Apuntes Matematica Discreta(Uned)

Apuntes de Matemática Discreta

PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETA Curso 1996-97 1.- Conjuntos y aplicaciones. Noción intuitiva de conjunto, subconjunto y complementario, unión e intersección de conjuntos, producto cartesiano. Definición de aplicación, tipos de aplicaciones, composición de aplicaciones, inversa de una aplicación.

2.- Relaciones y grafos. Relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptos básicos y terminología de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Árboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos.

3.- Teoría elemental de números. Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ecuaciones Diofánticas. Congruencias : teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.

 &RPELQDWRULD \ UHFXUUHQFLD Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con y sin repetición. Fórmulas combinatorias, teorema binomial. Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de relaciones recurrenter por iteración. Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funciones definidas recurrentemente.

 &iOFXOR GH SURSRVLFLRQHV Sintaxis. Deducción natural. Tablas semánticas. Resolución.

%LEOLRJUDItD Epp, S. S. “Discrete Mathematics with Aplications”. Ed. Wadsworth Publishing Company (1990). Biggs, N. L. “Matemática Discreta”. Ed. Vicens Vives (1994). Bujalance, E. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED) Bujalance, E. “Problemas de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED) Liu, C. L. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. McGraw-Hill (1995).

Grimaldi, R. P. “Matemática Discreta y Combinatoria”. Ed. Addisson-Wesley Iberoamericana (1989).

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&21-81726 < $3/,&$&,21(6



&RQMXQWR Definición : Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llaman elementos.

Representación Suelen emplearse letras mayusculas para los conjuntos y minusculas para los elementos.

Pertenencia de un elemento ‘x’ a un conjunto ‘A’ se denota : x ∈ A El contenido de un conjunto se representa : • •

•

por extensión : encerrando todos sus elementos entre llaves. Ej : A={1,2,3,4...} por comprensión : mostrando entre llaves sus propiedades características. Ej : A={ x∈N | 1 ≤ x ≤ 4 } mediante ‘Diagramas de Venn’ : Los diagramas de Venn son regiones del plano que simbolizan conjuntos. No tienen valor demostrativo salvo para refutar con un contraejemplo.

Tamaño o Cardinalidad El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras : |A| Si un conjunto tiene ∞ elementos se dice que es : • •

infinito numerable si ∃ aplicación biyectiva entre el conjunto y N. infinito no numerable en caso contrario. Ej : R ( porque ∃ ∞ decimales)

6XEFRQMXQWR Definición Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Si además existe algun elemento de B no pertenencientes a A, se dice que A es subconjunto propio de B. Ojo ! : A⊆B no excluye la posibilidad de que A⊂B, esta, es una información que ignoramos.

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Representación A subconjunto de B : A⊆B, o B⊇A A subconj. propio de B : A⊂B, o B⊃A (notese como desaparece la línea de igual al excluirse tal posibilidad)

Propiedades de la relación ⊆ • reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A⊆A • antisimetrica (no simetrica) : si A⊆B y B⊆A ⇒ A=B • transitiva (B hace de intermediario) : si A⊆B y B⊆C ⇒ A⊆C

Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo. Las expresiones ‘x∈A’ y ‘{x}⊆A’ son equivalentes, ambas expresiones significan que el conjunto que tiene a x como único elemento es subconjunto de A.

$OJXQRV FRQMXQWRV Nulo ‘∅’ o ‘{}‘ : Es aquel que carece de elementos. Ojo ! : |∅|=0 pero {∅}≠∅ porque este conjunto ( {∅} ), tiene un elemento: el nulo.

Universal ‘U’ : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar. Iguales ‘A=B’ : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden o repetición. Diferencia ‘A−B’ : Es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : A–B={x| x∈A, x∉B} ) Diferencia simétrica ‘A⊕B’ : (A∪B)–(A∩B)= (A ∩ B )∪( A ∩B), es decir, = { x∈A o x∈B | x∉A ∩B } Potencia ‘P(A)’ Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de A.

Para todo elemento hay 2 opciones: excluirlo o incluirlo, por lo tanto hay 2*2*2..(n veces) selecciones posibles. Por tanto, : n ‘ dado A de n elementos, |P(A)| = 2 n = ∑K=0

( nK ) = Cn,k‘ (Incluyendo A y ∅) Ej: Si A={a,b,c} ⇒ P(A)={ ∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, A } 8QLyQ LQWHUVHFFLyQ \ FRPSOHPHQWDFLyQ

Conj. Unión ‘A∪B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen al menos a alguno de los dos. A ∪ B ={x ∈ U ⁄ x∈A ò x∈B} Conj. Intersección ‘A∩B’ : Es el formado por los elementos que pertenecen a la vez a ambos conjuntos. A ∩B ={ x ∈ U ⁄ x∈A y x∈B}, Si su interseccion es nula, se dice que A y B son disjuntos.

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Complementario ‘ A ′ ’ o ‘ A ’ : (De un conjunto A), es aquel cuyos elementos no son A : A ={ x | x∈U, x∉A}

Propiedades de la intersección, complementación y unión 1º A∪∅ = A

A∩∅ = ∅ 2º A∪A = A∩A = A

Idempotencia

3º A∪B = B∪A , A∩B = B∩A

Conmutatividad

4º (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

Asociatividad

5º A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

Distributividad

6º A∪U = U 7º A∪A = U , A∩A = ∅ 8º

( A ∪ B) = A ∩ B, ( A ∩ B) = A ∪ B

Leyes de Morgan

9º A∪(A∩B) = A∩(A∪B) = A

y otra de regalo : A−B = A∩ B , Demostración : x∈(A−B)⇒ x∈A y x∉B ⇒ x∈A y x∈ B ⇒ x∈A ∩B Demostración 8º : ( A ∪ B) ⇔ A ∩B

(Ley de Morgan)

“⇒” : x∈ ( A ∪ B) ⇒ x ∉ A∪B⇒ x∉A y x∉B ⇒ x ∈ A y x ∈B ⇒x∈A ∩B “⇐” : x∈A ∩B ⇒x ∈ A y x ∈B ⇒x∉A y x∉B⇒x ∉ A∪B⇒x∈ ( A ∪ B)

La intersección, complementación y unión de conjuntos, se conocen como ‘Operaciones Boleanas’ en honor a George Boole, que se marco este rollo aun sin tener idea de su utilidad.

