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APUNTES Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES
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TREV ERIS m u l t i m e d i a
Introducción Los Apuntes :
Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED . La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos , de modo que se ha tratado de hacer unos apuntes comprensibles y , sobre todo, orientados a aprobar el examen , pues s e ha tenido en cuenta cuenta lo que habitualme habitualmente nte es materia de exame n . No debe debe olvid arse que estos estos Apuntes Apuntes son un resumen del libro (aunque completos, es decir , no se deja de lado nada de lo que es objeto de examen ). Por ello, el libro debería ser vir para profundizar profundizar en algunos algunos conceptos conceptos que que el alumno estime que en los Apuntes Apuntes han quedado excesivamente resumidos resumidos, Los Problemas :
En la colección de Problemas que aquí se ofrece figuran prácticamente prácticamente todos todos los que que han aparecido en exámenes de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años – éstos aparecen con una clave ; por ejemplo: J9926 significa Junio 99 , examen tipo B, pregunta número 6 – junto a otros ideados para ” rellenar lagunas” en la transición de uno a otro. Los ” Problemas de Clase ” son los que que el Tuto Tutorr autor de este este material exp lica e n la pizarra durante durante sus tutorías, y los ” Problemas propuestos” se resuelven de forma parecida a los de clase (en cada uno propuest propuesto o se indica el número del problema de clase al que se parece ). Se da la solución de todos los problemas propuestos , y algunas indicaciones cuando son difíciles . Estudiar matemáticas consiste básicamente básicamente e n hacer ejer cicios continuam continuamente ente. Por ello, una vez resueltos resueltos los propuest propuestos os en este material el alumno debería seguir con los del libro oficial de problemas. Material complementario complementario:
Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet , en e n impresos en dicha dicha página página web . En ese caso se regala , en e n http://www.treveris.es/matematicas. También se pueden adquirir impresos formato formato electrónico, para imprimir : – una nueva colección de cientos de problemas ordenados desde ” dificultad cero” hasta el nivel requerido , escrita de tal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista , método original que ha demostrado dar excelentes resultados.
actualmente ente sólo se ofrece l a – la solución a los problemas de clase que figuran en el presente material , ya que actualm solución a los problemas propuestos y , en algunos casos , ayuda ayuda para resolverlos . Además, quienes adquieran el material dispondrán de un tutor tutor virtual para consultar dudas durant durante e todo el curso 2000 -2001 de forma completamente gratuita en http://www.treveris.es/matematicas. TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza .
(© Edito rialTr éveris, éveris, S. L., 200 0 Reservados Reservados to dos los derechos)
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TREV ERIS m u l t i m e d i a
Introducción Los Apuntes :
Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED . La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos , de modo que se ha tratado de hacer unos apuntes comprensibles y , sobre todo, orientados a aprobar el examen , pues s e ha tenido en cuenta cuenta lo que habitualme habitualmente nte es materia de exame n . No debe debe olvid arse que estos estos Apuntes Apuntes son un resumen del libro (aunque completos, es decir , no se deja de lado nada de lo que es objeto de examen ). Por ello, el libro debería ser vir para profundizar profundizar en algunos algunos conceptos conceptos que que el alumno estime que en los Apuntes Apuntes han quedado excesivamente resumidos resumidos, Los Problemas :
En la colección de Problemas que aquí se ofrece figuran prácticamente prácticamente todos todos los que que han aparecido en exámenes de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años – éstos aparecen con una clave ; por ejemplo: J9926 significa Junio 99 , examen tipo B, pregunta número 6 – junto a otros ideados para ” rellenar lagunas” en la transición de uno a otro. Los ” Problemas de Clase ” son los que que el Tuto Tutorr autor de este este material exp lica e n la pizarra durante durante sus tutorías, y los ” Problemas propuestos” se resuelven de forma parecida a los de clase (en cada uno propuest propuesto o se indica el número del problema de clase al que se parece ). Se da la solución de todos los problemas propuestos , y algunas indicaciones cuando son difíciles . Estudiar matemáticas consiste básicamente básicamente e n hacer ejer cicios continuam continuamente ente. Por ello, una vez resueltos resueltos los propuest propuestos os en este material el alumno debería seguir con los del libro oficial de problemas. Material complementario complementario:
Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet , en e n impresos en dicha dicha página página web . En ese caso se regala , en e n http://www.treveris.es/matematicas. También se pueden adquirir impresos formato formato electrónico, para imprimir : – una nueva colección de cientos de problemas ordenados desde ” dificultad cero” hasta el nivel requerido , escrita de tal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista , método original que ha demostrado dar excelentes resultados.
actualmente ente sólo se ofrece l a – la solución a los problemas de clase que figuran en el presente material , ya que actualm solución a los problemas propuestos y , en algunos casos , ayuda ayuda para resolverlos . Además, quienes adquieran el material dispondrán de un tutor tutor virtual para consultar dudas durant durante e todo el curso 2000 -2001 de forma completamente gratuita en http://www.treveris.es/matematicas. TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza .
(© Edito rialTr éveris, éveris, S. L., 200 0 Reservados Reservados to dos los derechos)
Apun tes y Pro blem as d e Matem M atem átic as E speci ales
Índice 9
Primera Primera parte : APUNTES
11
Tema 0: Operaciones algebraicas básicas
19
Temas 1 y 2: 2: Números enteros , racionales y reales
27
4: Conjuntos , Combinatoria Temas 3 y 4:
32
6: Probabilidad , Estadística Temas 5 y 6:
37
9: Matrices, determinantes , sistemas de ecuaciones Temas 7, 8 y 9:
45
12: Geometría y trigonometría Temas 10, 11 y 12: trigonometría
50
Tema 14: Números complejos
53
Temas 13 y 15: 15: Vectores
61
Tema 16: La recta
65
22: Sucesiones , límite de sucesiones ; introd . al límite de funciones Temas 18, 19 y 22:
68
21: Funciones y polinomios Temas 20 y 21:
75
Tema 23: Continuidad de funciones
77
Temas 24, 26 y 27: 27: Derivadas
80
Tema 25: Estudio y representación representación de funciones ; más sobre límite de funciones
88
Temas 28, 29 y 30: 30: Integrales indefinidas y definidas
93
Segunda parte: PROBLEMAS
95
2: Números enteros , racionales y reales Temas 1 y 2:
97
4: Conjuntos , Combinatoria Temas 3 y 4:
99
6: Probabilidad , Estadística Temas 5 y 6:
101
9: Matrices, determinantes , sistemas de ecuaciones Temas 7, 8 y 9:
105
Temas 10, 11 y 12: trigonometría 12: Geometría y trigonometría
107
Tema 14: Números complejos
108
Temas 13 y 15: 15: Vectores
110
Tema 16: La recta
112
22: Sucesiones , límite de sucesiones ; introd . al límite de funciones Temas 18, 19 y 22:
113
21: Funciones y polinomios Temas 20 y 21:
114
Tema 23: Continuidad de funciones
116
Temas 24, 26 y 27: 27: Derivadas
118
Tema 25: Estudio y representación representación de funciones ; más sobre límite de funciones
120
30: Integrales indefinidas y definidas Temas 28, 29 y 30:
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Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
Primera parte: APUNTES
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Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
11
Tema 0: Operaciones algebraicas básicas
¾
Generalidades: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva 51.- Simplificar: 3a +a ? Ý5a +7 ? aÞ +Ýa +5Þ +4Ý3a ? 7Þ +2Ý?3 ? 5aÞ? 5Ýa ? 1Þ
(Sol.: ?2a ? 31)
Para simplificar la expresión anterior deben tenerse en cuenta varias reglas.
Regla 1 .- Los paréntesis marcan la máxim a pri orid ad en las operaciones algebraicas. Por tanto, s i e s p o s i b l e , debe tratar de simplificarse previamente el contenido de cada paréntesis. En este problema sólo cabe simplificar el primero, Ý5a +7 ? aÞ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer dentro de ellos ningun a operación, como veremos más abajo. Simplifiquemos, pues, Ý5a +7 ? aÞ. Esta expresión es un trinomio (polinomio de tres miembros). Los signos +y separan un polinom io en monomios. El orden en que estén escritos los monom ios de un poli nomio es irrelevante (propiedad conmutativa de la suma (y la resta), Regla 2 ). Por ejem plo, el trinomio anterior también podía haberse escrito: 7 +5a ? a o ?a +7 +5a o 7 ? a +5a, etc. _________ ____ [Esta propiedad es muy útil para evitar errores al hacer sumas de números con distinto signo. Por eje mplo, si piden hacer la s iguiente operación: ? 3 +5 , podemos ”darle la vuelta” escribiendo: +5 ? 3, o, lo que es lo mismo, 5 ? 3 (pues un signo +al principio puede suprimirse). Evidentemente, 5 ? 3 es mucho más fácil de interpretar que ?3 +5 .] [También pueden introducirse paréntesis arbitrariamente en el trinomio considerado para asociar monomios, escribiendo, por ejemplo: Ý 5a +7Þ? a o 5a +Ý7 ? aÞ (propiedad asoci ativa de la suma (y la resta), Regla 3 ). Es decir, si hay que efectuar una suma co n tres sumandos (como es el caso), puede n sumarse primero dos cualesquiera y el resultado sumarlo al tercer sumando.] [Nota: al emplear l a palabra s u m a nos referimos indistintamente a suma o resta; téngase en cuenta que ”restar” 6 ? 2 es lo mismo que sumar los números 6 y ?2 .] _________ ____ Un monomio pueden constar de letras, números o números y letras. S ó l o s e p u e d e n s u m a r (o r e s t a r ) aquellos monomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales potencias ( Regla 4 ). Por ejemplo , se pueden sumar entre sí los monomio s 5a y ?a, pero no 5a y 7. De la misma manera, se pueden hac er las siguientes sumas: 5ab ? ab (= 4ab); ab 2 +2ab 2 (= 3ab 2 ); (= ); ?3 a ? 2 a (?5 a ) pero no cabría sumar 5ab ?b ni ab +2ab 2 ni ? ca3 +3 ac32 ni ?3 a ? 23 a .
? ca3 +3 ac3
2 a3 c
De todo lo dic ho debe queda r claro que 5a +7 ? a = 4a +7. , con lo que la expresión inicial queda: = 3a +a ? Ý4a +7Þ +Ýa +5Þ +4Ý3a ? 7Þ +2Ý?3 ? 5aÞ? 5Ýa ? 1Þ Dentro de los demás paréntesis no sepuede efectuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando es qu itar los par é nt esis . Para ello hay que seguir ciertas reglas. Un paréntesis con un signo + delante puede quitarse
directamente.(Regla 5 ). Es el caso del segundo paréntesis. Un signo – delante de un paréntesis permite qui tar el paréntes is pero cambiando e l signo de los mo nomios que hay dentro ( Regla 6 ). Es el caso del segundo paréntesi s. Un número o letra delante de un paréntesis multiplica (sin olvidar su signo) a todos los mon omios que hay dentro del paréntesis (propiedad distributiva, Regla 7 ). Es el caso de los paréntesis tercero, cuarto y quinto . Con lo dicho, l a expresión queda: = 3a +a ? 4a ? 7 +a +5 +12a ? 28 ? 6 ? 10a ? 5a +5 = ?2a ? 31
donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplic ación (y división) de signos:
Ý+× += +
¾
+× ? = ?
? × += ?
? × ? = +Þ
Operaciones con fracciones 7M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n A veces, resolver una expresión algebraic a requie re mani pular fracciones . Multiplicarlas es fác il: se multiplic an los numeradores entre sí y los denominadores entre sí ( Regla 8 ).
Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz , es decir, el numerador de la primera fracción por el denom inador de l a segunda (resultado que va arriba en la fracción final) y el denomina dor de la primera por el numerador de la segunda (lo cual va abajo) (Regla 9 ):
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2a 2 3
6 35 = 615a 2
2a 2 3
:
3 5
2 = 1 0a 9
Otro ejemp lo: efectuar xÝ? 3 x Þ (Tener en cuenta primero que esa expresión indica la multiplicación de una cantidad, x, 2 por un a fracción negat iva; es dec ir, no es una resta; sería una resta si no existiera el paréntes is: x ? 32 x . En segundo lugar, tener en cuenta que el producto escrito se puede poner ta mbién como: 1x 6 ?23 x .) Es fácil ver que la solución es
?3 x2 2
7S i m p l i f i c a c i ó n El resultado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ej emplo, las siguientes pueden simplificarse d i v i d i e n d o a r r i b a y a b a j o p o r e l m i s m o v a l o r ( Regla 10 ): 15 20
[hemos dividido arriba y abajo por 5]
= 34
= 13 [hemos dividido arriba y abajo por 2a; para dividir 6a entre 2a se dividen números entre números y letras entre letras: 6 entre 2 es 3 y a entre a es 1 (que no se escribe, porque 3 × 1 = 3)] 2a 6a
7S u m a y r e s t a Para sumar (o restar) fracciones hay que encontrar primero e l míni mo co mún múltip lo ( m c m ) de sus denominadores. A su vez, para ello previamente hay que factorizar los denominadores, es decir , convertir cada uno de ellos en producto de factores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por 1; por eje mplo, 2,3,5,7,11,13 y 17 son primos, pero no lo son 4,6,8,9,10,12, etc.) Una vez factorizados, para calc ular el mcm se toman los factores comunes y no comunes elevados a los mayores exponentes (Regla 11 ). Por ejemplo, calcular el mcm de 25, 75 y 100. Primero factorizamos los tres números tratando de dividirlos sucesivamente por números primos empezando por e l 2 y siguiendo con el 3, 5, etc. Por ejempl o, para factorizar 100 se empieza dividiendo por 2 ; el resultado Ý 50Þ se divide de nuevo por 2 Ý= 25Þ; como 25 no es ya divisible por 2 probamos con el siguiente primo (3); tampoco es divisible, pero sí lo es por 5; 25 entre 5 da 5 ; volvemos a dividir por 5 y el resultado final es 1, que es donde hay que llegar. 100 queda factorizado, entonces, como: 100 = 2 × 2 × 5 × 5 (= 2 2 × 5 2 ) Las tres factorizaciones quedan así: 25 = 5 2
75 = 5 2
63
100 = 2 2
65 2
Todos los factores encontrados son, como se ve, 2, 5 y 3 (elevados a distintas potencias según el número factorizado). El 2 y el 3 son factores no comunes a las tres factorizaciones: los tomamos elevados a los mayores exponentes encontrados 2 2 y 3; el 5 sí es común; lo tomamos elevado a la mayor potencia encontrada : 5 2 . El mcm se calcula, entonces, efectuando el producto 2 2 6 3 6 5 2 = 300. Vamos a aplicar esto. Supongamos la siguiente suma (o resta) de fracciones: 6 25
?
