. Dadas las premisas: – Todos los aritméticos son hábiles. – Algunos aritméticos son limeños . Luego: a) b) c) d) e)
Todos los limeños son hábiles. Algunos limeños son hábiles. Todos los hábiles son limeños. Ningún limeño es hábil. Ningún aritmético es limeño.
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13. Negar las siguientes proposiciones: I. ∀ x ∈ A : ∃ y ∈ A / [p(x; y) → q(y)] II. ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ A / p(x) ∧ q(y) III. ∃ x ∈ C / ∀ y ∈ B : p(x) ∨ q(y) IV. ∀ x ∈ A : p(x) → q(x)
14. Dado: M = {1; 2; 3; 4; 5}, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
2
I. ∃ x ∈ M / x + 3 ≤ 10 II. ∀ x ∈ M: ∃ y ∈ M / x + y ≤ 7 III. ∀ x ∈ M: x + 3 ≤ 8
¡Tú puedes! 1. Dadas las proposiciones "p", "q" y "r". p: ∃ x ∈ q: ∀ x ∈ r: ∀ x ∈
/ x2 > 0 : x2 + x + 2 < 1 4 : >3 x
3. q: ∃ x ∈ B; x + 1 > 5 → x − 2 = 1 4. r: ∀ x ∈ B; x + 2 = 3 ↔ x − 1 = 0 5. Si: – Todos los pilotos vuelan aviones. – Ninguno que toma vuela aviones.
Hallar el valor de verdad de:
(p → ∼ q) ∧ (q ∨ ∼r) •
Se deduce: a) Algunos que vuelan aviones toman. b) Algunos pilotos no vuelan aviones. c) Algunos que vuelan aviones son pilotos. d) Ninguno que toma es piloto. e) Ningún piloto vuela aviones.
Si: B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
2. p: ∀ x ∈ B; x + 3 > 2 ∧ x + 1 < 7 18:10:45
Practica en casa 1. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. ∀ x ∈ A; x + 3 < 8 II. ∃ x ∈ A; x2 > 1 III. ∃ x ∈ A; 5 < x2 < 10 •
Negar cada una de las siguientes proposiciones:
2. ∃ x ∈ M / x + 3 > 6 3. Todos los americanos están locos. 4. Hay al menos una persona que es feliz todo el tiempo. 5. ∀ x ∈ A; ∃ y ∈ B / ∀ z ∈ C: p(x; y; z) 6. ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ B / [p(x) → q(x; y)] 7. Todos los hombres son honestos o algún hombre es un ladrón.
Central: 619-8100
8. Indicar el valor veritativo de: "Para todo entero positivo "n", n2 – n + 41 es un número primo". •
Sea: U = {1; 2; 3}, el conjunto universal. Hallar el valor de verdad de:
9. ∃ x, ∀ y / x2 < y + 1 10. ∀ x, ∃ y / x2 + y2 < 12 11. ∀ x, ∀ y / x2 + y2 < 12 12. ∃ x, ∃ y / x2 + y2 < 12 •
Si: U = {1; 2; 3; 4; 5}, ¿cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones?
13. ∀ x ∈ U: x ≥ 3 ∨ x < 4 14. ∃ x ∈ U: x + 2 < 8 ⇒ x > 6 15. ∀ x ∈ U: x + 2 = 5 ⇔ x – 1 = 2
UNIDAD 7
121
3
Aritmética
Complemento Aprende más 8. Si: ∼ p → q ≡ F, hallar los valores de verdad de "p" y "q".
1. Calcular el promedio armónico de: 1 1 1 ; y 2 3 7
9. Sabiendo que: p → ∼ q ≡ F, hallar los valores de verdad de "p" y "q".
2. El promedio de los términos:
3a; (3a + r); (3a + 2r); ...; 15a
es: (3a + 30). Hallar "a"
10. Sean "x", "y", "x + y" tres números y el promedio de estos tres números es "y", hallar el valor de "x" en función de "y".
3. Hallar el promedio de notas de un examen, en el que 15 personas tienen 10; 5 personas tienen 20 y 20 personas tienen 15,5. 4. Se han mezclado vinos de 100 soles y 40 soles el litro para venderlo a 75 soles el litro. ¿En qué relación debe hacerse la mezcla? 5. Se ha mezclado 60 kg de una mercadería de 5 soles el kg con otra cuyo peso representa el 25% del peso total, y se ha obtenido como precio medio S/. 4,75 el kilogramo. ¿Cuál es el precio del kilogramo de la segunda mercadería? 6. Sabiendo que: p ∨ ∼ q ≡ F, hallar los valores de verdad de "p" y "q". 7. Sabiendo que: ∼ p → ∼ q ≡ F, hallar los valores de verdad de "p" y "q".
