apuntes_geodesia_icg

GEODESIA Y G.P.S. UNIDAD I: INTRODUCCIÓN 1.1 RESEÑA HISTÓRICA El ser humano se ha preocupado por la tierra en el cual vive, ya desde muchos siglos atrás. En épocas muy remotas esta preocupación estaba limitada a la vecindad inmediata de su hogar; después se expandió hacia distancias del mercado o lugares de trueque; y finalmente, con el desarrollo de medios de transporte, el hombre se llegó a interesar por el mundo como un todo. Mucho de este

prematuro

“interés

mundial”

era

evidenciado

por

especulaciones

concernientes al tamaño, forma y composición de la Tierra. Los Griegos de la antigüedad, en sus especulaciones y teorías, van desde el disco plano de Homero, hasta la figura esférica de Pitágoras, idea que fue sostenida cien años después por Aristóteles. Pitágoras fue un matemático, y para él la más perfecta figura, era una esfera. Él pensaba que los dioses deberían crear una figura perfecta y por lo tanto la Tierra fue creada para ser esférica en forma. Anaxímenes, otro científico de la Grecia antigua, creía fuertemente que la Tierra era rectangular en su forma. Debido a que la figura esférica era la más ampliamente apoyada en la Era Griega, los esfuerzos para determinar su tamaño se sucedieron. Platón determinó la circunferencia de la Tierra en 40.000 millas; la cual fue estimada por Arquímedes en 30.000 millas. La figura de Platón era una conjetura a diferencia de la de Arquímedes que fue una aproximación más cautelosa. Sin embargo, en Egipto, el erudito y filosofo Eratóstenes, hacía una medición más explícita. Él observó que el día del solcito de verano, el sol del medio día iluminaba el fondo de un pozo en la ciudad de Siena (Aswan). Ver figura 1. A la vez, él observó que el Sol no estaba directamente sobre Alejandría; en vez de eso, este proyectaba una sombra con la vertical igual a 1/50 de un círculo (7° 12’). Para estas observaciones, Eratóstenes aplicó algunos hechos “conocidos”:

2

1) Que en el día del solsticio de verano, el Sol del medio día estaba directamente sobre la línea de la Zona del Trópico (Trópico de Cáncer). Por tanto concluyó que Siena estaba sobre esta línea; 2) La distancia lineal entre Alejandría y Siena era de 500 millas; 3) Alejandría y Siena pertenecían a la misma línea norte-sur.

De estas observaciones y hechos “conocidos”, Eratóstenes concluyó que a partir de la desviación angular del Sol de la vertical en Alejandría, era también el arco subtendido, la distancia lineal entre Alejandría y Siena era 1/50 de la circunferencia en el Ecuador o 50*500 = 25.000 millas. Un valor aceptado actualmente para la circunferencia de la Tierra en el Ecuador es de 24.901 millas, basado en el radio ecuatorial del World Geodetic System (WGS). La unidad de medida usada por Eratóstenes era llamada “estadio”. Nadie sabe con seguridad que estadio él usó como referencia. Las medidas dadas en millas anteriormente fueron derivadas usando un estadio igual a un décimo de la milla oficial. Es destacable que tal exactitud fue obtenida basándose en el hecho de que la mayoría de los hechos “conocidos” en sus observaciones eran incorrectos: 1) Aunque es verdad que el Sol al mediodía está directamente sobre el Trópico de Cáncer el día del solsticio de verano, es errónea la conclusión que Siena este sobre esta línea. Actualmente, Siena se encuentra 37 millas hacia el norte; 2) La verdadera distancia entre Alejandría y Siena es de 453 millas y no 500; 3) Siena se encuentra 3o 30’ al este del meridiano de Alejandría; 4) La diferencia de latitud entre Alejandría y Siena es 7o 5’, en vez de 7o 12’ como Eratóstenes había concluido.

3

Figura 1: Medición de Eratóstenes

DE L

SO

L

VERTICAL A ALEJANDRIA

RA YO

S

50 X 50= 25,000 MILLAS

PA RA

LE LO

A

LO

S

7°12'

ALEJANDRIA 50 0M

IL L

VERTICAL A SIENA

AS

SIENA

R PE SU IE FIC DE LA A RR T IE

7°12' o 1/50 DE UN CIRCULO

Fuente: DMA Technical Report

Otra medida del tamaño de la Tierra fue realizada por el Griego Posidonio. El observó que cierta estrella no era visible en la mayor parte de Grecia, pero que esta rozaba el horizonte en Rodas. Posidonio midió la elevación de la misma estrella en Alejandría y determinó que el ángulo era 1/48 de círculo. Asumiendo la distancia de Alejandría a Rodas como 500 millas, el calculó la circunferencia de la Tierra como 24.000 millas. Como sus medidas fueron aproximaciones, los errores se combinaron produciendo un resultado de exactitud muy pobre. Basado el las figuras de Posidonio, otro filósofo griego determinó en 18.000 millas la circunferencia de la Tierra. Esta última figura fue promulgada por Ptolomeo a través de sus mapas del Mundo. Los mapas de Ptolomeo influenciaron 4

fuertemente a los cartógrafos de la edad media. Es probable que Colon, usando tales mapas, creyó que Asia estaba solamente a 3 o 4 mil millas al oeste de Europa. No fue hasta el siglo 15 que su concepto del tamaño de la Tierra fue revisado. Durante ese período el cartógrafo flamenco, Mercator, realizó sucesivas reducciones en el tamaño del mar Mediterráneo y de toda Europa, lo cual tuvo el efecto de incrementar el tamaño de la Tierra. El telescopio, tablas de logaritmos, y el método de triangulación contribuyeron a la ciencia de la Geodesia durante el siglo 17. En el transcurso del siglo, el Francés, Picard, realizó la medida de un arco. Él midió una línea base con la ayuda de varillas de madera, usó u telescopio en sus medidas angulares, y calculó con logaritmos. Cassini posteriormente continuó el arco de Picard en dirección norte hasta Dunkirk y hacia el sur hasta el limite con España. Cassini dividió la medida del arco, en dos partes; una hacia el norte de Paris, y la otra hacia el sur. Cuando el calculó la longitud de un grado de ambas cadenas, encontró que la longitud de un grado en la parte norte de la cadena era más corta que en la parte sur. Ver figura 2. Este resultado inesperado podría haber sido causado solamente por una figura de forma de huevo de la Tierra, o por errores observacionales. Los resultados comenzaron una intensa controversia entre los científicos franceses e ingleses. Los ingleses postulaban que la Tierra debía ser achatada, como Newton y Huygens habían demostrado teóricamente, mientras que los franceses defendían sus propias medidas y se inclinaban a mantener la Tierra con forma de huevo. Para aclarar la controversia de una vez, la Academia de Ciencias de Francia envió una expedición geodésica al Perú en 1735 para medir la longitud de un grado de meridiano próximo al Ecuador, y otra a Laponia para hacer una medida

similar

próxima

al

círculo

ártico.

Las

mediciones

probaron

concluyentemente que la Tierra era achatada en los polos, como Newton había pronosticado. A partir de todos estos cálculos involucrando mediciones geodésicas, se complementó en términos de una superficie matemática (elipsoide de referencia), representando la figura de la Tierra.

5

Figura 2: Teorías Elipsoidicas

Fuente: DMA Technical Report

1.2 DEFINICIÓN DE LA GEODESIA

Autores como Webster citado en reporte técnico de la NIMA (National Imagerie and mapping agency), definen la geodesia como “ la rama de las matemáticas aplicadas que determina mediante observaciones y medidas las posiciones exactas de puntos, las figuras y áreas de grandes extensiones de la superficie de la Tierra, la forma y dimensiones de la Tierra, y las variaciones de la gravedad terrestre”. Es una aplicación especializada de varias facetas de la matemática básica y conceptos físicos. En la practica, la geodesia usa los principios de la matemática, astronomía y física, y las aplica dentro de las capacidades de la tecnología e ingeniería moderna. Un acabado estudio de la ciencia de la geodesia no es de simple comprensión. Sin embargo, es posible adquirir un conocimiento

6

del desarrollo histórico, así como de los métodos y técnicas de la ciencia, y la forma en que la geodesia está siendo usada para resolver algunos problemas. En el pasado, la geodesia militar estuvo muy involucrada con los aspectos prácticos de la determinación de posiciones exactas de puntos sobre la superficie de la Tierra para el mapeo o propósitos de control de artillería, mientras que la determinación de la forma y dimensiones precisas de la Tierra era un rol puramente científico. Sin embargo, las necesidades actuales para distancia y dirección, requieren de la aplicación práctica y científica para proporcionar respuestas a problemas tales como el rastreo de satélites, navegación global y operaciones defensivas de misiles (DoD). En estricto rigor la geodesia se define como la ciencia que busca la determinación de forma y dimensiones (siglo XIX) y campo de gravedad externo de la Tierra(década de los 70),referenciada a una determinada época(actualidad). Figura 3: Relación de la Geodesia con otras disciplinas

Fuente: Geodesy: The Concepts.Vanicek and krakiwsky

7

1.3 CONCEPTOS GENERALES: GEOIDE, ELIPSIODE Y GRAVEDAD

1.3.1 EL ELIPSOIDE Para muchos propósitos resulta conveniente considerar a la Tierra como una esfera. Cuando se requiere un modelo mucho más preciso, se utiliza una superficie matemática definida llamada ESFEROIDE para hacer un modelo de las desviaciones de la Tierra de una configuración realmente esférica, las cuales constan principalmente de un achatamiento en los polos y de una combadura o pandeo en el Ecuador de aproximadamente una parte en 300. En algún momento u otro, se han utilizado superficies similares a una esfera, algunas de las cuales han sido extremadamente complicadas en cuanto a su forma matemática. Desde aproximadamente 1930, la práctica común ha sido de emplear una superficie relativamente sencilla para representar la Tierra, el elipsoide de revolución, como muestra la figura 4. Se han requerido esfuerzos enormes para deducir los valores de un elipsoide cuya configuración y tamaño concuerden con los de la Tierra. Figura 4: Achatamiento de la Tierra

EL ACHATAMIENTO DE LA TIERRA ES APROXIMADAMENTE 1/300

POLO NORTE

f=1/50 CIRCULO f=0 f=1/2 f=1/5

POLO SUR

Fuente: DMA Technical Report

8

1.3.2 EL GEOIDE

Si la Tierra fuera completamente fluida, su superficie física sería una superficie de potencial de gravedad constante (equipotencial). Las cuatro quintas partes del planeta, cubiertas de agua deberían, por tanto, obedecer a esta regla, y la superficie que concordase con el nivel medio del mar sin perturbación (asumiendo que se compensarían los efectos de las mareas, del viento, de las corrientes, etc.) sería una superficie de potencial constante llamado GEOIDE. Para las áreas de tierra, el geoide es definido de una manera menos directa, imaginando que la superficie del nivel del mar se extiende debajo de la tierra, en canales o conductos imaginarios, permitiendo que el agua suba ascienda conforme a una superficie de potencial constante, como se observa en la figura 5. Esta definición básica implica que parte de la masa de la Tierra, en las áreas continentales, descansa encima del geoide. Para el trabajo teórico en geodesia, esto es algunas veces indeseables. Así, otras superficies, relacionadas al geoide, son definidas en forma tal que la superficie encierra la masa total de la Tierra. El geoide tiene en cuenta las anomalías gravimétricas (debidas a la distribución de las masas continentales y la densidad de los componentes de la Tierra) y el achatamiento de los polos, por el cual es una superficie irregular con protuberancias y depresiones. Por tanto, podemos concluir que el Geoide será el lugar geométrico de los puntos que se encuentran en equilibrio bajo la acción de las siguientes fuerzas: •

Fuerzas de atracción gravitatoria del resto de los puntos de la superficie del mismo.

•

Fuerzas de atracción gravitatoria del resto de los astros del Sistema Solar.

•

Fuerza centrífuga, debida al movimiento de rotación de la Tierra. Mediante el estudio de estas fuerzas y los potenciales que las mismas

producen, es posible llegar a la definición geométrica del geoide.

9

Figura 5: Concepto del Geoide

Fuente: DMA Technical Report

El geoide es una superficie irregular para la cual no existe expresión matemática conveniente, a pesar de que es posible aproximarse a una, de varias maneras. Se define por su relación con un elipsoide particular, tal como se muestra en la figura 6, en términos de altura del geoide u ondulación, en cada punto. Una forma de describir el geoide es por el uso de un mapa, como el de la figura 7, que muestra curvas de igual altura del geoide (isocurvas). Otra relación importante entre el geoide y el elipsoide, también mostrado en la figura 6, es la desviación de la vertical. Este es el ángulo entre la normal al geoide y la normal al elipsoide.

10

Figura 6: Relación del Geoide y el Elipsoide

PERPENDICULAR AL ELIPSOIDE TIERRA SUPERFICIE

P

PERPENDICULA AL GEOIDE

SUPERFICIE DEL ELIPSOIDE SUPERFICIE DEL GEOIDE DEFLEXION DE LA VERTICAL LATITUD GEODESICA LATITUD ASTRONOMICA

CENTRO DE LA TIERRA CENTRO DEL ELIPSOIDE

Fuente: DMA Technical Report

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Figura 7: Mapa de curvas de nivel del Geoide

Fuente: DMA Technical Report

1.3.3 GRAVEDAD La gravedad en cualquier punto de la superficie de la Tierra, es una fuerza por unidad de masa resultante de la atracción gravitacional (gravitación) y del efecto centrífugo de la rotación. -

Gravitación: efecto integrado de la atracción de toda la masa que constituye la Tierra.

-

Aceleración centrífuga: aceleración que tiende hacia fuera, causada por la rotación de la Tierra.

Como aceleración, la gravedad se mide en unidades básicas de metros por segundo (m/seg2) y tiene el valor de superficie aproximado de 9,8 m/seg2. Otras unidades usadas frecuentemente en los estudios de gravedad, se resumen en la tabla 1.1.

12

Tabla 1.1: Unidades de Gravedad UNIDAD

ABREVIATURA

CONVERSIÓN

Galio

gal

1 galio = 10-2 m/seg2

Miligalio

mgal

1 miligalio = 10-3 galio = 10-5 m/seg2

Microgalio

µgal

1µgalio = 10-6 galio = 10-8 m/seg2 1 unidad de gravedad = 10-6 m/seg2 = 0,1 miligalio

Unidad de gravedad gu

Figura 8: Vector gravedad Polo

g = Fa + Fc (Gravedad)

Fc Fa g S.F.

C.M.

Ec.

1.3.4 VERTICAL Vertical de un punto es la dirección del vector gravedad en el punto sobre la superficie de la Tierra. Es elemento de orientación para el posicionamiento del punto. Figura 9: Vertical y Línea vertical Polo

Linea Vertical Vertical

Fc Fa g C.M.

