Apunte PUCV - Calculo Real y Vectorial en Varias Variables (Carlos Martinez)

,

Indice General 1 1

2

3

4

7

Cálculo diferencial Espacios euclidianos 1.1 &pacios vectoriales de dimensión finita 1.2 Norma y distancia . . . . . . . .. 1.3 Producto interior y ortogonalidad. 1.4 La desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.5 Propiedades de la norma . 1.6 El producto vectorial 1. 7 Problemas.........

9 9

10

13 18 20 20 22

Funciones de dos o más variables 2.1 Funciones reales y vectoriales 2.2 Rectas en el espacio JR3 2.3 Planos en el espacio 1K 3 2.4 Gráficas en el plano 2.5 Superficies.... 2.6 Otras superficies. . 2.7 Curvas de nivel . . 2.8 Superficies de nivel 2.9 Problemas.....

27 27 30 32 34

Elementos de topología 3,1 Vecindades y conjuntos abi~rtos . . . . . . . . 3.2 Puntos de acumulación y conJunt.os cerrados. 3.3 Regiones.. 3.4 Sucesiones. 3.5 Problemas.

49

Límites y continuidad 4.1 Nociones básicas .. 4.2 Una condición necesaria 4.3 Algebra de límites. 4.4 Límites iterados . 4.5 Continuidad...

65 65

36 39 41 44 46

49

52 56 58 61

71

74 75 77 3

ÍNDICE GENERAL

4

4.6 ·1.7 4.8

Derivadas parciales 5.1 Nociones básicas 5.2 Interpretación geométrica . . . .5.:3 Derivadas parcié,les de orden superior. 5.4 Fórmula de Taylor en varias variables .5.5 lVláxímos y Mínimos 5.6 Criterio del hessiano 5.7 Problemas

5

6

7

AIgebra de funciones continua.s. Clases de funciones cominua" Problemas

DiferenciabiUdad 6,1 Derivada, diferencial y diferenciabilidad 6.2 Interpretaciones geométricas. 6,2.1 De la diferencial . . . . 6.2.2 De la difereneiabilidad . 6.3 Diferenciabilidad y continuidad 6.4 Funciones vectoriales diferenciables 6.5 Funciones clase Cn(G) 6.6 Problemas. Algebra de derivadas 7.1 Derivada de la suma, producto y cuociente . 7.2 La regla de la cadena,. ., . . . . 7.3 Gradiente , . . . . . , . . . . '. ,,7.4 El gradiente y la;; superficies de nivel 7.5 Derivada direccional /7.6 Problemas ..

8

9

II

81 81 85

91 91 93 93

98 101 104

111 115

115 118 118 119 122 123

125 129 133 133

135 138 139 141 143

Funciones implícitas e inversas 8.1 Funciones implícitas . . . , , 8.2 Funcíones ínversas . 8.3 Multiplicadores de Lagrange . 8.4 Problemas . . , . . . . . . .

147

Cálculo de variaciones 9.1 El método de las variaciones .

177 . 180

Cálculo Integral

10 La Integral múltiple de Riemann 10.1 Integración sobre rectángulot> lO.2 Integracíón sobre regiones acotadas , 10.3 El teorema ,le Fubíni en rect.ángulos

147

156 162 170

183 185 185 187

190

íNDICE GENERAL 10.4 El teorema de Fubini en regíones acotadas 10.5 Descripción de regiones en ;¡¡;2 y jR3 10.6 Cambio de variables 10.6.1 Coordenadas esférica>, 10.6.2 Coordenadas cilíndricas 10.6.3 Coordenadas polares 10.6.'1 Otros cambios de vari&bles 10.7 Centroidf'B y momentos de inercia. 10.8 Integrales impropias 10.9 Problemas

III

Cálculo vectorial

5 194 196

201 203 207 208 209

211 217

220

223

11 Integrales de línea 11.1 Curvas y definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Campos vectoriales conservativos e independencia del camino 11.3 Función potencial . . . . . . . . . . . . 11.4 El Teorema de Creen en el Plano .. . 11.5 Dominios pianos simplemente conexos 11.6 Las identidades de Creen . . . . . . . 11. 7 Forma vectorial del teorema de Green 11.8 Regiones multiconexas . 11.9 Integrales de trayectoria 11.10Problemas .. , . , . ,

225 225 232

12 Integrales de superficie 12.1 Definiciones básicas, 12.2 Teorema de la Divergencia de Gauss 12.3 Teorema del rotacional de Stokes 12.4 Campos conservati'/os en ]R3, 12.5 Problemas

247 247 253

13 Certámenes 13.1 Ejemplos de Certámenes 13.2 Ejemplos de Problemas de Certámeneb 13.2.1 Miscelánea . . . . . . . . . . 13.2.2 Límites . . . . . 13.2.3 Derivadas y planos tangentes 13.2.4 Taylor . . . . . . . . 13.2..'5 Funciones Implícitas 13.2.6 Máximos y Mínimos 13.2.7 Integración múltiple 13.2.8 Integrales de línea y superficies

259

14 Respuestas a Problemas Seleccionados

315

232 233 238 239 241 241 243 245

254 255 256

259 263 263 268 269 280 284 285

293 304

ÍNDICE GENERAL

6

Prefacio Este texto está dirip;ido a aquellos estudiar;tes de ciencias e ingeniería que necesitan dominar. en un semestre. el cálculo en varias variables, incluyendo la sección que usualmente recibe el nombre de cálculo vectorial constituido por integrales múltiples, integrales de línea e integrales de superficie y cuyos principales resultados son los teoremas de Green, Gauss y Stokes, En esta segunda edición se aumentó el número de problemas, se agregó una sección de respuest.as y un índice temátíco. Para t.erminar esta pequeña pr(;'''3entaci6n deseo agradecer la confianza y colaboración de todos aquellos colegas que han usado este texto en sus respectivas aulas y en especial a todos mis alumnos que se dedícaron a estudiar el texto y tuvieron la gentileza de informarme sobre los errores encontrados, sobre los cuales, al menos tengo la seguridad que esta segunda edición tiene menos que la anterior, Finalmente, como siempre, deseo también expresar mis agradecimientos al Sr. Sergio Díaz Henriquez, encargado del sistema de reprografías de nuestro Instituto.

Valparaíso, Agosto 2002.

El autor

Parte 1

Cálculo diferencial

..,,

Capítulo 1.

Espacios euclidianos La idea de distancia en ~71 es un concepto fundamental, te,nto para el estudio de las propiedades geométricas de lR n así como también para el estudio del cálculo ya que íos conc.~ptos básicos relacionados eOIl e,;ta materia, conceptos tales como límites, continuidad, diferenciabilidad, integmbilídad, etc, de una u otra manera están relaci.onaclos con la nociÓn de distancia (al menos en el espacio ]Rn). Comenzaremos definiendo en primer lugar el espa~io usual sobre el cual trabajaremos, esto es el espacio vectorial]RTI, cuyos elementos los denominaremos usualmente ve,~tores. Luego definiremos dos nociones básicas que se relacionan con estos vectores: la no'rma de un vrctor y el producto interi.or entre vectores. Finalmente daremos, en base a este concepto de norma, nuestra definición de distancia. El espacio R,n, junto con su estructura de espacio vectorial, su producto interior, su norma y su distancia, forman una estructura conocida como el espaczo euclídeo lR lI .

1.1

Espacios vectoriales de dimensión finita

El espacio vectorial (lR n , +, -), el cual para mayor simplicidad denotaremos simplemente por ]Rn (se pronuncia ern-ene) es el conjunto formado por las n-upIas o n-arreglos ordenados:xl.X2,X3)." ,xn ) de lltlmerOS realES. Estos arreglos los denotaremos por letra,> destacadas, como por ejen~pio x. JI.sí, escribiremos:

Asociado a este cOlljunto de arreglos consideraremos dos operaciones algebraicas: la operación suma, defidda de la mallera usual: (Xl, X2,··· ,:Z:n)

+ (Yl' Y2,··· ,y,J =

(Xl

y la operación producto por escalar:

9

+ Yl, ,T2 + Y2,· ..

, :¡;n

+ Yn) ,

CAPiTULO.!.

JO

E:iPACIOS EUCUDIASOS

b cual an(Jtareno.'; sinmlemente ((miO 0. (.r1 ..rz .. " ..T,,) vale decir, sin el punto ,. ," (no confunda el producto por escalar COlI el concepto de producto interior entre vectores que '/eremos mRs addantcL Lí conjunto ]R." junto con estas dos operaciones 8wna y vrodUdo por f;.~caiar, con amba,,; operacioIlf;S sujetas a las propiedadé:oi algebraicas u:suaJes. forrnau lo qile :o:e conoce como el espacio \'ectorial

(~~n. -r. '),

Las operaciones aigebraica" asociadas sólo con la suma son:

(a + b) + c = a -t- (b + e) E: tt")(x -t-O = x~ (\7'x E R,")(3-x E::;;''')(x + (--xi c::: O) (\fx E. ~n)(\fy E R")(x..,...y y -1- x) (30 E

~n)('v'x

=

físociatividad de la suma Existencia de la Identidad Existencift de Inversos C'ollmutatividad

La:s propiedades algebmica:s asociadas con la sum ver con el tipo de soluciones que se desc 1) } .

29

2.1. FUNCIONES REALES Y VECTORíAIE':-; Ejemplo 28 Encuentre la imagEn del conjunto: K

= {(X.y)

E&:2: O::;;¡;

S:

1, Ü:S y:S

l},

bajo la funci6n:

F (.T o y) =

(71,

v) =

(:J:?j .

.1

2

-;/').

fJn otras palabrasld!':ntifique el conjunto:

F(K)

=

{F (:r:.y) E;12 , (x,y) E K} {(u.v) E j[{2 : Cu. v) = F (x, y) .'\ (x,y) E K}.

Solución. Ei conjunto K está limitado por ruatro segmentos de rectas: dos segmentos vertic..ales Ka Y K 1 dados por:

Ka = {(O, y) E JR2: y E [O.l]} Y Kl = {(l,y) E]:.2: y E [0,1]} y dos segmentos horizontales:

K o -- {( X) O)' E

~ '2, X _"t,

E lre) o 1J. 1J}

1/ 1 -:;, n.

{'~ X, ,) ~ J:1o, ~ 2 ,, L t:::

m ~

E [O , 1]} •

Imagen del primer segmento Ko:

F(Ko) = {F(OoY) E JR2 : y E [O, In

= {(O,

-

¡/)

E

)[2 :

y E [O, in.

Como O ::; Y S: 1, entonces la segunda coordenada del par ordenado (O, _ y2) recorre el intervalo [-1,0]. Por consiguiente el conjunto F(Ko) corresponde al segmento linf'..al (en el plano (?.L, v) ) que va desde el punto (O, O) hasta el punto

(O, -1). Imagen del conjunto Kl

Para hallar la gráfica, observe que (11. u)

=

(y, 1 _:y2), Esto significa que:

De modo que obtenemos la curva 1: = 1 ,- ,,'2, cunfa que corresponde a un arco de parábola que va desde el punto (0,1) hasta el punto (1, O). En forma análoga. podemos hallar las imágenes de los restantes segmentos. El gráfico de F(K) puede verse en la Figura 2,1. Las funciones o transformaciones vPC'ÍoriaJes lü,o volveremos a estudiar posteriormente, especíalmente en conexi6n con cambios de variables en integrales múltiple y cuando veamos integrales de línea. de superficie y de volúmenes y sus relaciones con algunos campos vectoriales especial:;::,;,

30

F'U!\'ClONES DE DOS O

CA PÍTULO:2.

MAs VARIABLES

Figura 2. L Imagen de J( bajo F.

2.2

Rectas en el espacio IR 3

En generai una teda ell el espacio queda determinada unívocamente de varias maneras, por ejemplo exigiendo que pase por un punto específico, digamos (xo,YO, 20), y que además sea paraiela a fllgún vector no nulo, digamos v =

(a,b,c). Otra manera as pedir qcle dicha recta pase por dos puntos distintos, digamos Yl, Zl) Y (x')., l/2, Z;¿) . Finalmente, otra representaeión usual de una recta en el espacio consiste en especificar dos planos no paralelos y establecer que la recta consista de todos los puntos que pertenecen simultáneamente a los dos planos. Obviamente este conjunto corresponde efectivamente a una recta en el espacio. El estudio de estas repr.:..'Sentaciones es importante ya que muchas veces es necesario trabajar con rectas en el espacio, Veamo¡;, como ílustración para un trabajo personal del alumno en esta materia, la represem:ación de la ecuación de la recta teniendo como datos un punto y HU vector: (Xl,

Proposición 29 La ecuación ct1xtesiana dt~ la recta que pasa por el punto Po = (xo,Yo, 20), y qV.f a la ue::: es paralfía al vector v = (o, b, e) en donde las tres componentes n, b y e son no {)ula.q , estó dada por: x -x(¡

y- Yo

(l

b

e

En el caso en que alguna de las componentes de v Se.Q. nula, por ejemplo, si a = O pero b yc son diferr:ntes de cero, entonces la recta queda definida por: 1\

Similarmente, si a

= O Y b = 0, x =

;Z;o

T

= Xo.

pero c:f- O, entonces la recta queda descrita por: 1\

:ii = Yo

/\

Z

E

R..

Demostración. Sea P = (x, y, z) un punto arbitrario :sobre la recta. Como el punto Po pertenece a la recta, entonces el vector Po? =: (x - xo, y - Yo, z - Zo) tiene la misma dirección que el vector v = (a, b, e), ya que ambos son paralelos

31

2.2. RECTAS EN EL ESPACIO]R3

a la recta. Por consiguiente uno es un múlüplu del otro, es decir, existe tER, tal que:

t(o.,b,c)

= (x -Xo,Y -

Yo,;:; - zo) = (x,y,z) - (xo,YO,zo).

Despejando (x. y. z), obtenemos:

(x,y,Z)

= (xO,YO,zo)+t(a,b.c) = (.co+ta,yo+tb,zo+tc).

Por consiguiente, igualando componentes se obtiene lo que se conoce como las ecuaciones paramétricas de la recta:

= Xü + ta = Yo + tb z = Zo +tc

:T

}

y

t E JR

Finalmente, despejando t en cada ecuación e igualando, se obtiene la tesis (en el caso en que a, b y e sean no nulas):

x .- ;:¡;G --11-

Y - Yo Z - 2'0 = -b- = -c-

En el caso, en que alg;uno de los valores a, b y e sean nulos, significa que la recta en cuestión es paralela a alguno de los planos coordenados. Por ejemplo, si a = 0, esto significa que la recta es paralela ai plano yz, y por lo tanto la ecuación cartesiana de la recta será: y -Yo

b

5:0

.7, -

e

:r

= Xo.

El último caso queda de ejercicio, Esto termina la demostración. •

Ejemplo 30 Halle la distancia entre el punto P = (1,3, -2) Y la recta dada

por: x-·21/·-6

- - ::" -"-- ==;j _. B precisamente la norma del di~ular

vector proyección I1nPOP

en donde n =

Proposición 10, Página 16, se tiene: d

N_

liNII'

Por lo tanto, de acuerdo a

= =

dando como resultado que la distancia es:

d = lAxo + Byo -t- CZo + D! VA2 + B2 + C 2 Ejemplo 34 Halle la eC1lación del plano que pasa por el punio medio del segmento que une los puntos P = (2,4, -3) Y Q = (8, -10, 5) Y que es pcrpendiC1llar a dicho segmento.

34

C'APÍTfJLO:l. FUNCIONES DE DOS O

MAs

VAR.IABLES

Solución. El punto medio AI dei segmento que une P y Q se obtiene sumando las coordenadas respect.ivas y dividiendo por dos. Esto es ;'vI

= (5, -3,1).

Por otra parte, un vector normal al plano buscado

PQ

= 6i -

83,

por ejemplo

+ 8k = 2(3i -- 7j + 4k)

14j

X por lo tanto, como el vector J/- íJf- 4k (aJubiéfl es perpendkular al plano, se obtiene que la ecuación de dicho plano e:;:

3(x - 5) .- 7(y + 3) o equivalentemente 3x - 7y

+ 4z -

+ 4(z -

1) = O.

40 = O.

Aún cuando el uso de computador88 (ordenadores) es una herramienta extremadamente útil cuando se trata de graficar funciones (implícitas o explícitas), usualmente es muy conveniente adquirir un buen conocimiento de algunas curvas clásicas del plano.

Ejemplo 35 Los dos planos 2x+3y-44z = ti Y 3x-y+22z en una 1'ecta. Halle la ecuación ca.rtesiana de dicha recta.

= -4, se intersectan '-

Solución: Re."iolviendo el sÍ13tema para las variables x e y, se tiene:

26

6 ll'

Y = 16z+11'

X=-22--'

por lo tanto la ecuación cartesiana de la recta es:

x

+ 6/11 -2

2.4

y - 26/11 16

Gráficas en el plano

Ejemplo 36 La circunferencía: la eC1tación de una circunferencia centrada en el punto (xo, Yo) Y de radio R, está dada por lo. fórmula:

(x -

:ro? + (y -

Por ejemplo, la ecuación x2 - 2x

YO)2 = R 2.

+ y2 + 4y -

4

= O, puede ser escrita como:

(:L. - 1':'¿' ) -t- (Y -,L '2)2 . - 9, ecuación que corresponde a una circunferencia de centro (1, -2) Y radio 3. El gráfico corresponde al de ia Fígura 2.:2.

Ejemplo 37 La Elipse: la ecuación de una elipse de semiejes positivos a y b centrada en el punto (xo, Yo), está dada por:

(2.1)

2.4.

35

GRAneAS EN EL PLANO

Figura 2.2: (x - 1)2

.

Figura 2.3:

(X-2)2 22

+ (y 4- 2)2

= 9.

2

'''y----1l \+~

= 1

En el caso en que a = b = R, se obtiene la ecuación de una circunferencia. La fórmula dada en la ecuación 2.1 se conoce como la forma estándar de la elipse. La forma estándar de la elipse 9x 2 - 36x + ¡1 y 2 - 8y + 4 = O, es:

El escribir la ecuacÍón en forma estándar tiene varias ventajas. En este ejemplo nos permite afirmar que el centro de la elipse es el punto (2,1); que sus semiejes son a = 2 Y b = 3 Y que sus cuatro vértices son (0,1); (4,1); (:2,4) Y (2, -2). El gráfico de la curva corresponde a la Figura 2.3.

Ejemplo 38 La Parábola: la f;cuaC'Íón de la parábola con vértice en el punto (xo,Yo) está dada por la ecuación: y = k(:r - xo?

-+ !J[l.

Si k > O, la parábola se abre en el sentido positivo del eje y y si k < O se abre en el sentido negativo (hacia abajo) .La Figura 2.4 representa la parábola y = 2x 2 - 6x + 10. ¿Cuale., son las coordenadas de su vértice?

Ejemplo 39 La Hipérbola: lo. eC1.wci6n de una hipérboia centrada en (XO,yo) '!1 con ramas que se abre1: en la dirección del eje X, está dada por:

36

CAPiTULO 2. Fm';CIONES DE DOS O

Figura 2.1: y

= 2.r:2 -

6x

MAs

VARIABLES

+ 10

Figura 2.5: (x + 1)2 _ (y _ 1)2 = l. 4

}).:; fácil ver que esta hipérbola es asintótica al par de rectas que se cruzan en el punto (xo,yo) y cuyas pendiente" Ron b/a y -b/a respectivamente. Por ejemplo, la ecuación

corresponde a la hipérbóla centrada en (-1,1) Y que pasa por los puntos (-3,1) Y (1,1). Y es asintótica a las rectas y = x/2+ 3/2 e y = -x/2+ 1/2, rectas que obviamente se cruzan en el punto (-1, 1). Su gráfica puede verse en la Figura 2.5.

2.5

Superficies

Para representar gráficamente una función f : A s:;; JR2 --> l{, generalmente se usan dos métodos. Vno de ellos consiste en representarla por medio de una superficie en el espacio usual y la metodología para construir e O) Y centrado en el origen fstá dado por: ,y2

,.l·

2" a -r

-b~ ¿

+

z2

;

2" e =

1.

El gráfico de este elipsoide es similar a la cáscara de un huevo centrado en el origen y cuyos diámetros mayores, en la dirección de los ejes x, Y y z son respectivamente 2a, 2b y 2c. La gráfica general de este elipsoide tiene la forma dada en la Figura 2.7.

Ejemplo 42 El hiperboloide de una hoja: esta superficie está dada por la ecuación: ,,2

y2

~2

(1.2

¡;

c2

::_-f..--~=l

.

Por ejemplo, la Figura 2.8 representa el gráfico del hiperboloide:

38

CAPÍTULO 2. FU;\iCIONES DE DOS O

o f "''l¡i;ura ('':.0:

~ 4

Figura 2.9:

X2 -

+

~ _

Z2

y2 -

z'2

q

_

16 -

MAs

VARIABLES

1

lo

= 1.

Ejemplo 43 El hiperboloide de dos hojas: esta superficie corresponde a la ecuación:

La forma de e'3ta superficie recuerda la de dos cuencos o lentes separados y opuestos por ei vértlcE'. Por ejemplo la Figura 2.9 corresponde al hiperboloide dado por la ecuación:

Ejemplo 44 Paraboloides elípticos. Sean a y b números reales no nulos. La gráfica de la función dada por:

f(x,y)

= ax 2 + by2,

se conoce como paraboloide. Si a i: b se trata de un paraboioidr elíptico; si a = b de un paraboloide de revolución. La Figura 2.10 repreoenta al paraboloide elíptico: .Z

= x2 +4y2.

39

2.6. OTRAS SUPERFICIES.

Figura 2.10: Paraboloide z = x 2

Figura 2.11: Paraboloide hiperbólico

.?:

+ 4!1~.

= x 2 - 4y2.

Ejemplo 45 El paraboloide hiperbólico: la funci6n dada por:

tiene como gráfico la superficie conocida como paraboloide hiperbólico o "superficie tipo silla de montar". La razón de llamarla "silla de montar" es clara si observamos la forma de ella en la Figura 2.11 El punto (O, O) es un punto crítico denominado" punto de ensilladura". Estudiaremos este tipo de puntos críticos en la sección de máximos y mínimos,

2.6

Otras superficies.

Aprovechemos las facilidades que da la computación para hallar el gráfico de algunas otras funciones.

Ejemplo 46 La gráfica de la función dada por:

. h2 y+COS~XSHlIl ." 2 ) 1/ 2 Y, f (x,y,) = (sm~xcos 'l

correspo nde a la Figuro 2.12.

L

..

CAPÍTULO 2. FLVCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

40

Figura 2.12:

2

= ';sín 2 x co~ y

f "¡gura 2 . 13 :

e

JO

no z

+ cos2 xsinh 2 y.

2 = V02+ x y.

Ejemplo 47 Aquellos estudwntes que conocen Zas funciones de variable compleja notarán que esta. funci6n es justamente el módulo de la función, Slll :

e -- e,

definida por: sin z

= sinxcoshy +icosxsinhy,

(2.2)

=

en donde z x + iy es la va'rlable compleja.El cono circular recto representado en la Figura 2.13 muestra el gráfico de la. función,

z = Jx 2 +y2.

Ejemplo 48 La gráfica de la función z = 9 - Jx2 + y2, representa un cono recto con su vértice apuntando hacia ar1'Íba y ubicado en el punto (O, O, 9). Ejemplo 49 La Figura 2.14, repnsenta la función f(x,y)

= Isin(xy)j.

41

2.7. CURVAS DE NIVEL

Figura 2.14: Función f(x,y) = Isinxy¡.

2.7

Curvas de nivel

Graf1car una función de do~ variables independientes mediante una superficie en el espacio usualmente requiere tener un buen computador, a menos, claro está que la fundón sea bastante ~encil1a. Sin embargo, aún para funciones extremadamente sencillas, como, por ejemplo z = x2 - y2, la superficie puede fe:mltar bastante complicada de graf1car. l: na herramienta usual que se emplea, ya sea para ayudarnos a visualizar estas superficies o como una alternativa de representación gráfica, es el método conocido como ei de las curva8 de nivel. Este método es justamente el que se utiliza para graficar el relieve terrestre mediante mapas planos. Estos mapas son conocidos como mapas físicos geográficos. Con estos mapas es posible estimar, por ejemplo, la altura y extensión de montañas y fondos marinos. Otro ejemplo del mismo tipo de gráficas io podemos ver diariamente en TV en los informes del estado del tiempo, en donde se muestran las ISOtermas (IGUALtemperatura) y las ISObaras (IGUALpresion). La técnica para aplicar este método consiste en graficar las curvas planas que resultan de cortar la superficie z :::: f (x, y) por medio de planos horizontales ubicados a diferentes altums o niveles. En otras palabras: consiste en graficar las curvas f (x, y) = e, para distintos valores de C. Las curvas, así obtenidas, reciben el nombre de curvas de nivel de la función z = ¡(x,y).

°

Ejemplo 50 Trace curvas de nivel para la función f(x, y) Además determine la forrna de la superficie z

= f(x) y).

= 3x + 2y + 1.

