Apuntes de Hormigón Armado Vpreiiminar1

Apuntes de Hormigón Armado

Profesor

:

Sra. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

2003

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PRÓLOGO

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ÍNDICE 1-. Generalidades: 1.1-. Acero chileno 1.2-. Hormigón 2-. Diseño a Rotura:

3-. Diseño de Losas Aisladas:

4-. Diseño de Campos de Losas 5-. Diseño de Estanques Rectangulares 6-. Diseño de Escalas

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Silvana Cominetti Cotti-Cometti

2003 Página 4

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I-. Generalidades Obra de H.A.:

Es aquella compuesta por Hormigón y Armadura Metálica que pueden resistir en forma conjunta las Solicitaciones Externas.

1-. Acero Chileno Calidad del Acero Diámetro e (mm) A44 – 28 H 6*, 8, 10 y 12 6* a 36 A63 – 42H 8, 10 y 12 8 a 36

Formas de Entrega ROLLO RECTA ROLLO RECTA

* El diámetro de 6 mm se suministra sólo en la calidad A44-28H y con superficie lisa. Todos los demás diámetros llevan resaltes.

CALIDAD

A TRACCIÓN ROTURA FLUENCIA 4400 Kg./cm2 2800 Kg./cm2 5600 Kg./cm2 3500 Kg./cm2 2 6300 Kg./cm 4200 Kg./cm2

A 44 – 28 H A 56 – 35 H* A 63 – 42 H

MARCA HH o A44 HHH HHHH o A63

* No disponible en el comercio

Curva Característica de Acero A 44 – 28 H

σ 2

2

ε

1: 2: 3: 4: 5:

Zona Elástica. Zona de Transición (Fluencia Restringida). Zona de Fluencia. Zona de Endurecimiento por Deformación. Zona de Estricción. Página 7

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⇒ ⇒

EL HORMIGÓN ES FRÁGIL EL ACERO ES DÚCTIL

Hay que impedir la falla del Hormigón. Gran capacidad de deformación antes de romperse.

La DUCTILIDAD en el acero es inversamente proporcional a la resistencia.

σ

Una forma de medir la ductilidad:

Frágil

μ=

εp εy

≥ 1 → Comport. Plástico < 1 → Comport. Elástico

Dúctil

εy

εp

ε

1.2-. Hormigón

Propiedades:

- Mezcla -

Cemento Áridos Agua Aditivos

Cal Aluminio Silicato Óxido Férrico

Hormigonadura Curado

a) Retracción de Fraguado: Se debe a cambios de volumen que ocurren en el Hormigón debido a la evaporación. Es un proceso Exotérmico. Las zonas sufren diferentes deformaciones. Depende de: - Humedad Ambiente. - Calidad del Cemento (+ ó – calor de hidratación). - Temperatura Ambiente. - Dosificación. - Tipo de Fraguado. - etc. Página 8

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Agrietamiento por Retracción:

εo = 0,35 mm/m

←

Valor Promedio

Valor más exacto:

ε o = 0,8 ⋅ [0,5 ⋅ (100 − H ) + 10] ⋅ [(0,01 ⋅ C − 1) ⋅ A C + 0,2] ⋅ 10 −5 donde: H C AC

: : :

Humedad Ambiente (%). Cantidad de Cemento. Relación Agua-Cemento.

b) Fluencia o CREEP del Hormigón:

Son deformaciones a largo plazo debidas a Carga Estática Sostenida.

δ Al Descargar Fluencia o CREEP

Recuperación Instantánea Recuperación en el Tiempo

Deformación Instantánea

0

28 días

2 años

T (Meses)

c) Control de Calidad del Hormigón:

-

Ensayos No Destructivos. Ensayos Destructivos: Determinar la resistencia del Hormigón mediante probetas:

Cúbicas Cilíndricas o Prismáticas

: :

20x20 cm2 (Rc) 15x30 (Rp) Página 9

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Rp = 0,86 Rc Rp = 0,48 Rc + 152

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Rc ≤ 400 Kg/cm2 Rc > 400 Kg/cm2

si si

(Rp < Rc ; Rp ≈ 0,82 ÷ 0,85 Rc ) Clasificación de los hormigones por resistencia a la compresión GRADO RESISTENCIA ESPECIFICADA, fc MPa Kg/cm2 H5 5 50 H10 10 100 H15 15 150 H20 20 200 H25 25 250 H30 30 300 H35 35 350 H40 40 400 H45 45 450 H50 50 500 Resistencia del hormigón en el tiempo TIEMPO RESIST/Rc 3 días 30% 7 días 70% 28 días 100% 90 días 120%

Parámetros:

-

Tipo de hormigón. Tipo de Cemento. Condiciones ambientales (Humedad, temperatura) Relación A/C Etc. RESISTENCIA H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

f’c (Mpa) 16 20 25 30 35 40 45

1 MPa = 10 Kg/cm2 E c = 4730 f c' (MPa)

Página 10

→

Para hormigones normales.

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Resistencia Característica:

σ bk = σ bm (1 − 1,64ϕ )

ϕ

:

Desviación tipo Relativa.

σ bm = σ bi

: :

N

1 n ∑ σ bi n i =1

Resistencia de cada muestra. Número de muestras.

Curva Característica de Hormigón

σb

α E = Módulo de Elasticidad Del Hormigón α1

σ=εE

Comportamiento Aprox. Lineal tgα = ET =

tgα 1 = ES =

εo =

dσ dε

ε

dσ = Módulo de Elasticidad Tangente. dε

σ = Módulo de Elasticidad Secante. ε

= Módulo de Elasticidad en el Origen. ε =0

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Resistencia y Deformación del Hormigón Hipótesis de Rotura:

1-. La rotura se produce al alcanzar, en un punto de una probeta, el esfuerzo normal máximo soportable por el material en un ensayo de compresión o de tracción simple (RANKINE) Aplicable a materiales frágiles

→

HORMIGÓN

2-. La rotura se produce por esfuerzo de corte máximo (COULOMB) 3-. La rotura se produce por deformación máxima. 4-. La rotura se produce por acumulación de Energía de deformación máxima que soporta el material (VON MISSES) Aplicable a materiales dúctiles

→

ACERO

Resistencia a la compresión → Rotura de probetas Depende de: 1-.

- Forma y tamaño de la probeta. - Velocidad de aplicación de la carga. - Superficie de carga. - Centrado de la carga.

2-.

- Dosificación del hormigón. - Edad del hormigón. - Temperatura de conservación. Parámetros de Ensayo:

Forma y Tamaño:

Def.: n =

CUBOS → 15x40 CILINDROS → 15 (ø) x 30 (h)

E ac E acero = = 10 → 15 en el rango usual Eb E hormigón

n puede llegar a 40 hasta que se colapsa.

E = c σ cb (Kg/cm2) 14000

c=

25000 3 − 3,8H

10000 8500

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H: Humedad ambiental en º/1

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Valores Normales:

γ H = 2400 ~2500 Kg/m3 γ H = 2200 Kg/m3 γ acero = 7700 ~7800 Kg/m3

(Hormigón Armado) Estructuras poco armadas (Hormigón solo)

E H ≈ 340000 Kg/cm2

E acero = 2,1 ⋅ 10 6 Kg/cm2 α acero = 0,00001[1 º C ]

Coeficiente de Dilatación térmica.

Fenómenos de Contacto: Adherencia y Anclajes 1-. Adherencia

Distribución de τa : Tensión de Adherencia Distribución de τ a : Tensión de Adherencia Promedio ø

F

τ 3ø

l

Si l es grande, se produce fluencia del acero y el experimento no sirve. Si l es pequeño, se producen grietas a 45º, extendiéndose hasta 3ø a lo largo con 1ø de largo cada grieta. Separación Mínima entre Armaduras:

1ø

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1ø 3ø l

F = ∫ τ a ⋅ π ⋅ φ ⋅ dl

τa =

0

F = τ a ⋅π ⋅φ ⋅ l

τa =

⇒

FMÁX = σ TS ⋅

1

l

π ⋅ φ ⋅ l ∫0

τ a ⋅ π ⋅ φ ⋅ dl

F ≈ 10 a 15 Kg/cm2 π ⋅φ ⋅ l

π ⋅φ 2

σ TS

:

= π ⋅ φ ⋅ ⋅l ⋅ τ a 4 Resistencia a la tracción de la barra de acero.

τa

:

Resistencia por adherencia hormigón-acero.

Para anclar, no ayuda en nada aumentar l en el hormigón. Se estaría perdiendo. Interesa conocer l.

l=

σ TS φ ⋅ τa 4

Para σ TS =1440 Kg/cm2:

τ a =10 Kg/cm2

⇒

l=

1440 φ ⋅ ≈ 36ø 10 4

Las normas recomiendan l = 40ø ~ 60ø (Anclaje Longitudinal)

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2-. Anclajes por Curvatura

En barras con resaltes generalmente no se requiere curvatura, dado que la adherencia es buena. En barras lisas, o con tensiones muy grandes, se les debe dar curvatura.

