Area de Superficie

 

AREAS DE SUPERFICIES

1.  Hallar el área de la superficie haciendo girar la curva y=2

6   x

, x E [3,6] alrededor

del eje X. ver solucion Solución::

y=2

6 



x

  ,

3≤ x ≤ 10  10 

Cuando la figura gira en el eje X.. b



A(S)=2π  f  ( x)   1   ( a

dy dx

) 2 dx  

Derivamos…. Derivamos ….  

dy

2

1

dx  2 6 - x 

dy

1

2

dy

2

7   x

6 - x  ( dx )  6   x  1  ( dx )  6   x

 b



 A( S )  2 f(x) 1  ( a

dy dx

6



) dx  2   2 6 - x 2

3

7   x 6   x

dx

 

3 6



 A( S )  4   2 7   x dx  3

4  (7   x) 2 3(1) / 2

1

56  

3

3

 63  8   (2 3  1) 

u 3 :  Rpt 

2.  Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación, alrededor del eje OX, del arco de  x

la curva y= e

comprendida entre x=0 y x=+∞  x=+∞  

Solución:

Límites

 x

y= e

  ;

0≤ x ≤∞

Cuando la figura gira en el eje X

 

b



 A( S )  2    y 1  ( a

dy dx

) 2 dx

 Derivamos : dy dx

 e  x  (

dy dx

) 2  e  2 x  1  (

dy dx

b

) 2  1  e  2 x

 

 A( S )  2    f  ( x) 1  ( dy ) dx  2   e  x 1  e 2 x dx dx a 0 2





 Hacemos : u  e  x  du  e  x dx, x  0, u  e 0  1, x   , u  e   0  

0

1 0 1  u 2 du  2  ( )[u 1  u 2   Ln(u  1  u 2 )] I 1 2



 A( S )  2  

1

 A( S )    [0   Ln(1)  2   Ln(1  2 )]u 2    [ 2   Ln(1  2 )]u 2 :  Rpt    3.  Hallar el área de la superficie del tronco engendrado por la ecuación del ccírculo írculo

 x 2  ( y   b ) 2  a 2 , alrededor del eje X (b>a). Solución:

 x 2  ( y   b ) 2  a 2  

 y  b   a 2  x 2  

;

Derivamos:

dy dx



  x

 5 y

dy



 A( S )  2   lx  cl  1  ( a

dy dx

 A( S ) 

3 y

4(3) 2   

12   

12

256 9

256 9

 Ln(

16(16   y 2 )

dy

256 9

256  9 y 2

8

)] 

  

3

4

256  9 y  2

4

4 

  

16 2  (3 y ) 2 dy

4

4

 Ln(3 y  9 y 2  256 )] I 

4

 Ln(12  400 ) 

32



2

dy

4   

9 y 2  256 

[24 400  [480 

4

256  9 y 2

256  9 y dy  4 16(16   y 2 )



[



) dy  2    x

2

2

 A( S )  2     5 16   y 4   2  0   

4

2

2

4   

 A( S ) 

25 y 2

( )  1 ( )   ; 2 2 dx dx 16(16   y ) 16(16   y ) a 2   x 2 dx 4 16   y 2 b

 A( S ) 

dy

[160 

256

64 9

9

 Ln( 400  12)]

 Ln(4)] :  Rpt   

 

2

4.  Hallar el área de la superficie formada por la curva

 x

25

2



 y

16

 1 cuando

gira alrededor de:

a)  Su eje mayor b)  Su eje menor Solución:

a)  Cuando gira sobre el eje mayor:  x

2

25



 y

2

16

 1 

;

 y 

4 5

  25   x 2

 

Derivamos: 2

 4 x

2

2 2 16 x 625  9 x  dy   dy      1    dx 5 25   x 2 25(25   x 2 ) 25(25   x 2 )  dx   dx 

dy

2

625  9 x  dy   A( S )  2    y  c 1    dx  2     y dx 2 dx  x 25 ( 25 )      a 5 b

5 2      4 25   x  A( S )  2   4   2  0

 A( S ) 

  

5

625  9 x 2 25(25   x ) 2

2

dx 

  

5

5

625  9 x 2 dx

0

100  3  2  3 x  5  Arcsen ] I     (16   Arcsen )u 625  (3 x)  2 3  5   25  0

4 x

2

[ 5(3) 2

625

  b)  Cuando gira sobre el eje menor:

 x

2

25



 y

2

16

 1 

;

y=

5 4

    y 2   16

Derivamos y arreglamos:

25 y 2 dy  dy  2  dy  2  256  9 y 2    5 y        1     2 2 dx 4 16   y 2  dx  16(16   y )  dx  16 (16   y )

 

El área: 2

4 256  9 y 2  dy   A( S )  2    x  c 1    dy 2    x dy 2 dx 16 ( 16 )  y      a 4 b

2 4 0 256  9 y 2         5 16   y  A( S )  2   dy   256  9 y 2 2 4 4 4 16(16   y )   2  0

 A( S ) 

4 [ 3 y 9 y 2  256  256  Ln(3 y  9 y 2  256 )] I     (50  80  Ln(4))u 2 :  Rpt  0 3 2 12(3) 2   

  5.  Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar, alrededor del eje X, el lazo de la curva 9ay

2

  x   (3a  x) 2  

Solución:

Para la curva

 y 

 x

1 2

3 a

3

(3a   x) 

a x

1 2

 x 2      si, y  0   x  0, x  3a   3 a

Derivamos y arreglamos:

 y ' 

a x

1

2

2



 x

1

2

2 a

a





2  x

 x

1

2

2 a

2

1 1     2   2   1 a  x a  x a  x   1   y '2  1         y'2    2  x 2 a  4 x 2 4a  2  x 2 a          b

2

2

 A( S )  2    f  ( x) 1     dy  dx  dx  a



3 1     2    2 1  x a  x  2    2  A( S )  2    a x   ( 2  x  2 a ) dx   3 a 0        3a

3 1 3a   2    2   1  a  x  x 2    x a  x     2 dx   A( S )  2    a x  dx  2           2 6 b a 3 2 2 a  x a   0   0         ax  x 2  x 3   3a  3a 2 9a 2 27 a 3   3a 2   2   I   2          A  2   u :  Rpt  0 2 12 18 2 12 18 2 a a         3a