Apuntes de Sistemas de Control

APUNTES DE SISTEMAS DE CONTROL ˜ R. P. Neco

O. Reinoso

N. Garc´ıa

Elche, octubre, 2003

R. Aracil

Apuntes de sistemas de control © Ramón P. Ñeco García Oscar Reinoso García Nicolás García Aracil Rafael Aracil Santonja

ISBN: 978–84–9948–253–8 e-book v.1.0

ISBN edición en Papel: 978-84-8454-305-3

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Maqueta y diseño: Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

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´Indice general ´ Indice de Figuras

X

´ Indice de Tablas

XIX

Pr´ ologo

XXI

I

An´ alisis de sistemas continuos de control realimentados

1. Introducci´ on 1.1. Sistemas de control. Conceptos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Elementos en un sistema de control . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado . . . . . . . . . . 1.1.3. Realimentaci´on de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Esquemas t´ıpicos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Comportamiento din´ amico de sistemas continuos. Resumen . . . 1.2.1. La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Funci´ on de Transferencia de un sistema . . . . . . . . . . 1.2.3. Respuesta temporal de un sistema continuo . . . . . . . . 1.2.4. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente 1.3. Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados . . 1.3.1. Criterio de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados 21 2.1. Respuesta en r´egimen transitorio y en r´egimen permanente en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Error en r´egimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iii

IV

´INDICE GENERAL 2.3. Se˜ nales de entrada normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Tipo de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Constantes de error en sistemas con realimentaci´on unitaria . . . . . . . . 2.5.1. Error ante una entrada escal´ on. Error de posici´ on. Constante de error de posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Error ante una entrada rampa. Error de velocidad. Constante de error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Error ante una entrada parab´ olica. Error de aceleraci´on. Constante de error de aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Errores en sistemas con realimentaci´on no unitaria . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Transformaci´ on en un sistema equivalente con realimentaci´on unitaria 2.6.2. C´ alculo del error a partir de la ganancia est´ atica de la realimentaci´on 2.7. Comparaci´ on bucle abierto-bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. T´ ecnica del lugar de las ra´ıces 3.1. Ecuaciones b´ asicas del lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Reglas para el trazado del lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Ejemplos de trazado del lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Forma b´ asica del lugar de las ra´ıces en sistemas de primer y segundo orden 3.3.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2.1. Adici´ on de ceros a un sistema de segundo orden simple . 3.3.2.2. Adici´ on de polos a un sistema de segundo orden simple . 3.3.3. Sistemas de fase no m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Contorno de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 46 48 53 53 55 56 56 59 60 65 65 67 72

4. An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia 4.1. Respuesta en frecuencia de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Justificaci´ on del estudio de la respuesta en frecuencia . . . . . . . 4.1.2. R´egimen permanente senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Diagramas de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Representaci´on de los Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Diagrama de Nyquist o trazado polar . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Diagrama de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Identificaci´ on en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Estabilidad de un sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

4.5. Principio del argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Camino de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Ejemplos de aplicaci´ on del criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . 4.8. Introducci´ on de polos y ceros adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Adici´ on de polos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Adici´ on de polos en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Adici´ on de ceros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Criterio de Nyquist para sistemas de fase m´ınima. Estabilidad relativa . . 4.10. M´ argenes de ganancia y de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Estabilidad en los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11.1. Frecuencia de corte y ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Respuesta en frecuencia en bucle cerrado. C´ırculos M y N. Diagrama de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.1. Sistemas con realimentaci´on unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.2. Sistemas con realimentaci´on no unitaria . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

Dise˜ no de sistemas continuos de control

V

94 98 101 102 105 105 107 109 109 110 113 115 117 118 121 122

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5. Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Tipos de compensaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Metodolog´ıas para el dise˜ no de reguladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Condiciones b´ asicas del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Acciones b´asicas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Reguladores de tipo P e I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Regulador de tipo PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Regulador de tipo PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Efectos de las acciones de control integral y diferencial en el comportamiento de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces 6.1. Enfoque del lugar de las ra´ıces para el dise˜ no de sistemas de control . . . 6.2. Sistema equivalente de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Compensaci´on mediante regulador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Ejemplo introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Procedimiento de dise˜ no de un regulador PD . . . . . . . . . . . .

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145 145

´INDICE GENERAL

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6.3.3. Criterios para situar el cero de un regulador PD . . 6.4. Compensaci´on mediante regulador PI . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Pasos en el dise˜ no de un regulador PI . . . . . . . . 6.5. Compensaci´on mediante un regulador PID . . . . . . . . . . 6.6. Otros m´etodos de ajuste de reguladores tipo PID . . . . . . 6.6.1. Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar reguladores 6.6.1.1. Primer m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1.2. Segundo m´etodo . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Dise˜ no de reguladores continuos. M´ etodo de respuesta en frecuencia 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Especificaciones en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . 7.1.2. An´ alisis del diagrama de Bode de un sistema en bucle abierto . . . 7.1.3. M´etodo de la respuesta en frecuencia para la compensaci´on de un sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Compensaci´on mediante red de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Limitaciones del control de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . 7.3. Compensaci´on mediante red de retraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Efectos y limitaciones del control de retraso de fase . . . . . . . . . 7.4. Compensaci´on mediante red de atraso-adelanto de fase . . . . . . . . . . . 7.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III

. . . . . . . . . . . . . . . PID . . . . . . . . .

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An´ alisis de sistemas discretos de control realimentados 203

8. Conceptos de teor´ıa de sistemas discretos 8.1. Sistemas controlados por computador. Motivaci´ on. 8.2. Sistemas discretos. Secuencias. . . . . . . . . . . . 8.2.1. Propiedades de las secuencias . . . . . . . . 8.2.2. Secuencia de ponderaci´on . . . . . . . . . . 8.3. La transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1. Propiedades de la transformada Z . . . . . 8.3.2. Transformada inversa Z . . . . . . . . . . . 8.3.3. Funci´ on de transferencia en Z . . . . . . . . 8.4. Muestreo y reconstrucci´on de se˜ nales . . . . . . . . 8.4.1. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . 8.5. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . .

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VII

9. Estabilidad en sistemas discretos 215 9.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.2. Transformaciones del plano s al plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.2.1. Eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.2.2. Semiplano negativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.2.3. Regi´on del plano s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.2.4. Rectas de abscisa constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.2.5. Recta que pasa por el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.2.6. Rectas de ω constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.3. Estabilidad en el plano s y en el plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.3.1. Efectos de los polos sobre la estabilidad de un sistema discreto . . 225 9.3.2. M´etodos para la determinaci´on de la estabilidad en sistemas discretos227 9.4. M´etodos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.4.1. Criterio de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.4.2. An´ alisis de estabilidad mediante la transformaci´ on bilineal y el criterio de estabilidad de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.5. Consideraciones finales sobre el estudio de estabilidad . . . . . . . . . . . 237 Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.An´ alisis din´ amico de sistemas discretos 239 10.1. Respuesta ante la secuencia impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 10.2. Respuesta ante un escal´on unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 10.3. Sistema reducido equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.3.1. Eliminaci´ on de pares polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 10.3.2. Eliminaci´ on de polos de m´odulo comparativamente peque˜ no . . . . 246 10.3.3. Resumen. Reglas para la obtenci´on del sistema reducido equivalente 247 10.4. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 10.4.1. Respuesta a la secuencia impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.4.2. Respuesta a la secuencia escal´on unitario . . . . . . . . . . . . . . 250 10.4.3. Especificaciones de los sistemas discretos de primer orden . . . . . 253 10.5. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.5.1. Sistemas de segundo orden con dos polos reales . . . . . . . . . . . 254 10.5.2. Sistemas de segundo orden con dos polos complejos conjugados . . 255 10.5.3. Caracter´ısticas din´amicas temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 11.Sistemas discretos realimentados 11.1. Errores en r´egimen permanente . . . . . . . . . . . 11.1.1. Se˜ nales discretas de entrada normalizadas . 11.1.2. Tipo de un sistema discreto . . . . . . . . . 11.1.3. Medidas del error en r´egimen permanente . 11.2. Errores en sistemas con realimentaci´on no unitaria

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´INDICE GENERAL

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11.3. Influencia de las perturbaciones 11.4. T´ecnica del lugar de las ra´ıces . 11.4.1. Reglas de construcci´on . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . .

sobre el error en r´egimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12.An´ alisis de sistemas discretos en el dominio de la frecuencia 277 12.1. Respuesta en frecuencia de un sistema discreto de control . . . . . . . . . 278 12.2. Representaci´on gr´afica de la respuesta en frecuencia de un sistema discreto de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 12.2.1. Trazado polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 12.2.2. Transformaci´ on bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 12.2.3. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 12.3. An´alisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia. Criterio de Nyquist 283 12.3.1. Criterio de Estabilidad de Nyquist en el plano ω . . . . . . . . . . 285 12.3.2. Ejemplos de aplicaci´on del criterio de Nyquist para sistemas discretos286 12.3.2.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 12.3.2.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 12.4. Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

IV

Dise˜ no de sistemas discretos de control

13.Discretizaci´ on de Reguladores Continuos 13.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. M´etodos de discretizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. M´etodos basados en la aproximaci´ on de la evoluci´ on temporal . . . . . . . 13.4. Discretizaci´on por integraci´ on num´erica. Aplicaci´on a la discretizaci´on del regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1. Acci´on proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2. Acci´on integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3. Acci´on diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.4. Regulador proporcional-integral o regulador PI . . . . . . . . . . . 13.4.5. Regulador proporcional-diferencial o regulador PD . . . . . . . . . 13.4.6. Regulador PID digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5. Discretizaci´on por emparejamiento de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . 13.6. Configuraciones del regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

IX

14.Dise˜ no de reguladores PID discretos. Extensi´ on de las t´ ecnicas cl´ asicas321 14.1. Dise˜ no de reguladores PID discretos con el m´etodo del lugar de las ra´ıces 322 14.1.1. Reguladores PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 14.1.2. Reguladores PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 14.1.3. Reguladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 14.2. M´etodos frecuenciales de dise˜ no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 14.2.1. Reguladores P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 14.2.2. Efecto de la adici´ on de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 14.2.3. Reguladores PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 14.2.4. Reguladores PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 15.Dise˜ no por s´ıntesis directa I 15.1. M´etodo de Truxal o de s´ıntesis directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1. Condiciones para el dise˜ no de un controlador por s´ıntesis directa 15.1.1.1. Realizaci´ on f´ısica del controlador . . . . . . . . . . . . . 15.1.1.2. Estabilidad del bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2. M´etodo de dise˜ no de controladores por s´ıntesis directa . . . . . . 15.2. M´etodo de asignaci´on de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1. Eliminaci´ on del error en r´egimen permanente . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

16.Dise˜ no por s´ıntesis directa II. Controladores de tiempo m´ınimo y tiempo finito 16.1. Controladores de tiempo m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1. Consideraci´ on del retardo del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2. Procesos con ceros de fase no m´ınima y/o polos fuera del c´ırculo unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.3. C´alculo del orden de M (z −1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.4. C´alculo de la rapidez de un controlador de tiempo m´ınimo . . . . . 16.1.5. Caso particular: procesos con polos en z = 1 . . . . . . . . . . . . . 16.1.6. M´etodo de dise˜ no de controladores de tiempo m´ınimo . . . . . . . 16.1.6.1. Modos de resoluci´ on de los sistemas polinomiales . . . . . 16.1.6.2. Pasos en el dise˜ no de un controlador de tiempo m´ınimo . 16.2. Controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1. Definici´ on de los controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . 16.2.2. An´ alisis de los controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BIBLIOGRAF´ IA

341 342 343 344 346 349 350 353 354 357 358 361 362 363 363 364 366 366 367 367 368 372 373 375

X

´INDICE GENERAL

´Indice de figuras 1.1. Sistema de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sistema de control en bucle abierto. . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sistema de control en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sistema de control continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Sistema continuo y control discreto. . . . . . . . . . . . . . 1.6. Sistema discreto y control discreto. . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Respuesta ante impulso de un sistema de primer orden. . . 1.8. Respuesta ante escal´on de un sistema de primer orden. . . . 1.9. Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. . . 1.10. Respuesta ante escal´on de un sistema de segundo orden. . . 1.11. Respuesta ante una rampa de un sistema de segundo orden. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Error del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema sin realimentaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con realimentaci´on unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con realimentaci´on no unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con realimentaci´on no unitaria transformado en un sistema realimentaci´on unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Sistema en bucle abierto (a) y sistema en bucle cerrado (b). . . . . . 2.7. Sistema ejemplo para el c´ alculo de sensibilidad. . . . . . . . . . . . .

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4 6 7 8 8 9 13 14 15 16 17

. . . . . . . . . . . . con . . . . . . . . .

24 24 25 26

Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representaci´on en el plano de los polos y ceros del sistema ejemplo. . . . Sistemas con polos y ceros cancelables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema de cuarto orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las ra´ıces para el sistema del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las ra´ıces para el sistema del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . Lugar de las ra´ıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K/(s + 1). Lugar de las ra´ıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s + 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

35 39 41 46 49 52 53 53 56 57 58

´INDICE DE FIGURAS

XII

3.9. Lugar de las ra´ıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s + 1,5)/(s + 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s + 1)(s + 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s2 + 3s + 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 3)/(s + 1)(s + 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 1,5)/(s + 1)(s + 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s + 1)(s + 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.15. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 2)/(s2 + 3s + 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16. Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s2 + 3s + 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.17. Lugar de las ra´ıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s + 2)(s + 1)(s + 3). . . . 3.18. Lugar de las ra´ıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s + 1)(s2 + 3s + 3). . . . 3.19. Lugar de las ra´ıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s + 2)(s2 + 3s + 3). . . . 3.20. Sistema en bucle cerrado con tres par´ametros. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21. Lugar de las ra´ıces simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.22. Contorno de las ra´ıces para el par´ ametro T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.23. Contorno de las ra´ıces para el par´ ametro a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Sistema en bucle abierto al que se le aplica una entrada senoidal. . . . . . Diagrama de Bode correspondiente al factor constante. . . . . . . . . . . . Diagrama de Bode correspondiente a un cero en el origen. . . . . . . . . . Diagrama de Bode correspondiente a un polo en el origen. . . . . . . . . . Diagrama de Bode asint´ otico correspondiente a un polo de primer orden. . Diagrama de Bode real y asint´ otico correspondiente a un polo de primer orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Diagrama de Bode asint´ otico correspondiente a un polo de segundo orden. 4.8. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . 4.9. Diagrama de Bode asint´ otico del sistema G(s) = s(s+1) 4.10. Diagrama de Bode real y asint´ otico del sistema G(s) = 4.11. Diagrama de Nyquist o traza polar del sistema G(s) =

100 s(s+1) . . 1 0,001s+1 .

1 4.12. Diagrama de Black-Nichols del sistema G(s) = 0,001s+1 . 4.13. Respuesta en frecuencia obtenida experimentalmente. . 4.14. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15. Representaci´on del plano s y del plano F . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

58 59 62 62 63 63 64 64 66 66 67 69 70 71 71 77 79 80 81 83 84 85 86 87

. . . . . .

88

. . . . . .

89

. . . .

90 91 93 96

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

XIII

4.16. Ejemplo de configuraci´ on de polos y ceros para el principio del argumento de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17. Camino de Nyquist e imagen asociada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18. Camino de Nyquist con singularidades en el origen (a) y sobre el eje imaginario (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19. Detalle del tramo IV del camino de Nyquist de la figura 4.18 (a). . . . . . 4.20. Sistema en bucle cerrado del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.21. Camino origen (izquierda) y camino imagen (derecha) de Nyquist para el sistema de la figura 4.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.22. Lugar de Nyquist de G (s)H  (s) = 1+T 1s 4.23. Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional. . . . . . . . . . 4.24. Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional en el origen, K . . . . . . . . . . . . . . . correspondiente al sistema G(s)H(s) = s(1+T 1 s) 4.25. Lugar de Nyquist de la figura 4.24 con un polo adicional en el origen, K . . . . . . . . . . . . . . . correspondiente al sistema G(s)H(s) = s2 (1+T 1 s) 4.26. Lugar de Nyquist de la figura 4.25 con un polo adicional en el origen, K . . . . . . . . . . . . . . . correspondiente al sistema G(s)H(s) = s3 (1+T 1 s) 4.27. Efecto de la adici´on de ceros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28. Margen de ganancia y de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.29. Sistema en bucle cerrado ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.30. Diagrama de Nyquist del sistema de la figura 4.29. . . . . . . . . . . . . . 4.31. M´ argenes de ganancia y fase sobre el diagrama de Bode. . . . . . . . . . . 4.32. Frecuencia de corte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.33. Diagrama de Nyquist del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.34. Diagrama de Bode del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.35. Ejemplo de diagrama de Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Estructura para el control de un proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Estructura para el control de un proceso mostrado en la figura 5.1 con inclusi´on de un regulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ejemplo de compensaci´on en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ejemplo de compensaci´on por prealimentaci´on. . . . . . . . . . . . . . 5.5. Dise˜ no del regulador por el m´etodo de s´ıntesis. . . . . . . . . . . . . . 5.6. Especificaciones en el dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Especificaciones en el dominio complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Amortiguamiento de un sistema a partir del margen de fase. . . . . . . 5.9. Regulador de tipo P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Regulador de tipo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Regulador de tipo PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Regulador de tipo PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Regulador de tipo PID (ideal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 99 100 103 104 105 106 107 108 108 109 110 112 113 114 115 116 118 119 121 127 128 129 130 131 132 133 135 137 138 139 142 143

XIV

´INDICE DE FIGURAS

6.1. Compensaci´on de un sistema mediante el regulador GR (s). . . . . . . . . 6.2. Situaci´ on del polo dominante deseado. El lugar de las ra´ıces del sistema 1 no pasa por dicho polo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gp (s) = s(s+1) 6.3. C´ alculo de los ´angulos para la aplicaci´ on del criterio del argumento. . . . 6.4. El cero del regulador PD se sit´ ua sobre el polo -1 del sistema. . . . . . . . 6.5. Lugar de las ra´ıces del sistema compensado con un regulador PD. . . . . . 1 6.6. Respuesta al escal´on unitario del sistema G(s) = s(s+1) , junto con la misma respuesta del sistema compensado con el regulador PD GR (s) = 4(s+1) s+2,83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Lugar de las ra´ıces de un sistema con funci´on de transferencia G(s)H(s) = K s(s+a)(s+b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. El a´ngulo ϕR debe ser aportado por el regulador PD. . . . . . . . . . . . . 6.9. M´etodo gr´afico para situar el par polo-cero de un regulador PD. . . . . . 6.10. Compensaci´on con regulador PI: el par de polos dominantes se mantiene aproximadamente en el mismo punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Primer criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI. . . . . . . 6.12. Segundo criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI. . . . . . 1 6.13. Lugar de las ra´ıces del sistema G(s) = (s+1)(s+2) . . . . . . . . . . . . . . . 6.14. Aplicaci´ on del criterio del argumento para obtener el a´ngulo proporcionado por el regulador PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.15. El cero del regulador PD se sit´ ua en este caso cancelando el segundo polo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16. Polos y ceros del regulador PID a dise˜ nar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17. Lugar de las ra´ıces del sistema compensado con el regulador PD. . . . . . 6.18. Lugar de las ra´ıces del sistema compensado con el regulador PID. . . . . . 6.19. Respuesta ante entrada escal´on unitario del sistema original, junto con el sistema compensado con el PD y PID dise˜ nados. . . . . . . . . . . . . . . 6.20. Primer m´etodo de Ziegler-Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.21. Sistema con oscilaciones sostenidas con un periodo cr´ıtico Pcr . . . . . . .

149 153 154 155 156

157 158 159 161 162 164 165 167 168 168 169 170 171 172 173 175

7.1. Compensaci´on de un sistema bajando la curva de ganancia |G(jw)| (regulador PI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2. Compensaci´on de un sistema subiendo la curva de a´ngulo de fase ∠G(jw) (regulador PD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.3. Diagram de Bode de la red de adelanto de fase, para distintos valores de α. 184 7.4. Diagrama de Bode del sistema sin compensar, con K = 143,55, calculada en el paso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.5. C´ alculo de la frecuencia de cruce de ganancia (paso 5). . . . . . . . . . . . 187 7.6. Diagrama de Bode del regulador calculado GR (s) = 0,33 1+0,1161s 1+0,038s . . . . . 189 7.7. Diagrama de Bode del sistema compensado con el regulador PD. . . . . . 190

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

XV

7.8. Respuesta en bucle cerrado al escal´on unitario del sistema sin compensar y el sistema compensado con el regulador PD calculado. . . . . . . . . . . 191 7.9. Diagrama de Bode de la red de retraso de fase. . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.10. Diagrama de Bode del sistema con funci´on de transferencia 7.5 con ganancia K = 287,1, calculada en el paso 1 de dise˜ no del regulador PI. . . . . . 194 7.11. Diagrama de Bode del sistema con funci´on de transferencia 7.5 compensado con el regulador PI calculado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.12. Respuesta en bucle cerrado al escal´on unitario del sistema con funci´ on de transferencia 7.5 sin compensar y compensado con el regulador PI calculado.196 7.13. Diagrama de Bode del sistema sin compensar con K = 19. . . . . . . . . . 198 7.14. Diagrama de Bode del sistema compensado s´olo con el regulador PI. . . . 199 7.15. Diagrama de Bode del sistema compensado con el regulador PID dise˜ nado. 201 7.16. Respuesta en bucle cerrado al escal´on unitario del sistema sin compensar y compensado con el regulador PID dise˜ nado. . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5.

Muestreador. . . . . . . . . . . . Sistema H´ıbrido. . . . . . . . . . Elemento Bloqueador/Retenedor. Bloqueador de orden cero. . . . . Bloqueador de orden uno. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

211 212 212 213 214

9.1. Sistema discreto representado por su funci´ on de transferencia en Z. . . . . 9.2. Sistemas discretos con salida acotada para la entrada escal´on unitario. . . 9.3. Sistemas discretos con salida no acotada para la entrada escal´on unitario y, por tanto, inestables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Sistema formado por la suma de dos bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Transformaci´ on del eje imaginario al plano z. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Transformaci´ on del semiplano negativo en el plano s en el interior del c´ırculo unidad en el plano z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Ejemplo de transformaci´ on del plano s al plano z. . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Transformaci´ on de la regi´ on en el plano s dada por la figura 9.7 al plano z. 9.9. Transformaci´ on de la recta que pasa por el origen en el plano s al plano z. z−2 (in9.10. Respuesta discreta al escal´on unitario del sistema G1 (z) = (z−1)(z−3) estable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z−2 9.11. Respuesta discreta al escal´on unitario del sistema G2 (z) = (z−0,5)(z+0,7) (estable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.12. Respuesta discreta al escal´on unitario del sistema G3 (z) = z2z−2 +z+2 (inestable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.13. Respuesta al escal´on unitario del sistema G4 (z) = 2z2z−2 +z+1 (estable). . . .

216 217

10.1. Respuesta a un escal´on unitario del sistema

. . . . .

. . . . .

Y (z) R(z)

. . . . .

. . . . .

=

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

0,5z−0,25 z 2 −1,5z+0,75 .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

217 218 220 220 221 222 223 229 230 231 232

. . . . . 244

XVI

´INDICE DE FIGURAS

10.2. Secuencia de ponderaci´on para un sistema de primer orden con funci´ on de bz , cuando a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . transferencia G(z) = z−a 10.3. Secuencia de ponderaci´on para un sistema de primer orden con funci´ on de bz transferencia G(z) = z−a , cuando −1 < a < 0 (sistema estable). . . . . . . 10.4. Secuencia de ponderaci´on para un sistema de primer orden con funci´ on de bz transferencia G(z) = z−a , cuando a < −1 (sistema inestable). . . . . . . . 10.5. Respuesta al escal´on unitario de un sistema de primer orden con funci´ on bz de transferencia G(z) = z−a , (a) cuando a > 0; y (b) cuando a < 0. . . . .

249 250 251 252

0,3z −2 1−1,5z −1 +0,7z −2 .

. . . . . . . 256 10.6. Secuencia de ponderaci´on del sistema G(z) = 10.7. Polos de un sistema de segundo orden. Situaci´ on de p − 1. . . . . . . . . . 257 −2 10.8. Respuesta al escal´on unitario del sistema G(z) = 1−1,5z0,3z −1 +0,7z −2 . . . . . . 258 11.1. Sistema discreto de control con realimentaci´ on unitaria. . . . . . . . . . . 262 11.2. Sistema equivalente simplificado al de la figura 11.1. . . . . . . . . . . . . 263 11.3. Sistema discreto realimentado con realimentaci´on constante h no unitaria. 268 11.4. Sistema discreto realimentado con realimentaci´on constante h no unitaria, equivalente al sistema representado en la figura 11.3. . . . . . . . . . . . . 269 11.5. Sistema discreto realimentado con din´ amica H(s) en la realimentaci´on (H(s) no constante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 11.6. Sistema discreto realimentado equivalente al representado en la figura 11.5. 271 11.7. Sistema discreto realimentado con perturbaci´on. . . . . . . . . . . . . . . 272 12.1. Conjunto bloqueador-proceso-muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Ejemplo de trazado polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. M´etodo gr´afico de c´alculo de la respuesta en frecuencia de un sistema muestreado a partir de la respuesta en frecuencia del sistema continuo. . . 12.4. Diagramas que muestran las correspondencias del plano s con el plano z y del plano z con el plano ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5. Sistema discreto realimentado para el an´ alisis de estabilidad. . . . . . . . 12.6. Trayectoria para el an´ alisis de estabilidad en el plano z. . . . . . . . . . . 12.7. Sistema muestreado para el ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8. Imagen del camino de Nyquist de la figura 12.7 para el ejemplo 1. . . . . 12.9. Sistema muestreado para el ejemplo 2 de an´ alisis de estabilidad. . . . . . 12.10.Camino de Nyquist del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11.Imagen del camino de Nyquist del ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12.Margen de fase γ y margen de ganancia KG de un sistema discreto. . . . 13.1. Sistema de control con controlador continuo frente a sistema con controlador discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Sistema discreto de control con realimentaci´ on unitaria. . . . 13.3. Discretizaci´on del sistema continuo (a) por equivalencia con muestreado (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

278 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291

de control . . . . . . . 297 . . . . . . . 298 el sistema . . . . . . . 299

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

XVII

13.4. Equivalencia entre el sistema continuo (a) y el sistema muestreado (b) en bucle abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 13.5. Respuesta al escal´on unitario del sistema continuo GR (s) = 25 s+1 s+5 y su −1

25−23z aproximaci´ on discreta GR (z) = 1−0,6065z −1 , con periodo de muestreo T = 0,1 seg y bloqueador de orden cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. Regulador PID continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. M´etodo de los rect´angulos para la aproximaci´ on de la acci´ on integral. . . 13.8. M´etodo de los trapecios para la aproximaci´ on de la acci´on integral. . . . . 13.9. Respuesta ante un escal´on unitario de la acci´ on integral I(z) dada por la aproximaci´ on de los trapecios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10.Regulador PID en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.Configuraci´ on del regulador PID con acciones divididas entre la se˜ nal de error y la de realimentaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.Configuraci´ on del regulador PID equivalente a la de la figura 13.11. . . . .

14.1. Polo dominante del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Aplicaci´ on del criterio del m´ odulo y del argumento. . . . . . . . . . . . . . 14.3. Sistema G(z) regulado por GR (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . 14.4. Lugar de las ra´ıces del sistema G(z) = (z−0,7)(z−0,9) 14.5. C´ alculo de los ´angulos correspondientes a los ceros y polos del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6. Disminuci´ on del margen de fase de γ1 a γ2 como consecuencia de la acci´on de un regulador P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7. C´ alculo del m´ odulo y argumento de G(w) = ejwT − c · G(w). . . . . . . . G(w)
14.8. C´ alculo del m´ odulo y argumento de G(w) = jwT . . . . . . . . . . . . . e

−p

14.9. Sistema regulado con un regulador PI. . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.Sistema discreto equivalente regulado con un regulador PI. . . . 14.11.El cero c del regulador PI se a˜ nade cercano al polo p = 1. . . . . 14.12.Sistema regulado con un regulador PD. . . . . . . . . . . . . . . 14.13.El cero c del regulador PD se coloca tal que el desfase adicional frecuencia wg sea ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.14.Aumento del margen de fase con un regulador PD. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . para . . . . . .

. . . . . . . . la . . . .

303 304 305 306 308 313 317 318 323 325 325 326 326 331 332 333 334 334 335 336 338 339

15.1. El controlador de s´ıntesis directa situado en serie con el proceso “cancela” la din´ amica de GP (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 15.2. Bucle cerrado discreto de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 16.1. Situaci´ on de la funci´ on de transferencia del error, E(z −1 ), en el bucle cerrado discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 100 con el controla16.2. Respuesta al escal´on unitario del proceso G(s) = s2 +3s+2 dor de tiempo m´ınimo, presentando oscilaciones ocultas. . . . . . . . . . . 368

XVIII

´INDICE DE FIGURAS

16.3. La acci´on de control tras el bloqueador de orden cero con el controlador de tiempo m´ınimo dise˜ nado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 16.4. Respuesta al escal´on unitario y acci´ on de control con oscilaciones ocultas. 370

´Indice de tablas 1.1. Transformadas de Laplace de funciones t´ıpicas. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tabla de Routh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 19

2.1. Constantes de error y errores en r´egimen permanente en funci´on del tipo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.1. Tabla de Routh para el sistema del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.1. Reglas de sintonizaci´ on para el primer m´etodo de Ziegler-Nichols. . . . . . 174 6.2. Reglas de sintonizaci´ on para el segundo m´etodo de Ziegler-Nichols. . . . . 175 8.1. Transformada Z de secuencias b´asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.2. Propiedades de la transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1. Forma general de la tabla de estabilidad de Jury. . . . . . . . . . . . . . . 233 9.2. Tabla de estabilidad de Jury para el polinomio z 3 + 0,4z 2 + (0,47 + b)z + 0,13.233 9.3. Tabla de Routh del sistema ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 11.1. Valor de los errores en r´egimen permanente en funci´ on del tipo del sistema discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 12.1. Valores de BG(z) para el tramo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 16.1. Eliminaci´ on del error en r´egimen permanente en un tiempo m´ınimo para procesos con retardo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

xix

XX

´INDICE DE TABLAS

Pr´ ologo

El libro que ahora presentamos nace con la pretensi´ on de ofrecer una introducci´ on a la teor´ıa cl´ asica de control continuo y discreto de sistemas. Puede ser u ´ til como libro de texto en asignaturas de distintas ingenier´ıas e ingenier´ıas t´ecnicas (industrial, telecomunicaciones, inform´ atica, etc.), aunque tambi´en puede usarse para introducirse en el apasionante tema del control autom´ atico a ingenieros en ejercicio. Se requiere haber seguido un curso b´ asico sobre Teor´ıa de Sistemas (continuos y discretos) previamente a la lectura del libro. No obstante, en las partes I y III del libro se da un breve repaso sobre el an´alisis de sistemas continuos y discretos, respectivamente. Existen excelentes textos sobre teor´ıa de Sistemas de Control, algunos de ellos muy cl´asicos, como los de los profesores Ogata y Kuo que se mencionan en la bibliograf´ıa tanto desde el punto de vista discreto como continuo. Asimismo es necesario citar dos textos cl´asicos que nos han servido a muchos para introducirnos en la Teor´ıa de Sistemas y Control como son los realizados por los profesores Puente, Aracil y Jim´enez en la Universidad Polit´ecnica de Madrid. De esta forma, este libro pretende ser un compendio de lo expuesto en estos textos cl´asicos adaptado a los planes de estudio actualmente vigentes en las escuelas de ingenier´ıa de las universidades espa˜ nolas de forma que los alumnos puedan seguir perfectamente los diferentes temas expuestos. Este compendio es fruto de la experiencia docente de los autores que imparten asignaturas sobre Sistemas de Control y Regulaci´ on Autom´atica en la Universidad Polit´ecnica de Madrid y la Universidad Miguel Hern´ andez de Elche desde hace varios a˜ nos. En cuanto al contenido del libro, se ha dividido la materia tratada en cuatro partes: La parte I se dedica al an´alisis de sistemas continuos realimentados, centr´andose en el an´alisis en r´egimen permanente, descripci´on de la t´ecnica del lugar de las ra´ıces y an´ alisis en el dominio de la frecuencia. En la parte II se estudian las t´ecnicas cl´asicas de dise˜ no de sistemas continuos de control, tanto en el dominio temporal como en el dominio frecuencial. Previamente xxi

se realizan consideraciones generales sobre el dise˜ no y se describen las acciones b´ asicas de control. La parte III se dedica a las t´ecnicas de an´alisis de sistemas discretos realimentados. Despu´es de dar un repaso a la teor´ıa b´ asica y herramientas matem´aticas sobre sistemas discretos, se pasa a estudiar la estabilidad, an´ alisis din´ amico y en r´egimen permanente de sistemas discretos realimentados. Tambi´en se hace una extensi´on al caso discreto del an´alisis en frecuencia estudiado en la parte I para sistemas continuos. En la parte IV se describen las t´ecnicas de dise˜ no de sistemas discretos de control. Los dos primeros cap´ıtulos de esta parte est´an dedicados a las t´ecnicas cl´asicas de dise˜ no (discretizaci´on de controladores continuos y extensi´ on de las t´ecnicas estudiadas para sistemas continuos). En los dos u ´ltimos cap´ıtulos se describen t´ecnicas espec´ıficas de dise˜ no de controladores discretos (por asignaci´on de polos y por s´ıntesis directa, particularizando para el caso de sistemas de tiempo m´ınimo y tiempo finito). Al final de todos los cap´ıtulos se incluyen comentarios sobre bibliograf´ıa que pueden ser u ´tiles para ampliar algunos aspectos de la materia tratada. Consideramos que siempre que se estudia una materia es deseable consultar otras fuentes de informaci´on que permitan ahondar en los temas tratados. Por este motivo se ha incluido al final de cada cap´ıtulo estas peque˜ nas referencias bibliogr´ aficas que consideramos interesantes de consultar para ampliar su contenido de forma que le sea m´ as f´ acil al lector acudir a estas referencias. Especialmente interesantes son las referencias a libros de problemas resueltos y propuestos. Los autores desean reconocer la colaboraci´on prestada por nuestros compa˜ neros del ´ Area de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica de la Universidad Miguel Hern´ andez de Elche durante los primeros a˜ nos de puesta en marcha de las asignaturas en las que se ha impartido la materia tratada en este libro.

Los autores, Profesores ˜ Ram´on P. Neco Oscar Reinoso Nicol´as M. Garc´ıa Rafael Aracil

xxii

Parte I

´ ANALISIS DE SISTEMAS CONTINUOS DE CONTROL REALIMENTADOS

1

CAP´ITULO 1

´ INTRODUCCION

´Indice 1.1. Sistemas de control. Conceptos b´ asicos . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Elementos en un sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Control en bucle abierto y bucle cerrado . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Realimentaci´ on de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Esquemas t´ıpicos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Comportamiento din´ amico de sistemas continuos. Resumen 1.2.1. La Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Funci´ on de Transferencia de un sistema . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Respuesta temporal de un sistema continuo . . . . . . . . . . 1.2.4. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente . . 1.3. Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados 1.3.1. Criterio de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5 5 7 7 8 9 11 11 12 13 17 18 18 19

Para poder llevar a cabo un estudio adecuado de los sistemas de control es preciso un repaso de los conceptos fundamentales alcanzados en un curso de teor´ıa de sistemas. De esta forma, en este cap´ıtulo se presentan los resultados b´ asicos y fundamentales del comportamiento de sistemas continuos. Se comenzar´ a introduciendo los conceptos b´ asicos 3

4

Introducci´ on

as´ı como los elementos que integran un sistema de control junto con el concepto de realimentaci´ on haciendo especial hincapi´e en sus caracter´ısticas frente al control en bucle abierto. En un posterior apartado se revisan las propiedades de la transformada de Laplace que posibilitan el estudio de los sistemas continuos. Asimismo se repasa la respuesta temporal de los sistemas de primer y segundo orden as´ı como sus par´ ametros caracter´ısticos. Por u ´ltimo se presenta el criterio de Routh para analizar la estabilidad de un sistema continuo. Este primer cap´ıtulo sirve como base para el posterior desarrollo de los cap´ıtulos dedicados a los sistemas realimentados.

1.1.

Sistemas de control. Conceptos b´ asicos

Quiz´ as una de las primeras cuestiones que nos deber´ıamos plantear antes de estudiar los sistemas de control consistir´ıa en intentar responder la pregunta ¿qu´e es el control?. Ser´ıa dif´ıcil responder de una forma exacta a esta pregunta, pero todos tenemos una idea m´as o menos clara de la respuesta. As´ı encontramos en la vida cotidiana numerosos ejemplos donde podemos observar que existe control de alg´ un sistema. El ejemplo m´as cercano lo encontramos en las viviendas donde observamos la existencia de un mecanismo que permite regular la temperatura de las viviendas. Bas´ andonos en este ejemplo podemos entender c´ omo el mecanismo act´ ua sobre un sistema (caldera, etc.) para que la vivienda alcance una mayor o menor temperatura (se˜ nal de salida) en relaci´on con la temperatura que nosotros deseemos (se˜ nal de referencia). Hoy en d´ıa, casi todas las actividades en las que se desarrolla el ser humano aparece involucrado de alguna u otra forma un sistema de control. De esta forma podr´ıamos considerar en un sentido lo m´ as amplio posible un sistema de control como aquel sistema que ante unos objetivos determinados responde con una serie de actuaciones (figura 1.1).

Objetivos

Sistema de control

Actuaciones

Figura 1.1: Sistema de control.

En el presente libro se van a considerar sistemas tanto de tiempo continuo como de tiempo discreto, lineales e invariantes con el tiempo. Recordemos que un sistema continuo se dice que es lineal si se puede aplicar al mismo el principio de superposici´ on. De igual forma, cuando los par´ ametros del sistema son estacionarios con respecto al tiempo el sistema se denomina invariante con el tiempo. As´ı pues, dentro de la teor´ıa de sistemas de control, el a´mbito de este libro queda restringido a considerar sistemas (tanto continuos como discretos) lineales e invariantes con el tiempo.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

1.1.1.

5

Elementos en un sistema de control

En todo sistema de control aparecen claramente diferenciados una serie de elementos caracter´ısticos al mismo que es necesario clarificar: Variable a controlar. Generalmente se le conoce como se˜ nal de salida. Constituye la se˜ nal que deseamos que adquiera unos valores determinados. En el ejemplo anteriormente descrito la se˜ nal de salida o variable a controlar ser´ıa la temperatura ambiente de la vivienda o de una habitaci´ on determinada. Planta o Sistema. La planta o sistema constituye el conjunto de elementos que realizan una determinada funci´ on. En el ejemplo propuesto la planta o sistema lo constituir´ıa toda la vivienda en su conjunto. El sistema estar´ıa determinado por las relaciones de transmisi´on de calor en la misma con las aportaciones y fugas que presentase en funci´ on de sus caracter´ısticas. Sensor. El sensor es el elemento que permite captar el valor de la variable a controlar en determinados instantes de tiempo. En el caso propuesto consistir´ıa en el elemento que permitir´ıa conocer la temperatura de la vivienda en determinados momentos. Se˜ nal de referencia. Es la se˜ nal consigna o valor que deseamos que adquiera la se˜ nal de salida (objetivo de control). En el ejemplo indicar´ıa la temperatura que deseamos que tenga la vivienda a lo largo de toda la jornada. Actuador. El actuador es el elemento que act´ ua sobre el sistema modificando de esta forma la se˜ nal de salida. En el caso de un sistema de calefacci´on consistir´ıa en la caldera que permite aportar mayor o menor cantidad de calor sobre el sistema o planta (vivienda) a regular. Controlador. El controlador o regulador es el elemento que comanda al actuador en funci´ on del objetivo de control. En el ejemplo planteado anteriormente, el regulador tendr´ıa como misi´on decidir cu´ al debe ser la aportaci´ on de la caldera en todo instante para mantener el objetivo de control (temperatura de la vivienda). Todos estos elementos aparecen de alguna u otra forma en casi todo sistema de control. Identificar y estudiar cada uno de ellos de una forma correcta resulta esencial para poder dise˜ nar un controlador que permita alcanzar el objetivo de control deseado en todo instante.

1.1.2.

Control en bucle abierto y bucle cerrado

Cuando se desea mantener un objetivo de control determinado en un sistema dos son los esquemas de control que se pueden considerar: sistemas de control en bucle abierto y sistemas de control en bucle cerrado.

6

Introducci´ on

Un sistema de control en bucle abierto es aquel en el que la se˜ nal de salida no influye sobre la acci´ on de control. De esta forma el controlador o regulador no tiene en cuenta el valor de la se˜ nal de salida, ni se compara ´esta con la se˜ nal de referencia para decidir la actuaci´ on en todo instante sobre el sistema. El caso m´as t´ıpico de un sistema de control en bucle abierto lo constituye la lavadora el´ectrica donde el sistema de control va modificando el tiempo, la temperatura de lavado, etc. en funci´ on de la indicaci´ on del usuario y no en funci´ on del nivel de lavado de la ropa (que constituir´ıa el objetivo de control). De esta forma el usuario decide el programa que desea realizar (se˜ nal de referencia), y el controlador act´ ua sobre los diferentes mecanismos del sistema (lavadora) de forma que realiza una serie de actuaciones sin tener en cuenta la se˜ nal de salida. En la figura 1.2 se pueden observar las se˜ nales involucradas en un control en lazo abierto. Entrada de referencia

Controlador

control u

Sistema a controlar

Variable controlada

Figura 1.2: Sistema de control en bucle abierto.

