Apuntes de Electrotecnia

CAPITULO I CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 SISTEMA ELÉCTRICO Conjuntos de elementos pasivos y activos que tienen la función de proporcionar Energía Eléctrica, industrial y domiciliaria y consta de cuatro partes Generación, transmisión, distribución y utilización

1.1.1 SISTEMAS DE GENERACIÓN. Conjunto de equipos encargados de transformar cualquier tipo de Energía en Energía Eléctrica entre los más importantes tenemos:

- De pasada Hidraulicas Centrales eléctricas

Termicas

Otros

1

- Con embalse - Motor diesel -Turbina a vapor -Turbina a gas -Atomicas - Eolicas -Solar -Fotovoltaicas

Generación Hidráulica.

Utiliza el agua almacenada en embalses la cual teniendo una ciada considerable adquiere una velocidad la cual hace girar las turbinas para que esta pueda generar energía electrica casi gratuita ya que el agua almacenada no cuesta como los combustibles. 1.1.1.2 Generación Térmica.

2

El combustible suele ser gas natural, aunque puede emplearse gas LP o diésel. Sus capacidades van de 265 kW a 50,000 kW; permiten obtener eficiencias eléctricas del 30% y eficiencias térmicas del 55%; los gases de combustión tienen una temperatura de 600 °C; ofrecen una alta seguridad de operación; tienen un bajo costo de inversión; el tiempo de arranque es corto (10 minutos); y requieren un mínimo de espacio físico.

1.1.2 TRANSMISIÓN.

3

Es el enlace entre las plantas generadoras y los puntos de consumo masivo cuando las distancias son largas y normalmente se lo realiza en tensiones elevadas como ser

230 KV, 115KV.

1.1.3 DISTRIBUCIÓN. 1.1.3.1 Sistema de Utilización

Es la red encargada de conducir o transportar la energía eléctrica hasta el consumidor final, grandes consumidores en Media Tensión (24.9

KV),

consumidores domésticos Baja tensión (380V – 220V). Sistema Domiciliario. Acometida. Se denomina así a la instalación comprendida entre la parte de la red de distribución pública y el equipo de medida, podrán ser aéreas o subterráneas o ambos sistemas combinados.

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Conductor de Acometida. Son los conductores de enlace entre la red de distribución publica y la caja general de medición, los cuales no deberán pasar a menos de 1 metro de distancia frente a puertas ventanas balcones. Poste Intermedio. El poste intermedio es necesario para elevar la altura del conductor de acometida o evitar cruces en propiedades vecinas. Canalización de Acometida. Comprende el tramo desde la llegada del conductor aéreo al punto de sujeción hasta la caja de medida. Caja de Medición. Son las cajas que alojan los elementos de medición y protección principal de las instalaciones eléctricas. Para la protección principal de instalaciones eléctricas se aceptaran únicamente interruptores termo magnéticos de caja moldeada y dependiendo del tipo de alimentación los interruptores termo magnéticos deberán ser del tipo: Unipolar para sistemas de alimentación............................ Una fase Bipolar para sistemas de alimentación............................... Dos fases Tripolar para un sistema de alimentación........................... tres fases

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SISTEMA DE UTILIZACIÓN

1. Poste de red publica 2. Conductores de acometida 3. Bastón de llegada (canalización de Acometida) 4. Caja metálica de medición 5. Bastón de salida 6. Machón para el medidor 7. Conductores al interior en forma aérea 8. Tablero de distribución interna 1.1.4 Transporte y Distribución de Energía Eléctrica Las actividades del Área de Transmisión y Distribución de Energía están dirigidas a satisfacer las necesidades de interconexión de sistemas eléctricos para el suministro o consumo de energía.

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1.2 INTRODUCCION A LA ELECTROTECNIA. La electrotecnia estudia las leyes de los fenómenos eléctricos y aplicaciones técnicas de la electricidad con fines industriales y científicos. La finalidad de la Electrotecnia es de proporcionar herramientas relevantes que propicien un desarrollo posterior, proporcionándole al alumno posibilidades en múltiples opciones de formación electrotecnia más especializada, lo que confiere a esta materia un elevado valor propedéutico. En este sentido cumple el doble propósito de servir como formación de base, tanto para aquellos alumnos que decidan orientar su vida profesional por el camino de los ciclos formativos, como para los que elijan la vía universitaria encaminada a determinadas ingenierías. El primer aspecto conduce a una formación científica que justifique los fenómenos eléctricos, y el segundo a una formación más orientada a técnicas y procedimientos. El carácter de ciencia aplicada le confiere un valor formativo relevante, al integrar y poner en función conocimientos procedentes de disciplinas científicas de naturaleza mas abstracta y especulativa. También ejerce un papel de catalizador del tono científico

técnico que le es

propio, profundizando y sistematizando aprendizajes afines procedentes de etapas educativas anteriores. 7

El campo disciplinar abarca el estudio de los fenómenos eléctricos y electromagnéticos, desde el punto de vista de su utilidad practica, las técnicas de diseño y construcción de dispositivos eléctricos característicos, ya sean circuitos, máquinas o sistemas complejos, y las técnicas de calculo y medida de magnitudes en ellos. Esta materia se configura a partir de tres grandes campos del conocimiento y la experiencia: 1. Los conceptos y leyes científicas que explican los fenómenos físicos que tienen lugar en los dispositivos eléctricos, (como ser: Resistencias y condensadores, bobinas) 2. Los elementos con los que se componen circuitos y aparatos eléctricos y su disposición y conexiones características. 3. Las técnicas de análisis, cálculo y predicción del comportamiento de circuitos y dispositivos eléctricos. 1.3 DEFINICIONES. 1.- Corriente eléctrica 2.- Voltaje 3.- Resistencia 1.3.1 CORRIENTE ELECTRICA. El concepto de carga eléctrica es la base para la descripción de todos los fenómenos eléctricos en seguida se revisan algunas características de cargas eléctricas. La carga es bipolar lo que significa que los efectos eléctricos se describen en términos de carga positivos y negativos.

8

FIGURA 1 Todos los cuerpos existentes en la naturaleza son eléctricamente neutros mientras no se rompa el equilibrio que existe entre el número de electrones y de protones que poseen sus átomos. Los cuerpos en la naturaleza tienden a estar neutros, es decir, tienden a descargarse. Cuando un conductor (C) une dos cuerpos A y B (ver figura 1) , el cuerpo A con exceso de electrones y el cuerpo B con déficit de electrones, los electrones se distribuyen uniformemente entre ambos cuerpos. El movimiento de los electrones a través de (C) se conoce como Corriente Eléctrica. La fuerza que impulsa a los electrones a moverse se debe a la diferencia de potencial o tensión que existe entre A y B. Si la tensión es muy alta, los electrones pueden pasar de un cuerpo al otro a través del aire, por ejemplo, el rayo. En cambio, si la tensión es baja, los electrones necesitan ciertos materiales, llamados conductores, para pasar de un cuerpo a otro. Los conductores más importantes son los metales. La Tierra es un inmenso conductor que, dado que tiene tantos átomos, puede ganar o perder electrones sin electrizarse. Por esto, si un cuerpo electrizado se conecta a tierra, se produce una corriente eléctrica, hasta que el cuerpo se descarga.  Un cuerpo neutro tiene potencial eléctrico nulo  Un cuerpo con carga positiva (déficit de electrones) tiene potencial positivo  Un cuerpo con carga negativa (exceso de electrones) tiene potencial negativo En un circuito los electrones circulan desde el polo negativo al polo positivo, este es el sentido de la corriente, la que recibe el nombre de corriente real. Pero los 9

técnicos usan una corriente convencional, donde el sentido del movimiento es el contrario de la corriente real, es decir, el sentido del polo positivo al polo negativo. e-

ee-

e-

ee-

ee-

e-

ee-

Electrones

Atomo

FIGURA 1.1 CORRIENTE ELECTRICA En general, la intensidad de la corriente es una magnitud variable de modo que la definición anterior se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera, si tomamos porciones muy pequeñas de tiempo dt, y observamos la variación que experimenta la cantidad de electricidad dq, en ese tiempo. i

dq dt

en donde i = la corriente en amperes, q = la carga en coulombs, t = el tiempo en segundos Por supuesto que si la intensidad, I, es constante la expresión anterior se puede poner como I 

