Apunte Algebra Secretaria Tecnica Bicentenario

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Liceos Bicentenario Matemática

Álgebra y ecuaciones Material complementario Primeros Años Medios Temas: -

Breve reseña. Operatoria con expresiones algebraicas Lenguaje algebraico Ecuaciones Factorización Ejercitación

Versión: Estudiantes 2014 1

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Notas del estudiante

Álgebra Breve historia: Se cree que entre los años 2.000 a 1.800 antes de Cristo, los egipcios tenían conocimientos del Álgebra. Existe un papiro llamado Papiro de Rhind (en honor al anticuario escocés de apellido Rhind, que lo compró en 1858 cerca del Río Nilo). En ese papiro se encuentran problemas que permiten creer en una aproximación a la resolución de ecuaciones lineales. Con los babilónicos, el álgebra alcanzó un nivel de abstracción superior; ellos podían solucionar problemas que involucraban ecuaciones cuadráticas y cúbicas, sin embargo, quien es considerado el padre del álgebra es el griego Diofanto de Alejandría, en cuyo epitafio se lee lo siguiente, según la leyenda. “Transeúnte,

ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.

donde x es la edad que vivió Diofanto.

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Notas del estudiante

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió.

En la India se inició el comienzo del álgebra con una estructura de abreviaturas de palabras y algunos símbolos para describir las operaciones. Los árabes contribuyeron primeramente con el nombre que ahora conocemos por Álgebra y que viene de un libro escrito en año 830 por el astrónomo Mohamed ibn Musa al-Khowârizmî, titulado Al-jabr w´al muqâbala, que significa restauración y simplificación. Lo que podemos destacar entonces es que el álgebra árabe tiene claramente influencias babilónicas, hindúes y griegas.

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Notas del estudiante

Conceptos básicos de álgebra Término Algebraico:

Es una agrupación de factores, números y / o letras. Ejemplos: 4xy ; 9z2 ; 3x3y8z ; 48 ; x3y ; 7,2mn9 .

En todo término podemos distinguir dos partes; coeficiente y factor literal. Si en un término no está escrito el coeficiente, significa que éste es 1. Ejemplos:

Término Algebraico 9x3y Coeficiente 9 3 Factor Literal xy

-17xz -17 xz

4/5 a2b6 4/5 a2b

m7n5 1 7 5 mn

Grado de un término Algebraico: se obtiene al sumar los exponentes de las letras que tiene el Factor literal.

Ejemplos:

1) 5x3 ; grado 3 4 2) -6a b ; grado 5 3) 2,34m ; grado 1

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Ejercicios: Completa la siguiente tabla:

Notas del estudiante

Término Algebraico

Coeficiente

Factor Literal

Grado

4x2y

4

x2y

3

6 -14

xyz pq2

-1,5 1.000

x a2b6

7ab3 -8m3n4

0,5a2b2 ¾ mn6

x2y3z m/2 1 -1

abcd x12y9

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Notas del estudiante

Expresión Algebraica: Es un conjunto de términos, unidos entre sí por la operación adición (suma o resta ). De acuerdo a la cantidad de términos que tenga se clasifican en: * Monomios: tienen un solo término. Ejemplos: 4xy ; -7a2 ; -98ab3c4 ; m2n7 ; ¾ xy6 ; 0,5pq . * Binomios: tienen dos términos. Ejemplos: 9x + y ; 7a – 3b ; 3m + n/4 ; 0,23x3 – 8y .

* Trinomios: tienen tres términos. Ejemplos: x – y + z ; 2a + 3b2 – 16 ; m/2 + 1,5n2 – 6m5n2 .

*

Polinomios: En general son aquellos que tienen más de dos términos. Ejemplos: 2x + 3y – 5z2 + xy ; m5 – 2m4 + 0,7m3 – m2/5 + 3m – 23 .

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Notas del estudiante

Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio se lo da el término que tenga mayor grado. Ejemplos:

1) 3x + y2 – 6 2) 2abc – 3a2

; ;

grado 2 grado 3

3) 4mn + 0,1m2n3 – 7n4 + 17/2 4) 8

; grado 5

; en este caso el grado es cero, ya que no hay factor literal.

