APS - 2013 - Função e Continuidade

December 7, 2018 | Author: Osbom Barbosa | Category: Function (Mathematics), Calculus, Definition, Limit (Mathematics), Mathematics
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���������� Ne��e ��abalh�, ab��da�em�� �m e���d� ��e �e�� de�en��l�id� �a��ad� n�� c�ncei��� de �f�n���� e de �c�n�in�idade�, c�m � �bje�i�� de m����a� �ma �i��ncia da� ����ica� da� �e��ia� a��endida� n� dec���e� d� c����, in�eg�and� a� di�ci�lina� de cada �eme���e. De��a f��ma b��ca�em�� m����a� �m ���c� da hi����ia, ainda na in���d����, � c�ncei�� de f�n��� e c�n�in�idade e e�em�l�� de a�lica���. P���e�i�� �e�� fei�a �ma an�li�e, ��e � na �e�dade �ma di�c����� a �e��ei�� d� ��e f�i a��endid� da� lei���a� fei�a� e ����e�i�� �� �e��l�ad��, ��e � �ma �������a �im�le� de ��abalh�, �a�a � f����� ���fe���� de ma�em��ica, a �a��i� d� �ema e�c�lhid�. Pa�a e��a ��imei�a e�a�a in���d��i�em�� �ma b�e�e hi����ia d� c�ncei�� de f�n���. Seg�nd� REZENDE, a ��igem d� c�ncei�� de f�n��� e��� �elaci�nada a� e���d� da� �a�ia��e� ��an�i�a�i�a� ��e�en�e� n�� fen�men�� na���ai�. Ne��e �en�id�, ��de��e afi�ma� ��e a c�n��ib�i��� d�� fil���f�� e�c�l���ic�� n� e���d� e �i�ifica��� d�� m��imen��� d�� c����� f�i, �em d��ida, �m d�� g�ande� �ila�e� na c�n������� de��e c�ncei��. Nic�la� de O�e�me (1323�1382), ��� e�em�l�, a� e���da� � m��imen�� �nif��memen�e acele�ad�, �e��e�en��� n�m g��fic� a �el�cidade �a�iand� c�m � �em�� da �eg�in�e manei�a: ma�c�� in��an�e� de �em�� a� l�ng� de �ma linha h��i��n�al ��e ele cham�� de l�ngi��de� e �e��e�en��� a� �el�cidade� em cada �em�� ��� linha� �e��icai�, �e��endic�la�e� �� l�ngi��de�, ��e ele den�min�� la�i��de�.

Fig��a 1� �e��e�en�a��� g��fica de Nic�la� de O�e�me

E��a �e��e�en�a��� � d��lamen�e �ignifica�i�a: ��� �m lad� m����a d�a� g�ande�a� �elaci�nada� en��e �i, �a�iand� a� me�m� �em��, e ��� ����� lad� il����a e��a �a�ia��� a��a��� de �m g��fic�. O c�ncei�� de f�n��� �e e��abelece,



im�lici�amen�e, ��� mei� da c���a (�ma �e�a) ��e il����a ��e a �a�a c�m ��e �ma g�ande�a �a�ia em �ela��� a ����a � c�n��an�e. Fal�a�am ainda alg�n� ing�edien�e� e��enciai� �a�a �e e��lici�a� � c�ncei�� de f�n���, � �e�dade. Ma� �al fa�� �e ��cede�ia n�� ��a��� ��c�l�� �eg�in�e�. O ��m�imen�� defini�i�� c�m a manei�a a�i�����lica de e��lica� �� fen�men�� na���ai� �ei� a��a��� de Galile� Galilei (1564�1642), ��e ��e��i�n�� ��blicamen�e d�i� g�ande� �ila�e� da fil���fia c�i���: � h�mem c�m� cen��� d� �ni�e��� e a f��ica de A�i����ele� c�m� m�del� �a�a a ci�ncia. C�n��a�iand� A�i����ele�, � �en�ad�� i�alian� dem�n����� ��e � �e�� de �m c���� n�� e�e�ce infl��ncia na �el�cidade da ��eda li��e e, de ��eb�a, en�nci�� a lei da ��eda d�� c����� n� ��c��: � e��a�� �e�c���id� ��� �m c���� em ��eda li��e � di�e�amen�e ������ci�nal a� ��ad�ad� d� �em�� le�ad� �a�a �e�c���e� e��e e��a��. In�e�e��an�e � �b�e��a� ��e Galile� cheg�� a e��e �e��l�ad� �em di���� d�� a��ai� c�ncei��� de de�i�ada e in�eg�al (� C�lc�l� ainda e��a�a �a�a �e� �in�en�ad��). E��abelece� a �ela��� f�nci�nal en��e a� g�ande�a� �b�e��and� a�ena� ��e a �e���ncia de dad�� �b�id�� �a�a a� medida� d� e��a�� �e�c���id� �el� c���� em ��eda li��e ge�a�a �ma ���g�e���� a�i�m��ica de �eg�nda ��dem � �eja, ��� e�em�l�, (B��e�, 1949). N� ��c�l� XVI a �lgeb�a �e�e �m �ignifica�i�� a�an��. F�an��i� Vi��e (1540� 1603) fe� ���, em �e�� ��abalh�� de ��ma ��gal, �a�a �e��e�en�a� �ma ��an�idade ������a de�c�nhecida �� inde�e�minada e �ma c�n��an�e �a�a �e��e�en�a� �ma g�ande�a �� n�me��� �������� c�nhecid�� �� dad��� (B��e�, 1991). S��ge en��� � c�ncei�� de �a�i��el ��e De�ca��e� (1596�1650) e Fe�ma� (1601�1665), e de��i� Ne���n e Leibni�, i�iam ��ili�a� n� e���d� de c���a�. � �e�dade, n� en�an��, ��e � c�ncei�� de f�n��� �e��l�i�� n� ���ce��� hi����ic� de c�n������� d� c�nhecimen�� ma�em��ic�: �ai, g�ada�i�amen�e, d� �mbi�� d� C�lc�l�, en��an�� �ela��� en��e ��an�idade� �a�i��ei�, �a�a � �mbi�� da Te��ia d�� C�nj�n���. Tal defini��� a�a�ece� ��� ��men�e n� in�ci� d� ��c�l� XX e, hi����icamen�e, ���c� c�n��ib�i� �a�a � de�en��l�imen�� d� c�nhecimen�� ma�em��ic� em �en�id� am�l�.



