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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RAZONAMIENTO

John E.Áreas Mamani Machaca

1

John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced

2

Sombreadas

MATEMÁTICO

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

Prof. Luis Cottos

Preparación al más alto nivel académico ÁREAS DE REGIONES TRIÁNGULARES

2

r

5. Área de un triangulo conociendo 2 lados y el ángulo comprendido.

a

h⋅ b A= 2

A = π⋅ r

2. Triángulo Obtusángulo

A=

h⋅ b 2

a

b

p=

a+ b+c 2

b 4. Triángulo Equilátero

L

A=

2

L ⋅ 3 4

7. Área de un triángulo rectángulo conociendo 2 segmentos de la hipotenusa. n A = m⋅ n m

8. Área de un triángulo circunscrito. a

60º

L

L h 60º

L

p=

A=

a

A= c

A = b⋅ h

b 16. Área de un rombo.

A = π( R2 − r2 )

r

*

A

D d

A=

a⋅ b⋅c 4R

D⋅ d 2

B

A=

r

R

π(AB) 4

2

17. Área de un paralelogramo.

h

R

r

A=

*

πθ ( 2 2 ) R −r 360

m



H

A = m⋅ h

B 19. Área de un cuadrilátero.

 L + L2  L1 A =  1 H

r

 B + b  A =  ⋅ h  2 

h

H L2

A = b⋅ h

b 18. Área de un trapecio. b

13. Área de una trapecio circular. *

A = p⋅ r

b

2

h ⋅ 3 3

h

12. Área de una corona circular. *

a+ b+c 2

c 9. Área de un triángulo inscrito.

L

60º

b

r

60º

π ⋅ r2 ⋅ α 360

A=

2

D 2

r

R

60º

L

αº

p( p − a )( p − b)( p − c )

A=

h⋅ b 2

L

L 15. Área de un rectángulo.

r

c

A=

D

L

11. Área de un sector circular.

θ

b 3. Triangulo Rectángulo.

h

a⋅b Sen θ 2

A=L

2

A=

b 6. Área de un triángulo conociendo los tres lados.

b

h

A=

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

14. Área de un cuadrado L

10. Área de un círculo.

1. Triángulo Cualquiera

h

ÁREAS SOMBREADAS

2



d θ

D

A=

D⋅ d ⋅ Sen θ 2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

John E.Luis Mamani Machaca Prof. Cottos 9. En un paralelogramo.

PROPIEDADES A S= T 2

S

S=

S

AT 4

10. En un cuadrilátero. 2. S

S

S

S=

S

S S

AT 6

S

John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced

4

S=

AT 2

PROBLEMA 05 2

Si el área del cuadrado ABCD mide 40m , y PQRS son los puntos medios de los lados. ¿Cuál será el área de figura sombreada? Q a) 25m 2 C B 2 b) 15m c) 30m

2

d) 40m e) 5m

3.

2

2

S=

S

S

AT 4

S

S2

S1 + S 2 = S 3

S3

4. 3S S

2S

4S

S= 2S

AT 12

12. En un cuadrado

A

S

6. En un trapecio. S1

13. En un cuadrado

A S= T 20

S

AT =

A S= T 2

S

S2

2

e) a / 4

S

θθ θ 2 3

PROBLEMA 08

a

a) 12m 2 b) 16m 2

4

c) 14m 2

S1

e) 11m 2

S1 + S 2 = A ∆

La grafica adjunta es un cuadrado cuyo lado mide 2. El área sombreada es: a) (π + 2) / 4 b) (π − 2) / 4 c) π / 4 d) π / 2 e) (π − 2) / 2

A∆

S

PROBLEMA 09

8

PROBLEMA 04

a) 2 3 / 3 Calcular el área sombreada si la figura es un b) 3 cuadrado. 2 c) 3 / 3 a) a / 2 b) a 2 / 4 2

A S= T 4

2 3

En la figura. Calcular el área sombreada.