Producto cartesiano (A×B) Definición Dados A,B ⊆ U , Se define ‘Producto Cartesiano de A por B’ (A×B) como el conjunto los elementos formados por todos los posibles pares del tipo (a,b) ⁄ a∈A, b∈B.

Ojo ! : (a,b) es un par ordenado, por lo tanto (a,b)≠(b,a) salvo que a=b, y no es lo mismo (a,b) que {a,b} Propiedades |A×B|=|A|·|B|

(Regla del producto)

Si tenemos A,B,C,D ≠ ∅ , entonces A×B=C×D ⇒ A=C,B=D (A∪A )×B≠(A∪B)×(A ∪B)

es decir: (a ∪ a , b ) ≠ ( (a,b) , ( a ,b) )

? ?

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(A×B)∪(A ×B)=(A∪B)×(A ∪B)

?

Las coordenadas de los pares de A×B definen un paralelogramo de lados paralelos a los ejes. Dados A,B ⊆ U, cualquier subconjunto de A×B se denomina ‘relación de A a B’. Si B=A, la relación se denomina ‘relación binaria en A’ (A×A). Ej : Para A={1,2,3}, B={2,5}. Son relaciones de A a B : ∅, {(3,2)}, {(2,2),(1,2)}, A ×B,...

El conjunto de todas las posibles relaciones posibles, es P(A ×B), y siendo |A|=m, |B|=n, como ya vimos antes, tenemos que |P(A × B)|=2mn

Aplicaciones (o Funciones -significa lo mismo- ) Definición Se define ‘Aplicación de A a B’ (f: A→B), como la relación que asigna a todo elemento de A un único elemento de B.

Es decir, para ∀ x∈A, sin excepción, ∃ un y solo un y∈B ⁄ y=f(x). Por ello, |A|≤|B| Observese que cuando A y B son conj. finitos, el número de posibles funciones es B producto) .

A

(Regla del

En una f : A→B, A y B se llaman dominio y codominio de f.

Conceptos •

Dados f:A→B, g:C→D, se dice que f(a) y g(c) son Iguales (f=g), si y solo si : A=C y B=D.

Ojo ! : Aun cuando 2 funciones tengan un dominio común A, y se cumpla f(a)=g(a), es posible que f≠g. Ej : Sea f : Z→ Z, g : Z →Q, donde f(x)=x=g(x) para ∀ x ∈ Z .

Pero debido al codominio : ¡f ≠g!, porque f es inyectiva y suprayectiva, y g solo inyectiva. • • • •

Conj. Imagen (Im f), se define como : Im f = {b∈B ⁄ ∃ a∈A, b=f(a)} ; b se denomina ‘imagen’ de a. F. Identidad (de un conj. en si mismo) : Se define como f:A→A ⁄ f(x)=x para ∀x∈A. F. Inclusión : Se define como in: A1 →A ⁄ in(x)=x para x ∈A ? F. Restricción

Sea f:A→B y A1⊆A, se denomina ‘Restricción de la función f al conjunto A1’ a la función g: A1 →B Ademas, f se denomina ‘Ampliación’ de la aplicación g.

Tipos de aplicaciones Inyectiva Aquella en la que no existen dos elementos de A con la misma imagen. Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≤|B|. Ejemplo: la inclusión Sobreyectiva (o suprayectiva)

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Aquella en la que todo elemento de B es imagen de un elemento de A ( B siempre esta cubierto, es decir : ∀ b∈B ∃ al menos un a∈A ⁄ f(a)=b) Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|≥|B| Biyectiva Aquella que es a la vez inyectiva y Sobreyectiva. Por lo tanto siendo A,B finitos deben cumplir |A|=|B| Propiedad:

Sea f:A→B A,B finitos, si |A|=|B| y f es inyectiva ⇒ también será sobreyectiva ⇒ y también biyectiva. a

a

Proyección sobre la 1 y 2 coordenada Sean los conjuntos A,B, y D⊆A×B : •

Se denomina ‘proyección sobre la 1 coordenada’ a la aplicación π A :D→A definida por π A (a,b)=a. a • Se denomina ‘proyección sobre la 2 coordenada’ a la aplicación π B :D→B definida por π B (a,b)=b. • De forma general : π :D→Ai1 × Ai2 × ... × Aim definida por π (a1, a2, ..., an)=( ai1, ai2, ..., aim) es una proyección de D sobre las i1-ésima, i2-ésima, ..., in-ésima coordenadas. a

(ver ejemplo en Grimaldi 82 3.12) &RPSRVLFLyQ GH DSOLFDFLRQHV

F. compuesta (f°g) : Siendo f:A→C, g:B→C, ‘f compuesta con g’ es (g° f)(a)= g(f(a)) para ∀ a∈ A La composición : -es asociativa [h°(g°f)](a) = [(h°g)°f](a) •

no es conmutativa g°f≠f°g

Propiedades

3) 4) 5) 6)

Dems : Grimaldi 85 3.4. a) 1) f,g inyectivas ⇒ g°f inyectiva Dems : Grimaldi 85 3.4. b) 2) f,g Sobreyectivas ⇒ g°f Sobreyectiva Se desprende de las anteriores. f,g biyectiva ⇒ g°f biyectiva g°f inyectiva⇒f inyectiva g°f Sobreyectiva⇒g Sobreyectiva La composición de funciones es asociativa : ((h°g)°f)(x)=(h°(g°f))(x)

Demostraciones :

1)

Sea a1, a2 ∈ A ⁄ (g°f)(a1)= (g°f)(a2),

Entonces, (g°f)(a1)= (g°f)(a2) ⇔ g(f(a1))=g(f(a2)), pues g es inyectiva. Además f(a1)=f(a2) ⇒ a1=a2 porque f es inyectiva. Por tanto, g°f es inyectiva.

