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Universidad de Jaén

Ampliación de matemáticas

Máximo Jiménez López

colección apuntes

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Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Indice (Apuntes de la asignatura) Introducción.........................................................................................................................11

Estudio de la asignatura........................................................................................................12

Tema 1. Ecuaciones en diferencias........................................................................................14 1. Ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes....................................................16 1.1. Propiedades de la ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes..............17 1.1.1. Unicidad de la solución......................................................................................... 17 1.1.2. El espacio vectorial de las soluciones de la ecuación en diferencias lineal Homogénea...........................................................................................................18 2. Solución de la ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes...........19 3. Solución de la ecuación en diferencias lineal completa de coeficientes constantes...............21 4. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias homogéneo de orden 1 con coeficientes Constantes............................................................................................................................ 21 5. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias no homogéneo de orden 1 con coeficientes Constantes............................................................................................................................ 23 6. Bibliografía citada en el tema.................................................................................................. 24

Tema 2. Funciones en varias variables..................................................................................25 1. Algunos tipos de funciones de varias variables según el espacio inicial y final......................26 1.1. Curvas parametrizadas.................................................................................................. 26 1.2. Funciones escalares...................................................................................................... 27 1.3. Campos vectoriales....................................................................................................... 28 2. Componentes de una función de varias variables...................................................................29 3. Límite de una función de varias variables...............................................................................29 3.1. Cálculo efectivo del límite............................................................................................. 31 3.2. Probar que no existe límite...........................................................................................32 4. Continuidad de una función de varias variables.....................................................................34 5. Ejercicios propuestos.............................................................................................................. 35 6. Bibliografía citada en el tema.................................................................................................. 35

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Tema 3. Diferenciación en varias variables............................................................................36 1. Derivadas parciales................................................................................................................. 37 1.1. Derivadas parciales de órdenes superiores...................................................................38 1.2. Matriz jacobiana........................................................................................................... 40 2. Función diferenciable.............................................................................................................. 40 2.1. Función diferenciable en una variable. Diferencial de una función..............................40 2.2. Función diferenciable en varias variables.....................................................................42 2.3. Diferencial de una función de varias variables..............................................................44 2.4. Diferencial de una función escalar................................................................................45 2.5. Algunas propiedades de la diferencial..........................................................................46 3. Regla de la cadena en funciones de varias variables...............................................................46 3.1. Matriz jacobiana de la composición de funciones en varias variables..........................47 3.2. Casos particulares de la regla de la cadena para funciones escalares..........................48 4. Diferenciales de orden superior de una función escalar.........................................................50 5. Diferencial de una función de varias variables con variables intermedias..............................52 5.1. Invariancia de la diferencial primera............................................................................52 5.2. Diferencial segunda con cambio de variables...............................................................53 6. Integrales dependientes de un parámetro..............................................................................54 7. Ejercicios propuestos.............................................................................................................. 57 8. Bibliografía citada en el tema.................................................................................................. 58

Tema 4. Extremos en funciones de varias variables...............................................................59 1. Signo de una forma cuadrática................................................................................................ 60 1.1. Cálculo práctico del signo de una forma cuadrática......................................................63 2. Términos usados en el estudio de extremos...........................................................................66 3. Polinomio de Taylor de una función de dos variables.............................................................68 4. Condición necesaria de extremo local....................................................................................71 5. Condición suficiente de extremo local....................................................................................72 6. Extremos locales condicionados............................................................................................. 73 6.1. Método de sustitución.................................................................................................. 73 6.2. Método de los multiplicadores de Lagrange.................................................................75 7. Máximos y mínimos absolutos................................................................................................ 77 8. Ejercicios propuestos.............................................................................................................. 77 9. Bibliografía citada en el tema.................................................................................................. 78

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Tema 5. Integración en varias variables.................................................................................79 1. Concepto de integral doble..................................................................................................... 81 2. Condiciones suficientes de integrabilidad...............................................................................83 3. Propiedades de la integral doble............................................................................................. 84 4. Cálculo efectivo de la integral doble.......................................................................................86 4.1. Teorema de Fubini......................................................................................................... 86 4.2. Integración vertical....................................................................................................... 87 4.3. Integración horizontal................................................................................................... 88 5. Cambio de variable en la integral doble..................................................................................89 6. Cambio de variable a coordenadas polares............................................................................90 7. Integral triple........................................................................................................................... 93 8. Propiedades de la integral triple............................................................................................. 94 9. Cálculo efectivo de la integral triple........................................................................................96 10. Cambio de variable en la integral triple................................................................................ 97 10.1. Cambio de variable a coordenadas cilíndricas............................................................. 98 10.2. Cambio de variable a coordenadas esféricas............................................................... 98 11. Ejercicios propuestos............................................................................................................ 99 12. Bibliografía citada en el tema............................................................................................. 100 Tema 6. Integral de línea.....................................................................................................101 1. Algunas nociones sobre curvas parametrizadas....................................................................102 2. Integral de línea de una función real.....................................................................................103 2.1. Propiedades de la integral de línea de funciones escalares........................................105 3. Integral de línea de un campo vectorial................................................................................106 3.1. Otra forma de escribir la integral de línea de un campo vectorial..............................109 3.2. Propiedades de la integral de línea de campos vectoriales........................................109 4. Teorema de Green................................................................................................................. 110 5. Teorema Fundamental de la integral de línea en 5.1. Campos vectoriales conservativos en

2............................................................111

2...................................................................112

5.2. Regla de Barrow para la integral de línea en 6. Teorema Fundamental de la integral de línea en

2 .......................................................114 3............................................................115

6.1. Rotacional de un campo vectorial...............................................................................116 6.2. Regla de Barrow para la integral de línea en

3........................................................117

7. Ejercicios propuestos............................................................................................................ 118 8. Bibliografía citada en el tema................................................................................................ 119

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Tema 7. Integral de superficie.............................................................................................120 1. Algunas nociones sobre superficies parametrizadas.............................................................120 2. Integral de superficie de una función escalar........................................................................125 3. Propiedades de la integral de superficie de funciones escalares..........................................127 4. Integral de superficie de un campo vectorial........................................................................127 5. Propiedades de la integral de superficie de campos vectoriales...........................................130 6. Teorema de la divergencia.................................................................................................... 130 6.1. Divergencia de un campo vectorial.............................................................................131 7. Teorema de Stokes................................................................................................................ 132 8. Ejercicios propuestos............................................................................................................ 134 9. Bibliografía............................................................................................................................ 135 Tema 8. Introducción a la variable compleja.......................................................................136 1. Números complejos.............................................................................................................. 136 1.1. Representación geométrica de los números complejos.............................................138 1.2. Conjugado de un número complejo............................................................................138 1.3. Módulo de un número complejo................................................................................139 1.4. Argumento de un número complejo...........................................................................140 2. La exponencial compleja....................................................................................................... 142 3. Continuidad de una función compleja..................................................................................143 4. Diferenciabilidad de una función compleja...........................................................................145 5. Ecuaciones de Cauchy-Riemann............................................................................................147 5.1. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma exponencial..............................................150 6. Derivada e integral de una función compleja de variable real..............................................151 7. Integral a lo largo de una curva de una función compleja....................................................154 7.1. Propiedades de la integral de línea compleja.............................................................155 8. Extensión del teorema fundamental del cálculo...................................................................156 9. Algunos teoremas importantes.............................................................................................158 10. Ejercicios propuestos.......................................................................................................... 160 11. Bibliografía citada............................................................................................................... 161 Tema 9. Aproximación a las ecuaciones en derivadas parciales...........................................163 1. Ecuaciones en derivadas parciales. Conceptos básicos.........................................................163 2. Solución general de una ecuación en derivadas parciales....................................................164 3. Condiciones de contorno y condiciones iniciales..................................................................166

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4. Ecuación de Euler.................................................................................................................. 168 5. Ecuación de ondas unidimensional.......................................................................................170 5.1. Solución de D’Alembert para la ecuación de ondas unidimensional...........................171 6. Bibliografía citada.................................................................................................................. 175

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Indice (Manual de prácticas) Práctica 1. Ecuaciones en diferencias................................................................................. 177 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 177 1.1. Borrado de variables previamente definidas............................................................. 177 1.2. Cómo hacer referencia a un resultado anterior......................................................... 178 1.3. Resolución de ecuaciones y sistemas......................................................................... 178 1.4. Cómo definir una función.......................................................................................... 179 1.5. Sucesiones con el Mathematica................................................................................. 179 1.6. Desarrollo de los factores de un producto................................................................. 180 2. Ecuaciones en diferencias.................................................................................................... 180 3. Solución particular de una ecuación en diferencias............................................................. 181 4. Ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficientes constantes............................. 182 5. Ecuación en diferencias lineal completa con coeficientes constantes................................. 184 6. Apéndice. Solución particular de la ecuación en diferencias lineal completa de coeficientes constantes. Método de variación de constantes............................................. 184 7. Bibliografía........................................................................................................................... 187

Práctica 2. Sistema de ecuaciones en diferencias............................................................... 188 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 188 1.1. Cómo generar una matriz.......................................................................................... 188 1.2. Elevar una matriz a una potencia............................................................................... 189 1.3. Potencia enésima de una matriz................................................................................ 189 2. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias homogéneo de orden 1 con coeficientes constantes............................................................................................................................ 190 3. Sistema lineal de ecuaciones en diferencias no homogéneo de orden 1 con coeficientes constantes........................................................................................................ 190 4. Resolución de un sistema de ecuaciones en diferencias con el Mathematica..................... 191 5. Apéndice. Solución particular del sistema lineal en diferencias con coeficientes constantes no homogéneo de orden 1................................................................................ 192 6. Bibliografía........................................................................................................................... 193

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Práctica 3. Representación de funciones de varias variables.............................................. 194 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 194 1.1. Dibujo de una función real de variable real............................................................... 194 1.2. Presentación de varios gráficos en un mismo dibujo................................................. 195 1.3. Dibujo de un punto con el Mathematica................................................................... 195 1.4. Colocar un texto en un lugar del plano o del espacio................................................ 196 2. Funciones escalares de . 2 -->

........................................................................................ 197

3. Campos vectoriales en

2................................................................................................... 198

4. Campos vectoriales en

3................................................................................................... 199

5. Representación de un campo de vectores discreto............................................................. 200 6. Curvas parametrizadas en

2.............................................................................................. 202

7. Curvas parametrizadas en

3.............................................................................................. 203

8. Bibliografía........................................................................................................................... 204

Práctica 4. Estudio general de las curvas parametrizadas................................................... 205 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 205 1.1. Módulo de un vector.................................................................................................. 205 1.2. La orden FinRoot........................................................................................................ 205 2. Longitud de una curva parametrizada.................................................................................. 206 3. Distintas parametrizaciones de una trayectoria................................................................... 207 4. Sentido de recorrido de una curva parametrizada............................................................... 208 5. Obtención de una curva con sentido contrario a otra dada................................................. 209 6. Puntos dobles de una curva parametrizada......................................................................... 211 7. Bibliografía........................................................................................................................... 213

Práctica 5. Curvas parametrizadas por el parámetro arco. Fórmulas de Frenet................... 214 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 214 1.1. Producto escalar......................................................................................................... 214 1.2. Producto vectorial...................................................................................................... 215 1.3. Producto mixto.......................................................................................................... 215 2. Curva parametrizada por el parámetro arco........................................................................ 215 3. Vector tangente.................................................................................................................... 217 4. Curvatura.............................................................................................................................. 218

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5. Vector normal principal........................................................................................................ 219 6. Vector binormal.................................................................................................................... 220 7. Plano osculador.................................................................................................................... 221 8. Torsión.................................................................................................................................. 221 9. Formulas de Frenet.............................................................................................................. 222 10. Bibliografía......................................................................................................................... 223 Práctica 6. Triedro de Frenet de una curva no parametrizada por el arco........................... 224 1. Vector tangente, normal y binormal de una curva no parametrizada por el arco............... 224 1.1. Representación gráfica del triedro de Frenet............................................................. 226 2. Curvatura y torsión de una curva no parametrizada por el parámetro arco........................ 227 3. Bibliografía........................................................................................................................... 228 Práctica 7. Introducción al estudio de superficies parametrizadas...................................... 229 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 229 1.1. Ángulo de dos vectores.............................................................................................. 229 1.2. Derivadas parciales con el Mathematica................................................................... 229 2. Superficies parametrizadas.................................................................................................. 230 3. Vector normal en un punto de la superficie......................................................................... 231 4. Parametrización de una cara de la superficie....................................................................... 233 5. Dada una superficie parametrizada obtener la parametrización de la otra cara................. 235 6. Área de una superficie parametrizada................................................................................. 238 7. Bibliografía........................................................................................................................... 239 Práctica 8. Extremos locales de funciones de varias variables............................................ 240 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 240 1.1. Regla de sustitución..................................................................................................... 240 1.2. Generar números aleatorios........................................................................................ 241 1.3. Vector gradiente........................................................................................................... 241 1.4. Matriz hessiana............................................................................................................ 242 1.5. Extremos locales con el Mathematica.......................................................................... 242 2. Signo de una forma cuadrática............................................................................................. 243 3. Puntos críticos...................................................................................................................... 245 4. Condición suficiente de extremo local................................................................................. 245 5. Bibliografía........................................................................................................................... 246

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Práctica 9. Extremos condicionados y absolutos en funciones de varias variables.............. 247 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 247 1.1. Polinomio de interpolación.......................................................................................... 247 2. Extremos locales condicionados. Método de sustitución.................................................... 248 3. Extremos locales condicionados. Multiplicadores de Lagrange........................................... 250 4. Máximos y mínimos absolutos............................................................................................. 252 5. Bibliografía........................................................................................................................... 255

Práctica 10. Polinomio de Taylor en varias variables.......................................................... 256 1. Conocimientos previos......................................................................................................... 256 1.1. Extraer un elemento de un vector................................................................................ 256 1.2. Rutinas con el Mathematica. La orden For................................................................... 257 1.3. Programar con el Mathematica. La orden Input.......................................................... 258 2. Diferencial total de una función de varias variables............................................................. 259 3. Polinomio de Taylor de una función de dos variables.......................................................... 259 4. Programa para obtener el polinomio de Taylor.................................................................... 260 5. Bibliografía........................................................................................................................... 262

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Introducción En el presente curso académico se ha estimado conveniente preparar esta guía didáctica como un elemento de ayuda para la preparación de la asignatura Ampliación de Matemáticas, situada en el segundo curso de las titulaciones de Ingeniería Técnica Industrial de la Escuela Politécnica Superior de Linares de la Universidad de Jaén. La asignatura presenta un contenido muy variado lo que dificulta enormemente el trabajo del alumno a la hora de preparar los temas correspondientes a la misma. No conozco ningún texto que abarque íntegramente todos los descriptores que se contemplan en esta asignatura. De esta forma, el alumno se ve obligado a consultar textos de muy variada naturaleza. Sin duda, el hecho de consultar distintos manuales supone para el alumno una dificultad añadida a la de la propia de la materia pero, por otra parte, entre los objetivos que se contemplan en la formación del alumno está el estimular el trabajo autónomo y la capacitación para leer cualquier texto matemático que le permita resolver los problemas que puedan encontrarse en el desarrollo de las asignaturas específicas de la titulación de Ingeniería Industrial. La presente guía trata de buscar un equilibrio entre estos dos aspectos. Estos apuntes no pretenden ser un libro más de matemáticas que trata unos determinados temas. Aspiran a ser una especie de “tutor” que facilite la compresión de la asignatura y, al mismo tiempo, anime al alumno sobre el uso diferentes textos que consideramos apropiados para los objetivos y niveles de conocimiento de los estudiantes de Ingeniería Técnica Industrial. Y todo ello desde la experiencia que ofrece haber impartido la asignatura durante varios años. En coherencia con el propósito de esta guía, se sacrificará el rigor matemático en aras de una lectura más amena y fácil de la asignatura. Evitaremos muchas demostraciones y sólo nos detendremos en aquellas que puedan ayudar a la comprensión del concepto que se esté tratando en ese momento. Por otra parte, señalaremos los textos más apropiados donde se puedan encontrar las justificaciones y demostraciones que aquí no se hagan. Asimismo, al final de cada tema daremos una relación de problemas totalmente desarrollados en textos de fácil acceso por parte del alumno. Los problemas de estas relaciones están seleccionados por su contenido didáctico en relación con los conceptos que aquí se tratan.

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Estudio de la asignatura Para superar esta asignatura, el alumno no debe limitarse sólo al estudio de estos apuntes sino que, al menos, deberá acudir a los textos que oportunamente remitimos. En dichos manuales se encontrarán el desarrollo de los temas con la necesaria precisión que requiere una asignatura de matemáticas. La asignatura de Ampliación de Matemáticas consta de 6 créditos de los que 4.5 corresponde a la parte de teoría y problemas y 1.5 a las prácticas con el ordenador. Para la realización de las prácticas utilizaremos el programa de cálculo simbólico Mathematica en su versión 6 o posterior. A fin de superar con éxito la presente materia, estimamos conveniente que se sigan las consideraciones que exponemos a continuación. Las prácticas realizadas con el ordenador están íntimamente ligadas con los conceptos teóricos de la asignatura. Por lo tanto, se aconseja su lectura en el momento que se indica en la presente guía. Básicamente, el temario de Ampliación de Matemáticas consiste en extender a funciones de varias variables las nociones que previamente, en otras asignaturas, se habrán estudiado para funciones de una variable. Por ello, se aconseja que, antes de tratar directamente un determinado concepto en varias variables, se lea con especial atención lo que ocurría en una variable tal y como aquí se hace. Para manejar con agilidad los contenidos que se recogen en la presente asignatura resulta necesario que, como mínimo, se realicen los ejercicios que se proponen al final de cada tema. Esto no excluye que el alumno pueda y deba acudir al uso de otros manuales dentro de la abundante bibliografía que existe en relación con el temario de la asignatura. En la ficha de la asignatura que publica la Universidad de Jaén, el alumno puede solucionar cualquier duda sobre el temario de la misma, criterios de evaluación, etc. También se puede consultar la página web de profesor de la asignatura: http://www4.ujaen.es/~mjimenez En especial resulta muy recomendable acudir a las tutorías, cuyo horario está recogido en la página web, para cualquier aclaración sobre la materia de la asignatura o de cualquier otro tipo. El profesor: Máximo Jiménez López

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (Apuntes de la asignatura)

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TEMA 1 ECUACIONES EN DIFERENCIAS Las ecuaciones en diferencias surgen de forma espontánea cuando tratamos de modelizar matemáticamente determinados sucesos que se hacen efectivos en intervalos regulares de tiempo.

El problema típico que conduce a una ecuación en diferencias se produce cuando estamos interesados en conocer la evolución de un capital C, depositado en un banco que

produce un interés i cada mes. Si llamamos
 a la cuantía del depósito al n mes de haber entregado el capital C se tiene:


0
1
2
3 …
 …

   1    1    1   … …  1   … …

En definitiva, tenemos una sucesión
:    cuyo término general es: o, escrito de otra forma1:


  1  
  1  

Observamos que, en esta sucesión, existe una relación entre dos términos consecutivos de la misma, en concreto:


  1 


esta ecuación es un caso particular de lo que se denomina ecuaciones en diferencias. Una ecuación en diferencias es una ecuación que relaciona distintos términos de una sucesión. Por lo tanto, la solución de esta ecuación será una sucesión cuyos términos verifica lo establecido en la misma.

1

Si el alumno no está familiarizado con el concepto de sucesión puede consultar la obra de QUESADA TERUEL et al, Análisis y Métodos Numéricos, pág. 77 en adelante.

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El problema a resolver en las ecuaciones en diferencias es precisamente el contrario del que acabamos de describir. Es decir, dada una ecuación en diferencias, por ejemplo:
  1.1


lo que tenemos que calcular es la expresión del término general
 que hace cierta la igualdad anterior para todo n.

En este caso concreto, después de la introducción realizada al principio, resulta claro

que la solución de la ecuación en diferencias
  1.1
 es:
  1.1 

donde c es una constante genérica. Efectivamente, si damos valores a esta solución 0 1 2 3 …

    …


  
  1.1   1.1 ·

 1.1   1.1 ·

  1.1   1.1 ·
…
  1.1


observamos que se cumple la relación dada por la ecuación en diferencias para todo n:

En resumen, la solución general de la ecuación en diferencias:
  1.1


será:


  1.1 

que depende de una constante genérica c.

Además, si a
 le pedimos que tenga un valor determinado, por ejemplo
  1000,

entonces la solución del problema que consiste en resolver la ecuación
  1.1
 y que, además, verifique que
  1000 ya es única:


  1.1 1000

El objetivo de este tema va a consistir en, para unos determinados tipos de ecuaciones y sistemas en diferencias, exponer distintos métodos matemáticos que nos permitan encontrar sus soluciones.

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Las aplicaciones más importantes de las ecuaciones en diferencias se suelen asociar con el mundo de la economía, sin embargo, son muchos los campos de otras ciencias en donde aparecen importantes contribuciones de este tipo de ecuaciones2.

1. ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Vamos a tratar un tipo particular de ecuaciones en diferencias, en concreto, las ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes de gran aplicación en la práctica. Las soluciones y propiedades de este tipo de ecuaciones nos van a resultar muy familiares por su parecido con las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Una ecuación en diferencias se llama lineal de coeficientes constantes si es de la forma:


 
  
  

siendo ! constante "#; y por lo menos  ,  % 0

Hay que hacer una serie de consideraciones sobre esta ecuación:
Si   0 la ecuación en diferencias se llama homogénea, en caso contrario, se dice completa.

Por ejemplo, la ecuación &2
 4
  2 es una ecuación de diferencias lineal

completa, mientras que
 &
 2
  0 es homogénea.


La constante k se denomina orden de la ecuación en diferencias.

Así, &

  2 es una ecuación en diferencias lineal de orden 3. Sin embargo, hay que prestar atención a la forma en que pueda venir dada la ecuación en diferencias. Por ejemplo,
 2
   &  1 no es una ecuación de orden 3

puesto que dicha ecuación es totalmente equivalente a
 2
   & 1 &  & 1 1, por lo tanto, es una ecuación en diferencias de orden 2.

2

A este respecto, en el libro de FERNÁNDEZ PÉREZ et al, Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas dinámicos, se puede consultar un número importante de ejemplos.

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1.1. Propiedades de la ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes.

Veamos algunas propiedades de la ecuación en diferencias lineal que nos permitirá obtener fácilmente las soluciones de este tipo de ecuaciones.

1.1.1. Unicidad de la solución.

Sea la ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes: 
 
  
  

el problema de encontrar una sucesión
 tal que cumpla dicha ecuación y que además para

los k valores prefijados  ,  , … ,  se verifique:

existe y es única.


  
   ) ( …
  

Explicación.

Sirviéndonos de un ejemplo vamos a indicar cómo se podría demostrar la existencia y
  &1)
  3

unicidad de la solución. Consideremos la ecuación en diferencias de orden 2: 2
 & 3
 &
   que verifica *

primero calculamos
que, al tener que cumplirse la ecuación, deberá verificar (tomando

  0):

2
& 3
 &
  0 2
& 9 1  0
 4

+ +

de la misma manera se deduce que
  8 y sucesivamente iríamos obteniendo los demás

términos de la sucesión. Evidentemente no hay posibilidad de que la solución sea otra

sucesión distinta.