11. Calcular la media aritmética de dos números cuya media geométrica es 3 y su media armónica es 1,8. 12. La media aritmética de cinco números pares consecutivos es 22. Hallar el menor número. 13. El promedio de "x" números es 48. Si se le agrega un nuevo número y el promedio no se altera, ¿cuál es el nuevo número? 14. En un recipiente se mezclan 45 litros de un líquido "A" y 80 litros de un líquido "B". Si se retira 3/5 de esta mezcla, ¿cuántos litros de líquido "A" quedan en el recipiente? 15. De un depósito de 64 litros de vino y 16 litros de agua se extraen 20 litros de la mezcla y se reemplaza con agua y nuevamente se sacan 20 litros de la mezcla y son reemplazados por agua. ¿Cuántos litros de vino hay en la última mezcla?
¡Tú puedes! 1. Se mezclaron tres calidades de azúcar de S/. 4, S/. 5 y S/. 7 el kilogramo, de tal manera que las cantidades son proporcionales a los números 5; 3 y 2 respectivamente. ¿Cuál será el precio de 1 kilogramo de esta mezcla? a) S/. 4,70
b) 4,20
c) 5,10
d) 5,30
e) 4,90
2. Se debe preparar una mezcla de alcohol de 78°, para lo cual se tienen tres recipientes que contienen cantidades suficientes de alcohol de 70°; 80° y 90°. Si la cantidad empleada por el primero es a la del segundo, como 2 es a 5 y se empleó 20 litros del tercero, ¿cuántos litros del primer recipiente se emplearon? a) 60
122
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b) 120
c) 80
d) 100
e) 40
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Complemento
3. ¿En qué proporción se debe mezclar alcohol de 92° con alcohol de 85° para obtener una mezcla de 88°? a) 3:2
b) 4:1
c) 3:5
d) 3:4
3
e) 1:2
4. Halle la media geométrica de "M" y "N", si: M = xn . xn . xn . .... xn 144424443 "m" veces a) 4m
b) x2m
N = (y5m . x) . (y5m . x) ... 14444244443 "n" veces c) x3mn
d) xmn/2
e) x4mn
5. Si el promedio de los "n" primeros números múltiplos de 3 positivos, es 57 y el promedio de los "m" primeros impares positivos es 43, entonces "m + n" es: a) 80
b) 85
c) 90
d) 95
e) 100
18:10:45
Practica en casa 1. ¿Qué cantidad de agua hay que añadir a 5 L de alcohol de 50° para que la mezcla resulte de 40°? 2. Se mezclan 40 L de alcohol al 50% con 50 L de alcohol al 20% y 10 L de alcohol puro. ¿Cuál es la concentración de la mezcla resultante? 3. Toribio mezcla 60 L de alcohol de 40° con 40 L de alcohol de 60° y 10 L de alcohol de 70°. Hallar el grado de pureza de la mezcla resultante. 4. Se mezcla 100 L de vino de S/. 50 el litro con 60 L de vino de S/. 80 y con 40 L de agua. ¿Cuánto vale el litro de la mezcla? 5. Si la proposición compuesta: (p ∧ q) → (~s ∨ t)
es falsa, hallar los valores de verdad de "p", "q", "s" y "t" respectivamente.
6. Si la proposición compuesta: p → (~p ∨ ~q)
es falsa, hallar el valor de verdad de:
(p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ q) 7. La nota promedio de 20 alumnos es 14 en Literatura. En el mismo curso, la nota promedio para otro grupo de 30 alumnos es 11. ¿Cuál será la nota promedio, si se juntan los 50 alumnos? 8. Un quinto de los carros que produce una fábrica cuesta $ 4 000 cada uno y el resto cuesta
Central: 619-8100
$ 8 000 cada uno. ¿Cuál es el precio promedio de un carro en dólares? 9. La media geométrica de dos números es 8 y la diferencia entre su ma y su mh es 18/5. Luego la diferencia entre su ma y su mg es: 10. Si la ma de dos números enteros es a la mh de los mismos como 25 es a 1, hallar el menor par de ellos que satisface esta relación, indicando su diferencia. 11. La diferencia de dos números es 7 y la suma de su media aritmética y su media geométrica es 24,5. Hallar la diferencia entre su media aritmética y su media geométrica. 12. En un tonel de 100 L se echan 40 L de vino de $ 0,60; 50 L de $ 0,80 y se acaba de llenar con agua. ¿A cómo sale el litro de la mezcla y a cómo hay que venderlo para ganar el 25% del costo? 13. Se tiene dos clases de aceite: de 25 y 45 soles el litro. ¿Cuánto se debe tomar del peor aceite para hacer una mezcla de 180 litros que cueste 30 soles cada litro? 14. ¿Qué cantidad de vino de 30 soles el litro hay que añadir a 5 litros de vino de 60 soles para que la mezcla resulte de S/. 40? 15. Una solución contiene 30 L de alcohol con 50% de pureza. ¿Cuántos litros de alcohol de 80% de pureza se debe agregar para que la solución final sea de 60%?
UNIDAD 7
123
UNIDAD 8
http://blogs.elcomercio.pe/vidayfuturo/2010/06/
¿Dios es lo más grande?
N
o queremos cuestionar tu fe querido alumno, sino queremos que utilices la teoría de conjuntos de la manera más correcta.
