Apuntes de Fisica II

APUNTES DE FISICA II

DIRECTORIO JOSE ENRIQUE VILLA RIVERA Director General EFREN PARADA ARIAS Secretario General YOLOXOCHITL BUSTAMANTE DIEZ Secretaria Academica JOSE MADRID FLORES Secretario de Extension e Integracion Social LUIS HUMBERTO FABILA CASTILLO Secretario de investigacion y Posgrado HECTOR MARTINEZ CASTUERA Secretario de Servicios Educativos MARIO ALBERTO RODRIGUEZ CASAS Secretario de Administracion LUIS ANTONIO RioS CARDENAS Secretario Tecnico LUIS EDUARDO ZEDILLO PONCE DE LEON Secretario Ejecutivo de la Comision de Operacion y Fomento de Actividades Academicas JESUS ORTIZ GUTIERREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e InstaIaciones JULIO DI-BELLA ROLDAN Director de XE-IPN TV Canal 11 LUIS ALBERTO CORTES ORTIZ Abogado General ARTURO SALCIDO BELTRAN Director de Publicaciones

APUNTES DE FISICA II ARNOLDO KOHLER C. LUIS OLIVARES Q.

INSTITUTO POLITECNICO N ACION A L -MEXICO-

Apuntes de Fisica II Primera ediciori: 2004 Segunda edici6n: 2007 D.R. 2007 © INSTITUTO POLlTttCNICO NACIONAL Direccion de Publicaciones Tresguerras 27,06040 Mexico, DF ISBN 978-970-36-0473-9 Impreso en Mexico I Printed in Mexico

CONTENIDO

UNIDAD

1

Pag.

1.1.Introduccion a la Dincimica 1.1.2. Leyes de Newton 1.1.3. Fuerza de friccion 1.1.4. Leyes de Kepler del movimiento planetario 1.1.5. Ley de Newton de la Gravitacion Universal

15 16 23 29 31

1.2. Leyes de conservacion de la Dinamica 1.2.1. Trabajo mecanico 1.2.2. Potencia mecanica 1.2.3. Relacion del trabajo y la energia cinetica 1.2.4. Impulso y cantidad de movimiento 1.2.5 Conservacion de la cantid ad de movimiento

35 35 37 40 44 46

UNIDAD

2

2.1. Estatica de los fluidos 2.1.1. Caracteristicas basicas 2.1.2 Propiedades espedficas de los solidos 2.1.3 Propiedades espedficas de los liquid os 2.1.4. Presion 2.1.5. Hidrostatica

53 53 54 56 58 59

2.2. Dinamica de fluid os 2.2.1. Caracteristicas basicas 2.2.2. Ecuacion de Continuidad 2.2.3. Principio de Bernoulli 2.2.4. Teorema de Torricelli

73 73 75 76 78

2.3. Elasticidad 2.3.1. Importancia del estudio de la elasticidad 2.3.2. Ley de Hooke

79 79 81

UNIDAD

3

3.1. Termodinamica 3.1.1. Importancia del estudio de la Termodinamica 3.1.2. Termometria 3.1.3. Dilataci6n

85 85 86 90

3.2.Calorimetria 3.2.1. Calor 3.2.2. Cambios de estado de agregaci6n 3.2.3. Transmisi6rt de calor

95 96 98 100

3.3. Leyes de la Termodinamica 3.3.1. Ley Cera de la Termodinamica 3.3.2. Primera Ley de la Termodinamica 3.3.3. Segunda Ley de la Termodinamica

101 102 104 105

PROBLEMAS RESUELTOS

109

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

155

CUESTIONARIO

167

BmUOGRAFfA

181

PR6LOGO

La presente obra ha sido posible de elaborar gracias al ejercicio profesional de varios mos y al apoyo de los compafieros de area. Se ajusto al programa completo vigente de la asignatura de Fisiea General II que se imparte a los cuartos semestres del nivel medio superior. Se buseo ante todo dade un enfoque eminentemente didactico, con un lenguaje que sin sacrifiear el rigor ni la exactitud evite los tecnicismos, de manera que el estudiante 10 comprenda claramente. Para reforzar el aprendizaje, el alumno resolvera los problemas didaeticos que se eneuentran al final de la obra, en todos elios se ha dado realce al sentido fisico, por 10 eual se han reducido las matematieas involueradas. La motivacion que origina la realizaei6n de este trabajo ha sido el contribuir de alguna manera al exito de la juventud estudiosa. jEsperamos poder lograrlo!

INTRoDuccr6N La publicacion dellibro de F1sica General II busca propordonar las mejores oportunidades para la enseiianzaaprendizaje, con la intencion de dar a conocer los principios y conceptos fundamentales de la Dinamica, que constituye una de las ramas de ]a Meainica. liLa experiencia indica que los curs os deben ser sinteticos y sencillos." Es sabido que para quien estudia Fisica la etapa mas ardua es el comienzo, por 10 que el estudiante debe elevarse a un plano de alto razonamiento para desarrollar modelos y conceptos que 10 invo1ucren en e1 mundo de esta ciencia. Algunos de los rasgos mas notables de este texto son: la cIaridad y precision con la que se exponen los conceptos fundamentales de la Fisica; es una enorme ventaja para el alumno adquirir desde un principio conocimientos claros y razonamientos de los temas. Al final del texto se presenta una serie de problemas que el alumno podra resolver por S1 mismo y as! demostrar el dominio de los temas tratados en el. Si es correcto 0 no nuestro criterio, el tiempo 10 dira; 10

que nosotros esperamos es que los profesores nos digan que Ie falta 0 que Ie sobra a este modesto texto de Fisica para cumplir con los objetivos que persigue e1 estudio de esta cien.. cia en e1 nivel medio superior.

UNIDAD

1

1.1. INTRODUCCION A LA DINAMICA

La Dimimica es la parte de la mecaruca que estudia el movimiento de los cuerpos analizando las causas que 10 producen. Se basa en tres leyes fundamentales y dos principios: • Las tres Leyes de Newton • El Principio de Conservaci6n de la Energia y la Materia • El Principio de Conservacion de la Cantidad de Movimiento Antes de Galileo la mayoria de los filosofos pensaban que para conservar el movimiento de los cuerpos se necesitaba una influencia 0 fuerza. Creian que un cuerpo se encontraba en su estado natural ruando se hallaba en reposo; por ejemplo, creian que para mantener un cuerpo moviendose en linea recta con rapidez constante se requeria un agente externo que 10 impulsara continuamente; de no ser asi, se detendria "naturalmente". Si queremos comprobar esa idea experimentalmente tendremos que comenzar por encontrar la forma de liberar a un cuerpo de todas las influencias de su medio ambiente, 0 sea, de todas las fuerzas. Si estudiamos los movimientos, conforme vamos haciendo estas fuerzas mas y mas pequenas, tendremos una idea de 10 que sena el movimiento si las fuerzas externas fueran realmente nulas. Un cuerpo de prueba seria por ejemplo un bloque en un plano horizontal rigido; si hacemos que este se deslice en ese plano notaremos que su movimiento se va haciendo cada vez mas lento hasta que se detiene. De hecho, esta observacion era la base para sostener la idea de que el movimiento tenia que terminarse cuando la fuerza exterior dejara de actuar.

16

ARNOLDOKoHLERC. yLUISOUVARESQ.

Sin embargo, Galileo argumento en contra de esa idea razonando como sigue: Repitamos nuestro experimento empleando ahara un bloque y una superficie mas pulida y notaremos que la velocidad disminuye mas lentamente que antes. Usemos bloques y superficies todavia mas pulidos y vamos a encontrar que el bloque disminuye su velocidad cada vez mas lentamente y que por 10 tanto avanza cada vez mas antes de detenerse. Si pudieramos ahora explotar nuestras ideas y hacer posible eliminar el rozamiento, el cuerpo se moveria indefinidamente en linea recta y con rapidez constante. Esta fue la conclusion de Galileo. Este afirmo que se requeria cierta fuerza extema para cambiar la velocidad de un cuerpo, pero que no se necesitaba ninguna fuerza extema para conservarla.

1.1.2. Leyes de Newton Primera Ley de Newton. "Todo cuerpo conserva su estado de reposo 0 movimiento rectilineo a menos que sea obligado por una fuerza no balanceada a salir de dicho estado." La Primera Ley de Newton es en realidad un enunciado relativo a marcos de referencia, porque en general la aceleracion de un cuerpo depende del marco de referencia con relacion al cual se mide. Esta ley nos dice que si no hay objetos cercanos (y con ella entendemos que no hay fuerzas, porque toda fuerza debe estar asociada con alglin cuerpo), entonces es posible encontrar una familia de marcos de referencia en los cuales una particula no tenga aceleracion. El hecho de que los cuerpos permanezcan en reposo 0 conserven su movimiento rectilineo unifarme cuando no hay fuerzas sobre ellos se describe fundamentalmente asignando a la materia una propiedad llamada inercia.

ApUNTES DE FtsICA

II

17

Por 10 anterior, a la Primera Ley de Newton se Ie llama a menudo principio de inercia, y los marcos de referencia para los .cuales es aplicable se denominan marcos de referenda inerciales.

Inercia. Es la propiedad que tiene lm cuerpo de oponerse a cambiar su estado de reposo 0 movimiento. De 10 anterior podemos decir que: a. Si un cuerpo esta en reposo debe seguir en reposo (por inercia). b. Si esta en reposo y se Ie aplica una fuerza pequefta posiblemente no se pueda veneer su inercia. c. Si esta en reposo y con una fuerza vencemos su inercia, entonces se Ie ha provocado una aceleracion, ya que Vo = o.

d. Mientras acme la fuerza habra aceleracion; cuando deje de actuar, el cuerpo ira con movimiento rectilineo y velocidad constante en ausencia de friecion. e. Seguira con movimiento rectilineo uniforme (por inercia), a menos que una fuerza intervenga sobre eL f. Cuando una fuerza intervenga Ie puede provocar aumento de velocidad, disminucion 0 cambio de direcciOn. g. La inercia es una propiedad de la masa. h. A mayor mas a, mayor inercia y a mayor inercia, mayor masa.

Segunda Ley de Newton. "Toda fuerza aplicada a un cuerpo tiende a provocarle una aceleraci6n, cuya magnitud es directamente proporcional al valor de la fuerza e inversamente proporcional al valor de la masa."

18

ARNOLOOKoHLERC. yLUISOLNARESQ.

Para comprender por que la aceleraci6n es directamente proporcional al valor de la fuerza, consideramos el caso en que a un cuerpo se Ie aplican diferentes fuerzas en tiempos diferentes:

Si la fuerza F

a=2 m

... I

F=_2~_~~

= 1, provoca una aceleraci6n

Al aumentar la fuerza al doble, aumenta la aceleraci6n.

Y sia una te:rre:ra parte se :reduce

]a

fuerza F,

la aceleraci6n se reduce a la tercera parte. Lo anterior nos indica que al aumentar 0 disminuir la fuerza, la aceleraci6n provocada aumenta 0 disminuye en la misma proporci6n, de tal forma que la relaci6n fuerza y aceleraci6n permanece constante:

F/a= constante En el ejemplo que hemos analizado 10 Urrlco que permanece constante es la masa del cuerpo, por 10 tanto se puede expresar: m=F/a

Esta ecuaci6n representa la expresi6n matematica de la Segunda Ley de Newton, aun cuando se acostumbre representarla de la siguiente manera: F= rna

ApUNTES DE FfsICA II

19

Si tomamos en cuenta que sabre un cuerpo pueden estar actuando simultaneamente varias fuerzas, y que la direcci6n -y el sentido son iguales que los de la fuerza, la ecuaci6n anterior se debe escribir de la siguiente forma:

'LFx = max 'LFy = may

Las ecuaciones anteriores representan la forma general en que se debe analizar la Segunda Ley de Newton. Hagamos un analisis similar para comprender por que la aceleraci6n es inversamente proporcional al valor de la masa: Si aplicamos una fuerza canstante sobre cuerpos de diferentes masas se tendra:

a= 1 ------+

~F-l ___J~= 1 I-=-~

La fuerza F = I, aplicada a la mas a m provocarci una aceleraci6n a = 1.

-----.

a=lh

~

1

11l

=2! F=\..

Al aumentar la masa al doble, la aceleraci6n disminuye a Ia mitad.

a=2

Al disminuir la masa a Ia mitad, la aceleraci6n aumenta al doble.

20

ARNOLDO KOHLER

C.

y LUIS OLNARES

Q.

Tercera Ley de Newton (Ley de acdon y reacdon). liEn la interaccion entre dos cuerpos, a toda fuerza de accion Ie corresponde una reacdan de igual magnitud y de igual direccion, pero de sentido contrario." Es importante resaltar el hecho de que Ia fuerza de accion ejerce su efecto sobre un cuerpo, y la reacdon, sobre e1 otro cuerpo. Para comprender el significado de esta ley, analicemos que sucede cuando una persona golpea con su puno su escritorio; existen dos cuerpos que interacruan; el puno de la persona y la superficie del escritorio. La fuerza se aplica sobre el escritorio (fuerza de acdon) y la fuerza de reacdon achia sobre el puno de 1a persona que siente el dolor debido a 1a aplicacion de esa reacdon. Las tres 1eyes de Newton mencionan la palabra juerza, por 10 que es conveniente definir este termino.

Fuerza. Es todo aquello que aplicado a un cuerpo tiende a modificar el estado de reposo 0 de movimiento recti1ineo uniforme del mismo, es dedr, es 1a causa de que exista e1 movimiento.