2)

Para g°f :A →C, sea z∈C. Para g suprayectiva ⇒ ∃ y∈B, con g(y)=z. Para f suprayectiva ⇒ ∃ x∈A, con f(x)=y. Por tanto, z=g(y)=g(f(x))=(g°f)(x). Al ser válido para cualquier z∈C, queda demostrado

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que gºf es suprayectiva. 6) Para ((h°g)°f)(x) = (h°g)(f(x)) = h(g(f(x))) ((h°g)°f)(x) = h((g°f)(x)) = h(g(f(x))) $SOLFDFLyQ LQYHUVD

F. Inversa (f -1) : f -1(y)={x∈A ⁄ f (x)=y}

Otra definición de inversa de f:A→B es g:B→A ⁄ g°f=IdA y además f°g=IdB Ej: f=x , f -1= 2 x ; 2

f -1(4)={2,-2} ; f -1(2,6,8,4,16,25)={± 2, ±4, ±5} ; f -1(11,12,13,14)=∅

Propiedades • Si f tiene inversa esta es única. Demostración : Sean g1 , g 2 inversas de f :A→B, observando que g1°f =IdA , f°g1= IdB, g2°f =IdA , f°g2= IdB,

resulta fácil demostrar que g1=g2 : g1 = IdA°g1 = (g2°f )°g1 = g2°(f °g1) = g2°IdB = g2 • f es inversible ⇔ f es biyectiva ‘⇒’ (Suponemos que dado f :A→B, existe f -1 , lo cual probara que f es biyectiva, es decir sobreyectiva e inyectiva)

Por definición de inyectiva : a1,a2∈A1 ⁄ f(a1)=f(a2)⇒ a1=a2 Comprobamos que es inyectiva aplicando inversas : f -1 (f(a1))= f -1 (f(a2))→ ( f -1 °f)(a1)=( f -1 °f)(a2)→a1=a2 Por definición de sobreyectiva : ∀ b∈B ⇒ ∃ f(a)=b Hemos supuesto que dado un b∈B, ∃ f -1 (b)∈A ⁄ f(a)=f( f -1 (b))=b Y puesto que f° f -1 =Id(b), es lícito afirmar b=Id(b)=( f° f -1 )(b)=f( f -1 (b))=f(a) ‘⇐’ Por ser sobreyectiva, para cada b∈B, ∃ algún a∈A ⁄ b=f(a). Con lo queda definida una función g :B→A ⁄ g(b)=a. El único problema sería que g(b)=a1≠a2=g(b) debido a que f(a1)=b=f(a2), pero esto no ocurre porque f es inyectiva. Por lo tanto, g= f -1 .

Propiedades Si A1 , A 2 ⊂ A, B1 ,B2 ⊂ B, entonces : 1º A1 ⊂A 2 ⇒ f(A1 )⊂ f(A 2 ) 2º f (A1 ∪A 2 ) = f(A1 )∪f(A 2 ) 3º f (A1 ∩A 2 ) ⊂ f(A1 ) ∩ f(A 2 ) 4º A1 ⊂ f -1 ( f(A1 ) ) 5º B1 ⊂ B2 ⇒ f -1 (B1 ) ⊂ f -1 (B2 ) 6º f -1 (B1 ∪B2 ) = f -1 (B1 )∪ f -1 (B2 ) 7º f -1 (B1 ∩B2 ) = f -1 (B1 )∩ f -1 (B2 ) 8º f ( f -1 (B1 )) ⊂ B1

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5HODFLRQHV \ JU JUDDIRV



Relaciones binarias y de equivalencia. Conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Conceptos básicos y terminologia de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Arboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos Relación ‘R’:

Es cualquier subconjunto de A×B que cumpla la propiedad en concreto. Es decir, siendo x∈A,y∈A y grafo(gráfica) R ⁄ R⊆ A×A, decimos que xRy si

(x,y)∈R El nº de relaciones ó subconjuntos de A×B será 2

A ·B

Relación n-aria: Cualquier subconjunto del producto cartesiano de A1× A2×...×An (Una relación binaria sería una relación de A1×A2) Propiedades que puede cumplir una relación: 1) 2) 3) 4)

Reflexiva, si ∀ a∈A ⇒ aRa Simétrica si ∀ a,b / aRb ⇒ bRa Transitiva, si ∀ a,b,c / (aRb y bRc) ⇒ aRc Antisimetrica, si ∀ a,b / (aRb y bRa) ⇒ a=b

Todo elemento cumple las tres primeras consigo mismo. Cuidado con la 4º: no simetrica≠antisimetrica Matriz de una relación A×B: - filas = elementos de A, columnas = elementos de B • 1 si (ai,bj) ∈ R , 0 si (ai,bj) ∉ R Relación equivalente ’~’: Es la relación binaria que verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Clase de equivalencia ‘[x]’: Dada una relación de equivalencia en un conjunto A, se define clase de equivalencia de un a∈A, como el conjunto de elementos de A equivalentes al elemento dado. Se denota como [a]={a’∈A / a’~a} El representante de la clase de equivalencia puede ser cualquier elemento del conjunto. Asi, se cumple: •

a’~a ⇔ [a’]=[a] (prop. transitiva) - y por tanto, x no∼a ⇔ [x]∩[a] = ∅

Por transitividad de ∼ es imposible que [x]∪[a] ≠ [x]∩[a] porque las clases de equivalencia son identicas o disjuntas La clase de equivalencia de cualquier elemento x cumple [x]≠∅ porque x∈[x] Las clases de equivalencia forman una familia de subconjuntos≠∅ y disjuntos entre si, (porque por transitiva si tuvieran un elemento en común serían iguales), cuya unión es A. Congruencia modulo n (es un ejemplo de relación de equivalencia en Z) Dado un natural p>1 se dice que “a es congruente con b módulo p” y se escribe “a≡b (mod p)”

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si a=b+λp, λ∈Z ; es decir: a~b ⇔ a–b es múltiplo de p Esta relación es una equivalencia, ya que: •

es reflexiva, todo elemento es congruente con si mismo módulo p porque a-a=0 que es multiplo de p para λ=0 • es simétrica, ya que si a–b es múltiplo de p, entonces b–a= también es múltiplo de p. (porque b-a=-(a-b) y λ puede ser + o - porque pertenece a Z) •

es transitiva, porque si a–b, b–c, son múltiplos de p, entonces a–c=(a–b)+(b–c) también es múltiplo de p.

3URSLHGDG Seran congruentes módulo p ⇔ dan el mismo resto al dividirlos por p. Para comprobar tomamos los valores m,n y hacemos: ⇐

m = q1 ⋅ p + r  m-n=(q1-q2)p ⇒ p divide a (m-n)? (si→congruente, no→no n = q2 ⋅ p + r  congruente)

m = q 1 ⋅ p + r1 ; 0 ≤ r1 ≤ p   m-n=(q1-q2)p+(r1-r2), para que se cumpla debe ser r1–r2=0, que n = q 2 ⋅ p + r2 ; 0 ≤ r2 ≤ p  implica r1=r2 ⇒

&RQMXQWR FRFLHQWH Es el conjunto de clases de equivalencia de todos los elementos de A. Se denota A/∼.

