Arcos y Cables. Estructuras

Universidad autónoma de Chiapas FACULTAD DE INGENIERÍA Ingeniería civil

“ESTRUCTURAS DE EJE CURVO Y CABLES”

Asignatura: Estructuras Isostáticas Catedrático: Pedro Pérez Cruz Semestre y grupo: 4° “A” Alumno: LUIS GENARO FLORES CRUZ

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas a 21 de noviembre del 2012

Estructuras Isostáticas

ÍNDICE Estructuras de eje curvo Introducción………………………………………………………………... 3 Arcos……………………………………………………………………….. 4 Antecedentes……………………………………………………… 4 Definición (Clasificación)…………………………………………. 6 Ecuación de equilibrio…………………………………….. 7 Equilibrio radial de fuerzas……………………………….. 8 Equilibrio de Momentos…………………………………... 8 Arco Triarticulado…………………………………………. 9 Esfuerzos internos……………………………………….. 10 Arco Biarticulado…………………………………………. 10 Arco Biarticulado Atirantado……………………………... 11 Arco Biempotrado………………………………………… 12 Centro Elástico……………………………………………. 12 Arcos Circulares…………………………………………………... 13 Arcos Parabólicos………………………………………………… 14 Arcos Elípticos…………………………………………………….. 15 Cables……………………………………………………………………… 17 Antecedentes……………………………………………………… 17 Definición………………………………………………………….. 18 Cables Rectilíneos (Cargas concentradas)……………………... 20 Cables Parabólicos (Carga uniformemente distribuida)……….. 22 Cables Catenarios (Propio Peso)………………………………… 25 Conclusión…………………………………………………………………. 27 Bibliografía…………………………………………………………….

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INTRODUCCIÓN Dentro de las Estructuras de Eje Curvo se encuentran los Arcos y los Cables, son estructuras de la misma familia, estructuras que actúan principalmente mediante su forma material, y que debido a sus características en común han tenido un gran impacto en toda la historia del hombre. Fueron llamadas estructuras de forma activa, o sistemas estructurales en estado de tracción simple o compresión simple. Son dos sistemas estructurales con una fuerza y una resistencia tan grande, que han sido de gran importancia en muchas aplicaciones de ingeniería. Y es por esa importancia que el siguiente texto presenta estas dos estructuras curvas, sus antecedentes, definiciones, clasificación y modelos matemáticos para su mejor comprensión. Primeramente, decía que la gran característica de los sistemas estructurales de forma activa, es que ellos vuelven a encauzar las fuerzas exteriores por medio de simples tensiones normales: el arco por compresión y el cable por tracción. La trayectoria natural de los esfuerzos de un sistema de tracciones es el cable suspendido y la de un sistema de compresiones es el arco funicular. Cables: Son estructuras especialmente apropiadas para cubiertas de grandes luces con materiales ligeros donde el elemento estructural esencial es el cable y el esfuerzo fundamental es el de tracción.

Arco Funicular: Las formas inversas de los cables colgantes, corresponden a las formas comprimidas, que con la misma longitud soportarían las mismas cargas.

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ESTRUCTURAS DE EJE CURVO (ARCOS) Antecedentes. El arco es uno de los elementos estructurales que más curiosidad ha despertado a lo largo de la historia de la arquitectura, siendo el único elemento estructural de la antigüedad que permitía abrir huecos en los muros y cubrir grandes luces con ladrillos o mampostería. Su uso se remonta a las primeras civilizaciones, siendo los romanos los que lo empezaron utilizar extensivamente en la obra civil, perfeccionando de tal modo la técnica de construcción que aún hoy en día se mantienen en pie numerosos ejemplos. Usaron el arco semicircular en puentes, acueductos y arquitectura de gran escala; este tipo de arco consistía en la unión de bloques de tabique o piedra, dispuestos en forma circular. En estas estructuras los bloques se mantenían en su posición debido a su geometría y a la fuerza de compresión que actúa a lo largo del eje del arco. Por otro lado, los primeros intentos de comprender su funcionamiento y de establecer unas reglas de dimensionado los encontramos en los manuscritos de Leonardo da Vinci, en los que se intuye el intento de calcular la fuerza horizontal en los estribos. La solución a este problema, junto con las teorías que intentan establecer la forma y grosor ideal del arco serán objeto de estudio de numerosos científicos y arquitectos a lo largo de los siglos. La evolución a lo largo de la historia del arco como elemento estructural fundamental, se basa en el uso de los materiales disponibles, la utilización de nuevas herramientas, el perfeccionamiento de la técnica constructiva y la comprensión de su comportamiento estructural. No es inusual encontrar en la naturaleza arcos en piedras y rocas. Estos arcos son generados por los agentes meteorológicos, que erosionan parte de la roca en la que se forman, manteniéndose estables siempre que la línea de empujes quede contenida en el grosor del mismo.