F α

Anclaje por adherencia y por roce

F + ΔF Anclaje por adherencia

En elemento de largo ΔS:

F Δθ 2

Δθ

σ

μ⋅ΔS

ΔS

μ τ

F + ΔF Δθ 2

) t

) n

) Eq. en t :

(F + ΔF ) ⋅ Cos Δθ

) Eq. en n :

(F + ΔF + F ) ⋅ Sen Δθ = σ ⋅ ΔS

Δθ ≈0 2

; Sen

ΔF ⋅ Cos

2

− F ⋅ Cos

Δθ = τ ⋅ ΔS 2

2 ) ) u ⋅ ΔS = σ ⋅ ΔS ⋅ n + τ ⋅ ΔS ⋅ t

Δθ = τ ⋅ ΔS 2

Δθ Δθ ≈ 2 2

→

; Cos

Δθ ≈1 2

ΔS = τ ⋅ ΔS

→

τ=

dF 1 dS Página 15

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Δθ Δθ ; + ΔF ⋅ = σ ⋅ ΔS 2 2 1 ΔS F + ΔF = σ =σ ⋅R 2 Δθ F =σ ⋅R 2 Si ΔF→0 ⇒ 2F ⋅

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R ⋅ Δθ = ΔS → R =

ΔS Δθ

Se tiene:

τ = f ⋅σ + π ⋅φ ⋅τ a

(f = Coef. fricción acero-hormigón)

τ ⋅ Δ S = f ⋅ σ ⋅ ΔS + π ⋅ φ ⋅ ΔS ⋅ τ a dF F = f ⋅ + π ⋅ φ ⋅τ a dS R dF = dS → F f ⋅ + π ⋅ φ ⋅τ a R

dF R F + π ⋅ φ ⋅τ a ⋅ f

f ⋅ dS R

=

e integrando: F = Fo ⋅ e f ⋅d + π ⋅ τ a ⋅ φ ⋅

R f ⋅d (e − 1) f

en que el primer término de la suma corresponde a fricción debido a la curvatura, y el segundo a adherencia amplificada por el efecto de fricción. α: ángulo de curvatura total. Si las tensiones que se desarrollan son muy grandes, se termina con un gancho normalizado. INDITECHOR (5ø ~ 7ø) Barras de Armadura Normal

Barras de Armadura Mejorada

C.E.B.

4ø

2,5ø

(2ø)

La tendencia actual es no usar ganchos (Utilizar 40ø, sin doblar los fierros)

3-. Traslapo en Barras para Hormigón

Las barras de acero vienen de 6 a 12 m. A pedido especial de 30 m.

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3 tipos de empalme:

Por traslapo. Por soldadura → NO SE USA Por Manguitos terrajados. C.E.B. Esfuerzos se transmiten por adherencia

2ø ~ 4ø 20ø (Barras con resalte) 600ø (Barras lisas) σbk INDITECHOR (5ø ~ 7ø) Barras de Armadura Normal

Barras de Armadura Mejorada

C.E.B.

4ø

2,5ø

(2ø)

≥30ø con gancho ≥50ø sin gancho

INN – NCh: 30ø con gancho. 50ø sin gancho. ACI:

40ø

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Disposición de las Armaduras

En vigas, el área mínima que se puede colocar es 2,5 º/oo en cada cara (5 º/oo en total). En columnas es 5 º/oo por lado. b

Ámín = 2,5 º/oo = 0,0025 ⋅ bh h

a) Viga Simplemente Apoyada con Carga Uniforme

* ya no se usa

Armadura Longitudinal por razones constructivas

Estribos. Razón constructiva de armadura. Absorbe tensiones longitudinales de corte

Zona de posible Rótula Plástica

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Armaduras principales de tracción

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b) Viga en Consola (Marquesina)

Armadura Principal

Razones Constructivas Arm. Principal

c) Fundación Aislada

d Emplantillado 5 a 10 cm Hormigón Pobre Gran posibilidad de oxidación. Se recomienda usar recubrimiento alto (d). Distancia Mínima entre Armaduras

Ø2

d1

φ1 +

d1 ≥ ø d1 ≥ 1,2 x ø máx. del árido

φ2 2

r

d1 ≥ 2 cm

Ø1

0 ≤ ø ≤ 5 cm Página 19

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ELEMENTO Marcos Vigas Fundaciones

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Recubrimientos Recomendados ESTADO DEL ELEMENTO PROTEGIDO NO PROTEGIDO MUY EXPUESTO 1,5 cm 2,0 cm 3,0 cm 2,0 cm 2,5 cm 3,5 cm 3,0 ~ 4,0 cm 4,0 ~ 6,0 cm 6,0 ~ 8,0 cm

Fisuración del Hormigón

Depende de:

- Tensiones en las armaduras traccionadas. - Calidad del hormigón. - Adherencia entre hormigón y acero. - Recubrimiento de las armaduras. - Etc.

Ancho de grietas:

⎛ k ' ⎞⎟ φ ⎞⎟ ⎛⎜ ⋅ σa − ⋅ 10 −6 ≤ 0,3 mm ω máx = 0,8 ⋅ γ f ⋅ ⎜⎜1,5 ⋅ r + k ⋅ ⎟ ⎜ ⎟ ωf ⎠ ⎝ ωf ⎠ ⎝ en que:

ω f ≥ 1%

:

Cuantía geométrica de armaduras referida a la sección afectada por

figuración. ω : Ancho de la grieta. r : Recubrimiento. 1,1 ≤ γ f ≤ 1,3 : Coeficiente de Seguridad.

φ σa

: :

Diámetro armaduras. Tensión de trabajo del acero. 0,04 ≤ k ≤ 0,07

Flexión Simple

Flexión Compuesta 7,5 ≤ k’ ≤ 12

ω

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Ancho de grietas:

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(ACI – Ec. Gergely-Lutz)

ω = 1,1 ⋅ β ⋅ f S ⋅ ⋅ 3 d C ⋅ A ⋅ 10 −5

(en centésimas de mm)

h−c d −c M servicio fS = ≈ 0,6 ⋅ f y AS ⋅ j ⋅ d d C = Recubrimiento de hormigón.

β=

C f⋅n

d

CC

h

dC A

A = Área de hormigón en tracción con centroide igual al de la armadura, dividida por el número de barras = Área de hormigón que rodea una barra. ⎧0,4 mm (en el interior) ⎩ 0,33 mm (en el exterior)

ω máx = ⎨

Ventajas e Inconvenientes del Hormigón Armado Ventajas:

1-. Adaptabilidad en la forma. 2-. Monolitismo. Capacidad de hacer uniones rígidas y una sola cosa entre los dos elementos. 3-. Buena resistencia al fuego. Mejor que el acero, pero no tan resistente como la albañilería. Normalmente resiste 800 ºC ~ 1200ºC en condiciones especiales. 4-. Es más económico que el acero (para estructuras pequeñas). 5-. Resiste bien las fuerzas dinámicas.

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Inconvenientes:

1-. Estructuras muy pesadas (no es posible efectuar grandes luces). Esto se resuelve con el Hormigón Pretensado.

Hormigón

Cable de acero con Tensión inicial

Cable

Resultante

2-. En estructuras de membranas y/o cúpulas son difíciles de construir. Economía en materiales (Hormigón y acero), pero mayor costo en moldaje y tiempo de construcción. Métodos de Cálculo y Normas

1-. Ecuaciones de Equilibrio. 2-. Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones (Navier-Bernoulli) 3-. Relaciones Constitutivas. Diag. Tens. Def. del H.

σ

σ

Diag. Tens. Def. Idealizado del Hormigón

fC’ 0,85fC’

εo Despreciable

ε

2 º/oo Real ACI Rectángulo

Página 22

3,5 º/oo

ε

C.E.B. Parábola-Rect.

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M creciente desde 0 →M máx Deformaciones de la Sección ε = 3 º/oo ε>εo

ε1 M

Barras de Acero

T

ε2 (acero) σ=E⋅ε

ε (acero)

ε (acero)

Tensiones en el Hormigón 0,85fC’ σ ε

ε

M

Barras de Acero

T

Teo. Inelástica Parábola-Rect.