Sistemas de unidades En el curso de Flsica I se hizo mendon del Sistema Internaciona1 de Unidades, que define las principa1es unidades que se pueden manejar, sin embargo, para e1 estudio de mecaruca es suficiente tomar unas cuantas de las unidades fundamentales del Sistema Internadona1, y de estas derivan todas las demas. Esto da origen a varios sistemas que se muestran a continuacion:

APUNfES DE FfsICA II

MKS GRAVITACIONAL

SISTEMA INTERNACIONAL o MKS (ABSOLUTO) MAGNlTUD

NOMBRE DE LA UNIDAD

21

OTECNICO

SfMBOLO MAGNITUD

NOMBRE DE LA UNIDAD

SfMBOLO

Metro

m

Longitud

Metro

m

Kilogramo

kg

Fuerza

Kilogramo fuerza

kgf

Tiempo

Segundo

s

Tiempo

Segundo

s

Fuerza

Newton

N

Masa

Unidad tecnica de masa

Unidad

Longitud Masa

Este sistema recibe el nombre de Internacional 0 Absoluto debido a que considera magnitudes que pueden ser medidas en cualquier sitio, sin variacion importante. La unidad de fuerza se obtiene de la Segunda Ley de Newton:

Este sistema recibe el nombre de Tecnico 0 Gravitacional debido a que considera como una unidad fundamental al peso (fuerza) y no a la masa, se obtiene de 1a Segunda Ley de Newton:

m=F/a

F=ma Newton = (kg)(m/s2)

VIM

UTM

= (kg)/m/s2 = kg2/m

Se observa que la diferencia primordial entre el sistema absoluto y el sistema internacional estriba en que en el absoluto la masa se considera fundamental, mientras que en el tE~cnico se entiende como derivada. La unidad de fuerza es el newton, y este se define como Ia fuerza que aplicada a una mas a de 1 kg, Ie produce una aceleraci6n de 1 m / seg2 De las definiciones anteriores se puede deducir que la equivalencia entre ambas unidades es:

22

ARl,OLDO KOHLER C. y LUIS

Ouv ARES Q.

1 kg

= 9.8 N

(unidades de fuerza)

y amllogamente UTM

= 9.8 kg (unidades de masa)

Existen ademas otros sistemas de unidades, como son: eGS

Magrutud

(ABSOLUTO)

Nombre de

eGS

Simbolo

Magnitud

la unidad

(GRAVITACIONAL)

Nombre de

Simbolo

la unidad

Longitud

Centimetro

ern

Longitud

Centimetro

ern

Masa

Gramo

g

Fuerza

Grarno Fuerza

gf

Tiempo

Segundo

s

Tiempo

Segundo

s

Fuerza

Dina

Dina

Masa

g s2/em

g s2/em

INGLES (ABSOLUTO)

INGLES (GRAVITACIONAL)

Magnitud

Nombre de launidad

Simbolo

Magnitud

Nombre de la unidad

Longitud

Pie

ft

Longitud

Pie

Simbolo ft

Masa

Libra

Ib

Fuerza

Libra Fuerza

lbf

Tiempo

Segundo Poundal (lbft/s2)

S

Tiempo Masa

Segundo

s slug

Fuerza

Pd

Slug (lbs2 jft)

Puesto que 1a diferencia entre los sistemas absolutos y los sistemas b:~cnicos se encuentra entre la masa y el peso de un mismo cuerpo conviene indicar 1a relaci6n existente entre ambos conceptos. Ya que e1 peso es la fuerza con 1a que la Tierra atrae los cuerpos, se puede deducir mediante 1a Segunda Ley de Newton que:

ApUNTES DE FlsrcA II

23

De donde: W = peso del cuerpo m = mas a del cuerpo g = aceleraci6n debida a la gravedad

1.1.3. Fuerza de fricci6n (rozamiento) Siempre que un cuerpo se desliza sobre otro, existen fuerzas de fricd6n opuestas al movirniento que se desarrollan entre elIos. Esto 10 podemos analizar de Ia siguiente manera: Al empujar un objeto con una pequefta fuerza muchas veces no se mueve, esto suele suceder con frecuenda y no esta de acuerdo con Ia Segunda Ley de Newton, puesto que aparentemente nuestra fuerza es la linica que acrua sobre el cuerpo, por 10 que deberia provocarle una acelerad6n.

8

F~

iNo hay movirniento! lFalla Ia Segunda Ley de Newton?

Fig. 1.1

Como se ha demostrado que la Segunda Ley de Newton se curnple para estos casos podemos pensar que 10 que sucede es que la resultante total que acrua sobre el cuerpo debe ser cero. Pero lcual es la otra fuerza que anula a la que nosotros ejercemos? La respuesta es la fuerza de fricci6n. Si analizamos el problema desde otro punto de vista en el eual eonsideremos el area de eontacto de los dos cuerpos debemos encontrar cuM es esa fuerza.

24

ARNOLOO KOHLER C. Y LUIS OLIVARES Q.

En la figura siguiente (fig. 1.2), vemos que las partes en contacto de los cuerpos no son realmente tan finas como nosotros las observamos a simple vista, ya que existen muchas areas pequenas que chocan entre 51 al tratar de mover el cuerpo, esto produce 10 que nosotros llamamos fuerzas de friccion entre otras cosas.

AREA DE CONTACTO

Fig. 1.2

Tales fuerzas se deb en, en gran parte, a las fuerzas de atraecion atomiea y molecular en las pequenas areas de eontaeto, y a los choques entre ellas. La resultante total es la fuerza de friedon que se opone al movimiento y a la fuerza que trata de producirlo. Por 10 que el cuerpo de la figura 1 debe quedar, en base a un diagrama de euerpo libre, de la siguiente manera:

Por otra parte:

w ....... Ff N

Si aumentamos el valor de F lQue sucede con el cuer o?

ApUNTES DE FfsICA II

25

Ahora bien, podriamos aumentar nuestra fuerza y aun asi el cuerpo podria continuar sin moverse.lQue sucede?, que la fuerza de rozamiento crece y el objeto permanece quieto. Esto nos hace deducir una propiedad muy importante de la fuerza de fricci6n: La fuerza de fricci6n estatica es variable, y cuando el objeto esta quieto, es igual a la fuerza ejercida por nosotros. Dando valores para entender esto: • Primeramente ejercemos una fuerza de 1 newton y el objeto no se mueve, por 10 que deducimos que la fuerza de fricci6n es de 1 newton.

• Podemos aumentar la fuerza, por ejemplo a 3 newton y el cuerpo sigue sin moverse, esto nos indica que la fuerza de fricci6n, tambien es de 3 newton.

F ~~---~~--.-.-.~ 3 N

• Finalmente, aplicamos una fuerza de 10 newton y el objeto comienza a moverse.

F=~.-,-_ _ _----'~_F-= 10 N Concluimos entonces que: la fricci6n crece hasta un valor maximo.

26

ARNOLDO KOHLER C. y LUIS

Duv ARES Q.

La fuerza de fricci6n que actua sobre el cuerpo que esta en reposo se llama fuerza de fricci6n estatica (Ffs). La mayor fuerza de fricci6n estatica 0 fricci6n estatica maxima es aquella que acma en el instante en que el movimiento esta a punta de iniciarse (movimiento inminente). Para dos superficies cualesquiera, se demuestra experimentalmente que la fuerza de rozamiento estatica maxima entre ellas es parcialmente independiente del area de contacto y es proporcional a la fuerza normal que tiende a juntar los cuerpos, es decir:

F{ ocN )5

t

Proporcional Por 10 tanto:

De donde: FJs = fuerza de fricci6n estatica 11s = coeficiente de fricci6n estatico, que depende de los materiales que se hallan en contacto N = fuerza normal De 10 anterior podemos tener para la fuerza de fricci6n estatica los siguientes casos: 1. El cuerpo esta en reposo: la fuerza de fricci6n se debe calcu-

lar par condiciones de equilibrio; puesto que no podemos aplicar la f6rmula Ffg = ttsN debido a que no es la fuerza de fricci6n maxima. 2. El cuerpo esta a punto de iniciar el movimiento FJs = ttsN puesto que en ese caso tenemos el valor maximo de Ffs.

ApUNfES DE FlslCA II

27

Fuerzas de fricci6n dinamica En el ejemplo anterior, si eliminamos nuestra fuerza el objeto vuelve al reposo, 10 que nos muestra que la fuerza de rozamiento es opuesta, ya que si no fuera as! el cuerpo continua ria moviendose con una velocidad constante. La fuerza de rozamiento constante presente durante el movimiento se llama fuerza de friccion dincimica 0 cinetica (FA). Analogamente:

De donde:

FA

= fuerza

de friccion dinamica }lk = coeficiente de friccion dincimico N = fuerza normal

La Ffs siempre es mayor que la FA y por 10 tanto: ~s

> ~k

Pata la fuerza de fricci6n dincimica tenemos que considerar que el cuerpo se puede mover can velocidad constante o bien aceleradamente por 10 que tendremos que para la solucion de los problemas: Si se mueve a velocidad constante 'LF = 0 Si se rnueve aceleradamente IT = ma

Caso especial Un bloque se caloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando gradualmente. Cuando la tabla forma un angulo con la horizontal el bloque estci a punto de iniciar su movimiento (movimiento inminente); entonces tendremos 10 siguiente:

28

ARNOLDO

KOHLER C. yLUISOLIVARESQ.

Posicion de movimiento inminente ---~

A~~~-~ 8 = Angulo de la posicion de movimiento inminente

Dibujando el D.C.L. correspondiente, tenemos que:

Analizando el diagrama de cuerpo libre: 'LFy = 0 LFx = 0

Ffs - WsenS = 0

N - WcosS=O

Como: Ffs = m!J; tambien N = Wcos8, nos queda:

•• s t":

= WsenS N

......

'-s

= ~ens cosS

IFinalmente:!l. = tanS I

ApUNTES DE FfslCA II

29

Lo mismo podemos apliear cuando el bloque se mueve y tenemos a llk quedando entonces:

donde:

e = Es el angulo que logra que el cuerpo baje a velocidad constante despues de darle un pequeno impulso hacia abajo. Velocidad constan~\ \ \

~~.

.

\

~ \

\

\

\

\

\

\e

1.1.4. Leyes de Kepler del mavimienta planetaria En el siglo II de nuestra era, Claudio Ptolomeo, astr6nomo de Alejandria, estructur6 un modele planetario que tuvo gran aceptaci6n. Este modelo suponia que los planetas se movian en clrculos cuyos centros giraban alrededor de la Tierra (Teona geocentric a, fig. 1.3.) Nicolas Copernico comienza una de las mayores polemicas al decir que el Sol pennaneda fijo y que los planetas, inclusive la Tierra, giraban en tome a el en 6rbitas circulares (Teona heliocentriea.) Tycho Brahe, astr6nomo danes, propuso un modele intennedio entre Ptolomeo y Copernico, en el eual deda que la Tierra pennaneda en reposo y en el centro del universo y que el Sol giraba alrededor de esta arrastrando a todos los planetas que giraban en tome a el (fig. 1.4).

30

ARNOLDO KOHLER

C.

y LUIS

GuvARES Q.

•

TIERRA

Fig. 1.3 Fig. 1.4

Johanes Kepler, quien consideraba aceptable la teoria heliocentrica, en base a los datos de su maestro Tycho Brahe, demostr6 que la teoria de Copernico era verdadera y que s6lo habia que modificar las trayectorias de los planetas. Kepler, finalmente, consigue descubrir que las trayectorias son eHpticas; este hecho se conoce como la Ira. Ley de Kepler, que dice: "Un planeta cualquiera gira en tomo al Sol describiendo una 6rbita eHptica de la eual el Sol ocupa uno de sus focos." -'T'

PLANETA

Kepler, interesado en las velocidades de los planetas, eomprob6 que se mueven mas rapido euando estan mas aproximados al Sol (perihelio) que euando estan mas alejados de este (afelio) y descubre que estas variaciones de velocidad obedecen a la 2da. Ley de Kepler (Ley de las areas), que dice:

ApUNTES DE

FlsICA II

31

liLa recta que une un planeta al Sol barre areas iguales

en tiempos iguales."

5i el tiempo que el planeta demora para ir de A hasta B fuera igual al tiempo para ir de B hasta C, las areas Al y A2 seran iguales. Finalmente con las tab las de Tycho Brahe, Kepler trato de describir si habra alguna relacion entre las orbitas de los divers os planetas. Despues de varios intentos, al cabo de 9 aftos descubrio su 3ra. Ley que dice: liLa relacion entre los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas y el cubo del radio medio de sus orbitas es una constante para el sistema planetario."

1} =-1} =I} =~= CON5TANTE rl r2 rJ r

1.1.5. Ley de Newton de la Gravitaci6n Universal Newton, al analizar el movimiento de los planetas (considerando su orbita circular), intuyo que una fuerza centripeta deberia estar actuando sobre el planeta, pues de 10 contrario no estaria describiendo una trayectoria circular. Newton admitio que el Sol estaria atrayendo al planeta por la fuerza centripeta.

32

ARNOLOO KOHLER

C. y LUIS aLlV ARES Q.

Tratando de encontrar una expresi6n matematica la desarro1l6 de la siguiente forma: 2

2

2

F=ma(l) pero,nc=wr ycomow =2n IT

Sustituyendo en (1) tenemos: 2

...

[2nY F = mCTJr

F

= 4n mr

----yr

(A)

Esta es la fuerza de atracci6n que ejerce el Sol sobre el planeta y 10 obliga a girar en movimiento circular (fuerza centripeta). Haciendo uso de la Tercera Ley de Kepler:

~K

entonces

r

2

'f = Kr3 esto 10 sustituimos en (A):

2

_ 4n m F -- 4n mr 32 Kr Kr

2

0

0

•

F _ 4n [m~ 2 K r -

Observamos que el factor encerrado es constante, por 10 que Newton concluyo que la fuerza del Sol sobre la Tierra es directamente proporcional a su masa m e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al Sol, esto quiere decir: Foem y Foe~

r

Por ultimo, se sustituye a la constante G:

= masa de un cuerpo m2 = masa del otro cuerpo ml

r = distancia entre los cuerpos G

= constante de 1a gravitaci6n universal

Posteriormente, analizando el movimiento de la Luna en torno a la Tierra, Newton dedujo que esta era atraida por la Tierra con una fuerza del mismo tipo que la fuerza del Sol sobre el planeta y al observar la caida de la manzana al des-

APUNTES DE FiSICA II

33

prenderse del arbol conduyo que si el Sol atrae a los planetas, la Tierra atrae a la Luna y a la vez a la manzana. Dedujo que esta atraccion deberia ser universal, ya que deberia manifestarse entre dos cuerpos cualesquiera y de esta forma enuncio su Ley de la Gravitacion Universal, que dice: "Dos cuerpos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa." La constante universal G no debe confundirse con g que es la aceleracion de un cuerpo producida por la atraccion gravitacional de la Tierra sobre este. La constante G tiene como dimensiones (13 M-l T-2) Y es una escalar; g tiene como dimensiones (L MO r-2) y es un vector, no es universal ni es constante. Los val ores de G son: MKS G=6.67xlO- 1l (m3 /kg seg2)(N . m2) kg2

INGLES

G=6.67xlO-S(ft3 / slug· seg2)

Variaci6n de la g La aceleraci6n de ~a gravedad es la aceleraci6n que comunica a un cuerpo su propio peso. De acuerdo con la Ley de la Gravitaci6n Universal el peso puede escribirse:

F= G!!!..l!J? (A) r

siendo mIla masa del cuerpo, m2la masa de la Tierra y r la distancia al centro de la Tierra.

