Areas Con Planimetro

17. CÁLCULO DE ÁREAS

Todo lo visible oculta algo. (Francisco Javier Sáenz de Oiza)

17.1. Clasificación de los métodos para el cálculo de áreas. Como vimos en 5.2. la superficie que interesa en topografía es la superficie agraria, así pues, cuando se trata de calcular superficies de terreno, nos referiremos a esta superficie, ya definida. En algunos casos, cuando no nos refiramos a terrenos, podremos necesitar obtener el valor del área de una superficie determinada, no necesariamente de un terreno y, por tanto, no relacionada con la superficie agraria. Los métodos que estudiaremos serán fundamentalmente destinados a determinar áreas de terreno, aunque los consideraremos válidos para determinar áreas en general. Cuando tengamos pues que determinar áreas de terreno, tendremos en cuenta que los datos obtenidos de los levantamientos topográficos, permitirán en general calcular las superficies agrarias. La elección del método para calcular una superficie, dependerá del tipo de superficie que sea, de la exigencia de precisión, de los datos de que se disponga u otros. Los métodos, en general para determinar superficies se clasifican en:

423

Topografía en Obras de Arquitectura

• • • •

 Métodos numéricos  Métodos analíticos  Métodos gráficos y  Métodos mecánicos

Los métodos numéricos son los que se basan en la determinación de las superficies directamente a partir de los datos tomados en el trabajo de campo, siendo los más precisos. Entre ellos está la descomposición en triángulos y el método de radiación. Los métodos analíticos son los que se basan en la determinación de las superficies a partir de las coordenadas cartesianas de los   vértices de las figuras cuya superficie se pretende calcular, estudiaremos las fórmulas de Bezout, Simpson y Poncelet. Los métodos gráficos se basan en el cálculo de las superficies a partir de datos tomados gráficamente de un plano. Los métodos mecánicos son los que se basan en el cálculo de la superficie, en un plano utilizando instrumentos mecánicos denominados planímetros o superficiómetros.

424

Cálculo de áreas

17.2. Descomposición en triángulos. Entra dentro de los métodos elementales y es paralelo al método estudiado en 9.2, y derivado de él. Se emplea normalmente para la determinación de superficies de solares de pequeña y mediana dimensión y se basa en un levantamiento efectuado con cinta métrica. Si recordamos el punto referido, Figura 17.1, tendremos que la superficie de la poligonal, será la suma de la superficie de los triángulos que la forman, siendo la superficie de un triángulo, del que se conoce la longitud de sus lados, recordando que ( p) es el semiperímetro del mismo, se obtiene mediante la fórmula de Herón:

S  =  p ( p − a)( p − b)( p − c)

A B C

H

  N

G

F E

D

 Figura 17.1:: Método de descomposición en triángulos.

425

Topografía en Obras de Arquitectura

17.3. Radiación. Método basado en la toma de datos mediante estación total o taquímetro, habiendo efectuado un levantamiento por radiación, desde un punto interior de la zona que se quiere superficiar, habiendo destacado todos los puntos correspondientes a los   vértices de la poligonal o puntos de inflexión, así como los ángulos comprendidos entre ellos, Figura 17.2. 2 1

n

3

d 2

d 1 αn

α1

d n

α 2

d 3

 Figura 17.2: Radiación. La superficie a medir, quedará dividida en triángulos limitados por las visuales y los lados de la poligonal. De estos triángulos conocemos dos de sus lados (d 1) y (d  2), así como el ángulo que forman (α), podemos calcular su superficie mediante la expresión:

 s1 = 426

1 2

d 1 ⋅ d 2 ⋅ senα 

Cálculo de áreas

  ya que si llamamos (b) al lado desconocido y (h) a la altura perpendicular a (b), sabemos que la superficie de este triángulo, según la fórmula clásica es:

 s1 =

1 2

b⋅h

Tomando uno de los lados (d  2), y el ángulo ( A) que forma el otro con el lado (b), y aplicando el teorema del seno, tenemos que:

d 2 b d  ⋅ senα  = ⇒b= 2  senA  senα   senA También podemos aplicar el teorema del seno al otro lado (d 1), el ángulo recto que forman (b) y (h), la propia altura (h) y el mismo ángulo ( A):

h  senA

=

d 1 ⇒ h = d 1 ⋅ senA 1

Sustituyendo los valores obtenidos de (b) y (h) en la fórmula clásica de la superficie del triángulo: 1 d 2 senα  1  s1 = d 1 ⋅ senA = d 1 ⋅ d 2 ⋅ senα  2  senA 2 Una vez comprobada esta expresión, podemos escribir la superficie de la poligonal, como suma de las superficies de los triángulos que la forma, en función de los valores que conocemos:

S  =

1 2

(d 1d 2 sen 1 + d 2d 3 sen α 

α 

2

+ ... + d n d 1 senα n )

427

Topografía en Obras de Arquitectura

17.4. Fórmula de Bezout. Los tres sistemas que veremos a continuación, se basan en determinar la superficie de un a zona irregular, mediante el establecimiento de una línea recta, que consideraremos el eje de abscisas y un tramo curvo cualquiera que limita la superficie. Es de suponer que entre el tramo o los tramos rectos, podremos calcular la superficie por medio de fórmulas geométricas sencillas.

 y1  y2  y3  y4  y5  y6   y7   y8  y9  y10  y11  y12  y13  y14 x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 Figura 17.3.  Así pues, para aplicar la fórmula de Bezout, el eje de abscisas de divide en un número (n) de partes iguales, levantando perpendiculares en cada uno de los puntos resultantes de la división, Figura 17.3. La dimensión de las partes en que hemos dividido el eje de abscisas será ( x ), y cada una de las perpendiculares u ordenadas en cada punto serán (y1), (y 2),… (yn), siendo la fórmula para calcular la superficie ( S ) la siguiente:

 y +  yn −1 ⎞ ⎛  y2 +  y1  y3 +  y2 + + ... + n ⎟ 2 2 ⎝  2  ⎠

S  =  x ⋅ ⎜

Fórmula que se basa en la descomposición de la figura en trapecios, sustituyendo el arco por la cuerda. Es necesario que la dimensión ( x ) sea lo suficientemente pequeña para minimizar el error que surge en la sustitución del arco por su cuerda, y que será siempre positivo, es decir, la el área se calculará por exceso, cuando la curva sea cóncava, y negativo, es decir, el área de calculará por defecto en curvas convexas, compensándose los 428

Cálculo de áreas

errores si la superficie está delimitada por curvas con convexidades o concavidades proporcionales.

429

Topografía en Obras de Arquitectura

17.5. Fórmula de Simpson. Para aplicar a tramos superficies delimitadas por tramos de curvas enteramente cóncavas o enteramente convexas, que si no corresponden a la curva que delimita la superficie, se hará corresponder para utilizarla en tramos independientes.

 y1

 y2 x

 y4

 y3

 yn+1 x

x

x

x

x

 Figura 17.4. El eje de abscisas de se divide en un número par de partes iguales, levantando las ordenadas en los puntos de corte, Figura 17.4., tomando sus valores que serán (y1), (y 2),… (yn), y con el valor ( x ) de equidistancia del eje de abscisas, se valoran dos áreas ( s) y ( S ). La primera (s) es la que resulta de sustituir los arcos por las cuerdas, es decir la fórmula de Bezout, y la segunda ( S ) es la que resulta de sustituir los arcos por las tangentes en los extremos de las ordenadas de orden par hasta cortar las ordenadas de orden impar, siendo su valor:

S  = 2 ⋅ x ⋅ ( y2 + y4 + ... + y n ) Siendo la superficie total ( S T)  la que nos da la siguiente expresión:

S T  = s +

S − s 3

El máximo error (em) con el que quedará determinada la superficie será:

em = ( S − s ) − 430

S − s 3

2

= ( S − s) 3

Cálculo de áreas

17.6. Fórmula de Poncelet.   Al igual que en el método de Simpson, se dividirá el eje de abscisas en un número de partes iguales par, Figura 17.5, levantando las ordenadas en los puntos extremos y en los de orden par, midiendo su valor.

 y1

 y4

 y2 x

x

x

 yn x

x

 yn+1 x

 Figura 17.5. El resultado será el de valorar dos superficies (s) y ( S ). La primera (s) será el resultado de unir el primer punto con el segundo, este con el cuarto, y así de dos en dos hasta el penúltimo, que se unirá con el último. La segunda ( S ) se determinará por la tangente de los puntos pares, igual que en el caso anterior. El valor de (s) será:

 s =

 y2 +  y1 2

 x + ( y4 + y2 ) x + ( y6 + y4 ) x + ...