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Los primeros arcos debieron construirse sobre el 4000 a.C. con ladrillos secados al sol en Mesopotamia. Los egipcios utilizarían la misma técnica unos siglos más tarde, siendo posible ver arcos y falsos arcos en las galerías interiores de las pirámides. Sin embargo no es uno de los elementos estructurales representativos de estas civilizaciones.

Sin embargo serían los romanos la civilización que utilizarían los arcos masivamente. La generalización del arco en el imperio romano abrió posibilidades hasta ese momento desconocidas en las obras de arquitectura e ingeniería, siendo numerosas las construcciones de arcos romanos que han llegado hasta nuestros días. Los arcos modernos son hechos de acero, concreto y madera laminada y se construyen en una variedad de combinaciones de elementos estructurales, donde algunos de estos elementos trabajan a compresión y otros a tensión. Dentro de los campos de la ingeniería civil y de materiales, el diseño de estructuras en arco en una dimensión o eje curvo (o bien cascarones en dos dimensiones), encierra un gran interés, tanto por sus aplicaciones, como por el análisis teórico del equilibrio y la estabilidad de este tipo de estructuras.

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Los arcos son estructuras estables que no se ven afectadas apreciablemente por los movimientos de sus cimentaciones. Es interesante advertir que las excavaciones de ruinas antiguas ponen de manifiesto que los arcos son las estructuras que mejor se han conservado. En definición el arco es un elemento estructural de forma curva y que cualquiera que sea la intensidad y dirección de sus cargas produce empujes horizontales en los apoyos.

Definición (Clasificación de los Arcos) El arco es un elemento estructural lineal de directriz curva que permite salvar una luz o abrir un hueco en un muro. Cuando el arco es de piedra o ladrillo, las piezas que lo forman reciben el nombre de dovelas, y los elementos sobre los que apoya el arco y reciben la carga del mismo se llaman estribos.

Los elementos del arco trabajan básicamente a compresión, transmitiéndose las fuerzas de dovela en dovela dando lugar al polígono de cargas. Esta línea de transmisión de cargas se corresponde con lo que llamamos antifunicular, es decir, la inversa de la forma que adoptaría un cable del que cuelgan las cargas a transmitir por el arco. La forma del antifunicular depende de las cargas a transmitir. Así, una carga constante uniformemente repartida adopta la forma de una catenaria, mientras que la carga que debe soportar el arco que se utiliza para abrir un hueco en un muro adopta una forma cercana a la parábola

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La hipótesis fundamental para el estudio de los arcos es que su curvatura es pequeña en comparación con las dimensiones transversales de su sección o lo que es lo mismo, que el radio de curvatura es mucho mayor que el canto de la sección. La suposición de pequeña curvatura hace que no sea necesario aplicar una teoría especial de piezas curvas, sino que es directamente aplicable la teoría convencional de flexión de vigas, considerando únicamente que el dominio de la estructura es curvo. La energía acumulada en un arco tiene la misma expresión que para un pórtico plano, pero sustituyendo la coordenada longitudinal x por la longitud del arco s, tenemos que.