Q t

UNIDADES DE CORRIENTE ELECTRICA: La unidad de corriente eléctrica es el amperio (A) en honor a Andre Ampere, y 1 Amperio 

1 Coulomb 1 Segundo

para intensidades más pequeñas se usan los submúltiplos: 1 miliamperio = 1 mA = 0,001 A = 1x10 – 3 A 10

1 microampere = 0,000001 A = 1x10– 6 A Coulomb (C). Establece que un electrón tiene una carga negativa de 1.6021*10 -19 coulomb. Dicho de otra manera un coulomb es el conjunto de cargas de aproximadamente 6.24*1018 electrones. 1.3.2 VOLTAJE, ENERGIA Y POTENCIA. El voltaje entre 2 puntos es el costo en energía (trabajo realizado) requerido para mover una unidad de carga desde el punto más negativo (potencial bajo) al más positivo (potencial alto).  En caso eléctrico el flujo de corriente a través de un cable es proporcional a la diferencia de potencial entre los extremos del cable.

V  VA  VB

VA

VB

Figura 1.2  Modelo de Agua: –

Torre de agua que es mantenida llena con el fin de entregar una presión constante en la base.

11

–

Presión depende de altura de la torre.

–

Agua retorna a presión cero

-----------------------------------------------







5 mts



Modelo de Agua

•

En modelo de agua, el equivalente del voltaje es la presión del agua.

“En puntos de igual presión no hay flujo de agua. El flujo de agua entre 2 puntos dependerá de la diferencia de presión entre ambos”. •

La unidad del voltaje es el Volt (V). (Nota: dependiendo del contexto V = Volt) La carga en un conductor, ejemplificados por electrones libres que puedan

moverse de manera aleatoria. Sin embargo si queremos un movimiento ordenado de su parte, como es el caso de la corriente eléctrica, debemos aplicar una fuerza externa llamada fuerza electromotriz (Fem.) Para de ese modo ejercer trabajo sobre la carga. Anteriormente definimos el voltaje a través de un elemento como el trabajo realizado para mover una carga unitaria

(+ 1 C) a través del elemento

de una terminal a la otra. El voltaje a través de un elemento estará designado por dos indicadores: un signo de mas o menos en el que se establece la dirección de referencia del voltaje que aparece por un elemento en la dirección de referencia especificado. En la figura 1.3(a) vemos un voltaje o (diferencia de potencial) de valor V0 Volts que pasa por un elemento, medido con un potencial mayor del lado izquierdo del elemento y un potencial menor del lado derecho. Sí V0 ≥ 0, el lado izquierdo será de mayor potencial, si V0 ≤ 0, el lado derecho será de mayor potencial.

12

En la figura 1.3 (b) el lado derecho del elemento es +25 V mayor que el izquierdo.

+

V

0

25 V

-

+

(b )

(a )

Figura 1.3 Especificaciones del valor de voltaje y la dirección de referencia Como ejemplo: En la figura 1.4(a) la terminal A es + 5 V sobre la terminal B, y en 1.4(b) la terminal B es –5 V sobre A. A

A +

+

+ 5 v

- 5 v

-

-

B

B

a)

b)

Figura 1.4 Representaciones equivalentes de voltaje Por lo tanta en la figura 1.4(a) en general VAB = - VBA o VAB = 5 V. Y VBA= - 5 V.

POTENCIA Y ENERGIA. La potencia es la capacidad para realizar o efectuar un trabajo. Es la relación de la energía absorbida o entregada por unidad de tiempo, matemáticamente la energía por unidad de tiempo se expresa en forma de una derivada. dw , dt donde : p  la potencia en watts w  la energia en joules, t  el tiempo en segundos p

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La potencia asociada con el flujo de carga se obtiene directamente de la definición de voltaje y corriente. dw  dw   dq   *     dt  dq   dt  P  V * I W  P  la potencia en watts p

V  el voltaje en volts I  corriente en amperes

La ecuación anterior muestra que la potencia asociada con un elemento básico de circuito es simplemente el producto de la corriente en el elemento por el voltaje a través de él. Por tanto, la potencia es una cantidad asociada con un par de terminales, y debemos ser capaces de determinar con base en nuestros cálculos si se esta entregando potencia al par de terminales, o se esta extrayendo de ellas. Esta información se obtiene de la aplicación e interpretación correcta de la convención pasiva de signos. Si usamos dicha convención, la ecuación anterior es correcta si la dirección de referencia para la corriente va en la dirección de referencia para la caída de voltaje a través de las terminales. De lo contrario la ecuación debe reescribirse con un signo menos. P  V * I W 

Si la potencia es positiva (esto es si P es mayor a cero), se esta entregando potencia al circuito. Si la potencia es negativa (esto es si P es menor que cero), se esta extrayendo potencia del circuito. Por ejemplo supongamos que se han seleccionado las referencias de polaridad como se muestra en la figura 1.5 además considérese que nuestros cálculos para la corriente y el voltaje produjeron los siguientes resultados numéricos: I 4A

14

V  10 V

I 1

+ V -

2

P  V * I

Figura 1.5 Entonces la potencia asociada con el par terminal 1,2 es P    10  *  4  40 W

Así que el circuito en las terminales 1,2 esta absorbiendo 40W. Ejemplo: Al transferir carga a través de un elemento se efectúa un trabajo o se esta suministrando energía, para saber si la energía esta siendo suministrada al elemento o por el elemento al resto del circuito, debemos conocer no solo la polaridad del voltaje a través del elemento si no también la dirección de la corriente a través del elemento. El elemento esta energizado cuando una corriente positiva entra por la terminal positiva, por lo tanto esta entregando o suministrando energía al elemento. El elemento esta entregando energía al circuito externo cuando una corriente positiva sale por la terminal positiva. 5 A

5 A

5 A

5 A

+

-

+

-

50 v

5 0v

50 v

50 v

+

-

+

a)

b)

c)

d)

Figura 1.6 Diferentes relaciones Voltaje - Corriente P  50 * 5  250 W

15

 La figura 1.6(a) el elemento esta absorbiendo energía. Una corriente positiva entra por la terminal positiva ese es el caso también en la figura 1.6(b).  En la figura 1.6(c) y (d), una corriente positiva entra por la terminal negativa por tanto el elemento esta entregando energía en ambos casos. 1.4 ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELECTRICOS 1.4.1 RESISTENCIAS Resistencia (R) denota la oposición que presenta un determinado material al paso de carga (electrones). Las resistencias dependen del tipo de material (su composición). La resistencia se mide en Ohm (Ώ)y existen resistencias con valores entre 1Ώ y

10 MΏ

Resistencia con código

Símbolo(R)

Figura 1.7

1.4.2 CARACTERÍSTICAS Las características más importantes de las resistencias, también llamadas resistores, son: Valor nominal: Es el valor en Ohmios que posee; está impreso en la propia resistencia en cifras o por medio del código de colores. Tolerancia: Es el error máximo con el que se fabrica la resistencia. Para comprenderlo vamos a ver un ejemplo: Una resistencia de 10 ohm. y el 5%, tiene

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un valor garantizado entre 10-5% y 10+ 5%, teniendo en cuenta que el 5% de 10 es 0,5 ohm., quiere decir que estará entre 9,5 y 10,5 ohm..