34

ARNOLDO KOHLER C. y LUIS aLiv ARES Q.

Pero sabemos que w = mg Si sustituimos en A tenemos:

Por 10 tanto:

... Como vemos, GyM son constantes, por 10 que se puede ver que la gravedad disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, pero sin embargo, es tambien cierto que un cuerpo cae hacia la Tierra con aceleraci6n constante. Por ejemplo: Denver 1 638 m (SNM) 9.7909 m/s2 Madrid 655 m (SNM) 9.79981 m/ s2 SNM:

Altura sobre el nivel del mar.

1.2. LEYES DE CONSERVACION DE LA DINAMICA 1.2.1. Trabajo mecanico

En la vida diaria es comlin escuchar que alguien expresa: • "Me costa trabajo aprender la leccion de ingles." • "Me costo mucho trabajo terminar la carrera de ingenieria./I En Fisica la palabra trabaja se emplea en un sentido muy diferente y mucho mas restringido; diremos que una fuerza F efecrna un trabajo ~ cuando al actuar sobre un cuerpo Ie produce un desplazamiento d en su misma direccion. F

F

8

~---~

d

Fx

I------r

vI'

2.2.3. Principia de Bernoulli Cuando la rapidez de un fluido aumenta, su presion disminuye.

Ecuaci6n de Bernoulli La rapidez de flujo en un tubo se relaciona con la presion. Tambien se vena afectada si en el tubo elliquido alcanzara una mayor altura. En terminos de energia el fluido tendria una mayor energia potencial y menos energia cinetica. La densidad del fluido sena importante, pues la energia potencial de un volumen de fluido elevado a una altura h es:

ApUNTES DE

FlsIcA II

77

La relaci6n matematica que inc1uye estos parametros fue ideada por Daniel Bernoulli (1799-1782), matematico suizo; de ahi que se Ie conozca con el nombre de Ecuaci6n de Bernoulli, y dice:

o tambien

IP + pgh + ~pV2 = constante I Donde:

p

Notese que pgh es Ia energia potencial por unidad de volumen, es decir, mgh/V. De manera anaioga, 1/2pv2 es la energia cinetica por unidad de volumen y la presion tiene unidades de trabajo por unidad de volumen. joule _ N m

3 -

m

2

78

ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OLwARES Q.

2.2.4. Teorema de Torricelli Este teorema es consecuencia del Teorema de Bernoulli. Supongamos que se tiene un recipiente como el de la figura que contiene un liquido determinado. Puede encontrarse la velocidad a la cual salen las particulas del fluido por el orificio 1.

De acuerdo con el Teorema de Bernoulli tenemos: 2 2 P1 + pghl + lhpV1 ::; P2+ pgh2 + lhpV 2 Pero como v2 = a Y PI = P2 porque es la presi6n atmosferica, nos queda:

pghl + ~PV12 = pghz Despejamos a la velocidad VI = 2g(h2 - hI) Y como h = h2 - hI

Resulta que:

Esta ecuaci6n nos permite calcular la velocidad de salida del fluido por el orificio. Como se puede observar es la misma ecuaci6n de la velocidad en caida libre al llegar el cuerpo al suelo. Entonces el gasto de fluido que escapara sera:

2.3.

ELASTICIDAD

2.3.1. Importancia del estudio de la elasticidad Con el fin de simplificar el estudio de los cuerpos, introduciremos el eoneepto de cuerpo rigido, conscientes de que es una idealizacion. Los cuerpos bajo la accion de las fuerzas experimentan deformaciones. Para acercamos a la realidad iniciaremos el estudio de la elasticidad.

Elasticidad. Es la propiedad que manifiestan los cuerpos al reeobrar su forma original despues de desapareeer las fuerzas que 10 han deformado. Sabemos que cuando sobre un cuerpo acrua una fuerza de gran intensidad este puede quedar totalmente deformado o bien romperse, por 10 eual definiremos:

Limite de elasticidad. Es el maximo esfuerzo al que puede ser sometido un cuerpo, sin que pierda su elasticidad. EsJuerzo. Se Ie llama as! a la fuerza aplicada sobre un cuerpo, medida por una unidad de area. Si, por ejemplo, sobre un area de un cuerpo acrua una fuerza F el esfuerzo se determina por:

De donde: p F A

= esfuerzo a la tension = fuerza 0 carga aplicada al cuerpo = area de la seccion

80

ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OuvARES Q.

Sus unidades seran respectivamente las siguientes: SISTEMA

MKSABS

CGsABS

UNIDADES N/m2 0 dina/cm2 Pascal

TEe. GRAVIT ACIONAL kgf/m2

El esfuerzo se considera como una cantid ad vectorial, por 10 que no se debe confundir con la presion, aunque tengan las mismas unidades y ecuaciOn.

Deformaci6n lineal. Es aquella a la que se encuentra sometido un alambre y/ 0 probeta bajo la accion de una fuerza, provocandole un alargamiento, como se muestra:

/~

F

»l----------" 14----

~I

10

/

/:

/

1).1 ---1 I

k-------------~--_J

If

~I

De donde: I).l = deformacion lineal lo = longitud inicial ~ = longitud final

Deformaci6n unitaria. Nos indica la deformaci6n que sufre un cuerpo por unidad de longitud inicial, es decir:

De donde: E = deformacion unitaria M = deformacion lineal 10 = longitud inicial . Nota: La deformacion unitaria no tiene unidades.

APUNfES DE FlsIcA II

81

2.3.2. Ley de Hooke Modulo elastica Entre los esfuerzos y las deformaciones existe una rei acion denominada Ley de Hooke, que enuncia 10 siguiente: "Los esfuerzos son proporcionales a las de formaciones mientras no se alcance ellimite elastica del material." Puesto que se trata de esfuerzos unitarios se tendran tambien deformaciones unitarias, quedando expresada la Ley de Hooke de la siguiente forma:

De don de: a = esfuerzo a la tension E = deformacion unitaria K = constante de proporcionalidad

0

constante elastica

A la canstante de proporcionalidad K se Ie conoce como Modulo de Young del material y se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo, de la siguiente manera: De la formula anterior: 0' = KE Y como K es el Modulo de Young Y:

IY=~I De donde: Y = Modulo de Young Las unidades para el Modulo de Young en los sistemas ya conocidos seran respectivamente las siguientes:

SISTEMA

MKSABS

CGsABS

UNIDADES N/m2 0 dina/cm2 Pascal

TEe. GRAVITACIONAL

kgf/m2

82

ARNOLDO KOHLER C.

y LUIS auvARES Q.

Por 10 anterior, la Ley de Hooke tambien se enuncia de la siguiente forma: La relacion 0 cociente entre el esfuerzo aplicado y la deformacion unitaria producida en un cuerpo es constante, siempre que no sobrepase ellimite elastica carrespondiente. Teniendo:

Sustituyendo en la consta.'1.te del Modulo de Young obtendremos la ecuacion: F

Y ==

tz

par 10 tanto

Iy == :~I I

lo Todo esfuerzo es de caracter experimental, su validez se mantiene siempre que no se aplique una fuerza que de origen a un esfuerzo que sobrepase el valor Hamada limite de elasticidad.

UNIDAD

3

3.1.

TERMODINAMICA

3.1.1. Importancia del estudio de la Termodinamica La Termodimimica, como su nombre 10 indica, estudia el calor y el movimiento, y las relaciones entre calor y energia 0 trabajo mecanico, electrico 0 de otras formas. La Termodinamica clasica solo es estrictamente valida cuando se aplica a sistemas en equilibrio termico. Por cons iguiente, al analizar los efectos de las variaciones de temperatura 0 presion sobre el sistema se debe suponer que estos cambios se llevan a cabo muy lentamente. En el mundo real, los acontecimientos suceden con una velocidad finita, a menudo muy rapidamente y el estado idealizado de equilibrio no se puede mantener durante este proceso. Nuestro estudio va a estar dirigido a una pequefia parte del universo a la que llamaremos sistema; ejemplo: el liquido que se encuentra en un vase al fuego, el gas que esta dentro de un globo, un trozo de fierro incandescente, etc. Por 10 que un sistema termodinamico sera la cantidad de materia dentro de una frontera determinada. Una frontera por 10 general vienen a ser las paredes del deposito que contiene al sistema, limitandolo de los alrededores; es la porcion del universo inmediata al sistema con la que se puede intercambiar energia (termica 0 de trabajo). Las fronteras de mas interes son paredes: a. Diatermicas. Si permiten flujo de calor, ejemplo: una lamina de aluminio. b. Adiabaticas. Si no permite el flujo de calor, ejemplo: una placa de asbesto 0 fibra de vidrio.

86

Al,""'OLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES

Q.

c. M6viles. Si permiten realizar trabajo, por ejemplo: un piston

o embolo de cilindro. El estado de un sistema se determina en terminos de variables microscopicas que se miden experimentalmente, por ejemplo: el volumen, la presion y la temperatura; esta Ultima es una magnitud fundamental con la cual tendremos oportunidad de trabajar.

3.1.2. Termometria Escalas termometricas. Las escalas termometricas se utilizan para grabar los termometros, que a su vez nos sirven para medir la temperahrra de los cuerpos. Temperatura. Es la medida de la capacidad que tienen los cuerpos de ceder 0 absorber calor. Term6metros. Existe una gran varied ad de termometros que utilizan diferentes principios para medir la temperatura de un cuerpo. Nosotros solo analizaremos el termometro mas comlin, que es el que usa como propiedad termometrica la longitud de una columna liquid a en el interior de un tuba capHar de vidrio.

En este termometro, la elevacion de la temperatura produce dilatacion en el volumen delliquido y del vidrio, pero debido a la mayor dilatacion del liquido se produce un aumento de la longitud de la columna liquida que servira para medir la temperatura.

Para construir una escala termometrica se hace uso de determinadas convenciones, que no son otra cos a que un conjunto de reglas arbitrarias que indican como calibrar un terrnometro.

ApUNTES DE

FfsrCA II

87

En la actualidad se usan rnayormente las esc alas termometricas propuestas por los fisicos Celsius, Fahrenheit y Kelvin.

Escala Celsius (antes centigrada). Para construir esta escala se escogen dos puntos fijos, que son: el punto de fusion del hielo (punto en el que el hielo y el agua estan en equilibrio termico) y el punto de ebullicion del agua (punto en el que el vapor y el agua estan en equilibrio termico), ambos a la presion de la atmosfera. A estos puntos se les atribuye arbitrariamente las temperaturas de a °C y 100 °C, respectivamente. Enseguida, se divide a los intervalos entre los dos puntos en 100 partes iguales, por 10 que cada division representa un intervalo de 1 0c. Escala Fahrenheit. En esta escala los puntos fijos fueron determinados por el punto de fusion de una mezcla de doruro de sodio (NaCl), cloruro de amonio (NRCl) y el hielo fundente; y por la temperatura normal del cuerpo humano, a los cuales se les atribuyola temperatura de a of y 100 of respectivamente. En esta escala, el term6metro marca 32 OF en la fusi6n del hielo y 212 of en la del agua hirviendo, intervalo que contiene 180 partes iguales.

Escala Kelvin (escala absaluta). Aun cuando no existe un limite superior termico para la temperatura de un cuerpo, S1 existe limite inferior. Estudios termicos basados en la Segunda Ley de la Termodinamica muestran que la menor temperatura que puede alcanzar un cuerpo es de -273°C. Metodos modernos de la Fisica han logrado bajar la temperatura de un cuerpo hasta casi los -273°C pero no se ha logrado llegar a esa temperatura. A esa temperatura de -273°C se Ie conoce como cera absoluto.

88

ARNOLOOKClHLERC. yLU!SOUVARESQ.

La escala Kelvin toma el cera absoluto como el cera de su escala y las divisiones hechas, hacen que los intervalos de 1 oK sean iguales a los intervalos de 1 0c.

Relaci6n entre las escalas Celsius, Fahrenheit y Kelvin Segtin las construcciones de estas escalas, quedanin de la siguiente forma:

OF

oK

°C

--212° 32° ---

---

-459°

---

373° 273°

---

-273°

0°

Para encontrar la relacion que existe entre las escalas termicas definidas anteriormente, graficaremos en un siste-

ma de coordenadas cartesianas los puntos que correspon· den al punto de fusi6n del hielo y punto de ebullici6n del agua.

OF (1) I

I I I

CD

: I

--------------1I

~----------------~~oC

0°

100°

1. Es el punto de fusion del hielo. 2. Es el punto de ebullici6n del agua.

Al unir los puntos 1 y 2 obtendremos una linea recta que debe cumplir con la ecuacion general:

MUNTIS DE FfSICA

II

89

En nuestros ejes tenemos que Y = OF Y que x = °C, analizando la grafica se observa que: rn = 1.8 Y b = 32, por 10 que al sustituir en la ecuacion Y = rnx + b obtendremos: 1of = 1.8 °C + 321 Formula para obtener of

De esta formula se puede despejar °C y nos queda:

1°c = (OF - 32)/1.81 Formula para obtener

°c

Procedimiento en forma similar para encontrar la relacion entre °c y oK, se tendra:

OK

3730t --------------~ ,, , I

I

----------,I 00

Y = oK; x

~------------------I--~~oC

= DC; rn = 1 Y b = 273

Al sustituir en Y = rnx + b obtendremos despejando:

OK = (0C) + 273 DC = °K-273

90

ARNOLDO KOHLER

C. y

LUIS OuvARES

Q.

