Areas,Volumen y Longitud de Arco

AREAS

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gr áfica de la f u n c ió i ó n e s t á p o r e n c i ma m a d e l e j e d e a b s c i s as as . E l   á r e a d e l a f u n c i ó n   v i e n e dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: ! Se calculan los  puntos de corte   con el eje "#, haciendo f$%& ' ( ) resolviendo la ecuación. * ! E l á r e a   e s i g ua ua l a l a i n t e g r a l d e f i n i d a d e l a f u n c i ó n   + u e t i e n e c o m o lmites de integración los puntos de corte.

Ejemplos do p o r l a c u r v a ) '  % / % *   ) e l e j e " # . 1 . - a l c u l a r e l á r e a d e l r e c i n t o l i m i t a do E n p ri r i me m e r l ug u g ar a r h al a l la l a mo m o s l os o s p un u n to t o s d e c or o r te t e c on o n e l e je j e " # p ar ar a representar la curva ) conocer los lmites de integración.

En segundo lugar se calcula la integral:

2. 0allar el área de la región del plano encerrada por la curva ) ' ln % entre el punto de corte con el eje "# ) el punto de abscisa % ' e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

2. La función es negativa Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfi ca de la f u n c ió i ó n e s t á p o r d e b a jo j o d e l e j e d e a b s c i s as as . E l á r e a d e l a f u n c i ó n   v i e n e dada por un viene dada por:

Ejemplos 1. -alcular el área del recinto limitado por la curva ) ' % * / % ) el eje "#.

d a p o r l a c u rv r v a ) ' c os o s % ) e l e j e " % e nt nt r e 1 2 * ) 2 . 0 a llll a r e l á r e a l i m iti t a da 312*.

3. La función toma valores positivos y negativos En ese caso el el recinto tiene 4onas por encima ) por debajo del ej e de a b s ci s a s . P a ra c a l c u l a r e l á r e a d e l a f u n c i ó n   s e g u i r e m o s l o s s i g u i e n t e s pasos:  ! S e c a l cu l a n l o s p u n t os d e c o r t e c o n c o n e l e j e " # , h a c i e nd o f $ % & ' ( ) resolviendo la ecuación. * ! S e o rd e na n d e m e n o r a m a )o r l a s r a  ce s , + ue s e rá n l o s l  m i te s d e integración. 3! El área es igual a la suma de las integrales definidas   en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos 1. -alcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f$%& ' % / 5%* 6 7% ) el eje "#.

El área, por ra4ones de simetra, se puede escribir:

3

2. -alcular el área del crculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia %8 6 )8 ' r8.

El área del crculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

-alculamos la integral indefinida por cambio de variable.

0allamos los nuevos lmites de integración.

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función +ue está situada por encima menos el área de la función +ue está situada por   debajo.

Ejemplos 1. -alcular el área limitada por la curva ) ' % * 9% 6 5 ) la recta ) ' *%. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funcione s para c o n o c e r l o s l  m i t e s d e i n t e g r a c i ó n.

;e % '  a % ' 5, la recta +ueda por encima de la parábola.

2.-alcular el área limitada por la parábola ) * ' % ) la recta ) ' %.

;e % ' o a % ' , la parábola +ueda por encima de la recta.

3.-alcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3) '%

*

e ) '

/%* 6 %. E n p r im e r l u ga r r ep r es e nt a mo s l a s p a rá b ol as a p ar t ir d e l v