Solución. La superficie a considerar está dada por z = 3x + 2y + 1. Como y, entonces la ecuación z = f(x,y) representa un plano en el espacio (ver Figura 2.15) Consideremos el plano norizontal z = 5. Entonces este plano corta la superficie determinada por f a lo largo de una recta en el espacio. Ahora bien, la proyección de f:'sta recta en el pla,no xV, es decir, en el plano cartesiano bidimensional usual es ax + 2y + 1 = 5, o equivalentemente, 3x + 2y = 4, ecuación que corresponde obviamente a la recta z depende linealmente de x e

y = -1..5.1' + 2,

42

CAPÍTULO 2. FrJNC'IO:VES DE DOS O

,------------

MAs

VARIABLES

,!

I

I

L-_

Figura 2.1.5: Plano z = 3x

Figura 2.16: Curvas de nivel f(x,y)

+ 2y + 1.

= C. para e = 5,9 Y 13.

rect.a que corta al eje x en el punto x = 4/3 ~ 1.33. Si ahora consideramos la recta de nivel correspondiente a z = 9, la proyección de esta recta en el plano xy tiene como ecuación:

y=--1.5+4, recta que corta al eje x en el punto :r = 8/3 ~ 2.66. Finalmente, si tomamos el plano z = 1:3, obtendremos una tercera recta de nivel, la cual corta al eje x en el punto x = 4. En la Figura 2.16 se pueden ver estas tres rectas.

Ejemplo 51 Tmce curvas de nivel para la función:

Solución. El gráfico de la función está dado por la figura 2.17. Comenzaremos buscando la curva de nivel z = 9, es decir, los puntos (x, y) que satisfacen f 2 25. - \x + y 2\J = 9 ,

esto es X2 + y2 = 16. Esta curva obviamente corresponde a una circunferencia de radio 4 centrada en el origen. En términos más generales. las curvas de nivel para un valor arbitrario de e, están dadas por la siguiente familia de ecuaciones: x2 + y2 = 25 - c. Es claro

2.7. CURVAS DE NTí/EL

43

;

I

j

I

I I

1

L._______J

Figura 2.17: Paraboloide z = 25 - (x2

+ y2) .

l

i I

I I

Figura 2.18: Curvas de nivel de la función z

= 25 -

(x:2

+ y2) .

que, para e 2: 25, estas ecuacione..s representan circunferencias centradas en el origen y de radios V25 - c. En la Figura 2.18 se pueden ver con radio creciente, las curvas de nivel correspondiente a e = 2·1, e = 16, e = O, Y e = -24.

Ejemplo 52 Trace curvas de nivel pura la funci6T/':

Solución. Note que e X +¡¡ > 0, para todo .1: ey, de manera que la superficie correspondiente a la función dada se encuentra en el semiespacio superior z > O. Para hallar la curva de nivel z = e hagamos e x .... Y = c. Entonces x + y ='lg c. Por lo tanto: y = 19 e-x. La Figura 2.1 9 representa la superficie determinada por la función f y en la Figura 2.20 se mUffitran, de izquierda a derecha, las curvas de nivel para los valores de e correspondientes a 1/c 2 ,1/e,l,e,e 2 . Se puede observar que una vez que conocemos e; patrón general de las curvas de nivei, podemos tener una idea bastante aproximada acerc,a de la forma de la sllperficie que representa la función. Ejemplo 53 Trace las curvas de nivel de:

correspondiente a

e=

1,2 Y 3.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE DOS O

44

MAs

VARIABLES

Figura 2.19: Superficie z = e X + Y •

I

L-- _______________

:Figura 2.20: Ejemplo 52,

Solución. El gráfico tridimensional está dado en la Figura 2.2l. Las curvas de nivel para los valores de dados en el problema se pueden ver en la Figura 2.22 ¿Puede Ud determinar la correspondencia que hay entre las curvas y los vaiores de C?

e

2.8

Superficies de nivel

Una función f : A ~ ~3 --+ JEt. tiene como gráfica un conjunto de puntos del tipo (x,y, z, f(x, y, z)). con (x,y, z) E A. Es decir, el gráfico de f es un subconjunto de ~4. Como es evidente, no es posible graficar una función de este tipo en el espacio tridimensional mediante un dibujo único. Para este tipo de funciones, la representación más satisfactoria son las llamadas Superficies de nivel. Este método consiste en graficar superficies en !R. 3 en donde f toma valores constantes. Esto es graficar N e = { (x, y, z) E ]R3 : f(x, y, z) = e}, para distintos valores de la constante c. Estos conjuntos son los que reciben el nombre de superficies de nivel.

Ejemplo 54 Grafiql1e 811perficie8 de nivel para la funci6n f (x, y, z) =x2 +y2 - z. Solución.

z

= x2 + y2 -

Hagamos x2 + lP -- z = C, entonces las superficies de nivel C resultan ser paraboloides. Los paraboloides mostrados en

45

2.8. SUPERFICIES DE NIVEL

Figura 2.21: Función (5x 2 + y2) exp(l _

X2 _ y2).

Figura 2.22: Curvas de nivel de la función z = (5x 2 + y2) exp(l - x2 - y2) para ios "alore,> de e = 1,2 Y 3. la Figura 2.23, repre'ientan, de adentro hacía afuera, aquellas superficies del espacio en donde la función f es constante para los valores de = 1, = 9, Y e = 18 respectivamente,

e

Ejemplo 55 Describa las superficies de nivei de respondiente a e = -3, e = o y e = 3.

f

(x,y,

Solución. La primera superficie, correspondiente a boloide de dos hojas:

z) = x2

e

+ y2

e = -a es

- .z2

cor-

un hiper-

Su gráfico es similar al de la Figura 2.9: en lugar de tener a x como eje de simetría, en este caso es z, La gráfica de la superficie correspondiente él e = 0, un cono recto:

y su gráfico es similar al de la Figura 2,13, con la diferencia que en este caso, el

cono también se prolonga en el sentido negativo del eje ~,. Finalmente la tercera superficie correspondiente a = 3 es un hiperboloide de una hoja. Su gráfico es similar ai de la figura 2.8 y tienen el mismo eje de 3imetría,

e

CAPiTULO 2. FUNCIONES DE DOS O

46

MAs VARIABLES

-,

¡------

II ! i

i

I

l

I

Figura :2.23: Superficies de nivel ¿e la fundúll :: = x2 + y2 - C. En la figura se representan tres superficies, de adentro hada afuera, para los valores e = 1, e = 9, Y = 18 respectivamente.

e

2.9

Problemas

1. Halle el dominio A de f: A O tal que Vr (a) ~ A. Usando esta nomenclatura, se observa que un conjunto U ~ R", es abierto si y sólo si todos sus puntos son puntos interiores. Al conjunto de todos Jos puntos interiores de A se lo acostumbra a denotar con el símbolo AO.

Observación 59 a) Debido a las relaciones existentes entre la métrica d (distancia ordinaria) y las métricas limax y d l definidas en el Problema 13, Página 23 da exactamente lo mismo definir conjuntos abiertos usando cualquiera de escas métricas. Así, en caso de conveniencid usaremos la que más nos convenga. b) Debido a que las vecindades correspondiente a cada espacio ~n, son dimensíonalmente diferentes, todo conjunto no vacío, abierto en un espacio no puede ser abierto en otro de dimensión superior (por supuesto considerándolo como subconjunt.o del segundo espacio mediante la identificación naturai). Por ejemplo el interw,lIo ]0, I[ es abierto en ~, pero no es abierto en ~2 ~ X ~ (identificándolo con el subconjunto del plano JO, I[ x {O}), ni tampoco en ~3. Como ya se dijo, no es abierto en ningún espacio j¡?71 con la excepción de n l. Esto hace importante el especificar claramente, respecto a cual espacio un conjunto es abierto.

=

=

51

8.1. VECINDADES Y CONJUNTOS ABIERTOS

Ejemplo 60 El conjunto de todos los puUt08 interions del 'intervalo [O, 1] ~ ~ es el conjunto JO, 1[. Ejemplo 61 El

c01~junto

de todos los pll'dcs mter¿ores de

G = fl ( x ,i))\ ,x 2,-+-- y 1. ::::/ 9',J

es d coniunto fl'x " l , ' y\J '. x2

+",:2 ,!J

r- 7"')

~ ~~

,

< 9 f'1

Ejemplo 62 Consideremos el intervalo [0.1 j, pero comu un subconjunto de R.2. es decir: [ 0,1 ,J

==

{ (

J, O) E-

~:2 : ",'t

x "=- ,fo , l'1J~ .

Entonces, el conjunto de puntos inter1.Ores de [0,1] e8 el conju,nto vacío.

Ejemplo 63 El

co~junto

A = {(x, y) : y

= 3x}

no

fS

un conjunto abierto en

;it2 ya que los puntos de A forman una recta en el plano y es claro que una recta

no p'uede contener un disco, por muy pCiJueño que e8te sea,

e

Ejemplo 64 El plano = {(x, í}, z) : 2 = ol no es abierto en ~a. la explicación del porqué este conjunto no es ab'ierto, es similar a la dada en el ejemplo anterior: una esfe1'O, por muy pequeña que sea, no puede estar contenida en un plano. Ejemplo 65 El conjunto D :::: {(x, y, z) : 0< z} es abierto en iR 3 , Note que D corresponde al "semiespacio superior" o hemisferio norte del sistema cartesiano ~3,

Ejemplo 66 Los conjunt08 ~n y tI> son abie1'tos en lIt n , Proposición 61 Sea {C>,} una colecci6n arbitraria de conjuntos abier'tos, Entonces el conjunto definido mediante su llniúT!' G=UG).

también es abierto. Por otro lado, si C 1 , G 2 , . ,. G n es una colección finita de conjuntos abiertos, entonces S1l; intersección: 1

también es un conjunto abierto.

Demostración.

La demostración correspondiente a la unión es trivial Para demostrar la segunda parte, supongamos que GIl G 2 , .. , ,Gn es una colección finita de conjuntos abiertos y tomemos un punto p E G. Como p pertenece a la intersección de los conjuntos, entonces debe y se deja de ejercicio.

52

CAPiTULO 3. ELE1'vIE:VTOS DE TOPOLOGÍA

pertenecer a cada uno de ellos. Como cada conjunto G k es abierto, entonces, para cada k::::: 1,2, ... n, exíste un T'k > O tal que "~k (p) :;;; G k • Si ahora elegimos 1'= mill{l'l¡7'Z,'"

.T'n},

se tendrá que r > O y además,

Esto termina la demostración. •

Ejemplo 68 La zntfTsección df una cantidad infinita conjuntos abiertos no siempre fS un conJunto abierto. Por ejemplo consideremos, en]R la colección de todos los intervalos abiertos ]0,,1 + 1/11,[ W donde 11 :::: 1,2,3, ... , es fácil ver que:

nI 00

n=-l

3.2

,

J

O, 1 +

1

l

-n ::::: jO, 11- .

Puntos de acumulación y conjuntos cerrados

Definición 69 Un subconjunto F de l!{" lo llamaremos conjunto cerrado en]Rn si Fe (complemento de F) es un conjunto abierto en ]Rn. Observación 70 a) Es importante notar que si un confunto A es ab'ierto en 'U,n espado ]Rn, entonces su complemento es cerrado en]Rn y viceversa. Sin embargo no hay que cometer el error- muy común por lo demás~ de concluir que si un conjunto no es abierto, entonces tiene que ser cerrado o si no es cerrado, entonces tiene que ser abierto. Estas dos conclusiones son falsas: un conjunto no tiene que ser ni lo uno ni lo otro. Por ejemplo el conjunto JO, 1] no es abierto en IR., pero tampoco es cerrado. b) A diferencia de 10 que sucede con los cOllJuntos abierto, si un conjunto F es cerrado en algún ]Rn, entonce:-; también es cerrado en todo espacio ]Rm, con m > n. La demostración de este aserto se plantea como problema al final de la sección.

Ejemplo 71 El conjunto [1,6] es cerrado en R, ya que su complemento, -' [1 , \)"l~ J --1 -

CXJ, -1 [,v ,16 j , CXJ [,

es la unión de dos conjuntos alnerlos en

a

y por ende es abierto,

3.2. PUNTOS DE ACWlfULACI6lY y CONJUNTOS CERRADOS Ejemplo 72 El conJ',mto A

= {(x, Y: 2') E;;;!.) : ;3 S

53

x ~ ~} es cerrado en Ji{3, ya

que su complemento,

= corresponde a la unión de dos conjuntos ail'iertos ~n 3: 3 .

Ejemplo 73 Toda recta y todo plano son subconjuntos cerrados en ]13. Por ejemplo el plano:

p = {(:r, y, z) E ~ 3

: X

+ 3y + z ::-..:: O} ,

es cerrado ya que su complemento, pe es el { (x, y, z) : x + O} U

Z

cor~junto:

{ (x, y, z) :

X

+ 3x + O) (::JN E N) (Vm, n E N) (m,n ~ N:::;,

!!a",-am!i < E).

Proposición 94 Una sucesi6n {3,,} en:l k es comergGnte si y s610 si es de Cav.chy. Adem.ás si a n = (al n , az n , 03n,' .. ahn), entonces esta sucesión converge al límite L = (L 1 , L 2 : L3: ... L k ) si y 8610 si ca,da sucesi6n (ajn)~=l converge al respecti1;o límite Lj para todo ,j = 1,2, .'3, ... k. Análogamente a n = (a1n,a2n,a3n, ... a/,;,,) es de Cauchy si y sólo si cada sucesión {ajn} ~=l es de Cauchy para todo ..1 = L 2, :3, ... k. , Si {a n } converge allí1T/.ite L, entonces toda subsucesi6n {a'lb(n)} de ella también converge al mismo limite L. Demostración. Tarea. • Ejemplo 95 Las sucesiones p1ieden ser descritas de varias maneras. Por ejemplu, consideremos la sucesión {a,,} = {n2 + 2n}. Esta sucesión también podría haber sido descrita en cualesquiera de las siguientes cuatTO formas.' 1.

2.

= n 2 + 2n, en donde n = 1,2,3, ... 31,a2,a3, ... , en donde a" = n 2 + 2n y

3"

3. 3,8, l5, 24, 35, ... ,n 2

71 E ~~.

+ 2n, . ..

4. (n-4)2+2(n-4),endonden=5,6,7

Ejemplo 96 La fdnción v( n) = 21', es estrictflrnente creciente. La sub sucesión correspondiente {a.,¡,(n)} es a:¿, a 4 , a., , .. ': es decir todos los términos con índice par. Ejemplo 97 Considere la s'ú,cesión: (

1

{n ;4

}

ex, h=l

cuyos pr2meros términos son:

1 1 1 1 1 Si 7j; es lo funci6n 1{.J (n) = 3n. entunces la subsucfsi6n correspondiente {a,¡J(n)} sera:

ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA

CAPÍTULO S.

60 Ejemplo 98 Sea {an

}

la suce,,,¿J n en ~ 3 definida

'"

a"

Una s1.Lbsucesión de {a n

}

1

n 2

= ( .: + ;1,' n'2 _

pOi';

n)

sin -¡' .-;;;-

es:

_ { b>]~=

,.l

,

(

2-;:; n '2

on )

• SIn

2+-;:--,~-j--.,;)71

Lan

-

7

.511-

.

* *::.l. Debido a que la misma sucesión puede ser indexada a partir de n = 1, como asimismo a partir de cualquier ot,l'Q natural, por ejemplo n = !'i, como en el ca.'lo 4 del Ejemplo 95, es que se acostumbra llamar su('esión a cualquier función cuyo dominio es un subconjunto A de ios naturales que cumpla con: (Vn E ~)(3m E A)(m

> n).

En otras palabras: que A contenga números naturales arbitrariamente grandes. Con esta "ampliación" del concepto de sucesión, podemos decir que la subsucesión a2, a 4 , as, .. ' de la sucesión {8",} también es una sucesión.

Proposición 99 (Bolzano- Weierstrass) Un subconjunto K ~ si y solo si toda sucesión

R,k

es compacto

tlene al menos una subsuctósión {a 4'(n)} convergente, cuyo límite pertenece a K. Demostración. Condición necesaria: sea K un subconjunto V"dcío de Supongamos que ..,e cumple ia condición relativa a las sucesiones. Demostraremos que l\ es compacto, (;,"3 decir, demostraremos que K es cerrado y acotado. Cerrado: supongamos que !( !lO es cerrado. Entonces por Proposición 87 el conj l ll1to K tiene un punto de acumulación L con L 1: K. Como L es un punto de acumulación de K es po:oible ha!!?r una ::;ucesi6n {are} ~ K tal que ¡im an = L. ][{k

n-+oo

Ahora bien, est.a sucesión no tiene ninguna subsucesión que converja en K, ya que toda subsucesión de {a,,} debe convergn también a L. Est.o contradice la condición relativa a la.s sucesiones y por lo tanto demuestra que K es cerrado. Acotado: supongamos que K no es acotado, Entonces es posible hallar una sucesión {a n } ~ K tal que

Jün

'i1--+ ,:)rn: n,mEN'} l ,,,,

E

In)

~¡ ')> d J' 1f I/!.: , n, m E!" l \m n J

'

> m; n,m, E

n

N} 1'1

,

la: n se dirá que es un punto frontera del conjunto A si cada vecindad ~~ (q:l de q cont ¡ene puntos de A y también puntos del complemento de A. El conjunto de todos los punt.os fronteras de A se anota por Fr(A) y se conoce como la frontera de A, Encuentre la frontera

8, Un punto q E

de cada uno de los conjuntos del problema anterior. 9, Demuestre que A ffi cerrado.;::::::}Fr(A) ~ ,1.

10. Sea A

~ ]Rn,

Demuestre que:

A:::: A" u (Fr(A) nA). en donde la unión es disjunta. ¿Que sucede si A es cerrado?

11. Suponga que A

e

R

~ Jl(n )'

que R es un subconjunto cerrado de

Jl(n.

Demuestre que

h(A)

=R-

(AO

U (R -,

A)O)

12. Recuerde que un punto q E A ~ ]Rn e3 un punto interior de A si existe r > O tal que 1fT (q) ~ A. Al conjunto de todos los puntos interiores se lo conoce como "el interior de A" y se denota por lnt(A). Determinar

el Int(A) para cada uno de los conjuntos del Problema 7.

13. Demuestre que,

A. abierto.;::::::} Int (A)

e

A.

14. Para caaa conjunto dado en ei Problema 5, determine su frontera e interior. 15. Determine

Fr(Q x Q), Int(Q x Q), Fr(2 x 2), Int(2 x 2), Fr(~ x Q ), Int(lR x Q).

63

3.5. PROBLEMAS 16. Demuestre que si x = (::r¡,X2.· .. ,Xn) e y

= (:1J1.Y'2,···

'Y71)' entonces:

vil :s d(x, y) =.'" I'x - yll· '} de un conjunto F es posible elegir una C'alltidad Hnita de ellos (subrecubrimiento), digamos G l • G z, ... ,G k (la cantidarl de conjumos depende del cubrimiento C) tal que. k

Fe;; U Gj )=1 entonces F es un subconjunto compacto de R". El recíproco de este resultado se conoce como "Teorema de Heine-Borel". Una demostración de este recíproco puede verse en el texto de 1brn Apostol "Análisis Matemático" . '':'7. Demuestre que no es cierto que para todo cubrimiento abierto de jO,l[ exista un suhrecubrimiento finito. 28. Considere la sucesión {an} definida por: ao = O; al = 1: an = (an-l + a n-2)/2 para n 2: 2. Demuestre que tan} es convergente y encuentre su límite. Indicación: primero deinuestre que U,n+l - a n = (-1 /2)n ya partir de este resultado demuestre qur:: la sucesión es de Cauchy. Finalmente use Proposición 94. 29. Un conjunto X se dice que es un espacio métrico si existe una función d : X x X --> R llamada métrica que satlliface todas la", propiedades de una distancia (ver Pwbletnc. 1, página 22). En este caso, el espacio métrico se anota (X. d). Por ejemplo c~.n, d) es un espacio métrico con d(x, y) = Ilx - yll. Se dice que un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. De acuerdo a la Proposición 94, el es?acio Rn con la métrica d es completo; en cambio el espacio X = ]0, 1[ ~ .IR. con la métrica d(x, y) = jx - yl no 10 e.s, Demuestre que el espacio métrico (X, d) es completo si toda sucesión de Cauchy tiene alguna subsucesión convergente,

Capítulo 4

Límites y continuidad 4.1

Nociones básicas

e

Definición 100 Sea F : ]Rm una funczón vectorial y p un punto de acumulación de G. Diremos que L E R,ffi es el límite de F(x) cuando x tiende al punto p si para toda vecindad no vacía Vs(L) del punto L, exiBte una vecindad no vacía V6 (p) de p tal que:

Si lo anterior se cumple, anotaremos: lim F(x) = L, >p

]Rm,

En otras palabras, de existir todos los límites involucmdos, se cumple que: Iim F(x) = (lim

x----p

X--'p

h (x),

lim fz(x) , ,.. , iim fm(x)). x~p

x--~p

Demostración. Ejercicio (vea Problema 101 al final del capítulo). _ Observación 102 1, Note que el concepto de límite está definido solamente en puntos de acu~~íación del dominio de la funci~Il,lt;s~ual(; no tienen necesariamente que pertenecer a dicho dominio,

2. La Definición 100 es una generali,mción de la definición de límite dada para el caso en que f es función ele sólo una variable. 3. Si

f :G

(x, y)

~ IR 2 -> IR, entonces en el caso que f tenga límite tiende al punto (a, b) E G', se acostumbra a escribir:

f(x,y) = L 6 también lim f(x,y)

lim

";,~¡;

(x,y)->(a,b)

y en este caso, usando la convención que positivos, la DefiniciónlOO queda:

(Ve, 38, V (X,II) E G)(O < (x-- 0,)2

f

+ (y -

L cuando

= L,

y 8 representan números reales

b)2 < 82

:=}

If(x, y) - LI < e.

4. Note que la condición:

corresponde a exigir que el punto (:r:, y) pertenece a la vecindad agujereada de centro (a, b) y rallio 8, .5. Que se cumpla la desigualdad if(;r:, y) - LI

Ejemplo 103 Considere la función Demuestre que:

lim

O

(( '1-2;)

Z ( 'J "-

,.. ~

es equivalente a pedir que:

f : R2 --, :~. definida por ¡(x, y)

(x.1I)--~(3,5)

'\

< e,

---

f(:r:,y) = 1. .'\ 1"'.

L-~

< 6'1

= 7x--4y.

1

( +"1- y j- ~ ~ ...,

-;:()

4.1.

67

NOCIONES BÁSICAS

Solución. El ejemplo parece trivial pues resulta e\"ld~nte que cuando :r se aproxima a 3 e y se aproxima a .'). entonces la expresión 7x·- 4y debiera aproximarse al valor L = 1. Sin embargo, si queremos SP~ rigurosos en la demostración debemos usar la definición. Esto es, debemos der:lOstrar que para todo E > 0, existe fj > 0, tal que para todo (x. y) E 11/. se cumple qLle:

I ¡7x·- 4¡¡'- 1\ ¡",

'-",

< é.

Supongamos que para s > O hemos encontrado "j número positivo 5 que cumple con la implicación. Veamos cuanto debería \det. Como el par ordenado (x, y) cumple con:

(4.1) se deduce que (x - 3)2 < b'.: Y también que (y '- 5)2 cuadradas, se obtienen las siguientes uesigualdadcs:

jx - 3; < Ahora podemos usar estas dos

¡7x - 4y -

< {)". Tomando raíces

!y- '11 < 6.

ó~

última~

desigualdades de la siguiente manera:

¡7x - 21 + 21 - 4y +- 20 - 20 -- 11 17 (x - J) + 21 - 4 (y - 5) - 20 - 1¡

11

1( : I \,X - •.3') -

• i\Y -

:±

"\J .J

I

< ¡7(x-3)1+14(y-5)! < 7{) +- 48 = 118

(4.2)

(4.3)

Para conduir con el problema nos falta hallar tj > O Y demo':itrar que para cualquier par (x,y) que satisfaga la inecuación 4.1, debe cumplir con:

!h - 4y - 11 < :., En vista de ia desigualdad 4.2. basta tomar 8 que x e y cumplen con:

O < ( x - 3)

2

+ (y -

0= s/1l.

l O. Como:

se tendrá que basta tomar: {j ~= \l;. ¡.JUesto que c;i (x y) es ti n p.':lf ordenado tal que 0< X2 + y2 < 82 , entonces se tendrá que (:r, I.j) i (0, O) }' también que x2 + y2 < t"? = E:. De manera TIe:

,

L.

~

dt:.fi nida por:

ixyi"

I(x,y) = -.-2----::-' SlD

en done a

>

L Demttestre que

lim

(T.y)~:O.O)

x

+ Slll

I

(;c, JI) = O. .

;;

•

Solución. Considere las desig11aldades Si¡¿;n;illte;-;;

II(x,y)-O¡

<

< < Para llegar a este resultado se usaron las desigua [dades: . 2

sm

. 2 x -;-. Slll y

Ji

sible definir otros tipos de límites. En particular los así llamado::> límites iterados tienen cierta utilidad. Supóngase que se desea estudiar el límite de una funciÓn f : A O

Esta." c'mdkio'lCS no sen 1'1 in/,:- 'oÍ r'¡. i:,-,," 'j'i( Rmbos límites iterados exi"tan y sean distímüs clilrc "í. tI eH1lilnado suhre el que se basa esta atirmación es el

siguiente:

Proposición 117 ,',\¡ponga qlle:

lim (·lim f (x,

l,'--+Q.

y--tb

y))' = L.