S.F.

Ec.

13

1.3.5 LINEA VERTICAL Es una línea de terreno, de forma general no rectilínea y que pasa por una secuencia de puntos que representan la trayectoria de caída en dirección al centro de masa de la Tierra.

UNIDAD 2: FORMA Y DIMENSIONES DE LA TIERRA

2.1 FIGURA DE LA TIERRA La expresión “figura de la Tierra” tiene varios significados en la geodesia, de acuerdo a la manera de que ésta es aplicada y a la precisión con la cual forma y dimensiones de la Tierra quieran ser definidas. La actual superficie topográfica se manifiesta con su variedad de irregularidades del terreno y áreas de agua. En efecto, esta es la superficie sobre la cual son hechas las mediciones. Es imposible representar esta forma, a través de cálculos matemáticos exactos, debido a que las fórmulas que se requerirían para tomar en cuenta las irregularidades, necesitarían una cantidad de cálculos imposibles de realizar. La superficie topográfica es en general utilizada por geomensores y geógrafos. El concepto esférico de Pitágoras ofrece una superficie simple, la cual es matemáticamente fácil de tratar. Muchos cálculos astronómicos y de navegación usan esta representación de la Tierra. Siendo la esfera una aproximación cercana de la verdadera figura de la Tierra y satisfactoria para muchos propósitos, para el geodesta interesado en las medidas de largas distancias extendidas a los continentes y océanos, es necesaria una figura de más exactitud. La idea de una Tierra plana, sin embargo, aún es aceptada para mediciones de áreas pequeñas. Las medidas considerando la Tierra plana se realizan para áreas relativamente pequeñas y no toman en cuenta la curvatura de ésta.

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2.2 EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN Ya que la Tierra es en efecto levemente achatada en los polos y algo abultada en el Ecuador, la figura geométrica usada en geodesia ,más aproximada a la real forma de esta es el elipsoide de revolución. El elipsoide de revolución de la figura 10 se obtiene rotando una elipse entorno de su eje más corto. El elipsoide de revolución se define especificando únicamente dos dimensiones. Geodestas, por convención, usan el semi-eje mayor y el achatamiento. El tamaño es representado por el radio en el Ecuador que es el semi-eje major y es representado por la letra a. La forma del elipsoide es dada por el achatamiento, identificado por la letra f, el que indica cuán próximo se aproxima un elipsoide con la forma esférica. La diferencia entre el elipsoide de revolución representando a la Tierra y una esfera es muy pequeña. Ver figura 4. Los elipsoides listados a continuación han tenido utilidad en el trabajo geodésico y muchos aún se utilizan. Los elipsoides más antiguos son denominados por el nombre de quién lo derivó y el año de desarrollo de este. El elipsoide internacional fue desarrollado por Hayford en 1910 y fue adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG), la que lo recomendó para uso internacional. En sesión realizada en 1967 por la IUGG sostenida en Lucerne, Suecia, el elipsoide llamado GRS-67 fue recomendado para ser adoptado. El nuevo elipsoide no fue recomendado para reemplazar el Elipsoide Internacional (1924), pero fue propuesto para usos donde un alto grado de exactitud fuera requerida. Este llegó a ser parte del Sistema Geodésico de Referencia de 1967 (GRS67), el cual fue aprobado y adoptado en 1971 en sesión de la IUGG sostenida en Moscú. El elipsoide llamado GRS-80 (Geodetic Reference System 1980) fue aprobado y adoptado en 1979 en sesión de la IUGG sostenida en Canberra, Australia.

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Tabla 2.1 : Principales Elipsoides. NOMBRE

RADIO ECUATORIAL

ACHATAMIENTO

DONDE SE USA

Krassowsky (1940)

6.378.245 m

1/298,3

Internacional

6.378.388 m

1/297

Clarke (1880)

6.378.249 m

1/293,46

Francia, África

Clarke (1866)

6.378.206 m

1/294,98

América del Norte

Bessel (1841)

6.377.397 m

1/299,15

Japón

Airy (1830)

6.377.563 m

1/299,32

Gran Bretaña

Everest (1830)

6.377.276 m

1/300,80

India

WGS 66 (1966)

6.378.145 m

1/298,25

USA/DoD

GRS 67 (1967)

6.378.160 m

1/298,25

Australia, Sud America

WGS 72 (1972)

6.378.135 m

1/298,26

USA/DoD

GRS 80 (1979)

6.378.137 m

1/297,26

USA/DoD

Rusia Europa

La posibilidad de que el Ecuador es una elipse más que un círculo y por lo tanto que el elipsoide es triaxial, ha sido materia de controversia científica por muchos años. Los modernos desarrollos tecnológicos han proporcionado nuevos y rápidos métodos para la captura de datos y desde el lanzamiento del primer Sputnik Ruso, los datos orbitales se han usado para investigar la teoría de elipticidad. Una segunda teoría, mas complicada que la triaxial, propone que las variaciones orbitales de los satélites indican achatamientos adicionales en el polo sur, acompañado por un abultamiento del mismo grado en el polo norte. Se afirma también que las latitudes medias del norte están levemente achatadas y las latitudes medias del sur abultadas en una magnitud similar. Este concepto sugiere una leve forma de pera de la Tierra y es materia de mucha discusión pública. La geodesia moderna tiende a mantener el elipsoide de revolución y a tratar la triaxialidad y la forma de pera como una parte de la separación del geoide.

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2.2.1 PARÁMETROS ELIPSOIDALES La figura 10 muestra un elipsoide de revolución. Los parámetros de un elipsoide de referencia que describen su tamaño y forma son: -

El semieje mayor (a);

-

El semieje menor (b).

La ecuación de cualquier curva meridiana (intersección de un plano meridiano con la superficie del elipsoide) es: X2 Z2 + 2 =1 . a2 b

(2.1)

La superficie de un elipsoide de revolución está dada por: X 2 +Y 2 Z2 + 2 =1 . a2 b

(2.2)

Figura 10: Elipsoide de Revolución Z P

a

F

E

b

a

O

a

√a 2 + b 2

F' E'

Y

a

X

P'

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Los puntos F y F’ en la figura 10 son los focos de la elipse meridiana que pasa por los puntos P, E’, E . Los focos son equidistantes del centro geométrico (O) de la elipse. Las distancias PF y PF’ son iguales al semieje mayor (a). Esta información es usada ahora para ayudar a describir propiedades posteriores de un elipsoide. El achatamiento elipsoidal está dado por:

f =

a−b . a

(2.3)

Otras dos importantes propiedades que son descritas para una sección meridiana de un elipsoide son: -

La primera excentricidad.

e2 = -

a 2 − b2 . a2

(2.4)

Y la segunda excentricidad.

a 2 − b2 e = . b2 ,2

(2.5)

2.2.2 RADIOS DE CURVATURA PRINCIPALES Los infinitos planos que pasan por la normal a un punto del elipsoide, cortan a éste según secciones que se llaman secciones normales, las que en su gran mayoría serán elipses. De entre las infinitas secciones normales a un punto del elipsoide hay dos de ellas que son especiales: -

La de radio de curvatura máximo;

-

La de radio de curvatura mínimo.

La sección de radio de curvatura mínimo que se denota por M es la sección meridiana y la perpendicular a ella es la de radio de curvatura máximo o gran normal que se designa por N. Los radios de curvatura son denotados por (M) y (N) respectivamente. Ver figuras 11 y 12. En la figura 11 puede verse que el radio de curvatura del meridiano aumenta del Ecuador al Polo y el radio de curvatura del primer vertical

18

se comporta similarmente (figura 12). Las deducciones de estas fórmulas pueden encontrarse en P.S. Sakatov 1997,cap 1,§ 5. Figura 11: Radio de Curvatura del Meridiano Z

P

M Z

ϕ

90°+ ϕ

X

ϕ X

M =

Radio de Curvatura del Meridiano:

a ⋅ (1 − e 2 ) (1 − e ⋅ sen ϕ ) 2

2

3

.

(2.6)

2

Figura 12: Radio de Curvatura del primer Vertical Z

P

PARALELO DE LATITUD

N N'

ϕ

X

ϕ X

Radio de curvatura del primer vertical:

N=

a (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ )

1 2

(Gran Normal) (2.7)

Como se aprecia en la figura 12, también se puede calcular otro elemento del elipsoide que se denomina pequeña normal: N ' = (1 − e 2 ) ⋅ N =

a ⋅ (1 − e 2 ) (1 − e ⋅ sen ϕ ) 2

2

1 2

.

(2.8)

19

Se recomienda al estudiante hacer un análisis de estos elementos utilizando latitudes de 0º, 45º y 90º. Una cantidad importante que es usada muy a menudo en cálculos en geodesia geométrica, es el “ Radio medio Gaussiano de Curvatura” que está dado por:

R = M ⋅N .

(2.9)

En muchas instancias el radio medio es suficientemente preciso para cálculos de posición. Otro radio de curvatura que puede ser necesitado de vez en cuando, es el de un paralelo de latitud. Cualquier paralelo de latitud visto desde el polo norte del elipsoide (eje Z) describe un círculo. Este radio, como puede verse en la figura 12, es igual a la coordenada X (en el sistema plano meridiano X-Z, de las coordenadas cartecianas que se verán mas adelante). Entonces, el radio de curvatura de un paralelo de latitud está dado por:

Rϕ = N ⋅ cos ϕ .

(2.10)

Se ve fácilmente que cuando ϕ = 0º (ecuador), Rϕ = N ; por tanto Rϕ = a, ya que N=a. Y en cualquier polo (ϕ = 90º), cos ϕ = 0, y el radio desaparece.

20

2.3 CONCEPTOS GEODÉSICOS

2.3.1 COORDENADAS GEODÉSICAS Estas coordenadas se basan en el elipsoide las cuales definen el eje de rotación de éste paralelo al eje de rotación de la Tierra e idealmente el centro del elipsoide debería coincidir con el eje de rotación de la Tierra. Ver figura 13. Figura 13: Coordenadas Geodésicas

N

GREENWICH

P

λP

ϕP ECUADOR

S

2.3.1.1 LATITUD GEODÉSICA La latitud geodésica de un punto, es el ángulo formado por la normal al elipsoide en el punto, y el plano del Ecuador y se mide sobre el meridiano del lugar. Si se utiliza una figura esférica en lugar de una elipsoidal, la latitud de P sería el ángulo ψ en el centro de la esfera, dado que la normal a la superficie de la esfera pasará siempre a través de su centro. Este ángulo ψ, recibe el nombre de latitud geocéntrica y es utilizada, por lo general, como una magnitud intermedia en los cálculos.

21

Usando una figura elipsoidal, la normal de P no pasará a través del centro del elipsoide. Figura 14: Latitud Geocéntrica de P

N

b

P

ψ

ϕ

a Centro del Elipsoide

2.3.1.2 LONGITUD GEODÉSICA La longitud geodésica de un punto es el ángulo diedro formado entre el semi-meridiano origen y el semi-meridiano que pasa por el punto y se mide sobre el arco del Ecuador subtendido.

Puesto que el elipsoide es una superficie matemática, cuando se mide la dirección y la distancia desde cualquiera estación A de posición conocida a otra B, puede calcularse matemáticamente la posición de B, pero como la superficie elipsoidal no es muy simple, se han generado métodos y tablas especiales para simplificar los cálculos. Hay que hacer presente que debido a la convergencia de los meridianos, el azimut hacia atrás de una línea (geodésica) situada sobre el elipsoide, no será igual al azimut hacia delante de la línea, mas menos 180o , excepto en circunstancias excepcionales.

22

En la figura 15 se observa claramente que el ángulo a no es igual al ángulo b. Figura 15: Azimut geodésico

A a

b B

En geodesia hay una fórmula deducida que nos permite encontrar el azimut inverso de una línea: A' z = 180° + Az −

senϕ m ⋅ dλ ; cos 12 dϕ

(2.11)

donde:

ϕm

= latitud media de los puntos extremos de la línea;

dϕ

= diferencia de latitudes;

dλ

= diferencia de longitud.

2.3.2 COORDENADAS ASTRONÓMICAS 2.3.2.1 LATITUD ASTRONÓMICA Latitud astronómica de un punto, es el ángulo que la vertical de este punto forma con la proyección ecuatorial; por convención son consideradas positivas las altitudes del hemisferio norte, y negativas las del hemisferio sur.

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2.3.2.2 LONGITUD ASTRONÓMICA longitud Astronómica de un punto es el ángulo diedro formado por el meridiano de origen y el meridiano astronómico del punto. Esta definición conlleva las siguientes observaciones: a) el meridiano astronómico tiene su plano definido por la vertical del lugar y una paralela al eje de rotación medio ( tenga en mente que la vertical y el eje de rotación, no son necesariamente coplanares); b) el meridiano de origen es el meridiano medio de Greenwich, definido por el B.I.H. En consecuencia del movimiento del polo, las coordenadas astronómicas varían con el tiempo, lo que exige una reducción a una época convencional para la cual se fijó la posición del eje medio.

Azimut Astronómico de una dirección AB es el ángulo que el meridiano astronómico del punto A forma con la dirección al punto B. En astronomía se mide generalmente desde el sur hacia el oeste; en geodesia desde el norte hacia el este.

OBSERVACIÓN: Al contrario de la latitud, ya sea astronómica como geodésica, siempre son positivas en el hemisferio norte, no existe una convención rígida para las longitudes (orientación) y azimut (origen), debiendo tomarse precauciones al consultar una obra, procurando conocer la convención usada por el autor. 2.3.3 ALTURAS Para definir sin ambigüedad la posición de un punto P, ya sea en la superficie terrestre (geoide) o el la superficie matemática (elipsoide), se necesita una tercera coordenada: la altura.

24

2.3.3.1 ALTURA ORTOMÉTRICA Altura ortométrica de un punto (h) es la distancia de ese punto al geoide, medida a lo largo de la vertical; puede ser obtenida a través de la nivelación geométrica asociado a la gravimetría. En la actualidad surgió una nueva opción: obtenerla a través del rastreo de satélites artificiales en regiones donde el geoide es conocido. Ver figura 16. 2.3.3.2 ALTURA GEOMÉTRICA O ELIPSOIDAL La altura elipsoidal H = PP’ de la figura 16, es la distancia de P al elipsoide medida a lo largo de la normal a este; puede ser calculada por la siguiente expresión aproximada: H≈N+h;

(2.12)

Siendo h la altura ortométrica y N la altura u ondulación geoidal; el signo de aproximadamente igual ocurre por la circunstancia de que N y h no son colineales; h es medido a lo largo de la vertical y N a lo largo de la normal. Figura 16: Alturas

P P h

H

PN

SF Geoide

h

N GREENWICH

H

P'

λP

ϕP ECUADOR

N

P''

P'

PS

25

2.3.4 RELACIÓN ENTRE CANTIDADES GEODÉSICAS Y ASTRONÓMICAS Según lo expuesto en las secciones anteriores, debe quedar claro que las diferencias entre latitud, longitud y azimut, geodésicos y astronómicos, se deben a la diferencia entre la normal al elipsoide y la vertical al geoide. El ángulo entre la normal y la vertical es llamado la desviación de la vertical. La desviación de la vertical puede ser resuelta en dos componentes ortogonales, una en el meridiano (ξ) y la otra en la vertical principal (η). Ver figura 17. Figura 17: Las dos componentes de la desviación de la vertical.

