Aproximacion Mediante Splines Cubicos RecontrasuperaRchimegarechuchatumareterminado

 

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Aproximación mediante splines cúbicos El origen del concepto spline proviene del uso de una lámina de plástico delgada llamada curvígrafo ("spline") en el trazado de curvas suaves a través de un conjunto de puntos (Sheid 1991).Las funciones "spline" son ecuaciones cúbicas que modelan el comportamiento de las curvas realizadas por dicho instrumento, permitiendo unir en forma suave y continua una serie de puntos. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación , esta interpolación posee una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. La más populares son los polinomios cúbicos por tramos y en especial los splines cúbicos (naturales), por las siguientes razones:  

Son fáciles de calcular y evaluar.



  Son fáciles de derivar y sus derivadas aproximan a las derivadas de fx. Son fáciles de integrar y se usan para aproximar la integral de fx.   Modelan con suavidad la tendencia de un conjunto de datos.  

1, Breve historia Tomado de NA. Digest.v.98,#s6. 19 de julio de 1998.Mait to na.digest@nan [email protected] Information about NA-NET:Mail to [email protected] [email protected] URL : http://www.netlib.org/na-net/na_home.html Hace dos semanas puse aquí una pregunta acerca de las conexiones entre el desarrollo de aproximaciones de splines y el diseño de cuerpos automotores, y recibí cerca de 30 respuestas, todas ellas muy informativas. Dado que muchos de ellos me pidieron que mostrara lo que había aprendido, decidí escribir un breve resumen y subirlo al compendio. Esta es la razón de estas notas. Se acepta comúnmente que la primera referencia matemática de los splines es el trabajo de Schoenberg [s], donde probablemente fue el primer lugar donde el término “spline” se usó en conexión con la aproximación polinomial tenue por piezas. Sin embargo, estas ideas tienen sus raíces en las industrias de aviación y Construcción de barcos. En el reenvio a [BBB], Robin Forrest describe el “localizar”, una técnica en la industria británica de aviación usada durante la Segunda Guerra Mundial, para construir plantillas para aviones, pasando tablones de madera delgadas a través de puntos en el suelo de un local de diseño grande. Página 1

 

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Las plantillas estarían puestas en puntos discretos (llamados “patos “por Forrest; Schoenberg usa “perros” o “ratas”) y entre estos puntos asumiría formas de un mínimo de energía de tensión. De acuerdo a Forrest, una motivación posible para un modelo matemático de este proceso fue la pedida potencial de los componentes del diseño críticos en toda una nave si el local fuera bombardeado por el enemigo. Esto promovió el “localizamiento cónico”, el cual usaba secciones cónicas para modelar la posición de la curva entre los “patos”.   El “localizamiento cónico”  fue reemplazado por lo que llamaríamos splines a principios de los 60´s basados en el trabajo de J.C.Ferguson de Boeing y (tiempo después) por M.A.Sabin de British Aircraft. Lo que considero muy interesante es que Forrest dice que la palabra “spline” viene de un dialecto Anglicano del Este.

El uso de splines para modelar cuerpos automotores parece tener un sinfín de comienzos independientes. El crédito lo piden a nombre de De Castelau de Citroen, Bezler de Renault, and Birkhoff, Garabedian, y de Boor de General Mortos (GM), todos ellos por sus trabajos realizados a finales de la década de 1950´s o principios de los años 1960´s. Al menos uno de los trabajos de De Casteljau fue publicado, pero no ampliamente, en 1959. La obra de D Boor de GM resultó en un conjunto de escritos siendo publicados a principios de los 60´s, incluyendo algo del trabajo fundamental sobre los B-splines. El trabajo también fue hecho en Pratt yThitney Aircfraft, donde dos de los autores de [ANw] (el primer libro en sí acerca de splines) fueron contratados, y el Modelo Basin de David Taylor, hecho por Feodor Theilheimer Referencias [anw] Ahlberg, Nielson and Wash, The Theory of splines and Theri applications, 1967 [B] Birkhoff. “Fluid dynamics, reactor computations and surface representation”. In a History of Scientific Computation (Steve Nash, editor), 1990 [BBB] Bartelsm Beatty and Barsky, an introduction to Splines for use in Computer Graphics and Geometric Modeling 1987 [BdB] Birkhof and de Boor, “Piecewise polynomial interpolation and approximation” Proc. General Motors Symposium of 1964

