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Dinámica de Estructuras Apuntes de Clase

Rubén Boroschek REVISION B MAYO 2009

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

1

En el desarrollo de gráficas de estos apuntes contribuyeron: Daniela Burgos M. Luís Miranda Cesar Urra Los Alumnos del CI42G y CI72A Universidad de Chile

NOTA: El texto esta en condición preliminar. Mis clases han sido transcritas inicialmente por los alumnos. He logrado revisar alguna de ellas. Si bien he tratado de eliminar los errores tipográficos, siempre se descubren nuevos. Por tanto úsese con cuidado. El texto en amarillo no lo he revisado Algunos temas con apoyo especial de alumnos:

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2

1.

REFERENCIAS .................................................................................................................................................. 5

2.

INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................... 6 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3.

3.

SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD ............................................................................ 9 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18.

4.

SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO.............................................................................. 9 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO, ....................................................................... 11 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE............................................................................ 12 PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO........................................................................................ 15 ENERGÍA................................................................................................................................................... 17 SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO.......................................................................... 18 SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ................................................... 20 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE............................................................................ 23 EL AMORTIGUAMIENTO....................................................................................................................... 24 DECAIMIENTO LOGARITMICO............................................................................................................ 26 ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ............................................................................... 33 EXITACIÓN ARMONICA C=0 ................................................................................................................ 33 EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO ........................................................................................... 35 EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE.......................................................................... 38 ANÁLISIS DE DISTINTOS CASOS......................................................................................................... 40 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES ....................................................................................................... 42 RESPUESTA EN RESONANCIA ............................................................................................................. 42 ENERGÍA DISIPADA ............................................................................................................................... 46

ENSAYOS EXPERIMENTALES.................................................................................................................... 48 4.1. 4.2. 4.3.

5.

Demandas - Acciones: ......................................................................................................................... 6 ¿CÓMO MODELAR ESTRUCTURAS?............................................................................................... 9 EQUILIBRIO ....................................................................................................................................... 9

CONDICIONES INICIALES O PULL BACK:...................................................................................................... 48 VIBRACIÓN FORZADA: ................................................................................................................................ 48 EXCITACIÓN AMBIENTAL ............................................................................................................................ 49

SERIE DE FOURIER....................................................................................................................................... 50 5.1.1. 5.1.2.

Excitación Periódica: ........................................................................................................................ 50 SERIES DE FOURIER REPRESENTACION EXPONENCIAL......................................................... 52

6.

PULSO ............................................................................................................................................................... 53

7.

IMPACTO ......................................................................................................................................................... 58

8.

CARGA ARBITRARIA EN EL TIEMPO...................................................................................................... 59

9.

ESPECTRO Y PSEUDO ESPECTROS DE RESPUESTA........................................................................... 61 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7.

ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTOS RELATIVOS .......................................................................... 66 ESPECTRO DE VELOCIDADES RELATIVAS....................................................................................... 68 ESPECTRO DE ACELERACIONES ABSOLUTAS ................................................................................ 69 PSEUDO ESPECTROS DE DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION.......................... 72 ESPECTRO TRILOGARITMICO ............................................................................................................. 72 OTRAS VARIABLES DE RESPUESTA SISMICA.................................................................................. 74 INTENSIDAD DE ARIAS................................................................................................................................. 75

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3

10.

SISTEMA DE N GDL ................................................................................................................................. 75

10.1. FUERZAS DISIPADORAS: .............................................................................................................................. 76 10.2. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD DE MODOS ........................................................................................... 80 10.3. NORMALIZACIÓN MODAL ........................................................................................................................... 81 10.4. COORDENADAS MODALES ........................................................................................................................... 82 10.5. ¿COMO RESOLVEMOS? ................................................................................................................................ 82 10.6. ¿COMO CALCULAMOS LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO? ........................................................................ 86 10.6.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh ..................................................................................... 86 10.6.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy ....................................................................................... 87 10.6.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien - Wilson ........................................................................ 87 11.

RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD .................... 89 11.1.1. 11.1.2. 11.1.3.

Cortante basal: .................................................................................................................................. 90 RESPUESTA ESPECTRAL................................................................................................................ 91 COMBINACION MODAL ................................................................................................................. 91

12.

VECTOR DE INFLUENCIA R................................................................................................................... 93

13.

CONDENSACIÓN ESTÁTICA .................................................................................................................. 95

14.

TORSIÓN ...................................................................................................................................................... 97

15.

MÉTODO DE RAYLEIGH ....................................................................................................................... 103

16.

SISTEMAS CONTINUOS ......................................................................................................................... 108 16.1.1. 16.1.2.

.Demostrando ortogonalidad........................................................................................................... 114 Deformación por corte (distorsión angular).................................................................................... 118

17.

TEMAS AVANZADOS .............................................................................................................................. 120

18.

VECTORES RITZ DEPENDIENTES DE LA CARGA ......................................................................... 121

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4

1. REFERENCIAS Clough, R. y Penzien, J. “Dynamics of Structures”. McGraw – Hill. Segunda Edición, 1993. Chopra, A. “Dynamics of Structures”. Prentice Hall. Tercera Edición, 2006.

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2. INTRODUCCIÓN La respuesta de estructuras se puede clasificar según el tipo de carga a la cual estén sometidas o por el tipo de respuesta que presenten. Las cargas pueden ser estáticas o dinámicas; las cargas dinámicas dependen del tiempo, de la posición y de su magnitud. La respuesta de una estructura, a su vez, puede ser estática o dinámica, si es dinámica actuarán en la estructura fuerzas de inercia, pudiendo estar presentes además fuerzas disipativas. 2.1.1. Demandas - Acciones: Pull Back o Condiciones Iniciales: La estructura está sometida condiciones iniciales.

CI: v0

CI:

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6

Demanda Armónica: Demanda armónicas con período característico, T, f (t ) = f (t + T ) . La respuesta armónica simple puede ser la base de una respuesta dinámica compleja.

ω

P0sen(ωt)

P(t)

T

Acciones Periódicas No Armónicas: Presentan un periodo T característico, repitiéndose la función en el tiempo. Se pueden resolver como suma de armónicos por medio de series de Fourier.

P(t)

T

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7

Impacto

Demanda Arbitraria: No obedece a ningún patrón regular. Un ejemplo son los terremotos.

vg(t )

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2.1.2. ¿CÓMO MODELAR ESTRUCTURAS? 1. Por medio de discretización utilizando elementos uniaxiales. 2. Mediante ecuaciones diferenciales como la siguiente:

∂2 ∂x 2

⎛ ∂ 2 v ( x, t ) ∂ 2 v ( x, t ) ⎞ ⎜⎜ EI ( x ) ⋅ ⎟ = P ( x, t ) + m 2 2 ⎟ ∂ t ∂ x ⎝ ⎠

3. Por medio de elementos finitos. 4. Usando coordenadas generalizadas, donde se establece una función de desplazamiento del tipo v ( x, t ) =

∑ φ (x ) ⋅ψ (t )

2.1.3. EQUILIBRIO Para determina el estado de equilibrio de una estructura se pueden utilizar los siguientes métodos: → Métodos de Energía: → Suma de Fuerzas:

∑ Fx(t ) , ∑ Fy (t ) , ∑ Fz (t ) ∑ Mx (t ) , ∑ My(t ) , ∑ Mz (t ) .

→ Trabajo Virtual.

3. SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD 3.1. SISTEMAS DE UN GDL SIN AMORTIGUAMIENTO Algunos ejemplos de sistemas de un GDL son los siguientes:

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v(t ), v(t ), v (t )

k m

P (t )

Figura 2.1: Ejemplo de sistema de 1GDL

m k/2

v(t ), v(t ), v (t ) k/2

Figura 2.2: Ejemplo de sistema de 1GDL

m

kθ

θ (t )

k Figura 2.3: Ejemplo de sistema de 1GDL - DCL (Diagrama de Cuerpo Libre):

v(t ), v(t ), v (t ) FE (t )

m

P (t )

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Por la 2ª ley de Newton se tiene:

− FE (t ) + P(t ) = m ⋅ v (t ) Donde:

FE (t ) = k ⋅ v(t ) : Fuerza elástica Utilizando Principio de D’Alambert: fuerza de inercia FI (t ) = m ⋅ v (t ) que va en dirección opuesta al movimiento:

FI (t ) + FE (t ) = P(t ) ⇒ m ⋅ v (t ) + k ⋅ v(t ) = P(t ) (Ecc. 2.1) La ecuación 2.1 describe el movimiento de un sistema de 1GDL sin amortiguamiento en forma general. Esta ecuación se puede obtener, también, aplicando el Principio de Trabajos Virtuales, como se muestra a continuación:

δv FE (t )

FI (t )

P(t )

Para un sistema en equilibrio se debe cumplir que: δW = 0 Para el sistema mostrado se tiene:

δW = P(t ) ⋅ δv − FE (t ) ⋅ δv − FI (t ) ⋅ δv = 0 ⇒ FI (t ) + FE (t ) = P(t )

3.2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO,

m ⋅ v (t ) + k ⋅ v(t ) = P(t ) v(t ) = v h (t ) + v p (t ) , donde v h (t ) es la solución homogénea y v p (t ) es la solución particular. Solución homogénea:

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m ⋅ v (t ) + k ⋅ v(t ) = 0

(ecc. 2.2)

⇒ v(t ) = A sin(C ⋅ t ) + B cos(D ⋅ t )

v1 (t ) = A sin(C ⋅ t )

Donde :

v 2 (t ) = B cos( D ⋅ t )

v1 (t ) en la ecuación 2.2: − mAC sin(C ⋅ t ) + kA sin(C ⋅ t ) = 0

Reemplazando 2

[

]

Del mismo modo con

k m

⇒C =

⇒ A − mC 2 + k = 0 v 2 (t ) :

− mBD 2 cos( D ⋅ t ) + kB cos( D ⋅ t ) = 0

[

]

⇒ B − mD 2 + k = 0 Entonces,

⇒D=

C = D = ω , donde ω =

k m

k [rad/seg] es la frecuencia angular natural del sistema. m

Entonces la solución homogénea del sistema está dada por:

v h (t ) = A sin(ωt ) + B cos(ωt )

(ecc. 2.3)

3.3. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE Para un sistema con P(t ) = 0 se tiene que

v p (t ) = 0 . Si este sistema tiene como

condiciones iniciales v (0) = v 0 y v (0) = v 0 , se obtiene:

v(0) = A sin(0) + B cos(0) = v 0 ⇒ B = v 0 v(t ) = A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t ) − B ⋅ ω ⋅ sin(ω ⋅ t ) v(0) = Aω cos(0) − Bω sin(0) = v 0 ⇒ A =

v0

ω

Luego, la solución está dada por:

v (t ) =

v0

ω

sin(ω ⋅ t ) + v 0 cos(ω ⋅ t ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

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Al ver un sistema de este tipo vibrar se observa la suma de las proyecciones de los vectores sobre el eje real.

v(t ) =

v0

ω

sin(ω ⋅ t ) + v 0 cos(ω ⋅ t )

I v0

θ

ωt

ωt

R ρ

v0

ω

Del gráfico anterior se tiene que:

⎛v ⎞ ρ = v +⎜ 0 ⎟ ⎝ω ⎠

⎛ v0 ⎞ ⎟ ⎝ ω ⋅ v0 ⎠

2

θ = arctg ⎜

2 0

Luego el desplazamiento se puede escribir como:

v(t ) = ρ cos(ω ⋅ t − θ )

v0

v(t ) v0

t

f =

1 T

T =

2π

ω

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Figura 2.5: Gráfico de desplazamiento versus tiempo.