A/∼ = { [x] ⁄ x∈A } donde [x]={ y∈A ⁄ y∼x}. Nunca es vacío porque ∀x, [x]≠∅ porque siempre x∼x Una partición es una colección de conjuntos distintos del vacío y disjuntos entre si. La unión de particiones de un conjunto es el propio conjunto. Propiedades del conjunto cociente: 1) para a,b ∈ A/∼ , a∼b ⇔ [a]=[b] Demos ‘⇒’: (suponemos a~b) x∈[a]⇒ x∼a, y por transitiva x∼a, a∼b ⇒ x∼b ⇒ x∈[b]

Asi vemos que para cualquier x, si x ∈ [a] y x ∈ [b], [a]=[b]

Demos ‘⇐’: (Suponemos [a]=[b]), por reflexiva a∈[a], y puesto que [a]=[b], entonces a∈[b] , y por tanto, a~b 2) a,b ∈ A, a no∼b ⇔ [a]∩[b]=∅

Demos ‘⇒’: (Demostramos que [a]∩[b]≠∅ es contradictorio), ∃ x∈[a]∩[b] ⇒ x∼a, x∼b ⇒ a∼b Corolario: Siendo ∼ una relación de equivalencia en A vemos que: •

Las clases de equivalencia de A forman una partición de A ⇔ Cada partición de A define una ~ en A. Si existe equivalencia entre los elementos de una partición, esa partición es clase de equivalencia (Si a,b están en la misma partición⇒a∼b y [a]=[b])

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• •

Si ∅≠ Ai , Ai ⊆A entonces cada Ai es una partición de A si A=∑Ai y Ai ∩Aj=0 para i≠j (2 a 2) Si dos fracciones son equivalentes, la irreducible sera la representante de clase.

Factorización canónica de una aplicación F ∼  →

$

%

1) a, a′ ∈A a∼ a′ ⇔f(a)=f(b) P Es la aplicación que relaciona cada elemento con su clase de 2) A →A/∼ equivalencia. a → p(a)=[a] p de proyección.Es Sobreyectiva. Si ∃ A y A/∼ ⇔ ∃ p(a), a ∈ A 3) Im f = { f(a) ⁄a∈A }⊂B i → B Im  b  → b

i de inclusión.Es inyectiva

4) f2 :A/∼ → Im f [a] → f2 ([a])=f(a)

biyectiva.

Relación de orden ‘≤’ en un conjunto dado: Es una relación binaria que cumple propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva.

Se dice que (A,≤) es un conjunto parcialmente ordenado ‘poset’ si verifica una relación de orden. Un poset es además un orden total si ∀ x, y ∈ A se cumple xRy ó yRx. En caso contrario sera un orden parcial.

Diagramas de Hasse Es la representación de una relación de orden, mediante aristas no dirigidas entre 2 elementos x, y si y solo si y cubre a x. Se dice que y cubre a x cuando se cumplen los dos siguientes enunciados: -

x≤y x≤z≤y ⇒ y=z o x=z (no hay ningún elemento entre los dos)

Las aristas se leen de abajo arriba por convención (al ∃ una dirección de lectura no hacen falta aristas dirigidas). Si R es una relación de orden en A, se elabora un diagrama de Hasse para R en A trazando segmentos de recta no dirigida de x a y, si x,y∈A, con xRy, pero solo si no hay otro elemento z∈A tal que xRz, zRy. Ver ejemplos Grimaldi 5.34, 5.36. En el grafo de una relación de orden son superfluos los lazos y aristas multiples (se sobreentiende su existencia por las propiedades reflexiva y transitiva)

Isomorfos Sean (P,≤) y (Q,≤) (Q c. imagen de P) conjuntos parcialmente ordenados. Se dice que son ‘Isómorfos’ si ∃ f:P  →Q biyectiva que mantiene el orden para a,b∈P: a≤b ⇔ f(a) ≤ f(b) Sea (A,≤) un conjunto ordenado y C⊆A ⁄ C≠∅:

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k∈A es “Cota superior” de C si x≤k, ∀x∈C,”Supremo” será la menor de las cotas superiores. - k∈A es “Cota inferior” de C si k≤x ∀x∈C, “Ínfimo” será la mayor de las cotas inferiores. - Un elemento k de A ∀ x ∈ C, x≤k ⇒ k es máximo ∀ x ∈ C, k≤x ⇒ k es mínimo - x∈C es maximal/minimal de C si ningún elemento de C es >/< que x. Todo conjunto poset finito tiene al menos 1 maximal y 1 minimal. -

Ejemplo: Sea U={1,2,3}, A=P(U) (A,⊆) tiene mínimo = minimal = ∅, máximo = maximal = U

Sea (A,R) poset. - máximal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ x no relacionado con a - minimal = x ∈ A / ∀ a ∈ A, a ≠x ⇒ a no relacionado con x - máximo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ a R x mínimo = x ∈ A / ∀ a ∈ A ⇒ x R a Todo poset finito tiene maximal y minimal. Los máximos y los mínimos, si existen, son únicos.

Sea (A,R) poset con B⊆A -

cota inferior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ x Rb cota superior = x∈A / ∀ b∈B ⇒ b Rx supremo o mínima cota superior = x’∈A / x’ es cota superior y x’ R x” con x=cq. otra cota superior ínfimo o máxima cota superior = x’∈A / x’ es cota inferior y x” R x’ con x”=cq. otra cota inferior

En todo B⊆A con A=poset finito, el supremo e infimo, si existen, son únicos.

*UDIRV Def. grafo: Un grafo G es el par (V,A) que representa una relación entre un conjunto de Vertices y otro de Aristas. Representaremos cada elemento arista como un par de elementos de V. Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.

Orden de un grafo: es su nº de vértices = |V|. Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En este curso estudiaremos los grafos finitos.

$ULVWDV Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices que une.

Lazo: arista que une un vértice con si mismo Arista incidente: Se dice que e es “incidente” en v si v esta en uno de los vertces de la arista Arista múltiple: Aquella que une los mismos vértices que alguna otra.

