Apuntes de Fisica II_2016

TEORÍA DE FÍSICA II PARA ALUMNOS DE LA FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS CÁTEDRA DE FÍSICA Prof. Titular: Dr. Juan Carlos Leiva Prof. Asociado: Prof. Antonio Alejandro Bevaqua Prof. Adjunto: Ing. Daniel José Remuñán Prof. Adjunto: Ing. Rubén Alejandro Vidal Jefe de T.P.: Ing. Daniel Héctor Nacif Jefe de T.P.: Ing. Alejandro Daniel Santa María Jefe de T.P.: Prof. Mónica Beatriz Slipak Jefe de T.P.: Prof. Alejandra Todaro

Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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1

ÍNDICE Tema

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Capítulo 1: Termometría y Dilatación 1.1

Introducción

5

1.2

Termometría y termómetros

5

1.3

Escalas de temperatura

7

1.4

Termómetros de gas y la escala Kelvin

8

1.5

Dilatación

9

1.6

Estrategia para resolver problemas de expansión térmica

12

Capítulo 2: Cantidad de calor 2.1

Introducción

14

2.2

Equivalente mecánico del calor

14

2.3

Capacidad calorífica – Calor específico

15

2.4

Calorimetría

17

2.5

Cambios de fase

17

2.6

Calor de combustión

20

2.7

Estrategia para resolver problemas de calorimetría

21

Capítulo 3: Transferencia de calor 3.1

Introducción

24

3.2

Conducción

24

3.3

Convección

28

Capítulo 4: Propiedades térmicas de la materia 4.1

Introducción

30

4.2

Ecuación de estado

30

4.3

Ecuación de los gases ideales

30

4.4

Licuación de los gases

33

4.5

Efecto de la presión sobre los puntos de ebullición y solidificación

35

4.6

Fases de la materia – Curvas de equilibrio – Punto triple

36

Capítulo 5: Primera ley de la termodinámica 5.1

Introducción

39

5.2

El trabajo en los cambios de volumen

39

5.3

Primera ley de la termodinámica

40

5.4

Casos especiales

41

5.5

Procesos termodinámicos

41

5.6

Proceso de estrangulación

44

5.7

Forma diferencial de la primera ley de la termodinámica

45

5.8

Expansión libre – Energía interna de un gas ideal

45

5.9

Calores específicos de un gas

46

5.10

Cálculo de la variación de energía interna de un gas ideal entre dos estados

48

5.11

Compresión y expansión adiabáticas de un gas perfecto

49

Capítulo 6: Segunda ley de la termodinámica 6.1

Introducción

51

6.2

Motores térmicos

51

6.3

Tipos generales de motores

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52 Pág.

2

6.4

Frigorífico

55

6.5

Segunda ley (o principio) de termodinámica

56

6.6

Equilibrio termodinámico – Procesos reversibles e irreversibles

57

6.7

Principio de Carnot

58

Anexo

Motor de explosión ciclo Otto

62

Capítulo 7: Ley de Coulomb 7.1

Cargas eléctricas

64

7.2

Estructura atómica

64

7.3

Conductores y aisladores

66

7.4

Carga por inducción

66

7.5

Ley de Coulomb

67

Capítulo 8: Campo eléctrico 8.1

Campo eléctrico

71

8.2

Cálculo del campo eléctrico

72

8.3

Líneas de campo

73

8.4

Propiedades de los conductores con exceso de carga en reposo

75

8.5

Campo creado por una esfera conductora cargada

75

8.6

Campo entre dos conductores planos paralelos

75

Capítulo 9: Potencial 9.1

Energía potencial eléctrica

76

9.2

Potencial

78

9.3

Cálculo de diferencia de potencial

79

Capítulo 10: Corriente eléctrica – Resistencia – Fuerza electromotriz 10.1

Corriente eléctrica

82

10.2

Resistividad

84

10.3

Resistencia

86

10.4

Fuerza electromotriz

88

10.5

Trabajo y potencia en circuitos eléctricos

93

Capítulo 11: Circuitos de corriente continua 11.1

Circuito sencillo

95

11.2

Circuitos sencillos con resistores en serie y en paralelo

95

11.3

Resistencia equivalente

97

Capítulo 12: Campo magnético 12.1

Magnetismo

99

12.2

Campo magnético

99

12.3

Líneas de campo magnético – Flujo magnético

102

12.4

Trayectoria de las partículas cargadas en movimiento en un campo

12.5

Fuerza sobre un conductor que transporta corriente

104

12.6

Fuerza y torque sobre un circuito completo

105

12.7

Motor de corriente continua

106

magnético

103

Capítulo 13: Campo magnético de una corriente 13.1

Campo magnético creado por una carga móvil

108

13.2

Ley de Biot

109

13.3

Casos particulares de la ley de Biot

110

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3

Capítulo 14: Fuerza electromotriz inducida 14.1

Introducción

113

14.2

Fem inducida en un conductor móvil

113

14.3

Ley de Faraday

115

14.4

Ley de Lenz

118

14.5

Fem inducida en un cuadro en rotación

120

14.6

Generación de corriente continua o dínamo

122

Capítulo 15: Optica 15.1

Naturaleza de la luz

124

15.2

Velocidad de la luz

124

15.3

Espectro electromagnético

124

15.4

Óptica geométrica y Óptica física

126

15.5

Óptica geométrica – Definiciones previas

126

15.6

Leyes fundamentales de la óptica geométrica

127

15.7

Obtención de la imagen de un punto dada por un sistema óptico cualquiera

128

15.8

Reflexión

129

15.9

Refracción

129

15.10

Reflexión total

132

15.11

Refracción en dos superficies planas no paralelas

133

Capítulo 16: Fotometría 16.1

Introducción

136

16.2

Definiciones previas

136

16.3

Magnitudes fotométricas

139

16.4

Ley fundamental de la fotometría

141

16.5

Resumen

143

16.6

Equivalencia lumínica del flujo radiante

143

16.7

Rendimiento luminoso total

143

Capítulo 17: Radiación térmica 17.1

Introducción

144

17.2

Definiciones útiles

144

17.3

Algunos resultados experimentales

145

17.4

Ley de Steffan – Boltzmann

146

17.5

Ley de Wien

147

17.6

Ley de Kirchhoff

147

17.7

Ley de Planck

148

Capítulo 18: Dispersión de la luz 18.1

Introducción

150

18.2

Tipos de espectros

151

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4

CAPÍTULO 1 TERMOMETRÍA - DILATACIÓN 1.1 Introducción Una tapa de bronce se encuentra fuertemente apretada sobre un recipiente de vidrio, en sus especificaciones técnicas, se lee que a 68 ºF (grados Fahrenheit) se produce un ajuste perfecto entre la tapa y el recipiente. Para ayudar a abrir el recipiente, se coloca en un baño de agua caliente. Después de este tratamiento, las temperaturas de la tapa y del recipiente son de 60 ºC, así se puede quitar la tapa de bronce con facilidad. Para entender esta situación y otras más complejas, necesitamos tratar el concepto de temperatura, la forma de medirla y las diferentes escalas que se usan para expresarla. A continuación veremos cómo los cambios de temperatura afectan las dimensiones de un cuerpo. Luego estudiaremos el concepto de calor y las formas en que se produce su transferencia.

1.2 Termometría y termómetros El concepto de temperatura se origina en las ideas cualitativas de “caliente” y “frío” basadas en las sensaciones percibidas mediante el sentido del tacto. Un cuerpo que se siente caliente suele tener una temperatura más alta que el mismo cuerpo cuando se siente frío. Esto es un tanto vago y los sentidos pueden engañarnos. Sin embargo, muchas propiedades de la materia, que podemos medir dependen de la temperatura. Por ejemplo: la longitud de una barra de metal, la presión de vapor en una caldera, la capacidad de un cable para conducir corriente eléctrica y el color de un objeto brillante muy caliente. A estas propiedades de un cuerpo que varían con el cambio de temperatura se las denomina propiedades termométricas. Se puede hacer uso de la mayoría de estas propiedades para medir la temperatura de un cuerpo. Para hacerlo, en la mayoría de los casos, se deben poner en contacto dos objetos, el cuerpo en cuestión y el que servirá para determinar su temperatura, que, generalmente se hallan a temperaturas diferentes. Todos estamos familiarizados con el hecho de que, transcurrido un cierto intervalo de tiempo, los dos objetos alcanzarán la misma temperatura, es decir, ellos estarán en equilibrio térmico: se dice que dos objetos están en equilibrio térmico si al ponerlos en contacto su temperatura no cambia. La temperatura también se relaciona con las energías cinéticas promedio de las partículas de un material. Esta relación es muy compleja, por lo que no es un buen punto de partida para definir la temperatura. Es importante entender que la temperatura y el calor son conceptos inherentemente macroscópicos, pueden y deben definirse con independencia de cualquier imagen molecular detallada. Para usar la temperatura como medida de calidez o frialdad, necesitamos construir una escala de temperatura. Para ello, podemos usar cualquier propiedad medible de un sistema que varíe con su “calidez” o “frialdad”. Fig. 1-1

1- La figura 1-1 muestra un sistema común para medir la temperatura. El instrumento consiste en un bulbo de vidrio de Pared de vidrio paredes delgadas que se prolonga en su parte superior en un gruesa capilar de vidrio. Un líquido tal como mercurio o alcohol Capilar de coloreado llena parcialmente el bulbo y el tubo capilar. El pequeño volumen extremo superior del tubo está cerrado y en ocasiones se ha L extraído también el aire del espacio situado encima del líquido. Una escala grabada en el tubo o una escala independiente Nivel montada detrás del mismo permite determinar la posición del cero Bulbo de gran límite superior de la columna de líquido en el capilar. Cuando la volumen temperatura del termómetro crece el volumen del líquido aumenta Pared de vidrio y el volumen del bulbo y del capilar aumenta también. Si ambos delgada se dilataran lo mismo, la posición del líquido en el capilar no cambiaría; pero en realidad, el líquido se dilata más que el vidrio, por lo tanto el nivel del líquido Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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se eleva en el capilar hasta una altura L al aumentar la temperatura y desciende cuando la temperatura disminuye. Por consiguiente, este instrumento, utiliza la diferencia entre las dilataciones del líquido y del vidrio para registrar una diferencia de temperatura. 2- Otro sistema sencillo es una cantidad de gas en un recipiente de volumen constante (Fig. 1-2). La presión p, medida por el manómetro, aumenta o disminuye al calentarse o enfriarse el gas. 3- Un tercer ejemplo es la resistencia eléctrica R de un alambre conductor, que también varía al calentarse o enfriarse el alambre. En un termómetro de resistencia se mide el cambio en la resistencia eléctrica debido al cambio de temperatura. Como la resistencia puede medirse con gran precisión, los termómetros de resistencia suelen ser más precisos que los demás.

Fig 1-2

4- Para medir temperaturas “muy” altas, que destruirían a los otros termómetros conocidos, se puede usar un pirómetro óptico. Los cuerpos muy calientes emiten radiación y comienzan a brillar (se tornan incandescentes); su color y su brillo cambian a medida que varía su temperatura. La comparación de este brillo con el del filamento de una lámpara que posee el pirómetro permite conocer la temperatura del cuerpo caliente, sin necesidad de estar en contacto con él. Variando el valor de la corriente que circula por el filamento cambia su temperatura y brillo; cuando ambos brillos son iguales se realiza la lectura de la temperatura en una escala convenientemente graduada. 5- Otro tipo de termómetro común usa el elemento bimetálico, fabricado pegando tiras de dos metales distintos (Fig. 1-3a); al calentarse el sistema, un metal se expande más que el otro, así la tira compuesta se dobla al cambiar la temperatura. Para que el efecto sea más notable, se usa una tira muy larga y, para que ocupe poco lugar, normalmente se le da forma de espiral, con el extremo exterior fijo a la caja y el interior unido a una aguja (Fig. 1-3 b). La aguja gira en respuesta a cambios de temperatura.

Fig. 1-3 a

Fig. 1-3 b

6- El par termoeléctrico consiste en un circuito eléctrico, tal como el representado en la figura 1-4. cable de cobre

sentido de la corriente eléctrica

cable de cobre

Fig. 1-4 galvanómetro

cable de hierro

empalme frío en un recipiente con agua y hielo

empalme en contacto con el cuerpo cuya temperatura se quiere determinar

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Cuando se sueldan dos hilos de metales distintos, formando un circuito cerrado, se origina en éste una fuerza electromotriz (fem), siempre que las soldaduras A y B estén a distintas temperaturas. La fem, para un par de metales dados, depende de la diferencia de temperatura entre sus soldaduras. El par termoeléctrico puede utilizarse como termómetro, colocando una soldadura en contacto con el cuerpo cuya temperatura se quiere medir, manteniendo la otra a una temperatura conocida Fig. 1-5 (generalmente 0 ºC) y midiendo la fem. Las soldaduras B se mantienen a 0 ºC mediante hielo y agua en un vaso Dewar (semejante a un termo). La soldadura A se coloca en contacto con el cuerpo cuya temperatura se desea medir y el detector G indica la fem. El gráfico de la figura 1-5 representa la fem producida por alguna de las parejas de metales utilizadas corrientemente en los pares termoeléctricos, para varias temperaturas de la soldadura caliente, cuando la soldadura fría se mantiene a 0 ºC. Todas estas propiedades nos dan un número (L, p, R, fem, etc.) que varía con la “calidez” y la “frialdad”, en rigor, con la temperatura; así que pueden usarse para hacer un termómetro.

1–3 Escalas de temperatura Para que el dispositivo de líquido en un tubo de la Fig. 1-1 sea un termómetro útil, necesitamos marcar una escala numerada en la pared del tubo, es decir se debe calibrar. Para definir cada escala, se eligen dos temperaturas de referencia, llamadas puntos fijos, y se les asignan valores arbitrarios a dichas temperaturas. En el termómetro de la derecha de la figura 1-6, supongamos que marcamos con “0” el nivel del líquido del termómetro a la temperatura de solidificación del agua pura, y con “100” el nivel alcanzado por el líquido a la temperatura de ebullición, ambas a presión atmosférica normal y dividimos la distancia entre ambos puntos en 100 intervalos iguales llamados grados. El resultado es la escala de temperatura Celsius, antes llamada centígrada. La temperatura Celsius para un estado más frío que el del agua congelándose, es un número negativo. La escala Celsius se usa, tanto en la vida cotidiana como en la ciencia y en la industria, en casi todo el mundo.

212 ºF

180º

L

100º

Punto de fusión

En el termómetro de la izquierda de la figura 1-6 se ha representado la escala de temperatura Fahrenheit, aún usada en la vida cotidiana en Estados Unidos, se utilizan los mismos puntos fijos, pero se les atribuyen otros valores arbitrarios. A la temperatura de congelación del agua el número 32 ºF (32 grados Fahrenheit) y a la de ebullición el valor 212 ºF, ambas a presión atmosférica normal. Hay 180 grados Fahrenheit entre la temperatura de la congelación y la de la ebullición, en vez de 100 como en la escala Celsius. En la figura 1-6 se puede observar que:

100 ºC

Punto de ebullición

32 ºF

0 ºC

- 40 ºF

- 40 ºC

Fig. 1-6

1 ºC . 100 = L 1 ºF . 180 = L

Por lo tanto:

1 ºC . 100 = 1 ºF . 180

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1º F = Se observa que cada grado Celsius es

100 5 9 º C = º C ⇒ 1º C = º F 180 9 5 9 de cada grado Fahrenheit 5

Para convertir una temperatura expresada en Celsius (Tc) en escala Fahrenheit (TF) debemos multiplicar TC por

9 , y sumarle 32, porque al punto de solidificación del agua en dicha escala se 5

le asignó el valor 32 ºF Simbólicamente:

TF =

9 TC + 32 5

(1 – 1)

Para convertir de grados Fahrenheit a Celsius, despejamos TC de esta ecuación:

5 (TF - 32) 9 1 – 4 Termómetros de gas y la escala Kelvin TC =

Fig.1-7a

(1 – 2)

Cuando comparamos dos termómetros, basados en distintas propiedades físicas, de modo que coincidan en 0 oC y 100ºC, las mediciones efectuadas por ellos, pueden no coincidir exactamente a temperaturas intermedias. Cualquier escala de temperatura definida de este modo siempre depende un tanto de las propiedades específicas del material empleado. Idealmente nos gustaría definir una escala que no dependa de las propiedades de un material específico. Para establecer una escala independiente del material, necesitamos desarrollar algunos principios de termodinámica. Aquí veremos un termómetro que se acerca al ideal, el termómetro de gas.

El principio de un termómetro de gas es que la presión de un gas a volumen constante aumenta con la temperatura. Una cantidad de gas se coloca en un recipiente de volumen constante (Fig. 1–7a) y se mide su presión con uno de los dispositivos descritos oportunamente (ver Hidrostática). Para calibrar este termómetro, medimos la presión a dos temperaturas, digamos 0 oC y 100 ºC, dibujamos esos puntos y trazamos una línea recta entre ellos (Fig. 1–7b). Ahora podemos leer en la gráfica la temperatura correspondiente a cualquier presión.

Fig. 1-7b

Si prolongamos la línea hasta cortar al eje x, veremos que hay una temperatura hipotética que es – 273,15 ºC en la que la presión absoluta del gas sería 0. Podríamos esperar que tal temperatura fuera diferente para diferentes gases, pero resulta ser la misma para muchos gases distintos. No podemos observar realmente esta condición de presión nula. Los gases se licúan y solidifican a temperaturas muy bajas, y la presión deja de ser proporcional a la temperatura. Usamos esta temperatura, considerando la presión cero, como base para construir una escala con su cero en dicha temperatura, al que llamamos cero absoluto de temperatura y su valor ha sido determinado como –273,15 ºC. La escala se conoce como escala absoluta o escala Kelvin. En esta escala la temperatura se especifica en kelvin cuyo símbolo es K (sin el signo de grados; más aún, las normas del S.I. indican expresamente que “no debe decirse grados kelvin). Los intervalos son los mismos que para la escala Celsius, pero el cero sobre esta escala (0 K) se escoge como el mismo cero absoluto. El punto de congelamiento del agua (0 ºC) es 273,15 K y el de ebullición Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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(100 ºC) es 373,15 K. O sea que cualquier temperatura en la escala Celsius puede cambiarse a Kelvin sumando a ella 273: T(K) = T(ºC) + 273 En la Fig. 1-8 se muestran las tres escalas termométricas mas utilizadas en la actualidad, con los respectivos valores de los puntos fijos. TC, TK y TF son los valores correspondientes a una temperatura cualquiera.

La longitud de los segmentos determinados por los puntos fijos en cada escala mantienen una proporcionalidad dada por el teorema de Thales. Esa proporcionalidad se puede escribir de la siguiente forma:

TK − 273 TC − 0 TF − 32 = = 373 − 273 100 − 0 212 − 32 de donde:

TK − 273 TC − 0 TF − 32 = = 100 100 180

Fig. 1-8

(1 – 3)

Esta relación de proporcionalidad permite convertir el valor de una temperatura cualquiera de una escala a otra. Los termómetros de gas a baja presión que usan diversos gases coinciden con gran precisión, pero son grandes y voluminosos, y tardan mucho en llegar al equilibrio térmico, se usan principalmente para establecer estándares de alta precisión y calibrar otros termómetros. Ejercicio tipo 1 - Temperatura corporal Usted coloca un trozo de hielo en su boca. En algún momento, el agua pasa de T1 = 32,00 oF a la temperatura corporal T2 = 98,60 ºF. Exprese estas temperaturas en oC y K, y calcule ∆T = T2 – T1 en ambos casos Solución: Primero expresamos las temperaturas en Celsius. Sabemos que T1 = 32,00 oF = 0,00 oC 98,60 – 32,00 = 66,60 ºF

y multiplicamos esto por 5/9 para obtener 37,00 oC

;

Para obtener las temperaturas Kelvin, sumamos 273 a las temperaturas Celsius: T1 = 273 K

y

T2 = 310 K

La temperatura corporal “normal” es 37,0 oC, pero si su médico le dice que su temperatura es 310 K, no se asuste. La diferencia de temperatura ∆T = T2 - T1 es 37,00 oC = 37,00 K Las escalas Celsius y Kelvin tienen sus ceros en diferentes ubicaciones pero las divisiones son de igual “tamaño”. Por tanto, cualquier diferencia de temperatura es la misma en esas escalas (pero no en la de Fahrenheit).

1–5 Dilatación Casi todos los materiales se expanden o contraen al variar su temperatura. En ambos casos, este fenómeno se conoce como dilatación térmica. Las cubiertas de los puentes necesitan articulaciones y soportes especiales para permitir la dilatación. Una botella totalmente llena de agua y tapada se revienta al enfriarse (en determinados intervalos de temperatura), pero podemos ajustar o aflojar la tapa metálica de un frasco vertiendo agua fría o caliente, respectivamente, sobre ella. Estos son ejemplos de dilatación. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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a) Dilatación o Expansión Lineal Suponga que una varilla de material tiene una longitud Lo a una temperatura To. Si la temperatura cambia en ∆T, la longitud cambia en ∆L (Fig. 1-9) (recuerde que ∆L= L–L0). Se observa experimentalmente que si ∆T no es muy Fig. 1-9 grande (digamos, menos de 100 ºC) ∆L es directamente proporcional a ∆T. Si dos varillas del mismo material tienen el mismo cambio de temperatura, pero una es dos veces más larga que la otra, su cambio de longitud también será el doble. Por tanto, ∆L también será proporcional a Lo. Introduciendo una constante de proporcionalidad α (diferente para cada material), podemos expresar estas relaciones en una ecuación: ∆L = α Lo ∆T Donde

(expansión térmica lineal)

(1-4)

T = To + ∆T

Si un cuerpo mide Lo a la temperatura To, su longitud L a la temperatura T es L = Lo + ∆L = Lo + α Lo ∆ T = Lo (1 + α ∆T )

(1–5)

La constante α, que describe las propiedades de expansión térmica de un material se denomina coeficiente de expansión lineal. De la ecuación (1-4) surge que α =

∆L L o ∆T

Por consiguiente el coeficiente de dilatación lineal representa la variación relativa de longitud

 ∆L    al variar un grado la temperatura del cuerpo.  Lo  De la misma ecuación se deduce que las unidades de α son K-1 o (oC)-1. Los valores de α son iguales en cualquiera de las dos escalas dado que un intervalo de temperatura es igual en las escalas Kelvin y Celsius. Pero si el coeficiente estuviera indicado en la escala Fahrenheit, su valor en 1/ºF sería igual a 5/9 del valor expresado en 1/ºC o en 1/K En muchos materiales, todas las dimensiones lineales cambian según la ecuación (1-4) o (1-5). Así, L podría ser el espesor de una varilla, la longitud del lado de una lámina cuadrada o el diámetro de un agujero. CUIDADO Si un objeto sólido tiene un agujero (fig. 1-10), ¿qué sucede con el tamaño del agujero al aumentar la temperatura del objeto? Un error muy común es creer que el agujero se contrae haciéndose más pequeño a medida que aumenta la temperatura. Pero, imagine que dibuja un círculo sobre una hoja Fig. 1-10 metálica con un lápiz. Cuando el metal, se expande, el material dentro del círculo se expandirá con el resto del metal, por lo que el círculo se expande. Cortando el metal donde está el círculo, se evidenciará que el agujero también crece. El material no se expande hacia adentro para llenar el agujero. En un objeto sólido, todas las secciones se expanden hacia afuera cuando la temperatura se incrementa. La proporcionalidad directa expresada por la ecuación (1-4) no es exacta, sólo es aproximadamente correcta para cambios de temperatura pequeños. Para un material dado, α varía un poco con la temperatura inicial To y el “tamaño” del intervalo de temperatura, aunque ignoraremos esta complicación. En la Tabla 1-1 se dan valores medios de α para varios materiales. Dentro de la precisión de estos valores, no necesitamos preocuparnos si To es 0 oC o 20 ºC o alguna otra temperatura. Observe que los valores típicos de α son muy pequeños; incluso para un cambio de temperatura de 100 ºC, el cambio de longitud relativo ∆L/ Lo es del orden de 1/1000 para los metales de la tabla. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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b) Dilatación o Expansión Superficial Cuando se calienta una lámina de material, aumentan tanto su longitud como su ancho. Consideremos una lámina rectangular cuyas medidas, a una temperatura t0, sean L0 y b0. Cuando se calienta a una temperatura t (Fig.1-11), sus dimensiones se convierten (según la ecuación 1.5) en: b0 L0

L

fig. 1-11

b

Tabla 1.1: Coeficientes de expansión.

pero

L = Lo (1 + α ∆T ) b = bo (1 + α ∆T ) A0 = L0.b0

y

A = L.b = L0.b0. (1 + α ∆T ) (1 + α ∆T )

entonces:

Material SÓLIDOS

A = A0 (1+ 2 α ∆T+(α ∆T)2)

Pero, dado que α tiene un valor muy pequeño (del orden de 10-5), α2 será extraordinariamente pequeño (del orden de 10-10) y el término (α ∆T)2 puede despreciarse. Por tanto, A = A0 (1+2α∆T) Definimos ahora un coeficiente de dilatación superficial γ , tal que

A = A0 (1+ γ ∆T) (1-6) donde

Coefic. de Coeficientes de expansión expansión volumétrica, -1 lineal, α (ºC) β (ºC)-1

γ =2α

Este coeficiente de dilatación superficial representa

 ∆A   al variar un  Ao 

la variación relativa de superficie  grado la temperatura del cuerpo.

Aluminio Bronce Cobre Hierro o acero Plomo Vidrio (pirex) Vidrio (ordinario) Cuarzo Concreto y ladrillo Mármol

-6

24 x 10 -6 19 x 10 -6 17 x 10 -6 12 x 10 -6 29 x 10 -6 3 x 10 -6 9 x 10 -6 0,4 x 10

≈ 12 x 10-6 1,4 -3,5 x 10

-6

LÍQUIDOS

-6

Gasolina Mercurio Alcohol etílico Glicerina agua

950 x 10 -6 180 x 10 -6 1100 x 10 -6 500 x 10 -6 210 x 10

GASES Aire(y la mayoría de los gases a la presión de 1atm)

3400 x 10

-6

c) Expansión de Volumen o Dilatación Cúbica Un aumento de temperatura suele aumentar el volumen de los materiales tanto líquidos como sólidos (los gases tienen un comportamiento particular, como se verá mas adelante). Al igual que en la expansión lineal, se ha visto, experimentalmente, que si el cambio de temperatura ∆T no es muy grande (menos de 100 ºC) el aumento de volumen ∆V es aproximadamente proporcional a ∆T y al volumen Vo: ∆V = β Vo ∆T (expansión térmica del volumen)

(1-7)

La constante β caracteriza las propiedades de expansión de volumen de un material; se llama

 ∆V   al  Vo 

coeficiente de expansión de volumen, que representa la variación relativa de volumen  variar un grado la temperatura. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Las unidades de β son K–1 o (oC)–1.. Al igual que en la expansión lineal, β varía un poco con la temperatura y la ecuación (1-7) es una relación aproximada, válida sólo para cambios de temperatura pequeños. En muchas sustancias β disminuye a bajas temperaturas. En la Tabla 1-1 se dieron valores de α y de β para temperaturas próximas a la temperatura ambiente. Observe que los valores para líquidos son mucho mayores que para los sólidos. Por un procedimiento análogo al descrito en el ítem b) se puede demostrar que: β = 3α.

(1-8)

d) Expansión Térmica del agua El agua, en el intervalo de temperatura de 0 ºC a 4 ºC, disminuye su volumen al aumentar la temperatura. En este intervalo su coeficiente β es negativo. Por encima de 4 ºC el agua aumenta su volumen al calentarse. Por tanto, el agua tiene su mayor densidad a 4 ºC. En contraste con la mayor parte de los materiales que disminuyen su volumen al congelarse. Este comportamiento anómalo del agua tiene un efecto importante sobre la vida vegetal y animal en los lagos. Un lago se enfría desde la superficie hacia abajo; por encima de 4 ºC, el agua enfriada en la superficie se hunde debido a que su densidad es mayor pero, cuando la temperatura superficial baja de 4 ºC, el agua cerca de la superficie es menos densa que la de abajo, que es más caliente. Por tanto, el flujo de agua hacia abajo cesa y el agua cerca de la superficie sigue siendo más fría que en el fondo. Al congelarse la superficie, el hielo flota, porque es menos denso que el agua. El agua en el fondo sigue a 4 ºC hasta que casi todo el lago se congela. Si el agua se comportara como la mayor parte de las sustancias, contrayéndose continuamente al enfriarse y congelarse, los lagos se helarían desde abajo hacia arriba. La circulación por diferencias de densidad haría subir continuamente el agua que se encuentra a mayor temperatura y por debajo de la superficie, y los lagos se congelarían por completo con mayor facilidad. Esto destruiría todas las plantas y animales que no resisten el congelamiento. Si el agua no tuviera esta propiedad especial, la evolución de la vida habría seguido un curso muy diferente.

1-6 Estrategia para resolver problemas de expansión térmica 1. Identifique las cantidades conocidas y desconocidas en la Ec. (1-4) a (1-7) Muchas veces se dan dos temperaturas y hay que calcular ∆T, o una temperatura inicial To y hay que determinar la temperatura final que corresponde a un cambio de volumen o de longitud dado. En este caso, obtenga ∆T primero; la temperatura final será To + ∆T. 2. La coherencia de unidades es crucial, como siempre Lo y ∆L ( o A o V) deben tener las mismas unidades, y si usa un valor de α, β o γ en K-1 o oC-1, ∆T debe estar en kelvin o grados celsius (oC). Pero se puede usar K o oC indistintamente. 3. Recuerde que los tamaños de los agujeros en un material se expanden con la temperatura como cualquier otra dimensión lineal, y el volumen de un agujero (como el volumen de un recipiente) se expande igual que la forma sólida correspondiente. Ejercicio tipo 2.- Cambio de longitud por cambio de temperatura Un agrimensor usa una cinta métrica de acero que tiene 50,000 m de largo a 20 ºC. ¿Qué longitud tiene en un día de verano en que la temperatura es de 35 ºC? Solución: Tenemos Lo = 50,000 m, T = 35 ºC y ∆T = T - To = 15 ºC = 15 K. Por la ecuación (1-4)

∆L = α Lo ∆T = ((1,2 x 10-5 K-1)(50 m) (15 K) = 9,0 x 10-3 m = 9,0 mm. L = Lo + ∆L = 50,00 m + 0,009 m = 50,009 m. Así, la longitud a 35 ºC es de 50,009 m.

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Ejercicio tipo 3.- Cambio de volumen por cambio de temperatura 3 Un frasco de vidrio de 200 cm se llena hasta el borde con mercurio a 20 ºC. El coeficiente de expansión lineal del vidrio es de 0,40 x 10-5 K-1.¿Cuánto mercurio se desborda si la temperatura del sistema se eleva a 100 ºC?. Solución: El mercurio se desborda porque β es mucho mayor para el mercurio que para el vidrio. De la tabla 1-1 surge que el coeficiente de expansión de volumen del mercurio es βmercurio = 18 x 10-5 K-1; por la ecuación (1-8), el coeficiente de expansión de volumen del vidrio es:

βvidrio = 3αvidrio = 3 (0,40 x 10-5 K-1) = 1,2 x 10-5 K-1 El aumento de volumen del frasco es

∆Vvidrio = βvidrio Vo ∆T = (1,2 x 10-5 K-1)(200 cm3)(100 – 20 ºC) = 0,19 cm3 El aumento de volumen del mercurio es

∆Vmercurio = β mercurio Vo ∆T = (18 x 10-5 K-1)(200 cm3)(100 ºC – 20 ºC) = 2,9 cm3 El volumen de mercurio que se desborda es

∆Vmercurio - ∆Vvidrio = 2,9 cm3 - 0,19 cm3 = 2,7 cm3 Básicamente, así es como funciona un termómetro de mercurio en vidrio, excepto que en lugar de dejar que el mercurio se derrame se deja que suba dentro de un tubo sellado al aumentar T. Como se muestra en la Tabla 1-1, el vidrio tiene coeficientes de expansión α y β menores que la mayor parte de los metales. Es por ello que podemos usar agua caliente para aflojar una tapa metálica de un frasco de vidrio, el metal se expande más que el vidrio.

-----o0o-----

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CAPÍTULO 2 CANTIDAD DE CALOR 2.1- Introducción En el tema anterior hemos estudiado el concepto de temperatura, la forma indirecta de medirla y la variación del volumen de una sustancia con los cambios de temperatura. La temperatura y el calor se confunden a menudo pero son conceptos muy diferentes, para ejemplificar citaremos un caso donde intervienen los dos conceptos: Si colocamos una cuchara fría en una taza de vidrio, llena de café caliente, la cuchara se calienta y el café se enfría para acercarse al equilibrio térmico. La interacción que causa estos cambios de temperatura es básicamente una transferencia de energía de una sustancia a otra. La energía que se transfiere exclusivamente debido a una diferencia de temperatura se llama calor. La dirección natural del flujo de calor siempre es de la temperatura más alta a la temperatura más baja. Es indispensable tener bien clara la distinción entre temperatura y calor: La temperatura depende del estado físico de un material y es una descripción cuantitativa de su calidez o frialdad. También se suele decir que la temperatura de un cuerpo está relacionada con la energía cinética promedio de sus moléculas. En Física, el término “calor” siempre se refiere a energía “en tránsito” de un cuerpo a otro, a causa de una diferencia de temperatura, nunca a la cantidad de energía “contenida” en un sistema dado. Podemos cambiar la temperatura de un cuerpo mediante una transferencia de calor, o agregando, o quitando energía de otras formas, como por ejemplo trabajo mecánico. Otra aplicación que nos permite distinguir los conceptos de temperatura y calor es: Cortando un cuerpo a la mitad, cada una de las partes tendrá la misma temperatura que el todo; pero para elevar en cierta medida la temperatura de una mitad, le debemos agregar la mitad del calor que le agregaríamos al todo. Expresado de otra manera, si colocamos dos recipientes (uno con la mitad de agua que el otro) sobre dos mecheros Bunsen idénticos, durante el mismo tiempo, le habremos suministrado la misma cantidad de energía (calor) a ambos, pero el efecto producido en el agua será distinto. La variación de temperatura del agua en el recipiente que contiene la menor cantidad de agua será el doble que la del agua del otro. Durante los siglos XVIII y XIX se fue comprendiendo poco a poco la relación entre el calor y otras formas de energía. Sir James Joule (1818–1889) estudió cómo una cierta masa de agua se calentaba al ser agitada vigorosamente mediante un eje con paletas. Las paletas proporcionan energía al agua realizando trabajo sobre ella. Joule observó que el aumento de temperatura era directamente proporcional a la cantidad de trabajo realizado. Se puede lograr el mismo cambio de temperatura poniendo el agua en contacto con un cuerpo más caliente; por tanto, esta interacción también debe implicar un intercambio de energía. Unidad de calor: Podemos definir una unidad de calor basándonos en el cambio de temperatura de un material específico. En un principio, la caloría (cal) se definió como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14,5 ºC a 15,5 ºC. Habiéndose elegido convencionalmente dicho rango de temperatura ya que la cantidad de calor involucrada no es la misma si se considera, por ejemplo, de 29 ºC a 30 ºC. También se usa la kilocaloría (kcal), igual a 1 000 cal. En los países anglosajones se usa una unidad definida en forma análoga: la unidad térmica británica (BTU) como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de una libra de agua, 1º F, de 63 ºF a 64 ºF. La caloría no es una unidad fundamental en el SI. El Comité Internacional de Pesos y Medidas recomienda usar el joule como la unidad básica de energía en todas sus formas, incluido el calor. Nota: las “calorías de valor alimentario”, utilizadas en las dietas, son en realidad kilocalorías.

2.2- Equivalente mecánico del calor La energía en forma mecánica se mide en kilográmetros, ergios, joule o libras-pie; la energía en forma calorífica se mide en calorías o en Btu. Puede encontrarse la equivalencia entre las unidades caloríficas y las unidades mecánicas mediante una experiencia en la cual una cantidad medida de energía mecánica es transformada íntegramente en una cantidad medida de calor. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Como ya mencionamos, las primeras experiencias precisas fueron realizadas por Joule, utilizando un aparato en el cual unos pesos que caen hacen girar un conjunto de paletas dentro de un recipiente que contiene agua. La energía así transformada se midió en unidades mecánicas, a partir del peso de los cuerpos y de su altura de caída, y en unidades de calor, conociendo la masa de agua y su elevación de temperatura. En métodos posteriores y más precisos, la energía eléctrica se convierte en calor en una resistencia sumergida en agua. Los mejores resultados obtenidos fueron: 4,186 4186 427,1 778

joule joule kgm lb.pie

= = = =

1 cal 1 kcal 1 kcal 1 Btu = 252 cal

Esto es, 427,1 kgm de energía mecánica, cuando se convierten en calor, elevarán la temperatura de 1 kg de agua en 1º C, etc. Estas relaciones se expresan frecuentemente diciendo que el equivalente mecánico del calor es 4,186 joule/cal, o bien 427,1 kgm/kcal. Este modo de expresión procede de los días en que se estableció la equivalencia entre la energía mecánica y el calor. En la actualidad, se define la caloría como: 1 cal =

1 watt.hora 860

2.3- Capacidad calorífica - Calor específico Las sustancias difieren entre sí en la cantidad de calor necesaria para producir una elevación determinada de temperatura sobre una masa dada. Supongamos que se suministra a un cuerpo una cantidad de calor Q, que le produce una elevación ∆t de su temperatura. La razón de la cantidad de calor suministrada al correspondiente incremento de temperatura se denomina capacidad calorífica del cuerpo: Capacidad calorífica =

Q ∆t

La capacidad calorífica es la cantidad de calor que hay que suministrarle a un cuerpo para incrementar en un grado su temperatura. Calor específico: Si se suministra calor a un objeto, su temperatura se eleva. ¿Pero de cuánto es la elevación? Ya en el siglo XVIII los científicos habían reconocido que la cantidad de calor Q requerido para cambiar la temperatura de un material dado es proporcional a la masa m del material y al cambio de temperatura ∆t = t2 – t1, siendo t2 la temperatura final y t1 la inicial. Esta notable simplicidad en la naturaleza se puede expresar por la ecuación:

Q = m.c.∆t = m.c.(t 2 − t1 ) Como c =

(2-1)

Q capacidad calorífica = m.∆t masa

donde c es una cantidad característica de la sustancia llamada calor específico. La ecuación (2.1) es la llamada ecuación fundamental de la calorimetría. El calor específico se expresa en unidades

J kcal (unidades S.I.) o , el valor de “c” en kg.º C kg.º C

cal kcal es el mismo que en y también si se usa kelvin en lugar de °C. g .º C kg.º C Para agua a 15 ºC y una presión constante de 1 atm, c = 1,00 kcal/kg.ºC, ya que, según la antigua definición, la caloría es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua de 14,5 ºC a 15,5 ºC.

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La Tabla 2.1 da los valores del calor específico para muchas sustancias a 20 ºC. Los valores de c dependen en alguna medida de la temperatura (así como ligeramente de la presión), pero para cambios de temperatura no muy grandes, c puede, a menudo, considerarse constante. Tabla 2-1: Calores específicos (a presión cte. de 1 atm y 20ºC, a menos que se indique otra cosa) calor específico, c Sustancia kcal/kg.ºC J/kg.ºC Aluminio 0,22 920 Alcohol (etílico) 0,58 2400 Cobre 0,093 390 Vidrio 0,20 840 Hiero o acero 0,11 460 Plomo 0,031 130 Mármol 0,21 860 Mercurio 0,033 140 Plata 0,056 230 Madera 0,4 1700 Agua

1,00

4186

Hielo (-5ºC) Líquido (15ºC) Vapor (110ºC) Cuerpo humano (promedio) Proteína

0,50 1,00 0,48 0,83

2100 4186 2010 3470

0,4

1700

Ejercicio Nº 1: a) ¿Qué cantidad de calor se requiere para elevar la temperatura de un recipiente vacío de 20 kg hecho de hierro, de 10 ºC a 90 ºC? b) ¿Cuánto se requiere si el recipiente contiene 20 kg de agua? Solución: De la Tabla 2-1, el calor específico del hierro es 0,11 kcal/kg.ºC. El cambio de temperatura es: ∆t = 90 ºC – 10 ºC = 80 ºC. Entonces Q1 = m hierro .c hierro .∆t = 20 kg ⋅ 0 ,11

kcal ⋅ 80 º C = 176 kcal = 737 kJ kg .º C

El agua sola requiere

Q2 = m Agua .c Agua .∆t = 20kg ⋅ 1,00

kcal ⋅ 80 º C = 1 600 kcal = 6 698 kJ kg .º C

o sea, casi 10 veces lo que requiere una masa igual de hierro. En total, para el recipiente más el agua, se necesitan 1 776 kcal (7 435 kJ) Si el recipiente de hierro en la parte (a) se hubiese enfriado de 90 ºC a 10 ºC, 176 kcal de calor habrían fluido del hierro. En otras palabras, la ecuación es válida para la ganancia o pérdida de calor, con un correspondiente aumento o disminución de la temperatura. Vimos en la parte (b) del ejemplo, que el agua requiere casi 10 veces la cantidad de calor que se requiere para que una masa igual de hierro experimente el mismo cambio de temperatura. De todas las sustancias el agua es la que posee uno de los calores específicos más grandes. De allí que necesita entregar o recibir una gran cantidad de calor para sufrir un pequeño cambio en su temperatura. Esta característica hace que el agua sea una sustancia ideal para utilizar en los sistemas de calefacción. En efecto, en ellos se busca transferir al ambiente la mayor cantidad de calor posible mientras que el fluido utilizado sufre una caída mínima en su temperatura.

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2.4- Calorimetría El término calorimetría se refiere a la medida de la cantidad de calor que se transfiere. Esto se puede realizar con un dispositivo llamado calorímetro de agua.

Agitador Termómetro

Tapa Aislante

El calorímetro (Fig 2-1) es un recipiente aislado térmicamente (adiabático). La tapa tiene unos orificios que permiten el montaje de un termómetro y un agitador. Generalmente en el calorímetro Soporte hay una pequeña cantidad de agua a temperatura ambiente y ella aislante sufrirá cambios producidos por la temperatura y las características de la otra sustancia que introducimos.

Agua

La experiencia se realiza introduciendo en el calorímetro (de Aire masa mc y calor específico cc) una cantidad de agua de masa conocida (mA). Una vez que el calorímetro y el agua alcanzan el (aislante) Vaso equilibrio térmico sus temperaturas son iguales (tA = tC) y su valor Envoltura Aislante se lee en el termómetro. Se introduce, luego, una sustancia o cuerpo de masa y temperatura conocidas (mS y tS). Fig. 2.1- Calorímetro de agua (o de las mezclas) Consideremos que tS > tA, la sustancia tiene mayor temperatura que el agua y el calorímetro; en esas condiciones la sustancia cederá calor al agua y al calorímetro que al absorberlo aumentarán su temperatura y la sustancia se enfriará. Como el calorímetro está prácticamente aislado del medio externo se puede suponer que no hay transferencia de calor hacia el exterior y la cantidad de calor cedida por la sustancia y la cantidad de calor absorbida por el agua y el calorímetro son, en valor absoluto, iguales. Transcurrido un cierto tiempo el conjunto (calorímetro, agua y sustancia) alcanzará un nuevo estado de equilibrio térmico, es decir todo tendrá la misma temperatura final tf. A partir de este nuevo equilibrio térmico se puede calcular la cantidad de calor cedida por la sustancia mediante la ecuación:

–Qcedido por la sustancia = Qabsorbido por el agua y el calorímetro (*) (*) el signo menos es necesario porque las cantidades de calor cedidas son negativas y las cantidades de calor absorbidas son positivas.

Y también es posible, entre otros, obtener el valor del calor específico de la sustancia cS. Los términos de la ecuación anterior pueden ser explicitados: Qcedido = mS cS (tf – tS)

y

Qabsorbido = mA cA (tf – tA) + mC cC (tf – tC)

con tA = tC luego

Qabsorbido = (mA cA + mC cC ) (tf – tA) cs =

(m A c A

+ m C c C ) (t f − t A ) m S (t S − t f )

2.5- Cambios de fase Se utiliza el término fase para describir un estado específico de la materia, como sólido, líquido o gas. El compuesto H2O existe en la fase sólida como hielo, en la fase líquida como agua y en la fase gaseosa como vapor de agua. Una transición de una fase a otra es un cambio de fase. Para una presión dada, los cambios de fase ocurren a una temperatura definida, acompañados por absorción o emisión de calor y un cambio de volumen y de densidad. La experiencia muestra que los procesos de cambio de fase se rigen, en general, por las siguientes tres leyes: 1- Para una presión dada cada sustancia pura cambia de fase a una temperatura definida que se llama “punto de transformación”. 2- Durante el cambio de fase la temperatura de la sustancia permanece constante. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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3- Para que la unidad de masa de una sustancia pura que se encuentra en el punto de transformación, cambie de fase, es preciso suministrar o sustraer de ella una cierta cantidad de energía llamada “calor de transformación”.

LÍQUIDO Fusión

Vaporización Solidificación

SÓLIDO

Ebullición (en toda la masa)

Condensación (o Licuación)

Evaporación (sólo en superficie)

Sublimación (o Volatilización)

GASEOSO Condensación (Sólida)

Por ejemplo si se considera el cambio de fase del agua de sólido a líquido, en este caso la palabra transformación se refiere a la fusión. Si se agrega calor a un cubito de hielo a 0 oC y presión atmosférica normal, la temperatura del hielo no aumenta, sino que parte de él se funde para formar agua líquida. Si se suministra calor lentamente, manteniendo el sistema cerca del equilibrio térmico, la temperatura seguirá en 0 oC (es el llamado punto de fusión) hasta que todo el hielo se haya fundido. El efecto de suministrar calor a este sistema no es elevar su temperatura sino cambiar su fase de sólido a líquido. Para convertir 1 kg de hielo a 0 oC en 1 kg de agua líquida a 0 oC y presión atmosférica normal se necesita unas 80 kcal (aprox. 3,34 x 105 J). El calor requerido por unidad de masa es el calor de fusión, denotado por Lf. Por lo dicho anteriormente resulta que para el agua a presión atmosférica normal, el calor de fusión es:

Lf = 3,34 x 105 J/kg = 79,6 cal/g = 143 Btu/lb ≅ 80 cal/g En términos más generales, para fundir una masa m de una sustancia con calor de fusión Lf (que se halla en su punto de fusión) se requiere una cantidad de calor dada por: Q = m Lf (Ec. 2.2) El cambio de fase se puede producir en sentido inverso, de la fase líquida a la sólida, en este caso la palabra transformación se refiere a la solidificación. Por ejemplo: para congelar agua líquida a 0o C se debe quitar la misma cantidad de calor con lo que el valor de Q es negativo. La ecuación que permite calcularlo es la misma pero ahora Ls (calor de solidificación) vale – 80 cal/g. Para una sustancia dada, a una presión dada, la temperatura de solidificación es la misma que la de fusión. A esta temperatura única para cada presión, las fases líquida y sólida (agua líquida y hielo, por ejemplo) pueden coexistir en una condición llamada equilibrio de fases. Las mismas consideraciones pueden hacerse para la ebullición y la condensación. Por ejemplo el agua hierve, a presión normal a una única temperatura (100 ºC) que se llama punto de ebullición normal. Mientras haya agua líquida la temperatura permanece constante. El calor correspondiente suministrado a la unidad de masa para que se vaporice se llama calor de vaporización Lv. A presión atmosférica normal, el calor de vaporización Lv del agua es

Lv = 539 kcal/kg = 2,256 x 106 J/kg = 970 Btu/lb Es decir, que se necesita 539 kcal para convertir 1 kg de agua que se encuentra a 100 ºC, en 1 kg de vapor a 100 ºC. En contraste, para elevar la temperatura de 1 kg de agua de 0 oC a 100 ºC se requieren

Q = m c ∆t = (1,00 kg) (1 kcal/kg oC) (100 oC) = 100 kcal Menos de 1/5 del calor necesario para la vaporización a 100 ºC. Esto concuerda con nuestra experiencia en la cocina; una olla con agua puede alcanzar la temperatura de ebullición en unos minutos, pero tarda mucho más en evaporarse por completo.

