Aproximación irracionales (psu)

G R      E    A  MA E G    R   S      G   A       O   D    

    R 

 O     

    P

 S     

Guía Aproximación en los números irracionales

Ejercicios PSU  A continuación, continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales cuales sugerimos responder responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas

más representativas, correspondientes a cada grado de dicultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.

1.

Si el valor aproximado de valor de

1

�7  + 1

A)

1 3

B)

7 25

C)

5 18

D)

13 50

E)

4 15

 ?

1

�7 – 1

 es

3 , ¿cuál de las siguientes opciones se aproxima mejor  al  al 5

      1       V       7       1       A          1       3       M       E       9       4       0       G       E       C       I       U       G

Cpech 1

MATEMÁTICA 2.

Durante una clase de matemática, un profesor plantea la siguiente aproximación en la pizarra:

�7

+ �5  4,882 ≈

Posteriormente, pregunta a sus estudiantes por cuál factor se podría multiplicar cada parte de la aproximación para así obtener el valor más cercano a �35. Ante esta consulta, tres de los

estudiantes responden lo siguiente: – Karina: se debe multiplicar cada lado de la aproximación por (�7 + �5 ). – Ricardo: se debe multiplicar cada lado de la aproximación por �7 . – Paulina: se debe elevar al cuadrado cada lado de la aproximación. Respecto a las respuestas de los estudiantes, está(n) en lo correcto

A) B) C) D) E)

3.

solo Karina. solo Ricardo. solo Paulina. solo Karina y Paulina. ninguno de ellos.

Si (�11 – �7 ) se puede aproximar a

2 , ¿cuál de los siguientes valores se aproxima mejor  al valor 3

de (�11 + �7 )?

4.

2

Cpech

A)

9

D)

6

B)

3 2

E)

8 3

C)

3

Si el valor aproximado de �6 es

49 , entonces el valor que mejor  se aproxima a 20

A)

99 10

D)

49 5

B)

10

E)

109 11

C)

89 9

(

�3  + �2 �3  – �2

)

es

Guía 5.

Si 2,236 es el valor aproximado de �5, entonces �11,25 aproximado por redondeo a la centésima es A) B) C)

6.

3,38 3,32 3,27

D) E)

Si el valor de �10 aproximado a la milésima es 3,162, ¿cuál es el valor aproximado por redondeo a la décima del producto entre A) B) C)

7.

– 7,5 – 5,8 14,2

Si el valor aproximado de A) B) C) D) E)

(�2 + �125) y (�5 – �8 )? D) E)

décima es

8.

3,30 3,35

– 7,4 – 5,7

(�15  + �17 ) es 0,825, entonces el valor de ( �7�–35�5 ) redondeado a la

1,2 28,9 19,8 9,9 14,4

Si �18 es aproximadamente 4,242 y �48 es aproximadamente 6,928, entonces el valor más cercano a �216 es A) B) C) D) E)

9.

7,349 14,694 18,876 20,784 25,452

El valor de

(�14 – �3 ) es aproximadamente 2. ¿Cuál de los siguientes valores es más cercano al

valor de �42? A)

19 3

D)

20 3

B)

13 2

E)

32 5

C)

25 4

Cpech

3

MATEMÁTICA 10.

Si se conoce un valor aproximado para � 6 y �8 , entonces se podría conocer un valor aproximado para I) II) III)

�12 �60 �18

Es (son) verdadera(s)

A) B) C) D) E) 11.

12.

solo I. solo II. solo III. solo I y II. solo I y III.

Si el valor de (�a  + �b ) redondeado a la centésima es 3,15 y el valor de ( �b  – �a ) redondeado a la centésima es 0,32, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)?

((�a  + �b )  – (�a  – �b ) ) redondeado a la centésima es 9,82. 2

2

I) II) III)

(b – a) redondeado a la décima es 1. �b  redondeado a la décima es 1,7.

 A) B) C)

Solo I Solo I y II Solo II y III

D)

I, II y III

E)

Ninguna de ellas.

¿Con cuál de las siguientes aproximaciones NO se puede determinar un valor aproximado para �13 ? A) �3,25 , que es aproximadamente 1,80. B) �2,08 , que es aproximadamente 1,44. C) �10,4 , que es aproximadamente 3,22. D) �117, que es aproximadamente 10,82. E) �1,4, que es aproximadamente 1,20.

4

6

13.