3.1.3. Dila taci6n Dilataci6n de s6lidos De todos es conocido que las dimensiones de un cuerpo aumentan cuando se incrementa su temperatura. Esto se puede observar claramente con el siguiente experimento: A la temperatura ambiente, una esfera metcilica puede pasar con facilidad a traves de un anillo, pero si la esfera se calienta se dilata y no pasa a traves del anillo.

b) Calentada, la esfera ya no pasa por el ani-

a) A la temperatura ambiente la esfera pasa por el anillo

110

Dila taci6n lineal Consideremos la dilatacion de una barra, Unicamente en una direccion, ya sea su longitud, anchura, etcetera. Cuando tenemos una temperatura inicial To, la barra tiene una Iongitud inicial 10 • Al momenta que elevamos Ia temperatura hasta Tf su Iongitud se incrementa hasta If' como se puede observar en Ia figura. A una temperatura To

I

I

14-1"'--- lo----.!...I A Lilla temperahrra T

f

--+1

81

f.--

'1----------,1-_- _-j ~

~

~

...1

81

= incremento de Iongitud

ApUNTIS DE FfsICA II

91

Experimentalmente se ha observado que el incremento de la longitud til es directamente proporcional a 10 y a tiT. Por 10 que tila 10.tiT multiplicandolo por una constante ex (aHa) se tiene:

De donde: til = incremento de longitud (m, cm) ex = coeficiente de dilataci6n lineal (11°C 10 = longitud inicial (m, em) tiT = incremento de temperatura (0C)

C-l)

0

Los valores de ex dependen del material que se este trabajando, son medidas experimentales y se encuentran en tablas de constantes fisicas (el valor de ex es muy pequeno, del orden de millonesimas). Recordando que til

= ~ - 10 de la formula anterior se tie-

ne:

De donde: ~ = longitud final 10 = longitud inicial ex = coeficiente de dilataci6n lineal tiT = variaci6n de temperatura

Dilataci6n superficial. Considerando ahora la dilatacion superficial de un cuerpo, 0 sea el aumento que experimenta en su area, con relaeion al aumento de temperatura, cuando se tiene una temperatura inicial To el area es AD y al elevar la temperatura hasta Tf incrementa el area hasta Af es decir:

Af L,------- ____

'ta f J+ I

92

ARNOLIXJ KOHLER

C. y

LUIS Ouv ARES

Q.

Considerando el aumento de la base: = bo{l + allT)

bf

Y el aumento de altura: af = ao(1 + allT)

Para obtener Af =hI" af, por 10 tanto: Af

Af

=[b o(l

+ allT)][ao(l + allT)]

Efectuando operaciones: Af = bo • ao(l + allT)2 Pero como: bo • ao = Ao Af = Ao(l + 2allT + a 2KI2) El Ultimo termino a 211'f2 es despreciable, puesto que el valor de a es pequeno y al elevarlo al cuadrado, se hace todavia mas pequeno y puede ser despreciado entonces: Af = Ao(1 + 2allT) haciendo 2a

=~

Se tiene:

De donde: = area final = area inicial ~ = coeficiente de dilatacion llT = variacion de temperatura

Af Ao

De 10 anterior conc1uimos que el coeficiente de dilatacion lineal superficial ~ es e1 doble del coeficiente de dilatacion lineal para un mismo material. Nota: Esta propiedad de que ~ = 2a es casi general, aunque existen materiales que no 10 cumplen; a dichos materiales se les conoce como sustancias anisotropas. Pero a men os que se indique 10 contrario, nosotros podemos considerar que ~ =2a.

ApUNTES DE FtslCA

II

93

Dilataci6n volumetrica. En forma amiloga a como se encontro la dilatacion superficial, se obtiene la dilatacion volumetrica.

De donde: Vf = volumen final Vo = volumen inicial ~ = coeficiente de dilatacion volumetric a l!T = variacion de temperatura

(~

= 3a)

Dilataci6n de los liquidos. Los gases y Hquidos obedecen las mismas leyes que ya vimos para los solidos, pero como los liquid os ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene no se puede hablar de dilatacion lineal ni de dilatacion superficial, sino Unicamente de dilatacion volumetrica.

3.2.

CALORIMETRlA

3.2.1. Calor Cuando dos cuerpos de diferentes temperaturas se ponen en contacto, se observa que despues de cierto tiempo, estos se encuentran en equilibro termico, esto es: los dos cuerpos estan a la misma temperatura. Al tratar con el calor, se pensaba en el como el fluido de una sustancia desconocida que se encontraba latente dentro de los cuerpos. A esto se Ie denomina Calorimetria, que es algo asi como la idea que ahora tenemos de la transmision de la electricidad mediante el flujo de electrones. Benjamin Thompson "El conde de Rumford", productor de canones, introdujo el concepto de calor como energia. Cuando Rumford supervisaba la perforacion de canones observo que el agua que se utilizaba en el alma de estos para evitar el sobrecalentamiento, se evaporaba y tenia que ser sustituida frecuentemente. Finalmente, advirtio que al taladrar el hierro de uno de los canones, el calor que salfa era inagotable, 0 sea, el calor se generaba a partir del movimiento del taladro. De 10 anterior vemos que el calor es una forma de energia, por 10 que podemos definirlo como:

Calor. Es una forma de energia que pasa de un cuerpo a otro en virtud unicamente de su diferencia de temperatura. Esta energia se debe en gran parte a la energfa cinetica de las moleculas.

96

ARNOLOOKoHLERC. yLUlSOLlVARESQ.

Como el calor es una forma de energia, sus unidades seran: SISTEMA

MKSABS

CGsABS

GRAVITACIONAL

OTERRESTRE UNIDADES

joule

ergio

kgf .m

Se usa tambien otTa unidad para medir el calor, que es la caloria. Calaria. Se define como la cantidad de calor que es nece-

saria comunicar a 1 gramo de agua para que esta eleve su temperatura en 1 °C (de 14.5 °C a 15.5 0c). En el sistema ingles la cantidad de calor es la BTU (British Tennal Unit) que se define como: La cantidad de calor que es necesaria aplicar a una libra de agua para elevar su temperatura en 1 of (de 63 of a 64 OF). BTU:

OtTas equivalencias son las siguientes: 1 kilocaloria = 1 000 calorias 1 000 calorias = 3.968 BTU 3.968 BTU = 4.186 joule = 252 calodas 1 BTU 1 caloria = 4.186 joule (equivalente mecanico de calor)

Calor esped£ico de una sustancia Supongamos que un cuerpo recibe un incremento de calor ~Q que hace que su temperatura se incremente ~T, entonces la capacidad tennica 0 calorimetria C se define como:

APUNTES DE FfsrCA

II

97

De donde: C = capacidad termica 0 calorifica ~Q = variaci6n de calor (calorias) ~T = variacion de temperatura (DC) Esta capacidad termica es una propiedad de cada material. La masa influye en la variacion de temperatura, puesto que si aplicamos calor a dos cuerpos del mismo material, pero en diferentes mas as, el de menor masa se calentara mas rapido que el otro. Para considerar la masa, basta dividir la capacidad termica entre esta y nos dara el calor especifico.

Calor especifico. El calor especifico de una sustancia es igual al mlrnero de calorias necesarias para elevar en 1 °C la temperatura de la unidad de masa de la sustancia. El calor especifico se representa matematicamente par: C ~Q Ce = - ; recordando C =-T m ~ ~Q

~T Ce=-.!!i

~Q [cal J,de aqm:'

=:; - -

nz~T

--

g °C

1 [~Q

m . Ce . ~T [ Esta ecuaci6n nos da la cantidad de calor cedida sorbida por un cuerpo donde: =

0

ab-

= variacion de calor (cal) Ce = calor especifico (call g DC)

~Q

m ~T

= masa (g) = variacion de

temperatura (DC)

De la definicion de caloria se puede conduir que el valor del calor especifico para el agua es:

Ce

- 1 cal _ 1 kcal g DC - kg DC

H,Q -

98

AR'\;I JI I XJ KOhLER

C.

y

Lus 0' IV ARES Q.

3.2.2. Cambio de estado de agregaci6n Sabemos que las sustancias se presentan en tres Eases 0 estados de agrcgacion de la materia: solido, liquido 0 gaseoso, tambien llamados estados fisicos de 1a materia, los que se suceden unos U otros en funcion de la presion y la temperatura; de esta ultima en £uncion determinante. La adicion continua de calor a un solido 0 liquido 10 llevara al fin a un cambio de estado. El comportamiento general de muchas sustancias puede ser ilustrado pur lma descripcion detallada de los cambios que oeUfren con el mas comlin de todos los liguidos: el agua. Si un bloque de hielo a 1a t~mperatura de -50 °C se co10ea en lID recipiente y se pone C'l calentar, su temperatura se elevara lentamente hasta alcanzar los 0 dc. A a °C la temperatura cesa de elevarse y el hielo comienza a derretirse. Cuanto mas calor se agregue, mas hielo derretira; la temperatura s6lo empezara a elevarse cuando todo el hielo se haya vuelto agua. Cuando el agua se calienta mas, llega con el tiempo a 100 DC, donde tiene lugar la evaporacion. Aqui la temperatura, otra vez, detiene su ascenso y a medida que se agrega calor, mas agua hirviente se convierte en vapor. Todos estos cambios de temperatura y de estado se ilustran en la grafica siguiente, resumiendo las de£iniciones de los mismos:

100 50

o 25

80 100

540

Calorias

Calor latent? de fusion. Hemos visto que cuando el hielo se derrite, se agrega continuamente calor, sin dar Iugar a aumento de ter:.l.peratura.

ApUNTES DE FfsICA

II

99

"EI calor latente de fusion se define como la cantidad de calor necesaria para cambiar un gramo de solido a liquido sin variaci6n de temperatura." EI reverso de la fusion es la solidificacion, que es un proceso en el cual se libera calor por lll1a sustancia. La cantidad de calor liberada por la materia al solidificarse es igual a la cantidad de calor tomada para fundirse. Si L representa el calor latente de fusion y m la masa de una sustancia dada que se flll1de 0 solidifica, la cantidad de calor requerida 0 liberada, segUn el caso, estara dada por la ecuacion:

De donde: m = mas a (g) Lf = calor latente (cal! g) H = cantidad de calor requerido (calonas)

Calor de vaporizacion. Cuando el agua esta hirviendo se Ie agrega calor continuamente sin que aumente la temperatura. Este calor anadido no se retiene por elliquido, sino que se va con el vapor a traves del proceso de ebullici6n. "El calor latente de vaporizacion es el mimero de calorias requeridas para transformar un gramo de liquido en vapor a la misma temperatura./I La misma ecuacion que se usa para las cantidades de calor durante la fusion se puede usar para determinar las cantidades de calor durante la evaporizacion.

IH= m.Lvl

Este es tambien el calor liberado por la misma cantidad de vapor cuando se condensa al pasar al estado liquido.

De donde: m = masa (g) Lv = calor de vaporizacion (cal! g) H = cantidad de calor requerido (calonas)

100

ARNOLOOKoHLERC. yLUISOUVARESQ.

3.2.3. Transmisi6n de calor El calor se propaga por: a. Conduccion b. Conveccion c. Radiacion

Conducci6n. Es el proceso de transferencia de calor debido a la intensa agitacion h~rmica de las moleculas .de las regiones calientes que se va propagando hasta las lentas moleculas de las regiones frias a traves del movimiento resultante de la materia. Esta transferencia es propia de los solidos; como ejemplo, una cuchara metalica fria dentro de una taza con cafe caliente. Convecci6n. Esta transferencia de calor tiene lugar en los 11quidos y gases. A medida que un fIuido se calienta, disminuye su densidad y sube, permitiendo bajar al fIuido frio que estaba encima de el, dando lugar a un movimiento de conveccion: como por ejemplo, cuando un recipiente con agua se calienta.

.I " \ T j \.1

I" \

T

t

\.1

+DENSA

r~

-DENSA

Radiaci6n. Hay cas os en los que la transferencia de calor no se hace por conduccion 0 convecci6n, sino por radiacion; como ejemplo, el calor que quema el rostra de una persona que esta frente de una hoguera, es decir,la transmision de la energia calorifica en forma de ondas que se propaga en el vado 0 a traves de medios transparentes.

3.3. LEYES DE LA TERMODINAMICA Estamos ahora en condiciones de estudiar que relacion guardan la energia interna y el trabajo en un proceso termodinamico; para ella veamos un cilindro con un gas dentro. Una de las tapas del cilindro es diatermica, la otra es un embolo. Esto es semejante a los cilindros de los motores de combustion intema de los autos. p

PREsr6N CONSTANTE

I I

o La presion P del gas al actuar sobre el area a del embolo Ie produce una fuerza F = PA Y cuando se expande una distancia /).X el gas realiza un trabajo ~ = F • X, teniendo: ~ = P • volumen = P . /). V ya que A • /).X es: /).V el volumen expandido y ~ = p . /). V

Es el trabajo efectuado por el gas al sufrir la expansion del volumen VI a V 2 manteniendo constante la presion.

102

AR,,\OLOO KOHLER

C. y

LUlS aLlV ARES Q.

3.3.1. Ley Cero de la Termodinamica El sistema puede ser tan simple como un recipiente bien aislade (adiabatico) que contenga un gas monoatomico, como por ejemplo un complicado arreglo de pis tones, calderas, turbinas, celdas fotoelectricas, etc.; pera cualquier cosa que se inc1uya en el sistema debe estar a la misma temperatura, es decir, en equilibrio termico; perfectamente aislado del resto del mundo, sin poder ceder energias 0 recibirlas de alguna fuente extema de calor.

Ley Cero de la Termodinamica. "Esta ley afirma que dos sistemas en equilibrio termico con un tercer sistema, estan en equilibrio termico entre si." Por ejemplo, los dos sistemas podrian ser agua y hielo, y el tercero un termometro que rnida la temperatura del agua. La Ley Cera dice que si el agua y el hielo estan en equilibrio termico y el termometro esta en equilibrio con el agua, el termometro tambien registra la temperatura hielo.

M,iquinas termicas (Ciclo de Camot) Las maquinas termicas trabajan con procesos ciclicos, cxpanden un gas para producir trabajo y despues 10 comprimen para volver a las condiciones iniciales. Para lograr esto ultimo, hay que darle energia (calor) a1 sistema. Las maquinas termicas se fundamentan en un cielo teorico ideado por el ingeniero frances Sadi Camot (1796 - 1823), conocido como Ciclo de Camot, el eual consta de cuatro procesos: dos son isotermicos, es decir, se realizan a temperahlras constantes, y dos adiabaticos, 0 sea, sin que se permita el flujo de calor. El trabajo ~ realizado por un sistema es igua1 a 1a diferencia entre el calor surninistrado Qs y el calor perdido Qp.

APL'l\.'TES DE

FfsICA II

103

?> = QS - Qp Y si recordamos que la eficiencia se define como mos:

~'abajo

realizado entre energia suministrada, tendre-

n-~ - Qs -

Qs - Qp = 1 - Qjz Qs Qs

El calor suministrado y el perdido son proporcionales a las temperaturas altas y bajas, respectivamente, por 10 que la eficiencia tambien puede escribirse aS1:

Cualquier maquina real tiene un rendimiento menor: p

- - Ta

J..