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La Tabla 2-2 muestra los calores de fusión y vaporización para varios materiales y sus temperaturas de fusión y ebullición a presión atmosférica normal. Muy pocos elementos tienen temperaturas de fusión cercanas a la temperatura ambiente; uno de ellos es el metal galio. Tabla 2-2: Calores de transformación (a 1 atm)

Calor de fusión

Calor de vaporización

Punto de Fusión (ºC)

kcal/kg

Oxígeno

–218,8

3,3

0,14 x 10

Nitrógeno

–210,0

6,1

0,26 x 10

Etanol

–114

25

1,04 x 10

Amoníaco

–77,8

8,0

0,33 x 10

Agua

0

79,7

3,33 x 10

Plomo

327

5,9

0,25 x 10

Plata

961

21

0,88 x 10

Hierro

1818

69,1

2,89 x 10

Tungsteno

3410

44

1,84 x 10

Mercurio

–39

2,87

0,12 x 10

Sustancia

J/kg 5

Punto de Ebullición (ºC) –183

kcal/kg

J/kg

51

2,1 x 10

5

5

–195,8

48

2,00 x 10

5

5

78

204

8,5 x 10

5

5

–33,4

33

1,37 x 10

5

5

100

539

22,6 x 10

5

5

1 750

208

8,7 x 10

5

5

2 193

558

23 x 10

5

5

3 023

1 520

63,4 x 10

5

5

5 900

1 150

48 x 10

5

5

357

68

2,85 x 10

5

Al igual que la fusión, la ebullición (como todo cambio de fase) se puede producir en sentido inverso, de la fase gaseosa a la líquida. Si quitamos calor a un gas a la temperatura de ebullición, el gas vuelve a la fase líquida, o se condensa, cediendo a su entorno la misma cantidad de calor (calor de condensación) que se necesitó para vaporizarlo. A una presión dada, las temperaturas de ebullición y de condensación siempre son iguales; en ellas, las fases líquida y gaseosa pueden coexistir en equilibrio de fases. Además, los respectivos calores de transformación tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. Tanto Lv como la temperatura de ebullición de un material dependen de la presión. El agua hierve a menor temperatura en Mendoza que en Buenos Aires (en Mendoza, cerca de 98 ºC), porque Mendoza está a mayor altura y la presión atmosférica media es menor. La Fig. 2.2 muestra cómo varía la temperatura cuando se suministra calor continuamente a una muestra de hielo de 1 g, con una temperatura inicial menor que 0 oC (punto a), a la presión normal. La temperatura aumenta hasta llegar al punto de fusión (b). Al agregar más calor, la temperatura se mantiene constante hasta que se funde todo el hielo (c). Luego la temperatura aumenta otra vez hasta llegar al punto de ebullición (d), donde se mantiene constante hasta que todo el agua ha pasado a la fase vapor (e). La línea que representa el calentamiento de la fase sólida tiene mayor pendiente que la que representa al calentamiento de la fase líquida, compare los calores específicos del agua líquida y del hielo en la tabla 2-1.

t (ºC)

Fig. 2-2 f

150

e

d

100 50

0 -50

b a 27,5

c Q (cal) 107,5

207,5

747,5 770,0

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A veces una sustancia puede pasar directamente de la fase sólida a la gaseosa. Este proceso se llama sublimación y se dice que el sólido se sublima. El calor correspondiente es el calor de 5 sublimación, Lsb. El dióxido de carbono líquido no puede existir a una presión menor que 5 x 10 Pa (unas 5 atm), y el “hielo seco” (CO2 sólido) se sublima a la presión atmosférica. El proceso inverso, un cambio de fase de gas a sólido (condensación sólida), ocurre cuando se forma escarcha sobre los cuerpos fríos como las espiras de enfriamiento de un refrigerador. Bajo ciertas condiciones el agua muy pura puede enfriarse varios grados por debajo del punto de congelación sin congelarse; el estado inestable que resulta se describe como sobreenfriado. Si se introduce un cristal de hielo, o se agita el agua, se cristalizará en un segundo o menos. En algunas ocasiones es posible sobrecalentar un líquido por encima de su temperatura de ebullición normal sin que hierva. También en este caso, una pequeña alteración como una agitación o el paso de una partícula cargada por el material causa ebullición local con formación de burbujas. Los sistemas de calefacción por vapor de agua están basados en un proceso de “ebullicióncondensación” para transferir calor de la caldera a los radiadores. Cada kg de agua convertida en vapor en la caldera absorbe 539 kcal (el calor de vaporización Lv del agua) de la caldera y lo cede al condensarse en los radiadores. También se usan procesos de ebullición-condensación en los refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas de calor. Veremos algunos de estos sistemas más adelante. Los mecanismos de control de temperatura de muchos animales de sangre caliente aprovechan el calor de vaporización. Éstos animales eliminan calor del cuerpo evaporando agua de la lengua (jadeo), o de la piel (transpiración). El enfriamiento, por evaporación, permite a las personas mantener su temperatura corporal normal en climas desérticos donde la temperatura del aire puede alcanzar los 55 ºC. La temperatura de la piel puede ser hasta 30 ºC menor que la del aire circundante. En estas condiciones una persona puede transpirar varios litros al día. Si no se repone esta agua, el resultado será la deshidratación, fiebre térmica y la muerte.

2.6- Calor de combustión. El calor de combustión de una sustancia es la cantidad de calor liberada por unidad de masa, o por unidad de volumen, cuando la sustancia, en un proceso de combustión completa, se quema totalmente. Los calores de combustión de los combustibles sólidos y líquidos se expresan ordinariamente en cal/g o en Btu/libra. El calor de combustión de los gases se expresa comúnmente en kcal/m3 o en Btu/pie3. En la Tabla 2-3 se dan los valores de los calores de combustión de algunas sustancias. Los calores de combustión de los sólidos y líquidos se miden con una bomba calorimétrica. Se introduce una masa conocida del combustible en una resistente bomba de acero, que se llena con oxígeno a presión para asegurar la combustión completa. Se introduce la bomba en un calorímetro de agua y se enciende el combustible enviando una corriente eléctrica instantánea a través de un fino alambre que sirve para iniciar la combustión. Midiendo la elevación de temperatura y conociendo la masa de agua y el equivalente en agua del calorímetro y de la bomba, puede calcularse el calor de combustión.

Tabla 2-3: Calores de combustión 3

Gas de hulla

5 600 kcal/m

Gas natural

9 300 – 23 300 kcal/m

Carbón

3

6 000 – 7 700 kcal/kg

Alcohol etílico

7 700 kcal/kg

Fuel-oil

11 000 kcal/kg

Las reacciones químicas como la combustión, son análogas a los cambios de fase porque implican cantidades definidas de calor (calor de combustión).

Los valores energéticos de los alimentos se definen de forma similar; la unidad de energía alimentaria, aunque llamada “caloría”, es una kilocaloría (1 000 cal = 4 186 J). Al decir que un gramo de mantequilla de maní “contiene 6 calorías” queremos decir que se liberan 6 kcal, 6 000 cal Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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ó 25 000 J; cuando los átomos de carbono e hidrógeno de la mantequilla reaccionan con oxígeno (con ayuda de las enzimas) y se convierten por completo en CO2 y H2O. No toda la energía puede convertirse directamente en trabajo mecánico. Estudiaremos la eficiencia de la utilización de la energía más adelante.

2.7- Estrategia para resolver problemas de Calorimetría 1. Para evitar confusión con los signos al calcular cantidades de calor, utilice las ecuaciones (2-1) y (2-2) coherentemente para cada cuerpo, recordando que Q es positivo si ingresa al sistema y negativo si sale. 2. Muchas veces habrá que calcular una temperatura desconocida. Represéntela con el símbolo t. Así, si un cuerpo tiene una temperatura inicial de 20 ºC y una temperatura final t desconocida, el cambio de temperatura será ∆t = tfinal – tinicial = t – 20 ºC. 3. Cuando los intercambios de calor entre los cuerpos involucrados se producen estando ellos aislados del medio exterior la suma de las cantidades de calor absorbidas tiene el mismo valor absoluto que la suma de las cantidades de calor cedidas. Es decir ΣQabsorbidas = ΣQcedidas Por lo tanto

ΣQabsorbidas

= – ΣQcedidas

(2-3)

Al estar el conjunto aislado, se cumple el principio de conservación de la energía. 4. En problemas en los que hay cambios de fase, como trozo de hielo que se derrite, tal vez no se sepa anticipadamente si todo el hielo cambia de fase (se funde) o sólo una parte. Siempre puede suponerse una cosa o la otra, y si se obtiene un resultado absurdo (como una temperatura final más alta o más baja que todas las temperaturas iniciales) sabrá que el supuesto inicial era erróneo. ¡Inténtelo otra vez con la suposición contraria!

Ejercicio tipo Nº 1: Cambio de temperatura sin cambio de fase Una geóloga en el campo bebe su café matutino en una taza de aluminio. La taza tiene una masa de 0,120 kg e inicialmente está a 20 ºC cuando se vierte en ella 0,300 kg de café inicialmente a 70,0 oC. ¿A qué temperatura alcanzan la taza y el café el equilibrio térmico? (Suponga que el calor específico del café es igual al del agua y que no hay intercambio de calor con el entorno.)

Solución No ocurren cambios de fase en esta situación, así que sólo necesitamos la ecuación (2-1). Sea la temperatura final, de equilibrio, tf. Usando la tabla 2-1, la cantidad de calor cedida por el café es:

Qcafé = mcafé ccafé ∆tcafé = (0,300 kg)(1 kcal/kg.ºC)(tf – 70,0 ºC) La cantidad de calor absorbida por la taza de aluminio es

Qaluminio = mAl cAl ∆t Al = (0,120)(0,22 kcal/kg.ºC)(tf – 20,0 ºC) Utilizando la ecuación 2-3 podemos escribir – (0,300 kg)(1 kcal/kg.ºC)(tf – 70,0 ºC) = (0,120 kg)(0,22 kcal/kg. ºC)(tf –20,0 ºC) La resolución de esta ecuación da tf = 66,0 oC. La temperatura final es más cercana a la temperatura inicial del café que a la de la taza; esto puede entenderse si tenemos en cuenta que el agua tiene un calor específico mucho mayor que el aluminio, y tenemos más del doble de masa Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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de agua. También podemos calcular las cantidades de calor sustituyendo este valor de tf en las ecuaciones originales. Vemos que

Qcafé = –1,2 kcal

y

Qaluminio = 1,2 kcal

Qcafé es negativo, lo que implica que el café pierde calor.

Ejercicio tipo Nº 2: Cambios de temperatura y cambios de fase Una estudiante desea enfriar 0,25 kg de una Cola Diet (casi sólo agua) que está a 25 ºC agregándole hielo que está a –20 ºC. ¿Cuánto hielo debe agregar para que la temperatura final sea 0 ºC con todo el hielo derretido? Suponga que puede despreciarse la cantidad de calor que suministra el recipiente.

Solución La cantidad de calor cedida por la bebida se puede calcular con la ecuación:

Qcedido = mbebida cbebida ∆tbebida = (0,25kg)(1 kcal/kg. ºC)(0 ºC – 25 ºC) = – 6,25 kcal De la Tabla 2-1, puede obtenerse el calor específico del hielo (distinto al del agua líquida) que es 0,5 kcal/kg ºC. Sea mhielo la masa de hielo; el calor Q1 necesario para calentarla de –20 ºC a 0 oC es

Q1 = mhielo chielo ∆thielo Q1 = mhielo (0,5 kcal/kg. ºC)[0oC – (– 20 ºC)] Q1 =

mhielo (10 kcal/kg).

Por la ecuación (2-2), el calor adicional Q2 necesario para fundir esta masa de hielo es la masa multiplicada por el calor de fusión. Usando la tabla 16-3 obtenemos:

Q2 = mhielo Lf Q2 = mhielo (80 kcal/kg) La cantidad de calor cedida por la bebida es igual, en valor absoluto, a la cantidad de calor absorbida por el hielo Aplicando la ecuación 2-3 queda:

mhielo (10 kcal/kg) + mhielo (80 kcal/kg) = – (–6,25 kcal) Despejando mhielo, obtenemos mhielo = 0,069 kg = 69 g Que equivale a tres o cuatro cubitos de hielo (ρhielo= 0,917g/cm3)

Ejercicio tipo Nº 3: ¿Qué cocinas? Una olla gruesa de cobre de 2,0 kg (incluida su tapa) está a 150 oC. Ud. vierte en ella 0,10 kg de agua a 25 oC y rápidamente tapa la olla para que no se pueda escapar el vapor. Calcule la temperatura final de la olla y de su contenido, y determine la fase (líquido o gas) del agua. Suponga que no se pierde calor al entorno. Solución Hay tres posibles situaciones finales: 1) nada del agua hierve y por lo tanto, la temperatura final del equilibrio, debe ser inferior a 100 ºC 2) parte del agua hierve, dando una mezcla de agua y vapor a 100 oC; o 3) todo el agua hierve, dando 0,10 kg de vapor a 100 oC o más. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Trataremos de verificar cuál de estas situaciones tiene posibilidad de producirse. nada del agua hierve y por lo tanto, la temperatura final del equilibrio, debe ser inferior a 100 ºC Qabsorbidas = – Qcedidas

magua cagua ∆tagua = – mcobre ccobre ∆tcobre (0,10 kg)(1 kcal/kg.ºC) (tf – 25º C) = – (2,0 kg)(0,093 kcal/kg ºC) (tf – 150 oC) Despejando tf obtenemos

tf = 106,29 ºC.

Este resultado está en contradicción con que “nada de agua hierve”, por lo tanto no es solución del problema, aunque la solución algebraica sea correcta. La segunda posibilidad es que: Parte del agua hierve y quedará una mezcla de agua y vapor a 100 ºC Qabsorbidas = – Qcedidas Una parte la utiliza el agua para aumentar su temperatura de 25 ºC a 100 ºC. La otra parte la utiliza para evaporar una parte de su masa. Sea mx esa masa de agua evaporada, entonces:

mx Lv +magua cagua ∆tagua = – mcobre ccobre ∆tcobre mx. 539kcal/kg + (0,1kg)(1kcal/kgºC) (100ºC – 25ºC) = – (2kg)(0,093kcal/kgºC) (100ºC – 150ºC) mx = 0,003 34 kg Este resultado es razonable, pues nos dice que de 100 g originales de agua se han evaporado 3,34 g. Si la masa del agua evaporada nos hubiese dado más de 100 g no sería válido el supuesto de que parte de ella se transforma en vapor y la olla permanece a 100 ºC

Ejercicio tipo Nº 4: Combustión, cambio de temperatura y cambio de fase En una cierta estufa de gasolina para camping, solamente el 30 % de la energía liberada al quemar el combustible calienta el agua de la olla en la estufa. Si calentamos 1,00 L (1,00 kg) de agua de 20 oC a 100 oC y evaporamos 0,25 kg de ella, ¿Cuánta gasolina se habrá quemado? Solución El calor requerido para elevar la temperatura del agua de 20 oC a 100 oC es

Q1 = m c ∆t = (1kg)(1kcal/kg.K)(80 K) = 80 kcal Para hervir 0,25 kg de agua a 100 ºC necesitamos

Q2 = m Lv = (0,25 kg)(539kcal/kg) = 134,75 kcal La energía total requerida es la suma Q1 + Q2 = 80 kcal +134,75 kcal = 214,75 kcal El calor de combustión de la gasolina es 10 989 kcal/kg. Esto significa que cuando se quema totalmente 1kg de gasolina aporta una cantidad de calor de 10 989 kcal. De esa cantidad solo el 30 % se utiliza para calentar el agua. Es decir que por cada 1 kg de gasolina que se queme se utilizarán 3 297 kcal para calentar el agua. En conclusión, la masa de gasolina que se necesita para obtener los 214,75 kcal requeridas es de: 3 295 kcal ----- 1kg 214,75 kcal ----- x

x = 0,065 kg

Como la densidad de la gasolina es 720 kg/m3 el volumen que ocupan esos 0,065 kg es de:

9 x 10–5 m3 ó 9 x 10–2 L

-----o0o----Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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CAPÍTULO 3 TRANSFERENCIA DE CALOR 3.1. Introducción Habitualmente, a la mañana al levantarse, se coloca una pava en la hornalla para preparar el desayuno. Al cabo de un cierto tiempo el agua llega a la temperatura deseada. Los conceptos que veremos en este capítulo y en el siguiente nos ayudaran a entender la física básica del calentamiento y el enfriamiento. Como ya vimos anteriormente, el calor es la energía transferida entre un sistema y su entorno, debida únicamente a una diferencia de temperatura entre dicho sistema y alguna parte de su entorno. La referencia a una diferencia de temperatura es un aspecto esencial de la definición de calor, dado que la energía puede transferirse de otras formas. Para que pueda calificarse como calor, la energía aportada o retirada de un sistema debe haber sido transferida directa y únicamente a causa de una diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores y la dirección natural del flujo siempre es de la temperatura más alta a la temperatura más baja. El término “calor” se usa correctamente para designar una cantidad de energía que se transfiere a, o desde, un sistema. No es una energía que reside en el sistema o que pertenece al sistema, tal como ocurre con la energía potencial. Por lo tanto, resulta incorrecto hablar de “calor en un sistema” o “calor de un sistema”, en lugar de esto se debe hablar de “calor cedido a un sistema” o “calor extraído de un sistema”. Una vez entendido el concepto de calor surge un interrogante: ¿Cómo se transfiere calor entre un sistema y su entorno, o simplemente, entre dos sistemas? Los tres mecanismos de transferencia de calor son: conducción, convección y radiación. Los dos primeros serán analizados a continuación. La radiación será estudiada más adelante, en otro capítulo. Habitualmente la transferencia se produce por los tres mecanismos enunciados en forma simultánea. Bajo ciertas condiciones especiales, puede ocurrir que la transferencia del calor se produzca predominantemente en una sola de estas formas. Para estudiar las magnitudes asociadas a la transferencia de calor, sus leyes y las ecuaciones que las representan, se tratará cada mecanismo “como si se pudiese” producir aisladamente.

3.2. Conducción Si se sujeta el extremo de una varilla de cobre, colocando el otro extremo en la llama de un mechero, el extremo que se sostiene se calienta cada vez más, aunque no está en contacto directo con la llama. El calor llega al extremo frío por conducción a través del material. A nivel molecular, podemos decir que en este proceso, la energía se transfiere por colisiones entre las moléculas de la sustancia, que se mueven al azar. Las moléculas del extremo de la varilla ubicada sobre la llama, a temperatura más alta, vibrarán, en promedio, más rápidamente que las moléculas del extremo que se sostiene con la mano, a temperatura más baja. En una colisión característica, las moléculas más lentas ganarán energía y las más rápidas la perderán. Al promediar sobre un gran número de choques, teniendo en cuenta todas las moléculas a lo largo de la varilla, se logra una transferencia neta de energía debida a la diferencia de temperatura. La mayor parte de los metales son buenos conductores del calor. Esta cualidad se explica por el hecho de que, dentro del metal, algunos electrones pueden abandonar sus átomos y vagar por la red cristalina. Estos electrones “libres” pueden llevar energía rápidamente de las regiones más calientes del metal a las más frías. Es por ello que los metales generalmente son buenos conductores del calor. Un ejemplo cotidiano ilustra este comportamiento: una barra de hierro a 20ºC se siente más fría que un trozo de madera que se encuentre a la misma temperatura. Esto se debe a que el calor puede fluir más fácilmente de la mano al metal, que de la mano a la madera; produciéndose una disminución más rápida de la temperatura de la mano cuando ésta toca al hierro. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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En el proceso de conducción, el calor se trasmite entre dos sistemas a través de un medio de acoplamiento, éste puede ser un sólido rígido o también un fluido, siempre que esté en reposo (Si el fluido está libre t H para moverse se producirá predominantemente la transferencia por convección). La Fig. 3-1b muestra el esquema de una barra de material conductor con área transversal A y longitud L. El extremo izquierdo está en contacto con un cuerpo (I) que se Fig.3-1b mantiene a una temperatura tH, y el derecho está en contacto con otro cuerpo (II) que se mantiene a una temperatura menor tC. Como consecuencia de esta disposición fluye calor de izquierda a derecha. Para simplificar el estudio del tH fenómeno, la superficie lateral de la barra se ha cubierto con H un aislante ideal (en líneas oblicuas), de modo de evitar la I transferencia de calor a través de dicha superficie hacia el medio exterior y poder estudiar solamente la transferencia de x calor por conducción que, como se dijo, en las condiciones planteadas se produce de izquierda a derecha a lo largo de la barra.

Fig 3-1a aislante tC Corriente de calor

L

tC

A

II Aislante

Tener en cuenta que, al haberse evitado la transferencia de calor a través de la superficie lateral de la barra, puede aceptarse que en cada sección todos sus puntos tienen la misma temperatura. Recordar también que, mientras tanto, las temperaturas de los cuerpos I y II deben mantenerse con los valores tH y tC mediante algún método. Supongamos que, inicialmente toda la barra se encuentra a la temperatura tc. Una vez puesta en contacto con ambos cuerpos las partículas del extremo izquierdo de la barra en inmediato contacto con el cuerpo I, más caliente, adquieren la temperatura de éste: tH. Una representación de la distribución de temperatura de cada punto de la barra en función de su posición (x) se muestra en la Fig. 3-2.a. Un corto tiempo después se ha producido transferencia de energía entre esas primeras partículas y las que le siguen a su derecha por lo que la temperatura de estas últimas se eleva un poco. El nuevo perfil de temperatura se muestra en la Fig. 3-2.b.

tH

tC

tH

tH

tC

tH

tH

tH

tC

tC

tC

tC

Figura 3-2 El proceso de conducción continúa, elevándose a cada instante la temperatura en cada sección. Los perfiles de temperatura para dos instantes posteriores sucesivos serían semejantes a los que muestran las curvas 1 y 2 de la Fig. 3-2.c. Finalmente, a partir de un cierto instante y en adelante, la temperatura de cada sección (que sigue siendo distinta una de otra) permanece constante en el tiempo. Se dice entonces que el sistema ha llegado a un “estado estacionario”. Se comprueba que, si la barra es de un material homogéneo, la temperatura a lo largo de la misma varía linealmente con lo que se obtiene un perfil rectilíneo como se muestra en la “curva” 3 de la Fig. 3-2.c. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Analizando las curvas obtenidas experimentalmente se puede sacar una conclusión importante relacionada con este proceso. En el ejemplo planteado, antes de que el sistema alcance el estado estacionario, en cada sección de la barra la temperatura fue aumentando con el tiempo. Esto nos indica que la energía que llegó a cada sección no fue totalmente transferida a la siguiente sino que algo se acumuló en la misma, originando el incremento de temperatura mencionado. En cambio, al alcanzarse el estado estacionario, como se mantiene constante la temperatura en cada sección, se puede concluir que la energía que llega a cada sección se transfiere íntegramente a la siguiente. Es útil definir una magnitud que relacione la cantidad de calor que fluye y el tiempo en el que se produce esa transferencia. La magnitud se llama corriente de calor y se simboliza con la letra H. La corriente de calor se define como el cociente entre la cantidad de calor Q transferida por la barra en un tiempo ∆τ. En símbolos:

H=

Q

(3-1)

∆τ

Sus unidades son: joule/segundo o watt (SI), ergio/segundo (cgs), cal/s. La corriente de calor es una magnitud escalar, por consiguiente no tiene dirección ni sentido; la flecha dibujada al lado del símbolo H en la figura 3-1 de la página anterior cumple sólo la finalidad didáctica de indicar que el calor fluye del cuerpo más caliente al más frío. Se observa experimentalmente que, en el estado estacionario, la corriente de calor es proporcional a la diferencia de temperatura (tH – tC), al área A de la sección de la barra que sea transversal al flujo de calor e inversamente proporcional a la longitud L del camino recorrido por la energía en la dirección del flujo. Introduciendo una constante de proporcionalidad “k”, llamada conductividad térmica del material, se tiene que: H= k.A

t H − tC L

(3-2)

Expresión que se conoce con el nombre de Ley de Fourier. El valor numérico de k depende del material. Los materiales con k alto son buenos conductores del calor, aquellos con valores de k pequeños son malos conductores o aislantes. La ecuación anterior también expresa la corriente de calor a través de una superficie o a través de cualquier cuerpo homogéneo con área transversal uniforme y perpendicular a la dirección de flujo. L es la longitud del camino del flujo de calor. Las unidades de k surgen de la ecuación anterior, y pueden ser:

W W cal = ; m K m º C s.m.º C En la tabla adjunta se dan algunos valores de k.

Sustancia

k en

W m. K

Metales Aluminio Latón Cobre Plomo Mercurio Plata Acero

k en

W m. K

Diversos sólidos 205,0 109,0 385,0 34,7 8,3 406,0 50,2

Gases Aire Argón Helio Hidrógeno Oxígeno

Sustancia

0,024 0,016 0,14 0,14 0,023

Ladrillo refractario Ladrillo común Hormigón Corcho Fieltro Fibra de vidrio Vidrio Hielo Lana mineral Espuma de poliestireno Madera

0,15 0,60 0,80 0,04 0,04 0,04 0,80 1,60 0,04 0,01 0,12 a 0,04

Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Como la transferencia del calor por conducción requiere de un medio material, el mejor aislante para este tipo de proceso, sería el vacío, por lo que podemos considerar que kvacío = 0. Entre los medios materiales, la mejor aproximación al vacío es un gas inmóvil, generalmente aire, encerrado en pequeños espacios como celdillas (corcho) o poros (espuma de poliestireno o poliuretano) o en los espacios entre las fibras de un material (lana, fibra de vidrio). Un suéter de lana abriga no porque la lana sea “calentita”, sino porque retiene aire entre las fibras resultando un mal conductor del calor. En la transferencia del calor por conducción es muy útil, desde el punto de vista técnico, definir el concepto de resistencia térmica. La resistencia térmica “R” se define como el cociente entre el espesor de la capa atravesada por la corriente de calor y la conductividad térmica del material. En símbolos: R =

L k

(3-3)

La unidad de R en el SI es m / (W/m.K) = m2 . K / W La resistencia térmica es un valor constante para cada trozo de un material en función de su naturaleza y del espesor que es atravesado por el flujo de calor. Esta nueva constante caracteriza la capacidad aisladora de un trozo de un material. La ecuación: H= k.A puede escribirse:

t H − tC L

t H − tC L k A(t H − t C ) H= R H ∆t ∴ = A R H= A

de donde:

(3-4)

En la práctica rara vez nos encontramos con un único material conductor entre dos cuerpos a distintas temperaturas, pensemos en las paredes de cualquier recinto como puede ser una habitación, la heladera o una cámara frigorífica, por lo que resulta importante la adecuación de las propiedades y ecuaciones desarrolladas para la conducción a esos casos concretos. Supóngase una pared de área A (fig. 3-3), formada por tres capas de distintos materiales, y de distintos espesores, sometida a una temperatura tH en una de sus caras y tC en la otra cara, de tal forma que tH es mayor que tC. Siendo ∆x1, ∆x2 y ∆x3 sus espesores; y R1, R2 y R3 sus respectivas resistencias térmicas.

Flujo de calor

tH

tC

A

Una vez alcanzado el estado estacionario, la corriente de calor H será la misma en todas las capas, con lo que el salto térmico ∆t1 producido en la capa 1 será:

capa 1

capa 2

capa 3

∆x1

∆x2

∆x3

Fig. 3-3

∆t1 = R1 H/A Pero si ta es la temperatura en la interfase entre las capas 1 y 2, y Tb es la temperatura en la interfase entre las capas 2 y 3, los saltos térmicos respectivos se expresan: ∆t1 = tH – ta = R1 H/A ∆t2 = ta – tb = R2 H/A ∆t3 = tb – tC = R3 H/A Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Sumando miembro a miembro: ∆ttotal = tH – tC = (R1 + R2 + R3) H/A La forma de la ecuación anterior nos lleva a aceptar que la suma (R1 + R2 + R3) representa la resistencia térmica total (Rt) de la pared multicapa interpuesta entre los medios a temperaturas tH y tC. En símbolos: Rt = R1 + R2 + R3 Vale decir que si el material aislante está en capas, como en una pared enyesada con aislante de fibra de vidrio y vista exterior de madera, para calcular la resistencia térmica del conjunto se debe tener en cuenta que los valores de R de cada capa son aditivos.

3.3 Convección Si tenemos un fluido en reposo y se calienta una zona limitada del mismo, su volumen aumentará en dicho lugar disminuyendo la densidad. Si ese fragmento de fluido se encuentra en el costado o en la parte baja, el resto del fluido, que conserva su densidad original, desciende por efecto de su propio peso y empuja al menos denso a ocupar el lugar original del primero. Durante el movimiento de la porción fluida más caliente se produce algo de transferencia de energía a las otras partículas más frías que encuentra en su camino, acumulándose fluido a mayor temperatura en la parte superior. Podemos definir de esta forma la convección como la transferencia de calor debido al movimiento de una masa de un fluido de una región del espacio a otra. Ejemplos de ella son: los sistemas de calefacción de aire caliente y agua caliente, el sistema de refrigeración del motor de un automóvil y el flujo de sangre en el cuerpo. Si el flujo se debe, como en la descripción anterior, a diferencias de densidad causadas por expansión térmica, el proceso se llama convección natural o libre. Si el fluido circula impulsado por un ventilador o bomba, el proceso se llama convección forzada. El fenómeno de convección del calor se utiliza en sistemas de calefacción o refrigeración en los que la circulación del líquido se realiza por el proceso de termosifón. Por ejemplo, para el calentamiento directo de agua mediante un colector solar colocado en el techo de la casa, el agua, que se encuentra almacenada en el tanque elevado, desciende por gravedad hasta el colector, al que ingresa por su parte baja. En ese lugar el agua se calienta por conducción, aumenta su volumen y disminuye su densidad siendo empujada por el agua (más fría) del resto de la cañería y asciende hasta el tanque de agua transmitiendo calor al resto del agua que se encuentra en él. Después de varias pasadas por el colector la masa total de agua del tanque adquiere la temperatura deseada. Si parte de esa masa se deja salir o es utilizada, la entrada de agua fría al tanque permitirá mantener constante la masa de agua en movimiento. El mecanismo de transferencia de calor más importante dentro del cuerpo humano, necesario para mantener una temperatura casi constante en diversos entornos, es la convección forzada de sangre, bombeada por el corazón. La convección libre en la atmósfera desempeña un papel importante en los fenómenos meteorológicos. A una escala menor, las aves voladoras y los pilotos de planeadores, alas delta o parapentes aprovechan las corrientes térmicas que suben desde la superficie caliente del suelo. A veces estas corrientes de aire en la atmósfera son lo bastante fuertes como para formar una tormenta. La convección en los océanos es un importante mecanismo de transferencia de calor Las corrientes de los océanos y los vientos, son importantes ejemplos de convección. La Corriente del Golfo y la Corriente del Japón son producidas, al menos en parte, por la convección. Las corrientes superficiales cálidas de los océanos engendradas en las proximidades del Ecuador, están equilibradas por una corriente fría de retorno que circula por el fondo del océano.

Fig. 3-4 Tierra

Mar Brisa del mar

Tierra

Mar Brisa de la costa

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Las brisas terrestre y marítima son corrientes locales de convección en la atmósfera. Durante la mañana, la tierra se calienta más que el agua próxima a ella, por tener menor calor específico. El aire que está sobre la tierra se calienta entonces, se expande, se eleva y es sustituido por el aire frío del mar, originándose la brisa del mar. Por la noche, la tierra pierde su calor por radiación más rápidamente que el agua del mar, y por lo tanto la corriente de aire frío irá de la tierra al mar (Fig. 3-4). Los vientos alisios que soplan permanentemente en regiones próximas al Ecuador son originados por el gran calentamiento de la tierra en dichos lugares, lo que hace que el aire se expansione y se eleve, viniendo a ocupar su sitio el aire más frío que llega procedente del Norte y del Sur. A causa de la rotación del planeta, las corrientes de retorno sufren una desviación respecto al meridiano. Los fenómenos convectivos contribuyen a la formación de las nubes conocidas como cúmulus nimbus y a las tormentas asociadas a ellas. En verano, la superficie terrestre sufre una fuerte insolación y calienta al aire ubicado en su proximidad. El aire caliente y húmedo es menos denso que el aire seco y frío y sube por flotación, pudiendo alcanzar alturas de 12 000 a 18 000 m. No existe ninguna ecuación sencilla para la transferencia de calor por convección, como en el caso de la conducción. El calor ganado o perdido por una superficie a determinada temperatura en contacto con un fluido a otra temperatura distinta, depende de muchos factores, tales como la forma y orientación de la superficie, las propiedades térmicas y mecánicas del fluido y la naturaleza del flujo de fluido, laminar o turbulento. El procedimiento adoptado en cálculos prácticos es definir un coeficiente de convección h mediante la ecuación: H = h . A . ∆t

(3.5)

Donde H es la corriente calorífica debida a la convección, A es el área de la superficie y ∆t es la diferencia de temperatura entre la superficie y la masa principal de fluido. Los valores de h se determinan por experimentación y se ha encontrado que no son constantes, sino que dependen de ∆t. Los resultados se disponen en forma de tablas o gráficas, a partir de las cuales se pueden obtener coeficientes de convección apropiados para situaciones específicas. Como la transferencia de calor por convección es directamente proporcional al área A, se explica las grandes superficies que deben tener los radiadores de los sistemas de calefacción. -----o0o-----

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CAPÍTULO 4 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA 4.1- Introducción Hemos estudiado la dependencia del volumen de una sustancia con los cambios de temperatura, pero ahora plantearemos otros ejemplos. La cocina es un lugar excelente para estudiar cómo las propiedades de la materia dependen de la temperatura. Cuando el agua hierve en una pava, se produce vapor que sale silbando debido al exceso de presión. Si olvidamos perforar una papa antes de asarla, el vapor que se produce en el interior puede hacerla explotar. El vapor de agua del aire puede condensarse en gotitas de agua líquida en las paredes de una lata de cerveza fría. Si un vaso ha sido sacado del congelador, entonces se formará escarcha en sus paredes al solidificarse el vapor. Todas estas situaciones muestran las relaciones que existen entre el volumen, la masa, la temperatura, la presión y el estado físico de una sustancia. Dichas propiedades son llamadas propiedades macroscópicas de la sustancia o propiedades a gran escala de una sustancia. Pero también podemos describir una sustancia desde una perspectiva microscópica. Esto implica investigar cantidades a pequeña escala como las masas, las velocidades, energías cinéticas y cantidades de movimiento de cada una de las moléculas individuales que componen a una sustancia. Las descripciones macroscópica y microscópica están íntimamente relacionadas. Por ejemplo, las fuerzas de choque (microscópicas) que ocurren cuando las moléculas de aire inciden sobre una superficie sólida (como la piel) dan origen a la presión atmosférica (macroscópica). La presión 5 32 atmosférica estándar es de 1,013 x 10 Pa; para producir esta presión, 10 moléculas golpean nuestra piel (y todos los demás objetos) cada día con una velocidad media de más de 1700 km/h

4.2- Ecuación de estado Las condiciones en que se encuentra un material específico se describen con magnitudes físicas como presión, volumen, temperatura y cantidad de sustancia. Por ejemplo, un tanque de oxígeno para soldar tiene un manómetro y una etiqueta que indica su volumen. Podríamos agregar un termómetro para conocer su temperatura y pesar el tanque para determinar su masa. Estas variables describen cómo se encuentra el material y se llaman variables de estado. El volumen V de una sustancia suele estar determinado por la cantidad de sustancia, descripta por la masa m o el número de moles n, su temperatura T, y su presión p. Normalmente, no se puede modificar una de estas variables sin alterar otra. Si el tanque de oxígeno se calienta, la presión aumenta; si se calienta demasiado, explota. Esto sucede ocasionalmente con las calderas de vapor sobrecalentadas. En unos cuantos casos la relación entre p, V, T y m (o n) es tan sencilla que podemos expresarla mediante una ecuación. Una ecuación que relaciona las variables de estado se llama ecuación de estado; si es demasiado complicada, podemos usar gráficas o tablas numéricas. Aun así, la relación entre las variables sigue existiendo; la llamamos ecuación de estado aunque no conozcamos la ecuación real. En este curso se estudiará, debido a su simplicidad, el comportamiento de los gases ideales.

4-3 Ecuación de los gases ideales La Fig. 4-1 muestra un sistema experimental para estudiar el comportamiento de un gas. El cilindro tiene un pistón para variar el volumen, la temperatura puede variarse por calentamiento, y podremos bombear (añadir o sacar) cuanto gas deseemos al cilindro. En este contexto llamaremos sistema a la cantidad de gas encerrada en el cilindro. Midiendo la presión, el volumen, la temperatura y conociendo la cantidad de gas queda determinado el estado del sistema. Al variar una cualquiera de las tres primeras el sistema cambia su estado. Observe que el término presión es “presión absoluta del gas” y se refiere a la presión ejercida por el gas sobre el cilindro. Por la tercera ley de Newton, es evidente que también es igual al valor de la fuerza por unidad de área que el cilindro ejerce sobre el gas.

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Se acostumbra describir la cantidad de un gas en términos del número de moles n, en vez de la masa. La masa molecular M de un compuesto (a veces llamada masa molar) es la masa de un mol, por lo tanto, la masa total mtot de una cierta cantidad de ese compuesto será: mtot = n M

(18-1)

Las experiencias realizadas y las mediciones del comportamiento de diversos gases permitieron llegar a varias conclusiones:

•

Pistón

Primera, “si se mantienen constantes la temperatura T y la presión p del gas su volumen V es directamente proporcional al número de moles n”

En símbolos: Si T = cte y p = cte también puede escribirse V = k1 n

•

Dispositivo para calentar el gas

⇒ V ∝ n ; que

Segunda, “para una misma masa gaseosa (n constante) a temperatura T constante, su volumen V es inversamente proporcional a la presión absoluta p”. En símbolos: Si T = cte y n = cte o bien: V = k2

⇒

V∝

1 ; p

Elemento que permite agregar gas

Fig 4-1

p

1 p

Esta expresión puede escribirse como:

p = k2

1 V

•

Tercera, “para una misma masa gaseosa (n constante) a presión p constante, su volumen V es directamente proporcional a la temperatura absoluta T”. En símbolos: Si p = cte y n = cte ⇒ V ∝ T o bien

V

Fig. 4-2

y su gráfica sería la observada en la Fig. 4- 2

V

Fig 4-3 p

Fig 4-4

V T

V = k3 T (Fig. 4-3 y 4-4)

Estas tres relaciones se pueden combinar en una sola relación de proporcionalidad, resultando: V ∝

nT , p

que se transforma en una igualdad introduciendo una constante de proporcionalidad que se simboliza con R, V =R

nT p

que suele escribirse:

pV=nRT

(4-2)

llamada Ecuación de los Gases Ideales o Perfectos donde R es la constante universal de los gases ideales.

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Un gas ideal es aquel que cumple la ecuación (4-2) con precisión para cualquier presión y temperatura. Este es un modelo idealizado; el comportamiento de los gases reales se aproxima al modelo del gas ideal cuando se hallan a presiones bajas y temperaturas altas, esto es, cuando las moléculas del gas real están muy separadas y en rápido movimiento. Se podría esperar que la constante R de la ecuación de los gases ideales tuviera diferentes valores para diferentes gases, pero resulta ser la misma para todos los gases, al menos a baja presión y alta temperatura. Su valor numérico sólo depende de las unidades utilizadas para expresar p, V y T. En el SI, con p en Pa (1 Pa = 1 N/m2) y V en m3, el valor de R es R = 8,314 5 J/(mol.K) Obsérvese que las unidades del producto “p.V” son las de trabajo o energía; en efecto,

N ⋅ m 3 = J . Es por ello que R tiene unidades de energía por mol y por unidad de temperatura 2 m

absoluta. En los cálculos químicos, los volúmenes suelen expresarse en litros (L) y las presiones en atmósferas (atm). En este sistema, R = 0,082 06

L.atm mol.K

Se puede expresar la ecuación de los gases ideales en términos de la masa “m” del gas. De la ecuación (4-1) surge n = m / M:

pV =

m RT M

(4-3)

De ella puede obtenerse una expresión para la densidad ρ = m / V del gas:

ρ=

pM RT

(4-4)

¡CUIDADO! Al usar la Ec. (4-4), cerciórese de distinguir la densidad simbolizada por la letra griega ρ (“rho”) de la presión simbolizada por la letra p. Advierta que las ecuaciones (4-2), (4-3) y (4-4) NO SON fórmulas distintas sino diferentes maneras de expresar la ecuación general del estado gaseoso.

Analicemos algunas situaciones particulares y la forma que toma, consecuentemente, la Ecuación General. •

Para una misma masa de un gas ideal (o sea, m y n constantes), el producto nR es constante, por lo tanto:

pV = constante T Si se consideran dos estados cualesquiera (1 y 2) de la misma masa de gas, la ecuación anterior puede escribirse

p1 V1 T1

=

p 2 V2 T2

= constante (gas ideal, masa constante)

(4-5)

Obsérvese que no se necesita el valor de R para usar esta ecuación. •

Si a una misma masa del gas ideal, se le mantiene la temperatura constante, la ecuación (4-2) resulta pV = constante

(4-6)

Si se consideran dos estados cualesquiera (1 y 2) de la misma masa de gas, la ecuación anterior puede escribirse p1 V1 = p2 V2 = constante

(4-6 bis)

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Ambas ecuaciones constituyen la expresión matemática de la Ley de Boyle-Mariotte. y se enuncia: “A temperatura constante los volúmenes de una determinada masa de gas son inversamente proporcionales a sus respectivas presiones”. •

Si a una misma masa del gas ideal, se le mantiene, sucesivamente, la presión o el volumen constante, la ecuación (4-2) resulta, en cada una de estas situaciones:

V1 V2 = = constante (4-7 a) T1 T2 p1 p 2 si V = cte ∴p = k.T o bien, para dos estados distintos (1 y 2): = = constante (4.7 b) T1 T2

si p = cte ∴ V = k.T o bien, para dos estados distintos (1 y 2):

Estas ecuaciones constituyen expresiones matemáticas de las Leyes de Gay-Lussac (o de Charles) y se enuncian: Primera Ley: A presión constante, el volumen ocupado por una determinada masa de gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. Segunda Ley: A volumen constante, la presión de una determinada masa de gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta.

4.4- Licuación de los gases Si se comprime isotérmicamente (a temperatura constante) un gas perfecto, continúa siendo gas, por grande que sea la presión a que se encuentra sometido; su volumen disminuye continuamente al aumentar la presión, de acuerdo con la ley de Boyle-Mariotte. No ocurre lo mismo con los gases reales en cualquier condición. En la Fig. 4-5(a) y (b) se grafica el distinto comportamiento de un gas perfecto y de un gas real cuando se los somete a una compresión isotérmica. Ambos gases están contenidos dentro de cilindros iguales, provistos cada uno de un pistón y un manómetro. En cada etapa del proceso de compresión, el volumen es proporcional a la distancia del pistón al extremo cerrado del cilindro, y la presión en cada etapa puede leerse en el manómetro. Se han representado varias etapas de la compresión, y las presiones y volúmenes correspondientes se han dispuesto en un diagrama p-V. Cada gas se encuentra inicialmente a la misma presión y volumen (punto a). La temperatura de cada uno de ellos se mantiene constante en toda la masa durante la compresión eliminando el calor que sea necesario. Cuando el pistón, en la Fig. 4-5(a), es obligado a moverse hacia la izquierda, la presión indicada por el manómetro aumenta constantemente, y la relación entre p y V es la conocida ley de Boyle. Cuando se comprime el gas real, Fig. 4-5(b), la presión aumenta al principio a lo largo de la curva a-b de un modo que no se diferencia mucho del que corresponde a un gas perfecto. Sin embargo, cuando se llega al punto b tiene lugar una brusca desviación de la curva, y el volumen continúa disminuyendo, sin producirse un aumento correspondiente de presión. Al mismo tiempo, comienzan a aparecer gotas de líquido sobre las paredes del cilindro. En otras palabras, el proceso de licuación o condensación comienza en el punto b. Si el volumen se reduce aún más, desde b hasta c y d, la cantidad de líquido en el cilindro aumenta y la de gas disminuye y la presión sigue manteniéndose constante. En el punto e, toda la sustancia se encuentra en estado líquido. Naturalmente, durante el paso desde b hasta e ha sido preciso eliminar de la sustancia su calor de condensación. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Puesto que los líquidos son casi incompresibles, es necesario un aumento de presión muy grande para reducir el volumen por debajo del que corresponde al punto e. Esto es, la curva se eleva casi verticalmente desde e hasta f, teniendo una pequeña inclinación hacia la izquierda. Si se repite el experimento representado en la Fig. 4-5(b) partiendo de temperaturas cada vez más elevadas, se encuentra que, para iniciar la condensación, es necesario ejercer sobre el gas una presión cada vez mayor (y el volumen hasta el cual hay que comprimir el gas es cada vez menor). La Fig. 4-6 muestra las curvas obtenidas (isotermas del gas real). Es decir, a mayor temperatura se observa que el punto b se mueve hacia la izquierda y el punto e hacia la derecha hasta una temperatura particular, designada en la Fig. 4-6 por la letra Tc, para la cual ambos puntos coinciden. Por encima de esta temperatura la curva no contiene ninguna porción horizontal. En otras palabras, a partir de esta temperatura no hay ninguna etapa en el proceso de compresión en la cual la sustancia se separe en dos fases distintas, una de las cuales sea un gas y la otra un líquido. La temperatura Tc se denomina “temperatura crítica del gas“, y resulta ahora evidente por qué ha de enfriarse previamente un gas hasta una temperatura menor que la crítica para poder licuarlo por compresión.

Es costumbre llamar “vapor“ a un gas que se encuentra por debajo de su temperatura crítica, aunque no es necesario una distinción rigurosa. En la Tabla 4-1 se indican las temperaturas críticas de los gases más corrientes. La línea de trazos de la Fig. 4-6 divide el plano p-V en tres regiones. Para todos los valores de p, V y T situados por debajo de dicha línea, la sustancia se encuentra parte en estado líquido y parte en estado de vapor. A la derecha de la zona sombreada es un vapor o un gas, y a la izquierda de la misma, un líquido.

Tabla 4-1 Temperaturas, presiones y volúmenes críticos Temperatura crítica (ºC)

Presión crítica (atm)

374

218

3,14

132

112

4,25

Anhídrido carbónico

31

73

2,17

Anhídrido sulfuroso

157

77,7

1,92

Argón Helio

-122

48

1,88

Hidrógeno

-240

12,8

Oxígeno

-119

49,7

Nitrógeno

-147

Sustancia

Agua Amoníaco

-268

2,26

33,5

Volumen crítico (cm3/g)

14,4 32,3 2,33 3,19

Examinando la Fig. 4-6 se observa que a una temperatura cualquiera dada, por debajo de la temperatura crítica, hay una presión, y sólo una, para la cual la sustancia puede existir en estado líquido (punto e), en estado vapor (punto b) o en ambos estados simultáneamente (línea horizontal) Esta es la presión correspondiente a la parte horizontal de la curva isoterma que representa dicha temperatura particular. Si la presión es algo superior que la correspondiente a dicha porción horizontal, la sustancia únicamente puede estar en estado líquido, y si la presión es algo más baja, sólo puede hallarse en estado de vapor. Precisamente a esa presión pueden coexistir juntos líquido y vapor, y se denomina presión de vapor de la sustancia a la temperatura considerada. Un vapor cuya temperatura y presión son las que corresponden a la porción horizontal de cualquiera de las curvas de la Fig. 4-6 se denomina vapor saturante. Un vapor saturante puede definirse también como aquel vapor que está o puede estar en equilibrio con su líquido. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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En cada una de las partes rectilíneas de las gráficas representadas en la Fig. 4-6, se puede tomar la presión de vapor y su temperatura correspondiente. Llevando estos valores a una gráfica como la de la Fig. 4-7 se obtiene la curva de presiones de vapor de la sustancia. Pvapor

Punto crítico

Líquido en equilibrio con su Vapor

Pc Líquido

Vapor Tc

Fig 4-7

T

Temperatura (ºC) -50 -10 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 120 150

Tabla 4-2 Presión de vapor saturado 2 torr (mm-Hg) Pa (N/m ) 0,030 4,0 2 1,95 2,60 x 10 2 4,58 6,11 x 10 2 6,54 8,72 x 10 3 9,21 1,23 x 10 3 12,8 1,71 x 10 3 17,5 2,33 x 10 3 23,8 3,17 x 10 3 31,8 4,24 x 10 3 55,3 7,37 x 10 4 92,5 1,23 x 10 4 149 1,99 x 10 4 234 3,12 x 10 4 355 4,73 x 10 4 526 7,01 x 10 5 760 1,01 x 10 5 1489 1,99 x 10 5 3570 4,76 x 10

Todas las curvas de presiones de vapor son análogas a la de la Fig. 4-7, creciendo con una pendiente cada vez mayor y terminando en el punto crítico (dado que a temperaturas superiores a la crítica no existe la sustancia en estado líquido). En la Tabla 4-2 se dan algunos valores de las presiones de vapor del agua. Puede verse en la Tabla 4-1 que las temperaturas críticas del dióxido de carbono, amoníaco y dióxido de azufre son superiores a la temperatura ambiente. Por consiguiente, estos gases pueden ser licuados a la temperatura ambiente sin enfriamiento previo, sin más que aumentar la presión. Sin embargo, en el caso del oxígeno, nitrógeno o hidrógeno, hay que someterlos a un enfriamiento previo muy por debajo de la temperatura ambiente antes de poderlos licuar puesto que su temperatura crítica es de varios grados Celsius bajo cero.

4.5- Efecto de la presión sobre los puntos de ebullición y solidificación El agua contenida en una vasija y expuesta al aire en una habitación se evaporará, cualquiera que sea la temperatura, con tal que haya la posibilidad de que el vapor se difunda o pueda ser eliminado de algún modo de la superficie del agua. Si se aumenta la temperatura del agua hasta 100 ºC (a la presión atmosférica normal) la naturaleza del proceso de evaporación se modifica completamente. El vapor se forma no sólo en la superficie líquida sino en todo el volumen del líquido, el cual se agita violentamente por las burbujas de vapor que se producen en él y se rompen en la superficie. ¿Qué diferencia existe entre este violento fenómeno de ebullición y la evaporación lenta que tiene lugar a temperaturas inferiores al punto de ebullición? Recordemos que cada líquido tiene una cierta presión de vapor, que depende de su temperatura. Si manteniendo constante esta última intentamos aumentar la presión por encima de la presión de vapor, el vapor se condensa inmediatamente. El agua en un recipiente abierto está sometida a la presión atmosférica. Supongamos que la temperatura del agua sea de 80 ºC. Su presión de vapor a esa temperatura, dada por la tabla 4-2, es 355 mm de mercurio, o sea, 4,73.104 Pa. Por consiguiente, si tuviera ocasión de formarse dentro del líquido una pequeña burbuja de vapor, esta se encontraría sometida a una presión de 760 mmHg (1,013.105 Pa o 1,033 kgf/cm2) y sería inmediatamente aplastada por la acción de la presión, condensándose. Supongamos ahora que le suministramos calor tal que aumenta la temperatura del líquido hasta 100 ºC. A esta temperatura la presión de vapor es de 760 mmHg, o sea, 1,013.105 Pa ó 1,033 kgf/cm2, y, por tanto, pueden formarse burbujas de vapor en toda la masa líquida. Si consideramos que la temperatura se elevara, aunque ligeramente, por encima de 100 ºC, toda la masa de agua se transformaría en vapor. Para que esto ocurra se le debe suministrar su calor de vaporización. Lo que realmente sucede es que el agua a 100 ºC, se convierte en vapor a medida que se le suministra calor. Mientras exista en estado líquido alguna cantidad de agua, la Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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temperatura no se eleva por encima de 100 ºC, y todo el calor suministrado se utiliza para producir el cambio de fase, por lo que su temperatura no aumenta. Si se eleva rápidamente la presión exterior por encima de 1,033 kgf/cm2, la ebullición cesa entonces inmediatamente, puesto que la presión es superior a la presión de vapor del agua a 100ºC. Suponiendo que se siga suministrando todavía calor al agua, su temperatura aumentará hasta que la presión de vapor iguale a la presión aplicada, y comience nuevamente la ebullición. Es evidente que bajo la acción de una presión exterior inferior a la atmosférica, la ebullición tendrá lugar a una temperatura inferior a 100 ºC. De la tabla se obtiene que si la presión se reduce a 2,33.103 Pa, el agua hierve a la temperatura ambiente (20 ºC).

El punto de ebullición de un líquido es la temperatura a la cual la presión de su vapor es igual a la presión exterior. Los puntos de solidificación también varían con la presión exterior. El punto de solidificación de una sustancia como el agua, que se dilata al solidificarse, desciende al aumentar la presión, verificándose lo contrario en aquellas sustancias que se contraen al solidificarse. La variación del punto de solidificación es mucho menor que la del punto de ebullición, y así un incremento de presión de una atmósfera sólo hace descender el punto de solidificación del agua en 0,007 ºC, aproximadamente.

