APUNTES Electrónica Digital (0)

I.E.S. ANDRÉS DE VANDELVIRA DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA CURSO: 2007-2008 NIVEL ACADÉMICO: 4º E.S.O.

CONCEPTOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

TECNOLOGÍA 4º E.S.O.

ÍNDICE 1. INTRODUCCION ......................................................................... 2 2. DEFINICION DE DIGITAL Y ANALÓGICO..................................... 3 3.NATURALEZA BINARIA DE LA LÓGICA DIGITAL .......................... 4 4. OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE BOOLE. ....... 4 4.1. Operación SUMA. ..................................................................... 5 4.2. Operación PRODUCTO. ............................................................. 6 4.3.Operación INVERSIÓN. .............................................................. 8 5. POSTULADOS Y PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Y TEOREMAS DE MORGAN ................................................................ 9 5.1. Postulados del álgebra de Boole.................................................. 9 6. PUERTAS LÓGICAS .................................................................. 11 7. EJEMPLOS DE REPRESENTACIÓN DE ECUACIONES EN LENGUAJE DE CONTACTOS Y POR PUERTAS LÓGICAS ................................... 13 8.SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES LÓGICAS ............................. 14 8.1. Simplificación mediante los postulados y propiedades del álgebra de Boole y teoremas de Morgan. .......................................................... 15 8.2. Simplificación mediante los diagramas o mapas de Karnaugh. ...... 16 9. OPERACIONES NAND Y NOR Y CONVERSIÓN DE ECUACIONES. .. 21 9.1.Teoremas de Morgan ................................................................ 21 9.2.Resolución de ecuaciones mediante operadores NOR ..................... 21 9.2.1.Realización de una inversión o negación con operadores NOR ...... 22 9.2.2. Realización de una suma negada con operadores NOR ................ 22 9.2.3.Realización de una suma con operadores NOR. .......................... 22 9.2.4. Realización de un producto con operadores NOR....................... 22 9.3.Resolución de ecuaciones mediante operadores NAND. .................. 23 9.3.1. Realización de una inversión o negación con una puerta NAND ... 23 9.3.2. Realización de un producto negado con operadores NAND .......... 23 9.3.3. Obtención de un producto de dos variables sin negar. ............... 23 9.3.4. Realización de una suma con puertas NAND. ............................ 23 9.4.Ejemplos de resolución de ecuaciones con operadores NOR y NAND 23 10. RESOLUCIÓN LÓGICA DE AUTOMATISMOS COMBINACIONALES. .................................................................................................. 25 10.1.RESOLUCIÓN DE UN AUTOMATISMO DE LÓGICA COMBINACIONAL. ....................................................................... 26 11 CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITALES. ..................................... 31 APÉNDICE A: SISTEMAS DE NUMERACIÓN ................................... 34 INTRODUCCIÓN .......................................................................... 34 SISTEMA DECIMAL ..................................................................... 34 SISTEMA BINARIO ...................................................................... 34 SISTEMA HEXADECIMAL. ............................................................ 35 CONVERSIONES .......................................................................... 35 Conversión entre binario y decimal ................................................. 35 Conversión entre binario y hexadecimal ........................................... 36 Conversión de hexadecimal a binario. ............................................. 37 Conversión de hexadecimal a decimal. ............................................. 37 Conversión de decimal a hexadecimal .............................................. 37

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1. INTRODUCCION A mediados del siglo XIX, el filósofo y matemático George Boole, desarrolló una teoría matemática completamente distinta a la que hasta entonces se conocía, y cuya expansión ha sido tan importante, que en la actualidad se utiliza para la resolución y análisis de la mayoría de las operaciones industriales complejas. Tanto los procesos de fabricación como los equipos se han ido complicando a causa del progreso general y la constante evolución, hasta el punto de necesitar automatizar el control de la mayor parte de sus fases.

El álgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones tendentes a resolver los automatismos o procesos a ejecutar, obteniendo un conjunto de ecuaciones que deberán de ser traducidas y llevadas a cabo por elementos mecánicos, hidráulicos, neumáticos, eléctricos o electrónicos.

La teoría de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir, que solo tienen "dos estados válidos posibles, y por otra parte, opuestos entre sí".

Así, por ejemplo, el tratamiento que el álgebra de Boole permite a una lámpara considerarla en sus dos únicos estados posibles: encendida o apagada; un interruptor sólo podrá estar conectado o desconectado; un transistor conduciendo o bloqueado, un relé activado o desactivado; y así sucesivamente. No se admiten estados intermedios. El que sólo existan dos estados válidos para cada elemento, en esta estructura matemática, ha llevado a llamarla "álgebra binaria" y también "álgebra lógica", pues los razonamientos que en ella se emplean son de carácter intuitivo y lógico.

El álgebra de Boole es un sistema matemático usado en el diseño de circuitos lógicos, que permite representar mediante símbolos el objeto de un circuito lógico, de forma que su estado pueda ser equivalente a un circuito real.

El fin de un sistema matemático es, en principio, representar un grupo de objetos o fenómenos con símbolos que definan las leyes que gobiernan sus funciones e interrelaciones, con un conjunto de estados y ecuaciones que se escriban de forma simbólica. De este modo, los símbolos del Algebra de Boole se usan para representar entradas y salidas de los elementos lógicos y los estados y ecuaciones que se usan para definir puertas, inversores y circuitos lógicos más complejos.

Una vez obtenida una ecuación básica, se puede simplificar para hallar el circuito cuyas interconexiones sean lo más simples y eficientes.

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El álgebra de Boole difiere de la clásica en que ésta última cuenta con relaciones cuantitativas, mientras aquella cuenta con relaciones lógicas.

En álgebra, clásica usamos

cantidades simbólicas tales como X,Y,A,B, etc. para representar números. En la resolución dé problemas algebraicos interesa conocer el valor de la variable, o si X es mayor o menor que Y, u otra información relativa a la cantidad. En el álgebra de Boole sólo se busca conocer busca conocer uno de los estados posibles que puede tener cualquier término

lógico, por ejemplo,

cuando usamos el álgebra de Boole en sistemas digitales, nos interesa conocer si un termino vale 0 o 1. También se les llama “verdadero” o “falso” ( Alto –High- o Bajo –Low- ) a los dos estados posibles en esta álgebra de tipo filosófico

2. DEFINICION DE DIGITAL Y ANALÓGICO Las expresiones "digital" y

“analógico” son opuestas ya que mientras que la

primera significa algo de naturaleza incremental, en cambio la segunda expresa algo que varía de forma continua.

Se entenderá mejor con un ejemplo:

Consideremos una lámpara de un salón, la cual está constituida por 10 bombillas, que se encienden y apagan desde un mismo panel.

