Apuntes de Clase - Modelos de Transporte-Asignación-Transbordo

1. Modelos de Transporte, Asignación y Transbordo Transbordo Los problemas de transporte, asignación y transbordo corresponden a una clase especial de problemas de  programación lineal conocida como como problemas de flujo de red. Estos problemas tienen una estructura matemática que ha permitido que los científicos de la administración desarrollen para su solución eficientes procedimientos especializados; como resultado, incluso problemas grandes pueden resolver con apenas unos cuantos segundo de tiempo de computadora.

1.1 Modelo de Transporte

EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL El problema de transporte  frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones hacia varas ubicaciones de la demanda. Típicamente, la cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (Destino) es conocida. Por lo general, en un problema de transporte, el objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos. Ilustremos lo anterior, considerando un problema de transporte al que se enfrenta la corporación XYZ. Este problema involucra el transporte de un producto desde tres plantas hasta cuatro centros de distribución. XYZ tiene plantas en Quito, Lima y Santiago. La capacidad de producción para el siguiente período de tres meses de planeación para un tipo específico de generador es como sigue:

Origen

Planta

1 2 3

Quito Lima Santiago Total

Capacidad de producción de tres meses (unidades) 5 000 6 000 2 500 13 500

La empresa distribuye sus generadores a través de cuatro regionales de distribución, localizados en Buenos Aires, Río de Janeiro, Bogotá y Caracas; el pronóstico de la demanda de tres meses de los centros de distribución es como sigue: Pronóstico de demanda Destino Mercado a tres meses (unidades) 1 Buenos Aires 6 000 2 Río de Janeiro 4 000 3 Bogotá 2 000 4 Caracas 1 500 Total 13 500 La administración desearía determinar cuánto de su producción deberá embarcarse desde cada una de las plantas hasta cada uno de los centros de distribución. La figura siguiente muestra de manera gráfica las 12 rutas de distribución que XYZ puede utilizar. Esta gráfica se conoce como una red; los círculos son los nodos y las líneas que los conectan, los arcos. Cada origen y destino queda

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representado por un nodo y cada ruta de embarque posible por un arco. La oferta o suministro se escribe al lado de cada nodo origen y la demanda se escribe al lado de cada nodo destino.

Representación en Red del problema de transporte de XYZ

Los bienes embarcados de los orígenes hacia los destinos representan el flujo en la red. Note que la dirección de flujo (de origen a destino) queda representada por las flechas. Para el problema de transporte de XYZ, el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas, y que den el mínimo costo de transporte total. El costo de cada unidad embarcada en cada una de las rutas aparece en la tabla siguiente y se muestra en cada uno de los arcos de la figura anterior.

Buenos Río de Aires Janeiro Bogotá Caracas Quito 3 2 7 6 Lima 7 5 2 3 Santiago 2 5 4 5 Para resolver este problema de transporte se puede utilizar un modelo de programación lineal. Utilizaremos variables de decisión con dobles subíndices, indicando con X11 el número de unidades que se embarcan del origen 1 (Quito) al destino 1 (Buenos Aires), con X12 el número de unidades embarcadas del origen 1 (Quito) al destino 2 (Río de Janeiro), y así sucesivamente. En general, para un problema de transporte con m orígenes y n destinos, las variables de decisión se escriben como sigue: xij=número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j Donde i = 1,2,…,m y j = 1,2,…,n En vista de que el objetivo del problema de transporte es minimizar el costo total del transporte, podemos utilizar, para desarrollar las siguientes expresiones de costo, los datos de costo de la tabla anterior o que aparecen sobre los arcos de la Red anterior. Costo de transporte para unidades embarcadas desde Quito = 3x 11 + 2x12 + 7x13 + 6x14 Ing. Efraín Murillo Msc.

