Apuntes Estadistica Aplicada a La Ingenieria 9 (1)

APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL

Tercera Edición Porras & Sánchez

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APUNTES DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA INGENIERÍA CIVIL Texto guía exclusivo para el estudiante de la asignatura de Estadística Aplicada A la Ingeniería - 24095 – Grupos: O1, H1, K1

Docentes: Ing. Hernán Porras Díaz, M.Sc, Ph.D. Ing. Omar Giovanny Sánchez Rivera

Universidad Industrial de Santander Escuela de Ingeniería Civil Grupo de Investigación de Geomática, Gestión y optimización de sistemas Asignatura de Estadística Aplicada a La Ingeniería Bucaramanga, enero de 2014

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Importancia de la Estadística en la Ingeniería Un ingeniero es alguien que cumple una importante función en la sociedad que consiste en la aplicación de los principios de la ciencia para la formulación de problemas y/o soluciones enfocados a la satisfacción de las necesidades del entorno al cual pertenece. Este proceso de formular y dar solución a un problema se encuentra ligado a un conjunto de pasos en los cuales se encuentra fundamentado el método científico o método de la ingeniería que puede resumirse como: 1. Observación: Mirar con atención y recato el comportamiento del fenómeno a estudiar. 2. Inducción: Obtener conclusiones generales, identificar las variables que pueden jugar un papel en la solución. 3. Hipótesis: Proponer un modelo apoyado en postulados científicos que apliquen a la situación de interés. 4. Prueba de la hipótesis: Con la utilización del modelo propuesto realizar un proceso de experimentación realizando los ajustes necesarios para mejorar su semejanza con la realidad. 5. Demostración o refutación de la hipótesis: Verificar que los resultados obtenidos son coherentes con la realidad estudiada. 6. Teoría científica o tesis: Generar conclusiones basadas en los resultados obtenidos de la simulación procurando la solución del problema. En el proceso de la aplicación del método científico el ingeniero deberá entonces realizar una toma de datos que luego deberá analizar para encontrar una relación con una teoría científica o tendencia y así poder formular un modelo el cual puede consistir en un conjunto de expresiones matemáticas que permiten describir la situación analizada finalmente realizar una simulación y obtener las respectivas conclusiones. Puede inferirse entonces que al momento de realizar las acciones descritas se deberá hacer uso de la matemática en sus diferentes áreas. La ciencia de las matemáticas puede considerarse como una caja herramientas en la cual se encuentran disponibles gran variedad de herramientas con diferentes aplicaciones y complejidades, una de estas herramientas es la Estadística. La Estadística aparece de la necesidad de entender y describir la variabilidad que se presenta en la naturaleza de un parámetro de interés un claro ejemplo puede citarse en el estudio del caudal de un rio donde su variabilidad con respecto tiempo resulta de gran importancia al momento del diseño de una estructura para captación de agua La variables de interés para el ingeniero varían de acuerdo a su campo de acción un ejemplo de esta afirmación puede observarse en el campo de la Ingeniería Civil que tiene diferentes escenarios de actuación el Ingeniero Hidráulico estará interesado en el estudio del caudal de un rio con el objetivo del suministro del líquido a una red de acueducto, el Ingeniero Estructural se

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interesara por la resistencia a la compresión del concreto utilizado en la construcción de una columna, el Ingeniero de Transportes por la cantidad de vehículos en las horas pico en una zona alta congestión vehicular, El Ingeniero De Pavimentos por la cantidad de vehículos que transitan y carga que estos ejercen sobre la estructura de pavimento a analizar. Las necesidades del entorno pueden llegar a ser tan simples como estudiar la estatura de los estudiantes presentes en un aula de clase, pero no todas las situaciones analizadas son simples esto puede observarse en el estudio de los fenómenos climáticos donde a la actualidad existe serias complicaciones para lograr una predicción exacta de los potenciales desastres.

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1. Estadística descriptiva Una parte importante de la estadística es la Estadística Descriptiva esta se ocupa de la recolectar, analizar y representar un conjunto de datos con la finalidad de realizar una descripción de las características de este. La estadística descriptiva consta de dos partes como se observa en el siguiente diagrama. Estadística Descriptiva

Numérica

Grafica

Por lo general las observaciones son una parte de un conjunto de datos correspondiente a la variable de interés, lo que se conoce como muestra que se considera como un subconjunto que se encuentra contenido en el conjunto correspondiente a la población en la siguiente imagen puede observarse tal situación.

Un ejemplo de un conjunto correspondiente a una población podría verse en los alumnos de un curso de estadística donde una muestra de tal conjunto será un grupo de estudiantes de tal curso. Estadística descriptiva numérica 1. Media o promedio aritmético También conocida como promedio aritmético es una medida de tendencia central que puede obtenerse mediante el cálculo de un promedio ponderado este valor no necesariamente coincide con el de la moda y mediana. La media de un conjunto de datos representa el valor esperado es decir el valor más probable a obtener en uno de los elementos del conjunto analizado. Definición La media muestral para un conjunto “n” observaciones denotadas como 𝑥1 , 𝑥2 … … . 𝑥𝑛 se define como:

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𝑥=

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ … … . +𝑥𝑛 = 𝑛 𝑛

Donde “n” representa el tamaño del conjunto correspondiente a la muestra. 2. Moda. Valor que más se repite en la muestra analizada, la moda podría interpretarse como el dato con mayor frecuencia relativa absoluta presente en un conjunto de datos analizados, el conjunto de datos puede contar con una o más modas pero también puede suceder el caso en que ningún dato se repita entonces se dice que dicho conjunto no tiene moda. 3. Mediana. Es el valor que se encuentra en posición central de los datos ordenados de menor a mayor el cual su a su vez corresponde con el percentil 50 (P50) es decir el 50% de los datos tienen un valor inferior a la mediana y el 50% un valor superior. La mediana coincide con el valor del segundo cuartil (Q2) 4. Rango 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑚𝑖𝑛 5. Varianza ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑠 = (𝑛 − 1) 2

6. Desviación Estándar 𝑠𝑥 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √𝑠 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑠𝑥 = √ (𝑛 − 1)

7. Coeficiente de variación 𝑉𝑥 =

𝑠𝑥 𝑥

8. Coeficiente de asimetría

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∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)3 𝑛 𝑔1 = 𝑠3

Caracteriza el grado de asimetría con respecto a su media Valor positivo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más positivos Valor negativo: Distribución unilateral que se extiende hacia valores más negativos

9. Coeficiente de curtosis Es un coeficiente que permite caracterizar el grado de elevación o el achatamiento relativo de una distribución, comparada con la distribución normal Valor positivo: Es indicador de una distribución relativamente elevada Valor negativo: Es indicador de una distribución relativamente plana

∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)4 𝑛 𝑔2 = 𝑠4 Ejemplo 1.1 Una clase de estadística consta de 56 alumnos, para explicar el tema de estadística descriptiva el docente elige a un grupo de 16 estudiantes los cuales pueden asumirse como una muestra representativa en el estudio de la estatura de los estudiantes del grupo, los valores obtenidos para la estatura en metros de estos 16 estudiantes son los siguientes: 1.79 1.60 1.82 1.61 1.72 1.76 1.74 1.65 1.61 1.68 1.66 1.74 1.81 1.74 1.76 1.83 Realizar un análisis de estadística descriptiva para la estatura de los estudiantes de estadística. 1. Media o promedio aritmético Aplicando la fórmula 1.1. se obtiene: 𝑥̅ =

1.79 + 1.60 + 1.82 + 1.61 + 1.72 + ⋯ … … … … … . +1.74 + 1.76 + 1.83 16

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𝑥̅ = 1.72 [𝑚] Como puede observarse el valor promedio es un valor al que todos los valores se encuentran relativamente cerca, en el caso de preguntar el valor de la estatura a un estudiante de este grupo el valor esperado será de 1.72 [m]. El concepto de valor esperado se desarrollara en la sección de probabilidad. 2. Moda Es el dato que más se repite dentro del conjunto de datos de la muestra 𝑀𝑜 = 1.74 [𝑚] 3. Mediana Ordenando los datos del menor valor al mayor valor se tiene: 1.59 1.60 1.61 1.65 1.66 1.68 1.72 1.74 1.74 1.74 1.76 1.76 1.79 1.81 1.82 1.83 Se tiene el caso de un tamaño de la muestra par n=16, el promedio aritmético de los datos de la mitad es: 𝑀𝑒 =

1.74 + 1.74 = 1.74 [𝑚] 2

4. Rango 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 1,83 [𝑚] 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1.59 [𝑚] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 1.83 − 1.59 = 0.24 [𝑚] 5. Varianza 𝑉𝑎𝑟(𝑥) =

(1.79 − 1.72)2 + (1.60 − 1.72)2 + ⋯ … … … + (1.76 − 1.72)2 + (1.83 − 1.72)2 16 − 1 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.0059

6. Desviación Estándar 𝑠 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.0059 = 0.0767 [𝑚] 7. Coeficiente de variación

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𝑉𝑥 =

𝑠𝑥 0.0767 = = 0.0446 𝑥 1.72

8. Coeficiente de asimetría (1.79 − 1.72)3 + (1.60 − 1.72)3 … … . +(1.76 − 1.72)3 + (1.83 − 1.72)3 16 𝑔1 = 0.07673 0.001322 16 𝑔1 = = 0.1831 0.07673 9. Coeficiente de curtosis (1.79 − 1.72)4 + (1.60 − 1.72)4 … … . +(1.76 − 1.72)4 + (1.83 − 1.72)4 16 𝑔2 = 0.07674 0.000501 16 𝑔2 = = 0.9048 0.07674

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2. Análisis de frecuencias Un análisis de frecuencias resulta importante en el momento de realizar una descripción de la distribución de los valores numéricos de los datos de una muestra en intervalos de clase definidos según la necesidad del estudio realizado Para el cálculo del número de intervalos de clase se tienen en cuenta las siguientes expresiones. -

Para muestras de gran cantidad de datos 𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = √𝑛;

-

𝑛: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Para muestras de cantidad de datos moderada (Formula de Sturges) 𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = 1 + 3.3 ∗ 𝐿𝑜𝑔(𝑛);

𝑛: 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎

Se debe recordar que el número de intervalos será una valor entero por tanto este deberá aproximarse según reglas de aproximación. Este número de intervalos puede ser asumido aleatoriamente según la necesidad del análisis Ejemplo: Se estudia la respuesta dinámica en la dirección paralela al viento de construcciones con formas angulosas durante el paso del Huracán Sandy edificaciones ubicadas en regiones costeras de Carolina Del Norte en las que pueden suponerse el primer modo o modo fundamental de vibración como dominante, para esto se realizan mediciones del factor de ráfaga del viento el cual es función de varios parámetros de entre los cuales el más significativo es la velocidad del viento. Una muestra representativa de los datos obtenidos es la siguiente: 2.08 1.73 1.26 1.1 2.28

1.81 2.35 2.17 1.65 2.04

2.14 2.28 1.58 2.33 2.45

2.09 1.26 2.45 1.56 2.17

2.14 1.42 2.29 1.24 1.87

1.67 2.39 1.45 1.68 2.46

2 1.16 2.08 2.38 2.27

Realizar un análisis de Frecuencias para los datos del factor de ráfaga del viento durante el paso del huracán Sandy Solución: Para comenzar se calcula el número de intervalos de clase para el respectivo análisis en este caso se utiliza el radical del número de datos en la muestra.

