AREAS SOMBREADAS Primaria en Orden

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

SEGMENTOS

AREAS SOMBREADAS A = A

INTRODUCCIÓN El problema de la determinación de áreas de regiones se remota a la antigüedad y surgió como producto de la actividad práctica del hombre, como medir los terrenos de cultivo, de vivienda, etc. REGIÓN POLIGONAL Es la porción limitado por un polígono.

45cm

A = a

2

40m

A = 45 cm

2

2

ES A = 40m

AT = A1 + A2 + A3 B



Área de una región triangular es 40 m2.  Área de una región cuadrangular es 45 cm2. NOTA :

a A1 A2

A = a.b

A3

A

b

C

Si AT = Área del

ABCD

AT = A1 + A2 + A3 B

C

Cuadrilátero

ÁREA DEL ROMBOIDE Es igual al producto de su base por la altura.

A2

Dos regiones poligonales son equivalentes si la medida de sus áreas son iguales.

A1 A

h

A3 D

b ÁREA DEL CUADRADO

Región cuadrangular

ÁREA Medida de una región poligonal expresados en unidades cuadradas.

ÁREA DEL RECTÁNGULO Es igual al producto del largo por su ancho.

Si AT = Área del  ABC

2

ÁREAS EQUIVALENTES ( ) Región triangular

2

OPERACIONES CON ÁREAS

Para abreviar el área de una región poligonal, se dirá el área del polígono.

Triángulo

a

12 m

2

< >

12 m

2

Es igual a su lado elevado al cuadrado.

A

= b.h

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

ÁREA DEL TRIÁNGULO

HERÓN

ÁREA DEL TRAPECIO A1

FÓRMULA GENERAL

Es igual a la mediana por su altura.

b

a

c h

h

h

b

b

b

b.h A = 2

A=

P =

a

A1 a = b A2

P(P  a)(P  b)(P  c)

B

h

A1

abc 2

b a b  .h  2 

A

C

A= 

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

b

a

Donde :

A2

ÁREA DEL ROMBO

A1 =

AΔABC 4

RELACIÓN DE ÁREAS CUADRILÁTEROS a

a

a b

a

a2 3 A = 4

TRIÁNGULOS

A =

a.b 2

A

A1

A2 A = B

A1 = A2

B

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Trapecio ………………….

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

B A

SEGMENTO CIRCULAR . A

A

ÁREA DEL CÍRCULO .

C 2

A =B.C

A = R2  O R

 = 3,1416

B A

SECTOR CIRCULAR . A=B

R B

L

O d

AS =

LR 2

AS = º R2 360 º 

R

A

CORONA CIRCULAR . A=B A =  (R2  r2)

r

C A

B

C=A+B

A = AOB  AOB

O

O

R

B

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

EJERCICIOS DE APLICACION 1.

Si las regiones poligonales son equivalentes. Calcular “x”.

5.

Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15. Calcular su área. a) 12 b) 84 c) 24 d) 42 e) 21

a) b) c) d) e)

6.

Calcular el área del rombo ABCD. B

12 6 24 3 8

x

12 24

12 2. Calcular el área del trapecio ABCD, si PBCD es un romboide de área 24 m2. B C a) b) c) d) e) 3.

A

P

5

a) b) c) d) e)

D 6

Calcular el área sombreada : a) b) c) d) e)

4.

24 34 14 44 30

60 40 100 50 20

8.

17

10

d) 9

3

b) 9 e) 27

3

c) 6

3

3

.

24 m2 8. 32 16 A 48

4,5 m2 9 18 36 A 27

20 C

16

D

24m2 K

3K

Calcular el área del  ABC a) b) c) d) e)

15

Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 a) 3

a) 768 b) 384 c) 284 A d) 60 e) 30 7. Calcular el área del  ABC B

C

B

9m2 C

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes 12.

9.

10.

Calcular “Ax” si ABCD es trapecio B C 4m2 a) 8 m2 Ax b) 2 16m c) 6 2 d) 5 A e) 10

F

D

B

11.

a) b) c) d) e)

6 Q 10

R 17 2 13. Si el área del romboide es 80 m . Calcular el área sombreada. a) b) c) d) e)

C

2m 16 m2 2 32 8 64 A 44

51 85 102 170 36 P

Calcular el área del rectángulo ABCD.

a) b) c) d) e)

Calcular el área del  PQR

8m 2

6m

60 m2 40 50 30 45

B

C

A

2

D 14.