Si en este panel cada interruptor gobierna 2

lamparas; podremos ir consiguiendo una iluminación gradual del salón hasta que tengamos la máxima luz que nos pueden dar todas las lámparas.

Pero otra forma en la que se pueden controlar las lámparas, puede ser por medio de un simple potenciómetro que realice el encendido gradual a medida que se va girando desde la posición de apagado hasta la de encendido. En el primero de los casos, el aumento de luz se efectúa mediante pasos discretos, mientras que en el segundo es de una manera continua. Es decir, que el primero de los sistemas lo podemos encuadrar bajo el término digital y el segundo bajo el de analógico.

Tanto en electricidad como en electrónica los paramentos usuales de medida son el voltaje y la corriente, las cuales varían de forma continua en el caso de la electrónica analógica, mientras que en la digital se efectúa por pasos o etapas de valor bien definido. Dos ejemplos que pueden ser tanto analógicos como digitales son los relojes y los polímetros. Las agujas de un reloj mecánico común, se mueven continuamente mientras que en un reloj digital los números cambian de repente, al final de cada segundo o de cada minuto. Del mismo modo un polímetro analógico dispone de una aguja de medida que puede desplazarse gradualmente desde un extremo al otro

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de la escala, mientras que en un polímetro digital, el valor de la magnitud de medida, se muestra mediante dígitos discretos, cada uno de los cuales cambian de repente.

En la figura se representan dos tipos de ondas, a la izquierda de tipo digital y a la derecha analógica :

Onda digital

Onda analógica

3.NATURALEZA BINARIA DE LA LÓGICA DIGITAL Así como en los circuitos analógicos pueden existir al mismo tiempo muchos voltajes diferentes, en los digitales solo hay dos. Esto significa que usando estos dos estados lógicos puede codificarse cualquier número, letra del alfabeto, símbolo u otra información. Estos dos voltajes reciben el nombre de "estado lógico 0” y "estado lógico 1” o también "falso o bajo –Low(0)” o “verdadero o alto –High- (1)" y nombres parecidos. Por tal motivo y debido al uso de solo dos estados, se dice que la lógica digital es binaria por naturaleza.

El significado de la naturaleza binaria de la lógica digital es correcto, puesto que los circuitos lógicos pueden obtener todas sus funciones de decisión y memoria usando nada más que dos estados lógicos.

4. OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE BOOLE. Existen cuatro operaciones fundamentales de la teoría de conjuntos del álgebra de Boole, a las cuales se le asocian distintas disposiciones eléctricas: •

Operación suma o reunión.

•

Operación Intersección o producto.

•

Operación Inversión o negación.

•

Operación O exclusiva o XOR

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4.1. Operación SUMA. La forma de representar la operación suma mediante contactos eléctricos es la disposición en paralelo de los contactos del circuito. La siguiente figura representa un circuito eléctrico que puede dejar pasar la corriente, de forma que:

A

B L

A.- Si uno de los contactos está cerrado, y deja pasar la corriente, decimos que está a estado lógico “1”, lámpara en funcionamiento. B.- Si ambos contactos están abiertos, no dejan pasar la corriente, decimos que la lámpara está a estado lógico “0”, lo que significa que la lámpara estará apagada.

Pero el estado lógico, no sólo se aplica al estado de la lámpara sino también al de los contactos “A” y “B”, de forma que diremos que están a estado lógico “1” si están cerrados (dejan pasar la corriente), y a estado lógico “0” si están abiertos ( no dejan pasar la corriente).

Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes: •

1ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está abierto (B=0), pasa la corriente y por tanto la lámpara está encendida (L=1).

•

2ª.- Si A está abierto (A=0) y B está cerrado (B=1), pasa la corriente, lo que implica L=1.

•

3ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está cerrado (B=1), pasa la corriente (L=1).

•

4ª.- Si A está abierto (A=0) y B está abierto (B=0), no pasa la corriente y la lámpara estará apagada (L=0).

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante una tabla que nos indica el estado de la salida en función del estado de las entradas, que para el caso que nos ocupa sería:

A

B

L

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

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A este tipo de tablas, que indican el estado de las salidas (Lámpara), en función del de las entradas (Contactos A y B) se le denomina “Tabla de verdad o de la verdad”. En base a todo lo anterior, decimos que una operación suma (operación OR en inglés) de dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomará estado lógico “1” (lámpara en funcionamiento (L=1)), si alguna de las entradas tiene estado lógico 1 (contactos A y/o B cerrados).

La forma matemática de expresar esta operación sería: L=A+B Para el caso de más de dos variables de entrada, el número de combinaciones distintas puede ser más difícil de adivinar, resultando que como norma general el número de combinaciones n

binarias para “n” variables de entradas estará dado por la expresión 2 .

Así por ejemplo, la operación suma para el caso de tres variables de entrada (A,B y C) será:

L=A+B+C C

B

A

A+B+C

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

Dado que en el ejemplo anterior tenemos tres variables de entrada el número de combinaciones binarias distintas de las entradas son: 23=8 4.2. Operación PRODUCTO. La forma de representar la operación producto mediante

A

contactos eléctricos es la disposición en serie de los contactos del circuito. La siguiente figura representa un circuito eléctrico que puede dejar pasar la corriente, de forma que: A.- Si uno de los contactos está abierto, y no deja pasar la corriente, decimos que está a estado lógico “0”, lámpara apagada. B.- Si ambos contactos están cerrados y dejan pasar la corriente,

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B L

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decimos que la lámpara está a estado lógico “1”, lo que significa que la lámpara estará encendida. Pero al igual que en la operación suma, el estado lógico no sólo se aplica al estado de la lámpara sino también al de los contactos “A” y “B”, de forma que diremos que están a estado lógico “1” si están cerrados (dejan pasar la corriente), y a estado lógico “0” si están abiertos ( no dejan pasar la corriente). Las condiciones que se cumplen en el circuito de la figura anterior son las siguientes: •

1ª.- Si A está abierto (A=0) y B está abierto (B=0), no pasa la corriente y la lámpara estará apagada (L=0).

•

2ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está abierto (B=0), no pasa la corriente y por tanto la lámpara está apagada (L=0).

•

3ª.- Si A está abierto (A=0) y B está cerrado (B=1), no pasa la corriente, lo que implica lámpara apagada (L=0).

