Apuntes de Diseño

 

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS

APUNTES DE LA ASIGNATURA DE MECATRÓNICA VII (DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS)

Realizó ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

 julio de 2005.

   Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

1 

 

 

Transmisiones Flexibles. Transmisión mediante poleas y bandas trapezoidales. Transmisiones Flexibles.

Poleas

 Bandas Cadenas Cables

Cubo o buje Corona Cuerpo

Fig. 1 Tipo de cuerpos en poleas pequeñas. Eficiencia en la transmisión por bandas. Planas o trapezoidales:  = (0.95 a 0.97) η  = en condiciones óptimas de operación.

 Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

2 

 

 b       a

R 

Fig. 2 Cuerpo comúnmente empleado en poleas de gran tamaño. 

VENTAJAS EN EL USO DE TRANSMISIONES CON BANDAS. PRIMERA: Pueden utilizarse para transmitir movimiento entre árboles cuyos ejes están separados distancias relativamente grandes y que pueden ser alteradas sin afectar el diseño de las poleas. SEGUNDA: Disminuyen el efecto de choque en la transmisión, sobre todo cuando hay  paros y arranques arranque s frecuentes. TERCERA: Amortiguan parcialmente las vibraciones. CUARTA: Tienen menor costo que otro tipo de transmisiones. QUINTA: Son de fácil recambio.

DESVENTAJAS: La relación de transmisión es constantemente variable debido a la elasticidad propia de los materiales empleados en la fabricación de bandas, razón por la cual, cuando se diseñe una transmisión deberá tomarse en cuenta esta ineficiencia a efecto de corregir los diámetros  para que la transmisión y su relación r elación tengan el valor deseado. deseado .

 Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

3 

 

FUERZAS INDUCIDAS EN UNA TRANSMISIÓN POR BANDAS. - ANÁLISIS PARA BANDA PLANA  T 1  = ½ F t t  +  + T 0 

(1)

T 2  = T 0  - ½ F t t  

(2)

despejando de ambas ecuaciones a T0  tenemos:  – ½ F t t  T 0 = T 1 –   T 0 = T 2+ ½ F t t    igualando las dos ecuaciones: T1 – ½ Ft = T2+ ½ F t     desarrollando y despejando a Ft :

α

α: Ángulo de envolvimiento

(a)

 F t = T 1 - T  2  fuerza que induce torsión en los árboles  F f  =  = T, + T  2

½ F t t  

T 0 

tramo flojo T 2 

T 0 

tramo flojo T 1

Motriz

 fuerza que induce flexión en los árboles  donde: T 1 = Tramo de mayor tensión T 2 = Tramo de menor tensión. F r  = f dF n 

  tomando equilibrio en plano horizontal:

½ F t t  

(b) ½ F t t  

½ F t t 

(T + dT) cos ½ d φ    = T cos ½ d φ   + f dF n φ = φ +

en el límite: cos ½ d φ   = 1   φ = (c)

Fig. 3 Esquema que muestra la diferencia de las tensiones en una banda y el comportamiento de las fuerzas.  T 1  T 2 T 1+ T 2 = Fuerza de atracción entre poleas       Apuntes de MECATRÓNICA VII 4   ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

 

φ  (v φ  F c= m a = (w/g)r d φ  (v2 /r) = (wv2 /g) d φ 

Fr= fuerza de rozamiento ½ d φ

½ d φ  φ 

dFn

T  T+dT  

d φφ  

 R

Fig. 4. Influencia que ejerce la fuerza centrífuga sobre el diferencial de banda.    por lo tanto:

dT = f dF n

dF   = n

dT 

O

 

 f 

tomando ahora equilibrio en plano vertical: (T + dT) sen ½ d φ    + T sen ½ d φ   = dF n + (wv2 /g ) d φ  φ + φ = φ   = ½ d φ  en el límite: sen ½ d φ  φ = φ  rad y las diferenciales de segundo orden se cancelan: 2 2T sen ½ d φ    + dT sen ½ d φ  φ  φ + φ = (dT / f) + (wv   /g) d φ  2 2Tsen ½ d φ  φ  = (dT / f) + (wv  /g ) d φ  φ 

agrupando diferenciales en cada miembro:  fd φ  =

dT    ⎛  wv 2 ⎞ ⎜⎜ T − ⎟⎟ g ⎝   ⎠

integrando: α 

T 1

dT    2 ⎛   ⎞ wv T 2 ⎜⎜ T  − ⎟ g  ⎠⎟ ⎝ 

∫  fd φ  = ∫ 0

   Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

5 

 