 yn +1 +  yn 2

 x

Siendo la superficie total ( S T)  :

S T  =

S + s 2

431

Topografía en Obras de Arquitectura

17.7. Fórmula de Gauss. El siguiente método, del que se deduce una sencilla fórmula para calcular la superficie de cualquier polígono conociendo las coordenadas de sus vértices, se atribuye a Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Y 

C   B  D

 A  E 

O

E' C'

D'

 

X 

C 

C   B

B'

 A ' 

 B  D

 D

 A

 A

 E  +  A ' 

 B ' 

+ B'

C'

 

 E 

C ' 

 D ' 

E'

D'

 A  ' 

 E ' 

 Figura 17.6. Sea una poligonal cerrada ( ABCDE ), Figura 17.6, de la que se quiere calcular su superficie, conociendo las coordenadas ( x  A, y A), ( x  B, y B), ( x C,  yC ), ( x  D, y D) y ( x  E , y E ) de sus vértices. Su superficie ( S ) será la suma algebráica de los trapecios representados:

S  =  ABB ' A'+ BCC ' B '+CDD ' C '− EDD ' E '− AEE ' A' Expresión, que en función de las coordenadas de sus vértices se puede expresar de la siguiente forma: ⎛  y A +  y B  ⎞ ⎛  y +  y  ⎞ ⎛  y +  y  ⎞ ⎛  y +  y  ⎞ ⎛  y +  y  ⎞ ⎟( x B − x A ) + ⎜  B C  ⎟( xC  − x B ) + ⎜ C   D ⎟( x D − xC ) − ⎜  D  E  ⎟( x D − x E ) − ⎜  E   A ⎟( x E  − x A ) 2 2 2 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎝  2  ⎠

S  = ⎜

desarrollando y teniendo en cuenta que se anulan los productos de igual subíndice, tenemos: 432

Cálculo de áreas

S  =

( y A x B +  y B xC  + yC  x D + y D x E  +  y E  x A ) − ( y B x A + yC  x B + y D xC  +  y E  x D + y A x E ) 2

La expresión anterior, se puede transformar en la siguiente: S  =

1 2

[ y A ( x B − x E ) + y B ( xC  − x A ) + yC ( x D − x B ) + y D ( x E  − xC ) + y E ( x A − x D )]

  y si observamos el orden en que figuran las coordenadas, puede generalizarse para el caso en que sea (n) el número de vértices, resultando:

S  =

1 2

n

∑ y ( x i

i +1

− xi −1 )

i =1

433

Topografía en Obras de Arquitectura

17.8. Métodos gráficos. Como hemos indicado, los métodos gráficos son aquellos que determinan superficies a partir de valores numéricos tomados de medición sobre plano, siendo por tanto los que menos precisión ofrecen. Las distancias se miden en el plano a escala, multiplicando cada una de ellas por el factor de la escala. En cuando a los métodos operativos de resolución se utilizarán los mismos que en los métodos numéricos o analíticos, siendo el más común el de la descomposición en triángulos, midiendo los parámetros de estos en el plano, base y altura o tres lados. Un avance en los métodos gráficos es el empleo de procedimientos informáticos, siempre que el soporte del plano en el que midamos sea un programa de diseño asistido, o CAD, ya que aquí no nos encontramos con el problema del soporte en papel clásico y la percepción en el mismo mediante la aplicación de un instrumento de medida, regla o escala. Cuando aplicamos los métodos gráficos en un programa del tipo CAD podemos decir que estamos trabajando con la precisión de los métodos numéricos, siempre, naturalmente, que el plano se haya construido a partir de datos de campo.

 Figura 17.7: Fragmento de pantalla de ordenador con el  comando “área” seleccionado. En general los programas informáticos nos ofrecen herramientas para determinar una superficie ya sea, tomando medidas, esta vez 434

Cálculo de áreas

sin error de apreciación, y estableciendo cálculos numéricos o analíticos, mediante el comándo área, Figura 17.7, o similar y  designando los vértices de la superficie a determinar, o sencillamente designando una polilinea, objeto, región o círculo, pudiendo además operar –sumar o restar– superficies.