AprendiZajes esperados
•
Razonamiento y demostración • •
Conceptualizar un conjunto. Identificar los tipos de conjunto, utilizando los diagramas de Venn.
Comunicación matemática •
Representar correctamente los conjuntos des-
de el punto de vista formal. Relacionar adecuadamente la pertenencia y la inclusión del punto de vista lógico–matemático.
Resolución de problemas • •
Resolver ejercicios que definan claramente los tipos de conjuntos. Analizar los problemas sobre grupos de personas dentro de un contexto concreto utilizando las operaciones entre conjuntos.
Conjuntos
Conjuntos
1
En este capítulo aprenderemos: •
A conceptualizar el conjunto e identificar las clases de conjuntos.
•
A usar el lenguaje matemático correcto para leer enunciados de conjuntos.
•
A resolver problemas de contexto real y matemático que utilicen el concepto de subconjuntos de un conjunto (partición de un conjunto).
¿Existe el conjunto vacío?
A
unque parezca muy simple siempre se ha cuestionado la veracidad de la definición de "conjunto vacío", dado que visto desde la forma más simple, un conjunto se define como la reunión de varios elementos, de ahí la intriga que exista un conjunto que se llame "conjunto" y no esté compuesto por elementos.
http://www.criandocuervos.com/?p=4475
Saberes previos •
Resuelve los siguientes intervalos, si "x" es un número entero: x+1 1. 2 < < 5 → C.S. =………………………. 2 2. 7 < 2x – 1 < 11 → C.S. =………………………. 3. – 4 < 3x + 5 < 8 → C.S. =……………………….
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UNIDAD 8
125
Aritmética
Conceptos básicos Concepto Un conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.
Notación Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas "A", "B", "C", ... etc. y los elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrado entre llaves. Si los elementos son numéricos se usa el punto y coma. Ejemplos:
•
A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}
•
B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Néstor, Ricardo}
•
C = {3; 5; 12;18}
Relación de pertenencia (∈) Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "pertenece" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "∈", en el caso de no pertenecer por "∉". Ejemplo:
•
Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8}
Entonces:
2 ∈ A; 4 ∉ A; 7 ∈ A
Determinación de conjuntos Existen dos formas de determinar un conjunto: Por extensión Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto. Ejemplos:
•
A = {a; m; o; r}
•
B = {1; 3; 5; 7; 9}
Por comprensión Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto. Ejemplos:
•
A = {x / x es una letra de la palabra aroma}
•
B = {x / x es un número impar menor que 10}
Conjuntos especiales Conjunto vacío o nulo Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por: φ ó { }. Se le llama también NULO. Ejemplo:
•
A = {x / x es un número par terminado en 5} → A = { }
Conjunto unitario Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Se le llama también SINGLETON
126
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Conjuntos
Ejemplos:
•
A = {x / x ∈
•
B = {2; 2; 2} = {2}
1
∧ 6 < x < 8} → A = {7}
Conjunto universal
Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra U. Ejemplo:
•
Si :
A = {1; 2; 3} B = {–1; 0; 4}
Un conjunto universal para "A" y "B" podría ser: U = {–1; 0; 1; 2; 3; 4}, pues los elementos de "A" y "B" están en U.
Cardinal de un conjunto Sea "A" un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A) Ejemplos:
•
A = {3; 4; 7; 9; 13} ⇒ n(A) = 5, se lee: "el cardinal de A es 5"
•
B = {a; b; c; b; a; a} = {a; b; c} ⇒ n(B) = 3
Relaciones entre conjuntos Igualdad
Dos conjuntos "A" y "B" son iguales si y solo si, tienen los mismos elementos y el mismo cardinal. Se denota por A = B. Ejemplo:
•
A = {2; 3; 4}
B = {x / x ∈ , 1 < x < 5}
A = B, pues: B = {2; 3; 4}
Inclusión
Diremos que "A" está incluido en "B" o es subconjunto de "B"; si y solo si, todos los elementos de "A", son también elementos de "B". Se denota por: "A ⊂ B" y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B". La negación de A ⊂ B se escribe A ⊄ B Ejemplos:
•
Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
⇒A⊂B
•
Dado el conjunto: A = {3; {6}; 9; 10}
Entonces se cumple:
{3} ⊂ A
Nota: Si: A = B ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
{3; 9} ⊂ A
{{6}} ⊂ A {3; 6} ⊄ A
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UNIDAD 8
127
Aritmética
Conjunto potencia Dado el conjunto "A", se denomina conjunto potencia de "A" y se denota por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de "A". Ejemplo:
•
Subconjuntos propios 64748 Si: A = {2; 5} ⇒ P(A) = {∅; {2}; {5}; {2; 5}}
Si a uno o más elementos del conjunto se le encierra entre llaves se convierte en subconjunto
↓
El conjunto "A" siempre es un subconjunto de P(A)
NOTA: Si un conjunto finito "A", tiene como cardinal n(A) Se cumple: n[P(A)] = 2n(A) Donde: n[P(A)] = Es el número de elementos del conjunto potencia o número de subconjuntos del conjunto "A". Ejemplo:
•
Si : n(A) = 5 ⇒ n[P(A)] = 2n(A) = 25 =32, es decir "A" tiene 32 subconjuntos.
