Appunti di Principi e Applicazioni dei Laser

July 9, 2017 | Author: Nicomedes_E | Category: Absorption (Electromagnetic Radiation), Photon, Perturbation Theory, Electron, Excited State

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Appunti del corso di Principi e Applicazione dei Laser (10 cfu) tenuto presso il Politecnico di Milano....

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Contents 1 Introduzione 1.1 Interazione radiazione-materia . . . . . . 1.2 Assorbimento e amplificazione della luce 1.3 Principio dell’oscillatore laser . . . . . . 1.4 Schemi di pompaggio . . . . . . . . . . .

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7 . 7 . 8 . 9 . 10

2 Interazione radiazione-materia 2.1 Teoria perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Applicazione: atomo a due livelli . . . . . . . . . . . 2.1.2 Applicazione: assorbimento ed emissione stimolata . 2.2 Trattazione analitica dell’interazione radiazione-materia . . . 2.2.1 Oscillazione di Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Trasparenza elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . 2.3 Emissione spontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Decadimento non radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tempo di vita e rendimento quantico . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Tempo di vita medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Rendimento quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Allargamento omogeneo di riga . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Allargamento collisionale in un gas . . . . . . . . . . 2.6.2 Allargamento naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Collisioni drogante-fononi . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Allargamento non omogeneo di riga . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Effetto Doppler (per i gas) . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Effetto Stark (per i solidi amorfi) . . . . . . . . . . . 2.8 Cross-Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Saturazione all’assorbimento per riga omogenea . . . 2.9.2 Saturazione del guadagno per riga omogenea . . . . . 2.9.3 Saturazione dell’assorbimento per riga non omogenea

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12 12 13 15 17 17 18 19 22 23 23 23 24 24 27 28 28 28 30 30 32 32 33 34

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36 36 36 38 39

3 Ottica geometrica, ondulatoria e 3.1 L’equazione di Helmholtz . . . . 3.2 Equazione iconale . . . . . . . . 3.3 Onde stazionarie . . . . . . . . 3.4 Principio di Fermat . . . . . . . 3

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diffrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.5 3.6

Equazione del raggio, ottica parassiale e matrici ABCD . . . . 39 Ottica diffrattiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Fasci di Gauss-Hermite 43 4.1 Definizione di fascio gaussiano T EM00 . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Fascio T EM00 in propagazione libera . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Fasci T EMl,m di Gauss-Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Risonatori ottici 5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Teoria geometrica dei risonatori . . . . . . . . . . . 5.3 Teoria elettromagnetica dei risonatori . . . . . . . . 5.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Calcolo dei modi dei risonatori senza perdite 5.3.3 Perdite nei risonatori . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (τc = +∞) . . . . . .

49 49 50 54 54 55 58

6 Laser in regime Cw 6.1 Rate-equation per laser a 4 livelli . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Rate-equation per N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Rate-equation per Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Potenza in uscita e numero fotoni in cavitá . . . . . . . 6.1.4 Pumping-rate e potenza di pompaggio . . . . . . . . . 6.2 Emissione spontanea per un laser Cw . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Condizione di soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Condizione di sopra-soglia . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Efficienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Oscillazioni di rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Cause di oscillazione monomodale . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Allargamento di riga non omogeneo & spectral hole burning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Allargamento di riga omogeneo & spatial hole burning 6.5 Laser Tuning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 62 62 63 63 63 64 66 66 67 71

7 Q-switching 7.1 Aspetti generali . . . . 7.2 Fast switching . . . . . 7.3 Slow switching . . . . 7.4 Metodi di Q-switching

75 75 75 77 78

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4

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71 72 74

7.4.1 7.4.2 7.4.3

Prisma rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Q-switching elettro-ottico . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Q-switching acusto-ottico . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8 Mode-locking 8.1 Dinamiche del regime mode-locking . . . . . . . 8.1.1 Regime free-running . . . . . . . . . . . 8.1.2 Regime mode-locking . . . . . . . . . . . 8.1.3 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Metodi di mode-locking . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Metodi di modulazione di ampiezza . . . 8.2.2 Metodi con assorbitore saturabile veloce 8.2.3 Metodi con le Kerr-lens . . . . . . . . . . 9 Tipologie di laser 9.1 Laser a stato solido . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Caratteri generali . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Laser a neodimio . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Laser titanio-zaffiro . . . . . . . . . . . 9.2 Laser a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Caratteri generali . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Pompaggio elettrico: caratteri generali 9.2.3 Tipi di laser a gas . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Laser a He-Ne . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Laser CO2 . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6 Pompaggio elettrico: laser a CO2 . . . 9.2.7 Transizioni nel laser CO2 . . . . . . . . 9.2.8 Tipi di laser a CO2 . . . . . . . . . . . 9.2.9 Laser a eccimeri . . . . . . . . . . . . . 9.2.10 Laser a KrF . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Laser a semiconduttore . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Struttura elettronica dei solidi . . . . . 9.3.2 Laser a omogiunzione . . . . . . . . . . 9.3.3 Laser a doppia eterostruttura . . . . .

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80 80 81 81 83 85 85 86 88

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89 89 90 90 92 93 93 93 94 94 96 97 100 100 104 105 105 106 112 113

10 Propriet´ a del fascio laser 118 10.1 Monocromaticitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.2 Coerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5

10.2.1 Grado complesso di coerenza 10.2.2 Coerenza temporale . . . . . 10.2.3 Osservazioni . . . . . . . . . 10.2.4 Coerenza spaziale . . . . . . 10.3 Direzionalitá . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Metodo far-field . . . . . . . 10.3.2 Metodo della lente sottile . 10.4 Brillanza . . . . . . . . . . . . . . .

del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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119 120 122 124 127 127 127 131

A Calcoli sulla teoria perturbativa

134

B Approssimazione di dipolo magnetico

136

C Radiazione di Corpo Nero

138

D Coefficienti di Einstein

142

E Ulteriori considerazioni sul Q-switching

143

F Riflessione di Bragg

150

G Relazione di Schawlow-Townes

152

6

1

Introduzione

1.1

Interazione radiazione-materia

Vi sono 4 possibili fenomeni legati all’interazione della radiazione elettromagnetica con la materia: 1. Assorbimento: Consideriamo un fotone che abbia energia pari a E = ~ω con ω ≈ ω0 (indichiamo con ω0 la pulsazione di risonanza dell’elettrone con cui il fotone interagisce). Quando questo fotone incide sull’atomo e quest’ultimo si trova nello stato elettronico fondamentale, allora puó avvenire l’assorbimento. dN2 = W12 N1 dt dove N2 é il numero di atomi (popolazione) nel livello 2, N1 é la popolazione del livello fondamentale e W12 é il rate di assorbimento. 2. Emissione stimolata: ´ il processo inverso all’assorbimento. Un fotone di frequenza ω ≈ ω0 E stimola l’emissione di un elettrone alla sua stessa frequenza ω0 semplicemente passandoci vicino. dN2 = −W21 N2 dt Dove W21 é detto rate di emissione stimolata. In questi appunti faremo l’approssimazione seguente: W21 = W12 = I σ(ω − ω0 ) = F σ(ω − ω0 ) ove I é l’intensitá dell’onda incidente, F il ~ω flusso fotonico e σ(ω − ω0 ) é la cross-section. 3. Emissione spontanea: Questo tipo di decadimento, come il nome suggerisce, consiste nell’emissione di un fotone con ~k e φ casuali. dN2 N2 =− dt τem.sp. Dove τem.sp. é detto tempo di vita dell’emissione spontanea. Si noti inoltre che i processi sopra descritti avvengono tutti contemporaneamente ma con probabilitá diverse. 7

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −1

−0.5

0

0.5

1

Figure 1: grafico cross-section 4. Transizione non radiativa: Questo tipo di decadimento non comporta l’emissione di un fotone ma di un fonone, oppure é il risultato di un urto superelastico. N2 dN2 =− dt τN R Dove τem.sp. é detto tempo di vita dell’emissione non radiativa.