3 75
4 + 100
Para resolverla se calcu la el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm = 300). Luego se procede así: se escribe un signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm encontrado. En el numerador irá la suma (o resta, según el signo) de cada uno de los numeradores de las tres fracciones multi plicado por el resultado de dividir el mcm entre el 0 Þ+4 6Ý 3 00 Þ 6 6Ý 32500 Þ?3 6Ý 30 75 10 0 4 12 +12 = 72 = 6 = = 6 612 ?303 604 +4 63 = 7 2?300 denominado r correspondiente ( Regla 12 ): 256 ? 753 + 100 (la última 300 300 25 operación ha sido una simplificación, dividiendo numerador y denomin ador por 12). También pueden hacerse operaciones de este tipo que incluyan letras: 4 12 a
+ 36ba 2
Las factorizaciones de los denominadores son:
12a = 2 2
6 3 6 a
y
36a 2 = 2 2
63 2 6a 2
El mcm es, entonces: 3 2 6 a 2 6 2 2 = 36a 2 Entonces: 2
4 12 a
+ 36ba 2 =
4 6Ý 3126aa
2
Þ+b 6Ý 36 a 2 Þ 36 a
36 a 2
b 6Ý1 Þ = 4 6Ý3a36Þ+ = a2
12 a +b 36 a 2
a 2 . Para ell o se divi den primero los números (36 entre 12) y luego las letras En cierto momento hemos tenido que dividir 36 12 a (Regla 13 ) (a 2 entre a da a de la misma manera que 5 2 entre 5 da 5).
Efectuar las siguientes operaciones con fracciones: 52.-
46 100
+ 37 ? 10a = (Sol.: 25
?3 + 53.- ab
54.-
7 a3 b 3
6 Ýa + b2 Þ 23
+
= (Sol.: 3a 5 6 7
19 4 ?1000a 100
Ayuda: 10a se puede convertir en la fracción
10 a 1
)
?3a 2 b 2 +7 ) a3 b 3
21 a + 3 b = (Sol.: = 2230 23
221 a +30 b 23 0
Ayuda: primero se resuelve el paréntesis del numerador de la
primera fracción, lo que da . Esta fracción se multiplic a por 6, lo que da 6a +3b [tener en cuenta que 6 2a2+b es lo mismo que 26 2a +b , por aplicación de la propiedad conmutativa de la multiplicación-división]. Hecho esto nos 3a encontramos con que debemos sumar la fracción compleja 6a23+3b con la fracción compleja 56 , que hay que empezar 2a +b 2
7
reduciendo a fracción simple. Lo explicamos con otro ejemplo: una fracción compleja como la siguiente:
a b c d
se reduce a una
simple multiplicando los extremos y dejando arriba el resultado ( a 6 d ) y multiplicando los medios dejando abajo el resultado
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
(b 6 c), quedando, pues, la fracción
a 6d b 6c
. Hay fracciones complejas algo ”diferentes”, como a 1 c d
teniendo en cuenta sólo que la primera equivale a 55.- Simplificar 6ab ? 5Ýa +ab +cÞ +1 (Sol.: 56.- Simplificar a 2 b ? 57.- Simplificar
a2b 2
+aÝabÞ (Sol.:
a 5 ? a 2 +
+
1 3
+
6a 5
a b c 1
y la segunda a
).
13
o
a
c d
a b
c
. En realidad es lo mismo,
ab ? 5a ? 5c +1) 3 a 2 b 2
)
(Sol.:
7 a 2 3
31 5
a)
Efectuar las siguientes operaciones y simplificar al máx imo:
? 14 ? 2a)
58.- 2Ý3 +aÞ? 4Ý5 +aÞ = (Sol.: 59.-
3 4
510.-
Ýa +b +cÞ? 2a + a +2b 2
5b 4
+
c 2
?5a +8b +5c )
= (Sol.:
4
+5aÝ2a +2 +bÞ? 5ab = (Sol.:
511.- aÝa +1Þ? aÝ2a +3Þ = (Sol.: 2
a
3
21 a +2b +20 a 2 2
)
? 2a ? 2a ) 2
Vamos a practicar ahora con una extensión de la propiedad distributiva. Para multipl icar dos paréntesis que contienen al menos un binomi o cada uno, se multipl ica el primer mon omio del primer paréntesis por el primero del segundo, luego el primer monomio del primer paréntesis por el segundo del segundo; el primero del primero por el tercero del segundo, y así sucesivamente, y todos los resultados van sumados o restados entre sí, según su signo. Al te rminar esta serie, se repite de i gual modo para el segundo monomio del primer paréntesis, luego para el tercero, etc. ( Regla 14 ). Siempre hay que te ner en cuenta los signos de cada monomio . Si se están multipl ica ndo tres paréntesis, se opera primero con dos de ellos (cualesquiera, ya que el orden de los factores no altera el producto –propiedad conmutativa–) y al resultado sel e mul tiplica el tercer paréntesis. Con un ejemplo lo entenderemos mejor:
Ý?2a +5 +7bÞÝ?a +b ? 4c ? 1Þ = 2a 2 ? 2ab +8ac +2a ? 5a +5b ? 20c ? 5 ? 7ab +7b 2 ? 28bc ? 7b = = 2a 2 ? 9ab +8ac ? 3a ? 2b ? 20c ? 5 +7b 2 ? 28bc
Ejercicios 512.- Ýa +5ÞÝb +7ÞÝc ? 1Þ? 5abc ? 2a +5b ? 35c +35 = (Sol.: 513.- Ý2a +4bÞ2 = (Sol: 514.- Ýa +bÞÝa ? bÞ = (Sol:
4a 2 +16ab +16b 2 ) a2
? b2 )
515.- Ý?a ? b ? cÞÝ2 +5b +7aÞ? 5ab = (Sol.:
? 7a 2 ? 2a ? 17ab ? 7ac ? 5b 2 ? 2c ? 5bc ? 2b)
516.- ?Ýa + 23 b ? cÞÝa + b2 Þ +Ý5 ? aÞÝ5 ? bÞÝ?3aÞ = (Sol.:
¾
? 4abc ? ab +7ac ? 9a +5bc)
14a 2
? 3a 2 b + 836 ab +ac ? 75a + 12 bc ? 31 b 2 )
Factor común
Sacar factor común.es, en cierto modo, una operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva. Consiste en ver qué factores son comunes a los monomio s que forman un polino mio y extraer estos factores de cada mono mio. Lo veremos con un ejemplo: Sacar factor común en: 5a 2 +25a ? 75a 3 . Aunque con un poco de práctica esta o peración se llega a hacer d e forma a utomát ica, el proceso requeriría una factorización previa en factores primos: 5 6 a 6 a +5 6 5 6 a ? 5 6 5 6 3 6 a 6 a 6 a. Puede comprobarse que lo común a los tres monomios es 5 6 a. Estos factores se extraen, pues, de cada mo nomio, m ultiplican do a un paréntesis donde quedarán los factores no extraídos, c on sus signos (Regla 15 ): 5 6 a 6Ý a +5 ? 5 6 3 6 a 6 aÞ = 5aÝa +5 +15a 2 Þ
[Si el resultado obtenido se opera, aplicando la propiedad distributiva, llegaremos de nuevo a la expresión original, por eso la operación de sacar factor común puede considerarse recíproca de la de aplicar la propiedad distributiva.] 5a 2 +25a ? 75a 3 ;
Otros ejemplos: sacar factor común en las siguientes expresiones: 6ab +12b 2 +12c
(Sol.: 6bÝa +2bÞ +12c ) (en el tercer monomi o no se ha podido sacar nada; por tanto, se deja tal
como está) ab +b 2 +a 2 quedado bÝa +bÞ +a 2
(Sol.: aÝb +aÞ +b 2 ) )
(en este caso también podríamos haber sacado factor común b , y habría
A veces pu ede ser út il (o, si mplemente, nos lo pueden exigi r en un problema) sacar det erm inad o factor com ún a unque aparentemente no lo sea. Por ejem plo, sacar factor común 12 x en la siguiente expresión:
? 6 Sol.: 12 xÝ 127 + 112 xÞ? 6 En estos casos hay que trabajar un poco por tanteo, y siempre comprob ar si lo hemos hecho bien aplicando l a propiedad distributiva al resultado para ver si nos da la expresión original ( Regla 16 ). 7 x + x 2
517.- a) Sacar factor común 17 x en la siguiente expresión:
34 x 2
?
17 x 3
(Sol.: 17 xÝ2 x ? 31 )
b) Sacar factor común 17 en la misma expresión (Sol.: 17Ý2 x 2 ? 31 x) 2a 2 b ? 16a 3 b ? 6a 4 b 4
518.- Sacar factor común todo lo posible en la expresión: 519.- Sacar factor común 2 z en la siguiente expresión:
3 z 2
? z 2 +4 z 3
(Sol.:
(Sol.: 2 z Ý 34
?
z 2
2a 2 bÝ1 ? 8a ? 3a 2 b 3 Þ )
+2 z 2 Þ )
14
TREVERIS multimedia
? 2 en ?2a ? 3b +4c (Sol.: ?2Ýa + 32 b ? 2cÞ nuevo, al efectuar la operación inversa: ?2Ýa + 32 b ? 2cÞ = ?2a ? 3b +4c ). 520.- Sacar factor común
; la comprobación de que está bien se tiene, de
Potencias y raíces
¾
La mayoría de las propiedades de las potencias y raíces se deducen entendiendo bien e l concepto de potencia y dos reglas que veremos más abajo
7M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n La regla principal a tener clara es el concepto de potencia, es decir, entender que b = b 6 b 6 b 6 b 6 b.
¾
a3
significa a 6 a 6 a y que
5
De aquí se deducen reglas como la del producto de potencia: a m 6 a n = a m+n . (Regla 17 ). Un ejempl o: a 4 6 a 5 = a 4 +5 = a 9 porque: a4 6 a5 = Ýa 6 a 6 a 6 a Þ 6 Ýa 6 a 6 a 6 a 6 a Þ = a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a = a 9 . Debe tenerse en cuenta que sólo se pueden mult iplicar potencias con la misma base, como en el eje mplo anterior; es decir, no cabe hacer ninguna operación en a 2 6 b 6 excepto si el exponente es el mismo; así, cabe efectuar por ejemplo: 5 3 6 6 3 = 5 6 6 3 = 30 3 [y en general: a c 6 b c = ab c (expresión en la que el paréntesis es imprescindible para no confundir con ab c ; en esta última , el exponente sólo afecta a b)]. La división se hace de la siguiente manera: aamn = a m?n (Regla 18 ). Veamos un ejemplo: aa 73 = a 4 . La razón podemos entenderla de nuevo si aplicamos el concepto de potencia: aa73 = a 6a 6aa 66aa66aa 6a 6a = a 6 a 6 a 6 a = a 4 . _________ ____________ [Lo que hemos hecho es lo s iguiente: hemos cancelado tres de los factores a de arriba con tres de los de aba jo; esto se puede hac er en una fracción siempre que los factores estén mult ipli cand o a los demás, nunc a si están sumando o restando (por ejemplo, no cabe cancelar nada en a+ab +c a pesar de que el factor a está arriba y abajo. Siempre que surjan dudas con esto conviene recurrir a un ejemplo semejante en el que sustituyamos las letras por números. Por ejemplo , en la expresión a 6a 6aa66aa 66aa 6a6a sustituyamos cada a por un 2: y operemos directamente arriba y abajo: 2 62622 6622 6622 6262 = 1 828 = 16, pero como 16 = 2 4 queda demostrado que a6a 6aa 66aa 66aa6a 6a es a 4 . Ahora, sustituyamos letras por números en a+ab +c , haciendo por ejemplo la a igual a 2 , b = 5 y c = 6 Con estas sustituciones veremos que a+ab +c no puede ser igual a b +c porque 2 +5 +6 no es igual a 5 +6 (= 11), sino a 13 , pues 2 +5 +6 = 13 . Tambié n cabe aplicar cancelaciones en expresiones como 2 2 b2 = b 6b = b 6b1 6b = b13 . En casos como éste en que la potencia superior es menor que la inferior hay que dejar en el b 6b 6b 6b 6b b5 numerador un 1. Para entenderlo, hagámoslo con números; por ejemplo, supongamos que en la expresión bb 25 hacemos 2 4 = 1 b = 2, es decir: 25 = 32 (la última operación ha sido una simplificación de la fracción dividiendo arriba y abajo por 4). 8 2 3 1 Pero como 8 = 2 , escribir 8 es como si hubiéramos escrito 213 , lo que confirma que bb25 = b13 . _________ _____________ 521.- Efectuar las siguientes operaciones aplicando las reglas de multiplicació n y división de potencias: a) 2 3 6 2 2
(Sol.: ); b) 2 32642 2 (Sol.: 2 ); a) a 3a65a 2 (Sol.: 1); c) a 3 6 b 2 6 a (Sol.: a 4 b 2 ; en este caso y otros en el que hay potencias de distinta c (Sol.: 1 ). base se multiplic an entre sí sólo las que tienen la misma base); d) a4acb 2 c (Sol.: a 3 b 2 ); e) 8a2ab 2 b 2 c2 4abc 2
5
7a ? 1 =1a Si al operar bb 25 hubiéramos seguido estrictamente la regla de la división de potencias dada más arriba, habríamos llegado a la expresión b ?3 , mientras que por el método de ir cancelando hemos llegado a b13 . ¿Por qué resultados diferentes? Porque no son diferentes . Si ambas reglas son válidas (y lo son), los resultados deben ser iguales. Es decir, que b ?3 = 13 . Esto es importantísim o y debe tenerse muy en cuenta, porque este tipo de potenci as negativas aparec e muy a b menudo. En general, se puede decir que a ?1 = a1 , o, lo que es lo mismo: a1 = a ?1 (Regla 19 ). Dicho de otro modo: siempre que encontremos una potencia con exponente negativo podemos transformarla en una fracción con un 1 en el numerador y la misma potencia pero con exponente positivo en el den ominador (y también vale lo inverso a esto). Incluso, cuando convenga, pueden hacerse otros cambios de lugar de la potencia (y, por tanto, de signo del exponente). Por ej emplo, una potencia con exponente positivo sepuede transformar en una fracción con un 1 en el numerador y la misma potencia con exponente negativo en el denominador. Dicho de otro modo y generalizando: una potencia puede cambiarse de luga r en numerador y denominador con sólo cambiar el signo del exponente . Así, las expresiones siguientes : 21 , 1 2 , ? 3b , y ba , pueden transformarse, respectivamente, en 2 ?1 ,
?1
2a
, ?3b ?1 y ab ?1 (nótese que en la segunda expresión el exponente ?1 afecta tanto al 2 como al a 2 , pues el paréntesis así lo ind ica, pero en la tercera y cuarta el exponent e ?1 sólo afecta a la b). 2a 2
Una expresión como ab23c puede transformarse de muchas formas, como: a 2 cb ?3 , c?a12b 3 , a ?2 c1?1 b3 o a ?b2?c3?1 . Po r supuesto, cualquiera de estas transformaciones sólo se llev an a cabo cuando conv iene a la hora de simp lifica r la resolución de un ejercicio. Y una llamada de atención: no se pueden hacer estas transformaciones de este tipo: a21+b en ba?21 (y sí en 1 = ba?21 ), ya que los cambios de lugar en las fracciones sólo se pueden aplicar a factores (que multiplican o dividen), no a a 2 6b monomios que suman o restan o, en general, a sumandos.. Sabiendo esto, una división de potencias siempre se puede resolver transformándola en una multiplicación . Así por
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
ejemplo, aa4 = a 4 a ?1 , que, siguiendo la regla de la multiplicaci ón, conduce a: habríamos llegado aplicando la regla de la división.