Subconjuntos propios: 25 – 1 = 31
Síntesis teórica Teoría de conjuntos
Clases de conjuntos
Relación de pertenencia
• • •
Relación entre conjuntos
Vacío Unitario Universal
• •
Igualdad Inclusión
Conjunto potencia
128
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Conjuntos 10 x 5 50
1
Aplica lo comprendido 1. Colocar el valor de verdad a cada proposición, si: A = {2; 3; {1}; {2; 1}} • ∅ ∈ A • {1} ∈ A
• 3 ∈ A • {3} ⊂ A
4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: M = {2; 3; {5}; {8; 10}} I. n (M) = 5 II. {3} ∈ M III. {{5}} ⊂ M
• 1 ∈ A • ∅ ⊂ A
2. ¿Cuántos subconjuntos tiene: A = {1; {1}; 1; ∅}? 3. Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {8; 3; {2}; {1; 3}} 3 ∈ A ................. (
) 8 ∉ A ................. (
)
2 ∈ A ................. (
) {1; 3} ∈ A .......... (
)
{3} ∉ A .............. (
) 4 ∉ A ................. (
)
IV. {2; {5}} ⊂ M V. {8; 10} ∈ M
5. Calcular la suma de los elementos del conjunto "B".
B = {x2/ x ∈ , – 5 < x < 3}
Aprende más 1. Si el conjunto "A" tiene 1 024 subconjuntos, ¿cuántos elementos tiene "A"?
8. Dado el conjunto:
B = {x + 3/x ∈ , x2 < 9}.
2. Señalar verdadero (V) o falso (F):
Calcule la suma de los elementos del conjunto "B".
I. ∅ = 0......................... II. 2 ∈ {3; 4; 2}............... III. {5; 6} ⊂ {3; 4}............ IV. {1; 3} ∈ {1; 3; 2}........ V. {2} ∈ {{2}; 3}.............
( ( ( ( (
) ) ) ) )
9. Sabiendo que el conjunto:
A = {a + b; a + 2b – 2; 10}
es un conjunto unitario, dar el valor de "a2 + b2".
3. Dado el conjunto: A = {x ∈ / – 5 ≤ x ≤ – 2}. Hallar la suma de los elementos.
10. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene:
4. Si: B = {2x – 1 / x ∈ no es cierto que:
11. Sabiendo que los conjuntos:
a) 1 ∈ B d) 9 ∈ B
∧ 1 < x < 7}, entonces
b) 5 ∈ B e) 11 ∈ B
c) 7 ∈ B
5. Señalar cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I. {1; 2} ∈ {1; 2; 3; 4} II. {φ} = {0} III. {3; 4} ⊂ {{3}; 4} IV. {2} ∈ {{2}; 3} V. {a; {b}} ⊂ {a; {b}; c} 6. ¿Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto?
A = {x2/x ∈ ; – 9 < 2x – 1 < 11}
7. Calcular la suma de los elementos del conjunto "A".
A = {x/x ∈ ; 10 < 3x + 2 < 18} Central: 619-8100
A = {x/x ∈ ; – 7 < 4x + 1 < 21}
A = {4a + 3b; 23} y B = {3a + 7b; 41}
son unitarios, hallar: a + b
12. Determinar por extensión el siguiente conjunto:
A = {x2 – 3x + 2/ 1 ≤ x < 3 ∧ 5x – 1 ∈ }
13. Dados: A = {a2 + 9; b + 2} y B = {–9; 10}
Si se sabe que A = B, calcular "a – b" ("a" ∈ ).
14. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:
M = {aa + b; 2a + b; 9}, hallar "a . b"
15. Sean los conjuntos iguales:
A = {a3 + 2; 20} y B = {29; b5 – 4a}
Hallar: a2 + b2 UNIDAD 8
129
Aritmética
¡Tú puedes! 1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? • {φ} = {0} • n(φ) = 0
• φ ∈ {1; φ} • φ = { }
• { } ∈ {φ} • φ ⊂ P (φ)
a) 1
b) 2
c) 3
2. Determinar por extensión: A = { x
Donde:
x
/x∈
d) 4
e) 5
y2
2
10
[4 – 6>
8
3
8
[6 – 8>
3
4
16
[8 – 10>
7
5
10
6
6
xi
fi
2
2. Completa el tablero: Ii
[ 53 – 63〉
fi
Fi
hi
5. En cierta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores y se obtuvo la siguiente tabla:
3
[ 63 – 73〉
6
[ 73 – 83〉
11
[ 83 – 93〉
21
[ 93 – 103〉
28
[103 – 113〉
30
3. Determina la media, mediana y moda de los siguientes datos:
Hallar la media, mediana y moda.
EDAD 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 ni
8
15
30
12
5
¿Qué porcentaje de empleados tienen 50 años o más?