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1.1.2. El espacio vectorial de las soluciones de la ecuación en diferencias lineal homogénea.

La clave para resolver las ecuaciones en diferencias lineales se basa en la estructura algebraica que presentan sus soluciones. Resulta fácil demostrar las siguientes propiedades3:


El conjunto de las soluciones de la ecuación homogénea de orden k 
 
  
  0

es un espacio vectorial de dimensión k.

Esta importante propiedad nos permitirá obtener la solución general de la ecuación homogénea si somos capaces de obtener k soluciones independientes de dicha ecuación. La siguiente propiedad reconoce cuando un conjunto de k soluciones de la ecuación en diferencias (hay que recordar que cada solución es una sucesión) van a ser independientes.
Sean k soluciones de la ecuación en diferencias lineal homogénea:

son independientes si se verifica:


 ,
, … ,
 


 0
0  1

1 . … …
 / & 1
/ & 1

…
 0 …
 1 % 0 . … … …
 / & 1

Además, se puede demostrar que si con los primeros k términos de cada sucesión este determinante es distinto de cero, va a seguir siendo distinto de cero con cualesquiera k términos consecutivos.

3

Para ver las demostraciones de estas propiedades se puede acudir, entre otros, al libro de ALCONCHEL PÉREZ y VIGNERON TENORIO, Ecuaciones Lineales en Diferencias…, página 8 y siguientes.

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2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL HOMOGÉNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

Como consecuencia de las propiedades mencionadas en el apartado anterior, se deduce que para encontrar la solución general de la ecuación en diferencias: 
 
  
  0

bastará con encontrar una base del conjunto de soluciones de dicha ecuación. Si forzamos a que este conjunto de soluciones adopten la forma
  0 se puede

deducir que el valor de λ, que da lugar a las soluciones independientes, ha de verificar la siguiente ecuación llamada ecuación característica4:

 0  0   0   0 Resolviendo esta ecuación se obtienen las distintitas soluciones que forman la base del conjunto de soluciones de la ecuación en diferencias. Ahora bien, en caso de obtener soluciones repetidas o complejas se deben adoptar los siguientes criterios:
A cada raíz real 02 se le asocia la solución:


  02


A cada raíz real múltiple 0! de multiplicidad m le asociamos las m soluciones:
  0!


   0!


   0! …


  3 0!


A cada raíz compleja simple  4 (como los 2 son números reales también deberá aparecer su conjugada  & 4) le asociamos dos soluciones. Para calcular estas

soluciones calculamos el módulo y argumento del número  4: *

4

5  | 4 | ) 7  Arg 4

La demostración puede verse en ALCONCHEL PÉREZ y VIGNERON TENORIO, Ecuaciones Lineales en Diferencias…, página 15.

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al que le asociamos las soluciones:


  5 cos 7


  5 sen 7

20


A cada raíz compleja  4 de multiplicidad m (la conjugada aparecerá también con la misma multiplicidad), le asociaremos las siguientes soluciones:
  5 cos 7


  5 sen 7


   5 cos 7


   5 sen 7


   5 cos 7


   5 sen 7 …


  3 5 cos 7


  3 5 sen 7 Por ejemplo, para obtener la solución general de la ecuación en diferencias:


@ & 13
A 69
C & 193
 306
 & 270
 108
  0

en primer lugar calculamos las soluciones de la ecuación:

0@ & 13 0A 69 0C & 193 0 306 0 & 270 0 108  0

que son: 0  2 simple; 0  3 múltiple de multiplicidad 3; 0  1 y 0  1 & . Es decir: 0@ & 13 0A 69 0C & 193 0 306 0 & 270 0 108

 0 & 2 0 & 3 E0 & 1 F E0 & 1 & F

Un conjunto de soluciones que forman base para esta ecuación será:
  2


  3


   3


   3

H  4 H
  √2 sin  4


  √2 cos

21

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

y la solución general de esta ecuación en diferencias es:


   2  3   3 C  3 A √2 cos

donde los 2 son constantes cualesquiera.

H H  @ √2 sin  4 4

3. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS LINEAL COMPLETA DE COEFICIENTES CONSTANTES.

La solución general de la ecuación en diferencias lineal completa de coeficientes constantes:


 
  
  

es la suma de la solución general de la homogénea asociada (
 
  
  0) y una particular de la completa5.

La solución general de la homogénea asociada se ha comentado en el epígrafe anterior, sólo quedaría calcular una particular de la completa.

Existen diferentes métodos para calcular la particular de la completa, por ejemplo, el método de los coeficientes indeterminados que consiste en ensayar con una determinada sucesión cuya expresión viene dada por la de .

En la Práctica 1 de la asignatura indicamos el método de variación de constantes para obtener una solución particular de la completa y a ella nos remetimos6.

4. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS HOMOGÉNEO DE ORDEN 1 CON COEFICIENTES CONSTANTES. Supongamos ahora que hay más de una sucesión desconocida, por ejemplo
 e J ,

pero dichas sucesiones han de verificar conjuntamente el siguiente sistema: 5

Una demostración de esta afirmación puede verse en FERNÁNDEZ PÉREZ et al Ecuaciones diferenciales y en diferencias, pág. 471. 6 También en RODRÍGUEZ RUÍZ et al Matemáticas 2. Economía y Empresa. Teoría, pág. 321 puede verse una explicación detallada de este método.

22

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López


&
 & 3 J  0) *  J & 4
  0

 3 J ) *  J  4


o puesto de otra manera:

En esta situación, se dice que estamos ante un sistema de ecuaciones en diferencias lineal de coeficientes constantes y de orden 1 (sólo hay un desplazamiento en la variable n).

Para calcular la solución de este sistema es conveniente expresarlo en forma matricial:
 1 3
 LK L KJ L  K 4 0 J 

si seguimos el siguiente razonamiento encontraremos fácilmente la solución general de este
 1 KJ L  K 4 
1 KJ L  K 4


1 KJ L  K 4

…
 1 KJ L  K  4

sistema en diferencias:

3
 LK L 0 J 3
 LK L 0 J 3
 L KJ L 0 

+

3 
 L KJ L 0 



 3 J ) por lo tanto, si se quiere resolver el sistema de ecuaciones en diferencias *  J  4

1 ) la solución será necesariamente: con las condiciones iniciales *  J  &4 1 teniendo en cuenta que K 4 7


 1 KJ L  K 4 

3  1 L K L 0 &4

&1 3 4  3  L  MN C 0 &3 & 4  

N

 N

 N

&3 & 4 

4 &3 3 4 

1 &3 &1 3 4  &3 & 4 
 1 7 7 KJ L  P QK L &4 1  &4 &3 & 4  4 &3 3 4  7 7 1 &2  5 &1 3  7  P Q &4 5 &3 2   7

solución del problema planteado es:

7

El cálculo de la potencia enésima de una matriz se explica en la Práctica 2 de la asignatura.

O la

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

o lo que es lo mismo:

23

1 &2  5 &1 3  7 &4 5 &3 2   J  7


 

A la vista de este razonamiento, podemos enunciar el siguiente resultado:

TEOREMA. Sea el sistema lineal homogéneo de ecuaciones en diferencias:  


 T
 V  P  … …   S
 U

la solución de dicho sistema es:






 P
 Q  P … … 


siendo 2 constantes genéricas.

 

… 

 

… 

… 
 …  
 … … Q P…Q … 


…    …    Q P … … …Q …  

5. SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS NO HOMOGÉNEO DE ORDEN 1 CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Un sistema lineal de coeficientes constantes de orden 1 no homogéneo tiene la siguiente forma:

 


 T
 V  P  … …    S
 U

 

… 

… 
 4 

…   4


 … … Q P…Q P … Q …  4 


donde 2! son constantes, 42  son funciones de n; y las incógnitas son, naturalmente, las

sucesiones
 ,
 ,…,
 .

De manera análoga a lo que ocurría en ecuaciones lineales de orden k, se puede enunciar el siguiente teorema:

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

24

TEOREMA. La solución general del sistema de ecuaciones en diferencias no homogéneo se obtiene sumando una solución particular del sistema y la solución general del sistema homogéneo asociado.

La solución general del sistema homogéneo asociado se ha tratado en el epígrafe anterior. Para calcular una solución particular del sistema completo me remito a la Práctica 2 de esta asignatura.

6. BIBLIOGRAFÍA CITADA EN EL TEMA.

ALCONCHEL PÉREZ, A. y VIGNERON TENORIO, A.: Ecuaciones Lineales en Diferencias: aplicaciones a la empresa y la economía, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz, 2004. FERNÁNDEZ PÉREZ, C. – VÁZQUEZ HERNÁNDEZ, F.J. – VEGAS MONTANER, J.M.: Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Sistemas dinámicos, Editorial THOMSON, 2003. QUESADA TERUEL, J.M. – SÁNCHEZ GÓMEZ, C. – JÓDAR REYES, J. – MARTÍNEZ MORENO, J.: Análisis y Métodos Numéricos, Servicio de Publicaciones de la Universidad de Jaén, 2004. RODRÍGUEZ RUIZ, J. – PRIETO SÁEZ, E. – HERNÁNDEZ MORALES, V. – GÓMEZ TOLEDANO, M.P.: Matemáticas 2. Economía y Empresa. Teoría, Editorial Centro de Estudios Ramón Areces, 1996.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

25

TEMA 2 FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES Una función en varías variables es una aplicación
:    tal que a cada punto

   le hace corresponder el punto
   . Por ejemplo, la función
,  3  ,   , cos es una función de varias variables, concretamente,
:    .

Nosotros, como en la mayoría de los textos, cuando hablamos de funciones


:    consideramos la estructura afín tanto de  como de  . Es decir, siguiendo con el ejemplo anterior, al punto , le asociamos el punto

3  ,   , cos . Sin embargo, también se puede considerar la estructura vectorial

 de  y  , en cuyo caso, al vector  ,

le asociaríamos el vector  ,   , cos .  3 

Otras veces, incluso en la misma función, consideraremos distintas estructuras para el espacio inicial y final. De todos modos, esta cuestión no se prestará a equivocaciones como iremos viendo más detalladamente a lo largo de la asignatura.

En los problemas de ingeniería son innumerables los ejemplos que aparecen funciones en varias variables. Veamos algunos:


La Ley de Coulomb dice que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Por lo tanto, se trata de una función de tres variables:

   con  constante


 ,  ,   


La Ley de los gases ideales dice que la presión P de un gas depende del volumen V y la % & con ' constante

temperatura T según la siguiente ecuación:

$ %, &  '

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

26


La desviación H del punto medio de una viga rectangular que soporta una carga uniforme y tiene como dimensiones , , ( (longitud, anchura y altura respectivamente) es:



( con ' constante

) , , (  '

Estos ejemplos vienen a mostrar la importancia del estudio de las funciones de varias variables.

1. ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SEGÚN EL ESPACIO INICIAL Y FINAL. El dominio de una función
: * +    es el conjunto D del espacio inicial donde

la función toma valores. Salvo que se especifique lo contrario, el dominio de una función f es el conjunto de valores para los que la expresión que define a f tiene sentido. La Imagen de una función
: * +    es el conjunto elementos  , … ,  

 para los que existe al menos un , … ,    tal que
 , … ,    , … ,  .

Veamos los principales tipos de funciones en varias variables que pueden presentarse en función de su espacio inicial y final. De todos modos, en la parte práctica de la asignatura con ordenador estudiaremos con mayor profundidad estos tipos de funciones.

1.1. Curvas parametrizadas. Una curva parametrizada es una función cuyo conjunto inicial es un intervalo de  (o el

propio ) y el espacio final es  o  , es decir, -: ./, 01 +    con   2 ó 3.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

27

El esquema gráfico de una curva parametrizada sería el siguiente:

y su expresión analítica puede venir dada en forma vectorial - 4   4 , 4

con 4  ./, 01, o bien en forma paramétrica - 5 6

-56

   4 7 con 4  ./, 01.

 4

Por ejemplo, la curva parametrizada - 4  4  8 2, 3 sen 4 con 4  .84,41, o bien

  4 8 2 7 con 4  .84,41, tendría la siguiente representación gráfica:

 3 sen 4

1.2. Funciones escalares. Una función se dice escalar cuando el conjunto final es , es decir,
: * +   . El esquema gráfico de una función de este tipo sería:

Sin embargo, la representación gráfica de una función de este tipo se realiza en  .

Para cada punto , del dominio se toma una altura igual a
, .

28

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por ejemplo, sea una placa rectangular D tal que en cada punto , de la misma

tiene una temperatura igual a
,  3  :  . Su representación gráfica sería:

Evidentemente, sólo se puede representar gráficamente las funciones
:    y no

sería posible una representación gráfica
:   .

1.3. Campos vectoriales. Un campo vectorial es una función ;:    que a cada punto de  le asocia un

vector de  . En la práctica, los más utilizados son los campos en  <    2 y los campos en  .

Por ejemplo, sea el campo vectorial ; ,  =



,



> ?  ? > ?  ?

@ cuya interpretación

es que a cada punto , le asocia el vector que tiene las mismas coordenadas pero

normalizado (modulo 1)1, su esquema gráfico sería:

1

En muchos textos, para incidir que se trata de un campo vectorial, se suele expresar ; ,    A : ? ? B. ? ?

> 

> 

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

29

sin embargo, la representación gráfica consiste en dibujar, sobre unos mismos ejes, el punto y el vector que le corresponde aplicado sobre el mismo de la siguiente manera:

2. COMPONENTES DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES. Una función
:    tiene m componentes
 ,
 , … ,
 siendo:


 , … ,   C
  , … ,  ,
  , … ,  , … ,
  , … ,  D

y se escribe

 ,
 , … ,
 . Hay que señalar que cada
E es una función escalar


E :   .

Por ejemplo, la función
:    definida por
,    , cos , 0 tiene tres

componentes:


 ,   
 ,  cos
 ,  0

Las componentes de una función desempeñan un importante papel en el estudio de las funciones de varias variables pues, en muchas ocasiones, el estudio de una determinada

función

 ,
 , … ,
 se simplificará estudiando de forma separada cada una de sus componentes
E .

3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES. Se supone conocida la función distancia en  :

H I 1 , … , < , C 1 , … , < DK  L 1 8 1  : … : < 8 < 

30

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

DEFINICIÓN. Sea
:   , diremos que el límite de
 , … ,  cuando  , … ,  tiende a / , … , / es igual a L y se escribe:

lim

P ,…,Q  RP ,…,RQ


 , … ,   S

si TU V 0 existe un W V 0 tal que si HC 1 , … , < , /1 , … , /< D X W con  , … ,  Y / , … , / entonces :

|
 , … ,  8 S| X U

Por ejemplo, sea la función
,   : lim

,  ,^

:

[\]  

sen 3

pues si , se acerca al punto 2,0 su imagen  : DEFINCIÓN. Sea
:    diremos que lim

1 ,…,Q  /1 ,…,/Q

si

lim

[\]  

tiende a 3.


1 , … ,   S1 , … , S

1 ,…,Q  /1 ,…,/Q

con _  1, … , 

entonces:


E 1 , … ,   SE

Es decir, el límite de una función
:    se reduce a calcular los m límites de sus

funciones componentes
E :   .

NOTA.

Hay

que

señalar

que,

en

estas

definiciones,

cuando

se

escribe

HC 1 , … , < , /1 , … , /< D X W, lo que se dice es que  , … ,  se acerca al punto

/ , … , / , pero, se da por supuesto que el punto  , … ,  ha de estar dentro del dominio de la función f.

Por ejemplo, la función
,   :

[\]  

/, 0 , luego para el cálculo del lim ,  ,^  :

está definida T , salvo en los puntos

[\]  

no tiene sentido acercarme al punto

2,0 con puntos de la forma , 0 . Es decir, podríamos acercarnos con puntos del siguiente

tipo:

31

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

pero no con estos otros:

3.1. Cálculo efectivo del límite. El límite de una función
:    , si existe, es único2 y su cálculo efectivo, en la

práctica, se determina usando las propiedades aritméticas de los mismos, que viene a decir que el límite de una operación es la operación de los límites respectivos. Así: lim   : 1   : 1 ,  ,

lim   82 ,  ,  8 lim  8 ,  ,

El problema, igual que ocurría con las funciones de una variable, se presenta cuando al utilizar el criterio anterior aparecen las indeterminaciones que, con la notación habitual en el 0 ∞ ; ; 0 · ∞; ∞ 8 ∞; 0^ ; ∞^ ; 1c 0 ∞

contexto de límites, son fundamentalmente:

En estos casos, a diferencia de lo que ocurría en el caso de una variable, la deducción del límite

se

complica. Hay

que tener en cuenta

que para el cálculo del

lim P ,…,Q  RP ,…,RQ
 , … ,  al punto / , … , / me puedo acercar de muy diferentes formas y, para afirmar la existencia del límite, tengo que asegurar que por cualquier camino que me acerque al punto / , … , / existe dicho límite y siempre es el mismo3.

Así pues, en el caso de las indeterminaciones siempre podemos acudir a la definición para probar la existencia o no del límite lo que, sin duda, resulta bastante complicado en la mayoría de los casos. No obstante, en el caso de funciones definidas en  podemos acudir al

uso de coordenadas polares. 2

Para estudiar la existencia y propiedades de los límites de funciones en varias variables se puede consultar DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, pág. 26 en adelante. 3 Por su puesto, he de acercarme al punto /1 , … , / con puntos  , … ,  dentro del dominio de definición de f.

32

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

TEOREMA. Sea
:    tratamos de calcular lim ,  ^,^
, y realizamos el cambio de

variable:

6

  d cos e 7

 d sen e

si probamos que limf^
d cos e , d sen e  S, cualquiera que sea el valor de e  .0,2g ,

entonces lim ,  ^,^
,  S.

Por ejemplo, el lim ,  ^,^  ? ? es una indeterminación del tipo ^. Si realizamos un h

^

cambio a coordenadas polares, trasladamos el problema al cálculo de: lim d cos e  0

f^

que al tratarse de una expresión que tiende a 0 (ρ) por otra que está acotada (cos  e) tiende globalmente a 0, luego:

 0 ,  ^,^   :  lim

En cambio, se puede asegurar la no existencia del lim ,  ^,^  ? ? pues, realizando 

el cambio a coordenadas polares, el problema es equivalente a: lim cos e sin e  cos e sin e

f^

que, evidentemente, depende de θ.

3.2. Probar que no existe límite. Nos centramos en la determinación del límite en el origen4 de funciones
:   ,

aunque todo lo que se diga en este apartado es fácilmente generalizable a funciones
:    .

El paso a coordenadas polares puede solucionar muchas indeterminaciones, pero también puede ocurrir que la expresión resultante después del cambio a polares sea incluso más complicada de resolver que la fórmula original. En todos los ejemplos hemos supuesto que el punto donde se quiere calcular el límite es el 0,0 . Pero, en realidad, esto no representa ninguna restricción pues, por ejemplo, si se pretende calcular l   8 17 k ? lo que equivale a lim ,  ,k k  , en primer lugar, se hace el cambio de variable 6 m :2 4

trasladar nuestro problema al cálculo del lim n,o  ^,^

n?

no

, es decir, a evaluar un límite en el origen.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

33

En estos casos, se recomienda intentar probar que no existe límite acercándonos al origen de distintas formas. Si llegamos a probar que, en función de cómo nos acerquemos, obtenemos “límites” distintos se contradice la unicidad del límite y, por tanto, no existiría el límite propuesto. Los métodos más usuales para acercarse al origen son:  Límites direccionales. Se trata de acercarse al origen por rectas de la forma   

con lo que trasladamos el problema del cálculo del lim ,  ^,^
, a la

determinación, en una variable, del lim^
,   . Si salieran límites distintos en

función del valor de m se habría demostrado la no existencia de límite en la expresión original.  Límites por curvas. La idea es la misma que acabamos de mencionar pero, ahora, nos acercamos al origen por curvas. Suele ser muy normal aproximarse por curvas de la

forma     o bien     , u otro tipo de curva en función de la expresión de
, . Si salieran límites distintos en función del valor de k se habría demostrado la no

existencia del límite.

Hay que señalar que si todos los límites direccionales y por curvas nos conducen a un mismo “límite” L tendremos un candidato a límite (el número L), pero no podemos asegurar que efectivamente ese valor sea el verdadero límite.

Otro método muy usado para demostrar la no existencia del límite consiste en tomar límites reiterados. Los límites reiterados (o sucesivos) se definen de la siguiente manera: S  lim Ilim
, K q R 7 p S  lim =lim
, @ R q

Si S Y S podemos asegurar que no existe límite. En cambio si fueran iguales

tenemos un candidato a límite pero no podemos asegurar nada.

Por ejemplo, para calcular lim ,  ^,^  ? ? podemos utilizar los límites reiterados:

por otra parte:

 s  lim 1  1 ^   :  ^

lim rlim

^

 s  lim 0  0 ^ ^   : 

lim rlim

^

 

34

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

por lo tanto se puede asegurar que no existe lim ,  ^,^

   ? ?

.

NOTA. Aunque los cálculos analíticos de los límites reiterados suelen ser simples, sin embargo, conceptualmente estamos usando un artificio bastante rebuscado para acercarnos al valor que

debería tener el límite de
, lo que nos obliga a tener una cierta precaución. En concreto, puede ocurrir que no exista alguno de los límites reiterados (o ninguno de los dos) y sin embargo existir lim ,  R,q
, 5.

4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.

La noción de función continua en funciones de varias variables es la misma que para

funciones de una variable, viene a decir que a pequeños incrementos de  , … ,  le corresponde pequeños incrementos de
 , … ,  .

No vamos a considerar los puntos aislados del dominio de f por su poco interés. En los puntos aislados, por definición, la función será continua6.

DEFINICION. Una función
:    es continua en el punto / , … , / si existe
/1 , … , /< ;

existe lim 1 ,…,<  /1 ,…,/<
1 , … , <  S1 , … , S y


/1 , … , /<  S1 , … , S

Resulta fácil probar el siguiente teorema que nos facilitará la comprobación de la continuidad de una función en un punto.

TEOREMA. Una función
:    es continua en el punto / , … , / si todas sus funciones

componentes
E : <   son continuas en / , … , / .

Sobre los importantes teoremas que involucran a las funciones continuas me remito a la bibliografía que aparece al final del tema.

5

A este respecto se puede consultar el libro de DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, págs. 36 a 39. 6 Un punto aislado es aquél tal que no existen puntos del dominio de f, distintos del propio punto aislado, que se acerquen a dicho punto. Por ejemplo, la función:   :  si 8 1 u  u 1; 81 u u 17
,  6 3 si ,  2,2

está definida en el rectángulo .81,11 v .81,11 junto con el punto 2,2 . El punto 2,2 es un punto aislado en la que la función
, va a ser continua.

35

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

5. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuación, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografía que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fácilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

Los problemas están completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en función de su capacidad para aclarar los conceptos aquí planteados.


LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995. Ejemplo 1 página 988

Ejemplo 1 página 1002

Ejemplo 3 página 1003

Ejemplo 5 página 1006

Ejemplo 2 página 1002


GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSA-MADRID, 1996. Problema 1 página 11

Problema 3 página 14

Problema 7 página 16

Problema 9 página 17

Problema 2 página 54

Problema 5 página 57

Problema 6 página 57

6. BIBLIOGRAFÍA CITADA EN EL TEMA.

DE BURGOS ROMÁN, J: Cálculo infinitesimal de varias variables, segunda edición, McGraw-Hill, 2008. GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSAMADRID, 1996. LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

36

TEMA 3 DIFERENCIACIÓN EN VARIAS VARIABLES En el presente tema tratamos de estudiar el comportamiento del cociente entre lo que

se incrementa una función
 , … ,   cuando se incrementa el punto  , … ,   en un valor muy pequeño, mejor dicho, cuando los incrementos que se otorgan a cada  tienden a 0.