Evidentemente los sistemas de control en bucle abierto funcionar´an razonablemente bien siempre y cuando hayan sido perfectamente estudiados y no exista ninguna alteraci´ on sobre el sistema. Si el fabricante ha estudiado perfectamente cu´al debe ser el proceso de lavado para la ropa de unas caracter´ısticas determinadas y no se altera en modo alguno el proceso, el objetivo final quedar´ a perfectamente alcanzado. Sin embargo, en el momento en que se altere alguna de las caracter´ısticas del proceso (cantidad de ropa, temperatura del agua, suciedad de la ropa, etc.) por cualquier motivo, el objetivo de control puede no satisfacerse. Por el contrario, en los sistemas de control en bucle cerrado existe una realimentaci´on de la se˜ nal de salida o variable a controlar. En este tipo de sistemas se compara la variable a controlar con la se˜ nal de referencia de forma que en funci´ on de esta diferencia entre una y otra, el controlador modifica la acci´ on de control sobre los actuadores de la planta o sistema. En la figura 1.3 aparece representado un esquema t´ıpico de un sistema controlado en bucle cerrado. En el sistema de control en bucle cerrado ya no afecta tanto las variaciones en cada una de las caracter´ısticas del proceso (cantidad de ropa, temperatura, etc.) ya que el controlador debe actuar en todo instante en funci´ on de la diferencia entre la se˜ nal a controlar (limpieza de la ropa) y la se˜ nal de referencia (por ejemplo blancura deseada). Es necesario comentar que si se conociese perfectamente un sistema y no pudiese alterarse de ninguna forma las caracter´ısticas del mismo (tanto internas como externas), es m´as aconsejable utilizar un sistema de control en lazo abierto pues ser´ıan m´ as sencillos y econ´omicos. Los sistemas de control en lazo cerrado presentan ventajas cuando se pueden producir perturbaciones sobre el sistema o bien variaciones impredecibles en

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

Entrada de referencia +

-

error

controlador

7

Sistema a controlar

Variable controlada

Figura 1.3: Sistema de control en bucle cerrado.

alguna de las caracter´ısticas del mismo.

1.1.3.

Realimentaci´ on de sistemas

En el apartado previo se ha establecido la diferencia entre los sistemas de control en bucle abierto y los sistemas de control en bucle cerrado. Como qued´ o establecido, en estos u ´ltimos se compara la se˜ nal de salida (o variable que se desea controlar) obtenida en la mayor parte de las ocasiones a trav´es de un conjunto de sensores, con una se˜ nal de referencia. Este efecto se conoce como realimentaci´on. El efecto inmediato que persigue esta realimentaci´on es reducir el error entre la se˜ nal de salida y la se˜ nal de referencia actuando en consecuencia. Pero no s´olo la realimentaci´on tiene por cometido reducir el error entre la se˜ nal de salida y la se˜ nal de referencia de un sistema. La realimentaci´on tambi´en produce efectos sobre la ganancia global del sistema (puede tanto aumentar como disminuir en funci´ on de la realimentaci´ on), la estabilidad (un sistema inicialmente estable puede pasar a ser inestable o a la inversa en funci´on de la realimentaci´ on), as´ı como sobre las perturbaciones posibles que se presenten sobre el mismo (puede reducir el efecto de las perturbaciones que se originan sobre el sistema). Por lo tanto, la realimentaci´ on es un elemento clave muy a tener en cuenta en el estudio de los sistemas de control ya que puede modificar considerablemente los resultados producidos por ´estos.

1.1.4.

Esquemas t´ıpicos de control

El esquema t´ıpico de control continuo de un sistema en bucle cerrado aparece reflejado en la figura 1.4. En el mismo aparecen los principales elementos que aparecen en todo sistema de control: el controlador, los actuadores, la planta o sistema continuo a controlar y los elementos de realimentaci´on. Con la aparici´ on de los computadores y los microcontroladores, el uso de controladores digitales ha venido increment´andose en los u ´ltimos a˜ nos. Cuando se desea controlar sistemas continuos mediante un control de tipo discreto el diagrama de bloques a considerar var´ıa ligeramente (Figura 1.5). El controlador en este caso es discreto y como tal act´ ua sobre una se˜ nal discreta generando una se˜ nal discreta a la salida. Esta se˜ nal

8

Introducci´ on

R(s) +

å(s)

r(t)

å(t)

-

GR(s)

G(s) Planta

Y(s) y(t)

H(s)

Figura 1.4: Sistema de control continuo.

discreta se convierte en una se˜ nal continua mediante un convertidor digital/anal´ ogico que en teor´ıa de sistemas se denomina bloqueador o retenedor. Dado que el sistema es de tipo continuo genera a la salida una se˜ nal continua. Ser´ a necesario por lo tanto, tras la lectura de esta se˜ nal continua por parte de los sensores adecuados, utilizar un convertidor anal´ogico/digital (muestreador) para poder comparar esta se˜ nal con la de referencia y utilizar la diferencia como entrada al controlador digital. U(z) +

E(z) -

GR(z)

B(s)

G(s)

Y(z)

Y(s) T

T

Figura 1.5: Sistema continuo y control discreto.

Finalmente si el sistema a controlar es de tipo discreto la utilizaci´ on de un regulador o controlador discreto es totalmente inmediata (ver Figura 1.6).

1.2.

Comportamiento din´ amico de sistemas continuos. Resumen

En esta secci´on se repasar´ an los conceptos fundamentales de los sistemas continuos. No es nuestro prop´ osito analizar todas las propiedades de los mismos (fuera del a´mbito del presente libro), sino m´ as bien recordar las herramientas y caracter´ısticas fundamentales de los sistemas continuos que se emplear´an para el estudio, an´alisis y dise˜ no de los sistemas de control.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

R(z) +

9

GR(z)

Y(z)

G(z)

-

Planta

H(z) Figura 1.6: Sistema discreto y control discreto.

1.2.1.

La Transformada de Laplace

La transformada de Laplace constituye la herramienta fundamental para el an´ alisis de los sistemas continuos. Resulta un m´etodo operativo que aporta evidentes ventajas para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Recordemos que los sistemas f´ısicos continuos, lineales e invariantes con el tiempo responden a un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Pues bien, la transformada de Laplace convierte la ecuaci´on diferencial de coeficientes constantes a una ecuaci´on polin´ omica en s (dominio complejo). De esta forma es posible utilizar los cl´ asicos y sencillos m´etodos algebraicos para su resoluci´ on en el dominio complejo. Dada una funci´ on f (t) tal que f (t) = 0 para t < 0, la transformada de Laplace de esta funci´ on vendr´a dada por:  F (s) = L[f (t)] =

∞

f (t)e−st dt

0

siendo s la variable compleja de Laplace, es decir, s = σ + jω. De igual forma se puede definir la transformada inversa de Laplace: −1

f (t) = L

1 [F (s)] = 2πj



c+j∞

F (s)est ds c−j∞

A continuaci´on se enuncian algunas de las propiedades de la transformada de Laplace. Multiplicaci´ on por una constante. L[kf (t)] = kF (s) Suma y resta. L[f1 (t) ± f2 (t)] = F1 (s) ± F2 (s)

10

Introducci´ on



Diferenciaci´ on real. L Integraci´ on real.

 df (t) = sF (s) − f (0) dt 



t

L

f (t)dt = 0

F (s) s

Cambios en escala de tiempo.    t L f = αF (αs) α Teorema del valor final. V´alido siempre que sF (s) no tenga polos a la derecha del eje imaginario en el plano s. l´ım = l´ım sF (s)

t→∞

s→0

Teorema del valor inicial. l´ım = l´ım sF (s)

t→0

s→∞

Traslaci´ on en el tiempo. L[f (t − α)1(t − α)] = e−αs F (s) donde 1(t) representa la se˜ nal escal´on unitario. Traslaci´ on compleja.

L[e∓αt f (t)] = F (s ± α)

Convoluci´ on real. F1 (s)F2 (s) = L[f1 (t) ∗ f2 (t)] Convoluci´ on compleja. L[f1 (t)f2 (t)] = F1 (s) ∗ F2 (s) En la tabla 1.1 se muestran las transformadas de Laplace de algunas funciones cl´ asicas utilizadas en control. Para el c´alculo de la transformada inversa de Laplace se puede hacer uso del m´etodo de descomposici´on en fracciones simples de F (s). Si F (s) contiene u ´nicamente polos simples, se factoriza y se obtiene la transformada inversa haciendo uso de la expresi´on:   ak −1 = ak e−pk t L s + pk

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

f (t) Impulso unitario δ(t) Escal´on unitario 1(t) t tn e−at 1 n−1 −at e (n−1)! t sin ωt cos ωt

11 F (s) 1 1 s 1 s2 n! sn+1 1 s+a 1 (s+a)n ω s2 +ω 2 s s2 +ω 2

Tabla 1.1: Transformadas de Laplace de funciones t´ıpicas.

En el caso de que F (s) contenga r polos m´ ultiples, es decir: F (s) =

A2 Ar A1 + + ··· + s + si (s + si )2 (s + si )r

calculados los numeradores Ai es posible determinar la transformada inversa utilizando las transformadas presentadas en la tabla 1.1.

1.2.2.

Funci´ on de Transferencia de un sistema

Dado un sistema f´ısico descrito por una ecuaci´ on diferencial lineal de coeficientes constantes se denomina funci´on de transferencia el cociente entre la transformada de Laplace de la se˜ nal de salida y la transformada de Laplace de la se˜ nal de entrada. As´ı para un sistema f´ısico en el que se considera y(t) como se˜ nal de salida y x(t) como se˜ nal de entrada, y definido por la siguiente ecuaci´ on diferencial: a0

dn y dn−1 y dm y dm−1 y + a + · · · + a y + a = b + b + · · · + bm−1 y + b0 1 n−1 0 0 1 dtn dtn−1 dtm dtm−1

se denomina funci´ on de transferencia de este sistema a la expresi´on: F (s) =

L[y(t)] Y (s) b0 sm + b1 sm−1 + · · · + bm−1 s + bm = = L[x(t)] X(s) a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an

De esta forma y conociendo la funci´ on de transferencia de un sistema ser´a posible analizar c´omo se comportar´a el mismo ante una entrada determinada.

1.2.3.

Respuesta temporal de un sistema continuo

La respuesta temporal de un sistema continuo consta en general de dos partes: una respuesta transitoria, y una respuesta en r´egimen permanente. La respuesta transitoria

12

Introducci´ on

es aquella que tiende a anularse a medida que transcurre el tiempo. Por el contrario la respuesta en r´egimen permanente es aquella que permanece cuando ha transcurrido un periodo de tiempo grande desde que se present´ o la se˜ nal a la entrada. Generalmente se estudian los sistemas en funci´on de la respuesta de los mismos ante determinadas se˜ nales de entrada normalizadas. As´ı, se usan como se˜ nales de entrada normalizadas la se˜ nal impulso unitario, la se˜ nal escal´on unitario, la se˜ nal rampa y la se˜ nal par´ abola.

1.2.4.

Sistemas de primer orden

Un sistema de primer orden es aquel cuya ecuaci´on diferencial es de orden uno, esto es, la funci´ on de transferencia que caracteriza un sistema de primer orden contiene un u ´nico polo. De esta manera se puede asumir que la expresi´on general para la funci´ on de transferencia de un sistema de primer orden es: G(s) =

a 1 + Ts

donde el valor a se denomina ganancia del sistema. A continuaci´on se estudiar´a la respuesta de un sistema de primer orden ante se˜ nales de entrada normalizadas. Respuesta ante entrada impulso. Como la transformada de Laplace de la se˜ nal impulso es la unidad, la respuesta impulsional de un sistema de primer orden viene dada por: a Y (s) = 1 + Ts que en el dominio del tiempo tendr´ a como expresi´on: y(t) =

a −t/T e T

cuya apariencia viene ilustrada en la figura 1.7. Respuesta ante escal´ on unitario. Dado que la transformada de Laplace de la se˜ nal escal´on unitario es 1/s, la respuesta de un sistema de primer orden ante entrada escal´on viene dada por: a Y (s) = s(1 + T s) que en el dominio del tiempo (figura 1.8): y(t) = a − ae−t/T

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

13

a/T

0.37 a/T

0

T

2T

3T

4T

5T

6T

Figura 1.7: Respuesta ante impulso de un sistema de primer orden.

Respuesta ante entrada rampa. Para una rampa unitaria x(t) = t1(t), o bien en el dominio de Laplace x(s) = 1/s2 , se tiene como respuesta de un sistema de primer orden: a Y (s) 2 s (1 + T s) y en el dominio temporal: y(t) = a(t − T ) + aT e−t/T En r´egimen permanente, y siempre que el sistema sea estable, el valor de la se˜ nal de salida ante entrada escal´ on unitario coincide con la ganancia del sistema. Para un sistema de primer orden estable, el valor de esta ganancia resulta: y∞ = l´ım s s→0

1.2.5.

1 a =a s 1 + Ts

Sistemas de segundo orden

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos cuyo comportamiento viene establecido por una ecuaci´ on diferencial de segundo grado. La funci´ on de transferencia

14

Introducci´ on

a

0.632 a

0

0

T

2T

3T

4T

5T

6T

Figura 1.8: Respuesta ante escal´on de un sistema de primer orden.

de un sistema de segundo orden contiene dos polos. La expresi´on general para un sistema de segundo orden es: G(s) =

kωn2 s2 + 2ξωn s + ωn2

siendo: k ganancia est´atica del sistema ξ coeficiente de amortiguamiento ωn frecuencia natural no amortiguada σ = ξωn constante o factor de amortiguamiento ωd = ωn 1 − ξ 2 frecuencia amortiguada del sistema La posici´on de los polos del sistema de segundo orden en el plano complejo depende del valor del par´ ametro ξ. As´ı pues, la respuesta de un sistema de segundo orden ante cualquier se˜ nal de entrada depender´ a del valor de este par´ametro.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

15

Respuesta impulsional. Como se expres´o anteriormente la respuesta depender´a del valor de ξ. En la figura 1.9 se presenta la t´ıpica respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada impulso unitario en funci´ on de ξ. Impulse Response 0.8 Coef. amortiguamiento < 1 Coef. amortiguamiento = 0 Coef. amortiguamiento > 1 0.6

0.4

Amplitude

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Time (sec)

Figura 1.9: Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden.

Respuesta ante escal´ on. De igual forma la respuesta del sistema de segundo orden ante escal´on depender´ a del valor del coeficiente de amortiguamiento (mayor o menor de 1) (ver figura 1.10). Para el caso de sistemas de segundo orden subamortiguados (0 < ξ < 1), se pueden definir un conjunto de par´ ametros que caracterizan b´asicamente la respuesta transitoria ante entrada escal´on. Estos par´ ametros son: Tiempo de subida tr tr =

π−θ ωd

Tiempo de pico tp tp =

π ωd

16

Introducci´ on

Step Response 1.5

Amplitude

1

0.5

Coef. amortiguamiento < 1 Coef. amortiguamiento = 0 Coef. amortiguamiento > 1 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Time (sec)

Figura 1.10: Respuesta ante escal´on de un sistema de segundo orden.

Sobreoscilaci´ on Mp Mp = e−π/ tan θ 100 % Tiempo de establecimiento ts ts =

π σ

Respuesta ante rampa. Por u ´ltimo, la respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada rampa responde a la figura 1.11. En r´egimen permanente el valor de la se˜ nal de salida ante entrada escal´ on unitario se denomina ganancia del sistema (siempre que ´este sea estable). As´ı la ganancia para el sistema de segundo orden propuesto inicialmente viene representada por: y∞ = l´ım s s→0

1 kωn2 =k 2 s s + 2ξωn s + ωn2

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

17

25

20

15

10

5

0

0

50

100

150

200

250

Figura 1.11: Respuesta ante una rampa de un sistema de segundo orden.

1.2.6.

Sistemas de orden superior: Sistema reducido equivalente

En numerosas ocasiones los sistemas de orden superior presentan unas caracter´ısticas en cuanto a respuesta ante se˜ nales de entrada normalizadas (impulso, escal´ on, rampa, etc.) similares a los sistemas de segundo orden. Por este motivo y con objeto de estudiar los sistemas de orden superior a trav´es de sistemas de segundo orden se puede intentar obtener un sistema de orden inferior y cuyo comportamiento sea totalmente equiparable al de mayor orden. Este sistema se denomina sistema reducido equivalente. En la respuesta transitoria de un sistema, la m´ axima aportaci´ on viene determinada por los polos cuya parte real sea m´as peque˜ na en valor absoluto (es decir, se encuentren m´as cerca del eje imaginario), ya que el efecto producido por los otros polos se aten´ ua mucho m´as r´apidamente. Estos polos que definen b´ asicamente el comportamiento del sistema en r´egimen transitorio se denominan polos dominantes. Para obtener un sistema reducido equivalente de uno de mayor orden se puede intentar simplificar el n´ umero de polos del mismo eliminando los polos que no sean dominantes: Eliminaci´ on de un par polo-cero. Se puede reducir el orden de un sistema al eliminar un par polo-cero que se encuentren muy cercanos entre s´ı.

18

Introducci´ on

Eliminaci´ on de polos muy alejados del origen. Se puede reducir el orden del sistema continuo al eliminar los polos que se encuentren suficientemente alejados del origen. La reducci´ on del orden de un sistema ha de realizarse con sumo cuidado y teniendo siempre presente que el comportamiento de ambos sistemas debe ser muy parecido. Evidentemente, la ganancia del sistema reducido equivalente y del sistema original ha de mantenerse para que presenten un comportamiento tanto est´atico como din´amico totalmente similar.

1.3.

Estudio de la estabilidad de sistemas continuos realimentados

Uno de los problemas m´ as importantes en los sistemas de control lineales radica en el an´ alisis de su estabilidad. Un sistema se dice que es estable si ante cualquier entrada acotada, su salida es acotada ante condiciones iniciales nulas. Ahora bien, dado que un sistema viene representado por su funci´on de transferencia valdr´ıa la pena analizar las condiciones que han de presentarse sobre esta funci´on de transferencia para que el sistema sea estable. Un sistema continuo es estable si y s´olo si todos los polos de su funci´on de transferencia se encuentran en el semiplano complejo de parte real negativa. Cuando se tiene un sistema de control realimentado como el representado en la figura 1.4, la funci´ on de transferencia en bucle cerrado resulta: GR (s)G(s) M (s) = 1 + GR (s)G(s)H(s) La ecuaci´on 1 + GR (s)G(s)H(s) se denomina ecuaci´on caracter´ıstica del sistema en bucle cerrado y permite determinar la ubicaci´ on de los polos del sistema. A partir del estudio de la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema es posible analizar la estabilidad del mismo. Si todas las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica (o lo que es lo mismo, todos los polos) se encuentran en el semiplano complejo de parte real negativa el sistema ser´a estable. En caso contrario el sistema tendr´a un comportamiento inestable.

1.3.1.

Criterio de Routh

El criterio de estabilidad de Routh permite analizar si existen ra´ıces en el semiplano complejo de parte real negativa para una ecuaci´ on polinomial. De esta forma, asumiendo que la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema viene dada por: 1 + GR (s)G(s)H(s) = a0 sn + a1 sn−1 + · · · + an−1 s + an = 0 se calcula la tabla 1.2 a partir de sus coeficientes:

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

sn sn−1 sn−2 sn−3 . s2 s1 s0

a0 a1 b1 c1 . u1 v1 w1

19

a2 a3 b2 c2 . u2

a4 a5 b3 c3

a6 a7 b4 c4

... ... ... ...

Tabla 1.2: Tabla de Routh.

donde los nuevos coeficientes de la tabla se calculan seg´ un: b1 =

a1 a2 − a0 a3 a1

b2 =

a1 a4 − a0 a5 a1

b3 =

a1 a6 − a0 a7 a1 .. .

c1 =

b1 a3 − a1 b2 b1

c2 =

b1 a5 − a1 b3 b1 .. .

d1 =

c1 b2 − b1 c2 c1

d2 =

c1 b3 − b1 c3 c1

y as´ı sucesivamente hasta que se completan todas las filas. El criterio de estabilidad de Routh establece que el n´ umero de ra´ıces de la ecuaci´on con parte real positiva es igual al n´ umero de cambios de signo de los coeficientes que integran la primera columna de la tabla. De esta forma es posible analizar la estabilidad de un sistema en bucle cerrado al aplicar el criterio de estabilidad de Routh sobre su ecuaci´ on caracter´ıstica.

20

Introducci´ on

Bibliograf´ıa para ampliar Eronini, 2001, cap´ıtulo 1. Se presentan numerosos ejemplos f´ısicos de diferentes sistemas de control presentes en la vida cotidiana. Kuo, 1996, secci´on 1-2. Analiza con un mayor rigor y profundidad los efectos de la realimentaci´ on en los sistemas de control. Puente, 1991. Se presenta con todo detalle el estudio de los sistemas continuos as´ı como las herramientas empleadas para su estudio. Eronini, 2001, cap´ıtulos 2,3, 4 y 5. Se analiza el comportamiento din´ amico de numerosos sistemas f´ısicos: mec´anicos, el´ectricos, t´ermicos, energ´eticos, etc. Resulta de especial inter´es el comportamiento din´ amico y an´alisis de tales modelos.

CAP´ITULO 2

´ ´ ANALISIS EN REGIMEN PERMANENTE DE SISTEMAS CONTINUOS REALIMENTADOS

´Indice 2.1. Respuesta en r´ egimen transitorio y en r´ egimen permanente en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Error en r´ egimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Se˜ nales de entrada normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Tipo de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Constantes de error en sistemas con realimentaci´ on unitaria 2.5.1. Error ante una entrada escal´ on. Error de posici´ on. Constante de error de posici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Error ante una entrada rampa. Error de velocidad. Constante de error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Error ante una entrada parab´ olica. Error de aceleraci´ on. Constante de error de aceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Errores en sistemas con realimentaci´ on no unitaria . . . . . 2.6.1. Transformaci´ on en un sistema equivalente con realimentaci´ on unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

22 23 27 29 30 30 31 32 34 34

22

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

2.6.2. C´ alculo del error a partir de la ganancia est´ atica mentaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Comparaci´ on bucle abierto-bucle cerrado . . . . 2.8. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . .

de . . . . . . . .

la reali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 38 40 42

El estudio en r´egimen permanente de un sistema de control realimentado est´ a motivado por uno de los objetivos del control: el seguimiento de la salida del sistema ante un valor de referencia. En este cap´ıtulo se van a definir varios ´ındices que indican en qu´e medida el sistema continuo cumple las especificaciones del r´egimen permanente, es decir, la precisi´ on del sistema. La comprobaci´ on de este cumplimiento s´ olo puede realizarse despu´es de un cierto periodo de tiempo conocido como r´egimen transitorio. De esta forma se calculan y analizan los denominados errores de posici´ on, velocidad y aceleraci´ on, introduciendo tambi´en el concepto de tipo de un sistema. Se trata adem´ as el caso en el que la realimentaci´ on no es unitaria, as´ı como el efecto de distintos par´ ametros sobre el error del sistema y sobre otros par´ ametros del mismo. Las definiciones que se dar´ an en este cap´ıtulo son v´ alidas s´ olo para sistemas continuos aunque se extienden de manera inmediata a los sistemas discretos, como se estudiar´ a en la tercera parte del libro.

2.1.

Respuesta en r´ egimen transitorio y en r´ egimen permanente en el dominio del tiempo

En la mayor´ıa de sistemas de control la evaluaci´on final de las prestaciones se realiza en el dominio del tiempo. Esto es debido a que el tiempo es la variable independiente en la mayor´ıa de los sistemas de control. As´ı por ejemplo si el objetivo final de control es hacer que la variable de salida siga a la se˜ nal de entrada, a partir de un instante inicial y bajo determinadas condiciones, se deber´ a comparar la entrada y la salida del sistema como funciones del tiempo. La respuesta en el dominio del tiempo suele dividirse en dos partes: la respuesta en r´egimen transitorio, o respuesta transitoria y la respuesta en r´egimen permanente o respuesta en estado estable. Si se denota y(t) como la respuesta en el tiempo de un sistema de control continuo, se podr´a escribir: y(t) = ytransitorio (t) + ypermanente (t)

(2.1)

donde ytransitorio (t) es la respuesta transitoria e ypermanente (t) es la respuesta en r´egimen permanente. Se define la respuesta en r´ egimen transitorio como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. La componente transitoria de la respuesta temporal tiende a desaparecer con el tiempo cumpli´endose, seg´ un la

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

23

definici´ on, que l´ım ytransitorio (t) = 0

t→∞

(2.2)

An´ alogamente, se define la respuesta en r´ egimen permanente como la parte de la respuesta en el tiempo que permanece despu´es de que la respuesta transitoria ha desaparecido. En el an´ alisis de sistemas de control debe tenerse en cuenta tanto la respuesta transitoria como en r´egimen permanente. A´ un cuando un sistema de control sea estable, siempre presentar´ a un fen´ omeno transitorio antes de alcanzar la respuesta de estado estable. En el dise˜ no de un sistema de control tambi´en se tienen en cuenta tanto especificaciones transitorias como en r´egimen permanente. En este cap´ıtulo se presentar´a el an´alisis en r´egimen permanente. Es evidente que el estudio del valor de la salida del sistema cuando el tiempo se hace suficientemente grande es tambi´en de gran inter´es en el an´alisis de un sistema de control. Si la respuesta en r´egimen permanente no coincide exactamente con la referencia deseada, se tendr´a en el sistema lo que se conoce como error en r´egimen permanente. A continuaci´on se estudiar´ a c´omo puede formalizarse el c´alculo de este error para caracterizar la precisi´on de sistemas de control en r´egimen permanente.

2.2.

Error en r´ egimen permanente

La misi´on de un sistema de regulaci´ on es controlar la respuesta temporal de una planta, considerando que en su dise˜ no deben tenerse en cuenta las especificaciones en tres aspectos: El conjunto formado por el controlador y el proceso debe ser estable. Debe presentar una respuesta transitoria aceptable. Debe presentar una respuesta en r´egimen permanente cuya precisi´on o error est´e dentro de unos l´ımites deseados. El fin que se persigue con el an´ alisis de la respuesta en r´egimen permanente es determinar el comportamiento del sistema cuando ha transcurrido un largo periodo de tiempo despu´es de la excitaci´on. Este an´ alisis facilita informaci´ on sobre la capacidad que tiene el sistema para seguir las se˜ nales de mando que se le aplican o, lo que es lo mismo, sobre la precisi´on del sistema. Las definiciones de error en r´egimen permanente s´olo tienen sentido en la pr´ actica cuando el sistema es estable puesto que cuando el sistema es inestable no tiene sentido estudiar su error ya que ´este se hace infinito. Se define como error del sistema la diferencia entre el valor deseado de la salida y su valor real. En la figura 2.1 se muestra la salida en funci´ on del tiempo de un sistema

24

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

junto con la salida deseada que en este caso es un escal´on. El error se define en general como la diferencia entre estos dos valores: e(t) = salida deseada o referencia − y(t).

salida

error

tiempo

Figura 2.1: Error del sistema. Para un sistema con realimentaci´ on unitaria como el de la figura 2.3, obtenido a partir de la realimentaci´ on de la salida del proceso o planta G(s) de la figura 2.2, el error resulta de la diferencia entre la se˜ nal de entrada al proceso G(s) y la se˜ nal de salida.

G(s) Planta Figura 2.2: Sistema sin realimentaci´ on. As´ı se puede definir el error para un sistema con realimentaci´ on unitaria de la siguiente forma: e(t) = r(t) − y(t). O en el dominio de Laplace: E(s) = R(s) − Y (s), siendo:

(2.3)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

R(s) +

E(s)

r(t) -

e(t)

25

Y(s)

G(s)

y(t)

Planta

Figura 2.3: Sistema con realimentaci´on unitaria.

R(s), r(t) el valor deseado de la salida de la planta (referencia), en el dominio de Laplace y del tiempo respectivamente. Y (s), y(t) el valor real de la salida de la planta, en el dominio de Laplace y del tiempo respectivamente, para sistemas con realimentaci´on unitaria. E(s), e(t) el error del sistema, en el dominio de Laplace y del tiempo respectivamente. Se define el error en r´ egimen permanente, erp , como el valor que adquiere el error del sistema una vez que transcurre el periodo transitorio. Se obtiene mediante el l´ımite del error del sistema cuando el tiempo t tiende a infinito: erp = l´ım e(t). t→∞

La funci´ on de transferencia en bucle cerrado del sistema con realimentaci´on unitaria mostrado en la figura 2.3 ser´ a: M (s) =

G(s) Y (s) = R(s) 1 + G(s)

y la funci´ on de transferencia entre la se˜ nal de error y la se˜ nal de entrada ser´ a: W (s) =

R(s) − Y (s) Y (s) G(s) 1 E(s) = =1− =1− = R(s) R(s) R(s) 1 + G(s) 1 + G(s)

(2.4)

Despejando el error del sistema de la expresi´ on 2.4 se obtiene: E(s) = W (s)R(s) =

R(s) . 1 + G(s)

Aplicando el teorema del valor final, el error en r´egimen permanente del sistema puede calcularse como:

26

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

erp = l´ım e(t) = l´ım sE(s) = l´ım t→∞

s→0

s→0

sR(s) 1 + G(s)

(2.5)

Debe tenerse en cuenta que esta expresi´on s´olo es v´alida si existe el l´ımite l´ımt→∞ e(t). Por tanto antes de calcular el l´ımite l´ıms→0 sE(s) debe comprobarse que el sistema es estable en bucle cerrado puesto que si no lo es el error es infinito. De la ecuaci´on 2.5 se puede deducir que el error en r´egimen permanente del sistema en bucle cerrado con realimentaci´on unitaria depende, como es l´ ogico, tanto de la referencia R(s) como del sistema G(s). Como se ver´a posteriormente en este cap´ıtulo, este resultado llevar´ a a clasificar los ´ındices o constantes de error del sistema en funci´on de la referencia que se aplique. El desarrollo anterior para el error del sistema y el error en r´egimen permanente es v´ alido para sistemas con realimentaci´ on unitaria como el de la figura 2.3. En el caso de sistemas con realimentaci´on no unitaria el planteamiento cambia. Obs´ervese el sistema con realimentaci´on no unitaria de la figura 2.4. En este sistema, la entrada a G(s) ya no coincide con el error e(t) como ocurr´ıa en el caso de la figura 2.3 con realimentaci´on unitaria.

R(s) +

å(s)

r(t)

å(t)

-

G(s)

Y(s) y(t)

Planta

H(s) Figura 2.4: Sistema con realimentaci´ on no unitaria.

En los sistemas con realimentaci´on no unitaria la se˜ nal que act´ ua sobre la planta es la diferencia entre la referencia, r(t), y la se˜ nal realimentada (que no coincide con la se˜ nal de salida y(t), debido al efecto de H(s)). Esta se˜ nal de entrada no coincide, por tanto, con el error e(t) tal y como se ha definido previamente y para diferenciar ambas se˜ nales denotaremos a esta u ´ltima como ε(t), que se calcular´a como (v´ease la figura 2.4): ε(t) = r(t) − b(t),

(2.6)

donde b(t) es la se˜ nal que se realimenta, obtenida como salida del sistema H(s). La transformada de Laplace de ε(t) es: ε(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)Y (s)

(2.7)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

27

En sistemas con realimentaci´on no unitaria, a la magnitud ε(t) = r(t) − b(t) se le suele llamar error en unidades de la entrada, ya que es el error que se introduce como entrada al proceso. A la se˜ nal e(t) = r(t) − y(t) se le llama en estos sistemas error en unidades de la salida, o simplemente error, tal y como se ha definido previamente. Obs´ervese que si se aplican estas dos u ´ltimas definiciones al caso de sistemas con realimentaci´on unitaria, las se˜ nales ε(t) y e(t) coinciden por coincidir las se˜ nales y(t) y b(t) ya que H(s) = 1. Por este motivo, en sistemas con realimentaci´on unitaria no tiene sentido distinguir entre error en unidades de la entrada y error en unidades de la salida, habl´ andose en general simplemente de error. En la secci´on 2.5 se calcular´an errores para sistemas con realimentaci´ on unitaria y no unitaria.

2.3.

Se˜ nales de entrada normalizadas

En general, las entradas que se aplicar´ an en la pr´actica a la mayor´ıa de sistemas de control no tienen porqu´e conocerse necesariamente durante el an´alisis y dise˜ no de los mismos. Es posible incluso, en casos extremos, que la entrada al sistema de control pueda variar de forma aleatoria en el tiempo. Este hecho supone un problema importante en el dise˜ no de sistemas de control ya que es dif´ıcil dise˜ nar controlador que tenga un comportamiento satisfactorio para cualquier se˜ nal de entrada. Por ello es necesario definir se˜ nales de prueba o normalizadas para poder analizar de forma gen´erica el comportamiento de un sistema de control. El objetivo deseable es que la respuesta a estas se˜ nales normalizadas de entrada pueda permitir de alguna manera predecir la respuesta del sistema ante otro tipo de entradas m´ as complejas. Ahora bien, ¿qu´e se˜ nales pueden elegirse como se˜ nales de prueba? Para responder a esta pregunta debe tenerse en cuenta que las se˜ nales que reciben los sistemas de control pueden tener caracter´ısticas muy distintas en funci´ on de la naturaleza del sistema. Por ejemplo, es posible que un sistema de control reciba se˜ nales de referencia cuya variaci´on sea relativamente lenta mientras que otros est´an sometidos a referencias de variaci´on r´ apida e incluso, como ya se ha indicado, a entradas de naturaleza aleatoria. En determinados sistemas, especialmente los de tipo mec´anico, las entradas suelen ser un cambio brusco de posici´on, cambio de velocidad o cambio de aceleraci´ on. Otros sistemas no mec´anicos tambi´en tienen entradas an´ alogas a las anteriores, aunque el significado f´ısico de las variables no sea el mismo. En general puede decirse que si la entrada a un sistema lineal de control no presenta excesivas variaciones en la unidad de tiempo, puede representarse anal´ıticamente por la siguiente expresi´on polin´ omica en el dominio del tiempo: r(t) = r0 + r1 t + r2 t2 .

(2.8)

Esta ecuaci´on general lleva a considerar tres tipos de entradas normalizadas a un sistema de control:

28

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

Entrada en escal´ on, o de posici´on, representada por el t´ermino r0 de la expresi´on 2.8. Esta se˜ nal corresponde a una variaci´ on instant´ anea del valor de la se˜ nal de entrada y la representaremos matem´aticamente como r(t) = Ap u0 (t), on r(t). Cuando donde u0 (t) es un escal´on unitario, y Ap es la amplitud del escal´ Ap = 1, la transformada de Laplace de esta entrada es R(s) =

1 . s

Esta entrada es muy u ´til como se˜ nal de prueba ya que representa un cambio instant´ aneo inicial de amplitud que permitir´ a comprobar la rapidez de respuesta del sistema a entradas bruscas. Entrada en rampa, o escal´on de velocidad, representada por el t´ermino r1 t de la expresi´on 2.8. Matem´ aticamente la representaremos como r(t) = Av tu0 (t), donde u0 (t) es un escal´on unitario. Cuando Av = 1, la transformada de Laplace es R(s) =

1 . s2

La entrada en rampa puede servir para comprobar c´ omo responde el sistema a se˜ nales que cambian linealmente con el tiempo. Entrada parab´ olica, o escal´on de aceleraci´on, representada por el t´ermino r2 t2 de la expresi´on 2.8. Matem´ aticamente la representaremos como r(t) =

Aa t2 u0 (t), 2

donde u0 (t) es un escal´on unitario y el factor 12 se introduce por conveniencia matem´atica ya que cuando Aa = 1, la transformada de Laplace de la entrada parab´ olica es 1 R(s) = 3 . s Los sistemas de control se suelen analizar seg´ un su capacidad para seguir estos tres tipos de se˜ nales de entrada normalizadas aunque, como ya se ha indicado, la se˜ nal de entrada que act´ ua sobre un sistema pueda presentar en la pr´actica una forma cualquiera1 . 1 Los nombres “posici´ on”, “velocidad” y “aceleraci´ on” de las entradas normalizadas s´ olo tienen sentido f´ısico para sistemas de control de posici´ on (servomecanismos), aunque se han mantenido estas denominaciones para otros tipos de sistemas (t´ermicos, qu´ımicos, el´ectricos, etc.) para los cuales carecen de sentido f´ısico.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

29

De la funci´ on escal´on a la funci´ on parab´ olica las se˜ nales se vuelven progresivamente “m´as r´apidas” con respecto al tiempo. Podr´ıan definirse funciones todav´ıa m´as r´apidas, como por ejemplo una funci´ on c´ ubica, t3 , y as´ı sucesivamente. Sin embargo para el an´alisis en r´egimen permanente no es u ´til definir estas se˜ nales m´as r´apidas que la parab´ olica debido a que, como se estudiar´a en este cap´ıtulo, para seguir sin error se˜ nales de referencia de orden superior el sistema debe tener integradores de orden tambi´en superior, lo que normalmente conduce a inestabilidades. En las definiciones que se dar´an en el presente cap´ıtulo s´olo se usar´an las entradas normalizadas unitarias, es decir, las definidas anteriormente cuando Ap = Av = Aa = 1.

2.4.

Tipo de un sistema

Los sistemas de control se pueden clasificar seg´ un su capacidad para seguir en r´egimen permanente entradas escal´on, rampa o parab´ olicas ya que, como se ha indicado, si la se˜ nal de entrada de un sistema no sufre excesivas variaciones en la unidad de tiempo, puede representarse como una combinaci´on de estas tres entradas normalizadas usando la expresi´on 2.8. A su vez el comportamiento en r´egimen permanente de un sistema depende en gran medida del n´ umero de polos en el origen de la funci´ on de transferencia en bucle abierto, G(s), puesto que influye en el valor del l´ımite l´ıms→∞ sE(s). Por este motivo se suelen clasificar los sistemas en funci´on del n´ umero de polos en el origen que tengan. Consid´erese una funci´ on de transferencia en bucle abierto con la siguiente forma general: G(s) =

K(1 + T1 s)(1 + T2 s) · · · (1 + Tm s) sr (1 + A1 s)(1 + A2 s) · · · (1 + Aq s)

(2.9)

siendo sr un t´ermino que indica que la funci´ on tiene un polo de multiplicidad r en el origen. Se denomina tipo del sistema al valor del exponente r. As´ı se tienen sistemas de tipo 0 cuando no hay ning´ un polo en el origen (r = 0), sistemas de tipo 1 cuando existe un polo en el origen (r = 1), sistemas de tipo 2 cuando existen dos polos en el origen (r = 2), etc. En general puede decirse que cuanto m´as elevado sea el tipo de un sistema menor ser´a su error en r´egimen permanente. Esto no quiere decir que se puedan a˜ nadir integradores arbitrariamente para disminuir el error ya que el aumento del tipo tambi´en tiene el efecto de empeorar la estabilidad del sistema, pudiendo llegar a inestabilizarse. Y sobre un sistema inestable no tiene sentido el concepto de error en r´egimen permanente. En consecuencia, el tipo de un sistema no puede aumentarse de manera arbitraria para reducir su error siendo necesario en general llegar a una soluci´on de compromiso entre estabilidad y precisi´ on.

30

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

2.5.

Constantes de error en sistemas con realimentaci´ on unitaria

En esta secci´on se van a definir unas constantes o ´ındices de error que facilitan la informaci´ on sobre el error que se comete en r´egimen permanente en un sistema con realimentaci´ on negativa unitaria. Estas constantes de error se definen en funci´on de la respuesta del sistema ante las tres se˜ nales de entrada normalizadas definidas previamente, dando lugar por tanto a tres tipos de constantes. Para que las medidas de error sean independientes de la amplitud de la referencia, se tomar´ an siempre entradas normalizadas con amplitud unitaria (Ap = Av = Aa = 1).

2.5.1.

Error ante una entrada escal´ on. Error de posici´ on. Constante de error de posici´ on

Sustituyendo en la ecuaci´ on 2.5 R(s) por su valor cuando la se˜ nal de entrada es un escal´on unitario se obtiene el denominado error de posici´ on (ep ): 1 s· 1 sR(s) s = = l´ım ep = l´ım e(t) = l´ım sE(s) = l´ım t→∞ s→0 s→0 1 + G(s) s→0 1 + G(s) 1 + Kp

(2.10)

donde: Kp = l´ım G(s) s→0

on del sistema. Esta constante puede intersiendo Kp la constante de error de posici´ pretarse como un ´ındice de la precisi´on del sistema ante una entrada escal´ on y permite evaluar cu´ al es la capacidad del sistema para seguir una referencia de tipo escal´ on. Cuana, tendiendo a cero cuando do el valor de Kp aumenta, el error de posici´on ep disminuir´ Kp tiende a ∞. Debe recordarse que las expresiones anteriores s´olo tienen sentido si el sistema en bucle cerrado es estable. El error ep definido es una magnitud adimensional. Estudiemos qu´e valor tiene el error de posici´on ep para distintos tipos de sistemas: Sistemas de tipo 0. En este caso se tiene: Kp = l´ım G(s) = l´ım s→0

s→0

K =K s0

por tanto, ep =

1 1+K

Sistemas de tipo 1 o superior. En este caso se tiene: Kp = l´ım G(s) = l´ım s→0

s→0

K =∞ sr

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

31

por tanto, ep =

1 =0 1+∞

Se puede concluir que si se desean errores de posici´ on nulos es necesario acudir a sistemas de tipo uno o superior.

2.5.2.