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9pUWLFHV Vértices adyacentes: Se dice que ‘v,w son adyacentes’ si ∃ e={v,w}∈E (o sea, existe una arista entre los 2 ) Un vertice es adyacente a si mismo si tiene lazo. Grado de un vértice ‘∂’: Es el nº de aristas que inciden en él. Por ejemplo, un lazo aumenta el grado en 2. Depende solo de la estructura matemática, (los isomorfos tienen el mismo). Vértice de aristas múltiples: Es aquel que tiene más de un arista. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado. Camino (o trayectoria)

Para x,y∈V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas distintas que contengan a vx y vy en su primer y último termino. Así: {vx,v1},{v2,v3},...,{vn,vy} -

El nº de aristas de un camino se llama longitud del camino. Si los vértices no se repiten es un camino propio o simple. Si hay un camino no simple entre 2 vertices, tambien habra un camino simple entre ellos. Cuando vertice de llegada=vertice de salida, el camino se llama circuito, ciclo, o camino cerrado. Un circuito es propio o simple si solo se repiten el primer y último vértice. En estos apuntes los circuitos seran simples si no se indica lo contrario Vértices accesibles: son aquellos entre los que existe un camino. Todo vértice es accesible respecto a si mismo. La accesibilidad entre vértices es una relación de equivalencia cuyas clases son las componentes conexas de G.

Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥ 2 ⇒ el grafo tiene un circuito.

*UDIRV Grafo simple: Aquel que no tiene lazos ni aristas múltiples Propiedades de un grafo G(V,E): •

Como cada arista incide en 2 vertices o 2 veces en el mismo vertice si es un lazo, tenemos que: Suma de los grados de todos los vertices es = doble de las aristas: ∑ ∂v=2|E| v∈V

•

Demostración: Al realizar la suma de los grados de todos los vertices, ya que cada arista tiene 2 extremos se cuenta exactamente 2 veces. En un grafo finito existe un nº par (o cero) de vértices de grado impar. En general V dividido en: V1={v´∈V ⁄ ∂´v=impar}, V2 ={v´´∈V⁄ ∂v´´=par }, V1∪ V2 =V; V1∩ V2 =∅ p

Demostración: Sabemos que

∑ σv i =1

i

= 2 E para V={v 1, ..., v p}. Sean v 1, ..., v t los t

vertices de grado impar y v t+1, ..., v p los de grado par

∑ σv i + i =1

p

∑ σv

i = t +1

i

= 2E

par+impar=impar, asi que debe ser nº de vertices impares=0 Sabemos que σv i es impar para i=t+1, ..., p, por lo que podemos expresarlo como

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2ni+1 para algun ni ...? mirar en Grimaldi

Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k se, llamara kregular. Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto Grafo completo o conexo: Aquel con una arista entre cada par de vértices, (todos estan conectados con todos).

Dos grafos completos con mismo |v| son isomorfos. Un grafo completo con n vértices se denota Kn. Todo grafo completo es regular pq. cada vértice tiene grado |v|-1 al estar conectado con todos los otros vértices. Un grafo regular no tiene porque ser completo. Un grafo bipartito regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

Complementario de un grafo G: Es el grafo G´que tiene conectados los vertices no conectados de G y desconectados los conectados. Si dos grafos son complementarios, sus isomorfos también. Un grafo+su complementario = grafo completo. Grafo plano: Aquel que admite una representación bidimensional sin que se crucen sus aristas. En este ejemplo, vemos un grafo plano con su representación plana:

Grafo pesado o grafo etiquetado - Aquel grafo cuyas aristas tienen todas un nº real positivo que sera su peso o longitud. El peso del grafo sera el sumatorio de los pesos de las aristas. Si todas las etiquetas valen 1, la definición de longitud del camino de un grafo pesado coincide con la definición de longitud del camino a un grafo.

*UDIR FRQH[R Grafo conexo: Aquel en el ∃ un cámino entre cualquier par de vertices. Componente conexa de G: Def.: Un subgrafo conexo de G que no es subgrafo propio? de ninguna componente conexa de G. Otra def.: Subgrafo de G de forma que ningún otro vértice∈G esta conectado con vértice alguno de G´ Otra def.: Son las clases de equivalencia de estar conectado.

Subgrafo de G=(V,E) es G´(V´,E´) ⁄ V´⊂V y E´⊂E (el grafo que se obtiene borrando alguna arista o vértice de G) Multigrafo: Grafo que tiene alguna arista múltiple. Un multigrafo se transforma en grafo añadiendo un vertice en mitad de cada arista multiple. Pseudografo: Grafo con algún lazo.

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Digrafo: Grafo con todas sus aristas dirigidas. Por tanto, los pares de vértices que definen las aristas, son pares ordenados.

Cuidadín !: Multigrafo, pseudografo, subgrafo, digrafo y cualquiera de sus combinaciones (pseudomultidigrafo, etc), NO se consideran grafos. Isomorfismo de grafos: -

Dados G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina ‘ isomorfismo de G a G´ ‘ a la aplicación biyectiva f tal que para a,b∈V, {a,b}∈E ⇔ se cumple {f(a),f(b)}∈E´. Es decir, la aplicación que relaciona biyectivamente pares de vertices de E con pares de vertices de E´, de modo que los vértices conectados siguen estandolo. Se cumple que σa=σf(a) : Isomorfismo es la biyección que mantiene la adyacencia de vertices • G y G´ se denominan isomorfos, y son matemáticamente iguales, solo varia la apariencia, o sea, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, nº de vértices, nº de aristas, etc.

-

• •

Si dos grafos son isomorfos, sus complementarios también. Se llama automorfismo al isomorfismo de un grafo en si mismo. Un conjunto de automorfismos, sera por tanto, un conjunto de grafos isomorfos.

Dos grafos son isomorfos ⇔ tienen mismo número de vertices y el número de vertices con un grado dado es el mismo en los dos grafos. A continuación estudiaremos la representación de grafos mediante matrices, lo que nos permitira emplear técnicas de algebra lineal en el estudio de grafos. ¿Cuál es la diferencia entre automorfismo e isomorfismo? ¿No son automorfismos todos los isomorfismos?

0DWUL]GHDG\DFHQFLD



Muestra adyacencias de vertices. Se define como A=(aij)n×n (n=|V|) donde aij=1 si {vi,vj}∈E ; en caso contrario aij=0.