Enunciado Dado el tablero incompleto de la distribución de la frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.
17; 21; 15; 12; 23; 25; 28; 28; 26; 30
172
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Complemento de Estadística
Ii
xi
fi
Fi
xi h i
11. Halla el total de alumnos: # alumnos
[ ; 〉
15
12
[ ; 6 〉
20
10
[ ; 〉
11
[ ; 〉
8
14
6
8
4
[ ; 〉
22
[ ; 〉
25
6. Si la nota aprobatoria es 11, ¿qué porcentaje de alumnos desaprobados existe?
2
8. ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores que 8? 9. Dada la siguiente distribución de frecuencias.
Notas 6
8 10 12 14 16 18
12. En un internado que tiene 20 señoritas, las edades de ellas son las siguientes: 18 mn 18 cd
7. Determinar la clase en la cual se encuentra el mayor porcentaje de alumnos y hallar dicho porcentaje.
19 18 20 18
17 20 16 mn
20 19 18 16
mn 16 20 cd
Calcular la diferencia de cifras de la moda.
13. Para hallar la media aritmética de 10 datos, se necesita: I. Que los datos sean consecutivos II. Que el primero es el menor múltiplo de 5 y diferente de cero
Ii
fi
[10; 20〉
4
[20; 40〉
m
Enunciado
[40; 50〉
4
[50; 70〉
n
[70; 80〉
g
La inversión de un grupo de empresas importadores de vehículos se clasificó en una tabla de distribución de frecuencia. La máxima inversión es de 56 millones de dólares, que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de dólares y que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. Con esta información, resolver los siguientes problemas:
100
Si se sabe además que: h1 = h5 y h2 = h4.
Determinar la suma "h5 + h2".
10. Dada la siguiente tabla, calcular el máximo valor de (h2; h3); sabiendo que la media aritmética es 0,61. Ii
fi
[0,20; 0,40〉
0,10
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5
14. ¿Qué porcentaje de empresas invierten 24 millones de dólares como máximo? 15. Calcular el porcentaje de empresas que invierten menos de 40 millones.
UNIDAD 9
173
6
Aritmética
Probabilidades En este capítulo aprenderemos: •
A realizar cálculos de probabilidad utilizando la definición clásica.
•
A resolver problemas de contexto real utilizando el concepto de probabilidad.
El juego de los dados
http://www.mentestop.com/wp–content/uploads/2010/05/Inteligencia–artificial–probabilidades.jpg
•
¡Qué maravilloso es obtener esta secuencia de valores al lanzar los dados! • •
¿Crees que será fácil?
¿Cuál es la probabilidad que se obtenga este resultado?
Saberes previos •
Determinar el valor de: 1×3×6 1. T = 3 × 9 × 18 2. M = 3. T =
174
Colegios
2×3×4×5 6 × 9 × 12 × 15
4. C =
2×6×9 4 × 12 × 18
5. A =
11 × 22 × 33 1 331
2×3×4 8 × 12 × 16
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Probabilidades
6
Conceptos básicos Experimento aleatorio (ε) Es aquella prueba cuyo resultado no es predecible de forma absoluta; los resultados posibles de un experimento aleatorio dependen pues del azar. Ejemplos:
• • •
Lanzar un dado y observar el resultado. Lanzar dos monedas simultáneamente y observar lo que nos resulta. Elegir dos personas de un grupo de tres mujeres y un hombre.
Espacio muestral (W)
Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un determinado experimento aleatorio y se denota por W; cada elemento posible de un experimento aleatorio es un elemento del espacio muestral que se le denomina también punto muestral. Ejemplos:
Para los casos anteriores, tendremos: • • •
W1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} W2 = {CC; CS; SC; SS} W3 = {M1M2; M1M3; M1H; M2M3; M2H; M3H}
Evento
Es cualquier subconjunto del espacio muestral (Ω). Ejemplos:
Para los tres primeros experimentos aleatorios anteriores, se tiene los siguientes eventos: • • •
W1: evento "A" (puntaje par) ⇒ A = {2; 4; 6} W2: evento "B" (al menos 2 caras) ⇒ B = {CCC; CCS; CSC; SCC} W3: evento "C" (solo mujeres) ⇒ C = {M1M2; M1M3; M2M3}
Por ejemplo, si: W = {w1; w2; …; wn} es un espacio muestral finito de "n" elementos, en él se pueden definir 2n eventos diferentes (subconjuntos); entre ellos están los siguientes:
Evento imposible (f)
Es todo evento que no posee elementos o puntos muestrales. Al hacer una prueba del experimento aleatorio no ocurre algún caso favorable. Se le designa por f. Ejemplo:
•
A: Lance un dado y obtenga como resultado un número múltiplo de 7.
A=f
Evento unitario o elemental Es aquel evento que contiene un solo elemento o punto muestral. Ejemplo:
•
B: Lance un dado y obtenga como puntaje un número múltiplo de 5.