1ra 2da 3ra 4ta Significado de cada banda La primera banda:

valor base

Segunda banda:

valor base

Tercera banda:

valor multiplicador

Cuarta banda:

Tolerancia en porcentaje

Las dos primeras bandas dan una idea del valor base de la resistencia y la tercera banda nos indica por cuanto hay que multiplicar el valor base anterior para obtener el verdadero valor de la resistencia. La cuarta y última banda nos da la tolerancia.: Dorado 5%, Plateado 10%, sin color 20%.

Código de colores para las resistencias

Color

17

Valor Multiplicador base

Negro

0

x1

Marrón

1

x 10

Rojo

2

x 100

Naranja

3

x 1,000

Amarillo

4

x 10,000

Verde

5

x 100,000

Azul

6

x 1,000,000

Violeta

7

x 10,000,000

Gris

8

x 100,000,000

Blanco

9

Potencia máxima: Es la máximo cantidad de calor que puede generar

una

resistencia sin antes quemarse. 1.4.3 TIPOS DE RESISTENCIAS Hay tres tipos de resistencias: fijas, variables y especiales. 1) Las resistencias fijas son aquellas en las que el valor en ohmios que posee es fijo y se define al fabricarlas. Las resistencias fijas se pueden clasificar en resistencias de usos generales, y en resistencias de alta estabilidad. Las resistencias de usos generales se fabrican utilizando una mezcla de carbón, mineral en polvo y resina aglomerante; a éstas se las llama resistencias de composición, y sus características más importantes son: pequeño tamaño, soportan hasta 3 W de potencia máxima, tolerancias altas (5%, 10% y 20%), amplio rango de valores y mala estabilidad de temperatura. Las resistencias de alta estabilidad se clasifican a su vez en: · Resistencias pirolíticas: se fabrican depositando una película de carbón sobre un soporte cerámico, y seguidamente se raspa dicha capa de forma que lo que queda es una especie de espiral de carbón sobre el soporte cerámico. Sus

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características más importantes son: pequeño tamaño, hasta 2 W de potencia máxima, tolerancias del 1% y 2% y coeficiente de temperatura medio. · Resistencias de hilo bobinado: se construyen con un hilo metálico de constantán o manganita arrollado sobre un tubo de porcelana. Sus características más importantes son: tamaño medio o grande, hasta 400 W de potencia máxima, baja tolerancia 0,25 % y coeficiente de baja temperatura . · Resistencias de película metálica: consisten en una película metálica a la que se va eliminando parte de esta capa dejando una forma similar a un hilo muy largo. Las características más importantes son: tamaño medio, pequeños valores de resistencia eléctrica, hasta 6 W de potencia máxima, tolerancias de 1%, 2% y 5% y bajo coeficiente de temperatura. En las resistencias metálicas hay que tener en cuenta que son inductivas y por tanto pueden variar el comportamiento a determinadas frecuencias. 2) Resistencias variables: son resistencias sobre las que se desliza un contacto móvil, variándose el valor, sencillamente, desplazando dicho contacto. Las hay de grafito y bobinadas, y a su vez se dividen en dos grupos según su utilización que son las denominadas resistencias ajustables, que se utilizan para ajustar un valor y no se modifican hasta otro ajuste, y los potenciómetros donde el uso es corriente. En la figura 1.8 se representa el símbolo de las resistencias ajustables y variables.

R

A

R

A

R

V

Figura 18. Resistencias Ajustables

R

V

Resistencias Variables

3) Resistencias especiales: son aquellas en las que el valor óhmico varía en función de una magnitud física. Las más usuales son:

19



PTC (Positive Temperature Coefficien = Coeficiente Positivo con la Temperatura); aumenta el valor óhmico al aumentar la temperatura de ésta.



NTC (Negative Temperature Coefficient = Coeficiente Negativo con la Temperatura) : disminuye el valor ohmico al aumentar la temperatura.



LDR (Light Dependent Resistors = Resistencias Dependientes de la Luz) : disminuye el valor óhmico al aumentar la luz que incide sobre ella.



VDR (Voltage Dependent Resistors = Resistencias Dependientes de la Tensión) : disminuye el valor óhmico al aumentar el voltaje eléctrico entre sus extremos. La figura 1.9 refleja los símbolos eléctricos, y la figura 1.10, algunos modelos.

Figura 1.9

Figura 1.10

1.5 CONDUCTANCIA. La propiedad de los materiales inversa a la resistencia, la llamamos conductancia. La conductancia representa la facilidad que ofrecen los conductores al paso de la corriente Eléctrica.

medible se expresa: G

20

1  mho R



La conductancia G tiene como unidad el mho “

” y como magnitud

1.6 BOBINA O INDUCTOR 1.6.1 DEFINICIÓN. Una bobina es un elemento de circuito que consiste en un alambre conductor usualmente en forma de rollo o carrete. En la figura 1.11 se muestran dos bobinas típicas y sus símbolos eléctricos. Las bobinas se suelen caracterizar según el tipo de núcleo en el que están enrollados. Por ejemplo, el material del núcleo puede ser aire o cualquier otro material no magnético, hiero o ferrita. Las bobinas hechos con aire o con materiales no magnéticos se usan ampliamente en circuitos de radio, televisión y filtros. Las bobinas con núcleo de ferrita se utilizan ampliamente en aplicaciones de alta frecuencia. Note que , en contraste con el núcleo magnético que se confina el flujo (como se muestra en la figura 1.11b), las líneas de flujo para bobinas no magnéticas se extienden mas allá de la misma bobina, como se ilustra en la figura 1.11a. La bobina como la resistencia y el capacitor es un elemento pasivo. La polaridad del voltaje a través de la bobina se muestra en la figura 1.11.

L

Símbolo de la bobina

Figura 1.11 Dos bobina y sus símbolos eléctricos

21

figura 1.12 Algunas bobinas típicas 1.7 CONDENSADORES – CAPACITORES 1.7.1 DEFINICIÓN. Un capacitor es un elemento que consiste en dos superficies conductoras separadas por un material no conductor, o dieléctrico. Un capacitor simplificado y su símbolo se muestra en la figura 1.13.

Figura 1.13 capacitor y su símbolo eléctrico

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Hay muchas formas diferentes de capacitores y pueden clasificarse por el tipo de material dieléctrico que se usa entre las placas conductoras, cada tipo tiene características que lo hacen mas apropiado en aplicaciones particulares. Para aplicaciones generales en circuitos electrónicos (por ejemplo, acoplamiento entre etapas de amplificación), el material eléctrico puede ser aire, vacío, papel impregnado con aceite o con cera mylar, polietileno, mica, vidrio o cerámica. Los capacitores con dieléctricos de cerámica construidos con titanatos de bario tienen una razón de capacitancia a volumen grande debido a su alta constante dieléctrica.

