Apuntes de Ing de Control

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López OBJETIVO: simular por medio de modelos matemáticos los sistemas electromecánicos permitiendo analizar el comportamiento físico de los mismos.

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL 1.1 introducción 1.2 definiciones 1.3 controles 1.4 ejemplos de los sistemas de control 1.5 elementos principales de proyecto de sistemas de control

UNIDAD II: MODELACION MATEMATICA 2.1 Simplicidad frente exactitud 2.2 Sistemas lineales 2.3 Sistemas lineales invariables y variables con el tiempo 2.4 Sistemas no lineales 2.5 Aproximación lineal de sistemas no lineales

UNIDAD III: FUNCION DE TRANSFERENCIA Y DIAGRAMAS DE BLOQUES 3.1 Funciones de transferencia 3.2 Sistemas mecánicos, a) traslación, b) rotación 3.3 Sistemas eléctricos 3.4 Sistemas análogos, a) analogía fuerza-tensión, b) analogía fuerza-corriente 3.5 Funciones de transferencia de elementos en cascada a) función de transferencia de elementos en cascada sin carga. 3.6 Detector de error 3.7 Procedimiento para el trazo de diagramas de bloques a) reducción de diagramas de bloques

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López 3.8 Obtención de funciones de transferencia se sistemas físicos 3.9 Sistemas eléctricos y mecánicos, a) motores de C.D. controlados por la armadura, b) motores de C.D. controlados por el campo. 3.10 Sistemas de control de nivel de líquido 3.11 sistemas de múltiples variables y matrices de transferencia.

UNIDAD IV: ACCIONES BASICAS DE CONTROL Y CONTROLES AUTOMOTRICES INDIVIDUALES 4.1 Acciones de control a) Acciones de control de dos posiciones b) Acción de control proporcional c) Acción de control integral d) Acción de control proporcional e integral e) Acción de control proporcional y derivativo f) Acción de control proporcional, derivativo e integral 4.2 Controles proporcionales a) Sistemas neumáticos b) Control proporcional de un sistema de 1er. Orden 4.3 Obtención de la acción de control derivativa e integral.

UNIDAD V: ANALISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA 5.1 Sistemas de 1er. Orden 5.2 Sistemas de 2do. Orden

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López UNIDAD VI: ESTABILIDAD 6.1 Método del lugar de las raíces 6.2 Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces.

BIBLIOGRAFÍA

•

Ingeniería de Control Moderna Ogata

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Prentice Hall •

Introducción a la Ing. De Control Automático Jesús Rodríguez Ávila Mc Graw-Hill

•

Sistemas Automáticos de Control KVO CECSA

•

Instrumentación Industrial Creusgole Mar Combo

•

Instrumentación Electrónica Diefendrfer Interamericana

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

UNIDAD I INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL 1.1 Introducción El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y en la ciencia, se a convertido en una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de manifactura, es esencial en el control numérico de maquinasherramientas en el diseño de pilotos automáticos en la industria aeroespacial, en el diseño y montaje de automóviles y camiones en la industria automotriz. También es esencial en las operaciones industriales como por ejemplo el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad, flujo, posición, velocidad. Todos estos parámetros que son importantes de monitorear y controlar en las industrias de proceso. La ventaja de utilizar la teoría o de control automático es obtener un desempeño optimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, aligerar la carga de muchas operaciones manuales, repetitivas, peligrosas y rutinarias, así como también de otras actividades. Antecedentes James Watt.- implementa el control de velocidad de la maquina de vapor en el siglo XVlll. Minurskg.- trabajo en los controles automáticos para dirigir embarcaciones y demostró que la estabilidad puede estudiarse a partir de ecuaciones diferenciales que describen el sistema (1922). Nyquist (1932).- Desarrollo un procesamiento relativamente simple para determinar la estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado sobre la base de respuesta a lazo abierto con excitación sinusoidal a régimen permanente. Hazen.- desarrollo el sistema de servomecanismo capaces de seguir con la exactitud de una entrada cambiante. Evans.- En la década de los cuarenta y principio de los cincuentas desarrollo un procedimiento de análisis de los sistemas conocido como el método del lugar de raíces. Con anterioridad y en forma paralela se estaba desarrollando el método de respuesta en frecuencia, ambas teorías son muy utilizadas en el control elástico que se encarga del estudio de los sistemas con una entrada y una salida.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Hacia el año de 1960 debido al auge de las computadoras digitales se hizo posible entonces el análisis de sistemas complejos en el dominio del tiempo, por lo cual se desarrolla la teoría de control moderna basada en el análisis y síntesis de los sistemas en el dominio del tiempo utilizando la herramienta de variables de estado con lo que se posibilita afrontar la complejidad creciente de las plantas modernas y los estrictos requisitos de exactitud y costos en aplicaciones militares, espaciales e industriales. Los desarrollos mas resientes en la teoría de control moderna están en el campo del control óptimo de sistemas. Así como también en sistemas de control compleja con adaptación y aprendizaje. Las computadoras digitales pueden utilizarse como parte integral de los sistemas de control. Aplicaciones resientes de la ingeniería de control incluyen otras áreas tales como la biología, biomedicina, economía y socioeconómica entre otros campos. 1.2 Definiciones Para analizar los sistemas de control deben definirse ciertos términos básicos y que son los siguientes: Variable controlada.- Es la cantidad o condición que se mide y se controla. Variable manipulada.- Es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Controlar.- Es medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al mismo para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado. Planta.- Es la parte primordial del sistema y es lo que se va a controlar. Proceso.- Es cualquier operación que se va a controlar. Sistema.- Es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Perturbación.- Es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de salida de un sistema. Si la perturbación es dentro del sistema se dice que es interna, si se genera afuera del sistema se llama externa. 1.3 Controles En la teoría de control existen dos tipos de control principalmente, el de lazo abierto y el de lazo cerrado. Los sistemas de control de lazo abierto son aquellos en las cuales la salida no afecta la acción de control. Por ejemplo, en una lavadora todo ciclo de lavado es en base a tiempos preestablecidos donde no se mide la señal de salida que es la limpieza de la ropa. En todos estos

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López sistemas la salida no se compara con las entradas de referencia. Esto es, a cada entrada la corresponde una condición de operación fija, la precisión y exactitud del sistema depende de la calibración ante la presencia de perturbaciones en un sistema de control. En la práctica el control de lazo abierto solo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas o externas. Cualquier sistema de control que opere con respecto a una base de tiempo en un sistema de control de lazo abierto. Sistema de control de lazo cerrado. A estos sistemas también se les conoce como sistemas de control de realimentados. En estos sistemas se alimenta al controlador de la señal de error de acentuación que es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida del sistema a un valor conveniente. El termino control de lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control de alimentar para reducir el error del sistema que es la diferencia entre el valor de salida y el valor de referencia.

Figura 1 A continuación se muestran estos esquemas de control en forma de diagramas de bloques.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Figura 2 El sistema de control de lazo cerrado se observa que la señal de entrada al sistema es la referencia y la de salida en el parámetro por controlar. La señal de salida es revisada y comparada con la señal de entrada. La señal de resultante de esa comparación es propiamente la señal de error y esta es propiamente la que actúa sobre la planta para que al final se tenga el valor de la señal de salida deseada, de forma logarítmica, al proceso de regresar a la entrada la señal de salida con el fin de compararla, se domina realimentación o bien retroalimentación (feed back). Algunas de las características principales de un sistema de lazo cerrado son las siguientes:

1.- Sensibilidad 2.- Reducción de los fenómenos no lineales 3.- Evita oscilaciones o inestabilidad 4.- Incremento del ancho de banda 5.- Disminución de la ganancia 1.4 Ejemplos de sistemas de control 1.5 Elementos principales de los proyectos de sistemas de control La dinámica de muchos sistemas de control ya sean mecánicos, electros, térmicos, económicos, biológicos etc. Se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan a un sistema determinado como por ejemplo las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchoff para sistemas eléctricos. Una vez obtenido un modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos analógicos a si como métodos computacionales para estudiarlo y sintetizarlo. El primer paso en el análisis de un sistema dinámico consiste en deducir su modelo matemático. Siempre hay que tener en cuenta que deducir un modelo matemático razonable es la parte mas importante de todo análisis. El primer paso para el diseño de un sistema de control entonces, consiste en obtener ecuaciones diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varían. Comúnmente en el área de electromecánica los componentes del sistema de control incluyen elementos electrónicos, mecánicos, y electromecánicos.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Aunque, muchos otros tipos de elementos menos comunes como son los hidráulicos, térmicos, biológicos y químicos pueden también integrarse en el diseño de los sistemas de control. Para analizar un proyecto de sistema de control, es conveniente entender la relación entre dos aéreas de estudio, la teoría de control y la instrumentación, esto se puede explicar de la siguiente forma: un elemento que encontramos en los servo sistemas (control de posición o velocidad) mide o monitorea en todo instante la función de controlada. Por ejemplo, en el caso del piloto automático de los aviones se necesita un elemento que detecte el rumbo real del mismo. En el caso del sistema de posición automática se necesita un elemento que detecte la posición actual del mismo objeto que se quiere posicionar. En realidad, dicho elemento nos ofrece no solo una medición de un parámetro dado, también convierte o transforma a dicho parámetro en una señal adecuada para poder ser comparada con la variable de entrada. A los elementos que al caracterizan esta transformación se les conoce como transductores. Su enlazan dispositivos que generan una señal eléctrica a partir de otra de distinto tipo como por ejemplo las señales luminosas, sonoras, de posición, de velocidad o bien en otra señal eléctrica de distinta magnitud y de otras mas de distinta naturaleza. Conviene mencionar que la transformación que efectúan los transductores no siempre es una señal eléctrica: también se pueden generar señales de otra naturaleza. Sin embargo la medición y manipulación de parámetros eléctricos ese en general mas sencilla; además de que pueden efectuarse con una gran exactitud y precisión. Es por ello, que los transductores convierten una señal de naturaleza dada en otra que casi siempre es de naturaleza eléctrica. En virtud de que los transductores son esenciales en la construcción de los sistemas de control su estudio es importante lo cual es abordado por el área de la instrumentación. Respecto al sistema de posición automáticos se pueden hacer los siguientes planteamientos: Cuanto tiempo transcurrirá desde que se le da al sistema el valor de referencia hasta que este alcanza la posición deseada?; ¿con que posición y que exactitud se alcanzara esa posición?; ¿en que forma influirá la inercia del sistema?. Es evidente que no se puede decir respuesta a dichas preguntas si no se hacen cálculos basados en ciertos datos. En primer lugar es indispensable desarrollar ecuaciones matemáticas que describan el funcionamiento del sistema. La manipulación de esas ecuaciones para obtener respuestas a las preguntas planteadas y en otras similares es propiamente el área de estudio de la teoría de control o ingeniería de control. Principios básicos para el diseño de proyectos de un sistema de control En un principio todo proyecto debe cumplir con los siguientes requisitos generales:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López a) Todo sistema de control debe ser estable b) La velocidad de respuesta del sistema debe ser razonablemente rápida c) El sistema de control debe ser capas de disminuir el error y lograr que sea o bien aproximarlo a este valor Dada una planta industrial (que en la mayoría de los casos sus dinámicas son inalterables), primeramente se deben elegir los censores y actuadores apropiados. Luego hay que construir modelos matemáticos adecuados de la planta, censores y actuadores. Después, utilizando los modelos matemáticos construidos se diseña o selecciona un controlador de tal modo que el sistema de lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas. El controlador a si diseñado o seleccionado es la solución a la ecuación matemática del problema de diseño. Tras completar el diseño matemático, el ingeniero de control simula el modelo en una computadora para verificar el comportamiento del sistema y además a observar la respuesta antes diversas señales y bajo la aceptación de perturbaciones. Generalmente la continuación del sistema inicial no resulta del todo satisfactoria. Luego se debe rediseñar el sistema y completar el análisis correspondiente. Este proceso de diseño y análisis se repite hasta obtener un sistema satisfactorio. Al cabo de esto, ya se puede construir un prototipo físico del sistema. Es conveniente comentar, que el proceso de construcción de un prototipo es el inverso al proceso de modelado. El prototipo es un sistema físico que representa al modelo matemático con exactitud razonable, una vez construido se debe probar para ver si es satisfactorio. Si a si ocurre el diseño esta completo y si no, el prototipo debe ser modificarse y ponerse nuevamente a prueba y hacer esto hasta que los resultados sean completamente satisfactorios. En le caso de algunos sistemas de control de procesos se pueden utilizar formas de controlador normalizadas y los parámetros del controlador se determinan experimentalmente siguiéndolo un procedimiento normalizado ya establecido. En este caso, no se requieren modelos matemáticos sin embargo, estos son solo casos especiales.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Figura 3

UNIDAD II MODELACION MATEMATICA 2.1 Simplicidad frente exactitud Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representa la dinámica del sistema con exactitud o al menos bastante bien. Un sistema se pude presentar en muchas formas diferentes por lo que se pueden tener muchos modelos matemáticos dependiendo de cada perspectiva. La dinámica de muchos sistemas ya sean mecánicos, eléctricos, electrónicos, macatrónicos, térmicos, económicos, biológicos, etc. Se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan a un sistema determinado como por ejemplo las leyes de Kirchoff en sistemas eléctricos y las leyes de Newton en sistemas mecánicos.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Una vez obtenido el modelo matemático siempre hay que tener en cuenta que deducir un modelo razonable es la parte mas importante de todo análisis. Esto lleva, implícito que es posible mejorar la exactitud y la precisión de un modelo matemático si se aumenta su complejidad. En algunos cosos incluso se utilizan cientos ecuaciones para describir a un sistema completo. Sin embargo, en la obtención de un modelo matemático se debe establecer un equilibrio entre la simplicidad del mismo modelo y la exactitud de los resultados del análisis. No obstante si no necesita una exactitud extrema, es preferible obtener solo un modelo matemático adecuado para el problema que se considera. Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado a menudo resulta necesario mejorar ciertas propiedades físicas inertes al sistema. En particular si se pretende obtener un modelo matemático de parámetros concentrados lineal, en muchas ocasiones es necesario ignorar ciertas no linealidades y parámetros distribuidos que pueden estar presentes en el sistema dinámico. Si los efectos que estas propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeños se obtendrá un buen equilibrio entre los resultados del análisis de un modelo matemático y lo resultado experimentales del sistema físico. Por lo general, cuando se resuelve un problema nuevo, es conveniente desarrollar primero un modelo simplificado para obtener una idea general de la solución. A continuación se desarrolla un modelo matemático mas completo y se usa para un análisis con mas detalle. Se debe estar consiente que un modelo de parámetros concentrados lineal, que puede ser valido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea valido en frecuencias suficientemente altas debido a que la propiedad no considerada de los parámetros distribuidos pueden convertirse e un factor importante en el comportamiento dinámico del sistema. Por ejemplo la masa de un resorte puede pasarse por alto en una operación en baja frecuencia pero si se convierte en una propiedad importante del sistema en altas frecuencias. 2.2 Sistemas lineales Un sistema es lineal si satisface los principios de súper posición y de homogeneidad. El principio de súper posición establece que la respuesta producida por la admisión simultanea de dos o mas funciones de entradas diferentes es igual a la suma de las dos o más respuestas individuales.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Figura 4

El principio de homogeneidad establece que la entrada de un sistema varia entonces la salida cambia en la misma proporción.

Figura 5 En general, se puede definir a un sistema lineal como aquel en cual hay una relación de proporcionalidad en que al variable de entrada y la variable de salida. Para decidir si un sistema es lineal se observa que lo que interesa en primera instancia es analizar la ecuación matemática que describe esto es, para que un sistema sea lineal debe ser descrito por una ecuación lineal es decir, por una ecuación en cuyos términos aparezcan las variables independientes o sus derivadas elevadas a la primera potencia, además de que no se tengan productos cocientes o funciones trascendentes de dichas variables. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales son las siguientes: 1)

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

2)

3)

4) a) b)

5)

2.3 Sistemas lineales invariables y variables con el tiempo. Los sistemas se modelan como ya se comento con ecuaciones diferenciales y se dice que una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o bien si son funciones de la variable independiente solamente. Por lo tanto, estos tipos de sistemas son los que pueden ser representados por ecuaciones diferenciales que para el caso de los sistemas invariantes en el tiempo, sus coeficientes son constantes lo cual se le conoce como de componentes o parámetros concentrados. En este tipo de sistemas se supone que sus componentes no se alteran con el transcurso del tiempo es decir, no envejecen. Ejemplo de esto en los sistemas eléctricos seria la resistencia, la inductancia y la capacitancia y de los sistemas mecánicos la masa, el resorte y el amortiguador. Los sistemas se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo se denominan sistemas lineales variables con el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variable con el tiempo es el sistema de control de naves espaciales (la masa de una nave espacial cambia debido al consumo de combustible). 2.4 Sistema no lineal

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Un sistema no lineal si no es factible la aplicación del principio de súper posición y del principio de homogeneidad, o bien si la ecuación que la modela es no lineal. A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales. 1)

2)

3)

Debido a la complejidad de los sistemas no lineales, se busca linealizarla aunque este comportamiento solo sea en un intervalo de valores. 2.5 Aproximación lineal de sistemas no lineales. En esta sección se observara y estudiara una técnica de linealización aplicable a muchos sistemas no lineales. El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, por que linealizar ecuaciones no lineales permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas no lineales. El procedimiento de linealización se basa en la expansión de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debido a que son considerados los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables solo se desvían ligeramente de la condición de operación. Primeramente, a fin de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considerando el siguiente sistema ...