1.2

Assorbimento e amplificazione della luce

Consideriamo un fascio laser che incide su un materiale che modelliziamo, per semplicitá, con 2 soli livelli che chiameremo 1 e 2. Sia dunque F (x) il flusso fotonico in x e F (x + ∆x) il flusso a una distanza x + ∆x. Il bilancio fotonico nel volume ∆S∆x e nel tempo ∆t risulta essere pari a: (F (x + ∆x) − F (x))∆S∆t = W21 N2 ∆S∆t∆x − W12 N1 ∆S∆t∆x Ricordando che W12 = W21 = F (x)σ(ω − ω0 ) e facendo il limite di ∆x → 0 si ottiene: dF = (N2 − N1 )F σ(ω − ω0 ) dx Dove N2 − N1 é detto inversione della popolazione. Vi sono due possibili casi a questo punto: • Se N2 − N1 > 0, posto g = (N2 − N1 )σ(ω − ω0 ) come coefficiente di guadagno (gain . . . ) si arriva all’amplificazione ottica: F (x) = F (0) exp(gx)

8

• Se N2 − N1 < 0, posto α = (N2 − N1 )σ(ω − ω0 ) come coefficiente di assorbimento si arriva all’assorbimento: F (x) = F (0) exp(−αx) Osserviamo che un materiale all’equilibrio termico che rispetta la staE tistica di Blotzmann e− kT ha E2 −E1 ~ω0 N2 = e− KT = e− KT < 1 N1

Quindi N2 − N1 < 0 e dunque il materiale si comporta come un assorbitore 1 .

1.3

Principio dell’oscillatore laser

Supponiamo di avere un materiale attivo posto tra due specchi. Se un fotone si trova all’interno e la sua traiettoria é perpendicolare agli specchi, il materiale verrá eccitato ed altri fotoni uguali al primo verranno emessi; quello che si ottiene é un aumento del flusso fotonico2 . 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 50

100

150

200

250

300

350

400

Figure 2: Risonatore ottico Si osservi che lo specchio a destra é semiriflettente, ed é ció che permette al fascio laser di uscire dalla cavitá. Ma quale é la condizione di soglia che permette al laser di formarsi e non fuoriuscire prima di essersi amplificato? Consideriamo un gruppo di fotoni che parte a sinistra del materiale 1 2

I materiali che non sono assorbitori prendono il nome di materiali attivi. Questo sistema é detto cavit´ a risonante ottica.

9

attivo lungo la direzione di l, perpendicolare agli specchi. Chiamiamo questo flusso F1 . Esso percorre tutta la cavitá e passando per il mezzo attivo diviene F2 . Successivamente torna (in parte) indietro a seguito dello specchio semiriflettente, e noi ribattezziamo il flusso F3 . Infine, il gruppo di fotoni ripassa attraverso il materiale attivo, cambiando il nome in F4 , per riflettersi nuovamente nell’altro specchio: F5 .  F2 = F1 egl    F3 = R2 F2 = R2 F1 egl F4 = R2 e2gl    F5 = F1 R1 R2 e2gl La condizione di soglia si ha quando il flusso non diminuisce, dunque per F1 = F5 . Posto γ = − ln(R1 )/2 − ln(R2 )/2 come perdita logaritmica del risonatore, dall’equazione F1 = F5 si ottiene che γ = gl. Inoltre dal momento che g = (N2 − N1 )σ(ω − ω0 ) si avrá: N2 − N1 =

1.4

gl γ g = = = NT L σ σl σl

Schemi di pompaggio

Dal momento che un materiale all’equilibrio termico non puó funzionare da materiale attivo, diviene necessario pomparlo. Vi sono 3 metodologie diverse di pompaggio: 1. Schema a 2 livelli: (non funziona) Questo metodo si utilizzerebbe con atomi con 2 soli livelli . . . ma sfortunatamente si ottiene al massimo che N2 − N1 = 0. 2. Schema a 3 livelli: (assai inefficiente) Questo metodo comporta il passaggio degli elettroni da uno stato ground ad uno eccitato, seguito da un decadimento non radiativo in un livello metastabile. Il processo riesce a ottenere N2 − N1 > 0 ma é assai inefficiente. 3. Schema a 4 livelli: Questo metodo é quello che meglio funziona e consiste nel portare gli atomi ad un livello eccitato a cui segue un rapido decadimento in uno stato metastabile. Quindi si passa attraverso l’emissione stimolata ad un altro stato metastabile, e infine si ritorna al ground. 10

Si osservi che i decadimenti sugli stati metastabili sono rapidissimi; gli stati metastabili, al contrario, hanno dei τ assai lunghi. Il pompaggio determina una grande variazione degli stati degli atomi nel tempo: dN2 = Nground Wpump dt Nel nostro corso faremo la seguente approssimazione: Nground = Ntot dove Ntot é il numero totale di atomi. Dunque, il numero di atomi eccitati é piccolo. dN2 = Rpump dt Dove Rpump é il pumping rate.

11

2

Interazione radiazione-materia

In questo capitolo tratteremo, sfruttando la teoria quantistica detta semiclassica, l’interazione della radiazione con la materia. Il primo passo da fare é sviluppare un po’ di matematica per risolvere equazioni differenziali non lineari.

2.1

Teoria perturbativa

Sappiamo in generale che un elettrone ottico di un atomo é descritto da una Ψ(~r, t) che risolve l’equazione di Schroedinger: i~

~2 2 ∂Ψ(~r, t) b 0 Ψ(~r, t) =− ∇ Ψ(~r, t) + V Ψ(~r, t) = H ∂t 2m

Separando le variabili si ottiene ψn (~r) per la parte spaziale, autofunzione del seguente problema: b 0 ψn (~r) = En ψn (~r) H Possiamo descrivere una perturbazione come un termine aggiuntivo nell’operatore b =H b0 + H b p . La forma che noi ipotizziamo per H b p é: hamiltoniano: H b p = f (t)Pb H Dove f (t) = 21 (A(t)eiωt + c.c.)3 perturbazione monocromatica con A(t) lentamente variabile rispetto a T = 2π . Pb é un operatore hermitiano generico, ω incognita del nostro problema. La soluzione di questo problema é esprimibile come serie di funzioni: X Ψ(~r, t) = cn (t)ψn (~r)eiωt n

Matematicamente parlando, posto che la base di funzioni sia completa, se si riescono a trovare i coefficienti cn (t) si trova la funzione Ψ(~r, t) esatta, altrimenti si trova una soluzione approssimata4 . La base che prendiamo é quella delle autofunzioni ψn (~r); ma dato che la Ψ(~r, t) altro non é che una oscillazione nel tempo tra stati possibili, non si fanno approssimazioni ulteriori. |cn (t)|2 é la probabilitá di avere, a seguito di una misura, En come 3 4

c.c. é l’acronimo per complesso coniugato. P Se si scrive una funzione come f (~r, t) = n cn (t)ψn (~r) non si perde di generalitá.

12

valore della misura stessa. Svolgendo gli opportuni calcoli (vedi l’appendice A), si ottiene il seguente sistema di equazioni: X b p |ψl icl ei(ωn −ωl )t i~c˙n = hψn |H l

b p = f (t)Pb riscriviamo il tutto come: Ma poiché H b p |ψl i = f (t)hψn |Pb|ψl i = f (t)Pnl hψn |H Definiamo Pnl come l’elemento di matrice della perturbazione.

2.1.1

Applicazione: atomo a due livelli

Studiamo ora il caso di un atomo a 2 livelli. Dunque, gli unici coefficienti sono c1 (t) e c2 (t)5 . Scrivendo in forma esplicita il sistema di cui sopra, si ottiene: ( b p |ψ1 ic1 ei(ω1 −ω1 )t + hψ1 |H b p |ψ2 ic2 ei(ω1 −ω2 )t i~c˙1 = hψ1 |H b p |ψ1 ic1 ei(ω2 −ω1 )t + hψ2 |H b p |ψ2 ic2 ei(ω2 −ω2 )t i~c˙2 = hψ1 |H Se sostituiamo l’elemento di matrice, otteniamo: i~c˙1 = f (t)P11 c1 + f (t)P12 c2 e−iω0 t i~c˙2 = f (t)P21 c1 eiω0 t + f (t)P22 c2 1 . Avendo definito ω0 = E2 −E ~ Supponiamo che P11 = P22 = 0; avremo che: i~c˙1 = f (t)P12 c2 e−iω0 t i~c˙2 = f (t)P21 c1 eiω0 t

Questo sistema é risolvibile se conosciamo le condizioni iniziali. Supponiamo che per t = 0, c1 (0) = 0 e c2 (0) = 1, ovvero l’elettrone sia nel secondo livello. Poniamo che la perturbazione sia debole e quindi f (t) ≈ 0. Di conseguenza, per t non troppo grandi, potremmo supporre che la popolazione di un certo materiale rimanga invariata, ossia tutti gli elettroni rimangano 5

Vale, come sempre, che |c1 (t)|2 + |c2 (t)|2 = 1.