Se puede conocer el valor aproximado de

 

(1) (2)

El valor aproximado por redondeo a la décima de �24 es 4,9. �8 aproximado por redondeo a la centésima es 2,83.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

Cpech

�3

, redondeando a la décima, si:

Guía

Estrategia de s íntesis En un mundo sin calculadoras, tras mucho esfuerzo los matemáticos han podido determinar el valor aproximado de los logaritmos de solamente cuatro números: log 2  0,3 ; log 3  0,477 ; log 5  0,7 y log 7  0,845 ≈

≈

≈

≈

Si se quiere hacer una tabla de logaritmos de los 50 primeros números enteros positivos, ¿de cuáles de ellos NO se podría determinar un valor aproximado?

14.

15.

Sean m y k  números enteros positivos tales que log m 8 =

. Entonces, es FALSO armar que

7 k 

 A)

log8 m =

B)

m7 = 8k 

C)

logm

D)

log64 (m2) =

E)

mk  = 87

( 18 )

k  7

=

 – k  7

7 k 

Si 1,845 es el valor aproximado de log 70, entonces log 49 redondeado a la centésima es igual a A) B) C) D) E)

0,37 1,69 1,43 0,71 1,29

Cpech

5

MATEMÁTICA

16.

17.

18.

Si log 15 3 es aproximadamente 2  , ¿cuál de los siguientes valores es el más cercano a log 15 45? 5

A)

3

B)

7 5

C)

6

D)

9 10

E)

12 125

Si log

�

A)

( )

B)

 – 22 125

C)

125 22

D)

–

E)

22 125

11 3  redondeado a la milésima es , ¿cuál de los siguientes valores es el que más se 125 2 2 acerca a log ? 3 125 11

2

( ) 11 125

2

Si el valor aproximado de log 2 aproximación para la expresión

 

6

Cpech

A) B) C) D) E)

1,98 – 1,96 1,24 – 0,98 0,02

(

5 es – 0,49, ¿cuál de los siguientes valores es la mejor  7 log 50 – log 49 ? log 2

)

Guía

19.

20.

Si el valor aproximado de log 21 7 es A)

16 9

B)

25 16

C)

25 9

D)

9 16

E)

9 25

16 , entonces el valor que mejor   se aproxima a log 3 7 es 25

Si log 2 11 redondeado a la centésima es 3,46, ¿cuál de las siguientes opciones corresponde al valor aproximado por redondeo a la centésima de log 2 A) B) C) D) E)

21.

0,69 0,14 1,69 1,38 0,89

Si el valor aproximado de log a b es 0,504, de las siguientes cantidades la que más se aproxima a la expresión log a2 �b  es A) B) C) D) E)

22.

5

�22?

0,063 0,126 0,252 0,504 1,008

3 , ¿para cuál de los siguientes valores de m se cumple que 10 log m redondeado a la décima es igual a (– m)?

Si log 2 redondeado a la décima es

A) B) C) D) E)

0,2 2,5 0,1 0,5 0,4

Cpech

7

MATEMÁTICA

23.

El valor aproximado de log

1  p

�k 3  es

c , con  p y k   números

reales mayores que 1. Entonces, la

3

mejor aproximación para log p �k  se puede representar por la expresión

24.

A)

9c  2

B)

 – 2c  3

C)

3c  2

D)

 – 2c  9

E)

 – c  2

Si

(

)

1 3  es aproximadamente , ¿cuál de los siguientes valores es el más cercano a log 8? log2 5 + 1 10

 A) B) C) D)

0,9 2,308 1,286 0,027

E)

Indeterminable con los datos dados.

25. Se puede determinar el valor aproximado de log 25, si se sabe que:

8

Cpech

(1) (2)

El valor aproximado de log 5 es 0,7. El valor aproximado de log 2 es 0,3.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Guía

Torpedo Números Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.

Conjuntos numéricos Naturales (ℕ): {1, 2, 3, 4,…} Enteros (ℤ): {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} Racionales (ℚ): son aquellos que pueden escribirse como fracción. Irracionales (ℚ*): son aquellos que no pueden escribirse como fracción. Reales (ℝ): unión entre el conjunto ℚ y ℚ*. Imaginarios (): son de la forma bi , con b un número real e i  la unidad imaginaria. Complejos (ℂ): son de la forma a + bi , con a y b números reales e i  la unidad imaginaria.