15
a 4 +Ý?1 Þ = a 3 ,
522.- Simplificar, dejando e l resultado en el denominador y luego en el numerador:
resultado idéntico al que
2abcd 2 16 b 2 d 4
8 ?1 ab ?1 cd ?2 )
(Sol:
1 8a ? 1 bc ? 1 d 2
y
7P o t e n c i a d e p o t e n c i a s Para resolver una potencia de potencia se multipli can los exponentes. Es decir: un ejemplo: Resolver 3 = 32 32
32
3
6 3
.
am
n
= a m6n .(Regla 20 ). Vayamos a
(S ol .: = 3 6 , lo que podemos demostrar desarrollando las potencias: 6 3 2 = 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 = 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 = 3 6 . )
2
Ýa ? 3 Þ2
523.- Efectuar y simplificar
Ýa 2 Þ? 3
(Sol.: 1)
7P o t e n c i a d e u n p r o d u c t o y u n a s u m a La potencia de un producto (o cociente) de factores es el producto (o cociente) de las potencias de esos factores. Es decir: ÝabcÞm = a m b m c m . 524.- Efectuar Ý4a 2 b ?1 Þ?2 525.- Efectuar
2
a2 b
(Sol.: (Sol.:
4
b2 16 a 4
a 4 b2 16
)
)
La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos . Se puede calcular a +b 3 = a +b a +b a +b , que se resuelve convirtiéndola en un producto de la siguiente manera (por ejemplo): multiplicando primero los dos paréntesis y el resultado por el tercero. 3 ? a
526.- Efectuar
(Sol.: 9 ? 6a +a 2 )
2
527.- Efectuar Ý?1 ? a 2 +bÞ3
(Sol.: ? a 6 ? 3a 4 +3a 4 b +6a 2 b ? 3a 2 ? 3a 2 b 2 +b 3 ? 3b 2 +3b ? 1 )
7Prop iedades de las raíces 3
La principal propiedad de una raíz tipo 3 3 a = a 3 = a1 .
m
an
n
es que se puede transformar en a m . (Regla 21 ). Por ejemplo,
Hecho esto la raíz se puede trat ar como una p otenci a, y esa es la manera más segura de operar co n raíces complicad as. 5 2 1 9 6 a 2 6 a 3 = a 6 = a 19 ; y recordar que para multipli car ambas potencias Por ejemplo, efectuar: 2 a 5 6 3 a 2 (Sol.: debe dejarse la mis ma base y sumar los exponentes). Hay que tener en cuenta que en general no se puede sumar ni restar raíces [no cabe resolver, por ejempl o, 2 a 5 +3 a 2 , aunque sí se podría sacar algún factor común una vez transformadas en potencias; sólo en casos en que se trate con raíces de igual índice e igual radicando, como por ejemplo 2 3 +5 3 , se puede hacer la suma ( = 7 3 )]. Es decir, la suma de dos raíces no es la suma de las raíces de los sumandos . Pero la raíz de un producto (cociente) sí es el producto (cociente) de las raíces:
(Regla 22 ).
abc = a b c
A veces es conv enie nte ”sacar tod o lo que se pue da d e un a raíz”. P or ejemplo, en a 5 b se puede sacar algo, ya que a b = a5 b = a2 a2 a b = a2 a2 a b (hasta aquí hemos aplicado dos veces la Regla 22) y esto último se puede 2 simplificar hasta: aa a b = a a b . 5
Una raíz elevada a una potencia es la raíz del radicando elevado a esa potencia (y al revés). Por ejemplo : 528.- Tratar de simplificar al máx imo, sacando lo que se pueda de la raíz
16 a 2 b 6 bc
529.- Tratar de simplificar al máx imo, sacando lo que se pueda de la raíz
así:
2
3a
3
2
=
3a
3 2
2
= 3a
3
2
(Sol.: 4ab 2
3a
3
2
5
a
3
= 5 a3
b c
(Sol.: 27a 3 ; lo mejor es hacerlo
= 3 3 a 3 = 27a 3 )
7Racionalización Cuando después de alguna operación quede alguna raíz en un den ominador (como en la solución del ejercicio 28) es conveniente ”racionalizar”, es deci r, eli minar esa raíz. Es fácil: en caso de que sea cuadrada, se multipli can numerador y denominado r de la fracción por esa raíz (recordemos que en una fracción siempre que sem ultipli que arriba y abajo por el mismo factor el valor de ésta no cambia, aunque presente formalmente otro aspecto). Ejemplo: racionalizar
2 c
(Sol.:
2 c
=
2 c c c
=
2 c
Ý c Þ2
= 2 c2c = 2 c c )
Si la raíz es de otro grado (cúbica, cuarta, etc...) se multipli ca arriba y abajo po r la misma raíz elevada a un grado menos. Ejemplo: racionalizar
2 3 c
(Sol.:
2 3 c
=
2 Ý3 c Þ2
Ý
Þ
3 c 3 c 2
= 2 Ý33 c c Þ3 = 2 Ý3c c Þ = 2 3c c ) 2
Ý
2
2
Þ
Si en el denominado r hay una suma, se multipli ca arriba y abajo por el conjugado de esa suma (es decir, por e l mismo monomi o pero con el signo central cambiado). Por ejem plo, racionalicar ?3 ?2 b : ?3 ?2 b = Ý ?3 ?2 Ý?b3ÞÝ+?b3 +Þ b Þ = ?69+?2b b
16
TREV ERI S m u l t i m e d i a
530.- Racionalizar
¾
2 3 3
(Sol.: 13 2 3 3 2 )
y
3 3? 2
(Sol.: 3 3 + 3 2 )
Consejos para evitar errores típicos 7¡Cuidado con el u so de los paréntesi s !
Hay que ser rigurosos rigurosos con el uso de los paréntesis. Éstos se usan para para indica r priorid ad o para agrupar una serie de términos in dica ndo así que están sometidos a la misma operació n. Cuando no son estrictamente indispensables no se ponen (y existen unos convenios sobre ello que hay que aprender con la práctica), pero a veces, aunque no estén, en ciertas opreaciones hay que tenerlos tenerlos en cuenta. Por ejemp lo, es un error común no tener en cuenta que el numerador de una fracción va entre entre paréntesis, paréntesis, aunque no se indique, operando (mal) como sigue (se (se trata de una suma de fracciones, donde aplicamos las Regla 12 vista vista antes): antes): +2 63 a +a = ? 2 +53 a + a10 = 2 6Ý?2 Þ10
?4 +7 a 10
El error está en no haber considerado que el signo ? antes de la fracción afecta a odo el numerado r, pues éste es un paréntesis. Teniendo esto en cuenta, la forma correcta de hacer la suma anterior es, pues:
? 2 +53 a + a10 = ? 4 ?106 a +a = ? 410?5a En general, siempre que temamos confundirnos podemos escribir paréntesis para no olvidarnos de que están. Por ejemplo, para evitar confusiones en la suma anterior podemos escribirla así desde el principio: ?Ý2 +3 a Þ 5
+ 10a
7L a p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a e n l a d i v i s i ó n En ocasiones, ocasiones, para para simplificar, es útil aplica r la propiedad distributiva en la división, que es equivalente a la de la multiplic ación. Así, Así, del mismo modo que efectuamos 2Ý3 +2aÞ = 6 +4a, también puede hacerse hacerse lo siguiente: 9?33 a = 3 ? a (otra opción es casar factor común 3 arriba primer primero o y luego cancelarlo con el del denominador ).
7L a s f r a c c i o n e s a d m i t e n m úl t i p l e s f o r m a s Una fracción se se puede escribir de muchas formas, y eso hay que tenerlo en cuenta. Por ej emplo, todas las formas ab son equivalentes: siguientes de la fracción 2cd 2 ab cd
2 b ¯ ab 2 ¯ 2ab 1 ¯ 2 ab ¯ a 2b c cd cd cd
1 d
¯ 2ab 1cd etc.
Del mismo modo, un signo ? delante de una fracción afecta afecta al numerador o al denomi nador (no a los dos al mismo tiempo: sise aplica a uno de ellos ya no hay que aplicarlo al otro; otro; normalmente se se hace en el numerador). Por ejemplo, son equivalentes las siguientes expresiones:
? a3 ?+bc ¯ ? Ý3a?+abÞ ¯ ?Ýa3+?ba Þ A su vez, l a segunda s egunda expres ión an terior ter ior es e quival qui val ent e a: ?3a??ab , y la tercer tercera, a, a: ?a3++ba .En la segunda y tercera tercera fracciones hemos tenido que escribir paréntesis paréntesis porque el signo afecta a todo el numerador o denomi nador. En l a primera no se se escribe escribe por convenio. Se pueden hacer transformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrito: ?52??ab y queremos cambiar esta esta fracción, fracción, por motivos de operatividad, de modo que el signo vaya en medio. No puede h acer así: así: ?52??ab ¯ ? 52 ??ab , ya que que el signo menos que lleva el 2 sólo le afecta a él, tal como nos lo han indicado (si (si sería sería correc correcto to lo siguiente: ?Ý52??ab Þ ¯ ? 52 ??ab ). Pero es fácil ver que ?2 ? b ¯ ?Ý2 +bÞ. Ahora Ahora el signo signo ? ya afecta a todo el numerador y se puede hacer la transformaci transformación: ón: : 5 ?a ?Ý2 +b Þ
¯ ? 52 ?+ab
Todo esto es útil en algunos casos en que entendemos me jor la operación haciendo cambios de este tipo. Por ejemplo , una resta de fracciones la podemos transformar en una suma: 2 3
?
4a 5
3 Ý? 4 a Þ ? 12 a = 1 0 15 ¯ 23 + ?45a = 5 62 +15
ón s e g u i d o s 7Q u e n o v a y a n u n s i g n o m e n o s y u n o d e m u l t i p l i c a c i ón
Si nos nos dicen: ”multiplicar ”multiplicar 3 por ?3a +2” no escribamos escribamos 3 6? porque ello lleva a confusiones, confusiones, y 6 ?3a +2, en primer lugar porque en segundo porque 3 debe multiplicar a todo todo ?3a +2, según se desprende desprende del enunciado. La forma correcta correcta de escribir escribirlo lo es 3 6 ?3a +2 , (el punto se se puede omitir), y la de efectuarlo es: 3 6 ?3a +2 = ?9a +6
7C a m b i a r e l s i g n o u n p r o d u c t o y u n a s u m a Si nos dan una m ultiplicac ión de factores y nos nos piden cambiarle e l signo, basta basta cambiar el signo de todo el c onjunto. Por ?2 Ý?a Þ ?b ni nada parecido. En realidad. ejempl o, si si nos dicen ”cambiar el signo de 2ab” la solución es ?2ab (y no cambiar el signo es multuplicar por ?1 .
Apun tes y Pro blem as d e Matem M atem átic as E speci ales
17
Un producto de factores con signo ? admite, por otra parte, múltiples formas. Así, ?5a 2 b se puede escribir, escribir, además: 5 ?a 2 b o 5 ?a 2 b, etc. [Obsérvese la importancia del paréntesis. Si en esta segunda expresión no lo hubiéramos escrito nos habría quedado 5 ? a 2 b, que es un binom io (formado en este este cas caso o por los monomios 5 y ?a 2 b), mientras que 5 ?a 2 b es en realidad un monomio.] Esto en cuanto a la mu ltip lica ció n (y división ). En sumas sumas y restas restas se se opera de forma distinta. Sea el s iguiente trin omio: que le cambiemos el signo. Multiplicamos para ello por ?1, y eso implica multiplicar por ?1 ?1 3 +5a ? b = ?3 ? 5a +b (en la práctica basta basta cambiar el signo de cada uno de los sumandos o monomios). En el caso siguiente: 3 +5Ýa +1Þ ? b se opera opera igual: se cambia el signo de cada sumando, sumando, pero pero hay que entender que 5Ýa +1Þ es todo él un sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues, ?3 ? 5Ýa +1Þ +b y no ?3 ? 5Ýa ? 1Þ +b [Si previamente hubiéramos convertido convertido 3 +5Ýa +1Þ ? b en 8 +5a ? b por resolución resolución del paréntesis paréntesis y hubiéramos cambia do de signo la expresión resultante, resultante, habríamos habríamos obtenido ?8 ? 5a +b, lo mismo que al desarrol desarrollar lar ?3 ? 5Ýa +1Þ +b. Esto Esto justifica justifica la norma que hemos indicado.] 3 +5a ? b al que nos piden cada uno de los monomios :
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TREV ERI S m u l t i m e d i a
Temas 1 y 2: 2: Números enteros, enteros , racionales y reales Divisibilidad , factorización, mínimo común múltiplo , máximo común divisor , operaciones algebraicas, intervalos, ecuaciones e inecuaciones , potencias, ecuaciones de segundo grado , logaritmos, ecuaciones logarítmicas y exponenciales
7Números ¾
Tipos de número número s
ç
N ): 1,2,3,4,5,6... Naturales ( N ): 1,2,3,4,5,6...
ç
Z ): Enteros ( Z ) : todos los naturales, naturales, y además, los del tipo ?4,0, ?7...
ç
Racionales (Q): todos los naturales y enteros, enteros, y además, los del tipo
1 , 3 1 , 3 7
? 49 , ? 815 .. . å
R): todos los naturales, enteros ç Reales ( R enteros y racionales, y además, los del ti po 3. 3..., 2, ^ .. . (los dos últimos se llama n irracionales: tienen infinitas cifras cifra s decimales que no se repiten periódicamente y no pueden converti convertirse rse en una fracción; en å cambio, el 3. 3 es equivalente a la fracción fracción 103 , y por eso eso se se dice que es racional). racional). ¾
Números Números primos
Son aque llos qu e sólo son son divisibles (es decir, la d ivisión da un número entero) por sí mismos y por 1. Por ejemplo, 5 es 1 , pero 6 no lo es, pues es divisible, además de por 6 y por 1 1 , por 2 2 y por 3 3 . primo, porque sólo es divisible por 5 y por 1 ¾
F a c t o r i za za c i ón ón e n p r i m o s
Llamar emos así a la operac ión de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, se se empi eza tratando de dividir el número número por 2 ; si si da un resultado enter entero, o, se se divide de nuevo por 2, y así hasta hasta que sea posib le; lu ego se 5,7,11,13,17... (en general, por todos los primos). Al final, si trata de dividir por 3 todas las veces posibles, posibles, luego por 5,7,11,13,17... si el número número no es divisible por nada más (es (es decir, es primo), lo dividiremos por sí mismo. Como ejem plo factorizaremos el número 5544; el resultado es 2 3 × 3 2 × 7 × 11, donde expresam expresamos os con con las potencias el número de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el 2 aparece tres veces) ¾
Máxim o común divi sor ( (m c d ) y mínim o com ún múltiplo ( (m c m )
m cd de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes elevados al menor Para Para hallar el mcd exponente que tengan .
