Arcuri. Calculul arcurilor

Arcuri. Calculul arcurilor 6.1. Caracterizare, clasificare. Arcurile sunt organe elastice, care, datorită formei şi caracteristicilor de material, deformaţii elastice importante în funcţionare. La încărcare, lucrul mecanic al sarcinilor exterioare este transformat în energie potenţială de deformaţie acumulată în arc. O parte din aceasta se consumă prin frecările interioare dintre particule(histerezis), iar partea cea mai importantă este transformată în energie cinetică pentru revenirea la starea iniţială. Cu ajutorul arcurilor se realizează legături elastice între diverse elemente ale unei maşini. [16],[32],[47],[88]. În consecinţă, funcţiile arcurilor sunt: - izolarea de şocuri şi vibraţii a diverselor organe de maşini(tampoane, amortizoare, suspensii); - modificarea pulsaţiei proprii a unui sistem oscilant; - acumularea de energie (arcurile de ceasornic); - exercitarea unor forţe elastice de intensitate constantă (arcurile frânelor şi ambreiajelor); - limitarea unor forţe de închidere (arcurile supapelor, ale preselor); - măsurarea forţelor (dinamometre cu arc). Standardul STAS 6916-64 clasifică arcurile după mai multe criterii: 1 – Forma constructivă: -arcul bară de torsiune; -arcul spiral plan; -arcul elicoidal; -arcul lamelor; -arcul cu foi multiple; -arcul inelar; -arcuri speciale. 2 – Natura sarcinilor exterioare: -arcuri de torsiune; -arcuri de încovoiere; -arcuri de compresiune şi tracţiune. 6.2. Materiale pentru arcuri. Particularităţile funcţionale ale arcurilor impun folosirea unor materiale cu caracteristici bine determinate, cum sunt: limită de elasticitate ridicată, rezistenţă mare, rezistenţă la oboseală, plasticitate ridicată la temperatură.

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

În continuare se vor enumera materialele din care se construiesc arcurile. -Oţeluri pentru arcuri, sunt oţeluri carbon de calitate sau aliate, care la sfârşitul simbolului au litera A. Pentru ca acestea să îndeplinească condiţiile cerute arcului, li se aplică tratamente termice, precum şi tratamente mecanice. -Aliaje neferoase de tipul alamei, alamei cu nichel, bronzului; sunt inferioare din punct de vedere al proprietăţilor mecanice, dar permit funcţionarea în medii corozive, având şi proprietăţi amagnetice şi de conductanţă electrică. -Aliaje de nichel de tipul Monel şi Iconel. -Aliaje de cobalt, se utilizează pentru arcurile din componenţa aparatelor electrice de măsură. -Elastomerii, se utilizează pentru arcurile de amortizoare, având comportament neliniar, vâscos elastic. 6.3. Caracteristica funcţională Caracteristica funcţională a arcului este curba trasată experimental, care face legătura între forţa cu care este solicitat şi deformaţia arcului. Această curbă poate fi liniară sau neliniară, în funcţie de materialul şi tipul arcului. În cazul materialelor vâsco-elastice, caracteristica prezintă histerezis (curba 4) datorat pierderilor de energie produse prin frecarea între particulele de material în timpul deformaţiei. 1 F [N]

F

2

[N]

4

de sc

ar ca

re

in

ca rc

ar e

3

δ [mm]

δ [Mm]

Fig.6.1

Eficienţa procesului de acumulare energiei este reprezentată de factorul de utilizare volumetrică ηw definit de relaţiile:

W 2⋅ E ⋅ 2 V σ max W 2⋅G sau ηw = (6.1) ⋅ 2 V τ max după cum presiunile preponderente din arc sunt normale sau tangenţiale. În aceste relaţii W este energia potenţială de deformaţie, egală cu lucrul mecanic efectuat pentru deformarea arcului, V este volumul porţiunii active a cercului, σmax sau τmax sunt valorile maxime ale tensiunii din arc, iar E, respectiv G modulele de elasticitate ale materialului. Acest factor adimensional arată proporţia de energie înmagazinată de arc.