Los capacitores con dieléctricos de mica, vidrio y

cerámica operan satisfactoriamente a altas frecuencias. Los capacitores electrolíticos de aluminio, que constan de un par de placas de aluminio separados por un electrolito pastoso de bórax humedecido pueden proporcionar valores de capacitancia altos en pequeños volúmenes, se suelen utilizar en filtrado , desviación y acoplamiento, y en aplicaciones de suministro de potencia y arranque de motores. La capacitancia se mide en couloms por voltio faradio, los condensadores pueden ser fijos o variables y típicamente van de miles de microfaradios (μF ) a unos cuantos picofaradios (pF).

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Figura 1.14 Algunos capacitores típicos Nota: Existen condensadores electrolíticos de gran valor que en su mayoría tienen polaridad, esto quiere decir que tiene una terminal positivo y una terminal negativo.

Símbolo condensador

Símbolo condensador

(no polarizado)

electrolítico (polarizado)

1.8 FUENTES INDEPENDIENTES. Una fuente de voltaje independiente es una unidad que genera o produce fuerza electromotriz que consta de

dos terminales que mantiene un voltaje

especifico entre sus terminales a pesar de la corriente a través de él. El símbolo general para una fuente independiente, un circulo se muestra en la figura 1.15a.como lo indica la figura, la terminal A es v (t ) volts positivo con respecto a la terminal B. La palabra positiva puede ser algo confusa. Lo que se quiere decir en este caso es que v (t ) es una referencia positiva en la terminal A. El símbolo 24

v (t ) normalmente se emplea para voltajes que varían en el tiempo. Sin embargo,

si el voltaje no varia con el tiempo (es decir, es constante), se utiliza algunas veces el símbolo que se muestra en la figura 1.15b. este símbolo que se usa para representar una batería, ilustra que la terminal A es V volts positiva con respecto a la terminal B, donde la línea larga en la parte superior y la línea corta en la parte inferior indican las terminales positiva y negativa, respectivamente, y así la polaridad del elemento. En contraste con la fuente de voltaje independiente, la fuente de corriente independiente es un elemento de dos terminales que mantiene una corriente especifica a pesar del voltaje a través de sus terminales. El símbolo general para una fuente independiente de corriente se muestra en la figura 1.15c, donde i (t ) es la corriente especifica y la flecha indica la dirección positiva del flujo de corriente.

A + -

A

v(t )

B a)

A

V

i (t )

B

B

b)

c)

Figura 1.15

Símbolos para a) fuente independiente de voltaje; b)Fuente de voltaje constante; c) Fuente de corriente independiente.

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BIBLIOGRAFÍA: Análisis Básico de Circuitos en ingeniería.................J. David Irwin Análisis Básico de circuitos eléctricos........................David E. Johnson John L. Hilburn Johnny R. Johnson Peter D. Scott WWW.WIND POWER.ORG ........................................ Asociación danesa de la Industria

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CAPITULO II CIRCUITOS RESISTIVOS

2.1 CONCEPTOS Y ELEMENTOS DE UN CIRCUITO. Desde el punto de vista energético, los elementos que conforman un circuito se clasifican en pasivos y activos. 2.1.1 Elemento Pasivo. El elemento pasivo es aquél que solo recibe la energía eléctrica

y la

transforma en otra forma de energía, como térmica, magnética, ionización (electrólisis), potencial, etc. Debido al cambio de forma de la energía, existe una caída de potencial (diferencia de potencial) en cada elemento. Entre estos elementos se encuentran: las resistencias

condensadores o capacitores,

solenoides o bobinas, transformadores, bombillos de filamento y de gas, etc. 2.1.2 Elemento Activo. Es el que produce una transformación permanente de la energía, generando entre los terminales del elemento una diferencia de potencial (ddp), voltaje o tensión, la cual se utiliza para suministrar energía eléctrica a un elemento

externo

(pasivo).

Los

elementos

activos

son

denominados

generalmente fuente de fuerza electromotriz, fuente de voltaje o tensión. Si mantiene la diferencia de potencial constante (no varia en el tiempo), se considera una fuente de voltaje continuo, Su símbolo es:

27

+

Figura 2.0 Fuente de voltaje Continuo Siendo de signo positivo (+) la terminal que se encuentra a mayor potencial.

2.2 CIRCUITO ELECTRICO. Conjunto de elementos pasivos, activos o ambos, unidos entre si, a través de los cuales circula una corriente cuando existe una fuente de tensión en el circuito. Las propiedades de un elemento del circuito se caracterizan en función de dos cantidades o magnitudes físicas básicas e importantes: la diferencia de potencial V y la intensidad de corriente eléctrica. 2.3 CIRCUITO CON RESISTENCIA EN SERIE. Cuando dos o mas resistencias se conectan una detrás de la otra dentro de un circuito decimos que están asociados en serie como ya se especifico en capitulo I. R +

V

V

R

1

2

I

R

-

+

I

R

-

R

equi=

R

1

+R

2

3

equi

+R

3

Figura 2.1 Requi  R1  R 2  R3

Conexión en Serie Considerar dos (o mas) resistencias conectadas como muestra la figura2.1. La diferencia de potencial entre los puntos R1, R2 y R3 se puede escribir como: V  V R1  V R 2  V R 3

28

Como la corriente que circula por R1, R2 y R3 es la misma por estar conectados en serie, entonces la diferencia de potencial en cada resistencia será: VR1  R1 * I VR 2  R2 * I VR 3  R3 * I

Por lo tanto,

V   R1  R2  R3  * I V  Requi * I

2.4 CIRCUITO CON RESISTENCIA EN PARALELO. Si la conexión es tal que sus extremos están unidos entre si a los mismos puntos hablamos de asociación en paralelo, como se muestra en la figura 2.2. +

V

I

I1

I2

R

-

+

V

1

R

I

I3 2

R

-

R

3

equi

Figura 2.2 Requi

 1 1 1      R1 R2 R3

1

  

Conexión en Paralelo En este caso, la diferencia de potencial entre los extremos de ambas resistencias es la misma, V. V  V1  V2  V3

Por tanto las corrientes que circulan por cada resistencia serán distintas, y se puede escribir como 29

I1 

V R1

I2 

V R2

I3 

V R3

2.5 LEY DE OHM. La ley de Ohm establece que el voltaje a través de una resistencia es directamente proporcional a la corriente que fluye por la resistencia. El símbolo de circuitos de la resistencia se muestra en la figura 2.3. para el elemento la corriente I y el voltaje V. Donde la flecha indica la dirección de referencia de la corriente que entra y el signo positivo al final de la dirección de referencia del voltaje la Ley de Ohm es

I

+ R

V -

Figura 2.3 Símbolo del circuito para la resistencia V  R*I

Donde R≥0 es la resistencia en Ohms.

30

El símbolo utilizado para representar el Ohm es la letra griega mayúscula omega (Ω) puesto que por la anterior ecuación despejando la resistencia en función del voltaje y la corriente obtendríamos la Ley de Ohm de la Forma: R

V I

También en forma dimensional. 1  1

V A

Al igual que en el caso anterior, si despejamos la corriente en función del voltaje y la resistencia, obtendríamos la Ley de Ohm de la forma: I 

V R

Para recordar las tres expresiones de la Ley de Ohm nos ayudamos del siguiente triángulo que tiene mucha similitud con las fórmulas analizadas anteriormente.

