Apuntes de Mec nica del Medio Continuo
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MECÁNICA DEL MEDIO CONTÍNUO
UNIDAD DE INVESTIGACIÓN Y ASISTENCIA TÉCNICA EN MATERIALES DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECÁNICA E INDUSTRIAL UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Índice
ÍNDICE Capítulo 1 Antecedentes Generales de la Mecánica del Medio Continuo
1.1
Introducción
1
1.2
Tensores
3
1.3
Operaciones con tensores
7
1.4
Operadores tensoriales
13
1.5
Factorización
15
1.6
Tensores con características particulares
16
1.7
Eigenvalores y Eigenvectores
20
1.8
Leyes de transformación de tensores
26
1.9
Calculo diferencial e integral aplicado a tensores
32
1.10
Teoremas integrales para vectores
40
1.11
Formulas de transporte
46
1.12
Coordenadas Curvilíneas
47
Capitulo 2. Cinemática del Continuo 2.1
Introducción.
64
2.2.
Conceptos Generales de Cinemática del Continuo
66
2.3
Descripción Material y Descripción Espacial
67
2.4
Derivada Material
68
2.5
Campo de desplazamiento
71
2.6 Conceptos y definiciones
72
I
Índice
Capitulo 3. Deformación 3.1
Conceptos Generales
81
3.2
Deformación Infinitesimal
82
3.3
Rapidez de cambio de un elemento material.
89
El tensor de rapidez de deformación (D). 3.4
Ecuaciones de Compatibilidad
93
3.5
Gradiente de Deformación (F)
94
3.6
Tensor Lagrangiano de deformaciones finitas
99
(Tensor Lagrangiano de deformación) 3.7
Tensor de deformación Cauchy-Green por izquierda
101
3.8
Tensor de deformación Euleriana
102
3.9
Condiciones de compatibilidad para el tensor de
105
deformaciones finitas: 3.10
Cambio de área debido a deformación.
106
3.11
Cambio de volumen debido a deformación
108
3.12
Descripción del gradiente de deformación para una
108
referencia cilíndrica
r , , z y para una base esférica
Capitulo 4. Esfuerzos 4.1
Conceptos Generales
115
4.2
Vector de esfuerzos
116
4.3
Tensor de Esfuerzos de Cauchy
118
4.4
Círculo de Mohr para esfuerzos
124 II
Índice 4.5
Tensores de esfuerzos de Piola-Kirchhoff o
129
Tensor de esfuerzos Langragiano
Capitulo 5 Ecuaciones Generales
5. 1
Introducción
115
5.2
Ecuación de Conservación de Masa
137
5.3
Ecuación de Conservación de Cantidad de Movimiento)
141
(Ecuación de Cauchy) 5.4
Principio de esfuerzos de Cauchy
147
5.5
Ecuación de Conservación de la Energía
149
5.6
Desigualdad Entrópica
154
Capitulo 6 Comportamiento Elástico. 6.1
Antecedentes
159
6.2
Descripción del comportamiento
160
6.3
Idealizaciones para el comportamiento elástico
166
6.3.1 Simetría elástica
167
6.3.2
Sólido elástico, homogéneo, lineal y monotrópico
169
6.3.3
Sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico
175
6.3.4
Sólido elástico, homogéneo, lineal y transversalmente isotrópico
179
6.3.5
Sólido elástico lineal homogéneo e isotrópico
187
6.4
Aplicación de la teoría de la elasticidad en el análisis
195
de diferentes problemas básicos: 6.4.1.
Estudio de un cilindro circular sometida a Torsión
195 III
Índice 6.4.2
Barra sometida a carga uniaxial (tracción ó compresión)
203
6.4.3
Viga (Barra) sometida a Flexión pura
205
6.4.4
Efecto combinado de Flexión y Torsión.
211
6.4.5
Viga curvada sometida a flexión pura
211
6.5
Estados particulares de Esfuerzo y Deformación
215
6.5.1
Estado de Esfuerzos Planos (Estado Biaxial de Esfuerzo)
216
6.5.2
Estado de deformación Biaxial
217
6.5.3
Aplicación de las Funciones de Esfuerzo de Airy en la determinación del estado de esfuerzos y deformaciones asociados a la presencia de una Dislocación de borde.
222
6.6
Ecuaciones de la Teoría Infinitesimal de la elasticidad
224
6.6.1
Ecuaciones de Navier
226
6.6.2
La ecuación de Navier en coordenadas rectangulares se expresa
227
6.6.3
Ecuaciones de Navier en coordenadas cilíndricas
227
6.6.4
Ecuaciones de Navier en Coordenadas esféricas (r, , )
229
6.7
Análisis del desplazamiento de ondas elásticas a través de un sólido
231
6.7.1
Análisis de una Onda plana Irrotacional
231
6.7.2
Onda plana de equivolumen
235
6.8
Elasticidad no lineal
237
Capitulo 7 Fluidos Viscosos Newtonianos 7.1
Conceptos Generales.
275
7.2
Fluidos Compresibles e Incompresibles
277
7.3
Ecuaciones de la hidrostática
278
7.4
Movimiento de Cuerpo Rígido del Fluido
281
7.5
Fluido Newtoniano
285
7.5.1
Fluido Newtoniano Incompresible
288
IV
Índice 7.5.2
Ecuaciones de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles
289
7.6
Líneas de Trayectoria y Líneas de Corriente.
295
7.7
Flujo establecido y Flujo Transitorio
298
7.8
Flujo Laminar y Flujo Turbulento
299
7.9
Flujo de Couette
299
7.10
Flujo uniaxial producido por presión –Poiseuille
300
7.11
Flujo inducido por presión a través de un conducto
302
de sección circular (tubo) 7.12
Flujo inducido por velocidad entre dos cilindros con longitud infinita
308
7.13
Flujo Rotacional e irrotacional
312
7.14
Funciones disipativas en Fluidos Newtonianos
317
7.15
Difusividad Térmica
319
7.16
Flujo irrotacional de un fluido no viscoso de densidad homogénea.
321
7.17
Ecuación de transporte de vorticidad para un fluido viscoso
325
incompresible de densidad homogénea. 7.18
El concepto de Capa Límite
326
7.19
Fluido Newtoniano compresible
330
7.20
Ondas acústicas
333
V
Mecánica del Medio Continuo
Antecedentes Generales de la Mecánica del Medio Continuo
1.1 Introducción Teoría del Continuo. La materia, en términos generales, está formada por; moléculas, átomos y iónes. En cualquiera de los casos la unidad fundamental se reduce a los átomos, los cuales están constituidos a su vez por partículas subatómicas. De acuerdo a lo reportado las dimensiones del radio atómico equivalente de los elementos es del orden de 10-10 m, por su parte los datos recabados por la física permiten estimar que el radio del núcleo atómico es menor a 10-13 m. Del análisis comparativo de estos dos valores se constata que el átomo dista mucho con ser un continuo; por consecuencia, la materia cualesquiera que sea su estado no lo será. Es entonces que se concluye que cualquier cuerpo ocupa un lugar en el espacio y que ningún otro podrá ocupar el mismo lugar al mismo tiempo, sin embargo no lo ocupa en su totalidad. A pesar de lo antes expuesto mucho del comportamiento de los materiales ante las solicitaciones que les son impuestas se puede describir a partir de considerarlos como continuos. Los análisis tradicionalmente efectuados para describir el comportamiento tanto de fluidos como, sólidos, y aún en el caso de materiales porosos, se puede realizar considerando a éstos como medios infinitamente divisibles. Es por tanto que la teoría que permite describir el comportamiento macroscópico de los materiales negando su microestructura es conocida como Teoría del Continuo. Resulta evidente que la Teoría del Continuo permitirá la prospección de los fenómenos a partir de ciertas dimensiones mínimas, estos valores límite dependerán del material y del fenómeno bajo estudio; por ejemplo en el análisis de los estados de esfuerzos y deformaciones para los metales las dimensiones mínimas para realizar la idealización de continuo son del orden de 10-8 m, esto es cien veces las dimensiones del átomo. De lo anterior se tiene que al aplicar la teoría del continuo en un metal en el cual existen dislocaciones; es posible describir el campo de esfuerzos, de deformaciones y la energía asociada a la presencia de estas dislocaciones; esto bajo consideraciones de continuo; condición que puede ser aplicada a la totalidad de la dislocación con excepción del núcleo de la misma, esto es para dimensiones por debajo de 10-8 m. Considerando lo antes expuesto se concluye que si bien la Teoría del Continuo es muy útil para el análisis de una gran variedad de situaciones, ésta no podrá ser utilizada en el caso de que los fenómenos se describan a través de parámetros que estén por debajo de la dimensión límite para la cual el material pueda ser considerado como continuo. Por ejemplo, algunos fenómenos de propagación de ondas de muy reducida longitud no pueden ser descritos a través de ésta teoría. Por consecuencia la aplicación de la mecánica del continuo, no depende de la conceptualización filosófica, ya que ningún medio es infinitamente divisible, sino de la congruencia existente entre el comportamiento observado y los resultados que se desprenden de la aplicación de la teoría y de la idealización del comportamiento del material. Afortunadamente en muchos casos los resultados que emergen de la aplicación del concepto de continuo son congruentes con lo observado experimentalmente, lo que ha permitido el desarrollo de muchas teorías de amplia aplicación en la actualidad. Los conceptos que se derivan la Mecánica del Medio Continuo (MMC), por el espectro de aplicación de los resultados obtenidos, se pueden agrupar en dos grandes áreas: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
1
Mecánica del Medio Continuo a.
b. c.
Principios generales que son comunes a todos los medios. Éstas son leyes de la Física ampliamente demostradas y que deben de ser cumplidas por cualquier medio. Por ejemplo las leyes de conservación de masa o de energía. Ecuaciones constitutivas que definen el comportamiento de materiales idealizados. Por ejemplo sólidos elásticos lineales o fluidos Newtonianos.
Los principios generales son axiomas evidentes de nuestra realidad física, entre los que se pueden mencionar las leyes de conservación de masa y de conservación de energía, balance de momentum lineal y de de momento de momentum y la ley de desigualdad entrópica. Matemáticamente existen dos formas de presentar estos axiomas: 1. 2.
Forma integral, en este caso corresponde a un volumen finito de material Forma diferencial o ecuaciones de campo, en la que el principio corresponde a un volumen diferencial del material (partícula) de cada punto del campo bajo análisis.
Como ha sido antes mencionado, las ecuaciones constitutivas representan la otra parte fundamental de la Mecánica del Continuo. Éstas se desarrollan para materiales idealizados, por ejemplo para aquellos en que la deformación solo depende de las solicitaciones aplicadas y dicha deformación desaparece al eliminar las solicitaciones (sólido elástico), cuando las deformaciones son además infinitesimales se puede realizar la idealización de que las deformaciones son linealmente proporcionales con las solicitaciones (sólido elástico lineal), material en el cual además las propiedades no se modifican con la posición y son iguales en todas direcciones (sólido elástico lineal homogéneo e isotrópico). Ésta última descripción si bien representa un alto grado de idealización es muy útil para describir el comportamiento de los metales recocidos o provenientes de fundición. En el caso de muchos líquidos, como por ejemplo el agua, se tiene que los esfuerzos de corte son linealmente proporcionales con la velocidad de deformación, de lo que se desprende el concepto de viscosidad y se definen los fluidos denominados como Newtonianos. Con todo lo expuesto se pueden mencionar algunos de los comportamientos idealizados como:
a. b. c. d. e. f. g. h.
Sólido elástico homogéneo, lineal e isotrópico Sólidos elásticos lineales y anisotrópicos Sólido elástico no lineal e incompresible Fluidos no viscosos Fluidos linealmente viscosos compresibles e incompresibles Fluidos no newtonianos Sólidos elastoviscosos Materiales poroelásticos, etc.
Una herramienta fundamental para la Mecánica del Medio Continuo (MMC) son los tensores, ya que éstos si bien desde el punto de vista del algebra representan transformaciones lineales entre espacios vectoriales, en MMC se emplean también para representar cantidades físicas asociadas a los Medios Continuos (MC). Por tal motivo en la primera etapa del texto se describirán éstos así como las reglas fundamentales del álgebra y del cálculo con las cuales cumplen éstos.
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2
Mecánica del Medio Continuo
1.2 Tensores
Notación Índice. Las leyes de la Mecánica del Continuo deben de ser formuladas de manera independiente a las coordenadas, de tal forma que el empleo de Tensores permite el desarrollo de éstas. En un sistema escalar existe correspondencia de una cantidad (número) a un punto, esta situación se extiende a un espacio “n” dimensional. En el caso de emplear un sistema coordenado cartesiano el uso de la notación índice permite una presentación simple y funcional, a la vez de elegante, de los conceptos. Concepto de notación Índice. La notación índice es una simplificación del concepto de sumatoria, de tal forma que si:
a1 x1 a2 x2 a3 x3 ...... an xn expresión que se puede simplificar como:
ai x j obviando el concepto de sumatoria, la igualdad se presenta simplemente como:
ai x j de lo expuesto resulta evidente que:
ai xi
ak xk
am xm Considerando que la mecánica del continuo permite describir el comportamiento de los cuerpos, donde estos se relacionan con el espacio tridimensional, es entonces que la sumatoria se realiza de 1 a 3 y que la notación índice permite simplificar la presentación de los términos, entonces:
a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn En ocasiones se tiene por ejemplo:
aij xi x j a11 x1 x1 a12 x1x2 a13 x1b3 a21x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a3b1 a3b2 a31x3 x1 Por ejemplo: Tij 3i 1 3i 1 ai b j a1b1 a1b2 a1b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3b1 a3b2 a3b3 Es por tanto que la presencia de dos índices representa una doble sumatoria, lo cual se puede extender al número de índices que se requiera.
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Mecánica del Medio Continuo En general no se emplean como índices las últimas letras del alfabeto. Algunos ejemplos de desarrollo de la notación índice:
xi Cij r j x1 C11r1 x12 r2 x13r3 x2 C 21r1 x22 r2 x23r3 x3 C31r1 x32 r2 x33r3 Por otra parte si:
Aij Bip C jq D pq
i, j de 1 a 2
A11 B11C11D11 B12C11D21 B12C12 D22 B11C12 D12 A12 B11C 21D11 B11C 22 D12 B12C 21D21 B12C 22 D22 A21 B21C11D11 B21C12 D12 B22C11D21 B22C12 D22 A22 B21C 21D11 B21C 22 D12 B22C 21D21 B22C 22 D22 Tij Aim A jm Aij
i, j de1.a. 3
T11 A1m A1m A11 A11 A12 A12 A13 A13 T12 A1m A2 m A11 A21 A12 A22 A13 A23 T13 A1m A3m A11 A31 A12 A32 A13 A33 T33 A3m A3m A31 A31 A32 A32 A33 A33 Tij Tik
Definición de Tensor. De acuerdo con el álgebra un tensor se define como una transformación lineal entre espacios vectoriales, de tal forma que si T es un tensor que transforma al vector al vector a en c y al b en d, entonces se deberá cumplir que: Ta c Tb d
De tal forma que:
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Mecánica del Medio Continuo
T a b Ta Tb T a Ta
T a b Ta Tb Si Ta c Sa c T S Por otra parte si:
Ta n Tb n
T a b n entonces
T a b Ta Tb
Por lo tanto T no representa una transformación lineal y por lo tanto no se trata de un tensor. En particular en la Mecánica del Medio Continuo los tensores se emplean para describir las cantidades físicas asociadas a estos. Resulta evidente que los efectos de cualquier solicitación aplicada a un MC serán independientes de la base de referencia, por consecuencia la descripción tensorial de una propiedad física asociada a un continuo existe de manera independiente a cualquier sistema coordenado. De lo antes expuesto se concluye que las componentes del tensor pueden cambiar en función del origen definido o del sistema coordenado de referencia, sin embargo los efectos serán únicos bajo una determinada solicitación. Los componentes en un sistema de referencia cualesquiera definen al tensor bajo cualquier referencia. Dado que una solicitación en particular representa una realidad física única es entonces que las leyes de la mecánica del continuo son expresadas en forma de ecuaciones tensoriales. La invariancia de estas ecuaciones es la razón del empleo de tensores en la MMC.
Las cantidades físicas asociadas a un medio continuo pueden estar definidas sin tener relación con la base coordenada de referencia y por consecuencia describirse exclusivamente a través de su magnitud (cantidades escalares tales como la densidad o la temperatura); estar referidas a cada uno de los vectores unitarios que describen la base (cantidades descritas vectorialmente tales como la velocidad o las fuerzas), o estar referidas por un par de o más ejes (descripción matricial, tales como los esfuerzos o deformaciones). El número de ejes que describen a la cantidad tensorial determina su rango (tabla 1.1), siendo desde luego éste independiente de la base utilizada.
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Mecánica del Medio Continuo
Tabla 1.1 Rango del Tensor Rango (r)
Representación
Cero
Letra minúscula del alfabeto griego
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Aplicación
Ejemplos
etc.
Cantidades físicas que no están relacionadas con los ejes y que por lo tanto se representan como escalares
Masa, densidad, volumen específico, temperatura, etc.
1
Letras minúsculas del alfabeto latino
b,c,d
Cantidades asociadas a los medios continuos, las cuales se definen con relación a un eje. Por lo tanto se representan como vectores.
Velocidad (vi), posición(Xi, xj), desplazamiento(ui), fuerza(fi), etc
3
Letras mayúsculas del alfabeto latino
T, C, F, A,
Propiedades asociadas con dos ejes a la vez. Éstos se denominan simplemente como tensores de rango dos o Díadas.
Esfuerzo(T ó )
9
Propiedades asociadas con tres ejes
Propiedades de los cristales piezoeléctricos
27
Propiedades asociadas a dos pares de ejes.
Tensor de constantes elásticas (Cijkl)
81
Tij, Ckl, Fmn, Ars
Letras mayúsculas del alfabeto latino
T, C, F, A,
Letras mayúsculas del alfabeto latino
T, C, F, A,
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bi, ci, dj, hk
Tijk, Cklm, Fmnj, Arsk
Tijkl, Cklmn, Fmnrs, Arsij
Número de características que definen al tensor (n = 3r )
Deformación (E ó ) Rapidez de deformación (D)
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Mecánica del Medio Continuo
Dada la relación existente entre las cantidades tensoriales y la base es común el empleo de notación índice para describir a los tensores, esto aplica en particular cuando se emplea un sistema coordenado cartesiano (base rectangular). Existen varios tipos de notación índice, por ejemplo:
ai , b j ,Tij , ijk , R pk
Cuando un índice se repite se define como falso y no aporta al rango del tensor, mientras que cuando los índices no se repiten se define como libres, describiéndose a través estos el rango del tensor, por ejemplo:
Tensor de 1er orden
ai , bi , aij b j , Fikk , Rpqp , ijk u j uk Tensor de 2do orden
Dij , Di, j , D,ij , D ij , Aiijp , B,ijjk , ij u k u k
1.3 Operaciones con tensores: Para los tensores se definen operaciones de adición, sustracción y producto. En el caso de la adición y sustracción el rango de los tensores involucrados en la operación deberá ser el mismo y estas operaciones se realizan término a término. Al hacer referencia a las propiedades es conveniente recordar la factibilidad de representar a los tensores de primer orden como vectores (matrices renglón o columna), a las díadas (tensores de segundo orden) como matrices de 3x3 y a los tensores de cuarto rango como matrices de 9x9, entonces las propiedades con respecto a las operaciones serán las mismas que las descritas para las matrices i.
Conmutatividad
a b b a ab ba ii.
Asociatividad con respecto a la adición
a b c a b c iii. Asociatividad, distributividad y conmutatividad con respecto a la multiplicación por un escalar escalares (tensores de rango cero) y A, B tensores de rango superior, entonces:
Sean y
A A A A , entonces A A Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
A A A A B A B iv. Asociatividad de la adición con respecto al producto entre tensores de dimensión superior a la cero. Al igual que con las matrices no existe conmutatividad en la operación producto. Sean T, S tensores de rango dos (diadas) y “a” un tensor de rango uno, entonces:
T S a Ta Sa T S a a T S La adición de tensores se realiza término a término, de tal forma que:
T S W en notación índice : Tij S ij Wij
T11 T12 T13 Tij T21 T22 T23 T 31 T32 T33 S11 S ij S 21 S 31
S12 S 22 S 32
S13 S 23 S 33
Donde desde luego el tensor W tiene el mismo rango de sus predecesores.
T11 S11 T12 S12 T13 S13 Wij T21 S 21 T22 S 22 T23 S 23 T S T32 S 32 T33 S 33 31 31 Producto de Tensores v. Asociatividad de la operación producto. Como ya antes fue mencionado no existe conmutatitividad en ésta operación.
TS a T Sa TS ST
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Mecánica del Medio Continuo
T SV a T SV a T S Va TS Va T S Va T SV TS V
vi.
Operaciones con la transpuesta del tensor
aTb bT T a en el caso de que el tensor sea simétrico T T T aTb bT T a bTa
e jTij e j e jT ji ei aiTij b j b jT ji ai eiTe j e jT T ei Tij T jiT Producto diádico de 2 vectores
T Tij ei e j T T11e1e1 T12e1e2 T13e1e3 T33e3 e3 Multiplicación de Tensores Producto Vectorial (producto cruz) A través de esta operación se define un nuevo tensor del mismo rango de sus predecesores. Esta operación se le relaciona comúnmente a tensores de rango uno, de tal forma que se da lugar a un nuevo vector el cual es normal al plano definido por sus factores.
a b c, donde c a, b ab b a
a b a b Sen eˆi
ángulo entre las direcciones a, b eˆi vector unitario normal al plano definido por a, b
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Mecánica del Medio Continuo Producto punto o producto interno. Si bien este producto, como se definirá más adelante se describe para cualquier tensor de rango mayor a cero, es usual su aplicación en tensores de rango uno; para los cuales representa la proyección de uno en otro.
a b b a a b Cos Donde representa al ángulo menor definido entre los vectores a, b.
En notación índice equivale a
ai bi a1b1 (eˆ1eˆ1 ) a2 b2 (eˆ2 eˆ2 ) a3b3 (eˆ3 eˆ3 ) a1b1 a 2 b2 a3b3 abba a i bi bi a i
Este producto también se puede definir para tensores mayores del rango 1, por ejemplo:
T : M Tij M ij traza Tij M kl
T11M 11 T22 M 22 T33M 33 T12 M 12 T13M 13 T21M 21 T23M 23 T31M 31 T32 M 32 Producto punto vector-diada
aE b ai Eij b j
a1
E11 a3 E21 E31
a2
E12 E22 E32
E13 (a1 E11 a2 E21 a3 E31 )eˆ1 (a1E12 a2 E22 a3 E32 )eˆ2 E23 (a E a E a E )eˆ E33 3 31 3 32 3 33 3
Producto punto Diada-vector
Ea C Eij a j Ci
E11 E 21 E31
E12 E22 E32
E13 a1 ( E11a1 E12 a2 E13a3 )eˆ1 E23 a2 ( E21a1 E22 a2 E23a3 )eˆ2 E33 a3 ( E31a1 E32 a2 E33a3 )eˆ3
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Mecánica del Medio Continuo El triple producto escalar representa el producto punto de dos tensores de rango uno donde uno de ellos es a su vez resultado de un producto vectorial. Donde el resultado representa el volumen (V) del prisma definido a través de los vectores a, b, c.
a b c a b c V Por razones de operación es evidente que primero se deberá realizar el producto cruz.
El triple producto vectorial, representa el producto cruz de dos vectores; uno de los cuales es a su vez resultado de un previo producto vectorial, en este caso se cumplen las siguientes identidades.
a b c a c b a b c
a b c a b c Solamente si b c a 0
a b c a b c
Solamente si b c a 0
Producto interno entre díadas
A
2
ij
Aij Aij
Aij Bij Aij B ji Aij Bij T
Aij Aij Aij Aij I ij 1
1
Si Aij Aji I ij
Aij Tensor ortogonal
Si det Aij 1 Matriz ortogonal propia El producto tensorial equivale al producto de tensores con índices diferentes (libre), de tal forma que éstos se suman incrementando el rango del tensor resultante, por ejemplo:
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Mecánica del Medio Continuo
a b T
Tij rk M ijk lo anterior se representa como:
T r R , donde T es un tensor de segundo orden, r es de primer orden y R es un tensor de tercer orden.
En la operación definida como producto tensorial , se incrementa el rango del tensor resultante, esto es equivalente a que todos los índices sean diferentes (libres), y por lo tanto se acumulen.
M ij N kl R i jkl M N R En notación índice se expresa como:
ai b j Tij vi F jK TijK
Dij TKm M ijKm
ijk vm N ijKm Contracción o eliminación de índices falsos ó repetidos, como ya fue enunciado cuando los índices se repiten se anulan y por consecuencia se reduce el rango del tensor resultante:
Tii Eij a j bi
ai bi Eii a j b j
Eij Fim y jm Eij Fkk M ij
E ji Fki H jk
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Mecánica del Medio Continuo
Eii Fkm N km Eij Fkj Bik
Eij ai c j forma correcta ai Eij c j Eij F jm Qim Otras combinaciones de operaciones producto definidas para tensores: La combinación de productos punto y productos cruz se puede expresar como:
ab cd a bc d ab cd a bc d f i ab cd a bc d vi
abcd a b c d Tij
1.4 Operadores tensoriales. Delta de Kroneker. En el caso de tensores de rango dos (díadas) se define un operador identidad con relación a la operación producto a éste se le denomina como Delta de Kroneker (ij), si la notación es matricial simplemente se referirá como operador identidad (I).
La delta de Kronecker ij se define entonces como:
1 i j 0 i j
ij
11 22 33 1 1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1 Por lo tanto:
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Mecánica del Medio Continuo
ii 11 22 33 3 1m am 11a1 12 a2 13a3 a1 2 m am 21a1 22 a2 23 a3 a2 3m am 31a1 32 a2 33a3 a3 ij a j a1eˆ1 a2eˆ2 a3eˆ3 ai
1mTmj 11T1 j 12T2 j 13T3 j 11T1 j T1 j 2 mTmj 21T1 j 22T2 j 23T3 j 22T2 j T2 j 3mTmj 31T1 j 32T2 j 33T3 j 33T3 j T3 j imTmj Tij im mj ij im mn nj ij Si e1 , e2 , e3 son los vectores directrices
ei e j ij
Permutador. Este termino también conocido como alternador de Levy-Civita (definido así en honor del matemático italiano Levy-Civita (1873-1941), es un operador empleado en notación tensorial como símbolo de permutación o alternador (ijk ó Cijk). Facilita la presentación en notación índice, solamente puede tomar valores ijk 0, 1 . El valor de +1 corresponde a una permutación natural 1, 2, 3; 2, 3, 1; 3,1, 2; el valor de -1 corresponde al caso de que la permutación sea en sentido inverso; 1, 3, 2; 3,2, 1; 2, 1, 3. Por su parte el valor cero corresponde al caso en que se ha perdido el orden, y los índices se repiten. De lo expuesto se concluye:
1 ijk 1 De acuerdo con cualquier ijk 0
ijk jki kij ikj kji Considerando los vectores unitarios Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
14
Mecánica del Medio Continuo
e1 e2 e3 e2 e3 e1
e2 e1 e3
123 231 312 1 321 213 132 1 112 333 113 0 Cijk C jki Ckij Cikj Ckji Ciii Ckki Ckjk 0 ei e j ek ijk
El producto vectorial (x) también se emplea para el caso de tensores de tal forma que:
e1 e2 e3 ó ei e j ek , empleando el permutador la operación se expresa como: ei e j ek ijk ek El símbolo de permutación ( ijk ) , alternador ó permutador es útil para expresar el producto vectorial, tal que
a b y el triple producto escalar, de tal forma que: a b ai eˆi b j eˆ j ai b j ijk eˆk jki a j bk eˆi ijk a j bk eˆi Dado que : a a 0, entonces :
ijk a j a k 0 por otra parte
a b c ijk a j bk ci a1 ijk ai b j c k b1 c 1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
1.5 Factorización. En la notación índice se deberá tener cuidado en la factorización ya que es muy fácil caer en incongruencias; por ejemplo sea T una diada, n un tensor de primer rango, y un escalar, entonces, en notación matricial se tiene que si: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
Tn n
igualando a cero queda; factorizando se expresa como
Tn n 0
T I n 0 ,
lo cual en notación índice se expresa como:
Tij n j ni igualando a cero se tiene;
Tij n j ni 0
lo cual evidentemente no se puede factorizar en la forma (Tij )n j 0 , ya se estaría restando a una diada un escalar, por tal motivo para la factorización es necesario desarrollar según:
Tij n j ni ij n j por lo que al igualar a cero se tiene; Tij n j ij n j 0 , lo que al factorizar queda;
(Tij ij )n j 0 descripción que corresponde a lo presentado en notación matricial.
1.6 Tensores con características particulares.
A partir del concepto general de tensor se pueden definir algunos que presentan determinadas peculiaridades, estos no necesariamente existirán para cualquier rango, y aún cuando muchos de estos tipos particulares se relacionan con las díadas no necesariamente son exclusivos a éstas. Por ejemplo se define: Tensor simétrico. Son aquellos en los que T Tensor antisimétrico, es aquel en el que es igual a cero T
ii
T T ó en notación índice Tij T ji .
T T T , ó Tij T ji , estos tensores se caracterizan en que su traza
0.
Con base en lo anterior se tiene que todo tensor de rango dos simétrica
T y una parte antisimétrica T ; S
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A
T se puede descomponer en una componente
T T S T A , de tal forma que:
16
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Tij
1 Tij T ji 1 Tij T ji ó en notación general T 1 T T T 1 T T T 2 2 2 2
Tensor ortogonal
Q ó Q . Se trata de aquella transformación lineal en donde los vectores o cantidades ij
tensoriales a los cuales les es aplicada la transformación (Q) conservan sus características (ángulos y longitudes en el caso de un vector). Estos se caracterizan además en que su inversa está dada por la transpuesta del tensor:
QQT I ó en notación índice;
QimQ jm Qmi Qmj ij
estos tensores permiten el cambio de base de tal forma que:
v Qv ó
B QBQT
para vectores para díadas
donde v’ y B’ son un vector y una díada definidos en la nueva base (x’), mientras que v, B están representados en la base original (x). Suponga que Qij es un tensor que permite el cambio de la base x a la x’, entonces
Q11 Q12 Qij Q21 Q22 Q 31 Q32
Q13 Q23 Q33
Donde Qij Cos(ei, e j ) , donde ei dirección de los vectores unitarios en la base x’, mientras que
e j dirección de los vectores unitarios en la base original x .
Por ejemplo para realizar un cambio de base de tal forma que el eje x3' x3 , esto representa que el nuevo sistema está dado al rotar un ángulo x1 , x 2 alrededor del eje x3 . Entonces la matriz de transformación está dada por: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Cos Q Sen 0
Sen Cos 0
0 0 1
eˆ'1 cos eˆ1 seneˆ2 eˆ2' seneˆ1 cos eˆ2
Dado que:
eˆ3' eˆ3
Tensor Isotrópico. Se trata de aquellos tensores cuyos componentes permanecen sin cambio bajo cualquier modificación en el sistema coordenado, esto es al modificar la base todos los componentes del tensor permanecen invariables.
ai ai
sistema xi y sistema xi
Tij Tij Clkm Clkm Sean A, B, C, D, E tensores isotrópicos, si; B H , donde
H es un nuevo tensor isotrópico (esto es el producto
de un escalar por un tensor isotrópico da lugar a otro tensor isotrópico). Por parte si A B C F ; la suma de tensores isotrópicos da lugar a un nuevo tensor isotrópico (F). Considerando las dos condiciones antes expuesta se cumple también que; A B C D , donde D es también un tensor isotrópico. Para el caso de A B E , se tiene que E es también isotrópico (el producto tensorial de tensores isotrópicos da como resultado un nuevo tensor isotrópico). Por otra parte es importante mencionar que el único tensor isotrópico de rango dos es la delta de Kroneker ó tensor identidad. ( ij ). Tensor isotròpico de orden 4. De acuerdo a lo antes planteado un tensor isotrópico de rango 4 se puede describir a través de la sumatoria de tensores isotrópicos del mismo rango, los cuales son multiplicados por un escalar. A su vez cada uno de éstos se definir a través del producto de tensores isotròpicos de orden dos (solo es isotrópica la delta de Kroneker), lo anterior se puede expresar como:
aij akl Aijkl aij ij ; akl kl
( Aij es un Tensor. Isotròpico de 4º orden)
Cijkl Aijkl Bijkl Gijkl (C, B, G son tensores isotrópicos de 4° rango)
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Mecánica del Medio Continuo
Para aplicar los anteriores conceptos suponga que C ijkl es un tensor isotrópico, el cual permite la transformación lineal entre los espacios Tij y Ekl de tal forma que: Tij Cijkl Ekl , donde
Tij T ji , Ekl Elk , Cijkl Cklij además de isotrópicos los tensores T, E, C son simétricos, es entonces que C se puede descomponer como:
Cijkl Aijkl Bijkl Gijkl Aijkl Aij Akl , Aij ij , Akl kl Aijkl ij kl
Bijkl Bij Bkl , Bij ik , Bkl jl Bijkl ik jl Gijkl Gij Gkl , Gij il , Gkl jk Gijkl il jk Sustituyendo:
Tij Cijkl Ekl
Tij ij kl ik jl il jk Ekl ij kl Ekl ik jl Ekl il jk Elk ij Ekk ik E jk il E jl Tij ij Ekk Eij Eij
Componentes esférica y desviadora de los tensores simétricos de rango dos. Todo tensor simétrico de segundo rango Tij tal que Tij T ji se puede descomponer en dos tensores de la esf d esf forma: Tij Tij Tij , donde Tij es la denominada componente esférica del tensor Tij y representa un tensor
cuyo valor es igual en todas direcciones y de ahí su denominación (se trata entonces de un tensor isotrópico). Por d su parte la componente desviadora Tij representa un tensor cuya componente esférica es igual a cero. La
componente esférica se define como:
1 1 Tijesf Tkk ij T11 T22 T33 ij , 3 3 ó en notación general
1 T esf ( TrazaT ) I 3 Por su parte el tensor desviador asociado a T se define como:
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Mecánica del Medio Continuo
Tii ij 3 ó en notación general
T d Tijd Tij
Td T
trazaT I 3
Para el caso del tensor desviador su componente esférica es igual a cero ( tr T d 0 ) si se define:
1 3
trT
Tii 3
Tij se puede exp resar como
Tij ij Tijd Dado que:
1 Tijdes Tij Tkk ij 3
Tijdes
2T11 T22 T33 3 T21 T31
T12
T23 2T33 T11 T22 3 T13
2T22 T11 T33 3 T32
1.7 Eigenvalores y Eigenvectores.
Estos términos denominados también como valores y vectores característicos asociados a un tensor se definen a partir de considerar una transformación lineal (T) tal que al aplicarla a un vector (a), éste se transforme en colineal a si mismo, entonces:
Ta a donde a se define como eigenvector y como eigenvalor, ambos asociados a la transformación lineal T . Todo vector paralelo a a es también un eigenvector con eigenvalor , de tal modo que:
T (a) Ta a a
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Mecánica del Medio Continuo
Generalmente los eigenvectores son unitarios, sin embargo se definen de longitud arbitraria. Si “n”es un eigenvector unitario, entonces:
Tn n en notación matricial Tn In y en notación índice Tij n j ij n j , lo cual igualando a cero y factorizando queda:
(Tij ij )n j 0 Ecuación que tiene la solución trivial n j 0 , y por otra parte la generada a partir de:
T11 Tij ij
0 , T21
T31
T12
T13
T22
T23
T32
T33
0
determinante que al ser desarrollado da lugar a una ecuación cúbica en , de la forma:
3 I12 I 2 I 3 0 donde los términos I i son definidos como los invariantes asociados al sistema. Estos deben su nombre a que se trata de magnitudes que no se verán alteradas al modificar la base y representan propiedades asociadas al sistema. Al desarrollar el sistema antes expuesto se puede comprobar que:
I1 Tii T11 T22 T33 traza del sistema I2
1 TiiT jj TijT ji menores principale s de Tij T11T22 T22T33 T33T11 T12T21 T23T32 T31T13 2
en el caso de que el tensor sea simétrico I 2 T11T22 T22T33 T33T11 T122 T232 T312
1 TiiTjjTkk 2TijTjkTki 3TiiT jkTkj Tij T11T22T33 T12T23T31 T13T32T21 6 T11T23T32 T22T13T31 T33T12T21 I3
igualmente en el caso de que el tensor sea simétrico el tercer invariante se puede expresar como:
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21
Mecánica del Medio Continuo
I3 T11T22T33 2T12T23T31 T11T232 T22T312 T33T122
Valores principales y direcciones. Los valores y direcciones principales (eigenvalores y eigenvectores) asociadas a un tensor tienen las siguientes propiedades: i) ii) iii) iv) v)
vi)
Los eigenvalores de un tensor real también son reales Para un tensor simétrico real siempre existen al menos tres eigenvectores Los eigenvectores asociados a un tensor simétrico real forman base (son mutuamente ortogonales Existirá siempre cuando menos un sistema coordenado para el cual el tensor “A” se puede representar como tensor diagonal En el caso de que dos de los eigenvalores sean iguales, la dirección de de los eigenvectores respectivos estará indeterminada, quedando contenidos en el plano normal al tercer eigenvector, cualesquiera dos vectores mutuamente perpendiculares contenidos en dicho plano serán vectores característicos. En el caso de que los tres valores característicos sean iguales esto representa que cualesquiera tres vectores mutuamente perpendiculares serán eigenvectores asociados al sistema.
Cuando el tensor es simétrico los eigenvectores forman base, para esto: Sean n1 y n2 los eigenvectores asociados a los eigenvalores 1 y 2 respectivamente, entonces
Tn1 1n1 Tn2 2 n2 n2Tn1 1n1n2 n1Tn2 2 n2 n1 n1n2 n2 n1 n2Tn1 n1T T n2 Si el tensor es simétrico
T TT
Por lo que
n2T1n1 n1T2 n2 1n1n2 2 n2 n1
1 2 n1n2 0 1 2
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22
Mecánica del Medio Continuo
n1n2 0 Son perpendiculares Ejemplo: Para Tij determine los eigenvalores y eigenvectores asociados:
12 2 0 Tij 2 8 0 0 0 6
I1 26,
I 2 212,
I 3 552
3 262 212 552 0 3 6, 2 7.1715, 1 12.8284
t IJP
0 0 12.82 0 7.1715 0 0 0 6
Para determinar los eigenvectores se deberá cumplir que:
T
ij
ij n j 0
Entonces para el eigenvector asociado al eigenvalor
12 12.82 2 0
2
12.82
a11 0 1 0 a2 0 6 12.82 a31 0 0
8 12.82 0
0.8284a11 2a12 0 2a11 4.8284a22 0 6.8282a31 0
a31 0
a a a 1 a a 1 1 2 1
1 2 2
1 2 1
1 2 3
1 2 2
a11 2.41a12 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
23
Mecánica del Medio Continuo
2.41a a 6.82 a 1 1 2 2
1 2 2
1
1 2 2
a12 0.3827
12 67.5 a11 0.92
11 22.72 a31 0
13 90
Para el segundo eigenvalor 2 7.17 el sietma de cuaciones se expresa como:
12 7.17 2 0
2
a12 0 2 0 a2 0 6 7.17 a32 0 0
8 7.17 0
4.83a12 2a22 0 2a12 0.8285a22 0 1.1715a32 0 a32 0 a12 0.4142a22
0.4142a a 2 2 2
2 2 2
1
a22 0.9238
22 22.5 a12 0.3826
21 112.5 Para el tercer eigenvalor 6 , se tiene que:
12 6 2 0
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2
8 6 0
a13 0 0 a23 0 6 6 a33 0 0
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Mecánica del Medio Continuo
6a13 2a23 0 2a13 2a23 0 0a33 0
4a13 0 4a23 0
a13 a23 0
31 32 como
2
a a a 3 2 1
3 2 2
3 2 3
1
a33 1
33 0
Ensamblando los tres eigenvectores para definir así la matriz de rotación (cambio de base) se tiene:
0.3827 0 0.92 Aij 0.3827 0.92 0 ; 0 0 1
0.92 0.38 0 Aij 0.38 0.92 0 0 0 1
Como es descrito en líneas posteriores este tensor de cambio de base es ortogonal por lo AAT I , lo cual se cumple:
1 0 0 Aij A ji ij 0 1 0 0 0 1 Asimismo se deberá cumplir la ley de transformación para tensores
T QTQT Por lo que al aplicar esta transformación al tensor original se llega a la representación en valores principales, se concluye entonces que la matriz de rotación describe la relación existente entre los vectores unitarios correspondientes a la base original eˆ j con los de la base en valores principales eˆi :
Q cos(eˆieˆ j ) efectuando las operaciones se tiene
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25
Mecánica del Medio Continuo
0.92 0.38 0 12 2 0 0.92 0.38 0 T 0.38 0.92 0 2 8 0 0.38 0.92 0 0 0 1 0 1 0 0 6 0 4.9 0 0.92 0.38 0 11.8 2.75 6.59 0 0.38 0.92 0 0 0 6 0. 0 1
Tijp
12.7 0 0 0 7.1 0 0 0 6
Con lo cual se comprueba lo expuesto.
1.8 Leyes de Transformación de tensores.
Como ha sido mencionado con antelación es factible describir las propiedades asociadas a un medio continuo a través de un infinito número de bases, dando lugar a igual número de representaciones, siendo éstas equivalentes en todos los casos. Esto se puede conceptualizar a través de la existencia de los invariantes asociados al tensor, los cuales no se modifican al modificar el sistema ó la base de referencia. Es por lo tanto necesario considerar las reglas que permiten la rotación de la base de referencia. Para esto se define la matriz de transformación o rotación, la cual, por definición es ortogonal y está dada por los cosenos directores de cada una de las direcciones de la base nueva con respecto a la base original.
Sea A un Tensor de transformación tal que
a11 a12 A a 21 a 22 a 31 a32
a13 a 23 a33
El vector unitario a lo largo del eje X 1 esta dado por:
e1 a11e1 a12e2 a13e3
La generalización de lo antes expuesto es:
ei Aij e j Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
(a) 26
Mecánica del Medio Continuo
Un vector arbitrario "n" definido en la base original se expresa como:
n n j e j
(b)
y en el sistema nuevo:
n ni ei
(c)
Considerando la matriz de transformación Aij
n Aij n j
(d)
En particular los tensores de rotación conservan ángulos y magnitudes, razón por la que se definen como ortogonales.
Por lo tanto para un tensor ortogonal se cumple que:
QimQ jm ij por definición
A 1 AT
AAT I , entonces A representa un tensor ortogonal.
Donde A se define como:
Aij
Cos eˆi eˆ j
De tal forma que un sistema de ejes x1 x 2 x3 es obtenido a partir de la rotación de un sistema x1 x 2 x3
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27
Mecánica del Medio Continuo
x1
x2
x3
x1
11
12
13
x 2
21
22
23
x 3
31
32
33
Para pasar del eje nuevo al original se intercambian renglones por columnas, esto es la transformación inversa (A1), se define como:
A 1 AT
A1 AT cos(eˆi , ej )
Donde:
X 1
X 2
X 3 a 31
X1
a 11
a 21
X2
a12
a 22
a 32
X3
a13
a 23
a 33
Los ángulos entre los sistemas están dados por:
ij eˆi eˆ j , mientras que ji eˆi eˆj a11 A ji a12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
La matriz de cosenos directores es:
Q11 Q12 Q Q21 Q22 Q31 Q32
Q13 Q23 Matriz de transformación entre ei y e j Q33
Leyes de transformación para componentes cartesianos de vectores. Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
28
Mecánica del Medio Continuo Sea cualquier vector a, entonces los componentes de (a) con respecto a
ei son:
ai a ei Dado
v v1eˆ1 v 2 eˆ2 v3 eˆ3
Defina v
v1 a1 j v j a11v1 a12 v 2 a13v3 v 2 a 2 j v j a 21v1 a 22 v 2 a 23v3 v3 a 3 j v j a 31v1 a 32 v 2 a 33v3 Leyes de transformación entre tensores, en notación matricial queda:
T QTQT
12 13 a11 a12 11 a 22 23 21 21 a 22 32 33 a 31 a 32 31
a13 11 12 13 a11 a 23 21 22 23 a12 a 33 31 32 33 a13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Ejemplos:
Una base, a la cual se define como original (xi) con vectores unitarios eˆi , se va a transformar a una nueva referencia la cual se denomina como ( xi ) con vectores unitarios ( ei ). Suponga que los ángulos entre ambas bases están dados por:
x1
x2
x3
x1
135°
60°
120°
x 2
90°
45°
45°
x 3
45°
60°
120°
Por lo tanto la matriz de cambio de base queda:
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29
Mecánica del Medio Continuo
1 2 Aij 0 1 2
1
2
1 2 1
2
1 2 1 2 1 2
Para un vector vi, descrito en la base (xi), se define como:
v 12eˆ1 2eˆ2 8eˆ3 Para describir al vector
vi en la nueva base vi
se tiene entonces que:
0.5 0.5 12 0.7071 vi Aij v j 0 0.7071 0.7071 2 0.7071 0.5 0.5 8
v1 (0.7071 12 0.5 2 0.5 8)e1 (0.7071 2 0.7071 8)e2 Por consecuencia: v 2 v 0.7071 12 0.5 2 0.5 8e 3 3
Ejemplo 2: La siguiente tabla presenta los cosenos directores descritos entre la base original (xi), y la nueva base:
x1 x1
3
x 2
0
5
x2
x3
4
0
5
0
1
x 3
Cuales serán los cosenos de la tercera línea: Se tiene entonces que x3 x1 x 2
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30
Mecánica del Medio Continuo
i j k 4 3 3 4 0 i j 0k 5 5 5 5 0 0 1
Ejemplo 3: Verifique si el siguiente tensor es ortogonal
1 3 A ji 0 2 6
1
3 1 2 1 6 1
3 1 2 1 6
Para lo anterior se debe cumplir que AAT I , ó que cada renglón ó cada columna cumple con que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a uno, lo cual se puede verificar con facilidad.
Ejemplo 3: Para los siguientes cosenos directores definidos entre la base xi y la x’j , determine la última línea:
x1
x1
3
x 2
4
x3
x2 1
5 2
5
2 0
4
5 2
3
5
x 3
Considerando que la suma de los cuadrados de los cosenos directores debe ser igual a uno, o partiendo de que los vectores deben ser mutuamente perpendiculares se tiene que a b c , por lo que:
e3
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3 5 2
eˆ1
1 4 eˆ2 eˆ3 2 5 5
31
Mecánica del Medio Continuo
1.9 Cálculo diferencial e integral aplicado a Tensores
En esta parte del capítulo orientará a al estudio del cálculo diferencial e integral aplicado a funciones tensoriales. Por función tensorial se entiende a aquella transformación lineal entre espacios vectoriales que permite por otra parte representar cantidades físicas asociadas a los medios continuos. Cualquier tensor T, y de acuerdo al rango, estará constituido por funciones representadas en el espacio de los reales, de tal forma que:
T Tij xi , t , donde todo Tij Por lo tanto:
dT ( xi , t ) dt ij ( xi , t ) , descripción que se puede extender a la derivada enésima, dt dt n d nT ( xi , t ) d tij ( xi , t ) , dt n dt n
de tal forma que al derivar con relación al tiempo el rango del tensor no se altera. Considerando lo antes expuesto, y en virtud de que las funciones tensoriales son en general de la forma
Tij T xi , t se extienden, al cálculo diferencial con cantidades tensoriales, las siguientes reglas aplicadas las operaciones de derivación; las cuales son demostradas en los textos básicos de Cálculo. Derivada con respecto al tiempo:
da d da i ai dt dt dt i
ai Tensor de rango uno
d dA aij t dt ij dt
d a b da db dt dt dt d a d da a dt dt dt d a b db da a b dt dt dt d db da a b a b dt dt dt d a b a db da b dt dt dt
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
32
Mecánica del Medio Continuo
d dA dB AB B A dt dt dt
d dA dB A B dt dt dt d d dA A A dt dt dt T
d T dA A dt dt dA dB d Aij Bkj ij Bkj Aij kj dt dt dt
Operador gradiente
En el caso de que la derivación se efectúe con respecto a un campo vectorial el rango del tensor resultante se verá afectado. Para el empleo del operador (gradiente) es necesario considerar el tipo de operación que se va a realizar ya que esto determinará el rango del tensor al que se dé lugar. Se presentan tres operaciones al utilizar el operador , esta son:
gradiente , la cual en notación índice se expresa como
xi
Sea f xi una función descrita en el campo de los reales, la cual en MMC representa un tensor de cualquier rango, se tiene entonces que;
f f f , i . Por consecuencia la aplicación del operador equivale a xi
incrementar en uno el rango del tensor. Por su parte el operador divergencia equivale al producto punto del tensor por el operador gradiente, de tal forma que; div f f , lo que se traduce en la reducción del rango del tensor resultante. Se tiene que el operador rotacional, da lugar a un nuevo tensor del mismo rango del original u rot u La notación empleada para describir diferentes operaciones es muy variada, como se mostrará más adelante.
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
eˆi eˆi i xi
33
Mecánica del Medio Continuo
,i xi vi vi , j j vi x j
Tij
v j
Tij
X i
xk
v j ,i
Donde representa un tensor de rango cero, el operador
2 vi vi , jk x j xk
x j
Tij ,k T Tij , j Tij
vi un tensor de rango uno, y Tij uno de rango dos; se constata que
ó i incrementa en uno el orden del tensor si “i” es índice libre, y reduce en uno el rango del x i
tensor si el índice es falso (se repite); por lo tanto;
Gradiente
Divergencia
Rotacional
ei ; xi
div v v
vi ; i vi ; vi ,i xi
ijk j vk ijk vk , j
v v
Laplaciano 2
ii ,ii
2 xi xi
Sea una función escalar (tensor de rango cero), se tiene entonces que:
,i
eˆ1 eˆ2 eˆ3 xi x1 x2 x3
sea f un tensor rango uno, entonces f ,ii f div f
2 f 2 f 2 f 2 f 2 2 2 2 f xi xi x1 x2 x3
2 f laplaciano del tensor f f ,ij f , ji
2 f f xi x j
Extendiendo el concepto de Laplaciano a un tensor de 2º rango, éste se expresará como: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
34
Mecánica del Medio Continuo
A 2
ij
2 aij
Ejemplo: A partir de las reglas de derivación y considerando las propiedades de la delta de Kroneker y del permutador se puede demostrar que:
Si
imn f,mn imn f,nm se debe cumplir que imn f ,mn 0
imn f mn imn f nm el orden de derivación no inf luye imn f mn inm f nm esto por la definición del permutador imn f mn inm f nm f nm 0 xi , j
x xi x ij ya que; i 1 i j ; j 0 i j x j x j x j
xi ,i 3 x
xi x1 x2 x3 3 xi x1 x2 x3
xm xn ,i xm,i xn xm xn,i im xn in xm
2 xm xn ( xm xn ),ii ( xm ,i xn xn ,i xm ),i ( mi xn ni xm ),i mi xn ,i ni xm ,i mi ni ni mi 2 mn
Por su parte la divergencia de un campo vectorial se describe como:
f f m ,m
fi f1 f 2 f3 xi x1 x2 x3
divu u ui ,i
ui xi
div u divu u
u g u g Donde en la última ecuación son constantes que multiplican a las funciones tensoriales
u, g .
Divergencia de una diada La divergencia de un tensor de rango mayor o igual a dos se puede expresar como: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
35
Mecánica del Medio Continuo
Tij x j
Tij , j T ti
AT Aji , j ai u 2 u
Sea T (r ) un campo tensorial de 2do orden. La divergencia de T es definida como el campo vectorial, tal que para cualquier vector a.
divT a div(T T a) tr T T a Considerando coordenadas rectangulares
ei 0 Sea
b divT
divTij bi bei div T T e tr T T ei
div Tim em 0
divT
Tim xm
Tim ei x m
Para coordenadas cilíndricas la divergencia de Trz está dada por:
divT r
Trr 1 Tr Trr T Trz r r r z
divT
T r 1 T Tr T r T z r r r z
divT z
Tzr 1 Tz Tzz Tzr r r z r
Mientras que para coordenadas esféricas T( r ) está dada por:
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36
Mecánica del Medio Continuo
divT r
1 2 1 Tr sen 1 Tr T T r Trr 2 rsen rsen r r r
divT
1 3 1 T sen 1 T Tr T r T Cot r T r 3 r r rsen rsen r
divT
1 3 1 T sen 1 T Tr Tr T Cot r T r rsen rsen r r 3 r
El Rotacional de un tensor ó se caracteriza por no modificar el rango, de tal forma que el tensor resultante tendrá el mismo rango del original, en particular para un campo vectorial se describe como:
u rot u El rotacional de un vector antisimétrica de
v es definido por el campo vectorial dado por dos veces el vector dual 2
de la parte
v .
Empleando el permutador se expresa también como: a
i
imnum,n
ó
ai imn
um xn
Si el campo vectorial
u se define a partir del gradiente de una función escalar, de la forma u , entonces se
cumplirá
campo
que
el
resultantante
u imn,mn imn Se cumplirá también que;
se
define
como
irrotacional:
u 0 , por lo tanto
0 xm xn 2
u u u , donde es un tensor de rango cero.
Algunas identidades de interés:
u g u g , donde son constantes. u v v u u v u v v u u v v u u v
u v v u u v v u u v u u 2u donde 2u representa al Laplaciano u u
u 2
i
2ui 2 u i
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37
Mecánica del Medio Continuo
Para el rotacional de un campo tensorial se tiene que:
A
T
AT
Si A es un tensor de 2º orden
Operador
A será también tensor de 2º orden.
u , en notación índice se expresa u j
x j
1 1 u 2 u u u 2 u u 2 2 2 donde u u u
u u
En el caso del gradiente de un vector se tiene que:
u ij
u
ui ui , j x j
T
ij
u j xi
u j ,i
La aplicación sucesiva del operador gradiente se expresa:
ij ,ij
T
,ij
Donde representa un tensor de rango cero. De lo antes expuesto se concluye que el número de veces en que se aplique el operador gradiente será igual al incremento en el rango del tensor resultante. Para el caso del gradiente de un campo tensorial en coordenadas rectangulares se tiene:
Tij xk
Tij ,k M ijk
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38
Mecánica del Medio Continuo
(A)ijk aij ,k
Aij xk
Si A u, entonces A u u ui , jk A lo cual se denomina como segundo gradiente de
u , por su parte 2u ui ,kk ; razón por la cual el Laplaciano
del vector representa, como ya fue mencionado, también un vector.