En resumen, para el sistema en análisis se tiene: v(t ) = ρ cos(ωt − θ ) − Desplazamiento: −

Velocidad:

v(t ) = − ρω sin(ωt − θ )

v (t ) = − ρω cos(ωt − θ ) = −ω v(t ) Aceleración: Al graficar los vectores de desplazamiento, velocidad y se desprende que para un desplazamiento máximo la velocidad debe ser nula, mientras que para máxima velocidad el desplazamiento debe ser cero. 2

−

2

I

v(t )

ρω

v(t )

ρ α (t )

α (t ) ρω 2

R α (t) = ωt − θ

v (t ) DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

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3.4. PESO EN LA ECUACION DE MOVIMIENTO

k m v(t ); v(t ); v (t ) Figura 2.7: Ejemplo de sistema de 1GDL

Al realizar el equilibrio el sistema mostrado en la figura:

x(t ) = v(t ) + ∆est x(t ) = v(t ) x(t ) = v (t )

x

∆est

El DCL del cuerpo es: m, W

FE

v(t ) v(t ) v (t )

Donde:

FE = k ⋅ x(t ) = k ⋅ v(t ) + k ⋅ ∆est FI = m ⋅ x(t ) k ⋅ ∆est = W W

Luego:

F

∑ F = 0 ⇒I k ⋅ v(t ) + k ⋅ ∆est + m ⋅ v (t ) = W ⇒ k ⋅ v(t ) + m ⋅ v (t ) = 0

En este caso el peso no se considera.

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Ejemplo:

P (t )

k γ

v(t )

b

θ (t ) a Figura 2.8: Ejemplo de sistema de 1GDL En

este

caso

v(t ) = b ⋅θ (t )

y

las

ecuaciones

de

movimiento

a

obtener

son,

m*'θ (t ) + k *'θ (t ) = P*' (t ) m * v (t ) + k * v(t ) = P * (t ) Donde m*, k* y P*(t) son formas generalizadas de la masa, la elasticidad y la solicitación del sistema. DCL:

P (t ) v, v, v P (t )

FE (t )

FE (t )

M0 M0

FIx (t )

FIx (t )

FIy (t )

FIy (t )

FRx (t )

FRx (t )

FRy (t )

A

FRy (t )

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Entonces:

∑M

A

b a a = 0 = FE (t ) ⋅ b + FIx (t ) ⋅ + FIy (t ) ⋅ + M 0 (t ) − P (t ) ⋅ 2 2 2

Además:

v (t ) 2 a v (t ) a FIy (t ) = γ ab ⋅ θ (t ) ⋅ = γ ab ⋅ ⋅ = γ a 2 ⋅ v (t ) 2 b 2 2 2 γ ab 2 2 v (t ) γ a ( a + b ) M 0 (t ) = I 0 ⋅ θ (t ) = ( a + b ) ⋅ b = 12 ⋅ v (t ) 12 a b a2 a2 + b2 ⇒ P(t ) ⋅ = bkv(t ) + m v (t ) + m v (t ) + m v (t ) 2 4 4b 12b a k * = kb P *(t ) = P(t ) ⋅ 2 ⎛ b a 2 a 2 + b2 ⎞ + m* = m ⎜ + ⎟ 4 4 12b ⎠ b ⎝ FE (t ) = kv(t ) FIx (t ) = γ ab ⋅

3.5. ENERGÍA Para un sistema en oscilación libre la ecuación de movimiento es m ⋅ v (t ) + k ⋅ v(t ) = 0 , si se integra esta ecuación en función de v se tiene:

∫ dv ∗ {FI (t ) + FE (t ) = 0}

⇒ ∫ m ⋅ v (t )dv + ∫ k ⋅ v(t )dv = 0 t2

1 2 Resolviendo las integrales: ∫ k ⋅ v(t ) dv = k ⋅ v 2 ti 2 d v dt 1 2 ∫ m ⋅ v (t )dv = ∫ m dt 2 dv dt = 2 m ⋅ v ⇒

1 2 m ⋅ v(t ) 2

t2 t1

+

1 2 k ⋅ v(t ) 2

t2 t1

t2 t1

= ∆E = 0

Luego:

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1 1 2 2 m ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = E c 2 2 Energía _ cinética

Energía _ potencial

Entonces la energía del sistema, E c , es constante.

E Ec Ecin Epot v(t) v(t ) = ρ cos(ωt − θ ) Figura 2.9: Gráfico Energía versus desplazamiento. 3.6. SISTEMAS DE UN GDL CON AMORTIGUAMIENTO Los sistemas con amortiguamiento son aquellos donde actúan fuerzas disipativas.

v(t ), v(t ), v (t )

k c

m

P (t )

Figura 2.10: Ejemplo de sistema de 1GDL con amortiguamiento

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Las fuerzas disipativas,

FD , se pueden deber a diferentes factores:

Factores de disipación FD Calor

Radiación

Roce Coulomb:

Viscosidad

µ ⋅ N ⋅v

µ ED ⋅ N

Viscoso Lineal

Gas:

c⋅v

α ⋅vn

n

Al graficar la fuerza disipativa en función del desplazamiento del sistema se obtienen diferentes figuras:

FDE

FD

µ⋅N

elipse

c⋅v

−ρ

ρ

v

−ρ

ρ

v

− c⋅v −µ⋅N

Fuerza disipativa por roce

Fuerza disipativa por viscosidad

Figura 2.11: Gráficos de disipación. Equilibrio Dinámico DCL: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

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FE FD

FI

P(t )

De donde:

∑ F = 0 ⇒ F (t ) + F (t ) + F (t ) = P(t ) I

D

E

Y como:

FI (t ) = m ⋅ v (t ) : Fuerza de inercia FD (t ) = c ⋅ v(t ) : Fuerza disipativas FE (t ) = k ⋅ v(t ) : Fuerza elástica ⇒ m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = P(t )

(ecc. 2.4) Si en un sistema se consideran la fuerza elástica y la fuerza disipativas juntas, como en el sistema del ejemplo, se dice que el sistema es viscoelástico. 3.7. SOLUCIÓN HOMOGÉNEA DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para determinar la solución homogénea se tiene:

m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = 0

⇒ v (t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t ) + B ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⇒ v (t ) = G ⋅ e ρ ⋅t ⇒ v (t ) = G ⋅ ρ ⋅ e ρ ⋅t ⇒ v (t ) = G ⋅ ρ 2 ⋅ e ρ ⋅t Reemplazando estos valores en la ecuación de movimiento (ecc. 2.4):

⇒ m ⋅ G ⋅ ρ 2 ⋅ e ρ ⋅t + c ⋅ G ⋅ ρ ⋅ e ρ ⋅t + k ⋅ G ⋅ e ρ ⋅t = 0 ⇒ m ⋅ ρ 2 + c ⋅ ρ + k = 0 : Ecuación característica (ecc. 2.5). ⇒ρ=

− c ± c2 − 4⋅k ⋅m 2m

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−c ⎛ c ⎞ k ⇒ρ= ± ⎜ ⎟ − 2m ⎝ 2m ⎠ m 2

−c ⋅ ω ⎛ c ⎞ ⇒ρ= ±ω ⋅ ⎜ ⎟ −1 2m ⋅ ω ⎝ 2m ⋅ ω ⎠ 2

β=

c c = cc 2m ⋅ ω

⇒ ρ = −β ⋅ ω ± ω ⋅ β 2 − 1 De donde las características de la vibración de un sistema están dadas por:

c > c c : Sobreamortiguamiento c = c c : Amortiguamiento _ crítico c < c c : Subamortiguamiento _ crítico Caso 1: c = ccrítico = 2 ⋅ k ⋅ m = 2 ⋅ m ⋅ ω

⇒ρ=

−c = −ω 2m

Luego:

v(t) = G1 ⋅ e−ω⋅t + G2 ⋅ t ⋅ e−ω⋅t ⇒ v(t) = (G1 + G2 ⋅ t ) ⋅ e−ω⋅t

+ Si

=

c ≥ cc el sistema no vibra.

Caso Sub Amortiguado: c < ccrítico Desarrollando la ecuación anterior: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

21

⇒ ρ = −β ⋅ ω ± ω ⋅ β 2 − 1 ⇒ ρ = −β ⋅ ω ± i ⋅ ω ⋅ 1 − β 2 ωD

Frecuencia angular amortiguada es

ωD = ω ⋅ 1 − β 2

⇒ ρ = −β ⋅ ω ± i ⋅ ω D ⇒ v(t ) = G1 ⋅ e (− β ⋅ω +i⋅ω D )⋅t + G2 ⋅ e (− β ⋅ω +i⋅ω D )⋅t

(

⇒ v(t ) = e − β ⋅ω ⋅t G1 ⋅ e i⋅ω D ⋅t + G2 ⋅ e i⋅ω D ⋅t

)

Se sabe que:

e

θ ⋅i

= cos θ + i ⋅ sin θ

e −θ ⋅i = cos θ − i ⋅ sin θ

1 θ ⋅i ( e + e −θ ⋅i ) 2 1 sin θ = (e θ ⋅i − e −θ ⋅i ) 2i cos θ =

⇒

Entonces:

v(t ) = e − β ⋅ω ⋅t ⋅ ( A ⋅ sin (ω D ⋅ t ) + B ⋅ cos(ω D ⋅ t ))

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3.8. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE OSCILACIÓN LIBRE Para un sistema con P(t ) = 0 y con condiciones iniciales v (0) = v 0 y v (0) = v 0 se tiene que el desplazamiento está dado por:

⎡⎛ v + v ⋅ β ⋅ ω ⎞ ⎤ v(t ) = e − β ⋅ω ⋅t ⋅ ⎢⎜ 0 0 ⎟ sin (ω D ⋅ t ) + v0 ⋅ cos (ω D ⋅ t ) ⎥ ωD ⎠ ⎣⎝ ⎦ Lo que es equivalente a:

v0

ρ

v(t ) = ρ ⋅ e − β ⋅ω ⋅t ⋅ cos(ω D ⋅ t − θ )

ω D2

2

⎛ v0 + β ⋅ω ⋅ v0 ⎞ ⎟⎟ + v 0 2 ωD ⎠

ρ = ⎜⎜ Donde: ⎝

⎛ v + β ⋅ ω ⋅ v0 θ = arctg ⎜⎜ 0 ⎝ ω D ⋅ v0

v0 + v0 ⋅ β ⋅ ω

ωD

⎞ ⎟⎟ ⎠

ρ : Amplitud máxima.

