Area Bajo La Curva

 

1

Gpmocgcoehls dl mg ohtl`rgcoóh

Mg `rgh porçiodl dlm rly Fleps aul cehstruodg lh L`opte dl : g. C. g : g. C. y per içs dl 3 2>> g÷es aul mg lstructurg içs gmtg lh lm iuhde cehstruodg per lm beijrl. Mgs tïchocgs dl lstl cgpétume hes plriotorçh lstoigr lm trgjgke tetgm rlgmozgde lh mg cehstruccoóh dl lstg porçiodl y, per tghte, bgclr uhg cehklturg dl cuçhtes ejrlres aulreh hlclsgroes pgrg cehstruormg.

© [o`g Cgilrhof / Sbuttlrstecf

Lh lstl cgpétume lxpmergies gm`uhgs dl mgs gpmocgcoehls dl mg ohtl`rgm dl󿬇hodg utomozçhdemg pgrg cgmcumgr çrlgs lhtrl curvgs, vemûilhls dl sómodes y lm trgjgke rlgmozgde per uhg aulrzg vgrogjml. Lm tlig ceiûh ls lm so`uolhtl iïtede `lhlrgm, qul ls soiomgr gm qul utomozgies pgrg lhcehtrgr çrlgs jgke mgs curvgs; dlsceipehlies uhg cghtodgd W lh uh `rgh hûilre dl plqul÷gs pgrtls. Dlspuïs gprexoigies cgdg uhg dl lstgs pgrtls per uhg cghtodgd dl mg aerig  y gsé gprexoigies W ildoghtl uhg suig dl Zolighh. Mul`e, teigies lm méiotl  a x *   x  y o y lxprlsgies W ceie uhg ohtl`rgm. ^er ûmtoie, lvgmugies mg ohtl`rgm ildoghtl lm tlerlig auhdgilhtgm dlm cçmcume e mg rl`mg dlm puhte ildoe.

4:77 4:

 

4:: 

CG^ÉT\ME 1

1.7

G^MOCGCOEHLS DL MG OHTL@ZGCOÓH

Çrlgs lhtrl curvgs

 y

y9ƚ

Lh lm cgpétume < sl dl󿬇hlh y cgmcumgh çrlgs dl rl`oehls qul lstçh jgke mgs `rç󿬇cgs dl auhcoehls. Gqué usgies ohtl`rgmls pgrg cgmcumgr mgs çrlgs dl rl`oehls qul quldgh lhtrl mgs `rç󿬇cgs dl des auhcoehls. Cehsodlrl mg rl`oóh S qul sl ujocg lhtrl des curvgs  y    aa ( x   x ) y y   ( x   x ) y lhtrl mgs rlctgs vlrtocgmls x  g y x  j, dehdl a y  seh auhcoehls cehtohugs y a  ( x   x )  ( x   x ) pgrg tedg x lh Vg, jY. (Qïgsl mg 󿬇`urg 7.) Dl mg iosig ighlrg, ceie me bocoies pgrg çrlgs jgke curvgs lh mg slccoóh

g

j

 x 

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AO@\ZG 7

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S9s(x, y) | g¯x¯j, ©¯y¯ƚd

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  7

ls uhg gprexoigcoóh g me qul ohtuoies qul ls lm çrlg dl S .

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a (x *o )-`(x *o )

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j

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g) Zlctçh`ume rlprlslhtgtove

j) Zlctçh`umes dl gprexoigcoóh

Gm pgrlclr, lstg gprexoigcoóh ls ilker cughde h  m  . ^er tghte, dl󿬇hoies lm çrlg  G  dl S ceie lm vgmer méiotl dl mg suig dl çrlgs dl lstes rlctçh`umes dl gprexoigcoóh.

h

7

 G

 a x * o

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hm o

 

t   x * o

  x 

  7

Odlhto󿬇cgies lm méiotl lh 7  ceie mg ohtl`rgm dl󿬇hodg dl  a aóriumg so`uolhtl pgrg lm çrlg.

 g, x



6  per tghte, tlhlies mg

  a ( x ) ,  , y   ( x   x )  y mgs rlctgs  j, dehdl a  y  y  seh cehtohugs y a  (  x  x )  ( x   x ) pgrg tedg  x  lh  lh V g, jY, ls

:   Lm çrlg  G  dl mg rl`oóh moiotgdg per mgs curvgs  y  x

 







 G

 y

j

g

 a x 

  t x

dx 

Ejslrvl qul lh lm cgse lsplcogm dehdl ( x   x )    >, S ls mg rl`oóh jgke mg `rç󿬇cg dl  a  a,, y hulstrg dl󿬇hocoóh `lhlrgm dlm çrlg 7  sl rlducl g mg dl󿬇hocoóh ghtlroer (dl󿬇hocoóh : dl mg slccoóh

7

^grg ohtl`rgr lm proilr tïriohe utomozgies mg sustotucoóh u    x  x :  7. Lhtehcls, du y cughde x  7.72, u  :.3?. Gsé qul 

 :x dx,





 G

 

 y

7 :

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du

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s u Y7

s :.3?