B = {5}
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UNIDAD 9
175
Aritmética
Evento seguro
Es cuando posee todos los puntos muestrales o elementos del espacio muestral. Al realizar una prueba del experimento aleatorio, todos los casos son favorables. Ejemplo:
•
C: Lance un dado y obtenga un puntaje menor que 7
C= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Evento contrario
Dado un elemento determinado "A", el evento contrario es aquel que posee los puntos muestrales que no posee "A" y se le designará (A' o AC). AC = Ω – A Ejemplo:
•
Sea el experimento lanzar dos monedas y sea el evento A sacar alguna cara, entonces, AC será no sacar alguna cara.
Operaciones con eventos Sean los eventos "A" y "B" que son subconjuntos del mismo espacio muestral. Unión
A ∪ B = {w ∈ Ω/ w ∈ A ∨ w ∈ B}
Intersección
A ∩ B = {w ∈ Ω/ w ∈ A ∧ w ∈ B}
Diferencia
A - B = {w ∈ Ω/ w ∈ A ∧ w ∉ B}
Observación: A cada elemento de un evento se le llama suceso, es decir, un evento es un conjunto de sucesos.
Aplicación 1 •
Sea el experimento de lanzar un dado y sean los eventos siguientes:
A: Obtener un puntaje mayor que 4. B: Obtener un puntaje impar. a) Obtener un puntaje mayor que 4 o un puntaje impar. b) Obtener un puntaje mayor que 4 y un puntaje impar. c) Obtener un puntaje mayor que 4 pero no un puntaje impar.
Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos Si los eventos no pueden ocurrir juntos, es decir: A ∩ B = f Ejemplo:
•
Se toma un test sobre 10 puntos
A: obtuvieron puntaje mayor que 5 ⇒ A = {6; 7; 8; 9; 10} B: obtuvieron puntaje menor que 5 ⇒ B = {0; 1; 2; 3; 4}
\A∩B=f
Definición de probabilidad P(A): Probabilidad del evento "A". N° de casos favorables para que ocurra "A" P(A) = N° total de casos posibles
176
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Probabilidades
Aplicación 2 •
Calcule la probabilidad de lanzar dos dados y que el puntaje obtenido sea 10.
Aplicación 3 •
Una bolsa contiene canicas de colores: 5 blancas, 7 negras y 4 rojas. Si todas son de la misma forma, calcule la probabilidad de que al extraer tres canicas, las tres sean blancas.
6
Observación: En muchos casos no será necesario determinar los elementos del espacio muestral, solo saber cuántos elementos existen, para lo cual emplearemos el análisis combinatorio.
Propiedades de las probabilidades 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 • •
Probabilidad de un evento seguro: P(Ω) = 1 Probabilidad de un evento imposible: P(φ) = 0
2. P(AC) = 1 – P(A)
Aplicación 4 •
Se lanzan simultáneamente tres monedas de diferentes valores. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
3. Para eventos cualesquiera "A" y "B": P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) •
Si son mutuamente excluyentes: P(A ∩ B) = 0
Entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Aplicación 5 •
La probabilidad de que llueva mañana es 0,10; la probabilidad de que truene es 0,05 y la probabilidad de que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene?
Probabilidad condicional Definiremos esta probabilidad cuando exista un evento "A" que ocurre condicionado a que haya ocurrido previamente otro evento "B" y lo denotaremos por P(A/B). Se lee: "Probabilidad de que ocurra "A" dado que ha ocurrido "B"".
Aplicación 6 •
En una urna se tienen fichas numeradas del 1 al 9 y se extrae una ficha al azar. Determine la probabilidad de que sea mayor que 6, si se sabe que la ficha extraída es impar.
En general:
n(A ∩ B) n(A ∩ B) n(W) P(A/B) = = n(B) n(B) n(W)
\ P(A/B) = P(A ∩ B) P(B)
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UNIDAD 9
177
Aritmética
Síntesis teórica PROBABILIDADES
EXPERIMENTO ALEATORIO
•
Espacio muestral
•
Evento – – – – –
Operaciones con eventos: • • •
Evento imposible Evento unitario Evento seguro Evento contrario Evento mutuamente excluyente
Unión Intersección Diferencia
DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD: – Propiedades — Probabilidad condicional
Aprende más 1. Se lanzan tres dados simultáneamente. Calcular cuántos elementos tiene el espacio muestral. 2. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? 3. Determinar la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja; estas sean espadas 4. En una bolsa se tiene 9 caramelos de limón y 3 de fresa. Si se extraen al azar 2 caramelos, ¿cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de limón? 5. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan tres caras o tres sellos? 6. Si lanzamos dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los valores sea 7?
178
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7. Se tiene una urna que contiene 6 bolas blancas y 10 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos bolas; estas sean de color blanco? 8. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una caja donde hay 3 bolas rojas, 7 bolas blancas y 6 bolas negras, esta no sea roja? 9. Se extrae una baraja normal. Calcular la probabilidad de obtener un número par. 10. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras y otra urna contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si se extrae una bola de cada urna, calcular la probabilidad de que ambas sean de color negro. 11. Una urna contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar una bola, resulte par ó múltiplo de 5?
