Area media logaritmica

La transferencia de calor a través de un sólido rectangular es la aplicación más directa de la ley de Fourier. La transferencia de calor a través de una tubería o pared del tubo del intercambiador de calor es más compleja de calcular. A través de una pared cilíndrica, el área de superficie de transferencia de calor se eleva o se reduce repetidamente. La figura que se muestra a continuación es una vista en sección transversal de un tubo construido de un material homogéneo.

Figura: Sección transversal de un tubo cilíndrico

El área superficial (A) para transferir calor a través del tubo (es decir, despreciando los extremos del tubo) es directamente proporcional al radio (r) del tubo ya la longitud (L) del tubo. 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 A medida que el radio se eleva desde la pared interior hasta la pared exterior, el área de transferencia de calor sube. El desarrollo de una ecuación que calcula la transferencia de calor a través de un objeto con geometría cilíndrica comienza con la ecuación de Fourier como sigue: ∆𝑇 𝑄̇ = 𝑘 𝐴 ( ) ∆𝑟

Se considera que no hay una simple expresión exacta para la región. Ni la región de la superficie interior, ni la región de la superficie exterior sólo pueden emplearse en la ecuación. Para un problema que incluya geometría cilíndrica, es esencial indicar un área transversal de media de registro (Alm).

𝐴𝑙𝑚 =

(𝐴2 − 𝐴1 ) 𝑙𝑛(𝐴2 /𝐴1 )

El reemplazo de la expresión 2πrL para el área en la ecuación anterior permite que el área media logarítmica sea calculada desde el radio interior y exterior sin primero calcular la región interna y externa.

𝐴𝑙𝑚 =

2𝜋𝑟2 𝐿 − 2𝜋𝑟1 𝐿 𝑙𝑛(2𝜋𝑟2 𝐿/2𝜋𝑟1 𝐿)

= 2𝜋𝐿 (

𝑟2 − 𝑟1 𝑟 ) ln 𝑟2 1

Tal expresión para el área media de registro se puede insertar en la ecuación, permitiéndonos calcular la velocidad de transferencia de calor para geometrías cilíndricas. ∆𝑇 𝑄̇ = 𝑘 𝐴 ( ) ∆𝑟 = 𝑘 [2𝜋𝐿 (

𝑄̇ =

𝑟2 − 𝑟1 𝑇2 − 𝑇1 𝑟2 )] ( 𝑟 − 𝑟 ) 2 1 𝑙𝑛 𝑟 1

2 𝜋 𝑘 𝐿 (∆𝑇) 𝑟 𝑙𝑛 𝑟2 1

Donde: 𝐿 = longitud del tubo (pies) 𝑟1 = radio del tubo interior (pies) 𝑟2 = radio del tubo exterior (pies)

El cálculo de la transferencia de calor a través de una pared cilíndrica puede extenderse para incluir un cuerpo compuesto compuesto de numerosas capas concéntricas cilíndricas, como se muestra en la figura siguiente.

Figura: Capas compuestas cilíndricas