Corolario 118 Si lim (lím! (x, y))\ y lim (lim f (x, L---->a

y-,b

y-,b

x~a

y))

tos enionces, lim

(x.y)~(a,b)

f (x, y) ,.

no existe. Ejemplo 119 Sea,

en donde :r + y

=1=-

k7r. Entonces:

!im

limf(:c,y) )

X~O ( y~O

3;1' = X-'>O lim - - = sin.r:

3

existen y son distin-

77

4,5. CONTINUIDAD y.

lim ( lirr~f (x, y) ) ~'C ',:ll y~O x -l} l : r "~J

Po'r lo tanto, de acuprdo al Corolario 1 u": lim .

IX,1I 1...,(.:1 . .,\

y

--;-SIr,

y

= 1.

r]"r]-,¡Cf: q'Uf:

f (,;", .

no existe,

4.5

Continuidad

Las funciones continuas son, entre todas la:> poslblps funciones que pueden definirse en un cierto dominio, aquellas que son más ampliamente usadas en matemática. Esta realidad es debido a varias razones: son sumamente útiles para modelar procesos que trascurren o suceden de modo no abrupto ya que cualquier cambio de posición, velocidad, forma. temperatura, etc. de un cuerpo, requiere, por motivos inerciales y energéticos. de un cierto lapso de tiempo y sucede, en todo caso, de modo gradual. Por otro lado tienen una serie de ventajas operativas sobre funciones más arbitrarias. Algunos ejemplos: es posible integrarlas; pueden ser aproximada." tanto como uno 10 desee por medio de funciones infinitamente diferendables (mediante un proceso conocido como "regularización"); transforman conjuntos compactos (cerrados y acotados) en conjuntos compactos; intervalos en intervalos y conexos en conex()s, Finalmente, además de todas estas ventaja,;, es muy fácil construir una gran cantidad de ellas por medio de sumas, restas, productos, cHocientes y composiciones de funciones continuas más simples Comencemos por 10 tamo con la definición:

Definición 120 Sea F G C;;;; ll{n --> En¿ una fanC1ón y a E C, en donde G es un conjunto no vacío. Diremos que F es co"tú¿íW en a si y 8010 si:

v" (F(a))).

(VIO> 0)(38 > O)(Vx E G) (x E ~( ~m, con G no vacío. Entonces F es continua en G si y sólo si para todo a E G n G I se cumple: lim F(x)

=:'7

x--+.a

F(a).

o equivalentemente: (VE:

> 0)(36 > O)(Vx E G)(llx-ai! < 8 =;. !lF(x) - F(a)1I < E).

Por otro lado, si usamos la proposicíón anterior junto con la Proposición 101 de la sección anterior, se tiene el siguiente resultado~

Proposición 123 Sea F = (.tI, 12 .... , fm) 7lna función vectorial y a E G. Entonces F : G S Rn - 4 R,m es continua en un p71nto a si y solo si cada 'una de sus funciones componentes fj : G ~ ~n ........ ¡;¡; es continua en a. &ta última proposición nos permite analizar la continuidad de funciones vectoriales, estudiando sólo la continuidad de funciones reales. Por consiguiente, en lo sucesivo consideraremos sólo funciones reales.

Ejemplo 124 Sea F ; ](n -+ ~m una funci6n localmente lipschitziana en el punto a E ~n. En otras palabra.s suponga qu,e existe 7' > O Y existe K > O tal que,

"Ix E Vr(a)

=>

ijF(x) -

F(a)l!

s: Ilx -

all·

Demuestre que F es continua (;n a. Solución. Hay que demostrar que.

('VE> O)(3f > O)(Vx E Rn)(ilx - al! Entonces, si

E

> O, basta tomar

< b => !!F(x) -

8 = min {7',

~ }.

F(a)j¡

< E).

Esto termina la demostración.

Ejemplo 125 Sea F : lR n - 4 Rm una transformación linea.l, esto es, una función vectorial definida por una expresión del tipo:

en donde A es una matriz m x n. Demuestre que F es continua en todo ]Rn. Más aun, demuestre que F es Lipschitziana: existe K > O tal que, para. todo x e y en]Rn se cumple:

IIF(x) - F(y)i! :::; K lIx - yll. Solución. Observe que,

79

4.5. CONTINUIDAD Ahora, de acuerdo al Probiema 16, págin" 24, pxiste K > O tal qúe:

IIF(x) - F(y)li S J( !!(x- y)Tl! :::: K :ix - yl!· Esto termina la demostración.

CelTaremos esta sección con un teorema Hamado "Teorema de Enlace", mediante el cual es posible caracterizar 18. continuidad con el uso de sucesiones:

Teorema 126 Sea G

~ ~n

conjunto no vacío, ron a E G Y suponga que: f: G

Entonces cumple:

f

es contin7Ja

f'h

->~.

a si y sólo si paro toda sucesión {x7JJ

[n --400]

~ G, se

(4.8)

Demostración. Condición necesaria. Supongamos que la sucesión {xn} ~ G converge ai punto a. Demostraremos que la sucesión {f(x n )} converge al límite f(a). En otras palabras. demostraremoo que:

(VE> O) (:3N

E~)

(\.in E N)(n:2: N

=-::;,

[f(x n )

f(a)¡ <

-

f.

Como la función f e., continua en punto a (ver Definición 1:':0), dado E> O, debe existir 6 > O, tal que. 1IIX -

Ahora bien, ya que tal que:

(j

al,'1

< IJ<

==>

'!Jf\X; i) -

> O. dado que X'1--> a.

t"(')1 a ,<

SI' ti'2Il8

.

t ..

(4.9)

que debe existir un N E N,

Por lo tanto, de acuerdo a la Bcuación 4.9, se tiene que:

n ;::: N

=?

:f(x,,) -- f(a)! <

é.

Esto termina la demostración de ia condición r.ec8:3aria. Condición suficiente. Se hará por el contrarecíproco, Supongamos que f no es continua en a. Demostraremos que no se cumple Jg condición 4.8 sobre las sucesiones: si f no es continua en a, entonces debe (Cumplirse que:

(:lE> O) (V6 > O) (3x E G)( lix - al! < 8

1\

!f(x) - f(a)1 > E).

CArÍTULO -4

80

LllvIITES Y CONTINUIDAD

Tomando 8 :.= l/n, con n E i~, este re::mltado nos indica que es posible hallar una sucesión {xn} ~ e, tal que Xn

--

a

"

f(xn)'-h ¡(a).

[11 --400].

Luego no se cumple la condición relativa a las sucesiones. demostración, •

Esto termina la

*** Finalmente daremos dos teoremas muy importantes que involucran a las funciones continUB.s:

Teorema 127 Suponga que K

~

iRn es un subconjunto compacto no vacío y,

f :K

--+]R,

una función continua. Entonces el conjunto f(K) ~ ~, es también compacto, esto es, cerrado y acotado.

Demostración. Para demostrar que 1(1 IR definida por: 7r j(x) =-Xj

para todo

x E lRi. n es continua en IR". J

Solución. Sea a = (al, Q'2, , .. a,,) un punto arbitrario de ll{n. Demostraremos que g es continua en a. Esto significa que hay que demostrar que:

Esta expresión es equivalente a:

(V€ > 0)(38 > O)(Vx E I.{") (x E t'¡;{a) =>

Xj

E

Ve

(aj)).

o, usando normas y valores absolutos:

(V€ > 0)(36 > O)(Vx

E

lR") (11x -

all < {; =>

IXj -

ajl < f).

Ahora bien, esta implicación también es trivial tomando 8 siempre se cumple la desigualdad:

Esto termina con la demostración.

= ( y observando que

83

4.7. CLASES DE FUNCIONES CO;VTTNCA:,: Ejemplo 133 Demuestre que l.a funci6n nal. ¡li",,, ~\ -_ .,.2 U .: . .,'2 J ,,_u_,..,,_} --.v ~. : '-

es continua en ~3. Solución. Si llamam0S x a la variable vectorial (:r,y,z), tendremos, por el ejemplo anterior, que las si¡¡;uientffi funcione8 proyecciones sor, continuas en todo ]R3; I

,

íTz\Xj

= y;

Luego, aplicando Proposición 129, se tiene que la función:

es continua en todo ~3.

Ejemplo 134 Demuestre qu.e la función real,

l(x. y, z)

= sin.Jx 2 IUi +

z2

+ L,

es continua en R3. Solución. La función, h(:r,y,2) = iyi: es igual a la compuesta entre la fundón continua [unción valor absoluto:

7T2

del ejemplo anterior y la

Por lo tanto, la Proposición 1.30 nos asegura q'le la fUllción h es continua en ]R3. Ahora, de modo similar a Jo que se hizo en el tercer ejemplo, se deduce que la función.

también es continua y una nueva aplicaci6r; de la Proposición 130 nos asegura la continuidad de,

,/72 v...v

¡,~+-::2+-1 "'-' , i.~:

Finalmente, como la función seno también

también lo será.

e3

continua. la cumpuesta,

CAPÍTULO 4. LÍl\l[ITES y CONTINUIDA.D

84 Ejemplo 135 Sea'

.

2 {X Sin(X+ Y)

¡(x,y) =

x:/:y

:r - y

;;;=y.

O

Encuentre todos los puntos del p:ano en donde

f es continua.

Solución. Dividiremos el problema en tres casos; Caso 1. a:/: b. Para estos puntos la función f es continua ya si (a, b) cumple con Q."I b, entonces exist.e una vecindad Vé((o"b)) centrada en dicho punto tal que todo par ordenado (x,y) Eí/d(a,b» c~mpJe con x "1 y. En consecuencia en dicha vecindad la función está bien definida por la expresión: x'2

sin(x --j- y) x-y

y por lo tanto, siendo el numerador y el denominador de esta expresión funciones continuas, también io será el cuociente entre estas dos funciones. Esto demuestra que f es continua en todos estos puntos (a,b). Caso n. a b, con a =F O. La función no es continua en estos puntos. Para probar esta afirmación demostremos que la función no tiene límite en el punto (a,a). Lograremos esto mostrando que el valor de los límites radiales, es decir, a lo largo de rectas que pasan pt)r el punto (a, a) dependen de las pendientes de dichas rectas La ecuación general de una recta con pendiente m que pasa por el punto (a, a) está dada por la ecuación:

=

y(x) = mx + a - rna Si m "1 1, entonces el valor de la función f a lo largo de esta recta, con la excepción del punto (a, a), está dado por la expresión:

~sin(x +y)

x-y Vea Figura 4.4. Por lo tamo:

¡im (x,lIl-(a,a)

f(x, y(x))

. x2 sin(x + mx + a - ma) l 1m --~-------~ x-a X - rnx - a +ma :.2. (1

hm

x->a

sin(x+mx+a-ma) X - mx - a + ma

-~--------'­

Si x --> a, se tendrá que el denominador de esta última expresión tiende a cero y por lo tanto, si queremos que el correspondiente límite también exista, se deberá cumplir que también el numerador tienda a cero. E,sto es: lim sin(x

x->a

+ mx + a - ma)

= O,

8.5

4.8. PROBLEMA.S

I \

I

Figura 4.4: Caso II Como la función sin es una función continua, esto üitilno se cumple si y solo si: sin 20 = O. Esto implica que una condición necesaria para que exista dicho iímite, es que f O. Sin embargo, en estos casos e! límite tampoco existe. En efecto, aplicando la regla de L'Hospital se tiene: 2a = k7r, con k

. sin(x+mx+a-ma) l 1m

..

x->u

x-··a

X -

!}

11111 -'

rnx - a + rna

(1

+ m) cos(x + mx -i- a i -

ma)

'In

+ m) eos 20 1- m,

(~ +

rn) ('os k1!. 1 --

¡r¡

U+rn)(-l)k 1- rn

Por consiguiente, como el limite radial depende de m se tiene que el límite de la función no exíste en los puntos (a, a) con a /: O. Caso IIl. a = b = O. Se deja al estudiante demostrar que f es continua en este punto. Indicación: use la propiedad cero aniquila. Por consiguiente la función f es continua exact.amcute en el conjunto:

A.

4.8

= ~2_ ~(:r.x): x E R- {O}j'. l

'

I

..

Problemas

1. Calcule, en el caso que existan, los si!,:uientes límites: \ ( lim I limf(x,y)) , lim ('lilnf(r;,:¡)'):'

x-+O

\y-O

y~-.;.O

x-'U

I

I,im, , f(:;:,y) , (X,l/}-"'(O,O)

CAPÍTULO 4. tÍMITES y CONTINUIDAD

86

para las siguiente.; funciones en el dominios que se indican:

a)

b)

T¡j

f (x,y)

=

-;c---c

A

= R2 -

f

= -_.X2 + y2

A

= {(x,y)

A

= {(x,)!) E ~2: y:¡i a}.

A

= {(x,y) E JR2: xy =FO}

.

(X.?j) . .•

~~ -'- 1/;/

;:2 _. y2

(J;y)\

e)

. f( X, y)' = x SIn

d)

f(x.y) = (x+y)sin-~

1

el

f(x,y)

XV

xy

.

= -----:> X2 +y (O,o):!: --

y

x

lim

JlXYI

, 1

an (x,y)->(O.O)

sinxsiny

b)

l' xi + l' yl

d)

6. Considere la siguiente fllnci61~:

=1

(,Y,y)

(0,0)

(;r,y) = (OtO) (a) ¿Es posible hallar un v-alor A tal que

f

sea continua en todo el plano?

(b) Si el dominio es el conjunto G = {lx,y) : Ixl la respuesta es afirmativa y que A = -l. (e) Si el dominio es el conjunto G = {(.T, y) ; es afirmativa, pero en este caso A = 1.

< y2},

demuestre que

Ivl < x 2 }, entonces también

7. Considere la función,

xy f(x,y) = {

f

Demuestre que

Si (x,y)

=1 (0,0)

S; ('.c,y)

= (0,0)

es continua en todo el plano,

8. Considere la función,

f(

_

. x.y " ,)

(1- x2 _ y2) yfX2+yi_l

{ sin (x'" +y~ - 4) x2 +y2 - 4 ,','

Si x2 + y2 :::; 1 Si 1 < :r 2 + ,1j2:::; 4 Si4

<

1'2

+;l

Demuestre que f es continua en todo el plano, Dibuje aproximadamente la superficie que representa la función.

CAPiTULO 4. LL'vIlTES y CONTINUIDAD

88

9. Considere la siguiente función:

t (

f(x,y) = Demuestre que plano en donde

X?

+y'2 O

Si

I?JI < Ix1 3 !2

Si

;yl 2 ¡xI 3 / Z

f es continua en (O. O). Encuentre üldos los puntos del

f

es discontinua,

10. Demuestre la Proposición 101. lndicación: Para demostrar que los límites escalares existen, use la deslgualdad la, _. bit:::; Ila - bll. Para demostrar que el límite vectorial existe, use la desigualdad Ila - bll :::; lal - bII + laz -- bzl + ... + la", - bm !. 11. Considere la función F : O ~ IR 2

-> ]R3,

definida por:

Halle el dominio G y demuestre que F es continua en todo G. Indicación: use Proposición 123. 12. Sea F : ~n -> ]Rm una función vectorial Demuestre que F es continua en ~n si y solo si

F-1(0) = {x E R,''' : F(x) E G}, es abierto en ]R1! para todo conjunto G abierto en Rm. 13. Suponga que G e8 un subconjunto no vacío de iR y suponga además que:

f: G

-]R,

es una función continua. Demuestre que, para cada una de las siguientes interrogantes, que la respuesta es negativa. (a) Si G es acotado, entonces ¿también debe ser acotado f(O)? (b) Si G es cerrado, entonces ¿también debe ser cerrado f(O)? (e) Si C es cerrado y

f acotada, entonces ¿también debe ser cerrado

f(G)? (d) Si O es abierto, entonces ¿también debe ser abierto 1(0)? (e) Si G es abierto y

f

acotada, entonces ¿también debe ser abierto f(O)?

(f) Si G es acotado. entoncE:S ¿,ei supremo y el ínfimo dei rango de deben pertenecer a f(G)?

1

(g) Si G es cerrado, entonces ¿el supremo y el ínfimo del rango de deben pertenecer a 1(G)?

f

(h) Sí C; es acotado y f es acotada, entonces ¿el supremo y el ínfimo del rango de f deben pertenecer a f(G)?

89

4.8. PROBLEMAS

(i) Si G es cerrado y f es acotada, ent.onces ¿e! supremo y el ínfimo del rango de f deben pertenecer a j(el? 14. Sea K ~

jR2

un conjunto no vacío compacto. Demuestre que los conjuntos: K¡

{x E:R. : 3.!J E :R, (x,y) EA."} {y E R: :h: E JR, (J:,y) E K},

son subconjuntos compactos de

jR,

Indicación: Use Teorema 127 y Ejemplo 132. 15. Sea F : D ~ jRn ---> R'" una función Holder-continua en D. E'.sto €:'S, suponga que existen constante.,; K y (} positivas tales que pam todo x, y E D se cumple,

liF(x) - F(y)11

S; K

Ilx _ YII'"

Demuestre que F es continua en D. 16. Suponga que F : D ~ ~n ~ ~m es una función d.efinida en el conjunto abierto D. Demuestre que F es continua en D si y sólo si F- 1 (G) es abierto en lit n para todo conjunto abierto G s;:,: lR m . 17. Suponga que F : D s;:; jRn -. lit'" es una función definida en el conjunto cerrado D. Demuestre que F es continua en D si y sólo si F-1(F) es cerrado en lit n para todo conjunto cerrado F s;:; Rm. 18. Sea F : D e Nn ---> R. una función C'ontínua en la reglOn D. Suponga que existe a E D tal que F(a) > O. Demuestre que existe {j > O tal que F(x) > O para todo x E V;j(a). 19. Una función F : D s;:; jRn ~ ~m se dice que es uniformemente continua en el dominio D si para cada E > 0, exL.'ite UD 5 > O tal que dados cualesquier par de vectores x e y en D se cumple,

!Ix - Yli < {j =? iiF'(x) - F(y)i! < E. " Demuestre que si D es compacto

y F continua en D, entonces F es uniformemente continua en el donlÍnio D.

Indicación. Use el Teorema de Heine-Bonc'! (ver Problema 25, página 64). 20. Sea A un subconjunto no vado arbitrario de IR". función,

f{x) = ínf {ilx -- yli : y E A}, es una función uniformemente contiIl\1 funcione:: o más generalmente, una función que se conoce como función analítica, con dominio y recorrido en el plano complejo, entonces la parte real y la parte lmaginaria dE' ellas son funciones armónicas.

Ejemplo 142 Demuestre que la parte real y la parte imaginaria de la función de variable compleja u = z sin;::. satisfacen la ecuaci6n de Laplace. Solución. Si llamamos z a la variable compleja, es decir, si z = x+iy con x e y variables reales, entonces, de acuerdo a la definición de sin z dada en página 40, se tiene: 1L

=

(;r+iy)(sínxcoshy+icos:csinhy)

=

x sin x ccshy -- pcos.Ttiinh y + i (y "ínx cosh y + x cos xsính y)

Por lo tanto, la parte real de u e:., f(x, y)

:::'0

;z;sin x

1':08h

y - y cos x sinh y

y la parte imaginaria de u es,

g(.I',y) =ysin:rcoshy +xcOIóxsinhy.

f

Demostraremos que f es una función armónica. En primer lugar observe que y todas sus qerivadas parciales de cualquier orden, son funciones continuas.

Luego, lo único que faita por demostrar entonces es que de Laplace. Ahora bien, recordando que,

e" - e-Y sinhy = - - - 2

y.

coshy

f

satisface la ecuación '11

e -r =-2 (C

se tiene que:

(sinhy)'

= coshy;

(coshy)'

= sinhy.

5,3. DERfV:1DAS PAHCJAl,E."í i)1,

97

Sfi/'EJUOH.

()}i!J}rdcnc,."

f

tiene derivadas

CAPiTULO 5.

98

DERIVADAS PARCIALES

FÓrInula de Taylor en varias variables

5.4

Recordemos la fórmula'de Taylor en una variable; si f es una función infinitamente difel'enciable en el intervalo (e - 1', T + r) ~ ::R, entonces se tiene que:

f'(c) = f(e) + -' --(x l! .

f(x)

e)

1"((:\

+ -~(:r - C)2 + ... + 21

.

((n l

(,,:)

_J_ _ L

n!

(x - c)n + Rn(x)

en donde Rn(x) es una expresión conocida como RESTO y está dada por: f(n+l)(~)

Rn(x)

= (.n+. 1)!' (x -

n-1

e)

,

J'

en donde ~ es un valor que se encuentra en el intervalo que une x con c. El polinomio, P,

n

(x)

f '(e) = f(e)~ + -'-(x 11

e)

f lI(e)

+ -'-(x 2!

f(n)(e)

C)2

+.,. +' - n! ( x -

c)""

se lo conoce como polinomio de Taylor de grada TI. Para el caso particular en que e = 0, la fórmula de Taylor queda:

f(x)

= f(O), + -"fliO) -,'-x + l!

("(O)., _~_x'J. +".

_J

2!

;(71,)(0) ,.

f(n+1)(~)

+ ~--J.," + ", n!

(r!+1)!

' xn+l)

expresión en donde se incluyó en forma explícita el RESTO. Para poder entender mejor la generalización de esta fórmula al caso de varias variables, volvamos a fficribir esta última fórmula, pero usando la convención de escribir D k f (O) en vez de f(l O) (38 > O) (Idxl < 8

~

IDf - dfl ~

E

Idx\)

Como dijimos anteriormente, Df ~ df cuando dx es "pequeño". Usando la Identidad 6.4, podemos escribir:

f(a + dx)

~

f(a)

+ df·

(6.5)

Esta expresión nos dice que el valor z = f(a+ dx, b+ dy) puede ser aproximado por el correspondiente valor sobre el plano tangente a la superficie en a. En otras palabras, podemos escribir:

81

of

f(a+dx,b+dy)~f(a)+ ox(a)dx+ ay (a)dy.

(6.6)

Para ejercitarse un poco con estos conceptos, veamos un ejemplo:

Ejemplo 172 Calcule aproximadamente, usando una aproximación lineal mediante diferenciales, el valor de J{2.99)2 + (4.01r~.

Solución. Considere la función f(x,y) = (x 2 + y2)!. Esta función claramente es diferenciable en el punto (a, b) = (3,4). Además el valor que se pide calcular es justamente,

f(2.99, 4.01)

= )(2.99)2 + (4.01)2

Por lo tanto, tomando a Fórmula 6.6, obtenemos:

= (a,b) = (3,4);

1(2.99,4.01)

j(a + d;T;, b + dy) ~~

(dx,dy)= (-0.01,0.01), y usando la

fea) +

of

o~ (a)dx

af

+ "ay (a)dy

=

( ,af ' ) j( 3,4 ) + af ox (a)· --0.01) + ay la . ü,(il

=

J3 2 +42+ 1823+ 42 (-0.01) + y'3 2 ~ 42 (0.01) 0.03

0.04

.) - - S + - .5

= 5.002.

El valor exacto hasta el séptimo decimal es 5.0020196.

121

6.2. INTERPRETACIONES GEOMÉTRIC4S

Ejemplo 173 Ca nsidere la fu nciAn f (x, y) = x + y + X2 + y2. En el punto (2,3,18) se traza el plano tangente a la superficie z = ¡(x,y). Si llamamos L a la recta que formada por la intersección de este plano tangente con el plano z = 0, encuentre el área del triángulo fonnado por la recta L y los ejes x e y. Soluci6n. La ecuación del plano tangente es:

af ox

+ (y

z - 18 = (x - 2)-(2,3)

'

af ay

- :3)-;:-(2.3) = 5(x - 2)

+ 7(y

- 3).

Ahora, la ecuación de la recta L, se encuentra haciendo z = 0, esto es: -18

= 5(x -

2) + 7(y - 3)

Para hallar el área del triángulo descrito en el problema, debemos hallar las ( intersecciones de la recta L con el ejes coordenados x e y. 1) Haciendo x = O, obtenemos la coordenada en donde la recta. intersecta al eje y. Esto es:

-18=-1O+7y-21

2) Haciendo y eje x. Esto es:

===>

y=13!7

= O, obtenemos la coordenada en donde la recta intersecta al -18=5x-1O-21

===>

x=13/5

Por lo tanto, el área busc-ada es:

A

= ~ 1313 = 169 27.570

[u] 2 .

Ejemplo 174 Halle el volumen encerrado por los tres planos coordenados y el plano tangente a la superficie en el punto (2,3,18). Solución. Como la ecuación del plano tangente está dado por:

z - 18 = 5(x - 2) + 7(y - 3), para hallar el volumen encerrado por los cuatro planos indicados, hay que conocer las coordenadas de aquellos puntos de los ejes x, y, y z en donde el plano tangente corta a dichos ejes. Ahora bien, es claro que los interceptos con los ejes x e y son los mismos que hallamos en el problema anterior. Por lo tanto sólo nos falta calcular el intercepto con el eje ~';. Para esto, hacemos x = y = O en la ecuación del plano tangente:

z-18=-1O-21

-==::;,

z=-13.

Por lo tanto, el volumen pedido es:

v

= ~ 13 13 _ 2197 6 7 .5 13 - 210'

CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDAD

122

6.3

Diferenciabilidad y continuidad

En el caso unidimensional se tiene que si f es diferenciable, entonces también es continua. Este resultado también es cierto en varias variables:

Teorema 175 Sea f : G

~ ]R.n ~

tanto,

1R una f?.mci6n diferenciable en el punto a. Por lo

f es localmente lipschitziana en

a interior a la regiÓn Ce Entonces

f es continua en a.