La matriz de adyacencia siempre es simétrica (y por tanto, no se modifica haciendo la traspuesta), porque aij = aji . Para cualquier k≤n se cumple que ∑ aki = ∂vk (grado de un vértice=sumatorio de la columna o i=1..n

fila de ese vértice). Para un grafo G de n vértices con n>1, con A=matriz de adyacencia se cumple: (Uned 151) “El valor del coeficiente aijk de la matriz Ak , es el nº de caminos de longitud k con extremos v i y v j” k (A =A·A·...k veces...·A)

∑ A i , se cumple que:

- el grafo sera conexo, si y solo si, todos los elementos de M son distintos - la diagonal de la matriz nos indica el grado de los vértices M=Suma de matrices de adyacencia. Dado M=

i =1..n

Teorema: Sea G=(V,E), A=matriz adyacencia de G.

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Si ∃ un camino de longitud m (m≥n) entre 2 vértices cualquiera, entonces ∃ un camino de longitud ≤n-1 entre esos dos vértices. Ejemplo:

v1 v2 v3 v4 v5

v1 0 1 1 0 0

v2 1 0 1 1 0

v3 1 1 0 1 1

v4 0 1 1 0 0

v5 0 0 1 0 0

v1

v2

v3

v4 v5

Para comprobar si dos grafos son isomorfos, comprobamos si sus matrices quedan iguales al permutar su orden. Ejemplo:  0 3 0  

Sea un grafo con matriz de adyacencia A =  3 2 1

?

   0 1 0 3× 3

n-1

2

, habra que llegar a A =A

 0 3 0  9 6 3  9 9 3       A + A2 =  3 2 1 +  6 14 2 =  9 16 3 , como ∀ bij ≠ ∅ el grafo es conexo        0 1 0  3 2 1  3 3 1

0DWUL] GH LQFLGHQFLD Muestra adyacencias de aristas en vertices. Es la matriz M de |V| filas y |E| columnas, donde mij=1 si vi es vértice de la arista ej, en caso contrario es 0. Solo puede definirse para grados simples.

Para comprobar si un grafo es conexo: • •

Se halla la matriz adyacencia de orden n×n y se eleva a la n-1 potencia Si todos sus elementos son ≠ 0, el grafo es conexo.

Arista de separación o puente: Aquella que al ser suprimida deja desconectados sus dos vértices. Si e=(u,v), e∈G es un puente y G tiene k componentes conexas, G-{e} tendría k+1 componentes conexas Punto de corte: es un vértice de un grafo conexo G que una vez suprimido convierte a G en disconexo.

*UDIR

HXOHULDQR

Camino euleriano es el camino que contiene a todas las aristas, apareciendo cada una exactamente una vez. Circuito euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vertice. El grafo que admite algun circuito euleriano se llama grafo euleriano.

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Grafos eulerianos Grafo eulerianos: grafo con un circuito que contiene todas las aristas sin que se repitan. El grafo será semieuleriano si la trayectoria no es cerrada. Las trayectorias correspondientes se llaman eulerianas y semiulerianas. 1 2 Ejemplo: El primero no es euleriano ni semieuleriano, 8 5 3 El segundo es euleriano 6 4 Lema: Si el grado de cualquier vértice de un grafo ≥2 ⇒ el grafo tiene un circuito. Demostración: Pueden darse 2 casos: a) G conexo. Si G no tuviera circuitos ⇒ G sería un árbol ⇒ |V|=|E|+1 Pero ∑∂(v∈V)≥2|V| ⇒ |V|≠|E|+1 ⇒ no es un árbol ⇒ tiene algun circuito. b) G no conexo. Aplicamos a) a sus componentes conexas. Teorema: Un grafo conexo G=(U,E) es euleriano ⇔ todo vértice tiene grado par. Demostración: “⇐“ (por inducción en |E|=m) a) Base de inducción |E|=1. Al ser |E|=1 el grafo es euleriano b) Suponemos que el teorema es cierto para grados en las mismas condiciones y con menos de m aristas. Tenemos grafo G con todos los vértices de grado par≠0, es decir ≥2. Dado que G es conexo ⇒ ∀v ∈ V, ∂v>1 (porque existe un circuito euleriano). En cualquier caso ∂v≥2 ⇒ ∃ x circuitos en G. Suponiendo b1) En x están todas las aristas de G una vez → circuito euleriano →G euleriano b2) En x no están todas las aristas → ??

Los grafos bipartitos completos son eulerianos si son pares los bipartitos m,n.

Corolario Un grafo conexo es semieuleriano ⇔ tiene exactamente dos vértices de grado impar. La trayectoria empezara en uno y terminara en otro. La demostración es similar a la del teorema de Euler.

Lema Si un grafo es euleriano, todos los vértices tienen grado par o solo 2 tienen grado impar. Demostración: Si seguimos el circuito euleriano, vemos que contribuye en 2 al grado de cada vertice. Si un vértice cualquiera es el primero contribuye en 1 al principio y 1 al final. Si no lo es contribuye en 2.

7HRUHPD GH (XOHU Si un grafo admite un camino euleriano, o todos sus vértices son pares (camino cerrado) o 2 de ellos son impares (camino abierto) Demos: Si el camino es cerrado estamos en el caso anterior. Si es abierto, ejemplo: sea G = , podemos hacer w G’=G+{w} u v para ∀ x≠u, x≠v, gradoG(x) = gradoG’(x) = par (pq. camino cerrado ⇒ grado par) y para u,v gradoG(u)= gradoG’(u)-1, hacemos idem para v y v

vemos que la suma es par.

Ver Uned 92, problema 8 En un grafo conexo |V|≤|E|+1

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u

Ver Uned 89 acerca de como recorrer sin levantar el boli.

$OJRULWPR GH )OHXU\ Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de un circuito euleriano.Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a 2 condiciones: 1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas 2) Solo se recorre una arista puente si no queda otra alternativa

Si el grafo es semieuleriano hay que empezar en un vértice de grado impar. Si quedas atrapado es que no es euleriano.

+DPLOWRQ Camino Hamiltoniano: Es aquel que recorre todos los vértices sin pasar 2 veces por la misma arista. Solo puede existir en grafos simples donde no existan vértices impares. Grafo Hamiltoniano - Aquel que admite un camino hamiltoniano.

Es Semihamiltoniano si tiene una trayectoria abierta y pasa una sola vez por cada uno de los vértices Todos los hamiltonianos son eulerianos y todos los semihamiltonianos son semieulerianos.

Teorema: Si un grafo es conexo con |V|≥3, 2 vertices no adyacentes, y ∑∂v>n el grafo es hamiltoniano. No es imprescindible que se cumpla para ser hamiltoniano.