Envolvente e− β ⋅ω ⋅t Periodo TD =

2π

ωD

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3.9. EL AMORTIGUAMIENTO El valor de la razón de amortiguamiento varía según el tipo de material, como se ve en la siguiente lista. Sin daño

→ Acero / Hormigon ≈ 0, 01 − 0.03 → Albañilería ≈ 0, 03 − 0, 05 En el límite de daño (fluencia)

→ Acero / Hormigon ≈ 0, 05 − 0.10 → Albañilería ≈ 0, 05 − 0,15

Al desarrollar la ecuación que define la frecuencia angular amortiguada se tiene:

⎛ω ⎞ ωD = ω ⋅ 1− β ⇒ ⎜ D ⎟ = 1− β 2 ⎝ ω ⎠ 2

2

ω D2 ⇒ 2 + β 2 =1 ω Algunos valores para β según esta última ecuación se muestran en la tabla 2.1. Tabla 2.1: Valores para β

β 0,01 0,05 0,10 0,20 0,40

ωD T = ω TD 0,9999 0,9987 0,9950 0,9798 0,9165

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3.10. DECAIMIENTO LOGARITMICO De la respuesta a condiciones iniciales se conoce la envolvente de respuesta y con ella se puede determinar la razón de amortiguamiento, β :

vi = ρ ⋅ e − β ⋅ω ⋅ti vi + m = ρ ⋅ e − β ⋅ω ⋅ti+m ⇒

vi = e β ⋅ω ⋅Tm vi + m

vi vi 2

⎛ v ⎞ 2π m ⇒ ln ⎜ i ⎟ = βωTm = βω ω ⎝ vi + m ⎠ ln ( vi vi + m ) ⇒β = 2π m

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β=

pendiente

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π

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Caso Particular Reducción de la Mitad de la Respuesta.

β= ⇒

ln ( vi vi + m ) 2π ⋅ m

⎛ v ⎞ 1 ⋅ ln ⎜ i ⎟ = β 2π ⋅ m ⎝ vi 2 ⎠

⇒m=

ln ( 2 ) 2π ⋅ β

Tabla 2.2: Valores para β

β

ln(2) 2π ⋅ β

0,01 0,05 0,10

11,03 2,2 1,1

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3.11. ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación de movimiento de un sistema de 1GDL con amortiguamiento es:

m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = f (t )

Para la solución homogénea se tiene:

m ⋅ v1 (t ) + c ⋅ v1 (t ) + k ⋅ v1 (t ) = 0 v ( 0) = v 0

(1)

v ( 0) = v 0 Para la solución particular:

m ⋅ v 2 (t ) + c ⋅ v 2 (t ) + k ⋅ v 2 (t ) = f (t ) v ( 0) = 0

(2)

v ( 0) = 0 Sumando ambas soluciones:

(1) + (2) ⇒ m ⋅ (v1 (t ) + v 2 (t ) ) + c ⋅ (v1 (t ) + v 2 (t ) ) + k ⋅ (v1 (t ) + v 2 (t ) ) = 0 + f (t ) v(0) = 0 + v 0

v(0) = 0 + v 0

v(t ) = v1 (t ) + v 2 (t ) ⇒ m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = C i ⋅ f (t ) v(t ) = C i ⋅ v(t )

n

⇒ m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = ∑ C i f i (t )

v(t ) = ∑ C i ⋅vi (t )

i =1

3.12. EXITACIÓN ARMONICA C=0 Ecuación de equilibrio dinámico:

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33

m ⋅ v (t ) + c ⋅ v (t ) + k ⋅ v (t ) = f (t ) f (t ) = P0 sin(ω ⋅ t ) c = 0 Resolviendo:

⇒ m ⋅ v (t ) + k ⋅ v(t ) = P0 sin(ω ⋅ t ) ⇒ v h (t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t ) + B ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⇒ v p (t ) = G ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⇒ v p (t ) = −G ⋅ ω 2 ⋅ sin(ω ⋅ t ) Reemplazando la solución particular:

⇒ sin(ω ⋅ t ) ⋅ ⎡⎣ −G ⋅ ω 2 ⋅ m + G ⋅ k ⎤⎦ = P0 ⋅ sin(ω ⋅ t ) P0

⇒G =

⎡ ω ⋅m⎤ k ⋅ ⎢1 − k ⎥⎦ ⎣ 2

=

P0 ⎡ ω2 ⎤ k ⋅ ⎢1 − 2 ⎥ ⎣ ω ⎦

Luego, el desplazamiento total está dado por:

⎛ ⎜ P0 ⎜ 1 v(t ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t ) + B ⋅ cos(ω ⋅ t ) + ⋅ ⎜ k ⎜ ⎛ ω ⎞2 ⎜1− ⎜ ω ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ Si:

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⎟ ⎟ ⎠

v(0) = v 0 = 0 v(0) = v 0 = 0

⎛ ⎜ P0 ⎜ 1 ⇒ v (t ) = ⋅⎜ k ⎜ ⎛ ω ⎞2 ⎜1− ⎜ ω ⎟ ⎝ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎡ ω ⎤ ⎟ ⋅ ⎢sin(ω ⋅ t ) − ω ⋅ sin(ω ⋅ t )⎥ ⎣ ⎦ ⎟ ⎟ ⎠

Donde:

P0 : ∆ estático (∆est) k

1 ⎛ω ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ω ⎠

2

: Factor de amplificación dinámico (FAD).

FAD DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K Resonancia

34

Cuando

ω = 1 se alcanza la ω

resonancia del sistema, es decir, el FAD se vuelve infinito.

3.13. EXITACIÓN ARMONICA C ARBITRARIO Entonces, si se tiene:

P0 sin(ω ⋅ t ) ⎫ i ⋅ω ⋅t = P0 cos(ω ⋅ t ) + (P0 sin(ω ⋅ t ) ) ⋅ i ⎬ P0 ⋅ e P0 cos(ω ⋅ t )⎭ P c k ⇒ v (t ) + ⋅ v(t ) + ⋅ v(t ) = 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t m m m P ⇒ v (t ) + 2 ⋅ β ⋅ ω ⋅ v(t ) + ω 2 ⋅ v(t ) = 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t m m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) =

La solución particular es:

v p (t ) = G ⋅ e i⋅ω ⋅t ⇒ v p (t ) = G ⋅ i ⋅ ω ⋅ e i⋅ω ⋅t ⇒ v p (t ) = −G ⋅ ω 2 ⋅ e i⋅ω ⋅t Al reemplazar en la ecuación de movimiento:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

35

⇒ G ⋅ ei⋅ω ⋅t ⋅ ⎡⎣ −ω 2 + 2 ⋅ β ⋅ ω ⋅ ω ⋅ i + ω 2 ⎤⎦ =

⇒G=

P0 i⋅ω ⋅t ⋅e m

P0 1 ⋅ 2 2 m ⋅ω ⎛ ⎛ ω ⎞ ω ⎞ ⎜⎜ 1 − ⎜ ⎟ + 2 ⋅ β ⋅ ⋅ i ⎟⎟ ω ⎠ ⎝ ⎝ω ⎠

ω , entonces: ω P 1 v p (t ) = 0 ⋅ ⋅ ei⋅ω ⋅t 2 k (1 − γ + 2 ⋅ β ⋅ γ ⋅ i )

Si

γ =

⇒ v p (t ) =

P0 1 ⋅ ⋅ ei⋅ω ⋅t θ ⋅i k A ⋅e

A

θ

con : A=

(1 − γ ) + ( 2 ⋅ β ⋅ γ ) 2 2

2

⎛ 2 ⋅ β ⋅γ ⎞ 2 ⎟ ⎝ 1− γ ⎠

θ = tan −1 ⎜

Figura 2.17 Entonces:

P0 i ⋅ ω ⋅t −θ ) ⋅ D⋅e ( k 1 = con : D = A 1− γ 2 v p (t ) =

(

1

) + (2 ⋅ β ⋅γ ) 2

2

Con este resultado se tiene:

P0 ⋅ D ⋅ cos(ω ⋅ t − θ ) k P0 ⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) Si f (t ) = P0 ⋅ sin (ω ⋅ t ) ⇒ v p (t ) = k Si f (t ) = P0 ⋅ cos (ω ⋅ t ) ⇒ v p (t ) =

En resumen:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

36

⎧ P0 sin(ω ⋅ t ) ⎪ m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = ⎨ P0 cos(ω ⋅ t ) ⎪ i ⋅ω ⋅t ⎩ P0 ⋅ e El desplazamiento es:

v(t ) = e

−ω ⋅ β ⋅t

⎧sin(ω ⋅ t ) P0 ⎪ ⋅ ( A ⋅ sin (ω ⋅ t ) + B ⋅ cos(ω ⋅ t )) + ⋅ D ⋅ ⎨cos(ω ⋅ t ) k ⎪e i⋅ω ⋅t Transiente ⎩ Permanente

D=

D max ⇒ γ = 1 − 2 ⋅ β 2 ≈ 1

1

(1 − γ ) + ( 2 ⋅ β ⋅ γ ) 2 2

2

⇒ D max =

1 2 ⋅ β ⋅ 1− β 2

≈

1 2⋅ β

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

37

3.14. EXITACION ARMONICA REGIMEN PERMANENTE

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

38

Analizando

m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = f (t ) , con f (t ) = P0 sin(ω ⋅ t )

P0 ⋅ D ⋅ sin(ω ⋅ t − θ ) k P ⇒ v p (t ) = 0 ⋅ D ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t − θ ) k P ⇒ v p (t ) = − 0 ⋅ D ⋅ ω 2 ⋅ sin(ω ⋅ t − θ ) k ⇒ v p (t ) =

I v

v

R v ω ⋅t − θ

⇒ m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = P0 sin(ω ⋅ t ) ⇒ FI (t ) + FD (t ) + FE (t ) = f (t ) ⇒ FI (t ) + FD (t ) + FE (t ) − f (t ) = 0 Todos los vectores giran con velocidad

ω ⋅t

I FI

FD = c

P0

P0 Dω k

R

ω ⋅t θ FE

Analizando según el valor de θ , se tienen los siguientes casos:

1) θ =

π 2

:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

39

⎛ 2 ⋅ β ⋅γ ⎞ ⎟ 2 ⎟ 1 γ − ⎠ ⎝

Como θ = tan −1 ⎜⎜

⇒ γ =1

I FI

FD

⇒ Se produce resonancia.