NORMAL AL ELIPSOIDE

POLO NORTE

η

GEOIDE

ε

VERTICAL LOCAL

ELIPSOIDE

ECUADOR

Las cantidades geodésicas y astronómicas están relacionadas de la siguiente manera:

ϕG = ϕ A − ξ ; λG = λ A − η ⋅ secϕ ;

(2.13)

AG = AA − (λ A − λG ) ⋅ senϕ ; donde:

-

ϕG , ϕA son latitudes geodésicas y astronómicas, respectivamente;

-

λG , λA son longitudes geodésicas y astronómicas, respectivamente;

-

AG , AA son azimutes geodésicos y astronómicos, respectivamente.

Estas relaciones pueden deducirse fácilmente, apoyados por la figura 18, siguiendo el siguiente raciocinio:

26

Figura 18: Desviación de la vertical

Za

ξ

χ

χ

ϕ

ϕa

N

ϕ

B

z i

χ NO RM AL

VERTICAL

η

PN

ϕa

X

MERIDIANO ASTRONÓMICO

B'

E

Na

MERIDIANO GEODÉSICO

A

Sa

O HORIZONTE ASTRONÓMICO

w

PS

- Deducción de ξ : Sea:

A

= Azimut geodésico;

Aa

= Azimut Astronómico;

ϕ

= Latitud geodésica;

ϕa

= Latitud astronómica;

λ

= Longitud geodésica;

λa

= Longitud astronómica.

Entonces:

ϕa = 90° - ∪PNZa ; ϕ = 90° - ∪PNZ ; ∪ ZX ⊥ ∪ PNZa ; ∪ B’Z = ∪ BX ; ξ = ∪PNZ - ∪PNZa ; ξ = 90° - ϕ - (90° - ϕa); ξ = ϕa - ϕ .

(2.14)

27

- Deducción de η: Del ∆PN X Z de la figura 19: Figura 19: Deducción primera vertical

°90

χ

ϕa

+ξ

90° - ϕ

X

Z

PN

Se tiene que:

sen(90° − ϕ ) senη = ; sen90° senχ

como η y χ son muy pequeños, se puede considerar: sen η = η y sen χ = χ ; y como sen(90° - ϕ) = cos ϕ ; χ = λa - λ , entonces:

cos ϕ =

η ; χ

η = χ ⋅ cos ϕ ; η = (λa − λ ) ⋅ cos ϕ .

(2.15)

28

- Deducción de η en relación a los azimutes: Del ∆ PNNaN de la figura 20: Figura 20: Deducción de la componente meridiana.

senχ sen(90° − ς ) = ; sen( Aa − A) senϕ como (Aa – A), χ y ξ son muy pequeños, se puede considerar:

χ Aa − A

=

1 ; senϕ

siendo:

χ=

η cos ϕ

;

η 1 cosϕ = ; Aa − A senϕ

η=

( Aa − A) ⋅ cos ϕ ; senϕ

η = ( Aa − A) ⋅ ctgϕ .

(2.16)

29

- Deducción de la ecuación de Laplace (simplificada). Igualando la expresión con la expresión , se tiene que:

( Aa − A) ⋅ ctgϕ = (λa − λ ) ⋅ cos ϕ ; Aa − A = (λa − λ ) ⋅ senϕ .

(2.17)

2.3.5 COORDENADAS CARTESIANAS Un método alternativo, y a menudo más conveniente para definir posición, es el empleo de coordenadas cartesianas. Ver figura 21. El sistema tiene su origen al centro de la Tierra con los ejes X e Y en el plano del Ecuador. El eje X pasa a través del meridiano de Greenwich, y el eje Z coincide con el eje de rotación de la Tierra. Los tres ejes son ortogonales entre sí y forman un sistema que se puede designar como de “mano derecha”. Figura 21: Sistema de Coordenadas Cartesianas Z N

M. DE GREENWICH

ECUADOR

X Y

S EJE DE ROTACIÓN DE LA TIERRA

30

2.3.5.1 COORDENADAS CARTECIANAS Y GEODESICAS Las transformaciones de datums se realizan normalmente utilizando coordenadas cartesianas, ya que el empleo de coordenadas geodésicas necesitaría el uso de un elipsoide asociado. Esto agregaría una complicación innecesaria a las transformaciones, ya que los datums locales y los del satélite emplean varios elipsoides diferentes, mientras que las coordenadas cartesianas son completamente independientes de los elipsoides. Las coordenadas cartesianas (Xp , Yp , Zp) de un punto P(ϕ, λ, h) sobre un elipsoide de semieje mayor a y semejante b, como se observa en la figura 22, pueden ser calculadas utilizando las fórmulas: Xp = N·cosϕ·cosλ ; Yp = N·cosϕ·senλ ;

(2.18)

Zp = N·(1-e2)·senϕ = N’·senϕ. Donde N es el radio de curvatura en la vertical principal (dirección este-oeste), y N’ la pequeña normal. Figura 22: Coordenadas Geodésicas y Cartesianas Z

λ P X

Zp

P2

O

ϕ

Yp P1

Xp

Y

31

Si el punto Q en la figura 23 está situado a una altura h sobre el punto P en el elipsoide, sus coordenadas (XQ, YQ, ZQ) están dadas por: XQ = (N+h)·cosϕ·cosλ ; YQ = (N+h)·cosϕ·senλ ;

(2.19)

ZQ = (N·(1-e2)+h)·senϕ = (N’+h)·senϕ. Figura 23: Punto Q sobre el elipsoide Z

p Q

h P

ϕ Z

PLANO XY

El cálculo inverso de (ϕ, λ, h) obtenidas de (X, Y, Z) se lleva a cabo como sigue: ⎡ Z + ( e' ) 2 ⋅ b ⋅ sen 3θ ⎤ ⎥ ; 2 3 ⎣ p − ( e) ⋅ a ⋅ cos θ ⎦

ϕ = tan −1 ⎢

(2.20)

donde: - p = (X 2 + Y 2 )

1

2

;

⎡Z ⋅ a⎤ - θ = tan −1 ⎢ ⎥ ; ⎣ p ⋅b⎦ - (e) 2 =

(a 2 − b 2 ) ; a2

- ( e' ) 2 =

(a 2 − b 2 ) . b2

32

Para el cálculo de la longitud:

⎡Y ⎤ ; ⎣ X ⎥⎦

λ = tan −1 ⎢

(2.21)

y la altura:

⎛ p ⎞ h = ⎜⎜ ⎟⎟ − N . ⎝ cos ϕ ⎠

(2.22)

2.3.6 CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO Sea P un punto de la elipse meridiana con latitud ϕ, como se observa en la figura 24. Tomemos una distancia infinitamente pequeña ds del punto P, el punto P1 , que posee una latitud ϕ+dϕ; de tal manera que la diferencia de las latitudes del meridiano ds será dϕ. Figura 24: Longitud de un arco de Meridiano Z

NORMAL

ds

P

P'

ϕ

PLANO XY

P"

De la figura se puede deducir que:

senϕ =

z ⇒ z = N '⋅senϕ ⇒ z = N ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ senϕ ; N'

cos ϕ =

x ⇒ x = N ⋅ cos ϕ . N

Por tanto:

33

x = a ⋅ (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ )

−1

2

⋅ cos ϕ ;

z = a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ )

−1

2

⋅ senϕ .

Considerando la distancia ds como ds 2 = dx 2 + dz 2 , y realizando las derivadas correspondientes, se obtiene:

dx a ⋅ senϕ ⋅ (1 − e 2 ) a ⋅ senϕ ⋅ (1 − e 2 ) =− ⇒ dx = − ⋅ dϕ ; 3 3 dϕ (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ ) 2 (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ ) 2 dz a ⋅ cos ϕ ⋅ (1 − e 2 ) a ⋅ cos ϕ ⋅ (1 − e 2 ) = ⇒ dz = ⋅ dϕ . 3 2 2 2 dϕ (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ ) 3 2 (1 − e ⋅ sen ϕ ) Reemplazando,

ds 2 =

a 2 ⋅ sen 2ϕ ⋅ (1 − e 2 ) 2 ⋅ dϕ 2 + a 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ (1 − e 2 ) 2 ⋅ dϕ 2 ; (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ )3

[

a 2 ⋅ (1 − e 2 ) 2 ⋅ dϕ 2 ⋅ sen 2ϕ + cos 2 ϕ ds = (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ )3 2

ds =

a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ dϕ (1 − e ⋅ sen ϕ ) 2

2

3

]

, que equivale a decir. 2

ds = M ⋅ dϕ .

(2.23)

La longitud del arco de meridiano entre los puntos que poseen latitud ϕ1 y ϕ2 es la siguiente: ϕ2

Sϕ1 ,ϕ 2 = a ⋅ (1 − e 2 ) ∫ (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ ) ϕ1

−3

2

dϕ = a ⋅ (1 − e 2 ) ∫

ϕ2

ϕ1

dϕ . W3

(2.24)

Siendo ésta una integral elíptica, no es posible resolverla mediante funciones elementales. Por tanto para resolverla se debe descomponer la función que está bajo el signo de la integral 1/W3 en una serie aplicando el binomio de Newton.

1 3 15 35 315 8 8 −3 e sen ϕ + = (1 − e 2 ⋅ sen 2ϕ ) 2 = 1 + e 2 sen 2ϕ + e 4 sen 4ϕ + e 6 sen6ϕ + 3 2 8 16 128 W 693 10 10 e sen ϕ + K + 256

(2.25)

Para simplificar los cálculos posteriores se limitará la seria hasta los términos con e4 . Los senos con exponentes pares que resultan de descomponer 1/W3 en una

34

serie, se reemplazarán por los cosenos de arcos múltiples de acuerdo con las siguientes igualdades:

sen 2ϕ =

1 1 − ⋅ cos 2ϕ ; 2 2

sen 4ϕ =

3 1 1 − ⋅ cos 2ϕ + ⋅ cos 4ϕ . 8 2 8

Por lo tanto:

1 3 1 1 15 3 1 1 = 1 + e 2 ( − cos 2ϕ ) + e 4 ( − cos 2ϕ + cos 4ϕ ) + K , 3 W 2 2 2 8 8 2 8 1 3 3 45 15 15 = 1 + e 4 − e 2 cos 2ϕ + e 4 − e 4 cos 2ϕ + e 4 cos 4ϕ + K 3 4 4 64 16 W 64 ó,

1 3 45 3 15 15 = +(1 + e 2 + e 4 + K) − ( e 2 + e 4 + K) cos 2ϕ + ( e 4 + K) cos 4ϕ K . 3 W 4 64 4 16 64 Designando:

3 2 45 4 ⎫ ⎧ ⎪ A = 1 + 4 e + 64 e + K⎪ ⎪ ⎪ 3 2 15 4 ⎪ ⎪ ⎨B = e + e + K ⎬ , 4 16 ⎪ ⎪ 15 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪C = 16 e + K ⎭ ⎩

(2.26)

Se obtiene:

1 = A − B ⋅ cos 2ϕ + C ⋅ cos 4ϕ − K W3

(2.27)

Sustituyendo este valor en la integral, resulta: ϕ2

S = a ⋅ (1 − e ) ∫ ( A − B ⋅ cos 2ϕ + C ⋅ cos 4ϕ − K)dϕ . 2

(2.28)

ϕ1

Integrando término a término, se obtiene:

B C ⎧ ⎫ S = a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ ⎨ A(ϕ 2 − ϕ1 ) − ( sen2ϕ 2 − sen2ϕ1 ) + ( sen4ϕ 2 − sen4ϕ1 ) − K⎬ 2 4 ⎩ ⎭

(2.29)

35

EJERCICIO CLÁSICO: Determinar la distancia del Ecuador al Polo sobre un meridiano del Elipsoide de Referencia Internacional de 1924 (Hayford)

2.3.7 DATUMS Un datum en geodesia, es un sistema de coordenadas que expresa las ubicaciones de puntos sobre (o cerca) de la superficie de la Tierra. Como ésta se asemeja mucho a la de un elipsoide, generalmente se da por hecho que el sistema va a incluir la latitud y la longitud geodésicas, basadas en un elipsoide específico. El datum, por lo tanto se especifica según el elipsoide escogido y su asociación con uno o más puntos sobre la superficie terrestre. Desde el punto de vista histórico, los datums se seleccionaban originalmente de tal manera que expresaran únicamente las ubicaciones comprendidas en una región en particular. Dichos datums regionales estaban basados en un elipsoide que había sido escogido para que se ajustara al geoide de esa región en particular, y estaban orientados con respecto a un punto específico (origen) dentro de dicha región. En años recientes, el interés ha estado mas bien dirigido hacia el desarrollo de datums globales con un elipsoide escogido de tal forma que se ajuste al geoide en un sentido global y con origen en el centro de masa de la Tierra. Además de la diferencia entre los datums regionales y globales, también resulta conveniente distinguir entre los datums horizontales y verticales. El horizontal es un sistema que sirve para determinar las latitudes y longitudes; el datum vertical proporciona la referencia para medir elevaciones.

36

2.3.7.1 COMO SE DEFINE UN DATUM Para especificar un datum en particular se requiere un elipsoide, un origen y una forma de alinear el elipsoide con el geoide en el origen. Específicamente hablando, la definición comprende:

-

Elipsoide: determinado por su semieje mayor, a, y el achatamiento, f.

-

Origen: un punto específico, ubicado céntricamente, que servirá como estación de base para una red de Geomensura.

-

Alineamiento: en el origen, las orientaciones relativas del elipsoide y del geoide se definen por: o La desviación relativa entre la normal al elipsoide y la normal al geoide (línea de la plomada), expresada usualmente en función de sus componentes Norte-Sur y Este-Oeste. Estos podrían ser cero, en cuyo caso tanto el geoide como el elipsoide serían paralelos localmente. o La altura del geoide u ondulación en el origen (separación entre el geoide y el elipsoide, medida a lo largo de la normal al elipsoide). La ondulación a veces también equivale a cero, por lo que el geoide y el elipsoide pasan a ser localmente tangenciales. o El

azimut

desde

el

origen

hasta

otro

punto

especificado,

estableciendo la primera línea de una red de Geomensura. La condición final que por lo general se impone es que el eje menor del elipsoide sea paralelo al eje de rotación de la Tierra.