ηw =

6.4. Arcul bară de torsiune 6.4.1. Aspecte generale Arcul bară de torsiune face parte din categoria arcurilor solicitate în principal la torsiune. Constructiv, arcul constă dintr-o bară dreaptă cu secţiune constantă, la capetele căruia se aplică două momente de torsiune de sens contrar prin intermediul a două leviere montate la capetele barei. Gabaritul radial foarte redus şi eficienţă în procesul de acumulare a energiei, recomandă aceste tipuri de arcuri pentru construcţia stabilizatoarelor antiruliu ale autovehiculelor, a cuplajelor compensatoare şi a altor aparate. L

d

F

F

Fig.6.2

r

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

6.4.2. Elemente de calcul - Tensiuni: τ max =

M t 16 ⋅ M t 16 ⋅ F ⋅ r = = π ⋅ d3 π ⋅ d3 Wp

- Deformaţii: θ =

M t ⋅ l 32 ⋅ M t ⋅ l 2 ⋅ τ max ⋅ l = = G ⋅ I p G ⋅π ⋅ d 4 G⋅d

Kf =

Mt

=

G ⋅ Ip

=

(6.2) (6.3)

π ⋅G ⋅d4

(6.4) 32 ⋅ l 2 1 1 τ ⋅ π ⋅ d 3 2 ⋅ τ max ⋅ l π ⋅ d 2 ⋅ l ⋅ τ max - Energie acumulată: W = ⋅ M t ⋅ θ = ⋅ max ⋅ = 2 2 16 16 ⋅ G G⋅d Exprimată în funcţie de volum, relaţia devine: 2 2 τ max ⋅ V τ max (6.5) W= = ⋅ V ⋅ ηW 4⋅G 2⋅G π ⋅d2 unde V = ⋅ l este volumul părţii active a arcului, 4 iar ηw = 1/2 coeficientul de utilizare volumetrică. - Rigiditate:

θ

l

6.5. Arcul elicoidal 6.5.1. Aspecte generale Arcul elicoidal se obţine prin înfăşurarea după elice a unei bare de secţiune constantă pe un cilindru sau con.

Fig.6.3

Arcurile elicoidale pot fi de compresiune, caz în care capetele se prelucrează ca suprafeţe plane şi pasul elicei de înfăşurare este mai mare decât

diametrul barei, sau de tracţiune, caz în care capetele sunt prevăzute cu cârlige, iar pasul elicei este egal cu diametrul barei. Mai există cazuri când aceste arcuri sunt solicitate la torsiune de un cuplu de forţe perturbatoare pe axa arcului, acestea fiind arcuri elicoidale de torsiune. În cazul arcurilor elicoidale de tracţiune-compresiune, solicitarea principală a barei este torsiunea, având ca solicitări secundare încovoierea, forfecarea şi tracţiunea, mult mai puţin importante ca valoare. În cazul arcurilor elicoidale de torsiune, solicitarea principală este încovoierea, având ca solicitări secundare torsiunea şi tracţiunea. 6.5.2. Elemente de calcul Pentru determinarea solicitărilor şi tensiunilor din arcul elicoidal de tracţiune-compresiune se consideră un sfert de spiră de arc (fig. 6.4). F α d

Fcosα

α Fsinα Rm

Fig.6.4

Prin descompunerea forţei F care acţionează în axa cercului, rezultă: -moment de torsiune: Mt = F⋅ Rm⋅ cosα; -moment încovoietor: Mi = F⋅ Rm⋅ sinα; -forţă tăietoare: T = F⋅ cosα; -forţă de tracţiune: N = F⋅ sinα; Întrucât de regulă α = 6….90, rezultă că solicitarea principală este torsiunea şi forţa tăietoare, care se vor considera în calcul. Din luarea în considerare a acestei solicitări, rezultă:

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

Tensiuni:

τ t max =

τf =

M t 16 ⋅ F ⋅ Rm 8 ⋅ F ⋅ Dm = = π ⋅ d3 π ⋅ d3 Wp

F 4⋅ F = As π ⋅ d 2

τ = τ t max + τ f =

4 F  D  ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ m  π d  d 

(6.6) (6.7) (6.8)