•

4ª.- Si A está cerrado (A=1) y B está cerrado (B=1), pasa la corriente y la lámpara estará encendida (L=1). Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la verdad: A

B

L

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

En base a todo lo anterior, decimos que una operación producto (operación AND en inglés) de dos variables de entrada es aquella, en la cual, la salida tomará estado lógico “1” (lámpara en funcionamiento (L=1)), si todas las entradas tiene estado lógico 1 (contactos A y B cerrados). La forma matemática de expresar esta operación sería: L = A * B Así por ejemplo, la operación producto para el caso de tres variables de entrada (A,B y C) será:

L=A*B*C C

B

A

A*B*C

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

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4.3.Operación INVERSIÓN. Un conjunto inverso, negado o complementario de otro conjunto está formado por los elementos del conjunto universal no contenidos en aquel, lo que se representa en la siguiente figura: Conjunto inverso de A

A

A

La forma de representar la operación inversión mediante contactos eléctricos no es tan intuitiva como en las operaciones suma y producto, pero podríamos asociarla a la siguiente figura en la que la lámpara L1 es complementaria de la L2, puesto que si una está encendida la otra estará apagada y viceversa, en

A

función del estado de A.

El contacto cerrado

A (que leeremos A negada),

A L1

L2

es el complementario de A.

La tabla de la verdad correspondiente a los estados que puede poseer un conjunto y los que corresponden a su inverso se muestran en la siguiente tabla de la verdad:

Todas estas condiciones las podemos expresar mediante la siguiente tabla de la verdad:

A

A

0

1

1

0

En base a todo lo anterior, decimos que una operación inversión (operación NO) de una variable, es aquella que la salida tomará estado lógico “1” si la entrada es “0”, y tomará estado lógico “0” si la entrada está a “1” lógico.

Operación O exclusiva o XOR Esta operación derivada de la reunión, da una salida “1” cuando el número de entradas a 1 es impar. DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA ©J.Garrigós

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La tabla de verdad para dos variables es la que se indica seguidamente:

X ⊕Y = X *Y + X *Y X

Y

X ⊕Y

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

5. POSTULADOS Y PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE Y TEOREMAS DE MORGAN. 5.1. Postulados del álgebra de Boole. Basados en la función AND 1º) 0*0=0 2º) 0*1=0 3º) 1*0=0 4º) 1*1=1 Basados en la función OR 5º) 0+0=0 6º) 0+1=1 7º) 1+0=1 8º) 1+1=1 Basados en la función NO

9º ) 0 = 1 10º ) 1 = 0 5.2. Propiedades del álgebra de Boole Propiedades de la función AND 1ª) X*0=0 2ª) 0*X=0 3ª) X*1=X 4ª) 1*X=X Propiedades de la función OR 5ª) X+0=X 6ª) 0+X=X 7ª) X+1=1

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8ª) 1+X=1 Combinando una variable con ella misma o con su complemento

9ª ) X * X = X 10ª ) X * X = 0 11ª ) X + X = X 12ª ) X + X = 1 13ª )X = X

Doble complementación o doble negación

Ley conmutativa 14ª) X*Y=Y*X 15ª) X+Y=Y+X Ley distributiva 16ª) X*(Y+Z)=X*Y + X*Z 17ª) X+ Y*Z= (X+Y)*(X+Z) Ley asociativa 18ª) X*(Y*Z)=(X*Y)*Z 19ª) X+(Y+Z)=(X+Y)+Z Absorción 20ª) X + X*Y=X 21ª) X* (X+Y)=X Una identidad

22ª ) X + X * Y = X + Y 23ª ) X * ( X + Y ) = X * Y 5.3. Leyes de Morgan

1ª ) A + B + C + ...... + Z = A * B * C * ...... * Z 2ª ) A * B * C * ....... * Z = A + B + C + ....... + Z Demostración de las leyes de Morgan: ∩ = Intersección ∪ = Unión

A∩ B = A∪ B ∀ x ∈ A∩ B

⎧x ∉ A ⎪ ⇒ ⇒ x ∉ A ∩ B ⎨o ⎪x ∉ B ⎩

⎧x ∈ A ⎪ ⇒ x∈ A∪ B ⎨o ⎪ ⎩x ∈ B

⎧x ∉ A ⎪ ⇒ ⇒ x ∉ A ∪ B⎨ y ⎪x ∉ B ⎩

⎧x ∈ A ⎪ ⇒ x∈ A∩ B ⎨y ⎪ ⎩x ∈ B

A∪ B = A∩ B ∀ x ∈ A∪ B

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Ejemplo de aplicación de los postulados y propiedades del álgebra de Boole y leyes de Morgan. Entradas

Salidas

X

Y

Z

X

Y

Z

X+Y

(X + Y )* Z

X +Y

X *Y

X *Y

Z *(X + Y )

X ⊕Y ⊕ Z

0

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

6. PUERTAS LÓGICAS Las operaciones y funciones vistas anteriormente en la práctica digital se representan por las llamadas puertas lógicas, que no es otra cosa, que un dibujo normalizado que representa una función.

Las puertas lógicas normalizadas son las siguientes: Según la norma MIL-STD-806B AND

X Y

NAND

S

X Y

S

S

X Y

S

X

NOR

X Y

S O Exclusiva

Inversor

Excitador

X

OR

X Y

S

S

NOR Exclusiva X S Y

Aunque los símbolos anteriores son los principales, no obstante, y atendiendo a las normas BS 3939, IEC 117 y ANSI Y.32.14, también podemos encontrarnos los siguientes:

AND

X Y

&

NAND

S

X Y

1

S

X

1

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S

X Y

S

X Y

>1

NOR

S

X Y

S

X Y

O Exclusiva

Inversor

Excitador

X

&

OR

=1

>1

S

NOR Exclusiva =1

S

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La tabla de la verdad para la salida S en cada una de las puertas lógicas indicadas anteriormente es la que se muestra en la siguiente tabla: X Y AND NAND

OR

NOR

Inversor

Excitador

O Exclusiva

NOR Exclusiva

0 0

0

1

0

1

1

0

0

1

1 0

0

1

1

0

0

1

1

0

0 1

0

1

1

0

1

0

1

0

1 1

1

0

1

0

0

1

0

1

En la práctica, se considera que tenemos un “1” lógico cuando existe un nivel de tensión determinado, por ejemplo 5 V. De forma similar, decimos que tenemos un nivel “0” lógico cuando el nivel de tensión está a otro nivel de tensión preestablecido, por ejemplo 0 V. Ahora bien, esto no es tan fácil, y existen distintos tipos de tecnologías que asignan unos u otros valores a los estados lógicos, entre los más conocidos están las denominadas TTL y CMOS. Profundizando un poco más, y utilizando como ejemplo la tecnología TTL, se adopta que: •

Se considera un valor lógico “0” en la entrada a la puerta (VIL -I=Input, L= Low-) cuando la tensión está comprendida entre 0 y 0,8 V.

•

Se considera un valor lógico “1” en la entrada a la puerta (VIH -I=Input, H=High -) cuando la tensión está comprendida entre 2 y 5,5 V

•

Se considera un valor lógico “0” en la salida de la puerta (VOH -O=Output, L= Low-) cuando la tensión está comprendida entre 0 y 0,4 V.