J� �a�a ROSSINI, a hi����ia d� c�ncei�� de f�n��� �e�� a��e�en�ada n� e���d� da l�nga e ��m�l��ada hi����ia ��b�e a f��ma��� da ideia de f�n���, ��a gene�ali�a��� e c�m��een��� g�ada�i�a, a �ignifica��� c�nc�e�a ��e e��a ideia ad��i�i� c�m � ���g�e��� d� �en�amen�� cien��fic� e fil���fic�. E��e e���d� �e f�ndamen�a na� �e���i�a� de Y���chke�i�ch (1981), M�nna (1972), Die�d�nn� (1990), B���baki (1976) e S�ill�ell (1989). Seg�nd� Y���chke�i�ch (1981, �.9), a� ��inci�ai� e�a�a� d� de�en��l�imen�� de��e c�ncei��, a�� a me�ade d� ��c�l� XIX, ���: a An�ig�idade, a Idade M�dia, a M�de�nidade. Na An�ig�idade, � e���d� d�� dife�en�e� ca��� de de�end�ncia en��e d�a� ��an�idade� n�� le��� � c�ia��� de nenh�ma n���� ge�al de ��an�idade� �a�i��ei� nem de f�n��e�. Na Idade M�dia, na ci�ncia e����eia d� ��c�l� XIV, cada ca�� c�nc�e�� de de�end�ncia en��e d�a� ��an�idade� e�a ��ad��id� ��� �ma de�c�i��� �e�bal �� ��� �m g��fic�, mai� ��e ��� �ma f��m�la. N� �e���d� m�de�n�, a �a��i� d� fim d� ��c�l� XVI e e��ecialmen�e d��an�e � ��c�l� XVII, a cla��e da� f�n��e� anal��ica� ���n����e a ��inci�al cla��e ��ili�ada. Uma f�n��� anal��ica e�a ge�almen�e e���e��a ��� mei� de ��ma� de ���ie� infini�a�. Pa�a Y���chke�i�ch (1981, �.9), � m���d� anal��ic� fe� �ma �e��l���� na ma�em��ica, ��� ca��a de ��a e���a��din��ia efic�cia, a��eg��and� a� c�ncei�� de f�n��� �m l�ga� cen��al em ��da� a� ci�ncia� e�a�a�. C�n��d�, ��� ��l�a da me�ade d� ��c�l� XVIII, e��a in�e���e�a��� de f�n��e�, c�m� e���e���e� anal��ica�, �e�el��� �e inade��ada. I��� le��� � in���d���� de �ma n��a defini��� ge�al de f�n���, ��e �e�� mai� �a�de �ni�e��almen�e acei�a na an�li�e ma�em��ica. Na �eg�nda me�ade d� ��c�l� XIX, e��a defini��� ge�al ab�i� am�la� ����ibilidade� �a�a � de�en��l�imen�� da �e��ia da� f�n��e�, ma� �ca�i�n��, a� me�m� �em��, dific�ldade� l�gica� ��e, n� ��c�l� XX, fi�e�am c�m ��e a �����ia e���ncia d� c�ncei�� de f�n��� f���e �ec�n�ide�ada, c�m� � f��am ��d�� �� ������ ��inci�ai� c�ncei��� da An�li�e Ma�em��ica. Ac�e�cen�am�� a��im, �m �l�im� �e���d�, a �a��i� da� c�n�������ia� n� in�ci� d� ��c�l� XX.



Vajam�� ne��e � �an��ama da� a��ai� defini��e� de f�n��� Pa�a e��e m�men�� �em�� c�m� �bje�i�� de a��e�en�a� � �bje�� ma�em��ic� f�n��� em �e�m�� de defini���. Lemb�am�� ��e, na� an�iga� defini��e� de f�n���, a� n���e� cen��ai� e�am de �a�ia��� e de de�end�ncia; a n���� de c���e���nd�ncia e��a�a ��e�en�e, ma� de manei�a im�l�ci�a. C�m � �a��a� d� �em��, h���e �m g�ad�al de�a�a�ecimen�� da� n���e� de �a�ia���, de de�end�ncia, a�� a chegada da c���e���nd�ncia a�bi����ia. N�� li���� de �lgeb�a, an�li�e e c�lc�l� a�a�ecem a� infl��ncia� da� defini��e� dada� ��� Can���, Dedekind e B���baki, a� lad� da ��ili�a��� de c�nce���e� mai� an�iga� de f�n���. Seg�nd� � dici�n��i� A���li� (FERREIRA, 1999, �.614), �m d�� �ignificad�� d� �e�b� ������� � en�ncia� �� a��ib���� e��enciai� e e��ec�fic�� de (�ma c�i�a), de m�d� ��e �e ���ne inc�nf�nd��el c�m ����a. Tal ��n�� de �i��a � c�m�a���el c�m a��il� ��e f�i e���e��� ��� Lebe�g�e ��b�e defini� �m �bje�� ma�em��ic�: �Um �bje�� e��� definid� �� dad� ��and� �e ���n�ncia �m n�me�� fini�� de �ala��a� ��e �e a�licam a e��e �bje�� e ��men�e a ele.� (MONNA, 1972, �.72) T�mam�� c�m� �efe��ncia em �lgeb�a � li��� �lgeb�a M�de�na, e�c�i�� �el�� ���fe����e� H�gin� H. D�ming�e� e Gel��n Ie��i, c�ja ��imei�a edi��� � de 1982 (DOMINGUES e IEZZI, 1999). O enf���e cl���ic� � a��n�ad� �el�� �����i�� a����e� n� ��ef�ci� da �b�a. D�ming�e� e Ie��i (1999) definem ���������, ��ili�and� �ma ling�agem bem ����ima da��ela em��egada ��� M�n�ei�� (1969). De��a manei�a, a�a�ecem, ne��a ��dem, a� defini��e� de ���d��� ca��e�ian� e �ela��� bin��ia: Dad�� d�i� c�nj�n��� E e F, n�� �a�i��, chama��e  ������� ���������� de E ��� F � c�nj�n�� f��mad� ��� ��d�� �� �a�e� ��denad�� (�, �) c�m � em E e Y em F. [�] C����ma��e indica� � ���d��� ca��e�ian� de E ��� F c�m a n��a��� E � F . [�] Chama� �e ������� ������� de E em F ��d� ��bc�nj�n�� R de E � F . [�] A defini��� dei�a cla�� ��e ��da �ela��� R � ��bc�nj�n�� de �a�e� ��denad��. Pa�a indica� ��e (a, b) �R, ��a�em�� a n��a��� aRb. (DOMINGUES e IEZZI, 1999, �.11) O� a����e� �����eg�em e definem ������� e ������ de �ma �ela��� e de �ma a�lica���: Chama��e d�m�ni� de R � ��bc�nj�n�� de E c�n��i���d� �el�� elemen��� � �a�a cada �m d�� ��ai� e�i��e alg�m � em F �al ��e �R�. [�] Chama��e imagem de R � ��bc�nj�n�� de F c�n��i���d�



�el�� elemen��� � �a�a cada �m d�� ��ai� e�i��e alg�m � em E �al ��e �R�. (DOMINGUES e IEZZI, 1999, �.12) Mai� adian�e, �� a����e� definem ��������� c�m� ��bc�nj�n�� de �m ���d��� ca��e�ian� ��e �bedece a �ma de�e�minada c�ndi���: �Seja � �ma �ela��� de E em F. Di�em�� ��e � � �ma a�lica��� de E em F �e: �( � ) = � ; dad� � � �( � ), � �nic� � elemen�� b � F de m�d� ��e ( �, �)� � .� (�� , ���� , �.35). O� a����e� a��e�en�am e�em�l�� e e�e�c�ci��, �nde a� f�n��e� ��� �e��e�en�ada� ��� diag�ama� de Venn �� ��� c�nj�n��� de �a�e� ��denad��, e��lici�and� a c���e���nd�ncia a�bi����ia em c�nj�n��� fini���. Pa�a a�lica��e� en��e c�nj�n��� infini���, �� a����e� ��ili�am a� c�nce���e� de f�n��� c�m� �ela��� bin��ia en��e d�i� c�nj�n��� e c�m� e���e���� alg�b�ica. N� �eg�nd� ca��, em��egam ��efe�encialmen�e: f�n��e� ��lin�miai� de 1� e 2� g�a��, �aci�nai�, i��aci�nai� e m�d�la�e�. Enc�n��am�� �i�� f�n��e� definida� ��� d�a� �en�en�a�, �end� ��e a �ala��a ��� �� a�a�ece na defini��� de �ma dela�, �em c�men���i�� ��b�e � �ignificad� ��e lhe f�i a��ib��d�. N��am�� ��e �� a����e� n�� �elaci�nam e��lici�amen�e e��a� �i��a��e� c�m a defini��� de a�lica��� a��e�en�ada n� in�ci� de��e ���ic�, nem fa�em c�men���i�� ��b�e c���e���nd�ncia� a�bi����ia�. E�amina�em��, a �eg�i�, �� li���� de an�li�e ma�em��ica. N���a� �efe��ncia� ��� �� ����l�� ��blicad�� �el�� ma�em��ic��: El�n Lage� Lima, �e���i�ad�� d� In��i���� de Ma�em��ica P��a e A�licada; Djai�� G�ede� de Fig�ei�ed� e Ge�ald� ��ila, memb��� da Academia B�a�ilei�a de Ci�ncia�. Lima (1989) define f�n��� n�� �eg�in�e� �e�m��: Uma ������ �: A � B c�n��a de ���� �a��e�: c�m c�nj�n�� A, chamad� � ������� da f�n��� (�� c�nj�n�� �nde a f�n��� � definida), �m c�nj�n�� B, chamad� � ������������� da f�n���, �� � c�nj�n�� �nde a f�n��� ��ma �al��e� e �ma �eg�a ��e �e�mi�e a���cia�, de m�d� bem de�e�minad�, a cada elemen�� de � � A, �m �nic� elemen�� �(�) � B, chamad� � �al�� ��e a f�n��� a���me em � (�� n� ��n�� �). (LIMA,1989, �.10) A �eg�i�, � a���� a��e�en�a a n��a���: �U�a��e a n��a��� � a �(�) �a�a indica� ��e � fa� c���e���nde� a � � �al�� de �(�)� e e��lica a na���e�a a�bi����ia da �eg�a: A na���e�a da �eg�a ��e en�ina c�m� �b�e� � �al�� �(�) � B ��and� � dad� � � A � in�ei�amen�e a�bi����ia, �end� ��jei�a a�ena� a d�a� c�ndi��e�:

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1� N�� de�e ha�e� e�ce��e�: a fim de ��e � �enha � c�nj�n�� A c�m� d�m�ni�, a �eg�a de�e f��nece� �(�) �a�a ��d� � � A; 2� N�� de�e ha�e� ambig�idade�: a cada � � A, a �eg�a de�e fa�e� c���e���nde� �m ����� �(�) em B. (LIMA, 1989, �.10) Pa�a ��ila (2006, �. 133�136) a �ala��a �f�n���� f�i in���d��ida ��� Leibni� em 1673, c�m � �bje�i�� de de�igna� ��al��e� �ma da� ���ia� �a�i��ei� ge�m���ica� a���ciada� c�m �ma dada c���a. E��e c�ncei�� f�i e��l�ind� len�amen�e e ���nand�� �e inde�enden�e de c���a� �a��ic�la�e� e �a��and� a �ignifica� a de�end�ncia de �ma �a�i��el em �ela��� a ����a�. N� en�an��, d��an�e ��d� � ��c�l� XVIII, � c�ncei�� de f�n��� �e�manece� ��a�e �� �e���i�� � ideia de �ma �a�i��el (de�enden�e) e���e��a ��� alg�ma f��m�la em �e�m�� de ����a �� ����a� �a�i��ei� (inde�enden�e�). Pa�alelamen�e a defini��� de f�n���, �b�e��a � a����, ���gi� � c�ncei�� de c�n�in�idade. E�le� c�n�ide�a�a c�n��n�a a f�n��� ��e f���e dada ��� �ma �nica e���e���� anal��ica, e ��� de�c�n��n�a ��and� f���e dada ��� e���e���e� dife�en�e� em dife�en�e� �a��e� de �e� d�m�ni� de defini���. Ma� i��� �e��l�a�a em in�e���e�a��e� c�n��adi���ia�. C�m � m�de�n� ��a�amen�� de f�n��e� ��� ���ce��� infini��, a �a��i� d�� ��abalh�� de F���ie� e Di�ichle� n� ��c�l� XIX, a defini��� mai� ge�al de f�n��� � dada ���: Defini���: Uma f�n���  �   �  � a �  � �ma lei ��e a���cia elemen��� de �m c�nj�n�� D, chamad� d�m�ni� da f�n���, a elemen��� de ����� c�nj�n�� Y, chamad� � c�n��ad�m�ni� da f�n���. O� �eja, �b�e��a ��ila (2006), em ge�al � c�n��ad�m�ni� � �m c�nj�n�� fi��, � me�m� �a�a ��da �ma cla��e de f�n��e� ��b c�n�ide�a���, n�� ac�n�ecend� nece��a�iamen�e ��e ��d� elemen�� Y ����enha de alg�m elemen�� d� d�m�ni� �ela a��� da f�n��� ��e e��eja �end� c�n�ide�ada. J� c�m � d�m�ni� a �i��a��� � dife�en�e, ��n��a � a����, ��i� cada f�n��� �em �e� d�m�ni� �����i�, e a f�n��� age ��b�e ��d�� �� elemen��� de �e� d�m�ni�. A �a��i� d� �e��� acima, ���d��id� c�m ba�e d� ��e f�i e�c�i�� ��� ��ila (2006), �b�e��e a e���e����:

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Seg�nd� a imedia�a �e�ce���� de E�le� ��b�e c�n�in�idade de f�n��e� e��a e���e���� �e�ia c�n��n�a ��� �e� dada ��� �ma �nica e���e���� anal��ica.