D

Si las regiones poligonales son equivalentes. Calcular “x”.

Calcular el área del romboide ABCD. 8 a) b) c) d) e)

32 m2 40 20 28 32 A

B

2K M 8m

3K

2

D

x 1 8

C a) 24

b) 24

d) 12

e) 6

2 2

c) 12

2

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

15.

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

20.

Calcular el área sombreada.

Calcular “Ax”, si el área del romboide es 72 m2 B

a) b) c) d) e) 16.

120 60 240 180 90

3

3

e) 56

Calcular el área del rombo si su lado mide 10 y la diagonal menor 12 m. a) 48 m2 b) 24 c) 12 d) 36

19.

e) 144

Los lados de un triángulo son 10, 17 y 21. Calcular su área. a) 42 b) 21 c) 35 d) 84

18.

8 28

El perímetro de un triángulo equilátero es 36 m. Calcular su área. a) 100 m2 b) 72 c) 36 3 d) 72

17.

a) 12 b) 24 c) 18 d) 36 e) 9

6

e) 96

Calcular “x”, si el área del  ABC es 60 m2 B a) 10 m2 b) 15 c) 35 d) 24 A e) 18

x 2K M

3K

N

7K

C

C

Ax A

D

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes 05. Si SABC=64, BM=MC, AN=NM, calcular: SMNC PROBLEMAS A) B) C) D) E)

01. Del gráfico, si SEBM=2, calcular “SABC” B A) B) C) D) E)

12 6 8 4 10

B

8 16 12 20 24

M N

M

A

C

2 1/2 3 4 1

C

A

E

06. En la figura, SABC=6, calcular el área de la región triangular EBF.

02. Del gráfico calcular la relación de áreas entre las regiones sombreadas y no sombreadas. A) B) C) D) E)

(S: área)

A) B) C) D) E)

B

2 1 3 3/2 1/2

E

A 2a

a

C

F

a 09. De la figura, SABC=90, SPBC=30. Si AC=30, calcular: AP

03. Calcular la relación entre las áreas de las regiones sombreadas y no sombreadas. B A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

3 2 1 4 6 A

2

D 4

B

C

E

10 15 20 16 18

A

P

C

10. Calcular el área de la región sombreada, si: S(ABC)=60; QC=2(AQ) y 2(BP)=3(PC)

6

B 04.

En un triángulo ABC: AB=9, BC=11 y AC=12. Se traza la mediana S(MNC) A)

2 35

B)

4 35

D)

8 35

E) 12

35

C)

6 35

BM

. Calcular

A) B) C) D) E)

16 20 24 25 28

P

A

Q

C

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

11. Calcular el área de la región sombreada, si: 3(AD)=4(DC) y S(ABC)=63

4.

B A) B) C) D) E)

18 24 27 32 36 A

D

C

Rpta.: ………………………… 

Las figuras que se muestran a continuación son cuadrados de 4m de lado. Calcular Ud. el área de la Región Sombreada.

5.

1. Rpta.: ………………………… Rpta.: ………………………… 2.

6.

Hallar el área de la región sombreada (aproximadamente) a) 4(4 - ) cm2 4 cm

b) (16 - 2) cm2 Rpta.: …………………………

c) (8 - 2) 4 cm

3.

d) (4 - ) e) N.A.

Rpta.: …………………………

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

7.

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Hallar el valor del área sombreada. a)  + 2 b)  - 2

2

10. Si el área del cuadrado ABCD vale 40m2. ¿Cuál es el área de la figura sombreada. 2 a) 20m

c) 2 + 4

e) 6 + 8 Calcular el valor del área sombreada.

a) 4D



2

D

b) D2/4

2D

15m2

d)

10m2

e)

25m2

B

C

a. 6( + 1) b. 6( - 1) c. 6(2 - )

Hallar el área sombreada.

d. 6 - 2 a) 16(4 - )

e. N.A.

b) 12(2 + ) c) 48 d) 9 e) 15 + 2

8

A

D En la figura que se muestra a continuación es un cuadrado de 4m de lado. Calcular Ud. el área de la Región Sombreada.

2

e) D2 9.

c)

11.

c) 5D2/4 d) 0,75D

12m2

2

d) 2 - 4

8.

b)

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

}

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes

Ing. Luis Abel Centeno Fuentes