Apuntes de Mecanica de Materiales 1-15

APUNTES DE MECANICA DE MATERIALES / INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACAN ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ / ENERO-JUNIO 2012 Pag. No. 1

MECANICA DE MATERIALES 0.1 HISTORIA

0.2 DEFINICIONES

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1. INTRODUCCION A LA MECANICA DE MATERIALES El objetivo principal de la Mecánica de Materiales o Resistencia de Materiales es determinar los esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y sus componentes debido a las cargas que actúan sobre ellas. Mientras que la Estática y en la Dinámica estudian las fuerzas y movimientos asociados con partículas y cuerpos rígidos, la Mecánica de Materiales va más allá al estudiar y examinar los esfuerzos y deformaciones unitarias dentro de los cuerpos reales. El nombre de Resistencia de Materiales se aplica a la ciencia que estudia los métodos de ingeniería de cálculo a la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los elementos de máquinas y construcciones. La resistencia es la capacidad de una estructura, de sus partes y elementos de contrarrestar una carga determinada sin descomponerse. La rigidez es la propiedad de una estructura o de sus elementos de oponerse a las cargas exteriores en lo que se refiere a las deformaciones (cambio de forma y dimensiones). Las deformaciones no deben exceder cuando las cargas son determinadas, de ciertos valores fijados de acuerdo con las exigencias para la estructura. La estabilidad es la capacidad de una estructura o de sus elementos de conservar una forma inicial determinada de equilibrio estático. Con el propósito de que las estructuras correspondan, en general, a las exigencias de resistencia, rigidez y estabilidad, es necesario, dar a sus elementos una forma más racional y determinar las dimensiones correspondientes. 1.1 HIPOTESIS DE LA MECANICA DE MATERIALES Para formar la teoría de la Mecánica de Materiales se aceptan una serie de hipótesis sobre la estructura y las propiedades de los materiales, lo mismo que sobre el carácter de las deformaciones. 1. Hipótesis sobre la continuidad del material. Se supone que el material llena totalmente el volumen que ocupa. La teoría atomística de la composición discreta de la materia no se toma en consideración. 2. Hipótesis sobre la homogeneidad e isotropía. Se supone que las propiedades del material son iguales en todos los puntos, y en cada punto, en todas las direcciones. En algunos casos la suposición sobre la isoptropía es inaceptable en algunos materiales como la madera o los armados. 3. Hipótesis sobre la pequeñez de las deformaciones (hipótesis de la rigidez relativa del material). Se supone que las deformaciones son pequeñas en comparación con las dimensiones del cuerpo deformado. A base de esto se prescinden de los cambios en la situación de las fuerzas exteriores respecto a las partes aisladas del cuerpo durante la deformación, y se componen las

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ecuaciones estáticas para un cuerpo no deformado. En algunos casos nos vemos obligados a renunciar a este principio, lo que se acuerda especialmente. 4. Hipótesis sobre la elasticidad perfecta del material. Se suponen todos los cuerpos absolutamente elásticos. Prácticamente, los cuerpos reales pueden considerarse elásticos, solamente hasta ciertos valores de las cargas; es necesario tomarlo en consideración utilizando fórmulas de resistencia de materiales. 5. Hipótesis sobre la dependencia lineal entre las deformaciones y las cargas. Se supone que para la mayoría de los materiales es válida la ley deHooke que establece la dependencia proporcional directa entre las deformaciones y las cargas. Como consecuencia de las hipótesis sobre la pequeñez de las deformaciones y la dependencia lineal entre las deformaciones y los esfuerzos, durante la solución de la mayoría de los problemas de Mecánica de Materiales es aplicable el Principio de Superposición (principio de independencia de acción y adición de las fuerzas). Por ejemplo, los esfuerzos en cualquier elemento de la estructura provocados por diferentes factores son iguales a la suma de los esfuerzos provocados por cada uno de esos factores y no dependen del orden de su aplicación. Lo mismo es justo en lo que se refiere a las deformaciones. 6. Hipótesis de las secciones planas. Se supone que las secciones planas mentalmente trazadas perpendiculares al eje de la barra en el proceso de su deformación se mantienen planas y perpendiculares al eje. Estas, igual que algunas hipótesis permiten resolver gran número de problemas sobre el cálculo de resistencia, rigidez y estabilidad. Los resultados de tales cálculos concuerdan bien, como regla general, con los datos experimentales.