Teo. Elástica

ACI Rectángulo

En el acero se considera un comportamiento bi-lineal: σ

fy E acero COMPRESION εy

Horm. εy

10 º/oo

ε

TRACCIÓN fy

TEORÍA CLÁSICA:

Diseño en base a verificaciones de tensiones. Verifica la tensión máxima. Se aplica un coeficiente de seguridad a las tensiones. σ H ≤ σ adm.H . σ ac ≤ σ adm.ac. Página 23

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TEORÍA INELÁSTICA:

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Verifica las tensiones últimas o de agotamiento. No verifica la tensión máxima, sino que determina el estado tensional en el cual la pieza se colapsa. Se define un Estado Último o de colapso, y a ese estado se chequea. Se verifica la Resistencia Última de la pieza. Se determinan las solicitaciones máximas con coeficientes de mayoración y se comparan con las resistencias últimas. Debe cumplirse:

Solicitaciones Mayoradas ≤ Resistencias Últimas Conceptualmente la teoría inelástica es mejor y más real. Diagramas de Tensiones de Rotura del Hormigón para Variación Triangular de las Deformaciones

σ

0,6⋅σb nominal

σb cálculo = 0,6⋅σb nominal

Cb

B

A

2 º/oo

3,5 º/oo

εb

X

(

)

C b = Área A + Área B ⋅ espesor pieza A = 0,381 ⋅ σ b cálculo ⋅ X ⎫ ⎬ A + B = 0,8096 ⋅ σ b cálculo ⋅ X B = 0,4286 ⋅ σ b cálculo ⋅ X ⎭

∴

C b = 01 ,8096 23 ⋅ σ b cálculo ⋅ X ⋅ b α

El C.G. de A+B está a 0,587⋅X del origen, o bien a 0,42⋅X del borde comprimido. Página 24

Resultante 0,42X

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II-. Diseño a Rotura Mn = Momento Nominal Mn ≥

Mu

φ

=

Momento Último Coef . Re ducción

Esta sección resiste Mn

Mn

Se debe cumplir entonces:

φ ⋅Mn ≥ Mu Valores del Coeficiente de Reducción ø SOLICITACIÓN Tracción Axial Flexión Compresión con Flexión: - Columnas con estribos - Columnas zunchadas - Columnas con cargas axiales pequeñas Corte y Torsión Aplastamiento

ø 0,90 0,90 0,65 0,70 0,75 ~ 0,90 0,75 0,65

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Combinaciones de Carga U = 1,4(D+F) U = 1,2(D+F+T)+1,6(L+H)+0,5(Lr ó S ó R) U = 1,2D +1,6(Lr ó S ó R) + (1,0L ó 0,8W) U = 1,2D +1,6W + 1,0L + 0,5(Lr ó S ó R) U = 1,2D + 1,0E + 1,0L + 0,2S U = 0,9D + 1,6W + 1,6H U = 0,9D + 1,0E +1,6H

(a) (b) (c) (d)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Con las siguientes excepciones: Excepto en garajes, el factor de carga L en las ecuaciones (3) y (5) puede reducirse a 0,5 en las áreas para reuniones con público y en todos los lugares donde la carga viva L es mayor que 487 kg/m2 Donde las cargas de viento W no hayan sido reducidos por un factor de directividad se permite utilizar 1,3W en lugar de 1,6W en las ecuaciones 4 y 6. Cuando las fuerzas sísmicas E estén basadas en fuerzas sísmicas al nivel de esfuerzos de trabajo debe usarse 1,4E en cambio de 1,0E en las ecuaciones 5 y 7 El factor para H debe ser cero en las ecuaciones 6 y 7 si la solicitación causada por H se opone a las causadas por W o E. Cuando el empuje de tierra provee resistencia a las solicitaciones de las otras fuerzas no debe incluirse en H pero debe incluirse en la resistencia de diseño. 1,4 ⋅ (D + L ± E )⎫ ⎬ NCh 433 .Of 96 0,9 ⋅ D ± 1,4 ⋅ E ⎭

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Columnas Cortas – Compresión Simple

Pu Ag: Área Gruesa de hormigón Pu: Carga Última

Ast: Área de Acero

Resistencia del Acero:

f y ⋅ Ast

Resistencia del Hormigón:

0,85 ⋅ f c' ⋅ AHorm

Pn ≥ Pu ø

AHorm = Ag − Ast Resistencia de la Sección: Pn = 0,85 ⋅ f c' ⋅ (Ag − Ast ) + f y ⋅ Ast

φ ⋅ Pn ≥ Pu Ag

:

ø = 0,65

Área total hormigón (Áreas bruta)

Cuantías Mínimas y Máximas:

ρ=

Ast Ag

ρ mín = 0,01 ρ máx = 0,06

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Columnas con Hélice

H+A

P

Zunchos Estribos Simples

Hormigón

Acero

Δ P

P b a

Sup: a = 30 b = 20 Ast = 10 cm2 fc’=200kg/cm2 Resist. Horm. = 0,85 ⋅ f c' ⋅ (ab − Ast ) 8,2 ⋅ f y ⋅ Asp ⎛ Pn = ⎜⎜ 0,85 ⋅ f c' + ds ⋅ s ⎝

φ ⋅ Pn ≥ Pu donde:

ds Asp s Acc Página 28

: :

ø hélice. Área varilla helicoidal.

: :

Paso hélice. Área del núcleo de hormigón.

⎞ ⎟⎟ ⋅ Acc + f y ⋅ Ast ⎠

ø = 0,70

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Ø hélice = ds

s

Cuantía Mínima para columnas Zunchadas (con hélice):

⎛ f c' ⎞ ⎛ Ag ⎞ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A −1⎟ f y c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ρ ≥ 0,45 ⋅ ⎜⎜

NOTA:

Dimensiones Mínimas (Columnas Rectangulares)

ACI → 30 x 30 cm NCh → 20 x 20 cm

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Pandeo

P y M=P⋅y d2y P⋅ y =− 2 EI dx

x

y '' +

y = A ⋅ Sen(kx ) + B ⋅ Cos (kx ) y (0 ) = 0 ⇒ B = 0 y (L ) = 0 ⇒ A ⋅ Sen(kx ) = 0 ,

y(x)

P n ⋅π = EI L

x

⇒ n 2 ⋅ π 2 ⋅ EI mín L2 I = mín ⇒ A

Pcrít = imín

⇒

Pcrít =

P ⋅y=0 ; EI

2

n 2 ⋅ π 2 ⋅ EI mín L2

,n=1 PE =

π 2 ⋅ EA ⋅ i 2 L2

=

π 2 ⋅ EA

(L i )

2

Def.:

L λ =α ⋅ i donde α:

⇒

α=1

Página 30

π2 ⋅E σE = λ2

α=0,5

α=2

P EI

A≠0 ⇒ kL = n ⋅ π , n = 0,1,2,...

⎛ n ⋅π ⎞ P = EI ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠

⇒

k2 =

α=0,7

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Falta aún considerar el fenómeno de pandeo, debido al cual se debe afectar las cargas por un coeficiente mayor que 1. Se considera el efecto de pandeo multiplicando las cargas axiales por el Coeficiente de Pandeo. Coeficiente de Pandeo PILARES ( SIMPLES Lp/b ω 15 1,00 20 1,08 25 1,32 30 1,72 35 2,28 40 3,00

NOTA:

) y ZUNCHADOS ( Ο ) ZUNCHADOS Lp/Dn ω 10 1,00 15 1,17 20 1,50 25 2,00 ---------------------

VALORES INTERMEDIOS SE INTERPOLAN.

Pilares de sección rectangular con estribos simples en que L p b ≥ 15 . Pilares zunchados en que L p Dn ≥ 10 . En que:

Lp: Dn: b:

Longitud de pandeo = K⋅L Diámetro pilar. Ancho pilar.

En pilares con sección diferente a la rectangular y con estribos simples se calcula primero la esbeltez λ a la que corresponde ω de la tabla siguiente:

λ=

Lp i λ = Lp/i 50 70 85 105 120 140

i=

I mín Ab

ω 1,00 1,08 1,32 1,72 2,28 3,00

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Flexión Simple 1-. Sección Rectangular con Refuerzo en Tracción Deformación Sección

Tensiones Hormigón y Acero

εr = 0,003

C

a=β1c

c h

0,85⋅fc’

d

Mn

As εs

T

fs

b ⎧0,85 ; f c' ≤ 300 Kg 2 ⎪ cm ⎪ Kg ' ' β 1 = ⎨ 0,85 − 0,0008 ⋅ f c − 300 ; f c > 300 cm 2 ⎪ ' ∀ fc β 1 ≥ 0,65 ; ⎪ ⎩

(

a = β1 ⋅ c

a)

∑F = 0

⇒

T=C

con

)

T = As ⋅ f s C = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

⇒ i) Falla Dúctil:

εs = ε y ⇒

As ⋅ f s = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ;

fs = f y

⇒ b)

∑M = 0

⇒ ⇒

Definimos: entonces queda: Página 32

ε c < 0,003 ⇒ a=

As ⋅ f y = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

As ⋅ f y 0,85 ⋅ f c' ⋅ b

a⎞ ⎛ Mn = T ⋅⎜d − ⎟ 2⎠ ⎝ As ⋅ f y ⎛ M n = As ⋅ f y ⋅ ⎜⎜ d − 0,59 ⋅ ' fc ⋅ b ⎝ A ρ = s (Cuantía) y ϖ b⋅d

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

= ρ⋅

fy f c'

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M n = ϖ ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f c' ⋅ (1 − 0,59 ⋅ ϖ ) ii) Falla Balanceada:

ε c = 0,003 εs = ε y

εy =

;

fy Es

εc =0,003

εc c

=

εs d −c

c 0,003 ⋅ (d − c ) = ε y ⋅ c =

d

0,003 ⋅ d − 0,003 ⋅ c =

εs = εy

⇒

ρb =

d=

f y ⋅ c + 0,003 ⋅ c ⋅ E s 0,003 ⋅ E s

⇒

d=

fy ⋅c Es

fy ⋅c Es f y + 0,003 ⋅ E s 0,003 ⋅ E s

⋅c

As As ⋅ 0,003 ⋅ E s = b ⋅ d b ⋅ ( f y + 0,003 ⋅ E s ) ⋅ c 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b 0,85 ⋅ f c' ⋅ β 1 ⋅ c ⋅ b As = = fy fy

pero

⇒ iii) Falla Frágil: ¡Error!

