Area Entre Curvas. Aplicaciones de La Integral
December 8, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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88;
EORÁXVCN =
Opcgeoegnlfs hf co gltfmroc
Ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf hns eurvos
=.?
Flenltror fc ïrfo hf ulo rfmgõl rfmgõl fltrf hns eurvos usolhn gltfmroegõl. Flenltror fc ïrfo hf ulo rfmgõl rfmgõl fltrf eurvos quf sf gltfrsfeol usolhn gltfmroegõl. ▢ Hfsergjgr co gltfmroegõl enan ul prnefsn hf oeuaucoegõl. ▢ ▢
y
Ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf hns eurvos
m
O portgr hf ulos anhgigeoegnlfs sf pufhf fxtflhfr co opcgeoegõl hf cos gltfmrocfs hfiglghos poro fc ïrfo hf ulo rfmgõl jodn ulo eurvo oc ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf hns eurvos. Enlsghfror hns iulegnlfs i y y m quf snl enltgluos fl fc gltfrvocn Po, jQ. Ug, enan fl co igmuro =.?, cos mrïigeos hf i y y m fstïl snjrf fc fdf x y y co mrïigeo hf m hfjodn hf co mrïigeo hf i , sf pufhf gltfrprftor mfnaçtrgeoafltf fc ïrfo hf co rfmgõl fltrf cos mrïigeos enan fc ïrfo hf co rfmgõl jodn co mrïigeo hf m sustroáho hfc ïrfo hf co rfmgõl jodn co mrïigeo i , enan sf aufstro fl co igmuro =.:.
Zfmgõl fltrf hns eurvos i
x o
x j
x
y
Igmuro =.?
y
o
m
m
m
i
i
i
x
j
Ïrfo hf co rfmgõl fltrf i y y m
o
j
i x
m x hx
o
j
Ïrfo hf co rfmgõl jodn i
o
x
o
j
i x hx
j
x
Ïrfo hf co rfmgõl jodn m
j
m x hx
o
Igmuro =.:
y
Zfetïlmucn rfprfsfltotgvn x g) m( x x g) Octuro4 i ( x Olekuro4 x m
x
Og
( x x g)
i m( x x g) o
Igmuro =.5
Roro vfrgigeor quf fc rfsuctohn anstrohn fl co igmuro =.: fs roznlojcf, sf pufhf hgvghgr fc gltfrvocn Po, jQ fltrf l sujgltfrvocns, eoho uln hf olekuro x . Fltnlefs, enan sf aufstro fl co igmuro =.5, sf trozo ul rfetïlmucn rfprfsfltotgvn hf olekuro x y y octuro i ( x x g) m( x x g), hnlhf x g fs ul pultn hfc g-çsgan sujgltfrvocn. Fc ïrfo hf fstf rfetïlmucn rfprfsfltotgvn fs
x g
j
x
octuro)(olekuro) i x x g m x x g x .
Rnr ohgegõl hf cos ïrfos hf cns l rfetïlmucns y tnaolhn fc cáagtf euolhn 2 (l ), sf njtgflf l
cáa i x x g m x x g x .
l g ?
Rnrquf i y y m snl enltgluos fl Po, jQ, i m toajgçl fs enltgluo fl Po, jQ y fc cáagtf fxgstf. Osá quf, fc ïrfo hf co rfmgõl hoho fs Ïrfo cáa i x Ïrfo x g m x x g x l g?
j
o
i x x m x x hx .
UFEEGÕL =.?
Ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf hns eurvos
887
ÏZFO HF VLO ZFMGÕL FLXZF HNU EVZYOU
Ug i y y m snl enltgluos fl Po, jQ y m( x i ( x fl Po, jQ, fltnlefs fc ïrfo hf x ) i x ) poro tnhn x fl co rfmgõl oentoho pnr cos mrïeos hf i y y m y cos rfetos vfrtgeocfs x o y x j fs
j
O
i x x
hx . m x x
o
Fl co igmuro =.?, cos mrïigeos hf i y y m sf aufstrol snjrf fc fdf x . Fstn, sgl fajormn, ln fs lfefsorgn. Fc agsan gltfmrolhn P i ( x x ) m( x x )Q )Q pufhf usorsf enl toc hf quf i y y m sfol enltgluos y m( x x ) i ( x x ) poro tnhn x fl fl fc gltfrvocn Po, jQ. Fstf rfsuctohn sf rfsuaf fl co igmuro =.8. Njsfrvor fl co igmuro =.8 quf co octuro hf ul rfetïlmucn rfprfsfltotgvn fs i ( x x ) m( x x ) enl rfspfetn hf co pnsgegõl rfcotgvo hfc fdf x . y
y
o
( x x , i ( x x )) ))
i
m o
j
x
( x x , i ( x x )) ))
i
( x x ) m( x x )
j
( x x ) m( x x )
m
x
( x x , m( x x )) ))
( x x , m( x x )) ))
Igmuro =.8
Uf usol cns rfetïlmucns rfprfsfltotgvns rfprfsf ltotgvns o cn cormn hf fstf eopátucn fl vorgos opcgeoegnlfs hf co gltfmroc. Vl rfetïlmucn vfrtgeoc (hf olekuro x ) gapcgeo co gltfmroc enl rfspfetn o x , agfltros quf ul rfetïlmucn knrgznltoc (hf olekuro y) gapcgeo co gltfmroc enl rfspfetn o y. FDFARCN ?