[D] Davis . “B-splines and Geometric design “. SIAM news vol.29 no, 5 [S] Schoenberg. “contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions” Quart appl math. Vol. 4

[Y] Young. “Garrtett Dirkhoff and applled mathematics ”. Notices of the AMS, vol.44  Página 2

 

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2. Teoría Matemática Los polinomios de grado mayor tienen naturaleza oscilatoria y fluctuaciones sobre una porción pequeña del intervalo estudiado puede inducir cambios muy grandes sobre un rango considerable, restringen el uso cuando se aproximan muchas delas funciones en situaciones físicas reales. La técnica llamada aproximación polinómica segmentaria busca resolver este problema dividiendo el intervalo de la función f en una colección de subintervalos y construir polinomios aproximadamente diferentes en cada uno. La aproximación de este tipo más empleada es la interpolación cúbica de spline Esta técnica requiere que en el intervalo el polinomio sea diferenciable continuamente y que además tenga segunda derivada. Pero a pesar de esta condición, el trazador cúbico no supone que las derivadas del interpolante coinciden con las de la función.  A esta forma de aproximar aproximar se le conoce como aproximación aproximación polinomial polinomial fragmentaria.

 A pro proxx i maci mación ón polino polinomial mial fr frag agmenta mentari ri a. La Aproximación polinomial fragmentaria es la interpolación lineal fragmentaria que consiste en unir una serie de puntos.

Mediante una serie de segmentos de recta, como se aprecia en la figura 3.7 La aproximación por funciones lineales muestra una desventaja; no se tiene la seguridad de que haya derivabilidad en los extremos de los subintervalos, lo cual dentro de un contexto geométrico significa que la función de interpolación o interpolante no es “suave” en dichos puntos. A menudo las condiciones físicas indican claramente que se requiere la suavidad y que la función aproximante debe ser continuamente derivable. Otro procedimiento consiste en emplear un polinomio fragmentario del tipo Hermite. Por ejemplo, si los valores de   y de      se conocen en los puntos            podemos emplear un polinomio de Hermite de grado tres en cada uno de los subintervalos               para obtener una      función continuamente derivable con el intervalo   . Página 3

 

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Si queremos determinar el polinomio cúbico de Hermite apropiado en determinado intervalo, hasta calcular    para ese intervalo. Puesto que los polinomios interpolantes de Lagrange necesarios para calcular    son de primer grado, podemos hacer el cálculo sin gran dificultad, Sin embargo, para utilizar los polinomios fragmentarios de Hermite en la interpolación general, necesitamos conocer la derivada de la función que va ser aproximada, lo cual muchas veces no es posible. El tipo más simple de función de polinomio fragmentario diferenciable en un intervalo entre      es la función obtenida al ajustar un polinomio cuadrático entre cada par consecutivo de nodos. Esto se hace construyendo una cuadrática en     que concuerde con la función en   y en  ; y así sucesivamente. Un polinomio cuadrático general tiene tres constantes arbitrarias: el término constante, el coeficiente de x y el coeficiente de    y únicamente se requieren dos condiciones para ajustar los datos en los extremos de cada intervalo, por ellos, existe flexibilidad que permite seleccionar la cuadrática de modo que la interpolante tenga una derivada continua en    . El problema de este procedimiento se presenta cuando hay que especificar las condiciones referentes a la derivada de la interpolante en los extremos    y    .No hay constantes suficientes para cerciorarse de que se satisfagan las condiciones.