⎡ T   − wv ⎤ ⎥ g ⎣ ⎦ 2

T 1

 f α  = ln ⎢

  T 2

wv 2 wv 2 α =  = ln (T 1 - g ) - ln (T 2  - g )   f α 

⎡ T  − wv ⎢ g  f α  = ln ⎢ ⎢ T  − wv ⎢⎣ g

2

1

2

2

⎤ ⎥ ⎥  ⎥ ⎥⎦

sacando antilogaritmo:

⎡ T  − wv ⎢ g =⎢ ⎢ T  − wv ⎢⎣ g

2

1

e f α 

2

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

 

donde:  f   = fricción = coeficiente  f= (0.3 de a 0.35)   según tipo de material.  e = base de logaritmos neperianos - 2.7182 a = ángulo de abrazamiento polea menor (rad). w = peso unitario de la banda (Kg/m) v = velocidad lineal de la banda (m/s) g = aceleración de la gravedad (m/s2) 

 ANÁLISIS PARA BANDA TRAPEZOIDAL.  F n  sen ½ β  

   Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

6 

 

diferenciando: dF n  sen ½ β    Nota: la deducción de las ecuaciones ecua ciones es la misma hasta:   dT = f dF n 

despejando dFn: dFn = dT / f

 para banda V: dF n = (dT (sen ½ β ) / f)

equilibrio de fuerzas verticales: (T+dT) sen ½ d φ    + T sen ½ d φ = dF n  sen ½ d  β + (wv2 /g) d φ  φ + φ   = ½ d φ  en el límite: sen ½ d φ  φ = φ  rad, y los diferenciales de segundo orden se cancelan. 2T sen ½ d φ    + d T sen ½ d φ   + (wv2 /g) d φ φ + φ = (dT / f) sen ½ d   β  + 2T ( ½ d φ ) = ( dT / f) sen ½ d  β  +  + (wv2 /g) d φ  φ    = (dT / f) sen ½ d  β T d φ   - (wv2 /g) d φ  φ = φ (f / sen ½ d  β ) d φ   = dT/(T - wv2 /g) φ =

integrando: T 1 dT  ⎛   f   ⎞ α    ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ∫ d φ  = ∫   T 2 T  − wv 2 ⎝ sen 2 β  ⎠ 0

g

T 1

⎛ T   − wv 2 ⎞  f α  ⎟⎟   = ln⎜⎜ sen 12 β  g ⎝   ⎠T 2 ⎛ T  1 − wv 2 ⎞ ⎛ T  2 − wv 2 ⎞  f α  ⎜ ⎟ = ln⎜ ⎟ − ln⎜⎜ g ⎟⎟   sen 1 2 β  g ⎝   ⎠ ⎝   ⎠    Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

7 

 

⎛ T 1 − wv 2  ⎞ ⎜ ⎟  f α  g ⎟ = ln⎜⎜ 2 ⎟  1 T  − wv sen 2 β  ⎜ 2 ⎟ ⎝  g  ⎠ sacando antilogaritmo:

e

⎛   f α   ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ sen 1 2 β  ⎠

⎛ T 1 − wv 2  ⎞ ⎜ ⎟ g ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟  T  − wv ⎜ 2 ⎟ ⎝  g  ⎠

que es la ecuación que nos da la relación de tensiones en la banda. donde:  f = coeficiente de fricción según tipo de material. ma terial.   f= (0.3 a 0.35)   e = base de logaritmos neperianos = 2.7182 φ =  ángulo de abrazamiento polea menor (rad). w = peso unitario de la banda (Kg/m) v = velocidad lineal de la banda (m/s) g = aceleración de la gravedad (m/s2)  β   = = ángulo de la sección de la banda.

 EJEMPLO: MOTOR 4 POLOS 

determinar tipo y potencia del motor y la fuerza F  f   en el árbol A. 

