Apuntes Del Curso Física I, Ingeniería .

Apuntes del Curso Física I, Ingeniería . Capítulo 1. Definiciones Básicas _______________________________________________________________________________________________________

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CAPÍTULO 1. Definiciones Básicas

La Física La Física es una ciencia experimental, y como tal debe verificar sus proposiciones a través de experimentos que puedan ser reproducidos en igualdad de condiciones por cualquier experimentador.

Magnitud Física Para definir una magnitud física, debe existir un proceso de medición que permita determinar de manera unívoca el valor de dicha magnitud. El proceso de medición entrega simultáneamente la definición de la magnitud física, el valor numérico de dicha magnitud y su unidad de medida.

Sistema de Referencia Cuerpo o punto del espacio respecto al cual referiremos todas nuestras mediciones. Los sistemas de referencia de pueden clasificar como inerciales (se cumple el Principio de Inercia) y como noinerciales (no se cumple el Principio de Inercia).

Sistema de Coordenadas Sistema formado por tres ejes perpendiculares entre sí (no necesariamente) que están graduados en las unidades de medida que corresponden a la magnitud física a estudiar para facilitar el proceso de medición. Estos ejes son independientes entre sí.

Modelos La física hace uso extensivo del concepto de modelo. Un modelo es una idealización de una situación física que permite una enorme simplificación del verdadero problema físico. Esta simplificación de la realidad permite construir relaciones matemáticas entre las magnitudes físicas. Estas relaciones matemáticas se denominan leyes. A partir de las leyes encontradas para los modelos, podemos hacer predicciones sobre situaciones que incluso no estaban contempladas inicialmente en el modelo. Si las predicciones del modelo no son coincidentes con los resultados experimentales, entonces el modelo construido es inadecuado y debe ser modificado. El modelo modificado debe ser contrastado con nuevos resultados experimentales. Así se van enriqueciendo o modificando constantemente los modelos hasta que sus predicciones coinciden, dentro de cierto rango de tolerancia, con los resultados experimentales. Es importante recalcar que los modelos se

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pueden modificar o incluso desechar definitivamente (ejemplo: el modelo denominado “eter” inventado en la segunda mitad del siglo XIX para describir la teoría electromagnética, fue definitivamente desechado de la física en 1905 cuando A. Einstein publicó la Teoría de la Relatividad Especial). Actualmente, muchos modelos de la física que normalmente consideramos exitosos, están siendo revisados y puestos a prueba frente a nuevas evidencias experimentales.

Partícula Una partícula es un modelo (una idealización física) que permite considerar un cuerpo de cierto tamaño como un punto geométrico, es decir, que no ocupa extensión en el espacio, pero sin embargo contiene toda la masa m del cuerpo. Dicho modelo funciona bien si el error cometido en la medición de la distancia desde el origen del sistema de referencia, hasta al cuerpo, es del orden del tamaño del objeto. Así, a veces es posible considerar como partícula a una persona, a la tierra, al sol, etc. Un buen ejemplo de modelo de partícula lo constituyen las estrellas que brillan en el firmamento. Vemos a las estrellas como pequeñísimos puntos (por la enorme distancia que nos separa), cuando en realidad la mayoría de ellas son mucho más grandes que nuestro sol. En conclusión, el modelo de partícula es un concepto relativo. En lo que sigue en estos apuntes usaremos el concepto de partícula hasta que no se diga lo contrario.

Escalares y vectores Las magnitudes físicas pueden tener carácter escalar, carácter vectorial o, más generalmente, carácter tensorial. Los escalares requieren de una sola información: magnitud (con su correspondiente unidad de medida), para quedar completamente determinados. Los vectores, en cambio, requieren de dos informaciones para quedar completamente determinados: magnitud (con su correspondiente unidad de medida) y dirección respecto a un sistema de referencia. Los tensores son una generalización de las ideas anteriores.

Campos escalares y vectoriales Si a cada punto del espacio asociado a una situación física le asignamos una magnitud escalar, se dice que tenemos un espacio escalar. Si a cada punto del espacio asociado a una situación física le hacemos corresponder un vector, se dice que tenemos un espacio vectorial.