Dm = i , rezultă: d 4 F (6.9) τ = ⋅ 2 ⋅ (1 + 2 ⋅ i ) π d 8 F deci i >> 1 (6.10) τ = ⋅ 2 ⋅i π d În cazul arcului elicoidal, datorită curburii spirei, tensiunea are o distribuţie neuniformă pe periferie, valorile maxime fiind pe partea apropiată de axa arcului. 8⋅ K ⋅ F Deci: (6.11) τ max = ⋅i π ⋅d2 i este coeficient diametral al arcului, care, conform STAS 7067-76, poate avea valori între 4 şi 16. K este coeficient de formă, dependent de valoarea lui i, 16 având expresia K = 1 + recomandată de STAS 7067-76. i Deformaţii În cazul arcului elicoidal, săgeata arcului este alungirea sau scurtarea arcului, ca efect al acţiunii forţei F (fig. 6.5). Săgeata rezultă din torsiunea spirelor. Astfel, dacă se consideră spirele unui arc desfăşurate, se poate considera arcul ca o bară de torsiune ce se deformează cu unghiul θ aşa cum se observă din figura explicativă. notând:

Se poate scrie că : Dar:

f = Rm ⋅ θ M t ⋅ L 32 ⋅ F ⋅ 2 ⋅ π ⋅ Rm2 ⋅ n = θ= G ⋅ Ip G ⋅π ⋅ d 4

(6.12) (6.13)

F f

m

θ

R

L= 2 R m

Fig.6.5

64 ⋅ F ⋅ Rm3 ⋅ n 8 ⋅ F ⋅ Dm3 ⋅ n = f = G ⋅d4 G ⋅d4 8 ⋅ F ⋅ i3 ⋅ n f = G⋅d

deci: sau:

(6.14) (6.15)

Rigiditate

Kf =

Mt

θ

=

Energie înmagazinată

G ⋅ Ip L

H ⋅ d3 ⋅i = 32 ⋅ n

1 ⋅F ⋅ f 2 π ⋅ d 2 ⋅τ F= 8⋅i 2 1 π ⋅ d ⋅τ 8 ⋅ F ⋅ i ⋅ n W= ⋅ ⋅ 2 8⋅i G⋅d 2 3 2 1 π ⋅ d ⋅τ ⋅ i ⋅ n W= ⋅ 16 G W=

dar: deci:

Ştiind că volumul:

V= rezultă:

W=

π ⋅d2 4

⋅L =

(6.17) (6.18)

(6.19)

π 2 ⋅ d3 ⋅i ⋅ n

1 τ2 ⋅ ⋅V ; 2 2⋅G

(6.20)

4

ηw =

(6.16)

1 2

(6.21)

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

Calculul efectuat este aproximativ deoarece spira este o bară curbă în spaţiu şi repartiţia tensiunilor nu este uniformă, însă aproximaţia este în domeniul admis, formulele folosindu-se pentru proiectarea arcurilor. Arcurile elicoidale, în mecanisme şi instalaţii pot fi grupate în serie sau în paralel. La gruparea în serie, săgeata totală este suma săgeţilor fiecărui arc, iar la gruparea în paralel, rigiditatea totală este suma rigidităţilor. 6.5.3. Arcuri elicoidale cilindrice de torsiune Aceste arcuri preiau, în ansamblu, un moment de torsiune Mt (fig. 6.6). 1