Laplaciano de un Tensor de segundo rango Sean
aij las componentes de un tensor de segundo rango A , por lo que cijk aij ,k , términos que representan
el tensor de tercer orden generado por
A . Resulta evidente que cijk ,m aij ,km Aijkm , cual representa un
tensor de cuarto rango, este tensor es denominado segundo gradiente de al tensor
A y descrito como A . Por su parte
aij ,kk representa las componentes de un tensor de segundo orden al cual se define como Laplaciano de
2 A , entonces resulta que si A representa un tensor de segundo grado el Laplaciano de éste estará dado también por un tensor del mismo rango. Por último se puede constatar que los operadores
, , y 2
son operadores diferenciales lineales en
el cálculo tensorial. Se cumplirá entonces que:
u v u v A B A B A B A B A B A B 2 A B 2 A 2 B Donde
u, v
son tensores de rango uno (vectores);
A, B
son tensores de rango superior y
,
son
escalares.
Derivada direccional y derivada normal. Una ecuación de la forma
xi K , donde K es una constante, representa una superficie en el espacio
tridimensional, para la cual su normal está dada por
xi K , el vector
. Es por tanto que en cualquier punto x
de la superficie
está dirigido a lo largo de la normal de la superficie; por lo que el vector normal
unitario está dado por:
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39
Mecánica del Medio Continuo
n Sea
.
a un vector inclinado un ángulo con respecto a la normal , entonces: a n a Cos
a
a , lo cual es usualmente descrito como a , a lo que se denomina como derivada direccional de a lo largo de a . La derivada direccional de
El escalar
representa la componente de
a lo largo de
a
sobre
la normal
n
es denominada derivada normal de
. n n
. Por tal motivo se tiene que n
Resulta por demás evidente que es máxima cuando el ángulo descrito entre estos vectores es igual a cero,
a
por tanto se cumple que
a
max
, por lo que la derivada normal representa el máximo de todas las derivadas n
direccionales del campo escalar que describe la superficie.
n n n
1.10 Teoremas integrales para vectores En esta parte del curso se presentaran los teoremas integrales de mayor relevancia en el estudio de la MMC; éstos son el teorema de la divergencia y el de Stokes. Por sus implicaciones en el curso se hará énfasis en las implicaciones que éstos tienen.
Teorema de la divergencia Sea V el volumen de una región tridimensional limitada por una superficie cerrada S, entonces para un campo vectorial u definido en V y en S, se cumplirá que:
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40
Mecánica del Medio Continuo
V
( u ) dV (u n) dS
donde " n " es el vector normal unitario a " S "
S
en notación índicela relación anterior se exp resa como
u V
k,k
dV uk nk dS S
ui
u n dS x i i
S
dV
i
V
La relación anterior (teorema de la divergencia) permite relacionar una integral de volumen, para transformarla en una de superficie, esto a través del vector normal unitario (n).
El teorema de la divergencia permite desarrollar algunas relaciones, de tal forma que se cumplirá que:
dV n dS V
S
ó en notacióníndice
( u) dV (n u) dS V
dV (n) dS 2
V
V
ó
S
2u
ó
S
dV S (n) u dS
V
, V
ó
u
ijk k , j
kk
, V
dV nk dS
k
S
dV ijk n j uk dS S
dV nk ,k dS S
u V
i , kk
dV nk ui , k dS S
Vector solenoidal La integral de superficie
un dS S
es denominada como flujo normal de salida o flujo de “u” a través de S. Un
vector será solenoidal en una región si su flujo a través de cualquier superficie cerrada es cero. A partir del teorema de la divergencia, esto significa que u es solenoidal en una región conectada simple si y sólo si u 0 en esa región. Un campo vectorial cuya divergencia es igual a cero se denomina vector de libre de divergencia (divergence free vector). Un campo vectorial es solenoidal en una región conectada simple si y sólo si es libre de divergencia.
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41
Mecánica del Medio Continuo
Cuando se cumple que div (rot u) 0 , lo que representa es que el vector definido por rot u es un vector de libre de divergencia para cada vector en u. Esto permite demostrar que cualquier vector de libre de divergencia u definido en una región conectada simple puede ser representado como:
u w donde w es asimismo un vector libre de divergencia y se le conoce como vector potencial de u
Teorema de Stokes Así como el teorema de Gauss relaciona una integral sobre un volumen cerrado con una integral sobre su superficie límite. El teorema de Stokes relaciona una integral de línea alrededor de la curva límite de la superficie, de tal forma que:
Sea C una curva cerrada en un espacio tridimensional y S una superficie regular abierta limitada por C, entonces para un campo vectorial u definido tanto en S como en C, se cumple:
ut ds u n dS s
C
Donde t es un vector tangente unitario a C, el cual se asume, está orientado positivamente en relación al vector normal unitario n de S. La ecuación anterior en notación índice se expresa como:
u t ds C
i i
s
ijk uk , j ni dS
(a)
Si S es una superficie cerrada, entonces el lado izquierdo se reduce a cero, entonces se cumplirá: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
42
Mecánica del Medio Continuo
u ndS 0
ó
s
u n dS 0
ijk k , j i
s
Esta ecuación también se desarrolla a partir del teorema de la divergencia aplicado a
u
Un caso particular de la ecuación (a) es cuando C queda contenida en un plano x1 x2 y S es la parte del plano limitado por C.
La expresión (a) se reduce a:
C
(u1 dx1 u2 dx2 ) (u2,1 u1,2 ) dx1dx2
donde u1 , u2 son las componentes u en x1 , x2 Este caso particular del teorema de Stokes se denomina como teorema de Green en el plano. Algunas relaciones que se establecen con base en la ecuación (a) son:
t ds n dS C
S
t ds
ó
C
(u t ) ds ( u)n (u)
T
C
C
S
ijk
C
S
Donde
ijk
u j,k dS
ó en notación índice
S
C
ijk
n dS
S
u j tk ds (uk , k ni uk , i nk ) dS
ut ds
i
2 n ( u ) n( u ) dS
ó
uk , j ti ds (uk , k ) niui , kk dS S n
representa un campo escalar tanto definido en S como en la trayectoria C. El termino
frecuentemente descrito a través de
dx , por lo que el termino se describe como
t dx c
en lugar de
tds
es
t ds
.
C
Vectores conservativos e irrotacionales La integral de trayectoria
u t ds , ó u t dS C
i i
representa la integral de [u t ] alrededor de C y se
C
denomina circulación de u alrededor de C.
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43
Mecánica del Medio Continuo
Un vector u definido en una región se define como conservativo si su trayectoria (circulación) sobre una curva cerrada es cero, ó de manera equivalente si el valor de la integral
B
A
u tds depende solamente de los límites A
yB
El vector se dice irrotacional si u 0 A partir del teorema de Stokes, esto representa en una región conectada simple que un vector es conservativo si y sólo si es irrotacional en la región.
Si 0 , se tendrá entonces que, es un vector irrotacional para cualquier campo escalar . Entonces se puede probar que cualquier vector irrotacional u definido en una región simple conectada puede ser representado como:
u Entonces se denomina como potencial escalar de “u”. Si el vector”u” es a la vez irrotacional, entonces
2 u 0 ; en este caso se denomina al vector u como vector armónico.
Representación de Helmholtz Un vector libre de divergencia tiene la representación:
u w Mientras que un campo de velocidades o desplazamientos se puede describir a partir de una función escalar ( a través de la siguiente relación, donde
u representa un vector irrotacional: u
Una representación valida para un vector general, conocida como la representación de Helmholtz se expresa como:
v( x)
1 4
V
u( x ) dV xx
Donde u representa un campo vectorial, a través del cual se define un campo v , de tal forma que V es el volumen de la región donde se define u y la integral es tomada variando x sobre V, manteniendo a x como un punto fijo. Se puede probar que:
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44
Mecánica del Medio Continuo
2v u u w donde
v w v
Entonces, dado un campo vectorial u, donde existe un campo escalar y un campo vectorial w, tal que u tiene la representación de Helmholtz; es conveniente notar que el vector w utilizado en la representación es un vector libre de divergencia.
Teoremas integrales para tensores de rango superior a uno. Los teoremas de la divergencia y de Stokes se pueden extender a campos tensoriales de rango superior al uno; como en el caso de un campo vectorial, la integral de un campo tensorial es definida como el campo tensorial cuyos elementos son las integrales de las componentes del campo dado.
Teorema de la divergencia aplicado a una diada: Sea V el volumen de una región tridimensional limitada por una superficie regular cerrada S; entonces el campo tensorial definido en V y en S es
AdV V
S
An dS
Donde n representa el vector normal unitario asociado a la superficie S. Esto también se puede expresar como:
Tij
T n dS x ij
j
S
V
dV
j
Teorema de Stokes para una diada: Sea C una curva cerrada en un espacio tridimensional y S una superficie limitada tanto en S como en C, entonces se cumplirá que:
At ds ( A)
T
C
S
n dS
Donde t es la tangente unitaria a C, la cual se asume está orientada positivamente al vector normal unitario n de S.
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45
Mecánica del Medio Continuo
1.11 Formulas de Transporte Estos teoremas son de gran utilidad en la MMC, en particular para el desarrollo de las ecuaciones generales. Permiten correlacionar derivadas materiales de integrales de trayectoria, superficie y volumen con sus correspondientes ecuaciones integrodiferenciales de trayectoria, superficie o volumen. Esto es las formulas de transporte permiten correlacionar la variación por unidad de tiempo de una propiedad A sobre un elemento de control, igualando esto con la variación debida al cambio de la propiedad de las partículas que integran el sistema menos la variación debida a los flujos convectivos netos de la propiedad A a través del entorno. Lo antes expuesto se expresa como sigue:
D D . dx { v}dx C C Dt Dt D D ndS {( ( v)) (v)T }ndS S Dt S Dt D D . dV ( ( v)dV V V Dt Dt Sea ; escalar componente de vector o tensor en su descripción eulariana C-curva ó trayectoria material A, S-superficie material (del medio continuo) B-Cuerpo o medio continuo cuya superficie es S y la curva que la delimita es C V-volumen de B
v -velocidad Teorema de transporte de Reynolds Considere una función de la forma T xi , t , la cual corresponde con un tensor de cualquier rango. Esta función se expresa en coordenadas espaciales (eulerianas y tiempo). Por ejemplo T xi , t puede representar la función densidad x, t , cantidad de movimiento x, t v x, t , etc. Por lo que la cantidad de la propiedad
T xi , t en el cuerpo B cuyo volumen en el instante t es V, está dada por:
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46
Mecánica del Medio Continuo
T x, t dV V
el volumen contiene la misma cantidad de partículas materiales para cualquier tiempo, asociado a éste se define una superficie S t que contiene en su interior al volumen V. Si se pretende evaluar el cambio de la propiedad
T xi , t asociada al cuerpo B de volumen V se tendrá que:
T x, t D T x, t dV dV T v n dS Dt V t V S ó DT x, t D T x , t dV T v dV Dt Dt V V
Esta última expresión corresponde precisamente con la tercera ecuación anteriormente planteada como fórmula de transporte al considerar el análisis a través de un volumen material (V).
1.12 Coordenadas Curvilíneas
(a)
Coordenadas cilíndricas. Para el caso de una base curvilínea de la forma:
P Pr , , z Se tiene que:
r x12 x22
tan 1
1 2
x2 x1
er Cose1 Sene2 e Sene1 Cose2 Los vectores base unitarios er y e varían en dirección cuando la coordenada se modifica, por consecuencia de las expresiones anteriores se tiene que:
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47
Mecánica del Medio Continuo
der Cos de1 Sen d e1 Sen de2 Cos d e2
de1 de2 0
der Sende1 Cosde2 de Cos d e1 Sen de1 Sen d e2 Cos de2
de Cosde1 Sende2
der e d de er d
dr rder dr er dr dr (er ) rd (e )
Componentes del gradiente de r , , donde d dr ar er a e drer rde donde a r , a son las componentes del en las direcciones er y e respectivamente.
d ar dr a rd d
(i)
dr d .........(ii) r
Entonces de (i) y (ii) deben representar el mismo resultado para todo incremento dr, d
ar Entonces:
; r
ra
1 er e r r
1 r er r r e drer rde r dr d De lo antes expuesto se tiene que el gradiente de una función escalar r , , z está dado por:
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1 er e e . r r z 48
Mecánica del Medio Continuo Siguiendo el mismo procedimiento para una función vectorial en coordenadas polares:
v vr, vr r, er v (r, )e v r v vr r
1 v r v r 1 v v r r
Por lo que para una función vectorial v vr , , z , su gradiente está definido por:
v r r v v r v z r
1 v r v r 1 v vr r 1 v z r
div v v Traza
v r z v z v z z
vr 1 v v vr z r r r z
divv tr v Trr T T
Trr v Tr Tzr
Tr T Tz
Trz Tz Tzz
Componentes de la divergencia de un tensor de 2do orden La definición de divergencia de un tensor de 2do orden es:
divT a div(T T a) tr aT T para un vector arbitrario “a” Si a ei , entonces
divT r Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
div (T T er ) tr er T T
49
Mecánica del Medio Continuo
T T er Trr er Tr e
div T T er div Trr er Tr e
div T T er
Trr 1 Tr Trr r r
tr er T T
divT r divT
T r
Trr 1 Tr Trr T r r r
Tr 1 T Tr Tr r r r
Considerando coordenadas cilíndricas se tiene que T (r , , z; t ) está dado por:
divT r
Trr 1 Tr Trr T Trz r r r z
divT
Tr 1 T Tr Tr Tz r r r z
divT z
Tzr 1 Tz Tzz Tzr r r z r
Coordenadas Esféricas r , ,
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
50
Mecánica del Medio Continuo Gradiente de una función escalar de la forma r , ,
1 1 er e e r r rsen
Sea v vr , , una función vectorial, entonces:
v r r v v r v r
1 v r v r 1 v vr r v 1 r
1 v r v sen rsen 1 v v cos rsen v 1 v r v cot rsen r r
1 vr 1 rv 1 v sen 1 v eˆr v rot v rsen r r rsen rsen
v div v
divT r
r 2 vr r
1 v sen 1 v rsen rsen
T Tr Tr T cot 1 T sen 1 rsen rsen r
r 2Trr r
divT divT
3 1 r Tr r 3 r
e
vr 1 v 1 v vr v cot vr r r r r rsen
1 r2
1 r 3Tr 3 r r
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
1 r2
1 rv 1 vr eˆ r r r
Tr T T 1 Tr sen 1 rsen rsen r
1 T sen 1 T Tr Tr T cot rsen rsen r
51
Mecánica del Medio Continuo
Capítulo 1 Ejercicios Resueltos 1.
El tensor deformación infinitesimal se expresa como:
1 B I 2
donde B FF T B Tensor de deformación Cauchy Green por izquierda a su vez
F I X u F Gradiente de deformación
X u Gradiente del vector desplazamientos ui X , t u1 X i , t e1 u2 X i , t e2 u3 X i , t e3 Con base en lo antes expuestos determine el tensor de deformación infinitesimal en función del gradiente del
vector desplazamientos X u , así mismo exprese ij en notación índice. Solución:
1 B I 2 B FF T ; F I u
B FF T I u I u
T
I u
T
u u u
T
1 1 T T u u u u 2
2
1 ui u j 1 ui u j 2 X j X i 2 X m X m
ij
2.
El tensor Langragiano de deformación E se expresa en notación índice como:
u j 1 u Eij i 2 X j X i
1 um um 2 X i X j
Con base en lo antes expuesto desarrolle las componentes de deformación E11 , E31 , E23 Asimismo compruebe si en notación general la siguiente expresión es equivalente a: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
52
Mecánica del Medio Continuo
E
1 1 T T X u X u X u X u 2 2
Solución: 2 2 2 u1 1 u1 u2 u3 E11 X 1 2 X 1 X 1 X 1
3.
E31
1 u3 u1 1 u1 u1 u2 u2 u3 u3 2 X 1 X 3 2 X 1 X 3 X 1 X 3 X 1 X 3
E23
1 u2 u3 1 u1 u1 u2 u2 u3 u3 2 X 3 X 2 2 X 2 X 3 X 2 X 3 X 2 X 3
Eij
1 ui 2 X j
u j X i
1 um um 2 X i X j
1 1 T T u u u u 2 2
Desarrolle la expresión
Aik xk x j Por facilidad solo trabaje con los índices " i, j " ¿Cuál es el rango del tensor que describe la expresión anterior? Solución:
Aik xk x j Bij Tensor de rango dos A1k xk x1 Bij A2 k xk x1 A3k xk x1
4.
A1k xk x2 A2 k xk x2 A3k xk x2
A1k xk x3 A2 k xk x3 A3k xk x3
La rotación entre bases se expresa mediante un tensor ortogonal " Q " , el cual se define a través de los
cósenos directores definidos entre la nueva base xi y la base original x j , de tal forma que:
Qij Cos xix j Verifique si los valores que se presentan en la siguiente tabla permiten describir la rotación de los ejes.
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53
Mecánica del Medio Continuo
e1
e2
e3
e1
2
3
6
e2
3
e3
-
7
7
6
7
2
7
-
7 7
-
Asimismo determine los cósenos directores que permiten definir a e3 Cosenos directores Qij Cosxix j
Solución:
2
2
2
4 9 36 2 3 6 1 49 49 49 7 7 7 2
2
2
9 36 4 3 6 2 1 49 49 49 7 7 7 e1
e2
e3
2
3
6
7
7 3 6 7 7
2
6 36 18 4 12 9 e e e 7 49 1 49 2 49 3 7 6 2 3 e1 e2 e3 7 7 7
e1
e2
e3
e1
2
3
6
e2
3
e3
6
7 7 7
7
6 2
7
7
2
7 7
3
7
5. Si “v” es una función vectorial v( x1 , x2 , x3 ) determine:
v v
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54
Mecánica del Medio Continuo
v
(v) Solución:
v1 x1 v v 2 x1 v3 x1 v
v
v1 x3 V11 V12 V13 v2 V21 V22 V23 x3 V31 V32 V33 v3 x3
v1 x2 v2 x2 v3 x2
v1 v2 v3 x1 x2 x3 eˆ1
eˆ2
eˆ3
x1
x2
v1
v2
v v v v v v 3 2 eˆ1 1 3 eˆ2 2 1 eˆ3 x3 x2 x3 x1 x2 x3 x1 v3
vi v xm x j
2v1 2v1 2v1 2v2 2v2 2v2 2v3 2v3 2v3 ˆ ˆ Vnm 2 2 2 e1 2 2 2 e2 2 2 2 eˆ3 x x2 x3 x2 x3 m x1 x2 x3 x1 x1
Capítulo 1 Ejercicios propuestos.
1.
Desarrolle aij x j bi 3
2.
Desarrolle
3
a b i 1 i 1 3 3
ij ij
3
a b c
3.
Desarrolle
4.
Determine si se cumple que: aij bij a ji b ji
5.
Demuestre si aijk a jki akij xi x j xk 3a jik xi x j xk
6.
Demuestre sí det aij det a ji det aij
7.
El tensor Langragiano de deformación E se expresa en notación índice como:
i 1 i 1 k r
ij ij ki
T
u j 1 u Eij i 2 X j X i
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1 um um 2 X i X j
55
Mecánica del Medio Continuo Con base en lo antes expuesto desarrolle las componentes de deformación E33 , E31 , E23 8.
Desarrolle la expresión
Aim xn x j Por facilidad solo trabaje con los índices " i, j " ¿Cuál es el rango del tensor que describe la expresión anterior? 9.
Explique lo que es un tensor ¿qué representa su rango? ¿Cuántos elementos se necesitan para definirlos?
Con relación a las cantidades físicas asociadas a un medio continuo indique cuando menos una que se represente con un tensor de rango: Cero Uno Dos Tres 10.
Si Tij representa un tensor de 2do orden, ni es uno de primer orden, y representan constantes. Entonces
escriba en forma desarrollada la siguiente expresión:
Tij n j ni 0 Asimismo demuestre la validez de la siguiente expresión: 11.
Desarrolle la siguiente expresión:
Tij n j ni 0 Tij ij n j
Tij Eii S ij 2Eij
Considerando que i, j 1 a 3
1 12. Dado Tij 2Eij ( Ekk ) ij . Demuestre que: W Tij Eij Eij Eij ( Ekk ) 2 2 2 13. Que se deberá cumplir para que a ij x i x j 0 para toda x i .
14. 15 16.
Si a ij a ji , y bij - b ji demuestre que a ij b ij 0 . Si a ij a ji , y b ij ½ (c ij c ji ) demuestre que a ij b ij a ij c ij. ¿Cuales de las siguientes expresiones tiene el mismo significado?: a ij b j , a rs b s , a pq b p , a ij b i b j , a pq b p b q , a sr b s b r
17.
Si a ij ½ (bij b ji ) y cij ½ (bij - b ji ) verifique que sí a ij c ij 0 .
18.
Verifique sí:
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56
Mecánica del Medio Continuo
ij mj 3, ij jkik 3, jk jmij km 19. Dados
1 0 2 S ij 0 1 2 3 0 3
ai 1,2,3
Determine: a) S ij S ij b) a m a m c) S ij a j d) S ii e) S mn am an 20. Demuestre sí a b c a b c
21. Demuestre sí a b c a c b b c a b a
22. Demuestre sí a b c a c b a bc b c
23. Demuestre sí a b c a bxc si y solo si b c a 0
24. Demuestre sí para tensores arbitrarios A y B, y vectores a, b: se cumple que: a. b. c.
A a B b a AT B b bxa = 1 B BT a Sí 2bi ijk Bkj 2 T a Ab b A a
25. Demuestre si existe correspondencia entre las ecuaciones indicadas con subíndices y las matriciales T Dij Bij D B bi Bij a j
b B a
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Mecánica del Medio Continuo
Dik Bij Ckj
D BC
26. ¿Qué representan los eigenvalores y los eigenvectores de un tensor?
27. Demuestre que para un tensor ortogonal:
QQT QT Q I
28. ¿Que caracteriza a un tensor isotrópico?
29. Para la siguiente diada determine: a).- eigenvalores. b).- Matriz de transformación
Q
de la base original a la definida por las direcciones de los valores
característicos. c).- ¿Qué características deberá cumplir la matriz de transformación Q ? Compruebe esto. d).- Compruebe que la matriz Q permite transformar de la base original a la base nueva. e).- Determine la componente esférica y desviadora del tensor.
20 4.9 0 T 4.9 10 0 0 0 10
30. Sea “T” una transformación la cual al operar el vector “a” se define como Ta
a , donde a a
es el
módulo del vector “a”. Demuestre que “T” no representa una transformación lineal. 31. Sean T y S dos tensores, demuestre sí a) T T es un tensor, b) T T S T (T S )T , c) (TS )T T T S T 32. Si ei y ei son los vectores unitarios que corresponden a 2 sistemas coordenados cartesianos, donde ei corresponde con la rotación de ei , desarrolle el sistema de ecuaciones que permiten transformar ei a Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
partir de ei (ei Qni en ) . Donde Qij representa en lo anterior defina la matriz de transformación entre ei y ei . 33. Un sistema de ejes coordenados cartesianos x1 , x2 , x3 es obtenido por la rotación de un ángulo alrededor del eje x3 . Con base en lo anterior defina el tensor que transforma de la base original x1 , x2 , x3 a la base rotada
x1 , x2 , x3 . Con base en lo anterior defina las componentes del vector v
X
2 1
X 2 X 32 eˆ1 X 32 X1 eˆ2 X 2eˆ3 en la
nueva base cuyos vectores unitarios son eˆi .
34. ¿Qué es un tensor ortogonal?, ¿Qué propiedades tienen estos tensores?
35. Demuestre que un tensor de segundo orden se puede descomponer en dos tensores, un simétrico y el otro antisimétrico. ¿Cuantos términos linealmente independiente se requieren para definir a cada uno de estos nuevos tensores?.
36. Determine las eigenvalores y eigenvectores asociados a:
2 Tij 1/ 2 1/ 2
1/ 2 4 3/ 2
1/ 2 3/ 2 6
37. Determine los valores principales de:
8 0 6 Nij 8 11 3 0 3 10
38. Determine los eigenvalores y los eigenvectores asociados:
2 0 0 Tij 0 5 4 0 4 3 39. Determine los eigenvalores y los eigenvectores asociados: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
45 8 15 Cij 8 10 20 15 20 5 40. Determine los eigenvalores y los eigenvectores asociados:
25 10 0 Aij 10 0 0 0 0 0
41. La ecuación característica de tensor T es Tij ij 0 siendo esta una ecuación cúbica en , de la forma:
3 I1 2 I 2 I3 0 I1 Tii traza del tensor Tij
demuestre que:
I 2 1 2 TiiT ji TijT ji I3 det Tij 1 6 2TijTjkTki 3TjiTjiTkk TiiT jjTkk
42. Los ángulos entre el sistema de referencia original y el nuevo sistema coordenado están, posiblemente, dados por los datos de la tabla. Compruebe si este conjunto de ángulos representa el tensor de transformación entre el sistema ei y él ei . X1
X2
X3
X´1
90°
135°
45°
X´2
135°
90°
45°
X´3
45°
45°
90° 2
Si el desplazamiento se expresa en el sistema original como:
xx x x u 1 2 eˆ1 2 eˆ2 x3 ln 2 eˆ3 x3 x1 x1
a) Defina el desplazamiento con relación a la nueva base.
b) Defina el tensor de deformación en la nueva base, así como en la base original 43. Si el tensor de deformación se define como. Determine esta tanto en ei como en ei Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
60
Mecánica del Medio Continuo
44. El tensor Langrangiano de deformación E se expresa en notación general como:
E Desarrolle los términos Err , Ezr , E
1 1 T T X u X u X u X u 2 2
si u u r , , z
45. La rotación entre bases se expresa mediante un tensor ortogonal, el cual se define a través de los cósenos
directores definidos entre la nueva base xi y la base original x j , de tal forma que:
Qij Cos xix j Verifique si los valores que se presentan en la siguiente tabla permiten describir la rotación de los ejes.
e1
e1
e2
e3
2
3
6
7
7
7
e2 e3
-3
7
6 7
2 7
Asimismo determine los cósenos directores que permiten definir a 46. El tensor deformación infinitesimal se expresa como:
1 B I 2
donde B FF T B Tensor de deformación Cauchy Green por izquierda a su vez F I X u F Gradiente de deformación
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Mecánica del Medio Continuo
X u Gradiente del vector desplazamientos ui X , t u1 X i , t e1 u2 X i , t e2 u3 X i , t e3
Con base en lo antes expuestos determine el tensor de deformación infinitesimal en función del gradiente del
vector desplazamientos X u , así mismo exprese ij en notación índice.
47. El tensor “Q” define una transformación entre ejes. Si el cambio de base se produce al rotar 30° al sistema alrededor del eje x1 , Determine “Q”, asimismo compruebe que se trata de un tensor ortogonal. 48. Calcule div T para el siguiente campo tensorial en coordenadas esféricas: Trr A
2B , r3
T T A
B , Tr Tr T 0 r3
49. Considere el vector v x12 e1 x32 e2 x22 e3 , para el punto (1, 1, 0) determine: a) v b) v v c) div v
50. Siendo v una función vectorial exprese su gradiente en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. 51. Si , , T representan tensores de rango cero, uno y dos respectivamente defina en coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas lo siguiente; a) b) c). T 52. Calcule la div u para los siguientes campos vectoriales (definidos éstos en coordenadas cilíndricas) a) u r u 0, u z A Br 2 b) u r
sen , u 0 , u z 0 r
c) u r
sen cos , u 2 , u z 0 2 r r
53. Si es una función escalar de la forma (r , , z ) , determine: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
62
Mecánica del Medio Continuo
54. Si “v” es una función vectorial v(r , , z ) determine: v
v div v rot v div (v)
55. Si es una función escalar de la forma (r , , ) determine:
56. Si " " es una función vectorial v(r , , ) determine:
v div v rot v div (v)
57. Para u u(r , , z ) , donde " u " está definida como: a)
ur
r r sen , u cos , u z 0 2 2
b)
ur
sen cos , u , uz 0 2 r r2
Determine u, u, u
58. Calcule ur , , para:
u r Ar
B , u u 0 r2
59. Sea T un tensor de segundo orden T T (r , , z ) , tal que:
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Mecánica del Medio Continuo
Trr
A 3rz 2 Az 3z 3 Az 3r 2 z Az T , , , T T zz 3 5 3 rz R R5 R3 R5 R3 R R
Tz Tr 0 , donde R 2 r 2 z 2 Determine T
60. Para T (r , , z ) determine divT
Trr A
B B , T A 2 , Tzz C 2 r r
Tr Trz Tz 0
61. Para T (r , , ) determine divT
Trr A
2B B , T T A 3 3 r r
Tr Tr T 0 62. Si “v” es una función vectorial v( x1 , x2 , x3 ) determine:
v v v
(v)
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Mecánica del Medio Continuo
2. Cinemática del Continuo 2.1 Introducción. El objeto de la mecánica, en términos generales, es relativo al estudio del efecto que tienen solicitaciones tales como fuerzas o flujo de calor sobre un objeto físico. Tanto la mecánica de sólidos como la de fluidos fueron cimentadas durante la segunda mitad del siglo XVIII y primera del siglo XIX, esto por notables científicos como: Leonard Euler (1707-1783), Agustín Louis Couchy (1789-1857), Simeon Denis Poisson (1781-1840), George Green (1793-1841) y George Stokes (1819-1903) entre los más destacados. El examen de los fundamentos de estas disciplinas revela que los postulados básicos y los principios generales sobre los que se basan la Mecánica de Sólidos (MS) y la Mecánica de Fluidos (MF) son los mismos. Las ecuaciones matemáticas que describen leyes físicas aplicables a cualquier medio son denominadas como Ecuaciones Generales y son aplicadas a cualquier Medio Continuo (MC). Sin embargo resulta evidente que fluidos y sólidos son muy diferentes en esencia, por lo que sus propiedades se describen en forma particular; esto a través de las denominadas como Ecuaciones Constitutivas. Como ya fue mencionado al inicio del primer capítulo las ecuaciones que describen el comportamiento de un medio idealizado infinitamente divisible al cual se denomina como Continuo se definen como Ecuaciones Generales, y éstas son formuladas con base a leyes fundamentales de la física (Conservación de Masa, de Momentum y de Energía). Históricamente los conceptos de esfuerzo y deformación fueron introducidos por Couchy entre 1823 y 1827. El desarrollo de la cinemática del continuo y las ecuaciones de campo se deben en esencia a Euler. En cuanto a las ecuaciones constitutivas, éstas han sido desarrolladas por dos diferentes vías: i. Experimental. Como por ejemplo; Ley de Hooke para sólidos elásticos; Ley de Newton para fluidos viscosos ii. A partir de postulados teóricos. Noción de Continuo. Como ya fue mencionado en el capítulo 1 los constituyentes de cualquier continuo (átomos, moléculas, fases o partículas) no se encuentran continuamente distribuidas sobre el cuerpo. Es por consecuencia que la Mecánica del Continuo se basa en la condición macroscópica del objeto. Es entonces que un MC será un objeto físico hipotético en el cual se desprecia su estructura a nivel atómico o molecular, y por consecuencia se considera que la materia está continuamente distribuida sobre la totalidad del objeto. Por lo tanto un MC puede ser descrito como un conjunto de partículas interconectadas de forma tal que cada una de éstas es descrita por su posición espacial. En este punto vale la pena reflexionar que existe una relación única de cualquier partícula del MC con su posición para un tiempo determinado y que por consecuencia será imposible que más de una ocupen el mismo lugar en el espacio para el mismo tiempo y que una partícula esté en dos posiciones diferentes a un mismo tiempo. Es entonces que para cualquier tiempo la posición de cualquier partícula de un continuo y la configuración de éste son unívocamente determinadas. Una parte de un continuo cuya posición es referida a un punto geométrico se describe como punto material. Una parte de un continuo cuya posición se identifica a través de una curva se denomina curva material o arco material. Un arco material de longitud infinitesimal se denomina arco material elemental. Un cuerpo material ocupa una posición en el espacio tridimensional y será parte total o parcial de un continuo. Por último es conveniente mencionar que cuando una descripción se realiza con base en la partícula se define a ésta como Descripción Material, mientras que cuando la atención (descripción de fenómeno) se orienta a un punto en el espacio y se analiza lo que sucede en dicho Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo punto; se refiere entonces a una Descripción Espacial. En la Mecánica de Sólidos es más útil la descripción material, mientras que en la Mecánica de Fluidos es más adecuada la descripción espacial.
2.2. Conceptos Generales de Cinemática del Continuo La descripción del movimiento de un continuo es mucho más compleja que lo que corresponde a una partícula o un conjunto de ellas en cinemática de partículas la trayectoria es descrita por un vector función del tiempo: r r t
r t x1 t eˆ1 x2 t eˆ2 x3 t eˆ3 es el vector de posición
Resulta evidente que si se describe el movimiento de N partículas será necesario definir igual número de funciones de trayectoria.
ru ru t
n 1, 2, 3, ........., N
Por su parte un medio continuo está formado (considerando su definición) por un número infinito de partículas; con un infinito número de vecinos en el tiempo. Es por tal motivo que resulta imposible describir su movimiento a través de simples funciones de trayectoria, esto por extensión del concepto empleado para un grupo de partículas. Sin embargo existe una relación univoca entre cada uno de los elementos que constituye el medio continuo y la posición que estos ocupan. Como consecuencia es factible identificar a cualquier elemento diferencial del cuerpo, y para cualquier tiempo, por la posición que ocupa para un tiempo de referencia t 0 . Esto es: pt 0 X 1 , X 2 , X 3
Como consecuencia la posición que ocupa cualquier partícula de MC en el tiempo se puede describir como:
x x X , t
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con xt 0 X
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Mecánica del Medio Continuo
x1 x1 X 1 , X 2 , X 3 , t
x2 x2 X 1 , X 2 , X 3 , t x3 x3 X 1 , X 2 , X 3 , t
(2-1)
xi xi X i , t
2,3 Descripción Material y Descripción Espacial
La descripción de la posición, para el tiempo de referencia, de cada uno de los elementos diferenciales que integran el medio continuo se conoce como coordenadas materiales
X i , mientras que las ecuaciones 2.1
permiten describir el movimiento del continuo. Estas ecuaciones describen lo que se denomina como líneas de trayectoria ó funciones de trayectoria para cada partícula del continuo. Éstas también son denominadas como ecuaciones cinemáticas. Cuando un continuo está en movimiento, las propiedades asociadas a éste, por ejemplo; temperatura , velocidad v i , ó esfuerzos ij están relacionadas a cada uno de los elementos que constituyen el MC, razón por la cual se definirán en la forma:
X 1 , X 2 , X 3 , t v v X 1 , X 2 , X 3 , t
X 1 , X 2 , X 3 , t En el caso en que una propiedad ( de cualquier rango), de la forma X i , t se define a ésta como una descripción material o Lagrangiana. Dicha descripción permite conocer el comportamiento del MC para cualquier tiempo pero no aporta datos con relación a la posición que ocupan las diferentes partículas para cualquier tiempo
t .
La descripción material o Langragiana describe el comportamiento en función de una referencia fija.
Por otra parte cuando las propiedades asociadas al MC se describen para el espacio en cualquier tiempo, en la forma:
x1 , x 2 , x3 , t v vx1 , x 2 , x3 , t
x1 , x 2 , x3 , t Se define a ésta como descripción espacial ó Euleriana. Si bien este tipo de descripción permite definir lo que pasa en el espacio, no ofrece información con relación a los elementos que constituyen el continuo (al comportamiento de las partículas en sí), ya que una coordenada en el espacio puede ser ocupada por diferentes partículas para diferentes tiempos. Es por tanto necesario conocer las funciones de trayectoria (2.1), para así relacionar las coordenadas espaciales x i con las materiales X j , y de tal forma describir el comportamiento de manera precisa y simple. Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
2.4
Derivada Material
Cundo se refiere a una propiedad cualquiera asociada a un medio continuo, de la forma ( X i , t ) , y en particular si se demanda analizar el cambio de dicha propiedad (temperatura, velocidad o esfuerzo) en el tiempo,
D . Ésta representa la rapidez de cambio de la propiedad para Dt
se define el concepto de derivada material
cada uno de los elementos diferenciales que constituyen el MC. Cuando se tiene una descripción material Por ejemplo
Entonces
X1 , X 2 , X 3 , t
D Dt t X i
fija
Si se cuenta con una descripción espacial Por ejemplo
x1 , x2 , x3 , t
Donde x i son las posiciones de partículas materiales a un tiempo "t" y están relacionadas con las coordenadas materiales a través de:
xi x X 1 , X 2 , X 3 , t De acuerdo a la regla de la cadena se tiene:
D Dt t X i
fija
x1 x2 x3 x1 t x2 t x3 t t xc
fija
xi vi t
Donde resulta evidente que:
Considerando coordenadas rectangulares se tiene entonces que:
D vi Dt t xi fija xi En forma general Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
D v Dt t De lo antes expuesto, para coordenadas cilíndricas, se tiene:0
r, , z, t , donde es una función escalar, entonces:
D t ; R, , Z Dt
t ; r , , z t
vr
v vz r r ˆ z
Por su parte en coordenadas esféricas se tiene:
ˆr, , , t
v D v vr Dt t r r ˆ rsen
Derivada Material de un tensor de primer rango. Sea
ai
la aceleración de una partícula del continuo, ésta representa la rapidez de cambio de velocidad de
cualquier partícula del MC, con respecto a la que la misma partícula presentaba para una diferencial de tiempo anterior. Si el movimiento del continuo está dado por:
x x X , t con X x X ,t 0 entonces la velocidad "v" , a un tiempo "t" , de una partícula X está dada por:
x v t X i
fija
Dx Dt
Por su parte la aceleración queda:
v a t X i
fija
Dv Dt
Entonces si se cuenta con una descripción de la velocidad de la forma v X , t la obtención de la aceleración es trivial.
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Mecánica del Medio Continuo
vi X i , t t
ai
Por otra parte si de lo que se dispone es vxi , t , que además representa la forma más usual para describir la velocidad, entonces la aceleración queda:
Dvi vi v vj i Dt t x j
ai
ó en notación general:
a
v v v t
Dado que v en coordenadas r , , z , está dado por:
v r r v v r v z r
1 v r v r 1 v vr r r 1 v z r
v r z v z v z z
Entonces la aceleración en coordenadas cilíndricas es descrita como:
ar
Dvr R, , Z ; t v r r , , z; t v v v v vr r r v v z r Dt t z r r
a
Dv R, , Z ; t v r , , z; t v v v v vr vr v z Dt t z r r
az
Dvz R, , Z ; t v z r , , z; t v v v v vr z z v z z Dt t z r r
Para el caso de coordenadas esféricas, donde la velocidad se expresa en la forma:
v vr r, , ; t eˆr v (r, , ; t )eˆ v r, , ; t eˆ Donde el gradiente se expresa como:
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Mecánica del Medio Continuo
v r r v v r v r
1 v r v r 1 v vr r v 1 r
1 v r v sen rsen 1 v v cos rsen v v cot v 1 r rsen r r
Entonces la aceleración se describe a través de:
ar
Dvr R, , ; t v r r , , ; t v v vr r Dt t r r
a
v v Dv R, , ; t v r , , ; t v v v vr vr v cos Dt t r r rsen
a
Dv R, , ; t Dt
v r , , z; t t
v v r r
v r
v vr v rsen
v
v rsen
v r v sen
v v r sen v cos
2.5 Campo de desplazamiento
El campo de desplazamiento de una partícula correspondiente a un MC está dado por un vector definido a partir de la posición de referencia, tal que:
u x X , t X
De lo anterior queda claro que conocidas las líneas de trayectoria (ecuaciones de trayectoria) x X , t , entonces queda establecido el campo de desplazamientos u ( X , t ) . Es por consecuencia que el movimiento de un MC puede ser descrito a través de las ecuaciones de trayectoria o del campo de desplazamientos.
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71
Mecánica del Medio Continuo Ecuación de movimiento para un cuerpo rígido Ésta se puede describir como la suma de una traslación más una rotación, de tal forma que: i.
Traslación de cuerpo rígido. Para este caso la ecuación de movimiento está dada por; x X ct , por consecuencia el vector de desplazamientos queda descrito como:
u ct , y entones u 0 . Esto significa que cada punto material perteneciente al continuo se desplaza de igual forma. ii.
Rotación alrededor de un punto fijo. En este caso la ecuación de movimiento está descrita por:
x b Rt X b
Donde Rt representa un transformación ortogonal, para R0 I , y b es un vector constante. Para el punto material X b está siempre en la coordenada espacial x b , y por lo tanto representa la coordenada fija alrededor de la cual se presenta la rotación del medio continuo. Si la rotación se define alrededor del origen, entonces b=0 y x Rt X . iii.
Movimiento general de cuerpo rígido. La ecuación que describe este tipo de movimiento se expresa como:
x R(t ) X b c(t )
Donde R es el tensor de rotación, con R0 I y ct es un vector para el cual c0 b . Esta ecuación establece que el movimiento es descrito por la traslación ct , de un elemento material arbitrario cualquiera
X b , más una rotación Rt .
De lo anterior se concluye que la velocidad de un punto material del cuerpo rígido se expresará como:
v R X b ct , lo cual equivale a v x c ct , si se mide el vector de posición r de un punto material cualquiera para un tiempo t del punto base elegido r ( x c) entonces:
v r ct .
2.6 Conceptos y definiciones.
Condiciones estacionarias (Estacionalidad) En algunos casos las características asociadas al MC, tales como densidad, temperatura, velocidad, etc., no varían en su descripción espacial (euleriana),; situación que no debe de ser entendida como que las propiedades son constantes en el tiempo ya que la descripción material
D 0, esto es X , t . Lo Dt
anterior supone que para un mismo punto en el espacio la propiedad en cuestión no varía en el tiempo Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
72
Mecánica del Medio Continuo
( xi , t )
0 . Por ejemplo para dos partículas distintas (a, b) cuya densidad se expresa como t xi fija
( a , b ) se cumplirá que ( a b ) cuando se encuentren en la misma coordenada espacial " x " , esto para los tiempos " t " y " t *" , donde es por demás evidente que t t * . Razón por la que para un observador situado fuera del medio se tendrá que la propiedad, en este caso la densidad, será siempre la misma.
Trayectoria –Líneas de Trayectoria (Pathline). La trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones que ocupa una partícula a través del tiempo. Con base en el tiempo de referencia y las posiciones que las distintas partículas que integran el MC presentan a dicho tiempo se generan las ecuaciones particulares de trayectoria de cada una de éstas. Descritas las ecuaciones de movimiento x X f ( X i , t ) se tiene que por cada punto en el espacio podrá pasar una trayectoria descrita por las coordenadas materiales; es por consecuencia que las ecuaciones de movimiento definen una familia de curvas que representan las trayectorias de los diferentes elementos que constituyen el MC. Para obtener la imagen de las líneas de trayectoria es necesario utilizar tiempos de exposición prolongados de flujos en los que se dispone de trazadores reflejantes. La ecuación de trayectoria de una partícula puede ser obtenida a partir del campo de velocidades, de tal forma que la partícula que en el tiempo de referencia t0 se encontraba en X ; entonces x x(t ) :
dx v ( x, t ) dt x t0 X Por ejemplo, sea el campo de velocidades v x, t
v1
x1t x eˆ 2 eˆ2 0eˆ3 2 1 1 t t
x1 dx dx1 xt 1 t 2tdt 1 1 2 X1 x dt 1 t 2 t0 1 t 2 1
Ln x1 Ln X 1
1 Ln 1 t 2 Ln 1 t02 2
1 t 1 t 2
x1 X 1
v2
2 0
x2 dx t dt dx2 x2 2 X2 x t0 t dt t 2
Ln x2 Ln X 2 Ln t Ln t0 x2 X 2
t t0
x3 X 3 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
Líneas de Corriente (Streamline) Representan el trazo definido por las trayectorias de los diferentes elementos que constituyen el MC. Por definición la tangente de una línea de corriente tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad en dicho punto del espacio. Experimentalmente las líneas de corriente en la superficie de un fluido son obtenidas a través de la inserción de partículas reflectivas y tomando una fotografía con un tiempo de exposición corto. Así cada partícula generará una línea corta aproximadamente tangencial a la línea de corriente. Matemáticamente éstas pueden ser obtenidas a partir del campo de velocidades v( x, t ) . Considere que
x x(s) representa la ecuación paramétrica de una línea de corriente a un tiempo t , la cual pasa a través de un punto x0 ; entonces cualquier s puede ser escogida tal que:
dx v ( x, t ) ds
x 0 x0 Por ejemplo para el campo de velocidades dado por:
v1
ax1t 1 t2
v2 bx2 v3 0
Determine la línea de corriente que pasa por el punto ( , , ) para un tiempo t : De lo antes expuesto se tiene que:
dx3 dx1 ax t dx2 v1 1 2 ; v2 bx2 ; v3 0 ds 1 t ds ds x1
s at dx1 ds; 0 1 t 2 x1
x2
s dx2 bds; 0 x2
x3
dx3 0
ats ; Ln x2 Ln bs; x3 1 t2 ats x1 exp 2 1 t Ln x1 Ln
x2 exp bs x3 Líneas de Traza (Streakline)
La línea de traza relativa a un punto fijo del espacio x es el lugar geométrico de las posiciones que ocupan en un instante t todas las partículas que han pasado por x entre t0 y t .
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74
Mecánica del Medio Continuo Lo anterior correspondería con lo observado (línea de color) a un tiempo t en un flujo, si en éste se deposita un colorante en un punto definido como punto de vertido (a partir de un tiempo t0 ), visualizándose así la traza. Sea X X x, t la función inversa a x x X , t , entonces la partícula que se encontraba en x a un tiempo tiene las coordenadas materiales dadas por X X x, , entonces esta misma partícula se encontrará en
x x X x, , t , entonces la línea de traza a un tiempo t está dada por
x x X x, , t , para t fija y variable. Sea el campo de velocidades v x, t
x1t x eˆ 2 eˆ2 0eˆ3 determine la ecuación para la línea de traza que 2 1 1 t t
pasa por , , . Se ha demostrado que las ecuaciones de trayectoria para este campo de velocidades son:
x1 X 1
1 t 1 t
x2 X 2
t t0
2
2 0
i
x3 X 3 Cuyas funciones inversas a su vez están dadas por:
X1
x1
1 t 1 t 2
2 0
X 2 x2
t0 t
ii
X 3 x3 Entonces la partícula que pasa , , a un tiempo está dada por:
X1
1 1 t 2
2 0
X2 X3
t0
iii
Sustituyendo iii en i se obtiene la ecuación paramétrica: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
75
Mecánica del Medio Continuo
1 t 1 2
x1 x2 x3
2
t
Ejercicios resueltos 1. La posición de una partícula a un tiempo " t " la cual inicialmente se encuentra en " X "
x t0 X está dada por: x1 X 1 aX 22 t 2 ,
x2 X 2 bX 3 t ,
x3 X 3
a=-2 (cm-s2)-1 b=-3 (s-1) a) ¿Cuál será la velocidad para t= 0.1 min. del elemento diferencial que originalmente se encontraba en (1,3,1) b) ¿Cuál será la velocidad para t= 0.1 min. del elemento diferencial que para ese tiempo se encuentra en la coordenada (1, 3, 1). c) Si la temperatura está dada por:
0 c( x1 x2 ) t ¿Cuál será el valor de ésta para el elemento diferencial anteriormente descrito a un tiempo t0 0 y a un t 0.1 min .
C c 1 cm s 0 30 C
d) ¿Cuál será la rapidez de variación de temperatura para (X, t)? Solución: a. Velocidad para t= 0.1 min. del elemento diferencial que originalmente se encontraba en (1,3,1)
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Mecánica del Medio Continuo
x2 X 2 bX 32t 2
xi t v1 2aX 22t , v2 bX 32
x3 X 3
v3 0
x1 X 1 aX 22t 2
vi
t 0.1(6 s) vi 2aX 22t eˆ1 bX 32 eˆ2 0eˆ3
v1 2 2 32 6 216 cm / s v2 3 cm / s v3 0 cm / s
vi 216eˆ1 3eˆ2 0eˆ3
b. Velocidad para t= 0.1 min (6 s) del elemento diferencial que para ese tiempo se encuentra en la coordenada (1, 3, 1).
Para t 6 s
1 X 1 aX 22 62
X 2 3 bX 32 6 15, X 3 1
3 X 2 bX 32 62
X 1 1 aX 22 36 1 2 15 36 16199 2
1 X3
x t0 (16199, 15, 1)
c. Temperatura en (1, 3, 1) para un tiempo t0 0 y a un t 0.1 min . Resulta por demás evidente que para un tiempo t0 0 0 ; esto es la temperatura del cuerpo sea la de referencia.
0 c x1 x2 t para t0 0
0 30 C para t 6 s
30 c 1 3 6 54 C d. Rapidez de variación de temperatura para cualquier posición y tiempo.
D v v1 v2 v3 Dt t t x1 x2 x3
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Mecánica del Medio Continuo
0 c X 1 aX 22t 2 X 2 bX 3 t
0 c X 1 X 2 aX 22t 2 bX 3 t
D X i , t c 2aX 22t bX 3 Dt t
Ejercicios propuestos
1. Un medio continuo presenta un movimiento definido por:
x1 X1 X 2t 2
x2 X 2 X1t 2 x3 X 3 X 3t 2 Donde xi representan coordenadas eulerianas y X j langragianas. a) Determine los componentes de la velocidad para t=2 de una partícula que se encontraba en (1, 2, 4) cuando t=1 b) Determine la ecuación de trayectoria de la partícula antes definida c) Determine la aceleración para t 4 d) ¿Cuál es el tiempo de referencia?
2.
La posición de una partícula a un tiempo " t " la cual inicialmente se encuentra en " X "
x(t0 ) X está dada por: x1 X 1 aX 22 t 2 ,
x2 X 2 bX 3 t ,
x3 X 3
a=-2 (cm-s2)-1 b=-3 (s-1) ¿Cuál será la velocidad para t 0.1 min del elemento diferencial que originalmente se encontraba en 1, 2, 4 ¿Cuál será la velocidad para t 0.1 min del elemento diferencial que para ese tiempo se encuentra en la coordenada 1, 2, 4 . Si la temperatura está dada por:
0 c( x1 x2 ) t
¿Cuál será el valor de ésta para el elemento diferencial anteriormente descrito a un tiempo t0=0 y a un t=0.1min.
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Mecánica del Medio Continuo
c 1 C cm s
0 0 C
¿Cuál será la rapidez de variación de temperatura para X , t ?
3.
La posición a un tiempo t de un medio continuo está dada por:
x1 X 1 1 t , 2
2 x2 X 2 1 t ,
x3 X 3 1 t
Para el medio continuo antes definido determine la velocidad y aceleración en coordenadas Lagrangianas y Eulerianas.
4.
El movimiento de un medio continuo está dado por:
x1 X1et X 3 et 1
x2 X 2 X 3 et et
x3 X 3 a).- ¿Cuál es el tiempo de referencia? b).- ¿Existen las funciones inversas? c).-Determine la velocidad de x X , t0 1, 2,5 para t 2.5 .
5. ¿Qué representa una descripción Lagrangiana y a que hace mención una Euleriana?
6. Explique el concepto de derivada material. Siendo una función escalar determine su derivada material considerando coordenadas cilíndricas, rectangulares y esféricas.
7.
Dv , se expresa en notación Dt
Si la aceleración, definida ésta como la derivada material de la velocidad
índice como:
Dvi v v ai i v j i Dt t x j Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo y en notación general
Dv v a (v)v Dt t Desarrolle las ecuaciones que representan la aceleración tanto en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
8. Si la velocidad en un continuo se describe en forma Euleriana, determine la ecuación que representa las diferentes componentes de la aceleración en coordenadas r , , z . 9.
Un medio continuo presenta el siguiente campo de desplazamientos.
u1 0 u2
1 X 2 X 3 e t 1 X 2 X 3 e t X 2 2 2
u3
1 X 2 X 3 e t 1 X 2 X 3 e t X 3 2 2
i.Indique la ecuación de trayectoria ii.En que plano(s) se define el movimiento del medio iii.¿Existirán funciones inversas de la forma X i X x, t ? iv.En el caso de existir las funciones inversas, determínelas. v.Determine la velocidad y aceleración tanto en referencia Euleriana como Langragiana
10.