Para Para hallar el mcm de dos números los factorizaremos, factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes y no comunes elevados al mayor mayor exponente ..
m cd y e l mcm de los números: 3153150 y 3900. Primero 5Ejemplo 1. Calcular el mcd Primero los factorizamos: factorizamos: 3153150 = 2 × 3 2 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13
3900 = 2 2 × 3 × 5 2 × 13
mcdÝ3153150,3900 Þ =2 × 3 × 5 2 × 13 = 1950 mcm Ý3153150,3900 Þ =2 2 × 3 2 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 = 6306300 El mcd en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismo tiempo de 3153150 y 3900 (cuando decimos que es divisor se se debe ente nder, ev identem ente, que la d ivisión da un número entero); entero); ese ese número es 1950. Y el mcm es el número número más pequeño que es múltiplo al mismo tiempo de 3153150 y 3900 , siendo ese número 6306300 (compruébese que es divisible por 3153150 y 3900). ¾
O p e r a c i o n e s c o n en en t e r o s
ç Se llama valor absoluto de un número al valor de ese número con signo positivo, independientemente del que tuviera. El v alor ab soluto se expresa expresa entre entre barras. barras. Así Así,, el v alor absoluto de ? 3 se expresa expresa |?3 | y es 3. También es cierto que |+5 | = 5.
ç En adelante, considérese sumar y restar como la misma operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primero el negativo del segundo. Por ejemplo: 5 ? 3 = 5 +Ý?3Þ ç Para sumar dos enteros con el mi smo signo se suman sus valores absolutos y se deja e l mismo signo; para sumar dos enteros enteros con distinto signo, signo, se se resta resta el valor absoluto del mayor menos el del men or y se deja el signo del mayor: 55 +6 = 11 55 ? 6 = ?1 5 ?5 +6 = 1 5 ?5 ? 6 = ?11
ç Para faci litar las sumas (o restas) restas) hágase uso, uso, sisi es necesario, de propiedades d e los números c omo la c onmutati va (el
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
19
orden no importa ) o asociativa (al sumar tres números se pueden sum ar primero dos de ellos cualesquiera y al resultado sumarle el tercero). Por ejemplo: 5 ?15 +21 = 21 ? 15 = 6
(obsérvese que es más fácil interpretar la segunda suma que la primera; no olvi dar que cada
número debe ir con su signo) 5 ?5 +8 ? 9 = Ý?5 +8Þ? 9 = Ý8 ? 5Þ? 9 = 3 ? 9 = ?6
ç Un signo + delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis dejando los signos que están dentro del paréntesis; un signo ? ante un paréntesis cambia los signos que están dentro: 53 +Ý?8 +7 ? 9Þ = 3 ? 8 +7 ? 9 = ?7 53 ? Ý?8 +7 ? 9Þ = 3 +8 ? 7 +9 = 13
Según eso se debe entender que podamos hacer las siguientes transformaciones si en algún momento nos conviene: 53 +8 = 3 ? Ý?8Þ 52 ? 4 +2 = 2 ? Ý4 ? 2Þ 53 +8 ? 5 = 3 +Ý8 ? 5Þ = 3 ? Ý?8 +5Þ
ç Para la mul tiplicació n y división de números con signos se emplean las siguientes reglas:
¾
+6 += +
? 6? = +
+6? = ?
? 6 += ?
+ : += +
?: ? = +
+: ? = ?
?: += ?
Operaciones con fracciones
$Multiplicac ión: se multiplic an los numeradores y los denominadores: 2 × 3 × 2 = 1 2 = 1 (la última operación realizada es una simplificación de la fracción, algo que debe 3 4 5 60 5 hacerse (siempre que sea posible) dividie ndo arriba y abajo po r el mism o número hasta que no se puedan ob tener núm eros naturales más pequeños)
$División: se multiplic a el numerador de la primera por el denomin ador de la segunda, y el resultado es el numerador de la fracción final; el de nominador de ésta es el producto del denominado r de la primera por el numerador de la segunda: 2 3
5
:
3 4
= 89
(irreducible)
$Suma y resta: se busca el mcm de los denominadores, y ese será el d enominador de la fracción final; luego, cada numerador de las fracciones que estamos sumando se multiplicará por el resultado de dividi r el mcm por su denominador; la suma o resta (según el signo) de estos productos será el numerador de la fracción final: ? 82 + 724 ? 3 los cuatro denomin adores son 12,8,24 y 1, siendo su mcm = 24; ese será el denominador de la fracción final. Se divide a continuación 24 entre 12 (= 2) y se multiplica por 1 (que es el numerador de la primera fracción); se hace igual con las otras fracciones, respetando siempre los signos, y queda: 5
1 12
5 1 ? 12
¾
2 8
+ 247 ?
3 1
=
2 61 ? 2 63 +7 61 ? 3 624 24
= ? 238
P r i o r i d a d e s a l a h o r a d e o p e r a r. Para operar en el numerador de la penúltima fracción del ejemplo anterior (2 6 1 ? 2 6 3 +7 6 1 ? 3 6 24), se deben efectuar primero las multiplicaciones y luego las sumas; esa es una regla de prioridad. La prioridad principal la marca un paréntesis y, aunque no esté escrito, se entie nde que en expresiones como 4 +2 6 6 el producto está dentro de un paréntesis ( se dice que la multiplicación y la división unen , y la suma y la resta separan ), por lo que el resultado es 16 , no 36 . Del mismo modo, en 4 + 62 el resultado es 7 , no 5 .
En general, no es fácil enunciar unas reglas de prioridad, que sólo se aprenden con la práctica. La principal es la ya dicha : la máxim a prioridad la marca un paréntesis, y cuando hay paréntesis anidado s (unos dentro de otros), se deben resolver antes, si es posible, los más internos. El problema suele estribar en que normalmente en los enunciados de los ejercicios se prescinde de los paréntesis cuando no se consideran necesarios (siguiendo convenios universal mente aceptados). Varias normas a tener en cuenta en este sentido son, entre otras:
1 . un producto o un cociente se entiende que va dentro de un paréntesis 2 . el numerador y el denominador de una fracción se entiende que van cada uno dentro de un paréntesis 3 . la propia fracción va toda ella dentro de un paréntesis 4 . una raíz equivale a un paréntesis, y también su contenido va dentro de paréntesis 5 . los logaritmos y las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc) equivalen a paréntesis 6 . se pueden operar dos paréntesis (por ejempl o, multiplicarlos) sin necesidad de resolver cada uno por separado previamente, pero para ello hay que apl icar ciertas reglas especiales según el caso (en algunas ocasiones, la p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a). Ilustraremos estas reglas con algunos ejemplos: es como si se escribiera, comb inando las reglas anteriores: Ý Ý2 +ÝÝ45Þ64ÞÞ Þ; efectuamos primero el paréntesis más interno Ý 5 6 4Þ, y luego sumamos 2, con lo que queda: 224 (habiendo suprimido al final paréntesis innecesarios). 5 2 +45 64 5 2 +45 6a
este caso es casi como el anterior; ahora bien , 5 6 a no se puede simplificar más (en todo caso, seescribe más
20
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simplemente como 5a), y tampoco sepuede sumar con 2. No obstante, se puede aplicar una ”regla especial”, la propiedad 5 6a Þ distributiva de l a divis ón respecto a la suma (o resta). Así, Ý2 + puede resolverse como 42 + 5a4 . En general, la propiedad Ý4 Þ + a b a b distributiva mencionada puede expresarse como: c = c + c . 5Ý2 ? 5ÞÝ3 +2Þ = ?15 (en este caso ya dan los paréntesis en el enunciado del ejercicio; todo lo que hay que hacer es resolver ambos previamente) 5Ý2 ? bÞÝ3 +aÞ no se pueden resolver los paréntesis previamente (pues no cabe sumar 3 +a), pero se puede aplicar una regla especial para operar con los paréntesis sin necesidad de resolverlos previamente: aplicar la propiedad distributiva de la multiplic ación respecto a la suma: Ý 2 ? bÞÝ3 +aÞ = 6 +2a ? 3b ? ba (en general: Ýa +bÞÝc +d Þ = ac +ad +bc +bd y aÝb +cÞ = ab +ac, reglas en las que hay que tener en cuenta los signos de cada elemento).
es como si se hubiera escrito Ý2 +5Þ, cuyo resultado es 7 (nótese que 2 +5 no es igual a
5 2 +5
2 + 5)
5 2 6 5
es como si se hubiera escrito Ý4 6 9Þ, cuyo resultado es 36 = 6 (nótese que Ý4 6 9Þ es igual a es decir, la raíz de un producto (o cociente) es lo mismo que el producto (o cociente) de las raíces, pero la raíz de un a suma (o resta) no es lo mismo que la suma (o resta) de las raíces, como se vio en el anterior ejempl o. 4 6 9 = 2 6 3 = 6;
Ý2 +6 Þ Ý3 +1 Þ
es lo mismo que
6 5 23 + +1 3 +1 +8
=2
8 4
Ý3 +1 +Ý 84 ÞÞ Ý5 ? Ý7 63 ÞÞ
es lo mismo que
5 5 ?7 634
=
Ý3 +1 +2 Þ Ý5 ?21 Þ
=
=
6
? 16
= ? 166
(nótese que el signo ? que estaba en el
denominado r lo hemos puesto delante de la fracción; eso siempre es válido; es decir, es lo mismo escribir 4 ) ?2 5 ? a ÞÞ = ÝÝ22 ÝÝ8a ?+a1 ÞÞÞÞ es lo mismo que escribir Ý2ÝÝ23Ý+ a +1 ÞÞ operar más, se deja así, aunque suprimie ndo los ya innecesarios: 5 ?a Þ 5 2 Ý23Ý+ a +1 Þ
= 16 ? 2a 2a +2
Ý16 ? 2a Þ Ý2a +2 Þ
?4 2
que ? 42 que
Como dentro de los paréntesis no se puede
.
Cuando un numerador y un denominad or contienen factores comunes que están (tanto en el numerador com o en el denominador) multiplicando a todo lo demás , puede n cancelarse. Por ejem plo, eso ocurría en el anterior eje mplo cuando llegá bamos a 22 ÝÝ8a ?+a1ÞÞ ; vemos que arriba y abajo aparece el ” 2” multiplic ando a todo lo demás; entonces, los cancelamos y queda: a8 ?+a1 . (Puede resultar curioso que hayamos llegad o a dos resultados aparentemente distintos; en realidad son el mismo: a8?+a1 es la misma fracción que 162a?+2a2 pero la primera está más simplificada al haber dividido en la segunda cada monomio por 2). Otros ejemplos : 5 22656366 = 5366 = 53 6 6 = 5 6 63
[hemos escrito las dos últimas igualdades para indicar otra propiedad: es exactamente lo mismo multipli car primero 5 por 6 y luego dividir el resultado por 3 que dividir primero 5 entre 3 y multiplicar luego el resultado por 6 o que efectuar primero la división de 6 entre 3 y después multiplicar el resultado por 5 –compruébese–; en general , si hay sumas o restas eso no es po sible]. , ya que la expresión equivale a Ý26256Þ3+3 , lo que nos permite comprobar qu el ” 2” del numerador no mult iplica a todo el resto del numerador, sino sólo a 5. 5No cabe cancelar el ” 2” en
2 65 +3 2 63
7Ecuaciones ¾ Intervalos
Los números reales pueden representarse por los infinitos puntos de una recta: –,——,——,——,——, ====,====,——,——,——,——,——,— ==, ====,=== –,– -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
La figura es el segmento de recta que va, aproximadamente, entre el número real ?7 y el 7 (sólo se han escrito los enteros, pero entre cada dos enteros hay infinitos números reales. Por ejemplo, entre el 3 y el 4 están el 3.5 , el 3.23333 , el número ^ o el 10 . En matemáticas seconsidera ”mayor” (>) todo número que esté a la derecha de uno dado en esa recta, y es menor ( 1
(que es equivalente a escribir 1 < 2);
2 > ?2;
1 > ?100;
?2.44 < ?1. 1789
0 > ?3
Los signos ², ³ tienen el significado de ”menor o ig ual” y de ”mayor o igual”, respectivamente, y cabe escribir ?1 ² 0 3 ³ 3
5 ³ ? 49
En la figura, los segmentos destacados con trazo doble se lla man int ervalos. El representado a la derecha puede escribirse ß?3, ?1à y lo leeremos ”intervalo cerrado entre ?3 y ?1” si queremos meter en él los infinitos números reales que hay entre ?3 y ?1 incluidos el ?3 y el ?1 ; o puede escribirse Ý?3, ?1Þ, y lo leeremos ”intervalo abierto entre ?3 y ?1”, si no se quiere incluir a ninguno de los dos. Otras posibilidades son ß?3, ?1Þ (cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, qu incluye al ? 3 pero no al ?1) y Ý?3, ?1à. Estos dos últimos son intervalos semiabiertos . Tamb ién cabe hablar de semirrectas abiertas y cerradas. Por ejem plo, todos los números mayores que 3 incluido el 3 constituyen la semirrecta cerrada x ³ 3. Para decir que un número cualquiera x está dentro del intervalo ß?3, ?1à escribiremos x 5 ß?3, ?1à (se lee ” x pertenece al intervalo ß?3, ?1à) o bien lo indicamos así: ?3 ² x ²?1 (es equivalente escribir ?1 ³ x ³?3). En la recta del dibujo, e l intervalo marcado con doble trazo a la derecha quiere representar al ß4.6,6.65à
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
21
¾ Potencias
La propiedad fundamental de las potencias es su propia definición. En este sentido, debe tenerse muy claro, por e jemplo, que 5 3 = 5 × 5 × 5, que a 5 = a × a × a × a × a o que Ý5aÞ2 = 5a × 5a. Otra propiedad fundamental menos evidente es la de la potencia negativa: en general
a ?b =
1 ab
Con estas dos es fácil deducir las demás: & a m × a n = a m+n &
am an
= a m?n
(comprobación con números: 5 3 × 5 4 = Ý5 × 5 × 5Þ × Ý5 × 5 × 5 × 5Þ = 5 7 )
(comprobación c on números:
& Ýa m Þn = a m× n
25 23
= 2 × 22 ×× 22×× 22 × 2 = 2 × 2 = 2 2 )
Ý2 5 Þ2 = Ý2 × 2 × 2 × 2 × 2Þ × Ý2 × 2 × 2 × 2 × 2Þ = 2 10 )
(comprobación con números:
Si las bases son distintas no se puede operar con ellas, excepto que sean iguales los exponentes: & a n × b n = ÝabÞn
(comprobación con números: 2 3 × 5 3 = Ý2 × 2 × 2Þ × Ý5 × 5 × 5Þ = = Ý2 × 5Þ × Ý2 × 5Þ × Ý2 × 5Þ = Ý2 × 5Þ3 )
&
an bn
= Ý ab Þn
(comprobarlo con números)
Tambié n deben tenerse en cuenta todas las propiedades señaladas ”al revés”; por ejemplo , que que a m?n = aa mn .
ÝabÞn = a n × b n o
A veces, a l operar co n pot enci as aparece un a expresión d el tip o a 0 ; debe saberse que cual quie r número eleva do a 0 es igual a 1 (ya que aann es 1 , pero también es igua l a a 0 por la regla de la división de potencias).