En funciones de una variable, lo que acabamos de decir es el concepto de derivada al que nos vamos a referir seguidamente a modo de introducción de lo que sucede en el ambiente de varias variables. Sea una función
:   definida en un intervalo que contiene al punto x

se define la derivada de f como la proporción entre ∆
e ∆ cuando ∆ se hace muy pequeño:
   lim

∆ 


  ∆ 
 ∆
 lim ∆ ∆ ∆ 

Por ejemplo, supongamos la función
    y fijemos el punto   3, si damos a

∆ valores cada vez más pequeños obtenemos el siguiente cuadro: ∆

0.1 0.05 0.01 0.001



∆
∆ 6.1 6.05 6.01 6.001

lo que nos confirma el resultado esperado de que
 3  6, puesto que: si evaluamos en el punto   3:


   lim

∆ 

∆
 2 ∆


 3 2|"#  6

37

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

1. DERIVADAS PARCIALES. Supongamos
:  , ahora no podemos calcular el cociente entre los dos

incrementos, como pasaba en una variable, puesto que el denominador sería ∆, ∆$ y no

tiene sentido dividir por él. Pero sí podemos fijar una variable y medir la proporción entre el ∆
y lo que se incrementa la otra variable. Surge así, el concepto de derivada parcial.

DEFINICIÓN. Sea
:   se define la derivada parcial de f respecto de la variable x y se escribe
 ó % al siguiente límite: %&


 

'

  ∆, $ 
, $  lim ' ∆  ∆

si evaluamos en un punto concreto  , $ 
  , $  

'

  ∆, $  
 , $   lim ( ' ,)"* ,)*  ∆  ∆

Análogamente, se define la derivada parcial de f respecto de la variable y:
) 

'

, $  ∆$ 
, $  lim ∆)  '$ ∆$

Ejemplo, sea la función
, $  + en todo punto.

,-. ) )

0

si $ 0 0

si $  0

calculemos las derivadas parciales

Sea el punto , $ con $ 0 0, para puntos cercanos a , $ la expresión de f es: '
'

luego:


, $ 









1

1

sen $ $


  ∆, $ 
, $ ∆  ∆ sen  ∆ $ sen $  $ $ lim ∆  ∆ sen $ cos∆ $  cos $ sen∆ $  sen $ lim ∆  ∆ $ cos $ sen∆ $ sen $ cos∆ $  1 lim  lim ∆  ∆  ∆ $ ∆ $ cos $ lim

Utilizamos que sen 5 es equivalente a 5 cuando 5 0. Asimismo, cuando 5 0 son equivalentes

1  cos 5 y

67 

.

38

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

En realidad, las operaciones que acabamos de hacer no son necesarias puesto que la %&

noción de % descansa en dejar la y fija e incrementar la variable x, lo que equivale a usar las

reglas usuales de derivación respecto de x considerando la y como una constante.

Supuesto distinto son los puntos de la forma 8, 0. En estos puntos la función f toma

una expresión distinta a la que tiene en los puntos de su alrededor. Aquí tenemos que acudir '
( ' ,)"9,


8  ∆, 0 
8, 0 ∆  ∆ 0  lim ∆  ∆  0

necesariamente a la definición para calcular la derivada parcial:

luego:

análogamente se comprueba que:

'
; '



lim

'
cos $ si $ 0 0 : 0 si $  0 '

 $ cos $  sen $ si $ 0 0 y no existe si $  0

NOTA 1. El concepto de derivada parcial que hemos definido para funciones
:   se

extiende sin ninguna dificultad a funciones
:  .

NOTA 2. Tampoco presenta dificultad extender la definición de derivadas parciales a funciones
:  ? realizando la derivación parcial de cada componente. Por ejemplo, si
, $   $, cos $, $ entonces % 
  $, y sen $ , 0. %&

NOTA 3. El hecho de que las derivadas parciales de f existan en un punto, respecto de todos sus argumentos, no garantiza que f tenga que ser continua en dicho punto2.

1.1. Derivadas parciales de órdenes superiores. Sea
:   tal que existen las derivadas parciales % y %). Estas derivadas parciales %&

%&

serán funciones de , $ que a su vez podrán derivarse parcialmente. A las derivadas %&

%&

parciales de % y %) se le llaman derivadas parciales segundas o de segundo orden y se notan

de la siguiente forma: 2

Por ejemplo, ver la nota de KRASNOV, M. et al, Curso de matemáticas superiores para Ingenieros, Vol. 1, pág. 623.

39

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López





)


)


CC

%7 & %) 7

'
' '
 A B  ' ' ' ' '
'
 A B o bien '$ ' '$ ' '
' '
o bien  A B ' '$ ' '$ '
' '
o bien  A B  '$ '$ '$

o bien

Por ejemplo, si
, $   # $ , entonces

 2 # .

%7 & % 7

 6$  ;

%7 & % %)

 6  $ ;

Observamos que, en este caso, las derivadas parciales cruzadas

%7 & %) %

%7 & % %)

y

 6  $;

%7 & %) %

son

iguales lo que sucederá en la inmensa mayoría de las ocasiones aunque no se puede asegurar siempre3. Nosotros, salvo que se especifique lo contrario, damos por supuesta la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. De todas formas, enunciamos dos teoremas que nos proporcionan condiciones suficientes para asegurar la igualdad de las derivadas parciales cruzadas4.

TEOREMA DE SCHWARTZ. Sea
:   tal que en un entorno de  , $  existen las derivadas parciales

%7 & % %)

%& %& %7 & , , % %) %) %

y se verifica que %) % D %7 &

y si

%7 & %) %

,)"* ,)* 

es continua en el punto  , $ , entonces existe

 % %) D %7 &

,)"* ,)* 

.

TEOREMA DE BONET. Sea
:   tal que en un entorno de  , $  existen

%7 & . %) %

Si

%7 & %) %

%7 & . D % %) ,)" ,)  * *

y

%7 & %) %

son continuas en  , $  entonces

%& %& %7 & , , , % %) %) %

%7 & D %) % ,)" ,)  * *



En definitiva, la igualdad de las derivadas parciales cruzadas se puede asegurar con la existencia y continuidad de las distintas derivadas parciales de menor o igual orden. Además, este resultado se extiende con facilidad a funciones
:  ? .

3

En KRASNOV, M. et al, Curso de matemáticas superiores para Ingenieros, Vol. 1, pág. 645, puede verse un ejemplo en que no se da la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. 4 La demostración de estos teoremas puede verse en DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, pág.102.

40

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

1.2. Matriz jacobiana. Sea
:  ? de la que suponemos que existen todas las derivadas parciales %& ,…,&H  G ,…,I 

matriz jacobiana %G

%&E . %F

La

se define como la siguiente matriz: '
 L ' '
 , … ,
?  K '
  ' , … ,   K '  K … '
? J '

'
 ' '
 ' … '
? '

'
 ' O '
 N … ' N … … N '
? … ' M …

Cuando la matriz anterior se evalúe en un punto concreto 8  8 , … 8  P  se

notará por %G ,…,H D %& ,…,&  G

I

G ,…,I "9G ,…,9I 

o simplemente %G ,…,H D . %& ,…,&  G

I

9

NOTA: Cuando la matriz sea cuadrada, a su determinante se le denomina jacobiano.

2. FUNCIÓN DIFERENCIABLE. Muchas veces estamos interesados en calcular de forma fácil ∆
para ∆ pequeños

aunque sea de forma aproximada. Esto se consigue con la ayuda del concepto de diferenciabilidad. Veamos lo que ocurría en funciones de una variable para extenderlo después a funciones de varias variables.

2.1. Función diferenciable en una variable. Diferencial de una función. La función
:   se dice diferenciable en el punto a si existe un número k (que, en

general, dependerá de a pero no de ∆) tal que el siguiente límite es nulo: lim

∆ 


8  ∆ 
8  Q ∆ 0 ∆

41

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

que:

Ejemplo,
    es diferenciable en cualquier punto a, pues existe Q  2 R 8 tal
8  ∆ 
8  Q ∆ ∆  ∆ 8  ∆  8  28 ∆ lim ∆  ∆ lim ∆ lim

∆ 







0

Se puede demostrar de forma sencilla5 que f diferenciable en a equivale a decir que f es derivable en a, y que el número k de la definición de diferenciablidad es precisamente


 8.


8  ∆ 
8 
 8 ∆ 0 ∆  ∆

Por lo tanto, las funciones diferenciables en a verifican: lim

Es decir, ∆
|"9 
8  ∆ 
8 se aproxima por
 8 ∆ de tal forma que su

diferencia es un infinitésimo de mayor orden (más pequeño) que ∆.

Esta aproximación de ∆
,
 8 ∆, se llama diferencial de f en el punto a.

DEFINICIÓN. Sea
 una función real diferenciable en el punto a, se define la

diferencial de f en el punto a y se escribe S
|"9 como:

S
|"9 
T8 ∆

y, en general, para un punto genérico x:

S

  ∆

Gráficamente se puede ver la diferencia entre ∆
y S
. La recta que aparece en el

dibujo es la recta tangente a la gráfica de
 en el punto 8,
8.

5

Ver pág. 352 de KRASNOV, M. et al, Curso de matemáticas superiores para Ingenieros, Vol. 1.

42

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

∆
|

Por ejemplo, dado
    para el punto   3 y ∆  0.1 la diferencia entre

"# ∆".

y S
|

"# ∆".

sería: ∆
|

"# ∆".

S
|

"# ∆".





  ∆    |

"# ∆".

2 ∆|

la diferencia es escasa, sin embargo, S
|

"# ∆".

 0.61



0.6

es mucho más fácil de calcular que ∆
|

"# ∆".

"# . ∆".

2.2. Función diferenciable en varias variables.

En el punto anterior, se repasó la definición de función diferenciable en una variable. Extendamos este concepto a funciones de varias variables.

DEFINICIÓN. Una función
:  ? se dice diferenciable en 8  8 , … 8  P  si existen

todas las derivadas parciales en un entorno de a y además se verifica (trabajando por columnas):

lim

∆G ,…,∆I  ,…,

8  ∆

W S U
V 8  ∆

8

∆

 '
 , … ,
?  X 
V W X, ( V W XY

8

8  ∆

' , … ,   8

W S UV X , V W XY 8 8  ∆

9

∆

0

Es decir, f es diferenciable en a si existe una aplicación lineal caracterizada por la matriz jacobiana tal que, en dicho punto a, la diferencia entre el incremento de la función y la aplicación lineal aplicada al incremento de la variable es un infinitésimo mayor (más pequeño) que el incremento de la variable. Por ejemplo, sea
, $   $,    1, $  , comprobemos que es diferenciable en

el punto 1,2.

'
 L ' '
 K K ' K '
# J '

'
 '$ O Z 2 1 '
 N  V 2 0X '$ N NZ 1 1 '
# '$ M ,)",

En primer lugar, calculamos la matriz jacobiana en dicho punto: '
 ,
 ,
#  ( ', $ ,)",

43

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

tomando límites:

1  ∆2  ∆$ 2 2 1 ∆  [U 1  ∆  1 Y  V2X  V 2 0X A B[ ∆$ 1 1 1 2  ∆$  1  ∆ lim ∆ ∆,∆) , (A∆$B( ∆ ∆$ \V ∆  X\ 0 lim ∆ ∆,∆) , (A B( ∆$ lim

∆,∆) ,

]∆  ∆$   ∆ ^ ]∆   ∆$ 

 

6

0

Comprobar que una determinada función es diferenciable es una condición necesaria para poder aplicar muchos de los teoremas y resultados que veremos a lo largo de esta asignatura. Afortunadamente, para demostrar la diferenciabilidad de una función la mayoría de las veces no tendremos que realizar un razonamiento como el que acabamos de hacer. Existen teoremas que, bajo unos sencillos supuestos, nos aseguran la diferenciabilidad de una función7. TEOREMA 1. Una función
:  ? es diferenciable si y solo si lo son cada una de sus funciones componentes
 , … ,
? . TEOREMA 2. Sea
:   tal que en un entorno de 8 , … , 8  las derivadas parciales

%& %E

son continuas en dicho entorno _`. Entonces f es diferenciable en 8 , … , 8 8. Así pues, para demostrar la diferenciabilidad de la función
, $   $,    1, $   en el punto 1,2 también podríamos razonar de la siguiente manera:

%&G %

 $;

%&G %)

  son

continuas en un entorno del punto 1,2, luego
 , $ es diferenciable en 1,2. El mismo razonamiento se hace para
 , $ y
# , $ lo que nos lleva a que
, $ es diferenciable en 1,2.

De la definición de función diferenciable se deduce sin mucho esfuerzo las siguientes propiedades: 6

Este límite se puede calcular haciendo un cambio a polares. La demostración de estos teoremas se pueden ver en DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, pág. 89. 8 El recíproco de este teorema no es cierto. Una función puede ser diferenciable en un punto y no tener derivadas parciales continuas en ese punto. Ver el ejemplo 3 de GARCÍA CASTRO y GUTIÉRREZ GÓMEZ, Cálculo infinitesimal II, Vol. 1, pág. 109. 7

44

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

1. Si una función f es diferenciable en el punto 8 , … , 8 , entonces es continua en dicho punto9.

2. Si f y g son funciones diferenciables, también son diferenciables: • •

b
con b P 
c

3. Si f y g son funciones escalares diferenciables, también son diferenciables: • •


·c & e

en los puntos donde no se anula la función g.

2.3. Diferencial de una función de varias variables. Sea
:  ? diferenciable en 8  8 , … 8  P  , de la definición de

diferenciablidad se tiene:

lim

∆G ,…,∆I  ,…,

8  ∆

W S U
V 8  ∆

8

∆

 '
 , … ,
?  X 
V W X, ( V W XY

8

8  ∆

' , … ,   8

W S UV X , V W XY 8 8  ∆

9

∆

0

DEFINICIÓN. Se llama diferencial de f en el punto a, y se denota por S
|9 , al término %&G ,…,&H  D V %G ,…,I  9

∆

W X y es una aproximación de ∆
|9 de mayor orden (más pequeño) que ∆:

∆

∆ '
 , … ,
?  S
|9  ( V W X ' , … ,   9 ∆ 

S
|

Por ejemplo, sea
, $   $  ,   $, ln$, calculemos ∆
|

,)", ∆,∆)".,.

,)", : ∆,∆)".,.

∆
|

,)", ∆,∆)".,.

9

y

4 1.1 · 2.2 1.324 1 X  V 0.1 X  U 1.1  2.2 Y  V ln2 ln1.1 · 2.2 0.19

El recíproco no es cierto, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en dicho punto. Ver el ejemplo 4 de GARCÍA CASTRO y GUTIÉRREZ GÓMEZ, Cálculo infinitesimal II, Vol. 1, pág. 111.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

S
|

,)", ∆,∆)".,.

$ 1 h$ $

2$ 1.2 ∆ 1 A B(  V 0.1X  iZ ∆$ ∆,∆)".,. 0.2 $ ,)",

45

observamos que S
j ∆
y esta aproximación será tanto mejor cuanto más pequeños sean ∆ e ∆$.

Para un punto genérico  , … ,   la diferencial de la función f tiene la expresión: '
 , … ,
?  ∆ V W X ' , … ,   ∆ 

S


Si  , … ,   es la variable independiente, por definición, se suele notar: ∆ … ∆

 S … …  S

en consecuencia, la expresión de la diferencial queda de la siguiente forma10: S


'
 , … ,
?  S V W X ' , … ,   S 

2.4. Diferencial de una función escalar.

Si la función f es una función escalar, la diferencial de f adopta una forma más cómoda.

Por ejemplo, sea
:   entonces: '
S
 A '

'
S '
'
B A B S  S$ '$ S$ ' '$

Y evaluada en un punto concreto 8 , 8 : S
|,)"81 ,82  

En general, si
:  :

S


10

'
'
S  ( ( ' ,$81 ,82  '$ ,$8

1 ,82 

S$

'
'
S  k  S ' '

GALINDO SOTO et al, Guía práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables, pág. 50, da una explicación más coherente para esta notación. De todas formas, hay que señalar que si z no es una variable independiente 5 
 entonces S5, en general, será distinto de ∆5, en concreto, S5 j ∆5.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

46

2.5. Algunas propiedades de la diferencial.

De la definición de df se deducen fácilmente las siguientes propiedades: 1. Si f es una función constante, entonces S
l 0. 2. Si f y g son funciones diferenciables: • •

Sb
  b S
con b P 

S
 c  S
 Sc

3. Si f y g son funciones escalares diferenciables: • •

S
· c  S
· c 
· Sc S men  &

o&·ep&·oe e7

en los puntos donde g no se anula.

3. REGLA DE LA CADENA EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Antes de estudiar la regla de la cadena en funciones de varias variables, vamos a comentar dicho resultado para funciones de una variable donde lo suponemos conocido. Supongamos una función
q con q  q, en definitiva, podemos decir que f es

una función en la variable x.

Por ejemplo,
q  cos q siendo q     1. Entonces f es función de x definida por


  cos   1.

S
S
Sq  S Sq S

La regla de la cadena para funciones de una variable dice:

hay que señalar que las expresiones de f que aparecen en ambos lados de la igualdad son S
S cos   1   sen   1 2  S S

distintas. Así, en el lado izquierdo se entiende que:

mientras que en el lado derecho:

S S
cos q   sen q  Sq Sq

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

S
Sq Sq S

47

La igualdad de la regla de la cadena nos confirma que: 

 sen q 2

  sen   1 2 S
 S

Si evaluamos en un punto concreto  , la regla de la cadena ha de aplicarse de la

siguiente manera:

S
Sq S
 ( ( ( S "* Sq r"r*  S "*

Por ejemplo, siguiendo con la misma función
q  cos q, con q     1. Si

evaluamos la derivada en el punto   1 se tiene:

S
  sen   1 2|"  2 sen 2 ( S "

S
Sq   sen q|r" 2|"  2 sen 2 ( ( Sq r"r S "

y utilizando la regla de la cadena:

Extendamos la regla de la cadena a funciones de varias variables.

3.1. Matriz jacobiana de la composición de funciones en varias variables. Sean
:  ? y c: ? s entonces c t
:  s según el siguiente

esquema:

&

e

 ? s 5  $ VWX V W X VWX 5s $? 

Si suponemos que f es diferenciable en 8 , … , 8  y g es diferenciable en
8 , … , 8 

entonces c t
es diferenciable en 8 , … , 8  y la matriz jacobiana de la composición es11:

11

La demostración de este resultado puede consultarse en GARCÍA CASTRO y GUTIÉRREZ GÓMEZ, Cálculo infinitesimal II, Vol.1, pág. 116.

48

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

'c t
 , … , c t
s  u ' , … ,    

G ,…,I "9G ,…,9I 

'c , … , cs  u '$ , … , $?  )



G ,…,)H "&9G ,…,9I 

'
 , … ,
?  ( ' , … ,   

G ,…,I "9G ,…,9I 

Con otro enfoque, lo anterior también se puede expresar del siguiente modo:

Supongamos la función:


q , … , q?  P s

tal que cada q es a su vez función de  , … ,  :

q  c  , … ,  

es decir:

q , … , q?   c , … ,  

por lo tanto,
:  s y, aplicando la regla del jacobiano para la composición de funciones,

podemos afirmar:

'
 , … ,
s  u ' , … ,   

G ,…,I "9G ,…,9I 

o de forma genérica:





'
 , … ,
s  u 'q , … , q?  r

G ,…,rH "eG ,…,I 

'q , … , q?  ( ' , … ,   

'
 , … ,
s  'q , … , q?  '
 , … ,
s   ' , … ,   'q , … , q?  ' , … ,  

G ,…,I "9G ,…,9I 

3.2. Casos particulares de la regla de la cadena para funciones escalares.

En el apartado anterior hemos visto la regla de la cadena para el caso general. Sin embargo, lo usual es aplicar dicha regla sólo para casos muy concretos con lo que la escritura   v CASO 1. Sea
, $ P , pero las variables x e y dependen a su vez de t : . $  $v

de la misma se simplifica considerablemente. Veamos algunos de estos supuestos particulares. Podemos decir que
:  . Utilizando la regla de la cadena para este supuesto:

49

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

S
Sv





si evaluamos en un punto concreto v se tiene:

S '
'
A B h Sv i S$ ' '$ Sv '
S '
S$  ' Sv '$ Sv

S
'
'
'  (  ( ( ( Sv w"w* ' ,)"w* ,)w*  'v w"w* '$ ,)"w

* ,)w*

'$ (  'v w"w*

  xw entonces: Por ejemplo, sea la función
, $   sen $ donde : $  v  1 S
'
S '
S$    sen $ x w   cos $ 2v Sv ' Sv '$ Sv

si evaluamos en el punto v  0

S
 sen $|,)", x w |w"   cos $|,)", 2v|w" ( Sv w"

Para recordar las expresiones resultantes de utilizar la regla de la cadena se suelen utilizar los diagramas de árbol. A la derecha se ponen las variables de las que dependen las funciones situadas más a la izquierda. Se trata de llegar, de izquierda a derecha, por todos los caminos posibles apareciendo tantos sumandos como caminos se puedan encontrar: f

x

t

y

t

S
'
S '
S$   Sv ' Sv '$ Sv

q  q, $ CASO 2. Sea
q, y P  con : . y  y, $

El diagrama de árbol para este caso sería: u f v la regla de la cadena dice:

x y x y

50

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

A

'
'

'
'
B  A '$ 'q '
'
 ' 'q {'
 '
z'$ 'q

o lo que es lo mismo:

|

Evaluando en un punto concreto 8, }:

'
'
| (  ( ~ ' ,)"9, 'q r,€"r9,,€9, '
{'
(  ( ~'$ 'q r,€"r9,,€9, z ,)"9,

'q '
L' B 'y K'y J'

'q '
 ' 'y 'q '
 '$ 'y

'y ' 'y '$

'q  ( ' ,)"9, 'q  ( '$ ,)"9,

q  q, $ CASO 3. Sea
q, y,  P , con +y  y, $

'q '$O 'y N '$M

'
( 'y r,€"r9,,€9, '
( 'y r,€"r9,,€9,

'y ( ' ,)"9, 'y ( '$ ,)"9,

  , $

El diagrama de árbol sería: u f

v w

'
'
 ' 'q {'
 '
z'$ 'q

aplicando la regla de la cadena:

|

'q '
 ' 'y 'q '
 '$ 'y

x y x y x y 'y '
 ' ' 'y '
 '$ '

' ' ' '$

4. DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE UNA FUNCIÓN ESCALAR. Sea
, $ P  una función diferenciable, la df, en general, dependerá de , $

(también de S y S$), y puede volver a ser diferenciable. A esta nueva diferencial la llamaremos diferencial segunda.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

51

DEFINICION. Se denomina diferencial total segunda de la función
, $ y se denota por S
a:

S
 SS


TEOREMA. Sea
, $ una función escalar de clase 212. Entonces df es diferenciable y: S


Demostración.

