Area de superficies de revolución, centroide y Teorema de Pappus

Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

Coordinaci´ on de MAT022 ´ Gu´ıa de ejercicios de Area de superficies de revoluci´ on, centroide y Teorema de Pappus. ´ ´ AREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCION 1. Dada la parte de la par´ abola C : x = t2 , y = 2t, t ∈ [0, 3]. Encuentre el ´area que se obtiene al rotar la curva √ 8π C alrededor del eje X. Rpta: (10 10 − 1) 3 2. Dada la CICLOIDE C : x = a(t − sen t, y = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π]. Hallar el ´area generada al rotar la curva 4 C alrededor de su eje simetr´ıa, o sea x = πa. Rpta: 8πa2 (π − ) 3 3. Calcule el ´ area de la superficie generada al rotar la astroide C : x = a cos3 t, y = a sen3 t, 0 ≤ t ≤ 2π alrededor del eje X. √ 4. Calcular el ´ area S de la superficie de revoluci´on generada por la gr´afica y = 2 x, 0 ≤ x ≤ 8 al rotar alrededor 208 π del eje X. Rpta: 3 5. El arco de√la curva y √ = e−x , para x ≥ 0 gira alrededor del eje X. Hallar el ´area de la superficie generada. Rpta: π[ 2 + ln(1 + 2)] t 6. Hallar el a´rea de la superficie generada √ π al girar alrededor del eje X la curva C : x(t) = e sen t, y(t) = t e cos t, t ∈ [0, π/2]. Rpta: 2π 2(e − 2)/5. √ 7. Hallar el ´ area de la superficie generada por la rotaci´on del arco y = a2 − x2 , x ∈ [−3.3]

(a) Alrededor de la recta y = −a. (b) Alrededor de la recta y = a.

Rpta: 2πa2 (2 − π) Rpta: 2πa2 (π − 2) 1 2 t + t, t ∈ [0, 4]. Si esta curva es 2 √ √ 2π Rpta: (26 26 − 2 2) 3

8. En el instante t una part´ıcula se encuentra en la posici´on x = t + 1, y = rotada alrededor del eje Y , encuentre el ´area superficiel generada.

9. Hallar el ´ area de la superficie generada al rotar la par´abola y 2 = 4ax alrededor del eje X, desde el v´ertice hasta el punto cuya abscisa es x = 3a. Rpta: 56πa2 /3 10. Se hace rotar alrededor del eje X la regi´on limitada por y = 1/x, el eje X y la recta x = 1, que est´ a a la derecha de esta recta. Demostrar que el volumen del s´olido generado es finito, pero que el ´area de la superficie es infinita. 11. Hallar el ´ area S de la superficie del Elipsoide obtenido al girar la elipse: (a) Alrededor del eje X. (b) Alrededor del eje Y .

x2 y2 + 2 = 1, 0 < b < a. 2 a b

√ 2πab arcsen d, donde d = a2 − b2 /a d √ πb2 1 + d Rpta: 2πa2 + ( ln ), donde d = a2 − b2 /a d 1−d Rpta: 2πb2 +

12. Hallar el ´ area de la superficie generada al rotar la curva r = 2a cos θ (a) Alrededor del eje X.

Rpta: 4πa2

(b) Alrededor del eje Y .

Rpta: 4π 2 a2

13. Calcular el´ area superficiel S generado al rotar la cardioide r : a(1 + cos θ, a > 0, 0 ≤ θ ≤ π, alrededor del eje polar. Rpta: 32πa2 /5

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CENTROIDE 14. Hallar el centroide de la semicircunferencia y =

√

a2 − x2 , x ∈ [−a, a], a > 0.

15. Hallar el controide del segmento parab´ olico C : y 2 = 4x, x ∈ [0, 1]. 16. Hallar el centroide de la cardioide r : 1 + cos θ, θ ∈ [0, π] 17. Hallar el centroide de la cardioide r : 1 + cos θ

Rpta: (0, 2a/π)

Rpta: 4π 2 a2

Rpta: (0.366, 0)

Rpta: (0.8, 0.8)

Rpta: (0.8, 0)

2 3 18. Hallar el centroide de la √ √ curva 9y = 4x entre los puntos (1, −2/3) y (1, 2/3) Rpta: ((2 2 + 2)/(10 2 − 5), 0)

19. Hallar el centroide de la astroide C : x = a cos3 t, y = a sen3 t, a > 0 en el primer cuadrante. (2a/5, 2a/5) 20. Hallar el centroide de la regi´ on R definida por

y2 x2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. 2 a b

Rpta: (

Rpta:

4a 4b , ) 3π 3π

21. Sea R el tri´ angulo en el plano XY de v´ertices (0, 0), (9, 0) y (9, 6). Encuentre su centroide.

Rpta: (6, 2)

22. Hallar el centroide de la regi´ on R encerrada por las gr´aficas de y = x2 y la recta y = 4. Rpta: (0, 12/5) √ 23. Hallar el centroide on acotada por las gr´aficas y = 1 + x2 , x = 1, x = 2 y el eje Y . √ de la regi´ 2 5 5−1 14 √ √ , √ √ ) Rpta: ( 3 [2 5 + ln(2 + 5)] 3[2 5 + ln(2 + 5)] 24. Hallar el centroide de la regi´ on en el primer cuadrante acotada por la curva y = cos x y la recta x = π/2. π π Rpta: ( − 1, ) 2 8 25. Hallar el centroide de la regi´ on R limitada por las gr´aficas de y = 4x2 , y = x4 .

Rpta: (5/4, 16/3)

26. Hallar el centroide de la regi´ on limitada por las curvas: √ 3 (a) y = x , y = x, x ∈ [0, 1] Rpta: (12/25, 3/7) (b) x2 = 16y, x = y 2 − 2y

Rpta: (44/15, 28/15) e2 + 1 e − 2 , ) (c) y = ln x, 1 ≤ x ≤ e y eje X. Rpta: ( 4 2 TEOREMA DE PAPPUS 27. Un tri´ angulo de lado a rota alrededor de una recta L que se encuentra en su mismo plano; esta recta es ´ paralela a la base y se encuentra a b unidades de ella. mediante Teoremas de Pappus encontrar el Area de la √ π 2√ √ superficie y el volumen del s´ olido generado. Rpta: A = π a( 3a + 6b), V = a 3( 3a + 6b) 12 28. Mediante el teorema de Pappus hallar el volumen de un cono circular recto cuyo radio de la base es r y cuya altura es h. √ 29. Sea R la regi´ on acotada por la semicircunferencia y = a2 − x2 y el eje X Calcule el volumen V del s´ olido πa3 (4+3π) √ de revoluci´ on generado por la rotaci´ on de R alrededor de la recta L : y = x − a. Rpta: V = 3π 2 30. Determinar el ´ area de la superficie de revoluci´on generada por la rotaci´on del primer √ arco de la cicloide C : x = t − sen t, y = 1 − cos t, t ∈ [0, 2π] y la recta L : y = x + 4/3 Rpta: A = 8 2 π 2 31. Mediante el Teorema de Pappus hallar el volumen del s´olido generado por la revoluci´on de un tri´angulo cuyos lados miden√a, b, a > b > 0, alrededor de un eje que pasa por su v´ertice perpendicularmente a la diagonal. Rpta: πab a2 + b2 32. Calcule el ´ area y el volumen del Toro que se obtiene al girar un disco de radio a alrededor de una recta que dista b de su centro, b > a > 0. Rpta: V = 2π 2 a2 b

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