φ  =  = 100  ρ = 2.91

φ  =  = 291

Máquina conducida  Mt = 12000 Kg mm  n = 600 rpm

   Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

8 

 

de la ecuación: 

 N M t  = 716200    n despejamos a N: 

 N cons =   N cons = 

Mt n   716200

(12000 )(600) 716200

 

 N cons cons  = 10.05 C.P. calculando la potencia suministrada:   N sum = N cons cons / η   poleas    N ssum um = 10.05/0.95  N ssum um = 10. 58 C.P.   De catálogo tomamos el motor de potencia inmediata superior, s uperior, ya que este valor no es un valor comercial.  N nom nom = l2 C. P.  calculando ahora el momento de torsión a la salida del motor:    M t  = 716200 (10.58 /1800) = 4209 Kg-mm la fuerza tangencial en la polea menor: F t t  =  = 2M t t   /d /d = 2(4209)/ 100 = 84.18 Kg  pero la fuerza tangencial es igual a: F t t  =  = T 1 -T 2 = 84.18 Kg    Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

9 

 

la relación de tensiones es igual a: (T, /T 2 )=3  por lo tanto  T 1 = 3 T 2  sustituyendo en la ecuación de la fuerza tangencial: 3T 2 -T 2 =84.18 2T 2 =84.18 T 2 =42.09Kg entonces:  T 1  = 3T 2 T 1  = 3 (42.09) T 1 = 126.27 Kg teniendo el valor de las dos tensiones calculamos la fuerza de flexión en el árbol A: F  f  =  = T 1 + T 2 F  f  =-42.09  =-42.09 + 126.27 F  f  = 168.36 Kg

ESQUEMA BANDAS TRAPEZOIDALES (TRUFLEX).DE CÁLCULO PARA LA SELECCIÓN DE3/8 “ Tamaños en base a la sección:   X 10x6 (3/8" x 1/4")   A 13x8 (1/2" x 5/16)   B 17x11 (11/16" x 7/16") C 22x14 (7/8"x 9/16")  D 32x 19 (1 >/ 4"x3 /4")  E 38x25 (1 '/," x 1") F 51x30 (2"x 13/16")

¼ “  tipo X (10x6) 

PARÁMETROS INVOLUCRADOS:    Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

10 

 

 N ssum um  N  N t  N c  k  ,ρ    I a  I c d e n1 n2  d  D  L  Lc v

Potencia suministrada  Potencia de cálculo  Potencia transmitida  Potencia corregida.   Relación de velocidad.   Distancia entre ejes aproximada    Distancia entre ejes corregida   diámetro primitivo eficaz de polea menor    Número de RPM polea rápida.    Número de RPM polea lenta.   Diámetro primitivo polea menor   Diámetro primitivo polea mayor   Longitud calculada de la banda    Longitud corregida de la banda   Velocidad periférica de la banda. 

PASOS A SEGUIR: 1.- Determinar la Potencia de cálculo, que es la potencia suministrada corregida por  factores de servicio.  N =  N ssum um  C s  F   f donde: C s = Coeficiente o factor de servicio (TABLA 1). F  f   = Factor de funcionamiento (TABLA 2).  2.- Seleccionar el tipo de banda (TABLA 3).  3.- Determinar la relación de velocidad (que no es la relación de transmisión)  k = n1 /n2  = ó > 1  4.- Determinar el diámetro primitivo de la polea menor d (TABLA 4) de acuerdo con el tipo de banda seleccionada.  5.- Determinar el diámetro de la polea mayor.    D= ρ   d  d   6.- Determinar la velocidad de la banda.  v = (π d n1 )/ 60 = (π D n2 )/ 60  7.- Determinar la distancia entre ejes aproximada.    Apuntes de MECATRÓNICA VII  ING. JUAN ROBERTO RODRÍGUEZ BELLO

11 

 

 I a = (( D + d) / 2) + d

(cuando ρ  <  < 3) 

 I a = D

( cuando ρ  >  > ó = 3)

8.- Determinar la longitud de la banda.  L = 2I a + 1.57(D+d) + (D - d)2 / 4 I a  9.- Comparar con las longitudes comerciales y corregir hacia arriba o hacia abajo para obtener Lc de la banda según Catálogo. 10.- Corregir la distancia entre centros. Para:

(Lc - L)   2

 Lc >L

Ic = Ia  + 

 Lc