Mt

2 3

Fig.6.6

Arcul 1 este fixat cu un capăt într-o porţiune fixă 3 a subansamblului, iar cu celălalt capăt – în arborele 2. Sârma arcului este solicitată, în principal, la încovoiere; de aceea aceste arcuri se mai numesc şi flexionale. Sub acţiunea momentului Mt care acţionează la capătul activ, într-un plan perpendicular pe axa arcului, acest capăt se roteşte cu un unghi θ. În figura 6.7 se prezintă dependenţa sarcină-deformaţie la arcul elicoidal cilindric de torsiune. În timpul încărcării, arcul are tendinţa de a-şi micşora diametrul mediu. În starea strânsă, arcul nu trebuie să ajungă în contact cu cilindrul pe care este înfăşurat. Momentul de răsucire care încarcă arcul, solicită sârma la încovoiere. La calculul sârmei, deci, momentul încovoietor se ia Mi = Mt. Efortul unitar de încovoiere din sârmă este: M M M (6.22) σ i = i = t = 10,2 3t . W W d Datorită curburii sârmei, efortul unitar pe faţa interioară a spirei este mai mare decât cel dat de relaţia (6.2): αimax = C* αi, (6.23)

ax M tm d

Mt θ max θ

Dm Mt

Fig.6.7

unde C* este coeficient care depinde de 1,6 Dm raportul . În figura 6.8 este 1,5 d D 1,4 prezentată diagrama C*= f   la d 1,3 arcurile elicoidale cilindrice de torsiune. Sectiune Deplasarea unghiulară θ a 1,2 rotunda capătului activ se determină cu relaţia: 1,1 Ml Ml (6.24) θ= i = t EI EI 1,0 2 4 10 6 8 unde E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului; I – Fig.6.8 momentul de inerţie al secţiunii sârmei. Pentru sârme de secţiune rotundă: 64 M t Dm n θ= Ed 4 unde s-a înlocuit lungimea sârmei l = π Dm n ( n – număr de spire). Lucrul mecanic de deformaţie este : 1 L = M tθ 2

(6.25)

(6.26)

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

deoarece caracteristica acestui arc este liniară. Prin transformări se ajunge la : 1 σ i2 σ2 (6.27) L= V =K i V 8 E E 1 unde V este volumul arcului, iar K = , este coeficientul de utilizare 8 volumetrică. Elemente constructive. Arcurile elicoidale cilindrice flexionale se execută cu distanţa între spire de cel puţin 0,5 mm. Pentru indicele arcului D i = m se recomandă i ≈ 6. d În figura 6.9 sunt prezentate diferite construcţii de arcuri cilindrice flexionale(de torsiune).

b

a

d

c

f

e Fig.6.9

6.6. Alte tipuri de arcuri

6.6.1. Arcul spiral plan Acest tip de arc se obţine prin înfăşurarea după o spirală arhimedică a unei bare de flexibilitate ridicată, de secţiune dreptunghiulară. Gabaritul axial redus şi stabilitatea diagramei forţă-deformaţie constituie motivul utilizării acestor tipuri de arcuri pentru mecanismele de ceasornic, pentru echilibrarea tijelor palpatoare la aparatele de măsură, pentru mecanisme de rapel etc. Arcurile spirale (figura 6.10 ), utilizate în construcţia diferitelor aparate, înmagazinează energia potenţială pe care o redau sub forma unui moment de torsiune care provoacă o mişcare rotativă continuă sau oscilantă. h b

b

dϕ

b‘

y

a

D1

a c

∆d ϕ

b

dL

ρ

dϕ

∆ dL

D

b

a

Fig.6.10

Momentul de torsiune elastic Mt se determină cu relaţia: M t = ∫ σ i ydF ,

(6.28)

unde σi este tensiunea normală de încovoiere în secţiunea spiralei arcului; y – distanţa care determină poziţia fibrei neutre; dF – suprafaţa elementară a secţiunii transversale a arcului. Tensiunea normală în secţiune este: σi = εE. (6.29) Se consideră două secţiuni ale spirei a – b şi a1 – b1 infinit de apropiate(figura 6.10b). Distanţa dintre aceste secţiuni măsurată pe arcul de rază(ρ+y) este dL, iar unghiul dintre secţiuni dϕ. Ca rezultat al acţiunii momentului exterior M, curbura spirei se măreşte şi în consecinţă secţiunea a – b se roteşte faţă de fibra neutră cu un unghi ∆dϕ, ocupând poziţia a’b’.