¾ R aíc es
La propiedad principal d e las raíces es que sepueden expresar como potencias de la siguiente forma: m
an = a
n m
Aunque esa potencia t enga un e xponent e fraccionario, a ella se le pueden apl ica r todas las propieda des vistas an tes. Ejemplos: 5
3 4 5
× 6 4 2
=
6 2 8
3 4 5
× 6 4 2
=
6 4 4
5
2
43 × 4 6 4 46
= 4 3 + 6 ? 6 = 4 3 = Ý2 2 Þ 3 = 2 3 = 3 2 8 = 3 2 3 × 2 3 × 2 2 = 5
2
4
4
4
8
= 2 × 2 × 3 2 2 = 43 4
En este ejercicio se han hecho a propósito distintas manipulacione s para mostrar cómo se pueden tratar raíces. Por ejempl o, al empezar el ejercicio se sustituyó 6 2 8 por 6 4 4 ; debe constatarse que la sustitución es perfectamente válida, pues 4 = 2 2 ; y debe comprenderse que el cam bio se ha hecho para procurar que todos los radicandos contuvieran el 4 . Otra operación interesante es 3 2 8 = 2 × 2 × 3 2 2 ; ésta es una operación típica de simplificación de raíces. Se trata de ”sacar todo lo posible de la raíz”. Para ello se empieza por convertir el radicando en un producto de factores de potencias cuyo exponente coinc ida con el índic e de la raíz, para luego sacarlas fuera, como se puede apr eciar en ese nuevo eje mpl o: 5
38 = 35 × 33 = 35 × 33 = 3 33 . 5
5
5
5
Hemos aplicado ahí la propiedad de las raíces consistente en m
m
a × b =m a × b
1
1
1
[demostración: m a × b = Ýa × bÞ m = a m × b m = m a × m b ]
Otra propiedad interesante es: [demostración: Ý m a Þn = Ýa m Þn = a m × n = a m = m a n (otra demostración diferent e para el caso partic ular de Ým a Þn = m a n 1 1 1 1 1 1 3 Ý4 5 Þ3 es: Ý4 5 Þ3 = Ý4 5 Þ × Ý4 5 Þ × Ý4 5 Þ = 5 4 × 5 4 × 5 4 = 5 4 + 4 + 4 = 5 4 = 4 5 3 ] 1
1
n
En general, teniendo en cuenta el significado real de una potencia (por ejemplo, que : a 3 = a × a × a), y las 8 n propiedades: a n = a1?n y m a n = a m podrían resolverse todos los problemas de raíces y potencias por lógica , sin conocer ninguna regla más .. Una práctica común en matemáticas es el imina r raíces de los denominadores, lo que sel lama ”racionalizar”; veremos dos casos: a) en el denomin ador hay una raíz y nada más; entonces se multipli ca numerador y denom inador por esa raíz tantas veces como sea necesario para anularla (recordemos que si en una fracción numerador y denomi nador se multipli can ambos por la misma expresión, la fracción no cambia): 5 2 3 5 =
2 5
5 3 3 5 =
3 5
3 3
× ×
2 5 2 5 3 5 3 5
= =
3 2 5
Ý2 5 Þ2 3 3 5
Ý3 5 Þ2
= ×
3 2 5 5 3 5 3 5
= 3 35 5
2
a + b ; entonces se multiplica numerador y b) en el denomin ador hay una expresión del tipo a + b o a + b o denominador por el conjugado del denominador, siendo los conjugados de las expresiones escritas anteriormente esas mismas expresiones pero con el signo central cambiado:
5 ? 23?
¾
3
=
3 × Ý? 2 + 3 Þ Ý? 2 ? 3 Þ× Ý? 2 + 3 Þ
Ecuaciones simples
=
?3 2 +3 3 2 ?3
= 3 2 ? 3 3
22
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Una ecuación consta de dos miembros separados por un signo = ; resolver una ecuación de prim er grado consiste en dejar l a incógnita sola en uno de los miembros. Para ello, se pasan todos los elementos que contengan la incógnita a un mismo miembro, y los demás al otro (para cambiar de miembro, lo que suma pasa restando, y al revés). Finalmente, el número que acompañe a la inc ógnita pasará al otro miembro dividiendo o multipl icando, según multiplicara o dividiera a la inc ógnita, respectivamente.
Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: 52 x = 6;
x = 62 = 3
(el signo de multiplicación lo escribimos indistintamente × o 6 , pero en algunos casos ni siquiera usaremos símbolo, como cuando escribimos 5 x, que debe entenderse que quiere decir 5 6 x) 5 x3 = 7;
x = 7 × 3 = 21
2 x = 4 ? 3;
52 x +3 = 4;
5 ? x +3 = 4 x ? 7;
2 x = 1;
3 +7 = 4 x + x;
x = 12 10 = 5 x;
= x;
10 5
2 = x
5 ? 32 ? 2 x = ? x2
aquí multiplicaremos por ?2 en ambos miembros en virtud de una propiedad de la siguiete propiedad de las ecuaciones: si se multipli ca a ambos lados de la igu aldad por un mismo número, la ecuación no varía (lo mismo pasa si dividimos por un número o sumamos o restamos un número o elevamos a un exponente ambos miembros completos ). Al multilplicar por ?2 conseguiremos quitar los signos negativos y, lo que es más importante, los denominadores de las fracciones:
?2Ý? 32 ? 2 xÞ = ?2Ý? x2 Þ;
3 = ?3 x;
3 +4 x = x;
3
?3
= x;
x = ?1
en este caso, en que los denomin adores no son igual es, para poder eli mina rlos convi ene ? = ? +3 multipl icar las cinco fracciones (la últim a es 13 ) por el m c m de los cinco denominadores, que es 60: 5 34 x
2 x+1 4
5 3
x 5
60 6 34 x ? 60 6 53 = 60 6 2 x4+1
? 60 6 x5 +60 6 3 La propiedad asociativa de la multiplicación y la división nos dice que para multiplicar 60 6 es lo mismo multiplicar primero 60 6 3 y dividir el resultado por 4 que dividir primero 60 entre 4 y multiplicar el resultado por 3 . Pues bien, en estos casos siempre haremos primero la divis ión . Al final nos quedará siempre una igualdad sin denominadores. En este caso es: 3 4
15 6 3 x ? 20 6 5 = 15 6Ý 2 x +1Þ? 12 6 x +60 6 3
Simplificando: 45 x ? 100 = 30 x +15 ? 12 x +180; 45 x ? 30 x +12 x = 100 +15 +180;
27 x = 295;
95 x = 227
Para resolver una ecuación ecuación quitar primero los denominadores(multiplican do todos los sumandos por el mcm); luego efectuar los paréntesis que sea posible; finalmente, pasar a un lado todos los monom ios que contengan la incógnita, y al otro los que no (recordando que al cambia r de miembro un monom io hay que cam biar su signo; finalmente, todo lo que multip lique a la incógnita debe pasar al otro miembro dividiendo (pero manteniendo su signo + o ?) y todo lo que esté dividiendo a la x debe pasar al otro miembro multiplicando (pero sin cambiarle el signo que tuviera).
¾
La prueba de una ecuación
La solución de toda ecu ación debe probarse. Para ell o basta sustituir la solución en la ecu ación ori ginal y ver sil a satisface. En el caso anterior: 3 295 4 27 235 36
?
5 3
=
2 22795 +1 4
?
29 5 27
5
Operando a ambos lados de la igualdad se llega al mismo valor:
+3
lo que demuestra que la ecuaci ón está bien resuelta.
= 23635
¾ Inecuacio nes simp les
Formalmente, la única diferencia entre una inecuación simple y una ecuación es que en la segunda, en vez del símbolo = figura alguno de los siguientes, llamados de desigualdad : >, , enc ima y deba jo del cual se escribe desde qué número hasta cuál se tiene 7
(((Por ejemplo, sea la siguiente serie de números: 4,7,9,3,5,4,6,8; en ella
> x
i
quiere decir x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 ,
i=3
donde los subíndices de las x se refieren al orden ocupad o en la serie. En ese caso concreto: 7
> x
i
= x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 9 +3 +5 +4 +6 = 27 )))
i=3
La medi a para la segunda distribución de datos del problema es: 10
> = ¾
i=1 10
xi 11 +10 +10 +8 +7 = 9.10 = 9 +10 +9 +10 +7 + 10
Se llama d e s v i a c i ó n de un dato a la diferencia (con signo positivo) entre ese dato y la med ia. Por ejemplo , en la primera distribución, la diferencia entre el dato 9 y la media es: 9 ? 9.21 = ?0.21; por tanto, la desviación del dato 9 es 0.21 Puede calcularse la media de las desviaciones de todos los datos, lo que se llama d e s v i a c i ó n m e d i a . La fórmula para calcularla es:
32
TREV ERI S m u l t i m e d i a
n
>
x x>| | i?<
i=1 n
siendo n el número de datos de la distribución (14 en la primera y 10 en la segunda, en nuestro ejemplo), y significando las barras dentro del sumatorio que debe tomarse el valor absoluto de las restas, es decir, siempre con signo positivo independientemente del signo que tengan. En nuestro caso, para la primera distribución la desviación media es: n
>
x x>| | i? <
i=1
=
n
10 ?9.21 +9 ?9.21 +9 ? 9.21 +13 ? 9.21 +11 ?9.21 +9 ?9.21 +6 ? 9.21 +7 ? 9.21 +10 ? 9.21 +7 ? 9.21 +9 ?9.21 +9 ?9.21 +9 ?9.21 +11 ? 9.21 14
p 1.27
y para la segunda distribuc ión sería: n
>
x x>| | i? <
i=1
=
n
¾
9 ?9.1 +10 ?9.1 +9 ? 9.1 +10 ?9.1 +7 ? 9.1 +11 ? 9.1 +10 ?9.1 +10 ?9.1 +8 ? 9.1 +7 ? 9.1 10
= 1.1
La v a r i a n z a , que se se representa con el símbolo a 2 (”sigma cuadrado”) es la media de los cuadrados de las desviaciones, desviaciones, es de cir: n
n
> Ý ?< >Þ xi x
a
2
=
i=1 n
>
2
.
Una fórmula fórmula más sencilla sencilla y equivalente equivalente para para la varianza varianza es: a = 2
x2i
i=1 n
?2
(esta (esta última sepu ede memorizar así: así: ”media de los cuadrados menos cuadrado de la media”). Aplicando cualquiera de estas fórmulas a la primera y segunda distribución de nuestro problema obtenemos los siguientes respectivos valores de la varianza: a
¾
2
p 3.26
a
2
p 1.88
La desv iac ión t ípic a , que se representa con el símbolo a (”sigma”), (”sigma”), es es la raíz cuadrada de la varianza. Las desviaciones típicas para la primera y segunda distribuciones son, pues, respectivamente: a
p 1.81
a
p 1.37
La desviación típica (y también la varianza y la desviación media) dan una medi da de l a dispersión dispersión de los datos alrededor de la m edia. Por e jemplo , si si una persona persona obtiene 10 puntuaciones y todas son son 9, la media es evidentemente 9 y se se puede demostrar demostrar que la desviación media, la varianza y la desviación típica son 0, porque todos los datos coinciden con la media (es 10,10, 9,10,9,8,10 , la media es 9.43 y la decir, no se desvían nada de la media ). Sin embargo, para la siguiente distribución: 10,10, desviación típica es ya distinta de 0 (puesto que los datos no coinciden con la media); en este caso concreto es 0.79. Para esta otra distribución: 30,30,18,10,0, ?12, ?10 la media es la misma que antes (9.43), y sin embargo la desviación típica es 17.54, es decir, mucho may or que antes, porque los datos están están más alejados de la media. Hay ciertas ciertas distribuciones distribuciones que se llaman ”normales”, ”normales”, lo que quiere quiere decir que el grue grueso so de los datos se agrupa en torno a la media y hay pocos datos con valores bajos y con valores altos, teniendo toda la distribución, distribución, cuando se represen representa ta gráficamente, la forma de ”campana de Gauss”. En una distribución normal (y las dos del ejemplo general que estamos tratando lo son, aunque eso no hay por qué saberlo a priori ), ) , si si sumamos a la me dia el valor de la desviación típica y restamos restamos de la m edia el valor de la desviación típica típica encontramos un intervalo dentr dentro o del cual está aproximadamente el 68 por c iento de los datos; esta esta es una ley de las distribuciones distribuciones normales. Comprobémoslo Comprobémoslo con la primera primera distribución. distribución. La me dia, , es 9.21, y la desviación típica, típica, a 1 p 1.81. El intervalo del que estamos hablando es: 9.21 ? 1.81,9.21 +1.81
= 7.40,11.02
es decir, puesto que nos han asegurado asegurado que la distribución distribución es normal, aproximadamente e l 68% de los 14 datos deben estar comprendidos entre 7.40 y 11.02 . El 68% de 14 es 9.52, que redondearemos a 10 ; efectiv amente, cuéntense y se verá como 10 de los 14 datos tienen valores comprendidos entre 7.40 y 11.02. ¾
Cuando se se quieren comparar dos muestra muestrass lo mejor es usar el llamado coeficiente de variación ( ( CV ), ), que nos da la ”homogeneidad” de cada muestra. muestra. Se calcula por la fórmula: CV =
(es decir, la desviación desviación típica dividido por la media).
Los CV para para las dos distribuciones de nuestro ejemplo son: CV 1 = =
1.81 9.21
p 0.20
CV 2 = =
1.37 9.10
p 0.15
La segunda distribución es más homogénea (datos más ”semejantes” entre sí) que la primera, puesto que la segunda tiene CV . Obsérvese que la primera persona, aunque tiene una media peor, tiene más ”regularidad” que la segunda. La un menor CV primera, por el contrario, ofrece valores más dispares. estadística ica no se trabaja con los datos directamente, sino que previamente ¾ Tipificación de datos. Normalmente, en estadíst se tipifican todos y cada uno de ellos, con lo que se consigue consigue tratarlos tratarlos y entender su su significado más fácilmente y al mismo tiempo hacerlos más directamente comparables con los de otra distribución. distribución. Los datos tipificados de una distribución normal siempre valen entre ?3 y 3, aproximadamente. Un dato dato x i set ipifica (y se se llamará z i ) aplicando la siguiente fórmula: z i = x i?a
Por ejemplo, el dato 9 de la primera distribución ( media p 9.21; a p 1.81) queda, tipificado así
Apun tes y Pro blem as d e Matem M atem átic as E speci ales
z =
9 ?9.21 1.81
p ?0.12
Quienes trabajan en Estadística habitualmente lo hacen con datos tipificados .