•

Se considera un valor lógico “1” en la salida de la puerta (VOH -I=Output, H=High -) cuando la tensión está comprendida entre 2,4 y 5,5 V

Como se puede apreciar existen unas franjas de tensión donde la tecnología TTL puede considerar un “1” o un “0” lógicos, a estas franjas de tensión se les denomina zona de indefinición para las entradas y zona de prohibición para las salidas. Zona Zona Tecnologí indefinida prohibid a de entrada a salida 0.4 a TTL 0.8 a 2v 2.4v 0.01 a CMOS 1.5 a 3.5v 4.99v Siendo:

Vcc 5v 3 a 15v

VIH

VIL

VOH

VOL

2 a 5.5v 3.5 a 5v

0 a 0.8v 0 a 1.5v

2.4 a 5.5v 4.99 a 5v

0 a 0.4v 0 a 0.01v

Vcc = Tensión de alimentación de las puertas. En CMOS se ha supuesto dicha tensión en 5v. VIH = Nivel alto de tensión (H) de entrada (L) VIL = Nivel bajo de tensión (L) de entrada (L) VOH = Nivel alto de tensión (H) de salida (O) VOL = Nivel bajo de tensión (L) de salida (O)

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Otro concepto que conviene tener bastante presente en las puertas lógicas, es el llamado fan-out, que nos indica el máximo número de puertas que se pueden alimentar simultáneamente desde la salida de una de ellas. En la tecnología TTL su fan-out es de 10, en tanto que CMOS tiene un fan-out de 50.

7.

EJEMPLOS

DE

REPRESENTACIÓN

DE

ECUACIONES

EN

LENGUAJE DE CONTACTOS Y POR PUERTAS LÓGICAS. Debemos recordar en este apartado que el producto de variables equivale a contactos en serie, en tanto que, la suma de variables equivale a contactos en paralelo.

Aclarados estos conceptos representaremos unas ecuaciones a título de ejemplo: Ejemplo 1

S = A* B + A* B Esquema de puertas lógicas

B

A B

B A

A*B

B A

A*B + A*B=S

A*B

A

Esquema de contactos

A

B

A

B

S Ejemplo 2

M1 = A * (B * C + B * C ) M 2 = A * (B + C )

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Esquema de puertas lógicas

C

B

A B

B

C

C

B*C B C

B*C + B*C

B*C

A*(B*C + B*C)=M1 A

B C

C

A

A

B+C

A*(B + C)= M2

A

Esquema de contactos

A

A

B

B

C

C

B

M1

C

M2

8.SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES LÓGICAS La simplificación de ecuaciones es el proceso por el cual, partiendo de una ecuación inicial, se obtiene otra con menos términos pero que cumple la misma función que la primera, en definitiva, que el resultado obtenido en ambas será el mismo para todos los estados posibles de la ecuación.

La justificación de intentar obtener una ecuación con el mínimo número de variables es evidente, pues a menor número de puertas lógicas o de contactos, más simplificado será el circuito, se tendrán menos posibilidades de error, menor tiempo de ejecución será necesario, y lo que no es menos importante, más económico será el montaje.

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8.1. Simplificación mediante los postulados y propiedades del álgebra de Boole y teoremas de Morgan. Este método consiste en aplicar los postulados, propiedades y teoremas del álgebra de Boole y Morgan, para obtener de esta forma la ecuación lo más simplificada posible.

Ejemplo1 Considérese la ecuación siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mínimo número de términos posibles.

S = A* B *C * D + A* B *C * D + A* B *C * D + A* B *C * D Mediante la aplicación de la ley distributiva podemos sacar factor común de los dos primeros sumandos de la ecuación lógica

S = A * B * C(D + D ) + A * B * C * D + A * B * C * D pero sabemos que

A + A = 1 , y X*1=X, de ahí:

S = A* B *C + A* B *C * D + A* B *C * D Basándonos en las mismas propiedades y postulados, podemos sacar factor común de los dos últimos sumandos y simplificar.

S = A * B * C + A * B * C * ( D + D) = A * B * C + A * B * C De nuevo sacamos factor común y simplificamos obteniendo el resultado final:

S = A * B * (C + C ) S = A* B Ejemplo Considérese la ecuación siguiente de la cual deseamos obtener otra con el mínimo número de términos posibles.

P = A BC + ABC + A BC Dado que A + A = A , podemos sumar un sumando idéntico a uno de los que contiene la ecuación sin que esta varíe, es decir:

P = A BC + AB C + A BC = A BC + AB C + A BC + A BC Ahora sacamos factor común de los sumandos primero y tercero, por un lado, y segundo y cuarto por otro, volvemos a simplificar de nuevo y obtenemos el resultado final

P = A B(C + C ) + AC ( B + B ) P = A B + AC P = A* ( B + C )

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8.2. Simplificación mediante los diagramas o mapas de Karnaugh. El fundamento de la simplificación por Karnaugh se basa en la identidad:

A * B * C + A * B * C = A * B * (C + C ) = A * B Se trata de encontrar parejas de términos iguales, a excepción de una variable, que en uno esté negada y en el otro no. Obsérvese que en todos los diagramas de Karnaugh, al pasar de una cuadrícula a la adyacente siguiendo una fila o una columna (no en diagonal) siempre cambia de estado una de las variables. Cambia incluso entre la primera cuadrícula y la última de cada fila o de cada columna.

Imaginemos que tenemos que formar un mapa de Karnaugh de 2 variables X y Y. Nuestro mapa deberá tener, por tanto, 4 cuadros (2n donde n es el número de variables de entrada), y en cada uno de ellos se debe contemplar uno de los cuatro estados posibles de estas variables según la tabla de verdad. X

Y

0

0

0

1

1

0

1

1

Si tomamos los valores de X para las filas y los de Y para las columnas, una de las posibilidades sería la que se refleja en la siguiente cuadrícula, donde también se han indicado los valores que toman las variables en cada uno de los cuadros:

Y X

0 1

0

1

X=0 Y=0 X=1 Y=0

X=0 Y=1 X=1 Y=1

A efectos prácticos, otra forma de representar los mapas de Karnaugh, consiste en poner una línea continua encima de la fila o columna en la que la variables vale 1, en aquellos cuadros que no se encuentran bajo la “sombra” de la línea decimos que la variable toma valor 0. De esta forma el cuadro anterior quedaría:

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Y

X

X=0 Y=0 X=1 Y=0

X=0 Y=1 X=1 Y=1

A estas alturas, el lector seguramente está pensando que para dos variables es fácil construir el mapa de Karnaugh, pero ¿Y para tres, cuatro, cinco,…. variables?, como se podemos saber que se han contemplado todos los estados posibles de las variables de entrada. Daremos, a continuación, una regla práctica que suele ser de mucha utilidad en estos casos, imaginemos un papel cuadrado doblado muchas veces, de forma que cada doblez dejamos su superficie en la mitad. Una vez doblado “n” veces, imaginemos que dibujamos un mapa de Karnaugh de dos variables con un rotulador que ha sido capaz de calcar la cuadrícula en todas las caras del papel doblado. A partir de aquí, si deseamos obtener un mapa de Karnaugh de tres variables abatiremos el papel de izquierda a derechas quitando uno de los dobleces; de esta forma veríamos lo que se muestra en la figura: Obsérvese que la línea de la variable Y también se dibuja, pues se supone que también se

Y

había calcado. Finalmente, sabemos que para ocho estados (ocho cuadros) se necesitan tres variables, pues bien, bastará dibujar una línea continua a los cuadros nuevos que han aparecido en el mapa

X

( y que supondremos que también se calcará al resto de caras del papel). Finalmente resulta el mapa de Karnaugh para tres variables:

Y

Z

X El siguiente paso, será obtener el mapa para cuatro variables. Siguiendo con nuestro hipotético papel doblado, dado que antes lo hemos desdoblado hacia la derecha, ahora lo haremos hacia abajo, y añadiremos una nueva variable para los cuadros nuevos creados, resultando finalmente el mapa de Karnaugh de 4 variables como se indica en la siguiente figura:

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Y

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Z

X T

El siguiente mapa para 5 variables desdoblaríamos nuestro papel de nuevo hacia la derecha, resultando finalmente:

Y

Z

U Y

X T

De esta forma, obtendríamos los mapas de Karnaugh para n variables, tomando como regla general que cuando el número de variables que tenemos en el mapa es impar desdoblamos hacia la derecha para obtener una nueva, y si el número de variables es par desdoblaríamos hacia abajo.

La simplificación con Karnaugh trata de agrupar cuadrículas adyacentes en las que se cumpla la ecuación, para ir eliminando variables. Las agrupaciones de cuadriculas con valor 1 se denominan "lazos" y alrededor de ellas se dibuja una línea que los contiene. Cada lazo formará un término en la versión simplificada de la ecuación. Existen unas reglas para confeccionar los lazos o agrupaciones de 1, exponiéndose a continuación las más importantes: • 1ª.- Cada lazo debe de contener el mayor número de unos posible, debiendo constar de 2,4,8,16 (potencias de 2) o en último caso un simple 1. y entonces no habrá simplificación de dicho término.

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• 2ª.- Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadriculas de valor uno que correspondan a la vez a dos lazos diferentes. • 3ª.- No sé pueden formar lazos entre parejas de unos situados en diagonal. • 4ª.- Debe tratarse de conseguir, el menor número de lazos, y que como se indico anteriormente, cada lazo contenga el mayor número de unos. • 5ª.- La columna más a la derecha se considera adyacente a con la de más a la izquierda, y la primera fila del diagrama se considera adyacente a la última. • 6ª.- De entre las distintas posibilidades que existen de formar lazos, se debe elegir aquella que tenga el menor número de lazos. • 7ª.- Cada lazo del diagrama representa un término de la ecuación simplificada final, y dicha ecuación reúne todos los términos o lazos mediante la operación OR o suma lógica. • 8ª.-

Si en un lazo hay una variable que está en estado uno en alguna cuadrícula y en estado

cero en otra, se elimina. • 9ª.-

Si una variable está con el mismo estado en todas las cuadrículas de un lazo, debe ser

incluida en la expresión simplificada Algunos ejemplos aclararán el sistema de simplificación de Karnaugh: Ejemplo 1 Simplificar por Karnaugh la ecuación:

R = A* B*C + A* B*C + A* B*C a)

Las cuadriculas que cumplen la ecuación en un diagrama de Karnaugh para tres variables, se indican en la figura 1.

FIGURA 1

b)

Con la disposición elegida podemos hacer dos lazos de dos unos cada uno de ellos,

LAZO A

no importando que un uno pertenezca a la vez a los dos lazos del mapa. LAZO B

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FIGURA 2

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c)

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Para obtener la ecuación simplificada se suman las expresiones de los lazos, eliminando de ellos las variables que en una de las cuadrículas aparecen negada y en la otra no. Así, el lazo A tiene dos cuadrículas que lo componen y en ambas el valor de las variables B y C valen cero; sin embargo, la variable A, en una cuadrícula vale uno y en la otra cero, por lo que esta variable será eliminada, quedando expresado el lazo A como B * C .

En el lazo B sus dos cuadrículas tienen A=0 y C=0, sin embargo, en una de ellas B=0 y en la otra B=1, así que se elimina B y dicho lazo queda expresado como A * C .

La ecuación simplificada es igual a la suma lógica de las expresiones de los lazos, o sea:

R = A* B *C + A* B *C + A* B *C = B *C + A*C la cual es todavía simplificable sacando factor común C .

Ejemplo 2. Simplificar por Karnaugh la ecuación:

R = A* B *C + A*C * D + A* B *C * D + A*C * D a) El mapa de Karnaugh de 4 variables resuelto para la ecuación anterior se indica en la figura 3.

FIGURA 3

b)

En la figura 3 se han hecho los lazos, contemplando el hacer el menor número de lazos con el mayor número de unos.

c)

Obtención de los términos simplificados de cada uno de los nudos

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** LAZO A ** A [1,0,1,0] Eliminada

B [1,1,0,0] Eliminada

C[1,1,1,1]

D[1,1,1,1]

C

D

Lazo A = C* D

**LAZO B ** A [0,0,0,0]

B [1,1,1,1]

A

B

C[0,1,0,1] Eliminada

D[0,0,1,1] Eliminada

Lazo B = A*B

La ecuación simplificada es la suma lógica de los lazos, o sea:

R = A* B *C + A*C * D + A* B *C * D + A*C * D = C * D + A* B 9. OPERACIONES NAND Y NOR Y CONVERSIÓN DE ECUACIONES. Las operaciones que resuelven los automatismos y problemas digitales, contienen sumas, productos, negaciones etc… Si para cada una de las operaciones específicas se emplea una puerta diferente que la ejecute, serán precisos bastantes modelos de circuitos integrados para resolver el circuito que corresponde a la ecuación planteada. Mediante ala correcta aplicación de los teoremas de Morgan, se puede resolver cualquier ecuación usando exclusivamente un único tipo de puerta lógica: el NOR o el NAND. Esto puede suponer ventajas en el diseño y una menor posibilidad de error. 9.1.Teoremas de Morgan En el aparatado 5.1, se indicaron y demostraron los teoremas de Morgan, según los cuales:

A + B + C = A* B * C A* B *C = A + B + C Se deja al alumno que compruebe la veracidad de estos teoremas mediante tablas de verdad. 9.2.Resolución de ecuaciones mediante operadores NOR Seguidamente se desarrolla el modo de realizar operaciones lógicas utilizando únicamente operadores NOR.