Flenltror fc ïrfo hf ulo rfmgõl rfmgõl fltrf hns eurvos
Flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl oentoho pnr cos mrïigeos hf y x x : :, y x x , x 2 y x ?. Ufol m( x x ) x y y i ( x x ) x x : :. Fltnlefs m( x x ) i i ( x x ) poro tnhn x fl fl P2, ?Q, enan sf aufstro fl co igmuro =.6. Osá, fc ïrfo hfc rfetïlmucn rfprfsfltotgvn fs Uncuegõl y
i ( x x ) 1 x : + :
5
O
( x x , i ( x x )) ))
i x x x m x x x x x : : x
y fc ïrfo hf co rfmgõl fs ? x
?
?
?
:
5
( x )) x , m( x x )) m( x x ) 1 x
Zfmgõl enaprflhgho pnr co mrïeo hf i , co mrïeo hf m , x 2 y x ? Igmuro =.6
O
j
hx i x x m x x
o
?
hx x x : : x
2
5
x 5
x :
:
? ? : 5 : ?= . 9
: x
? 2
862
EORÁXVCN =
Opcgeoegnlfs hf co gltfmroc
Ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf eurvos quf sf gltfrsfeol Fl fc fdfapcn ?, cos mrïigeos hf i ( x x ) x x : : y m( x x ) x ln ln sf gltfrsfeol, y cns vocnrfs hf o y j sf hol fxpcáegtoafltf. Vl prnjcfao aïs enaôl glvncuero fc ïrfo hf ulo rfmgõl enaprflhgho fltrf hns mrïigeos quf sf gltfrsfeol hnlhf cns vocnrfs hf o y j hfjfl eoceucorsf. FDFARCN :
Zfmgõl hftfragloho pnr hns mrïeos quf sf gltfrsfeol
Flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl enaprflhgho fltrf cos mrïigeos hf i ( x x ) : x x : y m( x x ) x x . Uncuegõl
Fl co igmuro =.9 sf njsfrvo quf cos mrïigeos hf i y y m tgflfl hns pultns hf gltfrsfeegõl. Roro flenltror cos ennrhflohos x hf hf fstns pultns, sf koef i ( x x ) y m( x x ) gmuocfs y sf rfsufcvf poro x .
m( x x ) 1 x
( x )) x , i ( x x ))
?
x
:
?
?
: x :
x : x
:
2
Fsergjgr fl inrao mflfroc.
x x : x x ?
2
Ioetnrgzor.
x
i ( x x ) 1 : x :
Gmuocor i ( x ). x ) enl m( x x ).
Hfspfdor poro x .
x : n ?
?
Osá, o : y j ?. Rnrquf m( x fl fc gltfrvocn P:, ?Q, fc rfetïlmucn x ) i i ( x x ) poro tnhn x fl rfprfsfltotgvn tgflf ul ïrfo hf
( x x , m( x x )) )) :
i x x m x x x : x : x x
O
Zfmgõl enaprflhgho pnr co mrïeo hf i y y co mrïeo hf m
y fc ïrfo hf co rfmgõl fs
Igmuro =.9
?
O
:
? x 5 x : : x 5 : :
x : x hx
:
7 . :
FDFARCN 5
Zfmgõl hftfragloho pnr hns mrïeos quf sf gltfrsfeol
Fc sfln y ensfln hf cos eurvos sf gltfrsfeol gliglgtos vfefs, oentolhn rfmgnlfs hf ïrfos gmuocfs, enan sf aufstro fl co igmuro =.=. Flenltror fc ïrfo hf ulo hf fstos rfmgnlfs. Uncuegõl
m( x x ) 1 ens x
?
sfl x ens x
( x, x, i ( x x )) ))
x
: ?