4-6 Fases de la materia – Curvas de equilibrio – Punto triple Se vio que una sustancia en estado líquido sólo coexiste con su vapor a una temperatura dada para cada presión (curva de presión de vapor del líquido). El líquido está en equilibrio con su vapor. Algo similar ocurre con la coexistencia del estado sólido con su vapor y la coexistencia del estado líquido con el estado sólido de cada sustancia. Cada fase es estable sólo en ciertos intervalos de temperatura y presión. La transición de una fase a otra normalmente ocurre en condiciones de equilibrio de fases entre las dos fases; y, para una presión dada, esto sólo ocurre a una temperatura específica. Podemos representar estas condiciones en una gráfica p = f (T), llamada diagrama Fig. 4-8 de fases; la Fig. 4-8 es un ejemplo. Cada punto del diagrama representa un estado de la sustancia identificado por los valores de las coordenadas p y T. En general, en las condiciones de temperatura y presión correspondientes a cada punto del gráfico (estado), la sustancia sólo puede existir en “una sola fase” (regiones Sólido, Vapor y Líquido), excepto en los estados representados por los puntos de Tabla 4-3 Punto triple de algunas sustancias las líneas curvas, condiciones en que Sustancia Temperatura (K) Presión (Pa) pueden coexistir “dos fases en equilibrio” y 13,8 0,070 4 .105 Hidrógeno en el estado representado por el punto de 18,63 0,171 .105 intersección de dichas curvas, cuyas Deuterio 24,56 0,432 .105 Neón coordenadas (pt y Tt) representan la única 63,18 0,125 .105 Nitrógeno combinación de presión y temperatura en Oxígeno 54,36 0,001 52 .105 que los tres estados de la sustancia pueden Amoníaco 195,40 0,060 7.105 coexistir en equilibrio y por eso se lo llama Dióxido de carbono 216,55 5,17.105 punto triple. Las curvas de la figura Dióxido de azufre 197,68 0,001 67.105 reciben el nombre de curvas de equilibrio. agua 273,16 0,006 10 .105

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Estas curvas dividen el diagrama en regiones de sólido, líquido y vapor. La curva de fusión separa las áreas de sólido y de líquido y representa todos los estados posibles (definido cada uno de ellos por un par de valores p y T) en que existe el equilibrio de fases sólido-líquido. Así mismo, la curva de vaporización separa las áreas de líquido y de vapor, y la de sublimación separa las áreas de sólido y de vapor. Las tres curvas se unen en el punto triple, el único estado (definido por sus coordenadas de estado pt, Tt) en que pueden coexistir las tres fases. En la Tabla 4-3 se dan datos de punto triple para varias sustancias. Si se suministra calor a una sustancia a una presión constante pa, ésta evoluciona pasando por una serie de estados representados por la línea a trazos horizontal (a) de la Fig. 4-8. Las temperaturas de fusión y ebullición a esta presión son aquellas en que la línea intercepta las curvas de fusión y vaporización, respectivamente. Si en lugar de pa la presión es ps, el calentamiento a presión constante transforma a la sustancia de sólido directamente a vapor. Este proceso se llama sublimación; la intersección de la línea a trazos (s) con la curva de sublimación da la temperatura Td a la que ocurre dicho cambio de estado para una presión ps. Generalizando, a cualquier presión menor que la del punto triple, no puede existir fase líquida. La línea a trazos (b) de la Fig. 4-8 representa la compresión a temperatura constante Tb. La sustancia pasa de vapor a líquido y luego a sólido en los puntos en que la línea a trazos (b) cruza las curvas de vaporización y fusión, respectivamente. La línea a trazos (d) muestra la compresión a temperatura constante a una temperatura más baja Td; el material pasa de vapor a sólido en el punto donde la línea (d) cruza la curva de sublimación. La presión del punto triple para el CO2 es de 5,1 atm. A la presión atmosférica normal, el CO2 sólido (“hielo seco”) se sublima; no hay fase líquida a esta presión, Fig 4-9.

Fig. 4-9: curvas de equilibrio de CO2

Si esto parece increíble, consideremos las transiciones a fase líquida en puntos cada vez más altos en la curva de vaporización. Al acercarnos al punto crítico, las diferencias en las propiedades físicas (como densidad, volumen y viscosidad) entre las fases de líquido y de vapor se hacen cada vez más pequeñas. Exactamente en el punto crítico las diferencias son cero, y desaparece la distinción entre líquido y vapor. El calor de vaporización también se reduce al acercarnos al punto crítico, y también se hace cero en ese punto.

En el diagrama pV de la Fig. 4-6 vimos que sólo ocurre la transición de fase líquido-vapor cuando la temperatura y la presión son menores que en el punto crítico. El punto crítico corresponde al punto final de la curva de vaporización en las Figs. 4-7 y 4-8; y los valores correspondientes de p y T se denominan presión y temperatura críticas, pc y Tc. Un gas a presión mayor que la crítica no se separa en dos fases cuando se enfría a presión constante (sobre una línea horizontal por encima del punto crítico en la Fig. 4-8). En vez de ello, sus propiedades cambian gradual y continuamente desde aquellas ordinariamente asociadas a los gases (baja densidad, alta compresibilidad) a las de alta densidad y baja compresibilidad (generalmente asociadas a un líquido) sin que haya transición de fase.

kg

kg

Figura 4-10: curvas de equilibrio de H2O

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Para casi todos los materiales conocidos, las presiones críticas son mucho mayores que la atmosférica, y por ello no observamos este comportamiento en la vida diaria. Por ejemplo, el punto 5 crítico del agua está en 647,4 K y 221,2.10 Pa (unas 218 atm). Sin embargo, las calderas de vapor a alta presión en las plantas generadoras de electricidad suelen operar a presiones y temperaturas muy por encima del punto crítico. Mientras que la mayor parte de las sustancias aumentan de volumen cuando pasan de sólido a líquido, existen algunas para las cuales sucede lo contrario. El agua es una de estas últimas. Para esta sustancia, un aumento de presión produce un descenso del punto de solidificación, como indica la Fig. 4-10. –––––o0o–––––

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CAPÍTULO 5 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA 5-1 Introducción El motor de un automóvil y los motores a reacción de un avión usan el calor de combustión de su combustible para realizar trabajo mecánico e impulsar el vehículo. El tejido muscular de los organismos vivos metaboliza energía química de los alimentos y realiza trabajo sobre el entorno del organismo. Una máquina o una turbina de vapor aprovechan el calor de combustión del carbón o de otro combustible para realizar trabajo mecánico que mueva un tren o que haga funcionar a un generador eléctrico, respectivamente. La termodinámica trata de las relaciones energéticas en las que intervienen el calor, la energía mecánica y otros aspectos de la energía y de la transferencia de energía. En general los principios de la termodinámica se establecen tomando como referencia un sistema bien definido. En Física se define como sistema a una cantidad determinada de materia encerrada en límites imaginarios o reales. Fuera de esos límites está el llamado entorno, medio exterior, o ambiente. Finalmente, el conjunto de ambos (sistema + ambiente) constituye el universo. Un sistema termodinámico puede interactuar con el ambiente intercambiando materia y/o energía. Se llama: • sistema abierto a aquél que puede intercambiar materia y energía con el medio exterior. • sistema cerrado a aquél que sólo puede intercambiar energía con el medio exterior. • sistema aislado a aquél que no intercambia ni materia ni energía con el medio exterior. El intercambio de energía se puede realizar de distintas formas, p.ej. la transferencia de calor (ingreso o egreso) y la realización de trabajo (del sistema sobre el medio exterior o a la inversa) El sistema podría ser un dispositivo mecánico, un organismo biológico, el refrigerante de un acondicionador de aire o el vapor de agua que se expande en una turbina. La termodinámica estudia problemas eminentemente prácticos tal como los mencionados en el primer párrafo.

5-2 El trabajo en los cambios de volumen Las relaciones de energía de cualquier proceso termodinámico se describen en función de la cantidad de calor Q intercambiado con el sistema, y el trabajo W realizado por el sistema o por el entorno. Tanto Q como W pueden ser positivos, negativos o nulos. Un ejemplo muy conocido de sistema termodinámico es el de un gas contenido en un cilindro provisto de un pistón. Se puede suministrar energía al sistema por conducción de calor, y también es posible realizar trabajo mecánico por o sobre el sistema, pues el pistón puede desplazarse. Llamaremos trabajo termodinámico al realizado por el sistema durante un cambio de volumen. Para calcularlo consideraremos un gas contenido en un cilindro provisto de un pistón móvil, como el ilustrado en el siguiente esquema: dx

p. A

Como consecuencia de la fuerza realizada por el gas sobre la cara izquierda del pistón, éste se desplaza hacia la derecha, de la posición 1 a la 2.

A

1

2

Supongamos que el cilindro tiene una sección transversal A y que la presión ejercida por el sistema en la cara del pistón es p. El valor de la fuerza ejercida por el sistema es, por lo tanto, pA. Si el pistón se mueve hacia la derecha una distancia infinitesimal dx, el trabajo realizado por esta fuerza es: dW = p.A.dx Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Pero: A.dx = dV Donde dV es la variación de volumen del sistema. Por lo tanto: dW = p.dV En una variación finita de volumen de V1 a V2, es: W=

V2

∫

V1

p.dV

(5-1)

La ecuación anterior representa el trabajo efectuado en un cambio de volumen. En general la presión del sistema puede variar durante el cambio de volumen, y la integral sólo puede calcularse si conocemos la presión como función del volumen. Dado que la variación de volumen ∆V es la diferencia Vf – Vi , si Vf > Vi, ∆V será positivo y por lo tanto el trabajo termodinámico será positivo en cualquier proceso que implique una expansión. Se dice en estos casos que “el sistema realiza trabajo sobre el medio exterior”. Por el contrario en cualquier compresión, como Vf < Vi el trabajo termodinámico será negativo. Se dice en estos casos que “el medio exterior realiza trabajo sobre el sistema”. Es habitual representar gráficamente esta relación trazando p en función de V, como se ilustra en la Fig.5-1. P 1 Entonces puede interpretarse gráficamente la ecuación Fig. 5-1 anterior como el área comprendida bajo la curva limitada por V1 y V2. Es decir, el trabajo realizado cuando una sustancia varía su volumen está representado por el área 2 comprendida bajo la curva de un diagrama pV. Por otra parte, si se hubiera recorrido cualquier otro Trabajo ≡ Área camino posible entre el estado inicial 1 y el estado final 2 que indica la figura, el área comprendida bajo la curva V hubiera sido diferente, por consiguiente también el V1 V2 trabajo realizado sería diferente. Se puede decir, por lo tanto que el trabajo depende no sólo de los estados inicial y final, sino también de los estados intermedios, es decir, de la trayectoria.

5-3 Primera Ley de la Termodinámica Desde un punto de vista microscópico se define a la energía interna de un sistema como la suma de las energías cinéticas de todas sus partículas constituyentes, más la suma de todas las energías potenciales de interacción entre ellas (es decir, la energía interna es propia del sistema). En cambio, el calor es la energía transferida de un objeto a otro debido a una diferencia de temperatura (o sea, energía en tránsito). Una vez transferida esta energía al objeto se puede convertir (total o parcialmente) en parte de la energía total de sus moléculas, es decir, de su energía interna. P 1 Fig. 5-2 Supóngase que un sistema cambia del estado inicial 1 al estado final 2, siguiendo una de las trayectorias dibujadas (Fig. 5-2). Se mide el calor Q absorbido por el sistema y el trabajo W realizado por el mismo. Expresando Q y W en las mismas unidades y teniendo 2 en cuenta que, por convenio, Q se considera positivo cuando fluye hacia el sistema (y negativo cuando sale del Trabajo = Área sistema), se puede calcular la diferencia Q – W. Si ahora V se hace lo mismo, pero siguiendo muchas trayectorias V1 V2 diferentes, entre los mismos estados 1 y 2, se encuentra experimentalmente que:

• • •

W es distinto para cada trayectoria (lo cual es evidente al observar el área bajo cada curva) Q es distinto para cada trayectoria (no es evidente aunque también se puede demostrar) Q – W es la misma para todas las trayectorias que unen 1 y 2. (*)

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Pero Q es la energía suministrada al sistema por transferencia de calor y W es igual a la energía extraída del mismo por la realización de trabajo. Por lo tanto la diferencia Q – W tiene que representar la variación de energía interna del sistema. Entonces, según (*) “la variación de energía interna de un sistema es independiente de la trayectoria; sólo depende de los estados inicial y final”. La energía interna se designa generalmente con la letra U. Así, si U1 es la energía interna del estado 1 y U2 la del estado 2, entonces: U2 – U1 = ∆U = Q – W

(5-2)

La ecuación anterior es la expresión matemática de la Primera Ley de la Termodinámica y es una generalización del principio de conservación de la energía. También define, desde el punto de vista macroscópico, la variación de energía interna de un sistema en cualquier proceso. El valor de la energía interna para un estado no se conoce pero, en los problemas prácticos, generalmente interesan las variaciones de energía interna. No obstante, se puede definir por convención un estado de referencia al que se le asigna arbitrariamente un valor dado (p.ej. cero) y, mediante la ecuación (5-2), calcular la diferencia de energía interna entre ese estado de referencia y cualquier otro. La suma de la energía interna en el primer estado (valor arbitrario) más la diferencia calculada (valor único) daría así, el valor absoluto de la energía interna en el otro estado (también valor único) De todos modos, como sucede con otras formas de energía (p.ej. la potencial gravitatoria), sólo se acostumbra considerar diferencias de energía interna, pero no la energía interna para un estado. Al aplicar la ley en esta forma ha de recordarse que: 1) Todas las magnitudes han de expresarse en las mismas unidades. 2) Q es positivo cuando el sistema recibe calor. 3) W es positivo cuando el sistema se expande (realiza trabajo sobre el medio)

5-4 Casos especiales Se describirán a continuación dos casos especiales de la primera ley de la termodinámica. a) Proceso cíclico Si el proceso realizado es tal que el sistema vuelve a su estado inicial, recibe el nombre de “proceso cíclico”, entonces: U2 = U1 y Q=W Así, aunque durante el proceso el sistema haya recibido una cantidad neta de energía en forma de calor Q, no ha variado su energía interna, ya que ha realizado igual trabajo neto W. b) Sistema aislado Como ya se definió, un sistema aislado no intercambia energía ni materia con el entorno, por lo tanto, no se realiza trabajo ni se intercambia calor y entonces, para cualquier proceso que ocurra en un sistema de este tipo: W=Q=0

y

U2 – U1 = 0 ,

o bien

∆U = 0

Es decir, la energía interna de un sistema aislado permanece constante. Este es el enunciado más general del principio de conservación de la energía. La energía interna de un sistema aislado no cambia mediante ningún proceso, mecánico, eléctrico, químico, nuclear o biológico, que tenga lugar dentro del sistema. La energía de un sistema sólo puede cambiar por un flujo calorífico a través de la superficie que lo limita o por la realización de trabajo. Si tiene lugar cualquiera de estos dos procesos, significa que el sistema ya no es aislado. El incremento de energía del sistema es entonces igual a la diferencia entre la energía que se transfiere en forma de calor y la energía que se pone en juego en forma de trabajo.

5-5 Procesos termodinámicos A continuación se describirán algunos procesos que sufre un gas ideal o un gas real que se comporte como ideal, en los cuales una de las variables termodinámicas se conserva constante. Para dichos procesos se escribirá la expresión de la primera ley de la termodinámica y se hará la interpretación del resultado obtenido. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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1- Proceso isotermo Se llama isotermo a un proceso que tiene lugar a temperatura constante. Para que la temperatura permanezca constante, las variaciones de presión y volumen han de realizarse muy T2 Fig. 5-3 lentamente a fin de que el estado se aproxime al P T3 Proceso Isotérmico equilibrio térmico durante todo el proceso. T1 T = cte Generalmente, ninguna de las variables Q = W termodinámicas Q, W o ∆U es nula. (para un gas ideal)

Pero hay algunos casos especiales en los cuales la energía interna del sistema sólo depende de la temperatura, y no de la presión o el volumen. Un ejemplo de este comportamiento lo presentan los gases ideales. Vale decir que, cuando un gas ideal pasa por un proceso isotermo, su energía interna no varía, y por lo tanto la expresión de la primera ley de la termodinámica queda:

1

2

V1

V

V2

U2 – U1 = ∆U = 0 = Q – W Por lo tanto:

Q= W

Esta relación sólo es válida para los sistemas mencionados. En este caso, la representación gráfica de los estados de equilibrio por los que pasa el sistema es una hipérbola equilátera llamada isoterma (Fig. 5-3). El proceso 1-2 se llama Expansión Isotérmica. El proceso 2-1 (en sentido contrario) es una Compresión Isotérmica.

2- Proceso adiabático Un proceso en el que el sistema no gana ni pierde calor se llama proceso adiabático. En todo proceso adiabático Q = 0. Este impedimento de flujo de calor puede lograrse rodeando el sistema de una capa gruesa de material aislante, como corcho, asbesto, ladrillo refractario o espuma de poliestireno o realizando rápidamente el proceso. El flujo de calor requiere un tiempo finito, por lo que cualquier proceso suficientemente rápido será, a efectos prácticos, adiabático. Aplicando la primera ley a un proceso adiabático tenemos:

T2 P

T3 T1

U2 – U1 = ∆U = Q – W = 0 – W = –W Por lo tanto

1

Fig. 5-4 Proceso Adiabático Q=0 ∆U = –W

2 V1

V

V2

∆U = – W

Así, la variación de energía interna en un proceso adiabático es igual, en valor absoluto, al trabajo termodinámico puesto en juego. Si el trabajo W es negativo, como sucede cuando se comprime un sistema, entonces el segundo miembro de la ecuación (–W) es positivo, U2 es mayor que U1, y la energía interna del sistema aumenta. Si W es positivo, como en el caso de un sistema que se expande, tal como el indicado en la Fig. 5-4, la energía interna del sistema disminuye. Un aumento de energía interna va acompañado normalmente de una elevación de temperatura, y una disminución de energía interna por un descenso de temperatura. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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A medida que el sistema evoluciona adiabáticamente, las tres variables termodinámicas (presión, volumen y temperatura) se modifican. La curva que une los distintos estados de equilibrio por los que pasa el sistema tiene forma parecida a la de las isotermas. A dicha curva se la llama adiabática, y como puede observarse en el gráfico de la Fig. 5-4 tiene mayor pendiente que las de un proceso isotérmico. El proceso 1-2 se llama Expansión Adiabática o Enfriamiento Adiabático. El proceso 2-1 (en sentido contrario) es una Compresión Adiabática o Calentamiento Adiabático.

3- Proceso isócoro Se dice que un proceso es isócoro cuando el sistema termodinámico que lo experimenta no varía de volumen, vale decir ∆V = 0. El aumento de presión y temperatura que provoca un flujo calorífico en el interior de una sustancia contenida en Tc Tb un recipiente rígido de volumen constante es un ejemplo de proceso isócoro. Cuando no varía el P Fig. 5-5 Ta volumen, no se realiza trabajo; W = 0, y por lo tanto, Proceso isócoro 2 en virtud de la primera ley, para un proceso isócoro: V = cte. ∆U = Q U – U = ∆U = Q – W = Q – 0 = Q 2

1

Por lo tanto

∆U = Q

Es decir que todo el calor puesto en juego se ha 1 utilizado para variar la energía interna. Se puede imaginar un proceso isócoro, cuando se V traba al pistón del cilindro del sistema termodinámico, como indica la Fig. 5-5, y se le suministra calor. En este caso la representación gráfica de los estados de equilibrio por los que pasa el sistema se representa, en un diagrama p-V, por una recta vertical llamada isócora. El proceso 1-2 se llama Calentamiento Isócorico. El proceso 2-1 (en sentido contrario) es un Enfriamiento Isocórico.

4- Proceso isobárico Se llama proceso isobárico al que tiene lugar a presión constante. Considere un gas contenido en un cilindro con un émbolo que puede moverse libremente y sin rozamiento. Cuando se incorpora calor al gas, éste se calienta y se expande manteniendo constante su presión. Si se P T2 grafican los estados de equilibrio por los que pasa Fig. 5-6 T3 el sistema durante un proceso isobárico, en un Proceso isobárico T1 diagrama p-V (Fig. 5-6), se obtendrá una recta p = cte. paralela al eje de los volúmenes, llamada isobara. ∆U = Q – p (V2 – V1) El incremento de temperatura se puede apreciar claramente en la figura observando que la isobara va cortando isotermas correspondientes a temperaturas cada vez mayores. Y ello significa que la energía interna del gas se incrementa. El proceso graficado es un Calentamiento V2 V V1 isobárico. Si evoluciona en sentido contrario se trata de un Enfriamiento Isobárico. En un proceso isobárico, se cumple que: W = p (V2 – V1) La primera ley de la termodinámica queda expresada:

F

U2 – U1 = ∆U = Q – W = Q – p (V2 – V1) Por lo tanto ∆U = Q – p ∆V Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Otro ejemplo de proceso isobárico se tiene si se vaporiza una masa m de un líquido a presión y temperatura constantes, siendo VL el volumen del líquido y VV el volumen de vapor, el trabajo realizado por el sistema al aumentar el volumen de VL a VV a la presión constante p es: W = p (Vf – Vi) , en este caso resulta:

W = p (VV – VL)

Como el calor absorbido por unidad de masa es el calor de vaporización LV, el calor total transferido en el proceso será: Q = m.LV En virtud de la primera ley de la termodinámica: Uf – Ui = Q – W UV – UL = m.LV – p (VV – VL)

5-6 Proceso de estrangulación Un proceso de estrangulación es aquél en el cual un fluido, inicialmente a presión elevada constante, pasa a través de un tabique poroso o de una pequeña abertura, llamada válvula de estrangulación a una región de presión inferior constante sin que tenga lugar transferencia de calor. En la Fig. 5-7a un fluido es descargado por una bomba a alta presión, después pasa, a través de una válvula de estrangulación, a un tubo que lo conduce directamente al lado de admisión a baja presión de la bomba. Cada elemento sucesivo del fluido experimenta el proceso de estrangulación en una corriente continua. Considérese cualquier elemento de fluido encerrado entre el pistón y la válvula de estrangulación de la Fig. 5-7b. Supóngase que este pistón se mueve hacia la derecha, mientras que otro pistón, al otro lado de la válvula, se mueve también hacia la derecha con una velocidad tal que la presión en el lado izquierdo mantiene un valor constante alto p1, y en el de la derecha un valor constante mas bajo p2. Después de haber hecho pasar todo el fluido a través de la válvula, el estado final es el que muestra la Fig. 5-7c. salida a alta presión

Bomba

p1 V1

admisión a baja presión

Válvula de estrangulamiento 1

2

p2 V2

Aislador de calor

Fig. 5-7a: Sistema con dos presiones p2

p1

V2

V1

Figura 5-7b: Fluido a presión elevada y constante p1. Representa al lado 1 de la válvula de estrangulamiento.

Figura 5-7c: Fluido a presión inferior y constante p2 Representa al lado 2 de la válvula de estrangulamiento.

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Sean V1 y V2 los volúmenes inicial y final. Dado que el fluido a baja presión, a la derecha de la válvula en la Fig. 5-7c, pasa del volumen cero al V2 a la presión constante p2, el trabajo realizado es: W2 = p2 (V2 – 0) = p2.V2 Como el volumen del fluido a alta presión, a la izquierda de la válvula en la Fig. 5-7b, pasa de V1 a cero a la presión constante p1, el trabajo realizado es: W1 = p1 (0 – V1) = – p1.V1 El trabajo neto realizado en todo el proceso es igual a la suma de los trabajos parciales efectuados: W = W 1 + W 2 = p2.V2 – p1.V1 Como el proceso es adiabático Q = 0, por lo tanto en virtud de la primera ley: U2 – U1 = 0 – (p2.V2 – p1.V1) O bien: U2 + p2.V2 = U1 + p1.V1

(5-3)

Este resultado es de gran valor en la ingeniería de vapor y en la de refrigeración. Los valores de la suma U + p.V, denominada entalpía, están tabulados para el vapor de agua y para muchas sustancias refrigerantes. El proceso de estrangulación tiene mucha importancia en el funcionamiento de un frigorífico, porque es el proceso que, debido a la expansión del gas en condiciones adiabáticas, origina la caída de temperatura necesaria para la refrigeración.

5-7 Forma diferencial de la primera ley de la termodinámica Hasta ahora se ha utilizado la primera ley de la termodinámica sólo en su forma finita, que se refiere a un proceso en el que los estados 1 y 2 difieren en presión, volumen y temperatura en una cantidad finita, vale decir: ∆U = U2 – U1 = Q – W Supóngase ahora que los estados 1 y 2 difieren infinitamente poco. Entonces se transfiere una cantidad de calor infinitesimal dQ, se realiza una cantidad de trabajo infinitesimal dW, y el sistema sufre una variación de energía interna infinitesimal dU. En estas condiciones la primera ley se convierte en: dU = dQ – dW En sistemas como los que hemos considerado, el trabajo estará dado por dW = p.dV, y la primera ley en forma diferencial es: dU = dQ – p.dV

(5-4)

5-8 Expansión libre - Energía interna de un gas ideal Considérese un recipiente dividido en dos cámaras, en una de ellas se encuentra inicialmente un gas, y en la otra se ha hecho el vacío, como muestra la figura 5-8. Ambas cámaras están separadas por una membrana, y el recipiente está térmicamente aislado del exterior. El estado inicial del gas viene caracterizado por los valores de algunas de sus variables de estado: p1, V1, T1 y U1. Supóngase que la membrana que separa las dos cámaras se rompe espontáneamente, y el gas se expande libremente hasta llenar todo el recipiente. Este proceso se denomina “expansión libre”.

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pI VI T I UI

Vacío

p2 V2 T2 U2

Estado Inicial

Estado Final

Fig. 5-8 Durante la expansión libre el gas no está en equilibrio, sin embargo al cabo de un tiempo el gas alcanzará el estado de equilibrio en el que las variables de estado tendrán los valores p2, V2, T2 y U2. Si se quiere comparar estos valores finales, con respecto a los iniciales, se recurre a los aparatos de medición adecuados, observándose que: el volumen ha aumentado y la presión ha disminuido. El cambio en la energía interna del gas puede calcularse aplicando la primera ley de la termodinámica al proceso de expansión libre. Debido a que las paredes están recubiertas por un material aislante, el proceso es adiabático, así que Q = 0. Además no hay movimiento de ninguna de las paredes del recipiente, de modo que el sistema no realiza trabajo sobre su entorno, y entonces W = 0. Por lo tanto la energía interna no cambia, ya que ∆U = Q – W = 0 – 0 = 0 ∆U = U2 – U1 = 0 U2 = U1 Se concluye que los estados inicial y final del gas tienen la misma energía interna. Las medidas experimentales de temperatura llevadas a cabo en gases reales demuestran que en una expansión libre la temperatura cambia, aunque sólo ligeramente. En el caso límite de los gases de baja densidad o en el de un gas ideal, el cambio de temperatura en una expansión libre tiende a cero. Esto indica que la energía interna del gas ideal no se ha modificado a pesar de que ha cambiado su volumen y su presión. Por lo tanto el proceso de expansión libre conduce la siguiente conclusión importante: “La energía interna de un gas ideal sólo depende de su temperatura”. En el caso de los gases reales, ocurren cambios de temperatura durante las expansiones libres, aunque la energía interna es constante. Esto indica que la energía interna no puede depender sólo de la temperatura, debe depender también de la presión.

5-9 Calores específicos de un gas La temperatura de un gas puede elevarse en condiciones muy distintas. Cabe, p. ej., mantener el volumen constante, o bien mantener constante la presión, o puede permitirse que ambos varíen de un modo arbitrario. En cada uno de estos casos resulta diferente la cantidad de calor que se necesita para elevar en un grado la temperatura de una masa dada del gas. En otras palabras: un gas posee distintas capacidades caloríficas. Sin embargo, sólo se utilizan dos en la práctica: las que corresponden a presión y a volumen constante. Ya se vio que, cuando la capacidad calorífica de un cuerpo se expresa por unidad de masa recibe el nombre de capacidad calorífica específica o calor específico. Resulta útil también expresarla para un número de gramos igual a la masa molar, esto es, un mol. En este caso la capacidad calorífica correspondiente se llama capacidad calorífica molar o calor específico molar. La Ecuación Fundamental de la Calorimetría: Q = m.c. ∆ t puede entonces escribirse: Qv = n Cv . ∆ t

(si el calor ha sido transferido a Volumen constante), o bien

Qp = n Cp . ∆ t

(si el calor ha sido transferido a presión constante).

Si se tienen n moles de un gas perfecto, con una capacidad calorífica molar a volumen constante “Cv”, y se eleva su temperatura, a volumen constante, en “dT”, el calor comunicado es dQv = n Cv dT Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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y el trabajo realizado es nulo. Utilizando el primer principio de la termodinámica en su forma diferencial, dQv = dU + dW y reemplazando, obtenemos:

n Cv dT = dU

(5-5)

Si la misma masa de gas y en el mismo estado inicial se calentase a presión constante, p, hasta la misma temperatura final, el calor suministrado sería dQp = n Cp dT, siendo Cp la capacidad calorífica molar a presión constante. Sin embargo, en este proceso el gas se dilataría una cantidad dV y realizaría una cantidad de trabajo dW = p dV. Aplicando de nuevo la forma diferencial del primer principio, se obtiene: (5-6)

n Cp dT = dU + p dV

En ambos procesos, la variación de energía interna dU es la misma, puesto que se producen entre las mismas temperaturas inicial y final, y la energía interna de un gas perfecto es únicamente función de la temperatura. Por consiguiente, combinando las ecuaciones (5-5) y (5-6), resulta:

n Cp dt = n Cv dT + p dV n Cp dT – n Cv dT = p dV n (Cp – Cv) dT = p dV

(5-7)

Pero el trabajo “p dV” realizado por el gas en la expansión a presión constante puede expresarse de otra manera. Al diferenciar ambos miembros de la ecuación de estado pV = nRT, manteniendo constante la presión p, se tiene:

p dV = n R dT, y la ecuación (5-7) se convierte en

n (Cp – Cv) dT = n R dT, o bien, finalmente

Cp – CV = R

(5-8)

Esta ecuación demuestra que la capacidad calorífica molar, a presión constante, de un gas perfecto es siempre mayor que la capacidad calorífica molar a volumen constante, siendo la diferencia la constante universal R de los gases perfectos. Por supuesto R ha de expresarse en las mismas unidades que Cp y Cv; ordinariamente en cal/mol.K. Puesto que R = 8,31 J/mol.K y 4,186 joule = 1 cal , 8,31 cal R= ≅ 1,99 4,186 mol K o sea, aproximadamente, 2 cal/mol.K. En rigor, la ecuación (5-8) sólo es cierta para los gases perfectos, pero es muy aproximada para los gases reales a presiones moderadas. En la Tabla 5-1 figuran valores experimentales de Cp y Cv para algunos gases reales a bajas presiones, y se ve que la diferencia es prácticamente igual a 2 cal.mol–1.K–1

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TABLA 5-1 - Capacidades caloríficas molares de los gases a baja presión (en cal/mol.K) Cp

Nº de átomos en la molécula

Gas

Cp

Cv

Cp – Cv

Monoatómicos

He A

4,97 4,97

2,98 2,98

1,99 1,99

1,67 1,67

H2 N2 O2 CO

6,87 6,95 7,03 6,97

4,88 4,96 5,04 4,98

1,99 1,99 1,99 1,99

1,41 1,40 1,40 1,40

CO2 SO2 SH2

8,83 9,65 8,37

6,80 7,50 6,20

2,03 2,15 2,10

1,30 1,29 1,34

Diatómicos

Triatómicos

γ=

Cv

En la última columna de la Tabla 5-1 se han incluido los valores de la razón Cp/Cv, simbolizada por la letra griega γ (gamma) y que se denomina “coeficiente de Poisson”. Se ve que γ es 1,67 para los gases monoatómicos y aproximadamente 1,40 para los llamados gases diatómicos permanentes. Para los gases triatómicos el valor se acerca a 1,29 pero con mayor dispersión que en los casos anteriores y para los gases poliatómicos con molécula más compleja el valor es aún menor pero no se cumple tal regularidad.

5-10 Cálculo de la variación de energía interna de un gas ideal entre dos estados La ecuación (5-5) dU = n Cv dT deducida para una transformación a volumen constante, cuando se aplica a un proceso finito, conduce a: U2 – U1 = n Cv (T2 – T1) A continuación se demostrará que la expresión anterior es válida para el cálculo de ∆ U en “cualquier proceso” que lleve al sistema desde el estado 1 al estado 2. Supóngase que se desea hallar la variación de energía interna de un gas perfecto que evoluciona desde el estado representado por el punto (1) en la Fig. 5-9 al representado por el punto (2) a lo largo de la trayectoria indicada, proceso en el que ni el volumen, ni la presión, ni la temperatura permanecen constantes. A modo de guía, se han dibujado las isotermas que pasan por cada uno de esos puntos. Ya que el cambio de energía interna entre los estados 1 y 2 es el mismo para todos los procesos que pasen de uno a otro de estos puntos, se podría elegir algún camino que resulte conveniente para facilitar el cálculo, Por ejemplo, llevar al gas desde el mismo estado inicial (1) al mismo estado final (2) pasando por el estado intermedio (3), Se procederá a calcular la ∆U en el proceso (1→3), la ∆U para el proceso (3→2) y luego se sumarán para obtener el cambio total de energía interna del sistema desde el estado (1) al (2).

p

Figura 5-9

3

2 1 P

T2 2T1

Ya que el proceso (1→3) se realiza a volumen constante, la variación de energía interna a lo largo de esa trayectoria es:

V

∆U1→3 = U3 – U1 = n Cv (T2 – T1) La variación de energía interna a lo largo de la trayectoria (3→2) es cero, ya que tiene lugar a temperatura constante, por lo que U3 = U2 es decir: Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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∆U3→2 = 0 Por tanto,

∆U1→2 = ∆U1→3 + ∆U3→2 = Q1→3 = QV U2 – U1 = n Cv (T2 – T1)

(5-9)

Ahora bien, cualquiera que sea la posición de los puntos 1 y 2 en el plano p-V, siempre es posible ir desde un punto al otro siguiendo una trayectoria tal como la 1-3-2, que equivale a un proceso a volumen constante combinado con un proceso isotérmico. Por lo tanto, se puede asegurar que la ecuación (5-9) es válida para el cálculo de la variación de energía interna del sistema en cualquier proceso.

5-11 Compresión y expansión adiabáticas de un gas perfecto Cuando se comprime adiabáticamente un gas perfecto, el trabajo realizado sobre el gas sirve para aumentar su energía interna y, puesto que la energía interna de un gas perfecto sólo depende de su p temperatura, ésta se eleva, Inversamente, en una expansión adiabática de un gas perfecto, la temperatura disminuye. En la Fig. 5-10, las líneas de trazo continuo representan las curvas adiabáticas del diagrama p-V, y las curvas de trazo discontinuo son las isotermas, que se han dibujado para que puedan compararse con las primeras. Una curva adiabática tiene en cualquier punto mayor pendiente que la isoterma que pasa por el mismo punto; esto es, cuando se recorre una adiabática de derecha a izquierda (proceso de compresión), la curva corta continuamente isotermas que corresponden a temperaturas cada vez mayores, de acuerdo con el hecho de que la temperatura aumenta continuamente en una compresión adiabática.

V

Figura 5-10

Para deducir la relación entre T y V que rige una transformación adiabática, se usará nuevamente la forma diferencial del primer principio: dU + p dV = dQ En un proceso adiabático, dQ = 0 y, según lo demostrado en el apartado anterior, en el caso de un gas perfecto, dU = n Cv dT, Por consiguiente: n Cv dT + p dV = 0 Puesto que p = n R T/ V, reemplazando p en la ecuación anterior resulta n Cv dT + n R T y si se dividen ambos miembros n Cv T:

dV = 0 V

n C v dT n R T dV + =0 nCv T n Cv T V dT R dV + =0 T Cv V y considerando que

(5-10)

Cp − C v Cp Cv R = = − = γ −1 Cv Cv C v Cv

la ecuación (5-10) también puede escribirse dV dT + (γ − 1) =0 T V Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Si se integra esta ecuación y se tiene en cuenta que γ permanece prácticamente constante, se obtiene: ln T + (γ – 1) ln V = ln constante y de ello resulta ln(T Vγ – 1) = ln constante

o bien:

T Vγ – 1 = constante

(5-11)

Aplicando esta ecuación a los estados 1 y 2, podemos escribirla en una forma más útil: T1 V1γ – 1 = T2 V2γ – 1 (5-12) La relación entre p y V en una transformación adiabática se deduce directamente de la ecuación (5-11), sustituyendo T por su valor T = p V / n R. Así,

p V γ −1 V = const, nR

⇒

p γ V = const, nR

⇒

pV γ = constante

(5-13)

Ésta puede también, escribirse en la forma más práctica: γ

γ

p1 V1 = p2 V2

(5-14)

Las ecuaciones (5-11), (5-12), (5-13) y (5-14) constituyen las expresiones matemáticas de la Ley de Poisson. Al igual que ocurre con las otras leyes de los gases vistas previamente, estas ecuaciones se cumplen exactamente sólo para los gases ideales, pero pueden aplicarse también (con una aproximación aceptable) a gases reales a presiones relativamente bajas.

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CAPÍTULO 6 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA 6.1- Introducción Se ha sugerido que un motor térmico podría ser desarrollado haciendo uso de la diferencia de temperatura entre el agua en la superficie del océano y la del agua a varios cientos de metros de profundidad. En los trópicos, las temperaturas pueden ser de 27 ºC y 4 ºC, respectivamente. ¿Cuál es la eficiencia máxima que tal motor podría tener? ¿Por qué podría ser factible tal motor? ¿Puede usted imaginar algún efecto ambiental adverso que pudiera presentarse? Es fácil producir energía térmica por medio de trabajo, por ejemplo, frotando simplemente las manos, o por medio de cualquier proceso en el que intervenga la fricción. Pero es más difícil obtener trabajo a partir de la energía térmica, y la invención de un dispositivo práctico para lograr esto se dio apenas alrededor del año 1700 con el desarrollo de la máquina de vapor. Una planta moderna generadora de energía (usina) que quema carbón produce vapor, el cual efectúa trabajo en turbinas para generar electricidad y una vieja locomotora de vapor, efectúa trabajo sobre un pistón que mueve barras eslabonadas para girar las ruedas de una locomotora. La eficiencia de cualquier máquina, sin importar que tan cuidadosamente esté construida, está limitada por la naturaleza, como se verá con la segunda ley de termodinámica. Es decir que aún cuando podemos, en la práctica, convertir una dada cantidad de trabajo completamente en calor, nunca hemos sido y no podremos ser capaces de idear un mecanismo que convierta una cantidad dada de energía calorífica completamente en trabajo.

6.2- Motores térmicos Una de las características de la sociedad industrial es su capacidad de utilizar fuentes de energía distintas de los músculos del hombre y de los animales. La mayor parte de nuestra energía procede de la combustión de combustibles fósiles y de reacciones nucleares; estas fuentes suministran energía que se convierte en calor. Parte de este calor puede usarse directamente, pero para mover una máquina o propulsar un vehículo se requiere energía mecánica. Entonces, una cuestión básica es la de extraer calor de una fuente y convertirlo en energía mecánica con el máximo rendimiento posible. Cualquier dispositivo que convierta calor en energía mecánica se denomina motor térmico. En él, cierta cantidad de materia experimenta diversos procesos térmicos y mecánicos, como la adición y sustracción de calor, expansión, compresión y cambio de fase. Esta materia se denomina sustancia activa del motor. Para simplificar consideraremos un motor en el cual la sustancia activa experimenta un proceso cíclico, es decir, una secuencia de procesos en la cual finalmente vuelve al estado inicial. Anteriormente se trató la representación de los procesos termodinámicos en un diagrama pV y se demostró que el área comprendida bajo la curva de estos diagramas representa el trabajo realizado por el sistema durante los procesos correspondientes. Un proceso cíclico se representa en un diagrama pV por una curva cerrada (ver Fig. 6-1), es decir, un ciclo es un proceso en el cual el sistema regresa al estado inicial del que había partido. El sistema realiza un trabajo positivo cuando se expande de V1 a V2, y un trabajo negativo, pero menor, cuando se comprime de V2 de nuevo a V1. Se advertirá que el área encerrada por la curva corresponde al trabajo neto realizado por el sistema durante un ciclo. Si se recorre la curva en el sentido de las agujas del reloj, el trabajo es positivo y, en sentido contrario, negativo. Cuando un sistema realiza algún proceso cíclico su energía interna final es igual a la inicial, por lo tanto, en virtud de la primera ley, para cualquier número de ciclos completos es: U2 – U1 = Q – W = 0 ⇒ Q = W Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Es decir, en un proceso cíclico, el “flujo neto” de calor al motor es igual al “trabajo neto” realizado por el mismo. En el funcionamiento de un motor térmico hay siempre dos cuerpos capaces de suministrar o absorber grandes cantidades de calor sin cambios apreciables en sus temperaturas. Así, por ejemplo, las llamas y gases calientes que rodean la caldera de una máquina de vapor pueden suministrar grandes cantidades de calor a alta temperatura, y constituyen lo que se suele denominar foco o fuente caliente. Representaremos con el símbolo QH el calor transferido entre el foco caliente y la sustancia activa de un motor térmico, dejando claro que, cuando QH es positivo, significa que el calor es absorbido por la sustancia activa. El agua fría o el aire utilizado para enfriar y condensar el vapor después de haber pasado por la turbina funcionan como el foco frío. El calor transmitido entre la sustancia activa y el foco frío se designará por QC. Como en un motor la sustancia activa transfiere calor al foco frío, entonces QC es negativo. Las transformaciones energéticas en un motor térmico están representadas esquemáticamente por el diagrama de flujos de la Fig. 6-2. El motor se ha representado por un círculo. El calor QH suministrado al motor por el foco caliente es proporcional a la sección del “tubo” de la parte superior del diagrama. La sección del “tubo” de salida de la parte inferior es proporcional a la magnitud QC del calor cedido al foco frío (representado en su mayoría por el calor que se expulsa en el escape y por el sistema de refrigeración –radiador–). El tubo de la derecha representa la fracción del calor que el motor transformó en trabajo mecánico. El Principio de Conservación de la Energía aplicado al esquema del motor representado en la Fig. 6-2 nos permite escribir la relación entre QH, QC y W. Si consideramos sólo valores absolutos de modo de trabajar con cantidades positivas, esta relación es:

Foco Caliente a la temperatura T H Q

H

QH = QC+W

Motor

(6-2)

W = QH–QC W Q

W=Q

H

C

-- Q

W=Q +Q H

C

C

La eficiencia térmica de un ciclo, simbolizada con e, se define como el cociente entre el trabajo neto por el calor absorbido, es decir “lo que se obtiene” dividido por “lo que se paga”. En símbolos:

Foco Frío a la temperatura T C

Por lo cual:

e=

W QH

=

QH − QC

e = 1−

Figura 6-2

QH QC QH

=

QH QH

−

QC QH

(6-3)

Debido a las pérdidas por rozamiento, el trabajo útil suministrado por un motor es menor que el trabajo W, y la eficiencia total resulta menor que la eficiencia térmica. Según el diagrama de la Fig. 6-2, el motor más eficiente es aquél en el que el tubo de la derecha, que representa el trabajo obtenido, es lo más ancho posible, mientras que el tubo de salida en la parte inferior es lo más estrecho posible.

6.3- Tipos generales de motores a)

De combustión interna

Se llama así a las máquinas térmicas en las cuales la combustión de la sustancia que libera el calor QH se realiza en el mismo recinto donde se encuentra la sustancia activa. Ej. motor “naftero” (ciclo Otto) y motor “gasolero” (ciclo Diesel). En ellos la sustancia activa es el aire; la fuente caliente son los gases provenientes de la combustión del combustible utilizado (gas, nafta, gasoil, etc.) y ambos se encuentran dentro del cilindro del motor.

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b) De combustión externa En estos motores, el combustible se quema en un lugar distinto a aquél donde se encuentra la sustancia activa. Ej. máquina de vapor. En ella la sustancia activa es vapor; el combustible se quema en el hogar de la caldera que genera el vapor y éste es conducido al cilindro en el cual una parte del calor QH que el vapor recibió de la fuente caliente se transforma en trabajo mecánico. Como ejemplos de ciclos empleados en motores térmicos consideraremos a continuación algunos modelos ideales para describir los procesos termodinámicos que tienen lugar en los motores usuales.

6.3.1- Ciclo Otto La Figura 6-3 muestra el ciclo termodinámico ideal bajo el cual funcionan los motores corrientes de nafta, Figura 6-3 c p llamado Ciclo de Otto, en honor al inventor de este tipo de motor. La parte superior de la figura muestra el ciclo Q H de Otto en un diagrama p-V, mientras que la parte inferior ilustra un cilindro del motor con su b correspondiente pistón. Si bien el dibujo del cilindro es W d horizontal, debe aclararse que los cilindros en los Q motores reales se disponen, en general, verticalmente. C a Las siglas P.M.S. y P.M.I. indican Punto Muerto a’ V Superior y Punto Muerto Inferior, respectivamente. V RV Nótese que si llamamos V al volumen contenido en el A cilindro cuando el pistón se halla en el PMS, el volumen arriba E V’ cuando el pistón se halle en el PMI será mayor. El abajo cociente V’/V simbolizado con R se llama “relación de P.M.S. P.M.I. compresión” y en los motores de los autos modernos tiene un valor típico de 8 a 10. En el cilindro se introduce una mezcla de vapor de gasolina y aire (proveniente del carburador) a través de la válvula de admisión (A) durante el movimiento descendente del pistón, llamado carrera de admisión (o aspiración). Con la válvula de admisión abierta, el volumen contenido en el cilindro aumenta desde un valor mínimo V hasta un valor máximo V’ = R.V (proceso a’a) “idealmente” a presión constante igual a la atmosférica. Luego se cierra la válvula de admisión, el pistón sube hasta el PMS y la mezcla se comprime en un proceso rápido, prácticamente adiabático a lo largo de la curva ab hasta un volumen V durante la carrera de compresión. A continuación, se inflama la mezcla por medio de la chispa producida por bujía. La combustión de la gasolina suministra al sistema el calor QH, y el gas se calienta rápidamente aumentando la presión sin que el pistón alcance a desplazarse en forma significativa (proceso bc, idealmente, a volumen constante). El gas se expande hasta alcanzar el volumen RV, empujando el pistón y realizando trabajo; ésta es la carrera de trabajo (o expansión) cd que, por ser muy rápida, también se considera una transformación prácticamente adiabática. Al final de la carrera de trabajo, la válvula de escape (E) se abre y gran parte de los productos de la combustión salen rápidamente (proceso da, inicio del escape) a volumen casi constante y luego, al moverse el pistón nuevamente hacia el PMS, se completa el barrido de los gases hacia el exterior mediante la carrera de escape (transformación aa’, idealmente a presión constante). Durante el proceso da el gas se enfría a la temperatura del aire exterior e intercambia el calor QC. Al final, se cierra la válvula de escape, se abre la de admisión y el ciclo puede reiniciarse. En la práctica no entra el mismo aire de nuevo en el motor pero, como entra una cantidad equivalente, puede considerarse que el proceso es cíclico. Obsérvese que, en este ciclo ideal, los respectivos trabajos asociados a los procesos a’a y aa’ se cancelan por tener igual valor y signo opuesto. Lo mismo sucede con los respectivos calores puestos en juego. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Para este ciclo ideal, puede demostrarse que la eficiencia térmica resulta:

e = 1−

1 R γ −1

(6-4)

Incluso para este modelo idealizado, la eficiencia térmica dada por la ecuación 6-4 es bastante menor que la unidad. Para una R = 8 y γ = 1,4 (el valor para el aire), se obtiene e = 0,56, es decir, el 56 %. Puede aumentarse la eficiencia aumentando R, pero esto también hace que se eleve la temperatura al final de la compresión adiabática de la mezcla gasolina-aire. Si la temperatura es demasiado alta, la mezcla se inflama en forma espontánea y prematuramente, en lugar de hacerlo de manera uniforme después que salte la chispa en la bujía. La robustez mecánica y el desgaste de componentes del motor también plantean problemas: en la práctica, la relación de compresión máxima para la gasolina normal es, aproximadamente 10. El ciclo descrito, no tiene en cuenta los efectos del rozamiento, turbulencia, pérdidas de calor por las paredes del cilindro y muchos otros que contribuyen a reducir la eficiencia de un motor real. La eficiencia de los motores a gasolina reales es del orden del 20 %.

6.3.2- Ciclo Diesel Con el objeto de poder aprovechar una mayor relación de compresión, lo que permitiría obtener una mayor eficiencia, Diesel ideó el ciclo que lleva su nombre. El funcionamiento de un motor Diesel, cuyo ciclo teórico está representado en la Figura 6-4 es similar al de gasolina, la diferencia principal es que no hay combustible en el cilindro durante la compresión. Sólo se aspira aire durante el primer tiempo del ciclo (proceso a’a). El aire se comprime adiabáticamente (proceso ab) y más intensamente que en el motor Otto, alcanzando una altísima temperatura. A continuación se inyecta el combustible finamente pulverizado en el cilindro y se inflama en forma espontánea (aunque no tan rápidamente como en el ciclo Otto) a medida que se expande. Como el combustible se inyecta a presión, ese comienzo de la carrera de trabajo (proceso bc o inyección) se realiza a presión aproximadamente constante. Terminada la inyección, los gases calientes continúan expandiéndose, pero esta vez la presión disminuye en un proceso aproximadamente adiabático que completa la carrera de trabajo. Los procesos restantes son similares a los del ciclo anterior. En el proceso de compresión (ab), el gas que se comprime es sólo aire (no hay combustible) de modo que durante la carrera de compresión no se puede producir un encendido prematuro y la relación de compresión R puede ser mucho mayor que en el motor Otto. Son típicos los valores de 15 a 20. Con esos valores de R y siendo γ = 1,4 la eficiencia del ciclo Diesel ideal es, aproximadamente, de 0,65 a 0,70. Al igual que en el ciclo de Otto, la eficiencia de cualquier motor real, es menor.