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Vectores libres y deslizantes En términos físicos, los vectores libres son aquellos que no cambian sus propiedades físicas si se trasladan paralelamente a sí mismos en el espacio (ver Figura (1.1)).


B


A




Vectores libres → A = B




Figura (1.1)

En cambio los vectores deslizantes son aquellos que mantienen sus propiedades físicas sólo cuando se mueven a lo largo de la recta que los contiene originalmente. No se pueden trasladar paralelamente a sí mismos (ver Figura (1.2))




Vectores deslizantes A = B





A


B

Figura (1.2)




Vector Posición r

Para localizar una partícula en el espacio se requiere de dos informaciones: magnitud y dirección respecto de algún sistema de referencia, por lo tanto se requiere de un vector para localizar a la partícula. La magnitud y dirección se pueden lograr conociendo las tres coordenadas espaciales o conociendo dos ángulos directores y la magnitud o módulo. Sea r el vector posición que localiza a la partícula en el espacio (ver Figura (1.3)). El vector




posición es un vector libre y puede ser escrito en función de sus componentes en coordenadas cartesianas:


r = xiˆ + yˆj + zkˆ

(1.1)

donde iˆ, ˆj , kˆ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes X , Y , Z que son perpendiculares entre sí y que además son absolutamente independientes entre sí.

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Z


r

z

y

Y

x X Figura 1.3

El vector posición r también se puede escribir en función de su magnitud o módulo r = r

r = x2 + y2 + z2

(1.2)

y de su dirección a través del vector unitario eˆr , en la forma:
r = r eˆr

(1.3)


r  El vector unitario eˆr se define como: eˆr ≡   y su dirección queda especificada conociendo dos r de sus ángulos directores, como veremos más adelante. En función de las componentes vectoriales, el vector unitario eˆr se expresa como:

eˆr =

xiˆ + yjˆ + zkˆ x ˆ y ˆ z ˆ = i + j+ k r r r r

(1.4)

Ahora podemos definir los cosenos directores del vector, en la forma

cos α =

x y z , cos β = , cos γ = r r r

(1.5)

donde α , β y γ son los ángulos directores que se forman entre el vector r y cada uno de los ejes




coordenados. Por lo tanto, el vector unitario eˆr siempre se puede escribir en la forma:

eˆr = cos α iˆ + cos β ˆj + cos γ kˆ

(1.6)

Dado que el módulo del vector unitario eˆr vale obviamente 1, se cumple que

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 es decir, sólo dos de los tres ángulos directores son independientes.

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(1.7)

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Movimiento


Decimos que una partícula está en movimiento, si al pasar el tiempo cambia su vector posición r respecto a algún sistema de referencia. Esto significa que una partícula puede estar en movimiento respecto de un observador, pero al mismo tiempo puede estar en reposo respecto de otro observador. Por eso decimos que el movimiento es relativo. En general, el vector posición es función del tiempo: r = r (t ) . En componentes, escribimos








r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ

(1.8)

Itinerario Se denomina itinerario de la partícula, al conjunto de las tres ecuaciones paramétricas que expresan las componentes del vector posición, es decir, sus coordenadas, en función del tiempo:

x = x(t );

y = y (t ); z = z (t )

(1.9)

Trayectoria El conjunto de puntos que genera la punta del vector posición al pasar el tiempo, define la curva trayectoria de la partícula (ver Figura (1.4)). Analíticamente, si se elimina el tiempo de las ecuaciones del itinerario, se obtiene una ecuación que relaciona sólo las variables espaciales entre sí. Esta ecuación se denomina: ecuación de trayectoria de la partícula. trayectoria

z


r1
r2
r3
r4

x

y Figura 1.4 Desplazamiento ∆r




Consideremos la posición de la partícula en dos tiempos: t y ( t + ∆t ) , donde ∆t es pequeño. Definimos el desplazamiento ∆r de la partícula como:







∆r ≡ r (t + ∆t ) − r (t )

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(1.10)

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Este vector ∆r va de la punta del vector posición r (t ) a la punta del vector posición r (t + ∆t )