La velocidad de un medio continuo esta descrita por:
vi
2 x3 x1 2 x2 eˆ1 eˆ2 eˆ 1 t 1 t 1 t 3
Con base en lo anterior determine: a) b)
La ecuación de trayectoria Aceleración en descripción Euleriana y Langragiana
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Mecánica del Medio Continuo
3. Deformación 3.1 Conceptos Generales La deformación en cualquier medio continuo se puede describir como recuperable; condición que se describe como elástica, ó en su defecto puede ser permanente ó plástica. El rango elástico de la deformación se presenta previo a la existencia de las deformaciones no recuperables. En muchos de los casos, como por ejemplo metales y cerámicos las deformaciones elásticas son muy pequeñas razón por la cual se describen como infinitesimales; sin embargo existen algunos materiales como los elastómeros (hules) los cuales se caracterizan por presentar grandes deformaciones elásticas, las cuales se describen como finitas. Las deformaciones plásticas presentan, normalmente, mayores magnitudes que las encontradas en el rango elástico; sin embargo existen casos (materiales frágiles) en los que el rango plástico de la deformación puede ser despreciable o de magnitud comparable al elástico, esto por ejemplo en cerámicos y metales muy endurecidos. Por su parte los metales suaves y muchos de los polímeros se caracterizan por alcanzar grandes deformaciones no recuperables antes de la fractura. Resulta evidente que la descripción de la deformación dependerá de las magnitudes que ésta alcance ya que condiciones de desplazamiento infinitesimal permitirán la simplificación de las expresiones incurriendo en graves errores de tratarse así para el caso de deformaciones finitas. Ahora bien para describir la deformación de cualquier medio continuo se debe de partir del análisis de su movimiento sin atender, por el momento, a las causas que lo producen. Cinemática del Continuo En el capítulo 2 se ha explicado la forma en que el movimiento del medio continuo puede ser descrito. En principio es conveniente recordar que en los cursos básicos de mecánica para definir el movimiento de los cuerpos se declaran a estos como rígidos y por lo tanto cualquier descripción de su desplazamiento se descompone, a lo más como la suma de traslación y rotación. Ahora bien al considerar un cuerpo como deformable se deberá efectuar las consideraciones que permitan la descripción de la deformación de cada uno de los elementos diferenciales en que se puede descomponer el MC. Como ya se mencionó en el capítulo anterior, dada la definición de MC, la descripción de sus movimientos se deberá realizar a partir de identificar a cualquier elemento diferencial del cuerpo por la posición que ocupa para un tiempo de referencia t 0 : Esto es:
pt 0 X 1 , X 2 , X 3
Figura 3.1 Descripción de la posición para un tiempo cualquiera de un elemento diferencial (p) del medio continuo
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Mecánica del Medio Continuo
Con base en lo antes expuesto será factible describir el campo de desplazamiento u X , t de cada una de las partículas correspondientes al MC. Para esto es necesario definir las ecuaciones de trayectoria x X , t , a partir de las cuales se tiene:
u x X , t X
Figura 3.2 Definición del vector desplazamiento (u) para un tiempo cualesquiera.
Es por tanto que conocidas las líneas de trayectoria (ecuaciones de trayectoria) x X , t , entonces queda establecido el campo de desplazamientos u ( X , t ) , de tal forma que:
x X u( X , t )
3.2 Deformación Infinitesimal En una gran variedad de aplicaciones de la mecánica de los sólidos se considera que el efecto de las solicitaciones a las que se somete el MC se traducen en pequeños desplazamientos de las partículas que forman el medio continuo, los cuales se definen como infinitesimales,. Para lo anterior considere la figura 3.3, en ésta se presenta un MC a un tiempo de referencia t .En dicho medio continuo se consideraran dos partículas, las cuales se 0
encuentran originalmente a una distancia dX , donde dicha distancia se modifica a deformación del objeto. De la figura se constata que:
dx como consecuencia de la
dx dX u X dX , t u X , t Esta ecuación, a partir de la definición de gradiente se expresa como:
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Mecánica del Medio Continuo
dx dX udX
Figura 3.3 Descripción del desplazamiento entre dos elementos diferenciales vecinos
Donde u es un tensor de segundo orden al cual se denomina como gradiente de desplazamiento, el cual en coordenadas cartesianas se expresa como:
u1 X 1 u u X 2 X 1 u3 X 1
u1 X 2 u2 X 2 u3 X 2
u1 X 2 u2 X 3 u3 X 3
Mientras que para una función vectorial u u r , , z , su gradiente está definido por:
ur r u u r u z r
1 ur u r 1 u ur r r 1 u z r
ur z u z u z z
y para u u r , , , su gradiente queda:
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Mecánica del Medio Continuo
ur r u u r u r
1 ur u r 1 u ur r 1 u r
1 u u cos rsen 1 u ur u cot rsen r r 1 ur u sen rsen
Cualquiera que sea la base u , al tratarse éste de un tensor de segundo rango se puede descomponer en su parte simétrica y su componente antisimétrica, de tal forma que:
u
1 1 T T u u u u 2 2
En el caso del análisis de la deformación infinitesimal ambos términos tienen un significado físico. La parte simétrica se denomina como deformación infinitesimal y se expresa como
E ó
y se representa en un espacio
hexadimensional, por su parte la componente antisimétrica tiene tres grados de libertad, razón por la cual se puede presentar como un tensor de segundo grado ó en forma vectorial por , el cual se puede comprobar que i
es proporcional a:
u
.
Es entonces que el tensor E caracteriza los cambios de longitud en el continuo para pequeñas deformaciones esto a la vez de su distorsión angular. Para ejemplificar el significado de lo antes expuesto considere un pequeño elemento el cual es deformado de manera uniaxial (figura 3.4).
l
Figura 3.4 Una barra de longitud se encuentra orientada colineal con el eje x . En ésta se definen dos partículas adyacentes (p, q), las cuales a un tiempo de referencia t se encuentran a una distancia dX , al aplicar una carga colineal 0
f x las partículas (p, q) variaran su distancia a dx . Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
Resulta entonces que:
u dx dX u dX u X
dx dX
u , dX X
por consecuencia el incremento unitario de distancia entre las partículas p y q está dado por:
l dx dX u l0 dX x
Generalizando se tiene que la deformación normal unitaria en cualquier dirección tendrá la forma:
11
u u1 u ; 22 2 ; 33 3 x1 x2 x3
Donde:
ui u1 ( X i , t )e1 u2 X i , t e2 u3 X i , t e3
Representa, como ya ha sido mencionado, al campo de desplazamientos asociado al medio continuo. Para el caso de deformación a corte considérese de igual forma un elemento diferencial, el cual se presenta en el plano x x ; este para un tiempo t no presenta deformación, sin embargo a un tiempo t es sometido a un 1 2
0
estado de corte puro, de tal forma que se distorsiona de acuerdo a la figura 3.4.
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Mecánica del Medio Continuo
Figura 3.4 Deformación de un elemento diferencial por corte puro
La deformación en el elemento diferencial, considerando pequeños desplazamientos, se puede describir a través de la distorsión angular del elemento diferencia, de tal forma que:
12 12 21 Donde
12 ang tan
u2 X 1
21 ang tan
u1 X 2
Al ser los ángulos de distorsión muy pequeños de puede considerar que
tan 12
u1 u2 X 2 X 1
por lo que generalizado la distorsión angular se expresará como:
ij
Se comprueba entonces que el tensor
E ó
ui u j i j X j X i
representa la deformación (normal y angular), esto bajo la
consideración de desplazamientos muy pequeños (infinitesimales), y está dada por la componente simétrica de u . Al ser todas las componentes de u parte de los reales se tiene entonces que el tensor E (componente simétrica u ) tendrá asociados tres valores característicos (deformaciones principales; , , ), las que a su 1
2
3
vez tiene asociados tres direcciones (ejes principales), los cuales al ser mutuamente perpendiculares forman una base.
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Mecánica del Medio Continuo
Se tiene entonces que el tensor de deformación, considerando desplazamientos infinitesimales, en notación índice se puede describir como:
1 ui u j 2 X j X i
ij
Por lo que en coordenadas cartesianas, queda: u1 X 1 1 u u ij 2 1 2 X 1 X 2 1 u3 u1 2 X X 3 1
1 u1 u2 2 X 2 X 1 u2 X 2 1 u3 u2 2 X 2 X 3
1 u1 u3 2 X 3 X 1 1 u2 u3 2 X 3 X 2 u3 X 3
Tensor de deformación infinitesimal en coordenadas cilíndricas y esféricas
r , , z
u r r 1 u 1 u r u 2 r r 1 u r u z 2 z r
1 1 u r u u 2 r r r 1 u ur r 1 u 1 u z 2 z r
1 u r u z 2 z r 1 u 1 u z 2 z r u z z
ur 1 1 ur 1 1 ur u u u u r 2 r 2 rSen r r r 1 1 ur 1 u 1 1 u u Cot 1 u u r, , u ur 2 r r r 2 rSen r r 1 1 ur u u 1 1 u u Cot 1 u 1 u ur u Cot 2 rSen r r 2 rSen r r rSen r r
Para la determinación de los valores principales asociados al tensor de deformación es necesario resolver la ecuación cúbica característica
3 I1 2 I 2 I3 0 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo Donde;
I1 11 22 33
2 I 2 11 22 22 33 3311 122 23 312 2 I 3 11 22 33 212 23 31 11 23 22 312 33 122
Con lo que se tendrá una representación del estado de deformaciones de la forma:
1 0 p 0 2 0 0
0 0 3
Dilatación unitaria Este concepto también es comúnmente descrito como cambio unitario de volumen, se representa a través de:
e
dV dV
V f V0 V0
lo cual se puede expresar a partir de considerar un elemento diferencial el cual al tiempo de referencia presenta un volumen
dV dX1dX 2 dX 3 , mientras que para un tiempo t
t0
se ha deformado (dilatado) de tal
manera que existe deformación normal en todas direcciones, entonces el volumen estará dado por;
u u u dV dX 1 1 dX 1 dX 2 2 dX 2 dX 3 3 dX 3 X 1 X 2 X 3 Por consecuencia
e
u1 u2 u3 u1 u2 u2 u3 u3 u1 u1 u2 u3 X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 1 X 1 X 2 X 3
Considerando que las deformaciones son infinitesimales entonces es posible despreciar el efecto de los productos de las parciales, por lo que la expresión anterior se puede simplificar a:
e
u1 u2 u3 11 22 33 ii I1 X 1 X 2 X 3
Lo cual significa que el primer invariante del tensor de deformación (traza del tensor) representa el cambio unitario de volumen asociado a la deformación (dilatación).
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Mecánica del Medio Continuo Tensor infinitesimal de rotación Retomando la expresión
dx dX E dX , donde
dx dX X u X , t dX
se tiene que ésta se puede presentar como
representa la parte antisimétrica de u , a la cual se denomina como tensor de
rotación infinitesimal. Se puede constatar que el cambio de dirección de dX puede provenir de dos fuentes; el tensor de deformación infinitesimal y el tensor de rotación infinitesimal. Sin embargo para cualquier dX el cual se encuentra en dirección de un eigenvector de efecto de
. Por lo tanto el tensor
E
no habrá cambio en la dirección debida a
E
y solo será por
representa la rotación infinitesimal de la triada de eigenvectores de
E,
esto puede ser descrito a través del vector t , de tal forma que se cumple:
t dX dX , Donde:
t 32e1 13e2 21e3 , Es entonces que:
32 , 13 , 21 son los ángulos de rotación con respecto a los ejes
e1 , e2 , e3 de la triada de direcciones principales de E .
3.3 Rapidez de cambio de un elemento material. El tensor de rapidez de deformación (D). Considérese un elemento material
dX
el cual emana a partir de un punto material
D representa la velocidad de cambio de longitud y dirección del elemento dx Dt
X (figura 3.5) el término
dx , a partir x x X , t .
Figura 3.5 Concepto de rapidez de deformación.
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Mecánica del Medio Continuo Se tiene que dx x X dX , t x X , t , tomando la derivada en el tiempo queda entonces:
D D D dx x X dX , t x X , t Dt Dt Dt Dado que:
D x X , t v X , t v x, t Dt D dx v X dX , t v X , t v x dx, t v x, t Dt
Entonces de la definición de gradiente se tendrá que:
D dx X v dX x v dx Dt
Esto representa que el gradiente del campo de velocidades, descrito con una referencia Langrangiana igual al gradiente bajo una referencia Euleriana
X v es
x v , por lo que en general este término se refiere simplemente
como v , sin enfatizar sobre la base de referencia.
X v xv ,
D dx v dx .La Dt
por lo tanto
1 D dx v representa entonces la razón de cambio en el tiempo de una longitud unitaria. dx Dt
expresión
Considerando una base rectangular (cartesiana) el gradiente del campo de velocidades está dado por:
v1 x1 v v 2 x1 v3 x1
v1 x2 v2 x2 v3 x2
v1 x3 v2 x3 v3 x3
Al tratarse de un tensor de segundo grado éste se puede descomponer en su parte simétrica y su componente antisimétrica, por analogía se tiene que:
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Mecánica del Medio Continuo
v D w
Donde D describe la componente simétrica, por lo que la rapidez de cambio unitario de volumen se expresa a través de:
1 dV
Se tiene entonces que:
vi v1 v2 v3 D D11 D22 D33 dV div v xi x1 x2 x3 Dt
1 T v v 2 1 T v v 2 D
El tensor D representa entonces la rapidez de deformación, mientras que en coordenadas cartesianas (notación índice), la relación se expresa según:
representa la rapidez de rotación,
1 v v j 1 v v j Dij i ; i 2 x j xi 2 x j xi
Por lo que el tensor de rapidez de deformación en coordenadas cartesianas se expresa como: v1 x1 1 v v ij 2 1 2 x1 x2 1 v3 v1 2 x x 3 1
1 v1 v2 2 x2 x1 v2 v2 1 v3 v2 2 v2 v3
1 v1 v3 2 x3 x1 1 v2 v3 2 x3 x2 v3 x3
Por su parte el Tensor de rapidez de deformación infinitesimal en coordenadas cilíndricas se expresan como:
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Mecánica del Medio Continuo
r, , z
vr r 1 v 1 v r v 2 r r 1 vr vz 2 z r
1 vr vz v v r 2 z r r 1 v 1 v 1 vz v r r 2 z r vz 1 v 1 vz 2 z r z
1 1 vr 2 r
y en esféricas vr 1 1 vr 1 1 vr v v v u r 2 r 2 rSen r r r 1 1 v 1 v 1 1 v v v Cot 1 v v r , , r u v r 2 r r 2 rSen r r r r 1 1 vr v v 1 1 v v v Cot 1 v 1 v vr v Cot r r r rSen r 2 rSen r r 2 rSen r
ij es equivalente a un vector de rapidez de rotación i . El i es denominado como vector dual o vector axial asociado al tensor y se relaciona con las tres
Como ya ha sido mencionado el tensor antisimétrico vector
componentes diferentes de cero del tensor, de tal manera que:
2 23e1 31e2 12e3 Rapidez de cambio unitario de volumen
e .
Por analogía con el concepto de cambio unitario de volumen e
e:
V V0 1 dV f dV V0
Es posible definir la velocidad de cambio unitario de volumen e
e :
1 D dV dV Dt
Dado que la velocidad está dada por la rapidez de cambio de posición y considerando que ésta se puede representar como:
e
De v v v v v v v v v v v v e 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 Dt x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 x1 x2 x3
Expresión que se puede simplificar partiendo de la consideración de que se trata de deformaciones infinitesimales, por lo que el producto de parciales se puede despreciar, por lo tanto: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
e
v1 v2 v3 11 22 33 I1 x1 x2 x3
resulta entonces que la traza del tensor de rapidez de deformación modifica el volumen, esto por unidad de volumen.
D representa la velocidad con la cual se
3.4 Ecuaciones de Compatibilidad
u
v
En el caso de que se defina el campo de desplazamientos o en su caso el de velocidad , el tensor de deformación infinitesimal ó de rapidez de deformación infinitesimal; existirán siempre y cuando la función de
u
v
desplazamiento o en su defecto la de velocidad sean continuas y continuamente derivables en el intervalo en que se haya definido el tensor de deformación infinitesimal o de rapidez de deformación infinitesimal. En el caso de que se proponga el tensor de deformación E ó de rapidez de deformación
u
v
D , no necesariamente
existirá un campo de desplazamientos ó de velocidad para el intervalo bajo consideración. Para garantizar la existencia de los campos de desplazamiento ó velocidad será necesario que las funciones de deformación ó de velocidad de deformación cumplan con la existencia de las ecuaciones de compatibilidad ó integrabilidad. Las cuales se expresan, para el caso de deformaciones infinitesimales, como:
2 11 2 22 2 12 2 X 2 X 1 X 22 X 12
2 23 2 22 2 33 2 X 32 X 22 X 3X 2 2 33 211 2 31 2 X 12 X 32 X 1X 3 211 23 31 12 X 2 X 3 X 1 X 1 X 2 X 3 2 22 31 12 23 X 3X 1 X 2 X 2 X 3 X 1
2 33 12 23 31 X 1X 2 X 3 X 3 X 1 X 2 Para la rapidez de deformación se deberá cumplir con las siguientes 6 ecuaciones para garantizar la existencia del campo de velocidades v :
2 D11 2 D22 2 D12 2 x22 x12 x2x1 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
2 D23 2 D22 2 D33 2 x32 x22 x3x2 2 D33 2 D11 2 D31 2 x12 x32 x1x3 2 D11 D23 D31 D12 x2x3 x1 x1 x2 x3
2 D22 D31 D12 D23 x3x1 x2 x2 x3 x1 2 D33 D12 D23 D31 x1x2 x3 x3 x1 x2 Es evidente que tanto en el caso del campo de deformaciones como de velocidad de deformaciones la existencia de un campo de desplazamientos o de velocidades (según sea el caso) solo se garantizará al dar cumplimiento a todas y cada una de las seis ecuaciones de compatibilidad o integrabilidad.
3.5 GRADIENTE DE DEFORMACION (F) Como ya ha sido manifestado el movimiento de un continuo se describe en general como:
Figura 3,6 Considérese un medio continuo que para el tiempo de referencia esta descrito por X x t , mientras que 0 para cualquier tiempo queda
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x x X ,t
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Mecánica del Medio Continuo
x x X , t , donde x de la coordenada referencia
X.
representa la posición espacial a un tiempo
t
de la partícula material descrita a través
Una partícula material, la cual se encuentra a una distancia
dX
para el tiempo de
t0 , esta partícula es transformada a través del movimiento, de tal forma que a un tiempo t
encuentra a una distancia
se
dx . La relación estará dada entonces por: dx x X dX , t x X , t (x)dX
Al gradiente de las funciones de trayectoria se le conoce como gradiente de deformación en x F , por lo tanto en coordenadas rectangulares se tiene que:
F
x1 X 1 x2 x X 1 x3 X 1
X , de tal forma que
xi X j
x1 x1 X 2 X 3 x2 x2 X 2 X 3 x3 x3 X 2 X 3
Dos puntos adyacentes en el medio continuo pasan de estar a una distancia dX para el tiempo de referencia t a 0 una distancia
dx para un tiempo t t0 , como la posición a cualquier tiempo t
se puede expresar como:
x X u X ,t Por lo que:
dx dX u X , t dX Entonces el gradiente de deformación
F se expresa como:
dx I u dX F X x X X u I u
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95
Mecánica del Medio Continuo
Fij
xi X i ui u ij i X j X j X j X j
Por lo que:
u1 X 1 u ui u 2 X j X 1 u3 X 1
Si
F
es simétrico
u1 u1 X 2 X 3 u2 u2 X 2 X 3 u3 u3 X 2 X 3
F U , situación que representa un estado de estirado o tensión puro, por otra parte si
U cons tan te todo el cuerpo se encuentra en estirado puro. Entonces para F simétrico dx = UdX. Como ya fue mencionado el material se encontrará bajo dilatación pura si U es constante
x UX el cuerpo
entero se encuentra bajo la misma condición de deformación pura entonces la deformación o dilatación dada por:
s
S
está
dx dX
Por último es conveniente mencionar que los eigenvalores de U representan las deformaciones principales. Si F es ortogonal representará una transformación bajo la cual se mantiene los ángulos y magnitudes relativas, por lo que solo existirá rotación. Además en este caso FF T =I F = R. De lo antes expuesto se puede concluir que para cualquier tensor F para el cual F 0, éste se podrá descomponer en el producto de un tensor ortogonal y de un tensor simétrico; a esto se le denomina Teorema de la descomposición polar, de tal forma que:
F RU F VR
Donde U ,V son tensores simétricos y
R es un tensor ortogonal. Bajo cualquier condición la descomposición será
única, por lo que solo existirá un Tensor R,V ,U para cada caso. Al tensor
U se le denomina como tensor de
dilatación (deformación) por derecha y al tensor V se le describe como tensor de dilatación por izquierda. Es por tanto que:
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96
Mecánica del Medio Continuo
dx FdX RUdX F RU VR
Considerando las operaciones con matrices se tiene:
RU VR RT RU RTVR U RT VR RURT VRRT V RURT F RU VR F T F RU RU U T RT RU T
F T F U TU FF T VR VR VRRT V T T
FF T VV T
Considerando a
U
como tensor diagonal (valores principales):
u1 0 0 u 2 0 0 donde
0 , 0 U UT u3
u1 , u2 , u3 representan los valores principales asociados al tensor U , u12 U TU UU T 0 0
0 u22 0
0 0 U2 u32
dado que F T F U TU U 2 F T F
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97
Mecánica del Medio Continuo Como consecuencia se puede expresar que: 1/ 2 U FT F .
Asimismo se tiene que:
F RU FU 1 RUU 1 FU 1 RI
R FU 1 Por consecuencia:
F VR V 1 F V 1VR V 1 F IR
V 1F R Tensor de deformación de Cauchy – Green por derecha (C) Considere la existencia de un tensor C tal que C U 2 , dicho tensor se conoce como tensor de deformación de Cauchy-Green por derecha ó simplemente tensor de deformación de Green. Resulta evidente que si no existe deformación, entonces C U I
C FT F
Las componentes del tensor
C tienen un significado geométrico muy simple, tal que:
dx1 FdX 1 y dx 2 FdX 2
Lo anterior para los elementos materiales
dx1 y dx 2
dx1dx 2 FdX 1 FdX 2 dX 1 F T FdX 2 dX 1U 2 dX 2 dx1dx 2 dX 1CdX 2
Entonces si
dx nds representa al vector deformado del elemento material dX dSe1 , entonces de las
relaciones antes expuestas se tiene que: 2 2 dx1 dx 2 ds dS e1 Ce1
Esto desde luego para elementos materiales iguales, de tal forma que: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
98
Mecánica del Medio Continuo
dX 1 dX 2 dSe1 Despejando se tiene: 2
ds c11 para el elemento dX dSe1 dS 2
ds c22 para el elemento dX dSe2 dS 2
ds c33 para el elemento dX dSe3 dS
Considere ahora dos elementos materiales
dX 1 dSe1 , dX 2 dSe2 , los cuales se deforman en
dx1 ds1m , dx 2 ds2 n , donde los vectores unitarios m, n entonces; ds ds cos dS dS e Ce de tal forma que: 1 2 1 2 1 2
describen un ángulo
c12
ds1ds2 cos dx1 , dx 2 dS1dS2
c23
ds2 ds3 cos dx 2 , dx3 dS2 dS3
c31
ds3 ds1 cos dx3 , dx1 dS3 dS1
entre ellos, se tiene
En consecuencia se puede definir a:
3.6 Tensor Lagrangiano de deformaciones finitas (Tensor Lagrangiano de deformación) Este tensor permite describir el campo de deformaciones finitas para una referencia material, se define como:
E
1 C 1 2
Donde C es el tensor de deformación de Cauchy-Green por derecha e caso de no existir deformación C I y por lo tanto E 0 . Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
I representa al tensor identidad. En el 99
Mecánica del Medio Continuo
Dado que el gradiente de deformación
F
está definido a su vez por:
F I X u F T ( I X u )T I X u
T
Donde
F T describe la transpuesta del gradiente de deformación.
Desarrollando los términos se tendrá entonces:
C F T F I X uT I X u I X u X uT X uT X u E
1 I X u X u T X u T X u I 2 1 I X u X uT X uT X u I 2 1 1 E X u X uT X uT X u 2 2 E
1 u u j 1 um um Eij i 2 x j xi 2 xi x j Desarrollando el término correspondiente a la deformación normal en el eje
E11
1 u1 u1 1 u m 2 x1 x1 2 xi
u m x j
e1 este queda:
u 1 u u u E11 1 1 2 3 x1 2 x1 x1 x1 2
Lo cual equivale a 11 en las direcciones
2
u1 para deformaciones muy pequeñas (infinitesimales). Las deformaciones normales X 1
e2 , e3 quedan a su vez: E 22
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2
u 1 u 2 1 X 2 2 X 2
2
u 2 X 2
2
u 3 X 2
2
100
Mecánica del Medio Continuo 2 2 2 u 2 u 3 u 3 1 u1 E 33 X 3 2 X 3 X 3 X 3
Por su parte al desarrollar los términos del Tensor Lagrangiano de deformación, en lo referente a la distorsión angular se tienen los siguientes términos:
E12
1 u1 u 2 1 u1 u1 2 X 2 X 1 2 X 1 X 2
E13
1 u1 u 3 1 u1 u1 u 2 u 2 u 3 u 3 2 X 3 X 1 2 X 1 X 3 X 1 X 3 X 1 X 3
E 23
u 1 u 2 3 2 X 3 X 2
1 u1 2 X 2
u 2 u 2 X 1 X 2
u1 u 2 X 3 X 2
u 3 u 3 X 1 X 2
u 2 u 3 X 3 X 2
u 3 X 3
3.7 Tensor de deformación Cauchy-Green por izquierda Sea B V 2 , donde V es el tensor izquierdo de deformación B se denomina como tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo ó Tensor de deformación de Finger. En el caso de no existir deformación resulta evidente que:
V BI Dado que F VR y RR T I , por lo tanto B se puede calcular directamente de F, de tal manera que:
F VR F T RT V T FF T VRRT V T FF T VIV T VV T V 2 B B FF T
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B RU ( RU )T RUU T RT
101
Mecánica del Medio Continuo
UU T C U 2
B RCRT RT B RT RCRT CRT
CRT R RT BR
C RT BR
Desarrollando se tiene que: B ( I u )( I uT ) I uT u u uT X X X X X X
Bij ij
u j X i
ui u u j i X j X m X m
Para muy pequeños desplazamientos se puede describir un nuevo tensor
ij (tensor
de deformaciones
infinitesimales), de la forma:
1 2
1 ui u j ui u j 2 X j X i X m X m
ij ( Bij ij )
1 1 T X u X u ( X u )( X u )T 2
2
expresión que equivale al tensor Lagrangiano de deformación
E para pequeñas deformaciones.
3.8 Tensor de deformación Euleriana Al tensor descrito a través de la relación:
e
Se le denomina
1 I B 1 2
Tensor Euleriano de deformación. Resulta evidente que de no existir deformación
B 1 I y e 0 . Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
102
Mecánica del Medio Continuo
Se ha demostrado anteriormente que:
B FF T B 1 FF T F 1 F 1 1
T
Donde
x X u X ,t dx dX
u X , t
xi X i X j X j
dX X ui X , t X j
F X x I X u Dado que:
dx FdX
F 1dx F 1 FdX IdX F 1dx dX
dX i Fij1dx j Por otra parte:
x X u X ,t X x u X ,t X x u x, t
dX dx
u x, t
dx x u x, t X x u x, t i i i ij i x j x j x j x j x X I xu Resulta entonces que:
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103
Mecánica del Medio Continuo
dX i dx j ij F 1 F I dx j dX i F 1 x X I xu x, t Donde:
( Fij ) 1
X i x j
Por lo tanto al sustituir en la definición del tensor Euleriano de deformación se tiene que:
X 1 x1 X X i F 1 x X 2 x j x1 X 3 x1
Por definición
X 1 x2 X 2 x2 X 3 x2
X 1 x3 X 2 x3 X 3 x3
xi X i ui
xi ui X i
dxi dui dX i
xi ui X i x j x j x j
Se ha definido al tensor de deformación de Finger como:
B FF T Por consecuencia:
B 1 ( FF T ) 1 ( F 1 )T F 1 Pero como:
F 1 I x u Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
104
Mecánica del Medio Continuo
B 1 I xu I xu T
Por lo que:
B 1 I xu xu xu xu T
T
Entonces el tensor Euleriano de deformación queda expresado como:
1 1 T T xu xu xu xu 2 2 u 1 u u 1 u e i j m m 2 x j xi 2 xi x j e
En coordenadas rectangulares al desarrollar la notación índice se tiene que: e11
2 2 u1 1 u1 u2 u3 x1 2 x1 x1 x1
1 u u 1 u u u u u u e12 1 2 1 1 2 2 3 3 2 x2 x1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
En el caso de desplazamientos muy pequeños
u X i , t u xi , t , por lo que se puede concluir entonces que
para deformaciones infinitesimales
eij ij ya que ui ui X j
x j
3.9 Condiciones de compatibilidad para el tensor de deformaciones finitas: Las ecuaciones de compatibilidad o integrabilidad presentadas en el subtema 3.4 corresponden a condiciones de deformación infinitesimal, en el caso de deformaciones finitas y considerando el tensor de deformación Euleriana se tiene que:
2 ekn 2 elm 2 ekm 2 eln eks ens ekn els ems elm xl xm xk xn xl xn xk xm xn xk xs xm xl xs
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105
Mecánica del Medio Continuo e e e e e e e e e e e e ks ms km ls ns ln 2ers 2 kr nr kn ls ms lm xs xn xl xs xs xm xk xn xk xr xm xl
e e e e e e e e e e e e 4 kr mr km ls ms ln 4 kr nr kn ls ms lm 0 xr xn xl xs xn xk xr xm xl xs xm xk Se puede demostrar con facilidad que la ecuación anterior para deformación infinitesimal se reduce a:
2 ekn 2elm 2ekm 2eln 0 xl xm xk xn xl xn xk xm
3.10 Cambio de área debido a deformación. Considere dos elementos materiales dX 1
dS1e1 , dX 2 dS2e2 los cuales emanan de la coordenda
entonces el área definida por dichos elementos materiales, a un tiempo de referencia
X,
t0 estará dada por:
dA0 dX 1 dX 2 dS1dS2e3 dA0e3 Donde
dA0 representa la magnitud del área sin deformación, cuya normal es e3 , para un tiempo cualesquiera t
los elementos se deforman de acuerdo a:
dx1 FdX 1 , dx 2 FdX 2
razón por la cual al área se modificará como:
dA FdX 1 FdX 2 dS1dS2 Fe1 Fe2 dA0 Fe1 Fe2 ,
por lo que la normal del área deformada será perpendicular al plano descrito por descrita a través de la normal
Fe1 , Fe2 , ésta dirección es
n , por lo que: dA dSn dSn dA0 Fe1 Fe2
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106
Mecánica del Medio Continuo
Fe3 dA dA0 Fe3 Fe1 Fe2
por otra parte se tiene que:
Fe3 Fe1 Fe2 F det F Es entonces que
Fe3 dAn dA0 F
el producto punto entre vectores perpendiculares es igual a cero por lo que:
Fe1 dAn Fe2 dAn 0 e1 F T n e2 F T n 0 Despejando se tiene que:
dA e3 F T n 0 F dA como consecuencia de que
F T n está en la dirección de e3 , de tal forma que: dA F T n 0 F e3 dA
por lo que como consecuencia: T dA n dA0 F F 1 e3
e3 el cual es normal a los vectores e , e , ahora habrá que definir la normal de la superficie antes de ser deformada n (la 1 2 0 cual remplaza al vector e ). 3 Generalizando el desarrollo anterior para cualquier superficie se tendrá que en lugar del vector unitario
dAn dA0 F F 1 n0 T
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107
Mecánica del Medio Continuo
3.11 Cambio de volumen debido a deformación Considere tres elementos materiales de la coordenada material
dV0 dS1dS2 dS3
X;
dX 1 dS1e1 , dX 2 dS2e2 , dX 3 dS3e3
éstos, a un tiempo de referencia
para un tiempo
t0
los cuales proceden
forman un prisma de volumen
t el elemento diferencial se deforma según
dx1 FdX 1 , dx 2 FdX 2 , dx3 FdX 3 razón por la que el volumen se transforma en: dV FdX 1 FdX 2 FdX 3 dS1dS2 dS3 Fe1 Fe2 Fe3
dV F dV0 Por otra parte
0 F
3.12 Descripción del gradiente de deformación para una referencia cilíndrica r , , z y para una base esférica Para el caso de que la descripción del movimiento se realice bajo una referencia cilíndrica ó esférica, el gradiente de deformación se expresa como:
F r , , z
donde la referencia original se indica con tiempo
t se expresa con r , , z .
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r r0 r r0 z r0
r r0 0 r r0 0 z r0 0
r z0 r z0 z z0
r0 ,0 , z0 , esto para t0 , mientras que la descripción para cualquier
108
Mecánica del Medio Continuo Por otra parte para el caso de coordenadas esféricas se tiene;
F r , ,
r r0 r r0 rsen r0
r r0 0 r r0 0 rsen r0 0
r r0 sen 0 0 r r0 sen 0 0 rsen r0 sen 0 0
Ejercicios propuestos: Deformación
1.
¿Qué son las ecuaciones de compatibilidad ó integrabilidad?
Demuestre su validez, tanto para el caso de deformaciones como de rapidez de deformación.
2.
Para el siguiente campo de desplazamientos:
u1 X 12 X 2 ,
u2 X 22 X 3 ,
u3 X 32 X 1
Determine:
a. u ; Parte simétrica de u ; Componente antisimétrica de u ; b. Si
1 1 ( ) determine para el punto m2 4
u
q cuyas coordenadas para t
0
son q (10, 8, 15) cm.
Deformaciones principales Máximas deformaciones a corte ¿El medio continuo se comporta en general como incompresible? Justifique su respuesta.
3.
El campo de velocidades asociado a la deformación de un medio continuo está dado por:
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109
Mecánica del Medio Continuo
vi 2ax2 bx1t eˆ1 2ax1 bx2t eˆ2 bx3t eˆ3
donde a 1( s 1 )
b 1( s 2 )
a).- ¿Es factible determinar la rapidez de deformación Dij
del medio continuo? En caso de ser afirmativa su
respuesta que condiciones (en caso de existir éstas) deberá cumplir el campo de velocidades propuesto. b).- En caso de ser factible determine el tensor de rapidez de deformación
D ij
y de rapidez de rotación
asociado al campo de velocidades. ij
c).- Si se trata de un sólido rígido plástico (no presenta deformación elástica) el cambio de volumen asociado a la deformación es cero y por consecuencia la rapidez de cambio de volumen en cualquier punto y para cualquier
1 D dV 0 . dV Dt
tiempo también lo es
¿Cuál será entonces la magnitud del escalar “ ”? d).- ¿Qué características en particular tiene la rapidez de deformación descrita?
e).- Determine los valores principales de la rapidez de deformación Dij .
4.
Un cuerpo es sometido a una serie de solicitaciones que provocan la distorsión del mismo, situación que se
puede representar con el tensor
u esto es para el elemento diferencial X i X1 , X 2 , X 3 . Con esta base
defina los tensores de deformación ( ij ) y de rotación ( ij ).
10 8 9 u 6 2 3 103 m m 5 3 17
5.
Existirá un vector velocidad que garantice la existencia de
D , donde D representa el tensor de ij
ij
rapidez de deformación.
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110
Mecánica del Medio Continuo
x2 ln x1 x2 Dij x1 x2 x3 x32 x2
2 x k x2 ln 22 x1 t x1 x3 x2 2
x1 x2 x3 x1
x2 e x2 ln
x3
x22 x12
x3 x2
donde k 11 , t tiempo , Justifique su respuesta
6.
El campo de desplazamientos asociado a la deformación de un medio está dado por:
3 X 12 X 3 X 13 X 3 X 3 e2 k e3 ui 2 e1 X 2 Sen X Sen 3 X2 X X X 1 1 2 2 i
defina xi
ii
¿Es posible obtener el tensor de deformación a partir de u i , ó es necesario verificar la existencia de la
función a través de los criterios de compatibilidad? iii
¿Considerando que el medio es incompresible determine para " q " :
q 0.1, 0.1, 0.1 las
deformaciones principales
7.
_
El campo de velocidades ( xi , t ) asociado a la deformación del material está dado por: _
(C
x3 x x x x x ln 1 ) e1 (30 1 3 ) e2 (15 1 ln 2 ) e 3 t x2 x2 t t x3
m/s
Determine: a) El tensor de rapidez de deformación Dij para cualquier tiempo y coordenada Dij f ( xi , t ) b) Para t 1 s , xi 0.1,0.4, 0.2 m. , calcule el tensor de rapidez de deformación Dij . .
c) ¿Cuál será él valor de la constante C que garantiza que ii 0 ? d) Determine los valores de principales de la rapidez de deformación, así como la máxima rapidez de deformación angular.
8. Si “C” se define como el tensor de Cauchy-Green por derecha deduzca la representación del tensor Lagrangiano de deformación E , esto en función del gradiente del vector desplazamiento u , sí:
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X
111
Mecánica del Medio Continuo
E Donde:
C F T F I X uT I X u I X u X uT X uT X u
I-Identidad Indique la descripción de 9.
1 C I 2
E en notación índice y en notación general.
El tensor de deformación Euleriana (e) se define como: e
1 I B 1 2
donde B 1 representa la inversa del tensor de Cauchy –Green por izquierda. Con base en lo anterior X i deduzca la representación de en función del inverso del gradiente de deformación ( F 1 ) , y en x j
e
particular del gradiente del vector desplazamientos x u cuando este se describe en forma Euleriana. e e x u
10. Demuestre que para una deformación infinitesimal el cambio unitario de volumen está representado por la traza del tensor de deformación infinitesimal.
11.
Para la descripción de deformaciones finitas se emplea el tensor Langragiano de deformación E el cual
se define como:
E
1 C I 2
Donde
I - Identidad
C – Tensor de deformación de Cauchy- Green por derecha, el cual a su vez se define como: C FT F Donde
F – Gradiente de deformación
F Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
xi I u X j 112
Mecánica del Medio Continuo
u
u i X j
Con base en lo anterior compruebe sí
E
1 1 u u T u T u 2 2
¿La expresión anterior se podrá expresar en notación índice como?
E
1 u i u j 2 X j X i
1 u m u m 2 X X j i
Demuestre sí
1 1 u u m u T u m 2 2 X i X j
12. A partir de la ecuación de compatibilidad expresada en notación índice para deformaciones infinitesimales como:
2ekn 2elm 2ekm 2eln 0 xl xm xk xn xl xn xk xm
Demuestre si las ecuaciones de compatibilidad o integrabilidad se expresan como:
2 11 2 22 2 12 2 X 2 X 1 X 22 X 12
2 23 2 22 2 33 2 X 32 X 22 X 3X 2
2 33 211 2 31 2 X 12 X 32 X 1X 3 211 23 31 12 X 2 X 3 X 1 X 1 X 2 X 3
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113
Mecánica del Medio Continuo
2 22 31 12 23 X 3X 1 X 2 X 2 X 3 X 1
2 33 12 23 31 X 1X 2 X 3 X 3 X 1 X 2
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114
Mecánica del Medio Continuo
4. Esfuerzos 4.1 Conceptos Generales Como una primera etapa se ha estudiado la descripción del movimiento del Medio Continuo sin considerar las causas que lo provocan, asimismo se ha procedido a definir la deformación tanto para el caso finito como infinitesimal. En la teoría clásica de medios continuos el concepto de esfuerzo es introducido a través de la descripción de fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie. Las definidas como fuerzas de cuerpo son aquellas que actúan sobre el volumen del MC a gran distancia (sin que exista contacto); ejemplo de éstas son la fuerza gravitacional, las electrostáticas y las magnéticas; estas fuerzas son resultado de la presencia de campos (gravitacionales, electrostáticos ó magnéticos) y se representan a través de la aceleración que generan en el MC, de tal forma que: f c BdV V
Donde x, t es la densidad del medio en un punto x del cuerpo a un tiempo t y B representa la aceleración producida por las fuerzas de cuerpo; éste término es referido como fuerza de cuerpo por unidad de masa o simplemente como aceleración de fuerza de cuerpo. Por otra parte las fuerzas de superficie son aquellas que para transmitirse demandan contacto, y que actúan sobre una superficie real ó imaginaria (al separar en partes el cuerpo). Las fuerzas de superficie son solicitaciones externas que actúan sobre la superficie del cuerpo; por ejemplo la fuerza que genera el viento al hacer contacto con una estructura o las que se producen al sumergir un cuerpo en un líquido o también al estar en contacto dos sólidos. Las fuerzas de superficie totales actuando en una superficie S del cuerpo de volumen V y configuración se expresan en la forma:
f s tdS S
x
Donde t representa a un vector cuyas unidades son fuerza por unidad de área, el cual es función de , donde ésta representa una coordenada que corresponde a la superficie S . Dicho vector es denominado como vector de fuerza superficial por unidad de área de S ó vector de esfuerzos ó tracción en S . Las fuerzas, sean de cuerpo o de contacto, representan solicitaciones sobre el MC; sus efectos dependerán evidentemente de su magnitud y dirección, pero también de las condiciones geométricas del cuerpo. Por tal motivo y para facilitar el análisis del efecto de éstas es necesario describir el área sobre la que se presentan a través de lo cual se llega a definir el concepto de esfuerzo. Considere un MC (figura 4.1) el cual es sometido a una serie de fuerzas f i , si se corta el cuerpo con un plano , la sección remanente deberá estar en equilibrio, de tal forma que sobre el plano aparecerá una fuerza resultante f R dicha fuerza se representa en principio en el centroide del área descrita sobre el plano de corte
, sin embargo resulta evidente que la carga se distribuye sobre la superficie A , por lo
que se puede definir el concepto de vector de esfuerzos t , de la forma: f . Por otra parte es evidente que f se puede descomponer en su componente normal a t lim
A0
la superficie
A
f N f n
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y en su componente tangencial f T
2 2 f f N , de tal forma que se
115
Mecánica del Medio Continuo
puede definir entonces los denominados como esfuerzos normales
f T . o de corte lim A0
limA0
f N y los tangenciales A
A
Resulta evidente que para definir al esfuerzo es necesario describir la dirección de la fuerza y la normal al plano, entonces fi , por lo que los esfuerzos en un punto del MC se describirán a través
ij lim S 0
Sn j
de un tensor de segundo rango T , T , ó , , razón por la cual se requerirá de nueve términos para ij ij definir éste. Sin embargo por condiciones de equilibrio, como se demostrará más adelante, el tensor es simétrico (considerando el área instantánea) y se representa en un espacio Hexadimensional.
Figura 4.1 Un medio continuo es sometido a un conjunto de fuerzas de cualquier origen. Éstas generan una serie de solicitaciones al interior del mismo
4.2 Vector de esfuerzos Se considera que el vector de esfuerzos permite describir la fuerza en un punto de la superficie del cuerpo, el cual no considera curvatura en la superficie del punto. Esto es asumido como principio de esfuerzos de Cauchy, el cual es un axioma básico de la mecánica del continuo. Considere el cuerpo de la figura 4.2 e imagine un plano normal es n .
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S el cual pasa a través de un punto arbitrario P , cuya
116
Mecánica del Medio Continuo
Figura 4.2 Para la determinación del vector de esfuerzos se considera un plano S que contiene a un punto “P”. El plano S corta al cuerpo en dos porciones dando lugar a una componente F que garantiza el equilibrio del cuerpo.
El plano corta al cuerpo en dos porciones. La parte I se considera como un cuerpo libre, razón por la que en la superficie “S” debe considerarse una carga resultante F que actúa en un área A en la que se encuentra P . Se define al vector de esfuerzos que corresponde al punto P del plano S como el límite del cociente de cuando A 0 , entonces: F
A
tP lim A0
f A
Si la porción del cuerpo marcada como II es considerada ahora como un cuerpo libre, a partir de la Ley de Newton que considera que a cada acción corresponde una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario, entonces en el mismo punto P enunciado anteriormente pero considerándolo parte del elemento II , se tiene entonces que la normal del plano es la misma pero va en dirección opuesta a la definida anteriormente para el cuerpo, es
s sIIP .
entonces que: IP
Con relación al punto
P se puede hacer pasar un infinito número de planos de área An , considerando que la
solicitación permanece constante donde vector de esfuerzos de Cauchy en
tnP lim An 0
es la fuerza resultante en el área
An
en la superficie
An . El
P de An se define como:
F An
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f
117
Mecánica del Medio Continuo
A partir de lo antes definido se describe el Principio de esfuerzos de Cauchy. El vector de esfuerzos en cualquier lugar y tiempo tiene un valor común en todas las partes del material que cuentan con un plano tangente común, entonces si
n representa la normal al plano y t es el vector de esfuerzos, a un tiempo , se tiene que: t t x, , n
Es entonces que el vector de esfuerzos asociado a un plano que pasa a través de un elemento espacial x , esto para un tiempo dependerá solo de la normal n asociada al plano. Esta dependencia, como se presentará más adelante, se expresa como:
t x, , n T x, n , donde T representa a una transformación lineal.
4.3 Tensor de Esfuerzos de Cauchy De acuerdo a lo mencionado en líneas anteriores el vector de esfuerzos referido a un plano que pasa a través de un punto espacial x a un tiempo depende solamente de la normal unitaria n del plano, sea entonces una transformación T, tal que:
tn Tn A esta transformación se le denomina tensor de esfuerzos ó tensor de Esfuerzos de Cauchy. Componentes del tensor de esfuerzos Las componentes del vector de esfuerzos están relacionadas con el tensor de esfuerzos T por:
t1 T1 j n j e1
t2 T2 j n j e2 t3 T3 j n j e3 Esto se puede expresar como; t
i
Tij n j ó en notación general como t T n ó también como; ti n jT ji
ó
t nT T . La forma dependerá de la definición con la cual se manejen los índices. Si el primer índice i se emplea para describir la dirección de la componente del esfuerzo y el segundo
j para la normal del plano
sobre el que está resuelto se empleará la expresión descrita en primera instancia. Por otra parte si el primer índice representa la normal del plano y el segundo la dirección de la componente del esfuerzo, la transformación se premultiplicará por la normal quedando de la forma:
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118
Mecánica del Medio Continuo
t1 n1T11e1 n2T21e2 n3T31e3 t2 n1T12 e1 n2T22 e2 n3T32 e3 t3 n1T13 e1 n2T23e2 n3T33e3 Para el presente curso se considerará, a menos de que se precise lo contrario, que el primer índice representa la dirección del componente de esfuerzo y el segundo la dirección de la normal al plano.
ti es el vector de esfuerzos que actúa en el plano cuya normal es ei . Es claro que Tij i j representa a las componentes normales T i j son las componentes tangenciales. ij Donde
A la descripción del estado de esfuerzos
Tij
referida al elemento diferencial
X i , t se le define como Tensor
de Esfuerzos de Cauchy. Dicho tensor es simétrico T T , en virtud de la existencia de equilibrio de ij ji momentos sobre los tres ejes coordenados.
Simetría del tensor de esfuerzos de Cauchy: Considérese un elemento diferencial sobre el plano
x1 x2
(figura 4.3), por facilidad se definirá el origen en el
centroide del elemento de tal forma que los esfuerzos normales parte los esfuerzos de corte
11 , 22 pasen a través de éste; por otra
12 , 21 se define a una distancia dx2 , dx1 2
del origen respectivamente, el cual
2
representa a su vez el punto de rotación del sistema.
Figura 4.3 Cargas sobre un elemento diferencial descrito en el plano x1x2 . En este caso la representación del estado de esfuerzos
ij , donde el primer índice representa la normal al plano y el segundo la dirección de la carga.
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119
Mecánica del Medio Continuo
A partir del hecho de que solo los cortantes producen momento sobre el origen del sistema coordenado
M
x3
12 21 dx1dx2 dx3 0
Por lo que
12 21
asimismo mismo se puede demostrar que
13 31 23 32
entonces en general se tiene que
ij ji
se concluye entonces que el tensor de esfuerzos es simétrico
T TT
Por lo que el espacio vectorial de los esfuerzos es hexadimensional (es representado con solo 6 componentes linealmente independientes). Esfuerzos Principales. En virtud de que las componentes T asociadas al tensor de esfuerzos pertenecen a los reales y que dicho tensor ij
es simétrico, entonces existirá al menos tres eigenvalores (esfuerzos principales) mutuamente perpendiculares entre si (eigenvectores de T). Los planos cuya normal corresponde a la dirección de los esfuerzos se denominan planos principales. En estos planos el vector de esfuerzos es normal y a estos esfuerzos normales se les denomina esfuerzos principales. Entonces los esfuerzos principales (eigenvalores de T) incluyen los valores máximo y mínimo de los esfuerzos normales considerando todos los planos que pasan a través del punto.
Los esfuerzos principales se pueden determinar de la ecuación característica asociada al tensor de esfuerzos:
3 I1 2 I 2 I 3 0 Donde de acuerdo con lo deducido para esfuerzos y direcciones principales tiene:
I1 ii 1 ii jj ij ji 2 1 I 3 ii jj kk 2 ij jk ki 3 ii 2jk 6 I2
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120
Mecánica del Medio Continuo Máximos Esfuerzos Cortantes
i .
Si bien en las direcciones principales las componentes de corte asociadas son nulas, planos a un ángulo de
4
se
presentaran los cortantes máximos En esta sección se demostrará que los esfuerzos cortantes máximos están dados por un medio de la diferencia de los esfuerzos principales máximos y mínimos que actúan en el plano que bisecta el ángulo entre las direcciones de los esfuerzos principales;
Sean
i
j k 2
e1 , e2 , e3 las direcciones principales de T, donde T1 , T2 , T3 son los esfuerzos principales. Si
ni n1e1 n2e2 n3e3 es la normal unitaria al plano, las componentes del vector de esfuerzos en el plano están dadas por:
t1 T1 0 t 2 0 T2 t 3 0 0
0 n1 n1T1 0 n2 n2T2 T3 n3 n3T3
ti n1T1eˆ1 n2T2eˆ2 n3T3eˆ3 y el esfuerzo normal en dicho plano se define por: T
N
t n , por lo que:
TN n t n12T1 n22T2 n32T3 entonces sí T denota la magnitud del esfuerzo cortante en el plano s
Ts2 t TN2 2
Ts2 T12 n12 T22 n22 T32 n32 T1n12 T2 n22 T3 n32
2
a
Figura 4.4. Descomposición del vector de esfuerzos t , definido en un plano cuya normal está dada por
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
ni 121
Mecánica del Medio Continuo Para valores conocidos de
T1 , T2 , T3 la ecuación a establece que Ts es función de ni , entonces Ts2 f n1 , n2 , n3
Donde
Ts
debe corresponder con un máximo y será necesario determinar
n1 , n2 , n3 al cual se presente éste.
Dado que los cosenos directores no pueden variar independientemente uno del otro se debe de cumplir que:
b
n12 n22 n32 1 entonces para determinar un máximo respetando lo indicado por
a es necesario derivar con respecto a la
normal al plano e igualar a cero:
dTs de la ecuación
Ts2 T 2 T 2 T 2 dni s dn1 s dn2 s dn3 0 ni n1 n2 n3
c
b derivando se tiene que: n1dn1 n2 dn2 n3 dn3 0
Si se considera que dn
1
entonces la ecuación
d
, dn2 , dn3 pueden variar independientemente una de la otra (lo cual no es el caso),
c define la condición para la determinación de Ts2 , de tal forma que: Ts2 Ts2 Ts2 0; 0 0; n2 n3 n1
Pero la realidad es que
n1 , n2 , n3 (como ya fue mencionado) no pueden variar independientemente ya que estas
presentan una relación de acuerdo a lo establecido en las ecuaciones
b, d .
Considerando que:
Ts2 Ts2 Ts2 n2 ; n1 ; n3 n2 n1 n3 Entonces se tiene que al sustituir en
c
n1dn1 n2 dn2 n3 dn3 0 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
e
f 122
Mecánica del Medio Continuo
La ecuación
f es satisfecha a la vez de que se cumple con b entonces las ecuaciones b, e representan
un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas n1, n2, n3 y lo cual corresponde a valores estacionarios de Ts2 . Este es el método del multiplicador de Lagrange y el parámetro “” recibe tal denominación. Calculando las derivadas parciales a partir de la ecuación
a , las ecuaciones e quedan:
n1 2n1 T12 2 T1n12 T2 n22 T3 n32 T1
(g)
n2 2n2 T22 2 T1n12 T2 n22 T3 n32 T2
(h)
n3 2n3 T32 2 T1n12 T2 n22 T3 n32 T3
A
partir
de
las
ecuaciones
b, g , h, i
y
considerando
(i )
que
las
direcciones
principales
son;
1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 ; las cuales corresponden con mínimos de los esfuerzos cortantes Ts 0 entonces las direcciones que corresponden a los planos donde se presentan los cortantes máximos son:
1 , 1 , 0 , 1 , 0, 1 , 0, 1 , 1 2 2 2 2 2 2
j
Los planos definidos en ecuación (i) son los principales, los cuales se caracterizan en que los que los valores TS son mínimos; de hecho TS 0 , entonces en dichos planos, los planos definidos por las soluciones
j permiten
obtener valores TS2 .
Para
T T 1 1 n eˆ1 eˆ2 , TS2 1 2 4 2 2
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2
T T 1 1 n eˆ1 eˆ3 , TS2 1 3 4 2 2
2
T T 1 1 n eˆ2 eˆ3 , TS2 2 3 4 2 2
2
123
Mecánica del Medio Continuo Por lo tanto la máxima magnitud del cortante TS está definida por el mayor de los valores
T1 T2 2
;
T2 T3 2
;
T1 T3 2 En otras palabras
TS max
TN max TN min 2
Donde T , T son los valores máximo y mínimo de los esfuerzos normales, se puede demostrar que en N min N max el plano de máximo esfuerzo cortante, el esfuerzo normal es:
TS max
TN max TN min 2
4.4 Círculo de Mohr para esfuerzos: Considere un estado de esfuerzos biaxial T (plano) de tal forma que T ij
ij
11 12 Tij 21 22 0 0
0 i, j 3 :
0 0 0
Para determinar los valores principales la ecuación cúbica queda:
3 I1 2 I 2 I 3 0 , donde para el estado biaxial de esfuerzos los invariantes asociados están dados por:
I1 11 22
I 2 11 22 122
I 3 0 , por lo que la ecuación se puede expresar como:
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124
Mecánica del Medio Continuo
2 I1 I 2 0 , de ésta ecuación se desprende que una de las raíces (esfuerzos principales) será cero, mientras que los otros dos se determinan a partir de una ecuación cuadrática que:
a 1
b 11 22
ax 2 bx c 0 ,de tal manera
:
c 11 22 122 1,2
11 22 2
11 22
2
4 11 22 122 2 1
1,2
11 22 2
22 2 2 2 11 12 2
En un sistema coordenado cuyos ejes son los esfuerzos normales
(eje horizontal) y los cortantes (eje vertical)
; la ecuación anterior representa un círculo cuyo centro se encuentra en 11 22
y cuyo radio está dado por
2 11 22 2 2 12 2
1 2
1
En este caso los cortantes máximos estarán dados por el radio:
1,2
11 22 2 2 2 12 2
En cuyo caso los esfuerzos principales asociados son: 1
1,2
11 22 2
11 22 2 2 2 12 2
Para el caso de un estado triaxial de esfuerzos, el cual en valores principales se representa como:
ijp
0 1 0 0 2 0 0 0 3
1 2 3
Para un plano P cualesquiera:
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125
Mecánica del Medio Continuo
N 1n12 2 n22 3 n32
N2 e2 12 n12 22 n22 32 n32 dado que:
n12 n22 n32 1 Considerando 3 ecuaciones con 3 cosenos directores: 2 1
N 2 N 3 c2 1 2 1 3
2 2
N 3 N 1 c2 2 1 2 3
2 3
N 1 N 3 c2 3 1 3 2
n
n
n
1 , 2 , 3 son valores conocidos mientras que N , c son función de los cosenos directores n1 , n2 , n3 .
