Apuntes Del Método de Cross

METODO DE CROSS

Sistemas no translacionales Introducción Que ocurre si en una viga biempotrada sustituyo un empotramiento por un momento + un apoyo? ( es decir un giro) M1

M2

α L Y1

L

Y2

Se que se produce el siguiente efecto: Y1+Y2 = 0

Y 1 = −

Y1*L + M1 + M2 = 0

 M 1 +  M 2  L

Si aplico el 2º teorema de Mörh obtengo: α  =

0=

1  EI 

∫ Mx * x *dx

Coef. Transmisión = M2 = M1/2

De donde se obtiene (ver apuntes de la carrera) que: M2 = 0.5*M1, es decir que al introducir un giro (momento) en el apoyo, me aparece un momento en el lado contrario que es la mitad del primero. El coeficiente de transmisión del momento de un apoyo al otro sería:

t  =

 M 2  M 1

= 1/ 2

Rigidez de una viga:  R =

Se define como el cociente en tre el momento y el ángulo de giro que provoca.

 M  α 

Rigidez de una biga biempotrada. M1

M2

α L Y1

 R =

 M  α 

=

 M 1  M 1 =  L  A 1  M  +  M 2 − 1  X  +  M 1  EI   EI   L

∫ 0

1er teorema de Mörh

L

 R =

Y2

4 EI   L

METODO DE CROSS

Rigidez de una biga empotrada-articulada.

L 1er supuesto

R  b*αa

Ma

2º supuesto

R *αa*t

=

R *αa*t*t

R *αa*t

+

L Ma = R * αa*t*t = R *

 R =

 M  α 

=

αa*(1-t²)

 R * α a * (1 − t ²) α a

=

4 EI   L

* [1 − (1 / 2)² ]

 R =

Reglas a seguir en el método de cross. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Cálculo de las rigideces y coeficientes de r eparto. Cáculo de los momentos de empotramiento perfecto. Suma de momentos en los nudos Reparto del momento entre las barras. Transmisión a los nudos opuestos de las barras repetir desde el paso 3

Ejemplo: 2 T/m

4,00

8,00

///////

///////

Cálculo de las rigideces y coeficientes de reparto. 1 4 E  0.3 * 0.53 4 EI  12  Rviga = = = 0,69  L 8 1 4 E  0.3 * 0.33 4 EI  12  R pilar  = = = 0,31  L 4 Comprobación: 0,69+0,31 = 1

3 EI   L

METODO DE CROSS

Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto.  M  =

Q * L2 12

=

2 * 82 12

= 10,67 2 T/m

A

B

8,00

C

Signo -

4,00

D

///////

Signo +

///////

Se procede a pasar la información al esquema del pórtico con los momentos de empotramiento perfecto y con los coeficientes de reparto. A

B -10.67 0.69

0.00

10.67 0.69

0.31

0.00

0.00

0.31

0.00

0.00

0.00

C

D

Suma de momentos en los nudos Se suman los momentos en los nudos y se anota el resultado en el propio nudo.  Nudo A = -10.67 + 0 = -10.67  Nudo B = 10.67 + 0 = 10.67 A

-10.67

-10.67 0.69

0.00

0.31

0 0.00

10.67

10.67 0.69

0.00

0.31

0.00

C

B

0.00 0 0.00 D

Reparto del momento entre las barras.  Nudo A = -10.67 * 0.69 = -7.36  Nudo B = 10.67 * 0.69 = 7.36

-10.36 * 0.31 = -3.29 10.36 * 0.31 = 3.29

METODO DE CROSS

A

-10.67

7.36 -10.67 0.69

0.00 3.29

-7.36 10.67

0.00 -3.29

0.31

0.00 0.00

B

0.69

0.31

0 0.00

10.67

0.00 0.00

0 0.00

C

D

Transmisión a los nudos opuestos de las barras.  Nudo A = 7.36 / 2 = 3.68  Nudo B = -7.36 / 2 = -3.68 A

-10.67

-3.68 7.36 -10.67 0.69

0.00 3.29 0.00

3.68 -7.36 10.67

0.00 -3.29 0.00

0.31 1.65 0.00 0.00

B

0.69

0.31

0 0.00

10.67

-1.65 0.00 0.00 0 0.00

C

D

Repetir el proceso desde el paso 3 (Suma de momentos en los nudos) Se vuelven a sumar los momentos en los nudos y se repite el proceso de manera reiterada hasta que las diferencias en las barras sean pequeñas y el error sea mínimo. El momento resultante en cada nudo será la suma de los momentos de empotramiento perfecto y los momentos transmitidos. Suma = -4.85

Suma = 4.85

A

-10.67 -3.68 -1.27

0.87 -1.27 2.54 -3.68 7.36 -10.67

0.69 0.00 3.29 0.00 1.14 0.00 0.40

0.31

Suma = 2.22

C

0 0.00 1.65 0.57

-0.87 1.27 -2.54 3.68 -7.36 10.67

1. 2.