Error ante una entrada rampa. Error de velocidad. Constante de error de velocidad

El error en r´egimen permanente de un sistema cuando la entrada es una rampa on 2.5 R(s) unitaria se denomina error de velocidad (ev ). Sustituyendo en la ecuaci´ por su valor cuando la se˜ nal de entrada es una rampa se obtiene la siguiente expresi´ on para el error de velocidad: ev = l´ım e(t) = l´ım sE(s) = l´ım t→∞

s→0

s→0

sR(s) = 1 + G(s)

1 s2 = l´ım 1 = 1 = l´ım s→0 1 + G(s) s→0 sG(s) Kv s·

donde: Kv = l´ım sG(s) s→0

La constante Kv recibe el nombre de constante de error de velocidad. Es importante recordar que las expresiones anteriores s´olo tienen sentido cuando el sistema en bucle cerrado es estable. El error de velocidad ev es una magnitud que se mide en unidades del tiempo t. Estudiemos qu´e valor tiene la constante de error de velocidad para distintos tipos de sistemas: Sistemas de tipo 0, Kv = l´ım sG(s) = l´ım s s→0

s→0

K =0 s0

y, por tanto, el error de velocidad es ev = ∞. Sistemas de tipo 1, Kv = l´ım sG(s) = l´ım s s→0

s→0

quedando el error de velocidad ev =

1 1 . = Kv K

K =K s1

32

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

Sistemas de tipo 2, tipo 3, ..., tipo r Kv = l´ım sG(s) = l´ım s s→0

s→0

K =∞ sr

y, por tanto, el error de velocidad en estos sistemas es ev = 0.

2.5.3.

Error ante una entrada parab´ olica. Error de aceleraci´ on. Constante de error de aceleraci´ on

El error de aceleraci´ on (ea ) se define como el error en r´egimen permanente de un on sistema ante una entrada parab´ olica con amplitud Aa = 1. Sustituyendo en la ecuaci´ 2.5 R(s) por su valor cuando la se˜ nal de entrada es una par´ abola con estas caracter´ısticas se obtiene la siguiente expresi´on para el error de aceleraci´on: ea = l´ım e(t) = l´ım sE(s) = l´ım t→∞

s→0

s→0

sR(s) = 1 + G(s)

1 3 1 1 s = l´ım 2 = = l´ım s→0 1 + G(s) s→0 s G(s) Ka s·

donde: Ka = l´ım s2 G(s) s→0

on. Esta expreLa constante Ka recibe el nombre de constante de error de aceleraci´ si´on s´olo tiene sentido si el sistema en bucle cerrado es estable. El error de aceleraci´on es una magnitud que se mide en unidades de tiempo al cuadrado, t2 . Estudiemos qu´e valor tiene la constante de error de aceleraci´on Ka para distintos tipos de sistemas: Sistemas de tipo 0 y tipo 1, Ka = l´ım s2 G(s) = l´ım s2 s→0

s→0

K = 0 (r = 0, 1) , sr

por tanto: ea = ∞. Sistemas de tipo 2, Ka = l´ım s2 G(s) = l´ım s2 s→0

s→0

por tanto: ea =

1 1 . = Ka K

K =K , s2

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

33

Sistemas de tipo 3, tipo 4, ..., tipo r Ka = l´ım s2 G(s) = l´ım s2 s→0

s→0

K = ∞ (r = 3, 4, ...) sr

por tanto: ea = 0. En la tabla 2.1 aparecen resumidas las constantes y los errores para cada tipo de sistema. Como conclusiones de las expresiones obtenidas en las secciones anteriores se puede decir: Para los sistemas de tipo cero con realimentaci´on unitaria, la respuesta a una se˜ nal escal´on presenta un error en r´egimen permanente que puede ser reducida aumentando la ganancia K del sistema en bucle abierto, teniendo cuidado de no hacerla excesivamente grande ya que esto podr´ıa inestabilizar el sistema. Si verdaderamente se desea un error de posici´on nulo en r´egimen permanente se deber´a acudir a sistemas de tipo uno o superior. La salida de un sistema de tipo cero no es capaz de seguir a una se˜ nal de entrada de tipo rampa. Si el sistema es de tipo uno, la salida podr´a seguir la referencia rampa pero con un error finito que disminuye cuando aumenta la ganancia. Los sistemas de tipo cero y uno son incapaces de seguir una referencia de tipo parab´ olico. Si el sistema es de tipo dos, la salida podr´ a seguir la referencia parab´ olica pero con un error finito que disminuye cuando aumenta la ganancia. Las constantes de error pueden utilizarse para calcular el error en r´egimen permanente cuando las se˜ nales de entrada pueden expresarse seg´ un el polinomio en la variable tiempo t de la expresi´on 2.8. Este c´alculo se puede realizar sumando los errores en r´egimen permanente debido a cada uno de los t´erminos de esta expresi´on, obteniendo en general: Ap Av Aa + + , erp = 1 + Kp Kv Ka donde Ap , Av y Aa son las amplitudes de los t´erminos correspondientes a las entradas escal´on, rampa y parab´ olica, respectivamente, de forma que si ´estas son unitarias tal y como se consideraron en las definiciones de los errores en r´egimen permanente, la expresi´on anterior queda: erp =

1 1 1 + + , 1 + Kp Kv Ka

Las constantes de error definidas en esta secci´on y los resultados resumidos en la tabla 2.1 s´olo son v´alidos cuando se cumplen dos condiciones:

34

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

Tipo 0 1 2 3

Kp K ∞ ∞ ∞

Kv 0 K ∞ ∞

Ka 0 0 K ∞

ep 1 1+K

ev ∞

0 0 0

1 K

ea ∞ ∞

0 0

0

1 K

Tabla 2.1: Constantes de error y errores en r´egimen permanente en funci´ on del tipo del sistema.

El sistema en bucle cerrado es estable. El sistema tiene realimentaci´ on unitaria. En la secci´on siguiente se va a estudiar c´omo puede generalizarse el c´alculo de coeficientes de error para casos en los que la realimentaci´ on del bucle cerrado no es unitaria.

2.6.

Errores en sistemas con realimentaci´ on no unitaria

En la pr´ actica la se˜ nal que se realimenta no tendr´ a las mismas magnitudes que la se˜ nal de entrada por lo que ser´ a necesario adaptarla para poder realizar la posterior comparaci´on. La se˜ nal que le llega al comparador procede normalmente de un sensor, que es el encargado de captar y adaptar la se˜ nal y que en pocas ocasiones tiene una funci´ on de transferencia H(s) unitaria. Por tanto, para modelar el sistema en bucle cerrado, deber´a incluirse una funci´ on H(s) distinta de uno para realizar la realimentaci´on de la se˜ nal de salida de la planta. En estos casos se dice que el sistema tiene realimentaci´on no unitaria (figura 2.4). Observando la figura 2.4 se puede ver que la se˜ nal que act´ ua sobre el proceso es ε(s) = R(s) − H(s)Y (s) que es distinta de la se˜ nal de error E(s) que se calcular´ıa como la diferencia entre la salida real y la deseada. En esta secci´on se expondr´ an dos estrategias para el c´ alculo del error en sistemas con realimentaci´on no unitaria, de manera que puedan extenderse las ideas expuestas en la secci´on 2.5 para el caso de realimentaci´ on unitaria.

2.6.1.

Transformaci´ on en un sistema equivalente con realimentaci´ on unitaria

La se˜ nal de error en un sistema con realimentaci´on unitaria se define en el dominio de Laplace seg´ un la expresi´ on 2.3. Transformando el sistema representado en la figura 2.4 en

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

35

un sistema con realimentaci´on unitaria se obtiene el resultado que se muestra en la figura 2.5. En esta figura se ha introducido un bucle interno de realimentaci´ on con funci´ on de transferencia H(s) − 1 y una realimentaci´ on directa de la salida a la entrada. As´ı se ha obtenido un sistema equivalente al original que presenta realimentaci´ on unitaria. De la

R(s) +

E(s)

r(t)

e(t)

+ -

å(s) å(t)

G(s)

Y(s) y(t)

Planta

H(s)-1

G*(s)

R(s) +

E(s)

r(t) -

e(t)

G*(s)

Y(s)

y(t)

Planta

Figura 2.5: Sistema con realimentaci´ on no unitaria transformado en un sistema con realimentaci´on unitaria.

36

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

figura 2.5 se puede deducir que la funci´ on de transferencia de la nueva planta G∗ (s) ser´a: G∗ (s) =

G(s) Y (s) = R(s) 1 + (H(s) − 1)G(s)

Considerando esta nueva funci´ on de transferencia ya puede aplicarse la definici´ on del error dada para sistemas con realimentaci´on unitaria, resultando: W ∗ (s) =

R(s) − Y (s) Y (s) G∗ (s) E(s) = =1− =1− = R(s) R(s) R(s) 1 + G∗ (s) =

1 + G(s) [H(s) − 1] 1 = 1 + G∗ (s) 1 + G(s)H(s)

Por lo que se podr´an obtener las constantes de error al sustituir en las f´ ormulas vistas anteriormente G(s) y W (s) por G∗ (s) y W ∗ (s) respectivamente.

2.6.2.

C´ alculo del error a partir de la ganancia est´ atica de la realimentaci´ on

En esta secci´on se va exponer un m´etodo alternativo m´ as coherente que el anterior para el c´alculo de errores en sistemas con realimentaci´on no unitaria. Consideremos la ganancia est´atica H(0) de la realimentaci´on (que generalmente ser´a un sensor), dada por: l´ım H(s) = H(0) = KH = constante

s→0

(2.11)

Con esta condici´on, en r´egimen permanente la se˜ nal que es realimentada para ser companal rada con la referencia es KH veces la salida en r´egimen permanente. Por tanto, la se˜ de referencia o salida deseada en r´egimen permanente se puede definir como r(t)/KH y en consecuencia la se˜ nal de error es: e(t) =

1 r(t) − y(t), KH

(2.12)

es decir, la diferencia entre salida deseada y salida real. En el dominio de Laplace, E(s) =

1 1 R(s) − Y (s) = [1 − KH M (s)] R(s). KH KH

(2.13)

El error en r´egimen permanente se calcular´a como: erp = l´ım sE(s) = l´ım s→0

s→0

1 [1 − KH M (s)] sR(s). KH

(2.14)

Sustituyendo en esta u ´ltima expresi´on la referencia R(s) por las se˜ nales escal´on, rampa y par´abola se obtendr´ an los correspondientes errores y constantes de error de manera an´ aloga al caso de realimentaci´on unitaria.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

37

Ejemplo. Dado el sistema representado en la figura 2.4 con las siguientes funciones de transferencia: G(s) =

1 s2 (s + 12)

H(s) =

10(s + 1) s+5

Calcular los errores de posici´ on, velocidad y aceleraci´ on. Soluci´ on: on de transferencia en bucle cerrado es: En este caso KH = H(0) = 2. La funci´ M (s) =

s4

+

17s3

s+5 . + 60s2 + 10s + 10

Ante una entrada escal´ on unitario, R(s) = 1s , se obtiene el error de posici´ on a partir de la expresi´on 2.14, resultando:   s+5 1 1 1−2 4 s = ep = l´ım s→0 2 s + 17s3 + 60s2 + 10s + 10 s 1 1 s4 + 17s3 + 60s2 + 8s l´ım 4 = ·0=0 2 s→0 s + 17s3 + 60s2 + 10s + 10 2 El error de velocidad es:   s+5 1 1 1−2 4 s = ev = l´ım s→0 2 s + 17s3 + 60s2 + 10s + 10 s2 =

=

1 1 s4 + 17s3 + 60s2 + 8s l´ım 4 · = 3 2 2 s→0 s + 17s + 60s + 10s + 10 s

1 1 8 s3 + 17s3 + 60s + 8 l´ım 4 = · = 0,4. 2 s→0 s + 17s3 + 60s2 + 10s + 10 2 10 Y el error de aceleraci´on:   s+5 1 1 ea = l´ım 1−2 4 s = s→0 2 s + 17s3 + 60s2 + 10s + 10 s3 =

=

1 1 s4 + 17s3 + 60s2 + 8s l´ım 4 · 2 = 3 2 2 s→0 s + 17s + 60s + 10s + 10 s

=

1 s3 + 17s3 + 60s + 8 l´ım 5 = ∞. 2 s→0 s + 17s4 + 60s3 + 10s2 + 10s 

38

2.7.

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

Comparaci´ on en r´ egimen permanente entre sistemas en bucle abierto y sistemas en bucle cerrado

En un sistema de control en bucle cerrado se alimenta al controlador la se˜ nal de error de actuaci´ on, con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. Por el contrario, los sistemas de control en los cuales la salida no afecta a la acci´on de control se denominan sistemas de control en bucle abierto. Un ejemplo t´ıpico de sistema de control en bucle abierto es un lavadero autom´ atico de coches en el que el remojo, lavado y enjuague funcionan secuencialmente seg´ un el programa que se haya seleccionado, no midi´endose autom´aticamente la se˜ nal de salida que ser´ıa el grado de limpieza del coche. En un sistema de control en bucle abierto a cada referencia de entrada le corresponde una acci´ on de control fija y por tanto el error o precisi´ on del sistema depender´a de la calibraci´ on del mismo. En ese caso, ante la presencia de perturbaciones, el sistema no realizar´ a en general la tarea deseada. En la pr´ actica, los sistemas de control en bucle abierto s´ olo se usan si se conoce la relaci´on entre la entrada y la salida y si no existen perturbaciones internas ni externas. En esta secci´on va a exponerse, en forma de ejemplo, el c´alculo del error en r´egimen permanente de un sistema en bucle abierto y otro en bucle cerrado. Estos dos sistemas son los que aparecen en la figura 2.6: uno en bucle abierto (sin realimentaci´ on, figura 2.6 (a)) y otro en bucle cerrado con realimentaci´ on unitaria (figura 2.6 (b)). Vamos a suponer que en ambos sistemas se dispone de un par´ ametro (Kc y Kp respectivamente) que se pueden modificar a voluntad para conseguir unos mejores resultados en la se˜ nal de salida. Con el objetivo de poder comparar los dos sistemas de la figura 2.6 en r´egimen permanente, definiremos el error en el sistema en bucle abierto de forma an´aloga a como se defini´ o para bucle cerrado como la diferencia entre el valor deseado de la salida y su valor real: e(t) = r(t) − y(t) y en el dominio de Laplace: E(s) = R(s) − Y (s), ⇒ E(s) = R(s) − G0 (s)R(s) = [1 − G0 (s)]R(s) , donde G0 (s) es la funci´ on de transferencia correspondiente a la planta y la ganancia Kc (figura 2.6 (a)). Si el sistema es estable, el error de posici´ on se calcula como: 1 ep = l´ım e(t) = l´ım E(s)s = l´ım [1 − G0 (s)]R(s)s = l´ım [1 − G0 (s)] s t→∞ s→0 s→0 s→0 s ep = 1 − G0 (0) = 1 − K · Kc Si el sistema se dise˜ na para que el error en r´egimen permanente sea aproximadamente cero, entonces: 1 1 − K · Kc 0 ⇒ K · Kc = 1 ⇒ Kc = K

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

39

G0(s)

{

R(s) r(t)

Y(s)

K 1+Ts

Kc

Planta

y(t)

(a)

R(s) r(t)

+ -

E(s) e(t)

K 1+Ts

Kp

Planta

Y(s) y(t)

(b) Figura 2.6: Sistema en bucle abierto (a) y sistema en bucle cerrado (b).

De esta forma la ganancia G0 (0) del sistema en bucle abierto es igual a la unidad, asegurando que el error en estado estable sea cero. Para ello, el sistema debe dise˜ narse asegurando que Kc K = 1. Sin embargo, es posible que debido a cambios ambientales, envejecimiento y aparici´ on de fallos en los componentes, la ganancia G0 (0) se aleje de la unidad conforme pase el tiempo y el error en estado estable ya no ser´a igual a cero. Ese error en r´egimen permanente en el sistema en bucle abierto se mantendr´a hasta que el sistema vuelva a dise˜ narse o calibrarse. Supongamos que debido a errores de envejecimiento, errores en los componentes, etc., el valor de K es igual a K + K, de tal forma que la nueva funci´ on de transferencia del sistema es: K + K (2.15) Ts + 1

40

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

En ese caso si, por ejemplo, K = 10 y K = 1 el error de posici´on ser´a, teniendo en 1 : cuenta que Kc sigue siendo igual a K ep = 1 − Kc · K = 1 −

1 (K + K) = K

1 (10 + 1) = −0,1 = −10 % 10 El error en r´egimen permanente en el sistema en bucle cerrado con realimentaci´on unitaria y frente a una entrada escal´ on (error de posici´ on) se calcular´a mediante la ecuaci´on 2.10 y su valor ser´ a: =1−

1 1 1 s = = ep = l´ım s→0 1 + G(s) 1 + G0 (0) 1 + Kp K s·

Si Kp K 1, entonces ep 0. Por tanto, en bucle cerrado el error ha resultado ser mayor que en el caso de bucle abierto cuando todo el sistema estaba calibrado de forma que ep = 0. En cambio, si consideramos ahora la variaci´ on en la funci´ on de transferencia de la planta seg´ un la ecuaci´on 2.15 y tomando K = 10, K = 1 y Kp = 10, el error de posici´on del sistema en bucle cerrado ser´a: erp =

1 1 =

0,009 = 0,9 % 1 + 10 · (10 + 1) 1 + 110

En consecuencia, el sistema de control en bucle cerrado de la figura 2.6 tiene un mejor comportamiento en r´egimen permanente que el sistema en bucle abierto en presencia de variaciones con el tiempo en el sistema como consecuencia de cambios ambientales, envejecimiento de los componentes, etc. Adem´as, el sistema en bucle cerrado presentar´a mejor comportamiento ante perturbaciones externas que el sistema en bucle abierto.

2.8.

Sensibilidad

La sensibilidad de un sistema es la medida de la dependencia de las caracter´ısticas del sistema respecto a las caracter´ısticas de uno de los elementos que lo integran. La expresi´on de la sensibilidad del elemento A respecto del elemento B se puede definir como el porcentaje de variaci´ on que se origina en A al producirse un determinado porcentaje de variaci´ on en B. A ∂A A ∂A A A A · = B = ∂B = SB B ∂B B B A continuaci´on se va a realizar un c´ alculo de sensibilidad sobre el sistema de la figura 2.7.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

R(s) r(t)

K1

+ -

41

G(s)

Y(s) y(t)

K2 Figura 2.7: Sistema ejemplo para el c´ alculo de sensibilidad.

Ejemplo. Dado el bucle cerrado de la figura 2.7, se pide calcular la sensibilidad de M (s) respecto a los par´ ametros siguientes: a) K1 . b) K2 . c) G(s).

Soluci´ on: La funci´ on de transferencia en bucle cerrado del sistema ser´a: M (s) =

K1 G(s) Y (s) = R(s) 1 + K2 G(s)

Apartado a). La sensibilidad de M (s) respecto al par´ametro K1 ser´a: M (s)

SK1

=

=

=

∂M (s) K1 · = M (s) ∂K1

K1 G(s) · = M (s) 1 + K2 · G(s)

K1 G(s) =1 · K1 G(s) 1 + K2 · G(s) 1 + K2 G(s)

El resultado obtenido indica que un cambio de, por ejemplo, el 15 % en K1 producir´ a un cambio del 15 % en M (s) (funci´ on de transferencia del sistema).

42

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

Apartado b). La sensibilidad de M (s) respecto a K2 se puede calcular como: M (s)

SK2 Como

=

∂M (s) K2 · M (s) ∂K2

−G(s)K1 G(s) ∂M (s) = 2 ∂K2 (1 + G(s)K2 )

y K2 (1 + G(s)K2 ) K2 = M (s) K1 G(s) se obtiene para la sensibilidad: M (s)

S K2

=

−K2 G(s) 1 + K2 G(s)

M de tal forma que si K2 G(s) 1, esto implica que SK = −1, lo cual indica que un cambio 2 a un cambio del 15 % en M (s) pero de signo contrario. del 15 % en K2 producir´

Apartado c). La sensibilidad de M (s) respecto a G(s) se calcula como: M (s)

SG Como

=

G(s) ∂M (s) · M (s) ∂G(s)

K1 (1 + G(s)K2 ) − K1 K2 G(s) ∂M (s) = 2 ∂G(s) (1 + G(s)K2 )

y G(s)(1 + G(s)K2 ) G(s) = M (s) K1 G(s)) se obtiene para la expresi´on de la sensibilidad: M SG =

1 1 + G(s)K2

de donde se deduce que cuanto mayor sea K2 G(s), la sensibilidad ser´ a menor. En resumen, los par´ ametros K1 y K2 son muy cr´ıticos, ya que cualquier cambio o variaci´ on que en ellos se produzca se refleja directamente en la funci´on de transferencia global del sistema. Estos par´ametros deben elegirse con sumo cuidado de forma que sean estables en el tiempo. Si K2 tiene un valor muy alto de forma que se cumple que K2 G(s) 1, el sistema ser´a insensible ante posibles variaciones de G(s), lo cual es positivo pensando en posibles perturbaciones que deba soportar el sistema G(s). 

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

43

Bibliograf´ıa para ampliar (Puente, 1991), cap´ıtulo III-1. Se definen los denominados “coeficientes de error generalizados” o “coeficientes din´ amicos de error” que, a diferencia de las definiciones dadas aqu´ı proporcionan una informaci´ on m´as completa sobre el comportamiento del sistema en r´egimen permanente, aunque su c´alculo es m´as complejo. (Ogata, 1998), secci´on 5-10. Aunque s´ olo trata el caso de la realimentaci´on unitaria, incluye numerosos ejemplos de c´alculo de errores para modelos de sistemas de control reales. (Kuo, 1996), secciones 7.1, 7.2, 7.3. Se realiza un estudio interesante sobre el error del sistema y la funci´ on de transferencia en bucle cerrado tanto en sistemas con realimentaci´ on unitaria como en sistemas con realimentaci´ on no unitaria sin polos en el origen, con varios ejemplos pr´ acticos. Tambi´en se hace un estudio del error de un sistema con realimentaci´on no unitaria para el caso particular en el que H(s) tiene un cero de orden N en s = 0. (Blasco, 2000), cap´ıtulo 3. Analiza el efecto de las perturbaciones sobre los errores del sistema en r´egimen permanente y explica c´omo obtener las constantes de error a partir de la respuesta en frecuencia. Resulta tambi´en interesante la lectura de (Dorf, 1989), secciones 4.4 y 4.5, y de (Levine, 1996), secciones 10.1 y 10.2, donde se definen los denominados “´ındices de funcionamiento”, que son medidas de error aplicables en t´ecnicas avanzadas de control como control adaptativo y control o´ptimo.

44

An´ alisis en r´ egimen permanente de sistemas continuos realimentados

CAP´ITULO 3

´ TECNICA DEL LUGAR DE LAS RA´ICES

´Indice 3.1. Ecuaciones b´ asicas del lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . . 3.2. Reglas para el trazado del lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . 3.2.1. Ejemplos de trazado del lugar de las ra´ıces . . . . . . . . . . 3.3. Forma b´ asica del lugar de las ra´ıces en sistemas de primer y segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Sistemas de fase no m´ınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Contorno de las ra´ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 48 53 56 56 59 65 67 72

Las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica de un sistema (polos del sistema) determinan la estabilidad absoluta y relativa del mismo. Tambi´en la respuesta transitoria de un sistema viene determinada por la posici´ on de las ra´ıces de su ecuaci´ on caracter´ıstica. Para realizar el an´ alisis del sistema ser´ a pues necesario conocer d´ onde se encuentran los polos del mismo sobre el plano complejo. Para poder conocer los polos en bucle cerrado de forma anal´ıtica es necesario factorizar la ecuaci´ on caracter´ıstica lo cual resulta en la mayor´ıa de los casos bastante 45

46

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

complicado en la pr´ actica. Adem´ as, si una vez calculados los polos en bucle cerrado variase alg´ un par´ ametro del sistema en bucle abierto, ser´ıa necesario volver a factorizar el sistema para realizar de nuevo su an´ alisis. El m´etodo del lugar de las ra´ıces consiste en un conjunto de reglas de aplicaci´ on directa, mediante las cuales se puede determinar la posici´ on de las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica cuando uno de los par´ ametros de la funci´ on de transferencia del sistema en bucle abierto var´ıa de −∞ a +∞. Este m´etodo permitir´ a conocer, pues, la posici´ on de los polos de un sistema en bucle cerrado (ceros de la ecuaci´ on caracter´ıstica) a partir del conocimiento de los polos y ceros del sistema en bucle abierto. Normalmente el diagrama del lugar de las ra´ıces se utiliza como ayuda para el dise˜ no de sistemas de control. La aplicaci´ on general de esta t´ecnica se conoce como t´ecnica del lugar de las ra´ıces, ideada por W.R. Evans en 1948, y es un procedimiento gr´ afico que sirve para realizar el an´ alisis y la s´ıntesis de sistemas de control lineales. Aunque existen programas inform´ aticos que dibujan con precisi´ on el lugar geom´etrico de las ra´ıces, es importante conocer reglas para su trazado manual con el objetivo de facilitar el an´ alisis y dise˜ no de sistemas de control.

3.1.

Ecuaciones b´ asicas del lugar de las ra´ıces

Consid´erese el sistema en bucle cerrado mostrado en la figura 3.1. Su funci´on de transferencia es: G(s) M (s) = 1 + G(s)H(s) siendo su ecuaci´on caracter´ıstica: 1 + G(s)H(s) = 0 o de forma equivalente: G(s)H(s) = −1

R(s) +

å(s)

r(t)

å(t)

-

G(s) Planta

H(s) Figura 3.1: Sistema en bucle cerrado.

(3.1)

Y(s) y(t)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

47

Se pueden establecer dos criterios para que un valor complejo s cumpla la ecuaci´ on caracter´ıstica 3.1, que son: Criterio del m´ odulo: |G(s) · H(s)| = 1 Criterio del argumento: ∠(G(s) · H(s)) = (2q + 1) · π, q = 0, ±1, ±2, ... Consideremos que G(s)H(s) se escribe de la siguiente forma general: K·

m

(s + zi )

i=1 n

G(s)H(s) =

,

(3.2)

(s + pi )

i=1

donde −zi y −pi son los ceros y polos de G(s)H(s), respectivamente. En esta expresi´on se ha escrito la funci´on de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) en funci´ on de un par´ ametro real K que aparece como factor multiplicativo. Este par´ ametro K no debe confundirse con la ganancia est´atica del sistema en bucle abierto, que viene dada por G(0)H(0). Este factor es el que suele variarse en el m´etodo del lugar de las ra´ıces, aunque puede generalizarse tambi´en para cualquier otro par´ ametro, como se ver´a en este cap´ıtulo. Aplicando el criterio del m´ odulo a la ecuaci´ on 3.2 se obtiene: |K| ·

m

|s + zi |

i=1

n

=1

(3.3)

|s + pi |

i=1

Y aplicando el criterio del argumento se obtiene: m 

∠K +

n 

∠(s + zi ) −

i=1

∠(s + pi ) = (2q + 1)π

(3.4)

i=1

de forma que para K > 0, como ∠K = 0, el criterio del argumento se transforma en: m 

∠(s + zi ) −

i=1

n 

∠(s + pi ) = (2q + 1)π

(3.5)

i=1

y para K < 0, como ∠K = π, el criterio del argumento queda: m  i=1

∠(s + zi ) −

n  i=1

∠(s + pi ) = 2qπ

(3.6)

48

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

Se define el diagrama del lugar de las ra´ıces como el lugar geom´etrico formado por todos los puntos sj del plano complejo que satisfacen la ecuaci´on 3.5, es decir, los puntos que satisfacen el criterio del argumento para valores de K > 0. Para estos puntos se puede calcular el valor de K al aplicar el criterio del m´ odulo, seg´ un la expresi´on 3.3. An´alogamente se define el lugar inverso de las ra´ıces al mismo lugar geom´etrico obtenido para valores de K < 0 (es decir, los puntos sj que satisfacen la expresi´on 3.6). Consid´erese, por ejemplo, un sistema como el de la figura 3.1 en el que G(s)H(s) es: G(s)H(s) =

K(s + z1 )(s + z2 ) , s(s + p1 )(s + p2 )

que, como puede observarse, tiene dos ceros en −z1 y −z2 , y dos polos en −p1 y −p2 . El uso de las ecuaciones b´asicas del lugar de las ra´ıces para este sistema requiere seguir los dos pasos siguientes: 1.

Determinar los puntos del plano complejo que cumplen el criterio del argumento. El punto si pertenecer´a al lugar de las ra´ıces si la siguiente expresi´on satisface el criterio del argumento: G(si )H(si ) =

K(si + z1 )(si + z2 ) si (si + p1 )(si + p2 )

Si se supone que los polos y los ceros de G(s)H(s) tienen los valores que se muestran en la figura 3.2, entonces el criterio del argumento aplicado para averiguar si si pertenece al lugar de las ra´ıces quedar´ıa de la siguiente forma: ∠(G(si )H(si )) = θ1 + θ2 − δ1 − δ2 − δ3 = (2q + 1)π 2.

Una vez que se han determinado los puntos que cumplen el criterio del argumento, se puede calcular el valor del par´ ametro K para un determinado punto si utilizando el criterio del m´odulo: K|si + z1 ||si + z2 | =1 si |si + p1 ||si + p2 |

3.2.

Reglas para el trazado del lugar de las ra´ıces

Partiendo de la funci´ on de transferencia en bucle abierto dada en la expresi´on 3.2 del sistema representado en la figura 3.1, se puede escribir de forma simplificada: G(s)H(s) = K ·

Z(s) P (s)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

si

O -z2

è2

x

49

Im

x

ä2

ä3

x

-p2

-p1

è1

O -z1

ä1

x

Re

Figura 3.2: Representaci´ on en el plano de los polos y ceros del sistema ejemplo.

siendo Z(s) un polinomio de grado m en la variable s y P (s) otro polinomio de grado n en la misma variable. Estos dos polinomios son de la forma: Z(s) =

m

(s + zi )

i=1

P (s) =

n

(s + pi )

i=1

siendo n ≥ m y donde −zi y −pi son los ceros y polos de G(s)H(s), respectivamente. El trazado del lugar de las ra´ıces consistir´a en determinar las curvas que describen las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica 1 + G(s)H(s) = 0 (que son los polos del sistema en bucle cerrado) cuando el par´ ametro K var´ıa entre 0 e ∞. Para ello, se estudiar´an detalladamente las relaciones que ligan los polos y ceros de la funci´ on de transferencia en bucle abierto con las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica, lo que dar´ a lugar a un conjunto de reglas que facilitan grandemente el trazado. Estas reglas son las siguientes.

50

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

Regla Nº 1: N´ umero de ramas del lugar. El n´ umero de ramas independientes del lugar es igual al n´ umero de polos de la funci´ on de transferencia en bucle abierto. Regla Nº 2: Puntos de comienzo y de final de las ramas. Cada rama del lugar de las ra´ıces comienza en un polo de la funci´ on de transferencia, para el cual corresponde K = 0, y termina en un cero de la misma, para el cual corresponde K = ±∞. Si el n´ umero de ceros es inferior al de polos existir´a un n´ umero de ceros en el infinito igual a la diferencia n − m entre ambos. Regla Nº 3: Comportamiento en el eje real. Un punto situado sobre el eje real pertenecer´a al lugar de las ra´ıces (K > 0) si el n´ umero de polos y ceros situados a la derecha del mismo es impar (sin contar los polos complejos conjugados). Para el lugar inverso (K < 0), el n´ umero de ceros y polos situados a la derecha del punto habr´ a de ser par. Regla Nº 4: Simetr´ıa del lugar de las ra´ıces. El diagrama del lugar de las ra´ıces y el del lugar inverso son siempre sim´etricos respecto al eje real. Regla Nº 5: As´ıntotas del lugar de las ra´ıces. Las ramas del lugar de las ra´ıces que terminan en el infinito son asint´ oticas, para grandes valores de s, a rectas cuyos angulos con el eje real vienen dados por la expresi´ ´ on: (2q+1)π si K > 0 n−m θa = 2qπ si K < 0 n−m siendo q = 0, 1, 2, ..., n − m − 1. on de las as´ıntotas (centroide). Las as´ıntotas cortan al Regla Nº 6: Intersecci´ eje real en un punto situado a una distancia −σ del origen dada por:

polos [G(s)H(s)] − ceros [G(s)H(s)] −σ = n−m ´ Regla Nº 7: Angulos de salida de los polos y de llegada a los ceros. Los ´ngulos de salida de los polos y de llegada a los ceros son los que forma la tangente a la a correspondiente rama del lugar de las ra´ıces, en el polo o cero considerado, con el eje real. Estos ´angulos pueden hallarse f´ acilmente sin m´as que aplicar el criterio del argumento en la proximidad del punto considerado. on y de confluencia de ramas. Los puntos Regla Nº 8: Puntos de dispersi´ de dispersi´ on o de confluencia de ramas del lugar de las ra´ıces y del lugar inverso de las

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

51

ra´ıces corresponden a m´aximos o m´ınimos del par´ ametro K. La condici´on para calcular los puntos de dispersi´ on y de confluencia es: n  i=1

 1 1 = , σ + pi σ + zi i=1 m

ecuaci´on que generalmente se resuelve por tanteo. on del lugar de las ra´ıces con el eje imaginario. La Regla Nº 9: Intersecci´ intersecci´on del lugar de las ra´ıces con el eje imaginario se puede averiguar al utilizar el criterio de Routh. Los puntos de corte con el eje imaginario se corresponden con polos que hacen al sistema marginalmente estable, lo que corresponde con la aparici´ on de una fila de ceros en la tabla de Routh. on del valor del par´ ametro K. El valor del par´ ameRegla Nº 10: Determinaci´ tro K para un punto cualquiera del lugar de las ra´ıces se puede calcular al aplicar el criterio del m´odulo: n

|s + pi | |K| =

i=1 m

|s + zi |

i=1

Regla Nº 11: Suma de las ra´ıces. Si la ecuaci´on caracter´ıstica se pone de forma que el coeficiente del t´ermino sn de mayor exponente sea 1, el coeficiente del t´ermino sn−1 es igual, para cualquier valor de K, a la suma de las ra´ıces cambiado de signo. Finalmente, para un trazado correcto del lugar de las ra´ıces, debe tenerse especial cuidado sobre los resultados de la cancelaci´on de factores comunes del denominador de G(s) y el numerador de H(s), al formar la funci´ on de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) para proceder posteriormente a realizar el trazado del lugar. En tal sentido, es importante considerar que si, como consecuencia de la circunstancia anteriormente apuntada, se cancelase un cero de H(s) con un polo de G(s) por ser ambos factores comunes, se reducir´ıa el grado de la ecuaci´ on caracter´ıstica en una unidad. Sea, por ejemplo, el sistema de la figura 3.3 (a) cuya funci´ on de transferencia en bucle cerrado es: K . M (s) = s(s + a)(s + b) + K(s + a) Su ecuaci´ on caracter´ıstica ser´a: (s + a) [s(s + b) + K] = 0 .

(3.7)

52

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

R(s) +

K s(s+a)(s+b)

-

Y(s)

s+a (a) R(s) +

K s(s+a)(s+b)

-

1 s+a

Y(s)

(b)

Figura 3.3: Sistemas con polos y ceros cancelables.

Si se cancelase el factor (s + a), com´ un a G(s) y H(s), resultar´ıa como ecuaci´on caracter´ıstica: 1 + G(s)H(s) = 0 1+

s(s + b) + K K (s + a) = =0, s(s + a)(s + b) s(s + b)

quedando como ecuaci´ on caracter´ıstica la reducida s(s + b) + K = 0 .

(3.8)

En consecuencia, el lugar de las ra´ıces que se obtendr´ıa a partir de la expresi´on 3.8 no mostrar´ıa todas las ra´ıces de la verdadera ecuaci´on caracter´ıstica, sino solamente los de la reducida. Para obtener el lugar con todos los polos, habr´ıa que agregar el polo de G(s)H(s) que se ha cancelado que, como muestra la ecuaci´on 3.7 es tambi´en polo del sistema en bucle cerrado, tal como puede verse en la figura 3.3 (b). Es importante volver a resaltar que la ventaja del m´etodo del lugar de las ra´ıces radica en que por medio de este m´etodo es posible conocer la posici´on de los polos de un sistema en bucle cerrado: A partir del conocimiento de los polos y ceros del sistema en bucle abierto. Ante la variaci´ on del valor de un par´ ametro, en este caso el par´ametro K de la expresi´on 3.2.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

53

3.2.1.

Ejemplos de trazado del lugar de las ra´ıces

3.2.1.1.

Ejemplo 1

Consideremos el sistema de la figura 3.4, donde G(s) es un sistema de cuarto orden dado por: (s + 2) (3.9) G(s) = s(s + 1)(s2 + 2s + 2) R(s) + -

Y(s)

(s+2) s(s+1)(s2 +2s+2)

K

Figura 3.4: Sistema de cuarto orden.

5

4

3

Eje imaginario

2

1

0

−1

−2

−3

−4

−5 −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

Eje real

Figura 3.5: Lugar de las ra´ıces para el sistema del ejemplo 1.

El lugar de las ra´ıces para este sistema se muestra en la figura 3.5. Este trazado puede realizarse teniendo en cuenta las consideraciones siguientes: El sistema tiene 4 polos y por tanto, aplicando la regla 1, el n´ umero de ramas independientes del lugar de las ra´ıces ser´a 4.

54

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

Aplicando la regla 2, los puntos de comienzo y finalizaci´ on de las ramas son los polos y ceros de la funci´on de transferencia en bucle abierto. Puesto que existen cuatro ramas y s´olo un cero finito de G(s) (en el punto s = −2), tres de las cuatro ramas se aproximan en sus puntos finales al infinito. Los cuatro polos del sistema en bucle abierto est´an situados en s = −1, −1 + j, −1 − j, 0. Sobre el eje real existe una rama entre -1 y 0, y entre −∞ y -2. En ambos casos se verifica la regla 2. Entre -2 y -1 el n´ umero de ceros y polos a la derecha es par y, por tanto, no hay rama del lugar de las ra´ıces. Aplicando la regla 5 pueden calcularse los a´ngulos de las tres as´ıntotas del lugar de las ra´ıces. As´ı, (2q + 1)π (2q + 1)π = , q = 0, 1, 2 θa = n−m 3 θa =

5π π , π, 3 3

El centroide, o intersecci´on de las as´ıntotas con el eje real, se calcula como:

polos G(s)H(s) − ceros G(s)H(s) σ= n−m =

1 [0 + (−1) + (−1 + j) + (−1 − j)) − [−2]] =− 3 3

Los puntos de salida de los polos y de llegada a los ceros pueden calcularse seg´ un la regla 7. As´ı, si se considera el polo −1 + j, el a´ngulo de salida se calcula como: θ−1+j = una soluci´ on es θ−1+j =

π 3π π π − − − − (2q + 1)π 4 4 2 2

π 2

La ecuaci´on caracter´ıstica para la tabla de Routh es: s4 + 3s3 + 4s2 + 2s + K(s + 2) = 0 La tabla de Routh se muestra en la tabla 3.1. El sistema es estable para 0 < K < 10 y para −K 2 − 10K + 20 > 0. La soluci´on a estas inecuaciones es 0 < K < 1,71. En consecuencia, una o m´as ra´ıces cortan al eje imaginario cuando K = 0 y K = 1,71. Si K = 1,71, entonces la fila correspondiente a s1 est´a formada por ceros y la on es ecuaci´on obtenida a partir de la fila s2 es 2,76s2 + 3,42 = 0, cuya soluci´ s = ±1,11j. Por tanto, cuando K = 1,71, se producen dos puntos de corte en s = ±1,11j. El tercer punto de corte es para K = 0, en el origen (s = 0).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

s4 s3 s2 s1 s0

55

1 3 10−K 3 −K −10K+20 10−K 2

4 K +2 2K

2K

2K

Tabla 3.1: Tabla de Routh para el sistema del ejemplo 1.

3.2.1.2.

Ejemplo 2

Consid´erese el sistema de la figura 3.1, donde G(s) · H(s) =

K(s + 2) . s(s + 1)(s + 3)

El lugar de las ra´ıces se muestra en la figura 3.6. Este lugar puede dibujarse teniendo en cuenta las consideraciones siguientes: Los ´angulos de las as´ıntotas se calculan como θa =

(2q + 1)π (2q + 1)π = n−m 2

para q = 0, se obtiene el ´angulo π/2 y para q = 1, se obtiene el ´angulo 3π/2 El centroide est´a situado en σ0 =

[0 − 1 − 3] − [−2] = −1 3−1

Los puntos de dispersi´on de las ramas se pueden calcular resolviendo la siguiente ecuaci´on para σ: 1 1 1 1 + + = . σ σ+1 σ+3 σ+2 Resolviendo por tanteo se obtiene como soluci´on σ ≈ −0,533. Comportamiento en el eje real. El intervalo ]−∞, 3] no pertenece al lugar, ya que el n´ umero total de polos y ceros a la derecha es par (4). Tampoco pertenece al lugar el intervalo ] − 2, −1[, ya que quedan 2 polos a la derecha (un n´ umero par), ni el intervalo ]0, +∞[, que no tiene polos ni ceros a su derecha. Los intervalos sobre el eje real que s´ı pertenecen al lugar de las ra´ıces son ] − 3, −2[ y ] − 1, 0[.

56

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

6

4

Eje imaginario

2

0

−2

−4

−6 −3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Eje real

Figura 3.6: Lugar de las ra´ıces para el sistema del ejemplo 2.

3.3.

Forma b´ asica del lugar de las ra´ıces en sistemas de primer y segundo orden

El conocimiento de las formas que presenta el lugar de las ra´ıces, para el caso de sistemas cuya utilizaci´on en las t´ecnicas de regulaci´on autom´ atica sea muy frecuente, facilita en gran manera el trazado del lugar de las ra´ıces de otros sistemas espec´ıficos cuyas caracter´ısticas difieran ligeramente de las de los primeros. Por este motivo en esta secci´on se va a mostrar la forma del lugar de las ra´ıces de sistemas de primer y segundo orden, as´ı como las modificaciones que se producen en el mismo como consecuencia de la adici´on de ceros y polos a los sistemas originales.