2.3.8 MÉTODOS DE ORIENTACIÓN DEL ELIPSOIDE DE REFERENCIA a) Arbitrario o relativo: Se define en forma arbitraria un solo punto de la superficie física de la Tierra, los valores de los parámetros de orientación. Por ejemplo, Datum Córrego Alegre:

ξ = 0; η = 0; N = 0, usando el elipsoide internacional de 1930 (Hayford) .

37

Figura 25: Orientación Totalmente Arbitraria Zc = PNCCONV Za

CM CONV

Xa

Yc

Xc ≡ MMG

Ya

b) Parcialmente arbitrario: Se define en forma arbitraria N=0 y se buscan los valores de ξ y η para un mejor ajuste del geoide con el elipsoide en las regiones costeras. Por ejemplo Datum Sudamericano 1969 (sad69), ubicado en Chuá , Brasil:

ξ = 0,31” ; η = 3,59” ; N = 0, utiliza el elipsoide de referencia internacional de 1967 (SGR67). Figura 26: Orientación Parcialmente Arbitraria Zpa

Zc = PNCCONV

CM CONV Ypa Xpa

Yc

Xc ≡ MMG

c) Orientación absoluta: En este tipo de orientación se busca la determinación de ξ , η y N en una red de puntos de forma de tener una distribución mundial de estros valores. Esto produce la mejor orientación del elipsoide en relación a la Tierra como

38

un todo. Por tanto estos valores son determinados y ajustados mediante técnicas basadas principalmente en la gravimetría. Ejemplo:

WGS84, usa el Elipsoide de Referencia Internacional 1980 ITRF (International terrestrial Reference Frame)⇒ SIRGAS.

Figura 27: Orientación Absoluta Zc = PNCCONV Zab

CM CONV

CM (época de la determinación)

Yc Yab

Xc ≡ MMG Xab

2.4. COORDENADAS RECTANGULARES UTM Es un sistema de coordenadas planas de uso universal; la sigla U.T.M. deriva de Universal Transversal Mercator, es decir, proyección Universal transversal de Mercator. En la realidad la proyección fue ideada por Gauss, posteriormente deducida por Lambert y finalmente modificada por Krüger, pero en homenaje a Mercator que ideó una proyección cilíndrica vertical, internacionalmente se adoptó darle su nombre. La proyección U.T.M. ubica a un cilindro tendido dentro del cual está secante la esfera terrestre, con el objeto de disminuir sus deformaciones; el cilindro se supone cortado por una generatriz lo que permite a la esfera transformarse en un plano, como se observa en la figura 28.

39

Figura 28: Proyección Transversal de Mercator

CILINDRO TRANSVERSAL

La proyección ubica al cilindro tangente a 60 meridianos, ubicados a 6° entre sí, generándose 60 zonas, sectores o husos. Luego cada zona o sector tiene una amplitud ecuatorial de 6° de longitud con un meridiano central. Las zonas o husos se numeran de 1 a 60 partiendo con el 1, la zona ubicada entre 180° y 174° oeste y sucesivamente va aumentando hacia el este hasta terminar en la zona número 60, que se encuentra entre los 174° y 180° este, como se observa en la figura 29. A nuestro territorio por su ubicación geográfica le corresponde usar las zonas 18 y 19; las amplitudes de ellas con su meridiano central, son las siguientes: Zona 18

: 72° (75°) 78°

W;

Zona 19

: 66° (69°) 72°

W.

40

Meri. 0 de Gree.

Figura 29: Zonas o Husos

S NA ZO

LI

M

I

15 0

45

45

51

S

Lon

Longit

e udes Est

des Oest git u e

177 171

165 159 153

177 171 165 15 9 15 3 14 14 7 1

14 4

162

15 6

174

168

174

168

156

162

TE 180 S DE 1 60 S 59 1 2 58 57 5 LA LA14 0 4 3 56 S 5 4 E ZO D 13 6 55 8 38 S 1 NA 132 7 E 54 S IT 132 8 53 14 M 126 LI 126 14 7 9 52 13 1 0 120 10 5 2 5 51 1 13 9 129 114 11 12 50 114 123 3 12 117 108 12 117 49 108 111 1 1 1 48 102 102 13 105 05 1 14 47 96 95 95 96 46 90 15 Polo 93 93 90 87 87 Norte 45 16 8 84 1 84 81 17 44 75 75 78 78 18 6 9 43 M 69 E 63 R 72 19 42 72 63 E 57 I 7 L 5 D 41 66 51 66 20 A I A R 40 60 NO NT 60 21 E S C 39 54 22 LI S 38 M 23 IT NA 37 ES 24 ZO 36 S 25 DE 35 LA 26 27 LA 34 28 29 30 31 32 33 DE S 6

54

48

48

33 27 21 15 9 3

39

39 33

3

27 21 15

Meridiano de Greenwich

12

6

24

18

30

30

36

42

42

36

18

24

Números de las zonas

0

6

S

12

ZO NA

M LI

IT

ES

Números de las zonas

Los puntos se identifican por dos coordenadas planas: Norte = N (o latitud); Este = E (o longitud). La primera está referida al meridiano central de cada zona y su origen para el hemisferio sur se encuentra a 10.000 km al sur del Ecuador y para el hemisferio norte el origen de la coordenada norte o latitud es el Ecuador. La coordenada este o longitud es móvil y su origen se encuentra en el meridiano central de cada huso, origen al que se le otorga un valor de 500.000 mt con lo cual siempre se obtienen valores positivos; valores mayores a 500.000 mt corresponden a puntos situados al este del meridiano central y valores menores a 500.000 mt a puntos ubicados al oeste. Como se dijo anteriormente la coordenada norte crece desde el sur con su origen situado a 10.000 km del Ecuador, como se aprecia en los siguientes valores: Punta arenas

: 4.108.784 m

41

Santiago

: 6.301.146 m

Antofagasta

: 7.384.717 m

Arica

: 7.955.483 m. La coordenada norte se extiende entre los 80° de latitud sur y los 80° de

latitud norte. En las zonas polares norte y sur se utilizan las coordenadas polares estereográficas. El hecho de que el cilindro transversal es una secante, y no una tangente, la superficie resulta en un despliegue más uniforme de las distorsiones de escala a través de toda la zona. El meridiano central tiene un factor de escala de 0,9996, en vez de 1,0 y la distorsión de escala se limita a una parte en 2500 por toda la zona. Las coordenadas UTM se pueden transformar en coordenadas geográficas y viceversa, las coordenadas geográficas en coordenadas UTM, usando fórmulas básicas con la utilización de tablas especiales al respecto. Figura 30: Elementos de la Proyección UTM

42

2.5 TRANSPORTE DE COORDENADAS EN EL ELIPSOIDE El transporte de coordenadas consiste en la obtención de coordenadas de puntos por propagación a partir de un Datum, o sea, a partir de un punto origen cuyas coordenadas sean conocidas. Las coordenadas de los puntos son vinculadas a las del punto origen y son determinadas por medidas de bases, ángulos y azimutes, siendo usado como superficie de referencia el elipsoide. Existen dos situaciones, denominadas de “PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA”. En el problema directo se conocen las coordenadas geodésicas (latitud y longitud) de un punto, la distancia y el azimut para un segundo punto, y es necesario determinar las coordenadas geodésicas (latitud y longitud) de este segundo punto. Problema Directo

A12

1(lat 1, long 1) S12

2(?,?)

Meridiano de 1

En el problema inverso se conocen las coordenadas geodésicas de dos puntos, y es necesario determinar la distancia y el azimut entre los dos puntos. Problema Inverso

A12= ?

1(lat 1, long 1) S12= ?

2(lat 2, long 2)

Meridiano de 1

43

2.5.1 SOLUCION PARA LOS PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA: FÓRMULAS DE PUISSANT. Las ecuaciones de Puissant, comúnmente usadas, son válidas para bases cuya longitud no sea superior a 80 km, debido al hecho de que estas fueron deducidas con simplificaciones para un modelo esférico, se desarrollaron en series matemáticas y adoptan un radio medio terrestre para la región levantada. La deducción de las ecuaciones de Puissant pueden ser encontradas en HOSMER (1946) y en GEMAEL (1959).

•

Problema Directo

En este caso son conocidas: ϕ1 y λ1 = latitud y longitud geodésica del punto 1 A12 y S12 = azimut geodésico del punto 1 para el punto 2 y distancia entre los dos

puntos. Se debe calcular: ϕ2 y λ 2 = latitud y longitud geodésica del punto 2 A 21 = azimut geodésico del punto 2 para el punto 1

La formulación aplicada para la solución del problema directo es:

a 2 − b2 1.- e = a2 2

2.- M 1 =

(

a 1 − e2

)

(1 − e sen ϕ ) 2

2

3

2

1

3.- N 1 =

a

(1 − e sen ϕ ) 2

2

1

2

1

4.- B =

1 M 1 ⋅ sen1"

5.- C =

tgϕ1 2 ⋅ M 1 ⋅ N 1 ⋅ sen1"

3 ⋅ e 2 ⋅ cos ϕ1 ⋅ senϕ1 ⋅ sen1" 6.- D = 2 1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ1

(

)

44

7.- E =

1 + 3 ⋅ tg 2 ϕ1 6 ⋅ N 12

8.- h =

S12 ⋅ cos A 12 M 1 ⋅ sen1"

2 2 9.- δϕ" = B ⋅ S12 ⋅ cos A 12 − C ⋅ S12 ⋅ sen 2 A 12 − h ⋅ E ⋅ S12 ⋅ sen 2 A 12

(

)

2

,, ,, ,, 10.- ∆ϕ12 = δϕ12 − D δϕ12

11.- ϕ 2 = ϕ1 + ∆ϕ12 12.- M 2 = 13.- N 2 =

(

a 1 − e2

(1 − e sen 2

)

ϕ2

)

ϕ2

)

2

a

(1 − e sen 2

2

3

1

2

2

14.- T12 =

S12 ⋅ senA 12 N 2 ⋅ cos ϕ 2

15.- ∆λ

2 T12 ⎛ S12 T122 ⎞ ⎜ ⎟ = 1− + sen1" ⎜⎝ 6 ⋅ N 22 6 ⎟⎠

,, 12

16.- λ 2 = λ 1 + ∆λ 12 17.- ϕ m = 18.- F =

ϕ1 + ϕ 2 2

1 senϕ m ⋅ cos 2 ϕ m ⋅ sen 2 1" 12

(

1 ,, , , 19.- γ 12 = ∆λ,12 ⋅ senϕ m sec ∆ϕ12 + F ∆λ,12 2

)

3

convergencia meridiana

20.- A 21 = A 12 + γ ± 180°

•

Problema Inverso

En este caso son conocidas: ϕ1 y λ1 = latitud y longitud geodésica del punto 1 ϕ2 y λ 2 = latitud y longitud geodésica del punto 2

Los términos que se deben calcular son:

45

A12 y S12 = azimut geodésico y distancia entre los dos puntos

La formulación aplicada para la solución del problema inverso es:

(

a 1 − e2

1.- M i =

)

(1 − e sen ϕ ) 2

3

2

2

i

Donde: M i es el radio de curvatura de la sección meridiana en el punto (i = 1,2)

e 2 es la excentricidad segunda 2.- N i =

a

(1 − e sen ϕ ) 2

1

2

2

i

Donde: N i es la gran normal en el punto (i = 1,2)

3.- Nm =

N1 + N 2 2

4.- Mm =

M1 + M 2 2

5.- Bm =

1 Mm ⋅ sen1"

6.- ϕm =

ϕ1 + ϕ2 2

7.- x = ∆λ"⋅ cos(ϕm) ⋅ Nm ⋅ sen1" 8.- y =

,, ∆ϕ12 ⋅ cos(0,5∆λ ) Bm

9.- Cálculo del azimut:

γ⎞ x ⎛ tg⎜ A 12 + ⎟ = 2⎠ y ⎝

10.- Cálculo de la distancia entre los dos puntos:

S12 =

x γ⎞ ⎛ sen⎜ A 12 + ⎟ 2⎠ ⎝

46

2.5.2 SOLUCIÓN NO ITERATIVA PARA LOS PROBLEMAS DIRECTO E INVERSO DE LA GEODESIA: FÓRMULAS DE SODANO. El punto de partida son las fórmulas de Helmert. Mediante unos desarrollos en series de potencias, que incluyen hasta los términos de grado seis en la excentricidad del elipsoide, se eliminan las iteraciones del Método de Helmert. En las décadas de los 50 y 60 SODANO presentó fórmulas que proporcionan una solución no iterativa para los problemas directo e inverso de la Geodesia. Estos algoritmos son de fácil programación, además de presentar ecuaciones auxiliares que buscan garantizar un alto grado de exactitud para cualquier línea geodésica, no importando su longitud (hasta diez decimales en el azimut y la distancia expresados en radianes). En un principio, la deducción no iterativa fue desarrollada para geodésicas muy largas, visando el cálculo computacional. Posteriormente, de forma de obtener la misma exactitud para geodésicas muy cortas, fueron desarrolladas fórmulas alternativas. La deducción de las fórmulas está publicada en el Bulletin Geodésique: “A rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of very long geodésics”. Emanuel Sodano. B. G. N° 47-48, pp. 13-25. 1958. De manera general, las fórmulas alternativas para líneas cortas son también utilizadas para líneas largas (incluso hasta otro hemisferio); luego, es necesario programar solo un conjunto de ecuaciones. Las ecuaciones para la solución no iterativa desarrolladas por SODANO son presentadas a continuación (SODANO, 1965). •

Problema Directo

En este caso son conocidas: ϕ1 y λ1 = latitud y longitud geodésica del punto 1 A12 y S12 = azimut geodésico del punto 1 para el punto 2 y distancia entre los dos

puntos. Se debe calcular: ϕ2 y λ 2 = latitud y longitud geodésica del punto 2 A 21 = azimut geodésico del punto 2 para el punto 1

La formulación aplicada para la solución del problema directo es:

47

1.- tan β1 =

b (tan ϕ1 ) a

2.- cos β o = cos β1 ⋅ senA 12 3.- g = cos β1 ⋅ cos A 12 ⎛ ⎞ e ,2 4.- m 1 = ⎜⎜1 + sen 2 β1 ⎟⎟ 1 − cos 2 β o 2 ⎝ ⎠

(

5.- φ S =

)

S b

⎛ ⎞ e ,2 6.- a 1 = ⎜⎜1 + sen 2 β1 ⎟⎟ sen 2 β1 ⋅ cos φ S + g ⋅ senβ1 ⋅ senφ S 2 ⎝ ⎠

(

)

7.- φ o = Term1 + Term 2 + Term3 ⎛ e ,2 ⎞ ⎛ e ,2 ⎞ e ,2 ⎜ ⎟ ⎜ 8.- Term1 = φ S + a 1 ⎜ − φS + senφ S ⎟ + m 1 ⎜ − senφ S cos φ S ⎟⎟ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠

9.-

⎛ 5e , 4 ⎞ ⎛ 11e , 4 13e , 4 e ,4 φS − φ S cos 2 φ S + Term 2 = a 12 ⎜⎜ senφ S cos φ S ⎟⎟ + m 12 ⎜⎜ senφ S cos φ S − 64 8 ⎝ 8 ⎠ ⎝ 64 ⎞ 5e , 4 + senφ S cos 3 φ S ⎟⎟ 32 ⎠ ⎛ 3e , 4 ⎞ e ,4 5e , 4 10.- Term3 = a 1 ⋅ m 1 ⎜⎜ φ S cos φ S − senφ S + senφ S cos 2 φ S ⎟⎟ 4 8 ⎝ 8 ⎠

11.- cot A 21 = 12.- cot λ =

13.-

(g ⋅ cos φ o − senβ1senφ o ) cos β o

(cos β1 cos φ o − senβ1senφ o cos A 12 ) senφ o senA 12

⎛ 3f 2 ⎞ ⎛ 3f 2 ⎞ L−λ 3f 2 = (− fφ S ) + a1⎜⎜ φS − senφ S ⎟⎟ + m 1 ⎜⎜ senφ S cos φ S ⎟⎟ cos β o 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠

14.- λ 2 = λ 1 + L 15.- senβ 2 = senβ1 cos φ o + g ⋅ senφ o 16.- cos β 2 = +

(cos β o )2 + (g ⋅ cos φ o − senβ1senφ o )2

48

17.- tan β 2 =

senβ 2 cos β 2

18.- tan ϕ 2 =

a tan β 2 b

•

Problema Inverso

En este caso son conocidas: ϕ1 y λ1 = latitud y longitud geodésica del punto 1 ϕ2 y λ 2 = latitud y longitud geodésica del punto 2

Los términos que se deben calcular son: A12 y S12 = azimut geodésico y distancia entre los dos puntos

La formulación aplicada para la solución del problema inverso es: 1.- L = λ 2 − λ 1 2.- tan β1 =

b tan ϕ1 a

3.- tan β 2 =

b tan ϕ 2 a

4.- aa = senβ1senβ 2 5.- bb = cos β1 cos β 2 6.- cos φ = aa + bb ⋅ cos L 7.- c =

b ⋅ senL senφ

8.- m = 1 − c 2 9.-

S!2 = Term1 + Term 2 + Term3 + Term 4 * Term5 b

49

10.-

⎡ ⎤ ⎛f2 ⎞ Term1 = 1 + f + f 2 φ + aa ⎢ f + f 2 senφ − ⎜⎜ ⎟⎟φ 2 cos ecφ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎦ ⎤ ⎡ ⎛f +f2 ⎞ ⎛f +f2 ⎞ ⎛f2 ⎞ ⎟⎟φ − ⎜⎜ ⎟⎟senφ cos φ + ⎜⎜ ⎟⎟φ 2 cot φ⎥ Term 2 = m ⎢− ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ 2 ⎡ ⎛f ⎞ ⎤ Term3 = aa 2 ⎢− ⎜⎜ ⎟⎟senφ cos φ⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦

(

)

(

)

⎡⎛ f 2 ⎞ ⎛f 2 ⎞ ⎛f2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Term 4 = m ⎢⎜ ⎟φ + ⎜ ⎟senφ cos φ − ⎜⎜ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 2 ⎣⎝ 16 ⎠ 2

⎡⎛ f 2 Term5 = aa ⋅ m ⎢⎜⎜ ⎣⎝ 2

⎞ 2 ⎛f2 ⎟⎟φ cos ecφ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ 2

⎞ 2 ⎛f2 ⎟⎟φ cot φ − ⎜⎜ ⎠ ⎝ 8

⎤ ⎞ ⎟⎟senφ cos 3 φ⎥ ⎠ ⎦

⎤ ⎞ ⎟⎟senφ cos 2 φ⎥ ⎠ ⎦

11.⎡ ⎛f2 λ−L = f + f 2 φ + aa ⎢− ⎜⎜ c ⎣ ⎝ 2

(

⎡ ⎛ 5f 2 + m ⎢− ⎜⎜ ⎣ ⎝ 4

)

⎛f 2 ⎞ ⎟⎟φ + ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠

⎤ ⎞ ⎟⎟senφ − f 2 φ 2 cos ecφ⎥ + ⎠ ⎦

⎤ ⎞ ⎟⎟senφ cos φ + f 2 φ 2 cot φ⎥ ⎠ ⎦

12.- cot A 21 =

senβ 2 cos β1 cos λ − senβ1 cos β 2 senλ cos β1

13.- cot A 12 =

senβ 2 cos β1 − cos λsenβ1 cos β 2 senλ cos β 2

50

UNIDAD 3. SISTEMAS GLOBALES DE REFERENCIA Antes de la era espacial cada país establecía a su conveniencia el datum horizontal para la definición de sus coordenadas y a pesar de que muchas veces se utilizaba el mismo elipsoide, las coordenadas en regiones fronterizas variaban cientos de metros como consecuencia de la diferente ubicación del elipsoide con respecto al centro de la Tierra. Con el propósito de unificar la plataforma de referencia para la definición de coordenadas a nivel mundial, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos implementó la serie de WGS (World Geodetic System): WGS60, WGS66, WGS72 y WGS84, cuya característica fundamental es que su origen de coordenadas cartesianas es geocéntrico. La introducción de los sistemas WGS revolucionó la definición de elipsoides de referencia ya que, además de características geométricas se les especifican características físicas; las características geométricas se refieren al radio ecuatorial y al aplanamiento del elipsoide, mientras que las físicas consideran que: la velocidad angular de rotación del elipsoide biaxial debe ser igual a la velocidad de rotación terrestre, la masa contenida por el elipsoide debe ser numéricamente igual a la masa terrestre (constante gravitacional geocéntrica) y el potencial gravitacional generado por el elipsoide debe corresponder con una distribución radial de densidad (Teunissen and Kleusberg 1998). Dado que la concepción de los sistemas WGS fue estrictamente militar, la Asociación Internacional de Geodesia (IAG: International Association of Geodesy) promueve la versión civil de los sistemas globales de referencia conocidos como GRS (Geodetic Reference System): GRS67 y GRS80. De hecho, el elipsoide asociado al WGS84 es el del sistema GRS80. En la práctica puede asumirse que los sistemas WGS84 y GRS80 son iguales (Teunissen and Kleusberg 1998).

51

3.1 SISTEMAS GEOCÉNTRICOS DE REFERENCIA Resuelta la incompatibilidad de las coordenadas locales con la utilización de sistemas globales, el desempeño de la Geodesia mundial se centró en la definición del sistema geocéntrico más apropiado para la referenciación de datos. Como resultado, el sistema geocéntrico utilizado en Geodesia es el Sistema Convencional de Referencia Terrestre (CTRS: Conventional Terrestrial Reference System) cuyo eje Z coincide con el eje rotación terrestre, el plano XY, perpendicular al eje Z, coincide con el plano ecuatorial terrestre, el plano XZ coincide con el plano del meridiano de Greenwich y el eje Y es perpendicular a los ejes X y Z de acuerdo con la regla de la mano derecha (Teunissen and Kleusberg 1998, IERS 2000). El sistema CTRS está definido por el eje rotacional terrestre medio y el Observatorio Medio de Greenwich dado que con el transcurso del tiempo estos cambian su posición dentro del cuerpo terrestre. Este sistema provee la relación entre la Geodesia y la Astronomía Geodésica (Torge 2001, Vanicek and Krakiwski 1986). Existen otros dos sistemas geodésicos coordenados: el Sistema Terrestre Instantáneo, referido a la posición instantánea del eje de rotación y el Sistema Geocéntrico Natural, cuyos ejes coinciden con los ejes de inercia principales de la Tierra. Estos favorecen la conexión con las observaciones astronómicas y la dinámica terrestre, respectivamente. No obstante, debido a la alta dependencia con respecto al tiempo de estos dos últimos, no son utilizados como sistemas de referencia para el posicionamiento (Vanicek and Steeves 1996).

3.2 INTERNATIONAL EARTH ROTATION AND REFERENCE SYSTEMS SERVICE (IERS) La vigencia de cualquier sistema de referencia se fundamenta en la intensidad de su utilización. La referencia geodésica global es definida, aprobada, adoptada e impulsada por organizaciones multilaterales que cobijan la mayor cantidad de científicos en el mundo y que hacen presencia en casi todos los países.

52

El máximo organismo es el Consejo Internacional para la Ciencia (ICSU: International Council for Science) el cual acoge, entre otras, a la Unión Internacional de Astronomía (IAU: International Astronomical Union), a la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG: International Union of Geodesy and Geophysics) y a la Unión Internacional de Ciencias Geológicas (IUGS: International Union of Geological Sciences). Cada una de éstas está compuesta por asociaciones que se hacen cargo de disciplinas específicas que, en el caso de la Geodesia, se desempeñan en la Asociación Internacional de Geodesia (IAG: International Association of Geodesy) de la IUGG. De acuerdo con este organigrama, se le ha asignado al Servicio Internacional de Rotación Terrestre y Sistemas de Referencia (IERS: International Earth Rotation and Reference Systems Service) la responsabilidad de mantener y proporcionar los sistemas convencionales de referencia a través de cooperación internacional, bajo la potestad de la IAG y vínculos estrechos con la IAU. (Teunissen and Kleusberg 1998, Leick 1995, Kouba and Popelar 1999). El IERS fue creado en 1988 por la IUGG y la IAU, éste reemplazó a la Sección de Rotación Terrestre del Buró Internacional de l’Heure (BIH) y al Servicio Internacional de Movimiento Polar (IPMS). Igualmente, el IERS es miembro de la Federación de Servicios de Análisis de Información Astronómica y Geofísica (FAGS: Federation of Astronomical and Geophysical Services). La misión del IERS es mantener, usar y proporcionar el Sistema Internacional de Referencia Celeste (ICRS: International Celestial Reference System) realizado por el Marco Internacional de Referencia Celeste (ICRF: International Celestial Reference Frame) y el Sistema Internacional de Referencia Terrestre (ITRS: International Terrestrial Reference System) realizado por el Marco Internacional de Referencia Terrestre (ITRF: International Terrestrial Reference Frame). De igual manera, debe proveer información precisa y periódica sobre la orientación terrestre (EOP: Earth Orientation Parameters) como conexión entre el ICRF y el ITRF (IERS 2000).

53

El seguimiento continuo de los marcos de referencia y la orientación terrestre se basa en observación y análisis de información obtenida a partir de radio interferometría astronómica (VLBI: Very Long Baseline Interferometry), LLR ( Lunar Laser Ranging) y técnicas de geodesia por satélite como GPS (Global Positioning

System),

SLR

(Satellite

Laser

Ranging)

y

DORIS

(Doppler

Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite) (IERS 2000, Kouba and Popelar 1999). Las técnicas utilizadas por el IERS presentan alta confiabilidad y son combinadas adecuadamente, de modo que se asegure suficiente redundancia (grados de libertad) y continuidad del servicio, manteniendo estrechos vínculos con otros programas globales de Astronomía y Geofísica. La consistencia y precisión de los productos ofrecidos por IERS requieren de organización y administración cuidadosas de las diferentes técnicas utilizadas en la navegación espacial, la Geodesia Espacial y la Astrometría (IERS 2000). El IERS es un servicio interdisciplinario que mantiene relaciones cercanas con la

Astronomía,

la

Geodesia

y

la

Geofísica,

haciéndolas

interactuar

y

proporcionando resultados básicos de alta utilidad para estas disciplinas. Las actividades del IERS se basan en la cooperación de varios participantes (centro de análisis, coordinadores, oficinas) cuyo desempeño es evaluado mediante diferentes reuniones cada año (McCarthy 1996). La combinación de los productos del IERS proporciona el Sistema de Referencia del IERS (IERS Reference System) que en suma corresponde con: estándares IERS, EOP (parámetros de orientación terrestre), ICRS (sistema celeste), ICRF (marco celeste), ITRS (sistema terrestre) e ITRF (marco terrestre).

54

3.3 SISTEMAS CONVENCIONALES DE REFERENCIA Desde la antigüedad el hombre ha utilizado como plataforma de referencia los cuerpos ubicados en el espacio exterior ya que su aparente quietud facilita la determinación de coordenadas sobre la superficie del globo terráqueo. Por esta razón, la definición de un sistema terrestre de coordenadas implícitamente hace referencia a un sistema celeste de coordenadas. Así, los sistemas convencionales de referencia incluyen el Sistema Internacional Celeste con su marco de realización y el Sistema Internacional Terrestre con su marco correspondiente. Los sistemas convencionales expuestos a continuación han sido aprobados oficialmente por las organizaciones internacionales comprometidas con la Astronomía y la Geodesia y en consecuencia, su adopción es fomentada y acogida en todos los países del mundo (IERS 2000). 3.3.1 INTERNATIONAL CELESTIAL REFERENCE SYSTEM (ICRS) A través del desarrollo de la Astronomía y de la Geodesia se han formulado diversos sistemas de referencia celeste contándose actualmente con el ICRS, el cual fue aprobado por la IAU en su 23 Asamblea General en agosto de 1997 cuya resolución dice: ".. as from 1 January 1998, the IAU Celestial Reference System shall be the International Celestial Reference System (ICRS) defined and maintained by IERS..."(IERS 2000). El ICRS cumple con las recomendaciones formuladas por la IAU en 1991 para la definición de un sistema celeste de referencia. Su origen se localiza en el baricentro del Sistema Solar mediante el modelamiento de observaciones VLBI en el marco de relatividad general. Su polo está en la dirección definida por los modelos de presesión y nutación construidos por la IAU y finalmente, el origen para la medición de las ascensiones rectas se ha definido coincidente con el equinoccio al 12 TDB el 1 de enero de 2000. El Sistema Celeste Clásico utilizado en las mediciones astronómicas ópticas (FK5: Fundamental Catalogue) fue vinculado al ICRS mediante las observaciones espaciales ópticas realizadas en el

55

proyecto HIPPARCHOS (Teunissen and Kleusberg 1998; Hofmann-Wellenhof et al. 1996). El ICRS es accesible (materializado) mediante la estimación de coordenadas ecuatoriales (declinaciones y ascensiones rectas) de un conjunto de fuentes de radio extragalácticas que conforman el International Celestial Reference Frame (ICRF) (IERS 2000).