Qp

C

---T

b

~----------------------------------~v

(1) A una temperatura alta Ta (de la caldera) el sistema reci-

be calor Qs (calor suministrado) y realiza trabajo de a----'" b. (2) Despues de b ----"'c, el sistema realiza trabajo adiabatico (sin flujo de calor)"por 10 que se enfria hasta una temperatura baja Tb . (3) Ahora de c----... del sistema se comprime, pero para que la temperatura no aumente, del sistema sale calor Qp (calor perdido). (4) Finalmente de d----... a por un proceso adiabatico se comprime alin mas, por 10 que la temperatura aumenta hasta alcanzar 1a temperatura alta Ta Y el cicIo se puede reiniciar. Las temperaturas se deben medir a la escala absoluta (Kelvin.)

104

ARNOLIXJ KOHLER

C. y LUIS Guv ARES Q.

3.3.2. Primera Ley de la Termodinamica Para realizar trabajo mecaruco el gas tiene que dilatarse, y para es to requiere calor. Asi que la energia termica se transforma en trabajo, pero no completamente, ya que el gas se calienta, es decir, aumenta su energia interna en cantidad L'lU = U2 - UI, en donde UI es la energia interna inicial y U2 la energia final. Por 10 tanto, el calor Q suministrado se transforma en trabajo y en un incremento de la energia intern a del sistema:

De donde: Q = calor suministrado al sistema l> = trabajo efectuado por el sistema ~U = cambio de energia intema del sistema A Ia reIaci6n anterior se Ie conoce como:

Primera Ley de la Termodinamica. "El calor suministrado Qs a un sistema termodinamico es igual al trabajo l> que el sistema realiza en contra del medio ambiente, mas el ambiente, mas el incremento de la energia interna L'lU del sistema." Esta ley se corresponde con el Principio de Conservacion de la Energia. Resulta evidente que las unidades de Q, l> y ~U deben ser energia, por ejemplo joules.

Entalpia. Funcion termodinamica de estado que equivale al contenido de 1 caloria presion constante; es la surna de energia intema y del producto de la presi6n por el volumen.

ApUNTES DE FfSICA

II

105

3.3.3. Segunda Ley de la Termodinamica La Segunda Ley de la Termodinamica tiene dos enundados que son equivalentes. El primero es conoddo como de KelvinPlank y dice: "No es posible construir un maquina termica que trabajando en un delo, convierta en trabajo to do el calor suministrado." Este enundado dice que en un delo, por ejemplo el de Camot, no es posible que el calor perdido sea cero. Para esto, se requeriria que la temperatura baja fuera de cero grado Kelvin y esta temperatura no puede alcanzarse. La eficiencia sena uno, 0 sea el100%. El otro enunciado es de Clausius y dice: "No es posible construir una maquina que trabajando en un cicIo pueda llevar calor de un cuerpo frio a uno caliente, sin recibir trabajo (energia)." Este enunciado sostiene que para que a un vaso de agua a 100 DC pueda sacarsele calor (enfriiindolo en un refrigerador), y ese calor mandarlo al medio ambiente que se encuentra a 20 DC, hay que proporcionar trabajo al sistema. Par ejemplo, con un motor alimentado por corriente electrica. Estos dos enunciados son completamente equivalentes, y son restrictivos porque en el fondo 10 que dicen es que en forma espontanea, a una temperatura constante, el gas que esta dentro de un cilindro no va a comprimirse, y tambien que espontaneamente el calor no £luye de los cuerpos frios a los calientes. 0 sea, que esta segunda ley nos dice en que direcci6n se van a realizar los procesos en la naturaleza. Entropfa. La entropia es una funci6n termodinamica del es-

tado. En un proceso reversible, el cambio en la entropia de un sistema 10 determina Clausius Emanuel con su ecuaci6n:

106

ARL'\TOLDO

KOHLER C. y LUIS GLlV ARES Q.

De donde: ~Q= calor suministrado al sistema (joules) ~s = cambio de entropia T = temperatura (OK) "La entropia de un sistema cerrado no puede disminuir nunca. La entropia puede permanecer constante 'proceso reversible' 0 aumentar 'proceso irreversible'." La entropia de un estado se relaciona con W (nu.mero de micro estados que abarca un macro estado particular), y tambien la irreversibilidad de un proceso por medio de la expresi6n deducida por Boltzamann Luwing, siendo esta:

De donde: K =constante de Boltzamann (teoria cintHica de los gases) W == nu.mero de micro estados que abarca un macro estado de la entropia 5 = en tropia

PROBLEMAS RESUELTOS

Segunda Ley de Newton (sin fricci6n) - Una canasta de 20 kg cuelga del extremo de una cuerda. Encuentrese su aceleracion cuando la tension en la cuerda es: a) 250 N

b) 150 N

d)196 N

c) cera

2

_ (250 N) - (20 kg)(9.8 m/ s ) a) a 20 kg 2

a= 2.7m/s _ (150 N) - (20 kg)(9.8m/sl b) a 20 kg 2

LFx=O

rFy = rna T- W=rna T-W rn

a=--

a = -2.3 m/s 2 _ 0 - (20 kg)(9.8m/s ) ) c a20 kg a

= -9.8 m/s

2 2

_ (196 N) - (20 kg)(9.8m/ s ) d) a 20 kg a= 0

- Una mas a de 5 kg cuelga del extremo de una cuerda. Encuentre5e la tension en la cuerda si la aceleracion del objeto es: a) 1.5 m/ s2 hacia arriba

b) 1.5 m/ seg2 hacia abajo

c) 9.8 m/ s2 hacia abajo

·T

5kg

Ux = 0 LFy = rna T- W= rna T = rna + W = rna + mg T = mea + g) a) T = 5 kg(1.5 m/52 + 9.8 m/ s2) T= 56.5 N b) T T

l

W

= 5 kg (-1. 5 m/s2 + 9.8 m/s2) = 41.5 N

c) T = 5 kg(-9.8 m/s2 + 9.8 m/5 2) T=O

110

ARNOLDO KOHLER

C. y

LUIS Ouv ARES

Q.

- Un elevador parte del reposo en una aceleracion constante hacia arriba. Se mueve 2 metros en los primeros 0.6 s. Dentro del elevador, un pasajero sostiene un paquete de 3 kg, por medio de una cuerda vertical. l Cmil es la tension en la cuerda durante el proceso de aceleracion?

t I

I

Datos

T

I

Va:;:::

la

0

d =2m t = 0.6 s rn =3kg :. a:;;: 2d/t2 = 2(2 m)/(0.6 s)2 = 11.11 m/s2 "f..Fy = t - W = rna T = rna + W =rna + rng = rn(a + g) T:= 3 kg(ll.11 m/s2 + 9.8 m/s2) = 62.3 N

d = vat + 1/2at2

W

- Un hombre de 700 N se encuentra de pie sobre una bascula, en el piso de un elevador. ~a bascula registra la fuerza ejercida en ella por cualquier objeto que se Ie coloque. Calcula la lectura de la bascula si el elevador tiene una aceleracion de: a) 1.8 m/ s2 hacia arriba b) 1.8 m/s2 hacia abajo c) 9.8 m/s2 hacia abajo

I

1 I

2

a) L= 700(1.8 m/s :2 + 1)

L=

9.8m/s 828.6N

:2 b)l.o= 700N[1.8m/S:2 +lJ 9.8m/s 'L = 571 N

rFy:;:: rna L- W= rna L= rna + W L :;:: Wa + W:= W(a + 1)

c) L

=

2

700 N(-9.8m/~ + 1)

9.8m/s

L == 0

ApUNfES DE FlsICA II

111

- En la figura, el sistema cornienza desde el reposo. lCu.H debera ser la mas a m2 para que la masa de 8 kg caiga 0.98 m exaetamente en 1 segundo? Datos Para ml T- WI = -mia va = 0 T= WI-mla d ;:::: 0.98 m t =ls

a~G atl~~_ !

1

2(0.98 m) (1 s 2) 2 =1.96m/s

m2 WIt W2T 8kg Para 1112 T - W2 = 11l2a T= W2 - m2a Como las tensiones son iguales, tenemos: WI - m1a = m2a + W2 mIg - mia = rn2a + m2g rn2(a + g) = rnl(g - a) 2

2d t

a=-2=

2

m2 = ml(g-a) = 8 kg(9.8 m~s -1.96 m/s) = 5.33 kg a+g 1.96 m/s + 9.8 m/s -Un plano inclinado forma un angulo de 30° con la horizontal. Eneuentre la fuerza eonstante aplicada en la direccion paralela al plano, que requiere para que una caja de 15 kg se deslice: a) Hacia arriba del plano con una aeeleraci6n de 1.2 m/ s2 b) Deseendiendo por el plano inclinado con una aeelerad6n de 1.2 m/5 2 (desprecie el rozarniento)

I.Fx = ma I.Fy = 0 a) F - Wsen 30° = 0 N - Weos 30° = 0 N = Weos 30°

F = rna + Wsen 3C1' = (15 kg)(1.2 m/s2)+(15 kg)(9.8 m/s2)(sen 3C1') F = 18 + 73.5 = 91.5 N b) F - Wsen 30° = -rna F = Wsen 30° -rna ;:::: 73.5 - 18 = 55.5 N

112

ARNOLDO KOHLER C. Y LillS OLIVARES Q.

- Repita el problema anterior, suponiendo que la caja se deja deslizar libremente des de la parte superior del plano inclinado y calcule la aceleracion que tendra aillegar al final del plano inclinado.

I.Fx

= rna

-Wsen aT = -rna

a = -Wsen aT -rn a = gsen aT a = 9.8sen 30°

= mgsen aT m

= 4.9 m/s2

- En la figura de este ejercicio tenemos: rna = 10 kg, rnb = 7 kg Y a = 30°. La fuerza de roce y el peso de la polea y cuerda son despreciables. a) Si los dos bloques eshin inicialrnente en reposo cuando se abandonan, LeI bloque A subini 0 descendera en el plano? b) 'Deterrnina la aceleracion con que los dos cuerpos se moveran. c) leual deberia ser el valor del angulo para que el sistema quede en equilibrio? a) WA = m~sen a = «10 kg)(9.8 m/s2)sen 30°)

a

WA =49N WB = m~ = (7 kg)(9.8 m/s2) WB = 68.6 N

Por 10 tanto, el bloque sub ira por el plano.

ApUNTES DE FisICA

II

113

b) D.CL.

· '\ P

t' ..".

/"

~se~\}

LFy

= )11rl

WAsen 8 = mArl 'FA = WAsen 8 + mArl

TA -

1nASscn G mArl = 711BS" - mBrl 711Msen 8 711~ = -mArl - mBa a = (mAsen 8 - mB)g (-111 A - mIl)

a = (10 kg sen 30° - 7) 9.8 m/s

2

(-7 - 10)

a = -19.6 -17

= 1.15

m/s2

= T B1 a Condicion de equilibrio

c) T A

B A T A - WAsen 8 = 0 T B - WB = 0 TA = WAsen 8 T B = WB WAsen 8 = WBmASsen 8 = mBg sen 0

=~ = 2.lg =

0.7

10 kg arc sen 0.7 = 45° lilA

- Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra en un extrema de un tab16n lisa horizontal de 1.3 m de largo, si cl tablon se eleva par el extremo hasta una alhua de 0.5 m, y el cuerpo se desliza, lcon que velocidad llega el (uerpo al otro extrema del tabl6n?

0.5 m I

I

e..r-.....

I !~_ _ _ _."..-J'-- "-,. ---'--

114

Afu'lOLOO KOHLER C.

YLUrsOuvARESQ.

= max

Cinematica

rEx

vf2 = V02 + 2ad Vf = (2(3.76(1.3)))1/2 vf = 3.12 m/s

Wsen e = ma; mgcos e = ma :. a = gsen e = 9.8(0.5/1.3) a = 3.76 m/s2

Frieden - Una vasija de 20 kg descansa en una superficie horizontal. El coeficiente de fricci6n estatica entre la vasija y la superficie es 0.6, se fija una cuerda a la vasija como se ve en la figura. lQUe tan grande debe ser la fuerza que se aplique a la cuerda para que la vasija comience a moverse?, si el cingulo e es de: a) 0° b) 30° a) rEx = 0 EFy = 0 F - Ffs = 0 N - W= 0 F = Ffs = ~sN N - W= 196 N F = (0.6)(196) = 117.6 N b) 1:Fx = 0 rEy=O N - W + Fsen e = 0 Feos e - J.lsN = 0 Fcos e - J.ls(W - Fsen e) = 0 N= W-Fsene e F~sW /cos e + ~ssen e = 117.6/1.166 = 100.8 N

-- -------x

- Un bloque se arrastra sobre un piso horizontal con velocidad eonstante, mediante una fuerza de 40 N que actua paralelamente al piso. Si el eoeficiente de rozamiento entre las superficies es de 0.35, lCUa! es el peso del bloque? W

,

..

F .. Ff

1:Fx = 0 F-FfK = 0 F - J.lKN = 0 F - J.lKW = 0

1:Fy = 0 N-W=O N==W

W == F/~K = 40 N/0.35 == 114.2 N

ApUNfES DE FfslCA II

115

- Suponiendo que la masa del trineo es de 3.5 kg, la del nifio de 25 kg Y la tension en la euerda que jala el trineo a velocidad eonstante es de 180 N, lemil es entonces el eoeficiente de rozamiento del terreno y el trineo? Datos F rn

= 180 N = 28.5 kg

"LFx

=0

Fcos 30° FfK = 0 Feos 30° - /-l (W - Fsen 30°) = 0 Jl = Feos 30° /Wsen 30° = 0.82 LFy = 0 Fsen 30° - W + N = a N = W - F sen 30° - Una masa de 4 kg resbala hacia abajo por un plano inclinado que forma un angulo de 37° con la horizontal. La masa parte del reposo. Despues de haber resbalado una distancia de 5 metros, su velocidad es de 4 m/ s. l eual es el eoeficiente de friccion cinetica? Datos =4kg =5m Vo = 0 V f =4m/s

rn

d

a = Vt - Vo2/2d = (4 m/s)2/2(5 m) = 1.6 m/s2 "LFy = 0 Wsen 37° FfK = rna N - Weos 37° = 0 Wsen 37° - l..lxN = rna N = Weos 37° Wsen 37° - 11K Weos 37° = rna 11K = Wsen 3r - rna/Weos 37° = 39.2sen 37° - [( 4 kg)(1.6 m/s2)]/(39.2eos 37°) 11K = 17.19/31.3 = 0.549

"LFx

= rna

116

ARNOLDO KOHLER

C. y LUIS Ouv ARES Q.

- Un disco de hockey que pesa 1.5 N resbala sobre hielo 15.2 metros y se detiene. Si su velocidad inicial era de 6.1 m/s a) lCual es la fuerza de rozamiento entre el disco y el hielo? b) lCual es el coeficiente de rozamiento cinetico? Datos

~ V.~_~=Vf=O

"---

~ Ff --=---~~~~--~---15.2 m til

W =l.5N d = 15.2 m va = 6.1 m/s vf

Cinematic a: v f2 = v 02+ 2ad a = -v//2ad a = (6.1f /2(15.2) a = -1.22 m/s2

=0

Dinamica: a) 2:.Fx = rn xa

-Ff=-ma !lrng = rna !l = alg = 1.22/9.8

= 0.124

b) Ff= JlKN Ff = (0.124)(1.5) = 0.186 N

- En la figura se tiene el siguiente sistema de fuerzas. Determine el peso rruiximo de A para que el sistema quede en equilibrio. B

Datos

Datos

WB = 712N ~s = 0.25

'LFx = 0 T-Ff= 0 T= ~NB T = 0.25 T = 178 N

D.C.L.