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Costo de transporte para unidades embarcadas desde Lima = 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 Costo de transporte para unidades embarcadas desde Santiago = 2x 31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 La suma de estas expresiones nos da la función objetivo que nos muestra el costo total de transporte de XYZ. Los problemas de transporte necesitan restricciones, dado que cada uno de los orígenes tiene un suministro limitado y cada destino tiene una demanda específica. Veremos que en primer término las restricciones de suministro. La capacidad de la planta de Quito es de 5 000 unidades. Con el número total de unidades que se embarcan desde la planta de Quito expresado de la forma x11+x12+x13+x14, la restricción de suministro de la planta de Quito será: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 Suministro de Quito Con tres orígenes (plantas), el problema de transporte de Foster tiene tres restricciones de suministro. Dada la capacidad de 6 000 unidades en la planta de Lima y de 2500 unidades en Santiago, las dos restricciones de suministro adicionales son: x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 5 000 Suministro de Lima x31 + x32+ x33 + x34 ≤ 5 000 Suministro de Santiago Con los cuatro centros de distribución como destino se requiere de cuatro restricciones de demanda para asegurar que se satisfarán las demandas en los destinos: x11 + x21 + x31 = 6 000 Demanda de Buenos Aires x12 + x22 + x32 = 4 000 Demanda de Río de Janeiro x13 + x23 + x33 = 2 000 Demanda de Bogotá x14 + x24 + x34 = 1 500 Demanda de Caracas Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo, obtenemos una formulación de programación lineal, con 12 variables y siete restricciones del problema de transporte de XYZ: Min. 3x11 + 2x12+ 7x13 + 6x14 + 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24 + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34 Sujeto a x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 6000 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 2500 x11 + x21 + x31 = 6000 x12 + x22 + x32 = 4000 x13 + x23 + x33  =2000 x14 + x24 + x34 =1500 xij ≥ 0 para i = 1,2,3 y j = 1,2,3,4 Comparando la formulación de programación lineal con la figura de la Red de este problema nos lleva a varias observaciones. Toda la información necesaria para la formulación de la programación lineal aparece en la red. Cada nodo tiene una restricción y cada arco tiene una variable. La suma de las variables correspondientes a los arcos desde el nodo origen debe ser menor que o igual al suministro de dicho origen, y la suma de las variables que corresponden a los arcos que llegan a un nodo destino debe ser igual a la demanda de dicho destino.

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Solución de Lindo 6.0 al problema de transporte de XYZ

Resolvimos el problema de XYZ utilizando el software LINDO 6.0. La solución por computadora mostrada en el cuadro siguiente muestra que el costo total de transporte mínimo es de 39 500 dólares. Los valores de las variables de decisión muestran los valores óptimos a embarcar en cada ruta. Por ejemplo, con x11 = 3500, deberán embarcarse 3500 unidades de Quito hacia Buenos Aires, y con x12 = 1500, deberán embarcarse 1500 unidades de Quito a Río de Janeiro. Otros valores de las variables de decisión indican las cantidades y rutas de los embarques restantes La siguiente tabla muestra el programa de transporte de costo mínimo y la figura resume la solución óptima en la red.

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Variantes al problema El problema de XYZ ilustra el uso del modelo de trasporte básico. Las variantes al problema de transporte básico pueden implicar una o más de las siguientes situaciones: 1. 2. 3. 4.

Oferta o suministro total no igual a la demanda total Maximización de la función objetivo Rutas con capacidad limitada Rutas no aceptables

Con ligeras modificaciones en el modelo de programación lineal estas situaciones se pueden tomar en cuenta fácilmente.

Suministro total no igual a la demanda total.  A menudo el suministro total  no es igual a la demanda total . Si el suministro total es mayor a la demanda total, no es necesaria ninguna modificación a la formulación de la programación lineal. Aparecerá en la solución de la programación lineal un suministro excedente, como una holgura. La holgura correspondiente a cualquier origen en particular se puede interpretar como suministro u oferta sin utilizar, es decir, una cantidad que no se ha embarcado desde el origen. Si el suministro total es inferior a la demanda total, el modelo de programación lineal de un problema de transporte no tendrá una solución factible. En este caso, se intercambia la dirección de las restricciones, así las restricciones de oferta serán del tipo igual y las de demanda del tipo menor o igual. En este caso quedarán destinos no satisfechos en sus requerimientos.