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𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 = √𝑛 = √35 = 5.92 ≈ 6 Se calcula el ancho del intervalo para lo cual se tiene en cuenta el rango: 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐷𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 2.460 − 1.100 = 1.360 ℎ=

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑁𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠

=

1.360 = 0.226667 6

El inicio el primer intervalo deber ser el valor mínimo en la muestra y el final del ultimo intervalo será el valor máximo de los datos presente en la muestra, esto puede observarse en la tabla de análisis de frecuencia que se muestra Intervalo de clase 1 2 3 4 5 6

Intervalo Inicio Fin 1.100 1.327 1.553 1.780 2.007 2.233

1.327 1.553 1.780 2.007 2.233 2.460 Suma

Frecuencia Frecuencia Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Absoluta Acumulada Relativa Acumulada 5 5 0.143 0.143 2 7 0.057 0.200 6 13 0.171 0.371 3 16 0.086 0.457 8 24 0.229 0.686 11 35 0.314 1.000 35 1.000

La frecuencia absoluta se interpreta como el número de datos que se encuentran en el intervalo de clase al que corresponda. Debe observarse que la suma de estas frecuencias deberá ser el mismo valor que el tamaño de la muestra de lo contrario se habrá cometido un error. La frecuencia relativa se interpreta como la proporción de datos que se encuentran en el intervalo de clase esta puede obtenerse de la división de la frecuencia absoluta sobre el número de datos en la muestra, la suma de las frecuencias relativas deberá ser de uno. Los histogramas del análisis se observan a continuación,

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Histograma de Frecuencia Absoluta Frecuencia Aboluta

12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

Histograma Frecuencia Relativa Acumulada Frecuencia Aboluta

1.000 0.800 0.600

0.400 0.200 0.000 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

Frecuencia Aboluta

Histograma Frecuencia Absoluta Acumulada 35 30 25 20 15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

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Frecuencia Aboluta

Histograma Frecuencia Relativa 0.350 0.300 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.000 1

2

3

4

5

6

Intervalo De Clase

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3. Diagrama de tallos y hojas. Un diagrama de tallos y hojas permite obtener una distribución de frecuencias y una representación gráfica de la dispersión de una variable analizada. Se utiliza cuando se cuenta con una muestra de tamaño moderado, los pasos para la elaboración de un diagrama de tallos y hojas son: 1. Seleccionar los dígitos que son convenientes para el tallo, se recomienda que el diagrama cuente con al menos 5 tallos para facilitar la visualización del comportamiento de los datos. 2. Elaborar una lista de los valores del tallo en una columna vertical. 3. Clasificar las hojas de acuerdo al tallo que correspondan. Para los conjuntos de datos con una alta dispersión se recomienda el uso de un software. Ejemplo: En la construcción de una edificación de vivienda se estudia la estatura de un conjunto de 30 trabajadores con el objetivo de analizar las tallas de la ropa de trabajo. Los datos obtenidos para la estatura en metros luego de una medición cuidadosa son los siguientes. Estatura [m] 1.85 1.49 1.70 1.79 1.69 1.79 1.63 1.73 1.61 1.68 1.68 1.65 1.60 1.65 1.72 1.72 1.60 1.91 1.78 1.58 1.68 1.60 1.78 1.83 1.74 1.73 1.69 1.75 1.67 1.55 Elaborar un diagrama de un diagrama de tallos y hojas para la estatura de los trabajadores

Solución: Son tres cifras significativas con las que se realizó la medición, para el tallo se define las dos primeras cifras significativas y se clasifican la hojas según corresponda. Se calculan los valores máximo y mínimo para elaborar la lista de los tallos. 𝐷𝑚𝑖𝑛 = 1.49 [𝑚] 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 1.91 [𝑚] Tallo 14 15 16 17 18 19

Hojas

Frecuencia 9 1 8 5 2 9 3 1 8 8 5 0 5 0 8 0 9 7 13 0 9 9 3 2 2 8 8 4 3 5 11 5 3 2 1 1 30 Total

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4. Probabilidad El estudio de la probabilidad comienza en la antigüedad con los juegos de azar algunos historiadores coinciden que los asirios y sumerios utilizaban un hueso del talón de las ovejas el cual tallaban de tal manera que este tuviera la posibilidad de caer en cuatro posiciones diferentes para realizar apuestas basadas en la posición final del hueso luego de un lanzamiento. Comienza el estudio por parte de los apostadores sobre la posibilidad de obtener las diferentes posiciones luego del lanzamiento y con esto tener una ventaja al momento de realizar la apuesta. Por estas razones los asirios y sumerios son considerados como los precursores del dado. En los tiempos del imperio romano los juegos relacionados con dados se practicaban con gran fervor uno de estos juegos conocido como “hazard” lo que traduce en inglés y francés riesgo o peligro entonces el termino se convierte en azar que fue introducido en Europa con la tercera cruzada. En la actualidad los juegos de azar aparecen en distintas formas juegos de cartas, juegos de dados, ruletas, maquinas traga monedas, loterías, dominos etc. El estudio de la probabilidad deja de ser único para los juegos de azar y pasa a tener gran variedad de aplicaciones en las distintas ramas del conocimiento. De los más notables estudiosos que emprendieron el estudio de la teoría de la probabilidad se encuentran importantes matemáticos como Pierre Fermat y Blaise Pascal que comenzaron a trabajar sobre algunos problemas relacionados con los juegos de azar, para luego llegar a formular una discusión sobre la creencia en Dios basada en probabilidades. El término de la probabilidad en ocasiones suele presentarse en palabras no tan formales un ejemplo para este tipo de frase podría ser “Es muy posible que todos los estudiantes del curso aprueben la asignatura”, entonces alguien curioso puede preguntar ¿Qué tan posible puede ser este fenómeno? Para responder este tipo de pregunta se hace necesario dar un valor numérico para determinar el grado de posibilidad es por ello que en esta sección y en las siguientes se estudiaran diferentes métodos y procedimientos para calcular dichos valores. Es posible que el estudiante de ingeniería en este momento piense que el presente capitulo está orientado a formar apostadores en potencia, lo cual sería erróneo dado que la teoría de la probabilidad tiene una gran aplicación en las distintas ramas de la ingeniería un ejemplo de esto es el ingeniero encargado del diseño de obras civiles que deberá tener presente la probabilidad de que se presente un evento climático extremo tal como una ráfaga de viento con altas velocidades que puede resultar fatal para una estructura. 4.1 Espacio Muestral Para el estudio de un parámetro de interés generalmente se hace necesaria la realización de un experimento con la finalidad de obtener un patrón o tendencia del fenómeno a partir de los resultados obtenidos,

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Cuando se enuncia la palabra experimento puede pensarse en un laboratorio con los equipos necesarios para las pruebas y personas calificadas encargadas de la interpretación y toma de los resultados, pero no siempre se da tal situación se define entonces un experimento cualquier acción o proceso cuyo resultado se encuentra sujeto a la incertidumbre. Un experimento puede ser tan simple como lanzar un dado y estar interesado en la numeración obtenida, los posibles resultados para este experimento serán {1,2,3,4,5,6}, puede deducirse que la variabilidad del parámetro de interés se encontrara sujeta a los posibles resultados que puedan presentarse en este caso seis. __________________________________________________________________________ Definición: El espacio muestral de un experimento se define como el conjunto de todas las posibles respuestas que puedan obtenerse en dicho experimento. La notación del conjunto se realiza con la letra "𝒮", que se adopta de la traducción en idioma ingles “Space” __________________________________________________________________________

Ejercicio 4.1: Obtener el espacio muestral de un experimento que consiste en lanzar un dado Solución: El conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse son: 𝒮 = {1,2,3,4,5,6} Gráficamente,

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Ejercicio 4.2: Considere un experimento que consiste en lanzar una moneda y luego un dado obtener todos los elementos del espacio muestral que corresponde a este experimento Solución: El diagrama que se muestra a continuación se conoce como diagrama de árbol, este tipo de diagrama resulta de gran utilidad en el análisis de problemas complejos de probabilidad

Se puede observar que en el primer nodo se representa el lanzamiento de la moneda por lo tanto el número de ramas de salen son dos que corresponden al número de posibles resultados, para el caso del lanzamiento del dado el número de ramas son seis, por tanto el número de ramas que salen de un nodo es el mismo que posibilidades haya. 𝒮 = {𝐶𝑎𝑟𝑎 − 1, 𝐶𝑎𝑟𝑎 − 2, 𝐶𝑎𝑟𝑎 − 3, 𝐶𝑎𝑟𝑎 − 4, 𝐶𝑎𝑟𝑎 − 5, 𝐶𝑎𝑟𝑎 − 6, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 − 1, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 − 2, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 − 3, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 − 4, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 − 5, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 − 6}

2.2. Evento. En el estudio de la probabilidad de cierto parámetro de interés generalmente se está interesado en un conjunto de resultados que se encuentran contenidos en el espacio muestral, los cuales cumplen ciertas características. __________________________________________________________________________ Definición

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Un evento es un subconjunto de resultados contenido en el espacio muestral "𝒮", existen dos clases de eventos: Evento simple: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con un único elemento es decir un evento de un único resultado. Evento compuesto: Consiste en un subconjunto contenido en el espacio muestral con más de un elemento es decir un evento con varios resultados posibles. __________________________________________________________________________ Ejemplo: Considere el evento de obtener un múltiplo de dos al lanzar un dado. Bosquejar el subconjunto correspondiente. Solución: 𝒮 = {2,4,6}

4.3. Relaciones de la teoría de conjuntos 4.3.1. Intersección: Sean dos eventos “A” y “B”, La intersección de “A” y “B” se lee “A intersección B” y se denota como "𝐴 ∩ 𝐵" da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos tanto en “A” como en “B” en la gráfica se observa la región sombreada que pertenece tanto a “A” como a “B”

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4.3.2. Unión: Sean dos eventos “A” y “B”, La unión de “A” y “B” se lee ”A unión B” que se denota como "𝐴 ∪ 𝐵" da como resultado un evento que consiste en los resultados que están contenidos ya sea en “A” o en “B” por tanto la unión incluye resultados para los que ocurren tanto “A” como “B” así como los resultados para los cuales ocurren exactamente uno, esto puede observarse gráficamente como sigue:

4.3.3. Complemento: Sea “A” un evento El complemento de “A” se lee “A complemento” y se denota como "𝐴′ " da como resultado un evento que contiene todos los resultados del espacio muestral a excepción de los que se encuentran contenidos en el evento “A”

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Ejercicio 4.3 Considere el experimento que consiste en lanzar un dado con los siguientes eventos 𝑬𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑨: 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑬𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑩: 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 Calcular "𝐴 ∩ 𝐵", "𝐴 ∪ 𝐵", "𝐴′ "

Solución Los elementos de los eventos son: 𝐴 = {2,4,6} 𝐵 = {3,6} El diagrama de Venn que representa la situación planteada es como se muestra:

Del diagrama se puede observar que: 𝐴 ∩ 𝐵 = {6} 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,6} 𝐴′ = {1,3,5} 4.4 Definición de probabilidad __________________________________________________________________________ Definición de probabilidad Como se vio anteriormente en un experimento se puede llegar a uno de los "𝑁" resultados contenidos en el espacio muestral "𝒮", sea "𝐴" un evento con "𝑁(𝐴)" resultados posibles la probabilidad de ocurrencia de "𝐴" se define como: 𝑃(𝐴) =

𝑁(𝐴) 𝑁

La probabilidad de A "𝑃(𝐴)", puede ser expresada como una fracción, como un porcentaje o como un número decimal.

