Apunte 9 - Máximos y Mínimos. Lagrange.

APUNTE DE CÁLCULO MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS. CONDICIONADOS. EL METODO DE LOS MULTIPLICADORES MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. En muchos problemas de optimización en dos (o más) variables, la función debe optimizarse optimizar se sujeta a una (o más) restricción(es) restric ción(es) o condición(es) en las variables. Por ejemplo las empresas cuentan con un presupuesto fijo y deben decidir como utilizar este presupuesto para obtener el máximo beneficio, en otros casos nos encontraremos con restricciones físicas o temporales. temporales. A continuación continuación se ejemplificará ejemplificará el caso de una función de dos variables sujeta a una restricción. El Método de los Multiplicadores de Lagrange establece que cualquier extremo relativo de la función f(x, y) sujeto a la restricción  restricción   g(x, y) = k , debe ocurrir en un punto crítico (a, b) de la función

F ( x, y , λ ) = f ( x, y ) − λ [g ( x, y ) − k ]   donde λ  es una nueva variable llamada el Multiplicador de Lagrange . y Suponga que f ( x, y ) g ( x, y )  son   funciones cuyas Derivadas Parciales de Primer Orden existen. existen. Para hallar los Máximos Relativos Relativos y los Mínimos Mínimos Relativos de de f ( x, y ) sujetos a la restricción de que g ( x, x , y ) = K ,   K ∈ IR , introduzca una nueva variable λ    (el Multiplicador ecuaciones siguientes:

de Lagrange) y resuelva simultáneamente las tres

fx ( x, y ) = λ g x  ( x, y )  

(1)

fy ( x, y ) = λ g y  ( x, y )  

(2)

g ( x, y ) = k  

(3)

Los Extremos Relativos deseados se encontrarán entre los puntos (x, y) obtenidos al resolver resolver el sistema anterior. anterior. Para identificar identificar los máximos máximos y mínimos relativos se debe debe evaluar f en los puntos puntos (x, y) y) obtenidos, si el máximo máximo (mínimo) requerido requerido existe, será el mayor (menor) de estos valores.

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APUNTE DE CÁLCULO EJEMPLO f ( x , y ) = xy ,   sujetos a la

Halle los valores Máximo y Mínimo de la Función restricción x 2 + y 2 = 8

SOLUCION  Sea g ( x, y ) = x 2 + y 2 −  8 Las Derivadas Parciales son: fx = y

fy  = x

g x = 2x

 

g y  = 2y

 

Las tres ecuaciones de Lagrange son: →

y = 2λ x y Así 2λ  = x Esto implica que:

x 2 + y 2 = 8

x  = 2 λy x  2 λ = y  y x  = x y 

pues x ≠ 0

ó

e

y  ≠ 0

x 2 = y 2

Ahora sustituimos en  x 2 + y 2 = 8  para obtener:

2 x 2 = 8 → x2 = 4 → x = ±2 → y = ±2

 

Los puntos críticos son:

( 2,2 ) , ( 2, −2) , ( −2,2) y  ( − 2,− 2) Como:

f ( 2,2 ) = 4

f ( 2, −2) = − 4

f ( − 2,2) = − 4

y

f ( − 2, − 2) = 4

Se sigue que cuando x 2 + y 2 = 8 , el valor Máximo de f ( x, y ) = 4  , que se halla en los puntos ( 2, 2) y  ( −2, −2) , y el valor mínimo es –4, que se halla en

( 2, −2 ) y ( −2,2) .

EJEMPLO 2: Determine el punto P ( x, y , z)  en el plano 2 x + y − z − 5 = 0  que está más cerca del origen. SOLUCION: El problema nos pide hallar el valor Mínimo de la Función

OP = x 2 + y 2 + z 2 ,  

sometido a la restricción de que:

P ∈ 2 x + y − z − 5  = 0

es decir

g ( x, y , z ) = 2x + y − z −  5

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APUNTE DE CÁLCULO

Aplicamos el método los Multiplicadores de Lagrange A continuación se muestran las Ecuaciones de Lagrange:

fx =

fy =

f = z

x

g x  = 2 →

x 2 + y 2 + z2 y

g y  = 1 →

x 2 + y 2 + z2 z

g  = −1 → z 

x 2 + y 2 + z2

x 

=

x 2 + y 2 + z2

(1)

2λ   

y 

(2)

= λ 

x 2 + y 2 + z2 z 

  (3)