Demostración. Demostraremos que f satisface una condición local de Lipschitz en una vecindad de a. En efecto, como f es diferenciable en el punto a, se tiene que,

If(x) - fea) - ¿:~~.~ Dkf (a)(xk - ak)1 Iim

IIx - all

x-a

Esto significa que si

E

> 0,

Ilx - all < 6 ~

= O.

entonces debe existir un 8 > O tal que:

If(x) - fea) - ¿:~~~ Dkf (a)(xk - ak)1

!Ix _ all

Tomando f = 1, se tendrá entonces que existe 6 > O tal que 11.5 (a)

Ilx - all < 8 =-

< E. ~

C y además,

k(X) - fea) - ~ Dkf (a)(xk - ak)1 < Ilx - all·

(6.7)

Por lo tanto, si Ilx - all < b, entonces se cumple la implicación 6.7 y por consiguiente, de acuerdo al Ejemplo 125 de la Sección 4.5 se tiene:

If(x}-f(a}-:~ Dk! (a)(xk-ak) + :~~ Dd (a)(Xk-ak) I

If(x)-f(a)1

< If(X)- f(a)-1~ Dd (a)(Xk-ak)/ + I:~~ Dd (a)(Xk-ak)1 <

Ilx - all + [(lIx - all =

(K -+-

l)llx - all·

Esto demuestra que! es localmente lípschitziana en V6(a) y por lo tanto, de acuerdo al Ejemplo 124 también es continua en a. Esto termina la demostración .

•

~

Es importante hacer notar que el Teorema 175 solo nos proporciona una condición necesaria para la diferenciabilidad. El siguiente ejemplo muestra que una función puede ser continua sin ser diferencíable:

Ejemplo 176 Demuestre que la función,

! (x, y) =

fl

x

!V/ 3/ 2

x2

i= (O, O)

+ y2

(x, y)

O

(x, y) = (O, O)

f! contmeua. pero no diferenciable en (O, O).

, ('¡A.

123

VUNCIO~~'S ~~(O,O)

+ k2

Ihllkl 3/2I

(h2

+ k2)3

= h, este último límite queda:

Ahora es claro que este último límit.e no existe diferenciable en el origen.

6.4

lim

(h,k)~(O,O) v'h2

r por

lo

tanto la función no es

Funciones vectoriales diferellciables

La importancia de las funciones diferenciables está en el hecho que es precisamente con ellas que se trabaja prioritariamente en cálculo. A ellas se puede aplicar por ejemplo, la regla de la cadena, (que veremos luego), regla sin la cual prácticamente no habría cálculo. Considerando, por otro lado, que una de las formas más útiles de la regla de la cadena se da justamente para la derivada de la función compuesta f o g, en donde f y g son funciones diferenciables, con f real y g vectorial, ambas de varias variables, es que se hace necesario definir diferenciabilidad para funcione vectoriales. A pesar que también es posible definir este concepto de manera análoga a la dada para funciones reales (Vea Definición 166) y a partir de ella demostrar que una función vectorial g = (g}, g2,' .. , gm) es diferencíable si y sólo si cada una de sus funciones componentes gJ es díferenciable, hemos proferido definir la diferenciabilidad de g en términos de sus funciones componentes.

Definición 177 Suponga que f : G ~ Rn ---+ jRm es una función vectorial definida en la región nO vacia G. Supongamos además que:

f(x) = (!1(x),h(x),,·, ,fm(x))

2

CAPÍTULO 6.

124

DIFERENCIABILIDAD

Entonces diremos que f es una función diferendable en a si y sólo si cada función componente ik es dijerenciable en a. Además: La matriz fl (a) definida por:

f/(a)

af... (

a

Xl

1

a,

ah, ) aXl

- ta

=

afmo (a) aXl

~f1

~f'-.(a)

aj'; (a)

aX2 f 8X2

(a)

OX n ah (a) aX n

OX

afm la) oXn'

m ( \ a a

J

se conoce como la derivada de f en a. T T La función vectorial df, definida por (df(dx» =(fI(a»dx la diferencial de f en a. Esto es:

T

(df(dx»

=

[

ail

8ft

af)

OXl ah OXl

a

8X2

al; o 2 aXn

8fm aXl

8fm 8X2

8fm aXn

a~

k=n

8h

k=l

ox dXk k

L

1r

j

k=n 8h 8x dXk k=l k

¿

(6.8)

l

se conoce como

dx 1 dX2 dx n

1

k=n ah ¿-dxk 8Xk k=l

en donde todas las derivadas parciales e.stán evaluadas en a.

r

Como ya habrá observado el lector, las componentes de la matriz de la diferencial df corresponden justamente a las diferenciales de las funciones componentes de f. Esto es:

Proposición 178 Sea f : G ~ ~n ---¡. lli: m una función diferenciable en el punto a interior a la región G. Entonces f es localmente lipschitziana en a. Por lo tanto, f es continua en a. Demostración. Por definición cada una de las funciones componentes fk de f es diferenciable en a y por lo tanto, de acuerdo al Teorema 175 cada función componente es localmente lipschitziana en a. Esto significa que existe un r > O y un K > O (¿cuales?) tal que para k = ],2, ... m se cumple:

6.5. FUNCIONES CLASE eN (G).

125

Ahora, considerando la desigualdad,

se tiene que para todo x tal que \\x - all :S

IIf(x) - f(a)l¡

= < <

1',

se cumple,

I\(h (x)-fl(a),h(x)- fz(a) , .. ,fm.(x)- fm(a»11 Ifl (x)- h (a») + Ih(x)- f2(a)1 + ... + If",(x)- fm{a) I mKllx-all·

Esto termina la demostración. _ Considerando que tanto la noción de diferenciabilidad como la expresión para la diferencial de una función vectorial de varías variables f, así como otras propiedades, como la propiedad lipschitziana que acabamos de demostrar, pueden ser expresadas exclusivamente en términos de sus funciones compo,nentes, es que nosotros, con muy pocas excepciones, no haremos uso de es'tos conceptos vectoriales. Por consiguieme, de ahora en adelante, seguiremos trabajando sólo con funciones reales de varias variables.

6.5

Funciones clase Cn(G)

Nuestro próximo teorema nos proporciona un medio muy expedito para reconocer, en la mayoría de los casos prácticos, una función diferenciable.

Teorema 179 8ea f : G ~ ]Rn ~]R una funci6n definida en la región G. Suponga que todas las derivadas parciales,

01 of

8f

ox} , OX2' ... , OX n

f

existen y son continuas en un cierto punto a perteneciente a G. Entonces diferenciable en a. Demostración. Sin pérdida de generalidad supondremos que n a =(a, b) y que h =(h, k) Debemos demostrar que: lim (h,k)->(O,O)

If(a + h) - l(a)- hf¡(a) - kfz(a)1 = O Jh 2 + k 2

= 2,

es

que

(6.9)

'

en donde fI y fz son las derivadas parciales de f respecto a x e y respectivamente. En primer lugar observemos que la expresión f(a + h) - f(a) puede ser escrita como;

{J(a+ h) - f(a, b + k)} + {J(a, b + k) - f(a)}.

(6.10)

Ahora observe que las expresiones que se encuentran, dentro de los paréntesis de llave, c.orresponden a incrementos en solo una de las variables. En el primer

CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDAD

126

caso b+k no cambia; en el segundo es a la que se mantiene constante. Aplicando entonces el teorema del valor medio en una variable, se tiene que: f(a+h,b+k) -f(a,b+k) = hh(al)

f(a+h)-f(a,b+k) fea, b + k) - fea)

en donde al [O, 1J.

= (a + th, b + k)

f(a, b + k) - f(a, b) Y

a2

= (a, b +

= kf2(a2),

sk), con t

y

s números reales en

Por lo tanto, reemplazando en la F..cuación 6.10 se obtiene que:

Reemplazando a su vez esta expresión en el numerador de la Ecuación 6.9, se obtiene que:

If(a+h)- f(a)-hh (a)-kf2(a)I < h Ih(al}-fl(a)1 + k Ih(a2}-h (a) 1

:; y'h2 +k 2 {lfl(al}-h(a)I+If2(aZ}--f2(a)l} Reemplazando en la lim

If(a

F~uación

+ h, b + k) -

(h,k)-> (0,0)

:;

lim

6.9, se obtiene: fea, b) - hh(a) - kh(a)1 v'h2 + k 2

(h,k)--.(O,O)

Ifl (al)- J¡ (a)j +

lim

(h,k)->(O,O)

If2(a2)- h(a)l·

Ahora, como (h, k) -+ (O, O), se tiene que al -+ a y a2 -> a, en consecuencia, dado que ambas derivadas parciales son continua.'l en a, se concluye que:

y por lo tanto

f

es diferenciable en a Esto termina la demostración. •

Corolario 180 Todo polinomio P = P(Xl, X2, ... ,xn ) definido en]Rn es una funci6n diferenciable en ]Rn. Toda funci6n Q : ~ ]Rn - - t lR racional, esto es, definida como un cuociente de dos polinomios,

e

Q= !HXl,X2,." ,xn ) P2 (Xl,X2,'" ,xn )' es diferenciable en todo (Xl, X2, ... ,xn ) tal que P2(Xl, X2, ... ,xn ) =1= O.

Demostración. Ya que todas las derivadas parciales de P son nuevamente polinomios y las de Q son nuevamente funciones racionales, las cuales son obviamente continuas en e, se deduce del t.eorema anterior que P y Q son funciones diferenciables. Esto termina la demostración. • Ejemplo 181 Demuestre que el polinomio P{x,y) = x 2 fererciable en R,2.

+ 5xy 3 + X 2 y 7,

es di-

127

6.5. FUNCIONES CLASE eN (G) Solución. Las dos derivadas parciales de p, vale decir:

ap

-aF 5",3 + 2x,,7. ox = 2x..j....".

___ 1

Eh] -

H'

'_ + '

Sxy2

.Lt,

¡ ,~2y6 ~{.,

.

~

./

son fundones continuas en R 2 .

Ejemplo 182 Demuestre que la !7J,nción racinnal en daoS variables definida por: \

Q( x, y]

X

+ ¿j

= 2+--:-:1' ". T

es diferenciable en R·2 .

Solución. Las derivadas parciales de Q, vale decir:

aQ

Dx

1- 2xy - x 2 .

8Q

, + 1)2 ,

f}y

(x'2

= x2 + l'

son funciones continuas en ]t2,

Ejemplo 183 Demuestre que la función f(;¡;,Jj,:é) = xzsíny +x 2 ze Y es diferenciable en R3. Solución. Las tres derivadas parciales de h=zsiny+2xze Y ;

f,

2

h=J.:zcosy+x ze Y ;

2

h=xsiny+x eY •

son continuas en 1(3.

Observación 184 Los Teoremas 175 y 179 nos permiten hacer el siguiente esquema de implicaciones:

f tiene derivadas parciales continuas

==?

f diferenciable

-~

f continua.

La siguiente nomenclatura es de uso común:

Definición 185 Sea G ~ ]H." una región y :·mponga que f : G ........ R es una función cuyas derivadas parciales hasta el orden n son iodas continuas en G. Bajo estas condiciones diremos q'¡J,f f es de clase. C"(G). Usando esta nomenclatura, podemos escribir la siguiente cadena de implicaciones:

==>

f diferenciable

~

f continua.

El Ejemplo 176 y las funciones del Problema .5 son tres ejemplos de funciones continuas que no son diferenciables. En con5ecuencia la segunda implicación, diferenciabilidad ==> cont.inuidad, es una implicación de tipo estricto. Análogamente el siguiente ejemplo muestra que la primera implicación también es estricta:

CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDAD

128

Ejemplo 186 Demuestre que la funci6n,

={

f(x, y)

(x2+y2)sin O

(x,y) i (0,0)

vx21

y2

+,

= (O, O)

(x, y)

es una funci6n diferenciabl€ en el origen, pero sus derivadas parciales no son continuas en dicho punto.

Solución, Demostremos primero que f es diferenciable en el origen. Para ello debemos calcular las derivadas parciales en dicho punto: • 2.

af (0,0)

ax

= lim h-.O

Análogamente se demuestra que Ahora demostraremos que

If(x,y) -

feO, O) -

= lim

f(h,O) - f(O, O) h

f

af

ay (O, O)

n

SlDThI

h

h-.O

1 =0.

= O.

es diferenciable en (O, O):

af af xareo. 0l\ - Yay(O, O) I

vx2 +y2

< Por lo tanto, el límite del lado izquierdo existe cuando (x, y) -+ (0,0) yobviamente vale cero. Esto demuestra que f es diferenciable en el origen. Para demostrar que las derivadas parciales no son continuas en (O, O) tenemos que hallar

:~(x,y)

para (x,y)

parcialmente la expresión (x2

of

-o (x,y) x

(0,0).

+ y2) sin

la función, ba'3ta demostrar que

(x,y) i (0,0), se tiene:

i

af

OX

Esto es fácil, ya que basta derivar 1

"¡x2 +y2

. Además, por la simetría de

no es continua en el origen. Ahora bien, si

. 1 = 2XSlD -r=:;;=~ "¡x2 +y2

x 1 "¡x2 +y2 cos "¡x2 +y2'

Ahora, si tomamos la recta de aproximación '!/J(t) = (t,O) con t que

of -o (t, O) = x

. 1 2t SlD t

-

> 0,

tendremos

1

cos t

y ahora es claro que si t -- 0+, el límite no existe. Esto significa que continua en el origen.

:~

no es

129

6.6. PROBLEMAS

6.6

Problemas

1. Demuestre, usando la definición, que las siguientes funciones son diferenciables en (x,y) = (a,b).

b)f(x,y}=x 2 +y2 d)f(x,y)=x+y

a)f(x,y)=xy' e) f(x,y} = (x+y)2

2 . D¡;termine si las siguientes funcionffi son diferenciables en (O, O).

f) f(x, y)

g) f(x,y)

~{

(x2

~{

(x2+y2)sin

1 +y"") sin x2 +y2

(x,y)

O

=1 (0,0)

(x,y) = (0,0)

J

°

X2

1 +y2

(x,y)f-(O,O)

= (0,0)

(x,y)

3. Sea

f(x,y)

f

(a) Demuestre que

={

sin(xy)

si

1/

si

x

° x =°

x:f

es diferenciable en (O, O).

(b) ¿Es diferenciable en (l, 'ir)? (e) ¿Es diferenciable en (0,1)7 (d) ¿Donde son continuas las derivadas fx y fy? (e) ¿Puede Ud. deducir alguna propiedad de pregunta anterior?

f

usando la respuesta a la

4. Encuentre las diferenciales de las funciones ameriores en (x, y) = (a, b). 5. Demostrar que las siguientes funciones, a pesar de que sus derivadas parciales existen en (O, O) no son diferenciables en (O, O).

a) f(x,y)

= JiXYl (x, y)

=1

(x,y)

= (0,0)

6. Determine los valores de a para que

(O, O)

f

sea diferenciable en (O, O) :

- { (x2 +y2)"sin 2 1 2 f( x,y ) -. x +y

°

7. Determine la diferencial total de

(x,y)

=1 (0,0)

(x,y) = (0,0)

f

para:

CAPÍTULO 6, DIFERENCIABILIDAD

130

a) b) e)

x 2 + xy + 2y 2 en e; punto (1,2).

eX+Ysin(xy) en el pU:lto (1,1r/2), (x2 + y +

8. Calcule

z) sinx

en el punto (1r/4, 1,2).

f' (~, ~, 1)

para: 2 4 J a) f (x,y, z) = x 2yz, b) f (x, y, z)

9. Calcule f' (a, b) para a) f(x, y) 10. Sean f(x,y)

=y -

= ysinx cosy.

= x + y2, b)

1 + sinx. y 9 = ycosx

f(x,y)

J:

= xsiny.

sinx esintdt. Encuentre las

siguientes derivadas en (1r/6, 1):

a) (f

+ g)'

b) (fg)'

e) (f /g)'

11. Demuestre que la normal a la esfera (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 siempre pasa por el punto (a, b, e).

12. Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto que se indica. a) b)

e)

z = x2 +y2 z=xy z = COS1rX +siny

(-2,1,5)

f 2) \1r,1r,1r

(1,1r,-1).

13, Demuestre que el plano tangente en (a, b, e) al elipsoide . ax by cz está dado por la ecuaCión A:2 + B2 + C 2 = 1.

2

~

2

+ ~+

2

b

= 1

14, Demuestre que la suma de los cuadrados de los interceptos de todo plano

tangente a la superficie X 2/ 3 + y2/3 + z2/3 este valor.

= a2 / 3 es constante.

Encuentre

15. Halle al ecuación de la recta tangente a la curva determinada por la intersección de las dos superficies que se indican, en el punto dado:

a) b)

z z

= x2 +y2 = x2

z = 2x+4y+ 11 z=5-y2

(1, -2, 5) (2,1,4).

16. En los siguientes problemas halle df y 6.f para los valores indicados.

a) b) c)

5xy sin (x + y) xz 2 X2 -

x = 3 x=1r/6 x =3

Y =-2 y=1r/3 z =-2

dx = -0.01, dx = 21r; dx = 0.01

17. Calcule usando diferenciales el valor aproximado de:

dy = 0.02 dy = 31r dz = -0.02.

131

6.6. PROBLEMAS

r ..

Figura 6.1: Problema 22. Cuerda elástica vibrante.

+ (1.99)2 + (5.97)2 [(3.01)2 + (1.98)4 + (6.02)2 + 5(1.97)2] -1/2.

(a) J(3.02)2 (b)

18. El período de un péndulo está dado por T = 27r0/g, en donde l es el largo del brazo del péndulo y 9 es la constante de aceleración gravitacional sobre la superficie de la tierra. Aproxime el error que se comete al calcular T si se sabe que el largo del brazo del péndulo es 8 ± 0.01 [cms] y que 9 = 9.8 ± 0.02 [mi seg 2 ) • 19. Demuestre que la recta normal a la superficie i(x, y, z) P= (a,b,c) es

x-a ix(P)

y-b

= fy(P)

-

=e

en el punto

z-c (P) .

7z

20. Mostrar que cualesquiera de las superficies de la familia

xyz + b(x + y)2 + 3z 2 + z - 27 = O, es ortogonal a cualesquiera de las superficies xyz + a (xz el punto de intersección (1, -1, :3).

+ yz) + 3 = O en

21. Demostrar que el ángulo agudo a entre el eje z (po..'litivo) y la normal a la superficie f(x,y,z) = O en un punto cualquiera esta dado por

22. Derivaci6n dinámica-geométrica de la ecuaci6n del movimiento de una cuerna vibrante: En este ejercicio deduciremos, como l:na aplicación del uso geométrico de los diferenciales, la ecuación del movimiento de una cuerda vibrante. Ver Figura 6.1.Supongamos que se tiene una cuerda elástica, con los extremos fijos y que la amplitud de oscilación de la cuerda es muy pequeña en relación a la longitud L (en el dibujo se realzó la amplitud para una mejor visualización). Bajo estas hipótesis podemos asumir que un punto (x, y) de la curva tielle un movimiento sólo en sentido

132

CAPÍTULO 6. DIFERENCIABILIDAD vertical. La componente y = u(x. t) depende n') sólo de la componente x, sino que también del tiempo (la cuerda se mueve). Si suponemos que la densidad de la cuerda es a kg/mt, y el peso de la cuerda es despreciable respecto a la tensión T, entonces el segmento de cuerda ubicado entre x y x + dx tendrá una masa dm ==' adx y se moverá solamente bajo el influjo de la componente vertical T", de la tensión T =T xi + T uj. Por lo tanto, de acuerdo a la ley del movimiento de ~ewton (masa x aceleración=fuerza) se tiene ad.Lf# ~ T,,+du -- Tu. Bu

8u

Pero por otro lado, Tu = Ix tan () = T x a;; = k 8x ya que T x es constante en la dirección horizontal. Luego, reemplazando en la ecuación de movimiento, se obtiene que, adx

~~

==' k

(:~) (x + dx) - k (~~) (x).

Por lo tanto:

Luego, haciendo tender dx a cero, se obtiene la ecuación buscada: a fJ2u

k

[}tZ

82 u

= 8x Z '

(6.11)

Capítulo 7

AIgebra de derivadas 7.1

Derivada de la suma, producto y cuociente

Proposición 187 Sean f, 9 ; G a E G. Entonces,

~ jRn --->

kl; -1+9

IR dos funciones diferenciables en

y

Ig,

son funciones diferenciables en a. Además:

(kf)'(a) (1 + g)'(a) (1g)/(a)

=

kf'(a) f'(a) + g/(a) 1 '(a)g(a) + I(a)g'(a).

Proposición 188 Suponga que f y 9 satisfacen las mismas condiciones que en la proposición anterior. Entonces si g( a) #- 0, la función f / 9 también es diferencíable en a y se tiene que:

(1)'

(a)

= I'(a)g(a) -

9

f(a)g'(a) (g(a)):2

Demostración. Todas las demostraciones Hon parecidas a sus similares de una variable. • Ejemplo 189 Halle la derivada de ye X

f(x,y)

= eX+e Y '

por dos métodos. Primero usando directamente la definición y luego usando la f6rmula del cuociente dada por la proposición anterior.

CAPÍTULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

134

Solución. De acuerdo a la definición, la derivada es:

=

f'(x,y)

=

ra! a!] Lax'

= [ycx(ex+cy)-c>:ye,eX(e+eY)-yexeY]

(ex + ey)2

ay.

ycX~, e2x + (1 _ y)

(":H

(ex Y ,' .

J

(e x +e y)2

[ (e x +e y )2

+ e y )2

Ahora, calcularemoo la derivada usando la fórmula del cuociente:

h(x,y)

= eX +e

Y,

entonces, g' (x, y)

= [ye

de manera que si escribimos x

!

'(x)

=

=

X

,

eX];

== (x,y),

h' (x,y) = [eX,eYj, se tiene:

- 9 (x) h' (x) (,ft)'h(x') = g' (x) h (x) (h(X»2 [ye X, eX] (eX + eY ) - ye X [eX, é'] (,ex + eV) :.2 ye:.2x + ye x+y - ye 2x e:.2x + e X+Y -.. ye x+y ] L (c x +e y)2 ) (e x +e y)2

r

yex+~_ e 2x + (1 - y) e X +Y

r

Je x + e y)2'

(ex

+ ey )2

1

J.

resultado, que coincide con el obtenido anteriormente.

Ejemplo 190 Sea f (x, y) = ye X (eX + eY ). Calcule, de modo similar al problema anterior, la derivada de f en el punto (x, y). Solución. Usando la definición, se obtiene:

Ahora, escribiendo x

j'(x,y)

= (x,y) y usando la fórmula del producto, tendremos que: = = =

(gh)/(x)=g/(x)h(x)+g(x)h/(x) [ye X, eX] (eX + eY ) + ye X [eX, eYl [2ye 2x + yex+y, e2x + eX+Y + ye x + y ) .

135

7.2. LA REGLA DE LA CADENA

7.2

La regla de la cadena

Una de las propiedades más importantes de lp. d.priva es la regla de la cadena. En esta sección veremos la forma que ella adopt.a para funciones compuestas del tipo fog, en donde f es una función real y g vec'orial. Ce,mencemos recordando la regla de la cadena en una variabh,;;

Teorema 191 Snponga que A y B son dos subconjuntos abiertos de R. y que,

son dos funciones tales que g(B) t;:;: A. Suponga además que 9 es diferenciable en a y f es diferenciable en g(a). Entonces la f1Lnci6n

f

o9 : B ~

R. -

]R,

es diferenciable en a y además,

(J o g)'(a)

=f

'(g(a»g'(a).

Si Ud. no vio la demostración de este teorema en Cálculo 1, no importa, ya que ahora demostraremos la regla de la cadena en varias variables la cual, lógicamente, es una generalización de este teorema.

Teorema 192 Sean G y H subconjuntos abiertos de JR" Y ~ m respecti-vamente y sean: 'IJ "f: H e . - lR"'-;R.

g : G t;:;: lR "--+lR m

Suponga que g es diferenciable en a, Entonces la función,

f

es difeTf'nciable en g(a) y g(G) ~ H.

es d'iferenciable en a y además,

(f o g)'(a) = f '(g(a»g;(a),

(7.1)

Demostración. De acuerdo a la Definición 166, hay que demostrar que,

en donde los coeficientes Ak son los elementos de la matriz f I(g(a»g'(a). Si llamemos A a la matriz correspondiente a f '(g(a»; B a la matriz g'(a) y h a la función compuesta f o g, esto es:

A

=f

'(g(a);

B = g'(a};

h

=f

o g,

CAPÍTULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

136

entonces el numerador de la Ecuación 7.2 puede ser escrito como:

Lo que a su vez es menor o igual a:

Ilh(x)-h(a)-A(g(x)-g(a»TI+IA (g(x)-g(a»T-B(x-a)T)I·

(7.3)

Ahora, como g es difcrenciable en a, el Teorema 178, nos asegura que g es localmente lipschitziana en a. Por lo tanto, existe TI > O Y K > O tales que,

Ilx - all < TI

==!>

Ilg(x) - g(a) 11 ~ K Ilx - a!l.