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__________________________________________________________________________

Ejercicio 4.4 Considere el experimento de lanzar un dado y el evento "𝐴" de obtener un número múltiplo de dos, calcular la probabilidad de ocurrencia del evento "𝐴". Solución: 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴: 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝐴 = {2,4,6} 𝑃(𝐴) =

𝑁(𝐴) 3 1 = = 𝑁 6 2

𝑃(𝐴) =

1 = 0.5 = 50% 2

Ejercicio 4.5 Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea 𝐴𝑖 = {𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑖 𝑜𝑡𝑜𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜}, para 𝑖 = 1,2,3 y suponga que 𝑃(𝐴1 ) = 0.165, 𝑃(𝐴2 ) = 0.200, 𝑃(𝐴3 ) = 0.315, 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) = 0.030, 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴3 ) = 0.035, 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.040, 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.01, Calcular: a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. 𝑃(𝒮) = 1 Solución: Para la resolución del problema planteado es necesario hacer uso del conocido Diagrama de Venn que para el caso analizado se observa en la siguiente figura.

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Las letras corresponden a variables con las cuales se plantearan las ecuaciones que permitan dar solución al problema propuesto, las ecuaciones son formuladas de acuerdo a las condiciones suministradas por el enunciado. 𝑷(𝑨𝟏 ) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟓 →

𝐾 + 𝐿 + 𝑁 + 𝑃 = 0.165

𝑷(𝑨𝟐 ) = 𝟎. 𝟐𝟎𝟎 → 𝐿 + 𝑀 + 𝑃 + 𝑄 = 0.200 𝑷(𝑨𝟑 ) = 𝟎. 𝟑𝟏𝟓 → 𝑁 + 𝑃 + 𝑄 + 𝑅 = 0.315 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟎 → 𝐿 + 𝑃 = 0.030 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟑 ) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓 → 𝑁 + 𝑃 = 0.035 𝑷(𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑 ) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟎 → 𝑃 + 𝑄 = 0.040 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ∩ 𝑨𝟑 ) = 𝟎. 𝟎𝟏 → 𝑃 = 0.01 𝑷(𝓢) = 𝟏 → 𝐾 + 𝐿 + 𝑀 + 𝑁 + 𝑃 + 𝑄 + 𝑅 + 𝑇 = 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: Solución a) 𝑷(𝑨𝟏 𝑼𝑨𝟐 ) = 𝐾 + 𝐿 + 𝑀 + 𝑁 + 𝑃 + 𝑄 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟓 Solución b) 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ) = 𝐿 + 𝑃 = 𝟎. 𝟎𝟑

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Solución c) 𝑷(𝒄) = 𝑅 + 𝑇 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟓 Ejercicios conjuntos y probabilidad 1. Encuentre la probabilidad de que en el lanzamiento sencillo de un dado resulte un número menor que 5. Respuesta: 2/3 = 0.666667 = 66.6667% 2. En una urna se tienen 8 bolas de las cuales 4 son rojas, 2 son verdes y 2 son azules. Se saca 1 bola al azar, determine: a) La probabilidad de sacar una bola roja. Respuesta: 4/8 b) La probabilidad de sacar una bola azul. Respuesta: 2/8 c) La probabilidad de sacar una bola verde. Respuesta: 2/8 d) La probabilidad de sacar una bola azul o una bola verde. Respuesta: 0.5 = 50%. e) Se sacan 2 bolas simultáneamente, determine la probabilidad de sacar una bola azul y una bola roja. Respuesta: 2/7 3. Un dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de sacar un 2 y un 5, sin importar el orden de obtención. Respuesta: 1/18 = 0.05556 = 5.556%

4. El acueducto de cierta ciudad ofrece una tasa subsidiada a cualquier familia cuyo consumo de agua sea menor que cierta cantidad durante un determinado mes. Sea A el evento en el que una familia elegida al azar, en cierta comunidad no rebasa el consumo subsidiado durante Agosto, y sea B el evento análogo para el mes de Octubre (A y B se refieren a la misma familia). Supóngase que P(A)=0.6, P(B)=0.8 y P(AUB)=0.9. Calcule P(A∩B) . Respuesta: 0.5 = 50%. 5. Se elige al azar un alumno de cierto curso de estadística sea A el evento en el que el estudiante utiliza una tarjeta de crédito VISA y B el evento análogo para una MasterCard. Suponga que P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A∩B)=0.25 a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas Respuesta: 0.65 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de estas tarjetas? Respuesta: 0.35

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c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado tenga una tarjeta visa pero no una Mastercad? Respuesta: 0.25 6. En una determinada localidad residencial, el 40% de los hogares tienen televisor pero no radio, el 10% de los hogares tienen radio pero no televisor y el 35% tiene televisor y radio. Determine la probabilidad de que tenga al menos uno de los Aparatos electrónicos. Respuesta: 0.85 = 85%.

7. Según el ejercicio anterior, determine la probabilidad de que no tenga televisor ni radio. Respuesta: 0.15 = 15%. 8. Una consultoría de proyectos de ingeniería civil ha licitado en tres proyectos Sea 𝐴𝑖 = {𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑖 𝑜𝑡𝑜𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜}, para 𝑖 = 1,2,3 y suponga que 𝑃(𝐴1 ) = 0.22, 𝑃(𝐴2 ) = 0.25, 𝑃(𝐴3 ) = 0.28, 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) = 0.11, 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴3 ) = 0.05, 𝑃(𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.07, 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.01, Calcular: a) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 o 2. Respuesta: 0.360 b) La probabilidad de que a la consultoría le sean otorgados los proyectos 1 y 2. Respuesta: 0.110 c) La probabilidad de que le sea otorgado a lo más el proyecto 3. Respuesta: 0.640 d) La probabilidad de que no se le otorgue ningún proyecto a la consultoría. Respuesta: 0.470 9. Se realiza una encuesta entre 250 estudiantes de una reconocida universidad para analizar el medio de transporte que estos utilizan para llegar al claustro universitario los resultados fueron los siguientes: Medio Automóvil Motocicleta Bus Automóvil y Motocicleta Motocicleta y Bus Automóvil y Bus Automóvil, Bus y Motocicleta

No. Estudiantes 58 68 83 27 16 23 12

Calcular: a) El número de estudiantes que utilizan únicamente Bus.

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b) c) d) e)

El número de estudiantes que no utilizan ninguno de los medios de transporte descritos. El porcentaje de estudiantes que utilizan únicamente Motocicleta. El porcentaje de estudiantes que utilizan Automóvil y Motocicleta pero no Bus. El número de estudiantes que utilizan Automóvil o Motocicleta pero no Bus. Respuesta: a) 56 b) 95 c) 14.8% d) 6.0% e) 72

10. Suponga que cierto ingeniero civil residente de obra en el proyecto de la construcción de un colegio estudia los eventos A, B, C acerca del daño en una de las grúas empleadas en el proyecto, suponga los siguientes eventos. 𝐴 = {𝑀𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑗𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜} 𝐵 = {𝑀𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜} 𝐶 = {𝐸𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑢𝑡𝑙} Con probabilidades de ocurrencia. 𝑃(𝐴) = 0.21, 𝑃(𝐵) = 0.65, 𝑃(𝐶) = 0.38, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.1, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.03, 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.17, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.02, a) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario y mala calidad del equipo. b) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o mala calidad del equipo. c) Calcular la probabilidad de que el equipo haya fallado por mal manejo por parte del operario o mala calidad del equipo pero no porque el equipo excede el tiempo de vida útil. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado por una causa diferente a A, B y c? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo haya fallado únicamente por mala calidad del equipo? Respuesta: a) b) c) d) e) 11. En un estudio sobre la falla de estructuras de pavimento se tienen los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia: A = {Falla en la carpeta asfáltica} B = {Falla una capa granular} C = {Falla en la subrasante} p(A) = 0.265000; p(B|A) = 0.0943396; p(B|A′ ) = 0.408163; p(C|A ∩ B) = 0.400000 p(C|A′ ∩ B) = 0.533333; p(C|A ∩ B ′ ) = 0.916667; p(C|A′ ∩ B′ ) = 0.804598 a) Calcule la probabilidad de que falle la carpeta asfáltica dado que hubo fallas en la subrasante y en la capa granular. b) Calcule la probabilidad de que se presente falla únicamente en la carpeta asfáltica. c) Calcule la probabilidad de que fallen la subrasante y la carpeta asfáltica pero no la capa granular.

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Sugerencia: Recuerde que: p(𝐴|B) =

𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐵)

Respuesta: a) 0.058824 b) 0.020000 c) 0.220000 12. En cierto experimento estadístico se lanza un par de dados. a) Calcule la probabilidad de obtener un puntaje de siete. b) Un valor múltiplo de seis. Respuesta: a) b) c) 13. Se lanza tres veces una moneda. a) Calcule la probabilidad de obtener dos caras y un sello. b) Calcule la probabilidad de obtener solo caras o solo sellos. Respuesta: a) b) c) 14. Se lanza un dado y dos veces una moneda. a) Calcule la probabilidad de obtener dos caras y un número par. b) Calcule la probabilidad de obtener una cara y un sello y un número múltiplo tres en el dado. c) Si no se lanza el dado y se lanza 4 veces la moneda cual es la probabilidad de obtener a lo más dos caras. Respuesta: a) b) c) 15. Con el objetivo de analizar la salud de los ingenieros civiles de una reconocida firma constructora, se realiza un estudio donde se evalúan distintos factores que contribuyen a la buena salud de los ingenieros. Uno de los factores que se analiza está relacionado con la cantidad de ejercicio físico que el ingeniero realiza, suponga los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia. 𝐴 = {𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑣𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑔𝑖𝑚𝑛𝑎𝑠𝑖𝑜} 𝐵 = {𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑣𝑎𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒} 𝐶 = {𝑃𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒} 𝑃(𝐴) = 0.16, 𝑃(𝐵) = 0.17, 𝑃(𝐶) = 0.13, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.03, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.02, 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.04, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.01 Si se selecciona al azar un ingeniero de la firma constructora, calcular: a) La probabilidad de que practique algún deporte pero no realice actividad cardiovascular al aire libre. b) La probabilidad de que únicamente realice actividad cardiovascular en gimnasio. c) La probabilidad de que a lo más practique algún deporte. d) 𝑃((𝐴′ ∩ 𝐶) ∪ 𝐵), explicar la interpretación del resultado.