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

relaţia:

Alungirea unei fibre situate la distanţa y de fibra neutră se determină cu

∆dL = y∆dϕ . (6.30) Alungirea relativă ε se exprimă astfel: ∆dL , (6.31) ε= dL ţinând seamă de egalităţile ∆dL = y∆dϕ, dL = (y+ρ)dϕ ; relaţia (6.31) devine: y∆dϕ ε= . (6.32) ( y + ρ )dϕ Înlocuind expresia (6.32) în formula (6.29), rezultă: Ey∆dϕ ε= . (6.33) ( y + ρ )dϕ Înlocuind σi din ecuaţia (6.33) în formula (6.28) se obţine: E∆dϕ  y 2 dF    . (6.34) Mt = ∫ + d ϕ y ρ   F Ţinând seamă de faptul că

∫ y dF = I 2

F

z

este momentul de inerţie al

secţiunii spirei şi considerând (y+ρ)dϕ=dL, relaţia (6.34) va avea forma: EI ∆dϕ , (6.35) Mt = z dL Înmulţind numărătorul şi numitorul relaţiei (6.35) cu numărul n al elementelor arcului şi având în vedere că n dL = L; n ∆dϕ = ϕ,( unde L este lungimea desfăşurată a arcului, iar ϕ este unghiul de răsucire al arcului), rezultă: EI (6.36) Mt = z ϕ . L bh 3 Înlocuind valoarea momentului de inerţie I z = a secţiunii spirei arcului, în 12 relaţia (6.36) se obţine: Ebh3 (6.37) Mt = ϕ 12 L Lungimea arcului desfăşurat L se determină cu relaţia: π D 2 − D12 (6.38) L= 4c

(

)

unde D şi D1 reprezintă diametrule exterior, respectiv interior al arcului netensionat; c – distanţa dintre axele a două spire alăturate. Din condiţia de solicitare a spirei arcului la încovoiere rezultă: M t = Wσ ai = W

unde σr este rezistenţa de rupere; W =

σr k

,

(6.39)

bh 2 - modulul de rezistenţă; k = 5÷10 – 6

coeficientul de siguranţă. Din relaţiile (6.37) şi (6.38) se obţine: h 2σ r . (6.40) = L kϕE Înlocuind ecuaţia (6.38) în relaţia (6.40) şi având în vedere că c = k1h (unde k1 =7÷8) rezultă:

h=

πσ r (D 2 − D12 ) 2kk1ϕE

(6.41)

Raportul dintre dimensiunile secţiunii spirei arcului, de obicei, este: h (6.42) = 0,1 b Numărul de spire z se determină cu relaţia : 2L . (6.43) z= π (D + D1 ) Distanţa dintre axele a două spire vecine este: D − D1 (6.44) c= 2z Calculul arcurilor bare de torsiune şi al arcurilor speciale ( tuburile ondulate, membranele şi capsulele, arcul monometric) este dat în literatura de specialitate[ ]. 6.6.2. Arcul disc (Bellevile) Acest arc este format din mai multe discuri de formă tronconică aşezate în tandem, arcul fiind supus la compresiune. În figura 6.11a sunt prezentate gruparea în serie, iar în figura 6.11b, gruparea în paralel(pachet).

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

b a

Fig.6.11

Datele referitoare la aceste arcuri sunt cuprinse în STAS 8215-68 şi 8216-68. Avantajele principale ale acestor arcuri sunt: gabarit redus pentru capacităţi de încărcare relativ mari, siguranţă în funcţionare, posibilitatea de amortizare a şocurilor şi de modificare a caracteristicii. 6.6.3 Arcuri din cauciuc Utilizarea arcurilor din cauciuc se răspândeşte tot mai mult, datorită proprietăţilor cauciucului, dintre care cele mai importante sunt: capacitatea mare de deformare şi capacitatea mare de amortizare( datorită pierderilor prin histerezis). Arcurile de cauciuc se clasifică după felul solicitării în: a)arcuri de compresiune; b)arcuri de întindere; c)arcuri de forfecare; d)arcuri de compresiune-forfecare; e)arcuri de torsiune. Se prezintă mai jos elemente de calcul pentru arcurile de compresiune. Calculele referitoare la alte tipuri de arcuri se găsesc în lucrările [ ]. Arcurile de compresiune au formă cilindrică sau paralelipipedică, (figura 6.12), fiind armate pe suprafeţele frontale cu plăci metalice. În figura 6.13 este D reprezentată diagrama β = f   la arcul cilindric din cauciuc h Relaţiile de calcul diferă în funcţie de mărimea deformaţiilor. Se consideră deformaţii mici acelea care nu depăşesc 10% din înălţimea h a arcului. Peste valoarea aceasta, deformaţiile se consideră mari.