5 :
sfl x ? ens x tol tol x ?
( x, x, m( x x )) ))
Gmuocor i ( x ). x ) o m( x x ).
x
i ( x x ) 1 sfl x
Hgvghgr eoho cohn pnr fc ensfln hf x . Ghfltghoh trgmnlnaçtrgeo.
8
n
6 , 8
2 x :
Hfspfdor poro x .
Osá, o 8 y j 6 8. Rnrquf sfl x ens x poro poro tnhn x fl fl fc gltfrvocn P 8, 6 8Q, fc ïrfo hf co rfmgõl fs
6 8
Vlo hf cos rfmgnlfs oentoho pnr cos mrïeos hf cos iulegnlfs hfc sfln y ensfln Igmuro =.=
O
8
sfl x ens x hx
ens x
: :. :.
sfl x
6 8
8
UFEEGÕL =.?
Ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf hns eurvos
86?
Ug hns eurvos sf gltfrsfeol fl aïs hf hns pultns, fltnlefs poro flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl enaprflhgho fltrf cos eurvos, sf hfjfl flenltror tnhns cns pultns hf gltfrsfeegõl y vfrgigeor fl eoho uln hf cns gltfrvocns hftfraglohns pnr fsns pultns, euïc hf cos mrïigeos fstï flegao hf co ntro. FDFARCN 8
Eurvos quf sf gltfrsfeol fl aïs hf hns pultns
x ) 5 x 5 x x : ?2 x y Flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl enaprflhgho fltrf cos mrïigeos hf i ( x m( x x ) x : : x . m x i x
Uncuegõl Fapfzor gmuocolhn i ( x x ) y m( x x ) y rfsncvgflhn poro x . Osá sf njtgflfl cos ennrhflohos hf x fl fl eoho pultn hf gltfrsfeegõl hf cos hns mrïigeos.
i x m x y
9 8
(2, 2)
(:, 2) x
?
?
8 9
(:, ;)
; ?2
m( x x ) 1 x : + : x
i ( x x ) 1 5 x 5 x : ?2 x
5 x 5 x : ?2 x x : : x 5 x 5 ?: x 2 5 x x x : x x : 2 x :, 2, :
Gmuocor i ( x ). x ) o m( x x ). Fsergjgr fl inrao mflfroc. Ioetnrgzor. Hfspfdor poro x .
Osá, cos hns mrïigeos sf enrtol euolhn x :, 2 y :. Fl co igmuro =.; sf njsfrvo quf m( x x ) i i ( x x ) fl fc gltfrvocn P:, 2Q. Ugl fajormn, cos hns mrïigeos eoajgol fl fc nrgmfl, x ) m( x x ) fl fc gltfrvocn P2, :Q. Osá, sf lfefsgtol hns gltfmrocfs, ulo poro fc gltfrvocn y i ( x P:, 2Q y ntro poro fc gltfrvocn P2, :Q. O
2
:
Unjrf :, 2, m x i x, y snjrf 2, :, i x m x
m x x i x x hx
2 :
2
5 x 5 ?: x hx
:
Igmuro =.;
:
i x x m x x hx
5 x 5 ?: x hx
2
: 5 x 5 x 8 9 x : 9 x : 8 8 : 2 ?: :8 ?: :8 :8
8
2
LNXO Fl fc fdfapcn 8 sf njsfrvo quf sf njtgflf ul rfsuctohn glenrrfetn sg sf gltfmro hf : o :. Xoc gltfmroc prnhuef
:
:
i x x m x x hx
:
5 x 5 ?: x hx 2.
:
Ug co mrïigeo hf ulo iulegõl hf y fs ulo irnltfro hf ulo rfmgõl, fs o afluhn enlvflgfltf usor rfetïlmucns rfprfsfltotgvns knrgznltocfs y flenltror fc ïrfo gltfmrolhn fl co vorgojcf y. Fl mflfroc, poro hftfraglor fc ïrfo fltrf hns eurvos, sf usol O
x :
eurvo hf orrgjo) eurvo hf ojodn hx
Zfetïlmucns vfrtgeocfs.
x ?
fl co vorgojcf x y:
eurvo hfrfeko) eurvo gzqugfrho hy
O
Zfetïlmucns knrgznltocfs.
y?
fl co vorgojcf y
hnlhf ( x x ?, y?) y ( x x :, y:) snl cns pultns ohyoefltfs hf gltfrsfeegõl hf cos hns eurvos eu rvos gapcgeohos n pultns snjrf cos rfetos hf co irnltfro fspfegigeohos.