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Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. 𝑃(𝒮) = 1

Respuesta: a) 0.090000 b) 0.120000 c) 0.700000 d) 0.25 16. Se realiza un estudio entre la comunidad estudiantil del pregrado de ingeniería civil en una reconocida universidad sobre la marca de aparatos celulares que alguna vez han tenido los estudiantes, suponga los siguientes eventos con probabilidades de ocurrencia. 𝐴 = {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑒} 𝐵 = {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑠𝑢𝑛𝑔} 𝐶 = {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑏𝑙𝑎𝑐𝑘𝑏𝑒𝑟𝑟𝑦} 𝑃(𝐴) = 0.287, 𝑃(𝐵) = 0.410, 𝑃(𝐶) = 0.252, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.120, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0.067, 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0.082,

a) b) c) d)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 0.015 Si se selecciona al azar un estudiante de ingeniería civil, calcular: La probabilidad de que el estudiante haya tenido un celular marca Apple o marca Samsung pero no uno marca Blackberry. La probabilidad de que el estudiante haya tenido a lo más una de las marcas de celular mencionadas en los eventos A, B, y C. La probabilidad de que el estudiante haya tenido a lo menos dos de las marcas de celular mencionadas en los eventos A, B, y C. 𝑃((𝐴′ ∩ 𝐶 ′ ) ∪ 𝐵), explicar la interpretación del resultado.

Sugerencia: Recordar que la probabilidad del espacio muestral es uno. 𝑃(𝒮) = 1 Respuesta: a) b) c) d) 17. Cierto estudiante de ingeniería es conocido entre sus compañeros por sus eficientes técnicas de conquista aplicadas a las chicas de su facultad, suponga los siguientes eventos y probabilidades de ocurrencia: 𝐴 = {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑎𝑙𝑎 𝑐ℎ𝑜𝑐𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑠𝑢 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜} 𝐵 = {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑡𝑎 𝑎 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜} 𝐶 = {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜} 𝑝(𝐴) = 0.265000; 𝑝(𝐵|𝐴) = 0.0943396; 𝑝(𝐵|𝐴′ ) = 0.408163; 𝑝(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) = 0.400000 𝑝(𝐶|𝐴′ ∩ 𝐵) = 0.533333; 𝑝(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵′ ) = 0.916667; 𝑝(𝐶|𝐴′ ∩ 𝐵′ ) = 0.804598 a) Calcule la probabilidad de que el estudiante conquiste a una chica de la facultad. b) Una chica de intercambio académico afirma que el estudiante le regalo chocolates, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante la conquiste? c) Una estudiante de Ingeniería Industrial afirma que el estudiante le regalo chocolates pero no la invito a salir, ¿cuál es la probabilidad de que conquiste a la estudiante de ingeniería industrial? d) Calcule la probabilidad de que el estudiante conquiste a una chica a la cual invito a salir. Respuesta: a) 0.740000 b) 0.867925 c) 0.916667 d) 0.229729

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18. Los ingenieros residentes de obra, pertenecientes a una constructora de edificaciones de vivienda, resultan ampliamente beneficiados con la tecnología, uno de los problemas en la construcción de una edificación es la visualización de los planos en la obra. En la actualidad con equipos informáticos es posible la modelación y visualización de modelos tridimensionales detallados elaborados con tecnologías BIM (building information modeling). Se sabe que el 38% de los ingenieros utiliza computador, si un ingeniero utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 13.16%, si un ingeniero no utiliza computador la posibilidad de que utilice tableta es de 25.81%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que utiliza computador y tableta es de 60%, la probabilidad de que un ingeniero utilice el celular dado que no utiliza computador y utiliza tableta es de 75%, si un ingeniero utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 48.48%, si un ingeniero no utiliza computador y no utiliza tableta la posibilidad de que utilice celular es de 47.83%. Suponga que en la constructora laboran 47 ingenieros como residentes de obra, calcule: a) El número de ingenieros que utilizan a los más uno de los equipos descritos. b) El número de ingenieros que utilizan a lo menos dos de los equipos descritos. c) El número de ingenieros que utilizan computador o tableta si se sabe que no utilizan celular. Respuesta: a) 31.49 ≡ 31 [𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠] b) 15.51 ≡ 16 [𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠] c) 23 [𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛𝑖𝑒𝑟𝑜𝑠]

5. Técnicas de conteo 5.1. Regla del producto La regla del producto se aplica cuando se analiza un proceso que puede realizarse de 𝑛1 formas y para cada una de tales formas existe otro proceso que puede realizarse de 𝑛2 formas, de la misma forma existe otro proceso que puede realizarse de 𝑛3 formas, entonces la serie de ℎ operaciones es posible realizarla de 𝑛1 𝑛2 𝑛3 … . . 𝑛ℎ formas diferentes. Ejemplo 5.1. Se lanza tres veces un dado, ¿Cuántos resultados pueden obtenerse? Solución: En cada lanzamiento del dado existen seis posibilidades de respuesta aplicando la regla del producto se obtiene: 𝑛1 = 6; 𝑛2 = 6; 𝑛3 = 6 𝑁𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝑛1 𝑛2 𝑛3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 5.2. Permutación

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Una secuencia ordenada de 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos se conoce como permutación. El número de permutaciones de 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos es: 𝑛𝑃𝑘 =

𝑛! (𝑛 − 𝑘)!

Ejemplo 5.2. Se desea definir un equipo de microfútbol para ello se cuenta con 7 jugadores potenciales, si el equipo consta de 5 jugadores e importa la posición de cada jugador ¿Cuántos equipos diferentes de microfútbol es posible definir? Solución: Según las indicaciones del enunciado la posición del jugador importa, por tanto se debe utilizar la permutación. 𝑛 = 7; 𝑘 = 5 𝑁𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜𝑠 = 7𝑃5 =

7! (7 − 5)!

𝑵𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐𝒔 = 𝟐𝟓𝟐𝟎 5.3. Combinación Una secuencia 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos donde el orden de obtención no tiene incidencia se conoce como combinación. El número de combinaciones de 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos es: 𝑛𝑃𝑘 𝑛! 𝑛 𝑛𝐶𝑘 = ( ) = = 𝑘 𝑘! 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! Ejemplo 5.3. Se desea definir un equipo de microfútbol para ello se cuenta con 7 jugadores potenciales, si el equipo consta de 5 jugadores y no importa la posición de cada jugador ¿Cuántos equipos diferentes de microfútbol es posible definir? Solución: Según las indicaciones del enunciado la posición del jugador no importa, por tanto se debe utilizar la combinación. 𝑛 = 7; 𝑘 = 5

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𝑁𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜𝑠 = 7𝑃5 =

7! (7 − 5)!

𝑵𝒆𝒒𝒖𝒊𝒑𝒐𝒔 = 𝟐𝟓𝟐𝟎 Ejemplo 5.4. En una reconocida empresa constructora colombiana se desea elegir un comité de 5 integrantes pertenecientes a la junta directiva de la empresa, se sabe que la junta directiva cuenta con 21 integrantes, de los cuales 5 son de Cundinamarca, 4 de Santander, 3 de Boyacá, 4 de Antioquia y 5 del Tolima. La selección del comité obedece a un evento internacional para el cual hay recursos limitados, con la finalidad de no despertar malestar entre los involucrados la elección se realizara al azar, calcule: a) b) c) d)

La probabilidad de que todos los departamentos estén representados. La probabilidad de que a lo más dos departamentos estén representados. La probabilidad de que a lo menos asistan 2 integrantes del departamento de Cundinamarca. La probabilidad de que esté representado un único departamento.

Solución: Para la solución del presente enunciado se elabora la tabla que se muestra a continuación, donde se observa la composición de la junta directiva.

# de integrantes Cundinamarca 5 Santander 4 Boyacá 3 Antioquia 4 Tolima 5 Total 21 Tabla 2: Composición de la junta directiva según departamento. Departamento

Solución a. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma:

5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) 400 𝑝(𝐴) = 1 1 1 1 1 = = 0.058971 21 6783 ( ) 5

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𝒑(𝑨) =

𝟒𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟖𝟗𝟕𝟏 = 𝟓. 𝟖𝟗𝟕𝟏% 𝟔𝟕𝟖𝟑

Solución b. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma: 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 𝑝(𝐵) = 5 0 0 0 0 + 0 0 0 0 5 + 4 1 0 0 0 + 3 2 0 0 0 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) + 2 3 0 0 0 + 1 4 0 0 0 + 4 0 1 0 0 + 3 0 2 0 0 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 0 3 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 2 4 + + + + 2 0 0 3 0 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 4 1 + + + + 2 0 0 0 3 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 0 0 4 0 3 0 0 1 2 0 0 0 0 1 4 + + + + 0 2 3 0 0 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 4 0 1 3 0 2 2 0 3 0 0 0 0 0 0 + + + + 0 1 0 4 0 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 4 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 3 1 2 + + + + 0 1 0 0 4 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) + 0 0 3 2 0 + 0 0 2 3 0 + 0 0 1 4 0 + 0 0 3 0 2 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) + 0 0 2 0 3 + 0 0 1 0 4 + 0 0 0 4 1 + 0 0 0 3 2 21 21 21 21 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5

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5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 0 0 2 0 3 + + 0 0 0 1 4 21 21 ( ) ( ) 5 5 𝑝(𝐵) = +

1 1 20 20 40 5 5 10 10 + + + + + + + + 20349 20349 20349 6783 20349 20349 6783 6783 20349

20 20 40 5 25 100 100 25 1 + + + + + + + + 20349 6783 20349 20349 20349 20349 20349 20349 6783 +

4 2 4 8 8 4 5 40 20 + + + + + + + + 6783 6783 20349 6783 6783 20349 20349 20349 6783

+

20 2 4 1 10 10 5 5 40 + + + + + + + + 20349 6783 6783 6783 20349 6783 6783 20349 20349 +

20 20 + 6783 20349

𝑝(𝐵) =

302 337 107 320 + + = 20349 20349 6783 6783

𝒑(𝑩) =

𝟑𝟐𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟕𝟏𝟕𝟕 = 𝟒. 𝟕𝟏𝟕𝟕% 𝟔𝟕𝟖𝟑

Solución c. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma: 5 16 5 16 5 16 5 16 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 800 400 80 1 983 3 2 3 1 2 4 𝑝(𝐶) = + + + 5 0 = + + + = 21 21 21 21 2907 6783 20349 20349 2907 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 𝒑(𝑪) =

𝟗𝟖𝟑 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟖𝟏𝟒𝟗 = 𝟑𝟑. 𝟖𝟏𝟒𝟗% 𝟐𝟗𝟎𝟕

Solución d. Según las condiciones expuestas por el enunciado, la solución es posible plantearla de la siguiente forma: 5 4 3 4 5 5 4 3 4 5 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 1 1 2 𝑝(𝐷) = 5 0 0 0 0 + 0 0 0 0 5 = + = 21 21 20349 20349 20349 ( ) ( ) 5 5 𝒑(𝑫) =

𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟖𝟐𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟖𝟐𝟖% 𝟐𝟎𝟑𝟒𝟗