Función objetivo de maximización.

En algunos problemas de transporte, el objetivo es encontrar una solución que maximice la utilidad o los ingresos. Empleando valores de la utilidad o de ingresos unitarios como coeficientes de la función objetivo, simplemente resolvemos un programa lineal de maximización en vez de uno de minimización. Este cambio no afecta a las restricciones.

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Rutas con capacidad limitada.

La formulación de programación lineal del problema de transporte también puede tomar en consideración capacidades o cantidades mínimas para una o más de las rutas. Por ejemplo, suponga que en el problema de XYZ, la ruta Santiago-Buenos Aires (del origen 3 al destino 1) tiene una capacidad de 1000 unidades debido a la disponibilidad limitada de espacio en su modo de transporte normal. Siendo x31 las cantidades embarcadas de Santiago hasta Buenos Aires, la restricción por capacidad de la ruta Santiago-Buenos Aires sería: x31 ≤ 1000 De manera similar, se pueden definir montos mínimos de ruta. Por ejemplo x22 ≥ 2000 Garantizaría que un pedido, previamente comprometido, para entregar por lo menos 2000 unidades desde Lima a Río de Janeiro se conservaría dentro de la solución óptima.

Rutas no aceptables. Finalmente, quizás no pueda ser aceptable establecer una ruta desde cualquiera de los orígenes hasta cualquiera de los destinos. A fin de manejar esta situación simplemente hacemos desaparecer el arco correspondiente de la red y eliminamos la variable correspondiente en la formulación de la programación lineal. Por ejemplo, si la ruta Lima-Caracas fuera inaceptable o no utilizable, se eliminaría el arco Lima a Caracas de la red respectiva y x24 podría eliminarse de la formulación de programación lineal. La resolución del modelo resultante, con 11 variables y 7 restricciones, nos daría la solución óptima, garantizando al mismo tiempo que la ruta Lima-Caracas no se utilizaría.

Un Modelo general de programación lineal para el problema de transporte. Para mostrar el modelo general de programación lineal del problema de transporte, utilizamos las siguientes notaciones: i = índice de los orígenes, i =1,2,…,m  j = índice para los destinos, j =1,2,…,n  x ij = número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j  c ij =Costo unitario de embarcar del origen i al destino j si = Suministro o capacidad en unidades en el origen i  d  j = Demanda en unidades en el destino j  El modelo general de programación lineal para un problema de transporte, con m  orígenes y n destinos, es m

 Min  i 1

n

 cij xij   j 1

n

 x

ij

Sujeto a:

 si i = 1,2,…,m  Suministro

  j 1

m

 xij  dj

 j = 1,2,…, n Demanda

i 1

 xij

0

para todas las i  y j Como se mencionó con anterioridad, podemos agregar restricciones adicionales de la forma  xij  Lij , si la ruta del origen i  al destino j tiene una capacidad Lij . Un problema de transporte que incluya restricciones de este tipo se conoce como un problema de transporte con capacidades. De

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manera similar, podemos agregar restricciones mínimas de ruta de la forma xij ≥ Mij , si la ruta del origen i  al destino j  debe manejar por lo menos Mij  unidades.

EJEMPLO Nro 2: Una compañía tiene dos sucursales. Una ubicada en Camaná que puede producir 3000 docenas de cajas y los costos de enviar cada docena de cajas a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 5, 8, 3 y 6 dólares respectivamente, la sucursal de Mollendo puede producir 4000 docenas de cajas y los costos de enviar a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 6, 2, 4 y 5 dólares respectivamente, la fábrica principal ubicada en la ciudad de Arequipa puede producir 5000 docenas de cajas y los costos de enviar a las ciudades de Cuzco, Tacna, Moquegua y Puno son de 4, 5, 7 y 4 dólares respectivamente. Los consumos para las cuatro ciudades son de 2500, 1500, 4500 y 3500 docenas de cajas respectivamente. Determinar el mínimo costo de transporte desde los centros de abastecimientos a los consumidores. SOLUCIÓN El problema del caso estudio puede ser representado gráficamente del modo siguiente:

Los datos y variables incógnitas quo representan al problema podemos representarlos en la gráfica siguiente:

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Ordenando los datos en la matriz del problema del transporte obtenemos la Matriz de Transporte siguiente:

Como se puede observar en el cuadro anterior las variables incógnitas o de decisión del problema están determinados por Xij (docenas de cajas a transportarse desde la fábrica "i" a la ciudad consumidora "j") y los valores conocidos están determinados por Cij (costo de trasladar una docena de cajas de la fábrica "i" a la ciudad "j"), así como la oferta de docenas de cajas (ai) que producen cada una de las fábricas "i" y la cantidad de demanda requerida por cada ciudad "j" (bj).

SOLUCIÓN APLICANDO PROGRAMACIÓN LINEAL Formulamos el modelo matemático respectivo (observe que la demanda total es igual a la oferta total): Min 5X11+8X12+3X13+6X14+4X21+5X22+7X23+4X24+6X31+2X32+4X33+5X34 ST Restricciones de Oferta: X11+X12+X13+X14= 3000 (capacidad de producción de Camaná) X21+X22+X23+X24= 5000 (capacidad de producción de Arequipa) X31+X32+X33+X34= 4000 (capacidad de producción de Mollendo) Restricciones de Demanda: X11+X21+X31=2500 (demanda de Cusco) X12+X22+X32=1500 (demanda de Tacna) X13+X23+X33= 4500 (demanda de Moquegua) X14+X24+X34= 3500 (demanda de Puno) Restricciones de no negatividad: Xij≥0

Utilizando el LINDO tenemos la siguiente salida:

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Interpretación: Se observa que el algoritmo Simplex ha utilizado 6 iteraciones para llegar a la solución óptima. El costo total de envío es de 43000 dólares y el plan de transporte es el siguiente: De la Fábrica 1 (Camaná) se deberá enviar 3000 docenas de cajas al cliente 3 (Moquegua) De la Fábrica 2 (Arequipa) se deberá enviar 2500 docenas de cajas al cliente 1 (Cusco) De la Fábrica 2 (Arequipa) se deberá enviar 2500 docenas de cajas al cliente 4 (Puno) De la Fábrica 3 (Mollendo) se deberá enviar 1500 docenas de cajas al cliente 2 (Tacna) De la Fábrica 3 (Mollendo) se deberá enviar 1500 docenas de cajas al cliente 3 (Moquegua) De la Fábrica 3 (Mollendo) se deberá enviar 1000 docenas de cajas al cliente 4 (Puno) Los Slack or Surplus con valor cero indican que las demandas y ofertas han sido agotadas. Los costos reducidos indican que por ejemplo para que se justifique el envío de la fábrica 1 (Camaná) al cliente 2 (Tacna), el costo unitario de transporte por docena deberá mejorar (disminuir) en 7 dólares.

SOLUCIÓN APLICANDO REDES DE OPTIMIZACIÓN DEL WINQSB Utilizando el módulo Network Modeling  del WinQSB, ingresamos con File/New Problem, y nos presenta la siguiente ventana:

Existen 7 modelos fundamentales para el tratamiento de los problemas que involucran redes con el fin de optimizar el uso de algún recurso, generalmente tratándose de la minimización de costos, tiempo o la maximización del flujo a través de una red. Estos modelos son: • Flujo en redes o modelo de trasbordo (N e t w o r k F l o w  ) • Problema de transporte (Transportatio n Problem ) • Problema de asignación (A s s i g n m e n t P r o b l em  )

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• Problema de la ruta más corta (Shortest Path Problem ) • Problema de flujo máximo (M a x i m a l F l o w P r o b l e m  ) ) • Árbol de mínima expansión (Minimal Spanning Tree  • Problema del agente viajero (Traveling Salesman Problem )

Ingresamos con la opción T ransportation Problem:  La función objetivo (Objetive Criterion), Minimización. El formato de entrada de datos ( Data Entry Format ) en forma matricial. El número de Orígenes (Number of Sources), 3. El número de destinos (Number of Destinations ), 4.

