Apuntes de Probabilidad Ejemplos

 

Probabilidad  INTRODUCCIÓN : El nacimiento del cálculo de probabilidades estuvo ligado a los juegos de azar. Cardano (que tenía una afición desordenada por el ajedrez y "#ibro sob sobre re los  los dados, dados, segn segn recono reconoce ce en su aut autobi obiog ograf rafía! ía! escrib escribió ió "#ibro  juegos  de azar $, publicado $, publicado póstumamente en 1663, y que fue considerado el primer tratado serio sobre las las probabilidades matemáticas. #a correspondencia que %ascal y &ermat intercambiaron ( a mediados del siglo '))! sobre la geometría del azar  marca  marca el nacimiento de la nueva ciencia.

En la actualidad el Cálcul Cálculoo de Probabilidad Probabilidades es *a llegado a ser la rama de las matemáticas de mayor penetración en todos los campos, directamente o a trav+s de la Estadística.

1. Experie!"o alea"orio. Espacio ues"ral. De#i!ici$! 1. e llama e-perimento  o  o fenómeno aleatorio  a  a aqu+l que es susceptible de dar varios resultados, no pudi+ndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una e-periencia concreta. Cada ejecución del e-perimento se llama una prueba del mismo. Ejemplo / #anzar un dado o una moneda al aire son e-perimentos aleatorios.

e llama e-perimento determinista al que realizado en la mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado (de +stos se ocupa la &ísica!.

De#i!ici$! %. #lamaremos suceso elee!"al a cada uno de los posibles resultados del e-perimen e-perimento to aleatorio. Ejemplo 0/ En el e-perimento "lanzar un dado$ los sucesos elementales son 1.   2 "sacar un $,..........,  1 2 "sacar un 1$.

De#i!ici$! 3  e llama espacio probabilístico o espacio ues"ral, E , al . sucesos elementales. conjunto de todos sus Ejem Ejemplo plo 3/ En el ee-pe peri rimen mento to la lanz nzar ar un unaa mone moneda da el es espac pacio io muest muestra rall ti tien enee do doss elementos, /E &  C, &.

E'erci E'e rcicio cio 1. Encu Encuen entr traa el espa espaci cioo mu muest estra rall del del e-pe e-peri rime mento nto lanz lanzar ar dos dos monedas.

De#i! De# i!ici ici$! $! ( . e llllam amaa suceso a cu cual alqu quie ierr su subc bcon onju junt ntoo de dell es espa paci cioo muestral. 4iremo 4ir emoss que un suc suceso eso,, 5, ocu ocurre rre (o se verif verifica ica!! en una prueba prueba si el resultado de la misma es uno de los sucesos elementales que pertenecen a 5. Ejemplo 6/ El suceso suceso 5 2 sacar par par al lanzar lanzar un dado (52  0, 6, 1 ! se verifica verifica si sale un dos, un cuatro o un seis.

 

Ejemplo 7. i tiramos dos monedas al aire sea 5 2 "al menos una sea cara$. El suceso 5 consta de tres sucesos elementales a saber CC, C& y &C.

En todo espacio muestral podemos distinguir los l os siguientes sucesos/ ♣ ucesos elementales , los subconjuntos con un solo elemento. ♣ uceso se)uro* E, el propio espacio muestral. ♣ uceso iposible* φ, que no po posee see ningn suceso eleme elemental ntal (no ppuede uede verificarse!. 8eni 8e nien endo do en cu cuen enta ta qu quee lo loss suce suceso soss son son su subc bcon onju junt ntos os se su suel elen en us usar ar los dia)raas de +e!! para representarlos.  

&igura 

  ,

E

i 5 y 9 son dos sucesos del espacio muestral E, +ste queda dividido en cuatro partes/ #os que están en 5 y no en 9, los que están en 9 y no en 5, los que están en ambos y los que no están ni en a ni en 9.   &igura 0

 

  a c  b

,

E

d 

En el di dibu bujo jo se *a in indi dica cado do el n nme mero ro de su suce ceso soss el elem emen enta tale less qu quee le less corresponden.

#lamaremos PE/ al conjunto de todos los sucesos, es decir a partes de E.

