Apuntes en Proceso Bovedas Cilindricas

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BÓVEDAS CILÍNDRICAS DEFINICIÓN: Los cascarones cilíndricos se construyen a partir de una superficie de translación que se forma cuando la generatriz se desplaza apoyada en la directriz.

GENERATRIZ

DIRECTRIZ

DIRECTRIZ

La generatriz regularmente es una línea recta, mientras que la directriz puede tomar diferentes formas, como son:

   

Arcos de círculo de medio punto. Arcos de círculo rebajado Arco parabólico Arco elíptico, etc.

Creando en cada caso a los cascarones cilíndricos siguientes.    

Cascarón cilíndrico circular de medio punto. Cascarón cilíndrico circular rebajado. Cascarón cilíndrico parabólico. Cascarón cilíndrico elíptico.

Circular de medio punto Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Circular rebajado Página 1

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Elíptico

Parabólico

La directriz circular, de medio punto o la rebajada, es la de uso más generalizado, debido a las ventajas que presenta, entre las que destaca su facilidad de diseño, facilidad constructiva y por su eficiente respuesta a las solicitaciones de cargas más comunes. Los cascarones cilíndricos pueden apoyarse en distintas formas. Cuando se apoyan sobre columnas se dice que son autoportantes, pero también pueden apoyarse directamente sobre el terreno. Ya sea uno u otro tipo de apoyo que adopten los cascarones cilíndricos, pueden lograrse disposiciones bastante prácticas y originales. Estos pueden ser. Cascarones cilíndricos en batería Cascarones cilíndricos en cañón. Cascarones cilíndricos tipo Sheds o diente de sierra. Cascarones cilíndricos Alas de Mariposa. Cascarones cilíndricos para cimentación.

De cañón

En batería

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 2

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Tipo sheds o diente de sierra

Alas de mariposa

Cimentación Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 3

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Las directrices de los cascarones cilíndricos también pueden ser diferentes, como se observa a continuación

Cónico

Conoide

En función de su relación de longitud a ancho se clasifican en. 1. Si L/C < 2.5 se trata de un cascarón corto. 2. Si L/C > 2.5 se trata de un cascarón largo.

L C

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 4

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE LOS CASCARONES CILÍNDRICOS En el análisis de los cascarones cortos se emplea la teoría de la membrana, debido a que su principal trabajo es transversalmente. Mientras que para los cascarones largos se utiliza el método de la viga, debido a que estructuralmente trabajan en el sentido longitudinal. La práctica profesional ha tendido al uso de los cascarones cilíndricos cortos, debido a su facilidad de diseño y por su gran economía. Además de que las corrientes arquitectónicas son compatibles con estos elementos estructurales.

ELEMENTOS QUE COMPONEN LOS CASCARONES CILÍNDRICOS Los cascarones cilíndricos se componen de los elementos básicos que se describen a continuación.

Lámina o cáscara Tímpano Elemento de borde

Lámina o cáscara

Elemento de borde

tímpano Elemento de borde

Estas tres piezas existirán siempre en un cascarón cilíndrico; sin embargo, en el caso del tímpano, puede presentar las formas siguientes.

Tímpano macizo Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Tímpano en celosía Página 5

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Tímpano de arco peraltado Tímpano de arco ancho

FUERZAS Y ESFUERZOS CILÍNDRICOS CORTOS

EN

LOS

CASCARONES

Como mencionamos anteriormente, este tipo de cascarones se analiza con el método de la membrana para conocer las fuerzas internas que le producen las fuerzas o cargas externas que gravitan sobre ella. El método consiste en estudiar un elemento diferencial del cascaron cargado, para analizarlo y determinar los esfuerzos internos actuantes en cada cara, estableciendo el estado de equilibrio respectivo. Este proceso arroja como resultado un sistema de tres ecuaciones, llamado sistema general de ecuaciones diferenciales de equilibrio. En el cual basta con sustituir las condiciones geométricas del cascarón en estudio para deducir las ecuaciones de aplicación directa que permiten calcular los valores de los esfuerzos en sus diferentes direcciones que definen el estado de esfuerzos en el punto o partícula en análisis. En el caso particular de los cascarones cilíndricos circulares, los esfuerzos internos y las expresiones para evaluarlas son las siguientes. En cada punto material de la cascara se producen dos fuerzas normales de compresión, una en la dirección transversal (NØ) y otro en la longitudinal (Nx) y también dos fuerzas cortantes (V) de igual valor para estas mismas direcciones.