'
'
'
  S  S$  2 S S$ '  '$  ' '$

Al ser
, $ de clase 2 podemos asegurar las operaciones que realizaremos a

continuación así como la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. S








 13 



SS
 '
'
S  S$B SA ' '$ '
'
'
'
S A B S  SS  S A B S$  SS$ ' ' '$ '$ '
'
S A B S  S A B S$ '$ '   '
'
'
'
 S  S$ S  S S$  S$  '  '$ ' ' '$ '$  '
'
'
  S  S$  2 S S$ '  '$  ' '$

Este resultado se suele expresar de forma simbólica:  '
'
S  S$B S
 A '$ '

donde el significado simbólico de la “potencia” se puede adivinar fácilmente. NOTA 1. Para funciones de clase r se puede deducir: ‚ '
'
S‚
 A S  S$B ' '$

NOTA 2. Si
:   es de clase r:

‚ '
'
S‚
 A S  k  S B ' '

NOTA 3. Todo lo visto en este apartado se puede extender sin dificultad a funciones
:  ? mediante sus funciones componentes14.

12

Una función es de clase 2 si todas las derivadas parciales de segundo orden son continuas, lo que a su vez implica que también es de clase 1. El concepto de función de clase r puede verse en DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, pág. 99. 13 Aplicamos que SS  SS$  0 puesto que ni S ni S$ dependen de , $. 14 Ver DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, pág. 108.

52

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

5. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES CON VARIABLES INTERMEDIAS.

Estudiemos la expresión de la diferencial de una función cuando previamente hemos realizado un cambio de variable. Veamos con un ejemplo lo que pretendemos.

Sea la función:


, $  sen  $ x ƒ)

por lo tanto S
 % S  %) S$, y para calcular df habría que realizar las correspondientes %&

%&

derivadas parciales.

q  $ Supongamos ahora que realizamos el cambio de variable : , la nueva y $

expresión de la función f se simplifica:


q, y  sen q x €

Si se pudiera asegurar que S
 %r Sq  %€ Sy , obtendríamos una expresión fácil de %&

%&

df, aunque fuera en función de las variables “intermedias” u y v.

Vamos a demostrar que la presunción anterior es cierta para la diferencial primera pero no para las diferenciales de órdenes superiores.

5.1. Invariancia de la diferencial primera. Sea
q, y P , con :

q  q, $ , en definitiva, f será una función en las variables y  y, $

independientes x e y. Además, suponemos suficiente regularidad tanto de las funciones q, $ y y, $ como de la función f15, entonces:

15

Sería suficiente con exigir la continuidad a las derivadas parciales de u y v y la continuidad de

ver KRASNOV, M. et al, Curso de matemáticas superiores para Ingenieros, Vol. 1, pág. 634.

%&

%r

y

%& %€

,

53

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

S










A

'
'q

'q ' '
'q



'


' '
'y

S 

'


S$ '$ '
'q

B S  A



'
'y

B S$

'y ' 'q '$ 'y '$ 'q '
'y 'y A S  S$B  A S  S$B 'q ' '$ 'y ' '$ '
'
Sq  Sy 'q 'y

Luego, la diferencial total adopta una expresión del mismo tipo, tanto si los argumentos son variables independientes como si éstos son a su vez funciones de ciertas variables:

S


'
'

S 

'


'$

S$ 

Por ejemplo, sea
q, y  sen q x € con :

'


'q

Sq 

'
'y

Sy

q  $ y $

S
 cos q x € Sq  sen q x € Sy

ahora sustituimos u y v por su valor así como Sq  2$ S    S$; Sy  S  S$ y

obtendremos el mismo resultado que hubiéramos obtenido directamente calculando la S
 % S  %) S$ con la función
, $  sen  $ x ƒ) . %&

%&

5.2. Diferencial segunda con cambio de variables. Con el mismo planteamiento que en el punto anterior, veamos que S
tiene

expresiones distintas según que las variables sean dependientes o independientes.

En el apartado 4 de este tema demostramos que si x e y son variables independientes: S


'
'
'
  S  S$  2 S S$ '  '$  ' '$

Sea ahora
q, y P , con :

q  q, $ : y  y, $

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

S




 16 

 17 

SS
 '
'
Sq  SyB SA 'q 'y '
'
'
'
S A B Sq  SSq  S A B Sy  SSy 'q 'q 'y 'y '
'
'
 '
'
'
  Sq  Sy Sq  S q  Sq Sy  Sy   S y   'q 'y 'q 'q 'q 'y 'y 'y '
'
'
'
 '
   Sq  Sy  2 Sq Sy  S q S y   'q 'y 'q 'y 'q 'y

54

En resumen, con variables intermedias: S


'
'
'
 '
 '
  Sq  Sy  2 Sq Sy  S q S y   'y 'q 'y 'q 'y 'q

Sería un buen ejercicio comprobar para
q, y  sen q x € con :

q  $ la y  $

igualdad de este último resultado con el que se habría obtenido calculando directamente la diferencial segunda de
, $  sen  $ x ƒ) , donde hay que puntualizar lo siguiente: Sq  Sq Sq  2$ S    S$2$ S    S$ S q 

'q 'q 'q   S  S$  2 S S$ '  '$  ' '$

6. INTEGRALES DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO.

Como aplicación de la diferenciación en varias variables vamos a comentar ligeramente el caso de las integrales dependientes de un parámetro18. 

Consideremos la función …  †9
v,  Sv donde a y b son constantes. Por ejemplo:

w" …  ‡ 2 v  Sv  ˆ v  ‰w"  3 



Utilizamos la invariancia de la diferencial primera. Ahora, SSq 0 0 puesto que Sq dependerá, en general, de , $ y lo mismo ocurre con SSy. 18 Para un estudio mas detenido de este tema se puede consultar KRASNOV, M. et al, Curso de matemáticas superiores para Ingenieros, Vol. 2, pág. 471 en adelante. O también, LOSADA RODRÍGUEZ, Análisis Matemático, pág. 624 en adelante. 16 17

55

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

En principio, este tipo de funciones … definidas bajo el signo integral no deben

presentar problemas siempre que sea fácil resolver la integral. Sin embargo, todos sabemos que el cálculo de integrales a menudo resultan complicados.

El objetivo de este apartado es dar técnicas para calcular la derivada de una función definida bajo el signo integral, sin llegar a calcular dicha integral (o resolviendo otra más sencilla).

TEOREMA 1. Sea
v,  una función continua en el rectángulo cerrado ˆ8, }‰ Š ˆ‹, S‰. Entonces la función …  †9
v,  Sv es continua en ‹, S. Es decir, si  P ‹, S: 





lim …  lim ‡
v,  Sv  …   ‡ lim
v,  Sv

 *

 * 9

9  *

Por ejemplo, si pretendemos calcular: 

lim ‡ v ]v    2  1 Sv

  

podríamos calcular la integral, con lo que quedaría una expresión en x, posteriormente

tomaríamos límites cuando  0. Pero resolver esta integral no es nada sencillo, sin embargo,

podríamos aplicar el teorema anterior con lo que tendríamos: 





lim ‡ v ]v    2  1 Sv  ‡ lim v ]v    2  1 Sv  ‡ v Sv    

  



3 2

TEOREMA 2. Sea
v,  continua en ˆ8, }‰ Š ˆ‹, S‰ tal que % es también continua en el %&

mismo rectángulo. Entonces para  P ‹, S:

 S… S  '
 ‡
v,  Sv  ‡ Sv S S 9 9 '

Por ejemplo, sea:



…  ‡



cosv Sv v

si queremos calcular …  sería un intento baldío intentar primero realizar la integral para 

que, una vez expresada … sin el signo de integración, pudiéramos derivarla. Pero aplicando el teorema 2:

  S… ' cosv cos 2  cos  ‡ A B Sv   ‡ senv Sv  S ' v   

56

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Veamos ahora un teorema que engloba al anterior. Es el caso en que … 

†9
v,  Sv, es decir, los límites de integración también depende de x. 

TEOREMA 3. Sea …  †9
v,  Sv, donde
v,  y % son continuas en la región D: 

%&

entonces para  P ‹, S se tiene:

 S} S8 '
S… 
},  
8,  ‡ Sv S S S 9 '

Demostración. Consideremos la función de tres variables …}, 8,   †9
v,  Sv , si ahora 

suponemos que 8  8 y }  } podríamos aplicar la regla de la cadena según el siguiente árbol:

ϕ

b

x

a

x

x luego:

'… '



 19

 20

'… '} '… '8 '…   '} ' '8 ' ' S8 '… S}
},  
8,   S S '  S} S8 '

},  
8,  ‡ Sv S S 9 '

19

Aplicamos el primer teorema fundamental del cálculo (o segundo teorema fundamental del cálculo para otros autores) que, bajo la condición de continuidad de la función g, dice que si: 

Œ  ‡ cvSv entonces 20

Aplicamos el teorema 2.



Π  c

57

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por ejemplo, sea:

y queremos calcular … . 

7

…  ‡



Identificamos cada término:

aplicando el teorema 3:

cosv Sv v

}    8   cosv
v,   v

'… cos} S} cos8 S8 cosv w" 3 cos  #  2 cos      Ž  ' } S 8 S   w"9

7. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuación, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografía que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fácilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

Los problemas están completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en función de su capacidad para aclarar los conceptos aquí planteados.


LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995. Ejemplo 1 página 1010

Ejemplo 2 página 1011

Ejemplo 4 página 1013

Ejemplo 5 página 1014

Ejemplo 6 página 1016

Ejemplo 7 página 1017

Ejemplo 1 página 1020

Ejemplo 3 página 1023

Ejemplo 4 página 1024

Ejemplo 5 página 1026

Ejemplo 1 página 1028

Ejemplo 2 página 1029

Ejemplo 3 página 1030

Ejemplo 4 página 1031

Ejemplo 5 página 1032

58

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López


GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSA-MADRID, 1996. Problema 1 página 71

Problema 2 página 72

Problema 3 página 72

Problema 4 página 72

Problema 5 página 73

Problema 7 página 74

Problema 10 página 76

Problema 13 página 77

Problema 15 página 79

Problema 17 página 80

Problema 18 página 80

Problema 3 página 96

Problema 4 página 96

Problema 7 página 98

Problema 8 página 99

Problema 10 página 100

Problema 15 página 102

Problema 16 página 103

Problema 30 página 112

Problema 1 página 348

Problema 2 página 348

Problema 8 página 352

8. BIBLIOGRAFÍA CITADA EN EL TEMA.

DE BURGOS ROMÁN, J: Cálculo infinitesimal de varias variables, segunda edición, McGraw-Hill, 2008. GALINDO SOTO, F. – SANZ GIL, J. – TRISTÁN VEGA, L.A.: Guía práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables, Editorial THOMSON, 2005. GARCÍA CASTRO, F. y GUTIÉRREZ GÓMEZ, A. Cálculo infinitesimal II, volumen 1, Editorial Pirámide, 1985. GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSAMADRID, 1996. KRASNOV, M. et al: Curso de matemáticas superiores para Ingenieros, Vol. 1 y 2, Ed. MIR. 1990. LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995. LOSADA RODRÍGUEZ, R.: Análisis Matemático, Ed. Pirámide, 1978.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

59

TEMA 4 EXTREMOS EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES El objetivo de este tema se centra en el cálculo de extremos de funciones
:   .

Por ejemplo, la
, ,     , considerada como una función en todo  , tiene un mínimo en el punto 0,0,0 y no tiene máximo.

Suponemos conocidos los métodos de obtención de extremos en funciones reales de variable real, lo que va servir de guía para nuestro estudio en varias variables. Así, dada una función
: ,    como la de la siguiente figura:

para calcular los máximos y mínimos de esta función, en primer lugar, se plantea la ecuación
  0 de su solución obtenemos los llamados puntos críticos  y  .

Si tuviéramos acceso a la representación gráfica de
 entre a y b no haría falta más,

podemos asegurar que  es un máximo local y  es un mínimo local. Si no tenemos la

posibilidad de representar gráficamente
 se calcula la segunda derivada de la función que,

seguramente, debería salir
    0 y
    0 confirmándonos que, efectivamente, se

trata de un máximo local y mínimo local respectivamente.

Respecto del ejemplo que acabamos de exponer hay que hacer varias consideraciones. Si no disponemos de la representación gráfica de
 y además ocurriera que


   0 ó
   0, se sigue derivando y llegamos a la conclusión de que si la primera

derivada distinta de cero es de orden impar existe un punto de inflexión, por el contrario, si es

de orden par tenemos un máximo (en caso de que fuera menor que cero) o un mínimo (si era mayor que cero). A estos resultados se llega con facilidad razonando sobre el polinomio de Taylor de
 centrado en el punto crítico que se está estudiando.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

60

Por otra parte, si observamos el dibujo de
 advertimos que los máximos y mínimos

absolutos no tienen por qué coincidir con los máximos y mínimos locales. En este caso, el máximo absoluto se encuentra en el punto b y el mínimo absoluto en  que también es un mínimo local.

En resumen, para una primera aproximación sobre el estudio de extremos de funciones de varias variables tenemos que:


Definir lo que se entiende por extremo local, extremo absoluto, extremo local en sentido estricto y extremo local en sentido amplio.
Estudiar el polinomio de Taylor en varias variables lo que permite dar sentido al proceso ordinario de cálculo de extremos.
Calcular los puntos críticos de una función de varias variables. En una variable los puntos críticos se obtenían resolviendo la ecuación
  0 o identificando aquellos puntos en los que la función no fuera derivable.


Calcular el signo de una determinada forma cuadrática en los puntos críticos. Esto equivale, en funciones de una variable, al estudio del signo de la segunda derivada en el punto crítico.
Distinguir entre extremos locales y absolutos cuando el conjunto de definición de la

función
 sea un conjunto con frontera (en el ejemplo que hemos seguido en la introducción de este tema la frontera estaba formada por los puntos a y b).


Estudio de extremos con restricciones, cuestión que sí representa una novedad respecto a lo que acontecía en funciones de una variable.

Además, por cuestión de comodidad en la notación, nos vamos a centrar en funciones


:    pero se adivina sin dificultad la extensión de los resultados que obtengamos a

espacios de mayor dimensión.

1. SIGNO DE UNA FORMA CUADRÁTICA.

En primer lugar vamos a estudiar el signo de una forma cuadrática que, como acabamos de comentar en la introducción, va a desempeñar el papel que tenía el signo de la segunda derivada en el análisis de los extremos locales en funciones de una variable.

61

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Una forma cuadrática es una aplicación :    que puede venir definida por una    … 

matriz simétrica de la siguiente manera:       

  " # 

…  

 

… 

…   …     ! … …  … 

1 2 3/2 

  2 (1 (1  " #   4  3 ( ( 2  4

3/2 (1 4

Por ejemplo, una forma cuadrática en dimensión 3 podría ser:

 Las formas cuadráticas se pueden clasificar atendiendo al signo de    , para   +,. Así diremos: cualquier vector    * 0     +,.   •    es definida positiva si     0, -    * 0    En este supuesto, la matriz simétrica que caracteriza a Q, en una base apropiada, será una matriz diagonal del siguiente tipo: /

0

1

3

0 2 con 07  0 -8    +,.      es definida negativa si     0, -    * 0    .

•

0

En este caso, la matriz simétrica que caracteriza a Q, en una base apropiada, es una matriz diagonal del siguiente tipo: / .

0

0

1

3

0 2 con 07  0 -8

62

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

•

   +, tal que      es semidefinida positiva si    9 0 y existen vectores    * 0         0.  En este supuesto, la matriz simétrica que caracteriza a Q, en una base apropiada, será una matriz diagonal del siguiente tipo: / : :

0

1

.

•

0;

0

1

3 < <

02 con 07  0    +, tal que      es semidefinida negativa si    = 0 y existen vectores    * 0         0.  En este supuesto, la matriz simétrica que caracteriza a Q, en una base apropiada, será una matriz diagonal del siguiente tipo: / : : .

•

0

1

0;

0

con 07  0

     es indefinida en cualquier otro caso. 

1

3 < <

02

       En este supuesto habrá vectores   e   tales que     0 y      0, y la    

matriz simétrica que caracteriza a Q, en una base apropiada, será del siguiente tipo:

63

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

/ : : : : .

0

1

07

1

0;

1

con 07  0 y 0;  0

3 < < < <

0 2

1.1. Cálculo práctico del signo de una forma cuadrática.

En la práctica, existen principalmente dos procedimientos para calcular el signo de una forma cuadrática. Uno de ellos está basado en el cálculo de las raíces del polinomio característico. El otro se fundamenta en el criterio de Sylvester sobre la secuencia de submatrices principales.

Veamos en primer lugar el criterio que tiene como base el signo de las raíces características. Sea la forma cuadrática :    caracterizada por la matriz A. si se hace un cambio

de base en  cambiarán las coordenadas de los vectores y la expresión de la matriz A, en

concreto, la nueva matriz tiene de expresión ?@ A ? siendo P la matriz del cambio de base y ?@

su transpuesta, pero evidentemente ello no afectará a los valores en  que toma la forma

cuadrática.

 Por ejemplo, sea la forma cuadrática  " # 

1 tomemos un determinado vector 2, entonces: 3 1  2 141  4 √3 3



5

 B√3 0

 √3 0 7 0 F " # , 0 12

64

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

si realizamos el cambio de base definido por la matriz ?

√

/G

.0



√

0

0

3 , en esta nueva base 0 12

 1 el vector 2 tiene de coordenadas " # que vienen dadas por la ecuación:

3  1 2  ? " #

3 luego:

√3 (1   1 23 / " # ?G 2 : 1 <  √3

3 2 . 2 3

la forma cuadrática aplicada al mismo vector pero en la nueva base sería: √3 (1  23 / √3 1 : 1  √3 < H(1  2 2  √3 2 . 2 3

√3 (1  23 / @ 3I ? A ? : 1 < 141  4 √3  √3 2 . 2 3

lo que aclara que el signo de una forma cuadrática no va a depender del cambio de base que se pueda realizar.

Además, se puede demostrar que existe un cambio de base adecuado tal que la nueva

matriz de la forma cuadrática respecto de esta base (?@ A ?) es diagonal, y los elementos de la

diagonal están formados por las raíces del polinomio característico1. Es decir, las raíces del siguiente determinante:

 ( 0  J0 K  … 

 

( 0 … 

…  …   K … … …  ( 0

que tiene exactamente n raíces reales, aunque algunas de ellas puedan estar repetidas.

Por lo tanto, existe un cambio de base adecuado tal que la matriz que caracteriza a la forma cuadrática es del tipo:

1

0 0 … 0

0 0 … 0

… 0 … 0 ! … … … 0

Ver, entre otros, GRANERO RODRÍGUEZ, Álgebra y Geometría Analítica, pág.252.

65

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por otra parte, el signo de una forma cuadrática dada por una matriz es diagonal es inmediato. En concreto:

•

Si todos los 07 son estrictamente mayores que cero, entonces la forma cuadrática es

definida positiva.

•

Si todos los 07 son estrictamente menores que cero, entonces la forma cuadrática es definida negativa.

•

Si los 07 son estrictamente mayores que cero, salvo algunos que valen cero, entonces la

forma cuadrática es semidefinida positiva. •

Si los 07 son menores que cero, salvo algunos que valen cero, la forma cuadrática es semidefinida negativa.

•

Si existen valores de 07 mayores y menores que cero la forma cuadrática es indefinida.

Este criterio es el que seguiremos en la parte Práctica de la asignatura debido a la facilidad que tiene el Mathematica, con la orden Eigenvalues, para calcular los autovalores (o valores característicos) de una matriz (raíces de su polinomio característico).

Retomando el ejemplo que acabamos de mencionar, si ponemos con el Mathematica: 5 √3 L8MNOPQRNS TB√3 7 0 0

0 0 FU V W12, 8, 4Y 12

los tres autovalores son positivos lo que prueba que la forma cuadrática definida positiva. Además, el cambio de base definido por la matriz ? de la forma cuadrática sea: ?@ A ? 

4

8

√

/G

.0

12



√

0

0

3 hace que la nueva matriz 0 12



También existen otros métodos para adivinar si una forma cuadrática es definida positiva o negativa, quizás el más conocido es el criterio de Sylvester2 el cual afirma que dada

2

La demostración puede verse en MERINO GONZÁLEZ y SANTOS ALÁEZ, Álgebra Lineal con métodos elementales, pág. 282.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

la forma cuadrática Q definida por la matriz simétrica A

   … 

 

… 

66

…  …   … … !, si … 

denotamos por A; las submatrices principales de A (aquellas de orden k formadas a partir de

la esquina superior izquierda de A):

entonces:

• •

 A;   ;

Z 1 Z

;   ;;

Q es definida positiva si y solo si los determinantes de A; son estrictamente mayores

que cero, |A; |  0 -\ 1, … , O.

Q es definida negativa si y solo si (1; |A; |  0 -\ 1, … , O.

2. TÉRMINOS USADOS EN EL ESTUDIO DE EXTREMOS. Sea
: ] ^   , un punto  ,   se dice que es interior a D si existe un círculo

pequeño centrado en el punto totalmente incluido en D. En el punto interior  ,  , notamos por: _∆
|a

b ,cb 


  ∆,   ∆  (
 ,  

El punto  ,   es un máximo local de
,  si existe d  0 tal que _∆
|ab ,cb  = 0

para todo ∆  d e ∆  d.

La representación gráfica de un máximo local sería:

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

67

Si se cumple la desigualdad estricta _∆
|ab ,cb   0, lógicamente cuando ∆, ∆  *

0,0, entonces  ,   es un máximo local estricto para
, . En caso contrario se habla

de máximo local en sentido amplio.

Por ejemplo, el punto  ,   que se muestra en el siguiente dibujo es un máximo

local en sentido amplio de la función
,  SNOef  g  3, puesto que alrededor

del punto  ,   siempre habrá otros puntos (los señalados con la curva más gruesa) tales

que el valor de f en esos puntos coincide con
 ,  .

Análogamente, el punto  ,   es un mínimo local de
,  si existe un d  0 tal

que _∆
|ab ,cb  9 0 para todo ∆  d e ∆  d. Si se cumpliera la desigualdad estricta

_∆
|a

b ,cb 

 0 entonces  ,   sería un mínimo local estricto para
, , en caso contrario,

se habla de mínimo local en sentido amplio.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

68

Un punto  ,   se dice que es un extremo local en sentido estricto si es un máximo

o mínimo local en sentido estricto. Se dirá simplemente extremo local si es un máximo o mínimo local en sentido amplio. El punto  ,   es punto de silla si no es extremo local.

También hay que distinguir entre extremo local y extremo absoluto. Mientras que en los extremos locales nos centramos en lo que pasa en un entorno muy reducido del punto  ,  , en los extremos absolutos se tiene en cuenta todo el conjunto D en donde está

definida la función
, .

Sea
: ] h   , un punto  ,   i ] es un máximo absoluto si
 ,   9


,  para todo ,  i ]. Si se da la desigualdad estricta se dirá que  ,   es un máximo

absoluto estricto.

Análogamente,  ,   i ] es un mínimo absoluto si
 ,   =
,  para todo

,  i ]. Si se da la desigualdad estricta se dice que  ,   es un mínimo absoluto estricto.