(ver Figura (1.5). Para valores grandes de ∆t , el vector ∆r no tiene ninguna relación con la curva




trayectoria. Sin embargo, a medida que ∆t se hace cada vez más pequeño, el vector desplazamiento


∆r se va acercando cada vez más a la curva trayectoria. En el límite, cuando ∆t tiende a cero, el
vector desplazamiento ∆r llega a ser tangente a la curva trayectoria.

r





r (t )

z


∆r


r (t + ∆t )

x

y

Figura 1.5 Esta idea se muestra esquemáticamente en la Figura (1.6), para dos valores distintos del tiempo

 

final: (t + ∆t ) en la Figura (1.6a), y en un tiempo más pequeño:  t +

∆t   en la Figura (1.6b). 10 
∆r


r (t ) z


r (t )


∆r

z
r (t + ∆t 10)


r (t + ∆t )

x

y

x

y

(a)

Figura (1.6)

(b)


Velocidad Media v (t ) Se define la velocidad media vectorial v (t ) como la razón entre el desplazamiento ∆r y el tiempo







∆t :



∆r v (t ) ≡ ∆t

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(1.11)

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Esta velocidad media vectorial no tiene una relación muy directa con la curva trayectoria, como se puede ver mirando el desplazamiento ∆r en la Figura (1.6a).







Velocidad instantánea v (t ) Se define la velocidad instantánea v (t ) como la razón de cambio del desplazamiento ∆r en







función del tiempo, en el límite cuando ∆t → 0 :




 ∆r  dr (t ) v (t ) ≡ lim  = ∆T →0 ∆t dt  

(1.12)

Es muy importante destacar que, experimentalmente, este límite siempre existe.




Finalmente, la velocidad instantánea se define como la derivada temporal del vector posición r (t )


dr (t )
v (t ) = dt

(1.13)

De acuerdo con el teorema que afirma que toda función derivable es continua, la existencia de la




derivada del vector posición r (t ) en la definición de la velocidad instantánea indica que el vector posición es una función continua, es decir, el movimiento es continuo. Esta condición de continuidad implica que cuando una partícula viaja de un punto a otro del espacio, ella debe pasar, necesariamente, por todos los puntos intermedios, o dicho de otro modo, no puede desaparecer en un punto y aparecer en otro distinto. Dado que en el límite cuando ∆t tiende a cero, el vector desplazamiento ∆r llega a ser tangente a







la curva trayectoria, entonces, por la misma razón, el vector velocidad instantánea v (t ) siempre es un vector tangente a la curva trayectoria que apunta en el sentido de movimiento de la partícula. Derivando el vector posición obtenemos la velocidad instantánea:


dx dy ˆ dz ˆ v (t ) = iˆ + j+ k dt dt dt

(1.14)

Las componentes de la velocidad vienen dadas por:

vx (t ) =

dx dy dz , v y (t ) = , vz (t ) = dt dt dt

(1.15)

Rapidez media vm (t ) Se define la rapidez media vm (t ) como la razón entre el camino recorrido ∆s y el tiempo ∆t empleado en recorrerlo:

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vm (t ) ≡

∆s ∆t

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(1.16)

El camino recorrido ∆s mide la distancia total recorrida sobre la curva trayectoria en el intervalo de tiempo ∆t

Rapidez La rapidez v(t ) del movimiento se define como el módulo del vector velocidad:




 ∆r  dr (t ) v(t ) ≡ v (t ) = lim  =  ∆T → 0 ∆t dt  

(1.17)

También podemos definir la rapidez en función de la distancia total ∆s recorrida sobre la curva trayectoria en la siguiente forma, pasando al límite cuando ∆t → 0 a la relación (1.16), que define a la rapidez media, se tiene:

 ∆s  ds (t ) v(t ) ≡ lim   = ∆ T → 0 ∆t dt  

(1.18)

Las relaciones (1.17) y (1.18) representan a la misma magnitud física, ya que en el límite, cuando ∆t → 0 , la longitud del arco ∆s asociado a la curva trayectoria y el módulo del vector

desplazamiento ∆r son iguales, es decir,




 ∆s  lim 
 = 1 ∆t → 0  ∆r   

(1.19)

