Appunti metodi matematici per l'ingegneria - Prof. Greco UNINA

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI “ Federico II ”

Scuola Politecnica e delle Scienze di Base

Lezioni di Metodi Matematici per l’Ingegneria Luigi Greco

Anno Accademico 2013-2014

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E APPLICAZIONI “ R. Caccioppoli ” PIAZZALE TECCHIO - 80125 NAPOLI

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Indice Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Capitolo I. “Renato Il campoCaccioppoli” complesso Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 4 Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi 1. La forma algebrica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica4 e Applicazioni “Renato 2. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi 7 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 3. Forma trigonometrica dei numeri complessi 8 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4. Radici dei numeri complessi 12 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 5. Le funzioni elementari nel campo 14 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolacomplesso Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 5.1. L’esponenziale 14 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5.2. Il logaritmo 16 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 5.3. Le funzioni circolari e iperboliche 17 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 5.4. La potenza 19 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 6. Ampliamento campo complesso. Elementi die topologia 19 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato del Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi 6.1. Funzioni complesse di variabile complessa 22 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 6.2. Serieeadelle termini complessi 24 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico A. Serie a termini non-negativi. Criteri di convergenza 26 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Capitolo II. Funzioni analitiche 28 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1. Funzioni olomorfe 28 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1.1. Funzioni armoniche 31 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2. Serie di potenze nel campo complesso 32 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2.1. Propriet` a della somma di una serie di potenze 35 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Capitolo III.“Renato Integrazione nel campo complesso 39 Universit` di Napoli “Federico II” Accademico 1. Anno Integrali curvilinei2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 39 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BasediUniversit` 2. Teorema e formule integrali Cauchy a degli Studi di Napoli “Federico 43 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3. Dipartimento Conseguenze di della formula die Cauchy 46 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Capitolo IV.“Renato Propriet` a delle funzioni analitiche 50 Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 1. Zeri delle funzioni analitiche. Princ` ıpi di identit` a 50 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2. Propriet` a di media e principio di massimo modulo 53 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 3. Ulteriori propriet` a 54 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4. Sviluppo di Laurent 55 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 5. Singolarit` a isolate 59 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 6. Olomorfia e singolarit` a all’∞ 65 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaCapitolo Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico V. eResidui e applicazioni 67 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 INDICE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 1. Residui 67 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2. Calcolo del residuo nei poli 69 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3. Applicazioni alla decomposizione in fratti semplici 75 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3.1. Fratti semplici nel campo complesso 76 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3.2. Fratti semplici nel campo reale 78 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3.3. La formula di Hermite 81 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaCapitolo Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico VI. e Z -trasformazione 83 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica Politecnica e delle 1. Dipartimento Generalit` a sulle successioni e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola 83 Scienze di Base Universit` degli Studi di eNapoli “Federicoinversa II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2. aTrasformazione trasformazione 84 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 3. Propriet` a dellaCaccioppoli” trasformazione 85 Universit` di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Grecoiniziali Dipartimento di Matematica 4. Anno Equazioni ricorrenti, problemi ai valori 88 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Capitolo VII. Estensioni della nozione di integrale“Renato Caccioppoli” Scuola 94 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle 1. aFunzioni integrabili e sommabili 94 Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1.1. Integrale a valor principaleScuola Politecnica e delle Scienze di Base 97 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 1.2. Criteri di sommabilit` a 99 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1.3. Sommabilit` per funzioni pi` u variabili 102 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle aScienze di BasediUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico 1.4. Cenni sull’integrale di Lebesgue 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 104 Scuola Politecnica e delle 2. aCalcolo degli di integrali Scienze di Base Universit` degli Studi Napolidefiniti “Federico II” Anno Accademico 2013-2014108 Luigi Greco Dipartimento 2.1. Integrali di funzioni razionali di coseno e senoe delle Scienze di Base 108 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi 2.2. Integrali di funzioni razionali 111 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2.3. Altrieintegrali 119 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Capitolo VIII.Studi Elementi di analisi funzionale Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014126 Luigi Greco Dipartimento 1. Spazi di Lebesgue 126 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2. Anno Generalit` a sui segnali 130 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 3. Serie die delle Fourier 134 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 3.1. Osservazioni 137 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3.2. a degli Convergenza della serieII” di Anno FourierAccademico 2013-2014138 Scienze di Base Universit` Studi dipuntuale Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento 3.3. Esempi 139 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Capitolo IX. Trasformazione di Laplace 144 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1. La trasformata di Laplace 144 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. Propriet` a fondamentali 147 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3. Propriet` a formali 150 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4. La trasformata della convoluzione 151 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5. Trasformata unilatera di segnali periodici 152 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 6. Antitrasformazione 153 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 7. Applicazioni 154 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Capitolo X. “Renato Trasformazione di Fourier 159 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1. Trasformata di Fourier in L (R) 159 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delledella Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 1.1. Inversione trasformazione di Fourier 161 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica INDICE e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2. Propriet` a formali 162 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3. Le formule fondamentali 163 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.1. La trasformata di funzioni a decrescenza rapida 167 2013-2014 Luigi Greco di della Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 167 Scuola Politecnica e delle 4. Dipartimento La trasformata convoluzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Capitolo XI.“Renato Distribuzioni 169 Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 1. Anno Introduzione 169 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2. Lo spazio delle funzioni test Universit` 171 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico 3. Dipartimento Le distribuzioni 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 172 Scuola Politecnica e delle 4. aOperazioni distribuzioni Scienze di Base Universit` degli Studisulle di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014174 Luigi Greco Dipartimento 4.1. Derivata di distribuzioni 178 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 5. Anno δ-successioni 181 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 6. Distribuzioni temperate. Trasformazione di Fourier 182 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 6.1. Esempi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 185 Scuola Politecnica e delle 6.2. a degli Teoremi di campionamento Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014187 Luigi Greco Dipartimento 7. Trasformata Laplace di distribuzioni 193 Universit` di Matematica e Applicazioni “RenatodiCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Capitolo XII. Problemi ai limiti 195 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1. Introduzione 195 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. Equazioni autoaggiunte 197 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3. La funzione di Green. Il teorema dell’alternativa 198 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4. Il problema di Sturm-Liouville 202 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaCapitolo Politecnica Scienzedifferenziali di Base Universit` a degli parziali Studi di Napoli “Federico XIII.e delle Equazioni alle derivate 205 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1. Generalit` a 205 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2. Equazioni di Laplace e Poisson 206 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2.1. Funzioni armoniche 207 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.2. Risoluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico in un cerchio 211 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 214 Scuola Politecnica e delle 3. Dipartimento L’equazione del calore Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3.1. Il problema di Cauchy nel semipiano 215 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 4. L’equazione delle onde 217 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4.1. Il problema di Cauchy nel semipiano 217 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4.2. Problema misto nella semistriscia 219 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Capitolo XIV.Studi Riepilogo delle“Federico formule II” Anno Accademico 2013-2014222 Scienze di Base Universit` a degli di Napoli Luigi Greco Dipartimento 1. Z -trasformazione e Z -trasformazione inversa e delle Scienze di Base 222 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi 2. Anno e L -trasformazione 224 e Applicazioni “Renato L -trasformazione di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Grecoinversa Dipartimento di Matematica 3. F -trasformazione 227 II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CAPITOLO I Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Il campo complesso Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. La forma di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaalgebrica Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”L’esigenza Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di introdurre un ampliamento del campo dei numeri reali nasce 2 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladall’impossibilit` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli a di risolvere in esso l’equazione x = a nell’incognita x, per 2013-2014 Luigi Greco di Matematica Scuola Politecnica e delle ` Applicazioni a ∈ RDipartimento generico numero assegnato. eE chiaro infatti“Renato che, se aCaccioppoli” < 0, non esiste 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento alcuna soluzione, poich´e ovviamente risulta x ≥ 0, ∀x ∈ R. Pi` u in generale, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi nel campo reale un’equazione algebrica P (x) = 0, P polinomio, pu`o essere Universit` di Napoli “Federicopriva II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di soluzioni. 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il campo dei numeri complessi si costruisce sull’insieme R delle coppie 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ordinate di numeri reali, introducendo le operazioni“Renato di addizione e moltiplicaScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento zione: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (x1 , y2013-2014 ) = (xGreco , y1 + y2 ) , 1 ) + (x2 , y2Luigi 1 + x2Dipartimento di Napoli “Federico(1.1) II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato (x1 , yScienze = (xUniversit` x1 y2 Studi + x2 y1di) .Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 ) · (x2 , y 1 x2 − y1 ya2 ,degli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di2 )Base 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Con tali operazioni,diRMatematica diviene un ecampo, che diremo campo complesso Scuola ed Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento indicheremo con C. Pertanto, due numeri complessi (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) sono di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi uguali se e solo se sono uguali come coppie ordinate, cio`e se e solo se x1 = x2 di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y1 = y2 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Consideriamo il sottoinsieme 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle R= {(x, 0) : II” x ∈Anno R} . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle di ed Base a degli Studi Evidentemente, esso `eCaccioppoli” chiuso rispetto alle due operazioni, cio`eScienze la somma il Universit` di Napoli “Federicoprodotto II” AnnodiAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato elementi di R appartengono a R; il sottoinsieme risulta un sotCaccioppoli” Scuolatocampo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di C (cio`e le operazioni (1.1), ristrette a R, lo rendono un campo). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Dal punto di vista insiemistico, `e naturale identificare R conCaccioppoli” R, facendo corScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento ` rispondere al generico elemento (x, 0) ∈ R la sua prima componente x ∈ R. Luigi E di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi immediato per` o verificare che tale identificazione fa corrispondere le strutture di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato campo su R e su R: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (x1Matematica , 0) + (x2e, 0) = (x1 + “Renato x2 , 0) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle l l l Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x1 + xScuola =Politecnica x1 + x2e delle Scienze di Base Universit` 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federicodove II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + denota l’addizione in R (cio`e in C), e analogamente per la moltipliCaccioppoli” Scuolacazione; Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico si dice che i due campi R e R sono isomorfi. Con l’identificazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle 1. LA FORMA ALGEBRICA “Renato Caccioppoli” Scuola 5 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi indicata, il campo reale risulta un Scuola sottocampo del campo complesso, ovvero di Napoli “Federicoquest’ultimo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e un ampliamento del primo. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` E naturale considerare anche l’altro sottoinsieme 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.2) a degli Studi di Napoli I =“Federico {(0, y) : II” y ∈ Anno R} , Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Politecnica a degli Studi ma esso non“Renato `e chiuso,Caccioppoli” in quanto adScuola esempio risulta e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (1.3) (0, 1) = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 6∈ I . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Gli elementi di I si di dicono numeri (complessi) immaginari. (0,Scuola 1) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato L’elemento Caccioppoli” Politecnica e delle `e di fondamentale si dice unit` immaginaria e si denota conLuigi j Scienze di Base Universit` a degli Studiimportanza; di Napoli “Federico II”a Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento (spesso anche con i):Caccioppoli” j = (0, 1). Scuola Con queste notazioni, l’uguaglianza di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di (1.3) Base Universit` a degli Studi 2 riscrive = −1. Dunque I nonLuigi `e unGreco sottocampo. Osserviamo che ogni e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericosiII” AnnojAccademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica complesso = (x, y)disi Base pu`o rappresentare come segue: Caccioppoli” Scuolanumero Politecnica e dellez Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle (1.4) z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, Caccioppoli” 0) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ovvero (con l’identificazione tra R e R), z = x + j y. Questa espressione si di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi chiama forma algebrica del numero complesso z = (x, y). I numeri reali x e y si di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dicono rispettivamente parte reale e coefficiente dell’immaginario del numero Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico complesso z e si denotano con x = Re z e y = Im z. L’utilit`a della forma 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle algebrica `e nel fatto che sui numeri complessi in forma algebrica si opera, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento invece che usando direttamente le definizioni (1.1), mediante le usuali regole di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dell’algebra elementare (che seguono dalle propriet`a di campo), ricordando di Napoli “Federico II” 2Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che j = −1 e le relazioni che ne seguono: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 4 2 = j 2 · j = −jdi, jMatematica = (j 2 )2 = 1e ,Applicazioni j 5 = j 4 · j =“Renato j , j 6 = jCaccioppoli” = −1 , . . . Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco jDipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e analogamente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 −3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato j −1 =2013-2014 = −j , Luigi j −2 =Greco −1 , j Dipartimento = j ,... j di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In generale, se m e ndisono numeri interi con m − n divisibile 4 (si dice che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato per Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n m e n asono congruenti 4 e si scrive ≡ n (mod 4)), risulta j m = jLuigi . Scienze di Base Universit` degli Studi di modulo Napoli “Federico II”mAnno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Ad esempio, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (3 + 4 j) · (1 − j) + (5 + 2 j) = (3 − 3 j + 4 j − 4 j ) + (5 + 2 j) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = (3 + j + 4) + (5 + 2 j) = 3 + j + 4 + 5 + 2 j = 12 + 3 j . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Vediamo qualche altro esempio di operazioni sui numeri complessi in forma Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento algebrica. Dato z = x + j y, il numero z¯ = x − j y si chiama coniugato di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z (un’altra notazione usata per il coniugato `e z ∗ ). Calcoliamo z z¯ = (x + di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j y) (x − j y). Usando il ben noto prodotto notevole dell’algebra elementare Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (somma per differenza), scriviamo subito 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z¯ = (x + j y) − j y)“Federico = x2 − (jII” y)2 Anno = x2 − j 2 y 2 = x2 + y2 . Scienze di Base Universit` a zdegli Studi di (x Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento p di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2 2 Il numero reale non-negativo x + y si dice modulo di z e si indica con |z|. Universit` di Napoli “FedericoDunque II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 z z¯ = |z| . Osserviamo che |z| ≥ 0 e |z| = 0 ⇐⇒ z = 0. Inoltre Caccioppoli” Scuolaz Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + z¯ = 2 Re z, z − z¯ = 2 j Im z. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 6 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Osservazione 1.1. La notazione perScuola il modulo di un numero complesso ` e identica a Universit` usata per il valore assoluto di un Luigi numero reale. Dipartimento In effetti, se z = ` e un numero e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoquella II” Anno Accademico 2013-2014 Greco di xMatematica reale, il suo modulo coincide con il valore assoluto. Caccioppoli” Scuolacomplesso Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico il reciproco di z = x + y 6= 0 in forma algebrica: 2013-2014 Luigi Greco Scriviamo Dipartimento di Matematica e jApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x−jy x y 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 z¯ z¯ = Scuola = −ej delle , = =Caccioppoli” di Matematica e Applicazioni z“Renato Politecnica di Base Universit` a degli Studi 2 2 2 2 2 2 2 z z¯ x +y x +y x +y x + Scienze y2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cio`e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dix Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1 a degli Studi y , e Applicazioni Im = − “Renato . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = 2 2 2 2 2013-2014 Luigi Greco DipartimentoRe di zMatematica x +y z x +y Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” 2Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che per l’ipotesi z 6= 0,“Federico risulta x2 +y > 0. Vediamo un altro esempio. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 365 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 X Luigik Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESEMPIO 1.2.Scienze Calcoliamo j . A atale che le II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` degliscopo, Studi ricordiamo di Napoli “Federico k=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni potenze consecutivedidell’unit` a immaginaria sono “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento , −1 , −j , 1Scuola , j , −1 , −j , 1 , . e. . delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato jCaccioppoli” Politecnica a degli Studi di Napoli “FedericoNotando II” Anno Accademico Luigi associare Greco Dipartimento di Matematica che j − 1 − j +2013-2014 1 = 0, conviene i termini della sommatoria e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaa Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diper Napoli “Federico II” Anno Accademico gruppi di quattro consecutivi; poich´ e 365 non `e divisibile 4, rimarran2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle no alcuni termini che non completano uno di questi gruppi.Caccioppoli” Precisamente, Scienze di Base Universit` degli=Studi Napoli “Federico II” Anno essendoa 365 364 +di 1 ed essendo 364 divisibile perAccademico 4, risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 365 364 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` X X k k 365 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j = j +j =0+j =j. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k=1 k=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle In maniera meno diretta, alternativamente possiamo usare Caccioppoli” la nota formula n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n+1 X 1−a per a 6= 1, e ricavare dell’algebra “Renato elementare ak = Scuola ,Politecnica di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1−a di Napoli “Federico II” Anno Accademico k=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 365 365 e delle Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X X 1 − j 366 1 − (−1) k 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato −1= j k = di jMatematica −1= − 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 − j II” Anno 1− j Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k=0 k=1 Studi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 − 1 2013-2014 +j 1 + Luigi j (1 + j)2Dipartimento 1 + 2 j − 1di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco = = = = =j. 1 − j di Base 1 − j Universit` 2 a degli Studi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di` Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 1.3. E facile verificare che il coniugato della somma `e la somScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ma dei coniugati; analogamente per prodotto e rapporto. Pi` u in generale, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi vale la seguente propriet` a. Se R(z1 , . . . , zn ) `e una funzione razionale dei suoi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato argomenti (cio`e un’espressione che si calcola a partire dai numeri z1 , . . . , zn Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico mediante le quattro operazioni razionali), risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z1 , . .“Federico . , z¯n ) = R(z . . . , znAccademico ). Scienze di Base Universit` a degli Studi di R(¯ Napoli II”1 ,Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi 2 n Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Se P (z) = a0 + a1 z + a2 z + · · · + an z `e un polinomio, chiaramente risulta di Napoli “FedericoPII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z) = R(z, a0 , a1 , . . . , an ). In particolare, se i coefficienti di P sono reali, Caccioppoli” Scuolaabbiamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P (¯ z ) = P (z). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 7 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze Base a degli Studi Osserviamo che Caccioppoli” in C non si introduce un ordinamento, poich´e dinon `e Universit` di Napoli “Federicopossibile II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato farlo in modo che esso sia compatibile con la struttura algebrica. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Poich´ Annoe dal Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di rappresentaMatematica e Applicazioni “Renato punto di vista insiemistico C coincide con R2 , una Caccioppoli” Scuolazione Politecnica e delle Scienze didei Base Universit` a deglisi Studi di mediante Napoli “Federico geometrica dell’insieme numeri complessi ottiene quella II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “RenatonelCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle ben nota di R2 sul piano, la quale sie realizza considerando piano un sisteScienze di Base Universit` a degli Studi di Napolimonometrico “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ma di riferimento cartesiano ortogonale e facendo corrispondere di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e dellediScienze di Base a degli Studi alla coppia (x, y) il punto P che laScuola ammette come coppia coordinate. Il Universit` di Napoli “Federicopunto II” Anno 2013-2014 Greco Dipartimento di jMatematica P (x, Accademico y) si dice immagine delLuigi numero complesso z = x+ y. Dunque, e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolal’origine Politecnica e delle Scienze di Base reali Universit` a degli Studi di iNapoli “Federico II” Anno Accademico `e l’immagine di 0; i numeri hanno per immagini punti dell’asse 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle delle Dipartimento ascisse, che perditalMatematica motivo si dice asse reale, mentre i numeri immaginari Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico Anno che Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento hanno aper immagini i punti dell’asse delle II” ordinate, si dice asse immaginadi Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi rio. Le immagini di z Caccioppoli” e z¯ sono simmetriche rispetto all’asse reale. Nel seguito, di Napoli “Federicoidentificheremo II” Anno Accademico 2013-2014i Luigi Greco Dipartimento di immagini Matematica sistematicamente numeri complessi con le loro sul e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolapiano; Politecnica delleeScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico questo,e com’` noto, permette di adottare la terminologia geometrica a II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica die C. Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle proposito di numeridi e sottoinsiemi Ad esempio, chiameremo un numero Scienze di Base Universit` deglicomplesso. Studi di Napoli “Federico II”riferimento Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento z ∈ C apunto O, anche, faremo a |z| come distanza Luigi di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z dall’origine. di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica maniera equivalente, possiamo rappresentare i numeri complessi come e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolasegmenti Politecnica e delle di Scienze Base Universit` a degli Napolipossiamo “Federico II” Anno Accademico orientati, primodiestremo l’origine. In Studi questodimodo, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle illustrare geometricamente la somma di due numeri“Renato complessi ricordando Scuola la Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”vettori Anno Accademico costruzione geometrica della somma di due del piano. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco zDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 + z2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Cos`ı otteniamo la doppia disuguaglianza Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (2.1) |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaIl Politecnica e delle Scienze Base`e Universit` degli Studi di Napoli “Federico contenuto geometrico delladi(2.1) evidente. aLa prima disuguaglianza espri- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle me la propriet` a che in un triangolo il valore assoluto della differenza tra Scuola le Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lunghezze di due lati non supera la lunghezza del terzo lato. La seconda didi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi suguaglianza corrisponde al fatto che in un triangolo la lunghezza di un lato di Napoli “Federiconon II” supera Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la somma delle lunghezze degli altri due. Per questi motivi, la Caccioppoli” Scuola(2.1) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e detta disuguaglianza triangolare. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 8 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi z1 + z2 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z |z1 + z2 | Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico z1 |z1 | di Base Universit` |z1 − z2 | 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ze1 Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle − z2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 |z1 | |z1 | z2 z2Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi |z1 − z2 | |z2 | |z2 | di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica “Renato Politecnica e delle 2.1.di Fissati x0 , y0 e∈ Applicazioni R, le equazioni Re z =Caccioppoli” x0 e Im z = Scuola y0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno eAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento rappresentano rispettivamente una retta II” verticale una orizzontale. Fissato di Matematica e Applicazioni “Renato|z|Caccioppoli” Scuolauna Politecnica e delle Scienze0.di Base Universit` a degli Studi ρ0 > 0, l’equazione = ρ0 rappresenta circonferenza di centro di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Im z = y0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ey0Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studixdi 0 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Re z = x0 |z| = ρ0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 3. “Renato Caccioppoli” Scuoladei Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Forma trigonometrica numeri ecomplessi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Nel piano, consideriamo l’usuale sistema di coordinate polari avente polo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico nell’origine O e semiasse polare coincidente col semiasse positivo delle ascisse. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Le formule che legano le coordiante cartesiane a quelle polari sono Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  xScuola = ρ cosPolitecnica ϑ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (3.1) = ρ sin ϑ Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014yLuigi Greco Caccioppoli” ScuolaDa Politecnica e delle Scienze a degli Napoli “Federico queste ricaviamo ρ2 = x2di + Base y 2 ; `e Universit` quindi chiaro cheStudi ρ = 0di ⇐⇒ x= y = 0. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle In tal caso ϑ `e indeterminato, nel senso che le uguaglianze (3.1) valgono ∀ϑScuola ∈ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento R, e il punto P (x, y) coincide con l’origine. Se invece P `e distinto dall’origine, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi `e ρ > 0, e da (3.1) ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014  Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cosUniversit` ϑ = x/ρ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(3.2) Politecnica e delle Scienze di Base sin ϑ = y/ρ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diindividuano Napoli “Federico II” diAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e queste uguaglianze ϑ a meno un multiplo di 2 π, cio`e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (3.3) ϑ = ϑ∗ + 2 k π , k ∈ Z, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ϑ∗ una soluzione particolare. Ricordiamo cheStudi ρ e l’insieme valori II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napolidei “Federico di ϑ indicati in (3.3) dicono rispettivamente raggio vettore e anomalia Scuola di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di siMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle P ; i singoli valori di di ϑ, Napoli che si ottengono fissando ∈ Z nella (3.3), si dicono Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Annok Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento determinazioni dell’anomalia. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z =Accademico x + j y un numero complesso. Usando le (3.1), possiamo scrivere e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Sia Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola(3.4) Politecnica e delle Scienze di jBase di Napoli “Federico II” Anno Accademico z =x+ y = ρUniversit` (cos ϑ +aj degli sin ϑ)Studi . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3. FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI 9 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola di Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Questa si chiama forma trigonometrica z. Evidentemente ρ = |z| `e il Universit` di Napoli “Federicomodulo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di z. In riferimento a z, ϑ si dice argomento di z e si denota con arg z Caccioppoli” Scuola(aPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico volte anche con ∠z). Com’`e noto, 0 `e l’unico numero di modulo nullo. Se 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle z 6= 0, l’argomento di`e un insieme die valori che a due a due Caccioppoli” differiscono per Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento un multiplo di 2 π e si chiamano determinazioni dell’argomento (con leggero di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi abuso di notazione, arg z indica pure una qualsiasi determinazione). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleyScienze di Base Universit` a degli zStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = ρ sin ϑ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ρ = |z| di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base ϑUniversit` = arg z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x = Accademico ρ cos ϑ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per indicare che ρCaccioppoli” e ϑ sono modulo e argomento scriveremo di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnicadie z, delle Scienze sintetidi Base Universit` a degli Studi z =Accademico [ρ , ϑ]. La determinazione che cade ] − π, π] si e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocamente II” Anno 2013-2014 Luigidell’argomento Greco Dipartimento di in Matematica argomento principale dell’argomento) di z II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladice Politecnica e delle Scienze(odideterminazione Base Universit` aprincipale degli Studi di Napoli “Federico e si indica con Arg z. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Laacorrispondenza z → arg“Federico z fornisceII” unAnno esempio di funzione polidroma, Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in quanto ad ogni numero complesso `e associato un insieme (non unitario) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi valori. la 2013-2014 corrispondenza ∈ C− {0} → Arg zdi definisce una e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericodiII” Anno Viceversa, Accademico Luigi zGreco Dipartimento Matematica monodroma, cio`e una funzione in senso usuale. Caccioppoli” Scuolafunzione Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (3.1) consentono subito di passare dalla forma trigonometrica a quella 2013-2014 Luigi Greco Le Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle algebrica. Ad Studi esempio Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento h πi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi π π 1, = cos + j sin = j . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 2 2 Greco 2Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaEffettuiamo Politecnica l’operazione e delle Scienze di Base degli Studi diseNapoli inversa perUniversit` z 6= 0. aBanalmente, z = x“Federico `e reale II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle positivo, risulta ρ = x e (una determinazione di) ϑ = 0; se z = x < 0,Scuola `e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ρ = −x e ϑ = π; se z = j y `e immaginario con y > 0, `e ρ = y e ϑ = π/2; se di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z = j y con y < 0, `e ρ = −y e ϑ = −π/2. Esclusi questi casi, risulta cos ϑ 6= 0 di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi da (3.1) ricaviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (3.5) Dipartimento di Matematica taneϑApplicazioni = , 2013-2014 Luigi Greco “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento da cui di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  y  arctanLuigi , Greco se Dipartimento x > 0; di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato   x Caccioppoli” Scuola(3.6) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϑ=  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  arctan ey Applicazioni + π , se x < 0. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 3.1. Volendo scrivere in forma trigonometrica −1 − j, di trovia√ Accademico di Napoli “Federicomo II”ρ Anno 2013-2014 5 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = 2 ed usando (3.6) ϑ = 4 π. Osserviamo che −1−j cade nel terzo quaCaccioppoli” Scuoladrante, Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli quindie ha una determinazione dell’argomento verificante π 1, dunque in un’omotetia di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento centro 0 e rapporto r. Consideriamo ora il prodotto di z per un numero di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi modulo unitario w = [1, ϕ]. Poich´e cambia solo l’argomento, `e chiaro che di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l’effetto geometrico su z `e quello di una rotazione di ampiezza (relativa) ϕ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico attorno a 0: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z w II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϕ z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Consideriamo ora il caso generale. Essendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi
w = z [r, ϕ]Luigi = zGreco [r, 0] [1, ϕ] , di Napoli “Federico II” Anno Accademico z2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaevidentemente Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli di composizione Napoli “Federico l’effetto su z di della moltiplicazione perStudi w `e la di II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle una omotetia e di una rotazione; in figura consideriamo ad esempio il caso Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento r > 1: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z wGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` az degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico r 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diϕ Matematica z e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La formula (3.7) Caccioppoli” si generalizza Scuola ad un numero arbitrario fattori: di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e dellediScienze a degli Studi di Napoli “Federico(3.8) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [ρ1 , ϑ1 ] · [ρ2 , ϑ2 ] · · · [ρn , ϑn ] = [ρ1 ρ2 · · · ρn , ϑ1 + ϑ2 + · · · + ϑn ]. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In particolare, se i di fattori sono uguali tra loro, abbiamo formula di De 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato laCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Moivre per le potenze: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (3.9) [ρ , ϑ]nScuola = [ρn ,Politecnica n ϑ] . di Napoli “FedericoTale II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato formula, ricavata per n ∈ N, si estende ad ogni n ∈ Z osservando che Caccioppoli” Scuolavale Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico per n = −1. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 12 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √ 41 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuolaalgebrica Politecnica a degli Studi ESERCIZIO 3.4.Caccioppoli” Scrivere in forma (j −e delle 3) .Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Illustriamo l’uguaglianza due Universit` numeri complessi in forma trigonometriCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze didiBase a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ca: risulta [ρ , ϑ] = di [r ,Matematica ϕ] se e solo eseApplicazioni ρ = r = 0, oppure ρ= r 6= 0 e ϑ eScuola ϕ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle differiscono perStudi un multiplo di “Federico 2 π, cio`e ∃k Z: ϕ = ϑ + 2 k π. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli di Napoli II”∈Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4. Radici dei numeri complessi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n ∈ N e z di ∈ C, si dice radice n-sima di z ogni numero complesso Scuola la 2013-2014 Luigi Greco Dati Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle cui potenza n-sima ` e z, cio` e ogni soluzione w dell’equazione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” wScuola a degli Studi (4.1) = z .Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` chiaro il caso n =Scienze 1 banale, supponiamo na ≥ 2. Studi E che per“Federico z = 0 II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaEssendo Politecnica e delle di Base Universit` degli di Napoli troviamo l’unica radice w = 0 (pere laApplicazioni legge di annullamento del prodotto). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Per z a6=degli 0, riscriviamo l’equazione (4.1)II”usando formula di2013-2014 De Moivre, Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico Anno la Accademico Luigi Greco Dipartimento rappresentando z e l’incognita w inScuola forma Politecnica trigonometrica; posto z = [ρ ϑ] e Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di, Base a degli Studi = [r , ϕ], Accademico abbiamo di Napoli “FedericowII” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(4.2) Politecnica e delle Scienze di[rBase Universit` n , n ϕ] = [ρ , ϑ]a .degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Questoa (in base all’osservazione finale delII” paragrafo 3) significa 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico  Caccioppoli” √ di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n ρ (radice n-sima aritmetica);   r = 2013-2014 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(4.3) Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϑ + di 2 kBase π Universit`   di ϕ =Matematica, e Applicazioni k ∈ Z, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dove la radice n-sima Caccioppoli” aritmetica di Scuola ρ `e l’unico numero epositivo la cui potenza di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n-sima ` e ρ. Le infinite scelte di k nella seconda delle (4.3) non danno tutte e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica a radici a dueScienze a due di distinte. Questo accade per k = , 1 , . . .“Federico , n − 1. II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaorigine Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi di 0Napoli Per ogni altro valore di k, abbiamo una ripetizione: la formula fornisce 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”una Scuola Politecnica e delle determinazione diversa dell’argomento di II” unaAnno delle radici gi`a trovate. Dunque Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √ n ρ, mentre troviamo esattamente n radici n-sime; essePolitecnica hanno tutte modulo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi sono di Napoli “FedericogliII”argomenti Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degliϑStudi ϑ ϑ+ 2 π Universit` + 2 (ndi−Napoli 1) π “Federico II” Anno Accademico ϕ0 = , di Matematica ϕ1 = , Applicazioni . . . , ϕn−1 = “Renato Caccioppoli” . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Scuola Politecnica e delle n n n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 π di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ϕ1 − ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 = · · · = ϕn−1 − ϕn−2 = . n Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento le di nMatematica “Renato Scuola Politecnica e delle Geometricamente, radici w0 , we1 .Applicazioni . . , wn−1 sono i verticiCaccioppoli” di un poligono √ n ρ. Ad Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento regolare a n lati, inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi esempio, in figura sono rappresentate le 5 radici quintee di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 √ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Base Universit` 3 h πai degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di +j = 1, . 2 2e Applicazioni 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 4.Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle RADICI DEI NUMERI COMPLESSI 13 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi w1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle w2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento w di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica0 e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli w3 “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento w4 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato √ n L’insiemee delle n-sime delUniversit` numero acomplesso z si z; II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle radici Scienze di Base degli Studi di denota Napoli con “Federico le singole soluzioni di si chiamano determinazioni della radice.Caccioppoli” (Con abuso Scuola di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle notazione, taleStudi simbolo indica anche una qualsiasi determinazioni.) Ogni Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Annodelle Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento numero complesso non nullo ha dueScuola radici quadrate opposte. z = a di > 0, le Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Se Scienze Base a degli Studi quella aritmetica e la sua opposta. Se z = a < 0, le due radici di Napoli “Federicodue II”radici Annosono Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato √ `a degli −1 Universit` = ∓j. E chiaroStudi allora che l’equazione ∓j (−a)e1/2 ; adScienze esempio, Caccioppoli” Scuolasono Politecnica delle di Base di Napoli “Federico II” Anno Accademico x2 = Dipartimento a da cui siamodipartiti per motivare la costruzione del campo complesso 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle `e risolubile in Studi C per di ogni a. “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Napoli di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi s e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014√Luigi√Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j ESERCIZIO Calcolare 3 + a4j,degli Studi . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle4.1. Scienze di Base−8, Universit` j − 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle √ Scienze di Base Universit` a degli Studi 4.2. di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n Accademico `e usato con due significati Osservazione Notiamo che il simbolo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi diversi: quello di radice aritmetica e quello di radice di un numero complesso. Universit` √ n di Napoli “FedericoLaII”corrispondenza Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z → z `e un altro esempio di funzione polidroma. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4.3.diRisolviamo l’equazione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (4.4) z 6 − 2Scuola z 3 + 4 Politecnica = 0. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 Caccioppoli” ScuolaPonendo Politecnica Scienze di diviene Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico w =e zdelle , l’equazione w2 − 2awdegli + 4 = 0, che ha le soluzioni p p √ √ Applicazioni √ 3 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle w = 1 ∓ 3 j e quindi z = 1 − 3 j e z = 1 + 3 j. Per calcolare Scuola le Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento radici, scriviamo i radicandi in forma trigonometrica: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ! Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 2013-2014 Luigi√Greco h i 1 3 π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle1Scienze Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∓ 3 j di = Base 2 ∓ j a= 2, ∓ 2 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi   Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato q di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco √ π 2 3 1 ∓ Scienze 3 j = di 21/3 , ∓ Universit` + π k a ,degli k =Studi 0 , 1di , 2Napoli . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base “Federico II” Anno Accademico 9 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 14 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √  π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola 1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi + 3 j = 2, 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √  e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi 1 − 3Dipartimento j = 2, − π3 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  1/3 5“Renato  2 , 9Accademico π Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  1/3 7  di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 , 9 π “Renato Caccioppoli”  1/3 π  2 , 9Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  1/3 πLuigi  Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento 2 di , −Base 9  1/3Politecnica  di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze Universit` a degli Studi 2 Greco , 11 9 πDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi  1/3 Accademico  2 , 13 Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 9e π 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Le funzioni elementari nel campo complesso di Napoli “Federico II” Anno 5. Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellealScienze Base Universit` a degli elementari Studi di Napoli “Federico Per estendere campodicomplesso le funzioni useremo due II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle modi di procedere: quando possibile effettueremo l’estensione direttamente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dalla definizione, oppure cercheremo di mantenere le propriet`a formali valide di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nel campo reale. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze L’uguaglianza di Base Universit` degli “Federico 5.1. L’esponenziale. [1 ,aϑ] · [1 ,Studi ϕ] =di[1Napoli , ϑ + ϕ], caso II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle particolare di (3.7), `e formalmente analoga alla ben nota propriet`a dell’espoa b a+b Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 nenziale e · e = e . Questo suggerisce di dare la seguente definizione Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi jy = [1 , y]Luigi = cosGreco y + j Dipartimento sin y , di Napoli “Federico(5.1) II” Anno Accademico e2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola∀yPolitecnica e delle Scienze diche Base a degli Studi di Napoli ∈ R. Questa uguaglianza, qui Universit` `e usata come definizione, `e detta “Federico formula II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle jϑ di Eulero. Se z = [ρ , ϑ], possiamo scrivere z = ρ e . Questa scrittura Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ` si chiama forma esponenziale del numero complesso z. E chiaro che essa di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi equivale alla forma trigonometrica. di Napoli “Federico II”Con Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la notazione introdotta nella formula di Eulero (5.1), ripetiamo, Caccioppoli” ScuolalaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico formula per il prodotto di due numeri complessi (di modulo 1) in forma 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 5. LE FUNZIONI ELEMENTARI NEL CAMPO COMPLESSO 15 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi trigonometrica corrisponde alla menzionata propriet`a delle potenze di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j y1 2) · ej y2Universit` = ej (y1 +y . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzee di Base a degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicaez e, per Applicazioni “RenatodiCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Vogliamo definire l’esponenziale z ∈ C, cercando conservare tale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento propriet` a. Posto z = x + j y in forma algebrica, dobbiamo allora necessariadi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi mente porre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x y ez =Scienze ex+j y = · ejUniversit` = ex (cos y + jStudi sin y)di. Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(5.2) Politecnica e delle di eBase a degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni Caccioppoli” Con tale definizionedila Matematica propriet`a delle potenze resta“Renato effettivamente valida. Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a deglinotazione Studi di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Un’altra per l’esponenziale di zAnno `e exp(z) = ez . Dunque di Matematica e Applicazioni “Renatoz Caccioppoli” Scuolaz Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (5.3) | e | = eRe z , arg( e ) = Im z + 2 k π . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z particolare,e delle dalla Scienze prima uguaglianza, ricaviamo 6= 0, ∈ C,“Federico poich´e II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaInPolitecnica di Base Universit` a degli eStudi di ∀z Napoli Re z l’esponenziale reale di `e positivo: e e> 0. La corrispondenza z 7→ ez defini2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sce in aC degli una funzione di variabile complessa, che si dice funzione Scienze di Base Universit` Studi di complessa Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento esponenziale.“Renato Osserviamo che l’esponenziale `e periodico di periodo 2 πdi j: Base Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 z+2kπj z Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e = e , ∀z ∈ C , ∀k ∈ Z . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico A scopo illustrativo,distudiamo l’equazione ez = 1. “Renato Scriviamo z = x + j y Scuola in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle forma aalgebrica. In base alle (5.3), essendo = [1 , Accademico 0] troviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II”1Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ez = 1 ⇐⇒ z =Politecnica 2kπj . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaAnalogamente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ez = −1 ⇐⇒e zApplicazioni = π j + 2 k π“Renato j. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 5.1. Come illustrazione, descriviamo l’immagine tramite la di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi corrispondenza w = ez delle rette di equazioni Re z = x0 e Im z = y0 nel di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato piano della z, cfr. esempio 2.1. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicawe = Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z ez w Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi x0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 |w| = ex“Renato Re z = x0 e Applicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z = eGreco w di Napoli “Federico II” AnnozAccademico 2013-2014 w Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleyScienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico arg wdi=Napoli y0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Im z = y0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 16 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 5.2. Caccioppoli” Dati x0 , x1 , yScuola 0 , y1 ∈ R con x0 < x1 e 0 < y1 − y0 < 2 π, di Napoli “Federicol’immagine II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di [x0 , x1 ] × [y0 , y1 ] `e un settore di corona circolare con centro Caccioppoli” Scuolanell’origine. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z z Studi di Napoli “Federico w = eII” w Scienze di Base Universit` a degli Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y y0 di Base Universit` di Matematica e Applicazioni1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi x1 x0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi GrecoeDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y0 Scienze di Base Universit` a degli Studi x0 dix1Napoli “Federico II” Anno Accademicoy12013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5.2. Il logaritmo. Dato z ∈ C, chiameremo di z e “Federico lo indi- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a deglilogaritmo Studi di Napoli w ` cheremo con log z ogni numero complesso w, se esiste, tale che e = z. Scuola E 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle chiaro ache nonStudi si pu` odidefinire il“Federico logaritmoII” di Anno 0. PerAccademico z 6= 0, quindi2013-2014 con |z| > Luigi 0, Scienze di Base Universit` degli Napoli Greco Dipartimento l’equazione “Renato ew = z si Caccioppoli” riscrive di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi w di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento eRe w = | e2013-2014 | = |z| , Luigi ImGreco w = arg( ew ) = arg z di . Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaPertanto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (5.4) a degli Studi w = log = log∗“Federico |z| + j (ϑ∗II” + 2Anno k π) , Accademico k ∈ Z , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` di zNapoli di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi dove log∗ indica il logaritmo aritmetico un numeroe positivo (cio`e di l’espo∗ di Napoli “Federiconente II” Anno Accademico 2013-2014 Greco di Matematica e Applicazioni “Renato da dare a e per ottenere taleLuigi numero, logDipartimento : ]0, +∞[ → R), e ϑ ` e una ∗ Caccioppoli” Scuolaqualsiasi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli fissata determinazione dell’argomento di z. Studi Il logaritmo z →“Federico log z `e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni corrispondenti “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle una funzione polidroma ad infinite determinazioni, alle infinite Scienze di Base Universit` a degli Studi diz;Napoli “Federico II” di Anno Luigi Greco Dipartimento determinazioni di arg due determinazioni log zAccademico differiscono2013-2014 per un muldi Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi tiplo di 2 π j“Renato (ovvio, per la periodicit` a dell’esponenziale). La determinazione di Napoli “Federicoche II”siAnno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica ottiene scegliendo2013-2014 la determinazione principale dell’argomento di z si e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolachiama Politecnica e delle Scienze di a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico logaritmo principale di Base z e siUniversit` denota con Log Studi z: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (5.5) Log z = log∗ |z| + j Arg z . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pi` u in generale, scelto ϑ0 ∈ R, possiamo una determinazione z Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola fissare Politecnica e delle Scienze di di log Base a degli Studi considerando la determinazione di arg z che cade in ]ϑ , ϑ + 2π[. In altri 0 0 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento definiti l’insieme aperto Caccioppoli” Scuolatermini, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scuola Politecnica e delle Aϑ0 =di{ Matematica z ∈ C − {0} e: Applicazioni ϑ0 < arg z r , “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento vale a dire, “Renato geometricamente, l’insieme punti esterni ad Scienze un cerchio con Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuoladei Politecnica e delle di Base a degli Studi centro nell’origine. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentor di Matematica e Applicazioni “Renato z0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico r di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Un Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sottinsieme A ⊆ C si dice aperto se ogni suo punto ha un intorno Caccioppoli” Scuolacontenuto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico in A: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∃r > 0 : II” D(zAnno A. Scienze di Base Universit` a degli Studi di∀zNapoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 ∈ A , “Federico 0 ; r) ⊆ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` A a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Un sottoinsieme C ⊆Caccioppoli” C si dice chiuso se ilPolitecnica suo complementare A = Cdi− Base C `e Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola e delle Scienze a degli Studi aperto. L’insieme vuoto ∅ e C sono sia aperti che chiusi. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 6.1. Un cerchio aperto secondo la terminologia introdotta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle precedentemente, cio`e privato della circonferenza che lo delimita, `e un insieme Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento aperto secondo la definizione appena data. In effetti, assegnato il cerchio di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi D = D(z0 ; r), dobbiamo mostrare che ogni suo punto ha un intorno contenuto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in D. Se z1 ∈ D, risulta |z1 − z0 | < r, quindi ρ = r − |z1 − z0 | > 0. Mostriamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che il cerchio D(z ; ρ) di centro z e raggio ρ `e contenuto in D, cio`e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento1 di Matematica1 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento |z − z1 | < ρ ⇒ |z − z0 | < r . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoQuesta II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato implicazione `e immediata conseguenza della disuguaglianza triangolare Caccioppoli” Scuola(2.1): Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico |z − z0 | ≤ |z − z1 | + |z1 − z0 | < ρ + |z1 − z0 | = r. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco 6. Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle AMPLIAMENTO DEL CAMPO COMPLESSO. ELEMENTI DI Caccioppoli” TOPOLOGIA 21 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a−degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico r − |z1 z0 | 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioniz1“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico |z1 II” − z0Anno | r Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigiz0Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a deglicerchio Studi chiuso di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Diremo ogni“Federico cerchio comprendente la circonferenza che Luigi lo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi delimita, cio` e un insieme del tipo Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato  Luigi Greco Dipartimento ¯ 0 ; r) = z ∈ C : |z − z0 | ≤ r . D(z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Con un ragionamento analogo al precedente, `e facile vedere che esso `e un Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento insieme chiuso, nel senso che il complementare `e aperto. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”L’unione Anno Accademico 2013-2014 LuigidiGreco di Matematica di una famiglia qualsiasi apertiDipartimento `e aperta, come pure l’inter- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolasezione Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli di unae famiglia finita;disimmetricamente, l’intersezione di una “Federico famiglia II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle qualsiasi e l’unione di una famiglia finita di chiusi sono chiuse. Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Greco Dipartimento Una aperto A si dice connesso se nonII” pu`oAnno essereAccademico espresso come unione Luigi di di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola a degli Studi due aperti non vuoti Caccioppoli” e disgiunti, vale a direPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (A = A1 ∪eAdelle A1 , Adi2 Base aperti, A1 ∩ A2a = ∅) ⇒ (A1di=Napoli ∅ o A2 “Federico = ∅) 2 , con Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Universit` degli Studi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La nozione di connesso traduce l’idea intuitiva di insieme formato da un unico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento pezzo. C `e connesso, quindi non esiste alcun sottoinsieme proprio e non vuoto di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi che sia simultaneamente aperto e chiuso. di Napoli “Federico II”Un Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sottoinsieme E ⊆ C si dice limitato se esiste K > 0 tale che |z| ≤ K, Caccioppoli” Scuolaper Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ogni z ∈ E. Geometricamente, E `e limitato se e solo se esiste un cerchio di 2013-2014 Luigi Greco di contiene. Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle centroDipartimento l’origine che lo Un insieme chiuso e“Renato limitato si dice compatto. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Sia E ⊆ C. Un punto z0 ∈ E si dice interno ad E se esiste un suo intorno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi contenuto in E, cio`e esiste r > 0 tale che D(z0 ; r) ⊂ E. Ad esempio, in un Universit` di Napoli “Federicoinsieme II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato aperto ogni punto `e interno. L’insieme dei punti interni ad E si indica Caccioppoli” Scuolacon Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ˚ E. Un punto z0 ∈ C si dice esterno ad E se `e interno al complementare, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di che Matematica “Renato Scuola Politecnica e delle cio`e esiste r > 0 tale D(z0 ; r) ∩e EApplicazioni = ∅. Un punto z0 ∈ Caccioppoli” E si dice isolato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento se possiede un intorno nel quale non cadono altri punti di E, vale a dire, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi appartiene ad E ed `e esterno a E − {z0 }. di Napoli “Federico II”Un Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato punto z0 ∈ C si dice di accumulazione per E ⊆ C se in ogni suo inCaccioppoli” Scuolatorno Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cadono punti di E distinti da esso. Intuitivamente, z0 di accumulazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 22 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”nell’insieme Scuola Politecnica e odelle Scienze arbitradi Base Universit` a degli Studi per E significa che, muovendosi E, ci si pu` avvicinare di Napoli “Federicoriamente II” Annoa Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z0 , ma rimanendo a distanza positiva da esso. Osserviamo che le Caccioppoli” Scuoladue Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico propriet` a: z0 ∈ E; z0 di accumulazione per E; sono indipendenti tra loro. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Un punto di E chedinon sia di accumulazione per “Renato l’insiemeCaccioppoli” `e punto isolato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento dell’insieme. L’unione di E con l’insieme dei suoi punti di accumulazione Luigi si di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dice chiusura di E: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ¯ = {z ∈ C : z ∈ E o z di accumulazione per E} . Caccioppoli” Scuola Politecnica E e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La nozione di puntodi di Matematica accumulazione si applica anche al punto all’infinito ∞, ` immediato Scienze di Base Universit` degli definiti Studi digliNapoli II” Anno Accademico 2013-2014 essendoa stati intorni“Federico di tale punto. E verificare che Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∞ di accumulazione per E ⇐⇒ E non limitato. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle complesse Scienze di Base Universit` a degli Studi Una di Napoli “Federico 6.1. Funzioni di variabile complessa. funzione com- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di aMatematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle plessaDipartimento `e una funzione valori in C; una funzione di “Renato variabile Caccioppoli” complessa `e una Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento funzione definita in un sottoinsieme di C.II”Pertanto, una funzione complessa di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di variabile complessa `e una funzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f : Ω ⊆ C → C. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Spesso scriveremo wdi=Matematica f (z), z ∈ Ω. eDal punto di vista insiemistico, assegna2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle re una funzione complessa di variabile complessa equivale ad assegnare Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014una Luigi Greco Dipartimento funzione complessa due variabili Scuola reali, o Politecnica una coppia edidelle funzioni realidi di Base due Universit` di Matematica e Applicazioni “RenatodiCaccioppoli” Scienze a degli Studi reali. In effetti, 2013-2014 scrivendo zLuigi = x+j y e wDipartimento = u+j v in forma algebrica, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicovariabili II” Anno Accademico Greco di Matematica Caccioppoli” Scuolaabbiamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di =Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle (6.1) Dipartimento w = f (z) f (x, y) = (u(z), v(z)) = (u(x, y), v(x,Caccioppoli” y)) . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Siano assegnati f : Ω ⊆ C → C, z0 punto di accumulazione per Ω e l ∈ C. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Diremo che l `e il limite di f in z0 , o anche che f (z) converge a l per z tendente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a z0 , e scriveremo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico l = limdif (z) , o anche f (z) → “Renato l per z →Caccioppoli” z0 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle z→z0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento se vale la ben nota condizione: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi L) comunque si fissi un 2013-2014 intorno I di l, `e Greco possibile trovare un intorno J di z0 , e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Dipartimento di Matematica che i valori assunti da fdinei punti (di Ω) ache cadono e sono“Federico distinti II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolatale Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli StudiindiJNapoli da z appartengano a I. 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Tenendo gli intorni di un finito sono2013-2014 i cerchi con Scienze di Base Universit` a degli presente Studi di che Napoli “Federico II” punto Anno al Accademico Luigi Greco Dipartimento centro in tale punto, possiamo riscrivere la definizione di limite come di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze segue: di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Dipartimento e Applicazioni “Renato ∀ε >Accademico 0 , ∃δ > 0 2013-2014 : (z ∈ Ω , Luigi 0 < |zGreco − z0 | < δ) ⇒ |f (z) −dil| Matematica < ε. Caccioppoli” ScuolaRicordiamo Politecnicache, e delle di Napoli “Federico II” Anno Accademico per Scienze parlare di di Base limiteUniversit` di f in az0degli , nonStudi occorre che la funzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sia definita nel punto e che, anche se z0 ∈ Ω, l’esistenza del limite e l’eventuale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento valore di questo sono indipendenti da f (z0 ). Si estendono facilmente tutte Luigi le di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi propriet` a del limite note nel caso delle funzioni reali di variabile reale, nelle di Napoli “Federicoquali II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato non intervenga l’ordinamento di R: cos`ı, ad esempio, valgono l’unicit`a Caccioppoli” Scuoladel Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico limite, i teoremi sul limite di somma, prodotto, rapporto. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco 6. Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle AMPLIAMENTO DEL CAMPO COMPLESSO. ELEMENTI DI Caccioppoli” TOPOLOGIA 23 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 6.2. Caccioppoli” ConsiderandoScuola la funzione z ∈ Ωe 7→ |f (z)| che assume di Napoli “Federicovalori II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato reali non-negativi, `e facile mostrare la seguente versione del teorema Caccioppoli” Scuoladella Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico permanenza del segno: se il limite l di f in z0 `e diverso da zero, esiste 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle un intorno di z0 nel di quale, escluso alepi` u il punto z0 ,“Renato la funzione assume valori Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diversi da zero. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi propriet` a `e2013-2014 la seguente. Scritti z0Dipartimento = x0 + j y0 edil = µ + j ν in e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Un’altra Anno Accademico Luigi Greco Matematica algebrica, con Scienze riferimento alla Universit` (6.1), risulta Caccioppoli” Scuolaforma Politecnica e delle di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae µ Applicazioni = lim “Renato u(x, y)Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (x,y)→(x 0 ,y 0) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (6.2) l = lim f (z) ⇐⇒ ν = Politecnica lim v(x, y) Scienze di Base Universit` z→z  0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle a degli Studi (x,y)→(x0 ,y0 ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato facile conseguenza delle adisuguaglianze Caccioppoli” ScuolaL’equivalenza Politecnica e(6.2) delle`eScienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle |µ − u| ≤“Federico |l − f | ≤ II” |µ −Anno u| + Accademico |ν − v| . Scienze di Base Universit` a degli Studi |ν di−Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento v| di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi definizione di limite data inLuigi termini di Dipartimento intorni si estende al caso del e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”La Anno Accademico 2013-2014 Greco di Matematica infinito.e delle In questo caso diremo che ∞a`edegli il limite in z0 , “Federico o anche II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolalimite Politecnica Scienze di Base Universit` Studididif Napoli che f (z) diverge per z → z , e scriveremo ∞ = lim f (z). Ricordando come 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z→z 0 sono fatti gli intorni punto“Federico all’infinito, che divergenza significa Scienze di Base Universit` a degli Studi didel Napoli II” vediamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che vale la condizione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∀K > 0 , ∃δ > 0 : (z ∈ Ω , 0 < |z − z0 | < δ) ⇒ |f (z)| > K , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ovvero ancora che |fdi| diverge positivamente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Se ∞ ` e di accumulazione per Ω, cio` e l’insieme non `e limitato, si d`a Luigi la Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento ` definizione di limite nel punto all’infinito. chiaro chee fdelle (z) converge ∈ C Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola E Politecnica Scienze adil Base a degli Studi → ∞,Accademico l = lim f (z), significaLuigi che vale la condizione di Napoli “Federicoper II”z Anno 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z→∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∀ε > 0 , ∃M > 0 : (z ∈ eΩ ,Applicazioni |z| > M ) ⇒“Renato |f (z) − l|Caccioppoli” < ε. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Analogamente, facilmente si vede che ∞ II” = lim f (z) significa che z→∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∀K > 0 , ∃M > 0 : (z ∈ Ω , |z| >M ) ⇒ |f (z)| > di K Matematica . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellelimite, Scienze di Base Universit` Studi di fNapoli “Federico Se f ammette finito o infinito, in az0degli , si dice che `e regolare nel II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle punto. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Siano f : Ω → C e z0 ∈ Ω. La funzione f si dice continua in z0 se di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∀ε >Accademico 0 , ∃δ > 0 :2013-2014 (z ∈ Ω , |z − z0Greco | < δ) Dipartimento ⇒ |f (z) − f (z0di)| Matematica < ε. di Napoli “Federico II” Anno Luigi e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaTale Politecnica e delle di BaseseUniversit` a degli Studidi di Ω. Napoli condizione valeScienze banalmente z0 `e punto isolato Se “Federico z0 `e di II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematicasignifica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle accumulazione, essadichiaramente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f (z0 ) Scuola = lim fPolitecnica (z) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z→z0 di Napoli “Federico II”Un Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato caso particolare di funzioni `e quello delle successioni. Una succesCaccioppoli” Scuolasione Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a termini complessi `e una funzione n ∈ N 7→ zn ∈ C. Usualmente la 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 24 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi indicheremo“Renato con di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato , . . . , zndi , . Base .. o anche acon (zn )n∈N . Caccioppoli” Scuola Politecnica ezdelle Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 , z2 Scienze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La definizione di limite si particolarizza facilmente nel caso delle successioni. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Verificare la convergenza in base alla definizione richiede la conoscendi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi za del limite. Il seguente criterio di convergenza di Cauchy fornisce una di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato caratterizzazione della convergenza, che non fa intervenire il limite. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco TEOREMA Dipartimento6.3. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle La successione (zn )n converge se e solo se ∀ε > Scuola 0, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ∃ν ∈ N: m, n > ν ⇒ |zm − zn | < ε. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi `Anno di Napoli “Federico II”E 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica facileAccademico mostrare che ogni successione convergente verifica la condizio- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolanePolitecnica ScienzeL’implicazione di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico del criterioe delle di Cauchy. inversa costituisce la propriet` a di II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento completezza di C. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 6.4. Caccioppoli” ConsideriamoScuola la successione (z ne)ndelle , per Scienze z ∈ C fissato. di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica di Base Universit` a degli Studi ` subito visto per |z| < 1 la successione `e infinitesima, cio`e converge a 0. di Napoli “FedericoEII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato effetti, risulta |z nScienze | = |z|ndi ed `e noto che aladegli successione n “Federico 7→ ρn `e II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaInPolitecnica e delle Base Universit` Studi direale Napoli infinitesima per 0 ≤diρMatematica < 1. Analogamente, la successione divergente per 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato `eCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle |z| > 1. Per z = 1 la successione vale costantemente 1. Per |z| = 1, ma Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z 6= 1, la successione non `e regolare. Infatti la successione `e limitata, quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Inoltre, di Napoli “Federiconon II” diverge. Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze n+1 di BasenUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (6.3) |zn+1 − zn | = |z − z | = |z n (z − 1)| = |z − 1| > 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli di“Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento quindi anon vale la condizione Cauchy eII” la Anno successione non converge. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a termini complessi. che il concetto di serie si e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”6.2. AnnoSerie Accademico 2013-2014 Luigi Ricordiamo Greco Dipartimento di Matematica pere estendere l’operazione di addizione agliStudi infiniti termini“Federico di una II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaintroduce Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli successione. Assegnata una successione complessa (z ) , la serie n n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (6.4) zn di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi n=1 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico indicaDipartimento formalmente di la corrispondenza che associa alla (zn )n laCaccioppoli” sua successione 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle delle somme parziali (s ) , definita ponendo n n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato delle di Base Universit` a degli Studi s1 = z1 , Caccioppoli” s2 = z1 + z2Scuola , . . . , Politecnica sn = z1 + · ·e· + zn ,Scienze ... di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato serie si dice convergente a seconda taledirisulti succes- II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaLaPolitecnica e delle Scienze odidivergente, Base Universit` a degli che Studi Napolila“Federico sione Dipartimento (sn )n . Nel caso di convergenza, il limite della successione delle som2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle me parziali dice somma della serie; per che s = lim2013-2014 sn , si scrive Scienze di Base Universit` a deglisi Studi di Napoli “Federico II”indicare Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento +∞ X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = Anno zn . Accademico La serie si dice indeterminata (o oscillante) se (sndi)nMatematica non `e rego- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicos II” 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n=1 Caccioppoli” Scuolalare. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Si dice carattere della serie la propriet` a dia essere convergente, divergente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco 6. Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle AMPLIAMENTO DEL CAMPO COMPLESSO. ELEMENTI DI Caccioppoli” TOPOLOGIA 25 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base a degli Studi ` ben o indeterminata. E noto che condizione necessariae per la Scienze convergenza di Universit` di Napoli “Federicouna II” serie Anno`e Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che il termine generale sia infinitesimo: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zn `e convergente ⇒ lim zn = 0 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n=1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi non `e sufficiente. AdLuigi esempio, la Dipartimento serie armonicadi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoLaII”condizione Anno Accademico 2013-2014 Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ X 1 1 e Applicazioni 1 1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica = 1 + + + ··· + + ··· n 2 3 II” Anno n Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi din=1 Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diverge, pur essendo infinitesimo il termine generale. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Data la serie complessa (6.4), scrivendo zn = xn + j yn in forma algebrica, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ +∞ X X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle possiamo considerare le due serie reali xn e yn . Inoltre, per quanto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicon=1 II” Annon=1 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnicaseee delle Scienze di Base Universit` a degli Studi detto `e chiaro che la serie di partenza `e convergente solo se tali risultano di Napoli “Federicoqueste II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ultime; in caso di2013-2014 convergenza, vale l’uguaglianza ! Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a+∞ degli ! Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ +∞ X X “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diX Matematica e Applicazioni zn = xn + j yn . Scienze di Base Universit` a degli Studi din=1 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n=1 n=1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi criterio di convergenza di Cauchy 6.3) pu`o essere riformulato e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”IlAnno Accademico 2013-2014 Luigi (teorema Greco Dipartimento di Matematica le serie. Ae tale ricordiamo che, datia n, k ∈Studi N, si di dice resto “Federico parziale II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaper Politecnica dellescopo, Scienze di Base Universit` degli Napoli della serie (6.4) di indici n e k l’espressione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di zNapoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento rn,k = n+1 + zn+2 + · · · + zn+k = sn+k − sn . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco eDipartimento di Matematica 6.5. Condizione necessaria sufficiente affinch´ e la serie e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(6.4) Politecnica delle di Napoli “Federico II” Anno Accademico convergae ` e che Scienze ∀ε > 0,di∃νBase ∈ N:Universit` ∀n > ν ae degli ∀k ∈ Studi N, risulti |rn,k | < ε. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle DEFINIZIONE Si dice che la serie (6.4) converge assolutamente se Scienze di Base Universit` a degli Studi di6.6. Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi risulta convergente la serie dei moduli |zn |. Quest’ultima `e una serie a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n=1 Caccioppoli” Scuolatermini Politecnica e delle Scienze Universit` a deglinon Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico non-negativi e quindidioBase converge o diverge, `e indeterminata. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle PROPOSIZIONE 6.7. Una serie assolutamente convergente `e converScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento gente. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La serie armonica a segni alterni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica (−1)n−1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 1 1 e Applicazioni + ··· 1 − + − + ··· + Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno 2 3 “Federico 4 n Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dipreceBase Universit` a degli Studi `e convergente, ma non assolutamente convergente; dunque il risultato di Napoli “Federicodente II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato non si inverte. Una serie che converge, ma non assolutamente, `e detta Caccioppoli” Scuolasemplicemente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico convergente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 26 I. IL CAMPO COMPLESSO “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 6.8. Caccioppoli” Sia z ∈ C fissato. La Politecnica serie di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X Caccioppoli” Scuola(6.5) Politecnica e delle Scienze a degli n di Base Universit` 2 n Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z = 1 + z + z + ··· + z + ··· 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento din=0 Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (per z = 0, poniamo 00 = 1) si dice serie geometricae di ragione z. La suc- Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato qui Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi n cessione del termine generale ` e (z ), considerata nell’esempio 6.4. Il carattere di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato serie geometrica dipende dalla Universit` ragione z. Evidentemente, per z“Federico = 1 la II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladella Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli serie diverge. Per z = 6 1, consideriamo le somme parziali 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 Anno Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 1 − z n+1 Luigi Greco Dipartimento (1 + z + zII” + · · · + z n ) (1 − z) 2013-2014 = . sn = 1 + z“Renato + z 2 + · Caccioppoli” · · + zn = di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi 1−z 1 −di z Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Dobbiamo esaminare il comportamento di (sn ) per n → +∞. Risultando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico lim z n+1 = 0 per |z| < 1, per tali z la serie converge: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi X 1 , ∀z ∈ C, con |z| < 1 . zn = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 1 − z Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` n=0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaInPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli`e“Federico effetti, la convergenza `e assoluta, in quanto la serie deidimoduli la serie II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di |z| Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle geometrica di ragione < 1, che converge. Scienze di Base Universit` a degli Studi risultando di Napoli “Federico II”per Anno Accademico Greco Dipartimento Analogamente, lim z n = ∞ |z| > 1, per tali 2013-2014 valori di z Luigi la di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi serie diverge“Renato (nel campo complesso). di Napoli “Federico II”Resta Annoda Accademico di Matematica considerare2013-2014 il caso |z|Luigi = 1, Greco ma z 6=Dipartimento 1. In tali punti la serie non e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolapu` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico o convergere, poich´ e il termine generale non `e infinitesimo. D’altra parte, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” la serie non diverge,diessendo la successione delle somme parziali limitata: Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli n+1 “Federico II”n+1 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento |1 − z | 1 + |z | 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle a degli Studi |sn |Caccioppoli” = ≤ = . Scienze di Base Universit` |1 − z| Luigi|1Greco − z| Dipartimento |1 − z| di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato la serie `e indeterminata. Caccioppoli” ScuolaPertanto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento A. Serie a termini non-negativi. Criteri di convergenza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola P Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a detto, la 2013-2014 serie dei moduli |znDipartimento | `e una serie di a termini non- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Come Anno gi` Accademico Luigi Greco Matematica quindi nonScienze indeterminata. Richiamiamo alcuni criteri “Federico di con- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolanegativi, Politecnica e delle di Base Universit` a degliqui Studi di Napoli vergenza per le serie a termini non-negativi, che forniranno altrettanti criteri 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di convergenza assoluta per le serie complesse (6.4), quindi di convergenza in Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento base alla proposizione 6.7. I criteri seguenti sono stabiliti per confronto. Siano di Matematica e Applicazioni a degli Studi P P “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` anAnno e bAccademico termini non-negativi. Se vale la relazione an ≤ bn , e Applicazioni “Renato n due serie a2013-2014 di Napoli “Federico II” Luigi Greco Dipartimento di Matematica ∈ N (o anche solo per n di abbastanza grande), la prima serie si dice mag- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola∀nPolitecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico giorata dalla seconda, o la seconda minorata dalla prima. Evidentemente, in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle questo caso valgono le implicazioni: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle a degli Studi bn converge Scuola ⇒ an converge ; Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 2013-2014 Luigi Greco X Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato an diverge ⇒ diverge . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` abndegli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle A. SERIE A TERMINI NON-NEGATIVI. CRITERI “Renato DI CONVERGENZA 27 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento P Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle a degli Studi PROPOSIZIONE A.1 (Criterio del Politecnica rapporto). eSia an una serie a di Napoli “Federicotermini II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato positivi, tale che il limite Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Basean+1 Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico l = lim e Applicazioni ∈ [0, +∞] “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica n an Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento esista. Se risulta l < 1, la serie converge. Se risulta l > 1, la serie diverge. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi P Scienze di Base Universit` A.2 (Criterio radice). Sia adi una serie a e Applicazioni “Renato n Matematica di Napoli “Federico II”PROPOSIZIONE Anno Accademico 2013-2014 Luigidella Greco Dipartimento non-negativi, tale che limite Caccioppoli” Scuolatermini Politecnica e delle Scienze di ilBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni l = lim an ∈ [0, +∞] “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento esista. Se risulta l < Caccioppoli” 1, la serie converge. risulta l > 1, la serie diverge. di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Se Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Nel Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato caso l = 1 entrambi i criteri non sono applicabili. Il criterio della Caccioppoli” Scuolaradice Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e pi` u generale di quello del rapporto, in quanto si prova l’implicazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle an+1 e Applicazioni√ an . ⇒ II” l =Anno lim nAccademico (A.1) a degli Studi dil = lim “Federico Scienze di Base Universit` Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n n an di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi PROPOSIZIONE A.3 (Criterio dell’integrale). Sia di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [1, +∞[→ [0, +∞[ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze ϕdi: Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P+∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni una funzione decrescente. La convergenza della serie“Renato n=1 ϕ(n) equivale alla Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico sommabilit` a della funzione ϕ su [1, +∞[.II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nozione di sommabilit` torneremo capitolo VII. Scegliendo e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Sulla Anno−p Accademico 2013-2014a Luigi Greco nel Dipartimento di Matematica = t , econ > 0, vediamo che la serie armonica di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaϕ(t) Politecnica dellep Scienze di Base Universit` a degli Studi digeneralizzata Napoli “Federico esponente p 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 1 1 Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (A.2) a degli Studi di Napoli 1 + p “Federico + p + · · II” · + Anno + · Accademico ·· 2 3 Scuola Politecnica np di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e solo se p 2013-2014 > 1. A tale nonDipartimento `e applicabilediilMatematica criterio del e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoconverge II” AnnoseAccademico Luigiserie Greco n´e quello radice, poich´ e il limite da studiare 1. “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolarapporto, Politecnica e delle della Scienze di Base Universit` a degli Studi divale Napoli 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle A.4. Il caso della divergenza `e chiaro per confronto, poich´ e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento per p < 1 la serie `e minorata dalla serie armonica (p = 1). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi confronto con la2013-2014 (A.2), si Luigi ottiene il seguente criteriodidell’ordine di e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Per Anno Accademico Greco Dipartimento Matematica Caccioppoli” Scuolainfinitesimo. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P 2013-2014 Luigi Greco PROPOSIZIONE Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle A.5. Sia data an una serie a termini non-negativi. Scienze di Base Universit` degli Studi di NapoliK“Federico Anno Greco Dipartimento (a) Se aesistono due costanti > 0 e p >II” 1 tali cheAccademico risulti an ≤2013-2014 K n−p perLuigi n di Matematica e Applicazioni “RenatolaCaccioppoli” Scuola e delle Scienze a degli Studi abbastanza grande, serie converge. (b) Politecnica Se esiste una costante K >di0 Base tale Universit` di Napoli “Federicoche II”per Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato n abbastanza grande risultiLuigi an ≥ Greco K n−1 ,Dipartimento la serie diverge. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Nel caso (a) dell’enunciato precedente, si dice che an `e infinitesimo di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato−1Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ordine non inferiore a p (rispetto all’infinitesimo campione n ), per n → +∞; Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento per intendere ci` o, si scrive an = O(n−p ) (che si legge “an `e o grande di n−p ”). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi P A.6. Se an `e una serie a termini non-negativi convergen- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”ESERCIZIO AnnoPAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica anche aepn delle risulta convergente, > 1. a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolate,Politecnica Scienze di Base ∀p Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CAPITOLO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” II Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Funzioni analitiche Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Funzioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaolomorfe Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Siano AnnoΩAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato un aperto di C, f : Ω → C e z0 ∈ Ω. Essendo Ω aperto, per ∆z ∈ Caccioppoli” ScuolaCPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di modulo sufficientemente piccolo, risulta z0 + ∆z ∈ Ω e quindi possiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ∆f e Applicazioni “Renato f (z0 + ∆z) − f (z0 )Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle =II” Anno Accademicoper ∆z → 0. Luigi Si esaminare il rapporto Scienze di Base Universit` a degli Studi diincrementale Napoli “Federico 2013-2014 Greco Dipartimento ∆z ∆z dice che f `e “Renato derivabile, o olomorfa, Scuola in z0 se Politecnica il rapporto eincrementale converge, di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e esiste di Napoli “Federicocio` II” Anno finito Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z0 + ∆z) − fa(zdegli 0) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico limdi Base Universit` ∆z→0 ∆z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In questo casoStudi il limite si chiama derivata di f inAccademico z0 e si denota con uno Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento d 0 di Matematica e Applicazioni Politecnicaquindi, e delle laScienze di Base a degli Studi dei simboli f“Renato (z0 ), DfCaccioppoli” (z0 ), f (z0Scuola ). Formalmente, condizione di Universit` dz di Napoli “Federicoderivabilit` II” Annoa Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e identica a quella per le funzioni di variabile reale. Come vedreCaccioppoli” Scuolamo, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a differenza di quanto accade per queste ultime, la derivabilit`a in campo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle complesso `e una condizione estremamente forte. Cominciamo col dimostrare Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento la seguente caratterizzazione. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.1. La funzione Luigi f = fGreco (z) `e olomorfa in z0di= Matematica x0 + j y0 se e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento solo se f =e fdelle (x, y)Scienze `e differenziabile in (x0 ,ay0degli ) e soddisfa condizione di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolae Politecnica di Base Universit` Studi dilaNapoli “Federico Cauchy-Riemann: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂f “Federico 1 ∂f Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.1) (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi ∂x j ∂yPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “FedericoInII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato tal caso, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∂f 1 ∂f 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f 0 (z (x0 ,eyApplicazioni (x0“Renato , y0 ) . 0) = 0) = ∂y Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli∂x “Federico II”j Anno Ricordiamo che f Caccioppoli” (x, y) `e differenziabile in (x0 , y0 ) see nel punto `e derivabile di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi rispetto ad2013-2014 entrambe Luigi le variabili denotato condi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoparzialmente II” Anno Accademico Grecoe,Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂f ∂f di Napoli “Federico II” Anno Accademico df = df (x0 ,di y0 )Matematica : (∆x, ∆y) 7→ (x0 , y0 ) ∆x“Renato + (x0 , y0 ) ∆y 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni ∂x ∂y Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento il differenziale totale di f , risulta ∆f = df + o(∆z) per ∆z = ∆x + j ∆y → 0, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cio`e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∆f − df Caccioppoli” Scuola(1.2) Politecnica e delle Scienze dilim Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = a0 degli . ∆z→0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e ∆z Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 28 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle 1. FUNZIONI OLOMORFE “Renato Caccioppoli” Scuola 29 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di aBase a degli Studi Dim. (del teor.“Renato 1.1) Supponiamo che f sia derivabile e mostriamo la differenziabilit` e la Universit` Facciamo tendere ∆z a2013-2014 0 per valori Luigi reali, cio` e prendiamo ∆z = ∆x reale: chiaramente e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(1.1). II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica rapporto incrementale converger` a f 0 (z0 ). Essendo Caccioppoli” Scuolail Politecnica e delle Scienze dia ancora Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z + ∆z) − f (z ) f (x f (x0 , y0 ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Matematica 0 0 + ∆x, y0 ) − “Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di e Applicazioni = , ∆z ∆x Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 la f (x, y) ` e derivabile rispetto a x e risulta fx (x0 , y0 ) = f (z0 ). Ragioniamo analogamente, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e adelle Scienze di Base a degli Studi dando a ∆z valori immaginari, ∆z = j ∆y, con ∆yPolitecnica reale tendente 0; anche in questo caso Universit` 0 (z ). Poich´ limite sar` a fAccademico e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoil II” Anno 0 f (z0 + ∆z) − fdi (z0Base ) 1Universit` f (x0 , y0 +a∆y) − fStudi (x0 , y0di ) Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze degli = , ∆z ∆y “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ej Applicazioni troviamo derivabile rispetto a“Federico y e soddisfacente l’uguaglianza Scienze di Base Universit` a fdegli Studipure di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi (1.3) fy (x0 , y0 ) = f (z0 ) = fx (x0 , y0 ) , e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico j2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la (1.1). Resta da mostrare la (1.2). A tale scopo osserviamo che, esprimendo Caccioppoli” Scuolaquindi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∆z = ∆x + j ∆y in forma algebrica, mediante la (1.1) possiamo riscrivere il differenziale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle come segue Scienze di Base Universit` a degli Studi df = fdi + fy (x0 , y0II” ) ∆yAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x (xNapoli 0 , y0 ) ∆x“Federico (1.4) fy (x0 , y0Politecnica ) j ∆y = fx (xe = fxCaccioppoli” (x0 , y0 ) ∆x + 1j Scuola 0, y 0 ) ∆z Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato delle a degli Studi di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi per la (1.3) Caccioppoli” Scuola Politecnica e∆fdelle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∆fBase Universit` − dfScienze di = lim − fx (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) − fx (x0 , y0 ) = 0 , lim ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆z di Matematica 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle come volevamo. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Proviamo ora l’olomorfia di f in z0 , supponendo la differenziabilit` a e la condizione di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi di Cauchy-Riemann (1.1).Caccioppoli” Osserviamo che possiamo esprimere e il differenziale mediante la Universit` cio` e df Accademico = fx (x0 , y0 ) ∆z, poich´ e questa stata ricavata da (1.1).diQuindi, usando e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(1.4), II” Anno 2013-2014 Luigi `eGreco Dipartimento Matematica di differenziabilit` a, abbiamo Caccioppoli” Scuolal’ipotesi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∆f − df ∆f 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni Scuola Politecnica e delle = fx (x0 , y0 ) + elim = f“Renato 0, lim di Matematica x (x0 , y0 ) +Caccioppoli” ∆z→0 ∆z→0 ∆z ∆z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento vale a dire, il rapporto incrementale converge, cio` ef ` e olomorfa in z0 , la derivata essendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi fx (x0 , y0 ). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Diremo che f `e olomorfa in Ω se risulta olomorfa in ogni punto di Ω. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Possiamo allora considerare la funzione derivata f 0 : z ∈ Ω 7→ f 0 (z) ∈ C. In 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle questo caso, la condizione di Cauchy-Riemann `e un’identit`a in Ω: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 fx (x, y) 2013-2014 = fy (x, y) , Greco ∀z =Dipartimento x + j y ∈ Ω , di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(1.5) II” Anno Accademico Luigi j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle il valore comune essendo f 0 (z). Per equanto riguarda“Renato la condizione di differenScienze di Base Universit` aa,degli Studi di “Federico sufficiente II” Anno Accademico ziabilit` ricordiamo cheNapoli una condizione `e f ∈ C 1 (Ω).2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.2. Verifichiamo in Dipartimento C della funzione di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 l’olomorfia Luigi Greco di esponenziale Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z) = di exp(z) = exp(x e+ Applicazioni j y) = ex (cos“Renato y + j sinCaccioppoli” y) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In effetti, f “Renato `e differenziabile poich´eScuola di classe C 1 . Inoltre di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato fx (z) = e (cos y + j sin y) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico fy (z) = ex (− sin y + j cos y) = j ex (cos y + j sin y) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 30 II. FUNZIONI ANALITICHE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e Pertanto, delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dunque f verifica la Caccioppoli” condizione diScuola Cauchy-Riemann. la funzione di Napoli “Federicoesponenziale II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e olomorfa in C e risulta ∀z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico d e zApplicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e = ez . dz Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Analogamente, possiamo verificare Scuola l’olomorfia in C della potenza z n , di n ∈Base N, Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze a degli Studi n n−1 la formula per la derivata D z =Luigi n z Greco . di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Non `e invece olomorfa, essendo di classe C ∞ (R ), la f (z) = II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzepur di Base Universit` a degli Studi di funzione Napoli “Federico z¯ = xDipartimento − j y, in quanto non soddisfaelaApplicazioni condizione di“Renato Cauchy-Riemann, risul2013-2014 Luigi Greco di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 f = −1. tando faxdegli = 1, Studi Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y j di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi funzione olomorfa in C si dice intera; per quanto visto, tali e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Una Anno Accademico 2013-2014 Luigifunzione Greco Dipartimento di Matematica l’esponenziale e la potenza. Caccioppoli” Scuolarisultano Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Come accennato, l’olomorfia condizione“Renato di estrema regolarit`a; Scuola le 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica`e euna Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle considerazioni seguenti mirano ad illustrare questo punto. Un risultato emScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento blematico `e “Renato il seguente teorema di Goursat, che qui ci limitiamo ad enunciare. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1.3. La derivata di una funzione olomorfa in un aperto Ω `e Caccioppoli” Scuolaanche Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico essa olomorfa in Ω. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il teorema assicura che f 0 `e“Federico derivabile,II” cio` e f `e dotata di derivata seconda; Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 il teorema si pu` o quindi applicare a f , provando cos` ı che f ha la di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzederivata di Base Universit` a degli Studi Iterando il ragionamento, che Dipartimento una funzione di olomorfa in Ω, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoterza. II” Anno Accademico 2013-2014 vediamo Luigi Greco Matematica e dotata diederivata primadinelBase campo complesso, `e in realt` Caccioppoli” Scuolacio` Politecnica delle Scienze Universit` a degli Studi dia indefinitamente Napoli “Federico II” Anno Accademico ∞ derivabile e di classe C (Ω). Questa propriet` a ` e certamente sorprendente, Scuola in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle confronto a quanto accade per le funzioni di variabile reale. Per illustrare Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ulteriormente la condizione di olomorfia, di Cauchydi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolariscriviamo Politecnical’uguaglianza e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Riemann. Esprimiamo f (x, y) = u(x, y) + j v(x, y) in forma algebrica; dunque e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e v sono funzioni in Ω. La derivabilit` aaparziale di fdiequivale a quella II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolau Politecnica e delle reali Scienze di Base Universit` degli Studi Napoli “Federico delle due funzioni u e v e risulta f = u + j v , f = u + j v . Pertanto la x x y“Renato y y 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica xe Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.5) diviene Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato uCaccioppoli” a degli Studi uy + vy = −j uy + vy x + j vx = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014j Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolae,Politecnica di Base Universit` a degli Studi di Napoli(1.5) “Federico separando eildelle realeScienze dall’immaginario, esprimiamo l’uguaglianza tra II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renatotra Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle quantit` a complesse di mediante il sistema di due uguaglianze quantit`a reali  Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x = vy Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” uScuola a degli Studi (1.6) u y = −v x di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle1.4. Scienze di Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESERCIZIO Ricavare dalleUniversit` (1.6) le auguaglianze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂(u, v) ux uy“Federico 2 Anno 2 Accademico 2 0 22013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` = u2x + II” (1.7) a degli Studi=di Napoli y = vx + vy = |f (z)| . ScuolauPolitecnica v v ∂(x, y) x y di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Usando Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato le condizioni di Cauchy-Riemann (1.6), `e facile mostrare la seCaccioppoli” Scuolaguente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle 1. FUNZIONI OLOMORFE “Renato Caccioppoli” Scuola 31 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di funBase Universit` a degli Studi PROPOSIZIONE 1.5. Sia f Scuola olomorfa nell’aperto connesso Ω. La di Napoli “Federicozione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f risulta costante in ciascuna delle seguenti ipotesi: (a) f `e reale; (b) f Caccioppoli” Scuola`e Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico immaginaria; (c) |f | `e costante; (d) arg f `e costante. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Dim. (a) In effetti, che f “Federico = u + j v abbia valori Accademico reali significa 2013-2014 v ≡ 0 e quindi Scienze di Base Universit` a degli Studil’ipotesi di Napoli II” Anno Luigi Greco Dipartimento (1.6) implicano che u ha gradiente nullo in Ω, pertanto ` e costante. Analogamente (b). La di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2 2 condizione in (c) ` e u + v = k costante. La conclusione ` e banale se k = 0: supponiamo Universit` di Napoli “Federicoquindi II” Anno 2013-2014 GrecoleDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k > 0. Accademico Derivando rispetto a x e a Luigi y, otteniamo uguaglianze  Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base u ux Universit` + v vx = 0a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (1.8) u uye+Applicazioni v vy = 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Questo,aper ogniStudi punto di z =Napoli x + j y “Federico ∈ Ω fissato,II” pu` oAnno essere Accademico interpretato come un sistema Scienze di Base Universit` degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lineare nelle due incognite u = u(x, y) e v = v(x, y), il cui determinante dei coefficienti ` e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (1.7). Essendo |f (z)| > 0, il sistema ha una soluzione non banale e il determinante ` e nullo, di Napoli “Federicoquindi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica sono nulle in ogni punto di Ω le derivate delle funzioni u e v, chedi dunque risultano e Applicazioni “Renato (d) I evalori f giacciono su una fissata semiretta uscente quindi II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolacostanti. Politecnica dellediScienze di Base Universit` a degli Studi didall’origine, Napoli “Federico esistono a, b ∈ R, non entrambi nulli, tali che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a u(x, y) + b v(x, y) = 0 , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento per ogni (x, y) ∈ Ω. La tesi si ottiene allora similmente al caso (c), osservando che il di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaproporzionali. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi determinante in (1.7) ` e nullo, avendo le colonne di Napoli “Federico II”Geometricamente, Anno Accademiconei 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato casi (a), (b) e (d) i valori assunti dalla funzione f Caccioppoli” Scuolaappartengono Politecnica e ad delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico una retta, nel caso (c) essi sono su una circonferenza. Pi` u 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Politecnica e delle in generale, si mostra che, essendoe fApplicazioni olomorfa in “Renato un aperto connesso, seScuola i Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento valori di f appartengono ad una linea unidimensionale del piano, la funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi `e costante. di Napoli “Federico II”Valgono Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato regole di derivazione per somma, prodotto, rapporto, funzione Caccioppoli” Scuolacomposta, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzione inversa, formalmente identiche a quelle nel caso delle fun2013-2014 Luigi Greco di Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle zioni Dipartimento di variabile reale. Ad esempio,eseguendo le notazioni delCaccioppoli” paragrafo I.5.2, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento fissando nell’insieme Aϑ0 una determinazione di log z, otteniamo una funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi olomorfa e risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato d Luigi Greco 1 log z = . a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base dz Universit` z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento alla di Matematica Applicazioni “Renato Politecnica e delle Conseguentemente scelta della edeterminazione di log z, Caccioppoli” dato α ∈ C, Scuola in Scienze di Base Universit` a degli una Studi di Napoli “Federico II”della Annopotenza Accademico 2013-2014 Aϑ0 abbiamo determinazione olomorfa z α = exp(α log z):Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi zα d α Scuola z = Luigi α z α−1Greco = α Dipartimento . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato dz z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Funzioni di armoniche. un aperto di R2 . 2013-2014 Luigi Greco 1.1. Dipartimento MatematicaSia e Ω Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento DEFINIZIONE 1.6. Si dice che una funzione u definita in Ω `e armonica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nell’aperto se `e di classe C 2 (Ω) e soddisfa identicamente la condizione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∂ 2 Universit` ∂ 2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base (1.9) ∆u = u + u = 0. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂x2e Applicazioni ∂y 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Il simbolo ∆ denota l’operatore di Laplace (talvolta indicato anche con di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2 ∇ ), che applicato alla funzione u `e la somma delle derivate seconde pure; la Universit` di Napoli “Federico(1.9) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato prende il nome di equazione di Laplace e (insieme alla condizione che Caccioppoli” ScuolalePolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico derivate seconde siano continue) definisce le funzioni armoniche. Esempi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 32 II. FUNZIONI ANALITICHE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle di a) Base a degli Studi banali di funzioni armoniche sono Scuola i polinomi di grado (non Scienze superiore 1 Universit` di Napoli “FedericoinII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x e y, che hanno le derivate seconde nulle. Per mostrare altri esempi di Caccioppoli” Scuolafunzioni Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico armoniche, mettiamo in luce un fondamentale legame con le funzioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle olomorfe. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 1.7. Parte reale e coefficiente di Base una Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnicadell’immaginario e delle Scienze di a degli Studi olomorfa sono 2013-2014 funzioni armoniche. di Napoli “Federicofunzione II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaDim. Politecnica Base Universit` a teorema degli Studi di Napoli Sia f = eu delle + j v Scienze olomorfa di nell’aperto Ω. Per il di Goursat f ∈ “Federico C ∞ (Ω) e II” Anno Accademico quindiDipartimento tali risultano anche u e v. Inoltre,e vale la condizione di Cauchy-Riemann, cheScuola in 2013-2014 Luigi Greco di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle termini di u e v si scrive mediante il sistema (1.6). Derivando la prima equazione rispetto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a x, la seconda rispetto a y e sommando membro a membro, essendo le derivate seconde di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Base Universit` a degli Studi miste di v uguali per il teorema di Schwarz, troviamo uxx + uyye=delle 0 in ogni punto,diquindi ` e armonica in Ω. Analogamente possiamo ragionare v. di Napoli “Federicou II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi GrecosuDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 1.8. In virt` u della proposizione 1.7, considerando la funzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle intera f (z) = ez = ex (cos y + j sin y), troviamo le funzioni armoniche in tutto Scienze di Base Universit` a degli Studixdi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento il piano u(x, y) = e cos y, v(x, y) = ex sin y. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Essendo z 2 = (x+j y)2 = x2 −y 2 +2 j x y, troviamo le funzioni armoniche di Napoli “Federico II” Anno 2Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato u(x, y) = x − y 2 e v(x, y) = 2 x y. Pi` u in generale, parte reale e coefficiente Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dell’immaginario di f (z) = z n sono polinomi armonici omogenei di grado n. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Considerando f (z) = log z, troviamo le funzioni u(x, y) = 12 log(x2 + y 2 ), Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento armonica in R2 − {(0, 0)}, e la funzione v(x, y) = arctan(y/x), armonica in di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”2 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ciascuno dei semipiani {(x, y) ∈ R : x > 0} e {(x, y) ∈ R2 : x < 0}. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle1.9. Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico ESERCIZIO (a) Verificare direttamente in Studi base alla definizione che II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle le funzioni u e v dell’esempio 1.8 sono armoniche. “Renato (b) Sia p(x, y) = a x2 Scuola + 2 Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” 2; Anno 2013-2014 sui Luigi Greco Dipartimento b x y + ac ydegli un Studi polinomio omogeneo di grado dire Accademico sotto quale condizione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolainPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi coefficienti a, b e c esso risulta armonico R2 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Torneremo sulle funzioni armoniche nel capitolo XIII. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. Serie di potenze nel campo complesso Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Una serie di funzioni `e una serie del tipo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(2.1) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f1 + f2 + · · · + fn + · · · Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dove Dipartimento f1 , f2 , . . . sono di funzioni (a valorie complessi) definite in uno stesso insieme 2013-2014 Luigi Greco Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle E. Fissato z ∈ E, resta individuata la serie numerica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi (2.2) f1 (z) + f2 (z)Scuola + · · · +Politecnica fn (z) + · · ·e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “FedericoSeII”tale Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato serie numerica risulta convergente, diremo che la serie di funzioni Caccioppoli” Scuola(2.1) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico converge nel punto z. L’insieme (eventualmente vuoto) dei punti z ∈ E 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle nei quali la serie (2.1) converge si dice insieme di “Renato convergenza puntuale; Scuola in Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento esso risulta definita la funzione somma. La convergenza puntuale `e spesso di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi insufficiente per garantire alcune propriet`a della somma, o la possibilit`a di di Napoli “Federicoeffettuare II” Annoalcune Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato operazioni sulla serie; si introducono nozioni pi` u forti di Caccioppoli” Scuolaconvergenza. Politecnica eDiremo delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che la serie (2.1) converge totalmente in F ⊆ E se in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. SERIE DI POTENZE NEL CAMPO COMPLESSO 33 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi tale insieme “Renato `e maggiorata da una serie numerica convergente, cio`e esiste una Universit` di Napoli “Federicoserie II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato numerica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.3) Dipartimento di Matematica M1 + M2 + · · + Mn + · · ·“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco e ·Applicazioni ` chiaro che Scienze di Base Universit` a deglitale Studi Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento convergente chedi∀zNapoli ∈ F e“Federico ∀n ∈ N II” risulti |fn (z)| ≤ Mn . 2013-2014 E di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi la convergenza totale implica quella puntuale. Come accennato, l’importanza Universit` di Napoli “Federicodella II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato convergenza totale `e che essa permette di estendere alla somma di una Caccioppoli” Scuolaserie Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico alcune propriet` a dei termini della serie stessa. Ad esempio 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle PROPOSIZIONE 2.1. La somma di serie totalmente2013-2014 convergente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”una Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di funzioni continue ` e continua. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi P di Napoli “Federico II”Osservazione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.2. Per il seguito sar`a utile il risultato seguente. SeP fn Caccioppoli” Scuolaconverge Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico totalmente in F e g `e una funzione limitata in F , anche la serie gfn 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ottenuta moltiplicando ogni termine P per g converge totalmente in F . In effetti, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014per Luigi Greco Dipartimento se |g| ≤ K e P la (2.3) maggiora fn , la serie numerica (2.3) moltiplicata di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi K maggiora gfn . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Una serieedidelle potenze `e una funzioniai cui termini delle potenze, Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze diserie BasediUniversit` degli Studi sono di Napoli “Federico II” Anno Accademico cio` e una serie del tipo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ Scienze di Base Universit` a degli X Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n (2.4) an zCaccioppoli” = a0 + a1 z Scuola + a2 z 2Politecnica + · · · + an zen delle + · · · Scienze . di Matematica e Applicazioni “Renato di Base Universit` a degli Studi n=0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaLaPolitecnica delle Scienze di Base Universit` a deglisuccessione Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico successionee (a a termini complessi `e detta dei coefficienti n )n∈N 0 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle della Dipartimento (2.4). Pi` u in generale, possiamo considerare serie del tipo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli +∞ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X n di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi aScuola (2.5) n (z − z0 ) , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n=0 Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z0 un fissato punto complesso; z0 si dice punto iniziale della serie. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di caso Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Poich´ e i risultati nel generale esono perfettamente analoghi a quelli nel Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento caso particolare della serie (2.4) in cui z0 = 0, ci limiteremo a quest’ultimo. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Un esempio `e fornito dalla serie geometrica. Essa converge nel cerchio aperto Universit` di Napoli “FedericoD(0 II”; Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ¯ 1) e totalmente in ogni cerchio D(0 ; r), con 0 < r < 1. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico La serie converge nel punto iniziale z = 0, riducendosi al termine costante 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento`ediil seguente Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a0 . Fondamentale risultato, noto come“Renato lemma di Abel. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 2.3.Caccioppoli” Se la serie Scuola (2.4) converge in un punto ζ 6= 0, di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di essa Base Universit` a degli Studi converge assolutamente in ogni z ∈ C tale che |z| < |ζ|. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Definiamoe il raggio di convergenza della serie (2.4): 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  ρ = sup |z| : z“Federico ∈ C , la (2.4) converge in z . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi Osserviamo “Renato che ρ ∈ [0, +∞]. Usando il teorema 2.3, `e epossibile mostrare che Universit` di Napoli “Federicoρ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e caratterizzato nel modo seguente: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli Studi “Federico II” Anno Accademico (1) la serie (2.4) converge solo Universit` per z = 0ase e solo se ρdi=Napoli 0; 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 34 II. FUNZIONI ANALITICHE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi (2) se “Renato ρ ∈ ]0, +∞[, la serie (2.4) converge assolutamente per |z|di ρ; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (3) la serie converge in ogni z ∈ C se e solo se ρ = +∞. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Inoltre Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di posiBase Universit` a degli Studi TEOREMA 2.4.Caccioppoli” Una serie diScuola potenze con raggio di convergenza di Napoli “Federicotivo II” converge Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato totalmente in ogni cerchio compatto contenuto internamente al Caccioppoli” Scuolacerchio Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di convergenza. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In aaltri ρ >“Federico 0 il raggio convergenza, la serie converge Scienze di Base Universit` deglitermini, Studi didetto Napoli II”diAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento totalmente nel cerchioCaccioppoli” dei numeri zScuola tali chePolitecnica |z| ≤ r, per ogni fissato di Matematica e Applicazioni “Renato e delle Scienzer < di ρ. Base Universit` a degli Studi a studiare2013-2014 la convergenza della serie (2.4) mediante il e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Proviamo Anno Accademico Luigi assoluta Greco Dipartimento di Matematica del rapporto; a tal fine, supponiamo i termini successione Caccioppoli” Scuolacriterio Politecnica e delle Scienze di Base Universit` ache degli Studi didella Napoli “Federico II” Anno Accademico (a ) siano non-nulli per n abbastanza grande. Il rapporto tra il modulo di un n Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 2013-2014 Luigi Greco Scuola Politecnica e delle termine e quello del precedente ` e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi |aPolitecnica |an+1 z n+1 | n+1 | = |z| . di Napoli “Federico(2.6) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato |an z n | |an | Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Supponiamo che la di successione dei rapporti |an+1 |/|a limite: l Scuola = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle n | ammetta | ` Studi Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lim |a|an+1 . E chiaro che, se l = 0, i rapporti in (2.6) convergono a 0 per n| di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ogni z ∈ C, quindi la serie (2.4) converge assolutamente in ogni punto e ha di Napoli “Federicopertanto II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato raggio di convergenza infinito: ρ = +∞. Se l = +∞, i rapporti in Caccioppoli” Scuola(2.6) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico divergono per z 6= 0, quindi la serie converge solo nel punto iniziale e ha 2013-2014 Luigi Greco di 0:Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle raggioDipartimento di convergenza ρ = 0. Se 0e 1/l: il raggioScuola di convergenza `e dunque = 1/l. di Con le Universit` di Napoli “Federicoconvenzioni II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica 1/0 = +∞, 2013-2014 1/ + ∞ = Luigi 0, in ogni caso possiamo dire che il raggio e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle di Base Universit` convergenza `e ρ =Scienze 1/l. Otteniamo dunque a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle |an+1 | Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 2.5. (a) Se lim II” Anno = l ∈Accademico [0, +∞], il raggio di conn |a | n di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi p `e ρAccademico = 1/l. (b) 2013-2014 Se lim n |aLuigi ∈ [0, +∞], il raggio di di Matematica convergenza e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicovergenza II” Anno Dipartimento n | = lGreco n Caccioppoli” Scuola`e Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ρ = 1/l. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il risultato in (b)di si ottiene (a),Accademico utilizzando per` o il criterio Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli analogamente “Federico II” ad Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento della radice.“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ n Xz Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di esponenziale Base Universit` a degliha Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 2.6.Scienze La serie raggio di convergenza n! “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni n=0 +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”X Anno nAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento infinito, converge cio` e ∀z ∈ C. La serie Politecnica n! z hae raggio di convergendi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n=0 di Napoli “FedericozaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0, cio`e converge solo in 0. La serie geometrica ovviamente ha raggio di Caccioppoli” Scuolaconvergenza Politecnica ρe = delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. SERIE DI POTENZE NEL CAMPO COMPLESSO 35 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle positivo Scienze edifinito, Base Universit` a degli Studi Supponiamo che la serie (2.4) abbia raggio di convergenza di Napoli “Federico0 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato < ρ < +∞. In generale, nulla si pu`o dire nei punti della circonferenza del Caccioppoli” Scuolacerchio Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di convergenza, potendosi presentare tutte le eventualit`a. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 2.7. diLeNapoli tre serie Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ +∞ n +∞ n X X X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi z e delle Scienze di Base Universit` z Politecnica n , z , , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigin Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 n n=0 n=1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a n=1 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico hannoDipartimento tutte raggio di di Matematica convergenza ρe = 1. La prima `e la serie geometrica Scuola e, 2013-2014 Luigi Greco Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle ` possibile come `eanoto, converge in alcun puntoII” z con |z| Accademico = 1. E mostrare Scienze di Base Universit` degli non Studi di Napoli “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che la seconda serie converge in ogni z ∈ Politecnica C tale che |z| = 1, Scienze escluso di z = 1. Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Base a degli Studi la terza serie converge in ogni z con |z| =Dipartimento 1. di Napoli “FedericoInfine, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2.1. Propriet` a della somma di una serie di potenze. Data la se2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle rie (2.4), la serie Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ X n−1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n an z Politecnica , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n=1 Caccioppoli” Scuolai Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cui termini sono le derivate dei termini della (2.4), si dice serie derivata 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (prima). Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 2.8. La serie derivata ha lo stesso di converdi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleraggio Scienze di Base Universit` a degli Studi genza della (2.4). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze l’enunciato di Base Universit` a degli di Napoli “Federico Limitiamoci a verificare nel caso in cuiStudi sia possibile calcolare il II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle raggio di convergenza della (2.4) mediante il punto (a) della proposizione 2.5, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento |an+1 | cio`e risulti ρ = 1/l, dove l = lim n | . Possiamo allora valutare il raggio di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” |aScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi convergenza della serie derivata con lo stesso criterio: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (nScienze + 1) |an+1 |an+1 | an degli + 1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica elim delle di |Base Universit` = lim = l ·1 = l. n |an | |an | n “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di nMatematica en Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi dileNapoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Possiamo considerare serie derivate successive: di Matematica e Applicazioni “RenatoX Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico n 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (n − 1) anLuigi z n−2 Greco , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico · · ·Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n (n − 1) · ·Scuola · (n − kPolitecnica + 1) an z n−k di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e ,delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n=k 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico ··· Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico si dicono serie derivata seconda, . . ., . . . La“Renato serie derivata secondaScuola `e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e k-sima, Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle serie derivata della serie derivata prima e cos` ı via. Esse hanno tutte lo stesso Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento raggio di convergenza della serie diScuola partenza (2.4). Si dimostra il seguente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.9. La somma di una serie di potenze con raggio di converCaccioppoli” Scuolagenza Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico positivo (eventualmente infinito) `e indefinitamente derivabile nei punti 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 36 II. FUNZIONI ANALITICHE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”LeScuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi interni al cerchio di convergenza. derivate successiveesidelle calcolano derivando di Napoli “Federicotermine II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a termine la serie. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico u esplicitamente, detto ρ ∈ ]0,e +∞] il raggio “Renato di convergenza della (2.4) 2013-2014 Luigi Greco Pi` Dipartimento di Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e indicata con Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli +∞ X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f (z) = an z n Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco n=0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la somma, f ` e indefinitamente derivabile per |z| < ρ“Renato e risulta,Caccioppoli” ∀k ∈ N, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X n−k di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica a degli Studi f (k) (z)Caccioppoli” = n (n −Scuola 1) · · · (n − k + 1) ane zdelle . Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n=k Caccioppoli” Scuola` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico E facile legare i coefficienti della (2.4) ai valori della somma f e delle derivate 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle in 0. In effetti, risulta f (0) = a0 . Inoltre f 0 (0) = 1 · a1 e in generale f (k) (0) = Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k! ak , ovvero di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (k) (0) , k = 0, 1, . . . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ak =di Base Universit` Caccioppoli” Scuola(2.7) Politecnica e delle Scienze a degli k! 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In virt` u di queste uguaglianze, la serie (2.4) si riscrive Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ Scuola X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f (n) (0) Politecnica (2.8) z n . Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco n! Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di n=0 Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Data Dipartimento una funzione fdi, indefinitamente derivabile intorno a 0,Caccioppoli” la serie (2.8)Scuola si Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dice serie di Mac Laurin di f . “Federico Nel caso diII” una serieAccademico di potenze (2.5) di punto di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi iniziale z0 ∈“Renato C, alle (2.7) subentrano le uguaglianze di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (k) f Base (z0Universit` ) Caccioppoli” Scuola(2.9) Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ak = , k = 0, 1, . . . k! e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di e alla (2.8) subentra la Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ (n) X f Luigi (z0 ) Greco nDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(2.10) II” Anno Accademico 2013-2014 (z − z0 ) , n! Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzen=0 di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che si dice serieStudi di Taylor di f di“Federico punto iniziale z0 . Dunque la serie2013-2014 di Mac LauScienze di Base Universit` a degli di Napoli II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento rin ` e la serie di Taylor di punto iniziale z = 0. Le uguaglianze (2.9) forniscono 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi seguente di identit` a delle serie di potenze: di Napoli “Federicoil II” Anno principio Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico TEOREMA 2.10. Una serie di potenze con raggioStudi di convergenza positivo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni Scuola Politecnica e delle coincide con la seriedidiMatematica Taylor della esua somma (con“Renato lo stessoCaccioppoli” punto iniziale). Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento L’enunciato precedente estendeScuola il principio di identit` a dei Scienze polinomi. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.11. La serie esponenziale considerata nell’esempio 2.6 `e la Caccioppoli” Scuolaserie Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi zdi Napoli “Federico II” Anno Accademico di Mac Laurin della funzione esponenziale f (z) = e . Come subito si 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. SERIE DI POTENZE NEL CAMPO COMPLESSO 37 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi verifica, le due serie Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ X X z 2nBase Universit` z 2n+1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (−1)n , , (−1)n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2 n)! (2 n + 1)! Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=0 n=0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sono le serie“Renato di Mac Laurin di cos zScuola e sin z,Politecnica rispettivamente. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” e delle Entrambe Scienze di hanBase Universit` a degli Studi convergenza2013-2014 infinito. Luigi Ricordando la serie geometrica, abbiamo e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericonoII”raggio AnnodiAccademico Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolal’uguaglianza Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1 = z n , II” Anno |z| < 1Accademico , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 − z “Federico n=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi lo sviluppo di Mac Laurin funzione f (z) = 1/(1 − z). di Napoli “Federicoche II”fornisce Anno Accademico 2013-2014 Luigidella Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Gli sviluppi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ “Federico2nII” Anno Accademico +∞ +∞ Scienze di Base Universit` aX degli 2013-2014 X X x2n+1 Luigi Greco Dipartimento xn Studi di Napoli n x n x , cos x= (−1)Scuola Politecnica , sin x = (−1) e = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze a degli Studi n! (2 n)! (2 ndi + Base 1)! Universit` n=0 n=0 di Matematica e Applicazioni “Renato n=0 Accademico 2013-2014 di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuolasono Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico ben notienel campo reale, cio`e valgono ∀x ∈ R. Studi Essi permettono di pro- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle lungare a C la funzione esponenzialeeeApplicazioni le funzioni trigonometriche, in maniera Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli fatto “Federico II” AnnoI.5.1 Accademico Luigi Greco Dipartimento alternativa rispetto a quanto nei paragrafi e I.5.3. 2013-2014 Per la prima di Matematica e Applicazioni a degli Studi uguaglianza,“Renato ponendoCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ n X z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(2.11) Politecnica e delle Scienze di Base z Universit` e = , n! 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e n=0 Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento per ogni z ∈“Renato C prolunghiamo a C l’esponenziale. Calcoliamo ejy in base alla Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi definizione (2.11), per y ∈ R; separando il reale dall’immaginario, troviamo: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di a degli Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞Base Universit` +∞ Studi di 2n+1 +∞ Scienze X X X y 2n y (j y)n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica = (−1)enApplicazioni + j “Renato (−1)n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ejy = n! (2 n)! (2 n + 1)! Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno n=0 n=0Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n=0 di Napoli di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi, in “Renato virt` u dei Caccioppoli” ricordati sviluppi di Mac Laurin edidelle coseno e seno, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = cosUniversit` y + j sina ydegli . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze edij yBase Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pertanto, a partire dalla definizione (2.11), dimostriamo la formula di EuleScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ro (I.5.1), che precedentemente abbiamo usato come definizione. A partire di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dalla (2.11), `e facile altres`ı mostrare che vale la (I.5.2). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Mettiamo in luce un’ulteriore propriet`a della somma di una serie di poCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico tenze. Sia 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ X n II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico f (z) = an z , |z| < ρ , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi n=0 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federicoessendo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il raggio di convergenza della serie ρ > 0. Consideriamo z1 interno al Caccioppoli” Scuolacerchio Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di convergenza, |z1 | < ρ; potendosi la serie derivare indefinitamente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 38 II. FUNZIONI ANALITICHE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato∀kCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi termine a termine, ∈ N0 , abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞   X f (k) (z ) n a degli n−k Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(2.12) Politecnica e delle Scienze di1Base Universit` = an z1 . k! k 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=k Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D’altra parte, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n   X n n−k di Napoli “Federico(2.13) II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento n n Luigi Greco k di Matematica e Applicazioni “Renato z = (z − z1 + z1 ) = z (z − z1 ) , k a 1degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` k=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle in virt` u della formula del binomio di Newton. Pertanto da (2.12) ricaviamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ +∞ n   X X X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nPolitecnica n f (z) = a z = a z1n−k (z − z1 )k di Matematica e Applicazioni “Renato n di Napoli “Federico II” Anno Accademicon 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k n=0 n=0 k=0 Caccioppoli” Scuola(2.14) Politecnica e delle Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico   +∞Scienze di X +∞ +∞Studi X n n−k X f (k) (z1Caccioppoli” ) k 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z − z1 )k . Scuola Politecnica e delle = (z − z1 ) an z1 = k! k II” Anno Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k=0 n=k k=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi ` possibile verificare che i passaggi indicati sono leciti per |z − z | < ρdi E − |z1 |. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 1Matematica e Applicazioni “Renato Dunque, per tali z, f (z) si esprime come somma della serie di potenze di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico punto iniziale z1 nell’ultimo membro della (2.14); il raggio di convergenza di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle tale serie `e maggiore o uguale a ρ − |z1 |. (La serie `e scritta come serie di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Taylor di punto iniziale z1 della sua somma f , com’`e chiaro, per il principio di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di identit` a, teorema 2.10.) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli Studi di Napoli DEFINIZIONE 2.12. Sia Ω unUniversit` aperto dia C. Una funzione f : Ω“Federico → C si II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Ω, Applicazioni “Renatodi Caccioppoli” Politecnica e delle dice analitica in Ω di se, Matematica per ogni z1 ∈ esiste un intorno z1 contenuto Scuola in Scienze di Base Universit` a deglif Studi Napolidi“Federico Accademico 2013-2014per Luigi Greco Dipartimento Ω nel quale risultadisomma una serieII” di Anno potenze. Equivalentemente, di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi ogni z1 ∈ Ω,“Renato f `e sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale z1 . di Base Universit` di Napoli “Federico II”`Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato E chiaro che una funzione analitica `e indefinitamente derivabile. Inoltre, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza positivo `e analitica 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nel cerchio di convergenza. Mostreremo in seguito l’analiticit`a delle funzioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento olomorfe e quindi (nell’ambito della teoria da noi sviluppata) analiticit`a e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi olomorfia saranno sinonimi. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle2.13. Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli ESERCIZIO Scrivere la serie di Mac Laurin di di f (z) = z e“Federico . Scri- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di di Matematica e Applicazioni vere la serie di Taylor punto iniziale z0 = 1 della“Renato funzione Caccioppoli” f (z) = ez . Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 2.14. Scrivere lo sviluppo di Taylor di f (z) = z n , ∀z ∈ C, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi essendo n ∈ N, di punto iniziale z ∈ C. Confrontare con (2.13). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20141 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli CAPITOLO “Federico II”III Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Integrazione nelUniversit` campo complesso Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Integrali curvilinei di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Consideriamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato inizialmente il caso di una funzione complessa di variabile Caccioppoli” Scuolareale. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Sia f (t) = u(t)+j v(t) una funzione continua in un intervallo [a, b]; u e v 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle denotano la parte reale ed il coefficiente dell’immaginario di fCaccioppoli” . Introduciamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento l’integrale definito di f su [a, b] ponendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z b 2013-2014 Z bLuigi GrecoZDipartimento b di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato f (t) dtdi=Base u(t) dt + ja degli v(t) dt . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(1.1) Politecnica e delle Scienze Universit` Studi a a a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle R a di Napoli “Federico Rb Ra Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Poniamo inoltre f (t) dt = − a f (t) dtII” e Anno f (t)Accademico dt = 0. Molte delle note b a di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi propriet` a fondamentali dell’integrale di funzioni reali continuano a valere. Ad Universit` di Napoli “Federicoesempio, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la linearit` a rispetto all’integrando (in effetti, `e chiaro che la definiCaccioppoli” Scuolazione Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (1.1) `e obbligata per estendere l’integrale in modo da mantenere la linea2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle rit` a),Dipartimento o la propriet` adiadditiva rispetto all’intervallo “Renato di integrazione. Un’altra Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento propriet` a `e espressa dalla seguente disuguaglianza; supponiamo a ≤ b: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z Z b di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato b dt Universit` ≤ |f (t)| dt . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dif (t) Caccioppoli” Scuola(1.2) Politecnica e delle Scienze Base a degli a a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (Formalmente identica a quella nel caso delle funzioni reali.) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Sia ora γ una curva regolare e sia z = z(t), t ∈ [a, b], una rappresentazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato parametrica regolare di γ. Scrivendo in forma algebrica, abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x = x(t) , II” t ∈Anno [a, b] .Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico y = y(t) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoInII” Anno Accademico e Applicazioni “Renato 1 2013-2014 Luigi Greco1 Dipartimento di0 Matematica 0 particolare, z ∈ C ([a, b]), ovvero x, y ∈ C ([a, b]); inoltre z (t) = x (t) + Caccioppoli” Scuolaj yPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 (t), ∀t ∈ [a, b]. 2013-2014 Luigi Greco Sia Dipartimento di funzione Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f = f (z) una continua nei punti di γ. Definiamo l’integrale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 curvilineo di f esteso a γ (orientata nel verso delle t crescenti) ponendo Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z b Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno AccademicoZ 2013-2014 Luigi 0 f (z) = Universit` f (z(t))azdegli (t) dtStudi . Caccioppoli” Scuola(1.3) Politecnica e delle Scienze didz Base di Napoli “Federico II” Anno Accademico γ a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 39 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 40 III. INTEGRAZIONE NEL CAMPO COMPLESSO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento R di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di dz Base a degli Studi Osserviamo “Renato che f (z(t)) z 0 (t) = f (z(t)) [x0 (t) + j y 0 (t)]e edelle quindi f (z) `e Universit` γ di Napoli “Federicol’integrale II” Annocurvilineo Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato esteso a γ della forma differenziale Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (1.4) Dipartimento di Matematica f dxe +Applicazioni j f dy 2013-2014 Luigi Greco “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento i cui coefficienti sono f e j f , a valori complessi. Se scriviamo f2013-2014 = u + j v Luigi in di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi forma algebrica, abbiamo     di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z(t)) z 0 (t) = u(x(t), y(t)) + j v(x(t), y(t)) · x0 (t) + j y 0 (t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e 0 Applicazioni “Renato = u(x(t), y(t)) x (t) − v(x(t), y(t)) y 0 (t) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleScienze di Base Universit` a degli Studi + j v(x(t), y(t)) x0 (t) + u(x(t), y(t)) y 0 (t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z di Matematica Z Z “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni (1.5) f (z) dz = u dx − v dy + j + u dy , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Annov dx Accademico γ γ γ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi i due integrali curvilinei a secondo sono di formedidifferenziali di Napoli “Federicodove II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi membro Greco Dipartimento Matematicaa e Applicazioni “Renato reali. Caccioppoli” Scuolacoefficienti Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Si estendono all’integrale curvilineo in campo complesso propriet`a note 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato le Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle per l’integrale curvilineo di forme differenziali a coefficienti reali. In parScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ticolare, l’integrale dipende dalla rappresentazione parametrica di Matematica e Applicazioni “Renatonon Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze fissata. di Base Universit` a degli Studi propriet` a `e che,2013-2014 invertendoLuigi il verso di percorrenza di di γ, Matematica l’integrale si e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoUn’altra II” Anno Accademico Greco Dipartimento nell’opposto; Caccioppoli” Scuolamuta Politecnica e delleformalmente, Scienze Z di Base Universit` Z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.6) f (z) dz = − f (z) dz , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli −γ “Federico II” γ Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dove appunto −γ indica la curva percorsa in verso opposto. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESEMPIO 1.1.Scienze Calcoliamo l’integrale curvilineo delladifunzione f (z) = II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico z n , esteso alla circonferenza γ di centro 0 e raggio ρ, percorsa in verso antio2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle rario; na ∈ Z e Studi ρ > 0 di sono fissati. Una rappresentazione parametrica regolare Scienze di Base Universit` degli Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di γ `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi jt di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato z(t) = ρ eLuigi , tGreco ∈ [0, 2Dipartimento π] . Caccioppoli” ScuolaDunque Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 0 (t) e=delle j ρ ejt e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Z 2π Z 2π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n njt jt n+1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.7) f (z) dz = ρ e j ρ e dt = j ρ e(n+1)jt dt . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e0 delle Scienze di Base Universit` a degli Studi γ 0 di Napoli “FedericoPer II”nAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 6= −1, `e n + 1 6= 0 e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 d (n+1)jt (n+1)jt 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di eMatematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = e Applicazioni e . (n + 1) jII”dtAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Dunque, per“Renato la formula fondamentale del calcolo integrale, di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n+1  Luigi  ρ t=2π z n dz = di Base e(n+1)jt 0 , Studi n 6= −1 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a=degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico t=0 n+1 γ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle 1. INTEGRALI CURVILINEI “Renato Caccioppoli” Scuola 41 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica dellecostantemente Scienze di Base a degli Studi Per n = −1,“Renato l’integrando nell’ultimo membro di (1.7)evale 1, Universit` di Napoli “Federicoquindi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z dze Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica (1.8) = 2πj . γ z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di posBase Universit` a degli Studi Notiamo che in ogni caso l’integrale non dipende da ρ. Analogamente, di Napoli “Federicosiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco n Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato considerare il caso di f (z) = (z − z0 ) , con γ circonferenza di centro Caccioppoli” Scuolaz Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico . 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Annointrodotto Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Come osservato, l’integrale curvilineoII” appena `e analogo a queldi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola essenzialmente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi lo delle forme differenziali. Una nozione diversa di integrale di Napoli “Federicocurvilineo II” AnnosiAccademico 2013-2014 Luigi alla Greco Dipartimento ottiene integrando rispetto lunghezza d’arco di edMatematica `e analoga a e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaquella Politecnica e dellecurvilineo Scienze didiBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di integrale una funzione continua: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ZMatematica Ze bApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.9) a degli Studi di Napoli f (z) ds = f (z(t)) |z 0 (t)|Accademico dt . γ a di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoTale II” nozione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e indipendente dalla rappresentazione parametrica; essa `e indiCaccioppoli” Scuolapendente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico pure dal verso di percorrenza, cio`e, in contrasto con (1.6), abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z Z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.10) f (z) ds = f (z) ds . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaγPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −γ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (In effetti, γ non `e orientata.) La disuguaglianza Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z Z e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ≤ |f II” (z)|Anno ds ≤ M l, f (z) dz (1.11) a degli Studi di Napoli Scienze di Base Universit` “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento γ γ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi da (1.2); qui abbiamo postoLuigi M =Greco maxz∈γ |f (z)| e denotato con l la e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicosegue II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica di γ. Caccioppoli” Scuolalunghezza Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico nozioni di integrale curvilineoe introdotte si estendono subito al caso Scuola di 2013-2014 Luigi Greco Le Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle una curva γ generalmente regolare. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento L’integrale curvilineo spesso si considera come funzione di Scienze γ. Sianodif Base una Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi continua in un aperto Ω eLuigi γ unGreco arco di curva contenuto in Ω. Un e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicofunzione II” Anno Accademico Dipartimento di Matematica R 2013-2014 in cui l’integrale f (z)didzBase si calcola facilmente `e quello in cui “Federico f sia la II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolacaso Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli γ derivata di una funzione olomorfa, esista cio`e una F“Renato olomorfa in Ω primitiva 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di f : fa = F 0 . Studi Se z = t ∈“Federico [a, b], `e una di Scienze di Base Universit` degli di z(t), Napoli II” rappresentazione Anno Accademicoparametrica 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento γ, l’espressione f (z(t)) z 0 (t) `e allora la derivata (rispetto a t)Scienze della funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi (z(t)). Dunque, per la formula fondamentale del calcolo integrale, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocomposta II” AnnoFAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolaabbiamo Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z Scienze di Base Universit`  t=b 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento fdi(z) Matematica e Applicazioni dz = F (z(t)) t=a = F (z1 ) “Renato − F (z0 ) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi γ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di parBase Universit` a degli Studi dove abbiamo indicato con z1 = z(b) e z0Politecnica = z(a) gli eestremi di γ. In di Napoli “Federicoticolare, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l’integrale non dipende da γ, ma solo dagli estremi (e dal verso di Caccioppoli” Scuolapercorrenza). Politecnica eViceversa, delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico supponiamo che l’integrale curvilineo di f abbia tale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 42 III. INTEGRAZIONE NEL CAMPO COMPLESSO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi propriet` a, sia cio`e indipendente da γ. Separando il realee dall’immaginario, ve- Universit` di Napoli “Federicodiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che questa propriet` a di indipendenza vale per i due integrali a secondo Caccioppoli” Scuolamembro Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico della (1.5). Com’`e noto, questo vuol dire che le forme 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle u dx −“Federico v dy , v II” dx + u dy Accademico , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base a degli Studi sono differenziali esatti, esistono cio`e due funzioni U = U (x, y) e V = Vdi(x, y) Universit` di Napoli “Federicodifferenziabili II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in Ω, tali che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = u dx − v dye, Applicazioni dV = v dx +“Renato u dy , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dU di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento vale a dire, Ux = u, Uy = −v, Vx = v, Vy = u. La funzione F = U + j V di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi risulta differenziabile in Ω e verifica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Fx = Udi j VxUniversit` = u + j va = f , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x+ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle j Vy = −v j u = Accademico jf. y = Uy + Scienze di Base Universit` a degli Studi diFNapoli “Federico II”+Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Equivalentemente, dall’indipendenza dell’integrale dal cammino, ricaviamo di Napoli “Federicoche II”laAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato forma differenziale (1.4) `e esatta, cio`e esiste F tale che Fx = f e Caccioppoli” ScuolaFyPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = j f . Dunque F `e olomorfa in Ω, in quanto verifica la condizione di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento(II.1.5), di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Cauchy-Riemann e risulta primitiva di f . In definitiva, l’indipendenScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento za dal cammino dell’integrale curvilineo di f (che equivale a dire che l’integrale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi esteso ad una qualunque curva chiusa `e nullo) `e condizione necessaria e suffi- Universit` di Napoli “Federicociente II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato perch´e la funzione sia dotata di primitiva. Come gi`a osservato e come Caccioppoli” Scuolapreciseremo Politecnica in e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico seguito (teorema di Goursat), questo implica che f `e a sua 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle volta Dipartimento olomorfa. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osservazione Possiamo Scuola usare lePolitecnica considerazioni precedenti ot- Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato1.2. Caccioppoli” e delle Scienze per di Base a degli Studi immediatamente il caso n 6=Luigi −1 dell’esempio 1.1. In effetti, risulta di Napoli “Federicotenere II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` d z n+1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z n =e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica dz n + 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi l’integrale questione `e nullo. di Matematica e Applicazioni “RenatoinCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Un’operazione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato importante sar`a quella di integrazione di una serie. Ci Caccioppoli” Scuolalimitiamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ad enunciare il risultato seguente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle PROPOSIZIONE 1.3. Supponiamo cheAnno la serie di funzioni2013-2014 continue Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (1.12) f1 + f2 + · · · + fn + · · · di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaconverga Politecnica e delle Scienze di Base degli Studi di Napoli totalmente sulla curva γ. Universit` In tali aipotesi, la somma f `e“Federico anche II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle essa Dipartimento continua e la di serie pu` o esseree integrata termine a termine, cio`e vale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento l’uguaglianza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Z X di Napoli “Federico(1.13) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z) dz = fn (z) dz . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico γ di Base Universit` γ n=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. TEOREMA E FORMULE INTEGRALI DI CAUCHY 43 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi La possibilit` a di integrare termine a termine una serie significa che ad essa Universit` di Napoli “FedericosiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato estende la ben nota propriet` a delle somme finite, secondo cui l’integrale della Caccioppoli” Scuolasomma Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e uguale alla somma degli integrali. 2013-2014 Luigi Greco InDipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle virt` u del teorema II.2.4 `e lecita l’integrazione“Renato termine aCaccioppoli” termine di una Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento serie di potenze (o anche una serie ottenuta moltiplicando una serie di potenze di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi per una funzione continua, cfr. osservazione II.2.2), lungo una curva che sia Universit` di Napoli “Federicointerna II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato al cerchio di convergenza. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. Teorema e formule integrali di Cauchy Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Fin qui “Renato abbiamo semplicemente supposto f continua nei punti di γ. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di SupBase Universit` a degli Studi poniamo ora f olomorfa in Ω aperto contenente γ. Dunque, vale la condi- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica di Cauchy-Riemann fy a=degli j fxStudi , che di dice che la forma II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolazione Politecnica e delle Scienze(II.1.5), di Base ovvero Universit` Napoli “Federico differenziale (1.4) ` e chiusa. Analogamente, usando la versione (II.1.6) della 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle condizione di Cauchy-Riemann, vediamo che sono chiuse le forme differenziali Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che figurano“Renato a secondo membro in (1.5). di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Per chiarire meglio propriet`aLuigi degli Greco integrali curvilinei neldicaso delle for- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico le2013-2014 Dipartimento Matematica differenziali chiuse, ricordiamo formulea di Gauss. D un dominio Caccioppoli” Scuolame Politecnica e delle Scienze di Base leUniversit` degli Studi Sia di Napoli “Federico II” Anno Accademico regolare, a n + 1 contorni: Γ contorno esterno e Γ , . . . , Γ contorni interni 0 1 n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (eventualmente non presenti). Le curve Γ , Γ , . . . , Γ sono dunque chiuse. 0 1 n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per convenzione, se ΓCaccioppoli” `e una curvaScuola chiusa Politecnica (che chiameremo ciclo), la Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato e delle anche Scienze di Base a degli Studi intenderemo orientata positivamente se percorsa in verso antiorario, e scridi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −Γ per indicare la curva percorsa in averso cio` e negativo. La II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaveremo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degliorario, Studi di Napoli “Federico frontiera F D del dominio D ` e l’unione dei suoi contorni Γ , Γ , . . . , Γ ; essa 0 1 n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle viene usualmente orientata scegliendo il verso positivo sul contorno esternoLuigi e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento quello negativo sui contorni interni. Se indichiamo con +F D la frontiera cos` ı Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi virt` u della 2013-2014 convenzioneLuigi introdotta, possiamo scrivere di Napoli “Federicoorientata, II” AnnoinAccademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +F D =diΓBase (−ΓnStudi ) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(2.1) Politecnica e delle Scienze Universit` 0 ∪ (−Γ 1 ) ∪ · · ·a∪degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Siano ora X = X(x, y) e Y = Y (x, y) funzioni continue in D,Caccioppoli” con le derivate Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Xy e Yx ; in tali ipotesi, valgono le uguaglianze di Matematica e Applicazioni Scuola ZPolitecnica e delleZScienze di Base Universit` a degli Studi Z Z “Renato Caccioppoli” Z Z di Napoli “Federico(2.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Yx dx dy = Y dy , Xy dx dy = − X dx . Caccioppoli” Scuola PolitecnicaDe delle Scienze “Federico II” Anno Accademico +Fdi D Base Universit` Da degli Studi di Napoli +F D 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Chiaramente, ogni integrale esteso a e+F D `e somma di integrali estesi ai singoli Scienze di Base Universit` a degli Studicon di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento contorni, ciascuno l’orientamento cheII”gliAnno compete in quanto parte della di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi frontiera di D: Z  Z Accademico Z Z 2013-2014 Luigi Z Z Dipartimento Z Matematica di Napoli “Federico II” Anno Greco di e Applicazioni “Renato · + Universit` = a− + · · di · +Napoli .“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e=delle + Scienze+di· ·Base degli Studi +F D Γ0 −Γ1 −Γn Γ0 Γ1 Γn 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In particolare, se la forma X dx + Y dy ` e chiusa, risulta Scienze di Base Universit` a degliZStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ZZ