3 2 1 1 2 0 1 3 0
n12 0 Como consecuencia
N 2 N 3 S2 0 Esta ecuación se puede rescribir como: 2
1 1 2 N 2 3 S N 3 2 2
2
Entonces para un estado triaxial de esfuerzos éste se podrá representar en un plano pasan por
1 , 2 ; 2 3 ; 3 ,1
por 1 2
2
;
con tres círculos, que
y cuyos radios estarán dados respectivamente
2 3 3 1 2
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;
2
126
Mecánica del Medio Continuo Cortante octaédrico Cualquier estado de esfuerzos se puede descomponer en un normal octaédrico ó esfuerzo hidrostático y un cortante octaédrico, como se demostrará más adelante. Considérese en primera instancia un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos , el cual se presenta en la figura 4.5 ij
11 12 13 ij 21 22 23 31 32 33
4.5 Descripción del estado de esfuerzos en un elemento diferencial de volumen
Dicho estado de esfuerzos se puede representar en valores principales como (figura 4.6):
1 0 0 0 2 0 0 0 3 p ij
4.6 Descripción del estado de esfuerzos en valores principales en un elemento diferencial de volumen
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127
Mecánica del Medio Continuo
Ahora bien si se determina el esfuerzo equivalente sobre un plano octaédrico (igualmente inclinado con todos los ejes) tal como se muestra en la figura 4.7 se tiene que:
4.7 El elemento diferencial de volumen es cortado por un plano igualmente inclinado con respecto a los ejes principales (plano octaédrico). El esfuerzo resultante sobre el plano
se puede descomponer en dos términos; uno normal
H y el otro tangencial al plano oct La normal unitaria al plano octaédrico está dada por
ni
1 . e1 e2 e3 3
Por lo tanto se tiene que:
t1 1 0 0 1 1 t2 0 2 0 1 3 t3 0 0 3 1
entonces
ti
1 1e1 2e2 3e3 3
La magnitud del esfuerzo normal sobre dicho plano está dado por:
1 N 1 2 3 , por otra parte 3 Donde
oct
2
ti ni
2 N2 oct
representa al cortante en el plano octaédrico, despejando:
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ti
N
128
Mecánica del Medio Continuo 2 oct
1 2 1 1 22 32 12 22 32 2 1 2 2 3 3 1 3 9
Por lo que reordenando como binomios el cortante octaédrico queda expresado por:
oct oct
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3
4 2 4 12 4 22 3 9
1
1
2
2
4.5 Tensores de esfuerzos de Piola-Kirchhoff o Tensor de esfuerzos Langragiano Primer Tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff o Tensor de esfuerzos Langragiano Esta representación del estado de esfuerzos considera las solicitaciones aplicadas; no bajo la óptica del área instantánea o deformada (Tensor de esfuerzos de Cauchy) sino del área inicial (antes de la deformación) del medio continuo. Ésta condición es una situación que en muchos casos, sobre todo en ingeniería, es prácticamente una condición implícita. Bajo cualquier óptica es necesario determinar el valor de esta representación del estado de esfuerzos en función del Tensor de esfuerzos de Cauchy que resulta la más usual considérese un área diferencial material (Lagrangiana) tiempo de referencia , para un tiempo 0
T.
Para lo anterior
dA0 (figura 4.8), la cual tiene una normal
n0 , esto a un
está área se transforma dA con una normal n . Es entonces que
dA0 representa el área sin deformar (inicial) y dA el área deformada. Considere que df
representa la fuerza
actuante (causal de la deformación), es entonces que:
dA0 se caracteriza por su normal n0 . Dicha superficie para cualquier tiempo (descripción euleriana) dA se describe por la normal n .
Figura 4.8 La superficie diferencial de área Lagrangiana
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129
Mecánica del Medio Continuo
df tdA Donde
t representa al Vector de esfuerzos, se tiene que:
t Tn ó ti Tij n j ,
donde
T
representa al tensor de esfuerzos de Cauchy, por su parte la fuerza
también se puede representan con base en el área no deformada, es entonces que
t0 T0 n0
donde
T0
df t0 dA0 ; por otra parte
se denomina como primer tensor de esfuerzos de Piola Kirchhoff, el cual describe el
estado de esfuerzos bajo la perspectiva del área inicial, de ambas maneras se representa la solicitación aplicada, por lo que:
T0 n0 dA0 TndA
(a)
Como ya se demostró en el capítulo anterior el área inicial y al área para cualquier tiempo se relacionan a través del gradiente de deformación
F , de tal manera que: dAn dA0 (det F )( F 1 )T n0 ,
por lo que sustituyendo en el lado derecho de la ecuación (a), se tiene que:
T0 n0 dA0 TdA0 F ( F 1 )T n0 , Donde
F
representa al determinante del gradiente de deformación, es por tanto que:
T0 F T ( F 1 )T T
T0 T F F
Entonces en notación índice queda:
(T0 )ij F Tim Fjm1
Tij
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1 (T0 )im Fjm F
130
Mecánica del Medio Continuo De todo lo anterior resulta evidente que dado que el gradiente de deformación no necesariamente es simétrico, entonces el Primer Tensor de Esfuerzos de Piola Kirchhoff tampoco lo será, con todos los inconvenientes que esto representa.
Segundo Tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff
T
Este tensor no tiene un significado físico y resulta de la aplicación del gradiente de deformación a un seudovector de fuerza df el cual se define df t dA0 donde df Fdf , esto equivale a dx FdX ; donde como ya se
mencionó la seudo fuerza diferencial
se transforma bajo el gradiente de deformación en la posición
df
deformada; entonces el seudo-vector de esfuerzos esfuerzos de Cauchy
t está, en general, en dirección diferente que el vector de
t . Es por tanto, como ya se comentó, que T
no tiene significado físico.
El segundo Tensor de Esfuerzos de Cauchy es una transformación lineal T tal que
t T n0 Donde n0 es la normal al área no deformada, resulta entonces que:
df T n0 dA0 Sustituyendo en la definición se tiene que;
df FT n0 dA0 , por otra parte df TndA
y también
df t 0 dA0 T0 n0 dA0 igualando: FT n0 dA0 T0 n0 dA0 Por consecuencia
T0 FT
por lo tanto, el segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff está relacionado con el primero de Piola Kirchhof a través de:
T F 1T0 y también con el tensor de esfuerzos de Cauchy como:
T F 1 F T ( F 1 )T T F F 1T ( F 1 )T
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131
Mecánica del Medio Continuo
En general, para la descripción de esfuerzos se emplea el tensor de esfuerzos de Cauchy, el cual considera la configuración actual. Para algunos casos, por ejemplo la elasticidad no lineal, es conveniente la definición de una fuerza superficial medida con relación al área inicial (dA0), y de ahí la conveniencia de emplear el Primer Tensor de Esfuerzos de Piola Kirchhoff.
Ejercicios propuestos
1.
El estado de esfuerzos en un punto de un medio continuo está dado por:
2 ij
Determine los valores de las constantes , y de tal forma que el vector de esfuerzos en el plano octaédrico (igualmente inclinado con relación a los ejes) no exista. a) b) c) d)
¿Cuál será el esfuerzo normal y esfuerzos de corte asociados a dicho plano? ¿Cuál será la magnitud de la deformación hidrostática asociada al punto bajo análisis? Defina el tensor de deformaciones asociado. ¿En qué magnitud difieren los esfuerzos principales asociados al tensor y desviador de esfuerzos correspondiente? e) Determine los esfuerzos principales en el punto bajo análisis.
2.
En un punto P(xi) de un continuo el estado de esfuerzos está dado por:
ij
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P
30 200 20 20 100 10 30 10 300
132
Mecánica del Medio Continuo
Con base en lo antes expuesto determine: a) El vector de esfuerzos (ti) correspondiente al plano de la figura. b) Magnitud del cortante y normal asociados al plano. c)
Si se trata de un sólido elástico lineal e isotrópico ¿Cuál será
la deformación hidrostática definida para el punto en cuestión? d) ¿En que magnitud difieren los esfuerzos principales asociados al tensor con relación a los asociados al desviador?
3. Un plano octaédrico es aquel que está igualmente inclinado con los ejes principales asociados al sistema. I a) Demuestre que el esfuerzo normal en un plano octaédrico está dado por: oct 1 3 b) Demuestre que el esfuerzo de corte en el plano octaédrico esta dado por:
oct = 13 (( 4
1
2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 1 3 ) 2 )
1 2
donde σ1, σ2, σ3 son los esfuerzos principales
El estado de esfuerzos en un punto “p” de un material está dado por:
20 30 10 ij 10 15 10 20 10 5 Determine el vector de esfuerzos en un plano que pasa por “p” y es paralelo al plano 2 x1 x2 x3 1 , así como su magnitud; el ángulo que describe con respecto a la normal al plano y sus componentes normal y tangencial. 5
El estado de esfuerzos en un medio continuo está dado por:
x3 x1 ij x32 0
x32 0 x22
0 x22 Mpa 0
Determine el vector de esfuerzo en el punto p 1,1, 2 correspondiente a la superficie Si x12 x22 x3 . 6 En un punto “p” de un medio continuo se han determinado tres diferentes vectores de esfuerzo para los planos que pasan por “p”, estos son: S1 (n) e1 2e2 3e3 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
para n1 e1 133
Mecánica del Medio Continuo
1 (e1 e2 e3 ) 3 para n3 e2
S 2 (n) 2 3e1 2 3e2
para n2
S 3 2(e1 e2 e3 )
¿Cuál es el tensor de esfuerzos para “p”? 7
La distribución de esfuerzos en un medio continuo está dado por:
100 x1 0 ij 100 x1 0 100 x 0 2
100 x2 0 MPa 0
Determine el vector de esfuerzos para un plano que pasa por 1 , 3 y que es tangente a la 2,3 2 2 2 superficie cilíndrica x1 x2 1 . 8 Una barra elíptica con una superficie lateral definida por x22 2 x32 1 presenta la siguiente distribución de esfuerzos.
0 ij 2 x3 x 2
2 x3 0 0
x2 0 MPa 1
Demuestre que el vector de esfuerzos en cualquier punto x1 , x2 , x3 en la superficie lateral es cero. 9 En algunos análisis es conveniente definir el estado de esfuerzos considerando el área sin deformación, de tal forma se definen el primer y el segundo tensor de esfuerzos Piola-Kirchhoff. En particular al primer tensor de esfuerzos Piola-Kirchhoff también se le conoce como tensor x Langragiano de esfuerzos T0 si “T” es el tensor de esfuerzos de Cauchy, y F i demuestre que: X j T0 det F T ( F 1 )T y por lo tanto 1 T T T0 F det F
10 11 de:
¿Qué representa el segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff? Si el segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff ( T ) se relaciona con el primero T0 a través
T F 1T0 Demuestre que el tensor de esfuerzos de Cauchy ( T ) está relacionado con el segundo tensor de PiolaKirchhoff a través de:
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134
Mecánica del Medio Continuo
T det F F 1T F 1
12
T
La configuración de equilibrio de un campo esta descrita por:
1 1 X1 x2 X 3 2 2 Si el tensor de esfuerzos de Cauchy está dado por: 0 0 0 T 0 0 0 0 0 100 x1
x3 4X 2
a) ¿Cuál es el correspondiente primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff.? b) ¿Cuál es el correspondiente segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff? 13
La configuración de equilibrio de un cuerpo está descrita por: 1 1 x1 16X 1 x2 X 2 x3 X 3 4 4 Si el tensor de esfuerzos de Cauchy está dado por T 750MPa , mientras que los otros Tij 0 . 11
Determine el primer y segundo tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff.
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135
Mecánica del Medio Continuo
Capitulo 5 Ecuaciones Generales 5. 1 Introducción En la mecánica de medios continuos las ecuaciones generales ó también conocidas como leyes de balance son axiomas de la física ampliamente demostrados. Su forma más adecuada es con base en un volumen finito del continuo. En este caso se expresan como ecuaciones integrales sobre el volumen del continuo. En la ingeniería la representación de los fenómenos físicos analizados se realiza con base en sistemas de ecuaciones diferenciales; es por consecuencia que los principios o axiomas generales comúnmente se presentaran en forma diferencial definiéndose entonces como ecuaciones de campo, las cuales frecuentemente son derivadas a partir de las ecuaciones integrales. Se trata en este caso de ecuaciones definidas para un elemento de volumen diferencial (partícula). La denominación de Ecuaciones Generales se debe a que representan axiomas de la Física que son cumplidos por cualquier medio continuo para cualquier tiempo y posición. Estos axiomas deben de cumplirse, tanto por cualquier elemento diferencial del medio continuo (Ecuaciones de Campo), como por el total del volumen material asociado a éste. Se denominan también como ecuaciones o leyes de balance por consideración a que son derivadas a partir de principios de conservación de alguna propiedad física asociada al medio continuo, éstas son:
i. Principio de conservación de masa, ii. Principio de conservación de cantidad de movimiento iii. Principio de conservación de energía. iv. Desigualdad entrópica (Segunda Ley de la termodinámica) o también conocida como desigualdad de Clausius – Dehum.
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136
Mecánica del Medio Continuo
5.2 Ecuación de Conservación de Masa. Esta ley de conservación de masa lo que indica simplemente es que cada partícula material de un cuerpo o porción de éste, y por consecuencia el total, tendrá asociada una cantidad escalar positiva denominada como masa. Físicamente la masa es asociada con la inercia, propiedad del cuerpo que representa su tendencia a resistir el cambio en las condiciones de movimiento. También se puede describir a través de la cantidad de materia asociada a un determinado volumen. Es entonces que su medición dependerá de variables de espacio y tiempo. Por consecuencia se tiene que si m representa la masa contenida en una pequeña fracción volumétrica V del cuerpo , su densidad está dada por:
lim dV 0
dm dV
xi , t es definida como la densidad de masa del cuerpo para la configuración determinada en el tiempo t , por lo que en consecuencia la masa del cuerpo es: Donde
m- masa del cuerpo
de volumen V: m dV V
xi , t Como la masa no se crea ni se destruye (principio de conservación de masa) se tiene que su razón de cambio en el tiempo deberá ser igual a cero:
Dm 0 Dt
D dV 0 Dt V
a
Considerando las fórmulas de transporte presentadas en el capítulo 1 se tiene que:
D DT T xi , t dV T v dV Dt Dt
b
Es por tanto que al aplicar la fórmula de transporte, expresada en la ecuación (b), a la expresión de conservación de masa indicada a través de (a), se tiene que:
D xi , t D xi , t dV 0 v dV Dt V Dt V
5.1
Como se integra sobre un volumen material cualesquiera se cumple entonces que:
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137
Mecánica del Medio Continuo
D v 0 Dt
5.1a
esto para cualquier elemento diferencial y tiempo; donde la ecuación 5.1a es la correspondiente ecuación de campo (forma diferencial). Esta ecuación se denomina como Ecuación de Conservación de Masa ó Ecuación de la Continuidad y representa la Ley de Conservación de Masa en forma espacial (coordenadas Eulerianas). Esta ecuación diferencial de primer orden constituye una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica del continuo. La ecuación 5.1a al desarrollar la derivada material de la densidad también se expresa como:
v v 0 t
5.1b
La expresión 5.1a es una ecuación diferencial de primer orden la cual se presenta en función de de que
Ctte la expresión se simplifica, quedando de la forma: v 0
, t ; en el caso
5.1c
El término de Ecuación de la Continuidad se orienta a indicar constancia de masa. Esta ecuación fue primeramente desarrollada por Euler 1757, sin embargo ya en 1752 d’Alambert desarrolló una forma particular de la misma la cual en ocasiones puede ser de utilidad, ésta se desarrolla como:
D log v 0 Dt D1 v Dt Ecuación que se puede expresar en la forma alternativa:
v v 0 t v 0 t
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5.1d 5.1e
138
Mecánica del Medio Continuo
Ecuación de la continuidad en forma material: Dado que la ecuación de conservación de masa demanda que la masa sea la misma en todas las configuraciones del MC, se puede derivar esta expresión a partir de la comparación de la representación de la masa en la forma Lagrangiana (referencia) y espacial (Euleriana), a partir de la descripción de la masa se tiene:
m xi , t dV 0 X , t dV ' V
V'
Considerando el desplazamiento de la configuración de referencia a la actual
x x X , t , se tiene:
x X , t , t dV X , t dV V
V´
Reordenando la expresión e igualando a cero se tiene:
X , t J X , t dV 0 0
V'
Dado que la integración se realiza sobre un volumen arbitrario, se tiene que; Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo se tiene:
J 0
J 0
5.1e
Donde a esta última expresión se le denomina como forma Lagrangiana de la Ecuación de la Continuidad, donde
J F;
F X x
La ecuación de la continuidad en forma Lagrangiana también se puede desarrollar a partir de:
DJ J v Dt
de donde se tiene;
Para la configuración inicial en donde
D J 0 , por otra parte Dt
t t0
y
xX
J 0
se tiene que
( X , t0 ) 0
J 1 , por lo que: 5.1f
Ecuación que es equivalente a la 5.1e. Esta expresión también fue desarrollada por Euler.
Desarrollo de la Ecuación de la Continuidad. Dado que: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
139
Mecánica del Medio Continuo
D dV 0 Dt
vi D 0 xi Dt
D v Dt t Forma general
v
v 0 t
Por lo que para coordenadas rectangulares (es conveniente recordar que la notación índice solo se puede aplicar para coordenadas rectangulares, entonces:
vi vi 0 xi t xi
5.1g
v1 v2 v3 v1 v2 v3 0 x x x t x x x 2 3 1 2 3 1
Por su parte en Coordenadas Cilíndricas se expresa como:
vr 1 v v vr z z xr r
v vr vz 0 r r z t
Mientras que en Coordenadas Esféricas se tiene:
vr
1 v 1 v vr r Sen r r
vr v Cot r r
v v vr 0 r r r Sen t
Como ya ha sido mencionado si el material es incompresible:
D 0 Dt div v 0
0
div v 0 vi 0 xi
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140
Mecánica del Medio Continuo
v1 v 2 v3 0 x1 x 2 x3
vr 1 v v vr z 0 r r z
vr 1 v 1 v vr v Cot vr 0 x r r Sen r r r
5.3 Ecuación de Conservación de Cantidad de Movimiento (Ecuación de Cauchy) Esta ecuación representa la conservación de cantidad de movimiento de cualquier medio continuo, de acuerdo a ésta cada partícula para cualquier tiempo deberá cumplir con la ecuación de movimiento de Newton (principio de conservación de cantidad de movimiento)
Desarrollo de la Ecuación de Conservación de Movimiento en forma integral La cantidad de movimiento lineal (p) asociado a cualquier cuerpo se expresa por:
p mv Donde
m dV
Por lo que
p vdm M
p vdV
Entonces
V
Por otra parte existen dos tipos de fuerza
a) De Contacto ó de Superficie b) De Cuerpo Por lo que la fuerza resultante f está dada por:
R
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f R f contacto f cuerpo
141
Mecánica del Medio Continuo La ecuación de movimiento de Newton (Segunda Ley de Newton) lo que indica es que la razón de cambio en la cantidad de movimiento asociada al medio continuo es igual a la fuerza:
Dp fR Dt Para el caso de las fuerzas de cuerpo éstas se describen a partir de la aceleración el cuerpo de masa: , por lo que:
B que un campo produce sobre
m dV V
f cuerpo BdV V
Por otra parte las fuerzas de superficie se expresan a partir del vector de esfuerzos (t) descrito en la superficie del medio continuo, de tal forma que:
f contacto tdA A
Por consecuencia se tiene que:
f R BdV tdA V
A
Sustituyendo con la razón de cambio de la cantidad de movimiento:
Dp BdV tdA A Dt V D vdV BdV tdA Dt V A V
5.2a
Considerando la fórmula de transporte
D v D vdV v v dV V Dt Dt V Dp D Dv v v v dV dV Dt V Dt Dt V Donde el término que se encuentra entre paréntesis dentro de la primera integral representa la ecuación de conservación de masa, por lo que es igual a cero. Por tal motivo la ecuación que representa la razón de cambio de la cantidad de movimiento se expresa como: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
142
Mecánica del Medio Continuo
D Dv vdV dV V V Dt Dt Por su parte, para las fuerzas de superficie:
A
tdA TndA A
Aplicando ahora el Teorema de la Divergencia se transforma el término de una integral de superficie a una de volumen:
A
TndA T dV V
Sustituyendo e igualando a cero:
Dv
Dt B T dV 0 V
5.2b
Como se está integrando sobre un volumen (V) arbitrario, se tiene que lo que los términos que se encuentran entre paréntesis deberán ser igual a cero, por lo que la forma integral se reduce a una ecuación de campo:
Dv B T 0 Dt
Lo que se puede expresa como:
T B
Dv Dt
5.2c
Dvi Dt
ó de otra forma:
Entonces en notación índice queda:
ij , j Bi
Tij x j Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
Bi
Dvi Dt
5.2d 143
Mecánica del Medio Continuo Donde T , T
ij
, , ij
representan el tensor de esfuerzos de Cauchy, mientras que
v, vi , representan el campo
de velocidades. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento, en su forma diferencial, también se puede desarrollar a partir del análisis de un elemento diferencial (figura 5.1), en este caso se procede a sumar todas las fuerzas presentes, esto en dirección de los ejes de referencia, de tal forma que:
Figura 5.1 Fuerzas de superficie y cuerpo descritas sobre un elemento de volumen diferencial
Resulta evidente que al sumar en dirección del eje
T1 j x j Para los ejes
x2 , x3
x1 la expresión resultante es:
B1
Dv1 Dt
las expresiones serán similares por lo que se puede generalizar a través de:
Tij x j
i
Dvi Dt
La ecuación de conservación de movimiento es una expresión vectorial, la cual tiene el siguiente desarrollo en función de la base de referencia;
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144
Mecánica del Medio Continuo
Coordenadas rectangulares
T11 T12 T13 Dv B1 1 x1 x2 x3 Dt T21 T22 T23 Dv B2 2 x1 x2 x3 Dt T31 T32 T33 Dv B3 3 x1 x2 x3 Dt
Coordenadas cilíndricas
v Trr 1 Tr Trr T Trz v v v v r r vr r r v vz r r r r z r r z t v T r 1 T T z Tr T r v v v v vr vr vz r r z r r r z t v Tzr 1 Tz Tzr Tzz v v v v z z vr z z vz z r r r z r r z t Coordenadas esféricas 2 1 r Trr 1 Tr Sen 1 Tr T T r 2 r r rSen rSen r
v v vr v v v vr r r v r v Sen r r rSen t
3 1 r T r 1 T Sen 1 T Tr T r T Cot 3 r r rSen rSen r
v v v v v v vr vr v Cos r r rSen t
3 1 r T r 1 T Sen 1 T Tr T r T Cot 3 r r rSen rSen r
v
t
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vr
v r
v v v v r rSen
v vr v v Cot r r
145
Mecánica del Medio Continuo
Simplificaciones de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento. La ecuación de Cauchy
T B
Dv por condiciones de equilibrio se simplifica igualándola a cero, de tal Dt
forma que:
T B 0 En ocasiones, por ejemplo en el análisis de esfuerzos, es muy común despreciar el efecto de las fuerzas de cuerpo; por lo que se deberá cumplir que:
T 0
Ecuación de movimiento en forma material Considerando estado inicial, la ecuación de conservación de movimiento se expresa
D vdV BdV (T )n dA Vo Ao Dt Vo
Aplicando el teorema de la divergencia a la superficie integral y partiendo de que V y V0 representan un volumen arbitrario, entonces la ecuación de movimiento se expresa en función del primer tensor de Piola-Kirchhoff.
div (T0 ) 0 B 0
Dv Dt
Dicho concepto se emplea entre otros casos para el análisis no lineal. Considerando los tensores de Piola-Kirchhoff Primer Tensor de Piola Kirchhoff
Segundo Tensor de Piola Kirchhoff
T
T T0 F T ó T0 F T F 1 F
T F F 1T F 1
T
T0 FT
Por lo que considerando el primer tensor de Piola Kirchhoff se tiene:
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146
Mecánica del Medio Continuo
T0 0 B 0
Dv Dt
5.2e
Mientras que para el segundo tensor de Piola Kirchhoff se tiene:
FT 0 B 0 Donde F representa el gradiente de deformación
Dv Dt
5.2 f
X x , por otra parte dado que:
xi X i ui ,
entonces
xi X i ui ij j ui Fij X j X j X j F I u , por lo que:
ó en notación general se tiene que el gradiente de deformación
div I u T 0 B
Dv Dt
5.2 g
Las ecuaciones 5.2f y 5.2g son formas alternativas de la ecuación de movimiento expresada en función del primer tensor de Piola Kirchhoff (5.2c). Siendo más conveniente la aplicación de las ecuaciones de Conservación de Cantidad de Movimiento en su Forma Material (5.2e, 5.2f), que la ecuación de Cauchy, esto para el caso de análisis de elasticidad no lineal. Las ecuaciones 5.2e y 5.2f fueron primero desarrolladas por Piola en 1833.
5.4 Principio de esfuerzos de Cauchy El vector de esfuerzos en cualquier lugar y tiempo tiene un valor común en todas las partes del material teniendo un plano tangente común “p” y quedando en el mismo lado de este. Sea t; t t x, , n , donde
-
tiempo Si:
t Tn
T
- tensor de esfuerzos Cauchy
De acuerdo a lo que se ha revisado se tiene que df t 0 dA0
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147
Mecánica del Medio Continuo
Donde t o - es un pseudo vector de esfuerzos definido para el área sin deformar, el cual no describe la intensidad actual de (esfuerzos), sin embargo tiene la misma dirección que el vector de esfuerzos de Cauchy (t).
T0 - primer tensor de esfuerzos de Piola Kirchhoff (Tensor de Langragiano de esfuerzos)
t0 T0 n0 La relación entre el primer tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff y el tensor de esfuerzos de Cauchy se obtiene como:
df tdA t 0 dA0
t0 dA0 tdA dA dA T0 n0 n Tn T dA0 dA0
Como ya se demostró se tiene entonces que:
T0 F T F 1
T
Recordando que: Fim
xi X m
x1 X 1 x F x 2 X 1 x3 X 1
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x1 X 2 x 2 X 2 x3 X 2
Fim1
X i xm
x1 X 3 x 2 X 3 x3 X 3
148
Mecánica del Medio Continuo
F 1 x
1
X 1 x1 X 2 x1 X 3 x 1
X 1 x 2 X 2 x 2 X 3 x 2
X 1 x3 X 2 x3 X 3 x3
A partir de lo anterior se puede plantear la ecuación de conservación de de cantidad de movimiento (Ecuación de Cauchy) para la configuración de referencia como:
T0 im X m
0 Bi 0
Dvi 0 ai Dt
T0 im - componentes cartesianos del primer tensor de PK 0 - densidad en la configuración de referencia.
T0 im X m Como
F Bi F ai
dV F dV0 F 0
Por lo que en notación general queda:
T0 0 B 0 a
5.5 Ecuación de Conservación de la Energía Este principio lo que representa es un balance de energías. Para tal fin se debe realizar el balance de las energías en tránsito y de la remanente en el cuerpo. En este caso se considera que la energía en el medio continuo está determinada por la denominada energía interna (U), la cual es un parámetro fundamental, a la que habrá que sumar el efecto de la energía asociada al movimiento ó energía cinética (K). Por su parte sobre el medio continuo se puede efectuar trabajo (W) y se presentarán energías en transito, las cuales se representan a través de los flujos de calor (Q).
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149
Mecánica del Medio Continuo
La energía cinética K de un cuerpo
que ocupa una configuración A de volumen V un tiempo t es definido
como:
k
Figura 5.2 Cuerpo
1 (v v)dV 2 V
en una configuración A a un tiempo t, con volumen V, masa M, y superficie S.
Asimismo la potencia desarrollada por las fuerzas externas actuando sobre
en V
están dadas por la suma del
efecto generado por las fuerzas de cuerpo más el correspondiente a las fuerzas de superficie; en este punto se debe de recordar que
w fi vi , de tal forma que:
W W fc W fs W fc B vdV
La potencia asociada a las fuerzas de cuerpo se expresa:
V
W fs t vdA
La potencia desarrollada por las fuerzas de superficie es:
A
Por lo que la rapidez de cambio de trabajo producto de las fuerzas presentes en el MC es:
W B vdV t vdA V
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A
150
Mecánica del Medio Continuo
Si el continuo es conductor de calor y si existe una diferencia de temperatura entre el interior y el exterior, entonces existirá un flujo de calor Q
C
QC q ndA A
donde q describe vectorialmente al flujo de calor
Si el calor es generado dentro de V (cantidad de calor generado H dentro de V) por unidad de tiempo es:
H hdV V
donde
h es la capacidad específica de la fuente de calor interna o capacidad de la fuente de calor (calor
unitario) y
h es la rapidez con la que se genera calor al interior del medio continuo.
El monto de calor contenido en V por unidad de tiempo está dado por lo que el calor que se genera menos lo que pierde:
QR H Q
Se considera que además de la energía cinética, el continuo presenta otra energía definida como energía interna y que la energía total del continuo es la suma de la energía cinética e interna. El concepto de energía interna es primitivo a semejanza de la masa, tiempo, fuerza, etc. La energía interna
U que posee el cuerpo
en la configuración A es:
U udm M
U udV V
Donde: u - energía interna por unidad de masa De todo lo antes expuesto se tiene que la rapidez de cambio de la energía (potencia) asociada al medio continuo está dada por la velocidad de intercambio de calor y de trabajo: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
151
Mecánica del Medio Continuo
D ( K U ) P ( H Q) Dt
5.3a
Sustituyendo cada una de las expresiones que representa una aportación de calor ó trabajo, se tiene:
D 1 (v v) u dV B v dV t v dA h dV q n dA V A V A Dt V 2
Donde: u- energía interna específica v- velocidad K- energía cinética B- aceleración generada por la presencia de campos t-vector de esfuerzos
- densidad q- vector de flujo de calor
h - calor específico generado al interior del medio continuo (flujo por radiación, calor producto de una reacción química, en general representa calor que fluye al medio por otros fenómenos diferentes de la conducción) n- normal al elemento
dA
En el caso de la energía cinética se tiene, a través de la fórmula de transporte que:
D D 1 1 Dv Du (v v) u dV (v v) u dV v dV V V Dt V 2 Dt 2 Dt Dt Por su parte para las fuerzas de superficie, considerando el teorema de la divergencia:
A
( t v)dA ( Tn) v dA div (Tv)dV
V
div (Tv)dV (v ( T ) T : v)dV
A
V
V
Por su parte el calor de conducción, considerando el teorema de la divergencia, se expresa como:
( q n)dA q dV A
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V
152
Mecánica del Medio Continuo
Sustituyendo, igualando a cero y reagrupando términos en la ecuación de conservación de energía se tiene:
Du Dv dV 0 v T B T : v q h V Dt Dt Pero de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento (5.2b) que:
Dv
Dt T B dV 0 V
Entonces la ecuación se puede simplificar a:
Du
Dt T : v q h dV 0 V
5.3b
Dado que se integra sobre un volumen cualquiera mayor que cero, entonces:
Du T : v q h 0 Dt
5.3c
Despejando se tiene la ecuación de conservación de energía
Du T : v q h 0 Dt
Donde al realizar el desarrollo se tiene
5.3d
T : v Traza Tij Dkl Traza T D Tij Dij
Dkl representa el tensor de rapidez de deformación En notación índice la ecuación se expresa como:
v q Du Tij i i h Dt x j xi
5.3e
En notación general la ecuación se expresa como:
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Du traza(TD) q h Dt
5.3 f 153
Mecánica del Medio Continuo
Ecuación de la energía en forma material A partir de la ecuación de conservación de energía en su descripción Euleriana se puede fácilmente pasar a su correspondiente descripción material:
Du
Dt T : v q h dV 0 V
i
Esta ecuación se puede descomponer en sus elementos de tal forma que:
V
Du xi , t Dt
dV 0 V0
(T : v)dV T V
Du ( X i , t ) dV0 Dt
0
: X v dV0
X
q dV0
V0
q dV V
V0
( h)dV h dV 0 X
V
0
V0
Sustituyendo en (i)
Du X V0 0 Dt T0 : X v X 0 q 0 hX
dV0 0
ii
Como en la ecuación (ii) al igual que en (i) se está integrando sobre un volumen cualquiera (en este caso V0 ) mayor que cero, se puede concluir entonces que la suma de los términos dentro del paréntesis son igual a cero, situación a partir de la que se define la ecuación de campo correspondiente (en este caso en su descripción material). Du X 0 T0 : X v X q 0 hX 5.3g Dt
5.6 Desigualdad Entrópica Todo cuerpo, así como tiene una energía interna asociada; también presenta una propiedad primitiva denominada entropía H , la cual se modifica en función del flujo de calor que se presenta desde y hacia el
cuerpo. Ésta se incrementa cuando el calor fluye al medio continuo y disminuye cuando sale calor del cuerpo. Se
define que la entropía asociada a un medio continuo H se expresa como:
H dm M
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154
Mecánica del Medio Continuo
H dV V
( xi , t )
Donde
representa la entropía por unidad de masa
Dado que la entropía está asociada con el calor contenido en el cuerpo, entonces estará relacionada con la temperatura . El calor contenido en el cuerpo está dado por la diferencia de lo que se genera con lo que se disipa, por lo que se definirá un término que represente la
, dicho término está definido por: Rapidez de Incremento de Entropía Q
Q SS S f Donde al término S se le denomina como fuente de entropía; mientras que S
S f
representa el flujo de entropía,
considerando las definiciones empleadas en la ecuación de balance de energía se tiene que:
h SS dV V
q S f dA A
De lo antes expuesto se define que la entropía en el cuerpo se incrementará con una velocidad mayor, y en el límite igual, que con la que ésta ingresa al cuerpo:
DH DH Q SS S f Dt Dt Sustituyendo entonces se tiene que:
h D q dV dV ndA Dt V V A Aplicando la fórmula de transporte para el término de la izquierda, reagrupando la desigualdad y aplicando el teorema de la divergencia al segundo término del lado derecho se tiene que:
D h q V Dt dV 0 Como la integral se realiza para un volumen arbitrario de un medio continuo, se concluye entonces que:
D q h 0 Dt
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5.4
155
Mecánica del Medio Continuo
A la ecuación 5.4 se le denomina desigualdad de Clausius-Duhem, ya que se desarrollo a partir de sus trabajos publicados en 1854 (Clausius) y 1901 (Duhem). Resulta evidente que la desigualdad se exprese en la forma:
D h q Dt
5.4a
Por lo que también se le denomina como ley de desigualdad de entrópica
Desarrollando el término correspondiente al flujo de calor se tiene:
1 q 1 ( q) 2 q
Por lo que sustituyendo éste en la ecuación 5.4:
D 1 h q q 0 Dt
5.4b
Una forma alternativa desarrollada a partir de los conceptos expresados en la ecuación de la energía es:
D Du 1 T : D q 0 Dt Dt
5.4c
Como el calor fluye en dirección inversa al gradiente de temperatura, por lo tanto el tensor de rango uno que describe el flujo de calor
q 0
qi , y el tensor resultante de i van en direcciones opuestas, por lo que:
Es entonces que se plantea la Desigualdad Clásica de conducción de calor
D Du T : D 0 Dt Dt
Desigualdad Entrópica en forma material Retomando la forma integral de la ecuación de entropía y reescribiendo los términos, considerando la configuración inicial (referencia Lagrangiana) se tiene:
D X 0 hX q V 0 Dt 0 dV0 0 0
5.4d
Considerando igualmente que se integra sobre un volumen arbitrario se tiene:
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156
Mecánica del Medio Continuo
0
D X h q 0 X 0 0 Dt
5.4e
Ecuación conocida como desigualdad de Clausius-Duhem en forma material.
Ejercicios Propuestos 1. Deduzca la ecuación de conservación de cantidad de movimiento (ecuación de Cauchy). La cual representa que cada partícula del continuo debe cumplir con la segunda ley de Newton.
ij x j
Bi ai
Considere un sistema coordenado cartesiano x1 , x2 , x3 , densidad , aceleración total de la partícula a, fuerzas de un cuerpo B, fuerzas de superficie ij . 2.
Si el campo de velocidades asociado a una partícula esta dado por:
vi
xi a t
v D D( dv) 0 i Dt xi Dt
a partir de la ecuación de conservación de masa:
Determine la variación de la densidad de la partícula en función del tiempo. Considere que para un tiempo igual a uno la densidad es 0 (densidad inicial).y para cualquier tiempo (t) la densidad asociada es “ ”.
3. La distribución de esfuerzos en un cuerpo está dada por Tij. Considerando lo anterior, ¿existirá equilibrio? ó en su caso, ¿qué fuerzas de cuerpo se requerirán para garantizar éste? Considere que el material presenta una densidad ().
4 x12 x 2 Tij 2 x1 x 2 x1x2 4.
2 x1 x 23 x1 3x 2 3 x3
x1x2 3 x3 x1
Demuestre que el tensor de esfuerzos de Cauchy es simétrico.
5. Determine si la ecuación de conservación de masa es satisfecha por el siguiente campo de velocidades v v r , , z
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157
Mecánica del Medio Continuo
vr
1 1 , v 0 , v z r z r r
Donde la densidad ( ) es constante y r , z , con segundas derivadas parciales continuas en el intervalo 6.
Para el siguiente campo de velocidades en coordenadas cilíndricas: vr v(r , ) v 0 vz 0 vr
A partir de la ecuación de la continuidad analice si cumple que:
f 0 f 4 f 2 2
En ausencia de fuerzas de cuerpo, verifique si:
f r
2
p 2
f c r2
Donde “C” representa una constante.
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158
Mecánica del Medio Continuo
Capitulo 6 Comportamiento Elástico. 6.1 Antecedentes Una vez establecidas las ecuaciones generales, las cuales representan las condiciones que deberán ser cumplidas por cualquier medio continuo para cualquier posición y tiempo, es necesario definir las ecuaciones que describan el comportamiento de medios idealizados, las cuales se van a denominar como Ecuaciones Constitutivas.
En los sólidos es común observar que su deformación es proporcional a la carga aplicada, situación que también se puede describir en el sentido de que las deformaciones son proporcionales a las solicitaciones (esfuerzos) presentes en el material
l f ,
ó .
Considerando toda la evidencia experimental que se ha generado hasta la fecha, y simplificando la respuesta, se puede afirmar que la deformación es una función única de las solicitaciones aplicadas; de tal manera que se descarta cualquier efecto de la velocidad de carga fi . Por otra parte una vez que se elimina la carga la
f t
deformación desaparece completamente y en general las deformaciones son muy pequeñas (infinitesimales). En el caso de cualquier medio continuo que presenta un comportamiento con las restricciones antes descritas se define su comportamiento como Elástico, describiéndose como inelásticos a aquellos materiales cuyo comportamiento no cumplen con las condiciones antes especificadas. Afortunadamente un buen número de materiales tales como los metales y el concreto cumplen con las condiciones establecidas y en otros casos como la madera se puede aproximar, dentro de ciertos rangos, su comportamiento.
En general en los sólidos, para el caso de pequeñas deformaciones (infinitesimales), se puede describir su comportamiento como lineal; mientras que para grandes deformaciones la relación entre esfuerzo y deformación será no lineal.
En primera instancia en este capítulo se analizará el comportamiento de sólidos elásticos lineales, considerando los diferentes modelos idealizados, para al final describir las condiciones bajo las cuales se presentan comportamientos elásticos no lineales.
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159
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.1 Comportamiento característico de un sólido elástico lineal. En una primera etapa la relación esfuerzo-deformación es lineal, la cual corresponde con la zona elástica. Posteriormente la relación se vuelve no lineal, lo cual corresponde con las deformaciones permanentes (Deformación plástica).
6.2 Descripción del comportamiento En base a las características enunciadas se formula la ecuación constitutiva de un material elástico ideal (sólido elástico lineal), en la forma que
kl
ij f kl , donde ij
representa al tensor de esfuerzos de Cauchy, mientras
es el tensor de deformación infinitesimal. En el caso de la deformación elástica se considera que los
desplazamientos son muy pequeños (infinitesimales) por lo que las descripciones Lagrangiana y Euleriana son equivalentes, por lo que:
1 ui u j 2 X j X i
ij
1 ui u j 2 x j xi
Con base en lo enunciado se desarrolla un sistema de ecuaciones de la forma:
11 C1111 11 C1112 12 ........................ C1123 23 C1133 33 12 C1211 11 C1212 12 ........................ C1223 23 C1233 33 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33 C3311 11 C3312 12 ........................ C3323 23 C3333 33
Las cuales en forma matricial se pueden representar a través de:
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160
Mecánica del Medio Continuo
11 C1111 C 12 1211 13 C1311 21 C2111 22 C2211 23 C2311 C 31 3111 32 C3211 C 33 3311
C1112
C1113
C1121
C1122
C1123
C1131
C1132
C1212
C1213
C1221
C1222
C1223
C1231
C1232
C1312
C1313
C1321
C1322
C1323
C1331
C1332
C2112
C2113 C2121 C2122
C2123 C2131 C2132
C2212
C2213 C2221 C2222
C2223 C2231 C2232
C2312
C2313 C2321 C2322
C2323 C2331 C2332
C3112
C3113
C3121 C3122
C3123
C3131 C3132
C3212
C3213
C3221 C3222
C3223
C3231 C3232
C3312
C3313
C3321 C3322
C3323
C3331 C3332
C1133 11 C1233 12 C1333 13 C2133 21 C2233 22 C2333 23 C3133 31 C3233 32 C3333 33
6.1
Sistema que en notación índice se escribe como:
ij Cijkl kl Donde
Cijkl es
6.1a
un tensor de cuarto orden que representa una transformación lineal del espacio de las
deformaciones al espacio de los esfuerzos. En el caso de que el material se considere como homogéneo éste será un tensor de constantes elásticas independientes de la posición C f x . ijkl
Al ser un tensor de cuarto rango entonces existirán 81 coeficientes en
i
Cijkl . Por otra parte el tensor de
deformaciones infinitesimales es simétrico, por lo que:
kl lk Cijkl Cijlk Esto representa que 3 columnas del arreglo matricial son linealmente dependientes, por lo que el tensor se reduce a 9x6=54 coeficientes independientes; por otra parte el tensor de esfuerzos de Cauchy también es simétrico, lo que se representa como:
ij ji Situación por la cual el tensor presenta simetría en los dos primeros índices
Cijkl C jikl lo cual representa que
3 renglones son linealmente dependientes, entonces se concluye que estas dos restricciones significan que solo existen 6 x6 36 coeficientes linealmente independientes. En notación índice todo lo antes expuesto se expresa como Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
161
Mecánica del Medio Continuo
ij C jikl kl
Considerando una base ei y una nueva base e’i, entonces:
Cir C js Ckt Clv Crstv Cijkl
Como ya se mencionó si el cuerpo es homogéneo
Cijkl
x
no es función de i .
Cijkl f xi f X i Como
ij
ji (tensores simétricos), entonces por ejemplo:
21 C2111 11 C2112 12 C2113 13 C2121 21 C2122 22 C2123 23 C2131 31 C2132 32 C2133 33 Como 21=12 ; 13=31 ; 23=32 21 C211111 (C2112 C2121 ) 21 (C2113 C2131 )13 (C2123 C2132 ) 32 C2122 22 C2133 33
21 C2111 11 k 2112 21 k 2113 13 k 2123 23 C2122 22 C2133 33
Se comprueba la reducción a 54 constantes.
Como el tensor de esfuerzos es simétrico, entonces
ij
ji .
Por ejemplo 21=12 12 -21=0 .
0 (C1211 C 2111) 11 (C1222 C 2122) 22 (C1233 C 2133) 33 (k1212 k 2112) 12 (k1223 k 2123) 23 (k1231 k 2131) 31 Con lo cual se constata que las restricciones impuestas por la simetría del tensor de esfuerzos y de deformaciones da lugar a que el número de constantes linealmente independientes sea de 36.
Al deformar el cuerpo se almacena energía elástica en el material, de tal manera que:
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162
Mecánica del Medio Continuo
U ( ij ) ij d ij donde: U(ij) –Función de energía almacenada
U ( ij ) ij
ij
Figura 6.2 La energía de deformación elástica almacenada en el cuerpo está representada por el área bajo la curva
La energía almacenada con la deformación elástica no depende de la base de tal forma que:
dU ij d ij kl d kl
ij Cijkl kl
ó kl Cklij ij
kl ij
y kl ij
d kl d ij
dU Cijkl kl d ij Cklij ij d kl Cijkl Cklij
Lo cual representa que el tensor de constantes elásticas es simétrico. Realizando el análisis de los términos presentes en el tensor se tiene que:
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163
Mecánica del Medio Continuo
C1111 C 1211 C1311 C 2111 C 2211 C 2311 C 3111 C3211 C 3311
C1112 C1113 C1121 C1122 C1123 C1131 C1132 C1133 6 C1212 C1213 C1221 C1222 C1223 C1231 C1232 C1233 5 C1312 C1313 C1321 C1322 C1323 C1331 C1332 C1333 4 C 2112 C 2113 C 2121 C 2122 C 2123 C 2131 C 2132 C 2133 0 C 2212 C 2213 C 2221 C 2222 C 2223 C 2231 C 2232 C 2233 3 C 2312 C 2313 C 2321 C 2322 C 2323 C 2331 C 2332 C 2333 2 C 3112 C 3113 C 3121 C 3122 C 3123 C 3131 C 3132 C3133 0 C 3212 C 3213 C 3221 C 3222 C 3223 C 3231 C 3232 C3233 0 C 3312 C 3313 C 3321 C 3322 C 3323 C 3331 C 3332 C3333 1 21
Por lo que se concluye que solo pueden existir 21 constantes elásticas linealmente independientes.
Otra forma de demostrar lo anterior es a través de las siguientes reflexiones:
U ij ij
ij Cijkl kl entonces:
U Cijkl kl ij
ij rs
(Cijrs rs ) rs
Cijrs
ij rs
Cijrs rs rs rs rs
Cijrs
y como
ij
U ij
de estas dos ecuaciones anteriores se tiene que:
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164
Mecánica del Medio Continuo
Cijrs
2U rs ij
2U 2U rs ij ij rs
Cijrs Crsij
Como ya ha sido mencionado con base en la simetría del tensor de esfuerzos y del tensor de deformaciones el número de constantes elásticas linealmente independientes es de 36, situación que permite una descripción matricial de la forma:
11 C1111 22 C1122 33 C1133 23 C1123 31 C1113 12 C1112
C1122
C1133
C1123
C2222
C2233 C2223 C2213
C2233
C3333
C2223
C2333 C2323 C2313
C2213
C1333
C2313
C1313
C1222
C1233
C1223
C1213
C2333
C1113 C1333
C1112 11 C1222 22 C1233 33 C1223 2 23 C1213 2 31 C1212 212
6.2
Ahora bien realizando un cambio de variable de la forma:
11 1 22 2
33 3 23 32 4 31 13 5 12 21 6
11 1 22 2
33 3 2 23 4 2 32 2 31 5 213 212 6 2 21
Se tiene entonces que:
1 6 5 6 2 4 4 3 5
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1 6 2 5 2
6 2
2 4 2
5
2 4 2 3 165
Mecánica del Medio Continuo
Por lo tanto, empleando una falsa notación índice, se puede escribir una descripción material en la forma:
C
6.3
por lo que matricialmente se tiene:
1 C11 2 C21 3 C31 4 C41 5 C51 6 C61
C12
C13
C14
C15
C22
C23
C24
C25
C32
C33
C34
C35
C42
C43
C44
C45
C52
C53
C54
C55
C62
C63
C64
C65
C16 1 C26 2 C36 3 C46 4 C56 5 C66 6
6.3a
Con una representación matricial de la relación esfuerzo-deformación es más sencillo visualizar que el número máximo de constantes elásticas linealmente independientes es 21, ya que la matriz C deberá ser simétrica, por lo que: C
C
C12 C21 C13 C31 C14 C41 C15 C51 C16 C61 C23 C32 C24 C42
C25 C52 C26 C62 C34 C43
C35 C53 C36 C63
C45 C54 C46 C64 C56 C65
6.3 Idealizaciones para el comportamiento elástico
En el caso de los materiales elásticos se realizan varias idealizaciones en la descripción de su comportamiento, de tal forma que se definen:
i. Sólido Elástico, Homogéneo, lineal y totalmente anisotrópico con 21 constantes elásticas linealmente independientes, como ya se ha demostrado.
ii. Sólido Elástico, Homogéneo, lineal y monotrópico con 13 constantes elásticas linealmente independientes (sólido elástico monoclínico, con un solo plano de reflexión y un eje de simetría) iii. Sólido Elástico, Homogéneo, lineal y ortotrópico con 9 constantes elásticas linealmente independientes (medio continuo con dos ejes de simetría y dos planos de reflexión) Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
166
Mecánica del Medio Continuo iv. Sólido Elástico, Homogéneo y Transversalmente isotrópico con 5 constantes elásticas linealmente independientes (para este caso se define un infinito número de planos de reflexión que se forman al rotar sobre el eje de simetría). v. Sólido Elástico, Homogéneo, lineal e isotrópico; con dos constantes elásticas linealmente independientes. El material es isotrópico cuando sus propiedades mecánicas son descritas sin referencia a la dirección.
Conforme se reduce el grado de anisotropía se añaden restricciones al comportamiento elástico del material, de tal forma que el sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico representa un alto grado de idealización, sin embargo, en un gran número de ocasiones se considera esta descripción en virtud de que si bien cualquier sólido cristalino es por definición anisotrópico, también es conveniente mencionar que los sólidos son en general policristalinos y al estar sus cristales orientados al azar se puede considerar este comportamiento como isotrópico (las propiedades no varían con la dirección).
6.3.1 Simetría elástica Para describir las diferentes idealizaciones realizadas para el comportamiento de los medios continuos elásticos es conveniente definir el concepto de Simetría Elástica. Este término se emplea para definir direcciones elásticas equivalentes de tal forma que las constantes Cijkm permanezcan inalteradas por la transformación entre 2 juegos de ejes. Si la transformación es una reflexión de los ejes con respecto a algún plano se dice que el material presenta un plano de simetría elástica (figura 6.4). Con dos planos de simetría la transformación representará la reflexión en dos ejes (Figura 6.6), y por consecuencia deberá cumplir con las restricciones de aquella en que solo existe un eje de reflexión. Por otra parte se puede tener un infinito número de ejes si la transformación se produce al girar un par de ejes un ángulo arbitrario (figura 6.3), esto alrededor del tercer eje cartesiano. En este caso la transformación está dada por:
cos Qij sen 0
sen cos 0
0 0 1
Esta transformación representa la rotación de un ángulo sobre el eje x 3 , al cual se denomina como eje de simetría elástica.
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167
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.3 Simetría elástica característica de un material transversalmente isotrópico. En éste caso existe un infinito número de planos de reflexión que se generan al girar los ejes eje x (eje de simetría elástica), dando lugar a un nueva base 3
x1 x2 un ángulo alrededor del
x1' x2' x3' , para la cual las propiedades
elásticas permanecen inalteradas.
En todos los casos se deberá cumplir que las constantes elásticas sean iguales bajo el sistema de referencia inicial y bajo el sistema transformado. Considerando la notación material y empleando seudo índices se tiene que: ' ' C '
C Donde la matriz de constantes elásticas no deberá sufrir alteración con el cambio de base (simetría elástica) ' C C
Por otra parte los esfuerzos y deformaciones deberán cumplir con las reglas de transformación tal que:
' Q QT ' Q QT
Donde
Q representa la matriz ortogonal de cambio de base.
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168
Mecánica del Medio Continuo
6.3.2 Sólido elástico, homogéneo, lineal y monotrópico Se define con esta denominación a aquel material idealizado el cual presenta simetría elástica respecto a un
x3 (este gira un ángulo de , figura 6.5), entonces el plano
plano, de tal forma que si existe simetría sobre el eje
2 formado por
x1 x2
actuará como plano de reflexión.
Figura 6.4 Plano de reflexión para un material monotrópico (un solo eje de simetría).
xij Qij x j 1 0 0 aij 0 1 0 0 0 1
Imagen espejo por simetría en el plano x 3 de tal forma que
q33 1, resulta evidente que la simetría se podría
presentar en cualquier eje cambiando solamente la posición del signo negativo. Por ejemplo (figura 6.6) si el plano de reflexión fuera él
x2 x3 , entonces el eje de simetría será el x1 , y la matriz de transformación queda: ei Qei donde
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(i ) 1 0 0 Q 0 1 0 0 0 1
169
Mecánica del Medio Continuo
Para el caso en estudio se ha considerado que el eje
x1
es de simetría elástica por lo que, como ya fue
mencionado, la simetría material con respecto al plano S1 requiere que los componentes C ijkl en la ecuación.
ij Cijkl kl en la ecuación ' sean exactamente iguales que C ijkl
ij
e1 e1 ,
e2 e2 ,
' Cijkl kl'
e3 e3
Cuando este es el caso nuevas restricciones son impuestas en las componentes del tensor de constantes elásticas, lo que lleva a la reducción del número de componentes independientes.
