Areas Sombreadas

ÁREA: Medida de la extensión de una superficie limitada y se expresa mediante un número positivo único, acompañado de la unidad adecuada: (m2 , u2 ,… etc.) Para simbolizar el área de una región cualquiera, comúnmente se usa la letra “S”, por ejemplo el área de una región triangular ABC, lo podemos indicar por: “SABC” ………(área de una región < > S) OJO: En adelante, para abreviar, haremos referencia al área de un triángulo, área de un polígono, área de un círculo, etc., entendiendo desde luego, que se trata del área de la región correspondiente. Debemos tomar en cuenta lo siguiente: TRIÁNGULO: *En función de su base y altura: B× H 2

S=

TRIÁNGULO RECTÁNGULO: *En función de sus catetos: S=

a×b 2

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: *En función de su base y altura exterior:

S=

B ×H 2

TRIÁNGULO EQUILÁTERO: *En función de sus lados: S=

L2

3 4

                                                           Pág 1239

TRIÁNGULO EQUILÁTERO: *En función de su altura: S=

H2 3 3

TRIÁNGULO: *En función de 2 lados y el ángulo que forman entre sí:

S=

ab sen α 2

TRIÁNGULO: *En función de sus lados y su semiperímetro: Semiperímetro: p =

S=

a+b+c 2

p( p− a )( p− b)( p− c )

CUADRADO: *En función de su lado: S = L2

CUADRADO: *En función de su diagonal:

S=

D2 2

RECTÁNGULO: *En función de su largo y ancho: S = a ×b 1239

TRAPECIO:

PROPIEDADES IMPORTANTES

*En función de sus bases (mayor y menor y su altura):

A TRIÁNGULOS CON ALTURA COMÚN

B+b S =  2  H  

Si 2 o mas triángulos tienen una altura en común. Luego sus áreas serán proporcionales a sus bases.

ROMBO: *En función de sus diagonales :

S=

D1 × D2 2

PARALELOGRAMO: *En función de su base y altura: S=B×H

B PROPIEDAD DE LA MEDIANA

CÍRCULO: *En función de su radio: S = π R2 Ssemicirculo =

π R2 2

como BM = mediana

CÍRCULO: *En función de su diámetro: S=

S1 = S2

π D2 4

Ssemicirculo =

C PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA π D2 8

SECTOR CIRCULAR: *En función de su radio y ángulo central: S=

π R2 α 360°

4S = SABC



S=

S ABC 4

D PROPIEDAD DEL BARICENTRO (G)

CUADRANTE:

G : Punto de intersección de las medianas:

*En función de su radio: S=

π R2 4

6S = SABC

Pág 1240



S=

S ABC 6

CONSECUENCIA DE LA PROPIEDAD “D”

S=

S ABC 3

S=

S ABC 12

S=

S ABCD 4

H EN UN CUADRADO I)

E UNIÓN DE LOS PUNTOS MEDIOS EN UN CUADRILÁTERO

S=

S ABCD 12

S=

S ABCD 20

II)

S=

S ABCD 2

F EN UN TRAPECIO CONSECUENCIAS: III) *Las regiones sombreadas tienen la misma área.

S=

= S × S1 S2

S ABCD 5

IV)

S=

S ABCD 2

S= S=

S ABCD 2

V)

G EN UN PARALELOGRAMO

Pág 1241

S ABCD 20

S=

S ABCD 6

XI) *observando las relaciones I y II se deduce que: S

= S − ABCD 12

S ABCD 20

S=

*De donde:

S ABCD 30

OJO: Estás últimas relaciones también se verifican en un paralelogramo

P=

S ABCD 8

S=

3S ABCD 40

VI) I EN TRIÁNGULOS SEMEJANTES

S=

S ABCD 12

2 2 S=== a= = b2 S1 a12 b1

VII)

c2 c12

H2 H12



CONSECUENCIAS:

S=

S=

S ABC 4

S=

S ABC 9

S ABCD 20

VIII)

S=

S ABCD 5

PARALELOGRAMO:

IX)

S=

S=

S ABCD 30

S ABCD 80

J PROPIEDAD EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Si los lados de un triángulo rectángulo son líneas homólogas de figuras semejantes construidas sobre ellos, entonces la suma de las áreas de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de la región apoyada en la hipotenusa.