3.3.1.

Sistemas de primer orden

Consideremos en primer lugar sistemas de primer orden simples cuya funci´on de transferencia en el bucle abierto viene dada por G(s) · H(s) =

K , s + p1

(3.10)

es decir, un sistema que presenta un polo en −p1 . La forma del lugar de las ra´ıces de un sistema de este tipo se muestra en la figura 3.7, en la que se ha tomado p1 = 1, dando

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

57

lugar al sistema G(s) · H(s) =

K . s+1

0.1

Eje imaginario

0.05

0

−0.05

−0.1

−2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

Figura 3.7: Lugar de las ra´ıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K/(s + 1).

Puede observarse en la figura 3.7 que el lugar de las ra´ıces en este caso est´a formado por una sola rama sobre el eje real que sale del polo −p1 y termina en −∞. Recu´erdese que, por la regla 3, la rama del lugar de las ra´ıces debe quedar a la izquierda del polo para dejar un n´ umero impar de polos y ceros a la derecha de los puntos de la rama. Las variaciones que se producen cuando se introduce en la funci´on de transferencia en bucle abierto un cero adicional pueden verse en las figuras 3.8 y 3.9. Estos sistemas se han obtenido a partir de la funci´ on de transferencia dada por la expresi´ on 3.10 a˜ nadiendo on de transferencia siguiente en bucle abierto: un cero en −z1 , obteniendo la funci´ G(s) · H(s) =

K(s + z1 ) . (s + p1 )

En las figuras 3.8 y 3.9 se han representado el caso en el que el cero real se sit´ ua a ua a su iquierda (z1 = la derecha del polo real (z1 = 0,5) y el caso en el que se sit´ 1,5), respectivamente. Puede observarse que en estos casos desaparece la rama en el infinito, convirti´endose en una rama que sale del polo y termina en el cero. Como puede comprobarse en estas figuras, el trazado del lugar de las ra´ıces para sistemas de primer orden es inmediato.

58

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

0.025 0.02 0.015

Eje imaginario

0.01 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 −0.025 −2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

Figura 3.8: Lugar de las ra´ıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s+0,5)/(s+ 1).

1 0.8 0.6

Eje imaginario

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

Figura 3.9: Lugar de las ra´ıces de un sistema de primer orden, G(s)H(s) = K(s+1,5)/(s+ 1).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

3.3.2.

59

Sistemas de segundo orden

Consid´erense ahora sistemas de segundo orden simples cuya funci´ on de transferencia en bucle abierto viene dada por G(s) · H(s) =

K . (s + p1 )(s + p2 )

(3.11)

En la figura 3.10 se muestra el trazado del lugar de las ra´ıces para el sistema de segundo orden dado por K G(s) · H(s) = (s + 1)(s + 2) que, como se puede ver, posee dos polos reales en −1 y −2. Para el caso en el que el sistema de segundo orden tenga dos polos complejos conjugados, el lugar de las ra´ıces tendr´a la forma que se muestra en la figura 3.11, que corresponde al sistema K . (3.12) G(s) · H(s) = 2 (s + 3s + 3) En este caso desaparece la rama del lugar de las ra´ıces que exist´ıa sobre el eje real, ya que ning´ un punto de este eje tiene a su derecha un n´ umero impar de polos y ceros reales.

2.5 2 1.5

Eje imaginario

1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

1.5

2

Figura 3.10: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s + 1)(s + 2).

60 3.3.2.1.

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

Adici´ on de ceros a un sistema de segundo orden simple

Veamos a continuaci´on qu´e variaciones se producen en estos sistemas con la adici´on de ceros. Si al sistema dado por la expresi´on 3.11 se le a˜ nade un cero en −z, se obtiene la funci´ on de transferencia en bucle abierto siguiente: G(s) · H(s) =

K(s + z) . (s + p1 )(s + p2 )

Si al sistema cuyo lugar de las ra´ıces aparece representado en la figura 3.10, que posee dos polos reales en −1 y −2, se le a˜ nade un cero en −3, se obtiene el lugar de las ra´ıces modificado que se muestra en la figura 3.12, que corresponde al sistema en bucle abierto dado por K(s + 3) . G(s) · H(s) = (s + 1)(s + 2) Puede observarse que aparece una nueva rama que termina en el cero, “desplaz´ andose” adem´as el lugar de las ra´ıces hacia la izquierda. Este desplazamiento produce el efecto de estabilizar el sistema en bucle cerrado, puesto que los polos se “alejan” del semiplano complejo de parte real positiva. El lugar de las ra´ıces mostrado en la figura 3.13 se ha obtenido como consecuencia de a˜ nadir al sistema de la figura 3.10 un cero situado entre los dos polos, en z = −1,5, dando lugar al sistema en bucle abierto dado por G(s) · H(s) =

K(s + 1,5) . (s + 1)(s + 2)

En este caso las dos ramas del lugar de las ra´ıces se sit´ uan sobre el eje real, una de ellas hacia el infinito partiendo del polo situado m´ as a la izquierda y la otra partiendo del polo p = −1 y terminando en el cero a˜ nadido. Respecto al lugar de las ra´ıces del sistema de segundo orden original (figura 3.10) puede decirse que ´este se ha “desplazado” hacia la izquierda, haciendo en general al sistema en bucle cerrado m´as estable. En la figura 3.14 se muestra el lugar de las ra´ıces para el sistema anterior pero a˜ nadiendo esta vez un cero en z = −0,5, situado a la derecha de los dos polos reales. En este caso la forma del lugar es id´entica al caso anterior, invirti´endose el sentido de la rama que parte del polo y termina en el cero. Por u ´ltimo, en las figuras 3.15 y 3.16 se observa el efecto de a˜ nadir ceros adicionales al sistema de segundo orden dado por la ecuaci´on 3.12, que tiene un par de polos complejos conjugados. En el primer caso (figura 3.15), se ha a˜ nadido un cero en z = −2, que queda a la izquierda de la parte de real de los polos del sistema original. Puede observarse que aparece una nueva rama en el eje real hacia −∞, desplaz´andose en general todo el lugar hacia la izquierda, respecto del lugar de las ra´ıces original mostrado en la figura 3.11. La funci´ on de transferencia del nuevo sistema con el cero a˜ nadido es G(s) · H(s) =

K(s + 2) . (s2 + 3s + 3)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

61

El lugar de las ra´ıces modificado pero a˜ nadiendo esta vez un cero en z = −0,5, a la derecha de los polos, se muestra en la figura 3.16, en la que se observa una variaci´ on similar al caso anterior. Como conclusi´on general de los trazados anteriores puede decirse que la adici´ on de un cero a la funci´ on de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) tiende a hacer m´ as estable el comportamiento del sistema en bucle cerrado.

62

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

2.5 2 1.5

Eje imaginario

1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

Figura 3.11: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K/(s2 + 3s + 3).

1.5

1

Eje imaginario

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −6

−5

−4

−3

−2 Eje real

−1

0

1

2

Figura 3.12: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 3)/(s + 1)(s + 2).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

63

1 0.8 0.6

Eje imaginario

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

1.5

2

Figura 3.13: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 1,5)/(s + 1)(s + 2).

1 0.8 0.6

Eje imaginario

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 Eje real

0

0.5

1

1.5

2

Figura 3.14: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s + 1)(s + 2).

64

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

1 0.8 0.6

Eje imaginario

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −6

−5

−4

−3 Eje real

−2

−1

0

Figura 3.15: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 2)/(s2 + 3s + 3).

0.8

0.6

Eje imaginario

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8 −3.5

−3

−2.5

−2

−1.5 Eje real

−1

−0.5

0

Figura 3.16: Lugar de las ra´ıces de un sistema de segundo orden, G(s)H(s) = K(s + 0,5)/(s2 + 3s + 3).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

3.3.2.2.

65

Adici´ on de polos a un sistema de segundo orden simple

Veamos ahora qu´e variaciones se producen en los sistemas de segundo orden con la adici´on de polos. Si al sistema dado por la expresi´ on 3.11 se le a˜ nade un polo en −p3 , se obtiene la funci´ on de transferencia en bucle abierto siguiente: G(s) · H(s) =

K . (s + p1 )(s + p2 )(s + p3 )

As´ı, si al sistema cuyo lugar de las ra´ıces aparece representado en la figura 3.10, que posee dos polos reales en −1 y −2, se le a˜ nade un tercer polo en −3, se obtiene el lugar de las ra´ıces modificado que se muestra en la figura 3.17, que corresponde al sistema en bucle abierto dado por G(s) · H(s) =

K . (s + 1)(s + 2)(s + 3)

Puede observarse, comparando esta gr´ afica con la mostrada en la figura 3.10 que la estabilidad relativa del sistema en bucle cerrado disminuye ya que los a´ngulos que forman las as´ıntotas con el eje real ya no son de 90◦ , existiendo en este caso valores de K sobre las ramas asint´oticas que hacen inestable el sistema en bucle cerrado. Algo parecido ocurre si se a˜ naden polos al sistema de segundo orden con dos polos complejos conjugados de la expresi´on 3.12, cuyo lugar de las ra´ıces sin ceros ni polos adicionales se muestra en la figura 3.11. As´ı, en la figura 3.18 se muestra el lugar de las ra´ıces correspondiente al sistema anterior con un polo real adicional en el punto −1, que queda a la derecha de la parte real de los polos originales, quedando el siguiente sistema en bucle abierto: K . G(s) · H(s) = (s + 1)(s3 + 3s + 3) Y en la figura 3.19 se muestra el lugar de las ra´ıces del sistema con un polo real adicional situado en el punto −2, que queda a la izquierda de los polos originales. En estos dos u ´ltimos casos se observa que en el lugar de las ra´ıces modificado aparecen ramas asint´oticas que parten de los polos complejos conjugados y terminan en el infinito hacia el semiplano complejo de parte real positiva. Como conclusi´on general del trazado de los lugares geom´etricos de las ra´ıces anteriores se puede decir que la adici´ on de un polo en bucle abierto reduce la estabilidad relativa del sistema en bucle cerrado, de forma que ´este puede llegar a hacerse inestable para valores grandes de K.

3.3.3.

Sistemas de fase no m´ınima

Se denomina sistemas de fase m´ınima a los sistemas cuyos polos y ceros se encuentran todos en el semiplano izquierdo del plano s. Si un sistema tiene al menos un

66

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

5 4 3

Eje imaginario

2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −8

−7

−6

−5

−4 −3 Eje real

−2

−1

0

1

Figura 3.17: Lugar de las ra´ıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s + 2)(s + 1)(s + 3).

4 3

Eje imaginario

2 1 0 −1 −2 −3 −4

−6

−5

−4

−3 −2 Eje real

−1

0

1

Figura 3.18: Lugar de las ra´ıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s + 1)(s2 + 3s + 3).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

67

4

3

Eje imaginario

2

1

0

−1

−2

−3

−4 −6

−5

−4

−3 Eje real

−2

−1

0

Figura 3.19: Lugar de las ra´ıces del sistema, G(s)H(s) = K/(s + 2)(s2 + 3s + 3).

polo o un cero en el semiplano derecho del plano s, el sistema se considera de fase no m´ınima. El nombre fase no m´ınima proviene de las caracter´ısticas de cambio de fase del sistema ante entradas senoidales. Consid´erese un sistema con realimentaci´on unitaria y con funci´ on de transferencia en bucle abierto: K(1 − Ta s) , Ta > 0. G(s) = s(s + 1) ´ Este es un sistema de fase no m´ınima ya que tiene un cero en el semiplano derecho del plano s. Para este sistema, el criterio del argumento se convierte en:   K(Ta s − 1) = ∠G(s) = ∠ − s(s − 1)   K(Ta s − 1) ∠ − + π = (2k + 1)π, q = 0, ±1, ±2, . . . s(s − 1)

3.4.

Lugar de las ra´ıces generalizado. Contorno de las ra´ıces

El m´etodo del lugar de las ra´ıces permite determinar el lugar geom´etrico de los polos de la funci´ on de transferencia en bucle cerrado de un sistema de control, cuando el

68

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

par´ ametro K de la expresi´on 3.2 var´ıa desde K = 0 hasta K = ∞. Sin embargo, en el dise˜ no de los sistemas de control se hace a veces necesario estudiar el efecto que produce la variaci´ on de otros par´ ametros, que no son el par´ametro K, sobre la posici´ on de los polos en bucle cerrado de los mismos. Por ejemplo, cuando se desea conocer las modificaciones que se originan en la posici´on de los polos en bucle cerrado de un sistema cuando var´ıa la posici´ on de alg´ un polo o cero de su funci´ on de transferencia en bucle abierto, con el fin de poder determinar el tipo de compensaci´on que ha de ser introducida en el sistema para que su comportamiento se ajuste a unas especificaciones dadas. Se denomina contorno de las ra´ıces al lugar geom´etrico de los polos en bucle cerrado cuando permaneciendo constante el par´ ametro K, se hace variar la posici´ on de polos y ceros de su funci´ on de transferencia en bucle abierto en funci´on de los valores de otro par´ ametro distinto de K. Para cada valor constante de K se pueden dibujar distintas curvas en las que variando el valor de otro par´ ametro se obtienen los correspondientes polos en bucle cerrado. El m´etodo del lugar de las ra´ıces parte de la ecuaci´on caracter´ıstica: 1+K

Z(s) =0 P (s)

(3.13)

Si se desea obtener el lugar de las ra´ıces cuando un determinado par´ ametro Ti , contenido en la relaci´on Z(s)/P (s) var´ıa entre −∞ y +∞ permaneciendo el par´ametro K constante, ser´a necesario, para poder utilizar las reglas convencionales del trazado del lugar de las ra´ıces, transformar la ecuaci´on 3.13 de modo que aparezca como factor el par´ametro Ti , en lugar de K. Partiendo de la funci´ on de transferencia en bucle abierto del sistema: G(s)H(s) = K

Z(s) P (s)

se tendr´a como ecuaci´on caracter´ıstica del sistema en bucle cerrado: 1 + G(s)H(s) = P (s) + K · Z(s) = 0 siendo P (s) y Z(s) dos polinomios en la variable compleja s. Si se ordenan dichos polinomios de modo que queden agrupados todos los t´erminos que contengan el par´ ametro a ponerse la expresi´on anterior en la forma: Ti , podr´ P (s) + K · Z(s) = P1 (s) + Ti · Z1 (s) = 0 siendo P1 (s) y Z1 (s) dos nuevos polinomios en s que resultan de la agrupaci´on de los t´erminos en Ti . Dividiendo por P1 (s) se tendr´a finalmente: 1 + Ti ·

Z1 (s) = 0 ⇒ 1 + G1 (s) · H1 (s) = 0 P1 (s)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

69

siendo: G1 (s) · H1 (s) = Ti ·

Z1 (s) . P1 (s)

Aplicando ahora las reglas convencionales para el trazado del lugar de las ra´ıces a la nueva funci´ on de transferencia en bucle abierto G1 (s) · H1 (s) se podr´a obtener el lugar de las ra´ıces cuando var´ıa el par´ ametro Ti de forma directa. Ejemplo: Consid´erese el sistema en bucle cerrado mostrado en la figura 3.20. Se desea calcular: 1.

Para T = 1 y a = 3, la evoluci´ on de los polos del sistema en bucle cerrado cuando K var´ıa entre 0 e ∞.

2.

Para K = 1 y a = 2, la evoluci´ on de los polos del sistema en bucle cerrado cuando T var´ıa entre 0 e ∞.

3.

Para K = 1 y T = 4, la evoluci´ on de los polos del sistema en bucle cerrado cuando a var´ıa entre 0 e ∞. R(s) + -

E(s) K

s+2 s+3

C(s)

T s+a

Figura 3.20: Sistema en bucle cerrado con tres par´ ametros.

Soluci´ on: En el primer apartado se est´ a pidiendo el trazado del lugar de las ra´ıces simple. La ecuaci´on caracter´ıstica sobre la que se debe trabajar en este caso es: 1 + K · G(s) · H(s) = 0 ⇒ 1+K ·

s+2 =0 (s + 3) · (s + 3)

El lugar de las ra´ıces que se obtiene a partir de esta ecuaci´on es el que se muestra en la figura 3.21.

70

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

0.2

0.15

Eje imaginario

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

−0.15

−0.2 −6

−5

−4

−3 Eje real

−2

−1

0

Figura 3.21: Lugar de las ra´ıces simple.

En el segundo apartado se trata de un problema de contorno de las ra´ıces. El primer objetivo es despejar de la ecuaci´on caracter´ıstica original, 1 + K · G(s) · H(s) = 0, hasta obtener una nueva ecuaci´on en la que en lugar del t´ermino K aparezca el t´ermino T: 1 + T · G1 (s) · H1 (s) = 0 En este caso se tiene: 1+T ·

1 s+2 =0⇒1+T · =0 (s + 2) · (s + 3) (s + 3)

Obs´ervese que un polo de H(s) se puede cancelar con un cero de G(s), pero no al contrario como se ha indicado previamente. Con esta nueva ecuaci´ on el lugar de las ra´ıces queda como se muestra en la figura 3.22. El tercer apartado vuelve a ser un problema de contorno de las ra´ıces, pero en este caso se debe despejar de modo que quede aislado el par´ ametro a. En este caso se tiene: 1+

4 s+2 · = 0 ⇒ (s + 3)(s + a) + 4(s + 2) = 0 ⇒ s+3 s+a

s+3 =0 ⇒ ⇒ s2 + 7s + 8 + a · (s + 3) = 0 ⇒ 1 + a · 2       s + 7s + 8 P1 (s)

Z1 (s)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

71

0.3

0.2

Eje imaginario

0.1

0

−0.1

−0.2

−0.3

−10

−9

−8

−7

−6

−5 Eje real

−4

−3

−2

−1

0

Figura 3.22: Contorno de las ra´ıces para el par´ ametro T .

⇒ 1+a·

s+3 = 0. (s + 5,56) · (s + 1,44)

El lugar de las ra´ıces obtenido a partir de esta u ´ltima expresi´on es el que se muestra en la figura 3.23. 

0.8

0.6

0.4

Eje imaginario

0.2

0 −5.56

−3

−1.44

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8 −16

−14

−12

−10

−8 Eje real

−6

−4

−2

0

Figura 3.23: Contorno de las ra´ıces para el par´ ametro a.

72

T´ ecnica del lugar de las ra´ıces

Bibliograf´ıa para ampliar En (Kuo, 1996 ) y en (Dorf, 1989) se realiza un an´ alisis de la sensibilidad de las ra´ıces comprobando c´omo ´esta es infinita en los puntos de ruptura. Por este motivo se debe evitar la selecci´on de los puntos de ruptura como ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica en bucle cerrado ya que el sistema ser´ıa poco robusto. Adem´ as, en (Kuo, 1996, secci´on 8.3) se demuestran la mayor´ıa de las reglas enunciadas en la secci´on 3.2. En (Ogata, 1998) se estudian las siguientes cuestiones: ortogonalidad de los lugares de las ra´ıces y los lugares de las ra´ıces de ganancia constante; sistemas condicionalmente estables y an´alisis de sistemas con retardo. Especialmente interesantes son los numerosos ejemplos de trazado de lugares geom´etricos de las ra´ıces que aparecen en este libro.

CAP´ITULO 4

´ ´ ANALISIS DINAMICO DE SISTEMAS CONTINUOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

´Indice 4.1. Respuesta en frecuencia de un sistema . . . . . . . . 4.1.1. Justificaci´ on del estudio de la respuesta en frecuencia 4.1.2. R´egimen permanente senoidal . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Diagramas de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . 4.2.1. Representaci´ on de los Diagramas de Bode . . . . . . . 4.2.2. Diagrama de Nyquist o trazado polar . . . . . . . . . 4.2.3. Diagrama de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Identificaci´ on en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Estabilidad de un sistema realimentado . . . . . . . . 4.5. Principio del argumento de Cauchy . . . . . . . . . . 4.6. Camino de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . 4.7.1. Ejemplos de aplicaci´ on del criterio de Nyquist . . . . .

73

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. 75 . 75 . 76 . 77 . 77 . 87 . 88 . 88 . 91 . 92 . 94 . 98 . 101 . 102

74

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

4.8. Introducci´ on de polos y ceros adicionales . . . . . . . . . . . 4.8.1. Adici´ on de polos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Adici´ on de polos en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Adici´ on de ceros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Criterio de Nyquist para sistemas de fase m´ınima. Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. M´ argenes de ganancia y de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Estabilidad en los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . 4.11.1. Frecuencia de corte y ancho de banda . . . . . . . . . . . . . 4.12. Respuesta en frecuencia en bucle cerrado. C´ırculos M y N. Diagrama de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12.1. Sistemas con realimentaci´ on unitaria . . . . . . . . . . . . . . 4.12.2. Sistemas con realimentaci´ on no unitaria . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 105 107 109 109 110 113 115 117 118 121 122

La condici´ on necesaria para que un sistema sea estable es que todas las ra´ıces de su ecuaci´ on caracter´ıstica (polos del sistema) se hallen situadas en el semiplano complejo de parte real negativa. Para realizar la comprobaci´ on de tal circunstancia existen, entre otras, tres posibilidades claramente diferenciadas: Criterio de Routh: es un criterio de car´ acter num´erico que permite detectar las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica en la zona de inestabilidad bas´ andose en una tabla confeccionada a partir de los coeficientes de dicha ecuaci´ on. Aunque u ´til, dicho criterio no aporta informaci´ on sobre la estabilidad relativa del sistema, o sobre posibles soluciones a adoptar para mejorar el grado de estabilidad. El lugar de las ra´ıces: ofrece la posibilidad de obtener gr´ aficamente la posici´ on de las ra´ıces de la ecuaci´ on caracter´ıstica del sistema en funci´ on de un determinado par´ ametro, como puede ser la ganancia K, expres´ andose en ese caso la ecuaci´ on caracter´ıstica como 1 + KG(s)H(s) = 0. Este m´etodo permite evaluar la estabilidad tanto absoluta como relativa del sistema. Criterio de Nyquist: permite obtener informaci´ on sobre la estabilidad de un sistema sin necesidad de hallar las ra´ıces de su ecuaci´ on caracter´ıstica. Este criterio determina mediante un m´etodo gr´ afico la estabilidad de un sistema en bucle cerrado, partiendo de la funci´ on de transferencia senoidal G(jω)H(jω) en bucle abierto del mismo. Su principal ventaja frente a los dos m´etodos anteriores es que permite calcular el grado de estabilidad o inestabilidad del sistema y proporciona informaci´ on de c´ omo mejorar el comportamiento del mismo tanto en r´egimen transitorio como en r´egimen permanente. Adem´ as de poder determinar la estabilidad absoluta de un sistema, con el criterio de Nyquist tambi´en se obtiene informaci´ on acerca de la estabilidad relativa o el grado

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

75

de inestabilidad en sistemas inestables. Como principal inconveniente se puede decir que no permite la localizaci´ on exacta de los polos del sistema en bucle cerrado como lo determina el m´etodo del lugar de las ra´ıces. En el presente cap´ıtulo se estudiar´ a el criterio de Nyquist para el an´ alisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia. Previamente, en las secciones 4.1 a 4.3 se revisan los conceptos b´ asicos sobre la respuesta en frecuencia de sistemas y sus diagramas de representaci´ on.

4.1.

Respuesta en frecuencia de un sistema

En esta secci´on se presentar´a un resumen del an´ alisis de la respuesta en frecuencia de un sistema continuo. En las referencias comentadas al final del cap´ıtulo pueden encontrarse descripciones m´as detalladas.

4.1.1.

Justificaci´ on del estudio de la respuesta en frecuencia

Las se˜ nales de entrada de tipo peri´odico son muy comunes en las aplicaciones de ingenier´ıa. Por ejemplo, en sistemas el´ectricos, las instalaciones y redes el´ectricas est´an sometidas a tensiones de 50 Hz generadas por alternadores; en sistemas mec´anicos, las vibraciones, su propagaci´ on y las t´ecnicas de eliminaci´on o amortiguamiento de las mismas est´an basadas en el estudio de la respuesta del sistema ante se˜ nales peri´odicas en un determinado rango de frecuencias. Tambi´en se tienen se˜ nales peri´odicas en el campo de las telecomunicaciones y la electr´onica. Por estos motivos resulta de inter´es el an´alisis de la respuesta de sistemas ante se˜ nales de entrada peri´odicas. Se denomina se˜ nal peri´ odica a toda se˜ nal que cumple: f (t) = f (t + T ), para todo t donde T es el periodo de la se˜ nal, f = 1/T es la frecuencia y a ω = 2π/T se le denomina pulsaci´ on. Las magnitudes f y ω se miden en Hertzios (Hz) y es com´ un conocer a las dos como frecuencia. En la teor´ıa de se˜ nales peri´odicas un resultado fundamental es el desarrollo en serie de Fourier. Este desarrollo establece que toda se˜ nal peri´ odica f (t) de frecuencia ω, sea cual sea su forma, puede expresarse como suma (infinita) de se˜ nales senoidales de frecuencias m´ ultiplos de ω debidamente desfasadas. Es decir: f (t) =

∞ 

Ak sen(kωt + φk )

k=0

La serie de Fourier puede expresarse tambi´en como suma de senos y cosenos de fre-

76

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

cuencias m´ ultiplos a la frecuencia de la se˜ nal f (t), de la siguiente forma: f (t) =

∞ 

(A∗k sen(kωt) + Bk∗ cos(kωt)) ,

k=0

donde los coeficientes A∗k y Bk∗ vienen dados por: A∗k = Bk∗ =

1 T



1 T

T



 2kπ t dt T



 2kπ t dt T

f (t) sen 0



T

f (t) cos 0

Aplicando ahora el principio de superposici´ on para sistemas lineales1 , la salida de un sistema ante la se˜ nal peri´odica f (t), cuyo desarrollo en serie de Fourier es conocido, se puede obtener como: ∞  (A∗k yksen (t) + Bk∗ ykcos (t)) , (4.1) y(t) = k=0

donde yksen (t) es la salida del sistema lineal ante sen(kωt), e ykcos (t) es la salida ante cos(kωt). Como consecuencia de la expresi´on 4.1 se tiene el resultado siguiente: Para calcular la salida de un sistema lineal ante cualquier se˜ nal peri´ odica de forma arbitraria s´ olo es necesario conocer la respuesta del mismo ante un conjunto de se˜ nales senoidales de frecuencias m´ ultiplos de la frecuencia de la se˜ nal original. En general s´olo interesa conocer la respuesta de un sistema ante una se˜ nal peri´odica (senoidal) en r´egimen permanente ya que su transitorio inicial ser´ a pr´ acticamente cero transcurrido el tiempo de establecimiento. Se denomina respuesta en frecuencia de un sistema a la respuesta del sistema en r´egimen permanente ante entradas senoidales.

4.1.2.

R´ egimen permanente senoidal

Consid´erese que se tiene el sistema continuo representado en la figura 4.1. Considerando una entrada senoidal del tipo: x(t) = X sen(ωt) se puede deducir que la respuesta en r´egimen permanente del sistema continuo viene dado por la expresi´ on: 1 La

suma de las entradas produce la suma de las salidas ante cada una de ellas.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

X(s) x(t)

G(s)

77

Y(s) y(t)

Sistema Figura 4.1: Sistema en bucle abierto al que se le aplica una entrada senoidal.

yrp (t) = X|G(jω)| sen(ωt + ∠G(jω)) Como se observa, si se excita un sistema lineal con una se˜ nal senoidal de frecuencia ω se obtiene como respuesta, en r´egimen permanente, otra se˜ nal senoidal de la misma frecuencia, desfasada un a´ngulo Φ (Φ = ∠G(jω)) funci´ on de la frecuencia y con una amplitud tambi´en funci´ on de la frecuencia de la se˜ nal senoidal de entrada2 . Al valor de |G(jω)| se le denomina ganancia del sistema a frecuencia ω y es una generalizaci´on del concepto de ganancia est´atica G(0)3 . As´ı se puede definir la funci´ on de transferencia en r´egimen permanente para entradas senoidales. De esta forma, esta funci´on de transferencia senoidal o respuesta en frecuencia vendr´ a definida a partir de G(jω). Esta funci´ on de transferencia senoidal en r´egimen permanente G(jω) es una cantidad compleja que se podr´ a representar a partir de su magnitud (m´ odulo) y el a´ngulo de fase (argumento). Por este motivo se pueden usar varias representaciones gr´aficas distintas de esta funci´on de transferencia. Entre ellas destacan: Diagrama de Bode o trazas logar´ıtmicas. Diagrama de Nyquist o traza polar. Diagrama del m´odulo (magnitud) en escala logar´ıtmica contra la fase (Diagrama de Black-Nichols). En las secciones siguientes se describen cada una de estas tres representaciones.

4.2. 4.2.1.

Diagramas de respuesta en frecuencia Representaci´ on de los Diagramas de Bode

Los diagramas de Bode permiten representar la respuesta en frecuencia de un sistema a partir de dos gr´ aficas:   el caso de entrada cosenoidal, el resultado es similar ya que cos α = sen α + π2 . 3 Si la ganancia del sistema a una determinada frecuencia es mayor que 1, entonces el sistema amplifica la amplitud de entrada. Si es menor que 1, el sistema aten´ ua la amplitud de la entrada. 2 En

78

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

Gr´ afica de Magnitud - Frecuencia. Se representa la magnitud de la respuesta en frecuencia (en decibelios4 ) frente a la frecuencia (entre 0 e ∞). La frecuencia viene representada en escala logar´ıtmica (es decir, en la escala aparece log10 ω en lugar de ω). ´ Gr´ afica de Angulos de fase - Frecuencia. Se representa el argumento de la respuesta en frecuencia (en grados) frente a la frecuencia. La frecuencia viene representada en escala logar´ıtmica. El motivo de usar escalas logar´ıtmicas y decibelios para la magnitud es que los productos de funciones de transferencia se convierten, en escalas logar´ıtmicas, en sumas, simplificando el procedimiento de trazado de los diagramas. Efectivamente, dado un sistema G(s) = G1 (s) · G2 (s) el m´odulo y argumento de G(jω) ser´a: |G(jω)| = |G1 (jω)| · |G2 (jω)| ∠G(jω) = ∠G1 (jω) + ∠G2 (jω) Si la magnitud se expresa en decibelios, se tiene: 20 log10 |G(jω)| = 20 log10 |G1 (jω)| + 20 log10 |G2 (jω)| Como se puede ver, la respuesta en frecuencia de productos de funciones de transferencia es la suma de los diagramas de Bode de los factores (tanto de m´ odulo como de fase). An´ alogamente, el cociente de funciones de transferencia dar´a lugar a la resta de sus diagramas de Bode. Por tanto, la mejor representaci´ on de una funci´ on de transferencia de un sistema continuo para el trazado de su diagrama de Bode es la forma factorizada: K

D

(1 + sTd )

sN

M

(1 + (1ξq /ωnq )s + (s/ωnq )2 )

q=1

d=1

G(s) =

Q

(1 + sTm )

m=1

I

(1 + (1ξi /ωni )s + (s/ωni )2 )

i=1

donde se tiene representado un factor constante, polos y ceros de primer orden, polos y ceros en el origen y polos y ceros de segundo orden. Obs´ervese que esta expresi´on 4 Un

decibelio es la unidad de escala logar´ıtmica de amplitudes: A(dB) = 20 log10 [A(en unidades de ganancia)]

de tal modo que una ganancia de +20 dB equivale a multiplicar por 10, +40 dB equivale a multiplicar por 100 la amplitud, −20 dB equivale a dividir por 10 la amplitud, y as´ı sucesivamente.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

79

est´a normalizada de forma que cada t´ermino tenga ganancia unitaria. As´ı, el t´ermino constante K del numerador se corresponde con la ganancia est´atica del sistema. Para representar el diagrama de Bode de la respuesta en frecuencia de un sistema continuo se representar´ a el diagrama de Bode de cada uno de estos componentes por separado, ya que el sistema completo se podr´a representar mediante la suma de los diagramas de Bode de cada uno de sus elementos. Factor constante (K). El diagrama de Bode de un factor constante K se corresponde con una recta de pendiente cero y de valor 20 log10 |K|, y el diagrama de argumentos se corresponde con una recta de pendiente cero y de valor 0◦ si K > 0 y −180◦ si K < 0 (figura 4.2).

Magnitud (dB)

40 20

20log|K|

0 -20

Fase (grados)

-40 360 180 0

K>0

-180

K 0, cuando ΓF rodea al origen una vez o m´ as en el mismo sentido que ΓS . N < 0, cuando ΓF rodea al origen una vez o m´ as en el sentido inverso al establecido por ΓS . N = 0, cuando ΓF no rodea al origen o lo rodea el mismo n´ umero de veces en el umero neto de vueltas ser´ıa 0 en ese mismo sentido y sentido inverso al de ΓS (el n´ caso).

96

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

Plano s

jw

Im F(s)

Plano F

GS

F(s1)

s1

F(s3) F(s4)

s2

O

F(s2)

O Re F(s)

s3 s4 (a)

(b)

Figura 4.15: Representaci´ on del plano s y del plano F .

Veamos una justificaci´on informal de este principio. Sea una funci´ on F (s) racional, como la representada por la relaci´on: D1 (s) · D2 (s) + N1 (s) · N2 (s) D1 (s) · D2 (s) (s + z1 )(s + z2 )(s + z3 ) · · · (s + zm ) , n≥m, = K (s + p1 )(s + p2 )(s + p3 ) · · · (s + pn )

F (s) =

(4.8)

que escrita en forma vectorial es: F (s) = |F (s)| · ej·∠F (s) siendo K |F (s)| =

m

i=1 n

(4.9)

|s + zi | , n≥m

(4.10)

|s + pi |

i=1

∠F (s) = ∠K +

m  i=1

∠(s + zi ) −

n  i=1

∠(s + pi )

(4.11)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

97

Sup´ ongase que la configuraci´ on de polos y ceros de F (s), para un caso concreto, es la representada en la figura 4.16, recorriendo la variable compleja s en el contorno ΓS en el sentido de las agujas del reloj.

Plano s

jw

Im F(s) GS

F(s1)

s1 s1+z3

s1+z2

O -z3 -p2

|F(s1)|

s1+p1

s1+p2

Plano F

s1+z1

îF(s1)þ O

-z2 -p1 -z1

(a)

Re F(s)

(b)

Figura 4.16: Ejemplo de configuraci´ on de polos y ceros para el principio del argumento de Cauchy.

on caracPara cada valor de s sobre el contorno ΓS se obtendr´a un valor de la funci´ ter´ıstica F (s) de forma que al contorno del plano s le corresponder´a el contorno ΓF en el plano F , tal como se indica en la figura 4.16 (b), construido como lugar geom´etrico de los extremos del vector representativo de F (s) dado por la expresi´on 4.9. El m´ odulo y el argumento de F (s) podr´ an calcularse, para cada valor de s, tomando los correspondientes m´odulos y argumentos de los vectores representativos e introduci´endolos en las ecuaciones 4.10 y 4.11. En la figura 4.16 (b) se han representado los vectores correspondientes a los polos y ceros de F (s) para un punto del contorno s = s1 . Considerando inicialmente el cero situado en −z1 , si se hace recorrer a s todo el contorno ΓS en el sentido de las agujas del reloj, a girado 360◦ en el mismo sentido, o sea −360◦ . Simult´ aneamente, el vector (s + z1 ) habr´ cada uno de los vectores correspondientes a ceros o polos situados fuera del contorno experimentar´an variaciones de a´ngulo en sentidos positivo y negativo iguales entre s´ı, de forma que el cambio neto de a´ngulo de cada uno de ellos ser´ a cero, por lo que su contribuci´ on al giro del vector F (s) seg´ un la expresi´ on 4.11 ser´a nula. Si en lugar de un on de los mismos al cero, como −z1 , existiesen Z ceros dentro del contorno, la contribuci´

98

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

giro del vector F (s) ser´ıa de −Z · 360◦ . De forma an´ aloga, el vector correspondiente al a −360◦ , siendo su contribuci´ on al argumento de F (s), seg´ un la expresi´ on polo −p1 girar´ 4.11, de 360◦ . En consecuencia, el giro neto de F (s) en torno al origen del plano F , cuando s recorre ΓS ser´a igual al giro neto debido a los ceros situados dentro del contorno menos el giro neto debido a los polos situados, as´ı mismo, dentro del contorno. Anal´ıticamente se podr´a expresar como: ∠F (s) = −360◦ · Z − (−360◦ · P ) = −360◦ · (Z − P ) = −360◦ · N

(4.12)

obteni´endose finalmente que N = Z − P .

4.6.

Camino de Nyquist

El principio del argumento de Cauchy enunciado en la secci´ on anterior puede ser utilizado para estudiar la estabilidad de un sistema de control si se define el contorno de forma que comprenda todo el semiplano complejo de parte real positiva (figura 4.17 (a)). A un contorno de este tipo se le denomina camino de Nyquist. La utilidad de este camino est´a en que si se cuenta el n´ umero de vueltas, N , que da la imagen de ΓS alrededor del origen en el plano F y conocidos los polos de F (s) que est´an en el semiplano complejo de parte real positiva, P , ser´a posible conocer si existe alg´ un cero de F (s) que haga inestable el sistema en bucle cerrado, usando el principio del argumento (expresi´ on 4.7). Se dec´ıa anteriormente que los polos de F (s) son conocidos. As´ı, contando N se podr´ a evaluar Z que son los ceros de F (s) (polos del sistema en bucle cerrado dentro del camino de Nyquist). Dado que el camino de Nyquist integra todo el semiplano complejo de parte real positiva, sabremos cu´antos polos tiene el sistema en este semiplano, con lo que deduciremos la estabilidad del sistema. Como se aprecia en la figura 4.17, el camino de Nyquist es recorrido en el sentido de las agujas del reloj y comprende: Tramo I: en el cual s = jω, variando ω desde ω = 0+ hasta ω = ∞, a lo largo del eje imaginario positivo. Tramo II: se trata de un semic´ırculo de radio infinito que comprende todo el semiplano complejo de parte real positiva. Tramo III: en el cual s = jω, variando ω desde ω = −∞ hasta ω = 0− , a lo largo del eje imaginario negativo. Sustituyendo en la ecuaci´ on 4.8 la variable compleja s por jω y dando valores a jω desde ω = −∞ hasta ω = +∞ , se obtendr´an en el plano F los tramos III’ y I’ del trazado de F (s), que corresponder´ an a los tramos III y I del camino de Nyquist,

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

99

Figura 4.17: Camino de Nyquist e imagen asociada.

respectivamente. N´otese que estos tramos son sim´etricos respecto al eje real, pues si se sustituye en la expresi´on 4.8 la variable compleja s = ±jω los m´odulos de todos los factores ser´an iguales, con lo que |F (jω)| = |F (−jω)|, mientras que los argumentos ser´an iguales y de signo contrario, ∠F (jω) = −∠F (−jω). Obs´ervese, as´ı mismo, que los tramos I’ y III’ representan la respuesta frecuencial F (jω) correspondiente a la funci´on F (s) cuando ω var´ıa desde −∞ a cero; por lo que bastar´ a conocer una de ellas para poder aplicar el principio del argumento con el camino de Nyquist considerado. El tramo II est´a representado en el plano complejo por s = R · ejϕ cuando R tiende on reflejada en la ecuaci´on 4.6 a ∞ y ϕ var´ıa de 90◦ a −90◦ . Si se considera la condici´ resulta que al moverse el punto Q a lo largo del semic´ırculo de radio infinito, el tramo correspondiente de F (s) no ha de experimentar ning´ un giro; esto es, ha de ser un punto fijo (Figura 4.17 (b), tramo II’). En efecto, puesto que l´ıms→∞ G(s)·H(s) = 0 o constante, y dado que en el tramo II los valores que toma s son tales que s = R · ejϕ , donde R → ∞ ,

(4.13)

l´ım F (s) = l´ım (1 + G(s)H(s)) = constante,

(4.14)

entonces se tiene que s→∞

s→∞

con lo que el tramo II se corresponde necesariamente con un u ´ nico punto en el plano F (s).

100

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

El camino de Nyquist representado en la figura 4.17 no es v´ alido para los casos en los cuales la ecuaci´on caracter´ıstica tiene singularidades (polos) situadas en el origen o sobre el eje imaginario. Para tales casos el camino de Nyquist ha de modificarse, ya que dicho camino no debe pasar por ning´ un polo. La forma m´ as habitual de evitar estos polos consiste en introducir peque˜ nos semic´ırculos que eviten el paso del camino por dichas singularidades, como se observa en la figura 4.18.

Figura 4.18: Camino de Nyquist con singularidades en el origen (a) y sobre el eje imaginario (b).

El nuevo camino cubre todo el semiplano complejo de parte real positiva excepto las zonas situadas dentro de los peque˜ nos semic´ırculos, lo que no representa inconveniente alguno si el radio de estos semic´ırculos se toma suficientemente peque˜ no. Siguiendo esta t´ecnica, en el caso de un sistema con un polo en el origen, el camino de Nyquist ser´ıa el mostrado en la figura 4.18 (a). El tramo IV de este camino est´a constituido por un semic´ırculo de radio ε, infinitesimal, que rodea al polo situado en el origen. Esto permitir´ a al punto Q pasar desde j0− a j0+ evitando el polo en el origen. En el caso de dos polos complejos conjugados situados sobre el eje imaginario, el camino de Nyquist ser´ıa el representado en la figura 4.18 (b).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

4.7.