Por otro lado, como la función .f es diferenciable en g(a), la Definición 166 implica que, dado f > O existe 1'2 > G tal que si Ilg(x) - g(a)!I < 1'2 entonces se cumple que:

h(x) - h(a) - A(g(x) - g(a»T Luego, si

1'3

2 = min { 1'1, rK

}

Y IIx - all <

1'3

< 2~ IIg(x) - g(a)l!. se cumple que:

Ih(x) - h(a) - A(g(x) - g(a»TI < ~ !Ix - al!.

(7.4)

Por otro lado, de acuerdo al Problema 16 de la página 24, se tiene:

lA {(g(x)-g(a»T_ B(x-a)T}1

~

1\;1 11 (g(x)-g(a»T- B(x-a)TII

~

M Ilg(x}-g(a)-(x-a)BTII

(7.5)

Como la función g es diferenciable en a (ver Definición 177) se tiene que existe O tal que:

1'4>

!Ix - all < 1'4 ==;.lIg(x) - g(a) - (x - a)BTII < 2~ IIx - all·

(7.6)

Combinando las Ecuaciones 7.5 y 7.6, se obtiene:

!Ix-al!

. 1Thm tIene , se uXl

. of obtiene - - y así sucesivamente. 8X2

.

CAPÍTULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

142

~

Sea f : G

Proposición 202

G y diferenciable en el punto a

todo vector unitario 11

:lR m

=

Runa funci6n definida en la región af (al,a2, ... ,a m ). Entonces an existe para

= (nI, n2,. "

---->

,nrn ) y además:

af -(a) = \7f(a)· n an

(producto interior de vectores)

Demostración. Seag(s) = f(a+sn) = f(al+snl,a2+sn2,'" ,am+snm )· Si Ud. recuerda la definición de derivada para funciones de una variable, se dará cuenta que la derivada direccional

:~ (a)

no es ni más ni menos que g'(O). Por

lo tanto, lo único que necesitamos hacer es derivar la función 9 Para hacer esto definamos ias siguientes variables auxiliares: Xl

=

al

X2

=

a2

n~pecto

a s.

+ snl + sn2

= Entonces, como 9 {~ una composición de dos funciones diferenciables (¿cuales'?), podemos usar la regla de la cadena:

,. = -----DI (jXI +---+ . 8f OX2 81 aXm ... + - aXl 88 DX2 as aX as

g(8)

m

a ax

en donde todas las derivadas parciales f I j están evaluadas en el vector (Xl, X2, ... ,x m ). Haciendo s = O Y reemplazando, se obtiene

,

9 (O) =

al af -a (a)nl + -a (a)n2 + Xl X2

... +

al -a (a)n m = \7f(a) . n Xm

Esto termina la demostración. •

Ejemplo 203 Encuentre la razón de cambio de f(x, y, z) = X + y2 + xyz3 en el punto a = (1,2,3) en la direcc'/6n y sentido del vector 5i + 7j - k. Solución. Un vector unitario n en la dirección y sentido del vector 5i+7j - k es: n

5i + 7j _. k

5.

7

1

= - - - = -1 + --j----k v'75 v'75 v'75 .jf5

Además

al = 1 + yz 3. ax ' af 3 o-y = 2y + xz ; . -af = 3xyz 2. oz ' -

al ox (a) == 1 + 54 = 55 af (a), = 4 + 27 = 31 ay

af

oz (a) =

'" 04.

7.6. PROBLEMAS

143

Por lo tanto:

af (a)

an

= ;) .~ + 7· 31 _ 54 = 146 v'3;.:::, 50.576. '1/71') v'75 J7s 5

Proposición 204 Sea f : G ~ ]Rm ---> R. d'ijerenciable ena = (al, a2, ... , a m ). Suponga que V f (a) =1= O, entonces la derivada direccional de f en a toma su valor máximo en la direcci6n y sentido del vector V I(a) y su valor m{nímo para

-Vf(a). Demostración. Caso m

:~ (a) =

= 3:

según proposición anterior

vf(a)· n = Ilvf(a)I!llnllcos1/l

= IIVf(a)lIcos1/l,

en donde 1/1 es el ángulo que hay entre n y V f(a}. Por lo tanto el valor máximo

af

que toma -(a) es cuando 'IjJ = O, ya que en tal caso cos'I/J = 1 y el valor an mínimo cuando 'I/J = 'ir puesto que cos 'ir = -1. Ahora estos ángulos corresponden justamente cuando n tiene la dirección y sentido de V f(a) y-V f(a) respectivamente. Si m ::::- 4 use la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el Problema 20 de la página 25. Fin de la demostración. •

Ejemplo 205 Encuentre el valor máximo que toma la derivada direccional la funci6n del ejemplo anterior en el punto a = (1,2,3).

de

Solución. El valor máximo de la derivada direccional se alcanza para el vector unitario dado por: n=

vf(a) =~i+~-·+~~k. J

Ilv f(a)11

\1'6902

V6902

v'6902

Ahora, este valor máximo es:

7.6

Problemas

1. Hallar la derivada direccional de la función z = x2 - xy - 2y 2, en el punto P (1,2) en la dirección que forma con el ~íe OX un ángulo de 60°.

=

=

2. Hallar la derivada direccionar de z x 3 - 2x2y + xy2 + 1, en el punto P = (1,2) en la dirección que va desde éste al punto Q = (4,6). 3. Hallar la derivada direccional deM==x,2.,.-]yz_±5, en el punto P en la dirección que va de P a Q = (15,5,15).

= (2,1,3)

CAPiTULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

144

4. Un punto en que la derivada direccional de una función es cero ( en todas las direcciones ), se llama "punto est.acionario". Halle todos los puntos estacionarios de las siguientes funciones:

a) b) c)

z = x2

+ xy + y2 -

4x - 2y 3xy u = 2y 2 + z2 -- xy - yz + zx =

z

x3 y 3 -

15. Demuestre que la derivada direccional de f(x,y) = y2jx, en cualquier punto de la elipse 2x 2 + y2 = él en la dirección de la normal a la curva, es nula. 6. Entre todas las rectas tangentes a la superficie z = x2 (2,1,8), determine la que tiene máxima pendiente.

+ 4y2

en el punto

7. Calcule la derivada direccional de f(x, y, z) = x 2 yz 3 - 8xy + Z2, en la dirección de la normal exterior al elipsoide x2 + 2y 2 + z2 = 18 en el punto

(1,2,3). 8. Hallar la derivada direccional de u = 2x 3 y - xyz2 sin 7rX, en el punto (1,2,3) en la dirección y sentido del segmento que va desde dicho punto hasta el punto (3,2,1) ¿En qué dirección la derivada direccional es máxima?¿Cuál es este valor? 9. Suponga que UI demuestre que,

=

f(r), es diferenciable de r. Si r

=

Jx2 +y2 +z2,

f '(r)

vi = --(xi+yj +zk). r 10. Suponga que

f : lRn-+lR

y g : ]Rn-+lR son diferenciables. Demuestre que:

\7(Jg) = f"Vg

+ g"Vf.

¿Que sucede con \7(f + g)? 1l. Encuentre el gradiente de las siguientes funciones:

a) b) e)

Xyé

xyz

x In y + x Y + zY e-xv sin(x + 2y + z).

12. Sea UI = f(r) en donde f es una función diferenciable y r = Jx2 +y2 Demuest.re que:

+ z2.

145

7.6. PROBLEMAS 13. Sea w que:

= f(x+y, x-y) en donde f es una función diferenciable. aw&w

.

2

Demuestre

1'··2

a;; ay = Ud - Lz) .

14. Sea w = f(x,y,f(:r,y,z») en donde f: ~3 renciable. Calcule, aw

a;r (1, 2, 3) +

sabiendo que f(1,2,3)

= f .. (1,2,3) =

...... l!!;,

es una función di fe-

8w

ay (1,2,3)

f y (1,2,3)

= f,,(1,2,3) = 3.

15. Si f, u y V son funciones diferenciables en JR2, calcule ah! ax y ah! ay en los siguientes casos:

h(x,y) h(x, y)

=

f(xY+t¿(x,y),x+v(x,y») f(u(xy,y),v(x,x +y)).

16. Suponiendo que J, u, v y w son funciones diferenciables en JR4, ~3, JR2 Y lR respectivamente, calcule ah! ex y ah! ay para la función:

h(x,y)

= f(u(x,y,x+y),v(x,y),w(x),x+y).

17. Sea J una función diferenciable en R Demuestre que:

Defina w

= f((x + y)!(x -

y».

18. Sea f : JR ...... JR una función con segunda derivada continua y e una constante. Demuestre que la funciÓn u(x, t) = f(x + ct) es una solución de la ecuación de onda:

19. Suponga que J : JR2 ...... R es una función diferenciable tal que, para todo tER Y para todo (x,y) E JR2 Re cumple que J(tx,ty) = tmf(x,y) para algún entero rn ~ 1. Demuestre la relación de Euler:

af x ex Generalize a n variabies.

e{

+x~

= mf(x,y).

CÁpfrULO 7. ALGEBRA DE DERIVADAS

146

Figura 7.2: Trayectorias ortogonales. Problema 21.

20. Un insecto se encuentra sobre una superficie a una temperatura T(x,y) = x2 + 3y2. Si el insecto se halla en el punto (1, 1), encuentre la ecuación de la curva y = 1(x) que debiera seguir si desea llegar lo más rápidamente posible a algún punto que se encuentre a 20 grados. ¿Cuál es este punto? 21. Halle una curva que, en cada punto del plano sea ortogonal a alguna curva deí tipo y = cx 2 para algún e E ~, en otras palabras: halle una trayectoria ortogonal a la familia de parábolas y = cx 2 . Indicación: Ud. busca elipses. Vea Figura 7.2. 22. Suponga que r.p y F son dos funciones con segundas derivadas continuas definidas en R 3 con valores en R, y R,3 respectivamente. Demuestre que:

(\7r.p) . (\7 X F)

\7

v

X

=

O

=

O.

vx

en donde el operador vectorial diferencial está definido para funciones vectoriales del tipo F =,hi + 12j + 13k, como, i

\7

X

F =det

j

~ 1,

a r !}x ay L 11 12 13

y recibe el nombre de " rotacional". El segundo operador diferencial \7. recibe el nombre de "divergencia" y se aplica a funciones vectoriales. Su definición, es:

div(F) = \7. F

=ah + ah + aJa. ax ay az

23. ün campo vectorial F se dice que es "irrotacional" si \7 X F = O Y se dice que es "selenoidal" si \7. F =0. Demuestre que si F y G son irrotacionales, entonces F X G es selenoidal. En particular demuestre que si U(x,y,z) y V(x,y,z) son flll1cionffi reales diferenciables, entonces (\7F) x (\7F) es selenoidal.

Capítulo 8

Funciones implícitas e • Inversas 8.1

Funciones implícitas

Sea F(x, y) una función real de dos variables continuamente diferenciable, digamos por ejemplo,

=

Si hacemos F( x, y) e ( con e constante) obtenemos una relación entre x e y. En nuestro ejemplo si e 25 obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio 5, esto es

=

Supongamos que el punto P = (a, b) es tal que F( (¡" b) = e ( es decir (a, b) pertenece al gráfico de la relación). Por ejemplo, los puntos P (3,4) Y Q (5, O) son dos puntos que pertenecen al gráfico de la relación x2 + y2 = 25, Se puede observar del gráfico que, para el caso en que P = (3,4) la función f(x) = J25 - x2 es una fundón difcrenciable definida en un intervalo abierto centr~do en x = 3, por ejemplo (2, 4) Y que c'umple con la relación x 2 +(f(x))2 = 25 Y además f(3) = 4 Ver Figura 8.l. Si consideramos ahora el punto (-3, -4), nuevamente vemos que existe una función dzferenciable y g(x) que cumpíe con g( -3) = -4, satisface la relación x2 + (g(X))2 25 Y está definida en una vecindad centrada en x -3, por ejemplo podemos tomar la vecindad (-4, -2). Obviamente esta función es g(x) -V25 - X2. En los dos casos considerados, se observa que existe una función diferenciable cuyo dominio es abierto e incluye, en el primer caso el valor x = 3 y en el segundo, al valor x = -;3. Es daro que, dado cualquier punto (a, b) sobre la circunferencia, con la única excepción de los puntos (-5, O) Y (5, O) siempre es

=

=

=

=

=

=

1 7

CAPÍTULO~.

148

FUNCIONES IMPLÍCITAS E INVERSAS

f(x) e y

Figura 8.1: Funciones y relación x2 + y2 = 25.

g(;;;) definidas implícitamente por la

posible hallar una función dijf'renciable y tres condiciones:

X2

=

f(x) que satisfaga las siguientes

+ (f(x))2 = 25;

el dominio de

f

f(a) = b Y que sea un conjunto abierto U

~ ~

y a E U.

En este punto podemos hacernos la siguiente pregunta: Pregunta: ¿Cómo es posible distinguir entre todos los puntos (a, b) pertenecientes al gráfico de una relación,

F(x,y) = c, aquellos para los cuales existe una función diferenciable y = f(x) que cumpla con las condiciones:

F(x,f(x)) = c; f(a) = b, El dominio de .f es un conjunto abierto U

~

lR. y a E U.

Y aquellos puntos (a, b) pertenecientes al gráfico para los cuales no existe tal función? Respuesta: La distinción se realiza del siguiente modo:

Paso 1. Asegúrese que la función w = F( x, y) sea continuamente diferenciable en una vecindad del punto (a, b): Por Teorema 179 de la página 125, para que w sea continuamente diferenciable basta que las dos derivadas parciales de w sean continuas. En nuestro ejemplo como w = X2 + y2 sus derivadas parciales,

8w

=2x 8x

}'

8w

-=2y, &y

son obviamente continuas el] todo el plano ya cas.

~:Iue

son funciones polinómi-

Paso 2. El punto (a, b) cumplirá con los requisitos exigidos, esto es que exista una función y = f(x) que cumpla con las tres condiciones siempre que: &w

a(a,b) i= O. y

149

8.1. FUNCIONES IMPLÍCITAS

=

En nuestro ejemplo 8w 2y, por lo tanto esta condición es equivalente a &y que 2b t- O, esto es, que b =f. O. Por consiguiente, dado cualquier punto (a, b) sobre la circunferencia, con la excepción de los puntos (-5, O) Y (5, O) siempre existe una función diferenciable y = f(x) que cumple con las tres condiciones ya señaladas. Este resultado es conocido como el teorema de la función implícita:

Teorema 206 Sea F(x, y) una función real, continuamente diferenciable defi8F nida en una vecindad de (a, b). Suponga que F( a, b) = e y que 8y (a, b) =f. O. Entonces existe una vecindad Vó(a) del punto a y 'una única función continuamente d'iferenciable y = f (x) definida en \'Í, (a) satisfaciendo la igualdad f (a) = b Y tal que F (x,f(x» = e, para todo x E Vó(a).

Observación 207 l. Este teorema nos indica en forma precisa la,> condiciones bajo las cuales es posible" despejar" una variable (digamos y) de una relación arbitraria (digamos x2 + yx + y3x = 8 de modo que la variable despejada sea una función continuamente diferenciable de la otra. Note que el teorema de la función implícita sólo nos f-l.segura este despeje en forma local, es decir, la función y = f(x) usualmente tiene las propiedadf'~ indicadas sólo en una vecindad del punto x = a. 2. Aún cuando el teorema de la ¡unción implícita nos asegura que existe una única función y = f(x) que cumple con las condiciones señaladas, en general no existe una fórmula algebraica para poder expresarla. Sin embargo, en muchas situaciones no es precisamente la función y j(x) lo que realmente interesa, sino sólo su derivada dy / dx. Más adelante veremos algunos ejemplos.

=

3. Si F fuera unn funcÍón de na." variables, d'l!,ftnlO:-i (x,y, z) y el punto (a, b, e) satisface la reiación }'(a, b, e) d, entonces para poder afirmar que existe una vecindad Vr(a,b) del punto (a,b) y una única función continuamente diferenciable z = j(x,y) definida en Vr(a,b) tal que, para todo (x,y) E l~ (a, b) se cumpla que:

=

a) F(x,y,f(x,y))

= d y b)

f(a,b) = e,

es suficiente que F sea continuamente diferel1ciable en una vecindad del punto (a, b. e) y además 81",

~~a,b,c) uZ

=f.O.

CAPÍTULO 8

150

FUNCIONES IMPLÍCITAS E INVERSAS

4. Supongamos ahora que tenemos dos funciones F y G"ambas funciones continuamente diferenciables de tres omasvariables. Para fijar ideas, supongamos que ambas son de cuatro variables, digamos x, y, u y v. Suponga además que el punto (x, y, 11, u) = (a, b, e, d) satisface el sistema:

(8.1)

F(x,y,u,v) C(x,y,u.v)

entonces una condición suficiente para que puedan "despejarse" dos de las variables en función de las otras dos, digamos las variables u y v en función de x e y en una vecindad del punto (x,y) = (a,b) de modo tal que u = u(x,y) y v = v(x,y) sean funciones continuamente diferenciables de x e y. cumplan con u(a, b) = e, v(a, b) = d Y por supuesto cumplan con el sistema 8.1, esto es que:

F(x, y, u(x,y), v(x,y)) G(x,y,u(x,y),v(x,y))

= k1

(8.2)

~

para todo (x, y) en la vecindad del punto (a, b), es que el jacobiano de F C respecto a-las variablf'.s que se desean despejar, vale decir 'u y v, sea distinto de cero en el punto P = (a, b, e, d). Esto es: y

oF a(F, C) ( )_ .

atu,v)

P-

oF

&u Ov oC· oC ou Ov

(P) = (aF ac __ aF

ou

&v

OC) (P) i- O.

au au

El procedimiento con si..:;ternas de más de dos ecuaciones con más de tres variables debiera ser ahora sencillo de generalizar . .5. Una vez que se ha demostrado que un "despeje" de la..,> variables elegidas (tantas como sea el número de ecuacionffi que se tenga) es posible de hacer de modo que tales variables resulten ser funciones continuamente diferendables del resto de las variables del sistema, podemos enfocar nuestra atención a un segundo problema: ¿cómo podemos calcular las derivadas parciales de estas funciones "despejadas" respecto al resto de las variables sin tener que darnos el trabajo de "despejarlas" realmente? Esto es, calcular estas derivadas parciales usando sólo el hecho que sabemos que es posible despejar dichas variables. Recuerde que el saber que es posible despejarlas con las propiedades ya mencionadas no significa que exista una expresión algebraica estándar para poder expresar estas funciones, o incluso que exista alguna expresión algebraica con un número finito de términos. A lo más se puede decir que en algunos casos sería posible expresar dichas funciones mediante algún tipo de series de funciones. Por estas razonffi, resolver el problema plantt'.ado tiene una gran importancia práctica. Por ejemplo, en' el sistema anterior, si,

a(F, C)

o(-u;;) (a, b, r., d) i- O,

1.51

8.1. FUNCIONES IMPLÍCITAS

entonces existen dos funciones u = u(x,y) y v = v(x,y) continuamente diferenciables en una vecindad del punto (x, y) = (a, b) que satisfacen el sistema 8.1, esto es, tales que cumplen con el sistema 8.2: k1

F(x,y,u(x,y),v(x,y))

=

C(x,y,u(x,y),v(x,y))

k2.

Como las funciones del lado izquierdo son díferencíables, para hallar las derivadas parciales de ambas funciones 1L y v, por ejemplo respecto a variable x, se derivan, usando la regla de ia caclem\, ambas ecuaciones respecto a x. &t(, es:

la

áF aF 8'1 ijj' ¡Ju -+ 8x . 8v {Jx ' OL' ax ac; dG OV De {Ju -._- + _. -...,- ---é};T Dv ():¡; (ji.) a::.'

O

- - -1---- - -

0,

DI' DE' dE' oG oC oG en donde las derivadas parciales . , ",' . " . . y .er usada para calcular las derivadas parciales de las funciones Xi respecto a las variables Yj sin tener necesariamente que despejar dichas variables del sistema 8.9 en forma expifcita. El siguiente ejemplo ilustra esta situación en un caso relativamente sencillo:

CAPÍTULO 8. FUNCIONES IIvlPLÍCITAS E INVERSAS

160

Ejemplo 215 Considere la transformación polar de][{2 -.

dada por F(r, O) =

][{2

(r cos (), r sin ()) escribamos

x == r C06 B;

(8.18)

y = r sin ()

¿Pam qué puntos (1', e) del plano IR2 es posible despejar (localmente) l' y O de modo que sean funciones continuamente d'/,ferenciables de x e y? Para aquellos puntos (r, O) en donde la respuesta sea afirmativa calcule, sin despejar de modo

_

.

EJr ox

explícito las variables senaladas, las dertvadas - ,

or

~,

00

00 oy

-- y - .

oy ox

Solución. Según la proposición anterior, la respuesta es afirmativa para o(x,y) todos aquell06 pares (r, O) tales que o(r, O) ¡. O. Pero:

8(x, y) = det 8(1',0)

r C06 O l

-TsinO

sinO

TCOS

(j

1=rC06 . 2 O+rsm. 2 O=r. J

Por lo tanto la condición anterior es equivalente a pedir que r sea distinto de cero. Luego, para todos los pares ordenados (r, O) con excepción del origen existe, localmente, una transformación inversa. Ahora, de acuerdo al teorema de la función inversa, para calcular las derivadas pedidas basta hallar la matriz inversa de F '(r, O). Ahora,

8x

F'(r,B)

~[t

y

or

fu] ay -

_ [ cos B -rsin () sin O r cos O

00

].

00

Luego:

(F-1(x,y))'

O = (F'(r,O)r 1 = [ cos sin O

-1'

sin O

1-

1

l' COS ()

[

cos O sinO

sin O cos O

r

l'

1

Por otra parte, como

r -01'

(F- 1 (x,y))' =

or

ox

ay

DO

00

ox

ay

l

1

por comparación, se deduce que:

or ox = cosO,

01'

-ay = sine ,

00 ox

=

sinO

00

cosO

r

oy

7'

(8.19)

161

8.2. FUNCIONES INVERSAS

Un ejercicio instructivo para el alumno es demostrar estos resultados derivando directamente las funciones l' y (). En este ejemplo es fácíl despejar estas variables:

í)

metan ?J /1; 1r + aretan y/x 1r/2 { --T / '2

=

x>ü

xO O, cuya ecuaci6n es: x~

+ x~ + ... + x! =

r2 •

Solución. Apliquemos el método de los multiplicadores de Lagrange:

167

8.3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

II

L---_ _ _ _ _ _ _

J

Figura 8.4: Las curvas de nivel punteadas corresponden a valores negativos de z y las curvas de linea continua representan valores positivos. Este sistema es equivalente a:

(8.27)

= Si multiplicamos la primera ecuación por Xl, la segunda por X2, Y así sucesivamente, obtenemos, después de las obvias simplificaciones, el siguiente sistema:

=

Sumando las primeras n ecuaciones y haciendo uso de la última, obtenemos:

Por lo tanto:

Reemplazando el lado izquierdo de esta expresión en cada una de las primeras n ecuaciones del sistema, se obtiene, para todo k = 1,2, ... , n : 2 r2 Xk= - .

n

CAPÍTULO 8. FUNCIONES IMPLÍCITAS E INVERSAS

168

Note que para todo k = 1,2, .... n se debe cumplir que Xk -¡. O, puesto que de otra manera el sistema 8.27 no tendría sentido puesto que A -¡. O. Por lo tanto todos los puntos de la forma:

son puntos críticos de la función f. Finalmente un simple análisis usando la compacidad de la esfera unitaria (hueca) y la continuidad de la función j, nos permite asegurar que el valor máximo que asume la función en esta esfera es:

f(P)

= (~) n

Observación 223 Considerando que el valor f( P) = (1' 2 /n)n encontrado en el Ejemplo anterior es el máximo de la función f sobre la esfera XI + x~ + ... + = 1'2, podemos escribir que:

x;

Como

l'

> O es arbitrario,

tomando x;

= aj > O.

podemos escribir entonces que:

Obtenemos la clásica desigualdad:

. ( ala2'"

an

)l/n

'

< al + a2 + ... + Gn _

n

que establece que el promedio geométrico de n cantidades positivas es menor o igual a su promedio aritmético.

Ejemplo 224 Determine la ecuación del plano que, pasando por el punto (1,2,3) forme con los planos coordenados x = O, Y = O, z = O el cuerpo de menor volumen posible. Solución. Sea ux + vy + wz = 1 el plano buscado. Por la naturaleza del problema u, v y w deben ser distintos de cero. Los interceptas con los ejes coordenados son l/u, l/v, l/w por lo que el problema se reduce a minimizar la función:

V(u,v,w)

1 =6vvw

169

8.3. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

sujeto a la condición u+2v+3w = 1. Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, obtenemos:

8F 8'11 1

8V --1 - = - - -2 =3..\

-1

- -2 - . . \ ' 6u vw - . u+2v +3w

BU'

6uvw

De las primeras tres ecuaciones se obtiene que:

1 = :3wA = ---6uvw

UA = 2v,\

(8.28)

Por otro lado, si multiplicamos la cuarta ecuación por A se obtiene que

Por lo tanto, usando los valores obtenidos en la Ecuación 8.28, se obtiene: ..\ = UA

+ 2v'\ + 3w'\ =

1

1

1

1

- -- - -- - -- = --6uvw 6uvw 6uvw 2uvw

Usando nuevamente la Ecuación 8.28, se obtiene finalmente:

2uvw 1 '11=--=-: 6uvw 3'

2uvw 1 v= - - - =-: 12uvw 6-

2uvw 1 c=---=18uvw

9

de donde se obtiene que la ecuación del plano pedido es: 1

1

1

-X+-7'+-Z= 1. 3 6" 9 o lo que es lo mismo 6x

+ 3y + 2z = 18.