X)

Si: Pág 1242

= S +S1

*Un sexto de círculo:

S2

S=

CONSECUENCIAS: (LÚNULAS DE HIPÓCRATES)

π R2 6

*Un tercio de círculo:

I)

S= S ABC = +S1

π R2 3

S2 *Un doceavo de círculo:

II)

S=

π R2 12

♦ En la figura se cumple: = −S1 S ABC

S=x+y

S2

(según propiedad “J”)

TEOREMA DE PITÁGORAS:

III)

a 2 + b2 = c2 S = S1 + S2 + S3

ALTURA RELATIVA A LA HIPOTENUSA: H 2= ×m n

K EN UN HEXÁGONO REGULAR

CUBO: Scubo = 6 a 2

Vcubo = a 3 S=

S ABCDEF 12

V : volumen

PROBLEMAS RESUELTOS

M RELACIONES ADICIONALES QUE SE USAN CON FRECUENCIAS

(MÉTODOS)

*Un octavo de círculo: S=

A POR RESTA O SUMA DE ÁREAS Calcular el área de la región sombreada, en cada uno de los siguientes casos:

π R2 8

PROBLEMA 01 Pág 1243

A) π

B) 2 + π

C) π − 2

D) 4 − π

  

E) π + 1

 RESOLUCIÓN: *Se observa que el lado del cuadrado mide 2 , Luego:

 π (6)2  = −2  6   

Ssomb = Scuadrado − Scírculo →Ssomb= (2)2 − π(1)2 →Ssomb= 4 − π

= 12 π− 3(4 = π −

Rpta.: D

62

3 4

9 3 3 3) Rpta.: A

PROBLEMA 02 A) a 2 ( π − 2) C)

B)

a2 ( π − 2) 4

a2 2

B POR TRAZADO DE LÍNEAS AUXILIARES Y TRASLACIÓN DE REGIONES

( π +2)

D) a 2 ( π + 1)

Se tratará siempre de formar figuras conocidas

E) a 2 π

Calcular el área de la región sombreada, en cada caso:

RESOLUCIÓN:

PROBLEMA 04

Ssombreada = Scuadrante − Striángulo 2

π (a )

A) a 2 2 a×a

−

2

−

→ Segmento circular = 4 2 π (a )2

a → Segmento circular = 4 2 2

π a − 2a

C) a 2 3 D) 3a 2 4 E) a 2 5

2

→ Segmento circular = 4 2

→ Segmento circular = πa4−(

RESOLUCIÓN:

2)

*Trazando las líneas que unen los puntos medios de los lados paralelos para luego trasladar adecuadamente: *se observa que la región sombreada será:

Rpta.: C PROBLEMA 03 A) 3(4 π − 3 3) B) 4(3 π − 3) C) 7 π − 2 3

Ssombreada = =

D) 7 3 − 2 π

RESOLUCIÓN: A) a 2 ( π − 2) 4

*Trazando los radios y asignando una letra a cada región conocida.

B) a 2 (2 − π) 4 C) a 2 (6 − π) 4 D) a 2 (4 − π) 4 E) a 2 π 4

*Se nota que: •

b

: triángulo equilátero (lado = 6)

•

a + b : sector circular (θ = 60°) :

a2 2

Rpta.: A PROBLEMA 05

“a”

Scuadrado 2

(La mitad del cuadrado)

E) 7 π + 2 3

•

B) a 2 4

:sector circular

RESOLUCIÓN: *Trazando líneas auxiliares, para luego trasladar:

triángulo equilátero

Pág 1244

Se observa que la región sombreada esta dada por un segmento circular (según problema # 2) Ssomb =

PROBLEMA 08 Hallar el área de la región sombreadas si AE = ED

2

a ( π − 2) 4

A) B) C) D) E)

Rpta.: A

PROBLEMA 06

2 4 8 5π 6

A) π a 2 8

RESOLUCIÓN:

B) π a 2 12

*Trazando y trasladando adecuadamente:

C) π a 2 4 D) π a 2 E) π a 2 16 Quedará:

RESOLUCIÓN: *Trazando las diagonales, para luego trasladar: •

Se observa que se va ha formar un semicírculo de diámetro “a”.