En un grafo, la relación en el conjunto de vertices dada por “estar conectado con” es una relación de equivalencia (Uned 145). Las clases de equivalencia se llaman componentes conexas de G. Cada vértice tiene un grado superior a la mitad+1 del número de vértices.

??

$UEROHV Árbol: Es un grafo conexo y sin circuitos ni lazos. Ejemplos: n1: o n2: o–o = n3: o–o–o = n4: o–o–o–o =

n6: 6 arboles n7: 11 n8: 23 n9: 47 n10: 106 etc,...

n5: o–o–o–o–o =

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Un grafo es un árbol ⇔ entre cada par de vertices existe un y solo un camino simple. Bosque: Grafo cuyas componentes conexas no tienen circuitos. Teorema:

Sea G(V,E) a) G es un árbol b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino. c) G es conexo y toda arista de G es de separación

*Arista de separación es aquella tal que si el grafo es conexo, al suprimirla se divide en 2 conexos d) G no tiene circuitos y |V|=|E|+1 e) G es conexo y |V|=|E|+1 f) G no tiene circuitos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

Estas son condiciones equivalentes: a⇒b⇒c⇒d⇒e⇒f⇒a Demostración a⇒b Porque por definición es conexo y sin circuitos propios b⇒c Es conexo por b. Si hubiese más de un camino entre 2 vértices existiría un circuito. Por definición de árbol esto no puede ocurrir. c⇒d porque en circuito no existe separación |V|=|E|+1 Inducción en |V|: Base de inducción |V|=1 como mínimo 1 vértice v⇒|E|=0 |V|=|E|+1 Paso inductivo: Suponemos que el teorema es cierto para grados con menos de n vértices (n=|V|), G-{e}=G´ G1=(V1, E1) |V1|2, entonces |E|≤3|V|–6 Demostración: Sea M un mapa conexo con |V|>2, |R|≥3. Sabemos que 2|E|=∑σr, y como el grado de cada región es al menos tres, 2|E|=∑σr≥3|R| → |R|≤|E|2/3

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Sabemos que R + V − E = 2 R + V − E = 2 1  *, ** 2  → V − E ≥ 2 → 3V − E ≥ 6 →3V − 6 ≥ E R≤ E 3  3 2 1 E → V − E =2. 3 3 1  2 1  **En caso de que R < E → V −  más de E  = 2 → V − E > 2 3 3  3  *En caso de que R =

Teorema Sea G=(V,E) un grafo conexo plano en el que no existe un subgrafo isomorfo a K3, entonces E ≤2V − 4 Demostración Si G es V > 2 y no tiene subgrafo isomorfo a K3, es que las regiones del mapa M de G tienen grado al menos 4. Sabemos que 2 E = ∑ σr , y como el grado de cada región es al menos 4, 2 E = ∑ σr ≥ 4 R → 2 E ≥ 4 R

R + V − E = 2 1  *→ 2 ≤ V − E 2E ≥4R  2  1  1  Si E > 2 R → V −  más de E  = 2 → V − E > 2 1  2  2  *  → V − E ≥2 1 2 Si E = 2 R → V − E = 2  2  Consecuencia:

Def: Grafo bipartito completo Kn,m |V1|=n, |V2|=m vértice de

cq. vertice de V es adyacente a cq.

v2 y no ∃ conexión entre los vértices de una misma parte y viceversa

DIBUJO K3,3 conexo,simple, no tiene subgrafo isomorfo a K3 Si plano → |E| ≤ 2|V|-4 |E|=n·m |E|=3·3 |V|=3 9 no ≤ 2·6-4 el grafo no es plano

Un grafo se dice que es plano si admite una representación gráfica en el plano de modo que cada arista corta unicamente a otra arista en un vertice que sea extremo de ambas. Una representación gráfica de este tipo se llama mapa. Decimos que un mapa es conexo si representa a un grafo conexo.

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Ejemplo:

Un mapa divide al plano en varias partes llamadas regiones. Cada región de un mapa M está plano Mapaodel delimitada por unGrafo circuito (si el mapa es conexo) por varios circuitos (que no son grafo plano necesariamente ¿propios?). También se cuenta como región la exterior a la figura. Cada región en un mapa esta 4 bordeada por un camino que no siempre es un circuito. Ejemplo:

1 2 3

Grado de una región: longitud del camino que la bordea Dos regiones de un mapa se consideran adyacentes si el circuito que las bordea tiene alguna arista en común.

Teorema La suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble del número de aristas del grafo al que representa. Es decir: ∑∂r = 2|E| Demostración Toda arista es frontera simple de 2 regiones o doble de la misma región, con lo que cada una se cuenta doble. Ejemplo de frontera doble:

(en negrilla)

7HRUHPD La representación plana de un poliedro regular cumple la formula nº caras + nº vertices – nºaristas=2 donde cada cara corresponde a una región, con lo que tenemos R + V − E = 2 (fórmula de Euler) *nota: la fórmula de Euler solo es válida para mapas conexos.

Demostración: Sea G un grafo conexo. Por inducción en |E|: a) base |E|=0.

E =0   ⇒ |V|=1, |R|=1. Esto verifica la fórmula de Euler. Mapa conexo 

b) paso |E|= m ≥ 1 Se dan dos casos 1) el grafo tiene algun circuito Consideremos el subgrafo G’ resultante de suprimir una arista perteneciente a un circuito. Tenemos que el mapa M’ de G’ seguira siendo conexo (pq. la arista pertenecía a un circuito). El nº de regiones disminuye en una unidad porque las aristas pertenecientes a un circuito siempre son fronteras de dos regiones. Para M’ tenemos que R − 1 + V − E − 1 = 2 ⇒ R + V − E = 2

(

)

(

)

2) el grafo no tiene algun circuito (es un árbol) Sea v el vertice extremo de una sola arista vw (si no existiera tal vertice podríamos construir un circuito). Sea G’ el grafo resultante de suprimir v y vw en G. Puesto que |R| no disminuye tenemos que: V −1 + R − E −1 = 2 ⇒ R + V − E = 2

(

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)

(

)

Una subdivisión elemental de un grafo G, es el grafo G’ obtenido colocando un vértice en medio de una arista G. Una subdivisión de un grafo G es el grafo obtenido efectuando un número finito de subdivisiones elementales sucesivas.

7HRUHPD .XUDNRZVNL Un grafo G es plano ⇔ no contiene algun subgrafo isomorfo a una subdivisión de K5 o K3,3. Demostración: Demasiado complicada para este nivel.