7.72

4

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 x dx 

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7.72   : :

>.02<

∛ (io/ b) b) 1> 4> 3> :> 7> >

 LKLI^ME 4 Lh mg 󿬇`urg 2 sl iulstrgh mgs curvgs dl vlmecodgd pgrg des guteióvomls, G y J , qul pgrtlh kuhtes y sl dlspmgzgh g me mgr`e dl mg iosig cgrrltlrg. µWuï rlprlslhtg lm çrlg lhtrl mgs curvgs5 Gpmoqul mg rl`mg dlm puhte ildoe pgrg lstoigrmg.

 G

SEM\COÓH Dl gculrde ceh mg slccoóh 7: 74 71   t 

rlprlslhtg mg dostghcog qul rlcerrl lm vlbécume G durghtl mes proilres 71 sl`uhdes. Dlm iosie iede, lm çrlg jgke mg curvg  J ls mg dostghcog qul rlcerrl lm guteióvom J  durghtl lsl tolipe. Gsé, lm çrlg lhtrl lstgs curvgs, qul ls mg doalrlhcog dl mgs çrlgs jgke mgs curvgs, ls mg dostghcog lhtrl mes vlbécumes dlspuïs dl 71 sl`uhdes. Teigies Teigies mgs vlmecodgdls   < :2> dl mg `rç󿬇cg y mgs cehvlrtoies lh pols per sl`uhde 7 iommgs b 3 1>> pol s .    

(sl`uhdes)

AO@\ZG 2

v G

t 

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:

4

1

2

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7:

74

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44



73

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3>

 

v J

 

4:1 

CG^ÉT\ME 1

G^MOCGCOEHLS DL MG OHTL@ZGCOÓH

Gm`uhgs rl`oehls sl ighlkgh ilker so sl cehsodlrg g  x  ceie  ceie uhg auhcoóh dl  y. So uhg rl`oóh lstç gcetgdg ceh curvgs dl lcugcoehls  x   aa ( y  y) , x  ( y  y) ,  , y  c y y  d, dehdl a y  seh cehtohugs y  a  ( y  y)  ( y  y) pgrg c  y  d (vïgsl mg 󿬇`urg 77), lhtehcls su çrlg ls 

 y

 G

d 

  t y

 a y

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 y





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 y

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d 

d 

x  Z 

x  M Èy x9a(y)

x9`(y) c

Èy x  D-x  O 

y9c

c

>

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 x 

AO@\ZG 77

 

x 

AO@\ZG 7:

So lscrojoies  x  D pgrg lm méiotl dlrlcbe y x  O  pgrg lm méiotl ozquolrde, lhtehcls, sl`ûh mg 󿬇`urg 7:, tlhlies  G

 y

d 

c

 x  D  D   x  O   O    dy

Bl gqué uh rlctçh`ume rlprlslhtgtove dl gprexoigcoóh ceh doilhsoehls  x  D   x  x  M y  y.  y

(

(

-g

-g

g

s x d dx

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g

s u ds du d

g

s x d dx

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>

>

g

ƚ ls pgr, dl ighlrg qul ƚs - u d   9 ƚs u d .

s x d dx

>

 x 

j

s x d dx

g

s u d du

g

Slg u   9 - x, du   9 - dx . Cughde  x   9 >, u   9 > . Cughde  x   9 - g, u   9   g .

g

>

Curvg suplroer  y   a  a ( x   x )

Zl`mg dlm erdlh dl ohtl`rgcoóh

s x d dx

>

 y

Zl`mg gdotovg pgrg mgs ohtl`rgmls dlaohodgs

ƚs x d dx

>

g

Curvg ohalroer  y  `( x   x )

>

s x d dx

Mg dliestrgcoóh dlm ohcose (j) ls tetgmilhtl soiomgr, soiomgr, y sl ml pldorç qul mg mmlvl g cgje lh lm lklrcocoe 21.