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Probabilidades
12. Se extrae un bolo de un total de 10, los cuales están numerados del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea múltiplo de 3; si se sabe que fue par?
14. Carlos rinde un examen parcial y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una nota par mayor que 14?
13. En una bolsa de caramelos, 7 son de limón y 5 son de menta. Si extraemos 3 caramelos, una por una sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea de limón y el segundo sea de menta y el tercero de limón?
15. Halle la probabilidad de obtener al menos un 4, en dos lanzamientos de un dado balanceado.
6
¡Tú puedes! 1. Se lanzó un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca un número par de puntos en cada dado? 2. Tres ampolletas malas se mezclan con 12 buenas. Se prueban seleccionándolas al azar entre las que quedan, sin probar hasta encontrar las malas. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la tercera mala en la séptima prueba? 3. Un avión lanza una bomba sobre un terreno cuadrado, en el cual está inscrito un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que la bomba caiga dentro del círculo, si de todas maneras caerá dentro del cuadrado? 4. Se da la promulgación de una ley que fija un impuesto para las ganancias por los ahorros bancarios y se aplicó una encuesta de opinión a 600 ciudadanos, obteniéndose los siguientes resultados: Partido A favor En contra Neutral Total A 120 60 20 200 B 48 42 30 120 Otro 126 112 42 280 Total 294 214 92 600
Calcule la probabilidad de que un ciudadano sea del partido B o no opine a favor.
5. De un grupo de 12 profesores; 5 son de la UNI, uno de los cuales es mujer; 4 son de la UNA, uno de los cuales es mujer y 3 son de la UNMSM, todos varones. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar ternas constituidas por un profesor de cada universidad y que no pueda haber una mujer de la UNA? 18:10:45
Practica en casa 1. Se tiene 5 libros; 3 de R.M y 2 de R.V.; ordenados en un estante. ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de Razonamiento Verbal sean separados por los tres libros de Razonamiento Matemático?
3. Durante todas las noches del mes de octubre; Susana escucha música ó lee un libro. Escucha 21 noches y lee un libro 15 noches. Si se elige una de esas noches al azar y Susana escucha música, ¿cuál es la probabilidad de que lea un libro?
2. Enrique, Juan y Robert ejecutan un penal y las posibilidades para hacer gol, son 1/3; 1/2 y 1/4 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haga un gol?
4. Ocho amigos juegan al golf; 5 jóvenes y 3 adultos. Si los jóvenes tienen la mitad de habilidad de los adultos, ¿cuál es la probabilidad de que ganen un juego?
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UNIDAD 9
179
Aritmética
5. En una ánfora se colocan bolas numeradas con todos los números de tres cifras. Si se extrae un bolo, ¿cuál es la probabilidad de que no se extraiga un número capicúa? 6. Se escriben todas las palabras de 8 letras empleando todas las letras de la palabra "medicina". Señale la probabilidad de que la letra "i" aparezca al inicio y la final. 7. Se escoge aleatoriamente un número de diez cifras, cuya suma de sus cifras es 88. Calcular la probabilidad que sea par. 8. Seis empleadores de una empresa han dejado sus tarjetas de identidad en una caja que no contiene nada más. Si al terminar el día, cogen sus tarjetas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los empleados elijan sus tarjetas correctas? 9. Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado. Calcular la probabilidad de obtener una cara y un número par.
180
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10. Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos sellos y un número impar? 11. Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes, hallar la probabilidad de que su suma sea impar. 12. Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras. Si se saca una sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que la carta sea roja? 13. Hallar la probabilidad de que al lanzar tres dados, la suma de los números que se obtengan sea igual a 10. 14. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado este resulte 1 ó 3? 15. Si se tiran 3 monedas juntas, ¿cuál es la probabilidad de que salgan solamente 2 caras?
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Repaso bimestral
Repaso bimestral
7
Aprende más Preguntas 1 a 3 •
El gráfico siguiente muestra la posición de una partícula a lo largo del tiempo (movimiento en una sola dimensión). Posición (m)
9. Se quiere seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 7 peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos. ¿Qué probabilidad habría de que el comité esté compuesto por 2 peruanos, 2 chilenos y 1 argentino? 10. Si se lanzan al aire dos monedas de diferentes tamaños, calcular la probabilidad de que:
20
I. Salga exactamente una cara II. Salga por lo menos una cara
15 10 5 tiempo (s) 10
20
30
1. ¿Cuál es la posición de la partícula en t = 5 segundos? 2. ¿En qué instante la posición de la partícula es 10 metros? Dar por respuesta la suma de todos los tiempos posibles. 3. La posición de la partícula es de 2 metros para "t" segundos. ¿Cuál es el valor de "t"? 4. ¿Cuántos números de dos cifras diferentes existen en el sistema senario? 5. Una persona puede viajar en forma directa de Lima a Arequipa por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras puede realizar el viaje directo? 6. En una carrera participan 4 atletas. ¿De cuántas maneras distintas puede llegar a la meta, si llegan uno a continuación de otro?