Ejemplo 225 Sea ax+by+cz+d = O la ecuación de un plano y sea (xo, Yo, zo) un punto en][{3. Demuestre, usando multiplicadores de Lagrange que la distancia D desde el punto al plano está dada por la siguiente f6rmula:

+ byo + cZo + di JQ:2 + b2 + c2

D = laxo

Solución. Sea (x, y, z) un punto cualquiera sobre el plano. Para hallar la mínima distancia del punto xo, Yo, zo) al plano hay que minimizar la función distancia: (x - xO)2 + (y - YO)2 + (z - 20)2, función que representa la distancia del punto (xo.Yo,zo) al punto (x,y,z), pero por la monotoI1icidad de la función raíz cuadrada, basta con minimizar la función f(x,y, z) = (x - XO)2

Sea g (x. y, z) = ax siguiente:

+ by + cz + d.

+ (y -

YO)2

+ (z -

71))2

Por consiguiente hay que resolver el sistema

V'j(x,y,z) g(x,y,z)

=

'\V'g(x,y,z) O.

CAPÍTULO 8. FUNCIONES IMPLÍCITAS E INVERSAB

170 Es decir:

2(x - xo)

'2(y - Yo)

,\Q,;

= Ab;

2(z -

zo) = .\c

ax + by + C.z + d.

O

:vJultiplicando la primera ecuación por a, la segunda por b, la tercera por e y sumando los resultados, obtenemos:

(8.29) Pero de la cuarta ecuación se sabe que a:r reemplazando en &uación 8.29, se obtiene: A=-

+ by + cz =

-d.

Por lo tanto,

+ byo + czo + dI' a 2 + b2 + c2

2(axo

Reemplazando en las primeras tres ecuaciones, se obtiene:

+ /)yo + czo + d) + b2 + c2 b(axü + /)yo + czo + d) a 2 + b2 + c2 c(axo + byo + czo + d) a(axo

x-XO

a2

Y-Yo

=

z- ZO

=

- - - a2 + b2

+- c

2

Por lo tanto, la distancia buscada es:

D ==

=

+ (y - Yo)2 + (z - ZO)2 laxo + byo + czo + di J 2 2 2

J(x - XO)2 a

' 2 2+b 2 +c

la;ro + byo

a+b+G

+ cZO + di

-/a 2 + b2 + c2 8.4

Problemas

1. Considere la función F(.r, y) = x 2 función:

a)

b) c)

-

y"" + 4x

+ 2y + 3.

Respecto a esta

LPara cuales puntos (a, b) de la relación F( x, y) = O el posible resolver y en función de x'?

¿y donde es posible resolver x en función de y? Grafique la relación y justifique sus resultados.

2. En los siguientes problemas muestre que F(x, y) = O puede ser representada en la forma y = f(x} en la vecindad del punto (a, b) indicado. Grafique

RA.

PROBLEMAS

171

y calcule F' (a) en cada ca.so: a)

b) e) d) e)

F(x,y)::::: X +y + ;1:siny F(x,y) =y3+ y _ x 3 F(:r,y)::::: x 2 / 3 +y2 j :3 - 4 F(x, y) = xy + ln(xy) - 1 F (x, y) ::::: x 5 + y5 + xy + 4

(0,0) (O, O)

(1,3V3) (1, 1) (2, -2)

3. En los siguientes problemas muestre que F(x,y,z) = O puede ser representada en la forma z = f(x, y) en una vecindad de (a, b, el. Halle f",(a, b) y

/y(a, b) : a) b) e)

F(x,y,z) = x 3 +y3 + z3 - 3xyz - 4 F(x,y,z) = e Z _ Z2 _ X2 _ y2 F (x, y, z) ::::: X + Y + z + cos xy z

(1,1,2) (1,0,0) (0,0,-1)

4. En los siguientes problema.s demuestre que existe una vecindad del punto (a, b, e) indicado en donde todos los puntos que satisfacen el sistema F(x,y,z):::::O;

G(x,y,z)=O

también satisfacen el sistema

y= f(x); con

al b) \

c)

f

z=g(x)

y g funciones diferenciables.

F(x,y, z) = 2x + 4y - z G(x, y, z) = x+- 2y +;: F(x,y, z) = x2 + 2y2 - Z2 - 2 G(x,y,z)=2x-y+z-l F(x,y,z) = x 3 +y3 + z3 - 3xyz - 14 G(x,y,z) =X2+y2+Z2_6

(a.b,e)

= (2,-1,0)

(a,b,c) = (2,-1,-2)

(a, b, e) = (2, -1, 1)

5. Demuestre que existe una vecindad alrededor del punto (a, b, e) excepto para (2, -::\,6) y para (-10, -115,30) en donde es posible despejar y = ¡(x), z = g(x) de la relación 2z 2

9:[2 - 4y2

O

x+y+-z-fi

O

-

Resuelva explícitamente. 6. Dadas la'3 ecuaciones:

F(x,V, u,v) = O;

G(x,y, u, v) = O

enuncie condiciones bajo las cuales se cumpla que

8u8y

nx au

+

iJv8y =0

ax éfv

eAPÍTUL o 8.

172

FUNCIONES IMPLÍCITAS E INVERSAS

7. Sea y una función determinada por la ecuación X2

+ y'2 + 2axy =

(a < 1).

O

2

Demuestre que

~x;

= O. Explique el resultado obtenido.

8. Halle dy/d:J;, d2 y/dx 2 si y

= x + lny.

9. La función z viene dada en un entorno del punto (-1,0,1) por la relación: x2

+ y2

_

xy = O

z2 _

¿está bien definida? Calcule, si es que existen 8z/8x,8zjfJy. 10. Sí f(x, y, z) = O. Demuestre que bajo condiciones apropiadas

8x ay 8z _·_·--=-1

ay

fJz

8x

11. Sea la función z dada por la ecuación

en donde '0 es Ulla función continuamente diferenciable y a, b, e son constantes. Demuestre que bajo condiciones apropiadas se cumple que

{)z

8z

uX

L/y

(cz - by)..,., + (az - ex) ,q."

= bx -

ay

¿cuáles son estas condiciones? 12. Considere la transformación

(a) ¿Para qué puntos (x,y) la transformación es invertible? (b) Si se sabe que el punto (x, y) = (1,2) es llevado al punto (u, v) = (5,4) por la transformación (x,y) ~ (u,v), halle en forma explícita la transformación inversa (si es que existe) que lleva (u, v) en (x, y) y tal que (5, 4) ~ (1,2) ¿erl dónde es válida esta transformación?

(c ) ea1cule

8(u,v) . . )

8(x,y)(

8('rw,y ) (1,2 Y - 8 u,v() 5,4

13. Considere la transformación:

Halle, en el caso quP exista Bu ~y (3...2)

)

173

8.4. PROBLEMAS 14. Dada la transformación:

x=u-uv;

y=uv,

encuentre

(a) a(x,y) a(u,v) (b) La transformación inversa (c) Las imágenes de la..:; rectas 3/4, 1

tl

= O,

(d) La imagen del cuadrado 1/2 :S

11

1/4, 1/2, :3/4, 1; v

= O,

1/4, 1/2,

:S 3/4, 1/4:S v :S 1/2

15. Considere la transformación x

.

v = e smy.

Demuestre que:

. .2 8( u, v) (a ) 8(x,y»0,\i(X,y)ElR.

(b) Determine la imagen en el plano (u, v) de los puntos (x, y) = (1, O) Y (x,y) = (1,271"). Su resultado ¿entra en contradicción con el teorema de la función inversa?

. . t es eJerCICIOS . .. h a 11 e -( a( u, v) y l .,. 16 . E n 1os slgmen --) a 'trans f,ormaClOn lllversa. E n 8 x,y. el plano (u, v) dibuje las imágenes de las rectas x = 1/4, 1/2, 3/4,1 e y = -1/2, -1/4, O, 1/4, 1/2 para las siguientes funciones:

a) b) c) d)

u=x u=2x-3y x u= 1+x u=xC06(2)

tJ<

v = y +x2 v=x+2y y v=----l+x+y . (n y ) V=XSlll :¡

(x +y> -1) (x>O, -l O. Como A; es de medida cero, existe una sucesión de rectángulos Ri,l, Ri,2, ... ; Ri,j, .. ' tales que: 00

A, ~

1)

U Ri,j j=l

oc

¿

2)

v(~;)

j=1

¡..-

< .:., 2'

,.

Es fácil ver por 1) que el conjunt.o A = Al u.4. 2 U· .. está contenido en la unión de todos los rectángulos ~,j. Esto es: 00

A;;;

00

UUR

i ,)

i=1 j=l

Además por 2) se deduce que 00

Xl

ex)

¿¿v(Ri,j) <

L

i=l j=l

;=1

;i =

S

Esto termina la demostración de lo afirmado. •

*** Intuitivamente es daro que un conjunto de medida cero debe ser "pequeño" en algún sentido. La importancia de ellos reside eH el siguiente teorema.

Teorema 239 Sea f : R R. Sea

A

~ ]R71 --->

= {x E R: f

Runa funci6n acotada sobre el rectángulo

no es continua en x}.

Entonces f es (Ríemann) integrable en R sí y solo sí el subconjunto A de R tiene medida cero. Demostración. Ver el Teorema 3-8, página 49 del texto "Cálculo en Variedades" de Michael Spivak [Spivak] . • Pasaremos a definir ahora la integral de Riemann para funciones acotadas en regiones arbitrarias, pero acot.adas de IRn. Esta definición la haremos en base a la definición de integral sobre un rectángulo, pues es la única que conocemos.

189

10.2. INTEGRACIÓN SOBRE REGIONES ACOTA.DAS

Definición 240 Sea f : G ~ lRn --4~, una función acotada sobre el conjunto acotado G. Sea R un rectángulo qu,e contenga a G. Definamos:

¡: R ~ ~n ----+ IR. de la siguiente manera:

t

( f(x) f(x) = O

si x E G si x E R - G

¡

Entonces, en el caso q'ue sea integrable sobre el rectángulo R, diremos que es integrable sobre G y escribiremos:

1

f=

G

f

r¡

lR

Observación 241 1. Si G es acotada, entonces siempre es posible hallar un rectángulo R que contiene a G,

¡

es integrable para un cierto rectángulo R, también lo será para cualquier otro rectángulo que contenga a y que el valor de es independiente de R.

2. Se puede demostrar que si

e

IR!

3. Siguiendo el hilo de la Observación 235 las integrales dobles y triples nos permiten definir área y volúmenes. Esto es, si G es un subconjunto del plano, y

JJ G dxdy existe, entonces se define: Area de G

=

JJ

G

dxdy.

JJJ G dxdydz

Análogamente, si G es un subconjunto de lR 3 y si entonces se define: Volumen de G =

f rr

Jil

existe,

dxdydz.

G

Proposición 242 Sea f : G ~ lR" ----> ~, 1¿na función acotada sobre el conjunto acotado G. Suponga que f es continua en Ga (Interior de G) y que Pr( G) (frontera de G) tiene medida cero, entonces f es (Riernann) integrable en G.

¡

Demostración. Sea R un rectángulo que contenga a G y definamos de acuerdo a la Definición 240. Ahora, de acuerdo al Teorema 2:39, para demostrar que f es inte~rable en basta demostrar que el conjunto de puntos de discont.inuidad de f en el rectángulo R tiene medida cero. De acuerdo a la hipótesis f y por lo tanto también es continua en Por otro lado, también! es continua en (R - e)O puesto que en dicho conjunto

e

¡

eo.

190

CA.PÍTULO 10. LA INTEGRAL MfÍLTIPLE DE RIEMANN

¡ es constante.

Por lo tanto, el conjunto A en donde

¡ no es continua cumple

con:

Pero este último conjunto, de acuerdo al Problema 11 de la página 62 es justamente la frontera de e. Como por hipótesis, la frontera de e_tiene medida cero, también la tendrá el conjunto A y por lo tanto la función f es integrable en el rectángulo R. Esto termina la demostración. •

*** = x3 + y

Ejemplo 243 La función f(x, y) es continua en el interior del círculo X2 + y2 S; 9. Además es fácil demostra.r que la frontera del círculo (que corresponde evidentemente a la circunferencia respectiva) tiene medida (bidimensional) cero, entonces, si llamamos e al disco centmdo en el origen y de radio 3, se puede asegumr la existencia, en base a la pTOposici6n anterior, de la integral:

Jla

(x

3

+ y)d:xdy,

En la próxima sección estudiaremos como calcular numéricamente tales integrales.

10.3

El teorelua de Fubini en rectángulos

Como la definición de la integral de una función acotada f sobre un subconjunto acotado de JRn se hace en base a la definición de la integral sobre un rectángulo (ver Definición 240) el problema del cálculo de integrales múltiples quedará resuelto si aprendemos a calcular integrales sólo sobre rectángulos. El siguiente teorema, que resuelve el problema del cálculo de las integrales múltiples recibe el nombre de Teorema de F'u.bini, en honor a un matemático del mismo nombre que demostró un teorema del cual el que presentamos a continuación, es un caso especial. Con el fin de que el teorema sea fácilmente entendible nos restringiéramos al caso en que R es un rectángulo en JR2:

R = [a,b] x [c,d]. Teorema 244 Sea f : [a, b] x [c, d] ~ JR función Riemann integrable sobre el rectángulo R = [a, b] x [c, d] y suponga que para cada x E [a, b] fijo, la funci6n, fx ; [e, d] .... JR, dt:finida por frc(y)

= f(x, y)

es una función integrable de y en t:l intervalo [e, d]. Entonces la funci6n, g: [a, bJ

.... JR,

definida por g(x)

=

¡

d

frc(y)dy

191

10.3. EL TEOREMA DE FUBINI ES RECTA.NGTlLOS es integrable en el intervalo [a. b] y se cumple:

f = la JiR{{b

g(x)d.r

=

1 (j'd ,1;

e

) dx.

f(x,y)dy

Demostración. Sea P = (H, P2) una partición del rectángulo R, es decir P l es una partición de [a, b] y P2 es partición de [e, d]. Si ri Y Tj son subintervalos arbitrarios de PI y P2 respectivamente, entonces un subrectánguJo arbitrario rjj de P queda determinado por:

Por lo tanto si llamamos 5. p (j) a la suma inferior relativa a la partición P en el rectángulo R tendremos:

s.p(j)

=

L¿)r~~t 1) v(r¡ xJ'j) ,.

J

(10.1) Por otro lado, para cada x fijo en ri se tiene:

Como esto es cierto para todo x E ri concluimos que:

Utilizando esta desigualdad en la Ecuación 10.1, obtenemos:

~ (~(":~!, f) VI',)) ver;)

!ip(f)

<

~ (j~!i ¡d f"(Y)dY)

=

L (i~f g(X)) l'(r¡)

v(r;)

t

Por lo tanto hemos demostrado que, para toda partición P tángulo R, se tiene:

= (PI, P2)

del rec-

192

CAPÍTULO 10, LA LV TE GRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN

De manera análoga se demuestra que:

Es claro que estas dos desigualdades determinan la siguiente cadena:

Como por hipótesis

f es integrable, se

obtien~

que 9 también 10 es y además:

Esto termina la demostración. •

Corolario 245 Sea f : (a, bJ x [e, d] --- a , Rzemann integrable y suponga que para cada y fija f(x,y) es función integrable de x, y que para cada x fija f (x, y) es función lntegrable de y, entonces todas las siguientes integrales existen y además:

Las integrales de la derecha en el corolario anterior reciben el nombre de integrales iteradas. Además, para evitar poner paréntesis es usual la siguiente notación:

.lb (ld

f(X,Y)dY) dx

=

j

ld (lb

f(X,Y)dX) dy

=

ld lb

,b

el

fd

dx

dy

le

j(x,y)dy

f(x,y)dx

Ejemplo 246 Calcule, usando integrales iteradas, la siguiente integral doble: x2

jj R y

"':"""dxdy,

en donde R

= [-1, 1] x [1,2].

Justifique la aplicación del teorema de Pubini. 2

Solución. La función j(x,y) = ~ es continua en todo el rectángulo R. y x2 Además, para cada x E [-1, 1J la función fx(Y) = - es una función continua de y

x2

yen el intervalo [1, 2J. Análogamente, para cada y E (1, 2] la función fy(x) = -

y es una función continua de x en el intervalo [-1, 1]. En consecuencia podemos

193

10.3. EL TEOREMA DE FUBINI EN RECT.4.SGULOS

aplicar el corolario del teorema de Fubi.ni ya que todas las funciones consideradas en dicho corolario son integrables. Ahora bien, de acuerdo al corolario del teorema de Fubini (diremos en adelante sólo Fubini), se tiene:

Calculando las integrales iteradas, se tiene: 1

2

1

JdxJ~~Y -1

2

-1

1

-1

1

=

1

J p

logylix dx =

1

JdY/~dx 1

¡ ¡2-3"X3¡1

1

2

2

(log2)x dx

-1

2

2 1

dy= -logy\ 3 _} 1

Y

2

= 3 1n2.

2 = -ln2. 3

Observación 247 1. El Teorema 244 y el Corolario 24,,) se conocen indistintamente como teorema de Fubini.

2. Por supuesto que no es necesario calcular ambas integrales iteradas para resolver un problema de integración. 3. En algunas ocasiones el cálculo de una de las integrales iteradas es más sencillo que el de la otra íntegral iterada. Se da incluso el caso en que integrando en un cierto orden, digamos no existe una antiderivada expresable con funciones elementales para alguna de las integrales de la iteración. En tales casos si se integra usando otro orden (con dos variables sólo quedaría el ,orden dydx) es posible que pueda calcularse la integral de la manera usual.

dxdy

Una aplicación teórica inmediata del teorema de Fubini es su uso en la siguiente demostración de la igualdad de las derivadas parciales mixtas para funciones clase C2 :

Proposición 248 Sea

[PI

I : G ~ R2 [PI

~:IR.

una fünción cuyas derivadas parciales

de segundo orden 8x8y y ay8x son continuas en un punto P 'interior a la región G. Entonces:

éP I 8xay

==

ff2 I en P. 8y8x

CAPÍTT:LO 10, LA INTEGRAL MrJLTIPLE DE RIEMANN

194

Demostración. Supongamos que no es derto lo afirmado, entonces

(D1,zf - Dz,d) (P)

=f. O.

Sin pérdida de generalidad supongamos que (D 1 ,2f - D Z ,1f) (P) > O. Entonces, debido a que (D 1 ,zf - Dz,r) f es continua en P se tendrá que existe un rectángulo R = [a, bl x [e, d] centrado en P tal que:

(D1'lf - Dz,d) (x,y) > O,'V(x,y) E P. Esto es D1,zf(x,y) > DZ,lf(x,y) en todo el rectángulo R. Integrando esta desigualdad sobre este rectángulo R, se obtiene:

Jl

D1,z! (x,y)dxdy >

Jl

Dz,r! (x,y)dxdy

Aplicando Fubini, en el orden dydx en la integral doble del lado izquierdo y en el orden inverso en el lado derecho, se obtiene:

,1b Id dx

e

D1 ,zf (x,y) dy>

Id e

(b

dy la D2,d (x,y) dx.

Esto es:

lb

(D¡f(x,d) - Dt! (x, e)) dx >

Id

(D2f(b,y) - D2f(a.,y))dy.

Integrando una vez más obtenemos finaimente que.

f(b, d) - f(b, e) - fea, d)

+ f(a, e) >

f(b, d) - fea, d) - f(b, e)

+ fea, e),

lo cual obviamente constituye una contradicción. _

10.4

El teorenla de Fubini en regiones acotadas

Para simplificar el desarrollo sólo consideraremos regiones en JRz. Sin embargo, del contexto se desprenderá que este desarrollo puede ser generalizado a más variables sin mayores inconvenientes. Sea f : G ~ IR z --+ :IR, con f continua sobre el conjunto acotado G. Supongamos que la frontera de G está formada por dos curvas continuamente diferenciables determinadas por dos funciones gl y gz con 91 (x) :::; 92(X) para todo x en cierto intervalo [a. bl y (posiblemente) dos segmentos verticales. Ver Figura 10.2. De acuerd~ a la Definición 240, para poder definir fa f necesitamos inscribir la región G dentro de un rectángulo R = [a, bJ x [e, d]. En la Figura 10.2 este rectángulo está dibujado con línea punteada. Para determinar la forma

J

195

10.4. EL TEOREMA DE FUBINI EN REGIO¡VES ACOTADAS

Figura 10.2: Re¡¡;ión limitada por curvas simples. que adquieren las integrales iteradas en el teorema de Fubini, definamos, como anteriormente,

= { ~(x)

f(x)

si x E G si x E R - G

Como la frontera de G está formada precbamente por un número finito de curvas continuamente diferenciables y como toda curva continuamente diferenciables tiene medida cero (ver Pulks, Teorema 12.4(o) y 8. 9 (b) ) se tendrá que la frontera de G tiene medida cero y por consiguiente de acuerdo a la Proposición 242, la función f es Riemann integrable en G y además, de acuerdo a la Definición 240 y al Teorema 244 de Fubini, se tiene que: (10.2) esto es, siempre que para cada x fija, la función fx(y) = f(:r,y) sea integrable en [e, dJ, lo cual evidentemente es cierto, ya que los únicos puntos en donde puede dejar de ser continua es en donde la recta ,'enical que pasa por x intersecta a las curvas y = gl(X) e Y = g2(X), pero este conjunto de dos puntos obviamente tiene medida cero en [e, d]. Ahora, por la propiedad aditiva de la integral, para cada x fijo podemos escribir:

¡

¡

d

!(x,y)dy

=

1

91

e

(x)

1

(XI --, !(x,y)dy+

91(X)

e

1 d

90

¡(x,y)dy+

!(x,y)dy.

92(X)

Evident~mente la primera y la tercera int.egral del segundo miembro son nulas ya que f vale cero en los intervalos de integración de las respectivas integrales, por 10 que de acuerdo a la Ecuación 10.2, se tiene finalmente:

b id = ¡ / l f

G

dx

a

e

!(x,y)dy

= jr a

b1 dx

92 (X)

f(x,y)dy.

g¡(x)

ya que f = f en el intervalo [gl(X) g2(X)]. Por consiguiente hemos demostrado el siguiente teorema:

CAPÍTULO 10. LA INTEGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN

196

r-------------------~

:

~

1

I S :r

2

1j

3

~jemplo

Figura 10.3:

)

~

250.

Teorema 249 Sea f : G ~ R,2 ~ R, una función continua sobre el conjunto acotado G. Suponga que la frontera de G está formada por dos curvas continuamente diferenciables gl y [J2 (con gl S; g2) en un cierto intervalo [a, b] y (posiblemente) dos segmentos verticales. Entonces se tiene que la integral doble f fe f existe y además se cumple:

Ji l f=

b

dx

192(X)

a

G

f(x,y)dy.

91(X)

Ejemplo 250 Demuestre la existencia y calcule el valor de la siguiente integral doble:

JL + (x

2y)dxdy,

en donde G es la región limitada por la curva y rectas verticales x = O Y x = 1r. Ver Figura 10.3.

= sinx,

la recta y

=x

y las

Solución. De acuerdo al Teorema 249, tendremos que la integral doble f fe(x +2y)dxdy exb:te ya que f es continua en la región acotada G y además esta región está limitada por dos curvas continuamente diferenciables y un segmento vertical. Por consiguiente, de acuerdo al mismo teorema, tenemos:

! !a

rr

(x

+ 2y)dxdy

=

x

!

!dX (x +2y)dy = o sin:t

!

! ~

(xy+y2) I:inxdx

O

~

(2x 2 - x sin x - sin 2 x)dx =

~1f3 - ~1r.

o

10.5

Descripción de regiones en JR2 y JR3

Como se mencionó al inicio de esta sección, el Teorema 249 de Fubini, es posible generalizarlo a tres o más variables. En general la única dificultad real en la aplicación de este teorema reside en que, para poder utilizar integración iterada

10.5. DESCRIPCIÓN DE REGIONES EN ~2 l' ~3

197

es necesario poder describir matem.áticam.ente la región G. Los casos más frecuentes por supuesto, se presentan en dos y tres variables, esto es, para regiones del plano y del espacio tridimensional. Analicemos el caso tridimensional. El caso bidimensional es simplemente un caso particular del anterior. En primer lugar, para poder describir matemáticamente la región e, es necesario determinar cual 5erá el orden de integración que se elegirá, Con tres variables independientes existen seis posibilidades: dxclydzj dxdzdy; dydxdzj dydzdxj dzdxdy y dzdydx (esto es, por supuesto, usando coordenadas cartesianas. De usar otra.s coordenadas, como la. O la .función ! es integrable en el conjunto e R = BR(O) ne. Entonces si,

diremos que la integral fe! = J.

fG f

exL'3te o que es convergente y escribiremos que

Observación 275 Se puede demostrar que si fe f existe, entonces también existirá si, en lugar de considerar una bola B R (O) en la definición anterior consideramos, por ejemplo un cubo [- R, Rt Y en tal caso el valor de la íntegral impropia no cambia su valor. Recíprocamente, si definimm; desde un comienzo la integral impropia usando cubos, entonces podemos hacer la mL'3ma afirmación sí usáramos bolas.