e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi (2.3) X dx + Y dy = − Xy + Yx dx dy = 0 , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +F D D Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico l’integrando nell’ultimo membro nullo. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 44 III. INTEGRAZIONE NEL CAMPO COMPLESSO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica una e delle Scienze dil’ipoBase Universit` a degli Studi Per enunciare il seguente risultato, introduciamo convenzione: di Napoli “Federicotesi II”fAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato olomorfa nel dominio D vuol dire che esiste un aperto Ω ⊃ D tale che Caccioppoli” Scuolaf Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sia olomorfa in Ω. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle TEOREMA integraleII” di Anno Cauchy). Se f `e 2013-2014 olomorfa nel Scienze di Base Universit` a degli Studi2.1di (Teorema Napoli “Federico Accademico Luigi Greco Dipartimento dominio D, risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2.4) f (z) dz = 0 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di +F Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico D Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osservazione 2.2. La dimostrazione si ottiene subito dalle formule di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento ` possibile 2013-2014 Gauss, cfr. (2.3), supponendo fx e fy continue. E dimostrare il di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi teorema senza questa ipotesi aggiuntiva. Come abbiamo anticipato (teorema di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Goursat), se f `e olomorfa in Ω, risulta f ∈ C ∞ (Ω), ma questo risultato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico segue dal teorema di Cauchy. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 2.3.dif (z) = 1/z `e olomorfa per zAccademico 6= 0. Siano2013-2014 γ1 e γ2 due Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento circonferenze“Renato di centro 0 e raggi r1Scuola e r2 , con 0 < r1 0, esiste δ > 0 tale che di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε; ne segue, per 0 < ρ < δ, Z Dipartimento Z Anno Accademico 2013-2014 di Napoli “Federico II” Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Z |f (z) − f (z0 )| f (z) f (z) − f (z0 ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e− delle degli Studi di Napoli II” Anno Accademico dz 2 π jScienze f (z0 ) = di dza ≤ ds ≤“Federico 2πε, Base Universit` γρ z − z0 z − z0 ρ ρ 2013-2014 Luigi Greco γρDipartimento di Matematica e Applicazioni γ“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ovvero vale la tesi. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico A questo punto, ` e chiaro che per il lemma da (2.6) segue la tesi (2.5). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.7. 2013-2014 L’uguaglianza a volte `e detta I formula di Cau- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Osservazione Anno Accademico Luigi(2.5) Greco Dipartimento di Matematica mentre lae seguente `e detta II formula di Cauchy: Caccioppoli” Scuolachy, Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (z) dz = 0 , Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno +F D z − z0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z0Accademico esterno a D. Quest’ultima segue immediatamente dal teorema e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoper II”ogni Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Cauchy, osservando che per z0 esterno la funzione F (z) di = Napoli f (z)/(z“Federico − z0 ) `e II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi olomorfa nel dominio. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Il teorema di Cauchy ha il “Federico seguente inverso. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.8 (di2013-2014 Morera). Luigi Sia f Greco una funzione continua un aperto e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico Dipartimento di in Matematica Se l’integrale esteso ad ogni curva chiusa acontenuta in diΩ Napoli `e nullo,“Federico la f `e II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaΩ.Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi olomorfa nell’aperto. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli fatte “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Dim. In base alle considerazioni nel paragrafo 1, l’ipotesi assicura 2013-2014 che f ` e dotata di primitiva, quindi ` e derivata di una funzione e, pere ildelle teorema di Goursat, ` e Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola olomorfa Politecnica Scienze di Base a degli Studi olomorfa a sua volta. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3. Conseguenze della formula di Studi Cauchy 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pera studiare le propriet` a locali delle II” funzioni studieremo come Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico Annoolomorfe, Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento l’espressione“Renato integraleCaccioppoli” a secondo membro della (2.5) edipende dal punto z0 . Universit` di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi il fatto che nella formula il punto sar`a considerato variabile, e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoPer II”evidenziare Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica riscrivere formuladicambiando leggermente notazioni: Caccioppoli” Scuolaconviene Politecnica e dellelaScienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica1 e Applicazioni f (ζ) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.1) a degli Studi di Napoli f (z) =“Federico II” AnnodζAccademico . Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 π j +F D ζ − z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Nell’espressione a secondo membro, dunque, z varia nell’interno di D e figura di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato come parametro. Enunciamo il seguente risultato, che illustra alcune propriet`a Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico delle funzioni definite mediante integrali. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 3.1. Dati un arcoII” di Anno curva Accademico γ e una funzione g contidi Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nua nei punti di γ, laCaccioppoli” funzione Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato g(ζ) dζ , z a∈degli C − γStudi , f (z) =di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Napoli “Federico II” Anno Accademico γ ζ −z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle 3. CONSEGUENZE DELLA FORMULA DI CAUCHYCaccioppoli” Scuola 47 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleeffettuate Scienze sotto di Base a degli Studi `e indefinitamente derivabile. Le derivazioni possono essere il Universit` di Napoli “Federicosegno II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di integrale, cio`e ∀n ∈ N risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diZ Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico g(ζ) 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni (3.2) Dipartimento f (n)di(z)Matematica = n! dζ , z “Renato ∈ C − γ . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (ζ − z)n+1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli γ“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Tralasciamo la dimostrazione, insistendo piuttosto sulla possibilit`a di dedi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato rivare sotto il segno di integrale. Ad esempio, per la derivata prima, abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  Z Z  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle d g(ζ) ∂ g(ζ) 0 f (z) = dζ = dζ . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno dz γ ζ“Federico −z ∂z ζ Accademico −z γ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi sotto il segno di integrale formalmente nello scambiare e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoLaII”derivazione Anno Accademico 2013-2014 Luigi consiste Greco Dipartimento di Matematica simbolo di ederivata con quello di Universit` integrale;a nell’ultimo Caccioppoli” Scuolail Politecnica delle Scienze di Base degli Studi membro, di Napoli abbiamo “Federico II” Anno Accademico usatoDipartimento il simbolo di derivata parziale, eperch´ e l’integrando dipende dalla variabi2013-2014 Luigi Greco di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle g(ζ) Luigi Greco Dipartimento ∂ g(ζ)2013-2014 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = , le di integrazione ζ, oltre che dal parametro z. Essendo ζ −Scienze z (ζ di − Base z)2 Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e ∂z delle a degli Studi caso n = 1 della formula (3.2). In generale, abbiamo di Napoli “Federicoricaviamo II” AnnoilAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Za degli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` g(ζ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico dndi Base g(ζ) ∂ n Studi (n) f di (z)Matematica = n dζ = dζCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato n dz γ ζ − z γ ∂z ζ − z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a degli Studi ∂ n “Renato g(ζ) Caccioppoli” g(ζ) Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` e poich´ e = n!2013-2014 ricaviamo laDipartimento (3.2). di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato n n+1 ∂z ζ − z (ζ − z) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` chiaro che unendo la formula di Cauchy (2.5) e la proposizione 3.1, E 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato(teorema Caccioppoli” Politecnica e delle otteniamo l’indefinita derivabilit`a delle funzioni olomorfe II.1.3 Scuola di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Goursat). In effetti, data f olomorfa nell’aperto Ω, basta considerare i domini di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (ad esempio, i cerchi chiusi) contenuti in Ω. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degliD, Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico TEOREMA 3.2. Se f `ediolomorfa nel dominio essadi `e indefinitamente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di interni, Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle derivabile e nei punti ∀n ∈ eN0Applicazioni , valgono le uguaglianze Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z n! f (ζ) (n) di Matematica e Applicazioni “RenatofCaccioppoli” Scuola Politecnicadζe .delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (3.3) (z) = n+1 2 π j (ζ − +F DGreco z) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Le (3.3) sie delle dicono formule Cauchy per le derivate. 2013-2014 Luigi Greco InDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle realt` a, mediante la formula di Cauchy possiamo mostrare l’analiticit` a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di una funzione olomorfa, cio`e la possibilit`a di rappresentarla localmente come di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi somma di una serie di potenze. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi diSe Napoli “Federico II” Anno Accademico TEOREMA 3.3Scienze (Analiticit` a delle funzioni olomorfe). f `e olomorfa 2013-2014 Luigi Greco di nell’aperto, Matematicacio` e eApplicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle in Ω,Dipartimento essa `e analitica ogni z0 ∈ Ω “Renato ha un intorno (contenuto Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II”potenze Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in Ω) nel qualeStudi f `e somma di una serie di di punto iniziale z0 : di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ∞ Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n f (z) = an (z − z0 ) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 48 III. INTEGRAZIONE NEL CAMPO COMPLESSO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Com’`e noto, in base al principio di identit` a delle serie di potenze (teoredi Napoli “Federicoma II”II.2.10) Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato risulta, ∀n ∈ N0 , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (n) (z0 ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (3.4) an = . n! Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaDim. Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diinNapoli “Federico Fissato ze Ω, sia D un cerchio chiuso di centro z0 , contenuto Ω; diciamo ρ > 0 II” Anno Accademico 0 ∈ il raggio. Per la formuladidiMatematica Cauchy (2.5), abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z 1 f (ζ) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico (3.5) f (z) = dζ , se |z − z0 | < ρ . 2 π j |ζ−z0 |=ρ ζ − z Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi in (3.5). Osserviamo di Napoli “FedericoRiscriviamo II” Anno l’integrando Accademico 2013-2014 Luigiche Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 a degli 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1Scienze di Base Universit` Studi .di Napoli “Federico II” Anno Accademico = = · z − z0 ζ − z ζ − z + z − z ζ − z0 1 −“Renato 0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ζ − z0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Inoltre, essendo |ζ − z0 | = ρ > |z − z0 | e quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z − z0 Scuola |z − z0 | := k < 1, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ζ − z =Luigi ρ 0 Caccioppoli” Scuolausando Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la serie geometrica, possiamo scrivere “Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e1 Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∞  ∞ X X 1 1 1 z − z0 n (z − z0 )n = = Studi ·di Napoli “Federico , = Scienze di Base Universit` aζ − degli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z ζ − z0 1 − z − z0 ζ − z0 n=0 ζ − z0 (ζ − z0 )n+1 n=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ζ − z0 di Napoli “FedericolaII” Accademico 2013-2014 Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato serieAnno convergendo totalmente al variareLuigi di ζ ∈Greco F D. Pertanto, da (3.5) di ricaviamo ( ∞ ) Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Scienze diX (z − z0 )n (3.6) f (z) = f (ζ) dζ“Renato , se |z −Caccioppoli” z0 | < ρ . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle n+1 2 π j |ζ−z0 |=ρ n=0 (ζ − z0 ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per la proposizione 1.3 ` e lecita l’integrazione termine a termine: per |z − z0 | < ρ risulta ) e delle Scienze di Base Universit` ( di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi Z ∞ X 1 f (ζ) n di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(3.7) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dζ (z − z ) . f (z) = 0 2 π j |ζ−z0 |=ρ (ζ − z0 )n+1 n=0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ponendo ∀n ∈ N0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli1 “Federico II” fAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (ζ) a = dζ ,e delle Scienze di Base Universit` n n+1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi 2 π j |ζ−z (ζ − z ) 0 0 |=ρ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato allo sviluppo serie didi potenze. Caccioppoli” Scuolaarriviamo Politecnica e delle in Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3.4. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osservazione Le uguaglianze (3.4) seguono pure confrontando le di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi espressioni dei coefficienti an con le formule di Cauchy per le derivate (3.3). di Napoli “FedericoNotiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato altres`ı che nel mostrare l’analiticit`a, non abbiamo supposto a priori Caccioppoli” Scuolal’indefinita Politecnicaderivabilit` e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a, che dunque segue anche per questa via, ricordando i 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di potenze Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle risultati sulle serie di (teorema II.2.9). Lo“Renato sviluppoCaccioppoli” sussiste in ogni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento cerchio di centro z0 contenuto in Ω. I coefficienti della serie non dipendono dal di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi raggio del cerchio (si tratta della serie di Taylor di punto iniziale z0 ), quindi Universit` di Napoli “Federicoil II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato raggio di convergenza `e almeno pari alla distanza di z0 dalla frontiera di Ω Caccioppoli” Scuola(`ePolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞, nel caso Ω = C). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle 3. CONSEGUENZE DELLA FORMULA DI CAUCHYCaccioppoli” Scuola 49 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Ω z0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli P∞“Federico II” nAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 3.5.Caccioppoli” Sia n=0 anScuola (z − z0Politecnica ) una seriee di potenze condiraggio di Matematica e Applicazioni “Renato delle Scienze Base Universit` a degli Studi di convergenza ρ tale che 0 < ρ < +∞. Scelto z nel cerchio di convergenza, 0 0 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dettoScienze ρ1 il raggio di convergenza dellaStudi serie di di Taylor punto II” Anno Accademico 1 − z0 | < ρ0 ,eedelle Caccioppoli” Scuola|zPolitecnica di Base Universit` a degli Napoli di “Federico iniziale z della somma, mostrare le disuguaglianze 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ρ0 Napoli − |z1 − “Federico z0 | ≤ ρ1 ≤II” ρ0 Anno + |z1 −Accademico z0 | . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli CAPITOLO “Federico II” IV Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Propriet` a delle analitiche Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base funzioni Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Zeri delle funzioni analitiche. Princ`ıpi di identit` a di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II”Sia Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f definita in Ω; diremo che z0 ∈ Ω `e uno zero di f se in tale punto Caccioppoli” ScuolalaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzione si annulla: f (z0 ) = 0. Supponiamo ora f analitica in Ω, quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni indefinitamente derivabile. Diremo che z0 `e zero di “Renato ordine NCaccioppoli” ∈ N di f se Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.1) f (z0 ) = · · · = f (N −1)Scuola (z0 ) =Politecnica 0 , f (N ) (ze0 )delle 6= 0 , Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cio`e z0 `e zero di f , ma non annulla tutte le derivate, N essendo l’ordine della Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico prima derivata di f diversa da 0 in z ; uno zero di ordine 1 `e detto anche zero 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e0 Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle semplice. Dunque, z0 zero di ordine N di f significa che lo sviluppo di Taylor Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di f intorno a z0 `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato f (NGreco (z0Dipartimento ) f (N ) (z0 )2013-2014N Luigi (z − zBase (z −Studi z0 )N +1 + · · · , “Federico II” Anno Accademico f (z) e=delle Scienze 0) + Caccioppoli” Scuola Politecnica di Universit` a degli di Napoli N! (N + 1)! 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle essendoa diverso da zero il coefficiente del II” primo termine. Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 1.1. Il punto z0 = 0 `e zero semplice della funzione sin z, di Napoli “Federicopoich´ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 6= 0; lo sviluppo di Mac Laurin, com’`e noto, `e e D sin z 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e z=z delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica z 3 e Applicazioni z5 z 7 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sin z = z − + − ··· . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno+Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 6 120II” 5040 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Il punto z = 0 `e zero doppio (di ordine 2) della funzione f (z) = 1 − cos z, in di Napoli “Federico II” Anno0 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quanto f (0) = f 0 (0) = 0, f 00 (0) 6= 0; lo sviluppo di Mac Laurin `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica z2 ze4 Applicazioni z6 z 8 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle − + − + ··· . 1 − cos z = Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli2“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 24 720 40320 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Uno zero di un certo ordine N ∈ N sar`a detto zero di ordine finito; diremo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che z0 `e zero di ordine infinito se annulla f e tutte le derivate: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento difMatematica 0= (z0 ) = f 0 (z0 )e=Applicazioni · · · = f (n) (z0“Renato ) = · · · . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 1.2. Uno zero di ordine finito e`e delle isolato. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato altri termini, se z0 `e zero di ordine finito di f , esiste un suo intorno nel Caccioppoli” Scuolaquale Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico non cadono altri zeri della funzione. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 50 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle `IPI DI IDENTIT` 1. ZERI DELLE FUNZIONI ANALITICHE. PRINC a 51 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle aScienze diu Base a degli Studi Dim. Sia z0 zero di ordine N ; sviluppando f in serie di Taylor eintorno z0 , in virt` delle Universit` scriviamo di Napoli “Federico(1.1), II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ (n)Base Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X fdi (z0 ) Universit` (1.2) Dipartimento f (z) (z Applicazioni − z0 )n = (z − z0“Renato )N ϕ(z) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco di =Matematica e n! n=N Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dove +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (n+N ) (zPolitecnica X fScuola 0) (z −Dipartimento z0 )n ϕ(z) = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato (n + N )! Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di n=0 Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` e una funzione definita intorno a z0 , analitica e quindi in particolare continua in z0 . Inoltre 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (N ) (z0 ) ϕ(z0 ) =a degli Studi 6= 0, quindi ϕ(z) 6= 0 in un intorno di z0 . Accademico Valendo (1.2),2013-2014 ` e chiaro cheLuigi in Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Greco Dipartimento N! tale intorno f “Renato si annulla solo in z0 . di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi se z0 `e2013-2014 zero di ordine f si annulla diinMatematica un intorno: e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Ovviamente, Anno Accademico Luigi infinito, Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuolainfatti Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ (n) X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f e (zApplicazioni ) 0 = “Federico II” (z −Anno z0 )n Accademico = 0, Scienze di Base Universit` a degli Studi dif (z) Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n! n=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi per Accademico ipotesi i coefficienti dellaLuigi serie Greco tutti nulli. Se Ω `e connesso, in realt`a e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoessendo II” Anno 2013-2014 Dipartimento di Matematica funzione `e eidenticamente valeStudi il seguente risultato. Caccioppoli” ScuolalaPolitecnica delle Scienze nulla. di BasePrecisamente, Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco PROPOSIZIONE Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.3. Se f `e analitica nell’aperto connesso Ω ed amScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento mette uno zero di ordine infinito, essa si annulla in ogni punto. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Diciamo A l’insieme degli zeri di ordine f e B = Ω − A di il complementare; di Napoli “FedericoDim. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigiinfinito GrecodiDipartimento Matematica e Applicazioni “Renato ` facile dunque z0 ∈ B significa che tale punto non annulla f , o ` e zero di ordine finito. E Caccioppoli” Scuolaconvincersi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che i due insiemi sono aperti. Questo vale per A, poich´ e per ogni suo punto, come visto, troviamo un nel qualee fApplicazioni ` e identicamente nulla, che ` e quindi formato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di intorno Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle da zeri di ordine infinito, cio` e` e contenuto in A. D’altra parte, se z0 ∈ B, o f (z0 ) 6= 0 e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento quindi per la continuit` a f (z) rimane non nulla in un intorno, o z0 ` e zero di ordine finito e di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuoladel Politecnica delle Scienze diordine Base Universit` a degli Studi quindi isolato:“Renato in ogni caso troviamo un intorno punto in cuienon cadono zeri di cio` e contenuto in B.2013-2014 Essendo evidentemente A ∪ B e A ∩ Bdi = Matematica ∅, per l’ipotesi e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoinfinito, II” Anno Accademico Luigi GrecoΩ = Dipartimento di connessione di Ω uno tra i due insiemi ` e vuoto. Se f ha uno zero di ordine infinito, ` e Caccioppoli” ScuolaA Politecnica e delle Scienzerisulta di Base a A, degli “Federico 6= ∅ e quindi necessariamente B =Universit` ∅, cio` eΩ= valeStudi a dire di cheNapoli ogni punto ` e zero II” Anno Accademico (di ordine infinito). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napolisegue “Federico II” principio Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Dala risultato precedente, il primo di identit`a2013-2014 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.4 (I 2013-2014 principio diLuigi identit` a delle funzioni analitiche). Siano e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e g funzionie analitiche in un aperto connesso. Se esiste punto nel quale II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaf Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi un di Napoli “Federico coincidono le due funzioni e ordinatamente tutte le derivate, le due funzioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle coincidono ovunque. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e delle di Base a degli Studi Dim. Per ipotesi, esiste Caccioppoli” z0 in cui risulta Scuola f (n) (z0 )Politecnica = g (n) (z0 ), ∀n ∈ N0 . Scienze Evidentemente, il Universit` =0` e contenuto nella 2013-2014 proposizioneLuigi 1.3. IlGreco caso generale segue da questo particolare, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocaso II”gAnno Accademico Dipartimento di Matematica sulla differenza f − g, per la quale z0 ` e zero di ordine infinito. Caccioppoli” Scuolaragionando Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dal primo principio si ricava il secondo. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II”a Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 1.5di(IINapoli principio di identit` delle funzioni analitiche). Siano di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi f e g funzioni analitiche in un aperto connesso. Se l’insieme dei punti in Universit` di Napoli “Federicocui II”leAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato funzioni coincidono ammette un punto di accumulazione appartenente Caccioppoli” Scuolaall’aperto, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico le due funzioni coincidono ovunque. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLE FUNZIONI ANALITICHE 52 IV. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” delle l’insieme Scienze di Base Universit` a degli Studi Dim. Siano f“Renato e g funzioni analitiche in ΩScuola aperto Politecnica connesso. Pereipotesi,  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato E = z ∈ Ω : f (z) = g(z) Caccioppoli” ScuolahaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico un punto di accumulazione z0 ∈ Ω. Ovviamente E ` e l’insieme degli zeri della funzione differenza h = f −g, analitica in Ω. Il punto a e quindi di continuit` a, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e zApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 , essendo di analiticit` ` e zero di h. Esso non ` e isolato, in quanto per costruzione in ogni suo intorno cadono infiniti Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento punti di E, cio` e zeri di h. Pertanto z0 ` e zero di ordine infinito e, in virt` u del I principio di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica ee fdelle Scienze di Base Universit` a degli Studi (nella forma della proposizione 1.3), h ` e identicamente nulla, cio` e g coincidono. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Osservazione L’ipotesi z0 appartenga a Ω `ediessenziale per la II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.6. Scienze di Baseche Universit` a degli Studi Napoli “Federico conclusione. Ad esempio, consideriamo la funzione f (z) = sin(1/z), analitica 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nell’aperto connesso Ω= C − {0}. L’insieme `e formato2013-2014 dai reciproci Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” degli Annozeri Accademico Luigi Greco Dipartimento dei numeri k π, con k ∈ Z − {0}, ed ammette z = 0 come punto di accumu0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cheAccademico per` o non `e di analiticit` a. Evidentemente f non `ediidenticamente di Napoli “Federicolazione, II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato in Ω. e delle Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuolanulla Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Come Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle conseguenza dei risultati precedenti, abbiamo il seguente principio. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 1.7 Caccioppoli” (Permanenza Scuola delle propriet` a analitiche). Una propriet` a Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi da Accademico un’uguaglianza tra funzioni in un apertodiconnesso, che e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoespressa II” Anno 2013-2014 Luigianalitiche Greco Dipartimento Matematica in un insieme accumulazione appartenenti all’aperto, Caccioppoli” Scuolavalga Politecnica e delle dotato Scienzedidipunti Base di Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico vale in tutto l’aperto. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi II”consideriamo Anno Accademico 2013-2014alle Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 1.8.diANapoli scopo “Federico illustrativo, un’applicazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi funzioni trigonometriche. Quando abbiamo esteso seno e coseno al campo Universit` di Napoli “Federicocomplesso, II” Anno abbiamo Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato osservato che continua a valere la relazione fondamentale Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos2 z + sin2ez Applicazioni = 1 , ∀z ∈ C“Renato . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La verifica si ottiene con un calcolo diretto. Vogliamo ricavare tale relazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi in applicazione del principio di permanenza delle propriet`a analitiche. Osser- Universit` 2 e Applicazioni “Renato 2 di Napoli “Federicoviamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica che essa consiste nell’uguaglianza tra le funzioni f (z) = cos z + sin z Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Napoli “Federico g(z) = 1, analitiche in C. L’uguaglianza `e nota per Studi z = x di ∈ R, cio`e nei pun- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ti dell’asse reale, e pu` o essere estesa al piano complesso mediante il secondo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento principio di identit` a. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Come ulteriore applicazione, ricaviamo la formula di addizione del coseno: Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + w) = cosUniversit` z cos w −asin z sinStudi w . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle cos(z Scienze di Base degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Tale formula `e ben nota per z e w reali. Fissato w ∈“Renato R, estendiamo la formula Scienze di Base Universit` degli Studi di Napolidi“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a z ∈ Ca mediante il principio permanenza delle propriet` a analitiche e, sucdi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cessivamente, mantenendo z fissato, allo stesso modo eestendiamo la formula di Napoli “Federicoa II” w ∈Anno C. Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Sia z0 zero di ordine N > 1“Renato di f . Osservare che z0Scuola `e 2013-2014 Luigi Greco ESERCIZIO Dipartimento 1.9. di Matematica e 0 Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle zero di ordine N − 1 della derivata f . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze a degli Studi ESERCIZIO 1.10. Dimostrare che zPolitecnica e zero di eordine N se e di soloBase se Universit` 0 ` di Napoli “Federicointorno II” Anno Accademico Luigi Dipartimento di Matematica ad esso f (z) = (z2013-2014 − z0 )N ϕ(z), conGreco ϕ analitica e non nulla in z0 . (Cfr. e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(1.2).) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoMODULO Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DI MEDIA E PRINCIPIO DI MASSIMO 2. PROPRIETA 53 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle mostrare Scienze diche Base a degli Studi ESERCIZIO 1.11. Ragionando sugli Politecnica sviluppi di Taylor, se Universit` di Napoli “Federicoz0II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e zero di ordine M di f e zero di ordine N di g, esso `e zero di ordine M + N Caccioppoli” Scuoladel Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico prodotto f g. Ad esempio, dire qual `e l’ordine di z0 = 0 come zero della 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle funzione 2 z Scienze di Base Universit` a degli Studi dif (z) Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = ( e“Federico − 1) (1 −II” cosAnno z) sinAccademico z. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2. Propriet` a di2013-2014 media eLuigi principio massimo modulo di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco di Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Come conseguenza della formula di Cauchy, ricaviamo la propriet`a di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle media delle funzioni analitiche. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 2.1.Caccioppoli” Sia f una funzione nell’aperto Se il cerchio di Matematica e Applicazioni “Renato Scuolaanalitica Politecnica e delle Ω. Scienze di Base Universit` a degli Studi di centro z0 e raggio r `e contenuto in Ω,Dipartimento risulta di Napoli “Federicochiuso II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Universit` f (z) ds . (2.1) f (z ) = 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 π r |z−z0 |=r Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che nell’uguaglianza (2.1) la quantit`a 2 eπ delle r `e la Scienze lunghezza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di della Base Universit` a degli Studi circonferenza di centro z e raggio r, alla quale ` e esteso l’integrale, quindi e Applicazioni “Renato 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica secondo membro diviso per la lunghezza, cio`e la“Federico media II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaa Politecnica e delle figura Scienzel’integrale di Base Universit` a degli Studi di Napoli integrale di f : essa uguaglia il valore di f nel centro. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Dim. Applichiamo la formula di Cauchy a f sul cerchio chiuso di centro z0 e raggio r; una Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento rappresentazione parametrica della circonferenza ` e z = z0 + r ejϑ , 0 ≤ ϑ ≤ 2 π: ZCaccioppoli” Scuola Politecnica Z 2π di Matematica e Applicazioni “Renato e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 f (z) 1 f (z0 + r ejϑ ) jϑ f (z0Accademico ) = j r e dϑ dz = Greco Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato 2 π j |z−z0 |=r z − z0 2πj 0 r ejϑ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z Z 1 di2πMatematica 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = f (z) ds , f (z0 + r ejϑ ) dϑ = 2 π di π r Anno Scienze di Base Universit` a degli Studi Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento |z−z0 |=r 0 Napoli “Federico2II” poich´ e r dϑ = “Renato ds. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Mediante Anno Accademico 2013-2014 Grecoricavare Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la propriet` a di media,Luigi possiamo il seguente Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico TEOREMA 2.2 (Principio di massimo modulo). Sia f olomorfa nell’a2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle perto connesso Ω. Se f non `e costante, |f | `e privo di massimi relativi. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dim. Mostriamo che, se Caccioppoli” |f | ha un massimo relativo, f risulta costante. dunquediz0Base ∈ Ω Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Sia Scienze a degli Studi di massimo relativo per2013-2014 |f |: esiste quindi intorno di tale punto neldiquale |f | assume e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicopunto II” Anno Accademico LuigiunGreco Dipartimento Matematica valori non superiori a |f (z0 )|, vale a dire che per r > 0 opportuno risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.2) |z − z0 | < r ⇒ z ∈ Ω e |f (z)| ≤ |f (z0 )| . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Per la propriet` a di media, se 0 < ρ < r abbiamo Z II” Anno Accademico Z Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Za degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica di Base Universit` a degli Studi |f (z0 )| ds = 2 π ρ |f (z0 )| Scuola = f (z) ds ≤e delle Scienze |f (z)| ds |z−z0 |=ρ |z−z0 |=ρ |z−z0 |=ρ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Caccioppoli” Scuolae quindi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a
degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico |f (z)| − |f (z0 )| ds ≥ “Renato 0. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle |z−z0 |=ρ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Poich´ e per (2.2) l’integrando ` e non-positivo, questo implica che esso ` e identicamente nullo, cio` e |f (z)| vale“Renato costantemente |f (z0 )| sulla circonferenza di centro z0 e raggio ρ. Per l’ar- Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi a di ρAccademico < r, risulta |f2013-2014 | costante nel cerchio di centro z0 e raggiodi r. Matematica In virt` u della e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicobitrariet` II” Anno Luigi Greco Dipartimento proposizione II.1.5, f risulta costante in tale cerchio e quindi, per il secondo principio di Caccioppoli” Scuolaidentit` Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a, in Ω. e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLE FUNZIONI ANALITICHE 54 IV. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Osservazione 2.3. In effetti si dimostra che, se f non costante ` e olomorfa in undiaperto Ω, essa ` e un’applicazione aperta,Luigi cio` e trasforma sottoinsiemi aperti di Ω in aperti, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoconnesso II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica l’immagine di un intorno di z0 contiene un intorno di f (z0 ), nel quale cadono punti Caccioppoli” Scuolaquindi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico w = f (z) tali che |f (z)| > |f (z0 )|. Questo implica che |f | sia priva di massimi relativi. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Dala teorema 2.2 di ricaviamo subito Scienze di Base Universit` degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi TEOREMA 2.4. Se f `e continua in un dominio limitato ed olomorfa di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nei punti interni, il massimo di |f | `e assunto sulla frontiera. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Osserviamo Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato su Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che il massimo esiste essendo |f | continua un compatto. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Detto D il dominio, la tesi vuol dire che risulta ∀z ∈ D di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi |f (z)|Luigi ≤ max |f | . Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco FD Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3. Ulteriori Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico propriet` II” Annoa Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola svilupparla Politecnica ine serie delle di Scienze di Base Universit` a degli Studi Se f `e una funzione intera, possiamo Mac Laurin: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z) = an z n , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dove Z (n) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 f (z) f (0) = Universit` dz , di Napoli “Federico II” Anno Accademico n = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle aScienze di Base a degli Studi n+1 n! 2 π j |z|=r z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle con r > arbitrario. segue “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a 0degli Studi diNeNapoli Z Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi f (z)Politecnica 1 Mr e delle Scienze di Base Universit` dsDipartimento |an2013-2014 |≤ ≤ , di Napoli “Federico(3.1) II” Anno Accademico Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 2 π |z|=r z n+1 rn Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle essendo Mr = max|z|=r |f (z)|. (Queste sono dette disuguaglianze di Cauchy.) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Una immediata applicazione delle (3.1) `e il seguente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3.1 (di2013-2014 Liouville).Luigi OgniGreco funzione intera limitata `e costante. e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dim. Dipartimento Dalle (3.1) passando al limite pere r Applicazioni → +∞, otteniamo an = Caccioppoli” 0, ∀n ∈ N, quindi 2013-2014 Luigi Greco di Matematica “Renato Scuola Politecnica e delle f (z) = a0 , ∀z ∈ C. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Il teorema di Liouville consenteScuola di dimostrare facilmente seguente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle ilScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3.2 (fondamentale dell’Algebra). Nel campo complesso ogni Caccioppoli” Scuolapolinomio Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di grado positivo ha almeno uno zero. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli II”assurdo, Anno supponiamo Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Dim. Sia P un Studi polinomio di grado “Federico positivo. Per P (z) 6= 0, ∀z ∈ Luigi C. Ne segue che “Renato f = 1/P ` eCaccioppoli” una funzione intera. essendo lim PScienze (z) = ∞,dirisulta di Matematica e Applicazioni Scuola Inoltre, Politecnica e z→∞ delle Base Universit` a degli Studi lim (z) = 0Accademico ef ` e limitata.2013-2014 Per il teorema Liouville, f ` e costante, quindi tale risulta e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoz→∞ II” fAnno Luigidi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolapure Politecnica delleche Scienze Basepositivo. Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P , contro ile fatto esso hadigrado 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle 4. SVILUPPO DI LAURENT “Renato Caccioppoli” Scuola 55 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi 4. Sviluppo di Politecnica Laurent e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Nel paragrafo abbiamo mostrato la sviluppabilit` serie di“Federico Taylor II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleIII.3 Scienze di Base Universit` a degli StudiadiinNapoli delle funzioni olomorfe, lo sviluppo valendo in ogni cerchio contenuto nell’a2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle perto di olomorfia. Otterremo in questo paragrafo uno sviluppo pi` u generale, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che consentir` a di rappresentare funzione olomorfa mediante unadi serie di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”una Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi bilatera di potenze, anche in situazioni in cui lo sviluppo di Taylor non `e e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolaapplicabile. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico serie bilatera di potenze `e una serie del tipo 2013-2014 Luigi Greco Una Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli X “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.1) cn (z − Politecnica z0 )n , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n=−∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuoladove Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi numeri di Napoli “Federico II” Anno Accademico z0 ∈ Ce `edelle fissato e i coefficienti cn sono assegnati complessi. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Compaiono dunque di in generale anchee potenze di z−z“Renato con esponente negativo; 0 Scienze di Base Universit` Studi Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento se cn =a 0,degli ∀n < 0, ladi serie si riduce ad unaII”ordinaria serie di potenze. Diremo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di serie Base Universit` a degli Studi che la serie (4.1) converge se risultano convergenti separatamente le due di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ −1 X X nUniversit` n Caccioppoli” Scuola(4.2) Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cn (z − z0 ) , cn (z − z0 ) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e in tal caso porremo chiaramente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze! di Base Universit` a degli Studi ! +∞ −1 +∞ X X X di Napoli “Federico II” Anno Accademicon 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − z0Scienze ) = di Base cnUniversit` (z − z0 )na degli + Studi cn di (z Napoli − z0 )n “Federico . Caccioppoli” Scuola Politecnicacne(z delle II” Anno Accademico n=−∞ n=−∞ n=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo che la seconda serie“Federico in (4.2) `e II” unaAnno serie di potenze di punto iniziale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z0 , quindi converge un cerchio Scuola di centro z0 , cio`e per |z −Scienze z0 | < R, con Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato in Caccioppoli” Politecnica e delle di Base a degli Studi ∈ Anno ]0, +∞]. La prima2013-2014 serie in (4.2) una serie di potenzediinMatematica 1/(z − z0 ), e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoRII” Accademico Luigi`e Greco Dipartimento converge per Scienze |z − z0 | > dove r ∈ [0, +∞[; supporremo < R, in II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaquindi Politecnica e delle di r, Base Universit` a deglinoi Studi di Napolir “Federico modoDipartimento che la serie (4.1) converga nella corona circolare r < |zCaccioppoli” − z0 | < R. Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z0 ΓR“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Γr 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Pi` Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle u precisamente, le due serie (4.2) convergono “Renato totalmente in ogni corona Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno 2013-2014 Greco Dipartimento 0 di Napoli “Federico 0 0Accademico 0 circolare del tipo r ≤ |z − z0 | ≤ R , con r < r < R < R, e quindi Luigi la di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (4.1) pu` o essere integrata termine a termine. Una serie bilatera pu`o essere di Napoli “Federicoaltres` II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ı derivata termine a termine nei punti interni alla corona circolare in cui Caccioppoli” Scuolaconverge. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLE FUNZIONI ANALITICHE 56 IV. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Scienze di Base a degli Studi Mostriamo la possibilit` a di sviluppare in serie bilatera potenze una Universit` di Napoli “Federicofunzione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato olomorfa in una corona circolare. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Laurent). Sia f olomorfa corona cir2013-2014 Luigi Greco TEOREMA Dipartimento4.1 di (Sviluppo Matematica e Applicazioni “Renato nella Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle colare adidegli centro z0 determinata dalle disuguaglianze r ≤ |z − z2013-2014 0 | ≤ R, dove Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 0 < r < R 0 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle arbitrariamente piccolo, e scrivere loe sviluppo di Laurent di fCaccioppoli” in tale corona. Scienze di Base Universit` a degliche Studi di Napolinon “Federico II” Anno Greco Dipartimento Osserviamo i coefficienti dipendono da r. Accademico Inoltre, per 2013-2014 il teorema Luigi di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Cauchy, risulta cn = 0, per n < 0, essendo per tali indici le funzioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (ζ) −n−1 7→ = f (ζ) (ζ − z ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ζScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 (ζ − z0 )n+1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLE FUNZIONI ANALITICHE 58 IV. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato delle Scienze Base Universit` a degli Studi olomorfe intorno a z0 ,Caccioppoli” e lo sviluppo Scuola si riducePolitecnica a quello dieTaylor. (Questodisegue di Napoli “Federicopure II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in base al principio di identit`a delle serie bilatere, Proposizione 4.2.) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il caso successivo `e quello in cui f `e olomorfa in un intorno di z0 ∈ C, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di eMatematica e bucato Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle escluso il punto z0 , cio` in un cerchio privandolo del centro. In questo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento caso, con le corone circolari del tipo r ≤ |z−z0 | ≤ R per r → 0 invadiamo tutto di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi il cerchio bucato 0 < |z − z0 | ≤ R. Troviamo pertanto che lo sviluppo vale in Universit` di Napoli “Federicotale II”insieme Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e, come vedremo, permetter`a di studiare la funzione intorno a z0 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Un altro caso `e quello di una funzione f olomorfa in un intorno del punto 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ora di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle ∞. Consideriamo corone circolari di centro 0, “Renato del tipo rCaccioppoli” ≤ |z| ≤ R, con Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento r > 0 fissato e R → +∞. In questo modo otteniamo lo sviluppo per r ≤ |z|, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi che useremo per studiare f intorno a ∞. di Napoli “Federico II”Una Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato funzione olomorfa `e rappresentabile mediante serie di Laurent in ogni Caccioppoli” Scuolacorona Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico circolare contenuta nell’aperto di olomorfia. Fissato il centro, per una 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” stessaDipartimento funzione possono esserci diverse corone circolari con tale propriet`a. Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ESEMPIO 4.3. Caccioppoli” La funzione Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z)e =Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1−z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi olomorfa C − {1}; pu` o essere sviluppata in serie di LaurentdiinMatematica due corone e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico`e II” Anno in Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di centro 0: Scienze a) il cerchio |z| Universit` < 1, b) l’insieme |z| >di 1. Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolacircolari Politecnica e delle di Base a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento |z| > 1 e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle |z| < 1 1 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoInII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato entrambi i casi, lo sviluppo cercato `e una serie di potenze in z (eventualCaccioppoli” Scuolamente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico con esponenti anche negativi). 2013-2014 Luigi Greco a)Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Essendo f olomorfa nel cerchio |z| < 1, lo sviluppo di Laurent coincide Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con quello di Taylor. Per scriverlo, basta ricordare la serie geometrica: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze=di Base a zdegli 1+ z +Universit` z2 + · · · + + ·Studi · · . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 − z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle ` ISOLATE “Renato Caccioppoli” Scuola 5. SINGOLARITA 59 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze ma di Base a degli Studi b) Anche per |z|Caccioppoli” > 1 possiamo utilizzare la serie geometrica, con Universit` di Napoli “Federicoragione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1/z: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞  n −1 X 1 di 1Matematica −1 1 X 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle =− = · =− zn Scienze di Base Universit` a degli1Studi “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento − z diz Napoli 1 − 1/z z n=0 z n=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 12013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 − − di2 Base − · · · Universit` − n − · a· · degli . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle=Scienze Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z z z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La funzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” ez Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”h(z) Scuola a degli Studi z di Napoli “Federico`e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato olomorfa nell’insieme C−{0}, che pu`o essere considerato una corona circolare Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico centro 0. Per scrivere lo sviluppo di Laurent, `e sufficiente ricordare lo +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoX Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zn . Ne segueLuigi Greco Dipartimento sviluppo di Mac Laurin della funzione esponenziale: ez = Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 n! n=0Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi +∞ +∞ +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n n−1 n Xz z 1 X z 1 = a degli + Studi di Napoli . Caccioppoli” Scuola Politecnica eh(z) delle=Scienze di = Base Universit` “Federico II” Anno Accademico z n=0 n! n! z (n + 1)! n=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazionin=0 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi didiNapoli II” Anno Luigi Greco Dipartimento Questoa`edegli lo sviluppo Laurent“Federico di h sia intorno a 0Accademico che intorno 2013-2014 a ∞. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5. Singolarit` a isolate Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che z0 ∈ `e una singolarit` a isolata della funzione f se f `e olo2013-2014 Luigi Greco Diremo Dipartimento diCMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle morfa in un intorno di z , escluso il punto; vale a dire che esiste r > 0 tale 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che f sia olomorfa perCaccioppoli” 0 < |z − z0 | Scuola < r. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi che la singolarit` a isolata z0 Greco della Dipartimento funzione f `e una singolarit` a e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Diremo Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica ha un prolungamento olomorfo in z0 ,Studi cio`e esiste una funzione Caccioppoli” Scuolaeliminabile Politecnicaseefdelle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico g, olomorfa in un intorno di z (incluso z ), che coincide con f nei punti Scuola di 0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle tale intorno distinti da z . 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ESEMPIO 5.1. Caccioppoli” La funzione Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigisin Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z f (z)Universit` = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` ha in za0 degli = 0 Studi una singolarit` a “Federico isolata; essa una singolarit` a eliminabile. E Scienze di Base Universit` di Napoli II”`eAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ben noto che“Renato (la restrizione all’asse Scuola reale di)Politecnica f si prolunga per Scienze continuit` a in 0, Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” e delle di Base a degli Studi in tale punto il valore Luigi 1. PerGreco rendersi conto che il di prolungamento di Napoli “Federicoassegnandole II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato continuit` ae `edelle olomorfo in di 0, basta usare lo sviluppo di Mac Laurin “Federico di sin z: II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaper Politecnica Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli +∞ +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematicaz 2n+1 e Applicazioni “Renato X sin z 1di X z 2n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n = di Napoli (−1)n“Federico II” = Anno (−1)Accademico = Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z z n=0 (2n + 1)! n=0 (2n + 1)! di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z 2 diz 4Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 1Scienze − + − ··· 6 120 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLE FUNZIONI ANALITICHE 60 IV. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatohaCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi La serie di potenze raggio di convergenza +∞ e la sua somma g, chedi`e Base una Universit` di Napoli “Federicofunzione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato intera, coincide con f in C − {0}. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco ESERCIZIO Dipartimento 5.2. di Matematica e le Applicazioni Verificare che funzioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli z“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e −1 1 − cos z di Matematica e Applicazioni “Renato fCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi , f2 (z) = 1 (z) = z z2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolapresentano Politecnicaentrambe e delle Scienze di BaseaUniversit` a degli una singolarit` eliminabile in z0Studi = 0. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il aseguente risultato fornisce alcune II” caratterizzazioni del fatto che una Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento singolarit` a isolata sia Caccioppoli” eliminabile. Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato PROPOSIZIONE 5.3. diSia z0 una singolarit` a isolata funzione f . II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi didella Napoli “Federico Le seguenti proposizioni sono equivalenti: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1) z0 `e singolarit` a eliminabile; di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (2) f converge in z0 ; di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (3) f `e limitata intorno a z0 ; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (4) nello sviluppo di Laurent di f intorno a z0 sono nulli i coefficienti 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e sviluppo Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle cn con indice n < 0, cio`e lo consiste in unaCaccioppoli” ordinaria serie Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di potenze. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoDim. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` E chiaro che (1)⇒(2)⇒(3). Mostriamo l’implicazione (3)⇒(4). Supponiamo quindi Caccioppoli” ScuolachePolitecnica Scienze di |f Base Universit` Napoliρ“Federico esistano r >e0delle eM > 0 tali che (z)| ≤ M , per 0a 0 opportuno) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ X n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f (z) = cn (zII” − zAnno 0) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” n=0 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi serie a secondo membro converge per |z − z0 | Greco < r, compreso z0 , e la sua fornisce e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoLaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di somma Matematica prolungamento di f olomorfo . Caccioppoli” Scuolail Politecnica e delle Scienzeindiz0Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Nel Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle seguito, neldicaso di una singolarit` a eliminabile noi prolungheremo la Scienze di Base Universit` a degli Studiindimodo Napoli II” funzione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento funzione nel punto da “Federico ottenere una olomorfa. Consideriamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Le Politecnica e delle in Scienze di comBase Universit` a degli Studi ora le singolarit` a isolate non eliminabili. classificheremo base al di Napoli “Federicoportamento II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato della funzione intorno ad esse. Per studiare tale comportamento, Caccioppoli” Scuolauseremo Politecnica e delle Scienze di Base di Napoli “Federico lo sviluppo di Laurent. SiaUniversit` dunque az0degli una Studi singolarit` a isolata della II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di lo Matematica Applicazioni “Renatoa Caccioppoli” Politecnica e delle funzione f ; scriviamo sviluppo die Laurent di f intorno z0 separando Scuola le Scienze di Base Universit` a con degliesponente Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento potenze negativo“Federico e quelle con esponente non-negativo: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −1 +∞ X X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z) e=delle Scienze cn (z −diz0Base )n + Universit` cn (z a−degli z0 )n ,Studi 0 0; in tal di Napoli “Federicocaso, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato porremo f (∞) = c0 = lim f (z). Diremo che ∞ `e polo di ordine N ∈ N Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze z→∞ di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico se risulta cN 6= 0 e cn = 0, ∀n > N ; pertanto l’uguaglianza (6.1) si riduce a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n f (z) = cn zScuola + c1 zPolitecnica + · · · + cN ez Ndelle . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi n=−∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che ∞e `delle e unaScienze singolarit` essenziale se infiniti cn con n > 0 II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaDiremo Politecnica di aBase Universit` a degli coefficienti Studi di Napoli “Federico sono Dipartimento diversi da 0. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Scienze di Base Universit` a degli Studi 6.1. di Napoli “Federico II” all’∞ Anno equivale Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Osservazione Studiare f intorno a studiare g(z) Luigi = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f (1/z) intorno a 0. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Valgono caratterizzazioni a quelle viste nel di caso di un“Federico punto II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di analoghe Base Universit` a degli Studi Napoli al finito. Ad esempio, l’olomorfia all’∞ equivale sia alla convergenza all’∞, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che alla limitatezza in Napoli un intorno dell’∞; baseAccademico a questo, il2013-2014 teorema 3.1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico II”inAnno Luigi Greco Dipartimento di Liouville “Renato si pu` o enunciare nel modo seguente: “Ogni funzione olomorfa in Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi ˆII” =C ∪ {∞} `e costante”. di Napoli “FedericoC Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P (z) una funzione“Renato razionale, rapporto traScuola i 6.2.diSia f (z) = 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Q(z) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento polinomi P , di grado M , e Q, di grado N . Essa `e olomorfa all’∞ se M ≤ N ; di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ha un polo di ordine M − N se M > N . z di Napoli “Federico II”Le Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato funzioni e , sin z, cos z, hanno nel punto ∞ una singolarit`a essenziale. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Sia f una funzione intera. Se ∞ `e un polo di ordine 2013-2014 Luigi Greco ESERCIZIO Dipartimento 6.3. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle N , f ` e un polinomio di grado N . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CAPITOLO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” V Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Residui e Universit` applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Scuola Residui di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Siano Annoz0Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∈ C e f una funzione olomorfa in un intorno di z0 , escluso al pi` u Caccioppoli” Scuolaz0Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico . Si chiama residuo di f in z0 la quantit`a Z “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 1 f (z) dz , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.1) a degli Studi R[z0di ] =Napoli Rf [z0 ]“Federico = R[z0 ; f ]II” = Anno Accademico Scienze di Base Universit` 2πj γ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi γ una circonferenza di centro z0 Greco contenuta nell’intorno. Osserviamo e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoessendo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica perScienze il teorema di Cauchy, l’integrale in (1.1) non “Federico dipende II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolainnanzitutto Politecnica che, e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli ` chiaro inoltre da γ.Dipartimento E che, se f `e eolomorfa anche“Renato in z0 , il Caccioppoli” residuo `e nullo. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica Applicazioni Scuola Politecnica e delle Confrontando (1.1) con le formule (IV.4.7) definiscono i coefficienti dello Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”che Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sviluppo di Laurent a z0 , vediamo che risulta e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato intorno Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico(1.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[z0 ] = c−1 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1.1.diRicordando lo esviluppo di Laurent dellaCaccioppoli” funzione f (z)Scuola = 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Politecnica e delle 1/(1 − z) intorno a z = 1, vediamo subito che il residuo ` e R [1] = −1. 0 Napoli “Federico II” Anno Accademico f 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di La funzione g(z) Caccioppoli” = z −2 ha residuo nullo in z0 = 0,e ma nonScienze `e olomorfa in Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica delle di Base a degli Studi tale punto, che ` e un polo doppio. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base degli Studi di Napoli Sia ora f eolomorfa intorno a ∞.Universit` Si dice aresiduo nel punto all’∞“Federico di f la II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle quantit` a Z Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 1 (1.3) R[∞] Caccioppoli” = Rf [∞] = R[∞; f ] =Politecnica fe(z) dz , Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola delle a degli Studi 2 π j −γ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato γ `e una ecirconferenza 0 contenuta nell’intorno; l’orientamento Caccioppoli” Scuoladove Politecnica delle Scienzedidicentro Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico scelto ` e quello negativo (orario), che le compete come frontiera di un intorno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di ∞. aVediamo che risulta Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (1.4) R[∞] = −c−1 , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dove c−1 `e coefficiente dello sviluppo di Laurent di f intorno a ∞. Osserviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che c `e, nel caso del punto ∞, un coefficiente della parte olomorfa; in effetti, 2013-2014 Luigi Greco −1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle pu` o risultare Rf [∞] 6= 0 anche se f `e olomorfa in ∞. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 1.2. La funzione f (z) = 1/zPolitecnica `e olomorfaeall’∞ risulta fdi (∞) = Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delleeScienze Base a degli Studi maAnno Rf [∞] = −1. di Napoli “Federico0,II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Basenel Universit` a deglidiamo Studi idi Napoli risultati. “Federico II” Anno Accademico Riguardoeildelle calcolo del residuo punto all’∞, seguenti 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 67 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 68 V. RESIDUI E APPLICAZIONI“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi LEMMA 1.3. Sia f olomorfa Scuola intornoPolitecnica a ∞. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • Se f (z) converge per z → ∞, cio`e f `e olomorfa anche all’∞, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R[∞] = lime zApplicazioni [f (∞) − f (z)]“Renato . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z→∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In “Renato particolare, se z f (z) converge per z → ∞,e`edelle f (∞)Scienze = 0 e di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[∞] = − lim z f (z) . z→∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico • Il calcolo del residuo di f eall’∞ equivale “Renato a quello del residuo della 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle funzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoII”Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola 1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi g(z) = −f di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco z z 2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle0,Scienze di Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico nel punto cio`e risulta RfUniversit` [∞] = Rga[0]. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato P Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ Osservazione Ovviamente R[∞] dipende da 0 2013-2014 cn z n nello Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.4. di Napoli “Federico II”non Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento sviluppo di “Renato Laurent. Caccioppoli” Ad esempio, Scuola se f (z)Politecnica = R(z) = ePdelle (z)/Q(z) `e una fun- Universit` di Matematica e Applicazioni Scienze di Base a degli Studi razionale, effettuando la divisione P e Dipartimento Q come nella (3.2) che segue, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicozione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigitra Greco di Matematica Caccioppoli” Scuolatroviamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni R[∞; f ] = R[∞; R/Q] . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Vediamo“Renato due teoremi fondamentali perPolitecnica il seguito. e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1.5 (I teorema dei residui). Se f `e olomorfa nel dominio Caccioppoli” Scuolaregolare Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico D, escluso un numero finito di punti interni z1 , . . . , zn , risulta Z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento
Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f (z) dz “Federico = 2 π j R[z · · · +Accademico R[zn ] . 1] + +F D di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoDim. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scegliamo δ > 0 in modo che i cerchi chiusi di raggio δ e centri z1 , . . . , zn siano a a due disgiunti e contenuti a D, e a consideriamo dominio D0 “Federico ottenuto II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladue Politecnica e delle Scienzeinternamente di Base Universit` degli Studiil di Napoli privando D dei punti interni a tali cerchi, ein Applicazioni modo che f sia “Renato olomorfa inCaccioppoli” D0 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −Γ1 +F D di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z1 Universit` 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a−Γ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica δe Applicazioni z2 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi diD Napoli “Federico II” Annoδ Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi il teorema III.2.1 di Cauchy a f Greco in D0 ; Dipartimento a tal fine, osserviamo che, dette e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoApplichiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica Γ1 , . . . , Γn le circonferenze che delimitano i cerchi, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +F D0 = +F D ∪ (−Γ1 ) ∪ · · · ∪ (−Γn ) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2.Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CALCOLO DEL RESIDUO NEI POLI 69 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoZ Caccioppoli”Z Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Pertanto Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0= f (z) dz − f (z) dz − · · · − f (z) dz , +F D Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseΓ1Universit` a degliΓnStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ovvero Z e Applicazioni Z “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco DipartimentoZ di Matematica f (z) dz = f (z) dzII” + ·Anno · · + Accademico f (z) dz Scienze di Base Universit` a degli Studi+F diDNapoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Γ1 Γn di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e per concludere basta riconoscere che risulta Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi ZGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z) dz = 2 π j R[z1 ] , . . . , f (z) dz = 2 π j R[zn ] . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Γn Γ1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle TEOREMA 1.6 (II teorema dei residui). Se f `e olomorfa in C, escluso Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento un numero finito di punti z1 , . . . , zn , risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R[zn ]Greco + R[∞] = 0. di Napoli “Federico II” Anno AccademicoR[z 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 ] + · · · +Luigi  Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dim. Sia D un cerchio di centro 0 e raggio maggiore di max |z1 | , . . . |zn | , in modo che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z1 , . . . , zn siano interni, e applichiamo il I teorema dei residui: Scienze di Base Universit` a degli Studi Zdi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento
f (z) dz = 2 π j R[z1 ] + · · · + R[zn ] . di Matematica e Applicazioni “Renato +F Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi D di Napoli “FedericoE Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` II” sufficiente allora osservare che Z risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z) dz = −2 π j R[∞] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +F D Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 1.7. Verifichiamo la tesi del II teorema dei residui nel caso di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi della funzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 1 Caccioppoli” Scuola(1.5) Politecnica e delle Scienze di Base = Universit` −a degli ,Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 z − 3z + 2 e Applicazioni z − 2 z − 1“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica che ha poli semplici nei punti 1 e 2 ed olomorfa Da (1.5) ricaviamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico`e II” Anno all’∞. Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento R[1] = −1, R[2] = 1, mentre usando il lemma 1.3 troviamo R[∞] = 0 quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzee di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[1] + R[2] + R[∞] = 0 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1.8.Matematica L’enunciatoe del I teorema “Renato dei residui estende quello 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle del teorema di Cauchy, che riguarda il caso in cui non ci siano Il Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico singolarit` 2013-2014a. Luigi Greco Dipartimento I teorema generalizza inoltre la formula di Cauchy, in quanto, se f ` e olomorfa, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f (z)2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericolaII” Anno Accademico funzione g : z 7→ ha in z0 residuo pari a f (z0 ); per vedere ci`o, basta − z0 di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellezScienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sviluppare in serie di f: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diTaylor Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ (n) X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f (z0“Federico ) f II”(zAnno f (z) 0) = + (z − z0e)n−1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle, Scienze di Base Universit` a degli Studi z − z0 z − z0 n=1 n! di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cos` lo sviluppo intorno aa degli z0 . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaottenendo Politecnica eı delle ScienzedidiLaurent Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2.Napoli Calcolo del residuo nei Accademico poli Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di proBase Universit` a degli Studi Nelle applicazioni, sar` a fondamentale per calcolare i residui avere dei di Napoli “Federicocedimenti II” Annoche Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato non richiedano di valutare l’integrale che compare nella defiCaccioppoli” Scuolanizione, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` cfr. (1.1) e (1.3). E possibile dare metodi elementari per il calcolo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 70 V. RESIDUI E APPLICAZIONI“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di di Base a degli Studi del residuo nei poli. Per cominciare, supponiamo z0 ∈e Cdelle poloScienze semplice f . Universit` di Napoli “FedericoDunque, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la parte singolare di f intorno al punto si riduce ad un unico termine: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base cUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 f (z) = e Applicazioni + O(z) , “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica z − z0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento essendo O la“Renato parte olomorfa. Ne ricaviamo di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi
di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato lim (z − z0 ) f (z) = lim c−1 + (z − z0 ) O(z) = c−1 + 0 = c−1 z→z0 e delle Scienzez−z Caccioppoli” Scuola Politecnica di 0Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindi per (1.2) abbiamo subito Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi LEMMA 2.1. SeCaccioppoli” z0 `e polo semplice f , vale la formula di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z − z0 a) fdegli (z) . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Rf [zdi0 ]Base = lim Caccioppoli” Scuola(2.1) Politecnica e delle Scienze Universit` z→z 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` frequente l’uso della formula precedente quando f `e espressa come E Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento rapporto di “Renato funzioni olomorfe: di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 LuigiA(z) Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z) Universit` = . Caccioppoli” Scuola(2.2) Politecnica e delle Scienze di Base B(z) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In questo casoStudi (2.1) di si particolarizza comeII”segue. Scienze di Base Universit` a degli Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi LEMMA 2.2. Se f `e espressa mediante la (2.2), con z0 zero semplice di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato B, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico A(z0 ) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (2.3) Rf [z0 ] = 0 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento BII” (z0Anno ) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Osserviamo che B 0 (z02013-2014 ) 6= 0, quindiLuigi il secondo membro di (2.3) ` e definito, e z0 ` e polo e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoDim. II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica semplice di f se A(z0 ) 6= 0, o singolarit` a eliminabile se A(z0 ) = 0. Per verificare la formula, Caccioppoli” Scuolascriviamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z − z0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e A(z) Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = A(z) (z − z0 ) f (z) = (z − z0 ) B(z)II” Anno B(z) − B(z0 ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e passiamo al limite per zCaccioppoli” → z0 usando (2.1) a primo membro e eosservando che nell’ultimo figura il reciproco del rapporto incrementale B in z0 . di Napoli “Federicomembro II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Grecodi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2.3.Matematica Bench´e la formula sia valida, se A(z0 )Caccioppoli” = 0 la funzione 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle f ha un prolungamento olomorfo in z , dunque il residuo ` e banalmente nullo 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi il ricorso allaCaccioppoli” (2.3) `e superfluo. di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.4. Per calcolare il residuo della funzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sin z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in 0, possiamo usare (2.3): di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi z Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e = Universit` =a 1degli . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeR[0] di Base cos z z=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2.Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CALCOLO DEL RESIDUO NEI POLI 71 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Nell’applicare (2.3) la scelta delle funzioni A e B non `e unica. Calcoliamo di Napoli “FedericoadII”esempio Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il residuo in z0 = 0 della funzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z2 + z+2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle . 2 cos z (z z) Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico−II” 2 di Matematica e Applicazioni “Renato`eCaccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi Una scelta naturale A(z) = z 2 + zScuola + 2 e Politecnica B(z) = cos ze(zdelle − z): di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A(z) z2 + z + 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = . 0 − sin z (ze2 − z) + cos z (2“Renato z − 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco DipartimentoBdi(z)Matematica Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di zNapoli z2 + + 2 “Federico2 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La scelta A(z) = e B(z) Scuola = z −zPolitecnica porta una eleggera semplificazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cos z derivata: di Napoli “Federiconel II”calcolo Anno della Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 2 +Universit` z + 2 a degli 1 A(z)di Base = · . 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle B (z) cos z 2z − 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Il residuo vale −2. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESERCIZIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica 2.5. Calcolare il residuo di tanDipartimento z in π/2. Calcolare il residuo e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolainPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 di z 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ee − Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle . 1 − cos II” z Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Calcolare i residui di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi 1 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 2 − 4 z + 3) sin z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di(zBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico nei punti 0, 1, 3. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La formula (2.3) si generalizza come segue. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”LEMMA Anno Accademico GrecolaDipartimento Matematica 2.6. Se f 2013-2014 `e espressaLuigi mediante (2.2), con z0dizero di ordine e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(maggiore Politecnica Scienze Universit` Studi di B, Napoli di eo delle uguale a) N di − Base 1 di A e zero adidegli ordine N di con “Federico N ∈ N, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle risulta −1)Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” A(N (z0 ) (2.4) Rf [z0 ] =Scuola N . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi B (N ) (z0 ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Evidentemente, lemmadi2.2 contiene il caso N =Studi 1. di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle il Scienze Base Universit` a degli Dim. Le ipotesi assicurano che z sia polo semplice (o singolarit` a eliminabile, se essoScuola ` e 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle zero di ordine maggiore di N − 1 di A) di f , quindi il residuo si calcola con la formula (2.1). Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento A tale scopo, usando gli sviluppi di Taylor di A e B intorno a z0 , scriviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (N −1) (N ) (N +1) A (z0 ) A (z0 ) A (z0 ) + (zGreco − z0 ) +Dipartimento (z − z0Matematica )2 + · · · di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di e Applicazioni “Renato (N − 1)! N! (N + 1)! (z − z0 ) f (z) = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (N ) (N +1) (N +2) B (z0 ) B (z0 ) B (z0 ) + (z − z0 ) + (zCaccioppoli” − z0 )2 + · · · 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diNMatematica “Renato Scuola Politecnica e delle ! (N + e1)!Applicazioni (N + 2)! Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi abbiamo la (2.4) passando al limite per z → z0 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.7. Mostrare risulta di Napoli “Federico II”ESERCIZIO Anno Accademico 2013-2014che Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica D e ndelle di Base Universit` degli Studi di(z) Napoli “Federico II” Anno Accademico (n−1) [(z −Scienze z0 ) A(z)] = (z − z0 ) A(n)a(z) + nA , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 72 V. RESIDUI E APPLICAZIONI“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi ∀n ∈ N, e dedurne (2.4) calcolandoScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (zUniversit` − z0 ) A(z) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dilim Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z→z B(z) 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento applicando N volte la regola de L’Hˆopital. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.8. La 2013-2014 funzione Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico sin z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` f (z) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 − cos z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ha in z0 = 0 un polo semplice, essendo tale punto zero semplice del numedi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi ratore e zero doppio del denominatore. Per calcolare il residuo, usiamo la Universit` di Napoli “Federicoformula II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2.4) con N = 2: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica = 2 . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle R[0] = 2 e Applicazioni cos z z=0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 2.9. Come osservato nell’esempio IV.5.17, se zScienze e uno di zero di Universit` 0 ` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base a degli Studi esso `e unAccademico polo semplice della derivata logaritmica f 0 /f . Detto N l’ordine, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicof ,II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 0 la formula (2.4) con = fUniversit` e B = fa, degli troviamo che il“Federico residuo II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolamediante Politecnica e delle Scienze di A Base Studisubito di Napoli `e Rf 0Dipartimento Esempio 2.8.)e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco di Matematica /f [z0 ] = N . (Cfr. Mediante la (2.1)ditroviamo facilmenteII”che, se zAccademico e polo di ordine N di Luigi f, 0 ` Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno 2013-2014 Greco Dipartimento risulta Rf 0 /f“Renato [z0 ] = −N . Notiamo che questo risultatoesidelle pu`o Scienze anche ottenere di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi precedente, considerando = 1/fGreco . Infatti, per la proposizione IV.5.9 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicodal II”caso Anno Accademico 2013-2014 gLuigi Dipartimento di Matematica `e uno zeroedidelle ordine N didig Base e, come visto nell’esempio le “Federico derivate II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaz0Politecnica Scienze Universit` a degli Studi IV.5.17 di Napoli logaritmiche di g e fdisono opposte. e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Consideriamo adesso il caso di un polo multiplo. Sia z0 polo di ordine N di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi della funzione f : lo sviluppo di Laurent intorno a z0 `e dunque di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z) = cn (z − z0 )n “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni n=−N Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X N di Base Universit` N +n di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle(zScienze a degli Studi − z0 ) f (z) = cn (z − z0 ) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica en=−N Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che la serie a secondo membro `e lo sviluppo di Taylor del prodi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi lungamento olomorfo in z0 del primo membro e c−1 = Rf [z0 ] `e il coefficiente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato della potenza (z − z )N −1 in tale sviluppo. Pertanto (cfr. (III.3.4)) abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la formula 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −1   2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 “Federico dNII” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno Accademico (2.5) Rf [z0 ] = lim (z − z0 )N f (z) . N −1 (N − 1)! z→z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 dz di Napoli “FedericoOsserviamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che nella (2.5) `e necessario il passaggio al limite formalmente, Caccioppoli” Scuolapoich´ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico N e (z − z0 ) f (z) non `e definita in z0 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2.Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CALCOLO DEL RESIDUO NEI POLI 73 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato2.10. Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base a degli Studi Osservazione Una propriet` a ovvia (essendoeildelle residuo definito me- Universit` di Napoli “Federicodiante II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato un integrale), ma talvolta utile per semplificare i calcoli, `e la linearit` a Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R[z0 ; · ]: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (2.6) a degli StudiR[z ; αf + βg] = αR[zII” + βR[z 0 ; f ]Anno 0 ; g] , Scienze di Base Universit` di 0Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuolaa Politecnica e delle`e interessante Scienze di Base a degli Studi per ogni α, β“Renato ∈ C e f,Caccioppoli” g olomorfe intorno z0 . Tale formula nel Universit` di Napoli “Federicocaso II” che Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato g abbia residuo2013-2014 nullo, ad esempio, sia olomorfa in z0 di ∈ C. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 2.11. La funzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napolif“Federico (z) = 2 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z (1 − z) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericohaII”inAnno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica z0 =Accademico 0 un polo doppio; calcoliamo il residuo. Applicando la (2.5), e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolatroviamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico d e 1Applicazioni 1 “Renato 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scuola Politecnica e delle lim = = 1 Caccioppoli” . Rf [0] = 2 1! z→0 “Federico dz 1 − z II” (1 − z) Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi Il residuo pu` o essere calcolato ancheScuola in applicazione deleIIdelle teorema dei residui, di Napoli “Federicoosservando II” Anno Accademico 2013-2014 Luigia Greco di Matematica che l’unica altra singolarit` di f `eDipartimento il polo semplice 1 e con la e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaformula Politecnica delle Scienze a degli Studicaso di Napoli “Federico (2.1)eabbiamo R[1] di = Base −1; Universit` inoltre per il primo del lemma 1.3 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di = Matematica Applicazioni Scuola Politecnica e delle troviamo subito R[∞] 0. Pertantoe ricaviamo R[0]“Renato = −R[1]Caccioppoli” = 1. Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico Annoil Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In aquesto semplice esempio, volendo II” evitare ricorso alla formula (2.5), 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle di Base Universit` a degli Studi possiamo usare la linearit` a. Poich´eScuola come `ePolitecnica ovvio R[0; 1/z ] = Scienze 0, troviamo  Accademico  2013-2014   Dipartimento   di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 1 1 R 0; 2e delle Scienze − = R di 0; Base = R 0; = 1 . Caccioppoli” Scuola Politecnica Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z (1 − z) z 2 (1 − z) z 2 z (1 − z) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 2.12.di Consideriamo la funzione razionale Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z 4 + 2zPolitecnica +1 . f (z) = Luigi 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z (z + 4z + 1) √ Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di 3; il punto ∞Scuola `e Essa Dipartimento ha un polo doppio in 0, poli semplici nei punti −2 ∓ Caccioppoli” 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle di olomorfia, in quanto f converge, e f (∞) = lim f (z) = 1. Calcoliamo i z→∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento residui. Usando (2.3)Caccioppoli” troviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 √ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato z 4 + 2z + 1 Dipartimento ∓ di3]Base = Universit` √ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle R[−2 Scienze Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 2 (2z + 4)a degli z=−2∓ 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle √ Caccioppoli” √ Per il acalcolo effettivo, vale la“Federico pena notare che −2 − 3 e −2 + 3 sono Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento reciproci, quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi √ √ di Napoli “Federico II” Anno √ Accademico Matematica e Applicazioni “Renato z 2 + 22013-2014 + z −2 Luigi Greco (−2Dipartimento ∓ 3)2 + 2 + di (−2 ± 3)2 = Scienze di Base = a degli Studi √ R[−2 ∓ 3] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` √ 2z + 4 z=−2∓ ∓2 di3Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento√di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e dunque R[−2Studi ∓ 3] ∓ √83 . “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli di=Napoli In 0 usiamo (2.5):Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 4 Luigi2 Greco d z + 2z + 1 R[0] = di Base = −4 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi dz z 2 + 4z + 1 z=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 74 V. RESIDUI E APPLICAZIONI“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle(2.5) Scienze di Base Universit` a degli Studi Il calcolo si “Renato semplificaCaccioppoli” leggermente Scuola nell’applicare la formula osservando di Napoli “Federicoche II”f Anno Accademico 2013-2014 Luigi z 2 +2+z −2 z 2 +2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z) = 2 e che g(z) = z2 +4z+1 `e olomorfa in 0; pertanto il residuo Caccioppoli” Scuola Politecnicaz e+4z+1 delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z −2 di f coincide con quello della funzione h(z) = z2 +4z+1 = f (z)Caccioppoli” − g(z): 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento d 1 = −4 . R[0; fCaccioppoli” ] = R[0; h] = Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dz z 2 + 4z + 1 z=0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Per calcolare il residuo usiamo il lemma 1.3: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzein di∞ Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2 (z + 4z + 1) − (z 4 +Caccioppoli” 2z 2 + 1) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e zApplicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle R[∞; f ] = lim z [1 − f (z)] = lim = 4. Scienze di Base Universit` a degliz→∞ Studi di Napoli “Federico II” Anno z→∞ z (z 2 Accademico + 4z + 1) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Osserviamo “Renato che, in accordo con il IIScuola teorema dei residui, risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato √ √ 3] +Universit` R[−2 − a 3] + R[∞] R[0] + R[−2 di + Base Caccioppoli” Scuola(2.7) Politecnica e delle Scienze degli Studi=di0 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle e taleDipartimento uguaglianza permette di ricavare uno dei residui, noti Caccioppoli” gli altri. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per il seguito, `e utile generalizzare la Politecnica (2.5) ed indicare formule per Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delledelle Scienze di Base a degli Studi i coefficienti della parte singolare f intorno a z0 : di Napoli “Federicotutti II” Anno Accademico 2013-2014 LuigidiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico   dN −nUniversit` N (2.8) Dipartimento c−n = lim (z − z ) f (z) , n = 1, . . . , N . Scuola Politecnica e delle 0 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” (N − n)! z→z0 dz N −n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osservazione I coefficienti c−n Politecnica si possono scrivere come residui in Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato2.13. Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base a degli Studi di Anno opportune funzioni:2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoz0II” Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base; (z Universit` a degli c−n di = R[z − z0 )n−1 f (z)] Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ez ESEMPIO 2.14.di Calcoliamo il residuo f (z) 2013-2014 = 1−cos nel Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” della Annofunzione Accademico z Luigi Greco Dipartimento polo doppio “Renato z0 = 0. In base alla (2.5), abbiamo di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi e Applicazioni “Renato 2 2013-2014 z z Greco 2 zDipartimento di2 Matematica z z e (2z e + z e )(1 − cos z) − z e sin z R[0] = lim D Scienze di = Base lim Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi2di Napoli “Federico II” Anno Accademico z→0 1 − cos z z→0 (1 − cos z) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 2(1 Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle − cos z) −ez Applicazioni sin z =2+ 4 limdi Napoli “Federico . Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z→0 z3 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi limite vale 0, in2013-2014 quanto, come vede facilmente usando gli sviluppi e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoL’ultimo II” Anno Accademico LuigisiGreco Dipartimento di Matematica 3 Mac Laurine di cos Scienze z e sin z,di`e Base 2(1−cos z)−z sin z = o(z ). di Dunque = 2. II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica delle Universit` a degli Studi NapoliR[0] “Federico Un modo pi` u semplice di arrivare alla conclusione ` e quello di scrivere 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diz 2Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ez z 2 II” Anno z2 = ez + ez D D di Matematica e Applicazioni “Renato1 − Caccioppoli” delle a degli Studi cos z 1Scuola − cos zPolitecnica 1 −ecos z Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 z notare che D e funzione dispari, in quanto una funzione 1−cosScienze z ` Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle di Base Universit` a degli derivata Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico pari, Dipartimento quindi (il limite) in 0 si annulla. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi2.15. di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO Ricordando lo sviluppo di Mac Laurin di 2013-2014 ez , osservare di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi che  2013-2014 Luigi    di Matematica  e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento z e 1+z 1 z R 0; R 0; di Base Universit` = R 0; a degli Studi +R 0; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle=Scienze di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 − cos z 1 − cos z 1 − cos z 1 − cos z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3. APPLICAZIONI ALLA DECOMPOSIZIONE IN “Renato FRATTI SEMPLICI 75 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola`ePolitecnica eedelle a degli Studi e, nell’ultimo membro, il primo residuo nullo, poich´ 1/(1 Scienze − cos z)di`e Base una Universit` di Napoli “Federicofunzione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato pari. L’altro residuo `e relativo ad un polo semplice. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Mostrare che la funzione f “Renato dell’esempio 2.12 soddisfa 2013-2014 Luigi Greco ESERCIZIO Dipartimento2.16. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli 1“Federico 1 f = fPolitecnica (z) , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z 2 Scuola z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ogni z nell’aperto di olomorfia. il secondo punto deldi lemma risulta II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaper Politecnica e delle Scienze di BasePer Universit` a√ degli Studi Napoli √ 1.3“Federico 3] = −R[−2 − 3]. quindi R[∞] = −R[0]. Dunque ` e pure R[−2 + 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi2.17. di Napoli “Federico II”diAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO Calcolare i residui di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi 1 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z 2 + 1)2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico nei punti ∓j. Verificare che essi sono coniugati. Valutare residuo all’∞Scuola e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoilCaccioppoli” Politecnica e delle verificare che la somma dei residui `e nulla. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESERCIZIO 2.18. Osservare che, nel ricavare (2.5), l’ipotesi che z0 sia di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato polo di ordine N non `e stata usata interamente: `e servito solo c−n = 0, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∀n > N . Cosa si pu` o dire su (2.5) se c−N = 0 (cio`e z0 `e polo di ordine minore 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di N , o punto di olomorfia)? Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3. Applicazioni alla decomposizione in fratti semplici di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dicio` Napoli “Federico In questoeparagrafo ci occupiamo di funzioni razionali, e rapporti tra II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle polinomi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento P (z) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi . (3.1) R(z) = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 LuigiQ(z) Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di divisione data una cop- II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaInnanzitutto, Politecnica erichiamiamo delle Scienzel’operazione di Base Universit` a degli euclidea: Studi di Napoli “Federico pia diDipartimento polinomi (P,di Q),Matematica con Q diverso dal polinomio nullo, Caccioppoli” `e univocamente 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle determinata polinomi (S, conAccademico le seguenti propriet` a Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degliun’altra Studi dicoppia Napolidi“Federico II” R) Anno 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi • risulta P = Caccioppoli” S Q + R; di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • R `e il polinomio nullo, o ha grado minore del grado di Q. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico L’operazione (P, Q) 7→ (S, R) `e detta appunto divisione di P per Q, S si dice 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle quoziente e R si dice resto della divisione; se R `e il polinomio nullo, si dice Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che P `e divisibile per Q, o anche che Q divide P . Dunque, possiamo riscrivere di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi la (3.1) come segue: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato P (z)Universit` R(z) Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli (3.2) R(z) = = S(z) + . Q(z)e Applicazioni Q(z)“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi dinell’ultimo Napoli “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La funzione razionale membroII” della (3.2)Accademico ha numeratore con grado di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi minore del denominatore; una funzione razionale siffatta `e detta funzione Universit` di Napoli “Federicorazionale II” Annopropria. Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A meno del termine polinomiale S, possiamo sempre ridurci Caccioppoli” ScuolaadPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico una funzione razionale propria. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 76 V. RESIDUI E APPLICAZIONI“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ScuolainPolitecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Richiamiamo oraCaccioppoli” la decomposizione fratti semplici delle funzioni ra- Universit` di Napoli “Federicozionali. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Per fare questo, dobbiamo prima parlare della fattorizzazione dei Caccioppoli” Scuolapolinomi. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Sia 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.3) a degli Studi di Q(z) = “Federico a0 + a1 z +II” · · ·Anno + aN Accademico zN Scienze di Base Universit` Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento un polinomio“Renato di gradoCaccioppoli” N > 0. Per ilScuola teorema fondamentale dell’algebra, ha Universit` di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle Scienze di QBase a degli Studi unoAccademico zero in C. In effetti, usando questoDipartimento insieme al bendinoto teorema e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoalmeno II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Matematica Ruffini (il resto della divisione di QUniversit` per z − ac `degli e la costante quindi Q `e II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Studi diQ(c), Napoli “Federico divisibile per z −c sedie solo se Q(c) =e 0), si mostra che nel campo complessoScuola Q 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle ha esattamente N zeri, se ciascuno viene II” contato il suo 2013-2014 ordine. Detti Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Annosecondo Accademico Luigi Greco Dipartimento dunque z1 , . “Renato . . , zk gli Caccioppoli” zeri a due a due distinti e N1 , . . . e, Ndelle ordini, di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi k i rispettivi di Napoli “Federicorisulta II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(3.4) Politecnica e delle Scienze di N1Base + · · Universit` · + Nk = aNdegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e Q si afattorizza come Scienze di Base Universit` degli Studi di segue: Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (3.5) = aN (z −Scuola z1 )N1 ·Politecnica · · (z − zk )Nek .delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “RenatoQ(z) Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “FedericoUn II”errore Anno frequente Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nello scrivere la fattorizzazione `e quello di dimenticare Caccioppoli” Scuolail Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico coefficiente direttivo aN . Data la funzione razionale R in (3.1), possiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle fattorizzare numeratore e denominatore e semplificare gli eventuali fattori Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento comuni, in modo da rappresentare R come rapporto di polinomi primi tra di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi loro. Nel seguito supporremo che il grado di P sia minore del grado di Q e Universit` di Napoli “Federicoche II”i Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato due polinomi siano primi tra loro. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Fratti semplici nel campo complesso.“Renato Nel campo complessoScuola si 2013-2014 Luigi Greco 3.1. Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle diconoafratti epressioni del tipo Scienze di Base Universit` deglisemplici Studi dileNapoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento c di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi , n − z0 )Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014(zLuigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuoladove Politecnica Base Universit` a deglirazionale Studi di R, Napoli “Federico II” Anno Accademico c, z0 ∈ Ce delle (c 6= Scienze 0) e n ∈diN. Data la funzione supponiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle che il denominatore Q sia fattorizzato come in (3.5); in questa ipotesi, R Scuola si Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento decompone in un unico modo come somma di fratti semplici: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Nm k X X P (z) Luigi cm,n di Napoli “Federico(3.6) II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(z) = = . n (z − z ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Q(z) di Base m=1 Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico m n=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle I coefficienti cm,n sono opportuni numeri complessi, univocamente determiScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento nati dalla (3.6). Frequentemente nel seguito avremo bisogno di decomporre di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi una funzione razionale in questa maniera. Per ottenere la decomposizione, al Universit` di Napoli “Federicolettore II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e certamente noto il metodo dei coefficienti indeterminati, che consiste Caccioppoli” Scuolanello Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico scrivere formalmente la (3.6) con i coefficienti incogniti da determinare 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di denominatore, Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle appunto, liberare dal ottenendo cos` ı un’uguaglianza tra due Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento polinomi, e ricavare i coefficienti della decomposizione come soluzioni del sidi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi stema lineare ottenuto uguagliando ordinatamente i loro coefficienti. Tale Universit` di Napoli “Federicoprocedimento II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato diventa laborioso al crescere del grado N di Q. Esponiamo ora Caccioppoli” ScuolaunPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico modo di procedere basato sul calcolo dei residui. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3. APPLICAZIONI ALLA DECOMPOSIZIONE IN “Renato FRATTI SEMPLICI 77 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolafigurano Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Nella decomposizione evidentemente frattie semplici con denomin di Napoli “Federiconatori II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato del tipo (z − zm ) , che dividono Q, cio`e i numeri zm , m = 1, . . . , k, Caccioppoli” Scuolasono Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico gli zeri di Q. La somma dei termini corrispondenti ad un fissato zero zm 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle `e esplicitamente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento cm,1 “Federico II” cm,N m . (3.7) + · Scuola · · + Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi z − zm (z − zm )Nm e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato somma degli altri termini nella Universit` (3.6) `e olomorfa in zdi quindi“Federico (3.7) `e II” Anno Accademico m , Napoli Caccioppoli” ScuolaLaPolitecnica e delle Scienze di Base a degli Studi la parte singolare di R intorno a z e pu` o essere determinata mediante le 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica em Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle formule (2.8). In altre parole, per n = 1, . . . , N , m Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cm,nScuola = c−n [z m] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e il coefficiente di (z − zm )−n nello sviluppo di Laurent di R intorno a zm . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.1.diDecomponiamo in fratti semplici la funzione dell’esem2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle pio 2.11: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi f (z) =Scuola . 2 z (1Greco − z) Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi decomposizione del tipodi Base Universit` Caccioppoli” ScuolaLaPolitecnica e delle`eScienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a b c “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 = + II” + , (3.8) a degli Studi di Napoli Scienze di Base Universit` “Federico Anno 2 2 z (1 − z) z z z − 1Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi b, c costanti opportune. Moltiplicando i membri di perMatematica z 2 (1 − z), e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocon II”a,Anno Accademico 2013-2014 Luigi Grecoambo Dipartimento Caccioppoli” Scuolaotteniamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scuola Politecnica e delle 1 = a z (1 −di z) Matematica + b (1 − z) −ec zApplicazioni = −(a + c)“Renato z 2 + (a −Caccioppoli” b) z + b Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e uguagliando ordinatamente i coefficienti dei polinomi nei due membri di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi  Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` c = 0 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  a+ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco a −Universit` b = 0a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diBase = 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e bApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` aa degli II” Anno Dunque = b Studi = 1, cdi = Napoli −1 e la“Federico decomposizione `e Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 1 1Politecnica 1 =Luigi + Greco − Dipartimento . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 z (1 − z) z z z−1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico oradi mediante il calcolo dei residui. Con riferimento alla (3.8), 2013-2014 Luigi Greco Procediamo Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle per quanto visto nell’esempio 2.11 abbiamo a = R [0] = 1, c = R [1] = −1; f f Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento inoltre di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademicob = 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato lim z 2 f (z) = Greco Dipartimento =1 z→0 1 − za z=0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e ritroviamo la decomposizione. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Vale la pena sottolineare in questoII” semplice esempio possiamo arrivare Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoliche “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento alla decomposizione direttamente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 1Accademico e Applicazioni “Renato (1 −2013-2014 z 2 ) + z 2 Luigi 1 + zGreco 1Dipartimento 1 1 di Matematica 1 = Scienze = + a degli=Studi + + . Caccioppoli” Scuola Politecnica delle z 2 (1 −e z) z 2 (1 −diz)Base Universit` z2 1−z z 2 di z Napoli 1 − z “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 78 V. RESIDUI E APPLICAZIONI“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi ESERCIZIO 3.2. Decomporre in fratti semplici 2 2 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z (z − 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.3.Matematica Dalla (3.6)ee Applicazioni da quanto detto, ricaviamo il seguente 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle enunciato: Una funzione razionale propria ` e somma delle caratteristiche Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 nei Luigi Greco Dipartimento suoi poli. Questo vale a meno di una costante additiva pure Scienze se il grado del Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base a degli Studi `e maggiore 2013-2014 o uguale diLuigi quello del denominatore. tal caso, il e Applicazioni “Renato di Napoli “Federiconumeratore II” Anno Accademico Greco Dipartimento diInMatematica S nella privato del Universit` termine costante, `e ladicaratteristica nel II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolapolinomio Politecnica e delle(3.2), Scienze di Base a degli Studi Napoli “Federico punto all’∞. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademicoqui 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3.2. Fratti semplici nel“Federico campo reale. Ci occupiamo di funzioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi razionali a coefficienti reali. Una tale funzione razionale pu`o essere decompo- Universit` di Napoli “Federicosta II”inAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato fratti semplici nel campo complesso come visto prima; vogliamo per`o Caccioppoli” Scuoladiscutere Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico una decomposizione in fratti direttamente nel campo reale, che spes2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle so `e pi` u opportuna. di Svolgiamo preliminarmente alcune ulteriori considerazioScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ne sui polinomi nel campo reale. Sia dunque Q un polinomio a coefficienti di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi reali, dato dalla (3.3). Poich´e Q(z) si calcola a partire da z e dai coeffi- Universit` di Napoli “Federicocienti II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z ) (cfr. mediante sole addizioni e moltiplicazioni, abbiamo Q(z) = Q(¯ Caccioppoli” Scuolaesempio Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico I.1.3): 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Napoli Luigi Greco Dipartimento Q(z) = aStudi z+ · · · + “Federico aN z N = aII” a1 z +Accademico · · · + aN z N 2013-2014 = Q(¯ z) 0 + a1di 0 + Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e i coefficienti sono2013-2014 reali. Una funzione la propriet` a fMatematica (¯ z ) = f (z) e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicopoich´ II” Anno Accademico Luigi Greco con Dipartimento di dice hermitiana; dunque diunBase polinomio a acoefficienti `e hermitiano. Caccioppoli” Scuolasi Politecnica e delle Scienze Universit` degli Studireali di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ne segue chiaramente che, se z0 `e euno zero non reale di Q,Caccioppoli” `e zero pure zScuola 0: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Politecnica e delle Q(z0Studi ) = 0.di Napoli Pi` u precisamente, essendo anche le derivate di QLuigi a Q(z0 ) a=degli Scienze di Base Universit` “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento coefficienti reali e quindi hermitiane, vediamo che z0e edelle z0 hanno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienzelodistesso Base Universit` a degli Studi Dunque, se nella2013-2014 fattorizzazione (3.5) compare il fattore (z − z0 )N0 , e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoordine. II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica anche (z − Scienze z0 )N0 e di quindi `e divisibile perStudi il prodotto. Caccioppoli” Scuolacompare Politecnica e delle Base Q Universit` a degli di NapoliScrivendo “Federico II” Anno Accademico z0 = Dipartimento σ + j ω in forma `e z0e = σ − j ω e “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco di algebrica, Matematica Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (z − z ) (z − z0 ) = (z − σ) + ω 2 = z 2 + p z + q , di Matematica e Applicazioni “Renato0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicodove II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica p = −2Accademico σ e q = σ2 + ω 2 ; notiamo che il trinomio nell’ultimo membro ha e Applicazioni “Renato 2 2 Caccioppoli” Scuolacoefficienti Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a pdegli di ω Napoli reali e discriminante negativo: ∆= − 4Studi q = −4 < 0. “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco InDipartimento Matematica e aApplicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle generale, il di polinomio Q avr` degli zeri reali a dueCaccioppoli” a due distinti Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x1 , . . . ,axdegli , di ordini rispettivamente N , . . . , N , e degli zeri complessi non k 1 k di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi reali a due “Renato a due distinti, che si Scuola presentano a coppie di numeri coniugati di Napoli “Federicoz1II” 2013-2014 Luigi Greco di Matematica , z1 Anno , . . . , zhAccademico , zh , di ordini rispettivamente M1 , . Dipartimento . . , Mh (eventualmente k = 0, e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolacio` Politecnica e delle Scienze Universit` a degli StudiAlla di Napoli “Federico II” Anno Accademico e nessuno zero `e reale, o hdi=Base 0, cio` e ogni zero `e reale). (3.4) subentra 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.9) a degli Studi N1di+Napoli · · · + N“Federico + · ·Anno · + MAccademico k + 2 (M1 II” h) = N Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi e la fattorizzazione (3.5) si riscrive (indicando con x la variabile reale)di Base Universit` di Napoli “Federico(3.10) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaQ(x) Politecnica dixBase Nk Universit` 2 Napoli “Federico 1 1 = aN (xe−delle x1 )NScienze · · · (x − (x2 + p1 xa+degli q1 )MStudi · · · (xdi + ph x + qh )Mh , II” Anno Accademico k) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3. APPLICAZIONI ALLA DECOMPOSIZIONE IN “Renato FRATTI SEMPLICI 79 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi con i trinomi“Renato di secondo grado cheScuola vi figurano aventi ciascuno discriminante di Napoli “Federiconegativo. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli di Napolipreceden“Federico II” Anno Accademico Nel campo reale Scienze chiameremo fratti semplici, oltreStudi le espressioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle temente considerate c II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico − x0 )nPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”(xScuola a degli Studi di Napoli “Federicocon II”c,Anno Accademico 2013-2014 Luigi del Greco x0 ∈ R e n ∈ N, anche espressioni tipoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Basea Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x+b 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (x2 + p x + q)n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con a, b, p, q“Renato ∈ R, n Caccioppoli” ∈ N e il trinomio denominatore conScienze discriminante di Matematica e Applicazioni Scuola aPolitecnica e delle di Base Universit` a degli Studi = p2 − 4 q la successione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a(n) = f (n τ ) , Greco ∀n ∈Dipartimento Z, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolasi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dice campionamento di f con passo τ. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Se a(a(n)) `e di unaNapoli successione con indici in NAccademico e definita per n ≥ Luigi 0, Scienze di Base Universit` deglin∈N Studi “Federico II” Anno 2013-2014 Greco Dipartimento 0 , cio` 0 possiamo canonicamente prolungarla a Z Politecnica ponendo a(n) = 0,Scienze ∀n < 0. Per Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle di Base a degli Studi il fatto che 2013-2014 la successione ı ottenuta ha i termini con indi- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicosottolineare II” Anno Accademico Luigicos` Greco Dipartimento di Matematica negativo nulli, volteUniversit` a(n) u(n). NelStudi seguito considereremo Caccioppoli” ScuolacePolitecnica e dellescriveremo Scienze di aBase a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico prevalentemente successioni definiteeinApplicazioni Z. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` achiaro E duedisuccessioni possonoII” essere sommate o moltiplicate Scienze di Base Universit` degli che Studi Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014terLuigi Greco Dipartimento mine a termine. Introduciamo ora Scuola l’operazione di convoluzione. Date di a(n) e Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Base a degli Studi si chiama convoluzione la successione c(n)Dipartimento definita ponendo di Napoli “Federicob(n), II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze +∞ di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni (1.1) c(n) = a(n − k) b(k) , ∀n“Renato ∈ Z , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi serie convergente. Per indicare che c(n) `e la convoluzione di a(n) e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicosupposta II” AnnolaAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica b(n), scriveremo = a(n) b(n).Universit` Caccioppoli” Scuolae Politecnica e dellec(n) Scienze di ∗Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 1.2. La successione δ(n) `e l’unit`a rispetto al prodotto di conScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento voluzione: a(n) ∗ δ(n) = a(n), per ogni successione a(n). Pi` u in generale, per di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi m ∈ Z fissato, la convoluzione con δ(n − m) `e la traslazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base a(n)di ∗ δ(n − Universit` m) = a(na−degli m) .Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 83 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 84 VI. Z -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 1.3. Caccioppoli” Calcoliamo u(n) ∗ u(n). Il termine n-simo `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diX Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico u(n − k) u(k) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle k=−∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che“Renato u(n−k) u(k) 6= 0 se e solo se n−k ≥ 0 e k e≥delle 0, ovvero 0 ≤ di k≤ n. Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Base a degli Studi `e impossibile se n2013-2014 < 0, quindi perGreco tali indici risulta u(ndi−Matematica k) u(k) = 0, e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoQuesto II” Anno Accademico Luigi Dipartimento ∈ Z. Inoltre, per Scienze n ≥ 0 e di 0≤ k ≤Universit` n, `e u(n a−degli k) u(k) = 1die Napoli quindi “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola∀kPolitecnica e delle Base Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di+∞ Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n X X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u(n − k) u(k) = 1 = n + 1. di Matematica e Applicazioni “Renatok=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi k=0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato u(n) e∗ delle u(n) = (n + 1) Caccioppoli” ScuolaDunque Politecnica Scienze diu(n). Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Trasformazione e trasformazione inversa 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli 2. Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi DEFINIZIONE 2.1. Diremo Scuola che a(n) `e Z -trasformabile se esiste z ∈ Universit` di Napoli “FedericoCII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − {0} che rende la serie Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaX e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a(n) (2.1) n Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico zII” n=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Chiameremo allora laLuigi somma in (2.1) della suc- e Applicazioni “Renato Z -trasformata di Napoli “Federicoconvergente. II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica a(n) e(nel punto z) edilaBase indicheremo con [a(n)](z)). Z [a(n)] Caccioppoli” Scuolacessione Politecnica delle Scienze Universit` a degli Studi(odiZNapoli “Federico II” Anno Accademico una successione a(n) in Ne0 ,Applicazioni diremo che “Renato essa `e Z -trasformabile in 2013-2014 Luigi Greco Data Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle senso unilatero se la di serie Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” X Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a(n) di Napoli “Federico(2.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi nGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z n=0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle converge. In tal caso diremo la somma Z -trasformata unilatera di a(n) e Scuola la Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento indicheremo con Zu [a(n)]. A volte, in contrapposizione alla Z -trasformazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi unilatera, chiameremo la trasformazione definita dalla (2.1) Z -trasformata di Napoli “Federicobilatera. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico serie (2.1) `e di una serie bilatera di potenze, convergente in una corona 2013-2014 Luigi Greco La Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle circolare aperta di centro 0 e in “Federico essa risultaII” definita che `e una Z -trasformata, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli AnnolaAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento funzione olomorfa. corona si dice dominio della trasformata. Osserviamo di Matematica e Applicazioni “RenatoLaCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dominio `e parte integrante definizione di Z -trasformata. di Napoli “Federicoche II”ilAnno Accademico 2013-2014della Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La serie (2.2) una serie potenze in 1/z e quindi, se Napoli converge in un II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle`e Scienze di di Base Universit` a degli Studi di “Federico puntoDipartimento z ∈ C, essa converge in tutti ei punti esterni ad un cerchio di centro Scuola 0. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Pertanto, il dominio una Z -trasformata `e un intorno di ∞, nel Scienze di Base Universit` a degli Studi didiNapoli “Federico II” unilatera Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento quale essa `e“Renato olomorfa, ∞ compreso. La Z -trasformata unilatera `e un di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di caso Base Universit` a degli Studi di Z -trasformata: di Napoli “Federicoparticolare II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Zu [a(n)] = Z [a(n) u(n)] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3.diPROPRIET Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLA TRASFORMAZIONE A 85 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi La Z -trasformazione `e la corrispondenza che associa ad una successione di Napoli “Federicotrasformabile II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a(n) la sua Z -trasformata. Analogamente per la trasformazione Caccioppoli” Scuolaunilatera. PolitecnicaLae delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z -trasformazione `e invertibile: interpretare una funzione f , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle olomorfa in un’assegnata corona circolare di centro 0, comeCaccioppoli” Z -trasformata Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento equivale a sviluppare la funzione in serie di Laurent nella corona. Se cn sonoLuigi i +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X Laurent di2013-2014 f , abbiamoLuigi f (z)Greco = cn z n nella corona circolare e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocoefficienti II” Anno di Accademico Dipartimento di Matematica n=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e confrontando con di (2.1) troviamo e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli f“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (z) = Z [a(n)] , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicodove II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi ZGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola(2.3) Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi f (z) z n−1 dz , di Napoli “Federico II” Anno Accademico a(n) = cdi −n = j Γ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2eπApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Γ `e una circonferenza di centro 0 nella corona. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.2. Ovviamente [δ] =Greco 1, il dominio essendo Immedia- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 ZLuigi Dipartimento di C. Matematica dallae definizione, abbiamo Caccioppoli” Scuolatamente Politecnica delle Scienze di Basepure Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ X 1 1 z Scienze di Base Universit` di =Napoli n“Federico II”=Anno Accademico (2.4) a degli Studi = , |z| > 1 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z [u(n)] z 1Scuola − 1/z Politecnica z − 1 e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi n=0 di Napoli “FedericoInoltre II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(2.5) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X X 1 z n Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Greco Dipartimento − 1)] = −di Napoli z −n“Federico =− zII” =Anno 1 − Accademico = , |z| < 1Luigi . Z [−u(−n 1−z z−1 n=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi n=1 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II”Osservazione Anno Accademico Luigi Greco di Matematica 2.3. 2013-2014 Le due trasformate in Dipartimento (2.4) e (2.5) sono date dalla e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolastessa Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli espressione z/(z − 1), che per`o nei due casi va considerata in due“Federico corone II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle circolari di centro 0 distinte: l’insieme dei punti esterni al cerchio di raggio Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento 1 e il cerchio stesso, rispettivamente. Appare quindi evidente la necessit`a Luigi di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi indicare il dominio, oltre alla espressione della trasformata. di Napoli “Federico II”Nel Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato caso di trasformata unilatera (la (2.4) tra i due esempi), il dominio `e Caccioppoli” Scuolaimplicito Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico nell’epressione della trasformata, essendo il pi` u ampio intorno di ∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nel quale essa `e olomorfa. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3. Propriet` a della trasformazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Illustriamo ora alcune della Z -trasformazione, che si ricavano Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzepropriet` di BaseaUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico facilmente dalla definizione. Innanzitutto, la Z -trasformazione `e un operato2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle re lineare, cio`eStudi , datedidue successioni a(n)II”e Anno b(n) trasformabili una stessa Scienze di Base Universit` a degli Napoli “Federico Accademico in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento corona circolare e dueCaccioppoli” numeri complessi e β, la successione α a(n) +diβ b(n) di Matematica e Applicazioni “Renato Scuolaα Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi trasformabile e risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico`e II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(3.1) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z [α a(n) + β b(n)] = α Z [a(n)] + β Z [b(n)] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 86 VI. Z -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi • (Riscalamento) Dati ora a(n) trasformabile e λe ∈delle C −Scienze {0}, vogliamo n di Napoli “Federicocalcolare II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z [λ a(n)] (o meglio, vogliamo legare questa trasformata a quella di Caccioppoli” Scuolaa(n)): Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica +∞“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ e Applicazioni X X a(n) λn a(n) n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = Z [λ a(n)] = n n z (z/λ) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n=−∞ n=−∞ di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z n 2013-2014 Luigi Greco e= Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.2) Dipartimento di Matematica . Z [λ a(n)](z) Z [a(n)] Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Annoλ Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Il dominio della trasformata di λn a(n) `e laPolitecnica corona deie numeri z tali che z/λ Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base a degli Studi al dominio della trasformata di a(n). Ad esempio,diabbiamo di Napoli “Federicoappartenga II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base zUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n u(n)] = e Applicazioni , |z| > |λ|“Renato > 0. Z [λ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z−λ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In particolare, per ϑ ∈ R, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi zGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato njϑ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi u(n)] = , |z| > 1 Z[ e z − ejϑ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` e quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  “Federico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento enjϑ + e−njϑ Zu [ enjϑ ] + Zu [ e−njϑ ] di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = nϑ u(n)]Caccioppoli” = Zu Z [cos“Renato 2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato   di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z z 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli + = . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico jϑ 2 z − e e Applicazioni z − e−jϑ “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica −jϑ Scienze di Base Universit` a degli II”cos Anno Greco Dipartimento Essendo inoltreStudi (z − di ejϑNapoli ) (z − e“Federico ) = (z − ϑ)2 +Accademico sin2 ϑ = z 2 −2013-2014 2z cos ϑ +Luigi 1, di Matematica e Applicazioni a degli Studi troviamo in “Renato definitivaCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z − cos ϑ [cosScienze nϑ u(n)]di=Base z 2 Universit` |z| >di1 .Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(3.3) Politecnica e Z delle a degli, Studi z − 2z cos ϑ + 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Analogamente, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi sinPolitecnica ϑ , |z| > 1 .di Matematica e Applicazioni “Renato = z Luigi Z [sin nϑ u(n)] di Napoli “Federico(3.4) II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento 2 z − 2z cos ϑ + 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (Traslazione) di Fissato k ∈ Z, calcoliamo 2013-2014 Luigi Greco •Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞Napoli “Federico II” +∞Anno AccademicoX +∞ X X a(n + k) a(n + k) a(n) k k Scienze di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e = delle di Base Universit` a degli Studi k)] = Caccioppoli” = z z Z [a(n +“Renato n n+k z z zn di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi n=−∞ Greco Dipartimento n=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato n=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi (il dominio non cambia) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle k Scienze di Base Universit` Anno .Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (3.5) a degli Studi di Napoli + k)] = zII” Z [a(n)] Z [a(n“Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Ad esempio, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` degli Studi = z −1 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z [u(n −di1)]Base Z [u(n)]a = −1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioniz “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3.diPROPRIET Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` DELLA TRASFORMAZIONE A 87 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Sia ora k ∈ N e calcoliamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ X X X a(n a(n + k) a(n)“Federico II” Anno Accademico + k) Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli k k =z =z Zu [a(n + k)] = z n e Applicazioni z n+k zn 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato n=k Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=0 n=0  Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a(1) a(k − 1) z k Zu [a(n)] − a(0)Politecnica − − · e· · delle − di Matematica e Applicazioni “Renato = Caccioppoli” Scuola Scienze di Base Universit` a degli Studi k−1 z z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k k k−1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni (3.6) Zu [a(n + k)] = z Zu [a(n)] − a(0) z − a(1) z“Renato − · · ·Caccioppoli” − a(k − 1) z .Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ` chiaro dalla Osservazione E definizione (2.2) che risulta di Matematica e Applicazioni “Renato3.1. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a(0) = lim Zu [a(n)] . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Basez→∞ Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Analogamente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a(k) = lim Zu [a(n + k)] . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z→∞ di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi da (3.6) ricaviamo una formula ricorrente per invertire la Zu : Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  Scienze k a(k) = lim zdik ZMatematica − a(1)z k−1 “Renato − · · · − a(k − 1)z . Scuola Politecnica e delle u [a(n)] − a(0)z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni Caccioppoli” z→∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento • La serie in (2.2)Caccioppoli” pu` o essere derivata termine a termine: di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi+∞ Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X d di Base Universit` a(n) Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli (−n) Zu [a(n)] = dz z n+1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi ricaviamo la formula fondamentale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi d Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (3.7) Zu [a(n)] . Zu [n a(n)] = −z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` dz a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Ad esempio Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento d d z e dellez Scienze di Base Universit` di Matematica e ApplicazioniZ“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi [n u(n)] = −z = −z = . Z [u(n)] 2 dz dz z − 1 (z − 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico • (Trasformata della convoluzione) Supponiamo a(n) e b(n) trasformabili 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle in una stessa corona circolare. Nei punti di tale corona vale l’uguaglianza Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi (3.8) = Z [a(n)] · Z[b(n)]e, delle Scienze di Base Universit` Z [a(n) ∗ b(n)]Scuola di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e la trasformata convoluzione `e il prodotto trasformate. Invero II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolacio` Politecnica e delledella Scienze di Base Universit` a deglidelle Studi di Napoli “Federico +∞ e Applicazioni +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X X = “Federico z −n II” Anno a(n −Accademico k)b(k) Scienze di Base Universit` a degli Studi∗ b(n)] di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z [a(n) n=−∞ Scuola k=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ +∞ X X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −(n−k) −k = di Base Universit` a(n − . “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a k)z degli Studib(k)z di Napoli n=−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica k=−∞ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 88 VI. Z -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi ` lecito invertire E le due sommatorieScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ X X −k −(n−k) Caccioppoli” Scuola PolitecnicaZ e[a(n) delle∗ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico b(n)] = b(k)z a(n − k)z . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=−∞ k=−∞ e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento A questo punto la formula (3.8) segue subito, osservando che Scienze la sommatoria di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi pi` u interna fatta al variare di n non dipende da k, la somma valendo Z [a(n)]. e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica • Diremoeche la Scienze successione a(n)Universit` `e periodica di periodo ∈ N se“Federico verifica II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base a degli Studi dikNapoli a(n +Dipartimento k) = a(n), ∀n ∈ Z. Una successione periodica assume un numero 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle finito di valori,Studi quindi `e limitata e dunque in senso unilatero Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” trasformabile Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento per |z| > 1, la (2.2) essendo maggiorata daPolitecnica un multiploe della geometrica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delleserie Scienze di Base Universit` a degli Studi ragione e vale la2013-2014 formula: Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericodiII” Anno 1/|z|, Accademico k Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` Studi di zNapoli “Federico II” Anno Accademico a(0)diz Base + a(1) z k−1 +a ·degli · · + a(k − 1) . (3.9) Dipartimento = Zu [a(n)] 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zk − 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La (3.9) si ottiene raggruppando k a k i Politecnica termini nella serie (2.2) e tenendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”a Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi conto della periodicit` a : di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pk−1Napoli “Federico k−1 +∞ +∞ +∞ k−1 Caccioppoli” Scuola X Politecnica delle BaseX Universit` a degli II” Anno Accademico k−m XScienze a(m + di nk) a(n) eX 1 X a(m)Studi di m=0 a(m)z . = = = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zn z m+nk z nk zm zk − 1 m=0di Napoli “Federico n=0 a degli n=0 n=0 II”m=0 Scienze di Base Universit` Studi Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato3.2. Caccioppoli” Politecnica Scienze a degli Studi ESERCIZIO Ricavare inScuola dettaglio la (3.4).e delle Fissato ρ >di0,Base in Universit` di Napoli “Federicoapplicazione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato della (3.2) mostrare inoltre per |z| > ρ le uguaglianze Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z − ρ cos ϑ 2013-2014 Luigi Greco DipartimentoZ [ρ din Matematica e zApplicazioni “Renato, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle cos nϑ u(n)] = 2 − 2zρ cos ϑ + ρ2 z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi ρ sin ϑ e delle Scienze di Base Universit` n nϑ u(n)] Luigi = z 2Greco Dipartimento . di Matematica e Applicazioni “Renato Z [ρ sin 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 z − 2zρ cos ϑ + ρ Caccioppoli” Scuola Politecnica Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico CalcolareeZdelle [(n +Scienze 1) u(n)]disiaBase osservando che Z [(n + 1) u(n)] = Z [n u(n)] + 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z [u(n)] e quindi ricordando alcune trasformate calcolate, sia in applicazioScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento ne della (3.6), sia ricordando l’esempio 1.3 e usando la formula2013-2014 (3.8) per Luigi la di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi trasformata della convoluzione. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 e Mostrare le uguaglianze Z [(n − 1) u(n − 1)] = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli(zStudi − 1)2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2z (3.10) a degli Studi diZNapoli [n (n − “Federico 1) u(n − 1)] . Scienze di Base Universit` II”=Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (z − 1)3 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4. Equazioni ricorrenti, problemi ai valori iniziali Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico della -trasformazione riguarda i problemiScuola ai 2013-2014 Luigi Greco Un’applicazione Dipartimento diimportante Matematica e Z Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle valori iniziali le equazioni Scienze di Base Universit` a degli per Studi di Napoli ricorrenti. “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Un’equazione ricorrente (lineareScuola a coefficienti costanti) `e un’equazione del Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federicotipo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(4.1) Politecnicay(n e delle degli Studi=dia(n) Napoli “Federico II” Anno Accademico + k) Scienze + Ak−1 di y(nBase + k Universit` − 1) + · · a· + A0 y(n) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoINIZIALI Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4. EQUAZIONI RICORRENTI, PROBLEMI AI VALORI 89 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola dellel’equazione Scienze di (4.1) Base Universit` a degli Studi dove A0 , . . . ,“Renato Ak−1 sono costanti e a(n) unaPolitecnica successioneedate; di Napoli “FedericosiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dice di ordine k. Una soluzione `e una successione y(n), n ∈ N0 , che la rende Caccioppoli” Scuolasoddisfatta Politecnicaper e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ogni n. Un problema ai valori iniziali per la (4.1) consiste nel 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni ricercare soluzioni con i primi k termini assegnati: “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli y(n + k) + Ak−1 y(n + k − 1) + · · · + A0 y(n) = a(n) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (4.2) y(0) , y(1) , . . . , y(k − 1) assegnati di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato problemae delle `e analogo a quello per le equazioni Valgono per II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaTale Politecnica Scienze di Base Universit` a deglidifferenziali. Studi di Napoli “Federico il problema (4.2) esistenza e unicit` di soluzione; “Renato la soluzione si costruisce 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ea Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle induttivamente. Fissati i valori iniziali,II” possiamo considerare2013-2014 la soluzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento come “risposta” al dato a(n): a(n) Scuola 7→ y(n).Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESEMPIO 4.1. Possiamo formulare come problema ai valori iniziali quelCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico lo della ricerca di una espressione per la somma dei primi n numeri naturali: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y(n) = 1 + 2 + · · · + n, ∀n ∈ N. In effetti y(n + 1) = y(n) + n + 1 e questa Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento uguaglianza vale anche per n = 0 se poniamo y(0) = 0. Arriviamo dunque al di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi problema del primo ordine di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  + 1) − y(n) = an degli + 1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(4.3) Politecnica e delle Scienzey(n di Base Universit` y(0) = 0 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli(4.2) “Federico II”laAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pera risolvere il problema mediante supponiamo Z -trasformazione, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi che il termine noto a(n) e la soluzione y(n) siano trasformabili ed effettuiamo Universit` di Napoli “Federicoi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato seguenti passi. Applichiamo la trasformazione unilatera ad ambo i memCaccioppoli” ScuolabriPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dell’equazione; nel fare questo, usiamo la formula (3.6), tenendo presen2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle ti i valori iniziali. di Ricaviamo dall’uguaglianza cos`“Renato ı ottenutaCaccioppoli” la trasformata Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento della successione incognita Y = Y (z) = Zu [y(n)]. Per ottenere la soluziodi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi ne, antitrasformiamo. Illustriamo questo modo di procedere per risolvere il Universit` di Napoli “Federicoproblema II” Anno(4.3). Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La trasformata del primo membro dell’equazione `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + 1) − y(n)] = ze YApplicazioni − z y(0) − Y“Renato = (z − 1) Y Zu [y(ndi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degliesercizio Studi di3.2) Napoli “Federico II” Accademico mentrea(cfr. la trasformata del Anno secondo membro `e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato . 1] = Greco 2Dipartimento Zu [n + Luigi (z − 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dunque ricaviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z 2II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Y = . 3 (z − 1)Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoRicordando II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la (3.10) e la2013-2014 (3.5), troviamo Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli z n (n − 1) (n + 1) n −1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni y(n) = Zu z di Matematica = u(n − 1) “Renato = Caccioppoli” u(n) . Scuola Politecnica e delle 3 (z − 1) 2 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Annon=n+1 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Usiamo “Renato il procedimento per ilScuola problema generalee (4.2). Trasformando di Napoli “Federicoambo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato i membri dell’equazione, otteniamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli ,Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P (z) di Y (z) − Q(z) = Zau [a(n)] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 90 VI. Z -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dove di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k k−1 P (z) = z + Ak−1 z + · · · + A0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e il polinomio caratteristico, ottenutoe sostituendo traslazione la corrispon2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazionialla “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dente potenza di z, mentre Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi X  m  = A2013-2014 z m−1 y(1) + · · · + z y(m −di1)Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Q(z) Accademico Luigi Greco Dipartimento m z y(0) + Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellem=1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dai Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle `e un polinomio di grado al pi` u k, i cui coefficienti dipendono valori iniziali Scienze di Base Universit` a degli Studi di equazione. Napoli “Federico II” Annoa,Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e dai coefficienti della (Per uniformit` abbiamo posto Ak = 1.) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Dunque ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Q(z) 1 Y (z) = + . Caccioppoli” Scuola(4.4) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Zau [a(n)] P (z) P (z) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il reciproco = 1/P del polinomio caratteristico `e detto funzione di traScienze di Base Universit` a degliHStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sferimento. “Renato L’antitrasformazione riduce Politecnica a quella di euna funzione di Matematica e Applicazioni Caccioppoli”siScuola delle Scienzerazionale di Base Universit` a degli Studi Questo2013-2014 `e chiaro per il termine Q/P a secondo membro di e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoolomorfa II” Annoall’∞. Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica [H] l’antitraPer quanto l’altro detta = di Zu−1 Caccioppoli” Scuola(4.4). Politecnica e delleriguarda Scienze di Basetermine, Universit` a deglih(n) Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico sformata della funzione di trasferimento, ricordando la formula (3.8) per Scuola la 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle trasformata convoluzione, abbiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a deglidella Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi −1 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Zu di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato H(z) Z [a(n)] − − − − − − → h(n) ∗ a(n) . u Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto, troviamo di la formula 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −1 Scienze di Base Universit` Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.5) a degli Studi diy(n) = Z“Federico h(n) ∗ a(n) . u [Q/P ] + di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4.2. 2013-2014 Per la linearit` del problema (4.2), di la Matematica soluzione si e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Osservazione Anno Accademico Luigia Greco Dipartimento come esomma y(n) = y1 (n) + y2 (n) delle soluzioni Caccioppoli” Scuolaottiene Politecnica a degli Studidei di problemi Napoli “Federico II” Anno Accademico  delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato Scuola Politecnica e delle y1 (n +dik)Matematica + Ak−1 y1 (ne+Applicazioni k − 1) + · · · + A0 y1 (n)Caccioppoli” = a(n) (4.6) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` y1 (0) = y1 (1) = · · · = y1 (k − 1) = 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  di Napoli “Federico II” Anno Accademico di 0Matematica e Applicazioni “Renato y2 (n + k) +2013-2014 Ak−1 y2 (nLuigi + k −Greco 1) + ·Dipartimento · · + A0 y2 (n) = Caccioppoli” Scuola(4.7) Politecnica e delle Universit` di−Napoli “Federico II” Anno Accademico y2 (0)Scienze = y(0) di , yBase y(1) , . .a. ,degli y2 (k)Studi = y(k 1) 2 (1) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il problema (4.6) ha la stessa equazione di (4.2) e valori iniziali nulli, mentre Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento il problema (4.7) `e relativo all’equazione omogenea associata e i valori iniziali di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` chiaro che quelli di 2013-2014 (4.2). E di Napoli “Federicocoincidono II” Anno con Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base, Universit` degli y1 (n)Scienze = h(n)di∗ a(n) y2 (n)a = Zu−1Studi [Q/Pdi ] . Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osservazione L’inversa h(n) =II”Zu−1 [H] Accademico della funzione di trasferiScienze di Base Universit` a degli Studi 4.3. di Napoli “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento mento risolve il problema di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco di Matematica e Applicazioni “Renato h(n + k) + 2013-2014 Ak−1 h(n +Luigi k − 1) + · · ·Dipartimento + A0 h(n) = δ(n) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base “Federico II” Anno Accademico h(0)Universit` = h(1) =a ·degli · · = Studi h(k − di 1) Napoli =0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoINIZIALI Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4. EQUAZIONI RICORRENTI, PROBLEMI AI VALORI 91 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diCome Base Universit` a degli Studi Discutiamo il problema della inversione della Zu -trasformazione. di Napoli “Federicoindicato, II” Annoil Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato problema equivale ad effettuare lo sviluppo in serie di Laurent Caccioppoli” Scuolaintorno Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico all’∞. Il ricorso alle (2.3) `e comunque poco frequente e si cerca quando 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle possibile di ricondursi a sviluppi noti. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 4.4. Caccioppoli” Per calcolare Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi −1Luigi 1/z Greco −2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Zu [ e z ] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ricordiamo lo sviluppo di Mac Laurin dell’esponenziale: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 +∞ +∞ X X 1 1 1 1 1 di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi = = u(n − 2) . Base Universit` e1/z z −2“Renato = Z n+2 n! z 2013-2014 (n − 2)! z n (n − 2)! di Napoli “Federico II” Anno Accademico n=2 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n=0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico Come anticipato, frequente nelleUniversit` applicazioni `e laStudi Zu -antitrasformazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle di una funzione razionale, cio`e rapporto tra polinomi R = Caccioppoli” P/Q. QuestaScuola `e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento una trasformata unilatera se e solo se `e olomorfa all’∞, quindi se e solo se di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi P ha grado non superiore a Q; a meno di un termine costante, R `e una di Napoli “Federicofunzione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato razionale propria e pu`o allora essere decomposta in fratti semplici, Caccioppoli” Scuolacfr. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico paragrafo V.3, e per la linearit`a il problema si riduce all’antitrasformazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni di questi ultimi. A tale scopo, notiamo per k ≥ 2 la“Renato formula Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studidi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   −1 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n−k n (4.8) u(n − k) = , |z| > |λ| > 0 , Z λ k k −2013-2014 1 − λ)Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi (z Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e dellelaScienze di Base Universit` a degli Studinulla di Napoli naturalmente successione da trasformare si intende per n “Federico < k. La II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (4.8) segue dal caso particolare λ = 1 mediante la (3.2). Nel caso particolare, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento la formula segue da (2.4) derivando k − 1 volte: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (k − 1)! = n(n 1) · ·Universit` · (n + k − 2)z −n−k+1 Caccioppoli” Scuola Politecnica di + Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (ze−delle 1)k Scienze n=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ X Scienze di Base Universit` a degli Studi = di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (m − k + 1)(mII” − kAnno + 2) ·Accademico · · (m − 1)z −m di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi m=k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi `e sufficiente dividere ambo i membri per (k − 1)!. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Chiaramente da (4.8) segue una formula di antitrasformazione. Ad esem2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle pio Scienze di Base Universit` a degli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  Studi di Napoli  “Federico  1 Caccioppoli” n − 1 Scuola Politecnica (n − 1)(n 2) Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni e− delle a degli Studi −1 “Renato u(n − 3) Zu = u(n − 3) = 3 (z − 1) 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico quindi per la (3.5) Scienze ritroviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   2 + 1) n II” Anno (n + 1) n Scienze di Base Universit` a degli−1Studi zdi Napoli(n “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Zu = u(n − 1) = u(n) . 3 di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi (z −Caccioppoli” 1) 2 Scuola Politecnica e2 delle Scienze di Base Universit` di Napoli “FedericoPossiamo II” Annoanche Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dedurre dalle formule per la trasformazione ricavate nei paCaccioppoli” Scuolaragrafi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico precedenti altrettante formule di antitrasformazione. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 92 VI. Z -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ESEMPIO 4.5. Caccioppoli” Calcoliamo Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`  Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco z Zu−1 Universit` .a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 2 z −1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle A scopo illustrativo, proponiamo diversi modi di calcolo dell’antitrasformata. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento I) decomponendo in fratti semplici:Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi     n di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z z 1 1 1 − (−1) = − = aZdegli . u Caccioppoli” Scuola Politecnica ezdelle Studi 2 − 1 Scienze 2 zdi−Base 1 zUniversit` +1 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 II) riconducendoci di II” z/(zAnno + 1):Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studiall’antitrasformata di Napoli “Federico " # " #   di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scienze di Base Universit` a degli Studi z z Politecnica 1 −1e dellez/i −1 −1 Zu Accademico = − Z = Z di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato

u u 2 2 z2 − 1 i z/i + 1 a degli + 1 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studiz/i di Napoli z π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica = in−1 Zu−1 e 2Applicazioni sin n u(n) . = in−1 “Renato z + 1 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi III) basato sulla serieCaccioppoli” geometrica: Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`  Luigi Greco Dipartimento  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 1 1 z 1 1 1 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi+di3Napoli II” Anno Accademico = e delle Scienze 1 + Universit` + 4 +a ·degli ·· = + 5 +“Federico ··· .
2 = di Base 2 2 z Dipartimento −1 z 1 − 1/z z z z zCaccioppoli” z 2013-2014 Luigi Greco di Matematica ez Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” di Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento IV) basato sulla formula per la“Federico trasformata successioni periodiche: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi     Scuola z 2013-2014 · z 2 +Greco 1 · z Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 −1 0Luigi di Napoli “Federico II” Anno Z Accademico = Zu = 0, 1, 0, 1,... u z2 − 1 z 2 − 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento periodica di periododi2.Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 4.6. Caccioppoli” Calcoliamo Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi   −1Luigiz Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Zu . z 3 − 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni Ragioniamo in basedialla definizione;eper |z| > 1: “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  “Federico II” Anno Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli   z 1 1 1 1 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi = = + + · · · = Zeu delle {0, 0,Scienze 1, 0, 0, 1,di. . Base .} . Universit` 1 + 3 2 3 2 3 6 − Anno 1 z Accademico 1 − 1/z z zLuigiz Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericozII” 2013-2014 Caccioppoli” ScuolaAllo Politecnica e delle arriviamo Scienze diricordando Base Universit` a degli per Studi di Napoli “Federico stesso risultato la formula la trasformata di una II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di se Matematica e Applicazioni successione periodica; a(n) ha periodo 3, risulta “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a(0) z 3 + a(1) z 2 + a(2) z [a(n)] = , di Matematica e Applicazioni “RenatoZuCaccioppoli” Scuola 3Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z −1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato coincide con l’espressione daBase antitrasformare se a(0) = a(1) = 0 e a(2) = 1. II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolache Politecnica e delle Scienze di Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Meno immediata ` e la risoluzione decomponendo in fratti semplici: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z di Napoli 1 “Federico1/3 z/3Accademico + 2/3 =z 3 =z − 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z 3 − 1 Caccioppoli” z −1 Scuola z − 1 z + z + 1   √ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 2 2 = Zudi Base 1 − Universit` cos n π + 3 sin n π di Napoli . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze “Federico II” Anno Accademico 3 3 a degli Studi 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoINIZIALI Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4. EQUAZIONI RICORRENTI, PROBLEMI AI VALORI 93 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 4.7. Caccioppoli” Risolviamo il Scuola problema ai valori iniziali: di Napoli “Federico II” Anno Accademico2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y(n + 2) + y(n) = (−1)n n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(0) = y(1) = 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La trasformata del primo membro dell’equazione (z 2 + 1) Y . Inoltre Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno`e Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi d d z z n n . n] = −z2013-2014 ] =Greco −z Dipartimento = − di Matematica Zu [(−1) Zu [(−1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi e Applicazioni “Renato 2 dz dz z + 1 (z + 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dunque 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z z Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico Anno Luigi Greco Dipartimento (z 2 + ⇒ II” Y = − 2Accademico 2013-2014 . 1) Y di= Napoli − 2 (z + 1) (z + 1) (z + Scienze 1)2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi da antitrasformare, e a talLuigi fine decomponiamo in fratti semplici il e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoResta II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica membro, tenendo z “da parte”: Caccioppoli” Scuolasecondo Politecnica e delle Scienzeundifattore Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico B Cz + DCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 1Matematica eA Applicazioni “Renato = + + 2 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di (z Napoli (z 2 + 1) + 1)2 “Federico z + 1 II” (z Anno + 1)2 Accademico z + 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Moltiplicando per (z + 1)2 e ponendo z = −1, troviamo B = 1/2. La costante di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A `e il residuo del primo membro in z = −1, che `e polo di ordine 2, quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico si calcola, dopo aver moltiplicato per (z + 1)2 , derivando e ponendo z = −1; 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dunque A = 1/2. Moltiplicando per z e passando al limite per z → ∞, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento troviamo 0 = A + C, quindi C = −1/2. Infine, ponendo z = 0 troviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi D = 0. Pertanto  Greco Dipartimento2 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi z 1 z z z Caccioppoli” Scuola Politecnica − e 2delle Scienze2di=Base − Universit` + a degli Studi − 2di Napoli . “Federico II” Anno Accademico 2 (z + 1) (z + 1) 2 z + 1 (z + 1) z 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Come avisto, primi di dueNapoli fratti “Federico sono le ZuII” -trasformate di (−1)n2013-2014 e −(−1)n Luigi n, Scienze di Base Universit` deglii Studi Anno Accademico Greco Dipartimento rispettivamente. D’altra parte, evidentemente il terzo efratto la trasformata di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle`eScienze di Base Universit` a degli Studi . In definitiva successione 1, 0, −1,2013-2014 0, . . . = cos nπ di Napoli “Federicodella II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2  Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 1diBase Universit` a degliπStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(n) = (−1)en (n − 1) + cos n“Renato . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per antitrasformare, potevamo anche osservare che di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z 1 z 2 +Dipartimento 1 − (z + 1)2 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Y =− 2 = . 2 2 (z + 1) + 1)Universit` 2 (za2 degli + 1) (z + 1)di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di(z Base Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli CAPITOLO “Federico II”VII Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Estensioni di Studi integrale Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzedella di Base nozione Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Caccioppoli” Funzioni integrabili e sommabili di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato questo paragrafo estendiamo la teoria dell’integrazione, a partire dal Caccioppoli” Scuolacaso Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico delle funzioni continue su intervalli compatti. Vogliamo rimuovere l’ipo2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni Scuola Politecnica e delle tesi diDipartimento compattezza.diIlMatematica primo caso che consideriamo“Renato `e quelloCaccioppoli” di una funzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento continua su un intervallo non compatto perch´e non limitato superiormenteLuigi o di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi inferiormente, o limitato ma privato di un estremo. Sia dunque f continua in di Napoli “Federico[a,II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato b[, dove −∞ < a < b ≤ +∞. Per ogni T ∈ ]a, b[, f `e continua sull’intervallo Caccioppoli” Scuolacompatto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico [a, T ] ed ha quindi significato l’integrale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Z Te Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico (1.1) f (t) II” dt . Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”aScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoEsaminiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Greco tale espressione come Luigi funzione di TDipartimento , per T → b−.di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico DEFINIZIONE 1.1. La funzione f si dice integrabile in [a, b[ se l’inte2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle grale in (1.1) converge per T → b−. In tal caso, poniamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Z b Z TAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (1.2) f (t) dt = lim f (t) dt . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato T →b− a a Caccioppoli” ScuolaLaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzione f si dice sommabile in [a, b[ se il modulo |f | `e integrabile. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Notiamo l’espressione Scienze di Base Universit` a degli che Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z TScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi (1.3) |f (t)|Greco dt , Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi a Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico analoga a (1.1), madicon |f | in luogo di f , `e funzione crescente di T , quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle regolare in b: la condizione di sommabilit` a consiste dunque nella finitezza del Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento limite. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi si ragiona nel caso cheGreco f siaDipartimento continua in un del e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Analogamente Anno Accademico 2013-2014 Luigi di intervallo Matematica ]a, b]. Esaminiamo l’espressione Caccioppoli” Scuolatipo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica be Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.4) f (t) dt , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento S di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi definita per S ∈ ]a, b[, al tendere di S → a+; f `e integrabile se l’espressione di Napoli “Federicoconverge, II” AnnoeAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in tal caso l’integrale su ]a, b] `e per definizione pari al limite. Caccioppoli” ScuolaSimilmente Politecnicaper e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la sommabilit` a. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 94 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI 95 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi LEMMA 1.2. Una funzione sommabile `e integrabile. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Basta esaminare il caso f di reale, continua in [a,a b[. Definiamo la parte positiva e la II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaDim. Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico parte negativa di f : 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle  Caccioppoli” f (t) + |f (t)| f (t) − |f (t)| (1.5) af+degli (t) = max 0 = , II” f− (t) = min f (t), 0 = 2013-2014. Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` Studif (t), di Napoli “Federico Anno Accademico 2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f+Dipartimento di Matematica f− f 2013-2014 Luigi Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` E chiaro che f“Renato − ≤ 0 ≤ f+ , f = f+ + f− , |f | = f+ − f− , dunque −|f | ≤ f− ≤ 0 ≤ f+ ≤ |f | quindi di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z T Z T Z T Z T Caccioppoli” Scuola Politecnica −e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico |f (t)| dt ≤ f− (t) dt ≤ f+ (t) dt ≤ |f (t)| dt . a a a a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Notiamo che l’integrale di f+ ` e crescente e quello di f− ` e decrescente, quindi sono entrambi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico regolari e, se f ` e sommabile, convergono. Pertanto risulta convergente pure2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z TScuola Politecnica Z T di Matematica e Applicazioni “Renato ZCaccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi T f (t) dt = f− (t) Greco dt + f+ (t) dt , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a a a Caccioppoli” Scuolavale Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cio` e la tesi. 2013-2014 Luigi Greco IlDipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle risultato del lemma 1.2 non sie inverte, esistono infatti funzioni integraScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento bili, ma non sommabili. Una tale funzione si dice semplicemente integrabileLuigi e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi si parla di integrale improprio. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESEMPIO 1.3. Scienze Consideriamo funzionea degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base laUniversit` sin t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (t) = Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” t Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolanon Politecnica e delle di Base a degli Studi sull’intervallo [0, +∞[. In 0 la funzione `e definita, ma siScienze prolunga per Universit` di Napoli “Federicocontinuit` II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a assegnandole il valore 1. Tracciamo i diagrammi di f e |f |: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademicot 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato area da sommare area da sottrarre Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sin t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento t 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato area da sommare Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”l’inScuola Politecnica e delle Il diagramma di f oscilla intorno all’asse delle ascisse e, intuitivamente, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento tegrale di f su [0, +∞[ `e somma delle aree dei rettangoloidi relativi a f aventi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi per basi gli intervalli [k π, (k + 1) π], k = 0, 1, 2, . . .; tali aree vanno per`o prese Universit` di Napoli “Federicocon II”segno: Anno quelle Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dei rettangoloidi al disopra dell’asse vanno sommate, quelle Caccioppoli” Scuoladei Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico rettangoloidi al disotto dell’asse vanno sottratte, e in questa operazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 96 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzecio` die Base a degli Studi c’`e una compensazione per la quale l’integrale `e finito (converge), f `e Universit` di Napoli “Federicointegrabile. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleil Scienze di Base a degli Studi di “Federico II” Anno Accademico D’altra parte, diagramma di |fUniversit` | si ottiene da quello di Napoli f ribaltandone 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle le porzioni al disotto dell’asse, quindi l’integrale di |f | su [0, +∞[ si ottieScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ne sommando le aree dei rettangoloidi, tutte con segno positivo, senza aldi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi cuna compensazione, per cui l’integrale `e infinito (diverge), dunque f non `e Universit` di Napoli “Federicosommabile. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In effetti, l’integrabilit` a non di ` e difficile da verificare. Essendo la di funzione continua, la II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico questione ` e l’integrabilit` a intorno a +∞, ad esempio su [1, +∞[; per T > 1, integrando per 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle parti troviamo  II” Z T Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento T T sin t “Federico Scienze di Base Universit` a degli Studi diZ Napoli Anno cos t cos t dt = − dt − di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi t t t2 e delle Scienze di Base Universit` 1 1 1 di Napoli “FedericoedII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato entrambi i termini a secondo membro convergono per T → +∞, il secondo essendo funzione integranda Verifichiamo pure che la Studi funzione ` e sommabile. Caccioppoli” Scuolala Politecnica e delle sommabile. Scienze di Base Universit` a degli di non Napoli “Federico II” Anno Accademico Anche in questo caso, basta considerare l’intervallo [1, +∞[. Notiamo la disuguaglianza 2013-2014 Luigi Greco | sin t| Dipartimento ≥ sin2 t, quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z T “Federico Z Anno Accademico Z Scienze di Base Universit` a degliZStudi Napoli II” 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento T | sin di t| 1 T 1 1 T cos 2t sin2 t dt ≥ dt = dt − dt di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi t t 2 1 t 2 1 t 1 1 di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per concludere osserviamo che nell’ultimo membro il primo integrale diverge, poich´ e 1/t ` e integrabile, mentreScienze il secondo converge, quanto, ragionando come prima, II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolanon Politecnica e delle di integrale Base Universit` a in degli Studi di Napoli “Federico vediamo che (cos 2t)/t ` ediintegrabile. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In definitiva, f integrabile su [0, +∞[ e Scienze di Base Universit` a degli Studi `edisemplicemente Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi sin t Politecnica e delle Scienze di Base Universit` dt Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigit Greco 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e un integrale improprio. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Proseguiamo nell’estensione della nozione di integrale e consideriamo il di Matematica e Applicazioni Politecnica delle Base a degli Studi caso di una “Renato funzione Caccioppoli” f continua suScuola un intervallo del etipo ]a,Scienze b[, con di −∞ ≤ Universit` di Napoli “Federicoa II” Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Matematica < bAnno ≤ +∞. Scegliamo c ∈ ]a, b[Luigi e studiamo f su ciascuno di degli intervalli e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola]a,Politecnica Scienze di Base a degli Studi di Napoli c] e [c, b[: eaddelle entrambi manca un Universit` solo estremo e quindi essi sono “Federico del tipo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle considerato precedentemente. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento DEFINIZIONE 1.4. DiciamoScuola che f `ePolitecnica integrabileeindelle ]a, b[Scienze se essa di risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Base Universit` a degli Studi integrabile su entrambi gli intervalli ]a, c] e [c, b[ (nel senso della definiziodi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1.1). In tale caso, poniamodi Base Universit` Caccioppoli” ScuolanePolitecnica delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z b Z Z b 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ce Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.6) f (t) dt = f (t) dt + dt . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Annof (t) Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a a c di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Anche in questo caso, diremo f sommabile se |f | `e integrabile. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleaScienze Base Universit` a degli Studi di secondo Napoli “Federico I due integrali secondodimembro della (1.6) sono intesi la defi- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nizione 1.1. In altriditermini, se f `eeintegrabile in ]a, b[, definiamo l’integrale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ponendo Z b Z Scuola Z Te delle Scienze di Base Universit` c di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi f (t) dt = lim f (t) dt + lim f (t) dtdi , Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento S→a+ S T →b− c a Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico i limiti devono esistere di finiti entrambi, separatamente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI 97 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di ogni Base Universit` a degli Studi Notiamo“Renato che la definizione nonScuola dipende da c: vale a dire che per 0 di Napoli “Federicoaltra II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato scelta di un punto c ∈ ]a, b[, n´e la condizione di integrabilit`a, n´e il Caccioppoli” Scuolavalore Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dell’integrale cambiano. Infatti abbiamo 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z c0 Dipartimento Z c di Matematica Z c0 Z T Z c0 Z T Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f (t) dt = f (t) dt+ f (t) dt = f (t) dt− f (t) dt , f (t) dt . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolac0 Politecnica ec delle Scienze di Base Universit` a degli Studi S S c c di Napoli “Federico II”Infine, Anno consideriamo Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il caso di f continua in un intervallo ]a, b[ privato di Caccioppoli” ScuolaunPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico numero finito di punti interni c1 < · · · < cn . Poniamo c0 = a e cn+1 = b, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento c0 < c“Federico 1 < · · · < cn < cn+1 , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle a degli Studi ed esaminiamo f su ciascuno degli intervalli ]ci , ci+1 [, ie = 0, 1,Scienze . . . , n. di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato DEFINIZIONE 1.5. Diciamo f `e integrabile in ]a, se essa“Federico risulta II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Baseche Universit` a degli Studi dib[Napoli integrabile in ogni intervallo ]ci , ci+1e[,Applicazioni i = 0, 1, . . . , n. In tal caso, poniamo Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Z b n ZII” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ci+1 X (1.7) f (t) dt =Scuola Politecnica f (t) dt . e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi a ci i=0 Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaDiremo Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f sommabile se |f | `ediintegrabile. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osservazione L’integrale non II” cambia f Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.6. di Napoli “Federico Annomodificando Accademicol’integrando 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in un numero finito di punti. Precisamente, sia f integrabile in (a, b) e sia g Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi in (a, b) tale che2013-2014 g(t) = f (t) salvo che Dipartimento in un numero di finito di punti. e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicodefinita II” Anno Accademico Luigi Greco Matematica queste ipotesi, pure g `e integrabile e risultaa degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaInPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` Z b Z b 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle g(t) dt = f (t) dt . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno a a di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.7. Verificare funzione (sin t)/tp `ediintegrabile in e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”ESERCIZIO Anno Accademico 2013-2014 che Luigila Greco Dipartimento Matematica +∞[ per pe>delle 0 edScienze `e sommabile perUniversit` p > 1. (Confrontare l’esempio 1.3.) II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola[1,Politecnica di Base a degli Studi con di Napoli “Federico Notare che, con opportuni cambiamenti di variabile, si ricava in particolare 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che gli aintegrali Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ Z +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u sin e du , sin u2 du (p = 1/2) , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 1 Caccioppoli” Scuolasono Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico semplicemente convergenti, pur non essendo infinitesimi gli integrandi. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.1. Integrale a Napoli valor “Federico principale. in questo paragrafo Scienze di Base Universit` a degli Studi di II” Diamo Anno Accademico 2013-2014una Luigi Greco Dipartimento nozione di integrale u debole di quella introdotta pereledelle funzioni integrabili. di Matematica e Applicazioni “Renatopi` Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato DEFINIZIONE 1.8. Sia f continua nell’intervallo [a, b], escluso un punto Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico interno c ∈ ]a, b[. L’espressione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z c−ε Z b Z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.8) f (t) dt + f (t) dt = f (t) dt di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a c+ε Scuola Politecnica [a,b]−]c−ε,c+ε[ di Napoli “Federico`e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato definita per ε > 0 abbastanza piccolo. Diremo che l’integrale di f esiste nel Caccioppoli” Scuolasenso Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico del valor principale se l’espressione in (1.8) converge per ε → 0+. In tal 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 98 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e delle di Base a degli Studi caso, il limite si dice Caccioppoli” integrale di f Scuola su [a, b]Politecnica nel senso del valorScienze principale e si Universit` Rb di Napoli “Federicoindica II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato con v.p. a f (t) dt. In altri termini, poniamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ! Z b Z c−ε Z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentob di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (t) dt 2013-2014 . f (t) dt + Accademico (t)Napoli dt = lim v.p. Scienze di Base Universit` a degli Studifdi “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento a