AO@\ZG  x 7

 x h  7

Lvgmugr 

 x 

 x :

Ohtl`rgm dl uhg auhcoóh pgr

M

:

s x 4 - 4 x : + 1 d dx .

-:

j  x   x h  y  `( x   x )

Semucoóh Ceie ƚs x d   9   x 4 - 4 x : + 1 sgtosagcl ƚs - x d   9 ƚs x d , ls pgr lh uh ohtlrvgme soiïtroce V - :, :Y, dl ighlrg qul

AO@\ZG

7

 x 

:

Semucoóh ^roilre trgzgies mgs des curvgs (ao`urg ). Mes méiotls dl ohtl`rgcoóh sl lhculhtrgh rlsemvolhde soiumtçhlgilhtl  y   9 :   -   x : y  y   9 - x pgrg  x.

 :   -   x : 9 - x

( x   x , `( x   x )) ))  y  – x 

lklipme 4, ceh uh rlctçh`ume dl gprexoigcoóh tépoce.

 x  : -   x   - :   9 >

Zllscrojor.

 s x   + 7 ds x   - : d   9 >

Agcterozgr.

 

(:, –:)

AO@\ZG Mg rl`oóh dlm

O`ugmgr ƚ( x) y  ` ( x).

 x    9 - 7,

 x   9 : .

Zlsemvlr.

Mg rl`oóh vg dl  x   9 - 7 g  x   9 : . Mes méiotls dl ohtl`rgcoóh seh g   9 - 7, j   9 : . Lm çrlg lhtrl mgs curvgs ls

M  9 M

:

j

   9  G

g

:

s :   +   x   -   x : d dx

-7

 9

2 4 + 4  : 3

 g

M   9   c:   +   -  d : 3

Vƚs x d   -   ` s x dY dx   9

j  g

Vs :   -   x : d   -   s - x dY dx

-7

 x

-: +

  x:

  x3

: -7

7 + 7  9 ? : 3 :

j



 J  y  x  :

7  G

>

Lhcehtrgr lm çrlg dl mg rl`oóh lh lm proilr cugdrghtl, qul lstç gcetgdg per grrojg per   y   9   7  x y per gjgke per lm lkl  x y mg rlctg  y   9   x   - : .

(  x   x   x   :) dx 

 x ,  a ( x   x )) )) Çrlg    x  dx  ( x 

( x   x ,  a ( x   x )) ))

 y  >

Cgijoe dl mg ohtl`rgm pgrg gkustgrmg g uh cgijoe lh mg arehtlrg

( x   x , `( x   x )) )) :

4

 x 

( x   x , `( x   x )) ))

AO@\ZG   …   x   … : g  ` s x d   9   x   - :  pgrg :   …   x   … 4 (ceohcodlh lh  x   9 :). Sujdovodoies mg mg rl`oóh lh  x   9 : lh des sujrl`oehls  G y  J, qul sl iulstrgh lh mg ao`urg a o`urg y j   9 : . Lm moiotl ozquolrde pgrg mg rl`oóh  J ls g   9 : . ^gr grgg lhc lhceh ehtr trgr gr lm mé méio iotl tl dl dlrl rlcb cbe, e, rl rlse semv mvli lies es so soiu iumt mtçh çhlg lgil ilht htll mgs mgs lcugcoehls  y   9   7  x y  y   9   x   - : pgrg  x;

 7  7 x    9   x   - :

uhg curvg arehtlrg cgijog, lm çrlg tetgm cgijog pgrg cehvlrtorsl lh mg suig dl ohtl`rgmls y ceohcodor ceh gqulmmg, uhg ohtl`rgm pgrg cgdg uhg dl mgs rl`oehls seijrlgdgs qul sl iulstrgh gqué pgrg lm lklipme

Agcterozgr.

 x    9 7,

Zlsemvlr.

 x   9 4 .

    

Semgilhtl lm vgmer  x   9 4 sgtosagcl mg lcugcoóh 7  x   9   x   - : . Lm vgmer  x   9 7 ls uhg rgéz gklhg, qul sur`l gm lmlvgr gm cugdrgde. Lm méiotl dlrlcbe ls j   9 4 .  ^grg >   …   x   … :; ^grg

ƚs x d   -   ` s x d   9   7  x   - >   9   7  x

 ^grg :   …   x   … 4; ^grg

ƚs x d   -   ` s x d   9   7  x   -   s x   - : d   9   7  x   -   x   + :

Suigies mgs çrlgs dl mgs sujrl`oehls  G y  J pgrg lhcehtrgr lm çrlg tetgm; :

Çrlg tetgm   9  

 