15. En un cuadrado

8. En un paralelogramo.

π π−2 2π + 3 3π − 4 8π

d) 13m 2

S1 + S 2

7. En un trapecio.

S

Hallar el área sombreada si la figura es un a) cuadrado. b) 2 a) a (π−2) / 4 c) 2 d) b) a (π+ 2) / 4 a e) 2 c) a (π−1) / 4

Hallar el área sombreada.

14. Lúnulas de Hipócrates.

S

PROBLEMA 07

Hallar el área de la región sombreada.

PROBLEMA 03

S1 = S 2

S2

S

D

d) a (π +1) / 4 S

S2

6

2

A S= T 5

5. En un trapecio. S1

b) 3(4π− 3) c) 3(4π− 3 3) e) 3(π− 3)

PROBLEMA 02

S1

Hallar el área sombreada si la figura es un cuadrado. a) 3(4π+ 3 3)

d) 3(4π+ 3)

R

P

11. Para áreas semejantes. S

ÁREAS SOMBREADAS

PROBLEMA 01

1. S

3

A S= T 30

c) 3a / 4 d) 3a 2 / 2 e) a 2 / 5

d) 2 3

a

e) 3 3 / 2

60º 1

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

John E. Mamani Machaca Prof. Luis Cottos

PROBLEMA 10

PROBLEMA 13

5

e) 2R 2 2

60º R

R

60º R

R

PROBLEMA 11

Hallar el área de la región sombreada. a) b) c) d) e)

3(3π − 2) 3(π − 2) 3(3π + 2) 3(π + 2) 3(4π − 2)

John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced

PROBLEMA 17

En la figura mostrada, sobre el lado mayor Halla el área de la región marcada. del paralelogramo se ha construido un semicírculo. Hallar el área de la región a) 256 – 52 π 4 sombreada b) 288 – 52 π c) 360 – 52 π 6 a) R 2 3 d) 256 + 52 π 2 b) R 2 d) 253 + 25 π c) R 2 d) 2R 2 3

6

PROBLEMA 21

Cuál es el área de la región marcada en:

16

4

a) 64 b) 16 π c) 48 d) 32 π e) 80

4

4

b) π + 3 −

3

a) 2 ( 3 3 − π )

b) 4 ( 3 − π ) c) 8 π

C

A

D

3

PROBLEMA 18

Halla el área limitada por la región marcada en:

2

2

d) 2 ( 2 3 − π ) 2

2 2

PROBLEMA 15

El área de la región sombreada es igual a 15 veces el área de la región no sombrada y la suma de los perímetros de ambos cuadrados es 40. El área no sombreada es: PROBLEMA 12 a) 1 Un cubito sólido descansa en el fondo de una b) 2 prisma recto lleno de agua. Al extraer el c) 3 cubito la altura de agua disminuyen 1/8. d) 4 Hallar el área de la región sombreada. e) 5

3

3m

B

d) 2π + 3 − 2 3 e) 3π − 3 − 2

e) 4 3 + π

4

a) π − 3 + c) 2π − 3 −

4 4

4

Hallar el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es

PROBLEMA 14

En el siguiente cuadrado cuyo lado mide 4 determine el área de la región sombreada. a) 2π b) 3π c) 4π d) 5π 4 e) 6π

ÁREAS SOMBREADAS

2

PROBLEMA 19

PROBLEMA 22

Hallar el área de la región sombreada. a) 17 π − 30 b) 15π − 28 c) 15π − 30 d) 18 π − 36 e) 17 π − 32

.

. . 4

4

PROBLEMA 23

Si la figura es un cuadrado de lado 10, halla 7 el área marcada. (Asume que: 2 = ) 5

Si el área del círculo sombreado es

.