6.3.3- Máquina de vapor Un tipo de máquina de vapor utilizada frecuentemente en centrales generadoras de energía eléctrica es la turbina de vapor (ver Figura 6-5) En una central moderna típica el agua se hace hervir y el vapor es sobrecalentado a presión y temperatura muy altas (unas 200 atm y 500 ºC) en una caldera que utiliza combustible fósil o nuclear. El vapor se expansiona y realiza trabajo contra las palas giratorias de una turbina que acciona el generador eléctrico. El vapor sale de la turbina a una temperatura inferior, unos 200 ºC y a continuación se enfría y se condensa para iniciar de nuevo el ciclo en la caldera. La eficiencia térmica de esta máquina está entre 35 % y 40 %. Es decir, se pierde del 60 % al 65 % de la energía suministrada por la combustión del carbón, parte en el tubo de salida de los gases, pero la mayor parte de la energía se desperdicia con la condensación del vapor utilizado. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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6.4- Frigorífico Un frigorífico puede considerarse como un motor térmico que funciona en sentido inverso. Ya se vio que un motor térmico toma calor de un foco caliente, convierte parte del calor en trabajo mecánico y cede la diferencia en forma de calor a un foco frío. El frigorífico toma calor de un foco frío, el compresor suministra trabajo mecánico y el calor se expulsa a un foco caliente. Si nos referimos al frigorífico doméstico ordinario, los alimentos y los cubos de hielo constituyen el foco frío, el trabajo lo realiza el motor eléctrico y el foco caliente es el aire del ambiente donde se ubica el frigorífico. En la Fig. 6-6 se ilustra el diagrama de flujos de un refrigerador. En un ciclo la sustancia activa extrae el calor QC del foco frío que se halla a temperatura TC y cede el calor QH al foco caliente que está a temperatura TH. Para que ello suceda es necesario que se realice un trabajo W sobre la sustancia activa. Tanto W como QH son negativos, mientras que QC es positivo. Analizando la Fig. 6-6, también podemos escribir la relación entre QC, QH y W tomadas todas como cantidades positivas. Esta relación es:

Foco Caliente a la temperatura T H Q

QC+W=QH

H

W=QH–QC

Refrigerador

W QC Foco Frío a la temperatura T C

Figura 6-6

Desde el punto de vista económico, el mejor ciclo de refrigeración es aquel que elimina la mayor cantidad de calor QC del frigorífico con el mínimo gasto de trabajo mecánico W. Por consiguiente, definimos el coeficiente de rendimiento de un frigorífico, K, como la razón entre el calor absorbido de la fuente fría y el trabajo realizado sobre el sistema. En símbolos:

K=

QC W

=

QC QH − QC

(6-5)

Los principios del ciclo de refrigeración común se muestran esquemáticamente en la siguiente figura (Fig. 6-7).

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El “circuito” contiene un fluido refrigerante (la sustancia activa o de trabajo). El lado izquierdo del circuito (que corresponde a las espiras de enfriamiento dentro del refrigerador) está a baja temperatura y baja presión. El lado derecho (que corresponde a las espiras de condensación fuera del refrigerador) está a alta temperatura y alta presión. Ordinariamente, ambos lados contienen líquido y vapor en equilibrio de fases. El compresor admite el fluido, lo comprime adiabáticamente, con lo que se eleva su temperatura, y lo suministra al condensador a alta presión. La temperatura del fluido es entonces mayor que la del aire que rodea al condensador, así que el refrigerante cede calor |QH| y se condensa parcialmente a líquido. Luego, el fluido se expande adiabáticamente en el evaporador a un ritmo controlado por la válvula de expansión. Al expandirse el fluido, se enfría considerablemente, tanto que está mucho más frío que el entorno del evaporador (recordar el tema “Proceso de estrangulación”). Entonces, el fluido absorbe calor |QC| de su entorno, (enfriando éste) y vaporizándose parcialmente. A continuación el fluido pasa al compresor para iniciar otro ciclo. El compresor, usualmente impulsado por un motor eléctrico, requiere un aporte de energía y realiza un trabajo |W| sobre la sustancia activa (sustancia de trabajo) en cada ciclo. Si no fuera necesario trabajo para hacer funcionar un frigorífico, el coeficiente de rendimiento (Ecuación 6-5) sería infinito. La experiencia demuestra que para hacer pasar calor de un cuerpo frío a otro caliente siempre se necesita trabajo. El calor fluye espontáneamente de un cuerpo caliente a otro frío, y para invertir este flujo se necesita la adición de trabajo desde el exterior.

6.5- Segunda Ley (o Principio) de la Termodinámica Ninguno de los motores térmicos descritos hasta el momento tiene una eficiencia térmica del 100%. Es decir, ninguno de ellos absorbe calor y lo convierte totalmente en trabajo. No hay nada en la primera ley de la termodinámica que impida esa posibilidad. Hay, sin embargo, otro principio, independiente de la primera ley y que no se deduce de ella, que determina la fracción máxima de la energía absorbida por un motor en forma de calor que puede convertirse en trabajo mecánico. La imposibilidad de convertir completamente calor en energía mecánica constituye el fundamento de uno de los enunciados de la segunda ley de la termodinámica

Es imposible para cualquier sistema experimentar un proceso en el que absorba calor de un foco a una sola temperatura y lo convierta totalmente en trabajo mecánico, finalizando en el mismo estado en que comenzó. Llamaremos a éste, “enunciado del motor” de la segunda ley, y nos dice que ningún motor térmico puede tener una eficiencia térmica del 100 %. Si la segunda ley no fuera cierta, podría moverse un barco de vapor a través del océano extrayendo calor del agua del mar, o accionar una fábrica de energía extrayendo calor del aire que la rodea. Debe observarse que ninguna de estas “imposibilidades” contradice la primera ley de la Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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termodinámica. Por consiguiente, la segunda ley no es una consecuencia de la primera, sino que constituye por sí misma una ley natural independiente, referida a un aspecto de la naturaleza distinto al considerado por la primera ley. La primera ley niega la posibilidad de crear o destruir energía, la segunda limita la disponibilidad de la energía y las formas en que puede usarse y convertirse. El análisis de los frigoríficos constituye el fundamento de un enunciado alternativo de la segunda ley. El calor fluye espontáneamente de los cuerpos calientes a los fríos, nunca a la inversa. Un frigorífico transporta el calor de un cuerpo frío a uno caliente, pero su funcionamiento depende del suministro de energía mecánica o trabajo. Generalizando esta observación, enunciamos:

Es imposible para cualquier proceso tener como único resultado la transferencia de calor desde un cuerpo frío a uno caliente. Conocido como “enunciado del refrigerador” de la segunda ley.

6.6- Equilibrio termodinámico - Procesos reversibles e Irreversibles Un sistema experimenta un proceso o transformación cuando, como mínimo, cambia de valor una de sus variables de estado a lo largo del tiempo. Si el estado inicial es distinto del estado final, el proceso es abierto. Si los estados inicial y final son iguales, el proceso es cerrado o cíclico. Si el estado final es muy próximo al estado inicial, el proceso es infinitesimal. Cualquier proceso puede realizarse por muy diversas maneras. Diremos que un sistema se halla en equilibrio termodinámico si satisface los siguientes requisitos: a- el sistema se halla en un estado de equilibrio mecánico (no hay ninguna fuerza desequilibrada en el interior del sistema ni ninguna fuerza desequilibrada entre el sistema y su entorno). b- el sistema se encuentra en equilibrio térmico (todas las partes del sistema están a la misma temperatura y es igual que la del entorno). c- el sistema se encuentra en equilibrio químico (no tiende a sufrir un cambio espontáneo de su estructura interna).

Un sistema en equilibrio termodinámico puede especificarse macroscópicamente dando los valores de algunas cantidades, tales como presión, volumen, temperatura y cantidad de sustancia de la que se trate. Supongamos ahora que cambiamos las condiciones del sistema. Un cambio de dichas condiciones o estado debe ocasionar alguna alteración del equilibrio termodinámico. Supongamos, por ejemplo, que reduzcamos su volumen a la mitad; imaginamos que lo hacemos empujando rápidamente el émbolo que lo limita. El sistema no estará en equilibrio termodinámico; habrá un movimiento relativo de sus partes debido a fuerzas desequilibradas; pueden presentarse diferencias de temperatura porque los efectos caloríficos de la compresión pueden afectar diferentes porciones del sistema de diferentes maneras; puede haber cambios químicos o cambios de fase, por ejemplo, una condensación. Por supuesto, en el transcurso del tiempo si se abandona a sí mismo al sistema puede alcanzar un nuevo estado de equilibrio termodinámico. Sin embargo, durante el proceso de cambio no hay equilibrio termodinámico. Se puede imaginar que la mayoría de los procesos de interés, comienzan en un estado de equilibrio, pasan por estados de no equilibrio, y que terminan en otro estado de equilibrio. La Termodinámica trata de interpretar esos procesos. Pero, en lugar de ocuparse de los detalles de los procesos extraordinariamente complejos mediante los cuales los estados de no equilibrio conducen al equilibrio, la Termodinámica se esfuerza en obtener información simple y general acerca de esos procesos comparando su comportamiento con el de un proceso ideal llamado “proceso reversible”. En un proceso reversible cambiamos el estado de un sistema mediante una sucesión ininterrumpida de estados de equilibrio. Por ejemplo, supongamos que tratamos de reducir el volumen de un sistema a la mitad de su valor inicial mediante una sucesión de pequeños cambios. Primero aumentamos ligeramente la fuerza sobre el émbolo. Esto reduce el volumen del sistema un poco; el sistema se aleja del equilibrio, pero sólo ligeramente. En un corto tiempo, el sistema alcanzará un nuevo estado de equilibrio. Entonces aumentamos la fuerza sobre el émbolo otra vez en una cantidad muy pequeña, reduciendo el volumen un poco más. Nuevamente esperamos que se establezca un Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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nuevo estado de equilibrio, y así seguimos. Entonces, repitiendo muchas veces este procedimiento logramos finalmente el cambio de volumen requerido (ver figura, parte b). Si imaginamos realizar este procedimiento con sucesivos cambios de presión todavía más pequeños, los estados intermedios se alejarán del equilibrio todavía menos. Aumentando indefinidamente el número de pasos y reduciendo consecuentemente el “tamaño” de cada cambio, llegamos a un proceso ideal en el cual el sistema pasa desde un estado inicial hasta un estado final a través de una sucesión continua de estados de equilibrio (ver figura, parte a). Este proceso ideal se llama “proceso reversible”. En la práctica podemos acercarnos muy estrechamente a un proceso reversible cambiando las condiciones externas del sistema con suficiente lentitud.

Ejemplos: 1)

En un proceso isotérmico la temperatura del sistema permanece constante durante todo el proceso. Ahora bien, la temperatura de un sistema en conjunto, tiene un valor definido sólo en un estado de equilibrio, de modo que un proceso isotérmico debe efectuarse solamente a través de estados de equilibrio. Por consiguiente, un proceso isotérmico es un proceso reversible. En la práctica, el proceso isotérmico ideal se logra aproximadamente, cambiando la presión y el volumen muy lentamente mientras se conserva al sistema sumergido en un baño a la temperatura constante requerida.

2)

En un proceso adiabático no se deja que entre calor al sistema ni que salga de él y puede ser reversible o irreversible (la definición no excluye a ninguno de los dos). Como, en la práctica no podemos obtener un aislador del calor perfecto, un proceso adiabático tendría que llevarse a cabo con suficiente rapidez para que el sistema no perdiera o ganara una cantidad importante de calor. Pero, para que el proceso fuera reversible, tendría que llevarse a cabo con suficiente lentitud para que, en cada estado, el sistema tuviera tiempo para llegar casi al equilibrio. Sin embargo, en la práctica, es posible lograr (con suficiente aproximación) que un proceso sea adiabático y también “reversible” porque el tiempo que se requiere para que se iguale la presión o para que otros procesos lleguen al equilibrio es corto teniendo en cuenta la rapidez con que se conduce el flujo de calor.

3)

Todos los procesos que, en capítulos anteriores, se representaron con una línea continua son, idealmente, procesos reversibles. El hecho de haber usado una línea continua implica que todos sus “puntos” representan estados conocidos del sistema (valores determinados de presión, temperatura, volumen, cantidad de sustancia, energía interna, etc.), o sea, estados de equilibrio.

Una característica del proceso reversible para un sistema es que “puede invertirse haciendo sólo cambios infinitesimales en su entorno”. En un proceso reversible el sistema pasa de un estado inicial a uno final a través de una sucesión de estados de equilibrio (para los que, en cada uno de ellos, se conoce las coordenadas de estado del sistema). En los procesos reversibles, el sistema nunca se desplaza más que infinitesimalmente de su equilibrio interno o de su equilibrio con el entorno. Y, por lo tanto, puede invertirse el sentido en que ocurre mediante un cambio infinitesimal en las condiciones externas y hacer que el sistema vuelva desde el estado final al inicial por la misma “trayectoria”. En la realidad, las transformaciones reversibles no existen; son simplemente un modelo ideal que permite obtener conclusiones útiles.

6.7- Principio de Carnot Según la segunda ley, ningún motor térmico puede tener una eficiencia del 100 %. Pero, entonces, ¿cuál es la máxima eficiencia posible de un motor, dados dos focos calóricos a las temperaturas TH y TC? El ingeniero francés Sadi Carnot (1796-1832) fue quien primero obtuvo la respuesta a esta pregunta teórica de indudable importancia práctica. En 1824, Carnot publicó un trabajo sobre los principios generales de las máquinas térmicas. El planteo de Carnot se puede explicar en función de una máquina que, en realidad, no es posible construir. La máquina ideal de Carnot establece un límite superior en la eficiencia de todos los motores reales, incluyendo las máquinas de vapor, los motores que trabajan con gasoil y con nafta, los motores de los aviones a reacción y los reactores nucleares. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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El genio de Carnot se manifestó en el hecho de ir más allá de todos los mecanismos complicados de las diversas máquinas, y describir el proceso fundamental en el que se basaba el trabajo de todas ellas: la transformación de un tipo de energía, el calor, en trabajo mecánico. Pudo reconocer que el trabajo se podía lograr solamente cuando el calor fluía de una temperatura elevada a otra baja. Así, Carnot propuso una máquina “ideal” de calor que opera “cíclicamente” en forma “reversible” entre “dos temperaturas”. La máquina de Carnot no tiene una eficiencia del 100%, pero puede demostrarse que es más eficiente que cualquier otra máquina para la transformación de calor en trabajo operando entre las mismas dos temperaturas. Carnot analizó la transformación de la energía durante un ciclo completo del comportamiento de esta máquina y determinó las condiciones para una eficiencia máxima. En principio, supongamos que la sustancia activa de la máquina es un gas ideal, confinado dentro de un cilindro provisto de un émbolo sin rozamiento. La Figura 6-8 muestra los otros componentes de la máquina de Carnot. Un cuerpo caliente de capacidad térmica infinita, llamado depósito de alta temperatura o foco caliente suministra energía térmica sin modificar su propia temperatura. Una plataforma aislante, junto con los lados del cilindro y émbolo, actúan como aislante perfecto contra el flujo de calor. El cuerpo frío, llamado depósito de baja temperatura o foco frío, también de capacidad térmica infinita, de modo que pueda recibir el calor sin elevar su temperatura. Finalmente hay una segunda plataforma de aislamiento. Un conjunto de granos de arena (actuando como pequeñas pesas) permiten, al colocarlos o sacarlos lentamente, aumentar o disminuir la carga sobre el émbolo.

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El ciclo de Carnot consta de cuatro procesos reversibles: dos isotérmicos y dos adiabáticos (ver Figura 6-9). Etapa 1: El gas está en un estado de equilibrio inicial representado por pa, Va, TH (Fig. 6-8-a). Ponemos el cilindro sobre el foco caliente cuya temperatura es TH, y sacándole granos de arena, dejamos que el gas se expanda lentamente hasta pb, Vb, TH. Durante el proceso, el gas absorbe calor QH por conducción desde la base. La expansión es isotérmica a TH y el gas trabaja elevando el pistón y su carga. Etapa 2: Ponemos el cilindro sobre la plataforma aislante y permitimos que el gas se expanda lentamente, descargando arena, hasta pc, Vc, TC (Fig. 6-8-b). La expansión es adiabática porque ni entra ni sale calor al sistema. El gas efectúa un trabajo elevando el émbolo y, su temperatura disminuye hasta TC. Etapa 3: Ponemos el cilindro sobre el foco frío a TC y comprimimos el gas lentamente (agregándole arena) hasta pd, Vd, TC (Fig. 6-8-d). Durante este proceso se transfiere calor QC del gas al depósito, por conducción a través de la base. La compresión es isotérmica a TC y el pistón con su carga efectúan trabajo sobre el gas. Etapa 4: Ponemos el cilindro en el soporte la plataforma aislante y comprimimos lentamente el gas (agregando arena) hasta su condición inicial pa, Va, TH. La compresión es adiabática porque ni entra ni sale calor del sistema. Se efectúa trabajo sobre el gas y su temperatura se eleva hasta TH.

De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, el trabajo neto en todo el ciclo debe ser igual al flujo neto de calor: W = |QH| – |QC| = QH + QC Es posible demostrar que, para el ciclo de Carnot, el cociente entre el calor cedido al foco frío QC y el extraido del foco caliente QH (en valor absoluto) es igual cociente entre las respectivas temperaturas de dichos focos, es decir:

QC QH

=

TC TH

(6-7)

Reemplazando en la ecuación 6-3, tendremos que la eficiencia para el ciclo viene dada por:

e=

Q H − QC QH

=1−

QC QH

=1−

TC TH − TC = TH TH

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(6-8) Pág.

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Este resultado, sorprendentemente simple, muestra que la eficiencia de un motor de Carnot depende sólo de las temperaturas de los focos caloríficos, y señala las condiciones que ha de reunir un motor real para aproximarse todo lo posible a la eficiencia máxima. Estas condiciones son: que la temperatura del foco caliente (TH) ha de ser lo más alta posible y la del foco frío (TC), lo más baja posible. Cuando la diferencia entre ambas temperaturas es grande (para una TH dada), la eficiencia es prácticamente la unidad. Como todos los procesos de un ciclo de Carnot son reversibles, puede invertirse el ciclo completo, convirtiendo el motor en un frigorífico. El coeficiente de rendimiento del frigorífico de Carnot se obtiene combinando la ecuación (6-5) y la ecuación (6-7) K=

 QC =  W  QH − QC

QC

 QH − QC  K =  QC 

T  K =  H − 1 T  C 

con lo cual tenemos

K=

   

−1

−1

   

 QH    = − 1  QC   

 T − TC   =  H  TC 

TC TH − TC

−1

−1

(6-9)

Cuando la diferencia de temperaturas es pequeña, K es mucho mayor que la unidad, en este caso puede “bombearse” mucho calor desde el foco (o ambiente) a temperatura inferior al de temperatura superior con sólo un pequeño gasto de trabajo. Puede demostrarse, con el Teorema de Carnot, que ningún motor, funcionando entre las mismas temperaturas, puede ser más eficiente que uno de Carnot. La clave de esta demostración reside en la observación anterior de que todos los procesos de un ciclo de Carnot son reversibles, por lo que puede invertirse el ciclo completo. Describiendo el ciclo en sentido contrario, el motor se convierte en un frigorífico. “Si hubiera un motor más eficiente que uno de Carnot” (*), podría utilizarse el trabajo realizado por él para hacer funcionar un frigorífico de Carnot acoplado a las mismas fuentes (caliente y fría) que el motor y, entonces (según se demuestra), este dispositivo combinado tendría como efecto neto bombear una cierta cantidad de calor desde el foco frío al foco caliente SIN EMPLEAR TRABAJO, con lo que violaría la segunda ley de la Termodinámica (el enunciado “del frigorífico”). Como tal cosa es imposible, la suposición (*) es falsa. Por lo tanto, otro enunciado equivalente de la segunda ley es:

Ningún motor que funcione entre dos temperaturas dadas puede ser más eficiente que un motor de Carnot operando entre las mismas temperaturas. También se puede deducir que:

Todos los motores de Carnot operando entre dos temperaturas dadas tienen la misma eficiencia térmica, independientemente de la naturaleza de la sustancia activa. Por lo tanto, aunque las ecuaciones (6-8) y (6-9) se hayan deducido para un motor y un frigorífico de Carnot que utiliza un gas ideal como sustancia activa, de hecho, son válidas para cualquier motor y frigorífico de Carnot, independientemente de la sustancia activa utilizada en el ciclo. –––––o0o–––––

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ANEXO: MOTOR DE EXPLOSION CICLO OTTO En las figuras ubicadas a continuación se presenta un motor a explosión de cuatro tiempos, llamado así porque su funcionamiento se efectúa en cuatro etapas, las que seguidamente se describirán. El motor posee una válvula de admisión “A”, una de escape “B” y una bujía eléctrica “V”, que es un dispositivo destinado a producir la chispa (la cual provoca la ignición o explosión) en el momento oportuno. La mezcla explosiva, constituida por nafta y aire, que se forma en el carburador (no indicado en la figura) llega hasta el espacio “C”, llamado cámara de combustión, a través de la válvula “A”, la cual es gobernada por un sistema de levas y palancas. 1- En el Primer Tiempo: denominado de admisión, la válvula “A” se abre, permitiendo la entrada de la mezcla carburada, mientras que el pistón baja en el cilindro. En el diagrama presión-volumen es desde a´ hasta a.

2- En el Segundo Tiempo: denominado de compresión, la mezcla es comprimida en la cámara “C” (el pistón sube) y su temperatura se eleva. En este tiempo, las válvulas “A” y “E” permanecen cerradas. Como el proceso es rápido, no hay tiempo para que se transfiera una cantidad significativa de calor al medio exterior; la compresión es prácticamente adiabática. En el gráfico de presión volumen se lo aprecia este proceso en el tramo de a hasta b.

3- En el Tercer Tiempo, llamado de explosión y expansión, la bujía “V” produce una chispa eléctrica, originando la ignición de la mezcla explosiva. Este es el único tiempo durante el cual se produce trabajo efectivo, ya que los gases calientes de la combustión, debido a su alta presión, hacen bajar el pistón con fuerza, impartiendo así un movimiento de rotación al eje de manivela del motor (cigüeñal) por medio de la biela. En el diagrama de presión y volumen está representado como: la ignición es durante el transcurso de b hasta c y el desarrollo de la potencia (expansión) es desde c hasta d.

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4- En el Cuarto Tiempo, denominado de enfriamiento y escape, la válvula “E” se abre, permitiendo la salida rápida de la mayor parte de los gases a través del tubo de escape (proceso d-a); luego el pistón sube y se vacía el cilindro (proceso a-a’), con lo que el sistema queda listo para iniciar otro ciclo al cerrarse la válvula “E” y abrirse la válvula “A”.

-----o0o-----

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CAPÍTULO 7 LEY DE COULOMB 7-1- Cargas eléctricas Los antiguos griegos ya sabían, hacia el año 600 a de C, que el ámbar, frotado con lana, adquiere la propiedad de atraer cuerpos ligeros. En la actualidad, al interpretar esta propiedad decimos que el ámbar está electrizado, que posee carga eléctrica, o bien que está cargado eléctricamente. Estos términos derivan de la palabra griega electrón, que significa ámbar. Es posible comunicar carga eléctrica a cualquier material sólido frotándolo con otro material. Una persona se electriza al arrastrar los zapatos contra la alfombra de nylon, un peine se electriza al pasarlo por el cabello seco; se desarrolla carga eléctrica en un papel que se imprime en una prensa y así sucesivamente. En demostraciones prácticas se utilizan frecuentemente una barra de plástico y una piel. Supongamos una barra electrizada por frotación con una piel y a continuación se pone en contacto con dos bolas pequeñas y ligeras de corcho o de médula de sauco suspendidas de finos hilos de seda o nylon. Las esferas serán repelidas por la barra de plástico y se repelerán entre sí. Un experimento análogo realizado con una barra de vidrio, frotada con seda, dará el mismo resultado; las bolas de médula de sauco electrizadas por contacto con la barra de vidrio son repelidas por la barra, y recíprocamente. Por otra parte, si una bola de médula de sauco que ha estado en contacto con plástico electrizado se pone cerca de otra que ha mantenido contacto con vidrio electrizado, las bolas se atraen. Esto nos lleva a la conclusión de que hay dos clases de carga eléctrica: la que posee el plástico después de frotado con la piel, llamada carga negativa, y la que posee el vidrio después de frotado con seda, llamada carga positiva. Los experimentos con bolas de médula de sauco descritos conducen a los resultados fundamentales de que (1) cargas iguales se repelen, (2) cargas distintas se atraen. Estas fuerzas repulsivas o atractivas, de origen eléctrico, son distintas de la atracción gravitacional, y normalmente son tan grandes que la interacción gravitacional entre dos cuerpos eléctricamente cargados puede despreciarse. Es indudable que sobre un cuerpo cargado puede actuar el campo gravitacional de un cuerpo grande como la Tierra, y en tales casos, las fuerzas eléctricas y gravitatorias pueden ser de magnitud comparables. Dos cuerpos también pueden actuar entre sí por medio de la interacción magnética; el ejemplo más conocido es la atracción de objetos de hierro por un imán permanente. Aunque en un tiempo se creyó que las fuerzas magnéticas eran un tipo de interacción fundamentalmente diferente, ahora sabemos que realmente son un aspecto de las interacciones entre partículas cargadas en movimiento. De hecho, un electroimán manifiesta interacciones magnéticas cuando pasa una corriente eléctrica por sus bobinas. Las interacciones magnéticas se tratarán en capítulos posteriores; de momento centraremos nuestra atención en las cargas en reposo, es decir, en la electrostática. Supongamos que frotamos una barra de plástico con una piel y después la ponemos en contacto con una bola de médula de sauco suspendida. Tanto la barra como la bola de médula tienen carga negativa. Si se aproxima ahora la piel a la bola, ésta es atraída, indicando que la piel está cargada positivamente. De esto se deduce que cuando se frota el plástico con la piel, aparecen cargas opuestas en las dos sustancias. Este resultado se obtiene siempre que se frota un cuerpo con otro. Así, el vidrio resulta positivo, mientras que la seda con la cual se ha frotado resulta negativa. Esto sugiere claramente que las cargas eléctricas no son generadas ni creadas, sino que el proceso de adquirir una carga eléctrica consiste en transferir algo de un cuerpo al otro, de modo que uno de ellos tiene un exceso y el otro una deficiencia de ese algo. Hasta finales del siglo XIX no se descubrió que ese “algo” se compone de unas partículas muy pequeñas, que hoy se conocen como electrones.

7-2- Estructura atómica Las interacciones, causantes de la estructura de los átomos y moléculas, y por consiguiente de toda la materia, son primordialmente las interacciones entre partículas con carga eléctrica. Las piezas fundamentales de su estructura son tres clases de partículas: el electrón cargado negativamente; el protón cargado positivamente y el neutrón de carácter neutro. La carga Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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negativa del electrón es de igual magnitud que la carga positiva del protón, y no se ha observado nunca una carga de menor valor. La carga de un protón o de un electrón es la unidad fundamental y natural de carga. Las partículas tienen la misma disposición general en todos los átomos. Los protones y los neutrones forman siempre un grupo muy compacto llamado núcleo, que tiene una carga neta positiva debida a los protones. El diámetro del núcleo, si lo imaginamos aproximadamente esférico, es de unos 10-14m. Fuera del núcleo, y a distancias relativamente grandes de él, se encuentran los electrones, cuyo número es igual al de los protones situados dentro del núcleo. Si el átomo no se excita, ni se elimina o añade ningún electrón en el espacio que rodea al núcleo, el átomo en su conjunto es eléctricamente neutro. Es decir, la suma algebraica de las cargas positivas del núcleo y de las cargas negativas de los electrones es nula, igual que la suma de números positivos y negativos iguales es cero. Si se extraen uno o más electrones, la estructura cargada positivamente restante se denomina ion positivo. Un átomo que ha ganado uno o más electrones es un ion negativo. El proceso de perder o ganar electrones se denomina ionización. En el modelo atómico propuesto por el físico danés Niels Bohr en 1913, los electrones se representan girando alrededor del núcleo describiendo órbitas circulares o elípticas. Investigaciones más recientes han demostrado que los electrones se representan mejor por distribuciones de carga eléctrica, regidas por los principios de la mecánica cuántica. No obstante, el modelo de Bohr resulta todavía útil para visualizar la estructura de un átomo. Los diámetros de las distribuciones de carga electrónica, que el modelo de Bohr representa por órbitas, determinan el tamaño del átomo en su conjunto y son de unos 10-10m, es decir, casi diez mil veces mayores que el diámetro del núcleo. Un átomo de Bohr es análogo a un sistema solar en miniatura, en el que actúan fuerzas eléctricas en lugar de fuerzas gravitacionales. El masivo núcleo central cargado positivamente corresponde al Sol, mientras que los electrones, moviéndose alrededor del núcleo por la fuerza eléctrica de atracción, corresponden a los planetas que giran alrededor del Sol por efecto de su atracción gravitacional. Las masas del protón y del neutrón son aproximadamente iguales y la masa del protón es 1837 veces la del electrón. Por tanto, casi toda la masa de un átomo está concentrada en su núcleo. Como un mol de hidrógeno monoatómico consta de 6,022 x 1023 partículas (número de Avogadro) y su masa es 1,008 g, la masa de un solo átomo de hidrógeno es: 1,008 g

= 1,674 x 10 −24 g = 1,674 x 10 −27 kg 6,022 x 10 23 El núcleo de un átomo de hidrógeno consta de un solo protón, y a su alrededor hay un solo electrón. Entonces, de la masa total del átomo de hidrógeno, la fracción

1 corresponde a la 1837

masa del electrón, y el resto es la masa de un protón. Así, con cuatro cifras significativas: Masa del electrón = 9,110 x 10–31 kg Masa del protón = 1,673 x 10–27 kg Masa del neutrón = 1,675 x 10–27 kg

Después del hidrógeno, el átomo de estructura más simple es el helio. Su núcleo consta de dos protones y dos neutrones, y tiene además, fuera del núcleo, dos electrones. Cuando se separan estos dos electrones, el ion helio doblemente cargado (que es su propio núcleo) se llama a menudo partícula alfa, o partícula α El elemento siguiente, el litio, tiene tres protones en su núcleo y posee, por tanto, una carga nuclear de tres unidades. En estado no ionizado el átomo de litio tiene tres electrones extranucleares. Cada átomo tiene un número diferente de protones nucleares y, por tanto, una carga nuclear positiva distinta. En la tabla de elementos llamada tabla periódica, cada elemento ocupa un lugar al que corresponde un número, llamado número atómico. El número atómico es el número de protones del núcleo; en estado no ionizado, este número es igual al de electrones extranucleares.

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Todo cuerpo material tiene un número enorme de partículas cargadas: los protones cargados positivamente en los núcleos de sus átomos y los electrones cargados negativamente fuera de los núcleos. Cuando el número total de protones es igual al número total de electrones, el cuerpo en conjunto es eléctricamente neutro. Para proporcionar a un cuerpo un exceso de carga negativa, se puede adicionar un número de cargas negativas al cuerpo neutro, o bien eliminar un número de cargas positivas. Análogamente, la adición de carga positiva, o la eliminación de carga negativa, tendrá como resultado un exceso de carga positiva. En la mayor parte de loa casos, los electrones (cargas negativas) son los que se añaden o eliminan, y un “cuerpo cargado positivamente” es el que ha perdido parte de su contenido normal de electrones. La “carga” de un cuerpo se refiere únicamente a su exceso de carga, que es siempre una fracción muy pequeña de la carga total positiva o negativa del cuerpo. En la exposición anterior está implícito el principio de conservación de la carga, que establece que la suma algebraica de todas las cargas eléctricas de cualquier sistema cerrado es constante. La carga puede transferirse de un cuerpo a otro, pero no puede crearse ni destruirse. Se cree que la conservación de la carga es una ley de conservación universal; no se conoce evidencia experimental alguna que contradiga este principio.

7-3- Conductores y aisladores Algunos materiales permiten el movimiento de la carga eléctrica de una parte del material a otra. Mientras que otros no lo permiten. Supongamos que ponemos en contacto un extremo de un hilo de cobre con una barra de plástico cargada y el otro extremo con una bola pequeña de médula de sauco inicialmente descargada, como en la Fig. 7-1. Se observa (por su posterior interacción con otras bolas cargadas) que la bola de médula se Hilo de carga. La carga se ha transmitido desde la barra a Barra de plástico nailon la bola por el hilo. Al hilo de cobre se le llama cargada conductor de la electricidad. Si se repite el experimento, utilizando un hilo de nylon o una cinta - Hilo de Cu de goma, en vez del hilo de cobre, no se observa transferencia de carga, y estos materiales se dice Bola de que son aisladores. La mayor parte de las Soporte de médula vidrio sustancias pertenecen a una de las dos clases mencionadas. Los conductores permiten el paso de Fig. 7.1 cargas a través de ellos, mientras que los aisladores no lo permiten. En general, los metales son buenos conductores, mientras que la mayor parte de los no metales son aisladores. El hecho de que los metales formen iones positivos en disolución indica que los átomos de un metal liberan fácilmente uno o más electrones exteriores. Dentro de un conductor metálico, como el hilo de cobre, se desprenden de cada átomo algunos electrones exteriores, y pueden moverse libremente por el metal en forma similar a como las moléculas de un gas pueden moverse a través de los espacios existentes entre los granos de arena de un recipiente lleno de ésta. De hecho, al conjunto de electrones libres se les denomina frecuentemente “gas electrónico”. Los núcleos positivos y el resto de los electrones permanecen en posiciones fijas. Por el contrario, dentro de un aislador no hay (o hay muy pocos) electrones libres.

7-4- Carga por inducción Al cargar por contacto una bola de médula (por ejemplo, con una barra de plástico que ha sido frotada con una piel), algunos de los electrones excedentes del plástico son transferidos a la bola, quedando el plástico con una carga menor. Existe, sin embargo otra forma de utilizar la barra de plástico para cargar otros cuerpos, por la que el plástico pueda comunicar una carga de signo opuesto sin perder nada de su propia carga. Este método se denomina carga por inducción y se ilustra en la Fig. 7.2. En la Fig. 7-2(a) hay dos esferas metálicas neutras en contacto, sostenidas por pies aislantes. Cuando una barra de plástico cargada negativamente se aproxima a una de las esferas, pero sin tocarla, como en (b), los electrones libres de las esferas metálicas son repelidos hacia la izquierda y alejados ligeramente de la barra. Como los electrones no pueden escapar de las esferas, se acumulará un exceso de carga negativa en la superficie izquierda de la esfera más alejada de la Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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barra. Esto ocasiona una deficiencia de carga negativa, o un exceso de carga positiva en la superficie derecha de la esfera más próxima a la barra. Tales excesos de carga se denominan cargas inducidas. De esto no ha de deducirse que todos los electrones libres de las esferas son impulsados a la superficie de la esfera de la izquierda. Tan pronto como se desarrollan algunas cargas inducidas, ejercen fuerzas sobre los electrones libres del interior de las esferas. En este caso, esta fuerza es hacia la derecha (una repulsión por la carga negativa inducida y una atracción por la positiva). En un intervalo de tiempo extremadamente corto, el sistema alcanza un estado de equilibrio en el que en cada punto del interior de las esferas, la fuerza sobre un electrón hacia la izquierda ejercida por la barra cargada queda equilibrada exactamente por una fuerza hacia la derecha ejercida por las cargas inducidas. Las cargas inducidas permanecen en la superficie de las esferas mientras se mantenga cerca de la barra. Cuando se Figura 7.2. (a) quita la barra, la nube electrónica de las esferas se mueve hacia la derecha y se restablece la condición neutral inicial. Supongamos que se separan ligeramente las esferas, como en (c), mientras la barra de plástico está cerca. Si se separa + + ---- -- -- -ahora la barra, como en (d) nos encontramos con dos esferas (b) ++ metálicas cargadas, con cargas opuestas que se atraen entre sí. Cuando ambas esferas están separadas por una distancia grande, como en (e), los dos tipos de carga se distribuyen uniformemente sobre sus respectivas esferas. Obsérvese que + - - -- - -+ -- (c) -la barra cargada negativamente no ha perdido nada de su + + carga en los pasos sucesivos de (a) a (e). Los pasos de (a) a (e) de la Figura 7-3 se explican fácilmente. En Figura 7.3. (a) esta figura se carga por inducción + + una sola esfera metálica (sobre un (d) + + -pie aislante). La palabra “tierra” de la parte (c) significa sencillamente que la esfera está conectada a - tierra (un conductor). La tierra (b) –– ++ - -- - -+ – + (e) + desempeña entonces el papel de + – + + la segunda esfera de la Fig. 7-2. En el paso (c), los electrones son repelidos a tierra, a través de un hilo conductor o de la piel húmeda - (c) ++ --- - -de una persona que toque la esfera con el dedo. La tierra adquiere así ++ una carga negativa igual a la carga positiva inducida que queda sobre la esfera. Los procesos ilustrados en las figuras 7.2 y 7.3 podrían explicarse Tierra igualmente bien si las cargas móviles en las esferas son positivas o, si ambas cargas, positiva y negativa, fueran móviles. Aunque en la - ++ (d) --- - -actualidad sabemos que las cargas negativas son las que realmente ++ se mueven en un conductor metálico, a menudo es conveniente describir un proceso como si fueran las cargas positivas las que se movieran. (e) + + + +

7-5- Ley de Coulomb La interacción eléctrica entre dos partículas cargadas se describe en función de las fuerzas que ejercen una sobre otra. La primera investigación cuantitativa del comportamiento de esta fuerza la realizó Augustín Coulomb (1736-1806) en 1784, utilizando para la medición una balanza de torsión del tipo empleado, 13 años más tarde, por Cavendish para estudiar las fuerzas Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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gravitacionales (mucho más débiles). Coulomb estudió la fuerza de atracción o repulsión entre dos “cargas puntuales”, es decir, cuerpos cargados cuyas dimensiones son pequeñas comparadas con la distancia entre ellos. Coulomb descubrió que la fuerza se debilita con el aumento de la separación entre los cuerpos. Cuando la distancia se hace el doble, la fuerza disminuye a ¼ de su valor inicial. Por tanto, varía inversamente al cuadrado de la distancia. Si r es la distancia entre las partículas, entonces la fuerza es proporcional a 1/r2. La fuerza también depende de la cantidad de carga de cada cuerpo, la cual se designa normalmente por q o Q. En la época de Coulomb no se había definido ninguna unidad de carga, ni se había desarrollado ningún procedimiento para comparar una carga dada con una unidad. A pesar de esto, Coulomb ideó un ingenioso método para mostrar cómo la fuerza ejercida por, o sobre, un cuerpo cargado depende de su carga. Dedujo que si un conductor esférico cargado se pone en contacto con un segundo conductor idéntico, originalmente descargado, la carga del primero, por simetría, se dividiría en partes iguales entre los conductores. De esta forma, dispuso de un método para obtener la mitad, un cuarto, etc., de una carga dada. Los resultados de sus experimentos corroboraron la conclusión de que la fuerza entre dos cargas puntuales q y q’ es proporcional a cada carga y proporcional al producto de las mismas. La expresión completa de la intensidad de la fuerza entre dos cargas puntuales es, por tanto,

F =k

q.q' r2

(7-1)

Donde k es la constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que se expresan F, q , q’ y r. La ecuación (7-1) es la expresión matemática de lo que se conoce actualmente como ley de Coulomb.

La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separa. La dirección de la fuerza sobre cada partícula está siempre sobre la línea que las une, “tirando” de las partículas para unirlas, en el caso de fuerzas atractivas entre cargas de distinto tipo y repeliéndolas para que se separen, en el caso de fuerzas repulsivas entre cargas de igual tipo. La forma de la ecuación (7-1) es la misma que la ley de la gravitación tratada con anterioridad, pero las interacciones eléctricas y gravitatorias son dos clases distintas de fenómenos. La proporcionalidad de la fuerza con 1/r2 ha sido verificada con gran precisión. Las cargas q y q’ son cantidades algebraicas, que corresponden a la existencia de dos clases de carga (positiva y negativa), pero la ecuación (7-1) proporciona la intensidad de la fuerza de la interacción en todos los casos. Cuando las cargas son de igual signo, las fuerzas son repulsivas; cuando son de distinto signo, las fuerzas son atractivas. En cualquiera de los casos, las fuerzas cumplen la tercera ley de Newton; la fuerza que q ejerce sobre q’ es la opuesta de la que q’ ejerce sobre q. Las barras verticales del valor absoluto de la ecuación (7-1) son necesarias porque F, es el módulo de una cantidad vectorial y es siempre positivo por definición, mientras que el producto q q’ es negativo siempre que las dos cargas tengan signos opuestos. Cuando dos o más cargas ejercen simultáneamente fuerzas sobre una carga dada, se encuentra que la fuerza sobre ésta es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas individualmente por cada carga. Esta importante propiedad, denominada principio de superposición, permite aplicar la Ley de Coulomb a cualquier sistema de cargas sin importar su grado de complejidad, aunque los problemas de cálculo pueden ser muy grandes. Si existe materia en el espacio entre las cargas, la fuerza neta que actúa sobre cada una, se altera porque se inducen cargas en las moléculas del material. A efectos prácticos, la ley puede utilizarse según ha sido formulada para cargas puntuales en el aire, pues, incluso a presión atmosférica, el efecto del aire es el de modificar sólo un 0,05 % (una parte por dos mil) el valor de la fuerza en el vacío. En general utilizaremos unidades del sistema internacional como: N, V, A, Ω, W. No hay unidades eléctricas en el sistema británico. A las tres unidades básicas del sistema internacional (m, kg, s) se añade ahora una cuarta, el ampère (A) correspondiente a la intensidad de corriente eléctrica. De ella deriva la unidad de Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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carga eléctrica, el coulomb que se simboliza con la C. En el sistema internacional, la constante k de la ecuación (7-1) es: k = 8,987 55 x 10 9

N.m 2

≈ 9 x 10 9

N.m 2

C2 C2 En el sistema internacional la constante k de la ecuación (7-1) se expresa corrientemente como

1 en donde ε 0 es otra constante. Esto parece complicar las cosas, pero en realidad 4.π .ε 0

simplifica algunas fórmulas que encontraremos más tarde. Así, la ley de Coulomb se expresa habitualmente.

F=

1 q.q' 4.π .ε 0 r 2

donde k =

(7-2)

1 4πε 0

1 = 8,987 554 x 109 N.m2.C–2 4.π .ε 0

ε 0 = 8,854 185 x 10-12 C2.N–1.m–2 La unidad “natural” de carga es la unidad de carga de un electrón o de un protón y esta cantidad se simboliza con la letra e; la medición más precisa hasta la fecha da el valor e = 1,602192 x 10–19 C ≈ 1,6 x 10–19 C Un coulomb representa, por tanto, la carga negativa total que transporta aproximadamente 6 x 10 18 electrones. A modo de comparación, la población de la Tierra se estima en unas 6,5 x 109 personas, mientras que un cubo de cobre de 1 cm de lado contiene alrededor de 2,4 x 1024 electrones. En los problemas de electrostática, cargas tan grandes como un coulomb son poco habituales; normalmente el rango de valores es de 10–9 C a 10–6 C. Por ello se utiliza a menudo el microcoulomb (1µC = 10–6 C) y también el nanocoulomb (1nC = 10–9 C) como unidades prácticas de carga.

Ejemplo 1: Dos cargas se encuentran en el eje positivo de las x de un sistema de coordenadas. La carga q1 =2 x 10–9 C está a 2 cm del origen, y la carga q2 = –3 x 10–9 C a 4 cm. ¿Cuál es la fuerza total ejercida por estas dos cargas sobre una carga q3 = 5 x 10–9 C que está en el origen? Solución: La fuerza total sobre q3 es la suma vectorial de las fuerzas debidas a q1 y q2 individualmente. Convirtiendo las distancias a metros, y utilizando la ecuación 21-2 obtenemos la intensidad de la fuerza F1-3 que la carga q1 ejerce sobre q3 F1,3 =

(9 x 10 9 N.m 2 C −2 ).( 2 x 10 −9 C )(5 x 10 −9 C ) (0,02m ) 2

= 2,25 x 10 − 4 N

Esta fuerza tiene la dirección del eje x y apunta hacia la izquierda. Igualmente, la fuerza F2-3 que la carga q2 ejerce sobre q3 tiene la intensidad: (9 x 10 9 N.m 2 C −2 ).(3 x 10 −9 C )(5 x 10 −9 C )

= 0,84 x 10 − 4 N (0,04m ) 2 Ésta fuerza tiene la dirección del eje x y apunta hacia la derecha. F2,3 =

F1,3

+q3

F2,3

+q1

-q2

2 cm 4 cm Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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La figura muestra las fuerzas que actúan sobre q3 La intensidad de la fuerza resultante sobre q3 es:

∑F

x

= −2,25 x 10 −4 N + 0,84 x 10 −4 N = −1,41 x 10 −4 N

Cuya dirección es la del eje x y apunta hacia la izquierda:

F3

+q3

+q1

-q2

2 cm 4 cm

Ejemplo 2: Una partícula α es un núcleo de helio doblemente ionizado. Tiene una masa m de 6,68 x 10–27 kg y una carga q de +2e o 3,2 x 10–19 C. Compárese la fuerza de repulsión electrostática entre dos partículas α con la fuerza de atracción gravitacional entre ellas.

Solución: La fuerza electrostática Fe es

Fe =

1 q.q' 4.π.ε 0 r 2

Y la fuerza gravitacional es: Fg = G

m2

r2 La relación de la fuerza electrostática a la gravitacional es:

Fe 1 q2 = = 3,1 x 10 35 Fg 4.π .ε 0 G.m 2 La fuerza gravitacional es, evidentemente, despreciable comparada con la fuerza electrostática. –––––o0o–––––

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CAPÍTULO 8 CAMPO ELÉCTRICO 8.1- Campo Eléctrico La interacción eléctrica entre partículas cargadas puede volver a formularse utilizando el concepto de campo eléctrico. Esto no sólo representa una ayuda en los cálculos, sino también un concepto importante de significado teórico fundamental. Imaginemos que el cuerpo A representado en la Fig. 8-1(a) tiene las características de modificar algunas de las propiedades del espacio que lo rodea. Se dice, entonces, que el cuerpo cargado A produce o crea un campo eléctrico en el punto P y en los demás puntos de sus proximidades. La prueba experimental de la existencia de un campo eléctrico en cualquier punto, consiste simplemente en colocar un cuerpo pequeño cargado, que se llamará carga de prueba en dicho punto. Si es ejercida una fuerza (de origen eléctrico) sobre la carga de prueba, entonces existe un campo eléctrico en el punto. Figura 8-1 (b)

Se dice que existe un campo eléctrico en un punto si actúa una fuerza de origen eléctrico sobre un cuerpo estacionario cargado situado en dicho punto. Nota: Se llama fuerza de origen eléctrico a aquélla que actúa sobre un cuerpo sólo cuando éste está cargado y no aparece cuando el cuerpo está descargado. Como la fuerza es una cantidad vectorial, el campo eléctrico también es una cantidad vectorial cuyas propiedades están determinadas cuando se especifican el módulo, dirección y sentido de la fuerza eléctrica. Se define el campo eléctrico en un punto como el cociente obtenido al dividir la fuerza, que actúa sobre una carga de prueba positiva, por el valor q’ de esta carga. Así,

r r F E= q'

r

(8.1)

r

Y la dirección y sentido de E es el de la fuerza F , es decir, el de la fuerza que aparece sobre r r una carga positiva colocada en el punto. Se deduce que F = q '.E .

La fuerza sobre una carga negativa, como el electrón, tiene sentido opuesto al del campo eléctrico. El campo eléctrico se denomina, a veces, intensidad de campo eléctrico. En unidades SI, en las que la unidad de fuerza es 1 N y la unidad de carga 1 C, la unidad de campo eléctrico es 1 newton por coulomb (1

N ). También puede expresarse en otras unidades que definiremos más adelante. C

La fuerza experimentada por la carga de prueba q’ varía de un punto a otro yr de este modo, el campo eléctrico es también distinto en puntos diferentes. Así, en general, E no es una sola cantidad vectorial, sino un conjunto infinito de ellas, cada una asociada a un punto en el espacio. Este es un ejemplo de un campo vectorial. Con nuestra definición de campo eléctrico existe una dificultad, pues en la Fig. 8-1 la fuerza ejercida por la carga de prueba q’ puede cambiar la distribución de carga A, especialmente si el cuerpo es un conductor en el que la carga puede moverse libremente, por lo que el campo eléctrico alrededor de A no es el mismo cuando q’ está presente que cuando no lo está. Sin embargo, cuando q’ es muy pequeña la redistribución de carga sobre el cuerpo A también lo es; entonces puede eludirse la dificultad volviendo a definir campo eléctrico como el valor límite de la Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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fuerza por unidad de carga sobre una carga de prueba q’ en el punto, cuando la carga q’ tiende a cero: r r F E = lim q '→ 0 q' Si existe un campo eléctrico dentro de un conductor, ejerce una fuerza sobre cada carga del mismo. El movimiento de las cargas libres producido por esta fuerza se denomina corriente. Por el contrario, si no hay corriente en un conductor, por tanto sus cargas libres no tienen movimiento, el campo eléctrico en el conductor debe ser nulo. En la mayoría de los casos, el módulo, la dirección y el sentido de un campo eléctrico varían de un punto a otro. Si ambas son constantes en cierta región se dice que el campo es uniforme en esa región.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el campo eléctrico a 30 cm de una carga q = 4 x 10–9 C?

Solución: En virtud de la ley de Coulomb, la fuerza que actúa sobre una carga de prueba q’ a 30 cm es:

F=

1 q.q' (9 x 109 N .m 2 .C −2 ).(4 x 10 −9 C ).(q' ) = 4.π .ε 0 r 2 (0,3 m) 2

⇒

F = 400

N . q' C

Entonces, según la expresión 8-1, el valor de E es:

F = q'

E=

400

N ⋅ q' N C = 400 q' C

La dirección de E en ese punto es la de la línea que une q y q’ y el sentido alejándose de q.