ε→0+

a

c+ε

di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ora Accademico f continua in R = ]−∞, +∞[. Diremo che l’integrale di f su R e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Sia Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica nel senso del valor principale l’espressione Caccioppoli” Scuolaesiste Politecnica e delle Scienze di Basese Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z Re Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica f (t)II” dt Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.9) a degli Studi di Napoli “Federico Scienze di Base Universit` −R di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi per R → +∞. 2013-2014 In tal casoLuigi poniamo di Napoli “Federicoconverge II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z R Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f“Renato (t) dt . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (t) dt = lim v.p. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni R→+∞ −R −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osservazione Secondo la definizione 1.5, fe `edelle integrabile b] Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato1.9. Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze in di [a, Base a degli Studi se ` e integrabile in [a, c[ e in ]c, b], dunque per ε → 0+ entrambi gli integrali di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato figurano ae primo membro (1.8) sono convergenti e tale risulta“Federico pure la II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolache Politecnica delle Scienze di in Base Universit` a degli Studi di Napoli somma, quindi l’integrale di f esiste nel senso del valor principale; chiaramente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (nel caso di convergenza, il limite della somma `e la Accademico somma dei limiti) i valori Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dell’integrale secondo le due nozioni coincidono. D’altra parte, pu` o accadere di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi i due2013-2014 integrali aLuigi primo membro in (1.8) non convergano, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoche II”separatamente Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica converge la somma; l’integrale esiste nel senso principale, Caccioppoli” Scuolamentre Politecnica e delle Scienzecio` dieBase Universit` a degli Studidel di valor Napoli “Federico II” Anno Accademico ma non del senso dell’integrabilit` a . Ad esempio, questo accade per la funzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (t) = a1/t sull’intervallo [−1, 1]. Osserviamo che f `Accademico e continua in2013-2014 [−1, 1] − {0} Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento ed `e dispari,“Renato quindi ∀εCaccioppoli” ∈ ]0, 1[ di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z −ε Z 1Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 1 1 dt + dta=degli 0 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` t −1 ε t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle R1 ` Napoli e v.p. a−1degli 1/t dt = 0. diE chiaro che 1/t nonII” `e integrabile, poich´e ciascuno degli Scienze di Base Universit` Studi “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento integrali diverge: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno AccademicoZ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ε→0+ 1 − log ε −−−−− +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzet dt di = Base Universit` a−→ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ε 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e, similmente, l’altro diverge negativamente (l’espressione (1.8) si presenta in Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento forma indeterminata ∞ − ∞). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Analoghe considerazioni valgono nel caso dell’intervallo ]−∞, +∞[. La di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato funzione f `e integrabile in ]−∞, +∞[ se lo `e in [0, +∞[ e in ]−∞, 0], cio`e se Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico le due espressioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z R Z 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.10) f (t) dt , f (t) dt , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola−R Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 di Napoli “Federicoconvergono II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato separatamente per R → +∞. L’integrale in (1.9) `e la loro somma Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico quindi converge anch’esso. D’altra parte, l’integrale in (1.9) pu`o risultare 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI 99 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola gli Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi convergente “Renato anche senza che convergano integrali e(1.10). Questo di accade 2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoadII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi esempio per la funzione f (t) = t/(t + 1): essa non `e integrabile in [0, +∞[ Caccioppoli” Scuolan´ePolitecnica delleeScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico in ]−∞, 0] epoich´ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Z R Z 0 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t Scienze di Base Universit` a degli Studi di tNapoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lim dt = +∞ , lim dt = −∞ , 2Caccioppoli” 2+ di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R→+∞ R→+∞ t + 1 t 1 0 −R di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato RR t dt = 0 e quindi (per lae delle simmetria) 0 risulta 2 Caccioppoli” Scuolamentre Politecnica Scienze∀R di > Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −R t +1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Z +∞e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli v.p. “Federico dt = 0 . 2 t + 1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` −∞Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II”1.2. AnnoCriteri Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di sommabilit` a. In generale, studiare l’integrabilit`a o la Caccioppoli” Scuolasommabilit` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a di una funzione in base alla definizione pu`o essere molto laborioso. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Formuliamo in questo paragrafo alcune condizioni sufficienti ad assicurare Scuola la Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sommabilit` a (o la non sommabilit`a) di una funzione, che non richiedono di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi valutarne esplicitamente l’integrale. In base al lemma 1.2 (dato nel primo caso di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato definizione di sommabilit` a, ma che si estende ovviamente a tutti gli altri casi Caccioppoli” Scuolaconsiderati), Politecnica queste e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico permettono di mostrare anche l’integrabilit`a. Possiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di aMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle chiaramente limitarci considerare funzioni non-negative. Stabiliremo i nostri Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento criteri di sommabilit` a e di non sommabilit` a procedendo per confronto, Luigi in di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi base alla ovvia osservazione seguente. Se f e g sono due funzioni verificanti di Napoli “Federico0 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ≤ f ≤ g, valgono le implicazioni: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sommabile e ⇒ f sommabile; 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di gMatematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f non sommabile ⇒ g non sommabile. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` chiara Luigi 1.10.2013-2014 E l’analogia il caso delle di serie a termini e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Osservazione Anno Accademico Grecocon Dipartimento Matematica paragrafo Caccioppoli” Scuolanon-negativi, Politecnica ecfr. delle Scienze I.A. di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Considereremo dunque una classe di funzioni per le quali la sommabilit`a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento si studia facilmente in base alla definizione e con queste confronteremo la di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi generica funzione assegnata. Poich´e tutti i casi in cui abbiamo dato la nozione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di sommabilit` a si riconducono a quello della definizione 1.1 di una funzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico continua in un intervallo del tipo [a, b[, o ]a, b], ci limiteremo a questo caso. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La classe di funzioni che considereremo `e quella delle potenze. Nel caso Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dell’intervallo [a, b[ limitato (cio`e b ∈ R), consideriamo la funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 1Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato , Caccioppoli” Scuola(1.11) Politecnica e delle Scienze di g(t) Base=Universit` (b − t)α a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e determiniamo i valori di α >“Federico 0 per cuiII” essa `e sommabile. Notiamo che Luigi la Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento funzione diverge in b. Per α = 6 1, abbiamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  t=T Dipartimento T di Napoli “Federico II”Z Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato 1−α di Matematica 1−α 1 1 (b − a) − (b − T ) 1 dt =Scienze − = Caccioppoli” Scuola Politecnica eαdelle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (b − t) 1 − α (b − t)α−1 t=a 1−α 2013-2014 Luigi Greco aDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 100 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatodiverge Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi l’integrale per α >Scuola 1 e converge per α < 1; in quest’ultimo di Napoli “Federicocaso, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato abbiamo 1−αStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeZdiTBase1Universit` a degli (b − a) = lim . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di TMatematica e Applicazioni →b− a (b − t)α 1 − α“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per α = 1, abbiamo: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z T →b− di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato b −Greco T T Dipartimento 12013-2014 Luigi −−−−−−→ +∞ . dt = − log Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellea Scienze b − t di Base Universit` b − a a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle In definitiva, g `e sommabile se e solo se α < 1. “Renato Ricaviamo facilmenteScuola il Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento seguente criterio di sommabilit`a, o non sommabilit`a. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.11. Sia fLuigi ≥ 0 continua in [a, b[. Se esistono K > 0 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”PROPOSIZIONE Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica α < 1 tali che risulti Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico K 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f (t) ≤ α (b − Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”t) Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in un intorno sinistroCaccioppoli” di b, la funzione `e sommabile. risultaScienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica Se e delle a degli Studi K di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (t) ≥ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` b − t a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle in un intorno sinistro di b, con K > 0, la funzione “Renato f non `e sommabile. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Lasciamo al lettore il compito diScuola svolgere analoghe econsiderazioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle Scienze nel di caso Base Universit` a degli Studi dell’intervallo ]a, b] limitato. Noi esaminiamo il caso di un intervallo non e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Pere semplicit` a, consideriamo l’intervallo +∞[di eNapoli determiniamo Caccioppoli” Scuolalimitato. Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli [1, Studi “Federico II” Anno Accademico per quali α > 0 la funzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” (1.12) g(t) = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolatαPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico`e II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica sommabile. Notiamo 2013-2014 che la funzione `e infinitesima a +∞. Per α 6= 1, e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaabbiamo Politecnica e delle ScienzeZ di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico T T 1−α − 1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 e Applicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica dt = , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento tα 1 −Anno α 1 “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienzeanaloghi di Base Universit` a degli Studi quindi l’integrale diverge se α < 1 eScuola converge per α > 1. Con calcoli di Napoli “Federicoa II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento quelli gi` a Accademico svolti, vediamo che l’integrale diverge anche per αdi=Matematica 1. Dunque e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolalaPolitecnica Scienzesedie Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzione g e` delle sommabile solo seUniversit` α > 1. aNedegli ricaviamo subito il seguente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle criterio. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 1.12. Sia Scuola f ≥ 0 Politecnica continua ine[1, +∞[. Se esistono di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” delle Scienze di Base Universit` a degli Studi K > 0 e α > 1 tali che risulti di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato K Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base f (t)Universit` ≤ α a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle per t abbastanza grande, la funzione `e sommabile. risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Se Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaKPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (t) ≥ Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014f Luigi t Caccioppoli” Scuolaper Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t abbastanza grande, condiKBase > 0, Universit` la funzione f non `e sommabile. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 101 Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato1.13. Caccioppoli” Scuolaillustrare Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` opportuno Osservazione E graficamente le consideradi Napoli “Federicozioni II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato svolte. Consideriamo prima l’intervallo limitato [a, b[. L’espressione che Caccioppoli” Scuoladefinisce Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico g in (1.11) `e crescente con α (per la precisione, questo vale per ogni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Scuola Politecnica e delle t fissato se l’intervallo ha ampiezza enon superiore a“Renato 1, come Caccioppoli” `e lecito supporScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento re essendo i nostri ragionamenti significativi per t vicino a b). Nella figura di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi seguente consideriamo l’intervallo [1, 2[, per alcuni valori di α. Geometrica- Universit` di Napoli “Federicomente, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la sommabilit` a di g significa che il rettangoloide ad essa relativo ha Caccioppoli” Scuolaarea Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico finita e questo accade se il diagramma non sale troppo rapidamente. Se 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle f diverge, la disuguaglianza Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento K di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f (t) Scuola ≤ (b − t)α di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato lemma si enuncia dicendodiche f `eUniversit` infinita in b di ordine superiore a α. II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladel Politecnica e delle Scienze Base a degli Studi non di Napoli “Federico l’intervallo non limitato [1, +∞[. L’espressione (1.12) 2013-2014 Luigi Greco Consideriamo Dipartimento ora di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che definisce in questo caso `e“Federico decrescente α. Accademico Stavolta, il rettangoloide Scienze di Base Universit` a degligStudi di Napoli II” con Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento relativo a g ha area finita se il diagramma funzione si schiaccia di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola della Politecnica e delle Scienzesull’asse di Base Universit` a degli Studi ascisseAccademico abbastanza 2013-2014 rapidamente. LaGreco disuguaglianza di Napoli “Federicodelle II” Anno Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` K a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (t) ≤ α 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 si enuncia dicendo che f `e infinitesima a +∞ di ordine non inferiore a α. Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 1Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi =2 g(t) = di Napoli “Federico II” Annoα Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato α − t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di (2 Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle α =Matematica 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 α = 2013-2014 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle g(t) = α Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II”1Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato α = 12di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = 1 α = 2 Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato α Caccioppoli” 1 2 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi et √ ESEMPIO 1.14. La funzione t → 7 `e sommabilediinMatematica (−1, 1), es- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 1−t 2 Caccioppoli” Scuolasendo Politecnica delle Scienzeglidiestremi Base Universit` a degli di Napoli infinitaein entrambi di ordine 1/2. Studi La funzione t 7→“Federico e−t `e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sommabile in R, in quanto infinitesima di ordine infinitamente grande a ∓∞. Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −tdix−1 La funzione t 7→ e t `e sommabile in (0, +∞) per x > 0. In effetti, essa di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi `e continua in ]0, +∞[ e bisogna studiarne la sommabilit`a solo negli estremi. Universit` di Napoli “FedericoPer II”xAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ≥ 1 la funzione converge in 0, mentre per 0 < x < 1 `e infinita in 0 Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ordine 1 − x < 1: in ogni caso `e sommabile intorno a 0. La sommabilit`a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 102 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e che delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a +∞ `e garantita ∀xCaccioppoli” dalla presenza dell’esponenziale, rende la funzione di Napoli “Federicoinfinitesima II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di ordine infinitamente grande. Questo consente di definire per Caccioppoli” Scuolax Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico > 0 la funzione Γ di Eulero Z e+∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.13) a degli Studi di Napoli Γ(x) “Federico = e−t dt .Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` II”tx−1 Anno 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.15. Studiamo la Luigi sommabilit` su [0, π] della di funzione di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 GrecoaDipartimento Matematica e Applicazioni “Renato 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` f (t) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e aApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle + b cos t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento al variare di a, b ∈ R non entrambi nulli. Ricordiamo che l’immagine di cos tLuigi `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi [−1, 1], quindi se |a| > |b| il denominatore non si annulla e f `e continua, quindi di Napoli “Federicosommabile II” Anno su Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [0, π]. Supponiamo ora |a| ≤ |b|, quindi b 6= 0, e mostriamo che Caccioppoli” Scuolaf Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico non `e sommabile facendo vedere che essa `e infinita di ordine maggiore o 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle uguale a 1 in un punto. Poich´e risulta a/b ∈ [−1, 1],“Renato esiste t0Caccioppoli” ∈ [0, π] tale che Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento cos t0 = −a/b. Ne segue Scuola Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi t − t0 1 1 di Napoli “Federico II” lim Anno Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato lim Luigi Greco = ∈ [1/|b|, +∞] , |(t Accademico − t0 )f (t)| = 2013-2014 t→t0 |b| t→t cosUniversit` t − cos t0a degli |b sin t0 | di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 0Base Studi avendo posto 1/| sindit0Matematica | = +∞ se esinApplicazioni t0 = 0. Scelto k ∈ Caccioppoli” ]0, 1/|b|[, risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato Scuola Politecnica e delle |f (t)| >a k/|t−t |t−t abbastanza quindi f non2013-2014 `e sommabile Scienze di Base Universit` degli Studi Napoli II”piccolo, Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 0 | perdi 0 | > 0“Federico per il lemma“Renato 1.11. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi di Napoli “Federico II”ESERCIZIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1.16. Mostrare che la Γ di Eulero definita nell’esempio 1.14 Caccioppoli” Scuolaverifica Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Γ(1) = 1, Γ(x + 1) = x Γ(x) per ogni x > 0 (questa si chiama relazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di ricorrenza) e quindi Γ(n + 1) = n! per ogni n ∈ N 0. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 1.17. Studiare laScuola sommabilit` a su [0,e2π] della funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato g(t) = a +Universit` b cos t + ca sin t Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle al variare di a, b, c ∈diR Matematica non tutti nulli. (Suggerimento: osservare che p II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico b cos t + c sin t = b2 + c2 cos(t − t ) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e1 delle Scienze di Base Universit` a degli Studi opportuno t1 ∈ [0, 2π], quindi ci siGreco riconduce al caso precedente della e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoper II”un Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica f .) e delle Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuolafunzione Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco 1.3. Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Sommabilit` a per funzioni di pi` u variabili. Esaminiamo il caso Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento delle funzioni di due variabili; considerazioni analoghe si possono fare nel caso di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi generale. di Napoli “Federico II”Nel Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato seguito, quando parleremo di insiemi misurabili, intenderemo misuCaccioppoli” Scuolarabili Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico secondo Peano-Jordan. Sia f una funzione continua in un insieme mi2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle surabile X non compatto. Indichiamo con K (X) la“Renato classe degli insiemi comScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento patti misurabili contenuti in X. Dunque, per ogni K ∈ K (X) ha significato di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi l’integrale Z Z Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 | dx dy .a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(1.14) Politecnica e delle Scienze di Base |f Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaKe Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 103 Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Diremo che “Renato f `e sommabile in X se Scuola l’insieme numerico edescritto dall’integrale di Napoli “Federico(1.14) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato al variare di K ∈ K (X) `e limitato. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Sia f sommabile in X. Se f ≥ 0, definiamo l’integrale ponendo Z ZMatematica e Applicazioni ZZ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.15) a degli Studi di Napoli f dx dy = supII” Anno f dx dy . K∈K (X) X K di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoInII” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Matematica generale, se f `e reale,2013-2014 la decomponiamo nella somma delladisua parte po- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolasitiva Politecnica delle Scienze di Base Napoli “Federico e della esua parte negativa, f =Universit` f+ + f−a, degli comeStudi nella di dimostrazione del II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle lemma 1.2, e poniamo Z Z di NapoliZ “Federico Z Z Z Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno (1.16) dy = fScuola − (−f−e) delle dx dy Scienze , di Matematica e Applicazioni “Renatof dx Caccioppoli” di Base Universit` a degli Studi + dx dy Politecnica X X X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato gli integrali a secondo di funzioni e sono intesi II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle Scienzemembro di Basesono Universit` a deglinon-negative Studi di Napoli “Federico nel senso della (1.15). Per f complessa, ragioniamo su parte reale e coefficiente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dell’immaginario. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che non `e necessario considerare tutti eglidelle elementi di K di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di (X). Base Universit` a degli Studi Diremo che la successione (K ) di elementi di K (X) ` e invadente X se gode e Applicazioni “Renato n n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica propriet` Caccioppoli” Scuoladelle Politecnica ea:delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico • `e crescente,dicio` e risulta Kne ⊆Applicazioni Kn+1 , ∀n ∈“Renato N; 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle per ogni K di ∈ Napoli K (X), “Federico esiste n ∈II” N tale cheAccademico K ⊆ Kn . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a• degli Studi Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi LEMMA 1.18. La funzione f `e sommabile se e solo se il limite di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014Z ZLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dilim Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico |f | dx dy n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica eKnApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli a“Federico `e finito. In caso di sommabilit` , risulta II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ZZ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaZ ZPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dx dy . f dx dy = lim GrecofDipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato n Kna degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 1.18, Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Applicando il lemma verifichiamo che la funzione f (x,Caccioppoli” y) = e−x −y Scuola `e 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sommabile in R . Scegliamo come domini invadenti i cerchi chiusi di centro di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi l’origine: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 2Luigi2 Greco 2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Cn = { (x, y) : x + y ≤ n } , n ∈ N. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Su ogni cerchio l’integrale di f si calcola facilmente passando a coordinate 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle polari: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ZZ Z n 2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola −ρ Politecnica e delle−n Scienze di Base Universit` a degli Studi −x2Caccioppoli” −y 2 e dx dy = 2 π e ρ dρ = π (1 − e ). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Cn 0 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaPertanto, Politecnica e delle al Scienze Base a degli Studi di Napoli passando limite di per n →Universit` +∞, troviamo f sommabile e “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ZZ 2 2 Scienze di Base Universit` II”dyAnno (1.17) a degli Studi di Napoli “Federico e−x −y dx = π . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 R di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi parte, come domini invadenti possiamo anche sceglieredii quadrati di Napoli “FedericoD’altra II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Qn = [−n, n] × Universit` [−n, n] , a degli n ∈Studi N . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 104 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatodiCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Essendo f prodotto funzioni di una sola variabile, l’integrale su Qn sidiscrive di Napoli “Federicocome II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato prodotto di due integrali semplici: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z  ZZ Z n Z n 2 n 2 2 2 2 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento didy Matematica Applicazioni Caccioppoli” e−x −y dx e−x dx , Scuola Politecnica e delle = e−x edx e−y dy“Renato = Scienze di Base Universit` aQndegli Studi di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −n −n“Federico II” −n Anno Accademico di Matematica e Applicazioni Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi poich´e i due“Renato integraliCaccioppoli” differiscono solo per Politecnica il nome della variabile di integradi Napoli “Federicozione. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Passando al limite e confrontando con (1.17), troviamo infine Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Zdi+∞ Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 2 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni (1.18)Dipartimento di Matematicae−x dx = π . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli−∞ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −x2 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Notiamo che le primitive di e non sono elementarmente esprimibili. di Napoli “Federico II”Osserviamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che per le funzioni di pi` u variabili non abbiamo dato la Caccioppoli” Scuolanozione Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di integrabilit` a. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.4. Cenni sull’integrale di Lebesgue. PerAccademico motivi di spazio e per non Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento appesantire “Renato queste lezioni, non riteniamo la teoria del- Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola opportuno Politecnicaintrodurre e delle Scienze di Base a degli Studi di Lebesgue, ma in questo ci limiteremodia Matematica pochi cenni, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicol’integrazione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigiparagrafo Greco Dipartimento esigenze unaUniversit` teoria dell’integrazione pi` u generale di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolasottolineando Politecnica ealcune delle Scienze di di Base a degli Studi di Napoli “Federico quellaDipartimento esposta, che riguarda le funzioni con un numero finitoCaccioppoli” di discontinut` a. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Uno dei problemi fondamentali dell’analisi ` e quello del passaggio al limite Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sotto il segno di integrale. Nella suaScuola formulazione pi` u semplice, il problema `e Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi il seguente. Siano f , n ∈ N, e f definite nell’intervallo (a, b) e supponiamo n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (x) = lim fn (x), per xdi ∈ Base (a, b).Universit` In queste ipotesi, vogliamo ottenere Caccioppoli” Scuolache Politecnica e ndelle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z Z b b 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.19) a degli Studi di Napoli f (x)“Federico dx = lim II” fAnno . n (x) dx Scienze di Base Universit` Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n a a di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi si pu` o riscrivere di Napoli “FedericoL’uguaglianza II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z b Z b Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico lim fn (x) dx = lim fn (x) dx , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di aMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n n a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento che giustifica la terminologia usata. Abbiamo gi`a incontrato il 2013-2014 problema del di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi passaggio al limite sotto il segno di integrale. Ad esempio, il risultato del Universit` di Napoli “Federicolemma II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato III.2.6 pu` o essere visto in questa ottica. Questo vale anche per i lemmi Caccioppoli” Scuola2.10 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e 2.11 che seguono. Essendo la somma di una serie convergente il limite 2013-2014 Luigi Greco di somme Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle della Dipartimento successione delle parziali, anche il problema di integrare termine Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento a termine una serie rientra in quello di passaggio al limite sotto il segno Luigi di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi integrale, come pure quello di derivare sotto il segno di integrale, essendo la di Napoli “Federicoderivata II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il limite del rapporto incrementale. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Prima di porre il problema della validit`a dell’uguaglianza (1.19), bisogna 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”nota Scuola Politecnica e delle vedere se il primo membro ha significato, cio`e la teoria dell’integrazione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento ` `e applicabile alla funzione f . E chiaro che supponiamo integrabile ogni fLuigi n, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ma pu` o accadere che il limite puntuale f sia, ad esempio, discontinua in ogni di Napoli “Federicopunto II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dell’intervallo (a, b), quindi tale funzione non rientra nella teoria da noi Caccioppoli” Scuolaesposta. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Non rientra in generale neppure nella teoria dell’integrazione secondo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 105 Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi Riemann, che non abbiamo discusso. Le ipotesi che sie fanno usualmente sul Universit` di Napoli “Federicotipo II” di Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato convergenza delle fn verso f servono soprattutto ad assicurare che f Caccioppoli” ScuolasiaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico integrabile. Per ottenere risultati generali di passaggio al limite sotto il 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle segnoDipartimento di integrale, occorre poter considerare classi “Renato pi` u ampieCaccioppoli” di funzioni. Le Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento funzioni di cui tratta la teoria della misura di Lebesgue si chiamano funzioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi misurabili (secondo Lebesgue). Esse costituiscono una classe estremamente Universit` di Napoli “Federicoampia; II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato diventa delicato dare un esempio di funzione non misurabile. Tale Caccioppoli” Scuolaclasse Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e chiusa rispetto alla convergenza puntuale di successioni. 2013-2014 Luigi Greco D’altra Dipartimento Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle parte, ledifunzioni con cui avremo a che“Renato fare saranno nella magScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento gior parte dei casi del tipo considerato sin qui, avranno cio`e un numero finito di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di puti di discontinuit` a, o, se definite in intervalli non limitati, avranno un Universit` di Napoli “Federiconumero II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato finito di discontinuit` a in ogni sottointervallo limitato. Pi` u in geneCaccioppoli” Scuolarale, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico supporemo che ogni funzione considerata sia di questo tipo, una volta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scuola Politecnica e delle modificata opportunamente. DiamoelaApplicazioni definizione di“Renato insieme Caccioppoli” di misura nulla. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento DEFINIZIONE 1.19. Un insieme E⊂ R ha misura nullaScienze secondodiLebedi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi sgue se per ogni ε > 0, esiste una successione (finita o numerabile) di intervalli e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica E e tali la Universit` somma delle ampiezze minore di ε: n , bn [ che ricoprono Caccioppoli” Scuola]aPolitecnica e delle Scienze di che Base a degli Studi disiaNapoli “Federico II” Anno Accademico [ X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ]a Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (bn − an ) < ε . n , bn [ ⊇ E , Scienze di Base Universit` a degli Studi ndi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Gli insiemi di misura nulla si dicono anche trascurabili. di Napoli “Federico II”SiAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dice che una propriet` a P `e verificata quasi ovunque (q.o.) nell’insieme Caccioppoli” ScuolaXPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ⊆ R se esiste un sottoinsieme trascurabile E ⊂ X tale che P valga in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica X \ E. In altri termini, l’insieme e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento { x ∈ X : Scuola P `e falsa in x } e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi di Napoli “FedericohaII”misura Anno nulla. Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico insieme finito o numerabile“Renato `e trascurabile; in parti2013-2014 Luigi Greco Chiaramente, Dipartimento ogni di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle colare, Q ` e trascurabile. Esistono insiemi trascurabili pi` u che numerabili. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 22013-2014 Luigi Greco Dipartimento Vediamo qualche esempio di propriet` a verificata q.o.: erisulta > 0 per q.o. Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle x Scienze di Base a degli Studi n x ∈ R; la successione di funzioni f (x) = x converge q.o. nell’intervallo [0, 1] e Applicazioni “Renato n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica funzione ef delle ≡ 0. Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuolaalla Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico La teoria dell’integrazione di Lebesgue non distingue traCaccioppoli” funzioni coinci2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle denti quasi ovunque (quello che accade negli insiemi di misura nulla `e ininScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento fluente: per tal motivo, essi sono detti trascurabili). Questo `e analogo quanto di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzea di Base Universit` a degli Studi nell’osservazione per la teoria qui esposta. Consi- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicodetto II” Anno Accademico1.6 2013-2014 Luigi dell’integrazione Greco Dipartimento di Matematica ad esempio la seguente funzione di Dirichlet, definita nell’intervallo Caccioppoli” Scuoladeriamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico [0, 1]: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ( e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 , se xII” ∈Q ∩ [0, Accademico 1]; Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f (x) = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi 0 , Scuola se x ∈ [0, 1] \ Q . e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “FedericoLaII”funzione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f `e discontinua in ogni punto dell’intervallo [0, 1], ma risulta Caccioppoli” Scuolaf (x) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 0 q.o. e quindi modificandola in un insieme trascurabile otteniamo la 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 106 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica ef delle Scienze di Base Universit` a degli Studi funzione identicamente nulla: ai finiScuola dell’integrazione, pu`o essere sostituita di Napoli “Federicocon II”quest’ultima. Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di degli Studi possa di Napoli “Federico Nel seguito, supporremo cheBase ogniUniversit` funzioneaconsiderata essere modi- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ficata su un insieme trascurabile in modo da rientrare nella teoria dell’integraScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento zione da noi esposta, cio`e abbia su ogni intervallo limitato un numero finito di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di discontinuit` a. Questo consente anche di considerare funzioni definite q.o., Universit` di Napoli “Federicopoich´ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e queste possono essere prolungate in maniera arbitraria sui sottoinsiemi Caccioppoli” Scuolatrascurabili. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Diamo Dipartimento di risultati Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” seScuola Politecnica e delle ora alcuni fondamentali della teoria dell’integrazione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento condo Lebesgue. In ciascuno degli enunciati seguenti, il lettore pu`o intendere di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi l’ipotesi di sommabilit` a per le funzioni considerate nel senso della teoria qui Universit` di Napoli “Federicoesposta; II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in ogni caso per` o cercheremo di formulare gli enunciati nella maCaccioppoli” Scuolaniera Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico pi` u aderente alla teoria dell’integrazione di Lebesgue. Ci occupiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle innanzitutto del passaggio al limite esotto il segno di“Renato integrale. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 1.20Caccioppoli” (di LebesgueScuola della convergenza Siano fn , Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica edominata). delle Scienze di Base a degli Studi ∈ N, funzioni sommabili in X eLuigi convergenti q.o. a f in X. Supponiamo e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicon II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica che esista g sommabile X Universit` e verificante Caccioppoli” Scuolainoltre Politecnica e delle Scienze di in Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle (1.20) |fn (x)| ≤ g(x) , per q.o. x ∈ X , “Renato per ogni Caccioppoli” n ∈ N. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In queste ipotesi, la funzione f `e sommabile in X ed e`e delle lecitoScienze il passaggio al Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base a degli Studi limite sotto il segno di integrale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (x) dx =e lim fn (x) dx . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n X X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La condizione (1.20), cio`e che leScuola fn sonoPolitecnica maggiorateeda una Scienze stessa funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” delle di Base Universit` a degli Studi sommabile, d` a il nome al teorema. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 1.21.Scienze Risulta Z +∞e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica dx Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno = 1 . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lim“Federico II” n n 1 + xPolitecnica 0 Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Ci Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di al Matematica occupiamo ora delle formuleLuigi di riduzione. Ci limitiamo caso delle e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolafunzioni Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di due variabili; neldicaso generale si possono svolgere considerazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle analoghe. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 1.22Caccioppoli” (di Fubini).Scuola Sia f = f (x, y) una funzione sommabile di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 in R . Per q.o. y ∈ R, la funzione x → 7 f (x, y) ` e sommabile in R e la funzione e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 ZLuigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y 7→ f (x, y) dx 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica eR Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento `e sommabile in R. Per q.o. x ∈ R, la funzione y 7→ f (x, y) `e sommabile in R di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e la funzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 ZLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 7→ Universit` f (x, y) dy Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dixBase a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica eR Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. di FUNZIONI Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 107 Scuola Politecnica e delle INTEGRABILI E SOMMABILI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” a degli Studi `e sommabile“Renato in R. Inoltre risulta Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z Z Luigi Z Greco Dipartimento Z Z di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno ZAccademico 2013-2014 f (x,Scienze y) dx dydi = Base dyUniversit` f (x, y) = Studi dx di fNapoli (x, y) dy . Caccioppoli” Scuola(1.21) Politecnica e delle a dx degli “Federico II” Anno Accademico R2 R R R R 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In aparticolare, tra il secondo e ilAccademico terzo membro in (1.21) Scienze di Base Universit` degli Studi l’uguaglianza di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento significa che“Renato `e possibile invertire l’ordine integrazione. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi seguente teorema 2013-2014 fornisce unLuigi criterio di sommabilit` a. di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”IlAnno Accademico Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico TEOREMA 1.23 (di Tonelli). Se uno dei due integrali iterati 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Z Z Z Z “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno (1.22) dy |f (x, y)| dx , dx |fAccademico (x, y)| dy , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R R R R di Napoli “Federico`e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 finito, la funzione f = f (x, y) `e sommabile in R . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico usa il teorema di Tonelli per assicurare la condizione 2013-2014 Luigi Greco Frequentemente, Dipartimento disiMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di sommabilit` di f ,di in Napoli modo da applicare il teorema di Fubini. Scienze di Base Universit` a degli aStudi “Federico II”poi Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Una applicazione importante dei teoremi di Fubini e Tonelli riguarda la Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi del prodotto 2013-2014 di convoluzione (o semplicemente convoluzione) tra e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicodefinizione II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica funzioni sommabili. Caccioppoli” Scuoladue Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle DEFINIZIONE 1.24. Date le funzioni g e h sommabili in R, si chiama Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento convoluzione di g per h la funzione g ∗ h sommabile in R definita ponendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (1.23) g ∗ h(x) = g(y) h(x − y) dy , per q.o. x ∈ R . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (Osservare l’analogia con la formula (VI.1.1).) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per giustificare definizione 1.24, osserviamo chee la funzione f (x, = Universit` di Matematica e Applicazioni “RenatolaCaccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di y) Base a degli Studi − y) `e sommabile in R2 perLuigi il teorema Tonelli, in quanto, ponendo e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicog(y) II” h(x Anno Accademico 2013-2014 Greco di Dipartimento di Matematica x − y, Caccioppoli” Scuolat = Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ Z +∞ di Matematica e Applicazioni Z +∞ Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato dy Studi |g(y) − y)| dx = |h(t)| 2013-2014 dt < +∞ . Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli di h(x Napoli “Federico II”|g(y)| AnnodyAccademico −∞ −∞ −∞ Politecnica −∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi teorema di Fubini garantisce possibilit` a di definire la funzione e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoIlII” Anno Accademico 2013-2014allora LuigilaGreco Dipartimento di Matematica ∗ h mediante la (1.23) e la di sua sommabilit` a.a Inoltre, invertendo l’ordine di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolag Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico integrazione, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ di Napoli “Federico Z +∞ II” Anno Z +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.24) ∗ h(x) dx = Scuolag(y) dy h(x) dx .Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato gCaccioppoli” Politecnica e delle a degli Studi −∞ −∞ −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Osservazione Il prodotto di convoluzione `e associativo commu- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.25. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napolie “Federico tativo, cio`e, se f , g di e hMatematica sono sommabili, risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (f ∗dig)Napoli ∗ h = f“Federico ∗ (g ∗ h) ,II” Anno f ∗ g Accademico =g∗f. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1.26.2013-2014 Mostriamo che Greco risultaDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Osservazione Anno Accademico Luigi Caccioppoli” Scuola(1.25) Politecnica e delle Scienze di∗Base Universit` a degli .Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (−x) g(−x) = (f ∗ g)(−x) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 108 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a degli Studi In effetti “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` degli Studi di Napoli II” Anno Accademico f (−x) ∗ g(−x) = Scienze f (−y) g(−(x − y)) dya = f (−y) g(−x +“Federico y) dy −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Zdi−∞ Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = f (t) g(−x − t) dt = (f ∗ g)(−x) . di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In particolare, (1.25) implica che f ∗ g `e pari se f e g sono entrambe funzioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico pari o funzioni dispari. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Calcolo degli integrali definiti di Matematica e Applicazioni “Renato2.Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato questo paragrafo mostriamo l’applicazione dei teoremi dei residui al Caccioppoli” Scuolacalcolo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di alcuni integrali definiti. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di di funzioni Napoli “Federico II”diAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.1. Integrali razionali coseno e seno. Consideriamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi integrali del tipo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z 2π Caccioppoli” Scuola(2.1) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R(cos ϑ, sin ϑ) dϑ , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico Luigi Greco Dipartimento essendo R(X, Y ) una funzione razionale II” delleAnno due variabili reali2013-2014 X e Y , condi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi 2 2 tinua sulla circonferenza unitaria di equazione X + Y = 1. Valendo la Universit` di Napoli “Federicorelazione II” Annofondamentale Accademico cos 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 ϑ + sin ϑ = 1, la funzione integranda in (2.1) `e Caccioppoli” Scuolacontinua. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ricordando le espressioni (I.5.6) di cos ϑ e sin ϑ mediante la formula 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Eulero e ponendodiz Matematica = ejϑ , scriviamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z + 1/z z −Scuola 1/z 1 dz di Matematica e Applicazioni delle Universit` a degli Studi cos ϑ = “Renato , Caccioppoli” sin ϑ = , Politecnica dz = j ejϑe dϑ ⇒Scienze dϑ = di Base . 2 j j z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20142Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Inoltre, al variare di ϑ in [0, 2 π], z descrive (in verso antiorario) la circonfe2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle renza unitaria Γ nel piano complesso. Pertanto, l’integrale (2.1) si trasforma Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento nel seguente   Z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 z + 1/z z − 1/z dz di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi, Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R , j Γ di Base2 Universit` 2 ja degliz Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze che `eDipartimento del tipo 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 R1 (z) dz di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi j ΓScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federicoper II”un’opportuna Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato funzione razionale R1 , e pu`o essere calcolato mediante il Caccioppoli” ScuolaI teorema Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dei residui: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z 2π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle
2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico R(cos ϑ, sin ϑ) dϑ = 2 πII”R[z 1 ] + · · · + R[zn ] , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 di Napoli “Federicoessendo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato chiaramente R[z1 ], . . . , R[zn ] i residui di R1 nei suoi poli che cadono Caccioppoli” Scuolainternamente Politecnica eadelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Γ, cio`e di modulo minore di 1. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 109 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato2.1. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzedidiestenBase Universit` a degli Studi Osservazione Qualche semplice considerazione permette di Napoli “Federicodere II” ilAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato procedimento ad integrali leggermente pi` u generali di (2.1). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (i) Poich´e l’integrando R(cos ϑ, sin ϑ) `e periodico di periodo 2 π, l’integrale 2013-2014 Luigi Greco diintervallo Matematica e Applicazioni “Renato[a,Caccioppoli” Politecnica e delle estesoDipartimento ad un qualsiasi di ampiezza pari al periodo a+2 π], ∀a ∈ Scuola R, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento uguaglia quello esteso all’intervallo [0, 2 π]: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z a+2π Z 2π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(cos ϑ, sin ϑ) dϑ = R(cos ϑ, sin ϑ) dϑ . Caccioppoli” Scuola Politecnica e adelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 2013-2014 Luigi Greco (ii) Dipartimento Notiamo chedi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Zdiπ Napoli “Federico ZII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R(cos ϑ) dϑ , R(cos ϑ) dϑScuola = 2 Greco −π 0 2013-2014 Luigi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolapoich´ Politecnica e delle R(cos Scienze Base Universit` e l’integrando ϑ)di`e funzione pari. a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco (iii) Dipartimento di Matematica Consideriamo l’integrale e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z Napoli Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi R(cos2 ϑ, sin ϑ cosPolitecnica ϑ, sin2 ϑ) dϑe, delle Scienze di Base Universit` 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R funzione espressioni da cui dipende R Napoli nell’integrando Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica e delle razionale. Scienze diLe Base Universit` a degli Studi di “Federico II” Anno Accademico possono essere scritte funzionie razionali di cos“Renato 2 ϑ e sin Caccioppoli” 2 ϑ: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di come Matematica Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 + cos 2 ϑ 1 1 − cos 2 ϑ 2 cos2 ϑ = “Renato Caccioppoli” , sin ϑ cosScuola ϑ = Politecnica sin 2 ϑ , sin ϑ= di Matematica e Applicazioni e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 2 2 di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi chiaramente con la sostituzione t = 2 ϑ l’integrale si trasforma in uno Caccioppoli” Scuoladel Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico tipo (2.1). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 2.2. diConsideriamo ad esempio l’integrale Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z π Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 1 − 2 cos ϑ dϑ .Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20145 Luigi Greco − 4 cos ϑ −π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Procedendo come indicato, giungiamo all’integrale “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Z Z Scienze di Base Universit` a degli1 Studi di(zNapoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1− + 1/z)“Federico dz 1 II” Anno z 2 −Accademico z+1 = dz . 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi j Γ 5 − 2 (z + 1/z) z j Γ z (2 z − 5 z + 2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Le singolarit` a dell’integrando che cadono internamente al cerchio unitario sono Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 e 1/2, con residui 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2 −z+ 1 z − z + 1 2013-2014 1 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a deglizStudi di1Napoli “Federico II” Anno Accademico R[0] = = , R[1/2] = =− 2 di Matematica e Applicazioni 2“Renato delle Scienze di2 Base Universit` a degli Studi z − 5 z Caccioppoli” + 2 z=0 2 Scuola Politecnica z (4 ze − 5) z=1/2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi l’integrale nullo. di Base Universit` Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle`eScienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2.3. Vale la pena, a scopo illustrativo, provare a calcoScienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademicot 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lare l’integrale anchedimediante la sostituzione razionalizzante = tan ϑ2 , che di Matematica e Applicazioni a degli Studi comporta “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 − t2 2 dt Caccioppoli” Scuola Politecnicacos e delle di Base Universit` a, deglidϑ Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϑ = Scienze , ϑ = 2 arctan t = . 1 +Matematica t2 1 +Caccioppoli” t2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 110 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi Quando ϑ varia tra −π e π, t varia tra −∞ e +∞. ePertanto l’integrale si Universit` di Napoli “Federicotrasforma II” AnnoinAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 t2 − 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (2.2) 2 dt“Renato . (9 t2 + 1)II” (1 +Anno t2 ) Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −∞ “Federico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Per valutare“Renato tale integrale, bisogna Scuola decomporre in frattie semplici l’integrando. di Napoli “FedericoNel II”paragrafo Anno Accademico 2013-2014 Luigi mediante Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato 2.2 illustreremo il calcolo la teoria deidiresidui. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2.4.diRicaviamo unae formula per l’integrale 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z 2π Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” dx Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (2.3) I= di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi a Scuola + b cos x + c sin x e delle Scienze di Base Universit` 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 a, b e c ∈ eRdelle verificanti a2di>Base b2 + cUniversit` (cfr. esercizio condizione Caccioppoli” Scuolacon Politecnica Scienze a degli 1.17). Studi Questa di Napoli “Federico II” Anno Accademico assicura che il denominatore non sieannulla ed `e concorde coefficiente Scuola a, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renatocol Caccioppoli” Politecnica e delle ∀x ∈ R, quindi l’integrando ` e continuo. Chiaramente, anche I ` e concorde Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con a. Il caso b = c =Caccioppoli” 0 `e banale, poich´ e l’integrando quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica risulta e delle costante, Scienze di Base Universit` a degli Studi supponiamo che uno almeno dei due coefficienti sia non nullo. Con la posizione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = ejx , abbiamo Caccioppoli” Scuolaz Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z + 1/z z − 1/z “Renato 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a + b cos x + c sin x = a + b +c = (α z 2 + 2 a z + α ¯) , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 2j 2z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dove α = b − jc 6= 0, e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z 2di Base Universit` dz a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze . I= j |z|=1eαApplicazioni z2 + 2 a z + α ¯“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che |z| = 1 ⇒ α z 2 + 2 a z + α ¯ 6= 0 (questa `e la continuit`a di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dell’integrando). Infatti, se |z| = 1, per la disuguaglianza triangolare abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato

|α z 2 e+delle 2 a z Scienze +α ¯ | ≥ 2di|aBase z| − Universit` |α z 2 | + |¯ | = 2Studi |a| −di|α|Napoli > 0 . “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica aαdegli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Detti z1 e z2 gli zeri di α z 2 + 2 a z + α ¯ e supposto com’`e lecito |z1 | ≤ |z2 |, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento risulta z1 z2 = α ¯ /α, quindi |z1 | |z2 | = |¯ α|/|α| = 1 e dunque |z1 | < 1 < |z2 |. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Per il I teorema dei residui, l’integrale vale I = (2/j) 2πj R[z1 ]. D’altra parte di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di=BasepUniversit` a= degli Studi1di Napoli , “Federico II” Anno Accademico R[z1e] delle = ± √ 2 2 (z1 Matematica − z2 ) 2 a2 − b2Caccioppoli” − c2 ±2 e aApplicazioni − |α| 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentoα di “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dove la determinazione della radice `e quella aritmetica del numero reale posidi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 2 2 2 2 tivo a − |α| = a − b − c . di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato definitiva, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sgn a 2013-2014 Luigi Greco (2.4) Dipartimento di Matematica I = 2π √e Applicazioni. “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 a −II” b2 −Anno c2 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Ad esempio,“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi Z 2π di Napoli “Federico II”Z Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2π 2π dx 2π dx √ , Universit` = Base = − √“Federico . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 4 + 3 cos x + 2 sin x 5 cos x + 3 sin x − 7 3 e Applicazioni 15 Scuola Politecnica e delle 0 2013-2014 Luigi Greco 0Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 111 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Chiaramente, usandoCaccioppoli” il suggerimento dell’esercizio 1.17, sarebbe bastato sta- Universit` di Napoli “Federicobilire II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato una formula per integrali del tipo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diZBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2π dx 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle . a + b cos 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” xAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 2.5. Caccioppoli” Calcoliamo l’integrale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z 2πLuigi Greco cos2 x a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeIdi=Base Universit` dx . + cos x 0 e 2Applicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle jx Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Effettuando la sostituzione z = e come indicato, l’integrale si 2013-2014 trasforma in Z Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z 4 + 2z 2 + 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico I2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dz = 2 (z 2 + 4z + 1) 2j Base Γ z Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico il cuiDipartimento integrando `e distato studiato enell’esempio quanto visto, 2013-2014 Luigi Greco Matematica ApplicazioniV.2.12. “RenatoPer Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle l’integrale valeStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli   di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi √ Politecnica 2 e delle Scienze di Base Universit` √ 3]) = 4π I = π(R[0] + R[−2 + − 1 . di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Osserviamo che perdi (V.2.7) risulta e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica √ √ Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento R[0]di+Napoli R[−2 +“Federico 3] = −R[−2 − 3]Accademico − R[∞] di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi il secondo membro si calcola pi` u Luigi facilmente. di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Notiamo eche Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos2 x cos2 x − 4e+Applicazioni 4 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica = = cos x − 2“Renato + + cosdi x Napoli 2 +“Federico cos x 2 + cos x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli 2Studi II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e l’integrale “Renato si riconduce a quello pi` u semplice dell’esempio 2.4. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.2. Integrali funzioni razionali. Ci occupiamo oraNapoli di integrali di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico funzioni razionali del tipo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico P (x)II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (2.5) dx , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Q(x) −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato con P e Q polinomi primi tra loro. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2.2.1. Integrale nel caso di sommabilit` a. Cominciamo dal caso in cui P e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Q verificano le seguenti ipotesi: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (a) Q `e“Renato privo diCaccioppoli” zeri reali, cio` e Q(x) 6= 0, ∀x ∈ R;e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica a degli Studi (b) grado Q ≥ grado P + 2. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (a) eassicura che l’integrando R = aP/Q (2.5)di`e Napoli continuo in R, II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaL’ipotesi Politecnica delle Scienze di Base Universit` degliinStudi “Federico mentre l’ipotesi (b)diassicura che esso `e infinitesimo“Renato a ∓∞ diCaccioppoli” ordine almeno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle 2. Pertanto assolutamente. Cominciamo con2013-2014 un semplice Scienze di Base Universit` a deglil’integrale Studi di converge Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento esempio: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1 dxa. degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(2.6) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 1 + x4 −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 112 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” ScuolaDPolitecnica e delle di Base a degli Studi Scelto r > 1,“Renato consideriamo il semicerchio di centro 0, raggioScienze r formato dai Universit` 4 di Napoli “Federicopunti II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z con Im z ≥ 0, e la funzione R(z) = 1/(1 + z ). In questo caso, le √ 4 “Federico II” Anno Accademico 4a degli Studi di Napoli Caccioppoli” Scuolasingolarit` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a sono le soluzioni dell’equazione z = −1, vale a dire −1, cio`e π π 2013-2014 Luigi Greco Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0, 1, 2, 3. Quelleeche cadono nel“Renato semipiano Im z > 0 sono zk = Dipartimento ej 4 +jk 2 , k = di 3 jπ j π Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z0 = e 4 e z1 = e 4 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Γr Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3 π 4 πj Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II”z0Anno z1 = e“Federico = e 4 jAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi GrecoD Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle r −r Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica a degli Studi Applicando “Renato il teoremaCaccioppoli” dei residui, troviamo dunque e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z r Z
Caccioppoli” Scuola(2.7) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R(x) dx + R(z) dz = 2 π j R[z0 ] + R[z1 ] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −r Γr Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Nel primo membro, il primo integrale per r → +∞ converge all’integrale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cercato. Il secondo integrale `e infinitesimo, in quanto per r > 1 abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z di Base Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Universit` ≤ πr . dz 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 4 4 r − 1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Γr 1 + z Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Quindi effettuando passaggio al limite r → +∞ edadelle (2.7)Scienze ricaviamo di Matematica e Applicazioni “Renatoil Caccioppoli” Scuolaper Politecnica di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞
dx Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 2 π j R[z0a] + R[zStudi 1] . 4 1 + x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di−∞ Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Inoltre, ricordando che zk4 = −1, abbiamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato zk zk R[zkdi] = = =− Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base 4 zk3Universit` 4 zk4 a degli 4 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaPolitecnica e delle Scienze a degli Studi Z +∞ z0 + z1 Luigi π Greco 1 Dipartimento j 1 j Matematica π di Napoli “Federico II” Annodx Accademico 2013-2014 di e Applicazioni “Renato √ √ √ √ √ = −2 π j = − j + − + = . 4 2 2a degli2 Studi2 di Napoli 2 2 −∞ 1 + xe delle Scienze 4di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Nel Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle caso generale dell’integrale (2.5) si procede alla stessa maniera. Le Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento singolarit` a della funzione R(z) = P (z)/Q(z) sono gli zeri del denominatore e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi non cadono sull’asse reale, per l’ipotesi (a). Scegliamo il semicerchio D di ragdi Napoli “Federicogio II”r Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato abbastanza grande in modo che le (eventuali) singolarit`a con coefficiente Caccioppoli” Scuoladell’immaginario Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico positivo, diciamole z1 , . . . , zn , cadano internamente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 113 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Γr di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dizBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z1 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno zn Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi D di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico r 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −r di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicando il teorema dei residui, otteniamo quindi di Matematica e ApplicazioniZ “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z r
di Napoli “Federico(2.8) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(x) dx + R(z) dz = 2 π j R[z1 ] + · · · + R[zn ] . Caccioppoli” Scuola Politecnica−re delle ScienzeΓrdi Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Per rDipartimento → +∞ il primo integrale converge all’integrale cercatoCaccioppoli” (2.5). In virt` u 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dell’ipotesi (b), l’integrale su Γr `e infinitesimo; essendo la funzione z R(z) 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi convergente per z → ∞ essa `e limitata, cio`e |z R(z)| ≤ M , per |z| abbastanza di Napoli “Federicogrande, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z Z Matematica z 2 R(z)e Applicazioni M r→+∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = ≤ π r M =“Renato R(z) dz dz π −−−−−−→ 0 . 2 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento z r r Γr Γr di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Pertanto, passando al limite in (2.8), otteniamo la formula di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle+∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi
di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.9) R(x) dx = 2 π j R[z1 ] + · · · + R[zn ] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osservazione Per rendersi conto Politecnica dell’efficienza del metodo di di calcolo di Matematica e Applicazioni “Renato2.6. Caccioppoli” Scuola e delle Scienze Base Universit` a degli Studi esposto, provare a calcolare l’integrale (2.6) in maniera elementare. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a residui degli Studi di Napoli “Federico ESEMPIO 2.7. Scienze Calcoliamo col metodo dei l’intergrale (2.2). Con- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sideriamo dunque la funzione razionale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3z − 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi R(z) = Scuola , e delle Scienze di Base Universit` 2 + 1) (1 + z 2 ) (9 z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolache Politecnica delle Scienze Base aadegli Napoli “Federico verifica le econdizioni (a) edi(b). LeUniversit` singolarit` sono Studi ∓j/3 edi∓j, quindi quelle II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle con coefficiente dell’immaginario positivo sono j/3 e j. Pertanto, applicando Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento la formula (2.9) abbiamo di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Caccioppoli” 3 t2 − 1 Luigi Greco Dipartimento
di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 dt = 2 π j R[j/3] + R[j] . t2 + 1)di(1Base + t2 )Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e −∞ delle (9 Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Inoltre 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 z2 − 1 1 j 3 z 2 − 1 1 j di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi R[j/3] = “Renato · = , R[j] = · =di− Base Universit` 2 2 1+z 182013-2014 z z=j/3 Luigi 4 9 z + 1 2di z z=j 4 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento Matematica Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle`eScienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico quindi l’integrale nullo. di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 114 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 2.8. Caccioppoli” Calcoliamo l’integrale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ dx a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(2.10) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` I= . 6 − 2 x3 + 4 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −∞ exApplicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Le singolarit` a dell’integrando di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(z) =Luigi z6 − 2 z3 + 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sono Dipartimento gli zeri del denominatore, determinati nell’esempio I.4.3. Usando (2.9), 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle troviamo quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento
π 5 7 di Matematica e Applicazioni “Renato delle di Base Universit` a degli Studi I = 2 π jCaccioppoli” R[21/3 ej 9 ] +Scuola R[21/3Politecnica ej 9 π ] + R[2e1/3 ej 9 πScienze ] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato bisogna soloe calcolare i residui. Abbiamo Caccioppoli” Scuolae Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 z 1/3 j π 9 ] = R[2 e = Scienze di Base Universit` a degli Studi di 6Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 5 2 6 3 π z − 6 z z=21/3 ej π9 6 (z − z ) z=21/32013-2014 ej 9 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z Luigi Greco , = 2013-2014 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 6 (z − 4) z=21/3 ej π9 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 9 , l’ultima uguaglianzadi essendo conseguenza del fatto che, per z = 21/3 ejScuola 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 3 risulta az 6degli − 2 zStudi +4 = e quindi z6 − z3 = − 4. A questo punto, il residuo Scienze di Base Universit` di 0Napoli “Federico II”z 3Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento si calcola molto facilmente: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi √ 1/3 Luigi jπ 1/3 jπ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 9 9 2 e 2 e (−j − 3) 1/3 j π 9 ] = √ Universit` √ di Napoli e Scienze = a degli Studi . Caccioppoli” Scuola PolitecnicaR[2 e delle di Base “Federico II” Anno Accademico 6 (1 + 3 j − 4) 24 3 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Analogamente possiamo procedere per gliII” altri: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √ 7 π √ 1/3 j 9 π Scuola Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 e 21/3 eje9 delle ( 3− (−j − 3) j) 1/3 j 79 π √ √ di Matematica , e ] =2013-2014 Luigi Greco=Dipartimento di Napoli “Federico II” AnnoR[2 Accademico e Applicazioni “Renato 24 3 24 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 5 π 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 5 21/3 ej 9 π (j − 3) 21/3 e−j 9 (−2 j) √ √ R[21/3 ej 9 πdi] = Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” =Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 24 Scuola 3 24 e delle 3 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi dunque di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi jπ 9 + e−j 9 ) (−2 j) 21/3 ( edi 21/3 π di πNapoli “Federico II” Anno Accademico √ cos Caccioppoli” I = 2 πdij Matematica√e Applicazioni = “Renato . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scuola Politecnica e delle 9 24 3 3 3 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 2.9.Caccioppoli” Verificare l’uguaglianza di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1 π dx = . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(2.11) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli 2 )2 (1 + x 2 −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Mostrare che l’uguaglianza (2.11) si ricava derivazione sotto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”anche Annomediante Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento il segno di integrale, indicato.Scuola Per a Politecnica > 0 troviamo ovviamente di Matematica e Applicazioni “Renato come Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1 π dx = a√degli , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2 a + x a −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 115 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi quindi derivando rispetto ad a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base1 Universit` a degli 1 πStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ dx = − 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di − Matematica e 2Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2 a a −∞ (a + x ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi da cui segue (2.11) ponendo a = 1. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Calcolare l’integrale anche tenendo conto della formula di Hermite del Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico paragrafo V.3.3. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.2.2. Integrale a valor principale. Indeboliamo le ipotesi del paragradi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi fo 2.2.1. Precisamente, sostituiamo le condizioni (a) e (b) con le pi` u deboli: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (a’) gli (eventuali) zeri reali di Q sono semplici; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico grado Q ≥ di grado P + 1. e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco (b’) Dipartimento Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Se le condizioni (a) e (b) non valgono entrambe, l’integrale (2.5) non `e assoludi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi tamente convergente, ma sotto le ipotesi (a’), (b’) si dimostra che esso esiste di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nel senso del valor principale. (In effetti, questo seguir`a pure dal ragionamento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che stiamo per esporre.) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Consideriamo per semplicit`a il caso in cui Q abbia un unico zero reale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x1 , che per ipotesi `e semplice. Il ragionamento seguito precedentemente deve di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi essere modificato, sia perch´e se D `e un semicerchio, (per r grande) sul diametro di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che fa parte della frontiera cadr`a la singolarit`a x1 , sia perch´e il passaggio Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico al limite per l’integrale esteso a Γ `e meno immediato se la condizione (b’) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica r e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sostituisce (b). La prima difficolt`a si supera scegliendo come dominio D il Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento semicerchio di centro 0 e raggio r formato dai punti del semipiano dei numeri di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z con Im z ≥ 0, privato dei punti del cerchio aperto di centro x e raggio ε che di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1di Matematica e Applicazioni “Renato gli appartengono; per r > 0 sufficientemente grande e ε > 0 sufficientemente Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico piccolo (in particolare, |x1 | + ε < r), tutte le (eventuali) singolarit`a di R(z) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle P (z)/Q(z) con coefficiente dell’immaginario positivo sono interne a D e R `e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento olomorfa sulla frontiera, che `e composta dai segmenti di estremi −r, x1 − ε e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi x + ε, r dell’asse reale, dalla semicirconferenza Γr e dalla semicirconferenza di Napoli “Federico 1II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato γ di centro x , raggio ε, formata dai punti z con Im z ≥ 0 e percorsa da x1 −ε Caccioppoli” Scuola εPolitecnica e1 delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a x + ε. 2013-2014 Luigi Greco1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Γr di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni z1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento zn D −γε di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle−r Scienze a degli Studi x1 −εdi x1 +εUniversit` x1Base r di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 116 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica a degli Studi Applicando “Renato il I teorema dei residui,Scuola troviamo quindi e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” AnnoZAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Z r Z x1 −ε Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R(x) dx + R(z) dz + R(x) dx + R(z) dz 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle −r −γε x1 +ε “Renato Caccioppoli” Γr (2.12)Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014
Luigi Greco Dipartimento = 2 π j R[ze1 ]delle + · · ·Scienze + R[zn ]di. Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “FedericoLaII”somma Anno dei Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato due integrali estesi ad intervalli dell’asse reale tende, per r → Caccioppoli” Scuola+∞ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e ε → 0+, all’integrale (2.5) inteso nel senso del valor principale: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z x1 −ε Z Z +∞ r→+∞ , ε→0+Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di rNapoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento R(x) dx + R(x) dx − − − − − − − − − − − − − → v.p. R(x)didxBase . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi −r x1 +ε −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato integrali alleUniversit` semicirconferenze, neldipassaggio al limi- II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaEsaminiamo Politecnica iedue delle Scienzeestesi di Base a degli Studi Napoli “Federico te. Come gi` a osservato, se grado Q = grado P + 1 lo studio del limite dell’in2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle tegrale esteso a Γ richiede un ragionamento pi` u preciso di quello fatto r Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014preLuigi Greco Dipartimento cedentemente, che eraCaccioppoli” basato sull’ipotesi Inoltre, elodelle studio dell’integrale di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola (b). Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi a γε `Accademico e una difficolt` a nuova. Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoesteso II” Anno 2013-2014 Vediamo eora due risultati che ci permetteranno di effettuare passag- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napolii “Federico gi al limite. Li enunciamo in condizioni leggermente pi` u generali di quelle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle strettamente necessarie qui. Fissato z ∈ C, consideriamo l’angolo A di 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014verLuigi Greco Dipartimento tice z0 e delimitato semiretteScuola uscentiPolitecnica da z0 di anomalie ϑ0 e ϑ1di, dove di Matematica e Applicazioni “Renato dalle Caccioppoli” e delle Scienze Base Universit` a degli Studi < ϑAnno ≤ 2π: 1 − ϑ0Accademico di Napoli “Federico0 II” 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a zdegli A Scienze = { z ∈ di C Base : ϑ0 Universit` ≤ arg(z − ϑ1 } . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 ) ≤ Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` A a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ϑ1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ϑ0 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 z0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento LEMMA 2.10 (del grande“Federico cerchio). II” SiaAnno f definita e continua nei punti di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di A con |z − z0 | ≥ r0 , per un r0 > 0. Se z f (z) converge per z → ∞, (z ∈ A), Universit` di Napoli “Federicodetto II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico l = lim z f (z) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica z→∞ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico di II”centro Annoz0Accademico Luigi Greco Dipartimento ed indicato conStudi Γr l’arco di circonferenza e raggio r >2013-2014 r0 contenuto di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi in A, risulta“Renato Caccioppoli” Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato lim f (z) dz = j l (ϑ1 − ϑ0 ) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico r→+∞ di Γr 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 117 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Sia Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi LEMMA 2.11 (del piccolo cerchio). f definita e continua neidipunti di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A con 0 < |z − z0 | ≤ ε0 , per un ε0 > 0. Se (z − z0 ) f (z) converge per Caccioppoli” Scuolaz Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico → z0 , (z ∈ A), detto 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica − z0 ) f (z) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle l = lime(zApplicazioni z→z0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delleε Scienze di Base Universit` a degli Studi ed indicato con γε l’arco di circonferenza di Politecnica centro z0 e raggio < ε0 contenuto di Napoli “FedericoinII” Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A,Anno risultaAccademico 2013-2014 Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico lim f (z)edzApplicazioni = j l (ϑ1 − ϑ“Renato 0) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ε→0+ Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle γε Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Nei due “Renato enunciati,Caccioppoli” gli archi Γr Scuola e γε sono percorsi ine verso antiorario, cio`e Universit` di Matematica e Applicazioni Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi nel verso indotto da quello positivo sulle circonferenze di centro z di cui e Applicazioni “Renato 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica fanno parte. Le Scienze dimostrazioni due lemmi sono analoghe e si “Federico possono II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaessi Politecnica e delle di Basedei Universit` a degli Studi di Napoli effettuare ragionando come in quella del lemma III.2.6. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Torniamo al calcolo dell’integrale (2.5). passare al limite 2013-2014 nell’integrale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Per Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento esteso a Γ in (2.12), usiamo il lemma 2.10 con f = R, z = 0, ϑdi 0, Universit` 0 = di Matematica e Applicazionir “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle0Scienze Base a degli Studi ϑ = π, quindi l’angolo A ` e il semipiano rappresentato da y = Im z ≥ 0; di Napoli “Federico 1II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z R(z) converge perUniversit` z → ∞ ea per il Studi lemmadiV.1.3 risulta Caccioppoli” Scuolanell’ipotesi Politecnica(b’), e delle Scienze di Base degli Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle l = lim z R(z) = −R[∞] . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoliz→∞ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Pertanto “Renato Caccioppoli” Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico lim 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(z) dz = −πj R[∞] . r→+∞diΓBase Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico r 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Per passare al limite nell’integrale eesteso a γε , usiamo il lemma 2.11 con Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f = R, z0 = x1 , ϑ0 = 0, ϑ1 = π; nell’ipotesi (a’), (z − x1 ) R(z) converge per di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi z → x1 e risulta (cfr. (V.2.1)) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l = lim (z − xUniversit` R[x1 ]Studi . 1 ) R(z) = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di1Base a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico z→x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pertanto Z “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli lim R(z) dz =Politecnica −πj R[x1 ] .e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi ε→0+ −γ ε di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In definitiva, passando in (2.12),aotteniamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzealdilimite Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento
(2.13) av.p. R(x) = 2 π“Federico j R[z1 ] +II” · · ·+ R[znAccademico ] + π j R[x1 ]2013-2014 + π j R[∞]Luigi . Scienze di Base Universit` degli Studi di dx Napoli Anno Greco Dipartimento −∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` II” di Napoli “FedericoE Anno Accademico Luigi Greco di Matematica facile convincersi che, 2013-2014 nel caso generale, dette Dipartimento x1 , . . . , xm le singolarit` a reali e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base “Federico R = P/Q, che sono tutte poli Universit` semplici, aedegli z1 , . .Studi . , zn di le Napoli singolarit` a con II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle coefficiente dell’immaginario positivo, la formula (2.13) si generalizza come Scienze di Base Universit` segue a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica a degli Studi Z +∞ Caccioppoli” Scuola n m e delle Scienze di Base Universit` X X di Napoli “Federico(2.14) II” Annov.p. Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(x) dx = 2 π j R[zk ] + π j R[xk ] + π j R[∞] . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` a deglik=1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ Scienze di Base k=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 118 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato2.12. Caccioppoli” Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi Osservazione Se R haScuola coefficienti reali, ie residui R[xk ] ediR[∞] di Napoli “Federicosono II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato reali come pure l’integrale di R, quindi prendendo le parti reali di ambo Caccioppoli” Scuolai membri Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico in (2.14) abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Scuola Politecnica e delle ( e nApplicazioni ) ( Caccioppoli” ) Z +∞ n X II” Anno Accademico X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento v.p. “Renato R(x) dx = 2 π Re jScuola R[zPolitecnica = −2 πeIm R[zk ] di. Base Universit` k] di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” delle Scienze a degli Studi −∞ k=1 k=1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di 1Napoli “Federico II” Anno Accademico sono i punti 2.13. singolarit`a edella funzione R(z) = Caccioppoli” 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento di Le Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle 1 + z3 √ π 2 3 1 j 3degli +j 3 πkStudi di Napoli “Federico II” Anno Scienze di Base Universit` a Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento zk = e , k = 0, 1, 2. Di queste, z0 = 2 + j 2 ha coefficiente dell’imdi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi maginario positivo, z1 = −1 `e reale e z2 = z0 ha coefficiente dell’immaginario Universit` di Napoli “Federiconegativo. II” AnnoInoltre Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[∞] = 0 e (analogamente al caso dell’integrale (2.6)) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 e Applicazioni zk zk 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle . R[zk ] = = = − “Renato 2 3 3 zk 3II” zk Anno3 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Pertanto dalla formula (2.14) otteniamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞e delle Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica II” Anno Accademico z0 −1 a degli π Studi√di Napoli “Federico π 1 dx = −2 π j e−Applicazioni πj = (−j + 3 Caccioppoli” v.p. + j) = √ . Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato 3 3 3 3 3 −∞ 1 + x Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.2.3. Osservazioni. Se R `e funzione abbiamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola pari, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Z +∞ Z +∞ Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze R(x) di Base a R(x) degli dx Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dx Universit` = 2 0 −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e l’ultimo integrale `e del tipo (2.5). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Consideriamo ora l’integrale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n (2.15) ) dx , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica eR(x Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dove n ≥ 2.“Renato Notiamo che per n = 2 ricadiamo nel caso precedente. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di SupBase Universit` a degli Studi poniamo per semplicit` a che la funzione razionale R non abbia a sul e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento disingolarit` Matematica realeenon-negativo. Consideriamo come dominio D di il settore Caccioppoli” Scuolasemiasse Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli circolare “Federico II” Anno Accademico formato dai punti z del cerchio di centro 0 e raggio r > 0 con 0 ≤ arg z ≤ 2π : 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Γr 2π di Napoli “Federico II” Anno Accademicor 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato enj Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola2πPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi r di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 119 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaAPolitecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Applichiamo il I teorema dei residui. tal fine, osserviamo che suldiraggio 2π j 2π j di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato estremi r e n , 0 risulta z = z(t) = e n t, con t che varia da r a 0. Pertanto Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z r Z r Z m X 2π 2013-2014 Luigi Greco n (2.16)Dipartimento R(xn ) dxdi+Matematica R(t“Renato ) dt = 2 Caccioppoli” πj R(z n ) dze −Applicazioni Rf [zk ] ,Scuola Politecnica e delle ej n Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 0 Γr k=1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi f (z) = R(z n ) e z2013-2014 singolarit` a di f interne a D. Il e Applicazioni “Renato 1 , . . . , zm sono di Napoli “Federicodove II” Anno Accademico Luigi le Greco Dipartimento di Matematica e l’ultimo integrale coincidono e per r → +∞ Studi convergono all’integrale Caccioppoli” Scuolaprimo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico cercato (2.15), mentre l’integrale esteso a Γ ` e infinitesimo. Pertanto da (2.16) r 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ricaviamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ m m X X πdelle π 2 π j di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e Scienze di Base Universit` a degli Studi Rf [zk ] = − e−j n Rf [zk ] . (2.17) R(xn ) dx = 2π πdi Matematica j di Napoli “Federico II” Anno0 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato sin n 1− e n k=1 k=1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento di Le Matematica Applicazioni Scuola Politecnica e delle sono i poli 2.14. singolarit`ae della funzione “Renato f (z) = Caccioppoli” n 1 + z2013-2014 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento π 2π k semplici zk = ej n +j nCaccioppoli” , k = 0, . . . ,Scuola n − 1, ePolitecnica risulta di Matematica e Applicazioni “Renato e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20141Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato zk Dipartimento zk R[zk ] = = =− . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base n zkn a deglin Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n zkn−1Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2π L’unicaa singolarit` a con argomento tra 0 eII” `e z0 . Accademico Pertanto la (2.17) ci d`a Luigi Greco Dipartimento n Anno Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014   Z π +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi π 1 π ej n e delle π/n dx = − Luigi e−j n Greco = . − di Napoli “Federico(2.18) II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π n 1+x sin n n sin(π/n) 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Confrontare con (2.6) esaminare eper n → +∞. “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ed Matematica Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi2.15. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO Calcolare Z +∞ Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi dx di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 6 − 2 x3 + 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di0 Basex Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle cfr. esempio 2.8, osservando che l’integrando `e funzione di x3Caccioppoli” . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.3. Altri integrali. Ci occupiamo ora di integrali del tipo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Z +∞ Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` P (x) Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jαx (2.19) e dx , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di−∞ BaseQ(x) Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle con α ∈ R. Per α = 0 l’integrale si riduce a quello gi`a considerato (2.5), Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento quindi supporremo α 6= 0. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Osserviamo che, se P e Q hanno coefficienti reali, la parte reale e il di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato coefficiente dell’immaginario di (2.19) sono rispettivamente Caccioppoli” Scuola Politecnica eZdelle Scienze di Base Universit` Z +∞a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ P (x) P (x)“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni (2.20) cos αx dx , sin αx dx . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Q(x) Q(x) −∞ −∞ di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuolaa Politecnica e delle Scienze sono di Base a degli Studi Notiamo che“Renato le propriet` a di sommabilit` della funzione integranda le Universit` di Napoli “Federicostesse II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jαx di R = P/Q, poich´e | e | = 1, ∀x ∈ R; quindi, se valgono le ipotesi (a) Caccioppoli” Scuolae (b), Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico l’integrale converge assolutamente. Se vale (a) e grado Q = grado P + 1, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 120 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatosemplicemente. Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi l’integrale converge Se Q ha zeri reali esemplici, l’integrale va Universit` di Napoli “Federicointeso II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nel senso del valor principale. jαz Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Cosideriamo il caso α > 0. Poich`e se Im z ≥ 0, risulta | e | ≤ 1, se vale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ragionare Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle l’ipotesi (b) possiamo come nel paragrafo“Renato 2.2.1, risultando infiniteScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento simo l’integrale esteso a Γr . D’altra parte, se grado Q = grado P + 1, il lemma di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi del grande cerchio non `e sufficiente per passare al limite nell’integrale su Γr , Universit` jαz di Napoli “Federicopoich´ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e l’espressione z R(z) e non ammette limite per z → ∞, Im z ≥ 0. In Caccioppoli” Scuolaquesto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico caso usiamo invece il seguente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle LEMMA 2.16 (di Sia g definita e continua nei punti z ∈ C con Scienze di Base Universit` a degli Studi di Jordan). Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Im z ≥ 0 e |z| ≥ r , per un r > 0. Se lim g(z) = 0 e α > 0, risulta 0 0 z→∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z di Napoli “Federico(2.21) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jαz lim g(z) e dz = 0 . r→+∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Γr 2013-2014 Luigi Greco InDipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle questo modo,diotteniamo la formula Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ m 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n X X P (x) jαx Scuola Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle a degli Studi R[xk ] , di Base Universit` R[zk ] + π j Scienze e dx = 2 π j (2.22) v.p. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Q(x) k=1 k=1 Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z1 , . . . , zn sono gli zeri di Q con coefficiente dell’immaginario positivo, 2013-2014 Luigi Greco Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x1 , . . Dipartimento . , xm sono gli di zeri reali (tuttie semplici) e i residui a secondo membro Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento jαz sono relativi alla funzione z 7→ e P (z)/Q(z). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.17. Calcoliamo di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ ej x a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` I= dx . 2 Applicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 14 x + 50 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −∞ xe + Scienze di Base Universit` deglitrinomio Studi dia Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Gli zeria del denominatore nell’integrando sono −7 ±2013-2014 j complessi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi coniugati non reali, quindi l’integrando `e continuo in R; inoltre esso `e infini- Universit` di Napoli “Federicotesimo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di ordine 2 per x → ±∞, quindi l’integrale converge assolutamente. Caccioppoli” ScuolaCome Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico caso particolare della formula (2.22), abbiamo I = 2 π j R[−7 + j], il 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle residuo essendo relativo alla funzione ausiliaria Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” j z Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e f (z) = Scuola , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 z + 14 z + 50 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per z = x e∈delle R si Scienze riduce all’integrando. Essa ha in Studi −7+jdiunNapoli polo semplice, Caccioppoli” Scuolache Politecnica di Base Universit` a degli “Federico II” Anno Accademico quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica jez Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e e−7 j−1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli R[−7 + j] = “Federico II” Anno = Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2z + 14 z=−7+j di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica2ej delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dunque di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli π Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ej x di Base Universit` dx =eπApplicazioni e−7 j−1 = (cos 7 − j sin 7) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2 e “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −∞ x + 14 x + 50 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 2.18. Verificare l’uguaglianza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ej x π dx = (cos 3 + j sin 3) . 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 4 e4 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ x − 6 x + 25 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 121 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ESEMPIO 2.19.Caccioppoli” Calcoliamo Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ sin x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dx . x 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Ricordiamo che l’integrale converge semplicemente, ma non assolutamente, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi cfr. esempio 1.3. Inoltre, essendo l’integrando funzione pari, abbiamo di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Z +∞ x Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 +∞a sin Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze sin di x Base Universit` degli dx = dx . x 2 −∞ x “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Consideriamo dunque l’integrale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ jx di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi eGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dx . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze div.p. Base−∞ Universit` x a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Tale integrale `e inteso senso del valorII” principale, poich´e la funzione inteScienze di Base Universit` a degli Studi di nel Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento jz granda e /z ha in 0 un polo semplice; il residuo vale 1. La formula (2.22) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicofornisce II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ jx Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e (2.23) v.p. dx = π j “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni x −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi, prendendo il coefficienteScuola dell’immaginario entrambi i membri, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica in e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi troviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BasesinUniversit` aπ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dx = . 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica exApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osservazione 2.20. Passando alle parti reali in (2.23), otteniamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi cos xGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dx a=degli 0 , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzev.p. di Base Universit` x −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che `e ovvia, e l’integrando `e funzioneII” dispari. elementari Luigi di Scienze di Base Universit` a deglipoich´ Studi di Napoli “Federico Anno Osservazioni Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento questo tipo possono aiutare a controllare i calcoli. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Osservazione 2.21. La funzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z x sin t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Si(x) = dt “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 0 II” di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi si chiama seno integrale, o seno campionatore. Evidentemente `e una di funziodi Napoli “FedericoneII”dispari, Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il cui diagramma `e asintotico a destra alla retta orizzontale di Caccioppoli” Scuolaequazione Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π y = 2 ed `e tracciato in figura. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle πa degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Scienze2di π Base Universit` 3π 4 π Studi5di π Napoli6“Federico π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 122 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ESEMPIO 2.22.Caccioppoli” Calcoliamo Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 cos π x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico I = di Base Universit` dx Studi . 2 − 16 x + 15 4 x −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno 2013-2014 Greco Dipartimento Il denominatore si annulla nei “Federico punti 3/2 II” e 5/2; taliAccademico punti annullano ancheLuigi il di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi numeratore e sono discontinuit`a eliminabili per l’integrando, che quindi risulta −2 di Napoli “Federicocontinuo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in R. Inoltre l’integrando `e O(x ) per x → ±∞, quindi l’integrale Caccioppoli” Scuolaconverge Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico assolutamente. Consideriamo la funzione ausiliaria 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle πz ejII” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ; f (z) = z 2 − 16Politecnica z + 15 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”4Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoper II”z Anno 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato = x ∈Accademico R, l’integrando `e la parte reale di fDipartimento (x), quindi risulta  Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di  Base Universit` Z +∞ a degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle I = Re v.p. f (x) dx “Renato . −∞II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni Scuola e delle Scienzeperch´ di Base a degli Studi L’integrale a“Renato secondo Caccioppoli” membro `e inteso nel Politecnica senso del valor principale e f Universit` di Napoli “FedericohaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato i poli reali 3/2 e 5/2, dato che l’esponenziale `e privo di zeri. Per la (2.22), Caccioppoli” Scuolaabbiamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato
Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle v.p. f (x)“Federico dx = j π R + Accademico Rf [5/2] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento f [3/2] Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno −∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Essendo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5 j 23 π 2 πNapoli j ej di j “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle eScienze di−j Base Universit` a degli Studi = , Rf [5/2] = 5 Rf [3/2] = 3 = = , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Scuola Politecnica e delle −4 e 4Applicazioni “Renato 4 8di2 − 8 2 − Caccioppoli” 16 16 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento troviamo infine di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi  e delle Scienze di Base Universit` Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica cos π x Luigi Greco Dipartimento j π di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 dx = Re j π =− . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di xBase a degli2 Studi di 4 x2 − 16 + 15Universit` 2 Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ Scienze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo che risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento j π x j π (x−2) e e (x) = =Politecnica ,delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato fCaccioppoli” Scuola e a degli Studi 2 2 4 x − 16 x + 15 4 (x − 2) − 1 di Napoli “Federicoquindi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ +∞ ej π ta degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseZ Universit` I = v.p. (x) dx = v.p. e Applicazioni dt “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento−∞ di fMatematica 2 Z +∞ Z +∞−∞ 4 t − 1 sin π t2013-2014 Luigi Greco Dipartimento cos πII” t Anno Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli=“Federico dt + j v.p. dt 4 t2 − 1Politecnica −∞ 4 t2 Scienze −1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle di Base Universit` a degli Studi −∞Scuola l’ultimo integrale ` e nullo, poich´ e l’integrando funzione dispari. Dunque ` e reale. di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi `eGreco Dipartimento di IMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 2.23. Calcoliamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ 1 − cos 2πAnno x Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento I= dx . (x4 −Politecnica 1)2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −∞ Scuola di Napoli “FedericoLaII”funzione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato integranda `e continua in R (in ∓1 presenta discontinuit`a elimiCaccioppoli” Scuolanabili) Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −8 Scienze di Base Universit` ed `e O(x ) per x → ∓∞, quindi l’integrale converge assolutamente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 123 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Consideriamo la funzione ausiliariaScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 − ej2π z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dif (z) Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ; = 4 − 1)2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e (z Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 ha Luigi Greco Dipartimento per z = x ∈ R, l’integrando `e la parte reale di f (x). Il denominatore √ 4 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi zeri doppi nei punti 1, ovvero ∓1, ∓j. I punti reali ∓1 sono poli semplici, Universit` di Napoli “Federicoessendo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato zeri semplici del numeratore. I punti ∓j sono poli doppi. Applichiamo Caccioppoli” Scuolail Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico I teorema dei residui a f sul dominio D in figura: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Γr di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico D 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ej Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −γε “Federico−γ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II”ε0 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1−ε −1+ε 1−ε 1+ε r −r −1 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico L’unica singolarit` a interna `e j. In questo modo otteniamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (2.24) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z Z −1−ε Z Z 1−ε di Matematica e Applicazionif “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (z) dz = f (x) dx − f (z) dz + f (x) dx di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +F D Accademico −r γ −1+ε ε Z Z r Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle− Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f (z) dz + f (x) dx + f (z) dz = 2πj R[j] . 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di γMatematica e Applicazioni Γ“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1+ε r ε Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per il lemma 2.10 del grande cerchio, risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Z Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato f (z) dz = 0 , lim Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzer→+∞ di BaseΓrUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle mentre per il lemma 2.11 del piccolo cerchio Scienze di Base Universit` a degliZStudi di Napoli “Federico II” Anno Z Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze a degli Studi lim f (z) dz = jπ R[−1] , lim f (z)e dz = jπ R[1] . di Base Universit` ε→0+ ε→0+ Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato γε γε0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dunque, passando al limite per r → +∞ e ε → 0+, troviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   Z +∞ n
o Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento I = Re v.p. f (x) dx = π Re j R[−1] + R[1] + 2 R[j] . di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (L’integrale di f `e inteso nel senso del valor principale per la presenza dei poli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico reali.) Abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 1II” z − 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento − Anno ej2π z Accademico lim R[1] = lim (z − 1) f (z) = lim di Matematica e Applicazioni “Renato e delle di Base Universit` a degli Studi z→1 z→1Caccioppoli” Scuola z→1 Politecnica z−1 z 4 − Scienze 1 Luigi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 π = −2πj = − j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4 z 3 z=1 8 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 124 VII. ESTENSIONI DELLA NOZIONE DI INTEGRALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e, analogamente, R[−1] = − j. Inoltre, 8 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di2 Base Studi di2 Napoli “Federico II” Anno Accademico z 4 − 1 =e (z − j)(z + jz + j 2 zUniversit` + j 3 ) = a(zdegli − j)(z + jz − z − j) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle troviamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento j2π z   1 − e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R[j] = lim D (z − j)2 f (z) = D 3 2 2 di Napoli “Federico II” Annoz→j Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z + jz − z − j) z=j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z Matematica z 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni −2πj ej2πdi (z 3 + jz 2 − z −e j) − (1 − ej2π “Renato ) 2(3z 2 +Caccioppoli” 2jz − 1) Scuola Politecnica e delle = Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Luigi Greco Dipartimento (z 3 + jz 2 −II” z− j)3 Accademico 2013-2014 z=j di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno−8π Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato −2π −2π Luigi Greco Dipartimento −2π 3 − (2π + 3) e e + 12(1 − e ) = = . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (−4j)3 16j 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pertanto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento    di Matematica e Applicazioni “Renato πCaccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi 3 − (2π + 3) e−2π π e delle Scienze j + − e−2π ) . = (2π + 3)(1 I = π Re 2j − di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 8 16j 8 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (Notiamo che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  II” ZAnno  +∞ di Napoli “Federico +∞ Accademico Scienze di Base Universit` a degli ZStudi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sin 2πx v.p. dx = Im v.p. f (x) dx di Matematica e Applicazioni “Renato(xCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4 − 1)2 −∞ −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nπ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di oNapoli “Federico II” Anno Accademico = Im (2π + 3)(1 − e−2π ) = 0 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 8 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che `e immeditato, essendo la funzione integranda dispari.) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi caso Accademico α < 0 si pu` o ricondurre precedente mutando x in −x, o e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”IlAnno 2013-2014 LuigialGreco Dipartimento di Matematica analoga, considerando o domini tipo “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaragionando Politecnicaine maniera delle Scienze di Base Universit` aper` degli Studi del di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −r di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle r Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Γr di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il lemma di Jordan si modifica subito per mostrare che nel caso α < 0 l’in2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle tegrale esteso alla semicirconferenza Γr considerata ora `e infinitesimo. In tal Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento modo, la formula (2.22) si modifica come segue: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ n m X di Napoli “Federico II” Anno Accademico DipartimentoX di Matematica e Applicazioni “Renato P2013-2014 (x) jαx Luigi Greco e Base dx = −2 π j a degli R[zkStudi ] − π jdi Napoli R[xk ]“Federico , Caccioppoli” Scuola(2.25) Politecnicav.p. e delle Scienze di Universit` II” Anno Accademico −∞ Q(x) k=1 k=1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2.diCALCOLO Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 125 Scuola Politecnica e delle DEGLI INTEGRALI DEFINITI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dove per` o questa voltaCaccioppoli” z1 , . . . , zk sono gli zeri di Q con ecoefficiente dell’immadi Napoli “Federicoginario II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato negativo. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di NapoliCAPITOLO “Federico II”VIII Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato analisi Caccioppoli” Scuola Politecnica e Elementi delle Scienze didi Base Universit` afunzionale degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. SpaziScuola di Lebesgue di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Fondamentale Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco per il seguito `e lo spazio L (a, b) delle funzioni sommabili Caccioppoli” ScuolainPolitecnica e delle Scienze di R. BaseRicordiamo Universit` a che deglidue Studi di Napoli “Federico un dato intervallo (a, b) di funzioni uguali quasi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ovunque si identificano. La quantit`a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Z b II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (1.1) kxk1 =Scuola |x(t)| dt . a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolasi Politecnica e delle di Base degli Studi chiama norma (inScienze L1 ) e gode delleUniversit` seguentiapropriet` a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1) kxk1 = 0 se e solo se x = 0; Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (2) (omogeneit` a) kα xk1 = |α| kxk1 ; di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (3) (disuguaglianza triangolare) kx + yk1 ≤ kxk1 + kyk1 , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per ogni x, y ∈ L1 (a, b) e α ∈ C. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di1 Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Denotiamo inoltre con Lloc (a, b) lo spazio vettoriale delle funzioni local2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle mente sommabili in (a, b), cio`e sommabili sui sottointervalli compatti. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Il prodotto di convoluzione, introdotto per funzioni sommabili nel paradi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi grafo VII.1.4, in alcuni casi pu` o essere definito per x, y ∈ L1loc (R). Supponiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ad esempio x(t) = y(t) = 0, per q.o. t < 0. In tale ipotesi, x(s) y(t − s) pu`o Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico risultare non-nullo solo se 0 < t < s; questo `e chiaramente impossibile, se 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t < 0. Pertanto risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Z t II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi (1.2) x ∗ y(t) = u(t) x(s) y(t − s) dse, delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica(e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 , se t ≥ 0 Scienze di Base Universit` II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.3) a degli Studi di Napoli u(t)“Federico = 0 , se tPolitecnica 0 e indichiamo con ω0 = τ la pulsazione. Caccioppoli” ScuolaI sistemi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di vettori: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scuola Politecnica e delle 1 cos ω0 t sin ω0 te Applicazioni cos n ω0“Renato t sin n Caccioppoli” ω0 t p Accademico (1.15) a degli √ , p , p , . . .II” , Anno , p , ... Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento τ τ /2 τ /2Scuola Politecnica τ /2 e delle τ /2Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jkω t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dieBase0 Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ (1.16) , k ∈ Z, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicaτ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli da Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sono formati funzioni periodiche di periodo τ . Accademico Essi si dicono rispettivadi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi mente sistema trigonometrico (normalizzato) e sistema esponenziale (norma- Universit` 2 di Napoli “Federicolizzato), II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in L (0, τ ). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1.6.Matematica Per ogni k e∈ Applicazioni N, le coppie di vettori Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di “Renato j k ω t 0 Accademico Scienze di Base Universit` a degli Luigi Greco Dipartimento cosStudi k ω0 tdi, Napoli sin k ω“Federico e II” Anno e , e−j k ω0 t 2013-2014 , 0t, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi generano lo stesso sottospazio, poich´e per la formula di Eulero i vettori di una di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato coppia si esprimono come combinazione lineare degli altri; in effetti, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∀t ∈ (0, τ ) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle j k ω0 t cos k ω + bk sin k ω0 t = cII” c−k e−j k ω0 t2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degliakStudi di0 tNapoli “Federico Accademico k e Anno + di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi se e solo se i“Renato coefficienti ak , bk , ck eScuola c−k sono legati dalle relazioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ak + j bk ak − j bk Caccioppoli” Scuola(1.17) Politecnica e delle Scienze ck = di Base,Universit` c−k = a degli Studi , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni2 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 130 VIII. ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi che equivalentemente si scrivono Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ak = ck di + Base c−k , Universit` bk = j (c − c−k ) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(1.18) Politecnica e delle Scienze a kdegli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2. Generalit` a sui segnali Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Un segnale `e una funzione di variabile reale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x : di t ∈Base E ⊆ Universit` R 7→ x(t)a∈degli C . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle In molte questioni, di `e comodo considerare segnali definiti q.o.Caccioppoli” Definiamo vaScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento rie operazioni sui segnali; le illustrazioni grafiche saranno date supponendoLuigi i di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi segnali reali. di Napoli “Federico II”Dato Annot0Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∈ R, il segnale t 7→ x(t − t0 ) si dice traslato del segnale x(t): Caccioppoli” Scuolaritardato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di t0 se t0 > 0, anticipato di −t0 se t0 < 0; esso `e definito per 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t − t0Dipartimento ∈ E. Si dicediriflesso nel tempo il segnale t“Renato 7→ x(−t); `e definito per Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −t ∈ E. Il segnale t 7→ −x(t) si dice ribaltato; `e definito in E. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi x(t) − t0 ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dix(t Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t0Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x(−t) −x(t) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi > 0, il segnale t 7→ x(a t) si dice riscalato di fattore compresso e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Dato Annoa Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di a: Matematica dilatato a seconda che sia adi>Base 1 o 0Universit` < a < 1;a `edegli definito t ∈ E.“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolao Politecnica e delle Scienze Studiper di aNapoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentosin di tMatematica esin Applicazioni “Renato t sin 2 t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica Scienze Base a degli Studi ESERCIZIO 2.1.Caccioppoli” Disegnare il Scuola diagramma di xn (t)e =delle arctan n t, t di ∈ R, al Universit` di Napoli “Federicovariare II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di n ∈ N. Disegnare il diagramma del limite puntuale della successione Caccioppoli” Scuola(xPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n )n . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

{

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 131 Scuola Politecnica e delle ` SUI SEGNALI 2. GENERALITA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica a degli Studi Ricordiamo che uCaccioppoli” indica il gradino unitario. Per a,e bdelle ∈ R Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ( ( Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 , sedib > t 1 , se di t >Base a Universit` u(b − t) = u(t − a) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 0Matematica Scuola Politecnica e delle 0 , se bCaccioppoli” 1/2 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di tNapoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica di e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Osserviamo che la moltiplicazione un segnale per u(t − a) ha l’effetto Scuola di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento azzerarne i valori per t < a, la moltiplicazione per u(b − t) azzera i valori per di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi t > b, mentre la moltiplicazione per la finestra u(t − a) − u(t − b) azzera i di Napoli “Federicovalori II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per t non appartenente all’intervallo (a, b). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Un segnale x definito nell’intervallo (0, τ ) pu`o essere sempre visto come 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle la restrizione a talediintervallo di une segnale periodico di periodo τ ; in altri Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento termini, x pu` o essere prolungato a R per periodicit`a con tale periodo. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Un segnale periodico pu` o essere visto come sovrapposizione di trasla- Universit` di Napoli “Federicoti.II” Dato Annox,Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato definiamo x0 (t) = x(t) [u(t) − u(t − τ )], che coincide con x Caccioppoli” Scuolanell’intervallo Politecnica e (0, delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico τ ) ed `e nullo fuori di questo. Se x ha periodo τ , risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 132 VIII. ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi q.o. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.1) x(t) = x0 (t − k τ ) . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni k=−∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze finestra di Base Universit` a degli Studi Notiamo che `e possibile considerare in luogoPolitecnica di u(t)−u(t−τ ) qualsiasi di Napoli “Federicou(t II”−Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a) − u(t − a − τ ), a ∈ R, di durata pari al periodo τ , cio`e posto xa (t) = Caccioppoli” Scuolax(t) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico [u(t − a) − u(t − a − τ )], risulta pure 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x(t) = xa (tPolitecnica − k τ) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi k=−∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaInversamente, Politecnica e assegnato delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli x0 q.o. su R,Universit` non necessariamente nullo fuori“Federico dell’in- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle tervallo (0, τ ), se la serie in (2.1) converge, il segnale x `e periodico di periodo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento τ : esso si chiama replica periodica di periodo τ di x0 . La serie converge certadi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi mente se x0 `e nullo fuori di un intervallo limitato (non necessariamente (0, τ )), Universit` di Napoli “Federicopoich´ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e in tal caso essa `e in ogni punto t una somma finita, o anche se x0 (t) `e Caccioppoli” Scuolainfinitesimo Politecnicaper e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t → ∓∞ di ordine abbastanza grande. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 2.2.diConsideriamo la finestra triangolare (centrata in 0, Luigi di Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento durata 2) Λ(t) rappresentata in figura: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −1 Scuola Politecnica 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Evidentemente Caccioppoli” ScuolaTroviamone Politecnicaun’espressione e delle Scienzeanalitica. di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 , se t < −1 o t > 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Λ(t) = 1 + tScuola , se −Politecnica 1 ≤ t < 0 e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi   1 − Luigi t , se 0Greco ≤ t 1 , 0 , ese Applicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = “Federico 1 + t , seII” − Anno 1 Anno 0 1 , se II” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u(t) = 1/2 , se t = 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014Luigi 0 , se Greco t < 0 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaSussiste Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico il 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 139 Scuola Politecnica e delle 3. SERIE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delleτ .Scienze Base Universit` a degli Studi TEOREMA 3.5.Caccioppoli” Sia x ∈ L1 (0, τ ) periodico di periodo Se x `e di regoladi Napoli “Federicorizzato II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in t0 , la sua serie di Fourier converge a x(t0 ) in tale punto. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.6. Il teoremae 3.5 assicura, in particolare, che se xScuola `e 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle derivabile in R, la sua di “Federico Fourier converge a xAccademico in ogni punto. OsserviaScienze di Base Universit` a degli Studi di serie Napoli II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento mo esplicitamente che, invece, esistono funzioni continue con serie di Fourier di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi qualche punto. di Napoli “Federicodivergente II” Anno in Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.3. Esempi. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 3.7.diScriviamo la serie di segnale x2013-2014 periodico Luigi di Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II”Fourier Anno del Accademico Greco Dipartimento periodo 2 π tale che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ( Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1 , se 0 < t < π Caccioppoli” Scuola(3.14) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(t) = −1 ,e se π < t < 2 π “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −π π Greco Dipartimento 2π π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di3 Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Essendo il segnale risulta Scienze di Base Universit` a degli Studidispari, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ak = 0 ,Scuola ∀kPolitecnica ∈ N0 , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  Caccioppoli” Scuolamentre Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z π 0 , per k pari, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2 Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle bk = sin k t dt = 4 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico II”  π Napoli , per k dispari. 0 k πPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi ∀k ∈ Z, di Napoli “FedericoInoltre, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  0Base , perUniversit` k pari, a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di ck = 2 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica  , per k dispari. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento jkπ di Matematica e Applicazioni a degli Studi Pertanto “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ 4X 1 2 X 1 (2 k−1) t“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi diejNapoli x(t) = e delle Scienzesin(2 k − 1) t= . π 2k − 1 jπ 2 k − 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato k=1 di Matematica e Applicazioni k=−∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Questa uguaglianza vale nel senso dell’energia. Ponendo x(k π) = 0, ∀k ∈ Z, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi il segnale x `e regolarizzato in ogni punto, quindi l’uguaglianza vale anche in di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato senso puntuale, ∀t ∈ R. Riportiamo qui di seguito i diagrammi dei primi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico polinomi trigonometrici di Fourier xn di x: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 −π