(1)

Si la condición de operación normal es cerca del punto, la ecuación se expande en series de Taylor alrededor de este punto del modo siguiente …

(2)

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Las derivadas se evalúan en el punto de operación. Y si las variaciones alrededor del punto de operación son pequeñas, es posible no considerar los términos de orden superior, por lo que las ecuaciones anteriores queda de la siguiente forma …

(3)

Donde

Si la ecuación 3 la modificamos de la siguiente forma …

(4)

Relación que indica que es la proporcional a y esta ecuación por lo tanto nos da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal cerca del punto de operación. Si se tiene un sistema no lineal cuya salida es una función de 2 entradas, de forma general se expresa de la siguiente forma …

(5)

A fin de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expender la ecuación en series de Taylor alrededor de este punto de operación como sigue

En donde las derivadas parciales se evalúan para el punto de operación cerca de el, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante:

O bien (6) Donde 6 es la ecuación lineal del sistema no lineal 5 alrededor del punto de operación y además

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

La técnica de linealización presentada es valida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones lineal izadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determina que se usa un el análisis de diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación pero puede no ser exacto para otras condiciones. Ejemplo: lineal izar la siguiente ecuación no lineal En la región

. Encuentre el error si usa la ecuación lineal

izada para calcular el valor de z cuando

Por lo tanto

Entonces la ecuación lineal izada en el intervalo es

Para x=5, y=10 original z=x*y=5x10=50 Propuesta

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Error Lineal ice la siguiente ecuación no lineal en la región diferida:

Para x=8, y=2

Error

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

UNIDAD 3 Función de transferencia y diagramas de bloques 3.1función de transferencia

En la teoría de control se utilizan frecuentemente funciones determinadas de transferencia que sirven para caracterizar las relaciones de entrada – salida de componentes de sistemas que pueden describirse para ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo.

La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales invariables con el tiempo que modelan a un sistema físico se define como la relación entre la δ de la salida (función de respuesta) δ y la de la place de la entrada (función de excitación) van con suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

Si el sistema lineal invariante con el tiempo definido por las siguientes ecuaciones diferenciales.

n −1

a d ny dy d mx d m −1 x dx a n + a1 y + .......... an + any = bc m + b1 m −1 + ....bm − 1 + bmx dt dt dt dt dt dt

o bien

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

a y n + ay ( n−1) .......... ... + an −1 y + any = b° x m .... + bm −1

x + bmx Donde n>m

Donde (y) es la de la salida de sistema (x) es la de la entrada de la función de trasferencia del sistema se obtiene formando la trasformada de la place de ambos miembros de la ecuación bajo suposición Calcular el voltaje v° a partir de cerrar el interruptor.

De que todas las condiciones iniciales son cero es decir:

Función de transferencia =

δ { salida } condiciones iniciales cero o bien δ ( entrada )

y ( s ) b0 ∫ m + b1 ∫ m−1 +....bm − 1 ∫ + bm G= = x( s) a0 ∫ n + a1 ∫ n−1 +...an−1 s + an

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López En la relación anterior:

1._la relación de la función es en el modelo matemático en la salida de que es un modelo operacional de expresar que relaciona la variable de salida como la variable de entrada. 2._la función de transformada de un sistema en si independiente de la magnitud y la naturaleza de la entrada de la función excitadota. 3._la función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar las de la saluda con las de la entrada; no brinda ninguna información respecto ala estructura física del sistema. Las funciones de trasferencia de de muchos sistemas físicamente distintos pueden ser idénticos. 4._si se conoce la función de transferencia también se puede estudiar la salida o respuesta para diversos formas de entrada con el objetivo de mejorar un mejor precisión de la naturaleza del mismo. 5._si se desconoce la función de transferencia o de un sistema se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema, una vez establecida la función de transferencia proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema. Obtención de la función de transferencia.

Para determinar la función de transferencia se reduce a los siguientes pasos.

1._se escribe la ecuación diferencial del sistema formado en cuenta las leyes que rigen se tomo la trasferencia de la place de la ecuación diferencial suponiendo condiciones iniciales nulas.

Se toma la relación entre la salida y la entrada esto es lo que se conoce como función de trasferencia:

Ejemplo._ suponiendo que la ecuación diferencial o modelo matemático de un sistema es 3d 2 y / dt 2 + 8dy / dt − 3 y = 6dx / dt + 2 x .

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Si (y) es la salida y (x) la entrada obtener su función de trasferencia.

En el dominio de t →3d 2 y / dt 2 + 8dy / dt − 3 y = 6dy / dt + 2 x En el dominio de s →3s 2 y + 8sy − 3 y = 6 sx + 2 x

y 6s + 2 = 2 x 3s + 8s − 3

Función de transferencia.

En el dominio del tiempo (t)

4d 3 y 6d 2 y 3dy 5dx + − = +x dt3 dt dt dt

En el dominio de (s) Hs 3 y + 6 s 2 y −3s = 5sx + x

y 5s = 3 x 4 s y + 6 s 2 y − 3sy

Obtener la función de transferencia del siguiente sistema modelado para las ecuaciones y (es la salida) y (x) es la entrada

9

d2y dy −6 + 5 y = 4m 2 dt dt

……………..1

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López dm 2 + 4m = 5 x − − − − − − − − − 2 dt

m=

9 s 2 − 6sy + 5 y 4

 9s 2− 6sy + 5   9s 2 − 6 sy + 5 y    25    +   = 5X 4 4    

(

) (

)

1 9s 2 y − 6sy + 5 y 9s 2 y − 6sy + 5 y + = 5x 2s 4 4

1 (9 s 2 y − 6sy + 5 y ) (9 s 2 y − 6sy + 5 y ) + = 5x 2s 4

4.5s 3 y − 3s 2 y + 2.5 2 y + 9 s 2 y − 6 sy + 5 y = 5 x

4.5s 3 y − 6 s 2 y − 2.5 2 y − 3.5s y + 5 y = 5 x

y 5 = 2 2 x 4.5s y + 6 s y − 3.5sy + 5 y

si la función de trasferencia de un sistema

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

y 5 s 3 + 2 s 2 + 3s + 2 = 4 x 7 s + 3s 3 + 2s 2 + 4s + 3

Encuentre la ecuación diferencial que modela el sistema.

7 s 4 y + 3s 3 y + 2 s 2 y + 4s 2 y + 3 y = 5s 3 x + 2 s 2 x + 3sx + 2 x

7

d4 3d 3 2d 2 d d3 2d 2 dx y + y + y + 4 y 3 y = 5 x + x + 3 + 2x 4 3 2 3 2 dt dt dt dt dt dt dt

3.2 Sistemas mecánicos

La ley fundamental que controla a los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton (a toda acción hay una reacción) que se aplica en todo sistema mecánico de traslación como de rotación para lo cual es conveniente recordar algunos conceptos básicos como son (masa y fuerza).

La masa de los cuerpos es la cantidad de materia que contiene el mismo que se supone constante, físicamente la masa es la propiedad de un cuerpo y que le proporciona implica mente su inercia.

En situaciones practicas lo que se conoce como el peso de un cuerpo y su masa se calcula de forma indirecta.

(W=m*g) donde;

g= constante de aceleración gravitacional que varia ligeramente en

diferentes puntos de la superficie terrestre y en esta misma. G=9.81 m s

2

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Por ejemplo el espacio exterior de un cuerpo pierde su peso no obstante su masa permanece constante por la razón de que posee una inercia la fuerza se define como la causa que tiene a producir un cuerpo en movimiento de un cuerpo a lo cual se aplica.

Dos tipos de fuerzas pueden actuar sobre un cuerpo; las fuerzas de contacto y las fuerzas de campo.

Las fuerzas de contacto son aquellas que tienen un contacto directo con el cuerpo es tanto que las fuerzas de campo tales como la fuerza gravitacional, fuerza magnética o fuerza de campo magnético, la fuerza de campo eléctrico actúa sobre el cuerpo sin entrar en contacto.