101

Criterio de estabilidad de Nyquist

Aunque el criterio del argumento ha sido desarrollado considerando la trayectoria ΓS y su imagen ΓF , representativa de la funci´ on F (s) = 1 + G(s)H(s), resulta m´as c´omodo e interesante trabajar con la funci´ on de transferencia en bucle abierto G(s)H(s), por ser ´esta casi siempre uno de los datos del problema. Si se considera G(s)H(s) en lugar de F (s) = 1 + G(s)H(s) entonces no se considerar´an los giros alrededor del origen, sino que se debe observar la trayectoria en torno al punto −1. El criterio de estabilidad de Nyquist es la aplicaci´ on del principio del argumento cuando se toma el camino de Nyquist como trayectoria de variaci´on de s en el plano complejo. Si se traza en el plano F la curva que describe la funci´ on G(s)H(s) cuando la variable s recorre el camino de Nyquist se conocer´a el valor N del n´ umero de veces que ´esta rodea al punto −1 + 0j. Conocido N y dado que el n´ umero de polos P de G(s)H(s) situados en el semiplano s de parte real positiva tambi´en es conocido, podr´ a determinarse mediante la relaci´on 4.7 el valor de Z, siendo Z el n´ umero de polos de la funci´ on de transferencia en bucle cerrado M (s) situados en el semiplano complejo de parte real positiva y por tanto se puede determinar la estabilidad de un sistema en bucle cerrado. En resumen, se puede enunciar el criterio de Nyquist como: Criterio de estabilidad de Nyquist. Un sistema en bucle cerrado es estable si, y s´ olo si, el n´ umero neto de vueltas en el sentido de las agujas del reloj del punto s = −1 + 0j dado por el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) m´ as el n´ umero de polos de G(s) en la mitad derecha del plano complejo es cero. Z =N +P

Para aplicar en casos concretos el criterio de estabilidad de Nyquist es conveniente seguir los siguientes pasos: 1.

Se sit´ uan en el plano s los polos de G(s)H(s) (que son los mismos que los de 1 + G(s)H(s)) teniendo en cuenta que hay que observar las veces que se rodea al punto −1 + 0j (y no al origen como se enuncia en el principio del argumento) y se define y dibuja el camino de Nyquist, teniendo la precauci´ on de que G(s)H(s) debe estar definida para todo punto del mismo.

2.

Se traza la curva de variaci´ on de G(s)H(s), cuando s recorre el camino de Nyquist en el plano complejo.

3.

Se observa si la curva obtenida rodea totalmente el punto −1 + 0j. En caso afirmativo, se calcula el n´ umero total de vueltas completas (N ), as´ı como el sentido en que ´estas se realizan.

102

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

4.

Se aplica la relaci´ on Z = N + P para calcular el n´ umero de polos en bucle cerrado en el semiplano complejo de parte real positiva (N y P son conocidos).

En general las funciones de transferencia en bucle abierto de la mayor´ıa de los sistemas de control que se utilizan en la pr´ actica no tienen polos situados en el semiplano complejo de parte real positiva (es decir, P = 0)9 . En ese caso, para que el sistema realimentado sea estable el lugar de Nyquist no debe rodear al punto −1 + 0j (es decir, el criterio de estabilidad se reduce a comprobar que N = 0).

4.7.1.

Ejemplos de aplicaci´ on del criterio de Nyquist

A continuaci´on se exponen algunos ejemplos de an´ alisis de estabilidad usando el criterio de Nyquist. Ejemplo 1. Consideremos un sistema en bucle cerrado de tipo 1 cuya funci´ on de transferencia en bucle abierto es: G(s)H(s) =

K1 , 0 < T 1 < T2 . s(1 + T1 s)(1 + T2 s)

(4.15)

Estudiar su estabilidad usando el criterio de Nyquist. Soluci´ on: La funci´ on tiene un polo en el origen y otros dos en −1/T1 y −1/T2 , situados en el semiplano complejo en la parte real negativa; por tanto en este caso ser´a P = 0. Por tener un polo en el origen el camino de Nyquist ser´ a el representado en la figura 4.18 (a), en el que el camino rodea al polo mediante un semic´ırculo de radio infinitesimalmente peque˜ no. El tramo IV se muestra en detalle en la figura 4.19 (a). Al camino de Nyquist de la figura 4.18 (a) le corresponde la curva de la figura 4.19 (b) en el plano GH. El tramo I est´a definido para 0+ ≤ ω ≤ ∞. Cuando ω = 0, el m´odulo de G(jω)H(jω) es ∞, mientras que el argumento es −90◦ . Cuando ω = ∞, el m´odulo de G(jω)H(jω) ser´a 0 y el argumento −270◦ . De esta forma se obtiene el tramo I’ de la figura 4.19 (b). El tramo III’ es sim´etrico al anterior. El tramo II del camino de Nyquist est´a formado por los puntos s = R·ejϕ con R → ∞. Como ya se ha razonado, este tramo se corresponde en el plano GH con el punto 0 (II’ en la figura 4.19 (b)). En el tramo IV que se muestra en detalle en la figura 4.19 (a) la variable pasa del punto s = j0− a s = j0+ , a lo largo de un semic´ırculo de radio infinitesimal ε. Los puntos 9 Este tipo de sistema de control ser´ ıa estable en bucle abierto, y mediante el criterio de Nyquist se determinar´ a si sigue siendo estable en bucle cerrado (podr´ıa inestabilizarse al cerrar el bucle). An´ alogamente, si el sistema fuera inestable en bucle abierto, es posible que sea estable en bucle cerrado.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

103

de este semic´ırculo pueden ser representados por el vector giratorio s = εejϕ donde ε es el m´odulo que tiende a cero y ϕ el argumento, que pasa del valor −90◦ a +90◦ en sentido de giro contrario a las agujas del reloj. Sustituyendo en la ecuaci´ on 4.15 se obtiene: G(s)H(s) =

εejϕ (1

K1 + T1 εejϕ )(1 + T2 εejϕ )

(4.16)

Si se introduce la condici´ on de que ε es el m´odulo que tiende a cero, la expresi´ on quedar´ıa de la forma: K1 −jϕ K1 ·e (4.17) G(s)H(s) = jϕ = εe ε De la expresi´on 4.17 y de la figura 4.19 (a) se deduce que K1 /ε → ∞ y ϕ var´ıa de −90◦ a +90◦ , cuando el punto s recorre el semic´ırculo indicado. En consecuencia, al considerar el tramo IV’ del plano GH, correspondiente al tramo IV del camino de Nyquist, los puntos G(j0− )H(j0− ) = j y G(j0+ )H(j0+ ) = −j estar´an unidos por un semic´ırculo de radio infinito que es recorrido en el sentido de giro de las agujas del reloj, tal como se muestra en la figura 4.19 (b).

Figura 4.19: Detalle del tramo IV del camino de Nyquist de la figura 4.18 (a). Si el c´ırculo de la figura 4.19 no rodea al punto −1 entonces se tiene que N = 0, con lo que Z = 0 + 0 = 0 y, en consecuencia, el sistema en bucle cerrado ser´a estable.

104

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

Si se aumentase K1 de tal forma que se rodease al punto -1 se tendr´ıa entonces que N = 2, con lo que Z = 2 y por tanto existir´ıan dos polos de la funci´ on de transferencia en bucle cerrado en el semiplano complejo de parte real positiva, luego el sistema se har´ıa inestable.  Se propone como ejercicio resolver el ejemplo 1 pero considerando el semic´ırculo correspondiente al tramo IV hacia el semiplano izquierdo. Puede comprobarse que se llega al mismo resultado. Ejemplo 2. Estudiar utilizando el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema de la figura 4.20 en funci´ on del par´ ametro K > 0. R(s) + -

K

(s+4) s(s-2)

C(s)

Figura 4.20: Sistema en bucle cerrado del ejemplo 2.

Soluci´ on: En la figura 4.21 se representa el camino origen y el camino imagen de Nyquist para la funci´ on de transferencia considerada. En el camino origen se han dibujado los polos de la funci´ on de transferencia en bucle abierto, s = 0 y s = 2. Como en el ejemplo 1, el polo en el origen se debe rodear y el polo en s = 2 debe tenerse en cuenta al estudiar la estabilidad: el n´ umero de polos P dentro del camino origen ser´a igual a 1, P = 1. En la imagen se ha calculado la frecuencia para la que la fase es 180◦ , que ha resultado ser de 2.83 rad/s. Tambi´en se ha calculado el m´odulo de G(jω) para esa frecuencia que ha resultado ser K/2. El n´ umero N de vueltas alrededor del punto -1 ser´ a: Si K/2 < 1 (K < 2), cero vueltas, N = 0. Si K/2 > 1 (K > 2), una vuelta en sentido de giro negativo, N = −1. Aplicando la f´ ormula de Cauchy, N = Z − P , con P = 1, se tiene: Si K > 2, N = −1, Z = 0, el sistema ser´a estable. Si K < 2, N = 0, Z = 1, el sistema ser´a inestable. 

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

105

Im

Im

II

I

x

I' IV'

2 IV

x

-1

II'

Re

Re

III

III'

Figura 4.21: Camino origen (izquierda) y camino imagen (derecha) de Nyquist para el sistema de la figura 4.20.

4.8.

Introducci´ on de polos y ceros adicionales

Para presentar los efectos que produce la introducci´ on de polos y ceros adicionales en la funci´ on de transferencia en bucle abierto de un sistema, se tomar´ a como ejemplo el sistema cuya funci´on de transferencia en bucle abierto es de primer orden y viene dada por: K (4.18) G(s)H(s) = 1 + T1 s cuyo lugar de Nyquist tiene la forma que se muestra en la figura 4.22. Obs´ervese que en sistemas de fase m´ınima10 es suficiente con representar el primer tramo del camino de Nyquist (desde ω = 0+ hasta ω = ∞).

4.8.1.

Adici´ on de polos reales

Si a la funci´ on G(s)H(s) se le a˜ nade un polo situado en −1/T2 se tendr´a como nueva funci´ on de transferencia en bucle abierto: G (s)H  (s) =

K (1 + T1 s)(1 + T2 s)

(4.19)

10 Recu´ erdese que un sistema de fase m´ınima es aqu´el que no tiene ni polos ni ceros en el semiplano complejo de parte real positiva.

106

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

A frecuencias ω muy pr´ oximas a cero, los valores correspondientes de 4.18 y 4.19 son iguales, (4.20) l´ım G(s)H(s) = l´ım G (s)H  (s) = K s→0

s→0

No ocurre lo mismo para frecuencias ω tendiendo a infinito para las que los valores resultan diferentes, K l´ım G(s)H(s) = = 0∠ − 90◦ (4.21) s→∞ sT1 l´ım G (s)H  (s) =

s→∞

K s2 T

1 T2

= 0∠ − 180◦

Figura 4.22: Lugar de Nyquist de G (s)H  (s) =

(4.22)

K 1+T1 s .

En la figura 4.23 se observa el lugar de Nyquist de G (s)H  (s) (introducido un polo adicional) donde se aprecia el efecto que se produce al introducir un polo y que el argumento pase de −90◦ a −180◦ . En general se puede decir que la consecuencia de la introducci´on de n polos reales es que el lugar de Nyquist de G(s)H(s), desde ω = 0+ hasta ω = ∞ gire, en sentido de las on agujas del reloj, (n + 1)90◦ , pasando por (n + 1) cuadrantes. Por tanto la introducci´ de polos adicionales en la funci´ on de transferencia en bucle abierto, hace el sistema en bucle cerrado m´as inestable ya que la imagen del camino de Nyquist se aproxima m´as al punto −1 + 0j.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

107

Figura 4.23: Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional.

4.8.2.

Adici´ on de polos en el origen

La adici´ on de n polos en el origen provoca en el lugar de Nyquist un giro de n · 90◦ en el sentido de las agujas del reloj, pasando por tantos cuadrantes como constantes de tiempo existan en el denominador. En las figuras 4.24, 4.25 y 4.26 se puede comprobar este efecto. La afirmaci´on anterior es s´olo v´ alida para sistemas simples en los que no existen ceros en el numerador de la funci´ on de transferencia. En general puede decirse que la adici´ on de polos en el origen en la funci´ on de transferencia en bucle abierto provoca que la funci´ on de transferencia en bucle cerrado sea m´as inestable.

108

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

20

15

10

Eje imaginario

5

0

w=∞ −5

−10

w=0+ −15

−20 −1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Eje real

Figura 4.24: Lugar de Nyquist de la figura 4.22 con un polo adicional en el origen, K . correspondiente al sistema G(s)H(s) = s(1+T 1 s)

25

+

w=0 20

w=∞ 15

Eje imaginario

10

5

0

−5

−10

−15

−20

−25 −500

−400

−300

−200

−100

0

Eje real

Figura 4.25: Lugar de Nyquist de la figura 4.24 con un polo adicional en el origen, K . correspondiente al sistema G(s)H(s) = s2 (1+T 1 s)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

109

4

x 10

+

w=0

1

Eje imaginario

0.5

w=∞ 0

−0.5

−1

0

100

200

300

400

500

Eje real

Figura 4.26: Lugar de Nyquist de la figura 4.25 con un polo adicional en el origen, K . correspondiente al sistema G(s)H(s) = s3 (1+T 1 s)

4.8.3.

Adici´ on de ceros reales

La adici´ on de ceros reales provoca el efecto de giro del lugar de Nyquist de 90◦ , en sentido contrario a las agujas del reloj, para frecuencias ω tendiendo a ∞. Esto hace que el sistema en bucle cerrado sea m´as estable, por quedar situado el lugar m´ as a la derecha del lugar de la funci´ on en bucle abierto sin cero adicional (figura 4.27).

4.9.

Criterio de Nyquist para sistemas de fase m´ınima. Estabilidad relativa

El criterio de Nyquist permite determinar, con cierta facilidad, la estabilidad absoluta de un sistema realimentado, a partir de la representaci´ on polar de su funci´ on de transferencia en bucle abierto G(s)H(s). Este criterio de estabilidad dice que para sistemas de fase m´ınima, si el trazado polar de la respuesta frecuencial de G(s)H(s) para s = jω, con ω variando desde 0+ hasta ∞, deja a su izquierda el punto −1 + 0j el sistema es estable y si lo deja a su derecha el sistema es inestable. Como consecuencia del criterio anterior puede decirse que para sistemas de fase m´ınima11 , la proximidad del trazado polar de G(s)H(s) al punto −1 + 0j da una idea de la 11 Que

son los que con m´ as frecuencia aparecen en los sistemas de control.

110

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

25

20

con cero adicional

sin cero adicional

15

Eje imaginario

10

5

0

−5

−10

−15

−20

−25 −2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

Eje real

Figura 4.27: Efecto de la adici´ on de ceros reales.

estabilidad relativa del mismo, de tal forma que: Si el trazado polar de la respuesta frecuencial en bucle abierto, con frecuencias ω desde cero hasta infinito, deja a su izquierda el punto −1 + 0j, el sistema es estable. Si lo deja a su derecha, el sistema es inestable. Si pasa por el punto −1 + 0j, el sistema es marginalmente estable u oscilatorio. Para un sistema estable, cuanto m´as proximo se encuentre su lugar de Nyquist al punto −1 + 0j tanto menor ser´a su estabilidad. Como se habr´a observado, el concepto de estabilidad relativa expresado en el dominio de la frecuencia est´ a relacionado directamente con la posici´on de los polos dominantes en el lugar de las ra´ıces y con la forma de la respuesta temporal del sistema. El concepto gr´afico de estabilidad relativa se expresa, anal´ıticamente, mediante dos ´ındices, denominados margen de ganancia y margen de fase, que se definen en la secci´on siguiente.

4.10.

M´ argenes de ganancia y de fase

Una forma convencional de expresar la proximidad del lugar G(jω)H(jω) al punto −1 + 0j es mediante la distancia de dos puntos caracter´ısticos del mencionado lugar, designados por A y B en la figura 4.28, a dicho punto. A la frecuencia ωϕ , para la cual el angulo de fase de G(jω)H(jω) es igual a −180◦ , se le denomina frecuencia de cruce ´

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

111

de fase. A la frecuencia ωg , para la cual |G(jω)H(jω)| = 1, se le denomina frecuencia de cruce de ganancia. Veamos ahora qu´e se entiende por margen de ganancia y margen de fase: Margen de ganancia. El margen de ganancia, Kg , se define como la relaci´on entre las distancias, medidas sobre el eje real, desde el origen al punto −1 + 0j y al lugar G(jω)H(jω). Anal´ıticamente ser´a: Kg =

1 |G(jωϕ )H(jωϕ )|

(4.23)

o en decibelios: Kg = −20 log |G(jωϕ )H(jωϕ )|

(4.24)

Seg´ un el valor de Kg : ˆ Kg < 1, el sistema ser´ a inestable. ˆ Kg = 1, el sistema ser´ a marginalmente estable. ˆ Kg > 1, el sistema ser´ a estable

Expresado en decibelios, un margen de ganancia positivo indica que el sistema es estable, igual a cero que es marginalmente estable y negativo que es inestable. Puede decirse que el margen de ganancia es la cantidad de ganancia en decibelios que se puede a˜ nadir al sistema sin que el bucle cerrado se haga inestable. Margen de ganancia en sistemas de fase no m´ınima. Se debe tener cuidado al intentar extender el margen de ganancia como medida de la estabilidad relativa para sistemas con funciones de transferencia de fase no m´ınima. Tales sistemas pueden ser inestables aun cuando el punto de cruce de fase est´e a la derecha de −1 + 0j y, por tanto, un margen de ganancia positivo puede corresponder a un sistema inestable. De todas formas, la proximidad del cruce de fase al punto −1 + 0j sigue dando una indicaci´ on de la estabilidad relativa en estos sistemas. Margen de fase. Se define como margen de fase γ, el ´angulo negativo que hay que a˜ nadir al a´ngulo de fase ϕ de G(jω)H(jω) (expresado ´esta con signo negativo), a la frecuencia de cruce de ganancia ω = ωg , para que el sistema quede al borde de la inestabilidad (pase el lugar por el punto −1 + 0j), figura 4.28. El margen de fase γ vendr´ a dado por la siguiente ecuaci´ on: γ = 180◦ + ϕ

(4.25)

donde ϕ est´a expresado con signo negativo. Valores de γ > 0 corresponden a sistemas estables y valores de γ < 0 corresponden a sistemas inestables. Normalmente, el margen de fase es m´as significativo que el

112

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

Im

Plano GH

1/Kg B w

w=

Re

-1

wg 

A w = 0+

Figura 4.28: Margen de ganancia y de fase.

margen de ganancia para describir la estabilidad relativa de un sistema. Puede decirse que el margen de fase se define como el a ´ngulo en grados que se debe rotar el diagrama de Nyquist alrededor del origen para que el cruce de ganancia pase por el punto −1 + 0j. Margen de fase de sistemas de fase no m´ınima. Tambi´en se debe tener cuidado cuando se interpreta el margen de fase del diagrama de Nyquist de una funci´ on de transferencia de fase no m´ınima. En este caso, el cruce de ganancia puede estar en cualquier cuadrante del plano y la definici´ on del margen de fase dada por la expresi´on 4.25 ya no es v´ alida.

Como conclusiones podr´ıamos destacar que para que un sistema de fase m´ınima sea estable su margen de ganancia (medido en decibelios) y su margen de fase han de ser positivos.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

113

Ejemplo. Dado el sistema representado en la figura 4.29, se pide: 1.

Representar el diagrama de Nyquist.

2.

Calcular el margen de fase y margen de ganancia del sistema. + -

s+3 s+2 1 s

Figura 4.29: Sistema en bucle cerrado ejemplo.

Soluci´ on: El diagrama de Nyquist aparece representado en la figura 4.30. Para el c´ alculo del margen de fase y margen de ganancia ser´ a necesario calcular la frecuencia de cruce de ganancia y frecuencia de cruce de fase. La frecuencia de cruce de ganancia ser´a aquella para la que la magnitud es 1:    jωg + 3   = 1. |G(jωg )H(jωg )| =  jωg (jωg + 2)  Resolviendo la ecuaci´ on anterior se obtiene ωg = 1,4. Para el c´ alculo del margen de ganancia se tendr´ a: ∠G(jωg )H(jωg ) = ∠(jωg + 3) − [∠jωg + ∠(jωg + 2)] = 25 − (90 + 35). Por tanto el margen de fase ser´a 180◦ − 100◦ = 80◦ . Para calcular el margen de ganancia se debe calcular la frecuencia de cruce de fase. Esta frecuencia vale infinito, con lo que el margen de ganancia vale infinito, es decir, 1 = 0. Kg 

4.11.

Estabilidad en los diagramas de Bode

El diagrama de Bode est´a compuesto por las curvas: amplitud en decibelios y a´ngulo de fase en grados o radianes, ambas para valores positivos de ω. En consecuencia en un

114

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

20

15

Eje imaginario

10

5

0

−5

−10

−15

−20 −1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5 −0.4 Eje real

−0.3

−0.2

−0.1

0

Figura 4.30: Diagrama de Nyquist del sistema de la figura 4.29.

diagrama de Bode no se podr´ a representar el lugar G(s)H(s) correspondiente a todos los tramos del camino de Nyquist. No obstante para los sistemas de fase m´ınima, que a estudiarse, tanto la s´olo requieren el lugar de G(jω)H(jω) con 0+ ≤ ω ≤ ∞, podr´ estabilidad absoluta como la relativa, trasladando al diagrama de Bode las condiciones de estabilidad obtenidas en el diagrama de Nyquist. El punto −1 + 0j del diagrama polar puede ser considerado como extremo del vector a en los diagramas de Bode el m´odulo y argumento 1e−jπ , al que corresponder´ 20 log |1e−jπ | = 20 log 1 = 0 dB

(4.26)

∠e−jπ = −180◦

(4.27)

Por tanto al punto −1 + 0j corresponder´ a en los diagramas de Bode con la l´ınea de 0 decibelios y la l´ınea de −180◦ . El criterio correspondiente a Nyquist en el diagrama de Bode es: un sistema ser´ a estable si la ganancia expresada en decibelios, correspondiente a la frecuencia de cruce ωϕ , es negativa o lo que es lo mismo que ωϕ > ωg , tal como se muestra en la figura 4.31. Esto se encuentra en total consonancia con lo representado en la figura 4.28. Partiendo del diagrama de Bode se puede observar el efecto de una modificaci´ on de la ganancia K del sistema. Si partiendo de una ganancia K1 del sistema, se pasase a ´nicamente la curva correspondiente a la ganancia, que se otra K2 > K1 , se modifica u a el desplaza hacia arriba una cantidad igual a 20 log(K1 /K2 ). En consecuencia, disminuir´ margen de ganancia en la misma, pudiendo el sistema llegar a hacerse inestable si ´este

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

115

A(w) dB

wg

wö

0 dB

log w margen de ganancia

ö(w) grados -90o

-180

o

margen de fase

log w

Figura 4.31: M´ argenes de ganancia y fase sobre el diagrama de Bode.

resulta negativo. Igualmente, resultar´ a modificado el margen de fase, puesto que, para la ganancia K2 la frecuencia de cruce de ganancia, al desplazarse la curva de ganancia, resulta superior, lo que origina una disminuci´ on del margen de fase.

4.11.1.

Frecuencia de corte y ancho de banda

La frecuencia ωb en la cual la magnitud de la respuesta en frecuencia en bucle cerrado est´a 3 dB por debajo de su valor de frecuencia 0 se denomina frecuencia de corte (figura 4.32). El rango de frecuencia 0 ≤ ω ≤ ωb en el cual la magnitud en bucle cerrado no desciende a -3 dB se denomina ancho de banda del sistema.

116

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

dB 0 -3

wb

w

Figura 4.32: Frecuencia de corte.

Ejemplo. Dado un sistema de control con realimentaci´ on unitaria cuya funci´ on de transferencia en bucle abierto es: G(s)H(s) =

0,02(s + 10) , s(s + 2)(s + 0,1)

(4.28)

Se pide: 1.

Dibujar el diagrama de Nyquist y calcular el margen de ganancia. Deducir la estabilidad del sistema en bucle cerrado a partir del criterio de Nyquist.

2.

Dibujar el diagrama de Bode de la funci´ on de transferencia en bucle abierto y obtener los m´ argenes de ganancia y de fase sobre este diagrama.

Soluci´ on: Para obtener el diagrama de Nyquist, consideraremos la funci´ on de transferencia en bucle abierto para s = jω: G(jω)H(jω) =

−j0,02(j + 10)(2 − jω)(0,01 − jω) 0,02(jω + 10) = jω(jω + 2)(jω + 0,1) ω(ω 2 + 4)(ω 2 + 0,01)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

G(jω)H(jω) =

117

0,158ω 2 − 0,04 −0,416 − 0,02ω 2 + j (ω 2 + 4)(ω 2 + 0,01) ω(ω 2 + 4)(ω 2 + 0,01)

La frecuencia de corte del diagrama de Nyquist con el eje real se obtiene igualando la parte imaginaria de G(jω)H(jω) a 0 y resolviendo la ecuaci´ on: 0,158ω 2 − 0,04 =0 ω(ω 2 + 4)(ω 2 + 0,01) de donde se obtiene ωϕ = 0,503 rad/s (adem´ as de la soluci´on trivial ωϕ = ∞). Para el valor finito, la parte real G(jωϕ )H(jωϕ ) vale −0,376 que es mayor que −1 con lo que el diagrama de Nyquist no encierra el punto −1 + 0j, siendo por tanto el sistema en bucle cerrado estable. Para trazar un esbozo del diagrama de Nyquist realizaremos un estudio del comportamiento asint´ otico de G(jω)H(jω): Si ω tiende a ∞, entonces G(jω) tiende a 0. Si ω tiende a 0, entonces G(jω) tiende a −10,4 − j∞. El margen de ganancia se obtendr´ a como:    1   = 8,49dB.  Kg = −20 · log  −0,376  En la figura 4.33 se muestra el diagram de Nyquist pedido. Aplicando las t´ecnicas de dibujo del diagrama de Bode pueden obtenerse las gr´ aficas de la figura 4.34, donde puede comprobarse que el margen de fase coincide con el obtenido mediante el diagrama de Nyquist. Puede observarse tambi´en que el margen de fase es  11,103◦ .

4.12.

Respuesta en frecuencia en bucle cerrado. C´ırculos M y N. Diagrama de Black-Nichols

En esta secci´on se va a mostrar c´omo obtener la respuesta en frecuencia en bucle cerrado de forma gr´ afica utilizando los denominados c´ırculos M y N sobre el diagrama de Black-Nichols, dando lugar al denominado diagrama o carta de Nichols. Recu´erdese que con los m´etodos vistos hasta ahora se puede determinar, a partir de la respuesta en frecuencia del bucle abierto, la estabilidad y la respuesta en r´egimen permanente del sistema en bucle cerrado.

118

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

250 200 150

Eje imaginario

100 50 0 −50 −100 −150 −200 −250 −10

−9

−8

−7

−6

−5 Eje real

−4

−3

−2

−1

0

Figura 4.33: Diagrama de Nyquist del sistema ejemplo.

4.12.1.

Sistemas con realimentaci´ on unitaria

La funci´ on de transferencia del sistema G(s) con realimentaci´on negativa y unitaria viene dada por: G(s) . BC(s) = 1 + G(s) Por tanto, la respuesta en frecuencia es: BC(jω) =

G(jω) = M ejφ , 1 + G(jω)

donde M es la magnitud del bucle cerrado, dado por: M=

|G(jω)| |1 + G(jω)|

φ es la fase de bucle cerrado: φ = θ − β, donde θ y β son las fases del numerador y denominador de BC(jω).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

119

Diagrama de Bode 50

Magnitud (dB)

0 −50 −100

Fase (grados)

−150 −90

−135

−180

−225 −2 10

−1

0

10

1

10

10

2

10

Frecuencia (rad/sec)

Figura 4.34: Diagrama de Bode del sistema ejemplo.

Para realizar el trazado gr´ afico de la respuesta en frecuencia en bucle cerrado se utilizan unas propiedades geom´etricas de las curvas de magnitud y fase que se exponen a continuaci´on. Sea C un n´ umero complejo cuya parte real es Cx y cuya parte imaginaria es Cy . Entonces se podr´ a expresar C como: C = Cx + jCy . A partir de C se puede definir otro n´ umero complejo, llam´emosle C  , con la siguiente expresi´on: C C = 1+C El m´odulo de C  ser´a:

 MC  =

Cx2 + Cy2 (1 + Cx )2 ) + Cy2

de donde operando se llega a la expresi´ on siguiente: 

MC2  Cx + MC  − 1

 + Cy2 =

MC2  − 1)2

(MC2 

120

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

Para cada valor de MC  variando Cx y Cy se tiene un c´ırculo de radio MC  MC2  − 1 y centro

 (x0 , y0 ) =



M2 − C2 , 0 MC 

De esta forma se obtienen los denominados c´ırculos de magnitud constante o c´ırculos M. Por otro lado, la fase de C  es:     Cy Cy φC  = arctan − arctan Cx 1 + Cx Llamando N = tan φC  y operando sobre la expresi´ on anterior se tiene:  2  2 1 1 N2 + 1 Cx + + Cy + = 2 2N 4N 2 de tal forma que para cada valor de φC  y por tanto de N variando Cx y Cy se tiene un c´ırculo de radio  N2 + 1 4N 2 y centro   1 1 (x0 , y0 ) = − , , 2 2N obteni´endose los denominados c´ırculos de fase constante o c´ırculos N. Los c´ırculos M y N se pueden utilizar para determinar de forma gr´ afica el n´ umero C  a partir de C. Dado un valor de C se busca la intersecci´on de este valor con un c´ırculo M y un c´ırculo N a partir de los cuales se obtiene MC  y φC  respectivamente, obteni´endose por tanto el valor de C  como C  = MC  ejφC  . La respuesta en frecuencia en bucle cerrado puede obtenerse a partir de G(jω) (que ser´a el n´ umero complejo C de la discusi´on anterior) por medici´ on sobre un c´ırculo M y N, obteni´endose la respuesta en frecuencia en bucle cerrado (que ser´a el n´ umero complejo C  de la discusi´on anterior): G(jω) BC(jω) = 1 + G(jω) As´ı pues, para obtener la respuesta en frecuencia en bucle cerrado bastar´ a tomar valores en los que la respuesta en frecuencia en bucle abierto corta a los c´ırculos M y N. Esto suele realizarse sobre el diagrama de Black-Nichols, dibujando los c´ırculos M y N sobre este diagrama. A este nuevo diagrama se le conoce como Diagrama o carta de Nichols (figura 4.35).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

121

40 0 dB

Ganancia en bucle abierto (dB)

30

0.25 dB 0.5 dB

20

1 dB

10

-1 dB

3 dB 6 dB

-3 dB

0

-6 dB

-10

-12 dB

-20

-20 dB

-30 -40

-40 dB

-50 -60 -360

-60 dB

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fase en bucle abierto (grad) Figura 4.35: Ejemplo de diagrama de Nichols.

4.12.2.

Sistemas con realimentaci´ on no unitaria

En sistemas con realimentaci´on no unitaria se tiene que la respuesta en frecuencia en bucle cerrado es: G(jω) BC(jω) = 1 + G(jω)H(jω) donde H(jω) corresponde a la realimentaci´on. Para poder aplicar el m´etodo de los c´ırculos M y N se calcula primero la respuesta en frecuencia siguiente: BC  (jω) =

G(jω)H(jω) 1 + G(jω)H(jω)

Una vez obtenida esta respuesta en frecuencia (aplicando directamente el diagrama de Nichols como se ha descrito en la secci´on anterior), podr´ a obtenerse la respuesta en frecuencia BC(jω) de la forma siguiente: BC(jω) = BC  (jω)

1 H(jω)

122

An´ alisis din´ amico de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia

Obs´ervese que esta u ´ltima divisi´ on es inmediato realizarla sobre un diagrama de Bode ya que una divisi´ on corresponde a una resta en escalas logar´ıtmicas.

Bibliograf´ıa para ampliar En (Kuo, 1996) se tratan las siguientes cuestiones: ˆ En la secci´ on 9-6-1 se presenta c´omo aplicar el criterio de Nyquist a funciones de transferencia que no son estrictamente propias. ˆ En la secci´ on 9-7 se realiza un estudio interesante en el que se presenta la relaci´on existente entre el lugar de las ra´ıces y el trazado de Nyquist. ˆ En la secci´ on 9-13 se estudia c´omo afecta al an´alisis de la estabilidad mediante m´etodos frecuenciales la existencia de retardos puros en los sistemas en bucle abierto.

En (Ogata, 1998) resultan interesantes las secciones siguientes (cap´ıtulo 8): ˆ Descripci´ on del m´etodo para representar diagramas de frecuencia usando Matlab (Bode, Nyquist). ˆ Numerosos ejemplos de problemas con sus soluciones.

En (Puente, 1991) se tratan los siguientes temas, no tratados aqu´ı: relaci´ on entre respuesta en frecuencia y respuesta transitoria (especialmente para sistemas de segundo orden sin ceros y con realimentaci´on unitaria); obtenci´ on de la respuesta en frecuencia en bucle cerrado a partir de la de bucle abierto; lugares de m´ odulo constante; lugares de a´ngulo de fase constante.

Parte II

˜ DE SISTEMAS DISENO CONTINUOS DE CONTROL

123

CAP´ITULO 5

CONSIDERACIONES SOBRE ˜ Y ACCIONES EL DISENO ´ BASICAS DE CONTROL

´Indice 5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2. Tipos de compensaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.3. Metodolog´ıas para el dise˜ no de reguladores . . . . . . . . . . 130 5.3.1. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4. Condiciones b´ asicas del sistema de control . . . . . . . . . . 134 5.5. Acciones b´ asicas de control

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.6. Reguladores de tipo P e I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.7. Regulador de tipo PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.8. Regulador de tipo PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.9. Regulador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.10. Efectos de las acciones de control integral y diferencial en el comportamiento de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

125

126

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

En la primera parte de este cap´ıtulo se presentan en t´erminos generales las metodolog´ıas de dise˜ no de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. Entenderemos por compensaci´ on como la modificaci´ on de la din´ amica del sistema para satisfacer unas determinadas especificaciones. Por este motivo se resumir´ an las especificaciones que suelen darse como objetivos de dise˜ no de sistemas de control, as´ı como las condiciones b´ asicas que deben considerarse en el dise˜ no de un sistema de control. En esencia, un sistema de control autom´ atico compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina el error y proporciona una se˜ nal de control que intentar´ a reducir este error a cero o a un valor lo m´ as peque˜ no posible. La forma en la que el regulador autom´ atico produce la se˜ nal de control se denomina acci´ on de control. En la segunda parte de este cap´ıtulo se analizan las acciones b´ asicas de control que se usan en los sistemas de control industriales, revisando los efectos de estas acciones en la respuesta del sistema.

5.1.

Introducci´ on

La motivaci´on fundamental de la teor´ıa de sistemas de control es el dise˜ no de sistemas que sean capaces de conseguir que el proceso a controlar cumpla las especificaciones de estabilidad, precisi´ on y respuesta transitoria que se deseen. Entenderemos por dise˜ no de sistemas de control el proceso a seguir para determinar las modificaciones b´ asicas que deben introducirse en el sistema para que se cumplan estas especificaciones. Antes de plantear m´etodos de dise˜ no resulta necesario plantearse los datos de los que normalmente parte un ingeniero para el dise˜ no de un sistema autom´atico de control. En l´ıneas generales estos datos son los siguientes: 1.

El primer dato es, evidentemente, la planta o proceso que se desea controlar, definida como un conjunto de dispositivos y componentes cuyo comportamiento es conocido. Este conocimiento de la planta se expresa como un modelo matem´atico de la misma que en el caso de sistemas continuos es una funci´on de transferencia en el dominio de Laplace.

2.

Cu´ al es la variable que se desea controlar. Es decir, la magnitud f´ısica cuya variaci´on en funci´ on del tiempo deba seguir una referencia.

3.

Los requerimientos o especificaciones que se exigen a la variable o magnitud a controlar.

4.

Puntos del sistema donde es posible que se produzcan perturbaciones.

Inicialmente se usaron especificaciones en el dominio de la frecuencia dado que las representaciones del sistema como diagramas de Nyquist, de Bode y de Nichols era posible

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

127

obtenerlas mediante un dibujo aproximado sin mucho detalle. Sin embargo, la representaci´on de la respuesta del sistema en el dominio del tiempo era posible s´olo para sistemas de segundo orden o para sistemas de orden superior que se puedan aproximar por su equivalente. Con la aparici´ on de los computadores se ha posibilitado el empleo de especificaciones en el dominio del tiempo de una forma c´ omoda. La misi´ on del dise˜ nador de un sistema de control autom´atico puede dividirse en dos etapas: 1.

En primer lugar debe definirse una estructura adecuada para el sistema de control, como la mostrada en la figura 5.1, de forma que ´este cumpla las especificaciones que le han sido impuestas a la variable controlada. Como se observa en la figura, en esta estructura deben seleccionarse los siguientes elementos para el dispositivo regulador (encuadrado en l´ınea discontinua en la figura): Un dispositivo accionador para actuar sobre el proceso (Ga (s)). Un dispositivo de medida o sensor para medir la se˜ nal de salida del proceso1 (Hm (s)). Un detector de error para comparar la variable realimentada (salida del sensor) con la referencia.

perturbación Z(s) R(s)

+ -

Ga(s)

Gp(s)

accionador

proceso

+

+

Y(s)

Hm(s) sensor o disp. de medida Figura 5.1: Estructura para el control de un proceso.

2. 1A

Una vez dise˜ nada una estructura como la de la figura 5.1 y elegidos y modelados todos sus componentes, el dise˜ nador deber´ a analizar el sistema y si se concluye la se˜ nal de salida del proceso suele llamarse variable controlada.

128

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

que no cumple las especificaciones de dise˜ no se estudia la forma de modificar o compensar el mismo para que se cumplan estas especificaciones. El m´etodo m´as habitual para conseguir que un sistema de regulaci´ on cumpla las especificaciones es modificar la estructura del mismo incorporando al dispositivo de regulaci´ on un elemento adicional que altere el comportamiento del conjunto de forma que la respuesta del sistema modificado sea satisfactoria. En la figura 5.2 se ha incluido dicho elemento, denominado compensador2 , controlador o regulador y modelado como GR (s).

perturbación R(s) + -

Z(s)

accionador

GR(s)

Ga(s)

regulador

Gp(s)

+

+

Y(s)

proceso

Hm(s) sensor o disp. de medida Figura 5.2: Estructura para el control de un proceso mostrado en la figura 5.1 con la inclusi´on de un regulador.

Los motivos por los que un sistema como el de la figura 5.1 puede necesitar compensaci´on pueden ser muy diversos. Los m´as habituales son los siguientes: 1.

Reducci´on del error en r´egimen permanente, sin afectar a la respuesta transitoria, que se considera satisfactoria.

2.

Mejora de la respuesta din´amica, sin alterar la precisi´on est´ atica.

3.

Establecimiento, mediante el ajuste de la ganancia, de un compromiso entre los reg´ımenes transitorio y permanente.

4.

Estabilizaci´on de un sistema que sea inestable con cualquier valor de la ganancia.

2 El t´ ermino “compensador” se utiliza por consistir su misi´ on en compensar el funcionamiento del sistema de original.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

129

Es importante destacar que habitualmente es necesario llegar a una soluci´ on de compromiso entre los reg´ımenes transitorio y permanente en cuanto a sus especificaciones manteniendo siempre el sistema dentro de la estabilidad.

5.2.

Tipos de compensaci´ on

Dependiendo del punto del sistema de control en el que se ubique el regulador, se van a distinguir tres tipos de compensaci´ on: 1.

Compensaci´ on en serie o cascada. En este caso el regulador o compensador se coloca en serie con los elementos de la cadena directa del sistema (figura 5.2). La compensaci´on consiste en determinar el tipo concreto de regulador a utilizar ´ as´ı como sus par´ametros. Esta es la compensaci´on m´as usada en la pr´ actica.

2.

Compensaci´ on en paralelo o por realimentaci´ on m´ ultiple. En este caso se sit´ ua el regulador en alg´ un bucle interno de realimentaci´ on del sistema. Un ejemplo de este tipo de compensaci´on es el mostrado en la figura 5.3, en la que se ha situado un regulador GR (s) en un bucle interno.

Z(s) R(s) + -

G1(s)

+

+ -

Gp(s)

Y(s)

GR(s)

Hm(s) Figura 5.3: Ejemplo de compensaci´ on en paralelo.

3.

Compensaci´ on por prealimentaci´ on o predictiva. En este caso el regulador se “adelanta” en su acci´ on correctora a los errores que pueden originarse en la variable controlada cuando existen perturbaciones externas o cuando se producen alteraciones en la se˜ nal de referencia. En la figura 5.4 se muestra un ejemplo de este tipo de compensaci´on en el que la se˜ nal de perturbaci´ on se lleva directamente a la entrada a trav´es del regulador de prealimentaci´ on GRp (s).

130

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

Z(s) GRp(s) R(s) + -

GR(s)

Ga(s)

+

+ Gp(s)

Y(s)

Hm(s)

Figura 5.4: Ejemplo de compensaci´ on por prealimentaci´on.

5.3.

Metodolog´ıas para el dise˜ no de reguladores

Para elegir o dise˜ nar un regulador existen dos posibilidades, basadas, respectivamente, en los m´etodos denominados de s´ıntesis y an´alisis: 1.

