Areas de Una Region Limiada Por Una Curva Parametrica
March 24, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ÁREA DE UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA PARAMÉTRICA FUNDAMENTO TEÓRICO 1. IN INTR TROD ODUC UCCI CION ON:: Veamos la región R en dos grafcas:
{
C 1 : x = x ( t ) ¿ y = y ( t ) t ∈ [ α , β ]
C 2 : ¿ y x= = x y( t ( t ) )
{
En el pri primer mer grá gráfco fco,, la región región R est está á aco acotad tada a por dos curva curvass C 2 que se intersecan en los puntos A Y B. i las curvas
C 1 y
C 1
y C 2
están est án e!pr e!presa esadas das por sus cor corre respo spondi ndient entes es ecuaci ecuacione oness cartes cartesian ianas, as, entonces el área de la región R es: a
Area ( R )=∫ [ f ( ( xx ) −g ( xx ) ] . dx b
En el segundo gráfco, se tiene la misma región acotadas por las mismas curv cu rvas as
C 1 y
C 2 cuyas ecuaciones param"tricas, respectivamente,
se conocen. En este caso, el área de la región R se #alla por una $órmula que se deduce a partir del teorema de %reen &'ntegrales curvil(neas). :
El área de la región R encerrada por las curvas
+ ¿∫ ¿ ∮ Area&R)*
C 2
C 1U C 2
∫¿ C 1
C 1
y
C 2 es
+uando se quiere integrar sore una curva cerrada +, la notac notación ión
'ntegral a lo largo de la curva C 2 'ntegral a lo largo de la curva C 1
-onde C es la concatenacion &yu!taposicion) de C que encierra a la 2
1
region R siguiendo una orientacion anti#oraria y la $ormula de cada integral curvil(nea está dada por: 1
β
∫ ¿ 2 ∫ ( xdy − ydx ) α
C 1
1
t 2
∫ ¿ 2 ∫ ( xdy − ydx) C 2
t 1
Estas $órmulas son válidas, siempre que se cumplan las siguientes #ipótesis: #: +ada curva es regular de clase +/ en todo el recorrido de t de su dominio 0a curva C 1 es RE%10AR -E +0AE +/, ∀ t conα ≤t ≤ β 0a curva C 1 es RE%10AR -E +0AE +/, ∀ tcont 1 ≤ t ≤ t 2 #2: 0a orientación de las curvas C 1 y
C 2 que encierran a la region R, esta
dad en el E34'-5 -E 0A RE%'53 R &es el sentido que sigue una curva de tal manera que la región R este siempre a la i6quierda de la curva.
1. TEOR TEOREMA EMA DE G GRE REEN EN . ea H I P O T E S I S
Entonces
TESIS:
ω = A ( xx , y ) dx + B ( xx , y ) dy un una a $orm $orma a di$er di$eren enci cial al,, do dond nde e
A&!,y) y B&!,y) son $unciones reales de clase +7 sore un con8unto aierto ∪ c R ² . 2. ea R una región cerrada y acotada &su con8unto de R9) con R534ERA una curva + cerrada, simple, RE%10AR y de clase +7. ;. 0a curva + está orientada en sentido anti #orario.
∂B ∂x
(¿
−∂ A ) dx.dy =∮ ( A ( x , y ) dx + B ( x , y ) dy ) … … … … … .. ( 1 ) ∂y
C
∬¿ R
'34 '34E% E%R RA0 +1 +1R RV'0' V'0'3E 3EA A -'ERE3+'A0 ∂B
'34E%RA0 -5B0E 13+'53 & ∂ x =
-E
0A 5 5R R α , β ¿ → R ²
t → r´ ( t )=( x ( t ) , y ( t ) ) El
vector
velocidad
es
´r ' ( t )=( x ' ( t ) , y ' ( t ))
") En la $ormula &') si + *
C 1 u
C 2 u
C 3 u ... u
C n , donde cada
curva C i es regular de clase +7 + 7 , entonces:
∮ ω =∮ ω+∮ ω +… +∮ ω C
C 1
C 2
, donde ω = A ( xx , y ) dx + B ( x , y ) dy
C n 2
#) ea la $unción : R → R &!,y) → 6 * &!, y) El di$erencial de es: COROLARIO
(¿ i la $ormula & ' ) :
∂ F ∂ F . dx + . dy ∂x ∂y
d *
ω = A . dx + B.dy
∂ B ∂ A − ) dx.dy = A ( x , y ) dx + B ( xx , y ) . dy ∂x ∂x C
∮
∬¿
,
R
∂B ∂ A − = 1 ∂x ∂x
e #ace
1
1 2
)
, entonces:
−( −2 )
∬ dxdy = 12 ∮ ( xdy − ydx ) … … … (1) R
Grea de la región R
'ntegral de la l(nea sore la curva cerrada F, que es la $ron $ronte tera ra de la
1
a) B *
x y A * 2
−1 2
y
c) i la región R está limitada por la curva +, el e8e ! y las
re recta ctass !*a !*a,, !* !*,, el
área de la región R es: β
A&R) * =
∫ y ( t ) x ( t ) . dt '
α
+ esta parame tri6ada por
´r : > α , β ¿ → R ² t → ´r ( t )=( x ( t ) , y ( t )) d) i la re región gión R est está á limita limitada da por la curva +, el e8e Y y las rectas y*c, y *d, el área de la región R es: β
∫ y ( t ) x ( t ) . dt '
A&R) *
+ esta parametri6ada por
α
´r : > α , β ¿ → R ² t → ´r ( t )=( x ( t ) , y ( t ))
PROCEDIMIENTO: E$EMPLO 1.% allar el área de la región encerrada encerrada por la curva +, donde:
{
C : x =a . cos t ¿ y =a.sent
t ∈ [ 0 , 2 ]
Solución:
2. El graf grafco co de la ccurva urva +, es una cir circun$er cun$erencia encia d de e radio a, a H I
+uando t recorre de I a 2J la curva recorre desde &a, I) #asta &a, I) siguiendo el sentido anti#orario cerrándose la curva. ;. 1na ssola ola ccurva urva en encier cierra ra la regi región ón R &cir &circulo) culo) 0a cu curv rva a + &cir &circu cun$ n$er eren enci cia) a) es RE RE%1 %10A 0AR R y de clas clase e +7
∀ t , 0 ≤ t ≤ 2
.