π 2

R

P0 FE

3.15.

ANÁLISIS DE DISTINTOS CASOS

v m k

c

v g 0 sin (ω ⋅ t ) v g 0 sin (ω ⋅ t ) v g 0 sin (ω ⋅ t ) Figura 2.23 En el sistema mostrado en la figura la estructura tiene una ecuación de movimiento del tipo:

m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = P0 sin(ω ⋅ t ) P ⇒ vP (t ) = 0 ⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) k

P0 D k

v g (t )

t Figura 2.24

T

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

40

Si se tiene una aceleración aplicada a la estructura del tipo

⇒ m ⋅ (v (t ) + v g 0 ⋅ sin(ω ⋅ t )) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = 0

v g 0 ⋅ sin (ω ⋅ t ) :

⇒ m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = −m ⋅ v g 0 ⋅ sin (ω ⋅ t ) ⇒ v(t ) =

− m ⋅ vg 0 k

⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) = −v g 0 ⋅

D

ω2

⇒ v (t ) ≈∝ v g 0

⋅ sin (ω ⋅ t − θ )

D

Esto es la base de un acelerómetro. Para que funcione: β = 0,6 − 0,7 y ω debe ser muy grande

β = 0,6 − 0,7 1

( k >> m ). En la práctica se utilizan los FBA (Acelerómetros de fuerzas balanceadas).

0,6

ω ω

1 Figura 2.25

Si se tiene la misma estructura anterior con:

m ⋅ v (t ) + c ⋅ v(t ) + k ⋅ v(t ) = P0 sin(ω ⋅ t ) P ⇒ vP (t ) = 0 ⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) k

γ 2D

y además se tiene:

v P (t ) = v g 0 ⋅ sin (ω ⋅ t )

⇒ vP (t ) = −v g 0 ⋅ ω ⋅ sin (ω ⋅ t )

1

2

β = 0,6 − 0,7

Sumando ambas soluciones:

v (t ) = v (t ) + v (t ) T

m ⋅ (− v g 0 ⋅ ω 2 )

⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) k ⇒ v T (t ) = v g 0 ⋅ γ 2 ⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ )

⇒ v (t ) = − T

1

γ

Figura 2.26

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

41

Para que el resultado obtenido funcione, la masa debe ser mucho mayor que la rigidez ( m >> k ) Este resultado se utiliza en medidores de desplazamientos inerciales, sismómetros o captadores de movimiento. 3.16.

AISLAMIENTO DE VIBRACIONES

Si se tiene la estructura mostrada en la figura 2.27, con particular está dada por:

v P (t ) =

P0 ⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) k

P(t ) = P0 ⋅ sin(ω ⋅ t ) , la solución

P(t)

Entonces, las fuerzas son:

k

FE (t ) = k ⋅ v p (t ) P0 ⋅ D ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t − θ ) k Como FE y FD están a 90 grados:

c

FD (t ) = c ⋅

⇒ FR =

FD 2 + FE

FR (t )

2

Figura 2.27

( FR es la fuerza resultante) 3.17. RESPUESTA EN RESONANCIA

v(t ) P(t ) = P0 ⋅ sin (ω ⋅ t )

Figura 2.28 Dado:

v(t ) = e − β ⋅ω ⋅t ⋅ ( A ⋅ sin (ω D ⋅ t ) + B ⋅ cos(ω D ⋅ t )) +

P0 ⋅ D ⋅ sin (ω ⋅ t − θ ) k

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

42

En resonacia

y

D=

ω =ω ⇒θ =

π

2 ⇒ P(t ) = FD (t )

1

(1 − γ ) + (2 ⋅ β ⋅ γ ) 2 2

2

=

1 2⋅ β

Si las condiciones iniciales son nulas:

v(0) = v 0 = 0 v(0) = v 0 = 0 Entonces:

v(t ) =

⎫⎪ ⎞ 1 P0 ⎧⎪ − β ⋅ω ⋅t ⎛ β ⋅ ⋅ ⎨e ⋅⎜ ⋅ sin (ωD ⋅ t ) + cos (ωD ⋅ t ) ⎟ − cos (ω ⋅ t ) ⎬ ⎜ 1− β 2 ⎟ 2⋅ β k ⎪ ⎪⎭ ⎝ ⎠ ⎩ v est

Si:

β T 2

vmax

⎛ ⎜ ⎜ P0 ⎜ 1 = ⎜ − 2 k ⎜ ⎛ω ⎞ ⎜1− ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ω ⎟ ⎝ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2π ⎟ sen ⎜ ω 1+ − ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ω ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

Para que ocurra Fase II

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

55

t1 wi {φ i } [M ] = {φi } [K ] //Matriz [M ] y [K ] simétricas.//Multiplicando por {φ } j 2

T

T

(1) .

=> wi2 {φ}i [ M ]{φ } j = {φ}i [ K ]{φ } j T

T

Consideremos la ecuación para el modo j

w 2j [M ]{φ } j = [K ]{φ } j

// pre-multiplicando por {φ }i

T

=> w 2j {φ }i [M ]{φ } j = {φ }i [K ]{φ } j T

T

(2)

Restando (2) – (1)

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

80

w 2j {φ }i [M ]{φ } j − wi2 {φ }i [M ]{φ } j = 0. T

(w si i

2 j

T

− wi2 ){φ }i [M ]{φ } j = 0 T

j => wi

wj.

=> {φ }i [M ]{φ } j = 0

(3)

T

Ortogonalidad de modos respecto a la matriz de masa [M].

Introduciendo (3) en (1)

{φ }Ti [K ]{φ } j

=0

si i

j

Ortogonalidad de modos respecto a la matriz de rigidez [K].

[K ]{φ } j = { f } j

Consideremos: => {φ }i { f } j = 0 T

El Trabajo de las “fuerzas” que producen deformación del modo {ф}j por los desplazamientos del otro modo {ф}i, es nulo.

[φi ]T [K ][φ j ] = [φi ]T [M ][φ j ] =

ki → i = j

k i Rigidez modal

0→i≠ J mi → i = j

mi Masa modal

0→i ≠ j

10.3. Normalización Modal n

{φ }Ti [M ]{φ } j = {φ }Ti [M ]{φ }i = ∑ m jφ ji2 j =1

Si normalizamos los modos talque:

{φ '}i

{φ }i

=

n

∑m φ j =1

=> {φ '}i [M ]{φ '}i = 1

j

2 ji

=> wi2 {φ '}i [ M ]{φ '}i = {φ '}i [ K ]{φ '}i T

T

=> wi2 = {φ '}i [ K ]{φ '}i T

T

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

81

10.4. Coordenadas modales

La respuesta de una estructura de puede ver como una combinación de todas sus formas de vibrar. n ⎧ ⎫ ⎨ y (t ) = ∑ y i (t )[φi ]⎬ i =1 ⎩ ⎭ [v(t )] = y1 (t ) [φ1 ] + .... + yi (t ) [φi ] + ...

[φi ]T [M ][v(t )] = [φi ]T [M ]y1 (t )[φ1 ] + .... + [φi ]T [M ]yi (t )[φi ] + ... Donde por ortogonalidad todos los términos son = 0, menos [φi ] [M ]yi (t )[φi ] T

[φi ] [ M ][ v(t )] = M i yi (t ) T

//Mi masa modal

Luego

[φ ] [ M ][ v(t )] y (t ) = i T

i

Mi

[φ ] [ M ][ v(t )] y (t ) = i T

i

Mi

10.5. ¿Como resolvemos?

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

82

⎡v1 (t ) ⎤ ⎢v (t )⎥ = [φ ]y (t ) + [φ ]y + [φ ]y (t ) 1 1 2 2 3 3 ⎢ 2 ⎥ ⎢⎣v3 (t ) ⎥⎦ 1) Encontrar [M ], [K ], [P (t )]

[ M ][v (t )] + [C ][v(t )] + [ K ][ v(t )] = [ P(t )] 2) Platear problemas de valores propios sin amortiguamiento (la aproximación es muy buena)

{[K ] − w [M ]}{φ } = 0. 2 i

i

3) Encontrar todas las formas modales

[w ] , [φ ] 2

M i = [φi ] [ M ][φi ] T

i =1…n

K i = wi2 M i

Pi (t ) = [φ i ] [P(t )] T

i = 1…n

4) Encuentro las coordenadas iniciales para cada forma modal.

[φ ] [ M ][v(0)] y (0) = i T

i

Mi

[φ ] [ M ][v(0)] y (0) = i T

;

i

Mi

β i i =1…n

[φi ] [ M ][φi ] yi (t ) + [φi ] [C ][φi ] yi (t ) + [φi ] [ K ][φi ] yi (t ) = [φi ] T

T

T

T

Pi (t )

M i yi (t ) + Ci yi (t ) + K i yi (t ) = Pi (t ) yi (t ) + 2 wi β i yi (t ) + wi2 yi (t ) = Pi (t ) / M i

i = 1…n

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

83

[v(t )] = ∑ yi (t ) [φi ] [v(t )] = ∑ yi (t ) [φi ] [v (t )] = ∑ yi (t ) [φ ] f E (t ) = [ K ][ v(t ) ]

[ f E (t )] = ∑ f Ei (t ) = ∑ [ K ] yi (t ) [φi ]

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

84

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

85

10.6. ¿Como calculamos la matriz de amortiguamiento? Tenemos que desacoplar el problema (usando la ortogonalidad de las formas modales)

[φi ] [ M ][φi ] yi (t ) + [φi ] [C ][φi ] yi (t ) + [φi ] [ K ][φi ] yi (t ) = [φi ] T

T

T

T

Pi (t )

10.6.1. Amortiguamiento Proporcional de Rayleigh Decimos que [C] es combinación lineal de [M] y [K].

[C ] = a[M ] + b[K ] Ci =

[φ ] [C ][φ ] = [φ ] {a[M ] + b[K ]}φ T

j

T

i

j

i

ami + bk i → i = j

0→i ≠ j

1 1 b Ci = β i → β i = a + wi 2mi wi 2 wi 2 Si asumo 2 β i con los ωi obtengo a y b. La matriz de Rayleigh tiene las mismas propiedades de ortogonalidad que [M] y [K], es decir:

[φ ] [C ][φ ] = T

j

βi =

i

Ci → i = j

0→i≠ j

⎤ 1⎡ 1 ⎢ a + wi b ⎥ 2 ⎣ wi ⎦

⎡ 1 ⎡ β i ⎤ 1 ⎢ wi ⎢β ⎥ = ⎢ 1 ⎣ j⎦ 2⎢ ⎢⎣ w j

⎤ wi ⎥ ⎡a ⎤ ⎥⎢ ⎥ w j ⎥ ⎣b ⎦ ⎥⎦

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86

10.6.2. Amortiguamiento Proporcional de Caughy

[C ] = ∑ [Cb ] = [M ]∑ ab [[M ]−1 [K ]]

b

βi =

1 2wi

∑a w b

2b i

b

Para ajustar: 2 β → b = 0,1 3 β → b = −1,0,1 4 β → b = −2,−1,0,1 o − 1,0,1,2

β1 =

1 1 ⎡⎣ a0 + a1w12 ⎤⎦ ab w12b = ∑ 2w1 b =0,1 2w1

β2 =

1 ⎡ a0 + a1w22 ⎤⎦ 2 w2 ⎣ 10.6.3. Amortiguamiento Proporcional de Penzien - Wilson