♠ 4iremos que el suceso , iplica el - * sí siempre que se verifica 5 se verifica 9. e indica , ⊂ -, pues todos los sucesos de 5 pertenecen a 9. Ejemplo 1. 5 2 "sacar un dos$ : 9 2 "sacar par$

 

♠ 4os 4os su suce ceso soss so sonn ig igua uale less cu cuan ando do co cont ntie iene nenn lo loss mism mismos os su suce ceso soss elementales: se puede e-presar esto diciendo que se implican mutuamente, , ⊂  - 0 -⊂  ,.

De#i!ici$! . e llama suceso co!"rario (o complementario! de 5, y se represen repr esenta ta por por 5; ó 5c, al formado por los sucesos elementales de E que no están en 5.  

5

,c

  Es decir se verifica 5c cuando no se verifica 5. Ejem Ejempl ploo d elementos.  

%. Operacio!es co! sucesos  8eniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se definen la/

 U!i$! de sucesos. e llamará u!i$! de dos sucesos 5 y 9 al que se verifica cuando en una 

prueba el resultado es un elemento de 5 o de 9 (o de ambos!. e representa 5∪9 (corresponde a la unión conjuntista!. Ejemplo ?. En la figura 0 el suceso 5 ∪9 tiene a 2 c 2 b elementos.

I!"ersecci$! de sucesos. i!"ersecci$! de 5 y 9 al que ocurre cuando el #lamaremos suceso i!"ersecci$! 

resu result ltad adoo de un unaa pr prue ueba ba es un el elem emen ento to de am ambo bos. s. e repr repres esen enta ta 5 ∩9 (corresponde (correspon de a la intersección conjuntista!. Ejemplo @. En la figura 0 el suceso intersección intersección tiene c elementos.

Di#ere!cia de sucesos.



i 5 y 9 son dos sucesos se define su diferencia como/ ,  - & , ∩ -c. e verifica pues/ ,c & E  ,. Ejemplo . En la figura 0., 5 A 9 tiene a elementos. De#i!ici$! 6 . 4os sucesos 5 y 9 se dice que son i!copa"ibles si tienen intersección vacía. En otro caso se dirán compatibles. Ejemplo 0. Cualquier suceso 5 y su contrario son incompatibles. Ejemplo 3. i e-traemos dos cartas de una baraja espaBola (6@ cartas! los sucesos/ 5 2 " las dos sean copas$ y 9 2 " una sea copas y la otra rey$ son compatibles.

 

Problea 1. En una determinada población el 7@ *a estado casado alguna vez, el 7@ tiene menos de . En una determinada localidad *ay tres partidos políticos/ %%, %IE e )N. e efecta un refer+ndum para decidir si un cierto día se declara fiesta local. #a siguiente

 

tabla nos da los resultados en  en función del partido al que votó cada ciudadano en las ltimas elecciones/

  4  No

PP PP

POE

IU

,bs

07 7

0@ @

= 0

0 =

a! KOu+ probabilidad *ay de que una persona tomada al azar *aya votado í en el refer+ndumL b! Calcular la probabilidad de que un individuo sea del %% sabiendo que *a votado sí. olución/ En primer lugar completamos la tabla con las sumas parciales/

  4  No

PP PP

07 7 6@   a! p( 4 ! 2 @,17:

POE

IU

,bs

0@ = 0 17 @ 0 = 37 3@ @ 0@ @@ b! p( PP=4 ! 2 07J17 2 @,3=.

Ejemplo 0@. En una clase de CIN el 67 de los estudiantes estudiantes suspende Matemática Matemáticas, s, el 1@ suspende física y el 3@ suspende ambas. e selecciona al azar un alumno/ a! i suspendió &ísica KCuál es la probabilidad de que qu e suspendiera MatemáticasL b! i suspendió Matemáticas " " &ísicaL olución ea 5 2 "suspende Matemáticas$ Matemáticas$ y 9 2 " suspende &ísica$ p(5! 2 @,67: p(9! 2 @,1@ : p(5 ∩ 9! 2 @,3@ a! p(5J9! 2 @,3@J@,1@ 2J0: p(9J5! 2 @,3@J@,67 2 0J3