*Luego: S= = somb

*Quedó sombreado los: Scírculo 2

  

1 2

π (a)2 4

  

6S 8S

(

Área del rectángulo

)=

3 (4 × 4

2) = 6

Rpta.: E

→ Ssomb = a 2 8π

PROBLEMA 09

Rpta.: A

Hallar el área de la región sombreada: PROBLEMA 07 A) a 2 2 A)

a 2 ( π + 2) 8 2

C)

a ( π + 4) 2

E)

a 2 ( π + 4) 4

B) D)

B) a 2 4

a 2 ( π − 2) 4

C) 3a 2 5

2

D) 2a2

a ( π − 2) 8

E) 3a RESOLUCIÓN: *Trazando la otra diagonal y trasladando adecuadamente regiones sombreadas a otras sin sombrear que tengan las mismas áreas

RESOLUCIÓN: *Dividiendo la región sombreada en figuras conocidas: •

Se observa que las 2 figuras “S” juntas representan un semicírculo de diámetro “a” y “C” la cuarta parte del cuadrado de lado “a”  = +12  

Ssomb =

π a 2 + 2a 2 8

=

a2 8

π (a )2 4

*Quedará:

= = S sombreada   

a2 4

Scuadrado 4

a2 4

Rpta.: B

(π + 2) Rpta.: A

C APLICACIÓN DE PROPIEDADES Y Pág 1245

(

DIVISIÓN DE LAS FIGURAS Generalmente se traza las diagonales, medianas, paralelas,… etc. que dividan las figuras en partes iguales, para luego aplicar la proporción de la región sombreada y lo dado: Calcular el área de la región sombreada en cada uno de los casos siguientes:

= Ssomb Scuadrado − − − 1 −14

1 12

1 20

)

9a 2 20

Rpta.: B PROBLEMA 12

PROBLEMA 10

A)

a 2 (3 π − 1) 12

B)

a 2 ( π − 4) 12

D)

a2 (3 π − 4) 6

A)

a2 2

B)

a2 3

C)

a2 8

C)

5a 2 12

D)

3a 2 8

E)

a 2 (3 π − 4) 12

E)

7 a2 12

(3 π − 1)

RESOLUCIÓN: *Trazando la diagonal y así podemos aplicar la propiedad del baricentro.

RESOLUCIÓN: *Trazando la otra diagonal y una mediana adecuada:

•

9= S 20 cuadrado

→ Ssomb =

1 6

•

Se observa que de los 12S está sombreado 5S, luego: Ssomb = =

Por propiedad:

= = S •

5 (S ) 12 cuadrado

Scuadrado 12

a2 12

De la figura: = Ssomb −Scuadrante π a2

2

4a − 12

→ Ssomb = 4

5 a2 12

4S

2

Rpta.: C

a → Ssomb = π12 −(3

4) Rpta.: E

PROBLEMA 11 A) a 2 2 B) 9 a

2

PROBLEMA 13

20

B)

D) 3a 2 5

C) π R 2

D) R 2 ( π − 1)

E) 3a 2 8

E)

C) a 3

RESOLUCIÓN:

•

•

*Pero según propiedades Scuadrado 4

•

B=

Scuadrado 6

•

C=

Scuadrado 12

•

D=

Scuadrado 20

Considerando el círculo de diámetro AB

Ssomb = Scuadrado − (A + B + C + D) (I)

A=

(π − 3 )

1ER MÉTODO:

A + B + C + D + Ssomb = Scuadrado

•

R2 2

RESOLUCIÓN:

*Asignando una letra a cada región no sombreada y recordando las relaciones en un cuadrado (propiedad “H”), luego: →

π R2 2

A) 2 π R 2

2

AB = R 2 por el triángulo rectángulo AOB (45°; 45°)

•

*Reemplazando en (I) se tendrá:

2

•

π (R 2 ) S= somb − 4

•

S

(parcial) somb (parcial)

*Pero : S

=

π R2 4

somb (pedida)

Pág 1246

π R2 4

= 4S somb = (parcial)

4 π R2 4

= π R2

Rpta.: C

2DO. MÉTODO: (Por Lúnulas de Hipócrates)

Rpta.: A PROBLEMA 15 Dado:

• I)

Se deduce que:

Calcular: S3 , si: S1 − S2 = 2

S1 + S1 = SABC → 2S1= SABC

A) B) C) D) E)

II) S + S = segmento circular AB →2S= segmento circular AB *Pero:

4 1 2 3 1,5

RESOLUCIÓN: *Reemplazando I y II : 2(2S1) + 4(2S) →Ssombreada

I) Como BCDE es un trapecio entonces: = Scírculo mayor = π R2 Rpta.: C

PROBLEMA 14 El área de la región sombreada es: II) Como ABCD es un rectángulo, luego:

Donde: SABC = 6 A) 1 C) 3 E) 0,5

SABD = SBCD →S3 + S + S2 = S1 + S → S3 = S1 − S2 .... (Dato) → S3 = 2

B) 2 D) 4

RESOLUCIÓN:

Rpta.: C

*Trazando CO para asignar a cada región una letra de acuerdo al valor de sus lados:

PRÁCTICA DIRIGIDA

*De la figura: I)

S + 2S + 3P = 3(M + P) →3S + 3P = 3M + 3P →S = M

01 Calcular el área de la región sombreada.

II) P + 3P + 2S = 2(M + S) →4P + 2S= 2M + 2S →2P= M → 2P = S

A) π C) 3π E) 5π

*Reemplazando en el ∆ABC: Ssomb =

ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

B) 2π D) 4π

02 Calcular el área de la región sombreada.

2P (S ABC ) 12P

2

A) 3 a8

2 (6) =1 → Ssomb =12

Pág 1247

B)

a2 2

D) a 2 (9 3 − 3 π) 3 E) a 2 (9 3 − 3 π) 2

2

C) 2 a5

2

D) 3 a7

08 Calcular el área de la región sombreada. La figura es un trapecio.

2

a E) 4 13

03 Si el área del cuadrado mayor es M y los vértices de cada cuadrado interior parten en el punto medio del lado del cuadrado en que están inscritos. ¿Cuáles son correctas? 1) El área sombreada es M/2 2) El área sombreada es igual a la del cuadrado menor. 3) El área sombreada es M/4 A) Sólo 2 D) 2 y 3

B) Sólo 3 E) Sólo 1

A) 15 m2 D) 19 m2

A) B) C) D) E)

2

a3 3

B) 2 a3 2

C) 3 a4 E)

a2 2

D)

C) 18 m2

09 Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado.

C) 1 y 2

04 Calcular el área de la región sombreada. A)

B) 16 m2 E) 20 m2

4(π + 2) cm2 8(π − 2) cm2 8(π− 1) cm2 4(π − 2) cm2 8(π + 1) cm2

10 Hallar el área de la región sombreada.

2 3 a5

05 Hallar el área de la región sombreada.

A) π R2/2 D) 2π R2/3

A) 24m2 D) 21 m2

B) 23 m2 E) 20 m2

B) π R2/3 E) π R2/5

C) π R2/4

11 Según el gráfico PQRS es un rectángulo. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región rectangular es 200 m2. (A es punto de tangencia).

C) 22 m2

06 Calcular el área de la región sombreada; si el lado del cuadrado mide 4 cm. A) B) C) D) E)

6−π 8−π π−2 10 − π 4−π

A) 35π cm2 D) 37π cm2

07 Calcular el área de la región sombreada.

B) 45 π cm2 E) 50 (π − 50)

C) 40π cm2

12 Calcular el área de la región sombreada.

A) a 2 (6 3 − 2 π) 6 B) a 2 (4 3 − 3) 4 C) a 2 (9 3 − 4 π) 6 Pág 1248

18 Halle el área de la región sombreada (A, B y C son centros de las circunferencias). A) R 2 ( π − 3) 4

B) R 2 (2 π − 3) 2

C) R 2 (2 π − 3) 4

D) R 2 (2 π − 3 3) 2

E) R 2 ( π − 3) 2 13 Calcular el área de la región sombreada. A) a 2 (6 − π) 6 2

B) a (4 − π) 3 C) a 2 (6 − π) 4

A) 17 2π − 2 3

B) 24 π − 5 3

C) 16 3π − 5 3

D) 7 π − 6 2

E)

2

D) a (6 − π) 3

19 π 3

−2 3

19 Según la figura, calcular la razón de áreas de las regiones sombreadas.

E) a 2 (4 − π) 2 14 Hallar el área de la región sombreada. A) 2a 2 7 B) a 2 5

A) 1:3 B) 1:2 C) 1:4 D) 1:5 E) 1:1 20 En el gráfico, P es punto de tangencia, sabiendo que S1 − S2 = 12u2. Halle el área del semicírculo menor.

C) 3a 2 8 D) 2a 2 9 E) 4a 2 9 15 Hallar el área de la región sombreada si AB = 4 . A) 4π B) 3π C) 2π D) 5π

A) 12u2 D) 4u2

E) 6π 16 En la figura, ABCD en un cuadrado cuyo lado mide 10 cm. Halle el área de la región sombreada. A) B) C) D) E)

10cm2 15 cm2 20 cm2 25cm2 28 cm2

17 En la figura, si el área del cuadrado es 20 m2, determinar el área de la región sombreada. A) B) C) D) E)

10 m2 15 m2 12 m2 11 m2 8,5 m2

Pág 1249

B) 10u2 E) 6u2

C) 8u2