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November 14, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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´ lica de Chile Pontificia Pontifici a Universidad Universidad Ca Cat tolica o Facult acultad ad de F´ ısica ´ ntica I FIZ0322 F´ ısica Cuantica a FIZ0322 Profesor:: Marcelo Profesor Marcelo Loewe Ayudantes: yudantes: Felipe Canales Canales y Robin Robinson son Mancilla
Ayu Ay udant´ nt´ıa 8
Problema Probl ema 1.[Baker-Campbell-Hausdorff]
Muestra que s´ı ttienes ienes dos opera o peradores dores A A y B tal que: [A, [A, B ]] = [B, [B, [A, B ] = 0
(1)
A,B]]/2 eA+B = e A eB e−[A,B
(2)
Entonces:
Problema Probl ema 2.
[Cuadro de Heisenberg] Encuentra los operadores X operadores X y P en P en funci´oon n del tiempo para el siguiente hamiltoniano: p2 1 2 + kx + βx H = 2m 2
Problema Probl ema 3.[Elementos
(3)
de matriz]
Demuestra utilizando operadores de subida y bajada del oscilador arm´onico onico lo siguiente: k| xp − px |n = = i i δ δkkn n
(4)
Problema Probl ema 4.
[Sistema de dos niveles] Imagina un sistema en el cual hay solo dos estados linealmente independientes. Sean estos estados | estados |11 y |2 con el siguiente hamiltoniano: h =
h g g h
(5)
S´ı el sistema sistem a comienza comienz a (en t (en t = 0) en el estado estado |1, ¿Cu´al al es el estado en el tiempo t tiempo t?? Problema Probl ema 5.
[Estados coherentes]
En general el principio de incertidumbre para el oscilador arm´onico onico esta dado por: σx σ p = (2n (2n + 1) /2
1
(6)
Notar que solo para n = 0 tenemos tenemos m´ınima incertidum incertidumbre. bre. Ahora ciertas ciertas combinacio combinaciones nes lineal lineales es de estadoss tambi´en estado en logran log ran esta est a m´ m´ınima incertidumbre. incert idumbre. Demostra De mostraremos remos que qu e estos esto s estados estad os son auto autoestados estados del operador de bajada. a ˆ |α = = α α |α
(7)
a) Calcule Calcule x x, x2 , p p y p p2 en el estado estado |α. b) Encuentre σ Encuentre σ x y σ p . c) Como cualquier otra funci´on on de onda, un estado coherente puede ser expandido en termino de los autoestados de la l a energ´ energ´ıa. ıa. Encuentre los coeficiente de la expansi´ on. on. d) Determine el coeficiente coeficiente c0 normalizando normalizando | |α α. e) Agregue la dependencia temporal y muestre que |α | α(t) sigue siendo un autovalor. f ) ¿Es ¿ Es el e l eestado stado base en s´ı mismo m ismo un estado e stado coherente? S´ı es e s as a s´ı, ¿Cual es su s u autovalor? au tovalor?
2
´ lica de Chile Pontificia Pontifici a Universidad Universidad Ca Cat tolica o Facult acultad ad de F´ ısica ´ ntica I FIZ0322 F´ ısica Cuantica a FIZ0322 Profesor:: Marcelo Profesor Marcelo Loewe Ayudantes: yudantes: Felipe Canales Canales y Robin Robinson son Mancilla
Ayu Ay udant´ nt´ıa 9
Problema Prob lema 2.
Transforme el oscilador arm´onico onico simple unidimensional desplazado 2
2
ˆ ˆ 0 + β x ˆ = pˆ + k x + β x ˆ = H ˆ H 2 2m al cuadro de Dirac. Resuelva para la funci´on on de onda del sistema ψD (t) y el operador de posici´oon n del odinger. ˆ 0 en el cuadro de Schr¨odinger. sistema x ˆD (t). Asuma que ψD (0) describe el estado fundamental de H Hint: Reescriba todo en t´erminos erminos de los operadores o peradores de creaci´ on on y aniquilaci´on on en el cuadro de Schr¨odinger. odinger.