13

al 2◦ livello (matematicamente ció si traduce nel considerare c1 (t) = c1 (0) e c2 (t) = c2 (0)). Possiamo quindi escludere la seconda equazione ed ottenere: i~c˙1 = f (t)P12 c2 e−iω0 t La soluzione vale: P12 c1 (t) = i~ Sostituendo f (t) =

1 (A(t)eiωt 2

P12 c1 (t) = i~

Z

Z

t

f (t)e−iω0 t dt

0

+ c.c.) si ottiene:

t

A(t)e

i(ω−ω0 )t

0

P12 dt + i~

Z

t

A∗ (t)e−i(ω+ω0 )t dt

0

La probabilitá di transizione nel tempo W21 é definita come6 : |c1 (T )|2 T →∞ T

W21 = lim

Se supponiamo che ω ≈ ω0 , possiamo trascurare la parte dell’integrale non risonante.7 Siamo dunque arrivati a concludere che: Z P12 t A(t)ei(ω−ω0 )t dt c1 (t) ' 2i~ 0 Definendo lo spettro di potenza di A(t): Z 2 1 T i(ω−ω0 )t S(ω − ω0 ) := A(t)e dt T 0 Avremo che:

|P12 |2 S(ω − ω0 ) 4~2 Da notare che, se fossimo partiti da c1 (0) = 1 e c2 (0) = 0, avremmo trovato un’espressione per W12 = W21 . W21 =

6´

E importante che W21 T = |c1 (t)|2 (ω −ω0 ), l’esponenziale ei(ω+ω0 )t oscilla molto pi´ é possibile trascurare in prima approssimazione i termini non risonanti, poiché causano delle variazioni cos´ı repentine che non disturbano, in generale, l’evoluzione delle equazioni.

17

Risolvendo il sistema e imponendo le condizioni iniziali si ottiene: c1 (t) = −i sin (ΩR t) c2 (t) = cos (ΩR t) Se avessimo portato la trattazione con la teoria perturbativa fino in fondo, avremmo ottenuto che |c1 (t)|2 = Ω2R t2 . Dal grafico risulta evidente la non adeguatezza della teoria per tempi lunghi. 5

4

3

2

1

0

−1

0

2

4

6

8

10

Figure 3: teoria esatta (blu) VS teoria perturbativa (rosso) Si noti inoltre che il seno e il coseno oscillano alla frequenza di Rabi. Dunque, dal momento che l’energia vale E = ~ω, la frequenza di Rabi é la misura dell’energia del dipolo elettrico. 2.2.2

Trasparenza elettromagnetica

Supponiamo ora che il campo incidente sia sinusoidale e inviluppato: Ex (t) = E0 (t)cos(ωt) ma non chirpato.13 Un esempio é dato dal grafico in figura 4: 12x Posto ΩR = E0 (t)µ si ha che: 2~ c˙1 = −iΩR (t)c2 c˙2 = −iΩR (t)c1 Imponendo che per t → −∞ si abbia c1 (−∞) = 1 la soluzione del sistema sará data da: 13

Un chirp é un segnale nel quale la frequenza varia linearmente con il tempo, crescendo (’up-chirp’) o decrescendo (’down-chirp’).

18

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1 −2

2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figure 4: segnale non chirpato (sinistra) e segnale down-chirp (destra).

(

Rt c1 (t) = cos ( −∞ ΩR dt) Rt c2 (t) = −i sin ( −∞ ΩR dt)

Mentre per t → +∞, ossia quando l’interazione con l’impulso é inesistente, si avrá che: |c1 (t)|2 = cos2 (A) |c2 (t)|2 = sin2 (A) R +∞ Con A = −∞ ΩR (t)dt denominata area dell’impulso di luce. In particolare si noti che: 1. Se A = nπ con n ∈ Z, si ha che c1 (+∞) = 1 e dunque l’elettrone é tornato nella sua posizione di partenza e dunque non si ha avuto assorbimento, quindi il materiale risulta trasparente. 2. Se invece A = (2n + 1) π2 con n ∈ Z, si ha che c2 (+∞) = 1 e l’impulso sará fortemente attenuato. Si noti come questo impulso riesca a generare inversione della popolazione.14

2.3

Emissione spontanea

Gli esperimenti ci mostrano chiaramente come un materiale, inizialmente con c2 (0) = 1, si ritrovi, in assenza di perturbazioni esterne e dopo un certo 14

Bisogna stare attenti al fatto che nella realtá é quasi impossibile ottenere impulsi coerenti come quelli sopracitati.

19

tempo, con molti atomi nello stato ground. Inoltre, la funzione che descrive − t la variazione di c2 nel tempo é: |c2 (t)|2 = e τsp . Sfruttando la teoria semiclassica possiamo dire che il valor medio del momento di dipolo elettrico vale: h~µe i = −hΨ|e~r|Ψi Dove Ψ(~r, t) = ottiene che:

r)e−iωn t . n cn (t)ψ(~

P

Per un atomo a 2 livelli, sostituendo, si

h~µe i = −|c1 |2 hψ1 |e~r|ψ1 i − |c2 |2 hψ2 |e~r|ψ2 i + 2Re{c1 c∗2 hψ1 | − e~r|ψ2 ieiω0 t } Ponendo che hψ1 |e~r|ψ2 i = µ ~ 12 = µ ~ 21 e che µ11 = µ22 = 0 si ottiene: h~µi = −2~µ21 Re(c1 c∗2 eiω0 t ) Dunque, se c1 (t) e c2 (t) sono lentamente variabili nel tempo, si ha che h~µe i oscilla a frequenza ω0 con una ampiezza data da µ0 = 2|µ12 ||c1 ||c2 |. Se si considera il classico dipolo oscillante, la potenza irraggiata é pari a: Pirr =

nµ20 ω04 12π0 c3

Con n indice di rifrazione del mezzo e µ0 valor medio del dipolo elettrico. Poniamo: nµ212 ω04 P0 = 3π0 c3 E quindi riscriviamo la potenza irraggiata come: Pirr = P0 |c1 |2 |c2 |2 Il valor medio dell’energia dell’elettrone é pari a: hEi = E1 |c1 |2 +E2 |c2 |2 = E1 (1−|c2 |2 )+E2 |c2 |2 = E1 +(E2 −E1 )|c2 |2 = E1 +~ω0 |c2 |2 Dunque, deve valere che: dhEi = −Pirr dt Ovvero, sostituendo quanto trovato prima: ~ω0

d|c2 |2 = −P0 |c1 |2 |c2 |2 = −P0 |c2 |2 (1 − |c2 |2 ) dt 20

Definendo: τsp

3~π0 c3 = n|~µ12 |2 ω03

Si ha: d|c2 |2 |c2 |2 = (1 − |c2 |2 ) dt τsp Questa EDO si puó risolvere per separazione delle variabili rispetto a |c2 |2 e si trova: 1 t − t0 2 |c2 | = 1 − tanh 2 2τsp Il grafico della soluzione ha questa forma: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Figure 5: grafico di |c2 (t)|2 Si noti come la funzione non parta dal valore 1. Di conseguenza si ha una contraddizione con l’ipotesi iniziale, in cui c2 (0) = 1. Per ovviare a questo problema si puó porre t0 → ∞. . . ma questo rende le cose non veritiere: il grafico con t0 → ∞ é una retta (ovvero, c2 (t) = 1 ∀t).15 Si noti inoltre come τsp ∝ ω13 e quindi il fenomeno dell’emissione spontanea 0 risulti trascurabile per ω03 piccolo (IR, microonde e onde radio), mentre é predominante nelle transizioni X. 15

La teoria quantistica corretta per descrivere questa interazione é la QED, nella approssimazione di Weisskopf-Wigner. Tuttavia, il valore τsp predetto dalla teoria semiclassica é corretto!