V=I*R I=V/R R=V/I

Ejemplo 1: En un circuito con una fuente de tensión de una batería de 12 voltio y una resistencia de 6 ohms, podemos establecer una relación entre la tensión de la

31

batería, la resistencia y la corriente I que entrega la batería, esta corriente es la que circula a través de la resistencia.

Figura 2.4 Entonces la corriente que circula en nuestro circuito es: I 

12V  2A 6

De igual manera el voltaje que se esta entregando al circuito es: V =2A*6; V =12V Entonces si conocemos la corriente y el voltaje obtendríamos que: R

12V 6 2A

2.6 APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM A CIRCUITOS CON RESISTENCIAS EN SERIE. Antes de continuar recordaremos el uso de cierta nomenclatura. 2.6.1 NODO. La unión de tres o más ramas se denomina Nodo o Vértice. Usualmente se escoge un nodo como el nodo de referencia, que por lo general es el nodo al que están conectadas una mayor cantidad de ramas. La grafica de la figura (2.6) tiene cuatro nodos, a la unión de dos ramas se le denomina Nodo simple.

32

b

a c

d

Figura 2.6

2.6.2 MALLA. Se define una malla como un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Miremos el circuito de figura 2.6, tenemos dos resistencias una tras la otra, configuración denominada serie y es la más simple de analizar.

Figura 2.6 Analizando el circuito podemos darnos cuenta que existe una malla, por lo tanto la corriente que circula por ambas resistencias es la misma, pero la tensión Vr1 y Vr2 que existe sobre ellas es distinta. Si no sabemos el valor de estas tensiones las podríamos calcular mediante la ley de ohm diciendo que V = I * R, pero nos hallamos en el problema en que tampoco sabemos la corriente. Para calcular la corriente tenemos que hacer I = V / R, donde R es la suma de las dos resistencias por estar en serie. Teniendo el

33

valor de la tensión podemos calcular la corriente que circula por las dos resistencias. Entonces podemos imaginar un circuito con sólo una resistencia que sea igual a 200Ώ. Aplicando la ley de Ohm encontramos una corriente de 0,05A. Ahora que sabemos la corriente Itotal que circula por el circuito, podemos ver que tensión cae en cada resistencia. En este caso en cada resistencia cae 5 Volts. Entonces podemos decir que un circuito con resistencias en serie es un divisor de tensión. Ejemplo: Se tiene el siguiente circuito eléctrico se desea calcular la corriente total que entrega la fuente al circuito y las tensiones en cada resistencia. R

V 0 = 20V

V

1

R1

I Total

R

2

V

R2

V V

R3

R

3

R4

R

4

Figura 2.7 Donde R1= 10 Ώ, R2= 50 Ώ, R3= 150 Ώ, R4= 200 Ώ

34

RTotal  R1  R2  R3  R4 RTotal  10  50  150  200 RTotal  410 I Total 

V0 RTotal

20  0.049 A 410  I Total * R1

I Total  V R1

V R1  0.049 * 10  0.4V V R 2  0.049 * 50  2.45V V R 3  0.049 * 150  7.35V V R 4  0.049 * 200  9.8V

2.7 APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM A CIRCUITOS CON RESISTENCIAS EN PARALELO. Para su aplicación adecuada recurriremos al siguiente ejemplo:

I T o ta l

V

V0 = 10 V

R I1

R 1

1

V

R 2

R

2

I2

Figura 2.8 Donde R1= 100 Ώ, R2= 10 Ώ Ahora tenemos dos resistencias, pero uno a lado de otro. Están en paralelo. En este tipo de circuito donde encontramos dos resistencias en paralelo, la corriente total se encuentra con dos caminos, la mayor corriente circulara por la menor resistencia.

35

Para demostrar dicha afirmación calculamos las corrientes que fluyen por cada rama I1 e I2. Sabiendo que la tensión sobre cada resistencia es de 10V. 10  0. 1 A 100 10 I2  1 A 10 I Total  I 1  I 2 I1 

I Total  0.1  1 I Total  1.1 A

Por lo tanto con los cálculos realizados podemos demostrar que a mayor resistencia menor cantidad de corriente fluirá a través de ella, y a menor resistencia mayor cantidad de corriente. Dos o más resistencias que están en paralelo (están sus bornes unidos en un nodo) son un divisor de corriente, ya que la corriente total se dividen en



1 1     100 10   9

R Paralelo   R Paralelo

las dos: ramas

I Total 

10 9  1.1A

I Total  I Total

Como sabemos que: V  V R1  V R 2 V  10V V R1  10V V R 2  10V

Ejemplo: Para el circuito de la figura 2.9 calcular: 36

V RTotal

1

a)

La resistencia equivalente Requi

b)

Las intensidades parciales I1,I2 e I3.

c)

Las potencias P1, P2 y P3 disipadas en cada resistencia.

d)

La potencia total PT.

I T o ta l V0 = 120V I1

R3

R3 I2

R3 I3

Figura2.9 Donde R1= 30 Ώ, R2= 60 Ώ, R3= 20 Ώ Solución: a) La resistencia equivalente es.  1 1 1   Requi     R R R 2 3   1 1 1   1     30 60 20   10

Requi   Requi

b) Las intensidades parciales valen.

37

1

1

I1 

V0 120V   4A R1 30

I2 

V0 120V   2A R2 60

I3 

V0 120V   6A R3 20

Se puede comprobar que la intensidad total es igual a la suma de las intensidades parciales.

I Total 

V0 120   12 A Requi 10

I Total  I 1  I 2  I 3 I Total  4  2  6 I Total  12 A

c) La potencia en cada resistencia es. P1  V0 * I 1  120 * 4  480W P2  V0 * I 2  120 * 2  240W P3  V0 * I 3  120 * 6  720W

d) La potencia disipada total es igual a la suma de todas las potencias disipadas parcialmente PTotal  P1  P2  P3  480  240  720  1440 W

Que debe coincidir con la potencia suministrada por el generador.

38

PTotal  V0 * I Total PTotal  120 *12  1440 W

2.8 LEYES DE KIRCHHOFF. Estas leyes son validas para circuitos que contienen elementos de todo tipo: resistencias, inductores, capacitores, fuentes y otros. Estas leyes son las leyes de voltajes de Kirchhoff y la ley de corrientes de Kirchhoff. 2.8.1 LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF (LVK). La cual postula: La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a cero. Para ilustrar lo anterior, apliquemos este postulado a la trayectoria cerrada abcda de la figura 2.10, donde

+V

2

c

b + V 1 -

V +

a

3

d

Figura 2.10 Voltajes alrededor de una trayectoria cerrada  V1  V2  V3  0

Donde el signo algebraico de cada voltaje se ha considerado positivo al ir de + a – (de mayor a menor potencial) y negativo de ir de – a + (de menor a mayor potencial) al atravesar el elemento. La forma final de la LVK que se representa cuando son encontrados los voltajes de + a – en el la dirección del movimiento alrededor de la trayectoria cerrada son sumados en un lado de la ecuación y de – a + en el otro lado como en la malla de la figura 2.10, nos da: V1  V3  V2

39

La suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje a lo largo de una trayectoria cerrada.