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N� en�an��, a �a��i� d� g��fic� �b�id� ��� �m �l��ad�� ( ������� , ��� e�em�l�) � ������el �e�ifica� ��e a f�n��� n�� � c�n��n�a em ��da a �e�a �eal. C�m ba�e n� �e��� dad� acima anali�e a c�n�in�idade da f�n��� dada e de ����a� f�n��e� n� c�n�e��� hi����ic� d� c�ncei�� �c�n�in�idade�. A��n�a AVILA, ��e � c�ncei�� de f�n��� f��am �� e���d�� de F���ie� �e inicia�am em fin� d� ��c�l� XVIII, e c�lmina��am c�m a ��blica��� de �e� li��� [F1 em 1822. J� ne��e li��� a�a�ece �amb�m, �ela ��imei�a �e�, �ma c�nce���� de f�n��� de�ga��ada da ideia de ��e f���e ��eci�� �ma "f��m�la" �a�a defini� �ma f�n���, F���ie� e�c�e�e: Uma F�n��� f �e��e�en�a �ma ��ce���� de �al��e� a� ��denada� a�bi����ia�. (. . .) N�� ����m�� e��a� ��denada� ��jei�a� a �ma lei c�m�m; ela� �e ��cedem �ma� �� ����a� de ��al��e� manei�a, e cada �ma e dada c�m� �e f���e �ma g�ande�a �nica. I��� e��i�ale ��a�icamen�e a defini��� de f�n��� ��e ad��am�� h� je em dia, �eg�nd� a ��al �ma f�n��� � � �ma c���e���nd�ncia ��e a��ib�i, �eg�nd� �ma lei ��al��e� , �m �al�� � a cada �al�� � da �a�i��el inde�enden�e. F�i n� in�ci� d� ��c�l� XIX, de��i� de ��c�l� e mei� de de�en��l�imen�� d� C�lc�l�, ��and� ��a� ��cnica� j� h a � i a m �id� bem d�minada�, ��e �� c�ncei��� b��ic�� de limi�e, de�i�ada e in�eg�al ��de�am �e� de�idamen�e e�cla�ecid��. A defini��� �� eci�a de limi�e, ��� e�em�l�, �al c�m� a c�nhecem�� h� je, em �e� m�� de � e �, a�a�ece �ela ��imei�a � e � n�ma ��blica��� de Weie����a�� de 1874 (�e ja [H�W],

�. 204).



�e� dade ��e ela ���ge n�� e�c�i��� de B�l�an� e Ca�ch� de 1817 e

1823, � e��ec�i�amen�e, ma� de f�� ma ainda n�� m�i�� cla�a. N�� e, ��i�, �a����el, e��e�a�  ��e �� al�n�� ����am �i�a� g�ande ����ei�� de �ma �al defini��� n� in�ci� de �m c�� �� de C�lc�l�. A n���� �e� , �m   ��imei�� c���� de C�lc�l� de�e le�a� � al�n� a �e familia�i�a� l�g� c�m a� ideia� e ��cnica� da de�i�ada e da in�eg�al, incl�ind� ���blema� de m��im�� e m�nim��, in�eg�a��� ��� ��b��i��i��� e ��� �a� �e�, �eg�a� de L�H��i�al, c�m����amen�� da� f �n��e� elemen�a� e�, l�ga� i�m� e e���nencial, ��a� a�lica��e�, e e�em�l�� �im�le� de in�eg�ai� im�����ia�. E��e� ���ic�� de�em �b je�� de �m c�� �� de �m �eme���e, n� m��im� �m an�. A��� �m �al c���� a� al�n�� de�e� �� e��a� ��e�a�ad�� �a�a fa�e�  c�m �� ��ei�� �m ��imei� � c�� �� de

Anali�e .

��

AVILA, ainda fa� � de�en��l�imen�� da An�li�e ��e di� ��e a c� ncei��a��� de f �n��� dada �a� F��� ie� f�i ainda inci�ien�e. Tamb�m a� defini��e� de limi�e e c�n�in�idade dada� ���  Bal�an� e Ca�ch� n�� �inham a cla� e�a enc�n��ada e m

Weie���� a�� . F�i Di�ichle� � �� imei�� a da� �ma defini��� �a�i�f a���ia de f �n��� , c�m�

c���e���nd�ncia ��e le�a elemen��� de �m c�n j�n�� (� d�minic) em elemen��� d e ���� � c�nj�n�� ( � c�n��ad�m�ni�) E a defini��� ��e ��ili�am�� a�� �� dia� de

h� je. Pe�e� G���a� Leje�ne  Di�ichle� ( 1805�1855) ��and�   j��em  e��e�e em Pa�i�, ��e  e�a � g�ande cen��� ma�em��ic� (cien��fic� e c�l���al) d a ���ca. Ai ele �e f amilia�i��� c�m �� ���blema� ma�em��ic�� ��e e��a�am na ��dem d� dia, c�m� � d� de�en��l�imen�� de �ma f�n��� a� bi�� a�ia em �e�ie� de �en�� e c���en��. E em 1829  ele ��blic�� �m mem�� ��el �� abalh� ��b�e e��e a���n�� [D1]. E��e ��abalh� de Di�ichle� e �m ����� de Niel� Abel [Ab] ���, ���  a��im di�e� , a� �� imei��� ma�c�� d� n��� e��i�i�� da Anali�e Ma�em��ica ��e i�ia �e de�en��l�e� a �a��i� de

en��� . E

n� �� abalh� ci�ad� de Abel ��e enc�n��am�� a f�n��� d� n���� �� imei� �

e�em�l� a���� ( 2: (�en n�) / � )� Abel ��ili��� e��e e�em�l�  j���amen�e �a�a m����a�  ��e n�� e�a c��� e�a �ma afi� ma��� de Ca�ch�, �eg�nd� � ��al �ma ���ie de f �n��e� c�n�in�a� �e�ia c�n�in�a. Di� ichle�, �� �  ��a �e�, de� a ��imei� a dem�n���a��� �a�i�fa��� ia de ��e �ma f�n��� �a�i�fa�end� ce��a� c�ndi��e�, ��de �e� de�en��l�ida em ���ie de �en�� e c���en��. Ele �e� mina �e� a��ig� (j� ci�ad�) dand� e�em�l� de �ma f�n��� ��e n�� �a�i�fa�ia e��a� c�ndi��e�, e��a f�n���, ba��an�e ci�ada n�� c����� de Anali�e, e a��ela ��e a���me �m  ce��� �al�� n�� n�me��� �aci�nai� e �m ����� �al�� n�� i��aci�nai�. Ainda ne��e a��ig� ele fala da nece��idade de �e fa�e� �ma �e��ia d�� n�me��� �eai�, ���me�end� ��l�a� a� a�� �n�� f����amen�e, � ��e n�nca fe�. Ma�, em 1837, n�m ����� a��ig�, ele d� �ma defini��� mai� e��lici�a de f�n���, ��e � a defini��� em �e�m�� de c���e���nd�ncia ��e menci�nam�� h� ���c�. O de�en��l�imen�� da Anali�e in�en�ific����e ���g�e��i�amen�e d��an�e ��d� � ��c�l� XIX, n�� n�� cabend� a��i c�n�in�a� na��and� e��e de�en��l�imen��. O ��e di��em�� j� � ��ficien�e �a�a a� c�n�ide�a��e� finai� ��e de�ejam�� fa�e� ��b�e � en�in�.