Siendo N el esfuerzo axial y M el momento flector en una sección cualquiera del arco. La variación de temperatura a lo largo de la sección del arco se supone lineal, definida por sus valores medio Tm y gradiente Tg. Tanto el esfuerzo axial como el momento flector son en general variables a lo largo de la directriz. El canto normalmente también es variable. Habitualmente no se considera la energía debida al esfuerzo cortante pues, por su propia definición, los arcos son esbeltos, con lo que la energía de cortante no es significativa. En muchos casos también se desprecia la energía de esfuerzo axial. Ecuaciones de Equilibrio. Para hallar las ecuaciones de equilibrio se aísla un elemento corresponde a un ángulo .

que

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Equilibrio radial de fuerzas.

Cuando s tiende a cero el ángulo del mismo tienden a:

también lo hace, y el seno y el coseno

Siendo R el radio de curvatura de la sección. Sustituyendo estos valores, dividiendo por y tomando el límite cuando la ecuación de equilibrio radial queda:

Esta ecuación es equivalente a la de las vigas rectas, con la diferencia de que en ella hay un nuevo término en el que intervienen el esfuerzo axial N y el radio de curvatura R. Si este radio de curvatura tiende a infinito, la ecuación anterior coincide con la habitual de las vigas rectas.

Equilibrio de Momentos. Tomando momentos en el elemento diferencial respecto a su lado derecho se obtiene:

Procediendo igual que con la ecuación de equilibrio de fuerzas se llega a:

Que es la ecuación equivalente a la de flexión de vigas rectas.

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Los arcos pueden clasificarse según su comportamiento estructural, en este caso existen los arcos no articulados, algunas veces designados como fijos; los doblemente articulados o triplemente articulados, y sabemos que el arco triplemente articulado se encuentra estáticamente determinado.

Arco Triarticulado Se trata de una estructura isostática, cuya disposición geométrica general puede verse en la figura. No se especifica en principio su forma, sino sólo la posición de los apoyos A, B y de la clave C.

Las reacciones en las articulaciones se pueden hallar aislando los dos elementos AC y CB. Tomando momentos respecto de A en el elemento AC, y respecto de B en el elemento CB, se obtiene:

Donde, es el momento respecto de A de las fuerzas exteriores comprendidas entre A y C, y es el momento respecto de B de las fuerzas exteriores entre C y B. Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De las dos ecuaciones anteriores se obtienen las reacciones en la clave C.

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Las reacciones en los apoyos se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontal y vertical de cada tramo:

Esfuerzos internos. Los esfuerzos en el interior del arco se obtienen aislando un tramo AP, donde P es un punto cualquiera situado entre A y B. El origen del sistema de coordenadas se sitúa en A, con lo que las coordenadas de P son x,y.

Los esfuerzos axial N y cortante Q se obtienen aplicando el equilibrio de fuerzas en las direcciones X e Y:

Donde , son las resultantes, según X e Y, de las fuerzas exteriores aplicadas entre A y P. El valor que se obtiene para el esfuerzo axial es:

Arco Biarticulado Este arco es hiperestático de grado h=1. Para su análisis se elige como incógnita redundante la reacción horizontal en el apoyo izquierdo .

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Por superposición, los valores del esfuerzo axial N y del momento flector M son:

Los esfuerzos finales en este tipo de arcos están dadas por las siguientes ecuaciones.

Otra expresión que es también muy habitual en el diseño de arcos, es el Momento flector:

Arco Biarticulado atirantado. Es frecuente el empleo de un tirante de sujeción entre los dos apoyos, con objeto de eliminar la componente horizontal de la reacción en un apoyo. De hecho, si todas las cargas son verticales este arco no produce ninguna reacción horizontal sobre el terreno.

Se supone que el tirante tiene una flexibilidad axial de valor t y que en él hay un esfuerzo de pretensión inicial N0t definido por un alargamiento equivalente t: El arco es hiperestático de grado 1, y para su análisis se adopta como incógnita redundante X el esfuerzo en el tirante. Se identifica con el subíndice a al esfuerzo axial del arco y con t al del tirante.

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Arco Biempotrado El arco Biempotrado es hiperestático de grado 3, y para su estudio se consideran como incógnitas hiperestáticas los tres esfuerzos en el apoyo A: Ax ,Ay ,MA.