En general la LVK puede ser expresado de forma matemática como: N

V n 1

n

0

Donde Vn es el n-ésimo voltaje bajo (o alto) en una malla que contiene N voltajes Ejemplo: Para el circuito de la figura 2.11 demostrar que la suma algebraica de las caídas de tensión a lo largo de toda la trayectoria cerrada es cero.







R1

R2

R3

I Total

Requi  R1  R2  R3  R4

R4

V 0 = 50 V



Requi  50  35  15  70 Requi  170

Figura 2.11 Ejemplo de LVK

V 0 = 50 V

40

I Total

R

equi



I Total 

V0 Requi

I Total 

50  0.3 A 170

V R1  R1 * I Total  50 * 0.3  15V V R 2  R21 * I Total  35 * 0.3  10V V R 3  R3 * I Total  15 * 0.3  4.V V R 4  R41 * I Total  70 * 0.3  21V   VRi  0

V R1  VR 2  VR 3  V R 4  V0 15  10  4  21  50V

2.8.2 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK). La ley de corrientes de Kirchhoff postula que: La suma algebraica de las corrientes que entran por cualquier nodo son cero. Por ejemplo las corrientes que entran al nodo de la figura 2.12 son i 1, i2, -i3 e i4(ya que i3 sale , entonces -i3 entra). Por lo tanto, al aplicar LCK para este caso se tiene. i1  i2    i3   i4  0

41

i1

i2

i3

i4

Figura 2.12 Corrientes fluyendo hacia un nodo Analizando la ecuación anterior donde las corriente que tienen su dirección de referencia que entra al nodo son reunidas en un lado y las que salen del nodo en el otro lado. Todos los signos de menos desaparecen, y obtenemos la siguiente ecuación. i1  i2  i4  i3

Por lo tanto la LCK es igual a la suma de las corrientes que entran a cualquier nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo. En general la LCK puede ser expresado de forma matemática como:

N

i n 1

n

0

Ejemplo: Sume las corrientes en cada nodo del circuito que se muestra en la figura 2.13. Observe que no hay punto de conexión en el centro del diagrama, en donde la rama de 4Ώ, cruza la rama que contiene la fuente de corriente ideal I a.

42

B

I1







Ia 

I2

Ib

I3

C

I4  IC

I5 D

Figura 2.13 Ejemplo de LCK NodoA : I 1  I 4  I 2  I 5  0 NodoA : I 2  I 3  I 1  I b  I a  0 NodoA : I b  I c  I 3  I 4  0 NodoA : I 5  I c  I a  0

Resolviendo las ecuaciones para las corrientes con esos parámetros se pueden calcular las caídas de tensión en cada resistencia y la potencia que absorbe cada resistencia independientemente. Como un ejemplo de la LCK, encontremos la corriente i de la figura 2.14 sumando las corrientes que entran al nodo, obtenemos.

5A

i

-3A

2A

Figura 2.14 Ejemplo de LCK 5  i    3  2  0 i  6 A

43

2.9 CIRCUITOS DE UNA SOLA MALLA 2.9.1 DIVISOR DE TENSIÓN. R

V

R

1

2

I0

0

Figura 2.15 Dos resistencias conectadas como se muestra en la figura 2.15 (en serie) a una fuente de voltaje V0 conforman un divisor de voltaje, ya que la caída de voltaje V0 se reparte proporcionalmente en las resistencias. Esto quiere decir (para el circuito de la figura 2.15) que: V0  V R1  V R 2

Donde: V R1 

R1 * V0 R1  R2

VR 2 

R2 * V0 R1  R2

Ejemplo: Para el circuito de la figura 2.16 calcular. a. El voltaje que se aplica a la resistencia de 10Ώ. b. El voltaje que se aplica a las resistencias en paralelo.

44

 R V

0

= 50 V

1



I T otal

R



2

R

3

 R 4

 V V

0

R 1

= 50 V

 V R2

Requi

Figura 2.16Ejemplo de Divisor de voltajes Requi

 1 1 1        R2 R3 R4 

Requi

1 1   1      60 60 60 

 1 1 1   Requi      R2 R3 R4  Requi  20

1

1

1

a )V R1 

R1 10 * V0  * 50  16.67V R1  R2 10  20

b)V R 2 

R2 20 * V0  * 50  33.33V R1  R2 10  20

2.10 CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS 2.10.1 DIVISOR DE CORRIENTES. Dos resistencias conectados en paralelo (Figura 2.17) a una fuente o fuerza electromotriz forman un divisor de corrientes, ya que en el nodo se divide la corriente eléctrica según los valores de las resistencias. Así, la i0 va a ser igual (según la ley de los nodos de kirchhoff) a la suma de las corrientes eléctricas que circulan por R1 y R2, es decir: i0 = i1 + i2 en el nodo A, siendo.

45

i1 

R2 * i0 R1  R2

i2 

R1 * i0 R1  R2

En el caso que las dos resistencias sean iguales las ecuaciones quedaran de la siguiente manera. R1  R2  R i0 2 i0 i2  2 i1 

A

i0 V

V

0

i1

R1

R

1

i2

Figura 2.17 Circuito simple en paralelo

Ejemplo: Para el circuito de la figura calcular.

46

a.

La resistencia equivalente del circuito

b.

La corriente que entrega la fuente de tensión de 120V

c.

Las corrientes I1, I2

d.

Las potencias parciales en cada resistencia

e.

La potencia total.

V

R2

R

2

 I Total V 0 = 120 V

R

I2

I1 R



fig 2.18

2



1

Requi  R2  R3 Requi  20  30 Requi  50

I Total V 0 = 120 V

I2

I1 

1   1    10 50   8.33

R1



1

Requicircuito   Requicircuito I Total 

V0 Requicircuito

120  14.4 A 8.33 Requi 50 I1  * I Total  * 14.4  12 A R1  Requi 10  50 I Total 

I2 

47

R1 10 * I Total  *14.4  2.4 A R1  Requi 10  50

Requi

R

3

V R1  V0 VR 2  R2 * I 2  20 * 2.4  48V VR 3  R3 * I 2  30 * 2.4  72V P1  V0 * I 1  120 *12  1440W P2  V R 2 * I 2  48 * 2.4  115 .2W P3  V R 3 * I 2  72 * 2.4  172.8W PTotal  P1  P2  P3  1440  115 .2  172.8  1728W PTotal  V0 * I Total  120 *14.4  1728W

BIBLIOGRAFÍA: Análisis Básico de Circuitos en ingeniería................... J. David Irwin Análisis Básico de circuitos eléctricos........................ David E. Johnson John L. Hilburn Johnny R. Johnson Peter D. Scott Circuitos Eléctricos...................................................... James W. Nilson Susan A. Riedel WWW.WIND POWER.org........................................ Asociación danesa de la industria

48

CAPITULO III METODOS PARA RESOLVER CIRCUITOS ELÉCTRICOS

3.1 INTRODUCCION AL METODO DE VOLTAJES DEL NODO. Presentaremos el método de voltajes de nodo empleando los nodos esenciales del circuito. El primer paso, como se muestra en la figura (3.1). es obtener un buen diagrama del circuito de forma que no haya ramas que se crucen, y marcar claramente los nodos esenciales en el diagrama del circuito. Este circuito tiene 3 nodos esenciales (n e = 3); por lo tanto, necesitamos dos (ne – 1) ecuaciones de voltaje de nodo para describir dicho circuito. El siguiente paso es seleccionar una de los tres nodos esenciales como un nodo de referencia. Aunque teóricamente la selección puede ser arbitraria, en la practica el nodo de referencia a seleccionar es con frecuencia obvio. Por ejemplo, usualmente el nodo con el mayor numero de ramas es una buena elección. En el circuito mostrado en la figura (3.1) el nodo inferior conecta al mayor número de ramas, así que lo tomaremos como nodo de referencia. Indicamos el citado nodo elegido con el símbolo

, como se muestra en la

figura (3.1). 