En la base de estos principios y las consideraciones específicas para cada elemento que interviene en un sistema mecánico así como en función de las leyes que lo rigen se puede obtener su modelo matemático.

Sea el siguiente sistema mecánico de traslación masa (m), resorte (k) amortiguador (B).

Obtener su modelo matemático.

F=entrada X=salida

B= índice de fricción bascosa. (medio de elemento que permite adelante o regreso) .

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Donde K) constante de elasticidad del resorte.

M=masa

Despreciando a fricción.

De acuerdo ala segunda ley de newton

Fm + FB + FK = F

m

d 2x dy +B + kx = F Método del sistema mecánico 2 dt dt

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López d 2x  m  dx kg  m  m m = kg  2  B = kx =  2 [ m]   dt s s  s  dt s 

Aplicando lo s

ms 2 x + bsx + kx = f

La función de la place x 1 = 2 f ms + bs + k

FM + FB + FK = F

m

d 2x dx d 2x dx + B + kx = F = 5 +4 + 3x = F 2 2 dt dt dt dt

5 xs 2 + 4 xs + 3 x = F

x 1 = 2 F 5s + 4 s + 3

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Encontrar el modelo matemático y =

− 5d 2 x2 2dx2 − 3 x2 − − 3( x2 − x1 ) = 0 2 dt dt Multiplicando por (-1) y por T del

5 2 x2 + 3 x2 + 3 x2 − 3 x1 = 0 Ordenando

− 3x1 + (5s 2 + 26) x2 = 0 − − − −( −1) Para la m=8

8d 2 x1 − 4 x1 − 3( x1 − x2 ) + F = 0 dt 2 Multiplicando por (-1) y por T d P

8s2 x1 + 4 x1 + 3 x1 − 3 x2 = F Simplificando

( 8s

2

)

+ 7 x1 − 3 x2 = F − − − −2

x1 F

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Despejando x2 de 1

x2 =

3x1 5s + 2 s + 6 2

Sustituyendo en 2

(8 xs

2

)

3   + 7 x1 − 3 2  x1 = F  5s + 25 + 6 

x1 1 = F 8s 2 + 7 − =

9 5s

2+ 25+ 6

=

5s 2 + 25 + 6 40 s 4 + 35s 2 + 16 s 3 + 145 + 48s 2 + 42 − 9

5s 2 + 25 + 6 40 s 4 + 16 s 3 + 8s 2 + 145 + 35

Para m=5

5

d 2 x2 dx  dx dx  − 3x2 − 2 22 − 3( x2 − x1 ) − 6 22 − 21  = 0 2 dt dt dt   dt

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López multiplicando por (-1) y por TdL

5s 2 x2 + 3 x2 − 3 x1 + 6sx 2 − 6 sx1 = 0 ordenando

(

)

− ( 6 s + 3) x1 + 5s 2 + 8s + 6 x2 = 0 − − − 1 para m=8

−8

d 2 x1 d ( x1− x2 ) − 4 x2 − 6 − 3( x1 − x 2 ) + 5 x1 + F = 0 2 dt dt 2

multiplicando por (-1) y por T de L

8s 2 x1 + 4 x2 + sx1 + 3 x1 − 3 x2 − 5 x1 = F ordenado

( 8s

2

)

+ 65 − 2 x1 + x2 = F

despejando

(

)

− ( 65 + 3) + 5s 2 + 8s + 6 x2 = 0 − ( 6 s + 3) x1 + x2 =

x2 =

(

1 5s + 8s + 6 2

( 6s + 3) x1 5s 2 + 8s + 6

sustituyendo en 2

8s 2 + 6 s − 2 x1 +

( 6 s + 3) x 1 5s 2 + 8s + 6

=

)

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

( 8s

2

( 48s

)

(

+ 6 s − 2 + ( 6 s + 3) x1 = F 5s 2 + 8 + 6 3

)

) (

+ 36s − 12 s + 24s 2 + 18s − 6 x1 = F s 2 + 8 + 6

)

x1 5s 2 + 85 + 6 = F 48s 3 + 24 s + 42 − 6

SISTEMAS MECANICOS DE ROTACION

El metodo que se utiliza para obtener la ecuación . diferenciales, el movimiento angular es singular al correspondiente al movimiento de traslación en esta caso se toman en cuenta las relaciones , par de torcion posición de movimiento de rotacion , para encontrar el movimiento sistematico de un movimiento rotacional es de lo siguiente:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López 1. Se definen los movimientos angulares de cada masa de rotacion. 2. se dibuja un DCL, de cada masa rotatoria, expresando cada par de torcion o torque an terminos de las posiciones angulares de las masas. 3. se escribe una ecuación de cada masa rotatoria igualando la suma algebraica de los torques igual a cero, tomando en cuenta las caracteristicas y leyes dinamicas que rigen al sistema. Del esquema

2θ1 +

3d 2θ1 dθ + 6 1 + 5(θ1 −θ 2 ) = 0 2 dt dt

Aplicando T de L Ordenando

2θ1 + 3s 2θ1 + 6sθ1 + sθ1 − sθ 2 = 0 Ordenando

( 3s

2

)

+ 6s + 7 θ1 − 5θ 2 = 0 − − − 1

Donde

5(θ 2 − θ 1 ) + 8

dθ 2 dθ + 4 2 22 − 20 = 0 dθt dt

5θ 2 − 5θ1 + 8

dθ 2 dθ + 4 2 2 = 20 dt dt

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Por transformada de la place

(

)

− 5θ 1 + 4 s 2 + 8s + 5 θ 2 = 20 − − − 2

f AB= M AQA→ FA= BA,M B, AB Donde

FAB = − FAB Se sustituye de lo anterior

mB =

aa MA BB

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Masa gravitacional

m=

G − M AM B / r A B/ 2

Donde G es la constantes de gravitacional universal F=Mg Determine e tus balanzas constante de elásticos del resorte Encuentre x/F la función de transferencia

FM + FB + FK = F

m

d 2x dx d 2x dx + B + kx = F = 5 +4 + 3x = F 2 2 dt dt dt dt

Aplicando la s

5 xs 2 + 4 xs + 3 x = F

x 1 = 2 F 5s + 4 s + 3 Encuentre las ecuaciones que modelan los siguientes sistemas:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

7 dθ 8d 2θ 1 + + 4(θ 1 − θ 2 ) = 0 dt dt 2 Aplicando la s

7 sθ1 + 8s 2θ1 + 4θ1 + 4θ 2 = 0 Ordenando

θ 2 6β θ2 r =0 dt dt

(θ 2 − θ1 ) + 9d

2

Aplicando la L de la place

4θ 2 − 4θ1 F 9 s 2θ 2 + 6sθ 2 = 0 Ordenando

( 4 + 9s

2

)

+ 6s θ 2 − 4θ 1 = 2

d 2θ 3 dθ 3 dθ 2 5 +6 −6 dt dt dt

5

d 2θ3 dθ +6 3 −6 dt dt

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

3.3 SISTEMAS ELECTRICOS Por ejemplo

Vi = Entrada Vo = Salida V R = Ri 1 i dt c∫ di VL = L dt Vc =

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Por L.V .K → ΣV = 0

−Vi +Vr +Vc = 0 1 i dt c∫ Por T . de L

−Vi + Ri +

Vi + RI +

1 I − − − − − − − − − −2 CS

Tambien 1 i dt − − − − − − − −3 c∫ Por T . de L

Vo = Vc +

1 I −−−−−−−−−4 CS La funcion de transferen cia es :

Vo = Vc +

1 1 I Vo 1 CS CS = = = 1 1 Vi RCS +1 RI + I R+ CS CS

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

− Vi + Vc + Vr = 0

− Vi + 1 c ∫ i dt + Ri = 0 Por T de L 1 − Vi + I + RI = 0 CS 1 Vi = I + RI − − − − − − − −1 CS Vo = Vr = Ri Por T de L Vo = VR = RI La funcion de transferencia es : Vo RI R R RCS = = = = 1 1 RCS + 1 Vi RCS + 1 I + RI +R CS CS CS

−Vi +V L + Ri = 0 −Vi + LSI + RI = 0 Por T de L −Vi + LSI + RI = 0 1 I + RI − − − − − − − −1 CS Vo = V R = Ri Vi =

Por T de L Vo = V R = RI La funcion de transferen cia es : Vo RI RI R = = = ( LS + R ) I LS +1 Vi LS + RI