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Ejercicios: Clasificar e indicar el grado a las siguientes expresiones algebraicas. N° 1)

Expresiones Algebraicas 3x + 2y – 5z

2)

6m2n + mn

3)

2 – 7a + 5b + 7c

4)

x2y + xy2

5)

Nombres

Notas del estudiante

Grado

p5 + p4 – p3 + p2 + p – 1

6)

0,5xyz

7)

¾x+¾y

8)

2a2 – 3b3 +4a2b3

9)

8m2n + 5nm2

10)

6,24xyz – 2,3x2y3z4

11)

3q6 – 4q5 + q4 – 9q3 + 10q2 – q

12)

x2y + 2xy2 – 5yx2 – 16y2x

8

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Notas del estudiante

Términos Semejantes: Dos o más términos algebraicos son semejantes si tienen igual factor literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Ejemplos: 1) -5x2y 2) 2m3n

con

4x2y

con

2mn3

;

son semejantes

;

no son semejantes

3) ¾ a4b5 con

1,8a5b4 ;

no son semejantes

4) -xy4z

0,7y4xz ; son semejantes

con

Operatoria con expresiones algebraicas Reducción de Términos Semejantes: Consiste en sumar y/o restar términos semejantes de un polinomio, para lo cual se suman o restan solo los coeficientes y se conserva el factor literal. Ejemplos: 1) 3xy + 5xy – xy = 7xy 2) 6m2n – m2n + 8nm2 = 13m2n 3) 4a + 7b – 7a + 5a – 3b – 14a = -12a + 4b

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Ejercicios:

Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas.

Notas del estudiante

1) 3x + 4y -8x + 7y + 12x – y =

2) 8 – 2a – 3b + 9 – 6 – b + 5a + 7 =

3) 2m2 + 6m – m + 8m2 – m2 + 21m =

4) x2y + 5xy2 – 6y2x – 8yx2 =

5) 3a2b + 4a2b2 – 7a2b3 + b3a2 + 8b2a2 – a2b =

6) 6mn2 + n2m – 6nm2 – 11mn2 + 3nm2 – mn2 =

7) 14 + pq – 5 + 3qp -1 + 23qp -31pq +17 =

8) x3y + 2yx3 – 7xy3 + 19y3x – xy3 – 3xy =

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9) (x + 2y) + (5x – 6y) =

Notas del estudiante

10) (2ab – 3a + 6b) – (b + 4a – ab) =

11) (x2 + x -1) + (6 -2x +5x2 ) – ( 7x – 4 + 8x2 ) =

12) 3m – (2mn + n ) + ( -6n + 7m ) – 10n =

Multiplicación de expresiones algebraicas Caso 1

Monomio por un monomio:

Veamos los ejemplos: i) 3x · 6y = 18xy ; como ves, se multiplican los coeficientes numéricos y se multiplican los factores literales. ii) 5ab2 · 4a3b = 20 a4b3 en este ejemplo se verifica que se multiplican los coeficientes numéricos y se multiplican los factores literales, respetando las propiedades de la multiplicación de potencias de igual base.

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Notas del estudiante

Caso 2

Monomio por otra expresión (por binomio, por trinomios, por polinomios) En los casos que veremos a continuación, usaremos la propiedad distributiva.

Veamos los siguientes ejemplos:

i)

-5x ( 4a – b) = -20ax + 5bx

ii)

8y2 ( 7xy – 3x + 2 ) = 56xy3 – 24xy2 + 16y2

ii) 2x ( -3x3 + 4x2 - 5x ) = -6x4 + 8x3 – 10x2

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Notas del estudiante

División de expresiones algebraicas: en la división de expresiones algebraicas se aplica la simplificación (si fuese posible). Veamos los siguientes ejemplos:

i)

= 4xy2

; recuerda usar las propiedades de la división de potencias de igual base, conservas la base y restas los exponentes.

ii)

;a≠0

entonces

= 4bc

Productos notables: son productos e s p e c i a l e s , q u e u s a r e m o s c o n b a s t a n t e frecuencia, entre ellos están: 2

