Área De Una Superficie De Revolución

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN •

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ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. e habr! generado un cuerpo de revoluci"n ( puede ser un cilindro# un cono# un tronco de cono# una esfera# un $bal"n de rugby%# o miles m!s de todas las formas imaginables ). &l !rea de la super'cie así generada por la curva y = f(x) de'nida en un intervalo a# b# al girar gi rar en torno del eje *+ *+ se calcula con la formula,

b b (1  f 2(x)  - ) Área = -.. / y.0(1(y2)- )dx = -.. / f(x).0 (1 dx a a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos 3ue para el c!lculo de !reas# sin m!s 3ue hallar y2 =f2(x)=dy4dx y elevarla al cuadrado previamente. 1

EJEMPLO_1 • • •

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5allar el !rea de la curva, y= 0x &ntre los puntos 6(7#7) y 8(9#-)

y= 0x

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&l !rea generada ser!, 9 6 = -.. / f(x).0 (1  f 2(x)  - ) dx 7 1  9 7 x y2 = 1 4 -.0x 9 6 = -.. / 0x. 0  1  (1 4 -.0x)- . dx =@7 9 9 = -.. / 0x. 0  1  1 4 9x . dx = -.. / 0  x  1 4 9 . dx : 7 7   9#-; 9#-; #1??   7#-; 

-

EJEMPLO_2 • • • • • •

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5allar el !rea de la curva, y= x&ntre los puntos 6(7#7) y 8(-#9)

9

y= x2

&l !rea generada ser!, 6 = -.. / f(x).0 (1  f 2(x)  - ) dx ## y2= -x  7 1 7 x 6 = -.. / x- 0  1  (-x)- . dx = -.. / x- .0 (1  9.x- ) dx = A 7 7



EJEMPLO_3 •

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5allar el !rea engendrada por la rotaci"n entorno al eje + de la curva, B.y- = x.( C x)y- = (14B).x. ( C x).x B B  >.x  B C >x  x-  9.x- C 1-.x  9x= -. / (14). 0x. ( C x). 0  @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ . dx

9

•

A

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=

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=

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=

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=

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•

=

 B.x-  1E.x  B -. / (14). 0x. ( C x). 0  @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ . dx 7 >.x  x-  -x  1 -. / (14). 0x. ( C x). 0  @@@@@@@@@@@@@@@@ . dx 7 9.x  (x  1) -. / (14). 0x. ( C x). @@@@@@@@@@@@. dx 7 -. 0x  -. / (14>). ( C x). (x  1). dx 7 7 1   -. / (14>). ( C x). (x  1). dx 7 

-



= -. (14>). / (-.x   C x- ) dx = -..(14>). x-  x C (14).x  = . u7 7 ;

LONGITUD DE UN ARCO •

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LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO

ea una curva (funci"n) expresada en forma explícita, y = f(x). i la funci"n# en lugar de representar una curva# representara a una línea recta# la longitud del segmento 68 sería, F68F = 0(x - C x1)-  (y- C y1)- # como se vi" en cursos pasados. Gonde 6(x1 C y1) y 8(x- C y-) e fundamentaba en 3ue la medida del segmento 68 era hipotenusa del tri!ngulo rect!ngulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables, F68F = 0  (Hx)-  (Hy)-  ues bien# en el caso de curvas en el plano# la longitud del arco se halla de forma muy similar. &n lugar de los incrementos utiliJamos las diferenciales# dx y dy,

 !y b Longitud 68 = L = / 0 (dx)-  (dy)-  = " # $ 1 % &''''''(2 )* !x a !x a iendo a= xa y b=xb : y sabiendo 3ue

* >

EJEMPLO_1 • • •

5allar la longitud de la curva, y= 0x &ntre los puntos 6(1#1) y 8(9#-)

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La longitud ser!,

9 dy L = / 0  1  (@@@@@@)- . dx 1 dx

-

y= 0x

1

- = #9>>

?

EJEMPLO_2 • • •

5allar la longitud de la curva, y= x&ntre los puntos 6(@1#1) y 8(-#9)

9

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La longitud ser!,

y= x2

dy L = / 0  1  (@@@@@@)- . dx @1 dx

*perando, 1>.x -  -;.y- = 977



y = 0 (977 C 1>.x-) 4 ; = (94;). 0 (-; C x-)

• •

9

y 2 = dy 4 dx = @ 9.x 4 ;.0 (-; C x-)

• • • • • • • • • • • • • •

La longitud ser!, 9 dy L = / 0  1  (@@@@@@) - . dx @dx 9 L = / 0  1  @ 9.x 4 ;.0 (-; C x-)- . dx = @9 = / 0  1  1>x - 4 (>-; C -;.x- ) = @9 = / 0  (>-; C B.x- ) 4 (>-; C -;.x - ) = @-

@; @9 @ @- @1 ; +

7

1

-



9

B