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9.2.1.Realización de una inversión o negación con operadores NOR Si el operador NOR dispone de una sola entrada, la salida que se obtiene es la negación de dicha entrada. La siguiente figura representa un operador NOR realizando una inversión y la tabla de verdad que le corresponde.

A

A

0

1

1

0

A

A

9.2.2. Realización de una suma negada con operadores NOR El operador NOR realiza directamente la suma negada, tal y como se indica en la siguiente figura

A B

A+B

9.2.3.Realización de una suma con operadores NOR. La resolución de la suma de dos variable sin negar con el operador NOR se resuelve mediante dos operadores, el primero suma las variables y el segunda niega la negación de la suma de variables que se obtiene de la primera puerta. Observe la figura.

A B

A+B

A+B = A+B

9.2.4. Realización de un producto con operadores NOR. Recuerde que el teorema de Morgan indica:

A + B = A * B , de esta igualdad sse

desprende que la suma negada es igual al producto de las negadas de cada una de las variables.

A B

A+B=A*B

Otra forma de aplicar el teorema de Morgan se indica en la siguiente figura:

A B

A+B=A*B=A*B

Se puede observar que para obtener el producto de dos variables hay que introducirlas negada en la puerta lógica.

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9.3.Resolución de ecuaciones mediante operadores NAND. De modo similar al empleado con operadores NOR, procedemos seguidamente a estudiar la forma de ralizar operaciones lógicas mediante operadores NAND. 9.3.1. Realización de una inversión o negación con una puerta NAND Cuando todas las entradas de la puerta están conectadas entre sí, únicamente se usa un operador para negar la entrada.

A

A

9.3.2. Realización de un producto negado con operadores NAND La puerta NAND realiza directamente el producto negado, tal y como se muestra an el siguiente figura: A B

A*B

9.3.3. Obtención de un producto de dos variables sin negar. La primera puerta realiza el producto y lo deja negado, siendo la segunda la que al volver a negar su entrada lo deja sin negar. A B

A*B=A*B

A*B

9.3.4. Realización de una suma con puertas NAND. Para realizar una suma con operadores NADN se aplica el teorema de Morgan, según el cual, el producto de varias variables negadas es igual a la negación de la suma de dichas variables:

A* B = A + B Una operación NAND de sus entradas negadas es equivalente a la suma de dichas entradas.

A B

A*B=A+B=A+B

En definitiva, se trata de introducir las entradas negadas en la puerta lógica. 9.4.Ejemplos de resolución de ecuaciones con operadores NOR y NAND EJEMPLO 1 Obténgase el esquema de puertas lógicas que responde a la ecuación propuesta, utilizando únicamente operadores NOR

(

S = A* B + A D + C

)

Resolvemos la ecuación por sumandos, comenzando por el de la izquierda.

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a) Obtención del producto A*B

A B

A*B

b) Obtención del sumando

(

A* D + C

)

Comenzamos por el interior del paréntesis, el cual, dejamos negado : D C

D+C

A+D+C = A*(D+C)=A*(D+C) A

c ) Sumando los términos anteriores y volviendo a negar la salida obtenemos la salida deseada.

A

A

A*B A*B + A* (D+C)

B

B

A*B + A* (D+C)

D

D

D+C C

A*(D+C) A

A

EJEMPLO 2 Obténgase el esquema de puertas lógicas que responde a la ecuación propuesta, utilizando únicamente operadores NAND

(

S = A* B + A D + C

)

a) Obtención de A * B A B

A*B

b ) Obtención de A * ( D + C )

A

D C

D*C=D+C

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A*(D+C)

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d ) Si volvemos a introducir en una puerta NAND las salidas anteriores obtendremos el resultado deseado. A B

A*B (A*B)*[A*(D+C)] = A*B + A*(D+C) A

D

D

A*(D+C)

D*C=D+C

C

Se propone al lector resolver el circuito de puertas lógicas corresponde con la ecuación:

NOR y NAND que se

S = A * B + C * (D + AB )

10. RESOLUCIÓN LÓGICA DE AUTOMATISMOS COMBINACIONALES. Cuando se desea resolver problemas por medio del álgebra de Boole, es muy recomendable seguir un procedimiento metodológico basado en 4 fases, que se desarrolla seguidamente. Existe, no obstante, una fase inicial, no contemplada en la mecánica general de resolución, pero que resulta fundamental. Esta fase inicial consiste en una buena comprensión del enunciado del problema, de forma que será necesario dedicar todo el tiempo preciso para entender claramente los objetivos del mismo y deducir que actuará como variables de entrada y cual, o cuales, serán las variables de salida. A menudo, se emplea un sistema consistente en simular el problema como una caja negra, cuyas entradas son variables, siendo los resultados las salidas de dicha caja.

ENTRADAS SALIDAS Variables

CAJA NEGRA

Resultados

Una vez comprendido el problema y asignadas las variables de entrada y de salida, el procedimiento operativo es el siguiente:

1ª FASE.- Formación de la tabla de la verdad. En ella se contemplarán todos los estados binarios posibles de las variables de entradas y los que corresponden a las salidas para cada combinación establecida, de acuerdo a las condiciones del problema. 2ª FASE.- Obtención de ecuaciones lógicas. Tomando como punto de partida la tabla de la verdad se determinan los diferentes estados de las variables para obtener los resultados buscados. Por ejemplo, si en el automatismo de un motor M, gobernado por tres variables A, B y C se deduce, según la tabla de la verdad, que estará activo en las dos combinaciones siguientes: a. A= 1, B=0 y C=1 DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA ©J.Garrigós

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b. A=0, B=1 y C=1 Estas combinaciones se pueden expresar como: a.

A* B *C

b.

A* B *C

De este modo la ecuación que controla el motor viene dada por:

M = A* B *C + A* B *C 3ª FASE.- Simplificación de las ecuaciones lógicas. La eliminación de variables dentro de una ecuación, que es en lo que consiste la simplificación, supone un ahorro económico derivado de la reducción de componentes, tiempo y mano de obra del montaje. A título de ejemplo, si nos fijamos en la ecuación anterior, y sacamos el factor común, la ecuación es la misma, pero pasa de seis elementos a cinco.

(

M = C * A* B + A* B

)

4ª FASE.- Representación eléctrica y por puertas lógicas de las ecuaciones simplificadas. Esta fase es de vital importancia pues será donde se obtienen los planos eléctrico y electrónico del circuito. 10.1.RESOLUCIÓN DE UN AUTOMATISMO DE LÓGICA COMBINACIONAL. Una máquina de refrescos tiene y tres pulsadores a, n, y l (a para el agua, n para la naranja l para el limón), y tres depósitos con agua, naranja y limón.