��

A��im c�m� AVILA in���d��i� m�i�� bem ���i�� e�em�l�� d� c�ncei�� de f�n���, c�m efei�� a��e�en�a c�m �����iedade e ��eci��� � c�ncei�� de c�n�in�idade ��e �e�em�� adian�e. Pa�a AVILA c�n�in�idade � �m c�ncei�� ��e fa� ���ca fal�a n�m ��imei�� c���� de C�lc�l�, en��an�� n�� �em�� de lida� c�m f�n��e� de�c�n�in�a�. A �i��a��� a��i e �a�ecida c�m a n���� de c�nj�n�� n�� en�me���el; ��e fal�a fa�ia �al c�ncei��, en��an�� ��d�� �� c�nj�n��� enc�n��ad�� f���em en�me���ei�, c�m� � c�nj�n�� d�� in�ei��� e d�� �aci�nai�. F�i �� ��and� Can��� dem�n����� ��e � c�nj�n�� d�� n�me��� �eai� e n�� en�me���el ��e ele �en�i� nece��idade d� n��� c�ncei��. A ���ca nece��idade d� c�ncei�� de c�n�in�idade d��an�e ��d� � ��c�l� XVIII e��lica �����e, na��ele ��c�l�, n�nca fic�� m�i�� cla�� a ��e �e en�endia ��� f�n��� c�n�in�a �� de�c�n�in�a. O �����i� E�le� ��a enca�a�a a c�n�in�idade de �m ��n�� de �i��a ge�m���ic�, ��a de �m ��n�� de �i��a anal��ic�. P�� e�em�l�, �e�ia c�n�in�a �ma f�n��� ��e f���e dada ��� �ma �nica e���e���� anal��ica, c�m�

       = 2   +  Ma� e��a me�ma f�n��� �����i �amb�m d�a� e���e���e� anal��ica�,

  =    ≥ 0;  = −    ≤ 0, �end� en��� de�c�n�in�a! A c�ncei��a��� defini�i�a de c�n�in�idade �� f�i ������el de��i� ��e f�n��e� de�c�n�in�a� c��nea�am a ���gi� na���almen�e, c�m� ac�n�ece� n�� ��abalh�� de F���ie� ��b�e ����aga��� d� cal��. Ne��e� �e�� e���d�� F���ie� lid�� m�i�� c�m �e�ie� ��ig�n�m���ica�, ��e de�am ��igem a f�n��e� de�c�n�in�a� a �a��i� de f�n��e� c�n�in�a�, E�em�l� cl���ic� di��� � a �e�ie



    2  3  4 −1   = ��� − 2 + 3 − 4 + ⋯ =    .  O� �e�m�� de��a ���ie ��� ��d�� ele� f�n��e� c�n�in�a�; n� en�an��, a ��ma f



e �ma f�n��� de�c�n�in�a, c�m �al��� em ��d�� �� ��n�e� � = n , e ��de �e� a��im de�c�i�a:

  = 2  −  <  < ;− =  = 0,

��

 

e f e �e�i�dica de �e���d� 2 . � in�e�e��an�e n��a� ��e �� ma�em��ic�� lida�am c�m �e�ie� infini�a� de�de a inici� d� C�lc�l� n� ��c�l� XVII, c�m� a� �e�ie�

  = 1 +  +   +   +⋯; ��1 +  =  −  +  −  + ⋯.     Ma�, c�m� e��a�, e�am ��da� ela� �e�ie� de ���encia�; e �ai� �e�ie� �e�� e�en�am f�n��e� m�i�� �eg�la�e�, ��e n�� d�� ��igem a de�c�n�in�idade� em �e�� d�m�ni�� de c�n�e�g�ncia, c�m� fica�ia cla�� na �eg�nda me�ade d� ��c�l� XIX, n�� ��abalh�� de Ka�l Weie����a��. Vem�� a��im ��e a� c�ncei��� de c�n�in�idade e de�c�n�in�idade de �ma f�n��� �� ��de�am �e� de�idamen�e c�m��eendid�� e f��m�lad�� de��i� ��e a� ma�em��ic�� c�me�a�am a enc�n��a� f�n��e� de�c�n�in�a� em ��a� in�e��iga��e�. Ce��amen�e n�� ��dem�� ign��a� e��e fa�� hi����ic� em n���a� �a�efa� de en�in�. � ��� i��� ��e n�� � dida�icamen�e ac�n�elh��el in���d��i� �� c�ncei��� de c�n�in�idade e de�c�n�in�idade de manei�a a��ificial, �end� an�e� ��efe���el c�me�a� c�m e�em�l�� c�nc�e���. C�m� a il����a��� da de�c�n�in�idade n�� ��de �e� fei�a c�m �e�ie� ��ig�n�m���ica� n�m ��imei�� c���� de C�lc�l�, �� melh��e� e�em�l�� ��e c�nhe�� en��l�em a de�i�ada e a f�n���

.