Los componentes del tensor de elasticidad deberán permanecer sin cambio bajo la transformación:
Cijkl Cijkl por otra parte
Qmi Qnj Qrk Qsl C mnrs Cijkl y:
Cijkl Qmi Qnj Qrk Qsl C mnrs
1 0 0 donde Q 0 1 0 0 0 1
Q11 1 Q22 Q33 1,
y los otros
Qij 0
C1112 Q11Q11Q11Q22C1112 0 ... 1 1 11C1112 C1112 C1112 C1112 0 A través de está relación se pueden definir aquellos elementos que serán diferentes de cero. Por otra parte dado que la transformación es una matriz ortogonal el problema se puede analizar mediante:
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170
Mecánica del Medio Continuo
1 6 5 1 0 0 1 6 5 1 0 0 1 6 2 4 0 1 0 6 2 4 0 1 0 6 0 0 1 0 0 1 4 3 4 3 5 5 5
6 5 2 4 4 3
Y
1 1 2 6 1 5 2
1 6 2
2 1 4 2
1 5 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 6 2 2 0 0 1 1 5 3 2
1 6 2
2 1 4 2
1 5 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 6 2 2 0 0 1 1 5 3 2
1 6 2
2 1 4 2
1 5 2 1 4 2 3
Se considera que las 36 constantes son diferentes
1 C11 1 C12 2 C13 3 C14 4 C15 5 C16 6 Considerando que x1 x 2 es plano de reflexión tal que C permanece inalterado bajo una nueva base en la cual
x3' x3 ; en este sistema, se tiene: 1 C12 2 C13 3 C14 4 C15 5 C16 6 1 C11 pero
1' 1 ,
6' 6 ,
'5 5 , 1' 1 ,
'2 2 ,
'3 3
'4 4 6' 6 ,
'5 5 ,
'2 2 ,
'3 3
'4 4
Por lo tanto
1 1 C11 1 C12 2 C13 3 C14 4 C15 5 C16 6 Como resultado, para que se conserve la igualdad C14 C15 0
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171
Mecánica del Medio Continuo
Considerando las otras 5 ecuaciones se concluye que C24 , C25 , C34 , C35 , C41, C42 , C43 , por otra parte:
4 C411 C42 2 C43 3 C44 4 C45 5 C46 6 1 C42 2 C43 3 C44 4 C45 5 C46 6 4 C41 4 4 C411 C42 2 C43 3 C44 4 C45 5 C46 6 C41 , C42 , C43 , C46 , C51 , C52C53 , C56 son también igual a cero para el plano x1 x 2 de simetría elástica por lo que C queda:
C
C11 C12 C 21 C22 C C32 31 0 0 0 0 C61 C62
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
0
C44
C45
0
C54
C55
C63
0
0
C16 C26 C36 0 0 C66
6.4
Reduciendo de 36 a 20 constantes. Por otra parte como ya se demostró, por las restricciones impuestas por la energía de deformación se tiene que el tensor es simétrico, entonces C C , con lo que el número de constantes elásticas se reduce a 13. La relación existente entre los términos del tensor de constantes elásticas con los términos que aparecen en la representación matricial se tiene que:
C11 C1111
C21 C2211
C12 C1122
C22 C2222
C13 C1133
C23 C2233
C14 2C1123 0
C26 2C2212
C16 2C1112 C 33 C 3333 C 36 C 3312 C 44 4C 2323 C 45 4C 2313 C 55 4C1313 C 66 4C1212
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172
Mecánica del Medio Continuo
Constantes elásticas para un material monotrópico (monoclínico) Por otra parte para analizar el significado físico de las constantes elásticas descritas en la matriz conveniente definir su inversa (matriz de rigidez)
C es
, de tal forma que:
C C C C 1
1
C 1
si : C
1
6.5
Es entonces que se puede describir éstas a través de:
11 22 33 2 23 2 31 212
1
1 E1 2 21 E1 3 31 E1 4 0 5 0 6 61 E1
Donde las constantes elásticas
12 E2
1 E2
32 E2
13
23
E3 E3
1 E3
0
0
0
0
0
0
1
45
0
0
0
0
4 54 G4
5
62
63
E2
E3
0
0
G5 1
16 1 11
G6 26 2 G6 36 3 G6 0 4 0 5 1 6 6
22 33 23 31 12
6.5a
E, G, , , , que aparecen en 6.5a tienen el siguiente significado físico:
E
módulo de elasticidad, representa la relación existente entre el esfuerzo normal y la deformación normal, tal que i , donde el subíndice representa el eje sobre el cual se refiere el módulo de elasticidad.
Ei
i
G
, : 2
módulo de rigidez a corte, representa la relación entre el esfuerzo de corte y la
deformación angular; el subíndice indica plano y dirección de referencia.
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173
Mecánica del Medio Continuo
, coeficiente de Poisson; representa la relación de la deformación transversal (inducida) con relación :
a la deformación longitudinal (principal), donde los subíndices indicaran la dirección de cada una de éstas deformaciones y por consecuencia la dirección de aplicación del esfuerzo normal y de la deformación
resultante
.
factor de acoplamiento entre una solicitación a corte y la correspondiente deformación longitudinal; donde
el índice
representa la dirección de deformación, mientras que
refiere a las características de la
solicitación a corte que provoca la deformación.
factor de acoplamiento entre solicitaciones a corte. Relaciona la deformación a corte en un plano
los esfuerzos de corte en un plano
con
.
factor de acoplamiento entre un esfuerzo normal y una deformación a corte. Relaciona la deformación a
corte en un plano
con el esfuerzo normal en dirección .
La simetría de la matriz demanda que:
21 E1
16 G6
45 G5
12
31
E2
E1
61
26
E1
G6
54
13
32
E3
E2
62
36
E2
G6
23
E3
63 E3
G4
Si 11 0 ij 0 ij 11
11 Si
6
11 E1
;
12
22 ; 11
13
33 ; 6 212 61 1 11 E1
12 0, ij 0, i, j
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174
Mecánica del Medio Continuo
1
16 G6
6
E1 , E2 y E3 son los módulos elásticos en los ejes x1 , x2 , x3 En un material monotrópico con eˆ3 como normal del plano de simetría un esfuerzo normal produce una deformación de corte en el plano
x1 x2 , con ij como coeficientes de acoplamiento, esto aún cuando el esfuerzo
de corte en dicho plano sea cero. Por otra parte una solicitación a corte en el plano deformaciones normales plano
x3 x1
generará
11 , 22 , 33 , aún cuando no existan esfuerzos normales. Asimismo cortantes en el
provocaran deformaciones a corte en
(esfuerzo de corte en
x1 x2
x2 x3 ,
lo mismo sucederá al invertir las consideraciones
x3 x1 y deformación en x2 x3 .
6.3.3 Sólido elástico, homogéneo, lineal y ortotrópico
Si existen dos planos de simetría elástica se define al material como ortotròpico. Este representa un comportamiento con restricciones adicionales a las impuestas a un sólido monotrópico. Para este caso se define que los ejes de simetría elástica son el por
x2 y el x3 , por lo que los planos de reflexión estarán dados por x1 x3 y
x1 x2 (figura 6.6), por tal motivo la transformación es: 1 0 0 Q 0 1 0 0 0 1
Figura 6.5 Planos de reflexión en un material ortotrópico (2 ejes de simetría).
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175
Mecánica del Medio Continuo
Se tiene entonces que la relación de los esfuerzos descritos en la base original con los descritos a través de la base transformada es:
1 6 5 1 0 0 1 6 5 1 0 0 6 2 4 0 1 0 6 2 4 0 1 0 0 0 1 0 0 1 4 3 4 3 5 5 1 6 5
6
2 4
5 4 3
Por un procedimiento análogo para las deformaciones, se tiene que:
1 1 2 6 1 5 2
Al definir la simetría elástica
1 6 2
2 1 4 2
1 5 1 2 1 1 4 6 2 2 1 3 5 2
1 6 2
2 1 4 2
1 5 2 1 4 2 3
' C C
Para cumplir con lo anterior.
1 1 1 C11 1 C12 2 C13 3 C14 4 C15 5 C16 6 1 C12 2 C13 3 C14 4 C15 5 C16 6 1 C11
Como 6 6 ,
5 5 se requiere que C15 , C16 0
y por consecuencia: C
25
C26 C35 C36 C45 C46 0
6 6 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
176
Mecánica del Medio Continuo
6 C611 C62 2 C63 3 C64 4 C65 5 C66 6 1 C62 2 C63 3 C64 4 C65 5 C66 6 6 C61 6 6 C61 C62 C63 C64 0 5 5 C51 C52 C53 C54 0
Como en este caso, además de cumplir con sus restricciones particulares deberá cumplir con las ya establecidas para un sólido monotrópico, entonces:
C
C11 C12 C C22 21 C C32 31 0 0 0 0 0 0
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
0
C44
0
0
0
C55
0
0
0
0 0 0 0 0 C66
Dado que la matriz es simétrica, entonces existirán solo 9 constantes elásticas linealmente independientes.
De todo lo antes expuesto se tiene que la relación matricial de esfuerzo con deformación para un sólido elástico ortotrópico, de la forma
11 22 33 2 23 2 31 212
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, queda:
1 1
E1 2 12 E1 3 13 E1 4 0 5 0 0 6
21 E2
1 E2
23 E2
31
32
E3 E3
1 E3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
23
0
0
0
0
31
0
0
0
0
1
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 12 6
11
22 33 23 31 12
(6.6)
177
Mecánica del Medio Continuo
Determinación de las constantes elásticas independientes con base en la notación tensorial: En notación índice para el Material ortotrópico antes descrito se tiene que: Ejes de simetría x 2 , x3; ,no existe simetría en x1 ;
Cijkm air a js akt amn Crstn
La ecuación anterior, como en el caso ya tratado del monotrópico, representa que el tensor de constantes elásticas (4 to orden) definido en el sistema original puede ser transformado a las nuevas coordenadas a través del sistema (tensor de rango 8). air a js akt amn Como ya ha sido mencionado, la transformación queda en la forma
1 0 0 Qij 0 1 0 0 0 1 Por lo que
Cijkm
C1122 C1133 C1111 C 2222 C 2233 C3333 simetría
0
0
0
0
0 1 C1111 C1122 2
0 0 C 2323
0 0 0 0 0 C3131
Sea que el desarrollo se realice con una base tensorial o sea que se defina una relación matricial lo anterior representa que el material tiene tres módulos de elasticidad de acuerdo con las direcciones coordenadas, así como también tres módulos de rigidez a corte. En el caso de los coeficientes de Poisson estos se encuentran relacionados a través de los módulos de elasticidad, es por consecuencia que las ecuaciones de la forma se expresan:
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
178
Mecánica del Medio Continuo
11
1 11 21 22 31 33 E1 E2 E3
22 33 23 31 12
12 E1
13 E1 1
2 23 1 2 31 1 2 12
22 32
11 11
E2
E3
23 22
E2
33 33 E3
23 31 12
De las constantes E1 , E2 , E3 , 21 , 31 ,12 , 32 ,13 , 23 , 23 , 31 , 12 sólo nueve son linealmente independientes. Donde E1 , E2 y E3 son los módulos de Young en los ejes x1 , x2 , x3 ;
23 , 31 , 12 son los módulos de corte en los planos x2 x3 , x3 x1 , x1 x2 ij .-coeficiente de Poisson con “i” dirección de carga y “j” dirección transversal. Entonces se deberá cumplir que
12 E1
12 E2
;
13 E1
31 23 E3
;
E2
32 E3
6.3.4 Sólido elástico, homogéneo, lineal y transversalmente isotrópico
Un sólido elástico homogéneo, lineal y transversalmente isotrópico representa una extensión del comportamiento descrito para el material ortotrópico. La diferencia sustancial la representa el que en éste no existirán tan solo dos planos de reflexión que se definen al hacer girar la base un ángulo de radianes alrededor del eje
x1 , sino que la rotación se hará para cualquier ángulo
entre 0° y
2
radianes, lo que se
traduce en un número infinito de planos de reflexión, dando como consecuencia que las propiedades elásticas sean las mismas, sin importar la dirección, esto sobre el plano
x2 x3 . Es por lo anterior que se define al material
como transversalmente isotrópico. De lo antes expuesto se concluye que si existe un plano
S1 tal que cualquier
plano perpendicular a éste es un plano de simetría, entonces se denomina al material como transversalmente isotrópico. Al plano
S1 se le denomina como plano de isotropía y su normal e1 es el eje de isotropía transversal.
Un material transversalmente isotrópico es también ortotrópico. Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
179
Mecánica del Medio Continuo
Ecuación Constitutiva para un Material Elástico Transversalmente isotròpico. De acuerdo con la figura 6.6 considérese que existe un plano S tal que cualquier plano perpendicular es un 3 plano de reflexión, por lo que S representa un plano de isotropía. Si S representa un plano cuya normal eˆ1 es 3 perpendicular al plano S 3 y a su vez describe un ángulo con el eje x1 eˆ1 entonces
S es un plano de
reflexión.
Figura 6.6 Un material transversalmente isotrópico presenta un infinito número de planos de reflexión, lo cuales se generan al girar el sistema coordenado un ángulo cualquiera alrededor del eje
Figura 6.7 Material transversalmente isotrópico, en este caso los ejes del eje
Entonces para cualquier ángulo , el plano
S
x1 , x2 giran un ángulo
x3 .
alrededor
x3 .
será por definición plano de simetría. Entonces si
Cijkl
representan las componentes del tensor C con respecto a la base eˆi , la transformación estará dada por:
e1 cos eˆ1 sen eˆ2 ' e e3 e2 sen eˆ1 cos eˆ2 3 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
180
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.8 Cualquier ángulo entre 0° y
2
radianes genera una nueva base.
Una rotación de radianes dará lugar a un material ortotrópico, por lo que se puede considerar al sólido transversalmente isotrópico como una extensión del comportamiento del sólido elástico ortotrópico.
Figura 6.9 Las propiedades en toda dirección transversal (T) son simétricas con respecto al eje longitudinal (l).
Entonces
C1223 C1322 C1333 0 C1113
C1222 C1233 C1323 0 C1112
( a) (b)
La condición (a) es satisfactoria para cualquier no conduciendo a mayores restricciones, sin embargo (b) conduce a otras restricciones por ortotropía
Q13 Q31 Q23 Q32 0 por lo que: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
181
Mecánica del Medio Continuo 3 2 Q11 C1113 Q13C1111 Q112 Q21Q23C1122 Q21 Q11Q13C2211 Q112 Q31Q33C1133 2 2 2 Q31 Q11Q13C3311 Q112 Q21Q23C1212 Q11Q21 Q13C1221 Q21 Q11Q13C2121
Q21Q112 Q23C2112 ..... 0 0 0 ...... 0 C1322 C1333 0 0 es satisfecho en conjunto con C1223 Por lo que C1113 Por otra parte Q33 1 , de lo que se tiene:
Q11Q12C1313 Q21Q22C2323 0 C1323 lo que requiere que
cos sen C1313 C2323 0 razón por la que
C1313 C2323 En forma similar
0, C1233
lo que conduce a :
C1133 C 2233 0 y de C1112
se concluye :
3 2 Q113 Q12C1111 Q21 C1112 Q22C 2222 Q112 Q21Q22C1122 Q21 Q11Q12C 2211 Q112 Q21Q22C1212 2 2 Q11Q21 Q12C1221 Q21 Q11Q12C 2121 Q21Q112 Q22C 2112
cos sen cos 2 C1111 sen 2 C2222 cos 2 C1122 sen 2 C2211 cos 2 C1212
sen 2 C1221 sen 2 C2121 cos 2 C2112 0
cos sen 0
cos 2 C1111 sen 2 C2222 cos 2 sen 2 C1122 2 cos 2 sen 2 C1212 0 De un proceso similar se puede obtener
C1222 0
sen 2 C1111 cos 2 C2222 cos 2 sen 2 C1122 2 cos 2 sen 2 C1212 0
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
182
Mecánica del Medio Continuo de lo que
C1111 C 2222 y
C1212
1 C1111 C1122 2
sean iguales a los Cijkl para S un plano de simetría de tal forma que los coeficientes elásticos Cijkl cualquier ángulo quedando en notación índice: Será
0 0 0 11 C1111 C1122 C1133 11 C C C 0 0 0 1111 1133 22 1122 22 C C C 0 0 0 3333 33 1133 1133 33 0 0 0 C 0 0 1313 2 23 23 0 0 0 0 C 0 1313 31 2 31 1 C1111 C1122 2 12 0 0 0 0 0 12
2
Por lo que el número de constantes elásticas se reduce a 5; , T , , , , por lo que para un material sólido, elástico, transversalmente isotrópico con eje de simetría x3 e3 la ecuación constitutiva de la forma
ij Cijkl kl se puede representar en forma simplificada como: C11 2 C12 C13 C33 2 4 L 2T C44 T 1 (C11 C12 ) L 2
13 es la relación de la deformación transversal eˆ3 ( eje x3 ) cuando se aplica una solicitación en el plano de isotropía
13 E1
31 E3
12 - módulo de corte en el plano de isotropía transversal
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183
Mecánica del Medio Continuo
13 -módulo de corte en el plano perpendicular al plano de isotropía transversal
11 2 T 22 33 23 0 31 0 12 0
0
0
2T
2 4 2 T
0
0
0
0
0
0
T
0
0
0
0
T
0
0
0
0
0 11 0 22 0 33 0 23 0 31 12
Considerando la metodología empleada para definir las constantes elásticas linealmente independientes en un material monotrópico y ortotrópico; y definiendo que la rotación se producirá alrededor del eje
x1 , para que así
este comportamiento corresponda con las restricciones ya impuestas, entonces se tendrá que la matriz de cambio de base está dada por:
0 1 Q 0 cos 0 sen
Dado que se deberá cumplir que notación índice, entonces:
' Q QT ,
0 sen cos
C , esto en representación matricial y utilizando una seudo
' C ' ' , donde Cijkl C 'ijkl , entonces
' Q QT
en notación matricial se tiene: 12 12 11 1 11 C C22 C23 22 2 12 C C23 C33 33 3 12 23 4 0 0 0 31 5 0 0 0 12 6
C
0
C
0
C
0
0
0
0
0
0
0
1 C22 C23 0 2 0 C55 0
0
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 C55 6
11 22 33 2 23 2 31 212
Los elementos de la matriz de rigidez cumplen con: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
184
Mecánica del Medio Continuo
C11 0,
C33 0,
C44 0,
C11 C12 0
Considerando las constantes:
ET - módulo elástico transversal. E2 E3 ET C22 C33 .
Para
un
sistema
donde
existe
isotropía
en
el
plano x
x
2 3
,
El - módulo elástico longitudinal El E1 ET C11 Considerando ahora la representación
C donde C C
1
, se tiene entonces en descripción
matricial:
11 22 33 2 23 2 31 212
1 1
E1 2 21 E1 3 21 E1 4 0 5 0 6 0
12 E2
1 E2
23
12
23
E2 E2
0
0
0
0
0
0
E2
1 E2
0
0
23
0
0
0
0
0
1
0
0 1
12 0
0 1 11 0 2 22 0 3 33 0 4 23 0 5 31 1 6 12 12
(6.8)
Para este caso como ya ha sido manifestado las constantes elásticas para el sólido elástico transversalmente isotrópico son:
E1 , E2 .-Módulo de elasticidad longitudinal y transversal
12 , 23 .-Coeficiente de Poisson longitudinal y transversal
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185
Mecánica del Medio Continuo Desarrollando las ecuaciones se tiene:
11
11 12 22 12 33
22
33
23
31 12
E1
21 E1
E2
11
E2
22 23 33
E2
E2
21 11 23 22 E1
1 223
1 213 1 212
23
31 12
E2
1
1
(6.9)
E2
31
2 L 2 L
33
23
2T
1
12
Dado que deberá existir simetría, entonces:
12 E2
21 13 E1
;
E2
31 23 E1
;
E2
32 E2
23 32
E2 E1 12 21
12
21 E1
E2
12 13 21 31
La descripción de un comportamiento característico para un sólido elástico transversalmente isotrópico se puede emplear para materiales tales como la madera ó los huesos largos (por ejemplo el fémur ó la tibia), materiales en los cuales es claro que se tienen propiedades diferentes en el eje longitudinal con respecto a su plano transversal.
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186
Mecánica del Medio Continuo
6.3.5 Sólido elástico lineal homogéneo e isotrópico
El mayor nivel de idealización se presenta cuando se considera un material “Sólido, Elástico, Homogéneo, Lineal e Isotrópico. En este caso se considera que las propiedades son iguales en cualquier dirección, no solo en un plano como en el transversalmente isotrópico. Si bien cualquier sólido cristalino será por definición no isotrópico es necesario recordar que en general los sólidos son policristalinos y que sus cristales usualmente se orientan al azar dando como consecuencia que sus propiedades elásticas, las cuales se evalúan de manera macroscópica, representen promedios de las definidas para cada dirección cristalográfica. Por ejemplo un metal recocido ó que provenga de fundición se puede considerar sin mayor inconveniente como isotrópico, sin embargo la misma aleación después de una fuerte deformación en frío que provoca que los cristales se orienten de manera preferencial ya no se podrá considerar que presenta un comportamiento isotrópico, sino en el mejor de los casos se describirá como transversalmente isotrópico.
Figura 6.10 En un material isotrópico cualquier tridia de ejes mutuamente perpendiculares representa una base y bajo cualesquiera de éstas las propiedades elásticas serán iguales. Se puede considerar a este comportamiento como una extensión del transversalmente isotrópico, nada más que ahora no solo se genera un infinito número de planos de reflexión al rotar sobre un eje en particular, sino que esa rotación se presenta sobre los tres ejes, por lo que los tres son ejes de simetría.
Considerando una base
x1 x2 x3 , la descripción en forma tensorial queda: ij Cijkl kl
Ahora para una base
x1' x2' x3' , la cual se obtiene al girar los ejes a cualquier ángulo se tendrá: ' ij C ' ijkl ' kl
Al ser isotrópico el material, entonces el tensor de constantes elásticas será siempre igual bajo cualquier base: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
187
Mecánica del Medio Continuo
Cijkl C ' ijkl
Dado que la representación (tensor) no se modifica (mantiene sus mismos componentes) con respecto a cualquier base, se le denomina isotrópico. Este tipo de tensores, como fue comentado en el capitulo 1, tienen propiedades particulares como son de que su suma (de tensores isotrópicos) da lugar a un nuevo tensor isotrópico, la multiplicación por un escalar produce un nuevo tensor isotrópico y el producto entre tensores isotrópicos es igualmente isotrópico, por último es conveniente recordar que el único tensor isotrópico de rango dos es la delta de Kroneker. El tensor de constantes elásticas deberá cumplir con las restricciones ya antes enumeradas,
Cijkl Cijlk Cijkl C jikl Cijkl Cklij
De entrada el tensor al ser isotrópico se puede descomponer en la suma de varios tensores igualmente isotrópicos: C A B H ijkl
ijkl
ijkl
ijkl
éstos a su vez se pueden descomponer a través del producto con un escalar, de tal forma que:
Aijkl aijkl Bijkl bijkl H ijkl hijkl Cijkl aijkl bijkl hijkl A su vez los tensores
aijkl , bijkl , hijkl
se pueden descomponer en el producto de dos tensores isotrópicos, sin
embargo, el único tensor isotrópico de rango dos es la delta de Kroneker (ij ).
aijkl ij kl bijkl ik jl hijkl il jk Los índices de son indistintos ya que de todas las formas representa al tensor identidad de rango dos para la ij
operación producto. Sustituyendo se tiene:
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188
Mecánica del Medio Continuo
ij Cijkl kl ij ( aijkl bijkl hijkl ) kl ( ij kl ) kl ij kk ( ik jl ) kl ( ik ) jk ik jk ij ( il jk ) kl ( il jk ) lk ( il ) jl ij
ij ij 2 ij ij ij kk 2 ij Por su parte en notación general se expresa como: Donde
I 2
u
A las constantes elásticas ,
se les define como Constantes de Lamê en honor del matemático frances
Gabriel Lamé (1795-1870), el cual en 1852 publicó su “Teoría Matemática de la Elasticidad”, en la cual se desarrollaron por vez primera estas expresiones. Desarrollando las ecuaciones para el Sólido, Elástico, Homogéneo, Lineal e Isotrópico (SEHLI) y sustituyendo en la descripción tensorial, se tiene que:
11 2 0 12 13 0 21 0 22 23 0 31 0 32 0 33
La primer constante de Lamê
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
no tiene significado físico, mientras que
11 0 12 0 13 0 21 22 0 23 0 31 0 32 2 33
G
representa al módulo de
rigidez a corte. La relación esfuerzo-deformación, en forma matricial, para un SEHLI se expresa como:
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189
Mecánica del Medio Continuo
11 1 2 0 0 0 1 11 22 2 2 0 0 0 2 22 33 3 2 0 0 0 3 33 23 4 0 0 0 2 0 0 4 2 23 31 5 0 0 0 0 2 0 5 2 31 12 6 0 0 0 0 0 2 6 2 12
11 11 22 33 211 22 11 22 33 2 22 33 11 22 33 2 33 12 21 212 2 21 23 32 2 23 2 32 31 13 2 31 213 Otras constantes elásticas. A partir de la relación general
ij
kk ij 2 ij se tiene que: kk 3 kk ij 2 kk
kk 3 2 kk Se define el esfuerzo hidrostático como: H De lo que se tiene que:
kk 3
2 H kk 3
La ecuación anterior relaciona la componente esférica del esfuerzo elástico de volumen
k , entonces:
kk , por lo que a la constante de proporcionalidad se le denomina como de compresibilidad
k Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
H (esfuerzo hidrostático) con el cambio
2 3 190
Mecánica del Medio Continuo Por lo tanto la ecuación se puede expresar como: La ecuación general
H
k ii
se puede despejar para expresar en la forma de tal forma que:
ij
kk ij
1 ij 2
1 ij ij kk ij 3 2 2
Considerando ahora un estado uniaxial de esfuerzos tal que: 11 0 ij 0 i, j 11
11
1 11 11 2 3 2
Tomando un común denominador:
11
1 3 2 11 11 11 3 2 2 3 2
Definiendo el módulo de elasticidad ó Módulo de Young como la relación existente entre el esfuerzo normal y la deformación normal, tal que:
E , por lo que
de 11
11 3 2
como : 11
el módulo de elasticidad, considerando además que por ser un material isotrópico:
E
11 E11
se puede despejar
E11 E22 E33 E
3 2
Si se define al Coeficiente de Poisson como la relación de la deformación transversal a la deformación longitudinal se tendrá que para un estado uniaxial de esfuerzos:
T
L
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T L 191
Mecánica del Medio Continuo
sustituyendo en la ecuación general:
22
22 11
ó
33 11
1 0 11 2 3 2
Sustituyendo en la definición de coeficiente de Poisson:
11 2 3 2 3 2 11 Por lo que:
2
Despejando:
2
2 2 2 1 2
Dado que la constante de Lamê
2 1 2
no tiene significado físico resultará mucho más práctico describir la relación de
a través del módulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson, por lo que sustituyendo:
E
2 2 1 2 2 1 2
3
6 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2
6 2 4 2 2 1 2 2 E 2 1 E
E 2 1
Sustituyendo en: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
192
Mecánica del Medio Continuo
1 ij ij kk 3 2 2
E 2 1
1 1 2 E
2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 6 2 4
3 2 1 1 ij ij kk ij E 1
ij ij
1 1 ij kk ij E
1 1 ij kk ij 2 1
Esta ecuación se le conoce como ley de Hooke generalizada, la cual al desarrollarla da lugar a:
1 1 11 11 22 33 E 1 1 22 11 22 33 E 1 1 33 11 22 33 E
11 22 33
1 12 2 1 23 32 23 2 1 31 13 31 2
12 22
Estas ecuaciones se pueden presentar en forma matricial como: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
193
Mecánica del Medio Continuo
11 22 33 23 31 12
1 1
E 2 E 3 E 4 0 2 4 0 2 4 0 2
E 1 E
E
0
0
0
0
0
0
E
E 1 E
0
0
1 2
0
0
0
0
1 2
0
0
0
0
0 1 11 2 22 0 0 3 33 0 4 23 0 5 31 1 2 6 12
El Valor del coeficiente de Poisson de un sólido elástico isotrópico es del orden de
6.11
1 , sin embargo si el material es 3
incompresible se tiene que:
k
2 1 3 2 3 3
Sustituyendo:
E
3 2
1 3 2 1 1 k 3 1 E 3 2 3 3 Sustituyendo el valor de
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:
194
Mecánica del Medio Continuo
2 2 2 2 1 2
2 1 2 1 2 k 1 1 1 1 1 E 3 3 1 2 3 1 2 k 1 3 1 2 k E E 3 6 E 3 6 Si k k 1 E 3 3 0.5 6 6 0.5 Esto representa que cuando el material es incompresible el coeficiente de Poisson será de
1 2
6.4 Aplicación de la teoría de la elasticidad en el análisis de diferentes problemas básicos: 6.4.1. Estudio de un cilindro circular sometida a Torsión Una barra de sección circular de radio torsionante
r,
diámetro
y longitud
l,
la cual es sometida a un momento
M T , en el eje longitudinal de la barra (figura 6.11). Considere que se trata de un sólido, elástico,
homogéneo, lineal e isotrópico y con esa base determine:
a. Campo de desplazamientos b. Tensor de deformación c. Tensor de esfuerzos d. Esfuerzos principales y su orientación con relación al eje longitudinal de la barra. Con la finalidad de facilitar el análisis el sistema coordenado se elige de tal forma que el origen coincida con el empotramiento de la barra, donde un eje
x1 corresponde el eje de simetría de la barra, mientras que los otros
dos están referidos al plano transversal. El momento torsionante provoca una deformación angular
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sobre el
195
Mecánica del Medio Continuo plano para
x2 x3 , la cual es función de la distancia al origen x1 , siendo ésta cero para x1 0 y máxima
x1 l .
Figura 6.11. Cilindro sometido a un momento torsionante
El campo de desplazamientos
u r eˆ1 0eˆ2 0eˆ3 r x1eˆ1 x2 eˆ2 x3eˆ3
u está dado por: eˆ1
eˆ2
eˆ3
0
0
x1
x2
x3
ˆ1 u 0e ˆ2 x3 e ˆ3 x2 e
a. El campo de desplazamientos queda
u x3 eˆ2 x2 eˆ3
A partir de la descripción del campo de desplazamientos y conociendo que:
f x1 y dado que si: x1 = 0 = 0 x1 = l = max Se puede definir el campo de deformaciones :
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196
Mecánica del Medio Continuo
11
u1 0 x1
22
u2 0 x2
33
u3 0 x3
1 u1 u2 1 x3 0 2 x2 x1 2 x 1
12
1 u2 u3 1 0 2 x2 x2 2
23
1 u3 u1 1 x2 0 2 x1 x3 2 x1
31
1 2
12 x3 1 2
31 x2 b. El tensor de deformaciones
2
1 2 1 x2 2
x1 x1
ij x3
UDIATEM
x1
1 T X u X u queda:
0
Dr. Armando Ortiz prado
x1
1 x3 2 x1
1 x2 2 x1
0
0
0
0
197
Mecánica del Medio Continuo c. Dado que se trata de un sólido elástico isotrópico
ij
kk ij 2 ij , el tensor de esfuerzos está dado
por:
0
x3
x1 x 2 x1
ij x3
x1
x 2
x1
0
0
0
0
La validez del campo de esfuerzos se puede verificar a través de el cumplimiento de la ecuación de Cauchy, considerando la existencia de equilibrio y despreciando las fuerzas de cuerpo : ij 0 x j
11 12 13 0 x1 x2 x3 1 2 1 2 x3 x2 0 2 x1x2 2 x3 x1
21 22 23 0 x1 x2 x3 x3
2 x1
2
00 0
31 32 33 0 x1 x2 x3
x2
2 00 0 2 x1
De lo antes expuesto se concluye que será necesario cumplir con 2
x12 Es entonces que se constata que
0
ctte x1
Se deberá cumplir también que la fuerza en las superficies laterales se igual a cero (no existe carga aplicada sobre éstas: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
198
Mecánica del Medio Continuo
ti ij n j 0 t1 0 12 13 0 0 1 t2 21 0 0 x2 0 r t3 31 0 0 x3 0
1 ti 12 x2 13 x3 eˆ1 0eˆ2 0eˆ3 r Sustituyendo el valor de las componentes del esfuerzo se tiene que:
ti
x3 x2 x2 x3 eˆ1 0 x1
De lo que se concluye que las superficies están libres de cargas, esto es, la barra es sometida a momentos de torsión pura. En cualquier superficie normal a
x1 aparecerán los esfuerzos de corte 21 , 31 ; donde el primero genera una
rotación en dirección de las manecillas del reloj, mientras que el segundo hace lo mismo en dirección contraria. Además por otra parte se conoce que no existe ninguna fuerza resultante sobre dicho plano, esto es:
De la figura se debe cumplir Resultantes en
x1 l
R1 11n1dA 0 R2 21n1dA
x3dA 0 x1
R3 31n1dA
x2 dA 0 x1
Por otra parte si bien al integrar las fuerzas sobre el plano cuya normal es
e1 , estos deben ser igual a cero ya que
no existe ninguna fuerza que se esté aplicando, por otra parte el momento que los esfuerzos generan alrededor del eje
x1 se debe a la aplicación del momento torsionante, y se deberán equilibrar con éste:
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199
Mecánica del Medio Continuo
Mx1
x 2
Sustituyendo el momento torsionante sobre el eje
Mx1
x3 21 dA
31
x1 se tiene que: x2 2 x32 dA x1
Por otra parte:
Mx2 Mx3 0 Resulta evidente que:
Mx1
x1
r
2
dA
Por otra parte la definición de momento polar de inercia (Ip) de la sección transversal de área es:
I p r 2 dA , por lo que el momento torsionante sobre x1 se expresa: M T Mx1 r
I p r dA 0
De lo anterior queda
a corte
M T dx1 I P
se tiene
2
r
0
Ip x1
2
0
r rd dr 2
r4 2
ó de otra forma despejando el módulo de rigidez
MT IP x 1
Lo anterior representa que se puede determinar el módulo de rigidez a corte a través de un ensayo de torsión. Por otra parte sustituyendo en el tensor de esfuerzos se tiene: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
200
Mecánica del Medio Continuo
x3 M T IP
x2 M T IP
x3 M T ij IP
0
0
x2 M T IP
0
0
x3
0 x3 x2
0 0
x2 M 0 T I 0 p
0
Esfuerzo Principales: Con base en el estado de esfuerzos se puede analizar éste considerando un elemento diferencial que se encuentra en la superficie de la barra y cuya posición corresponde con uno de los ejes coordenados; se debe de tener en cuenta que existe simetría con respecto al eje longitudinal
x1 , por lo que el resultado de los esfuerzos
principales corresponderá a cualquier elemento en la superficie de la barra. Por otra parte se trata de un estado a corte puro, por lo que su representación en el círculo de Mohr estará dada por la figura 6.12, y los esfuerzos principales serán:
x2 0; x3 r 3 I1 2 I 2 I 3 0
I1 11 22 33 0
2 2 2 I 2 11 22 22 33 3311 12 23 31
2 2 I 2 12 31
2 2 2 I 3 11 22 33 212 23 31 11 23 22 31 3312
I3 0 M x 2 M x 2 M I 2 t 3 t 2 t I I p I p p
M 3 t Ip
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2
2
2 2 x3 x2
2 x3 x22 0
201
Mecánica del Medio Continuo
M 2 t Ip
2
2 x3 x22
0
2 0
1,3
Mt r Ip
r- distancia desde el centro de la barra Lo anterior representa algo que es evidente, esto es que se trata de un estado de cortante puro. Para el valor principal 1
Mt R Ip
R- radio del cilindro La ecuación del eigenvector queda:
Mt M R n1 t n2 0 Ip Ip
Mt R n3 0 Ip
Lo anterior genera un ángulo de 45° con respecto al eje " x1 " que es sobre el cual se presentan las fallas a torsión en un material frágil.
Figura 6.12 Circulo de Mohr, la aplicación del momento torsionante genera un estado de corte puro
Para cualquier plano cuya normal sea
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e1 en la coordenada x1 ,0, r el eigenvector asociado queda:
202
Mecánica del Medio Continuo
el cual define un ángulo de con relación al eje x1 ; lo que da lugar a una falla con un desarrollo 1 n 4 eˆ1 eˆ2 2 helicoidal a
con relación al eje 4
x1 , esto para el caso de la fractura de la barra para un material frágil.
6.4.2 Barra sometida a carga uniaxial (tracción ó compresión) Suponga una barra (figura 6.13) la cual es sometida a una carga uniaxial (tracción ó compresión) la cual coincide con su eje longitudinal. La carga provoca una deformación infinitesimal en el rango elástico, por lo que: xi i
Figura 6.13. Barra de sección circular de radio exterior
11 En x1 = 0, x1 = l
11 =
R , la cual es sometida a una carga f1
f1 n dA
A 1
21 = 31 = 0 22 = 33 = 23 = 0
Considerando lo anterior se tiene que:
(i) (ii) (iii)
Las ecuaciones de equilibrio son satisfechas 0 Las condiciones de frontera se satisfacen Existe un campo de desplazamientos que corresponde con el campo de esfuerzos
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
203
Mecánica del Medio Continuo
Tensor de esfuerzos:
a)
ij x j
11 0 ij 0 0 0 0
f1 0 A1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
b) en la superficie del cilindro
f 2 f3 0 De la Ley de Hooke se tiene que para un Material Elástico Isotrópico:
11
1 11 22 33 11 dado que se trata de un estado uniaxial de carga E E
22
1 22 11 33 11 E E
33
1 33 11 22 11 E E
Es por consecuencia que el tensor de deformaciones queda:
11 E ij 0 0
0
11
E 0
0 11 E 0
u1 x1 u 2 x2 u3 x3
11 22 33
Por su parte el campo de desplazamientos está dado por:
u1 11 x1 E u 2 11 x 2 E u 3 11 x3 E
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204
Mecánica del Medio Continuo
El esfuerzo normal máximo y el cortante máximo están dados por:
max 11 ; max 11 2
Principio de Saint Venant Si la distribución de fuerzas actuando en la porción de la superficie de un cuerpo es remplazada por una diferente distribución de fuerzas actuando en la misma porción del cuerpo, de tal forma que éstas generan los mismos efectos, entonces se puede referir a éstas como equivalentes ya que sus efectos en zonas alejadas al punto de aplicación son esencialmente los mismos en virtud de que dan lugar a las mismas fuerzas resultantes y a los mismos pares. Este concepto permite simplificar el estudio de los elementos estructurales al poder remplazar las cargas que realmente se aplican por otras, que causando los mismos efectos, faciliten el análisis. 6.4.3 Viga (Barra) sometida a Flexión pura Considere una barra que es sometida a un momento flexionante
Mf
. Para facilitar el análisis los ejes se pueden
considerar de tal forma que solo se presente momento alrededor de uno de éstos. El
Mf
produce flexión de la
barra al ser aplicado (figura 6.15) y las superficies laterales están libres de cargas de tracción. El momento flexionante aplicado a la barra deberá ser contrarestado por las solicitaciones que se generan al interior de ésta, es por esto que se genera al siguiente estado de esfuerzos:
11 0 22 33 0 12 23 31 0
Figura 6.15 Barra de sección cualesquiera a la cual es aplicada un momento flector alrededor de
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x3
205
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.16 Viga de sección circular la cual es sometida a un momento flexionante.
Estado de esfuerzos:
11 0 0 ij 0 0 0 0 0 0 Considerando que se trata de un sólido elástico isotrópico se tiene que:
1 0 ij 0 0 0
0 0 11 E
Elemento sometido a un igual y opuesto par de momentos aplicados en los extremos del elemento
ij x j
0
eje x1
11 12 13 0 11 0 x1 x2 x3 x1
11 f x2 , x3
11
11 E
; 22
12 23 31 0
11 E
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; 33
11 E
206
Mecánica del Medio Continuo
Si se considera que
M f M 3 , esto es que el momento flexionante solo produce rotación alrededor de x3 ,
entonces para x2 = 0 se define una superficie neutra.
Por otra parte se tiene que las superficies laterales están libres de esfuerzos
Por condiciones de equilibrio se requiere
11 0 x1
Con base en las ecuaciones de compatibilidad ó integrabilidad:
2 22 x1
11
2 11 x1
2
2 11 x2
2
33
como
2 11 x1
2
0
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2 11 x 2
2
0
2 11 x2
2
2
2 12 x1x2
1 11 E
22
0
2
11 E
11 E
se trata de una función lineal
207
Mecánica del Medio Continuo
2 33
Por otra parte se debe de cumplir también con que:
2 11
2 11 x3
2
x1
x1
2
2
2 11 x3
2
2
2 13 x1x3
2 11 0 x3
0 pero como
11
x2
11 x2 cumple con las condiciones anteriores Dado que las superficies laterales están libres de esfuerzos y como el esfuerzo de la barra al momento flexionante
11
se genera como una respuesta
M 3 se debe cumplir que:
t1 0 ( 11n1 ) dA 0 A
M 3 x2 11 dA 0 A
f1 x2 dA 0;
M 3 x22 dA 0
A
Donde el término
x
despejar la variable
2 2
A
dA I 3 representa al Momento de Inercia con relación al eje x3 , entonces el factible
:
M3 I3
11
El signo se ha definido considerando que en la parte positiva de
M 3 x2 I3
x2 los esfuerzos serán compresivos mientras que
en la negativa, éstos serán de tracción.
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208
Mecánica del Medio Continuo
Para un círculo el momento de inercia es
I
r 4 4
( x2 )max c ,
Por lo tanto, el esfuerzo máximo esta dado por
donde
c representa al radio de la barra si ésta
fuera de sección circular. De lo anterior se tiene con que el esfuerzo máximo es:
max s Como
11
I c
Mc M I s
Módulo de la sección elástica
M 3 x2 I3
11
11 E
M 3 x2 I3 E
M3 22 33 22 33 x2 11 11 I3 E
De lo anterior se tiene que por encima del eje neutro las deformaciones longitudinales serán negativas mientras que para
x2 negativo los esfuerzos serán a tracción.
Con base en lo anterior los desplazamientos quedan:
11 u1 u2
M3 2 EI 3
x
u3 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
u1 x1
M 3 x2 x1 f ( x2 , x3 ) I3 E
2 1
x32 x22 f x1 , x3
Mf EI 3
x2 x3 f x1 , x2 209
Mecánica del Medio Continuo a partir de las condiciones de frontera
x1 0 u1 0 u1
u2
M2 x12 x32 x22 2 EI 3 u3
como
M 3 x2 x1 I3 E
M 3 x3 x1 EI 3
u1 es función lineal de x2 una sección transversal plana continuará plana al ser rotada sobre el eje
en un
ángulo
tan
El desplazamiento de las partículas a lo largo del eje
u1 M 3 x1 x2 EI 3
x1 , para x2 x3 0
u1 u3 0 ; u2 0 El desplazamiento de este elemento material (al cual se denomina como fibra neutra) es frecuentemente usado para definir la deflexión de la viga.
u2 M 3 x1 tan x1 EI 3
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210
Mecánica del Medio Continuo
6.4.4 Efecto combinado de Flexión y Torsión. Dado que la deformación es en el rango elástico el fenómeno se considera lineal. Entonces el tensor de esfuerzos estará dado por la suma término a término de los tensores asociados al momento torsionante y al momento flexionante, por lo que el estado de esfuerzos queda:
ijc ijF ijT
M f x2
ijc
I M x T 3 Ip M T x2 Ip
M T x3 Ip
M T x2 Ip
0
0
0
0
6.4.5 Viga curvada sometida a flexión pura Se considerará una viga curvada tal como se muestra en la figura 6.17. Parte de la teoría que aquí se desarrolle se podrá utilizar para analizar el estado de esfuerzos que se genera cuando se aplica presión interna a un elemento tubular tal como se muestra en la figura 6.18.
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211
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.17 Condiciones que se presentan por flexión pura en una viga curvada
Figura 6.18 La sección del tubo se puede visualizar como una viga curvada, la solicitación que provoca los esfuerzos es la presión hidrostática
pH .
Para la viga curvada en los extremos (superficies límite) r a , r b , ,
z h
2
están libres de
cargas de tracción. Suponiendo que h es muy pequeño comparado con las otras dimensiones se pretende obtener una solución al problema considerando un estado de esfuerzos planos, para una viga curva sobre la que se aplican momentos M f en los extremos . Además
zz 0 , por lo que se confirma la condición de
esfuerzos planos. Para un problema de deformación plana en coordenadas polares se tiene:
zz rr
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rr
1 1 2 rr 1 E
1 1 2 1 rr E
212
Mecánica del Medio Continuo
r
1 1 r E E
rz z zz 0 rr
A B a 2ln r 2C r2
A B 3 2ln r 2C r2
r 0 Para la viga curva se pueden utilizar las soluciones para deformación plana en coordenadas polares, que están dadas por las ecuaciones antes indicadas. Estas ecuaciones deben cumplirse en las superficies r a, r b, donde dichas superficies están libres de cargas:
En la cara
0
A B 1 2ln a 2C a2
0
A B 1 2ln b 2C b2
se presenta una carga normal , dada por las expresiones anteriormente enunciadas,
calculando la resultante sobre dicha cara se tiene: b A f 0 hdr h B 3r 2r ln r 2C a r
b
r a
Estos esfuerzos normales requieren de un par equilibrio, situación que se expresa como: b
0 rldr M fl
ecuación que por unidad de ancho queda
a
b
0 rdr M f , por lo que: a
M f A ln
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b B b 2 a 2 B b 2 ln b a 2 ln a C b 2 a 2 a
213
Mecánica del Medio Continuo Ecuación que con base en lo expuesto se puede simplificar como:
M f A ln
b B b 2 ln b a 2 ln a C b 2 a 2 a
De lo expuesto se puede determinar el valor de las constantes
C
Mf N
A
4M f
B
2M f
b
2
N
N
A, B, C
a 2 b 2 ln
b a
b
2
a2
a 2 2 b 2 ln b a 2 ln a
2 2 2 b 2 2 2 N b a 4a b ln a
Con lo que:
rr
4 M f a 2b 2 b 2 r 2 a 2 Ln b Ln a Ln N r a b r
4 M f a 2b 2 b 2 r 2 a 2 2 2 ln b ln a ln b a N r a b r
r 0 Para el caso de la determinación del estado de esfuerzos considerando una presión interna externa
pi y una presión
pe , se tiene que: b2 a2 1 2 2 1 rr pi r 2 p0 r 2 b 1 a 1 a2 b2
4 M f a 2b 2 b 2 r 2 a 2 2 ln b ln a ln b a N r2 a b r
r 0 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
214
Mecánica del Medio Continuo
6.5 Estados particulares de Esfuerzo y Deformación La física de cualquier problema siempre se desarrolla en un espacio tridimensional, sin embargo la ingeniería representa el arte de aplicar la física y las matemáticas buscando la mejor relación entre la aproximación de los resultados a la realidad y la solución más simple y que demande menores recursos matemáticos y computacionales. Es por consecuencia que en muchos problemas de ingeniería, una condición triaxial real sea idealizada a dos dimensiones (plana). Esto reduce de 6 a 3 el número de incógnitas y por consecuencia simplifica las metodologías de solución, permitiendo en muchos de los casos soluciones analíticas prácticamente imposibles para el caso tridimensional.
Si una de las dimensiones es pequeña en comparación de las otras, entonces los esfuerzos en la dirección menor se desprecian y el problema se estudia en el plano que definen las otras dimensiones, a esta situación se le denomina como Estado de Plano de Esfuerzos. Por otra parte si una de las dimensiones es muy grande en comparación con las otras, entonces se considera que la deformación en dicha dirección se puede despreciar definiéndose a tal situación como Estado de Deformación Biaxial ó Estado de Deformación Plana. Resulta por demás evidente, de un primer análisis de la teoría de la elasticidad, que un estado de Esfuerzos planos no corresponderá con uno de Deformaciones Planas, sino que por condiciones de equilibrio un estado de deformación plana corresponde con un estado triaxial de esfuerzos, donde uno de los esfuerzos normales será linealmente dependiente de los otros dos esfuerzos normales. Situación parecida se presenta para un estado plano de esfuerzos, el cual corresponde con un estado de deformación triaxial, en donde la deformación en el eje perpendicular al plano es diferente de cero, resultando linealmente dependiente de las otras dos deformaciones normales.
Figura 6.19 En la imagen de la izquierda se observan las condiciones características que definen un estado plano de esfuerzos. Por su parte la imagen derecha representa las condiciones de un estado biaxial de deformación.
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215
Mecánica del Medio Continuo
6.5.1 Estado de Esfuerzos Planos (Estado Biaxial de Esfuerzo) 11 12 ij 21 22 0 0
0 0 0
x3 x1 , x2
6.20 Estado de Esfuerzos Planos, condiciones y tensor de esfuerzos característico.
En este caso el cuerpo se caracteriza en que una de sus dimensiones es mucho menor que las otras (figura 6.20)
x3 x1; x3 x2 ,
por tal motivo los esfuerzos normal y de corte en dicha dirección se consideran
despreciables, por lo que
33
31 32 0, el estado de esfuerzos se expresa como: 11 12 ij 21 22 0 0
0 0 0
11 12 0 0 y el de deformaciones (considerando un Sólido Elástico Isotrópico): ij 21 22 0 0 33
33 0 ( 2 ) 33 11 22 , de lo que: 33 11 22 2
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216
Mecánica del Medio Continuo
6.5.2 Estado de deformación Biaxial
11 12 ij 21 22 0 0
0 0 0
Figura 6.21 Estado de deformación plana. Se caracteriza en que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras.
El caso de deformación plana se presenta esquemáticamente en la figura 6.21 donde una de las dimensiones es sensiblemente mayor que las otras
x3 x2 , x1 , por lo que la deformación en esta dirección será mucho
menor que en los otros dos ejes, razón por la cual se desprecia, definiéndose como un estado de Deformación Plana. Por consecuencia el tensor de deformación se expresará como:
11 12 ij 21 22 0 0
0 0 0
Por otra parte considerando la Ley de Hooke generalizada se tiene:
Como
33
ij
1 ij 1 kk ij 2 1
0 33 11 22 , por lo que el estado de esfuerzos se expresa como:
11 12 0 ij 21 22 0 0 0 11 22
En este caso de deformación plana el vector desplazamientos queda:
u1 u1 ( x1 , x2 ),
u 2 u 2 ( x1 , x2 ),
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u3 0 217
Mecánica del Medio Continuo Por consecuencia las deformaciones se expresan como:
11
u1 x1
22 1 u1 u 2 2 x 2 x1
12 21
u 2 x 2
33 0
23 31 0
De las ecuaciones de Cauchy considerando equilibrio y despreciando las fuerzas de cuerpo:
11 12 0 x1 x 2 21 22 0 x1 x 2 33 0 x3
33 ( x1 , x 2 )
El sistema de ecuaciones diferenciales no puede ser resuelto de inmediato ya que de
33
es una composición lineal
11 , 22 ; de tal forma que 33 11 22 . Es por consecuencia que será necesario desarrollar una
tercera ecuación diferencial para, ahora si, proceder a resolver el sistema, ésta ecuación diferencial se desarrolla a partir de las ecuaciones de compatibilidad de tal forma que:
Ecuaciones de compatibilidad 211 2 22 212 2 x22 x12 x1x2 2 23 2 22 2 33 2 x32 x22 x2x3 2 33 211 2 31 2 x12 x32 x1x3 211 23 31 12 x2 x3 x1 x1 x2 x3 2 22 31 12 23 x1x3 x2 x2 x3 x1 2 33 12 23 31 x2 x1 x3 x3 x1 x2 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
218
Mecánica del Medio Continuo
Considerando la ley de Hooke se tiene que, esto al sustituir el valor de
11 , 22 , entonces:
33
y expresar la ecuación en la forma
1 1 [ 11 ( 22 33 )] [ 11 22 2 11 2 22 ] E E 1 1 22 [ 22 ( 11 33 )] [ 22 11 2 11 2 22 ] E E
11
11
1 1 [11 (1 2 ) 22 (1 )] [ 11 (1 2 ) 22 ( 2 )] E E
22
1 1 [ 22 (1 2 ) 11 (1 )] [ 22 (1 2 ) 11 ( 2 )] E E
12
12 2
Sustituyendo los valores de
11
y de
22
en la primera ecuación de compatibilidad se tiene que:
2 2 2 2 2 22 2 11 1 2 11 1 2 22 2 11 2 22 2 11 2 22 E x22 x22 x22 x22 E x12 x12 x12 x12
2 2 12 2 x1x2
De las ecuaciones de equilibrio, derivando la primera con respecto a
x1 y la segunda con respecto a x2 , para
después sumarlas se tiene:
2 11 2 12 0 2 2 2 2 12 x1x 2 x1 11 22 con lo que se puede sustituir en la primer ecuación de 2 2 2 2 21 2 22 x x x x 1 2 1 2 0 x 2 x1 x 22 compatibilidad de tal forma que:
2 2 2 2 2 22 2 22 2 11 (1 ) 2 11 2 11 2 22 2 11 2 22 2 (1 ) x 22 x 22 x 22 x 22 x12 x12 x12 x12
1 2 11 2 22 (1 ) 0 2 x12 x 22 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
219
Mecánica del Medio Continuo Simplificando 2 2 2 2 2 11 2 11 2 22 2 22 2 11 2 11 2 22 2 22 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x 2 1 1 2 2 1 1 2
2 11 2 11 2 22 2 22 1 0 2 x22 x22 x12 x1 2
2 2 2 2 11 22 0 x1 x2 2 11 22 0 El sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incógnitas queda entonces:
11 12 0; x1 x2
Incógnitas
21 22 0; x1 x2
2 2 ( 11 22 ) 0 2 2 x1 x2
i
11, 22 , 21
Función de esfuerzos de Airy Este tipo de sistemas de ecuaciones diferenciales i son relativamente frecuentes en matemáticas; razón por la cual se buscó una solución desde inicios del siglo XIX. El honor correspondió a George Biddel Airy [1801-1892], astrónomo y matemático inglés, quien hacia 1862 propuso la solución (Aire Stress function method). Lo anterior a través de una función escalar tal que 4 0 ; es entonces que:
4 4 4 2 2 2 4 0, 4 x1 x1 x2 x1
f ( x1 , x2 ) . Airy demostró que existe una sola función
tal que, en ausencia de fuerzas de cuerpo el campo de esfuerzos
quede definido a través de:
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220
Mecánica del Medio Continuo
11
2 x22
22
2 x12
2 12 x1x2
entonces cualquier función escalar
que satisface la ecuación
4 0
genera una posible solución al
problema elástico, es por tal motivo que es denominada como Función de Esfuerzos de Airy
. Una solución
elemental la representa cualquier polinomio de tercer grado que genera un campo de esfuerzos y de deformaciones lineal, donde las soluciones particulares dependerán de las condiciones de frontera establecidas. La función de esfuerzos de Airy juega un papel fundamental en el estudio de los problemas de deformación plana, simplificación muy usual en la mecánica de sólidos. Como ya fue mencionado una posible solución a la ecuación biarmónica es a través de funciones polinomiales de diversos grados cuyos coeficientes son asignados para que se cumpla 4 0 . Por ejemplo para un polinomio de segundo grado:
2
a2 2 c x1 b2 x1 x2 2 x22 2 2
define unos esfuerzos asociados
11 c2 ; 22 a2 ; 12 b2 Lo cual indica que los tres esfuerzos son constantes en el cuerpo, este sistema podría ser utilizado para representar un estado de tensión simple, tensión biaxial ó cortante puro. Un polinomio de tercer grado
3
a3 3 b3 2 c d x1 x1 x2 3 x1 x22 3 x23 6 2 2 6
11 c3 x1 d3 x2 ; 22 a3 x1 b3 x2 ; 12 b3 x1 c3 x2 ,
da como resultado los esfuerzos
para
a3 b3 c3 0 ,
las
expresiones se reducen a:
11 d3 x2 ; 22 12 0 , lo cual representa el caso de flexión pura en una barra de sección rectangular.