ε c = 0,003

0,85 ⋅ f c' ⋅ β 1 0,003 ⋅ E s ⋅ ρb = ( f y + 0,003 ⋅ E s ) fy ;

εs < ε y

εc = 0,003

C

εs 0,003 = C d −C

→

εs =

0,003 ⋅ (d − C ) C

εs < εy Página 33

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f s = Es ⋅ ε s

f s = 0,003 ⋅

→

(d − c ) ⋅ E c

s

como a=β1·c: f s = 0,003 ⋅ (β 1 ⋅ d − a ) ⋅

Es a

C = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b T = As ⋅ 0,003 ⋅

(d ⋅ β 1 − a ) a

⇒

⋅ Es

a⎞ a⎞ ⎛ ⎛ M n = C ⋅ ⎜ d − ⎟ = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝

La cuantía de acero en tracción en elementos sujetos a flexión se limita de manera de asegurar una falla dúctil. Se utiliza la cuantía de balance como límite de diseño. Si ρo < ρb Si ρo = ρb Si ρo > ρb conveniente.

Falla del acero por tracción (Falla Dúctil). Falla balanceada. Falla por compresión del Hormigón (Falla Frágil). No es

Metodología de Diseño

Es siempre conveniente que la falla que se produzca sea del tipo dúctil y no frágil, por lo que el diseño se realiza para conseguir una falla dúctil. Para esto se debe cumplir: Mu ≤ φ⋅Mn

Mu = Momento último mayorado.

M u = φ ⋅ (ϖ ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f c' ⋅ (1 − 0,59ϖ )) (∗);

φ = 0,9

Además hay que imponer la condición de armadura máxima para asegurar la falla dúctil:

ρ máx = 0,75 ⋅ ρ bal ρ máx = 0,025

para Diseño No Sísmico. para Diseño Sísmico.

Armadura Mínima:

ρ min

Página 34

14 = (fy en kg/cm2) fy

y

ρ min =

f c' 4⋅ fy

( f c´ , f ý en MPa)

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Desarrollando la ecuación (*) se llega a: 2

⎛ 0,85 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d ⎞ 1,89 ⋅ M u ⋅ b ⋅ f c' 0,85 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d ⎟ − − ⎜ As = ⎜ ⎟ fy f f y2 y ⎝ ⎠ 2-. Sección Rectangular con Refuerzo a la Compresión

El diseño a la flexión de secciones rectangulares con armadura a la compresión se realiza mediante un proceso de tanteo. Inicialmente se supone que el refuerzo de tracción y el de compresión han llegado a la tensión de fluencia y luego se modifican los resultados si se encuentra que parte o todo el refuerzo no está en tal condición. Ecuaciones de Diseño

ε c = 0,003

d’ c

' s

A h

0,85 ⋅ f c'

Cs f s'

a

Co

d As

yd

T

εs

b

Partiendo de la hipótesis inicial de que todo el acero está en fluencia: C c = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b C s = As' ⋅ f y

T = As ⋅ f y Equilibrio

→

Cc + Cs= T 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b + As' ⋅ f y = As ⋅ f y

⇒

a=

(A

s

− As' ) ⋅ f y

0,85 ⋅ f c' ⋅ b

Página 35

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Relaciones de Proporción de Deformaciones (Verificación de que las armaduras entran en tracción y compresión están en fluencia)

ε s' c−d

'

εs d −c

=

0,003 c

→

ε s' = 0,003 ⋅

(c − d ) = 0,003 (a − β

=

0,003 c

→

ε s = 0,003 ⋅

(d − c ) = 0,003 (β 1 ⋅ d − a ) ≥

'

c

1

a

c

a

⋅d'

)≥

fy Es fy Es

fs a = β1 ⋅ c

→

c=

fy

a

β1

Es

f s'

ε s'

f y Es

Si ambas desigualdades se cumplen, significa que las suposiciones iniciales han sido correctas y por lo tanto el momento nominal se puede escribir como:

(

a⎞ ⎛ M n = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜ d − ⎟ + As' ⋅ f y ⋅ d − d ' 2⎠ ⎝

)

En caso que las desigualdades anteriores no se cumplan, es necesario recalcular el valor de a a partir de las tensiones reales del acero. a= f s' = ε s' ⋅ E s = 0,003 ⋅

(a − β

1

As ⋅ f s − As' ⋅ f s' 0,85 ⋅ f c' ⋅ b ⋅d'

)⋅ E

s

a (β ⋅ d − a ) f s = ε s ⋅ E s = 0,003 ⋅ 1 ⋅ Es a a⎞ ⎛ M n = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜ d − ⎟ + As' ⋅ f y ⋅ d − d ' 2⎠ ⎝

(

Situación de Balance: ⇒

Página 36

εs = ε y ab =

(

)

1 ⋅ ρ b ⋅ f y − ρ ' ⋅ f s' ⋅ d 0,85 ⋅ f c'

)

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ab = β ⋅ C y =

0,003 ⋅ Es ⋅ β ⋅ d 0,003 ⋅ Es + f y

(Por geometría)

0,85 ⋅ f c' ⋅ β 1 0,003 ⋅ E s f s' ρb = +ρ⋅ ⋅ fy 0,003 ⋅ E s + f y fy

⇒ Si suponemos f s' = f y

ab =

)

ρ − ρ ' ≤ 0,75 ⋅ (ρ − ρ ' )b

ACI:

(

(

1 ⋅ ρ b ⋅ f y − ρ ' ⋅ f s' ⋅ d 0,85 ⋅ f c'

con ρ − ρ '

)

b

= 0,85 ⋅ β 1 ⋅

f c' fy

⎛ 6300 ⋅⎜ ⎜ 6300 + f ' y ⎝

⎞ ⎟ ( ρ b de vigas simplemente armadas) ⎟ ⎠

Las vigas doblemente armadas también pueden fallar por tracción del acero o compresión del hormigón. En ambos casos de falla, el acero en compresión puede o no haber alcanzado la fluencia. Metodología de Diseño

Si el acero de tracción y de compresión se encuentran en fluencia, se diseñará con las siguientes expresiones: fs = f y f s' = f y

(A a=

s

− As' ) ⋅ f y

0,85 ⋅ f c' ⋅ b

⎤ ⎡ a⎞ ⎛ M u = φ ⋅ M n = φ ⋅ ⎢0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜ d − ⎟ + As' ⋅ f y ⋅ d − d ' ⎥ 2⎠ ⎝ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡ a⎞ ⎛ M u = φ ⋅ ⎢ As − As' ⋅ ⎜ d − ⎟ ⋅ f y + As' ⋅ f y ⋅ d − d ' ⎥ 2⎠ ⎝ ⎦ ⎣

(

(

)

(

)

ó bien

)

Si el acero de compresión no ha alcanzado la fluencia, se puede encontrar el esfuerzo en él en términos de a. Luego, como f s' no está en fluencia, en las ecuaciones se reemplaza f y por f s' . a=

As ⋅ f y − As' ⋅ f s' 0,85 ⋅ f c' ⋅ b Página 37

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⎡ ⎤ a⎞ ⎛ M u = φ ⋅ ⎢0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ ⎜ d − ⎟ + As' ⋅ f s' ⋅ d − d ' ⎥ = As ⋅ f y − As' ⋅ f s' ≈ As − As' ⋅ f y 4244 3 ⎝ 2⎠ ⎢ 14 ⎥ Cc ⎣ ⎦ ó bien ⎤ ⎡ a⎞ ⎛ M u = φ ⋅ ⎢ As − As' ⋅ ⎜ d − ⎟ ⋅ f y + As' ⋅ f s' ⋅ d − d ' ⎥ 2⎠ ⎝ ⎦ ⎣

