Apunte MRU-Encuentro de Móviles

MRU. Encuentro de dos móviles Otra de las cosas que nos puede interesar conocer, además de saber la posición en la que se encontrará un móvil en un determinado momento t, o en qué momento t se encontrará en determinada posición X, será saber si dos móviles se cruzarán o no, y en el caso de hacerlo en qué lugar y en qué momento t ocurre dicho encuentro. Esta situación también la vamos a resolver usando las ecuaciones horarias del MRU. Resulta bastante simple entender que si dos móviles se cruzan es porque están en el mismo lugar (misma posición X) al mismo tiempo (instante de tiempo t). Si llamamos X1(t) a la ecuación horaria del móvil 1 y X2 (t) a la ecuación horaria del móvil 2, entonces el encuentro entre ambos se va a producir si:

X1(tenc) = X2(tenc) En esta expresión podemos notar que se cambió t por tenc (se lee tiempo de encuentro) porque los móviles están en el mismo lugar sólo en un instante particular y no en cualquier valor de t. La expresión, desde el punto de vista matemático, es una ecuación donde la incógnita es t enc. Si la ecuación tiene solución, entonces los móviles se cruzarán y si no la tiene, entonces no se cruzarán. Para comprender mejor estos conceptos vamos, como siempre, a trabajar con algunos ejemplos: Ejemplo 1: Martín va en su bicicleta, con velocidad constante de 10m/seg por una calle rectilínea siguiendo a Andrea, que está 120m adelante y va corriendo en el mismo sentido a una velocidad constante de 4m/seg. Nos interesa determinar cuánto tiempo después la alcanzará, en qué lugar la alcanza y qué distancia avanzó cada uno. (Sabemos que la alcanzará porque Martín va más rápido que Andrea) El esquema del problema, con mi elección particular del SR, sería:

Los datos numéricos para Andrea son: Xa=120m, ta= 0seg y VAndrea= 4m/seg Entonces su ecuación horaria quedaría: XAndrea(t)= 100m + 4m/seg.(t – 0seg) o más simple: XAndrea(t)= 120m + 4m/seg.t Los datos numéricos para Martín son: Xa=0m, ta= 0seg y VAndrea= 10m/seg Entonces su ecuación horaria quedaría: XMartín(t)= 0m + 10m/seg.(t – 0seg) o más simple: XMartín(t)= 10m/seg.t Para ver si se cruzan o no debemos plantear:

XMartín(tenc) = XAndrea(tenc)

Como conocemos las ecuaciones horarias de Martín y de Andrea, las podemos reemplazar en la igualdad anterior y nos queda: 10m/seg.tenc = 120m + 4m/seg.tenc En esta ecuación tenemos que despejar tenc y para eso procedemos de la siguiente manera:

Primero agrupamos los dos términos que tienen a la incógnita (tenc) pasando 4m/seg.tenc restando al lado izquierdo y queda: 10m/seg.tenc – 4m/seg.tenc = 120m Resolvemos la resta que hay en el lado izquierdo y queda:

6m/seg.tenc = 120m

Pasamos dividiendo al lado derecho los 6m/seg y nos queda: Resolvemos la división y el resultado que obtenemos es:

tenc = 120m/6m/seg

tenc = 20seg

Este resultado nos indica que se van a cruzar cuando el reloj marque 20seg Para saber en qué lugar se va a producir el encuentro, solo debemos colocar t =20seg en las ecuaciones de Martín y de Andrea. Para Martín tenemos: XMartín = 10m/seg.20seg y si resolvemos la multiplicación nos queda: XMartín = 200m Para Andrea tenemos: XAndrea = 120m + 4m/seg.20seg. Se resuelve primero la multiplicación y nos queda: XAndrea = 120m + 80m y luego resolvemos la suma para obtener: XAndrea = 200m. Por lo tanto Martín y Andrea se cruzan a 200m a la derecha del origen del SR, cuando el reloj marca 20seg. Además vemos que Martín, que va más rápido, se desplazó 200m (pasó de 0m a 200m) y Andrea, que va más despacio, se desplazó solo 80m (pasó de 120m a 200m). Ejemplo 2: Martín va en su bicicleta hacia la derecha, con velocidad constante de 10m/seg, en una calle rectilínea. Andrea, que está 140m a la derecha de Martín, va corriendo en el sentido opuesto a Martín a una velocidad constante de 4m/seg. Nos interesa determinar cuánto tiempo después la alcanzará, en qué lugar la alcanza y qué distancia avanzó cada uno. (Se van a cruzar porque corren enfrentados en sentidos opuestos) El esquema del problema, con mi elección particular del SR, sería:

Los datos numéricos para Andrea son: Xa=140m, ta= 0seg y VAndrea= – 4m/seg (va hacia el lado negativo!) Entonces su ecuación horaria quedaría: XAndrea(t)= 140m – 4m/seg.(t – 0seg) o más simple: XAndrea(t)= 140m – 4m/seg.t Los datos numéricos para Martín son: Xa=0m, ta= 0seg y VMartín= 10m/seg Entonces su ecuación horaria quedaría: XMartín(t)= 0m + 10m/seg.(t – 0seg) o más simple: XMartín(t)= 10m/seg.t (igual que en el ejemplo 1) Para ver si se cruzan o no debemos plantear lo mismo que en el ejemplo anterior: XMartín(tenc) = XAndrea(tenc)

Como conocemos las ecuaciones de Martín y de Andrea, las podemos reemplazar en la igualdad anterior y nos queda: 10m/seg.tenc = 140m – 4m/seg.tenc En esta ecuación tenemos que despejar tenc y para eso procedemos de la siguiente manera: Primero agrupamos los dos términos que tienen a la incógnita pasando –4m/seg.tenc sumando al lado izquierdo y queda: 10m/seg.tenc + 4m/seg.tenc = 140m Resolvemos la suma que hay en el lado izquierdo y queda:

14m/seg.tenc = 140m

Pasamos dividiendo los 14m/seg y nos queda: tenc = 140m/14m/seg Resolvemos la división y el resultado que obtenemos es: tenc = 10seg Esto nos indica que se van a cruzar cuando el reloj marque 10seg Para saber en qué lugar se va a producir el encuentro, solo debemos colocar t =10seg en las ecuaciones de Martín y de Andrea. Para Martín tenemos: XMartín = 10m/seg.10seg y si resolvemos la multiplicación nos queda: XMartín = 100m Para Andrea tenemos: XAndrea = 140m – 4m/seg.10seg. Se resuelve primero la multiplicación y nos queda: XAndrea = 140m – 40m y luego resolvemos la suma para obtener: XAndrea = 100m. Por lo tanto Martín y Andrea se cruzan a 100m a la derecha del origen del SR, cuando el reloj marca 10seg. Además vemos que Martín, que va más rápido, se desplazó 100m (pasó de 0m a 100m) y Andrea, que va más despacio, se desplazó solo 40m (pasó de 140m a 100m por lo tanto se desplazó 40m hacia el lado negativo).

Las situaciones de movimiento entre dos móviles que viajan por un mismo camino recto son las siguientes:

Figura 1: Los dos viajan en el mismo sentido. El encuentro solo se puede producir si el que va atrás (Martín en este caso, es más rápido que el que va adelante, Andrea en este ejemplo. Figura 2: Los dos viajan en sentidos opuestos. El encuentro siempre se va a producir independientemente de la velocidad de cada uno de ellos. Figura 3: Los dos viajan en sentidos opuestos. El encuentro no se va a producir independientemente de la velocidad de cada uno de ellos. También se puede pensar que el encuentro se produjo un tiempo antes de esta situación. Nosotros, en nuestra materia, solo vamos a considerar problemas en donde aparecen los casos de la figura 1 o la figura 2.