N Nx

V

w r cos w cos 4r 2 w

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

( L2

x

4x2 )

sen Página 6

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Donde: NØ: Fuerza normal de compresión, en la dirección transversal. Nx: Fuerza normal de compresión, en la dirección transversal. V: Fuerza cortante. W: Carga unitaria de diseño del cascarón, en kg/m2. r: Radio de la directriz. Ø: Ángulo que forma el punto en estudio con la vertical. L: Longitud total del cascarón. X: Distancia del punto en estudio a un eje que divide en dos partes iguales el cascaron.

NØ

V Nx Ø

Nx V

r NØ

X

Nota: El signo menos que aparece en las fórmulas, únicamente indica que los esfuerzos resultantes en la cáscara son de compresión. Esto se explica al establecerse la suposición de que mientras que la cáscara trabaja a compresión, el elemento de borde toma la tracción correspondiente. Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

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Conocido el estado de esfuerzos (NØ, Nx y V) en cada uno de los puntos seleccionados de la cáscara, a continuación se calculan las fuerzas principales y las direcciones principales de los planos en que actúan, con la finalidad de conocer los puntos y las direcciones en que se presentan tracciones y colocar el acero de refuerzo requerido que le proporcione la resistencia necesaria. Este procedimiento puede ser analítico o bien gráfico mediante los círculos de Mohr. NØ

SOLUCIÓN ANALÍTICA N1

V

N2

θ V

Plano de fuerzas principales

Nx

Nx

V N1

N2

V NØ

Estado de fuerzas en el punto P (NØ, Nx y V). Fuerzas y direcciones principales en el punto P (N1, N2 y Ø).

N1: Esfuerzo principal de tracción. N2: Esfuerzo principal de compresión. θ: Dirección principal.

SOLUCIÓN GRÁFICA (CÍRCULOS DE MOHR)

v (NX, V)

NØ, NX

(NØ, V) N1 TRACCIONES

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

N2 COMPRESIONES

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Conocidos los puntos o partículas en que se presentan las fuerzas de tracción (N1), ahora calcularemos sus componentes longitudinales, valores que se utilizarán para el cálculo del acero de refuerzo.

N1

Tv=N1 sen θ

θ

Th= N1 cos θ Finalmente se calcula el área de acero requerida para los puntos en que se presentan estas tracciones (Th).

ACERO DE REFUERZO EN EL CASCARÓN 1. REFUERZO EN LOS PUNTOS DE TRACCIÓN Como se describió anteriormente, se calcula el área de acero requerida para los puntos en que se presentan tracciones.

As

Th fs

Cantidad que se compara con el área de acero mínimo requerida por temperatura.

As t

0.003 * Ac

Se elige el valor mayor que resulte del área de acero. Determinándose a continuación la separación del refuerzo.

S o bien

as (100 ) As

S máxima

3e

Tomándose el valor menor que arrojen estas dos operaciones.

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 9

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2. REFUERZO EN LAS ZONAS DE COMPRESIÓN. Como se desprende de este análisis, los puntos restantes del cascarón están sometidos a fuerzas internas de compresión. El refuerzo correspondiente que se agregará en estas zonas es el área de acero por temperatura.

As t

0.003 * Ac

La separación de este refuerzo será el menor valor que resulte de las expresiones ya conocidas, que aquí repetimos con el fin de disipar toda posible duda en la aplicación del procedimiento.

as (100 ) As

S

S máxima

3e

ELEMENTO DE BORDE Como explicamos en su momento, el elemento de borde esta sometido a tracción. Esta tracción presenta su mayor magnitud en la parte media del cascarón que en los extremos del mismo.

X

La magnitud de la fuerza de tracción en cualquier punto del borde, se calcula con la expresión siguiente:

Tt

w 2 (L 2

4 x 2 ) sen

El área de acero necesaria en cada punto del elemento de borde, se obtiene así:

As

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Tt fs Página 10

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TIMPANO  ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA VERTICAL. Se determina la reacción total del cascarón sobre el tímpano por metro.

q1

S

L w 2 C

Donde S es el desarrollo del cascarón. Posteriormente se le suponen dimensiones al tímpano (le corresponden las mismas dimensiones transversales del cascarón), dejando unas cartelas para absorber el cortante.

d’

b C

C’

A continuación se estima el peso propio del tímpano por metro.

q2

Wt C

Wt: Peso total del tímpano. Carga total por metro: q = q1 + q2

Análisis por flexión.