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Ejercicios Técnicas De Conteo 1. De cuantas maneras se pueden ordenar 7 balotas de colores en línea. Respuesta: 5040 2. Cuantos resultados posibles pueden obtenerse al lanzar tres dados (uno después del otro). Respuesta: 216 3. Cierto Ingeniero Civil encargado de la venta de apartamentos ofrece siete tipos de apartamentos, el cliente podrá elegir dos tipos de adicciones en acabados entre los que se encuentran: puertas de cedro, guardarropas de cedro, cielo raso drywall, piso en porcelanato para las habitaciones, bañera, estuco veneciano en la cocina y mesón en mármol de alta calidad. El ingeniero desea crear un aviso bastante llamativo el cual lleva como frase principal “Venga y escoja entre “n” apartamentos diferentes”. ¿Cuál es el valor “n”? Respuesta: 147 4. En una obra un ingeniero residente dispone de 11 ayudantes, si este ingeniero desea formar una cuadrilla la cual conste de 4 ayudantes ¿Cuántas cuadrillas diferentes podrá formar? Respuesta: 330 5. Un reconocido restaurante encargado de la venta de almuerzos estudiantiles ofrece a sus clientes tres sopas, dos platos principales y tres bebidas, si un almuerzo consiste en una sopa, un plato principal y una bebida ¿Cuántos almuerzos diferentes puede el restaurante ofrecer a su clientela? Respuesta: 18 6. Dos reconocidas firmas consultoras “A” y “B” encargadas del diseño de viviendas unifamiliares ofrecen a sus clientes la opción de elegir el conjunto de profesionales que actuaran en el diseño de la vivienda deseada, la consultoría A cuenta con 7 arquitectos, 5 ingenieros estructurales y 2 ingenieros de suelos, la consultoría “B” cuenta con 8 arquitectos, 4 ingenieros estructurales y 3 ingenieros de suelos, si el grupo de los encargados del diseño de una vivienda se componen de un arquitecto, un ingeniero estructural y un ingeniero de suelos ¿Cuántos grupos diferentes de profesionales una familia podrá elegir teniendo en cuenta que todos los profesionales deben pertenecer a la misma firma consultora? Respuesta: 166

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7. Cierto comité de ingenieros civiles consta de siete integrantes, en este comité se premia la puntualidad de sus asistentes dado que se hace uso de una mesa con 5 sillas quedando dos de los integrantes de pie los cuales son los últimos en llegar a) ¿De cuántas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros en la mesa del comité? b) De los 7 integrantes 4 son hombres y 3 son mujeres ¿De cuantas formas posibles pueden ubicarse los ingenieros si se debe alternar hombre – mujer y las mujeres deben ir en los lugares pares? Respuesta: a) 2520 b) 144 8. Una mano de póker consiste en 13 cartas seleccionadas al azar de una baraja de 52 cartas. a) Calcular la probabilidad de obtener las 13 cartas de corazones b) Cierto juego consiste en extraer 4 cartas de la baraja sin remplazo, calcular la probabilidad de sacar los 4 aces Respuestas: 1/6350135559600. 9. En una urna se dispone de 6 balotas rojas 4 azules y 3 negras si se extraen dos balotas sucesivamente calcular la probabilidad de obtener: a) Dos balotas negras. b) Una balota roja y una azul. c) Sacar balotas sin obtener alguna de color negro. d) Si se sacan tres balotas de la urna calcular la probabilidad de obtener una de cada color. Respuesta: a) 1/26 b) 4/13 c) 15/26 d) 36/143 10. A un ingeniero encargado del diseño de los parqueaderos de un edificio de oficinas el cliente le indica que requiere de 8 parqueaderos para los automóviles de la empresa. Los automóviles dos son Mercedez Benz, tres BMW y 3 son Chevrolet. a) Suponga que por cuestiones de estética los autos de la misma marca deberán quedar juntos ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles? b) Los autos Mercedes Benz pertenecen a los cargos más altos de la empresa los cuales deben quedar uno al lado del otro mientras que los de las otras marcas pueden quedar en cualquier orden ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones? c) Por capricho del cliente la posición de los Mercedes Benz deberán ser {1,4} las posiciones de los BMW serán {2,5,7} y los Chevrolet {3,6,8} ¿Cuántas formas posibles existen para parquear estos automóviles en tales condiciones? Respuesta: a) 432 b) 10080 c) 72 11. Una mano de póker consiste en 5 cartas seleccionadas sin remplazo de una barajas de 52 cartas. Determine la probabilidad de obtener. a) Full: Tres cartas con la misma numeración y otros dos con misma numeración.

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b) c) d) e)

Escalera: Cinco cartas con numeración consecutiva (El as puede ir al comienzo o al final). Póker. Cuatro cartas con la misma numeración. Obtener los cuatro ases presentes en la baraja. Obtener cinco cartas de corazones.

Respuesta: a) 6/4165 b) 128/32487 c) 1/4165 d) 1/54145 e) 33/66640 12. Un club de ingenieros extranjeros tiene como miembros a dos canadienses tres japoneses cinco italianos y dos alemanes si se selecciona al azar un comité de cuatro calcule la probabilidad de que: a) Todas las nacionalidades estén representadas. b) Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos. c) Todos los miembros del comité son italianos. d) A lo más dos miembros del comité son italianos. e) A lo sumo dos miembros sean japoneses. f) A lo menos un miembro del comité sea alemán. Respuesta: a) 4/33 b) 8/165 c) 1/99 d) 28/33 e) 54/55 f) 19/33 13. Un estudiante de ingeniería desea ubicar en una biblioteca 11 libros de los cuales 4 son de matemáticas 5 de física y 2 de química calcular a) El número de ubicaciones posibles si no se tiene en cuenta el orden de los libros. b) El número de ubicaciones posibles si los libros de cada una de las asignaturas deben quedar seguidos. c) El número de ubicaciones posibles si únicamente los libros de matemáticas deben quedar seguidos. d) El número de ubicaciones posibles si los 4 libros de matemáticas jamás deben quedar seguidos (tres pueden quedar seguidos al igual que dos). Respuesta: a) 39916800 b) 34560 c) 967680 d) 38949120 14. Un ingeniero residente en la construcción de un reconocido intercambiador cuenta con 11 ayudantes la tarea del día consiste en formar una cuadrilla de 6 ayudantes para las excavaciones y otra de 5 ayudantes para la fundición de un muro de contención ¿De cuantas formas diferentes el ingeniero puede formar las cuadrillas descritas? Respuesta: 462 15. En una urna se dispone de 8 balotas blancas, 5 negras, 6 azules y 7 Rojas. Si se extraen cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular a) La probabilidad de obtener 2 blancas y 2 Negras. b) La probabilidad de obtener cuatro balotas del mismo color. Respuesta: a) 0.018729 b) 0.008361

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16. Un experimento de estadística consiste en lanzar un dado dos veces y finalmente una moneda, calcular: a) La probabilidad de obtener un puntaje superior a siete en la suma de los puntajes obtenidos en los lanzamientos del dado. b) La probabilidad de obtener números pares en los lanzamientos del dado y una cara en la moneda. Respuesta: a) 0.416667 b) 0.125000 17. En una urna se dispone de 9 balotas blancas, 6 negras, 8 azules y 7 Rojas. Si se extraen cuatro balotas de la urna sucesivamente y sin remplazo calcular: a) La probabilidad de obtener balotas de colores diferentes. b) La probabilidad de obtener balotas azules o rojas. c) La probabilidad de obtener a lo más dos balotas rojas. d) La probabilidad de obtener a lo menos dos balotas negras o azules. Respuesta: a) 0.110345 b) 0.049808 c) 0.969349 d) 0.647510 13. Un experimento estadístico consiste en lanzar 𝑛 veces una moneda con dos posibilidades de respuesta de igual probabilidad, calcule: a) La probabilidad de obtener a lo menos un sello. b) La probabilidad de obtener solo sellos o solo caras. c) La probabilidad de obtener a lo más una cara. Respuesta: a) 1 −

1 2𝑛

b)

1 2𝑛−1

c)

𝑛+1 2𝑛

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6. Diagramas de árbol y probabilidad condicional ______________________________________________________________________________ Definición probabilidad condicional Sean “A” y “B” eventos contenidos en un espacio muestral con 𝑝(𝐵) > 0, la probabilidad de condicional se define como: p(𝐴|B) =

𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑝(𝐵)

Se lee “La probabilidad de que ocurra el evento “A” dado que ocurrió el evento “B”. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Axiomas de la probabilidad Axioma 1. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1 Axioma 2. Sean 𝐴1 , 𝐴2 … … 𝐴𝑘 eventos mutuamente excluyentes. 𝑘

𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … … ∪ 𝐴𝑘 ) = ∑ 𝐴𝑖 𝑖=1

Axioma 3. La probabilidad del todos los elementos del espacio muestral es uno. 𝑃(𝒮) = 1 _____________________________________________________________________________

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Ejercicio 6.1. La urna A contiene 8 bolas rojas 5 azules en tanto que la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 azules. a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor o igual que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sacó y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer dos bolas del mismo color. c) Teniendo en cuenta el numeral a y b, ¿Cuál es la probabilidad de extraer en el orden una bola roja y luego una bola azul? Solución: Para la solución se emplea el diagrama de árbol que se observa en la figura, en donde debe tenerse en cuenta que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un nodo dede ser uno. Efectuando las opresiones necesarias se tiene que: a) 𝑃(𝐴) =

47 78

b) 𝑃(𝐵) =

1234 2457

𝑃(𝐶) =

1223 4914

c)

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Ejemplo 6.2. El gerente de una reconocida firma de consultoría se encuentra interesado en estudiar el motivo del retraso en cronograma de algunos proyectos, la firma de consultoría se encarga de la elaboración de los estudios técnicos para la construcción de obras de infraestructura del estado. De la experiencia se sabe que el 25% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo técnico de la arquitectura, mientras que el 45% de las veces el retraso se genera por concepto del equipo técnico de estructuras, se sabe que el equipo de diseño de redes tiene la responsabilidad en retrasos el doble de las veces del equipo de geotecnia y el equipo de presupuesto 1.5 veces las del equipo de redes. Si se presenta retraso por concepto del equipo de estructuras el 30% de las veces se debe al personal no profesional, para el caso del equipo de presupuesto este porcentaje corresponde al 55% y para el equipo de Geotecnia 50%. El gerente afirma que si hay retraso en cronograma por concepto del personal no profesional la posibilidad que pertenezca al equipo de estructuras es de 27.07%, la posibilidad que pertenezca al equipo de redes es de 18.05%. a) Si hay un retraso en cronograma por concepto del personal profesional, calcule la probabilidad de que pertenezca al equipo de arquitectura. b) Calcule el porcentaje de veces en que un atraso se debe al personal profesional, si se sabe que pertenece al equipo de redes. c) ¿Cuál es la probabilidad se presente un atraso por concepto del equipo de presupuesto? Solución: Teniendo en cuenta la complejidad del enunciado para el desarrollo se utiliza el diagrama de árbol. En las primeras ramas del diagrama de árbol se deberá modelar los diferentes equipos técnicos la segunda rama representara si el personal es profesional o no profesional.