8.2- Cálculo del campo eléctrico En la sección precedente se ha descrito un método experimental para medir el campo eléctrico en un punto. El método consiste en colocar una pequeña carga de prueba en el punto, medir la fuerza que actúa sobre ella y hallar la relación entre la fuerza y la carga. El campo eléctrico en un punto puede calcularse también a partir de la ley de Coulomb si se conocen los valores y posiciones de todas las cargas que contribuyen al campo. Así, para hallar el módulo del campo eléctrico en un punto P, situado a una distancia r de una carga puntual q, imaginamos una carga de prueba q’ situada en P. La fuerza sobre esta carga, según la ley de Coulomb, es de módulo:

F=

1 q.q ' 4.π .ε 0 r 2

Y, por tanto, la magnitud del campo eléctrico en P es:

E=

F 1 q.q ' 1 q = = 2 q ' 4.π .ε 0 r .q ' 4.π .ε 0 r 2

La dirección del campo es la de la línea que une la carga q con el punto P y el sentido es tal que se aleja de q si la carga q es positiva, como en la Fig. 8-2 (a) y se acerca a q si ésta es negativa. q ++

q1 ++

r P

(a)

r E

r1 r2

q2 ––

r E2

P q1 +

r E

r E1

(b)

Figura 8-2 (a) El campo eléctrico E tiene la misma dirección que r cuando q es positiva. (b) El campo eléctrico resultante en el punto P es la suma vectorial de E1 y E2

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Si varias cargas q1, q2, etc., están situadas a distancias r1, r2, etc., de un punto dado P, como indica la Fig. 8-2 (b), cada una de ellas ejerce una fuerza sobre una carga de prueba q’ situada en dicho punto, y la fuerza resultante sobre ella es la suma vectorial de todas estas fuerzas. El campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos individuales y

r r r E = E1 + E 2 + ....... Cada término de la suma es una cantidad vectorial, la suma es vectorial. El hecho de que el campo total sea la suma de los campos creados separadamente por las cargas individuales es un resultado directo del principio de superposición. En la práctica, los campos eléctricos se deben a menudo a cargas distribuidas sobre la superficie de conductores de tamaño finito, y no a cargas puntuales. El campo eléctrico se calcula entonces imaginando la distribución de carga subdividida en muchos elementos infinitesimales de carga dq, a diferentes distancias desde el punto P en el que se ha calculado el campo y sumando las contribuciones individuales de esos elementos al campo total.

r E =

1 4 .π .ε 0

∆q r2

∑

Suma vectorial

Cuanto más fina sea la subdivisión, mejor será la aproximación y en el límite cuando ∆q tiende a cero

r E=

1 4.π .ε 0

∆q

lim ∑ r ∆q → 0

Suma vectorial

2

Sin embargo, el límite de la suma vectorial es la integral: r 1 dq Suma vectorial E= 4.π.ε 0 r 2

∫

(8-2)

Los límites de integración deben asignarse de modo que incluyan todas las cargas que contribuyen al campo.

8.3- Líneas de campo El concepto de líneas de campo fue introducido por Michael Faraday (1791-1867) para ayudar a visualizar los campos eléctricos (y magnéticos). Una línea de campo (en un campo eléctrico) es una línea imaginaria trazada de forma que su dirección y sentido en cualquier punto (es decir, la dirección de su tangente) coincidan con los del campo en ese punto (Figura 8-3)

r EP

es el Campo en el punto P

EM es el Campo en M

P

el punto M

Líneas de campo Figura 8-3- La dirección del campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la línea de campo que pasa por dicho punto.

Como generalmente la dirección de un campo varía de un punto a otro, las líneas de campo normalmente son curvas. Faraday denominó a estas líneas “líneas de fuerza”, pero es preferible el término “líneas de campo”. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Figura 8-4 (a)

Figura 8-4 (b)

Figura 8-4 (c)

La Figura 8-4 representa algunas líneas de campo: (a) Una sola carga positiva o negativa; (b) dos cargas de igual intensidad pero, una positiva y otra negativa (un dipolo eléctrico) y (c) dos cargas positivas iguales. En cada diagrama la dirección del campo resultante en cada punto es la de la tangente a la línea del campo que pasa por el punto. Las puntas de flecha de las líneas de campo indican en qué dirección se ha de dibujar la tangente. El campo eléctrico se produce en todo el espacio alrededor de la o las cargas que lo producen. En el espacio que rodea a una carga no nace ni termina ninguna línea de campo. Cada línea de campo de un campo electrostático es una línea continua que empieza en una carga positiva y acaba en una carga negativa. Aunque a veces por conveniencia se habla de una carga “aislada” y se dibuja su campo como en la figura 8-4 a, eso significa solamente que las cargas en que terminan las líneas se encuentran a gran distancia de la carga considerada. Por ejemplo, si el cuerpo cargado de la figura 8-4 a es una pequeña esfera suspendida de un hilo del techo del aula, las cargas negativas sobre las que se terminan sus líneas de campo estarían en las paredes, el suelo, el techo o sobre otros objetos del aula. En cualquier punto, el campo resultante puede tener sólo una dirección y sentido. Por consiguiente, por cada punto sólo puede pasar una línea de campo. En otras palabras, las líneas de campo nunca se cruzan. Como surge de la definición, cada línea de campo da la dirección y el sentido del campo en cada punto. Aún no se ha dicho nada acerca del módulo: si se dibujara una línea en cada punto de un campo eléctrico, todo el espacio y la superficie completa del diagrama estarían llenos de líneas y no se podrían distinguir ninguna línea individual; el dibujo sería una mancha negra. Limitando convenientemente el número de líneas dibujadas para representar un campo, éstas pueden utilizarse para indicar, además, el módulo del campo. Para ello, se conviene en dibujarlas de modo tal que “el número de líneas por unidad de área normal al campo” sea “directamente proporcional al valor del campo en dicho punto”, o sea:

r n º de líneas ∝ E A⊥ Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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De este modo, en una región donde el campo es intenso, como la comprendida entre las cargas positiva y negativa de la Fig. 8-4 b, las líneas de campo están muy juntas, mientras que en una región donde el campo es débil, como la comprendida entre las dos cargas positivas de la Fig. 8-4 c, las líneas están muy espaciadas. En un campo uniforme, las líneas de campo son rectas, paralelas y uniformemente espaciadas.

8.4- Propiedades de los conductores con exceso de carga en reposo a- Localización del exceso de carga en reposo en los conductores De acuerdo con el Teorema de Gauss puede demostrarse que, cuando un conductor de cualquier forma y tamaño está cargado, el exceso de carga se localiza en la superficie exterior del mismo.

b- Dirección de las líneas de fuerza en la cercanía de la superficie conductora. En la inmediata vecindad de la superficie del conductor con exceso de carga en reposo, la dirección de las líneas de campo es normal a la superficie del mismo. c- Campo en el interior de un conductor con exceso de carga en reposo De acuerdo con el Teorema de Gauss puede demostrarse que, en el interior de un conductor con exceso de carga en reposo, el campo eléctrico es nulo, es decir: Eint = 0 8.5- Campo creado por una esfera conductora cargada Aplicando el Teorema de Gauss puede demostrarse que el campo eléctico creado por una esfera conductora en un punto del espacio situado a una distancia “r” del centro de la esfera (siendo r mayor que su radio R) vale:

+ +

+ +R +

+ +

r

+ + +

P

EP = y

1 q . 2 4.π .ε 0 r E=0

Para r ≥ R

Para r < R

O sea, que es el mismo que crearía una carga puntual de valor “q” situada a la misma distancia “r” del punto considerado. Al ser la esfera un cuerpo geométrico regular, de curvatura homogénea, el exceso de carga se distribuye homogéneamente en su superficie exterior. En este caso la “densidad superficial de carga”

σ =

q , es la misma en todos los puntos. No así en los conductores de forma irregular, en los cuales A

el exceso de carga está más concentrado en zonas de curvatura más pronunciada (puntas).

8.6- Campo entre dos conductores planos paralelos ++++++++++++++++ P

Ep

Aplicando el Teorema de Gauss puede demostrarse que, dadas dos placas planas paralelas de área A, en el vacío con cargas del mismo valor q y signo opuesto, el campo eléctrico que existe entre ellas es uniforme y vale:

EP = –––––––––––––––––

q σ .= ε 0 .A ε 0

–––––o0o–––––

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CAPÍTULO 9 POTENCIAL 9.1- Energía potencial eléctrica En Física 1 se estudiaron los conceptos de trabajo, energía y de fuerzas conservativas, hemos comprobado su importancia para el análisis de muchos problemas de mecánica. La energía tiene un papel igualmente fundamental en electricidad y magnetismo; en este capítulo aplicaremos las ideas de trabajo y energía al campo eléctrico. Cuando una partícula cargada se mueve en un campo eléctrico, éste realiza trabajo sobre la partícula. Recordando lo visto: “siempre que el trabajo de una fuerza sobre un cuerpo que se desplaza en un recorrido cerrado sea nulo, se dice que la fuerza correspondiente es conservativa”. Cuando eso se cumple, dicho trabajo resulta ser el mismo para todas las trayectorias posibles entre la posición inicial y final, y puede entonces, expresarse en términos de una función de energía potencial. Si la función energía potencial U tiene el valor Ua en el punto a y vale Ub en el punto b, entonces el trabajo W a → b realizado por la fuerza en cualquier desplazamiento desde a hasta b, en una trayectoria cualquiera, está dado por:

Wa→b = Ua – Ub

(9.1)

Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son conservativas, la energía mecánica total del cuerpo, cinética y potencial, se conserva; como hemos visto, este principio simplifica el análisis de muchos sistemas mecánicos. Ahora demostraremos que la fuerza que actúa sobre una partícula cargada en un campo eléctrico creado por otras cargas en reposo es un campo de fuerzas conservativo. Para empezar, consideremos sólo la interacción de dos cargas puntuales. Consideremos especialmente una partícula con una carga positiva q’ que se mueve en el campo eléctrico producido por una carga puntual estacionaria q+, como se ilustra en la Figura 9.1. q’

a

q+ ra

b

r rb

Figura 9.1 Calcularemos primero el trabajo realizado por la fuerza F que ejerce la carga q+ sobre la carga q’ durante un desplazamiento sobre una línea radial desde el punto a al b.

F=

qq ' 4πε 0 r 2 1

(9.2)

El trabajo realizado por esta fuerza sobre q’, cuando se mueve desde ra hasta rb está dado por: b

rb

a

ra

Wab = ∫ Fdr =

1

∫ 4πε

0

qq' qq' 1 1 dr ⇒ Wab = ( − ) 2 4πε 0 ra rb r

(9.3)

Por tanto, el trabajo para esta trayectoria sólo depende de los extremos. Todavía no hemos probado que el trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles desde a hasta b. Para hacerlo, consideremos un desplazamiento más general, en el cual a y b no se encuentren en la misma línea radial, como se indica en la Figura 9.2. Para hallar el trabajo realizado en el desplazamiento desde el punto a al b, debemos utilizar ahora la definición más general de trabajo: b

Wab = ∫ Fdl cosθ a

(9.4)

En la figura podemos ver que dl cosθ = dr , por lo tanto: b

Wab = ∫ Fdr a

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Escribiendo la expresión de F de acuerdo a la Ley de Coulomb, resulta: rb

Wab = q' ∫

ra

Wab

4πε 0 r 2

dr

rb

dr q = q' = q' 2 ∫ 4πε 0 ra r 4πε 0

Wab = q'

q

q

F rb

 1  − r  ra

θ

a

b

dl

dr q’

q 1 1  −  4πε 0  ra rb 

rb ra

b

Wab = U a − U b = ∫ Eq ' dl cos θ a

q+ Carga creadora del campo eléctrico

Por lo tanto el trabajo de las fuerzas de origen eléctrico no depende de la trayectoria que siga la carga para desplazarse desde a hasta b.

Figura 9.2

En cualquier desplazamiento en el que r no varía, no se realiza trabajo, pues F y dl son perpendiculares, cos θ = 0 y F dl = 0 Entonces la ecuación (9.3) es igual al trabajo incluso en este desplazamiento más general. Éste resultado demuestra que el trabajo realizado por el campo E sobre q’ depende solamente de las distancias inicial y final ra y rb y no de la trayectoria que conecta estos puntos. El trabajo es el mismo para cualquier trayectoria entre ellos o entre un par cualquiera de puntos situados a las distancias ra y rb de la carga q. Igualmente, si la carga de prueba vuelve desde b hasta a por cualquier trayectoria, el trabajo realizado por el campo E es el opuesto del trabajo realizado en el desplazamiento desde a hasta b. Por lo tanto, el trabajo total realizado en un desplazamiento curvilíneo de vuelta al punto de partida es siempre nulo (porque la fuerza eléctrica es conservativa).

qq' es la energía potencial Ua 4πε0 ra qq' cuando q’ está en el punto a, situado a la distancia ra de q, y la energía potencial Ub 4πε 0 rb cuando q’ está en el punto b, situado a la distancia rb de q. Por tanto, la energía potencial U de la carga de prueba q’ a cualquier distancia r de la carga q está dada por: Comparando las ecuaciones (9-1) y (9-3) vemos que el término

U=

qq' 4πε 0 r

(9.5)

Si el campo en que se mueve la carga q’ no está creado por una sola q1 carga puntual sino por una distribución más general de cargas, siempre podemos dividir la distribución en pequeños elementos y considerar cada uno de ellos como una carga puntual. Es más, la r 1 energía potencial de una carga de prueba q’ en el punto a de la Figura 9-3, debida a un conjunto de cargas q1, q2, q3, etc., situadas a las distancias r1, r2, r3, etc., de la carga de prueba q’, está dada por:

U=

 q'  q1 q2 q3  + + + .... ⇒ 4πε 0  r1 r2 r3 

U=

q' 4πε 0

qi

∑r

i

(9.6)

q2 r2

a q3 r3 q’ Figura 9.3: La energía potencial de una carga q’ en el punto “a” depende de las cargas q1, q2, q3 y de sus distancias r1, r2, r3 desde el punto “a”.

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En los conceptos de la energía potencial vistos en el curso de Física 1 se observó que siempre puede sumarse una constante arbitraria C a la función de energía potencial U, porque sumando en la ecuación (9-1) la misma constante C a Ua y Ub no varía la cantidad física significativa, es decir, la diferencia Ua – Ub. Por tanto, siempre podemos elegir la constante C para que U sea nula en alguna posición de referencia conveniente. Además, la energía potencial gravitatoria de un cuerpo situado en un campo gravitacional uniforme, podría hacerse nula en algún nivel de referencia conveniente, a menudo la superficie de la Tierra. Cuando el cuerpo está por encima de este nivel de referencia, su energía potencial es positiva y cuando está por debajo es negativa. En las ecuaciones (9-5) y (9-6), la posición de referencia de la energía potencial eléctrica, la posición en que U = 0 , ha sido elegida implícitamente como aquella en que todas las distancias r1, r2,..... son infinitas. Es decir, la energía potencial de la carga de prueba es nula cuando está muy alejada de todas las cargas que crean el campo. Este es el nivel de referencia más conveniente para la mayoría de los problemas de electrostática. Cuando se trata de circuitos eléctricos son más convenientes otros niveles de referencia, lo que significa simplemente que se suma un término constante a la energía potencial. Esto carece de importancia porque en la práctica sólo son significativas o incluso mensurables las diferencias de energía potencial. En virtud de las definiciones anteriores, la energía potencial de una carga de prueba en cualquier punto de un campo eléctrico es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando se lleva la carga de prueba desde el punto en cuestión a un nivel de referencia cero, que a menudo se toma en el infinito.

9.2- Potencial En vez de manejar directamente la energía potencial U de una partícula cargada, es útil introducir el concepto más general de energía potencial por unidad de carga. Esta cantidad se denomina potencial, y se define el potencial en cualquier punto de un campo electrostático como la energía potencial por unidad de carga en dicho punto. El potencial se representa por la letra V:

V=

U q'

ó

U = q'V

(9-7)

Tanto la energía potencial como la carga son escalares, de modo que el potencial es una cantidad escalar. La unidad básica en el sistema internacional es 1 joule por Coulomb (1 J.C-1). Para abreviar, un potencial de 1 J.C-1 se denomina 1 volt (1V), en honor del científico Alessandro Volta (1745-1827). Los múltiplos del volt más usuales son el kilovolt (1 kV = 103 V), el megavolt (1 MV = 106 V) y el gigavolt (1 GV = 109 V). Los submúltiplos son el milivolt (1 mV = 10-3 V) y el microvolt (1µV = 10-6 V). Para expresar la ecuación (9-1) en función del “trabajo por unidad de carga”, se dividen ambos miembros entre q’, obteniéndose: Wa →b U a U b = − = Va − Vb = Vab q' q' q'

(9-8)

En el caso particular si el punto “b” se localiza en el infinito, entonces Ub = 0 y por lo tanto Vb = 0. Donde Va =

Ua es la energía potencial por unidad de carga en el punto a, e igualmente para Vb . q'

V a y Vb se llaman el potencial en los puntos a y b, respectivamente. De la ecuación (9-6) se deduce que el potencial V en un punto debido a un conjunto arbitrario de cargas está dado por:

V=

U 1 = q ' 4πε 0

qi

∑r

(9-9)

i

La diferencia V a − Vb se llama potencial de a con respecto a b y a menudo se simboliza como

Vab . Obsérvese que el potencial, igual que el campo eléctrico, es independiente de la carga de prueba q’ utilizada para definirlo. El potencial de un conjunto de cargas puntuales es a menudo más fácil de obtener por la ecuación (9-9), pero en algunos problemas en los que se conoce el campo E, es más fácil operar con él Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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directamente. La fuerza F sobre la carga de prueba q’ puede escribirse como F = q' E . Utilizando esta relación en la ecuación (9-4) y combinando el resultado con la ecuación (9-8), se obtiene el resultado: b

Vab = Va − Vb = ∫ E cos θ dl

(9-10)

a

La ecuación (9-10) establece que cuando una carga de prueba positiva se mueve desde una región de potencial alto a otra de potencial menor (es decir, Vb < V a ), el campo eléctrico realiza trabajo positivo sobre ella. Así, una carga positiva tiende a “caer” desde una región de potencial alto a otra de potencial menor. Lo contrario se cumple para una carga negativa. Un voltímetro es un instrumento que mide la diferencia de potencial entre los puntos en que se conectan los terminales. Ejemplo: Una partícula con una carga q = 3 x 10–9 C recorre en línea recta desde el punto a hasta el punto b una distancia total d = 0,5 m. El campo eléctrico en esta línea es uniforme, en dirección de a a b, y su valor es E = 200 NC–1. Hállese la fuerza sobre q, el trabajo realizado sobre ella por el campo y la diferencia de potencial V a − Vb .

Solución: La fuerza tiene la misma dirección y sentido que el campo eléctrico y su magnitud está dada por:

F = qE = (3 x 10 −9 C )(200 N . C −1 ) = 600 x 10 −9 N El trabajo realizado por esta fuerza es: b r Wab = ∫ F dl cos θ = Fd = (600 x 10 −9 N )(0,5m) = 300 x 10 −9 J a

La diferencia de potencial es el trabajo por unidad de carga, es decir:

W Va − Vb = ab = q

∫

b

a

r q E dx cos θ q

300 x 10 −9 J = = 100 J . C −1 = 100 V −9 3 x 10 C

También, como E es la fuerza por unidad de carga, y el campo eléctrico es uniforme, el trabajo por unidad de carga se obtiene multiplicando E por la distancia d:

Va − Vb = E d = ( 200 N . C −1 )(0,5m) = 100 J C −1 = 100 V

9.3- Cálculo de diferencias de potencial En principio la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera puede calcularse por la ecuación (9-9) para hallar el potencial en cada punto, pero en muchos casos, especialmente cuando el campo eléctrico es fácil de obtener, es más sencillo utilizar la ecuación (9-10), calculando a partir del campo eléctrico conocido el trabajo realizado sobre una carga de prueba durante un desplazamiento desde un punto a otro. En algunos problemas es útil combinar ambos enfoques, como se verá en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1: Conductor esférico cargado. Consideremos en primer lugar una esfera conductora maciza de radio R, con una carga total q. En todos los puntos fuera de la esfera, el campo es el mismo que el de una carga puntual q en el centro de la esfera. Dentro de la esfera el campo es nulo en todas partes (pues de otro modo la carga se movería en su interior). Como ya se ha indicado, conviene tomar el nivel de referencia del potencial (el punto donde V = 0) muy alejado de todas las cargas. Como el campo en cualquier punto r mayor o igual que R es el mismo que para una carga puntual, el trabajo realizado sobre una carga de prueba cuando se mueve desde un valor finito de r hasta el infinito, es también el mismo que en el caso de una carga puntual: por tanto, el potencial V , a una distancia radial r, con relación a un punto del infinito, es:

V=

q 4πε 0 r 1

(9-11)

El potencial es positivo si “q” es positiva, y negativo en el caso contrario. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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La ecuación (9-11) es aplicable en el caso de un conductor esférico cargado sólo cuando la distancia r es mayor o igual que el radio R de la esfera. El potencial de la superficie es:

V=

q 4πε 0 R 1

(9-12)

Dentro de la esfera el campo es nulo en todas partes, y no se realiza trabajo sobre una carga de prueba desplazada de un punto a otro de esta región. De esto se deduce que el potencial es el 1 q en la superficie. mismo en todos los puntos del interior de la esfera e igual a su valor 4πε 0 R En la Figura 9-4 se han presentado el campo y el potencial como funciones de r. La magnitud del campo eléctrico E en la superficie es: + + +

+

+

+ R

q

+

+

+ R

+ +

E=

+ E=

1 q 4πε 0 R 2

(9-13)

El potencial V en la superficie es: 1 q V= 4πε 0 R

q E= 4πε 0 r 2 1

E=0

q 4πε 0 R 2 1

r V =

1 q 4πε 0 R V =

r

q 4πε 0 r 1

Figura 9.4: Magnitudes de campo eléctrico E y potencial V en los puntos interiores y exteriores de un conductor esférico cargado.

El potencial máximo al que puede elevarse un conductor esférico en el aire está limitado por el hecho de que las moléculas de aire se ionizan y este se convierte en conductor para campos eléctricos de unos 0,8 x 10 6 N . C −1 . Este valor Em representa el límite superior del campo eléctrico en el aire y se conoce como “rigidez dieléctrica (del aire)”. Comparando las ecuaciones (9-12) y (9-13) observamos que en la superficie, el campo y el potencial están relacionados por V = E R. Entonces, el potencial máximo a que puede elevarse el conductor esférico en el aire es:

Vm = R Em Para una esfera de 1 cm de radio, en el aire; –2

Vm = (10 m) (0,8 x 10

–6

–1

N.C ) = 8 000 V

y ninguna cantidad extra de “carga” puede elevar el potencial de una esfera de este tamaño, en el aire, por encima de unos 8 000 V. Dicho de otro modo, si se “agregara” más carga al conductor, su potencial superaría los 8 000 V, el campo eléctrico superaría los 800 000 N/C y el aire se ionizaría volviéndose buen conductor y… la esfera se descargaría en vez de lograr acumular la carga extra que se le transfirió. Ésta es la causa de que sea necesario utilizar terminales esféricos tan grandes en las máquinas de alto voltaje. Si hacemos R = 2 m entonces:

Vm = (2 m) (0,8 x 10

–6

–1

N.C ) = 1,6 x 10

–6

V = 1,6 MV

Contrario a éste es el efecto producido por las puntas agudas. Una “punta” es una superficie de radio de curvatura muy pequeño (curvatura muy pronunciada). Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente pequeños aplicados a puntas agudas situadas en el aire producirán campos elevados muy cerca de ellas para ocasionar la ionización del aire que las rodea.

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Ejemplo 2: Placas paralelas. En la unidad de campo eléctrico se concluyó que el campo eléctrico entre dos placas paralelas con cargas opuestas, es uniforme y su valor está dado por:

σ E= ε0

–Q -

+Q +

E

+

-

+ O a +

(9-14)

Donde σ es la magnitud de la densidad superficial de carga (carga por unidad de área) sobre cada placa. Para obtener la diferencia de potencial entre dos puntos a y x de la Figura 9-5, observemos que la fuerza sobre una carga de prueba q’ es F = E.q’ y el trabajo realizado en el desplazamiento desde a hasta x es:

x

x

b -

+

-

+

l

Va

Wax = F x = E q ' x

Vb

Figura 9.5

Entonces la diferencia de potencial, el trabajo por unidad de carga, también llamado potencial en a respecto a x es:

Vax = Va − Vx =

Wax =Ex q'

o bien :

V x = Va − E x = Va −

σ x ε0

(9-15)

Por tanto, el potencial disminuye linealmente con x. En el punto b, donde x = l y Vx = Vb

Vb = Va – E l y de ahí:

E=

Va − Vb Vab = l l

(9-16)

Es decir, si el campo eléctrico es uniforme, su valor es igual al cociente entre la diferencia de potencial entre las placas y la distancia entre ellas. Esta es una expresión de E más útil que la ecuación (9-14), porque la diferencia de potencial Vab puede medirse con un voltímetro, mientras que no existe instrumento alguno que mida directamente la densidad superficial de carga. Debe quedar claro, sin embargo, que las ecuaciones (9.15) y (9.16) son válidas cuando E es uniforme. La ecuación (9-16) muestra también que la unidad de campo eléctrico puede expresarse como 1 volt por metro (1 V.m–1), igual que como 1 N.C–1. En la práctica, se utiliza más frecuentemente el “volt por metro” como unidad de E.

–––––o0o–––––

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CAPÍTULO 10 CORRIENTE ELÉCTRICA, RESISTENCIA Y FUERZA ELECTROMOTRIZ 10.1- Corriente eléctrica: Cuando hay un flujo neto de carga a través de cualquier sección, decimos que hay una corriente eléctrica a través de esa sección. Si ponemos un conductor aislado en un campo electrostático, las cargas del conductor se reordenan de forma que el interior del conductor se convierte en una región libre de campo en la que el potencial es constante. Este movimiento de las cargas establece una corriente transitoria de corta duración, que cesa cuando se anula el campo en el conductor. Para mantener una corriente permanente, debemos conservar de alguna manera una fuerza sobre las cargas móviles de un conductor. La fuerza puede proceder de un campo electrostático o de otras causas que se expondrán más adelante. De momento supondremos que dentro de un conductor se mantiene un campo eléctrico E para que sobre una partícula cargada del conductor actúe una fuerza F = q E. Nos referiremos a esta fuerza como la fuerza de arrastre de la partícula. El movimiento de una partícula libre cargada en un conductor es muy distinto al de una partícula en el vacío. Después de una aceleración momentánea, la partícula choca inelásticamente con otra partícula fija del conductor y vuelve a empezar. Por término medio su movimiento está en la dirección y sentido de la fuerza de arrastre con una velocidad media denominada velocidad de arrastre. Las colisiones inelásticas con las partículas fijas dan lugar a una transferencia de energía hacia éstas. Esto aumenta su energía de vibración y ocasiona un aumento de temperatura si el conductor está aislado térmicamente, o da como resultado un flujo de calor desde el conductor a su entorno si no lo está. Se define la intensidad de corriente eléctrica (o simplemente corriente) “I” en el conductor, a través de una sección transversal al flujo, como el “cociente entre la carga neta que fluye a través de dicha sección y el tiempo que tarda en producirse ese pasaje”. Si una carga neta ∆Q fluye a través de una cierta sección en un intervalo de tiempo ∆t , la corriente media (Imedia) a través de ella es:

I media =

∆Q ∆t

Este flujo de carga por unidad de tiempo puede no ser constante, en cuyo caso generalizamos la definición de corriente de una forma natural, utilizando la derivada. La corriente instantánea I se define como: dQ (10.1) I= dt La corriente es una cantidad escalar. La unidad S.I. de corriente, un coulomb por segundo, se denomina un ampère (1 A) en honor al científico francés André Marie Ampère (1775-1836). Las corrientes pequeñas se expresan más adecuadamente en miliamperes (1 mA = 10–3 A) o en microamperes (1 µA = 10–6 A). La corriente a través de un área puede expresarse en función de la velocidad de arrastre de las cargas móviles como sigue.

A +

v

+

+ +

E

Consideremos una porción de un conductor de sección transversal A + + en la que hay un campo eléctrico resultante E dirigido de izquierda a v ∆t derecha. Supondremos en primer lugar que el conductor contiene Figura 10.1 partículas libres cargadas positivamente; éstas se mueven en la misma dirección y sentido del campo. En la Figura 10-1 se muestran algunas partículas positivas. Supongamos que hay n de tales partículas por unidad de volumen, todas moviéndose con una velocidad de arrastre v. En un tiempo ∆t cada una recorre una distancia v.∆t. Por tanto, todas las partículas contenidas dentro del cilindro sombreado de longitud Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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v.∆t y solamente ellas, fluirán a través de la base del cilindro en el tiempo ∆t. El volumen del cilindro es: A.v.∆t, el número de partículas en el mismo es n.A.v.∆t y si la carga de cada una es q, la carga ∆Q que fluye a través de la base del cilindro en el tiempo ∆t es:

∆Q = nqvA ∆t

Por tanto la corriente transportada por las partículas de carga positiva es:

 ∆Q  I = lim   = nqvA ∆t →0 ∆t  

(10.2)

Si las cargas móviles son negativas en lugar de positivas, la fuerza del campo eléctrico es opuesta a E y entonces, la velocidad de arrastre es de derecha a izquierda, es decir de sentido opuesto al representado en la Figura 10.1. Las partículas positivas que atraviesan de izquierda a derecha aumentan la carga positiva a la derecha de la sección, mientras que las negativas que la atraviesan de derecha a izquierda disminuyen la carga negativa a la derecha de la sección. Pero una disminución de carga negativa es equivalente a un aumento de carga positiva, de modo que ambos tipos de movimiento de carga tienen el mismo efecto, es decir, aumentar la carga positiva a la derecha de la sección considerada. En ambos casos, las partículas que salen de uno de los extremos de la sección cilíndrica son reemplazadas continuamente por las que entran por el otro extremo. En general, un conductor puede contener un número cualquiera de diferentes clases de partículas cargadas que tienen carga qi, densidades ni y velocidades de arrastre vi ; la corriente total es: I=A

∑n q v i

i

i

(10.3)

En los metales, las cargas móviles siempre son electrones (negativas), mientras que en los gases ionizados se mueven electrones e iones con carga positiva. En un material semiconductor, como el germanio o el silicio, la conducción es debida en parte a los electrones y en parte al movimiento de las vacantes, también llamadas huecos, que son lugares que han perdido los electrones y actúan como cargas positivas. La corriente por unidad de área transversal se llama densidad de corriente y se simboliza J: I (10.4) J= = nqv A

∑

r

El vector densidad de corriente J se define por la ecuación: r r J = Σnq v i (10.5) La intensidad de corriente es, por definición, una cantidad escalar, por lo que no es correcto hablar del sentido de la corriente “I”. Sin embargo, por brevedad, se utiliza con frecuencia esta expresión, para indicar el sentido del vector densidad de corriente J. El sentido de la velocidad de arrastre v de una carga positiva es el mismo que el del campo eléctrico E y para una carga negativa es opuesto a él. Pero como la carga q es negativa, cada uno de los vectores nqv tiene el mismo sentido que E y de ahí que el vector densidad de corriente J tenga el mismo sentido que E. La exposición anterior ha demostrado que el efecto de una corriente es el mismo, tanto si consiste en cargas positivas que se mueven en el mismo sentido que E, como con cargas negativas que se mueven en sentido contrario, o en una combinación de ambas. Al describir el comportamiento de un circuito se acostumbra a considerar las corrientes como si consistieran totalmente en un flujo de carga positiva, incluso en los casos en que la corriente real se sabe que es debida a electrones. Se seguirá esta convención en las secciones siguientes. Cuando hay una corriente estacionaria en una malla cerrada: “un circuito completo”, la carga total en cada porción del conductor permanece constante. Por tanto, si consideramos una porción entre dos secciones transversales fijas, el flujo de carga saliente en un extremo de la porción es igual al flujo entrante en la porción por el otro extremo. En otras palabras, la corriente es la misma en dos secciones transversales cualesquiera y, por consiguiente, es la misma en todas las secciones transversales. La corriente no es algo que salga a chorros por el terminal positivo de una batería y que se consuma totalmente en el tiempo que tarda en alcanzar el terminal negativo. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Estas manifestaciones son consecuencia del principio de conservación de la carga, presentado anteriormente.

Ejemplo: Un conductor de cobre de sección transversal cuadrada de 1 mm de lado transporta una corriente constante de 20 A. La densidad de los electrones libres es de 8 x 1028 electrones por metro cúbico. Hállense la densidad de corriente y la velocidad de arrastre. Solución La densidad de corriente en el cable es: En virtud de la ecuación (10-4):

v=

J=

I = 20 x 10 6 A.m −2 A

J (20 × 10 6 A.m −2 ) = = 1,6 x 10 −3 m.s −1 nq (8 × 10 28 m −3 )(1,6 × 10 −19 C )

v = 1,6

mm s

Aproximadamente a esta velocidad un electrón necesitaría 625 s (unos 10 minutos) para recorrer un cable de 1 m de longitud. Por tanto, la velocidad de arrastre es muy pequeña comparada con la velocidad de propagación de un pulso de corriente por el hilo, aproximadamente 3 x 108 m.s–1.

10.2- Resistividad La densidad de corriente J en un conductor depende del campo eléctrico E y de la naturaleza del conductor. En general, la dependencia de J con E puede ser bastante compleja, pero para algunos materiales, especialmente los metales, puede representarse bastante bien por una proporcionalidad directa. Para tales materiales la razón entre E y J es constante; se define la resistividad ρ de un material determinado como la razón entre campo eléctrico y la densidad de corriente: E E = ρ.J ⇒ ρ = (10.6) J Es decir, la resistividad es el campo eléctrico por unidad de densidad de corriente. A mayor resistividad, mayor campo eléctrico se necesita para establecer una densidad de corriente dada, o bien, menor densidad de corriente para un campo dado. En la Tabla 10.1 se dan valores representativos. La unidad Ω.m (ohm.metro) se explicará en la sección siguiente. Un conductor ”perfecto” tendría resistividad nula y un aislador “perfecto” la tendría infinita. Los metales y aleaciones tienen resistividades más bajas y son los mejores conductores. Las de los aisladores exceden a las de los metales en un factor del orden de 1022. La comparación con la tabla de conductividades vista en el Capítulo 3 (Transferencia de calor) muestra que los aisladores térmicos tienen resistividades térmicas (las recíprocas de sus conductividades térmicas) que difieren de las de los buenos conductores térmicos en factores de sólo 103, aproximadamente. Utilizando aisladores eléctricos, pueden confinarse corrientes eléctricas en trayectorias bien definidas en buenos conductores eléctricos, mientras que es imposible confinar corrientes caloríficas en un grado comparable. Es interesante también advertir que los metales, en general, son también los mejores conductores térmicos. Los electrones libres de un metal que transportan carga en la conducción eléctrica tienen también un papel importante en la conducción del calor; por tanto, es de esperar cierta correlación entre las conductividades eléctrica y térmica. Es un hecho conocido que los buenos conductores eléctricos, como los metales, son también buenos conductores del calor, mientras que los malos conductores eléctricos, como cerámicas y materiales plásticos, son también malos conductores térmicos. Los semiconductores constituyen una clase intermedia entre los metales y los aisladores. Su importancia no reside primordialmente en sus resistividades, sino en la forma en que son afectados por la temperatura y por pequeñas cantidades de impurezas.

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TABLA 10.1 Resistividades a temperatura ambiente (20°C) Sustancia

Sustancia

ρ (Ω.m)

Conductores

Metales

Aleaciones

ρ (Ω.m)

Semiconductores

Plata

1,47.10–8

Cobre

1,72.10–8

Oro

2,44.10–8

Aluminio

2,63.10–8

Wolframio

5,51.10–8

Ámbar

5.1014

Acero

20.10–8

Azufre

1015

Plomo

22.10–8

Cuarzo (fundido)

Mercurio

95.10–8

Lucita

Manganina

44.10–8

Madera

108 - 1011

Constantán

49.10–8

Mica

1011 - 1015

Nicrom

Carbón

Puros

100.10–8

Germanio Silicio

3,5. 10–5 0,6 2 300

Aisladores

75.1016 > 1013

Teflón

> 1013

Vidrio

1010 - 1014

El descubrimiento de que ρ es una constante para un conductor metálico a temperaturas constantes se debe a G. S. Ohm (1789 – 1854) y se denomina “Ley de Ohm”. Un material que verifica esta ley se llama conductor óhmico ó conductor lineal. Por tanto la ley de Ohm, como la ecuación de los gases ideales, la ley de Hooke y muchas otras relaciones que describen propiedades de los materiales, es un modelo idealizado que explica razonablemente bien el comportamiento de materiales pero no es, en modo alguno, una propiedad general de toda la materia. La resistividad de todos los conductores metálicos crece con el aumento de la temperatura, como se ilustra en la Figura 10-2(a). En un intervalo de temperatura no demasiado grande, la resistividad de un metal puede representarse aproximadamente por la ecuación:

ρ T = ρ 0 [1 + α .( T − T0 ) ]

(10.7)

Donde ρ0 es la resistividad a una temperatura de referencia T0 (generalmente tomada como 0ºC ó 20ºC) y ρT la resistividad a la temperatura T ºC. El factor α se denomina coeficiente de temperatura de resistividad. En la Tabla 10.2 se dan algunos valores representativos. La resistividad del carbono (no metal) disminuye al aumentar la temperatura y su coeficiente de temperatura de resistividad es negativo. La resistividad de la aleación manganina es prácticamente independiente de la temperatura. Se han encontrado varios materiales que presentan la propiedad de supraconductividad. Cuando disminuye la temperatura, al principio su resistividad disminuye regularmente, como la de cualquier metal. En la llamada temperatura crítica, normalmente en el intervalo 0,1 K y 20 K, se produce una transición de fase y la resistividad disminuye bruscamente hasta anularse, como ilustra la Fig. 10.2(b). Una vez establecida una corriente en un anillo supraconductor, seguirá por sí misma, aparentemente por tiempo indefinido, sin la presencia de ningún campo que la arrastre. La resistividad de un semiconductor disminuye rápidamente con el aumento de la temperatura, como se ilustra en la Fig. 10.2(c). Una minúscula bolita de material semiconductor, llamada termistor, funciona como termómetro de alta sensibilidad.

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ρ

ρ

Metal

T

(a)

ρ

Supraconductor

Semiconductor

T

(b)

(c)

T

Figura 10.2 Variación de la resistividad con la temperatura para tres conductores: un metal ordinario, (b) un metal: aleación o compuesto supraconductor, (b) un semiconductor.

TABLA 10.2 Coeficientes de temperatura de resistividad (valores aproximados medidos entre –15ºC y 200ºC) α (ºC–1)

Material

α (ºC–1)

Material

Aluminio

0,0039

Manganina (Cu 84, Mn 12, Ni 4)

0,000000

Carbón

–0,0005

Mercurio

0,00088

Cobre (comercial recocido)

0,00393

Nicrom

0,0004

Constantán (Cu 60, Ni 40)

0,000002

Plata

0,0038

Hierro

0,0050

Plomo

0,0043

Latón

0,0020

Wolframio

0,0045

10.3- Resistencia Como ya se vio la densidad de corriente, en un punto interior de un conductor donde el campo eléctrico es E, está dada por la ecuación (10.6)

E = ρ.J A menudo es difícil medir directamente E y J, por lo que es útil poner esta relación en una forma en la que intervengan cantidades fácilmente mensurables, como la corriente total y la diferencia de potencial. Para ello considérese un conductor de área de sección transversal uniforme A y longitud l, como se muestra en la Figura 10.3. Suponiendo una densidad de corriente constante en la sección, y un campo eléctrico uniforme en toda la longitud del conductor, la corriente total está dada por: Fig. 10.3 Un conductor de sección transversal uniforme. La densidad de corriente es uniforme en cualquier sección transversal y el campo eléctrico es constante en toda su longitud.

I = J. A y la diferencia de potencial V entre los extremos es :

V = E. l

(10.8) Despejando J y E en estas ecuaciones y sustituyendo los resultados en la ecuación (10.6), resulta:

V ρ.I = l A

⇒ V= ρ

l ⋅I A

(10.9)

Por lo tanto, la corriente total es proporcional a la diferencia de potencial. La cantidad ρl/A para una muestra determinada de un material se denomina su resistencia R:

R=

ρ.l A

(10.10)

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La ecuación (10.9) se convierte entonces en:

V=IR

(10.11)

Esta relación recibe con frecuencia el nombre de ley de Ohm: Para un conductor dado, la intensidad de corriente que circula por él es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre sus extremos. En esta forma se alude a un trozo concreto de material, y no a una propiedad general de la materia como la ecuación (10.6). La ecuación (10.10) demuestra que la resistencia de un cable o de otro conductor de sección transversal uniforme es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al área de su sección transversal. Por supuesto, también depende de la resistividad del material del que está hecho el conductor. La unidad S.I. de resistencia es el volt por ampere (1 V.A–1). Una resistencia de 1 V.A–1 se denomina 1 ohm (1 Ω). Por tanto, la unidad de resistividad es el ohm.metro (1 Ω.m). La forma adecuada de expresar las grandes resistencias es el kiloohm (1 kΩ = 103 Ω) o megaohm (1 MΩ = 106 Ω) y las resistencias pequeñas en microhm (1µΩ = 10–6 Ω). Las resistividades también se expresan en diversas unidades híbridas, de las cuales la más usual es el ohm.centímetro (1 Ω.cm = 10–2 Ω.m) Como la resistencia de cualquier muestra de material depende de su resistividad, la cual varía con la temperatura, también la resistencia variará con ella. En intervalos de temperaturas no demasiado grandes, esta variación puede representarse aproximadamente por una relación lineal análoga a la ecuación (10.7)

R T = R 0 [1 + α.(T − T0 )]

(10.12)

Aquí RT es la resistencia a la temperatura T y R0 la resistencia a la temperatura T0, que se toma a menudo como 0º C ó 20º C. Dentro de los límites de validez de la ecuación (10.12), la variación relativa de la resistencia resultante de una variación de la temperatura T – T0 está dada por la expresión α (T – T0), donde α es el coeficiente de temperatura de resistividad, cuyos valores para algunos materiales corrientes aparecen en la Tabla 10.2.

Ejemplo 1: En el ejemplo del final de la Sección 10.1, hállense el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre dos puntos separados 100 m.

Solución: En virtud de la ecuación (10.6), el campo eléctrico está dado por: E = ρ. J= (1,72. 10–8m) (20. 106 A.m–2) = 0,344 V. m–1 La diferencia de potencial está dada por: V = E.l = (0,344 V. m–1) (100 m) = 34, 4 V Por lo tanto la resistencia de un tramo de 100 m de longitud de este cable es:

R=

V 34,4 V = = 1,72 Ω I 20 A

Este resultado también puede obtenerse por la ecuación (10.10):

R=

ρ.l (1,72.10 8 Ω.m)(100 m) = = 1,72 Ω A (1.10 3 m) 2

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Ejemplo 2: Supóngase que en el ejemplo anterior la resistencia es 1,72 Ω a una temperatura de 20º C. Hállese la resistencia a 0 º C y a 100 º C.

Solución: Utilizaremos la ecuación (10.12). En este caso T0 = 20 ºC y R0 = 1,72 Ω. Según la tabla 10–2, el coeficiente de temperatura de resistividad del cobre es α = 0,00393 ºC–1. Entonces, para T = 0 ºC, R = 1,72 Ω. [1+(0,00393 ºC–1) (0 ºC – 20 ºC)] = 1,58 Ω y para T = 100 ºC, R = 1,72 Ω. [1+(0,00393 ºC–1) (100 ºC – 20 ºC)] = 2,26 Ω

10.4- Fuerza electromotriz Para que exista una corriente estacionaria en un circuito conductor, éste debe formar una malla cerrada o circuito completo. De otro modo la carga se acumularía en los extremos del conductor, el campo eléctrico resultante variaría con el tiempo y la corriente no podría ser constante, Sin embargo, tal circuito no puede estar constituido solamente por una resistencia. La corriente en una resistencia necesita un campo eléctrico y un potencial asociado. El campo realiza siempre trabajo positivo sobre la carga positiva, la cual se mueve siempre en el sentido del potencial decreciente. Pero después de una vuelta completa en torno al circuito, la carga vuelve a su punto de partida y el potencial entonces, ha de ser igual a cuando salió de dicho punto. Esto no puede ocurrir así si su recorrido por el circuito sólo implica disminución del potencial. Por tanto, tiene que haber una parte del circuito en la que la carga pase de un potencial menor a otro mayor, a pesar de la fuerza electrostática que intenta empujarla de un potencial mayor a otro menor. El influjo que hace mover la carga de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz. Todo circuito completo en el que haya una corriente estacionaria debe tener algún dispositivo que proporcione la fuerza electromotriz. Ejemplos de tales dispositivos son las baterías, generadores, células fotovoltaicas y termopares, que reciben el nombre de generadores de fuerza electromotriz. Cualquiera de ellos puede transmitir energía al circuito al que está conectado; por ello, a veces se les denomina fuente, aunque es preferible el término convertidor de energía. La fuerza electromotriz suele expresarse abreviadamente fem. La Figura 10-4 es una representación esquemática de un generador de fuerza electromotriz (fem), como una batería o un generador. Un dispositivo de este tipo tiene la propiedad de poder mantener una diferencia de potencial entre los conductores a y b, llamados terminales del dispositivo. En esta figura no hay circuito conductor fuera del dispositivo que conecte a y b y se dice que está en circuito abierto.

a +

Ee En

b –

Fig 10-4: Circuito abierto: Esquema ilustrativo del campo electrostático Ee y del no electrostático En dentro de una fuente en circuito abierto. En este caso: En = – Ee y Vab = ε

El terminal a, marcado (+), se mantiene por la fuente a un potencial más alto que el terminal b, marcado (–) . Asociado a esta diferencia de potencial hay un campo electrostático Ee en todos los puntos entre y alrededor de los terminales, tanto dentro como fuera de la fuente. El campo electrostático Ee dentro de la fuente está dirigido, como se muestra, desde a hacia b. Sin embargo, la propia fuente es un conductor y si la única fuerza que actuase dentro de ella sobre las cargas libres fuera la fuerza del campo electrostático, las cargas positivas se moverían desde a hacia b (o las cargas negativas desde b hacia a). El exceso de cargas en los terminales disminuiría y la diferencia de potencial entre ellos también disminuiría y acabaría por anularse. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Pero no es así como funcionan realmente las baterías y los generadores; de hecho, mantienen una diferencia de potencial incluso cuando hay una corriente estacionaria. De esto sacamos la conclusión de que debe existir una fuerza adicional sobre las cargas del interior de la fuente, que tiende a empujarlas desde un punto de menor potencial a otro de mayor potencial, en oposición a la tendencia de la fuerza electrostática. El origen de esta fuerza no electrostática depende de la naturaleza de la fuente. En un generador es el resultado de la acción de un campo magnético sobre las cargas en movimiento. En una batería está asociada con las concentraciones del electrolito, que varían de acuerdo a las reacciones químicas. En una máquina electrostática como un generador de Van de Graaff o de Wimshurst, se trata de una fuerza mecánica aplicada por el movimiento de una correa o de una rueda. Independientemente del origen de la fuerza no electrostática, que podemos llamar Fn, su efecto es el mismo que si hubiera un campo eléctrico adicional En, de origen no electrostático, relacionado con la fuerza por: Fn = q.En. Es decir, la fuerza no electrostática es la misma que si hubiera un campo no electrostático “En “además del puramente electrostático “Ee”. Cuando la fuente está en circuito abierto, como en la Figura 10-4, las cargas están en equilibrio y el campo resultante E, la suma vectorial de Ee y En, debe ser nulo en todos los puntos:

En + Ee = 0 Ahora bien, la diferencia de potencial electrostática Vab se define como el trabajo por unidad de carga realizado por el campo electrostático Ee, sobre una carga que se mueve de a a b. De la misma forma puede considerarse el trabajo realizado por el campo no electrostático En. Suele hablarse del trabajo (positivo) de este campo durante el desplazamiento desde b hasta a, en lugar de como habíamos dicho hasta ahora. Específicamente se llama fuerza electromotriz ε de la fuente al trabajo realizado por En, por unidad de carga, cuando una carga se mueve desde b hasta a. Cuando En = – Ee, tenemos que Vab = ε. Por consiguiente, para una fuente en circuito abierto, la diferencia de potencial Vab, es decir, el voltaje de sus terminales en circuito abierto, es igual a la fuerza electromotriz:

Vab = ε

(fuente en circuito abierto)

(10-13)

El término “fuerza electromotriz”, aunque muy utilizado, no es muy afortunado, en el sentido de que el concepto al que se refiere no es una fuerza sino un trabajo por unidad de carga. Lo más frecuente es utilizar simplemente la expresión fem. La unidad S.I. de En es la misma que la de Ee, esto es, un volt por metro, de modo que la unidad de fem es la misma que la de potencial o que la diferencia de potencial, es decir, volt. De todas formas, una fuerza electromotriz no es lo mismo que una diferencia de potencial, pues esta última es el trabajo de un campo electrostático por unidad de carga y la otra es el de uno no electrostático por unidad de carga. Como veremos más adelante, el campo electrostático en el interior de una fuente y por lo tanto la diferencia de potencial entre sus terminales, depende de la corriente de la fuente. El campo no electrostático y en consecuencia la fem de la fuente, es, en la mayoría de los casos, una constante independiente de la corriente, por lo que la fem representa una propiedad determinada de la fuente. A menos que se diga lo contrario, de ahora en adelante consideraremos que la fem de una fuente es constante. Supongamos ahora que los terminales de la fuente están conectados por un cable, como se muestra esquemáticamente en la Figura 10-5, formando un circuito completo. La fuerza de arrastre sobre las cargas libres del cable se debe exclusivamente al campo electrostático Ee creado por los terminales cargados a y b de la fuente. Este campo crea una corriente en el cable de a a b. Las cargas de los terminales disminuyen ligeramente, así como los campos electrostáticos dentro del cable y de la fuente. En consecuencia, el campo electrostático del interior de la fuente se hace menor que el campo (constante) no electrostático. Por tanto, las cargas positivas del interior de la fuente son llevadas hacia el terminal positivo y hay una corriente en el interior de la fuente de b hacia a. El circuito se estabiliza en un estado estacionario en el que la corriente es la misma en todas las secciones transversales.