Co!secue!cia: 4e la definición de probabilida probabilidad d condicionada se deduce/   p, ∩ -/ & p-/.p,=-/ ?%  Esta e-presión se conoce como la fórmula de la probabilidad compuesta . Ejemplo 0. Calcular la probabilidad de que al e-trer dos cartas de una baraja la P sea copas y la 0P bastos. olución p( PC, 0P9! 2 p(PC!. p(0P9JPC! p(0P9JPC! 2 No"a: #a fórmula ?%  puede generalizarse

a tres o más sucesos. En el

caso de tres se obtiene/

p, ∩ - ∩ C/ & p,/. p-=,/. pC= , ∩ -/ Ejemplo 00. En una urna *ay *ay 3 bolas blancas blancas , 7 rojas y 6 negras. e e-traen e-traen tres bolas consecutivamente, sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que las tres sean rojas olución p(PD, 0PD, 3PD!2

Obse Ob ser5 r5ac aci$ i$!! %.

 

 Qay ocasiones en que las pruebas no son sucesivas sino simultáneas, lanzar dos dados, e-traer tres cartas de una baraja etc... . e pueden encontrar muc*os casos en que se pueden considerar como si se sucedieran en el tiempo, lo que facilita el cálculo de sus probabilidades.

E'eplo %3. upongamos que tenemos una urna con 7 bolas rojas y 6 bolas negras y que e-traemos dos bolas, esto lo podemos *acer de "res formas/

F! con reemplazamiento  reemplazamiento . #a primera que se e-trae se devuelve a la urna. 0F! si! reeplaaie!"o. " " !o se devuelve " 3F! siul"á!eae!"e. #as dos a la vez. amos a calcular la probabilidad de que las dos sean rojas. F! p(PD, 0PD! 2 reemplazamiento:

con reemplamient reemplamiento: o:

0F! p(PD, 0PD! 2

sin

3F! p(las dos rojas! 2 a la vez.   Ibservamos que en los caso %@ 0 3@ la probabilidad es la misma y su cálculo más sencillo considerando e-tracciones sucesivas. eamos para otro suceso. i queremos calcular la probabilidad de que al e-traer dos bolas una sea roja y la otra negra/ 5 la vez.

p(una roja y otra negra! 2

2

in reemplazamiento. Est suceso es la unión de D y D, ya el orden no importa. importa. on incompatibles/ p (una roja y otra negra! 2 p(D! > p(D! 2 nuevo.  

, luego coinciden de

 

%odemos concluir que en determinados casos simultáneamente "equivale "  a e-tracciones sucesivas sin reemplazamiento.

E'ercicio 8. Desolver el ejemplo 1 utilizando la conclusión anterior. Problea 3. Nna urna contiene = blancas y < negras, *acemos una e-tracción de 0 bolas, en el supuesto de que *emos visto que una de estas bolas es negra. KCuál es la probabilidad de que la otra tambi+n lo seaL

olución ea el suceso 5 2 "al e-traer e-traer dos bolas, al menos menos una sea negra$   " 9 2 "al e-traer dos bolas, las dos sean negras$ e verifica 9 ⊂ 5, luego 5 ∩ 9 2 9 y p (9! 2 p(5! 2 A p(5c! 2  A

:

:

#a probabilidad pedida es/ p(9J5!2

I!depe!de!cia de sucesos  De#i!ici$ De#i! ici$!! >. e dice que un suceso 5 es i!depe!die!"e de otro 9 cuando/  

p,=-/ & P,/

En otro caso se dirá que son dependientes.

Co!secue!cias: i 5 es independiente de 9 ⇒   ♦  p, ∩  -/ & p,/.p-/ . %or ?%  ♦  9 es independiente de 5. 8eniendo en cuenta lo anterior es trivial.    