Conozco todos los β i

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87

→ conozco [C ]

β i Para i = 1,…,n

Luego:

[φ ]T [C ][φ ] = α 0 ⎡2 β 1 w1 m1 0 ⎤ ⎢ ⎥ [α ] = ⎢ 0 .... 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 2 β n wn mn ⎥⎦ Luego, se puede calcular [C] como:

[C ] = {[φ ]T } [α ][φ ]−1 −1

Se puede demostrar que:

[C ] = [[M ][φ ][M i ]−1 ]α [[M i ][φ ]T [M ]]

[M i ] = [φ ]T [M ][φ ] [M i ]−1 = [[φ ]T [M ][φ ]]

−1

[M i ]T [M i ] = [I ] [M i ][φ ][M ][φ ] = [I ] [M i ]T [φ ]T [M ] = [φ ]−1

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88

11. RESPUESTA SISMICA PARA UN SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

⎡⎣ v T ⎤⎦ = [ v ]nx1 + [ r ]nx1 vg (t )1x1 nx1 ⎡1⎤ [ r ] = ⎢⎢1⎥⎥ ⎢⎣1⎥⎦

[ M ] ⎡⎣v T (t ) ⎤⎦ + [C ][ v(t )] + [ K ][v(t )] = [ 0] [ M ] ⎡⎣v (t ) + [ r ] ⎡⎣vg (t ) ⎤⎦ ⎤⎦ + [C ][v(t )] + [ K ][v(t )] = [ 0]

[ M ][ v (t )] + [C ][ v(t )] + [ K ][v(t )] = − [ M ][ r ] vg (t ) = ⎡⎣ Pefectivo (t ) ⎤⎦ [v(t )] = [φ ][ y (t )]

{[ K ] − w [ M ]}[φ ] = [0] 2 1

[φi ] [ M ][φi ] yi (t ) + [φi ] [C ][φi ] yi (t ) + [φi ] [ K ][φi ] yi (t ) = − [φi ] [ M ][ r ] vg T

T

M i yi (t ) + Ci yi (t ) + K i yi (t ) = − Li vg (t )

T

T

i =1…n

M i C i K i : Masa, Disipación y Rigidez modal Li : Factor de participación modal Solución Integral de Duhamel.

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89

yi =

−1 Li vg (τ ) * e − βi wi (t −τ ) sen( wD (t − τ ))dτ ∫ M i wdi 0

yi =

Li V ( βi , wi , vg ) M i wi

t

⎧ Li ⎫ Vi (t ) ⎬ ⎩ M i wi ⎭

[v(t )] = ∑ [φi ] yi (t ) = ∑ [φi ] ⎨

⎧ L ⎫ FE (t ) = [K ][v(t )] = ∑ [K ][φi ]⎨ i Vi (t )⎬ ⎩ M i wi ⎭ ⎧ wi2 Li ⎫ FE (t ) = ∑ [M ][φ i ]⎨ Vi (t )⎬ ⎩ M i wi ⎭ La ventaja de esto, es que [M] es diagonal y [K] no. 11.1.1. Cortante basal:

Q(t ) = [1] [ FE (t ) ] T

→ [1]

T

→ Q(t ) = ∑ n

M total = ∑ i =1

⎧ Li wi

∑ [ M ][φ ] ⎨ M i

⎩

i

⎫ Vi (t ) ⎬ ⎭

L2i wV i i (t ) Mi

L2i T = [1] [M ][1] La norma exige un 90 o 95 % Mi

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

90

11.1.2. RESPUESTA ESPECTRAL Espectros

vi = ∑ [φi ] yi

vi = [φi ]

Li Sd ( β i , Ti )i Mi

11.1.3. COMBINACION MODAL ABS

[v ] = ∑ vi

→ Conservador, pues sabemos que sumando todos los máximos, nunca se va a

tener respuestas mayores

SRSS:

(

[v ] = ∑ vi

)

1 2 2

NCH433 OF 72

[v ]NCH 1972

1⎛ = ⎜ ∑ vi + 2 ⎜⎝

(∑ v )

1 2 2

i

⎞ ⎟⎟ ⎠

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91

CQC 1

⎛ V = ⎜⎜ ∑ ⎝ i

⎞2 ∑j (ρ ijViV j )⎟⎟ CQC ⎠

Donde:

ρ ij =

r=

8β r 2

3 2

(1 + r )(1 − r )2 + 4βr (1 + r )

Ti Tj

X= pij =

∑∑ i

j

pij X i X j

8ξ 2 r 3/ 2 (1 + r )(1 − r ) 2 + 4ξ 2 r (1 + r )

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92

12. VECTOR DE INFLUENCIA R Para la siguiente estructura, se tiene:

m1 + m2 0 ⎤ m1⎥⎦ ⎣ 0

[M ] = ⎡⎢

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93

[FI (t )] = [M ][v' 'T (t )] = [M ][v' ' (t )] + [r ]v g ' '

Caso 2)

m1 + m 2 0 ⎤ m1⎥⎦ ⎣ 0

[M ] = ⎡⎢

[FI (t )] = [M ][v' ' (t )] = [M ][v' ' (t )] + [r ]vg ' ' Para este caso, ¿Cuánto vale [r]?

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

94

13. CONDENSACIÓN ESTÁTICA

[K ][v(t )] = [FE (t )] ⎡[K 00 ] ⎢[K ] ⎣ 10

[K 01 ]⎤ ⎡[v0 (t )]⎤ ⎡ I 0 (t ) ⎤ = [K11 ]⎥⎦ ⎢⎣[v1 (t )]⎥⎦ ⎢⎣ I 1 (t ) = 0⎥⎦

[K10 ][v0 (t )] + [K11 ][v1 (t )] = [F1 (t )] = [0] [v1 (t )] = −[K11 ]−1 [K10 ][v0 (t )]

[K 00 ][v0 (t )] − [K 01 ][K11 ]−1 [K10 ]−10 [v0 ] = [F0 (t )]

{[K

00

] − [K 01 ][K11 ]−1 [K10 ]}[v0 ] = [F0 (t )]

⎤ ⎡[I ] [v(t )] = [T ][v0 ] = ⎢ ⎥[v 0 ] −1 ⎣− [K 11 ] [K 10 ]⎦

[K~ ] = [T ]

T nxn

[K ]nxn [T ]nxn

[T ] , no depende del tiempo, entonces: DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

95

[v] = [T ][v0 ] [v'] = [T ][v'0 ] [v' '] = [T ][v' '0 ]

[C~] = [T ] [C ][T ] [M~ ] = [T ][M ][T ] T

Ejercicio #7 condensación.

k13 ⎤ ⎡v1 ⎤ ⎡ R1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ k 23 ⎥ ⎢v 2 ⎥ = ⎢ R2 ⎥ k 33 ⎥⎦ ⎢⎣v3 ⎥⎦ ⎢⎣ R3 = 0⎥⎦

⎡ k11 ⎢k ⎢ 21 ⎢⎣ k 31

k 22

[k 31

⎡v1 ⎤ k 32 ]⎢ ⎥ + k 33θ 3 = 0 ⎣v 2 ⎦

k12 k 32

De ahí se despeja el GDL que condensamos.

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96

14. TORSIÓN

m = γab 1 I0 = m a2 + b2 12 0 0⎤ ⎡m ⎢ 2 [M ] = ⎢ 0 mr 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 m⎥⎦

(

)

k11 = ∑ (k ix * 1) k 31 = 0

k 21 = −∑ (k xi y i )

k3 = 1

k 33 = ∑ k yi

k 23 = ∑ k yi xi k2 = 1 DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

97

k 22 = ∑ (k xi y i2 + k yi xi2 + kθ )

⎡ ∑ k xi [K ] = ⎢⎢− ∑ k xi yi ⎢ 0 ⎣

− ∑ k xi yi k 22 ∑ k ji xi

⎤ ⎥ ∑ k yi xi ⎥ ∑ k yi ⎥⎦ 0

k = k1 + k 2

k x = ∑ k xi

k y = ∑ k yi

(

kθ = ∑ k xi y i2 + k yi xi2 + kθ

)

k x e y = ∑ k xi y i

k y e x = ∑ k yi xi ⎡ kx [K ] = ⎢⎢− e y k x ⎢ 0 ⎣

− ey k x kθ ex k y

0 ⎤ ⎥ ex k y ⎥ k y ⎥⎦

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

98

En la practica no se permite el desplazamiento relativo en los ### de pisos consecutivos mas allá de

2hi hi en ninguna dirección ni el giro relativo mas allá del 100 1000

Ejemplo:

r= ⎡1 0 [M ] = ⎢⎢0 r 2 ⎢⎣0 0

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦

I0 m

kθ = 0 kx = ky = k m =1 a = 10

k1 = 1

k11 = 3k k 31 = 0 k 21 = k

a a a a +k −k = k 2 2 2 2

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

99

k3 = 1

k 33 = 3k k 23 = −ka k13 = 0 k2 = 1

2

k 22

2

⎛a⎞ ⎛a⎞ ⎛a⎞ = ka + k ⎜ ⎟ + ka 2 + k ⎜ ⎟ + ka 2 + k ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

2

2

⎡ ⎢ 3k ⎢ [K ] = ⎢ ak ⎢2 ⎢0 ⎢ ⎣

ak 2

⎛ a2 3⎜⎜ ka 2 + k 4 ⎝ − ak

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎤ 0 ⎥ ⎥ − ak ⎥ ⎥ 3k ⎥ ⎥ ⎦

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

100

⎡3 5 ⎢ 1500 [K ] = K ⎢5 ⎢0 −410 ⎣

0 ⎤ ⎥ − 10⎥ 3 ⎥⎦

K = 1.