3. POLINOMIO DE TAYLOR DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. De la definición de extremo local se deduce que el signo de _∆
|ab ,cb , en el entorno de

 ,  , es determinante para concluir si dicho punto es o no un extremo local. También vimos, en el apartado 2.3 del Tema 3, que una aproximación de _∆
|ab ,cb  es _j
|ab ,cb . Pero

esta primera aproximación se puede aún mejorar con el denominado polinomio de Taylor

centrado en dicho punto.

Consideremos el siguiente esquema:

69

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

_∆
|a


  ∆,   ∆  (
 ,  
,  (
 ,  

b ,cb 


, 
 ,    _∆
|ab ,cb 

o lo que es lo mismo:

Si tenemos ahora en cuenta que _∆
|ab ,cb  k _j
|ab ,cb  , llegamos a la siguiente

aproximación:


,  k

l
l
∆  _ m m l a,cna l a,cnab ,cb 


 ,    _

b ,cb 

∆

l
l
 (    _ m m l a,cna l a,cnab ,cb 


 ,    _

b ,cb 

 (  

en definitiva, con la diferencial primera, hemos aproximado la función
,  por un

polinomio de grado uno en las variables x e y.

Por ejemplo, sea la función
,  ln  consideremos el punto  ,   1,2

entonces:

  ( 1  _ m  ( 2 m  a,cn,   a,cn,  1 ln 2   ( 1   ( 2 2

ln  k ln 2  _

Si representamos con el Mathematica ambas funciones vemos efectivamente que la

función ln  y el polinomio primer grado en dos variables ln 2   ( 1  coinciden en el punto 1,2 y en un entorno de dicho punto son bastante parecidas:



 ( 2

DESARROLLO DE TAYLOR. Sea
,  definida en un conjunto abierto ] h  con derivadas

parciales continuas hasta de orden n+1, dado un punto  ,   i ] se verifica que:

1 1
, 
 ,    _j
|a,cnab ,cb   _j
|a,cnab ,cb   Z  _j
|a,cnab ,cb   q 2! O!

70

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

donde q se denomina resto de orden n del desarrollo de Taylor y que puede tener, entre otras, la siguiente expresión3:

 q r! _jr
|a,cnab rs∆a,cb rs∆c con t i 0,1

Si en la expresión de
,  obviamos el resto se obtiene el denominado polinomio

de Taylor de orden n centrado en el punto uv , wv  que lo denotamos por ? ,  dando por

sobrentendido el punto  ,  .

Ejemplo, sea
,  ln  los polinomios de Taylor de distinto orden centrados

en el punto 1,2 son4: ? , 



? , 



…

…

? , 



1  ( 2 2 1 1 1 ln 2   ( 1   ( 2  H( ( 1 (  ( 2 I 2 2 4 1 1 1 ln 2   ( 1   ( 2  H( ( 1 (  ( 2 I  2 2 4 1 1  H2 ( 1   ( 2 I 4 …6.

ln 2   ( 1 

Tomemos un punto cercano al 1,2, por ejemplo 1.1,2.1, evaluando los distintos 1 0.1 2

polinomios de Taylor de diversos órdenes en dicho punto se tiene: ? 1.1,2.1

ln 2  0.1 



1 1 1 0.1  H(0.1 ( 0.1 I 2 2 4 1 1 1 1 1 ? 1.1,2.1 ln 2  0.1  0.1  H(0.1 ( 0.1 I  H2 0.1  0.1 I 2 2 4 6 4

? 1.1,2.1

ln 2  0.1 

puesto que ln1.1 · 2.1 0.837248 … observamos dos cuestiones interesantes:

0.843147

0.836897

0.837272


La aproximación del polinomio de Taylor en un entorno del punto  ,   será tanto mejor cuanto mayor sea el orden del polinomio centrado en dicho punto.


En un entorno muy reducido del punto  ,  , el valor absoluto de cada sumando del polinomio de Taylor decrece debido a las potencias, cada vez mayores, de ∆ e ∆ .

La demostración del desarrollo de Taylor puede verse en DE BURGOS ROMÁN, Cálculo infinitesimal de varias variables, pág. 109. Además, el desarrollo de Taylor puede extenderse a funciones
:   | . 4 Aunque el cálculo del polinomio de Taylor es teóricamente fácil, en la práctica suele ser una tarea bastante engorrosa por la cantidad cuentas que hay que realizar. En la parte Práctica de la asignatura realizamos un programa con el Mathematica a fin de simplificar esta tarea. 3

71

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

4. CONDICIÓN NECESARIA DE EXTREMO LOCAL. Sea la función
: ] h    diferenciable y  ,   un punto interior de D. El punto

 ,   se dice crítico para la función
,  si

_~€

~a a,cnab,cb  }~ _ € ~c a,cna ,c  b

b

0

._ 0

Para las funciones que no son diferenciables en todo punto, también se llaman puntos críticos a aquellos en los que no existen alguna o las dos derivadas parciales. TEOREMA (condición necesaria de extremo local). Sea
: ] h    diferenciable y  ,   un punto interior de D, si la función
,  tiene un extremo local en el punto  ,   entonces dicho punto es crítico.

Demostración. Si en
,  dejamos constante la segunda variable igual a  , entonces la función: M
,  

es una función de una variable que tiene un extremo local en  , luego la derivada de M en

 es cero:

M   M  ∆ ( M  lim ∆a ∆
  ∆,   (
 ,   lim ∆a ∆ l
_ m l a,cnab ,cb 

De forma análoga se demuestra que _~c€ ~

ab ,cb 

0



0



0 0



0.

En resumen, los extremos locales hay que buscarlos entre los puntos críticos, es decir, aquellos que verifican

~ ~a el sistema „~ ~c

0

0

_.

72

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

5. CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO LOCAL. Sea
,  función diferenciable cuantas veces sea necesario y supongamos que

 ,   es un punto crítico, es decir, un candidato a extremo local. En este punto _j
|a,cna

b ,cb 

0 y el polinomio de Taylor centrado en  ,   adopta la siguiente forma: _∆
|a,cna

b ,cb 



1_ 1 j
|a,cnab ,cb   _j
|a,cnab ,cb   Z 2! 3!

como en un entorno reducido de  ,   los valores absolutos de cada sumando son cada vez

menores, el signo de _∆
|a,cnab ,cb  (decisivo, en este caso, para asegurar si es máximo o

mínimo) va a depender del signo de _j
|a,cnab ,cb  , pero: _j
|a,cna

b ,cb 

l
_ … l a



b ,cb

l
∆  2 _ … l l a 

∆

l
/ l ∆  _: l
.l l

b ,cb 

l
l l 3K l
, #D  tal que: EF

 | " #| #  | " ID | #D  #DJ>  EFGH

como D , D  era un punto cualquiera del trozo i-ésimo de la curva, tomamos D , D    ID ,

por lo tanto:

BCD  @ ID A | " ID | #D  #DJ> 

y una aproximación a la masa total será: con ID ( #DJ> , #D .

BC K L



@ ID A | " ID | #D  #DJ> 

DM>

Cada vez que hagamos una participación más fina de la curva, o lo que es lo mismo del

intervalo , , tenemos una mejor aproximación de la masa total del alambre; luego su masa M será:

B  lim L P



@ ID A | " ID | #D  #DJ> 

DM>

pero lo anterior es la expresión de una integral simple2, es decir, la masa M del alambre es: 6

B   @ #A | " #| # 7

De todo lo anterior se comprende que no resulta para nada artificial ni caprichosa la siguiente definición de integral de línea para funciones escalares.

2

Ver en la introducción del Tema anterior cómo se pasaba del límite de una sumatoria a la expresión integral.

105

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

DEFINICION. Sea el intervalo compacto ,  Q
y : ,  
 una curva suave a trozos.

Sea una función :
 
continua definida en un abierto que contenga a la curva . Se llama

integral de línea de la función escalar f a lo largo de R3, y se nota por   ,  a la siguiente integral:

6

  ,    @ #A | " #| # 

7

La misma definición es válida para curvas : ,  
 definidas en el espacio y

funciones escalares definidas en conjuntos que contenga a la curva : 6

  , , S   @ #A | " #| # 

7

2.1. Propiedades de la integral de línea de funciones escalares.

Las propiedades de la integral de línea de una función escalar se deducen de forma inmediata de las propiedades de la integral simple. Entre las principales podemos citar:

1. La integral de línea de una función escalar es invariante ante distintas parametrizaciones de la misma curva, siempre que se pase el mismo número de veces por cada punto. Incluso resulta invariante para parametrizaciones que inviertan el sentido de recorrido de la curva4. 2. Propiedad lineal.   ,  1 T ,     ,  1  T , 







 U  ,   U   , 

con U (
.





3. Monotonía de la integral. Si  ,  V T ,  W ,  (  # entonces

3

En algunos textos también se denomina integral de línea de primera especie de la función f sobre la curva . 4 A este respecto ver los comentarios en GALINDO SOTO et al, Guía práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables, págs. 352 y 353.

106

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

  ,  V  T , 





4. Caso particular de conservación de la monotonía: X  ,  X Y  | , |





5. Longitud de una curva parametrizada.

La longitud L de una curva  es la integral de línea de la función unidad: 4   1



6. Aditividad de los trozos de curva.

Si una curva  se divide en dos trozos > y  , entonces:

  ,     ,  1   , 



H

Z

7. Teorema del valor medio para integrales de línea de funciones escalares.

Enfatizamos que  ,  debe ser continua. Entonces, existe un punto de la curva

8 , 8  tal que

siendo L la longitud de .

  ,   4  8 , 8  

Todas estas propiedades son validas para curvas en el espacio y funciones :
 


cambiado, en donde corresponda,  ,  por  , , S.

3. INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL.

Ahora pretendemos calcular el trabajo que se realiza al mover un objeto a lo largo de

una curva . Para ello, vamos a razonar sobre el plano (aunque no existiría diferencia alguna si situamos la curva en el espacio) y pasaremos de situaciones muy simples a otras más complejas.

De física elemental se sabe que si una fuerza constante F mueve un objeto una distancia d, en línea recta, el trabajo W efectuado es: [

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

107

Si consideramos las anteriores magnitudes en su dimensión vectorial, el trabajo

realizado por la fuerza constante ' que desplaza un objeto a través de un trayecto en línea

recta representado por ':

viene dado por el siguiente producto escalar:

[  \' \ |'| cos ]  ' · '

Para calcular el trabajo que realiza una fuerza  , , continua pero variable en cada

punto, al mover un objeto a lo largo de la curva  #, con # ( , , realizamos el siguiente razonamiento.

Sea una partición de la curva (o del intervalo , ) y suponemos que en cada trozo de

la curva la fuerza es constante e igual a  D , D  siendo D , D  cualquier punto del trozo i-

ésimo de la curva. Asimismo, suponemos que el recorrido se realiza en la dirección del vector tangente unitario a la curva en este punto ^ D , D  según el siguiente dibujo:

Una aproximación al trabajo realizado en el trozo i-ésimo sería: [D   D , D  · ^ D , D  D 

siendo D la longitud del trozo de curva.

Razonando de la misma forma que en el apartado anterior sobre la longitud del trozo iésimo de la curva:

EF

D   | " #| # EFGH

y por el teorema del valor medio para integrales, existe ID ( #DJ> , #D  tal que:

108

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López EF

D   | " #| #  | " ID | #D  #DJ>  EFGH

tomando como D , D    ID  se tiene: [D    ID  · _

 " ID  | " ID | #D  #DJ> `    ID  ·  " ID  #D  #DJ>  | " ID |

Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo de fuerzas  ,  al mover un objeto a

lo largo de la curva  será el límite, cuando la partición se hace cada vez más fina, de de la suma de los trabajos correspondientes a cada trozo de curva: [  lim L P



[D  lim L

DM>

P



6

  ID  ·  " ID  #D  #a1    @ #A ·  " # #

DM>

7

Esta última integral va a ser precisamente la definición de integral de línea de un campo vectorial. DEFINICION. Sea el intervalo compacto ,  Q
y : ,  
 una curva suave a trozos.

Sea el campo vectorial :
 
 continuo y definido en un abierto que contenga a la curva

, se llama integral de línea del campo vectorial F a lo largo de R5, y se nota por   · , a la siguiente integral:

6

  ·    @ #A ·  " # # 

7

La misma definición es válida para curvas definidas en el espacio : ,  
 y

campos vectoriales definidos en conjuntos que contenga a la curva .

NOTA. En coherencia con la notación mantenida por nosotros, la integral de línea del campo

vectorial F se debería haber notado por   · . Sin embargo, en la mayoría de los libros,

cuando tratan este tipo de integrales, al vector de posición de la curva, que hasta ahora lo

hemos venido llamando  #, lo denota como  #.

En algunos textos también se denomina integral de línea de segunda especie de la función F sobre la curva . 5

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

109

3.1. Otra forma de escribir la integral de línea de un campo vectorial. Supongamos el campo vectorial  ,     ,  1 , en muchos textos

observaremos que para indicar la integral de línea de F sobre la curva , en lugar de escribir   · , se nota      1  1  . Veamos que, en realidad, es la misma expresión. Si   > ,   y  #   #,  #:   ·  





6

6

 @ #A ·  " # # 7

   #,  # ·  " # # 7

6

  c> @ #,  #A,   #,  #d · @e #, e #A #



7

6

 c> @ #,  #A  " # 1  @ #,  #A e #d # 7

que se suele poner de forma simplificada:

  ·    >  1   En
 se notaría:





  ·    >  1   1  S 



3.2. Propiedades de la integral de línea de campos vectoriales.

Destacamos las siguientes propiedades de la integral de línea de un campo vectorial: 1. Igualdad ante las parametrizaciones de  que conservan el sentido de recorrido6.

El valor de   ·  no varía para cualquier parametrización de  siempre que

conserve el sentido de recorrido de la curva.

Por el contrario, si f es la misma curva que  pero recorrida en sentido contrario, entonces se tiene que g  ·      · .

Esta propiedad se corresponde perfectamente con la interpretación física que dimos para motivar la definición de este tipo de integral, puesto que al cambiar el sentido de 6

La demostración de esta propiedad puede verse en MARSDEN y TROMBA, Cálculo vectorial, pág. 426.

110

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

recorrido por la curva, el trabajo del campo de fuerzas a lo largo de la misma cambia de signo. 2. Propiedad lineal.

con U, f (
.

 U  1 f i ·   U   ·  1 f  i ·  





3. Aditividad de los trozos de curva.

Si la curva  se divide en dos trozos > y  , entonces:

  ·     ·  1   ·  

H

Z

4. TEOREMA DE GREEN.

Aunque parezca extraño, existe relación entre la integral de línea una curva cerrada y la integral doble sobre la región que encierra dicha curva. Además, esta relación tiene aplicaciones importantes en el mundo de la ingeniería.

Para usar el teorema de Green es necesario que la curva que sirve de frontera a la región sea cerrada y simple como aparece en el siguiente dibujo:

DEFINICIÓN. Una curva  # con # ( ,  se dice cerrada si     . Cuando la curva es cerrada a la integral de línea sobre dicha curva se le suele denotar por el símbolo j  · .

DEFINICIÓN. La curva  # se dice cerrada y simple si es cerrada y no tiene puntos dobles salvo los puntos inicial y final.

TEOREMA DE GREEN. Sea  # una curva continua en el plano cerrada, simple y suave a trozos, sea D la región delimitada por  #. Además, suponemos que curva  # se recorre de tal

manera que la región D queda siempre a su izquierda. Sea la función vectorial   > ,   con

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

111

> y  continuas y con derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D,

entonces7:

k  ·   l 

n

m m>    m m

El teorema de Green también es cierto para regiones con huecos parametrizando de forma adecuada las regiones que delimitan dichos huecos8. COROLARIO. Si consideramos el campo vectorial  ,   ,  de forma inmediata se deduce que el área de la región D delimitada por la curva continua  # cerrada, simple y suave a trozos se obtiene de la siguiente integral de línea: 1 k   1   2 

5. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LÍNEA EN
o .

Una de las principales dificultades para calcular la integral   ·  consiste en

parametrizar la curva  #. En este apartado vamos a ver que para determinados campos

vectoriales es posible obtener el valor de esta integral sin necesidad de parametrizar la curva sobre la que se integra. Sólo tendremos que tener en cuenta el punto inicial y final de la curva lo que supone una generalización de la conocida regla de Barrow en las integrales simples.

Por ejemplo, y aunque sea adelantar los resultados que vamos a desarrollar a

continuación, si tenemos que hallar la integral   ·  donde  ,   2  , 4 y  # la

espiral del dibujo:

7 8

La demostración de este teorema puede verse en MARSDEN y TROMBA, Cálculo vectorial, pág. 501. Ver MARSDEN y TROMBA, Cálculo vectorial, pág. 503.

112

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

tendríamos que parametrizar la curva y después resolver una integral que se adivina bastante complicada. Sin embargo, este problema también se puede resolver calculando previamente

una función potencial de  ,  (primitiva en el lenguaje de las integrales simples) que, según

veremos, puede ser  ,   2  , posteriormente evaluaremos esta función potencial en los puntos inicial y final de la curva:

  ·   2   p,qM 8,>

p,qM 8,r s⁄Z 



0

pero para poder aplicar este procedimiento se necesita que el campo vectorial F sea conservativo. Todos estos conceptos los vamos a desarrollar a lo largo de este apartado.

5.1. Campos vectoriales conservativos en
o .

Sea la función diferenciable :
 
, se define gradiente de f y se denota por

u ,  al vector9:

u ,   v

m m , w m m

DEFINICIÓN. El campo vectorial :
 
, se dice conservativo si existe una función diferenciable :
 
tal que u  . En este caso, a la función escalar  ,  se llama

función potencial de F.

Así pues, cuando intentemos calcular   · , sin necesidad de parametrizar la curva

, lo primero que hay que comprobar es si el campo  ,  es conservativo, dicha cuestión se

contesta en el teorema que daremos a continuación, pero antes hay que hacer una precisión sobre el tipo de región al que se refiere el teorema. Una región x y
 se dice simplemente conexa si para cada curva cerrada simple 

contenida en D, la región interior de  está contenida en D. En el siguiente dibujo hacemos una distinción entre distintas nomenclaturas que pueden prestarse a confusión.

9

El gradiente de una función diferenciable tiene importantes aplicaciones prácticas. Para ver algunas de ellas se puede consultar LARSON ROLAND et al, Cálculo. Vol. 2, pág. 1040 y siguientes.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

113

TEOREMA10. Sea la función vectorial : x y
 
 tal que > y  tienen derivadas

parciales continuas en el dominio abierto y simplemente conexo D. Entonces el campo  ,   > , ,  ,  es conservativo si y solo si: m> m  m m

Una vez que sepamos que el campo vectorial  ,  es conservativo hay que calcular

la función potencial :
 
tal que u  > ,  . Es decir, encontrar una función  , 

tal que:

m  > m 2 {m    zm |

Si partimos de la igualdad }p  > (el proceso es simétrico si se empieza desde la otra

igualdad

}~ }q

}~

  ) entonces estaríamos tentados a poner:

 ,    > ,   

 ,  1 €

con lo que se quiere decir que  ,  1 €"p  > , . Pero la constante C puede ser realmente una constante o bien una función que depende de y. En ambos casos se cumple que

 ,  1 €"p  > , . Luego sería más correcto poner:  ,  

 > ,  

  ,  1  

donde  ,  es conocida puesto que se ha obtenido integrando > ,  y   es, por el

momento, desconocida.

10

La demostración de este teorema puede verse en SALAS – HILLE – ETGEN, Calculus. Una y varias variables, Vol. II, pág. 944.

114

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Para obtener   utilizamos la segunda igualdad de la que partimos }q   : m m



m  ,  1    m  "q   





   "q

     "q 

‚

}~

‚

‚

En definitiva, si  ,  es un campo conservativo su función potencial es:  ,    > ,   1     "q  1 ƒ

En la práctica, resulta más fácil seguir los pasos que hemos seguido para hallar esta expresión que memorizarla. Además, si hubiéramos comenzado por la igualdad hubiéramos llegado a otra expresión simétrica a la anterior.

}~ }q

 

5.2. Regla de Barrow para la integral de línea en
o . El siguiente teorema se denomina teorema fundamental de las integrales de línea para campos conservativos y supone una extensión de la conocida regla de Barrow en las integrales simples. TEOREMA11. Sea   > ,   un campo vectorial continuo en la región abierta D. Sea  # una

curva continua suave a trozos contenida en D con punto inicial > , >  y final  ,  . Entonces si F es conservativo, con función potencial  , , se tiene:

  ·    ,  p,qM pZH,qZH     ,     > , >  p,qM p ,q 



Como resumen de todo lo que hemos dicho hasta ahora se puede deducir que, en

condiciones suficientemente regulares, es decir, : x y
 
 con > y  con derivadas

parciales continuas en la región abierta D simplemente conexa y  # continua y suave a trozos

incluida en D, son equivalentes las siguientes afirmaciones: i)

11

}„H }q



}„Z }p

en D.

La demostración se puede ver en LARSON et al, Cálculo, vol. 2, pág. 1189.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

ii) iii) iv)

115

F es conservativo en D.

  ·  es independiente del camino.

  ·   0 si  # es una curva cerrada.

6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE LÍNEA EN
… . Todo lo que se ha comentado en el epígrafe anterior para el plano es básicamente

válido en el espacio. Así, para la función diferenciable :
 
se define el gradiente de f, y se denota por u , , S, al vector:

m m m u , , S  v , , w m m mS

También, dado un campo vectorial :
 
 , se dice conservativo si existe una

función diferenciable :
 
tal que u  , llamándose función potencial de F a la

función escalar  , , S.

Sin embargo, tanto desde el punto de vista conceptual como operativo algunos conceptos presentan algo más de dificultad. Por ejemplo, la extensión al espacio del concepto

de región Ω simplemente conexa sería aquella en la que toda curva cerrada y simple se puede

deformar de manera continua a un punto sin salirse de Ω12.

Asimismo, la caracterización de los campos conservativos sobre dominios simplemente conexos ya no es tan fácil como en el plano13. Ahora F tiene tres componentes   > ,  ,   y para comprobar si es o no conservativo hay que, en general, acudir al concepto de rotacional de un campo vectorial como veremos a continuación.

También debemos advertir que, en aras a la claridad, no vamos a ser muy precisos a la hora de delimitar las hipótesis realmente necesarias para aplicar los teoremas que restan hasta el final del tema. En particular, vamos a suponer que el conjunto de definición del campo vectorial F es lo suficientemente regular.

12

Ver SMITH y MINTON, Cálculo, Vol. 2, pág. 420.

13

Recordar que en el plano consistía en que

}„H }q



}„Z }p

.

116

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6.1. Rotacional de un campo vectorial. Dado el campo vectorial diferenciable F en
 , se define el rotacional de F y se denota

como ‡#  (o también u ˆ ) al campo vectorial siguiente: ‡#   u ˆ   v

m m m> m m m>  ,  ,  w mS mS m m m m

que, utilizando una notación simbólica fácil de entender, también se expresa de la siguiente manera:

a m ‡#   u ˆ   ‰ m >

Š m m 

‹ m ‰ mS 

Por ejemplo, sea el campo vectorial  , , S  S, , 114: a m ‡#   ‰ m S

Š m m 

‹ m ‰  0,1,  mS 1

El rotacional de un campo vectorial tiene importantes interpretaciones físicas15 pero,

en este momento, nosotros lo vamos a utilizar para identificar qué campos de
 son conservativos.