El operador op erador unitario que transforma al cuadro de Dirac y el hamiltoniano los dejamos en t´erminos erminos de los l os operadores operador es de creaci´ creaci´on on y aniquilaci´oon n 1 ˆ 0 = ω a H ˆ† a ˆ + 2
ˆ
†a ˆ+1 +1/ /2)
iωt (ˆ a ˆ0 (t) = e −iH 0 t/ = e −iωt(ˆ U
β x ˆ = β
2mω Luego, el operador de posici´on on en el cuadro de Dirac †
ˆ (t)ˆxU ˆ0 (t) = x ˆD (t) = U 0 ˆ
2mω
(ˆa† + ˆa)
†a ˆ+1 +1/ /2)
iωt (ˆ a eiωt(ˆ
†a ˆ+1 +1/ /2)
iωt (ˆ a (ˆa† + ˆa)e−iωt(ˆ
ˆ
ˆ B ˆ ] = λ A ˆ, se encuentra ˆ B = e λ eB Aˆ si se tiene que [ A, Usando el hecho que se cumple Ae †
iωt a ˆ a ae ˆe−iωtˆ
a ˆ
†a ˆ
iωt a ˆ a ˆ† e−iωtˆ
†
iωt a ˆ a ˆ a = e −iωt e−iωtˆ ˆ †
iωt a ˆ a ˆ † a ˆ = e iωt e−iωtˆ
Por lo que x ˆD (t) =
cos (ωt) + ˆS cos (e−iωt a ˆ + eiωt a ˆ† ) = x
pˆS
sen(ωt ) mω 2mω Pa Para ra encon encontra trarr el estado estado en el cuadro cuadro de Dirac, Dirac, primero primero resolv resolvemo emoss para para el estado estado en el cuadro cuadro de Schr¨odinger odinger 1 1 ˆ = ω a H ˆ† a ˆ + + β (ˆa† + ˆa) = ω a ˆ† a ˆ + c(ˆa† + ˆa) + 2 2mω 2
1
donde c = β
1 2 mω mω 3 El
hamiltoniano se puede reescribir ˆ = ω ˆb†ˆb − c2 + 1 H
2
donde ˆb = a ˆ + c y ˆb† = a ˆ† + c. As As´´ı que el estado fundamental fundame ntal tiene energ´ıa ıa E 0 = ω
− y satisface que 1 2
c2
ˆb |0 = 0 La dependencia dependencia temporal
2
iωt (1/ /2−c ) |Ψs (t) = e −iωt(1 |0
As´ As´ı que la ecuaci´ ecua ci´on on para el estado en el cuadro de Dirac es ∂ i ΨD (t) = β x ˆD (t)ΨD (t) ∂t
Finalmente ΨD (t) = ΨS (t) −
iβ
2
t
0
x ˆD (t )ΨD (t )dt
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Ayudant´ nt´ıa 10
Problema Probl ema 1.
[Operadores [Operadores escalera] escalera]
Para el siguiente sigui ente esf´erico erico arm´onico: onico: ( θ, φ) = Y 2 1 (θ,
−
15 15/ /8πsin πsin((θ)cos cos((θ)eiφ
(1)
a) Encuentre el operador L operador L + en su forma diferencial. b) Encuentre el arm´onico onico Y 2 2 (θ, ( θ, φ). Problema Probl ema 2.
[Rotador]
Dos part´ıculas ıculas de masa m est´aan n unidos en los extremos de una varilla sin masa de largo a, el sistema es libre de rotar en 3-dimensiones sobre su centro (el centro en s´ı mismo es fijo). a) Encuentre el hamiltoniano cl´asico. asico. b) Encuentre las energ´ energ´ıas permitidas. ¿Cu´al al es la degeneraci´oon n dado nivel de energ´ıa? ıa? Problema Probl ema 3.
Considere un rotador con dos grados de libertad (θ, ( θ, φ) en un cierto tiempo con el siguiente estado:
u(θ, φ) = N sin sin((θ)cos cos((φ) + sin + sin((θ)sin sin((φ) +
√
3cos cos((θ)
(2)
a) Exp´andalo andalo en la base de los arm´onicos onicos y encuentre el coeficiente de normalizaci´oon N n N .. b) ¿Cu´al al es la probabilidad de medir l = 1? ¿Cu´al al es la probabilidad de medir l = 1 y m = 0? Problema Probl ema 4.