Se calcula el momento flexionante máximo.

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

M

q C2 8 Página 11

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1

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2

q

C

Vmáximo Mmáximo

MODELO ESTRUCTURAL DEL TÍMPANO

Seguidamente se calcula el área de acero requerida por flexión.

As

M f s j b'

b’ = b – r r: recubrimiento fs: fatiga del acero = 1400 kg/cm2 j: constante del concreto=

Análisis por cortante.

Cálculo de la fuerza cortante máxima actuante.

Vmáx

q C 2

Esfuerzo cortante actuante.

vmáx

Vmáx C' d '

El valor de este esfuerzo cortante se compara con el esfuerzo cortante admisible.

vadm Esto es:

0.29

f c'

Si

vmáx. < vadm. No se requieren estribos.

Si

vmáx. > vadm. Se necesitan estribos.

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

kg / cm2

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En caso de requerirse estribos, la separación entre ellos se calcula con la expresión:

S

Av f v v' c'

Área de acero del estribo propuesto: Av Fatiga a cortante del acero: fv = 0.8 fs Esfuerzo cortante para estribos: v ’ = vmáximo – vadmisible

 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA HORIZONTAL.

Se calcula la componente horizontal de las fuerzas cortantes V en el borde.

cos

Vh V

Vh

V cos

Vh

V

Estas componentes de las fuerzas cortantes están valuadas en kg por metro de ancho de franja de cascarón. Por tanto se multiplicarán por el ancho de su área de influencia (obtenida grafica o analíticamente) para obtener las fuerzas totales.

Vh1

e1

Vh2

e2

Vhi

Fh 1

Fh1 Fh2

ei

Vh 1 e1

Fh 2

Vh 2 e2

Fhi

Fh i

Vhi ei

i=1,…, n Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 13

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CALCULO DEL ÁREA DE ACERO EN CADA ÁREA DE INFLUENCIA.



As

Fh fs

As t

0.002 Ac

Área de acero requerida por tracción.

 Área de acero por temperatura. Deberá cumplirse que: As ≥ Ast

Finalmente se diseñan las columnas y la cimentación del proyecto, conforme a los procedimientos establecidos por las normas.

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 14

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PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE CASCARONES CILÍNDRICOS CIRCULARES I.

DATOS DE DISEÑO Este primer paso consiste en proponer la geometría (dimensiones) de la estructura, como son: Longitud total del cascarón: L, en metros. Ancho del cascarón: C, en metros Flecha del cascarón: b, en metros Carga uniforme de diseño: w, en kg/m2

II.

DISEÑO DE LA LÁMINA O CÁSCARA. II.1 Se calcula el radio de la directriz de la bóveda. r

4b 2 c 2 8b

r, en metros

II.2 Se precisan los n puntos de estudio del cascarón. Considerando la natural simetría del cascarón, se delimita la zona a estudiar.

L/ 2 C/2

Luego se fijan, en planta, los n puntos a estudiar. A1

C/2

L/2 C/2

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

A2

B1

Bi

C1

C2

Ci

D1

D2

D3

Di

n1

n2

n3

n4

n5

L/2 x Página 15

ni

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Finalmente se calculan, en elevación, los ángulos de estos puntos en estudio. 1 2

Línea de 0o

3

Ø3

Posición angular de los n puntos definidos (r, Ø).

Øi

4

Ø2 Ø1

n r

II.3 Se propone el espesor, e, de la cáscara. El espesor mínimo debe ser de 6 cm. II.4 Seguidamente se investiga la resistencia de la cáscara de la bóveda cilíndrica. Esto implica probar que el espesor propuesto es suficiente para resistir el esfuerzo máximo de compresión generado por la carga. Para esto se sigue el proceso siguiente. Calculamos la fuerza de compresión máxima en el cascarón, la que se presenta en el punto A2, de coordenadas (r, 0°) y x=0.

Nx

w cos ( L2 4r

w 2 L 4r

4x2 )

Nx, en kg.

Estimamos el esfuerzo de compresión máximo actuante en el cascarón (punto A2). Nx fc, en kg/cm2 fc A Se valúa el esfuerzo permisible (fcx permisible)) de compresión.

fcx

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

60 per

L 1100e

r e

fcx per, en kg/cm2

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Finalmente se compara el esfuerzo de compresión máximo (fc) en el cascarón inducido por la carga externa, contra el esfuerzo permisible (fcx permisible)) de compresión. Si fc

fcx perm se ratifica la geometría propuesta del cascarón.