(

)

(

)

(

)

(

)

Las ecuaciones anteriores suponen que el acero a tracción está en fluencia, lo cual es esencial para evitar la falla frágil. Requisitos Adicionales

Especificaciones de Resistencias Mínimas: -

En el caso de unión (Viga – Pilar), la resistencia para momentos positivos no debe ser menor que la mitad de la resistencia para momentos negativos en esa cara: M (+)

-

APOYO

≥ 0,5 ⋅ M ( − )

APOYO

En cualquier sección a lo largo del elemento, la resistencia tanto para el momento positivo como para el momento negativo no debe ser menor que un cuarto de la resistencia para el momento máximo proporcionado en la cara de la unión: M ( + ) TRAMO ⎫⎪ ⎬ ≥ 0,25 ⋅ M MÁX M ( − ) TRAMO ⎪⎭ Otro Procedimiento de Diseño

APOYO

(Vigas Doblemente Armadas)

1-. Se elige una sección. 2-. Se elige una cuantía de refuerzo a tracción: ρ < ρ b → (ρ < 0,75 ⋅ ρ b ) 3-. Se determina el momento nominal de la sección simplemente armada con: fy ⎞ ⎛ M n = ρ ⋅ f y ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ ⎜⎜1 − 0,59 ⋅ ρ ⋅ ' ⎟⎟ ; fc ⎠ ⎝

M n req ≥

Mu

φ

Si M n > M n req , no es necesario agregar más acero. 4-. La diferencia de momentos ΔM = M n req − M n se toma agregando acero tal que el par de fuerzas equilibren a la deferencia de momentos

Página 38

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As' = As adicionales As adic. =

As' ⋅ f y

M n req − M n

(d − d )⋅ f

(d − d )

ΔM

'

'

y

As ⋅ f y 5-. Debe verificarse: As + As adic. ≥

14 ⋅b⋅d fy

Armaduras de Corte Analogía con la Celosía

Armaduras de Construcción Líneas de Compresión Barras Inclinadas Armaduras de Tracción

Bielas de Compresión en el Hormigón. Se suponen a 45º

Ti

T

C

α

Ti ⋅ Senα = C ⋅ Senα Ti ⋅ Cosα + C ⋅ Cos 45 = ΔT

45º

T+ΔT

⇒

Ti =

ΔT Senα + Cosα

Página 39

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τ

T

T + ΔT

d b s

τ=

ΔT b⋅s

Ti =

⇒ Si son estribos, α = 90º

τ= Ti = Av ⋅ f y ⇒

τ ⋅b⋅ s Senα + Cosα

Senα + Cosα = 1

⇒

Q b⋅d

ΔT = τ ⋅ b ⋅ s

⇒

⇒

Ti =

Q⋅s d ⋅ (Senα + Cosα )

(Av: Área armadura inclinada)

Av Q = s f y ⋅ d ⋅ (Senα + Cosα )

Av Vs = s fy ⋅d

⇒

NOTA:

El área del estribo es 2⋅A A A

Ej.:

Suponer que se usa φ8 ⇒

Página 40

Aφ 8 = π ⋅

0,8 2 4

⇒

Av = 2 ⋅ π ⋅

0,8 2 4

Q = Vs

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Diseño de Elementos Sometidos a Esfuerzos de Corte por Flexión Hipótesis Básicas

1-. El corte será resistido mayoritariamente por los refuerzos transversales. 2-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Hormigón. 3-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Acero. -

Se desechará el uso de barras longitudinales dobladas para ayudar a soportar esfuerzos de corte. Solamente se diseñarán estribos perpendiculares a la armadura longitudinal.

-

El diseño de secciones transversales sometidas a corte se debe basar en: Vu ≤ φ⋅Vn Ve ≤ φ⋅Vn

si se realiza análisis estático. si se realiza análisis sísmico.

Fuerza de corte obtenida considerando que los extremos de la viga entraron en la Ve: fase plástica. No proviene de equilibrio de fuerzas. Vu: Fuerza de corte entregado por el análisis estructural estático. Vn: Resistencia nominal al corte: Vn = Vc + Vs Vc: Resistencia nominal al corte resistido por el Hormigón. Vs: Resistencia nominal al corte resistida por el Acero.

Representación de la Distribución del Esfuerzo de Corte a lo largo de un elemento en Flexión

Vs

Vn

Vc

Vc

Vc

Vn

Vc Vs

Vs: Vc:

Corte soportado por el Acero transversal. Corte soportado por la sección de Hormigón. Página 41

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Vigas Corte por Flexión:

es resistido por el Hormigón y por las armaduras transversales.

La fuerza de corte solicitante en Diseño Sísmico no se obtiene del análisis de esfuerzos, sino que de la suposición de que los extremos de las vigas entran en la Fase Plástica. De esta manera se conoce el máximo esfuerzo de corte sísmico que es capaz de producirse en la viga. En base a esto se realiza un Diseño por Capacidad, protegiéndose contra la falla por corte.. El corte solicitante Ve se obtiene calculando los Momentos Plásticos (Mp) en los extremos de la viga, a partir de la armadura longitudinal ya diseñada, con φ = 1 y suponiendo una tensión de fluencia del acero 1,25 veces mayor que la real, es decir:

[

]

M p = 1 ⋅ ω ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f c' ⋅ (1 − 0,59 ⋅ ω ) ⎫ ⎪ fy ⎬ Sección sin armadura a la compresión ω = ρ ⋅ 1,25 ⋅ ' ⎪ fc ⎭ ACI (Apéndice 21) Puntos en que se calcula el Esfuerzo de Corte

Eje Columna

Ci

Eje Columna

Ve

Ve⋅2d

1

2

2d Zona de Rótula Plástica

3

4

2d Zona de Rótula Plástica

El Esfuerzo de Corte se debe calcular en los puntos 1, 2, 3 y 4. Ci: D:

Página 42

½ ancho columna. altura de la viga.

Ci

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Determinación del Esfuerzo de Corte Solicitante

El esfuerzo de corte solicitante Ve NO SE OBTIENE DEL ANÁLISIS. El esfuerzo de corte Ve se obtiene de suponer que los extremos de las vigas entraron en la fase plástica. ⇒

Máximo esfuerzo de Corte Sísmico ⇒ Diseño por Capacidad ⇒ Protección contra la falla por corte

Procedimiento Sismo hacia la izquierda

(←)

qk = q2, q3, ..

Eje Col.

Eje Col. Mp1

Mp1

Mp2

Mp2 L

V2

V1 (→)

Sismo hacia la derecha

qk = q2, q3, ..

Eje Col.

Eje Col. Mp1’

Mp1’

Mp2’

Mp2’ L V1’

V2’

V1 V2 V1 =

V2 =

M p1 + M p 2 L M p1 + M p 2 L

V2’

V1’ '

+ 0,5 ⋅ q k ⋅ L

V =

− 0,5 ⋅ q k ⋅ L

V =

' 1

M p1 + M p 2

− 0,5 ⋅ q k ⋅ L

L '

' 2

'

M p1 + M p 2 L

'

+ 0,5 ⋅ q k ⋅ L Página 43

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NOTA:

Las Combinaciones de Carga qk corresponden siempre a las Combinaciones de Carga con Sismo que entrega la NCh 433.Of.96 Para cada combinación de carga (con sismo), se calcula V1, V2 (con + y – sismo)

q2 q3

VC2d.

→ V1 (+ ) , V1 (− ) , V2 (+ ) , V 2 (− ) ⎫⎪ ⎬ → V1 (+ ) , V1 (− ) , V2 (+ ) , V 2 (− ) ⎪⎭

⇒

Ve = máx {V1 (± ) , V2 (± ) }

Para el caso más exigente (Ve), se calcula el esfuerzo de corte en la cara VCc y en la cara

⇒

⇒ Tomar las armaduras longitudinales de la viga Calcular con estas los Mp (determinados con φ = 1 y con f y' = 1,25 ⋅ f y )

Corte por Flexión

Armadura de Corte (Vertical e Inclinada)

Armadura de Tracción (Flexión) σy ≈ 0

τ

τmáx

τyx

(σx,τxy)

τxy σx

2α

σx τxy

σmáx

τxy τyx σy ≈ 0

Página 44

Círculo de Mohr

σ

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σy

σc

σc σy

El Hormigón se rompería con σT en un plano inclinado. Hay que coser la grieta colocando armaduras verticales (estribos) o inclinadas, o ambas. El Hormigón no resiste la tracción inclinada que se produce, y tiene inclinación variable (Tensión Diagonal). Diseño de Secciones Rectangulares y No Rectangulares sometidas a Corte

Se considerará que un elemento está sometido a corte sin influencia del corte producido por torsión si: x f c' ⋅ ∑ x 2 ⋅ y

Tu ≤ φ ⋅ 0,13 ⋅

Tu: x: y: φ: Ej:

y

Momento Torsor máximo a que estará sometido el elemento. Dimensión menor de la sección. Dimensión mayor de la sección. Factor de minoración de la resistencia, para corte y torsión (φ = 0,85)

Sección No Rectangular y1 x1 y2

x2 Página 45

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1-. Resistencia suministrada por el Hormigón

⎛ Vc = ⎜ 0,5 ⋅ ⎜ ⎝

f c' + 176 ⋅

ρ o ⋅ Ve ⋅ d ⎞⎟ Mp

⎟ ⎠

⋅b⋅d

se debe cumplir la condición de: Vc ≤ 0,53 ⋅

Ve ⋅ d Mp Vc Ve Vs Vu

Vu ⋅ d Mu

ó

f c' ⋅ b ⋅ d

≤1

[Kg ]

según corresponda

: Resistencia Nominal al Corte proporcionada por el Hormigón. : Corte Máximo a que está sometida la viga, una vez que se ha plastificado el elemento. : Resistencia Nominal proporcionada por la armadura transversal de refuerzo al corte. : Fuerza de Corte Último obtenida del análisis.