M´ etodo de s´ıntesis: se parte de las especificaciones fijadas para el sistema y se determina de forma anal´ıtica el regulador necesario para alcanzar esas especificaciones. Por ejemplo, consid´erese el sistema de la figura 5.5 y que las especificaciones de dise˜ no consisten en la especificaci´on de los polos y ceros deseados del sistema en bucle cerrado. Estas especificaciones son equivalentes a conocer la funci´ on de transferencia en bucle cerrado M (s), que para el sistema de la figura ser´a: M (s) =

GR (s)GP (s) Y (s) = , X(s) 1 + GR (s)GP (s)

nar. Despejando GR (s) en la exdonde GR (s) es el controlador que se desea dise˜ presi´on anterior se obtiene: GR (s) =

M (s) . (1 − M (s))GP (s)

Este m´etodo de dise˜ no, como se acaba de comprobar, es de extremada simplicidad. Sin embargo, presenta ciertos inconvenientes siendo el principal de ellos que los reguladores GR (s) que se obtienen mediante este m´etodo suelen ser excesivamente complejos en cuanto a su realizaci´on material y por tanto de un costo considerable,

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

R(s) + -

131

GR(s)

Gp(s)

regulador

proceso

Y(s)

Figura 5.5: Dise˜ no del regulador por el m´etodo de s´ıntesis.

e incluso en muchas ocasiones se obtienen funciones de transferencia GR (s) de sistemas f´ısicamente irrealizables (n´ umero de ceros mayor que n´ umero de polos)3 . 2.

M´ etodo de an´ alisis: utiliza un procedimiento de tanteo y ajuste para llegar a la soluci´on deseada, que no es u ´nica, sino una de las muchas posibles. El m´etodo consiste en partir de una funci´ on de transferencia en bucle abierto del sistema (incluido el regulador) adecuadamente seleccionada y comprobar si la respuesta del sistema en bucle cerrado cumple las especificaciones fijadas.

5.3.1.

Especificaciones de funcionamiento

Las especificaciones de funcionamiento de un sistema de regulaci´on son el conjunto de caracter´ısticas que ha de presentar ´este para cumplir determinados objetivos de funcionamiento. Los sistemas de control se dise˜ nan para realizar tareas espec´ıficas. Para detallar los requisitos que debe cumplir el sistema de control se utilizan las especificaciones de funcionamiento que se exigen para el mismo. Estas especificaciones suelen referirse a la estabilidad, precisi´ on y velocidad de respuesta. Aunque los sistemas de regulaci´on pueden ser de muy diversas caracter´ısticas, es bastante frecuente dar sus especificaciones de funcionamiento referidas al sistema de segundo orden normalizado; cuanto m´ as se aproxime el sistema tratado al de segundo orden, tanto mayor ser´ a la precisi´on con que las especificaciones son cumplidas. En la pr´ actica las especificaciones m´as utilizadas son las siguientes: 1.

En el dominio del tiempo (figura 5.6): a) Sobreoscilaci´on MP . b) Tiempo de subida tr . c) Tiempo de establecimiento ts . d ) Tiempo tp en el que se produce el pico de sobreoscilaci´on.

3 En la cuarta parte del libro dedicada al dise˜ no de sistemas discretos de control se estudiar´ an algunos m´ etodos de s´ıntesis.

132

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

e)

Tiempo de retardo.

f ) Constante de error Kp , Kv , Ka .

1.4 1.2

Amplitud

Mp 1 0.9 0.8 0.6 0.5 0.4

td

0.2 0

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

tr ts tp

Figura 5.6: Especificaciones en el dominio del tiempo.

2.

En el dominio de la frecuencia (figura 5.8): a) Margen de fase γ. b) Margen de ganancia Kg . c)

Ancho de banda B.

d ) Pico de resonancia Mr . e)

Frecuencia de resonancia wr .

f ) Constantes de error Kp , Kv , Ka .

12

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

3.

133

En el dominio complejo (figura 5.7): a) Coeficiente de amortiguamiento ξ. b) Factor de amortiguamiento σ. c) Frecuencia natural no amortiguada wn . d ) Constantes de error Kp , Kv , Ka .

wn

- =- wn

Figura 5.7: Especificaciones en el dominio complejo.

Las especificaciones que se han dado no son absolutamente independientes entre s´ı. M´ as bien al contrario, conocidas algunas de ellas no es necesario dar otras, ya que contienen la misma informaci´ on. Para el dise˜ no de sistemas, la experiencia ha aconsejado agruparlas en la siguiente forma: Grupo 1: Sobreoscilaci´ on, coeficiente de amortiguamiento, margen de fase, constantes de error Kp , Kv , Ka . Grupo 2: Tiempo de subida, ancho de banda, frecuencia de resonancia, constantes de error Kp , Kv , Ka .

134

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

Grupo 3: Tiempo de establecimiento ts , frecuencia de cruce de ganancia, constantes de error Kp , Kv , Ka .

5.4.

Condiciones b´ asicas del sistema de control

La serie de reglas o condiciones fundamentales que todo sistema de control utilizable en la pr´ actica ha de cumplir son las siguientes: 1.

El sistema de control ha de ser estable.

2.

El sistema de control ha de tener una determinada precisi´ on en r´egimen permanente. Esta condici´ on indica que en r´egimen permanente la respuesta ha de adquirir un valor fijo y determinado (sistema estable), pero adem´ as ´este ha de ser igual al de la referencia o muy pr´ oximo a ella y adem´ as ha de ser pr´acticamente insensible frente a las perturbaciones.

3.

El sistema de control debe estar suficientemente amortiguado. La respuesta transitoria viene determinada por la posici´ on de los polos en el plano s de la funci´ on de transferencia en bucle cerrado. La respuesta transitoria ser´ a m´as amortiguada cuanto m´ as alejados est´en los polos del eje imaginario. Si se representa en el plano complejo, la respuesta transitoria del sistema resulta tanto m´as amortiguada cuanto m´as alejado se encuentre el lugar de Nyquist del punto −1+0j. Mediante el margen de fase γ se puede medir este alejamiento (figura 5.8). Se puede demostrar tambi´en que cuanto mayor sea la frecuencia de cruce de apida ser´a la respuesta temporal. ganancia ωg m´as r´

4.

El sistema de regulaci´ on debe ser suficientemente r´ apido. Las condiciones tercera y cuarta son contradictorias, pues si se hace el sistema m´as r´apido (aumentando por ejemplo la ganancia) se desplaza la frecuencia de cruce hacia la derecha, coincidiendo con una parte de la curva de a´ngulos de fase de fuerte ca´ıda, lo que lleva consigo un reducido margen de fase y finalmente la inestabilidad.

5.5.

Acciones b´ asicas de control

En los sistemas de control autom´atico, la entrada al controlador es la se˜ nal de error (que como se defini´o previamente es la diferencia entre el valor deseado de la salida y su valor real). El controlador genera la se˜ nal de control que act´ ua sobre el proceso tendiendo a minimizar el error. Se llama acci´ on de control a la forma en la que el controlador genera la se˜ nal de control u(t) a partir de la se˜ nal de error e(t). La acci´on de control puede ser representada por una funci´ on f que obtiene la relaci´ on existente entre ambas se˜ nales: u(t) = f (e(t))

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

Im

135

Plano GH

1/Kg w

w=

Re

-1 Más amortiguada Menos amortiguada

wg



w = 0+

Figura 5.8: Amortiguamiento de un sistema a partir del margen de fase.

Evidentemente, existen infinitas formas matem´ aticas de acci´on de control pero, de todas ellas s´olo unas pocas se pueden implementar f´ısicamente. De estas u ´ ltimas, las m´as utilizadas en los sistemas de control se conocen con el nombre de acciones b´ asicas de control. En las secciones siguientes se analizan los detalles de las acciones b´asicas de control que utilizan los sistemas continuos de control industriales. En funci´ on de estas acciones de control se pueden clasificar los controladores industriales como: Proporcionales (P). Integrales (I). Proporcionales-diferenciales (PD). Proporcionales-integrales (PI).

136

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

Proporcionales-integrales-diferenciales (PID). Adem´as de estas acciones, podemos considerar la denominada acci´on de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En un sistema de control on/off, el actuador s´olo tiene dos posiciones fijas que, en la mayor´ıa de los casos, son de encendido y apagado. El control on/off es relativamente simple y barato, raz´on por la cual su uso es extendido en sistemas de control. Si denotamos la se˜ nal de salida del regulador como u(t) y la entrada como e(t), en el control on/off la se˜ nal u(t) permanece en un determinado valor dependiendo de si la entrada e(t) (que normalmente es el error) es positiva o negativa. As´ı, la salida de este controlador viene dada por:  u1 si e(t) > 0 u(t) = u2 si e(t) < 0 donde u1 e u2 son constantes. Casi todos estos controladores industriales utilizan como fuente de energ´ıa la electricidad o un fluido a presi´ on (como el aire o aceite). Los controladores tambi´en pueden clasificarse seg´ un el tipo de energ´ıa que utilicen (neum´aticos, hidr´ aulicos, electr´ onicos, . . . ). Evidentemente, la elecci´on del tipo de controlador seg´ un su fuente de energ´ıa depende fundamentalmente de la naturaleza del proceso o planta a controlar y de las condiciones de su funcionamiento, debiendo tener presente en el proyecto de automatizaci´ on cuestiones como la fiabilidad, precisi´on, tama˜ no, peso, seguridad y coste econ´omico. En las secciones siguientes se estudian el resto de acciones b´asicas de control (P, I, PD, PI y PID). Todas estas acciones son lineales, mientras que la acci´on on/of expuesta en esta secci´on es no lineal. El estudio de las implementaciones f´ısicas de estos controladores usando distintas tecnolog´ıas (electr´ onica, hidr´ aulica, neum´ atica, ...), queda fuera de los objetivos del libro, aunque el lector interesado puede estudiar la bibliograf´ıa recomendada al final de este cap´ıtulo.

5.6.

Reguladores de tipo P e I

El regulador m´ as simple de todos es el de acci´ on proporcional o regulador P, cuya se˜ nal de control o salida es proporcional a la entrada o se˜ nal de error, es decir, si e(t) y u(t) son la entrada y la salida del regulador respectivamente, se tiene: u(t) = KR · e(t), donde KR es una constante ajustable que se denomina ganancia del regulador. Tomando transformadas de Laplace en la expresi´ on anterior se tiene: U (s) = KR · E(s). Despejando se puede obtener la funci´ on de transferencia de este regulador GR (s) como: GR (s) =

U (s) = KR . E(s)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

137

En la figura 5.9 se muestra un esquema de este regulador.

E(s)

U(s)

KR regulador

Figura 5.9: Regulador de tipo P. Un regulador de tipo proporcional permite variar la ganancia en bucle abierto del sistema, con lo que s´olo se podr´ a conseguir un d´ebil compromiso entre el comportamiento din´ amico y la precisi´on del sistema. Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de potencia que se use, el regulador P es esencialmente un amplificador con una ganancia ajustable. Los reguladores de tipo P pueden presentar a veces un cierto retardo en la transmisi´on de la se˜ nal de entrada. En tal caso, su comportamiento din´ amico se puede representar por la siguiente ecuaci´ on diferencial: TN

du(t) + u(t) = KR · e(t), dt

donde TN es el retardo introducido por el regulador. La funci´ on de transferencia correspondiente a esta ecuaci´on es: KR GR (s) = 1 + TN s La acci´on de control P es un control eficaz (de hecho se usa con mucha frecuencia) pero su concepci´ on es muy pobre ya que necesita la presencia de error para actuar. Es, por tanto, un error “actual” en el sentido de que su acci´ on depende del valor actual del error en cada instante. En el regulador de acci´ on integral o regulador I, la se˜ nal de control es proporcional a la integral de la se˜ nal de error o entrada. Si e(t) y u(t) son la entrada y la salida del regulador respectivamente, se tiene:  t e(t)dt, u(t) = Ki 0

donde Ki es una constante ajustable. Tomando transformadas de Laplace en la expresi´ on anterior se obtiene: Ki E(s). U (s) = s Despejando se puede obtener la funci´ on de transferencia de este regulador GR (s) como: GR (s) =

Ki U (s) = . E(s) s

138

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

Ki s

E(s)

U(s)

regulador Figura 5.10: Regulador de tipo I.

En la figura 5.10 se muestra un esquema de bloques de este regulador. Un regulador de tipo I permite obtener un error de posici´on nulo, ya que el regulador continuar´ a actuando hasta que su entrada, que es la se˜ nal de error, se anule. Obs´ervese que si se duplica la se˜ nal de entrada e(t) (que suele ser la se˜ nal de error), entonces el valor de u(t) var´ıa dos veces m´as r´apido. Para un error cero, el valor de u(t) permanecer´a estacionario. En algunos textos se denomina a la acci´on de control integral control de reajuste o control reset. Si un regulador de tipo I presenta retardo, su comportamiento din´ amico vendr´a dado por la ecuaci´ on diferencial: Ti TN

d2 u(t) du(t) = e(t) + Ti dt2 dt

que se corresponde con la funci´ on de transferencia: GR (s) =

5.7.

1 . Ti s(1 + TN s)

Regulador de tipo PD

En un regulador proporcional-diferencial o regulador PD, la se˜ nal de control es proporcional a la entrada y a la derivada de la entrada. Si e(t) y u(t) son la entrada y la salida al regulador respectivamente, se tiene: u(t) = KR · e(t) + KR · Td ·

de(t) , dt

on proporcional, y Td se denomina consdonde KR se denomina ganancia de la acci´ tante de tiempo de la acci´ on diferencial. Tomando transformadas de Laplace en la expresi´on anterior se tiene: U (s) = KR (1 + Td s)E(s). Despejando se puede obtener la funci´ on de transferencia de este regulador GR (s) como: GR (s) =

U (s) = KR (1 + Td s). E(s)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

E(s)

KR

139

+

U(s) +

KRTds

regulador PD Figura 5.11: Regulador de tipo PD.

En la figura 5.11 se muestra un esquema de este regulador. Esta expresi´on corresponde al denominado regulador PD ideal. Su acci´ on se corresponde con la adici´ on de un cero en s = −1/Td en la funci´ on de transferencia del sistema en bucle abierto. Un regulador de tipo PD permite mejorar la respuesta del sistema en cuanto a sobreoscilaci´on sin afectar la acci´on diferencial al error en r´egimen permanente. La acci´on de control diferencial tiene un car´ acter de previsi´ on y nunca se usa la acci´ on diferencial sola debido a que s´ olo es eficaz durante el tiempo de r´egimen transitorio. La acci´on diferencial de este tipo de reguladores no est´ a exenta de problem´atica. La primera dificultad que nos encontramos a la hora de utilizar este tipo de reguladores proviene de las se˜ nales perturbadoras o ruido que en mayor o menor medida suelen existir en todos los sistemas de regulaci´on. Efectivamente, la acci´on de control diferencial tiende a amplificar las se˜ nales de ruido y puede provocar un efecto de saturaci´ on en el actuador. Las se˜ nales de ruido pueden considerarse como se˜ nales de tipo aleatorio que se superponen a la respuesta temporal del sistema. Con objeto de comprobar este efecto amplificador de las se˜ nales de ruido consideraremos el siguiente ejemplo. Ejemplo. Sea una se˜ nal senoidal, de peque˜ na amplitud Ar y gran frecuencia ωr , a la que corresponde la expresi´on z = Ar sen ωr t. Al atravesar esa se˜ nal un elemento de acci´on diferencial, cuya respuesta frecuencial

140

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

ser´a G(jω (G(s) = s), se obtendr´a a la salida otra se˜ nal senoidal de amplitud Az = Ar · |G(jωr )| = Ar · ωr Ar , si ωr 1, con lo que resultar´ a reforzada la acci´on perturbadora. Por este motivo se excluye la utilizaci´ on de una acci´on diferencial pura en los sistemas de control. Si realmente se desea utilizar la acci´on diferencial, se ha de utilizar un regulador de tipo PD con diferenciaci´ on atenuada, cuya funci´ on de transferencia es: R(s) =

s 1 + TN s

Con este nuevo regulador se obtendr´ a como componente perturbadora para ωr 1: Az = Ar · |G(jωr )| = Ar

ωr 1 + (TN ωr

)2

= Ar 

1 1 ωr 2

+ TN

2



Ar TN

En esta u ´ltima expresi´on puede verse que eligiendo de forma adecuada el valor de TN puede controlarse dentro de un cierto l´ımite la perturbaci´on debida al ruido (en este caso senoidal).  En la pr´ actica, es imposible conseguir una acci´on diferencial pura, respondiendo los reguladores usuales a la siguiente ecuaci´ on diferencial:   du(t) de(t) + u(t) = KR e(t) + Td TN dt dt siendo su funci´ on de transferencia: GR (s) = KR

1 + Td s , Td > TN , 1 + TN s

(5.1)

que corresponde con el denominado regulador PD real y consigue unos efectos muy similares al regulador de tipo PD ideal. La constante de tiempo TN limita el valor de la salida del regulador en el instante t = 0 ante una entrada escal´on, evitando que la respuesta pase de 0 a ∞ en t = 0 para luego tomar el valor KR , como ocurre en el regulador PD real. La funci´ on de transferencia 5.1 puede implementarse mediante redes pasivas denomion de transferencia puede expresarse como nadas redes de adelanto de fase4 ., cuya funci´ R(s) = α

1 + Ts , α < 1. 1 + αT s

4 Estas redes al ser sometidas a una excitaci´ on de tipo senoidal proporcionan a la salida otra se˜ nal senoidal de la misma frecuencia con un adelanto de fase respecto de la excitaci´ on que es funci´ on de la frecuencia. El estudio de estas redes es importante para el dise˜ no de reguladores, aunque este estudio queda fuera del alcance del libro. En la secci´ on de bibliograf´ıa pueden encontrarse referencias sobre este tema.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

5.8.

141

Regulador de tipo PI

Un regulador proporcional integral o regulador PI combina los efectos proporcional P e integral I. Como se ha visto anteriormente, con la acci´ on proporcional se consigue una acci´ on de control r´ apida pero no lo suficientemente precisa. Con la acci´ on integral se consigue una buena precisi´ on pero la acci´ on de control es lenta. Con los reguladores PI se pretende combinar las ventajas de ambos reguladores en un solo regulador. La se˜ nal de salida de un regulador PI var´ıa proporcionalmente a la se˜ nal de entrada y a la integral de ´esta respecto al tiempo. Si e(t) y u(t) son la entrada y la salida al regulador PI respectivamente, entonces se cumple:  KR t e(t)dt, u(t) = KR · e(t) + Ti 0 donde KR es la ganancia de la acci´ on proporcional y Ti es la constante de tiempo de la acci´ on integral, ambas ajustables. Tomando transformadas de Laplace en la expresi´on anterior se obtiene:   1 E(s). U (s) = KR 1 + Ti s Despejando se puede obtener la funci´ on de transferencia de este regulador R(s) como:   s + T1i 1 U (s) 1 + Ti s GR (s) = = KR 1 + = KR = KR , (5.2) E(s) Ti s Ti s s que se corresponde con el denominado regulador PI ideal. En la figura 5.12 se muestra un esquema de este regulador. El efecto que se consigue al utilizar un regulador de tipo PI es a˜ nadir un cero en on de transferencia en bucle abierto, con lo s = −1/Ti y un polo en s = 0 sobre la funci´ que el error en estado estable del sistema se mejora. De la ecuaci´on 5.2 se deduce que el regulador PI se comporta como tipo I a bajas frecuencias y como uno de tipo P a altas frecuencias (tomando s = jw). Por tal motivo, no afectar´ a a la respuesta transitoria del sistema y s´ı a su comportamiento en r´egimen permanente (eliminando el error de posici´ on). Los reguladores PI se usan con mucha frecuencia en la pr´ actica. Un regulador PI real responde a la siguiente funci´ on de transferencia: R(s) = KR

1 + Ti s , TN T i . 1 + TN s

(5.3)

Con este regulador se puede conseguir una acci´ on muy parecida a la PI. En efecto, operando en la expresi´on 5.3 se obtiene:   KR (1 + Ti s) KR  1 + Ti s  , KR = R(s) = ·

KR 1 TN s TN +s TN

142

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

E(s)

KR

KR

+

U(s) +

1 Tis

regulador PI Figura 5.12: Regulador de tipo PI.

Una funci´ on de transferencia como la dada por la expresi´ on 5.3 puede implementarse con las denominadas redes de atraso de fase5 constituidas, por ejemplo, con componentes pasivos de tipo RC y un amplificador. La funci´ on de transferencia de este tipo de redes viene dada por: Ts + 1 , β > 1. R(s) = βT s + 1

5.9.

Regulador PID

Cuando no se consigue mediante un regulador del tipo PI o PD un compromiso aceptable entre el comportamiento din´ amico y el comportamiento est´atico de un sistema, han de utilizarse las dos acciones simult´ aneamente, integr´andolas en un regulador u ´nico que permita combinar las ventajas de ambas aproximaciones. Se llega as´ı al regulador proporcional integral diferencial o simplemente regulador PID, cuya acci´on de control es una combinaci´on lineal de la acci´ on proporcional, diferencial e integral, que viene dada por:  de(t) KR t + e(t)dt. u(t) = KR · e(t) + KR Td dt Ti 0 5 Una red de adelanto de fase, al ser sometida a una excitaci´ on de tipo senoidal, proporciona a la salida otra se˜ nal senoidal de la misma frecuencia y con un atraso de fase respecto de la excitaci´ on que es funci´ on de la frecuencia.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

143

Tomando transformadas de Laplace en la expresi´ on anterior se llega a:   1 E(s). U (s) = KR 1 + Td s + Ti s Y despejando se obtiene la funci´ on de transferencia para el regulador PID ideal :   U (s) 1 = KR 1 + Td s + (5.4) GR (s) = E(s) Ti s En la figura 5.13 se muestra un esquema de este regulador.

E(s)

KR

+ + +

U(s)

KRTds

KR

1 Tis

regulador PID ideal Figura 5.13: Regulador de tipo PID (ideal). Con este tipo de regulador se pueden conseguir las acciones individuales de cada uno de los tres reguladores de forma independiente. Obs´ervese que este regulador tiene un polo en el origen y dos ceros s1 y s2 que ser´an reales si Ti > 4Td , situados en:  ! "  4Td 1 −1 ± 1 − 2Td Ti

144

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

Considerando que los reguladores PID empleados en la pr´ actica suelen tener en la mayor parte de los casos ceros reales, es habitual escribir la funci´ on de transferencia 5.4 de la siguiente forma: GR (s) = KR 

(1 + TR1 s)(1 + TR2 s) , TR 1 ≥ TR 2 > 0, KR > 0, TR1 s

donde TR1 = −

1 , s1

TR2 = −

1 , s2

KR  = −

KR TR1 s2

Como se coment´o anteriormente, un regulador PD debe implementarse en la pr´ actica con diferenciaci´on atenuada. Aplicando esta diferenciaci´ on atenuada en el regulador PID resultar´ a como funci´on de transferencia de los reguladores PID empleados en la pr´ actica (regulador PID real ): R(s) = KR

(1 + TR1 s)(1 + TR2 s) , TR1 s(1 + TN s)

TR1 ≥ TR2 > TN , KR > 0.

(5.5)

En el caso del regulador PI expuesto en la secci´ on 5.8 se consigui´o una acci´ on parecida on 5.2 por (1 + TN s) a la ideal sustituyendo el t´ermino Ti s del denominador de la expresi´ con TN > Ti , lo que permit´ıa utilizar redes pasivas de retraso de fase como elementos regulador. En el caso del regulador PID puede realizarse una modificaci´ on an´ aloga en su funci´ on de transferencia (dada por 5.5), obteniendo la funci´ on de transferencia del denominado PID modificado: GR (s) = KR

(1 + TR1 s)(1 + TR2 s) , (1 + TN 1 s)(1 + TN 2 s)

donde: TR 1 ≥ TR 2 , TN 1 TR 1 , TN 2 < TR 2 , KR > 0. Esta u ´ltima expresi´on permite implementar f´ısicamente un regulador PID mediante las denominadas redes de atraso-adelanto de fase, formadas por componentes pasivos de tipo on de transferencia de este tipo de redes puede expresarse RC y un amplificador6 . La funci´ como: (1 + T1 s)(1 + T2 s) GR (s) =  1 + Tβ1 s (1 + βT2 s) 6 Una red de atraso-adelanto de fase es aquella que al ser sometida a una excitaci´ on de tipo senoidal proporciona a la salida otra se˜ nal senoidal de la misma frecuencia y con un desfase, respecto a la excitaci´ on, que es funci´ on de la frecuencia y que var´ıa desde el atraso al adelanto a medida que la frecuencia pasa desde el valor 0 a ∞.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

5.10.

145

Efectos de las acciones de control integral y diferencial en el comportamiento de un sistema

En los cap´ıtulos siguientes se considerar´ an los efectos de las acciones b´asicas de control explicadas en este cap´ıtulo para el dise˜ no de sistemas de control. En esta secci´on resumimos los efectos que producen estas acciones sobre sistemas que son el objetivo del control. Si se aplica control proporcional a una planta cuya funci´ on de transferencia no tiene ning´ un integrador 1/s, existir´ a error en estado estable. Este error se elimina si se incluye la acci´on de control integral en el regulador. En el control integral la se˜ nal de control se corresponde en todo instante t con el ´area bajo la curva de la se˜ nal de error hasta ese instante t. La se˜ nal de control u(t) tendr´a un valor diferente de cero cuando la se˜ nal de error e(t) es cero. Esto es imposible en el caso del control proporcional ya que una se˜ nal de control distinta de cero requiere una se˜ nal de error tambi´en distinta de cero. Sin embargo, la acci´ on de control integral puede conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta o incluso de amplitud creciente, siendo ambos casos no deseables. Cuando se a˜ nade una acci´on de control diferencial a un controlador P, se consigue un controlador con una alta sensibilidad. La acci´ on de control diferencial responde a la velocidad de cambio del error y produce una correcci´ on significativa antes de que el valor absoluto del error se haga demasiado grande. Se puede decir que el control diferencial “prev´e” el error, inicia una acci´ on correctiva y tiende a estabilizar el sistema. Como ya se ha indicado, la acci´ on diferencial a˜ nade amortiguamiento al sistema, permitiendo el uso de un valor m´as grande de la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisi´ on en r´egimen permanente.

Bibliograf´ıa para ampliar (Kuo, 1996). En la secci´ on 10-2-1 se ofrece una interpretaci´on en el dominio del tiempo y la frecuencia del efecto de los reguladores PD. De igual forma se presentan esquemas de reguladores PD construidos a partir de amplificadores operacionales, condensadores y resistencias.

146

Consideraciones sobre el dise˜ no y acciones b´ asicas de control

CAP´ITULO 6

˜ DE REGULADORES DISENO ´ PID CONTINUOS. METODO DEL LUGAR DE LAS RA´ICES

´Indice 6.1. Enfoque del lugar de las ra´ıces para el dise˜ no de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Sistema equivalente de orden reducido . . . . . . . . . . . . 6.3. Compensaci´ on mediante regulador PD . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Ejemplo introductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Procedimiento de dise˜ no de un regulador PD . . . . . . . . . 6.3.3. Criterios para situar el cero de un regulador PD . . . . . . . 6.4. Compensaci´ on mediante regulador PI . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Pasos en el dise˜ no de un regulador PI . . . . . . . . . . . . . 6.5. Compensaci´ on mediante un regulador PID . . . . . . . . . . 6.6. Otros m´ etodos de ajuste de reguladores tipo PID . . . . . . 6.6.1. Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar reguladores PID . . Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

148 150 151 152 156 160 160 164 165 171 172 175

148

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Los reguladores PID son los m´ as utilizados en la industria. Aunque quiz´ a no aporten un control ´ optimo en situaciones espec´ıficas, su uso tan extendido se debe a que los esquemas de control de tipo PID han demostrado su utilidad pr´ actica al proporcionar un control satisfactorio de la planta en la mayor´ıa de los casos. Por este motivo es importante conocer m´etodos de dise˜ no de reguladores tipo PID. En este cap´ıtulo se presenta un m´etodo anal´ıtico para dise˜ nar reguladores PID continuos basado en el trazado del lugar de las ra´ıces. Este m´etodo consiste b´ asicamente en modificar el lugar de las ra´ıces del sistema original a˜ nadiendo polos o ceros por medio del regulador para conseguir que se cumplan las especificaciones est´ aticas y din´ amicas. Como complemento, en la u ´ltima secci´ on del cap´ıtulo se describe uno de los m´etodos emp´ıricos de sintonizaci´ on o ajuste fino de un regulador PID m´ as utilizados en la pr´ actica, conocido como m´etodo de Ziegler-Nichols.

6.1.

Enfoque del lugar de las ra´ıces para el dise˜ no de sistemas de control

Una forma sencilla de desarrollar un sistema de control, como sabemos, consiste en modificar de forma adecuada la din´ amica de la planta de forma que se cumplan las especificaciones de dise˜ no. Ahora bien, ¿qu´e ocurre si la planta es fija y no puede modificarse? En ese caso deben modificarse par´ametros distintos a los que tiene la propia planta. Salvo que se especifique lo contrario, en este libro se supondr´ a que la planta a controlar no puede cambiarse y, por tanto, el problema del control debe resolverse mejorando el comportamiento del sistema mediante la inserci´on de un regulador. Este regulador act´ ua como filtro cuyas caracter´ısticas tienden a compensar las caracter´ısticas no deseables e inalterables de la planta. En el enfoque de dise˜ no que se presenta en este cap´ıtulo se colocar´a un regulador en serie con la funci´on de transferencia inalterable de la planta, Gp (s), para obtener el comportamiento deseado. A continuaci´on, el problema principal consiste en la elecci´ on apropiada de los polos y ceros del regulador GR (s) para alterar el lugar geom´etrico de las ra´ıces con el prop´ osito de cumplir las especificaciones. El m´etodo de dise˜ no basado en el lugar de las ra´ıces es un procedimiento gr´ afico de dise˜ no especialmente adecuado para proyectar sistemas de regulaci´on, cuando las especificaciones de ´estos vienen dadas en el dominio del tiempo o en el dominio complejo. Mediante el m´etodo del lugar de las ra´ıces se trata de introducir un elemento de compensaci´on en el bucle de regulaci´ on que modifique el comportamiento del sistema, de forma que ´este resulte aceptable tanto en r´egimen transitorio como en r´egimen permanente. Si consideramos un sistema realimentado como el de la figura 6.1 (a), el objetivo general del m´etodo de dise˜ no consiste en obtener el regulador con funci´ on de transferencia GR (s) situado en serie como se muestra en la figura 6.1 (b). El punto de partida del dise˜ no de sistemas de control es la necesidad de llevar el sistema al cumplimiento de unas especificaciones determinadas en r´egimen transitorio y

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

r(t) +

149 y(t)

Gp(s)

H(s) (a)

r(t) +

GR(s)

Gp(s)

y(t)

H(s) (b)

Figura 6.1: Compensaci´ on de un sistema mediante el regulador GR (s).

permanente. Si el sistema no cumple estas especificaciones se incorporar´a el regulador GR (s). Como ya se indic´o en el cap´ıtulo anterior, algunas de las especificaciones en r´egimen transitorio y permanente son las siguientes: R´egimen transitorio: tiempo de establecimiento ts , sobreoscilaci´on Mp , coeficiente de amortiguamiento ξ, etc. R´egimen permanente: constantes de error Kp , Kv , Ka . Para juzgar si el comportamiento de un sistema cumple las especificaciones, es com´ un examinar su respuesta ante un escal´ on unitario. Se ha comprobado emp´ıricamente que si la respuesta de un sistema ante un escal´on unitario es aceptable, el sistema responder´a generalmente bien ante cualquier entrada. Como ya se ha estudiado, el lugar de las ra´ıces permite observar la posici´on de los polos del sistema en bucle cerrado al variar el factor de ganancia K. Esto permite analizar el comportamiento del sistema en funci´ on de K. En consecuencia, dadas unas especificaciones de dise˜ no a cumplir por el sistema se tratar´ a de ajustar este par´ametro K de forma que la situaci´ on de los polos dominantes del sistema permita cumplir las mencionadas especificaciones de forma aceptable.

150

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Si no pudiera cumplirse este objetivo s´olo mediante el ajuste de K, ser´a necesario “reformar” el lugar de las ra´ıces original introduciendo en el sistema el controlador o regulador m´ as adecuado. Este regulador aportar´ a polos y ceros adicionales al sistema que, adecuadamente elegidos, podr´ an mejorar el comportamiento del sistema original.

6.2.

Sistema equivalente de orden reducido

A menudo la respuesta de los sistemas de orden superior a 2 es equivalente o muy similar a la respuesta de un sistema de segundo orden. De esta forma puede sustituirse un sistema de orden superior por uno equivalente de segundo orden simple o modificado por ceros y polos adicionales. Las reglas para obtener un sistema equivalente de segundo orden son: La existencia de un cero cerca de un polo provoca que su respuesta temporal sea muy peque˜ na por lo que puede despreciarse. Un polo muy alejado del origen supone un amortiguamiento r´ apido de su efecto y por tanto puede despreciarse. La influencia mayor en el comportamiento general del sistema corresponder´a normalmente a los polos m´as pr´oximos al eje imaginario. Tales polos reciben el nombre de polos dominantes. A menudo estos polos dominantes resultan ser dos polos complejos conjugados. La respuesta global (r´egimen transitorio + r´egimen permanente) debe ser muy similar entre el sistema de orden superior y el sistema reducido equivalente. De esta forma, los criterios normalmente aceptados para la obtenci´on de sistemas de orden reducido son los siguientes: Cancelar un par polo-cero muy pr´ oximos (consideraremos que est´an muy pr´ oximos si la distancia entre ellos es menor que seis veces la distancia de los polos dominantes al origen). Cancelar polos y ceros muy alejados del eje imaginario (consideraremos que lo est´an si su distancia al origen es mayor a diez veces la distancia de los polos dominantes al origen)1 . En cualquier caso la ganancia total del sistema original y del sistema equivalente de orden reducido debe ser igual en ambos. Por tanto, tras eliminar los polos y ceros debe realizarse un ajuste de ganancias mediante la igualdad: Greducido (0) = Goriginal (0). 1 Otros

autores consideran distancias menores, obteniendo distintas aproximaciones al sistema original.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

151

Debe tenerse en cuenta, no obstante, que un sistema de orden reducido es siempre una aproximaci´ on. Ejemplo. Dado el sistema G(s) =

0,05(s + 2) (s + 0,43)(s + 1,96)(s + 3)

obtener un sistema equivalente de orden reducido. Soluci´ on: El polo dominante es s = −0,43. El resto de polos no est´an a una distancia del origen 10 veces mayor (es decir, 4,3), con lo que no se pueden despreciar. Sin embargo, existe un polo en s = −1,96 y un cero en s = −2, con lo que sus efectos se van a “compensar”. El sistema reducido ser´ a: 0,05 Greducido (s) = K (s + 0,43)(s + 3) donde K debe ser tal que Greducido (0) = G(0) para mantener la misma ganancia est´atica. El valor de K ser´a: K=

0,0395 = 1,021 0,0387

El sistema reducido pedido ser´ a: Greducido (s) =

0,051 (s + 0,43)(s + 3) 

En las secciones siguientes se estudiar´an t´ecnicas para poder compensar el comportamiento de un sistema utilizando los reguladores PD, PI y PID que ya fueron introducidos en el cap´ıtulo anterior. En este cap´ıtulo s´olo se considerar´a la compensaci´on en serie o cascada, dejando para cursos m´as avanzados la estructura de compensaci´on en paralelo y de prealimentaci´on descritas en la secci´on 5.2.

6.3.

Compensaci´ on mediante regulador PD

La introducci´ on de un regulador PD en bucle abierto produce el efecto de mejorar la respuesta transitoria en bucle cerrado. En esta secci´on se expondr´ a un m´etodo basado

152

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

en la t´ecnica del lugar de las ra´ıces para dise˜ nar un regulador PD (descrito en la secci´ on 5.7).

6.3.1.

Ejemplo introductorio

Antes de exponer de forma general el m´etodo de dise˜ no de un regulador PD, veremos un ejemplo introductorio con el objetivo de facilitar la comprensi´ on del mismo. Se propone calcular el regulador PD necesario para compensar un sistema cuya funci´ on de transferencia es: 1 , Gp (s) = s(s + 1) de tal forma que se cumplan las especificaciones siguientes, referidas a la respuesta transitoria del sistema en bucle cerrado: Coeficiente de amortiguamiento ξ =

√1 2

0,7, y

frecuencia natural no amortiguada wn = 2 rad/seg. La compensaci´on pedida se realizar´ a situando un regulador de tipo PD en serie con el sistema, tal y como se muestra en la figura 6.1 (b). Para ello se utilizar´ a un regulador PD real, cuya funci´ on de transferencia puede escribirse como: GR (s) = KR

s+z . s+p

(6.1)

Esta funci´ on de transferencia tiene, como puede observarse, un cero en −z y un polo ´ son los tres par´ametros que deber´an en −p, siendo KR la ganancia del regulador. Estos calcularse para dise˜ nar el regulador, con el objetivo de conseguir que se cumplan las especificaciones pedidas. Lo primero que debe hacerse es calcular d´onde deben encontrarse los polos dominantes del sistema para que ´este cumpla las especificaciones din´amicas requeridas: Pd y su no. Estos polos pueden calcularse conjugado Pd , a partir de las especificaciones de dise˜ utilizando la expresi´ on siguiente (figura 6.2): (6.2) Pd = −ξwn ± jwn 1 − ξ 2 √ Para las especificaciones del ejemplo, (ξ = 1/ 2, wn = 2), se obtiene: Pd = −1,41 ± 1,41j El siguiente paso consistir´ a en dibujar estos polos dominantes deseados en el plano complejo, junto con la gr´ afica del lugar de las ra´ıces del sistema Gp (s) (figura 6.2). En esta figura se comprueba f´acilmente que los valores deseados ξ = 0,7 y wn = 2 rad/seg no pueden conseguirse variando s´ olo la ganancia ya que el lugar de las ra´ıces no pasa

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

153

por el polo complejo Pd que cumple las especificaciones pedidas. Dicho de otra forma, si variamos la ganancia K del sistema no ser´ıamos capaces de conseguir que el punto de funcionamiento del mismo (polos) se ubicasen en el lugar adecuado para que cumpliese los requisitos exigidos (Pd y Pd ). Pd

î wn

45

O

X -1

X

0

Figura 6.2: Situaci´ on del polo dominante deseado. El lugar de las ra´ıces del sistema 1 no pasa por dicho polo. Gp (s) = s(s+1) La idea b´ asica del m´etodo de dise˜ no consiste en introducir un controlador de forma que la funci´ on de transferencia en bucle cerrado del sistema resultante presente un par de polos complejos conjugados cuyo punto de funcionamiento sea el deseado. El regulador PD a˜ nade un par polo-cero (−z y −p en la expresi´on 5.1). Este par polo-cero se elegir´a de tal forma que el lugar de las ra´ıces del sistema compensado pase por Pd . Para conseguir esto, puede utilizarse el criterio del argumento: ∠G(sd ) = ∠GR (sd ) + ∠Gp (sd ) = 180o (2q + 1) on de siendo sd el valor de la variable compleja s correspondiente al polo Pd , G la funci´ on de transferencia transferencia del sistema compensado en bucle abierto y GR (s) la funci´ del regulador. Despejando ∠GR (sd ) se obtiene que para que Pd est´e contenido en el lugar de las ra´ıces del sistema compensado debe cumplirse: ∠GR (sd ) = 180o (2q + 1) − ∠Gp (sd ). Tomando, por ejemplo, q = −1, la expresi´on anterior queda: ∠GR (sd ) = 180o − ∠Gp (sd ).

154

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

En la figura 6.3 se han representado los polos −1 y 0 de Gp (s). Uniendo el polo Pd con estos polos y con el par polo-cero del regulador se obtienen los ´angulos α1 , α2 , α3 y β de la figura. A partir de estos a´ngulos se puede obtener ∠GR (sd ) y ∠Gp (sd ) como: ∠GR (sd ) = β − α3 ∠Gp (sd ) = −(α1 + α2 ) de tal forma que el criterio del argumento queda: β − α3 = 180o + α1 + α2 donde α1 y α2 son conocidos con lo que puede calcularse α1 + α2 que resulta ser 241o . Sustituyendo en la expresi´ on anterior se tiene: β − α3 = 180o + 241o = 61o

(6.3)

Pd

X

-p



â -z

 X

-1

X



Figura 6.3: C´ alculo de los ´angulos para la aplicaci´ on del criterio del argumento. A partir de la expresi´ on 6.3 anterior se comprueba que existen infinitas soluciones para elegir la situaci´ on del par polo-cero del regulador. Lo u ´nico que se exige es que el segmento que une el par polo-cero del controlador deber´ a ser visto desde Pd con un angulo de ϕR = 61o . A pesar de existir infinitas posibilidades para situar el par polo-cero ´ del controlador, en la pr´ actica suelen seguirse determinados criterios, como se indicar´a en la secci´on 6.3.3. Uno de estos criterios consiste en situar el cero del controlador sobre el polo real m´as significativo del sistema (es decir, el m´as pr´ oximo al origen, sin contar el

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

155

propio origen). De esta forma dicho polo resultar´ a cancelado fortaleci´endose la acci´on del polo dominante Pd que cumple las especificaciones. Siguiendo este criterio, en nuestro ejemplo situaremos el cero del controlador en z = −1 (figura 6.4), y el polo se situar´ a a la izquierda del cero −z de tal forma que β − α3 = 61o . En este caso se tiene que β = α2 = 106o , con lo que α3 = 45o . A partir de este valor se obtiene que la posici´ on el polo del regulador es −2,83.