Si fc > fcx perm se modifica la geometría propuesta del cascarón II.5 Se calculan las fuerzas internas en cada punto definido en la bóveda (fuerzas de compresión y fuerzas cortantes). Nx

w cos 4r

N

w r cos

( L2

4x2 )

Nx, N , V, en kg.

V

2 w x sen

II.6 Calculamos los esfuerzos principales en cada uno de los puntos materiales del cascarón, definidos anteriormente, con la finalidad de detectar la presencia de los esfuerzos de tensión (tracción), su magnitud y dirección. Este calculo puede realizarse en forma gráfica mediante los círculos de Mohr, o bien analíticamente. II.7 Se valúan las magnitudes de las componentes horizontales de las fuerzas de tracción, derivadas de los esfuerzos principales de tracción.

N1

Th

N1 cos

Th, en kg.

Th

II.8 Se calcula el acero de refuerzo requerido por tracción en cada punto definido en la cáscara.

As Ast

Th fs 0.003 Ac

En todo momento: As Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Ast Página 17

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DISEÑO DEL ELEMENTO DE BORDE. Calculo de la fuerza de tracción a lo largo del borde. Esto corresponde a los puntos n1, n2,…, ni.

w 2 (L 2 Tt Tborde 2 Tt

4 x 2 ) sen

TT, en kg.

Acero de refuerzo requerido en cada punto del borde y su dimensionamiento.

As

Tborde fs

As, en cm2

Por último se proponen las dimensiones apropiadas de la sección transversal del elemento de borde que aloje adecuadamente el acero de refuerzo determinado.

IV.

n1

n2

n3

n4

n5

ni

As1

As2

As3

As4

As5

Asi

DISEÑO DEL TÍMPANO.

d’

b C

C’ Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

Página 18

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 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA VERTICAL. 1. Se proponen las dimensiones del tímpano. DATOS: C y b

VALORES PROPUESTOS: C’ y d’

2. Cálculo de la reacción total sobre el tímpano y peso propio del tímpano. Reacción total sobre el tímpano (F/L): Peso propio del tímpano (F/L): Carga total (F/L): S: Desarrollo del cascarón. Ø: en grados. At: área del tímpano. γ: Peso volumétrico del material de la cáscara.

S

2*r *

Wt

At

d*

*d *( ) 180

π*r*(

φ ) 90

S

C' γ

Ø

Ø

r

3. Análisis por flexión. 3.1 Refuerzo longitudinal (zona de tracción).  Momento flector máximo. M máx

 Acero de refuerzo por flexión.

 Cantidad de barras. Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

q C2 8

As

M f s j b'

N o barras

As as Página 19

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3.2 Refuerzo transversal (estribos).

q

C 2

 Fuerza cortante máxima.

Vmáx

 Esfuerzo cortante máximo.

vmáx

Vmáx C' d '

vadm

0.29 f c'

 Esfuerzo cortante admisible 

Si Si

vmáx. < vadm. No se requieren estribos. vmáx. > vadm. Se necesitan estribos.

 Si fuera necesario colocar refuerzo transversal (estribos), el esfuerzo cortante que toman los estribos es:

vestribos

v' vmáx vadm

 Separación de estribos.

S

Av f v v' c'

Área de acero del estribo propuesto: Av Fatiga a cortante del acero: fv = 0.8 fs

 ANÁLISIS Y DISEÑO POR CARGA HORIZONTAL. 1. Calculo de las componentes horizontales de las fuerzas cortantes V en el borde del tímpano.

cos

Vh V

Vh

V cos

Vh

V

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

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2. Determinación de las fuerzas totales (tracción), por área de influencia (Fhi). Vh1

e1

Vh2

Fh1

e2

Vhi

Fh2

ei

Fh i

Fhi

Vh i ei

3. Calculo del acero de refuerzo requerido por área de influencia en el tímpano. Fh As fs  Área de acero requerida por tracción.  Área de acero por temperatura.  Número de barras necesarias.

 Separación de las barras.

As t

N

0.002 Ac

As as

barras

S

ei N

barras

En todo momento deberá prevalecer que: As ≥ Ast

Autor: Ing. Severiano Álvarez Cruz

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