14 D

12 F

f

10 8

h

6 4 2 F

0

Fig.6.12

2

4

6

8

10

Fig.6.13

La arcul cu deformaţii mici este valabilă legea lui Hooke. Legătura dintre sarcină, dimensiunile arcului, deformaţie şi material este dată de relaţia.[ ]: A (6.45) F = βE f h unde E este modulul de elasticitate, A- aria secţiunii, h – înălţimea în stare nedeformată, f – săgeata, β – coeficient care ţine seama de faptul că arcul devine mai rigid, datorită plăcilor metalice vulcanizate pe suprafeţele frontale (figura 6.13) La arcurile cu deformaţii mari, legătura dintre sarcină, deformaţie, dimensiunile arcului şi material este dată de relaţia [ ]: 1  1 (6.46) f = βEA 2 − λ  3 λ  unde β, E şi A au semnificaţiile de la relaţia (6.45); λ este gradul de scurtare a epruvetei: h− f f (6.47) λ= =1− =1− ε h h În legătură cu construcţia arcurilor de compresiune de cauciuc se face observaţia că volumul arcului rămâne acelaşi şi sub sarcină, deci prin construcţie trebuie să se permită arcului o deformare laterală liberă. În caz contrar el se va comporta ca un corp rigid.

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

6.6.4 Arcurile lamelare Arcurile lamelare au diferite forme (fig. 6.14,6.15). Caracteristica lor este liniară. Arcul lamelar simplu are forma unei bare flexibile cu lăţimea b şi înălţimea h, solicitată la încovoiere. Funcţiile acestor arcuri pot fi: - menţinerea unui contact forţat a două elemente cu gabarit mic din aparate şi maşini specifice mecanicii fine: mecanisme cu clichet, contactoare, relee etc. - rezemare elastică; - ghidare liniară; După forma lamelei arcurile lamelare sunt: dreptunghiulare, triunghiulare, trapezoidale. Arcul lamelar dreptunghiular.

b

h

F

L

Fig.6.14

Arcul lamelar dreptunghiular poate fi considerat încastrat la un capăt şi liber la celălalt (figura 6.14). Prin urmare va rezulta că tensiunea maximă este în secţiunea de încastrare: M (6.48) σ i max = i max Wz unde: Mimax este momentul dat de relaţia: Mimax=F .L, iar Wz reprezintă modulul de rezistenţă în coordonate ortogonale: Wz=h2.b/6. În final relaţia 6.48 devine:

6 Fl (6.49) bh 2 Arcul dreptunghiular se caracterizează prin: - săgeată maximă dat de relaţia: 2 σ i max L2 (6.50) f = 3 Eh unde: E este modul de elasticitate longitudinal. - energia înmagazinată: 1 1 bh 2σ i max 2 σ i max L2 W = Ff = 2 2 6L 3 Eh unde în final rezultă: 1 σ i max bhL (6.51) W = 18 E 1 σ i2max 1 sau: W= V ; ηW = . 9 2E 9 - rigiditatea: 3EI (6.52) Kf = 3z L unde: Iz = bh3 /12, reprezintă moment de inerţie în coordonate ortogonale. Arcul lamelar triunghiular (figura 6.15)

σ i max =

h

F

b

Fig.6.15

Arcul triunghiular lamelar se caracterizează prin:

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

-

tensiuni:

σ i max = -

săgeata maximă: f =

M i max 6 FL = Wz bh 2

σ L2 FL3 = i max 2 EI z Eh

(6.53)