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a +

Ee

Fig 10-5: Esquema de una fuente con circuito completo. Los vectores En y Ee representan a los campos correspondientes. La corriente es la misma en todas partes y tiene el sentido del campo resultante, es decir desde a hasta b en el circuito exterior y desde b hasta a dentro de la fuente.

b –

En Ee

Ee

Ee

Si la corriente pudiera circular sin impedimento por la fuente, es decir si la fuente no tuviera resistencia interna, la carga que entra al circuito externo a través del terminal a sería reemplazada inmediatamente por el flujo de carga que pasa por la fuente. En este caso, el campo electrostático interior de la fuente no variaría en condiciones de circuito completo, y la diferencia de potencial entre los terminales Vab sería todavía igual a ε. Como Vab está también relacionada con la corriente y la resistencia del circuito externo por la ecuación (10.11), entonces tendríamos

ε = I R = Vab

(10.14)

Donde R es la resistencia del circuito externo. Esta relación determina la corriente en el circuito una vez especificadas ε y R. El sentido condicional del párrafo anterior se debe a que toda fuente real tiene alguna resistencia interna, que podemos designar r. En condiciones de circuito cerrado, el campo eléctrico total Ee + En dentro de la fuente no puede ser exactamente nulo, porque es necesario algún campo neto que empuje la carga a través de la resistencia interna. Por lo tanto Ee debe tener un valor algo menor que En, y en consecuencia Vab es menor que ε; la diferencia es igual al trabajo por unidad de carga realizado por todo el campo neto, que es simplemente Ir. Así en condiciones de circuito cerrado, la diferencia de potencial entre los terminales está dada por Vab = ε – I r

(10.15)

Donde r es la resistencia interna de la fuente. La ecuación que determina la corriente del circuito completo es entonces

ε

–Ir=IR

o bien:

I=

ε R+r

Ecuación del Circuito (10.16)

Es decir, la intensidad de corriente es igual al cociente entre la fem de la fuente y la resistencia total del circuito, la externa más la interna. Si los terminales de la fuente están conectados por un conductor de resistencia nula o despreciable, se dice que la fuente está en cortocircuito. Sería extremadamente peligroso hacer esto con los terminales de la batería de un automóvil o de una red eléctrica. Entonces R = 0 y en virtud de la ecuación (10.16), la corriente Is en cortocircuito es

Is =

ε r

(10.17)

La diferencia de potencial (voltaje) entre los terminales es, entonces, nula:

ε Vab = ε −   r = 0 r

(10.18)

El campo electrostático dentro de la fuente es nulo, y la fuerza de arrastre que actúa sobre las cargas interiores es debida únicamente al campo no electrostático En. Una fuente está totalmente descrita por su fem ε y su resistencia interna r. Estas propiedades pueden determinarse, al menos en principio, midiendo el voltaje entre los terminales en circuito abierto, que es igual a ε, y la corriente en cortocircuito, la cual permite calcular r con la ecuación (10.17). Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Se debe considerar otro caso especial. Si una fuente está conectada a un circuito externo que contiene otras fuentes, es posible que el campo electrostático en el interior de la fuente sea mayor que el no electrostático, como en la Figura 10.6. Cuando ocurre esto, la corriente dentro de la fuente va del terminal a al b. Esto es lo que sucede cuando el alternador de un automóvil está “cargando” la batería. La ecuación 10.15 se convierte entonces en.

Vab = ε + I r

(10.19)

El voltaje entre los terminales es entonces mayor que la fem ε.

I

a +

Ee

b –

I

En Fig 10-6

Los esquemas de las secciones anteriores son representaciones aproximadas para ilustrar los campos eléctricos en el interior de las fuentes y de los conductores. Todo conductor, excepto un supraconductor, tiene resistencia, y por lo tanto también es un resistor. En realidad los términos “conductor” y “resistor” son intercambiables. Aquellos elementos que se incluyen en un circuito y que poseen valores de resistencias grandes comparadas con los valores de las resistencias de las conexiones y contactos se denominan resistores. Un resistor se representa por el símbolo:

Los conductores que tienen resistencia despreciable se representan por líneas rectas. Un resistor variable se denomina reóstato. Un tipo común consiste en un resistor con un contacto deslizante que puede moverse a lo largo de su longitud y se representa por el símbolo:

Las conexiones se hacen entre un extremo del resistor y el contacto deslizante. También se utiliza el siguiente símbolo para representar un resistor variable:

Una fuente se representa por el símbolo:

La línea vertical larga siempre corresponde al terminal (+). Para indicar explícitamente que la fuente tiene resistencia interna se acostumbra remplazar el símbolo anterior por alguno de los dos siguientes:

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Ejemplo 1 Consideremos una fuente cuya fem ε es constante Vab=12 V e igual a 12 V, y cuya resistencia interna r es 2 Ω V (La resistencia interna de una batería de plomo comercial de 12 V es sólo de unas cuantas milésimas de ohm). La Figura 10.7 representa la b a fuente con un voltímetro V conectado entre sus Fig 10-7 Vab=12 V terminales a y b. El voltímetro mide la diferencia Una fuente en circuito abierto r=2Ω de potencial entre sus terminales y, si es de un tipo convencional, proporciona un trayecto conductor entre los terminales de modo que hay una corriente en la fuente (y a través del voltímetro). Sin embargo, supondremos que la resistencia del voltímetro es tan grande (idealmente infinita) que no absorbe corriente apreciable. La fuente está entonces, virtualmente, en “circuito abierto”, como en la Figura 10.4, y la lectura Vab del voltímetro es igual a la fem ε de la fuente, es decir, 12 V.

Ejemplo 2

Vab = Va’b’ = 8 V

En la Figura 10.8 se han conectado un amperímetro V A y un resistor de resistencia R = 4 Ω a los terminales de la fuente para formar un circuito completo. La resistencia total del circuito es la suma de la b a resistencia R, la resistencia interna r y la resistencia ε =12 V del amperímetro. Sin embargo, la resistencia del I r=2Ω A I=2A amperímetro es muy pequeña y la imaginaremos tan a’ b’ pequeña (idealmente nula) que se pueda despreciar. Fig10-8 r=4Ω El amperímetro (independientemente de su Una fuente en un circuito completo resistencia) mide la corriente I que pasa por él. El circuito corresponde al de la Figura 10.5 (circuito completo cerrado). Los cables que conectan el resistor a la fuente y al amperímetro, representados por las líneas rectas tienen resistencia nula y, por tanto, no hay diferencia de potencial entre sus extremos. De este modo, los puntos a y a’ están al mismo potencial y son eléctricamente equivalentes, igual que los puntos b y b’. En consecuencia, las diferencias de potencial Vab y Va’b’ son iguales. En adelante utilizaremos el mismo símbolo para representar todos los puntos de un circuito conectados por conductores sin resistencia, ya que están al mismo potencial. La corriente I en el resistor (y, por lo tanto, en todos los puntos del circuito en serie) podría calcularse con la expresión I = Vab/R, si la diferencia de potencial Vab fuera conocida. Pero Vab es el voltaje de los terminales de la fuente, igual a ε – I.r y, como esto depende de I, es desconocido al principio. De todas formas, puede calcularse la corriente a partir de la ecuación (10.16):

I=

12 V ε = =2A R+r 4Ω+2Ω

La diferencia de potencial Vab podría calcularse ahora considerando a y b como los terminales del resistor o como los de la fuente. Si los consideramos como los del resistor,

Vab = I.R = (2 A).(4 Ω) = 8 V Si los consideramos como los terminales de la fuente,

Vab = ε – Ir = 12 V – (2 A).(2 Ω) = 8 V Por lo tanto, la lectura del voltímetro será de 8 V y la del amperímetro, 2 A.

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Ejemplo 3.En la Figura 10.9 la fuente está en cortocircuito. La corriente es V

ε 12 V I= = =6A r 2Ω

La diferencia de potencial (voltaje) de los terminales es Vab =

b

a

ε =12 V

ε – Ir = 12 V – (6 A).(2 Ω) = 0

I

r=2Ω

A I=6A

La lectura del amperímetro será 6 A y la del voltímetro, cero.

Fig 10-9: una fuente en cortocircuito

10-5 Trabajo y potencia en circuitos eléctricos Ahora podemos tratar en detalle las relaciones energéticas en circuitos eléctricos. El rectángulo de la Figura 10-10 representa una parte cualquiera del circuito a la cual ingresa una corriente I en “a” y sale por “b” y entre cuyos extremos existe una diferencia de potencial:

Va – Vb = Vab

Va

Vb a

I

b

I

Fig 10-10: la entrada de potencia a la parte de circuito comprendido entre a y b es P = VabI

entre los dos conductores a la entrada y a la salida de esta parte del circuito. De momento no es necesario especificar en detalle la naturaleza de este elemento del circuito. Al pasar la carga, el campo eléctrico realiza trabajo sobre ella. En un intervalo de tiempo ∆t, pasa una cantidad de carga ∆Q = I∆t y el trabajo W realizado por el campo eléctrico está dado por el producto de la diferencia de potencial (trabajo por unidad de carga) y la cantidad de carga:

∆Wab = Vab ∆Q = Vab I ∆t Por medio de este trabajo el campo eléctrico transfiere energía a esta parte del circuito. La cantidad de energía transferida por unidad de tiempo es la potencia, que se designa por P. Dividiendo la relación anterior por ∆t, obtenemos la cantidad de energía por unidad de tiempo que se suministra a esta parte del circuito:

P=

∆W = Vab I ∆t

(10.20)

Puede ocurrir que el potencial de b sea mayor que el de a; en este caso Vab es negativo: La carga entonces gana energía potencial (a expensas de alguna otra forma de energía). Hay una transferencia correspondiente de energía eléctrica del dispositivo a la carga circulante y, a través de ella, al resto del circuito. La ecuación (10-20) es la expresión general de la magnitud de la potencia eléctrica de entrada a (o la potencia de salida de) cualquier parte de un circuito eléctrico. La unidad de V es el volt, o sea, un joule por coulomb y la unidad de I es el ampère o un coulomb por segundo. Por tanto, la unidad S.I. de potencia es:

[P ] = (1.J.C −1 )(1 .C.s −1 ) = 1 J.s −1 = 1 W = 1 watt Ahora veremos un caso especial:

Resistencia pura. Si la “parte de circuito” de la Figura 10-11 es un resistor con resistencia pura, la diferencia de potencial está dada por Vab = IR y la potencia disipada por el resistor también se puede calcular como

P = Vab I = I 2 R

I

a

b

I

Fig 10-11

(10-21)

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y como I = Vab/R, otra fórmula válida también para un resistor con resistencia pura es

P = Vab I =

V2 R

(10-22)

Nota: Si fueran dos o más resistores con resistencia pura, en lugar de R se debe computar la resistencia equivalente de esa “parte del circuito”. (ver concepto de “resistencia equivalente” en el capítulo siguiente)

De acuerdo con el sentido de la corriente en el resistor el potencial en a es necesariamente mayor que en b por lo tanto las cargas circulantes salen del resistor con menos energía de la que entraron. Las cargas circulantes ceden energía a los átomos del resistor al colisionar con ellos y la temperatura del resistor aumenta a menos que haya un flujo de calor hacia el exterior. Decimos que la energía se disipa en el resistor a razón de I 2 R . Debido a este calor, cada resistor tiene una potencia nominal máxima, la potencia máxima que puede ser disipada sin recalentar el dispositivo. Cuando ésta se supera, la variación de la resistencia puede ser imprevisible y en los casos más extremos el resistor puede fundirse o incluso hacer explosión. En las aplicaciones prácticas, la potencia nominal de un resistor es una característica tan importante como el valor de su resistencia.

–––––o0o–––––

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CAPÍTULO 11 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 11.1- Circuito sencillo Un circuito eléctrico sencillo o simple está formado por uno o más resistores, cables conductores y una o más fuentes. Las figuras muestran el esquema del circuito más simple de todos. ε, r -

+

a

c

b

b

i

+ i

ε, r R

-

c

d

d

a

11.2- Circuitos sencillos con resistores en serie y en paralelo La mayor parte de los circuitos no consisten simplemente en una sola fuente y un solo resistor externo, sino que comprenden cierto número de fuentes, resistores u otros componentes como capacitores, motores, etc., interconectados de forma más o menos compleja. El término general aplicado a un circuito de este tipo es el de red. A continuación veremos algunos de los tipos más sencillos de redes. En la Figura 11.1 (a) se ilustran tres resistores de resistencias R1, R2 y R3 que ofrecen un solo recorrido entre los puntos a y b, se dice que están conectados en serie entre esos puntos. De igual forma, un número cualquiera de elementos del circuito como resistores, pilas, motores, etc., que ofrezcan un único recorrido entre los puntos, se dice que están en serie entre esos puntos. a

ε, r

i

b

i i

a`

R1

c

c`

R2

d

d`

R3

b`

Figura 11.1(a): Se muestran tres focos conectados a una pila ofreciendo un único camino a la corriente y, a su lado, el esquema de esta asociación. Una propiedad de los circuitos en serie, consecuencia del principio de conservación de la carga es: La corriente es la misma en cada elemento de la serie. Asimismo, como consecuencia de la definición de diferencia de potencial (Vxy = Vx – Vy) también se verifica en un circuito en serie que: La diferencia de potencial entre los extremos de la asociación en serie es igual a la suma de las diferencias de potencial entre los extremos de cada elemento, o sea, Vab = Vac + Vcd + Vdb

Definición: “Un nudo eléctrico, es un punto del circuito en el cual se unen tres o más conductores eléctricos”. Como consecuencia del principio de conservación de la carga eléctrica que dice que la carga no puede crearse, destruirse o acumularse en ningún punto del circuito, resulta que la suma algebraica de las corrientes en un nudo debe ser cero. Por convenio, las corrientes que llegan al nudo son positivas y las que salen de él son negativas (Regla de los nudos). Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Los resistores de la Figura 11.1(b) se dice que están en paralelo entre los puntos a y b. Cada resistor ofrece un recorrido opcional entre los puntos y un número cualquiera de elementos del circuito conectados de forma similar se dice que están conectados en paralelo. La diferencia de potencial es la misma para cada una de ellos.

ε, r

a

b

i d a`

c e

i1

d`

R i2 3

c`

i3 R2

e`

b`

R1

Figura 11.1(b): Se muestran tres focos conectados a una pila ofreciendo tres caminos diferentes a la corriente y, a su lado, el esquema de esta asociación

Como puede verse los extremos d, c y e de las resistencias están a un mismo potencial e igual al potencial del punto a. Los puntos d´, c´, y e´ extremos de las resistencias, están también a un mismo potencial, igual al de b´. Entonces, se puede afirmar que en un circuito en paralelo: La diferencia de potencial entre los extremos de cada una de las resistencias en paralelo es la misma. En símbolos: Vdd’= Vcc’= Vee’. Por otro lado, a’ es un nudo eléctrico y, de él, se derivan conductores que pasan por los puntos d, c, e. La Regla de los nudos aplicada al nudo a’ resulta: –I + i1 + i2 +i3 = 0. Esto permite enunciar la siguiente propiedad de la corriente en un circuito con resistores en paralelo: La intensidad de corriente del circuito es igual a la suma de las intensidades de corriente en cada uno de los resistores del paralelo. En símbolos: I = i1+ i2 + i3

ε, r

a

i i3

a`

c

i2

d`

b

R1

a’

b’

i1

R3 c`

b`

R2

R2 Figura 11.1(c)

ε, r

i

i

d

R1

a

b

i2

R3

c

Figura 11.1(d)

En la Figura 11.1(c), los resistores R2 y R3 están conectados en paralelo y su combinación está en serie con el resistor R1. En la Figura 11.1(d), R2 y R3 están en serie y su combinación está en paralelo con R1.

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11.3- Resistencia equivalente Siempre es posible hallar un solo resistor que pueda reemplazar a una combinación de resistores en un circuito dado, sin alterar la diferencia de potencial entre los terminales de la combinación y la corriente en el resto del circuito. La resistencia de este único resistor se denomina resistencia equivalente de la combinación. Si cualquiera de las redes de la Figura 11.1 se reemplaza por su resistencia equivalente Re, podría escribirse: V Vab = I.R e o R e = ab I Donde Vab es la diferencia de potencial entre los terminales a y b de la asociación e I, la corriente en el punto a o b. Por consiguiente, el método para calcular una resistencia equivalente es suponer una diferencia de potencial Vab entre los terminales de la red, calcular la correspondiente

I y hallar la razón

Vab . Las conexiones simples en serie y en paralelo son frecuentes, de modo I

que merece la pena deducir las fórmulas para estos dos casos especiales.

a) Si los resistores están en serie, como en la Figura 11.1(a), la corriente de cada uno debe ser la misma e igual a la de la red I. Por consiguiente:

Vax = I .R1 ; y

V xy = I .R2

; V yb = I .R3 ,

ε, r

a

Vab = Vax + V xy + V yb = I ( R1 + R2 + R3 ) ,

a

b

I

I

R3

R2

R1

Vab = R1 + R2 + R3 I

b

x

Re

y

circuito equivalente

circuito original

Pero Vab es, por definición, la resistencia equivalente Re. En consecuencia, I

R e = R1 + R 2 + R 3

(11.1)

La resistencia equivalente de un número cualquiera de resistores en serie es igual a la suma de sus resistencias individuales. b) Si los resistores están en paralelo, como en la Figura 11.1(b), la diferencia de potencial entre los terminales de cada uno ha de ser la misma e igual a Vab . Si se representan las corrientes en cada uno por I1, I2 e I3, respectivamente,

I1 =

Vab ; R1

I2 =

Vab , R2

I3 =

a

I

ε, r

a

b

R1

I

R2

Re

R3

circuito original

b

circuito equivalente

Vab R3

La carga llega al punto a por la corriente I y sale de a por las corrientes I1, I2 e I3. Puesto que la carga no se acumula en a, se deduce que:

 1 1 1   , I = I1 + I 2 + I 3 = Vab  + + R R R 2 3   1 o bien

I 1 1 1 = + + Vab R 1 R 2 R 3

Pero

I 1 = Vab R e

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1 1 1 1 = + + R e R1 R 2 R 3

Entonces,

(11.2)

Para un número cualquiera de resistores en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de sus resistencias individuales.Además

Vab = I1.R1 = I2.R2 = I3.R3 = . . . = In. Rn Por lo tanto, para dos resistores cualesquiera en paralelo (ej. R1 y R2) se cumple que

I1 R 2 = I2 R1

(11.3)

es decir, “las corrientes transportadas por dos resistores en paralelo son inversamente proporcionales a sus respectivas resistencias”. Las resistencias equivalentes de las redes de las Figuras 11.1(c) y 11.1(d) pueden hallarse por el mismo método general, pero es más sencillo considerarlas como combinación de disposiciones en serie y en paralelo. Así, en (c) la combinación en paralelo de R2 y R3 se reemplaza primero por su resistencia equivalente, que forma entonces una combinación en serie con R1. En (d), la combinación en serie de R2 y R3 forma una combinación simple en paralelo con R1. Sin embargo, no todas las redes pueden reducirse a combinaciones sencillas en serie-paralelo y hay que emplear métodos especiales cuando se utilizan tales redes.

Ejemplo: Calcúlese la resistencia equivalente de la red de la Figura 11.2(a) y hállese la corriente en cada resistor. ε = 18 V, r = 0 b

6Ω a

4Ω

c

3A

Figura 11.2(a)

1A

3Ω 2A

Solución: En las Figuras 11.2(b) y Figura 11.2(c) se han representado las diversas etapas de la reducción a una sola resistencia equivalente. Los resistores de 6 Ω y de 3 Ω de la Figura 11.2(a) equivalen al único resistor de 2Ω en la Figura 11.2(b) y la combinación en serie de éste con el de 4 Ω da como resultado el único resistor de 6 Ω en Figura 11.2(c). ε = 18 V ε = 18 V

a

4 3A

c

2Ω

b

a

3A

6Ω

b

3A

Figura 11.2b

Figura 11.2c En el circuito sencillo en serie de la Figura 11.2(c), la corriente es de 3 A (18V / 6Ω), por consiguiente, la corriente de los resistores de 4 Ω y de 2 Ω de la Figura 11.2(b) también es de 3 A. La diferencia de potencial Vcb es de 6 V y como también ha de ser 6 V en la Figura 11.2(a). Las corrientes en los resistores de 6 Ω y de 3 Ω de la Figura 11.2(a) deben ser de 1 A y 2 A, respectivamente. –––––o0o––––– Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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CAPÍTULO 12 CAMPO MAGNÉTICO 12.1- Magnetismo Los primeros fenómenos magnéticos observados estaban relacionados con los imanes naturales, fragmentos de mineral de hierro encontrado cerca de la antigua ciudad de Magnesia (de donde procede el término magnético). Estos imanes naturales atraen al hierro no imantado, siendo el efecto más pronunciado en ciertas regiones del imán llamados polos. Ya era conocido por los chinos en el año 121 de nuestra era que una varilla de hierro puesta cerca de un imán natural adquiría y conservaba esta propiedad de los imanes naturales y que si la varilla se suspendía libremente sobre un eje vertical, se situaba aproximadamente en la dirección norte sur. El empleo de los imanes en la navegación se remonta por lo menos al siglo XI. El estudio de los fenómenos magnéticos se limitó durante muchos años a los imanes hechos de esta forma. Hasta 1819 no se demostró la existencia de relación alguna entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. En ese año, el científico danés Hans Christian Oersted (1777-1851) observó que un imán giratorio sobre un eje (una aguja de brújula) se desviaba en las proximidades de un cable que transportaba una corriente. Doce años más tarde, el físico inglés Michael Faraday (1791-1867) observó que en un circuito se producía una corriente momentánea cuando en otro circuito próximo se establecía o interrumpía una corriente. Poco tiempo después se descubrió que el movimiento de un imán acercándose o alejándose del circuito producía el mismo efecto. Joseph Henry (1797-1878), un científico americano que más tarde fue el primer director de la Smithsonian Institution, descubrió independientemente el mismo fenómeno. El trabajo de Oersted demostró que podían producirse efectos magnéticos moviendo cargas eléctricas, y los de Faraday y Henry, que podían obtenerse corrientes moviendo imanes. En la actualidad se sabe que todos los fenómenos magnéticos resultan de las fuerzas originadas entre cargas eléctricas en movimiento. Es decir, las cargas en movimiento respecto a un observador establecen un campo magnético y otro eléctrico. Este campo magnético ejerce una fuerza sobre una segunda carga en movimiento respecto al observador. Los electrones de los átomos están en movimiento alrededor de los núcleos atómicos y cada electrón tiene un movimiento adicional (espín) que puede considerarse aproximadamente como la rotación sobre un eje que pasa por él. De este modo, cabe suponer que todos los átomos presentarán efectos magnéticos y de hecho es así. La idea de que las propiedades magnéticas de la materia son el resultado de diminutas corrientes atómicas fue planteada por primera vez por Ampère en 1820. Pero la comprobación de estas ideas no ha sido posible sino hasta hace pocos años. El material a través del cual se mueven las cargas puede tener un efecto significativo sobre las fuerzas magnéticas observadas entre ellas. En el presente capítulo supondremos que las cargas o los conductores están en el vacío. A los efectos prácticos, los resultados serán igualmente aplicables a cargas y conductores en el aire.

12.2- Campo Magnético Ya se vio en capítulos anteriores que para explicar la interacción de dos cargas en reposo era útil o conveniente introducir el concepto de campo eléctrico y describir la interacción en dos etapas: Una carga establece o crea un campo eléctrico E en el espacio que la rodea.

En el presente capítulo seguiremos el mismo modelo para describir las interacciones de cargas móviles: Una carga móvil o una corriente establece o crea un campo magnético en el espacio que la rodea.

El campo magnético ejerce una fuerza El campo eléctrico E ejerce una fuerza sobre una carga móvil o sobre un conF = q.E sobre una carga q situada en el ductor (que transporta una corriente) que campo. se hallen en su entorno. Además del campo magnético creado alrededor de una carga móvil, existe el campo electrostático que rodea la carga, se encuentre o no ésta en movimiento. Una segunda partícula cargada, Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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situada en estos campos combinados, experimenta una fuerza debida al campo eléctrico, esté en movimiento o en reposo. En cambio, el campo magnético ejerce una fuerza sobre ella únicamente si está en movimiento.

“Se dice que existe campo magnético en un punto si (además de la fuerza electrostática) se ejerce una fuerza sobre una carga en movimiento que pase por ese punto”. El campo eléctrico creado por cargas móviles o por corrientes es, en muchos casos, tan pequeño que la fuerza electrostática sobre una carga móvil puede despreciarse comparada con la fuerza magnética. Existen dos aspectos en el problema de calcular las fuerzas magnéticas entre cargas móviles: 1) El primero consiste en determinar el valor, dirección y sentido del campo magnético en un punto, tomando como datos los correspondientes a la carga móvil que crea el campo. 2) El segundo aspecto consiste en calcular el valor, dirección y sentido de la fuerza ejercida sobre una carga móvil al pasar por un punto en un campo magnético dado. Abordaremos al principio el segundo aspecto del problema; esto es, aceptaremos por ahora, que las cargas móviles y las corrientes crean campos magnéticos y estudiaremos las leyes que determinan la fuerza que se ejerce sobre una carga móvil en el campo. Cuando se estudia el comportamiento de un haz de partículas con carga positiva moviéndose con velocidad “v” dentro de un campo magnético la experiencia indica que: a) Al pasar por un punto dado, en general, el haz de partículas se desvía lo que indica que actúa alguna fuerza sobre ellas. b) Existe una única dirección (sin importar el sentido en que se muevan las partículas cargadas) en la cual no tiene lugar ninguna desviación y por lo tanto, no se ejercen fuerzas magnéticas sobre ellas. “Se define como dirección del campo magnético, aquella en la cual ha de moverse una carga para que el campo NO ejerza fuerza alguna sobre ella”. (Más tarde se definirá el sentido del campo)

c) Si las partículas cargadas se mueven con velocidad “v” en una dirección perpendicular a la del campo magnético, se observa que siempre tiene lugar una desviación tal que indica la existencia de una fuerza que es perpendicular a la vez al campo y a la velocidad. Por otra parte, se comprueba que el valor de esta fuerza es directamente proporcional al valor de la velocidad .Ver Fig. 12.1(a). Si la velocidad “v” de la carga móvil no es perpendicular a la dirección del campo magnético, sino que forma con él un ángulo ϕ, la fuerza magnética existe igualmente y también se ejerce en dirección perpendicular al campo y a la velocidad, pero su valor es menor. El vector velocidad puede descomponerse en dos componentes: “v.cos ϕ”, en la dirección del campo, y “v.sen ϕ”, en dirección perpendicular a él. En este caso general, la Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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fuerza que actúa sobre la carga móvil es a la vez perpendicular al campo y a la velocidad y el valor de la fuerza es directamente proporcional a “v.sen ϕ” . Ver Fig. 12.1(b). d) Trabajando con haces de partículas de distinto tipo se puede medir la fuerza que actúa sobre cargas de distinto valor. Así, con iones hidrógeno (protones) puede medirse la fuerza sobre iones cargados con una sola carga positiva y, con otros gases en condiciones adecuadas, se podrán medir fuerzas que actúan sobre iones cargados con dos y tres cargas positivas. La experiencia demuestra en todos los casos que: “la fuerza que actúa sobre una carga móvil en un campo magnético es directamente proporcional al valor de la carga” Si se trabaja con haces de electrones se encuentra que “la fuerza que actúa sobre una carga negativa es similar en todo a la fuerza magnética sobre una carga positiva pero de sentido contrario.” A partir de estas observaciones experimentales podemos definir una magnitud vectorial llamada “inducción magnética”, simbolizada con B, que caracteriza al campo magnético, en forma análoga al vector E que caracteriza al campo eléctrico. El “valor” de la inducción magnética (B = módulo del vector B) en cualquier punto se define con el cociente: F (12.1) B= q.v. sen ϕ donde q es el valor de la carga que sufre la fuerza F; v, el valor de su velocidad (módulo del vector v); ϕ, el ángulo formado por v y la dirección del campo magnético y F es el valor de la fuerza magnética (módulo del vector F) que actúa sobre la carga móvil en el punto. Si F se mide en newton, q en coulomb y v en metros por segundo, la unidad de B resulta ser:

unidad de B = [ B ] =

N = N ⋅ A −1 ⋅ m−1 = 1 tesla (T) −1 C ⋅ m⋅ s

En el sistema cgs, la unidad de B se llama gauss (G) y es también de uso común. La equivalencia entre ellas es: 1 T = 104 G –4

El campo magnético terrestre es del orden de 10 T o sea de 1 G. Los mayores valores de un campo magnético estable obtenidos en laboratorio son de unos 30 T = 300 000 G. Hasta aquí se ha definido el valor de la inducción magnética y su dirección pero no su sentido. Para completar la definición de la inducción magnética B como vector especificaremos que, cuando la carga móvil es positiva, los tres vectores B, v.sen ϕ y F forman un triedro trirrectángulo como el representado en la Figura 12.2(a). La relación entre sus sentidos puede recordarse por la Regla de la Mano Izquierda: “Al utilizar los dedos pulgar, índice y medio de dicha mano para representar estos tres vectores perpendiculares entre sí, Fig.12.2(b), si el dedo medio apunta en el sentido de la velocidad y el pulgar en el sentido de la fuerza, el dedo índice dará el sentido del campo”.

z y x

F B +

v senϕ

x

y z Fig. 12.2(a)

Fig. 12.2(b)

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Por supuesto que esta regla permite obtener el sentido de cualquiera de los tres vectores una vez conocido el de los otros dos. En los problemas de rutina, generalmente se conoce el sentido del campo y de la velocidad y, con esta regla se obtiene el sentido de la fuerza sobre una carga positiva. El sentido de la fuerza que actúa sobre una carga negativa es opuesto al de la fuerza sobre una carga positiva. Si se conoce el valor del campo, la velocidad y la carga de una partícula, entonces la ecuación (12.1) puede escribirse: F = q.v.B.sen ϕ (12.2) Esta expresión da el módulo de la fuerza magnética que dicha partícula sufre. Recordando el concepto de producto vectorial de dos vectores (visto al estudiar momento de una fuerza), dicha expresión puede escribirse: F = q.v × B Según la cual el vector fuerza magnética que sufre una partícula de carga q moviéndose con velocidad v en un campo magnético B está dada por el producto vectorial (×) entre el vector q.v y el vector B. El módulo del vector producto es F = q.v.B.sen ϕ ; su dirección es perpendicular al plano determinado por los otros dos vectores y su sentido puede determinarse por la regla ya citada o también por la Regla del Tornillo ya vista al tratar el tema Momento de una Fuerza. En este caso, imagínese que se gira el vector v sobre B según el ángulo más pequeño de los dos posibles: el sentido de F coincide con el sentido de avance de un tornillo roscado a derechas si se gira en la misma forma.

Ejemplo: Un haz de protones se mueve en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme de 2,0 T en el sentido del semieje positivo de las “z”, como se ilustra en la Figura 12.3. La velocidad de los protones vale 3.105 m/s. El vector velocidad se halla en el plano x-z formando un ángulo de 30° con el semieje positivo de las “z”. (La carga del protón vale 1,6.10–19 C.)

Solución. La regla de la mano izquierda muestra que el sentido de la fuerza ejercida sobre el protón coincide con el del semieje negativo de las “y”. El módulo de la fuerza es, de acuerdo con la ecuación (12.2) F = (1,6.10–19 C).(3.105 m/s).(2,0 T).sen 30° = 4,8.10–14 N Si el haz fuera de electrones en vez de protones, entonces el valor de q es –1,6.10–19 C. La solución se obtiene del mismo modo pero la fuerza que resulta tiene el mismo valor pero su sentido es el del semieje positivo de las “y”.

12.3- Líneas de campo magnético - Flujo magnético Un campo magnético puede representarse por líneas, de forma que la dirección y sentido de la línea en un punto dado sean iguales a los del campo magnético en dicho punto. Las llamaremos líneas de campo magnético o líneas de inducción. Análogamente a lo que ocurría con las líneas de campo eléctrico, estas líneas de inducción se dibujan espaciadas de modo tal que su densidad, esto es, el número de líneas por unidad de área perpendicular al campo sea proporcional a la intensidad de B. Así, en un campo magnético uniforme, donde B tiene el mismo valor, dirección y sentido en cada punto de una región, las líneas de inducción son rectas paralelas e igualmente espaciadas. El flujo magnético dΦ a través de un área dA se define como:

B⊥ θ

dA

B B//

Fig. 12.4

dΦ = B.cos θ dA (12.3) Donde θ es el ángulo que forma el vector B con la normal al elemento de área considerado. Como se observa en la figura 12.4, entonces, el producto B.cos θ es la componente del campo Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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magnético perpendicular al elemento de área. El flujo total a través de una superficie cualquiera es la suma de todas las contribuciones de las áreas elementales dA y está dado por Φ =

∫ B .cos θ dA

(12.4)

En el caso particular que B es uniforme y constante sobre una superficie plana de área total A, Φ = B.A.cos θ Si B es perpendicular a la superficie, el cos θ = 1 y el flujo total resulta Φ = B.A La utilidad del concepto de flujo magnético se apreciará más adelante, cuando se estudie inducción electromagnética. La unidad S.I. del campo magnético es –1

1 T = 1 N.A .m

–1 –1

Por consiguiente, la unidad de flujo magnético es el N.m.A , también llamado weber (Wb). Si el elemento dA de la ecuación (12.3) es perpendicular a B, resulta que:

B=

dΦ dA

Es decir, el campo magnético es igual al flujo por unidad de área a través de una superficie perpendicular al campo. Como la unidad de flujo magnético es 1 Wb, la unidad de campo magnético, 1 T es igual a 1 Wb/m2. De ahí que también el campo B recibe también el nombre de densidad de flujo. El flujo total a través de una superficie puede entonces representarse proporcional al número total de líneas de campo que atraviesan dicha superficie, y el campo (la densidad de flujo), como el número de líneas por unidad de área. En el sistema cgs la unidad de flujo es el maxwell (Mx) y la correspondiente unidad de campo magnético o densidad de flujo es el maxwell por cm2 que se llama gauss (1 G).

12.4- Trayectorias de las partículas cargadas en movimiento en un campo magnético Con frecuencia es necesario representar gráficamente un campo magnético perpendicular al plano de la figura dirigido hacia el lector o alejándose de él. Esto se hace ordinariamente con un cierto número de puntos o cruces. Puede imaginarse que los puntos ( ) representan las puntas de flechas dirigidas hacia el lector; las cruces (⊗) representarán las plumas de la cola de las flechas, que se alejan del lector. Al principio de este texto se vio que cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético, sufre la acción de una fuerza magnética que la desvía de su trayectoria original. Sea una partícula cargada positivamente, situada en un punto O de un campo magnético uniforme de densidad de flujo B, a la que se comunica una velocidad v de dirección perpendicular al campo (ver figura 12-5). La regla de la mano izquierda demuestra que la partícula está sometida en dicho punto a una fuerza vertical F dirigida hacia arriba, e igual a q.v x B Puesto que la fuerza es perpendicular a la velocidad, no afectará al valor de esa velocidad y alterará sólo su dirección. En puntos tales como P y Q, las direcciones de la fuerza y de la velocidad habrán cambiado, como muestra la figura, permaneciendo constante el valor de la fuerza y el de la velocidad, puesto que los valores de

q; v ; B

Figura 12.5

son

constantes. Las partículas, por consiguiente, se mueven bajo la influencia de una fuerza cuyo valor es constante, pero cuya dirección es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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La órbita de la partícula es, por lo tanto, una circunferencia que la partícula recorre con velocidad tangencial de módulo constante v , bajo la acción de la fuerza centrípeta F. Puesto que: aceleración centrípeta = se tiene, en virtud de la segunda ley de Newton:

q.v.B = m. y el radio de la órbita circular será:

R=

v2 R

v2 R

m.v B.q

Si la dirección de la velocidad inicial de la partícula NO es perpendicular al campo, la componente de velocidad paralela a ésta permanece constante y la componente perpendicular al campo es la única afectada por el campo cambiando su direccción, entonces la partícula se mueve describiendo una trayectoria en forma de hélice. En este caso “v” en las ecuaciones anteriores es la componente de la velocidad perpendicular al campo.

12.5- Fuerza sobre un conductor que transporta corriente Cuando un conductor que transporta una corriente yace sobre un campo magnético, actúan fuerzas magnéticas sobre las cargas móviles del interior del conductor. Estas fuerzas se transmiten al material del conductor, y éste experimenta una fuerza distribuida por toda su longitud. La Figura 12.6 representa un tramo de hilo conductor de longitud l y sección transversal A, en la cual la densidad de corriente J está dirigida de izquierda a derecha. El hilo se encuentra en un campo magnético B, perpendicular al plano del dibujo y de sentido alejándose del lector. Sobre una carga q1 del interior del hilo, cuya velocidad de arrastre es v1, actúa una fuerza cuyo módulo es F1 = q1.v1.B dado que v1 ⊥ B. La dirección de esta fuerza es vertical y su sentido hacia arriba (corrobore esta afirmación aplicando la regla de la mano izquierda). Igualmente, una carga negativa q2, cuya velocidad es v2, de sentido opuesto a J, experimenta una fuerza de módulo F2 = q2.v2.B. Como q1 y q2 tienen signos opuestos v1 y v 2 tienen sentido opuesto; F2 y F1 tienen el mismo sentido, como ilustra la Figura 12.6.

× ×

×

F1 F2 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × J + v2 J q1 v1 q2 × × × × × l × × × ×

× ×

× ×

× ×

×

×

×

× × × × FIGURA12. 6

×

× ×

× ×

×

La fuerza total sobre todas las cargas móviles existentes en la longitud l puede expresarse en función de la corriente como sigue. Sean n1 y n2 los números de cargas portadoras positivas y negativas, respectivamente, por unidad de volumen. Los números de portadores en la parte considerada son n1 A l y n2 A l; y la fuerza total F sobre todos ellos (y, por consiguiente, la fuerza total sobre el hilo) tiene una intensidad: F = (n1.A.l ) ( q1v1.B )+ (n2.A.l )( q2.v2.B ) = ( n1q1v1+n2 q2v2 ) A.l.B. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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r

Pero n1.q.1v1 + n2.q2.v2 (o, escrito en forma más general, J =

r

∑ n .q v i

i. i

) es igual a la densidad de

corriente J, y el producto J.A es igual a la corriente I, de modo que resulta:

F = B.I.l

(12.5)

Si el campo B no es perpendicular al cable, sino que forma un ángulo ϕ con él, la componente de B paralela al cable (y, por tanto, paralela a la velocidad de arrastre de las cargas) no ejerce fuerza alguna; la componente perpendicular al cable está dada por B⊥= B.sen ϕ por lo que, en general,

F = B⊥.I.l = B.I.l.sen ϕ

(12.6)

12.6- Fuerza y torque sobre un circuito completo La fuerza total o torque sobre cualquier conductor en un campo magnético puede calcularse dividiéndolo en segmentos y aplicando la ecuación (12.6) a cada uno de ellos. En general, esto requiere una integración, pero cuando el campo magnético es uniforme el cálculo es mucho más simple. Como veremos, la fuerza total sobre un circuito completo en un campo uniforme es siempre nula, pero el torque suele no serlo. La Figura 12.7 ilustra un cuadro rectangular de hilo con lados de longitudes a y b. La normal al plano del cuadro (línea “n” perpendicular al plano) forma un ángulo α con la dirección de un

r

campo magnético uniforme B , y el cuadro transporta una corriente I. Obviamente, se debe disponer la entrada y salida de la corriente en el cuadro con la inclusión de un par de contactos. Éstos se han omitido en el dibujo por razones de simplicidad. La fuerza F sobre el lado derecho, de longitud a, está en la dirección del eje x, hacia la derecha, como se ilustra. En este lado, B es perpendicular a la dirección de la corriente, y la fuerza total sobre este lado (la suma de las fuerzas distribuidas a lo largo de él) tiene una intensidad

F = B.a.I

(12.7)

Sobre el lado opuesto actúa una fuerza de igual valor y sentido opuesto, como se ilustra en la Figura 12.7. Las fuerzas que actúan sobre los lados de longitud b, representadas por los vectores F’ y –F’, tienen por módulo

F’ = I.b.B.sen (90º – α)

FIGURA 12.7: Corriente que circula en un cuadro conductor en rotación que se encuentra en el espacio de un campo magnético uniforme.-

F’ = I.b.B.sen (90º + α) F’ = I.b.B.cos α aplicadas a ambos lados, y sus rectas de acción están sobre el eje y. La suma de las fuerzas sobre el cuadro es nula, porque las fuerzas ejercidas sobre lados opuestos se anulan por pares. Las dos fuerzas F’ y –F’ están sobre la misma recta de acción y, por lo tanto, no hay torque respecto a ningún eje, pero las fuerzas F y –F constituyen un par o cupla. La Figura 12.7(a) muestra el cuadro conductor como lo vería un observador situado en el eje y. Allí se ve el lado NP del cuadro y las secciones de los extremos de los lados MN ( ) y PQ (⊗). El punto ( ) indica que la corriente sale por N y la cruz (⊗), que ella se aleja del lector entrando por P.

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n

α

P

B

F

α

–F

b

b

d = b.sen α

α

N Figura 12.7(a)

Según la Figura 12.7(a), la distancia entre las rectas de acción de F y –F es d = b.sen α de modo que el torque o momento es:

n B

–F

F

⊗

Γ = (I.B.a).(b.sen α) El torque es nulo cuando α vale 0º ó 180º (el plano del cuadro es perpendicular al campo); ver Figura 12.7(b). El torque es máximo cuando α = 90º (es decir, cuando el plano del cuadro es paralelo al campo); ver Figura 12.7(c). Como a.b es el área A del cuadro la ecuación anterior puede escribirse como: Γ = I.B.A.sen α

Figura 12.7(b)

F

⊗ n

B

–F

Figura 12.7(c)

12.7.- Motor de corriente continua En la Figura 12.8 se muestra el cuadro de la Figura 12.7 montado sobre un cilindro metálico que puede girar sobre un eje que pasa por el centro de su base. Se ha identificado con N y S los polos de un imán que crean el campo magnético B, cuyo sentido es el indicado por las líneas de inducción. Sobre la superficie lateral del cilindro se han dibujado el extremo P del lado PQ (indicando con el símbolo ⊗ el sentido de la corriente) y el extremo N del lado MN (el símbolo indica el sentido de la corriente). La Figura 12.9 muestra el esquema de un motor de corriente continua completo. El inducido o rotor “A” es un cilindro de acero que va montado sobre un eje que le permite rotar. Alojados en ranuras longitudinales practicadas sobre la superficie del inducido hay cierto número de conductores de cobre “C” cuyos extremos están identificados por (⊗) ó ( ) que indican el sentido en que circula la corriente por cada uno de ellos. S y S´ son bobinas que cuando tienen corriente generan el campo magnético B, cuyas líneas de inducción están representadas con líneas de trazos. La carcasa o estator M del motor proporciona una trayectoria para el campo magnético. Los conductores del inducido forman un buen número de cuadros lo que permite aumentar el torque resultante obtenido sumando los torques que cada uno de ellos experimenta en cada instante. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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La Figura 12.10 muestra el inducido A, las piezas polares P, los conductores C, el eje de rotación E y el colector D que es un cilindro segmentado sobre el que hacen contacto las escobillas de grafito G que permiten el paso de la corriente a los conductores. El colector es un dispositivo automático de conmutación que mantiene las corrientes en los conductores en los sentidos indicados en las Figuras 12.8 y 12.9 cualquiera sea la posición del inducido. La aplicación de la regla de la mano izquierda demuestra que, para los sentidos relativos del campo magnético y de la corriente en el inducido que se han dibujado, la fuerza lateral a que está sometido cada conductor es tal que origina un momento sobre el inducido de sentido de giro horario (ver Figura 12.11). Cuando circula corriente, el motor gira y se produce energía mecánica a expensas de la energía eléctrica proveniente de la alimentación.

FIGURA 12.11 FIGURA 12.10

–––––o0o–––––

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CAPÍTULO 13 CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CORRIENTE 13.1- Campo magnético creado por una carga móvil Como se indicó anteriormente, la fuente fundamental de un campo magnético es una carga eléctrica en movimiento, pudiéndose tratar de cargas eléctricas que se mueven en un conductor, es decir de corriente eléctrica. Consideremos el campo B producido por una sola carga puntual móvil, como la representada en la Figura 13.1. La experiencia ha permitido verificar que el módulo de este campo es proporcional al valor de la carga q, al módulo de su velocidad v, y al seno del ángulo que forma la dirección del vector v con el segmento que une a la carga con el punto, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia “r” entre la carga y el punto. En símbolos:

B = k'

q.v.senθ r2

(13.1)

Donde k’ es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende del sistema de unidades utilizado. La dirección del campo magnético B en un punto P es perpendicular al plano determinado por el vector v y la línea que une la carga con el punto P. Para determinar el sentido del campo magnético puede imaginarse la carga positiva sujeta con la mano derecha, y con el pulgar extendido en el sentido del movimiento de la partícula cargada, según se indica en la Figura 13.2. Los otros dedos rodean entonces a la carga en el sentido de las líneas de campo. Si la carga creadora fuera negativa, el campo tiene el mismo módulo y dirección pero sentido opuesto. La carga “q” también produce un campo eléctrico en sus proximidades, las líneas de este campo eléctrico irradian de la carga, y no han sido dibujadas en la Figura 13.2, mientras que las líneas de campo magnético son totalmente diferentes: son círculos en planos perpendiculares a “v”, concéntricos en la recta de acción de “v”.

z El pulgar apuntando en el sentido de la velocidad de la carga

y B (entrante a la página)

v

B (hacia la izquierda) Los dedos curvados indican el sentido de las líneas de inducción

r x

x

B (hacia la derecha)

B (saliente de la página)

Figura 13.2

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y

z

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La Figura 13.3 ilustra el campo magnético en varios puntos próximos a la carga. El campo es nulo en todos los puntos ubicados sobre la P2 trayectoria de la carga, porque en todos B2 esos puntos sen θ = 0.

P1

A una cierta distancia r, B adquiere valor máximo cuando θ = 1, porque en ese caso su seno es igual a la unidad.

P3

r

B3 r

Figura 13.3.- Vectores de campo magnético creados por una carga puntual positiva “q” en movimiento. (Para mayor claridad se ha representado un solo valor de θ)

r 1

θ

3

π

(Β 1, Β 2 y Β 3 ) ⊥ π

B1

(Β 4 y Β 5 ) ⊥ µ

v r

q r

2

4

B4

5

µ B5 Como se indicó anteriormente la unidad de B se denomina Tesla: –1 –1 –1 –1 [B]=T=N.s.C .m =N.A .m Al despejar k’ de la ecuación (13.1) se obtienen sus unidades: 2

–2

Unidad de k’ = [ k’ ] = N . s . C

–2

=N.A

–1

= Wb . A

En unidades SI el valor numérico de k’ es igual a 10 –7

k’ = 10

2

–2

N.s .C

= 10

–7

–2

N.A

= 10

–7

–7

–1

–1

=T.A .m

, entonces:

–1

Wb . A

.m

.m

–1

–7

= 10

–1

T.A

.m

En las ecuaciones de campo magnético es conveniente introducir una constante la relación:

k' =

definida por

µ0 4π

Entonces:

µ 0 = 4π 10 − 7

N .s 2 N Wb T .m = 4π 10 − 7 2 = 4π 10 − 7 = 4π 10 − 7 2 2 C A A.m A

En función de lo expresado, la ecuación (13.1) se convierte en

B=

µ 0 q.v.senθ 4π r2

(13.2)

13.2- Ley de Biot El campo magnético creado en un punto cualquiera por la corriente de un conductor es la resultante de los campos debida a todas las cargas móviles del conductor. Se puede dividir mentalmente el conductor en cortos fragmentos de longitud dl, uno de cuales se ilustra en la Figura 13.4.

Figura 13.4.-Vectores de campo magnético creados por un elemento de corriente. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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El volumen de un fragmento de conductor es igual a A.dl, donde A es el área de su sección transversal. Si hay n cargas q por unidad de volumen, la carga móvil total dQ en ese fragmento de conductor es

dQ = n q A dl Por lo tanto, las cargas móviles equivalen a una sola carga dQ que se mueve con una velocidad igual a la velocidad de arrastre v. De la ecuación (13.2) surge que el módulo de dB en un punto cualquiera es

dB =

µ 0.dQ.v.sen θ µ 0 .n.q.v.A.d l.senθ = 4π .r 2 4π .r 2

Pero n.q.v.A es igual a la corriente I que circula por el elemento, por lo tanto:

dB =

µ 0 I.dl.sen θ 4π r2

Integrando:

B=

µ 0 I.dl.senθ 4π ∫ r 2

Ley de Biot

Como se ilustra en la Figura 13.4, los vectores de campo dB son exactamente iguales a los creados por una carga positiva finita Q, que se mueve en el sentido de la velocidad de arrastre v. El sentido del campo infinitesimal dB creado en el punto P por el elemento dl también está representado en la figura. El vector dB se encuentra en un plano perpendicular al plano determinado por dl y la recta que une P y dl . Se deduce de esto que las líneas de inducción, a las cuales son tangentes los vectores dB, son circunferencias situadas en planos perpendiculares al eje del elemento. El sentido de esas líneas se determina imaginando al elemento conductor sujeto con la mano derecha, manteniendo extendido el dedo pulgar en el sentido de la corriente. Entonces, los demás dedos rodean al elemento en el sentido de las líneas de flujo.

13.3- Casos particulares de la ley de Biot 13.3.1-Campo magnético creado por un largo conductor rectilíneo Se puede utilizar la Ley de Biot para calcular la inducción magnética creada por un largo conductor rectilíneo en un punto cualquiera P, como el ilustrado en la Figura 13.5, situado a una distancia a de aquél, obteniéndose la ecuación conocida como Ley de Biot y Savart:

B=

µ 0 2.i 4π a

Figura

Ley de Biot y Savart

13.5.- Campo magnético creado por la corriente que circula en un elemento dx de un largo conductor rectilíneo.

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A diferencia del campo eléctrico radial que rodea a un conductor cargado, las líneas de inducción magnética son circunferencias con sus centros en el conductor y situadas en planos perpendiculares a él. Se observa que cada línea de inducción es una curva cerrada, lo que también constituye una diferencia con las líneas de fuerza de un campo eléctrico que terminan sobre cargas positivas o negativas. Esta propiedad de las líneas de inducción es cierta cualquiera que sea la forma del circuito que crea el campo: cada línea de inducción se cierra sobre sí misma.

La Figura 13.6 representa una porción del campo magnético que rodea a un largo conductor rectilíneo.

13.3.2- Campo magnético de una espira circular En muchos dispositivos que utilizan una corriente eléctrica para crear un campo magnético, tales como un electroimán o un transformador, el conductor que transporta la corriente está arrollado en una bobina, que puede interpretarse como un conjunto de espiras. Por esa razón, es importante conocer el campo magnético creado por una espira circular que transporta corriente. Para una espira circular de radio R que transporta una corriente de intensidad i, como el ilustrado en la Figura 13.7, la Ley de Biot conduce a la expresión: B = µ0

i 2.R

Que permite calcular el valor del campo magnético en un punto ubicado en el centro de la espira. Figura 13.7

Si en lugar de una sola espira, se tiene un cuadro o una bobina formada por N espiras apretadas, cuyos radios son aproximadamente iguales, cada vuelta contribuye en igual medida a la creación del campo y la ecuación anterior se convierte en:

B=

µ 0.N .i 2R

Se indicó anteriormente que una espira de hilo conductor de forma cualquiera, que transporta una corriente, queda sometida a un par cuando se encuentra en un campo magnético exterior. Se vio allí que la posición final de equilibrio era tal que el plano de la espira resultaba perpendicular al campo exterior. Se observa que dicha posición es aquella en la cual la inducción del propio campo de la espira tiene el mismo sentido que el campo exterior, dentro del área encerrada por la espira. En otras palabras, si una espira puede girar libremente, se colocará en un plano tal que el flujo que pase a través del área encerrada por ella, tenga el máximo valor posible.