2-. Resistencia suministrada por la Armadura Transversal

a) Armadura Mínima En el caso de que Ve < 1/2⋅φ⋅Vc, en rigor no se debe disponer de armadura de corte, pero considerando la seguridad de la estructura, se impone que la armadura transversal sea igual a la mínima, con el fin de confinar el Hormigón y asegurar una falla dúctil. Si Ve ≥ ⇒

s

-

:

y

Ve < φ ⋅ Vc

ARMADURA MÍNIMA

Av = 3,5 ⋅

b⋅s fy

Separación entre estribos.

Cuando Tu > φ ⋅ 0,13 ⋅ corte, ésta será:

Página 46

1 ⋅ φ ⋅ Vc 2

f c' ⋅ ∑ x 2 ⋅ y , el cálculo dispone el uso de armadura mínima de

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Av + 2 ⋅ AT ≥ 3,5 ⋅ Av AT

: :

b⋅s fy

Área de la armadura de corte (cm2) Área de la armadura de torsión (cm2)

b) Armadura de Corte (Av) Resistencia al corte de la armadura transversal Vs = i)

Av ⋅ f y ⋅ d s

Diseño dentro de la posible Rótula Plástica: Con los Momentos Plásticos se determina Vec y se calcula el coeficiente α: M p1 + M p 2

α=

M p1 + M p 2 L

•

L + q Mayorado por Combinación ⋅ (0,5 ⋅ L − C i )

Si α ≥ 0,5 y Pu < 0,05 ⋅ Ag ⋅ f c' ⇒

Av Vs Vec = = s fy ⋅d φ ⋅ fy ⋅d

con φ = 0,85 y se desprecia la contribución del Hormigón. •

Si α < 0,5 ó Pu > 0,05 ⋅ Ag ⋅ f c' ⇒

Av Vs 1 = = s fy ⋅d fy ⋅d

⎛V ⎞ ⋅ ⎜ ec − Vc ⎟ ⎝ 0,85 ⎠

no se desprecia la contribución del Hormigón. Vc = 0,53 ⋅ b ⋅ d ⋅

f c'

[Kg ]

Para esta zona se tienen las siguientes limitaciones:

Página 47

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ii)

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*)

⎧⎪ d S máx ≤ ⎨ 4 ⎪⎩30 cm

**)

3,5 ⋅ b ⋅ d ≤ Vs (Kg ) ≤ 2,1 ⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

Diseño fuera de la zona de Rótula Plástica: Se determina Ve 2 d y no se desprecia la contribución del Hormigón: Av 1 = s fy ⋅d

⎛V ⎞ ⋅ ⎜ e 2 d − Vc ⎟ ⎝ 0,85 ⎠

Vc = 0,53 ⋅ b ⋅ d ⋅

f c'

Limitaciones para esta zona: *)

⎧⎪ d S máx ≤ ⎨ 4 ⎪⎩30 cm

si

Vs > 1,1 ⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

**)

⎧⎪ d S máx ≤ ⎨ 2 ⎪⎩60 cm

si

Vs ≤ 1,1 ⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

En todas las secciones de la viga la armadura de corte no puede ser menor que la mínima: Av s

= mín

3,5 ⋅ b fy

3-. Resistencia conjunta del Hormigón y la Armadura de Corte

V n = Vc + V s Vn

:

Resistencia conjunta nominal.

Debe cumplirse: Ve ≤ φ ⋅ V n

Página 48

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Condiciones básicas que se deben cumplir en el diseño al corte:

-

Se debe verificar que la resistencia a la fluencia de cálculo de la armadura utilizada para absorber el corte no exceda los 4000 Kg cm 2 f y ≤ 4000 Kg cm 2

-

Se debe cumplir que la resistencia soportada por la armadura transversal Vs, no sea mayor que: Vs ≤ 2,1 ⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

Torsión Pura y con Esfuerzo de Corte La Torsión Pura es poco frecuente. Generalmente se presenta junto a flexión, corte y axial. Torsión en elementos de H.A.

En general las secciones son rectangulares. τmáx

τmáx se produce en el extremo más cercano al C.G. MT

x 0,1 ⋅ f c' ⋅ Ag

φ = 0,9 −

0,2 ⋅ Pu ≥ 0,7 0,7 ⋅ Pb

si φ ⋅ Pb < 0,1 ⋅ f c' ⋅ Ag

⎛ 0,003 ⋅ E s ⎞ 2 ⎟ Pb = (0,85) ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d ⋅ ⎜ ⎜ 0,003 ⋅ E + f ⎟ s y ⎠ ⎝ De estos diseños se elige el que dé la cuantía de acero mayor. Se debe verificar además, que la columna resista la compresión pura: Se verifica la capacidad axial de la columna con φ = 0,7 y suponiendo la cuantía de acero máxima:

ρ o = 0,06

ó

ρ o = 0,025 según corresponda

Página 63

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[

Pu máx ≤ φ ⋅ Pn máx

(

Pu máx ≤ φ ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 ⋅ f c' ⋅ Ag + 0,06 ⋅ b ⋅ d ⋅ f y − 0,85 ⋅ f c'

)]

ACI 318- especifica que para componentes no pretensazos, no se debe tomar la resistencia de carga axial de cálculo φ ⋅ Pn mayor que 0,8 de la carga axial de cálculo con una excentricidad φ ⋅ Po igual a cero.

Metodología de cálculo de momentos plásticos en columnas sometidas a flexo – compresión Mp se determina para la columna ya diseñada. Ahora el área de acero no es la incógnita, sino el momento que resiste la columna con dicho acero para los diferentes niveles de carga axial que resulten de las diferentes combinaciones de carga. Se debe analizar el caso en que Pu > Pb y Pu ≤ Pb . P

Pu > Pb

M2 < M1. En este caso falla con M2 y Pu >Pb

Pb M2

a)

M1

Pu < Pb Mb

M

Si Pu ≤ Pb:

El acero de tracción alcanza la fluencia f s = f y , y el de compresión puede o no haberla alcanzado. Para calcular el momento plástico se emplea la carga axial última dividida por el φREAL, ya que de esta manera se está mayorando la carga y al moverse a través de la curva de interacción se obtienen momentos plásticos mayores. Pu

Pu φ=1 Pu / φ

φ = Real (Función de Pu) Mp

Página 64

Mp Mb

Mu

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i)

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Si el acero en compresión alcanza la fluencia, f s' = f y

Pu a=

φ REAL 0,85 ⋅ f c¡ ⋅ b

y con f s' = f s = f y se determina de la ecuación de M con φ = 1 el momento plástico Mp:

(

)

(

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f y ⋅ d − d '

ii)

)

Si el acero en compresión no alcanza la fluencia f s' < f y f s' =

0,003 ⋅ (a − β1 ⋅ d ) ⋅ E s a

y, reemplazando este valor en la ecuación para Pu:

(

(

Pu = φ ⋅ 0,85 ⋅ f c? ⋅ a ⋅ b + As ⋅ f s' − f s

))

y con Pu / φ se tiene: P ⎞ ⎛ 0,85 ⋅ f c' ⋅ a 2 ⋅ b + ⎜⎜ 0,003 ⋅ As ⋅ E s − u − f y ⋅ As ⎟⎟ ⋅ a − 0,003 ⋅ β1 ⋅ d ' ⋅ As ⋅ E s = 0 φ ⎠ ⎝ Despejando a de esta ecuación, y calculando f s' , se puede obtener, de la ecuación de momentos, el momento plástico, haciendo φ = 1.