435

Topografía en Obras de Arquitectura

17.9. Métodos mecánicos. Los métodos mecánicos de determinación de superficies se basan en la utilización de instrumentos mecánicos diseñados con este propósito. Estos instrumentos se llaman planímetros, Figura 17.8,  y modernamente incorporan mecanismos de lectura digital. Existen diferentes tipos de planímetros, siendo el más común el denominado   planímetro polar  , fig. 17.8. El planímetro polar,  básicamente está constituido por dos brazos o varillas unidos por una articulación, uno de ellos, el brazo polar ( p) termina en una pesa con una pequeña aguja que se fija en el papel, y el otro brazo, llamado brazo trazador (t ) termina en un visor (v), con un retículo o señal que se recorrerá por el contorno del área a determinar. En la articulación hay una serie de mecanismos entre los que está una rueda que se desliza por el papel, junto con el movimiento del  visor, y que en su movimiento acciona una serie de engranajes y  piezas, que sirven para mover unas piezas que forman el contador, una rueda principal (r ) y otra secundaria (n) con un nonius de medida. El brazo trazador, tiene un longitud variable, pudiéndose adaptar dependiendo de las superficies que vayamos a medir.

 Figura 17.8: Planímetro polar. El planímetro, una vez colocado y preparado para medir, estará apoyado en tres puntos: el polo que es la parte fija al papel, el 436

Cálculo de áreas

  visor y la rueda del mecanismo de medida situada en el mecanismo de la articulación. Cada vez que se efectúa un recorrido, la rueda o roldana ha establecido una serie de giros, dependiendo de la forma de la figura a medir, y en ellos habrá accionado los mecanismos del contador. El planímetro clásico, que es el representado aquí nos ofrece la lectura mediante una rueda graduada en diez partes, siendo cada una de ellas 1/10 de   vuelta, además se completa la lectura mediante otra rueda cuyo índice es un nonius decimal. Como la segunda rueda mide 1/100 de partes de la primera, y con el nonius decimal podemos apreciar hasta 1/10 parte de su menor división, cada unidad de nonius representa 1/1000 de vuelta. La lectura del planímetro la constituyen tres cifras, la lectura de la rueda horizontal, y las dos unidades de limbo y nonius. Hay que fijarse en la rueda durante el proceso de recorrido de la figura, puesto que si la primera rueda, pasa una vez por el “cero”, habrá que añadir una unidad a la primera lectura, o dos si ha dado dos vueltas, etc., teniendo entonces una lectura de cuatro cifras. El procedimiento para usar el planímetro es el siguiente: se instala clavando el polo en una zona exterior a la figura a medir, se sitúa el visor en un punto determinado del perímetro de la superficie a medir, se pone el contador a “cero”, se recorre cuidadosamente el perímetro de la figura hasta llegar al punto de partida, se toma la lectura del contador, expresándola en unidades del nonius. Para calcular la superficie en función de la lectura del contador, deberemos conocer a qué superficie equivale una unidad de nonius, valor que variará en función de la longitud del brazo trazador y de la escala a la que esté dibujada la figura. El valor de una unidad se establece midiendo una superficie conocida, con la longitud de brazo que vamos a utilizar y a la misma escala, tradicionalmente esto era muy directo, puesto que la mayoría de los planos topográficos se dibujaban en papel milimetrado, siendo fácilmente superficiable un cuadrado de la dimensión que más nos interese, existiendo menos error cuando mayor sea la figura. Para calcular el valor (k) de una unidad de nonius, seguiremos el siguiente proceso. Elegiremos una figura de superficie fácilmente calculable en el plano (a) y calcularemos la superficie que 437

Topografía en Obras de Arquitectura

representa en la realidad ( A) en función de la escala elegida, siendo ( F ) el factor de la escala será:

 A = a ⋅ F 2   A continuación recorreremos esta figura con el planímetro obteniendo una lectura (l ), como la superficie ( A) es conocida, calcularemos el valor (k) de una unidad de nonius mediante la siguiente relación:

k  =

 A l 

Una vez calculado este valor, lo podremos utilizar para calcular directamente la superficie ( S ) de cada figura recorrida, multiplicándolo por su correspondiente lectura (l ):

S  = l ⋅ k  Es buena práctica, recorrer al menos dos veces cada superficie a determinar, promediando el resultado de ambas lecturas.

438