= − λ 

x 2 + y 2 + z2

  (4)

2x + y − z = 5 Despejamos λ   en las ecuaciones 1, 2 y 3 e igualamos 1 = 2 y 2 =3. Así

obtenemos

x

=

2y,

y

=

-z ,

luego

x

x = −2z e y = − z en (4), obtenemos − 4 z − z − z = 5 → Así

x=

-2z  

=

sustituyendo

− 6z = 5 →

z=

−5

6

 

5 5 e y  = 3 6

Por lo tanto el punto buscado es

5 5 5 P  , , −  . 3 6 6

EJERCICIO Resolver este problema usando el criterio de la segunda derivada (Hessiano). Ver página 891, libro “Cálculo, con geometría analítica” de Thomas/Finney.

EL SIGNIFICADO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Suponga que M es el valor Máximo (o Mínimo) de f ( x, y )  sujeto a la restricción

g ( x, y ) = k .  El multiplicador de Lagrange

λ   es el ritmo de cambio de M con respecto a

K. Esto es: λ  =

dM  dK 

Por lo tanto, λ  ≈  cambio en M debido a un crecimiento de una unidad de K.

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APUNTE DE CÁLCULO EJEMPLO Un editor tiene que distribuir 60.000 dólares para gastar en desarrollo y promoción de un nuevo libro. Se estima que si se gastan en desarrollo x miles de dólares y en 32 promoción y miles, se venderán aproximadamente 20x y  ejemplares del libro. a)¿Cuánto dinero debe dedicar el editor a desarrollo y cuánto a promoción, con objeto de maximizar las ventas?. b) Si el editor está distribuyendo 61.000 dólares en lugar de 60.000 para gastar en desarrollo y promoción del nuevo libro. Estime en cuánto afectarán los 1.000 dólares al nivel de ventas máximo.

SOLUCION 32 El objetivo es maximizar f ( x, y ) = 20x y , sujeta a la restricción g ( x, y ) = 60 ,

donde  g ( x, y ) =  x + y  las ecuaciones de Lagrange son:

30 x1 2 y = λ

(1)

20 x 3 2 = λ 

(2)

x + y = 60

(3)

De las dos primeras ecuaciones se obtiene 30 x1 2 y = 20 x 3 2

  como

x ≠ 0 ,

podemos dividir por 30x 1 2 , para obtener :

y=

2 x, o sea 3

3 y + y = 60 → 2

x=

3 y , sustituyendo   en la tercera ecuación 2

5 y = 60 → 2

y = 24 → x = 36

 

Por lo tanto, para maximizar las ventas el editor debería gastar 36.000 dólares en desarrollo y 24.000 dólares en promoción. Si se hace esto, se venderán aproximadamente f ( 36, 24 ) = 103.680  ejemplares del libro. b) Sustituyendo x = 36 Lagrange, se obtiene: λ  =

Como

λ  =

20 ( 36 )

32

e =

y  = 24   en la segunda o primera ecuación de

4.320

dM  , el incremento de k = 60 dK 

a

k  = 61, aumentará las ventas

máximas en 4.320 ejemplares.

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APUNTE DE CÁLCULO

LA DIFERENCIAL TOTAL DEFINICIÓN La Diferencial total de una Función de dos variables f ( x, y )  es la función d   de cuatro variables x, y ,h, k   dada por la fórmula: f  d ( x, y , h, k ) = fx ( x, y ) h + fy ( x, y ) k   f  Si F   es una Función de 3 variables

( x, y , z )  definimos la diferencial total como la

Función de 6 variables x, y, z , h, k , l   dada por:

dF ( x, y , z, h, k, l ) = Fx ( x, y , z ) h + Fy ( x , y , z ) k + Fz ( x, y , z ) l   EJEMPLO:

x, y, h, k ) f(

y

Hallar d

f  (

∆

x, y, h, k )   para los valores dados de

 x, y, h, k  . 2

1. f ( x, y ) = x − xy + 2y

2

;

x = 2,

y = −1,

h = −0,01,

DERIVADAS PARCIALES - MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

k = 0,02  

APUNTE DE CÁLCULO fx  = 2 x − y  fy  = − x + 4 y  d ( x, y , h, k ) = ( 2x − y ) h + ( − x + 4y ) k f 

 

d  ( 2, −1, −0,01, −0,02 ) = ( 4 + 1)( −0,01) + ( −2 − 4 )0,02 f  d  = −0,05 − 0,12 = −0,17 f  ∆f = f

( x + h, y + k ) − f ( x, y )  

∆f = f

(1,99, −0,98 ) − f ( 2, −1) 2

2

∆f  = (1,99 ) + 1,99 ⋅ 0,98 + 2 (0,98 ) − ( 4 + 2 + 2 ) = −0,1689

2. Una caja tiene extremos de forma cuadrada con 11,98 cm. de lado y una longitud de 30,03 cm. Hallar su volumen en forma aproximada, usando diferenciales.