(

)

(

)

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f s' ⋅ d − d ' − d '' + As ⋅ f y ⋅ d '

b)

Si Pu > Pb:

En este caso f s < f y y f s' puede o no haber alcanzado f y . Para calcular el momento plástico se utiliza Pu / φ con φ = 1, pues cuando Pu > Pb, con cargas axiales mayores se obtienen momentos plásticos menores. i)

Si f s' = f y

⇒

fs =

0,003 ⋅ (β1 ⋅ d − a ) ⋅ E s y: a

Nu=[Mu/φ - 0.85f'c(0.003Esβ1d)/(fs+0.003Es)*b*{d-d"-0.5*0.003Esβ1d/(fs+0.003Es)}] * [(fy-fs)φ/(fsd"+fy(d-d'-d")] +

Página 65

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0.00255Esβ1df'cbφ/(fs+0.003Es)

Pu = [Mu/φ - 0.85f'c(0.003Esβ1d)/(fs+0.003Es)*b*{d-d"-0.5*0.003Esβ1d/(fs+0.003Es)}] * [(fy-fs)φ/(fsd"+fy(dd'-d")] + 0.00255Esβ1df'cbφ/(fs+0.003Es)

(CHEQUEAR)....................

0,85 ⋅ f c' ⋅ a 2 ⋅ b + (As ⋅ f y − Pu + 0,003 ⋅ As ⋅ E s ) ⋅ a − 0,003 ⋅ β 1 ⋅ d ⋅ As ⋅ E s = 0

De aquí se despeja a, se calcula fs, y se obtiene Mp con φ = 1.

(

)

(

)

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f y ⋅ d − d ' − d '' + As ⋅ f s ⋅ d ''

ii)

Si f s' < f y : 0,003 ⋅ (β 1 ⋅ d − a ) ⋅ E s a 0,003 ⋅ (a − β1 ⋅ d ) ⋅ E s f s' = a

fs =

y:

(

)

0,85 ⋅ f c' ⋅ a 2 ⋅ b + (0,006 ⋅ As ⋅ E s − Pu ) ⋅ a − 0,003 ⋅ β 1 ⋅ As ⋅ E s ⋅ d + d ' = 0 despejando a se calcula Mp con φ = 1:

(

)

(

)

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f s' ⋅ d − d ' − d '' + As ⋅ f s ⋅ d ''

NOTA: Diseñar por capacidad considerando recomendaciones del ACI Columna fuerte – Viga débil

Determinación de la esbeltez de la columna (λ), y del factor de modificación de los momentos por efecto de esbeltez (δ)

El diseño a flexo – compresión debe efectuarse con Pu y δ ⋅ M u , en que δ es un factor que modifica el momento que actúa sobre la columna por efecto de ser ésta esbelta. •

Si λ es mayor que los valores definidos de Esbeltez Límite:

Página 66

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δ=

CM P 1− u ϕ ⋅ Pc

Esbeltez Límite: K ⋅ Lu M ≥ 34 − 12 1 r M2 K ⋅ Lu λ= ≥ 22 r

λ=

COLUMNAS ARRIOSTRADAS COLUMNAS NO ARRIOSTRADAS

r = 0,288 ⋅ b Si la columna es arriostrada

:

C M = 0,6 + 0,4 ⋅

Si la columna es no arriostrada

:

CM = 1

M1 ≥0 M2

(M1 < M2)

ϕ = Factor de reducción por capacidad (0,7 a 0,9) Pc =

π 2 ⋅ EI

(K ⋅ Lu )2

AS1

Viga 1

Lu

AS2 LN2

Viga 2 LN1

Página 67

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Columna: EI =

Ec ⋅ I g ⎛ 1 ⋅⎜ 2,5 ⎜⎝ 1 + β d

E c = 5000 ⋅

βd =

f c'

⎞ ⎟⎟ ⎠

ó

⎛ Ec ⋅ I g ⎞ 1 + E s ⋅ I s ⎟⎟ ⋅ EI = ⎜⎜ ⎝ 5 ⎠ 1+ βd

(MPa)

M mayor (1,4 PP + 1,7 SC ) Participación PP y SC = Participación Fuerzas Laterales + PP + SC M mayor (Comb.2,3,4,5)

I g = Inercia Área Total =

b ⋅ h3 12

Determinación de K: ΨA =

∑E⋅I ∑E⋅I

c

V1

LU LN

ΨB =

b ⋅ h3 12 LN : Luz libre de la viga (De eje a eje).

∑E⋅I ∑E⋅I

c

V2

LU LN

Ic =

IV1 : Inercia de la sección agrietada de la viga =

c = 0,85 ⋅ a

a=

A ⋅E 1 2 ⋅ b ⋅ c 3 + s s ⋅ (d − c ) 3 Ec

f y ⋅ As 0,85 ⋅ f c' ⋅ b

Con estos valores se ingresa al ábaco (Tabla 34 ó 35) según corresponda (Arriostrado o No Arriostrado).

Metodología: 1-. Determinación de IV1, IV2, Ic. 2-. Determinación de K. 3-. Cálculo de Pc: βd : MU1, MU2, … EI Pc 4-. Determinación de CM 5-. Cálculo de δ → Página 68

Diseño a Flexo – Compresión (PU, δ⋅MU)

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NOTA:

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GA = ψA, etc.

Página 69

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Requisitos Adicionales en Flexo – Compresión Criterio Columna Fuerte – Viga Débil

Promueve la formación de rótulas plásticas en las vigas, logrando con esto: 1)

Buscar un mecanismo de falla total, es decir, un mayor número de puntos de absorción de energía.

2)

Mantener las columnas sanas, concentrando la destrucción en las vigas, dado que la reparación de éstas es más simple que la de las columnas.

3)

Aprovechar la capacidad de absorción de energía de las vigas ya que son dúctiles. El esfuerzo axial de compresión disminuye la ductilidad de las columnas. Para cumplir este criterio se debe satisfacer la ecuación siguiente:

∑M ∑M

e

:

e

≥

6 ∑Mg 5

Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a la resistencia de cálculo a la flexión de las columnas que forman el marco con esa unión. La resistencia a flexión de esa columna debe calcularse considerando la fuerza axial mayorada, concordante con la dirección de las fuerzas sísmicas consideradas que producen una menor resistencia a la flexión. Para obtener Se Me debe tomar el Pu de la combinación de cargas que dé el menor momento Me, es decir, con la columna diseñada con las combinaciones de carga especificadas por la norma de diseño. φ es el correspondiente al Pu que se está considerando o perpendicular, según sea lo más desfavorable.

∑M

g

:

Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a las resistencias a la flexión de cálculo de las vigas que forman marco con la unión. El cálculo de Mg se realiza con φ = 0,9

Página 70

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Si la unión no satisface esta condición, se debe proporcionar a las columnas armaduras transversales de confinamiento en toda su altura.

Pu

Pu1

Pu (φ = 1)

Pu2 Pu3 Pu4

Pu / φ (φ = 0,9) Mp Mu

Pu5

Pu i

Pu ii

SISMO Me1

Mg1 AS2

AS1

SISMO

Me1

Mg2 AS2

AS1 Mg1

Mg2

Me2

Me2

Página 71

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El cálculo de

∑M

g

y

Apuntes de Hormigón Armado

∑M

e

debe ser consistente con las armaduras que trabajan en la

dirección del sismo. En todos los casos debe cumplirse:

∑M

e

≥

6 ∑Mg 5

Diseño de secciones rectangulares sometidas a Flexo – Tracción Ecuaciones de Diseño

Pu

d’ As

em d Mu = Pu ⋅ em

As Po = 2 ⋅ As ⋅ f y a⎞ ⎛ M o = As ⋅ f y ⋅ ⎜ d − ⎟ 2⎠ ⎝

As ⋅ f y ⎞ ⎛ ⎟ M o = As ⋅ f y ⋅ ⎜⎜ d − ' ⎟ ⋅ f ⋅ b 1 , 7 c ⎝ ⎠ MU Mo − Mo Mo − MN φ = = φ = 0,9 P Po PN U

⇒

φ

M o ⋅ PU = φ ⋅ M o ⋅ Po − M o ⋅ Po MU =

MU

φ ⋅ M o ⋅ Po − M o ⋅ Po Po

⎛ P ⎞ M U = M o ⋅ ⎜⎜ φ − U ⎟⎟ Po ⎠ ⎝ ⎞ As ⋅ f y ⎞ ⎛ PU ⎛ ⎜φ − ⎟ ⎟ ⋅ = As ⋅ f y ⋅ ⎜⎜ d − ' ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ A f 2 ⋅ ⋅ f b 1 , 7 s y ⎠ c ⎠ ⎝ ⎝

Desarrollando la ecuación anterior se obtiene el siguiente algoritmo que se resuelve por iteraciones: Página 72

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⎛ A ⋅ f ⎞⎞ ⎛ ⎜ M U + ⎜ d − s y ⎟ ⎟ ⋅ PU ⎜ ⎜ 1,7 ⋅ f c' ⋅ b ⎟⎠ ⎟⎠ 2 ⎝ As = ⎝ As ⋅ f y ⎞ ⎛ ⎟ φ ⋅ f y ⋅ ⎜⎜ d − 1,7 ⋅ f c' ⋅ b ⎟⎠ ⎝

OBS: Mu y Pu se ingresan en valor absoluto

Diseño de Muros 1-. Muros con dinteles de acoplamiento

Carga axial sísmica. Los dinteles desarrollan fuertes esfuerzos de corte. No se hace en Chile en la práctica. No conviene porque es muy difícil de armar los dinteles.