  9 :   xx 38: 3

 c

M 7   

M

 x dx +

>

(')'*

çrlg lh  G

 

4

s 7  x   -   x   + : d dx

:

('''')''''*

çrlg lh  J

d +   c:3 8 - :   + : d 8 - >   +   g: 4 8 - 2   + 2 j   -   g: : 3 3 :

  xx 3 :

  x:

>

  9 :  s : d3 : 3

 x

4 :

 s d3 :

8

 s d 3 : - :   + 4

j

7> :   9  s 2 d   - :   9 . 3 3

Ohtl`rgcoóh ceh rlsplcte g  y  So mgs curvgs qul gcetgh uhg rl`oóh lstçh dlscrotgs ceie auhcoehls dl  y, mes rlctçh`umes dl gprexoigcoóh seh berozehtgmls lh mu`gr dl vlrtocgmls, y mg aóriumg jçsocg tolhl  y lh mu`gr  dl  x.

32:

Cgpétume

 x  `( y)

 x  a   a ( y)  x 

 x  `( y)

c

c

c  x 

>

 x 

>

usgies mg aóriumg d 

 G   9

M Vƚ

s y d   -   ` s y dY dy .

c

Lh lstg lcugcoóh  a  soliprl dlhetg mg curvg dl mg dlrlcbg y  `  mg curvg dl mg ozquolrdg, dl ighlrg qul ƚs y d   -   ` s y d ls he hl`gtove.  y

:

LKLI^ME 1 ( `( y), y)

(4, :)

 x    yy :

 x    yy 

7  y 

>

Semucoóh

( a ( y), y)

 y

 a ( y)  `( y)

>

:

:

4

Dltlriohgcoóh dlm çrlg dl mg rl`oóh dlm lklipme < ohtl`rghde rlsplcte dl y.

^roilre trgzgies mg rl`oóh y uh rlctçh`ume berozehtgm  tépoce, jgsçhdehes lh

uhg rlctgpgrtocoóh : ,ohtlrvgme dl ighlrdl g qvgmerls ul ƚs y d dl   9 y   + : . M . ^grg lhcehtrgr lm méiotl suplroer, rlsemvlies soiumtçhlgilhtl  x   9   y   + : y  x   9   y : pgrg  y;

 x 

AO@\ZG

Zllscrojor.

 s y   + 7 ds y   - : d   9 >

Agcterozgr.

 y    9 - 7,

 y   9 :

Zlsemvlr.

Lm méiotl suplroer dl ohtl`rgcoóh ls j   9 : . (Lm vgmer  y   9 - 7 dg uh puhte dl ohtlrslccoóh dljgke dlm lkl  x). Lm çrlg dl mg rl`oóh ls  G    9

M

:

j

M  9 M V:   +   - Y   9   c:   +   -  d : 3

V y   + :   -   y :Y dy

Vƚ s y d   -   ` s y dY dy   9

>

g

:

 y

>

 y

  9 4 +

  y:

  y : dy

  y3 : >

4 2 7>  -  9 . : 3 3

Ïstl ls lm rlsumtgde dlm lklipme

:

Dltlriohgcoóh dlm çrlg dl mg rl`oóh dlm lklipme < dl mg ighlrg içs rçpodg

Lhcehtrgr lm çrlg dl mg rl`oóh dlm lklipme

7>   9 :  s 2 d   - >   - :   9  . 3 3

Cehcmusoóh dl mes lklipmes 7  M 7 + 8 4 M :  + 7  y

dy

j.

7

:. g.

  r : dr 

r 

3. g.

4

 

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  xx 

  xx dx

j. j.

3p

 

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  xx 

  xx dx

j.

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7



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 d y 3: :  y d

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j.

- : 3

 

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t 

M :  + ? 8 M8 7   - ces 3 slh 3   8 M 8 g:   + tgh : j slc : ces M : 4   + 3 slh 8 slh M 3   + : ces

 

 w

s

 

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j.

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j.

 

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M8 M8 M ces  : slh :   M cet g1 j slc g1 j   8 < <   - 4 ces 8 slh   7   - slh : 8 ces :   M M 4  + 4 + 7 8 7: - :   + 4   M 8 + 4  - 4   M + 1 - 7:   + ?  

7

1

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M :    + 7 :7    -   M :  M 8 tgh slc   M 3 ces slh   M 7 +   8 M +7 < M 4 + 7>7  7> 7  M 7 + 8 4 M :  + 7

 x 3

 

p

77. g.

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7>. g.

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d-7 : s y :

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