'LFx = T1cos 45° - T = 0 Tl = T/eos 45° = 178/0.707 Tl = 251 N 'LFy = T1sen 45° - W A = 0 :. W A = Tdsen 45° WA = T / sen 45° W A = T = 178 N

ApUNTES DE FfsICA II

117

- En 1a figura siguiente se tiene un bloque de masa m1 = 20 kg Y el coeficiente de rozamiento estatico es de 0.8 entre el bloque y el plano. Si la po1ea y la cuerda tienen rozamiento despreciable, determine la masa m2 para que el bloque m1 quede en equilibria. D.C.L. Datos

u 'G]L ,

I

I

1112

_ _ _ _I

-+ 20 kg WI == (20)(9.8)(196 N) f.!s == 0.8 L =30°

m1 ==

T - m-g

=0

T=m-g

D.C.L.

Wscn3't-Y

m2 ==

T/g

m2 ==

233.8/9.8

m2

= 23.85 kg

Suponiendo el deslizamiento sobre el plano: J.:,Fx

=

T - FfWsen 30° == 0 T == Ff + Wsen 30° == 0 T == fiN + Wsen 30° == 0 T = 0.8(196cos 30°) + 196sen 30° T = 233.8 N

=0

- En la siguiente figura el bloque A pesa 44.5 N Yel bloque B 22.2 N, determine el minimo peso del bloque C que debe colocar sobre A para evitar que resbale, si f.!s = 0.20

D~

Datos

Al , I CJ i

B,

:B

1

WA = 44.5 N WB == 22.2 N f.!s = 0.20

D.C.L.A

~-~TFr

!

.1 .... -

~WA

.

J.:,Fx == 0; T - Fis = 0 T = Fls ---------- 1 J.:,Fy == 0; N - WT = 0 N == WT ---------- 2

J.:,Fy

= 0; T -

WB == 0 T == WB ---------- 3

118

ARNOLOOKOHLERC. yLurSOUVARESQ.

Sustituyendo 1 en 3 Ff=W ~sN = WB De la eeuacion 2 tenemos: N= WT :.

~s(WA

~sWA

We

+ We) = WB + ~sWe = WB

= WB -

~sWA/~s

= 22.2 - 44.5(0.2)/0.2 We = 66.5 N

- Un bloque es arrastrado hacia 1a dereeha a velocidad eonstante por una fuerza de 10 N, que aerua formando un cingulo de 30° encima de 1a horizontaL E1 eoeficiente dincimieo de rozamiento es de 0.5. Determine emil es el peso del bloque. w Datos F

N

= 10N

e = 30° ~K=

0.5

ITx = max ya que v = eonstante ~Fx = Feos 30° - Ff= 0 FfK =lOcos 30° = 8.66 N Pero reeordando: FfK =~KN :. N = F!K/~K = 8.66/0.5 ~Fy = 0; N - W + Fsen 30° = 0 W = N + Fsen 30° W = 17.32 + 10 sen 30° W = 22.32 N

= 17.32 N

- El bloque mostrado en 1a figura se desliza eon rapidez eonstante bajo 1a acdon de la fuerza indicada. a) lQue valor tiene 1a fuerza de friccion que se opone a su movimiento? b) leual es el valor del coeficiente de friccion einetica entre el bloque y el piso? a) ITx = 0 Feos 55° - Ff = 0 Ff= Feos 55° Ff = 20eos 55° = 11.5 N 50N ~Fy= 0 N + f'sen 55° - W = 0 N = W - f'sen 55° N = 50 N - 20sen 55° = 33.6 N

ApUNTES DE FfsrCA II

119

D.C.L.

Y

N!FY .... Ff

I

Ft

b) IlKN = 11.5 N ilK = 11.5 N/N ilK = 0.34

= 11.5 N/33.6 N

...IW Campo gravitacional - Determine la aceleraci6n de la gravedad g con los siguientes datos: Masa de la Tierra: 5.98 x 1024 kg Radio de la Tierra: 6.378 x 106 m Constante de gravitaci6n: G = 6.67 x 10-11 m 3 /kgs 2 F = ma; F = GMm/R2 :. a = GM/R2 = (6.67 x 10-11 )(5.98 x 1024)(6.378 x 106)2 a = g = 9.8 m/s 2 constante de la aceleraci6n de la gravedad - Un cuerpo sobre la Tierra pesa 100 N. Determine su peso si se aleja de la Tierra a una distancia igual al radio de esta.

_ _ _ _••

F M

= fuerza de la Tierra

= masa de la Tierra

m 1 = masa del cuerpo R

= radio de la Tierra

Aplicando la ecuaci6n de la Ley de la Gravitaci6n Universal

F = GMml/(2R)2 = GMml/4R2 F = 1/4GMmdR2

= 1/4(6.67 x

10-11 )(5.98 x 1024) (10.204)(6.378 x 106)2

F= W=25N (Se reduce el peso a la cuarta parte.)

120

AR:-':OLDO KOIILER

C.

Y LUIS OLIVARES

Q.

Trabajo - Sobre tm euerpo que pesa 50 N acnla tilla fuerza horizontal que 10 desliza sobre till plano tarnbien horizontal. La fuerza de rozamiento es 1/10 de peso y cl trabajo total efectuado por el cuerpo en 5 metros de recorrido con velocidad eonstante es 300 joules. Calcular: a) El trabajo efeetuado por la fucrza aplieada b) La magnitud de la fuerza bF = trabajo de la fuerza DFf= trabajo de la fuerza de fricci6n bT = trabajo total

'r~ --!~

Datos W = 50 l'~ Ff = 1/10 d =5m DT = 300 J DF

=?

= OF + OFf OF/= (5 N)(5 m)eos 180 = - 25 jollies OF = 0Total + OFf = (300 J) + (25 J) OF = 325 joules OF =F· d ~ F =oF/d =32Sjoules/5m F= 65N DTotaI

0

- Por media de una fuerza de SO N a 30° se tira de un euerpo que pesa 20 N sabre una superficie horizontal, la fuerza de fricci6n es 1/5 del peso del cuerpo. Cuando el desplazamiento es 3 m, calcular: a) EI trabajo desarrollado por las fuerzas extemas b) La energia transformada en calor Datos F =SON

L = 30° W=20N

OF = F· deos 8 OF = (50 N)(3 m)eos 30° = 129.9 jollies t1fj= (4 N)(3 m) = -12 joules

Ff = W/5 d =3m OT =? E =?

a) 0Total = 129.9

J-

12 J = 117.9 joules

b) La energia transformada en calor es -12 joules

Arui\.lFs DE F1SICA II

121

Trabajo y energfa - Un cohete de 2 000 kg disparado desde su plataforma de lanzamiento adquiere una velocidad de 70 m/ s y una altitud de 1 800 metros. Calcular: a) Su energia potencial b) Su energia cinetica c) Su energia total Datos In 2 000 kg va = 0 vf = 70 m/s H = 1800 m Ep =? Ec =? ET =?

= nzgh = (2000 kg)(9.8 m/s)(l 800 m) Ep = 35 280 000 joules

a) Ep

= 1/2Inv2 = 1/2(2 000)(70)2 = 4 900 000 joules

b) Ec

c) ET = Ec + Ep = 35 280 000 J + 4 900 000 J = 40 180 000 J

- Sobre un cuerpo cuya masa es 10 kg acma una fuerza de 60 N durante 12 s. Si la velocidad inicial del cuerpo era de 60 In/5, calcular: a) El trabajo efectuado por la fuerza

b) La potencia desarrollada c) La energia cinetica final d) El aumento de energia cinetica Datos In = 10 kg F = 60 N va = 60 m/s t:::: 12 s

F = Inn =? n = F /m = 60 NI10 kg = 6 m/s2 d = (60 m/s)(12) + 1/2(6)(12 s)2 = 1 152 m vf:::: va + nt :::: 60 m/s + (6 m/s2)(12 s) :::: 132 m/s

a) 8= ~Ec = 1/2711(Vf2- va 2 ) :::: 1/2(10 kg)[(132 m/s)2 - (60 m/s)]; Vf2 == Val + 2

------------- 1

------------- 2

Sustituyendo la ecuaci6n 2 en 1 nos queda: ml Val = m2(Vo I + 2) + ml Vfl ml Val = m2 Vo l + m2(2) + ml Vfl ml Val - m2 VOl = m2(2) + ml Vfl Val (ml - m2) = m2(2) + ml Vfl Val = m2(2) + ml Vodml - m2 Val = (0.4 kg)(2 m/s) + (0.6 kg)(2 m/s)/0.6 kg - 0.4 kg

Val Vf2

= 10 mls

= 10 mls + 2 m/s = 12 m/s

128

AR."JOLOO

KOI ItER C. Y LW5 Guv liliES Q.

- Dos b10ques de masas de 300 g Y 200 g sc mueven uno hacia e1 otro sobre una superficie horizontal lisa, con una velocidad de 50 cm/s y 100 cm/s respectivamente. a) Si los bloques chocan y permanecen unidos, calcular su velocidad final. b) Determinar 1a perdida de energia cinetica durante e1 choque. c) Calcu1ar la ve10cidad final de cada bloque si e1 choque es perfectamente elastico.

Datos ml

=

300 g

1n2 = 200 g VOl = 50 cm/s a) 1nl VOl + 7112 V0 2 = nIl Vfl + nI2 Vf2 V0 2 = 100 cm/s Vf = 1111 Val + 11l2(-V0 2) Iml + m2 Vf= (300)(50) - (200)(100)/500 =: -10 cm/s

b) 1/211l1 VO l 2 + 1/2m2V0 22 = 1/2m1 Vfl2 + 1/2m2 Vf22 1/2(300)(50)2 + 1/2(200)(100)2 = 1/2(3 000 + 200)(10)2 375 000 + 1 000 000 =: 25 000 ECperdida = 1 375 000 - 25 000 = 1 350 000 ergs ECperdida =: 0.13 joules c) e = Vf2 - VfdVo l - V02~ V£2 - V£dVo l - V0 2 = 1 V£2 - V£d 50 - (-100) = V£2 - V£t/150 V£2 =: Vfl + 150 ---------------------------------------- 1

Sustituyendo en la cc. 1: 1nl Val + m2 V0 2 =: nIl Vfl + 1n2(V£l + 150) 1n1 VOl + nI2(-V02) = ml Vfl + nI2 Vfl + (150)m2 Vfl = 1n1 VOl - nI2 V0 2 - (150)m2/ ml + nI2

ArUNTES DE FfSICA

Vfl

II

129

= 300(50) - 200(100) - 200(150)/500 15 000 - 20 000 - 30 000 I 500 = -35 000 I 500

Vfl = Vfl Vf2

= -70 em/s = (-70 cm/s) + 150 em/s

=

80 em/s

- Una bola de metal con una masa de 4 kg moviendose a una velocidad de 6 eml s eolisiona con otra bola de metal de masa de 6 kg desplazandose en la misma direeci6n con una velocidad de 2 ml s. Si el coeficiente de restituci6n es de 0.85, hallar la velocidad de cada bola despues del irnpacto.

Datos ml = 4 kg VOl = 6 mls m2 = 6 kg V0 2 =2m/s

e

Vf2 - Vfr/VOI - V0 2 = 0.85 Vf2 - Vfr/6 mls - 2 mls = 0.85 Vf2 - Vfr!(4 m/s) = 0.85; Vf2 = 3.4 + Vfl

= 0.85

De la conservaci6n de 1a cantidad de movimiento

SUStihlirnOS:

= ml VfJ + 171 2(3:4 + Vfl) 4 kg(6) + 6 kg(2 m/s) = ml3.4) + Inl Vfl + m2 Vfl ml VOl + m2 V0 2

36 Vi}

VfJ

= 20.4 + (ml

+ 1n2)Vh

= [(36 - 20.4)kgm/sJ/IO kg = 1.56 m/s = 3.4 mls + 1.56 mls = 4.96 mls

130

ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES

Q.

- Una bola de metal se deja caer sobre un suelo horizontal y alcanza una altura de 144 cm despues del primer rebote, en el segundo rebote llega a 81 cm de altura. Calcular: a) El coeficiente de restituci6n entre el suelo y la bola. b) La altura que alcanza en el tercer rebote. eml

Como caida libre en el primer rebote VfI

:::Xol + 2gh

V f = - ~2ghl

-------------- 1

En el segundo rebote se considera un tiro vertical %£2::: V0 2 + 2gh Vo::: -~2gh2

-------------- 2

Considerando que Vf es la velocidad antes del choque (Vo 2) y que Vf es la velocidad despues del choque (Vf2) y que mi es la masa de la bola y m2 la de la Tierra, entonces la (VOl) la velocidad de la Tierra antes y despues (Vfl) del choque es cero. Entonees tenemos: e::: Vf2 -

JYt/J.'rl - Vo 2 ::: Vf2/-V02

Sustituimos 1 Y 2 nos queda: e::: - ~ 2gh2 / - ~ 2ghl => e = ~h2/hl

a) e ::: J81 em/144 em ::: 0.75

b) e ::: ~ h:/h z => h3 h3::: 45.56 em

= e2h2=

(0.75)2(81 em)

ApUNI'ES DE FIsICA II

131

- Un proyectil de 200 g se dispara con una velocidad horizontal de 500 m/ s contra un bloque de madera de 30 kg. El bloque esta suspendido de una cuerda larga que se encuentra originalmente en reposo. a) leual es la velocidad del bloque y del proyectil despues del irnpacto? b) Suponiendose que la colisi6n es perfectamente inelastica, lque tan alto se levantara el bloque despues de la colisi6n?