 Al hacer clic en OK, aparece la tabla siguiente de entrada de datos:

Para modificar los nombres de los nodos pulsamos sobre Node Modifiquemos dichos nombre como se muestra a continuación:

Name

en el menú

Editar

(Edit ).

Luego ingresamos los costos unitarios, así como las ofertas ( Supply ) de cada fábrica y las demandas (Demand ) de cada cliente.

Como paso previo a la solución debe escogerse el método mediante el cual se determina la solución básica inicial (recuérdese que los métodos asociados con el transporte sólo se diferencian en la forma como se obtiene la solución básica inicial). La manera de resolver el problema es idéntica a la del simplex, pudiéndose resolver directamente o por pasos.

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Mediante la opción del menú Solve and Analyze/Select Initial Solution Method, escogemos el método de solución inicial. En este caso se ha escogido el método de la columna mínima.

Presionamos Solve o en su defecto ingresamos por el menú con la opción Solve and Analyze/Solve the Problem.

Obtenemos la misma solución que obtuvimos utilizando el software Lindo.  A continuación se muestran dos resúmenes de los que permite este módulo, para realizar el análisis de sensibilidad: La primera tabla mediante la opción del menú Results/Range of Optimality , nos muestra, entre otros, el estado de las variables (básicas o no básicas); esto es, si la solución indica que un tramo ( i,j ) debe realizarse o no; también enseña los costos reducidos, que tienen igual interpretación que en programación lineal. Las dos últimas columnas señalan los máximos y mínimos costos permitidos en un tramo de transporte; esto equivale al análisis de coeficientes de costos de la programación lineal.

De la segunda tabla obtenida mediante la opción del menú Results/Range of Feasibility, cabe destacar los precios duales y los máximos y mínimos permitidos para las restricciones que se interpretan igual que en programación lineal.

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EJEMPLO Nro 3: La Cía. Cervecera de Arequipa quiere planear su producción del primer semestre del 2008. Un estudio de mercado proyecta la demanda regional de cerveza siguiente: Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Demanda (Toneladas) 30 40 50 30 40 30 La capacidad de producción de la planta para satisfacer dicha demanda es de 50 toneladas mensuales. Dado que en el mes de Marzo gran parte del personal de producción sale de vacaciones, la capacidad de la planta se reduce a 20 toneladas. La empresa puede producir y almacenar en cualquier mes para satisfacer demandas futuras. Los costos de producción y almacenamiento se dan en la tabla siguiente (en decenas de soles/tonelada):

a) Determinar utilizando el WinQsb con la opción Network Modeling, el plan de producción mensual para satisfacer la demanda al menor costo de producción y almacenamiento? b) Indicar el costo total óptimo para la empresa. c) Indicar la capacidad ociosa de la planta en cada uno de los seis meses. d) Suponiendo que se obliga agotar la capacidad de producción del mes de Abril, construya el modelo matemático que permita determinar el plan de producción mensual. e) Utilizando el Lindo o WinQSB, determine el plan de producción mensual, el costo total y la capacidad ociosa mensual de la planta.

SOLUCIÓN a) Ingresamos la información de la siguiente manera:

La salida del WinQSB es la siguiente:

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Por lo tanto el Plan de Producción es: Enero: 50 toneladas Febrero: 50 toneladas Marzo: 20 toneladas  Abril: 30 toneladas Mayo: 40 toneladas Junio: 30 toneladas b) El costo óptimo para la empresa es 449 000 soles. c) La capacidad ociosa es: en Abril 20 toneladas, en Mayo 10 toneladas y en Junio 20 toneladas. d) El modelo matemático respectivo es: Min

200x11+210x12+220x13+230x14+240x15+250x16+ 200x22+210x23+220x24+230x25+240x26+ 220x33+240x34+260x35+280x36+ 200x44+210x45+220x46+ 200x55+210x56+ 200x66

St x11+x12+x13+x14+x15+x16