⎡1 0 0 ⎤ [M ] = ⎢⎢0 100 0⎥⎥ ⎢0 60 1⎥ ⎦ ⎣ ⎡1.3 ⎤ → T = ⎢⎢3.6⎥⎥ ⎢⎣3.8⎥⎦ ⎡ 0.21 0.89 − 0.45⎤ [φ ] = ⎢⎢ 0.87 0 0.03 ⎥⎥ ⎢⎣− 0.43 0.45 0.9 ⎥⎦

6.11Excentricidades:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

101

ex =

1 ky

∑k

yi

xi = −

10 ak =− 3k 3

a 1 10 ey = k xi y i = − 2 = − ∑ kx 3k 6 k

⎛ 10 10 ⎞ CR0 = ⎜ − ,− ⎟ . 6⎠ ⎝ 3 Si tenemos un impacto:

[M ][v' '] + [C ][v'] + [K ][v] = [P(t )]

[K − w M ]φ 2 i

i

=0

En caso de terremoto:

⎡v g 1 ' ' ⎤ [P(t )] = [M ][r ]⎢⎢vθ ' ' ⎥⎥ ⎢v g 3 ' '⎥ ⎣ ⎦

En este caso [r ] es una matriz identidad: 3 ⎛ L ⎞ y i (t ) = ∑ ⎜⎜ i Vi ⎟⎟ i =1 ⎝ M i wi ⎠

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

102

15. MÉTODO DE RAYLEIGH

v(t ) = z 0 sen( wt ) v' (t ) = z 0 w cos( wt ) E. cinética

E k (t ) =

1 mv' (t ) 2 2

E. potencial

E p (t ) =

1 2 Kv (t ) 2

E v max = E E k max = E →

debe cumplirse pues el máximo de una se encuentra cuando la otra es cero.

1 1 1 2 2 2 K v = m v' = mw 2 v 2 2 2

⇒ w2 =

K m

A partir de la energía obtenemos la frecuencia Este método parte de que puedo descubrir para cualquier estructura los modos de vibrar para cualquier tiempo, esto es: -supongo una forma de vibrar φ (x) , luego

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

103

v( x, t ) = φ ( x) y (t ) = φ ( x) z 0 sen( wt )

1 ⎛ δv ⎞ E k (t ) = ∫ m( x)δx⎜ ( x, t ) ⎟ 2 ⎝ δt ⎠ 0 l

2

l

1 2 → ∫ m( x)[φ ( x) z 0 w cos( wt )] δx = E k (t ) 20 l

Ek =

1 2 2 z 0 w ∫ φ ( x) 2 m( x)δx 2 0

→ Falta calcular la energía potencia:

Ev =

1 K∆2 2

Ev =

1 1 1 M θ = ( K θ θ )θ = K θ θ 2 2 2 2

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

104

l

1 E v = ∫ M ( x)θ ( x)δx 2 0 M ( x) = EI ( x)

δ 2v ( x, t ) δt 2 2

l ⎞ ⎛ δ 2v 1 E v = ∫ EI ( x)⎜⎜ 2 ( x, t ) ⎟⎟ δx 20 ⎠ ⎝ δt → Reemplazando el φ ( x) que supuse:

l

1 → E v = ∫ EI ( x) z 02 sen 2 ( wt )[φ ' ' ( x)]δx 20 l

1 2 EI ( x) z 02 [φ ' ' ( x)] δx 2 ∫0

→ Ev =

Ek = Ev l

∫ EI ( x)[φ ' ' ( x)] δx 2

→ w2 =

0

l

∫ M ( x)φ

2

( x)δx

=

K* M*

0

Ejemplo: viga simplemente apoyada.

Construimos φ como una parábola talque cumpla las condiciones de borde en los apoyos.

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

105

⎛ x ⎞⎛ ⎝ L ⎠⎝

x⎞ L⎠

φ ( x) = ⎜ ⎟⎜1 − ⎟ =

→ φ ' ' ( x) = − w2 =

x x2 − L L2

2 = cte L2

120 EI ML4

EIφ ( x) = M = cte → No puede ser. → φ Definido no sirve Veamos φ como una sinusoide.

sen(

φ ( x) =

πx L

)

⎛π ⎞ ⎛ πx ⎞ φ ' ' ( x) = ⎜ ⎟ sen⎜ ⎟ 2

⎝ L⎠

w 2 = 97.4

EI mL2

⎝L⎠

La frecuencia menos es la que mas se acerca a la forma de vibrar real.

k1 = 375 k 2 = 192

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

106

⎡1 ⎤ ⎥ como primer modo. ⎣0.9⎦

Nos damos un [φ1 ] = ⎢

Ek =

1 ∑ mi v ' i 2

2

=

1 mi w 2 v i ∑ 2

2

1 2 z 0 ∑ mi [φ i ]w 2 2 1 50.5 2 2 →= z 0 w 2 50 * 0.9 2 + 10 * 12 = z 0 w * 1000 2 2 →=

[(

)

]

[Ev ] = 1 [∑ k piso ( vi − vi −1 )2 ]

2 1 2 2 →= z 0 ∑ k piso (φ i − φ i −1 ) 2 1 2 2 →= z 02 3750(1 − 0.9 ) + 1920(0.9 ) * 1000 2 1 →= z 02 1592.7 * 10 3 2

[

]

Luego

w2 =

1592.7 = 31.54 50.5

w = 5.6 rad/seg (para el primer modo)

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

107

16. SISTEMAS CONTINUOS Se tiene el siguiente estado de cargas:

Luego, con un diagrama de cuerpo libre se identifican las fuerzas que intervienen en el sistema, trabajando siempre, sobre el eje neutro

Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

108

∑F

y:

→ V ( x, t ) + P ( x , t ) = V ( x , t ) +

δV δx + f I ( x, t )δx δx

Despejando se obtiene

→ P ( x, t ) =

δV + f I ( x, t ) → (1) δx

Pero, se sabe

f I ( x, t ) = m( x )

δ 2v ( x, t ) δt 2

Luego haciendo sumatoria sobre los momentos a los que esta sometido el cuerpo:

∑M

0

:

− M ( x, t ) +

δV δMδx P ( x, t )δxδx f I ( x, t )δxδx δxδx + M ( x, t ) + − − V ( x, t )δx − =0 δx δx 2 2

Con lo que se obtiene

→

δM ( x, t ) = V ( x, t ) → (2) δx

Sabemos además (ecuación de la elástica)

M ( x, t ) = EI ( x)

δ 2 v ( x, t ) → (3) δx 2

Sustituyendo en (3) y (2) en (1)

m( x )

δ 2v δ2 ( x , t ) + δt 2 δx 2

⎤ ⎡ δ 2v EI ( x ) ( x, t ) ⎥ = P ( x, t ) ⎢ 2 δx ⎦ ⎣

Caso básico:

δ 2v δ4 ~ m 2 ( x, t ) + EI 4 ( x, t ) = P( x, t ) δt δx

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

109

Solución homogénea 2 4 ~ δ v ( x, t ) + EI δ v ( x, t ) = 0 m δt 2 δx 4

Solución del tipo: v( x, t ) = φ ( x) y (t )

~ y ' ' (t )φ ( x) + EIφ 4 ( x) y (t ) = 0. m 4 ~ y ' ' (t ) = − φ ( x) = − a 4 = cte m φ ( x) EIy (t )

De lo anterior se obtienen 2 ecuaciones, una en función del tiempo, la otra función del espacio. y (t ) y φ (x) respectivamente

y ' ' (t ) + a 4

EI y (t ) = 0 QQQ

φ 4 ( x ) − a 4φ ( x ) = 0

→ Solución del tipo

y (t ) = Asen( wt ) + B cos(wt )

→ Solución del tipo φ ( x) = Ae xb

Ab 4 e xb − a 4 Ae xb = 0

(b

)

− a 4 φ ( x) = 0 → b 4 = a 4 → b = {a,−a, ia,−ia}

φ ( x) = A1e ax + A2 e − ax + A3 e −iax + A4 e iax

φ ( x) = A1e ax + A2 e − ax + A3 {cos(ax) − isen(ax)} + A4 {cos(ax) + isen(ax)}

φ ( x ) = A1e ax + A2 e − ax + B3 sen ( ax ) + B4 cos( ax ) φ ( x ) = B1senh ( ax ) + B2 cosh( ax ) + B3 sen ( ax ) + B4 cos( ax )

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

110

cosh( x) =

e x + e−x 2

senh( x) =

e x − e−x 2

Resolvemos para viga simplemente apoyada.

Condiciones de borde en x = 0:

v(0, t ) = 0 → y (t )φ (0) = 0 M (0, t ) = 0 → EIy (t )φ ' ' (0) = 0

φ (0) = B1 * 0 + B2 *1 + B4 *1 + B3 * 0 = 0 → B2 + B4 = 0

(1)

φ ' ' (0) = B1 a 2 * 0 + B2 a 2 − B4 a 2 − B3 a 2 * 0 = 0 → B2 = B4 = 0

(2)

Condición de borde en x = L.

v( L, t ) = 0 → y (t )φ ( L) = 0 M ( L, t ) = 0 → EIφ ' ' ( L) = 0

φ ( L) = B1 senh(aL) + B3 sen(aL) = 0 (3) φ ' ' ( L) = B1 a 2 senh(aL) − B3 a 2 sen(aL) = 0 (4) → 2 B1 senh(aL) = 0 → B1 = 0 ⎧ B3 = 0 ⎫ ⎪ ⎪ B3 sen(aL) = 0 → ⎨ nπ ⎬ ⎪⎩aL = nπ → a = L ⎪⎭ DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

111

⎛ nπ ⎞ x⎟ ⎝ L ⎠

φ ( x) = B3 sen⎜

w2 =

a 4 EI n 4π 4 EI n 2π 2 = 4 → 2 m L m L

EI m

Tenemos infinitos modos, como corresponde a una viga en un sistema continuo. Los primeros 3 serian:

⎛ πx ⎞ ⎟ ⎝L⎠

φ ( x) = Bsen⎜

⎛ 2πx ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠

φ ( x) = Bsen⎜

⎛ 3πx ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠

φ ( x) = Bsen⎜

Para el caso de una viga “cantilever”

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

112

En x = 0, el desplazamiento y la flexión es nula

v(0, t ) = 0 → φ (0) = 0 → B2 + B4 = 0 v' (0, t ) = 0 → φ ' (0) = 0 → B1 = − B3 En el extremo libre: momento nulo

M ( L, t ) = 0 → EIφ ' ' ( L) = 0 B3 sen(aL) + B4 (cos(aL) + cosh(aL) ) = 0

Corte nulo:

V ( L, t ) = 0 → EIφ ' ' ' ( L) = 0 B(cos(aL) + cosh(aL) ) + B(− sen(aL) + senh(aL) ) = 0 Rescribiendo:

⎡ sen(aL) + senh(aL) cos(aL) + cosh(aL) ⎤ ⎡ B3 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ cos(aL) + cosh(aL) − sen(aL) + senh(aL)⎥ ⎢ B ⎥ = ⎢0⎥ ⎦⎣ 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

113

→ 1 + cosh(aL) cos(aL) = 0 a1 L = 1.8751 a 2 L = 4.6941 a3 L = 7.8548 a 4 L = 10.996 Para n>4 a n L ≈ (2n − 1)