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

3.4 SISTEMAS ANOLOGOS Los sistemas que pueden representarse por los mismos modelos matemáticos pero que son físicamente diferentes se les conocen como sistemas análogos. Así los sistemas análogos son descritos por la misma ecuación diferencial, integral o el conjunto de ellas. El concepto de sistemas análogos es muy útil en la practica por las siguientes razones: 1.-la solución de una ecuación que describe un sistema físico se pueden aplicar directamente a sistemas análogos y de otro campo. 2.-como un tipo de sistema puede ser mas fácil manejar experimentalmente que otro en lugar de construir y estudiar por ejemplo, un sistema mecánico, hidráulica o neumático se puede construir o estudiar su análogo eléctrico pues los sistemas electricos son en general mucho mas fáciles de manejar o construir en forma experimental. Es decir al analizar el comportamiento del sistema eléctrico análogo se puede predecir el comportamiento en los otros sistemas 3.4 a) ANALOGÍA FUERZA TENSION

Sistema Mecánico

Su mod elo es : d2y dy +B + ky = F dt dt o bien : m

ms 2Y + BsY + kY = F su funcion de transferen cia es : Y 1 = − − − − − − − − −1 2 F ms + Bs + k

En un circuito eléctrico RLC en serie:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Por L.V .K → ΣV = 0 VR + VL + Vc = Vi di 1 + i dt = Vi dt c ∫ Por definicion de corriente : di i= dt Sust . se tiene : dq dq 1 dq Ri + L dt + ∫ dt = Vi dt dt c dt 2 d q dq 1 L 2 + Ri + q = Vi dt dt c o bien : 1 LS 2Q + RSQ + Q = Vi C La funcion de transferen cia es : Ri + L

Q 1 = −−−−−−−−−−−2 1 Vi LS 2 + RS + C

Comparando 1 y 2 estas son similares es decir son analogas.

F →Vi Y →Q m →L B →R k →

1 c

a

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

ANALOGÍA FUERZA-CORRIENTE

Por L.V .K iR + iL + iC = Ii V 1 du + ∫ v dt + C = Ii R L dt dφ v= dt dφ dφ d dt + 1 dφ dt + C dt = Ii R L ∫ dt dt d 2φ 1 dφ 1 c 2 + + φ = Ii dt R dt L Por T . de L. 1 1 SΦ + Φ = Ii R L Su funcion de transferen cia es :

CS 2Φ +

Φ 1 = − − − − − − − −3 1 1 Ii 2 CS + S + R L

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López F → Ii Y →Φ m →C 1 R 1 k→ L B→

Las analogías entre dos sistemas puede ocurrir que no se cumplan si las regiones de operación se extienden demasiado. Como los ecuaciones diferenciales las cuales se basan las analogías son solamente aproximación a las características dinamicas de los sistemas físicos en ciertas regiones de opoeracion la anologia quisas no sea valida totalmente si la región operativa de un sistema sea excesivamente amplio. En los cosos analizados sin embargo la región operativa del sistema mecanico es extensa esta se puede subdibidir en dos mas sub regiones y contruir sistemas análogos para cada uno de ellos. De echo las analogías no quedan limitadas solamente a sistemas electricos y mecanicos son aplicables acualquier sistema siempre y cuando sus ecuaciones diferenciadas o funciones de transferencia sean identicas.

Por ejemplo

Un circuito RC en serie:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Por L.V .K → ΣV = 0

−Vi + Vr + Vc = 0 1 −Vi + Ri + ∫ i dt c Por T . de L Vi + RI +

1 I CS

Tambien 1 i dt c∫ Por T . de L

Vo = Vc +

1 I CS La funcion de transferen cia es :

Vo = Vc +

1 1 I Vo 1 CS = = CS = − − − − − − −3 1 1 Vi RCS +1 RI + I R+ CS CS

En un sistema de nivel de liquido

h=salida Qi=entrada

Cantidad de liquido en el tanque

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López cdh = ( qi − qc ) dt

c → area de base del tan que donde

qo =

h R

Entonces h  cdh =  qi − dt R  mod ificandola dh h c + = qi dt R su T de L : 1 H = Qi R su funcion de transferen cia :

CSH +

H 1 = 1 Qi CS + R

Comparando 3 Y 4 se observan que son sistemas analogos 3.5 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE ELEMENTOS CASCADA Cuando se interconectan dos o mas sistemas se debe analizar el efecto de carga que produce un sistema con respecto de los otros sistemas con los cuales esta interconectado, situación que aféctale funcionamiento del sistema en general. Esto se puede analizar partiendo del siguiente esquema donde se observa que se han conectados dos circuitos RC.

3.5.- funciones de transferencia de elementos en cascado sin efecto de carga.

En un sistema conformado por dos omas sistemas es conveniente investigar la forma de reducir o eliminar el efecto de carga en circuitos electricos y electonicos esto es posible mediante la conexión del circuito o elementos en z muy grandes o infinitas que evitan el

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López consumo o la perdida de informacion de la primera etapa de tal forma que un sistema se puede analisar de una forma mas sensilla a manera de digrama de bloques donde cada uno de ellos contiene la funcion de transferencia de cada subsistema sila Z de entrada del segundo elemento es alfa la salida del primero se codifica si se conecta al segundo en este caso la función de transferencia del sistema completo es el resutado de multiplicar las funciones de transferencia de las tapas individuales. La inversión de un amplificador de aislamientos entre circuitos para obtener la característica sin efecto de carga se usa a menudo cuando se combinan . Dado que los amplificadores ejemplo los operacionales tienen Z de entrada muy altas

Un amplificador de aislamiento insertado en las etapas de un circuito justifica la suposición de que no hay efecto de carga.

3.6 DETECTOR DE ERROR 3.6,a) Diagrama de bloques de sistema d lazo serrado Un sistema de control puede tener varis componentes para que lleve acabo cada componente por lo general se usa una representación denominada diagrama de bloques, un diagrama de bloques de un sistema en particular es una representación grafica de las funciones que llevan a cabo cada componente del mismo indica además la dirección de flujo de señales. Es un diagrama de bloques se en lazan una con otra todas las variables del sistema mediante bloques funcionales los cuales son símbolos para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada ase el bloque para producir la salda. Las funciones de tranferencia de los componentes se introducen en bloques correspondientes que se conectan mediante flechas para indicar el flujo de señales. En un diagrama de bloques se en laza una con otra todas las variables del sistema mediante bloques funcionales, los cuales son símbolos para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada ase el bloque para producir las señales. La funcion de tranferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes que se conectan mediante flechas para indicar la dirección de flujo de señles la sigiente figura muestra un elemento de diagrama de bloques.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Para la representación de los sistemas medinte diagrama de bloques es conveniente hacer referencia a los sigientes conceptos. Detector de error: También se le cono se como punto suma o comparador y es donde se suman algebraicamente dos señales i se emiten otra partir de esta operación ;su representación en un diagrama de bloques es de la siguiente forma

Es importante que las cantidades se sumen y resten tengan las mismas dimensiones y unidades. PUNTOS DE RAMIFICACION Es aquel apartir de la cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntas suma cuyas representaciones es de la sigiente forma Diagrama de bloques de un sistema de lazo serrado donde las unidades de salida son iguales ala de entrada. Mediante algebra de bloques se tiene E=R-C --------1 C=G*E -------2 Sustituyendo uno en dos C=G(R-C)=RG-GC O bien C+GC=GR Factorizando C(1+G)=GR Lá funcion de transferência C/R=G/1+G Se puede decir que la función de transferencia de un sistema en forma de diagramas de bloques es igual ala función de transferencia de trayectoria directa entre uno mas la función de transferencia de lazo abierto; donde la función de transferencia de trayectoria directa es el resultado de la multiplicación la G de los bloques que están en la trayectoria de la entrada a la salida.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López La G de lazo abierto es el resultado de las G que se encuentran des de la salida del punto suma hasta la entrada de realimentación del mismo punto.cuando un sistema de lazo serrado no coinciden entre la entrada y la salida en cuanto a sus unidades. 3.6 b) perturbaciones en su sistema de lazo cerrado

Internas Perturbaciones Externas Procedimiento para el caso de diagrama de bloques 1.- se escriben las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. 2.- se toma la place de las ecuaciones suponiendo condiciones iniciales nulas. 3.- cada ecuación se representa individualmente en forma de bloque 4.- se integran los elementos de un diagrama de bloques completo.