13.3.3- Campo magnético de un solenoide La densidad de flujo producida en cualquier punto por una corriente que circula en un arrollamiento solenoidal como el indicado en la Figura 13.8, es la resultante de las densidades de flujo creadas en dicho punto por cada espira del solenoide.

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Utilizando la Ley de Biot puede demostrarse que, en cualquier punto del eje, o próximo a él y no demasiado cerca de los extremos se verifica que

B=µ

0

N .i l

Siendo “N” el número total de espiras, “l”, la longitud del solenoide (no del conductor) e “i” la intensidad de corriente.

13.3.4- Campo magnético de un toroide Un arrollamiento tal como el esquematizado en la fig. 13-9 se denomina toroide. Cabe imaginar que se trata de un solenoide que se ha encorvado hasta adquirir forma circular, de modo que sus extremos quedan unidos. Prácticamente todo el flujo se halla confinado en el interior del toroide, y la densidad de flujo en cualquier punto, dentro del arrollamiento, está dada también por la ecuación anterior, en la cual “l” representa la longitud de la circunferencia media del toroide.

Figura 13.9.- Toroide

B=µ

0

N .i l

Siendo “N” el número total de espiras, “l”, la circunferencia media del toroide e “i” la intensidad de corriente.

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CAPÍTULO 14 FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA 14.1- Introducción Nuestra producción y distribución actual en gran escala de la energía eléctrica no sería factible económicamente si los únicos generadores de f.e.m. disponibles fueran de naturaleza química, tales como las pilas secas. El desarrollo de la electrotecnia, hasta alcanzar su estado actual, comenzó principalmente con los trabajos de investigadores como: Michael Faraday, Joseph Henry, Nikola Tesla, Dominique F. J Arago, entre otros, que descubrieron los fundamentos en que se basa la producción de f.e.m. inducida y los métodos por los cuales la energía mecánica puede convertirse directamente en energía eléctrica. Las primeras máquinas eléctricas rotativas (también llamadas convertidores de energía) comienzan a aparecer en 1832 y continúan hasta nuestros días. Se entiende por máquina eléctrica al conjunto de mecanismos capaces de generar, aprovechar o transformar la energía eléctrica. Si la máquina convierte energía mecánica en energía eléctrica se llama generador, mientras que si convierte energía eléctrica en energía mecánica se denomina motor. Energía mecánica

Generador

Energía eléctrica

Energía mecánica

Motor

Energía eléctrica

Vamos a ver los principios que permiten el funcionamiento del generador.

14.2- F.e.m. inducida en un conductor móvil La figura 14.1(a) muestra un conductor de longitud “l” situado en un campo magnético uniforme, perpendicular al plano del dibujo y en sentido tal que se aleja del lector. Si se pone el conductor en movimiento hacia la derecha, con una velocidad “v” perpendicular al mismo y al campo magnético, cada partícula cargada situada dentro del conductor experimenta una fuerza magnética dirigida a lo largo de él: Fm = B.q.v (14.1) El sentido de la fuerza ejercida sobre cualquier carga positiva es de “b” hacia “a” (regla de la mano izquierda), como se la ilustra en la Fig. 14.1(a), mientras que la fuerza sobre una carga negativa tiene sentido contrario. Como consecuencia de esas fuerzas y mientras el conductor continúe en movimiento se producirá un desplazamiento y acumulación de cargas positivas en el extremo “a” y de cargas negativas en “b”. Esa acumulación origina un campo eléctrico E cuyas líneas de campo están representadas en la Figura 14.1(b). Sobre las cargas actúan ahora dos fuerzas, la magnética Fm = B.q.v y la eléctrica Fe = E.q de sentidos opuestos. Al aumentar el exceso de carga en los extremos del conductor crece el campo eléctrico E y la fuerza eléctrica. Cuando ésta iguala en módulo a la magnética (que ya está determinada por B y v), la fuerza resultante sobre cada carga es nula y cesa la acumulación de cargas en cada extremo. Por supuesto, es necesario que continúe el movimiento del conductor con velocidad constante para que la fuerza Fm, causante de la separación de cargas, persista. En esas condiciones, el campo Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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eléctrico, creciente desde que comenzó la separación de cargas, ha alcanzado su valor máximo para esa velocidad “v” del conductor. Asociado a ese campo eléctrico existe una diferencia de potencial Vab = E.l, siendo “a” el extremo de mayor potencial. De ahí, resulta que E = Vab / l Igualando los valores de las fuerzas Fe y Fm y colocando “E” en función de “Vab” se tiene: q.E = q.v.B Por lo tanto: E = v.B Pero: Vab / l = v.B ⇒ Vab = B.l.v Como el conductor “ab” está en “circuito abierto”, esa diferencia de potencial entre sus bornes es igual a la f.e.m. Como se ve, el conductor móvil se está comportando como un generador, y decimos que se ha inducido en él una f.e.m. debido a su movimiento en el campo magnético. El valor de esa f.e.m. inducida es ε = B.l.v (14.2) Imaginemos ahora que el mismo conductor móvil se desliza sobre otro conductor fijo en forma de “U”, tal como muestra la Figura 14.2. Entonces, se establecerá en él una corriente de sentido antihorario, o sea, de “a” hacia “b”. En este caso, el conductor fijo es el circuito externo mientras que el conductor móvil actúa como fuente o generador. Como resultado de esta corriente, el exceso de carga en los extremos del conductor móvil se reduce; el campo electrostático dentro del conductor móvil se debilita, y las fuerzas magnéticas producen un nuevo desplazamiento de cargas dentro de él. Mientras se mantenga el movimiento del conductor “ab” habrá, por consiguiente, un Fig. 14.2: Corriente producida por el movimiento de un conductor en un campo magnético desplazamiento continuo de cargas en el circuito, o sea, la corriente será permanente. Veremos ahora otra forma de determinar la f.e.m. inducida en el dispositivo pero teniendo en cuenta la “definición de f.e.m.” Sea “i” la intensidad de la corriente en el circuito de la Figura 14.2. Debido a la existencia de esta corriente, el campo magnético ejerce una fuerza horizontal hacia la izquierda sobre el conductor móvil “ab” y, en consecuencia, para mantenerlo en movimiento con velocidad constante, se necesita una fuerza exterior Fext ejercida por algún agente externo que haga trabajo. El trabajo mecánico realizado por esta fuerza mantiene al conductor “ab” con velocidad constante y, entonces, la corriente puede seguir circulando. Así, mediante este dispositivo se obtiene transformación directa de energía mecánica en energía eléctrica. La fuerza magnética sobre el conductor móvil “ab”, que ahora está conduciendo una corriente “i”, es: Fm = B.i.l.sen ϕ Como en este caso ϕ = 90°, resulta Fm = B.i.l Esta fuerza tiende a frenar al conductor móvil y el agente externo deberá ejercer una fuerza (Fext) que sea del mismo valor y sentido opuesto a Fm para mantener la velocidad constante. | Fext | = | Fm | = B.i.l En un tiempo “dt” el conductor se desplaza una distancia ds = v.dt , por lo que el trabajo realizado será: dW = Fext.ds.cos 0° = B.i.l.v.dt Pero el producto “i.dt” es la carga “dq” desplazada en ese tiempo, por consiguiente, dW = B.l.v.dq Dividiendo ambos miembros por “dq” resulta dW = B.l.v dq Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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El primer miembro de esta igualdad es el trabajo por unidad de carga realizado por el agente externo (no electrostático), o sea, la fuerza electromotriz (ε) del dispositivo generador (conductor “ab”). En símbolos: ε = B.l.v Que es idéntica a la ecuación (14.2), obtenida anteriormente. Si la velocidad del conductor móvil forma un ángulo “ϕ” con la dirección del campo magnético, en la ecuación anterior deberá remplazarse la velocidad “v” por su componente perpendicular al campo v⊥ = v.sen ϕ: ε = B.l.v.sen ϕ 2

Si “B” se expresa en tesla o Wb/m , “l” en metros y “v” en m/s, la f.e.m. resulta en joule por coulomb, o volt. Se admite que se crea una f.e.m. inducida en la barra incluso en ausencia de circuito cerrado (caso ilustrado en la Figura 14.1) aunque, naturalmente, no puede producirse una corriente permanente a menos que se disponga de dicho circuito (caso ilustrado en la Figura 14.2). Si el conductor forma parte de un circuito cerrado, la corriente resultante se denomina corriente inducida.

Ejemplo Nº1: El valor del campo “B” en la región comprendida entre los polos de un electroimán es 0,5 Wb . Calcular la f.e.m. inducida en un conductor rectilíneo de 10 cm de longitud, en posición perpendicular a “B” y que se mueve, en dirección normal a “B” y a su propia dirección longitudinal, con una velocidad de 1 m/s. Ver fig. 1. Wb  B = 0,5 2 m Datos:   l = 0,10 m  m v = 1 s 

m2

ε = B.l.v = 0,5 x 0,10 x 1 = 0,05V

14.3- Ley de Faraday La f.e.m. inducida en el circuito de la Figura 14.3 puede considerarse desde otro punto de vista. Mientras el conductor se ha movido hacia la derecha una distancia “ds”, el área abarcada por el circuito cerrado “abcd” ha aumentado en: dA = l.ds La variación de flujo magnético que atraviesa la superficie limitada por el circuito, para el caso que el campo sea perpendicular es: dΦ = B.dA = B.l.ds Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por “dt”, se tiene: dΦ ds = B.l. = B.l.v dt dt (14.3) dΦ = B.l.v = ε (14.4) dt

Figura 14.3

Las ecuaciones precedentes establecen que el valor de la f.e.m. inducida en el circuito es numéricamente igual a la derivada respecto al tiempo del flujo que lo atraviesa. ε=

dΦ dt

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Los convenios de signos para la f.e.m. inducida y para el flujo magnético junto con el análisis de las distintas combinaciones posibles muestran que, en todos los casos, ε y dΦ/dt tienen signo opuesto. Por ello, la expresión de la Ley de Faraday se escribirá: ε=–

dΦ dt

(14.5)

Se enuncia la ley como:

La f.e.m. instantánea inducida en un circuito es igual a la derivada del flujo magnético a través del circuito con respecto al tiempo cambiada de signo. De acuerdo con esta ley resulta que la f.e.m. inducida NO depende del valor del flujo sino de la rapidez con que el flujo varía. Si el flujo magnético que atraviesa un circuito varía una cantidad finita ∆Φ en un intervalo de ∆Φ tiempo ∆t, la f.e.m. media inducida está dada por: = − ∆t Si el campo B es uniforme pero no es normal a la superficie entonces la ecuación que da el flujo es:

ε

Φ = B.A.cos θ

(14.6)

Observe que el cambio en el tiempo de cualquiera de las variables B, A ó θ producirá una f.e.m. inducida. Tal como se ha obtenido, parece simplemente otra forma de escribir la ecuación de la f.e.m. inducida en un conductor móvil; en valor absoluto es: ε = B.l.v dΦ Sin embargo, la expresión ε = – tiene un significado mucho más profundo. En efecto, se dt encuentra que es aplicable a cualquier circuito a través del cual se produce una “variación de flujo magnético” por cualquier medio, incluso aunque no haya movimiento de ninguna parte del circuito. Para ilustrar este hecho, supongamos el siguiente dispositivo formado por dos espiras independientes de hilo conductor que están situadas como se ve en la Figura 14.4. Veremos algunos casos en que se manifiesta el fenómeno de lograr una f.e.m. inducida:

Caso Nº1: Consideremos una primer experiencia en la cual las espiras se encuentran en posiciones fijas, y una corriente que circula por el circuito (1) crea un campo magnético cuyo valor en todos los puntos es proporcional a su intensidad, como surge de la ecuación B = µ 0 .i Una parte de este flujo 2.R

pasa por el circuito (2) y, si la intensidad en el circuito (1) aumenta o disminuye, el flujo a través del circuito (2) también variará y se producirá en él una f.e.m. inducida de valor absoluto ε = dΦ /dt sin que haya habido movimiento de ninguno de los dos circuitos.

Nota: la f.e.m. inducida no puede suponerse creada en una parte determinada del circuito (2); es generada en TODO el circuito. Caso Nº 2: En el esquema de la Fig. 14.4 las dos espiras se encuentran en una posición fija, y la corriente que circula por la espira (1) es continua (porque no cambia de sentido) y constante (no cambia de valor), por lo que crea un campo magnético cuyo valor en cada punto es distinto pero constante y proporcional a su intensidad. Una parte del flujo magnético debido a ese campo pasa por el circuito (2), el cual puede moverse de alguna de las siguientes formas: Alejarse o acercarse paralelamente al eje de las espiras común a ambas bobinas, Rotar en torno a algún eje diametral, Deslizarse sobre un plano paralelo a la sección de la bobina, Una combinación de las anteriores, Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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En todos los casos, el flujo magnético a través del circuito (2) variará debido al cambio de su posición relativa en el campo magnético generado por el circuito (1) y, por consiguiente, se producirá f.e.m. debido al movimiento del conductor en un campo magnético. La variación del flujo que atraviesa al circuito (2) provoca que aparezca una f.e.m. cuyo valor absoluto es ε = dΦ . dt

Caso Nº3: En este caso veremos como cambia el flujo debido sólo a la variación del valor del campo magnético. Para apoyarnos mejor en este análisis veamos la imagen que se ilustra en las siguientes figuras: 14.5 a, b y c. En ellas se indican tres situaciones diferentes para un mismo par de circuitos (1 y 2) arrollados en un mismo núcleo cilíndrico de hierro (núcleo magnético). El núcleo es el camino donde se concentran las líneas de campo magnético. La diferencia entre los tres dibujos es la posición del interruptor (S). Cuando se cierre dicho interruptor, la bobina del circuito (1) es quien generará el campo magnético. El circuito (1) está formado por un arrollamiento de N vueltas que se encuentra en conexión serie con el interruptor “S”, con un resistor “R1” y con una fuente de f.e.m. ε1 sin resistencia interna. El circuito (2) está formado por una espira en serie con el resistor “R2”. Las tres situaciones (a, b y c) que plantearemos con estos dos circuitos sólo difieren en la condición del interruptor S (“abierto”: no circula la corriente; “cerrado”: circula corriente). La figura (14-5a) muestra la condición inicial de la experiencia, con el interruptor abierto, no hay corriente y no se genera campo magnético. En la figura (14-5b), se muestra el instante en que se cierra el interruptor. Durante ese breve intervalo de tiempo la corriente aumenta rápidamente y, por ello, el campo magnético también lo hace. Durante ese lapso de tiempo se induce una f.e.m. en la bobina del circuito (2) que genera una corriente i2 en el resistor R2. Dado que el flujo pasa de un valor nulo a un valor máximo, en un muy corto tiempo, el valor de la f.e.m. inducida es alto. En la figura se le ha asignado un sentido para la corriente inducida, lo cual prevé la necesidad de una regla para poder predecir este sentido, que será indicada más adelante (ítem 14-4). Una vez pasado ese breve tiempo, la corriente por el circuito (1) se mantiene constante desarrollando, por lo tanto, un campo magnético también constante. Por ello, de allí en más, no se inducirá f.e.m. alguna en el circuito (2) e I2 deja de existir. En la figura 14-5 (c) se ilustra el instante en que se abre el interruptor; durante ese tiempo breve la corriente disminuye rápidamente provocando una rápida disminución del campo magnético. Por lo tanto, ahora también se genera una f.e.m. inducida en el circuito (2).

Tener en cuenta que la f.e.m. no depende del valor del flujo magnético, sino de la rapidez con que éste cambia.

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Ejemplo Nº 2: Con el interruptor “S” cerrado circula una cierta intensidad en el circuito (1) de la figura 14-6 y el circuito (2) es atravesado por un flujo de 5.10–4 Wb. Cuando se interrumpe la corriente en el circuito (1), el flujo por el circuito (2) se anula en un tiempo de 0,001 s. ¿Cuál es la f.e.m. media inducida en el circuito (2)? La disminución media del flujo en el circuito (2) es: −4

5.10 Wb Wb ε = − ∆Φ =− = − 0,5 = − 0,5V ∆t 0,001s s

Caso Nº 3: Consideremos un cable arrollado en un núcleo toroidal. Cuando circula una corriente “i” se crea un campo magnético cuyas líneas de flujo están confinadas enteramente dentro del núcleo, como se ilustra la Figura 14.7. Si engarzamos al toroide con un anillo conductor y que tenga posibilidad de moverse recorriendo al toroide tal como se indica en la figura, cualquiera sea su posición, la totalidad del flujo magnético del toroide también atravesará el área limitada por el anillo. Mientras la corriente se mantenga constante no se generará f.e.m. inducida en el anillo porque tampoco hay variación del flujo (a pesar de un eventual desplazamiento del anillo conductor). Por el contrario, si se varía la intensidad de la corriente, variará el campo magnético y también el flujo magnético dentro del toroide y del anillo; la ley de Faraday predice una f.e.m. inducida en el anillo y la experiencia confirma que tal f.e.m. existe realmente. Los transformadores de voltaje se basan en este principio.

Ejemplo Nº 4: Una bobina de 80 vueltas (ri = 0) tiene un radio de 5,0 cm se halla dentro de un campo magnético uniforme en la dirección del eje de la bobina. Está conectada a una resistencia de 3,0 Ω. Determinar cuál debe ser la variación del campo magnético por unidad de tiempo para inducir en el circuito una corriente de 4,0 A. La diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia Vab es igual a I.R y como ri = 0 , tb será igual a la f.e.m. inducida: Vab = I.R = ε = 4,0 A.3,0 Ω = 12 V Como sólo nos interesan los valores se prescindirá del signo negativo de la ecuación de Faraday. En las condiciones del problema, el flujo a través de una sola espira vale “Φ =B.A”; en la bobina de N espiras es Φ = N.A.B. Por lo tanto, el valor de la f.e.m. inducida en la bobina es: dΦ m d ( N . A.B) dB dB = = = N . A. = N .π .r 2 . = 12 V dt dt dt dt dB 12 V T = = 19,1 2 dt 80.π .(0,05 m) s

ε

14.4- Ley de Lenz Heinrich Lenz (1804-64) fue un físico alemán que, sin conocer los trabajos de Faraday y Henry, repitió casi simultáneamente muchos de sus descubrimientos. La ley que lleva su nombre constituye una regla útil para conocer el sentido de una f.e.m. inducida. Esta ley establece que:

“El sentido de una f.e.m. inducida es tal que el efecto que ella genera se opone a la causa que la produjo”. La f.e.m. y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal que tienden a producir efectos (fuerzas, campos magnéticos secundarios etc.) que se oponen a la variación (causa) que las produjo. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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La causa de la f.e.m. inducida puede ser por ejemplo: el movimiento de un conductor en un campo magnético la variación de corriente en un circuito la variación relativa de la posición de un circuito respecto de otro que transporta corriente etc. No obstante, todos los casos descriptos poseen un factor común: la variación del flujo magnético que atraviesa un circuito. Por lo tanto, la causa de la f.e.m. será siempre un aumento o una disminución de dicho flujo. En el caso de la Figura 14.2 (f.e.m. inducida por el movimiento del conductor “ab”) el sentido de la corriente inducida en el conductor móvil es tal que el sentido de la fuerza magnética que aparece sobre él se opone a su movimiento (causa de la f.e.m. inducida). Por lo tanto dicha fuerza debe ser horizontal y hacia la izquierda de donde surge, aplicando la regla de la mano izquierda que la corriente inducida debe ser de “b” hacia “a”. Este resultado hallado aplicando la ley de Lenz coincide con el obtenido anteriormente en el apartado 14-2 usando otro razonamiento. En el caso que muestra la Figura 14.4, la variación de corriente en el circuito 1 hace variar el flujo magnético que atraviesa el circuito 2 (causa). Aparece una f.e.m. inducida y una corriente inducida asociada a ella en el circuito 2 que genera su propio campo magnético (efecto). De acuerdo con la ley de Lenz se podrá deducir el sentido de la corriente inducida: a) Si la causa fue un aumento del flujo magnético que atraviesa al circuito 2 la f.e.m. inducida y la corriente inducida generarán un campo magnético opuesto al campo inicial, por lo que la corriente inducida será de sentido opuesto a la del circuito 1. b) Si la causa hubiera sido una disminución del flujo magnético que atraviesa al circuito 2, la f.e.m. inducida y la corriente inducida generarán un campo magnético de igual sentido que el campo inicial, por lo que la corriente inducida será del mismo sentido que la del circuito 1. Consideraremos ahora otro caso donde se aplica la ley de Lenz para deducir el sentido de la corriente inducida. La Figura 14.8 muestra una barra magnética (imán) que se mueve acercándose a una espira de resistencia “r”. Las líneas de inducción del campo magnético del imán emergen de su polo norte. El movimiento del imán acercándose a la espira hace aumentar el flujo magnético a través de la espira. De acuerdo con la Ley de Faraday aparece una f.e.m. inducida en la espira que genera una corriente inducida en ella. De acuerdo con la ley de Lenz, la f.e.m. produce un efecto que se opone a su causa (el aumento en el flujo magnético), por lo que la corriente inducida es tal que genera un nuevo campo magnético de sentido opuesto al B preexistente, es decir, el que muestra la figura. Este nuevo campo tiende a disminuir el flujo que atraviesa a la espira. Si ahora el imán se desplaza alejándose de la espira (sentido contrario a la situación planteada anteriormente), el flujo producido por el imán que atraviesa la espira tiende a disminuir y la corriente inducida tendrá sentido tal que generará un campo magnético inducido del mismo sentido que el B preexistente para oponerse a la disminución del flujo magnético. Ahora, con este razonamiento, se puede verificar el sentido que le fue asignado a la corriente inducida del ejemplo mostrado en la figura 14-5b.

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14.5- F.E.M. inducida sobre un cuadro en rotación Una manera cómoda de lograr que varíe el flujo magnético que atraviesa un circuito y, de ese modo, generar una f.e.m. inducida, es utilizar un cuadro conductor que rota dentro de un campo magnético. La Figura 14.9.a muestra cómo, en efecto, el flujo magnético varía de acuerdo con la posición del cuadro (accionando la manivela) con respecto al campo magnético B. Si esta variación se mantiene en el tiempo, por ejemplo, haciendo girar continuamente el cuadro alrededor del eje OO’ perpendicular al campo B se obtendrá una f.e.m. inducida. La Figura 14.9.b muestra solamente el plano del cuadro en diversas inclinaciones con respecto al campo B y puede apreciarse cómo cambia el número de líneas de inducción que atraviesa el área efectiva del cuadro, es decir, se representa como varía el flujo magnético a través del cuadro. Ese esquema corresponde a un mecanismo sencillo para transformar energía mecánica en

energía eléctrica y recibe el nombre de alternador. La Figura 14.10 es un esquema aún más resumido de un alternador básico. Un cuadro rectangular como el “abcd” de Nespiras muy próximas, gira alrededor de un eje O-O’, perpendicular a un campo magnético uniforme cuya densidad de flujo es B. Los terminales del cuadro están conectados a los anillos rozantes S-S’, concéntricos con el eje del cuadro y giran solidarios con él, pero están aislados eléctricamente entre sí. Unas escobillas apoyan contra estos anillos conectando así el cuadro al circuito exterior, el cual, por simplicidad se ha representado mediante una resistencia. El campo magnético B, puede ser creado por un electroimán o por piezas de imanes permanentes y el cuadro está devanado sobre un cilindro de hierro (no representado en la figura). Se denomina inducido al conjunto del cuadro y su núcleo de hierro. En una posición genérica cualquiera, como la que se muestra en la figura 14-11, el flujo magnético que atraviesa cada espira vale “B.A.cos α”; para N espiras apretadas el flujo total será “Φ = N.B.A.cos α”, siendo α el ángulo que forma el campo B con la normal al cuadro (n). Si el cuadro rota con velocidad angular (ω) constante, el ángulo girado (α) en un tiempo “t” vale “ωt”. Así, el flujo total a través del cuadro de N espiras en ésa posición genérica se calcula con la ecuación

a n α

B

α

d Figura 14.11.- Cuadro visto desde el eje.

Φ = N.B.A.cos ωt

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De acuerdo con la Ley de Faraday, si se deriva esta ecuación con respecto al tiempo y se le cambia el signo, se obtiene la f.e.m. inducida en cada instante.

ε = − ddtΦ = N .B.A.ω.sen ω t Teniendo en cuenta que ω = 2πf, se tiene ε = N.B.A.ω.sen 2πf t (14.7) Esta función toma su valor máximo, cuando α = 2πf t valga 90° o π/2 rad, o sea, εmáx = N.B.A.ω Entonces, la ecuación (14.7) puede escribirse

ε = εmáx sen 2πf t

(14.8)

La que indica que “la f.e.m. inducida en este cuadro en rotación con velocidad angular constante dentro de un campo magnético uniforme y normal al eje de rotación” es una función sinusoidal cuyos valores varían entre +εmáx y – εmáx y se repiten periódicamente (período T = 1/f que, en este modelo simple, es el tiempo que tarda el cuadro en dar una vuelta completa). Su gráfica en función del tiempo se muestra en la Figura 14.12 (se grafica un solo ciclo). Una f.e.m. de estas características se denomina “f.e.m. alterna” por cambiar alternativamente la polaridad a medida que pasa el tiempo. Es generada “en el cuadro” mientras rote dentro del campo, ya sea que esté o no conectado al circuito externo; la f.e.m. inducida no depende de la corriente inducida. Pero la corriente inducida sí depende del valor de la f.e.m. y del circuito externo que se ha conectado. La tensión en bornes (Vab) será igual a la f.e.m. sólo si el generador está desconectado del circuito eléctrico externo, o sea, a circuito abierto. El cuadro en rotación es la forma más sencilla de generador de corriente alterna o alternador. Analizaremos ahora, en forma más detallada, la evolución en el tiempo de la f.e.m. inducida en un cuadro que rota con ω = cte en un campo magnético uniforme y constante. La Figura 14.13 muestra el dispositivo con el instrumento adecuado para medir la f.e.m. (un voltímetro que tiene una resistencia interna muy grande, de modo que la corriente que circula por él es totalmente despreciable)

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En la Figura 14.14 se muestra a la f.e.m. inducida en el cuadro en una secuencia de distintas posiciones del mismo durante una rotación.

Figura 14.14: Secuencia de posiciones de rotación del inducido para un ciclo completo, y el desarrollo de la f.e.m. para cada una de ellas.

14.6- Generador de corriente continua o dínamo Un cuadro de hilo conductor que gira en un campo magnético desarrolla, como ya lo hemos enunciado en el ítem anterior, una f.e.m. inducida sinusoidal. Podemos modificar el dispositivo para obtener en el circuito externo una diferencia de potencial que tenga un solo sentido o con una única polaridad; esto se logra conectando cada terminal del cuadro a la mitad de un anillo partido llamado colector o conmutador, que a su vez se conecta al circuito externo por medio de las escobillas, como se muestra en la Figura 14.15. En el instante en que se invierte el sentido de la f.e.m. inducida en el cuadro, se intercambian las conexiones en el circuito exterior, de modo que la f.e.m. entre los terminales, aunque pulsante, tiene siempre el mismo sentido, como se la muestra en la gráfica de la figura 14-16.

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La Figura 14-17 muestra una posición instantánea de giro del inducido, considerando que la bobina viene girando en el sentido indicado (figura 17), la f.e.m. generada determina que la escobilla “U” resulte positiva con respecto a la escobilla “T”. Si ahora imaginamos una rotación de 180º, MQ pasa a ocupar la posición espacial que antes ocupaba NP y el semianillo “R” está en contacto con la escobilla “U”. La f.e.m. tiene, en la nueva posición, sentido de M a Q. Luego la escobilla “U” sigue con el potencial positivo respecto de T. Se ilustra este efecto en la figura 14.16.

Figura 14.17: Posición instantánea de la bobina del inducido; (a) representa una posición genérica del cuadro de la dinamo dentro del campo B, (b) esquema del circuito para medir la diferencia de potencial entre las escobillas. La Figura 14.18 (a) muestra una secuencia de 4 posiciones notables del cuadro en rotación durante un ciclo completo y la Figura 14.18 (b) muestra las gráficas de la f.e.m. inducida en el cuadro en rotación y la diferencia de potencial (tensión) lograda en las escobillas.

Figura 14.18(a): Esquemas de los circuitos para medir la diferencia de potencial entre las escobillas a medida que va rotando el cuadro.

Figura 14.18(b): Curvas que representan la f.e.m. inducida en el cuadro y la diferencia de potencial en las escobillas. en función del tiempo.

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CAPÍTULO 15 ÓPTICA 15.1- Naturaleza de la luz La luz es el agente exterior (energía electromagnética radiante) capaz de estimular el ojo y producir la sensación visual normal. La captación de luz a través de órganos oculares presenta características diferentes en las distintas especies de animales. Mientras el hombre y los mamíferos evolucionados presentan visión binocular en colores, los insectos poseen ojos compuestos cuya percepción abarca, en ocasiones, zonas del espectro luminoso que pertenecen al infrarrojo, inapreciable para los humanos. Los fenómenos que suceden cuando la luz se propaga o cuando interactúa con la materia pueden ser explicados desde dos puntos de vista: a) Considerando a la luz como un fenómeno ondulatorio y b) Considerándola como un fenómeno asociado a la interacción entre un conjunto de "partículas" llamadas fotones y la materia. La teoría Cuántica de la Radiación Electromagnética explica todos los fenómenos ópticos abarcando ambos puntos de vista.

15.2- Velocidad de la luz La velocidad de propagación de la luz en el vacío es una de las constantes fundamentales de la 8 naturaleza. Su valor es tan grande (aproximadamente 300.000 km/s = 3.10 m/s) que no pudo medirse experimentalmente hasta 1676. Con anterioridad se pensaba que la velocidad de propagación de la luz era infinita. En experiencias se demostró que la velocidad de propagación de la luz (en general, de cualquier onda electromagnética) en el vacío es una constante universal independiente del movimiento de la fuente y del observador. En los demás medios, la velocidad de propagación disminuye, en relación directa con el incremento de la densidad de la materia que atraviesa. Del análisis de todas las mediciones realizadas hasta 1983, el valor más probable de la velocidad de la luz era: c = 2,99792458 x 108 m.s–1 considerado correcto dentro de un error de ± 2 m.s–1. Dicho valor fue utilizado para dar la definición de metro vigente actualmente (ver Capítulo de “MAGNITUDES FÍSICAS”)

15.3- Espectro electromagnético En la actualidad está demostrado que la luz consiste en ondas electromagnéticas. En este aspecto es una pequeña parte de la clase muy extensa de radiaciones electromagnéticas, todas con las características generales ya explicadas, incluídas la velocidad de propagación común c ≅ 3x108 m.s–1 en el vacío, pero cuyas frecuencias [ f ] y longitudes de ondas [ λ ] son diferentes. La relación c = λ. f es válida para todas ellas. Se llama espectro al ordenamiento de la luz o de otras formas de radiación electromagnética distribuida de acuerdo con su longitud de onda, frecuencia, energía o alguna otra propiedad. La luz visible (aquellas ondas electromagnéticas perceptibles por el ojo humano) es la parte del espectro electromagnético cuyas longitudes de onda pertenecen al intervalo comprendido entre –7 (4 y 7) x10 m. Utilizando la relación entre la velocidad de propagación y la frecuencia de la radiación electromagnética puede verse que el correspondiente intervalo de frecuencia es 14 aproximadamente de 7,5 hasta 4,3 x10 Hz.

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La separación de la luz visible para obtener un espectro puede ser lograda mediante diversos dispositivos, por ej. un prisma. Cada frecuencia o longitud de onda diferente de la luz visible corresponde a un color diferente, de modo que el espectro aparece como una banda de colores que van variando en forma continua desde el violeta, en el extremo correspondiente a las longitudes de onda cortas (frecuencias más altas) pasando por el índigo, azul, verde, amarillo y naranja hasta el rojo en el extremo correspondiente a las longitudes de onda largas (frecuencias más bajas). La siguiente figura esquematiza la posición de la luz visible en relación al espectro electromagnético completo. f r e c u e n c i a (Hz) 4

5

10

6

10

7

10

8

10

9

10

10

10

11

10

12

10

13

10

Microondas Banda de radiodifusión

14

10

15

10

16

10

17

10

IR

18

10

UV

Banda de TV

19

10

Hz

10

Rayos X

Rayos gamma

Luz Visible

Ondas de Radio

4

10

3

10

2

10

1

10

-1

1

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

10

-9

10

-10

10

-11

10

l o n g i t u d d e o n d a (m)

Como las longitudes de ondas de la luz son de valor muy pequeño, es conveniente medirlas en unidades menores. Corrientemente se utilizan tres unidades: el micrómetro (µm), el nanómetro (nm) y el angstrom (Å). Algunas de sus equivalencias son: 1 µm = 10–6 m = 10–4 cm 1 nm =

10–9 m

= 10–3 µm

= 10–7cm

1Å

10–10 m

= 10–8 cm

= 0,1 nm

=

En la literatura antigua, al micrómetro se lo llamaba a veces micra y el nanómetro como milimicra; en la actualidad el uso de estos términos está totalmente desaconsejado (reglas del S.I.). La mayoría de los investigadores en diseño de instrumental óptico, color y óptica fisiológica, expresan las longitudes de ondas en nanómetros. Así por ejemplo, la longitud de onda de la luz amarilla de una lámpara de vapor de sodio es de 589 nm, pero muchos espectroscopistas identifican esta misma longitud de onda como 5 890 Å Las diferentes radiaciones del espectro visible, caracterizadas por su frecuencia, evocan las sensaciones de colores diferentes. Las longitudes de onda aproximadas (en el vacío) correspondientes a los distintos colores del espectro visible se encuentran en la siguiente tabla: de 400 a 450 nm de 450 a 500 nm de 500 a 550 nm de 550 a 600 nm de 600 a 650 nm de 650 a 700 nm

violeta azul verde amarillo naranja rojo

que son prácticamente las mismas en el aire. Cuando se utiliza la expresión “luz monocromática de 550 nm de longitud de onda” en exposiciones teóricas, se hace alusión al caso ideal de luz con una única longitud de onda (mono = uno; cromos = color) pero, como en realidad eso es imposible, en la práctica ello significa que dicha luz está constituida por una pequeña porción del espectro (una pequeña banda) con longitudes de onda alrededor de los 550 nm. En lenguaje matemático se indica diciendo que el intervalo está comprendido entre λ y (λ + dλ). Utilizando fuentes o filtros especiales, puede limitarse la anchura del intervalo de longitudes de onda de una luz dada a una pequeña banda comprendida entre λ y (λ ± 10 nm). Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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15.4- Óptica Geométrica y Óptica Física El conjunto de los fenómenos que constituyen el objeto de la óptica han sido estudiados en dos grandes capítulos: por una parte el estudio de aquellos fenómenos en que sólo interesa la luz o radiación luminosa como rayo rectilíneo (en un medio homogéneo) sin considerar su origen, naturaleza y modo de propagación; esto constituye la llamada Óptica Geométrica. Por otra parte se tiene el estudio de aquellos fenómenos referidos a las características de la fuente, o a la velocidad y naturaleza de la luz o a la interacción entre distintas radiaciones o entre éstas y la materia; es la llamada Óptica Física. La Óptica Geométrica, una vez establecidas las leyes fundamentales, consiste en un estudio puramente geométrico de la marcha de los rayos. La Óptica Física, en cambio, estudia los fenómenos desde un punto de vista más vinculado a la naturaleza de los mismos. De la Óptica Geométrica trataremos: reflexión y refracción de la luz, espejos, prismas y lentes. De la Óptica Física ya se ha visto naturaleza y velocidad de la luz, más adelante trataremos la Fotometría, descomposición de la luz en un prisma (dispersión) y espectros.

15.5- Óptica Geométrica - Definiciones previas 1- Cuerpo o fuente luminosa: es aquél en el que se origina la luz. (sol, filamento de una lámpara, etc.) 2- Cuerpo iluminado: es aquél que recibe la luz. (ej. esta página que Ud. lee) 3- Cuerpo transparente: es aquél a través del cual la luz puede propagarse. (lámina de vidrio) 4- Cuerpo opaco: es aquél a través del cual la luz NO puede propagarse. (placa de hierro, 1madera, etc.) 5- Cuerpo traslúcido: es aquél que permite el paso de la luz sin ver detalles. (lámina de parafina, vidrio esmerilado, etc. 6- Medio óptico (o refringente) : Es toda región del espacio en la que la luz puede propagarse. (aire, vidrio, vacío, agua, etc.) 7- Punto luminoso o fuente puntual: es aquella fuente luminosa cuyas dimensiones son despreciables comparadas con las distancias recorridas por la luz. (ej. estrellas) 8- Rayo luminoso: Es la semirrecta orientada que representa gráficamente la dirección y sentido de la propagación de la luz. 9- Haz de rayos: Es un conjunto continuo de rayos originados en una misma fuente. Los haces de rayos pueden ser convergentes, divergentes o paralelos. 10- Haz homocéntrico: Es un conjunto de rayos cuyas direcciones se cortan en un mismo punto. A ese punto se lo llama centro del haz. 11- Sistema óptico: es un sistema físico que permite que los rayos luminosos continúen propagándose como tales. (espejos, lentes, prismas, etc.) 12- Rayo o haz incidente: es aquel rayo o haz que llega al sistema óptico. 13- Rayo o haz emergente: es aquel rayo o haz que sale del sistema óptico 14- Sistema óptico aplanético: Un sistema óptico es aplanético si de un haz homocéntrico incidente se obtiene un haz homocéntrico emergente. 15- Punto objeto (P) para un sistema óptico: es el centro del haz homocéntrico incidente (puede existir en todo tipo de sistema). Puede ser real o virtual 16- Punto imagen (P’) para un sistema óptico: es el centro del haz homocéntrico emergente (sólo existe si el sistema es aplanético). Puede ser real o virtual. 17- Reflexión de la luz: es el fenómeno por el cual un rayo luminoso que llega al límite de separación de dos medios vuelve al medio del cual provenía. 18- Refracción de la luz: es el fenómeno por el cual un rayo luminoso que llega al límite de separación de dos medios ópticos penetra en el segundo medio. 19- Reflexión regular: es aquélla en la que por cada rayo incidente se produce un solo rayo reflejado. 20- Refracción regular: es aquélla en la que por cada rayo incidente se produce un solo rayo refractado. 21- Reflexión difusa y refracción diáfana: son aquéllas en las que por cada rayo incidente se producen infinitos rayos emergentes, p.ej. superficie de esta página, superficie aire-vidrio esmerilado. (salvo que se diga lo contrario sólo trataremos la reflexión y refracción regulares). Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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15.6- Leyes fundamentales de la óptica geométrica Ya en el inicio de las investigaciones ópticas fueron establecidas experimentalmente las siguientes cinco leyes: 12345-

Ley de la propagación rectilínea de la luz. Ley de la independencia de los haces luminosos Ley de la reflexión de la luz en la superficie de los espejos. Ley de la refracción de la luz en el límite de dos medios transparentes. Ley de reversibilidad de los caminos ópticos.

El estudio posterior de estas leyes, mostró en primer lugar, que ellas tienen un sentido mucho más profundo que lo que puede parecer a primera vista y, en segundo lugar, que su aplicación es limitada ya que son leyes aproximadas. El establecimiento de las condiciones y de los límites de aplicación de las leyes fundamentales de la óptica significó un gran progreso en la investigación de la naturaleza de la luz.

15.6.1- Propagación rectilínea de la luz. Cuando nos hallamos en el interior de una habitación perfectamente cerrada, de paredes completamente opacas carecemos de toda sensación luminosa. Si perforamos un pequeño orificio en una de sus paredes, habiendo luz en el exterior, el polvillo que flota en el ambiente o el humo de un cigarrillo, nos permitirá verificar la trayectoria que siguen las radiaciones luminosas. Se observa que, si el orificio no es demasiado pequeño y mientras la luz no encuentre la superficie de un cuerpo de distinta naturaleza, “la luz se propaga en línea recta en todo medio óptico homogéno.”

15.6.2- Independencia recíproca de las diversas partes de un haz luminoso. Esta ley establece que, “dado un haz de rayos luminosos, si con una pantalla interceptamos una parte del mismo, los restantes rayos no modifican su trayectoria ni experimentan la más mínima perturbación” (Fig.15.1). Tanto esta ley como la primera son válidas salvo en el caso ya citado, de que el objeto interpuesto o la abertura que subsiste para el pasaje de la luz no sean demasiado pequeños.) La tercera y la cuarta se aplican al caso en que el rayo luminoso llega a la superficie de separación de dos medios ópticos homogéneos. En ese caso, a partir de este rayo llamado rayo incidente, surgen dos rayos emergentes: uno que vuelve al primer medio y el otro que se propaga en el segundo medio. En la Figura 15.2 el rayo incidente SI, al llegar al punto I (punto de incidencia) de la superficie AB de separación de dos medios origina los rayos IS' que vuelve al primer medio y el IS'' que penetra en el segundo medio. Se ha dibujado, en línea discontinua, la normal N a la superficie de separación en el punto de incidencia I.

15.6.3- Ley de la reflexión Establece que “el rayo que vuelve al primer medio (rayo reflejado) se encuentra en el plano determinado por el rayo incidente y la normal a la superficie de separación en el punto de incidencia y que, además, forma con dicha normal un ángulo de reflexión i' igual al ángulo de incidencia i.”

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15.6.4- Ley de la refracción Establece que “el rayo que pasa al segundo medio (rayo refractado) se encuentra en el plano determinado por el rayo incidente y la normal a la superficie de separación en el punto de incidencia y que, además, forma con dicha normal un ángulo de refracción r que cumple con la condición:

sen i sen r

= n2;1

(15.1)

Siendo n2;1 una constante para cada par de medios situados a ambos lados de la superficie de separación.” El valor de n2;1, o índice de refracción del segundo medio con respecto al primero, queda definido por las propiedades de los medios cuya superficie de separación atraviesa la luz, depende también de la frecuencia de la misma y es independiente de los ángulos i y r. De acuerdo con estas leyes, cuando el rayo incide en la dirección de la normal N, al ser nulo el ángulo de incidencia i, resultan también nulos el de reflexión i' y el de refracción r. Nota: Las leyes de la reflexión y de la refracción son válidas sólo si se cumplen determinadas condiciones. Por ejemplo, si las dimensiones del espejo reflector o de la superficie que separa los dos medios es muy pequeña se observa una desviación notoria de las leyes mencionadas (fenómeno de la difracción). Sin embargo para la mayoría de los fenómenos ópticos observados en los aparatos ópticos comunes dichas leyes se cumplen con suficiente rigurosidad.

15.6.5- Reversibilidad de los caminos ópticos Establecidas las leyes de la reflexión y de la refracción, resulta más o menos evidente que, si al rayo incidente SI (Fig. 15.2) le corresponde un rayo reflejado IS', entonces, a un rayo incidente S'I que siguiera el camino inverso, le correspondería el reflejado IS también siguiendo el camino inverso al incidente. Lo mismo, se comprueba que, si un rayo incide siguiendo el camino del rayo refractado, pero en sentido contrario S''I, el correspondiente rayo refractado seguirá en sentido inverso el camino del rayo incidente (IS). Podemos entonces enunciar el Principio de Reversibilidad de los Caminos Ópticos de la siguiente manera: "Si un rayo

luminoso llega a un sistema óptico pasando por un punto A en una dirección a (fig. 15-4) y, después de una serie de reflexiones y/o refracciones, sale del sistema óptico pasando por otro punto B en la dirección b, entonces puede asegurarse que, si otro rayo llega al mismo sistema óptico pasando por B en la dirección b, recorrerá el mismo camino en sentido contrario pasando por el punto A en la dirección a”. Esta ley se aplica constantemente en la óptica geométrica.

15.7- Obtención de la imagen de un punto dada por un sistema óptico cualquiera Se enumeran a continuación los pasos generales que deben efectuarse para obtener la imagen de un punto dado por un sistema óptico cualquiera. Inmediatamente después, se tratará el primer ejemplo al analizar el fenómeno de “reflexión en un espejo plano”. 1) Dibujar un esquema del sistema óptico y el punto objeto cuya imagen se desea obtener. 2) De los infinitos rayos que, teóricamente, salen del punto se debe considerar y dibujar al menos dos. Se elegirán, en lo posible, aquellos rayos cuya trayectoria sea perfectamente conocida y fácil de dibujar sin tener necesidad de hacer cálculos o medir ángulos. 3) Para cada rayo incidente, se dibuja el correspondiente rayo emergente según las leyes aplicables al o los fenómenos ópticos que tengan lugar en el sistema. 4) Determinar la imagen del punto utilizando los rayos emergentes. Hay dos casos posibles: Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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a- Si los rayos emergentes se intersectan, este punto constituye la “imagen real” del punto objeto considerado. b- Si los rayos emergentes no se intersectan, dibujar las respectivas prolongaciones de dichos rayos y buscar su intersección. Este punto constituye la “imagen virtual” del punto objeto considerado.

15.8- Reflexión Espejos Planos – Imagen de un Punto Una superficie plana perfectamente pulida que refleje la luz constituye un espejo plano. Consideremos el espejo plano representado en la figura por el segmento de recta AB. Sea O el punto objeto cuya imagen se desea obtener. De los infinitos rayos que parten de dicho punto se han considerado el que incide perpendicularmente sobre el espejo y otro cualquiera. El primero, cuyo ángulo de incidencia i1 es 0° se refleja, con un ángulo de reflexión i’1 = i1 = 0, volviendo por el mismo camino. El segundo, el rayo OI, cuyo ángulo de incidencia es i2, se refleja con un ángulo de reflexión i2’ = i2 (ver el rayo reflejado IQ). En la figura también se ha dibujado la normal nn’ trazada a partir del punto de incidencia I de este segundo rayo.

A Q

i2 ’

n

I

n’

i2

O

O’ B

En este ejemplo se observa que los dos rayos reflejados son divergentes (por lo tanto no se intersectan). Por lo dicho en el apartado anterior, utilizaremos sus prolongaciones, que están dibujadas en línea discontinua, para obtener la imagen que en este caso es virtual. Notar que el punto imagen O’ es simétrico al punto objeto O con respecto al plano del espejo.

15.9- Refracción Como se indicó en el párrafo dedicado a las leyes de la óptica geométrica cuando la luz incide sobre la superficie de separación de dos medios transparentes parte de ella vuelve al primer medio (reflexión) y el resto se propaga en el segundo medio (refracción). En la figura 15-5 se han esquematizado los rayos incidente, reflejado y refractado. La experiencia indica que "el cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es una constante" Esta afirmación constituye la "Ley de Snell" y se expresa:

sen i = cte = n 2; 1 sen r Dicha constante es propia para cada par de medios a una temperatura dada y para cada tipo de luz (caracterizada para cada medio homogéneo por su longitud de onda) y recibe el nombre de indice de refracción del segundo medio con respecto al primero (más adelante quedará claro el por qué de esa denominación).

Nota: en realidad lo que caracteriza a cada tipo de luz (o, más en general, a toda radiación electromagnética) es su FRECUENCIA ya que ésta permanece constante aun después de propagarse en distintos medios. La afirmación anterior, que aparece frecuentemente en diversos textos y según la cual cada tipo de luz está caracterizado por su longitud de onda tiene validez restringida: esto es, SÓLO cuando la luz se propaga en un MEDIO HOMOGÉNEO. Se debe recordar la relación fundamental entre dichas magnitudes:velocidad de la onda = λ.f Se puede demostrar que el índice de refracción n2;1 es igual al cociente entre la velocidad de propagación de la luz en el primer medio y la velocidad de propagación de la luz en el segundo, es decir: v sen i n 2; 1 = 1 = v2 sen r Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Si el primer medio es el vacío (lo indicamos con subíndice 0) el n2;0, índice de refracción del segundo medio con respecto al vacío recibe el nombre de índice de refracción absoluto de dicho medio y se lo indica simplemente como n2 (o el subíndice que corresponda) y, según la ecuación anterior, resulta c v2 De ahí surge que, para el vacío, es n 2; 0 = n2 =

en general: n =

n0 =

c v

c =1 c

La velocidad de propagación de la luz en cualquier medio material es menor que en el vacío, por lo tanto, el índice de refracción absoluto de ese medio será mayor que 1. En los instrumentos ópticos se utilizan vidrios con valores de "n" entre 1,46 y 1,96 (para el vidrio corriente es común el valor 1,5). Entre las sustancias de mayor índice conocido se puede citar al diamante (n = 2,42) y el rutilo, dióxido de titanio cristalino sintético, (n = 2,7). El índice de refracción del aire, en condiciones normales de temperatura y presión, es de aproximadamente 1,000 3 y, en la mayoría de los casos puede tomarse como la unidad. El índice de refracción de un gas aumenta de modo uniforme a medida que aumenta la densidad del gas. Como ya se vio, el índice de refracción de una sustancia con respecto a otra puede expresarse como v n 2;1 = 1 (15.2) v2 Si se multiplica y divide por "c" y se reordena, resulta v c v1 c v1 c c n2 n2;1 = 1 = = ⋅ = ÷ = v2 c v 2 v 2 c v 2 v1 n 1 Es decir, el índice de refracción del segundo medio con respecto al primero es igual al cociente entre el índice de refracción absoluto del segundo medio y el índice de refracción absoluto del primero. Asimismo, la Ley de Snell podrá expresarse como sen i n 2 = sen r n 1 o bien

(15.3)

n1 sen i = n2 sen r

Comparando las ecuaciones (15.2) y (15.3) se obtiene la relación entre la velocidad de la luz en dos medios y sus respectivos índices de refracción absolutos: v1 n 2 o bien n1 v1 = n2 v2 (15.4) = v 2 n1 Combinando las ecuaciones (15.2), (15.3) y (15.4) y teniendo en cuenta que “v = λ.f” (siendo f constante en ambos medios), tenemos n 2;1 =

n2 λ f λ sen i v1 = = = 1 = 1 n 1 sen r v 2 λ2 f λ2

o bien

n1.λ1 = n 2 .λ 2

Para el caso particular de, p.ej. una interfase aire-agua (a-w), n w;a =

nw v λ f λ sen i = = a = a = a na sen r v w λw f λw

Estudiaremos brevemente la refracción en diversos sistemas ópticos sencillos: a) Una superficie plana, b) Dos superficies planas (paralelas o en ángulo).