Arco Biempotrado. Centro Elástico. Tradicionalmente se ha efectuado el estudio de los arcos biempotrados mediante el empleo del llamado centro elástico. Esta técnica se basa en el método de flexibilidad, y trata únicamente de simplificar el proceso de cálculo, evitando la resolución del sistema final de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para el empleo de este método se define una sección plana equivalente al arco, cuya directriz es una curva con la forma de la directriz del arco y cuyo espesor corresponde a la flexibilidad a flexión m. Se considera asimismo que el arco es infinitamente rígido a esfuerzo axial g=0. Se define el centro elástico del arco como un punto E, situado en el centro de gravedad de la sección plana equivalente al arco. Con esta definición sus coordenadas son:

Además, se define un sistema de ejes ,situado en el punto E, de tal manera que sean los ejes principales de inercia de la sección plana equivalente. El ángulo  que forman estos ejes con el sistema inicial X,Y viene dado por la expresión.

Una vez definido este sistema de ejes, se traslada el empotramiento del apoyo A hasta el punto E, a base de conectar A con E mediante un elemento infinitamente rígido tanto a flexión como axialmente, y que por lo tanto no acumula energía. Con esta sustitución el arco se comporta de la misma forma, y sólo varían las reacciones, que son distintas en A y en E.

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Arcos circulares. Este tipo de arcos debe tener cuando menos tres articulaciones, para su resolución pueden emplearse lo mismo el método gráfico que el algebraico bastando la aplicación de las tres ecuaciones de equilibrio de la estática: =0; =0; =0; En las cuales , , son cargas verticales, horizontales y momentos respectivamente.

La curva que más a menudo hallamos en las construcciones romanas como directriz de un arco es la circunferencia. La circunferencia es la única curva de curvatura constante. En otras palabras: siempre igual a sí misma en toda su longitud. Esto simplifica mucho la construcción, pues las dovelas de que consta el arco pueden ser realizadas en un taller sin más dato que el radio, mientras que una curva funicular de otro tipo requeriría construirlas a medida para cada porción de aquél. La circunferencia permite el paso de un gálibo superior, lo que puede ser muy importante cuando se debe circular bajo el arco, o simplemente se desea que por él circule la mayor cantidad posible de agua. Frente a estas ventajas, la circunferencia presenta un inconveniente: no puede ser funicular de casi ningún sistema de cargas, pues teóricamente una curva funicular nunca terminará con los estribos verticales. En la práctica, pues, la directriz circular sufre siempre algún tipo de flexión,

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localizada generalmente en los riñones del arco, zona la más propensa a la aparición de grietas. Se observa un arco circular y su curva funicular, la cual no va centrada con el arco, pero éste consigue absorber gracias a su grosor los esfuerzos canalizados a través aquélla, pero siempre con un cierto grado de inadaptación. En los arranques la curva funicular es casi vertical, pero siempre aporta una componente horizontal.

Arcos Parabólicos Es un arco que toma la forma de una parábola. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz). Su fórmula matemática es:

Los arcos parabólicos son unos elementos muy usados en arquitectura. Se pueden utilizar, por ejemplo, como puentes o vigas. Normalmente, estos puentes son isostáticos. La peculiaridad del arco parabólico es que en el arco sólo actúan esfuerzos axiles y momentos flectores, no presentándose esfuerzos cortantes. Esto se produce cuando el arco es sometido a una carga uniformemente distribuida y ambos extremos son apoyos fijos. Dentro del arco, los esfuerzos son principalmente de compresión.

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Arcos elípticos.