21

1 . Dunque, se la transizione risulta probita, ovvero quando Inoltre τsp ∝ |~µ12 |2 2 |~µ12 | = 0, τsp → ∞: non si ha un decadimento. Ma se il dipolo magnetico fosse non nullo, si avrebbe una costante di decadimento pari a 10−5 τelet . ´ questo lo stato metastabile. Piccola ma c’é! E

2.4

Decadimento non radiativo

Se un atomo non é isolato puó accadere che un elettrone decada su un livello pi´ u stabile senza emettere radiazione elettromagnetica. I possibili processi sono: 1. Collisioni super-elastiche: Un atomo in uno stato eccitato A∗ decade in uno stato B stabile con un’aggiunta di energia cinetica dell’atomo B: A ∗ + B → A + B + KB 2. Trasferimento risonante di energia: L’energia di un atomo in uno stato eccitato A∗ si trasferisce ad un atomo B che abbia un livello energetico eccitato leggermente minore di quello di A∗ . Indicando con ∆E = A∗ − B ∗ come la differenza di energia tra i livelli eccitati A∗ e B ∗ , si puó scrivere la seguente equazione:16 A∗ + B → A + B ∗ + ∆E 3. Decadimento multi-fononico: Puó accadere che un drogante A∗ in un materiale solido cristallino o amorfo, passando allo stato ground, ecciti i modi vibrazionali senza emettere energia.17 ´ possibile descrivere il decadimento non-radiativo con la seguente equazione: E N2 dN2 =− dt N R τN R Dove τN R é il tempo di vita non radiativo del livello 2. 16 17

Per avere trasferimento risonante di energia deve valere che ∆E λ. Se infatti L ≈ λ si avrebbe uno spazio troppo piccolo per inserirvi, successivamente, il materiale attivo. • Il risonatore presenta una cavitá priva di pareti laterali. Questa caratteristica serve a ridurre i modi normali presenti all’interno della cavitá stessa. Le cavitá ottiche aperte sono caratterizzate sia da perdite per accoppiamento49 sia da perdite di diffrazione. Tuttavia, nonostante la diffrazione, la 49

dovute agli specchi non perfettametne riflettenti.

49

quale tende a far divergere il fascio, all’interno della cavitá le onde mantengono sempre la stessa forma funzionale. Per quanto riguarda la potenza all’interno della cavitá, vale la formula seguente: t

P (t) = P0 e− τc Ove τc é il tempo di vita medio dei fotoni in cavitá. Dunque il campo elettrico dentro la cavitá avrá una espressione tipo: ~ r, t) = E0 U ~ (~r)e− 2τtc cos (ωt) E(~ ~ (~r) dipende da come sono materialmente fatti i risonatori. U

5.2

Teoria geometrica dei risonatori

Cominciamo ad analizzare una cavitá costituita da due specchi sferici, di diversa curvatura R1 ed R2 , posti uno di fronte all’altro ad una distanza L. Fissiamo un piano γ perpendicolare all’asse ottico all’interno del risonatore.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

50

100

150

200

250

300

350

Figure 18: risonatore sferico. Siano (r1 , r10 ), (r2 , r20 ), (r3 , r30 ), (r4 , r40 ), . . . i parametri parassiali sul piano γ di un raggio luminoso, quando esso ha percorso 1,2,3,4 . . . round trip. Possiamo anche costruire una lens guide equivalente ottenuta attraverso l’unfolding 50 del risonatore. Per costruire la lens guide, si sostituiscono agli specchi delle lenti sottili rispettando la relazione f1i = R2i .51 50 51

Dall’inglese sviluppo. La sostituzione é possibile poiché lo specchio sferico e la lente sottile hanno le seguenti

50

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 100

200

300

400

500

600

Figure 19: esempio di lens guide. Diremo che un risonatore é stabile secondo l’ottica geometrica quando per n → +∞ si hanno rn ed rn0 non divergenti, ovvero se il raggio resta intrappolato nel risonatore ad ogni round-trip. Definiamo la matrice ABCD di round-trip del risonatore rispetto a γ la matrice ABCD che nella lens guide descrive la propagazione tra z = 0 e z = 2L. La condizione per la stabilitá é che il modulo della semitraccia sia minore di 1: |A + D| |tr(ABCD)| = ≤1 2 2 Segue la dimostrazione. Come é noto, per un sistema parassiale vale che: r1 A B r0 = r10 C D r00 Allo stesso modo, per il secondo round-trip si ottiene: r2 A B r1 A B A B r0 = = r20 C D r10 C D C D r00 matrici ABCD:

1 1 f

0 1

e

.

51

1 2 R

0 1

Per ricorsione si ottiene:

rn rn0

=

A B C D

n

r0 r00

Diagonalizziamo questa matrice per poter calcolare la potenza n-esima. Sia A B M= : chiamiamo T la matrice degli autovettori e Λ = diag(λ1 , λ2 ) C D la matrice degli autovalori. Vale che: M = T ΛT −1 Osserviamo che: M 2 = M M = T ΛT −1 T ΛT −1 = T Λ2 T −1 Per ricorsione vale che: M n = T Λn T −1 Con Λn = diag(λn1 , λn2 ). Dunque avremo che: n rn λ1 0 r0 −1 =T T rn0 0 λn2 r00 Per n → +∞ si ha che rn , rn0 non divergono se e solo se |λ1,2 | ≤ 1. Calcoliamo dunque gli autovalori della matrice ABCD:52 (A − λ)(D − λ) − BC = AD − BC + λ2 + (A + D)λ = λ2 + 2 cos (θ)λ + 1 Dove abbiamo definito cos (θ) := λ1,2 = cos θ ±

√

A+D . 2

Otteniamo:

cos2 θ − 1 = cos θ ± i sin θ = e±iθ

Vi sono 2 situazioni: • Se | A+D | ≤ 1, allora θ ∈ R e si ha |λ1,2 | = 1. 2 52

Il determinante della matrice ABCD vale AD-BC ed é uguale, nel caso della lens guide, sempre e comunque, a 1.

52

| ≥ 1, allora53 θ = iφ, φ ∈ R e si ha |λ1 | = e−φ e |λ2 | = eφ • Se | A+D 2 Dunque, ∀φ ∈ R si ha che o λ1 o λ2 hanno modulo maggiore di 1. Dunque, al fine di avere stabilitá si deve avere che: A + D 2 ≤1 Applichiamo adesso questa teoria ad un caso semplice con 2 specchi, posti uno di fronte all’altro. Prendiamo z = 0 nel primo degli specchi. Le matrici che entreranno in gioco saranno quelle di propagazione libera e quelle di riflessione in lenti sottili: 1 0 1 0 1 L 1 L M= − R21 1 − R22 1 0 1 0 1 Facendo i calcoli si ottiene che:54 A+D = 2(1 − L/R1 )(1 − L/R2 ) − 1 2 Definendo g1 = 1 − L/R1 e g2 = 1 − L/R2 si ha che: condizione di stabilitá corrisponde a:

A+D 2

= 2g1 g2 − 1. La

−1 ≤ 2g1 g2 − 1 ≤ 1 ovvero 0 ≤ g1 g2 ≤ 1 Osserviamo che se g1 = g2 abbiamo che R1 = R2 ; vi sono dunque 3 tipi fondamentali di risonatori: 1. Risonatore piano-piano: g1 = g2 = 1 che comporta R → +∞ 2. Risonatore confocale: g1 = g2 = 0 che implica L = R (specchi con lo stesso fuoco). 3. Risonatore concentrico: g1 = g2 = −1 che implica L = 2R (specchi con lo stesso centro). 53

Se | cos θ| > 1 allora θ = iφ e dunque: cos (iφ) =

e−φ + eφ = cosh φ 2

la soluzione si otteneva per cosh φ = ± cos θ. 54 ´ E importante ricordare che il raggio di curvatura é positivo quando il raggio luminoso proviene da una direzione opposta a quella del centro della lente.

53

3

2

1

0

−1

−2

−3 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figure 20: studio dei parametri g1 e g2 : il grafico di stabilitá.