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15.9.1- Refracción en una superficie plana

En la Fig. 15.6(a) el punto O es el punto objeto y se halla en el aire (n1 ≅ 1). De todos los rayos que parten del punto objeto se han dibujado dos que inciden sobre la superficie de separación aire-agua. El rayo 1, que incide en forma normal pasa al segundo medio sin sufrir desviación alguna ya que, según la ley de Snell, para i1 = 0 resulta un ángulo de refracción r1 = 0. El rayo 2 incide con un ángulo de incidencia i. Como el segundo medio (agua) tiene un índice de refracción mayor que el del aire (n2 = 1,33), la ley de Snell permite predecir que el rayo 2 se acercará a la dirección de la normal (dibujada con línea de puntos). Se observa que los dos rayos refractados (los rayos emergentes que se propagan en el segundo medio) son divergentes por lo que la imagen del punto O se hallará mediante la intersección de las prolongaciones de los mismos (linea de trazos).La imagen del punto O es el punto O’; y se trata, como se dijo anteriormente, de una imagen virtual.

TABLA 15.1 ÍNDICES DE REFRACCIÓN PARA LA LUZ AMARILLA DE SODIO (λ = 589 nm) Sustancia

Índice de Refracción

Sustancia

Sólidos

Índice de Refracción

Líquidos a 20°C

Hielo (H2O)

1,309

Alcohol Metílico (CH3OH)

1,329

Fluorita (CaF2)

1,434

Agua (H2O)

1,333

Sal gema (NaCl)

1,544

Alcohol etílico (C2H5OH)

1,360

Cuarzo (SiO2)

1,544

Tetracloruro de Carbono (Cl4C)

1,460

Circonita (ZrO2 . SiO2)

1,923

Trementina

1,472

Diamante (C)

2,417

Glicerina

1,473

Titanato de estroncio (TiO3Sr)

2,409

Benceno

1,501

Sulfuro de carbono (S2C)

1,628

Vidrios (valores típicos)

Crown

1,52

Flint ligero

1,58

Flint medio

1,62

Flint denso

1,66

Flint al lantano

1,80

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15.9.2- Refracción en dos o más superficies planas de caras paralelas Consideremos la situación planteada en la Fig. 15-7a donde: • el primer medio es aire n1 = na ≅ 1 • el segundo medio es vidrio n2 = nv ≅ 1,5 • el tercer medio es agua n3 = nw ≅ 1,33 na sen i1 = nv sen r1 nv sen i2 = nw sen r2

r1

segundo miembro de la primera ecuación resulta igual al primer miembro de la siguiente por lo que

Aire na ≅ 1 r1

i2

Medio 2 n2

r2

i 3 Medio 3 n3

Vidrio n v ≅ 1,5

Fig 15.7(a)

na sen i1 = nw sen r2

i1

i2

Agua r2 n w ≅ 1,33

Pero i2 = r1 (por ser ángulos alternos internos entre paralelas) y el

Este resultado es el mismo que se obtendría si no existiera la lámina de vidrio, como se muestra en la Fig 15.7(b). Lo mismo sucedería si, en vez de una, fueran n-láminas de distintos materiales “siempre y cuando” sus caras sean paralelas, como se muestra en la Fig. 15.7(c).

Aire na≅ 1

i1

i1

Aire na ≅ 1 Agua r2 n w ≅ 1,33 Fig 15.7(b)

En el caso particular en el que el primer medio y el último son de igual naturaleza, por ejemplo aire-vidrio-aire (Fig. 15.8), la ecuación final resulta na sen i1 = na sen r2 sen i1 = sen r2 i1 = r2

Lo que indica que el rayo emergente de la última cara sale Agua n w ≅ 1,33 en la misma dirección que el Figura 15.7(c)r3 incidente sobre la primera cara. Dicho rayo no se ha desviado, ya que su dirección no se ha modificado, sólo se ha desplazado un cierto valor d.

15.10- Reflexión Total Consideremos el caso de un rayo de luz que se propaga desde un medio de mayor índice de refracción a otro de menor índice, por ejemplo, del agua al aire o del vidrio al aire. Cuando el ángulo de incidencia es cero tanto el rayo reflejado como el refractado lo hacen también con ángulos de emergencia cero (es decir, el reflejado vuelve por el mismo camino y el refractado no sufre desviación alguna). Como se muestra en la Fig.15.9 para otros rayos incidentes con distinta inclinación existen (en general) los dos fenómenos y la energía transportada por el rayo incidente se distribuye entre el rayo reflejado y el refractado. Dado que la superficie de separación no absorbe ni crea energía, en todo momento se cumple que Eincid = Erefl + Erefr A medida que aumenta el ángulo de incidencia aumenta la inclinación de los rayos emergentes (Fig. 15.9). En el caso de la reflexion se cumple siempre que i = i’. En el caso del rayo refractado, dado que el índice del segundo medio es menor que el del primero, puede asegurarse que “mientras haya refracción” será r > i , es decir, el rayo refractado se alejará de la normal. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Desde el punto de vista energético se observa que, a medida que aumenta el ángulo de incidencia, aumenta la energía transportada por el rayo reflejado y disminuye la del rayo refractado. Llega un momento, para un ángulo de incidencia particular en que el rayo refractado emerge tangente a la superficie de separación de los dos medios y su intensidad es sumamente débil. Para ángulos de incidencia mayores que este ángulo de incidencia particular llamado ángulo crítico θc o ángulo límite no hay rayo refractado (no hay energía transportada al segundo medio) y ocurre el fenómeno de reflexión total (toda la energía incidente vuelve al primer medio). Por lo dicho, para un ángulo de incidencia igual al ángulo crítico θc, el ángulo de refracción es de 90° y, de acuerdo con la ley de Snell , se verifica que: (ya que sen 90º = 1) n1 sen θc = n2 sen 90° = n2 De donde se puede obtener el valor de θc mediante: De donde

θc = arc sen

sen θc =

n2 , n1

n2 , n1

Por ejemplo en el caso de la interfase vidrio–aire: sen θc = 1 = 0,667 y θc = 41,8° 1,5

15.11- Refracción en dos superficies planas no paralelas Desde el punto de vista óptico, se llama PRISMA a todo medio refringente separado de otros por medio de dos planos no paralelos. Las superficies planas π1 y π2 forman un ángulo diedro de arista AA’ y abertura ω que se llaman, respectivamente, “arista refringente” y “ángulo refringente” del prisma. Si se corta al prisma mediante un plano perpendicular a la arista refringente se obtiene una sección llamada “sección principal”. ver Fig 15.10 a,b.

15.11.1- Marcha de Rayos Consideremos la sección principal de un prisma de ángulo refringente ω, de índice de refracción N e inmerso en un medio de índice de refracción n. El ejemplo más común es el de un prisma de vidrio (N = 1,5) sumergido en aire (n = 1). Sobre él incide un rayo de luz bajo un ángulo i1. Teniendo en cuenta que, en el caso de la refracción en la primera cara, la luz pasa a un medio de mayor índice de refracción y, por lo tanto, el rayo se acerca a la normal y, en el caso de la refracción de la segunda cara, ocurre lo contrario, la marcha de rayos será, aproximadamente, la que indica en Fig 15.11.

dirección del rayo incidente Comparando la dirección del rayo incidente con la dirección del rayo que emerge del prisma se aprecia que hay una desviación, cuyo valor se indica con δ. El valor del ángulo de desviación δ puede calcularse conociendo el índice de refracción del prisma (N), índice de refracción del aire, el ángulo ω, y el ángulo de incidencia en la primera cara.

i1

ω δ dirección del rayo emergente

Fig 15.11: marcha de rayo a través del prisma visualizado sobre la sección principal.

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No es el objeto del presente curso deducir ni utilizar las “fórmulas del prisma”. Baste con generalizar lo observado en la marcha de rayos de la figura anterior: “el rayo se desvía siempre hacia la parte más ancha del prisma.” El prisma es, después de las lentes, la pieza más útil de los aparatos ópticos. Existen distintos tipos; mencionaremos aquí los más comunes.

15.11.2- Prisma de reflexión total El prisma está construido con ángulos de 45°-45°-90°. Como se vio en la Sección 15.10, el ángulo crítico o límite para la interfase aire-vidrio es de casi 42°. Este valor, menor a 45° permite usarlo como superficie de reflexión total. Esto trae como ventaja, comparado B' A' con las superficies reflectoras metálicas: A B

1) La luz es reflejada totalmente, mientras que ninguna superficie metálica refleja el 100 % de la luz que incide sobre ella, 2) Las propiedades reflectantes son permanentes y no se afectan por deslustrado de la superficie. En contra de estas ventajas, hay alguna pérdida por reflexión en las superficies de entrada y de salida, pero ello se reduce notablemente cubriendo dichas superficies con películas no reflectantes. En la figura se observa un par de rayos provenientes de los extremos de

Fig. 15.12- Prisma de re- un objeto. Al incidir normalmente en la primera cara del prisma no sufren flexión total. desviación; en la segunda cara (oblicua) el ángulo de incidencia es de

45° (valor mayor que el ángulo límite) y entonces en esa cara se produce reflexión total emergiendo luego por la tercera cara también en forma normal a ella. La superficie del prisma donde se produjo la “reflexión total” actúa como un espejo. Recordando que el punto imagen formado por un espejo plano es simétrico al punto objeto con respecto al plano del mismo. Comparando la orientación de la imagen con la del objeto, se ve que aquélla ha rotado 90°.

15.11.3- Prisma de Porro B'

A'

Un prisma igual al descripto, pero usado como indica la figura 15.13(a), se denomina Prisma de Porro. La luz entra y sale del prisma perpendicularmente a la cara mayor y se refleja en cada una de las caras menores. La desviación de los rayos totaliza 180°. Frecuentemente se combinan A B dos prismas de Porro como se muestra en la figura. Con ello se a) Prisma de Porro obtiene una doble inversión de la b) Combinación de dos imagen (180° y 180° en dos direcciones normales entre sí) lo Fig 15.13: Prisma de Porro y combinación de dos cual compensa la inversión que prismas de Porro producen las lentes utilizadas en los anteojos de acercamiento o “largavistas” y se obtiene una imagen derecha, tal como se necesita en un anteojo terrestre. Los llamados anteojos prismáticos usan este dispositivo.

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15.11.4- Prisma penta (“pentaprism”) En este prisma dos de sus caras son perpendiculares; las caras adyacentes a las anteriores B' A' forman con ellas un ángulo de 112,5° y deben estar espejadas ya que, como se ve en la figura, los ángulos de incidencia en ellas son relativamente pequeños no llegaría a producirse reflexión total. Puede observarse que la imagen ha girado también 90°. Y esto se verifica siempre, para cualquier dirección de los rayos que incidan en la primera cara.

A B

Este tipo de prisma se usa en las cámaras reflex, en instrumentos de uso topográfico como las llamadas escuadras de 90°, escuadras de 180°, etc.

Fig 15.14: Prisma penta

-----o0o-----

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CAPÍTULO 16 FOTOMETRÍA 16.1- Introducción El sentido de la vista nos permite apreciar si una fuente o foco de luz es más brillante que otra o si un objeto o superficie está más o menos iluminado. Pero la apreciación que nos da el sentido de la vista es tan sólo aproximada. Explicaremos en este tema como se logra determinar esos valores con mayor precisión. La fotometría es la parte de la óptica que estudia la medición de la energía transportada por una onda electromagnética de la banda visible. Se dedica a la medición de la acción de la luz visible sobre el ojo humano. Para ello introduciremos las magnitudes fotométricas flujo luminoso, intensidad luminosa, iluminación. Las magnitudes fundamentales de la Fotometría están relacionadas con las definiciones adoptadas por la DLTG (Deutschen Lichttechnischen Gesellschaft) que figuran en las normas DIN 5031. Es conveniente no perder de vista que los valores de las magnitudes fotométricas no son absolutos ni resultan de medidas objetivas sino que incluyen siempre un elemento subjetivo relacionado con la sensibilidad del ojo humano. Esto se traduce, por ejemplo, en que el resultado de una medición fotométrica puede depender mucho de las condiciones experimentales (fatiga previa del ojo, pequeña luminosidad del campo visual) y en que el juicio sobre el brillo de luces de diferentes colores puede variar mucho de observador a observador. Por ello, la curva de la sensibilidad espectral que se utiliza, se ha obtenido a través del promedio de las curvas obtenidas con muchísimos observadores.

16.2- Definiciones Previas 16.2.1- Ángulo sólido Sea O el centro de un cono que tiene como directriz a la curva a, perteneciente a una superficie esférica de centro en O y radio R. Se dice que a subtiende desde O un ángulo sólido Ω. Si A es el área de la porción de superficie esférica de radio R limitada por la curva a, la medida del ángulo sólido Ω es, por definición, el cociente entre el área normal subtendida y el cuadrado del radio de la esfera:

Ω=

A R2

Fig 16.1: definición de ángulo sólido

Fig 16.2: esquema de un ángulo sólido de 1 estereorradián

Fig 16.3: dibujo 3D de un ángulo sólido de 1 estereorradián

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El ángulo sólido unidad es aquél para el cual el área que abarca en la superficie esférica con centro en el vértice es igual al cuadrado del radio de la esfera; a esa unidad se la llama "estereorradián" (sr).Puesto que el área total de una superficie esférica de radio R es A = 4 π R2, el ángulo sólido total alrededor de un punto será:

Ω= 16.2.2- Radiación

4π R 2 = 4π (S.I.) R2

Es la emisión y transporte de energía en forma de ondas electromagnéticas que se propagan, sin necesidad de un medio material, en el vacío con una velocidad "c" aproximadamente igual a 300.000 km/s.

16.2.3- Energía radiante La energía emitida desde la superficie de todos los cuerpos se denomina energía radiante. Se encuentra en forma de ondas electromagnéticas que se propagan, como dijimos, con la velocidad de la luz en el vacío.

16.2.4- Flujo radiante ( o Potencia radiante) Recibe el nombre de flujo radiante al cociente entre la energía radiante emitida por una superficie (o incidente sobre esa superficie) y el tiempo que dure esa emisión.

P=

dW dt

;

[P] =

J = watt s

Representa a la energía radiante emitida por (o incidente sobre) una superficie en la unidad de tiempo y caracteriza al cono de radiación que transporta dicha energía. Como es una energía por unidad de tiempo, también se la llama potencia radiante. La unidad en que se mide es J/s, es decir watt. Si a la potencia radiante se la expresa por unidad de ángulo sólido se denomina Intensidad radiante. La unidad de intensidad radiante es W/sr

16.2.5- Características de la sensación visual Cuando un flujo radiante incide sobre nuestra retina y contiene longitudes de onda entre 400 y 700 nm produce una sensación visual que contiene tres propiedades: 1.

2.

Matiz: es la propiedad que permite clasificar un color como rojo, azul, verde, etc. El gris neutro carece de matiz. Saturación: grado en el cual un color se separa del gris neutro y se aproxima a un color puro del espectro. El gris neutro está totalmente insaturado. Un color espectral puro está totalmente saturado. Matiz más saturación constituyen la cromaticidad de la sensación visual.

4000 Å

7000 Å

violeta

rojo

0% gris puro

Matiz

100% color

+

saturación

cromaticidad

3.

Brillo: es la característica de cualquier sensación de color que permite clasificarlo como equivalente a la sensación producida por algún elemento de una escala de grises neutros.

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Escala de grises neutros

más brillo

menos brillo

Observando la figura anterior que contiene una escala de grises puede aceptarse que cada cuadro produce una sensación de brillo distinto. Así cada cuadro situado a la izquierda da una sensación de ser más brillante que el de la derecha. La máxima sensación se tiene en el primer cuadro de la izquierda y la mínima en el último de la derecha. El cuadrado blanco evoca (trae a nuestra imaginación) la sensación máxima de brillo, el negro la mínima, mientras que los demás cuadrados evocan sensaciones de brillo intermedio. Si comparamos dos rojos de igual cromaticidad, es decir tienen igual matiz y saturación, es posible que nos produzcan distinta sensación de brillantez, lo que puede compararse con los cuadritos de la escala de los grises neutros. No hay sensación de brillo fuera del espectro visible.

16.2.6- Sensibilidad luminosa El flujo radiante, como consecuencia de su definición, puede estudiarse desde el punto de vista energético, pero no dice nada de la intensidad de la sensación subjetiva que produce dicho flujo. La experiencia indica que iguales cantidades de flujo radiante producen distintas sensaciones de brillo según sea la longitud de onda de la radiación. Esa sensación depende del grado de sensibilidad que tiene el ojo humano para percibir la luz de diferentes longitudes de onda.

Ejemplos aclaratorios: a) Un flujo radiante compuesto exclusivamente por rayos infrarrojos o ultravioletas no provoca ninguna sensación visual aunque la energía que pueda transportar sea bastante grande. b) El ojo humano tampoco tiene la misma sensibilidad para los rayos visibles de distintos colores. Así, para que los rayos rojos produzcan la misma sensación de intensidad que los verdes su flujo radiante tendrá que ser mucho mayor que el de estos. c) Si un flujo radiante está compuesto por los rayos que mejor percibe el ojo, aunque su energía sea pequeña, puede producir una sensación visual intensa. Empezaremos estudiando la sensibilidad que tiene el ojo para las ondas luminosas de diferente longitud. Esta sensibilidad del ojo varía mucho de unas personas a otras, por lo tanto es necesario considerar un valor de sensibilidad media. Esta se obtiene como resultado del reconocimiento de un número elevado de personas que no presenten defectos visuales evidentes. La magnitud que caracteriza la sensibilidad media relativa del ojo humano para las ondas de diferentes longitudes se llama sensibilidad relativa (Vλ ). Nuestro ojo tiene distinta sensibilidad para cada

λ

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La figura es una gráfica que muestra la sensibilidad relativa (Vλ ) por cantidades iguales de flujo radiante a diferentes longitudes de onda ( λ ). Como abscisa se ha colocado la longitud de onda λ y como ordenada la sensibilidad relativa del ojo. Esta curva se ha obtenido promediando las respuestas de un gran número de individuos que observaban en buenas condiciones de iluminación. Los valores numéricos de las ordenadas de esta curva se dan en la siguiente tabla.

λ(nm)

vλ

λ (nm)

vλ

λ (nm)

vλ

400

0,0004

520

0,710

640=6400Å

0,175

410

0,0012

530

0,862

650

0,107

420

0,0040

540

0,954

660

0,061

430

0,0116

550

0,995

670

0,032

440

0,023

560

0,995

680

0,017

450

0,038

570

0,952

690

0,0082

460

0,060

580

0,870

700

0,0041

470

0,091

590

0,757

710

0,0021

480

0,139

600

0,631

720

0,00105

490

0,208

610

0,503

730

0,00052

500

0,323

620

0,381

740

0,00025

510

0,503

630

0,265

750

0,00012

La ordenada máxima se encuentra en la longitud de onda de 5550 Å, (555 nm) color amarilloverdoso y se toma arbitrariamente igual a la unidad (Vλ = 1). También puede deducirse de la gráfica que para producir la misma sensación de brillo, la cantidad de flujo radiante de los rayos rojos de longitud de onda 0.650 µm deberá ser casi diez veces mayor que el flujo correspondiente a los rayos verdes cuya longitud de onda es 0,555 µm Como se puede ver en la gráfica la sensibilidad del ojo decae muy rápidamente al apartarnos de la longitud de onda óptima, tanto es así que a 6000Å es solamente 0,6 y a 5000Å 0,4 del valor a 5500Å

16.3- Magnitudes Fotométricas Sea O una fuente luminosa puntual que irradia en todas direcciones, Ω el ángulo sólido de un cono de radiación luminosa, y A el área de una superficie alcanzada por los rayos y perpendicular a la dirección de éstos; r es la distancia entre la fuente luminosa y la superficie.

Ω O A

r Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Diremos que la fuente, cuya intensidad luminosa es I, produce en el cono de radiación Ω un flujo lluminoso F que, al llegar a la superficie de área A, la ilumina con una iluminación E. Las magnitudes fotométricas elementales a las que se hará referencia primeramente en este curso son:

1. Intensidad luminosa “I” de la fuente, 2. Flujo luminoso “F” del cono de radiación y 3. Iluminación “E” producida sobre la superficie o pantalla. 16.3.1- Flujo Luminoso de la radiación Estudiada la sensibilidad relativa, también llamada eficacia luminosa, podemos introducir una magnitud que caracterice a la luz teniendo en cuenta su aptitud para producir sensaciones visuales. Esta magnitud se llama flujo luminoso. Llamamos FLUJO LUMINOSO al flujo radiante evaluado en cuanto a su capacidad de producir sensación de brillo. De acuerdo con esto, el flujo luminoso permite juzgar sobre la intensidad de la sensación visual subjetiva que puede producir una luz, cuyo flujo radiante y longitud de onda son conocidos. El flujo luminoso, en el sistema internacional, se mide en lumen. [F] = lm El lumen no es una unidad de base del sistema internacional, para poder definirla utilizaremos una magnitud de base que definiremos en el apartado siguiente.

16.3.2- Intensidad luminosa de una fuente puntual Supongamos una fuente luminosa puntual C que emite rayos en todas las direcciones. Tomemos en una dirección cualquiera un ángulo sólido infinitamente estrecho dΩ. Supongamos que dentro de los límites de este ángulo sólido se propaga un flujo luminoso dF.

dF

dΩ

Se llama Intensidad luminosa de la fuente en la dirección dada al cociente entre el flujo luminoso y el ángulo sólido. En símbolos:

I=

dF dΩ

La intensidad luminosa de una fuente representa físicamente el flujo luminoso correspondiente al ángulo sólido unidad. Si la fuente es uniforme, es decir, si su intensidad luminosa es igual en todas las direcciones, el ángulo sólido infinitamente estrecho dΩ puede sustituirse por el ángulo sólido finito Ω , y entonces

I=

F Ω

De esta última igualdad, cuando la fuente es uniforme, tenemos que

F= I.Ω Entonces, para obtener el flujo total F que emite “en todas las direcciones”, una fuente uniforme cuya intensidad luminosa es I, se debe sustituir en la ecuación anterior el ángulo sólido Ω por el valor 4π, correspondiente al ángulo sólido total alrededor de un punto, o sea:

F = 4 π I (flujo total, siendo el flujo uniforme y, la fuente, puntual esférica) Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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En este caso particular I se llama intensidad luminosa esférica. La unidad de intensidad luminosa es unidad de base del sistema internacional, y se denomina candela (cd). Se define así:

“La Candela es la intensidad luminosa en una dirección dada de una fuente que emite radiación monocromática con una frecuencia de 5,4 x 1014 Hz (o sea de longitud de onda λ = 555 nm) y cuya intensidad radiante es de

1 W .” 683 sr

A partir de la unidad de intensidad luminosa se define la unidad de Flujo luminoso. En efecto, si la ecuación de definición de intensidad luminosa es: I = dF/d Ω , entonces, podemos escribir que:

dF = I dΩ Por lo tanto el flujo luminoso será de 1(un) lumen cuando la intensidad sea I = 1 cd y d Ω = 1 sr. A esa unidad de flujo luminoso se la llama lumen y se define: “El lumen (lm) es el flujo luminoso emitido, dentro de un ángulo sólido de un estereorradián, por una fuente puntual que posee una intensidad luminosa de una candela.”

16.3.3- Iluminación de una superficie Para resolver muchos problemas importa conocer qué cantidad de flujo luminoso incide sobre una u otra parte del cuerpo iluminado. Para atender a este aspecto se introduce la magnitud fotométrica llamada “iluminación”. Supongamos que dF es el flujo luminoso total que incide sobre una superficie de área dS. Se define a la iluminación de una superficie como cociente entre el flujo luminoso y el área de la superficie. En símbolos:

E=

dF dS

La iluminación representa físicamente al flujo luminoso total que incide sobre la unidad de superficie del cuerpo iluminado. Si la iluminación es la misma en toda el área S, siendo F el flujo luminoso homogéneo total sobre esa superficie, la iluminación resulta:

E=

F S

A partir de la unidad de flujo luminoso se define la unidad de iluminación. Teniendo en cuenta la ecuación que la define, podemos decir que estaremos dando la unidad de iluminación E, cuando el flujo luminoso sea de 1 lumen y el área de la superficie sea de 1 m2. A esa unidad de iluminación se la denomina lux y se define: “El lux (lx) es la iluminación producida por un flujo luminoso de 1 lumen uniformemente distribuido sobre una superficie de 1 m2”. 2 4 [ otra unidad utilizada es el phot (ph) o fot = 10 lux 1 fot = lm / cm ]

16.4- Ley fundamental de la Fotometría Veamos que iluminación E produce una fuente luminosa puntual de Intensidad luminosa I sobre una superficie que se encuentra a una distancia r. Sea C la fuente luminosa puntual y dS la superficie iluminada por ella. Supongamos que el radio vector r, trazado desde el foco luminoso C al centro de la superficie dS, forma con la normal a ésta un ángulo α. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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Llamemos dΩ al ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie dS desde el punto en que se encuentra la fuente C.

α

α

En estas condiciones el flujo procedente de C que incide sobre la superficie ecuación que define la intensidad I es: dF = I.dΩ Pero el ángulo sólido vale en este caso:

dΩ = De donde obtenemos que:

dS cosα r2

dF = dS .

Si ahora se divide a ambos miembros por dS

dS, según la

I .cos α r2

dF I = 2 cosα dS r (Intensidad de la fuente)

(Iluminación sobre una superficie)

I E = 2 .cos α r

(Ángulo entre la normal a la superficie y la distancia de la fuente a la superficie iluminada)

(Cuadrado de la distancia entre la fuente y la pantalla) Esta expresión constituye la ley fundamental de la Fotometría. Expresa que la iluminación producida por una fuente puntual sobre una superficie es directamente proporcional a su intensidad I, al coseno del ángulo que forman los rayos con la normal a la superficie e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay desde la fuente hasta la superficie iluminada. En el caso particular en que la fuente se halle sobre la normal al elemento de superficie, la ecuación resulta:

E=

I r2

Cuando un elemento de superficie es iluminado por más de una fuente, la iluminación resultante es igual a la suma de las producidas independientemente por cada una de las fuentes.

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16.5- Resumen La figura, no representada a escala, esquematiza los conceptos y unidades estudiadas. En la figura, C es una fuente puntual uniforme de Intensidad luminosa de 1 cd. El flujo luminoso que emana de ella dentro de un ángulo sólido de 1 sr es, por consiguiente, 1 lm. Si se determina una superficie esférica de radio 1 m, con centro en el foco C, el área interceptada dentro del ángulo sólido de 1 sr será de 1m2 y la iluminación sobre ella resultará de 1 lx.

16.6- Equivalencia lumínica del flujo radiante Cuando un cuerpo emite un flujo radiante P de 1 watt de potencia en una única longitud de onda de 555 nm (para la cual la sensibilidad relativa del ojo humano es Vλ = 1) la experiencia indica que el flujo luminoso correspondiente F, detectado por el ojo humano, es de 683 lm. Por lo tanto para una radiación de λ = 600 nm para la cual la sensibilidad relativa del ojo humano vale aproximadamente 0,6 tendremos que, para un flujo radiante P de 1 watt, el flujo luminoso será F = 0,6 x 683 lm. En general, para un flujo radiante de P watt, el flujo luminoso (medido en lumen) se obtiene multiplicando el valor de la sensibilidad relativa Vλ para esa longitud de onda por 683 y por el valor P del flujo radiante. En símbolos: F = 683

lm Vλ P W

El valor de Vλ se obtiene de la curva de sensibilidad relativa.

Nota: Recordar que el flujo radiante es energía por unidad de tiempo por lo que se mide en watts que es la unidad de Potencia en el S.I.

16.7- Rendimiento luminoso total Se define al rendimiento luminoso como el cociente entre el flujo luminoso emitido por una luminaria y la potencia eléctrica absorbida por ella. En símbolos:

R=

F (en lm ) P (en W )

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CAPÍTULO 17 RADIACIÓN TÉRMICA 17.1- Introducción Todos los cuerpos en el Universo emiten y absorben energía en forma de radiación electromagnética. Se define a la radiación como la propagación de energía a través del espacio en forma de ondas electromagnéticas. Este proceso de transporte de energía difiere de los procesos de conducción y convección en que no requiere la presencia de un medio material y tampoco hay transporte de materia. La energía radiada se origina en la energía interna de cada cuerpo que está asociada con el movimiento de sus átomos y moléculas. En los cuerpos sólidos y en los líquidos los átomos y moléculas interactúan entre sí tan fuertemente que no pueden radiar independientemente. Por lo tanto, la energía emitida por el cuerpo está totalmente determinada por la temperatura del mismo y por la estructura de su superficie. Es por esta razón que se la denomina radiación térmica. La energía radiante emitida por un cuerpo es una radiación electromagnética (como la luz, las ondas de TV y los rayos X) que, al ser absorbida por otro cuerpo, puede convertirse en calor. Se propaga a través del espacio en forma de ondas electromagnéticas. Recordemos que (como se vio en el curso de Física I) las ondas electromagnéticas consisten en un campo eléctrico y otro magnético que varían periódicamente manteniéndose siempre perpendiculares a la dirección de propagación (ondas transversales). El espectro de radiación electromagnética, obtenido experimentalmente, se extiende desde longitudes de onda de unos 10–12 m (rayos gamma) hasta una longitud de onda prácticamente infinita (ondas hertzianas emitidas por una carga eléctrica que oscila lentamente). El ojo humano solamente es sensible a las radiaciones de longitud de onda comprendida, aproximadamente, entre 4.10–7 m (violeta) y 7,5.10–7 m (rojo). Esta porción del espectro electromagnético recibe el nombre de "visible". La radiación térmica se distribuye en forma continua en todo el espectro electromagnético. Sin embargo, cuando la temperatura del cuerpo emisor se halla entre 10 y 5000 K, se concentra en el infrarrojo, que es la región comúnmente asociada con la producción de calor y corresponde a longitudes de onda mayores que 7,5.10–7 m y hasta 10–3 m. No obstante, debe quedar claro que cualquier radiación electromagnética, incluso la visible, produce o puede producir calor cuando es absorbida. Se ha definido al “calor” como la energía transferida entre un sistema y su entorno debido únicamente a una diferencia de temperatura entre el sistema y alguna parte de su entorno. Por lo tanto, si queremos aumentar la temperatura de un cuerpo (comúnmente decimos “calentar un cuerpo”), debemos suministrarle energía, que puede provenir de la energía radiada por otro.

17.2- Definiciones útiles Para estudiar la radiación térmica los físicos utilizaron la radiación emitida por el cuerpo negro. Para entender qué es un cuerpo negro es necesario definir el poder de absorción o factor de absorción de un cuerpo. a) Poder de absorción o factor de absorción (aλ): es el cociente entre la energía radiante absorbida por un cuerpo y la energía radiante incidente sobre su superficie. Puede tomar cualquier valor entre 0 y 1. aλ = energía radiante absorbida / energía radiante incidente b) Cuerpo negro: es aquél cuyo factor de absorción vale la unidad; es decir, aquél que absorbe toda la radiación que incide sobre él, cualquiera sea su frecuencia o longitud de onda. Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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En la Naturaleza no existe un cuerpo negro ideal pero se le aproximan bastante ciertas sustancias como el negro de humo, el palastro de acero sin pulir y el asbesto en placa, que reflejan sólo una porción muy pequeña de la radiación incidente. Para estudiar la radiación emitida se puede utilizar la que atraviesa un pequeño orificio practicado en un horno eléctrico cuyas paredes interiores han sido ennegrecidas. c) Poder emisor total o emitancia total de un cuerpo (W): es el flujo de energía radiante por unidad de área del cuerpo. Se expresa por lo tanto, unidades de [energía / (tiempo . superficie)]. En símbolos: [W] = J / s.m2 = W / m2

d) Poder emisor monocromático o emitancia espectral de un cuerpo, Wλ es la energía

radiante emitida por unidad de superficie en cada unidad de tiempo con longitudes de onda comprendidas entre λ y (λ + dλ). El poder emisor monocromático Wλ y el poder emisor total W de un cuerpo están relacionados por:

W =

∫

∞

0

Wλ dλ

17.3- Algunos resultados experimentales Es un hecho conocido que un cuerpo caliente irradia energía en forma de ondas electromagnéticas y que, al ser absorbida por otro cuerpo, puede aumentarle su temperatura. Para comprobarlo basta acercar una mano a una estufa o cruzar una calle al mediodía durante el verano. Para estudiar la distribución de la energía radiada en función de la longitud de onda se utilizó un dispositivo como el que se muestra, simplificado, en la Figura 17.1.

C

P SD

Figura 17.1- Dispositivo experimental para la determinación de Wλ

C = Emisor(cuerpo caliente), SD = Sistema dispersivo(prisma) y P = Pantalla detectora

En ella el cuerpo caliente C emite radiación en todas direcciones. Parte de esta radiación atraviesa una rendija y llega al sistema dispersivo SD. Este es un prisma de sal de roca, cuarzo o fluorita, que se prefieren al vidrio porque este absorbe excesivamente la radiación infrarroja. Una vez dispersada la radiación llega a una pantalla P en la que se han colocado sensores adecuados para detectar, en cada punto de la misma, la energía radiante incidente.

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Energía radiada (unidades arbitrarias)

En la Figura 17.2 se muestra la distribución de la energía emitida por una lámpara de tungsteno. El área bajo la curva representa el valor del poder emisor total. La Figura 17.3 muestra la misma distribución para distintas temperaturas del cuerpo emisor. Para cualquier temperatura la energía emitida por el cuerpo negro y los cuerpos sólidos reales se distribuye sobre un espectro continuo de longitudes de onda, variando esta distribución espectral con la temperatura. A bajas temperaturas la intensidad de radiación emitida por unidad de tiempo es pequeña y la energía se emite principalmente como ondas de longitud relativamente larga (radiación infrarroja).

dλ

0

1 2

3

Fig. 17.2:Distribución de energía en el espectro de una lámpara de tungsteno.

Entre los 500 y 550 °C los cuerpos comienzan a verse rojos, lo que indica que la distribución de la energía radiada se ha desplazado hacia longitudes de onda más cortas y una parte, suficientemente grande, de la energía radiada tiene longitudes de onda dentro del espectro visible. A medida que aumenta la temperatura del cuerpo emisor aumenta la fracción de la radiación emitida en el espectro visible, enriqueciéndose sucesivamente en naranja y amarillo (“rojo vivo”). Aproximadamente a los 3.000 °C, temperatura de una lámpara incandescente, el cuerpo emite tanta energía en todas las longitudes de onda del espectro visible, que el cuerpo se ve blanco (“rojo blanco”). La Figura 17.3 muestra la distribución de la energía emitida por el cuerpo negro a diferentes temperaturas. Todas las curvas de esta figura tienen la misma forma pero, a medida que aumenta la temperatura del cuerpo emisor el máximo de cada una de ellas aumenta desplazándose su abscisa hacia longitudes de onda menores. También se observa que el área bajo cada curva (poder emisor total) también aumenta.

Figura 17.3

17.4- Ley de Steffan-Boltzmann El estudio de las medidas efectuadas por Tyndall de la radiación procedente de alambres calientes de platino le permitió a Stefan (1879) hallar una regla empírica para calcular el poder emisor total de un cuerpo. Boltzmann (1884) dedujo la misma relación partiendo de las leyes de la termodinámica por lo que se la conoce como ley de Stefan-Boltzmann. La misma establece que el poder emisor total de un cuerpo (energía radiante emitida desde su superficie, por unidad de tiempo y por unidad de área) es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta. En símbolos: W = e σ T4 (17.1) Donde σ = 5,67 10–8 W m–2 K–4 es la constante de Stefan Boltzmann y “e” es el poder emisor específico de la superficie emisora y tiene un valor comprendido entre 0 y 1 según la naturaleza de la misma (en general, es mayor para las superficies ásperas que para las pulimentadas). Podría preguntarse: ¿Por qué, si la superficie de todos los cuerpos está emitiendo continuamente energía radiante según la ecuación anterior, cada cuerpo no irradia toda su energía interna y se enfría hasta el cero absoluto? La respuesta es que así sucedería si no se les suministrase energía Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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de alguna otra forma. La razón por la que no se siguen enfriando es que los cuerpos que los rodean también irradian y parte de esa energía radiante es interceptada y absorbida. La energía emitida por un cuerpo en la unidad de tiempo está determinada por su propia temperatura, pero la energía absorbida en la unidad de tiempo depende de la temperatura de su entorno. Si un cuerpo tiene una temperatura superior a la del ambiente, la energía que él emite por unidad de tiempo excederá a la que absorbe (pérdida neta de energía) y el cuerpo se enfriará, a menos que se lo caliente por otro procedimiento. Cuando un cuerpo está a temperatura inferior a la de su entorno, la cantidad de energía absorbida por unidad de tiempo será mayor que la emitida en igual tiempo y su temperatura se elevará. En el equilibrio térmico ambas energías por unidad de tiempo se igualan. Entonces, si un cuerpo a temperatura T se encuentra en un recinto donde se ha hecho el vacio y está rodeado de paredes a esa misma temperatura T, para mantener el equilibrio térmico es necesario que la energía radiante absorbida por el cuerpo (de toda la que emiten las paredes) sea igual a la que se irradia por unidad de tiempo desde su propia superficie, o sea, Wabs = W emit = e σ T4 Por lo tanto, para este cuerpo a temperatura TC, rodeado por paredes a temperatura TE, menor que TC, el flujo por unidad de superficie con que el cuerpo pierde energía será Wneto = e σ TC4 – e σ TE4 = e σ (TC4 – TE4)

(17.2)

E

C

Obsérvese que cuando TC es mayor que TE, Wneto es positivo y el cuerpo emite más radiación que la que absorbe por lo que pierde energía y tiende a enfriarse. Recíprocamente, si TE es mayor que TC, W neto es negativo y el cuerpo absorbe más de lo que emite; por lo tanto, gana energía y tiende a calentarse.

17.5- Ley de Wien Tratando de explicar los resultados experimentales Wien halló que

"La longitud de onda correspondiente al máximo de Wλ es inversamente proporcional a la temperatura absoluta del cuerpo emisor". En símbolos:

λmáx T = 2 898 µm K

(17.3)

Esta relación permite calcular el desplazamiento del máximo de las curvas de la figura 5.2 hacia longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura del cuerpo emisor. Wien también llegó a la conclusión de que el poder emisor monocromático debía obedecer a la ecuación:

Wλ = C . λ–5 . f (λ,T)

(17.4)

Donde C es una constante y f (λ,T) una función sin determinar.

17.6- Ley de Kirchhoff La experiencia demuestra que existe cierta relación entre el poder emisor monocromático de un cuerpo, W λ, y el poder de absorción o factor de absorción, aλ, del mismo. E Supongamos, como se observa en la Figura 17.4, que dos cuerpos A y B se encuentran rodeados por una envoltura E que se mantiene a una temperatura A TE constante y que en ese espacio se ha hecho el vacío. En estas condiciones B los cuerpos sólo pueden intercambiar energía mediante la emisión de radiación. Supongamos, además, que el cuerpo A es el de mayor poder emisor específico y que los dos cuerpos se hallan a temperaturas diferentes, y distintas de TE.

Fig. 17.4

La experiencia demuestra que, al cabo de algún tiempo, se establece el equilibrio térmico, es decir, que todos los cuerpos alcanzan la misma temperatura TE de la envoltura. Cuando el sistema ha llegado a esta situación de equilibrio, como el cuerpo A tiene mayor poder Año: 2016 - Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ciencias Agrarias - Cátedra de Física - Física II

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emisor específico que el B (eA > eB), según la ecuación (17.1) resultaría que aunque ambos se hallan a la misma temperatura (TE) el cuerpo A emitiría más energía por unidad de tiempo que el B y se enfriaría; ello equivale a decir que, a partir de un equilibrio térmico aparecería espontáneamente una diferencia de temperatura entre los cuerpos, lo cual es un absurdo dado que no ocurre en la realidad. Por lo tanto, debemos aceptar que, para que se mantenga el equilibrio térmico, es necesario que el cuerpo A, que es el que más emite, sea también el que más energía absorbe. Kirchhoff demostró que existe una proporcionalidad entre los poderes emisores monocromáticos, Wλ y los factores de absorción, aλ, de los cuerpos. Si tenemos tres cuerpos A, B y C que tienen emitancias espectrales WλA, W λB y W λC y factores de absorción Kirchhoff establece que:

aλA , aλB

y

aλC, la ley de

“El cociente entre el poder emisor monocromático y el factor de absorción de un cuerpo para la misma longitud de onda no depende de su naturaleza sino que es igual para todos los cuerpos y es función de la longitud de onda y de la temperatura”. Se puede escribir:

WλA a λA

=

WλB a λB

=

W λC a λC

= ...=

W λ CN

(17.5)

a λCN

Donde el subíndice CN indica los valores correspondientes al cuerpo negro. Como por definición, el poder de absorción del cuerpo negro (aCN) es igual a uno e independiente de la longitud de onda esta ley se puede expresar:

“El cociente entre el poder emisor monocromático (emitancia espectral) y el factor de absorción para la misma longitud de onda es el mismo para todos los cuerpos e igual al poder emisor monocromático del cuerpo negro a la misma temperatura.”

W λC a λC

= W λC N

(17.6)

Donde el subíndice C indica los valores correspondientes a cualquier cuerpo. Se deduce de aquí que el cuerpo negro, el mejor absorbente de la energía radiante, es también su mejor emisor. De esta ley también se deduce el hecho de que todos los cuerpos emiten mejor en las mismas longitudes en que absorben mejor.

17-7 Ley de Planck Numerosos intentos realizados por diversos investigadores para determinar la f (λ,T) de modo tal que la expresión del poder emisor monocromático permitiera reproducir resultados experimentales (tales como los mostrados en la Figura 17.2) fracasaron. No pudieron explicar la distribución de la energía radiada por el cuerpo negro para cualquier temperatura y en todas las longitudes de onda. Finalmente, Planck en 1901, resolvió el problema de la distribución espectral de la energía de la radiación térmica con una hipótesis revolucionaria. Postuló que la energía emitida o absorbida no puede tomar un valor cualquiera entre 0 e infinito sino los valores

1.ε0 ; 2.ε0 ; 3.ε0 ;. . .; n.ε0

siendo ε0 una cantidad finita y discreta, o cuanto de energía y n un número entero. Planck halló que ε0 debía ser proporcional a la frecuencia de la radiación, es decir:

ε0 = hν donde “h” es una constante universal llamada constante de Planck y “ν” la frecuencia de la radiación.

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Esta hipótesis le permitió llegar a la expresión del poder emisor monocromático en función de “ν”.

Wυ ∝

8πhν 3 c

3

(e

1 ( hν / kT )

)

−1

O bien, en función de la longitud de onda:

Wλ ∝

2π hc 2

λ

5

(e

1 hc / k λ T

)

−1

Donde “k” es la constante de Boltzmann, “h” la constante de Planck y “c” la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío; siendo sus valores:

h = (6,6260 ± 0,0005) 10–34 J.s k = (1,38042 ± 0,00010) 10–23 J/K c = 299.792.458 m/s exactamemte (recordar la actual definición del metro) La figura 17.5 compara los resultados experimentales con las distintas leyes teóricas de la radiación térmica.

Fig. 17.5.- Comparación entre los resultados experimentales a 1600K y las leyes de la radiación de Planck, Wien y RayleighJeans. En ordenadas se representa W λ.

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CAPÍTULO 18 DISPERSIÓN DE LA LUZ 18.1- Introducción Cuando la radiación electromagnética se propaga en el vacío las componentes de esa radiación en todas las frecuencias (longitudes de onda) tienen la misma velocidad “c”. No ocurre lo mismo cuando dicha propagación se produce en un medio material; en este caso, para cada longitud de onda existe una velocidad diferente (recordar también la relación entre el índice de refracción de una sustancia y la velocidad de propagación de la onda en ese medio). Esto es lo que origina el fenómeno de la dispersión. Se entiende por dispersión de la luz o de cualquier radiación electromagnética a su “separación” en un espectro. Este fenómeno se debe a la relación de dependencia que existe entre el índice de refracción de cada sustancia y las longitudes de onda de la radiación. La dispersión de la luz puede producirse mediante dispositivos tales como prismas y redes de difracción. Dirección original Desviación de la luz amarilla (δA)

Luz blanca

Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Índigo Violeta

Dirección original

δR

Luz blanca

δV Medida de la dispersión

Fig. 18.1a.- Dispersión producida por un prisma. La banda de colores formada sobre la pantalla se denomina espectro.

Rojo

Violeta

Fig. 18.1b.- Detalle de la desviación (δ) que sufren los rayos de distinto color.

Se ha hallado empíricamente que, si la temperatura y presión son constantes, para cada sustancia se cumple:

n = f (λ ) = A +

B

λ2

(18.1)

Donde A y B son constantes características para cada sustancia. Hasta acá se ha usado el término “dispersión” para referirse a un fenómeno observado en la interacción entre la radiación electromagnética y la materia. Además, la “medida de la dispersión” del espectro visible es la diferencia angular entre las respectivas desviaciones que sufren los rayos de los colores extremos: rojo y violeta (Fig. 18.1b). Algunos autores definen la “dispersión de una sustancia” como la magnitud que cuantifica el “ritmo” con que varía su índice de refracción “n” al variar la longitud de onda de la radiación que la atraviesa. En base a eso, para una radiación de longitud de onda determinada (λ), el valor de la dispersión θ de una sustancia se calcula como

2B dn θ= =– 3 dλ λ

(18.2)

Fig.18. 2.- Variación del índice de refracción (n) con la longitud de onda (λ) para cada sustancia.

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La ecuación (18.1) nos indica que el índice de refracción (n) de todas las sustancias transparentes aumenta monótonamente al disminuir la longitud de onda. Por otra parte, si junto con lo dicho, se tiene en cuenta la ley de Snell, se explica por qué al pasar de un medio transparente a otro (de distinto índice de refracción) los rayos de luz violeta se desvían más que los verdes, y estos más que los rojos.

18.2- Tipos de espectros Los espectros pueden ser clasificados de acuerdo con la naturaleza de su origen en: Espectros de emisión y Espectros de absorción. Por otra parte, de acuerdo con el aspecto que resulta de las longitudes de onda presentes en el mismo, se pueden clasificar en: continuos (si aparecen todas las longitudes de onda) y discontinuos (si sólo aparecen algunas). Estos últimos, a su vez, pueden ser “de líneas” o “de bandas”.

18.2.1- Espectros de emisión En el capítulo “Radiación Térmica” se vio que todo cuerpo sólido calentado emite energía en forma de radiación electromagnética en la que se hallan presentes todas las longitudes de onda, aunque con distinta intensidad. Por ello, este espectro de emisión se dice que es continuo. Esta distribución de la energía radiada en función de la longitud de onda (o de la frecuencia) pudo ser explicada utilizando la teoría cuántica y sin tener en cuenta los detalles mismos del proceso de radiación ni la naturaleza del sólido que radia. El fenómeno descripto allí (cuando se calienta un sólido hasta la incandescencia) es el resultado del comportamiento colectivo de un gran número de átomos que interactúan en lugar del comportamiento característico de átomos individuales de un elemento dado. Los líquidos presentan el mismo comportamiento cuando están incandescentes y generan, como los sólidos, espectros de emisión continuos. Otro tanto puede observarse en los gases, pero sólo si están a muy alta presión (es decir, con las moléculas muy juntas, como ocurre en los sólidos y líquidos). En el otro extremo, los átomos o moléculas de un gas enrarecido (= a baja presión) se encuentran tan separados unos de otros que las únicas interacciones entre ellos ocurren durante los choques fortuitos. En estas circunstancias se esperaría que cualquier radiación emitida sea característica de los átomos o moléculas individuales presentes. Esta presunción se ha comprobado experimentalmente. Cuando un gas o vapor atómico, a una presión ligeramente inferior a la atmosférica, se excita de la manera adecuada (p.ej. calentamiento o paso de una corriente eléctrica a través de él) emite un espectro de radiación constituido por un fondo oscuro con sólo algunas líneas luminosas de color característico, correspondientes a determinadas longitudes de onda. Por ello recibe el nombre de espectro de emisión discontinuo (en este caso, de líneas). Cada elemento da lugar a un espectro de emisión de líneas único cuando es excitado en fase gaseosa. La Figura 18.3(a) ejemplifica el caso del espectro de emisión del sodio (Na). Está constituido por unas pocas líneas en la zona visible, de las cuales se muestran las dos más notables: la línea más brillante D1 (589,6 nm) y, muy cerca de la anterior, la línea D2 (589,0 nm) El espectro de un gas o vapor molecular excitado también es discontinuo, pero constituido por bandas luminosas sobre fondo oscuro. Cuando la tecnología permitió construir instrumentos más evolucionados, se descubrió que dichas bandas están formadas por muchas líneas muy próximas unas a otras.

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18.3.2- Espectros de absorción Cuando la luz blanca pasa a través de un gas dado a baja temperatura (no excitado) éste absorbe luz de las mismas longitudes de onda presentes en su propio espectro de emisión. Se obtiene así el llamado espectro de absorción que también es de líneas. El espectro resultante consiste en un fondo brillante, multicolor, sobre el cual aparecen líneas oscuras coincidentes con las líneas brillantes que aparecen en el espectro de emisión del mismo gas. Ver figura 18.3(b) para el caso del sodio. (a) Espectro de emisión del sodio y esquema del dispositivo para obtenerlo (b) Espectro de absorción del sodio y esquema del dispositivo para obtenerlo.

Fig. 18.3.- Las líneas oscuras en el espectro de absorción de un elemento corresponden a las líneas brillantes en su espectro de emisión.

Se observa que ambos espectros, el de absorción y el de emisión, son complementarios; esto se da para todos los elementos y compuestos. Dicho en forma general, toda sustancia transparente interpuesta en el trayecto de la luz blanca absorbe, del espectro de esa luz, las mismas radiaciones (colores, longitudes de onda, frecuencias) que ella es capaz de emitir. (Recordar la Ley de Kirchhoff) Los instrumentos diseñados para la observación visual de los espectros se llaman espectroscopios; aquéllos que los fotografían o grafican se llaman espectrógrafos. La espectroscopía es así una herramienta muy útil para analizar la composición de una sustancia desconocida. Si, por ejemplo, en un espectro de emisión de una sustancia desconocida se ve una línea amarilla con λ = 589,6 nm ó 5896 Å (Angstrom), se comprueba que está presente el sodio (Na) pues dicha longitud de onda corresponde a una de las líneas del espectro de emisión de ese elemento de acuerdo con las tablas espectrales. Cuando se observa el espectro de emisión obtenido al dispersar la luz blanca del sol, aparece una serie de líneas oscuras (líneas de Fraunhofer) debido a que la parte luminosa del sol, cuya radiación es casi exactamente la que predice la teoría para un cuerpo negro ideal calentado a 5800 K, está rodeada por una capa de gas “más frío” (mejor dicho, “menos caliente”) que absorbe luz de sólo determinadas longitudes de onda. El análisis de dicho espectro permite determinar la naturaleza de los elementos al estado atómico y gaseoso presentes en dicha capa. –––––o0o–––––

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