π

4 x1 (t) = sin t π

2π

3π

−π

π

2π

4 4 x3 (t) = sin t + sin 3 t π 3π

3π

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 140 VIII. ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e delle Scienze di Base a degli Studi ESEMPIO 3.8. Caccioppoli” Scriviamo la Scuola serie diPolitecnica Fourier del segnale periodico di Universit` di Napoli “Federicoperiodo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato τ tale che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (3.15)Dipartimento di Matematica x(t) = t , e Applicazioni 0 < t < τ . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (Onda aa degli denteStudi di sega.) Il diagramma di II” x(t)Anno `e tracciato in figura: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi τ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −τ τ 2τ 3τ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi gli integrali (3.2) con Dipartimento x(t) = t, per 0di aRedegli s0 . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolatrasformabile Politecnica eanche delle in Scienze Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La trasformabilit` a significa integrabilit` a della funzione integranda; riguardo al teorema, Scienze di Base Universit` a degli Studi dicheNapoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento ci limitiamo ad osservare un risultato analogoII” a proposito della assoluta 2013-2014 trasformabilit` a ` e banale, poich´ e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi t 0 t | , per q.o. t ≥ 0 . Re s > Re s0 2013-2014 ⇒ |x(t) e−s | ≤ Greco |x(t) e−sDipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e adelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico La quantit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.2) a degli Studi σx di = Napoli inf{ Re“Federico s : x `e trasformabile in s } di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericosiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato chiama ascissa di convergenza. La trasformata X(s) `e dunque definita nel Caccioppoli” Scuolasemipiano Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di convergenza formato dai numeri s ∈ C tali che Re s > σx . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 144 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di 1. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 145 Scuola Politecnica e delle LA TRASFORMATA DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli σx “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico coincide II” Annocon Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che ilStudi semipiano di convergenza l’intero piano complesso di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi nel caso σx = −∞. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II”Nelle Annoapplicazioni, Accademicouseremo 2013-2014 Luigi Greco unilatera; Dipartimento di Matematica la trasformata `e comodo per`o con- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolasiderare Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la trasformata bilatera. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle DEFINIZIONE Sia “Federico x ∈ L1loc (R). Si dice che x `e trasformabile Scienze di Base Universit` a degli Studi di1.3. Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −s t secondo Laplace in s ∈ C se t → 7 x(t) e ` e integrabile R. Scienze La trasformata di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e in delle di Base Universit` a degli Studi x `e la funzione di variabile di Napoli “Federico(bilatera) II” AnnodiAccademico 2013-2014 Luigi complessa Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` t (1.3) Dipartimento diLMatematica [x] = X(s) = x(t) e−s “Renato dt . 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base Universit` a degli Studi Si dice che x“Renato `e assolutamente trasformabile in s se t 7→ex(t) e−sScienze `e sommabile di Napoli “FedericoinII” R. Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a in vuol dire integrabilit` a su ] − ∞, 0] e Caccioppoli” su [0, +∞[ e Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco L’integrabilit` Dipartimento di RMatematica e Applicazioni “Renato Z Z Z +∞ 0 +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t t t x(t) e−s dt = x(t) e−sPolitecnica dt + e−sScienze dt , di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola ex(t) delle a degli Studi −∞ 0 di Napoli “Federico II” Anno −∞ Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuoladove Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ciascunoe dei due integrali a secondo membro `e inteso come limite. L’ul- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle timo Dipartimento integrale `e la trasformata unilatera del segnale x (ristretto a [0, +∞[). Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Il primo integrale a secondo membro mutando t in Accademico −t si riscrive2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Z +∞ Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014x(−t) Luigie−(−s) Grecot dt Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle e quindi rappresenta la trasformata unilatera di t 7→ x(−t),Caccioppoli” valutata in −s. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pertanto di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = Lu [x(−t)](−s) + Dipartimento Lu [x(t)](s) . di Matematica e Applicazioni “Renato L [x(t)](s) di Napoli “Federico(1.4) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” ScuolaDette Politecnica e dellediScienze di Base di Napoli “Federico II” Anno Accademico σ1 l’ascissa convergenza di Universit` Lu [x(t)] ae degli −σ2 Studi l’ascissa di convergenza 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Lu [x(−t)], il secondo termine a secondo membro di (1.4) `e definito per Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Re s > σ1 , mentre il primo per Re(−s) > −σ2 , ovvero Re s < σ2 . Noi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi supporremo σ1 < σ2 e quindi la trasformata bilatera L [x(t)] `e definita nella Universit` di Napoli “Federicostriscia II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato verticale, detta striscia di convergenza, degli s ∈ C tali che σ1 < Caccioppoli” ScuolaRePolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s < σ2 : 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 146 IX. TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento σ1 “Federico II” Anno Accademico σ2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli II”un Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento La striscia di Studi convergenza, che“Federico pu`o essere semipiano destro2013-2014 (σ2 = +∞) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi o sinistro (σ1 = −∞) o l’intero piano complesso, ` detta dominio della Universit` di Napoli “Federicotrasformata. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base bilatera Universit` a degli Studididitrasformate Napoli “Federico La (1.4) esprime la trasformata come somma uni- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle latere; d’altra parte chiaramente la trasformata unilatera `e un caso particolare Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento della bilatera: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Lu [x(t)] Luigi = L [x(t) u(t)] . di Napoli “Federico(1.5) II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Prevalentemente ci occuperemo della trasformata bilatera, limitandoci ad in2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dicare le modifiche, quando necessarie, per la trasformata unilatera. La traScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sformazione (bilatera o unilatera) `e la corrispondenza che associa al segnale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi trasformabile la sua trasformata: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L Scienze degli : x 7→diLBase [x] , Universit` Lu : xa 7→ LuStudi [x] . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Evidentemente sono di operatori se xII” e yAnno sono trasformabili in una stessa Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli lineari: “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento striscia verticale e α, β ∈ C, α x + βScuola y `e trasformabile di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica ee risulta delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + β y] = α L [x] + β L [y] . L [α x di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Vediamo qualche esempio di L -trasformata. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 1.4. Caccioppoli” In base alla definizione, abbiamo e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola(1.6) Politecnica L e delle di=Base Universit` “Federico II” Anno Accademico , Studi Re s di > 0Napoli . [u(t)]Scienze = Lu [1] e−s t dta=degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica0 e Applicazionis “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Analogamente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Z 0 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi −s tGreco 1Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (1.7) e dt = , Re s < 0 . L [−u(−t)] = − Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a sdegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Confrontando (1.6) edi(1.7) appare chiaraII” la Anno necessit` a di indicare il dominio Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento della trasformata. Altre semplici trasformate sono di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Luigi Greco−sDipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato t0 e t [u(t −Scienze t0 )] = di Basee−s dt = a degli, Studi Re s di > Napoli 0, Caccioppoli” Scuola(1.8) Politecnica L e delle Universit` “Federico II” Anno Accademico s t0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 147 Scuola Politecnica e delle ` FONDAMENTALI 2. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi s0 t s0 t [u(t) e ] = L [ e ] = e−(s−s0 ) t dt di Matematica e Applicazioni “Renato L di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014u Luigi Greco Dipartimento 0 (1.9) 1 Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = , Re s > Re s0 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle s − s0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   t 1 1 Lu [ ej t ] −Scuola Lu [ e−jPolitecnica ] di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e 1delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = − Lu [sin t] = di Napoli “Federico(1.10) II” Anno Accademico 2013-20142Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j 2j s − j s+j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 1di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 2 , Re s > Re j = 0 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle s +1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e analogamente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi s , Re s > 0 . u [cos t] = Luigi di Napoli “Federico(1.11) II” Anno AccademicoL2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s2 + 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico classe di funzioni importante nella Caccioppoli” teoria della L 2013-2014 Luigi Greco Introduciamo Dipartimento una di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle trasformazione. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienzeesponendi Base Universit` a degli Studi DEFINIZIONE 1.5. Un segnale x ∈ Politecnica L1loc (R) `e detto di ordine di Napoli “Federicoziale II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato se esistono σ1 , σ2 ∈ R, con σ1 < σ2 , tali che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (1.12)Dipartimento lim dix(t) e−σ1 t = 0 ,e Applicazioni lim x(t) “Renato e−σ2 t = 0Caccioppoli” . 2013-2014 Luigi Greco Matematica Scuola Politecnica e delle t→+∞ t→−∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Ad esempio, per x(t) = e−|t| possiamo scegliere σ1 e σdelle verifican2 qualsiasi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi −1Anno < σ1 < σ2 < 1. Se2013-2014 x `e di ordine esponenziale, la funzione 7→ x(t) e−s t e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericotiII” Accademico Luigi Greco Dipartimento ditMatematica sommabile in R, per ogni sdi∈Base C verificante Caccioppoli” Scuola`e Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.13) σ1 < Re s < σ2 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In effetti, data la locale sommabilit`aScuola di x, occorre verificare la sommabilit` solo Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze dia Base a degli Studi σ1 t intorno a ∓∞. Per la prima delle (1.12), intorno a +∞ risulta |x(t)| ≤ e , e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica cui segue e delle Scienze di Base Universit` Caccioppoli” ScuoladaPolitecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico |x(t) e−s te| ≤ e(σ1 −Re s) t “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di aNapoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi la sommabilit` intorno a +∞. II” Analogamente si stabilisce la somdi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi mabilit` a intorno a −∞. Pertanto x `e trasformabile (l’integrale di Laplace `e Universit` di Napoli “Federicoassolutamente II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato convergente) nella striscia formata dagli s verificanti (1.13). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1.6. Se il segnale x(t) `e nullo intorno −∞, la seconda 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatoa Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle delle (1.12) ` e verificata con σ arbitrariamente grande, quindi la striscia (1.13) 2 “Federico II” Anno Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diviene un semipiano destro σ1 0 . L [t u(t)] = Lu [t ] = (−1) dskPolitecnica s s di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u inAnno generale, ricordando la (1.9)Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoPi` II” Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base k! Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.3) Dipartimento Ludi [tkMatematica es0 t ] = , Re s > Re s0 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato k+1 (s − s0 ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 2.3. Caccioppoli” L’olomorfia permette di calcolare facilmente = Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle ScienzeX(s) di Base a degli Studi −t2 −t2 −s t [ e Anno ]. Invero, per i criteri di sommabilit` a vediamo che t di 7→Matematica e e `e e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoLII” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ∀s Scienze ∈ C, quindi XUniversit` `e funzione intera. definizione di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolasommabile Politecnicaine R, delle di Base a degli StudiDalla di Napoli “Federico abbiamo L -trasformata, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ Z +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 −s2 /4 −s2 /4 −t2 −s t e X(s) = e e e dt = e−(t+s/2) dt di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi −∞ −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e l’ultimo integrale non dipende da Re s, come si vede con la sostituzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico τ = t + Re s/2. Per la condizione di Cauchy-Riemann, la funzione intera 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 /4 s 7→ √ e−s X(s) `e indipendente anche daII”ImAnno s, quindi `e costante; per s =Luigi 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento π, per la (VII.1.18). Pertanto vale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi √ s2 /4 2 di Napoli “Federico(2.4) II” Anno Accademico X(s) 2013-2014 Greco di Matematica e Applicazioni “Renato π eDipartimento . = L [ Luigi e−t ] = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Vediamo ora la seconda formula fondamentale, per la trasformata della 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle derivata. Ci limitiamo ai segnali di ordine esponenziale. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 2.4.Caccioppoli” (a) Se x `eScuola assolutamente continuo di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle (sugli Scienzeintervalli di Base Universit` a degli Studi di ordine esponenziale, vale laGreco formula di Napoli “Federicocompatti) II” Annoe Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Caccioppoli” Scuola(2.5) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico L [x (t)] = s X(s) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (b)a Se x `eStudi assolutamente (sugli intervalli compatti 2013-2014 contenuti) Luigi in Scienze di Base Universit` degli di Napolicontinuo “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento [0, +∞[ e di ordine esponenziale, vale la formula di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(2.6) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Lu [x0 (t)] = s X(s) − x(0) . Caccioppoli” ScuolaDim. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Le formule si ottengono integrando per parti; ad esempio Z +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle [x0 (t)]di=Napolix0“Federico (t) e−s t dt II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli L Studi −∞ Z +∞ h i+∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = x(t) e−s t +s x(t) e−s t dt = s X(s) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014−∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ −s t Caccioppoli” Scuolapoich´ Politecnica di Base e da (1.12)eedelle (1.13)Scienze segue lim x(t) eUniversit` = 0. a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t→∓∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 149 Scuola Politecnica e delle ` FONDAMENTALI 2. PROPRIETA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica delle `eScienze di Base Universit` a degli Studi Le (2.5)“Renato e (2.6) siCaccioppoli” iterano: se x Scuola `e di classe C k−1 e xe (k−1) assolutamente di Napoli “Federicocontinua, II” Annovalgono Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato le formule Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (k) (2.7) Dipartimento di Matematica = sk X(s) ; “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L [x (t)] 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (k) (2.8) Lu [x (t)] =Caccioppoli” sk X(s) − sk−1 x(0) Politecnica − sk−2 x0 (0)e−delle · · · −Scienze x(k−1) (0) di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola di .Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoMettiamo II” AnnoinAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato luce una propriet`a della trasformata unilatera. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico asintotico). Se l’integrale di Laplace Scuola di 2013-2014 Luigi Greco TEOREMA Dipartimento2.5 di(comportamento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle x converge assolutamente (ad esempio, `e diAnno ordine esponenziale), risultaLuigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoxII” Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (2.9) lim Lu [x(t)] = 0 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Re s→+∞Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dim. Ricordiamo innanzitutto che il dominio di Lu [x] ` e un semipiano destro, quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle possiamo far tendere Re s a +∞. Poich´ e per q.o. t ∈ [0, +∞[ risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico −s II”t Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento lim x(t) e = 0, Re s→+∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (2.9) segue, se possiamo 2013-2014 giustificare Luigi il passaggio limite sotto il segno di integrale e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericolaII” Anno Accademico Grecoal Dipartimento di Matematica definisce Lu [x]. A tale scopo, usiamo il teorema di Lebesgue della Caccioppoli” Scuolanell’espressione Politecnica eche delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico convergenza dominata: per trovare una maggiorante sommabile, fissiamo s0 tale che la t sia 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e [0, Applicazioni “Renato Politecnica e delle funzione t 7→ x(t) e−s0di sommabile in +∞[ e osserviamo che, Caccioppoli” per Re s > Re Scuola s0 , risulta a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` |x(t) e−s0 t | ≥ |x(t) e−s t | , per q.o. t ∈ [0, +∞[ . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cerca di ricavare informazioni sul segnale x dalla sua trasformata e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Spesso Anno si Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Dalla formula ricaviamo risultati di questo i teoremi del II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaX.Politecnica e delle(2.6) Scienze di Basedue Universit` a degli Studitipo: di Napoli “Federico valoreDipartimento iniziale e finale. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 2.6. Sia x assolutamente continuo (sugli intervalli compatti di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi contenuti) in [0, +∞[. Sia X(s) = Lu [x(t)]. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (Valore iniziale) Se x e x0 sono di ordine esponenziale, vale la formula Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Matematica e = Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (2.10)Dipartimento dix(0) = lim x(t) lim s X(s) . t→0+ Re s→+∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (Valore “Renato finale) SeCaccioppoli” x0 `e sommabile, x(t)Politecnica converge per t → Scienze +∞, `e di assoludi Matematica e Applicazioni Scuola e delle Base Universit` a degli Studi trasformabile Re s > 0 Luigi e risulta di Napoli “Federicotamente II” Anno Accademicoper 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.11) lim x(t) = lim s X(s) . t→+∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle s→0 Re s>0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica Universit` a degli Studi Dim. La (2.10) segue daCaccioppoli” (2.6), poich´ e per il teorema 2.5 risultae delle lim Scienze Lu [x0 (t)]di=Base 0. Re s→+∞ di Napoli “Federico II”Riguardo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato al teorema del valore finale, osserviamo innanzitutto che la sommabilit` a signiCaccioppoli” Scuolafica Politecnica e delle Scienze Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico assoluta trasformabilit` a in s =di0.Base Questo implica che x0 sia Studi assolutamente trasformabile per ReDipartimento s > 0. Inoltre, per continuit` a abbiamo 2013-2014 Luigi Greco di l’assoluta Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Anno x(t)“Federico = x(0) + II” x0 (τ ) dτ Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi e quindi x(t) converge per t → +∞, essendo x0 sommabile: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi ZGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ Caccioppoli” Scuola(2.12) Politecnica e delle Scienze Base Universit` ax0degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico lim di x(t) = x(0) + (τ ) dτ Studi . t→+∞ 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 150 IX. TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola assolutamente Politecnica trasformabile, e delle Scienze di X(s) Base Universit` a degli Studi Ne segue che x(t) ` e limitato e dunque anch’esso quindi di Napoli “Federico`e II” Anno 2013-2014 Luigi di tMatematica definita, perAccademico Re s > 0. D’altra parte, poich´ e perGreco Re s >Dipartimento 0 risulta |x0 (t) e−s | ≤ |x0 (t)|, per e Applicazioni “Renato t ∈ [0, +∞[,emediante il teorema della Universit` convergenza dominata, abbiamo Caccioppoli” Scuolaq.o. Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ Z +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 −s t x (t) e dt = x(0) + x0 (τ ) dτ . lim s X(s) = x(0) + lim s→0“Federico 0 0 Scienze di Base Universit` aRes→0 degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Re s>0 s>0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Confrontando questa uguaglianza con la (2.12), otteniamo la (2.11). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze3.diPropriet` Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a formali 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Elenchiamo alcune che seguono definizione, mediante Scienze di Base Universit` a degli Studi di formule, Napoli “Federico II” subito Anno dalla Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento le quali si opera con la trasformata.Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • Traslazione in t: 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze − t0 )]di=Base e−s tUniversit` X(s) , a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico L [x(t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −s t0 [x(t + Accademico t0 ) u(t)] . u(t − t“Federico L Anno L [x(t) 0 )] = e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi • Traslazione in s: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014s0Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e tUniversit` ] = X(s − L [x(t) 0 ) . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a sdegli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica • Riscalamento e riflessione:eaApplicazioni ∈ R − {0}, “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico1 II”  Anno s  Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = X . L [x(a t)]Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi |a| a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • Coniugazione: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico i h Universit` = X(s) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L x(t) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In particolare, x reale ⇐⇒ X hermitiana. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Per la formula di traslazione in t, basta effettuare un cambiamento di variabile: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Z +∞ t −s (τ +t −s t0 0 ) dτ = Caccioppoli” Scuola Politecnica Base Universit` Studi di eNapoli “Federico II” Anno Accademico x(t − t0 )di e−s dt = x(τa) edegli . L [x(t − t0 )]e=delle Scienze L [x(t)] −∞ −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Analoghi passaggi portano alla formula di traslazione in s. Vediamo la formula di riscalaScienze di Base Universit` a degli Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento mento, per a > 0;Studi con ladi sostituzione τ = a t, troviamo Z +∞ Z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi s 1 +∞ [x(a t)] = x(a t) e−s t dt = x(τ ) e− a τ dτ L di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a −∞ −∞ Caccioppoli” Scuolae quindi Politecnica e delle di riflessione, Base Universit` a 0, degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la formula. Per Scienze il caso della cio` ea< l’unica modifica ` e che nell’ultimo integrale in questo casodigliMatematica estremi sono invertiti. Anche la formula perCaccioppoli” la trasformata del 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle segnale coniugato ` e semplice: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z Z Z i h +∞ +∞ +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi = x(t) e−s t dt =Scuolax(t) e−s t dt = e delle x(t)Scienze e−s t dt , di Base Universit` L x(t) −∞ −∞ −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato poich´ e l’integrale del coniugato ` e il coniugato dell’integrale e quindi la formula. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico le propriet` a precedenti con qualche“Renato esempio.Caccioppoli” La (1.9) `e un 2013-2014 Luigi Greco Illustriamo Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle caso particolare delladiformula traslazione in s. Generalizziamo le (1.10)Luigi e Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli di “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento (1.11); per ω“Renato ∈ R − {0}, per Re s >Scuola 0 abbiamo di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco j ω t 2013-2014 −j Luigi ωt Lu [ e ] + Lu [ e ] 1 1 1 s = + = “Federico Caccioppoli” Scuola L Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico u [cos ω t] = 2 2 s−jω s+jω s2 + ω 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 151 Scuola Politecnica e delle 4. LA TRASFORMATA DELLA CONVOLUZIONE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e analogamente ω Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Lu [sin ω t] = 2 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` s + aω 2degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo inoltre che queste seguono da (1.11) e (1.10) mediante la formula Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoconsiderare II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di cambiamento di scala: `e sufficiente il caso ω > 0. Ancora, Luigi le di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi due formule “Renato si ricavano l’una dall’altra perPolitecnica derivazioneerispetto a t, mediante di Napoli “FedericolaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato II formula fondamentale. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 3.1. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle π 4 s L [sin(t + π/4)] [sin t u(t − π/4)] = e−“Federico L u Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi e− 4 sScienze 1 + s di Base Universit` −π s Lu [sin t] + Lu [cos t] 4 √ . = √ di 2Matematica = e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 2 2 s +1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.2.diCalcoliamo ]. Possiamo scrivereCaccioppoli” per q.o. t 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle L e[ e−|t| Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” tAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −|t| “Federico −t e = e u(t) + e u(−t) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi formula di traslazione di Napoli “FedericoPer II”laAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze aRedegli −t di Base Universit` , s > Studi −1 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico L [ e u(t)] = 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicase+Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi Napolidi“Federico D’altraa parte, per la di formula riflessioneII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e 1delle Scienze di Base Universit` a degli Studi t = LLuigi [ e−t u(t)](−s) = L [ e u(−t)](s) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −s + 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico per Re(−s) > −1, ovvero Re s < 1. Dunque per −1 < Re s < 1 abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 1 2 −|t| Scienze di Base Universit` di[ eNapoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (3.1) a degli StudiL ] = “Federico + II” Anno = Accademico . s + Scuola 1 −sPolitecnica +1 1 − se2 delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4. La trasformata della convoluzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Se x e y sono assolutamente trasformabili (cio`e Scuola gli 2013-2014 Luigi Greco TEOREMA Dipartimento4.1. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle integrali di Laplace assolutamente) in una stessa striscia, risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi convergono di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (4.1) = L [x]Politecnica · L [y] . L [x ∗ y] Scuola di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La formula si ricava similmente all’analoga formula per“Federico la F - II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (X.4.1) di Napoli trasformata. Notiamo che x ∗ y pu` o essere definita anche se x e y non 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”sono Scuola Politecnica e delle sommabili. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 4.2. Caccioppoli” Data x ∈ L1 (0, +∞),Politecnica la funzione eintegrale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Z t Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diy(t) Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = Universit` x(τ ) dτ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Napoli “Federico II”trasformabile Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento `e limitata in [0,Studi +∞[,diquindi assolutamente per Re s2013-2014 > 0; `e facile di Matematica e Applicazioni a degli Studi mostrare che“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z t  Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 1 [x(t)]Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Lu di Base x(τ ) dτ = L Caccioppoli” Scuola(4.2) Politecnica e delle Scienze Universit` a udegli s 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 152 IX. TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica a degli Studi in applicazione della Caccioppoli” II formula fondamentale, poich´e ey 0delle = x Scienze e y(0) =di0.Base La Universit` di Napoli “Federico(4.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato segue pure dalla formula per la trasformata della convoluzione, in quanto Caccioppoli” Scuola(prolungando Politecnica exdelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a R ponendo x(t) = 0 per t < 0) risulta ∀t ∈ R, cfr. (VIII.1.2) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z t   Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x(τ ) dτ = x(t) u(t) ∗ u(t) . u(t) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica 5. e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Trasformata unilatera di segnali periodici 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle TEOREMA 5.1. x un“Federico segnale periodico periodo τ > 2013-2014 0, sommabile Scienze di Base Universit` a degli Studi di Sia Napoli II” AnnodiAccademico Luigi Greco Dipartimento in (0, τ ). In “Renato queste ipotesi, la funzione t 7→Politecnica x(t) e−s t `e esommabile su (0, di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola delle Scienze di+∞) Base Universit` a degli Studi s Accademico ∈ C con Re 2013-2014 s > 0, quindi `e assolutamente Ludi -trasformabile. di Napoli “Federicoper II”ogni Anno LuigixGreco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato posto exdelle x(t) [u(t) − u(tUniversit` − τ )], risulta 0 (t) = Caccioppoli” ScuolaInoltre, Politecnica Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni L [x0 (t)] “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (5.1) a degli Studi di Napoli Lu [x(t)] = II” −s . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` “Federico Anno 1− e τ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi per buona la2013-2014 assoluta trasformabilit` a, ci limitiamodiaMatematica mostrare la e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Dando Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Per eladelle periodicit` a, abbiamo Caccioppoli” Scuolaformula. Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x0 (t) = x(t) u(t) − x(t) u(t − τ ) = x(t) u(t) − x(t − τ ) u(t − τ ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola a degli Studi e quindi, per“Renato la formula di traslazione in t,Politecnica ricaviamo e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [x0 (t)]di=Base Lu [x(t)] − e−sa τdegli Lu [x(t)] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L Scienze Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle da cuiDipartimento segue subito di la (5.1). Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 5.2. Calcoliamo la trasformata di x0 (t)e=delle sin t Scienze [u(t)−u(t−π)]: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi formula di traslazione in t, Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoper II”laAnno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 + e−π s 2013-2014 Luigi Greco diLMatematica . Scuola Politecnica e delle (5.2) Dipartimento [sin t u(t)] +eLApplicazioni [sin(t − π) u(t“Renato − π)] = Caccioppoli” L [x0 (t)] = 2+1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademicos2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che“Renato intera. DallaPolitecnica (5.2) possiamo ricavare ad esempio di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi L [x0 ] `e funzione t|] mediante la (5.1), poich´eLuigi | sin t|Greco si ottiene come replica periodica di e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoLII” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica u [| sin π di xe 0delle (t): Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuolaperiodo Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni −π “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 1+ e s Scienze di Base Universit` “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (5.3) a degli Studi diLNapoli [| sin t|] = . u s − e−πPolitecnica s2 + 1 e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 1Scuola a degli Studi di Napoli “FedericoFacendo II” Anno 2013-2014 Luigi Greco la Accademico replica periodica di periodo 2 π di Dipartimento x0 , otteniamodisinMatematica + t, quindi, e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaanalogamente Politecnica e adelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico prima, troviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 1 1 + e−π s Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (5.4) a degli Lu [sin t] = = . + −2 π s 2 −π 1− e s + 1 Politecnica (1 − e e sdelle ) (s2 + 1) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESERCIZIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5.3. Calcolare L [x0 ] in (5.2) direttamente dalla definizione Caccioppoli” Scuoladella Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico trasformata mediante integrale. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle 6. ANTITRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” 153 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 6. Antitrasformazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La trasformazione di Laplace `e iniettiva, cio` e segnali condilaNapoli stessa“Federico trasfor- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi mata sono uguali q.o. Vale inoltre la seguente formula di antitrasformazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Riemann-Fourier: il segnale x(t) `e regolarizzato in ogni punto, risultaLuigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi diseNapoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Z σ+j Politecnica ∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 x(t) 2013-2014 = v.p. X(s) es t ds , di Napoli “Federico(6.1) II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2πj σ−j ∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico essendo la retta di equazione Re s =e σApplicazioni interna alla striscia convergenza. Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “RenatodiCaccioppoli” Il aproblema di antitrasformare una funzione fratta pu`o essere Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Annorazionale Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento risolto in maniera completamente Osserviamo che,Scienze se la funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” elementare. Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicorazionale II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato P (s) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base R(s)Universit` = Q(s) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle `e una L -trasformata, deve essere infinitesima all’infinito, quindi `e una funScienze di Base Universit` a udegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento zione razionale propria. Basta allora decomporla in fratti semplici e ricordare di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (2.3): di Napoli “FedericolaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Lu−1 c di Base esa0 degli n−1 t“Renato . −−−−e−−Applicazioni →c 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di(sMatematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n − s0 ) (n − 1)! Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Ad esempio, se gli zeri di Q sono semplici s1 , . . . , sn , la decomposizione `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R[sLuigi n] 1] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco R[s Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R(s) = + ··· + s − sUniversit` − snStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base asdegli 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindi, antitrasformando otteniamo la formula dello sviluppo di Heaviside:  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi P (sn ) esndelle P (s1 ) Scuola −1 P (s) di Matematica e ApplicazioniL“Renato Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi es1 t + · ·Politecnica ·+ 0 e t, t≥ 0. = 0 u Q(s) Q (s ) Q (s ) 1 n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaSePolitecnica e delle Scienze di Base decomporre Universit` a degli Studi Napolireale. “Federico R ha coefficienti reali, conviene in fratti neldicampo Se II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di pu` Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Q ha Dipartimento zeri multipli, si o usare la formula di Hermite. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 6.1. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi     1 2013-2014 s Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 −1 Luigi Lu − = Lu = u(t) − u(t) cos t . s (s2 Scienze + 1) di Base s s2 + a1 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento usiamo di Matematica Alternativamente, la (4.2): e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli  “Federico II” Anno  Accademico  Z t Z t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze a degli Studi −1 −1 Politecnica = Lu (τ ) dτ = sin τ dτ .di Base Universit` (6.2) Lu s (s2 +2013-2014 1) s2 + 1Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 Luigi Greco 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 6.2. Scienze Per ω >di0,Base abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  di Matematica    1 Napoli “Federico 1 1 Accademico d s 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −1Studi di −1II” Anno Scienze di Base Universit` a degli Lu = Lu + 2 (s2 +Caccioppoli” ω 2 )2 2 ωScuola s2 + ω 2 ds s2 +Scienze ω2 di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi   di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20141 Luigi 1 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin ω at − t cosStudi ω t di u(t) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di=Base degli Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 ω 2 Universit` ω 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 154 IX. TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi ESEMPIO 6.3. Antitrasformiamo R(s) = 1−s a sono ∓1. Universit` 2 . Le singolarit` di Napoli “FedericoR(s) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e olomorfa in ciascuna delle “strisce” verticali A = {s ∈ C : Re s < −1}, Caccioppoli” ScuolaBPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = {s ∈ C : −1 < Re s < 1} e C = {s ∈ C : Re s > 1}. Dall’esempio 3.2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sappiamo che in B `edi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento R(s) = L [ e−|t| ] . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi s ∈ C: di Napoli “FedericoConsideriamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Lu−1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Universit` 1 di Base − −−−−−→ ( e−t“Renato − et )u(t)Caccioppoli” . R(s) di = Matematica 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e− Applicazioni Scuola Politecnica e delle s+1 s−1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In A, essendo R pari,Caccioppoli” risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −1 t Greco −t Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno AccademicoL2013-2014 Luigi [R(s)] = ( e − e )u(−t) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 7. Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Mediante l’uso della Lu -trasformazione risolviamo i problemi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzeaidivalori Base Universit` a degli Studi per equazioni differenziali coefficienti costantidiinMatematica [0, +∞[. Il e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoinziali II” Anno Accademico 2013-2014lineari Luigi aGreco Dipartimento di procedere perarisolvere i problemi ai valori ini- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolamodo Politecnica e delle`e analogo Scienze adiquello Base usato Universit` degli Studi di Napoli “Federico ziali per le equazioni mediante la Z -trasformazione. Consideriamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diricorrenti Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ad esempio il problema del secondo ordine Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  00 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y + a y 0 + b y = x(t) di Napoli “Federico(7.1) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 y(0) e y (0) assegnati Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `Dipartimento 2013-2014 Luigi Greco E di Matematica Scuola Politecnica e delle noto il teorema di esistenzae eApplicazioni unicit`a, nel“Renato caso cheCaccioppoli” il termine noScienze di Base Universit` degli Studi “Federico II” AnnoinAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento to sia acontinuo. Sedix Napoli `e localmente sommabile [0, +∞[, esiste un’unica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”le Scuola Politecnica delle di Base a degli Studi y ∈ C 1 ([0, +∞[), soddisfacente condizioni iniziali, econ y 0 Scienze localmente as- Universit` di Napoli “Federicosolutamente II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica continua in2013-2014 [0, +∞[ e Luigi tale che l’equazione sia verificata per q.o. e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolat ∈ Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (0, +∞). e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Illustriamo Dipartimento Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ora di il metodo risolutivo basato sulla“Renato Lu -trasformazione. Scienze di Base Universit` a degli Studi ditermine Napoli noto “Federico Anno yAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (a) Supponiamo che il x e la II” soluzione siano Lu -trasformabili e di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Per Scienze di Base Universit` a degli Studi applichiamo“Renato la trasformata ad amboScuola i membri dell’equazione. trasformare di Napoli “Federicoil II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica primo membro, usiamo2013-2014 la linearit` a e la seconda formula fondamentale (2.8): e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola`e Politecnica e delle Scienze di iniziali. Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico necessario conoscere i valori Posto Ya degli = LuStudi [y], abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 00 Lau [ydegli + aStudi y 0 + bdiy]Napoli = s2 Y “Federico − y(0) s −II” y 0 (0) + a sAccademico Y − a y(0) + bY Scienze di Base Universit` Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 0 = (s + a s Scuola + b) Y − y(0) s − y e(0) − a Scienze y(0) = Xdi. Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (b) Ricaviamo Y da questa uguaglianza: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 y(0) s + y 0 (0) + a y(0) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (7.2) Y (s) = 2 X(s) + . Scienze di Base Universit` a degli Studi di II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento s Napoli + a s +“Federico b s2 + Accademico as + b di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi 2 e delle Scienze di Base Universit` (c) A questo punto antitrasformiamo. Notiamo che s + a s + b `e il polinomio di Napoli “Federicocaratteristico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dell’operatore differenziale. Il secondo termine a secondo memCaccioppoli” Scuolabro Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico della (7.2) `e una funzione razionale, i cui coefficienti dipendono dai valori 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 155 Scuola Politecnica e delle 7. APPLICAZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi iniziali e l’antitrasformazione non presenta problemi. La funzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola(7.3) Politecnica e delle Scienze H(s) di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = Universit` , 2 + as + b s 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle cio`e il reciproco del polinomio dice Accademico funzione di trasferimento. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli caratteristico, “Federico II” si Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che per la linearit`aScuola del problema, la soluzione di (7.1)disi Base pu`o Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze a degli Studi nella somma2013-2014 y = y1 + yLuigi delle soluzioni dei problemi di Napoli “Federicodecomporre II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2  di00 Base 0Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y1 + a y1 + b y1 = x(t) (7.4) Dipartimento di Matematica 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y (0) = y10 (0) = 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli1 “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  00 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y2 + a y20 Luigi + b y2 Greco = 0 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(7.5) II” Anno Accademico 2013-2014 y2 (0) = y(0) , y20 (0) a=degli y 0 (0)Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il problema (7.4) hadivalori iniziali nulli e il termine noto dell’equazione (detto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento forzamento) coincidente con quello del problema originale (7.1), mentre Luigi il di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi problema (7.5) ha termine noto nullo e gli stessi valori iniziali del problema di Napoli “Federico(7.1). II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In particolare, ragionando come prima per (7.1), posto Y1 = Lu [y1 ], Caccioppoli” Scuolatroviamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = H(s) X(s) = 2 “FedericoX(s) 1 (s) Scienze di Base Universit` a degli StudiYdi Napoli s + a s + b II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnicadella e delle Scienze di otteBase Universit` a degli Studi e quindi, ricordando la formula perScuola la trasformata convoluzione, di Napoli “Federiconiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la formula risolutiva Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (7.6) Dipartimento di Matematica y1 (t) = Lue−1Applicazioni [H(s)] ∗ x(t) .“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Scienze di Base Universit` degli Studi diesposto Napoli si“Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Il aprocedimento estende II” subito alle equazioni 2013-2014 a coefficienti di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi costanti di ordine qualsiasi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (n−1) y (n) + an−1 ydi + Universit` · · · + a1 ya0 + a0 yStudi = x(t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base degli di. Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Ad esempio, se i valori iniziali sono tutti nulli, trasformando ambo i membri Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dell’equazione, troviamo Y (s) = H(s) X(s), essendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato H(s) = n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze degli s di+Base an−1 Universit` sn−1 + · ·a· + a1 sStudi + a0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle la funzione di trasferimento, reciproco del polinomio caratteristico, e quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento perveniamo alla soluzione data da (7.6) con y in luogo di y1 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014il Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 7.1. Risolviamo problema in Dipartimento [0, +∞[: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze  di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y 00 + y = 1 2013-2014 Luigi Greco “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (7.7) Dipartimento di Matematica e Applicazioni 0 y(0) = y (0) = 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Trasformando ambo iCaccioppoli” membri, ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 1Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Y = Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s (s2 + 1) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 156 IX. TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi y(t)“Renato = 1 − cos t, per t ≥ Scuola 0, ricordando l’antitrasformata dell’esemdi Napoli “Federicopio II”6.1. AnnoAlternativamente, Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato essendo i valori iniziali nulli, `e y = y1 (con le Caccioppoli” Scuolanotazioni Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico precedenti), quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Ze Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t   Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sin τ dτ = −[cos τ ]t0 = 1 − cos t . y(t) = sin t u(t) ∗ u(t) = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESERCIZIO 7.2. Mostrare che il problema: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  00 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y + y = sin t (7.8) a degli Studi di Napoli “Federico0 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` y(0) = y (0) = 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi soluzione y(t) = 21 (sin t − t cosLuigi t). Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericohaII”la Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 7.3. Risolviamo il problema in [0, +∞[: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  00 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli y “Federico − 5 y 0 + 6 II” y =Anno t e4 t Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y(0) = Scuola y (0) =Politecnica 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ambo i membri dell’equazione: u -trasformiamo Caccioppoli” ScuolaLPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 00 di Matematica 0 2e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Lu [y − 5 y + 6 y] = s Y − s − 1 − 5(sY − 1) + 6 Y Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = (s2 − 5II” s +Anno 6) Y −Accademico s + 4; di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi d d 1 1 4t Lu [t e4 t ] = 2013-2014 − Lu [ eLuigi ] = Greco − = .Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento di 2 ds ds s − 4 (s − 4) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ricaviamo Y ; osservato che s2 − 5 se+Applicazioni 6 = (s − 2) (s“Renato − 3), possiamo scrivereScuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento s−4 1 Y = Caccioppoli” Scuola + . di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (s − 2) (s − 3) (s − 2) (s − 3) (s − 4)2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaPer Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico antitrasformare, decomponiamo in fratti semplici. Risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle s−4 R[2] R[3] 2 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli=“Federico + II” Anno = Accademico − . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (s − 2) (s − 3) s − 2 s − 3 s − 2 s − di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle3Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoAnalogamente II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R[3] R[4] c−2 [4] R[2] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle = , + + “Renato + Caccioppoli” 2 (s − 2) (s − 3) (s − 4) s − 2 s − 3 s − 4 (s 4)2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico− 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi essendo c−2 [4] un coefficiente dello sviluppo di Laurent intorno a 4. Inoltre Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Universit` 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica Base a= degli Studi1 di Napoli II” Anno Accademico =− , R[3] = 1“Federico , R[2] = e delle Scienze2 di (2 − 3) di (2 − 4) 4 e Applicazioni(3“Renato − 2) (3 −Caccioppoli” 4)2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Scuola Politecnica e delle 1 1 1di Napoli 3 Scienze di Base Universit` a degli “Federico Anno c−2 [4] = Accademico 2013-2014 = . Luigi Greco Dipartimento R[4] = DStudi = − , II” 2 s − 5 sCaccioppoli” + 6 s=4 4 (4 e− delle 2) (4 − 3) 2di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica Scienze a degli Studi di Napoli “Federico(Potevamo II” Annoricavare Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[4] mediante il secondo teorema dei residui: essendo chiaramente Caccioppoli” ScuolaR[∞] Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 0, risulta R[4] = −R[2] − R[3].) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 157 Scuola Politecnica e delle 7. APPLICAZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a degli Studi Pertanto “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 1 1/4 1 3/4 1/2 Caccioppoli” Scuola Politecnica di−Base Universit` a− degli Studi “Federico II” Anno Accademico Y e=delle Scienze − + + di Napoli s − 2 s − 3 s − 2 s − 3 s − 4 (s 4)2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 7/4 3/4 1/2 Scienze di Base Universit` a degli =Studi di−Napoli + “Federico2 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento s − 2 s − 4 (s − 4) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi quindi (per t ≥ 0) di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 7 3 4t a tdegli y(t) = e2te−Applicazioni e + e4t“Renato . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4 4 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Alternativamente scriviamo y = y1Scuola + y2 (con le notazioni usate precedentedi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi mente). Per quanto visto, risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato   Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Bases Universit` a degli2tStudi3tdi Napoli “Federico II” Anno Accademico −4 −1 = 2 e“Renato − e .Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y (t) = L 2 u 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni (s − 2) (s − 3) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D’altra parte, osservato che la funzione di Politecnica trasferimento `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20141 Luigi Greco1Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato H(s) = = − Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze(sdi−Base 2) (s Universit` − 3) sa−degli 3 Studi s − 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento h(t) = Lu−1 [H(s)] = e3t − e2t , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoabbiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato
Caccioppoli” Scuola Politecnica e delley1Scienze Universit` Studi. di Napoli “Federico II” Anno Accademico (t) = (die3tBase − e2t ) u(t) ∗a(tdegli e4t u(t)) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Inoltre (per t ≥ 0) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z t Z t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni2t “Renato Caccioppoli” Scuola e 2tdelle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4t 4τ Politecnica 2(t−τ ) ( e u(t)) ∗ (t e u(t)) = τ e e dτ = e τ e2τ dτ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-20140 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 e4t a degli e2t Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t 4t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` + = e − 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2 e Applicazioni 4 4 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e similmente 3tCaccioppoli” 4t Scuola Politecnica 4t 4t e delle di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ( e u(t)) ∗ (t e u(t)) = t e − e + e3t . Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaDunque Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t 4t e Applicazioni 3 4t e2t “Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di yMatematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e − e − + e3t 1 (t) = 4 II” Anno 4 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli2“Federico e arriviamo “Renato nuovamente alla soluzione y(t)Politecnica trovata prima. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESERCIZIO 7.4. Risolvere il problema in [0, +∞[: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  00di Base 0Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni y − 12 ye + 27 y = t e7 t “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II”=Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y(0)“Federico = 1 , y 0 (0) 3 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e verificare che la soluzione `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 95 di3tBase1 Universit` 1 7t Studi t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze y(t) = e + e9t − a edegli − e7t . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 96 24 32 8 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 158 IX. TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Analogamente, risolvere il problemaScuola in [0, +∞[:  00 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 9 y 0 Universit` + 14 y = at degli e5 t Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze ydi − Base y(0) = 2e, Applicazioni y 0 (0) = 9 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e verificare cheStudi la soluzione `e “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli di Napoli 44 2t 1 5t Politecnica t 21 e 7t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y(t) = e − e − e5t + e . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 45 36 6 Dipartimento 20 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 7.5. Scienze Risolviamo il problema in [0, +∞[: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −5 t y 00 + 10“Federico y 0 + 41 y II” = eAnno sinAccademico 4t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 y(0) = 1 , yScuola (0) = −1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ambo 2013-2014 i membri dell’equazione, troviamo di Napoli “FedericoLII” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato u -trasformando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle2 Scienze di Base Universit` a degli4Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 10 s + 41) Y e− Applicazioni s−9= 2 + 16 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento(s di+Matematica “Renato (s + 5) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi ricaviamo mediante la formula di Hermite di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4 s+9 di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + Y = Accademico 2 (s e+delle 5)2 +Scienze 16 [(s 5) 16]2 a degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico  + Caccioppoli” Scuola Politecnica di +Base Universit` s+5+4 4 1 d s+5 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni = + + “Renato Caccioppoli” . Scuola Politecnica e delle 2 + 16 2 + 16 (s + 5) 2 · 16 (s + 5) ds (s + 5)2 + 16 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dunque di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi    t 33 −5t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y(t) = e 1− cos 4 t + sin 4 t . 32 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 8Universit` a degli 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 7.6.diRisolviamo il problema in [0, +∞[: Scienze di Base Universit` a degli Studi diNapoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y 00 − 4 y 0 +Scuola 49 y = Politecnica 4 e4 t cos 7 t e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi y(0) = 1 , Luigi y 0 (0) = 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaProcedendo Politecnicacome e delle Scienzericaviamo di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico indicato, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle s 4 (s − 4) = 2di Napoli “Federico + 2 Scienze di Base Universit` a degliYStudi II” Anno Accademico s − 4 s + 49 (s − 4 s + 49) [(s − 4)2 + 49] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e ricordando la decomposizione dell’esempio V.3.5 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 s−1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi + . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Y = 2 di Base Universit` 2 + 49 s − 4 s + 49 (s − 4) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Infine, aessendo s − 1 Scuola sPolitecnica −2+1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi = , e delle Scienze di Base Universit` 2 − 4 s + 49Luigi(sGreco − 2)2 Dipartimento + 45 di Napoli “Federico II” Anno Accademico s2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolavediamo Politecnica e delle che Scienze di Base `eUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico facilmente la soluzione   √ √ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2t Matematica e 1Applicazioni “Renato e4t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle √ y(t) = e cos 3 5 t + sin 3 5 t + sin 7 t 2013-2014 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento 7 3 5 II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle CAPITOLO Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” X Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Trasformazione dia degli Fourier Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Caccioppoli” TrasformataScuola di Fourier in L1e(R) di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II”DEFINIZIONE Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1.1. Sia x ∈ L (R) un segnale sommabile. La trasforCaccioppoli” Scuolamata Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Fourier di x `e la funzione di variabile reale definita ponendo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Ze +∞ Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.1) ˆ(ω) = X(ω) = x(t) e−j ω t Accademico dt , ω∈R . F [x] = x di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −∞ di Napoli “FedericoLaII”trasformazione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Fourier `e l’operatore F : x → X che associa a x la sua Caccioppoli” Scuolatrasformata PolitecnicaX. e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo che di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi e−j ω t = cos ω t −Politecnica j sin ω t e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi −j ω t di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per ω ∈ R risulta | e | = 1, ∀t ∈ R, quindi l’integrale in (1.1) `e Caccioppoli” Scuolaassolutamente Politecnica e convergente. delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Segnaliamo Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle che la di definizione data in e(1.1), che noi seguiremo qui, Caccioppoli” non ` e l’unica usata per la trasformata di Fourier, che a “Federico volte viene definita ponendo Scienze di Base Universit` a degliZ Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ +∞ 1 −j ω t −2 π j ω t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi x(t) e dt . x(t) e dt , o F [x] = F [x] = √ 2 π −∞ −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.2. Scienze di Base ilUniversit` Studi di Napolidi“Federico ` evidente Osservazione E legame atradegli la trasformazione Fourier II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quella di Laplace: se l’integrale di Laplace `e assolutamente convergente, per Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ogni s = σ + j ω nella striscia di convergenza, risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −σ t + j ω) = FGreco [x(t) eDipartimento ](ω) . L [x(t)](σ di Napoli “Federico(1.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaInPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico particolare, se l’asse immaginario `e interno alla Studi striscia di convergenza 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle assoluta, `e F [x](ω) = L [x](jω). Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Alcune propriet` fondamentali Scuola della trasformazione sono contenute di Matematica e Applicazioni “Renatoa Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di nella Base Universit` a degli Studi seguente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico PROPOSIZIONE 1.3. La trasformazione `e lineare, cio`e per ogni x, y ∈ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 L (R) e α, β ∈ C, risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.3) = α F [x] + β F [y] .e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi F [α x + β y] Scuola di Napoli “FedericoLaII”trasformata Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X(ω) `e continua e limitata; essa inoltre `e infinitesima per Caccioppoli” Scuolaω Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico → ∓∞. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 159 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 160 X. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi `Caccioppoli” Dim. La (1.3)“Renato ` e ovvia. E immediata anche la limitatezza della e trasformata: Z +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 |X(ω)| ≤di Base |x(t)| dt = kxka1 degli , ∀ω ∈Studi R. Caccioppoli” Scuola(1.4) Politecnica e delle Scienze Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La continuit` a vuol dire che per ogni ω0 ∈ R risulta +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Z Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t x(t) e−jeω delle dt Scienze di Base Universit` = lim Politecnica (1.5) X(ωCaccioppoli” 0 ) = lim X(ω)Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi ω→ω0 −∞ ω→ω0 di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato segue dal teorema VII.1.20 di Lebesgue sulla convergenza dominata. Infine l’uguaglianza Caccioppoli” Scuola(1.6) Politecnica e delle Scienze di Base lim Universit` X(ω) = 0a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ω→∓∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` e conseguenza del teorema VIII.3.3 di Riemann-Lebesgue. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 1.4. Caccioppoli” Calcoliamo FScuola [Π]. In Politecnica base alla definizione, abbiamo Z di Napoli “Federico II” Anno AccademicoZ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1/2 +∞ sin ω/2 ω t di Napoli ωt Caccioppoli” Scuola(1.7) PolitecnicaFe[Π(t)] delle = Scienze di Base Studi “Federico II” Anno Accademico dt = Π(t) e−jUniversit` dt = a deglie−j ω/2 −1/2 “Renato Caccioppoli” −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degliprolungata Studi di Napoli Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (ovviamente in ω =“Federico 0). Pi` u inII” generale, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi sin(T ω/2) . = Greco Dipartimento F [Π(t/T )] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato ω/2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Questo esempio mostra che in generale X 6∈ L1 (R).“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 1.5. diAbbiamo Z 0 Caccioppoli”Z Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ 1 1 −|t| −di Matematica e Applicazioni “Renato ]= et−jωt dt + Luigie−t−jωt dt = di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Greco Dipartimento F [ e Accademico 1 − jω −1 − jω −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base0 Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”2 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −|t| (1.8) ]= . F [ e Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1+ ω2 di Napoli “FedericoQuesta II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato uguaglianza segue subito dalla formula (IX.3.1) mediante il legame Caccioppoli” Scuolacon Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la trasformata di Laplace.  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico ESEMPIO 1.6. diCalcoliamo . In base alla definizione, F 1 + t2Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi   Z +∞ −j ω t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco 1 e Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = dtStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico F di Base Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli 2 1 + t2 Universit` −∞ 1 + t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e questo integrale si calcola col metodo dei residui, esposto nel paragraScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico−j2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e ωz di Matematica e Applicazioni “Renatoi Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base Universit` a degli Studi fo VII.2.3. Essendo residui della funzione ausiliaria fe(z) = Scienze 1 + z2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e∓ω a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base R[∓j]Universit` = , ∓2 j 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico abbiamo  II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −ω  , se ω > 0e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi Z +∞ π e Politecnica −j ω t e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigiπ Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dt = , se ω = 0  1 +dit2Base Universit`  ω a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −∞ Scienze π e , se ω < 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” 161 Scuola Politecnica e delle 1. TRASFORMATA DI FOURIER IN“Renato L1 (R) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi in definitiva   Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 1 Universit` Caccioppoli” Scuola(1.9) Politecnica e delle ScienzeFdi Base a degli = π e−|ω| . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 1 + 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica te Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a deglicon Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Confrontare (1.8). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 1.7. Per2013-2014 calcolare Luigi la trasformata usare il e Applicazioni “Renato F [ e−t ] possiamo di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica con laetrasformazione Laplace e la formula (IX.2.4): Caccioppoli” Scuolalegame Politecnica delle Scienze didiBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  √ “Renato √  se2 /4 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni −t −ω 2 /4 = πe (1.10) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle F[e ] = π e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico s=jω II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Un’altra“Renato formula Caccioppoli” che si verificaScuola facilmente `e la seguente. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato PROPOSIZIONE 1.8 di (formula di moltiplicazione). x, y ∈“Federico L1 (R), II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Per di Napoli dette Dipartimento X e Y le rispettive risulta “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle F -trasformate, 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Z +∞ Z +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.11) X(t) y(t) dt = x(t) Y (t)edtdelle . di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Notiamo che X(t)Scienze y(t) ` e sommabile R, in quanto prodotto della Caccioppoli” ScuolaDim. Politecnica e delle di BaseinUniversit` a degli Studi difunzione Napolisommabile “Federico II” Anno Accademico y(t) per la funzione limitata X(t); analogamente, x(t) Y (t) ` e sommabile. Per mostrare la 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.11), basta osservare che per il teorema di Tonelli la funzione f (t, τ ) = y(t) e−j t τ x(τ ) ` e 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sommabile in R e quindi usare il teorema di Fubini per invertire l’ordine di integrazione: Z +∞ “Renato Caccioppoli” Z +∞ Z +∞ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Scuola a degli Studi X(t) y(t) dt = y(t) dt x(τ ) e−j t τ dτ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Z−∞ Z−∞ Z +∞ +∞ +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −jdegli tτ = x(τ ) dτ y(t) e dt = x(t) Y (t) dt . −∞ −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e −∞ Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1.1. Inversione della trasformazione di Fourier. La trasformazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Fourier `e iniettiva, nel senso che di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ≡ 0 di⇒ = 0 per q.o. tStudi ∈ R .di Napoli “Federico II” Anno Accademico F [x] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Basex(t) Universit` a degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pi` u in generale, vale il seguente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 1.9.Caccioppoli” Se x ∈ L1 (R) e pure X = F [x]e ∈ L1 (R), risulta, per Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi ∈ R, Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoq.o. II” tAnno Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 1Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X(ω) ej ω t dω . (1.12)Dipartimento di Matematica x(t) = 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 π −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle Scienze dicontiBase Universit` a degli Studi Notiamo“Renato che, se Caccioppoli” X ∈ L1 (R), Scuola x coincide q.o. con una funzione di Napoli “Federiconua. II” Anno Luigi Greco Dipartimento Matematica SenzaAccademico supporre X 2013-2014 sommabile, l’integrale va inteso nel di senso del valor e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaprincipale. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle TEOREMA 1.10 di antitrasformazione). Sia x ∈2013-2014 L1 (R). SeLuigi x Scienze di Base Universit` a degli Studi di (Formula Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento ` e regolarizzato in t ∈ R, risulta 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 v.p. X(ω) ej ω t0 dω . (1.13) x(t0 ) = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2diπ Base Universit` −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 162 X. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoseCaccioppoli” Politecnica e delle di Base a degli Studi In particolare, x ∈ L1 (R) `e Scuola continuo e C 1 a tratti e XScienze ∈ L1 (R), vale Universit` di Napoli “Federico(1.12) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per ogni t ∈ R. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il secondo membro della (1.12) definisce l’antitrasformazione di Fourier 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato mutando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle F −1 [X]. Notiamo di cheMatematica essa `e analoga alla trasformazione: t in −t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in (1.12), troviamo 2π x(−t) = F [X(ω)], che si riscrive di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = 2Greco π x(−t) . F [F [x(t)]] di Napoli “Federico(1.14) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaSePolitecnica e delle di Base F Universit` Studi Napolimodo, “Federico in aggiunta x `e Scienze pari, abbiamo [F [x]] a=degli 2 π x. In di questo ad II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle esempio, possiamo ricavare la (1.8) da (1.9) e viceversa. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 1.11. Verificare Scuola la validit` a di (1.13)e nel caso x(t) =diΠ(t), di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi in ∓1/2 assegnando valore 1/2. Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoregolarizzato II” Anno Accademico 2013-2014ilLuigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 2. Propriet` a formali “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Elenchiamo alcune propriet`a della trasformata, facili da verificare in base di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi alla definizione. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • Traslazione in t: di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −j ω t0 F [x(t − t0 )] = e F [x(t)] . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento • Traslazione in ω: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j ωLuigi 0t ] = X(ω − ω0 ) . F [x(t) e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico • Modulazione: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle jϕ ϕ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento X(ω − ωII” + X(ω + ω0 ) e−j2013-2014 0) e . di Base Universit` cos(ωCaccioppoli” F [x(t) 0 t + ϕ)] = di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • Riscalamento e riflessione: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico aωdegli  1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X . F [x(a t)] = |a|II” Anno a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi • Coniugazione: h Luigi i di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x(t) = X(−ω) . F Base Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dirisulta Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle • Se x `e pari, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” ZAnno Z +∞ +∞ Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi [x] = x(t) cos ω t dt = 2 x(t) ecos ω t dt . F −∞ 0 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli eStudi In particolare, x reale e pariUniversit` ⇐⇒ Xa reale pari.di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle • Se x `e dispari, risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z Napoli Z +∞ +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi x(t) sin ω t dt = −2 j x(t) sin ωScienze t dt . di Base Universit` F [x] = −j 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In particolare, x reale e dispari ⇐⇒a X immaginaria e dispari. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 163 Scuola Politecnica e delle 3. LE FORMULE FONDAMENTALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base a degli Studi Le formule di traslazione in t, traslazione in ω,Politecnica riscalamento ee riflessione si ricavano allo Universit` modo delle corrispondenti formule Luigi per la Greco trasformazione di Laplace. Per la formula e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicostesso II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica modulazione, ` e sufficiente scrivere Caccioppoli” Scuoladella Politecnica e delle Scienze di Base j(ω Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e 0 t+ϕ) + e−j(ω0 t+ϕ) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dicos(ω Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 t + ϕ) = 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento mediante la formula di Eulero ed applicare le propriet` a di linearit` a e di traslazione in ω. di Matematica e Applicazioni “Renato dellecome Scienze di Base a degli Studi Anche la formula per la Caccioppoli” trasformata delScuola segnale Politecnica coniugato si e prova nel caso della Universit` di Laplace: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicotrasformazione II” Anno Accademico Z +∞ Z +∞ h i Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellex(t) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(t) e−j (−ω) t dt e−j ω t dt = x(t) e−j (−ω) t dt = F x(t) = −∞ −∞ di Matematica −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindialadegli formula. Le altre propriet` a sono immediate. Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Illustriamo le propriet` a precedenti conPolitecnica qualche esempio. Per la formula di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato riscalamento, troviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sin(T ω/2) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni , F [Π(t/T )] = T ω/2 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”T Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi in accordo con quanto visto nell’esempio 1.4. Ancora, da (1.10) ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato √ 2 2 −tBase /2 Universit` −ω /2 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli ] = 2π e , F[e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle √ 2 cio`e per basta moltiplicare e−t /2 per2013-2014 2 π. Per Luigi la Scienze di Base Universit` a calcolarne degli Studiladitrasformata, Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento formula della“Renato modulazione, troviamo di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 −|t| + . Napoli “Federico II” Anno Accademico cos t]di=Base Universit` F [ e Scienze Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di 2 2 1 + (ω + 1) 1 + (ω − 1) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3. Le formule fondamentali di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi in questo paragrafo formule perDipartimento la derivata della trasformata e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Vediamo Anno Accademico 2013-2014leLuigi Greco di Matematica per la trasformata della derivata. Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle TEOREMA 3.1 (I formula fondamentale). Sia x ∈ L1 (R). Se anche Scienze di Base Universit` a degli 1Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t 7→ t x(t) ∈ L (R), la trasformata X = F [x] `e di classe C 1 (R) e risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(3.1) II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 0 (ω) =Luigi [(−j t) x(t)] . F Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (3.1) si riscrive 2013-2014 Luigi Greco La Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ +∞Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoZII” d ∂ −j ω t x(t) e−j ω t dt = Politecnica x(t) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola ee delle dtScienze di Base Universit` a degli Studi dω −∞ ∂ω −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato consiste nella possibilit` a dididerivare sotto ilasegno integrale. La “Federico formula II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli di Studi di Napoli (3.1) Dipartimento si pu` o iterare. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento COROLLARIO 3.2. Sia x ∈ L1 (R). Se anche t 7→ tn x(t) ∈ L1 (R), per di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi un n ∈ N, la trasformata X = F [x] `e di classe C n (R) e risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(3.2) Politecnica e delle Base a degli Studi X (k)Scienze (ω) = Fdi[(−j t)kUniversit` x(t)] , per k = 1, . . . , ndi. Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 164 X. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica di Base a degli Studi Notiamo“Renato soltantoCaccioppoli” che dalla sommabilit` a di x(t) e etndelle x(t) Scienze segue quella di Universit` k n di Napoli “FedericotkII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x(t), per k = 1, . . . , n, in virt` u della disuguaglianza |t| ≤ 1 + |t| , ∀t ∈ n Caccioppoli” ScuolaR.Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il fattore t pesa intorno a ∓∞; il corollario 3.2 mostra dunque che il 2013-2014 Luigi Greco di all’infinito Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle buon Dipartimento comportamento dele segnale x implica regolarit` a di carattere Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento differenziale per la trasformata X. In particolare, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 3.3. Sia x ∈ L (R) Greco nulla fuori di un intervallo limitato. e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”COROLLARIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica trasformata X = Scienze di Base classeUniversit` C ∞ (R) ae degli risultaStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico F [x] `e di Caccioppoli” ScuolaLaPolitecnica e delle (k) k 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.3) X (ω) = F [(−j t) x(t)] , ∀k “Renato ∈ N. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 3.4. Caccioppoli” Possiamo applicare corollario 3.3 alla funzione x(t) = Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato ScuolailPolitecnica e delle Scienze di Base a degli Studi dell’esempio 1.4, ed2013-2014 il corollario 3.2,Greco ∀n ∈ Dipartimento N, alla funzione x(t) = e−|t| e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoΠ(t) II” Anno Accademico Luigi di Matematica ottenendo entrambe le trasformate sonodidiNapoli classe “Federico C ∞ (R). II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladell’esempio Politecnica 1.5, e delle Scienzeche di Base Universit` a degli Studi (Invero, tenendo presente il legame econ la trasformazione Laplace, le due 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “RenatodiCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle trasformate Fourier funzioni analitiche in R.) Scienze di Base Universit` a deglidiStudi di sono Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Invece la“Renato funzioneCaccioppoli” x(t) = 1/(1 Scuola + t2 ) dell’esempio non Scienze verifica di le Base ipo- Universit` di Matematica e Applicazioni Politecnica 1.6 e delle a degli Studi teorema 3.1, non essendo Luigi t 7→ Greco t x(t) sommabile in R; in effetti la e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicotesi II” del Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica `e derivabile in Base 0. Universit` Caccioppoli” Scuolatrasformata Politecnicanon e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Vediamo Dipartimento di Matematica e Applicazioni ora la formula per la trasformata della“Renato derivata.Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 3.5 Caccioppoli” (II formula fondamentale). Se x e`e delle assolutamente di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica Scienze dicontiBase Universit` a degli Studi x, x0 ∈ L1 (R), risulta di Napoli “Federiconua II” eAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(3.4) Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0Base Universit` F [x (t)] = j ω F [x(t)] . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Dim. Essendo assolutamente continua, risulta, ∀t Anno ∈ R, Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a deglixStudi di Napoli “Federico II” Z t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 x(t) = x(0) + x (τ ) dτ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 0Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 ∈ L1 (R) implica che x(t) converge per t → ∓∞; poich´ l’ipotesiexdelle anche x “Federico ∈ L1 (R), II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolae quindi Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di eNapoli il limite ` e necessariamente 0: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.5) lim x(t) = 0 . t→∓∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Integrando per“Renato parti, allora abbiamo di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Z +∞   Greco Dipartimento 0 0 −j ω t2013-2014 −j ω t +∞ −j ω tdi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi x (t) e dt = x(t) e +jω x(t) e dt = j ω F [x] . F [x ] = −∞ −∞e delle Scienze di Base Universit` −∞ Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli che, in generale, sotto la sola x ∈ L1 (R), la (3.5) non vale. 2013-2014 Luigi Greco Notiamo Dipartimento di Matematica e ipotesi Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Anche la (3.4) pu` o essere iterata. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n−1 Se x `e Luigi di classe (R), n ∈ di N,Matematica e x(n−1) `e e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”COROLLARIO Anno Accademico3.6. 2013-2014 GrecoCDipartimento 1 con di x,Base x0 , . . .Universit` , x(n) ∈ L (R), risulta Caccioppoli” Scuolaassolutamente Politecnica e continua, delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di (k) Matematica k e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.6) F [x (t)] = (j ω) F [x(t)] , per k = 1, . . . , n . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dunque,“Renato essendo Caccioppoli” ∓∞, risulta di Matematica e Applicazioni Scuola aPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi F [x(n) ] infinitesima di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi (n)Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato F [x ] −n = Universit` = o(ω ) .Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli F [x(t)] (j ω)n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 165 Scuola Politecnica e delle 3. LE FORMULE FONDAMENTALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica ae della delle trasformata. Scienze di Base a degli Studi In particolare, per nCaccioppoli” = 2 `e garantita la sommabilit` Il Universit` di Napoli “Federicocorollario II” Anno3.6 Accademico Luigi Dipartimento di del Matematica mostra che2013-2014 la regolarit` a di Greco carattere differenziale segnale x e Applicazioni “Renato il buon comportamento all’infinito della trasformata Pertanto le II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaimplica Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di X. Napoli “Federico due propriet` a si scambiano l’una nell’altra passando“Renato da x allaCaccioppoli” trasformata X. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Osservazione 3.7. diLaNapoli propriet` a fondamentale della F -trasformazione ` e dunque Luigi di Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento far corrispondere all’operazione algebrica di moltiplicazione del segnale x(t) per −j t, l’odi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi perazione di derivazione per la trasformata e, viceversa, di far corrispondere all’operaziodi derivazione del segnale2013-2014 x(t), l’operazione di moltiplicazione per j ω per la e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoneII” Anno Accademico Luigi algebrica Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolatrasformata. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3.8.diCalcoliamo la eFApplicazioni -trasformata “Renato del segnale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Λ(t) = (1 + t) [u(t + 1) − u(t)] + (1 − t) [u(t) − u(t − 1)] , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi VIII.2.2. Essendo Λ assolutamente continua, calcoliamo la deri- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocfr. II”esempio Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolavata: Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 1/2) − Π(t − 1/2) . Scuola Politecnica e delle (3.7) Λ (t) = u(t + 1) − 2 u(t) + u(t − 1) = Π(t + Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applichiamo la trasformazione ad ambo i membri. Usiamo la II formula fondi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi damentale per il primo membro; per il secondo membro, usiamo la formula di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato traslazione in t e ricordiamo la (1.7): Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sinMatematica ω/2 sin ω/2 j ω/2 −j ω/2 ω/2 ω/2 sin ω/2 Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di e Applicazioni j ω F [Λ] = e −e = ( ej“Renato − e−jCaccioppoli” ) ω/2 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di ω/2 Napoli “Federicoω/2 II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi ricaviamo 2Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi sin ω/2 Caccioppoli” Scuola(3.8) Politecnica e delle ScienzeF di[Λ] Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico . = Universit` ω/2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` possibile Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento E anche usare la I formula fondamentale. A tal fine, scriviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi Λ(t) = u(t + 1) − u(t − 1) + t[u(t + 1) − 2 u(t) − u(t − 1)] di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = Π(t/2) + j (−j t) [Π(t + 1/2) − Π(t − 1/2)] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi trasformando 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  ω “Federico d sin ω/2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di sin Napoli II” Anno Accademico j ω/2 −j ω/2 +j (e −e ) F [Λ] = 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi ω dωScuola Politecnica e delle ω/2 Scienze di Base Universit` ω d Luigi (sin Greco ω/2)2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademicosin 2013-2014 =2 −4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze ω di Base dω Universit` ω a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sin ω (sineω/2) sin ω/2 cos ω/2 = 2 + 4 −4 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ω ω 2 II” Anno Accademico ω di Matematica e Applicazioni “Renato laCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle di reale Base Universit` a degli Studi Pertanto ritroviamo (3.8). Notiamo che la trasformata `e unaScienze funzione di Napoli “Federicopari, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato come era prevedibile, essendo tale pure Λ. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.9.diCalcoliamo la etrasformata di “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica Applicazioni 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi Anno Luigi Greco Dipartimento x(t) = (1di− Napoli t ) [u(t “Federico + 1) − u(tII” − 1)] = (1Accademico − t2 ) Π(t/2)2013-2014 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Per la formula di cambiamento di scala, da (1.7) ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` = 2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico F [Π(t/2)] ω 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 166 X. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a degli Studi e quindi per“Renato la (3.1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin ω Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sin Universit` ω d2 a degli Caccioppoli” Scuola(3.9) Politecnica e delle Scienze di Base X(ω) = 2 +2 . dω 2 ω “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ωe Applicazioni 1 Calcoliamo la Studi derivata in (3.9) “Federico mediante II” la formula di Leibniz: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli di Napoli Anno Accademico   2 “Renato Caccioppoli” 2 di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi d sin ω 1 sin ω di Base Universit` d sin ω cos ω sin ω × + 2 . = = − − 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dω 2 ω dω 2 ω ω ω2 ω3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dunque, per ω 6= 0, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   sin ωII” cos ω Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno (3.10) X(ω) = 4 − . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ω 3 Politecnica ω2 di Napoli “FedericoInoltre II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato chiaramente Z +∞ Z 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 4 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni X(0) = x(t) dt = (1 − t2 )“Renato dt = . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3 −∞ “Federico II” −1 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 3.10.Caccioppoli” La trasformata del segnale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 2 t Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (t) = (t − t) e [u(t) − u(t − 1)] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico si trova facilmente in alla definizione: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di base Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” (1−j Anno ω) tAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X0 (t) = (t2 − t) Politecnica e dt e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi 0 di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l’integrale si calcola per parti. A scopo illustrativo, usiamo la I formula Caccioppoli” Scuolafondamentale; Politecnica e adelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 tal fine, scriviamo x0 (t) = −(j t) y0 (t) − j (−j t) y0 (t), dove 2013-2014 Luigi Greco di−Matematica y0 (t) Dipartimento = et [u(t) − u(t 1)] e dunquee Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 00 X0 (ω) = −Y j Y00 (ω) , e delle Scienze di Base Universit` 0 (ω) − di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “FedericoEssendo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z 1−jω − 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 1Base Universit` aedegli Studi , Y0 (ω) = e(1−j ω) t dt = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 − j ω 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento troviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −j e1−jω Scuola e1−jωPolitecnica −1 Y00 (ω) = 2013-2014+ Luigi j di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco2 ,Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1−jω (1 − j ω) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 1−jω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1−jω e1−jω a deglieStudi −1 e Y000 (ω)di=Matematica − + 2e Applicazioni − 2 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1−jω (1 − j ω)2 (1 − j ω)3 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pertanto “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi e1−jω + 1Greco e1−jω (1 + j ω) + di j ωMatematica −3 e1−jω 2013-2014 −1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Dipartimento e Applicazioni “Renato X0 (ω) = 2 − = . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli(1Studi di3 Napoli “Federico II” Anno Accademico (1 Scienze − j ω)3 di Base (1 − jUniversit` ω)2 − j ω) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1La formula permette di calcolare le derivate di ordine superiore di un prodotto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento n   X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n Politecnica Dn (f g) = f (n−k) g (k) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 k=0 Luigik Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 167 Scuola Politecnica e delle 4. LA TRASFORMATA DELLA CONVOLUZIONE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola= Politecnica e dellele Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 3.11.Caccioppoli” Calcoliamo X(ω) propriet` a della F [ e−t ] usando di Napoli “Federicotrasformazione; II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la trasformata `e stata calcolata nell’esempio 1.7. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −t2 Osserviamo che X `e una funzione reale pari, poich´e tale `e x(t) = e . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Inoltre j x0 (t) = −2 di j t x(t) e quindi ej F [x0 (t)] = 2 F“Renato [−j t x(t)], ovvero Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 −ω X(ω) = 2X (ω) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoQuesta II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e un’equazione differenziale a variabili separabili; ne ricaviamo X(ω) = R +∞Studi √ Caccioppoli” ScuolaX(0) Politecnica a degli −ω 2 /4 e delle Scienze di Base Universit` −t2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico e . Infine basta osservare che X(0) = e dt = π. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni−∞ “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3.1. La trasformata di funzioni rapida. Una classe Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico aII”decrescenza Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di funzioni particolarmente importante nella teoria della `e Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi F -trasformazione S =Accademico S (R) di Schwartz o delle funzioni decrescenza rapida. di Napoli “Federicoquella II” Anno 2013-2014 Luigi Greco aDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico DEFINIZIONE 3.12. Una funzione x ∈ C ∞ (R) `e detta a decrescenza 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle rapida se, insieme con tutte le derivate, `e infinitesima di ordine infinitamente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento grande a ∓∞, cio`e risulta, ∀n, k ∈ N0 , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n (k) Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 lim tLuigi x (t) = 0 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze t→∓∞ di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.13. Appartiene chiaramente a S“Renato ogni funzione di classe 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 Scienze di Base Universit` degli Studi di un Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento C ∞ (R)a nulla fuori di intervallo limitato. La funzione x(t)2013-2014 = e−t `eLuigi a di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi decrescenza “Renato rapida, pur essendo non-nulla in ogni punto. di Napoli “Federico II”Per Anno Accademico 2013-2014esplicitamente Luigi Greco Dipartimento quanto ovvio, osserviamo che la funzionedit Matematica 7→ 1/(1+t2 ) e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolanon Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi `e a decrescenza rapida, di purBase essendo infinitesima a ∓∞.di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pera idegli criteri di sommabilit` a, evidentemente (R) ⊂ L1 (R). Inoltre Luigi le Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” AnnoSAccademico 2013-2014 Greco Dipartimento derivate di una funzione a decrescenza rapida sono anch’esse a decrescenza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi come pure il prodotto di una funzione a decrescenzadirapida per un e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicorapida, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e leScienze funzionididiBase S hanno buon comportamento all’infinito e II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolapolinomio. PolitecnicaPoich´ e delle Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ∞ regolarit` a C , in virt` u delle formule fondamentali, lo stesso vale per le loro 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle trasformate Fourier; dunque,“Federico , ∀x ∈ SAccademico . Inoltre si pu` o applicare F [x] ∈ S Scienze di Base Universit` a deglidiStudi di Napoli II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento la formula di antitrasformazione. Pertanto vale il seguente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3.14. La trasformazione di Fourier Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico →S F : eSApplicazioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degliLa Studi di Napoli “Federico `e biunivoca. trasformazione inversa II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”−1Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi F Luigi :S → S Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Caccioppoli” Scuola`e Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico definita nella (1.12). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 4. di LaNapoli trasformata della convoluzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”1 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4.1. Se2013-2014 x, y ∈ L Luigi (R), risulta di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(4.1) Politecnica e delle ScienzeFdi degli [x Base ∗ y] =Universit` . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico F [x] · Fa [y] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 168 X. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Dim. Osserviamo che, ∀ω ∈ R, risulta Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z +∞ Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi −j ω t ωt x(τ ) y(t − τ ) dτStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∗ y(t) =die−j Caccioppoli” Scuola Politecnica eedelle xScienze Base Universit` a degli Z +∞ −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = e−j ω τ x(τ ) e−j ω (t−τ ) y(t − τ ) dτ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli −∞ “Federico
II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento
t = e−j ω Scuola x(t) ∗ Politecnica e−j ω t y(t) . e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi ∗ y] l’integrale2013-2014 del primo Luigi membro, la formula (4.1) segue che e Applicazioni “Renato F [xAccademico di Napoli “FedericoEssendo II” Anno Greco Dipartimento di ricordando Matematica l’integrale del prodotto di convoluzione ` e il prodotto degli integrali, cfr. la (VII.1.24): Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z +∞ Z +∞ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico

−j ω t ωt 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di eMatematica “Renato Scuola Politecnica e delle x ∗ y(t) dte =Applicazioni e−j ω t x(t) ∗ e−jCaccioppoli” y(t) dt F [x ∗ y] = −∞ −∞ Z +∞  Z +∞  Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = e−j ω t x(t) dt Scuola · e−j ω t y(t) dt e = · F [y] . di Base Universit` F [x]Scienze di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle a degli Studi −∞ −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESEMPIO 4.2. La trasformata di Λ calcolata nell’esempio 3.8 pu`o essere Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ottenuta anche dalla formula (4.1), ricordando la (VIII.2.2): 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sin ω/2 = F [ΠScuola ∗ Π(t)] Politecnica = . F [Λ](ω) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ω/2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Procedendo formalmente, ricaviamo la trasformata del prodotto dalla Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (4.1), che riscriviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle [x ∗ y] = X Y . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli F “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicando ad ambo i membri la ed usando (1.14),etroviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”FScuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [X Y ] = [ [x ∗ y]] = 2 π x ∗ y(−t) . F F F Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Inoltre F [X] = 2 π x(−t), F [Y ] = 2 π y(−t) e per l’osservazione VII.1.26 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle risulta x(−t) ∗ y(−t) = (x ∗ y)(−t). Pertanto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi ∗ F [Y ] . e delle Scienze di Base Universit` (4.2) F [X] F [X Y ] = Scuola 2 π Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi ` Politecnica da notare aeproposito di questa formula per`oa che Y ∈L 6⇒ “Federico X · Y ∈ II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaE delle Scienze di Base Universit` degliX,Studi di1 (R) Napoli 1 L (R). La (4.2) valedicertamente pere X, Y ∈ S. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli CAPITOLO “Federico II” XI Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Distribuzioni di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Introduzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato questo capitolo ci occupiamo della teoria delle distribuzioni, che dal Caccioppoli” Scuolapunto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di vista matematico nascono dall’esigenza di estendere alcune opera2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zioni Dipartimento fondamentali di dell’analisi, prima fra tutte la “Renato derivazione. Nell’ambito Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento della teoria classica, l’operazione di derivazione non `e sempre possibile; neldi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi l’ambito delle distribuzioni essa pu`o essere effettuata senza restrizioni e risulta Universit` di Napoli “Federicoun’operazione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato continua. Vedremo anche che sar`a possibile effettuare una noCaccioppoli” Scuolatevole Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico estensione della trasformazione di Fourier, rispetto alla definizione data 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nel capitolo X. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” che Anno Accademico trovano 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D’altra parte, bisogna pure“Federico sottolineare le distribuzioni notedi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi voli applicazioni in fisica. La teoria delle distribuzioni permette ad esempio Universit` di Napoli “Federicouna II”trattazione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato rigorosa delle cosiddette funzioni impulsive, che erano gi`a usaCaccioppoli” ScuolatePolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico in fisica in maniera piuttosto empirica. Il prototipo delle funzioni impulsive 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” `e la δDipartimento di Dirac, introdotta in vari modi, pi` u o meno“Renato equivalenti tra loro. Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (a) Essa era definita come la funzione δ(t) su R nulla per t 6= 0 e tale che di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 dt = 1a; degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(1.1) Politecnica e delle Scienze di Base δ(t) Universit` −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicocon II”queste Anno propriet` Accademico `e chiaro che non esiste alcuna funzione a. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (b) Un altro modo di introdurre la δ era come limite di una successione di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico funzioni, ad esempio 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a
degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  Universit`
 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle xn (t) =di n Π(n t) = n u et + 1/(2n) − u“Renato t − 1/(2n) Scienze di Base Universit` a degli Studi ( di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (1.2) 1 Scuola1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi n , se − 2n ≤ t < 2n , = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 , altrimenti. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo che per n → ∞, l’intervallo [−1/(2n), 1/(2n)] si contrae al punto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0. Inoltre, ∀n ∈ N, risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola(1.3) Politecnica e delle Scienze di BasexUniversit` n (t) dt =a1 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 169 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 170 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica di Base Universit` a degli Studi e si desidera “Renato che tale propriet` a valgaScuola anche per δ = limn exndelle , cio`eScienze sia soddisfatta di Napoli “FedericolaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` (1.1). E evidente per` o che la relazione di limite non pu`o essere intesa in Caccioppoli” Scuolasenso Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico puntuale, poich´e in tal caso si ricade nella definizione precedente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 3 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 11 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 64 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (c)aδ(t) veniva introdotta come II” la funzione verificante, 2013-2014 ∀ϕ ∈ C 0 (R), Scienze di Base Universit` degli Studipure di Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico(1.4) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato δ(t) ϕ(t) dt = ϕ(0) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze−∞ di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Mostreremo anche tale propriet` a, conII”il Anno concetto di funzione dell’analisi Scienze di Base Universit` a degliche Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento matematica classica, ` e impossibile. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi delle2013-2014 distribuzioni richiede di cambiare punto di e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”L’introduzione Anno Accademico Luigi Greco dunque Dipartimento di Matematica modificando concetto funzione. L’idea funzione come “Federico legge di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolavista, Politecnica e delleilScienze di di Base Universit` a deglidiStudi di Napoli corrispondenza tra insiemi numerici risulta inadeguato. In effetti, tale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”idea Scuola Politecnica e delle mostraadelle a quando si considerano le funzioni sommabili o localScienze di Base Universit` deglidifficolt` Studi adigi` Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento mente sommabili secondo Lebesgue, che sono definite ea delle menoScienze di un insieme di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi Per una tale funzione x, non `e appropriato di valore e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicotrascurabile. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentoparlare di Matematica in une punto preciso.di Spesso essa figura sotto il segno di integrale, Caccioppoli” Scuolaassunto Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico moltiplicata per una ϕ appartenente ad una classe di funzioni regolari, `e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”edScuola Politecnica e delle determinata dalla azione che in tal modo esercita su ϕ: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(1.5) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ϕ 7→ x(t)Greco ϕ(t) dt . −∞Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Per tal motivo, ϕ viene detta funzione test. Dunque x `e interpretata comeScuola il Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento funzionale lineare definito dalla (1.5) sulla classe delle funzioni test. Questo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi approccio `e analogo al modo di introdurre la δ presentato nel punto (c); `e di Napoli “Federiconecessario II” Anno per` Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato o definire la classe delle funzioni test e precisare quali saranno Caccioppoli” Scuolai funzionali Politecnicalineari e delledaScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico considerare. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2.Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 171 Scuola Politecnica e delle LO SPAZIO DELLE FUNZIONI TEST Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2. Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Lo spazio Scuola delle funzioni test di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Cominciamo introducendo il supporto di una funzione continua. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle DEFINIZIONE 2.1. Sia ϕ : R → C una funzione continua. Il supporto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ϕ, che denoteremo con supp ϕ, `e la chiusura dell’insieme di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato { t ∈ R : ϕ(t) 6= 0 } . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Equivalentemente, ϕ `e il complementare del pi` u grandeCaccioppoli” aperto di R sul 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento supp di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle quale ϕa `edegli identicamente nulla. “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` Studi di Napoli di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Possiamo ora introdurre lo spazio delle funzioni test. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a deglitest, Studi Napoli “Federico DEFINIZIONE 2.2. Lodispazio delle funzioni chediindicheremo con II” Anno Accademico ∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle D = D(R), `e formato dalle funzioni (complesse) di classe C (R) a supporto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento compatto. In particolare, per ogni funzione ϕ ∈ D, esiste un intervallo comdi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi patto [a, b] (dipendente da ϕ) tale che ϕ(t) = 0, ∀t 6∈ [a, b]. D risulta uno Universit` di Napoli “Federicospazio II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato vettoriale (su C) definendo la somma ed il prodotto per uno scalare in Caccioppoli” Scuolasenso Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico puntuale. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 2.3. diLaNapoli funzione Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ( 1 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi e t2 −1Luigi , se − 1 < tDipartimento < 1, di Napoli “Federico(2.1) II” Anno Accademico 2013-2014 Greco di Matematica e Applicazioni “Renato α(t) = , altrimenti Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di0Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento appartiene a D. In effetti, t 7→“Federico e t2 −1 `e indefinitamente derivabile in ] − 1,Luigi 1[ di Matematica e Applicazioni “Renatosono Caccioppoli” Scuola delle Scienze Base Universit` a degli Studi e tutte le derivate infinitesime per tPolitecnica → −1+ e eper t → 1−. di Inoltre di Napoli “Federicochiaramente II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato supp α = [−1, 1]. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico D si introduce nozione die convergenza. (ϕn )Caccioppoli” una successione 2013-2014 Luigi Greco InDipartimento di una Matematica Applicazioni Siano “Renato Scuola Politecnica e delle D in D e aϕ degli ∈ D; si dice di cheNapoli (ϕn ) converge a ϕII” in Anno D e si Accademico scrive ϕn −→2013-2014 ϕ se valgono Scienze di Base Universit` Studi “Federico Luigi Greco Dipartimento le condizioni“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi (k) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (k) (1) per ogni k ∈ N0 , ϕn → ϕ uniformemente su R, cio`e risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (k) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle lim sup |ϕ(k) (t)| = “Renato 0; n (t) − ϕ n t∈R Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base a degli Studi (2) esiste un intervallo compatto [a, b]Politecnica che contiene i supporti di tutte le Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ϕn , n ∈ N, cio`e tale che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ϕn (t) = 0 , ∀te 6∈Applicazioni [a, b] , ∀n ∈ “Renato N. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (k) ` chiaro“Renato E che, se ϕCaccioppoli” appartiene a Scuola D, anche tutte le derivate sonodiinBase D; Universit` di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle ϕ Scienze a degli Studi inoltre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 00 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di supp Base ϕUniversit` supp ϕ ⊇ ⊇ suppaϕdegli ⊇ · ·Studi · . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 172 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3. Le distribuzioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato DEFINIZIONE 3.1. Sididice distribuzione ogni Studi funzionale (o forma) li- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli di Napoli “Federico neare su D che sia continuo rispetto alla convergenza di funzioni test. L’in2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 sieme adelle si denota con D D 0 (R) e si rende2013-2014 uno spazio Scienze di Base Universit` deglidistribuzioni Studi di Napoli “Federico II” = Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento vettoriale definendo la somma e il prodotto per uno scalare in senso puntuale. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Dunque Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato T ∈ D 0 se T : D → C `e lineare, cio`e verifica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e = Applicazioni T (c ϕ + d ψ) c T ϕ + d T ψ“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento per ogni ϕ, ψ“Renato ∈ D e c,Caccioppoli” d ∈ C, ed `e continuo in D, cio`e e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato D ϕn −→ ϕ ⇒ T ϕn → T ϕ in C . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Notiamo che per la linearit` a `e sufficiente verificare la“Renato continuit` a di T in 0, cio` e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D ϕn −→ 0 ⇒ T ϕnPolitecnica → 0 in C .e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Dato T ∈ D 0 , il valore assunto in ϕ ∈ D viene denotato usualmente invece Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che con T (ϕ) mediante il simbolo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` (3.1) a degli Studi di Napoli “Federico hT, ϕiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi chiama crochet o simbolo di Luigi dualit` a. di Napoli “Federicoche II”siAnno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Vediamo eora alcuni esempi fondamentali di distribuzioni. Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 3.2. Ad ogni x ∈ L1loc (R) si associa una distribuzione Tx Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento definita ponendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x(t) ϕ(t) dta, degli ∀ϕ ∈ D . di Napoli “Federico II” Anno Accademico x , ϕi = di Base Caccioppoli” Scuola(3.2) Politecnica e dellehTScienze Universit` Studi −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L’integrale in Studi (3.2) di converge pur essendo x solo localmente Scienze di Base Universit` a degli Napoli assolutamente “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sommabile, poich´ e ϕ ha supporto compatto, cio` e ` e nulla fuori di un intervallo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` Accademico ovvio che Tx2013-2014 `e lineare. Luigi Anche la continuit` a `e molto semplice; se e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicolimitato. II” AnnoE Greco Dipartimento di Matematica D Caccioppoli” ScuolaϕnPolitecnica e delle[a, Scienze Base Universit` a b], degli Napoli “Federico II” Anno Accademico −→ 0, troviamo b] talediche supp ϕn ⊆ [a, ∀n Studi ∈ N, ediquindi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z b Scienze di Base Universit` a degli Studi di |hT Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento |x(t)|Accademico dt x , ϕn i| ≤ sup |ϕn | di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a di Napoli “Federico`e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato infinitesimo poich´e risulta limn sup |ϕn | = 0. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Base Universit` Si mostra che, se x, y ∈ Lloc (R) e risulta Tx = Ty , cio`e hTx , ϕi = hTy , ϕi, 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle ∀ϕ ∈Dipartimento D, risulta pure x(t) = y(t) per q.o. t ∈ R, “Renato cio`e x e Caccioppoli” y sono lo stesso Scienze di Base Universit` a degli 1Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento elemento di Lloc (R) (ricordiamo che funzioni coincidenti q.o. si identificano). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle vale Scienze di Base Universit` a degli Studi Questo permette di identificare TxScuola con x;Politecnica in questo senso, l’inclusione di Napoli “FedericoLII” Anno 1 0 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ⊂ D . Le distribuzioni del tipo Tx , cio`e le funzioni localmente sommabili, Caccioppoli” Scuolasiloc Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dicono distribuzioni regolari. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 173 Scuola Politecnica e delle 3. LE DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatocon Caccioppoli” Politecnica delle Scienze non di Base a degli Studi Come vedremo gli esempi Scuola successivi, esistonoe distribuzioni re- Universit` 0 di Napoli “Federicogolari, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cio`e che non sono funzioni localmente sommabili. Se T ∈ D `e una Caccioppoli” Scuolagenerica Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico distribuzione, T `e un funzionale definito in D e quindi la notazione 2013-2014 Luigi Greco di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle T (t), Dipartimento t ∈ R, non `e corretta. D’altra eparte, in vista del caso delle distribuzioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento regolari, che sono effettivamente delle funzioni di variabile reale, spesso con di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi abuso di notazioni la distribuzione si denota anche con T (t); questo permet- Universit` di Napoli “Federicoter` II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a come vedremo di indicare in maniera semplice alcune operazioni sulle Caccioppoli” Scuoladistribuzioni. Politecnica e Sempre delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico con abuso di notazioni, il valore di T su ϕ si indica 2013-2014 Luigi Greco Matematica pure Dipartimento con l’integrale,dicio` e si scrive e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Z +∞II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi T (t) ϕ(t) dt ,e delle Scienze di Base Universit` hT (t), ϕ(t)i = −∞Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Caccioppoli” Scuolapur Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico non essendo in generale T definita mediante integrale. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 3.3. diLaNapoli distribuzione δ di impulso unitario concenScienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II”Dirac, AnnooAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento trato in 0, ` e definita ponendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(3.3) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato hδ, ϕi = ϕ(0) , Greco ∀ϕ ∈Dipartimento D. Caccioppoli” ScuolaMostriamo Politecnica delle Scienze di Baseregolare, Universit` degli Studilocalmente di Napolisommabile. “Federico II” Anno Accademico che δe non ` e una distribuzione cio` eauna funzione Ragionando per assurdo, che eesista δ ∈ L1loc tale“Renato che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di supponiamo Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di NapoliZ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento hδ(t), ϕ(t)i = δ(t) ϕ(t) dt = ϕ(0) , ∀ϕ ∈ D . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −∞ di Napoli “FedericoPonendo II” Anno Accademico Matematica in tale uguaglianza2013-2014 ϕ(t) = α(n Luigi t), n ∈Greco N, doveDipartimento α` e la funzionedidefinita in (2.1), e Applicazioni “Renato in tal caso suppScienze ϕ = [−1/n, max |ϕ| = ϕ(0) = 1/Studi e, ricaviamo Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica e delle di 1/n] Basee Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z 1/n 1 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = |hδ(t), ϕ(t)i| ≤ |δ(t)| dt e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico eII”−1/n Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e l’integrale nell’ultimo tende a zero per n → ∞. di Matematica e Applicazioni “Renatomembro Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a∈C `e uno scalare, chiaramente di Napoli “Federico II”Se Anno Accademico 2013-2014 Luigi `eGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di = Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico ha δ, ϕi a ϕ(0) , ∀ϕ ∈ D Studi . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La distribuzione a δ si impulso di areaII” a (concentrato in 0); se a ∈ R, essa Scienze di Base Universit` a degli Studi didice Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento si rappresenta graficamente con un segmento orientato uscente dall’origine, di Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi lunghezza |a| orientato verso l’alto se a > 0 e verso il basso se a < 0. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a > 0 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a < 0 Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentoa di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 3.4.diLaNapoli distribuzione principale di 1/t, che si denota Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federicovalor II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con v.p. 1/t,“Renato `e definitaCaccioppoli” da di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi   ZLuigi +∞ Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 1 ϕ(t) v.p.Scienze , ϕ =div.p. dt , ∀ϕ ∈ D Caccioppoli” Scuola(3.4) Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi di .Napoli “Federico II” Anno Accademico t t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica −∞ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 174 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dellenelScienze di valor Base Universit` a degli Studi La funzione test ϕ ∈ DCaccioppoli” ` e nulla intornoScuola a ∓∞; Politecnica l’integrale ` e einteso senso del poich´ e, se ϕ(0) 6= 2013-2014 0, l’integrando ` e infinito in 0. Dunque di Napoli “Federicoprincipale II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞  Z Z ϕ(t) di Base Universit` ϕ(t)a degli −ε ϕ(t)di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle+∞ Scienze Studi v.p. dt = lim dt + dt . ε→0+ e Applicazioni t t t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento−∞ di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ε −∞ Mutando in −t,Studi l’ultimo a secondo membro si trasforma in un 2013-2014 integrale esteso Scienze di Base Universit` a tdegli di integrale Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento all’intervallo [ε, +∞[, quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Z +∞ Z +∞ ϕ(t) ϕ(t) − ϕ(−t) ϕ(t) − di ϕ(−t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato v.p. dt = lim dt = dt . ε→0+ t t −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diεBase Universit` a degli0 Studi di tNapoli “Federico II” Anno Accademico Per l’ultima uguaglianza, ` e sufficiente osservare che l’integrando ` e convergente per t → 0, 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle cio` e haDipartimento una discontinuit` a eliminabile, essendo ϕ derivabile in“Renato 0:   Scienze di Base Universit` a degli ϕ(t) Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento − ϕ(−t) ϕ(t) − ϕ(0) ϕ(−t) − ϕ(0) 0 lim = lim + = 2ϕ (0) . di Matematica e Applicazionit→0 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi t→0 t t −t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4. Matematica Operazioniesulle distribuzioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Introduciamo alcune operazioni sulle distribuzioni. Per diverse di queste, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi ad esempio la traslazione, la definizione `e perfettamente chiara nel caso delle Universit` di Napoli “Federicofunzioni, II” Annoperch´ Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e `e data in senso puntuale; per estendere la definizione alle Caccioppoli” Scuoladistribuzioni Politecnica in e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico generale, seguiremo il caso delle funzioni come guida. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle • Traslazione. x localmente t0 ∈ R; anche il segnale Scienze di Base Universit` a degli StudiSiano di Napoli “Federicosommabile II” Anno eAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento traslato t → 7 x(t − t ) ` e localmente sommabile, quindi una distribuzione. 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Con Base Universit` a degli Studi di variabile, per un’arbitraria ∈ D abbiamodi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericounII”cambiamento Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco ϕ Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diZ Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ Universit` hx(t − t0 ), = x(t − t0 ) ϕ(t) dt “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diϕ(t)i Matematica e Applicazioni −∞ (4.1) a degli Studi di NapoliZ“Federico Scienze di Base Universit` II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delleϕ(t Scienze a degli Studi = x(t) ϕ(tPolitecnica + t0 ) dt = hx(t), + t0 )i .di Base Universit` −∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” ScuolaDunque, Politecnica e dellediScienze Base Universit` Studi Napoli “Federico il valore x(t − tdi e pariaaldegli valore di di x(t) su ϕ(t + t0 ). II” Anno Accademico 0 ) su ϕ(t) ` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Questa definizione si estende subito al caso di una distribuzione qualsiasi Scuola T; Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento indicheremo con T (t − t0 ) la distribuzione traslata, che `e definita ponendo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(4.2) II” Anno Accademico Greco hT (t − t0 ),2013-2014 ϕ(t)i = hTLuigi (t), ϕ(t + t0 )iDipartimento , ∀ϕ ∈ Ddi . Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` chiaro E che t 7→ ϕ(t t0 ) `e una funzione test e il “Renato secondo membro di (4.2) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di +Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle definisce una distribuzione. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Si apprezza nella (4.2) l’utilit` a dell’abuso di notazioni T (t),ee delle analogamente (t −Base t0 ). Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica ScienzeT di a degli Studi che, Accademico per introdurre l’operazione traslazione le distribuzioni,ditale operazione ` e e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoNotiamo II” Anno 2013-2014 di Luigi Grecoper Dipartimento Matematica ` Base scaricata sulla funzione test.diE questoUniversit` un modo di che di useremo spessissimo. Caccioppoli” Scuolastata Politecnica e delle Scienze a procedere degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico esempio, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Ad Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento hδ(t Caccioppoli” − t0 ), ϕ(t)i = Scuola hδ(t), ϕ(t + t0 )i = ϕ(t 0 ) . Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “FedericoLaII”distribuzione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato δ(t − t0 ) si chiama impulso unitario concentrato in t0 ed `e Caccioppoli” Scuolasuscettibile Politecnicadie una dellerappresentazione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico grafica analoga alla δ: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di4. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 175 Scuola Politecnica e delle OPERAZIONI SULLE DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t0 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi Una distribuzione T si dice periodica di periodo τ e>delle 0 se verifica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (t + τUniversit` ) = T (t)a. degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diTBase 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentoregolare di Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Una distribuzione x = Tx `eeperiodica se e solo se lo `eCaccioppoli” come funzione. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento • Riscalamento e riflessione. Dati un segnale localmente sommabile xLuigi e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi a ∈ R − {0}, anche il segnale t 7→ x(a t) `e localmente sommabile, quindi una di Napoli “Federicodistribuzione II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e risulta per ϕ ∈ D Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e ϕ(t) Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x(a t) dt hx(a t), ϕ(t)i = −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento      Z (4.3) +∞ 1 1 Scienze t t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi = dt = x(t), ϕ . x(t) ϕ |a| −∞ Luigi Greco a |a| di Matematica a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaSePolitecnica e delle Scienze Base Universit` di Napoli T `e una distribuzione, il di riscalamento T (aat)degli `e la Studi distribuzione che“Federico a ϕ(t) II” Anno Accademico 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle associa il valore di Tdisulla funzione etest ϕ(t/a): |a| Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli“Federico II”  Anno  Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t 1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e∀ϕ delle di Base Universit` a degli Studi ϕ , ∈ DScienze . (4.4) hT (a t), ϕ(t)i = T (t), |a| Greco a Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Caccioppoli” ScuolaAd Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico esempio, e delle Scienze di Base Universit` 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni hδ(a t), ϕ(t)i = ϕ(0) . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle |a| Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola] se Politecnica a degli Studi Una distribuzione T si dice pari [dispari verifica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato T (−t) = T (t) , [T (−t) = −T (t)] . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ad esempio, δ `e pari; 1/t `e dispari. Una distribuzione x = TxScuola `e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di v.p. Matematica e Applicazioni “Renatoregolare Caccioppoli” Politecnica e delle pari o dispari se e solo se ` e tale come funzione. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESERCIZIO 4.1.Caccioppoli” Verificare che, ∀a ∈Politecnica R \ {0}, ∀te0 ∈ R, risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 δ(atdi − Base t0 ) =Universit` δ(t −at0degli /a) . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze |a| 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico Greco Dipartimento • Prodotto per di unaNapoli funzione. Date II” α ∈Anno C ∞ Accademico e T ∈ D 0 , si2013-2014 definisce Luigi la di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi distribuzione“Renato α T prodotto di α perScuola T ponendo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (4.5) hα T, ϕi = hT, α ϕi , ∀ϕ ∈ D . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ; Notiamo che se ϕ `ediuna funzione etest, tale `e pure α ϕ, essendo α ∈ C∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle D D Scienze di Base Universit` Studi Napoli “Federico II”αAnno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento inoltreasedegli ϕn − → ϕ, di risulta pure α ϕn −→ ϕ, quindi il secondo membro Luigi di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi (4.5) definisce effettivamente una distribuzione. Fondamentale `e la propriet` a Universit` di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico Dipartimento campionamento della 2013-2014 δ, espressaLuigi dallaGreco formula seguente: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(4.6) Politecnica e delle Scienze di − Base a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico α(t) δ(t t0 ) Universit` = α(t0 ) δ(t − t0 )Studi . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 176 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi A primo membro figura il prodotto Scuola della funzione α pere l’impulso concentrato di Napoli “FedericoinII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t0 ∈ R, mentre a secondo membro compare il prodotto dell’impulso per la Caccioppoli” Scuolacostante Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico α(t0 ). Ad esempio 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sin t aδ(t) = 0Studi , sinNapoli t δ(t + π/2) = sin(−π/2) δ(tAccademico + π/2) = −δ(t + π/2) .Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` degli di “Federico II” Anno 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Limite e serie. Siano (Tn ) Luigi una successione di distribuzioni e T una e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”•Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica dice che T di `e Base il limite di (Tna),degli o cheStudi (Tn )diconverge a T nel II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladistribuzione. Politecnica e Si delle Scienze Universit` Napoli “Federico D0 2013-2014 Luigi Greco di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sensoDipartimento delle distribuzioni, e si scrive eTnApplicazioni −→ T , se risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento hT, ϕi = limhTScuola ∀ϕ ∈ D e. delle Scienze di Base Universit` n , ϕi , Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In altri termini, (T ) converge a T puntualmente su D. Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellen Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Mostriamo che la successione (x ) di distribuzioni regolari definite in (1.2) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ne Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle converge a δ nel senso delle distribuzioni; dunque questa `e la corretta nozione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di limite da usare nel punto (b) del paragrafo 1. Per il teorema della media, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z 1/(2n) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato hxn , ϕi = ϕ(t) dt = ϕ(tStudi n) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dinBase Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1/(2n) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle con −1/(2n) tn ≤ di 1/(2n), la continuit` a di ϕ in 0. Scienze di Base Universit` a degli≤Studi Napolie passiamo “Federico al II”limite Annoper Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento P 0 Si dice che T `e laCaccioppoli” somma della Scuola serie Politecnica T in D e si scrive di Matematica e Applicazioni “Renato delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeTdi=Base TUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico in D , n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento se risulta “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi +∞ X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato hTn , ϕi , ∀ϕ ∈ D . hT, ϕi = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di n=1 Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Anche in questo caso la convergenza `e puntuale su D; equivalentemente, la Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento successione delle somme parziali converge in D 0 . Un esempio importante di di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi distribuzione definita mediante una serie `e il treno di impulsi ; dato τ > 0, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato poniamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di MatematicaX e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (4.7) a degli Studi di Napoli sτ = δ(tII” −n τ ) . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` “Federico Anno n=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoEvidentemente II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato si tratta di una distribuzione periodica di periodo τ . Per ogni Caccioppoli” Scuolaϕ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∈ D, risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno hsτ ,“Federico ϕi = ϕ(n τ ) , Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi n=−∞ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “FedericolaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato serie essendo in realt` a una somma finita, poich`e per |n| grande risulta Caccioppoli” Scuolan Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico τ 6∈ supp ϕ. Pi` u in generale, data una qualsiasi successione (cn )n∈Z di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di4. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 177 Scuola Politecnica e delle OPERAZIONI SULLE DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi numeri complessi, possiamo definireScuola la distribuzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Basec Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n δ(t − n τ ) . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica n=−∞ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Ad esempio, dato il segnale continuo α, definiamo il campionamento con passo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi τ > 0: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ X X Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi α(t) δ(tdi− Base n τ) = α(n τ ) δ(t − n τdi) .Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n=−∞ n=−∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento • Convoluzione. Supporto di una distribuzione. Sia Ω ⊂ R 2013-2014 un aperto; Luigi si 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dice che la distribuzione T ∈ D `e nulla in Ω se risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ϕ ∈ D , supp ϕ ⊂ Ω ⇒ hT, ϕi = 0 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Se x Dipartimento ∈ Lloc , la distribuzione regolare Tx `e nulla “Renato su Ω se eCaccioppoli” solo se risulta 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle x(t) = a0,degli per q.o. t ∈diΩ.Napoli Si dice che due II” distribuzioni T1 e T2 sono uguali Luigi in Scienze di Base Universit` Studi “Federico Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Ω se T1 − T2“Renato `e nulla in Ω. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi complementare pi` u grande aperto in cui T `e nulla sididice supporto e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”IlAnno Accademicodel2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica distribuzione . Ad esempio, e nulla inaΩdegli = R−{0}, quindi il supporto Caccioppoli” Scuoladella Politecnica e delleT Scienze di Baseδ `Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e compatto: supp δdi=Matematica {0}. Se T = Tx , con x continua, supporto di T x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “RenatoilCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle coincide con supp x nella definizione 2.1. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato4.2. Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica di Base a degli Studi Osservazione Si pu`o parlare supporto die delle una xScienze ∈ L1loc (R). Il Universit` di Napoli “Federicosupporto II” Annonon Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cambia modificando x su un insieme trascurabile. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4.3. Se T ∈ De0 ha supporto compatto, si pu`o definire 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∞ hT, ϕi aper ϕ ∈Studi C , non necessariamente a supporto compatto. A tale scopo, Scienze di Base Universit` degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento scegliamo ψ “Renato ∈ D tale Caccioppoli” che ψ ≡ 1 in Scuola un aperto contenente suppScienze T , e poniamo di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(4.8) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato hT, ϕi = hT, ψ ϕi . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Si verifica che l’espressione non dipende da ψ. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli di “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Definiamo ora il di prodotto convoluzione tra distribuzioni. Cominciamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Base Universit` a degli Studi dal caso delle funzioni. Sappiamo che se x,Politecnica y ∈ L1 , risulta x ∗ yScienze ∈ L1 e di quindi di Napoli “Federicopu` II” Anno interpretata Accademico come 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato o essere distribuzione: Z +∞a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeZdi+∞ Base Universit` hx ∗ y, = ϕ(t) x(s) y(t − s) dsCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ϕi Matematica e dt Applicazioni “Renato −∞ −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z +∞ ScuolaZ Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ di Napoli “Federico(4.9) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento = x(s) ds Grecoy(r) ϕ(r + s) dr di Matematica e Applicazioni “Renato −∞Base Universit` −∞ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di D E “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni = x(s), hy(r), ϕ(r s)i .Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”+Anno di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Notiamo che“Renato la funzione ψ : s 7→ hy(r), ϕ(r+s)i `e di classe C ∞ , ma, in generale, di Napoli “Federiconon II” `eAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a supporto compatto, quindi non appartiene a D. Per tal motivo la Caccioppoli” Scuolaformula Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (4.9) non pu` o essere generalizzata al caso delle distribuzioni. D’altra 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 178 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuolaψ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi parte, ψ ha “Renato supportoCaccioppoli” compatto, quindi ∈ D, se y ha supporto compatto. di Napoli “FedericoLaII”(4.9) Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato suggerisce allora di definire la convoluzione di due distribuzioni T ∗ S, Caccioppoli” Scuolacon Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico S a supporto compatto, mediante la formula E Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica De Applicazioni “Renato (4.10) a degli Studi hT ∗diS(t), ϕ(t)i = T (s),II” hS(r), ϕ(rAccademico + s)i . Scienze di Base Universit` Napoli “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi In effetti, s 7→ hS(r), ϕ(r + s)i `e una funzione test. Per l’osservazione 4.3, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato T ∗ S pu` o essere definita mediante (4.10) anche se T ha supporto compatto. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Inoltre T ∗ S = S ∗ T . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 4.4. diLaNapoli δ `e l’unit` a del prodotto di Accademico convoluzione,2013-2014 cio`e risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (4.11) T ∗δ =T , ∀T ∈ D 0 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato osservare che, Scienze ∀ϕ ∈ D,dirisulta Caccioppoli” ScuolaBasta Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  Applicazioni  2013-2014 Luigi Greco Dipartimentohδ(r), di Matematica e “Renato ϕ(r + s)i = ϕ(r + s) r=0 = ϕ(s) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pi` u in generale, si verificano le formule di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X − n τ “Federico ). ∗ δ(tScienze − t0 ) =diTBase (t − tUniversit` Ta∗degli sτ =Studi diT (t Caccioppoli” Scuola(4.12) PolitecnicaT e(t)delle Napoli II” Anno Accademico 0) , n=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 4.5. Se T ∈ D e ψ ∈ D, oppure T ∈ D 0 ha supporto com∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi patto e ψ ∈ C , la convoluzione T ∗ ψ = ψ ∗ T `e la funzione di classe C ∞ Universit` di Napoli “Federicodefinita II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato da Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t ∈ R 7→ hT (τ ), ψ(t − τ )i . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 ESEMPIO 4.6. diSeNapoli S ∈ D “Federico ha supporto compatto, vale l’implicazione Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi D0 D0 Tn −→ T ⇒Luigi TGreco →T ∗S. n∗S − di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Scienze di Base Universit` a degli di derivata Napoli “Federico 4.1. Derivata distribuzioni. Data T ∈ D 0 ,Studi si dice di T , e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni si indica con T 0 , la distribuzione definita ponendo “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.13) hT 0 , ϕi = −hT, ϕ0 i , ∀ϕ ∈ D . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 ϕ ∈ D 2013-2014 e l’espressione secondo membro `e continua su D, e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoEvidentemente II” Anno Accademico LuigiaGreco Dipartimento di Matematica definisce effettivamente NelStudi caso di in Napoli cui T =“Federico Tx = x II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaquindi Politecnica e delle Scienze di una Basedistribuzione. Universit` a degli `e unaDipartimento distribuzione diregolare con x ediApplicazioni classe C 1 , o “Renato pi` u in generale assoluta2013-2014 Luigi Greco Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle mente acontinua (sugli compatti), (4.13)Accademico si riduce alla formula Luigi di Scienze di Base Universit` degli Studi di intervalli Napoli “Federico II”laAnno 2013-2014 Greco Dipartimento integrazione“Renato per parti:Caccioppoli” con T 0 = x0 ,Scuola risultaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi Z +∞ 2013-2014 Luigi ZGreco di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (t)di ϕ(t) dt = − ϕ0Studi (t) dt ,di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` ax(t) degli −∞ −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle essendoa ϕ nulla intorno a ∓∞.“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze Base Universit` a degli Studi PROPOSIZIONE 4.7. Se TxScuola `e una Politecnica distribuzione regolare con xdiassodi Napoli “Federicolutamente II” Anno continua Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sugli intervalli compatti di R, la derivata nel senso delle Caccioppoli” Scuoladistribuzioni Politecnica coincide e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 con la derivata ordinaria, cio`e risulta Tx = Tx0 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di4. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 179 Scuola Politecnica e delle OPERAZIONI SULLE DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Mostriamo che δ Caccioppoli” `e la derivata distribuzionale del gradino: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 = δ. Caccioppoli” Scuola(4.14) Politecnica e delle Scienze di Baseu Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In base alla definizione (4.13), ∀ϕ ∈eD, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  Accademico +∞ 0 ϕ(0)Scienze = hδ, ϕidi. Base Universit` ϕScuola (t) dt =Politecnica − ϕ(t) 0 e =delle hu0 , ϕi “Renato = −hu, ϕ0Caccioppoli” i=− di Matematica e Applicazioni a degli Studi 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Osservazione 4.8. Il gradino u(t) ` e dotato di derivata ordinaria Du (limite puntuale Caccioppoli” ScuoladelPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico rapporto incrementale) nulla in ogni punto t 6= 0: Du(t) = 0, ∀t 6= 0. Dalla derivata 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica “Renato Scuola Politecnica e delle ordinaria, che ` e dunquedidefinita q.o., none` e Applicazioni possibile ricostruire la u(t);Caccioppoli” ` e possibile invece mostrare che u` eStudi determinata dalla “Federico (4.14) a meno diAnno una costante additiva,2013-2014 cio` e se x0 =Luigi δ Scienze di Base Universit` a degli di Napoli II” Accademico Greco Dipartimento in D 0 , risulta x = u + c, con c costante. In questo senso, quella distribuzionale ` e la “giusta” di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nozione di derivata. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La (4.14) emostra che in corrispondenza della discontinuit` di u in“Federico 0, nella II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diaNapoli derivazione compare un impulso concentrato in tale punto, di area 1, pari Scuola al 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle salto di discontinuit` a ; questo vale pi` u in generale. Consideriamo una funzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x per la quale ogni intervallo compatto [a, b]Politecnica si possa decomporre in un numero di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi finito di intervalli [t , t ], a due a due privi di punti interni comuni, sui e Applicazioni “Renato k k+1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica x sia assolutamente continua opportunamente i valori negli II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaquali Politecnica e delle Scienze di Base(ridefinendo Universit` a degli Studi di Napoli “Federico estremi): una tale funzione ha solo discontinuit` a di I specie, in numero finito 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle o un’infinit` a numerabile, ma priva di punti accumulazione al 2013-2014 finito; inoltre Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”diAnno Accademico Luigi Greco Dipartimento ` e derivabile (in senso ordinario) q.o. con derivata Dx localmente sommabile. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”PROPOSIZIONE Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 4.9. La derivata distribuzionale x0 di xdi`eMatematica somma del- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolalaPolitecnica e delle Scienze Base Universit` a degli “Federico derivata ordinaria Dx eddiimpulsi concentrati neiStudi puntididiNapoli discontinuit` a, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ciascuno con area pari al salto di discontinuit` a: X Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.15) x = Dx(t) + x(tk −)] δ(t e−delle tk ) . Scienze di Base Universit` k +) −Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”[x(t Scuola a degli Studi k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` sufficiente Caccioppoli” ScuolaDim. Politecnica e delle Scienzeildicaso Base Universit` a degli Studi di Napoli per “Federico E considerare di un’unica discontinuit` a t0 ; integrando parti, II” Anno Accademico ∀ϕ ∈ D, abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ZMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z t0 Z +∞ +∞ 0 a degli Studi 0 0 0 0 Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 hx , ϕi = −hx, ϕ i = − x(t) ϕ (t) dt = − x(t) ϕ (t) dt − x(t) ϕ (t) dt Luigi Greco Dipartimento −∞Z −∞ t0 Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi Z t0 +∞ 0 = −[x(t) ϕ(t)]t−∞ + Dx(t) ϕ(t) dtGreco − [x(t)Dipartimento ϕ(t)]+∞ + ϕ(t) dt di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi diDx(t) Matematica e Applicazioni “Renato t0 0 Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze−∞ di Base Universit` a degli Studi tdi Napoli “Federico II” Anno Accademico = [x(t +) − x(t −)] ϕ(t ) + Dx(t) ϕ(t) dt . 0 0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica−∞ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 4.10. Dato a > 0, calcoliamo la derivata del segnale di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ( di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 1 , se − a < tdi a. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Il segnale `e discontinuo in ∓a, con salti diII” discontinuit` a ±1; inoltre la derivata Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ordinaria ` e nulla q.o., quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (t) = δ(tLuigi + a) − δ(t −Dipartimento a) . Caccioppoli” ScuolaGraficamente: Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 180 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a Scienze di Base Universit` a degli Studi 1di Napoli “Federico−a II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 −a Dipartimento di Matematica ae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco u(t + a)di−Napoli u(t − a)“Federico II” Anno x0 (t) = δ(t + a) − δ(t2013-2014 − a) Scienze di Base Universit` a x(t) degli= Studi Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4.11. Calcoliamo derivata segnale di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 la Luigi GrecodelDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ( a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` sin t , per 0 < t π/2. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Il segnale `e “Renato discontinuo in π/2, con saltoPolitecnica di discontinuit` a −1; la derivata di Napoli “Federicoordinaria II” Anno`e Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` ( a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos t , per 0 π/2. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoGraficamente: II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle π 2 Scienze di Base Universit` a degli Studiπ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato     x(t) = e sindelle t u(t) Scienze − u(t − π/2) x0 (t) =acos t u(t)Studi − u(t −diπ/2) − δ(t − π/2) Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` degli Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a deglileStudi di Napoli II”a Anno Valgono seguenti formule“Federico (identiche quelle Accademico nel caso delle2013-2014 funzioni):Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 0 (α T ) = 2013-2014 α0 T + α T Luigi , (T (at)) = a T 0 (at) . di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento la prima, abbiamo, ∈ D, di Base Universit` Caccioppoli” ScuolaPer Politecnica e delle ∀ϕ Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 h(α T )0 , ϕidi = −hα T, ϕ0 i = −hT, (α ϕ)0 − α0 ϕi =“Renato hα0 T + α TCaccioppoli” , ϕi . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Per la seconda, abbiamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi h(T (at))0 , ϕ(t)i = −hT (at), ϕ0 (t)i = − Scuola hT (t), ϕ (t/a)i |a|  2013-2014 Luigi  Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 d 1 = − Scienze T (t), di [a ϕ(t/a)] = ha T 0 (t), ϕ(t/a)i = ha T 0 (at), ϕ(t)i . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle |a| dt Base Universit` |a| a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Per Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle quanto riguarda la derivataedella convoluzione, vale Caccioppoli” la formula Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.16) (T ∗ S)0 =Scuola T ∗ S 0 Politecnica = T 0 ∗ S . e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “FedericoInII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 0 0 particolare, T ∗ δ = (T ∗ δ) = T e (se definita) la convoluzione T ∗ u `e Caccioppoli” Scuolaprimitiva Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 0 di T : (T ∗ u) = T ∗ u = T ∗ δ = T . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 181 Scuola Politecnica e delle 5. δ-SUCCESSIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato`e un’operazione Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi La derivazione continua in D 0 : e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X X D0 D0 0 Caccioppoli” Scuola(4.17) PolitecnicaTen delle Base II” Anno Accademico −→ TScienze ⇒ Tn0di−→ T 0 ,Universit` T =a degli Tn Studi ⇒ Tdi =Napoli Tn0“Federico . n n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 4.12 (Formula di Poisson). Sia x il segnale periodico di pedi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi riodo τ > 0 che vale x(t) = t per 0 < t < τ , considerato nell’esempio VIII.3.8. Universit` di Napoli “FedericoRicordiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato lo sviluppo in serie di Fourier; posto ω0 = 2 π/τ , risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 1 τ t 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (4.18)Dipartimento di Matematica x(t) = +ej Applicazioni ejkω0 “Renato 2 k ω0Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” k6=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 0 di Base Universit` a degli Studi su2013-2014 ogni intervallo e quindi anche D . Deri- e Applicazioni “Renato di Napoli “Federiconel II”senso Annodell’energia Accademico Luigi limitato Greco Dipartimento di in Matematica nel senso delleScienze distribuzioni. La derivata ordinaria di Napoli x `e Dx(t) = 1, II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaviamo Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di “Federico per t = 6 k τ , k ∈ Z; in questi punti x ` e discontinuo, con salto di discontinuit` a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −τ . Pertanto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X X δ(t − k τ ) Greco = − Dipartimento ejkω0 t . 1 − τ2013-2014 di Napoli “Federico(4.19) II” Anno Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato k=−∞ 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` ak6=degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osservando che il primo addendo a primo membro `e il termine escluso nella Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sommatoria a secondo membro (per k = 0), da (4.19) otteniamo l’uguaglianza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ +∞ X X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ejkω0 t , δ(t − k τ ) = (4.20) τ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k=−∞ k=−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che prende il nome Poisson.II” Ricordando la definizione (4.7) del Scienze di Base Universit` a degli Studididiformula Napoli di “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento treno di impulsi, la (4.20) si riscriveScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ X 1 Universit` jkω t 0 degli Caccioppoli” Scuola(4.21) Politecnica e delle Scienze di Base a Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sτ = e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicaτ ek=−∞ Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e si pu` o interpretare come lo sviluppo in serie di Fourier del treno di impulsi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (ck = 1/τ , ∀k ∈ Z). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sono Scienze di Base Universit` a deglilaStudi di Napoli Le distribuzioni indefinitamente derivabili; derivata n-sima“Federico di T ∈ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco D 0 `e Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.22) hT (n) , ϕi = (−1)nScuola hT, ϕ(n)Politecnica i, ∀ϕ ∈e D . Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” delle a degli Studi di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4.13. Per ogni n ∈Luigi N, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (n) hδ (n) , ϕi = (−1)en ϕ (0) , ∀ϕ “Renato ∈D. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 5. δ-successioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Come Anno abbiamo Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato osservato, δ `e il limite nel senso delle distribuzioni della Caccioppoli” Scuolasuccessione Politecnicadie funzioni delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (n Π(n t)). Questo `e un caso particolare del seguente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 182 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica +∞ e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 TEOREMA 5.1. Se x ∈ L ` e integrabile con x(t)di dt Matematica = 1, risulta e Applicazioni “Renato loc Luigi Greco Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 D 2013-2014 Luigi Greco “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (5.1) Dipartimento di Matematica n x(ne t)Applicazioni −→ δ . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dim. Consideriamo le primitive di n x(nScuola t); poniamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato F (t) = x(τ ) dτ −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e Fn (t)Dipartimento = F (n t), ∀n ∈ N, ∈ R; le Fn sono assolutamente continue sugli intervalli limitati 2013-2014 Luigi Greco di ∀t Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e Fn0 (t) = n x(n t). Inoltre risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z −∞  di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  x(t) dt = 0 , se t < 0 ,  lim Fn2013-2014 (t) = Z−∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n  +∞ Base Universit` x(t) dt = 1a, degli se t > Studi 0, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ 2013-2014 Luigi Greco di per Matematica ee Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ovveroDipartimento limn Fn (t) = u(t), t 6= 0. Poich´ supR |Fn | = sup“Renato R |F |, le Fn sono equilimitate. Scienze di Base Universit` a degli di mediante Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pertanto, fissataStudi ϕ ∈ D, il teorema II” di Lebesgue della convergenza dominata otteniamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno lim Accademico Dipartimento diϕiMatematica e Applicazioni “Renato hFn , ϕi = lim2013-2014 Fn (t)Luigi ϕ(t) dtGreco = u(t) ϕ(t) dt = hu, , n n −∞ −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 D cio` e FDipartimento derivare, ricordando la (4.14), e “Renato usare la continuit` a dell’opera2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle n −→ u. Basta allora zione diaderivazione: la (5.1) ` e precisamente la convergenza delle derivate in2013-2014 D 0. Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 5.2. Ricordando (VII.1.18) e l’esempio VII.2.19, otteniamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato le seguenti relazioni di limite: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2 −n t 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle n di Matematica sin n tCaccioppoli” n e D0 D D0 √ II”−→ δ , Accademico −Napoli → δ , “Federico −→ δ. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 2 π (1 + n t ) πt π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi detto negli esempi 4.5 eLuigi 4.6, Greco vediamo che qualsiasi di Napoli “FedericoDa II”quanto Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di distribuzione Matematica e Applicazioni “Renato pu` o essere eapprossimata delleUniversit` funzioni.a Se x ∈Studi D nel 5.1 (ad II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaT Politecnica delle Scienzecon di Base degli di teorema Napoli “Federico esempio, x multiplo di α definita in (2.1)), le T = T ∗ n x(nt) sono funzioni n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 0e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di classe C ∞ che tendono a T in D. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 6. Distribuzioni temperate. di Fourier di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 LuigiTrasformazione Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ci occupiamo ora di estendere la trasformazione di Fourier alle distribu2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zioni. Definiremo la trasformata di Fourier in un sottospazio di D 0 , lo spazio Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento delle distribuzioni temperate, che si costruisce scegliendo come funzioni test le di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi funzioni a decrescenza rapida introdotte nel paragrafo X.3.1, procedendo esatdi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco0 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato tamente come abbiamo fatto per introdurre D a partire da D. Introduciamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico una nozione di convergenza nello spazio S . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di6.1. Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento DEFINIZIONE Siano (ϕn ) unaII”successione in S e ϕ2013-2014 ∈ S ; si dice S di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi che (ϕn ) converge a ϕ in S e si scrive ϕn −→ ϕ se, ∀k, p ∈ N0 , risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato p (k) t Base = Studi lim supdi [ϕn Universit` (t) − ϕ(k)a(t)] 0. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico n t∈R 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 183 Scuola Politecnica e delle 6. DISTRIBUZIONI TEMPERATE. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato temperata Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di .Base a degli Studi Si dice distribuzione ogni funzionale linearee edelle continuo su S Lo Universit` 0 di Napoli “Federicospazio II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato delle distribuzioni temperate si denota con S . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico chediD Matematica `e un sottospazio di S ; inoltre la convergenza in DScuola `e 2013-2014 Luigi Greco Osserviamo Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle pi` u forte di quella , cio`e, “Federico se (ϕn ) `e II” unaAnno successione in D e2013-2014 ϕ ∈ D, vale Scienze di Base Universit` a degli StudiindiSNapoli Accademico Luigi Greco Dipartimento l’implicazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato D S ϕn − ϕ Universit` ⇒ ϕn − ϕ . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(6.1) Politecnica e delle Scienze di→Base a→ degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Ne segue che, se T ∈ S 0 , la sua restrizione a D `e lineare e continua su D, Scienze di Base Universit` a degli Studi 0di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento cio`e appartiene a D . Inoltre si mostra che, se T, S ∈ S 0 , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(6.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato hT, ϕi = hS, ϕi , ∀ϕ ∈ D ⇒ hT, ϕi = hS, ϕi , ∀ϕ ∈ S . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto ogni distribuzione temperata T ∈ S 0 `e“Renato identificabile con la sua 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle restrizione a D, quindi una distribuzione in Anno D 0 . Equivalentemente, le distriScienze di Base Universit` a degli Studi di `eNapoli “Federico II” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento buzioni temperate sono gli elementiScuola di D 0 Politecnica prolungabilie adelle S come funzionali di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicocontinui. II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 6.2. Non tutte le distribuzioni regolari, cio`e le funzioni L1 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” loc Scuola Politecnica e delle sono distribuzioni temperate: `e necessario un controllo sul comportamento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento all’infinito; ad esempio, non individua una distribuzione temperata et . Sono di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi invece distribuzioni temperate le funzioni L1 (con la posizione (3.2)), L2 e pi` u di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in generale Lp con 1 ≤ p ≤ ∞. Individua una distribuzione temperata ogni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzione x(t) per la quale esiste p > 0 tale che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”1 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x(t) ∈ LPolitecnica ; p di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 + |t| di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato particolare,e ogni lenta, acio` e perStudi la quale esistono“Federico K > 0 II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolainPolitecnica dellefunzione Scienze adicrescenza Base Universit` degli di Napoli e p > 0 tali che 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle p Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico |x(t)| ≤ K (1 II” + |t|Anno ) . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Sono altres`ı temperate le derivate di distribuzioni temperate, le distribuzioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodiche, le distribuzioni a supporto compatto (ad esempio, la δ). v.p. 1/t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e temperata. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In aeffetti, funzioni“Federico a crescenza si caratterizzano le distribuzioni Scienze di Base Universit` degli mediante Studi dileNapoli II”lenta Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento temperate: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi TEOREMA 6.3. Ogni 2013-2014 distribuzioneLuigi temperata ` e una funzione a crescenza lenta, o e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicouna II”derivata Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica di una funzione a crescenza lenta. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 trasformatae di Fourier in S . 2013-2014 Luigi Greco Introduciamo Dipartimentoora di la Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento DEFINIZIONE 6.4. Se T ∈ S 0 , si chiama trasformata di Fourier di T , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e si denota con F [T ], la distribuzione temperata definita da di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(6.3) Politecnica e delle hScienze Universit` hT, F [ϕ]i , a degli ∀ϕ ∈Studi S . di Napoli “Federico II” Anno Accademico F [T ], ϕidi=Base 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 184 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle test. Scienze Base Universit` a degli Studi Dunque,“Renato la trasformazione viene scaricata sulla funzione Daldipara0 di Napoli “Federicografo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X.3.1, sappiamo che F [ϕ] ∈ S `e una funzione test per T ∈ S . Inoltre Caccioppoli” Scuolasi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico mostra che F : S → S `e continua, cio`e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle S S Scienze di Base Universit` a degli Studi diϕnNapoli II”n ]Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −→ ϕ “Federico ⇒ F [ϕ −→ FAccademico [ϕ] , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi il secondo membro di (6.3) Luigi `e continuo ϕ e definiscedieffettivamente di Napoli “Federicoquindi II” Anno Accademico 2013-2014 GrecoinDipartimento Matematica e Applicazioni “Renato distribuzione temperata. Caccioppoli” Scuolauna Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 6.5. Come ricordato, se ϕ ` e una funzione a decrescenza rapida, tale ` interessante Scienze di Base Universit` a degli Studi di F Napoli “Federicoosservare II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento risulta pure la trasformata ϕ. E cheAccademico non vale l’analogo, se consideriamo lo spazio“Renato D di funzioni test. Se ϕ ∈Scuola D e ϕ 6≡Politecnica 0, la trasformata non ha supporto F ϕScienze di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” e delle di Base Universit` a degli Studi compatto. In effetti, F [ϕ](ω) = L [ϕ](jω) e L ϕ ` e una funzione intera; se F ϕ avesse di Napoli “Federicosupporto II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato compatto, per il II principio di identit` a (teorema IV.1.5) risulterebbe L ϕ ≡ 0 e, l’invertibilit` ϕ ≡Universit` 0, contro le ipotesi.Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaperPolitecnica ea della delletrasformazione, Scienze di Base a degli 2013-2014 Luigi Greco Notiamo Dipartimento Politecnica e delle che, sedi TMatematica = Tx = x e∈Applicazioni L1 , la (6.3) “Renato si riduceCaccioppoli” alla formula Scuola di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento moltiplicazione (X.1.11); quindi anche la definizione di trasformata di Fourier di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di distribuzioni viene introdotta a partire dal caso delle funzioni. di Napoli “Federico II”Per Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato costruzione, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 → S0. F: S 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento Si prova che la trasformazione `e lineare, continua e biunivoca, l’inversaLuigi `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi definita da di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 −1 Caccioppoli” Scuola(6.4) Politecnica e delle Universit` hFScienze [T ], ϕidi=Base hT, F [ϕ]i ,a degli ∀ϕStudi ∈ S ,di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle con Fa−1degli [ϕ] data e risultaII” anch’essa continua. 2013-2014 Si estendono Scienze di Base Universit` Studidadi (X.1.12), Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento inoltre le propriet` a note per la trasformata in L1 , ad esempio, le formule di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicofondamentali: II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico
0 0 ] Matematica = F [−j t T (t)] , j ω F [T Caccioppoli” ]. F [Tdi F [T ] =“Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Invero, verifichiamo la seconda:
0 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 0 0 hF [T ], ϕi = hT , F [ϕ]i = −hT, F [ϕ] i = −hT, F [−j t ϕ]i = hF [T ], j t ϕi = hj t F [T ], ϕi . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Un altro approccio per definire trasformata di Fourier S 0 `e mediante Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaselaUniversit` a degli Studi0 diinNapoli “Federico II” Anno Accademico approssimazione: sedi xMatematica convergenti“Renato in S alla distribuzione n sono funzioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 x ∈ S , si pone Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi in S 0 . e delle Scienze di Base Universit` F [x] = lim F [xn ]Politecnica n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato limite esistee edelle non Scienze dipendedidalla Caccioppoli” ScuolaIl Politecnica Baseparticolare Universit` aapprossimazione. degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico il seguente risultato. e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Notiamo Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento PROPOSIZIONE 6.6. Se T ha supporto compatto, `e una funzione F T Scienze di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi ∞ −jωt di classe C e risulta T (ω) = hT (t), e i. F di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il crochetehT, e−jωt i va interpretato comeaindegli (4.8). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 185 Scuola Politecnica e delle 6. DISTRIBUZIONI TEMPERATE. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato• Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 6.1. Esempi. Calcoliamo FScuola [δ]; perPolitecnica ϕ ∈ S , abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϕ(t) dt = h1, ϕi , hF [δ], ϕi = hδ, F [ϕ]i = F [ϕ](0) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni −∞ “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi [δ] = Greco 1. di Napoli “Federico(6.5) II” Anno Accademico 2013-2014FLuigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaselaUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ad esempio, da (6.5) mediante II formula fondamentale, ricaviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 (6.6) a degli Studi di Napoli ] = jω F [δ] jω . Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento F [δ“Federico Scienze di Base Universit` II”=Anno di Matematica e Applicazioni “Renato diventano Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Alcuni risultati particolarmente semplici quando vengono ri- Universit` di Napoli “Federicoscritti II” Anno Accademico 2013-2014 di Luigi GrecoCome Dipartimento di Matematica in termini della trasformata Fourier. illustrazione, traduciamo e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolal’enunciato Politecnicadel e delle Scienze di Base Universit` amediante degli Studi di-trasformazione, Napoli “Federico II” Anno Accademico teorema 5.1 sulle δ-successioni la F R +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nel caso x ∈ L1 (R).diL’ipotesi x(t) dt = 1 significa X(0) = 1, quindi per −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento la formula di riscalamento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi 0 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` S t)] = X(ω/n) −→ X(0)Dipartimento = 1 = F [δ] . di Matematica e Applicazioni “Renato F [n x(n2013-2014 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Caccioppoli” ScuolaCancellando Politecnica la e delle Scienze di Base Universit` a degliotteniamo Studi di Napoli trasformazione (antitrasformando), la tesi “Federico del teo- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle rema. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento • Analogamente alla trasformata di δ, possiamo calcolare F [1]: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato hF [1], ϕi = h1, F [ϕ]i = F [ϕ](ω) dω = 2 π ϕ(0) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni per la formula di antitrasformazione in S , quindi “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (6.7) = 2 πPolitecnica δ. F [1] di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoNotiamo II” Annoche Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 0 e Applicazioni “Renato la (6.7) segue dalla (6.5) mediante la (X.1.14) (estesa a S ), Caccioppoli” Scuolasemplicemente Politecnica e delle ScienzeladiFBase Universit` a degli Studii membri. di Napoli “Federico II” Anno Accademico applicando -trasformazione ad ambo 2013-2014 Luigi Greco Usando Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (6.7) e la propriet`a di traslazione in ω, abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  −j t ] Politecnica e delle Scienze F [ ej t ] + F [ eScuola di Matematica e ApplicazioniF“Renato Caccioppoli” di Base Universit` a degli Studi [cos t] = = π δ(ω − 1) + δ(ω + 1) 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  “Federico II” Anno Accademico t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base −F [ e−jUniversit` ] π a degli Studi di Napoli F [ ej t ] di [sin t] = = δ(ω − 1) − δ(ω + 1) F 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2j j Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Da (6.7) ricaviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi d di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 F [t] = j F [−jt · 1] = j F [1] = 2πj δ . dω a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco •Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Mediante la formula di Poissone(4.21) e le propriet` a dellaCaccioppoli” trasformazione, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento da (6.7) ricaviamo la trasformata del treno di impulsi: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ +∞ X X di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 2013-2014 2 π ω0 t [ ej k Universit` ] = a degli Studi δ(ω −di k ωNapoli τ ] =Scienze diFBase 0) Caccioppoli” Scuola PolitecnicaF e [s delle “Federico II” Anno Accademico τ τ k=−∞ k=−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 186 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [sτ ] Universit` = ω0 sω0 a. degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(6.8) Politecnica e delle Scienze di F Base 2013-2014 Luigi Greco •Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 1II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (6.9) v.p. Politecnica +πδ. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi F [u] = Scuola jω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato u0 = eδ,delle applicando -trasformazione, per Studi la II formula fondamenCaccioppoli” ScuolaEssendo Politecnica ScienzeladiF Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico tale troviamo jω F u(ω) = 1, cio`e laedistribuzione Y = F u risolve 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazionitemperata “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle l’equazione jωStudi Y = 1.di Si ricava“Federico quindi II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Napoli di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola1 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (6.10) v.p. + cδ, F u = Luigi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico per un’opportuna costante c. Per calcolare c, osserviamo che u(t) + u(−t) = 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle q.o. e quindi da (6.10) e (6.7), usando la formula di riflessione e ricordando Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che δ `e pari e v.p. 1/ω `e dispari, ricaviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1Accademico 2013-2014 1 di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato v.p. + c δ(ω) − v.p. + c δ(−ω) = 2c δ(ω) = F 1 = 2π δ(ω) , jω e delle Scienze dijωBase Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica che implica c = π, ovvero la tesi. e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 6.7. Caccioppoli” Calcoliamo laScuola trasformata di di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ( di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi 1 , tGreco > 0 , Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sgn(t) = Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 , t < a0 degli . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo risulta sgn(t) =“Federico 2 u(t) − 1, q.o. Accademico t ∈ R. Ne segue Scienze di Base Universit` a degliche Studi di Napoli II”per Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi 2 di Base Universit` 1 π δ − 2π δ =di v.p. . = F [2 u(t) − 1] = 2Luigi v.p.Greco+Dipartimento F [sgn(t)] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Matematica e Applicazioni “Renato jω jω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 6.8.diDall’esempio segue F [v.p.“Renato 2/(jω)] = = F [F [sgn t]] Scuola 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica 6.7 e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle 2π sgn(−t) = −2π sgn t e quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 1Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (6.11) = −jπ sgnDipartimento ω. v.p. F di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 tLuigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 6.9.diCalcoliamo 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicosin II”t Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X=F . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolat Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoLaII”trasformata Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato si ricava immediatamente dall’esempio X.1.4: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base  Universit`   a degli  Studi  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 e Applicazioni t t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X Matematica =F F Π = π Π “Renato . 2 2 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Alternativamente, Accademico    Luigi   Dipartimento  Matematica  e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Greco di 1 1 1 1 =F v.p. t = di Base v.p. (ωa − 1) −Studi (ω + 1) , Caccioppoli” Scuola X Politecnica e delle sin Scienze degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico F Universit` F v.p. t 2j t t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 187 Scuola Politecnica e delle 6. DISTRIBUZIONI TEMPERATE. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi quindi per (6.11) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π X=− [sgn(ω − 1) di − sgn(ω + 1)] = πa [u(ω 1) − u(ω − 1)] .“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli+Studi di Napoli 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle • Trasformata Sia x ∈ II” L1 (R); la Accademico funzione Scienze di Base Universit` a degli Studidell’integrale. di Napoli “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z t Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi x(s) dsDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y : t 7→Luigi Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e continua e limitata, quindi a crescenza lenta e dunque distribuzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatouna Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle temperata. Inoltre Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y(t) Scuola = x ∗ u(t) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoProcedendo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato formalmente, otteniamo  Scienze  Z t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` adegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 X(ω) 2013-2014 Luigi Greco Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x(s) ds =diX(ω) · v.p. e Applicazioni + π δ(ω) = “Renato v.p. + π X(0) δ(ω) F Dipartimento j ω jω −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Tale formula“Renato `e certamente valida se Scuola x `e nullo fuori di uneintervallo limitato, es- Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica delle Scienze di Base a degli Studi alloraAccademico X ∈ C ∞ . In2013-2014 generale, Luigi la formula che esista X(ω)/ω: e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicosendo II” Anno Grecorichiede Dipartimento di v.p. Matematica accade,e delle ad esempio, pureUniversit` t x(t) ∈ L , che Studi assicura X ∈ C 1“Federico . Caccioppoli” Scuolaquesto Politecnica Scienzese di`eBase a 1degli di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 6.2. Teoremi campionamento. la trasformata di una Scienze di Base Universit` a degli Studi di di Napoli “Federico II”Calcoliamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento distribuzione periodica. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 6.10 (I2013-2014 teorema di campionamento). Sia di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di +∞ Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di x(t) Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = x0 (t − k τ ) in “Renato S0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napolik=−∞ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi supponiamo che X0 (ω)2013-2014 = F [x0 ] sia una funzione continua in In queste e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di R. Matematica risultae delle Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuolaipotesi, Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (6.12) a degli StudiX(ω) = ω0 “Federico X0 (kII” ω0 )Anno δ(ω −Accademico k ω0 ) . Scienze di Base Universit` di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoDim. II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Osserviamo che la replica periodicaLuigi si ottiene comeDipartimento convoluzione didi x0 Matematica con il treno di e Applicazioni “Renato x = x0 ∗e sdelle la seconda quindi trasformando usando la“Federico formula II” Anno Accademico τ (cfr.Scienze Caccioppoli” Scuolaimpulsi Politecnica di delle Base(4.12)), Universit` a degli Studi die Napoli per la trasformata della convoluzione, abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X = X0 · ω0 sω0 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento A questo punto non resta che applicare la propriet` a di campionamento della δ. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 che, se x2013-2014 ∈ Lloc `e periodica di periodo τ e di Napoli “Federico II”Osserviamo Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` degli x0 (t)di=Base x(t) [u(t) − u(ta − τ )] ,Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∞ la trasformata X0 ∈ C , per la proposizione 6.6. Inoltre (6.12) segue subito Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dallo sviluppo in serie di Fourier. Si verifica che l’uguaglianza di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 X Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t = ck ej kaω0degli , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzex(t) di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicak=−∞ e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 188 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi vale in S 0 , dove i di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z τ 1 di Base −j k ω0 t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleckScienze = x(t) e Universit` dt a, deglik Studi ∈ Z , di Napoli “Federico II” Anno Accademico τ 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli II” Anno Accademico sono i acoefficienti della serie di “Federico Fourier. Trasformando, abbiamo2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato+∞ Caccioppoli” Scuola +∞ Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X 2013-2014 Luigi Greco X Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico j k ω0 t X= ck F [ e ]= 2 π ck δ(ω − k ω0 ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k=−∞ k=−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 π ck = ω0 X0Scuola (kω0 ) ,Politecnica ∀k ∈ Z e. delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESEMPIO 6.11. Calcoliamo la F -trasformata dell’onda triangolare x, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico replica periodica con periodo 2 di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi=di(1Napoli “Federico II” + Anno Luigi Greco Dipartimento xa0 (t) = Λ(t) + t) [u(t + 1) − u(t)] (1 −Accademico t) [u(t) − u(t2013-2014 − 1)] , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi cfr. esempio VIII.2.2 e esempio X.3.8. Essendo x0 somma di segnali che di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sono prodotto di un polinomio per una finestra, deriviamo nel senso delle Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico distribuzioni fino a che non rimangano solo impulsi: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x00Napoli (t) = u(t + 1) − 2 II” u(t)Anno + u(tAccademico − 1) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi derivata ordinaria, 2013-2014 essendo x0Luigi assolutamente continua) edi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico(solo II” Anno Accademico Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a δ(t degli x000 (t) =di δ(tBase + 1)Universit` − 2 δ(t) + − Studi 1) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Applicando otteniamo F -trasformazione, Scienze di Base Universit` a deglila Studi di Napoli “Federico II” quindi Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 Caccioppoli” j ω Scuola Politecnica −j ω di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi −ω X0 (ω) = e − 2 + e = 2 coseω delle − 2 Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cui Caccioppoli” ScuoladaPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 − cos ω 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (6.13) X0 (ω) = 2 . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” ω 2 Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi Notiamo che“Renato questa formula coincide con la (X.3.8). e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II”Usiamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ora la formula (6.12) del I teorema di campionamento. Essendo Caccioppoli” Scuolail Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico periodo τ = 2, risulta ω0 = π; dunque 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 − cos k π Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli X0 (k“Federico ω0 ) = 2 II” 2Anno k π2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi conviene casi k pari Luigi e k dispari: di Napoli “Federicoe II” Anno distinguere Accademicoi 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 , per k 6= 0 pari, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4 X0 (k ω0 ) = di Napoli2 “Federico , per k II” = 2 Anno n + 1 ,Accademico n ∈ N , dispari. Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (2 n + 1) π 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoInoltre II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` X0di (0)Base = lim X0 (ω)a=degli 1 . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ω→0 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 189 Scuola Politecnica e delle 6. DISTRIBUZIONI TEMPERATE. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Pertanto la “Renato trasformata della replica periodica `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 X 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` δ(ω − (2 n + 1) π) . (6.14) X(ω) = π δ(ω) + 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni π n=−∞ (2 n + 1)2 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La (6.14) `e in accordoCaccioppoli” con quanto visto nell’esempio di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola PolitecnicaVIII.3.9. e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 6.12. Calcoliamo la trasformata e scriviamo la serie di Fourier Caccioppoli” Scuoladella Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico replica periodica x di periodo τ = 2 π del segnale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x0Napoli (t) = t sin t [u(t + II” π) −Anno u(t −Accademico π)] . Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Per trasformare x0 osserviamo che x0 (t) = j (−j t) y0 (t), dove di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y0 (t) =disin t [u(tUniversit` + π) − u(t − π)] , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle quindi per la I formula fondamentale Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento d di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X0 (ω) = j Y0 (ω) . dω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato calcolare eY0delle , deriviamo nel senso delle distribuzioni: 0 due Caccioppoli” ScuolaPer Politecnica Scienze ydi Basevolte Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di yMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 (t) = cos t [u(t + π) − u(t − π)] Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (y00 coincide con la derivata ordinaria, essendo y0 Politecnica assolutamenteecontinuo) , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 00 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico y0 (t) = −y0 (t) − δ(t + π) + δ(t − π) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Applichiamo ora addiambo i membrie la primo membro F -trasformazione; 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato aCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle usiamo la II formula fondamentale: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 jπω ω di Matematica e Applicazioni “Renato−ω Caccioppoli” Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi Y0 (ω) = −YScuola + e−jeπ delle 0 (ω) − e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi per ωe 6= ±1Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuolae Politecnica delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −j π ω 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ej π ω −e eApplicazioni sin πω = “Federico = 2 j Accademico . 0 (ω) Scienze di Base Universit` a degli StudiYdi Napoli II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 2 ω −1 ω −1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Dunque di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato   d sin π cos aπ degli ω 2Studi ω Universit` ω sin di π ωNapoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di πBase X0 (ω) = 2 =2 + . 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scuola Politecnica e delle dω 1 − ω 2 e Applicazioni 1 − ω 2 “Renato (1 − ω 2 )Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (X0 ` e reale pari, com’era chiaro essendo x0 reale pari.) Essendo il periodo τ = 2 π, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi risulta ω0 = 1 e dobbiamo campionare nei punti k ∈ Z. Per k 6= ±1, dalla Universit` di Napoli “Federicoformula II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato trovata ricaviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` ak degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 π (−1) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X0 (k) = 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico1 − II”k Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D’altra parte, mediante la regola deScuola L’Hˆopital di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 πLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 (1 − ω ) cos π ω + 2 ω sin π ω π X0 (1) =e lim = − Caccioppoli” Scuola Politecnica delleXScienze dilim Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 (ω) = 2 ω→1 ω→1 (1 − ω 2 )2 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 190 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e X0 (−1) = “Renato X0 (1). Pertanto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k X π π Base Universit` 2 π (−1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico δ(ω − k) . X(ω) = − δ(ω − 1) − δ(ω + 1) + 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 2 di Matematica 2 1 − k 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle k∈Z−{−1,1} Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Lo sviluppo “Renato in serie diCaccioppoli” Fourier si scrive di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X ej t e−j t (−1)k j k t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(t) = − e − + 4 4 e Applicazioni1“Renato − k2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle k∈Z−{−1,1} +∞ II” kAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico X cos t (−1) 1− cos k t , e delle Scienze di Base Universit` + 2Scuola Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato=Caccioppoli” a degli Studi 2 1 − k2 k=2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Caccioppoli” Scuolache Politecnica e delle di Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico vale sia nel sensoScienze dell’energia cheUniversit` in quelloa puntuale. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 6.13. la trasformata della replica 2013-2014 periodica Luigi di Scienze di Base Universit` a degli Studi di Calcoliamo Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento periodo π del segnaleCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (t) = (cos t − 1) [u(t + π/2) − u(t)] + (1 − cos t) [u(t) − u(t − π/2)] . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Osserviamo che x0 `e dispari; invero, posto Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (t) = (1 − cosScuola t) [u(t)Politecnica − u(t − π/2)] , di Matematica e Applicazioni “Renatox1Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicorisulta II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x0 (t) = xe1 (t) − x1 (−t) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X0 (ω) = X1 (ω) − X1 (−ω) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato postoe delle Scienze di Base Universit` Caccioppoli” ScuolaInoltre, Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni x2 (t) = u(t) − u(t − π/2) ,“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento abbiamo per“Renato la formula di modulazione di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi X2 (ω Greco − 1) +Dipartimento X2 (ω + 1) di Matematica e Applicazioni “Renato . Napoli “Federico II” Anno Accademico X1 (ω) = X2di(ω) − Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base a2degli Studi di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La trasformata X2 si calcola subito in base alla definizione; per ω 6= 0: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z π2 π di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi e−j ω 2 −e 1delle Scienze di Base Universit` −j ω t X (ω) = e dt = j . 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ω 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto per ω ∈ R di − {−1, 0, 1} 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  −j (ω−1)  π π2013-2014 Scienze di Base Universit` a degli Studi−jdiω πNapoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 2 − 1 2 − 1 e j e e−j (ω+1) 2 − 1 di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi X1 (ω)“Renato =j − + e delle Scienze di Base Universit` ωπ 2013-2014 2 Luigi ωGreco − 1 Dipartimento ω +di1 Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico π e−j ω 2 − 1 e−j ω 2 + j ω Caccioppoli” Scuola Politecnica = e delle Scienze di+Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico j 2−1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ωMatematica ωe Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 191 Scuola Politecnica e delle 6. DISTRIBUZIONI TEMPERATE. TRASFORMAZIONE DI FOURIER Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π π π e−j ω 2 − 1 e−j ω 2 + j ω ej ω 2 − 1 ej ω 2 − j ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X0 (ω) = j + −j − ω Matematica ω 2e−Applicazioni 1 −ω ω2 − 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle π π ω − 1 ω cos di sin 2 j ω Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 2 − . = 2j + 2j 2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ω 1−ω 1−ω di Napoli “FedericoNotiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che X0 `e funzione immaginaria dispari. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Alternativamente, per calcolare X0 , scriviamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x (t) = x4 (t) − x3 (t) , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli0 “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x3 (t) = u(t + π/2) − 2 u(t) + u(t − π/2) , x4 (t) = cos t x3 (t) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per trasformare x3 di deriviamo nel senso delle distribuzioni applichiamo Scuola la 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato eCaccioppoli” Politecnica e delle trasformazione: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento π π ω − 1Scienze di Base Universit` cos eπ2 delle ej ω 2 − 2 +Scuola e−j ω 2 Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi X3 (ω) = = −2 j . j ω Luigi Greco Dipartimento ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaPer Politecnica e delle Scienzeildi Base Universit` a degli Studi due di Napoli “Federico trasformare x4 , usiamo metodo del riciclo: deriviamo volte nel senso II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco delle Dipartimento distribuzioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x004 (t) = −x4 (t) + δ(t + π/2) − δ(t − π/2) − 2 δ 0 (t) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi quindi applichiamo la 2013-2014 trasformataLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 2 jUniversit` sin π2 ω −a2degli j ω Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X (ω) = . 4 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1−ω Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In questa maniera ritroviamo l’espressione precedente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X0 (ω) = Luigi X4 (ω)Greco − X3 (ω) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il periodo = π, risulta ω0 =Universit` 2 e bisogna campionare interi pari: II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaEssendo Politecnica e delleτ Scienze di Base a degli Studi di negli Napoli “Federico i punti ±1 non intervengono nel campionamento. chiaramente 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni D’altra “Renatoparte Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X0 (0) = 0. PerStudi k 6= 0, Scienze di Base Universit` a degli di abbiamo Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi k (−1) −1 4 Scuola jk = 2j − di Napoli “Federico II” X Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 (2 k) 2k 1 − 4 k2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  8j n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli”  , k = 2 n pari, n 6= 0 , Scuola Politecnica e delle − di Matematica 1 − 16 n2 “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli=Studi di Napoli 1 − 2 (2 n + 1)2  di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi −2 jCaccioppoli” Scuola Politecnica , k =e 2delle n + 1Scienze dispari.di Base Universit` n + 1) [1 −Luigi 4 (2 nGreco + 1)2 ]Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico(22013-2014 Caccioppoli” ScuolaDunque Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di X Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X(ω) = −16 j δ(ω − 4 n) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 − 16 n2 n6=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ di Napoli “Federico II” Anno AccademicoX 2013-2014 Luigi Greco 1− 2 (2 n + 1)2Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato δ(ω − 4 n − 2) . −4 jScienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle degli (2 n + 1) [1 − 4 (2 na + 1)2 ]Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n=−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 192 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 6.14.Caccioppoli” Calcoliamo laScuola trasformata del prolungamento periodico di Napoli “Federicodel II”segnale Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato definito in (−π, π) ponendo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di( Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 sine tApplicazioni , −π < t < 0“Renato , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x(t) = sin 3 t , II” 0 < Anno t < π .Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Il prolungamento periodico x si ottiene come replica periodica di periodo 2 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato del segnale Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x0 (t) = 3 x1 (t) + x2 (t) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dove a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni e delle Scienze a degli Studi x1 (t) =“Renato sin t [u(tCaccioppoli” + π) − u(t)] ,Scuola x2Politecnica (t) = sin 3 t [u(t) − u(t − π)]di . Base Universit` di Napoli “FedericoPer II”trasformare Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x1 , usiamo il metodo del riciclo; deriviamo due volte nel senso Caccioppoli” Scuoladelle Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico distribuzioni: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 00 π) − δ(t) 1 (t) − δ(t 1 (t) = −x Scienze di Base Universit` a degli Studi di xNapoli “Federico II”+Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e applichiamo la trasformazione: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi jGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato πω e +1 = Universit` − . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeXdi1 (ω) Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 − ω2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Analogamente per trasformare x2 : Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 00 di Matematica e Applicazioni “Renatox2Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (t) = −9 x2 (t)Scuola + 3 δ(t) + 3 δ(t − π) ; di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −j π ω 1+ e . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 3Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeXdi Base a2 degli 2 (ω) 9−ω 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pertanto per ω 6= ±1 e ω 6= ±3 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento πω jπω + e−j + 1 e 1delle di Matematica e Applicazioni Scuola ePolitecnica Scienze a degli Studi + 3 . di Base Universit` X0 “Renato (ω) = 3 XCaccioppoli” 1 (ω) + X2 (ω) = −3 2 1 − ωDipartimento 9 − di ω 2 Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” ScuolaRisulta Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ω0 = e1;delle calcoliamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni j π ω “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e +1 3 X0 (±1) = di limNapoli X0 (ω)“Federico = −3 limII” Anno 2Accademico + 0 = ∓ 2013-2014 πj; Scienze di Base Universit` a degli Studi Luigi Greco Dipartimento ω→±1 ω→±1 1 − ω 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica−jeπ delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ω π Matematica e Applicazioni “Renato 1Dipartimento +e di Napoli “Federico II” AnnoXAccademico 2013-2014 Luigi Greco di =∓ j. 0 (±3) = lim X0 (ω) = 0 + 3 lim ω→±3 ω→±3a degli 9 − Studi ω2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico Inoltre, per k ∈ Z − {−3, −1, 1, 3}, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  Scienze di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 ,di Napoli “Federico II” Anno Accademico k dispari, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 6 6 −48 X0 (k) = − + = Greco2 Dipartimento , k di pari. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 2 1−k 9−k (1 − k ) (9 − k ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   π   3 Scienze di Base Universit` aX(ω) degli=Studi Napoli “Federico Accademico Luigi Greco Dipartimento π j diδ(ω + 1) − δ(ω − 1)II” + Anno j δ(ω + 3) − δ(ω2013-2014 − 3) 2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 δ(ω − 2 n) . −48 Scienze di Base Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` (1 − 4 n2 ) (9 − 4 n2 )a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n=−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 193 Scuola Politecnica e delle 7. TRASFORMATA DI LAPLACE DI DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Lo sviluppo “Renato in serie trigonometrica `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ 3 cos 2 n 48 X Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di1Base Universit` a degli Studi dit Napoli “Federico II” Anno Accademico (6.15) x(t) = sin t + sin 3 t − . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2 Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 π n=0 (1 −“Renato 4 n2 ) (9 − 4 n2 ) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 3 3 t `e funzione pari,e quindi il suo sviluppo Osserviamo “Renato che x(t) −Caccioppoli” di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 sin t − 2 sin solo termini in 2013-2014 coseno, in accordo con quanto mostradila Matematica (6.15). di Napoli “Federicocontiene II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base [u(t−a)−u(t−b)] Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ESERCIZIO 6.15. Calcolare in ciascuno dei seguenti F 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle modi. 1) Mediante la definizione. 2) Riconducendosi a F [Π] mediante Scuola le Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento propriet` a della trasformazione. 3) Derivando nel senso delle distribuzioni. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 4) Riconducendosi a F [u] mediante le propriet`a della trasformazione. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ESERCIZIO Calcolare trasformata di Studi Fourier del segnale pe- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle6.16. Scienze di BaselaUniversit` a degli di Napoli “Federico riodico x considerato mediante i“Renato passi seguenti. 1) Posto 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di nell’esempio Matematica 6.12, e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y0 (t) =a tdegli [u(t +Studi π) − di u(tNapoli − π)], “Federico osservare che si ottiene come prodotto della Scienze di Base Universit` II” x Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento replica periodica y diCaccioppoli” y0 di periodoScuola 2π perPolitecnica sin t: x(t)e=delle y(t) Scienze sin t. Pertanto di Matematica e Applicazioni “Renato di Base Universit` a degli Studi 1 [Y (ω − 1) −2013-2014 Y (ω + 1)].Luigi 2) Ridurre il calcolo della trasformata e Applicazioni “Renato = 2j di Napoli “FedericoX(ω) II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delleinScienze di Fourier Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico Y allo sviluppo serie di dell’onda a dente di disega, considerata 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nell’esempio VIII.3.8. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Vediamo“Renato ora la trasformata di Scuola un segnale campionato. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 6.17 (II teorema di campionamento). Sia Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze+∞ di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x(t) = y(k τ ) δ(t − k τ ) in S 0 , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k=−∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi funzione continua a crescenza queste ipotesi, di Napoli “Federicocon II”y(t) Anno Accademico 2013-2014 Luigilenta. GrecoInDipartimento di risulta Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseX Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 1 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (6.16)Dipartimento di Matematica X(ω) = Y (ω − k ω0“Renato ). τ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico k=−∞ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 7. Trasformata di Luigi Laplace di Dipartimento distribuzionidi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Estendiamo la trasformazione di Laplace alle distribuzioni. Poniamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t j ω) = FII” [x(t) e−σ Accademico ](ω) , Scienze di Base Universit` a degli Studi L di [x(t)](σ Napoli + “Federico Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −σ t sia una distribuzione temperata. Ad esempio, supponendo che x(t) e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = 1 . a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` L [δ] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Se x(t) `e nulla in ] − ∞, 0[, la trasformata `e unilatera; la denotiamo con Lu . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Elenchiamone alcune propriet`a: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi • LuAccademico [x] `e una funzione analitica un semipiano destro; inoltre di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi in Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze X di0 (s) Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = Universit` . Lu [−t x(t)] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 194 XI. DISTRIBUZIONI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi • La “Renato seconda formula fondamentale si scrive: e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 =sL Lu [x u [x] = saX(s) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di ]Base Universit` degli. Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Questa formula differisce solo apparentemente da quella per le fun2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zioni.Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli • Lu“Renato `e iniettiva. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoConsideriamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il problema di Cauchy Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico P [D]y = δ(t) (7.1) Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco y distribuzione nulla in ] − ∞, 0[ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dove P [D] `e“Renato un operatore differenziale a coefficienti costanti.di Base Lu - Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuolalineare Politecnica e delle Scienze a degli Studi trasformando ambo i membri, abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = H(s) Y (s) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica eP Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (s) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e quindi −1 Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi y(t) = Lu [H(s)] . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto la funzione di trasferimento H(s) `e la trasformata della risposta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico all’impulso nel sistema ingresso–uscita rappresentato dall’operatore P [D]. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ESEMPIO 7.1. diData la distribuzione nulla Accademico in ] − ∞, 0[, 2013-2014 consideriamo Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II”f Anno Luigi Greco Dipartimento il problema “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi  di Napoli “Federico II” Anno AccademicoP2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato [D]y = f Caccioppoli” Scuola(7.2) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y distribuzione nulla in ] − ∞, 0[ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Da (4.16) segue Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento P [D](y ∗ fScuola ) = (P [D]y) ∗ f . e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi Quindi, se y risolve (7.1), ritroviamo che la soluzione di (7.2) `edi Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseyUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∗f. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Infatti, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento P [D](y ∗ f ) = (P [D]y) ∗ f = δ ∗ f = f . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli CAPITOLO “Federico II”XII Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Problemi ai limiti Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Introduzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Consideriamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l’equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (1.1) Dipartimento di Matematica y 00 + a1 (x) y 0e+Applicazioni a2 (x) y = f (x) , 2013-2014 Luigi Greco “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dove i coefficienti a e a2 e il termine noto f sono funzioni reali continue di Matematica e Applicazioni “Renato1`Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nell’intervallo [a, b]. E noto che tale equazione ammette infinite soluzioni. In di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato particolare, l’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea associata Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 00 0Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e y + a1 (x) y + a2 (x) y = 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento `e un sottospazio vettoriale di dimensione di C 2 [a, b]; se y1 e yScienze di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola2 Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi 2 sono integrali l’integrale 2013-2014 generale si Luigi scriveGreco y = c1Dipartimento y1 + c2 y2 , con di c1 Matematica e c2 costanti e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoindipendenti, II” Anno Accademico L’integrale generale dell’equazione (1.1) scrive“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaarbitrarie. Politecnica e delle Scienze di Base Universit` acompleta degli Studi di si Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.2) y = c1 y1 + c2 y2 + z , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi essendo z una soluzione di (1.1). di Napoli “Federico II”Ricordiamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che il problema di Cauchy relativo all’equazione (1.1) consiste 0 Universit` Caccioppoli” Scuolanell’assegnare Politecnica e idelle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico valori di y e di y in uno stesso punto dell’intervallo [a, b]. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Vale Dipartimento il seguente risultato di esistenza e unicit`a: per ogni xCaccioppoli” 0 ∈ [a, b] e per 0 2 Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ogni y0a, ydegli ∈ R, esiste un’unica y ∈ C [a, b] che soddisfa (1.1) in tutti i punti 0 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola iniziali Politecnica delle a degli Studi dell’intervallo [a, b] e Caccioppoli” verifica le condizioni y(x0 )e = y0 , yScienze (x0 ) =di y00 .Base Universit` di Napoli “Federico II”InAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica questo capitolo esamineremo un problema diverso relativo all’equazio- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolanePolitecnica e delle Scienze di Basesoluzioni Universit` a degli Studi di Napoli “Federico (1.1), consistente nel ricercare dell’equazione soddisfacenti una II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di in Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle condizione in a e una b. Un problema di questo tipo, essendo le condizioni Scienze di Base Universit` a degli Studi dinegli Napoli “Federico II” Anno si Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento aggiuntive assegnate estremi dell’intervallo, dice problema ai limiti. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di (1.1) Base Universit` a degli Studi Ad esempio,“Renato costituisce un problema ai limiti la ricercae di integrali y di di Napoli “Federicocon II”valori Anno assegnati Accademico Luigi Greco Gli Dipartimento di Matematica y(a)2013-2014 e y(b) negli estremi. esempi seguenti mostrano e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolache Politecnica e delleaiScienze Universit` a degli Studi diversa di Napoli “Federico per i problemi limiti di la Base situazione `e notevolmente rispetto al II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento problema di Cauchy.di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESEMPIO 1.1. Caccioppoli” ConsideriamoScuola il problema di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 00 y + y = 0 in [0, π] Caccioppoli” Scuola(1.3) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(0) = α , y(π) = β , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 195 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 196 XII. PROBLEMI AI LIMITI “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze`edi Base Universit` a degli Studi essendo α e “Renato β costantiCaccioppoli” assegnate. L’integrale generale edell’equazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato c1 cosUniversit` x + c2 sin , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzeydi=Base a xdegli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle con c1 e c2 costanti arbitrarie. Evidentemente, per ogni scelta delle costanti, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento risulta y(0) = −y(π), quindi se il problema (1.3) ha soluzione, risulta necessadi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ` chiaro riamente α = −β. E inoltre che, se tale condizione `e soddisfatta, sono di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato soluzioni del problema tutte e sole le funzioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni y = α cos x + c2 sin x , “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con c2 costante arbitraria; in particolare, problema ha infinite soluzioni. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola ilPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ESEMPIO Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` subito visto che il problema 1.2. E Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  00 y + y =e 0Applicazioni in [0, π/2] “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica (1.4) y(0) = α , y(π/2) = β , Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ammette, per ogni α e β costanti assegnate, l’unica soluzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze ydi=Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico α cosUniversit` x + β sinaxdegli . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Pi` ua in generale, di y(a) e y(b), II” si assegnano i valori delle espressioni Scienze di Base Universit` degli Studi invece di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 0e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi α1 y(a) + β1 y (a) , α2 y(b) + β2 y (b) , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (α1 , βe1delle ) 6= (0, 0) e (α β2 ) 6= (0, 0) coppie due“Federico numeri II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaessendo Politecnica Scienze di2 ,Base Universit` a deglifissate. Studi diDati Napoli reali γ dunque ile seguente problema 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 e γ2 , consideriamo Scienze di Base Universit` a degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y 00 + a1 (x) y 0 + a2 (x) y = f (x) in [a, b] (1.5) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi α1 y(a) + β1 y 0 (a) = γ1 , α2 y(b) + β2 y 0 (b) = γ2 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1.3. Scienze di Base Universit` a degli Studi di con Napoli “Federico ` sufficiente Osservazione E considerare i problemi valori asse- II” Anno Accademico 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle gnati negli estremi nulli. Invero, se w ∈ C [a, b] soddisfa le condizioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 β1 w0 (a) = γ1Scuola , αPolitecnica (b) = Scienze γ2 , 1 w(a) +Caccioppoli” 2 w(b) + β2 w di Matematica e Applicazioni α“Renato e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e y0 ∈ C [a, b] risolve Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  00 e delle Scienze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni Scuola Politecnica e delle y0 + a1 (x)diy00 Matematica + a2 (x) y0 =ef (x) − [w00 + a1“Renato (x) w0 + Caccioppoli” a2 (x) w] 0 0 Scienze di Base Universit` a degli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento α1 y0Studi (a) + βdi1 yNapoli (a) = 0 , α y (b) + β y (b) = 0 , 2 0 2 0 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi somma = y0 + w risolve il problema di Napoli “FedericolaII” AnnoyAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  00 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y +Scienze a1 (x) y 0di+ Base a2 (x)Universit` y = f (x)a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e 1Applicazioni Scuola Politecnica e delle α1 y(a) + β1 y 0 (a) = γ , α2 y(b) + β2“Renato y 0 (b) = γ2Caccioppoli” , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento w(b), w0 (b), `e possibile trovare w Universit` Notiamo che, comunque fissati w(a), w0 (a),Politecnica di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base a degli Studi polinomio di grado non superiore a 3. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Un risultato che Scienze useremodispesso `e il seguente. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 197 Scuola Politecnica e delle 2. EQUAZIONI AUTOAGGIUNTE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi LEMMA 1.4. SeCaccioppoli” y1 e y2 sonoScuola derivabili e verificano le condizioni ( di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (a) +Universit` β1 y10 (a) a= degli 0 1 y1Base Caccioppoli” Scuola(1.6) Politecnica e delle Scienzeαdi Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e βApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle α1 y2 (a) + y (a) = 0 1 2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con (α1 , β1 ) “Renato 6= (0, 0), Caccioppoli” il loro wronskiano si annulla in a: di Matematica e Applicazioni e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Scuola Politecnica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 yLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (a) y (a) 2 = 0. W (a) = 10 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` y1 (a) y20 (a)a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Dim. Le riguardate come un onogeneo2013-2014 nelle incognite Scienze di Base Universit` a (1.6) deglipossono Studi essere di Napoli “Federico II”sistema Annolineare Accademico Luigi Greco Dipartimento α1 e β1 , il cui determinante dei coefficienti ` e il wronskiano di y1 e y2 , calcolato in a. Poich´ e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi il sistema ammette una soluzione (α1 , β1 ) 6= (0, 0), risulta W (a) = 0. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2. Equazioni autoaggiunte 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Riscriviamo l’equazione (1.1) in una II” forma pi` uAccademico maneggevole2013-2014 per i nostri Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Luigi Greco Dipartimento scopi. La funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Rx 1 (τ ) dτ p(x) = e a aGreco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuolaappartiene Politecnicaa eCdelle di Basein Universit` a degliquindi Studi l’equazione di Napoli “Federico [a, b]Scienze ed `e positiva ogni punto, (1.1) `e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle equivalente alla seguente Scienze di Base Universit` a degli Studi00di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 (2.1) −p(x) y − p(x) a1 (x) yScuola − p(x)Politecnica a2 (x) y = −p(x) f (x) , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoottenuta II” Anno Accademico ambo 2013-2014 Luigiper Greco Dipartimento di che Matematica moltiplicando i membri −p(x). Osservando p0 = p a1 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle difBase Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ponendo q = −p a2Scienze , F = −p , la (2.1) diviene 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (2.2) −(p(x) y 0 )0 + q(x) y = F (x) . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola PolitecnicaNel e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi La (2.2) si chiama equazione in forma autoaggiunta. seguito considereredi Napoli “Federicomo II”sempre Anno Accademico Luigi GrecoIntrodotto Dipartimento di Matematica equazioni in 2013-2014 forma autoaggiunta. l’operatore differen- e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaziale Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico lineare (in forma autoaggiunta) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 0 0 (2.3) L : y ∈ C [a, b] → −(p(x) y ) + q(x) y ∈ C[a, b] , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento l’equazione si scrive semplicemente di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014Ly Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato =F. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per l’operatore L vale seguente identit` a di Lagrange, per ogni y, z ∈ C 2 [a, Scuola b]: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di laMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 0 II”0 Anno 0 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (2.4) z Ly − y Lz = (p (yz − y z)) = (p W ) , di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi facile verifica diretta. 2013-2014 W `e il wronskiano di yDipartimento e z. di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Mettiamoein luceScienze una propriet` a dell’operatore L che giustifica l’appellativo Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 autoaggiunto. Consideriamo il sottospazio dello spazio reale L (a, b) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Anno Accademico 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` di2 [a, Napoli II” (2.5) a degli X =Studi {y ∈ C b] : α“Federico y(a) + β y (a) = α y(b) + β y (b) = 0} . 1 1 2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2.1. Per ogni y, z ∈ Luigi X, risulta di Napoli “Federico II”LEMMA Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(2.6) Politecnica e delle Scienze di(Ly, Base z)Universit` = (y, Lz)a. degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 198 XII. PROBLEMI AI LIMITI “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica Base Universit` a degli Studi Dim. Per il lemma 1.4, il Caccioppoli” wronskiano di y Scuola e z si annulla in a e b, eWdelle (a) = Scienze W (b) = 0,di quindi, di Lagrange, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoper II”l’identit` Annoa Accademico Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Baseb Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (Ly, z) − (y, Lz) = (zLy − yLz) dt = [p W ]ba = 0 . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematicaa e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 3. “Renato La funzione di Green. Il teorema dell’alternativa di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Osserviamo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che l’introduzione dello spazio in (2.5) consente di scrivere Caccioppoli” Scuolasinteticamente Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico le condizioni ai limiti: y ∈ X. 2013-2014 Luigi Greco Consideriamo Dipartimentoildiproblema Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ai limiti Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  Ly = fPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi (3.1) y ∈ XGreco , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delleproblema Scienze direlativo Base Universit` a degliomogenea Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico il corrispondente all’equazione associata  e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Ly = 0 Scienze di Base Universit` (3.2) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y∈X, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 di Napoli “Federicodove II” Anno p ∈ C Accademico [a, b], p > 0, 2013-2014 q, f ∈ C[a,Luigi b]. Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.1. Se il problema (3.2) ammette la soluzione 2013-2014 Luigi Greco PROPOSIZIONE Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato solo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle banale, il problema (3.1) ammette, per ogni f ∈ C[a, b], un’unica soluzione.Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi L’unicit` a“Renato `e chiara.Caccioppoli” Per costruire una soluzione del eproblema (3.1),diconsidi Napoli “Federicoderiamo II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato soluzioni non-nulle y1 e y2 dell’equazione omogenea associata Ly = 0, Caccioppoli” Scuolaverificanti Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico rispettivamente le condizioni 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.3) a degliαStudi + Napoli β1 y10 (a)“Federico = 0, α2 yAnno β2 y20 (b) = 0 .2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 y1 (a)di 2 (b) + Accademico Scienze di Base Universit` II” di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Possiamo determinare y1 risolvendoScuola il problema di Cauchy  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ly = 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(a) = −β , y 0 (a) = α 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e 1Applicazioni1 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e similmente il problema Cauchy Scienze di Base Universit` a degliyStudi di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 risolvendo  di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Ly = 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 y(b) = −β2 , y (b) = α2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` chiaro 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento E che risulta di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (3.4) α2 y1 (b) + β2 y10 (b) 6= 0 , α y2 (a) + β1 y20 (a) 6= 0 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola 1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi se fosse α2 y12013-2014 (b) + β2 y10 Luigi (b) = Greco 0, la funzione y1 sarebbe soluzione di e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoAd II”esempio, Anno Accademico Dipartimento di Matematica e quindi,e per la soluzione banale, che falso. “Federico Le (3.4) II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(3.2) Politecnica dellel’ipotesi, Scienze sarebbe di Base Universit` a degli Studi di`eNapoli implicano che y1 e diy2 Matematica sono indipendenti: se fossero dipendenti, sarebbero 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle proporzionali quindi (3.4) sarebbero in contrasto con le (3.3). Scienze di Base Universit` a degli eStudi di le Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Determiniamo la Caccioppoli” soluzione di (3.1) mediante il metodo di Scienze Lagrange di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle di della Base Universit` a degli Studi costanti,2013-2014 che consiste nel Greco cercareDipartimento y sotto la forma di Napoli “Federicovariazione II” Anno delle Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(3.5) Politecnica e delle Scienze a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(x) =dic1Base (x) y1Universit` (x) + c2 (x) y2 (x)Studi , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 199 Scuola Politecnica e delle 3. LA FUNZIONE DI GREEN. IL TEOREMA DELL’ALTERNATIVA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatoda Caccioppoli” Politecnica di Base a degli Studi con c1 e c2 funzioni determinare.Scuola L’equazione Ly =efdelle `e unaScienze condizione da Universit` di Napoli “Federicosoddisfare, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato mentre abbiamo due funzioni da determinare: possiamo pensare Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico imporre una condizione aggiuntiva su c1 e c2 . Essendo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni
0 “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle + q (c1 y1 + c2013-2014 = L[c p (c1 y1 + y2 )0 Accademico 2 y2 ) , 1 y1 + 2 y2 ] = − Scienze di Base Universit` aLydegli Studi di cNapoli “Federico II”c2Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dobbiamo calcolare y = (c1 y1 + c2 y2 )0 ; imponiamo la condizione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y1 +Universit` c02 y2 = 0a, degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dic01Base 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che garantisce che la derivata di y si calcoli come se c1 e c2 fossero costanti: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi (3.6) (c1 y1 + c2 yScuola y10 + c2 y20 . e delle Scienze di Base Universit` 2 ) = c1Politecnica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato questo punto Caccioppoli” ScuolaAPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico
0
0
0 Applicazioni 0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ) c2 − p (c1 y1 + c2 y2 ) = − (p y1 ) c1 − (p y20 “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 0 0 0 0 0 0 di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e 0delle Scienze a degli Studi = −(p yScuola 1 ) c1 − p y1 c1 − (p y2 ) c2 − p y2 c2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 0 0 “Renato 0 0 0 0 0 Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni Caccioppoli” L[c1Dipartimento y1 + c2 y2 ] = cdi L[y ] + c L[y ] − p (y c 1 1 2 2 1 1 + y2 c2 ) = −p (y1 c1 + y2 c2 ) . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 0 Pertanto la “Renato condizione Ly = f si scrive c1 + y20 c02 =e −f /p Scienze e giungiamo al Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuolay1Politecnica delle di Base a degli Studi sistema  0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 c1 Base y1 + cUniversit` 2 y2 = 0 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di c01 y10 +ec02Applicazioni y20 = −f /p “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 0 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi nelle incognite c01 e cdi e il wronskiano W che 2 . Il determinante dei coefficienti ` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi risulta diverso da zeroCaccioppoli” in ogni punto, essendo y1 e y2 indipendenti. Ricaviamo di Napoli “Federicopertanto II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Base Universit` Napoli “Federico II” Anno Accademico Studi di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli 1 0 f y1 1 y1 y2 f y2 0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = =− , c = . c01 = 0 0 2 −f /p y2 −f /p W Studi W y1Accademico pW Scienze di Base Universit` a degli di Napoli pW “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Osserviamo che laCaccioppoli” funzione p WScuola `e costante in [a, b], poich´ e per l’identit` a Universit` di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Lagrange Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (p Wdi )0 = y2 Ly 1 − y1 Ly2 = 0 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle essendoa Ly Ly2 =di0.Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 =Studi Scienze di Base Universit` degli 0 Ricordando che yCaccioppoli” si calcola come se c1Politecnica e c2 fosseroecostanti, la condizione di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0 α y(a) + β y (a) = 0 diviene 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Universit` 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 = ec1delle (a) (αScienze 1 y1 (a) + β1 y1 (a)) + c2 (a) (α1 y2 (a) + β1 y2 (a)) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindi, per (3.3) (3.4) equivale a c2 (a) 0. Analogamente, la condizione Scienze di Base Universit` a degli Studie di Napoli “Federico II”= Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y(b) = 0 significa c (b) = 0. Pertanto 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi Z x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z b di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1 c2 (x) = − f (ξ) ydi dξ ,Universit` c1 (x)a = − Studi di f (ξ) y2 (ξ)“Federico dξ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base degli Napoli II” Anno Accademico 1 (ξ) pW a pW x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