33
34
TREV ERI S m u l t i m e d i a
Temas 7, 7, 8 y 9: 9 : Matrices, Matrices, determinantes, determinantes, sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones lineales de dos dos o más incógnitas incógnitas , matrices, determinantes y sus propiedades, resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes (método de Cramer )
Matrices y determinantes determinantes g Matrices ¾
Una m a t r i z es es una ordenación de números (que a veces vienen representa representados dos por letras) en filas y columnas. Por ejemplo , son matrices: matrices: ^
3 0
5Ejemplo 1:
4
0
?1 0
1 9
0
1 1 1 1
5
3 2 3
?^ 4 0
3 1 a 2
?1
4
1
La primera primera de ellas es una matriz cuadrada 3 × 3 (3 filas por 3 columnas), que se se suele llam ar ”matriz cuadrada de orden orden 3” o, más simplemente, ”matriz de orden 3 ”); la segunda es una matriz cuadrada 2 × 2 (o de orden 2 ); la tercera es una matriz 4 × 2; la cuarta es una matriz 1 × 5 ( y las de ese ese tipo se se llaman matrices-fila, como también hay matrices-columna), y la quinta es una matriz 1 × 1, que es el tipo más simple de matriz que existe (en (en realidad es un número número real). En general, cada cada elemento de una matriz se suele identificar media nte la notación a ij , donde i es el número de fila que j ocupa y el número de columna. Por ejemplo, el valor 5 de la tercera tercera matriz del Eje mplo 1 correspo corresponde nde al elemento a 21 , porque está en la segunda fila y primera columna. ¾
es el Dada una matriz, podemos obtener de ella s u b m a t r i c es el iminand o un número cualquiera cualquiera de filas, de columnas, o de filas y columnas. Por ejemp lo, si si en la primera primera matriz del Ej emplo 1 el iminamo s la primera fila nos queda: 4
?1 0
1 9
(una submatriz 2 × 3 de la primera primera matriz del Ejemplo 1)
0
y si si eliminam os la segunda segunda fila y la segunda segunda columna nos queda la submatriz de orden 2 : 3 0 1 0
Otras submatrices de la primera matriz del Ejemplo 1 son: 3 0 4
0
?1 0
1 9
3 0 0
Ý0Þ
0
0
?1
Nóte Nótese se que consideramos consideramos a una matriz como una submatriz de sí misma (eliminando 0 filas y 0 columnas). Las submatrices, como matrices que son, pueden ser cuadradas (mismo número de filas y columnas) o no. Las cuadradas son las que más nos van a interesar aquí. Obsérvese que la primera matriz del Ejemplo 1 puede tener submatrices cuadradas de orden 3 (es decir, 3 × 3), de orden 2 (2 × 2) y de orden 1 (1 × 1). Por sul ado, la segunda y terc tercera era matrices matrices del Eje mplo 1 pueden tener submatrices cuadradas de orden 2 y de orden 1 , y la cuarta y la quinta, sólo submatrices cuadradas de orden 1 . (Nótese también que el concepto de o r d e n está está siempre asociado al d e matrices cuadradas ; no se se habla de orden si si la matriz no es cuadrada: cuadrada: orden es el número número de filas (o de columnas, que es lo mismo) de una matriz cuadrada. En adelante debe tenerse tenerse esto esto en cuent a.)
¾
Al igu al que sobre sobre los números reales, sobre sobre las matrices pued en realizarse realizarse ciertas operaciones (multipl icar las por un número, sumar dos matrices, etc.). Una de las operaciones es calcular el determinante de de una matriz cuadrada (no está definida la operación determinante para una matriz no cuadrada). Para indicar que queremos efectuar la . operación determinante sustituire sustituiremos mos los paréntesis paréntesis redondos redondos de la matriz: por paréntesis paréntesis cuadrados: cuadrados:
número. Por ejemplo, el determinante de la matriz Ý?7Þ $El determinante de una mat riz cuadrada de orden 1 es el mismo número. es ?7.
$El determinante de una mat riz cuadrada de orden 2 : a b
? bc ; se calcula mediante la siguiente fórmula: ad ?
c d
del Ejemplo 1 es 1 6 1 ? 1 6 1 = 0
$El determinante de una mat riz cuadrada de orden 3 :
por ejemplo, el determinan determinante te de la matriz segu segunda nda
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
35
, se calcula mediante la siguiente fórmula:
Ýa 11 a 22 a 33 +a 21 a 32 a 13 +a 12 a 23 a 31 Þ? Ýa 13 a 22 a 31 +a 23 a 32 a 11 +a 21 a 12 a 33 Þ Para evitar memorizar esa fórmula usaremos una regla mnemotécnica. Para ilustrarla, vamos a calcular el determinante de la primera matriz del Ejemplo 1. Se escribirán las tres primeras filas igual que están, y debajo se repetirán la primera y la segunda, de la siguiente manera:
3 0 0 4 ?1 0 1 9 0 3 0 4
0
?1 0
luego se multiplic an entre sí los números de la diagonal del 3 (señalados en negrita), los de la diagon al paralela inferior (la que empieza en 4: 4 6 9 6 0) y a los de la inferior a ésta última (la del 1: 1 6 0 6 0), sumándose al final los tres productos obtenidos. Se hace lo mismo con las tres diagonales secundarias (la que empie za por e l 0 que está en el vértice superior derecho y las dos paralelas por de bajo), y el resultado seresta del obtenido anteriormente. Es decir:
ß3 6Ý?1Þ6 0 +4 6 9 6 0 +1 6 0 6 0à?ß0 6Ý?1Þ6 1 +0 6 9 6 3 +0 6 0 6 4à= 0 El resultado de ese determinante es, pues, 0. El resultado del que se plantea a continuación es ?16. (comprobarlo): 3 2
?1 5 ?3 2
?1 1
= ?16
1
$Para resolver determinantes de orden 4 o superior hay que entender primero el concepto de m e n o r c o m p l e m e n t a r i o . Seguimos con la matriz primera del Ejemplo 1. El menor complementario del elemento 3 es el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila y la columna donde está el 3 , es decir: ?1 0 9
=0
.
0
Otro ejemplo: el m enor complementario de l 0 superior derecho es
4
?1
= 37
1 9
Otro concepto indispensable es el del s i g n o p o r s u p o s i c i ó n de cada elemento de un determinante. Independientemente de su signo propio, se considera que cada elemento tiene un signo por su posición según las siguientes reglas: 1) en un determinante cualquiera, el elemento que está en el vértice superior izquierdo tiene el signo por su posición +; 2) los elementos adyacentes en vertical o en horizontal a uno dado tienen el signo por su posición contrario. Con estas dos reglas es fácil ver que en la práctica para saber el signo por su posición de un elemento dado se empieza por el elem ento superior izquierdo del determinante, a 11 , al que sel e asigna el +, y se trata de llegar al elemento dado yendo casilla por casilla en horizontal o vertical , nunca en diagonal , por el camino que se quiera , cambiando de signo al saltar de casilla . Por ejem plo, sea el siguiente determinante de orden 4 ; 7 2
?1 0 1 ?1 3
6
?1 1
0
4
3
5
1
3
para saber el signo por su posición del elemento 5 vamos hacia él desde el 7 en horizontal o vertical, casilla por c asilla (por cualquier c amino), cambiando de signo al saltar de casilla: +
?
+
?
y, como vemos, concluimos que el signo por su posición de l 5 es ?.
+ ?
Otra forma de conocer el signo por la posición es sumar los subíndices del elemento correspondiente; si la suma da par, el signo por la posición es positivo, si impar , negativo. Por ejemplo, el elemento 5 es el a 43 ; como 4 +3 = 7 (impar), el signo que le corresponde al 5 por su posición (independientemente del que tiene, que es +) es el ? . Sabido todo esto, un determinante de orden mayor qu e 3 seresuelve así: seescoge cualquier fi la (o cualquier columna) y se va multiplicand o cada elemento de esa fila por su menor complementar io. Al final se suman o restan todos los productos obtenidos, dependiendo del signo por su posición de cada element o de la f ila (o columna) tomado. Se comprenderá que conviene tomar aq uella fil a (o columna) con números más sencillos, y preferentemente con el máximo número de ceros . Ilustramos esto con un ejemplo: resolveremos el determinante de orden 4 escrito más arriba. Elegiremos l a colum na tercera (que tiene dos ceros); el mé todo es así:
36
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7 2
?1 0 1 ?1 3
6
?1 1
0
4
3
5
1
3
2
= +0
6 3
? Ý?1Þ
?1 1 4 3
?1 1
7
3 1
?1 1
4
3
1
3
7
+0
?1 1
2 6
3
3 3
1
?5
7
?1 1
2
6
3
?1 1
4
=
= 0 +1 6Ý?96Þ +0 ? 5 6 166 = ?926
Si e l determinante hubiera sido de orden 5 se sigue el mismo método, pero hubieramos obtenido cinco determinantes de orden 4 cada uno de los cuales habríamos tenido que resolver aparte, reduciéndolos cada uno a cuatro determinantes de orden 3 como en el ejemplo anterior. ¾
Se comprenderá por lo visto que resolver un determi nante de orden elevado será tanto más fáci l cuantos más ceros tenga en una fila o columna, ya que así se anulan términos en el desarrollo explicado (pues se multipli ca por 0 ). Si el determinante no contiene ceros, o pocos, es posible y conviene h a c e r c e r o s aplicando la propiedad que pasamos a explicar ahora.
Para hacer ceros debemos comprobar si hay dos filas (o dos columnas) que tengan el mayor número de elementos iguales o proporcionales en idénticas posiciones, o bien siuna fila (o columna ) tiene elementos que son la suma de los de otras filas (o columnas) situados en las mismas posiciones. Se reescribe el determinante manteniendo iguales todas las filas (o columnas) excepto una de ellas , que se cambia por el resultado de restarle otra o de restarle la suma de otras incluso multiplicada previamente alguna de estas últimas por un número. Esto, que puede resultar bastante confuso, se entiende m ejor con un ej emplo. Sea el siguiente determinante:
1 ?1 3 1
5Ejemplo 2:
2 1 ?1 4 6 3 2 1
1 1 1
?1
Puede observarse que las columnas primera y tercera tienen tres números iguales en las mismas posiciones (marcados en negrita). Entonces, reescribiremos el determinante manteniendo iguales las columnas segunda, tercera y cuarta, y en vez de la primera escribiremos una nueva, que será el resultado de restarle a la primera la tercera ( 1 ? 1 = 0; ?1 ? 4 = ?5; 3 ? 3 = 0; 1 ? 1 = 0). Así conseguimos hac er 3 ceros y p uede demostrarse que eso no afectará al resultado d el de termina nte. A continuación resolvemos el determinante obtenido por el método de los menores complementarios explicado antes usando la primera columna (por contener tres ceros, con lo que nos evitaremos el trabajo de resolver tres determinantes 3 × 3, ya que sea cual sea su valor, al m ultiplicarlos por 0 se anulan):
0 ?5 0 0
2
1 1
?1 4 1 6
3 1
2
1
?1 4 3 = +0
?1
6
3 1
2
1
2 1 1
? Ý?5Þ
?1
6 3 1 2 1
?1
2
+0
1 1
?1 4 1 2
1
?1
2
?0
1 1
?1 4 1 6
=0
3 1
También podía haberse resuelto el determinante del Ejemplo 2 observando la relación entre las filas primera y tercera: tres números de la tercera son el triplo de los de la primera en las mismas posiciones. Podríamos hacer ceros ahí dejando intactas la primera, segunda y cuarta filas y restando a la tercera la primera multiplicada por 3 . Trátese de hace rlo. ¾
Nótese que siempre hay que deja r fijas todas las fil as (o columnas) excepto una, y a esa se le debe restar otra fila (o columna) o bien una c o m b i n a c i ó n l i n e a l de filas (o de columnas). Una combinación li neal de filas (o de columnas) es el resultado de sumar o restar entre sí esas filas (incluso si previamente sehan multiplic ado previamente algunas o todas ellas por números). 5Ejemplo 3 . 5
2 1 1
7
1 2 2
9
0 1 4
Resolver el siguiente determinante
?1 2 0 1 En él podemos notar que si sumamos la segunda columna con la tercera y el doble de la cuarta obtenemos (salvo en el último número) la primera. Entonces, reescribiremos el determinante manteniendo las columnas segunda, tercera y cuarta y reescribiendo la primera como el resultado de restar a sus valores los correspondientes a la combinación lineal indicada (segunda +tercera +doble de cuarta). A continuación aplicaremos el m étodo de los menores complementarios (esta vez no escribiremos los términos que incluyan una multiplica ción por 0 ) 0
2 1 1
0
1 2 2
0
0 1 4
?5 2 0 1
2 1 1
= ?Ý?5Þ
1 2 2
= 45
0 1 4
La operación de hacer ceros se puede repetir varias veces, tanto en filas como en columnas, hasta que se considere necesario. Desde luego, no es imprescindible hacer ceros para resolver un determinante. Simpl emente facilita los cálculos.