��

I. AN�LISE Ab��da�em�� a an�li�e, em f�n��� d� ��e f�i di�c��id� e a��endid� da� lei���a� fei�a�. O� c�ncei��� de f�n��� e c�n�in�idade dada em �ala de a�la f�i im����an�e �a�a a ��e�a�a��� d� f����� ���fe����, ��e ��a�� e��a� inf��ma��e� em b�e�e. F�i ��ili�ad� em �ala ambien�e, e�em�l� de a�lica��� c�m � ��f��a�e �in�l��, c�m �bje�i�� de n�� ca�aci�a� �a�a iden�ifica�m�� �� c�nhecimen��� ma�em��ic�� nece����i�� �a�a ��e n�� ���nem�� b�n� ���fi��i�nai� de en�in� f�ndamen�al e m�di� �� de ����a� ��ea� de a��a���, ma� ��e e��eja �em��e ��e�c��ad� c�m � �a�el ��cial na f�n��� ��e de�em�enha. Al�m d� mai�, �e�m�� ca�a�e� de ��abalha� de f��ma in�eg�ada c�m ���fe����e� da me�ma ��ea e de ����a�, de m�d� a c�n��ib�i� efe�i�amen�e c�m a �������a �edag�gica da E�c�la. C�m e���a��gia� de ��a� ��da� a� me��d�l�gia� de en�in�, ade��and��a� a� c�n�e�d� a �e� en�inad� a��a��� de a�la� e����i�i�a� e dial�gada�. De��a f��ma b��cam�� di�igi� � �lha� �a�a �� al�n�� ��e ��m mai� dific�ldade e n�� a�en�a�em�� a ��a�e� e��a� c�ian�a� de ��l�a �a�a da�m�� �m a��i� na dific�ldade e��ecifica. Vejam��, a f��ma ��e en�ina�am a�� 1960, inde�enden�e da fac�ldade, c����� de ma�em��ica, f��ica �� c����� de engenha�ia, �eg�iam �� m�lde� d�� e����e��. Ma� �� c����� e�������ad�� �eg�iam � m�del� ��e h�je c����mam�� di���ib�i� em di�ci�lina� �e�a�ada�, c�m� � C�lc�l� e a An�li�e Ma�em��ica. E�a �m m�del� de e�c�la� f�ance�a� �nde �e en�ina�a ��d� � ��e h�je incl��m�� na� di�ci�lina� de C�lc�l� de �ma �� mai� �a�i��ei�, e mai� ainda, f�n��e� de �ma �a�i��el c�m�le�a, b�a �a��e da� e��a��e� dife�enciai� ��din��ia� e �m �an�� da� �a�ciai�, ge�me��ia dife�encial de c���a� e ���e�f�cie� e �m ���c� de an�li�e de F���ie�. A ge�me��ia anal��ica fig��a�a em di�ci�lina a �a��e c�m� ac�n�ece a�� h�je. O �����i� a���� de��a� linha� e���d�� C�lc�l� j�n�amen�e c�m a An�li�e. A��� e��e �e���d�, ac�n�ecem a� m�dan�a�, ��i� li���� ame�ican�� ��ma�am � l�ga� d�� li���� e����e�� e c�ia�am � h�bi�� de en�ina� � C�lc�l� ��imei�� e dei�a� a An�li�e Ma�em��ica �a�a de��i� e e��e m�d� � ��ad� a�� h�je. N���� li���� de C�lc�l� f��am e�c�i���, c�m� �� de: Se�ge Lang, c�j� li��� a�a�ece� �ela ��imei�a �e� em mead�� d�� an�� �e��en�a, l�g� �eg�id� �el� de B�b Seele�. E��e� a����e� �ec�nheciam ��e n�� e�a �eali��a en�ina� a �e��ia �ig����a d�

��

limi�e n� in�ci� d� c���� de C�lc�l� e �e�� �e���� infl�encia�am m�i��� d�� li���� ��e �em �id� e�c�i��� de�de en���. Um fa�� in�e�e��an�e da hi����ia ma�em��ica � � fa�� de ��e A���imede� (287� 212 a.C.) lid�� c�m a� ideia� d� C�lc�l� In�eg�al em �e�� e���d�� de ��ea� e ��l�me�, n� en�an�� � C�lc�l� n�� �e de�en��l�e� na an�ig�idade, fic�� e��e�and� mai� de de��i�� ��c�l�� �a�a de�ab��cha� ��� in�ei��, a ��e �� ac�n�ece� n�� �em��� m�de�n��. F�i �e de�en��l�end� a�� ���c�� d��an�e ��d� � ��c�l� XVII; e f�i �� n� final de��e ��c�l� ��e � Te��ema F�ndamen�al f�i cla�amen�e �ec�nhecid� c�m� elemen�� im����an�e de liga��� en��e a de�i�ada e a in�eg�al. A���imede� e �e�� ��ce����e� imedia��� n�� de�en��l�e� �e�� c�lc�l�� ��� in�i���ncia e�age�ada n� �ig�� da� dem�n���a��e� e na ��e�c��a��� em e�i�a� � infini�� a ��d� c����. A���imede� lida�a c�m �i��a��e� ��e f���em nece����ia� �a��a� �el� limi�e c�m n �endend� a� infini��, ma� �e �ec��a�a fa�e� e��a �a��agem. Ne��a �e���i�a iden�ifi��ei c�m�a�a��e� ��b�e Limi�e e De�i�ada, lemb�and� ��e � c�ncei�� de De�i�ada an�ecede � de Limi�e. Pa�a Leibni�, ainda em fin� d� ��c�l� XVII, a de�i�ada e�a en�endida c�m� �a��� de ��an�idade� infini�e�imai�, �� �eja, ��an�idade� ���i�i�a�, ���em infe�i��e� a ��al��e� n�me�� ���i�i��, �ma c�nce���� em �i c�n��adi���ia, ma� ��e f���ific��, e m�i��. F�i d' Alembe��, em mead�� d� ��c�l� �eg�in�e, � ��imei�� ma�em��ic� a in�e���e�a� a de�i�ada c�m� limi�e de �ma �a��� inc�emen�al. � ��� i��� ��e ainda h�je c�n�in�a �end� �edag�gicamen�e mai� ade��ad� in���d��i� ��imei�� a de�i�ada, � limi�e a�a�ecend� de manei�a na���al a��a��� da de�i�ada; �� de��i� ��e � al�n� a��im �e familia�i�a c�m limi�e� e ��e ele e��a�� ��e�a�ad� �a�a bem c�m��eende� a defini��� ��eci�a de��e c�ncei�� e ��de�� e���da� ��a� �����iedade� de manei�a ����ei���a. Di�� i���, �e�em�� � ��e �� ���fe����e� en�ina�am a� l�ng� d� c���� e � ��e f�i a��endid� da� lei���a� fei�a�. A� f�n��e� �����em alg�ma� �����iedade� ��e a� ca�ac�e�i�am

  ∶  → .

��

�.�.

������ �����������, ��������, �������� � �������.

������ �����������: �ma f�n��� � ��b�eje���a �e, e ��men�e �e, � �e� c�nj�n�� imagem f�� e��ecificadamen�e ig�al a� c�n��ad�m�ni�, . P�� e�em�l�, �e �em�� �ma f�n���  definida ���  ela � ��b�eje���a, ��i� .

 :  → 

 =+1

 = 

 = 

������ ��������: �ma f�n��� � inje���a �e �� elemen��� di��in��� d� d�m�ni� �i�e�em imagen� di��in�a�. P�� e�em�l�, dada a f�n��� , �al ��e .

 :  → 

  = 3

������ ��������: �ma f�n��� � bije���a �e ela � inje���a e ��b�eje���a. P�� e�em�l�, a f�n��� , �al ��e .

 :  → 

  = 5 + 4

P�dem�� n��a� ��e ela � inje���a, ��i�

1 ≠ 2 im�lica em 1 ≠ 2) �

��b�eje���a, ��i� �a�a cada elemen�� em B e�i��e �el�� men�� �m em A, �al ��e

  = . ������ �������: �ma f�n��� �e�� in�e��a �e ela f�� bije���a. Se c�n�ide�ada bije���a en��� ela admi�e in�e��a

 = 3 −5 �����i in�e��a  =  +5/3.

 :  →  �

 :  → .  P�� e�em�l�, a f�n���,

��

P�dem�� e��abelece� a �eg�in�e diag�ama���:

N��e ��e a f�n��� �����i �ela��� de A→B e de B→A, en��� ��dem�� di�e� ��e ela � in�e��a.