Pd

X

 =â X -1 -z



-p

 X

Figura 6.4: El cero del regulador PD se sit´ ua sobre el polo -1 del sistema. En la figura 6.5 se ha dibujado el lugar de las ra´ıces del sistema compensado con el controlador PD calculado. Puede observarse que ahora el lugar de las ra´ıces s´ı pasa por el polo dominante que cumple las especificaciones de dise˜ no. La funci´ on de transferencia en bucle abierto del sistema compensado es: G(s) = KR

1 KR s+1 · = s + 2,83 s(s + 1) s(s + 2,83)

(6.4)

odulo: La ganancia KR del controlador se puede determinar utilizando el criterio del m´     KR KR   =1 ⇒ KR = 4. =  s(s + 2,83)  4 s=sd Sustituyendo este valor en la expresi´ on 6.4 se obtiene como funci´on de transferencia en bucle abierto del sistema compensado: G(s) =

4 . s(s + 2,83)

156

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Pd

î=0,7 w

n

=2 45

O

ö=61O

X

X

-2,83

-1

X

0

Figura 6.5: Lugar de las ra´ıces del sistema compensado con un regulador PD.

Una vez dise˜ nado el controlador PD deber´ıa comprobarse que el error del sistema es aceptable. En nuestro ejemplo, el error de velocidad puede calcularse como: Kv = l´ım sG(s) = l´ım s s→0

s→0

4 4 = l´ım = 1,41 seg−1 s(s + 2,83) s→0 s + 2,83

La funci´ on de transferencia en bucle cerrado del sistema compensado es: M (s) =

s2

4 . + 2,83s + 4

Esta funci´ on tiene dos polos complejos conjugados en Pd y Pd con lo que su respuesta al escal´on unitario se corresponder´ a con la de un sistema est´andar de segundo orden con ξ = 0,7 y wn = 2 rad/seg, como se muestra en la figura 6.6.

6.3.2.

Procedimiento de dise˜ no de un regulador PD

Veamos ahora el proceso de dise˜ no de un regulador PD de una forma m´ as general. Como se ha podido comprobar en el ejemplo introductorio, la idea b´ asica consiste en introducir un controlador de forma que la funci´ on de transferencia en bucle cerrado del sistema resultante presente un par de polos complejos conjugados, cuyo punto de funcionamiento sea el deseado. Se considerar´a el regulador PD real que tiene como funci´ on de transferencia:

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

157

1.4 sistema sin compensar

1.2

Amplitud

1 0.8 sistema compensado

0.6 0.4 0.2 0

0

2

4

6 8 Tiempo (seg)

10

1 s(s+1) , junto 4(s+1) . GR (s) = s+2,83

Figura 6.6: Respuesta al escal´on unitario del sistema G(s) = respuesta del sistema compensado con el regulador PD

GR (s) = KR

s+z . s+p

12

con la misma

(6.5)

Se partir´ a del lugar de las ra´ıces del sistema sin compensar, como el sistema general mostrado en la figura 6.7 y posteriormente se situar´ an en el plano complejo los polos dominantes en bucle cerrado deseados Pd y Pd . Si el lugar de las ra´ıces pasara por estos puntos s´ olo se ajustar´ıa la ganancia y por tanto no es necesaria la compensaci´on. Si el lugar de las ra´ıces no pasa por dichos polos dominantes (como ocurre en la figura 6.7), se introducir´ a el regulador de tipo PD (un cero y un polo adicional), para que el lugar de las ra´ıces pase por esos puntos. Si la funci´ on de transferencia del proceso a compensar es on de transferencia Gp (s) y la del compensador GR (s) (expresi´on 6.5), entonces la funci´ en bucle abierto del sistema compensado, G(s), es: G(s) = GR (s)Gp (s) Se puede aplicar en la figura 6.7 el criterio del argumento de la siguiente forma: ∠G(sd ) = ∠GR (sd ) + ∠Gp (sd ) = 180o (2q + 1),

158

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Pd m

X -b

m2

m3 

X -a

1



 X

0

P´d Figura 6.7: Lugar de las ra´ıces de un sistema con funci´on de transferencia G(s)H(s) = K s(s+a)(s+b) .

de donde: ∠GR (sd ) = 180o (2q + 1) − Gp (sd ) = 180o (2q + 1) − (α1 + α2 + α3 )

(6.6)

siendo α1 , α2 , α3 conocidos. El argumento de GR (sd ) dado por la expresi´on 6.6 puede interpretarse como el ´angulo que debe aportar el compensador para conseguir que el polo Pd pertenezca al lugar de las ra´ıces del sistema en bucle cerrado, es decir, el ´angulo que debe verse desde Pd al unirlo con el par polo-cero que introduce el compensador (figura 6.8). A este a´ngulo le llamaremos ϕR , que se calcular´a como: ϕR = 180o (2q + 1) − (α1 + α2 + α3 ). Como ya se ha indicado en el ejemplo introductorio, es evidente que existen infinitas soluciones para elegir el par polo-cero de forma que el ´angulo aportado por el regulador sea o, existen algunos ϕR . La soluci´on se puede obtener por tanteo, aunque como ya se indic´ criterios experimentales de resultado contrastado, uno de los cuales consiste en situar el cero del regulador sobre el polo real m´ as significativo del sistema en bucle abierto, con lo cual dicho polo resulta cancelado y se fortalece la acci´on del polo dominante elegido Pd . Si se sigue este criterio, es posible determinar primero el ´angulo α3 , ya que β1 ser´ıa igual a α2 . Una vez determinado β1 calcular −p ser´ıa inmediato (figura 6.7).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

159

Pd

w

nR

m

R

n

öR

X

-p

-z

Figura 6.8: El a´ngulo ϕR debe ser aportado por el regulador PD.

Una vez situado el polo y el cero del regulador, habr´ a que calcular la ganancia KR del mismo para que el punto de funcionamiento sea el elegido. Para calcular dicha ganancia puede aplicarse el criterio del m´odulo. En el caso de la figura 6.8 resulta: KR =

m1 · m2 · m3 · m4 . n1

Es importante observar que con la compensaci´on usando un regulador PD no se controla el valor del error del sistema en r´egimen permanente. Si el valor de este error no es satisfactorio, deber´a repetirse el proceso de dise˜ no para disminuirlo y si a´ un as´ı no se consigue un error adecuado habr´ a que a˜ nadir una acci´ on integral dise˜ nando, por ejemplo, un regulador de tipo PID. Resumiendo todo lo expuesto en esta secci´on, los pasos claves a seguir para el c´alculo de un regulador PD son los siguientes: 1.

Determinar a partir de las especificaciones los valores de ξ y wn , para calcular el punto de funcionamiento deseado. Para ello puede usarse la expresi´ on 6.2.

2.

Trazar el lugar de las ra´ıces del sistema sin regulador y comprobar que no pasa por este punto. Si pasara bastar´ıa con modificar la ganancia.

3.

Si es necesario, introducir un regulador PD calculando la posici´ on del polo y cero introducidos de forma que el lugar de las ra´ıces pase por los puntos especificados.

4.

Calcular la ganancia total del sistema con regulador para que funcione en el punto deseado.

5.

Calcular la constante de error del sistema con el controlador. Si este valor no es aceptable volver al punto 3 variando la posici´ on del par polo-cero del controlador.

160

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

El m´etodo anterior permite situar los polos dominantes deseados del sistema controlando directamente la respuesta transitoria. Sin embargo, no puede controlarse directamente el error en r´egimen permanente. En consecuencia, el m´etodo tiene car´ acter iterativo y tiene una fuerte componente emp´ırica o de prueba y error hasta obtener un error que sea aceptable. Adem´ as, como ya se ha indicado, tambi´en existen varios criterios para situar el cero del regulador, como se expone en la secci´on siguiente.

6.3.3.

Criterios para situar el cero de un regulador PD

Los criterios m´as utilizados desde el punto de vista pr´ actico son los siguientes: Criterio 1. Situar el cero de forma que ´este coincida con el polo m´as significativo del sistema sin compensar, cancel´andolo. Este criterio es adecuado para sistemas de tipo 1. Para sistemas de tipo 0 suele ser m´as adecuado cancelar el segundo polo m´as significativo. Criterio 2. Situar el cero en el punto de corte de la vertical que pasa por el polo dominante y el eje real. Si existiera un polo de la funci´ on de transferencia en bucle abierto en esa posici´on el cero se situar´ıa a la izquierda del mismo. Criterio 3. Fijada la posici´ on del polo dominante deseado, se traza por ´este una l´ınea horizontal y una l´ınea que lo una al origen. Estas dos l´ıneas formar´an un angulo del cual se calcula su bisectriz. A continuaci´ ´ on se dibujan dos rectas que angulos iguales a ϕR /2 con la bisectriz. Las posiciones pasen por Pd y que formen ´ del polo y el cero del regulador ser´ an las intersecciones de estas rectas con el eje real (figura 6.9). Este criterio resulta interesante cuando el regulador PD se implementa mediante una red de adelanto de fase2 . Puede demostrarse que con este m´etodo se consigue el m´aximo valor para el coeficiente α de la red de adelanto de fase, lo que reduce la ganancia necesaria del amplificador.

6.4.

Compensaci´ on mediante regulador PI

Los controladores o reguladores PI se usan b´ asicamente para disminuir o eliminar el error en r´egimen permanente sin apenas alterar la respuesta transitoria. Este controlador trata de mantener en las zonas pr´oximas a los polos dominantes el mismo lugar de las ra´ıces, aumentando a la vez la ganancia en bucle abierto de forma que disminuya el error. En la secci´on 5.8 se describi´o este tipo de regulador. Si se utiliza como funci´ on de transferencia del regulador PI (ideal): GR (s) = 2 Estas

redes se estudiar´ an en el cap´ıtulo 7.

KR s

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

161

Pd

öR/2

X

-p

öR/2 -z

Figura 6.9: M´etodo gr´afico para situar el par polo-cero de un regulador PD.

que s´olo tiene un polo en el origen y no tiene ceros, se mejora el error en r´egimen permanente pero se desestabiliza apreciablemente el sistema pues se desplaza el lugar de las ra´ıces a la derecha. Este efecto puede atenuarse compensando la acci´on desestabilizadora del polo situado en el origen con la introducci´ on de un cero, sobre el eje real negativo, muy pr´oximo a ´el. O sea, utilizando un regulador PI con funci´ on de transferencia GR (s) =

KR (s + z) s

(6.7)

siendo z una cantidad positiva muy peque˜ na de forma que se compense el efecto del polo en el origen. En la figura 6.10 puede observarse c´ omo el lugar de las ra´ıces del sistema compensado utilizando el regulador PI de la expresi´ on 6.7, en las zonas pr´oximas a los polos dominantes, pr´ acticamente no var´ıa respecto al del sistema original. El u ´nico efecto apreciable es desplazar el lugar de las ra´ıces un poco hacia la derecha. Si se ajusta la ganancia del sistema compensado para que los polos complejos conjugados queden situados sobre las rectas ξ = 0,5, su respuesta transitoria ser´a pr´acticamente igual que la del sistema sin compensar. El r´egimen permanente del sistema compensado s´ı se altera debido a que se aumenta el tipo del sistema (se introduce un polo en el origen). La funci´ on de transferencia del sistema compensado es: GR (s) · Gp (s) = Gp (s) · KR ·

s+z s

Al aumentar el tipo del sistema, disminuir´ an los ´ındices de error en r´egimen permanente. Por ejemplo, el valor que se obtiene de la constante de error de velocidad KvR del sistema compensado es: KvR = l´ım s · GR (s) · Gp (s) = s→0

162

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

sin par polo cero

con par polo cero X

X

X

X

Figura 6.10: Compensaci´on con regulador PI: el par de polos dominantes se mantiene aproximadamente en el mismo punto.

KR (s + z) · Kv1 = ∞ , (6.8) s siendo Kv1 el valor de la constante de error del sistema sin compensar. Como se aprecia en la ecuaci´on 6.8 con el regulador PI se ha conseguido que la constante de error haya pasado a valer infinito, manteniendo, para el sistema compensado, un comportamiento en r´egimen transitorio pr´ acticamente igual al del sistema original. Se aumenta el tipo el sistema. En la pr´ actica resulta a veces dif´ıcil colocar un polo compensador en el origen, por lo que suele sustituirse ´este por un polo muy pr´ oximo a ´el sobre el eje real, lo que nos lleva a definir un regulador PI modificado o a la red de atraso de fase. La funci´ on de transferencia de un regulador PI modificado es la siguiente: = l´ım GR (s)Kv1 = l´ım s→0

s→0

GR (s) = KR

s + T1 1 , s + βT

(6.9)

que tiene un cero en −1/T y un polo en −1/(βT ), siendo KR la ganancia del regulador. Con este regulador el lugar de las ra´ıces para los polos dominantes apenas se ve modificado y en cambio s´ı se ve afectada la constante de error. El dise˜ no de reguladores PI en el dominio de la frecuencia (red de atraso de fase) se estudiar´a en el cap´ıtulo 7. Supongamos un sistema de regulaci´ on con realimentaci´on unitaria y funci´ on de transferencia en bucle abierto: K Gp (s) = s(s + a)(s + b)

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

163

cuyo comportamiento en r´egimen transitorio es satisfactorio para ξ = 0,5 y cuya respuesta en r´egimen permanente se desea compensar mediante un regulador PI modificado. Para el valor del coeficiente de amortiguamiento fijado corresponder´ a un valor K1 de ganancia de G(s) dado por el criterio del m´odulo para los polos complejos dominantes Pd y Pd :     K1  ⇒ K1 = |sd | · |(sd + a)| · |(sd + b)|  1= sd (sd + a)(sd + b)  y un coeficiente Kv1 de error de velocidad Kv1 = l´ım s · Gp (s) = l´ım s→0

s→0

K1 K1 = (s + a)(s + b) a·b

Si el valor de la constante Kv1 no es lo suficientemente grande para las especificaciones de dise˜ no, se puede compensar el sistema con un regulador PI. La funci´ on de transferencia del regulador PI modificado introducido en el sistema es la mostrada en la ecuaci´ on 6.9. Por tanto la funci´on de transferencia del sistema compensado ser´a: G(s) = GR (s) · Gp (s) = KR

s + T1 K1 1 · s(s + a)(s + b) s + βT

on sn del polo dominante Pn y Pn con ξ = 0,5 es: La ganancia K1 para la nueva posici´    1  sn + βT   K1 = K1 · KR = |sn | · |(sn + a)| · |(sn + b)| ·  sn + 1  T

Si se sit´ uan el polo y el cero del compensador muy pr´ oximos entre s´ı y cerca del origen, a mucho de sd , siendo los valores de |sn + 1/βT | y |sn + 1/T | el valor de sn no diferir´ pr´ acticamente iguales y por tanto los de K1 y K1 , con lo que resulta que la ganancia del regulador es pr´acticamente la unidad (KR 1). En consecuencia, la constante de error de velocidad para el sistema compensado ser´a: Kv1 = l´ım s · G(s) = l´ım KR · K1 · β · s→0

s→0

1 = β · Kv1 ab

con lo que la nueva constante de error resulta multiplicada por el coeficiente β > 1, manteni´endose aproximadamente la misma respuesta en r´egimen transitorio que se ten´ıa para el sistema sin compensar. Como resumen de lo anterior, las condiciones que debe cumplir el compensador son: Que el polo y el cero est´en muy pr´ oximos entre s´ı. Que el coeficiente β entre el cero y el polo sea aproximadamente igual al aumento de la ganancia que se desea para la constante de error. Ambos requisitos pueden conseguirse situando el polo y el cero del compensador muy pr´ oximos al origen.

164

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

6.4.1.

Pasos en el dise˜ no de un regulador PI

Los pasos a seguir para calcular un regulador PI o una red de atraso de fase se pueden resumir como sigue: 1.

Trazar el lugar de las ra´ıces del sistema sin regulador.

2.

Calcular los puntos de funcionamiento a partir de las especificaciones y para dicha posici´on calcular la ganancia en bucle abierto del sistema.

3.

Calcular la constante de error del sistema.

4.

Comparar la constante de error del sistema con los valores necesarios en las especificaciones y determinar el valor de β.

5.

Calculado β determinar la posici´on del par polo-cero del regulador. Como ocurr´ıa con el regulador PD, existen varios m´etodos para situar este par polo-cero. En la pr´ actica suelen utilizarse tres criterios: a) Situar el par polo-cero del regulador muy pr´ oximo al origen, en comparaci´ on con los polos y ceros en bucle abierto del sistema original, situando el cero sobre el eje real negativo a una distancia del origen igual (aproximadamente) 0,1d, siendo d la distancia al origen del primer polo o cero del sistema en bucle abierto situado sobre dicho eje, excluyendo el origen (figura 6.11).

d

X primer polo o cero de Gp(s)

polo y cero de GR(s) X

0,1d

Figura 6.11: Primer criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI. b) Situar el cero a una distancia igual a la sexta parte de la distancia de la parte real de los polos dominantes Pd (figura 6.12).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

165

d polo y cero de GR(s) X

X primer polo o cero de Gp(s)

(1/6)d

Figura 6.12: Segundo criterio para situar el par polo-cero de un regulador PI.

c) Situar el par polo-cero cerca del origen de forma que la diferencia entre el angulo del polo y el a´ngulo del cero, al unirlos con el polo dominante, sea ´ menor de cinco grados. 6.

Trazar el lugar de las ra´ıces del sistema con el regulador.

7.

Comprobar que la respuesta transitoria sigue siendo aceptable. Si se usa un regulador PI ideal cuya funci´ on de transferencia es: GR (s) =

s+

1 Ti

s

entonces suele seguirse el criterio de situar el polo sobre el origen y el cero a una distancia 0,1d del origen, siendo d la distancia al eje imaginario del primer polo o cero de Gp (s).

6.5.

Compensaci´ on mediante un regulador PID

El regulador PID usa las acciones de control dadas por un regulador PD para mejorar el r´egimen transitorio y un regulador PI para mejorar el r´egimen permanente. En realidad se podr´ıa obtener un regulador PID situando en cascada un regulador PD y otro PI. Sin embargo por motivos econ´omicos y de realizaci´on f´ısica, se integran ambos reguladores en un componente u ´nico de tipo PID, con la posibilidad de ajuste de ambas acciones de control. El procedimiento para determinar los valores de los coeficientes de un regulador PID consiste en dimensionar en primer lugar la acci´on PD y posteriormente la acci´on PI. La funci´ on de transferencia del regulador PID ser´a el producto de ambas.

166

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Los pasos a seguir para dimensionar un regulador PID ser´ an los siguientes: 1.

Determinar seg´ un las especificaciones los valores de ξ, wn y la constante de error un el tipo de sistema) necesarios para el sistema compensado. (Kp , Kv o Ka seg´

2.

Dimensionar la acci´ on PD para que la respuesta transitoria cumpla las especificaciones (ξ, wn ).

3.

Si la constante de error, Kv1 por ejemplo, resulta Kv1 ≥ Kv (especificada) s´olo se requerir´ a un regulador PD. En caso contrario, si β1 Kv1 ≥ Kv , siendo β1 el valor obtenido en el punto anterior, dimensionar la acci´ on PI con β = β1 . Si β1 Kv1 < Kv , elegir un nuevo valor de β = β2 de forma que β2 Kv1 ≥ Kv , volviendo a dimensionar la acci´on PD con β = β2 y posteriormente la acci´on PI, tambi´en con β = β2

4.

Determinar la ganancia KR del regulador de forma que los polos dominantes en bucle cerrado est´en lo m´as cerca posible de los que resultan de la acci´on PD.

5.

Hallar la respuesta del sistema para una entrada escal´ on unitario y el valor de la constante de error, comprobando que se cumplen las especificaciones. Si no se cumplen, ajustar los par´ ametros del regulador.

Ejemplo. Determinar un regulador de forma que el sistema Gp (s) =

1 (s + 1)(s + 2)

cumpla las siguientes especificaciones ante entradas en escal´ on: Mp ≤ 15 %,

ts 1,5 seg ,

ep ≤ 10 %

Soluci´ on: Recu´erdese que Mp es el porcentaje de sobreoscilaci´on, ts es el tiempo de establecimiento (tiempo que tarda la respuesta del sistema en entrar y permanecer dentro del margen ±5 % de su punto de equilibrio) y ep es el error de posici´on. Para los datos dados en el enunciado, la posici´ on de los polos dominantes ha de ser: Mp = e− tan Θ π

ts

⇒

⇒

θ ≤ 59o

π ⇒ σ 2,1 σ Pd = −2,1 ± 3,5j

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

167

Pd

-2,1

X

X

-1

-2

Figura 6.13: Lugar de las ra´ıces del sistema G(s) =

1 (s+1)(s+2) .

Dibujando estos polos dominantes junto con el lugar de las ra´ıces se obtiene el diagrama de la figura 6.13 nadirse un regulador PD: Como el lugar de las ra´ıces no pasa por Pd , debe a˜ GR (s) = KR ·

s+c s+d

Para calcular el a´ngulo β − α proporcionado por el regulador se aplica el criterio del argumento (figura 6.14): β − (α + α1 + α2 ) = 180o ⇒ β − α = 19,1o Como criterio para situar el cero del regulador PD, vamos a optar en este caso por cancelar el segundo polo del sistema (figura 6.15). En ese caso, los ´angulos β y α2 de la figura 6.14 son iguales, con lo que el criterio del argumento queda: α + α1 = 180o ⇒

α2 = 73o

α1 = 107o ⇒

d = 3,2

Para calcular el valor de la ganancia se puede aplicar el criterio del m´ odulo:   ✘ ✘   1 s+ 2  KR · ✘ · =1 ✘ ✘  s + 3,2 (s + 1)✘ (s ✘ + 2) s=−2,1+3,5j

168

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Pd

X -d



 X -2

â -c

X -1



Figura 6.14: Aplicaci´ on del criterio del argumento para obtener el a´ngulo proporcionado por el regulador PD.

Pd

X -d



 X -2 -c

â

 X -1

Figura 6.15: El cero del regulador PD se sit´ ua en este caso cancelando el segundo polo del sistema.

  KR · 

  1  =1 (s + 3,2)(s + 1) s=−2,1+3,5j ⇒ KR = 13,46

⇒

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

169

con lo que la funci´ on de transferencia del regulador queda: GR (s) = 13,46 ·

s+2 s + 3,2

Veamos ahora qu´e ocurre con el r´egimen permanente: Kp = l´ım 13,46 · s→0

ep =

1 = 4,21 (s + 3,2)(s + 1)

1 1 = 0,19 = 19 % = 1 + Kp 1 + 4,21

El valor del error de posici´on no es menor del 10 % que se ped´ıa en las especificaciones, con lo que es necesario un regulador PID. La forma del regulador PID ser´ a: GR (s) = 13,46 ·

s+a s+2 · s + b s + 3,2

Deben obtenerse los valores del par cero-polo (a y b) correspondiente a la acci´on integral del regulador PID (figura 6.16).

Pd

X -3,2

X -2

-1

X

X -a -b

Figura 6.16: Polos y ceros del regulador PID a dise˜ nar. El cero a del regulador lo podemos elegir, siguiendo uno de los criterios propuestos previamente, de forma que se encuentre a una distancia (1/6)d del origen, siendo d la distancia al eje imaginario del polo dominante: a=

2,1 = 0,35 6

170

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Para elegir la posici´ on del polo b exigiremos que se cumpla la especificaci´on de r´egimen permanente: ⇒ Kp = 9 ep = 0,10 Kp = 13,46 ·

0,35 1·2 · 3,2 · 1 · 2 b

⇒

b = 0,16.

El regulador que se obtiene finalmente es: GR (s) = 13,46 ·

s + 0,35 s + 2 · s + 0,16 s + 3,2

con el cual el sistema compensado cumple todas las especificaciones pedidas. En la pr´ actica habr´ıa que verificar que el lugar de las ra´ıces no se ve muy modificado al incluir el par polo-cero del regulador PI, como puede comprobarse en las figuras 6.17 y 6.18. Finalmente puede simularse el sistema para comprobar que la respuesta se ajusta a las especificaciones pedidas. En la figura 6.19 se muestra la respuesta del sistema original ante un escal´on unitario de entrada, as´ı como la respuesta ante la misma entrada del sistema compensado con el regulador PD y con el regulador PID dise˜ nados. 

0.8 0.6

Eje imaginario

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −3

−2.5

−2

−1.5 Eje real

−1

−0.5

0

Figura 6.17: Lugar de las ra´ıces del sistema compensado con el regulador PD.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

171

1.5

1

Eje imaginario

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −3

−2.5

−2

−1.5 Eje real

−1

−0.5

0

Figura 6.18: Lugar de las ra´ıces del sistema compensado con el regulador PID.

6.6.

Otros m´ etodos de ajuste de reguladores tipo PID

Como se ha podido comprobar, el m´etodo de dise˜ no propuesto en las secciones anteriores es un m´etodo anal´ıtico para ajustar o sintonizar un regulador PID continuo. En este m´etodo, a partir del conjunto de especificaciones de dise˜ no junto con el modelo de la planta a controlar (modelo que en la mayor´ıa de los casos incluye el accionador, proceso y sensor), el dise˜ nador debe ser capaz de: 1.

Seleccionar las acciones b´asicas de control a utilizar (estructura del regulador PID).

2.

Ajustar o sintonizar los par´ ametros del regulador.

El m´etodo de dise˜ no basado en el lugar de las ra´ıces muestra una forma general de operar, pero debe tenerse en cuenta que el dise˜ no es iterativo y puede ser necesario repetir alguno de los pasos hasta alcanzar una soluci´on satisfactoria. Debido a que en la pr´ actica casi todos los reguladores PID se ajustan en la propia planta (“ajuste en el sitio”), se han propuesto varios m´etodos que describen reglas de sintonizaci´on de reguladores PID que permiten llevar a cabo un ajuste fino de los controladores en la planta. En esta secci´on se describe uno de los m´etodos de ajuste, conocido

172

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

1

Amplitud

0.8

sistema con PID 0.6

sistema con PD sistema original

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

Tiempo (seg) Figura 6.19: Respuesta ante entrada escal´on unitario del sistema original, junto con el sistema compensado con el PD y PID dise˜ nados.

como m´etodo o reglas de Ziegler-Nichols, que es de los m´as utilizados debido a que su aplicaci´on pr´ actica es muy simple.

6.6.1.

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar reguladores PID

Ziegler y Nichols propusieron varias reglas para sintonizar reguladores PID que se basan en la respuesta temporal del sistema a un escal´on. La motivaci´on inicial del planteamiento de estas reglas fue el dise˜ no de reguladores cuando no se dispone de un modelo matem´atico de la planta o cuando la planta es tan complicada que no es f´ acil obtener su modelo matem´atico. En esos casos no es posible un enfoque anal´ıtico para el dise˜ no del regulador PID. Sin embargo, estas reglas tambi´en se aplican en sistemas con modelos matem´aticos conocidos como una t´ecnica alternativa o como una primera aproximaci´ on experimental al dise˜ no. En estos casos las reglas de Ziegler-Nichols proporcionan una conjetura razonada para los par´ ametros, ofreciendo un punto inicial para un posterior dise˜ no o sintonizaci´on. La determinaci´on de los par´ ametros usando las reglas de Ziegler-Nichols se realiza en la propia planta de forma experimental. Existen dos conjuntos de reglas propuestas por Ziegler-Nichols. En ambos se pretende obtener un 25 % de sobreoscilaci´on m´axima.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

6.6.1.1.

173

Primer m´ etodo

En primer lugar debe obtenerse la respuesta del sistema a una entrada escal´on unitario. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta puede tener forma de S, como se observa en la figura 6.203 . A partir de esta curva pueden definirse y calcularse dos par´ ametros. Estos dos par´ ametros se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexi´ on de la curva de respuesta (figura 6.20): El tiempo de retardo, L, se determina a partir de la intersecci´ on de la tangente con el eje del tiempo. La constante de tiempo, T , se determina a partir de la intersecci´on de la tangente con la recta y(t) = K. La funci´ on de transferencia del sistema Y (s)/X(s) se puede aproximar mediante un sistema de primer orden con retardo de transporte como sigue: Ke−Ls Y (s) = X(s) Ts + 1

y(t) tangente al punto de inflexión

K

t L

T

Figura 6.20: Primer m´etodo de Ziegler-Nichols. 3 A este tipo de gr´ aficas se les denomina sigmoideas. Si la respuesta no tiene esta forma, el m´etodo no puede aplicarse.

174

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

En el primer m´etodo de Ziegler-Nichols se sugiere establecer los valores de Kp , Ti y un las expresiones de la tabla 6.1. De esta forma, el regulador PID obtenido seg´ un Td seg´ este m´etodo es:   1 + Td s GR (s) = Kp 1 + Ti s   1 T 1+ + 0,5Ls = 1,2 L 2Ls 2  s + L1 = 0,6T s Como puede comprobarse, este regulador tiene un polo en el origen y un cero doble en s = −1/L. Tipo de controlador P PI PID

Kp T L

0,9 TL 1,2 TL

Ti ∞ L 0,3

2L

Td 0 0 0,5L

Tabla 6.1: Reglas de sintonizaci´ on para el primer m´etodo de Ziegler-Nichols.

6.6.1.2.

Segundo m´ etodo

En este m´etodo se siguen los pasos siguientes: 1.

Se parte de los valores Ti = ∞ y Td = 0.

2.

Usando s´olo la acci´on proporcional, incrementar Kp desde 0 hasta un valor cr´ıtico, Kpcr , para el cual la salida presente oscilaciones sostenidas4 . As´ı se determina la ganancia cr´ıtica Kpcr y el periodo cr´ıtico Pcr (figura 6.21).

3.

Establecer los valores de Kp , Ti y Td seg´ un las expresiones de la tabla 6.2. De esta forma, el regulador PID obtenido seg´ un este segundo m´etodo es:   1 + Td s GR (s) = Kp 1 + Ti s   1 + 0,125Pcr s = 0,6Kpcr 1 + 0,5Pcr s

4 Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para todo valor de K , entonces el m´ etodo no puede p aplicarse.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

175

y(t) Pcr

t

Figura 6.21: Sistema con oscilaciones sostenidas con un periodo cr´ıtico Pcr .

Tipo de controlador P PI PID

Kp 0,5Kpcr 0,45Kpcr 0,6Kpcr

Ti ∞ 1 1,2 Pcr 0,5Pcr

Td 0 0 0,125Pcr

Tabla 6.2: Reglas de sintonizaci´ on para el segundo m´etodo de Ziegler-Nichols.  s+ = 0,075Kpcr Pcr

4 Pcr

2

s

Como puede comprobarse, este regulador tiene un polo en el origen y un cero doble en s = −4/Pcr . Existen sistemas para los cuales no es aplicable el m´etodo de Ziegler-Nichols. Por ejemplo, consid´erese un sistema de control con realimentaci´on unitaria cuya planta tiene la siguiente funci´on de transferencia: Gp (s) =

(s + 2)(s + 3) s(s + 1)(s + 5)

Puesto que el sistema tiene un integrador, no puede aplicarse el primer m´etodo: la respuesta a un escal´on no tiene forma de S, sino que se incrementa con el tiempo. Adem´as el sistema en bucle cerrado con un regulador proporcional nunca tendr´ a oscilaciones sostenidas, con lo que tampoco puede aplicarse el segundo m´etodo.

176

Dise˜ no de reguladores PID continuos. M´ etodo del lugar de las ra´ıces

Bibliograf´ıa para ampliar (Blasco, 2000). En la secci´on 4.4 se describen otros m´etodos de ajuste de reguladores PID en el dominio del tiempo. En la secci´on 4.5 se describen estructuras de PID industriales, donde se recogen las principales modificaciones que se pueden encontrar en los reguladores PID para solucionar situaciones comunes en la industria (saturaciones, se˜ nales ruidosas, etc.). En este libro se describe el m´etodo de dise˜ no de reguladores P, PD, PI, PID en forma de diagrama de flujo. (Kuo, 1996). En la secci´ on 10-2-1 se realiza un interesante an´alisis sobre el comportamiento del error con la introducci´ on de un regulador PD. Tambi´en se presentan otros m´etodos de dise˜ no dependiendo de la configuraci´ on de los reguladores (prealimentaci´on, realimentaci´ on de bucles menores, etc.). (Ogata, 1998). Resulta interesante el cap´ıtulo 7 por la gran cantidad de ejemplos y problemas resueltos sobre el m´etodo de dise˜ no del lugar de las ra´ıces. En la secci´on 10.3 se describen modificaciones sobre los esquemas de control PID, dando lugar a los denominados controles PI-D, I-PD y el control con dos grados de libertad (este u ´ltimo en la secci´on 10.4). En la secci´on 10.5 se dan consideraciones para conseguir que el regulador dise˜ nado sea robusto.

CAP´ITULO 7

˜ DE REGULADORES DISENO ´ CONTINUOS. METODO DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA

´Indice 7.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.1.1. Especificaciones en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . 179 7.1.2. An´ alisis del diagrama de Bode de un sistema en bucle abierto 181 7.1.3. M´etodo de la respuesta en frecuencia para la compensaci´ on de un sistema realimentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2. Compensaci´ on mediante red de adelanto de fase . . . . . . . 182 7.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.2.2. Limitaciones del control de adelanto de fase . . . . . . . . . . 188 7.3. Compensaci´ on mediante red de retraso de fase

. . . . . . . 190

7.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.3.2. Efectos y limitaciones del control de retraso de fase . . . . . . 195 7.4. Compensaci´ on mediante red de atraso-adelanto de fase . . 196 7.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

177

178

Dise˜ no de reguladores continuos. M´ etodo de respuesta en frecuencia

Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

En este cap´ıtulo se introducen los conceptos b´ asicos del dise˜ no en frecuencia de reguladores. En primer lugar se trata el tema de las especificaciones, expresando ´estas en medidas frecuenciales. Posteriormente se presentan los reguladores que se utilizan en el dise˜ no en frecuencia, analizando las cualidades que pueden aportar al bucle de control dichos reguladores y los pasos que es necesario seguir para el ajuste de sus par´ ametros. Al igual que ocurr´ıa con los reguladores PIDs del cap´ıtulo anterior, en este cap´ıtulo se tratan reguladores con una estructura fija y unos par´ ametros variables que deben ajustarse en el dise˜ no. Estos reguladores o controladores son conocidos como: red de retardo o de retraso de fase, red de adelanto de fase y red de adelanto-retraso de fase.

7.1.

Introducci´ on

En el m´etodo del lugar de las ra´ıces que se expuso en el cap´ıtulo anterior, se sit´ uan los polos y los ceros del regulador de forma que los polos de la funci´on de transferencia en bucle cerrado cumplan unas determinadas especificaciones. En el m´etodo de la respuesta en frecuencia que se presenta en este cap´ıtulo el dise˜ no se realiza de forma indirecta, puesto que no quedan directamente determinados los polos en bucle cerrado del mismo como en el m´etodo del lugar de las ra´ıces. Adem´as, las especificaciones frecuenciales dan una estimaci´on (aproximada) de las caracter´ısticas temporales del mismo (amortiguamiento, estabilidad, velocidad de respuesta, precisi´ on en estado estable, etc.). A partir de las afirmaciones anteriores puede surgir una pregunta natural: ¿por qu´e usar especificaciones y dise˜ no en el dominio de la frecuencia, si son indirectas y por tanto m´ as “dif´ıciles” de interpretar f´ısicamente? Pueden darse varias respuestas a esta pregunta: El enfoque en el dominio de la frecuencia se aplica a los sistemas o componentes cuyas caracter´ısticas din´amicas est´an dadas en forma de datos experimentales de respuesta en frecuencia. Es posible que para ciertos componentes f´ısicos, debido a la dificultad de obtener las ecuaciones que definen su comportamiento, sus caracter´ısticas din´amicas se determinan de forma experimental a trav´es de pruebas de respuesta en frecuencia. Cuando se trabaja con ruido de alta frecuencia, el m´etodo de dise˜ no en el dominio de la frecuencia es m´as conveniente que en el dominio temporal. El dise˜ no en el dominio de la frecuencia es relativamente sencillo y directo. Como se ver´a en este cap´ıtulo, las gr´ aficas de respuesta en frecuencia indican de forma clara c´omo debe modificarse el sistema, aunque no sea posible hacer una predicci´on cuantitativa exacta de las caracter´ısticas de la respuesta transitoria del sistema controlado.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

7.1.1.

179

Especificaciones en el dominio de la frecuencia

Las especificaciones que se utilizan en el m´etodo de la respuesta en frecuencia, obviamente, deben venir dadas en el dominio de la frecuencia y son las siguientes: Especificaciones est´ aticas o de r´egimen permanente. En este caso, las especificaciones son las mismas que en el dominio temporal (constantes de error de posici´on, velocidad y aceleraci´on, Kp , Kv y Ka ). A partir de la respuesta en frecuencia en bucle abierto se pueden obtener los errores en r´egimen permanente. Esta informaci´on se encuentra reflejada en la zona de bajas frecuencias. Si se utiliza el diagrama de Bode, entonces con la pendiente a baja frecuencia se determina el tipo del sistema, siendo adem´as posible determinar las constantes de posici´on, velocidad y aceleraci´on con unas simples medidas sobre el diagrama. Si GR (jw) es la respuesta en frecuencia del regulador y GP (jw) la respuesta en frecuencia del proceso, entonces la respuesta en frecuencia en bucle cerrado del sistema regulador-proceso es: G(jw) =

GR (jw)GP (jw) . 1 + GR (jw)GP (jw)

De la expresi´on anterior se deduce que si la ganancia de bucle abierto (|GR (jw)GP (jw)|) es elevada, entonces la del bucle cerrado se aproxima a la unidad, lo cual significa que el valor de la salida (variable controlada) es aproximadamente igual al valor de la referencia y por tanto el sistema sigue correctamente a la se˜ nal de referencia. En t´erminos de dise˜ no en frecuencia, si se consiguen ganancias elevadas en un rango determinado de frecuencias, el error para se˜ nales de entrada con componentes en frecuencia en ese rango ser´a nulo. As´ı, aumentando la ganancia a baja frecuencia se consigue reducir el error en r´egimen permanente ya que en dicho r´egimen las se˜ nales son de baja frecuencia. Por ejemplo, un controlador proporcional (P) puede realizar esta funci´on, aunque no s´ olo aumentar´a la ganancia a baja frecuencia sino en todo el rango lo cual provoca una variaci´ on de los m´ argenes de ganancia y de fase, pudiendo llegar a inestabilizar el sistema. Especificaciones din´ amicas o en r´egimen transitorio. Es conveniente analizar el comportamiento transitorio con la informaci´ on frecuencial buscando la relaci´ on que existe entre los par´ametros temporales que caracterizan el sistema con los correspondientes par´ ametros frecuenciales. ˆ Margen de fase γ. Este par´ ametro da una medida de la estabilidad y de las sobreoscilaciones del sistema en bucle cerrado. En general cuanto mayor sea el margen de fase, el sistema ser´a m´as estable. Un valor emp´ırico que se conon sidera suficiente es que est´e por encima de 30◦ ´o 60◦ . Existe una relaci´ aproximada en sistemas de segundo orden entre el coeficiente de amortiguamiento (ξ) y el margen de fase, que es u ´til en el dise˜ no cuando se desea ajustar

180

Dise˜ no de reguladores continuos. M´ etodo de respuesta en frecuencia

el amortiguamiento a trav´es del margen de fase. Esta relaci´on aproximada es la siguiente: γ , ξ≈ 100 donde γ est´a expresado en grados y los valores de ξ y γ son tales que 0 < ξ < 0,7 y 0◦ < γ < 64◦ . ˆ Margen de ganancia Kg . An´ alogamente al margen de fase, el margen de ganancia da una medida de la estabilidad1 . Emp´ıricamente se considera que valores por encima de 6 dB u 8 dB son suficientes. ˆ Ancho de banda B. Cuanto mayor sea el ancho de banda, m´ as r´apido es el sistema ya que dejar´a pasar una mayor cantidad de arm´ onicos. Una expresi´ on que relaciona de forma aproximada el ancho de banda con el tiempo de subida (tr ) es la siguiente: 0,5 B= . tr Sin embargo, debe tenerse especial cuidado con este par´ametro: desde el punto de vista de rechazo de ruidos, el ancho de banda no debe ser demasiado grande. En el dise˜ no debe llegarse a una soluci´ on de compromiso entre ambos aspectos: velocidad del sistema y rechazo a ruidos. ˆ Pico de resonancia Mr . Para un sistema de segundo orden subamortiguado, la relaci´on entre el pico de resonancia y el coeficiente de amortiguamiento (ξ) es la siguiente: 1 , Mr = 2ξ 1 − ξ 2

expresi´on que s´ olo es v´alida si 0 < ξ < 0,707, es decir, si existe resonancia. El valor del pico de resonancia es uno de los indicadores de la estabilidad relativa, consider´ andose satisfactorio valores tales que 0 < Mr < 3 dB (sin contar la ganancia est´ atica), correspondiente a un coeficiente de amortiguamiento en el rango 0,4 < ξ < 0,7. ˆ Frecuencia de resonancia wr . Para un sistema de segundo orden subamortiguado, la relaci´ on entre la frecuencia de resonancia y el coeficiente de amortiguamiento (ξ) y la frecuencia natural (wn ) es la siguiente: wr = wn 1 − 2ξ 2 .

Siendo como en el caso anterior la expresi´on v´ alida s´ olo si 0 < ξ < 0,707, es decir, si existe resonancia. La frecuencia de resonancia es una medida de la velocidad de la respuesta transitoria. Valores elevados de wr implica respuestas r´apidas. 1 Recu´ erdese que los m´ argenes de fase y ganancia son medidas en bucle abierto que determinan la estabilidad en bucle cerrado.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

7.1.2.