11. ¿De cuántas maneras se puede representar el número 9 como suma indicada de tres sumandos positivos y diferentes? 12. En una caja hay 8 llaveros blancos y 4 llaveros rojos. La probabilidad de sacar un llavero blanco o rojo es: 13. De una baraja de 52 cartas se sacan 2 naipes, determínese las probabilidades siguientes: I. Que todos sean ases II. Que todos sean corazones III. Que todos sean del mismo palo •
Preguntas 14 a 15. Costo total ( en miles de soles)
78
30
600 Cantidad de artículos producidos
7. Un grupo está formado por 6 personas y desean formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión?
14. Si no se logra producir artículo alguno, ¿cuál es el costo generado?
8. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma: 5 ó 9 en el lanzamiento de dos dados?
15. Si se producen 1 500 artículos, ¿cuál es el costo total (en miles de soles)?
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UNIDAD 9
181
Aritmética
¡Tú puedes! La evolución diaria del precio de una acción de cierta compañía es mostrada en el siguiente gráfico (la información corresponde al mes de febrero del 2 010, cuyo primer día fue lunes)
Valor de la acción (en soles)
•
1
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
1. ¿Cuál fue el valor de la acción, el segundo jueves del mes de febrero del año 2010? a) 0,5 soles b) 0,6 c) 0,4 d) 0,7 e) 1,0 2. ¿Qué día de la semana, durante el mes de febrero del 2010, el valor de la acción alcanzó su máximo valor? a) Jueves
b) Sábado
c) Lunes
d) Martes
e) Miércoles
d) 20%
e) 30%
3. Del 16 al 17 de febrero del 2010, la acción aumentó en un: a) 10%
b) 15%
c) 25%
4. Del día "n" al día "n + 1", la acción tuvo una mayor variación en su valor, ¿cuál es el valor de "3n + 11"? a) 38
b) 74
c) 86
d) 89
e) 88
5. ¿Cuál ha sido el mayor decremento porcentual diario registrado en el mes de febrero del 2010? a) 40%
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b) 33,3%
c) 50%
d) 66,6%
e) 70%
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Repaso bimestral 18:10:45
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Practica en casa Preguntas 1 a 3 •
El gráfico siguiente, muestra los precios de distintos combustibles usados por los autos. Los precios corresponden a un galón de combustible. Precio por galón de combustible
Precio (en soles)
20
10
Ene
Feb
Gasolina 90 Gasolina 97 GLP
Mar
Abr
May
Gasolina 95 Petróleo
1. Para el mes de febrero, ¿cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. El galón de petróleo costó menos de 9 soles II. El galón de gasolina 90 costó un sol menos que el galón de gasolina 95 III. La gasolina 97 costó más del doble que el GLP 2. En el periodo enero–mayo, ¿cuál ha sido el precio promedio mensual del galón de petróleo? 3. Para el periodo enero–mayo, ¿en cuál de los meses, la suma de los precios de los cinco combustibles ha sido mayor? Preguntas 4 a 6 Un banco fija tasas de interés mensual en función al monto prestado. El gráfico siguiente muestra dicha relación: Tasa de interés mensual (%)
5. Si por concepto de interés se debe pagar 600 soles mensual, ¿cuál puede haber sido el monto del préstamo pedido al banco? 6. Si pienso pedir un préstamo, para mí, de 6 000 soles; y otro para mi hermano de 3 000 soles, ¿cuánto de interés mensual ahorraría, si solo pido un préstamo sumando los montos que necesitamos mi hermano y yo?
15
5
•
4. Si el préstamo pedido es de 3 000 soles, ¿cuál es la tasa de interés mensual que se tendrá que pagar por dicho préstamo?
30
7. En un campamento 5 amigos conversan alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar alrededor de dicha fogata? 8. En una mesa circular se encuentran servidos 5 copas con bebida y entre ellos hay uno con sangría. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse 6 personas en sus asientos, si entre ellos hay 4 personas que no les gusta la sangría? 9. ¿Cuántos números de diez cifras existen tales que la suma de sus cifras es igual a 3? 10. Hay 3 gallinas, 4 patos y 2 gansos. ¿Cuántas elecciones de varias aves existen, de manera que entre las escogidas haya por lo menos una de cada especie? 11. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos ases al lanzar dos dados? 12. En una urna hay 5 fichas numeradas del 1 al 5. Si se extraen 2 fichas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los números sumen 5? 13. Una caja contiene 5 bolas blancas, 3 bolas celestes y 2 amarillas. Si se extrae al azar una bola, determinar la probabilidad de que sea blanca o amarilla. 14. Se escoge aleatoriamente un número de 10 cifras cuya suma de cifras es 88. Hallar la probabilidad de que sea par.
25 20 15
15. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 5 cartas. Determinar la probabilidad de que 3 de ellas sean negras y las otras no.
10 5 10000 5000 Monto del préstamo (en soles)
Central: 619-8100
UNIDAD 9
183
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