3.3.2 INTERNATIONAL CELESTIAL REFERENCE FRAME (ICRF) El Marco Internacional de Referencia Celeste (ICRF97) está compuesto por un catálogo de coordenadas ecuatoriales de 608 fuentes de radio extragalácticas seleccionadas a partir de 1,6 millones de observaciones acumuladas por una red mundial. Estos 608 cuerpos están clasificados de la siguiente manera: 212 fuentes muy compactas y largamente observadas, proporcionan las precisiones más altas (± 0,4 mas (milésima de segundos de arco)) en las posiciones individuales); 294 fuentes compactas con buena precisión en sus posiciones individuales pero requieren de una mayor cantidad de observaciones para disminuir su incertidumbre y 102 fuentes semicompactas, no muy apropiadas para propósitos astro métricos, pero son observadas para proporcionar el vínculo óptico entre los sistemas de referencia celeste y terrestre. El catálogo del ICRF implícitamente define la dirección de los ejes del marco de referencia cuya precisión se estima en 0,02 mas (IERS 2000, Teunissen and Kleusberg 1998). A partir del ICRS y del ICRF es posible determinar la orientación del eje de rotación terrestre en el espacio, cuyos parámetros son básicos para definir la ubicación del sistema de referencia terrestre; es decir, el ITRS se obtiene a partir del ICRS y del ICRF a través de los Parámetros de Orientación Terrestre (EOP: Earth Orientation Parameters) proporcionados por el IERS, los cuales están en función del tiempo (IERS 2000).

56

3.3.3 INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERENCE SYSTEM (ITRS) El sistema convencional de referencia terrestre (CTRS) observado, calculado y mantenido por el IERS se conoce como ITRS (International Terrestrial Reference System). Éste se define con origen en el centro de masas terrestre (incluyendo océanos y atmósfera). Su polo coincide con el polo definido por el CIO (Convetional International Origin) para 1903.0, el cual fue adoptado oficialmente en 1967 por la IAU y la IAG. El eje X es orientado hacia el meridiano de Greenwich en 1903.0, llamado también meridiano de referencia IERS (IERS Reference Meridian), el eje Z está orientado hacia el polo del CIO y el eje Y forma un sistema coordenado de mano derecha. El polo del CIO es la dirección media del polo determinada a partir que las mediciones de cinco estaciones del Servicio Internacional de Latitud (ILS: International Latitude Service) durante 1900.0 y 1906.0. Esta definición garantiza la continuidad de un largo archivo de determinación óptica del movimiento polar iniciada en 1899 (Teunissen and Kleusberg 1998, Kouba and Popelar 1999). La escala del ITRS se define en un marco geocéntrico de acuerdo con la teoría relativista de gravitación. Su orientación está forzada a no tener residuales en la rotación global con respecto a la corteza terrestre (IERS 2000). Finalmente, la aplicación práctica del ITRS, es decir su materialización, se da a través de la definición de su marco ITRF. 3.3.4 INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERENCE FRAME (ITRF) El ITRF está conformado por las coordenadas cartesianas geocéntricas [X, Y, Z] y las velocidades [V , V , V ] de un conjunto de estaciones observadas con x

y

z

VLBI, LLR, SLR, GPS y DORIS, sus unidades corresponden con el sistema internacional SI (Teunissen and Kleusberg 1998, Leick 1995). Las velocidades son incluidas ya que el movimiento de las placas tectónicas y sus deformaciones también alteran sus coordenadas, pero estos movimientos no afectan las órbitas de los satélites. Esto se traduce en que, para una observación instantánea sobre la superficie de la Tierra, el marco de referencia terrestre ITRF diverge del sistema

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de referencia satelital (figura 31), lo que obliga que las coordenadas ITRF sean trasladadas en el tiempo de acuerdo con su variación por la presencia de la dinámica terrestre. Figura 31: Diferencias entre el sistema de referencia satelital instantáneo y el ITRS(ITRF)

Dada la dependencia de las coordenadas geodésicas con respecto al tiempo, el ITRF es complementado indicando la época para la cual las posiciones de sus estaciones son vigentes. Por ejemplo, la denominación ITRF94 indica que las coordenadas de esta red están definidas para el 1 de enero de 1993. Su traslado a fechas diferentes, implica la aplicación de velocidades. El marco de referencia más recientemente calculado es el ITRF2000 (IERS 2003), sus coordenadas se refieren al 1 de enero de 1997 y coincide con la nueva definición del WGS84(G115) (World Geodetic System 1984, semana GPS No. 1150) (figura 32). La principal utilidad del ITRF es que, a partir de su definición se calculan las efemérides precisas de los satélites GPS, lo que garantiza, que cualquier punto sobre la superficie terrestre que haya sido ligado al ITRF vigente está en el mismo sistema de referencia utilizado por los satélites.

58

Figura 32: ITRF2000 y sus velocidades(proporcionado por DGFI)

3.4 SIRGAS: SISTEMA DE REFERENCIA GEOCÉNTRICO PARA LAS AMÉRICAS Si bien las estaciones que conforman el ITRF ofrecen un cubrimiento mundial, resultan insuficientes (muy distantes) para su utilización práctica por parte de generadores y consumidores de información georreferenciada. Por tanto, es necesario establecer densificaciones continentales, nacionales y regionales que permitan el acceso directo al marco global de referencia. En consecuencia, en América del Sur, se decidió establecer una red de estaciones GPS de alta precisión con la densidad suficiente de puntos para el cubrimiento homogéneo de la zona y además, garantizar la participación de cada uno de los países de esta parte del continente. De esta forma surge el proyecto SIRGAS (Sistema de Referencia Geocéntrico para América del Sur) (SIRGAS 1997). SIRGAS inició en la Conferencia Internacional para la definición de datum geocéntrico sur americano, llevada a cabo en octubre de 1993 en Asunción,

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Paraguay. Las entidades participantes son la Asociación Internacional de Geodesia (AIG), el Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH), National Imagery and Mapping Agency (NIMA, actualmente National GeospatialIntelligence Agency -NGA-) y cada uno de los Institutos Geográficos de los países comprometidos. Sus objetivos principales eran definir un sistema de referencia para América del Sur, establecer y mantener una red de referencia y determinar un datum geocéntrico (SIRGAS 1997). Las labores desempeñadas inicialmente durante el proyecto SIRGAS se clasificaron en dos grupos de trabajo, Grupo I: Sistema de Referencia (GTI), cuyo objetivo principal era la definición del sistema geodésico de referencia para América del Sur (coincidente con el definido por el ITRS) y el establecimiento y mantenimiento del marco de referencia (red de estaciones GPS de alta precisión). El Grupo II: Datum Geocéntrico (GTII), se encargó de establecer un datum geocéntrico mediante la extensión de la red GPS SIRGAS a través de la integración de las redes geodésicas nacionales de cada uno de los países suramericanos. Para el efecto, se acordó utilizar como datum geocéntrico un sistema de ejes coordenados basado en el sistema de referencia SIRGAS, equivalente al ITRF94, y con los parámetros del elipsoide GRS80 (Geodetic Reference System, 1980) (SIRGAS 1997). Los resultados obtenidos, presentados en la Asamblea Científica de la IAG en Río de Janeiro en septiembre de 1997, se tradujeron en una red de 58 estaciones GPS que, distribuidas sobre el continente, conforman el Sistema de Referencia SIRGAS ligado a ITRF94, época 1995.4 (SIRGAS 1997). El mantenimiento de SIRGAS incluye, además de la preservación física de los monumentos, el cambio de las coordenadas a través del tiempo, garantizando así la consistencia entre el sistema terrestre SIRGAS y el sistema de referencia satelital. Para el efecto, las velocidades de cada una de las estaciones SIRGAS son calculadas a partir de observaciones repetitivas (Drewes 1998). Dentro de éstas se considera la red de estaciones GPS permanentes y la ocupación periódica de las 58 estaciones SIRGAS. La red GPS permanente está compuesta

60

por más de 40 puntos de rastreo continuo en el continente sur americano, cuya información es procesada semanalmente por DGFI (Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut) como Centro Asociado de Procesamiento Regional del Servicio Internacional de GPS (GPS-RNAAC-SIR: Regional Network Associate Analysis Center - SIRGAS) y, a su vez, son consideradas en el Servicio GPS Internacional (IGS: International GPS Service), lo que garantiza su referencia permanente con el sistema geocéntrico global (Seemueller and Drewes 1998). La información capturada por las estaciones permanentes se ha complementado con una segunda ocupación de la red SIRGAS, la cual se llevó a cabo entre el 9 y el 19 de mayo de 2000. En esta campaña se incluyeron, además de las estaciones de 1995, los mareógrafos que definen los sistemas de alturas en los países de América del Sur y nuevos puntos ubicados en América Central, Estados Unidos y Canadá (Luz et al, 2001). Por tal razón, en el simposio IAG Vertical Reference Systems celebrado en Cartagena de Indias en febrero de 2001, se dio una nueva definición al acrónimo SIRGAS, siendo en la actualidad Sistema de Referencia Geocéntrico para Las Américas (SIRGAS 2002). El resultado de esta nueva campaña es una red homogéneamente distribuida sobre el continente, conformada por 183 estaciones, cuyas coordenadas están calculadas en el ITRF2000, época 2000.4 (figura 33) (Drewes et al. 2003). Figura 33: SIRGAS, Sistema de Referencia Geocéntrico para las Americas

61

El cálculo de las velocidades de los puntos SIRGAS se ha hecho con base en las estaciones GPS de funcionamiento continuo, las campañas de 1995 y 2000 y los proyectos geodinámicos desarrollados en el continente, entre los que se destacan: CAP (Central Andes GPS Project), SAGA (South America Geodynamics Activity), SNAPP (South America - Nazca Plate Motion Project) y CASA (Central And South America GPS Geodynamics Project) (Drewes et al. 1995, Kellogg and Vega 1995). La figura 34 muestra el modelo de velocidades vigente (Drewes and Heidbach 2003). Figura 34: Modelo de velocidades para América del Sur

62

Por otra parte, con el propósito de definir y establecer una plataforma vertical de referencia común para América del Sur, el proyecto SIRGAS ha establecido el tercer grupo de trabajo denominado Datum Vertical (GTIII) que, al igual que los dos grupos de trabajo definidos anteriormente, cuenta con la colaboración de consultores científicos y la concurrencia de representantes de los Institutos Geográficos de los países miembros. Las resoluciones emanadas del GTIII contemplan, entre otras, la adopción de un sistema de referencia vertical único para toda América del Sur con dos tipos de altitudes: Alturas elipsoidales para definir el marco de referencia y otro tipo de alturas físicas (preferiblemente normales), obtenidas a partir de los números geopotenciales, a fin de satisfacer las necesidades prácticas de los usuarios comunes y la materialización del sistema de referencia vertical mediante el establecimiento de un conjunto de estaciones niveladas geométricamente, con valores de gravedad conocidos y coordenadas referidas en el Sistema SIRGAS, incluyendo los mareógrafos que definen los diferentes datum verticales clásicos existentes (Drewes et al. 2001). El sistema SIRGAS es, hoy por hoy, el resultado de la conjunción de esfuerzos internacionales en una gran cantidad de factores que lo ubican en el primer lugar de la lista de sistemas de referencia regionales. Su estructura, consistencia, precisión y exactitud lo clasifican en el ejemplo a seguir y se constituye en el fundamento básico para el avance de los sistemas de referencia nacionales en América. Por esta razón, la ONU en su Séptima Conferencia Cartográfica para las Américas (Nueva York, enero de 2001) recomendó la adopción de SIRGAS como sistema de referencia oficial para todos los países de América. (ver: http://www.ibge.gov.br/home/geografia/geodesico/sirgas/principal )

63

3.5 SITUACION EN NUESTRO PAIS La Base Cartográfica de Chile responde a una Red Geodésica Nacional de Control Horizontal y Vertical (RGN). La RGN de control horizontal está materializada por vértices trigonométricos y/o hitos en el terreno que representan el control topográfico de las coordenadas. Esta red está referida a Datums distintos: PSAD-56 y SAD-69; ninguno de ellos ha servido como referencia para elaborar la totalidad de la cubierta cartográfica nacional. El punto Datum Sudamericano Provisorio de 1956 (PSAD-56), está ubicado en La Canoa, Venezuela, y sus parámetros corresponden al elipsoide internacional de 1924. La cartografía realizada con este datum tiene carácter de regular y cubre el territorio desde Arica a Coyhaique (17° 30’ a 45° 30’). El Datum Sudamericano de 1969 (SAD-69), está ubicado en Chuá, Brasil, y sus parámetros corresponden al elipsoide internacional de 1967. Este punto Datum fue adoptado siguiendo la sugerencia emanada por el Instituto Panamericano de Geografía e Historia (IPGH), para los países sudamericanos de latitudes altas. Debido a que el elipsoide internacional de 1924 se hunde en forma proporcional a las altas latitudes se provocan deformaciones adicionales en la proyección cartográfica. Entonces, se recomendó utilizar un elipsoide ajustado a la realidad topográfica sudamericana. La cartografía desarrollada con este elipsoide es de carácter regular con referencia geodésica preliminar desde Coyhaique al sur (45° 30’ al sur). Al sur de los 52° de latitud sur existen antecedentes referidos al datum SAD-69, (provisorio sin enlace continental, los que fueron medidos, calculados y procesados por el Interamerican Geodetic Survey, IAGS, actual NIMA). Asimismo, se cuenta con una serie de levantamientos en la zona litoral austral, correspondientes a trabajos geodésicos efectuados por el Servicio Hidrográfico y Oceanográfico de la Armada de Chile, contando éstos con datum satelitales y sistema de coordenadas locales. Entre los años 1977 y 1988, el Instituto Geográfico Militar realizó campañas de medición desde los 42° de latitud sur, midiendo aproximadamente 190 puntos doppler referenciados al datum WGS-72.

Estos vértices fueron transformados al datum SAD-69, teniendo un carácter de provisorios. Todos éstos puntos fueron la base para la confección de la cartografía regular con referencia geodésica preliminar en ese sector. A través de toda la línea fronteriza entre Chile y argentina, existen valores geodésicos calculados por las comisiones mixtas de límites de ambos países, teniendo como sistema de referencia el elipsoide internacional de 1924. Como se puede apreciar, desde los 45° 30’ hacia el sur, existe una diversidad de datums. Todos estos se unificaron en un solo sistema, el SAD-69. El datum PSAD-56 se mantiene como referencia cartográfica desde los 17° 30’ hasta los 45° 30’ de latitud sur. En consecuencia, la cartografía regular que cubre el país no posee un datum homogéneo como referencia única. Figura 35: Datums Cartográficos en uso

Fuente: IGM

65

3.5.1 RED G.P.S. NACIONAL La red G.P.S. del I.G.M. (RGN-GPS) está conformada por una serie de marcas geodésicas observadas, utilizando el Sistema de Posicionamiento Global (GPS). Estas marcas cubren todo el territorio continental, insular y la península Antártica Chilena como se observa en la figura 38 . Su origen está basado en proyectos geodinámicos continentales que desarrolla el Instituto Geográfico militar en conjunto con Organismos Internacionales. Estos proyectos son los siguientes:

-

Central Andes Project (CAP), iniciado en 1993 con el Consorcio de Universidades

Norteamericanas

UNAVCO,

pero

convenido

con

la

Universidad de Hawai desde 1995. Ver figura 36. Los estudios geodinámicos realizados a través de este proyecto han detectado deformaciones en el territorio nacional. En efecto, con motivo del terremoto que azotó a la ciudad de Antofagasta el año 1995, se pudo observar un desplazamiento de la zona urbana hacia el oeste, en un rango de 80 centímetros; deformaciones a 300 km alcanzaron 10 cm. Estos mismos estudios señalan una regresión de la deformación del terremoto de 1960, que afectó a la zona comprendida entre Concepción y Puerto Saavedra, estimándose que las deformaciones producto de este sismo alcanzaron una cantidad indeterminada de metros, lo que indica cambios de la realidad espacial de los vértices de la RGN, desde el momento en que fue definida el año 1955, hasta el tiempo actual.