♦ 5c es independiente de 9. (comprobarlo! ♦ E y φ son independientes de cualquier suceso. Obser5acio!es:

 

 

1/ i los sucesos son incompatibles no pueden ser independientes, pues

p(5 ∩ 9!2@.   %/ %ara *ablar de independencia de dos sucesos 5 y 9 *a de tenerse que 5 ⊄ 9 y 9 ⊄ 5 (a e-cepción de E y φ !   En efecto si, por ejemplo, 9 contenido en 5 ⇒ p(5J9! 2, y p(5 ∩ 9! 2 p(9! ≠ p(5!.p(9!. Ejemplo 06. 06. Qallar  Qallar la probabilidad de que al tirar dos veces una moneda las dos veces salga cara olución

 

on sucesos independientes ⇒ p( dos caras ! 2 (J0!.(J0! 2 J6 07. 4e una baraja de 6@ cartas *acemos dos e-tracciones sucesivas, sin Ejemplo 07. devolución . Calcula la probabilidad de que las dos sean reyes. olución on sucesos dependientesG6H, pues al sacar una carta se modifica la composición de la baraja. p( 0 reyes ! 2 p(rey la P!. p( rey la 0PJ *a sido rey la P! 2

No"a / / e puede generalizar a tres o más sucesos. Ejemplo 01.   Nn avió aviónn co conn tres tres bo bomb mbas as tr trat ataa de destr destrui uirr un unaa líne líneaa f+ f+rr rrea ea:: la Ejemplo 01. probabilidad de destruir la línea con cualquiera de las bombas es J3. KCuál es la probabilidad de que la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombasL olución #a probabilidad de que una  determinada  bomba  bomba no *aga blanco es / #a probabilidad de que !i!)u!a Aa)a bla!co, es ni, 3P!, pues son sucesos independientes.

,( es decir no acierte acierte ni P, ni 0P

#a probabilidad de que al e!os u!a Aa)a bla!co es  A contrarios.

2

, ya que son

  (. Experie!"os copues"os. Teorea de -a0es  En un e-peri e-perimento mento aleatori aleatorioo *ay que consider considerar ar las condi condiciones ciones en que se *ace el e-perimento y los resultados posibles del mismo. 5 veces se consideran varios e-perimentos sucesivos y las condiciones de cada uno pueden ser o no influidas por los resultados del precedente. 8enemos así una primera idea intuitiva de dependencia e independencia de e-perimentos aleatorios. Qasta aquí nos *abíamos referido a la dependencia e independencia de sucesos relativos a un mismo espacio probabilístico (E , 5, , p!. upongamos a*ora d definido efinido un segundo segun do ee-pe peri rime mento nto qu quee da or orig igen en al espac espacio io (E0, 50 , p0!, llam llamarem aremos os espa espacio cio producto cartesiano E- E0  al formado a partir de los m.n sucesos elementales/   (5i, 9 j! (i 2 , 0, ........., n : j 2 , 0, ........, m ! %odremos definir una probabilidad para E - E0 de la forma siguiente/ i no se pueden considerar los e-perimentos como físicamente independientes, se calcularán las probabilidades de los sucesos del producto cartesiano por la relación/

 

p,i* - '/ & p1,i/p%- '=,i/ 

i se pueden considerar independientes se tendrá/

 

p,i* - '/ & p1,i/p%- '/ 

 

8endremos, pues, el espacio probabilístico (E - E0,

5,

p!

No"a. En la práctica se identifica el suceso (5, 9! con el suceso ocurrir 5 y 9 (5∩9!. 0 p(50 !p(9J 50!, luego/ p(9! 2  

2 @,7666

sometidos etidos a juicio son culpables 6. En un cierto país, el ?? de los detenidos y som del delito que se les imputa. #os jueces, al emitir veredicto, aciertan en el ?7 de los casos, tanto si el acusado es culpable como inocente. egn estos datos, calclese la probabilidad de que/ a! un ciudadano inocente *aya sido declarado culpable. b! sea culpable, si *a sido declarado inocente. olución  

dec. C

 

%rob. @,?6@7

@,?7

@,?? C @,@7 dec. ) @,@6?7

   

@,@7 dec.C @,@@@7  

@,@

)

 

  @,?7

dec. )

@,@@?7

#uego/ p(dec. C! 2 @,?6@7 > @,@@@7 2@,?6@, p( dec. )! 2 @, @6?7 > @,@@?7 2 @,@7?@ p( ) Jdec. C! 2 @,@@@7J@,?6@ 2 @,@@@73 p(CJ dec. )! 2 @,@6?7J@,@7?@ 2 @, =3=?

8. En una ciudad el @ de los adultos escuc*a la radio, el 6@ lee el periódico  y el @,