Areas de Una Region Limiada Por Una Curva Parametrica

 

ÁREA DE UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA PARAMÉTRICA FUNDAMENTO TEÓRICO 1. IN INTR TROD ODUC UCCI CION ON:: Veamos la región R en dos grafcas:

 

{

C 1 :   x = x ( t ) ¿ y = y ( t ) t   ∈ [ α , β ]

C 2 : ¿   y x= = x y( t ( t ) )

{

En el pri primer mer grá gráfco fco,, la región región R est está á aco acotad tada a por dos curva curvass C 2  que se intersecan en los puntos A Y B. i las curvas

C 1   y

C 1

 y C 2

están est án e!pr e!presa esadas das por sus cor corre respo spondi ndient entes es ecuaci ecuacione oness cartes cartesian ianas, as, entonces el área de la región R es: a

 Area ( R )=∫ [ f  ( (  xx ) −g (  xx ) ] . dx b

En el segundo gráfco, se tiene la misma región acotadas por las mismas curv cu rvas as

C 1   y

C 2   cuyas ecuaciones param"tricas, respectivamente,

se conocen. En este caso, el área de la región R se #alla por una $órmula que se deduce a partir del teorema de %reen &'ntegrales curvil(neas). :

El área de la región R encerrada por las curvas

+ ¿∫ ¿   ∮ Area&R)*

C 2

C 1U C 2

∫¿ C 1

C 1

 y

C 2 es

 

+uando se quiere integrar sore una curva cerrada +, la notac notación ión  

 

'ntegral a lo largo de la curva C 2 'ntegral a lo largo de la curva C 1

-onde C   es la concatenacion &yu!taposicion) de C   que encierra a la 2

1

region R siguiendo una orientacion anti#oraria y la $ormula de cada integral curvil(nea está dada por:  1

 β

∫ ¿ 2 ∫ ( xdy − ydx ) α 

C 1

 1

t 2

∫ ¿ 2 ∫ ( xdy − ydx) C 2

t 1

Estas $órmulas son válidas, siempre que se cumplan las siguientes #ipótesis: #: +ada curva es regular de clase +/ en todo el recorrido de t de su dominio 0a curva C 1  es RE%10AR -E +0AE +/, ∀ t conα ≤t ≤ β   0a curva C 1  es RE%10AR -E +0AE +/, ∀ tcont 1 ≤ t ≤ t 2  #2: 0a orientación de las curvas C 1  y

C 2  que encierran a la region R, esta

dad en el E34'-5 -E 0A RE%'53 R &es el sentido que sigue una curva de tal manera que la región R este siempre a la i6quierda de la curva.

1. TEOR TEOREMA EMA DE G GRE REEN EN . ea H I P O T E S I S

Entonces

TESIS:

ω = A (  xx , y ) dx + B (  xx , y ) dy   un una a $orm $orma a di$er di$eren enci cial al,, do dond nde e

A&!,y) y B&!,y) son $unciones reales de clase +7 sore un con8unto aierto ∪ c R ²  . 2. ea R una región cerrada y acotada &su con8unto de R9) con R534ERA una curva + cerrada, simple, RE%10AR y de clase +7. ;. 0a curva + está orientada en sentido anti #orario.

 

∂B ∂x

(¿

−∂ A   ) dx.dy =∮ ( A ( x , y ) dx + B ( x , y ) dy ) … … … … … .. ( 1 ) ∂y

C 

∬¿  R

'34 '34E% E%R RA0 +1 +1R RV'0' V'0'3E 3EA A -'ERE3+'A0 ∂B

'34E%RA0 -5B0E 13+'53 & ∂ x   =

-E

0A 5 5R R α , β ¿ → R ²

 

t → r´ ( t )=( x ( t ) , y ( t ) ) El

vector

velocidad

es

´r ' ( t )=( x ' ( t ) , y ' ( t ))

") En la $ormula &') si + *

C 1 u

C 2   u

C 3  u ... u

C n  , donde cada

curva C i  es regular de clase +7 + 7 , entonces:

∮ ω =∮ ω+∮ ω +… +∮ ω C 

C 1

C 2

, donde  ω = A (  xx , y ) dx + B ( x , y ) dy

C n 2

#) ea la $unción  :  R → R &!,y) →  6 * &!, y) El di$erencial de  es:   COROLARIO

(¿ i la $ormula & ' ) :

∂ F  ∂ F   . dx +  . dy ∂x ∂y

d *

ω = A . dx + B.dy

 ∂ B ∂ A  −  ) dx.dy =  A ( x , y ) dx + B (  xx , y ) . dy ∂x ∂x C 

∮

∬¿

 ,

 R

∂B ∂ A  −  = 1 ∂x ∂x

e #ace

1

1 2

)

 , entonces:

−( −2 )

∬ dxdy = 12 ∮ ( xdy − ydx ) … … … (1)  R

Grea de la región R

'ntegral de la l(nea sore la curva cerrada F, que es la $ron $ronte tera ra de la  

1

a) B *

 x  y A * 2

−1 2

 y  

 

c) i la región R está limitada por la curva +, el e8e ! y las

re recta ctass !*a !*a,, !* !*,, el

área de la región R es:  β

A&R) * =  

∫ y ( t ) x ( t ) . dt  ' 

α 

+ esta parame tri6ada por

´r  : > α , β ¿ → R ²   t → ´r ( t )=( x ( t ) , y ( t )) d) i la re región gión R est está á limita limitada da por la curva +, el e8e Y y las rectas y*c, y *d, el área de la región R es:  β