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La asignación de probabilidades se realiza con los datos suministrados por el enunciado, las letras son variables que se pretenden despejar con los datos restantes. 𝑝(𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠|𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) =

𝑝(𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 ∩ 𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) = 0.270700 𝑝(𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

𝑝(𝐸𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠|𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) =

(0.45)(0.30) = 0.270700 (0.25)(1 − 𝑝) + (0.45)(0.30) + (2𝐻)(1 − 𝑞) + (𝐻)(0.50) + (3𝐻)(0.55)

𝑝(𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠|𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) = 𝑝(𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠|𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) = = 0.180500

𝑝(𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠 ∩ 𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) = 0.180500 𝑝(𝑁𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

(2𝐻)(1 − 𝑞) (0.25)(1 − 𝑝) + (0.45)(0.30) + (2𝐻)(1 − 𝑞) + (𝐻)(0.50) + (3𝐻)(0.55) 0.25 + 0.45 + 2𝐻 + 𝐻 + 3𝐻 = 1

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. (0.45)(0.30) = 0.270700 (0.25)(1 − 𝑝) + (0.45)(0.30) + (2𝐻)(1 − 𝑞) + (𝐻)(0.50) + (3𝐻)(0.55)

(𝟏)

(2𝐻)(1 − 𝑞) = 0.180500 (0.25)(1 − 𝑝) + (0.45)(0.30) + (2𝐻)(1 − 𝑞) + (𝐻)(0.50) + (3𝐻)(0.55)

(𝟐)

0.25 + 0.45 + 2𝐻 + 𝐻 + 3𝐻 = 1

(𝟑)

𝑯 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝒑 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟓𝟐𝟑𝟖; 𝒒 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟑𝟒 Solución a. Según la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional. 𝑝(𝐴𝑟𝑞𝑢𝑖𝑡𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎|𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) =

𝑝(𝐴𝑟𝑞𝑢𝑖𝑡𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 ∩ 𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) 𝑝(𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙)

𝑝(𝐴𝑟𝑞. |𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙) =

(0.25)(0.335238) (0.25)(0.335238) + (0.45)(0.70) + (2)(0.05)(0.099834) + (0.05)(0.50) + (3)(0.05)(0.45) 𝒑(𝑨𝒓𝒒. |𝑷𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟕𝟏𝟖𝟕 = 𝟏𝟔. 𝟕𝟏𝟖𝟕%

Solución b. Según la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad condicional. 𝑝(𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 ∩ 𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠) 𝑝(𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙|𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠) = 𝑝(𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠)

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𝑝(𝑃𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙|𝑅𝑒𝑑𝑒𝑠) =

(2)(0.05)(0.099834) (2)(0.05)

𝒑(𝑷𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍|𝑹𝒆𝒅𝒆𝒔) = 𝟎. 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟑𝟒 = 𝟗. 𝟗𝟖𝟑𝟒% Solución c. Según la estructura de la pregunta, se requiere calcular una probabilidad. 𝑝(𝑃𝑟𝑒𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜) = (3)(0.05) = 0.15 𝒑(𝑷𝒓𝒆𝒔𝒖𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝟎% Ejemplo 6.3. Una estudiante de ingeniería civil con gran sentido del deber a su labor como estudiante sale tarde del claustro universitario, esto con motivo de la realización del trabajo final de resistencia de materiales. A dos manzanas de la entrada principal la estudiante es abordada por un ladrón que aprovecha la oscuridad de la noche y la soledad del sitio para hurtarle el celular. Un policía que patrulla cerca del lugar en que suceden los hechos acude al auxilio de la estudiante, el ladrón huye hasta una casa abandona en donde encuentra posibles escapatorias. El ladrón es más veloz que el policía, en el caso en que el ladrón encuentre una salida diferente a la de la entrada escapara del policía.

El ladrón ingresa por la salida 1 y su única escapatoria es llegar a la salida 2, por tanto el ladrón deberá pasar por alguna ruta en donde encontrara algunas puertas internas en la casa, para su escapatoria las puertas de alguna de las rutas deberán estar abiertas. Se sabe que: 𝑝(𝑃𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎 1, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 𝑝(𝑃𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎 2, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 𝑝(𝑃𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎 3, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 0.35 𝑝(𝑃𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎 4, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 𝑝(𝑃𝑢𝑒𝑟𝑡𝑎 5, 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 0.25 Calcule la probabilidad de que el ladrón logre escapar del policía, suponga que los eventos en que las puertas estén abiertas o cerradas son independientes. Solución: Se analiza la probabilidad de que el ladrón logre superar la primera serie de puertas, para logre superarla la Puerta 1 debe estar abierta o la Puerta 2 o la Puerta 3, la probabilidad se calcula de la siguiente forma. 𝑝(𝑃 1, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 2, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 3, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 1 − 𝑝(𝑃 1, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 ∩ 𝑃 2, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 ∩ 𝑃 3, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎) Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene:

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𝑝(𝑃 1, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 2, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 3, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 1 − (𝑝(𝑃 1, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎))(𝑝(𝑃 2, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎))(𝑝(𝑃 3, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎)) 𝑝(𝑃 1, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 2, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 3, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 1 − (0.65)(0.65)(0.65) 𝒑(𝑷 𝟏, 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂 ∪ 𝑷 𝟐, 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂 ∪ 𝑷 𝟑, 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂) = 𝟎. 𝟕𝟐𝟓𝟑𝟕𝟓 Se analiza la probabilidad de que el ladrón logre superar la segunda serie de puertas, para logre superarla la Puerta 4 debe estar abierta o la Puerta 5, la probabilidad se calcula de la siguiente forma. 𝑝(𝑃 4, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 5, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 1 − 𝑝(𝑃 4, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 ∩ 𝑃 5, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎) Aplicando la propiedad de la independencia de eventos se tiene: 𝑝(𝑃 4, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 5, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 1 − (𝑝(𝑃 4, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎))(𝑝(𝑃 4, 𝐶𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎)) 𝑝(𝑃 4, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 ∪ 𝑃 5, 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎) = 1 − (0.75)(0.75) 𝒑(𝑷 𝟒, 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂 ∪ 𝑷 𝟓, 𝑨𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂) = 𝟎. 𝟒𝟑𝟕𝟓𝟎𝟎 Para que el ladrón pueda escapar deberá encontrar abierta una puerta de la primera serie de puertas (Puerta 1, Puerta 2 y Puerta 3) y una puerta de la segunda serie de puertas (Puerta 4 y Puerta 5). Las probabilidades de los eventos descritos se calcularon en los pasos anteriores. Aplicando la independencia de evento se tiene: 𝑃(𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑎𝑟) = (0.725375)(0.437500) = 0.317352 𝑷(𝑬𝒔𝒑𝒂𝒄𝒂𝒓) = 𝟎. 𝟑𝟏𝟕𝟑𝟓𝟐

Ejercicios de probabilidad condicional y diagramas de árbol 1. En una encuesta que tiene por objeto estudiar el número de estudiantes de cierta universidad que ejercitan su cuerpo teniendo en cuenta si es hombre o mujer, se entrevistan a 145 mujeres y a 163 hombres donde se obtienen los siguientes resultados. Ejercitan su cuerpo Si No 11 152 Hombres 25 120 Mujeres Si se elige a un estudiante al azar calcule: a) b) c) d)

La probabilidad de que sea mujer. La probabilidad de que no ejercite su cuerpo. Si el estudiante resulta ser hombre calcule la probabilidad de que ejercite su cuerpo. Si se sabe que el estudiante ejercita su cuerpo calcule la probabilidad de que sea mujer.

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e) Se entrevista nuevamente al estudiante elegido resultando que no ejercita su cuerpo ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre? Respuesta: a) 0.470779 b) 0.883117 c) 0.067485 d) 0.694444 e) 0.558824. 2. Para cierta obra de ingeniería civil se hace un pedido de ropa de trabajo teniendo en cuenta la talla requerida y el color del uniforme de trabajo para esto se realizó un sondeo del número de trabajadores según el uniforme requerido, el sondeo arrojo los siguientes resultados. Talla Pequeña Mediana Grande

Azul 15 18 26

Color Negro 5 8 18

Rojo 9 6 21

Suponga que los trabajadores hacen una fila para reclamar el uniforme de trabajo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajador requiera un uniforme de talla mediana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente trabajador requiera un uniforme de talla grande y de color negro? c) El próximo trabajador en la fila es de talla pequeña ¿Cuál es la probabilidad de que el uniforme requerido sea del color negro? d) El próximo trabajador en la fila requiere uniforme Rojo ¿Cuál es la probabilidad de que el uniforme requerido sea de talla pequeña o mediana? Respuesta: a) 0.253967 b) 0.142857 c) 0.172414 d) 0.416667 3. Cierto estudiante de ingeniería realiza un trayecto todos los días desde su casa hasta la universidad donde recibe clases. Suponga los eventos 𝐴: {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜} 𝐵: {𝐸𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜} Con probabilidades de ocurrencia 𝑃(𝐴′ ) = 0.5, 𝑃(𝐵′ ) = 0.4, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.2 a) b) c) d)

Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante salga a tiempo y llegue a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante no salga a tiempo ni tampoco llegue a tiempo. Cierto día el estudiante llega a tiempo. Calcule la probabilidad de que el estudiante haya salido a tiempo. e) Cierto día el estudiante sale de su casa tarde. Calcule la probabilidad de que llegue a tiempo. f) Cierto día el estudiante sale a tiempo. Calcule la probabilidad de que llegue tarde. Respuesta: a) 0.500000 b) 0.200000 c) 0.100000 d) 0.333333 e) 0.800000 f) 0.600000 4. Se lanza tres veces una moneda con dos resultados posibles de igual probabilidad de obtención. Calcular la probabilidad de:

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a) b) c) d)

Obtener tres caras. Obtener una cara y dos sellos. Obtener tres caras o tres sellos. Obtener una cara y dos sellos o dos caras y un sello Respuesta: a) 1/8 b) 3/8 c) 1/4 d) 3/4.

5. Una urna U1 contiene 8 balotas blancas, 5 negras y 4 azules, la urna U2 contiene 7 blancas, 6 negras y 8 azules. Se extraen dos balotas sucesivamente sin remplazo de una urna, la probabilidad de elegir la urna U1 es de 3/4 mientras que la probabilidad de elegir la urna U2 es del 1/4. Calcular la probabilidad de. a) Obtener dos balotas blancas. b) Una balota blanca y una balota azul. c) Obtener dos balotas del mismo color. d) Obtener una balota de un color y otra de otro color. Respuesta: a) 61/340 b) 62/255 c) d) . 6. En un experimento estadístico se cuenta con un dado y una moneda. El experimento consiste en lanzar el dado si el número obtenido es par se lanza dos veces la moneda, si el número es impar la moneda se lanza tres veces. Calcular la probabilidad de: a) Obtener únicamente caras como resultado en la moneda. b) Obtener a lo menos dos caras. c) Obtener únicamente caras o sellos como resultado en la moneda. d) Obtener un número impar en el dado y dos sellos en la moneda. Respuesta: a) 3/16 b) 3/8 c) 3/8 d) 3/16. 7. La urna A contiene 3 bolas rojas 2 azules en tanto que la urna B contiene 2 bolas rojas y ocho azules. a) Se lanza un dado si se obtiene un número mayor que 2 se saca una bola de la urna A, de lo contrario se saca una bola de la urna B. Determine la probabilidad de sacar una bola roja. b) Si la bola extraída, según el literal anterior, se deposita en la urna diferente a la que se sacó y se lanza de nuevo el dado, manteniendo las mismas condiciones de extracción del literal a., cuál es la probabilidad de extraer en esta ocasión una bola azul

Respuesta: a) 7/15 b) 802/1485. 8. A un examen de estadística se presentan alumnos de cuatro grupos diferentes. Grupo A: 80 alumnos, de los cuales el 35% son mujeres. Grupo B: 70 alumnos, de los cuales el 25% son mujeres. Grupo C: k alumnos, de los cuales el 80% son varones. Grupo D: 60 alumnos, de los cuales el 85% son varones. Se les reúne a todos en el aula magna y se elige uno de ellos al azar para repartir el examen, resultando ser mujer. Si la probabilidad de que pertenezca al grupo D es 0.13. a) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo C? b) Si se selecciona un alumno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un varón? c) Se selecciona un alumno al azar, el cual resulta ser un varón ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo C?