Tal libertad al elegir las variables de estado es una ventaja de los métodos de espacios de estado. En el análisis del espacio de estados nos concentramos en tres tipos de variables involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: variable de entrada, variables de salida y variables de estado. No es única la representación en el espacio de estados para un sistema determinado excepto en que la cantidad de variable de estado es igual para cualquier de las diferentes representaciones en le espacio de estados del mismo sistema. El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para (t>t1). Dado que los integradores de un sistema de control en tiempo continúo funciona como dispositivos de memoria, las salidas de tales integradores se consideran las variables que definen el estado interno del sistema dinámico. Por tanto las salidas de los integradores funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado necesario para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contienen el mismo.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Suponiendo que un sistema de un sistema de entradas y salidas múltiples contiene N integradores. Suponiendo que existen r entradas U1,U2…….Ur y m salidas Y1t,Y2t, ….Ym(t).Lo cual define n salidas los integradores como variables de estado X1(t), X2(t), …….. Xn (t). Por lo que el sistema se describe mediante el siguiente conjunto de ecuaciones.

.

X = F ( X 1, X 2,........ Xn ; U 1, U 2,...... Ur ; t ) . . Xn = fn ( X 1, X 2, Xn ;U 1, U 2,......... ..Ur ; (T )

Ecuación.1 Las salidas del sistema se obtienen mediante:

y1 (t ) =x1 , x 2 ,.........

...., u r ; t

. . y m(t ) =gm ( x1 , x 2 ,....... xn ; u1 , u 2 ... u r ; t )

Ecuación.2

Si se definen los siguientes vectores y matrices.

 f1 ( x1 , x2 ....... xn ; u1 , u2 ,...... ur ; t   x1 (t )   f ( ( x x ....... x ; u , u ,...... u ; t  x (t )  2 1, 2 n 1 2 r 2    X (t ) = ; f ( x, u , t ) =   f 3 ( ( x1 , x2 ....... xn ; u1 , u2 ,...... ur ; t  x3 (t )       xn ( ( x1 , x2 ....... xn ; u1 , u2 ,...... ur ; t   xn (t )  

 g1 ( x1, x2 ....... xn ; u1 , u 2 ,...... u r ; t   y1 (t )  g ( ( x x ....... x ; u , u ,...... u ; t   y (t )  1, 2 n 1 2 r 2   ; g ( x, u , t ) =  2 y (t ) =   g 3 ( ( x1, x2 ....... xn ; u1 , u 2 ,...... u r ; t   y3 (t )      g m ( ( x1, x2 ....... xn ; u1 , u 2 ,...... u r ; t   ym ( t ) 

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Por lo tanto las ecuaciones 1 y 2 se convierten al modo siguiente.

.

X (t ) = f ( x, u, t ) Y (t ) = g ( x, u , t )

− − − −3 − − − −4

En donde las ecuación 3 es la ecuación de estado y la ecuación 4 es la ecuación de salida.

Si las funciones victoréales f y g involucran especialmente el tiempo, el sistema se denomina sistemas variantes con el tiempo.

Si se lineal izan las ecuaciones 3 y 4 alrededor de estado de operación se tiene las siguientes ecuaciones de estado y de salida. .

X (t ) =A(t ) x(t ) +B(t )U (t ) −−−−−−5 Y (t ) =C (t ) x(t ) +D(t )U (t ) −−−−−−6 Donde; A (t) = Matriz de estado B (t) = Matriz de entrada C (t) = Mat riz de salida

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López D (t) = Matriz de transmisión directa

En el diagrama de bloques de la ecuaciones 5 y 6

Si las funciones victoréales f y g no involucran el tiempo explícitamente el sistema se denomina invariante con el tiempo. En este caso las ecuaciones 5 y 6 se simplifican al modo siguiente.

X (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) − − − − − −7 Y (t ) = Cx (t ) + Du (t ) − − − − − −8

La ecuación 7 es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con el tiempo la ecuación 8 de la salida para el mismo sistema ejemplo.

Para el siguiente sistema mecánico haga su representación en espacio de estados.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López d2y dy m +B + ky =u (t ) dt dt O bien ..

.

m y +B y +ky =ut Como es de 2do orden → 2 integradores → 2 variables de estado Definiendo la variable de estado:

X 1 (t ) = y (t ) .

X 2 (t ) = y (t )

Cuyas derivadas son: .

.

X 1 = y =X 2 .

X

..

2

=y ..

Despejando y de A ..

y=

− Bj −ky +ut u (t ) −By 2 −kx 1 = m m .

..

Donde y =

X2

Entonces el sistema de ecuaciones que rige el sistema es:

.

x1 = x2 .

k

x2 = − m x

1

−

b u (t ) x2 + ecuacionde estado m m

La ecuación de salida:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López y = x1

En forma matricial la ecuación de estado.

 .   0 1   x1  =  k b −   .  − m  x2   m

 x1   0   x  +  1  ut  2   m 

En cuanto a la salida:

x  y =[1 0]  1  Donde: x 2  1   0 b A= k − m − m   0  B= 1 − m  C = [1 0] D =0

En la figura siguiente muestra el diagrama de bloques para el sistema masa- resorteamortiguador donde se observa que las salidas de los integradores son variables de estado.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Diagrama de bloques del ejercicio mecánico del espacio de estados

Considerando el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante y = G − − − − − − −1 u

Este sistema se representa en el espacio de estados mediante las ecuaciones siguientes. .

x = Ax + Bx − − − − − − − 2 .

y = Cx+ Dx − − − − − − − 3 La transformada de la place de las ecuaciones 2 y 3 se obtiene mediante.

Sx = Ax + Bu −−−−−−4 y =Cx + Du −−−−−−5

Dado que la función de transferencia se define como la transformada de la salida entre la transformada de entrada se debe realizar algunos procedimientos matemáticos de tal forma para llegar a esta relación de la ecuación 4 se tiene que.

Sx − Ax = Bu

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Factorizando (x):

[ SI

− A] x = Bu

Despejando (x)

x = [ SI − A]

−1

Bu − − − − − − − 6

Sustituyendo las ecuaciones 6 en la 5 se tiene:

y = C [ SI − A]

−1

Bu + Du

O bien

[

]

y = C ( SI − A) −1 B + D u − − − − − − − 7

Comparando la ecuación 7 con respecto a la ecuación 1 encontramos la función de transferencia esto es: y −1 =C [ SI − A] B + D u

Donde se observa que la función de transferencia esta en términos de las matrices (A, B, C y D).

Para el sistema mecánico masa- resorte-amortiguador.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

1   0 k b A=  − −  m m 

0 B= 1  m 

  1 0  0 1  Y  b  G = = [1 0] S  − k  − −   0 1 U   m m    

s = [1 0]  k  m

−1  b s−  m

0 1  m 

Y 1 = 2 U m + bs + k

Sistema masa-resorte-amortiguador.

m

d2y  dy du  = −b  − − k ( y −u ) dt dt   dt

C = [1

−1

0 1+0  m 

0]

D =0

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

m

d2y dy du +b + ky =b + ku 2 dt dt dt

Aplicando la transformada de la place.

(ms

2

+ bs + k ) y ( s ) =(bs + k ) u ( s )

Función retrasferencia:

G(s) =

y(s) bs + k = 2 u ( s ) ms + bs + k

El espacio de estado del sistema reobtiene:

..

y=

b . k b . k y+ y= u+ u m m m m

Con la forma estándar.

..

.

..

.

y + a1 y + a 2 y = b0 u + b1 u b2 u E identificaremos a1 , a 2 , b0 , b1 y b2

a1 =

b k b k , a 2 = , b0 = 0 , b1 = , b2 = m m m m

Refiriéndose a la ecuación 3.35 se tiene.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Refiriéndose a la ecuación 3.35 se tiene B1 = b1 − a1 B0 =

b m

B2 = b2 − a1 B1 = a 2 B0 =

k b −  m m

2

Por tanto refiriéndose a la ecuación 3.34

x1 = y − B0 u = y x2 =

.

x − B1u =

.

x−

b u m

Apartir de la ecuación 3.36 .

x1 = x

2

+ B1u = x 2 =

b u m

 k  b 2  k b x = − a2 x1 − a1 x2 + B2u = − m x1 − m x2 +  m −  m   u   .

Y la ecuación de salida y = x1

En forma matricial

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

     0 1 x x 1 k b 1  2   . = − −   +  k  b  u  x   m m  x2 −    m  m   2   b m

.