∫ y ( t ) x ( t ) . dt  ' 

 

A&R) *

 

+ esta parametri6ada por

α 

´r  : > α , β ¿ → R ²   t → ´r ( t )=( x ( t ) , y ( t ))

PROCEDIMIENTO: E$EMPLO 1.% allar el área de la región encerrada encerrada por la curva +, donde:

{

C :   x =a . cos t  ¿ y =a.sent 

t   ∈ [ 0 , 2  ]

Solución:

2. El graf grafco co de la ccurva urva +, es una cir circun$er cun$erencia encia d de e radio a, a H I

 

+uando t recorre de I a 2J la curva recorre desde &a, I) #asta &a, I) siguiendo el sentido anti#orario cerrándose la curva. ;. 1na ssola ola ccurva urva en encier cierra ra la regi región ón R &cir &circulo) culo) 0a cu curv rva a + &cir &circu cun$ n$er eren enci cia) a) es RE RE%1 %10A 0AR R y de clas clase e +7

∀ t , 0 ≤ t ≤ 2  

.

Ademas la curva tiene orientacion anti#oraria cuando t recorre desde I #asta 2J &es el sentido segKn la región R, porque la región R está a la i6quierda de +). 0uego, el área de la región R encerrada e ncerrada por la curva +, está e stá dada por: 1

Grea&R) * 

2

2  

∮ ( xdy− ydx ) 0

t  a.sent 

¿ ¿

*

2  

1 2

∫¿ 0

a2 co s2 t + a ² sen ² t  [ ¿ ] dt 

*

1 2

1

*

2

2  

2  

∫¿ 0

a ² ∫ dt 

* J.a9

0

 

E&e'(* E&e' (* +.%  a all llar ar el ár área ea de la reg egió ión n limi limita tada da po porr las las gráf gráfca cass de las las ecuaciones: ! * | y| , !9 L y9 * M

S*,c#-:  

-espu"s de darle sentido a las $ronteras de la región R, cerrando el circuito, se parametri6an cada $rontera: !A

a) 0a parametri6ación del segmento r  &  &t) t) * &I,I) L t>&2,=2) N &I,I)O ,

 es:

0 ≤t ≤1

⃗

r  &t) * &2t,=2t) ,

⃗

0 ≤t ≤ 1

^

AB  es: b) 0a parametri6ación del arco   AB r  &t) * &   " Mcos t,

⃗

" Msen t)

, =

  4

≤t≤

   4

c) 0a parametri6ación del segmento B!  es: r  & 0 ≤t ≤1  &t) t) * &2,2) L t>&I,I) N &2,2)O , ⃗

r  &t) * &2,=2t , 2 =2t),

0 ≤t ≤ 1

⃗

•

El área de la región R es: 1

A&R) * •

2

1

1

  / / 4

1

1

❑

 xdy − ydx ) +   ∫ ( xdy  xdy − ydx ) + ∫ ( xdy − ydx ) ∫ ( xdy 2− / 2  

0

4

0

acer los cálculos au!iliares para otener A&R) * 2    

E&e'(* /.% allar el área de la región limitada por la curva:   x = 4− 4 t  y el e8e F. +: ¿ y =2−2 t   

{

2

S*,c#-: .= 0a grafca de la curva es:

 

2.= 0os l(mites de integración se #allan en los puntos de intersección con el e8e F. 0a intersección de la curva con el e8e F se #alla #aciendo y*I i y * I →  I * 2 = →  t *

  0uego

2

2 t 

#  

=  ≤t ≤1

0a $unción vectorial continua que parametri6a a la curva + es: →    R2

r  : >=,O

⃗

t →   r  &t) * & P N Pt, 2 = ⃗

•

2

2 t 

)

En este caso, por la $orma que tiene la región, conviene aplicar la $ormula dado en c) del ccorolario. orolario. 1

A&R) * =

 y ( t ) x (t ) dt  ∫ − ' 

1

1

 

*=

∫ (2− 2 t  ) (−4 ) dt  2

−1 1

 

[  ] 3

t*

t 

32 * M   ∫ (1−t  ) dt =8 t − 3 = 3 2

−1

t*=

 

+53+01'53: Este tra Este trabaj bajo o nos sirv sirvió ió para ent entend ender er un po poco co las aplic aplicac acion iones es que tiene tienen n las inte integr gral ales es pa para ra el us uso o ma mate temá máti tico co en la in inge geni nier ería ía pr prim imor ordi dial alme ment nte. e. Es un una a herramient herra mienta a muy útil para el cálcu cálculo lo de áreas dificile dificiles s de solucion solucionar ar mediant mediante e los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.

 

!E"#$%&'($% )E *(E+!&#'",

P0e!,a 1.% allar el área de la región limitada por la curva +: ! *  N cos 2t , y * P cos t y el e8e Y.

P0e!,a +.% allar el área de la región limitada por las gráfcas de las curvas: C 1 :  

{

1

 x = ( t 2+ 2 ) −2 ≤ t ≤ 4 2

¿ y =t 

 

C 2 :  

= + t  ≤ t ≤ {¿  yx=− + t  3

 0

6

2

P0e!,a /.% allar el área de la región R.

 

A&R) * 1 2

 

∮

 

C

⏞

 xdy − ydx

 {∫

1

*

2

C 

ω+

 ´ ∪ !A

∫´ ω+∫´

 A!

 AB

}