⎡

π 2

φ n ( x) = B3 ⎢cosh(a n x) − cos(a n x) − ⎣

⎤ cosh(a n L) + cos(a n L) (seh(a n x) − sen(a n x )⎥ senh(a n L) + sen(a n L) ⎦

16.1.1. .Demostrando ortogonalidad. Sea una viga cuya deformada tenga la siguiente forma:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

114

v( x, t ) = Y (t )φ ( x) = z i sen( wi t )φ i ( x) f I ( x, t ) = m( x) wi2 z i sen( wi t )φ i ( x) v i ( x, t ) = z i φ i ( x ) f I ( x, t ) = z i wi2 m( x)φ i ( x) v j ( x, t ) = z j φ j ( x ) f i ( x, t ) = z j φ j w 2j m( x) L

∫ 0

L

f i ( x, t )v j (t , x)δx = ∫ f j ( x, t )vi ( x, t )δx

(Betty)

0

L

L

0

0

2 2 ∫ m( x) z i wi φi ( x)φ j ( x) z j δx = ∫ m( x) z j w j φ j z iφiδx

L

( wi2 − w 2j ) ∫ m( x)φi ( x)φ j ( x)δx = 0 0

i = j → ∫ m( x)φi ( x)δx ⇒ Masa modal 2

i ≠ j → ∫ m( x)φiφ j δx = 0

δ 2v δ2 m( x ) 2 ( x, t ) + 2 δt δx

⎛ ⎞ δ 2v ⎜⎜ EI ( x) 2 ( x, t ) ⎟⎟ = P( x, t ) δx ⎝ ⎠

v( x, t ) = φ ( x) y (t )

φ ( x) Asen(ax) + B cos(ax) + C cosh(ax) + Dsenh(ax) Condiciones de borde → w Condiciones iniciales.

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

115

∫ m( x)φ ( x)φ i

∫ mφ

2 i

m( x )

j

( x)δx =

Mi → i = j 0→i≠ j

Para wi ≠ w j

( x)δx = M i

δ 2v δ2 (EI ( x)v' ' ( x, t ) ) = 0 ( x , t ) + δt 2 δx 2

Pero vi = φi ( x) y i (t )

⎡

∫ φ j ( x)δx ⎢m( x) yi ' ' (t )φ ( x) + ⎣

⎤ δ2 (EI ( x) yi (t )φ ' ' ( x) )⎥ = 0 2 δx ⎦

y i ' ' (t ) ∫ m( x)φi ( x)φ j ( x)δx + y i (t ) ∫ φ j ( x) L

∫

* φ j ( x) 0

δ2 (EI ( x)φi ' ' ( x) )δx = 0 δx 2

⎧0 → i ≠ j δ2 (EI ( x)φi ' ' ( x) )δx = ⎨ 2 δx ⎩k i → i = j

El δx va a lo largo del eje neutro Integrando *, por partes

φ j ( x)

δ (EI ( x)φi ' ' ( x) ) δx

φ j ( x)Q( x)

m( x )

L 0

L 0

− ∫φ j '

δ (EI ( x)φi ' ' ( x) )δx = 0 δx

− φ j ' ( x)(EI ( x)φ ' ' ( x) )

δ 2v δ2 ( x , t ) + δt 2 δx 2

L 0

+ ∫ φ j ' ' ( x) EI ( x)φ i ' ' δx = 0

⎞ ⎛ δ 2v ⎜⎜ EI ( x) 2 ( x, t ) ⎟⎟ = P ( x, t ) δx ⎠ ⎝

∞

v( x, t ) = ∑ φi ( x) y i (t ) i =1

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

116

Luego la respuesta final real, se puede expresar como una suma de todas las respuestas asociadas a cada modo:

v( x,0) = v 0 ( x) = ∑ φi ( x) y i (t )

∫ m( x)φ ∫ m( x)φ y j ( 0) =

j

j

( x)v 0 ( x)δx = ∫ m( x)φ j ( x)(∑ φi ( x) y i (t ) )δx ( x)v 0 ( x)δx = y j (0) ∫ m( x)φ j2 ( x)δx

∫ m( x)φ ( x)v ( x)δx ∫ m( x)φ ( x)δx j

0

2 j

⎡δ2 (EI ( x)(∑ yi (t )φi ' ' ( x)))⎤⎥δx = ∫ P( x, t )φ j ( x)δx. 2 ⎦ ⎣ δx

∫ φ j m( x)(∑ φi ( x) yi ' ' (t ))δx + ∫ φ j ( x)⎢

(

)

y j ' ' (t ) ∫ m( x)φ j2 ( x)δx + y j (t ) w 2j M j = P * (t ) y j ' ' (t ) M j + w 2 M j y j (t ) = P * (t )

j = 1...∞

M j y j ' ' (t ) + 2 β j w j M j y j ' (t ) + w 2j M j y j (t ) = Pj * (t ) y j ( 0) =

∫ m( x)φ

j

( x)v 0 ( x)δx

Mj

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

117

FI ( x, t ) = m( x)v' 'T ( x, t ) = m( x) v' ' ( x, t ) + φ r ( x)v g (t ) → φr = 1

[

]

PEF ( x, t ) = − m( x)φ r ( x)v g ' ' (t )

16.1.2. Deformación por corte (distorsión angular)

Luego haciendo un diagrama de fuerzas, se tiene:

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

118

Con lo que se puede plantear las siguientes ecuaciones:

FI ( x, t )δx − V ( x, t ) + V ( x, t ) +

δV ( x, t )δx + P( x, t )δx = 0 δx

δ 2v δV (*) − m( x) ( x, t ) + ( x, t ) = − P ( x, t ) δt δx τ = Gγ

V ( x, t ) δv = G ( x ) ( x, t ) A' δx

δV δ ⎛ δv ⎞ ( x, t ) = ⎜ GA( x) ( x, t ) ⎟ δx δx ⎝ δx ⎠ 2 δ v δ ⎛ δv ⎞ (*) → m 2 ( x, t ) − ⎜ GA( x) ( x, t ) ⎟ = P( x, t ) δx ⎝ δx δt ⎠ mv' ' ( x, t ) − GA' v' ' ( x, t ) = P( x, t ) v( x, t ) = ∑ φ ( x) y (t ) ⎛

⎞ ⎛ m ⎞ m ax ⎟⎟ + B cos⎜⎜ ax ⎟⎟ ⎝ GA' ⎠ ⎝ GA ⎠

φ ( x) = Asen⎜⎜

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

119

17. TEMAS AVANZADOS

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

120

18. VECTORES RITZ DEPENDIENTES DE LA CARGA LOAD-DEPENDENT RITZ VECTORS Curso: CI72C/CI62V - Dinámica Avanzada de estructuras Autor: Rodrigo Carreño V. Rev: Rubén Boroschek K.

1. INTRODUCCIÓN: Para resolver un problema dinámico de varios GDLs, mediante superposición modal, hemos utilizado hasta ahora, como vectores de forma a superponer, a la solución exacta del problema de valores propios ([K]-ω2[M])·[Φ] = 0. Una de las desventajas principales en el uso de estos vectores, radica en que no toman en cuenta la distribución de carga dentro de la estructura, por lo cual su uso suele generar múltiples formas modales ortogonales a las cargas aplicadas, que no participan en la respuesta dinámica de la estructura, generando trabajo computacional adicional sin ninguna utilidad. En el presente resumen se pretende explicar la técnica de generación de vectores de Ritz dependientes de la carga, que corresponde simplemente al método de Rayleigh-Ritz mejorado, mediante una elección inteligente de los vectores de forma, en base a las distribuciones de carga dentro de la estructura.

2. ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT: En el proceso de generación de los vectores Ritz, se requiere la ortogonalización de los vectores formados, este proceso se llevará a cabo utilizando el método de Gram-Schmidt. Sea V un vector que requiere ortogonalizarse al vector Vn previamente generado, en base a la matriz [M]. Definiendo V al vector resultante de la ortogonalización se tiene:

V = V − α ⋅Vn Donde el valor α, que indica la magnitud de la proyección del vector V sobre Vn , corresponde a la incógnita a determinar para lograr la ortogonalización. Multiplicando por la izquierda a cada lado de la

[ ]

ecuación por Vn ⋅ M resulta: T

0 (por definición)

VnT ⋅ [M ] ⋅ V = VnT ⋅ [M ] ⋅ V − α ⋅ VnT ⋅ [M ] ⋅ Vn

α=

VnT ⋅ [M ] ⋅ V VnT ⋅ [M ] ⋅ Vn

Luego, la ortogonalización de Gram-Schmidt clásica de un conjunto de n vectores a1 a2 … an , a otro conjunto v1 v 2 … v n

de vectores ortogonales, corresponde al algoritmo siguiente:

for j = 1:n

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

121

for i=1:j-1

αi= viT ⋅ [M ]⋅ a j vj= v j − α i ⋅ vi

end

vj =

vj

vTj ⋅ [M ]⋅ v j

end Este método, aunque adecuado matemáticamente, resulta inestable computacionalmente, debido a que, al generar en cada paso los valores de α correspondientes a todos los vectores precedentes en base al vector original aj, no es considerada la acumulación de errores al ir ortogonalizando el vector por los que lo anteceden uno por uno, perdiéndose la ortogonalidad entre los vectores generados. Es por ello que es mejor emplear uno de los métodos de Gram-Schmidt modificado. Uno de los algoritmos más sencillos y estables de este método es el siguiente, expresado de 2 formas: for i=1:n vi =

for j = 1:n for i=1:j-1

vi

α i = viT ⋅ [M ] ⋅ v j

viT ⋅ [M ] ⋅ vi

for j=i+1:n

v j = v j − α i ⋅ vi

⇔

α i = viT ⋅ [M ]⋅ v j

end

v j = v j − α i ⋅ vi

vj =

end

vj

v Tj ⋅ [M ] ⋅ v j

end

end

Aunque ambos algoritmos solucionan en igual medida el problema que presenta el método de GramSchmidt clásico, el de la izquierda (ortogonalización “hacia delante”) permite trabajar matricialmente el problema, permitiendo realizar cada paso iterativo con solo 2 operaciones matriciales (evitando un proceso iterativo dentro de otro), aumentando la velocidad del proceso.