SOLUCION f ( x, y ) = x 2 y   Deseamos hallar f (11.98, 30.03 )

x = 12 → h = −0.02

f (12,30 ) = 122 ⋅ 30 = 4320 ∆

y = 30 → k  = 0.03

f = f ( x + h, y + k ) − f ( x, y )  

*f ( x + h, y + k ) = f ( x, y ) + ∆ f

 

Aproximamos ∆ f  mediante la diferencial d 

f 

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APUNTE DE CÁLCULO d ( x, y , h, k ) = f x h + f y k   f  fy  = x 2

fx = 2 xy

 

∴d f  ( x, y , h, k ) = 2xyh + x k   2

d  (12,30, −0.02,0.03 ) = 2 ⋅12 ⋅ 30 ( −0.02 ) + 12 2 (0.03 ) = −10.08 f 

∴  en

*

f (11.98,30.03 ) = 4320 − 10.08 = 4309.92

Utilizando diferenciales, hallar el valor aproximado de:

( 5.02)

2

+ (11.97 )

2

SOLUCION f ( x, y ) = x 2 + y 2   f ( 5,12 ) = 25 + 144 = 13 x = 5 → h = 0.02 y = 12 → k  = −0.03 f ( 5.02;11.97 ) ≈ f ( 5.12 ) + d  f  f x  =

2x 2 x2 + y 2

=

x  x2 + y2

 

DERIVADAS PARCIALES - MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

APUNTE DE CÁLCULO

f y  =

y  x 2 + y 2

5 12 d  = 0.02 ) + ( ( −0.03 ) = −0.02 f  13 13 f ( 5.02 ; 11.97 ) ≈ 13 − 0.02 = 12.98

V v  = 12.980035

TEOREMA La Diferencial Total de una Función f de varias variables se puede obtener por la Regla de la Cadena.

TEOREMA Sea z = f ( x, y )  ,   y que x e y son funciones de otra variable. Entonces,

dz =

∂

z ∂ z  dx + dy ↔  Diferencial ∂ x ∂ y 

վ Diferencial Si

ω  = g ( x, y , z)   tal que x ,y, z  son Funciones dω  =

∂ω ∂

x

dx +

∂ω ∂

y

dy +

∂ω  ∂

z 

dz

de otra variable. Entonces:

 

EJEMPLO:

2

1. Sea z = x + xy − y

 

x = r 2 + 2s 2 y = rs + 2

Hallar d z 

 

SOLUCION

DERIVADAS PARCIALES - MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

APUNTE DE CÁLCULO dz  = ( 2 x + y ) dx + ( x − 1) dy ∂ x ∂ r

d d

x  y 

=

h

2rh

= 5h

 

∂

x  k  ∂ s  + 45k +

rk

∂ y

   

∂

y  ∂ r ∂ s  ∴d z  = ( 2x + y )( 2rh + 4sk ) + ( x − 1)( sh + rk )   OTRO METODO:

dz  =

∂

z ∂ z  h+ k  ∂ r ∂ s 

∂

∂ x ∂ z z ∂z = ⋅ + ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y

∂

z = x 2 + xy − y    2 2  x = r + 2s   y = rs + 2 

z ∂z ∂x ∂z = ⋅ + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y

∂

y ∂ r

⇒

∂

z   = ( 2 x + y ) 2r + ( x − 1) s ∂ r  

∂

∂ z y   ⇒   = ( 2 x + y ) 45 + ( x − 1) r ∂ s ∂ s  

 

dz  = ( 2 x + y ) 2r + ( x − 1) 5  h + ( 2 x + y ) 45 + ( x − 1) r  k dz  = ( 2x + y ) 2rh + ( x − 1) sh + ( 2x + y ) 45k + ( x − 1) rk

 

 

 

dz  = ( 2x + y )( 2rh + 45k ) + (  x − 1) ( sh + rk )  

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