Arcos Triarticulados Resueltos

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles CERTAMEN II ESTÁTICA DE ESTRUCTUCAS Problema 1 Para el siguiente arco triarticulado, determine las reacciones en la base y los diagramas de Momento, Fuerza Axial y Corte. Dibuje los diagramas por separado, puede dibujarlos sobre una línea recta para facilitar el trabajo indicando lo que sea necesario.

Problema 2 La siguiente estructura posee una carga de 10P [T] que cuelga sujetada por dos tensores de masa despreciable desde los puntos indicados en la figura. Además tiene una carga distribuida en su tramo horizontal de P/L [T/m]. Determine las reacciones y dibuje los diagramas de Momento, Fuerza Axial y Corte.

Problema 3 La viga que se presenta a continuación tiene soldada una barra vertical de largo 1 [m] en la posición indicada sobre la cual se ejerce una fuerza de 10 [T]. Determine las reacciones y diagramas de Momento, Fuerza Axial y Corte.

CA/jpa/ar

Solución Problema 1 Reacciones:

∑F ∑F

X

= 0 → qR = HA + HE

Y

= 0 → 2 qR = VA + VE

∑M

A

R 3R R = 0 → VE ·2R = qR· + qR· + qR· 2 2 2

5qR 3qR , VA = 4 4

VE =

∑M

C

HE =

R = 0 → VE ·R = qR· + HE ·R 2

3qR qR , HA = 4 4

Ecuaciones: •

Tramo AB

∑F ∑F

X

= 0 → V cos φ + N sin φ = HA − qR sin φ

Y

= 0 → V sin φ − N cos φ = VA

V cos 2 φ + V sin 2 φ = VA sin φ + HA cos φ − qR sin φ cos φ

3qR qR sin φ + cos φ − qR sin φ cos φ 4 4 qR V(φ ) = [3sin φ + cos φ − 4 sin φ cos φ ] 4

V=

N cos 2 φ + N sin 2 φ = − VA cos φ + HA sin φ − qR sin 2 φ

3qR qR cos φ + sin φ − qR sin 2 φ 4 4 qR sin φ − 3cos φ − 4 sin 2 φ  N(φ ) = 4

N=−

q(R sin φ ) 2 M = VA (R − R cos φ ) + HAR sin φ − 2 M=

3qR 2 qR 2 qR 2 (1 − cos φ ) + sin φ − sin 2 φ 4 4 2 M(φ ) =

qR 2 3 − 3cos φ + sin φ − 2sin 2 φ  4

•

Tramo BC

∑F ∑F

X

= 0 → V cos φ + N sin φ = HA − qR sin φ

Y

= 0 → V sin φ − N cos φ = VA − qR

V cos 2 φ + V sin 2 φ = (VA − qR) sin φ + HA cos φ − qR sin φ cos φ V=−

qR qR sin φ + cos φ − qR sin φ cos φ 4 4

V (φ ) =

qR [ cos φ − sin φ − 4 sin φ cos φ ] 4

N cos 2 φ + N sin 2 φ = (qR − VA ) cos φ + HA sin φ − qR sin 2 φ N=

qR qR cos φ + sin φ − qR sin 2 φ 4 4

N(φ ) =

qR  cos φ + sin φ − 4sin 2 φ  4 

q(R sin φ ) 2 − qR R − R cos φ 2 2 2 2 2 3qR qR qR M= (1 − cos φ ) + sin φ − sin 2 φ − qR 2 1 − cos φ 2 4 4 2 2   M = qR 2  3 − 3cos φ + sin φ − sin φ − 1 + cos φ  4 4 4 2 2  

M = VA (R − R cos φ ) + HAR sin φ −

(

(

qR 2 1 + cos φ + sin φ − 2 sin 2 φ  M(φ ) = 4 •

Tramo ED

∑F ∑F

X

= 0 → V cos φ − N sin φ = HE

Y

= 0 → V sin φ + N cos φ = −VE

V cos 2 φ + V sin 2 φ = HE cos φ − VE sin φ V=

3qR 5qR cos φ − sin φ 4 4

V (φ ) =

qR [3cos φ − 5sin φ ] 4

N cos 2 φ + N sin 2 φ = −HE sin φ − VE cos φ N=−

3qR 5qR sin φ − cos φ 4 4

N(φ ) = −

qR [3sin φ + 5cos φ ] 4 M = VE (R − R cos φ ) − HER sin φ

) )

•

M=

5qR 2 3qR (1 − cos φ ) − R sin φ 4 4

M=

qR 2 [5 − 5cos φ − 3sin φ ] 4

Tramo DC

∑F ∑F

X

= 0 → V cos φ − N sin φ = HE

Y

= 0 → V sin φ + N cos φ = qR − VE

V cos 2 φ + V sin 2 φ = HE cos φ + qR sin φ − VE sin φ V=

3qR 5qR cos φ + qR sin φ − sin φ 4 4

V (φ ) =

qR [3cos φ − sin φ ] 4

N cos 2 φ + N sin 2 φ = −HE sin φ + qR cos φ − VE cos φ N=−

3qR 5qR sin φ + qR cos φ − cos φ 4 4

N (φ ) = −

qR [3sin φ + cos φ ] 4

(

M = VE (R − R cos φ ) − HER sin φ − qR R − R cos φ 2 M=

)

(

5qR 2 3qR 2 (1 − cos φ ) − sin φ − qR 2 1 − cos φ 2 4 4

M = qR 2  5 − 5 cos φ − 3sin φ − 1 + cos φ  4 4 2  4  M = qR 2  3 − cos φ − 3sin φ  4 4   4 M(φ ) =

qR 2 [3 − cos φ − 3sin φ ] 4

)

Diagramas

Problema 2 Primero será necesario determinar la carga que transfieren los cables a la estructura, para esto hacemos resolvemos el equilibrio estático en el nudo en que se encuentra la carga de 10P:

∑F

= 0 → T1

∑F

= 0 → T1

h

v

T1 =

2 − T2 65 4 1 4 +T 2 65 4

8 15 = 0 985 30 9 10 − 10 P = 0 985 30

20 65 10 985 P , T2 = P 29 29

T1x =

160 20 P , T1 y = P 29 29

T2 x =

160 270 P , T2 y = P 29 29

Reacciones

∑M

=0→

A

160 P  3L  270 P  2L 4  3  160 P  2L 3  4   + 2P [ L] + 2L + + Fx  L + L  − L+ − Fy  2 L + L  = 0 29  4  29  3 5  5 29  3 5  5  

∑F

= 0 → Ax +

∑F

=0→−

h

v

∑M

C

160 P 160 P − + Fx = 0 29 29

20 P 270 P − 2P − + Fy = 0 29 29

= 0 → Ax [ L ] +

Ax =

−40 P 29

Fx =

40 P 29

Fy = 12 P MF = −

1362 PL 145

160 P  L  =0 29  4 

Diagramas

Diagrama de Esfuerzo Axial

Diagrama de Corte

Diagrama de Momento

Problema 3 Reacciones

∑F

= Ax + 10 = 0

∑F

= Ay + By + C y + Dy = 0

h

v

∑M

rotula 1

= Ay [ 2.5] = 0 → Ay = 0

∑M

rotula 2

= Ay [ 6] + By [1] = 0 → By = 0

∑M

extremo

= C y [9] + Dy [12] − 10 = 0 → By = 0

Ax = −10 ;

Diagramas

Ay = 0 ;

By = 0 ;

Cy = −

10 ; 3

Dy =

10 3