TEOREMA. Sea   > ,  ,   un campo vectorial definido en una esfera abierta del espacio tal que > ,  y  tiene derivadas parciales continuas16, entonces:

F es conservativo si y solo si ‡#   &0'

Por otra parte, una vez que se ha comprobado que F es conservativo, hay que calcular

la función potencial :
 
tal que u  . El método es idéntico que el seguido para


aunque los cálculos resultan más laboriosos. Si u  :

14

Para calcular el rotacional de este campo vectorial con el Mathematica, en primer lugar, hay que cargar el paquete: Needs["VectorAnalysis`"] después se ejecutaría la orden: Curl[{z, x*y, 1}, Cartesian[x, y, z]] 15 Ver, por ejemplo, MARSDEN y TROMBA, Cálculo vectorial, págs. 292 y 519. 16 En SMITH y MINTON, Cálculo, Vol. 2, pág. 391 puede verse un ejemplo de la necesidad de la continuidad de las derivadas parciales de > ,  y  para asegurar el resultado del teorema.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

m |  > m  m   2 {m  m z mS  

entonces:

 , , S 

117

 > , , S 

  , , S 1  , S

donde  , , S es el resultado de resolver la integral y  , S es una función desconocida

que se determinará utilizando las igualdades segunda y tercera. Asimismo, hay que señalar que se puede empezar desde cualquiera de las tres igualdades del principio.

6.2. Regla de Barrow para la integral de línea en
… . En el espacio sigue siendo cierto el teorema fundamental de las integrales de línea. TEOREMA. Sea   > ,  ,   un campo vectorial continuo en la región abierta Φ y
. Sea  # una curva continua suave a trozos contenida en Φ con punto inicial > , > , S>  y final

 ,  , S . Entonces, si F es conservativo con función potencial  , , S se tiene:   ·    , , S p,qM pZH ,qZH ,ZH     ,  , S>    > , > , S  

p,qM p ,q , 

De modo semejante a lo que ocurría en el plano, podemos asegurar que si F es un

campo vectorial definido en
 tal que > ,  y  tienen derivadas parciales continuas y sea la

curva  # continua y suave a trozos, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones17: i)

ii) iii) iv)

17

‡#   &0'.

F es conservativo.

  ·  es independiente del camino.

  ·   0 si  # es una curva cerrada.

La demostración puede verse en MARSDEN y TROMBA, Cálculo vectorial, pág. 531.

118

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7. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuación, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografía que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fácilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

Los problemas están completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en función de su capacidad para aclarar los conceptos aquí planteados.


LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995. Ejemplo 5 página 1168

Ejemplo 6 página 1169

Ejemplo 7 página 1170

Ejemplo 1 página 1175

Ejemplo 2 página 1178

Ejemplo 3 página 1178

Ejemplo 4 página 1179

Ejemplo 5 página 1180

Ejemplo 6 página 1182

Ejemplo 7 página 1182

Ejemplo 8 página 1184

Ejemplo 9 página 1185

Ejemplo 1 página 1188

Ejemplo 2 página 1190

Ejemplo 3 página 1192

Ejemplo 4 página 1193

Ejemplo 1 página 1200

Ejemplo 2 página 1201

Ejemplo 3 página 1201

Ejemplo 4 página 1201


GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSA-MADRID, 1996. Problema 2 página 242

Problema 3 página 242

Problema 4 página 243

Problema 5 página 244

Problema 6 página 244

Problema 26 página 255

Problema 28 página 256

Problema 1 página 377

Problema 2 página 377

Problema 3 página 378

Problema 6 página 379

Problema 7 página 380

Problema 8 página 381

Problema 9 página 381

Problema 14 página 385

Problema 15 página 385

Problema 16 página 386

Problema 18 página 387

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119

8. BIBLIOGRAFÍA CITADA EN EL TEMA.

GALINDO SOTO, F. – SANZ GIL, J. – TRISTÁN VEGA, L.A.: Guía práctica de Cálculo Infinitesimal en varias variables, Editorial THOMSON, 2005. GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSAMADRID, 1996. LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995. MARSDEN, J.E. y TROMBA, A.J.: Cálculo vectorial, quinta edición, PEARSON EDUCACIÓN, 2004. SALAS – HILLE – ETGEN: Calculus. Una y varias variables, Vol. II, cuarta edición, Reverté, 2002. SMITH, R.T. y MINTON, R.B.: Cálculo, Vol. 2, segunda edición, McGraw-Hill, 2003.

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120

TEMA 7 INTEGRAL DE SUPERFICIE Antes de comenzar con el estudio de las integrales de superficie sería conveniente repasar la Práctica 7 correspondiente a la parte de la asignatura diseñada con el ordenador.

El estudio de la integral de superficie es muy parecido al que se hizo con motivo de la integral de línea, sólo que ahora el recinto en donde se integra va a ser una superficie y no una curva como en el tema anterior.

Al igual que ocurría con las integrales de línea, van a existir dos tipos de integrales de superficie según que la función a integrar sea escalar o un campo vectorial.

El método a seguir para estudiar las integrales de superficie va a ser el mismo que el seguido para las integrales de línea, de esta forma se aprecia con más claridad la similitud entre ambos tipos de integración.

1. ALGUNAS NOCIONES SOBRE SUPERFICIES PARAMETRIZADAS.

Antes de comenzar con el estudio de la integral de superficie sería recomendable una lectura, aunque sea ligera, de la Práctica 7 de la asignatura. En dicha práctica aprovechamos la facilidad gráfica del Mathematica para visualizar conceptos básicos de la teoría de superficies paramentizadas. En especial, se recomienda la lectura sobre cada una de las caras de una superficie parametrizada.

El tipo de superficie que aparece en este tema es el de una superficie parametrizada regular a trozos. Así pues, lo primero que vamos a hacer es delimitar la terminología que vamos a usar al referirnos a la región que sirve de soporte para la integral de superficie.

DEFINICIÓN. Sea D una región del plano delimitada por una curva cerrada y simple como la que aparece en el siguiente dibujo:

121

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Una superficie parametrizada S es una aplicación continua definida en una región


  delimitada por una curva cerrada y simple en  .

También es muy normal designar a la superficie S como la imagen de la anterior aplicación. Con este criterio se suele hablar de distintas parametrizaciones para una misma superficie, en el sentido de que el conjunto imagen de las parametrizaciones es el mismo.

Por ejemplo, una parametrización de la semiesfera de radio uno podría ser:

 

,  cos  sen , sen  sen , cos  con ,   0,2  0, 

pero esta otra:



,  cos sen  , sen sen  , cos  con ,   0,    0,2

también parametriza la misma semiesfera:

122

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Si S es una superficie diferenciable o, con mayor precisión, si la función , 

, , , , ,  es diferenciable en cada punto , , entonces en cada punto ,  de la misma existen los siguientes vectores:

" " " , , # " " " " " " $ ! , , # " " "

 !

y el producto vectorial de ambos:

  $ , 

El vector   $ , , o simplemente   $ , es un vector perpendicular a la

superficie S en el punto , , es decir,   $ es el vector director del plano tangente a la

superficie en dicho punto1.

Por ejemplo, sea la semiesfera unidad con parametrización:

entonces:

y

,  cos  sen , sen  sen , cos   % sen  sen , cos  sen , 0

 cos  cos , sen  cos , % sen    $ ,  % cos  sen , % sin  sen , % sin cos  Si evaluamos en un punto concreto, podemos afirmar que el vector:   %1 %1 %1 , , #   $  ,  ! 4 4 2√2 2√2 2 , , √ 

es perpendicular a la superficie S en el punto + ,  ,

 

 + . , . -.

En las integrales de superficie se suele exigir que S sea diferenciable y además que

01, con ello se asegura la existencia del plano tangente en cada punto de la misma lo   $ / 0

que, de forma intuitiva, viene a decir que ,  no tenga esquinas.

Una explicación de que el vector   $ es perpendicular a la superficie puede verse en LARSON et al, Cálculo, Vol. 2, pág. 1211. 1

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123

DEFINICIÓN. La superficie parametrizada S se dice regular (o suave) si S es una aplicación

01 y tal que  y $ son continuas en un abierto que contiene a :
  3  con   $ / 0

D.

En una superficie regular, al ser el producto vectorial   $ una aplicación continua,

estamos asegurando que la superficie sea orientable, es decir, que tenga dos caras.

Por ejemplo, la superficie ,  , ,  4   con ,  
%2,2  %2,2

parametriza la cara interior de S. Para comprobarlo tomamos un punto cualquiera de S, por ejemplo 1,1,2 1,1, el vector normal a la superficie en ese punto %2, %2,1   $ 1,1 mira hacia dentro tal y como se muestra en el dibujo:

resulta inmediato comprobar que la parametrización ,   , ,  4   con ,  
%2,2  %2,2 parametriza la cara exterior de la misma superficie.

DEFINICIÓN. Si la aplicación :
3  es inyectiva se dice que S es una superficie

parametrizada simple.

Si exigimos que S sea una superficie simple evitamos que la parametrización se aplique varias veces en los mismos puntos.

Para las superficies regulares y simples se define el área de dicha superficie como2: 5 |  $ | 8 8

7

La justificación de 97 |  $ | 8 8 como el área de S puede verse en MARSDEN y TROMBA, Cálculo vectorial, pág. 449. 2

124

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por ejemplo, una parametrización del triángulo formado por el plano  4  4  1

con los ejes coordenados:

puede ser:

,  , , 1 %  % 

con ,  
siendo D la siguiente región:

en este caso:

luego el área del triángulo es:

 ,  1,0, %1 $ ,  0,1, %1   $ ,  1,1,1

5 |  $ | 8 8

7



5 √3 8 8

7

,

,=

√3 ; 8 ;



<

√3 2

<

8

DEFINICIÓN. La superficie S se dice regular a trozos (o suave a trozos) si  , >  > … > @

siendo cada una de las A superficies suaves.

Por ejemplo, un cubo será una superficie suave a trozos ya que está delimitada por seis trozos de plano que son superficies suaves.

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125

2. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR.

Para motivar la definición de integral de superficie de una función escalar intentemos calcular la masa de una lámina S de densidad variable.

Supongamos que la lámina está dispuesta en el espacio según la parametrización

,  con ,  
  . Sea B, ,  la densidad de cada punto de la lámina (densidad

medida en masa por unidad de área).

Realizamos una partición
, , …
@ de la región D, lo que dará lugar a la

correspondiente partición , , … , @ de S con áreas respectivas C, , … , C@ tal y como aparece

en el dibujo:

Si suponemos que el trozo de lámina D tiene densidad constante e igual a

BD , D , D  para cualquier punto D , D , D   D tenemos que la masa de este trozo ED será:

ED

BD , D , D  CD



BD , D , D  5 |  $ , | 8 8

7F

usando el teorema del valor medio para integrales dobles, sabemos que existe un punto D , D  
D tal que:

5 |  $ , | 8 8 |  $ D , D | GHIG
D 7F

luego, una aproximación de la masa total M de la lámina será: EJK

@

BD , D  |  $ D , D | GHIG
D

DL,

Esta aproximación será tanto mejor cuanto más fina sea la partición del dominio D o, lo que es lo mismo, de la lámina S. Si notamos por d el diámetro de la partición:

126

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

E lim K O3<

@

BD , D |  $ D , D | GHIG
D

DL,

siempre que exista dicho límite y no dependa de la partición realizada en D.

Pero esta última expresión es precisamente la definición de una integral doble, luego: E 5 B,  |  $ , | 8 8

7

Así pues, no nos extrañará la definición de integral de superficie de una función escalar que daremos a continuación. Además, lo mismo que en las integrales de línea se pedía la continuidad del integrando y la suavidad a trozos de la curva sobre la que se integraba para asegurar la existencia de la integral, en las integrales de superficie también se imponen determinadas restricciones para asegurar su existencia. DEFINICIÓN. Sea S una superficie suave y B, ,  una función escalar continua definida sobre S. Se define la integral de PQ, R, S sobre la superficie S, y se nota por 9T B, ,  8, a la siguiente integral:

5 B, ,  8 5 B,  |  $ | 8 8

T

7

NOTA 1. La integral de superficie sobre una superficie suave a trozos  , >  > … > @ se

puede calcular sumando las integrales obtenidas sobre cada superficie suave A .

NOTA 2. En muchas ocasiones la superficie viene expresada explícitamente de la forma  ,  con ,  
. En este caso, una parametrización inmediata de la superficie sería

,  , , ,  con ,  
. Entonces: U V U  V

1,0, U  0,1, V  %U , %V , 1

y la integral de B, ,  sobre la superficie S puede expresarse de la siguiente manera: 5 B, ,  8 5 B, , ,  W! T

7

"  "  # 4 ! # 4 1 8 8 " "

127

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES.

Las propiedades de la integral de superficie de una función escalar se deducen inmediatamente de las propiedades de la integral doble. Algunas de las propiedades más importantes son:

1. Independencia de la parametrización. La integral de superficie 9T B, ,  8 no depende de la parametrización elegida para S ni de la cara que se haya parametrizado. 2. Linealidad. 5 X B, ,  4 Y Z, ,  8 X 5 B, ,  8 4 Y 5 Z, ,  8 T

T

con X, Y  .

T

3. Área de una superficie. El área de S se puede calcular como la integral de superficie de la función unidad. Área de S = 9T 1 8

4. Aditividad.

Si S es la unión de dos superficies parametrizadas , y  que no se intersecan, excepto a lo largo de una curva que define sus fronteras, entonces:

5 B, ,  8 5 B, ,  8 4 5 B, ,  8 T\

T

T]

5. Teorema del valor medio para integrales de superficie de funciones escalares.

Enfatizamos que B, ,  ha de ser continua en S. Entonces, existe al menos un punto < , < , <    tal que:

siendo A el área de S.

5 B, ,  8 B< , < , <  C T

4. INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO VECTORIAL.

La noción física de flujo, en sus diferentes manifestaciones, es la que subyace en el concepto de integral de superficie de un campo vectorial, también llamada integral de flujo.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

128

Por ejemplo, en un campo de fuerzas eléctrico se define el flujo a través de una superficie como el número de líneas de fuerza que atraviesan dicha área. Pues bien, su cálculo efectivo se realizará mediante la integral sobre la superficie del campo de fuerzas.

El ejemplo que vamos a desarrollar, para motivar la definición de integral de superficie de un campo vectorial, consiste en hallar el flujo de un líquido en movimiento a través de una superficie S inmersa en dicho líquido.

Sea una superficie S inmersa en un fluido que tiene un campo de velocidades continuo F. Si F es constante y perpendicular a la superficie S, tal y como se muestra en el dibujo:

la cantidad de fluido Φ que atraviesa esta superficie por unidad de tiempo (flujo de F a través

de S) es igual a Φ |_| C, siendo A el área de S. En definitiva, el flujo Φ sería el volumen de un cilindro cuya base está formada por la superficie S y la altura por |_|.

Si suponemos que las líneas de fuerza no son perpendiculares a la superficie plana S, el flujo será el volumen de la siguiente figura:

si h es la altura del cilindro y A el área de la superficie S: Φ



`C |_| cos a C _ ·   $  |_| C |  $ | |_| C _ ·   $  |  $ |

129

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Si el campo de fuerzas no es constante ni la superficie es plana hagamos el siguiente

razonamiento. Sea :
  3  una parametrización de la superficie, tomemos una

partición
, , … ,
@ de la región D lo que implica la correspondiente división en la superficie

, , … , @ de áreas respectivas C, , … , C@ . Si suponemos que en el trozo k-ésimo el campo

vectorial es constante e igual a _D , D , D  siendo D , D , D  cualquier punto de D y consideramos que el trozo D es plano con vector director igual a cD , D , D : ΦD _D , D , D  · cD , D , D 

como CD 97 |  $ , | 8 8 : F

ΦD _D , D , D  · cD , D , D 

CD |cD , D , D  |

97 |  $ , | 8 8

F

|cD , D , D  |

utilizando el teorema del valor medio para integrales dobles, existe un punto D , D  
D tal

que:

ΦD _D , D  ·   $ D , D 

|  $ D , D | GHIG
D |  $ D , D |

por lo tanto, una aproximación del flujo total Φ sobre la superficie S será: ΦJK

@

_D , D  ·   $ D , D  GHIG
D

DL,

Esta aproximación será tanto mejor cuanto más fina sea la partición realizada, luego si d es el diámetro de la partición: Φ lim K O3<

por consiguiente:

@

_D , D  ·   $ D , D  GHIG
D

DL,

Φ 5 _,  ·   $ ,  8 8

d

que va a ser la definición de la integral de superficie del campo vectorial F. DEFINICION. Sea la superficie suave S y el campo vectorial continuo _:  3  , se define la integral F sobre la superficie S, y se denota por 9T _ · 8, a la siguiente integral: 5 _ · 8 5 _,  ·   $  8 8

T

7

NOTA 1. Esta integral también se suele notar como 9T _ · e 8, donde n es el vector normal

unitario:

e

  $ |  $ |

130

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

NOTA 2. La integral de superficie sobre una superficie suave a trozos  , >  > … > @ se

puede calcular sumando las integrales obtenidas sobre cada superficie suave A .

5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES.

Las propiedades de la integral de superficie de campos vectoriales se desprenden fácilmente de su definición.

1. La integral de superficie no depende de la parametrización elegida para la superficie siempre que parametricen la misma cara.

Si  f y  = parametrizan distintas caras de la misma superficie, entonces la integral cambia de signo:

5 _ · 8 % 5 _ · 8 Tg

2. Linealidad.

con X, Y  .

Th

5 X _ 4 Y i · 8 X 5 _ · 8 4 Y 5 i · 8 T

T

T

3. Si S se divide en dos partes , y  por medio de una curva suave, entonces: 5 _ · 8 5 _ · 8 4 5 _ · 8 T

T\

T]

6. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

Según vimos en el tema anterior, el teorema de Green establecía una igualdad entre la integral de un campo vectorial sobre una línea cerrada y simple con la integral doble sobre la región que encierra la curva. El teorema de la divergencia va a hacer algo muy parecido, va a relacionar la integral de un campo vectorial sobre una superficie cerrada con la integral triple del cuerpo sólido que encierra dicha superficie.

Esta relación se consigue a través de la divergencia del campo vectorial a integrar.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

131

6.1. Divergencia de un campo vectorial. Sea F un campo vectorial diferenciable en  , se define la divergencia de F, y se

denota como 8j _ (o también como k_), a la función escalar siguiente: 8j _ k_

"_, "_ "_ 4 4 " " "

Por ejemplo, para el campo vectorial _, ,  , , 1 su divergencia será3: 8j _ k_ 

La divergencia de un campo vectorial tiene importantes interpretaciones físicas que se basan principalmente en el siguiente teorema4. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. Sea Ω una región sólida limitada por la superficie S suave a

trozos y parametrizada por la normal correspondiente a la cara exterior, según el siguiente dibujo:

Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales

continuas en Ω, entonces5:

5 _ · 8 m 8j _ 8 8 8 T

3

Ω

Para calcular con el Mathematica la divergencia de este campo vectorial, en primer lugar, hay que cargar el paquete: Needs["VectorAnalysis`"] después se ejecutaría la orden: Div[{z, x*y, 1}, Cartesian[x, y, z]] 4 En SALAS – HILLE – ETGEN: Calculus. Una y varias variables, Vol II, pág. 1091 puede verse un ejemplo, muy ilustrativo, sobre una primera interpretación de la divergencia como medida de acumulación o alejamiento de un fluido en la proximidad de un punto. 5 La demostración puede verse en SALAS – HILLE – ETGEN: Calculus. Una y varias variables, Vol II, pág. 1096.

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132

7. TEOREMA DE STOKES.

El teorema de Stokes constituye una generalización del teorema de Green para

superficies con borde en  . Este teorema relaciona la integral de un campo vectorial sobre

una curva cerrada con la integral del rotacional de dicho campo sobre cualquier superficie cuyo borde sea precisamente esa curva.

La situación es la que se visualiza en el siguiente dibujo:

La superficie parametrizada S está delimitada por una curva n cerrada, simple y suave

a trozos. Además, la superficie está parametrizada de tal manera que si ponemos los dedos de

la mano derecha señalando el sentido de recorrido de la curva el pulgar señala la dirección del vector   $ .

En esta situación, el Teorema de Stokes dice que si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y a n, entonces se verifica:

o _ · 8H 5 Hqr _ · 8 p

T

Veamos a modo de resumen un ejemplo de integral de flujo. Sea el campo vectorial _, ,    , cos  ,  4  y la superficie S definida por la

ecuación  1 %   %   con  s 0. Se pide hallar 9T Hqr _ · 8. En primer lugar calculamos el rotacional de F:

Hqr _, ,  1 4 sen  , %1,0

133

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

La superficie S tiene la siguiente representación gráfica:

Una parametrización de la superficie S podría ser:

,  , , 1 %   %   

con ,  
, siendo D el círculo centrado en el origen de radio uno. Este problema se puede resolver de tres maneras diferentes. En primer lugar, haciendo la integral directamente: 5 Hqr _ · 8 T

5 Hqr _ ,  · U  V  8 8



7

5 1 4 sin1 %   %    , %1,0 · 2, 2, 1 8 8



7

5 2 % 2 4 2 sin1 %   %    8 8 7



0

Otra forma de resolver el problema sería utilizando el teorema de Stokes. El borde de la superficie S es la circunferencia de radio 1:

nr cos r , sin r , 0

con r  0,2. Entonces:

5 Hqr _ · 8 T

ntr %sen r , cos r , 0





o _ · 8H p

; _nr · n u r 8r <



; cos  r , 1, cos r 4 sen r · %sen r , cos r , 0 8r



<



; % cos r sen r 4 cos r 8r <

0

134

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Una tercera forma sería utilizando el teorema de Stokes de la siguiente manera: 5 Hqr _ · 8 o _ · 8H 5 Hqr _ · 8 T

p

v

siendo T la siguiente superficie:

cuya parametrización es:

,  , , 0

con ,  
siendo D el círculo centrado en el origen de radio uno. 5 Hqr _ · 8 v

5 Hqr _ ,  · U  V  8 8



7

5 1, %1,0 · 0,0,1 8 8 7

5 0 8 8 7

0

Sin duda, la integral más sencilla se obtiene utilizando el último método.

8. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuación, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografía que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fácilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

Los problemas están completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en función de su capacidad para aclarar los conceptos aquí planteados.

135

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LARSON ROLAND E. – HOSTETLER ROBERT P. – EDWARDS BRUCE H.: Cálculo. Volumen 2, quinta edición, McGraw-Hill, 1995. Ejemplo 1 página 1220

Ejemplo 2 página 1221

Ejemplo 3 página 1222

Ejemplo 4 página 1225

Ejemplo 5 página 1226

Ejemplo 1 página 1232

Ejemplo 2 página 1235

Ejemplo 3 página 1234

Ejemplo 4 página 1235

Ejemplo 1 página 1238

Ejemplo 2 página 1239


GARCÍA LÓPEZ, A. et al: Calculo II. Teoría y problemas de funciones de varias variables, CLAGSA-MADRID, 1996. Problema 8 página 245

Problema 9 página 245

Problema 10 página 246

Problema 11 página 246

Problema 10 página 246

Problema 11 página 246

Problema 1 página 401

Problema 2 página 403

Problema 3 página 403

Problema 6 página 406

Problema 7 página 407

Problema 8 página 407

Problema 9 página 408

Problema 10 página 409

9. BIBLIOGRAFÍA.

Se recomienda la misma bibliografía que la del tema anterior correspondiente a las integrales de línea.