Ademas la curva tiene orientacion anti#oraria cuando t recorre desde I #asta 2J &es el sentido segKn la región R, porque la región R está a la i6quierda de +). 0uego, el área de la región R encerrada e ncerrada por la curva +, está e stá dada por: 1
Grea&R) *
2
2
∮ ( xdy− ydx ) 0
t a.sent
¿ ¿
*
2
1 2
∫¿ 0
a2 co s2 t + a ² sen ² t [ ¿ ] dt
*
1 2
1
*
2
2
2
∫¿ 0
a ² ∫ dt
* J.a9
0
E&e'(* E&e' (* +.% a all llar ar el ár área ea de la reg egió ión n limi limita tada da po porr las las gráf gráfca cass de las las ecuaciones: ! * | y| , !9 L y9 * M
S*,c#-:
-espu"s de darle sentido a las $ronteras de la región R, cerrando el circuito, se parametri6an cada $rontera: !A
a) 0a parametri6ación del segmento r & &t) t) * &I,I) L t>&2,=2) N &I,I)O ,
es:
0 ≤t ≤1
⃗
r &t) * &2t,=2t) ,
⃗
0 ≤t ≤ 1
^
AB es: b) 0a parametri6ación del arco AB r &t) * & " Mcos t,
⃗
" Msen t)
, =
4
≤t≤
4
c) 0a parametri6ación del segmento B! es: r & 0 ≤t ≤1 &t) t) * &2,2) L t>&I,I) N &2,2)O , ⃗
r &t) * &2,=2t , 2 =2t),
0 ≤t ≤ 1
⃗
•
El área de la región R es: 1
A&R) * •
2
1
1
/ / 4
1
1
❑
xdy − ydx ) + ∫ ( xdy xdy − ydx ) + ∫ ( xdy − ydx ) ∫ ( xdy 2− / 2
0
4
0
acer los cálculos au!iliares para otener A&R) * 2
E&e'(* /.% allar el área de la región limitada por la curva: x = 4− 4 t y el e8e F. +: ¿ y =2−2 t
{
2
S*,c#-: .= 0a grafca de la curva es:
2.= 0os l(mites de integración se #allan en los puntos de intersección con el e8e F. 0a intersección de la curva con el e8e F se #alla #aciendo y*I i y * I → I * 2 = → t *
0uego
2
2 t
#
= ≤t ≤1
0a $unción vectorial continua que parametri6a a la curva + es: → R2
r : >=,O
⃗
t → r &t) * & P N Pt, 2 = ⃗
•
2
2 t
)
En este caso, por la $orma que tiene la región, conviene aplicar la $ormula dado en c) del ccorolario. orolario. 1
A&R) * =
y ( t ) x (t ) dt ∫ − '
1
1
*=
∫ (2− 2 t ) (−4 ) dt 2
−1 1
[ ] 3
t*
t
32 * M ∫ (1−t ) dt =8 t − 3 = 3 2
−1
t*=
+53+01'53: Este tra Este trabaj bajo o nos sirv sirvió ió para ent entend ender er un po poco co las aplic aplicac acion iones es que tiene tienen n las inte integr gral ales es pa para ra el us uso o ma mate temá máti tico co en la in inge geni nier ería ía pr prim imor ordi dial alme ment nte. e. Es un una a herramient herra mienta a muy útil para el cálcu cálculo lo de áreas dificile dificiles s de solucion solucionar ar mediant mediante e los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.
!E"#$%&'($% )E *(E+!&#'",
P0e!,a 1.% allar el área de la región limitada por la curva +: ! * N cos 2t , y * P cos t y el e8e Y.
P0e!,a +.% allar el área de la región limitada por las gráfcas de las curvas: C 1 :
{
1
x = ( t 2+ 2 ) −2 ≤ t ≤ 4 2
¿ y =t
C 2 :
= + t ≤ t ≤ {¿ yx=− + t 3
0
6
2
P0e!,a /.% allar el área de la región R.
A&R) * 1 2
∮
C
⏞
xdy − ydx
{∫
1
*
2
C
ω+
´ ∪ !A
∫´ ω+∫´
A!
AB
}
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