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1.2 CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES MECANICAS DE MATERIALES COMUNES EN LA CONSTRUCCION Debido a que son muy variados los tipos de los elementos de estructuras que se encuentran en las construcciones y las máquinas, se puede reducirlos a un número relativamente pequeño de formas fundamentales. Los cuerpos que tienen esas formas fundamentales son objeto de cálculo a la resistencia, rigidez y estabilidad y son los siguientes elementos: Barra o viga, es un cuerpo que tiene dimensión (longitud) mucho mayor que las otras dos dimensiones (transversales). Se encuentra barras con eje rectilíneo o curvilíneo, pueden ser de sección constante o variable.

La bóveda o cascarón es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas situadas a una distancia corta una de otra, es decir, un cuerpo, una dimensión (espesor) del cual es mucho menor que las otras dos. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de ambas superficies de la bóveda se llama superficie media. De acuerdo con la forma de la superficie media se distinguen bóvedas cilídricas, cónicas, esféricas, etc. A las bóvedas pertenecen depósitos de paredes delgadas, calderas, cúpulas de edificios, revestimientos de fuselajes, alas y otras partes de las aeronaves, cuerpos de los barcos, etc. Si la superficie media de un cascarón representa un plano, tal bóveda se llama placa. Las placas pueden ser redondas, rectangulares y tener otras configuraciones. El espesor de las placas, lo mismo que de las bóvedas, puede ser constante o variable. Fondos planos y tapas de los depósitos, cubiertas de las obras de ingeniería, discos de las turbomáquinas, etc., son placas.

Se llama macizo a un cuerpo que tiene todas las tres dimensiones del mismo orden. Son cimentaciones de las obras, muros de retención, presas de almacenamiento, etc.

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En la Mecánica de Materiales los problemas se resuelven, por regla general, con métodos matemáticos simples, valiéndose de una serie de hipótesis simplificadas y resultados experimentales, llevando las soluciones hasta las fórmulas de cálculo aptas para la utilización en la práctica de ingeniería. Los elementos que tradicionalmente se usan en la industria de la construcción son: concreto, acero de refuerzo, acero estructural, madera y mampostería. Concreto. Al ser una mezcla de agua, cemento y agregados para formar una roca artificial podemos decir que no es un material elástico debido a: 1. Las deformaciones unitarias no son proporcionales a los esfuerzos que soporta el material, y 2. Para una carga fija determinada se presenta una variación continua de la deformación unitaria; dicha variación aumenta con el valor del esfuerzo y disminuye con el transcurso del tiempo. A este fenómeno se le llama flujo plástico y es más acentuado en concreto de baja resistencia. Por las razones anteriores no se puede establecer un módulo de elasticidad constante del concreto. El diagrama esfuerzo-deformación es una curva y en consecuencia, a cada valor del esfuerzo le correspondería otro valor del módulo de elasticidad. A mayor abundamiento, las pendientes iniciales de las curvas esfuerzo-deformación aumentan con la resistencia máxima del concreto. La primera parte del diagrama esfuerzo-deformación se aproxima mucho a una línea recta y puede considerarse así, sin gran error, hasta valores del esfuerzo de 0.45 ′ .

Después de esos valores, el diagrama se curva francamente y alcanza el punto correspondiente a la máxima resistencia, para una deformación unitaria de prácticamente 0.002. La deformación unitaria correspondiente a la máxima resistencia, se conserva más o menos constante, independientemente de la fatiga de ruptura del material ensayado, la cual si interviene en el cambio en la falla final, que suele ocurrir entre 0.003 y 0.007 para probetas cargadas en pruebas estándar.