5.3 5.3.1

Teoria elettromagnetica dei risonatori Introduzione

Dato un risonatore ottico aperto, definiamo modi (o meglio, quasi-modi ) del risonatore le distribuzioni di campo e.m. della forma: t

E(x, y, z, t) = U (x, y, z, )eiωt− 2τc + c.c. τc é definito come il tempo di vita del modo e U (x, y, z) é il profilo spaziale del modo. Se il risonatore fosse chiuso (e non vi fossero perdite), si avrebbe τc → +∞. Nei risonatori laser, τc < +∞ a causa di: • Perdite diffrattive (la cavitá é aperta). • Perdite di accomppiamento (specchio di uscita a riflettivitá ρ < 1). • Perdite di scattering/assorbimento. La frequenza del modo ω e U (x, y, z) dipendono da 3 indici: n,m,l. Il primo, n, é detto indice longitudinale definisce la dipendenza di U (x, y, z) dalla coordinata z (n é il numero di nodi ); gli altri due termini m ed l sono i termini di moto trasversale e determinano la dipendenza di U (x, y, z) da x e y.55 Dunque: ω = ωn,m,l e U = Un,m,l (x, y, z) 55

Anticipiamo che i termini m ed l sono l’ordine dei polinomi di Hermite del fascio T EMm,l .

54

5.3.2

Calcolo dei modi dei risonatori senza perdite (τc = +∞)

Consideriamo un risonatore con due specchi sferici come in figura:

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

50

100

150

200

250

300

350

Figure 21: risonatore sferico. All’interno di questo risonatore, come sará il profilo del campo? Se eseguiamo l’unfolding del risonatore possiamo vedere il campo in cavitá come un campo equivalente che si propaga nella lens guide. ˜ y, z)eiωt + c.c. = U (x, y, z)ei(ωt−kz) + c.c. E(x, y, z, t) = E(x, Se ABCD é la matrice di round-trip, e se U (x, y, 0) é la distribuzione di campo in z = 0, per l’integrale di Huygens-Fresnel vale che: Z Z 2 +x2 )+D(x2 +y 2 )−2x x−2y y A(y1 1 1 i 1 2B U (x, y, 0)e−ik0 dx1 dy1 U (x, y, 2L) = λB Σ Possiamo riscrivere questo integrale come: Z Z U (x, y, 2L) = U (x, y, 0)K(x, x1 , y, y1 )dx1 dy1 Σ

Dove

i −ik0 A(y12 +x21 )+D(x2 +y2 )−2x1 x−2y1 y 2B e λB Il termine K(x, x1 , y, y1 ) prende il nome di Kernel (o nucleo) della trasformazione integrale. In modo sintetico, definendo l’operatore di HuygensFresnel : Z Z b = Kf f Kdx1 dy1 K(x, x1 , y, y1 ) =

Σ

55

Possiamo scrivere: b (x, y, 0) U (x, y, 2L) = KU Dunque avremo che: ˜ y, 2L) = U (x, y, 2L)e−ik2L = e−2ikL KU b (x, y, 0) = (K b E(x, ˜ y, 0))e−i2kL E(x, E dunque: ˜ y, 2L)ei2kL = K b E(x, ˜ y, 0) E(x, Inoltre il campo deve soddisfare la condizione di autoconsistenza 56 e dal momento che il piano γ é lo stesso: E(x, y, 2L, t) = E(x, y, 0, t) ∀t ˜ y, 2L) = E(x, ˜ y, 0). Ma del resto: E(x, ˜ y, 2L) = E dunque deve valere che: E(x, 1 b ˜ K E(x, y, 0), dove σ1 = e−2ikL . Usando queste due ultime equazioni si otσ tiene: b E(x, ˜ y, 0) = σ E(x, ˜ y, 0) K ˜ y, 0) sia autofunzione dell’operatore Questa equazione secolare mostra come E(x, b , con corrispondente autovalore σ. Se vi fossero delle perdite, dovremmo K b Nel caso in cui siano nulle le opportunamente modificare l’operatore K. ˜ perdite, E(x, y, 0) deve essere scelta tra i fasci di Gauss-Hermite, in quanto mantengono la stessa forma funzionale durante la propagazione. Ricordando che: √ ! √ ! k 2x 2y −i 0 (x2 +y 2 ) ˜ y, z) = U0 Hl E(x, Hm e 2q0 W0 W0 si ha: U0 b E(x, ˜ y, z) = K Hl (A + B/q0 )1+l+m

√

2x W0

√

! Hm

2y W0

!

k0

e−i 2q (x

2 +y 2 )

Aq0 +B Ove q = Cq per la legge ABCD. Per poter soddisfare alla relazione seco0 +D lare, devono verificarsi le seguenti uguaglianze: q = q0 σ = ei2kl = (A+B/q10 )1+l+m

Studiamo dunque queste due equazioni 56

Se non fosse autoconsistente interferirebbe con se stesso, annullandosi.

56

Aq0 +B da cui: 1. Dalla prima si ottiene che q0 = q = Cq 0 +D   s 2 1 1 D−A A−D =  ± + BC  q0 B 2 2

Sapendo che cos θ =

A+D 2

e che AD − BC = 1 possiamo scrivere: 1 D−A 1 = ± i sin θ q0 B 2

Osserviamo che: > 1, θ risulta immaginario e avremo che 1 é • Nel caso in cui A+D 2 q0 ˜ y, 0) non risulta sempre un numero reale57 . Ma in questo caso E(x, spazialmente confinato 58 , cioé la soluzione non é accettabile. < 1, θ risulta reale e avremo che 1 é un nu• Nel caso in cui A+D 2 q0 ˜ mero immaginario. In questo caso E(x, y, 0) risulta accettabile per Im(q0 ) < θ. Osserviamo che dunque esiste una sola autofunzione ˜ spazialmente confinata.59 per K 2. Dalla seconda equazione si ottiene: ei2kL = la relazione trovata poco fa otteniamo: A+

1 . (A+B/q0 )1+l+m

Sostituendo

A+D B D−A ± i sin θ = ± i sin θ = cos θ ± i sin θ = e±θ = A+ q0 2 2

Da cui: ei2kL = e±iθ(1+l+m) Segue che: 2kL = θ(1 + l + m) + 2nπ con 1 n ∈ N. E dunque: k = 2L (2nπ ± θ(1 + l + m)). Per concludere, le frequenze di risonanza νn,m,l sono date da:60 νn,m,l = 57

c 1 A+D (n ± arccos ( )(1 + l + m)) 2L 2π 2

Infatti: i sin (iφ) = i

e−φ − eφ eφ − e−φ =− = − sinh φ 2i 2

58

Se si svolgono i calcoli, si vede come l’esponenziale rimanga immaginario e ció implica che sulla retta reale si abbiano dei seni o coseni. 59 Da qui ci si riconduce al concetto di stabilitá nell’ottica geometrica: un sistema é stabile (instabile) se ammette (non ammette) modi TEM spazialmente confinati. 60 Ricordiamo che: k = ωc = 2πν c .

57

Detta anche formula delle frequenze di risonanza dei modi T EMn,l,m . Definiamo l e m come indici di modo trasversali (essi determinano l’ordine dei polinomi di Hermite); definiamo n come l’indice di modo longitudinale (esso determina il numero di nodi in cavitá) ESEMPIO • Risonatore confocale simmetrico: Sia dato un risonatore confocale. La sua matrice ABCD varrá:

M=

1 0 − R2 1

1 R 0 1

1 0 − R2 1

1 R 0 1

=

−1 0 0 −1

Aq0 +B 0 = −q = q0 . Osserviamo che q = Cq −1 0 +D c 1 Le frequenze di risonanza sono date da: ν = 2L (n ± 2π π(1 + l + m)) = 1 (2n ± 1 + l + m). 4L ´ E interessante osservare che, fissando la frequenza ν, si possano avere frequenze degeneri, ovvero lo stesso valore di frequenza per diverse combinazioni di n,m,l.