Por lo tanto, podemos decir que la rapidez v (t ) viene definida indistintamente como


dr (t ) ds (t ) v(t ) = = dt dt

(1.20)




Dado que la velocidad instantánea v (t ) siempre es un vector tangente a la curva trayectoria, la podemos escribir en función de su rapidez v (t ) , y en función de un vector unitario tangente eˆT (t ) , ( eˆT (t ) = 1 ∀t ) cuya dirección varía continuamente, ya que siempre se mantiene tangente a la curva trayectoria en cada punto, tal como se muestra en la Figura (1.7). Por lo tanto, el vector velocidad instantánea puede ser escrito como:


v (t ) = v(t ) eˆT (t ) donde la dependencia temporal indica que ambos pueden variar en el tiempo.

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(1.21)

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Vector unitario=

z

eˆT eˆT

eˆT

eˆT

x

y

Figura (1.7) Aceleración media a (t )




Se define la aceleración media a (t ) , como la razón de cambio de la variación de la velocidad




instantánea ∆v en función del tiempo:






∆v a (t ) ≡ ∆t

(1.22)




Aceleración instantánea a (t )




Se define la aceleración instantánea a (t ) como la razón de cambio de la variación de la velocidad instantánea ∆v en función del tiempo, en el límite cuando ∆t → 0 :







 ∆v  dv (t ) a (t ) ≡ lim  = ∆T →0 ∆t dt  

(1.23)

Es muy importante destacar que, experimentalmente, este límite siempre existe. De acuerdo con el teorema que afirma que toda función derivable es continua, podemos afirmar que




la velocidad v (t ) es una función continua porque es derivable. Esta condición de continuidad implica que, cuando una partícula cambia su velocidad instantánea de un valor a otro, en cierto intervalo de tiempo, la velocidad debe pasar por todos los valores intermedios entre las dos velocidades extremas. Dado que sabemos que el vector velocidad es tangente a la curva trayectoria en cada instante de tiempo ( v = v eˆT ), podemos preguntarnos: ¿para dónde apunta el vector aceleración instantánea






a (t ) ? La respuesta es la siguiente: el vector aceleración instantánea a (t ) apunta siempre en el sentido de concavidad de la curva trayectoria. Aclaremos esta respuesta con un dibujo (ver Figura (1.8)). Consideremos la posición r y la velocidad instantánea v de la partícula en dos tiempos







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distintos: ti = t y t f = ( t + ∆t ) , donde ∆t es pequeño. Por simplicidad de notación escribamos:









r (t ) = ri , r (t + ∆t ) = rf y v (t ) = vi , v (t + ∆t ) = v f

z
ri


vi
vf


rf

x

y

Figura (1.8) Definimos la variación de la velocidad instantánea ∆v de la partícula como:







∆v ≡ v (t + ∆t ) − v (t )

(1.24)

en función de los vectores recién definidos, se escribe:




∆v ≡ v f − vi

(1.25)

Para realizar la resta de los vectores velocidad mostrados en la Figura (1.8), trasladamos paralelamente el vector velocidad final v f hasta que su origen coincide con el origen del vector




velocidad inicial vi y luego dibujamos el vector ∆v (ver Figura (1.9a)). Cuando hacemos este







traslado paralelo de vectores, no cambian las propiedades físicas, ya que estos vectores se comportan como vectores libres, es decir, mantienen sus propiedades físicas ante una traslación paralela en el espacio.


∆v


vf

z
vi y


∆v


vf
vi

x (a)


∆v

(b) Figura (1.9)

Más adelante, cuando lleguemos a estudiar el torque de la fuerza, entonces consideraremos que los vectores fuerza pueden comportarse de dos formas diferentes: como vectores libres y como vectores

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deslizantes deslizantes. Para visualizar mejor el efecto de la traslación paralela, hemos agrandado los vectores y, adicionalmente, también hemos trasladado paralelamente el vector ∆v al origen del




vector velocidad inicial (ver Figura (1.9b)). Claramente se ve que el vector ∆v apunta en el sentido




de concavidad de la curva trayectoria, independientemente de si el vector v f es mayor o menor que




el vector vi . Cuando ∆t → 0 , el vector ∆v apunta hacia la concavidad de la curva trayectoria.