86:
EORÁXVCN =
Opcgeoegnlfs hf co gltfmroc FDFARCN 6
Zfetïlmucns rfprfsf rfprfsfltotgvns ltotgvns knrgznltocfs
Flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl oentoho pnr cos mrïigeos hf x 5 y y: y x y y ?. Uncuegõl
Enlsghfror 5 y: y
m y
i y y ?.
Fstos hns eurvos sf gltfrsfeol euolhn y : y y ?, enan sf aufstro fl co igmuro =.7. Rnrquf i ( y y) m( y y) fl fstf gltfrvocn, sf tgflf m y i y y 5 y : y ? y.
O
Osá, fc ïrfo fs
?
O
5
y :
y ? hy
:
?
y :
y
: hy
:
y 5 y :
5
?
:
5
?
:
?
: y
:
;
:
7 . :
:
8
5
i ( y) 1 y + ?
y
(:, ?)
(:, ?)
?
y 1 x ?
y
y 1
? x
?
?
x
:
?
y
?
?
x
?
m( y) 1 5 y :
:
5 x
:
(?, :)
x
y 1
5 x
( ?, :)
Zfetïlmucns knrgznltocfs (gltfmroegõl enl rfspfetn o y)
Zfetïlmucns vfrtgeocfs (gltfmroegõl enl rfspfetn o x)
Igmuro =.7
Igmuro =.?2
Fl fc fdfapcn 6 sf njsfrvo quf gltfmrolhn enl rfspfetn o y sf lfefsgto sõcn ulo gltfmroc. Ug sf gltfmrol enl rfspfetn o x , sf lfefsgtoráol hns gltfmrocfs pnrquf co irnltfro supfrgnr kojráo eoajgohn fl x :, enan sf aufstro fl co igmuro =.?2.
:
O
x x ?
5 x hx
?
: 7 :
:
5 x hx
5 x ?: hx
:
x 5 x x : 5:
x
5
x x ? 5 x ?: hx :
?
5
:
:
5
:
: 5
5: :
? :
?
?
:
5 x 5: 5:
5 :
:
?9 5
:2
: 5
UFEEGÕL =.?
Ïrfo hf ulo rfmgõl fltrf hns eurvos
865
Co gltfmroegõl enan ul prnefsn hf oeuaucoegõl Fl fsto sfeegõl, co iõrauco hf co gltfmroc poro fc ïrfo fltrf hns eurvos sf hfsorrnccõ usolhn ul rfetïlmucn enan fc fcfafltn rfprfsfltotgvn. Roro eoho lufvo opcgeoegõl fl cos sfeegnlfs rfstoltfs hf fstf eopátucn, sf enlstrugrï ul fcfafltn rfprfsfltotgvn oprnpgohn o portgr hf cos iõraucos prfvgos oc eïceucn quf yo sf enlnefl. Eoho iõrauco hf co gltfmroegõl sf njtflhrï suaolhn n oeuaucolhn fstns fcfafltns rfprfsfltotgvns. Iõrauco enlnegho prfvgo oc eïceucn
Lufvo iõrauco hf gltfmroegõl
Fcfafltn rfprfsfltotgvn
Rnr fdfapcn, fl fsto sfeegõl co iõrauco hfc ïrfo sf hfsorrncco enan sgmuf. j
O octuro olekn
O
i x m x x
O
hx i x m x
o
FDFARCN 9
Hfsergpegõl hf co gltfmroegõl enan ul prnefsn hf oeuaucoegõl
Flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl oentoho pnr co mrïigeo hf y 8 x x : y fc fdf x . Hfsergjgr co gltfmroegõl enan ul prnefsn hf oeuaucoegõl. Uncuegõl Fc ïrfo hf co rfmgõl fstï hoho pnr :
O
8 x : hx .
:
Uf pgflso fl co gltfmroegõl enan ulo oeuaucoegõl hf cos ïrfos hf cns rfetïlmucns inraohns oc gr hfspcozolhn cns rfetïlmucns rfprfsfltotgvns hf x : o x :, enan sf aufstro fl co igmuro =.??. y
y
y
6
6
6
5
5
5
: ?
: ?
: ?
x
5 : ?
O
?
?
:
5
:
O
:
8 x : hx 2
?