5.3.3

Perdite nei risonatori

Come giá detto in precedenza, sono 3 le cause di perdita di energia in un risonatore: • Perdite per diffrazione; • Perdite per accoppiamento; • Perdite per scattering/assorbimento; La presenza di perdite nel risonatore, comporterá la sostituzione dei modi E(x, y, z, t) = U (x, y, z)eiωt + c.c. con dei quasi-modi E(x, y, z, t) = t U (x, y, z)eiωt− 2τc + c.c., dove τc é detto tempo di vita dei fotoni nel modo in cavitá. Indichiamo con P (t) la potenza dell’onda e.m. viaggiante che attravera γ. Sia TR = 2Lc c dove Lc é la lunghezza ottica (o cammino ottico) di singolo passaggio del risonatore. Sia T1 la transmissione (in potenza) dello

58

sopecchio 1 e T2 quella dello specchio 2. Li invece é un coefficiente che identifica le perdite interne ad ogni passaggio (diffrattive e di scattering). Per due passaggi (andata e ritorno) vale che: P (t + TR ) = (1 − T1 )(1 − T2 )(1 − Li )2 P (t) Introduciamo ora le perdite logaritmiche:   γ1 = − ln (1 − T1 ) γ2 = − ln (1 − T2 )  γi = − ln (1 − Li ) Definito γ = 12 (γ1 + γ2 ) + γi otteniamo la seguente equazione alle differenze finite: P (t + TR ) = P (t)e−2γ Risolvendo questa equazione otterremo qualcosa tipo P (t) = P (0)e−t/τc ; facendo i calcoli risulta che τc = T2γR = Lcγc . Dunque il campo elettrico decade come: t E(t) = E0 eiωt− 2τc + c.c. Calcoliamone adesso la trasformata di Fourier :61 Z S(Ω) =

+∞

E0 e

0

iωt− 2τt c

2 = 2τc

2 i(ω−Ω)− 2τtc −iΩt 2 e e dt = |E0 | i(ω − Ω) − t

= |E0 |2

1 (ω −

Ω)2

+ ( 2τ1c )2

Notare che la forma funzionale é una lorentziana la cui FWHM é pari a ∆ωL = 1/τc . In generale, il valore di τc dipende dal modo che stiamo considerando. Definiamo il fattore di qualitá Q il valore: Q = 2π

energia nel risonatore energia persa in un ciclo ottico

Definendo Φ(t) il numero di fotoni del modo nella cavitá al tempo t, avremo: Φ(t) = Φ(0)e−t/τc 61

Stiamo calcolando lo spettro in potenza del segnale.

59

Per cui si avrá che:62 Q = 2π

hνΦ(t) | dΦ |hν ν1 dt

Svolgendo alcuni semplici conti di sostituzione si ottiene: Q = 2πντc = Dove ∆νL =

∆ω 2π

ν ∆νL

é l’allargamento di riga.

ESEMPIO: • Si consideri un laser He-Ne (λ = 630nm) dotato delle seguenti caratteristiche: T1 = T2 = 0.02, L1 = 0, L = Lc = 0.9m. Senza l’elemento attivo si avrá che: τc = Lcνc = (. . .) = 3ns. Il fattore di qualitá sará: Q = 2πντc = 4.7 · 108 . Si noti come l’allargamento di riga sia molto piccolo.

la derivata dΦ a di tempo, ν rappresenta dt rappresenta il numero di fotoni persi per unit´ la frequenza dell’onda e hν é l’energia del singolo fotone. 62

60

6

Laser in regime Cw

6.1

Rate-equation per laser a 4 livelli

Si consideri un risonatore tipo Fabry-Perot, con gli specchi posti a distanza L e contenente un materiale attivo (di lunghezza l e indice di rifranzione n). Sia N il numero di atomi di livello eccitato e Φ il numero di fotoni in cavitá. Ipotizziamo, per semplificare il problema che: 1. Lo schema sia a 4 livelli con N3 ≈ N1 ≈ 0 2. L’allargamento spettrale di una transizione sia di tipo omogeneo. 3. Il laser oscilli di singolo modo T EM00 . 4. Sia valida l’approssimazione di onda piana. Facendo un grafico che includa sia i modi del laser sia la probabilitá di transizione si ottiene qualcosa tipo: 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figure 22: i modi e la probabilitá di transire su quel modo.

61

6.1.1

Rate-equation per N

Sappiamo che N = N2 − N1 ≈ N2 . Dunque: dN = Rp − N/τ − W N dt Dove Rp é il pumping-rate, −N/τ rappresenta i decadimenti spontanei e W = hνI 0 σ(νmodo ) quelli stimolati (dove I é calcolata sull’atomo in questione). Cerchiamo ora di scoprire il legame tra I e Φ. Se U (x, y, z) é la densitá di energia del campo, allora: Z Z Z 1 Φ= U (x, y, z)dxdydz hν ~ = 1 cE 2 = U c. Dunque, possiamo Sapendo che, per definizione63 I = hSi 2 64 scrivere che: Z Z Z Z 1 I IAb n(z) IAb Φ= dxdydz = dz = Lc hν c(r) hν c hνc Dove Lc = nl + 1(L − l) é il cammino ottico nel risonatore. Dunque: W =

cσ Iσ σc = Φ = BΦ con B = hν A b Lc A b Lc

(3)

Il fattore B rappresenta la probabilitá di avere emissione stimolata quando Φ = 1. La prima rate-equation per la popolazione é quindi data da: dN = Rp − N/τ − BΦN dt 6.1.2

Rate-equation per Φ

Dobbiamo inserire sia le perdite del risonatore, sia i fotoni generati: dΦ = −Φ/τc + BΦN Va dt −Φ/τc rappresenta le perdite, BΦN Va rappresenta i fotoni generati nell’unitá di tempo. Approssimando il fascio Gaussiano ad onda piana, si immagina che il laser sia un fascio cilindrico (da cui Va = Ab l). 63 64

L’intensit´ a é il valor medio del vettore di Poynting. Definiamo c(r) := c/n(r).

62

6.1.3

Potenza in uscita e numero fotoni in cavit´ a

La potenza in uscita é data da: Pout =

chν0 γ2 γ2 Φ hν0 = Φ 2γτc 2Lc

γ2 0 Dove Φhν rappresenta la potenza persa dal risonatore e 2γ rappresenta la τc frazione di potenza persa che compone il fascio laser in uscita dallo specchio ”2”. Infatti si ha che:

c cΦ 1 Φ =Φ γ= ( (γ1 + γ2 ) + γi ) τc Lc Lc 2 Dove τΦc rappresenta il numero di fotoni persi per unitá di tempo. Ricordiamo che γ erano i coefficienti di perdita logaritmici. 6.1.4

Pumping-rate e potenza di pompaggio

Sia hνp = E3 − E1 , si avrá, nel caso ideale (ovvero tutti gli atomi in |3i decadono in |2i), che: Ppumpi = hνp Rp Al Nel caso reale dobbiamo introdurre una efficienza di pompaggio ηp : Ppumpr =

6.2

hνp Rp Al > Ppumpi ηp

Emissione spontanea per un laser Cw

Il numero di fotoni emessi a seguito del fenomeno dell’emissione spontanea nell’unitá di tempo é: τNsp Al. I fotoni emessi hanno fase e direzione casuale (rispettando sempre la condizione di modo normale, ma qualunque modo é lecito) e una distribuzione spettrale g(ν − ν0 ). L’influenza dell’emissione spontanea nella cavitá di un laser si puó studiare con la QED e l’equazione é data da:65 dΦ Φ = − + BN Va (Φ + 1) dt τc 65

Si ricorda che Φ(t), ovvero il numero di fotoni in cavitá, rappresenta solo il numero di fotoni nel modo principale per le ipotesi fatte all’inizio.

63

Dove il termine ”+1” é il termine extrafotonico dato dall’emissione spontanea. Per un laser sopra soglia il termine ”+1” é trascurabile, mentre diventa fondamentale per l’innesco dell’azione laser. Nel primo caso possiamo scrivere: dΦ Φ = − + BN Va Φ dt τc dove la condizione iniziale é Φ(0) = 1. Questa condizione iniziale rappresenta il rumore quantistico di fondo, sempre presente e di importanza fondamentale. 6.2.1

Condizione di soglia

Consideriamo gli stati stazionari di queste rate-equations: dN = Rp − Nτ − BΦN = 0 dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ = 0 dt Il primo che si ottiene é:

N0 = Rp τ Φ0 = 0 x ’ = 1 − x/4 − x y y’=−y+yx

6

4

4

2

2

0

0

y

y

x’=1−x4−xy y’=−y+yx

6

−2

−2

−4

−4

−6

−6 −6

−4

−2

0 x

2

4

6

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

Figure 23: piano della fasi in condizioni di instabilitá e di stabilitá. Studiamo la stabilitá proponendo delle piccole variazioni delle equazioni: N (t) = N0 + δN (t) = Rp τ + δN (t) Φ(t) = Φ0 + δΦ(t) = δΦ(t) 64

Calcoliamo le variazioni per il sistema sostituendo le equazioni appena trovate:66 − BRp τ δΦ = − δN − BN0 δΦ δ N˙ = Rp − Rp − δN τ τ 1 δ Φ˙ = (− τc + BN0 Va )δΦ Dalla seconda, ponendo Φ(0) = 1 si ottiene: 1