10.67 3.68 1.27

6.

B

0.69 0.31

0.00 0.57 0.00 1.65 0.00 0.00

3. 4. 5.

0.00 -0.57 0.00 -1.65 0.00 0.00 0 0.00 -1.65 -0.57

0.00 -3.29 0.00 -1.14 0.00 -0.40

D

Cálculo de las rigideces y coeficientes de reparto. Cáculo de los momentos de empotramiento  perfecto. Suma de momentos en los nudos Reparto del momento entre las barras. Transmisión a los nudos opuestos de las  barras repetir desde el paso 3

El momento resultante en cada nudo es la suma de los momentos de empotramiento perfecto y los momentos transmitidos  Nudo A  0.87-1.27+2.54-3.68+7.36-10.67 = -4.85 3.29+1.14+0.40 = 4.85  Nudo B  -0.87+1.27-2.54+3.68-7.36+10.67=4.85 3.29-1.14-0.40 = -4.85  Nudo C  0.57+1.65 = 2.22  Nudo B - 0.57-1.65 = -2.22

METODO DE CROSS

Sistemas translacionales Introducción Que ocurre si en un nudo en vez de introducir un giro introducimos un desplazamiento, que ocurre con el nudo?

Q

Q F=10

8.00

4.00

///////

///////

///////

///////

Como se que:

M2 M1

Y1+Y2=0

Y 1 * L − M 1 − M 2 ⇒ Y 1 =

δ

 M 1 +  M 2  L

L Y1

Y2

Aplicando el primer teorema de Mörh: α  =

0=

 A

Como en este caso α = 0 

 EI  1

0=

1

 L

∫ M  d 

 EI  0

 x  x

y como Mx = Y1*X-M1:

 L

∫ (Y  * X  − M  )d 

 EI  0

1

1

 x



M1 = M2 X

A

Ahora aplicamos el segundo teorema de Mörh: δ   =

δ   =

 M e  EI  1

CDG

Como Me = A*X

δ

 L

∫ ( M  * X )d 

 EI  0

 x

 x



δ   =

 M  * L2 6 EI 

Es decir, si un nudo hace girar una barra en un sentido, en ese mismo sentido es el momento que le aplica el nudo a la barra.  Nosotros no sabemos los que valen las deformaciones  pero si que estas son iguales, por lo cual suponemos que se esta produciendo un momento cualquiera por ejemplo 100 (fácil cálculo)

F=10

100K 100K

100K

///////

100K

///////

METODO DE CROSS

Partiendo de este momento teórico de 100K (que no sabemos aún cuanto es), se realiza el cross.

Suma = -80.11 Suma = 76.01

A

100.00 -34.50 11.90

-4.10 -8.21 11.90 23.80 -34.50 -69.00 0.00 0.69

100.00 -31.00 0.00 10.70 0.00 -3.69 0.00

C

0.69

0.31

Suma = 88.00 0 100.00 -15.50 5.35

-4.10 -8.21 11.90 100.00 23.80 -34.50 -34.50 11.90 B -69.00 0.00

0.31

-1.85 0.00 5.35 0.00 -15.50 0.00 100.00

-1.85 0.00 5.35 0.00 -15.50 0.00 0 100.00 100.00 -15.50 5.35

100.00 -31.00 0.00 -10.70 0.00 -3.69 0.00

D

Como el cálculo se aproxima tras varias reiteraciones, se toma como buenos momentos 78K en nudos AyB y 90K en CyD

Q

78k

V1

8.00

4.00

V2 ///////

///////

V1*4 + 90K+78K=0 F = 42 K  Como F = 10  10 = V1*K+V1*K = 2*V1*K = 84K

90k

 K=

Pudiendo de esta forma obtener los momentos resultantes: M1=78 K = 78*0.12 =9.36 M2=90 K = 90*0.12 =10.80

///////

0.12