Un polinomio de cuarto grado:
4
a4 4 b4 3 c d e x1 x1 x2 4 x12 x22 4 x1 x23 4 x24 12 6 2 6 12
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221
Mecánica del Medio Continuo donde
e4 2c4 a4 , representa el sistema de esfuerzos
11 c4 x12 d 4 x1 x2 2c4 a4 x22 22 a4 x12 b4 x1 x2 c4 x22 12
,
b4 2 d x1 2c4 x1 x2 4 x22 2 2
Muchos problemas de importancia práctica son resueltos a través de la combinación de polinomios como los antes descritos.
6.5.3 Aplicación de las Funciones de Esfuerzo de Airy en la determinación del estado de esfuerzos y deformaciones asociados a la presencia de una Dislocación de borde. En Ciencia de Materiales para justificar el nivel de esfuerzos necesarios para producir una deformación permanente en una estructura cristalina se definió desde los años 30’s del siglo XX la existencia de defectos cristalinos denominados como dislocaciones. Estos defectos cristalinos se han descrito en su forma primitiva como dislocaciones de borde (figura 6.22) y de tipo helicoidal. En ambos casos la presencia de la dislocación generará un campo elástico asociado, el cual interactúa con los campos de las otras dislocaciones presentes en el cristal. Estos defectos requieren además una cierta energía para su formación, la cual se almacena, a través del campo de deformación elástica, durante el proceso de formación de las dislocaciones. En el caso particular de una dislocación de borde, ésta se puede representar a través de un campo biaxial de deformación tal que los desplazamientos u1 y u2 son variables y u3=0 .
Es por consecuencia que para una dislocación de borde se deberá cumplirse que:
11 12 0 x1 x2
21 22 0 x1 x2 2 11 22 0
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222
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.22 Descripción esquemática de una dislocación de borde.
A partir del análisis de las condiciones de frontera se determinó que la función de Airy de los esfuerzos que da solución al problema está dada por:
Gb x2 ln( x12 x22 )1/ 2 2 (1 )
En virtud de que los esfuerzos asociados se definen por:
2 11 2 x2
2 22 2 x1
2 12 x1 x2
Gbx2 (3x12 x22 ) 2 11 x22 2 (1 )( x12 x22 ) 2 Gbx1 x12 x22 2 12 x1x2 2 1 x 2 x 2 2 1 2 Gbx2 x12 x22 2 22 2 x1 2 1 x 2 x 2 2 1 2
33 11 22
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Gb x2
1 x12 x22
2
223
Mecánica del Medio Continuo
6.6
Ecuaciones de la Teoría Infinitesimal de la elasticidad
Para el desarrollo de esta teoría se considera desplazamientos infinitesimales, para un sólido elástico lineal e isotrópico. En donde todos los términos en la ecuación son cantidades asociadas con una partícula, la cual está en la posición x1 , x2 , x3 .
Considerando el caso de pequeños movimientos (infinitesimales), como los que caracterizan la deformación elástica de los metales, de tal forma que cada partícula es vecina de su estado natural (sin esfuerzos). Considerando que X define la posición del estado natural (descripción Lagrangiana) de la partícula típica, i
entonces:
xi ˆ X i Los desplazamientos
ui y las magnitudes u x1 X 1 u1 ;
también son pequeñas. Por definición se tiene que:
x2 X 2 u 2 ;
x3 X 3 u 3
por lo tanto las componentes de velocidad
v1
u u u Dx1 u1 v1 1 v2 2 v3 3 Dt t xi fija x1 x2 x3
vi son las pequeñas velocidades asociadas con los desplazamientos infinitesimales ui , considerando lo anterior se concluye que el efecto de (u ) v es despreciable por lo que: Donde
u vi i t xi fija 2ui ai 2 t xi fija Por otra parte el volumen de la partícula dV está asociado con el volumen inicial como:
dV 1 kk dV0 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
224
Mecánica del Medio Continuo Las densidades se relacionan de acuerdo con:
1 kk 1 0 ˆ 1 kk 0 Nuevamente negando el efecto de cantidades de orden superior se tiene que:
2ui Dvi 0 2 Dt t xi fija Remplazando los términos antes desarrollados en la ecuación de movimiento de Cauchy se tiene:
D2 2 ui i ij Dt x j
con
2ui 0 2 t
ij 0 i x j
i
En la ecuación (i) todas las componentes están en función de coordenadas espaciales y como las ecuaciones se establecen para movimientos infinitesimales, no hay necesidad de hacer distinción entre coordenadas espaciales y materiales. Para un campo de desplazamientos u i se dice que éste describe el movimiento en un medio elástico si este
satisface la ecuación (i). Cuando un campo de desplazamientos es dado ui ui x1 , x2 , x3 , t , para estar seguros de que el movimiento es posible primero se deberá determinar el campo de deformaciones:
1 u
u j
ij i 2 x j xi y a partir de éste el campo de esfuerzos
ij kk ij 2 ij
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225
Mecánica del Medio Continuo La sustitución de u i y ij en la ecuación (i) permitirá verificar si el movimiento es posible; donde las solicitaciones en la superficie o en las fronteras del campo necesarias para mantener el movimiento están dadas por:
t i ij n j Por otra parte si las condiciones de frontera están prescritas (por ejemplo determinadas fronteras del cuerpo deberán permanecer fijas a cualquier tiempo y otras deberán permanecer libres tracciones a cualquier tiempo, etc.), entonces, considerando que u i debe ser solución del problema éste deberá cumplir las condiciones prescritas o de frontera.
6.6.1 Ecuaciones de Navier Las ecuaciones de Navier describen el movimiento en términos de componentes de desplazamiento solamente. Para su desarrollo se consideran desplazamientos infinitesimales así como la teoría elástica. De ecuación característica para un sólido elástico isotrópico
u
u j
ij e ij 2 ij e ij i x x i j 2 ui 2u j e ij x j x j x j x j x j xi
ij
kk e ij x j xi 2u j x j xi
u j xi x j
e kk x xi i
e 11 22 33 e
u1 u2 u3 ui v x1 x21 x3 xi
Sustituyendo en la ecuación de movimiento se tiene que:
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226
Mecánica del Medio Continuo
2 ui 2 ui 0 i 2 x kk x x t i j j
0
En su forma general se expresa:
Ecuación de la teoría Infinitesimal de la Elasticidad (Ecuación de Navier)
2u 0 2 0 B e u t
2u 0 2 0 B u u t
6.6.2 La ecuación de Navier en coordenadas rectangulares se expresa:
2 e 2u1 2 2 0 1 2 x x 2 x 2 x 2 u1 t 2 3 1 1
0
2 e 2u2 2 2 2 2 2 u2 0 2 0 2 t x2 x1 x2 x3 e 2 2 u3 2 2 0 2 0 3 x 2 x 2 x 2 u3 t x 2 3 3 1
6.6.3 Ecuaciones de Navier en coordenadas cilíndricas
Por otra parte las Ecuaciones de Navier en coordenadas cilíndricas r , , z quedan:
u r , u , u z
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227
Mecánica del Medio Continuo
vr r Para una base cilíndrica se tiene que: v u r vz r
1 vr v r 1 v vr r 1 vz r
vr z v z vz z
Por otra parte considerando que se trata de un sólido elástico e isotrópico, entonces:
eI 2 E Donde
e u E
Er , ,
1 T u u 2
ur r 1 1 ur u u 2 r r r 1 ur u z 2 z r
1 1 ur u u 2 r r r 1 u ur r 1 u 1 u z 2 z r
1 ur u z 2 z r 1 u 1 u z 2 z r u z z
Por consecuencia se tiene:
rr e 2
u r r
1 u ur r r
e 2
u z z
zz e 2 1 u
u
u
r r r r r r
u
1 u
z z z z r r
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228
Mecánica del Medio Continuo
u
u
zr rz r z r z Por otra parte la ecuación de Navier en forma general se expresa:
2u 0 2 0 e u t Donde u
U
(divU ) r
U rr 1 U r r r
representa un tensor de segundo rango, para el cual la divergencia está dada por:
U rr U U rz r z
U r 1 U U r U r U z r r r z U zr 1 U z U zz U zr (divU ) z r r z r (divU )
Desarrollando lo antes expuesto se tiene que:
kk e u 0
ur 1 u ur u z r r r z
2ur 1 2ur 2ur 1 ur 2 u ur 2 ur e B 2 2 2 0 r 2 2 2 t 2 r r r z r r r r
2u 1 2u 2u 1 u 2 ur u 2u e 0 2 0 B 2 2 2 t r 2 z r r r 2 r 2 r r
0
2u z 1 2u z 2u z 1 u z 2u z e B 2 0 z 2 2 2 t 2 z r r z r r
6.6.4 Ecuaciones de Navier en Coordenadas esféricas (r, , )
ur r 1 u ur e 2 r r
rr e 2
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229
Mecánica del Medio Continuo
1 u ur u cot rsen r r
e 2
1 u
u
u
r r r r r
1
u
rsen
1
u
u
u cot r
1 u r
u
r r r r rsen
e
ur 2ur 1 u 1 u u cot r r r rsen r
Las ecuaciones de Navier para coordenadas esféricas quedan:
Partiendo de que
0
u r , , ur r , , ; t er u r , , ; t e u r , , ; t e
2 ur 1 ur e 1 0 Br 2 r 2ur 2 sen 2 t r r sen r r r
2 ur 1 2 2 u u sen r 2 sen 2 2 r 2 sen r 2 sen 1 2 u 1 1 2u 2u 1 e 0 2 0 B 2 r u sen 2 2 2 t r sen 2 r r r r r sen 2 u 2cot u 2 r 2 r r sen
1 2 u 1 1 r u sen 2 2 r r r r sen 2u e 0 2 0 B t 2u rsen 1 2 ur 2cot u 2 2 2 2 2 r sen r sen r sen Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
230
Mecánica del Medio Continuo
6.7 Análisis del desplazamiento de ondas elásticas a través de un sólido
6.7.1 Análisis de una Onda plana Irrotacional
En esta etapa se utilizaran las ecuaciones de Navier para el análisis del movimiento de ondas elásticas a través de un Material Elástico, Lineal e isotrópico. Se trata de un problema elastodinámico en el cual se considera el desplazamiento de un tren de ondas infinito y sin amortiguamiento, el cual describe un desplazamiento de tipo senoidal. El movimiento de estas ondas se va a describir como longitudinal y transversal y dado que se trata de un problema elástico lineal se podrá analizar su efecto considerando superposición de éstas. En primera instancia se considerará una onda longitudinal, tal que:
2 x1 vl t l u2 0; u3 0 u1 a sen
En este movimiento cada partícula ejecuta una oscilación armónica simple de amplitud natural, con una longitud de onda
a alrededor de su estado
l y velocidad de fase vl .
Figura 6.23 Tren infinito de ondas planas senoidales
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231
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.23 Se trata de una Onda Longitudinal, por lo que la señal se desplaza en la misma dirección en que oscilan las partículas.
Al tratarse de una Onda longitudinal en la cual la señal se desplaza en la misma dirección en que oscilan las partículas, y de acuerdo a como se han definido los ejes el movimiento siempre será en dirección del vector eˆ1 . La velocidad de fase
vl
representa la velocidad a la cual la alteración senoidal de longitud de onda
l
se mueve en
dirección eˆ1 , de tal forma que todas las partículas se mueven en fase.
Figura 6.24 Como el movimiento de las partículas es paralelo a la dirección de propagación de la onda se trata de una onda longitudinal.
dx1 vl dt Los componentes de la deformación son:
11
u1 2 a 2 cos x1 vl t x1 l l
22 33 12 23 31 0 ii 11 eˆ 11 11 211 2
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u1 x1 232
Mecánica del Medio Continuo
22 33 11
u1 x1
12 23 31 0
Sustituyendo en la ecuación de Navier:
2 ui 2 ui e 0 2 Bi xi x j x j t Despreciando las fuerzas de cuerpo:
2u1 2u1 2u1 2u1 e 0 2 2 2 2 t x1 x2 x3 x1 2u 2u 2u 0 21 21 21 t x1 x1 2u1 2 2 2 asen x1 vl t 2 t t l 2 2 avl cos x1 vl t t l l 2u1 2 2 a vl sen x1 vl t 2 t l l 2
2u1 2 a 2 x1 x1 l
2 x1 Vl t cos l
2u1 2 2 a x1 Vl t sen 2 x1 l l 2
Sustituyendo en la ecuación de Navier:
2 2 v 2 2 0 a l sen x1 vl t 2 a sen x1 vl t l l l l 2
2
0vl2 2 Es por consecuencia que la velocidad de movimiento de una onda elástica a través de un sólido se puede considerar también como una constante elástica y está dada por:
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233
Mecánica del Medio Continuo
2 vl 0 Presentando la ecuación anterior en la forma
1
2
vl vl E , , 0 , para lo que se sustituye
E E , se tiene entonces que: ; (1 2 ) 1 2 1 E E 1 1 2 2 2 1 vl 0
1
2
Si se considera que el coeficiente de Poisson para sólido elástico, isotrópico es del orden de 1 , entonces:
3
3E vl 2 0
1
2
Por lo que será posible determinar en forma aproximada el módulo de elasticidad a partir de conocer la velocidad de desplazamiento de una señal acústica a través de material. Para esta onda los componentes del tensor de rotación
wij
1 u i u j 2 x j xi
wij 0
Quedan:
Por lo tanto la onda se define como irrotacional. Por otra parte u
11 0 , por lo que el volumen cambia armónicamente con: e u 11
u1 2 a 2 cos x1 vl t x1 l l
Es por consecuencia que la onda se denomina como dilatacional
De todo lo expuesto resulta evidente que la velocidad de propagación de ondas en el sólido elástico depende de las propiedades de éste, y no de las características de la señal (longitud de onda).
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234
Mecánica del Medio Continuo
6.7.2 Onda plana de equivolumen En virtud de que para el análisis se partió de la consideración de superposición de efectos se procederá ahora al análisis de una señal transversal, por lo que:
u1 0 u2 a sen
2 x1 vT t l
u3 0
Resulta evidente que la señal tendrá la misma amplitud y longitud de onda que la señal longitudinal, definiendo a su velocidad de propagación como
vt , ésta se propaga tanto en dirección de e2
como de
e3 , sin embargo, de
nuevo considerando el principio de superposición se tratará como una una onda transversal cuyo movimiento es paralelo a
e2 , por lo que:
1 u1 u3 0 2 x3 x1
13
1 u2 u3 0 2 x3 x2
23
1 u
u
12 21 1 2 0 2 x2 x1
11 22 33
ui ii e 0 xi
13 31 23 32 0 Como consecuencia de lo expuesto se tiene que la onda transversal es una señal que solo genera esfuerzos de corte y se caracteriza por su invariabilidad del volumen.
1 u 1 2 12 2 2 x1 2 l Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
2 a cos x1 vt t l 235
Mecánica del Medio Continuo
2 l
12 a
2 cos x1 vt t l
Sustituyendo en la ecuación de Navier
2 2u 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 u2 t 2 3 1
0
2
2u 2u 0 22 22 t x1 2u2 2 a t 2 t l
2 vt cos x1 vt t l
2 2u2 2 vt 2 a sen x v t 1 t t 2 l l
2 u2 2 a 2 x1 x1 l
2 cos x1 vt t l
2 2u2 2 2 a sen x1 vt t 2 x1 l l
2 2 2 2 vt 2 2 0 a x1 vt t a sen x1 vt t sen l l L l
0vT vt 0
1
2
Por consecuencia se tiene que la onda transversal ó de corte representa también una constante elástica. Por último es conveniente analizar la relación existente entre la velocidad de la onda longitudinal con la de la onda transversal: 1
2 2 vl 0 1 vt 2 0 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
236
Mecánica del Medio Continuo
vl 2 vt 2
Dado que la primer constante de Lamê se puede relacionar:
2 1 2
Por lo tanto
2 2 1 2
2 2 1 2
v l vt
2
2 2 4 vl 1 2 vt
2
1 1 2 v 2 2 1 1 l 1 2 1 2 1 2 vt
2
1 2
Por lo tanto
vl 1 1 vt 1 2
1
2
Se concluye entonces que la relación entre la velocidad longitudinal y transversal de la onda elástica depende exclusivamente de el coeficiente de Poisson. Solo para una deformación plástica el coeficiente de Poisson alcanza el valor de un medio, mientras que para cualquier deformación elástica este cociente será del orden de 1 , por lo que en cualquier deformación elástica
6.8
vl vt
3
Elasticidad no lineal
En materiales como hules y algunos termoplásticos se presentan comportamientos muy diferentes que en los metales (figura 6.25), ya que su comportamiento en el rango elástico es no lineal, además de caracterizarse por presentar grandes deformaciones (deformaciones finitas). Mientras que en los metales el rango elástico es inferior, en general, al 0.1%, los elastómeros alcanzan en ocasiones rangos elásticos hasta del 100%.
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237
Mecánica del Medio Continuo
Figura 6.25 Diferencia en el comportamiento entre un metal y un hule en un ensayo de tracción
La razón del comportamiento no lineal del hule ésta en su estructura molecular, en la cual pueden presentarse rotaciones o reordenamientos que modifiquen el comportamiento del material. Dado el número de posibles acomodos (orientaciones) relativos a los ángulos del enlace con respecto a la cadena, las ecuaciones de elasticidad para estos materiales se derivan a partir de conceptos de termodinámica estadística.
En los metales la estructura cristalina permanece inalterada cuando el material es deformado elásticamente (deformaciones finitas), los átomos se mueven a posiciones cercanas o adyacentes a las de equilibrio, dando lugar a una fuerza restauradora, y a partir de la ecuación de Helmholtz se determina la fuerza generada al estirar el material en forma uniaxial.
f
, V
a
Donde f es la fuerza, la longitud, y V representan un proceso que se efectúa a temperatura y volumen constante.
Como la energía libre ( ) es:
u
b
donde representa la entropía, entonces: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
238
Mecánica del Medio Continuo
f
u
c
El segundo término de la ecuación (c) no contribuye a la carga si el ordenamiento atómico permanece inalterado. Para un hule ideal, la energía interna no cambia con un incremento de longitud, razón por la que la primera parte de la ecuación (c) será igual a cero, entonces como resultado la variación de la entropía será negativa cuando la longitud se incrementa, esto se traduce a un reordenamiento de la estructura.
Ejercicios Resueltos
6.1 En la figura 6.26 se presenta la distorsión generada por una dislocación de tornillo (hélice) en un cristal. Considerando que los desplazamientos productos de la dislocación son:
u1=0,
u3
u2=0,
u3=f()=
b 2
b x arc tan g 2 x1 2
Figura 6.26 Descripción esquemática de una dislocación helicoidal
Donde el vector de burgers de la dislocación b tiene una magnitud b y es paralelo al eje x3. Con base en lo antes expuesto y considerando que se trata de un sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico, determine: a)
Tensor de deformaciones asociado
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239
Mecánica del Medio Continuo b) Tensor de esfuerzos asociado c) ¿Cuál es el cambio del volumen asociado a la presencia de la dislocación de tornillo? d) ¿Cuál será la rapidez de variación de volumen asociado a la condición antes expuesta? e) Considerando que la teoría de medios continuos se puede aplicar a partir de un radio r 0 y hasta el radio del cristal R, determine la energía de deformación elástica asociada a la dislocación. f) Explique usted que sucederá con respecto al estado de esfuerzos y a la energía involucrada, si el material no es isotrópico. g) Despreciando el efecto de las fuerzas de cuerpo ¿existirá equilibrio? h) Considerando que los esfuerzos normales sobre las paredes laterales del elemento deben ser igual a cero y que el esfuerzo axial debe ser diferente de cero, ¿el modelo propuesto cumple con estas condiciones?
Solución:
du d tan u dx 2 dx 1 u u1 u1 0 0 x1 x2
u1 0 x3
u2 0 x1
u2 0 x3
1
u2 0 x2 x2 x12
x2 u3 x12 x 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x1 x2 x 1 2 2 x1 x1 1 1 u3 x1 x x 2 1 2 2 1 2 2 x1 x2 x1 x2 x2 x 1 2 x12 x1 u3 0 x3
0 ij 0 x2
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0 0 x1
x2 b x1 4 x12 x22 0
240
Mecánica del Medio Continuo
0 x2 0 b ij 0 0 x1 2 x 2 x22 x2 x1 0 1 kk 0 El cambio de volumen es igual a cero. kk 0 La rapidez de var iación del volumen es igual a cero. 1 1 WV ij ij 1313 23 23 31 31 32 32 2 2 2 2 x2 b x12b 2 WV 2 2 8 2 x12 x22 8 2 x12 x22 l 2 R
WT
8
0 0 r0
WT V
x12 x22 b 2 2
x12 x22
2
dzrd dr
b2 r 2 2 l b 2 dr dzrd dr 8 2 r 4 8 2 r0 r R
WT
b 2l R ln 4 r0
Se modifica el estado de esfuerzos y deformaciones, así como la energía involucrada.
ij x j
0;
11 12 13 0 Se cumple eje x1 x1 x2 x3 21 22 23 0 Se cumple eje x2 x1 x2 x3 31 32 33 0 Se cumple eje x3 x1 x2 x3
2 x1 x2 b 2 x1 x2 0 0 Se cumple eje x3 2 2 2 2 2 x x x x 2 2 2 1 2 1
Los esfuerzos normales en las paredes laterales son igual a cero Superficie lateral Vector unitario n
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1 x1e1 x2e2 0e3 a 241
Mecánica del Medio Continuo
0 13 x1 0 0 bx2 x1 bx1 x2 1 0 1 0 23 x2 0 0 2 2 a a 2 a x1 x2 2 a x12 x22 31 32 0 0 31 x1 31 x2 Cargas en el plano
0e1 0e2 e3
0 13 0 0 0 0 23 0 13e1 23e2 0e3 31 32 0 1
6.2 El estado de esfuerzos en un cuerpo está dado por ij
x 22 x1 ij 2 x13 x2 x12 0
2 x13 x 2 x12 2 2 1
3x x 0
0 0 33
Si dicho estado de esfuerzos provoca una deformación biaxial, determine a) El valor de 33 Considerando que las fuerzas de cuerpo se expresan como: Bi B1e1 B2e2 B3e3 b) ¿Existirá equilibrio cuando
Bi 0ei ?
c) En caso de no existir equilibrio ¿Cuál es la aceleración en función de la posición y de las propiedades del material? Considere que la densidad está dada por . d) Para Xi (1,1,1) ) determine las deformaciones y esfuerzos principales. Considere que el material presenta un coeficiente de Poisson y Módulo de rigidez al corte
. El material es sólido, elástico, homogéneo, lineal e
isotrópico con 1 .
3
Solución:
Deformación elástica
33 11 22 4 x22 x1
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242
Mecánica del Medio Continuo B 0
x
2 2
condición de equilibrio
x B1 0 2 1
no existe equilibrio, para B1
2 2 x x2 1
6 x12 2 x22 x1 6 x2 x1 0 no existe equilibrio, para B2
6 x 2 4 x1 x2 1
B3 0
1 1,1,1 1 0 3.41 0 0
0 0 4 3
1 3 0
0 1.33 0 0 0.58 0
6.3. Considere un medio elástico, homogéneo, lineal e isotrópico en el cual se presenta el siguiente campo de desplazamientos.
u3 sen x3 ct sen x3 ct
u1 u2 0 ¿Cuál es la naturaleza de la onda elástica que describe el campo de desplazamientos? Longitudinal o transversal, Irrotacional o Isovolumen. ¿Cuál es la dirección de propagación? Determine el campo de deformaciones asociado Determine el campo de esfuerzos asociado ¿Bajo que condiciones la ecuación de movimiento (Navier) es satisfecha cuando se desprecian las fuerzas de cuerpo. Si para la frontera x3=0, ésta se encuentra libre de solicitaciones, entonces bajo que condiciones la ecuación de movimiento satisface las condiciones de frontera para cualquier tiempo. Solución: 0 0 0 ij 0 0 0 0 0 33
u u
T
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Irrotacional
243
Mecánica del Medio Continuo
ij kk ij 2 ij 0 ij 0 0 0 Recordando que 33 2u 23 x3 t
u3 0 x 2 3 0
2u3 2u3 2 2 2 x3 t
2 2 sen x3 ct sen x3 ct
c sen x3 ct sen x3 ct 2
2 c
2
2 c
1
2
c= velocidad de la onda elástica
u3 cos x3 ct sen x3 ct x3 Para que los esfuerzos sean igual a cero se requiere que u3 0 cos ct cos ct 0 x3 x 0 3
1 6.4 Las funciones de Airy de Esfuerzos se emplean para describir el estado de esfuerzos para condiciones de deformación plana, de tal forma que los esfuerzos asociados se determinan como: 2 2 2 11 2 , 12 , 22 2 x2 x1x2 x1 Si la función de esfuerzos de Airy para un cierto estado de solicitaciones se describe como: x1 x23 x1 x2 a).- ¿Será factible dicha descripción? 4 4 4 Se debe cumplir que: 4 4 2 2 2 0 x1 x2 x1 x2 b).- Determine el estado de esfuerzos asociado a una deformación plana. c).- Determine los valores de y dado que la función de Airy ( ) describe la deformación de una viga en cantiliver de acuerdo con la siguiente figura.
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244
Mecánica del Medio Continuo
Solución Para un estado de deformación plana 11 12 ij 21 22 0 0 Ecuación constitutiva (SEHLI)
ij
0 11 12 0 0 ij 21 22 0 0 0 0 33
ij kk ij 2 ij
1 ij 1 kk ij 2 1 33 11 22
Como la deformación es plana, entonces ui u1 x1 , x2
ij x1 , x2 Recordando que:
11 12 0, x1 x2
ij x1 , x2
21 22 0 x1 x2
2 2 22 0 2 2 11 x1 x2 La solución del sistema se expresa a través de una función escalar de la forma x1 , x2
Función de Airy, de tal forma que: 11
2 2 ; ; 22 x22 x12
12
2 x1x2
se debe cumplir que 4 0 4 4 2 2 0 x14 x24 x12x22 Sustituyendo se observa que se cumple con lo antes expuesto Por tanto, si reúne las características para ser una función de Airy.
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245
Mecánica del Medio Continuo
11
2 2 6 x x ; 0; 1 2 22 x22 x12
6 x1 x2 ij 3 x22 0
3 x22 0 0
12
2 3 x22 x1x2
0 6Vx1 x2 0
Diagrama de momentos Viga sometida un momento de flexión
x x fx x Mx 41 2 12 1 4 2 I 33 h h 12
Mf fx1
11 6
f A
12 f 6f ó 3 4 4 h h
12
f h2
Por otra parte 6f 2 f x2 2 4 h h
12 3 x22 6 fx22 f 2 4 h h
6.4 La ecuación constitutiva para un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico es de la forma: ij kk ij 2 ij Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
246
Mecánica del Medio Continuo
a partir de lo anterior demuestre que una forma equivalente de la misma es:
ij
1 ij 1 kk ij 2 1 donde 2
Solución: De la ecuación constitutiva
ij Recordando que:
kk
1 ij kkij ........................ i 2
ii 3 2
Sustituyendo kk en ec. (i)
ij Como
1 kk ij ........................ ii ij 2 3 2
, entonces 2
2 1 2
Sustituyendo en la ec. (ii)
2 1 2 1 ij ij kk ij ........................ iii 6 2 4 2 1 2 1 2
ij
1 ij kk ij 2 1
ij
1 ij 1 kk ij 2 1
6.5 Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, presenta un módulo de elasticidad de 72 GPa y un coeficiente de Poisson de 0.33.
Una pieza del material anterior es sometida a una serie de solicitaciones, las cuales provocan en un punto del cuerpo una distorsión ésta se puede representar mediante el tensor eij.
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247
Mecánica del Medio Continuo
4 1 2 eij 1 4 3 x 10-3 m/m 2 3 9
En base a lo anterior y considerando que la deformación esta dentro del rango elástico, determine:
a) b) c) d) e) f) g) h)
Tensor de deformación y rotación asociado. Vector de rotación. Cómo se puede definir al flujo con base a este dato Deformaciones principales Tensor de esfuerzos asociado Esfuerzos principales Desviador de esfuerzos Esfuerzos principales asociados al desviador Energía por unidad de volumen asociada a la deformación elástica.
Solución:
ij eij ijp
wij 0
i 0eˆi
0 4.5 0 0 3 0 x103 0 0 10.5
E 72 GPa
13
ii 9 x103
E E 3E 3 54 GPa 1 1 2 4 1 4 3 3 E 2 1
E E 3E 27 GPa 2 1 4 8 2 3
ij kk ij 2 ij 270 54 108 ij 54 702 162 MPa 108 162 972
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248
Mecánica del Medio Continuo
0 0 240 ijp 0 649 0 MPa 0 0 1055.2 ijH 648 MPa 378 54 108 Sij 54 57 162 MPa 108 162 324 0 408 0 Sijp 0 1 0 MPa 0 0 407
1 W ij ij 5973.3 KJ / m3 2
6.6 Para un sistema biaxial de deformación defina el tensor de esfuerzos y el de deformación característicos. Desarrolle el sistema de ecuaciones diferenciales que es necesario resolver para determinar los esfuerzos. ¿Cuántas incógnitas se tienen? , ¿Cuáles son éstas? ¿Qué condiciones se deberán cumplir para que el estado de deformación se pueda definir como biaxial?, ¿Cómo queda el campo de desplazamientos?
Solución: Condición Biaxial de deformación. Número de incógnitas = 3
11 12 ij 21 22 0 0
0 0 0
11 , 22 , 12
Estado de Esfuerzos asociado Número de incógnitas
11 12 0 ij 21 22 0 0 0 33
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11 , 22 , 12
249
Mecánica del Medio Continuo
33 0
1 33 11 22 2 1
33 11 22 11 12 0 x1 x 2
21 22 0 x1 x 2 33 0 x3
El campo de desplazamientos u1 f1 x1 , x2 eˆ1 f 2 x1 , x2 eˆ2 0eˆ3
2 11 22 0 Se cumple que x3 x1 , x2
6.7 Un plano octaédrico es aquel que está igualmente inclinado con los ejes principales asociados al sistema. (a) Demuestre que el esfuerzo normal en un plano octaédrico está dado por:
oct
I 1 3
(b) Demuestre que el esfuerzo de corte en el plano octaédrico esta dado por:
1 3
Oct (( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 1 3 )2 )
1
2
Donde σ1, σ2, σ3 son los esfuerzos principales
Solución:
nj
ij
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p
1 eˆ1 eˆ2 eˆ3 3
1 0 0 2 0 0
0 0 3
250
Mecánica del Medio Continuo
ti ij n j 0 1 1 0 1 t i 0 2 0 1 0 0 1 3 3
ti
1 3
eˆ1
t N ti ni N
2 3
eˆ2
3 3
1 2 3
3
eˆ3
3 3
1 1 2 3 I1 oct 3 3
2 N2 oct 2
2 oct N2 2
1 2 1 1 22 32 12 22 32 2 1 2 2 2 3 2 3 1 3 9
2 2 1 22 32 1 2 2 3 3 1 9
1 2 2 12 22 2 1 2 2 3 2 2 32 2 2 3
3 1 2 32 12 2 3 1 2 12 2 22 2 32 2 1 2 2 2 3 2 3 1
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251
Mecánica del Medio Continuo
1 2 2 2 2 oct 1 2 2 3 3 1 9
oct
6.8
1 1 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3
El estado de esfuerzos en un punto de un medio continuo está dado por:
2 ij
MPa
a) Determine los valores de las constantes , y de tal forma que el vector de esfuerzos en el plano octaédrico (igualmente inclinado con relación a los ejes) no exista. b) ¿Cuál será el esfuerzo normal y esfuerzos de corte asociados a dicho plano? c) ¿Cuál será la magnitud de la deformación hidrostática asociada al punto bajo análisis? d) Si el material es sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico, determine el tensor de deformaciones asociado. e) ¿En qué magnitud difieren los esfuerzos principales asociados al tensor y desviador de esfuerzos correspondiente? f) Considerando lo definido en el inciso (a), determine los esfuerzos principales en el punto bajo análisis. g) Bajo la consideración del inciso (a), determine las deformaciones principales en el punto bajo análisis. Solución:
2 ij
1 1
0 2 t i 0 0
en el plano octaedrico no existe.
1 1 1 1 3 1 1
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a , , , tales que vector de esfuerzos
252
Mecánica del Medio Continuo
1 o´ 1 1 2 1 1 0 4 2 0 2 1
2 0
1 0 1 0
(c)
c
d
oct oct 0
kk
H
k 0 kk 0
ij ?
SEHLI Ecuacion Constituti va
ij
1 ij 1 kk ij 2 1
2 1 1 ij 1 1 2 MPa 1 2 1
11
1 11 22 33 2 2 2 1 2 1
11
22
1 22 11 33 1 2 1 2 1
22
2
33
1 33 11 22 1 2 1 2 1
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253
Mecánica del Medio Continuo
33
2
13
13 2 2
12
1 1 ij 2 1 2
12 2 2 23
1 2 1 2 1
23 2 2 2
1 2 1 1 2
e ij ij H ij dado que H 0
f
2 1 1 ij 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1
ij ij
ij p
2
ij 1 1 2
3 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0
ij p
0 0 0 0 3
0 0 2
6.9 Para resolver un sistema biaxial de deformaciones es necesario determinar 11 , 22 , 12 , esto a partir de la solución simultanea de las tres ecuaciones diferenciales características del sistema:
21 22 0 x1 x 2
11 12 0, x1 x 2
2 2 2 2 11 22 0 x1 x2
Para este caso la solución se expresa a través de una función de Airy (), en este caso los esfuerzos se definen como:
11
2 x22
22
2 x1 2
12
2 x1x2
Con base en lo anterior demuestre que () representa una función de esfuerzos de Airy
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254
Mecánica del Medio Continuo
x x3 P 3F x1 x2 1 22 x22 4c 3c 4c
Con base en lo anterior defina el estado de esfuerzos y de deformación asociado al caso bajo análisis. Considere que el material se comporta como un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, con constantes elásticas E, , , , k . Nota: La función “” antes indicada se emplea para describir el comportamiento de una viga sometida a flexión, a la cual se le aplica una carga longitudinal P.
Solución:
xi , t 11
2 ; x22
Función de Airy tal que :
22
2 2 ; 12 x12 x1x2
x1 x23 P 2 3F donde x2 x1 x2 2 4C 3C 4C se debe cumplir que 11 12 0 x1 x2
21 22 0 x1 x2
2 2 2 2 11 22 0 x1 x1
x23 3F x 2 x1 4C 3C 2 2 0 22 x12
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255
Mecánica del Medio Continuo
3x1 x22 2 P 3F x x2 1 x2 4C 3C 2 4C 2 3F 2 x1 x2 P 11 x22 4C C 2 2C 2 x22 2 3F 3F x2 1 1 2 12 x1x2 4C C 4C C
11 12 6 F x2 6 Fx2 0 0 se cumple x1 x2 4C C 2 4C 3 21 22 0 x1 x2
000
se cumple
2 11 2 22 2 11 2 22 0 x12 x12 x22 x12 0000 0
0 0 se cumple
representa una función de esfuerzos 2 6F P 3 F x2 1 0 3 x1 x2 2C 4 C C 4C 2 3 F x2 ij 1 0 0 4 C C P 6F 0 0 3 x1 x2 2C 4C 33 11 22 como 22 0 33 11
ij
1 ij 1 kk ij 2 1
11
1 11 22 33 E
22 0 33 11 11 11
11 E
1 11 2 11 E
1 2 1 1 1 2 1 2
11
11
1 22 11 33 22 0, 33 1 E 1 11 1 22 0 11 33 11 2 11 , 12 11 E E 2 1 2 2
22
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256
Mecánica del Medio Continuo 2 6F P 3 F x2 1 1 0 3 x1 x2 2C 4 C C 4C 2 1 3 F x2 P 6F ij 3 x1 x2 1 0 2 4 C C 2C 4C 0 0 0
6.10 Un sólido es sometido a una serie de solicitaciones en su rango elástico de tal forma que se han obtenido los siguientes resultados al aplicar solicitaciones en diferentes direcciones:
a) Prueba # 1 Carga uniaxial a tracción aplicada a lo largo del eje x1 (longitudinal) Esfuerzo resultante = 100 MPa Deformación longitudinal = 1x 103 Deformación transversal en los ejes x2 , x3 3.2 x104 No se presentaron deformaciones a corte
b) Prueba # 2 Carga uniaxial a compresión a lo largo del eje x2 Esfuerzo resultante = 250 MPa Deformación longitudinal = 2.5x103 Deformación transversal en los ejes x1 , x3 8x104 No se presentaron deformaciones a corte
c) Prueba # 3 Ensayo de torsión. El momento torsionante es aplicada a una barra de sección circular cuyo eje longitudinal es x1 . Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
257
Mecánica del Medio Continuo En este caso la deformación a corte en el plano x1 x2 5.28x104 Con base en lo antes expuesto indique: a) b) c)
Tipo de comportamiento característico (Isotrópico, transversalmente isotrópico, ortotrópico, etc.). Justifique su respuesta. Determine los estados de esfuerzos y deformaciones que se describen para las pruebas 1 y 2. Calcule la constantes elásticas factibles de determinar a través de los datos presentados.
Solución:
Prueba #1
Prueba #2 22 250 MPa
11 100 MPa
Ensayo de Torsión
22 2.5 x103
11 1x103 22 33 31 3.2 x10
Prueba #3
11 33 8 x104 12 23 31 0
4
Corte puro
12 5.28 x104
No existe deformación de corte cuando los esfuerzos son normales, ni deformación normal cuando los esfuerzos son de corte, por lo tanto se descarta que se trata de un sólido elástico Monotrópico, entonces solo se puede tratar de: (SEHLI) Sólido Elástico Isotrópico (SEHLTI) Sólido Elástico Transversalmente Isotrópico (SEHLO) Sólido Elástico Ortotrópico. En el caso más general SEHLO la ecuación constitutiva permite describir las siguientes relaciones.
11
Para el ensayo #1 se reduce a:
11
11 E1
11 21 22 31 33 E1
E1
E2
E3
11 100 MPa 100 GPa 11 103
Por otra parte
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258
Mecánica del Medio Continuo
22
12 11 22 32
E1
E2
E3
Se reduce a :
22
3.2 x10 100 x10 0.32 E 12 22 1 11 100 x106 4
12 11
E1
7
Por otra parte:
33
13 11 23 22
E1
E2
33
E3
Lo que se reduce a :
33
13 11 E1
Para el ensayo #2 Prueba de compresión
11
11
E1
E1
13
33 E1 0.32 11
11 100 MPa 100 GPa 11 103
Por otra parte
22
12 11 22 32
E1
E2
E3
Se reduce a :
22
22 E2
2.5 x108 E2 2.5 x103
T l
23
E2 1x1011 100 x109 100 GPa
21
8 x104 0.32 2.5 x103
8 x104 0.32 2.5 x103
De todo lo anterior se constata que se trata de un Sólido elástico homogéneo, lineal e isotrópico
12 E2
23 E3
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21
32
E1 E2
13
E3
E3
v31 E E3 1 13 E1 31
23 E 32 2
259
Mecánica del Medio Continuo
6.11 Para el caso de un medio continuo cuyo comportamiento se puede describir como el de un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, el cual es sometido a deformaciones infinitesimales desarrolle una expresión (ecuación diferencial) que describa el comportamiento en función de los desplazamientos (ui), de las propiedades elásticas (E, k, ) y de la densidad (). Dado que las deformaciones son muy pequeñas se puede considerar que:
Dvi D 2 u i , por otra parte Dt Dt 2
(t ) 0 . Para el desarrollo de la función tome como base la ecuación de Cauchy.
Solución Ecuación de Cauchy
ij
i
x j
Dvi Dt
Para desplazamientos infinitesimales:
Dvi 2ui ˆ Dt t 2
t ˆ 0 ij
2 ui 0 i 0 2 x j t
Entonces
Dado que se trata de un sólido, elástico Ecuación Constitutiva
ij kk ij 2 ij En general
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1 u
u
ij i j 2 x j xi
2u e u 0 B 0 2 t
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kk u
Ecuación de Navier (teoría Infinitesimal de la Elasticidad)
260
Mecánica del Medio Continuo
6.13 Considere un medio elástico, homogéneo, lineal e isotrópico en el cual se presenta el siguiente campo de desplazamientos.
u3 sen x3 ct sen x3 ct u1 u2 0 ¿Cuál es la naturaleza de la onda elástica que describe el campo de desplazamientos? Longitudinal o transversal, Irrotacional o Isovolumen. ¿Cuál es la dirección de propagación? Determine el campo de deformaciones asociado Determine el campo de esfuerzos asociado ¿Bajo que condiciones la ecuación de movimiento (Navier) es satisfecha cuando se desprecian las fuerzas de cuerpo. Si para la frontera x3=0, ésta se encuentra libre de solicitaciones, entonces bajo que condiciones la ecuación de movimiento satisface las condiciones de frontera para cualquier tiempo. Solución: Se trata de una onda elástica Longitudinal e Irrotacional Se propaga en dirección del eje x3
ij kk ij 2 ij 0 0 0 0 0 ij 0 0 0 ij 0 0 0 0 2 0 0 u3 x3 2u3 33 33 2 2 x3 x3 x3 Considerando que se desprecian las fuerzas de cuerpo 0 , esto es que existirá equilibrio cuando 2u3 0 x32
2 sen x3 ct 2 sen x3 ct 0 sen x3 ct sen x3 ct 0
Cuando
u3 0 x3
6.14 Una viga de sección circular es sujeta a una combinación de solicitaciones de tal forma que se aplica un momento flexionante que es de 28000 N-m, además de una carga de tracción a lo largo del eje longitudinal de 10000 N. Si el límite elástico del material es de 124 MPa (esfuerzo máximo de diseño). Determine cual deberá ser el diámetro mínimo de la barra.
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261
Mecánica del Medio Continuo
Solución:
Mf 28000 N m f 10000 N
0 124 MPa min ? Al tratarse de fenómenos lineales si se puede realizar superposición de esfuerzos
1 I 33 r 4 4 Mx 4 Mr 11 I r4 f 11 2 r
f 0 r2 ij 0 0 0 0 Esfuerzo Total
4 r r4 ij 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
T
4M 2 f r r3 ij 0 0
0 0 0 0 0 0
Los esfuerzos principales serán:
2 3 0 1
f 4M fr 4M 3 2 r r r3
Para que no exista cadencia el esfuerzo aplicado será menor que el de fluencia.
r3
fr
0
4M
0
0
0 r 3 fr 4M r 3 2.56 x105 r 2.87 x104 0 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
262
Mecánica del Medio Continuo
Raices : r1 3.3x102 5.7 x102 i r1 3.3x102 5.7 x102 i r3 6.6 x102 m El radio mínimo de la barra de sección circular que soporte las solicitaciones es de:
r3 6.6 x102 m
PROBLEMAS PROPUESTOS
6.15 La ecuación constitutiva de un sólido, elástico, homogéneo, lineal e isotrópico se expresa como: 1 ij ij 1 kk ij 2 1 donde:
- deformación - esfuerzo - Módulo de Rigidez a corte (Representa la relación del esfuerzo de corte a la deformación angular) - Coeficiente de Poisson
T (Representa la relación de la deformación transversal a la l
longitudinal)
Con base a lo anterior desarrolle las ecuaciones representadas a través de la notación índice. En el rango elástico la relación esfuerzo deformación es lineal y la energía de deformación se expresa como:
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263
Mecánica del Medio Continuo
dw ij d ij Considerando lo antes expuesto determine la expresión, en notación índice que representa el trabajo de deformación elástica.
6.16. Un cuerpo es sometido a una serie de solicitaciones que provoca la distorsión del mismo, situación que se puede representar con el tensor eij . Con esta base defina los tensores de deformación ( ij ) y de rotación ( ij ). Por otra parte determine las deformaciones y esfuerzos principales considerando que el material presenta un módulo de elasticidad de 200 GPa y un coeficiente de Poisson de ( 1 / 3 ), es homogéneo e isotrópico y las deformaciones son elásticas. Determine el estado de esfuerzos correspondientes.
25 10 12 eij 2 8 15 103 m m 9 7 10
6.17. La distribución de esfuerzos en un cuerpo está dada por ij. Con base en lo anterior: a). Considerando que la deformación es biaxial determine el valor de 33. El coeficiente de Poisson es igual a 1/3. b). Para el elemento diferencial ubicado Xi (2,2,1) determine el estado de deformaciones, así como los valores principales de los esfuerzos y las deformaciones. Considere que el material presenta un coeficiente de Poisson y módulo de rigidez a corte .
x1 x2 ij 2 x1 x2 0
2 x1 x2 x1 3x2 0
0 0 33
6.18 Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico, presenta un módulo de elasticidad de 72 Gpa y un módulo de Poisson de 0.33. Una pieza del material anterior es sometida a una serie de solicitaciones, las cuales provocan en un punto del cuerpo una distorsión ésta se puede representar mediante el tensor eij.
6 2 5 eij = 4 4 3 x 10-3 m/m 7 10 8 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
264
Mecánica del Medio Continuo En base a lo anterior y considerando que la deformación esta dentro del rango elástico, determine el estado de esfuerzos en el punto.
6.19. Determine el número de constantes elásticas linealmente independientes que existen para un material monotrópico
6.20. Aplicando la teoría de medios continuos se puede comprobar que el estado de deformaciones asociado a una dislocación de hélice, se puede expresar como:
ij
bx2 4 ( x12 x22 ) bx1 4 ( x12 x22 )
0
0
0
0
bx2 4 ( x12 x22 )
bx1 4 ( x12 x22 )
0
donde el vector de Burgers de la dislocación “ b ” tiene una magnitud “b” y es paralelo al eje x3. Considerando que se trata de un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico se cumplirá entonces con:
ij e ij 2 ij ,
donde , son constantes de Lame,
e=ii=11+22+33
en base a lo expuesto y partiendo de que no existen fuerzas de cuerpo, y que no hay aceleración en el cuerpo compruebe la existencia de equilibrio en el elemento
ij x j
Bi ai
Asimismo compruebe la existencia de un vector de desplazamientos u(u1, u2, u3) que da lugar a ij. Cuál será la variación de volumen que se asocia a la presencia de la dislocación para cualquier condición, asimismo cuál será la rapidez de variación del volumen asociada al estado de deformación descrito para la dislocación. Considerando que la deformación elástica está definida como
1 ( ij ij ) , y que la teoría de medios continuos se 2
puede aplicar a partir de un radio r0 y hasta el radio del cristal R, determine la energía de asociada a la dislocación. Asimismo determine los esfuerzos y deformaciones principales, máxima deformación y esfuerzos de corte. Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
265
Mecánica del Medio Continuo
6.21. El campo de desplazamiento asociado a un medio continuo está dado por (coordenadas rectangulares)
u1
bX 3 X 2 X1
u2
bX 1 X 3 X2
x1 X 2 X 3 ,
u3 X 3bSenX 2
X 2 X1 X3 Si el material es sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico, con un coeficiente de Poisson () y módulo de compresibilidad (k), determine: Tensor de esfuerzos. En ausencia de fuerzas de cuerpo, ¿el campo de esfuerzos estará en equilibrio? Campo de rapidez de deformación. Además se ha determinado que:
6.22
x2 aX1 ,
x3
El vector de desplazamientos de un material está dado por:
u ( x33e x1 x22 )eˆ1 (( x2 ln x1 )e x3 )eˆ2 (2 x12 x2 x2e x3 )eˆ3 Para el elemento diferencial ubicado originalmente en el punto x 0 (10,5,8) x10
3
m
Determine su deformación asociada así como su estado de esfuerzos, considerando que se trata de un sólido, elástico, homogéneo, e isotrópico con un módulo de elasticidad de 120 GPa y coeficiente de Poisson de 0.33.
6.23. Para un sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico se puede demostrar que solo existen 2 constantes elásticas linealmente independientes (constantes de Lame ). Razón por la cual la relación entre esfuerzo y deformación se expresa:
ij ii ij 2 ij Considerando que: El coeficiente de Poisson representa la relación de la deformación transversal (T) a la longitudinal (l)
T l
El cociente esfuerzo () deformación () en un ensayo de tracción definen al módulo de elasticidad (E)
E=/ Con base en lo antes expuesto demuestre que la ecuación constitutiva se puede expresar como: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
266
Mecánica del Medio Continuo
1 1 ij kk ij 2 1
ij y que:
11
1 11 22 33 E
22
1 22 11 33 E
33
1 33 11 22 E
12
12 , 23 23 , 31 31 2 2 2
6.24 Un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico presenta un módulo de elasticidad de 120 GPa y un coeficiente de Poisson de 1/3. Cuando al material se le aplica una fuerza f ( f 500eˆ1 250eˆ2 750eˆ3 ), ésta provoca en el elemento diferencial X=(5,1,2) una serie de desplazamientos cuyo gradiente valuado en X está dado por:
u X
6 3 8 5 9 2 x103 m / m 2 12 20
Con base en las deformaciones producidas por efectos de los desplazamientos, y considerando que éstas se encuentran en el rango elástico determine para el punto en cuestión: a) b) c) d)
Estado de deformaciones. Estado de esfuerzos. Cambio de volumen. Esfuerzo hidrostático.
6.25 Para resolver un sistema biaxial de deformaciones es necesario determinar 11 , 22 , 12 , esto a partir de la solución simultanea de las tres ecuaciones diferenciales características del sistema:
11 12 0, x1 x 2
21 22 0 x1 x 2
2 2 2 2 11 22 0 x1 x2
Para este caso la solución se expresa a través de una función de Airy (), en este caso los esfuerzos se definen como:
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267
Mecánica del Medio Continuo
11
2 x22
22
2 x1 2
12
x1 x 2
Con base en lo anterior demuestre que () representa una función de esfuerzos de Airy Con base en lo anterior defina el estado de esfuerzos y de deformación asociado.
x x3 P 3F x1 x2 1 22 x22 4c 3c 4c
Considere que el material se comporta como un sólido elástico homogéneo e isotrópico, con constantes elásticas E, , , , k . Nota: La función “” antes indicada se emplea para describir el comportamiento de una viga sometida a flexión, a la cual se le aplica una carga longitudinal.
6.26 Para una dislocación de borde se ha determinado la siguiente función de Airy.
Gb x2 ln x12 x22 2 (1 )
1 2
Con base a lo anterior determine el estado de esfuerzos y deformaciones correspondientes, asimismo compruebe la existencia de equilibrio. G- Módulo de rigidez a corte, - Coeficiente de Poisson, b- magnitud del vector de Burger asociado a la dislocación Si la energía asociada a la dislocación se puede expresar como U
1 ij ij . 2
Considerando que el material es isotrópico determine la energía asociada a la dislocación de borde.
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268
Mecánica del Medio Continuo 6.27 El estado de esfuerzos en un elemento “Xi” a un tiempo “t” está dado por:
0 0 16.18 ij 0 34.18 0 MPa 0 0 50
Si bajo otra base de referencia el estado se representa como: 0 16.18 0 ij ( X i , t ) 0 22 25 MPa 0 25 33
y se trata de un material sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico , determine el estado de deformaciones correspondiente a ij , así como su representación en ejes principales. Considere que
13 , E=200 GPa.
E
1 1 2
¿Cómo están orientados los ejes principales de deformación con relación a los principales de esfuerzos? Calcule la matriz de rotación 6.27 Desarrolle las relaciones que permiten determinar cualesquier constante elástica a partir de conocer dos de éstas. Esto para un sólido elástico, lineal homogéneo e isotrópico.
,
E,
,
E,
K,
E
k
6.28 Para una condición de deformación plana en un medio continuo se ha propuesto como solución la siguiente función de Airy:
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269
Mecánica del Medio Continuo
2 x14 12 x12 x22 6 x24 a) Determine el estado de esfuerzos asociado al medio continuo b) Si se trata de un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico determine el campo de deformaciones. c) ¿Existirá un vector de desplazamientos a través del cual se representa la deformación del sólido? d) Verifique la existencia de condiciones de equilibrio
6.29 El tensor de distorsión para un elemento de un bloque de hierro está dado por Uij.
6 6 8 U ij 9 9 15 x10 4 18 6 25
Las constantes de Lame del material (, ) son respectivamente 120, 73 Gpa. En base a lo anterior determine el tensor de deformación (ij), el de rotación (ij), el de esfuerzos (ij), (deformación elástica), el desviador esfuerzos, el esfuerzo efectivo, la deformación efectiva, los esfuerzos y deformaciones principales, la deformación volumétrica así como las restantes constantes elásticas (Módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson, constante de compresibilidad).