2

2

Cuadrado de binomio: i) (a + b) = a + 2ab + b ii) (a-b)2 = a2 -2ab + b2 Suma por su diferencia:

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

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Notas del estudiante Cuadrado del trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Suma de cubos:

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Resta de cubos: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Cubo de binomio: i) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ii) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Trinomios de la forma:

x2 + bx + c

Primeramente se debe inspeccionar si es un cuadrado perfecto, por lo que su factorización se realizará como un cuadrado de binomio. En el caso que no fuese factorizable de ese modo, deberemos verificar si sucede lo que veremos en los ejemplos:

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i)

x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)

Notas del estudiante

Primero, factorizamos de tal forma de encontrar dos números que multiplicados den 18 y que estos dos mismos números sumados den 11. Los números que nos permiten realizar esta factorización son: el 2 y el 9

ii)

X2 - 8X + 12 = (X – 2) (X – 6) Factorizamos buscando dos números que multiplicados den 12 = (-2) · (-6) y que sumados den -8 = -2 + -6

iii)

X2 + 6X – 7 = ( X – 1) (X + 7) Factorizamos de tal forma de encontrar dos números que multiplicados den -7 = (-1) · 7 y que sumados den 6 = -1 + 7

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ax2 + bx + c

Trinomios de la forma:

Notas del estudiante

Veamos el siguiente ejemplo: Calcule la factorización del siguiente trinomio: 4x

2

+ 3x - 7

=

1) Verificar que valor tiene el coeficiente a. En este caso el coeficiente a = 4 2) Se multiplica por un “uno especial”, este “uno especial” corresponde al coeficiente a dividido por si mismo (

), lógicamente a ≠ 0. Entonces quedará así 

  

2

4x + 3x – 7 / (

(

)

(

)(

)–

)

OjO: recuerda que el 1 es neutro para la multiplicación y para la división. Se trabaja como si fuera un trinomio de la forma:

x2 + bx + c

, como vimos anteriormente.

(4x + 7) (x – 1) 16

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Notas del estudiante

Ejercicios

Factorice los siguientes trinomios:

i)

9x2 + 4x – 5 =

ii)

12x2 + 28x + 15

=

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Valorización de expresiones algebraicas: Notas del estudiante

Consiste en reemplazar los valores dados en las letras del factor literal de un polinomio, luego se resuelve la operatoria teniendo presente la prioridad de las operaciones.

Ejemplos: 1) Si x = 2 ; y = -3 calcular 4y – 5x + xy Al reemplazar los valores dados se obtiene: 4∙(-3) - 5∙2 + 2∙(-3) = -12 – 10 + (-6) = -28

2) Si a = -5 ; b = 4

3) Si m = 6 ; n = -2

calcular ( a – b ) + ( b – a ) = ( -5 – 4 ) + ( 4 – (-5) ) = -9 + 9 = 0

calcular

n2∙m – 8 = (-2)2 ∙ 6 - 8 = 4 ∙ 6 – 8 = 24 – 8 = 16

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Ejercicios

Notas del estudiante

Valorizar las siguientes expresiones algebraicas: 1) Si x = -2

a)

;

y=5

;

calcular el valor de las siguientes expresiones:

3x – 2y + xy =

b) x2 + y2 -11 =

c) 4xy - 2x3 + 3y2 =

d) ( x + y ) – ( y + x ) =

e) ( 5x – 3y ) + ( -y – x ) =

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2)

Si p = 3 ; q = -1 ; r = -4 ;

calcular el valor de las siguientes expresiones:

Notas del estudiante

a) 5p + 2q – 8r =

b) pq + qr – pr =

c)

p3 – q4 + r2 =

d) ( p – q ) + ( q – r ) =

e) ( p2 + q2 ) – ( q3 + pqr ) =

f) ( q2 - r2 ) =

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Notas del estudiante

Lenguaje Algebraico Interpretación de expresiones algebraicas y su significado. Ejemplos: 1) El triple de un número, aumentado en dos: 2) El triple, de un número aumentado en dos :

3x + 2 3(x+2)

3) ¿Qué significa (2x – 5) Km.? El doble de una longitud, disminuida en 5 Km

Ejercicios Escribir la expresión algebraica que corresponda en cada caso (suponga que el número desconocido se llama “x”: 1) El doble de número:

2) Un número disminuido en siete:

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3) El cuádruple de un número:

Notas del estudiante

4) El doble de un número, aumentado en tres:

5) El triple, de un número disminuido en catorce:

6) Tres números consecutivos:

7) Número par:

8) Dos números impares consecutivos:

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Escriba el significado de las siguientes expresiones algebraicas.