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136

TEMA 8 INTRODUCCIÓN A LA VARIABLE COMPLEJA Las matemáticas que se estudian en primer y segundo curso de ingeniería versan principalmente sobre funciones en una y varias variables. En concreto, el temario de la presente asignatura fundamentalmente se refiere al conocimiento y manejo de las funciones en varias variables.

Sin embargo, y así está previsto en los descriptores de esta asignatura, existen otros capítulos de las matemáticas con importantes aplicaciones prácticas que el alumno debe conocer, aunque sea de forma muy ligera pues las limitaciones de tiempo impiden el estudio con la profundidad que la materia merece. Uno de estos capítulos es precisamente el tema que ahora nos ocupa sobre la Variable Compleja.

En los problemas de ingeniería, aunque se trabaje en el campo real, a menudo se recurre a las técnicas de variable compleja para resolver los problemas que se presentan pues, como decía JACQUES HADAMAR, «el camino más corto entre dos verdades del análisis real pasa por el análisis complejo»1. El uso de técnicas de variable compleja supone para el alumno un rechazo que puede ser perfectamente paliado con unos conocimientos básicos sobre el comportamiento de las funciones de variable compleja.

Somos conscientes que, por lo general, en el momento en que se imparte esta asignatura el alumno no tiene una base sólida sobre el cuerpo complejo y las funciones usuales que en él se definen. Así pues, en el presente tema comenzamos dando unas ligeras nociones sobre ℂ, continuamos con el estudio de la derivada para terminar con unas nociones muy básicas de la integración compleja.

1. NÚMEROS COMPLEJOS. CARDANO (1501-1576) ya mencionaba a las raíces de números negativos como √1

llamándolas sofisticadas2, pero fue EULER en 17793 quien formalizó la notación que se conoce 1 2

Cita tomada de IVORRA CASTILLO, Funciones de variable compleja. RÍBNICOV, Historia de las matemáticas, pág. 131.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

137

en la actualidad utilizando el símbolo  (unidad imaginaria) que tiene la propiedad de que    1. Así, la ecuación   1  0 tiene dos soluciones  y .

Sin embargo fueron los trabajos de GAUSS (1777-1855) y CAUCHY (1789-1857) los que

introdujeron y fundamentaron las operaciones con los números complejos de la forma   .

DEFINICIÓN. Se define el conjunto de los números complejos ℂ como aquellos números z basados en dos números reales x e y. El número z se denota indistintamente por:

 

o también4:

 

A x se le denomina parte real del número complejo z, e y la parte imaginaria del mismo número5:

       

En ℂ se define la suma y la multiplicación de la siguiente manera:



·

             ·        

En definitiva, las dos operaciones anteriores supone realizar las operaciones

algebraicas usuales de la suma y la multiplicación con la precaución de que cuando aparezca   se ha de sustituir por 1. Por ejemplo:

2 3 1   2 2  3 11

Si asociamos el número real  con el número complejo  0 podemos decir que los

números complejos constituyen una extensión de los números reales. Además, las operaciones de suma y producto definidas en ℂ extienden de forma natural a la suma y producto de los números reales, lo que induce a concluir que   ℂ.

LEVINSON y REDHEFFER, Curso de variable compleja, pág. 1. Para introducir la unidad imaginaria  en el Mathematica basta con poner una I mayúscula o bien el símbolo de la ayuda . 5 En el Mathematica la parte real e imaginaria de un número complejo z se obtienen con las órdenes Re[z] e Im[z] respectivamente. 3

4

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

138

Por lo tanto, vamos a notar al número imaginario 2 0 como 2 sin hacer ningún tipo

de distinción sobre si me refiero al número real o imaginario. Asimismo, notaremos por 3 al número complejo 0 3 que llamaremos imaginario puro.

1.1. Representación geométrica de los números complejos. El número complejo    viene determinado unívocamente por dos números

reales x e y. Esta relación nos permite identificar el cuerpo de los números complejos con  :    , 

Así se habla del plano complejo ℂ. Pero hay que advertir aunque exista esta

identificación geométrica entre  y ℂ no son el mismo conjunto. En  no existe la multiplicación en el sentido que hemos indicado más arriba.

1.2. Conjugado de un número complejo.

Existe una función especial dentro del conjunto de los números complejos que deja fijos a los números reales, se trata de la conjugación. DEFINICIÓN. Sea    complejo:

ℂ, se define el conjugado de z, y se denota por !, al número

!    

Así, si  2 3 su conjugado sería !  2  3.

! y son simétricos respecto de la recta real:

139

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Son inmediatas las siguientes propiedades:

1. " 

$ 2. # #######   ! 

$ 3. ###### ·   ! · 

4. Si   , entonces · !      El conjugado de un número resulta muy útil para dividir dos números complejos. Si

% 0 (es decir,    % 0 0) la forma más cómoda de efectuar el cociente

en multiplicar el numerador y denominador por !. Por ejemplo, para realizar el cociente 1  2 3 

  

& '

consiste

()* : +,*

1  23   3 3   1  7 10 1 7   10 10

1.3. Módulo de un número complejo. DEFINICIÓN. Sea   

ℂ, se define el módulo (o valor absoluto) del número complejo

z, y se nota por | |, al número6:

| |  √ !  /   

El módulo del número complejo    no es más que la distancia en  del punto

,  al origen.

Entre las propiedades del módulo de un número complejo podemos citar7: 6

La orden del Mathematica para calcular el módulo del número complejo z es Abs[z].

140

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

1. | !|  | | 2. Si % 0:

1

!  

| |

3. | · |  | | ||

4. Si % 0:

5. Desigualdad triangular:

||  0 0 | |

| | 1 | | ||

El módulo de un número complejo nos permite definir en ℂ una distancia que será la

misma que la distancia usual en  . Así, dos números complejos y  estarán más o menos

lejos en función del valor de |  |. Esto nos lleva a poder definir el concepto de límite de

una sucesión de números complejos.

DEFINICIÓN. Dada una sucesión de números complejos 2 se dice que converge al número , y se escribe 3 2  , si para cada 4 5 0 existe 6 De la definición anterior se desprende: 3 9    ; <

7 tal que | 2  | 8 4 para 9 : 6.

3  9   

=

3  9   

1.4. Argumento de un número complejo. Cuando se escribe el número complejo    se dice que z viene dado en forma

binómica, pero z también puede escribirse en forma trigonométrica (o polar) mediante el siguiente razonamiento:

7

Las demostraciones de estas propiedades pueden verse en GONZÁLEZ LÓPEZ, Variable Compleja, pág. 4.

141

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

 | |cos A sen A  DEFINICIÓN. Sea   

ℂ, se define el argumento de z, y se escribe arg , a cualquier

número A tal que  | |cos A sin A .

El número A no está unívocamente determinado, tanto A como A 2HI con H

J

verifican la condición para ser considerados como argumentos de z. Así pues, el argumento de z es un conjunto de números: con H

arg   KA 2HIL

J. Por ejemplo, si  1 :

arg   M O 2HIP con H N

como | |  √2, la forma trigonométrica o polar de z es: I I

 √2 Qcos sen S 4 4

J.

Entre todos los posibles argumentos del número complejo z se suele elegir aquél que

se encuentra en el intervalo I, IT8. En este caso, se dice que estamos ante el argumento

principal y se escribe como VWX 9:

VWX   A si Z

Por ejemplo, VWX1   

A

A

arg  = y I, IT

)N . O

En muchas operaciones resulta más adecuado operar con la forma trigonométrica del número complejo que con su expresión binómica. Por ejemplo, las raíces n-ésimas de un número complejo z tienen la siguiente expresión: √  /| | ]cos

\

con 0 1 H 1 9  1.

8 9

\

VWX  2IH VWX  2IH  sen ^ 9 9

Otros libros suelen elegir el intervalo _0,2I. La orden del Mathematica para calcular el argumento principal del número complejo z es Arg[z].

142

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Así:



√8

`



/8cos I  sen I I 2IH I 2IH `  sen ^ √8 ]cos 3 3 `

con H  0,1,2. Es decir, la raíz cúbica compleja de 8 tiene las tres soluciones: 1 d 2 e  √3f  1 √3  2 2 b ` 21 0  2 = √8  c b2 e1  √3f  1  √3  2 a 2

Al ser el argumento de un número complejo z un conjunto de números hay que tener

cuidado con las expresiones en las que aparece arg . Veamos algunas de ellas10: 1. arg  arg  % 2 arg 

2. arg ·   arg  arg 3. Fórmula de De Moivre.

Como consecuencia de la propiedad anterior, si A

arg , para 9

2  | |2 cos 9A  sen 9A

7 se tiene:

4. VWX  % VWX  VWX.

2. LA EXPONENCIAL COMPLEJA. Las funciones elementales que se estudian en ℝ, exponencial, logaritmo, seno,

coseno,… tienen su correspondiente extensión al plano complejo. Entre todas ellas tiene un especial interés la exponencial compleja. DEFINICIÓN. Sea   


, se define la exponencial compleja  ' como:  '   m cos   sen 

donde  es la exponencial compleja mientras que  es la exponencial real. Esta función es una extensión de la exponencial real puesto que si z es un número real,

  0, entonces: 10

Una explicación más detallada de estas propiedades puede verse en LÓPEZ GÓMEZ, Ecuaciones diferenciales y variable compleja…, pág. 4.

143

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

 '   m cos 0  sin 0   m 0   m La exponencial compleja conserva casi todas las propiedades de la exponencial real como son11: 1.  '  &   ',& . 2.  ' % 0. 3.

( no

  ' )(   )' .

4.  ' 2   2 '

Y otras específicas respecto de la exponencial real como:

5. | ' |= pn'   m . 6. q r * q  1.

7. La exponencial compleja no es inyectiva:

 '   & si y solo si    2HI con H

J

De la definición de la exponencial compleja se deduce una tercera forma de expresar los números complejos, siempre que sea distinto de 0, llamada forma exponencial: con A

arg .

 | |  * s

3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA. La función t: ℂ v ℂ viene determinada por dos funciones u y v de  v : t   ,  ,  

DEFINICIÓN. Sea la función compleja t  definida alrededor de w se dice que el límite de la

función xy cuando z tiende a yz es igual a {z , y se escribe: lim t   w

'v'|

si para todo 4 5 0 existe un } 5 0 tal que |t   w | 8 4 siempre que 0 8 |  w | 8 }. De esta definición se desprende que si w  w w  y w  w w : 11

Las demostraciones de estas propiedades pueden verse en LÓPEZ GÓMEZ, Ecuaciones diferenciales y variable compleja…, pág. 8.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

lim

m,rvm| ,r| 

lim t   w ~ Z

'v'|

lim

m,rvm| ,r| 

,   w ,   w

144

=

DEFINICIÓN. La función compleja t  definida alrededor de w se dice continua en w si existe lim'v'| t , existe t w  y:

lim t   t w 

'v'|

De forma inmediata se deduce que t  es continua si y solo si ,  y ,  son

continuas como funciones de  v  .

Por ejemplo, la función exponencial t    m cos   m sin   es continua en

todo punto al serlo tanto ,    m cos  como ,    m sen .

Veamos otro ejemplo sobre continuidad de las funciones complejas. La rama principal del logaritmo complejo está definido en ℂ  0 por: Log   ln| | VWX  

donde ln designa al logaritmo real y VWX  el argumento principal del z. Resulta fácil apreciar que la función Log  es continua en todo punto menos en el

semieje negativo de la recta real. Para ello, basta con tomar un número en dicho semieje  0  con  8 0, entonces:

Log 0   ln|| I 

pero si tomamos una sucesión de números complejos que tiendan a  0  como los del

dibujo:

lim Log  

'vm



limln|| VWX  

'vm

ln||  I 

145

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por lo tanto, lim'vm Log % Log cuando  8 0. En definitiva, el estudio de la continuidad de una función de variable compleja se

reduce a estudiar la continuidad de dos funciones de  v .

4. DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA. La definición de límite en el plano complejo hace que la expresión lim'v'|

€')€'|  ')'|

tenga perfecto sentido. De esta forma podemos desarrollar una teoría de derivación en ℂ

similar a la que se establece en  y que va a tener básicamente las mismas propiedades (y con

las mismas demostraciones) que la derivada real. Cuestión distinta es la interpretación geométrica de la derivada real que, lógicamente, no tendrá paralelismo en el plano complejo. DEFINICIÓN. Sea la función compleja t  definida en un disco alrededor de w se dice que ‚€ t  es derivable o diferenciable en w y su derivada es t   w , o también = 0 ‚'

verifica: lim

'v'|

O, en forma de incrementos:

t   t w   t   w 

 w t w ∆   t w  ∆'vw ∆

t   w   lim

Por ejemplo, sea la función t   

t   t w  'v'|

 w

  w  lim 'v'|  w  w   w   lim 'v'|

 w  lim  w 

t   w  



lim

'v'|

2 w

en general, para cualquier punto z se puede afirmar que la derivada de  es 2 .

'ƒ'|

, si se

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

146

De inmediato se deduce que si t  es derivable en w entonces es continua en dicho

punto. Además, es fácil demostrar las siguientes propiedades12: 1. Si t  es constante, entonces ‚'  0.

2. Si t   se tiene que 3. 4. 5.

‚  2  ‚' ‚  ‚'

 9 2)(

t   

‚ t  ‚'

‚€ ‚'

‚€ ‚'

 1.

con 

J.

X   ‚' ‚' . ‚€

6. Si X  % 0, ‚' Q S  … 7.

‚€

‚

€

‚…

€† '…')€'…† ' . …'‡

Regla de la cadena. Sea la función compleja tˆ con ˆ  ˆ , entonces: ‰t ‰t ‰ˆ  ‰ ‰ˆ ‰

Si evaluamos en un punto concreto:

‰t ‰t ‰ˆ = Š = Š = Š ‰ 'ƒ'| ‰ˆ ‹ƒ‹'|  ‰ 'ƒ'| (

)(

Por ejemplo, la derivada de ' es '‡ pues:

1 1   lim &v'  

  lim  &v'   1  lim &v'  1 



‰ 1 ] ^  ‰

Luego para calcular la derivada de

si llamamos ˆ    1:

12

+ ' ‡ ,(

podríamos hacer:

‰ 3 ‰ 1 ]  ^3 ]  ^ ‰ 1 ‰ 1

Las demostraciones de estas propiedades pueden verse en LÓPEZ GÓMEZ, Ecuaciones diferenciales y variable compleja…, pág. 29.

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‰ 3 ‰ 1 ‰ˆ ]  ^  3 ] ^ ‰ 1 ‰ˆ ˆ ‰ 1  3  2 ˆ 6    1

147

si evaluamos en el punto 1 :

1 = ‰ ] 3 ^Š = Š =2 |'ƒ(,*  3 ‰  1 'ƒ(,* ˆ  ‹ƒ(,*‡ ,(

5. ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN.

En el apartado anterior, hemos visto que la derivada compleja funciona de modo semejante a la derivada real. Sin embargo, todavía no estamos en condiciones para manipular de forma ágil las derivadas de las funciones complejas de variable compleja. Por ejemplo, podemos preguntarnos si la función t   !, o lo que es lo mismo

t     , es o no derivable y en caso de que lo sea cuál sería su derivada. Veamos que t   ! no es derivable en ningún punto:

t ∆  ∆  t  ∆m,∆r*vw ∆ ∆  ∆   ∆      lim ∆m,∆r*vw ∆ ∆ ∆  ∆  lim ∆m,∆r*vw ∆ ∆

t ∆   t   ∆'vw ∆ lim

lim

para que sea derivable en un punto    el límite anterior debe existir con

independencia de la dirección por la que me acerque a dicho punto. Si me acerco con puntos de la forma 0 ∆, el límite anterior tendría el siguiente resultado: lim

∆v0

∆ ∆

 1

si me acerco con puntos de la forma ∆ 0 el resultado sería: lim

∆

∆v0 ∆

luego t   ! no es derivable en ningún punto.

1

Vamos a caracterizar fácilmente qué funciones son derivables, así como calcular su derivada, a través de la parte real e imaginaria de la función compleja f.

148

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Sea la función t   ,  , , si suponemos que f es derivable en

  se tiene:

t    



lim

t ∆  ∆  t  ∆ ∆   ∆,  ∆  ,  _ ∆,  ∆  , T ∆ ∆  lim

∆m,∆r*vw

∆m,∆r*vw

si nos aproximamos con puntos de la forma ∆ 0 la última expresión se convierte en: t    



lim

∆mvw

 ∆,   ,  _ ∆,   , T ∆     

si nos acercamos con puntos de la forma 0 ∆: t    

 

,  ∆  ,  _,  ∆  , T ∆rvw ∆  ,  ∆  ,   _,  ∆  , T lim ∆rvw ∆       lim

como estamos suponiendo que t  es derivable, las dos expresiones tienen que coincidir luego igualando parte real e imaginaria se puede concluir que: Si t   ,  ,  es derivable se ha de verificar las siguientes ecuaciones (ecuaciones de Cauchy-Riemann):

d







  =  c    a 

en cuyo caso:

t    

          

Pero además, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son también condiciones suficientes

para que t  sea derivable.

TEOREMA . Sea t   ,  ,  definida en algún entorno del punto   . 13

Supongamos que existen las derivadas parciales primeras de ,  y ,  respecto de x e y

en todos los puntos de ese entorno y son continuas en , . Entonces, si se cumple las

ecuaciones de Cauchy-Riemann en ,  existe t     Žm Žm . Ž

13

Ž

La demostración puede verse en CHURCHILL y BROWN, Variable compleja y aplicaciones, pág. 58.

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

149

Por ejemplo, la función t   !     no cumple las ecuaciones de Cauchy-

Riemann en ningún punto y no es derivable como habíamos demostrado anteriormente. Para la función t   | |      : d





 2;

0  =   0;   2 a   c

las ecuaciones de Cauchy-Rieman sólo se verifica en el punto 0 0 que será el único punto en

que esta función es derivable y t  0  0.

La función t    ' o, lo que es lo mismo, t    m cos    m sen : 

  c

  m cos  ;



  m cos   =  m m   sen  ;    sen  a 

d

luego es diferenciable y t      cos   cos  , es decir, si t    ' entonces t’    ' .

Con los ejemplos que hemos puesto debe quedar claro el concepto de función analítica que es el centro de la teoría de variable compleja. DEFINICIÓN. Una función t  es analítica en w (también se suele decir holomorfa en w ) si t    no sólo existe en w sino en todo punto de un cierto disco que contenga a w .

Así, hemos demostrado que la función t   | | , a pesar de ser derivable en el 0, no

es analítica en dicho punto.

DEFINICIÓN. Si la función t  es analítica en todos los puntos de un dominio se dice que es

analítica en dicho dominio. Si t  es analítica en todo el plano complejo se dice que es entera.

Por ejemplo, se definen las funciones trigonométricas complejas seno y coseno de la siguiente forma: cos 

 *'  )*' 2

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

sen 

150

 *'   )*' 2

Ambas funciones son la prolongación de sus respectivas funciones reales14 y son

funciones enteras pues para cualquier

ℂ:

‰ cos   ‰  

  *'    )*' 2 *'    )*' 2  sen

Igualmente probaríamos que ‚' sen   cos . ‚

DEFINICIÓN. Si una función no es analítica en w pero es analítica en al menos un punto de todo entorno de w , se dice que w es un punto singular o una singularidad de t . Por ejemplo, la función t  

' ` ,') ' ‡ ,(

tiene dos puntos singulares  y – , ya que los

polinomios son funciones enteras y su cociente también lo es salvo en los puntos donde se anula el denominador.

5.1. Ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma exponencial.

En el apartado 2 de este tema comentamos que una forma usual de expresar un número complejo z, distinto de 0, era su forma exponencial: con ”  | | y A

VWX .

 | |  * s  ”  * s

En estos casos la función f vendría definida de la siguiente forma: t”  * s   ” , A ” , A

 y el coseno complejo lo notamos con negrita:  *m  )*m •–—   2 cos   sen  cos    sen   2  cos  luego el coseno complejo aplicado a un número real coincide con el coseno real. Lo mismo se puede decir del seno. 14

Por ejemplo, si 

151

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

En este supuesto, las formulas de Cauchy-Riemann en función del módulo y argumento vienen dadas por15: d



” c 

a”





1 

” A =

1 

” A

Y la derivada tiene la expresión:

  ^ t      )* s ] ” ”

Por ejemplo, tomemos la rama del valor principal de t   √ , es decir, si ”  | | y

A  VWX :

para – I 8 A 8 I:

( ( A A A A √  ”(/ ]cos sen ^  ” cos ” sen  2 2 2 2

A cos ; ” 2 2  1 A 1 c  sen ; a” 2 ”1/2 2 ”

d





1

”1/2

luego es derivable y su derivada será:

es decir:

‰ √ ‰

1 



1

1

”2 cos

A 1

” A ” 2 2 =  1 1 A 1  ”2 ] sen ^ A ” 2 2

  ^ t      )* s ] ” ”

  )* s ]





1 A 1 A cos sen ^ (/ (/ 2 2” 2 2” 1 1 2 (/ * s ”   1 2 √

6. DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA DE VARIABLE REAL.

Con objeto de simplificar el estudio de la integral de una función compleja a lo largo de

una curva vamos a definir, en primer lugar, la derivada e integral de una función t:  v ℂ. 15

Las demostraciones de las expresiones de la derivada en forma exponencial puede verse en CHURCHILL y BROWN, Variable compleja y aplicaciones, pág. 60.

152

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

DEFINICIÓN. Sea t:  v ℂ definida por t™  ™ ™. Si ™ y ™ son derivables ‚€

respecto de t se define ‚š de la siguiente manera:

‰t   ™   ™  ‰™

Por ejemplo, sea la función ›™   *š  cos ™  sen ™, comprobemos que

› ™   *š :

‰ ‰ cos ™ sen ™  ‰™ ‰™   sen ™ cos ™    cos ™ sen ™     *š

› ™ 

Las propiedades de esta derivada son casi las mimas que la de la derivada real puesto que básicamente se basa en la derivada de dos funciones reales16. Por supuesto se cumplen las propiedades algebraicas de la derivada incluso la regla de la cadena en el siguiente sentido17: Si t  es una función compleja, analítica en el punto z, y z a su vez es una función

derivable de ™

, entonces:

 t ™ œ ž

Ÿ ¡¢£ó¡ €:vℂ



‰t ¥ ‰

Ÿ ¡¢£ó¡ ¢¦§¨©ª«¬

‰ ‰™

Por ejemplo, sea la función t   cos con  ™  , en definitiva t:  v ℂ entonces: ‰t ‰ ‰ ‰™  sen 2™   sen™   2™   2™ senh ™ 

t  ™ 

DEFINCIÓN. Sea t_®, ¯T   v ℂ definida por t™  ™ ™ se define °² t™ ‰™ de la

siguiente manera:

¯

¯

±

¯

³ t™ ‰™  ³ ™ ‰™  ³ ™ ‰™ ®

®

®

siempre que existan las integrales de la derecha.