Dado que la aceleración instantánea se define a partir del vector ∆v cuando ∆t → 0 , entonces la







aceleración instantánea a (t ) apunta siempre hacia la parte cóncava de la curva trayectoria.




El vector aceleración instantánea a (t ) tiene la forma genérica:


a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ

(1.26)

Derivando el vector velocidad, podemos escribir la aceleración instantánea en la forma:

dv y dv
ˆj + dvz kˆ a (t ) = x iˆ + dt dt dt

(1.27)

En consecuencia, las componentes de la aceleración instantánea vienen dadas por:

ax (t ) =

dv y dvx dv , a y (t ) = , az (t ) = z dt dt dt

(1.28)

Si usamos las componentes de la velocidad instantánea en función de las coordenadas, podemos escribir la aceleración instantánea en función de las coordenadas:

d 2x d2y d 2z ax (t ) = 2 , a y (t ) = 2 , az (t ) = 2 dt dt dt

(1.29)

Aceleración tangencial aT y aceleración centrípeta aC







El vector aceleración instantánea que vimos anteriormente, se puede escribir en función de dos vectores unitarios que van variando su dirección en el espacio: el vector unitario tangente eˆT (t ) que apunta siempre en la dirección de la velocidad instantánea, y el vector unitario normal eˆN (t ) que es perpendicular a eˆT (t ) en todo instante y que apunta siempre hacia la concavidad de la curva trayectoria. Usando la expresión de la velocidad instantánea en función del vector unitario tangente dado por la ecuación (1.21)


v (t ) = v(t ) eˆT (t )

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(1.30)

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la aceleración instantánea viene dada por:



dv d (v eˆT )  dv   deˆ  a= = =  eˆT + v T  dt dt  dt   dt 

(1.31)

Consideremos las siguientes definiciones.

Aceleración tangencial aT :





 dv  aT ≡  eˆT  dt 

(1.32)

Esta aceleración aparece si y sólo si cambia la rapidez v al pasar el tiempo.




Aceleración normal o centrípeta aC :


 deˆ  a C ≡ v T   dt 

(1.33)

Esta aceleración aparece si y sólo si cambia la dirección del vector velocidad al pasar el tiempo. Para obtener la expresión final de la aceleración centrípeta aC , debemos calcular la derivada




temporal del vector unitario tangente mueve en el plano

( x, y )

deˆT . Por simplicidad, consideremos que la partícula sólo se dt

describiendo alguna trayectoria curva. En particular, consideremos el

movimiento entre los tiempos ti = t y t f = ( t + dt ) . En la Figura (1.10) hemos dibujado los vectores unitarios tangente eˆT y normal eˆN en estos dos tiempos marcados con los puntos P Q , respectivamente. Las prolongaciones de los vectores unitarios normales se cortan en el punto C . La distancia CP = CQ , desde el punto C a la curva trayectoria define el llamado radio de curvatura

ρ = CP = CQ . En la Figura (1.10), φ (t ) es el ángulo que hace el vector unitario tangente con el eje x en el tiempo inicial ti (ver punto P ). Con respecto a los ejes x e y , el vector unitario eˆT viene dado por la siguiente expresión (ver alrededor del punto P en la Figura (1.10)):

eˆT = cos φ (t ) iˆ + sin φ (t ) ˆj

(1.34)

Cuando la partícula se mueve describiendo la curva trayectoria, el ángulo φ (t ) cambia en el tiempo, pero los vectores unitarios iˆ y ˆj no cambian en el tiempo. Entonces, usando (1.34), la derivada temporal

deˆT viene dada por dt

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deˆT d dφ (t ) = cos φ (t ) iˆ + sin φ (t ) ˆj = − sin φ (t ) iˆ + cos φ (t ) ˆj dt dt dt

(

) (

)

13

(1.35)

C

dφ

y

ρ

eˆT eˆN

ρ

φ + dφ

y Q

eˆN φ

x

eˆT

P

φ x ds

Figura (1.10)