δΦ(t) = e(− τc +BN0 Va )t La stabilitá per il laser (ovvero Φ(t) → 0 per t → +∞) si ha se (− τ1c + BN0 Va ) < 0, ovvero per: N0 < Nth =

1 BVa τc

Nth é detta inversione di popolazione di soglia. Essendo N0 = Rp τ , il laser resta sotto la soglia se: Rp < Rth =

Nth 1 = τ BVa τc τ

Questo tipo di condizioni si identifica appunto con il termine laser sotto soglia. Da notare che in queste condizioni il laser non funziona. Studiamo ora il significato fisico del termine Nth :67 Nth =

Ab Lc γc γ 1 = = e dunque : γ = σlNth BVa τc Ab Lc cσl σl

La condizione di soglia é quindi il punto di equilibrio tra il guadagno e la perdita logaritmica. La potenza di soglia del laser é data da: Pth =

hνp Rth Al hνp Nth Al hνp Aγl hνp Aγ = = = ηp ηp τ ηp τ σl ηp τ σ

1 Si noti come Pth ∝ στ : questo parametro é molto importante per avere da un lato Pth basse ma dall’altro τ troppo piccoli. E questo termine andrá accuratamente ricercato. 66 67

Trascuriamo tutti i termini non lineari tipo δN 2 o (δN δΦ). Sfruttiamo l’equazione (3) a pagina 62 e il fatto che Va = Ab l.

65

6.2.2

Condizione di sopra-soglia

In contrapposizione alla sezione precedente, studiamo il caso in cui Rp ≥ Rth , caso in cui si innesca l’azione laser. La soluzione, dopo un certo tempo, tende ad una azione stazionaria ma diversa da prima: dN = Rp − Nτ − BΦN = 0 dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ = 0 dt Da cui si ottiene, oltre alla soluzione di prima: ( N0 = Nth= BV1a τc Φ0 =

Ovvero:

1 Bτ

Rp Rth

−1

γ N0 = Nth = σl 1 Φ0 = Bτ (x − 1)

Ove x = RP /Rth = Ppump /Ppumpth é detto parametro di sopra soglia. Si deve quindi richiedere che x ≥ 1 e che la soluzione risulti stabile. A causa della saturazione, quando Φ aumenta, il guadagno diminuisce: si raggiungerá un equilibrio in cui le perdite e il guadagno sono le medesime. Da notare che per un laser in Cw soprasoglia avremo sempre (all’equilibrio) che N = Nth . Studiamo ora la potenza in uscita da un laser soprasoglia in Cw : Φ0 γ2 hν = 2Bτγ2τc γ hν(x − 1) per x ≥ 1 2τ γ c Pout = 0 per x ≤ 1 6.2.3

Efficienza

Si definisce il coefficiente di slope-efficiency la quantitá ηs =

dPout . dPpump

Calcoliamo ora tale grandezza:68 ηs =

1 hν γ2 hν ηp γ2 hν ηp γ2 = = = Bτ τc Pth 2γ Rth Bτ τc hνp Al 2γ Nth Bτc hνp Al 2γ =

68

hν γ2 Ab l hν γ2 Ab ηp = ηp hνp 2γ Al hνp 2γ A

Ricordiamo che Pout ∝ x =

Ppump Ppumpth

.

66

Dal momento che tutti i termini della slope-efficiency sono tutti termini di efficienza minori di 1, si avrá evidentemente che ηs < 1. Studiamo i quattro termini di efficienza: hν : hνp

1.

questo termine é definito quantum-efficiency ed é un termine indica con quanta energia escano i fotoni dalla cavitá rispetto a come in essa sono pompati.

2.

γ2 : 2γ

questo termine é definito coupling-efficiency ed é un termine che indica quanta radiazione viene emessa come fascio laser utile rispetto alla radiazione persa.

3.

Ab : A

questa é la transverse-efficiency.

4. ηp : questa é la pumping-efficiency.

6.3

Oscillazioni di rilassamento

Dimostriamo adesso che un laser sopra soglia é stabile, ma se perturbato in maniera diversa, tende a tornare all’equilibrio in modi differenti, dipendenti dai tempi caratteristici τ e τc . Le rates-equations sono: dN = Rp − Nτ − BΦN dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ dt La soluzione stazionaria (ponendo a zero le derivate) é data da: γ N0 = Ntl = Bτ1c Va = σl Φ0 = x−1 Bτ Dove x = RRthp é il solito paramentro di sopra soglia. Anche in questo caso, procediamo a fare una analisi della stabilitá linearizzando il sistema: N (t) = N0 + δN (t) Φ(t) = Φ0 + δΦ(t) Sostituendo nel sistema delle rate-equations otteniamo: δ N˙ (t) = − δN − B(N0 δΦ + Φ0 δN ) τ ˙ δ Φ(t) = BVa Φ0 δN

67

Deriviamo nel tempo δ N˙ e sostituiamo δ Φ˙ nell’equazione per ottenere la seguente EDO di secondo grado: 1 ¨ δN + + BΦ0 δ N˙ + BN0 Φ0 BVa δN = 0 τ Ponendo 2/t0 = 1/τ + BΦ0 e ω02 = BN0 Φ0 Va B, otteniamo: ¨ + 2 δ N˙ + ω02 δN = 0 δN t0 Si osservi che:

2 = τ1 + BΦ0 = τ1 + τ1 (x − 1) = xτ t0 ω02 = BN0 Φ0 BVa = τ1c τ1 (x − 1) = x−1 τ τc

Passando all’equazione caratteristica e risolvendo per λ (che ricordiamo essere l’autovalore della matrice associata al sistema), si ottiene: q 1 λ1,2 = − ± i ω02 − (1/t0 )2 t0 Si noti come Re(λ1,2 ) < 0 anche quando ω02 < 1/t0 . Dunque la soluzione del sistema é sempre stabile. Tuttavia, é opportuno procedere con una attenta analisi dei due casi: • ω0 > 1/t0 : In questo caso λ1 e λ2 sono complessi coniugati e la soluzione che si ottiene é: q −t/t0 δN (t) = Ce cos (ωt + ψ) con ω = ω02 − (1/t0 )2 Il tempo caratteristico della sinusoide é τ = t0 e la soluzione arriva all’equilibrio oscillando; questa oscillazione é chiamata oscillazione di rilassamento. Nel piano delle fasi (N, Φ) si ha qualcosa tipo spirale • ω0 < 1/t0 : In questo caso λ1 e λ2 sono reali e la soluzione che si ottiene é: δN (t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t In questo caso vengono a mancare le oscillazioni e si ha un decadimento doppio esponenziale verso l’equilibrio 68

x’=−x−y y’=x

2

1

1.5

1

0.5

0.5 y

0

−0.5

−1

0

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0 x

−0.5 0

5

10

15

0.5

1

1.5

2

20

Figure 24: oscillazione di rilassamento e stabilitá nel piano (N, Φ). 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

Figure 25: il decadimento a doppio esponenziale. La condizione necessaria affinché un laser presenti oscillazioni di rilassamento é che τ > τc . Infatti, per avere oscillazioni di rilassamento, bisogna che (ω0 )2 > (1/t0 )2 . Cioé: x − 1 x 2 > τ τc 2τ x−1 Ponendo f (x) = 4 x2 , la condizione diventa: τc τ Consideriamo solo gli stati soprasoglia, ovvero per x ≥ 1. Si osserva che, se τc /τ > 1 non vi sono intersezioni e dunque non si possono avere oscillazioni di rilassamento (linea rossa in figura 26). Vale il f (x) >

69

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

0

5

10

15

20

Figure 26: grafico per trovare le condizioni di oscillazioni di rilassamento. viceversa (linea verde). ESEMPI • Laser Nd-YAG (Laser a stato solido) La lunghezza d’onda di emissione vale λ = 1064nm. τ = 240µs. Cavitá NPRR 69 , l = 11.5mm, T = 0.4%, γi = 0.5% e nY AG = 1.82. Posto γ ≈ γ2 + γ1 + γi ≈ 0.9%, avremo che: τc =

lnY AG Lc = = 7, 8ns cγ cγ

Dal momento che τ >> τc , si hanno oscillazioni di rilassamento. Ponendo x = 5, avremo: r 12 1 x−1 ≈ ω0 = ω = ω02 − t0 τ τc Da cui ν ≈ 238KHz. • Laser a GaAs (Laser a semiconduttore) Si ha che nGaAs = 3.35, R = 30% (forti perdite di accoppiamento). Ció porta ad avere ν ≈ 3. Sapendo che Lc = ln ≈ 300µm si deduce che τc = Lcνc ≈ 1.1ps. Il tempo di vita τ é dato dal tempo di vita interbanda che vale τ ≈ 3ns. Assumendo x = 1.5, ricaviamo ν ≈ 2GHz. 69

NPRR significa Non Planar Ring Resonator.