10V

+ -







+ 

V

+ 1

-

V

2



2A

-

Figura 3.1 Circuito con nodo de referencia y los voltajes de nodo Después de seleccionar el nodo de referencia, definimos los voltajes de los nodos en el diagrama del circuito. El voltaje del nodo se define como un incremento de voltaje desde el nodo de referencia a un nodo cualquiera. Para este circuito debemos definir dos voltajes de nodo, que se indican como V1 y V2 en la figura (3.1).

49

Ahora estamos listos para generar las ecuaciones de voltaje de nodo. Esto se hace escribiendo primero las corrientes que dejan cada rama conectada a un nodo de referencia en función de los voltajes y sumandos después estas corrientes a cero de acuerdo con la ley de kirchhoff. Para el circuito de la figura (3.1). La corriente que sale del nodo 1 para el resistor de 1Ω es la caída de voltaje a través del resistor dividida por la resistencia (ley de ohm). Dicho tipo de caída de tensión en la dirección de la corriente en el resistor de 1Ω es (V 1 – 10)/1. La figura (3.1) muestra estas observaciones, la rama 10 (V) - 1Ω con los voltajes y corrientes apropiados y si se sigue el mismo procedimiento para las demás ramas se tiene: V1  10 V1 V1  V2   0 1 5 2 V2  V1 V2  20 2 10 Re solviendo el sistema de ecuaciones tenemos V1  9.09 V V2  10.91 V

Una vez que se conoce los voltajes de nodo, se pueden calcular todas las corrientes de las ramas, los voltajes y las potencias de las ramas. Ejemplo. a) Use el método de voltajes de nodo del análisis del circuito para calcular las corrientes de las ramas Ia, Ib, Ic del circuito que se muestra en la figura (3.2) b) Calcular la potencia asociada en cada fuente, y especifique si la fuente esta entregando o absorbiendo potencia. 

50V

+ -

Ia

 Ib

Figura 3.2

50

Ic



3A



50V

+ -

 + 

V

1



3A

-

a) V1  50 V1 V1   3 0 5 10 40 Re solviendo para V1 V 1 40 V 50  40 2A 5 40 Ib  4A 10 40 Ic  1 A 40

 Ia 

b) la potencia asociada con la fuente de 50 V es. P50 V  50 * I a  50 * 2  100 W Entregando; P3 A  3 * V1  3 * 40  120 W Entregando verificamos que si la potencia entregada por la fuente de 220 V . sea igual a la potencia absorbida por las 3 resistenci as. PT  5 * 2 2  10 * 4 2  40 *12 PT  220 W

3.2 INTRODUCCION AL METODO DE CORRIENTES DE MALLA.

51



50V

+ -

I1



I2





 I3

 I4



Figura 3.3 En el circuito de la figura (3.3) contiene 7 ramas esenciales en el que se desconoce la corriente, y cuatro nodos esenciales. Por lo tanto para resolver usando el método de corrientes de malla debemos escribir cuatro ecuaciones de malla. N Mallas   be   ne  1  be  Numero de ramas esenciales ne  Numero de nodos N Mallas   7   4  1  N Mallas  4 mallas

Una corriente de malla es la corriente que existe solo en el perímetro de la malla. En un diagrama de circuitos aparece ya sea como líneas sólidas cerradas, o uno casi cerrada que sigue el perímetro de la malla apropiada. Nótese que por definición, las corrientes de malla satisfacen automáticamente la ley de las corrientes de kirchhoff. Esto es en cualquier nodo del circuito, una corriente de malla dada entra y deja el nodo a la vez. Podemos emplear el circuito de la figura (3.4) para mostrar la evolución de la técnica de corrientes de malla.

52

R

V

+ -

1

R

1

I1

R

2

Ic

3

+ -

I3

V

2

Figura 3.4 R

V

R

1

+ -

1

R

3

Ia

2

+ -

Ib

V

2

be  3 ne  2

Numero de mallas  be   ne  1

Numero de mallas  3   2  1 Numero de mallas  2 Especificamos que las ecuciones de malla seran

R

Pr opias

* I Pr opias   R Adyacentes * I Adyacentes   VPr opios

 R1  R3  * I a  R3 * I b  V1  R3 * I a   R2  R3  * I b  V2

Re solviendo este sistema podemos encontrar los valores de I a , I b donde la corriente es. I1  I a I2  Ib I3  Ia  Ib

Ejemplo. a) Use el método de corrientes de malla para determinar la potencia asociada con cada fuente de voltaje en el circuito de la figura (3.5). 





 +

40V

Ia



V

0

-

53

Ib



Ic

20V

Figura 3.5  Para calcular las potencias asociadas en cada fuente necesitamos conocer las corrientes en cada uno de estos .entonces determinemos el numero de mallas de corriente. Numero de mallas  be   ne  1 Numero de mallas  5   3  1 Numero de mallas  3 mallas

R

Pr opias

* I Pr opias   R Adyacentes * I Adyacentes   VPr opios

 2  8 * I a  8 * I b  0 * I c  40  8 * I a   6  6  8 * I b  6 * I c  0 0 * I a  6 * I b   6  4  * I c  20 10 * I a  8 * I b  0 * I c  40  8 * I a  20 * I b  6 * I c  0 0 * I a  6 * I b  10 * I c  20

Las tres corrientes de malla  son : I a  5.6 A Ib  2 A I c  0.8 A La corriente de la malla I a es identica a la corriente de rama en la fuente de 40 V . Así que la potencia asociada con esta fuente es. P40 V  40 * I a  40 * 5.6  224 W El signo ( ) significa que la fuente esta entregando potencia a la red P20 V  20 * I c  20 * ( 0.8)  16 W Tambien esta entregando potencia a la red .

3.3 TEOREMA DE THEVENIN Y NORTON. Los equivalentes Thévenin y Nórton son técnicas para la simplificación de circuitos que se enfocan en el comportamiento de terminales y por lo tanto son de invaluable ayuda en el análisis de circuitos. Podemos describir mejor un circuito equivalente Thévenin refriéndonos a la figura (3.6) que representa un circuito cualquiera compuesto de fuentes dependientes y resistores. Las letras a y b representan el par de terminales de interés. La figura (3.6b) muestra el equivalente de Thévenin. Así, un circuito equivalente de Thévenin es una fuente de 54

voltaje independiente VTh en serie con un resistor R Th, .que remplaza a una interconexión de fuentes y resistores. Esta combinación en serie de VTh y RTh es equivalente al circuito original en el sentido de que, si conectamos la misma carga a través de las terminales a, b de cada circuito, obtenemos los mismos voltajes y corrientes en las terminales de la carga. Esta equivalencia se cumple para todos los valores posibles de la resistencia de carga. Para representar al circuito original con su equivalente Thévenin, debemos ser capaces de determinar el voltaje Thévenin VTh y la resistencia de Thévenin RTh. Primero, observamos que si la resistencia de carga es infinitamente grande, tenemos una condición de circuito abierto. El voltaje de circuito abierto en las terminales a, b del circuito que se muestra en la figura (3.6b) es VTh. Por hipótesis, este debe ser el mismo que el voltaje del circuito abierto en las terminales a, b del circuito original. Por lo tanto, para calcular el voltaje de Thévenin VTh, simplemente calculamos el voltaje del circuito abierto del circuito original. R

Th

a Una red resistiva Una red resistiva que contiene que contiene fuentes fuentes dependientes dependientes

V

a

+ -

Th

b

b (a)

(b)

Figura 3.6 (a) Un circuito general. (b) El circuito equivalente de thévenin Al reducir la resistencia de carga a cero obtenemos una condición de corto circuito. Si colocamos un cortocircuito a través de las terminales a, b del circuito equivalente de Thévenin, la corriente de corto circuito dirigida de a hacia b es i SC 

VTh RTh

Por hipótesis, esta corriente de cortocircuito debe ser idéntica a la que existiría en un corto circuito a través de las terminales a, b de la red original. De la ecuación anterior.