6.30 Determine si en ausencia de fuerzas de cuerpo el desviador de esfuerzos S ij cumple con condiciones de
equilibrio, asimismo determine si S33 x1 x2 .
2
2
x22 x12 x22 S ij 2x1 x2 0
2x1 x2
x x x 2 1
0
2 2
2 1
0 0 S 33
6.31 Para el estado de esfuerzos ij determine el valor de 33 que garantice que la deformación es biaxial. Considere que se trata de un proceso en el rango elástico y que el material es homogéneo, lineal e isotrópico, con constantes elásticas (constante de Lame), (módulo de rigidez a corte), (coeficiente de Poisson), k (constante de compresibilidad), E (módulo de elasticidad).
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270
Mecánica del Medio Continuo
x22 x12 x22 ij 2x1 x2 0
2x1 x2
x x x 2 1
2 2
2 1
0
0 0 33
6.32 En la figura se presenta la distorsión generada por una dislocación de tornillo (hélice) en un cristal.
i j
ij
Considerando que los desplazamientos productos de la dislocación son: u1=0,
u3=
b tang 1 2
u2=0,
u3=f()=
b 2
x2 x1
donde el vector de burgers de la dislocación “ b ” tiene una magnitud “b” y es paralelo al eje x3. Con base en lo antes expuesto y considerando que se trata de un sólido elástico homogéneo lineal e isotrópico, determine: e) Tensor de deformaciones asociado f) Tensor de esfuerzos asociado g) ¿Cuál es el cambio del volumen asociado a la presencia de la dislocación de tornillo? h) ¿Cuál será la rapidez de variación de volumen asociado a la condición antes expuesta? e) Considerando que la teoría de medios continuos se puede aplicar a partir de un radio r 0 y hasta el radio del cristal R, determine la energía de asociada a la dislocación. f) Explique usted que sucederá con respecto al estado de esfuerzos y a la energía involucrada, si el material no es isotrópico. g)
Despreciando el efecto de las fuerzas de cuerpo ¿existirá equilibrio?
h) Considerando que los esfuerzos normales sobre las paredes laterales del elemento deben ser igual a cero y que el esfuerzo axial debe ser diferente de cero, ¿el modelo propuesto cumple con estas condiciones?
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271
Mecánica del Medio Continuo
6.33 Una barra de sección circular de radio r y longitud l, es sometida a un momento torsionante M T, donde el eje x1 coincide con el eje del cilindro. El momento torsionante produce un pequeño ángulo de rotación definido por , donde = (x1), (la deformación es elástica). Considerando lo antes expuesto determine:
a. Estado de deformaciones asociado b Estado de esfuerzos c. Deformaciones principales d. Esfuerzos principales. e. Si el material de la barra se comporta frágil, qué ángulo describirá la superficie de fractura con el eje longitudinal. f. En donde se presentaran los esfuerzos máximos
6.34 Describa el estado de esfuerzos y deformaciones que corresponden a: Estado biaxial de esfuerzos Estado biaxial de deformaciones 6.35 Las ecuaciones de Navier se pueden expresar como: 2u 0 2 0 e div u t
En base a lo antes expuesto exprese las ecuaciones de Navier en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. 6.36
En
una
deformación
plástica
el
vector
desplazamiento
esta
dado
por:
u (2 x3 3x2 )eˆ1 (( x2 3x1 ))eˆ2 (2 x1 3x2 2 x2 )eˆ3 Para el elemento diferencial que originalmente se ubicaba en la posición (0.08,0.1,0.14) determine el estado de deformación asociado. Así como las deformaciones principales y la deformación máxima a corte. 6.37. Para una dislocación se ha determinado la siguiente función de Airy.
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272
Mecánica del Medio Continuo
1 Gb x2 ln x12 x22 2 2 (1 ) Con base a lo anterior determine el estado de esfuerzos y deformaciones correspondientes, asimismo compruebe la existencia de equilibrio. ij 0 x j G- Módulo de rigidez a corte, - Coeficiente de Poisson, b- magnitud del vector de Burger asociado a la dislocación 1 Si la energía asociada a la dislocación se puede expresar como U ij ij 2 Considerando que el material es isotrópico determine la energía asociada a la dislocación de borde.
6.38. Una barra es sometida a una serie de solicitaciones que provocan flexión en ésta. En el caso bajo estudio los momentos flexionantes (Mf) actúan en los extremos de la barra de acuerdo con lo indicado en la figura.
Considerando que solo existe momento con respecto a x2 determine el estado de esfuerzos y deformaciones en función de la posición (x3), momento flexionante (Mf) y momento de inercia (I22). Asimismo determine el ángulo definido entre los planos normal máximo y de máximo cortante, con respecto al eje x1. 6.39. Desarrolle las ecuaciones de la teoría infinitesimal de la elasticidad (Ecuaciones de Navier). Asimismo expréselas en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
6.40. Determine la relación existente entre el módulo de elasticidad y velocidad de ondas elástica longitudinales en un sólido de Hooke. 6.41 ¿Qué sucederá cuando en una barra de sección cilíndrica se aplican a la vez un momento torsionante y un momento flexionante 6.42 Determine la relación existente entre el módulo de elasticidad y velocidad de ondas elástica longitudinales en un sólido de Hooke. 6.43 Considere un medio elástico, homogéneo, lineal e isotrópico en el cual se presenta el siguiente campo de desplazamientos.
u2 sen x3 ct sen x3 ct
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273
Mecánica del Medio Continuo
u1 u3 0 ¿Cuál es la naturaleza de la onda elástica que describe el campo de desplazamientos? Longitudinal o transversal, Irrotacional o Isovolumen. ¿Cuál es la dirección de propagación? Determine el campo de deformaciones asociado Determine el campo de esfuerzos asociado ¿Bajo que condiciones la ecuación de movimiento (Navier) es satisfecha cuando se desprecian las fuerzas de cuerpo. Si para la frontera x3=0, ésta se encuentra libre de solicitaciones, entonces bajo que condiciones la ecuación de movimiento satisface las condiciones de frontera para cualquier tiempo.
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274
Mecánica del Medio Continuo
Capitulo 7 Fluidos Viscosos Newtonianos
7.1 Conceptos Generales.
En los sólidos tales como los metales se ha observado que su deformación es proporcional a las solicitaciones aplicadas, sin embargo medios como el agua y el aire presentan comportamientos muy diferentes; éstos no son capaces de soportar ni siquiera los esfuerzos de corte producto de su propio peso. Por ejemplo al aplicarse una solicitación a corte entre dos placas (figura 7.1) mientras que la solicitación permanezca el fluido continuará su deformación a corte. Queda claro entonces que cualquier fluido será incapaz de soportar solicitaciones de corte sin deformarse de manera permanente. Por otra parte al eliminarse la carga la deformación permanecerá.
Figura 7.1 Al aplicarse una solicitación tangencial a dos placas entre las que se encuentra un fluido, se presentará una deformación continua mientras que la solicitación permanezca. La velocidad de desplazamiento será proporcional a la solicitación aplicada.
Este efecto se manifiesta, en presencia de la gravedad, en el sentido de que un fluido como el agua tomará la forma del recipiente que la contiene, resultando imposible que mantenga ésta al retirar las paredes del recipiente. Con base en las condiciones de movimiento del fluido, se define a éste como un medio idealizado que durante su movimiento como cuerpo rígido (considerando el propio estado de reposo) es incapaz de soportar cualquier tipo de solicitaciones a corte. Por otra parte se tiene que para algunos casos se puede considerar que la densidad del fluido es constante. Esta situación aplica por ejemplo para el agua, la cual bajo condiciones de carga muy variadas se considera que su densidad no se altera (por lo tanto se describe como incompresible), por otra parte al aire, como todos los gases, se analizan bajo la premisa de que al variar la presión su densidad también se ve afectada. Sin embargo la descripción de compresibilidad o invariabilidad de la densidad en un fluido depende de las condiciones del estudio; por ejemplo el aire a bajo número de Match se le analiza como si se tratara de un fluido incompresible, por lo contrario cuando se estudia la propagación de ondas elásticas en el agua se describe a ésta como un fluido compresible.
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275
Mecánica del Medio Continuo En los fluidos se observa que la resistencia al flujo depende de la velocidad y por consecuencia de su velocidad de deformación, esto de manera análoga a lo que sucede en los sólidos con relación a su deformación. Análisis más detallados revelan que existen fluidos en los que la relación de las cargas aplicadas con la velocidad de deformación es lineal; tal como pasa en los sólidos de Hooke con la deformación. Por otra parte fluidos como la miel o la propia sangre no presentan relaciones lineales. Es entonces que se puede clasificar a los fluidos como:
a. Fluidos Newtoniano – Son aquellos en los que la relación esfuerzo de corte- velocidad de deformación
c
es lineal . A esta relación de proporcionalidad se le denomina como viscosidad, razón por la cual este tipo de fluidos se describen como Linealmente Viscosos.
b. Fluidos No Newtonianos – En este caso la relación es no lineal, presentándose fenómenos de almacenamiento de energía a la vez de los disipativos característicos de los fluidos, a este tipo de medios se les denomina como Fluidos Viscosos No Lineales c n ; n 1
Desde el punto de vista de la variación de su densidad se describen como: a) Fluidos Compresibles D
Dt
0
b) Fluidos Incompresibles D 0
Dt
v 0 u 0
Como ya ha sido mencionado un fluido es un medio idealizado, el cual en cualquier punto durante movimiento de cuerpo rígido o en reposo no es capaz de soportar esfuerzos de corte, por lo que bajo cualquier base que se analice el sistema el estado de esfuerzos siempre se presentará como:
0 11 0 ij 0 22 0 0 0 33
Esto debido a que el fluido en reposo ó en movimiento de cuerpo rígido no presenta ningún esfuerzo de corte, por otro lado partiendo de la misma lógica se tiene que para un elemento diferencial cualquiera en el seno del fluido al cortar este con cualquier plano solamente se presentaran esfuerzos normales, esto se expresa entonces como: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
276
Mecánica del Medio Continuo Para cualquier
n el esfuerzo en cualquier punto y para cualquier plano es normal al plano. Tn n
Considerando que el punto (elemento diferencial de fluido) es cortado por dos planos cualesquiera cuyas normales son
n1 , n2 , entonces se cumplirá que:
Tn1 1n1 Tn2 2 n2 ; como T T T
n1Tn2 n2Tn1 0 2 1 n1 n2 n1 n2 0
2 1 0 En otras palabras en todos los planos que pasan a través del punto no sólo no existen esfuerzos de corte, además todos los esfuerzos normales son iguales, a estos se les denomina como esfuerzos hidrostáticos y representan una componente esférica. Como los esfuerzos en el seno del fluido deben de ser compresivos entonces:
T pI
H p
ij p ij
p presión hidostática Donde al escalar
7.1
p representa la magnitud de los esfuerzos normales compresivos y por consecuencia se define
como presión hidrostática.
7.2 Fluidos Compresibles e Incompresibles
Como ya fue comentado en diversos fluidos como el agua al variar la presión aplicada su densidad se modifica en magnitudes tan pequeñas que se define a éstos como incompresibles, por lo cual se cumple con que: D , razón por la que la ecuación de conservación de la masa D
Dt notación índice
Dt
vi se reduce a 0 xi
v 0
0
, ó en
vi 0 . Un fluido, aún cuando se considere como incompresible no necesariamente deberá xi
presentar uniformidad espacial en la densidad, de ser así se considerará como homogéneo. La suposición de incompresibilidad resulta evidente que simplificaran el análisis y por consecuencia la solución de los problemas, simplemente es necesario en cada caso evaluar la conveniencia de considerar al fluido como compresible o incompresible, de tal forma que se obtengan soluciones simples y con un alto grado de aproximación. Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
277
Mecánica del Medio Continuo
7.3
Ecuaciones de la hidrostática
Un fluido, como todo medio continuo, deberá cumplir con las ecuaciones generales, entre éstas la ecuación de Cauchy, la cual considerando condiciones de equilibrio queda como:
ij x j
Bi 0
Por otra parte se ha definido que el estado de esfuerzos para un fluido en reposo se representa por:
ij p ij por lo sustituyendo en la Ecuación de Cauchy se tiene:
p ij Bi 0 x j
p Bi 0 xi
p Bi xi
7.2
p B
Ejercicio 7.1 densidad
Determine la variación de la presión de un objeto que se encuentra sumergido en un líquido de
, conociendo que la presión sobre la superficie del fluido se describe como p0 .
Con base en la ecuación 7.2 se puede determinar la variación de la presión en función la profundidad a la que se encuentra inmerso el medio al interior del fluido. Considérese que la única fuerza de cuerpo es producto del
x3 corresponde con la vertical mientras que el plano horizontal está dado por x1 x2 ; la aceleración producto de las fuerzas de cuerpo será: Bi 0e1 0e2 ge3 .
campo gravitacional y que el eje
El fluido como cualquier otro medio deberá cumplir con las ecuaciones de Cauchy en equilibrio:
ij x j
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Bi 0
278
Mecánica del Medio Continuo
ij p ij p Bi xi p B Considerando la gravedad
B1 0, B2 0, B3 g p 0 x1 p 0 x2
p g x3
Por lo tanto se tiene que
p x1 , x2 ctte para cualquier x1 , x2 , por otra parte: p gx3 p0 ;
p gh p0
Ejercicio 7.2 Cuando se presentan diferencias de altitud menores se puede considerar que la atmósfera se encuentra a temperatura constante. Con base en lo anterior determine las ecuaciones que describan la variación de presión y densidad de la atmósfera. Con base en la ecuación de la hidrostática:
p Bi 0 xi
Es entonces que:
x
Para el eje 1
p 0; p ctte x 1 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
279
Mecánica del Medio Continuo Para el eje
x2
p 0; p ctte x2
Para el eje
p x3 x g
3
Considerando la ecuación de estado para un gas ideal, y además que la temperatura es constante:
pV mR p R
ctte
p R
Sustituyendo resulta entonces que:
p p g x3 R Resolviendo la ecuación diferencial se tiene que:
dp gdx3 p R
Ln p Para x3 0
g x3 c R
p p0 presión de referencia Ln p0
g 0 c R
Por lo tanto
g p p0 exp x3 R De forma análoga se puede proceder para determinar la razón de variación de la densidad con la altura:
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280
Mecánica del Medio Continuo
p R R x3
g
d g R dx3 Ln Para
x3 0
0
Por lo tanto:
g x3 c R
densidad inicial o de referencia
g 0 exp x3 R
7.4 Movimiento de Cuerpo Rígido del Fluido. En los casos anteriores se consideró que el fluido se encontraba en reposo o en condiciones de equilibrio por lo que se definió que su aceleración era igual a cero, ahora se analizará considerando que se trata de un movimiento de cuerpo rígido, por lo cual v 0 las deformaciones y velocidades de deformación son cero, por lo que la ecuación de Cauchy para este caso se expresa como:
p ij Bi ai x j
v p Bi i xi t
p B a
Ejercicio 7.3 Un vehículo arrastra una pipa de sección cilíndrica (figura 7.2), la cual tiene una división central. El tanque tiene una longitud de 15 m por 2 m de diámetro. El fluido dentro del tanque ocupa un 50 % del volumen de éste. Al ponerse la luz del semáforo en verde el vehículo debe acelerar con una magnitud constante (aceleración en dirección horizontal). Considerando movimiento de cuerpo rígido determine el ángulo de la superficie libre del tanque () con relación a la horizontal, asimismo desarrolle la ecuación que define a la presión para cualquier punto del tanque tal que p px1 , x2 . Calcule la altura máxima que alcanza el fluido al chocar con la pared vertical. (a = g/4).
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281
Mecánica del Medio Continuo
l l /2 a
X1
Vo = 0 X2
t t0
t=t0
Figura 7.2 Movimiento del agua al presentarse una aceleración
La superficie del agua es normal a la componente de la fuerza, si solo existe la aceleración producto del campo gravitacional la superficie permanecerá horizontal, sin embargo al acelerar el vehículo el agua, por efecto de su inercia tiende a desplazarse hacia atrás dando lugar a una superficie inclinada con ángulo con respecto a la horizontal. Esta superficie será perpendicular a la componente de la aceleración resultante, por lo que:
a
1
tan 1 tan 1 14 g 4
A partir de lo anterior y considerando las dimensiones del tanque se calcula fácilmente la altura que alcanza el líquido durante la aceleración del vehículo. Pudiendo además, a partir de la ecuación de movimiento de cuerpo rígido de un fluido determinar la ecuación que defina la presión para cualquier coordenada.
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282
Mecánica del Medio Continuo
l 1.9375 m 4 4h ang tan l l tan l 15 h 4 16 16 hmáx h
l p x1 , x2 p0 g (hmin tan ) 4 Ejercicio 7.4
Un recipiente con un fluido incompresible en su interior se mueve verticalmente hacia arriba
con una aceleración constante
a . Determine la presión en un punto que se encuentra a una profundidad h de la
superficie. Considere que en la superficie
h 0 la presión está dada por " p0 " .
Considere que la densidad se expresa como
0
El sistema coordenado se define considerando que la dirección positiva del eje los ejes
x3 es hacia abajo, mientras que
x1 , x2 corresponden al plano horizontal. La aceleración producto de las fuerzas de cuerpo queda (solo se
considera el campo gravitacional).
Bi 0e1 0e2 ge3 Movimiento de cuerpo rígido vi 0 x j Eje " x3 "
p g a3 x3
p g a3 x3 p0 Ejercicio 7.5 Demuestre que para un flujo unidireccional la cabeza piezométrica es constante a lo largo de cualquier dirección (AA), la cual es perpendicular al flujo. Considere que el eje “z” coincide con la dirección vertical y defina.
h
p z g
- densidad g- aceleración gravitacional Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
283
Mecánica del Medio Continuo h- Cabeza piezométrica
Figura 7.3 Flujo uniaxial en dirección del eje " x1 "
v1 0 v2 v3 0
p B2 0 x2
(1)
p B3 0 x3
Como “z” apunta hacia arriba, las fuerzas de cuerpo por unidad de masa se expresan como:
B geˆz Entonces
B2 B eˆ2 g eˆz eˆ2 B2 g
eˆz eˆ1 x1 eˆz eˆ2 x2 eˆz eˆ3 x3 x2
r x1eˆ1 x2eˆ2 x3eˆ3 Sea r el vector de posición de una partícula cualquiera, entonces:
z eˆz r eˆz eˆ1 x1 eˆz eˆ2 x2 eˆz eˆ3 x3 Se puede escribir entonces que:
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284
Mecánica del Medio Continuo
B2 g
z gz x2 x2
Sustituyendo en (1)
gz p 0 x2 x2 gz p 0 x2
Entonces para todos los puntos de un mismo plano el cual es perpendicular a la dirección de flujo se tiene:
p z 0 x2 g Por lo tanto:
p z cte g
cabeza piezométrica
Ejercicio 7.6 Para el mismo flujo uniaxial descrito en la figura 7.4determine la presión en A. La cabeza piezométrica en A y en B son iguales.
p pA p z A B zB a zB g g g
Entonces de la figura queda:
p A pa g ( z B z A ) p A pa gh cos
Donde
pa
representa a la presión atmosférica
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285
Mecánica del Medio Continuo
7.5 Fluido Newtoniano Como ya ha sido mencionado se define como fluido Newtoniano a aquel medio continuo que se caracteriza en que la relación de los esfuerzos de corte a la velocidad de deformación es lineal, considerando a ésta componente como esfuerzos viscosos, el estado de esfuerzos se podrá describir como:
ij pij ij
Donde el tensor
7.3
ij depende de la velocidad de deformación y representa la componente viscosa del estado de
esfuerzos, en un Fluido Newtoniano en cualquier punto asociado al medio continuo el esfuerzo
ij
depende en
forma lineal de las componentes del tensor de rapidez de deformación Dij :
ij Dij 1 v v j Dij i 2 x j xi
No existe ninguna razón por la cual se pueda considerar que las propiedades del fluido se modifican con la posición así como que éstas dependen de la dirección. De lo antes mencionado se describe a éste como un fluido isotrópico. Por analogía con un sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico se define un fluido viscoso, homogéneo, lineal e isotrópico (Fluido Newtoniano); por lo tanto.
ij Cijklkl Realizando las mismas consideraciones que fueron efectuadas para el sólido elástico homogéneo e isotrópico, se tiene que:
ij' 'ji ; ij ji Cijkl C jikl ; Cijkl Cijlk Cijkl Cklij Por otra parte el tensor de constantes viscosas
Cijkl es isotrópico, esto es no se modifica bajo cualquier base,
razón por la el sistema se puede representar en la forma:
ij ii ij 2ij Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
286
Mecánica del Medio Continuo
lo cual representa que solo existen dos constantes viscosas linealmente independiente:
,
f t l2
Como a través de la segunda ley de Newton se encuentran relacionadas la fuerza, masa longitud y tiempo se tiene que:
,
Donde
f t ml t m 2 2 l2 t l l t
representa la razón de proporcionalidad entre el esfuerzo de corte y la rapidez con la que decrece el
ángulo entre dos líneas materiales mutuamente perpendiculares. A esta constante se le denomina como primer coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad. Por su parte no tiene un significado físico, ambas en sistema internacional tienen unidades de Pascal-segundo, unidades que para la mayoría de las aplicaciones prácticas resultan muy elevadas. Es por lo anterior que se define el Poise gr , en sistema inglés las
cm s
unidades son: lb f s
slug . pie2 ó pie s
En la mecánica de fluidos es muy común el empleo de de la viscosidad cinemática
del cociente de la viscosidad
, entidad que proviene
, con respecto a la densidad . La viscosidad cinemática
l 2 . En sistema métrico la unidad de la viscosidad cinemática recibe el nombre de Stoke, t
tiene unidades de
cm 2 . stoke s
Retomando la expresión a través de la cual se define el estado de esfuerzos, el tensor total de esfuerzos queda:
ij p ij ij 2Dij 11 p 211 22 p 222
33 p 233 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
287
Mecánica del Medio Continuo
ii 3 p 3 2 2 H p 3
Donde
representa la rapidez de cambio de volumen y está dada por: 1 D dV dV Dt
v 11 22 33 ó D11 D22 D33
Si el fluido es incompresible 0 , razón por la cual esfuerzo hidrostático estará dado por la presión, sin embargo en el caso de que D 0 la presión p representará solo parte de la presión hidrostática, siendo ii necesario definir al Coeficiente de Viscosidad Volumétrica
2 K .
Por otra parte si el fluido es
3
compresible H p solamente si
2 0 , lo cual se define como Condición de Stokes. 3
7.5.1 Fluido Newtoniano Incompresible Para el caso de un fluido Newtoniano Incompresible el estado de esfuerzos se expresa como:
ij p ij 2 Dij
Por lo que:
ii 3 p 2 Dii ; Dii 0; ii 3 p H p
Es por tanto que en un fluido viscoso incompresible la presión hidrostática no depende de ninguna cantidad cinemática y es indeterminada con relación al comportamiento mecánico de éste, por otra parte para un fluido viscoso incompresible se podrá superponer cualquier presión al fluido sin que esto afecte su comportamiento mecánico. Por consecuencia la presión resulta indeterminada desde el punto de vista de las ecuaciones
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288
Mecánica del Medio Continuo constitutivas que caracterizan a un fluido viscoso incompresible. Retomando la ecuación constitutiva y considerando que: Dij
1 vi v j 2 x j xi
, se tiene entonces que:
vi v j x x j i
ij p ij
v1 x1
11 p
v2 x2
22 p
v3 x3
33 p 2 v
v
12 1 2 x2 x1 v2 v3 x 3 x2
23
v3 v1 x 1 x3
31
7.5.2 Ecuaciones de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles Sustituyendo el estado de esfuerzos definido para un fluido Newtoniano incompresible en la ecuación de Cauchy, se tiene:
ij x j
ij x j
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Bi ai
Bi
Dvi Dt
289
Mecánica del Medio Continuo
v v Bi i v j i t x j x j
ij
vi v j v v p Bi i v j i ij x t x j x j j xi
v 2v j 2 vi v p Bi i v j i t xi x j x j xi x j x j 2 vi p v j xi x j x j xi x j Para un fluido incompresible
vi v vj i Bi x j t
v 2 vi v p 0 Bi i v j i t x j xi x j x j x j v j
Lo cual en notación general queda:
v p v B vv t
7.8
A la ecuación anterior se le conoce como ecuación de Navier-Stokes, la cual describe el movimiento de fluidos Newtonianos incompresibles. Para este sistema vectorial de ecuaciones las incógnitas están representadas por el campo de velocidades y la presión v , v , v , p razón por la cual se requiere una 1
2
3
cuarta ecuación que es la de la continuidad (Conservación de Masa) v 0 . En coordenadas rectangulares éstas quedan en la forma:
2 v v v v p 2 2 2 2 2 v1 B1 1 1 v1 1 v2 1 v3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 t x1
2 v v v v p 2 2 2 2 2 v2 B2 2 2 v1 2 v2 2 v3 x2 x2 x3 x1 x2 x3 t x1 2 v v v v p 2 2 2 2 2 v3 B3 3 3 v1 3 v2 3 v3 x3 x2 x3 x1 x2 x3 t x1
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290
Mecánica del Medio Continuo Ejercicio 7.7 Si todas las partículas de un fluido tienen sus vectores de velocidad paralelos a una dirección fija, el flujo se definirá como uniaxial. Demuestre que para un flujo uniaxial de un fluido Newtoniano incomprensible el esfuerzo normal compresivo en cualquier punto de cualquier plano paralelo y perpendicular a la dirección de flujo es " p" . Considere que la dirección de flujo corresponde con el eje serán igual a cero:
x3 , por lo que las velocidades en dirección de x1 , x2
v3 0; v1 v2 0
De la ecuación de la continuidad
v 0
v1 v2 v3 0 x1 x2 x3
v3 0 v3 C x3
v3 v x1 , x2 ; t D11 D22 D33 0
11 22 33 p Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas r , , z . Dado que en este caso las incógnitas son
vr , v , vz ; p se requerirá emplear las ecuaciones de Navier Stokes y la
Ecuación de la Continuidad, la cual queda:
D v 0 Dt
Como el fluido es incompresible
D 0; v 0 Dt
El gradiente del campo de velocidades queda:
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291
Mecánica del Medio Continuo
vr r v v r vz r
1 vr v r 1 v vr r 1 vz r
vr z v z vz z
Por lo que:
v
vr 1 v v vr z r r z
1 rvr 1 v v r r r
vz z
Por su parte la Ecuación de Navier Stokes en notación general se expresa:
v p v B v v t
La divergencia de un tensor de segundo orden
T r , , z en coordenadas cilíndricas es:
div T r
T 1 T T T Trz rr r rr r z r r
divT
T r r
1 T r
Tr T r T z r z
div T z Tzr 1 Tz Tzz r
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r
z
Tzr r 292
Mecánica del Medio Continuo
Sustituyendo lo antes expuesto en la ecuación de Navier-Stokes se tiene:
2v p 1 2 vr 2 vr 1 vr 2 v vr Br 2r 2 2 2 2 2 r r r z r r r r
vr vr v vr vr v2 vr vz r r z r t
2 v 1 2 v 2 v 1 v 2 vr v 1 p 2 2 B r r 2 z 2 r r r 2 r 2 r v v v v v v v vr vz r r r z r t
2 vz 1 2 vz 2 vz 1 vz p 2 2 2 2 z r r z r r
Bz
v v v vz vz vr z z vz r r z t
Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas esféricas r , , .
Dado que en este caso las incógnitas son
vr , v , v ; p
se requerirá usar las ecuaciones de Navier Stokes y la
Ecuación de la Continuidad, la cual queda:
D D 0; v 0 Como el fluido es incompresible Dt Dt
v 0
Sea v vr , , una función vectorial, entonces:
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293
Mecánica del Medio Continuo
v r r v v r v r
1 v r v r 1 v vr r v 1 r
vr 1 v 1 v vr v cot vr r r r rsen r
v div v
1 r2
1 v r v sen rsen 1 v v cos rsen v v cot v 1 r rsen r r
r 2 vr r
1 v sen 1 v rsen rsen
Por su parte dado que la Ecuación de Navier Stokes en notación general se expresa:
v p v B v v t La divergencia de un tensor de segundo orden
divT r
T r , , en coordenadas esféricas está dada por:
T Tr Tr T cot 1 T sen 1 rsen rsen r
1 2 r
r 2Trr r
1 r 3Tr r 3 r
divT
divT
3 1 r Tr 3 r r
Tr T T 1 Tr sen 1 rsen rsen r
1 T sen 1 T Tr Tr T cot rsen rsen r
Sustituyendo lo antes expuesto en la ecuación de Navier-Stokes se tiene:
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294
Mecánica del Medio Continuo
1 vr 2 vr p 1 1 2 (v sen ) 2 v Br 2 (r 2 vr ) 2 2 2 sen 2 2 2 r r sen r sen r sen r sen r r r
vr v vr v2 v2 vr v vr vr r r rsen r t 2 1 v 1 1 2 v 2 vr 2cot v 1 p 1 v 2 r 2 2 v sen 2 r r 2 sen 2 2 r 2 r 2 sen z r r r r sen
v v v vr v v2 cot v v v B vr t r r rsen r r 1 2 v 1 1 2 v 1 p 1 2 vr 2cot v 2 r v sen 2 2 2 2 2 rsen r sen r 2 sen r sen r r r r sen v v v v v v vr v v cot v B vr r r rsen r r t
7.6
Líneas de Trayectoria y Líneas de Corriente.
Para la mecánica de fluidos es necesario disponer de una representación visual de un campo de flujo, tal representación se puede realizar a través de la descripción de las trayectorias de las partículas del fluido. Una línea de trayectoria está constituida por la curva que se traza a través del movimiento de una partícula, esto es si se pretendiera determinarla físicamente habría que tomar una imagen del flujo (empleando por ejemplo tinta o colorante) durante un intervalo de tiempo, obteniendo así la descripción de la trayectoria. Matemáticamente la línea de trayectoria de una partícula la cual estaba en X para un tiempo t puede ser 0 obtenida a partir del campo de velocidad v x, t . Si x x t es la línea de trayectoria, entonces:
dx v x, t dt x t0 X
Ejercicio 7.8
Para el campo de velocidades descrito por:
v1
2 x1 ; 2t 1
Determine la línea de trayectoria de una partícula
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v2 0;
v3 cx3
x x X i , t0 , esto para el tiempo de referencia t0 .
295
Mecánica del Medio Continuo A partir de la definición de velocidad y considerando la relación entre coordenadas Lagrangianas y Eulerianas se tiene que: x1 dx t dx1 2 x1 2dt 1 v1 ; X1 x t0 2t 1 dt 2t 1 1
ln
2t 1 2t 1 x1 ln x1 X 1 X1 2t0 1 2t0 1
dx2 v2 0 x2 X dt x3 dx t dx3 3 v3 cx3 ; cdt X3 x t0 dt 3 ln
x3 c t t c t t0 x3 X 3 e 0 X3
Las líneas de corriente son líneas dibujadas en el campo de flujo de tal manera que en un instante dado se encuentran siempre tangentes a la dirección de flujo en cada punto del campo de flujo. En otras palabras una
t
línea de corriente en un tiempo es una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la dirección instantánea del vector velocidad de la partícula en el punto. Experimentalmente estas líneas son obtenidas adicionando partículas reflejantes en el fluido efectuando una toma fotográfica sobre la superficie del fluido con una apertura corta del obturador. Cada elemento reflejante produce una línea corta sobre el flujo, la cual se aproxima a la tangente de la línea de corriente. Matemáticamente las líneas de corriente pueden ser obtenidas a partir del campo de velocidades
Considere que
v x, t como sigue:
x x s representa a la ecuación paramétrica para la línea de corriente al tiempo t , la cual pasa
a través de un punto dado
x0 , entonces una s
puede ser escogida tal que;
dx v x, t x 0 x0 ds
El perfil de las líneas de corriente puede cambiar de un instante a otro si la velocidad del flujo es función del tiempo (Flujo no establecido). Dado que las líneas de corriente son tangentes al vector velocidad de cada punto del flujo el fluido nunca puede cruzar una línea de corriente.
Ejercicio 7.9 Para el campo de velocidades descrito para el ejercicio 7.8 determine las líneas de corriente que pasan en el punto:
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296
Mecánica del Medio Continuo
p p1 , p2 , p3
dxi 2 x1 v x, t e1 0e2 cx3e3 ds 2t 1
x1 p1
s dx1 2ds 0 2t 1 x1
x1 p1e
2s 2 t 1
v2 0 x2 p2 v3 cx3
x3 dx s dx3 3 cds p3 x 0 ds 3
x3 p3 ecs Las líneas de trazo o trazador se definen al observar un punto en el espacio correspondiente al flujo identificando todas las partículas que pasan a través de éste, al unir todas éstas se define una línea de trazo. Una línea de trazo a través de un punto fijo x0 es la línea a un tiempo t formada por todas las partículas que han pasado a través de inversa de
x x X ,t ,
x0
para
t.
Considere que X X x, t denota la función
entonces la partícula la cual estaba en
coordenadas materiales dadas por
x x X x0 , , t al tiempo
t.
x0
para un tiempo
tiene las
X X x0 , , por lo que la misma partícula está en
Es entonces que la línea de trazo a un tiempo
x x X x0 , , t para un tiempo fijo t y variable .
Ejercicio 7.10
t
está dada por:
Para el campo de velocidades descrito en los ejemplos anteriores
v1
2 x1 ; 2t 1
v2 0;
v3 cx3
Determine la línea de trazo formada por las partículas que pasan a través de la posición espacial
p p1 , p2 , p3 .
Las ecuaciones de trayectoria fueron determinadas en el ejercicio 7.8, quedando:
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297
Mecánica del Medio Continuo
x1 X 1
2t 1 2t0 1
x2 X 2 x3 X 3 e
c t t0
Las cuales tienen las funciones inversas
X 1 x1
2t0 1 2t 1
X 2 x2 X 3 x3 e
c t t0
p p1 , p2 , p3 a un tiempo está dada por:
Entonces la partícula que pasa a través de la coordenada
X 1 p1
2t0 1 2 1
X 2 p2 X 3 p3 e
c t0
Sustituyendo se obtiene la ecuación paramétrica para las líneas de trazo:
x1 p1
2t 1 2 1
x2 p2 x3 p3 e
c t
7.7 Flujo establecido y Flujo Transitorio El flujo denominado como establecido es aquel en el cual para cualquier localización física las condiciones no cambian en el tiempo. En un flujo establecido las líneas de corriente, de trayectoria y de trazo no cambian con el tiempo. Un flujo transitorio por su parte se caracteriza en que la velocidad, aceleración y temperatura cambian con el tiempo, por ejemplo sea una variable cualquiera en un flujo
transitorio
t
0.
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298
Mecánica del Medio Continuo
7.8 Flujo Laminar y Flujo Turbulento Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos de acuerdo a las condiciones de flujo. El flujo laminar se caracteriza en que el movimiento se da en capas de tal forma que no existe mezcla entre las líneas de corriente. Se trata de un flujo muy ordenado en el cual las partículas que fluyen se desplazan formando finas capas. Este tipo de flujo se relaciona fundamentalmente con condiciones de baja velocidad. Experimentalmente en este caso si se inyecta tinta en el seno de la corriente se tendrá que no existe mezcla, manteniéndose en el tiempo separado el marcador del resto de la corriente. En un flujo turbulento se presentan movimientos tridimensionales aleatorios de las partículas del fluido. Si se inyecta tinta a un flujo turbulento se tendrá que ésta rápidamente se dispersa en todo el campo del flujo. Para el caso de agua fluyendo en un conducto de sección circular fue observado por Reynolds que un parámetro adimensional (conocido ahora como número de Reynolds) del tubo;
,
NR
v d
[ v , velocidad promedio;
d , diámetro
densidad y viscosidad del fluido] describía las condiciones del flujo; de tal forma para valores
menores del orden de 2100 el flujo se presentaba en capas, de tal forma que un filamento de colorante introducido en el fluido permanece intacto. En dicho caso cualquier alteración en el flujo es rápidamente eliminada. Si N se incrementa el flujo se vuelve sensible a la presencia de pequeñas perturbaciones, de tal R
forma que se llega al punto en que el filamento de colorante introducido al flujo se rompe, mezclándose con la totalidad del flujo. A este fenómeno se le denomina como flujo turbulento. Las condiciones las cuales se presenta un flujo turbulento con difíciles de precisar con exactitud, dependiendo entonces del disturbio que se genere. Dada la complejidad de su análisis en primera instancia se procederá a estudiar la dinámica de los fluidos considerando flujos laminares, por consecuencia los resultados obtenidos estarán limitados a dichas condiciones y definidos por su número de Reynolds característico.
7.9 Flujo de Couette En este punto se va a analizar un flujo uniaxial entre dos placas planas semi-infinitas (figura 7.5). El flujo se presenta en dirección de
x1 cuando la placa superior se mueve a una velocidad v . Aplicando las ecuaciones de
Navier-Stokes, y considerando que:
v1 v x2 , v2 v3 0 ; Se tiene
2 v1 0, v1 ax2 b x22
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299
Mecánica del Medio Continuo Resulta por demás evidente que los valores de las constantes estarán determinados por la posición en que se coloque el sistema de referencia; si el origen se coloca en la placa inferior tal como se muestra en la figura se tiene que
v1 0 para x2 0 y v1
v para x2 d , es entonces que: v1 x2 vx2 d
Figura 7.5 Flujo uniaxial entre placas planas semiinfinitas inducido por velocidad ( Flujo de Couette)
7.10 Flujo uniaxial producido por presión –PoiseuilleEl flujo denominado como de Poseuille se describe como un flujo uniaxial inducido por presión, el cual se produce entre dos placas planas semi-infinitas (figura 7.6), donde la presión p p x (figura 7.7).
1
De acuerdo a lo observado se tiene que:
v1 v( x 2 ) v 2 v3 0 v1 (0) v max v1 (a) v1 (a) 0
Figura 7.6 Flujo uniaxial entre placas semi-infinitas, inducido por presión
Ecuación de Navier-Stokes considerando flujo establecido:
2 v1 p 2 0 x1 x2
p 0 x2
p 0 x3 Figura 7.7 Perfil de presión
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300
Mecánica del Medio Continuo No se consideran fuerzas de cuerpo B1= B2= B3=0
p x1 2 v1 x22
v1 x2 c1 x2
0
2 x2 c1 x2 c2 2 2 v1 (a) 0 a c1a c2 2 2 v1 (a) 0 a c1a c2 2 v1
2 a 0 2c2
0 0 2c1a 0
c2
2 a 2
c1 0
De lo anterior se tiene que:
v1 ( x2 )
2 2 x2 a 2 2
v1 ( x2 )
p 2 2 2 2 1 2 x2 a v1 ( x2 ) a x2 v1 ( x2 ) a x22 2 2 2 x1
De lo cual se concluye que la velocidad del flujo v1 ( x2 ) es proporcional a
p y se presenta en sentido x1
contrario a la dirección de crecimiento del gradiente, por otra parte la velocidad máxima del flujo se presenta en el plano medio entre ambas placas semi-infinitas y está dado por;
vmax
a 2 p , por lo que el gasto 2 x1
volumétrico se puede describir como: Donde
w representa
el ancho de de las placas. a 2a 3 V wv( x2 )dx2 w a 3
Donde la velocidad promedio
v
se describe a través de:
1 a a2 v v( x2 )dx2 a 0 3 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
301
Mecánica del Medio Continuo
7.11 Flujo inducido por presión a través de un conducto de sección circular (tubo) Este flujo también denominado como de Hagen-Poiseuille se describe como un flujo uniaxial, axisimétrico inducido por presión. Resulta evidente que el análisis se facilitará si éste se realiza en coordenadas cilíndricas. De lo antes expuesto se tiene que:
vr 0, v 0, vz vz (r ) v(0) vmax v( R) 0
Figura 7.8 Perfil de velocidades para un flujo de Hagen-Poiseuille. La presión es función lineal de
z.
Ecuación de la continuidad, considerando que se trata de un fluido incompresible
D v 0 Dt
v 0
En virtud de que el gradiente del campo de velocidades descrito en coordenadas cilíndricas está dado por:
vr r v v r vz r
1 vr v r 1 v vr r 1 vz r
vr z v z vz z
Resulta entonces que la divergencia del campo de velocidades se expresa:
v
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vr 1 v v vr z r r z
302
Mecánica del Medio Continuo De lo antes expuesto se concluye que:
vr 0; v 0;
vz 0 z
Ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas En notación índice se tiene que:
v p v B v v t
Considerando la ecuación correspondiente al eje “Z”.
2v p 1 2 vz 2 vz 1 vz 2z 2 2 2 z r r r r z
v v v v vz vr z z vz z Bz r r z t
Debido a que se trata de un flujo establecido se tiene que:
vz v v v v vr z z vz z 0 t r r z Además de que
vz v r
Para el problema en cuestión la ecuación de Navier Stokes para el eje “z” se reduce a:
2 v 1 vz p 2z z r r r
0
Reordenando la expresión se tiene que:
2 vz 1 vz 1 vz r r 2 r r r r r
2 vz 1 r vz r 2 r r r r
Por lo que:
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p vz r 0 z r r r 303
Mecánica del Medio Continuo El gradiente de presión se puede describir como:
p z
Entonces despejando:
vz r r r r
Integrando:
r
vz r 2 C1 r 2
vz r C1 r 2 r vz
r 2 C1Ln r c2 4
De las condiciones de frontera:
R2 c2 4 De lo cual se concluye que:
vz r
1 p R2 r 2 R2 r 2 4 4 z
La máxima velocidad se presenta en el centro del tubo
vz Max
r 0 , por lo que está dada por:
d 2 p 16 z
La velocidad promedio queda:
4 d 2 p vz Max v v dA d 2 A z 32 z 2 Por lo que el gasto volumétrico se describe por: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
304
Mecánica del Medio Continuo
d2 d 4 p V v 4 128 z
Análisis del Flujo inducido por velocidad (Coutte) para dos capas de fluidos newtonianos incompresibles, cuyo movimiento corresponde a un flujo laminar en régimen permanente. Se tienen dos capas, con espesores con viscosidad
d1 , d 2 (figura 7.9) que corresponden a fluidos newtonianos incompresibles
1 , 2 ; las cuales se encuentran entre dos placas paralelas y semi infinitas. Considerando que las
placas se desplazan entre si determine el perfil de velocidades correspondiente. Para el análisis desprecie el efecto de las fuerzas de cuerpo y considere que se trata de un flujo establecido.
Para ambas capas
v1 v( x 2 ) v 2 v3 0 p 0 Considere que el origen del sistema coordenado se estable en la interfase entre ambas capas.
Figura 7.9 Movimiento uniaxial inducido por velocidad en dos capas de fluidos newtonianos incompresibles
Para la capa (1), las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a:
2 v11 1 2 0 x 2
v1 cte. x 2
v11 ax 2 b para x 2 d1
v11 0
v11 ax 2 ad1
0 ad1 b b ad1 Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
305
Mecánica del Medio Continuo
p 1 1 g 0 x 2
p 1 1 gx 2 c1
p 1 0 x3
p1 cte
en x3
Realizando el mismo análisis para la capa (2)
2
2 v11 0 x22
v12 cx2 f
p 2 2 g 0 x2
p 2 0 x3
p 2 2 gx2 c2
p 2 cte.
en x3
Analizando en la capa (2), en la interfase las velocidades deberán ser iguales (no existe deslizamiento):
v12 (0) v11 (0) 0 v12 (d 2 ) v cd 2 f
f v cd 2
v12 ( x2 ) v cd 2 cx2 c( x2 d 2 ) v v12 (0) v11 (0) c(0 d 2 ) v a 0 d1 v cd 2 ad1
En virtud de existir equilibrio de fuerzas en la interfase, los esfuerzos de corte definidos en el seno de cada fluido (evaluados estos en la interfase) serán iguales:
121 122
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306
Mecánica del Medio Continuo
1 v11 v12 21 D 21 2 x x 2 1 122 2 2 D122 1 12
1 12
v11 1 x2
v11 ax2 ad1
1 12
121 a 1
v11 a; x2 v12 2 ; x2
v12 cx2
2 12
d1 a
v12 c; x2
c
122 2
121 122 a1 c2 c 1a 2 Para capa (1)
v11 a( x2 d1 ) p1 1 gx2 c1 Para capa (2)
v12
1 a( x 2 d 2 ) v 2
En la interfase las velocidades son continuas ya que se considera que no hay deslizamiento entres éstas,
v11 v12 a( x 2 d1 ) ad1
v11
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1 ad 2 v 2
1 a( x 2 d 2 ) v v(0) 2 a d1 1 d 2 v 2
v
a d1
1 d2 2
v 2 ( x 2 d1 ) 2 d 1 1 d 2
307
Mecánica del Medio Continuo
1 v 2 ( x 2 d1 ) v 2 2 d 1 1 d 2 v1 v12 ( x 2 d1 ) v 2 d 1 1 d 2 v12
7.12 Flujo inducido por velocidad entre dos cilindros con longitud infinita
Al flujo laminar bidimensional, en estado estable, de un fluido newtoniano incompresible entre cilindros concéntricos de longitud infinita se le denomina como Flujo de Couette. Para el análisis de éste caso considere dos cilindros concéntricos, de radios a velocidades angulares constantes
r1 , r2 y longitud infinita h , tal como se muestra en al figura 7.10, estos giran
1 ,2 . De un primer análisis resulta evidente que el flujo se puede
describir como uniaxial e inducido por velocidad, de tal forma que si el origen se define en el centro del arreglo se tendrá que:
vr vz 0; v v r
Figura 7.10 Movimiento de un fluido newtoniano incompresible entre dos cilindros coaxiales.
Al tratarse de un fluido incompresible la ecuación de la continuidad se expresa como:
v
vr 1 v v vr z 0 r r z
De lo que se tiene que:
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
308
Mecánica del Medio Continuo
v 0, Situación que a todas luces resulta evidente al tratarse de un flujo establecido; por otra parte de las ecuaciones de Navier Stokes se tiene para el eje
:
2 v 1 2 v 2 v 1 v 2 vr v 1 p 2 2 B r r 2 z 2 r r r 2 r 2 r v v v v v v v vr vz r r r z r t
El sistema se simplifica en virtud de que se realizan las siguientes consideraciones y simplificaciones:
a. Flujo establecido, b. Se desprecia el efecto de las fuerzas de cuerpo c. El flujo es inducido por velocidad d. El gradiente de presión es igual a cero.
Es por consecuencia que se reduce a: :
2 v 1 v v 0 2 r r r r 2
La solución de la ecuación diferencial está dada por:
v0 r Ar
B r
Por lo que:
v B A 2 r r 2 v 2 B 3 r 2 r Sustituyendo en la ecuación diferencial se comprueba la validez de la solución planteada: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
309
Mecánica del Medio Continuo
2B 1 B 1 B A 2 2 Ar 3 r r r r r 2B A B A B 0 r3 r r3 r r3
Demostrada la solución se tiene que las velocidades en cada cilindro concéntrico están dadas por:
v (r1 ) 1r1 Ar1
B r1
v (r2 ) 2 r2 Ar2
B r2
Por lo que considerando las condiciones de frontera se llega a que las constantes de integración están dadas por:
A
w2 r22 w1 r12 r22 r12
B
r12 r22 w1 w2 r22 r12
Por otra parte a través de lo antes expuesto se puede calcular fácilmente los esfuerzos de corte en la pared de cualquiera de los cilindros y por consecuencia es posible calcular el momento transmitido para hacer girar éstos. Se concluye por último que dicho momento es función de la viscosidad del fluido y de las características geométricas y dimensiónales del arreglo, por lo que el sistema bajo análisis puede ser empleado fácilmente para determinar la viscosidad del fluido.
La velocidad de deformación en coordenadas cilíndricas se expresa como:
vr r Dr z D r Dzr
1 1 vr v 2 r r
v r
1 v vr r Dz
1 vr vz 2 z r 1 v 1 vz 2 z r vz z
Como para el caso en estudio
vr 0, Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
vz 0, v vr 310
Mecánica del Medio Continuo Para el caso analizado el tensor de velocidad de deformación se reduce a:
0 1 v v Drz 2 r r 0
1 v v 0 2 r r 0 0 0 0
Dado que el campo de velocidades de expresa como:
v0 r Ar
B r
De lo que se tiene que:
v B A 2 r r Por consecuencia:
Dr
1 B 1 B 2B B A 2 Ar 2 2 2 r r r 2r r Dr
2B r2
Por otra parte los esfuerzos viscosos se expresan:
r z v I 2 D
Entonces el tensor de esfuerzos queda:
r z
v v 0 0 r r v v 0 0 r r 0 0 0
Por lo que: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
311
Mecánica del Medio Continuo
r r 2
B r2
Considerando, por ejemplo, el cilindro exterior el esfuerzo de corte que existe entre éste y el fluido viscoso está dado por:
B r22
r 2
La fuerza aplicada estará dada por la integral de dicho esfuerzo a través del área de contacto, de tal forma que:
f r dA
2
0
z
0
2
A
f 4
B d dz r22
B r22
Por consecuencia el par aplicado al sistema para producir el movimiento será:
T fd 4
B r2 r2
T 4 B Donde éste queda en función de los parámetros geométricos a través de los cuales se define la constante consecuencia se puede determinar la viscosidad a través de evaluar el par aplicado:
B , por
T 4B
7.13 Flujo Rotacional e irrotacional
de una Los fluidos durante su movimiento pueden describir un flujo rotacional, donde la rapidez de rotación partícula de un fluido se define como la velocidad angular promedio de dos segmentos de línea los cuales son mutuamente perpendiculares. Dado que el gradiente de velocidad v es un tensor de segundo orden, entonces éste se puede descomponer en su parte simétrica, la cual describe al tensor de rapidez de deformación D y su : componente no simétrica, la cual representa la rapidez de rotación 1 1 T T v v v v v 2 2
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312
Mecánica del Medio Continuo
1 T v v D 2
1 T v v 2 A partir de lo anterior se define el Vector de Vorticidad
Donde en notación índice y con auxilio del permutador se tiene:
i 2 ijk jk i 2 23eˆ1 31eˆ2 12eˆ3 v3 v2 v1 v3 v2 v1 eˆ1 eˆ2 eˆ3 x x x x x x 3 1 2 1 2 3
i
Donde el vector de verticidad
está dado por rotacional del campo de velocidades ( v ). Para un sistema
coordenado rectangular (cartesiano) se tiene que el rotacional del campo de velocidades se describe como:
eˆ1 i Rot vi v x1 v1
eˆ2 x2 v2
eˆ3 v v v v v3 v2 eˆ1 1 3 eˆ2 2 1 eˆ3 x3 x2 x3 x1 x2 x3 x1 v3
Por su parte a partir de que el rotacional está dado por la componente antisimétrica del gradiente de velocidades se tiene que en coordenadas cilíndricas se expresa como:
1 v
v
v
v
v
1 v
v
r , , z z eˆr r z eˆ r eˆ z r z r z r r r
Mientras que en coordenadas esféricas:
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313
Mecánica del Medio Continuo
1 v v cot 1 vr 1 v eˆr r rsen rsen
r , , z r
v v v v 1 vr r r eˆ r r r eˆ
Flujo irrotacional Este se caracteriza en que v 0 , esto es las partículas que constituyen el flujo se mueven sin presentar rotación, es por consecuencia que se deberá cumplir, respectivamente en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas se tiene que:
v3 v2 v1 v3 v2 v1 0 x x x x x x 3 1 2 1 2 3
1 vz r 1 v r
v z
vr vz v 1 vr v z r r r r
v cot 1 v 1 vr r rsen rsen
0
v v v v 1 vr r r r r r
0
Es entonces que el vector de verticidad asociado a un flujo irrotacional deberá ser nulo:
i 0 Los flujos irrotacionales se caracterizan en virtud de que pueden ser descritos con auxilio de una función escalar
, tal que:
v vi v1
El vector de vorticidad
ei ; v2 ei ; x1 x2
v3
ei x3
(para coordenadas rectangulares) queda:
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ei xi
314
Mecánica del Medio Continuo
x2
i
eˆ2 eˆ1 x x x x x 2 x3 x3 x2 1 2 3 1 x1 x3
eˆ3 x1
Por lo tanto siempre que el flujo se pueda representar por una función " " tal que vi irrotacional, donde la función x1 , x2 , x3 , t define un flujo irrotacional.
será un flujo xi
Considerando la ecuación de la continuidad para un fluido incompresible, ésta se expresa como:
v o
xi xi
0
2 0 2 2 2 0 x12 x22 x32
Estado de esfuerzos para un flujo irrotacional de un fluido incomprensible de densidad homogénea. El estado de esfuerzos en un fluido Newtoniano se expresa como:
pI ij p ij ij ij kk ij 2ij
Donde
representa a los esfuerzos viscosos, si el fluido es incompresible
kk 0 , por lo que el estado
esfuerzos para un fluido newtoniano incompresible queda:
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315
Mecánica del Medio Continuo
ij p ij 2ij 1 v v j ij p ij 2 i ij 2 x x i j Si se considera que el flujo es irrotacional entonces es posible describir el campo de velocidades a través de una función escalar v , tal como se explicó anteriormente, entonces:
x j xi
ij p ij
x i x j
Sustituyendo ahora en la ecuación de Navier-Stokes:
v p v B v v t Se tiene que:
p 2 xi x j x j
xi
vi vi B v i j x j t
vi v p 2 vj i 2 Bi xi xi x j x j t Dado que el fluido es incompresible la ecuación de la continuidad se expresa:
2 0; ó 2 0 2 xi De lo que se desprende que el término que representa el efecto de la viscosidad del fluido es igual a cero, por lo que la ecuación se reduce a:
v v p Bi i v j i t xi x j
En notación general queda:
v p B v v t Dicha ecuación corresponde con la ecuación de Euler. Ésta describe el comportamiento de un fluido viscoso e incompresible. Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
316
Mecánica del Medio Continuo
7.14 Funciones disipativas en Fluidos Newtonianos La rapidez de trabajo (potencia) DW desarrollada por los esfuerzos y fuerzas de cuerpo se ha demostrado P Dt que se puede descomponer en: DW D ( EC ) PS dV Dt Dt v PS ij i x j
Donde el término
PS
representa la potencia desarrollada para cambiar la forma y dimensiones de la partícula de
volumen (elemento diferencial de volumen), donde D (EC ) , representa la rapidez de cambio de la energía Dt cinética asociada al elemento.