(6.54)

energia înmagazinată: 1 1 b ⋅ h 2 ⋅ σ i max σ i max L2 W = F⋅ f = ⋅ 2 2 6⋅ L E⋅h 2 1 σ i max b ⋅ h ⋅ L de unde rezultă: W = ⋅ (6.55) 12 E 1 σ2 1 sau: W = ⋅ i max V ; ηW = . 3 2⋅ E 3 În cazul acestui arc, coeficientul de utilizare volumetrică este mai mare, deci mai avantajos din punct de vedere elastic. O formă avantajoasă a arcurilor lamelare o constituie şi cea trapezoidală; pentru unele aplicaţii se poate modifica rididitatea arcului prin modificarea dimensiunilor trapezului, rezultând arcuri mai sensibile (la sarcini egale vor avea săgeţi mai mari decât la cele cu formă dreptunghiulară). -

6.7. Gruparea arcurilor Pentru obţinerea unor caracteristici diverse, arcurile pot fi folosite grupat, dând naştere la sisteme de arcuri montate în serie, în paralel sau combinate. La montarea în serie, prezentată în fig. 6.16, forţa acţionează de fapt asupra fiecărui arc în parte F = F j = const. Arcul j din montaj va avea o săgeată dată de relaţia: (6.56) F = Kj ⋅ fj unde: K j este rigiditatea arcului j. Săgeata totală va fi suma săgeţilor fiecărui arc: n n Fj 1 1 1 = F ⋅∑ ⇒ =∑ f =∑ fj =∑ Kj K ech Kj j =1 j =1 K j

(6.57)

Rigiditatea echivalentă se reduce. Deşi s-a analizat un montaj de n arcuri în serie, în practică montajul nu conţine decât două sau trei arcuri. Pentru montajul din fig. 6.16, rigiditatea echivalentă K este mai mică decât valoarea rigidităţii oricărui arc: 1 1 1 (6.58) = + K K1 K 2

F

K1

F1 = F2 = Fn K2 K K1

F

f1 F1

3

1

f2

F3

2

F2 F= F1 = F2

K3

K2

f1

F2

f2 f= f 1 + f 2

F1

O f

Fig.6.16

f

Fig.6.17

La montarea în paralel a arcurilor (fig. 6.17), săgeata este aceeaşi pentru toate arcurile; forţa F se repartizează pe fiecare arc astfel încât provoacă aceeaşi săgeată f j = f = const. şi ∑ F j = F . Rezultă: n

F + ... + Fn F1 F = 2 = .... = 1 = K1 K 2 K 1 + ... + K n

∑F j =1

j

=

n

∑K j =1

F . K ech

(6.59)

j

Rigiditatea echivalentă este suma rigidităţilor: n

K ech = ∑ K j .

(6.60)

j =1

Pentru exemplul din fig. …… , rigiditatea echivalentă este: K = K1 + K 2 + K 3 . Pentru micşorarea gabaritului, arcurile se dispun concentric.

(6.61)

Cap.6. Elemente elastice. Arcuri

Gruparea arcurilor duce la obţinerea unei caracteristici dorite. Montajul din fig. 6.18 asigură deformarea succesivă a arcurilor. Pentru o săgeată f ≤ f1′ numai arcul 1 se deformează, celelalte fiind nedeformate deoarece placa nu vine în contact cu ele. Dacă forţa de apăsare creşte, săgeata rezultă din montajul în paralel al arcurilor 1 şi 2. Peste o săgeată f1′ + f 2′ , forţa exterioară acţionează asupra celor trei arcuri, montajul având cea mai mare rigiditate. F

F2

f3

f2

f 2'

f1

f 1'

F3

F3

F2

F1

F1 O

f 1'

f 2'

f 3'

f

f2 f1

Fig.6.18

Gruparea arcurilor în paralel, se aplică pentru sistemele de amortizare a cursei pistonului la cilindrii hidraulici sau pneumatici, la sistemele cu mişcări de du-te-vino etc.