Mirando alrededor del punto P , el vector unitario normal eˆN viene dado por

eˆN = − sin φ (t ) iˆ + cos φ (t ) ˆj

(1.36)

Por lo tanto, la relación (1.35) queda:

deˆT dφ (t ) = eˆN dt dt Ahora sólo resta saber cuánto vale la derivada

(1.37)

dφ (t ) . En primer lugar, usemos la regla de la dt

cadena para escribir esta derivada en la forma:

dφ (t ) dφ (t )  ds  =   dt ds  dt 

(1.38)

donde ds = PQ es el arco diferencial a lo largo del cual se mueve la partícula en el tiempo dt .

 ds   es la rapidez v de la partícula, tal como vimos en (1.20), es decir,  dt 

Entonces, 

v=

ds dt

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(1.39)

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Por otra parte, sabemos que la longitud del arco ds de una curva está relacionada con el radio ρ de la curva (radio de curvatura) y con el ángulo dφ subtendido por el arco en la forma (ver sector formado por CPQ en Figura (1.10)):

ds = ρ dφ

(1.40)

dφ 1 = ds ρ

(1.41)

Por lo tanto,

Reemplazando las relaciones (1.39) y (1.41) en la relación (1.38), obtenemos

dφ (t ) v = dt ρ Ahora que conocemos

(1.42)

dφ (t ) deˆT , podemos calcular la derivada . Insertando (1.42) en (1.37), se dt dt

tiene:

deˆT v = eˆN dt ρ

(1.43)

Con este resultado podemos conocer finalmente la aceleración centrípeta o normal, dada por la relación (1.33):


 deˆ aC ≡ v  T  dt

v    = v  eˆN   ρ 

(1.44)

Es decir, la aceleración centrípeta o normal viene dada por:

v2
aC = eˆN

ρ

(1.45)

Por lo tanto, en función de la aceleración tangencial (1.32) y de la aceleración normal o centrípeta (1.45), la aceleración instantánea (1.31) se escribe:

v2
 dv  a =   eˆT + eˆN ρ  dt 

(1.46)

a
= a
T + a
C

(1.47)

Es decir,

En cada instante, el vector normal eˆN apunta hacia el centro de curvatura C desde donde habría que dibujar el arco de la curva trayectoria instantánea, tal como se mostró en la Figura (1.10). En




consecuencia, el vector aceleración instantánea a apunta en el sentido de concavidad de la curva ________________________________________________________________________________________ Prof. Edmundo Lazo, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá

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trayectoria, tal como se muestra en la Figura (1.11) con la flecha punteada, y tal como se mostró antes en la definición del vector aceleración instantánea.

C

ρ
aN


aT


a


aT


aN


a

ρ C

Figura (1.11) En este punto podríamos intentar definir una nueva magnitud física, dada por la derivada de la aceleración con respecto al tiempo:



da (t ) ∆a ≡ lim ∆t → 0 ∆t dt

(1.48)

El problema con una definición como esta, es que experimentalmente, este límite no siempre existe. Otra manera de indicar los problemas que existen con esta definición, es decir que si existiera la derivada de la aceleración, entonces la aceleración debería ser una función continua del tiempo. Veamos un par de ejemplos donde se muestra que la aceleración no siempre es una función continua.

Ejemplo 1. Una partícula cuelga de una cuerda en reposo. Dado que está en reposo, su




aceleración es a = 0 . Si en t = 0 se corta la cuerda, la partícula adquiere instantáneamente la




aceleración de gravedad verticalmente hacia abajo: a = − gjˆ . Es decir, la aceleración, en módulo,




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m como debería ser si la aceleración 2  s 

no cambió continuamente desde a = 0 hasta a = g = 9,8 

fuera una función continua, sino que saltó, discontinuamente, de un valor al otro. En consecuencia, el límite en t = 0 no es único y no existe la derivada de la aceleración.