2-. Muros sin dinteles de acoplamiento

Losa

Carga axial sísmica es Nula

Diseño a Flexo – compresión

→

armadura vertical distribuida uniformemente y armadura de borde.

Armadura de borde

→

Se diseña el muro como una columna a flexo – compresión, para M U φ y PU φ . Página 73

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d - d’

Armadura uniformemente distribuida

Pb > PU Siempre los muros están trabajando bajo el punto de balance: Si la armadura de borde resulta excesiva, hay que considerar la armadura distribuida (pequeño programa computacional) trabajando en conjunto. Diseño para el esfuerzo de corte

(

VU ≤ φ ⋅ Vn = φ ⋅ Acv ⋅ α c ⋅

ρH VU

: :

f c' + ρ H ⋅ f y

)

Esfuerzo horizontal. Esfuerzo de diseño.

f c' , f y :

[Kg

αc

Coeficiente que depende de la esbeltez del muro.

:

cm 2

]

αc 0,795 0,530

1,5 Acv

:

Limitaciones: Página 74

2,0

hw lw

[ ]

Área de la sección recta horizontal de muro cm 2

Apuntes de Hormigón Armado máx

[Kg

1)

VU por muro = 2,65 ⋅ Acv ⋅

2)

VU de todos los muros de un piso = 2,12 ⋅ Acp ⋅

máx

en una dirección

Acp

:

f c'

cm 2

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]

f c'

Suma de las secciones rectas de todos los muros.

La determinación de la armadura horizontal debe efectuarse con todas las combinaciones de carga.

ρ Hmín = 0,0025 NOTA:

Es por cada lado. Nunca colocar menos de φ8 @ 20

Armadura Vertical:

También se necesita en muros bajos por el efecto de puntal en el que la armadura contribuye en horizontal y vertical.

hw

lw

hw ≤2 lw h si w ≤ 2,5 lw

ρv = ρ H

si

ρ v = 0,0025 ⎛

ρ v = 0,0025 + 2 ⋅ ⎜⎜ 2,5 − ⎝

hw ⎞ ⎟ ⋅ (ρ H − 0,0025) l w ⎟⎠

si 2 <

hw < 2,5 lw

Discusión de φ:

ACI: Si no se puede garantizar la falla por flexión

φ = 0,85 → φ = 0,6 Página 75

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Vv

:

Esfuerzo de corte máximo asociado a la falla por esfuerzo de corte.

Vm

:

Esfuerzo de corte máximo asociado a la falla por flexión.

Muro en voladizo

Ejemplo: H

h MN : Capacidad flexural en la base

VM = H falla

Vv = H falla • •

por flexión

por corte

M = N = h

= VN

del Muro

MU

=

φ

h VU

φ → →

Falla por corte cuando Vv < VM Falla por flexión cuando Vv > VM

Suponer φ = 0,6

→

φ = 0,6 φ = 0,85

Calcular todo → Comparar Rehacer todo con φ = 0,85

→

Si no da

→

Pero el muro no es un voladizo:

(

Estimar VV = Acv ⋅ α c ⋅

f c' + ρ H ⋅ f y

)

VM = función de PU (Considerar PU máximo si estamos bajo Pb. A medida que aumenta MN → aumenta VN → comparar con VM máx)

Página 76

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VM = M N ⋅

MN

Vu MU

:

VU, MU

provienen del análisis

Fórmula aproximada.

Diseñar con φ = 0,6 → si la falla es por flexión

→

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Chequear si la falla es por corte o por flexión → Rediseñar con φ = 0,85 → comprobar

Fórmula aproximada para MN en muro:

α=

q=

c=

NU l w ⋅ h ⋅ f c'

As ⋅ y l w ⋅ h ⋅ f c' q +α ⋅ lw 2q ⋅ 0,85 ⋅ β1

β 1 = 0,85 ⋅ f c' ≤ 280 Kg cm 2 ⎛ N U ⎞⎟ ⎛ c M N = 0,5 ⋅ As ⋅ f y ⋅ l w ⋅ ⎜1 + ⋅ ⎜⎜1 − ⎜ As ⋅ f y ⎟⎠ ⎝ l w ⎝ h lw As

: : :

⎞ ⎟⎟ ⎠

NU > 0 Compres.

Espesor muro. Dimensión horizontal del muro. Área total (distribuido) vertical.

Página 77

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Elementos sometidos a Compresión Biaxial (Columnas de Esquina) N My Mx

x

ey

N

M x = N ⋅ ey

ex

y

Esfuerzos axiales en Compresión Biaxial

N Página 78

My

M y = N ⋅ ex

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σT

Mx

σC máx

f.n.

Existen 5 posibilidades de ubicación de la Línea Neutra:

La solución exacta pasa por la pre-suposición de una línea neutra, en que ésta define el área de la cabeza de compresión y las barras en tracción. Es una solución iterativa, por tanteos.

Método Aproximado (Bresler – Palmer) PN

Curvas de Interacción

Superficie de falla

MNY Página 79

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MNX

e M NX ó y M ox eoy 1,0

M NX M NY 1 − β + ⋅ = 1,0 M ox M oy β

A 1-β

B

β

M NY M NX + ⋅ M oy M ox β 1-β

45º

C 1,0

e M NY ó x eox M oy

Mox es el momento en X tal que MNY = 0, con PN Moy es el momento en torno a Y con MNX = 0, con PN ⎛ M NX ⎜⎜ ⎝ M ox

α

⎛M ⎞ ⎟⎟ + ⎜ NY ⎜M ⎠ ⎝ oy

log 0,5 α= log β

α

⎞ ⎟ = 1,0 ⎟ ⎠

Página 395 (Nawy) β:

1,0 0,85 0,55

M NY M oy Página 80

β = 0,5

…

β = 0,9

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1,0 M NX M ox

AB:

M NY M NX < M oy M ox

→

M NX M NY + M ox M oy

⎛1− β ⎞ ⎟⎟ = 1,0 ⋅ ⎜⎜ ⎝ β ⎠

BC:

M NY M NX > M oy M ox

→

M NY M NX + M oy M ox

⎛1− β ⎞ ⎟⎟ = 1,0 ⋅ ⎜⎜ ⎝ β ⎠

Para las secciones rectangulares que tienen refuerzo distribuido uniformemente en todas M oy b se puede tomar en forma aproximada igual a → las caras de la columna, la relación M ox h 1-. Para

M NY b > M NX h

⇒

b 1− β M NY + M NX ⋅ ⋅ ≈ M oy h β

2-. Para

M NY b ≤ M NX h

⇒

h 1− β M NX + M NY ⋅ ⋅ ≈ M ox b β

Procedimiento:

1. Calcular los momentos de flexión uniaxial suponiendo igual número de barras en cada cara de h M la columna. Suponer β = 0,5 a 0,7. Suponer ≈ NX b M NY Calcular el momento uniaxial equivalente requerido Mox o Moy. Si MNX es mayor que MNY, usar Mox para el diseño y viceversa.

2. Suponer h, b, ρ = ρ’ = 0,01 a 0,02 en cada una de las dos caras paralelas al eje de flexión del momento equivalente mayor. Darse unas barras iniciales. Verificar la capacidad PN de la columna definida (PN requerido = PU φ ; φ = 0,7). En el diseño final se debe usar iguales barras en todas las caras de la columna. 3. Calcular el momento resistente nominal REAL MoxN, para el momento uniaxial equivalente con respecto l eje X, cuando Moy = 0. Página 81

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Este valor debe ser mayor o igual a la resistencia requerida de momento Mox. 4. Calcular la resistencia de momento nominal REAL MoyN cuando Mox = 0. 5. Encontrar MNY introduciendo el valor

M NX y β, obtenido del gráfico. M oxN

6. Realizar un segundo tanteo, incrementando el valor de β supuesto, si el MNY que se obtuvo del gráfico es menor que el MNY requerido. Repetir hasta converger, cambiando β o la sección. 7. Diseñar el refuerzo lateral y detallar la sección. NOTA:

Página 82

Estudiar el ejemplo en pág. 395 Nawy.

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Losas de Hormigón Armado

h

a

h