Conceptos claves Inverso aditivo u opuesto: el opuesto de un número Mínimo común múltiplo (m.c.m.) : el m.c.m. es tal que al sumarlos, el resultado es 0. Ejemplo: el de dos o más números enteros positivos inverso aditivo de a es – a, ya que a + (– a) = 0. corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: el m.c.m. entre 8 y Multiplicativo o recíproco: el recíproco de un 12 es 24, ya que 8 • 3 = 24 y 12 • 2 = 24. número es tal que al multiplicarlos, el resultado es 1. Divisores de un entero: son aquellos números b Ejemplo: el opuesto multiplicativo de a  es a , ya enteros que dividen exactamente a un cierto b entero, es decir, el resto es cero. Ejemplo: los b a que  •  = 1 , con a y b distintos de cero. a b divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Números pares: son de la forma 2 n, con n un Máximo común divisor (M.C.D.) : el M.C.D. número entero ({…, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6,…}). de dos o más números enteros positivos Números impares: son de la forma (2n – 1), con n un corresponde al mayor de los divisores que número entero ({…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …}). tienen en común. Ejemplo: el M.C.D. entre 12 Múltiplos de un entero : son aquellos que se y 18 es 6, ya que 12 : 6 = 2 y 18 : 6 = 3. obtienen al multiplicar un cierto número entero por Números primos: son aquellos números otro. Ejemplo: los múltiplos de 4 son {4, 8, 12, 16, enteros positivos que solo tienen dos divisores: 20, 24, 28, 32, …}. el uno y sí mismo.  Ejemplo: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}.

Cpech

9

MATEMÁTICA Regla de los signos Adición: al sumar dos números con igual signo, se suman y se mantiene el signo. Si tienen distinto signo, se calcula la diferencia entre los números y se mantiene el signo del que tiene mayor valor

absoluto.  Ejemplos: – 3 + (– 5) = – 8 ; – 7 + 9 = 2 Prioridad en las operaciones. Sustracción: la diferencia entre dos números es igual a la suma entre el minuendo y el inverso 1º Paréntesis, de los interiores a los exteriores. aditivo del sustraendo. Es decir, a – b = a + (– b). 2º Potencias. Ojo: a – (– b) = a + b. Ejemplos: 5 – 9 = 5 + (– 9) = – 4 ; 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 3º Multiplicación y división, de izquierda a derecha. Multiplicación y división: se calcula el producto o cociente entre los números. El resultado será 4º Adición y sustracción, de izquierda a positivo si ambos tienen igual signo, y el resultado derecha. será negativo si ambos tienen distinto signo. Ejemplos: – 7 • (– 2) = 14 ; – 20 : 5 = – 4

Amplicación y simplicación de fracciones

Multiplicar o dividir el numerador y el Ejemplos: denominador por el mismo número, sin 5 5 • 3 15 15 15 : 5 3  =  =  ;  =  = alterar el valor de la fracción. 9 9 • 3 27 20 20 : 5 4 Operaciones en los racionales Suma y resta de fracciones : si dos Ejemplos: fracciones tienen igual denominador, los numeradores se suman o se restan

7 5 7–5 2  –  =  = 13 13 13 13

dependiendo de la operación. En el caso 4 • 2 contrario, se amplican de modo que 4 5 5 • 3 8 15 8 + 15 23  +  =  +  =  +  =  = 9 • 2 tengan igual denominador. 9 6 6 • 3 18 18 18 18 Multiplicación de fracciones : se Ejemplo: multiplican ambos numeradores y ambos  – 3 4  – 3 • 4  – 12  – 12 : 12  – 1 •  =  =  =  = denominadores. 8 15 8 • 15 120 : 12 10 120 División de fracciones : se obtiene Ejemplo: invirtiendo el divisor, para así obtener un 10 5 10 12 8 10 • 12 120 : 15 120 •  =  =  =  =  = : producto de fracciones. 9 12 9 5 9 • 5 3 45 : 15 45

10 Cpech

Guía



Tabla de corrección Ítem

Habilidad

Dicultad estimada

1

Comprensión

2

Comprensión

Media Media

3

Aplicación

Fácil

4

Aplicación

5

Aplicación

6

Aplicación

Media Media Media

7

Aplicación

Difícil

8

Aplicación

9

13

 ASE  ASE  ASE  ASE  ASE

Media Media Media

14

Comprensión

15

Aplicación

Media Media Media Media

16

Aplicación

Fácil

17

Aplicación

18

Aplicación

19

Aplicación

20

Aplicación

21

Aplicación

Media Media Media Media Media

22

 ASE  ASE  ASE  ASE

10 11 12

23 24 25

Alternativa

Difícil

Difícil Difícil

Media Difícil

Cpech 11

_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición:  Directora Académica Paulina Núñez Lagos  Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional  Katherine González Terceros Coordinadora PSU  Francisca Carrasco Fuenzalida  Equipo Editorial  Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán  Equipo Gráfco y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón  Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre  Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright   que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

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