Notas del estudiante

1) (3x + 1):

2) (x – 4 )

3) ( x + 1 ) + ( x + 2 ) :

4) 2x ; 2x + 2 ; 2x + 4 :

5) (2x + 1) + (2x + 3):

6) (4x + 7) :

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Ecuaciones y Problemas Notas del estudiante

Recordemos que una ecuación es una igualdad, donde debemos calcular el valor de la incógnita para que se cumpla la igualdad planteada. Ejemplo:

5x – 2 = 5x – 3x = 2x = x = x =

3x + 10 10 + 2 12 12/2 6

/ ( -3x + 2 ) / (½)

Ejercicios Resolver las siguientes ecuaciones: (se sugiere que verifique además que la solución obtenida es la correcta) 1) 2x – 5 = 3

X=

2) 4 + 3x = 8

X=

3) 21 – x = 18

X=

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4) 5y + 120 = 80 – 30

5) 73 – 2w = 27 – w

6) 6m + 23 = 4m + 31

w=

m=

7) 5a + 26 = 7a – 17

a=

8) 24 – 3y = 2y + 21 – 15

y=

9) 150 -7x + 25 = 13 + 8x – 50

10) z + 24 -5z – 1 = 4z +19 - 2z +16

Notas del estudiante

y=

X=

z= 25

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Notas del estudiante

11) m 3

12) 2x 5

-8

16

13) 3y = 9 10

14) 4z 7

-32 21

m=

x=

y=

z=

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Notas del estudiante

Resolver los siguientes problemas:

1) El triple de un número, aumentado en 2 da como resultado 17. ¿Cuál es el número?

2) El doble de un número, disminuido en 7 da como resultado 11. ¿Cuál es el número?

3) El cuádruple, de un número aumentado en 5 da como resultado – 8. ¿Cuál es el número?

4) El quíntuple, de un número disminuido en 3 da como resultado 35. ¿Cuál es el número?

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5) Juan tiene el triple de la edad de Arturo. Arturo tiene el doble de la edad de Alejandra que tiene 8 años. ¿Qué edad tiene Juan?

Notas del estudiante

6) María tiene la mitad de la edad de Patricia. Patricia tiene la tercera parte de la edad de Felipe que tiene 24 años. ¿Qué edad tiene María?

7) El triple de bolitas que tiene Claudio más 9 equivale a las bolitas que tiene Jorge. Si Jorge tiene 45 bolitas. ¿Cuántas bolitas tiene Claudio?

8) La edad de José más la edad de Pablo es 38 años. Si José tiene 8 años más que Pablo, Entonces, ¿Qué edad tiene José y Pablo?

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Notas del estudiante

9) La suma de cuatro números enteros consecutivos es 138. ¿Cuál es el número mayor?

11) La suma de tres números enteros pares consecutivos es 192. ¿Cuál es el número menor?

12) La suma de dos números enteros impares consecutivos es 156. ¿Cuáles son los números?

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Más Ejercicios…

Notas del estudiante

Escriba la factorización de los siguientes polinomios: 1) X2 – 2X – 8 =

2) X2 – X – 2 =

3) Y2 – 2Y + 1=

4) Z2 + 4Z + 4=

5) L2 – L – 6 =

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6)

=

7)

=

8)

9)

=

=

10)

11)

Notas del estudiante

=

=

12)

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Notas del estudiante

13)

14)

15) Calcule el valor de la incógnita en cada una de las siguientes expresiones:

; entonces el valor de x =

i)

; entonces el valor de la incógnita y =

ii)

iii)

=2

; entonces el valor de x=

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