Un arco con tres articulaciones al momento de sustentar cargas verticales no sólo presenta reacciones verticales, sino también reacciones horizontales. Estas reacciones evitan el fenómeno del “coceo” (tendencia que un arco presenta de abrirse hacia los lados.) Para evitar este fenómeno se recurre a colocar un tensor en los apoyos para impedir que el arco se abra. Una definición de este tipo de arco es la siguiente: Arco cuyo intradós tiene forma de elipse. El uso del arco elíptico es un factor determinante para decidir cómo suena estructuralmente un diseño arquitectónico relacionado. El arco tradicional se compone de un patrón semi-circular o medio círculo. Esta forma, es más sólida que el diseño elíptico achatado. Un oblato es donde la elipse se puede imaginar cómo disección a lo largo de su parte más ancha, formando así un arco más amplio, pero más bajo. Un arco elíptico alargado, más estrecho aún más alto, es más sólido que cualquiera de los dos diseños anteriores.

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Los arcos elípticos han sido ampliamente utilizados debido a su atractivo estético. En otras palabras, se ven más bonitos. Especialmente encontrados en la construcción de puentes, los arcos elípticos proporcionan un aspecto más elegante que hicieron el semicírculo románico clásico. Por desgracia, no ofrece la misma resistencia que el semicírculo y los intentos de fusionar ambos han fracasado en gran medida. En algunos casos, las ventajas de un diseño de arco elíptico son aún más prácticas. El diseño elíptico del oblato (más largo aún corto) no suena tan arquitectónicamente como la forma alargada o el arco de semicírculo. Sin embargo, con elementos como el acero o el hormigón algunos de estos atolladeros estructurales pueden ser ampliamente superados. La forma achatada simplemente permite que pase un mayor tráfico a través y cargas más amplias ingresen bajo el arco. En resumen, dicha forma permite un acceso más expansivo bajo la estructura que los otros diseños.

El arco ha sido durante muchos siglos un elemento estructural imprescindible para abrir huecos en los muros o alcanzar la otra orilla de un rio. El ingeniero Eduardo Torroja lo describe en su libro “Razón y ser de los tipos estructurales” de la siguiente manera: “El arco es el mayor invento tensional del arte clásico. Él sigue impresionando al vulgo, y la humanidad ha tardado mucho en acostumbrarse a su fenómeno resistente; prueba de ello es la frecuencia con que la leyenda achaca al diablo su construcción... Si la columna es arquitectura pura, el arco es ingeniería; o mejor dicho, el arco es técnica...”

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CABLES

Antecedentes. Las estructuras funiculares se han utilizado extensamente a lo largo de la historia. Hay muchos ejemplos de puentes colgantes en China, India y Sudamérica con materiales de tipo bambú, cañas o cuerdas, aunque hay evidencias de puentes hechos con cadenas en China en el primer siglo d.C. También se utilizaban para construir tiendas e incluso en estructuras importantes como es el caso de los anfiteatros romanos. El primer puente colgante en el mundo occidental es el Jacob’s Creek Bridge en Pensylvania de James Findley, construido en 1801. La innovación de este puente fue la introducción de un tablero fijo que impedía que el cable y el propio tablero cambiaran de forma como consecuencia del tráfico de vehículos. Muchos autores consideran, sin embargo, que fueron John y Washington Roebling los precursores de los puentes colgantes modernos de grandes luces con su puente de Brooklyn, en el que utilizaron un segundo sistema de cables para contrarrestar la acción dinámica del viento.

El uso de los cables en los edificios se desarrolló mucho más lentamente, debido a que había menos necesidad de cubrir grandes luces y a los problemas que creaba su aplicación. Se considera que la estructura de los pabellones de la exposición de Nijry-Novgorod diseñados por V. Shookhov, en 1896, marcan en principio de las aplicaciones modernas de las estructuras de cables a los edificios, aunque la evolución real de las mismas se inició en la segunda mitad del siglo XX. Desde entonces se han construido un gran número de edificios representativos con estructuras de cables, siendo el acero galvanizado y el acero inoxidable los materiales más utilizados actualmente.

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Definición El cable es un elemento flexible que, sujeto a cargas externas, adquiere una forma concreta llamada funicular, que depende de la magnitud y posición de las mismas.