55

RTh 

VTh i SC

Así la resistencia de Thévenin es la relación entre el voltaje de circuito abierto y la corriente de corto circuito. 

 + -

25V

+

+ 

V

3A

V ab

0

-

-

Figura 3.7 Un circuito empleado para ilustrar un Equivalente de Thévenin Para calcular el equivalente de Thévenin primero calculamos el voltaje del circuito abierto de Vab. Obsérvese que cuando las terminales a, b están abiertas no hay corriente en el resistor de 4Ω. Por lo tanto el voltaje del circuito abierto Vab es idéntico al voltaje a través de la fuente de corriente de 3 A, que se indica como V 0. Encontrando el voltaje V0 resolviendo una sola ecuación de voltaje de nodo. Seleccionando el nodo inferior como el nodo de referencia, obtenemos. V0  25 V0  3  0 5 20 Re solviendo para V0 se tiene V0  32 V

Por consiguiente el voltaje de Thévenin para el circuito es 32 V. El siguiente paso es colocar un corto circuito a través de las terminales y calcular la corriente de cortocircuito resultante. 



25V

+ -

a

+ 

3A

V

0

i SC -

b

56

Figura 3.8 El circuito que señala en la figura (3.7) con las terminales a y b en cortocircuito La figura 3.8 muestra el circuito con el corto circuito. Obsérvese que la corriente de corto circuito va en la dirección de la caída de voltaje de un circuito abierto entre las terminales a, b. Si la corriente de corto circuito va en la dirección del aumento de voltaje de un circuito abierto entre las terminales, debe colocarse un signo menos en la ecuación de corriente de corto circuito. La corriente de corto circuito (iSC) se encuentra fácilmente una vez que se conoce V0. por lo tanto el problema se reduce a calcular V0 con el corto circuito entre las terminales. De nuevo, si usamos el nodo inferior como el nodo de referencia la ecuación para v0 se convierte en. V0  25 V0 V  3 0  0 5 20 4 Re solviendo para V0 se tiene V0  16 V 16 4A 4 V 32  Th  8 i SC 4

i SC  RTh

En la figura 3.9 mostraremos el equivalente de Thévenin sustituyendo los resultados numéricos del voltaje de Thévenin y la resistencia de Thévenin.



32V

a

+ -

b Figura 3.9 El equivalente de Thévenin del circuito

57

Que se señala en la figura 3.8 3.4 EL EQUIVALENTE DE NORTON Un circuito equivalente de Norton consiste de una fuente de cortocircuito independiente en paralelo con la resistencia equivalente Norton. Podemos derivarlo del circuito equivalente de Thévenin haciendo simplemente una transformación de fuente. Por lo que la corriente de Norton es igual a la corriente de corto circuito entre las terminales de interés, y la resistencia Norton es idéntica a la resistencia Thévenin.

a 4A 

b Figura 3.10 Circuito equivalente de Norton 3.5 CIRCUITO EQUIVALENTE DELTA – ESTRELLA (PI O T). No podemos reducir los resistores interconectados de la figura 3.11 en un resistor único equivalente entre las terminales de la fuente de tensión si nos restringimos a los simples circuitos equivalentes, en serie o en paralelo que se presentaron en el capitulo anterior. Los resistores interconectados pueden reducirse a un único resistor equivalente por medio de un circuito equivalente delta – estrella (Δ – Υ) o pi – T.

R

R

1

Rm V

+ R

58

3

Rx

2

Figura 3.11 Una red resistiva Los resistores R1, R2 y Rm (o R3, Rm y Rx) en el circuito de la figura 3.11 se conoce como una interconexión delta (Δ) debido a que la interconexión se asemeja a una letra griega Δ. También se lo conoce como una interconexión pi (Π). Los resistores R1, Rm y R3 (o R2, Rm y Rx) en el circuito de la figura 3.11 se conoce como una interconexión en estrella (Υ) debido a que a la interconexión puede dársele una forma similar a la letra Y. También se le conoce como la interconexión (T). La equivalencia eléctrica de las configuraciones (Δ) y (Π) como de la configuración (Υ) y (T) se indican en las siguientes figuras.

a

b

Rc

Rb

Ra

c

Rc

a Rb

b

Ra

c

Figura 3.12 Configuración Δ vista como una configuración Π

59

a

b

R

1

R

R

2

a

R

R

1

R

3

2

b

3

c

c

Figura 3.13 Estructura Y vista como una estructura T

a

R b

a

b

Rc

b

R

Ra

1

R

2

c R

3

c Figura 3.14 Una transformación Δ – Y La manipulación algebraica directa para el equivalente de delta a estrella (Δ –Y) es la siguiente ecuación. R1 

Rb * Rc , Ra  Rb  Rc

R2 

Rc * Ra , Ra  Rb  Rc

R3 

Ra * Rb . Ra  Rb  Rc

Y al invertir la transformación de estrella a delta (Y –Δ) es la siguiente ecuación.

60

Ra 

R1 * R2  R2 * R3  R.3 * R1 , R1

Rb 

R1 * R2  R2 * R3  R.3 * R1 , R2

Rc 

R1 * R2  R2 * R3  R.3 * R1 . R3

Ejemplo. Determine la corriente y la potencia que suministra la fuente de 40 V en el circuito de la figura 3.16



+



 

40V





Figura 3.15 circuito para el ejemplo Es posible determinar con facilidad esta resistencia equivalente después de sustituir ya sea la Δ superior (100, 125, 25 Ώ) o la Δ inferior (40, 25, 37.5 Ώ) con su Y equivalente. Entonces se inicia el reemplazo con la Δ superior. Después de eso se calculan las tres resistencias Y, que están definidas en la figura 3.14.

61

R

100 * 125  50 , 250 125 * 25 R2   12.5 , 250 100 * 25 R3   10 . 250

1

R1 





R

R

3

2



Sustituyendo los resistores en configuración Y en el circuito que se muestra en la figura 3.16 se obtiene el circuito que se presenta en la figura 3.17.  

+





40V





Figura 3.16 una versión simplificada del circuito que Se muestra en la figura 3.15 A partir de esta ultima, posemos calcular fácilmente la resistencia de la fuente de 40 V por medio de simplificación serie paralelo. Requi  55 

62

50 * 50  80  50  50

+ 40V

-

i



Figura 3.18 El paso final en la simplificación del Circuito que se muestra en la figura 3.17 40  0.5 A Corriente que entrega 80 P  40 * 0.5  20 W De potencia que entrega al circuito

i

63