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Respuesta: a) 𝐾 = 73.65 ≡ 74 b) 3/4 c) 16/75. 9. Una red de energía eléctrica tiene subestaciones A,B,C la sobrecarga en cualquiera de ellas puede originar que se interrumpa el abastecimiento de electricidad en toda la red la historia muestra que la probabilidad de apagón es de 1% si ocurre la sobrecarga en A y de 2% y 3% si sobreviene en las subestaciones B y C respectivamente. La sobrecarga en dos o más subestaciones de manera simultánea origina apagones en 5% de los casos, durante una onda cálida hay 60% de posibilidades que solo la subestación A experimente una sobrecarga. Para B y C estos porcentajes son de 20% y 15%, respectivamente. Si en una onda cálida especifica tuvo lugar un apagón debido a sobrecarga. a) Calcule la probabilidad de que haya habido sobrecarga en A o en C b) Encuentre la probabilidad de que haya habido sobrecarga en dos o más subestaciones al mismo tiempo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra apagón? Respuesta: a) 0.617647 b) 0.147059 c) 0.017. 10. En una estación de servicio, el 40% de los clientes utilizan gasolina corriente, el 35% usan gasolina extra y el 25% utilizan diesel. De los clientes que utilizan diesel el 50% llenan sus tanques. De los clientes que utilizan gasolina corriente, solo el 25% llenan sus tanques. El 53.1% de los clientes que no llenan el tanque utilizan gasolina corriente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra y llene el tanque? b) Si el siguiente cliente no llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina? c) Se sabe que un cliente pide gasolina extra ¿cuál es la probabilidad llene el tanque? Respuesta: a) 0.2100 b) 0.778761 c) 0.6000. 11. Para evitar que individuos potencialmente peligrosos sean celadores de obra, se ha establecido un examen psicológico que los aspirantes deben aprobar como requisito sine qua non para ser contratados. El defecto de esta prueba sin embargo, es que el 8% de los individuos aptos quedan erróneamente descalificados por haber reprobado, mientras que el 12% de los que no son aptos aprueban y son contratados por equivocación. Suponga que todos los que pasan son contratados. a) Si la experiencia muestra que solo el 85% de los celadores son aptos para su trabajo, determine el porcentaje de aspirantes que lo son. b) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es el porcentaje de aspirantes aptos que no aprueban el examen? c) Teniendo en cuenta el numeral a. ¿Cuál es la probabilidad de que el examen psicológico arroje un resultado erróneo? Respuesta: a) 0.425 b) 6.2963% c) 0.1030. 12. En un sistema de alarma, la probabilidad de esta funcione habiendo peligro es de 0.95, y la probabilidad de que funcione por error sin haber peligro es 0.03. Si la probabilidad de haber peligro es 0.1. a) Calcular el porcentaje de veces que habiendo funcionado la alarma no haya peligro. b) Calcular la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma haya peligro. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma funcione?

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Respuesta: a) 22.131%0 b) 5/878 c) 0.1220. 13. La contaminación de las fuentes de agua en Colombia es un problema de grandes magnitudes que compromete la calidad del agua que es destinada para el consumo humano: 𝐴 = {𝐸𝑙 𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛} 𝐵 = {𝑈𝑛 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛} 𝐶 = {𝑆𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜} Donde, 𝑝(𝐴) = 0.565000; 𝑝(𝐵|𝐴) = 0.061947; 𝑝(𝐵|𝐴′ ) = 0.540230; 𝑝(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) = 0.428571 𝑝(𝐶|𝐴′ ∩ 𝐵) = 0.063830; 𝑝(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵′ ) = 0.056604; 𝑝(𝐶|𝐴′ ∩ 𝐵′ ) = 0.750000 a) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, un análisis en la muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. b) Calcule la probabilidad de que un análisis de una muestra de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua para el consumo humano c) Calcule la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación, pero no se permite el suministro de agua potable para la población. d) Calcule la probabilidad que el rio este expuesto a contaminación, dado que un análisis de agua detecta contaminación y se permite el suministro de agua potable para el consumo humano. e) Cuál es la probabilidad de que el rio este expuesto a contaminación. Respuesta: a) 0.015 b) 0.030 c) 0.520 d) 0.500 e) 0.565. 14. Una urna U1 contiene 3 bolas azules y 4 rojas, una urna U2 6 bolas azules y 8 rojas. Se lanza un par de dados si el número obtenido de la suma de los dos puntajes es múltiplo de tres se extraen dos bolas de la urna U1, si es múltiplo de cinco se extraen dos bolas de la urna U2 y en cualquier otro caso se extrae una bola de la urna U1 y luego una bola de la urna U2, las dos bolas extraídas según las condiciones anteriores son depositadas en la urna U1. Finalmente se extrae una bola de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas). a) Calcular la probabilidad de obtener bolas producto de las tres extracciones en el orden: roja, azul, roja. b) Calcular la probabilidad de obtener una bola roja en la extracción de la urna U1 (cuando ya han sido depositadas las dos bolas provenientes de las extracciones anteriores según las condiciones indicadas). Respuesta: a) 4841/34398 b) 4/7 15. En la urna U1 hay 9 bolas blancas y 7 negras, en la urna U2 hay 7 bolas blancas 5 negras y 8 rojas, en la urna U3 hay 4 bolas blancas y 12 negras. Se extrae una bola de la urna U1 luego una bola de la urna U2 y finalmente una bola de la urna U3 obteniendo así 3 bolas que se depositan en una urna U4 y se extrae una bola de la urna U4. a) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca cuando se extrae la bola de la urna U4. b) Calcule la probabilidad de obtener una bola blanca en la urna U1, una bola roja en la urna U2, una bola negra en la urna U3 y una bola blanca en la urna U4

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c) Calcule la probabilidad de que las bolas extraídas de las urnas U1, U2 y U3 sean del mismo color. Respuesta: a) 31/80 b) 9/160 c) 21/160 16. Cierto organismo gubernamental emplea a tres empresas consultoras (A,B y C) con probabilidades de 0.110, 0.350 y 0.250, respectivamente. De la experiencia pasada se sabe que las probabilidades de excesos en costos de las empresas son 0.05, 0.03 y 0.15, respectivamente y de otras empresas es de 0.12. En cierto ajuste de cuentas el organismo gubernamental experimenta un exceso en los costos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada sea la compañía C? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa consultora implicada no sea la empresa B? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el organismo gubernamental no experimente sobrecostos? Respuesta: a) 0.424689 b) 0.881087 c) 0.911700 17. Un reconocido ingeniero debe realizar todos los días un trayecto desde su casa hasta el lugar de trabajo, la probabilidad de que no logre salir a tiempo de su casa es de 50%, la probabilidad de que el ingeniero no llegue a tiempo a su trabajo es de 40% y la probabilidad de que el ingeniero salga a tiempo de su casa y llegue a tiempo al trabajo es del 20%. a) Calcule la probabilidad de que el ingeniero llegue a tiempo. b) Cierto día el ingeniero sale de su casa tarde, calcule la probabilidad de que llegue a su trabajo a tiempo. c) Cierto día el ingeniero llega a tiempo, calcule la probabilidad de que haya salido de su casa tarde. 18. Cierto profesor acostumbrado a llegar tarde a clase recibe una llamada de atención del jefe de escuela. El profesor con el fin de acostumbrar a sus estudiantes a llegar temprano, impone a sus estudiantes que ningún estudiante podrá entrar al aula de clase después del profesor, Un estudiante acostumbrado a llegar tarde siempre tiene una disculpa, 10% de las veces que llega tarde se debe al transporte, 25% se debe a que se queda dormido, 40% se debe a su falta de voluntad, 10% a que desayuna tarde. De las veces que llega tarde por motivo del transporte el 35% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante se queda dormido el 15% alcanza a entrar a clase, de las veces que el estudiante llega tarde por desayunar tarde 60% no alcanza a entrar a clase, de las veces que llega tarde por otros motivos el 70% entra a clase. La hermana del estudiante afirma, si mi hermano no alcanza a entrar a clase la posibilidad que se haya quedado dormido es de 33.1%. a) Calcule el porcentaje de veces en que el estudiante llega tarde y por tanto no alcanza a entrar a clase. b) Si el estudiante desayuna tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que no alcance a entrar a clase? c) Si el estudiante no alcanza a entrar a clase, ¿Cuál es la probabilidad de que haya tenido problemas con el transporte? Respuesta: a) 0.641994 b) 0.6000000 c) 0.101247 19. Para un experimento estadístico se cuenta con una moneda y las tres urnas A, B y C, La urna A contiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras, la urna B contiene 7 bolas rojas y 6 bolas negras, la

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urna C contiene 12 bolas rojas y 5 bolas negras. Se lanza la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna A y en seguida una bola de la urna B, las dos bolas extraídas son depositadas en la urna C. En el caso de obtener un sello en la moneda se extrae una bola de la urna B y en seguida una bola de la urna C, las dos bolas extraídas son depositadas en la urna A. Para finalizar el experimento se lanza nuevamente la moneda, en el caso de obtener una cara se extrae una bola de la urna C y en el caso de obtener un sello se extrae una bola de la urna B. a) Calcular la probabilidad de que en las extracciones realizadas las bolas sean del mismo color. b) Calcular la probabilidad de obtener la serie: una cara en el primer lanzamiento de la moneda, extraer una bola negra en la urna A, extraer una bola roja en la urna B, obtener una cara en el segundo lanzamiento de la moneda y extraer una bola negra en la urna C. c) Calcular la probabilidad de que las tres bolas sean extraídas en el orden roja - negra - roja. Respuesta: a) 0.259789 b) 0.023617 c) 0.114493 20. Un ingeniero residente de obra afirma, con base en su experiencia y trayectoria, que de los accidentes que se producen en obra por falta del uso de elementos de protección personal, el 40% se dan por la falta de guantes, el 20% se dan por falta de botas, el 10% por falta de casco, el 10% por falta de gafas. De los accidentes causados por falta de guantes el 15% terminan en hospitalización, por falta de botas el 95% de los casos no terminan en hospitalización, para los accidentes por falta de cascos el porcentaje de individuos no hospitalizados corresponde al 75%, el ingeniero recalca que en los casos de otros tipos de accidentes el 95% no terminan en hospitalización. El médico del centro de salud más cercano a la obra, afirma que si un paciente es hospitalizado la probabilidad de que el accidente haya ocurrido por falta de gafas es de 12.3%. a) Calcule el porcentaje de trabajadores que son hospitalizados a casusa de un accidente por falta de elementos de protección. b) Calcule la probabilidad de que si un individuo es hospitalizado sea a causa de la falta de botas. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo sea hospitalizado dado que el accidente se produjo por la falta de guantes? Respuesta: a) 0.1097263 b) 0.083524 c) 0.150000 21. En un depósito de materiales de construcción, se lleva un riguroso balance de los productos cotizados, el propietario afirma que el 45% de los materiales cotizados son concretos, el 25% aceros, el 15% tuberías y accesorios, 5% ladrillos. De las cotizaciones de concreto el 20% se convierten en ventas, de las cotizaciones de acero el 75% nunca llegan a convertirse en ventas, las cotizaciones que de tuberías y accesorios que se convierten en ventas son el 60%. Se sabe que si se realiza una venta la probabilidad de que sea acero es de 21.4%, si una cotización no se convierte en venta la probabilidad de que el material involucrado sea diferente de concreto, acero, tuberías, accesorios y ladrillos es de 9.18%. a) Calcule el porcentaje de veces que el depósito de materiales de construcción logra convertir una cotización en una venta. b) Si se realiza una cotización de concretos, calcule la probabilidad de que se logre una venta. c) Si se logra una venta, calcule la probabilidad de que sean ladrillos.