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 S plines cú cúbic bic os La aproximación polinómica fragmentaria más común utiliza polinomios entre cada par consecutivo de nodos y recibe el nombre de interpolación de trazadores cúbicos. Un polinomio cúbico general contiene cuatro constantes; así pues, el procedimiento del trazador cúbico ofrece suficiente flexibilidad para garantizar que el interpolante no sólo sea continuamente diferenciable en el Sin intervalo, sinoen que además tenga una segunda derivada continua en el intervalo. embargo, la construcción del trazador cúbico no se supone que las derivadas del interpolante concuerdan con las de la función, ni siquiera en los nodos.

Definición. Dada una función    definida en    y un conjunto de nodos               un interpolante de spline cúbico S para    es una función que cumple con las condiciones siguientes: a. b. c. d. e. f.

es un polinomio cúbico, denotado  ,el subintervalo [   ]  para cada          ; ( )   (  ) para cada         ;  ( )   ( ) para cada           ;  ( )    ( ) para cada                 ( )    ( ) para cada                Una de las siguientes condiciones de frontera se satisface: (i)          (frontera libre o natural); (ii)

         y         (frontera sujeta). Página 5

 

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 Aunque los splines cúbicos se definen con otras condiciones condiciones de frontera, las   son suficientes en este caso. Cuando se presentan las condiciones dadas en   condiciones de frontera libre, el trazador recibe el nombre de spline natural y su gráfica se aproxima a la forma que adoptaría una varilla larga y flexible si la hiciéramos pasar por los puntos {(    ) (   )   (   )}  En términos generales, en las condiciones de frontera sujeta se logran aproximaciones más exactas, ya que abarcan más información acerca de la función. Pero para que se cumpla este tipo de condición de frontera, se requiere tener los valores de la derivada en los extremos o bien una aproximación precisa de ellos.

C onstrucci ón d de e un spline cúbico Para construir la interpolante de spline cúbico de determinada función aplicamos las condiciones de la definición a los polinomios cúbicos:

      (     )          (   ) Para cada

           .

Como

 ( )    ( ) 



 ,

,

puede aplicarse la

condición (c) para obtener

Para cada  

          

Los términos

    

se utilizaran varias veces en este desarrollo, por eso

conviene introducir la notación más simple

       Para cada ecuación

            

. Si también definimos

     entonces

la

(I)

Será válida para cada  

          

De manera análoga, defina 

    y observe que

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Significa que

  ( )     para

cada  

         .

Al aplicar la condición (d)

obtenemos (II)

Para cada  

          

 Al definir       y aplicar la condición (e) se obtiene otra relación entre los coeficientes de   , En este caso para             

        

(III) 

 Al despejar   en la ecuación (III) y sustituir este valor en las ecuaciones (I) y (II) para cada             se obtienen las ecuaciones.

(IV) 

Y

(V)

La relación final que incluye los coeficientes se obtiene resolviendo la ecuación correspondiente en la forma de la ecuación (IV) , primero para   

(VI)

Y luego, con una reducción del índice, para  . Esto da como resultado

Cuando sustituimos estos valores en la ecuación obtenida de la ecuación (V) con el índice reducido en 1, obtenemos el sistema de ecuaciones lineales

(VII)

Para cada  

         .

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 S plines naturales Si     está definida en                 , entonces    tendrá una interpolante única de spline natural S en los nodos          es decir, una interpolante de spline que cumple con las condiciones de frontera       y

      Demostración. En este caso las condiciones de frontera significan que       y que

 

            , así que

   . Las dos ecuaciones    y    junto a las ecuaciones de (VII)

Producen un sistema lineal descrito por la ecuación vectorial   la matriz de        

  , donde A es

La matriz A es estrictamente dominante en sentido diagonal.

Y donde b y x son los vectores vectores

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 S pline cú cúbi bico coss s ujetos   SI f está definida en a =  < 