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El Reglamento ACI propone la siguiente expresión para el módulo de elasticidad,

, del concreto:

= 4270 . ′ en la cual es el peso volumétrico del concreto y está dado en / . El Reglamento recomienda para valor de 2.3 / , pero pueden asignarse valores entre 2.3 2.5 / , de acuerdo con los materiales que se dispongan para fabricar el concreto. El Reglamento del Instituto de Ingeniería de la UNAM recomienda, para los valores usados comúnmente en el D.F., un valor de

= 12000

′

Acero.Es una aleación basada en hierro, que contiene carbono y pequeñas cantidades de otros elementos químicos metálicos. Generalmente el carbono representa entre el 0.5% y el 1.5% de la aleación. El componente básico del acero estructural es el hierro, mismo que no se encuentra en estado puro en la naturaleza, sino bajo la forma de óxidos de distintas clases llamados minerales de hierro. Para obtener acero es necesario someter los minerales de hierro a una serie de procesos para eliminar impurezas y obtener la aleación requerida. Esta serie de procesos consiste esencialmente en los siguiente: se mezcla el mineral de hierro con carbón de coque y piedra caliza, y se introduce la mezcla en un alto horno donde es sometido a temperaturas elevadas. A la mezcla fundida se le inyecta aire, con lo que se reducen los óxidos de hierro. El producto resultante llamado arrabio o hierro de primera fusión contiene, entre otras impurezas, aproximadamente 3% de carbono, 1.5% de sílice y cantidades menores de manganeso y fósforo. Este material es poco apropiado para aplicaciones estructurales por su fragilidad. Para obtener un material más dúctil es necesario eliminar la mayor cantidad de impurezas posible y lograr un contenido adecuado de carbono. Los métodos más comúnmente utilizados para conseguir esto son: el Siemens-Martin, de “hogar abierto”; el Bessemer, en el que se emplea un recipiente inclinable llamado convertidor, y los sistemas a base de hornos eléctricos. Las impurezas se eliminan quemándolas con aire introducido en la masa fundida, obteniendo, así, hierro casi puro. Para lograr las características resistentes requeridas se agrega carbono, y en ciertos casos, otros elementos. El resultado de esta etapa son elementos de acero relativamente grandes denominados lingotes. Para obtener las distintas modalidades del acero utilizado para fines estructurales, los lingotes deben ser sometidos a diversos tratamientos. Así se obtienen placas, perfiles estructurales y una gran parte de las varillas de refuerzo para concreto por laminación en caliente. Otros elementos son sujetos a diversos tratamientos en frío que mejoran la resistencia del acero, que consisten en procesos de estiramiento y torcido. En esta forma, por ejemplo, se fabrican varillas de alta resistencia para refuerzo de concreto así como el acero para pre-esfuerzo. El acero utilizado en las estructuras (varillas, perfiles y cables) es un material apto para resistir solicitaciones traccionantes; en el caso de las varillas y cables, lo convierte en el componente ideal para combinarse técnicamente con el concreto simple, con el que conforma el concreto reforzado y el concreto pre-esforzado. El porcentaje de acero de refuerzo dentro del concreto es del orden de 0.5% al 3%, dependiendo del elemento estructural. El acero empleado como refuerzo del concreto armado normalmente se suministra como varillas corrugadas con distintos diámetros nominales.