16

En la pág. 98 de CHURCHILL y BROWN, Variable compleja y aplicaciones, se observa que no todas las propiedades de la derivada real se conservan para este tipo de derivada. Por ejemplo, el teorema del valor medio para la derivada no se cumple. 17 La demostración de la regla de la cadena para esta derivada puede verse en LEVINSON y REDHEFFER, Curso de variable compleja, pág. 101.

153

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por ejemplo:

(

³ ™ ™ + ‰™

(



w

³ 2™ + 2™ +  ‰™ w

(

(

 ³ 2™ + ‰™  ³ 2™ + ‰™ w



w

1 1  2 2

Las propiedades de esta integral son las usuales que caben esperar en las integrales, para su demostración basta con separar la parte real e imaginaria que aparece en la definición de la integral.

Así, suponiendo la existencia de las integrales que aparen, podemos decir18:

1. Linealidad.

±

±

±

³ t™ X™ ‰™  ³ t™ ‰™ ³ X™ ‰™ ²

con 

²

±

²

±

³  t™ ‰™   ³ t™ ‰™ ²

ℂ.

²

2. Aditividad del intervalo. Si ® 8 ´ 8 ¯:

3.

± 0°² t™ ‰™0

1

±

µ

±

³ t™ ‰™  ³ t™ ‰™ ³ t™ ‰™ ²

²

± °² |t™| ‰™

µ

4. Extensión de la regla de Barrow.

Sea t:  v ℂ continua en _®, ¯T y ¶™ tal que ¶  ™  t™ en _®, ¯T, entonces: ±

³ t™ ‰™  ¶¯  ¶® ²

Por ejemplo, si queremos calcular la integral: N/

³

w

sen™   2™ ‰™

podemos intentar buscar una “primitiva” de sen™   2™. Según hemos visto más arriba: cos™    sen™   2™

18

La demostración de la propiedad 3 puede verse en IVORRA CASTILLO, Funciones de variable compleja, pág. 33.

154

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

luego:

por lo tanto:

sen™   2™  cos™   N/

³

w

sen™   2™ ‰™

N/



³



 _cos™  Tšƒw I  cos 0f  ecos 4 I  e1  cosh f 4

w

cos™   ‰™ N/

  ³





w

cos™   ‰™ šƒN/

7. INTEGRAL A LO LARGO DE UNA CURVA DE UNA FUNCIÓN COMPLEJA.

La integral de una función compleja sobre una curva no va a tener, en general, las interpretaciones físicas que veíamos de la integral de línea en el campo real. Sin embargo, dicha integral conduce a resultados de gran trascendencia tanto en la matemática pura como aplicada. La identificación geométrica que existe entre  y ℂ nos permite extender sin

dificultad lo aprendido sobre curvas en el plano real al plano complejo.

DEFINICIÓN. Un arco diferenciable · en el plano complejo es una aplicación: ¸™  ™ ™  con ™

donde ™ e ™ son derivables con continuidad.

_®, ¯T

Ejemplo de arco en ℂ sería la circunferencia centrada en el origen de radio 2 cuyas

ecuaciones paramétricas serían: con ™

_0,2IT.

¸™  2 cos ™ 2 sen ™   2  *š

155

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

La circunferencia de radio r centrada en el punto w sería19: con ™

_0,2IT.

¸™  w W cos ™ W sen ™   w W  *š

Si γ es un arco diferenciable y ¸’™ % 0 con ® 8 ™ 8 ¯, entonces el arco se le llama suave.

DEFINICIÓN. Un contorno en ℂ es un conjunto finito de arcos suaves tal que el punto

final de uno de ellos se corresponde con el origen del siguiente.

DEFINICIÓN. Sea el contorno ¸_®, ¯T v ℂ y t  una función continua cuyo dominio contiene a

la trayectoria de ¸. Se define la integral de línea o integral de contorno de f a lo largo de ¸, y se escribe °º t  ‰ , a la siguiente integral:

±

³ t  ‰  ³ t¸™ ¸  ™ ‰™ º

²

Por ejemplo, sea ¸™ la circunferencia de radio 1, para calcular °º

( '

‰ se procedería

de la siguiente forma: Como ¸™  cos ™ sen ™    *š con ™ ³

º

1 ‰





_0,2IT:

N

³

w



1   *š ‰™  *š N

³  ‰™ w

2I 

7.1. Propiedades de la integral de línea compleja.

De la definición de integral de línea de una función compleja se desprenden las siguientes propiedades20.

1. Independencia de la parametrización de la curva. Hay que señalar que sumar a un conjunto de puntos en el plano complejo el número fijo w  ® ¯  equivale a trasladar dicho conjunto según el vector ®, ¯. 20 La demostración de estas propiedades puede verse en LÓPEZ GÓMEZ, Ecuaciones diferenciales y variable compleja…, págs. 64 a 66. 19

156

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

El valor de la integral de línea es independiente de las distintas parametrizaciones de la curva ¸ siempre que se recorra en el mismo sentido.

2. Cambio en el sentido de recorrido de la curva.

Si notamos por ¸ la curva que tiene la misma trayectoria que ¸ pero recorrida en sentido contrario, entonces:

³ t  ‰   ³ t  ‰ º

)º

3. Linealidad. ³ t  X  ‰  ³ t  ‰ ³ X  ‰ º

con 

º

º

³  t  ‰   ³ t  ‰ º

º

ℂ.

4. Aditividad de los trozos de curva. Sea ¸  ¸( » ¸ , entonces:

³ t  ‰  ³ t  ‰ ³ t  ‰ º

º¼

º‡

5. Acotación de la integral.

Sea M el máximo de |t | sobre la curva ¸ y ½º la longitud de ¸. Entonces se verifica: ¾³ t  ‰ ¾ 1 ¿ ½º º

8. EXTENSIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. En principio, la integral de línea de una variable compleja depende de la curva ¸. Sin

embargo, para ciertas funciones la integral va a depender del punto inicial y final de la curva con independencia del camino seguido. Para ello veamos el siguiente teorema. TEOREMA21. Sea ¶  una función analítica con derivada continua y tal que ¶     t  en un dominio (abierto y conexo) D. Sea ¸ un arco contenido en D de origen ( y extremo  entonces:

21

La demostración de este teorema puede verse en los cometarios de la pág. 117 de CHURCHILL y BROWN, Variable compleja y aplicaciones.

157

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

³ t  ‰  ¶    ¶ (  º

NOTA. Si estamos en la hipótesis de este teorema, el valor de la integral de línea sólo depende del punto inicial y final por lo que también se suele escribir: '‡

³ t  ‰ '¼

Por ejemplo:

(,*

³

(

‰

O À Á 4 'ƒ(

'ƒ(,*



+

1 O  1 4 5  4



Hay que señalar que para emplear este método de resolución de integrales se necesita

que exista ¶    y sea continua en todo un dominio que contenga a la curva. Esto es

importante puesto que si, por ejemplo, quisiéramos calcular: Ã

º

1 ‰

siendo ¸ la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y de sentido contrario a las agujas del reloj. En un principio estaríamos tentados a decir inmediatamente que es cero puesto que una “primitiva” de la función ' es Log  22. Pero Log  es analítica en todo punto del plano (

complejo si exceptuamos el semieje negativo de los números reales23.

22

Esta derivada se calcula muy fácil puesto que: Log   ln ” A con A  VWX . Si descartamos el origen y el semieje negativo donde ”, A  A no es ni continua, la función Log  es derivable y: t      )*s ]

  ^ ” ”

luego: ‰ Log  ‰

  

23

Ver ejemplo del apartado 3 de este tema.

1  )*s ] ^ ” 1 ” *s 1

158

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por lo tanto, en cualquier dominio D que contenga a la circunferencia de radio 1:

existe un trozo donde ¶   Log  no derivable (ni siquiera es continua). Así, para calcular esta integral se puede utilizar directamente la definición: ¸™   *š con ™

1 ‰ ³ º

N

 ³ 

w

_0,2IT

1   *š ‰™  *š 2I

9. ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES.

Para finalizar esta introducción a la variable compleja enunciamos dos teoremas de gran importancia en esta parcela de las matemáticas. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT. Sea ¸ un contorno cerrado y simple y sea t  una función analítica en el interior de ¸ y sobre ¸. Entonces:

à t  ‰  0 º

Veamos una aplicación sencilla de este teorema. Queremos calcular °º

ahora ¸ la línea rectangular del dibujo:

( '

‰ siendo

para aprovechar el resultado del ejemplo anterior introducimos la curva Ä que se corresponde

con la circunferencia de radio 1 recorrida en el sentido de las agujas del reloj:

159

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

mejor aún, descompongamos la figura anterior en estas dos curvas Å( y Å :

como

( '

es analítica en todo el plano complejo menos en el cero, por el teorema de Cauchy-

Goursat: ³

Ƽ

³

Ƈ

luego: ³

Ƽ

1 ‰  0

1 ‰  0

1 1 ‰ ³ ‰

Ƽ

 0

³ … ³ … ³ … ³ … ³ … ³ … ³ … ³ …  0 º¼

ȼ

e³

º¼

puesto que °É

( '

ɼ

ȇ

º‡

)ȇ

ɇ

1 1 1 1 ‰ ³ ‰ f e³ ‰ ³ ‰ f

º‡ ɼ ɇ ³

º

1 1 ‰ ³ ‰

É

)ȼ

 0

 0

Ç

Ç

Ç

‰  2I (es la misma integral que la del apartado anterior pero la curva

está recorrida en sentido contrario) por lo tanto: ³

º

1 ‰  2I

Otro resultado de gran importancia en la teoría de variable compleja es la fórmula

integral de Cauchy. Esta fórmula vienen a afirmar que si una función t  es analítica el valor

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

160

de t  viene determinado por los valores que toma f sobre cualquier curva cerrada y simple que rodee al punto z.

FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY. Sea t  analítica en el interior y en los puntos de una curva

cerrada y simple ¸ orientada de forma que deje a su izquierda la región encerrada por ella . Si

w es un punto interior a ¸, entonces:

t w  

1 t  ³ ‰ 2I º  w

Por ejemplo, vamos a utilizar la fórmula integral de Cauchy para calcular °º

siendo ¸ la circunferencia centrada en el origen de radio 2 con sentido anti horario.

no ')(

‰

La situación es la siguiente:

como  ' es analítica y el punto 1 se encuentra en el interior de la curva se puede utilizar la fórmula integral de Cauchy, luego:

(  o lo que es lo mismo:

' 1 ³ ‰ 2I º  1

' ‰  2I ³ º 1

10. EJERCICIOS PROPUESTOS.

A continuación, recomendamos una serie de ejercicios que nos parece adecuados para reforzar los conocimientos que se han adquirido en el presente tema.

Dentro de la abundante bibliografía que existe al respecto, hemos elegido unos textos que pueden estar fácilmente disponibles en cualquier biblioteca a la que el alumno pueda tener acceso.

161

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Los problemas están completamente desarrollados en los textos que se indican y han sido elegidos en función de su capacidad para aclarar los conceptos aquí planteados.


WUNSCH, A.DAVID: Variable compleja con aplicaciones, segunda edición, Pearson Educación, 1999. Ejemplo 1 página 14

Ejemplo 2 página 14

Ejemplo 3 página 20

Ejemplo 4 página 23

Ejemplo 5 página 24

Ejemplo 1 página 31

Ejemplo 3 página 32

Ejemplo 4 página 35

Ejemplo 1 página 40

Ejemplo 2 página 57

Ejemplo 3 página 57

Ejemplo 4 página 59

Ejemplo 1 página 67

Ejemplo 2 página 67

Ejemplo 2 página 72

Ejemplo 4 página 74

Ejemplo 5 página 75

Ejemplo 1 página 107

Ejemplo 2 página 108

Ejemplo 3 página 166

Ejemplo 1 página 183

Ejemplo 1 página 194

Ejemplo 2 página 195


CHURCHILL, RUEL V. y BROWN, JAMES WARD: Variable compleja y aplicaciones, MacGraw-Hill, 1995. Ejemplo 2 página 8

Ejemplo 3 página 10

Ejemplo 1 página 14

Ejemplo 2 página 16

Ejemplo 1 página 20

Ejemplo 2 página 23

Ejemplo 2 página 31

Ejemplo 2 página 34

Ejemplo 1 página 47

Ejemplo 2 página 47

Ejemplo 1 página 50

Ejemplo 2 página 50

Ejemplo página 53

Ejemplo 1 página 57

Ejemplo 2 página 57

Ejemplo 1 página 59

Ejemplo 2 página 59

Ejemplo página 61

Ejemplo página 65

Ejemplo página 75

Ejemplo página 78

Ejemplo 1 página 99

Ejemplo 2 página 99

Ejemplo 1 página 101

Ejemplo 2 página 102

Ejemplo 3 página 102

Ejemplo 4 página 102

Ejemplo 2 página 109

Ejemplo 3 página 111

Ejemplo 1 página 119

Ejemplo 2 página 120

Ejemplo 3 página 120

Ejemplo página 131

Ejemplo página 136

11. BIBLIOGRAFÍA CITADA.

LÓPEZ GÓMEZ, J.: Ecuaciones diferenciales y variable compleja con teoría espectral y una introducción al grado topológico de Brouwer, Prentice Hall, 2001.

162

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

CHURCHILL, RUEL V. y BROWN, JAMES WARD: Variable compleja y aplicaciones, MacGraw-Hill, 1995. GONZÁLEZ

LÓPEZ,

A.:

Variable

Compleja,

2003,

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/indice.htm IVORRA CASTILLO, C.: Funciones de variable compleja, www.uv.es/ivorra/Libros/Varcom.pdf LEVINSON, N. y REDHEFFER, R. M.: Curso de variable compleja, Editorial Reverté, 1990. RÍBNICOV, K.: Historia de las matemáticas, Editorial MIR, 1987. WUNSCH, A.DAVID: Variable compleja con aplicaciones, segunda edición, Pearson Educación, 1999.

163

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

TEMA 9 APROXIMACIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES El temario de la presente asignatura trata fundamentalmente sobre el estudio de las funciones en varias variables. Se ha estudiado la continuidad, diferenciabilidad, valores extremos, integración en
 , en
 , sobre curvas y sobre superficies de dichas funciones.

Todos estos capítulos tienen importantes aplicaciones prácticas en el mundo de la ingeniería. Sin embargo, no me equivoco al asegurar que el apartado con mayores aplicaciones, en las que intervienen las funciones de varias variables, se corresponde con las ecuaciones en derivadas parciales (EDP).

De los descriptores de la asignatura se desprende que el alumno debe tener algunos conocimientos, aunque sea de forma ligera, de las ecuaciones en derivadas parciales.

Evidentemente, el tema que nos ocupa es merecedor de una dedicación mayor que la que podamos dedicarle aquí. Las restricciones de tiempo nos limita prácticamente a comentar en qué consiste una EDP y dar algún ejemplo.

A pesar de todo lo anterior, hemos optado por tratar con algo más de profundidad el problema de la cuerda vibrante pues estimamos que puede suponer una manera de que el alumno se adentre en la resolución de las EDP sin excesivas dificultades.

1. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS.

Se denominan ecuaciones en derivadas parciales (EDP) a las ecuaciones en las que interviene, al menos, alguna derivada parcial de una función desconocida de varias variables. Por ejemplo, si   , , la ecuación

 

    sería una EDP puesto que 

intervienen las derivadas parciales de la función a calcular , .

DEFINICIÓN. Se llama orden de una EDP a la derivada parcial de mayor orden que aparece en la ecuación.

164

Ampliación de Matemáticas/ Máximo Jiménez López

Por ejemplo, ecuación

  

 

    sería una ecuación en derivadas parciales de orden 1. La 

   0 sería una EDP de orden 2. 

Veamos cómo pueden ser las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales. Por ejemplo, sea la función   , y la ecuación en derivadas parciales:    0 

una posible solución de esta ecuación sería:

efectivamente:

,   

   

     



0

Otro ejemplo, podría ser la ecuación en derivadas parciales:    0    

una posible solución , de esta EDP podría ser: pero esta otra:

también sería solución. O también:

,  cos  sen ,     

,  3  7

sería otra solución, y existen muchas más que se puede poner de ejemplo.

2. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN EN DERIVADAS PARCIALES.

El conjunto de soluciones es tan diverso que parece imposible obtener una expresión general que nos determine el resultado de una ecuación en derivadas parciales. De todas formas, existen casos de EDP sencillos en los que sí es posible obtener una forma general de su solución. Veamos tres ejemplos.

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 0 

1. sea la EDP:

La igualdad implica que la función buscada u no depende de x pero sí puede depender de y. Por lo tanto, la solución sería:

,  

siendo  una expresión cualquiera de y, por ejemplo,   2  , o también,

  cos , etc.

2. Sea la EDP:

 0  

Si notamos por , a , la ecuación dada adopta la forma: 

 0 

cuya solución es ,  ! . Luego:  



!

,  En definitiva, la solución de

  

# ! $

 %  

 0 es:

"

"

,    %

siendo F y G expresiones cualesquiera de x e y respectivamente. 3. Sea la EDP:

Utilizando coordenadas polares:

y aplicando la regla de la cadena:



   0  

'  (    & )  arctan  ρ

u θ  0 )

x y x y

la ecuación en derivadas parciales original se transforma en:

166

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puesto que: 



0

 '  )  '  ) .  / .  / $' $ $) $ $' $ $) $

     $' (  $)

La solución de la EDP es:

1

1

 4

1  2 3

 0  )

   1   4     $' (  $) 1  2 3

', )  '

siendo ' cualquier expresión que sólo dependa de '.

Por lo tanto, en coordenadas cartesianas, la solución a la EDP  ,   2(    3

 



 

 0 es:

siendo 2(    3 cualquier expresión de (    .

3. CONDICIONES DE CONTORNO Y CONDICIONES INICIALES.

Hasta ahora hemos visto que una EDP puede tener una variedad enorme de soluciones1. Sin embargo, si a la solución de una determinada EDP se le exige que, además, cumpla una serie de condiciones entonces es posible que la solución sea única.

Lo que acabamos de decir resulta del todo lógico pues si una EDP regula un determinado problema físico sería racional pensar que la respuesta (función u), ante unas condiciones predeterminadas, sea única y predecible.

Las condiciones que se imponen a las EDP para que la solución sea única pueden dividirse en tres categorías:

-

Condiciones de contorno.

-

Condiciones iniciales.

-

Condiciones mixtas (de contorno e iniciales a la vez).

Veamos algunos ejemplos.

1

 

 

También pueden no tener ninguna solución, por ejemplo, la EDP 2 3  2 3  1 no tiene ninguna

solución.





167

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Condiciones de contorno. Se exige que la solución de la EDP verifique un determinado valor sobre la frontera de una región. Por ejemplo2, se trata de hallar la solución de:

   0    

sujeto a las condiciones de contorno siguientes:

, 0  sen   &- 5 0   , 6 ,7

Es decir, la condición de contorno impone que la solución de la EDP , , así como

su derivada parcial respecto de y, deben tomar un valor determinado sobre la recta  0, tal y como se muestra en el siguiente dibujo:

La solución en este caso es:


Condiciones iniciales.

,  sin 

    9 2

Cuando una de las variables independientes de la EDP es el tiempo, se suele imponer que la solución u tenga un determinado valor en un tiempo concreto (generalmente en :  0). Entonces se dice que tenemos un problema de EDP con condiciones iniciales. Por ejemplo, sea la EDP:

 ;

   con : < 0. 

si se impone que en el momento inicial la solución tome el valor sen= , es decir, , 0  sen= , entonces la solución es:

, :   9> ; sen=

2



Ejemplo extraído de STEPHENSON, Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales, pág. 24.

168

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4. ECUACIÓN DE EULER.

Una EDP se dice que es del tipo de Euler si tiene la siguiente expresión:

con a,b y h constantes.

?

    @  A 0      

Por ejemplo, una EDP del tipo de Euler sería: 8

    6  0      

Este tipo de ecuaciones se pueden resolver con facilidad mediante un cambio de variable adecuado. Para saber cuál es el cambio de variable que simplifica esta EDP vamos a realizar el siguiente artificio:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

8  6 D  D  0 D  2E F D  4

cuyas soluciones son:

H    2 E I    4

entonces, el cambio de variable que debe realizarse es:

Comprobemos cómo queda la ecuación 8

variables:

ξ u η  

  

6

  

x y x y

 H  I  H  I   J  K 

   0 con este cambio de 

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luego:

  

169

 L  K M  J J K     J H J I K H K I     H  I  H  I       2  H  H I I  

con el mismo procedimiento se llegaría a:

    2  6 4  H H I I  

     4  16  16   H  H I I 

que si sustituimos en la expresión de la EDP original queda:  0 H I

cuya solución, según se mostró en el apartado 2 de este tema, es: H, I  H  %I

siendo F y G expresiones cualesquiera de ξ y η respectivamente. Si deshacemos el cambio de variables se obtiene que la solución de la EDP:    6  0 8      

es:

,    2  %  4

siendo F y G expresiones cualesquiera de   2 y   4 respectivamente.

El procedimiento que hemos seguido para resolver la anterior EDP es general. Para

encontrar la solución de la EDP:

se resuelve la ecuación

?

    @  A 0       ?  @ D  A D  0

sean DF y D las soluciones de la ecuación anterior3. Entonces la solución de esta EDP es: 3

En STEPHENSON, Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales, págs. 18 a 23 puede verse la

solución de la EDP de tipo de Euler para el caso en que las raíces de ?  @ D  A D  0 sean real

doble o complejas.

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,    DF  %  D

170

siendo F y G expresiones cualesquiera de   DF y   D respectivamente.

5. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL.

Se una cuerda de material homogéneo con los extremos sujetos de forma que se mantiene tirante. Además, la cuerda es completamente flexible, es decir, no ofrece ninguna resistencia a doblarse. Asimismo, vamos a suponer que sólo tiene un movimiento vertical. Por ejemplo, la cuerda de una guitarra puede ser modelo bastante aproximado.

La función , : va a representar la altura en vertical del punto x de la cuerda al cabo del tiempo t. Por ejemplo, si llegamos a la conclusión de que 5,0.3  2 quiere decir que al cabo de los 0.3 segundos el punto   5 de la cuerda toma una altura igual a 2, como se aprecia en el siguiente dibujo:

No es excesivamente complicado demostrar que la función , : que describe la vibración de la cuerda debe de verificar la EDP: 1      R  :  donde c es una constante que dependerá del material de la cuerda y de la tensión a la que está sometida4.

Ecuación que es del tipo de Euler estudiada en el apartado anterior y cuya solución es: , :    R :  %  R :

siendo F y G expresiones cualesquiera de   R : y   R : respectivamente.

4

En HABERMAN, Ecuaciones en Derivadas Parciales…, págs. 141 a 144 se justifica cómo la vibración de la cuerda debe verificar esta EDP.

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171

5.1. Solución de D’Alembert para la ecuación de ondas unidimensional.

Supongamos una cuerda de gran longitud en las condiciones que acabamos de , 0  S

 & T

5 :  ,; 6 ,7

exponer para la cuerda vibrante. Imponemos las siguientes condiciones iniciales:

es decir, S va a ser la posición de la cuerda en el momento :  0 y T la velocidad de cada punto también en :  0.

Para aclarar el significado de las funciones S y T veamos el siguiente ejemplo.

Sea una cuerda tensada tal que en el momento inicial se encuentra en la siguiente posición:

para este caso particular, la función S será:

0   1 S  U 1 0

si  V 1 si 1 W  V 0si 0 W  W 1 si