181

An´ alisis del diagrama de Bode de un sistema en bucle abierto

Como ya se sabe, la informaci´on sobre el comportamiento temporal de un sistema en bucle cerrado se puede obtener de forma aproximada a partir de la respuesta en frecuencia del sistema en bucle abierto. Evidentemente, la respuesta en frecuencia en bucle cerrado proporciona informaci´ on m´as exacta pero es m´as costosa su obtenci´on experimental. Si se representa la respuesta en frecuencia utilizando el diagrama de Bode pueden distinguirse las tres zonas siguientes: Zona de bajas frecuencias que, como ya se ha indicado, proporciona informaci´ on sobre el comportamiento en r´egimen permanente. Zona de frecuencias medias. En esta zona se miden los m´argenes de fase y ganancia y da informaci´ on sobre estabilidad y amortiguamiento del sistema (es decir, sobre el r´egimen transitorio). Zona de altas frecuencias. Da informaci´on sobre el comportamiento frente a perturbaciones de alta frecuencia. En esta zona la ganancia en bucle cerrado puede considerarse aproximadamente igual a la ganancia en bucle abierto ya que esta u ´ltima suele ser muy baja. En efecto, si suponemos que cuando la frecuencia w es alta, se cumple que la ganancia |GR (jw)GP (jw)| es muy baja (como ocurre normalmente), entonces debe cumplirse que GR (jw)GP (jw)  1, con lo que 1 + GR (jw)GP (jw) ≈ 1. En ese caso, la respuesta en frecuencia en bucle cerrado ser´a: GR (jw)GP (jw) ≈ GR (jw)GP (jw). 1 + GR (jw)GP (jw)

7.1.3.

M´ etodo de la respuesta en frecuencia para la compensaci´ on de un sistema realimentado

Partiendo del criterio de estabilidad de Nyquist y su aplicaci´ on sobre el diagrama de Bode de la funci´ on de transferencia en bucle abierto de un sistema realimentado existen tres posibilidades para compensar el sistema en bucle cerrado: 1.

Bajar la curva de ganancia |G(jw)| (regulador PI). Con tal medida se producir´ a un desplazamiento de la frecuencia de cruce de la ganancia (wgo ) hacia la izquierda (obteniendo una nueva frecuencia de cruce de ganancia wgk ), como se muestra en la figura 7.1. En esa zona de frecuencias la curva de la fase presenta normalmente valores m´ as elevados, con lo cual se consigue un mayor margen de fase γk y por tanto mayor estabilidad. El desplazamiento de la frecuencia de cruce no debe ser muy elevado para evitar que el sistema resulte demasiado lento. Este efecto lo puede producir un regulador PI.

182 2.

Dise˜ no de reguladores continuos. M´ etodo de respuesta en frecuencia

Subir la curva de a ´ngulo de fase ∠G(jw) (regulador PD). Con tal medida se producir´ a un incremento de la fase en el sistema compensado, para pr´ acticamente casi la misma frecuencia de cruce de ganancia, lo que repercute en un aumento del margen de fase y por tanto de estabilidad relativa (figura 7.2). Este efecto lo puede producir un regulador PD. Compensar el sistema tomando las dos medidas anteriores simult´ aneamente (regulador PID).

40 20 0

Magnitude (dB)

3.

-20

wg0

Sist. Inicial Sist. compensado

wgk

-40 -60 -80

-135

Phase (deg)

-90

k

-180

o

-225

-270 10

-1

0

10

1

10

Frecuencia (rad/seg)

Figura 7.1: Compensaci´ on de un sistema bajando la curva de ganancia |G(jw)| (regulador PI).

7.2.

Compensaci´ on mediante red de adelanto de fase

El regulador PD o red de adelanto de fase es b´ asicamente un filtro paso alto, dejando pasar las frecuencias elevadas e introduciendo una atenuaci´ on a las frecuencias bajas. La

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

183

20

Sist. Inicial Sist. compensado

wgo wgo Magnitud (dB)

0

-20

-40

-60

-80 -90

fa se (deg)

-135

k

-180

o

-225

-270 10

-1

10

0

10

1

Frequencia (rad/seg)

Figura 7.2: Compensaci´on de un sistema subiendo la curva de a´ngulo de fase ∠G(jw) (regulador PD).

compensaci´on por adelanto de fase mejora el comportamiento en r´egimen transitorio del sistema y se puede realizar mediante el ajuste del margen de fase γ0 y del margen de ganancia. La funci´ on de transferencia del regulador PD o red de adelanto de fase es: GR (s) = α

1 + Ts , 0 ω0 , entonces dicha se˜ estar´a completamente determinada por la secuencia {xk } obtenida por muestreo de la misma con periodo T = π/ω0 .

8.5.

Sistemas muestreados

Los sistemas muestreados contienen tanto sistemas continuos como sistemas discretos. Se denomina sistema h´ıbrido a aquel cuya entrada es una secuencia y cuya salida es una se˜ nal continua (figura 8.2).

212

Conceptos de teor´ıa de sistemas discretos

{xk}

Sist. Híbrido

y(t)

Figura 8.2: Sistema H´ıbrido.

Asimismo se denomina respuesta impulsional de un sistema h´ıbrido a la respuesta del sistema cuando la entrada es una secuencia impulso. La respuesta impulsional de un sistema h´ıbrido caracteriza por completo el comportamiento de dicho sistema. Para cualquier entrada se cumple: y(t) =

∞ 

xn h(t − nT )

n=−∞

A esta expresi´on se la conoce como convoluci´ on h´ıbrida. Dado que en los sistemas muestreados aparecen sistemas tanto continuos como discretos ser´a necesario hacer uso de los muestreadores que convierten una se˜ nal continua a una se˜ nal discreta o secuencia, comentados en el apartado previo, y de un nuevo elemento que se denomina bloqueador o retenedor. El bloqueador/retenedor es el elemento que permite reconstruir una se˜ nal continua a partir de los valores discretos de una secuencia (Figura 8.3).

{xk}

Bloqueador

xr(t)

Figura 8.3: Elemento Bloqueador/Retenedor.

El objetivo del dise˜ no de un bloqueador/retenedor es obtener un sistema h´ıbrido que teniendo como entrada una secuencia {xk } obtenida por muestreo con periodo T de una se˜ nal x(t), presente en la salida una se˜ nal xr (t) que sea id´entica o tenga el mayor parecido posible a la se˜ nal x(t). Se cumplir´a: Xr (ω) = H(ω)X (ω) o bien Xr (s) = H(s)X (s) siendo H(ω) y H(s), las transformadas de Fourier y de Laplace de la respuesta impulsional.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

213

x(t) ∼ = Xr (ω) = xr (t) ⇔ X(ω) ∼ Dependiendo del algoritmo utilizado para obtener la se˜ nal continua a partir de los valores de la secuencia es posible considerar diferentes bloqueadores: Bloqueador ideal. A fin de obtener una reconstrucci´ on ideal y siempre que se cumpla el teorema de muestreo, se define el bloqueador ideal como aquel cuya transformada de Fourier es:  Hi (ω) =

T 0

|ω| ≤ π |ω| > π

siendo T el periodo de muestreo de la secuencia. La respuesta impulsional del bloqueador ideal es: sin ω0 t hi (t) = ω0 t con ω0 = π/T . Este bloqueador ideal no cumple la condici´ on de causalidad, pues para obtener el valor de la se˜ nal de salida en el instante t, se necesita conocer todos los valores de la secuencia. Bloquedaor de orden cero. Este bloqueador s´olo utiliza el u ´ltimo valor de la secuencia de entrada, manteni´endolo hasta una nueva muestra xr (t) = x(kT ) = xk en el intervalo [kT, (k + 1)T ), siendo T el periodo de muestreo.

{xk}

Xr(t)

Figura 8.4: Bloqueador de orden cero. Su respuesta impulsional es:

  0 t j, en la expresi´on 15.2), se puede concluir que en la funci´ on de transferencia 15.3 el grado del denominador es mayor o igual que el del numerador.  Las funciones de transferencia que cumplen la condici´ on anterior (grado del denominador mayor o igual que el grado del numerador) se denominan funciones de transferencia propias. En general es preferible que el grado del polinomio numerador y del polinomio denominador de GR (z) sean iguales con el objetivo de garantizar una respuesta m´as r´apida. Para enunciar la segunda propiedad de realizaci´ on f´ısica de los controladores de s´ıntesis directa es necesario definir el concepto de retardo de un sistema discreto. Este retardo se define como el tiempo que tarda el sistema en responder ante cualquier entrada y se puede calcular como la diferencia entre los grados del polinomio denominador y numerador de la funci´ on de transferencia en z. As´ı, si la diferencia de grados es r, la salida del sistema no empezar´a a evolucionar hasta r intervalos de muestreo posteriores a la aplicaci´on de la se˜ nal de entrada. Efectivamente, si se comparan las expresiones 15.2 y 15.3 puede comprobarse que si algunos coeficientes de G(z) son nulos esto implicar´a una diferencia de grados lo cual indica que la ecuaci´on en diferencias 15.2 tiene un retardo entre la entrada y la salida cuyo valor coincide con esa diferencia de grado. Una vez definido el concepto de retardo, puede enunciarse la propiedad siguiente. Propiedad 2 sobre realizaci´ on f´ısica del controlador. Para que el controlador dise˜ nado por s´ıntesis directa sea realizable f´ısicamente, la funci´ on de transferencia del bucle cerrado M (z −1 ) elegida debe tener un retardo superior o igual al del modelo discreto del proceso GP (z −1 ). La demostraci´ on de esta propiedad puede realizarse por contradicci´ on y se deja como ejercicio (Bernabeu y Mart´ınez, 1999). La propiedad 2 tiene una interpretaci´ on f´ısica muy intuitiva: decir que el retardo del modelo en bucle cerrado debe ser mayor o igual que el retardo en la transmisi´on de la informaci´ on en la cadena directa del proceso es lo mismo que decir que no existe ning´ un regulador f´ısicamente realizable capaz de conseguir un sistema en bucle cerrado con un retardo menor que el que ya tenga GP (z). En consecuencia, debe tenerse en cuenta ese retardo para seleccionar el modelo deseado en bucle cerrado. Para que la funci´ on de transferencia del bucle cerrado M (z −1 ) tenga un retardo mayor

346

Dise˜ no por s´ıntesis directa I

o igual al del proceso, M (z −1 ) debe poder escribirse como2 : M (z −1 ) =

C(z −1 ) −(r+ε) ·z P (z −1 )

donde r es el retardo del proceso y ε ≥ 0 es el incremento del retardo. 15.1.1.2.

Estabilidad del bucle cerrado

La segunda condici´ on que debe tenerse en cuenta al elegir el modelo M (z −1 ) para el bucle cerrado es que ´este debe ser estable. Tal y como se ha planteado el dise˜ no por s´ıntesis directa, es posible que el bucle cerrado se haga inestable. En principio es l´ ogico pensar que si se ha seleccionado un modelo M (z) estable, el sistema en bucle cerrado cuya funci´ on de transferencia es precisamente M (z) tambi´en ser´a estable. Sin embargo, cuando el propio proceso GP (z) sea inestable o si, siendo estable, presenta ceros fuera del c´ırculo unidad, puede ocurrir que el sistema realimentado que se obtiene finalmente no sea estable. De hecho cuando se dise˜ na un controlador de s´ıntesis directa, la cancelaci´on no adecuada en bucle abierto de polos y/o ceros del proceso fuera del c´ırculo unidad, puede producir fen´ omenos de inestabilidad en el comportamiento del bucle cerrado. Para evitar este efecto no deseado debe tenerse en cuenta el resultado siguiente. Propiedad: estabilidad del bucle cerrado en controladores de s´ıntesis directa. La cancelaci´ on de los ceros y/o polos del proceso que est´ an fuera del c´ırculo unidad producen inestabilidad en la respuesta del bucle cerrado. Demostraci´ on: Recu´erdese que los procesos que tienen en su modelo discreto alg´ un cero fuera del c´ırculo unidad se llaman de fase no m´ınima, y los que tienen polos en z situados fuera del c´ırculo unidad son procesos inestables. Consid´erese el siguiente modelo discreto de un proceso continuo: GP (z −1 ) = 2 Obs´ ervese

C(z −1 ) , P (z −1 )

que dada una funci´ on de transferencia propia H(z) =

b0 z m + b1 z m−1 + . . . + bm , z n + a1 z n−1 + . . . + an

si se multiplica numerador y denominador por z −n se obtiene H(z) =

z −r · (b0 + b1 z −1 + . . . + bm z −m ) , 1 + a1 z −1 + . . . + an z −n

siendo r = n − m ≥ 0 el retardo de H(z).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

347

donde el numerador C(z −1 ) est´a descompuesto en los factores correspondientes a los ceros y el denominador P (z −1 ) est´a descompuesto en los factores correspondientes a los polos del modelo discreto del proceso. Sup´ ongase que el proceso tiene ceros de fase no m´ınima y polos inestables. Entonces an descomponerse en dos factores cada uno: los polinomios C(z −1 ) y P (z −1 ) podr´ C(z −1 ) = C − (z −1 ) · C + (z −1 ), donde C − (z −1 ) corresponde a los ceros de fase no m´ınima y C + (z −1 ) al resto de ceros. P (z −1 ) = P − (z −1 ) · P + (z −1 ), donde P − (z −1 ) corresponde a los polos inestables y P + (z −1 ) al resto de polos. Con estas descomposiciones, el modelo discreto del proceso se podr´a escribir como: GP (z −1 ) =

C − (z −1 ) · C + (z −1 ) P − (z −1 ) · P + (z −1 )

Estos polinomios ser´an m´ onicos, es decir, expresados en potencias de z −1 su t´ermino independiente es la unidad y si no tienen t´ermino independiente, si es posible extraer como factor com´ un z −n , entonces el t´ermino independiente del resto del polinomio restante debe ser la unidad. Dada una funci´ on de transferencia en bucle cerrado deseada, M (z −1 ), el controlador dise˜ nado por s´ıntesis directa ser´ a: GR (z −1 ) =

M (z −1 ) P − (z −1 ) · P + (z −1 ) · M (z −1 ) 1 · = GP (z −1 ) 1 − M (z −1 ) C − (z −1 ) · C + (z −1 ) · (1 − M (z −1 ))

(15.4)

Uno de los inconvenientes que presenta el dise˜ no por s´ıntesis directa es que el modelo discreto que se obtenga del proceso no es exacto. El dise˜ no del controlador se realiza sobre este modelo discreto no exacto, que luego se utiliza para controlar el proceso continuo real. Veamos qu´e consecuencias tiene esto sobre la estabilidad del bucle cerrado. −1 ) al proceso discreto que corresponder´ıa a la discretizaci´on exacta Llamaremos GE P (z con bloqueador de orden cero del proceso continuo que se trata de controlar. As´ı, si se realiza la descomposici´on en factores de forma an´ aloga a la realizada previamente para el modelo inexacto se tiene: −1 )= GE P (z

−

+

−

+

C E (z −1 ) · C E (z −1 )

P E (z −1 ) · P E (z −1 ) Se tiene por tanto el controlador correspondiente a la expresi´ on 15.4 dise˜ nado a partir −1 ). del modelo discreto, y el sistema correspondiente a la funci´ on de transferencia GE P (z Puede comprobarse f´ acilmente que la ecuaci´on caracter´ıstica del bucle cerrado que se obtiene es: −

1+

+

C E (z −1 ) · C E (z −1 ) P − (z −1 ) · P + (z −1 ) · M (z −1 ) · = 0, − −1 + −1 −1 C (z ) · C (z ) · (1 − M (z )) P E − (z −1 ) · P E + (z −1 )

348

Dise˜ no por s´ıntesis directa I

Para realizar el estudio de la estabilidad del bucle cerrado puede usarse el lugar de las ra´ıces. Si se analiza la ecuaci´on caracter´ıstica anterior puede concluirse que: −

P − (z −1 ) y P E (z −1 ) son polinomios muy parecidos y cuyas ra´ıces est´an fuera del c´ırculo unidad. Por tanto, en el diagrama del lugar de las ra´ıces existir´an ramas − desde los polos correspondientes a P E (z −1 ) hasta los ceros correspondientes a a polos entre dichas singularidaP − (z −1 ). Por tanto el bucle cerrado siempre tendr´ des con lo que el bucle cerrado siempre ser´ a inestable. −

Un razonamiento an´ alogo puede realizarse con C − (z −1 ) y C E (z −1 ). Como conclusi´on se tiene que la cancelaci´on de los ceros de fase no m´ınima y/o polos inestables del proceso producen inestabilidad en la respuesta del bucle cerrado, como se quer´ıa demostrar. A la vista de la propiedad anterior, ¿qu´e puede hacerse entonces para evitar la inestabilidad del sistema? La respuesta a esta pregunta es muy sencilla: El dise˜ no de un controlador de s´ıntesis directa para un modelo discreto de un proceso con ceros de fase no m´ınima y/o polos inestables debe realizarse evitando que dichos polos y ceros sean cancelados, es decir, que no aparezcan en el controlador. Para conseguir esto u ´ltimo se puede exigir que M (z −1 ) y (1 − M (z −1 )) contengan como factores los polinomios correspondientes a los ceros de fase no m´ınima y los polos inestables, respectivamente. Es decir, a partir de la expresi´ on 15.4, se exigir´ a que M (z −1 ) −1 y (1 − M (z )) tengan la forma siguiente: M (z −1 ) 1 − M (z −1 )

= C − (z −1 ) · V (z −1 ) = P − (z −1 ) · W (z −1 )

donde V (z −1 ) y W (z −1 ) son los polinomios “inc´ ognita” que deben calcularse para obtener a como: M (z −1 ). As´ı, el controlador quedar´ GR (z −1 ) =

M (z −1 ) 1 · = −1 GP (z ) 1 − M (z −1 )

P − (z −1 ) · P + (z −1 ) C − (z −1 ) · V (z −1 ) · ⇒ C − (z −1 ) · C + (z −1 ) P − (z −1 ) · W (z −1 ) ⇒ GR (z −1 ) =

P + (z −1 ) · V (z −1 ) C + (z −1 ) · W (z −1 )

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

349

Se puede demostrar f´ acilmente que la inestabilidad detectada anteriormente ha desaparecido con este nuevo regulador. Efectivamente, la ecuaci´ on caracter´ıstica del bucle cerrado con el nuevo regulador es: −1 )=0⇒ 1 + GR (z −1 ) · GE P (z −

⇒1+

+

P + (z −1 ) · V (z −1 ) C E (z −1 ) · C E (z −1 ) · = 0. C + (z −1 ) · W (z −1 ) P E − (z −1 ) · P E + (z −1 )

A partir de la expresi´ on anterior puede concluirse que si existe inestabilidad ya no es como consecuencia de los ceros de fase no m´ınima y polos inestables del modelo discreto del proceso.

15.1.2.

M´ etodo de dise˜ no de controladores por s´ıntesis directa

Teniendo en cuenta todas las consideraciones realizadas en las secciones anteriores, el m´etodo general de dise˜ no por s´ıntesis directa consiste en plantear las siguientes ecuaciones polinomiales: M (z −1 ) = z −(r+ε) · C − (z −1 ) · V (z −1 ) 1 − M (z −1 ) = P − (z −1 ) · W (z −1 ) donde: r es el retardo del modelo discreto del proceso a controlar. C − (z −1 ) y P − (z −1 ) corresponden a los ceros y polos, respectivamente, fuera del c´ırculo unidad del modelo discreto del proceso a controlar. V (z −1 ) y W (z −1 ) son los polinomios inc´ ognita. Recu´erdese que en las ecuaciones polinomiales anteriores: El t´ermino z (−r+ε) de la primera ecuaci´on se introduce para conseguir que M (z −1 ) tenga al menos el mismo retardo que el modelo discreto del proceso (r). Los t´erminos C − (z −1 ) y P − (z −1 ) se introducen para evitar la inestabilidad del bucle cerrado. Para el dise˜ no del controlador ser´ a necesario resolver el sistema de ecuaciones polinomiales anterior. Para ello puede sustituirse la primera ecuaci´ on en la segunda, obteniendo la siguiente ecuaci´on polinomial:  1 − z −(r+ε) · C − (z −1 ) · V (z −1 ) = P − (z −1 ) · W (z −1 )

350

Dise˜ no por s´ıntesis directa I

De esta ecuaci´on se despejar´an los polinomios inc´ ognita, V (z −1 ) y W (z −1 ), para posteriormente obtener M (z −1 ) y 1 − M (z −1 ), calculando finalmente el regulador GR (z −1 ) seg´ un la expresi´on: M (z −1 ) 1 · GR (z −1 ) = GP (z −1 ) 1 − M (z −1 ) Puede demostrarse que, suponiendo que M (z −1 ) es un polinomio finito en z −1 , entonces para asegurar que el sistema de ecuaciones dado por M (z −1 ) y 1 − M (z −1 ) tenga soluci´ on u ´nica, debe cumplirse: orden(M (z −1 )) = r + ε + c + p − 1 donde: r es el retardo del proceso. r + ε es el retardo deseado para M (z −1 ). p y c es el n´ umero de polos y de ceros del modelo discreto del proceso fuera del c´ırculo unidad (correspondientes a los polinomios P − (z −1 ) y C − (z −1 ), respectivamente). En la bibliograf´ıa comentada al final de este cap´ıtulo puede encontrarse una demostraci´ on de esta propiedad, as´ı como ejemplos de dise˜ no de controladores por s´ıntesis directa (Bernabeu y Mart´ınez, 1999).

15.2.

M´ etodo de asignaci´ on de polos

En esta secci´on se va a describir un m´etodo especial de dise˜ no por s´ıntesis directa denominado de asignaci´ on de polos3 . Se relaciona con el m´etodo de Truxal general descrito en la secci´on anterior en que la idea fundamental consiste en determinar los par´ ametros de un controlador lineal para que el sistema en bucle cerrado tenga unas propiedades deseadas. En este m´etodo el problema se formula como un problema de asignaci´ on de polos. Los controladores de asignaci´on de polos se utilizan para conseguir que los polos de la funci´ on de transferencia en bucle cerrado coincidan con los establecidos por el dise˜ nador. Consid´erese la funci´on de transferencia GP (z) de la figura 15.2 como un modelo discreto del proceso que sea estrictamente propio, es decir, el n´ umero de polos (denotado por n) es estrictamente mayor al n´ umero de ceros (denotado por m)4 . 3 No debe confundirse este m´ etodo con el dise˜ no basado en la asignaci´ on de polos por realimentaci´ on del estado, que queda fuera del alcance del libro y es materia de cursos avanzados de control. El enfoque de asignaci´ on de polos que se expone aqu´ı est´ a basado en modelos entrada-salida. 4 Obs´ ervese que con esta condici´ on el modelo es f´ısicamente realizable (como se demostr´ o en la secci´ on 15.1.1.1) y que esto se dar´ a siempre en modelos discretos obtenidos tras la discretizaci´ on de un proceso continuo con un bloqueador de orden cero.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

R(z) + -

351

Y(z)

GP(z)

GR(z)

Figura 15.2: Bucle cerrado discreto de control.

La funci´ on de transferencia en el bucle cerrado de la figura 15.2 viene dada por: M (z) =

GR (z)GP (z) . 1 + GR (z)GP (z)

Siendo por tanto su ecuaci´ on caracter´ıstica: 1 + GR (z)GP (z) = 0. Si escribimos las funciones de transferencia del proceso y del regulador en funci´ on de sus numeradores y denominadores como: GR (z) =

Q(z) , R(z)

GP (z) =

C(z) P (z)

entonces, la ecuaci´on caracter´ıstica queda: P (z)R(z) + C(z)Q(z) = 0 Si denotamos como pi los polos que se pretende asignar (cuyos valores provienen de las especificaciones de dise˜ no), entonces la ecuaci´on caracter´ıstica queda:

(z − pi ) = 0 (15.5) P (z)R(z) + C(z)Q(z) = i

El dise˜ no del controlador consiste en encontrar los polinomios inc´ ognita Q(z) y R(z) que hacen que los polos del bucle cerrado sean los deseados. ¿C´omo puede conseguirse esto?: igualando coeficiente a coeficiente en la expresi´ on anterior, con lo que se tendr´a un sistema de ecuaciones cuyo n´ umero depende del grado de los polinomios a ambos lados. Es deseable que el sistema de ecuaciones anterior tenga soluci´on u ´nica. Para conseguir esto, puede demostrarse que deben cumplirse las dos condiciones siguientes: 1.

Si µ es el grado del polinomio numerador de la funci´ on de transferencia del controlador y n es el grado del polinomio denominador de la funci´ on de transferencia del modelo discreto del proceso a controlar, entonces µ=n−1

352 2.

Dise˜ no por s´ıntesis directa I

C(z) y P (z) deben ser polinomios no primos entre s´ı, es decir, no simplificables.

En la bibliograf´ıa comentada al final del cap´ıtulo pueden encontrarse demostraciones de estas dos condiciones (Bernabeu y Mart´ınez, 1999). A partir de las dos condiciones anteriores de los controladores de asignaci´ on de polos, se puede concluir lo siguiente: Como µ ≤ ν, se tiene que

ν ≥n−1

El n´ umero de polos a asignar debe ser ν + n. Por tanto, la ecuaci´ on caracter´ıstica queda: P (z)R(z) + C(z)Q(z) =

ν+n

(z − pi ) = 0 .

i=1

Como µ ≤ ν, el controlador m´as simple es el que cumple µ = ν. En ese caso, el n´ umero de polos a asignar es 2n − 1, ya que como adem´as µ = n − 1, se tiene que N´ umero de polos a asignar para obtener el regulador m´ as sencillo = = ν + n = n − 1 + n = 2n − 1 . En el dise˜ no, la soluci´ on al problema planteado por la condici´ on 2 anterior consiste en la eliminaci´on previa de los factores comunes de la funci´on de transferencia del modelo, comenzando los pasos del dise˜ no del controlador a partir de esta nueva funci´ on de transferencia. El dise˜ no por asignaci´ on de polos tambi´en permite, si se desea, cancelar el efecto de los ceros del modelo discreto del proceso. Efectivamente, puede comprobarse que los ceros del proceso vienen dados por el polinomio C(z) del numerador. Despu´es del dise˜ no por asignaci´ on de polos, la funci´ on de transferencia en bucle cerrado puede escribirse como: M (z) =

C(z)Q(z) ν+n

.

(15.6)

(z − pi )

i=1

Los ceros del polinomio C se pueden eliminar haciendo que el denominador de la expresi´ on 15.6 los contenga, es decir: ν+n

ν+n−m

i=1

i=1

(z − pi ) = C(z)

(z − pi  ).

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

353

De esta forma se asignan polos en los mismos puntos donde est´an los ceros que se desea cancelar. No obstante, es importante observar que los ceros de GP (z) que est´an fuera del c´ırculo unidad no se pueden cancelar ya que en caso contrario el bucle cerrado ser´ıa inestable como se demostr´o en la secci´on anterior. De esta forma puede demostrarse que el denominador de un controlador por asignaci´on de polos contiene todos los ceros del modelo del proceso que se pueden cancelar. Esta propiedad es muy u ´til para simplificar el sistema de ecuaciones que debe resolverse para obtener el controlador de asignaci´ on de polos. Si descomponemos el denominador del controlador de cancelaci´on como R(z −1 ) = R (z −1 ) · C + (z −1 ) donde C + (z −1 ) corresponde a los ceros del modelo discreto que se pueden cancelar, entonces el dise˜ no de un controlador por asignaci´ on de polos queda reducido a resolver la ecuaci´on siguiente: 

−

P (z)R (z) + C (z)Q(z) =

ν+n−m

(z − pi  )

i=1

15.2.1.

Eliminaci´ on del error en r´ egimen permanente

El dise˜ no de controladores por asignaci´ on de polos permite eliminar el error en r´egimen permanente de forma sencilla. Como ya se ha estudiado, el error en r´egimen permanente E(z) del sistema en bucle cerrado depende de: La referencia R(z), de tal forma que: ˆ Si es un escal´ on, se tendr´a el error de posici´ on. ˆ Si es una rampa, se tendr´ a el error de velocidad. ˆ Si es una par´ abola, se tendr´ a el error de aceleraci´ on.

El tipo del sistema, es decir, el n´ umero de polos en z = 1 (integradores) que aparecen en bucle abierto. Para reducir o eliminar el error en r´egimen permanente debe recordarse que: El aumento del tipo favorece la eliminaci´ on o disminuci´on del error. Se pueden a˜ nadir al modelo del proceso tantos integradores como sean necesarios para cumplir la especificaci´ on del error en r´egimen permanente.

354

Dise˜ no por s´ıntesis directa I

Una estrategia de dise˜ no para eliminar el error en r´egimen permanente consiste en considerar un proceso “modificado” cuya funci´ on de transferencia es: GP (z) =

1 GP (z) (1 − z −1 )i

donde i es el n´ umero integradores (polos en z = 1) necesarios para eliminar el error en r´egimen permanente, y que se puede calcular como (orden del error - tipo del sistema), donde el orden del error ser´ a: 0 para error de posici´on. 1 para error de velocidad. 2 para error de aceleraci´on. Estos i integradores realmente los debe poseer el controlador discreto. El m´etodo de dise˜ no consiste en: 1.

Dise˜ nar el regulador GR (z) sobre el proceso modificado GP (z).

2.

Eliminar los i integradores del proceso para a˜ nadirlos al regulador.

El controlador que se dise˜ na finalmente es: GR (z) =

1 GR (z) (1 − z −1 )i

Se puede demostrar que utilizando este m´etodo para eliminar el error en r´egimen permanente no se modifica la din´ amica asignada por los polos a la ecuaci´ on caracter´ıstica.

Bibliograf´ıa para ampliar (Aracil y Jim´enez, 1993). En el cap´ıtulo III-13 se describe el m´etodo de s´ıntesis directa. En particular, la secci´ on 13.2 describe el m´etodo de Truxal en general y la secci´on 13.3 describe las condiciones para la elecci´on de M (z −1 ). Los autores consideran dos condiciones adicionales a las consideradas en este cap´ıtulo: ˆ La condici´ on de simplicidad. Establecen condiciones para que el grado de M (z) sea el menor posible, aunque esta condici´on de simplicidad no es crucial en el caso de controladores discretos. ˆ Posible saturaci´ on de variables del sistema. Se estudia la elecci´ on del modelo tal que impida que las variables alcancen el valor de saturaci´ on, para el caso particular de saturaciones sim´etricas respecto al punto de funcionamiento.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

355

En la secci´on 13.4 se realiza una extensi´ on al caso de sistemas multivariables. (˚ Astr¨om y Wittenmark, 1988). En el cap´ıtulo 10 se describe el m´etodo de dise˜ no por asignaci´ on de polos basado en modelos entrada-salida. Resultan de inter´es los siguientes aspectos tratados en este libro: ˆ Estudio de la sensibilidad a los errores de modelado. ˆ Aspectos pr´ acticos: rendimiento, magnitud de las se˜ nales de control, sensibilidad ante perturbaciones, selecci´on del intervalo de muestreo.

En la secci´on 10.9 se ilustra el m´etodo con un ejemplo de dise˜ no m´as complejo. En el cap´ıtulo 9 se describe el m´etodo de control basado en la asignaci´ on de polos por realimentaci´ on del estado. (Bernabeu y Mart´ınez, 1999). El enfoque de dise˜ no de este libro coincide con el expuesto en este cap´ıtulo. Resultan de gran inter´es los problemas resueltos sobre controladores de asignaci´on de polos. En estos problemas se tratan aspectos de dise˜ no que no se han considerado en este cap´ıtulo. (G´omez Campomanes, 1998). En la secci´on 16.8 describe el dise˜ no de reguladores por el m´etodo de Truxal o s´ıntesis directa. En el cap´ıtulo 17 se describe el dise˜ no por asignaci´ on de polos en representaci´on interna. (Ogata, 1996). En la secci´ on 4.7 se describe el m´etodo de dise˜ no anal´ıtico, centr´ andose en los sistemas de tiempo m´ınimo y tiempo finito.

356

Dise˜ no por s´ıntesis directa I

CAP´ITULO 16

˜ POR S´INTESIS DISENO DIRECTA II. CONTROLADORES DE TIEMPO M´INIMO Y DE TIEMPO FINITO

´Indice 16.1. Controladores de tiempo m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1. Consideraci´ on del retardo del proceso . . . . . . . . . . . . . 16.1.2. Procesos con ceros de fase no m´ınima y/o polos fuera del c´ırculo unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.3. C´ alculo del orden de M (z −1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.4. C´ alculo de la rapidez de un controlador de tiempo m´ınimo . . 16.1.5. Caso particular: procesos con polos en z = 1 . . . . . . . . . . 16.1.6. M´etodo de dise˜ no de controladores de tiempo m´ınimo . . . . 16.2. Controladores de tiempo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1. Definici´ on de los controladores de tiempo finito . . . . . . . . 16.2.2. An´ alisis de los controladores de tiempo finito . . . . . . . . .

357

358 361 362 363 363 364 366 367 368 372

Dise˜ no por s´ıntesis directa II. Controladores de tiempo m´ınimo y tiempo finito

358

Bibliograf´ıa para ampliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

En el cap´ıtulo anterior se aplicaron m´etodos de s´ıntesis directa basados en conseguir que la funci´ on de transferencia tenga unos ceros y polos prefijados. Adem´ as de ´este, existen otros criterios para realizar esta s´ıntesis directa. Uno de ellos consiste en conseguir que el sistema controlado tenga una salida que alcance el r´egimen permanente con error nulo en un tiempo m´ınimo dando lugar a los denominados controladores de tiempo m´ınimo. Otro criterio m´ as relajado consiste en hacer que el bucle cerrado alcance el error nulo en un tiempo finito, dando lugar a los controladores de tiempo finito. En general los sistemas de tiempo m´ınimo y tiempo finito presentan unas caracter´ısticas de alcance del r´egimen permanente totalmente distintas de los estudiados hasta ahora ya que por ser su respuesta de tipo exponencial alcanzaban el r´egimen permanente de forma asint´ otica (en un tiempo infinito). En este cap´ıtulo se presenta el m´etodo de s´ıntesis directa de Truxal para el caso de controladores de tiempo m´ınimo y tiempo finito.

16.1.

Controladores de tiempo m´ınimo

Un controlador se puede definir como de tiempo m´ınimo si ante cualquier referencia anula la se˜ nal de error en r´egimen permanente en le menor n´ umero de instantes de muestreo posible. Teniendo en cuenta la limitaci´ on de que el instante de muestreo en el que el error en r´egimen permanente se hace cero no puede ser inferior al retardo del proceso como es obvio. Un controlador de tiempo m´ınimo tendr´ a una secuencia de error, sea cual sea su referencia, que se anular´ a en el menor n´ umero de instantes de muestreo posible. Es decir, la secuencia de error ek ser´a: {ek } = {e0 , e1 , . . . , em , 0, 0, 0, . . .} cuya transformada Z es E(z −1 ) = e0 + e1 z −1 + . . . + em z −m donde m tiene que ser m´ınimo. Los controladores de tiempo m´ınimo son un caso particular de los controladores de s´ıntesis directa estudiados en el cap´ıtulo anterior y por tanto el objetivo final ser´ a el obtener la funci´ on de transferencia del controlador de de s´ıntesis directa 15.1, imponiendo la restricci´on de que el error en r´egimen permanente se debe hacer nulo en el menor n´ umero de instantes de muestreo posible. La definici´on del controlador de s´ıntesis directa es muy sencilla pues basta con elegir la funci´on de transferencia en bucle cerrado M (z −1 ) del sistema de control deseado que cumpla las especificaciones de dise˜ no impuestas.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

359

Vamos a expresar, por tanto, el error E(z −1 ) en funci´ on de M (z −1 ). Partiendo del sistema en bucle cerrado mostrado en la figura 16.1,el error E(z −1 ) puede escribirse como: E(z −1 ) = R(z −1 ) − Y (z −1 )

-1

R(z ) + -

-1

E(z )

-1

-1

-1

GR(z )

U(z )

(16.1)

-1

GP(z )

Y(z )

Figura 16.1: Situaci´ on de la funci´ on de transferencia del error, E(z −1 ), en el bucle cerrado discreto. Sabiendo que Y (z −1 ) = M (z −1 ) · R(z −1 ), sustituyendo en 16.1, se tiene: E(z −1 ) = R(z −1 ) − M (z −1 ) · R(z −1 ) = m  −1 −1 = (1 − M (z ))R(z ) = ek · z −k

(16.2)

k=0 −1

Por definici´ on E(z ) debe ser un polinomio finito enz −1 , cuyo orden m, tendr´a que ser, evidentemente, lo m´as peque˜ no posible. De la mera observaci´ on de 16.2, se puede concluir que: 1.

M (z −1 ) ser´a tambi´en un polinomio de orden finito en z −1 .

2.

El error en r´egimen permanente depende de la referencia.

En este punto se particularizar´ a la obtenci´ on de la expresi´on de M (z −1 ) para las referencias m´as frecuentemente utilizadas, esto es, escal´on, rampa, par´ abola, etc., aunque es posible dise˜ nar controladores de tiempo m´ınimo para cualquier tipo de referencia. Como es conocido, para una referencia polinomial de orden µ se tiene la siguiente transformada Z: Rµ (z −1 ) (16.3) R(z −1 ) = (1 − z −1 )µ+1 donde Rµ (z −1 ) ser´a un polinomio finito en z −1 de orden µ. Por tanto, sustituyendo 16.3 en 16.2, el error en r´egimen permanente se podr´a escribir como: E(z −1 ) = (1 − M (z −1 ))

Rµ (z −1 ) (1 − z −1 )µ+1

(16.4)

360

Dise˜ no por s´ıntesis directa II. Controladores de tiempo m´ınimo y tiempo finito

Esta u ´ltima expresi´on nos dar´ a la clave para el planteamiento del dise˜ no del regulador de tiempo m´ınimo. Para imponer la condici´ on de que E(z −1 ) debe ser un polinomio finito en z −1 , atendiendo a la expresi´on 16.4, se debe exigir que la expresi´on de (1 − M (z −1 )) incluya el factor (1 − z −1 )µ+1 : (1 − M (z −1 )) = (1 − z −1 )µ+1 · W (z −1 )

(16.5)

es decir, 1 − M (z −1 ) debe contener el t´ermino (1 − z −1 )µ+1 , y un t´ermino adicional, que llamaremos W (z −1 ), el cual ser´a un polinomio finito en z −1 . Sustituyendo 16.5 en 16.4, la expresi´ on del error ser´ıa la siguiente: E(z −1 ) = (1 − z −1 )µ+1 · W (z −1 )

Rµ (z −1 ) (1 − z −1 )µ+1

E(z −1 ) = Rµ (z −1 ) · W (z −1 )

(16.6)

Como pretend´ıamos E(z −1 ) es ya un polinomio finito en z −1 , pero adem´as debe ser de orden m´ınimo. Para ello, el orden del producto Rµ (z −1 ) · W (z −1 ) ha de ser m´ınimo. Sabemos que Rµ (z −1 ) es un polinomio que depende de la entrada, y que su orden es µ, pero W (z −1 ) es desconocido. Ahora, seg´ un el planteamiento dado en 16.6, el orden de E(z −1 ) ser´a m´ınimo si el de −1 W (z ) es cero, es decir, una constante cuyo valor, para que se cumpla 16.5, ser´a uno1 . Por lo tanto, el orden de Rµ (z −1 ) · W (z −1 ) es finalmente µ, quedando el error en r´egimen permanente y 1 − M (z −1 ) del siguiente modo: E(z −1 ) = Rµ (z −1 ) 1 − M (z −1 ) = (1 − z −1 )µ+1 As´ı, la funci´ on de transferencia del bucle cerrado tomar´a, despejando, el valor M (z −1 ) = 1 − (1 − z −1 )µ+1

(16.7)

La obtenci´ on del controlador de tiempo m´ınimo es tan sencillo como la sustituci´on en la expresi´on 15.1 de la funci´ on de transferencia del proceso y de las expresiones de M (z −1 ) −1 y 1 − M (z ) dadas por: M (z −1 ) = 1 − (1 − z −1 )µ+1 1 − M (z −1 ) = (1 − z −1 )µ+1 La tabla 16.1, indica los valores que deben tener 1 − M (z −1 ) y M (z −1 ), en funci´ on del tipo de referencia polinomial considerada, para eliminar el correspondiente error en 1 Este

razonamiento es s´ olo v´ alido para el caso en el que el proceso GP (z) tiene retardo 1. En la secci´ on siguiente se generaliza para procesos con retardo mayor que 1.

˜ R.P. Neco, O. Reinoso, N. Garc´ıa, R. Aracil

361

un tiempo m´ınimo, ante modelos discretos de procesos con retardo uno y sin polos y/o ceros fuera del c´ırculo unidad. Observando la tabla 16.1, y atendiendo al valor asignado, para cada caso a M (z −1 ), puede verse que se cumple la propiedad 1 sobre realizaci´on f´ısica del controlador de s´ıntesis directa, ya que se mantiene el retardo del modelo discreto del proceso. As´ı pues, esto s´olo valdr´ıa para modelos de procesos con retardo uno. El caso del dise˜ no cuando el retardo es superior a uno se plantear´ a en la secci´on siguiente. Referencia

µ

Escal´ on

0

Rampa

1

Par´ abola

2

R(z−1 ) 1 1 − z −1 T z −1 (1 − z −1 )2 T 2 z −1 (1 + z −1 ) (1 − z −1 )3

E(z−1 )

1 − M(z−1 )

M(z−1 )

1

1 − z −1

z −1

T z −1

(1 − z −1 )2

2z −1 − z −2

T 2 z −1 (1 + z −1 )

(1 − z −1 )3

3z −1 − 3z −2 + z −3

Tabla 16.1: Eliminaci´ on del error en r´egimen permanente en un tiempo m´ınimo para procesos con retardo 1.

16.1.1.

Consideraci´ on del retardo del proceso

Al dise˜ nar un controlador de tiempo m´ınimo, la expresi´on de M (z −1 ) seleccionada debe dar lugar a un controlador que sea f´ısicamente realizable. Para ello M (z −1 ) debe de tener al menos el retardo del modelo discreto del proceso a controlar. Por tanto, M (z −1 ) la podr´ıamos expresar de la siguiente forma: M (z −1 ) = mr+< z −(r+