Coloración de un subgrafo G=(V,E) , C={1,2..k} (conjunto de colores)

Una coloración es una aplicación f:v en c ⁄ si v,w ∈ V son adyacentes f(v) ≠ f cw El pseudomultigrafo dual de un mapa M, es aquel que se construye asociando un vértice a cada región de M y una arista a cada par de vértices que correspondan a regiones adyacentes. Aunque al construirlo quede con forma plana, un pseudomultigrafo dual puede representarse de forma no plana. Ejemplo de construcción: •

•

•

• •

•

Coloreado de un grafo Sea G=(V,E) un grafo plano y C={1,2,..k} un conjunto de k colores. Una coloración con k colores del grafo G es una aplicación de V a C de modo que si los vértices u, v, son adyacentes entonces f(u)≠f(v).

Teorema de los 4 colores Cualquier mapa plano puede colorearse con 4 colores o menos sin que haya dos regiones adyacentes del mismo color. La demostración se basa en calculos con ordenador y es demasiado complicada para este nivel.

Corolario Todo grafo plano admite una coloración con 4 colores. Demostración: Sea G un grafo y M su mapa. Según el teorema de los 4 colores, la coloración del pseudomultigrafo dual G’ de G dará una coloración del grafo G, pues G’=G.

Definición Un grafo G se dice que es bipartito si se puede colorear con 2 colores

7HRUHPD Un grafo es bipartito ⇔ no tiene circuitos de longitud impar.

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Demostración ⇒ Si G es bipartito, los vertices de cada circuito deben ir alternando de un color a otro. Para que el color del primer y último vertice no coinciden, el nº de aristas debe ser par. ⇐ (∀ circuito tiene longitud par). Hacemos inducción sobre |E| ... Camino más corto entre 2 vértices: Algoritmo de Dijkstra Uned 163 Aunque la explicación del libro es un coñazo es intuiitivo: Se recorren todos los caminos desde el vértice de partida, anotando la longitud de cada uno.

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7HPD



7HRUtD HOHPHQWDO GH Q~PH Q~PHUURV Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Nºs primos. Teorema fundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ec. Diofánticas. Congruencias: teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.

'LYLVLELOLGDG HQ = Principio del buen orden: ‘Todo subconjunto no vacío de Z+ tiene un primer elemento’ Lo usaremos cuando veamos la inducción finita. Notese que el principio del buen orden + + esta definido para Z, y no se cumple por ejemplo en Q o R .

Propiedades de la suma y el producto en Z ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Son operaciones internas en Z Son asociativas y conmutativas Ambas tienen neutro, el de la suma es 0 y el de la multiplicación es 1. El producto es distributivo respecto a la suma: a·(b+c)=(a·b)+(a·c) Si a·b=0 ⇒ a=0 o b=0 Todo elemento tiene opuesto. (un nº operado con su opuesto es 0)

De estas propiedades se sigue que (Z,+·) es un dominio con 1, y que (Z,+) es un grupo conmutativo o abeliano. Siendo a,b ∈ Z, diremos que b es mayor que a, si existe un natural n tal que b=a+n. Lo denotaremos b>a. Siendo a,b ∈ Z, diremos que b divide a a, si existe un entero q tal que a=q·b. Lo denotaremos b|a. Propiedades de Z respecto a la división y el producto 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(chorradas)

a·0=0 a(–b)=–ab Si a≠0 , ab=ac ⇒ b=c Si a≠0 y a|b ⇒ a|bk, ∀ k∈Z Si a≠0, b≠0 a|b y b|c ⇒ a|c Sea a≠0 si a|b, a|c ⇒ a|(xb+yc) para cq. par de enteros x e y a,b>0, a|b ⇒ a≤b a≠0,b≠0, a|b, b|a ⇒ a=b ó a=–b Si a≤b, m>0 ⇒ am≤bm Si a≤b, m>0 ⇒ am≥bm

Demostración usando las propiedades de la suma y el producto: 1. a·0=a·(0+0) → a·0+a·0= 0·a Sumando su opuesto –a·0 y queda 0+a·0=0 Como 0=neutro de la suma nos queda a·0=0

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2. Por definición de opuesto observamos que –ab es opuesto de ab. Si a(–b)=–ab, como el opuesto es único, se cumplira ab+a(–b)=0. Esto es asi porque ab+a(–b)=a(b–b)=a·0=0 3. Hay que demostrar a≠0 , ab=ac ⇒ b=c. ab+(–ac)=ac+(–ac) → ab–ac=0 → a(b–c)=0 Se presentan dos casos: a=0 (imposible por enunciado), y b–c=0 ⇒ b=c. 4. a|b ⇒ b=aq → bk=aqk. Sea q’=qk, entonces bk=aq’ y por tanto a|bk. 5. Se cumple porque c=bk, y a|b ⇒ a|bk 6. a|b, a|c ⇒ b=aq1, c=aq2. bx+cy=aq1x+aq2y=a(q1x+q2y)=aq ⇒ a|bx+cy 7. a|b ⇒ b=aq. Como a,b son positivos, q es positivo. Por tanto, podemos escribir q veces

b = a + ... + a = a + (a +

q −1 veces

... + a ) = a + s

Como q es positivo y entero, q–1≥0, por tanto s≥0. De b=a+s se deduce que a≥b. 8.

a | b ⇒ b = aq1   a=(aq1)q2 ⇒ q1·q2=1 ⇒ q1=q2=1 ó q1=q2=–1, por lo que a=b ó a=–b b | a ⇒ a = bq 2  g) b=qa =a+...+a=a+(a+...+a) (q>0) q–1≥0 k) a≤b b·a≥0

Ejemplo: a=b+c, m|a, m|b ⇒ m|c? Sí, porque c es una combinación lineal de a y b.

Valor absoluto Es una aplicación f:Z→Z que a cada m ∈Z, le asocia |m| Propiedades del valor absoluto en Z (chorradas) 1. |a| ≥ 0 2. |a|=0 ⇔ a=0 3. |a·b| = |a|·|b| 4. |a+b| ≤ |a|+|b| 5. k>0 y |a| ≤ k ⇔ –k ≤ a ≤k Demostración |a+b| ≤ |a|+|b|:

Se presentan tres casos: a, b ≥ 0 → a+b ≥0 → |a+b|=a+b=|a|+|b| a, b < 0 → a+b