En cuanto a la salida

x  y = [1 0]  1  x 2 

UNIDAD 4 ACCIONES UNDUSTRIALES

BASICAS

DE

CONTROL

Y

CONTROLES

AUTOMATICOS

un controlador automático es aquel que compara el valor real de la salida de una planta con la entrada de referencia que es el valor deseado, determina el error y produce una señal de control que reducirá el error a cero o bien un valor muy pequeño. La forma como el controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control Los controladores industriales analógicos se pueden clasificar de acuerdo con sus acciones de control de la siguiente manera: 1. Controladores de dos posiciones 2. Controladores proporcionales

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López 3. Controlador proporcional integral 4. Controlador proporcional derivativo 5. Controlador proporcional integral derivativo Los controladores analógicos también se pueden clasificar según el tipo de potencia que utiliza en su operación como por ejemplo los neumáticos hidráulicos eléctricos, electrónicos etcétera. La clase de controlador a usar se decidirá en base a la naturaleza de la planta y en las condiciones de operación incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, exactitud peso y tamaño. La figura siguiente muestra un diagrama de bloques de un sistema de control industrial Control automatico referencia salida Amplificador

actuador

planta

sensor

4.1 ACCIONES DE CONTROL 4.1 a) Acción de control de dos posiciones También se conoce como SI- NO, TODO O NADA, ON OFF Este tipo de control implica que el actuador tiene solo dos posiciones fijas que en muchos casos son conectado y desconectado, es simple y económico por esta razón se usa ampliamente desde sistemas de aplicaciones residenciales hasta industriales. En un contador de dos posiciones la señal de salida estará en un valor máximo o mínimo según la señal de error será positiva o negativa esto es: r u2

U= u1 para ℮ > 0

u1

u

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López U = u2 para ℮ < 0 En ocasiones u2 = 0 o bien u2 = - u1 Una acción de control de dos posiciones también puede tener la siguiente respuesta Acción de control u

U1

r U2

Brecha diferencial

Donde la brecha diferencial también conocida como zona muerta es el rango en el cual la señal se error debe variar antes de que se produzca la conmutación o cambio de la señal de control, esto hace que la salida del controlador mantenga su valor hasta que la señal de error haya rebasado ligeramente el valor cero. En ocasiones es el resultado de de una fricción no intencionada o movimiento perdido, en otras ocasiones se provoca en forma deliberada para impedir la acción excesivamente frecuente del actuador y del elemento final de control. b) acción de control proporcional En este tipo de controlador la relación entre su salida y la señal de error es la siguiente u = Kp*℮ O bien Cuales quiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación el controlador proporcional es en esencia un amplificador con ganancia ajustable en la figura siguiente se muestra un diagrama de bloques de tal controlador Señal de error Acción de control r

u

e Kp

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Por ejemplo Rf

R

e

Donde

= Kp

c) acción de control integral En este caso el valor de la salida del controlador se cambia A UNA razón proporcional de la señal de error, es decir: La variación de la señal se dice que es proporcional a la señal de error

O bien du = ki e dt Integrando

Por la transformada de laplace

En este caso, si se duplica el valor del error, el valor de salida del controlador varía dos veces más rápido. Para un error de cero, el valor del controlador en cuanto a su salida permanece estacionario. En ocasiones a la acción de control integral se le denomina control de ajuate o reset. La figura muestra a manera de diagrama de bloques tal controlador

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López E

u u

Kp/S

e

d) acción de control proporcional e integral La acción de controlador proporcional e integral queda definida por

Cuya función de transferencia es la siguiente

O bien

Donde Kp= ganancia proporcional Ti = tiempo integral Ambos valores son ajustables; el tiempo integral regula la acción de control integral; kp o la ganancia proporcional influye tanto en la parte proporcional como en la integral. El reciproco del tiempo integral se suele denominar frecuencia de reposición la cual se mide en términos de repeticiones por minuto. En la figura se muestra un diagrama de bloques de un control proporcional e integral

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López u Kp(1+1/TiS)

Ejemplo si e (t) es un escalón unitario ¿cual es la acción de control?

e(t) 1 t De la expresión

Para t ≥ 0

O bien

Por analogía y = mx+b Donde Y=u,

m=kp/Ti

X

t

b

kp

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López por lo tanto u ante este tipo de error es una recta

u 2kp kp t

Si

t=Ti

E) Acción proporcional y directiva (P. D.) Los controles que realizan esta acción están definidos mediante lo sig. Representa

Cuya función de transferencia se puede obtener mediante la aplicación de la transformada de lupulice es decir:

Donde KP= ganada proporcionalmente TD= es una constante conocido como tiempo derivativo Ambos parámetros son ajustables. A la acción de control derivativa en oraciones se le denomina como control de velocidad lo cual es debido a que la magnitud dela salida del controlador es proporcional a la velocidad del cambio de la señal de error. El tiempo derivativo es el intervalo del tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción del control proporcional. La figura siguiente muestra el diagrama de bloques de un controlador de este tipo.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López u Kp(1+TdS)

Ejemplo: si la señal de error es una rampa unitaria ¿Cuál es la salida del controlador?

r(t) m=1 t Donde En la expresión U=kpe+kpTd

para t≥0; e (t)=t

Sustituyendo U=kpt+kpTd Entonces U=kpt+kpTd también es una recta

r(t) kpTd

Td m=1 t

Se dice que la acción del control derivativo tiene un carácter de presión. Sin embargo, una acción del control derivativa no prevé una acción que nunca ha ocurrido. Aunque esta acción tiene la ventaja de ser de previsión tiene las desventajas que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López La acción de control derivativa no se utiliza de manera individual, debido a que solo es eficaz durante periodos transitorios

UNIDAD 5 ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA

5.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Un sistema es de primer orden si el grado máximo del polinomio en s del denominador de su función de transferencia es 1; también se dice que son aquellos sistemas los cuales están representados por una ecuación diferencial de orden 1. Ejemplo: sea el siguiente circuito RC:

Del circuito:

O bien:

(1)

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

También:

(2)

Aplicando transformada de Laplace a (1) y (2):

(3)

(4)

La función de transferencia es:

O bien:

Donde τ es la constante de tiempo como el grado es 1 es de primer orden.

A) RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO

Entonces la función de transferencia de un sistema de primer orden:

Donde:

Donde: Y es la salida y X es la entrada.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Si X es un escalón unitario:

Para un t >0, x =1, cuya transformada de Laplaces es X = 1/s

La respuesta del sistema a está señal se obtiene:

O bien:

Que es la expuesta en el dominio de s.

Para encontrar la respuesta en el dominio de t:

Por fracciones parciales:

Multiplicando ambos miembros por

Para que la expresión sea válida:

:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López (I) (II)

Sustituyendo (II) en (I):

Entonces:

Encuentre y grafique vo.

Del circuito:

O bien:

También:

(1)

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López O bien:

(2)

Aplicando transformada de Laplace a (1) y (2):

(3)

(4)

La función de transferencia es entonces (4) / (3):

Encontrando vo si vi = 10μ(t):

En t > 0 vi = 10, entonces Vi = 10/s. Por lo tanto:

Donde:

Por fracciones parciales:

Multiplicando ambos miembros por

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Para que la igualdad sea válida:

(I) (II)

Sustituyendo (I) en (II):

Por lo tanto:

Entonces:

Tabulando:

t [s] vo [V] 0

0

20

6.3

60

9,5

∞

10

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López B) RESPUESTA A LA RAMPA UNITARIA

Donde:

x = r (t) =

0

t 0, X = 1/s entonces:

Donde:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Se sabe: ε1

Críticamente amortiguado

Caso ε < 1. s1 y s2 imaginarios y diferentes.

Entonces la respuesta en función del tiempo es:

También:

Por el teorema del valor final:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Entonces:

Si:

Entonces:

Del paréntesis:

Donde:

y

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Para el caso del escalón unitario k3 = 2

Se tiene que:

Md:

Sobrepasó máximo

td:

Tiempo en que alcanza por primera vez que el 50% del valor final.

tr:

Tiempo en que alcanza por primera vez el valor final.

tp:

Tiempo en que alcanzó el primer sobrepaso.

ts:

Tiempo en el cual la respuesta varía entre ±2% al ±5% del valor final.