Calcularr los siguientes Calcula siguientes valores valores de expectaci´ expectaci´ on: on: 2
lm| L |lm lm| L L |lm x
x
1
y
(3)
Problema Probl ema 5.
¿Cu´al al es la probabilidad de que medir L medir L x sea igual a cero para un sistema que tiene su momento angular en el siguiente estado?
1 1 u = √ 2 14 3
2
(4)
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Ayudant´ nt´ıa 11
Problema Probl ema 3.
A tiempo t = 0 la funci´on on de onda para el atomo ´atomo de hidr´ogeno ogeno es
√
1 ψ ( r, r, 0) = 2 100 + 210 + 10
|
√
|
√
2 211 +
|
3 21
|
|
− 1
Ignore esp´ esp´ıın n y ttransici ransiciones ones radiativas radiat ivas a) ¿Cu´al al es el valor de expectaci´on on de la l a energ´ energ´ıa de este sistema? b) ¿Cu´al al es la probabilidad de encontrar al sistema en l = 1 y m = 1 como funci´on on del tiempo? c) ¿Cu´al al es la probabilidad de encontrar al electr´on on a una distancia menor a 10 10 cm del prot´on on (a tiempo t = 0)? d) ¿C´omo omo evoluciona en el tiempo la funci´on on de onda? Encuentre ψ (r, t) e) Suponga que una medida es hecha la cual muestra que l = 1 y m = +1. Describa la funci´on on de onda inmediatamente inmedi atamente despu´es es de la medida en t´erminos erminos de nlm usados arriba.
±
−
|
|
a) El valor de expectaci´on on de la energ´ energ´ıa (usando la notaci´oon n n,l,m para los n´ umeros umeros cu´ anticos) anticos) es
|
ˆ ψ = 1 E = ψ H 2 100 + 210 + 10
| | √
| |
√
2 211 +
|
√
ˆ 1 2 100 + 210 + 3 21 1 H 10
−|
|
√
1 E = 10 2 100 + 210 + 2 211 + 3 21 1 2E 1 100 + E 2 210 + Considerando que los estados nlm son ortonormales
| | √ | √ − | |
√
2 211 +
2
2
E = 101 (4E + E + 2E + 3E ) = 4E +10 6E 1
Pero para un atomo ´atomo de hidr´ogeno ogeno E n =
2
2
1
2
2
E 1 y E 1 = n2
−13, 6eV E = −7, 47eV
b) Para la evoluci´on on temporal ˆ
ψ (t) = e −iHt/ ψ (0) =
|
1
2e
ˆ iHt/
−
100 + e
ˆ iHt/
−
210 +
√
−
2e
ˆ iHt/
211 +
√
−
3e
ˆ iHt/
21 1
| √ 1100 | | | | − √ √ 1 2e iE t/ |100 + e iE t/ |210 + 2e iE t/ |211 + 3e iE t/ |21−1 |ψ(t) = √ 10
−
1
−
2
−
2
−
2
−
3 21 1
|
| √ 2E |211 + √ 3E |21−1
|
|
√
|
1
La probabilida de encontrar al sistema, para alg´un un t, con l = 1 y m = 1 es P =
2
|n11|ψ(t)|
1 = n11 2e 10
| √
iE 1 t/
−
−
|100 + e
iE 2 t/
|210 +
√ e
−
2
iE 2 t/
|211 +
√ e 3
iE 2 t/
−
|21
En el braketeo, el ´unico unico t´ermino ermino que sobrevive sobrevi ve es 211
|
2 e 10
P =
−
iE 2 t/
n11|211
2
=
2 e 10
−
iE 2 t/
δ n2
π/ 2
2π
r0
1 = δ n2 5 −10
P =
2π
r0
1 10
0
π/2
0
−
π/2
0
−
4 ψ100 2 + ψ210 2 + 2 ψ211 2 + 3 ψ21
|
π/2
|
|
|
+ 2 R21
2
1 2 1
−1
|
2
Separando variables 1 P = 10
r0
2π
π/2
| | | | | | | | | | | | | | | 0