Ejemplo 2. Una partícula viaja en una trayectoria recta con rapidez v constante ( v = v ), en




consecuencia, su aceleración es cero. En x = 0 , la trayectoria recta empalma con una vía en forma de semicircunferencia de radio R (ver Figura (1.12)).

v = cte

v = cte a=0

R

a=

v2 R

R

Figura (1.12) Si la partícula sigue viajando con la misma rapidez constante v sobre la semicircunferencia, entonces, sobre la curva, la partícula tiene aceleración centrípeta constante: ac =

v2 . De nuevo R

v2 en x = 0 . Por lo vemos que la aceleración cambia discontinuamente desde a = 0 hasta a = R tanto, el límite no es único y no existe la derivada de la aceleración.

Como podemos ver, la derivada de la aceleración, no necesariamente existe. Afortunadamente, para describir el movimiento de una partícula no es necesario definir ninguna otra magnitud cinemática distinta de las ya descritas, y por lo tanto, no necesitamos de la derivada de la aceleración.

Resumen Las definiciones vectoriales que permiten describir el movimiento son: Posición:


r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ

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(1.49)

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Velocidad:


dr (t )
v (t ) = dt

(1.50)

Aceleración:


dv (t )  dv  v2
ˆ =   eT + eˆN a (t ) = (1.51) dt ρ  dt 

En consecuencia, si conocemos la función aceleración a (t ) , la posición inicial r0 y la velocidad
inicial v0 , integrando primero la ecuación (1.51) y luego la ecuación (1.50), podemos obtener el

vector velocidad v (t ) y el vector posición r (t ) como función del tiempo.

Movimiento Relativo: Consideremos el movimiento de una partícula vista desde dos sistemas de referencia: Κ y Κ ′ , cada uno de los cuales se mueve siempre con velocidad constante. A esta clase de sistemas que se mueven siempre con velocidad constante, se les denomina: “sistemas inerciales” Sea V la velocidad constante con que se mueve del sistema Κ ′ respecto del sistema Κ .




Consideremos, por simplicidad, que ambos orígenes coinciden al tiempo t = 0 y que el sistema

Κ ′ se mueve a lo largo de los ejes x, x ' , manteniéndose paralelos los ejes y, y ' y z , z ' , tal como se muestra en la Figura (1.13). Entonces, la distancia que separa los orígenes de ambos sistemas de referencia en función del tiempo, a lo largo del eje x común, viene dada por d = V t .

y

y' Κ′

Κ


r′


r

z


Vt

x, x '

z' Figura (1.13)

La Figura (1.13) muestra también el vector posición r de la partícula respecto al sistema Κ y el




vector posición r ′ respecto al sistema Κ ′ . Estos vectores están conectados por el vector V t que







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relaciona los orígenes de ambos sistemas en función del tiempo. Claramente se cumple la siguiente suma vectorial:


r
= r
′ + V t

(1.52)

Despejando r ′ y escribiendo esta relación en componentes, se tiene




x′ = x − Vt y′ = y

(1.53)

z′ = z t'=t

Estas relaciones de transformación de un sistema de referencia inercial a otro, son también llamadas Transformaciones de Galileo. Hemos agregado la relación t ′ = t porque está implícitamente comprendida en la derivación anterior, que los tiempos medidos por todos los observadores inerciales del universo son iguales entre sí.

Consideremos ahora la derivada temporal de la relación (1.52):



dr dr ′ d
= + Vt dt dt dt

( )

(1.54)




dado que la velocidad relativa entre los sistemas inerciales es constante, V = cte , esta relación queda,




v = v′ +V

(1.55)




dr
dr ′ ′ es la velocidad de la partícula respecto del sistema Κ , y donde v = es la donde v = dt dt velocidad de la partícula respecto del sistema Κ ′ . Esta relación se denomina: Teorema Clásico de Adición de Velocidades.

Consideremos ahora la derivada temporal de la relación (1.55):




dv dv ′ dV = + dt dt dt

(1.56)



dV
ya que V = cte , se tiene que: = 0 , luego, dt

dv dv′ = dt dt

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(1.57)

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dv
dv′ pero a = es la aceleración de la partícula respecto del sistema Κ , y a′ = es la aceleración dt dt de la partícula respecto del sistema Κ ′ ; por lo tanto se cumple que la aceleraciones son iguales:



a = a′

(1.58)

Esta relación establece que la aceleración es la misma, vista por todos los observadores del universo que viajan en sistemas de referencia inerciales. Lo anterior implica que las ecuaciones de movimiento, serán las mismas vistas por todos los observadores inerciales. También se podría decir: todas las leyes de la cinemática son las mismas para todos los observadores inerciales que se mueven unos con respecto a otros con velocidad relativa constante.