�.�. ������� �� ��������� Um e�em�l� de a�lica��� na c�n������� d�� �a�e� c�m � a���li� de �ma �eg�a: A f�n��� f � dada �ela �eg�a � =

3�.

√ − 9, c�m d�m�ni� A = �� ∈  �  ≤ −3  ≥

De��a f��ma:

 3 − 9; (5, 4) � �m elemen�� �ela �eg�a f, ��i� 4 =  5 − 9; (8, 10) n�� � �m elemen�� �ela �eg�a f, ��i� 10 ≠ √8 − 9; (3, 0) � �m elemen�� �ela �eg�a f, ��i� 0 =

(2, 2) n�� � �m elemen�� �ela �eg�a f, ��i� nem � ������el calc�la�

√2 − 9 n�

cam�� �eal. Pa�a ��e � �enha imagem � nece����i� ��e �� � 9 f�n��� �eja A = ��

∈  �  ≤ −3  ≥ 3�.

≥ 0 �� ��e � d�m�ni� da

Vejam�� �m e�em�l� de a�lica��� na c�n������� de �m m�del� linea�: Um cicli��a caminha di�e�amen�e �a�a �e� �bje�i��, ��e di��a 3.000 m d� l�cal �nde �e enc�n��a ag��a. A �el�cidade da bicicle�a � de 6 m/� em �egime c�n��an�e.

��

C�n����i�em�� �m m�del� linea� ��e de�c�e�e a di���ncia d� cicli��a a� �bje�i�� em f�n��� d� �em��, ma�cad� a �a��i� d� m�men�� em ��e a di���ncia e�a de 3.000 m. Re��l�end� �em�� ��e: a cada �eg�nd� c�n�ad� a �a��i� de � = 0, ��and� a di���ncia e�a de 3.000m, a di���ncia dimin�i 6 m. P���an��: di��ancia inicial: 3.000 m, dimin�i��� ��� �eg�nd�: 6 m, T��al dimin��d� em � �eg�nd��: 6�, di��ancia a��� � �eg�nd��: D = 3.000 � 6�. O d�m�ni� da �a�i��el �em�� � � �eg�in�e: Q�and� a di���ncia f�� �e��, ence��a��e � e��e�imen��.

⇒ 3.000 � 6� = 0 �� � = 50 � O d�m�ni� da f�n��� � dad� ���: 0 ≤ � ≤ 50, i��� �, � �em�� � c�n�ad� de 0 a En���: D = 0 50 �eg�nd��. F�i en�inad� em �ala de a�la e a��endid� em �e���i�a �ma �a�iedade de f�n��e� �ai� c�m�: a�lica��e� de �ma f�n��� e���nencial, e�em�l�� de a�lica��� de �ma f�n��� e���nencial, ��ea ��b �ma c���a, de�e�minand� a ��ea de �ma �egi�� a��a��� d� c�lc�l� da In�eg�al, c�m���i��� de ���� �� mai� f�n��e�, e���d� da� f�n��e� c�m����a�, f��m�la� f�ndamen�ai� de In�eg�a���, f�n��� c�m����a, f�n��� definida ��� f��m�la e c�m e��e�imen��� em �ala ambien�e c�m ��� d� �in�l��, f�n��� in�e��a, f�n��� l�ga���mica, f�n��� m�d�la�, defini��� e g��fic�� da f�n��� m�d�la�, f�n��� �a� e f�n��� �m�a� , f�n��� ��lin�mial, f�n��� ��ad���ica na f��ma can�nica, f�n��e� �e�i�dica�, limi�e de �ma f�n���, m��im� e m�nim� da f�n��� na f��ma can�nica, inclina��� da �e�a �angen�e � �a��b�la, den��e ����a�.

���� ������� �� ������ � ������������

C�n�ide�em�� ag��a � ���blema de calc�la�, �eg�nd� a defini��� de AVILA �

 =  =   = 3.  C�me�am�� c�m � decli�e da �e�a �ecan�e �el�� ��n��� 3,9 e ( ,  �): 3� −3 =  + 3 − 3 =  + 3.   −  3   −3 = � −     − 3 decli�e da �e�a �angen�e a c���a,

E��a �l�ima e���e���� m����a cla�amen�e ��e � limi�e da �a��� inc�emen�al � 6 ��and�

 + 3; e � al�n� n�� �em dific�ldade em c�m��eende� e acei�a� i���. N�

��

en�an��, �e ��i�e�m�� c�me�a� ��imei�� c�m a n���� de limi�e, �em fala� em de�i�ada, e ���e�m�� � ���blema de calc�la� � limi�e de:

� − 3� /  � 3   �endend� a 3, a� n�� �e�em�� c�m� e��lica� a� al�n� ��� ��e e��am�� c�n�ide�and� e��a e���e����, ��� ��e n�� c�me�am�� l�g� c�m ela em ��a f��ma �im�lificada  + 3. c�m

Faland� ��b�e C�lc�l� e An�li�e Ma�em��ica, �amb�m � ��eci�� fala� de C�n�in�idade. Vim�� na in���d���� ��e c�n�in�idade � �m c�ncei�� ��e fa� ���ca fal�a n�m ��imei�� c���� de C�lc�l�, en��an�� n�� �em�� de lida� c�m f�n��e� de�c�n�in�a�. A �i��a��� a��i � �a�ecida c�m a n���� de c�nj�n�� n�� en�me���el; ��e fal�a fa�ia �al c�ncei��, en��an�� ��d�� �� c�nj�n��� enc�n��ad�� f���em en�me���ei�, c�m� � c�nj�n�� d�� in�ei��� e d�� �aci�nai�. F�i �� ��and� � c�nj�n�� d�� n�me��� �eai� e n�� en�me���el ��e ele �en�i� nece��idade d� n��� c�ncei��. A ���ca nece��idade d� c�ncei�� de c�n�in�idade d��an�e ��d� � ��c�l� XVIII e��lica �����e, na��ele ��c�l�, n�nca fic�� m�i�� cla�� a ��e �e en�endia ��� f�n��� c�n��n�a �� de�c�n��n�a. O �����i� E�le� ��a enca�a�a a c�n�in�idade de �m ��n�� de �i��a ge�m���ic�, ��a de �m ��n�� de �i��a anal��ic�. P�� e�em�l�, �e�ia c�n��n�a �ma f�n��� ��e f���e dada ��� �ma �nica e���e���� anal��ica, c�m�:

  �     = 2   + � Ma� e��a me�ma f�n��� �����i �amb�m d�a� e���e���e� anal��ica�,

  =    ≥ 0;  = −    ≤ 0, �end� en��� de�c�n�in�a!