Desarrolla únicamente esfuerzos de tracción, por lo que, junto con la alta resistencia del material, hace que constituya una estructura bastante ligera. Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar veredas en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables para postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc. Por su flexibilidad, los cables, como se mencionaba, solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio con el solo trabajo a tracción del elemento. El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Para cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal, adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso, el cual no se refiere a una carga uniforme, forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía. En el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto más bajo) no sea muy grande, esta catenaria se puede aproximar a una parábola. 18

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Para el análisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que en toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y siempre tangenciales a la curva del cable. Veamos el ejemplo gráfico.

Al derivar las relaciones necesarias entre la fuerza en el cable y su pendiente, planteamos la hipótesis de que el cable es flexible e inextensible. Debido a su flexibilidad, el cable no ofrece resistencia a la fuerza cortante o al momento flexionante y por ello, la fuerza que actúa en el cable es siempre tangente a este en puntos a lo largo de su longitud. Si es inextensible, el cable tiene la misma longitud antes y después de la aplicación de la carga, la geometría del cable permanece fija y el cable o segmentos del pueden tratarse como un cuerpo rígido. Entre sus principales características tenemos: • Resisten únicamente esfuerzos de tracción pura. • La forma responde a las cargas. • Cualquier cambio en las condiciones de carga afecta la forma. • Carecen de rigidez transversal. • Las cargas pueden ser muy grandes en relación al peso propio. • No constituye una estructura autoportante

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El cable adopta la forma de una poligonal (cargas concentradas) (1), o de una curva catenaria (peso propio)(2), o parabólica (cargas uniformes distribuidas en la proyección horizontal)(3) en función de la carga actuante. Al combinar distintos tipos de cargas se producirán formas combinadas de manera que la carga mayor definirá la forma dominante.

(1)

(2)

(3)

Los tipos de Cables son los siguientes: Cables Rectilíneos (Cargas Concentradas) Los cables sometidos a cargas puntuales adquieren una geometría tal que en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable. La forma final del cable dependerá de la magnitud de las cargas puntuales y de su punto de aplicación.

Considérese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan n cargas concentradas verticales P1, P2,… , Pn. Se supone que el cable es flexible, esto es, que su resistencia a la flexión es pequeña y puede despreciarse. Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparación con las cargas que soporta.

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Por lo tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. Siempre la reacción será contraria a la acción ejercida por el cable, ley de acción y reacción, por lo tanto solo se ejercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del último tramo de los cables. Con la articulación como apoyo se asegura que la reacción tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas. Note que la dirección de las reacciones depende de la geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.

Si en el cable analizado, sus dos apoyos están al mismo nivel, se puede solucionar el análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la geometría del cable. Si se conoce al menos una flecha del cable en cualquier tramo, se podría determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal. Para este caso especial la cuarta ecuación sería:

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Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e inversamente proporcional a la flecha. En el caso de tener varias cargas aplicadas, se hace necesario conocer al menos una de las flechas del cable. Asumiendo que la flecha conocida sea central, se puede analizar el cable aplicando el método de los nudos, considerando cada punto de aplicación de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas o el método de las secciones, cortando el cable por un punto donde se involucre la flecha conocida y tomando momentos con respecto al punto de corte. De esta manera se despeja la componente horizontal de la reacción. Tenga en cuenta que para apoyos alineados horizontalmente, las componentes verticales de las reacciones se determinan por el equilibrio externo. A continuación se muestra el diagrama de cuerpo libre cuando se utiliza el método de los nudos. En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de éste.

Cables parabólicos (Sometidas a Cargas Uniformemente Distribuidas) Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña. La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto más bajo de este. Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola en el centro o considerarlo desde un extremo.

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Considérese un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga distribuida. En la sección anterior se vio que, para un cable que soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, este cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en un punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la tangente de la curva. Ahora supóngase que el cable AB soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal. Se puede suponer que los cables de los puentes colgantes están cargados de esta forma puesto que el peso del cable es pequeño en comparación con el peso de la calzada. La carga por unidad de longitud, medida horizontalmente, se representa con w y se expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionando ejes coordenados con su origen con el punto más bajo del cable, se encuentra que la magnitud W de la carga total soportada por la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo hasta el punto dado de coordenadas x y y está dada por W=wx.

Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:

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Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola. Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos:

En esta ecuación podemos observar que el momento máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada. Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada:

El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:

La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:

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Cables Catenarios (Sometidos a su propio peso)

Como ya se ha mencionado los cables proporcionan un medio muy eficaz para soportar el peso muerto de las trabes o cubiertas de puentes de claros o luces muy grandes, pero también como un gran dispositivo de unión entre estructuras alejadas o separadas, para analizar aquellos cables que están sometidos a su propio peso determinaremos la forma del cable a lo largo de su longitud x. Un cable que soporte solamente su peso propio tomara la forma de una curva catenaria, consideramos el caso de un cable que soporta únicamente su peso propio, entonces la carga puede darse como la siguiente función.

La tensión en cualquier punto de la cuerda es:

Haciendo w/H=c, una constante:

Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que relacione la longitud S de un tramo de cable con su proyección horizontal x:

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Integrando esta ecuación de 0 a S, se obtiene:

Integrando la función de y se obtiene:

Que corresponde a la ecuación de una catenaria con eje vertical.

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Conclusión

Los Arcos y los Cables dentro de las Estructuras, son dos sistemas tanto muy parecidos, como totalmente opuestos; y exactamente es así, decimos que son sistemas estructurales de la misma familia, que el análisis de fuerzas y funcionamiento es bastante similar, y a su vez hablamos de estructuras contrarias, tal como vimos en el trabajo, son sistemas de estructuras que han existido casi desde siempre, que cada una ha tenido su gran impacto, que son de mucha utilidad y que con las herramientas y la tecnología de nuestro tiempo, cada vez se obtiene mayor rendimiento, cada vez aprovechamos mas estas maravillosas aplicaciones de la Ingeniería. Podemos resumir por último sus diferencias, y aclaramos que se traducen en características diferenciales de diseño básicamente.  En un caso la solicitación será tracción pura (cables), en el otro, compresión pura (arcos), y la consideración (compleja a veces) del fenómeno del pandeo dará secciones y formas de las secciones, diferentes, más importantes, con mayor peso.  En un caso la flexibilidad permitirá la adaptación a la forma necesaria en cada caso, en el otro, la rigidez del arco llevará a que no lo pueda hacer resultando que el arco será “funicular “solo para un estado de carga particular. También esto lleva a dar secciones para el arco sensiblemente más importante.  Existen otras diferencias y complejidades por ejemplo, en la fijación del arco a los apoyos, en que la rigidez del arco generará nuevas particularidades y complejidades.

Estos elementos hacen que la simetría entre los dos sistemas sea relativa y que expresivamente se marquen como distintos. Tal como se muestra en la siguiente tabla:

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Relación entre Cable suspendido y Arco funicular.

Así concluimos, y se cumple con presentar un panorama general de las Estructuras de eje curvo, entender su comportamiento físico, sus tipos de cargas, sus apoyos; así como la relación que existe entre estos dos tipos de estructuras, básicamente en su forma geométrica. Los arcos que desde la antigüedad, la humanidad ha sido testigo de su estabilidad, su confiabilidad en ellos, aun existen estructuras antiguas que están en pie hoy en día, y por otro lado los cables, que si bien sabemos que en lugares como China fueron usados hace muchísimo tiempo, no fue hasta la llegada del acero cuando tuvo un gran impacto y revolucionó la manera

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de construir y diseñar en el mundo. Las dos estructuras tienen su porqué, sus ventajas y desventajas, queda a decisión, de las necesidades y los gustos, pero es claro que se seguirán desarrollando y tener estos sistemas curvos cada vez más perfeccionados, como ha sido por toda nuestra historia, seguirán siendo cada vez mejor y harán junto a la ingeniería que los desarrolle, una mejor calidad de vida para todos.

Bibliografía

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/cables/cables.htm http://www.farq.edu.uy/estructura/catedras/estabilidad1/materiales/estructur as_traccionadas.pdf http://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/13615/Estructuras%20formadas %20por%20cables.pdf?sequence=1 Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Beer – Johnston Análisis Vectorial. R.C. Hibbeler

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