CAPiTULO 10. LA INTEGRAL MÚLTIPLE DE RlEMANN

218

Ejemplo 276 Demuestre que la integral,

JrJ(exp ~,-x 2 -

2'

•

y ) dxay=

7r ¡,

G

en donde G = {(x. y) ; .'!: 2': 0, y 2': a} es el primer cuadrante del plano cartesiano. Solución. Según la definición anterior, tenemos que demostrar que:

c:

en donde R es el sector del círculo de radio R > O correspondiente al primer cuadrante. En este caso nos conviene usar bolas en la definición de la integral impropia, ya que en este caso podemos usar coordenadas polares. Haciendo el cambio de variables, tenemos: / / exp ( _x 2

_

y2) dxdy

GR

Por lo tanto:

¡r r

exp (_x2 _ y2) dxdy

}

= R,oo lim ~ (1 _ exp ( _ R2)) = ~. 4 4

G

Esto termina la dem08traeión.

Ejemplo 277 Demuestl'e que oc 2

/ exp{-x )dx= .;;. o Solución. Sea R > O. Definamos:

r R

IR

..--rx 4 Ahora, como la elevación a potencia

e~

lim IR

R--+oc

lo que equivale a decir que:

Esto termina la demostración.

un operación continua tendremos que:

Vi = --, 2

220

CA.PÍTULO 10. LÁ LVTEGRAL MrJLTIPLE DE RIEMANN

10.9

Problenlas

1. Evalúe la integral iterada dada y grafique la región de integración: 4

a)

5

J dy

dIJ

-3

x"

4

b)

3)dx

'2

1

J dx' J (X2 + 2xy 1

-V

J

xdx

18 - 2y2

2

2x2

o

x

J dx J xcosydy

e)

3y2)dy .JX 4 vY jdy j (;r;2y + x¡P)dx

1

c)

.JiS-2y2

3

J dy J(x 2 -- y2 + xy -

1fj4

f)

cosx

j dx

o

'~y

Jo

ysinxdy

v

2. En los siguientes problemas evalúe la integral doble dada. Grafique la región de integración.

a)

jj(x 2

+ y2)dxdy

y2 ::;

R : O ::; Y ::; 2;

:s; 4.

X

R

b)

c)

X IJR • -.--dxdy x2 + y2 X Ji J? exp --¡¡¡dxdy R \y

R:y=O;

y=x;

x == 1;

R:x= 1;

y= 2;

Y

== X2;

x= x

J3

2':

1.

3. Grafique la región de integración. Invierta el orden de integración y evalúe. V4-x 2

2

al

I

J dx -- 2

;rydy

1

1

o

y

J dy 1 vI + x 2 dx

b)

_. /4- x2

4. Calcule

O

1f/2

a

21f

.r #' .r

a)

rdr

1

b)

u6in 1./.}

3ws1¡'J

J

d1/J

--1fj2

1'2 sin

2

1jJdr

O

5. Describir matemáticament.e de dos maneras, la región de integración para la integral doble f(x, y) (i:J:dy para la,> regiones que se indican:

JI R

a) El triángulo cuyos vértices son (0,0),(1,0) y (1,1).

b) El trapecio de vértices (O. O). (2. O), (1, 1) Y (O; 1). e) El sector circular OAB en donde O

= (O, O), A = (1,1) Y B = (-1,1).

6. Invierta el orden de integración: RIv2

J o

x

R

¡

dx /f(x,Y)d Y + dx o RI -/2

y~

¡-x o

f(x,y)dy.

221

10.9. PROBLEMAS 7. Demuestre que,

8. En los siguientes problemas evalúe:

v'4- z2

2

b)

1 o

Jdz O

1 O

zdx

y+z

1dy 1 dz 1 xydx

e)

2-",

dy

.¡y

1

x-y

x

1

J dx.r dy f dz o o o

a)

o

y2

o

1

:.!X

x+v

O

o

1 d:r; 1 dy 1

d)

xdz

X2+y2

9. Exprese el valor de cada integral siguiendo otra secuencia de integración: ,jX

4_y2

1

1 dy 1

a)

o

-1

10. Exprese la integral

dx J 2y 2y'Xdz

2

b)

_,jX

-2

y+2

4_y2

J dy 1

dx

o

J (y2 + z2)dz

o

JII f(x,y, z)dxdydz, en donde S es la región acotada s

por la superficie z = V16 - x2 - y2 Y los planos z coodenadas cartesianas y en coordenadas cilíndricas.

=

O Y z = 2, en

11. Demuestre que JI xydxdy = 1/15, donde G es la región dada en coordeG

nadas polares r 12. Calcular

= sin 2(), O :::; () :::; 27r.

IIIx 2 cL-cdydz,donde G es el elipsoide (~)2 + on 2 + C~)2:::; 1. G

13. Encuentre la masa de una bola esférica de radio a > O, si la densidad en el punto P es k veces la distancia al origen (k constante).

14. Encuentre la masa de un cascarón de radio interior a y radio exterior b, si la densidad en el punto P es inversamente proporcional a la distancia al origen. 15. Calcule

111 x 2dxdydz, donde G es la región acotada por el cilindro X2 + G

y2

= a2 y

los planos z

= O Y z = b > O.

16. Encuentre la masa de una esfera de radio a si la densidad en el punto P es proporcional a la distancia a un plano fijo que pasa por el origen. 17. Encuentre el volumen de la región acotada por el cilindro y = cos x y los planos z = Y,x = O,X =lf/2 y z = 0"

222

CA.PÍTULO 10. LA LVTEGRA.L ML'LTIPLE DE RIEMANN

18. E.xprese el volumen de la región interior a la esfera X2 + y2 + z2 == a 2 y fuera del cilindro r == asin (} usando: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

19. En una esfera de 8 centímetros de diámetro se le perfora un orificio de sección cuadrada de 4 centímetros por lado, concétrico con la esfera. Exprese el volumen remanente en coordenadas cilíndricas y esféricas. 20. Encuentre el área de la región ubicada en el primer cuadrante y limitada por las rectas y = x e y = 4x y las hipérbolas y = l/x e y = 4/x. Grafique la región. Haga un cambio de variables apropiado de modo que el área buscada corresponda a un rectángulo en el nuevo sistema de coordenadas.

· Parte III

Cálculo vectorial

223

Capítulo 11

Integrales de línea 11.1

Curvas y definiciones básicas

Supongamos que tenemos una curva e en el espacio (ver Definición 278). Uno de los objetivos de esta sección es definir una integral a lo la'rgo de la curva e, de una funci6n vectorial F. De las varia.., maneras en que esto se puede hacer, una de las más útiles en aplicaciones es la que da origen a la así llamada "integral de línea". Para este propósito supongamos que la curva e está parametrizada. Representemos esta parametrización por medio de un vector posición r(t) = (x(t),y(t), z(t)) de modo tal que el vector r(t) recorre la curva cuando el parámetro t varía en un intervalo, digamos [a, b]. Supongamos ahora que esta curva e está inmersa en una región, en donde está definido un campo vectorial como por ejemplo un campo magnético, un campo eléctrico o un campo de fuerza. lisando este último tipo de campo para ilustrar nuestra idea, im~inemos que estamos interesados en calcular el trabajo hecho por esta fuerza F al mover lIn objeto a lo largo de la curva e. Si recordamos los fundamentos de física, recordaremos que para calcular el trabajo hecho por una fuerza al mover un cuerpo una cierta distancia, hay que multiplicar la distancia recorrida por la magnitud de componente de la fuerza en la dirección del movimiento, en otras palabras hay que calcular ell)r~ucto interior entre el vector fuerza y el vector desplazamiento, esto es F· d. Debido a que el campo F no es constante, aproximemos el valor de este trabajo, particionando la curva e por medio de una partición del intervalo [a, b], digamos una partición P = {to, h, t2, ... ,tn }. De esta manera podemos aproximar el valor del trabajo W mediante una sumatoria W p formada por los pequeños trabajos hechos en cada uno de los segmentos de la curva. Entonces podemos escribir:

F,

n

L F(r(Tj)) . (r(t

j ) -

r(tj_l))

j=1

=

t

F(r(Tj)) . (r(tj) - r(tj_¡)) (tj -

,

tJ-t J -

)=1

:n.'í

1

tj __ ¡)

CAPÍTL'LO 11. INTEGRALES DE LÍNEA

226

Ahora, es posible demostrar que sí la norma de la partición P tiende a cero (esto es IIPll-t O) entonces esta su mataría tiende a la integral pe-r(t). r '(t) dt. Por lo tanto podemos definir el trabajo W justamente como esta integral.

J:

Definición 278 1. tina curva e en el espacio es una función diferenCÍable. 2. Suponga que

r : [a,b] -t ~3

continuamente

e es una curva en el espacio, definida por, r(t) = (x(t),y(t), z(t)),

con (x(t),y(t),z(t) E G para todo t E [a,b) y que P: G ~ ~3 -+ ~3 es una función vectorial continua en la región G. Entonces si la integral F ("""if' (t)) . """if' I (t) dt existe, anotaremos:

f:

1F .

d"""if'

=

¡b

F("""if'(t» ."""if' '(t) dt

y diremos que ella es la integral de línea de 3. Si la curva es cerrada, esto es si

! F· e

dY, escribiremos

f

r

-r(a)

F

=

(11.1)

a lo largo de la curva e.

r(b), en lugar de escribir

F· dr.

Observación 279 1. La razón que se tiene para usar la notación dada en el lado izquierdo de la Ecuación 11.1 está en que formalmente podemos escribir:

1F .

! F\r~(t» J b

dr'

=

a

! b

. dr =

F("""if'(t)).

d;

dt

a

b

F(r(t» . """if' '(t) dt.

a

2. Si consideramos solamente la integral como una función de todas las posibles curvas e, entonces es común la siguiente notación para F . d-r :

f

!-P.

d"""if'

=

J

fdx+gdy+hdz,

F = J i + gj + hk Y dr = dxi + dyj + dzk. La expresión f dx + gdy + hdz usualmente recibe el nombre de forma diferencial de primer orden.

en donde

227

11.1. CURVAS Y DEFINICIONES BAsTeAS

3. No hay inconveniente en definir integral de línea para curvas en el espacio ]Rn, sin embargo como nosotros nos limitaremo.'3 solamente a curvas planas y curvas en el espacio tridimensional no haremos un desarrollo en esta dirección.

Proposición 280 Supongamos que C. es una curva en el espacio, representada por,

r(t) = (x(t),y(t), z(t», en donde x, y y z son funciones continuamente diferenciables. Suponga además que para todo t É [a, b] se tiene que (x(t),y(t), z(t)) E G Y que F : G ~ ]R3 ~]R3 es una función vectorial continua en la región G. Entonces, bajo estas condiciones la integral f:F(r(t)). r'(t)dt existe. Demostración. Sí denotamos el campo vectorial '[1 usando sus funciones componentes, esto es si escribimos que,

F (x,y, z)

= f(x,y, z)i + g(x,y, z)j

Entonces,

1

-;=t

e

l' .

dr =

lb o.

+ h(x, y, z)k.

dx dy dz f -dt + g~dt + h-dt

dt

dt

dt

(11.2)

r

Ahora como F = (J,g,h) es continua y = (x,y,z) es continuamente diferenciable, se dpÁÍuce que el integrando del lado derecho de la Ecuación 11.2 es continuo y por lo tanto Riemann integrable. Esto termina la demostración. •

Obseryación 281 La notación fe F . dr nos recuerda que esta integral depende de la curva C. Esto es claro, pero debemos enfatizar que debemos entender por curva, la función r: [a, b) ~;R1l Y no el conjunto recorrido o rango de r. En otras palabras la curva no es un lugar geométrico sino que es justamente la función que describe ese lugar geométrico, Por ejemplo, si el recorrido de la curva C es el conjunto

que corresponde a la circunferencia unitaria, entonces las siguiente tres funciones o trayectorias describen dicho lugar geom.étrico: C1 : r1(t) = (cost,sint) C2 : r2(t) = (cos2t,sin2t) C3: r3(t) = (cos2t,sin2t)

Supóngase ahora que se desea mlcular

O ~ t ~ 21f O ~ t ~ 1f O ~ t ~ 21f

(11.3)

f, F . dr. en donde F = x2¡ + 6j

Y C representa la circunferencia unitaria iQué curva debemos usar? Antes de contestar esta pregunta, mlculemos esta integral usando mda una de las tres curvas:

CAPÍTULO 11. INTEGR4LES DE LÍNEA

228

Ejemplo 282 Calcule

f

(x2Yi + 6j) . dr,

Cj

para cada una de las C1Lrvas CJ , j

= 1,2,3 indicadas en

11.3.

Solución. De acuerdo a la Ecuación 11.2 se tiene:

f I f

(x2yi + 6j) . dT1

=

el

Jof~ (-2cos 2 2tsin2 2t+12cos2t)dt=-¡n

(x2yi + 6j) . dT1

c2

(x2Yi + 6j) . dr7

Jof~ (-2cos 2 2tsin 2 2i+12cos2t)dt=-2n

=

c3

Observe que el valor de

1," (x2Yi + 6j)

·dr es el mismo solamente para las

°1

primeras dos curvas. La razón de que el valor de la integral para las primeras dos curvas no coincida con el valor encontrado usando la tercera curva consiste en que la tercera curva no es equivalente con las dos primeras (ver Definición 283) en cambio éstas son equivalentes entre sí. La razón geométrica del porqué esta tercera curva no es equivalente a las dos primeras está en que esta última curva recorre la circunferencia dos veces a diferencia de las dos primeras que sólo 10 hacen una vez. En otras palabras, éuando t recorre el intervalo [0,2nJ, esta última curva da dos vueltas alrededor de la circunferencia. Ahora respecto a la pregunta formulada en la Observación 281, podernos responder que cada vez que se pida una integral de línea sobre una curva geométrica simple (esto es una curva sin intersecciones o una curva cerrada simple), como por ejemplo una circunferencia, debemos, en primer lugar elegir una orientación (o dirección de recorrido) de la curva y luego determinar una parametrización r(t) de modo tal que la curva sea recorrida, en la dirección elegida, una sola vez. Se puede demostrar (ver Proposición 287) que en estos casos, el valor d,e la integral es invariante y depende solamente de la curva geométrica, esto es, del recorrido o gráfico de la CllrVa. Para demostrar esta afirmación necesitaremoo algunas definiciones adicionales:

Definición 283 1. Diremos que la curva

-r . [a, bJ

2. Diremos que una curva lordan, si es inyectiva.

-4

r : [a, bJ

~3 es cerrada si -4

]R3

r(a)

= r(b).

es un arco simple o un arco de

229

11.1. CURVAS Y DEFINICIONES R.4SICA.S

3. Diremos que una curva r : [a, b] -+~:3 es una curva cerrada simple o una curva de Jordan, si es inyectiva en [a,b[ y además -r(o,) = -r(b). 4. Si la curva es constante en [a,

bJ

diremos que es una curva puntual.

5. Diremos que las curvas:

son equivalentes, si existe una función sobreyectiva, estrictamente creciente y continuamente diferenciable ;p : [a, b] -+ [e, d] tal que, para todo t E [a, b) se cumpla,

6. Un conjunto C se dice que es un arco de Jordan (respectivamente, una curva de Jordan) si existe al menos una función -r : [a, b] -+ ~3 continuamente diferenciable, que cumpla con la definición 2 (respectivament~, con la definición 3) y cuyo recorrido sea precisamente C.

Ejemplo 284 Un segmento de pa'rábola y = xZ con x E [-1,1] es un ejemplo de un arco de Jordan y una circunferencia tm ejemplo de una curva de Jaman. Ejemplo 285 Halle el gráfico de las sig'u.ientes curvas:

r

1

(t)

rz(t) C3

r

:

3

Curva cerrada simple en R,3

= (sin Zt, sin t/2. cos 3t) = (4+sin2t,O,cos3t)

o ~ t ~ 2'lf

(t) = (8 + sin 57ft, cos 51ft, t)

Figura en el plano y = O. Hélice en el espacio ~3.

Solución. Las gráficas de las curvas Cl , Cz y C3 pueden verse, en el mismo orden, en la Figura 11.1. La curva Cl , la cual es una curva cerrada de Jordan, mirada a lo largo del eje y tiene la misma forma que la curva Cz . Esta curva C2 por otro lado, es una curva cerrada pero no es de Jordan, en cambio C3 es un arco de Jordan, pero no una curva cerrada.

Ejemplo 286 Demuestre que las c'U.rvasC1 yC2 dadas en 11,3 son equivalentes. Solución. Considere la función diferenciable ;p : [0,2'lf]

;p(t)

t

= "2'

-+

[O,7f) dada por

Es claro que esta función es estrictamente creciente, sobreyectiva y

CAPÍTULO 11. INTEGRALES DE LÍNEA

230

o

-1

2

8

6

4 Eje X

Figura 11.1: Curvas Cl, Cz y C3 . La curva el no es plana. Su proyección a lo largo del eje y tiene exactamente la misma forma que la curva plana Cz . continuamente diferenciable en [O. 27f]. Además, para todo t E [O,27f] se tiene:

t

(cos2

x 8v

= =

ay

ay

ax x ay

[

i 1

o

k

oj

fx

1

fy

.

= (1+ !:.(x,y)k)x(j+ fy(x,y)k)

1

=-fx(x,y)i-fy(x,y)j+k.

y por lo tanto,

I¡

a:

a-=> x a~ a-=+ 11I

=

V/ (l,,(x,y»2 +

U1

X ,y»2 + 1.

(12.1)

Ejemplo 316 Calcule el área de la esfera unitaria usando la Ecuación 12.1. Solución. El hemisferio superior de la esfera unitaria puede ser descrito mediante la siguiente parametrización: Y(x,y)

= xi + yj + J! - x2 -

y 2k.

253

12.2. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS Por lo tanto, de acuerdo a la Ecuación 12.1, se tiene:

A

= 12.2

Teorema de la Divergencia de Gauss

Teorema 317 Sea F = Jli + hJ + hk un campo vectorial continuamente diferenciable y definido en una región del espacio ]R3 que contiene a una región V acotada por una superficie suave (continuamente diferenciable) S. Entonces:

en donde 7ft> es el vector unitario perpendicular a la superficie y que apunta en sentido opuesto al volumen. La expresión, \7.

F = aÚ + ah + éJh fJy

[Ix

se conoce como la divergencia de

oz '

F.

Demostración. Ver el texto de T. Apostol "Mathematical Analysis" Teorema 11-37, página 340. • Ejemplo 318 Sea R un cuerpo en]R3 de volumen V. Suponga que la superficie S de este cuerpo es continuamente diferenciable. Entonces demuestre que: lT =

~

118

Y(u, v) . TrdS.

Solución. De acuerdo al teorema de Gauss, se tiene,

IJ

s Y(u,v). 7ft>dS =

JJI

v \7. YdV =

JJJ

v 3dV = 3V.

Ejemplo 319 Calcule, usando el teorema de la divergencia de Gauss la integral,

IJr r

2

2

s(X y+y +xyz)dS,

en donde S es la superficie de la bola unitaria :r 2

+ y2 + z2 S

1.

CA PÍTULO 12. INTEGRALES DE SUPERFICIE

254

¿~~)~ r-'~'~-+ Figura 12.4: Regla de la mano derecha.

Solución. Para poder aplicar Gauss necesitam06 escribir el-argumento de la integral en la forma F· rtdS para alguna función vectorial F. Como 1t = xi + yj + zk, entonces,

F

= xyi + yj

+ xyk,

cumple con la exigencia. Por lo tanto, de acuerdo al teorema de Gauss, se tiene:

Note ahora que la primera integral del lado derecho es cero y la segunda es simplemente el volumen de la esfera, esto 47rí3.

12.3

Teorema del rotacional de Stokes

Suponga que se tiene una superficie continuamente diferenciable S orientada en el espacio ~a por medio de un vector normal rt(x,y, z) y limitada por una curva C. Diremos que la superficie S y la curva e están orientadas positivamente, si la dirección de recorrido de la curva y la dirección del vector rr están orientados según la regla de la mano derecha (ver Figura 12.4): si la dirección de los dedos de la mano indica la orientación de la curva, entonces el pulgar debe indicar la dirección del vector normal rr.Ahora podemos enunciar el teorema que generaliza a tres dimensiones el teorema de Green.

Teorema 320 (Stokes) Sea S una superficie orientable seccionalmente suave y limitada por una curva de lordan. Suponga que F = irl + !2j + hk es un campo vectorial continuamente diferenciable y definido en una región del espacio ]R3 que contiene a la superficie S y a la curva C. Entonces, si la superficie S y la curva e están orientadas positivamente, se cumple:

f F. e

d-r =

¡¡s ('V

x

F) . rr dB.

12.4. CAMPOS CONSERVATIVOS ENIR 3 .

255

Demostración. Ver T. Apostol, "Mathei'natical Analysis" Teorema 11-36, página 335. • Ejemplo 321 Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial

F = (z y

y)l + (x

+ z)j -

la superficie limitada por el paraboloide z

(x + y)k,

=4 -

X2 - y2

Y el plano z

= O.

i

F . dr. Para esto, consideremos e la parametrización r (t) = (2 cos t, 2 sin t) de la curva e rorrespondiente a la intersección del paraboloide con el plano z = O. Por 10 tanto: Solución. Calculemos en primer lugar

fF.

211"

d--;P+

=

J

(4sin 2 t

+ 4cos 2 t) dt =

8r..

o

c

Calculemos ahora la integral

f Js (V x

F) .ñ

dS.

Observe que el gradiente de la función z -1- x2 normal a la superficie. Por lo tanto: -=>

n

+ y2

nos entrega un vector

2xi + 2yj

+k = J 4x2 + 4y2 + 1 '

es un vector unitario normal a la superficie. Por otro lado, como la superficie está dada por la función f(x, y) = 4 - X2 - y2, se obtiene, de acuerdo a la Observación 315 que:

11

8r 8x x or 8y 11 =

V

(fx(x,y)) 2 + (fx(x,y)) 2 + 1'=¡4X2.

+ 4y2 + 1.

Por lo tanto: {{.

JJ x2~y2:'Ól

= 12.4

{211" Jo

(-4x

+ 4y + 2) dxdy

{2 dO Jo (-41' COR 0+ 4r sin 0+ 2) rdr = 811".

Campos conservativos en

]R3.

Finalmente estamos en condiciones de demostrar la condición suficiente para determinar la independencia del camino de las integrales de línea de funciones vectoriales definidas en el espacio tridimensional. Recuérdese que en la Sección 11.3 se estableció que la condición v x F = 11 era una condición necesaria para que la integral fe F· dr fuese independiente del camino. Ahora demostraremos que también es una condición suficiente. Comenzaremos, al igual a como lo hicimos en el caso bidimensional, definiendo el concepto de región tridimensional simplemente conexa.

256

CAPÍTULO 12. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Definición 322 Diremos que una, región D en el espacw R,3 es simplemente conexa si dada walquier curva de Joman en D existe una superfide orientable S, totalmente contenida en D y acotada justamente por la curva C. Teorema 323 Suponga que D es una regi6n simplemente conexa en el espacio q'ue F == f1i + hi + hk, es una funci6n vectorial,

R,3 y

F :D

~ ]R3 ~ ]R3,

continuamente diferenciable en D. Entonces la integral,

le[ fIdx + hdy + hdz, es independiente del camino si y sólo si V' x

F = 15'.

Demostración. Basta demostrar que la integral fe JI dx + hdy + fgdz se anula para cualquier curva de Jordan contenida en D. Pero esto se deduce del teorema de Stokes y del hecho que la región es simplemente conexa. Esto termina la demostración. •

e

12.5

/

Problemas

1. Calcule

JJ s F' ñdS directamente y usando el teorema de la divergencia,

en donde: -->

F

== xyi + yzj + xyk,

y rt es el vector unitario normal a la superficie S la que consiste de la superficie total que encierra la semi-esfera unitaria x2 + y2 + Z2 1, con

z 2:

/

=

o.

2. Resuelva el problema anterior pero ahora S es la superficie total que encierra al cono de helado dado por: V == {(x,y,z): x2+y2+z2 S ll\z 2: #+y2}

3. Use el teorema de la divergencia para calcular

F = 2xi+y2j +

JIs F ' ñdS, en donde,

z2 k,

Y ñ es el vector unitario normal a la superficie de la esfera unitaria y2 + Z2 == 1. /

4. Use el teorema de la divergencia para calcular

X2

+

JI s F . ñdS, en donde,

F = xy2¡ + x2yj + xyk, y ñ es el vector unitario normal a la superficie del cilindro X2 + y2 = 1, superficie que incluye los correspondientes discos x2 + y2 S 1 para z = 1 Y z = -1.

/

/

257

12.5. PROBLEMAS

JJ s (\7 X F) .ñdS sobre la superficie de la semiesfera x2 +y2 + = 1 con z ¿ O incluyendo la superficie x2 + y2 ~ 1 para z = O Y la

5. Calcule Z2

función vectorial:

6. Use el teorema de la divergencia para calcular siguientes funciones:

a) b)

JJ." --+F . ñ

dS, para las

F = xi + yj + zk -F = x2¡ + y2j + z 2k,

ñ es el vector unitario normal a la superficie del cubo de lado unitario centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes coordenados ..

y

7. Determine para cuales funciones la integral de línea Je F . d~ es independiente del camino. Para aquellas que son independiente del camino, calcule la integral a lo largo de la recta que une el orígen con el punto (1,1,1).