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
37
De esta propiedad es fácil deducir otras:
$Un determinante con dos filas (o columnas) exactamente iguales o proporcionales (es decir, una de ellas es la otra multiplic ada por un número) es igual a 0 . $Un determinante en el que una fila (columna) es combinación li neal de dos o más filas (dos o más columnas) es igual a 0. Por ejem plo, el s iguiente determinante, en el que la cuarta fila es combinación lneal (por suma directa) de las tres primeras, es 0 : 0
?2 1
1 2
?1 1
2
1
2
3 1
0
1
6 2
1 2
=0
g Resolución de sistemas de ecuaciones por determinantes ( método de Cramer ) ¾
Entre otras util idade s, los determinant es sirven para resolver sistemas de ecuaciones por el llamado método de Cramer . Sea el siguiente sistema (Ejemplo 4) 2 x + y ? z = 4 x + y + z = 3 3 x ? y ? z = 1
Se puede demostrar que las soluciones para x, y y z vienen dadas directamente por los siguientes cocientes:
x =
4 1 ?1 3 1 1 1 ?1 ?1
4 ?1 1 3 1 3 1 ?1
4 1 1 3 3 ?1 1
2
=1
y =
2 1
=2
z =
2 1
?1
2 1
?1
2 1
?1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
3
?1 ?1
3
?1 ?1
3
=0
?1 ?1
Repárese en cómo se han construido los tres cocientes: los denomin adores son en los tres casos los determ inantes de l a llamada m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s (matriz formada por los c oeficientes de las incógnitas, ordenadas), y los numeradores son esos mismos determin antes pero sustituyendo en ellos la c olum na correspondiente a la incó gnita que se esté soluciona ndo cada vez (la x, la y o la z ) por la columna de los términos independientes del sistema de ecuaciones (en este caso, 4, 3, 1). to do de C ram er . Para evitar errores, el sistema de ecuaciones hay que escribirlo de modo que las incógnitas Este es el m é estén bien alineadas en columnas, y los términos independientes en el segundo miembro. Se aplica de l mismo modo a sistemas más complejos (cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, etc...) y más simples (dos ecuaciones con dos incógnitas). A veces un sistema d e ec uaci ones no tiene solución . Efectivamente, si el determinante de la matriz de los coeficientes (el del den ominador de las expresiones de Cramer) es 0 , el sistema no se puede resolver. Y si, siendo 0 el determinante del denominado r, lo es tambi én el de l numerador para al menos una de las incógnitas, el sistema puede no tener solución o tener i n f i n i t a s s o l u c i o n e s . Recapitulando: los sistemas de ecuaciones pueden tener
å n i n g u n a solución, y se llama n entonces i n c o m p a t i b l e s ; å una y sólo una , y se llama n entonces c o m p a t i b l e s d e t e rm i n a d o s ; å i n f i n i t a s soluciones, y se llama n entonces c o m p a t i b l e s i n d e t e rm i n a d o s . ¾
Hay una forma directa de comprobar si un sistema de ecuaciones ti ene o no solución, y, caso de que la tenga, sies única o son infinitas. Lo veremos con el sistema del Eje mplo 4 tratado anteriormente. Construiremos las llamadas m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s ( C ) y m a t r i z a m p l i a d a ( A) para ese sistema (esta última es la misma matriz de los coeficientes pero con una nueva columna añadida a l a izquierda: la de los términos independientes):
C =
2 1
?1
1 1
1
3
?1 ?1
A =
2 1
?1 4
1 1
1
3
3
?1 ?1 1
Calcularemos ahora los rangos de ambas matrices. Rango de una m a t r i z es el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante distinto de cero que podamos encontrar dentro de la matriz en cuestión . Dentro de la matriz C podemos encontrar submatrices cuadradas de orden 1 , 2 y 3, y l o mis mo, en este caso, dentro de la matriz A. La única submatriz cuadrada de orden 3 que contiene la matriz C es ella misma. Calculamos su determinante, que da un valor distinto de 0 (concretamente da 8 ). Como hemos encontrado que una submatriz de C de orden 3 tiene determinante distinto de 0 , el rango de C es 3 . A tendrá el mismo rango, puesto que no podemo s encontrar dentro de ell a submatrices cuadradas de mayo r orden y sí una de orden 3 igual a la anterior, para la que ya hemos demostrado que tiene determinante distinto de 0 . Si r C es el rango de la matriz de los coeficientes, r A el rango de la matriz ampliada y n el número de
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incógni tas, deberemos te ner en cuenta las siguientes relac iones para saber si un sistema tiene o no solución: r C = r A = n
sistema compatible determinado
®n sistema compatible indeterminado r C ®r A sistema incompatible
r C = r A
En nuestro ejemplo anterior, el sistema es compatible determinado, y la solución única puede determinarse por el método de Cramer como ha quedado visto. Veremos ahora otros ejemplo s. 5Ejemplo 5. Averiguar siel siguiente sistema tiene o no solución y, en su caso, darla: x + y ? z = 3 y + z = 5 2 x +2 y ? 2 z = 5
?1
1 1 C =
1 1 A =
0 1 1
0 1 1
?2
2 2
?1 3
2 2
5
?2 5
El rango de C es 2 , puesto que 2 es el orden de la mayor submatriz cuadrada con determinante distinto de 0 que somos capaces de encontrar dentro de C (comprobarlo); y el rango de A es 3 , puesto que se puede encontrar una submatriz cuadrada de orden 3 dentro de A.(por ejemplo, la formada con las columnas segunda, tercera y cuarta). El sistema es, pues, incompatible. 5Ejemplo 6. Averiguar siel siguiente sistema tiene o no solución y, en su caso, darla: x + y ? z = 3 y + z = 5 2 x +2 y ? 2 z = 6
?1
1 1 C =
1 1 A =
0 1 1
0 1 1
?2
2 2
?1 3
2 2
5
?2 6
En este caso, el rango de la matriz de los coeficientes es 2, y también lo es el de la ampliad a (compruébese que las cuatro pos ibl es submatrices de orden 3 de la matriz ampliada tienen determinante igual a 0 ). Como el número de incógnitas es 3 , el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Los sistemas compatibles indeterminados se resuelven como sigue. Se considera qué submatriz se util izó para demostrar que el rango de C es 2 (cada persona puede haber usado una submatriz distinta; eso no importa). Supongamos que hemos tomado la submatriz marcada con números en negrita siguiente para demostrar que el rango de C es 2 (esa submatriz nos hubiera valido, en efecto, para ello porque su determinante es distinto de 0):
1 1 ?1 0 1 1 2 2 ?2 Pues bien , se tacha la fi la que no hem os emp leado (en este caso, la tercera), lo que equ ivale a olvidarnos de la tercera ecuación del sistema que nos dieron, y la incógnita que no hemos e mpleado (en este caso la z , tercera colum na) se sustituye, donde aparezca, por la letra griega V (lambda), pasándola además al segundo miembro. Es decir el sistema de ecuaciones se reescribe así: x + y = 3 +V y = 5 ?
V
Ahora: C =
1 1
A =
0 1
1 1 3 +V 0 1 5 ?
(nótese que A tiene 3 columnas, no 4 )
V
Ese sistema es ahora compatible y determinado (compruébese que ambos rangos son 2, y téngase en cuenta qu e ahora 2 es el número de incógnitas, pues z ha dejado de ser incógnita). Lo solucionaremos por Cramer: 3 +V 1 x =
5 ?
V
1
1 3 +V
= ?2 +2V
y =
0 5 ?
1 1
1 1
0 1
0 1
La solución del sistema es: x = ?2 +2V
y = 5 ?
V
V
= 5 ? V
z = V
Ahora bi en, si hubi éram os t oma do c omo referencia otra subma triz para demost rar q ue e l rango d e C es 2 habríamos obtenido otro resultado, pero en realidad es el mismo, lo que vamos a demostrar. Por ejemplo , si hubiéramos tomado como submatriz la señalada con números en negrita para demostrar que el rango de C es 2 :
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
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?1 1 1 2 2 ?2 1 1 0
entonces, para resolver el sistema no necesitaremos la primera ecuación. La incógnita no usada ahora es la x , que haremos igual al parámetro t (para no confundirlo con el V usado antes); es decir, x = t . El sistema quedaría ahora: y + z = 5 2 y ? 2 z = 6 ? 2t y = 4 ? 21 t z = 1 + 12 t , solución que parece distinta a la y si lo resolvemos por el método de Cramer obtendríamos: x = t anterio r. Pero es la misma. Esto podemos entenderl o si compren demos primero qué significa expresar la solución de una ecuación de esa forma, es decir, en función d e un parámetro. Significa que en realidad son infinitas las soluciones, y cada una de ellas se obtiene dando un valor arbitrario a V (o a t ) ; por ejemp lo, para V = 0 las soluciones para la ecuación son: x = ?2 y = 5 z = 0; para V = 1 : x = 0 y = 4 z = 1, etc. A esas mismas soluciones siempre se puede ll ega r dando y = 5 z = 0, y para t = 0 llegamos a los adecuados valores a t ; así, para t = ?2 obtenemos de nuevo x = ?2 x = 0 y = 4 z = 1.
(En la práctica, para saber cómo se corresponden V y t basta igualar, en cualquiera de las incógnitas, sus expresiones x = ?2 +2V , de ahí se deduce que ? 2 +2V = t , lo correspondientes en función de V y de t ; por ejemplo, como x = t y que nos permite conocer l a relación entre V y t ; según esa relaci ón, para V = 0, t = ?2, y por eso, usando esos valores, las soluciones de la ec uación coinciden en los dos métodos.) 1 Un tipo espec ial de problemas consiste en determinar si un sistema tiene o no soluc ión en función de un parámetro. Por eje mpl o, sea el siguien te (en el que se usa el parámetro a): ax ? y ? 2 z = 1 x + y = 3 y + z = 2
Para resolver este caso concreto, se plant ea la mat riz de los c oeficient es ( C ) y la ampl iada ( A); se resuelve el determinante de C , que, lógicamente, quedará en función de a (en este caso ese determinante da a ? 1); el resultado se iguala a 0 , y eso nos permite calcular el valor de a que hace el determinante 0 , o, lo que es lo mismo, que hace que la matr iz tenga rango 2; cualquier otro valor de a hará que la matriz tenga rango 3 . También hay que comprobar el rango de la matriz ampliada, que da 3 independientemente de a. Concretamente, en este problema, para a = 1 el rango de la matriz C da 2 , y para cualquier otro valor de a da 3 ; de ahí es fácil deducir que para a = 1 el sistema es incompatible y que para a ®1 el sistema es compatible determinado. Cada caso concreto de este tipo de problemas es diferente, pero la forma de resolverlo es básicamente la indicada. n eo s y siempre son compatibles , 1 Hay sistemas en que los términos independientes valen todos 0; se llaman ho m o g é pues to que al menos admi ten una solu ció n : x = 0, y = 0, z = 0. Lo que hay que determinar en ellos es si sólo tienen esa
solución (compatibles determinados) o infinitas (compatibles indeterminados). Por ejempl o: x + y + z = 0 2 x ? z = 0 3 x + y = 0 es compatible indeterm inado con solución general x = V y = ?3V z = 2V .
40
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Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría Ángulos, triángulos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras , razones trigonométricas, fórmulas trigonométricas
¡ Razones trigonométricas de un ángulo ¬ Ángulos Clásicamente los ángulos sem iden en grados: la vuelta completa a una circunferencia son 360 o ; media v uelta son 180 o ; un cuarto de vuelta (un ángulo recto), 90 o , etc. Pero la unidad más científica es el radián . La relación entre grados y radianes es: 360
grados
son
2^ radianes
Aunque en estos Apuntes trabajaremos hab itu alm ent e co n grados, d ebe tenerse en cu enta que la uni dad científ icamente más usada son los radianes. No obstante, pasar de una unidad a otra (antes de empezar a operar o en el resultado final) es simple: basta hacer una regla de tres.
¬ Seno y co seno de un ángulo Sobre los ángulos se pueden realizar, entre otras, unas operaciones que se denominan razones trigonométricas. Las más importantes son el seno (sen) y el coseno (cos). Para definirlas y poder estimar su valor aproximado nos podemos ayudar de un círculo cuyo centro coincida con el de un sistema de coordenadas cartesianas X , Y clásico Consideraremos siempre que e l radio del círculo es 1 . Todo esto viene ilustrado en la siguiente figura: Y e j E
90º
2º
1º
1
Cuad.
Cuad.
0. 5
180º
-1
0º -0.5
0
0.5
1
Ej e X
-0.5 3º
4º
Cuad.
Cuad.
-1
270º
En ella tam bién se han numerado los llamados cuatro cuadrantes en que queda dividi do el círculo y se han representado algunos valores de los ejes X e Y (en los que cada muesca de la escala vale 0.1 unidades, como puede comprobarse). Tam bién se han representado ángulo s típicos. Donde está representado el ángul o 0 o se considera el punto de partida para med ir ángu los; yendo contra las agujas del r eloj el sentido se considera positivo (al revés es negativo: así, el ángul o 270 o también puede llamarse ?90 o ). El seno de un ángulo se define como el valor de la coordenada Y (ordenada) del punto que representa a dicho ángulo en el círculo de radio unidad que estamos tomando como referencia; el coseno es el valor de la coordenada X (abscisa). Po r ejempl o, el seno de 30 o es 0.5 , y el coseno de 30 o es un valor que está entre 0.8 y 0.9 , como puede comprobarse, según las definiciones dadas, en la siguiente figura:
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
41
Y
30º
×
0.5
X
.8 .9
De la figura puede también deducirse que el seno de un ángulo es la altura del punto que representa al ángulo (marcado con ×) respecto al eje de las X en un círculo de radio = 1 . Por lo tanto, en adelante hay que tener muy en cuenta que: seno:
valor de la coordenada y del punto que representa al ángulo
coseno:
valor de la coordenada x del punto que representa al ángulo
Por supuesto, el signo de estas coordenadas puede ser positivo o negativo. Por ejempl o, siguiendo la definición que hemos dado, el valor de l seno de un ángulo que esté situado en el tercer cuadrante (digamos 210 o ) debe ser negativo, pues en ese cuadrante la coordenada y tiene valor negativo.
J De las defi nicio nes dadas y de la observación de la figura siguiente puede deducirse que las razones trigonométricas de un ángulo dado pueden co incidir (totalmente o diferenciándose a lo sumo en el signo) con las de otros ángulos del círculo.
Y
150º × ×
30º
× ×
X 210º × ×
×
330º
Si en la figura observamos los puntos que representan a los ángulos escritos (puntos señalados con ×), veremos qur todos ellos tie nen el mismo valor absoluto (es decir, signo aparte) de la coordenada y (0.5 ) y el mismo de la x (entre 0.8 y 0.9 ). Por tanto, el seno y el coseno de todos esos ángulos tienen el mismo valor absoluto. Esta constatación podemos generalizarla. En general , conociendo las razones trigonométricas (seno y coseno ) de los ángulos del primer cuadrante podemos saber las de los ángulos de cualquiera de los otros tres cuadrantes , siguiendo las siguientes reglas:
 un ángulo del segundo cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el ángulo que corresponda en el pr imer cuadrante al trazar una recta paralela al ej e de las X (así, las razones de 150 o son las mismas (signos aparte) que las de 30 o , y las de 178 o las mismas que las de 2 o ).  un ángulo del tercer cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el ángulo que corresponda en el primer cuadrante al trazar una recta que pase por el centro de coordenadas.(así, las razones de 210 o son las mismas (signos aparte) que las de 30 o , y las de 254 o las mismas que las de 74 o ).  un ángulo del cuarto cuadrante tiene las mismas razones trigonométricas en valor absoluto que el que corresponda en el primer cuadrante al trazar una recta paralela al eje de las Y . (así, las razones de 330 o son las mismas (signos aparte) que las
42
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de 30 o , y las de 271 o las mismas que las de 89 o ). 5Ejemplo : calcular las razones trigonométricas de 225 o . Este ángu lo está en el tercer cuadrante (es decir, su seno y su
coseno serán ambos negativos) y sus razones trigonométricas equivaldrán a las de 45 o , según las reglas vistas. Por tanto: sen225 o = ?
2 2
cos225 o = ?
2 2
¬ Otras func iones trigon ométricas La tangente se define como e l cociente entre el seno y el coseno; siguiento el ej emplo anterior podemos decir que: en 22 5 = ? tg225 o = scos225 o ? o
2 /2 2 /2
=1
La cotangente se define como la inversa de la tangente. Así: 1 1 cotg225 o = tg225 o = 1 =1
La cosecante se define com o la inversa del seno. Así: cosec225 o = sen1225 o = ?
1 2 /2
= ?2 2/2
La secante se define com o la inversa del coseno. Así: sec225 o = cos122 5o = ?
= ?2 2/2
1 2 /2
tric as b ási cas ¬ R azon es t rig on om é
Es necesario memorizar las razones trigonométricas de 0 o , 30 o , 45 o , 60 o y 90 o . En realidad, basta memorizar los senos y cosenos, pues las demás se obtienen fácilm ente de sus definiciones. sen cos tg cosec sec cotg o
0
1
0
?
1
30
o
1 2
3 2
3 3
2
2 3 3
45
o
2 2
2 2
1
2 2
2 2
1
60 o
3 2
1 2
3
2 3 3
2
3 3
90 o
1
0
?
1
?