π 2 m . 4

Hallar el lado del cuadrado.

a) 4 π b) 2 π c) 8 π d) 5 π e) 10 π

PROBLEMA 16

Calcula el área de la región limitada por la estrella hexagonal formada únicamente por polígonos regular. 16

4

a) 8 3 4 2 4 2 a)

3

b) 4 3

d)

3 /2

e)

3/4

c) 8 3

b) 12 3 c) 64 d) 96 e) 16 3

4

4

4

4

4 4

4

4

PROBLEMA 20

En la figura, calcula el área limitada por la región triangular marcada, si la figura mayor es un rectángulo. a) 27 b) 36 c) 54 d) 60 e) 72

a) 2 3 − 2

b) 3 2 + 2

c) 3 2 + 1

d) 2 2 + 3

e) 2 3 + 3 PROBLEMA 24

15

20

En la siguiente figura, hallar el área de la región sombreada sabiendo que el diámetro del circulo de centro O, mide 12 cm .

John E.Luis Mamani Machaca Prof. Cottos

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 35 cm

2

b) 36 cm

2

c) 37 cm

π (21 − 8 3) 2 π d) (50 − 29 3) 2 π d) (57 − 32 3) 4

d) 38 cm

2

e) 34 cm

2

π (57 − 32 3) 2 π e) (55 − 32 3) 2

a)

2

O

b)

PROBLEMA 28

PROBLEMA 25

Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de "8a" cm de lado.

En la figura, el segmento DE es tangente a la semicircunferencia, hallar el área sombreada. 2

a) 64a

2

a) 2a (5 − π)

b) 16a

2

b) 2a (4 − π)

E

A

2

2

c) 2a (6 − π)

2 d) 16a ( 4 + π )

4a

2

d) 2a (5 + π)

2

e) 8a ( 2 + π )

2

e) 2a (5 + 2π)

4a

D PROBLEMA 26

c) 2 ( 2 +

d) 4 ( 1 +

e) 4 ( 2 +

2)

2π + 1 )

2

2π − π ) 2π )

B

b) 3 3

e)

Hallar el área sombreada, si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 2.

2

C

2

D

D

3

d) 3 3 / 2

PROBLEMA 27

A

En la figura mostrada, calcula el área del triángulo BCD si los triángulos ABC y CDE son equiláteros:

c)

John E. Mamani Machaca I.E.P.La Merced

8

PROBLEMA 31

A

2

3 /2

C

1

ÁREAS SOMBREADAS PROBLEMA 35

2

Si el área del cuadrado es 64 m . Hallar el área del círculo. a) 3π b) 9π c) 4π d) 2π e) 12π PROBLEMA 32

Hallar el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado. a) 220 b) 300 c) 225 d) 250 e) 36

25

PROBLEMA 36

Halla el área limitada por la corona circular, si la cuerda AB que mide 6cm es tangente al círculo menor. A a) 9 π b) 8 π c) 16 π B d) 36 π e) 4 π PROBLEMA 33

a) 2 3

2π − 2π )

B

C

PROBLEMA 29

Hallar el área sombreada, en la siguiente figura: 2 b) 2 ( π +

B

2

c) 4a + π

a) 2 ( π +

7

En la figura adjunta calcular el área de la figura sombreada

1

a) 42 b) 38 c) 40 d) 44 e) 46

12

20

PROBLEMA 37

Hallar el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado de la 8. a) 32(π − 2) b) 16(π − 3) c) 8(π + 4) d) 24(π − 1) e) 34(π + 2)

2

2

2

En la figura: 3u , 4u , 6u , y S son las áreas de las regiones mostradas. Hallar S. a) 8 4 b) 10 S 3 c) 9 d) 6 6 e) 7

E PROBLEMA 34

PROBLEMA 38

Hallar el área de región sombreada, si la figura es un cuadrado.

Hallar el área de la región sombreada, si al figura es un cuadrado de lado 6

PROBLEMA 30

Si los radios de los círculos iguales mide 10 2 . Hallar sombreada. a) 226 b) 228 c) 216 d) 218 e) 232

el

área

de la

a

región

a) 4(5 +

c) 8( 3 + 2π) 2

2

3 + π) b) 2a (3 +

d)

e) 5a (4 + 2 3 + π)

2

3 − π)

a (12 − 3 3 − 2π) 12

a) 12π − 9 3

b) 15π − 18 3

c) 13π − 9 3

d) 15π − 9 3

e) 18 π − 8 3