En el caso de un fluido incompresible el término PS se puede expresar
ij p ij ij' ij
vi v vi p i ij' x j xi x j
Dado que se trata de un fluido incompresible
vi 0 xi
ij
vi v ij' i x j x j
ij' Dii ij 2 Dij ; ij'
vi v 2 Dij i x j x j
Por otra parte desarrollando se tiene que:
Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
317
Mecánica del Medio Continuo
Dij
vi v v v v v v v v v D11 1 D12 1 D13 1 D21 2 D22 2 D23 2 D31 3 D32 3 D33 3 x j x1 x 2 x3 x1 x2 x3 x1 x 2 x3
Dij
1 vi v j 2 x j xi
Reagrupando y considerando que
Dij
Dij D ji (el tensor de rapidez de deformación es simétrico):
1 v vi v v D11 1 D12 1 2 x j x1 2 x 2 x1
1 v 1 v v v D13 1 3 D21 2 1 2 x1 x 2 2 x3 x1
1 v 1 v 1 v v v v D23 2 3 D31 3 1 D32 3 2 2 x3 x 2 2 x1 x3 2 x 2 x3 v Dij i Dij Dij x j
ij
v D22 2 x 2
v D33 3 x3
vi vi ij' 2Dij Dij x j x j
Por lo que: 2 2 PS 2 D112 D22 D332 2 D122 2 D23 2 D312
El término
PS
representa el trabajo realizado, por unidad de volumen y por unidad de tiempo (el cual siempre
será positivo), para cambiar la forma del elemento diferencial. Ésta parte del trabajo realizado se acumula con el tiempo en función de la variación de la velocidad de deformación
Dij , entonces
la función
indi s
(función de
disipación) representa la velocidad en el trabajo se convierte en calor para un fluido newtoniano incompresible.
indis 2 D112 D222 D332 2D122 2D232 2D312 2 Dij Dij
Función disipativa para un fluido Newtoniano compresible
Como;
ij p ij ij 2 Dij v
La rapidez de trabajo desarrollado por los esfuerzos queda: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
318
Mecánica del Medio Continuo
ij
vi p 2 indis p x j
donde ( D11 D22 D33 ) 2 indis Lo anterior debido a que:
Donde
ij
vi v v v v p i ij i i ij 2 Dij i x j x j xi x j x j
ij
vi v v v p i i i 2 Dij Dij x j xi xi xi
ij
vi p 2 2 Dij Dij x j
es la función disipativa para fluido compresible, la cual se puede representar también como:
( D112 D222 D332 ) indis indis 2 ( D112 D222 D332 2 D122 2 D232 2 D312 ) 2 4 ( D122 D132 D232 )
2
( D11 D22 D33 ) 2 ( D11 D22 ) 2 ( D11 D33 ) 2 ( D22 D33 ) 2 3 3
Resulta evidente que la función de disipación (rapidez con la que el trabajo se transforma en calor) asociada a un fluido compresible será siempre mayor que la correspondiente para un fluido incompresible.
7.15 Difusividad Térmica. En el caso de difusión de una especie en un solvente se ha demostrado experimentalmente que existe una relación entre la concentración del soluto en función de la posición y del tiempo, a dicha relación se le conoce como Segunda Ley de Fick y se expresa como:
C C D t xi xi
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319
Mecánica del Medio Continuo
Ecuación que se simplifica a C
t
D
cuando se considera que el coeficiente de difusión es 2C C ó D 2C 2 xi t
independiente de la posición (homogéneo). De manera análoga se define una ecuación diferencial en derivadas parciales que relaciona la temperatura con la posición y el tiempo, empleando para esto un parámetro definido como difusividad térmica . Para su determinación considérese la ecuación de conservación de energía, la cual en notación general se expresa:
donde
Du T v q qs 0 Dt
representa la densidad , mientras
q es el calor por conducción y q s
que
u
es la energía interna;
T ó es el tensor de esfuerzos,
representa la rapidez de generación de calor en el interior del medio
continuo. Si solamente existe un flujo de calor por conducción, el cual sigue la Ley de Fourier q , donde representa la temperatura y es la constante de conductividad térmica; donde la rapidez de generación de calor al interior del medio continuo es igual a cero; a partir de lo anterior se tiene que:
v Du 2 ij i 0 Dt x j xi xi
En notación general se tiene que:
Du T v 2 Dt
Por otra parte considerando la función de disipación para un fluido incompresible es una función de la temperatura
u c , entonces: c
indis
y que la energía interna
D indis 2 0 Dt
Donde la función de disipación representa la energía disipada como calor por efecto de las fuerzas viscosas. Existen, por otra parte, una gran cantidad de condiciones en las cuales la energía disipada es muy pequeña cuando se compara con la magnitud del flujo de calor, razón por la cual la ecuación de simplifica a:
c
D 2 0 Dt
Reordenando la ecuación, ésta se puede representar como:
D 2 0 Dt c
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320
Mecánica del Medio Continuo Sustituyendo
c
(difusividad térmica), por lo que:
D 2 Dt Ecuación similar a la de Fick, cuya solución, permite determinar la temperatura en función de posición y tiempo.
7.16 Flujo irrotacional de un fluido no viscoso de densidad homogénea. Como ha sido mencionado anteriormente para el caso de un fluido no viscoso el estado de esfuerzos
Tij
se puede
representar como; T p , de lo que la ecuación de conservación de cantidad de movimiento se expresa ij ij como:
v v p Bi i v j i t xi x j
ó en notación general
v p B vv t
descripción que es conocida como Ecuación de Movimiento de Euler.
Ecuación de Bernoulli En el caso de un fluido no viscoso, incompresible y cuya densidad es homogénea será siempre posible que se presente un flujo irrotacional. Para este caso considere que los campos son conservativos, de tal forma que el vector de fuerzas de cuerpo se puede desarrollar a partir de una función de potencial , tal que; B . El caso más común es aquel en que el medio continuo se encuentra exclusivamente bajo el efecto de la fuerza de
Figura 7.11 Para la definición de las fuerzas de cuerpo el eje
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x3 se hace coincidir con la vertical 321
Mecánica del Medio Continuo gravedad, considerando que el eje
Bi 0e1 0e2 ge3 ,
x3
coincide con la vertical se tiene que
por otra parte al tratarse un flujo irrotacional
gx3 ,
por lo que
T v v , ó en notación índice
vi v j . Sustituyendo en la Ecuación de Euler se tiene; x j xi
v v p i vj j xi xi xi t
Por lo que reordenando:
v v p vj j i xi xi xi t
Como
vj
v j xi
1 v j v j 1 2 v 2 xi 2 xi
Además para un flujo irrotacional el campo de velocidades se puede expresar a través de una función
vi
, tal que:
xi
Es entonces que
1 2 p v 0 xi 2 t
Por lo tanto se puede concluir que:
1 p v 2 f t 2 Si el flujo es establecido
ctte , por lo que: t p v2 ctte 2
Lo que entonces permite deducir la Ecuación de Bernoulli:
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322
Mecánica del Medio Continuo
v2 p gx 3C 2 Esta expresión es muy útil en aquellos casos de que la viscosidad pueda ser despreciada ó también en el caso, como se demostrará más adelante, en que el flujo idealice como irrotacional.
Ecuación de Torricelli Considere ahora un fluido incompresible y no viscoso, de acuerdo con lo expuesto si el flujo es estable se cumplirá con la ecuación de Bernoulli:
v2 p gx3 C 2 Ahora bien si el nivel del recipiente (figura 7.12) permanece constante y la presión sobre el nivel del fluido es la misma que la de descarga se cumplirá que:
v12 v22 p1 gh1 p2 gh2 2 2 Donde la condición 1 se refiere al plano de entrada (superficie del líquido en el tanque), mientras que la 2 se refiere a la descarga, además de lo anterior se considera que el nivel del fluido en el tanque es constante por lo que v 0 por consecuencia: 1
p1 p2 patm presión atmosférica v1 0; h1 h2 h dif de nivel v2 2 g h La cual es conocida como Ecuación de Torricelli.
Figura 7.12 Un tanque cuyo nivel de fluido, con respecto a la posición de descarga, es velocidad de salida la cual está dada por
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h
presentará una
v 2 gh . 323
Mecánica del Medio Continuo
Flujos irrotacionales como solución a la ecuación de Navier-Stokes Considérese en primera instancia la ecuación de Navier Stokes para un fluido incompresible:
v p v B vv t En notación índice ésta queda:
v 2 vi v p Bi i v j i t xi x j x j x j El campo de velocidades para un flujo irrotacional se puede describir a partir de una función escalar , tal que:
vi xi
2 vi 2 x j x j x j x j
, entonces sustituyendo
x j
2 xi x j x j
Pero se ha demostrado que la ecuación de la continuidad (fluido incompresible) se expresa en la forma:
2 x j x j
2 0
Por lo tanto para un flujo irrotacional:
2 p xi xi x j x j
vi vi B v i j x j t
Por lo que el término que representa los esfuerzos viscosos se hace cero, entonces la ecuación constitutiva se reduce a:
v v p Bi i v j i t xi x j
La cual corresponde con la ecuación de Euler (para un fluido no viscoso).
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324
Mecánica del Medio Continuo
Por lo tanto todos los resultados desarrollados para flujos no viscosos corresponden también al caso de flujos irrotacionales. Sin embargo en todo el problema real existirán fronteras físicas en las cuales la velocidad del fluido será de cero (ó la de la frontera) en virtud de que el fluido se adhiere a ésta. Es por consecuencia que la condición v no se podrá cumplir en las condiciones de frontera.
7.17 Ecuación de transporte de vorticidad para un fluido viscoso incompresible de densidad homogénea. La imposibilidad de que exista una función
la cual se cumpla para las paredes (frontera) que confinan el
movimiento del fluido da lugar a la existencia vorticidad confinada a una capa adyacente a la frontera.
De nueva cuenta retomando la ecuación de Navier-Stokes
1 p 2 vi xi x j x j
B v v j vi t x j
Asimismo sustituyendo de tal forma que / (viscosidad cinemática):
xi Empleando el operador: mni
(tomando rotacional de ambos lados de la ecuación anterior): x n
mni
mni
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v vi mni i m xn t t xn t
vi vi vi vi vj v j mni mni xn x j xn x j x j xn v v mni i i v j m xn x j x j
mni
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2 vi v v p i vj i x j x j t x j
p 2 p 0 0 xn xi 325
Mecánica del Medio Continuo
mni
xn
2 vi x x j j
2 x x j j
v 2 m mni i xn x j x j
La ecuación de Navier Stokes toma entonces la siguiente forma:
v j vi m m 2 m vi mni t x j xn x j x j x j Por otra parte se puede demostrar que el tercer término del lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, por lo que:
mni
v j vi xn x j
0
D m vm 2 m n Dt xn x j x j Lo cual en forma invariante se expresa:
D v 2 Dt
En una frontera sólida el fluido se adhiere, lo que da lugar a que las velocidades en esta interfase están definidas por la superficie. Los vórtices son generados en la superficie difundiéndose al flujo. En algunos casos los vórtices quedan confinados a una capa delgada en la vecindad de la frontera, de tal forma que fuera de ésta capa el flujo es irrotacional.
7.18 El concepto de Capa Límite
De lo que ha sido discutido con antelación se ha comprobado que las funciones que describen el comportamiento en un fluido viscoso y no viscoso son iguales, sin embargo debido a la presencia de esfuerzos cortantes en el seno del fluido viscoso la condición a ser satisfecha en las superficies rígidas de fronteras S en contacto con el fluido viscoso son diferentes que el caso no viscoso. Para el caso del flujo del fluido viscoso en la superficie frontera S la velocidad estará dada por v la cual representa la velocidad a la que se mueve la superficie, si ésta se encuentra S
en reposos es evidente que v 0 . Sin embargo las condiciones impuestas el fluido implican que la componente S normal de la velocidad de éste sea la misma que la de la superficie sólida (en el punto de contacto), lo cual representa en si una restricción a la componente tangencial. Esto en consecuencia representa que el fluido en contacto con la superficie sólida se deba mover en conjunción con dicha superficie, lo cual representa que el fluido está adherido a la superficie y por consecuencia no puede deslizar sobre ésta. Esta condición fue primero propuesta por Stokes, y es conocida como condición de no deslizamiento. Con la intención de satisfacer esta Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
326
Mecánica del Medio Continuo condición de frontera Prandtl en 1905 propuso la hipótesis que en una zona muy cercana, adyacente a la superficie de la frontera, la velocidad relativa del fluido se incrementa muy rápido desde cero (en la frontera sólida) hasta la del flujo en la zona exterior de dicha zona. Esta delgada capa es denominada como Capa Límite, al interior de la cual los efectos de la viscosidad son predominantes. Fuera de ésta las condiciones se pueden considerar como de un fluido no viscoso. Por consecuencia los fenómenos disipativos se presentaran en dicha capa.
Ecuación de transporte de vorticidad para fluidos viscosos incompresibles de densidad constante (homogénea). Se asume que las fuerzas de cuerpo son derivables a partir de una función de potencial .
Bi
xi
Condición que aplicada a las ecuaciones de Navier-Stokes se expresa.
vi vi 2vi p vj t x j xi x j x j Donde el término
representa la denominada viscosidad cinemática.
Flujo irrotacional como solución de las ecuaciones de Navier-Stokes Si bien en las ecuaciones de Navier-Stokes al considerar la descripción de un flujo irrotacional para el cual
vi
xi
y dado que a partir de la ecuación de la continuidad se debe cumplir con:
0; 2
2 2 2 x12 x 22 x 32
Esto se traduce en que las ecuaciones de Navier-Stokes se expresen en la forma:
1
p
v v B vv t
En el caso de un fluido viscoso en flujo irrotacional la ecuación, como se ha demostrado con antelación, se transforma en la de Euler, la cual corresponde a un flujo no viscoso.
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327
Mecánica del Medio Continuo
1
p B
v vv t
Los resultados indican que un flujo irrotacional es factible (dinámicamente posible) para una situación en donde se presentan fronteras sólidas. Un fluido viscoso se adhiere a las fronteras de tal forma que las componentes normal y tangencial de la velocidad del fluido correspondiente a la frontera. Esto representa que las componentes de la velocidad están predefinidas en la frontera. Por ejemplo si y 0 representa a la frontera sólida la cual se encuentra en reposo, entonces en ésta las componentes tangenciales v x v z 0 y la componente normal
v y 0 . Para un flujo irrotacional las condiciones preestablecidas. (función de flujo) en la frontera son =constante para y 0 lo mismo que v x v z 0
k
0 y vy 0 y 0
Pero es conocido que en general no existe solución para la ecuación de Laplace
n
2
0 cuando
k
y
0 en las fronteras del sistema. En consecuencia a menos de que las condiciones en las fronteras n
del sólido tiendan a ser consistente con las condiciones de irrotacionalidad, se presentará la formación de vortices en las fronteras, los cuales tenderán a propagarse en el seno del fluido de acuerdo con ciertos restricciones. Bajo condiciones adecuadas la vorticidad generada por las fronteras sólidas es confinada a una capa delgada de fluido en la vecindad de la frontera, de tal forma que el exterior de la capa de flujo es irrotacional. Dicha capa a la cual se limita la presencia de vértices se denomina como Capa Límite.
Demostración de la imposibilidad de cumplimiento de la ecuación de Laplace
2 0
para un
k.
Un fluido se encuentra en reposo entre dos placas de dimensiones infinitas. La placa inferior se encuentra a una temperatura constante l y la superior a n . La distribución en estado estable, de acuerdo a la ecuación de Laplace
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328
Mecánica del Medio Continuo
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2 Que en el caso en estudio se reduce a:
2 0 y 2 Empleando las condiciones de frontera
c y
l
para y 0 ;
c1 y c2
u
para y d entonces las constantes de
integración quedan:
l c1 (0) c2
n c1 l
l c2 c1
n l
y n l l d
Como se puede observar cuando los valores de son predefinidos en las placas los valores de
d en las placas dy
están completamente determinados.
d n l dy d esto permite ilustrar que en un problema de conducción de calor en estado estable (gobernado por la ecuación de Laplace) es en general imposible, prescribir los valores de y de las normales a las derivadas de ésta en los mismos puntos de la frontera a menos que estos resulten consistentes uno con otro. En una frontera sólida el fluido se adhiere, lo que da lugar a que las velocidades en esta interfase están definidas por la superficie. Los vórtices son generados en la superficie difundiéndose al flujo. En algunos casos los vórtices quedan confinados a una capa delgada en la vecindad de la frontera, de tal forma que fuera de ésta capa el flujo es irrotacional (figura 13).
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329
Mecánica del Medio Continuo
La viscosidad es la responsable de la generación de vórtices en la región adyacente al sólido, dependerá de la velocidad del flujo v0 A baja v0 la influencia del sólido se extiende en el fluido en todas direcciones de tal forma que en todo el campo exista vorticidad.
7.13 Concepto de capa límite. La influencia de la viscosidad depende de la velocidad del flujo. A elevadas velocidades la viscosidad (sus efectos), son confinados a una capa delgada (capa límite).
Por otra parte, a elevadas velocidades, el efecto de formación de vórtices es confinado a una película delgada alrededor del obstáculo a la cual se denomina como capa límite. A las afueras de ésta capa el flujo es irrotacional. Este concepto permite, al plantear la solución de un problema, dividir el flujo en una región externa irrotacional y una capa límite viscosa. Esto simplifica la complejidad de aplicar las ecuaciones de Navier.
7.19 Fluido Newtoniano compresible Como ya ha sido mencionado con antelación aquellos flujos en los que las variaciones de densidad son insignificantes se pueden describir como incompresibles; situación que favorece la solución del problema al reducir el número de variables. Cuando las variaciones de densidad en el flujo son importantes y su efecto no se puede despreciar es necesario definir al fluido como compresible. No se puede generalizar de entrada y relacionar el estado de la materia (líquido ó gas), de tal forma que se considere a los líquidos siempre como incompresibles y a los gases como compresibles. Dicha generalización si bien corresponde con la mayoría de los casos prácticos presenta sus limitaciones ya que los gases se pueden describir como incompresibles cuando el flujo se caracteriza por velocidades muy por debajo de la del sonido en el flujo. Definiendo al número de Mach M como la relación existente entre la velocidad del fluido
v
y la del sonido
vs de tal forma que
M
v , es entonces que se ha vs
demostrado que los cambios de densidad son del orden del 2% para M 0.3, esto representa que para el aire a temperatura ambiente se puede considerar como incompresible a velocidades menores de 100 m/s. Por otra parte existen una infinidad de aplicaciones de ingeniería para las cuales los efectos de la compresibilidad de gases y líquidos son fundamentales para la correcta descripción de los fenómenos.
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330
Mecánica del Medio Continuo
p p ( , ) Por ejemplo para los gases ideales se considera que:
p R ij p( , ) ij 2 Dij
11 p Dkk ij 2D11 22 p Dkk ij 2D22 33 p Dkk ij 2D33 ii 3 p (3 2 ) Dkk 2 H ii p Dkk
3
3
En el caso de que el fluido sea compresible
p
ii 3
La presión no representa entonces a los esfuerzos compresivos totales Por otra parte se define la compresibilidad volumétrica:
2 k 3 Cuando se trata de gases monoatómicos
(compresivilidad volumétrica)
2 0 3
Por consecuencia la ecuación de esfuerzos para un fluido compresible se expresa:
2 3
ij p ij ij 2 Dij k ij Sustituyendo en la ecuación de movimiento queda entonces: ij x j
Bi
Dv Dt
D p ij kk ij 2 x j x j x j
2 vi D p v j kk x j xi x j x j xi x j
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1 vi v j 2 x j xi
Bi vi v j vi t x j
Bi vi v j vi t x j
331
Mecánica del Medio Continuo Reordenando
v 2 vi v p k Dkk Dkk Bi i v j i t xi xi 3 xi x j x j x j v v v v Dkk i 1 2 3 v div v xi x1 x2 x3
En forma general la ecuación constitutiva queda:
p
3
v v k v B
Dv Dt
Por consecuencia se tiene 6 incógnitas- v1 , v2 , v3 , p, , , por lo que a las anteriores 4 ecuaciones (Ecuación de estado-escalar- y ecuación de movimiento-vectorial-) habrá que adicionar la Ecuación de Continuidad;
v D i 0 Dt xi Donde la sexta ecuación es la de la Energía
v Du 2 ij i k Dt x j x j x j
De la ecuación anterior surgen nuevas incógnitas ya que es necesario determinar el estado de esfuerzos energía interna
ij
y la
u: u Cv
Donde C representa el calor específico a volumen constante; en general se cumplirá que: v
u u ( , ) Se concluye entonces que el análisis para fluido compresible será mucho más complejo que para el caso de que éste se declare como incompresible, las incógnitas están dadas por:
(i ) Campo de velocidades (vi ) (ii ) Densidad ( ) (iii ) Pr esión ( p)
p p( , )
(iv) Temperatura ( )
v Energía int erna u Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
332
Mecánica del Medio Continuo
7.20 Ondas acústicas La propagación del sonido puede ser aproximada considerando la propagación de disturbios infinitesimales en un fluido compresible no viscoso. Para un fluido no viscoso negando fuerzas de cuerpo, la ecuación de movimiento queda: Dv Dt v v p i vj i t xi x j p
De otra forma:
v 1 p vi vj i xi t x j
Considerando que se parte de condiciones de reposo
0 ,
vi 0,
p p0
Se supone que a partir del reposo se producen los disturbios
0 ' ( xi , t ),
vi v' ( xi , t ),
p p0 p' ( xi , t )
Sustituyendo en la ecuación de movimiento
vi v'i 1 p' v' j t x j ( 0 ' ) xi
Como los disturbios generados son muy pequeños (infinitesimales) Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
333
Mecánica del Medio Continuo
v'j
v 'i 0 x j
0 0
v 'i 1 p ' t 0 xi
. . . .(i)
De manera análoga si se considera la ecuación de conservación de masa se tendrá:
D v 0 Dt v i vi 0 xi t xi
0 1
' v 'i ' ' v 'i 0 xi t xi
Al ser un disturbio infinitesimal
v 'i
' xi
0
v 'i ' xi t
' 0
0,
0 . . . . . . .(ii)
Derivando (i) con respecto a xi
2 v 'i 1 2 p ' xi t 0 xi xi
. . . .(iii)
2 v 'i 1 2 ' t xi 0 t
. (iv)
Derivando (ii) con respecto a t
Igualando (iii) y (iv)
2 p ' 2 ' 0 xi xi t 2
v
Se puede considerar sin incurrir en un error mayor que el flujo es a temperatura constante de tal forma que la presión depende explícitamente solo de la densidad:
p1V1
1
p2V2
2
p Rˆ Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
334
Mecánica del Medio Continuo
p p( ) Expandiendo la ecuación en series de Taylor ”
p p( ) , entonces la presión se puede expresar como:
p p p0 ( 0 ) ...... 0 Negando el efecto de términos de orden superior y definiendo:
p p0 p x, t p p p0 ( 0 ) 0 p C02 0
p ' C02 '
' p ' p p0 Entonces para un flujo barotrópico se tiene que, partiendo de la ecuación diferencial en derivadas parciales (v):
2 p' 2 ' 2 xi2 t 2 ' 2 ' C 2 xi2 t 2 0
Esta ecuación es equivalente a la de la onda elástica (sólido elástico, homogéneo, lineal e isotrópico); razón por la cual se concluye que las variaciones de presión y de la densidad se propagan en el fluido con una velocidad
c0 :
Para desplazamientos infinitesimales en sólidos elásticos -ecuación de Navier
jj 2 ui 2 ui 0 2 0 Bi ( ) xi x j x j t si se considera una onda longitudinal
u1 a sen
2 ( x1 v t )
u1 0 u3 0
Considerando un fenómeno lineal, la ecuación diferencial de gobierno queda: Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
335
Mecánica del Medio Continuo
2 2 u1 2 u1 v t 2 x12
u1 u ( x1 , t ) u 2 u3 0
2 v2 0 por analogía
p v2 0 Por lo tanto, la velocidad del sonido está dada por
p C 0 0
1/ 2
cuando el flujo es isoentrópico la relación de presión a densidad estará dada por una función de la forma:
p
C 0 ( 1) p C 0
1/ 2
1/ 2
Ejercicios Resueltos
1. Un elemento cilíndrico de radio “r” y longitud “l” y densidad “” está sujeto al fondo de un recipiente de acuerdo a la siguiente figura. El fluido en el que se encuentra inmerso el elemento cilíndrico presenta una densidad “l”. Con base en lo antes expuesto determine el nivel de esfuerzos “” en el cable “C” cuyo diámetro es “d” y su limite elástico es “0”.
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336
Mecánica del Medio Continuo
Solución:
2r f V l V g V
2 4
l
f V l g f
2 4
l l g
2 f l l g A d2
lg l d 2
2. Un recipiente con un fluido incompresible se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración constante (a). Determine la presión en un punto que se encuentra a una profundidad “h” de la superficie. Considere que en la superficie (h=0) la presión esta dada por “ p 0 ”. Considere que la densidad se expresa como .
Solución: Al moverse el recipiente hacia arriba, la inercia del fluido genera un efecto adicional.
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337
Mecánica del Medio Continuo
para el fluido se tiene p a Eje " x1 "
p 0 x1
p ctte con respecto a " x1 "
Eje " x2 "
p 0 x2
p ctte con respecto a " x2 "
3 g Eje " x3 "
a3 a
p 3 a3 x3
p g a3 x3 p0
3 Un vehículo arrastra un contenedor rectangular separado por una división central. El contenedor tiene una longitud ( l ) de 6 m por 2 m de ancho e igual de altura, el fluido dentro del contenedor alcanza una altura de 1 m. Al ponerse la luz del semáforo en rojo el vehículo debe desacelerar con una magnitud constante (a-aceleración en dirección horizontal). Considerando movimiento de cuerpo rígido determine el ángulo de la superficie libre del tanque (), así mismo determine la ecuación que define a la presión para cualquier punto del tanque. Calcule la altura máxima que alcanza el fluido al chocar con la pared vertical. (a = g/3). l l /2 a
X1
Vo = 0 X2
Figura 1 Para el caso en que el vehículo acelera a partir del reposo el líquido por efecto de la inercia se inclina hacia atrás, en caso de acelerar la inclinación será en sentido opuesto
a1=a,
a2=a3=0,
B1=B3=0,
B2=g
Solución:
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338
Mecánica del Medio Continuo
g ang tan 3 18.43 g B 0e1 ge2 0e3 a g e1 0e2 0e 3
v p B v v t p 0 p ctte con respecto " x3 " x3
p g 0 p x2 ax1 f x2 p0 x2
p x1 , x2 ax1 ax2 p0
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339
Mecánica del Medio Continuo
x2 x tan x1 2 x1 tan h1 h2 lb h0lb 2 l h2 h0 tan 2 h2 2 m
V ctte V0 h0lb b ctte l ctte Vf
h1 h2 lb 2
l 6 h0 1
4.
El tensor ij describe el estado de esfuerzos para un punto Xi de un fluido incompresible. Para ij
determine el tensor ij que depende exclusivamente de la velocidad de deformación, asimismo determine la presión hidrostática asociada
45 6 10 ij 6 15 15 x10 3 [Pa] 10 15 0 Si la densidad del fluido es de 1000 Kg/m3 , indique la profundidad (de ser esto posible) a la que se encuentra el punto bajo estudio.
Solución:
ij p ij ij ij p ij kk ij 2ij
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340
Mecánica del Medio Continuo
Incompresible
ij p ij 2ij 11 p ij 211 22 p ij 222 33 p ij 233 ii 3 p 2ii H
ii 3
p 20 x103 Pa
H gh; 1000
Kg m3
m s2 h2 m g 10
ij ij p ij 0 20 0 p H 0 20 0 x103 Pa 0 0 20 25 6 10 ij 6 5 15 x103 Pa 10 15 20
5. La puerta de la figura 1 (AB) es rectangular de 1 m de ancho y 4 m de largo, ésta gira sobre el punto A. sí la masa de la compuerta (AB) es de 400 kg encuentre las reacciones en A y B. El fluido en el tanque es agua.
Figura 1
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341
Mecánica del Medio Continuo Solución:
p A ghA pB gh h l sen B hB hA h 3.75 m pB g hA h
g h mg cos ghA wl wl RA RB 2 l l g h 2 0 RBl mg cos ghA wl wl l 2 2 2 3
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342
Mecánica del Medio Continuo
4 RB 2681.43 235200 196458 0 RB 108584.96 N RA 192440 RB RA 83855.75 N
6. Desarrolle (en coordenadas rectangulares) la ecuación de conservación de cantidad de movimiento para un fluido Newtoniano incompresible. Indíquela en forma general y en notación índice. Solución:
Ecuación de Cauchy
div B
Dv Dt
v v Bi v j i t x j x j
ij
pI
- esfuerzos viscosos
kk ij 2 ij p ij
1 v v j vi ij ij 2 i xi 2 x x i j
Sustituyendo en la ecuación de Cauchy:
1 v v v Dv p ij i ij 2 i j Bi i x j xi Dt 2 x j xi 2 vi Dv p kk jj Bi i xi xi x j x j xi Dt Considerando incompresibilidad
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v 2vi v p Bi i v j i t xi x j x j x j 343
Mecánica del Medio Continuo
p div
7.
vi vv t
v B
El tensor de esfuerzos asociado a un punto (q) de un fluido Newtoniano incompresible está dada por:
ij q
3 4 60 3 100 8 KPa 4 8 20
Si la densidad del fluido es de 1000 kg/m3 y Bi 0e1 0e2 ge3 donde g es la aceleración de la gravedad determine la profundidad a la que se encuentra inmerso el cuerpo en el seno del fluido. Si la viscosidad () es de 9.82x10-4 Pa-s determine el tensor de rapidez de deformación y sus valores principales. Considere que la aceleración de la gravedad es aproximadamente 10 m/s2
Solución:
3 4 60 ij 3 100 8 KPa 4 8 20
Fluido Incompresible ij p ij 2ij
11 p 2ij
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344
Mecánica del Medio Continuo
22 p 2ij 33 p 2ij ii 3 p 2 11 22 33 22 0 ii 3 p 3 H H
ii 3
60
p gh h p
g
60 KPa 6 m 1000 x10 0 60 0 ijH 0 60 0 KPa 0 0 60 ij p ij ij h
ij kk ij 2ij ij 2ij ij
ij 2
9.82 x104 Pa s 3 4 0 ij 3 40 8 KPa 4 8 40
1527 20366 0 ij 1527 20366 4072 2036 4072 20366 0 0 20911 ijP 0 26.5 0 x103 s 1 0 0 20937
8.
Sea (xi, t) una función escalar la cual define el campo de velocidades del medio continuo en el intervalo
bajo análisis; como:
vi Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
d dxi 345
Mecánica del Medio Continuo
(a).- ¿Qué características deberá cumplir la función para que el flujo en el intervalo sea irrotacional? (b).- Si la función (xi, t), está asociada a un medio incompresible ¿Cómo quedará expresada la ecuación de conservación de masa, en el intervalo bajo estudio? Solución:
xi El rotacional se expresa como: 1 v v j (a) wij i sustituyendo : 2 x j xi
xi , t tal que vi
1 1 2 2 wij 2 x j xi xi x j 2 x j xi xi x j wij 0 si xi , t tal que vi
xi (b) Medio incompresible
v 0 Coordenadas rectangulares vi 0 xi
0 xi xi
2 0 xi2
2 0
9. Analice si la función escalar = A(– x12 – x22 + 2x32)t describe un flujo irrotacional. Donde t – s, x – m, A = 1 (1/s2) Asimismo determine el campo de esfuerzos asociado, considerando que la viscosidad esta dada por “”. Verifique si el campo de esfuerzos satisface las ecuaciones de Navier-Stokes. Las fuerzas de cuerpo se pueden despreciar. Solución:
A x12 x22 2 x32 t Flujo irrotacional
w
1 (v v T ) 0 2
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346
Mecánica del Medio Continuo
v1 2 x1 At
2 0 At (2 2 4) 0 Por lo tanto se cumple la condición de incompresibilidad
v 2 2 x 2 At v1 4 x3 At
2 0 0 v 0 2 0 At 0 0 4
w 0 Por lo tanto se cumple la condición de irrotacional
El estado de esfuerzos está dado por:
ij p ij ij donde ij esfuerzos vis cos os Por analogía con SEHLI se tiene que la ecuación constitutiva para un fluido está dad por:
ij
1 v v j vk ij 2 i 2 x j xi xk
v k 2 0 x k Por lo tanto un fluido irrotacional e incompresible la ecuación se reduce a:
v
v j
ij i x x i j
10. Considere que entre las placas A y B existe un fluido newtoniano incompresible. La placa A se desplaza a una velocidad de 5 m/s, mientras que la placa B permanece en reposo. Si la distancia entre ambas placas es de 1 m determine la velocidad de placa del fluido a 0.2 m de la placa A. Considere que las placas están horizontales y que sus dimensiones son muy grandes. Solución:
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347
Mecánica del Medio Continuo
Flujo inducido por velocidad (Couette) x h 0.5 m, x 0.3 h 0.3 m v x 5 3 s 0.5 v x v0
11 Para el flujo que se describe en la figura determine el perfil de velocidades en la zona del conducto que va de AA .
Considere que se trata de un fluido Newtoniano incompresible con viscosidad . El canal es rectangular con un ancho (x3) igual a (2e) y altura (x2) “d”, donde de y por consecuencia se puede despreciar el efecto de paredes laterales. El flujo en el canal es uniaxial de tal forma que v2 v3 0 . Determine el gasto volumétrico: Solución: Se trata de un flujo de Poiseville Flujo uniaxial inducido por presión
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v1 v x2 v2 v3 0
2 v v v v p 2 2 2 2 2 v1 B1 1 v1 1 v2 1 v3 1 x1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 t
No considere el efecto de fuerzas de cuerpo se considera flujo establecido
v1 0 t
Cuando x1 x1
d v1 0 2
d v1 0 2 x1 0 v1 vmax
Ecuación de Conservación de masa
v1 v2 v3 0 x1 x2 x3
v1 0 x1
El flujo no se acelera a través del conducto
2v p 21 0 x1 x2
2v1 p 1 x22 x1
v1 p x2 c1 x2 x1
p x22 v1 c1 x2 c2 x1 2 En un máximo la primer derivada es cero
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349
Mecánica del Medio Continuo
v1 x2
x2 0
p x2 0 c1 x1
c1 0 Cuando x2
d v1 0 2
2
d p 2 0 c2 x1 2 p d 2 c2 x1 8
d p 2 v ( x ) 1
2
x1
2
x22
2
Sea xi , t una función escalar a través de la cual se pretende definir el campo de velocidades en un medio continuo, de acuerdo a; d vi dxi a) ¿Qué características deberá cumplir la función para que el flujo en el intervalo se irrotacional? b) Si la función xi , t está asociada a un medio incompresible ¿Cómo quedará expresada la 12.
ecuación de conservación de masa, en el intervalo bajo estudio? Solución: La función deberá ser continua y continuamente derivable vi xi 0 2 0 13.
Un continuo con una ecuación constitutiva de la forma:
ij kkij 2ij
Presenta un flujo irrotacional e incompresible, el cual se describe a través de una función escalar que permite describir el campo de velocidades a través de: v . Con base en lo anterior determine la función disipativa WV ijij
ó WV .
Asimismo determine la ecuación de conservación de masa en función de .-
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350
Mecánica del Medio Continuo Determine la ecuación de Cauchy para el material en cuestión considerando la descripción de su campo de velocidades y de su ecuación constitutiva.
Solución:
ij kkij 2ij v
vi
e1 e2 e3 x1 x2 x3
WV ijij Flujo irrotacional e incompresible
2 0 ij 2ij WV ijij 2ijij
2 2 WV ijij 2 112 22 332 2 122 23 312
Ecuación de Conservación de Masa
2 2 2 0 x1x1 x2x2 x3x3 2 0
14.
Analice si la función escalar = A(– x12 – x22 + 2x32)t describe un flujo irrotacional. Donde t – s, x – m, A = 1 (1/s2)
Asimismo determine el campo de esfuerzos viscosos asociado, considere que la viscosidad está dada por “”.
Solución:
x12 x22 2 x32 t vi
v t 2 x1 e1 2 x2 e2 4 x3 e3 Fluido incompresible
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351
Mecánica del Medio Continuo
div v 0
2 0
2 t 2 2 4 0 El flujo es irrotacional Ecuación de Navier Stokes
v p div v B v v t Esfuerzos viscosos ij
ij kkij 2ij Fluido incompresible
11 211 222 22 33 233 ij 2ij
kk 0
212 12 21 32 223 23 31 12 213
11 12 13 ij 21 22 23 2 31 32 33
15.
Dado el siguiente campo de velocidades de un fluido viscoso newtoniano.
v1 kx1 v2 kx2 v3 0
Demuestre si el campo de velocidades es irrotacional Determine el tensor de esfuerzos Determine el campo de aceleraciones Demuestre si el campo de velocidades satisface la ecuación de Navier-Stokes, y esto permite determinar la función de presión (distribución de presiones). Para lo anterior desprecie las fuerzas de cuerpo y considere que p=p0 en el origen. Determine la rapidez de disipación de energía mecánica en calor.
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352
Mecánica del Medio Continuo Si x2=0 representa una frontera física que condición no es satisfecha por el campo de velocidades.
Solución:
xi e3
Irrotacional vi
xv
e1
e2
x1
x2
v1
v2
xv 0
v v v v v v 3 2 e1 1 3 e2 2 1 e3 x3 x2 x3 x1 x2 x3 x1 v3
Campo Irrotacional
ij p ij ij ij kk 2ij kk 0 Dv1 vi vi vj Dt t x j
Dv1 v1 v1 v v v1 1 v2 1 v3 Dt t x1 x2 x3 Dv1 k 2 x1 Dt Dv2 v2 v2 v v v1 2 v2 2 v3 Dt t x1 x2 x3 Dv2 k 2 x2 Dt Dv ai i k 2 x1e1 x2e2 0e3 Dt
k 0 ij 0 k 0 0
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0 0 0
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k 0 0 ij 0 k 0 2 0 0 0 0 0 p 2 k ij 0 p 2 k 0 0 0 0 Ecuación de Navier-Stokes
v p v B v v t
2 vi p x x xi j j
v v Bi i t x j
v j
Despreciando fuerzas de cuerpo y considerando incompresibilidad Eje x1
v v 2v p 21 B1 1 1 v1 x1 x1 t x1 p k 2 x1 x1
k 2 x12 p f x2 , x3 p0 2 Eje x2
v v 2v p 22 B2 2 2 v2 x2 x2 t x2 p k 2 x2 x2
p
k 2 x22 f x1 , x3 p0 2
Eje x3
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2v p 23 B3 0 x3 x3 p x3 ctte p0
k 2 2 2 x1 , x2 p0 2 Incompresible
p
v v W ij i p ij 2ij i x j x j
v W ij i 2ij ij w ij Irrotacional xi
W 2ijij
2 2 W 2 112 22 332 2 122 23 312
W 2 k 2 k 2 4 k 2 No se cumple con la ecuación de conservación de masa (Ecuación de la continuidad)
v 0 en x2 0
16.
Demuestre si la ecuación de movimiento para un fluido newtoniano compresible se puede expresar como:
p k(div _ v)
v (div _ v) div(v) B vv 3 t
¿Cuántas incógnitas se presentan en este sistema? ¿Cuáles son éstas? ¿A qué otras ecuaciones se puede acudir para resolver el sistema? Exprese la ecuación en notación índice.
Solución: Fluido Newtoniano compresible
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ij p ij kk ij 2ij Ecuación de Cauchy B
x j
Dv Dt
ij x j
Bi
Dvi Dt
1 v v v j Dv ij 2 i j Bi i p ij x j Dt 2 x j xi
ii 3 2 kk
v
2
H kk p p k j 3 x j
p xi xi
p v j k xi xi x j
v j x j
2 vi x j x j
v j 3 x i x j
p k v
v v Bi i i v j t x j
2 vi x j x j
Dv i Dt
v v v v v 3 t
Ejercicios Propuestos Fluidos Newtonianos. Hidrostática, Movimiento de cuerpo rígido 1. Un fluido en estado de reposo presenta una ecuación de estado de la forma: k p = λ ρ donde λ y k son constantes ρ - densidad La única fuerza de cuerpo al que está sometido el sistema es la gravedad. Considerando una orientación de ejes como se muestra en la figura, y que la presión en la referencia está dada por “p0”, determine: Variación de la presión en los ejes x1, x2. Variación de la presión en función de x3. 2. La puerta de la figura 1 (AB) es rectangular de 40 cm de ancho y 3 m de largo, ésta rota sobre el punto A. sí el peso de la compuerta (AB) es de 400 kg encuentre las reacciones en A y B. El fluido en el tanque es agua. 3. La compuerta de la figura 2 tiene 6 metros de largo por 4 de ancho. Si el peso de la compuerta es de 1000 N, determine el nivel del agua (h) al cual la compuerta empieza a caer.
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Mecánica del Medio Continuo
Figura 1
Figura 2
4. Un sistema hidráulico soporta las masas M1 y M2 en cada uno de los vasos comunicantes, los cuales contienen fluidos de densidad y viscosidad 1,, 2 1, 2. Determine la masa M2 que garantiza el equilibrio del sistema, esto a partir de 1,, 2, M1, h. Considere que los fluidos son newtoniano incomprensibles y no existe mezcla.
5. Un elemento cilíndrico de radio “r” y longitud “l” y densidad “” está sujeto al fondo de un recipiente de acuerdo a la siguiente figura. El fluido en el que se encuentra inmerso el elemento cilíndrico presenta una densidad “l”. Con base en lo antes expuesto determine el nivel de esfuerzos “” en el cable “C” cuyo diámetro es “ d” y su limite elástico es “0”.
6. Para diferencias de altitud pequeñas se puede asumir que la atmósfera tiene una temperatura constante. Con base en lo anterior determine la distribución de presión y densidad considerándolo como un gas ideal. 7. ¿Qué caracteriza un fluido Newtoniano? De algunos ejemplos de fluidos que se pueden modelar como Newtonianos.
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Mecánica del Medio Continuo
8. ¿Cómo se describe el comportamiento de un fluido no Newtoniano? De algunos ejemplos de fluidos que se pueden modelar como no Newtonianos. 9. Desarrolle la ecuación de conservación de cantidad de movimiento para un fluido Newtoniano incompresible. Indíquela en forma general y en notación índice. Desarróllela en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. 10. Los líquidos en los vasos comunicantes de la figura están en equilibrio. Determine h2 como una función de ρ1,, ρ2, ρ3, h1,, h3. Los líquidos no se pueden mezclar.
11. Un recipiente con agua se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración “a”. Encuentre la presión a la que se encuentre la presión a la que se encuentra un punto en la profundidad “h”. 12. En aplicaciones de astrofísica, una atmósfera que tiene una relación de la forma.
0 0 donde ,y 0 son la presión y densidad de referencia, se denomina como atmósfera politrópica. Para este tipo de atmósferas determine la distribución de presión y densidad. n
13. Un recipiente con un fluido incompresible se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración constante (a). Determine la presión en un punto que se encuentra a una profundidad “h” de la superficie. Considere que en la superficie (h=0) la presión esta dada por “p0”. Considere que la densidad se expresa como ρ Fluidos Newtonianos. Ecuaciones de Navier-Stokes 14.
2
2
2
Analice si la función escalar φ = A(– x1 – x2 + 2x3 )t describe un flujo irrotacional. 2
Donde t – s, x – m, A = 1 (1/s ) Asimismo determine el campo de esfuerzos asociado, considerando que la viscosidad esta dada por “µ”. Demuestre que el campo de esfuerzos satisface las ecuaciones de Navier-Stokes. Las fuerzas de cuerpo se pueden despreciar. 15.
Defina el concepto de capa límite
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Mecánica del Medio Continuo k
16. La ecuación de estado de un fluido barotrópico presenta la forma p=λρ , donde λ y k son constantes; siendo el flujo isoentrópico. Demuestre que para este caso la ecuación de Bernoulli en estado estable está dada por: kp 1 v 2 ctte (k 1) 2 y si el flujo es isotérmico la ecuación de Bernoulli queda: p
ln
1 v 2 ctte 2
17. Demuestre que la ecuación de presión para la película de lubricación (ecuación de Reynolds), se puede expresar como: h 3 p h 3 p d ( ) ( ) ((v A v B ) ) x1 12 x1 x2 12 x2 x1 2 18. Demuestre que el gasto volumétrico para un proceso de extrusión de un polímero, el cual se desarrolla mediante un tornillo extrusor está dado por: Para esto considere que el fluido se puede modelar como Newtoniano y que las condiciones son isotérmicas. 3 2 Dh sen Q 0.5 D Nh sen cos p 12l 2
D-Diámetro del cañón ó barril
2
N- velocidad de rotación del husillo
h= espesor de la película
h- profundidad del canal del husillo
p= presión
- ángulo entre la hélice y la dirección perpendicular al husillo
= viscosidad
P- presión de descarga del husillo
vA= velocidad del cojinete (tangencial)
l- longitud del husillo
vB= velocidad de la flecha (tangencial) h
Husillo
- viscosidad
Z
w b
X
D
Canal de flujo
Barril p b
h
Modelo simplificado del canal
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Mecánica del Medio Continuo
, Vx
Y Vx
Y X
X Z
Flujo de arrastre (QA)
Z
Flujo de presión (QP)
Para lo anterior se define que el gasto volumétrico neto (Q) se puede expresar como la suma de un flujo de arrastre por velocidad (Couette) (QA) menos un flujo de presión (QP), este último generado por el incremento de presión que se produce hacia la zona de descarga. El flujo de arrastre se desplaza hacia delante y ocurre por el movimiento de la superficie del husillo en contacto con el fluido, mientras la otra permanece fija. w - Velocidad angular del husillo p-paso del husillo Considere que Q= QA - QP Para facilitar el análisis al calcular el flujo de arrastre considere que el barril gira y el husillo permanece inmóvil. Considere que el flujo está dado por: Q= vAc, v-velocidad promedio y AC-sección transversal del canal 19. Demuestre que la ecuación de movimiento para un fluido newtoniano compresible se puede expresar como: v p k(div _ v) (div _ v) div(v) B vv 3 t ¿Cuántas incógnitas se presentan en este sistema? ¿Cuáles son éstas? ¿A qué otras ecuaciones se puede acudir para resolver el sistema? Exprese la ecuación en notación índice. 20. Un recipiente con un fluido incompresible se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración constante (a). Determine la presión en un punto que se encuentra a una profundidad “h” de la superficie. Considere que en la superficie (h=0) la presión esta dada por “p0”. Considere que la densidad se expresa como 21. Deduzca la ecuación que describa el comportamiento de un fluido Newtoniano incompresible, preséntela en forma invariante (notación general) y en notación índice para coordenadas rectangulares en este último caso exprese las ecuaciones a las que se da lugar. Cuáles son las incógnitas y que otra(s) ecuacion(es) se emplearan para poder resolver las incógnitas. Exprese la(s) ecuacion(es) complementarias. ¿Qué pasa en el caso de que el fluido Newtoniano sea compresible? Dr. Armando Ortiz prado UDIATEM
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Mecánica del Medio Continuo
Cuáles serán las incógnitas adicionales, que otra(s) ecuacion(es) son empleadas para la solución del problema. 22. Considere que entre las placas A y B existe un fluido newtoniano incompresible. La placa A se desplaza a una velocidad de 1 m/s, mientras que la placa B permanece en reposo. Si la distancia entre ambas placas es de 1 m determine la velocidad de placa del fluido a 0.2 m de la placa A. Considere que las placas están horizontales y que sus dimensiones son muy grandes.
2 Al término , en un fluido newtoniano se le denomina viscosidad volumétrica. En un 3 fluido newtoniano, en una coordenada (x1, x2, x3) a un tiempo “t” el estado de esfuerzos está dado por ij. Si el fluido presenta una viscosidad volumétrica igual a cero, determine la profundidad a la que se encuentra inmerso si las fuerzas de cuerpo están dadas por “i”. La densidad es de 1000 kg/m3. 23.
4 6 9.8 ij 4 39.2 2 kPa 6 2 9.8
x3
x1
x2
Asimismo determine el tensor de esfuerzos viscosos
i 0eˆ1 0eˆ2 geˆ3
g = 9.8 m/s2
24.
El tensor ij describe el estado de esfuerzos para un punto Xi de un fluido incompresible. Para
ij
ij que depende exclusivamente de la velocidad de deformación, asimismo
determine el tensor
determine la presión hidrostática asociada. 5 25 8 ij 8 15 12 5 12 5
25. El tensor de esfuerzos asociado a un punto (q) de un fluido Newtoniano con viscosidad volumétrica cero está dada por
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Mecánica del Medio Continuo
ij q
3 4 6 3 10 8 KPa 4 8 13.4
26. Para un flujo irrotacional de un fluido no viscoso, homogéneo e isotrópico deduzca la ecuación de Bernoulli a partir de las ecuaciones de Navier Stokes. 27. Dado el siguiente campo de velocidades de un fluido viscoso newtoniano. v1 kx1 v2 kx2
v3 0
Demuestre que el campo de velocidades es irrotacional Determine el tensor de esfuerzos Determine el campo de aceleraciones Demuestre que el campo de velocidades satisface la ecuación de Navier-Stokes, y esto permite determinar la función de presión (distribución de presiones). Para lo anterior desprecie las fuerzas de cuerpo y considere que p=p0 en el origen. Determine la rapidez de disipación de energía mecánica en calor. Si x2=0 representa una frontera física que condición no es satisfecha por el campo de velocidades. 28.
El tensor ij describe el estado de esfuerzos para un punto Xi de un fluido incompresible. Para
ij
ij que depende exclusivamente de la velocidad de deformación, asimismo
determine el tensor
determine la presión hidrostática asociada. 5 25 8 ij 8 15 12 5 12 5
29. Sea (xi, t) una función escalar a través de la cual se pretende definir el campo de velocidades en un medio continuo, de acuerdo a: d vi dxi ¿Qué características deberá cumplir la función para que el flujo en el intervalo sea irrotacional? Si la función (xi, t), está asociada a un medio incompresible ¿Cómo quedará expresada la ecuación de conservación de masa, en el intervalo bajo estudio? 30. Para un flujo irrotacional de un fluido no viscoso, homogéneo e isotrópico deduzca la ecuación de Bernoulli a partir de las ecuaciones de Navier Stokes. 31.
El tensor ij describe el estado de esfuerzos para un punto Xi de un fluido con viscosidad
volumétrica (Bulk viscosity) igual a cero. Para ij determine el tensor ij que depende exclusivamente de la velocidad de deformación, asimismo determine la presión hidrostática asociada.
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Mecánica del Medio Continuo
5 25 8 ij 8 15 12 5 12 5
32. Determine el tensor de esfuerzos asociado a los siguientes campos de velocidad, considerando que se trata de un fluido viscoso. a) v1=0 v2=0 v3=x2 2 2 b) v1=0 v2= x2 x3 v3=-2x2x3 c) v1=v1(x1, x2) v2=v2(x1, x2) v3=0 33. Para un flujo axisimétrico estable inducido por presión a través de una tubería de diámetro (d) compruebe el gasto másico está dado por: d 4 M 128 considerando que se trata de un fluido newtoniano incomprensible de densidad (), donde () representa el gradiente de presión: p p- presión, z-dirección de flujo , z 34.
Demuestre que el campo de velocidades dado por: 2x1x2 x2 x2 , v3 0 v1 1 4 2 , v2 4 R R donde () representa una constante diferente de cero y R 2 x12 x22 0 . Obedece a la ecuación de movimiento de Euler. Asimismo determine la distribución de presiones asociada al campo de velocidades. 35. Analice si la función escalar = A(– x12 – x22 + 2x32)t describe un flujo irrotacional. Donde t – s, x – m, A = 1 (1/s2) Asimismo determine el campo de esfuerzos asociado, considerando que la viscosidad esta dada por “”. Demuestre que el campo de esfuerzos satisface las ecuaciones de Navier-Stokes. Las fuerzas de cuerpo se pueden despreciar 37.
Demuestre que el campo de velocidades dado por: 2x1x2 x2 x2 , v3 0 v1 1 4 2 , v2 4 R R
donde () representa una constante diferente de cero y R 2 x12 x22 0 . Obedece a la ecuación de movimiento de Euler. Asimismo determine la distribución de presiones asociada al campo de velocidades. 36. Analice si la función escalar = A(– x12 – x22 + 2x32)t describe un flujo irrotacional. Donde t – s, x – m, A = 1 (1/s2)
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Mecánica del Medio Continuo
Asimismo determine el campo de esfuerzos asociado, considerando que la viscosidad esta dada por “”. Demuestre que el campo de esfuerzos satisface las ecuaciones de Navier-Stokes. Las fuerzas de cuerpo se pueden despreciar. 37. Para el siguiente campo de velocidades en coordenadas cilíndricas: vr = v(r,) , v = 0 , vz = 0 f A partir de la ecuación de la continuidad demuestre que: vr = r 2 2 f 0 y p 2 f c f 4f En ausencia de fuerzas de cuerpo, demuestre que: 2 2 r donde “c” representa una constante. 38. Demuestre que la ecuación de presión para la película de lubricación (ecuación de Reynolds), se puede expresar como: h 3 p h 3 p d ( ) ( ) ((v A v B ) ) x1 12 x1 x2 12 x2 x1 2 h= espesor de la película p= presión = viscosidad vA= velocidad del cojinete (tangencial) vB= velocidad de la flecha (tangencial)
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