3. DESCOMPOSICIÓN LDLT: Cuando es requerido resolver de manera reiterada problemas de la forma [A] ·{x}={b}, utilizando siempre la misma matriz [A], es recomendable, para acelerar los cálculos computacionales, realizar la triangularización de la matriz como LDLT. Con ello, el problema se resuelve de la forma:

[A]⋅ {x} = {b}

⇔

[L]⋅ [D]⋅ {y} = {b}

[L]⋅ [D]⋅ [L]T ⋅ {x} = {b} ∧

[L]T ⋅ {x} = {y}

DINAMICA DE ESTRUCTURAS – RUBÉN BOROSCHEK K

122

Si [A] es simétrica, se cumple:

[A] = [L]⋅ [D]⋅ [L]T = [L]⋅ [U ]

[D ]⋅ [L]T = [U ]

⇒

Luego el problema puede resolverse análogamente de la forma:

[U ]T {y} = {b}

[L]T ⋅ {x} = {y}

∧

4. GENERACIÓN DE VECTORES RITZ: DEDUCCIÓN TEÓRICA: Sea la ecuación dinámica de movimiento:

[M ]⋅ {v (t )}+ [C ]⋅ {v(t )}+ [K ]⋅ {v(t )} = [S ]⋅ { f (t )}

(1)

Donde la matriz [S] no depende del tiempo, e indica la distribución de la carga dentro de la estructura. Considerando solamente el problema sin amortiguamiento, se tiene:

[M ]⋅ {v (t )}+ [K ]⋅ {v(t )} = [S ]⋅ { f (t )}

(2)

Y al asumir que toda función {f(t)} puede aproximarse por una serie de Fourier:

[M ] ⋅ {v k (t )}+ [K ]⋅ {v k (t )} = {S k }⋅ sin(ω ⋅ t )

(3)

Donde {Sk} corresponde al estado de carga k-ésimo del sistema (columna k de [S]) y {vk(t)} a la respuesta dinámica para tal estado de carga: {v (t )} =

∑ {v (t )} (m : N° de estados de carga). m

k

k =1

{

} { }⋅ sin(ϖ ⋅ t ) resulta:

Considerando en la ecuación (3) que v (t ) = v k

k

[K ] ⋅ {v k } = {S k }+ ω 2 [M ] ⋅ {v k }

(4)

Para obtener un conjunto de vectores cuya combinación sea una buena aproximación de {vk}, tomando en cuenta el estado de carga k-ésimo de la estructura, se realiza el procedimiento de

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generación de vectores siguiente, el cual lleva a la obtención de los vectores Ritz dependientes de la carga: 1. Se resuelve la ecuación (4) considerando solamente las fuerzas externas, es decir, despreciando el aporte de las fuerzas de inercia.

[K ] ⋅ {v0k } = {S k }

{v }

→

(5)

k 0

2. El segundo vector del proceso puede ser calculado en base al error cometido en el primer paso, al haberse despreciado las fuerzas de inercia, este error se puede aproximar como:

{S } = [M ]⋅ {v }. (Notar que no importan los escalares ω k 1

k 0

dado que cada vector obtenido

será normalizado en el proceso).

[K ] ⋅ {v1k } = {S1k }

{v }

→

(6)

k 1

{ } se calcula: k

3. En general, para la generación de un vector vi

[K ] ⋅ {vik } = [M ] ⋅ {vik−1}

→

{v }

(7)

k i

ALGORITMO COMPUTACIONAL: A continuación se describe el algoritmo para la obtención de los vectores Ritz dependientes de la carga, donde en cada iteración se avanza paralelamente en la generación de los vectores para todos los estados de carga. I. Cálculos iniciales: A.

Descomponer la Matriz [K] como LDLT, para simplificar cálculos futuros.

B.

er Obtención del 1 bloque de vectores, en base a la matriz con distribuciones de carga [F].

[K ]⋅ [us ] = [F ] C. Ortogonalizar vectores de [us] respecto a [M] y [K]. La ortogonalización se realiza resolviendo el problema de valores propios con las matrices de rigidez y masa transformadas:

([K ] − ρ ⋅ [M ]) ⋅ [Z 0 ] = 0 Donde:

[V1 ] = [us ]⋅ [Z 0 ]

[K ] = [u s ]T ⋅ [K ]⋅ [u s ] [M ] = [u s ]T ⋅ [M ]⋅ [u s ]

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D. Normalizar vectores en [V1 ] respecto a [M]:

[V1 ] = [V1 ] ⋅ ([V1 ]T ⋅ [M ] ⋅ [V1 ])

−1

2

II. Cálculos iterativos (i=2,3,….) A.

Obtener bloque de vectores [Xi] utilizando:

[K ] ⋅ [X i ] = [M ] ⋅ [Vi −1 ] B.

Ortogonalizar vectores en [Xi] respecto a [K] y [M]:

([K ] − ρ ⋅ [M ]) ⋅ [Z i ] = 0 Donde:

[Vi ] = [X i ]⋅ [Z i ]

[K ] = [X i ]T ⋅ [K ] ⋅ [X i ] [M ] = [X i ]T ⋅ [M ] ⋅ [X i ]

C. Utilizar método de Gram-Schmidt modificado (2 veces) para hacer a [Vi ] ortogonal a todos los vectores previamente calculados y normalizarlos, de manera que [Vi ] ⋅ [M ] ⋅ [Vi ] = [I ] T

III. Cálculos finales: A.

Se calcula matriz

[K ] = [V ]T ⋅ [K ] ⋅ [V ] y se resuelve problema de valores propios:

([K ] − Ω ⋅ [I ])⋅ [Z ] = 0 2

B.

Se obtienen vectores Ritz, ortogonales a [M] y [K] de la estructura:

[Φ ] = [V ] ⋅ [Z ] 5. REFERENCIAS: 1. E.L. Wilson (2002). “Three-Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures”. Cap 14; App C-10. 2. www-math.mit.edu/~persson/18.335/lec5handout6pp.pdf. Apuntes: “Introduction to Numerical Methods”. Department of Mathematics, MIT

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6. RUTINAS MATLAB: LDV_wilson.m: Función que genera los vectores Ritz dependientes de las condiciones de Carga.

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function [phi,T]=LDV_wilson(K,M,F,nritz) % Autor : Rodrigo Carreño V. % [phi,T]=LDV(K,M,F,nritz); %Esta funcion genera los vectores de Ritz Dependientes de la carga % (Load-Dependent Ritz Vectors) % De esta funcion se obtendrá como resultado el N° de vectores de Ritz x el % N° vectores de forma de carga en F. % K : Matriz de Rigidez de la Estructura. % M : Matriz de Masa de la Estructura. % F : Matriz cuyas columnas son vectores de forma de cargas externas % nritz : Nro de vectores de Ritz a obtener para cada Condicion de Carga. % Procedimiento de solucion E. Wilson Tabla 14.2 "Three Dimensional Satic % and Dynamic Analyisis of Structures. Edic 3. % rc 20080428 rev rbk 20080429 20080527 % nConCarga: Nro de condiciones de carga. [m,nConCarga]=size(F); % I INITIAL CALCULATIONS % A. Triangularize Stiffness Matrix K=L*D*L' (K=L*U con U=D*L') [L,U]=lu(K);U=U';L=L'; % B. Solve for block of "b" static displacement vectors u_s resulting from % spatial load patterns F; or K*u_s=F. % (El sistema de ecuaciones se resuelve en 2 etapas: L*D*y=b y L'*u=y, % donde L*D=U' (U de la descomposicion LU) E. Wilson C.10) y1=U\F; u_s=L\y1; % Base de Vectores V de iteracion de LDV. V=zeros(m,nConCarga*nritz); % C. Make block of vectors u_s, stiffness and mass orthogonal, V_1. M_b= u_s'*M*u_s; K_b=u_s'*K*u_s; [Z,aux]=eig(K_b,M_b); V(:,1:nConCarga)=u_s*Z; % vectore ortogonales [V(:,1:nConCarga)]=modonorm(V(:,1:nConCarga),M); % norm modal % El resto de los vectores se resuelve "compensando" las fuerzas de inercia % generadas por los vectores obtenidos en el paso anterior: K*V_i=M*V_i-1. % II. Generate blocks of Ritz vectors for i=1:nritz-1 %A. Solve for block of vectors X_i, K*X_i=M*V_i-1. Cada Ritz para todas %las condiciones de carga. y1=U\(M*V(:,(i-1)*nConCarga+1:i*nConCarga)); X_i=L\y1; %B. Make block of vectors , Xi, stiffness and mass orthogonal, Vi_b M_b=X_i'*M*X_i; K_b=X_i'*K*X_i; [Z,aux]=eig(K_b,M_b); % vectores del problema reducido ( i* 1 (i 1)* ) i* % b i i l

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GSM.m: Función que realiza ortogonalización de vectores con método de Gram-Schmidt modificado. function [V]=GSM(V,M,V_b) % Autor: Rodrigo Carreño V. % [V]=GSM(V,M,V_b); % Gram - Schmidt Modificado %Esta funcion deja normalizados y ortogonales entre si(en base a la matriz %M)los vectores de entrada, mediante el metodo de Gram-Schmidt modificado, %sistema mas estable que el Gram-Schmit clasico dado que itera por bloques. % V : matriz cuyas columnas corresponden a los vectores a ortonormalizar. % M : Matriz de base para ortonormalizacion (Vector phi esta normalizado % en M si phi'*M*phi=1. Vectores a y b son ortogonales si a'*M*b=0) % V_b (opcional): matriz cuyas columnas ya estan ortonormalizadas en M. %% DOCUMENTOS. % rc 20080428 rev rbk 20080429, 20080527 % En una primera etapa, si se tiene matriz V_b, se ortogonalizan todos los % vectores en V a los vectores en esta matriz. if nargin==3 [m1,n1]=size(V_b); for k=1:n1 alpha=V_b(:,k)'*M*V; V=V-V_b(:,k)*alpha; end end [m1,n1]=size(V); % El metodo de Gram-Schmidt modificado consiste en, asumiendo en cada % iteracion que el vector considerado ya es ortogonal a los procesados % anteriormente, se normaliza el vector y ortogonalizan a este todos % los vectores posteriores. for k=1:n1-1 V(:,k)=modonorm(V(:,k),M);% normalizando vector k alpha=V(:,k)'*M*V(:,(k+1):n1); %cte de ortogonalizacion(proyeccion) % considera todos los vectores de k+1 % hasta n V(:,(k+1):n1)=V(:,(k+1):n1)-V(:,k)*alpha; % Elimina contribucion de % modo k end V(:,n1)=modonorm(V(:,n1),M); % ultimo vector se normaliza.

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modonorm.m: Rutina que realiza normalización de vectores con distintos criterios. Esta rutina es utilizada tanto en las funciones LDV_wilson.m como GSM.m. function [phi]=modonorm(phi,M,opt) % [phi]=modonorm(phi,[m],[opt]); % Normaliza formas modales % opt= 0 NO realiza normalizacion... Generalizacion necesaria. % opt= 1 Normaliza maximo primera linea [def ]. No necesita ingresar M % opt= 2 Si M existe phi'*m*phi=I % opt= 3 Si no se entrega M normaliza por el maximo de cada columna % rbk 2004-01-08, 2006-mar-06 incluye opt 0 if nargin < 2 opt=1; end if nargin < 3 || ~isempty(M) opt=2; end %%% para caso general. if opt==0 phi=phi; end if opt==1; % normaliza con primera linea aux=(phi(1,:)); [pn,pm]=size(phi); if min(abs(aux))