V01 = 500 m / s

)ri

ETI

-

-

,---_

--'--- ! ---,

t-----l

= ET2

+ EPI = EC2 + EP2 1/2(ml + m2)V2 = (ml + m2)gh ECI

V

=- 0 2gh

---------------------- 1

ml VOl + m2 V0 2 = ml Vfl + m2 Vf2 ml VOl = Vf(ml + m2)

a) V

= ml Vodml + m2 = (5 000 m/s)(O.2 kg)/30.2 kg = 3.33 m/s

b) De la ecuaci6n 1 tenemos que: h = V2/2g = (3.33 m/s)2/2(9.8 m/s2) = 0.565 m

132

ARt'\1OLOO KOHLER C. y LUIS GuvARES

Q.

- Dos automoviles se acercan a un cruce en un cingulo recto. El automovil A tiene una masa de 1 000 kg Y viaja a 8 m/s hacia el Norte; el automovil B tiene una masa de 600 kg Y viaja a 10 m/s hacia el Este. Inmediatamente despues del choque el automovil B se mueve con una velocidad de 6 m/ s a 60° hacia el Noroeste. Indique la velocidad del automovi1 A inmediatamente despues de la colision. N Ay

J

o

_[gj---}_

I

! x

A

I

S

En x tenemos: mB VO B :::: mB VIBx

+

mA VfAx

VfAx:::: mBVo B - mBVIBx/mA VfAx:::: 600 kg(10 m/s - 6cos VfAx::::

60°)/1 000 kg

4.2 m/s

En y tenemos: mA VO A :::: mB VIBy

+

mA VfAy

VfAy:::: mAVoA - mB VIBy/mA VfAy:::: VfAy::::

(1 000 kg)(8) - (600 kg)(6sen 60°)/1 000 kg 4.88 mls

~(4.2)2 + (4.88)2 :::: 6.43 m/s tan e : : 4.88/4.2 :::: 1.16 e:::: 49.3° NE VfAy::::

ApUNTES DE

FtsrcA II

133

Densidad y presion - El aire tiene una densidad de 1.29 kg/cm3 en condiciones normales. l emil es la masa del aire en un cuarto con dimensiones de 10 m x 8 m x 3 m? Datos ( = 1.29 g/ cm3 V = 10 x 8 x 3 = 240 m 3 m =?

( = m/V => m = (V

m = (1.29 kg/m)(240 m 3) = 309.6 kg

- leual es la densidad de la materia contenida en el nucleo de atomo de hidr6geno? Puede suponerse que el nucleo es una esfera de radio 1.2 x lo-15 m y su masa de 1.67 x 10-27 kg. Datos m = 1.67 x 10-27 kg r = 1.2 x 10-15 m

V = 4m3 /3 = 4n(1.2 x 10-15 m)3 /3 V = 7.23 x 10-45 m 3 (= m/V == 1.67 x 10-27 kg/7.23 x 10-45 m 3 = 2.3 x 1017 kg/m3

- Una pieza de oro puro, con su volumen de 1.5 cm3 se coloca sobre una bascula de doble platillo. lQue volumen de pesas de laton se necesita para equilibrar la pieza? «(laton == 8.7 g/cm3j (oro == 19.3 g/cm3) La masa del oro es : (== m/V j m = (V = (19.3 g/cm3 (1.5 cm3) ~ ~ =29g ~ Volumen del laton = 29 g/8.7 g/cm3 ~-------'" == 3.3 cm3 La masa del oro = La masa del lat6n (oro Voro = (laton Vlaton

£

= (oro V oro / (laton g/cm3)(1.5 cm3)/8.7 g/cm3

:. Vlaton

= (19.3

= 3.3 cm3

134

A&"OLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES Q.

- leual es la presion hidrostatica a una profundidad de 1 200 m bajo el agua? l Cual es la fuerza ejercida sobre una superficie de 4 em2 situada a esa profundidad? Datos h ::: 1200 m A ::: 4 cm3 ::: 4

X

10-4 m 3

p::: (gh::: (1 000 kg/m3)(9.8 m/s3)(1 200 m) ::: 11.76 MPa P =F / A::::} F = PA = (11.76 Mpa)(4 x 10-4 m 2) = 4 704 N

- Una probeta de 80 em de altura esta llena de: a) aceite, b) agua, c) mercurio. Calcular la presion hidrostatica en el fondo y la fuerza sobre el rnismo si la probeta tiene un radio interior igual a 1.5 em. ( (aceite ::: 910 kg/m3; (Hg::: 13600 kg/m3) Datos 11 ::: 80 em r ::: 1.5 em A = 7.068 X 10-4 m 2

a) P = (gh::: (910 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.8 m) ::: 7134.4 Pa F = PA ::: (7134.4 Pa)(7.068 x 10-4 m 2) = 5.043 N b) p::: (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.8 m) ::: 7 840 Pa F ::: (7 840 Pa)(7.068 x 10-4 m 2) = 5.541 N c) p::: (13600 kg/m3)(9.8 m/s2)(O.8 m) ::: 106 624 Pa F ::: (106 624 Pa)(7.068 x 10-4 m 2) ::: 75.36 N

APUNIES DE FfsICA II

135

- Un hombre de masa igual a 75 kg esta parado sobre una platafozma que tiene 900 cm2 de area, colocada sobre un tuba con agua como se indica en la figura. a) lA que altura subira el agua en el tuba vertical? b) lA que altura sub ira si el area de la plataforma se reduce a la mitad? Datos

m A

= 75 kg = 900 cm2 = 0.09 m 2

= (gh => h = P / (g = 8 166.6 Pa/(l 000 kg/m3)(9.8 m/s2) h = 0.833 m = 83.3 em

a) P

b) P = 735 N/0.045 m 2 = 16 333. 33 Pa h = 16333.33 Pa/9 800 N/m3 = 1.666 m - E1 experimento il.ustrado en la figura fue efectuado por primera vez por Blaise Pascal. Un tuba delgado y largo se conectaba a un barril y se vertia agua a traves de este. Cuando el barril se llenaba, se afiadia mas agua en el tubo hasta que explotaba la tapa del barril. Si el diametro de la tapa era de 50 cm y se rompia al vaciar 1.2 1 de agua en el tubo, de ditimetro interior 1 cm, lcual era la fuerza en la tapa exactamente antes de romperse? 5 - . n1~m Ocmil

U

-

\,.,

1.1 lJ

V = 1.2 1 = 1 200 cm3 = 0.0012 m 3 V=Ah => h = VIA = 0.0012 m3/0.785(0.01)2 = 15.28 m P = (gh = (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(15.28 m) = 149 744 Pa F = PA = (149 744 Pa)(0.0000785 m 2) = 11.75 N

136

ARNOLDO KOHLER

C. y Lws OLlY ARES Q.

- La presion absoluta sobre un objeto sumergido en ghcerol ((== 1.56) es de 1.113 x 105 Pa. LeuaJ es la profundidad a la que se encuentra el objeto?

o Pabs == (gh + P ahn => h == Pabs - Pahn/g ( == 1.113 x 105 Pa - 101 300 Pa/(l 560 kg/m 3)(9.8 m/s2) == 0.654 m

- Si la presion atmosferica al nivel del mar es de lOSN/m2, Lcwil es la presion atmosferica a una altura de 350 m (Lincoln, Nebraska), a 750 m (Jerusalcn) y a 2 250 m (Mexico)? ( (aire == 1.29 kg/m2) Nota: Restando la altura en cada caso. Datos p:::: 105 N/m2 P == (gh => h == (105 N/m2)/(1.29 kg/m3)(9.8 m/s2) == 7910 m kg/m2)(9.8 m/s2)(7 560 m) == 95 573.5 N/m2

a) P

= (1.29

b) P

= (1.29 kg/m2)(9.8 m/s2)(7 160 m) = 90 516 N/m2

c) P == (1.29 kg/m2)(9.8 m/s2)(5 660 m) == 71 553 N/m2

Apcl'.'TES DE FfsICA

II

137

Pascal (prensa hidraulica) - El diametro del piston grande de una prensa hidrauliea es de 60 em, y Ia seecion recta del piston pequeno de 5 em. Se aplica a este ultimo una fuerza de 50 kgf. Determine la fuerza ejercida sabre el piston grande y las presiones que se ejereen sabre eada piston en kg/ em2. Datos

'I~jd

I "', I ...

I 1

[ 1I 1-

• 1

"----------

d l = 60 em d2 = 5 em F2 = 50 kgf AI= 0.785(0.60)2= 0.282 m 2 A 2 = 5 x 10-4 m 2

FIAI = F2/ A 2 ; FdO.282 = 50/5 x 10-4 m :. F I = 50(0.282)/5 X 10-4 m = 28 200 kgf PI

= FIi Al = 28 200/0.282 = 100000 kgf/m2 (1 m)2/(100 cm)2

= 10 kgf/em2 P2 = F2/ A2 = 50/5

X

10-4 = 100 000 kgf/m2

= 10 kgf/cm2

- Un gato hidnlulieo funciona por medio de una bomba que puede proparcionar una presion manometrica de 8 x 105 Paseales, el tubo de salida de la bomba tiene un diametro de 3 em. leual es el menor diametro del piston para que pueda levantar la plataforma soportando un automovil, si la masa combinada de plataforma y automovil es de 3 000 kg? Datos

= 8 x 105 Pa DI = 0.03 m m = 3 000 kg F = 29 400 N PI

Sustituyendo 8 x 105 Pa = 29 400 N/A2 :. A2 = 29 400/8 x 105 = 0.03675 m 2 A = 0.785D2 :. D = -V 0.03675/0.785 = 0.216 m D = 21.6 em

138

ARNOLDO KOHLER

C. y

LUIS OLN ARES Q.

- Se apliea una fuerza de 400 N al pequeno embolo de una prensa hidnluliea euyo diametro es de 4 em. ,eual tendra que ser el diametro del embolo grande si se desea levantar una earga de 200 kg? Datos Fl = 400 N DI = 4 em = 0.04 m F2 = 200 kg A2 = 0.785 D z2 AI/FI = Az/Fz A2 = F2(Ar/F I )

= (200)(9.8)(0.785)(0.04)2/400

A z = 2.461/400 :::: 6.15 X 10-3 m 2 Al = 0.785 D 2Z D2 =-./6.15 x 10-3 /0.785 = -V7.837 = 0.0885 m

= 8.85 em

- Con referenda a la siguiente figura, las areas del pist6n A y del cilindro B son respectivamente 40 cm2 y 4 000 cmz y B pesa 4 000 kgf. Los depositos de eonexion estan llenos de aceite de densidad relativa 0.750. Leual es la fuerza P neeesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? Debido a que XL y X R estan al mismo nivel, tendremos: P L

~ 0

Datos 4 000 kgf

D

Ism

•

XL

+-

XR

~

t

Al = 40 cm2 A2 = 4 000 em2

F2

= 4 000 kgf

fr = 0.750

PH = Peh

Presion en X R = Presion en XL Como eolumna de fluido tenemos: 4 (XX) kgf/4 000 cm2 x l04P/40 cm2 x 104 + (0.750 x 1 000 kg/m3)5 m 10000 kgf/m2 = P/4 x 10-3 + 3 750 kgf/m2 :. P = (10 000 - 3 750)4 X 10-3 = 25 kgf

ApU?>.lES DE FfsICA

II

139

Principia de Arquimedes - Un bloque de metal de 2 kg de mas a se sumerge en un vasa de precipitados con agua que esta suspendido de una bascula de resorte. Antes'de sumergirlo la bascula indica 30 N, cuando esta completamente sumergido, pero sin llegar al fondo de la bascula, indica 37.5 N. Calcular la densidad del bloque y la tension del alambre que 10 sostiene cuando esta sumergido. Datos WB = 19.6 N = peso del bloque Wv = 30 N = peso del vasa Ws = 37.5 N = peso del cuerpo sumergido ( = densidad WA = 37.5 N - 30 N = 7.5 N

E = WR - WA = 19.6 N -7.5 N = 12.1 N = (gV==>V = E / (g = 12.1 N/9 BOO Nm3 = 0.00123 m 3

E

a) W == (cgVc ==> rc == W/gV == 19.6 N/9.B(O.00123) == 1 626 kg/m3 b) 'f.Fy

=0

T- W

= 0 ==> T = W = 37.5 N

- Un bloque de 1 kilogramo de cobre esta suspendido de una bascula de resorte. Cuando el bloque se encuentra completamente sumergido en un liquido, la bascula registra 7.3 N. lCua! es la densidad delliquido? Datos

m = 1 kg WA = 7.3 N WR =9.8N

WR == WA + E ==> E = WR - WA == 9.B N - 7.3 N = 2.5 N pero tambien: We = (~Ve ==> Ve = 9.B N/8 930(9.8) = 0.000111 m 3 E = (r.gVL ==> (L = 2.5 N/9.8(0.000111) = 2 280 kg/m3

140

Afu,OLDO KOHLER C. y

LUIS aLlVARES Q.

- Un globo se llena de helio a presion atmosferica, Ia masa del globo es de 3 kg Y el volumen cuando esta lleno es de 15 m 3. Leual es el peso maximo que puede Ievantar este globo? ( del helio = 0.18 kg/m3; de aire = 1.3 kg/m3)

r

r

Datos m=3kg W= 29.4 N V= 15 m 3

r

E = rgVL = 1.3(9.8)(15) = 191 N WH = ffiV H = 0.18(9.8)(15) = 26.46 N Wtotal = W helio + Wglobo = 26.46 N + 29.4 N 'i.Fy = 0 ~ E - Wtotal - W = 0 W = E - Wtotal = 191 N - 55.92 N = 135 N

r

= 55.92 N

Nota: W es la carga maxima. - Un bloque de piedra cuya densidad es 2 600 kg/m3 pesa 4.8 N en el agua. Hallar su peso en el aire. Datos

r

= 2 600 kg/m3

r

r

WA = 4.8 N WR = WA +E

cgVc = 4.7 N + rgVL ~ 2 600(9.8)V = 4.8 N + 9 800 V 25 4S0 V - 9 SOO V = 4.S N V(15 6S0) = 4.8 V = 4.8/15 680 = 0.000306 m 3 WR = 2 600(9.8)(0.000306) = 7.8 N

ApUNTES DE FfSICA

II

141

- Un bloque de madera tiene un volumen de 150 em3 para mantenerlo sumergido en agua haee falta ejercer sobre el una fuerza hacia abajo de 0.6 N. Hallar su densidad. Datos

v = 150 cm3 = 0.00015 m 3 F= 0.6 N ~Fy=

0 E-F-W=O r.gVL - 0.6 -

r

rcgVC= 0 r

1 000 kg/m3(9.8 m/ s2)(0.00015 m 3) - 0.6 N c(9.8 m/ s2)(0.00015) 1.47 N - 0.6 N = (1.47 x 10-3 m 4 /s 2) = 0.87 N/1.47 x 10-3 = 592 kg/m3

rc

Hidrodinamica - A traves del tuba de la figura £luye agua alma tasa de 80 litros/ s. Si la presion en el punto 1 es de 180 KPa, determrne:

a) La velocidad en el punto 1 b) La velocidad en el punto 2 e) La presion en el punto 2 8 em -i-' I !