Cada uno de los depósitos está controlado por una electroválvula: Ea para el depósito del agua, En para el depósito de la naranja y El para el depósito del limón.

Se desea diseñar el automatismo de control de la máquina de forma que se cumplan las siguientes condiciones: a. La máquina puede dar agua, agua con limón y agua con naranja, pero nunca naranja o limón solos o mezclados. b. La electroválvula de cada uno de los depósitos se activará por medio de su correspondiente pulsador y siempre que se cumplan las condiciones establecidas en el problema. c.

La desconexión de las electroválvulas se producirá cuando el vaso de refresco se haya llenado, al actuar, debido a su peso, sobre un pulsador cuando el vaso este lleno.

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SOLUCIÓN DEL PROBLEMA AGUA

NARANJA

Ea

LIMÓN

En

El

Botonera a

n

l

Vaso Pulsador NC

Fase inicial: Designación de las variables de entradas salidas. En este ejemplo la cosa es bastante evidente, siendo las variables de entrada los pulsadores a, n y l, y las variables de salidas las electroválvulas de cada uno de los depósitos. Si bien el pulsador NC es una variable de entrada, a efectos de resolver el circuito no lo consideraremos, pues bastará conectarlo en serie con la alimentación eléctrica para cortar la corriente al circuito cuando el peso del vaso lleno actúe sobre él,

y de esta forma dejar el

automatismo en estado de reposo.

1ª Fase. Tabla de verdad del circuito Variables de entrada

Variables de salida

a

n

l

Ea

En

El

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

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2ª Fase. Obtención de ecuaciones. Obtendremos una ecuación por cada una de las variables de salida, en nuestro caso Ea, En y El. Ecuación de la electroválvula del agua: Si observamos la tabla de verdad, la electroválvula del agua se activa en tres estados distintos, en los que las variables de entrada toman los siguientes valores: •

a=1, n=0 y l=0, que se expresa como: a * n * l

•

a=1, n=0 y l=1, que se expresa como: a * n * l

•

a=1, n=1 y l=0, que se expresa como: a * n * l La ecuación de salida se obtiene como suma de cada uno de los términos obtenidos para

cada estado en que la variable de salida está activa, resultando finalmente:

Ea = a * n * l + a * n * l + a * n * l Ecuación de la electroválvula de la naranja: Como se aprecia en la tabla de la verdad, la electroválvula de la naranja sólo se activa en un estado que se corresponde con los siguientes valores de las variables de entrada: •

a=1, n=1 y l=0

Por lo tanto, la ecuación de la electroválvula de la naranja vendrá dada por:

En = a * n * l Ecuación de la electroválvula del limón: De forma similar al caso anterior, tal y como se aprecia en la tabla de la verdad, la electroválvula del limón sólo se activa en un estado que se corresponde con los siguientes valores de las variables de entrada: •

a=1, n=0 y l=1

Por lo tanto, la ecuación de la electroválvula del limón vendrá dada por:

En = a * n * l 3ª Fase. Simplificación de ecuaciones. En este caso las ecuaciones de las electroválvulas de la naranja y limón no pueden simplificarse, puesto que sólo tienen un sumando.

Con

respecto

a

la

ecuación

de

la

electroválvula del agua, considerando la propiedad del álgebra de Boole que indica que A+A=A obtenemos:

Ea = a * n * l + a * n * l + a * n * l

Ea = a * n * l + a * n * l + a * n * l + a * n * l

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Sacando factor común del primer y segundo sumando y del tercero y cuarto respectivamente, y simplificando tenemos:

Ea = a * n * ( l + l ) + a * l * ( n + n ) Ea = a * n + a * l Ea = a * ( n + l ) Si nos hubiéramos decantado por la simplificación a través de los mapas de Karnaugh el proceso sería el siguiente: 1. Dibujamos un mapa con las tres variables de entrada:

l

n

a

2. Dibujamos un uno en cada uno de los cuadros que se corresponden con los tres sumandos de

la

ecuación

de

partida

de

la

electroválvula

del

agua:

Ea = a * n * l + a * n * l + a * n * l

n

a

l

l

l

l

3. Hacemos lazos y simplificamos:

n

Lazo A: a * l

l

Lazo B: a * n

Ea = a * l + a * n

a

4. Simplificamos la ecuación sacando factor común de a:

Ea = a * ( n + l )

l

l

Lazo A

l

Lazo B

Sea cual sea el método utilizado, llegamos a la conclusión que las ecuaciones simplificadas de nuestro problema son:

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Ea = a * ( n + l ) En = a * n * l El = a * n * l 4ª Fase. Representación del circuito eléctrico y de puertas lógicas: Será este el momento, que en este caso particular, elegiremos para colocar el pulsador del vaso. Circuito eléctrico:

Pulsador del vaso a

a

n

n

l

l

En

El

a

n

l

Ea

Circuito de puertas lógicas: + Vcc Pulsador del vaso l

n

a n

n

l

l

Ea n+l a

a n l

a*n*l l

n

Con

los

conocimientos

En

a*n

a l

NOTA:

a*(n + l )

El

a*l a*n*l n

estudiados

hasta

aquí,

el

esquema

de

puertas

lógicas

anterior sería válido, pero en la práctica hay que completarlo con algunos componentes más (Circuito de potencia, resistencias de los pulsadores de las variables de entrada, condensadores

de

desacoplo

par

el

ruido

electrónico

etc..)

y

añadir

patillaje

y

designación de los circuitos integrados, aunque esto lo veremos posteriormente.

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11 CIRCUITOS INTEGRADOS DIGITALES. Los circuitos integrados están formados por un bloque monolítico o sustrato sobre el cual se construyen las diferentes partes, a base de técnicas de difusión de impurezas P ó N, con procedimientos muy parecidos a los empleados en los semiconductores discretos. Los circuitos integrados digitales son todos aquellos que trabajan sobre la base de dos estados o niveles, los cuales son: bajo y alto. Con estos estados o niveles es posible realizar con ellos toda clase de funciones de tipo digital o binario, ya sea en forma de circuitos combinacionales o secuenciales.

De todas las familias lógicas posibles, en este texto nos centraremos en la denominada TTL (Lógica Transistor Transistor) por tener buen comportamiento con los fenómenos de electricidad estática, un precio económico en las puertas básicas y una velocidad de conmutación lo suficientemente alta para los requerimientos necesarios en este nivel académico. Las características de cada uno de los circuitos integrados vienen recogidas en los llamados DataBook, y es muy fácil encontrar sus especificaciones a través de Internet. A titulo de ejemplo, la siguiente figura representa una copia de un DataBook para el circuito integrado TTL, tipo OR de dos entradas.