-

South-American Geodetic Activities (SAGA), convenido con el Geoforshung Zentrum (GFZ) en 1993. Ver figura 37.

-

Sistema de Referencia Geocéntrico para América del Sur (SIRGAS), convenido entre todos los países sudamericanos en 1994. Ver figura 38.

La red GPS ha sido determinada mediante la utilización de receptores geodésicos satelitales del GPS. En consecuencia, se mantuvo la referencia del GPS, que es el Sistema Geodésico Mundial del año 1984 (WGS84). Los parámetros de este sistema corresponden al Sistema de Referencia Geopotencial de 1980 (GRS80).

66

3.5.2 SOLUCIÓN REGIONAL SIRGAS Con el objetivo de adoptar SIRGAS en Chile, el IGM inició los trabajos para aumentar el número de estaciones vinculadas a la definición de SIRGAS 2000, debido a que el conjunto inicial de 20 estaciones, incluidas en la campaña desarrollada en el SIRGAS 2000 (IBGE, 2005), no eran suficientes para considerarlo operacional. En este sentido, fueron desarrolladas campañas de observación con época media del 2002,0 donde fueron incorporadas nuevas estaciones GPS, seleccionadas de acuerdo a los siguientes criterios (IGM, 2002): 1. Escoger estaciones en todo el país, intentando expandir la red con estaciones en todas las ciudades y en lugares de fácil acceso; 2. Incluir estaciones de la antigua red de alta precisión, prefiriendo aquellas con altura nivelada, para facilitar la obtención de parámetros de transformación entre los diferentes SGRs; 3. Incluir las estaciones de la red de monitoreo continuo de Chile; 4. Observación mínima de cinco días continuos; 5. Incluir las observaciones de las estaciones IGS regionales (RIOG, LPGS, SANT

y AREQ). El resultado de la búsqueda de estaciones de la red clásica de alta precisión fue una tarea difícil, debido a que los vértices de primer orden fueron destruidos en un alto porcentaje y muchos de ellos se encuentran en la Cordillera de los Andes, especialmente en lugares donde el acceso es difícil. Para obtener la solución final de la red basada en SIRGAS en Chile, fueron adicionadas mas de 300 estaciones GPS periódicas distribuidas por todo el territorio, incluyéndose las estaciones en las islas y en la Antártica. La solución de SIRGAS en Chile fue ajustada a las estaciones AREQ, LPGS, SANT e RIOG, que son estaciones IGS globales y regionales.. En la figura 38 aparecen las estaciones periódicas (puntos), estaciones continuas (triángulos) y las estaciones utilizadas como fiduciales (cuadrados) en la realización del SIRGAS CHILE 2002.

67

Figura 36: Red Central Andes Project

Estación CAP Estación SCARP

FUENTE: KENDRIK, et al.(1990)

68

Figura 37: Red South American Geodinamic Activities

Estación Permanente Estación Periódica

FUENTE: KLOTZ et al. (2001)

69

Figura 38: Estaciones de la realización SIRGAS CHILE 2002

Estación Fiducial Estación Continua Estación Periódica

FUENTE: IGM (2002)

70

UNIDAD 4. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Figura 39: Transformaciones MODELO DE TRANSFORMACIÓN

SISTEMA A

SIMILITUD 3D

CARTESIANAS

FORMULAS DE MOLODENSKY

GEOGRÁFICAS

TRANSFORM.

PLANAS

figura

CARTESIANAS

7 PARÁMETROS

GEOGRÁFICAS

La

SISTEMA B

PLANAS

POLINOMIAL

anterior

muestra

cuales

son

los

diferentes

tipos

de

transformaciones posibles. Se debe tener en consideración que para pasar de un tipo de coordenadas planas a otro utilizando una transformación polinomial, tanto el elipsoide y el sistema geodésico de ambas coordenadas deben ser idénticos.

4.1. TRANSFORMACIONES EN EL MISMO SISTEMA

4.1.1. COORDENADAS GEODÉSICAS A COORDENADAS CARTESIANAS ( φ, λ, h ⇒ X, Y, Z ) Estas transformaciones fueron vistas en el ítem 2.3.5.1.

4.1.2. COORDENADAS CARTESIANAS A COORDENADAS GEODÉSICAS ( X, Y, Z ⇒ φ, λ, h ) Estas transformaciones fueron vistas en el ítem 2.3.5.1.

71

4.1.3. COORDENADAS DE CUADRÍCULA (UTM) A GEOGRÁFICAS (E,N) ⇒ (φ, λ ) Dadas las coordenadas UTM Este y Norte (E, N) de un punto, la correspondiente latitud y longitud (φ, λ ) son dadas por las siguientes fórmulas (National Mapping Council of Australia, 1986): En el siguiente formulismo t, M, N y ψ son evaluados para el punto al pie del meridiano central. Para efectos de no caer en confusiones de nomenclatura, cambiaremos los radios de curvatura principales a las siguientes notaciones:

N=ν M=ρ - Latitud (en radianes)

(4.1)

E' = E − 500.000(EsteFalso) N' = N − 10.000.000 x = E' (k o ν') φ = φ'−Term1 + Term 2 − Term3 + Term 4 Term1 = (t ' (k o ρ'))(xE ' 2)

( )[ ( ) ] Term3 = (t ' (k ρ'))((E ' x ) 720 )[8ψ ' (11 − 24t ' ) − 12ψ ' (21 − 71t ' ) + 15ψ ' (15 − 98t ' + 180ψ ' (5t ' −3t ' ) + 360 t ' ] Term 4 = (t ' (k ρ'))(E' x 40320 )(1385 + 3633t ' +4095t ' +1575t ' )

Term 2 = (t ' (k o ρ')) E' x 3 24 − 4ψ ' 2 +9ψ ' 1 − t ' 2 + 12t ' 2 5

4

2

3

2

2

o

2

4

2

)

+15t ' 4 +

4

7

2

4

6

o

- Longitud (en radianes)

(4.2)

ω = Term1 − Term 2 + Term3 − Term 4 Term1 = x sec φ'

( ) ( ) Term3 = (x 120 )sec φ' [− 4ψ' (1 − 6t ' ) + ψ' (9 − 68t ' ) + ψ' (9 − 68t ' ) + 72ψ' t ' Term 4 = (x 5040)sec φ' (61 + 662t ' +1320 t ' +720 t ' ) Term 2 = x 3 6 sec φ' ψ'+2t ' 2 5

7

3

2

2

2

4

2

2

2

2

+24t ' 4

]

6

λ = λo + ω

72

Siendo:

φ' = es la latitud al pie del meridiano central, esto es, la latitud en la cual la distancia meridiana m es igual a N' k O y está dada por: 2 4⎞ 3⎞ 4⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 3n 27n 3 ⎞ ⎟ sin 2σ + ⎜ 21n − 55n ⎟ sin 4σ + ⎜ 151n ⎟ sin 6σ + ⎜ 1097 n ⎟ sin 8σ φ' = σ + ⎜ − ⎜ 512 ⎟ ⎜ 96 ⎟ ⎜ 16 ⎜ 2 32 ⎟⎠ 32 ⎟⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝

(4.3) Donde:

n = f (2 − f )

(

)

225 4 ⎞ π ⎛ 9 G = a (1 − n ) 1 − n 2 ⎜1 + n 2 + n ⎟ 64 ⎝ 4 ⎠ 180 mπ σ= 180G N' m= ko

(4.4)

ko = factor de escala en el meridiano central (0,9996) ρ' y ν' = radios de curvatura al pie del meridiano central φ' λ o = longitud del meridiano central (en radianes) ψ ' = ν' ρ' t ' = tan φ'

(4.5)

4.1.3.1 CONVERGENCIA γ = Term1 + Term 2 + Term3 + Term 4 Term1 = − t ' x

( )( ) Term3 = (− t ' x 15)[ψ ' (11 − 24 t ' ) − 3ψ ' (8 − 23t ' ) + 5ψ ' (3 − 14 t ' ) + 30ψ ' t ' Term 4 = (t ' x 315)(17 + 77 t ' +105t ' +45t ' ) Term 2 = t ' x 3 3 − 2ψ ' 2 +3ψ '+ t ' 2 5

4

7

2

2

3

4

2

2

2

2

+ 3t ' 4

]

(4.6)

6

4.1.3.2 FACTOR DE ESCALA

(

x = E' 2 k o2 ν' ρ'

)

K = k o + k o Term1 + k o Term 2 + k o Term3 Term1 = x 2

(

)[ (

) (

)

]

(4.7)

Term 2 = x 2 24 4ψ ' 1 − 6 t ' 2 − 3 1 − 16 t ' 2 − 24 t ' 2 ψ ' Term3 = x 3 720

73

4.1.4.

COORDENADAS

GEOGRÁFICAS

A

DE

CUADRÍCULA

(UTM)

(φ, λ ) ⇒ (E,N) Dadas la latitud y longitud de un punto (φ, λ ) , las correspondientes UTM Este y Norte (E, N) son dadas por las siguientes fórmulas (National Mapping Council of Australia, 1986): - Este:

E' = (k o νωCosφ){1 + Term1 + Term 2 + Term3}

( ) ( ) Term 2 = (ω 120)Cos φ[4ψ (1 − 6t ) + ψ (1 + 8t ) − ψ 2t Term3 = (ω 5040)Cos φ(61 − 479t + 179 t − t ) Term1 = ω 2 6 Cos 2 φ ψ − t 2 4

6

4

3

2

6

2

2

2

4

2

+ t4

]

(4.8)

6

E = E'+500.000 - Norte:

(4.9)

N' = k o {m + Term1 + Term 2 + Term3 + Term 4}

( ) Term 2 = (ω 24 )νSinφCos φ(4ψ + ψ − t ) Term3 = (ω 720 )νSinφCos φ[8ψ (11 − 24 t ) − 28ψ (1 − 6 t ) + ψ (1 − 32 t ) − ψ (2 t ) + t ] Term 4 = (ω 40320 )νSinφCos φ(1385 − 3111t + 543t − t )

Term1 = ω 2 2 νSinφCosφ 4

6

8

3

2

5

2

4

7

2

3

2

2

4

2

2

2

4

6

N = N'+10.000.000

Siendo:

ko = factor de escala en el meridiano central (0,9996) ω = λ − λo

(4.10)

λ o = longitud del meridiano central ρ y ν son los radios de curvatura en φ ψ=ν ρ t = tan φ

(4.11)

m = distancia en el meridiano central dada por: m = a (A o φ − A 2 sin 2φ + A 4 sin 4φ − A 6 sin 6φ )

(4.12)

74

donde:

( ) ( ) ( = (3 8)(e + (e 4 ) + (15e = (15 256)(e + 3e 4)

A o = 1 − e 2 4 − 3e 4 64 − 5e 6 256 A2 A4

2

4

6

4

128

))

) (4.13)

6

A 6 = 35e 6 3072

4.1.4.1 CONVERGENCIA γ = Term1 + Term 2 + Term3 + Term 4

Term1 = −ωSinφ

( ) ( ) Term3 = −(ω 15)SinφCos φ[ψ (11 + 24 t ) − ψ (11 − 36 t ) + 2ψ (1 − 7 t ) + ψt ] Term 4 = −(ω 315)SinφCos φ(17 − 26 t + 2 t ) Term 2 = − ω3 3 SinφCos 2 φ 2ψ 2 − ψ 5

4

7

4

2

6

2

3

2

2

2

(4.14)

2

4

4.1.4.2 FACTOR DE ESCALA K = k o + k o Term1 + k o Term 2 + k o Term3

( ) Term 2 = (ω 24 )Cos φ[4ψ (1 − 6 t ) + ψ (1 + 24 t ) − 4ψt ] Term3 = (ω 720 )Cos φ(61 − 148t + 16 t ) Term1 = ω 2 2 ψCos 2 φ 4

6

4

3

6

2

2

2

2

2

(4.15)

4

4.2. TRANSFORMACIONES DE UN SISTEMA A OTRO

4.2.1. TRANSFORMACIÓN DE SIMILARIDAD, ISOGONAL, CONFORME O DE HELMERT Si tenemos coordenadas cartesianas tridimensionales, podemos considerar 3-parámetros (tres movimientos en el origen), 4-parámetros (tres movimientos en el origen y un factor de escala), o 7-parámetros (tres movimientos en el origen, un factor de escala y tres rotaciones), cuyas ecuaciones de transformación pueden ser desarrolladas dependiendo de la disponibilidad de coordenadas comunes en los dos datums geodésicos. La transformación de siete parámetros puede proporcionar una relación completa entre sistemas de referencia tridimensionales que difieren en pequeños

75

ángulos de rotación (unos pocos segundos de arco) unos con otros y no tienen ninguna distorsión sistemática del sitio de las coordenadas. La transformación en la cual el factor de escala es el mismo en todas direcciones es denominada una transformación de similaridad. Los ángulos se conservan (forma) pero las distancias de las líneas y la posición de los puntos puede cambiar. Este método puede encontrarse en la literatura bajo diferentes nombres, p.ej. similaridad, Helmert, Bursa-Wolf, Molodensy-Badekas. En resumen este es un modelo matemático que expresa la relación entre dos referenciales por medio de tres traslaciones, tres rotaciones y un factor de escala. Figura 40: Transformación de Similaridad

Z

εz Pi

εY ρο ro

ri O1 Zi

Zo

Y

O2 Xo

Yo

X

εX

Xi

Yi

La figura muestra un punto genérico en el referencial cartesiano (x, y, z) dado por ri. Después de 3 traslaciones dadas por (Xo, Yo, Zo), 3 rotaciones ( ε X , ε Y , ε Z ) y un factor de escala (k), se obtiene un nuevo vector posición ρi relacionado al referencial cartesiano que se denomina (X, Y, Z).