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Diámetro pulg

No. Octavos

Diámetro cm

Area 2 cm

1/4

2

0.64

0.32

5/16

2.5

0.79

0.49

3/8

3

0.95

0.71

1/2

4

1.27

1.27

5/8

5

1.59

1.98

3/4

6

1.91

2.85

7/8

7

2.22

3.88

1

8

2.54

5.07

1 1/8

9

2.86

6.41

1 1/4

10

3.18

7.92

1 3/8 1 1/2

11 12

3.49 3.81

9.58 11.40

La descripción más completa de las propiedades mécanicas de los aceros y usadas en el diseño estructural se la realiza mediante sus curvas esfuerzo-deformación bajo cargas de tensión (tracción), las mismas que varía dependiendo de la composición química del material y de sus procesos de fabricación. Es importante referir los ensayes a probetas estándar, puesto que los resultados difieren según el tamaño y la forma de éstas. La ASTM, American Society for Testing and Materials, entidad americana que regula las especificaciones de los materiales mediante ensayos controlados, establece las características que deben tener las probetas según el tipo de acero por estudiar.

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1.3 ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA Una fuerza externa aplicada a un cuerpo, hace que éste se deforme o cambie ligeramente de forma. También produce fuerzas internas (esfuerzos) que actúan dentro del cuerpo. El esfuerzo es una función de las fuerzas internas en un cuerpo que se producen por la aplicación de las cargas exteriores. Si consideramos ua barra simple sujeta a una fuerza axial en cada extremo. Supóngase que esta barra está formada de un gran número de fibras alineadas paralelamente. Si se hace una sección de la barra, se obtiene el siguiente diagrama de cuerpo libre (dcl)

De la Estática sabemos que si una estructura está en equilibrio, cualquier porción de la estructura debe también estarlo. En el dcl la fuerza externa está aplicada a la derecha. Como el cuerpo está en equilibrio, dene también haber fuerzas que actúan hacia la izquierda. Estas fuerzas que resisten la carga aplicada, son transmitidas por las fibras de la barra. La suma de las cargas soportadas por cada fibra es igual a la carga aplicada. La fuerza interior total en la barra es la resultante de todas las fuerzas en las fibras, y es igual a , expresada en , o . Sin embargo, no es común hablar de la fuerza total en la barra, sino más bien de la intensidad de la fuerza en las fibras. Esta intensidad de la fuerza se llama el esfuerzo o esfuerzo unitario y se define como la fuerzapor unidad de área. Matemáticamente es : esfuerzo unitario en : carga aplicada en

, en , en

=

o en

o en

: área sobre la cual actúa la carga, en

o en

El procedimiento para calcular el esfuerzo es independiente del sistema de unidades.

= , donde

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La deformación unitaria, o deformación por unidad de longitud, se obtiene dividiendo el acortamiento o alargamiento medido en un instante dado entre la longitud inicial de la medición. Por lo tanto, si el cambio de longitud es y la longitud de medición inicial es , la deformación unitaria se puede calcular con la ecuación

. Las deformaciones unitarias son adimensionales.

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1.4 LIMITE ELASTICO, LIMITE DE PROPORCIONALIDAD, ESFUERZO DE FLUENCIA, RIGIDEZ, RESISTENCIA DE RUPTURA

En el siguiente diagrama se presentan algunas curvas esfuerzo-deformación características de los aceros.

Se le llama rango de comportamiento elástico al rango de esfuerzos, a partir de la carga nula, en que el acero se deforma por cargas de tensión, pero cuando se retira tal carga recupera su geometría inicial. En la curva esfuerzo-deformación, ese rango coincide con la recta que parte desde el origen.

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Se define como esfuerzo de fluencia aquel bajo el cual el acero continúa deformándose sin necesidad de incrementar las cargas de tensión. En el diagrama esfuerzo-deformación de los aceros tradicionales, la fluencia coincide con una recta horizontal o casi horizontal a continuación del rango elástico y un pequeño tramo de transición. Existen aceros estructurales trabajados en frío para lograr una mayor resistencia, que no revelan una zona de fluencia, en cuyo caso, ASTM recomienda trazar una recta paralela a la de comportamiento elástico, que arranque en el eje de las deformaciones unitarias con una deformación de 0.002. El punto de cruce de esa recta con la curva esfuerzo-deformación definirá el esfuerzo teórico de fluencia del material. La resistencia a la ruptura es el mayor esfuerzo que puede soportar el acero, previo al colapso del material. Dentro del diagrama esfuerzo-deformación del acero al inicio del colapso queda identificado mediante el punto de mayor ordenada, que se representa como . En la siguiente tabla se resumen algunas características mecánicas de los materiales que comúnmente se emplean en la construcción, en donde se indican la masa unitaria, la resistencia última a la tensión, compresión y esfuerzo cortante, la resistencia a la fluencia, los esfuerzos permisibles, los módulos elásticos y el coeficiente de expansión térmica.