��

��. ���������� Ab��da�em�� �� �e��l�ad��, ��e � �ma �������a �im�le� de ��abalh�, �a�a � f����� ���fe���� de ma�em��ica, a �a��i� d� �ema e�c�lhid�, em ��e � �e��� de�c�e�e � �e��l�ad� de �m ��abalh� de �e���i�a f�ndamen�ad� na f�n��� e c�n�in�idade da f�n���. O c�ncei�� de f�n��� ��de �e� a��e�en�ad� �a�a � al�n� �em �ma defini��� f��mal, ma� �im de ��gani�a��e� em ���n� de �a�efa� �elaci�nada� �� di�e��a� c�nce���e� d� �ema, c�n�ide�and���e a c�nce���� de f�n��� c�m� m���ina �end� � ei�� a��ic�lad��. Em �ala de a�la � ���fe���� ��a�ica a lei���a de a�i�idade� e���a�da� d�� li���� did��ic��. E��a me��d�l�gia de ci�a� e c��ia� f�i ��a�icada ��� ���ia� d�cada� a�� ��e f�i c�n��a�ad� ��e a c��ia, �eg�ida de ����ica� indi�id�ai� de e���d� e �efle��� de ����ica� ��ciai� de lei���a e de e�c�i�a ��e ��� e��enciai� �a�a a f��ma��� d� al�n�. O� li���� de c�lc�l�� ��a�am da defini��� f��mal, c�m� �e ��d� � ���ce��� de c�n������� de �ma ��gani�a��� ma�em��ica em ���� d� �bje�� f�n��� �i�e��e ac�n�ecid� em alg�m m�men�� da �ida d� e���dan�e. Pa�ece ��e �a�a ele� ba��a defini� f�n��e�, den��� d�� m�lde� da ��an�mi���� d� c�nhecimen��. Da� � ca���e� magic� de �(�), �� a e�clama��� de �m ���fe���� �C�m� �abe� ��d� i���, a �a��i� da defini��� da f�n��� �i��a na fac�ldade�! O� ���fe����e� de�em m�difica� ��a� ����ica� �a�a � en�in� e a a��endi�agem de f�n���, n�� mai� �eg�ind� �� �ad��e� d�� li����, ��e �a��em de �ma defini���, ma� �ela c�n������� c�le�i�a de �ma ��gani�a��� ma�em��ica. En���, a �������a ��ge�ida � � ��� da �ecn�l�gia c�m� e���a��gia de en�in� �a�a �e e��abelece� �m c�nj�n�� de a��ec��� ��� mei� d�� ��ai� � ������el e�idencia� a �c����ncia da a��endi�agem ��an�� a� a�i�idade� de en�in� fa� f �n��e�. A ��ili�a��� da �ecn�l�gia �e a��e�en�a c�m� �ma al�e�na�i�a �i��el e �ma eficien�e e���a��gia ��e a�ende a nece��idade d� al�n� em �ala de a�la. E��am�� �i�end� em �ma ��ciedade �nde a ci�ncia e a �ecn�l�gia e���� a�an�and� de m�d� ��e a� m�dan�a� e���� �c���end� m�i�� ���id� �a�a a �ida d� cidad��. Vam�� ��ili�a� � c�m���ad�� �a�a a��ilia� a f��mali�a��� d� c�ncei�� de f�n��e�, ��and� � ���g�ama ������� , �nde �� e���dan�e� ����am c�m��eende� �� e�e�c�ci�� ��������� de manei�a ag�ad��el e in�e�e��an�e a ele�. O �bje�i�� ��inci�al � ��e �� e���dan�e� c�n����am �m c�nhecimen�� ma�em��ic� ��and� a �ecn�l�gia, facili�and� a c�n������� de g��fic�� a��a��� da� f�n��e� e a��ilia� na� in�e���e�a��e� e �e��l���e� d�� e�e�c�ci�� ���������.

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Q�and� � ���fe���� de�en��l�e �ma �i��a��� � ���blema da�� a ������nidade �a�a � al�n� de �e in�e�agi� c�m � c�m���ad�� �end� � a���li� d� ���fe���� c�m� ��ien�ad��. Seg�nd� Valen�e (1999, P. 22), �� �������� ��� �������� ��� �������� �� ����������� ���� ����� ���� ������ �� �������� �� ��������� �������, �� ��������� � �� ����������� ��������� ����� ������ �, ��� ���� ����������, ������� �������� � ��������� �� ���� ���� ������� ����� �������� �� ���������� �� �������������

Q�and� � ���fe���� �e engaja� e �e c�ncen��a� em ���n� de��e �ema, elab��and� e a�licand� e��a� a�i�idade� n� lab��a���i�, i�a ala�anca� � �aci�c�ni� d� al�n�. O ��e a��e�en�am�� �a�a e��a �������a d� ��� da �ecn�l�gia �a�a a f�n��� � � ��� de c�m���ad��e�, �a�a a��ilia� � c�n������� de c�nhecimen��� �ignifica�i���. Enfim, c�n�ide�am�� ��e �� �e��l�ad�� �b�id�� c�n��i��em g�ande� ind�ci�� ���i�i��� �a�a a� a�i�idade� �e�em ���m��ida� a��a��� de��a� e���a��gia� did��ica� anc��ada� na ��ili�a��� de ma�e�iai� �����i�� ��e �����em �m ���encial �ignifica�i��� de�en��l�id�� c�m � a���li� de a�lica�i���.

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���. ����������� �������������� �VILA, Ge�ald� Se�e��.  ������� ���������� ���� ������������. S�� Pa�l�: Bl�che�, 2006. O en�in� de c�lc�l� e da An�li�e. Ma�em��ica Uni�e��i���ia. N.33. De�. 2002. P. 83�95. Di���n��el em: Ace��� em 25 mai� 2013. OLIMPIO JUNIOR, An��ni�. ������������ �� ��������� �� ������� ����������� �� �������� ��� �� ���������� ― ��� ��������� ���������� ���������, ������� � �����������. Te�e (D�����ad� elab��ada j�n�� a� P��g�ama de P���G�ad�a��� em

Ed�ca��� Ma�em��ica � ��ea de C�ncen��a��� em En�in� e A��endi�agem de Ma�em��ica e �e�� F�ndamen��� Fil���fic��cien��fic��). Uni�e��idade E��ad�al Pa�li��a, Ri� Cla��. 2006. Di���n��el em: Ace��� em 25 mai� 2013. ROSSINI, Rena�a. Sabe�e� d�cen�e� ��b�e � �ema F�n���: �ma in�e��iga��� da� ��a�e�l�gia�. Te�e (a��e�en�ada � Banca E�aminad��a da P�n�if�cia Uni�e��idade Ca��lica de S�� Pa�l�, c�m� e�ig�ncia �a�cial �a�a �b�en��� d� ����l� de ������ �� �������� ����������, ��b a ��ien�a��� d� P��fe���� D����� Sadd� Ag Alm��l��d). Di���n��el em: . Ace��� em 25 mai� 2013. REZENDE, Wande�le� M���a. Galile� e a� n��a� Tecn�l�gia� n� e���d� da� f�n��e� ��lin�miai� n� en�in� b��ic�. Di���n��el em:
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