76

De acuerdo con la figura los dos referenciales cartesianos tridimensionales para cualquier punto, están relacionados por:

ρi = ro + k ⋅ R ε ⋅ ri

(4.16)

Siendo el modelo expresado por la ecuación (4.16) la propia transformación de similaridad en el espacio, donde: ρi = vector posición del punto Pi en el referencial cartesiano (X, Y, Z).

ri = vector posición del punto Pi en el referencial cartesiano (x, y, z).

ro

= vector traslación

R ε = matriz de rotación ortogonal k

= factor de escala Para la aplicación de la transformación de similaridad en el espacio, es

necesario que las coordenadas geodésicas ( ϕ, λ, h ) sean transformadas en coordenadas cartesianas tridimensionales (X, Y, Z). Las tres traslaciones son justificadas por la no coincidencia del origen de ambos referenciales; las tres rotaciones son necesarias para expresar el no paralelismo, y un factor de escala se requiere para uniformizar su métrica. Por tanto es necesario que existan puntos comunes, cuyas coordenadas cartesianas sean conocidas en ambos referenciales. El método de los mínimos cuadrados (MMC) es el criterio usado en el procedimiento de estimación de los parámetros. En la ec. (4.16), la matriz rotación ortogonal R ε es dada por:

R ε = R 1 (ε X ) ⋅ R 2 (ε Y ) ⋅ R 3 (ε Z ) La

ec.(2)

expresa

el

(4.17) producto

de

las

rotaciones

parciales

aplicadas,

respectivamente, a los ejes terciario, secundario y primario. Las cantidades R 1 (ε X ) , R 2 (ε Y ) y R 3 (ε Z ) también son matrices de rotación ortogonales del tipo:

0 0 ⎤ ⎡1 ⎢ R 1 (ε X ) = ⎢0 cos(ε X ) sen (ε X )⎥⎥ ⎢⎣0 − sen (ε X ) cos(ε X )⎥⎦

(4.18)

77

⎡cos(ε Y ) 0 − sen (ε Y )⎤ ⎥ R 2 (ε Y ) = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢⎣sen (ε Y ) 0 cos(ε Y ) ⎥⎦

(4.19)

⎡ cos(ε Z ) sen (ε Z ) 0⎤ R 3 (ε Z ) = ⎢⎢− sen (ε Z ) cos(ε Z ) 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

(4.20)

Considerando las ec. (4.18), (4.19) y (4.20) se rescribe la ec.(4.17) de la siguiente forma:

cos ε Y ⋅ cos ε Z ⎡ ⎢ R ε = ⎢senε X ⋅ senε Y ⋅ cos ε Z − cos ε X ⋅ senε Z ⎢⎣cos ε X ⋅ senε Y ⋅ cos ε Z + senε X ⋅ senε Z − senε Y ⎤ senε X ⋅ cos ε Y ⎥⎥ cos ε X ⋅ cos ε Y ⎥⎦

cos ε Y ⋅ senε Z senε X ⋅ senε Y ⋅ senε Z + cos ε X ⋅ cos ε Z cos ε X ⋅ senε Y ⋅ senε Z − senε X ⋅ cos ε Z

(4.21)

De la ec.(4.21) se verifica que no es lineal en relación a las rotaciones diferenciales ε X , ε Y , ε Z . En geodesia, estas rotaciones son pequeñas. Dada la pequeña magnitud prevista para las rotaciones, se puede aplicar el desarrollo en serie de Taylor, negligenciando las cantidades de orden2 y superiores. Así, la ec.(4.21) se simplifica como: ⎡ 1 R ε = ⎢⎢− ε Z ⎢⎣ ε Y

εZ 1 − εX

− εY ⎤ ε X ⎥⎥ 1 ⎥⎦

(4.22)

Donde las rotaciones ε X , ε Y , ε Z están dadas en radianes. El factor de escala k, puede ser escrito por: k = 1+ δ

Donde δ

(4.23) representa una diferencia de escala. Luego para una métrica

homogénea entre los referenciales, la diferencia de escala δ debe ser nula y el factor de escala k igual a la unidad. La ec.(4.16), después de sustituir la ec.(4.23) queda:

ρ i = ro + (1 + δ ) ⋅ R ε ⋅ ri

(4.24)

78

Considerando la ec.(4.22), se puede expresar la ec.(4.24) en lenguaje matricial como: ⎡X i ⎤ ⎡X o ⎤ ⎡ 1 ⎢ Y ⎥ = ⎢ Y ⎥ + (1 + δ )⎢− ε ⎢ i⎥ ⎢ o⎥ ⎢ Z ⎢⎣ Z i ⎥⎦ ⎢⎣ Z o ⎥⎦ ⎢⎣ ε Y

εZ 1 − εX

− ε Y ⎤ ⎡x i ⎤ ε X ⎥⎥ ⎢⎢ y i ⎥⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z i ⎥⎦

(4.25)

Haciendo el producto de la matriz de rotación R ε por el vector ri : ⎡X i ⎤ ⎡X o ⎤ ⎡ 1 ⎢ Y ⎥ = ⎢ Y ⎥ + (1 + δ )⎢− ε ⎢ i⎥ ⎢ o⎥ ⎢ Z ⎢⎣ Z i ⎥⎦ ⎢⎣ Z o ⎥⎦ ⎢⎣ ε Y

εZ 1 − εX

− εY ⎤⎡ x i + ε Z ⋅ yi − εY ⋅ zi ⎤ ε X ⎥⎥ ⎢⎢− ε Z ⋅ x i + y i + ε X ⋅ z i ⎥⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ ε Y ⋅ x i − ε X ⋅ y i + z i ⎥⎦

(4.26)

El modelo expresado por la ec.(4.26) será usado en dos sentidos. El primero se refiere a la constitución de sistemas de ecuaciones, visando a la recuperación de los parámetros de transformación. El segundo, consiste en la aplicación directa del modelo, ahora con los parámetros figurando como cantidades conocidas.

4.2.1.1. MÉTODO PARAMÉTRICO El método paramétrico también denominado de las ecuaciones de observación, debido a que cada observación contribuye con una ecuación. En el caso en evidencia, la diferencia de coordenadas entre estaciones comunes en ambos referenciales, son tratadas como las observaciones, esto es, la diferencia entre los vectores ρ i y ri . Cada estación común genera 3 observaciones y, consecuentemente, 3 ecuaciones. En este caso, las observaciones y parámetros están relacionados por una función matemática explícita, no lineal, de la forma:

L a = F(X a )

(4.27)

Ahora sustituyendo y linealizando según Taylor y negligenciando las cantidades de orden 2 y superiores, L b + V = F(X o + X ) = F(X o ) +

∂F ∂X a

X

(4.28)

Xo

79

Después de una manipulación algebraica, conviene rescribir la ec.(4.28) dimensionando las matrices y vectores para la aplicación de interés, de la siguiente forma: 3n V1 = 3n A 7 ⋅ 7 X1 + 3n L1

(4.29)

con: 3n A 7

3n L o1

=

∂F ∂X a

(4.30) Xo

= F(X o )

3n L1 = 3n L o1 − 3n L b1

(4.31) (4.32)

La ec.(4.29) es el modelo linealizado para el método paramétrico de ajuste. Ella representa un sistema de 3n ecuaciones, ligadas por igual número de observaciones y siete parámetros. La matriz de las derivadas parciales, A, debe ser evaluada para un valor particular de X o . De la misma forma, el vector L o es el valor de la función matemática (4.27), también evaluado para los parámetros aproximados. La solución por MMC es obtenida minimizando la forma cuadrática fundamental: φ = V T PV

(4.33)

Para minimizar la ec.(4.33), es necesario que su derivada parcial primera, con relación a X, sea nula. De la ec.(4.33), se tiene: φ = F(V )

(4.34)

y de la ec.(4.29), V = G (X )

(4.35)

Después de la aplicación de la regla de la cadena, se obtiene:

∂φ ∂φ ∂V = ∂X ∂V ∂X

(4.36)

T

1 ⎛ ∂φ ⎞ T ⎜ ⎟ =V P 2 ⎝ ∂V ⎠

(4.37)

80

∂V =A ∂X ∂φ = V T PA = 0 ∂X

(4.38)

∴

A T PV = 0

(4.39)

Sustituyendo la ec.(4.29) en la ec.(4.39), se tiene: A T P(AX + L ) = 0

∴

A T PAX + A T PL = 0

(4.40)

ó, NX + U = 0

(4.41)

con: T 7 N 7 = 7 A 3n ⋅3n P3n ⋅3n A 7

(4.42)

y, T 7 U1 = 7 A 3n ⋅3n P3n ⋅3n L1

(4.43)

La solución de la ec.(4.41) es dada por: 7 X1

=− 7 N 7−1 ⋅7 U1

(4.44)

Existen otras formas para resolver sistemas del tipo de la ec.(4.44), sin la necesidad de utilizar la inversión de la matriz de los coeficientes. En este caso, el método de Cholesky ha sido recomendado como una manera muy eficiente (Vanicek e Krakiwsky, 1986, p.209; Leick, 1995, p.507; Dracup, 1996, p.14). Un estudio comparativo de algoritmos usando el método de Cholesky, es presentado por DE JONGE (1992). Las observaciones ajustadas ( L a ) vienen de la ec. L a = L b + V y el vector de los parámetros ajustados ( X a ) es obtenido por la ec. X a = X o + X . También en este caso, las iteraciones son necesarias para reparar los problemas de aproximación de la serie en la ec.(4.28). Con este abordaje objetivo, se tiene el interés de estimar los parámetros vinculados a las observaciones por medio de un modelo matemático. Estos se encuentran implícitos en el modelo matemático de la transformación isogonal, presentado por la ec.(4.24). Para explicitar las observaciones ajustadas como una función de los parámetros ajustados (ec.4.27), es necesario manipular la ec.(4.26), en el sentido

81

de expresarla de una forma más conveniente a la constitución de ecuaciones de observación. Luego, se tiene: ⎡X i − x i ⎤ ⎡ X o + ε Z ⋅ y i − ε Y ⋅ z i ⎤ ⎡ x i + ε Z ⋅ yi − ε Y ⋅ zi ⎤ ⎢ Y − y ⎥ = ⎢ Y + ε ⋅ z − ε ⋅ x ⎥ + δ⎢ y + ε ⋅ z − ε ⋅ x ⎥ i⎥ ⎢ o X i Z i⎥ X i Z i⎥ ⎢ i ⎢ i ⎢⎣ Z i − z i ⎥⎦ ⎢⎣ Z o + ε Y ⋅ x i − ε X ⋅ y i ⎥⎦ ⎢⎣z i + ε Y ⋅ x i − ε X ⋅ y i ⎥⎦

(4.45)

La matriz de las derivadas parciales, A, dada por la ec.(4.30), es obtenida de la ec.(4.45). Para cada estación Pi se obtiene una submatriz Ai idéntica a aquella representada por la ecuación: 0 ⎡1 0 0 ⎢ A i = ⎢0 1 0 (1 + δ )z i ⎢⎣0 0 1 − (1 + δ )y i

− (1 + δ )z i 0 (1 + δ)x i

(1 + δ)y i (x i + ε Z ⋅ y i − ε Y ⋅ z i )⎤ − (1 + δ )x i (y i + ε X ⋅ z i − ε Z ⋅ x i )⎥⎥ (z i + ε Y ⋅ x i − ε X ⋅ y i )⎥⎦ 0

(4.46)

El vector L o , dado por la ec.(4.31), también puede ser obtenido por la ec.(4.45) cuando su segundo miembro es evaluado para los parámetros aproximados, X o . Es importante observar que el primer miembro de la ec.(4.45) constituye el vector L b , de las observaciones. Así, de las observaciones, es posible obtener el vector L , recurriendo a la ec.(4.32). Ahora, es posible obtener en la etapa básica, la submatriz Ai y el subvector Li

después de considerar las ec. X o = [0 0 0 0 0 0 0]T , (4.31), (4.32),

(4.45) y (4.46), por: 0 ⎡1 0 0 ⎢ A i = ⎢0 1 0 z i ⎢⎣0 0 1 − y i ⎡x i − X i ⎤ L i = ⎢⎢ y i − Yi ⎥⎥ ⎢⎣ z i − Z i ⎥⎦

− zi

yi

0 xi

− xi 0

xi ⎤ y i ⎥⎥ z i ⎥⎦

(4.47)

(4.48)

La matriz A es obtenida por la concatenación de todas las submatrices Ai. También el vector L es formado por la concatenación de todos los subvectores L i . Luego, se tiene:

82

⎡ A1 ⎤ ⎢A ⎥ ⎢ 2⎥ = A 3n 7 ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣A n ⎦

(4.49)

⎡ L1 ⎤ ⎢L ⎥ ⎢ 2⎥ = L 3n 1 ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣L n ⎦

(4.50)

La varianza a posteriori σˆ o2 puede ser estimada por la ec.:

σˆ o2 =

V T PV S

(4.51)

donde el número de grados de libertad S, es dado por:

S = 3n – 7 (4.52) La matriz covarianza de los parámetros ajustados, cuya estructura es la misma de la ec.: ΣX a = σˆ o2 N −1 (4.53) La matriz correlación es estructurada por: ⎡ 1 ρ12 ⎢ρ 1 C = ⎢ 21 ⎢ M M ⎢ ⎣ρ n1 ρ n 2

L ρ1n ⎤ L ρ 2 n ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L 1 ⎦

(4.54)

cuyos elementos son determinados por:

ρ ij =

σ ij

(4.55)

σi σ j

4.2.2. FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE MOLODENSKY-BADEKAS Las ecuaciones usadas para transformar un sistema de coordenadas de origen (x, y, z) al sistema de destino (X, Y, Z), son: ⎡X ⎤ ⎡∆X ⎤ ⎡ 1 ⎢Y ⎥ = ⎢∆Y ⎥ + (1 + λ )⎢− R Z ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ ∆Z ⎥⎦ ⎢⎣ R Y

RZ 1 − RX

− R Y ⎤ ⎡x ⎤ R X ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

(4.56)

siendo:

83

(x, y, z)

= Coordenadas cartesianas dadas en el sistema de origen (el

sistema desde el cual se va a transformar). (X, Y, Z)

= Coordenadas cartesianas calculadas en el sistema de destino (el

sistema al cual estamos transformando).

(∆X, ∆Y, ∆Z)

= tres traslaciones que localizan el origen del sistema (x, y, z) relativo

al sistema (X, Y, Z). λ

= el factor de escala entre los sistemas (en partes por millón).

RX,RY,RZ

= tres parámetros de rotación para cada eje del sistema (x, y, z) (en

radianes). Los siete parámetros de transformación rotan y escalean el sistema de origen (x, y, z) para ser paralelo al sistema de destino (X, Y, Z) y finalmente las traslaciones se aplican para lograr coincidencia del origen. La matriz de rotación de 3x3 usada en la ec.(4.56) es una aproximación que sólo es válida para pequeños ángulos de rotación (