Es fácil descifrar los distintos parámetros especificados en la tabla, considerando que: •

I significa INPUT (entrada)

•

O significa OUTPUT (salida)

•

L significa LOW (bajo, haciendo referencia al nivel lógico cero).

•

H significa HIGH (alto, haciendo referencia al nivel lógico uno).

•

Vcc significa tensión de alimentación del circuito integrado en corriente continua.

•

Icc significa corriente de alimentación del circuito integrado en corriente continua.

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Seguidamente se muestran los esquemas de algunos de los circuitos integrados TTL de la serie 74xx más comunes:

SN7400

SN7404

SN7410

SN7432

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SN7402

SN7408

SN7427

SN7486

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APÉNDICE A: SISTEMAS DE NUMERACIÓN INTRODUCCIÓN Los

números

se

pueden

representar

en

distintos

sistemas

de

numeración que se diferencian entre si por su base. Así el sistema de numeración decimal es de base 10, el binario de base 2, el octal de base 8 y el hexadecimal de base 16. El diseño de todo sistema digital responde a operaciones

con

números

discretos y por

ello necesita

utilizar los sistemas de numeración y sus códigos. En los sistemas digitales se emplea el sistema binario debido a su sencillez.

SISTEMA DECIMAL Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por

los

árabes.

Su

base

es

10.

Emplea

10

caracteres

o

dígitos

diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo: 237 = 7 * 10 0 + 3 * 10 1 + 2 * 10 2 = 7 + 30 + 200 = 237

SISTEMA BINARIO Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2. Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios). Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. En la tabla siguiente podemos ver los primeros dieciséis números binarios y su equivalente decimal. Decimal

Binario

Decimal

Binario

0

0000

8

1000

1

0001

9

1001

2

0010

10

1010

3

0011

11

1011

4

0100

12

1100

5

0101

13

1101

6

0110

14

1110

7

0111

15

1111

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CONCEPTOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

TECNOLOGÍA 4º E.S.O.

SISTEMA HEXADECIMAL. Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Su base es 16. Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar con cuatro bits binarios al ser 16 = 24. En la siguiente tabla se muestran los primeros números decimales y su conversión binaria y hexadecimal: Nº Decimal

Nº binario

Nº Hexadecimal

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

CONVERSIONES Conversión entre binario y decimal Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos: 101111 2 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47 10 1010111 2 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 64 + O + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 87 10

Existe otro método más rápido de convertir un número binario a decimal, el cual, consiste en hacer una retícula con tantas celdas como dígitos tenga el número binario que deseamos convertir, después, a cada una de las celdas le asignamos un valor decimal, igual a las potencia de 2, que se corresponde con la posición de la celda comenzando por 20, 21, 22 y así

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TECNOLOGÍA 4º E.S.O.

sucesivamente. Finalmente, sumamos el valor de las celdas donde hay unos binarios, descartando los valores de las celdas que tienen asignados ceros. Ejemplo: Supongamos que deseamos saber el valor decimal del número binario 1010111 Construimos una tabla de una fila y 7 columnas (igual al número de dígitos del número binario), y asignamos a cada una su valor decimal (en la parte superior) 26

25

24

23

22

21

20

4

2

1

La tabla anterior se puede expresar de la forma: 64

32

16

8

Colocamos en número binario en las celdas 64

32

16

8

4

2

1

1

0

1

0

1

1

1

En la parte inferior, sumamos el valor asignado a las celdas en las que hay un 1 binario, descartando aquellas que tienen un 0 binario. 64

32

16

8

4

2

1

1

0

1

0

1

1

1

64

+ 0

0 +

4

+ 16 +

+

2 + 1 = 8710

Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2, hasta que el cociente sea igual o menor que 1. El número binario se forma tomando el último cociente obtenido y los restos de cada una de las divisiones, en orden inverso a como se han ido obteniendo. Ejemplo: Pasar a binario 12510

Tal y como se puede apreciar el resultado es: 12510=11111012

125 2 05 62 2 1 02 31 2 0 11 15 2 1 1 7 1

2 3 2 1 1

Conversión entre binario y hexadecimal

La conversión entre binario y hexadecimal es muy sencilla, para ello, vasta con agrupar los bits de 4 en e 4 añadiendo los ceros que falten para conseguir un múltiplo de 4, y después sustituir cada agrupación por su correspondiente dígito hexadecimal. Ejemplo: Convertir el número binario 1011100102 a hexadecimal:

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CONCEPTOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

TECNOLOGÍA 4º E.S.O.

Dado que tiene 9 dígitos le añadimos tres ceros más a la izquierda para que sea múltiplo de 4, quedando de la forma: 0001 0111 0010 . Finalmente asociamos cada una de las agrupaciones a su correspondiente dígito hexadecimal, atendiendo a la tabla anterior. 00012= 116

01112=716

00102=216

1 0111 00102=17616 Conversión de hexadecimal a binario.

Se opera de igual forma que para la conversión de un número de binario a hexadecimal, pero asociando el dígito hexadecimal a agrupaciones de 4 bits binarios. Ejemplo: Convertir a binario el número hexadecimal: A7C16 A16 = 1010

716 = 0111

C16 = 1100

Es decir : A7C16=1010 0111 1100 Conversión de hexadecimal a decimal.

Para convertir un número hexadecimal en decimal se emplea el sistema de sumar el valor que representa cada dígito según su posición, multiplicando por las diversas potencias de la base, en este caso es 16. Ejemplo: Convertir a decimal el número hexadecimal 55F16 55F16= 5*162 + 5*161+F*160=1280+80+15=137510 Conversión de decimal a hexadecimal

Para convertir un número decimal en hexadecimal lo iremos dividiendo sucesivamente por 16, y cuando no se puedan continuar las divisiones se formará el número en hexadecimal con el último cociente seguido de los restos sucesivos obtenidos desde el final al primero. Ejemplo: Convertir el número decimal 248 en hexadecimal. 24810=F816

248 16 88 15 8

F

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para pasar de binario a decimal

4. Para pasar de hexadecimal a binario

a) 110012 b) 10110110112

a) 86BF16 b) 2D5E16

Solución: 2510 Solución: 73110

Solución: 10000110101111112 Solución: 00101101010111102

2. Para pasar de decimal a binario

5. Para pasar de decimal a binario

a) 86910 b) 842610

a) 10610 b) 74210

Solución: 11011001012 Solución: 100000111010102

Solución: Solución:

3. Para pasar de binario a hexadecimal

6. Para pasar de decimal a binario

a) 1100010002 b) 100010,1102

a) 23610 b) 5274610

Solución: 18816 Solución: 22,C

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Solución: Solución:

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