x

=

ξ

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 200 XII. PROBLEMI AI LIMITI “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ed in definitiva # di Napoli “Federico II” Anno Accademico" 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z x Z b 1Scienze di Base Caccioppoli” Scuola(3.7) Politecnica e delle Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(x) = − y2 (x) f (ξ) y1 (ξ) dξ + y1 (x) f (ξ) y2 (ξ) dξ . 2013-2014 Luigi Greco DipartimentopW di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a x Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Se poniamo “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (x) y (ξ) 2  − 1 , aa≤degli x ≤Studi ξ ≤ b di Napoli “Federico II” Anno Accademico   Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` pW  def 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (3.8) Dipartimento G(x,diξ)Matematica =   Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico y (ξ) y2 (x) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   − 1 Scuola , Politecnica a ≤ ξ ≤ xe≤delle b Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi pW di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato riscrivere come segueUniversit` Caccioppoli” Scuolapossiamo Politecnica e delle(3.7) Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z be Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica G(x, II” ξ) fAnno (ξ) dξ .Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (3.9) a degli Studi di Napoli y(x) = Scienze di Base Universit` “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”aScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoLaII”funzione Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di (3.1). Matematica G = G(x, ξ)2013-2014 si dice funzione di Green del problema Essa `e e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolareale, Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di G(ξ, Napoli continua in [a,Scienze b]2 e simmetrica, cio`e verifica G(x, ξ) = x). “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ξ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento b di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y1 (x) y2 (ξ) di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato G(x, ξ) =Accademico − y1 (ξ) y“Federico Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellepW Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2 (x) G(x, ξ) = − 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle pW a “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi x a Luigi Greco b Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3.2.diTroviamo la funzione di Green“Renato relativa Caccioppoli” al problema Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco ESEMPIO Dipartimento Matematica e Applicazioni  “Federico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 00 −y = f in [0, 1] di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y(0) = y(1) = 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 00 Caccioppoli” ScuolaL’equazione Politecnica omogenea e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli associata `e −y = 0, aildegli cui integrale generale“Federico `e y = II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle c0 +cDipartimento costanti arbitrarie; possiamo scegliere y1 (x) = x e y2 (x)Scuola = 1 x, con c0 e c1 di Scienze di Base Universit` Studi di`e Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 − x. aIl degli wronsikiano di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi x 1 − xScuola = −x W = − 1 + x = −1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 −1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e poich´ e p ≡ 1, risulta pW = −1. Pertanto 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli  ξ) , 0Politecnica ≤ x ≤ ξ ≤e1delle Scienze di Base Universit` x (1 − di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi G(x, ξ) = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze  di(1 Base Studi − x)Universit` ξ , 0 ≤aξdegli ≤x≤ 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 201 Scuola Politecnica e delle 3. LA FUNZIONE DI GREEN. IL TEOREMA DELL’ALTERNATIVA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e dellealScienze di Base Universit` a degli Studi ESEMPIO 3.3. Caccioppoli” Troviamo la funzione di Green relativa problema di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −y 00 − y = f in [0, π/2] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y(0) = y(π/2) = 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L’equazione `e y 00 +y =II” 0 eAnno possiamo scegliere 2013-2014 y1 (x) = sinLuigi x Scienze di Base Universit` a degliomogenea Studi di associata Napoli “Federico Accademico Greco Dipartimento e y2 (x) = cos x. Il wronsikiano `e Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco sin xLuigicos x = −1 W = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base cos x Universit` − sin x a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e risulta pW =Studi −1. Pertanto Scienze di Base Universit` a degli di Napoli  “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi  ξ , Politecnica 0 ≤ x ≤ ξ ≤e π2delle Scienze di Base Universit` sin x cos di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato G(x, ξ) = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Base Universit` sin ξ cos x , 0 ≤ ξ ≤ x ≤ π2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” AnnodiAccademico 2013-2014 Greco Dipartimento Elenchiamo ulteriori propriet` a della funzione Green. Per ogni ξ ∈ ]a,Luigi b[ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi fissato, risulta: 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato • G(·, ξ) ∈ C[a, b] ∩ C ([a, b] − {ξ}), con ξ discontinuit`a di I specie per Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico le derivate Gx (·, ξ) e Gxx (·, ξ); 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ξ) Matematica “Renato Caccioppoli” • risulta LG(·, = 0 in [a, b]e −Applicazioni {ξ} e valgono le condizioni ai limitiScuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento α1 G(a, ξ) + βCaccioppoli” , αPolitecnica = 0 ; di Base Universit` 1 Gx (a, ξ) = 0Scuola 2 G(b, ξ) + βe 2G x (b, ξ) di Matematica e Applicazioni “Renato delle Scienze a degli Studi • p(·) Gx (·, ξ) ha 2013-2014 in x = ξ salto discontinuit` a pari a di −1.Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico LuigidiGreco Dipartimento Caccioppoli” ScuolaLePolitecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di [a, Napoli “Federico II” Anno Accademico prime due esi delle verificano immediatamente, osservando che su ξ[ la funzione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato aCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle G(·, ξ) `e proporzionale a y1 , mentre esuApplicazioni ]ξ, b] `e proporzionale y2 . Calcoliamo Scienze di Base Universit` Studi dia.Napoli “Federico il saltoadidegli discontinuit` La derivata `e II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento  0 Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi y (x) y2 (ξ)   − 1 Luigi Greco , aDipartimento ≤x 0. L’integrale generale dell’equazione si scrive Scienze di Base Universit` a degli √Studiil di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento y(x) = c1 cos“Renato λx + cCaccioppoli” c1 e c2Politecnica arbitrarie. eEsaminiamo le condi2 sin λx, conScuola di Matematica e Applicazioni delle Scienze di Base Universit` a degli Studi √ ai limiti. Chiaramente y(0) = c1 = 0. Inoltre y(π) = di c2 sin λπ = 0 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicozioni II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica poich´e stiamo cercando di di soddisfare tale condizione con di c2 Napoli 6= 0, dobbiamo Caccioppoli” Scuolae Politecnica Scienze Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico √ e delle a dire avereDipartimento sin λπ = 0, vale 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle √ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli λπ = nπ , n ∈ N. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi il problema ammette soluzioni banali in corrispondenza dei valori e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoPertanto II” Anno Accademico 2013-2014 Luiginon Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze λ din Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = n2 ,Universit` n ∈ aNdegli . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Questi sono dunque gli autovalori del problema e, per ogni n ∈ N fissato, Scuola le Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento autofunzioni associate a λn sono y(x) = c sin nx, al variare di c 6= 0. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi discusso il problema ammette successione autovalori: e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Nell’esempio Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco una Dipartimento didiMatematica comee vedremo, accade in generale. propriet` a che“Federico vale in II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolaquesto, Politecnica delle Scienze di Base Universit` aUn’altra degli Studi di Napoli generale `e l’ortogonalit` a di autosoluzioni corrispondenti ad autovalori distinti. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In effetti, le autosoluzioni sin nx“Federico sono a due ortogonali: se n2013-2014 6= m, risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II”a due Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento Z π Z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi 1 π Politecnica e delle Scienze di Base Universit` sin nx sin mx dx =Luigi Greco sin nxDipartimento sin mx dx = 0di. Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 2 −π 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Precisamente, vale il seguente risultato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle PROPOSIZIONE 4.2. Supponiamo p, Anno p0 , q, Accademico r funzioni reali continue Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento in [a, b]. Se“Renato ym e yCaccioppoli” del problema (4.2)Scienze associate agli Universit` di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle di Base a degli Studi n sono autofunzioni esse sono ortogonali rispetto al pesodir,Matematica cio`e risulta e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoautovalori II” AnnoλAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento m e λn distinti, Z b di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (4.5) Dipartimento di Matematica ym (x) yne (x) r(x) dx = 0“Renato . 2013-2014 Luigi Greco Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dim. La propriet` a di ortogonalit` a segueScuola subito Politecnica dal fatto che e L delle ` e autoaggiunto. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scienze diInvero, Base Universit` a degli Studi risultando ym , yn ∈ X, abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato λm (r ym , yn ) = (Lym , yn ) = (ym , Lyn ) = λn (ym , r yn ) Caccioppoli” Scuolae quindi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la tesi, essendo λm 6= λn . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 204 XII. PROBLEMI AI LIMITI “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Consideriamo adesso l’esistenzaScuola di autovalori. Consideriamo il particolare di Napoli “Federicoproblema II” AnnodiAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Sturm–Liouville  di Base Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −(p y 0 )0 + q y = λ r y 2013-2014 Luigi Greco (4.6) Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle y(a) = y(b) = 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che si chiama problema di Picard. Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II”TEOREMA Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4.3. Se p > 0, r > 0 e q ≥ 0, il problema (4.6) ammette una Caccioppoli” Scuolasuccessione Politecnicadie autovalori, delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che sono positivi e semplici; possono essere ordinati 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle in una successione crescente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 0 < λ1 < λ2Scuola < ··· < λn < · · · e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi di Napoli “Federicoe II” Annolim Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato risulta λ = +∞. Le relative autofunzioni y , n ∈ N, formano un n n n Caccioppoli” Scuolasistema Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ortonormale completo. Inoltre, per ogni n > 1, la autofunzione yn ha II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle esattamente n − 1 zeri in ]a, b[. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dim. Ci limitiamo a verificare alcune delle affermazioni contenute nell’enunciato. di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi • Gli autovalori sonoCaccioppoli” positivi. Se λ ` e un autovalore e y una autofunzione associata, mol- Universit` di Napoli “Federicotiplicando II” Anno Accademico Luigi Grecoper Dipartimento di y) Matematica scalarmente ambo2013-2014 i membri dell’equazione y, troviamo (Ly, = λ (r y, y). e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaInoltre Politecnica e delleZScienze di Base Universit` a degli Z b Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico b 0 0 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (Ly, y) = di [−(py ) + qy]y dx = −[py 0 y]ba + “Renato [p(y 0 )2 + qy ] dx a a Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento b di Matematica e Applicazioni “RenatoZ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi = [p(y 0 )2 + qy 2 ] dx > 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a Caccioppoli” Scuolae Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z b λ (r y, y) = λ r|y|2 dx > 0 , “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a Scienze di Base Universit` degli dunque aλ > 0. Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e delleadScienze di autoBase Universit` a degli Studi • Gli autovalori sonoCaccioppoli” semplici. SianoScuola y1 e y2Politecnica autovettori relativi uno stesso λ; dunque essi sono soluzioni di una medesima equazione omogenea. Il wronskiano e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicovalore II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica y1 (x) y2 (x) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico W (x) = Universit` 0 0 (x) y2 (x) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica ey1Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle si annulla in a e in b, quindi, come ` e noto, ` e identicamente nullo sull’intervallo, W ≡ 0, e i Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento due integrali sono linearmente dipendenti. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Il teorema 4.3 si applica al problema (4.4). In particolare, `e chiaro che la di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato autosoluzione yn (x) = sin nx ha n − 1 zeri in ]0, π[. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di NapoliCAPITOLO “Federico II”XIII Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Equazioni differenziali allea derivate Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di parziali Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1. Generalit` a di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”Un’equazione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato differenziale alle derivate parziali `e un’equazione del tipo  Caccioppoli” Scuola Politecnica  e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∂u ∂u ∂mu ∂mu 2013-2014 Luigi Greco Scuola Politecnica e delle (1.1) Dipartimento F x1 , . .di . , xMatematica , . .e. ,Applicazioni , . . . , “Renato , . . . , Caccioppoli” = 0, n , u, m ∂xII” ∂xAccademico ∂xm 1 n Anno n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli∂x “Federico che esprime “Renato un legame (mediante laScuola funzione F ) tra lae funzione di pi` udivariadi Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica delle Scienze Base Universit` a degli Studi le variabili indipendenti x1 , Luigi . . . , xnGreco , ed alcune derivate di di Matematica u. L’ordine e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicobili II”u,Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento m die derivazione nella (1.1) si chiama Caccioppoli” Scuolamassimo Politecnica delle Scienzeche di compare Base Universit` a degli Studi diordine Napolidell’equa“Federico II” Anno Accademico zione.Dipartimento Una soluzionediclassica dell’equazione `e una funzione di classe C m Scuola in 2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato uCaccioppoli” Politecnica e delle n un aperto di RStudi verificante l’equazione ogni punto. Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “FedericoinII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento L’equazione si dice lineare se FScuola dipende linearmente da Scienze u e da tutte le Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle di Base a degli Studi Un’equazione lineare del secondo in due variabili si scrive e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicosue II”derivate. Anno Accademico 2013-2014 Luigi Grecoordine Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂ 2 u Scienze di ∂ 2 uBase Universit` ∂ 2 u a degli ∂u Studi ∂udi Napoli “Federico II” Anno Accademico (1.2) Dipartimento a11 +2 a +a +b +b +c u=f, 12 22 1 2 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 ∂x ∂y Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento con i coefficienti aij , bCaccioppoli” notoPolitecnica f funzioni edi delle x e y.Scienze di Base Universit` i , c e il termine di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola a degli Studi Le pi` u importanti equazioni a derivate parziali della fisica matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica di questoe delle tipo. Scienze Pertanto su diUniversit` queste che ci concentreremo. Caccioppoli” Scuolasono Politecnica di`eBase a degli Studi di NapoliPrevalen“Federico II” Anno Accademico temente, considereremo equazioni in due variabili (1.2). 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico ESEMPIO 1.1. diLeNapoli equazioni di Laplace e di Poisson sono 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (1.3) ∆u = 0 , ∆u = f , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∂ 2 e Applicazioni ∂2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∆= +··· + ∂x21 ∂x2n Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuolaanche Politecnica a degli Studi `e l’operatore“Renato Laplaciano, spesso indicato con ∇2e. delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II”L’equazione Anno Accademico 2013-2014 Greco delle onde (in due Luigi variabili) `e Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∂2u ∂2u 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (1.4) Dipartimento di Matematica − = 0 . 2 ∂y 2 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli ∂x “Federico L’equazione del calore (in una Scuola variabilePolitecnica spaziale) `ee delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi ∂u ∂ u − 2 = 0 .a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(1.5) Politecnica e delle Scienze di Base ∂t Universit` ∂x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 205 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 206 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellenel Scienze di Base a degli Studi Nelle applicazioni, una questione fondamentale consiste ricercare una Universit` di Napoli “Federicosoluzione II” AnnodiAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato un’equazione differenziale in un dominio D, soddisfacente ulteCaccioppoli” Scuolariori Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico condizioni sulla frontiera di D. Tale questione si chiama problema al 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle contorno per un’equazione alle derivate parziali ed“Renato `e di essaCaccioppoli” che ci occupeScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento remo prevalentemente, per l’equazione (1.2). Il tipo di condizioni aggiuntive di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dipende dal segno del determinante Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco a11 a12 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(1.6) Politecnica e delle Scienze di A Base = Universit` a12 a22 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Su di esso si basa la di classificazione delle equazioni tipo (1.2). Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno differenziali Accademico del 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi A > 0 in D: l’equazione si dice ellittica; di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A < 0 in D: l’equazione si dice iperbolica; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico A = 0 in D: l’equazione si dice parabolica; 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L’equazione si dice di di tipo misto se einApplicazioni D si verificano almento due delle conScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento dizioni precedenti. L’equazione di Laplace `e ellittica; l’equazione delle ondeLuigi `e di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi iperbolica; l’equazione del calore `e parabolica. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle2.Scienze di Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Equazioni diUniversit` Laplacea edegli Poisson 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Siaa Ωdegli un aperto di Napoli Rn ; le soluzioni di Laplace2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` Studi di “Federicodell’equazione II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂ 2 u Scuola∂ 2Politecnica u = 0 in Ω ∆u = +··· + 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∂x21 Luigi ∂x n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico si dicono funzioni armoniche in Ω. Pi` u generale `e l’equazione di Poisson 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∆u = f in , Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”ΩAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delledue Scienze di Base a degli Studi essendo f continua in Ω. Per tale equazione consideriamo problemi al Universit` di Napoli “Federicocontorno. II” AnnoSia Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato D un dominio regolare (connesso). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ˚ ∩ C 0 (D) tale che di Dirichlet. Cerchiamo u ∈ C 2 (D) 2013-2014 Luigi Greco Problema Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ( Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ˚ ∆u = f in D (2.1) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u=g su F D di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ˚Scienze Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle di BasesuUniversit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f continua in D e g continua F D sono funzioni assegnate. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ˚ ∩ C 1 (D) tale che Problema di Neumann. Cerchiamo ∈ C 2 (D) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”u Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ( di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ˚ ∆u = f in D di Napoli “Federico(2.2) II” Anno Accademico 2013-2014 ∂ u Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato g su F D ∂ ν = Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Applicazioni “Renatoassegnate. Caccioppoli” Politecnica e delle ˚ Matematica dove Dipartimento f continua in di D e g continuae su F D sono funzioni ν `eScuola il Scienze di Base Universit` degli Studi di orientato Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ` e la derivata normale. versorea normale a FD verso l’esterno e ∂∂ u ν di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Le questioni che Caccioppoli” esamineremo Scuola sono: esistenza e unicit` a di soluzioni, di- Universit` di Napoli “Federicopendenza II” Annodella Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato soluzione dai dati f e g. Fondamentale per affrontare questi Caccioppoli” Scuolaproblemi Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e lo studio delle propriet`a delle funzioni armoniche. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 207 Scuola Politecnica e delle EQUAZIONI DI LAPLACE E POISSON Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatoarmoniche. Caccioppoli”Sia Scuola e ndelle Scienze di Base a degli Studi 2.1. Funzioni Ω unPolitecnica aperto di R . Una funzione u ∈ Universit` 2 di Napoli “FedericoCII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (Ω) si dice armonica in Ω se il suo laplaciano `e identicamente nullo nell’aCaccioppoli” Scuolaperto, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∆u ≡ 0. Come visto nella proposizione II.1.7, sono funzioni armoni2013-2014 Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che inDipartimento due variabili diparte reale e coefficiente dell’immaginario delle funzioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento olomorfe. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Elenchiamo alcune propriet`a fondamentali delle funzioni armoniche. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato TEOREMA 2.1Scienze (Indefinita derivabilit` a).a Ogni funzione armonica in Ω II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico `e di classe C ∞ (Ω). di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento TEOREMA 2.2 (Propriet`a di media). Sia u armonica in Ω. Per ogni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi sfera chiusa B = B(P0 , r) contenuta in Ω, risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi ZGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola(2.3) Politecnica e delle Scienze a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico u(P ) dσ Studi . u(P0 )di=Base Universit` miseF B FB 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi Napoli “Federico AnnodiAccademico Greco Dipartimento Ada esempio, in di due variabili B `e il II” cerchio raggio r e 2013-2014 centro P0 Luigi = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (x0 , y0 ), γ = F D `e la circonferenza che lo delimita, di lunghezza 2πr; l’uguadi Napoli “Federicoglianza II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2.3) diventa Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 (2.4) Dipartimento di Matematica u(x0 , y0 ) = e Applicazioni u(x, y) ds“Renato . 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2πr γ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.3. Caccioppoli” Scuola aPolitecnica e dellesuperfici Scienze sferiche di Base Universit` a degli Studi Osservazione (a) La propriet` di media sulle di Napoli “Federicoespressa II” Anno Accademico 2013-2014alla Luigi Grecosulle Dipartimento dalla (2.3) `e equivalente versione sfere pienedi Matematica e Applicazioni “Renato Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base1Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico u(P ) dP “Renato . (2.5) Dipartimento di Matematica u(P0 ) = e Applicazioni 2013-2014 Luigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle mis B B Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In effetti, la “Renato (2.5) segue dalla (2.3) Scuola integrando in coordinate di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e dellesferiche; Scienze la di (2.5) Base Universit` a degli Studi implica la (2.3) derivando rispetto al raggio r di B. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (b) La propriet` di mediadicaratterizza le funzioni nel senso che, II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellea Scienze Base Universit` a degli armoniche, Studi di Napoli “Federico 0 se u ∈ C (Ω) verifica la (2.3) per ogni sfera chiusa B ⊂ Ω, essa ` e armonica in 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 Ω, cio` e u ∈ C (Ω) e ∆u ≡ 0. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi TEOREMA 2.4 Caccioppoli” (Principio del Scuola massimo). (a) Ognie funzione non costante di Napoli “Federicoarmonica II” AnnoinAccademico Dipartimento Matematica un aperto 2013-2014 connesso `eLuigi privaGreco di estremi relativi. di(b) Sia D un e Applicazioni “Renato 0 Caccioppoli” Scuoladominio Politecnica e delle Scienze di Base di Napoli ˚ ∩aCdegli ˚ “Federico limitato; una funzione u ∈ Universit` C 2 (D) (D) Studi armonica in D assume II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle massimo e minimo sulla frontiera: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u ≤ u(P ) ≤Scuola max u Politecnica , ∀P ∈ D . di Matematica e Applicazioni “Renatomin e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi FCaccioppoli” D FD di Napoli “Federico II”Dimostreremo Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato queste propriet`a in dimensione 2, ricavandole da noti risulCaccioppoli” Scuolatati Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico per le funzioni olomorfe. Per fare questo, dobbiamo invertire in un certo 2013-2014 Luigi Greco di II.1.7. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sensoDipartimento la proposizione Precisamente, cerchiamo di capire se, assegnata Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” 2Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento una funzione u armonica in un aperto Ω di R , esista una funzione f olomorfa di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi in Ω di cui essa `e la parte reale, cio`eScuola esista Politecnica v definita ineΩdelle tale Scienze che f = di u +Base j v Universit` di Napoli “Federicosia II”olomorfa Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nell’aperto. Una v con tale propriet`a sar`a anch’essa armonica e si Caccioppoli” Scuoladir` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a armonica coniugata a u; il legame tra u e v `e costituito dalle condizioni di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 208 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle ScienzeE Base Universit` a degli Studi ` dichiaro Cauchy-Riemann (II.1.6), quindi v Scuola ha le derivate parziali assegnate. di Napoli “Federicodunque II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che v deve essere una primitiva della forma differenziale Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.6) Dipartimento di Matematica −uy dx + ux dy . 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento La condizione di chiusura della forma (2.6) si scrive −uyy = 2013-2014 uxx e quindi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi equivale alla armonicit` a di u. Dunque di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato PROPOSIZIONE 2.5. di InBase un aperto semplicemente fun- II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studiconnesso, di Napoliogni “Federico zione armonica ` e dotata di armonica coniugata, cio` e ` e la parte reale di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”una Scuola Politecnica e delle funzione olomorfa. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2.5 Caccioppoli” Politecnica e delle propriet` Scienze adiper Base a degli Studi La proposizione consentir`a Scuola di dedurre le menzionate le Universit` di Napoli “Federicofunzioni II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato armoniche a partire da quelle delle funzioni olomorfe. Un esempio `e Caccioppoli” Scuolaquello Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico della indefinita derivabilit`a; per definizione, una funzione armonica `e 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle la parte reale di una funzione olomorfa, essa risulta di classe C 2 , ma essendo ∞ Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli di classe C . Nel caso in cui Ω non sia semplicemente connesso, in generale di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e reale delle di Scienze di Base Universit` a degli Studi non possiamo vedere Caccioppoli” una funzione armonica come parte una funzione di Napoli “Federicoolomorfa. II” AnnoPossiamo Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per` o fare questo localmente, cio`e in un intorno del generico ∞ Caccioppoli” Scuolapunto Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Ω; questo consente ugualmente di ottenere la regolarit`a C : per 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle verificarla, basta ragionare sui cerchie (che evidentemente sonoCaccioppoli” semplicemente Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento connessi) contenuti in Ω. Ricordiamo la propriet`a di media per le funzioni di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi olomorfe, cfr. paragrafo IV.2. Sia f olomorfa in Ω; per ogni cerchio chiuso Universit` di Napoli “FedericoB(z II” ,Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 r) ⊂ Ω, detta γ(r) la frontiera, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica f (z0 ) = e Applicazioni f (z) ds .“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2πr Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoγ(r) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola otteniamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Scrivendo f “Renato = u + j vCaccioppoli” in forma algebrica, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 LuigiZGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e 0delle Scienze a degli Studi diy)] Napoli u(x , y0 ) + j v(x0 ,diy0Base ) = Universit` [u(x, y) + j v(x, ds “Federico II” Anno Accademico γ(r) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 2πr e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi separando di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento e la (2.4) si ottiene reale dall’immaginario. Mediante2013-2014 la propriet` a di Matematica e Applicazioni a degli Studi di media, si “Renato dimostra Caccioppoli” il seguente Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato TEOREMA 2.6Scienze (di Liouville). funzione armonica tutto lo spazio II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola nPolitecnica e delle di Base Una Universit` a degli Studi diinNapoli “Federico R , che sia limitata superiormente o inferiormante, ` e costante. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II”RnAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Dim. Ad esempio, supponiamo u ≥ “Federico 0 armonica in e mostriamo che u ` e costante. Scelto P0 ∈ Rn arbitrariamente, per la propriet` a di media abbiamo, e∀rdelle > 0, Scienze (per comodit` a di Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base a degli Studi cosideriamo il caso n = 2) di Napoli “Federiconotazioni, II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z Z 1e delle Scienze di Base 1 Universit` π(rdi + Napoli OP0 )2 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi u(P0 ) = u(P ) dP ≤ u(P ) dP = u(O) . 2 πr2 P0 P di πr2 e OP ≤r Matematica ≤r+OP0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni “Renato πr Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Passando al limite per rdi→Napoli +∞, troviamo u(P0 II” ) ≤ u(O). il ruolo di P0 e Luigi O, Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico Anno Scambiando Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento otteniamo l’altra disuguaglianza u(O) ≤ u(P0 ) e quindi u(P0 ) = u(O). La tesi segue per di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi l’arbitrariet` a di P0 . di Napoli “Federico II”IlAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato principio del massimo segue dalla propriet`a di media. Ci limitiamo per Caccioppoli” Scuolasemplicit` Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico a ai punti di estremo assoluto: supponiamo P0 punto di massimo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 209 Scuola Politecnica e delle EQUAZIONI DI LAPLACE E POISSON Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delleCominciamo Scienze di Base a degli Studi assoluto di u“Renato in Ω e mostriamo cheScuola la funzione `e costante. mo- Universit` di Napoli “Federicostrando II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato che u `e costante su un qualsiasi cerchio chiuso B = B(P0 , r) contenuto Caccioppoli” ScuolainPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ω. Per la propriet` a di media (2.5), abbiamo 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u(P0 ) = 2 u(P ) dP πr B Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico [u(P0 ) − )] dP = 0 .“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e u(P Applicazioni B Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento L’integrando `e non-negativo, quindi esso `e identicamente nullo, cio`e u ≡ u(P0 ) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi su B. Il ragionamento precedente mostra che l’insieme di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze degliu Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico E = {di P Base ∈ Ω Universit` : u(P ) =amax } 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle `e aperto. Per Studi la continuit` a di “Federico u, `e aperto complementare Ω − ELuigi e Scienze di Base Universit` a degli di Napoli II”anche Anno ilAccademico 2013-2014 Greco Dipartimento quindi, essendo Ω connesso e E = 6 ∅ poich´ e P ∈ E, risulta E = Ω, cio` e u ` e Universit` 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi in Accademico Ω. Nel caso di un puntoLuigi di minimo, si ragiona allodistesso modo. e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocostante II” Anno 2013-2014 Greco Dipartimento Matematica L’altro enunciato segue di poiBase da Universit` questo. Notiamo che di perNapoli il teorema di II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi “Federico Weierstrass u ` e dotata di minimo e di massimo in D. Se uno di essi fosse 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ˚ `e connesso) assuntoa in un Studi puntodiinterno, sarebbe II” costante se D Scienze di Base Universit` degli Napoli u“Federico Anno (almeno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e il risultato“Renato sarebbeCaccioppoli” banale. Si mostra l’ipotesie di connessione `e Universit` di Matematica e Applicazioni Scuola che Politecnica delle Scienze dinon Base a degli Studi necessaria. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2.7. Scienze di Base a degli di NapoliAd “Federico Osservazione L’ipotesi di Universit` limitatezza di DStudi `e essenziale. esem- II” Anno Accademico x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle pio, la funzione u(x, y) = e sin y `e armonica nella striscia D = R × [0, 2π], Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento identicamente nulla sulla frontiera, ma di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u = −∞ Luigi , sup u =Dipartimento +∞ . di Napoli “Federico II” Anno Accademicoinf 2013-2014 Greco di Matematica e Applicazioni “Renato D D Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico principio del massimo, segue subito un risultato unicit`a perScuola il 2013-2014 Luigi Greco Dal Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Caccioppoli” Politecnica e delle problema (2.1) di Dirichlet relativo all’equazione di Poisson. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi COROLLARIO 2.8. Il problema di Dirichlet per el’equazione di Poisson di Napoli “FedericohaII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato al pi` u una soluzione. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dim. Dipartimento Se u1 e u2 sono soluzioni, la differenza u = u1 − u2 verifica ∆u =Caccioppoli” 0, cio` e` e armonica, 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle ˚ e u ≡ 0 su F D. Pertanto u ≡ 0 in D, cio` in D u2 . 1 ≡Anno Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoe uII” Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Ricaviamo Politecnicaalcune e delleidentit` Scienze di Base Universit` a degli Studi Veniamo“Renato al problema di Neumann. a integradi Napoli “Federicoli II” Accademico 2013-2014 Luigi di Greco Dipartimento di Matematica cheAnno vanno sotto il nome di formule Green. Cominciamo con alcune e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolauguaglianze Politecnicaovvie; e delleseScienze Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico u ∈ C 2di (D) e v Universit` ∈ C 1 (D),a risulta 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∆u = div ∇u , div(v ∇u) = ∇u · ∇v + v ∆u . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” ScuolaalPolitecnica e delle vScienze di Base Universit` a degli Studi Applichiamo“Renato il teorema della divergenza campo vettoriale ∇u: Z Z Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco ∂u dσ .di Napoli “Federico II” Anno Accademico (∇u · ∇v v ∆u) dP = a degli v Studi Caccioppoli” Scuola(2.7) Politecnica e delle Scienze di+Base Universit` ∂ν F D “Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 210 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi Questa `e la “Renato prima formula di Green. Invertendo il ruolo di uScienze e v (supposta 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoanch’essa II” AnnodiAccademico classe C (D)), abbiamo pure Z Scienze di Base Universit` Za degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂v 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di(∇u Matematica e Applicazioni · ∇v + u ∆v) dP = u“Renato dσ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂ν F D Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi Ddi Napoli “Federico II” Anno e sottraendo“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi   Z Z ∂v di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco∂uDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2.8) (v ∆u − u ∆v) dP = v −u dσ . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a∂νdegli Studi ∂ν di Napoli “Federico II” Anno Accademico D FD 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Questa `e la secondadiformula di Green. Consideriamo alcuniCaccioppoli” casi particolari Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento delle formule precedenti. Poniamo v ≡ 1 in (2.7): Z Z Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi ∂u di Napoli “Federico(2.9) II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato . ∆u dPLuigi = Greco dσ F D ∂νa degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeDdi Base Universit` Questa uguaglianzadiimplica immediatamente la seguente condizione di com2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle patibilit` per ilStudi problema di Neumann: Scienze di Base Universit` aadegli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi COROLLARIO 2.9. Siano fScuola ∈ C(D) e g ∈ C(F D). Scienze Se il problema di Napoli “Federico(2.2) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ammette soluzione, vale l’uguaglianza Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Zdi Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco (2.10)Dipartimento di Matematica f dPe=Applicazioni g dσ . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle D Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di NapoliD“Federico FII” ` facile verificare di Matematica e Applicazioni “Renato Scuolache Politecnica di Base a degli Studi (x2 +Scienze y 2 ) risolve nel Universit` ESEMPIO 2.10.Caccioppoli” E u(x, y) =e 21delle di Napoli “Federicocerchio II” Anno Greco di Matematica e Applicazioni “Renato D diAccademico centro O e 2013-2014 raggio 1 il Luigi problema di Dipartimento Neumann Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di(Base Universit` ˚ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∆u =e 2Applicazioni in D 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂u su D Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ∂ν = 1 di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Osserviamo “Renato esplicitamente che valeScuola la condizione di compatibilit` a (2.10). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Prendiamo ora vScienze = u armonica (2.7): a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base in Universit` Z Z ∂u “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni 2 (2.11) |∇u| dP = u dσ . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno ∂ν Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento D FD di Matematica e Applicazioni∂ u“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Se inoltre ν = 0 su F D, risulta di Napoli “Federico II” Anno∂Accademico 2013-2014 Z Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` |∇u| dP = 0a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle D Scienze di Base Universit` a ∇u degli≡Studi di E Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento `Napoli e quindi 0 in D. chiaro“Federico che, se u `eII” soluzione del problema2013-2014 di Neumann di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi (2.2), lo `e pure u + c per ogni costante c, essendo le condizioni del problema Universit` di Napoli “Federicoimposte II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sulle derivate, dunque non c’`e unicit`a di soluzione. Le considerazioni Caccioppoli” Scuolaprecedenti Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico forniscono subito un risultato di unicit` a a meno di una costante: 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle COROLLARIO soluzioni problema di Neumann (2.2) Scienze di Base Universit` a degli Studi di 2.11. NapoliDue “Federico II”del Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento differiscono per una costante. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoDim. II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica Ricordiamo che D ` e connesso. Se Luigi u1 e uGreco entrambe il problema (2.2), la e Applicazioni “Renato 2 risolvono ∂u ˚ e soddisfa Caccioppoli” Scuoladifferenza Politecnica delle Universit` a=degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 su F D. Pertanto ` e costante. u = ue1 − u2 ` eScienze armonicadiinBase D ∂ν 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 211 Scuola Politecnica e delle EQUAZIONI DI LAPLACE E POISSON Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuoladiPolitecnica dellel’equazione Scienze di Base a degli Studi 2.2. Risoluzione del problema Dirichlete per di Universit` di Napoli “FedericoLaplace II” AnnoinAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato un cerchio. Sia D il cerchio di centro l’origine O e raggio R. Caccioppoli” ScuolaConsideriamo Politecnica eildelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico problema di Dirichlet su D relativo all’equazione di Laplace: ( 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ˚II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ∆u “Federico = 0 in D Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli (2.12) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi u = g Scuola su γ(R) = F D e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato g continua su γ(R) = di FD `e una funzione assegnata. Costruiremo la II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuoladove Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico soluzione mediante il metodo di separazione delle variabili. Adoperiamo le 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle coordinate polari Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x = ρ cos ϑScuola , yPolitecnica = ρ sin ϑ e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federicoe II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato definiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` degli U (ρ,diϑ)Base = u(ρ cos ϑ, ρasin ϑ) . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Con abuso di notazioni, confonderemo u e U , cio`e considereremo u funzione Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di ρ e ϑ. Il laplaciano si esprime in termini delle derivate rispetto a ρ e ϑ: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 1 Greco Dipartimento di Napoli “Federico(2.13) II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato ∆u = uxx + uyy = 2 uϑϑ + uρρ + uρ . ρ ρ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L’equazione di Laplace si riscrive dunque come segue Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 1 (2.14) uρρ + uCaccioppoli” 0, ρ < R, 0 ≤ ϑ ≤ 2π . di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ρ + 2 uϑϑ =Scuola ρ ρ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato soluzioni del tipodi Base Universit` Caccioppoli” ScuolaCerchiamo Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni (2.15) u(ρ, ϑ) = v(ρ) w(ϑ) . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Una soluzione di questo tipo sar`a Scuola detta soluzione elementare. L’equazione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi diviene di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 0 1 00 Caccioppoli” Scuola Politecnica e vdelle Universit` degli (ρ) Scienze w(ϑ) + divBase (ρ) w(ϑ) + 2av(ρ) w00Studi (ϑ) =di0 ,Napoli “Federico II” Anno Accademico ρ ρ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ovveroa degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` ρ2 v 00 (ρ) + ρScuola v 0 (ρ) Politecnica w00 (ϑ) e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi (2.16) =− . v(ρ) Luigi Grecow(ϑ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaInPolitecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli questa uguaglianza, il primo membro dipende esclusivamente da “Federico ρ, il se- II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle condo membro dipende da ϑ. L’uguaglianza `e possibile solo se i due membri Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento sono uguali ad una stessa costante, che indichiamo con λ. Pertanto di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi  w00 (ϑ)Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014  − =λ    diw(ϑ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2.17)Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco  00   ρ2 v“Federico (ρ) + ρ v 0II” (ρ) Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli   =λ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”v(ρ) Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoLaII”prima Annoequazione Accademico 2013-2014 00 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato si riscrive w + λ w = 0. Cerchiamo soluzioni non idenCaccioppoli” Scuolaticamente Politecnica e delle Scienze di Universit` a degli Studididiperiodo Napoli “Federico nulle che abbiano unBase prolungamento periodico 2π. Per II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 212 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e dellesono Scienze di Base Universit` a degli Studi λ < 0 non ce ne sono. Per λ = 0,Scuola le soluzioni ammissibili le costanti. di Napoli “FedericoPer II”λAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato > 0, l’integrale generale `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base√Universit` a√ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico w = a cos e λϑ + b sin λϑ“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni √ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico Luigi Greco Dipartimento `e intero. Dunque2013-2014 λ = n2 , con ed `e periodico di periodo 2π se e solo seII” λAnno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi n ∈ N0 . In corrispondenza di tali valori di λ, troviamo le soluzioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = Base a cos nϑ + b sinanϑ . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzew di Universit` degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Consideriamo ora la seconda equazione in (2.17) per i valori di λ trovati: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (2.18) ρ2 v 00 + ρScuola v 0 − n2Politecnica v = 0. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Si tratta di un’equazione di Eulero. Per n = 0, l’integrale generale `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle v = ae +Applicazioni b log ρ . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per n > 0, ponendo = ρα nell’equazione, caratteristica di Matematica e Applicazioni “Renatov Caccioppoli” Scuola scriviamo Politecnical’equazione e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato α (α − 1) + α − n = 0 , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che ha le soluzioni αdi=Matematica ∓n. Pertanto l’integrale generale `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoliv“Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = a ρn + bII” ρ−n . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi v `eAccademico continua in 02013-2014 se e solo se b = 0. In definitiva, troviamo le soluzioni e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericoDunque, II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuolaelementari Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica (2.19) un (ρ, ϑ) = ρ (an cos nϑ + bn sin nϑ) . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi di Napoli “Federico II”n Anno Accademico 2013-2014nLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n n n n ρ cos nϑ = Re z = Re(x + jy) , ρ sin nϑ = Im z = Im(x + jy) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dobbiamo soddisfare condizione al contorno, che“Renato si riscriveCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di laMatematica e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u(R, ϑ) = g(ϑ) , 0 ≤ ϑ ≤ 2π . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico(Con II” Anno Luigig Greco Dipartimento di condizione Matematica abusoAccademico di notazioni,2013-2014 consideriamo dipendente da ϑ.) La al e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolacontorno Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico `e verificata da una di soluzione elementare solo per di dati g particolari. 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Per gDipartimento continua generica, possiamo pensare di soddisfarla con una somma finita Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento o una serie di Studi soluzioni elementari di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ X di Napoli “Federico(2.20) II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato u(ρ, ϑ) = ρn Luigi (an cosGreco nϑ + Dipartimento bn sin nϑ) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Se la serie converge in maniera opportuna, si pu`o dimostrare che la sommaScuola `e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento armonica per ρ < R e continua per ρ ≤ R. La condizione al contorno diventa di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ X di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n = di R (anUniversit` cos nϑ +a bdegli . di Napoli “Federico II” Anno Accademico n sin nϑ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleg(ϑ) Scienze Base Studi n=0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di2. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 213 Scuola Politecnica e delle EQUAZIONI DI LAPLACE E POISSON Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi Tale uguaglianza `e possibile se e solo a secondo membro compare la serie di Universit` di Napoli “FedericoFourier II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di g, cio`e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleZ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 di2πMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento g(t) dt , a0 = 2π 0di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi (2.21) di Matematica e Applicazioni “Renato ZCaccioppoli” Scuola Politecnica eZ delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2π 2π 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Rn an = g(t) cos nt dt , R n bn = g(t) sin nt dt , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleπScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 0 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle per ogni n ∈ N. Sotto l’ipotesi che g sia continua, `e possibile giustificare Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento il procedimento esposto e mostrare che esso fornisce la soluzione (unica) del di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi problema. Inseriamo nella (2.20) i coefficienti dati dalle (2.21); essendo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` degli Studi cosScienze nt cos nϑdi+Base sin nt sin nϑ =a cos n(ϑ − t) di , Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle troviamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z Politecnica e delle Scienze di Base Universit` +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi ρ n 2π 1 X Scuola u(ρ, ϑ) = a02013-2014 + g(t)Dipartimento cos n(ϑ − t) dtdi. Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco π R 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze din=1 Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ` possibile invertire sommatoria e integrale e scrivere E Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento " # Z 2π +∞  n X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 1 ρ u(ρ, ϑ) = 2013-2014 g(t) Luigi −1 +Greco 2 cos n(ϑ −dit)Matematica dt . di Napoli “Federico(2.22) II” Anno Accademico Dipartimento e Applicazioni “Renato 2π 0 R n=0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle In effetti, la serie indi(2.22) `e totalmente convergente al variare di t ∈ [0, 2π], Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico per ogni ϑ e ρ Studi < R fissati, e quindi pu`o essere integrata ternine 2013-2014 a termine. Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Calcoliamo la somma
n della serie in (2.22). Il termine generale `e la parte di Napoli “Federicoreale II” Anno Accademico Luigicercata Greco `eDipartimento di Matematica di (ρ/R) ej(ϑ−t) 2013-2014 . La somma dunque la parte reale della e Applicazioni “Renato j(ϑ−t)Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolasomma Politecnica e delle Scienze didiBase Universit` della serie geometrica ragione (ρ/R)a edegli : 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞  n “Federico X Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli ρ j(ϑ−t) R II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi R R − ρ ej(ϑ−t) n=0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R2 − R ρ e−j(ϑ−t) = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle [R − ρ cos(ϑ t)]2 +Accademico ρ2 sin2 (ϑ − 2013-2014 t) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” −Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Uguagliando“Renato la parte Caccioppoli” reale di primoScuola e secondo membro, abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞  n R2 −aRdegli ρ cos(ϑ − t)di Napoli “Federico II” Anno Accademico ρ Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola PolitecnicaX e delle Studi cos n(ϑ − t) = 2 , Rdi Matematica e R − 2 R ρ cos(ϑ − t) + Caccioppoli” ρ2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle n=0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento quindi, da (2.22) ricaviamo di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Z 2π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 12013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Dipartimento 2 R −ρ ϑ) = g(t) Universit` dt Caccioppoli” Scuola(2.23) Politecnica u(ρ, e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2π 0 R2 − 2 R ρ cos(ϑ − t) + ρ2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 214 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi L’integrale a“Renato secondoCaccioppoli” membro della (2.23) si chiamae integrale di Poisson. di Napoli “FedericoDetti II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ˚ il punto di coordinate polari (ρ, ϑ) e Q ∈ γ(R) = F D il punto P ∈D 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di coordinate polari (R, t), risulta OQ = R2 , OP = ρ2 , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 jt Scienze di Base Universit` Anno 2013-2014 P Qa degli = |R eStudi − ρdi ejϑNapoli |2 = |R“Federico − ρ ej(ϑ−t)II” |2 = R2 −Accademico 2 R ρ cos(ϑ − t) + ρ2 , Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi quindi la (2.23) si riscrive di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z 2 R2 − OP a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze1di Base Universit` u(P ) = g(Q) ds(Q) . 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2πR γ(R)e Applicazioni PQ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento La funzione di Matematica e Applicazioni “Renato  Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 Z 2  g(Q)Greco Dipartimento − OP Luigi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato  R2013-2014 ˚ 2 ds(Q) , P ∈ D ) = Scienze 2πR Caccioppoli” Scuola Politecnicau(P e delle di Baseγ Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico PQ  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dig(P Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ), P ∈γ=F D Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ˚ ∩ C(D) ˚ Politecnica verifica u ∈ “Renato C 2 (D) e ∆u ≡ Scuola 0 in D, cio`e `e soluzione delScienze problema. di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” e delle di Base Universit` a degli Studi funzione di Napoli “Federico II”La Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 diRBase − OP ˚, Q ∈ FD , K(P, Q) = , P ∈D 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2πR PQ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento si chiama nucleo di Poisson. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato L’equazione del calore Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico deldi calore `e 2013-2014 Luigi Greco L’equazione Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle  2  2 Anno Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ∂ u ∂II” u ∂ 2 u Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ∂u = C + + . e delle Scienze di Base Universit` (3.1) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi 2 2 ∂t ∂xScuola ∂yPolitecnica ∂z 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` un’equazione di tipo parabolico, che regge il fenomeno della conduzione Caccioppoli” ScuolaE Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico del attraversodiun mezzo isotropo omogeneo,“Renato in assenza di sorgente;Scuola il 2013-2014 Luigi Grecocalore Dipartimento Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Politecnica e delle 3 punto (x, y, z) varia in un dominio dello spazio R , mentre t ≥ 0 ` e una variabile Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento temporale. La funzione incognita uScuola = u(x,Politecnica y, z, t) rappresenta la temperatura di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi nel punto (x, y, z) all’istante t. C > 0 ` e una costante che dipende dal mezzo. e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Noi considereremo una semplificazione unidimensionale (3.1) di un II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi didella Napoli “Federico filo sottile disposto lungo l’asse x. Le altre due dimensioni si immaginano 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”traScuola Politecnica e delle scurabili. Per Studi semplicit` a, supponiamo inoltre che sia C = 1. Il caso generale Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento si tratta analogamente, o si riconduce al caso in esamee con cambiamento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delleunScienze di Base Universit` a degli Studi variabili. Dunque l’equazione `e Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “FedericodiII” Anno Accademico 2013-2014 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base ∂ 2 u a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∂u Universit` (3.2) = . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ∂t e Applicazioni ∂x2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ESERCIZIO 3.1. Mostrare che, se u = u(x, t) verifica (3.2), la funzione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi v(x, t) = u(x, Ct) verifica 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∂v ∂ v =Universit` C . a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 2 ∂t ∂x 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 215 Scuola Politecnica e delle 3. L’EQUAZIONE DEL CALORE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” PolitecnicaImmaginiamo e delle Scienze disbarBase Universit` a degli Studi 3.1. Il “Renato problema di CauchyScuola nel semipiano. una di Napoli “FedericoraII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato illimitata, che occupi interamente l’asse x, e descriviamo come evolve la Caccioppoli” Scuolatemperatura Politecnica equando delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e assegnata in ogni punto all’istante iniziale. Dunque 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle consideriamo il seguente problema di Cauchy  Napoli 2“Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di ∂u ∂ u Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato  Caccioppoli” a degli Studi , ∀x ∈ R , ∀t ≥ 0 = (3.3) ∂t2013-2014 ∂x2 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico u(x, 0) = u (x) , ∀x ∈ R 0 Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle nel semipiano R × [0, +∞[. Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni u = u0 “Renatox Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Supponiamo“Renato u(·, t), uCaccioppoli” t) sommabili su R,e delle ∀t ≥ Scienze 0. Inoltre, per Universit` x (·, t) e uxx (·, di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica di Base a degli Studi ogni T > 0, esista f = f (x) sommabile su R tale che T di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base |ut (x, t)| ≤ di f (x) , Universit` ∀x ∈ Ra, degli ∀t ∈ Studi [0, T ] .di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Quest’ultima permetter` a di derivare segno di integrale la funScienze di Base Universit` a degli ipotesi Studi di Napoli “Federico II” sotto AnnoilAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento zione di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Z Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t 7→ u(x, t) dx −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e altre espressioni simili. Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli(3.3), “Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Pera risolvere il problema usiamoII” la Anno trasformazione di Fourier rispetdi Matematica e Applicazioni “Renato a degli Studi to alla variabile x: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 [f ] = di Base e−jωx f (x) dxa, degliωStudi ∈ R . di Napoli “Federico II” Anno Accademico F Scienze Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` −∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Applicando trasformazione ad ambo II” i membri dell’equazione ut = uxx , Scienze di Base Universit` a deglilaStudi di Napoli “Federico Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento otteniamo “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 ] = FGreco [uxx ] . Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato F [utLuigi Caccioppoli” ScuolaIndichiamo Politecnicacon e delle Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico u ˆ = Scienze u ˆ(ω, t) laditrasformata di u(·, t). Notiamo che 2013-2014 Luigi Greco DipartimentoZ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z +∞ +∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −jωx −jωx “Federico II”dAnno Accademico e u(x, t) dx e ut (x, t) dx = F [ut ] = dt −∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −∞ di Napoli “Federicoper II”l’ipotesi Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato fatta. Consideriamo la variabile ω come parametro. Per la seCaccioppoli” Scuolaconda Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico formula fondamentale, vediamo che u ˆ(ω, ·) risolve, ∀ω ∈ R, l’equazione 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 216 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni a degli Studi differenziale “Renato ordinariaCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato d ˆBase (ω, t) Universit` = −ω 2 u ˆ(ω, t) Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzedtdiu a degli 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −ω 2 t u ˆ(ω, t) Scuola = c(ω) ePolitecnica . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoLaII”condizione Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato iniziale implica u ˆ(ω, 0) = u ˆ0 (ω), dunque Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −ω 2 t 2013-2014 Luigi Greco (3.4) Dipartimento di Matematica u ˆ(ω, t) =e u ˆApplicazioni . “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 (ω) e Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per ricavare“Renato u, dobbiamo antitrasformare. Tenendo presente di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle che Scienze di Base Universit` a degli Studi   di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 x2 1 t 4t √ ea−degli e−ω = FUniversit` Caccioppoli” Scuola(3.5) Politecnica e delle Scienze di Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 πt 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e ricordando la trasformata della convoluzione il prodotto 2013-2014 delle trasforScienze di Base Universit` a degliche Studi di Napoli “Federico II” Anno `eAccademico Luigi Greco Dipartimento mate, riconosciamo secondo membro (3.4) la etrasformata di di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renatonel Caccioppoli” Scuoladella Politecnica delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  1  − x2 √ Universit` e 4t ∗audegli u(x, t)di=Base , Caccioppoli” Scuola(3.6) Politecnica e delle Scienze di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 (x) Studi 2 eπtApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a deglilaStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento che fornisce soluzione del problema. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi La funzione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi1Greco xDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 √ e− t) =Universit` Caccioppoli” Scuola(3.7) Politecnica e delle ScienzeK(x, di Base a 4t degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 πt 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle si chiama soluzione dell’equazione delAccademico calore. La soluzione data Scienze di Base Universit` a degli Studi fondamentale di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento dalla (3.6) si“Renato scrive Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato u(x, = K(x, t) ∗ ua0 (x) . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(3.8) Politecnica e delle Scienze di t) Base Universit` degli 2013-2014 Luigi Greco Osservazione Dipartimento di e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3.2.Matematica Risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi diZ Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a degli Studi (3.9) K(x, t) dx = 1 ,Politecnica ∀t > 0 e. delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico−∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Questa uguaglianza `e il caso ω = 0 di (3.5). Inoltre 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 1 II” xAnno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √ K Politecnica √ , 1 . e delle Scienze di Base Universit` K(x, t) =Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi t t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato segue, pereildelle teorema sulle Caccioppoli” ScuolaNePolitecnica Scienze diδ-successioni Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni lim K(x, t) = δ(x) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napolit→0+ “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e ancora di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato lim u(x, t) = lim di K(x, t) ∗Universit` u0 (x) =aδ(x) 0 (x) = 0 (x) . “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Base degli∗ u Studi di uNapoli t→0+e delle Scienze t→0+ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 217 Scuola Politecnica e delle 4. L’EQUAZIONE DELLE ONDE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuoladelle Politecnica a degli Studi 4. L’equazione onde e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Per semplicit` a, nel seguito ci limiteremo delle onde“Federico in una II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` aall’equazione degli Studi di Napoli variabile spaziale 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.1) utt − uxx = 0 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoSiII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato tratta di un’equazione iperbolica. L’operatore differenziale lineare che a priCaccioppoli” Scuolamo Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico membro `e applicato a u si chiama operatore delle onde, o d’Alembertiano, 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle e si denota con . Notiamo per essoe la “fattorizzazione” Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento    di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e∂ delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂2 ∂ ∂2 ∂Politecnica ∂ − = (4.2)  = + − . di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 2 ∂t ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento In effetti, per u ∈ Cdi , risulta Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento = utt − uxx t − ux )t + (uScuola t − ux )x di Matematica e Applicazioni “Renato(u Caccioppoli” Politecnica e .delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Con il cambiamento di variabili Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (4.3) ξ = x + t, η = x − t, Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ξ−η ξ+η t = a degli, Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x =di Base, Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle quindi Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento     di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂ 1 ∂ ∂ Scuola∂Politecnica 1 ∂ e delle ∂ = + , = − ,di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ∂ξ 2 ∂x ∂t ∂η 2 ∂x ∂t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e (4.2) fornisce 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” ∂Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 ∂ 2 “Federico ∂2 − = 4 . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂x2 ∂t2 ∂ξ ∂η di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Il problema di Cauchy nel semipiano.“Renato Consideriamo il seguente 2013-2014 Luigi Greco 4.1. Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle problema Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂2u ∂2u   di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = , ∀x ∈ R , ∀t ≥ 0  ∂t2013-2014 2 ∂x2 Caccioppoli” Scuola(4.4) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico u(x, 0) = f (x) , ∀x ∈ R  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle g(x) , ∀x R Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t (x, 0) = Scienze di Base Universit` a degli Studi di uNapoli “Federico II”∈Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federiconel II”semipiano Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola(4.5) Politecnica e delle Scienze di t) Base a degli { (x, : xUniversit` ∈ R, t ≥ 0 } . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 218 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento t di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatox Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = f, uII” g t =Anno Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoliu“Federico Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Le funzioni f e g definite in R sono assegnate. Esso si dice problema di Cauchy, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato poich´e sono imposte le due condizioni iniziali. Usando il cambiamento di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico variabili (4.3), l’equazione si riscrive 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli ∂ 2“Federico u ∂ ∂II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (4.6) =Scuola Politecnica u = 0. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato abuso die delle notazioni, consideriamo u funzione ξ e η.) Notiamo che il II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola(Con Politecnica Scienze di Base Universit` a deglidiStudi di Napoli “Federico semipiano (4.5) si trasforma nel semipiano del piano ξ, η 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento { (ξ, η) ∈ R2 : ξ ≥ η } . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ∂ ∂ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Napoli “FedericoDalla II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato (4.6) segue che ∂η u `e costante rispetto a ξ, ∂η u = h(η) per un’opporCaccioppoli” Scuolatuna Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzione h. Integrando rispetto a η, otteniamo che u si esprime come 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle somma di una funzione di ξ e una die η: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u(ξ, η) =Scuola Φ(ξ) +Politecnica Ψ(η) . di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato allee variabili x e t,di Base Universit` Caccioppoli” ScuolaTornando Politecnica delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (4.7) u(x, t) = Φ(x + t) + Ψ(x − t) . Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Questa `e la “Renato soluzioneCaccioppoli” generale dell’equazione in (4.4).e Le condizioni iniziali di Napoli “Federicodivengono II” Anno allora Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (4.8) Dipartimento u(x, 0) = Φ(x) Ψ(x) = f (x)e , Applicazioni ut (x, 0) =“Renato Φ0 (x) − Caccioppoli” Ψ0 (x) = g(x) .Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco di +Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Ricaviamo Φ e Ψ in termini di f e g da queste uguaglianze. Sia (x0 , t0 ) un di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi punto del semipiano (4.5), cio`e t0 ≥ 0. Dalla seconda uguaglianza, integrando di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z x0 +t0 e delle Scienze di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle g(x) dx = Φ(x0 + t0 ) − Ψ(x0 + t0 ) − Φ(x0 − t0 ) + Ψ(x0 − t0 ) , Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x0a−tdegli 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi dallaAccademico prima otteniamo di Napoli “Federicomentre II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuolaf (x Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 + t0 ) + f (x0 − t0 ) = Φ(x0 + t0 ) + Ψ(x0 + t0 ) + Φ(x0 − t0 ) + Ψ(x0 − t0 ) , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 219 Scuola Politecnica e delle 4. L’EQUAZIONE DELLE ONDE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renatoe dividendo Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi quindi, sommando per Scuola 2, ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato u(x , t0 ) Scienze = Φ(x0 + ) degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e 0delle di tBase Universit` 0 ) + Ψ(x 0 − t0a Z 2013-2014 Luigi Greco e Applicazioni Scuola Politecnica e delle (4.9) Dipartimento di Matematica 0  “Renato 1 1 x0 +tCaccioppoli” = Napoli dx . f (x0 + t0 ) + f (xII” t0 ) +Accademicog(x) 0 −Anno Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 2 2 0 −t0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e xdelle Scienze di Base Universit` a degli Studi si evince che u(xLuigi dipende solo da f e gdisull’intervallo 0 , t0 ) Greco di Napoli “FedericoDa II”questa Anno formula Accademico 2013-2014 Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato ] (non su tutto R). Universit` 0 − t0 , x0 + et0delle Caccioppoli” Scuola[xPolitecnica Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni (x0 , t0 ) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi tdi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle x0 Anno Accademico Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x0 − “Federico t0 x0 + t0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”4.2. AnnoProblema Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato misto nella semistriscia. Consideriamo il problema Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  2Scienze2 di Base Universit` ∂diuMatematica ∂ u  2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni  0 ≤ x ≤ π“Renato , ∀t ≥ 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   ∂x2 − ∂t2 = 0 ,  Scienze di Base Universit` a degli Studi  di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u(0, t) = u(π, t) = 0 , ∀t ≥0 (4.10) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi   di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  u(x, 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ π    Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ut (x, 0) = g(x) , 0≤x≤π 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Le ultime due Studi condizioni al contorno si interpretano come condizioni iniziali Scienze di Base Universit` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (all’istante t = 0), quindi (4.10) si dice problema misto di Cauchy–Dirichlet. di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u `e definita2013-2014 nella semistriscia di Napoli “FedericoLaII”soluzione Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di∈Base S Scienze = { (x, t) R2 Universit` : 0 ≤ x ≤a πdegli , t ≥Studi 0 } . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle t Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 u = 0Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studiudi= Napoli “Federico II” Anno di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle u =“Federico f , ut = II” g Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli di Matematica e Applicazioni “Renatoper Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Moltiplichiamo ut ambo i membri dell’equazione: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 ∂ 1 ∂ Studi ∂ Caccioppoli” Scuola(4.11) Politecnica0 e=delle a degli II” Anno Accademico −uxxScienze ut + uttdiutBase = Universit` (ut )2 + (ux )2 −di Napoli (ux ut“Federico ). 2 ∂t 2 ∂t 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∂x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 220 XIII. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi Integriamo sul rettangolo [0, π] × [0,Scuola T ], perPolitecnica un certo Te >delle 0: Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z π Z T Z T Z π
a degli 1 Scienze ∂Base2 Universit` ∂di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica0e=delle di Studi dx ut + ux dt − dt (ux ut ) dx 2 di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni 0 Matematica 0 ∂t 0 “Renato 0 ∂xCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli StudiZ diπ Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   1 Caccioppoli” (4.12) di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica a degli Studi = |∇u(x, T )|2 Scuola − |∇u(x, 0)|2 dx e delle Scienze di Base Universit` 2 0 2013-2014 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z T  Universit`  “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze−di Base a degli Studi di Napoli ux (π, t) ut (π, t) − ux (0, t) ut (0, t) dt , 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” condizioni Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento dove ∇u = (ux , ut ) `e il gradiente. Dalle al contorno u(0, t) Luigi = di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u(π, t) = 0, ∀t ≥ 0 derivando rispetto a t, abbiamo ut (0, t) = ut (π, t) = 0, di Napoli “Federico∀tII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ≥ 0, quindi l’ultimo integrale in (4.12) `e nullo. Inoltre, tenendo presenti le 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuolacondizioni Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi iniziali, abbiamo ut (x, 0) = g(x), ux (x, 0) = f (x), e riscriviamo la 2013-2014 Luigi Greco (4.12)Dipartimento come segue: di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z πStudi di Napoli “Federico II” Anno Z π Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli    0  2 2 di Matematica e Applicazioni “Renato e delle Scienze a degli Studi (4.13) |ux (x,Caccioppoli” T )|2 + |ut (x, Scuola T )|2 dxPolitecnica = |f (x)| + |g(x)| dxdi. Base Universit` 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco 0Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e detta equazione dell’energia e, dataal’arbitrariet` T , mostra che II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaQuesta Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli StudiadidiNapoli “Federico la quantit` a a primo di membro `e costante. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Laa(4.13) permette di mostrare l’unicit` di soluzione. In effetti, se u1Luigi e Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II”aAnno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento u2 risolvono“Renato (4.10), laCaccioppoli” differenza u Scuola = u1 −Politecnica u2 soddisfaeun problema di Matematica e Applicazioni delle Scienzeanalogo, di Base Universit` a degli Studi iniziali nulli; in 2013-2014 tal caso, ilLuigi secondo membro in (4.13) di `e nullo, cio`e e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicocon II”dati Anno Accademico Greco Dipartimento Matematica π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ZScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  (4.14) |ux (x, T )|2 e+ Applicazioni |ut (x, T )|2 dx“Renato = 0. 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Per l’arbitrariet` a di T > 0, (4.14)Scuola implica che u ha eledelle derivate nulle di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica Scienze di nella Base Universit` a degli Studi semistriscia ed quindi ` e costante; annullandosi nei punti (0, t) e (π, t), ∀t > 0, e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica `e identicamente nulla. di Base Universit` Caccioppoli” Scuolaessa Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per risolvere il problema (4.10),e usiamo la trasformazione (unilatera) Scuola di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Laplace rispetto alla variabile t; poniamo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “FedericoZII” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi (4.15) ϕ(x, s) = L [u(x, ·)] = e−st u(x, t) dt di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Caccioppoli” Scuola(supponendo Politecnica eladelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico trasformabilit`a), dove s `e complesso. Supponendo di poter 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle derivare sotto il segno di integrale, eabbiamo L [uxx ] = ϕxx e per la seconda Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento formula fondamentale, di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2 [utt ] = s2 ϕ −2013-2014 s u(x, 0) −Luigi ut (x,Greco 0) = sDipartimento ϕ − s f (x) −di g(x) . L Accademico di Napoli “Federico II” Anno Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” ScuolaPertanto, Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoliarriviamo “Federico II” Anno Accademico trasformando ambo i membri dell’equazione in di (4.10), 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle all’equazione differenziale ordinaria eper ϕ: Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento ϕxx = s2 ϕScuola − s f (x) − g(x) . e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica a degli Studi di Napoli “FedericoD’altra II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato parte, dalle condizioni al contorno deduciamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzeϕ(0, di Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s) =Universit` ϕ(π, s) =a 0degli . 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 221 Scuola Politecnica e delle 4. L’EQUAZIONE DELLE ONDE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Pertanto ϕ risolve il seguente problema ai Politecnica limiti di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 2Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −ϕ + s ϕ = s f (x) + g(x) Caccioppoli” Scuola(4.16) Politecnica e delle Scienze xx di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϕ(0, s) = ϕ(π, s) = 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Tale problema `e risolubile per“Federico ogni f e II” g seAnno e solo se il problema relativo Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento all’equazione“Renato omogenea associata Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” a degli Studi  2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi −ϕxx + s ϕ = 0 Caccioppoli” Scuola(4.17) Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ϕ(0, s) = ϕ(π, s) a=degli 0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ha solo la soluzione banale, cio`e s 6= jn, per un numero n ∈ Z − {0}. Dunque Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento possiamo supporre Re s > 0. Una volta risolto (4.16), per ricavare u bisogna di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi antitrasformare, u = L −1 [ϕ]. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle4.1. Scienze di Base Universit` Studi ESERCIZIO Verificare che, nel casoa fdegli (x) = sin xdie Napoli g(x) = “Federico 0, ∀x ∈ II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di esposto Matematica e Applicazioni [0, π],Dipartimento il procedimento fornisce la soluzione “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento 1 [sin(x + t) + sin(x − t)] .Scienze di Base Universit` u(x, t) Caccioppoli” = sin x cos t =Scuola di Matematica e Applicazioni “Renato Politecnica e delle a degli Studi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di NapoliCAPITOLO “Federico II”XIV Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato formule Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Riepilogo Scienze di Base delle Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Z -trasformazione inversa Z -trasformazione di Matematica e Applicazioni 1. “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi +∞di Base Universit` +∞di Napoli “Federico II” Anno Accademico X X a(n) e Applicazioni “Renato a(n) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Z [a(n)] = Zu [a(n)] = n z z n 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n=−∞ n=0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base=Universit` a degli Studi a(n) + di β b(n)] α Z [a(n)] +β Z [b(n)]di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z [αScienze 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z [1] = δ(n) Z [δ(n)] = 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   Accademico z z e delle Scienze di Base Universit` −1 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi = u(n) Z Z [u(n)] = z − 1 Luigi Grecou Dipartimento z−1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Anno Accademico nStudi di Napoli “Federico II”−1 n −12013-2014 Luigi Greco Dipartimento Z [λ a(n)](z) = Z [a(n)](z/λ) Z [f (z/λ)] = λ Z [f ] di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  z z“Renato nCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni ndi Matematica −1 Z = λ u(n) Z [λ u(n)] = λ z −Accademico λ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoliz − “Federico II” uAnno 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z −aρ degli cos ϑ Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` n Zu [ρ cos nϑ] = z 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle z − 2ρz cos ϑ“Renato + ρ2 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ρ sinDipartimento ϑ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato n Zu [ρ sin nϑ] = z 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli z − 2ρzacos ϑ +Studi ρ2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 222 II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 223 Scuola Politecnica e delle 1. Z -TRASFORMAZIONE E Z -TRASFORMAZIONE INVERSA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi ! Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di   n az + b 2b − ap Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di qBase degli Studi 2 Zu−1 ze delle = aUniversit` cos nϑ +ap sindinϑNapoli u(n),“Federico II” Anno Accademico 2 z + di pz Matematica +q 4q “Renato − p2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi   Base Universit` p 2 Greco Dipartimento di Matematica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi e Applicazioni “Renato p − 4q < 0, ϑ = arccos − √ 2 “Federico q Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica delle a degli Studi + k)] = z k Z [a(n)] Scuola Z −1 [z k f (z)](n)e = Z −1Scienze [f ](n + di k) Base Universit` Z [a(n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di=Napoli “Federico + k) u(n)] z k Z [a(n)] − a(0)II” z k Anno − · · · −Accademico a(k − 1) z , 2013-2014 k ∈ N Luigi Greco Dipartimento Za[a(n di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico d −1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Zu [z f 0 (z)](n) = −n Zu−1 [f ] Zu [n a(n)] = −z Zu [a(n)] dz Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato     n Base − 1 Universit` 1Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli n−k di u(n − k) = Z λ − λ)k Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle k − 1 e Applicazioni(z“Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi   Scuola Politecnica  1 n − Dipartimento 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato −1 2013-2014 n−kGreco Z =λ u(n − k) k (z −di λ)Base k− 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleuScienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k−1 a(0)z k + a(1)λ z k−1 + · · · + a(k 1)λScienze z di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e− delle di Base Universit` a degli Studi n , Zu [λ a(n)] = k k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco z − λDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento a(n) successione periodica di periodo k di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −1 Z [f · g] = Z −1 [f ] ∗ Z −1 [g] Z [a(n) ∗ b(n)] = Z [a(n)] · Z [b(n)] Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 224 XIV. RIEPILOGO DELLE FORMULE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni2.“Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e L -trasformazione inversa L -trasformazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ 2013-2014 Luigi Greco DipartimentoZ di+∞Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −s t [x] = X(s) = x(t) e dt L [x] = [x u] = e−s t dt Luigi Greco Dipartimento L a degli Studi di Napoli “Federico uII” Anno L Accademicox(t) Scienze di Base Universit` 2013-2014 −∞ 0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico [x(t)](s) = Lu [x(−t)](−s) + Lu“Renato [x(t)](s) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle L di 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato βy] =Universit` α L [x] + L [αxdi+ Base L [y] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze aβ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento e delle Scienze di Base Universit`  k di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi dk k −1 k −1 d X(s) = (−t) L [X(s)] [x] = [(−t) x(t)] L L L di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dsk dsk Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento (k) (t)] = Caccioppoli” sk X(s) L [x“Renato di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (k) k−2 0 (t)] = di sk Napoli X(s) − “Federico sk−1 x(0) − x (0) − · · · − x(k−1) (0) Scienze di Base Universit` aLdegli II”s Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento u [x Studi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 225 Scuola Politecnica e delle 2. L -TRASFORMAZIONE E L -TRASFORMAZIONE INVERSA Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento   di Matematica e Applicazioni “Renato 1 −1 1di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Base a degliLStudi Lu [1] =e L [u] Scienze = , di Re s >Universit` 0 = u(t) u s s Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi  e delle Scienze di Base Universit` 1 1 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento −1 s0 t sAccademico di Napoli “Federico II” Anno di Matematica e Applicazioni “Renato 0t , Re s > Re s0 Lu = u(t) e L [u(t) e ] = s −Scienze s0 s − s0di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento k! k s0 t di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle a degli Studi Lu [tCaccioppoli” e ]= , Re s > Re s0 Scienze di Base Universit` (s −Luigi s0 )k+1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle   k−1 1 s0 t tAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi L di −1 Napoli “Federico II” Anno = u(t) e u k (s − s0 ) Scuola Politecnica (k − 1)! di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli  Napoli “Federico II” Anno Accademico  Studi di s Matematica e Applicazioni s 2013-2014 Luigi Greco L Dipartimento di Caccioppoli” −1 “Renato , Re s > 0 Lu = u(t) cos at Scuola Politecnica e delle u [cos at] = 2 2 s di +a s2 + a2 Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato   a 1 di Napoli 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico −1 , Re s > 0 Lu [sin at] = Lu = u(t) sin at a2 s2 + a2 Caccioppoli” a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimentos2di+ Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi √Luigis2 Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato /4 −t2 , s∈C L[e ] = π e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento L [x di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 0] L [x] = , Re s > 0, di Napoli “Federico II” Anno Accademico u2013-2014 1 − Luigi e−s τ Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento x funzione periodica di periodo τ , x0 (t) = x(t) [u(t) − u(t − τ )] di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico  P (s1 ) s1 te Applicazioni P (sn ) “Renato 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −1 P (s) Lu = 0 e + ··· + 0 esn t , t ≥ 0, Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno Q(s)di Napoli Q (s1“Federico ) Q (sn )Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico gli zeri di Q sono semplici s1 , . . . , sn 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 226 XIV. RIEPILOGO DELLE FORMULE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato h i s 1 Caccioppoli” Scuola PolitecnicaLe delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(t) = X(s) X L [x(a t)] = |a| aCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi s0 t −s t0 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X(s) L [x(t) e ] = X(s − s0 ) L [x(t − t0 )] = e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli Studi u(t − t0 )] = e−s t0Politecnica L [x(t) L [x(t + t0 )eu(t)] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −1 Napoli Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II”−1Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento L di [ e−st0 X(s)](t) =L [X(s)](t − t0 ) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento diLMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −1 s0 t [X(s − s0 )] = e L −1 [X(s)] Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica[xe∗delle di Base Universit` a degli −1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 −1 y] = Scienze L L [x] · L [y] L [X · Y ] = L [X] ∗ L [Y ] 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli lim “Federico II” Anno Lu [x(t)] = 0 Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Re s→+∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola Politecnica e delle x(0) = lim x(t) = lim s X(s) lim x(t) = limCaccioppoli” s X(s) t→0+ di Napoli Re s→+∞ s→0 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi “Federico II” t→+∞ Anno Accademico Re s>0 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle 3. F -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” 227 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 3. F -trasformazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −j ω t =x ˆ(ω) X(ω) “Federico = x(t) , x ∈ L12013-2014 (R) F [x] Studi Scienze di Base Universit` a degli di=Napoli II”e AnnodtAccademico Luigi Greco Dipartimento −∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 → C0 (R) “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle F : L (R) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −σ t j ω) Scienze = F [x(t) + β y]Studi = αF +βF [y] L [x(t)](σe+delle F [αaxdegli Caccioppoli” Scuola Politecnica di eBase](ω) Universit` di [x] Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z +∞ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ωt = v.p. x(t) e−j II” dtAnno , x ∈ L2 (R) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento F [x] di Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico Accademico −∞ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 k F xk22 = 2π kxk2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle → L2 (R) e Applicazioni F : Ldi (R) 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Matematica “Renato Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento hF [TCaccioppoli” ], ϕi = hT, F [ϕ]i , Politecnica T ∈ S0, ϕ S Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Scuola e∈ delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 0 → S“Federico (R) : SAnno (R) → S 0 (R) F: S FII” Scienze di Base Universit` a degli Studi di (R) Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 228 XIV. RIEPILOGO DELLE FORMULE Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato   sin(T ω/2) sin at ω  “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli = πΠ F [Π(t/T )] = F ω/2 t 2a 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi  e delle Scienze di Base Universit` π −a|t| 2a 2013-2014 Luigi Greco1Dipartimento −a|t| di Napoli “Federico II”FAnno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato , a>0 = e , a>0 [e ]= 2 F 2 a +Scienze ω2 a a+degli ω 2 Studi a di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento √ −ω2 /4 2 di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi e−t ] = Caccioppoli” πe F [“Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento F [δ] = 1 F [c] = 2π c δ di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” 2 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Scuola Politecnica e delle + πδ F [u] = v.p. F [sgn t] = v.p. Scienze di Base Universit` a degli Studi dijωNapoli “Federico II” Anno Accademico jω 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato  2π 1 Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnicav.p. e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = −jπ sgn ω ω0 = F F [sτ ] = ω0 sω0 , t di Matematica e Applicazioni “Renato τ 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi    π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato δ(ω − 1) − δ(ω + 1) F [cos t] = π δ(ω − 1) + δ(ω + 1) F [sin t] = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli j Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni Scuola Politecnica e delle 3. F -TRASFORMAZIONE “Renato Caccioppoli” 229 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Z +∞ Z +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(t) Y (t) dt X(t) y(t) dt = 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di−∞ Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle −∞ Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi −j ω t0 j ω0 t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ] = X(ω − ω0 ) F [x(t − t0 )] = e F [x(t)] F [x(t) e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento jϕ X(ω − ωPolitecnica + X(ωe + ω0 ) Scienze e−j ϕ di Base Universit` 0) e di Matematica e Applicazioni Scuola delle a degli Studi [x(t) cos(ωCaccioppoli” F “Renato 0 t + ϕ)] = 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ω h i 1 Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento X “Federico II” Anno F [x(a t)] = F x(t) = X(−ω) |a| a Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle F [F [x(t)]] = 2 π x(−t) Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e [x delle Scienze di Base Universit` a degli 1Studi[x] di Napoli “Federico II” Anno Accademico F ∗ F [y] F ∗ y] = F [x] · F [y] F [x y] = 2π 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco(k)Dipartimento (k) k k di Matematica e Applicazioni “Renato X (ω) = F [(−j t) x(t)] F [x (t)] = (j ω) F [x(t)] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento +∞ X di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi X(ω) = ω0 X0 (k ω0 ) δ(ω − k ω0 ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ 1 X II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico X(ω) = Y (ω − k ω0 ) di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” a degli Studi τ Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` k=−∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2013-2014