0
0
? 3
¬ Funciones inversas Dado un número real cualquiera, podríamos preguntarnos, por ej emp lo, para qué ángulo su seno es ese número. Por ejempl o, ¿cuál es el ángulo cuyo seno es 0.5 ? Esa operación se llama ” arco seno”, y se representa en este caso arcsen 0.5 . Tiene dos soluciones porque hay dos ángulos ( 30 o y 150 o ) cuyo seno es 0.5 : arcsen 0.5 = 30 o
arcsen 0.5 = 150 o
Del mismo modo podemos escribir (usando calculadora) arccos 0.2257 p 76.95 o
arccos 0.2257 p 283.04 o
(también dos soluciones)
y (sin necesidad de calculadora): arctg 1 = 45 o
arctg 1 = 225 o
¬ Relac io nes tr igo no métric as útiles Siempre se cumple que Esto nos permite calcular el coseno de un ángulo sabiendo el seno, o al revés; por ejemplo, si  sen2 J +cos 2 J = 1 o el seno de 26 es aproximadamente 0.438, su coseno será: cos J = 1 ? sen2 J p 0.899
Â
senÝ?J Þ = ?senJ
cosÝ?J Þ = cos J
(Ejemplo.: senÝ?30Þ = ?sen30 = ? 12 )
cosÝJ +K Þ = cos J cos K ?senJ senK Â senÝJ +K Þ =senJ cos K +cosJ senK o o de ángulos como 105 , que es la suma de 60 y 45 o ; así: sen105 o =senÝ60 o +45 o Þ =sen60 o cos45 o +cos60 o sen45 o =
3 2
2 2
+ 12
2 2
=
2 Ý 3 +1 Þ 4
(fórmulas útiles para calc ular razones
p 0.966
Tambié n podemos calc ular utilizando este tipo de fórmulas las razones de 15 o ; por ejemplo: cos15 o = cosÝ60 o 1 2 2 2
? Â
3 2
Ý?
2 2
Þ=
? 45 o Þ = cosÝ60 o +Ý?45 o ÞÞ = cos60 o cosÝ?45 o Þ?sen60 o senÝ?45 o Þ = + 23 22 = 2 Ý14+ 3 Þ p 0.966
1 2 2 2
senJ = cosÝ90 o
? J Þ
(por ejempl o:
sen10 o = cos80 o
Gracias a esta últ ima pr opiedad, en re alidad sólo se exigirá memoriz ar los valores del seno (o del coseno) de 0 o , 30 o ,
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
45 o , 60 o
43
y 90 o . para poder realizar la mayoría de problemas.
¡ Trigonometría de triángulos ¬ Teo remas de Tales y Pitágor as En la siguiente figura, considérense los triángulos ABC y abc. Ambos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales entre sí (se dice que son triángulos semejan tes ). Para dos triángulos semejantes se cumple el Teorema de Tales : a = b = c A B C
Por otra parte, en cual quier triángulo rectángulo (aquél que tiene un ángulo recto, como es el caso en este ejemplo) se cumple el Teorema de Pitágoras : C 2 = A 2 + B 2
2,0 1,5 1,0 C
0,5
-2
0,0
-1
c
α 0
b
a
1B
β A
γ 2
-0,5 -1,0 -1,5 -2,0
tric a en un t riáng ulo ¬ Razo nes trig on om é
Por lo que hemos visto hasta ahora, y teniendo en cuenta la figura anterior, en la que el círculo interno tiene radio externo un radio distinto (en el eje mplo = 2) podemos escribir que
1
y el
senJ = a
cos J = b
pero por el teorema de Tales podemos escribir: a = c A C b = c B C
ì a = Ac = A
(pues c = 1)
ì
(pues c = 1)
C C Bc B b = = C C
Combinando estas ecuaciones y las anteriores podemos obtener las fórmulas generales para calcular el seno y el coseno de un ángulo que pertenece a cualquier triángulo como los de la figura (rectángulos): senJ = A C cos J = B C
y, por tanto : tgJ = A
B
o, dicho con palabras: cateto opuesto hipotenusa cateto contiguo cos J = hipotenusa cateto opuesto tgJ = cateto contiguo senJ =
Estas tres fórmulas, que hay que memorizar, sirven para conocer algunos lados o ángulos de un triángulo conocidos otros. No se olvi de que sólo pued en aplicarse a triángulos rectángulo s, aunque si no lo son pueden partirse de modo qu e se obtengan subtriángulos rectángulos.
44
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5Resolver el siguiente triángulo a partir de los datos conocidos: (la altura es 1.2 )
3
β 1.2
A 50º
α B Podemos conocer en primer lugar el ángulo senJ =
1 .2 3
ì
= 0.4
J
J
, pues:
=arcsen 0.4 p 23.58 o
(con calculadora)
Eso permite saber cuánto vale K , pues en cualquier triángulo debe cumplirse: A puede
J
+K +L = 180 o
ì
p 106.42 o
K
conocerse a partir de:
sen50 o =
1 .2 A
1.2
ì
A = sen 50 o
p 1.57
Por otro lado, podemos c alcular las bases (llamémoslas B v y B vv) de los triángulos rectángulos de la izquierda y la derecha (delimitados por la línea que representa la altura): cos J = B3
cos50 o =
B v = 3cos23.58 o
ì
v
Bvv 1.57
ì
p 2.75
B vv p 1.57cos50 o
Por tanto, B = B v + B vv p 3.76
p 1.01
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
45
Tema 14: Números complejos Números complejos en forma binómica y en forma trigonométrica, Operaciones con complejos
g N e c e s i d a d d e l o s n úm e r o s c o m p l e j o s ; el n úmero i
En la resolución de algunos problemas (como algunas ecuaciones de segundo grado) pueden aparecer raíces cuadradas de números negativos, algo que no tiene sentido en el campo de los números reales. Para solucionarlo se idearon los números complejos. La expresión ?1 es un número complejo que llamaremos i. Usando i podremos solucionar raíces como ?16 = 16 6 ?1 = ±4i Cuando en determinada operación encontremos i elevado a alguna potencia lo transformaremos según: i0 = 1
i 2 = ?1
i1 =i
i 3 = ?i
i5 =i i 6 = ?1, etc...), de modo que potencias más altas serie que se repite cíclicamente (por ejemplo: i 4 = 1 pueden reducirse a la serie principal d ividiendo el exponente por 4 y tomando e l resto de la división.
5Ejemplo: Reducir i 11
Dividimos 11 entre 4 y tomamos el resto, que es 3. Por tanto, i 11 = i 3 , y observando la serie mencionada, como i = ?i , podemos escribir: i 11 = ?i (la prueba es la siguiente: 11 = 4 × 2 +3 ; por tanto: 2 3 i 11 = i 4 × 2 +3 = i 4 × 2 i 3 = i 4 i = 1 × i 3 = i 3 = ?1, donde hemos aplicado varias propiedades de las potencias vistas en los temas iniciale s de estas Apuntes) 3
g F o r m a b i n ó m i c a d e u n n úm e r o c o m p l e j o
Un número comple jo expresado en la llamad a forma binómica es un binomio de l a forma a +bi
, donde a puede ser cualquier número real (incluido e l 0) y se denomina parte real , y b puede ser cualquier número real (incluido el 0) y se denomina parte imaginaria . Un com plej o cuya parte real sea cero se lla ma imaginario puro ; lo es, por ejemplo, el complejo ?3i, y un complejo cuya parte imaginaria sea cero se llama simplemente real; por ejem plo el 5.
¬ Operaciones con complejos en forma binómica e Suma, resta, multiplicación y potencia : se efectúan como en cualquier monomio. Si aparece i elevado a una potencia superior a 1 debe reducirse como ha quedado explicado más arriba. 5Ejemplo:
Sean los complejos z 1 = 2 ? 3i
y
z 2 = ?1 ? i ;
su suma es 1 ? 4i; su resta:
su poducto es: Ý2 ? 3iÞÝ?1 ? iÞ = ?5 +i (después de hacer alguna simplificación; Ý2 ? 3iÞ? Ý?1 ? iÞ = 2 ? 3i +1 +i = 3 ? 2i; compruébese); y la potencia de cualquiera de ellos se obtiene multiplicá ndolo por sí mismo tantas veces como sea necesario; por ejempl o: z 4 = z 6 z 6 z 6 z . (se multiplic a primero z 6 z , luego el resultado por z y este resultado, finalmente, por z de nuevo). ee División : para efectuar el cociente entre dos números complejos se multipli ca numerador y denominado r por el conjugado del denominador, siendo el conjugado de un complejo el mismo complejo pero con la parte imaginaria (sólo la parte imaginaria ) cambiada de signo : 5Ejemplo:
2 ?3i ?1?i
ÞÝ? 1 +iÞ = ÝÝ2??1 3i = ? iÞÝ? 1 +iÞ
(en la presentación final del complejo es conveniente separar la parte real de la imaginaria; p or eso hemos aplicado la propiedad distributiva de la división). 1 +5i 2
= 12 + 52 i
g Form a trig ono mé trica de u n n úmero com plejo
¬ R e p r e s e n t a c i ón c a r t e s i a n a Un complejo a +bi puede representarse en coordenadas cartesianas como el pu nto Ýa, bÞ. Por ejemplo, los complejos y ?2 ? 2i pueden representarse por los puntos señalados en el sigu iente gráfico:
4 +2i
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Y
(4,2) ×
r
α’
α
X
r’ × ×
(-2,-2)
La distancia desde el punto que representa al complejo al centro de coordenadas, el ángulo entre el eje X y el radio r sellama argumento del complejo.
r ,
sellama módulo del complejo, y
trica y operacio nes con com plejos en dich a forma ¬ Expres ión trigono mé
Dado un complejo en forma binómica a +bi puede expresarse en forma trigonom étrica así: r Ýcos J +isenJ Þ
donde r es su módulo y
J
su argument o, que según la figura anterio r pueden calcularse así: r = + a 2 +b 2 |b | J = arctg |a |
fórmula esta última donde, como viene indicado, deben tomarse los valores absolutos (es decir, siempre positivos) de cuestiones de conveniencia.
a
y
b por
5Ejempl o: escribir en forma trigonométrica los complejos z 1 = ?2 ? 2i
Para z 1 el módulo es:
r =
Ý?2Þ2 +Ý?2Þ2 = 8 = 2 2
y
z 2 = 3 ? i.
y el argumento es:
Ahora bien , arctg1 tiene dos soluciones: 45 o y su ángulo correspondiente en el tercer cuadrante, que es 225 (también podrán serlo en principio sus ángulos correspondientes en los segundo y cuarto cuadrantes, 135 o y 315 o , pero esos podemos desestimarlos inmediatam ente porque su tangente es negativa; ver el capítulo de Trigonometría) Para saber cuál de los dos es l a solución, basta reparar en que e l punto Ý?2, ?2Þ que representa al comp lejo: está en el tercer cuadrante; por tanto, el argumento de z 1 es J = 225 o . J
b arctg |a | | |
=
=arctg 22 =arctg1 o
Por tanto, el complejo es: z 1 = 2 2 Ýcos225 o +isen225 o Þ Para z 2 el módulo es: b arctg |a | | |
r =
Ý3Þ2 +Ý?1Þ2 = 10
y el argumento es:
(recuérdese que tomam os b y a siempre positivos, aunque sean negativos). Empleando una calculadora, el ángulo debe ser aproximadamente 18.43 o o cualquiera de sus correspondientes: 161.57 o , 198.43 o o 341.57 o en el resto de los cuadrantes. De los cuatro nos quedamo s con 341.57 o , pues el punto que representa al complejo, Ý3, ?1Þ está en el cuarto cuadrante. J
=
=arctg 13
Por tanto, el complejo es: z 2 = 10 Ýcos341.57 o +isen341.57 o Þ 5Ejempl o: escribir en forma trigonométrica los complejos z 3 = ?2
y
z 4 = 3i.
Pasar a forma trigonométrica números complejos que en realidad son reales puros (como . z 3 ) o imaginarios puros (como . z 4 ) es especialmente fácil:
EReales puros: el mód ulo de un real puro es él mismo (siempre con signo positivo aunque sea negativo), y sólo hay dos posibles argumentos: 0 o si es positivo y 180 o si es negativo (pues recordemos que l a parte real de un com plejo se representa en el eje de las X ). Por tanto: z 3 = 2Ýcos180 o +isen180 o Þ. EImaginarios puros: el módulo de un imaginario puro es el número que multipli ca a la i (siempre con signo positivo aunque sea negativo), y sólo hay dos posibles argumentos: 90 o si es positivo y 270 o si es negativo (pues recordemos que la parte imaginaria de un c omplejo se representa en el eje de las Y ). Por tanto: z 3 = 3 Ýcos90 o +isen90 o Þ.
Apuntes y Pro blem as d e Matem átic as E speci ales
5Ejempl o: pasar a forma binómica el com plejo en forma trigonométrica
Basta operar:
5Ýcos45 o +isen45 o Þ = 5Ý
2 2
+
2 2
47
5Ýcos45 o +isen45 o Þ
iÞ = 5 2 2 + 5 2 2 i
trica ¬ Operac ion es con comp lejos en form a trigonom é
La forma trigonométrica es muy útil para multiplic ar, divid ir, elevar a potencia y sacar raíces de complejos.
 El producto de varios complejos es un nuevo complejo que tiene por mó dulos el producto de los módulos, y por argument o, la suma de los argumentos (si sumados pasan de 360 o , vamos restando 360 o sucesivamente hasta que nos quede un valor menor de éste: por ejemplo, 375 o equivale a 375 o ?360 o =15 o ).  El cociente de dos complejos es un nuevo complejo que tiene po r módulos el c ociente de los módulos, y por argument o, la diferenci a de los argumentos (si al restarlos da un valor negativ o, pasarlo a positivo sumando 360 o (por ejemplo, ?10 o equivale a ?10 o +360 o = 350 o ).  Un complejo elevado a cierta potencia da como resultado otro cuyo módulo es el del primero elevado a esa potencia, y su argumento es el del primer comp lejo multipl icado por e l exponente de esa potencia.  La raíz de un complejo es otro cuyo módulo es la raíz del primero, y cuyo argumento, K , se calcula por la fórmula: J +360 k n , donde J es el módulo del complejo del que queremos obtener su raíz, n es el índice de la raíz y k es un número entero que va desde 0 a n ? 1, lo cual quiere decir que la raíz n de un complejo tiene n soluciones, una por cada valor de k tomado. (Nota: si expresamos los ángulos en radianes, la fórmula mencionada es: . K = J +n2 ^ k ). K =
5Ejemplos. Sean los complejos z 1 = 2 2 Ýcos225 o +isen225 o Þ
Calcular: z 1 6 z 2 ,
z 1 / z 2 ,
z 41
,
y
z 2 = 10 Ýcos341.57 o +isen341.57 o Þ
y .
3
z 1
z 1 6 z 2 = 2 2 10 ÝcosÝ225 o +341.57 o Þ +isenÝ225 o +341.57 o ÞÞ = 4 5 Ýcos566.57 o +isen566.57 o Þ = 4 5 Ýcos206.57 o +isen206.57 o Þ z 1 / z 2 =
2 5 5
ÝcosÝ225 o ? 341.57 o Þ +isenÝ225 o ? 341.57 o ÞÞ = 2 5 5 ÝcosÝ?116.57 o Þ +isenÝ?116.57 o ÞÞ = 25 5 Ýcos243.43 o +isen243.43 o Þ
z 41 = Ý2 2 Þ4 ÝcosÝ4 6 225 o Þ +isenÝ4 6 225 o ÞÞ = 64Ýcos900 o +isen900 o Þ = 64Ýcos180 o +isen180 o Þ 3
3 o 360k 360k Þ +isen 180 o+ z 1 = 2 2 Ýcos 18 0 + 3 3
respectivamente. Son:
Las tres soluciones se obtienen dando a k los valores de 0,1,2, 2 Ýcos60 +isen60 Þ 2 Ýcos180 o +isen180 o Þ 2 Ýcos300 o +isen300 o Þ . y o
o
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