0
−
4 R10
Y 00
2
2
4 R10 r
2
Y 10
π/2
+2 R21 r
0 2 0
Y
0
2π
π/2
2π
2
0
2 2
+ R21
π/2
r0
1 P = 10
2
−
1 2 1
Y
2
|
| | |Y |
| |
2
| |
sen(θ) dθdφ + 3 R21 r
−
2
2π
2
2
−1
−
π/2
2π
−1
|Y | 1
π/2
2
1
0
π/2
0
r2 sen(θ ) dφ dθ dr
| | |Y |
sen(θ) dθdφ + R21 r
π/2
+ 3 R21
2
π/ 2
0
cm es
r )r 2 sen(θ ) dφ dθ dr ψ ( r )∗ ψ (
P =
0
1
2
c) La probabilidad de que la part´ part´ıcula est´e dentro de una esfera de radio r0 = 10
| | |
−
−
2
π/2
r2 sen(θ ) dφ dθ dr
0 2 1
|Y |
sen(θ) dθdφ
sen(θ) dθdφ dr
Como en la integrales angulares se est´a integrando integrand o esf´ericos ericos arm´onico onico en todo su dominio, entonces esa integral debe valores 1. 1 r P = 4 R10 2 r 2 + 6 R21 2 r2 dr 10 0 0
| |
Para el ´atomo atomo de hidr´ogeno, ogeno, se tiene que 2
|R | 10
−9
donde a = 5, 29 10
·
=
4 a3
| |
e
r/a
−2
2
|R | 21
r 2 −r/ 2a e = 24a5
cm. Reemplazando e integrando, se obtiene P = 3, 5 10−6
·
d) La evoluci´on on temporal del estado es
|ψ(r, t) = e
−
ˆ iHt/
|ψ(rr,, 0)
Al igual que en la parte a), hacemos actuar el hamiltonia sobre cada uno de los estados que conforman al estado inicial 1 2e ψ (r, t) = 10
|
√
iE 1 t/
−
−
|100 + e
iE 2 t/
|210 +
√
−
2e
iE 2 t/
|211 +
√
3e
iE 2 t/
−
−
|21
1
2
2
e) Debido a la relaci´oon n l n 1, entonces se tiene que n l + 1. Si sabemos que l = 1, entonces n por lo que al medir, solo quedan lo estados con n = 2, l = 1 y m = 1
≤ −
≥
≥ 2,
|ψ = |211 Problema Probl ema 4.
Una part par t´ıcula ıcu la de masa m asa m est´a restringida a moverse entre dos esferas conc´entricas entricas impermeables de radios r = a y r = b . No hay otro potencial. Encuentre la energ energ´´ıa y la funci´ on on de onda normalizada del estado fundamental. La funci´on on de onda o nda radial de la part´ part´ıcula satisface r R(r) Usando el cambio U (r ) = rR d2 U + dr2
2m(E
− V ) − l(l + 1)
2
r2
U = 0
a
≤r≤b
Para el estado fundamental (ground state) se tiene n = 0 y l = 0, y dentro de la regi´oon n a 2mE V (r ) = 0. Si definimos ω = , la ecuaci´on on nos queda 2
≤ r ≤ b,
U + ω 2 U = 0
Con las condiciones de borde U (a) = U (b) = 0. Con esas condiciones de borde la soluci´onnos onnos queda U (r ) = A sen(ω (r
− a))
Luego, de la condici´on on de U (b) = 0 obtenemos valores posibles para omega ω =
nπ b a
−
n = 1, 2,...
De la condici´on on de normalizaci´oon n se obtiene A b
R2 (r)r 2 dr =
a
b
U 2 (r) dr = 1
a
−→ A =
2
b
−a
Juntando toda la parte radial e incluso toda la parte angular, se obtiene la funci´on de onda general ψ ( r) =
1 1 sen 2π (b a) r
−
π (r a) b a
− −
3
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