?
?
:
?
8 x : hx
:
:
y
5
6
5
5
:
:
?
?
:
??
?
:
5
5
?
O
:
??
?
:
:
8 x : hx 7
:
Igmuro =.??
O
:
8
x : hx
5 5: 5
O
8
:
x
?
:
2
6 5
x
5
5 : ? ?
y
6
x
x
5
x : hx
5
?9 5
868
EORÁXVCN =
Opcgeoegnlfs hf co gltfmroc
=.? Fdfregegns Fl cns fdfregegns ? o 9, inraucor co gltfmroc hfiglgho quf ho fc ïrfo hf co rfmgõl. x : 9 x ?. y? x y: 2
:. y? x x : : x ? y: : x 6 y :
:
8
m x x x ?, x x x ? : ?6. ?6. i x o) : j) : e) ?2 h ) 8 f) ; ? ?9. ?9. i x x : : x , m x x : x o ) ? j) 9 e) 5 h ) 5 f) 8
y :
;
x
;
9
√: √8
y ?
:
√9
y?
√;
x
√8
x : 8 x 5 5. y? x y: x : : x 5
√:
Roro pflsor Fl cns fdfregegns ?6 y ?9, hftfraglor quç vocnr sf oprnxgao afdnr oc ïrfo hf co rfmgõl oentoho pnr cos mrïigeos hf i y y m. (Koefr co sfcfeegõl enl josf fl ul hgjudn hf co rfmgõl sgl kojfr kfekn ocmôl eïceucn.)
:
8
Fl cns fdfregegns ?= y ?;, flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl gltfmrolhn o) enl rfspfetn o x y j) enl rfspfetn o y. e) enaporor sus rfsuctohns. ¾Euïc açtnhn fs aïs sgapcf> Fl mflfroc, fstf açtnhn sgfaprf sfrï aïs sflegccn fl uln quf fl ntrn. ¾Rnr quç sá n pnr quç ln> ?=. x 8 y ?=. y: x y y :
8. y? x x : y: x x 5
y ?
8 5
?
:
x
y? 5( x x 5 ― x )
9.
y: x x ?
y?
y :
?
y :
√?
x
x
?
?
:
√?
√?
Fl cns fdfregegns = o ?8, fc gltfmrolhn hf co gltfmroc hfiglgho fs ulo hgifrflego hf hns iulegnlfs. Hgjudor co mrïigeo hf eoho iulegõl y snajrfor co rfmgõl euyo ïrfo fstï rfprfsfltoho pnr co gltfmroc.
2
x x ? hx :
9
x 8: 5 hx 9 x
;.
5
?2.
x : x : hx 5
x x hx x 5 5
:
y x : ?, y x :, x 2, x ?
:2. :2.
y x 5 5, y x , x ?, x ?
:?. :?.
y : x 5 :, y x ?, x 2, x :
::. ::.
y ; x x ;, y ?2 : x , x :, x ;
:5. :5. :8. :8.
i x x : 8 x , m x 2
:6. :6.
i x x : : x , m x x :
:9. :9.
i ( x x : : x ?, m x ) : x ?
:=. :=.
y x , y : x , y 2
:;. :;.
y ? x : , y 2, x ?, x 6
:7. :7.
i ( x ) x 5, m( x ) : x 5
52. 52.
5 i x x ?, m x x ?
5?. 5?.
i y y :, m y y :
5:. 5:.
i y y: y, m y y
55. 55.
i y y : ?, m y 2, y ?, y :
58. 58.
i y
?
5
7
8
?
: y
x ens x hx sfe: x
?
?
y :
, m y 2, y 5
?9 y ?9
8
?:.
?
i x x : 8 x ?, m x x ?
: sfe x hx
5
:
:
?
5
?5.
?
??.
?7. ?7. y
y ?
8
x 9 8 : :
56. 56.
i x
59. 59.
m x
?2
x
, x 2, y :, y ?2
8
y: hy
?8.
: y y hy
2
:
8
9
Fl cns fdfregegns ?7 o 59, trozor co rfmgõl oentoho pnr cos mrïigeos hf cos iulegnlfs ocmfjrogeos y flenltror fc ïrfo hf co rfmgõl.
y? ( x x ?)5
y
?
8
9
9
?
6
8
8
8
y :
y: 2
7.
;
x
√?
2
8
9 8 :
x
?2
9
?
=.
9
?
y :
y?
6.
?;. y x x : y 9 x x
8 : x
, y 8, x 2
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