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1.5 MATERIAL DUCTIL, FRAGIL, ELASTICO, PLASTICO, ELASTO-PLASTICO En las típicas curvas esfuerzo-deformación unitaria de los aceros se observa que se producen grandes deformaciones antes de que ocurra la ruptura del material; en este caso se dice que el material es dúctil; por el contrario, cuando el material es frágil las deformaciones son pequeñas en el momento de la ruptura (Tipo A). Algunos materiales frágiles no metálicos, como varios tipos de plásticos, presentan curvas esfuerzo-deformación unitaria del tipo B.

Observando los diagramas se concluye que hay una considerable variación en las curvas esfuerzodeformación unitaria de los distintos materiales usados en ingeniería. Sin embargo, en los diagramas de la izquierda y de la derecha se ve que existe una etapa inicial con una relación esfuerzodeformación unitaria lineal. La porción recta inicial de estas curvas se puede representar por la ecuación = , de donde = . En esta ecuación, el valor es la pendiente de la línea recta y se denomina módulo de elasticidad o módulo de Young. Tiene unidades de fuerza dividida entre la longitud al cuadrado,

.

La relación esfuerzo-deformación representada por = se conoce como la ley de Hooke, debido a que el científico inglés del siglo XVII Robert Hooke fue el primero en observar y registrar esta característica básica para muchos materiales. La ley de Hooke representa un relación esfuerzodeformación bastante importante ya que los análisis de esfuerzos y deformaciones, y el diseño de la mayor parte de las construcciones están basadas sobre esta ley simple del comportamiento de los materiales. Cuando la gráfica esfuerzo-deformación de un material cumple con la ley de Hooke se dice que su comportamiento es lineal. Si al descargar el espécimen, éste recupera toda su deformación, el comportamiento es elástico. Un material puede tener un comportamiento lineal pero no elástico y viceversa, aunque en muchos casos la etapa lineal es también elástica. Investigación 1. Leer los temas 1.3 Propiedades mecánicas de los materiales y 1.4 Elasticidad, plasticidad y flujo plástico del libro Mecánica de materiales de James M. Gere, páginas 10 a la 23 y elaborar un resumen de los conceptos.

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Un espécimen de plástico metacrilato se prueba a tensión a temperatura ambiente y se obtiene los datos de esfuerzo-deformación unitaria dados en la siguiente tabla. Grafique la curva esfuerzo-deforación unitaria y determine el límite proporcional, el módulo de elasticidad y el esfuerzo de fluencia medido con un corrimiento de 0.2%. ¿El material es dúctil o frágil? Esfuerzo 

DefUnit 

k

k

0 8.0 17.5 25.6 31.1 39.8 44.0 48.2 53.9 58.1 62.0 62.1

0.0000 0.0032 0.0073 0.0111 0.0129 0.0163 0.0184 0.0209 0.0260 0.0331 0.0429 0.0500

  Esfuerzo  MPa k

Límite Propocional:

lp  47.317MPa

Módulo de elasticidad:

E 

k

lp  47.317MPa 

13.410MPa 

E  2.413GPa 

0.0055582 Recta para determinar el límite de fluencia: Esfuerzo de fluencia:

y ( x)  E ( x  0.002)

y  52.632MPa 

y  52.632MPa 

al 0.2%

El material es frágil

110

8

k y  DefUnit k  510

7

0

0

0.02

0.04 DefUnit k

0.06