(a) (b)

(e)

F

y2i + (2xye + 3)j + (xy 3 cos.z + Z4) k. F = (2 xyz 3 + z)i + x 2z 3 j + (3x 2yz2 + x) k F = xi + yj + zk =

Z

JI

8. Encuentre la integral s F . udS, para las siguient.es funciones en las superficies que rodea al cubo de arista 2 y que se encuentra en posición normal y centrado en el origen del sistema de coordenadas:

(a) (b)

(c)

F = yzi + xzj + xyk. 11 = x 2 i + y2j + z.2k. F = (x-Y)i+(y-z)j+(x-y)k.

(d) F=(x+y)i+(y+z)j+(x+z)k

9. Resuelva el problema anterior, pero ahora integrando sobre la superficie que envuelve al cuerpo limitado por el plano z = O Y el paraboloide z = 1- x2 _ y2. 10. Hallar el área de una superficie en forma de helicoide dada por medio de la función: r(u,v) = (ucosv,usinv,v) para (u,v) en el rectángulo

[O, 1]

X

[0,271-].

11. Halle la masa de una superficie en forma de helicoide como arriba si la densidad por unidad de superficie está dada por u( x, y, z) = x2 + y2 + 1.

J

/

12. El mismo problema anterior, pero ahora la densidad es u(x, y, z) =

Ixl+lyl.

258

CAPÍTULO 12. INTEGRALES DE SUPERFICIE

13. Encuentre la masa de la esfera unitaria si la densidad por unidad superficial en el punto (x, y, z) es proporcional a Z2.

(\7 -Y) .

14. Use el teorema de Stokes para evaluar JJ s X rfdS, en donde rf es el vector unitario normal a la superficie S que consiste de la porción ubicada en el hemisferio superior del elipsoide x2 + (y/2)2 + (z/3)2 = 1 Y la función F está dada por:

15. Gse el teorema de Stokes para evaluar fe y 3 dx - x 3 dy + z 3 dz en donde e es la curva cerrada simple que resulta de intersectar el cilindro x2 +y2 = 1 Y el plano x + y + z = 1 recorrida en sentido tal que la correspondiente proyección de la curva en el plano x -y sea recorrida en sentido contrario a los punteros del reloj. Compruebe su resultado integrando directamente.

Capítulo 13

Certámenes 13.1

Ejemplos de Certámenes

Ejemplo Primer Certamen 1. Encuentre el volumen de una pirámide cuyos vértices están dados por los siguientes puntos (1,1,2), (3,2,5), (-2,3,1) Y (-3, -1, 7).

2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) y cuales son falsas (F). En cada caso demuestre su respuesta. (a) Las ecuaciones x - 1 = Y - 2 = 4 - 2z representa una recta que es ortogonal e intersecta a la recta 8x - 16 = 8y - 24 = 2z - 3. (b) La ecuación 2x + y - z = 1, representa un plano que es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1,2,3) Y (-3,0,5). (e) El conjunto {(lln, 11m) : n, m = 1,2,'" } U {(O, O)} es compacto en

R2. (d) La desigualdad de Cauehy-Sehwarz I(x,y)¡:::; da por ejemplo para demostrar que

Ilxlllly!l

pue.de ser usa-

(e) El ángulo agudo que forman las diagonales principales de un cubo es aproximadamente 70.531 grados. 3. Demuestre, usando la definición que

lim (x,y)-(1,2)

(x + y - xy)

4. Considere la función:

2.'59

(x,y)

i (0,0)

(x, y)

= (O, O)

= l.

260

CAPÍTULO 13. CERTAMENES

f

(a)

¿Es posible hallar A de modo que

(b)

¿Es posible hallar A de modo que j sea continua en todo el conjunto

G

sea continua en todo el plano?

= {(x, y) : Iy I :S x 2 }?

5. Considere la función F : G t;;;; R 2 F(x,y) = ( )9

-

-+

:R 3 , definida por:

X2 -

y2, ln(xy), vx -

y)

Halle el dominio G y demuestre que F es continua en todo G.

6. Considece la ¡nndón f(x,y) fj2 1

y2 x2 +y2 {

~

x2 _

(x,y) =f. (0,0) . Encuentre: (x,y) = (0,0)

°

8 21

(a) 8x8y(0,0), 8y8x(0, O) 82 / , (b) 8x8y(1,2)

82f

8yox(1,2}

Ejemplo Segundo Certarnen 1. Suponga que / es diferenciable en todo R 3 . Considere la función

= f(y -

w

x2 - z,y2

+X -

Z,x - y

+ z2)

Demuestre que: 8w OX

+

&w By

+

OW

-+

= -2(x 1

8z

-+

..,......

- Y j - z k) . 'c:;:1f

2. Dada la función f(x, y) = 2x 2 + y2 - 2x - 2xy, halle todos sus extremos (máximos y mínimos). 3. Usando multiplicadores de Lagrange, plantee un sistema de para hallar la mínima distancia de la elipse

ecuaciom~

x2 +4y2 = 4

a la hipérbola xy

= 4.

4. Considere el siguiente sistema de ecuaciones: F(x,y,u,v)

= O;

G(x,y,1l,v} =

°

en donde F y G son funciones diferenciables. Suponiendo que las variables (u, v) pueden ser" despejadas" en función de las variables (x, y), determine condiciones para este" despeje" y calcule las siguientes derivadas parciales: (fu

a) -

8x

&v

b)éhJ

261

13.1. EJEMPLOS DE CERTA.MENES

5. (a) Evalúe la integral iterada. (b) Grafique la región de integración. (c) Exprese la integral doble correspondiente invirtiendo el orden de integraeÍón:

Ejemplo Tercer Certamen 1. Calcule la siguiente integral de línea

r -ydx + :cdy

le

x2

+y2

en donde e es la curva cerrada dada por la elipse 4x2 + 9y2 = 36, recorrida en el sentido contrario a los punteros del reloj. 2. Encuentre el centro de masa de un alambre delgado en forma de semicircunferencia de radio R.

-r

r

3. Calcule el trabajo hecho por la fuerza F = (x3 + y) + (y2 + x) al mover un cuerpo desde el punto P = (O, O) hasta el punto Q = (7f, O) a lo largo de la curva y = x 3 sln 2 x. 4. Sea

e

la curva formada por los siguientes segmentos lineales:

(2,0)

--4

(1,1)

->

(-1,1)

->

(-2,0)

--+

(-1,-1)

->

(1,-1).

Calcule la siguiente integral de línea:

i

(x - y2)dx

+ (3x + y)dy

5. Determine el trabajo realizado por la fuerza:

F = (yz2 cosx + 2x) -r + z2 sinx r + 2yzsinx k al mover un objeto de la posición (7f,0,0) hasta el punto (O,-7f, 37f/2) a lo largo de la hélice:

r(t) == (7fcost,1isint,t)

°

~ t ~ 37f/2.

262

CAPÍTULO 13. CERTAMENES

Ejemplo Examen 1. Considere la función G : ;[(.2 -> JR.2 definida por G( u, v) = (u + v, uv) y suponga que f : JR.2 -> JR es una función arbitraria de clase C2 . Defina w = f(G(u,v)). Suponiendo que:

DIJ(P)

= 3; D.d(P) =

en donde P

2. Sea f(x, y)

-2; Dllf(P)

= 1; D22f(P) = 2 Y D12f(P) = 1,

= (2,1), calcule:

= x2 + y2 + Axy en donde A es una constante.

(a) Halle condiciones para la constante A de modo que z = f(x,y) tenga un mínimo local en un único punto de su dominio. (b) Para A = 0, determine 10l:i extremos de z = f(x,y) en el caso que existan, sujetos a la restricción que dichos extremos se encuentren sobre la curva:

3. Sea:

a) Halle y grafique una región R en el plano cartesiano de modo que el valor de 1 pueda seto escrito como una integral doble, vale decir en la forma:

jJ

R

2

(x·- y? sin (x + y)dxdy.

(13.1)

b) Use un cambio de variables adecuado para calcular la integral (13.1) de manera tal que la nueva región de integración sea un rectángulo. 4. Calcule:

en donde e es la curva que va desde el punto (2,0) al punto (0,1) dada por la ecuación:

263

13.2. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE CERTLÜv1ENES

13.2

Ejemplos de Problemas de Certámenes

13.2.1

Miscelánea

Problema 1.- Sean A y B los siguientes subconjuntos del plano cartesiano:

Ahora considere los siguientes subconjuntos: A, B, A estos cinco conjuntos, determine cuales,

n B, A U B, B - A. De

1. Son compactos. 2. Son cerrados pero no poligonal mente conexos. 3. Son poligonalmente conexos pero no acotados. 4. Tienen a (O, O) como punto de acumulación. 5. Su complemento es región. Solución. Las siguientes dos figuras representan los conjuntos B y A n B respectivamente.

1. son compactos: A, A

nB

2. son cerrados pero no poJigonalmente conexos: A

n B.

3. son poligonal mente conexos pero no acotados: B, A U B 4. tienen a (O, O) como punto de acumulación: B, A U B, B - A 5. su complemento es región: A

nB

Problema 2.- Determine cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) (F). Justifique su respuesta.

y cuales son falsas

1. El intervalo [0,1]

= {(x,y): y = 0/\0::; x

S 1} es cerrado en

11~.2.

CAPÍTULO 13. CERTAMENES

264

2. El conjunto {(x, y) : x2

+ yZ < 4}

es simplemente conexo.

3. El conjunto Z (enteros) no tiene puntos de acumulación en JR. 4. El conjunto {(x,y) : iyJ::; x 2 } es poligonalmente conexo. 5. La función 6. Si

I

f (x,y)

= )Ixy) es continua en todo el plano.

es continua en JR2, entonces su dominio es todo JR2.

7. El vector ai+bj+ck es ortogonal a pi+qj+rk sí y sólo sí ap+bq+cr

=O

8. La ecuación de! plano que pasa por (a, b, e) y es perpendicular al vector pi + qj + rk esta dado por p (x - a) + q (y - b) + r (z - e) = O. 9. La ecuación z

= X2 + y2

representa una esfera centrada en (O, O, O) .

. 1(0,2 + h) - 1(0,2) 10. La expresión lim corresponde a .h-O h

al (O 2) ::1.. ' . VII

Solución. 1. (V) El complemento es ahierto .

2. (V) El conjunto {(x, y) : 1 < X2

+ y2 < 4}

no tiene "hoyos".

3. (V) El conjunto Z esta formado por puntos aislados. 4. CV) Todo par de puntos puede ser unido mediante una poligonal contenida en el conjunto.

5. (V) La función I (x, y) =

VixYT

es continua en todo el plano pues es composición de funciones continuas.

= R 2 se deduce por la definición de continuidad. El que ap + bq + cr = O equivale a que el producto interior de ambos

6. (V) Dom(f)

7. (V)

vectores sea cero.

8. (V) El vector pi+qj+rk es perpendicular al plano px+qy+rz

= pa+qb+rc.

9. (F) La ecuación representa un paraboloide de revolución. 10. (V) &; la definición de derivada parcial. El nombre de la variable no tiene importancia teórica.

Problema 3.- Determine cuales de las siguientes afirmaciones son correctas (V) y cuales son falsas (F). justifique su respuesta.

1. El intervalo (O, 1) es abierto en R:2. 2. El conjunto {(x, y) : 1 < x2

+ y2 < 4}

es simplemente conexo.

265

13.2. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE CERTÁMENES 3. El conjunto {1, ~,~, ... } tiene infinitos puntos de acumulación en R 4. El conjunto {(x,y): 5. La función

f (x, y)

Ivl < x 2 }

es poligonalmente conexo.

= ,/¡xyl es continua en todo ei plano.

6. Si las derivadas parciales de primer orden existen en ffi;2, entonces continua en todo el plano.

f

es

7. El vector ai+bj + ck es ortogonal a pi+qj + rk si y sólo sí ap+ bq+cr = 1. 8. La ecuación del plano que pasa por (a, b, e) y es perpendicular al vector pi + qj + rk esta dado por p (x - a) + q (y - b) + r (z - e) = O. 9. La ecuación z2

.

= x2 + y2 representa una esfera centrada en (0,0, O) .

. f (0,2 + k) - f (O.' 2)

10. La expreSIón hm

k-.O

k

af

corresponde a -;:,- (0,2) . (IX

Solución.

(1) F, (2) F, (3) F, (4) F, (5) V, (6) F, (7) P, (8) V, (9) F, (10) F. Problema 4,- Considere el siguiente par de ecuaciones. Respecto a ellas determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). justifique su respuesta.

x-l y-2 -05- = -7-

=

z+1 -2

1. Representa una recta que pasa por el punto (5,7, -2) .

2, Representa una recta que pasa por el punto (-5, --7, 2) 3. Representa una rect.a que pasa por el punto (-1, -2,1) Y (05,7,2). 4. Representa una recta que pasa por el punto (l, 2, -1) . 5. Representa un plano que cort.a a los ejes coordenados 1 2 1 5' 7' 2" respectivamente.

X,

y, z, en los puntos

6. Representa un plano que corta a los ejES coordenados 3 3 21 . -7' 5' - 3.5 respectlVamente,

X,

y.

2,

en los puntos

Solución.

(1) F, (2) F, (3) F, (4) V, (5) P, (6) V. Se trata de una recta en el espacio que pasa por el punto (1,2, -1) Y que tiene la misma dirección del vector .51 + 7j - 2.k.

CAPÍTULO 13. CERTAMENES

266

Problema 5.- Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) respecto a las ecuaciones,

y-2 4

x-l 3

z+l -5

Justifique su respuesta. 1. Representa una recta que pasa por el punto (3,4,

-5).

2. Representa una recta que pasa por ei punto (-3, -4, 5) . 3. Representa una recta que pasa por el punto (1,2, -1). 4. Representa una recta que pasa por el punto (1,2, -1) Y (3,4, -5) . 5. Representa un plano que corta a los ejes x,y, z, en los puntos respectivamente.

111

3' 2' 5

--1 -1 1

3"' 2' 5

6. Representa un plano que corta a los ejes x, y, z, en los puntos respectivamente. Solución.

(1) F, (2) F, (3) V, (4) F, (5) F., (6) F. Se trata de una recta en el espacio que pasa por el punto (1,2, -1) Y que tiene la misma dirección dada por el vector 31 + 4j -- 5k. Problema 6.- Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique su respuesta. 1. Si z

= f(x, y)

es diferenciable en (f1,b), entonces necesariamente existe la

derivada direccional

8~fn"(a, b)

para cualquier vector unitario n.

2. Si f (x, y) = x 3 +sin xy, entonces la derivada direccional de (2,27f) Y en la dirección del vector i + j es 22 + 211".

f

en el punto

3. La derivada direccional de la función anterior, en el punto indicado toma su mayor valor en la dirección y sentido del vector n = 0.5 (1 + .j3j) . 4. Si el sistema,

F(x,y,u,v)

= O;

G(x,y,u,v)

= O,

define a u e y como funciones continuamente diferenciables de las variables x y v, entonces,

ou

av = -

8(F,G) 8(x,v) 8(F,G)

o (y, u)

267

13.2. EJEMPLOS DE PROBLENLAS DE CERTÁMENES 5. Suponga que se clmplcn las

f f" Suponga además ::¡ue

i~ualdacles

fx (0,0) = fy (0,0) = 1

(0,0) ([1,

f

siguientes,

fy(O.1}=2,

í)

es diferenciable en (O, O) Y que

w (X)

=f

(:¡;,f (x,x)) ,

entonces w ' (O) = 7. Solución. 1. (V) Resultado teorico.

2. (F) Un vector unitarÍo en la misma dirección es n =

1

v'2 (1 + j)

af

Por lo tanto:

(3~:2

an =

y s 0)(38 > O) (O < (x - 1)2 + (y - 2)2 < 82 => Ix + 5y -

Si

E

> O entonces tome 8 = E/6 Y use

Ix + 5y -111 = I{x -

1) + 5 (y -

la siguiente cadena de desigualdades:

2)1 ::; Ix - 11 + 5 Iy - 21 < 8 + 56.

Problema 8.- Demuestre, usando la definición que donde

111 < é) .

1 (x,y) = 3x +y.

lim

(x,y)->(1,2)

I (x,y) =

5, en

Solución. Hay que demostrar que;

('VE> 0)(38 > O) (O < (x - 1)2 + (y - 2)2 < 82 => ¡3x + y-51 < E)

.

Si E> O entonces tome 8 = E! 4 Y use la siguiente cadena de desigualdades:

¡3x + y-51 =

1·3x - 3 + Y -

2! ::; 31x -

11 + Iy - 21 < 38 + 8.

Problema g.- Demuestre, usando la definición que: lim

(x,y)--.(t,2)

Solución.

x2y

= 2.

.3.~'.

Si

EJEMPLOS DE PRD1LE\1'IS DE CElt1:4.I\fE;VC:,~' I

>

O tome ti = min {l

IX2Y-2\

1~,;2ü,

=

2

< x 6 -+

y Uf;C ! (0,0)

.

+ yJ.

i

=

o.

Heemplazando lo::. valores correspolldientes. se tiene:

lim

(h,k)->IO.O)

h2

+

k2

,/h2 +y2 Luego, dado entonces

E

> O, nos ha'ita tomar b =

I¡(h k) i

'

1

I:;sto demuestra que

E

Y tendremos que si O <

al

al:

((O 0)- h-(O.Ol- k-o (O O)!

ax ' _ _ ._ _ _ ._-========-+ y2

.,'

,/h2

I

,/h'2 + y2 < 8,

ay'! '. <

E

es diú:Tenciable en ((J, O).

F'roblema 16.- Halle el plano tang,eDte a la superficie z = ¡(x. y) del problema anterior en:

272

CAPÍTULO 13. CERTAMENES

1. el punto (x,y,z)

= (0,0,0).

2. el punto (x,y,z) = (1,2,4/5). Solución. 1. Ya que la función es diferenciable en el punto (x, y)

el plano tangente. Como

8j (Jx

(O, O) =

= (O, O) entonces existe

(Jf

.

ay (O, O) = O, se obtiene que el plano

tangente es: of

8f

z - O = (x - O) ox (O, O) + (x - O) ox (O, O) = O

= O. Como la función, en una vecindad del punto (x,y) = (1,2) está dada por

es decir, su plano tangente es el plano cartesiano z

2.

2 2

la expresión

: y

2' entonces para hallar el plano tangente en este caso, x +y necesitaremos las derivadas parciales de esta expresión evaluadas en (1,2). Ahora:

y

Evaluando en (1,2), obtenemos:

!!-.

x2y2 (1 2) _ 32 ox x2 + y2 ' - 25'

Por lo tanto la ecuación buscada es:

4 32 4 z - - = --;(x - 1) + -(y - 2). 5

2;)

25

Problema 17.- Suponga que, (x2 f(x,y) = { O

+ y2) sin _x...:::.y~

Ixl + Iyl

of o' 1. Calcule OX (1, -1) Y ~ (1, -1)

Si (x,y)

#- (0,0)

Si (x,y) = (0,0).

273

13.2. EJEMPLOS DE PROBLEAfAS DE CEHnl1\1E1VES

') ¿Es

1 diferenciabie en

3. Calcule

4. ¿Es

(1, -- -i)?

81

ax (O, O) Y ai (]y (O. O)

1 diferenciab:e en

(O, O)?

Solución.

l. Existe una vecindad abierta de (1, -1) en donde la función tiene la representación 22, xy !(:r,y) = ( :r +y)sm--.

x-y

Por ejemplo tome la vecindad

¡"

y'2( 1, -1).

Por lo tanto, la derivada

af

-;- (1, -1) puede calcularse usando las reglas usuales. El mismo razovX

namiento se puede aplicar

(Jf

O : como fo; entonces debemos resolver el sü,¡terna: 3X2 - 3y = O } "

3y~

~

.];'2 -"

Y= U

==

l.

:3x'2 - :3y y

:;;2

I y = 3y2

-

3x,

= 11 '}

=O ) :Ir = :r = (1,1) Y (x,y) = (0.0). .;::=:??

- 3x = O . y " - x

La solución de este sistema es: (x,y) El punto (0,0) pertene.,ce a la frontera de la región. Por e:;ta razón no podemos aplicarle el método del hessiano. Por otro lado el punto (l. 1) sí está en el interíor de la regiótl x > OY podemos aplicarle el método del hessiano:

í ffxx

.~xy

D( x,y ) =,

L

L

Jyy

yx

1 = J

[ 6x

-.3

= %:[,(j - 9

Como D(l, 1) > O Y fxx(l, 1) > O se deduce que (1, 1) es un mínimo locaL Note que f(1, 1) = -L Ahora estudiemos la frontera de la región ;¡; > [) Para esto debemos resolver el sistema:

La única solución de este sistema es (:r,y) = (0,0). Considere ahora la función g(y) = feO, y) = y3. Es claro que esta función tiene al punto y = O como punto de inflexión. Se concluye por lo tanto que (O, O) es un punto de ensilladura de la función f. Problema 39.- Determine máximos y mínimos úe la función, Jf

(". ,,:

= J~ f(x)g(x)dx.

19.- ~ote que f(X)I/2 g (X)1/2 ;::: 1, luego J~ f(X)l/'2g(X)l!2dx ;::: 1, ahora, por Cauchy-Schwarz se tiene

316

CAPÍTí'LO 11 pE.-::F'rTST!~S A PROBLE;\IAS SELECCIONADOS

elevando al cuadrado se ritme ia de;,;igualdad buscada. 21.-

t

f'

llij X i T j

=

t akk1;~ + I=

k=l

:=1 j=l

t O tal que F(Vó(a)) C;; Ve(F(a)), en donde € = F(a), Entonces si x E 1/0 (a), se tiene que iF(x) - F(a) I < F(a) y por Jo tanto F(x) > 0,

Capítulo 5, página 11l. 2.- La existencia de las derivadas pardales f>stán R,fl.rantizadas por tI Teorema Fundamental del Cálculo: si 9 C~ continua, enton('e.~ f(;r;) = g(t)dt es diferendable, (a) aflax (1 +y)g(x+ xy); ()j/ay ::-: xg(:r+:r:y), d) Note que f (x, y) =

.r

=

kxy puesto que

Jo g(t)dt

af / ay = x

(t) di, f) a f/ a.r = élf / OJ¡ = 9 (I;r-y 9 (t)

J>

f1

es una constante. LUt"go iJf/dx = y

;::¡,- Error de impresión: .la funcíóli (al es

ai

f

{:J:,.l)) ::::

ardan

J'i g(t)dt o

Y

dt) y( x + y),

(x -- arctau (yxy-rsin ,ry))

. cjf-

Y",. (1T/4.1) = 1,.b¡ - 17T/4.1,i oX' ., , ox' .

=.::

,/2 . /2 1

,'5.- Ambas existen y valen O. 6,- (b) Como (-1,1) pertenece al segundo cuadrante se tiene que J(x, y) !xy! = -xy y por lo tanto fif/fJ:r(-l,lj :o: -yly=l = -l:éJf/8y(-l,l) -XIX=_l = l. 7.- x - 2 = (1 - z )/2, y 2. 2 9.- Z .T + xy + 2 xy 2 + y sin

=

=

=

JíX,

Capítulo 6, página 129.

(f.i Y (g) ambas funciones son difercncíables, 3.- d) fx y fy son continuas en todo el plano: Ir(O. a) = O '¡;ia y para x i= O se tieuE:quefx(x,y) = (xycoS:¡;Y-SUl.TI/)/:r;'2. \'otf:ahoraque lim f",(x,y) = 2,-

O: anáiogamente fy(O. a)

=

1 ';fa y si x

'*

(:.c,lI)-·~(OJa)

.

O se tiene fy(x,y) = eosxy y

CAPÍTL'L O 14. RESPUES1A.'-l A PIWnLEI\.fAS SELECCIONADOS

318 .

lím

(x,y)-> (O,a)

Iy(.r,y)

= 1, e)

fes dífereücíable eh todo ei plano,

7.- a) df = 4(Lr + 9dy, le) di = (!87f + 7T 2 + 48)d.r + 16dy + 16dz)V2/32. 2 r . 12 . J 8.- a.) 76 [4, 4,lij, b) --'F l0,4 - ;'. O . 10,- b) [4A -+- 3B,6,;3A + V.3B] en donde A:::: J~l/'2 esíntdt y B = ~sin(I/2). 12,- b) 2: = TiX + Ky - 7T 2 . 15.- b) x - 2 = (1-'u)/2::: ¡z - 4)/4. 18.- dT = {7,-/·/1g)(dl- (l/g)dr¡1. por lO tanto el error es aproximadamente :1.:(7;/ J(\¡)-;:¡-::;-q~) iUHYJl + i'(j,:'1 >, )" (i.! J;/ ¡::: ilO(i(l'i segundos.

i

\

V I ,

,¡

Capítulo 7, página 14:5. = -9.)3/2,

1.- dz/dll

3.- du.; dn = - 60/ 1:3. x - 2 = (y - 1);2 = (z - 8)/20. 14,- Repta: 24. 16.- ah/ ax = !t Ul + JI U3 + fzu, + hw' + J.