Caso ε = 1. s1 y s2 reales, negativas e iguales.

s1 = s2 = ωn Analizando la respuesta al escalón unitario:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López La respuesta en el dominio de s es:

Si x = μ(t) entonces para t > 0, X = 1/s entonces:

Sustituyendo los polos:

Por fracciones parciales:

Multiplicando ambos miembros por

Para que la ecuación sea válida:

(I) (II) (III)

De (III):

Sustituyendo en (I):

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Sustituyendo los valores de A y B en (II):

Entonces:

Caso ε > 1. s1 y s2 son reales y diferentes

La respuesta:

En el dominio del tiempo:

ESTABILIDAD

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López En la teoría de control existen dos conceptos o tomar en cuenta en el análisis de la estabilidad de los sistemas de control que son los siguientes:

a) La estabilidad absoluta b) La estabilidad relativa

ESTABILIDAD ABSOLUTA

La característica más importante del comportamiento dinamico de un sistema de control es la estabilidad absoluta lo cual significa si el sistema es estable o inestable. Un sistema de control está en equilibrio o es estable si la salida permanece en el mismo estado ante cualquier perturbación o variación de la entrada. Un sistema de control lineal es inestables si la salida oscila indefinidamente o bien se la salida diverge sin límite de su estado de equilibrio cuando el sistema sufre alguna perturbación o variación en la entrada.

ESTABILIDAD RELATIVA

Como un sistema físico de control incluye el almacenamiento de energía, la salida del sistema cuando está bajo la acción de una entrada no puede seguirla de forma inmediata sino que presenta un comportamiento transitorio antes de alcanzar un estado estacionario.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Al analizar un sistema de control se debe examinar el comportamiento de la respuesta transitoria, así como el tiempo requerido para alcanzar el nuevo estado de reposo y el Valor de error mientras sigue a la señal de entrada así como el comportamiento en estado estacionario.

CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH.

La estabilidad de un sistema de control lineal de lazo cerrado se determina por la ubicación de los polos obtenidos de la ecuación característica de la función de transferencia de lazo cerrado en el plano s o plano complejo. Si cualquiera de esos polos quedan en el semiplano derecho del plano s al transcurrir el tiempo da lugar al modo dominante y la respuesta transitoria aumenta en forma monótona o bien oscila en amplitud creciente. Si todos los polos de lazo cerrado quedan a la izquierda del eje imaginario del plano s cualquier respuesta transitoria alcanza el equilibrio lo cual representa el estado estable.

Que un sistema lineal sea estable o inestable es una propiedad del sistema en sí y no depende de la entrada o función excitadora del sistema ya que ésta sólo contribuye a los términos de respuesta en estado estacionario de la solución. Así, el problema de estabilidad absoluta puede resolverse fácilmente con derecho de determinar la ubicación de los polos. Los polos como ya se ha mencionado son las raíces de la ecuación característica de la función de transferencia (matemáticamente los polos en el lado derecho del eje imaginario del plano s producen inestabilidad; los polos de lazo cerrado sobre el eje imaginario producen oscilaciones cuya amplitud no aumenta ni disminuye con el tiempo. Por ejemplo, donde hay ruido la amplitud de las oscilaciones puede aumentar a una velocidad determinada por el nivel de potencia de ruido. Por lo tanto, un sistema de control no debería de tener polos de lazo cerrado sobre el eje imaginario, situación que se llega a observar en los circuitos osciladores de audio).

El hecho de que todos los polos de lazo cerrado queden en el semiplano s izquierdo es una condición necesaria pero no garantiza una característica de respuesta transitoria satisfactoria. Si hay polos de lazo cerrado dominantes, complejos conjugados cerca del

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López eje imaginario la respuesta transitoria puede presentar oscilaciones excesivas y puede ser muy lenta. Por lo tanto para garantizar características de respuesta transitoria rápida con amortiguamiento adecuado es necesario que los polos de lazo cerrado del sistema queden en una zona mínima del plano complejo tal como se muestra en la siguiente figura.

Como la estabilidad relativa y el comportamiento transitorio de un sistema de control de lazo cerrado están directamente relacionados con la configuración de polos y ceros (los polos a las raíces del denominador y los ceros o las raíces del numerador de la función de transferencia de lazo cerrado) en el plano s se suele ajustar uno más parámetros del sistema para obtener la configuración o respuesta adecuada. Por lo tanto, se establece que un sistema de control es estable si y sólo si todos los polos de lazo cerrado están ubicados en el semiplano izquierdo del plano s. Como la mayor parte de los sistemas de lazo cerrado tienen una función de transferencia de la siguiente forma:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Donde a y b son constantes y n > m.

La primera alternativa para conocer la estabilidad del sistema es mediante la factorización del polinomio del denominador, es decir, encontrar las raíces del mismo para conocer los polos de lazo cerrado y por lo tanto conocer su ubicación en el plano S, sí todos están en el semiplano izquierdo, entonces el sistema es estable. La otra alternativa es utilizar un criterio simple conocido como el criterio de estabilidad de routh, el cual permite determinar la cantidad de polos de lazo cerrado que se encuentra en el semiplano derecho del plano S sin tener que calcular las raíces de la ecuación característica. Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Escriba el polinomio del denominador de la función de transferencia de la forma siguiente:

En donde los coeficientes son cantidades reales suponiendo que es diferente de 0. Con esto, se elimina cualquier raíz 0. 2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, esto quiere decir que hay una raíz o raíces que tienen partes reales positivas, en tal caso el sistema es e inestable. Si sólo interesa la estabilidad absoluta no es necesario continuar con el procedimiento. Por lo tanto, todos los coeficientes deben ser positivos para que el sistema sea estable sin embargo, se considera una condición necesaria pero no suficiente. 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordénelos en renglones y columnas de acuerdo a la arreglo siguiente: sn

a0

a2

a4

a6

…

sn-1

a1

a3

a5

a7

…

sn-2

b1

b2

b3

b4

…

sn-3

c1

c2

c3

c4

…

sn-4

d1

d2

d3

d4

…

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López ⁞ ⁞ ⁞ s2

e1

s1

f1

s0

g1

e2

Donde:

…

Donde la condición necesaria y suficiente para que todas las raíces estén ubicadas en el semiplano izquierdo del plano S y que por lo tanto sistema sea estable es que todos los coeficientes de la ecuación característica sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo de routh sean positivos.

Sea el sistema:

s4

1 8 3

s3

2 4

s2

6 3

s1

3

s0

3

¿es estable?

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Como 1, 2, 6, 3, 3 son positivos, entonces el sistema es estable.

Sea el sistema:

s4

4

3 5

s3

2

4

s2

1

5

s1

-6 0

s0

5

¿es estable?

Como hay dos cambios de signo, no es estable, ya que tiene al menos dos raíces con partes reales positivas.

CASOS SINGULARES DEL CRITERIO DE ROUTH

a) Cuando uno de los elementos de la primera columna en cualquier renglón es cero pero los restantes son diferentes de cero.

Sea el sistema:

Su ecuación característica es:

s3

1

1

s2

2

2

s1

0ε 0

s0

2

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López Como ε > 0 todos los coeficientes de la primera columna son positivos, por lo tanto el sistema es estable.

b) Cuando todos los coeficientes calculados son cero en cualquier renglón.

Sea el sistema:

Su ecuación característica es:

s5

1

24

25

s4

2

48

50

s3

08

096

0

s2

24

50

s1

112.66 0

s0

-50

El sistema es inestable como hay un cambio de signo al menos existe una raíz con parte real positiva

Investigar los valores de k (control proporcional para que el sistema siguiente sea estable.

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

Cuya ecuación característica es:

s2

1

s1

6

s0

8+k

8+k

Para que el sistema sea estable todos los coeficientes deben ser positivos.

MÉTODO DEL LUGAR DE LAS RAÍCES.

Es un método gráfico para encontrar los polos de un sistema realimentado al estar variando la ganancia del amplificador entre 0 e ∞. Sea el siguiente sistema de control proporcional:

Donde 0 < k < ∞

Un punto (polos o zeros) será lugar geométrico de las raíces si cumple con las condiciones:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López •

De magnitud:

•

De ángulo: Ángulos de zeros – Ángulos de polos

Si

¿cuál es el lugar geométrico de las raíces?

Si

¿cuál es el lugar geométrico de las raíces?

s1: 0 – 0 = 0

No

s2: 0 – 180 = -180

Sí es LGR

s3: 180 – 180 = 0

No

1. LGR sobre el eje real 2. Asíntotas. Direcciones que recorrerán los polos al variar k.

Como debe cumplir con la condición de ángulo:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

O bien:

Asíntotas:

3. Intersección de las asíntotas en el eje real (centroide).

4. Punto de ruptura de raíces múltiples. La función de transferencia del sistema es:

La ecuación característica del sistema es:

Alumno: German Bautista Flores Materia: Ing. de Control Ing.: Alberto Cuellar López

5. Cruces con el eje imaginario. De la ecuación característica:

Por el criterio de Routh:

s3

1

2

s2

3

K

s1

(6-k)/3

s0

k

Para que el sistema sea estable:

Para la intersección se toma el