Nota: Más adelante estudiaremos la masa m de una partícula clásica como una propiedad que no


cambia con la velocidad. También aprenderemos a conocer las fuerzas Fj que actúan sobre la partícula, y finalmente conoceremos la relación entre estas magnitudes físicas y la aceleración. En particular, demostraremos la Segunda Ley de Newton para el caso de masa constante, la cual afirma que la fuerza resultante FR =




N

∑F


j

es igual al producto de la masa de la partícula por la

j =1

aceleración que ésta adquiere como consecuencia de la fuerza resultante aplicada, es decir,



FR = ma . Multiplicando la ecuación (53) por la masa de la partícula, se tiene



m a = m a′

(1.59)

pero, de acuerdo con el caso particular de la Segunda Ley de Newton, F = m a , la igualdad de







aceleraciones en todos los sistemas inerciales, implica la igualdad de la fuerzas en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir,



F = F′

(1.60)



donde F = m a es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, medida por el observador en

el sistema Κ , y donde F ′ = m a′ es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula, medida por el observador en el sistema Κ ′ . Este resultado asegura que la fuerza sobre una partícula es la misma vista por todos los observadores inerciales del universo.

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Ahora podemos afirmar con más generalidad que las leyes de la dinámica (de la Mecánica) son las mismas para todos los observadores inerciales que se mueven unos con respecto a otros con velocidad relativa constante.

Esta invariancia de las leyes de la Mecánica frente a la transformación de coordenadas entre sistemas de referencia inerciales, recibe el nombre de Teoría de la Relatividad Galileana, porque está basada en las Transformaciones de Galileo.

Velocidad y aceleración relativas Consideremos ahora un único sistema de referencia inercial que se mueve con velocidad constante respecto a algún sistema de referencia. Dentro de este sistema de referencia inercial, consideremos el movimiento de dos partículas de masas m1 y m2 , cada una con su propio vector posición respecto al origen del sistema de referencia r1 y r2 , respectivamente, tal como se muestra en la







Figura (1.14)

y

m1




r12 = r2 − r1


r1


r2

m2

x

z Figura (1.14)

Si ahora nos paramos en la partícula 1 para observar a la partícula 2 , el vector que mide la posición de la partícula 2 respecto de la partícula 1, viene dado por




r21 = r2 − r1

(1.61)

Derivando esta relación respecto del tiempo, se tiene




dr21 dr2 dr1 = − dt dt dt es decir,

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(1.62)

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v21 = v2 − v1

21

(1.63)


dr21 es la velocidad relativa de la partícula 2 respecto de la partícula 1, y donde dt


dr1
dr2 es la velocidad de la partícula 1 respecto del origen del sistema referencia y es la v1 = v2 = dt dt

Donde v21 =




velocidad de la partícula 2 respecto del origen del sistema referencia. Si derivamos la relación (1.63) respecto del tiempo, obtenemos la aceleración relativa de la partícula 2 respecto de la partícula 1:




dv21 dv2 dv1 = − dt dt dt

(1.64)




a21 = a2 − a1

(1.65)

es decir,



dv21 donde a21 = es la aceleración relativa de la partícula 2 respecto de la partícula 1, y donde dt


dv1
dv2 a1 = es la aceleración de la partícula 1 respecto del origen del sistema referencia y a2 = dt dt es la aceleración de la partícula 2 respecto del origen del sistema referencia. Naturalmente que podemos considerar a la partícula 2 como origen del sistema de referencia y referir todas las medidas de posición, velocidad y aceleración relativas respecto de ella, a saber,

posición:





r12 = r1 − r2 = − r21

(1.66)





v12 = v1 − v2 = −v21

(1.67)





a12 = a1 − a2 = − a21

(1.68)

velocidad:

aceleración:

Nótese que los vectores vistos desde la partícula 1 y los vectores vistos desde la partícula 2 son opuestos entre sí.

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