/~2t ~ 12m

10 . . . . . . . .~tV:l

Datos Q

= 80 1/s = 0.08 m3 /s

Pl=

180 KPa

16 em

1 a) VI = Q/ Al = (0.08 m3/s)/(n(0.16 m)2) = 0.99 m/s

142

ARNOLOOKcHLERC. yLUISOUVARESQ.

b) A1V1 =A 2V 2 Al VI 1t(0.16)2(0.99 m/s) V2 A2 1t(0.05 m?

/ 3.96 m s

e) PI + (gh 1 + 1/2 (V12 = P 2 + (gh2 + 1/2 (V22 P2 =PI + 1/2 (V12_1/2 (Vl- (gh2 =P1 + 1/2 (V12- Vl)- (gh2 P2 = 180 000 Pa - 7 350.75 Pa - 19 600 Pa = 153 049.25 Pa

- lQue fuerza se requiere para estirar en 0.1 % una barra de acero de 1.5 em de diametro? Modulo de Young del aeero 20 x 1011 dinas/ cm2 Datos

Y = 20

X

1011 dinas/ em2

= 1.5 em

Area

= 0.785

( m == (V Sustituyendo nos queda: (oVo

=

(fVf

despejando la (f nos queda: = 3a = 4.29 x 10-5 DC-I (f = (o(VO/Vf ) = ro(Vo/ IlT + yo) IlT = 70 DC ~

= ~VoIlT sustituyendo: rf = ro(Vo/~VoIlT + V o) = ro/~IlT + 1

Como IlV

rf = 19.3 g/cm3/(4.29 x 10-5 DCl)(70 DC) + 1 rf == 19.24 g/cm3

ApUNrES DE FiSICA II

149

CALORIMETRlA • A una barra de laton de 4 m de longitud y 1 kg de masa que se encuentra a una temperatura de 30°C se Ie suministran 8 500 calorias, calcular: a) La temperatura final de la barra. b) La longitud final de la barra.

I· ~

= 20 x

10-6 DC-I; Celaton = 0.094 kcal/kg DC) 10 =4m m = 1 kg To = 30 DC Q = 8 500 cal (Ulaton

AQ = mCe,1.T &T:: AQ/mCe &T = (8.5 kcal/1 kg)(0.94 kcal/kgDC) = 90.42 DC Tf = &T + To == 90.42 DC + 30 DC = 120.4 DC M = aloAT 10-6 DC-I)(4 m)(90.42 DC) = 0.00723 m N + 10 = .00723 m + 4 m = 4.00723 m

t}/ ==

If c

(20

X

- ,Cuanto calor debe agregarse para elevar la temperatura de 6 litros de agua desde 20 DC hasta 60 DC? Datos

m =6kg To= 20 DC Tf= 60 DC

Q::

mCe~T

= (6 kg)(l

kcal/kgDC)(60 DC - 20 DC)

= 240 kcal

150

ARNOLDO KOHLER

C.

y LUIS GLIVARES

Q.

- Un calorimetro de 50 g de aluminio contiene agua a una temperatura de 30 DC. Cuando se introduce 80 g de cobre a 70 DC, la temperatura final de equilibrio que se alcanza es 37 DC. LQue cantidad de agua habra en el recipiente del calorimetro ? Datos nlt,L = 50 g TO agua = TOt,L = nlCu ToCu

=

30 DC

80 g

= 70 DC

37 DC Ce L'.L = 0.22 call g DC Cecu = 0.93 cal/g DC Tf

=

nl agua

=?

Calor cedido = calor absorbido -mcu Ce cu L1T = lnL'.LCeL'.LL1T + lnaguaCeaguaL1T (80 g)(0.093 call gDC)(37 DC - 70 DC) :::: (50 g)(0.22 call g DC) (37 DC - 30 DC) + ln agua (1 call g DC)(37 DC - 30 DC) 245 cal = 77 cal + nl agua (7 call g) n1 agua = 245 cal - 77 eal/7 call g = 24 g - 5e suministra 35 keal de calor a 8 litros de etanol. 5i la temperahua delliquido es de 45 DC despues de haberse alcanzado el equilibrio, Leual era la temperatura inicial? Datos

Q :::: 335 kcal Tf

= 45

DC

r = 800 kg/m3

Ceetanol =

0.58 kcal/kg DC

r = IIllv => m = rv:::: (800 kg/m3)(8 x 10-3 m 3) = 6.4 kg

t1.T = Q/mCe = 35 kcal(6.4 kg)(0.58 kcal/kg DC) L1T = Tf - To => To = Tf - t1.T To = 45 DC - 9.42 DC = 35.57 DC

= 9.42

DC

ApUNTES DE

FfsICA II

151

- Se mezclan 10 kg de agua a 5°C con 100 kg de agua a 80°C. Eneontrar la temperatura final de la mezc1a.

Datos ml

= 10 kg

TO l

=5°C

m2

= 100 kg

T0 2

= 80°C CeH20 = keallkgOC

Calor absorbido = calor eedido mCeL1.T = - mCeL1.T

(10 kg)(l kcal/kg °C)(T - 5 0C) = - (100 kg)(l kcal/kg °C)(T - 80 0C) 10 Tkeal;oC - 50 keal = - 100 T(kcal;oC) + 8 000 kcal T(10 + 110 kcal;oC) = 8000 keal + 50 kcal T = 8050 keal/ll0 kcal/l °C = 73.18 °C

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

TEMA 1.1. 1. Una fuerza aplicada a un cuerpo de 2 kg de masa Ie comunica una aceleracion de 3 m/s 2. Calcular la aceleracion que comunicaria si actuara sobre un cuerpo de masa. a) 1 kg

b) 4 kg

Soludon: a) 6 m/ s2

b) 1.5 m/s 2

2. Un cuerpo de 100 newtons pende del extremo de una cuerda. Calcular su aceleracion cuando la tension de la cuerda es: a) 125 N

b) 80 N

c) 100 N

Solucion: a) 2.45 m/ S2 b) 1.96 m! s2 c)

a m/ s2

3. De los eXtremos de una cuerda que pasa par una polea fija, sin rozamiento, penden dos cuerpos cuyas masas son 7 y 9 kg. Calcular la aceleracion y la tension en la cucrda.

Soludon: a = 1.22 m/ S2

T = 77.1 N

4. Un automovil de 2000 kg, se mueve a una velocidad de 12 m/s. LQue fuerza constante, aplicada durante el periodo de 8 5, aumentara su velocidad a 40 m ! s? Soludon: 7 000 N 5. Una mujer estaba sobre la bascula que se encuentra dentro de un elevador. Cuando el elevador esta en reposo marca 556 N. LCual sera la lectura de la bascula cuando la aceleracion del elevador sea de 1.2 m/s 2 hacia abajo? Soludon: FR

= 487.9 N

156

AR.,\;OLOO KOHLER C. y LUIS OLIVARES Q.

6. GCu;il es la aceleraci6n de un bloque que resbala sobre un plano inclinado liso (sin fricci6n) que forma un angulo de 40 0 con la horizontal? Soluci6n: a = 6.3 m/ S2 7. El conductor de un carro se mueve a 80 km/h, aplica los frenos y se detiene a 60 metros. Determine el coeficiente de rozamiento cinetico. Soluci6n: 0.419 8. Un bloque de 5 kg de masa es apretado contra una pared vertical mediante una fuerza perpendicular a la misma. l Que valor ha de tener esa fuerza para que el cuerpo no caiga si el coeficiente de fricci6n es 0.5? Soluci6n: F

= 98 N

9. Un bloque es arrastrado hacia la derecha con velocidad constante por una fuerza de 10 N, que actua formando un angulo de 30 0 encima de la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinamico entre el bloque y la superficie es de 0.5. l Cual es el peso del bloque? Soluci6n: W = 22.3 N 10. Calcular la fuerza paralela a un plano inclinado de 30 metros de altura y 40 metros de base que es necesaria aplicar a un bloque de 100 kg de peso para que no se desplace sobre el, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es de 0.25. Soluci6n: F = 39.9 kgf

ArID.TIs DE FisICA II

157

11: Calcular la aceleracion de la gravedad de la Tierra de acuerdo a la siguiente informacion: G = 6.67 x 10-11 m 3 /kg s2

= 5.98

Masa de la Tierra Radio de la Tierra

x 1024 kg RT = 6.378 x 106 m

MT

Soludon: g

= 9.8 m/s2

TEMA 1.2. 1. Calcula el trabajo en (joules y ergios) realizado al elevar un cuerpo de 4 kg de masa a una altura de 1.5 metros. Soludon: 58.8

J = 58.8 x 10-7 erg

2. Un bulbo de 400 N se eleva hasta una plataforma a una altura de 1.5 metros par medio de un plano inclinado de 6 metros de longitud. Calcular: a) La fuerza paralela al plano que es necesaria aplicar. b) EI trabajo realizado suponiendo que la friccion es despreciada. Soludon: a) 100 N

b) 601

J

3. Un caballo jala una carreta de 300 kg Y se desplaza con una veloddad constante de 10 km/h. Si la fuerza que un caballo ejerce sobre la carreta es de 1 000 N Y forma un angulo de 30° con la horizontal, calcular la potencia desarrollada por el caballo al jalar la carreta una distancia de 400 metros. Soludon: P

= 2 407 watts

158

ARKOLDO KOHLER C. Y LL15 GLlVAiJ:S

Q.

4. Desde que altura tendria que caer un autom6vil para ganar la misma cantidad de energfa cinetica que si corriera a 90km/h. Soluci6n: h = 31.88 m 5. El trabajo que se realiza sobre un trineo con una fuerza F que forma un angulo de 30° con la horizontal es de 65 000 joules cuando se traslada una distancia de 100 metros. Determine la magnitud de la fuerza F aplicada al trineo. Soluci6n: F = 750 N 6. Se requiere una bomba para elevar 250 litros de agua por un minuto desde un pozo de 8 metros de profundidad y lanzada con una velocidad de 7 m/ s. LC ual debe ser la potencia del motor en watts? Soluci6n: P = 428.75 watts 7. Un cuerpo de 30 kg lanzado verticalmente hacia arriba tarda 1.5 s en llegar a su altura maxima si no existe rozamiento con el aire. Calcular la energfa potencial del cuerpo en el instante en que llega a su altura maxima. Soluci6n: Ep

=3241 J

8. Un cohete de 2000 kg de masa disparado desde una plataforma de lanzamiento adquiere una velocidad de 70 m/ s. A una altitud de 1 800 metros, calcular: a) Su energfa potencial b) Su energia cinetica c) Su energia total Soluci6n: a) Ep = 35 X 106 J c) ET = 40 x 106 J

b) Ec::= 4.9 x 106 J

ApUNTES DE

FfsICA II

159

9. lQue impulso debe recibir un ciclista para aumentar su velocidad de 5 mis, si la mas a del ciclista y su bicic1eta es de 90 kg?

Soluci6n: I

=495 kgm/s 6 I = 495 N . s

10. Una pelota de beisbol de 150 g de masa con una velocidad de 20 m/s es golpeada por el bate y sale en la misma direccion pero con sentido contrario con una velocidad de 25 m/ s. Sabiendo que la dura cion del golpe es de 0.01 s, hallar la fuerza media ejercida por el jugador sobre la pelota. Solucion: F

= 75 N

11. Un canon ligero de masa 480 kg, dispara una bala con una masa de 5 kg Y una velocidad de 265 m/ s. Calcule la velocidad con la que retrocede el canon. Soluci6n: Vc

= -2.76 m/ s

12. Dos cuerpos A y B que se mueven en sentidos contrarios chocan de frente quedando unidos. Detennine la velocidad final del conjunto si las masas y velocidades de los cuerpos son: rnA= 300 g rnB= 500 g

V A =5 cm/s VB = 3 cm/s Solucion:

vf

=0

13. Una bola de boliche de 8 kg de masa se mueve a razon de 10 m/ s chocando con un pino que esta en reposo de masa 1.2 kg. Determine las velocidades de la bola de boliche y el pino despues del choque, si este es perfectamente elastico. Solucion:

VB

= 7.4 mis, Vp = 17.4 m/s

160

AR.""OLOO KOHLER C. y L UIS OLIVARES

Q.

TEMA 2.1. 1. La masa de un cuerpo de 500 kg, cuelga de un cable de acero de 1.7 metros de longitud y 1.2 cm2 de area ("Y" del cable 20 x IOloN /m 2 ), determine:

a) El esfuerzo de tension b) La deformacion unitaria Solucion: a) 4.083 x 107 N/m2

b) 2.041 x 10-4

2. LCuantos kilogramos penden de tm dinamometro, si su resorte se alarga 3 em y su constante es de 1 200 N/m?

Solucion: m = 3.76 kg 3. Un alambre de 5 metros de largo y 4 mm de diametro soporta una carga de 80 kgf, si se estira 2.6 mm. Encuentre el valor del Modulo de Young para el material del alambre.

Solucion: Y

=

1.28 x 1010 kgf/m2

4. Un alambre de acero puede resistir tm esfuerzo a la tension de 5 x 108 N/m2. Si el alambre se utiliza para sostener una masa de 600 kg, lcual es el diametro minimo del alambre que se puede usar? (Modulo de Elasticidad del Acero = 2 x 1011 N/m2).

Solucion: D

= 3.87 x 10-3 m = 3.87 mm

TEMA 2.2. 1. Se tiene un volumen de 145.6 x 10-3 m 3 de agua de mar, si su masa es de 150 kg, determine su: a) Densidad b) Densidad relativa Solucion: a) 1 030 kg/m3

b) 1.03

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