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Respuesta: a) 0.292056 b) 0.200000 c) 0.049803 22. Un sistema de canalización de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como se presentan en la figura.

Cada compuerta se abre al azar dejando pasar agua (si está abierta) o impidiéndolo. Suponga las probabilidades siguientes: P(I abierta) = P(II abierta) = P(IV abierta) = 0.55; P(III abierta) = 0.36 P(I cerrada, II abierta) = P(I abierta, IV cerrada) = P(I cerrada, III abierta) = 0.2 P(II abierta, IV abierta) = 0.35; P(III abierta, IV cerrada) = 0.26 P(II abierta, III abierta) = 0 P(I o II o IV abierta) = 0.85; P(I o III o IV abierta) = 0.87 Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto A llegue a B. Respuesta: 0.157905 23. Una moneda presenta en el anverso una cara y en el reverso un sello. Si se lanza la moneda hasta que aparezca la primera cara y, a continuación, se realizan tantos lanzamientos adicionales como sellos han precedido la primera cara. Determinar: a) La probabilidad de que aparezca n sellos en la primera fase y m en la segunda. b) La probabilidad de que el número total de caras supere al número total de sellos. c) La probabilidad de obtener en todos los lanzamientos solo caras o solo sellos. 24. Una reconocida universidad tiene como criterio de admisión a los programas de posgrado en modalidad investigación la aprobación de un examen de competencia en lengua inglesa. El reglamento de la universidad establece que los aspirantes a título de posgrado deberán tener un nivel mínimo de lengua inglesa. Un examen se efectúa a los estudiantes que ingresan y a los que egresan, aspirantes y egresados. Se sabe que el 22% son estudiantes relacionados con la maestría en gerencia de negocios, los estudiantes de maestría en historia son la mitad de los de maestría en gerencia de negocios, el 18% son de la maestría en ingeniería civil. De los estudiantes de la maestría en ingeniería civil 45% son aspirantes, de la maestría en telecomunicaciones 85% son egresados, en la maestría en bilogía este porcentaje es de 82%. El organizador del examen afirma, basado en las listas de presentación, si se sabe que un estudiante es de la maestría en historia la posibilidad de que sea aspirante es del 20%, si un estudiante es egresado la posibilidad de que sea de la maestría en gerencia de negocios es de 3.56% y el porcentaje de aspirantes que presenta la prueba es de 38.11%.

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a) Si 85 estudiantes presentan la prueba, calcule el número de aspirantes de la maestría en telecomunicaciones. b) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser de la maestría en gerencia de negocios, calcule la probabilidad de que sea egresado. c) Si se elige un estudiante al azar y resulta ser aspirante, calcule la probabilidad de que el programa al que aspira sea la maestría en biología. Respuesta: a) 22.86 ≡ 23 [𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠] b) 0.100149 c) 0.104427 25. La construcción de una reconocida edificación de vivienda en la ciudad de Bucaramanga consta de varias fases, una de las fases corresponde a la construcción de la estructura de concreto reforzado que contrarrestará la solicitud de cargas vivas y muertas. Se sabe que el concreto empleado en la construcción del proyecto proviene de una reconocida planta ubicada en las cercanías de la obra. El ingeniero director de obra se encuentra preocupado por el retraso frecuente en la hora de entrega de los concretos en la obra, el fenómeno puede llegar a producir un retraso en la fecha de entrega del proyecto, situación que dejaría como consecuencia el pago de una cuantiosa multa que es directamente proporcional al tiempo de retraso. Para el análisis del fenómeno el ingeniero solicita un informe detallado del número de camiones que registran retraso y el motivo por el cual se produce. Los resultados del informe se resumen en la tabla siguiente:

Número de retrasos

Número de retrasos que produjeron atraso general del proyecto

Número de retrasos que no produjeron atraso general del proyecto

Alto tráfico en el trayecto comprendido 1 entre la planta y la obra

35

15

20

Gran volumen de 2 pedidos de concreto en la planta

15

s

t

Generación del pedido 3 con poco margen de tiempo

u

v

6

Incompetencia de los 4 funcionarios de la planta de concreto

42

w

x

4

y

z

Id

5

Motivo del retraso

Demora para recibir el concreto en la obra

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6 Otros

11

4

7

Con el fin de seleccionar un ingeniero, residente de obra, el director de obra diseña la siguiente prueba: Se sabe que:  Si hay atraso general en el proyecto, la posibilidad de que se haya producido por gran volumen de pedidos de concreto en la planta es de 1/9.  Si hay demora para recibir el concreto en la obra, la posibilidad para que se retrase la entrega del proyecto es de 1 entre 4.  Si hay atraso general en el proyecto, la posibilidad de que se haya producido por incompetencia de los funcionarios de la planta de concreto es de 25/116.  Si el retraso es por otros motivos, la posibilidad para que se retrase la entrega del proyecto es de 4 entre 11.  La posibilidad de que no se atrase el proyecto por concepto de retraso en la entrega de concretos es de 31 entre 58. a) Calcule los valores para las cantidades s, t, u, v, w, x, y, z. b) Si se presenta un retraso, por alto tráfico en el trayecto comprendido entre la planta y la obra, calcule la probabilidad de que se presente un retraso en la fecha de entrega del proyecto. c) Si hay un retraso general en la fecha de entrega del proyecto, calculen la probabilidad de que el motivo haya sido por generación del pedido de concreto con poco margen de tiempo. d) Calcule la probabilidad de que no se presente atraso general en la obra por concepto de atraso en la entrega de concretos. e) Calcule la probabilidad de que haya demora para recibir el concreto en la obra y que no se presente atraso en la fecha de entrega del proyecto. f) Calcule la probabilidad de que haya un gran volumen de pedidos en la planta o se genere el pedido con poco margen de tiempo y se presente atraso en la fecha de entrega del proyecto. 26. La urna U1 contiene 13 bolas rojas y 8 blancas, en tanto que la urna U2 contiene 8 bolas rojas y 8 bolas blancas, se lanza un dado y a continuación se extraen tantas bolas de la urna U1 como puntaje se haya obtenido en el dado, las bolas extraídas de la urna U1 son depositadas en la urna U2. Finalmente se extrae una bola de la urna U2. Calcule: a) La probabilidad de que en las extracciones sean obtenidas bolas del mismo color. b) La probabilidad de obtener a lo menos dos bolas blancas en la totalidad de las extracciones. c) La probabilidad de obtener a lo más dos bolas rojas en la totalidad de las extracciones. d) La probabilidad de obtener una bola blanca en la extracción de la urna U2. e) La probabilidad de obtener a sumo una bola roja.

27. Para la selección de personal una reconocida firma constructora realiza a los aspirantes exámenes de expresión: oral, escrita y corporal. Si se conoce que: i. El 10% de los aspirantes aprueba el examen de expresión oral. ii. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión corporal dado que aprobó el examen de expresión oral es del 40%.

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iii. iv. v.

vi.

vii.

La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión corporal dado que no aprobó el examen de expresión oral es de 1/6. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que aprueba el examen de expresión oral y el de expresión corporal es del 25%. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que no aprueba el examen de expresión oral y aprueba el examen de expresión corporal es de 1/3. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que aprueba el examen de expresión oral y no aprueba el examen de expresión corporal es de 2/3. La posibilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión escrita dado que no aprueba el examen de expresión oral y no aprueba el examen de expresión corporal es del 16%.

a) Si a un proceso de selección se presentan 50 aspirantes. Calculen el número esperado de aspirantes que aprobara el examen de expresión corporal. b) Si se obtiene un puesto en la compañía aprobando a los menos dos de los tres exámenes. Calcular la probabilidad de obtener un puesto en la compañía. c) Si a un proceso de selección se presentan 25 aspirantes. Calculen el número esperado de aspirantes que no aprobaran ninguno de los exámenes. d) Calculen la probabilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión oral y el examen de expresión corporal dado que aprobó el examen de expresión escrita. e) Calculen la probabilidad de que un aspirante apruebe el examen de expresión corporal o el examen de expresión escrita. f) Calculen el porcentaje de aspirantes que aprueban el examen de producción escrita. g) Calculen la probabilidad de aprobar a lo más uno de los exámenes.

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Funciones de densidad de probabilidad y de masa de probabilidad Formulas: Variable aleatoria discreta: 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 ∑ 𝑝(𝑥) = 1 ∀𝑥

𝑝(𝑥) = 𝑝[𝑋 = 𝑥] Función de distribución de probabilidad acumulada 𝐹(𝑥) = ∑ 𝑝(𝑥) ∀𝑥

Valor esperado 𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑝(𝑥) ∀𝑥

𝐸[𝑔(𝑥)] = ∑ 𝑔(𝑥)𝑝(𝑥) ∀𝑥

Varianza 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎 2 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2 ] = ∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑝(𝑥) ∀𝑥

Coeficiente de variación 𝑉𝑥 = Coeficiente de asimetría 𝑔1 = Coeficiente de curtosis

𝜎 𝜇

𝐸[(𝑥 − 𝜇)3 ] ∑(𝑥 − 𝜇)3 𝑝(𝑥) = 𝜎3 𝜎3

𝐸[(𝑥 − 𝜇)4 ] ∑(𝑥 − 𝜇)4 𝑝(𝑥) 𝑔2 = = 𝜎4 𝜎4

Variable aleatoria continúa: 𝑓(𝑥) ≥ 0

∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞

𝑏

𝑝(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

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Función de distribución de probabilidad acumulada 𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 −∞

Valor esperado

∞

𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞ ∞

𝐸[𝑔(𝑥)] = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Varianza 2

2]

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎 = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)

∞

= ∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Coeficiente de variación 𝑉𝑥 = Coeficiente de asimetría

Coeficiente de curtosis

𝜎 𝜇 ∞

𝐸[(𝑥 − 𝜇)3 ] ∫−∞(𝑥 − 𝜇)3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑔1 = = 𝜎3 𝜎3 ∞

𝐸[(𝑥 − 𝜇)4 ] ∫−∞(𝑥 − 𝜇)4 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑔2 = = 𝜎4 𝜎4 Ejemplo función de densidad de probabilidad: Para la construcción de un puente vehicular en el municipio de Barrancabermeja, el gerente de la obra ha definido un descanso que comienza a las 10:00:00 a.m. y máximo puede durar 20 minutos, los trabajadores tienen la opción de elegir tomar el descanso o acumular el tiempo para ser redimido en un día cualquiera. Suponga que la variable aleatoria 𝑥 representa el tiempo en minutos que un empleado gasta en el descanso. La función de densidad de probabilidad es la que se muestra a continuación. 𝑎𝑥 0