70

• Laser a He-Ne (laser a gas) Abbiamo τ ≈ 50ns con L = 50cm, γ = γ2 /2 = 0.005 e con T = 1%; n ≈ 1. Ricaviamo che τc = 322ns. Dal momento che τ < τc , non si avranno mai oscillazioni di rilassamento.

6.4

Cause di oscillazione monomodale

Un laser oscilla su un modo longitudinale a causa di un fenomeno chiamato spectral hole burning. La condizione per avere questo fenomeno é che ∆ν < ∆νg , dove ∆ν é la distanza tra due modi successivi e ∆νg é la larghezza della riga di guadagno. Per un Fabry-Perot, ad esempio, avremo che: c ∆ν = 2L Osserviamo che se la riga di guadagno é molto larga, essa conterrá pi´ u modi, e quindi questi modi saranno permessi in cavitá. 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figure 27: esempio di modi normali in cavitá e curva del guadagno. Un modo longitudinale di frequenza ν é moltiplicato per un coefficiente pari a g(ν) = σ(ν)N l, dove σ(ν) é la cross-section e N é l’inversione di popolazione e l é la lunghezza della cavitá. Sia γ la perdita logaritmica, allora saremo soprasoglia per g(ν) > γ e sottosoglia per g(ν) < γ. Studiamo adesso i due diversi casi di oscillazione multimodo. 6.4.1

Allargamento di riga non omogeneo & spectral hole burning

Supponiamo che tutti i modi presentino lo stesso γ. Tracciamo quindi g(ν) al variare del rate di pompaggio. 71

• Per Rp < Rth siamo sottosoglia e quindi nessun modo presenta un guadagno maggiore delle perdite. • Per Rp = Rth abbiamo un solo modo longitudinale attivo, quello pi´ u vicino a ν0 • Per Rp > Rth abbiamo che il guadagno del modo attivo resta vincolato al valore delle perdite a causa dello spectral hole burning. Poi si attiveranno tutti i modi successivi i quali a loro volta ”scaveranno” delle buche nello spettro. La larghezza di queste buche varia perché stiamo considerando allargamenti non omogenei.

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 −5

0

5

Figure 28: spectral hole burning nella curva del guadagno g(ν).

6.4.2

Allargamento di riga omogeneo & spatial hole burning

Per l’allargamento omogeneo, consideriamo le equazioni del laser in onda continua: Rp τ Rp < Rth N= Rth τ = Nth Rp ≥ Rth Dunque per Rp > Rth si ha che N = Nth ossia, la curva resta invariata.70 70

Nell’allargamento non omogeneo, si ha che N = N (ν).

72

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −5

0

5

Figure 29: curva del guadagno g(ν) al variare di Rp . In base a queste formule il laser dovrebbe oscillare a singolo modo (quello centrale in figura). Tuttavia, l’esperienza mostra che anche nei laser ad allargamento omogeneo si hanno pi´ u modi. Tale fenomeno é dato dalla creazione di ”buchi” nella distribuzione longitudinale dell’inversione di popolazione N (z); ció accade solo nei risonatori lineari. In questo caso, i modi hanno degli zeri sugli specchi71 e vale quindi la condizione di quantizzazione: n

λn = Lc 2

ovvero νn =

c n 2Lc

Consideriamo adesso il modo centrale νn0 (quello pi´ u intenso, in corrispondenza del massimo di g(ν)) e νn0 +1 . Per νn0 si osservano n0 + 1 nodi72 parte dei quali cadono all’interno del mezzo attivo. Dunque, in quelle posizioni gli atomi non presentano un’emissione stimolata da questo modo principale. Ergo, possiamo dire che vi saranno dei ”buchi” all’interno della distriduzione N (z): questo é il fenomeno della spatial hole burning. Si osservi inoltre che al centro della cavitá il modo νn0 +1 presenta dei ventri in corrispondenza dei nodi di νn0 : dunque, per un valore sufficientemente grande di Rp si ha una oscillazione del modo νn0 +1 . 71

Gli specchi sono metallici e come é ben noto, l’onda non si propaga in un metallo; dunque deve essere nullo il campo all’interfaccia col metallo. 72 Punti in cui il campo é sempre nullo.

73

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−10

−5

0

5

10

Figure 30: oscillazione di due modi in cavitá.

6.5

Laser Tuning

Nella fabbricazione dei laser si va incontro almeno a queste due difficoltá tecniche: 1. Il laser puó presentare diverse possibili transizioni. Dunque sará necessario introdurre in cavitá un filtro in frequenza. Questo problema si risolve introducendo nella cavitá un reticolo di diffrazione (luce IR) oppure un prisma (luce visibile). 2. Alcuni laser possono avere un’ampia larghezza di riga e dunque sará necessario accordare lo spettro attorno ad una ben precisa ν0 . Il problema si risolve ruotando un prisma o un reticolo di diffrazione posti all’interno della cavitá.

74

7

Q-switching

Un laser in Cw non ci permette di ottenere grandi potenze. Per avere impulsi brevi e elevata potenza, si puó operare in regime di Q-switching.

7.1

Aspetti generali

L’idea é quella di ottenere una forte inversione di popolazione N > Nth mediante un abbassamento transitorio del fattore di qualitá Q. La potenza viene prima accumulata e poi viene rilasciata in un gigante impulso di luce (Durata circa pari a τc dell’ordine di 1 ÷ 10ns e potenza di picco di qualche MW). Inoltre questo metodo é applicabile ai laser con tempi di vita lunghi (µs o ms).

7.2

Fast switching

Supponiamo che Q sia basso, ovvero siano elevate le perdite del risonatore e che il laser sia sotto soglia 73 . Supponiamo inoltre che Rp presenti in t = 0 uno scalino. La rate equation per N vale: N dN = − + Rp dt τ integrando con N (0) = 0 si ottiene: N (t) = Ni (1 − e−t/τ ) Dove Ni = Rp τ . L’inversione di popolazione Ni che riusciamo a creare nel mezzo attivo é proporzionale a τ , dunque per avere Ni elevato ci serve un τ grande. Si utilizzeranno preferibilmente dei laser con transizioni debolmente permesse. A questo punto, per N = Ni e t1 = 2τ ÷ 3τ , eseguiamo una commutazione del fattore Q. Tale commutazione é istantanea (da cui il nome di fast-switching) dal valore basso al valore alto. A causa di questa rapiditá consideriamo le rate-equations senza il termine di pompaggio e di decadimento spontaneo: dN = −BN Φ dt dΦ = − τΦc + BN Va Φ dt 73

Non si pu´ o quindi avere emissione stimolata causata dall’oscillazione di modi in cavitá. Dunque W12 = 0.

75

Dove τc é riferito al risonatore con Q alto. Il sistema va risolto con le condizioni iniziali: N (0) = Ni e Φ(0) = 1.74 Studiamo il sistema in modo qualitativo. x’=−y y’=−y+xy

4

3

2

y

1

0

−1

−2

−3

−4 −4

−3

−2

−1

0 x

1

2

3

4

Figure 31: piano delle fasi del Q-switching. Posto x = N1 /Nth , avremo che N (t) ≈ N1 e dunque: x−1 Φ˙ = Φ τc Integrando si ottiene: Φ(t) = Φ0 e(t−t1 )x/τc Ove Φ0 = 1. Per t ≈ t1 , Φ(t) presenta crescita esponenziale. Ma al crescere di Φ, N diminuisce e quindi Φ cresce meno velocemente. Ma quando N = Nth = 0, ovvero abbiamo raggiunto il valore al tempo t = tp abbiamo che dΦ dt massimo di Φ (detto picco dell’impulso di Q-switching). Per t > tp avremo che N diminuisce per via della emissione stimolata; ma anche dΦ < 0 e quindi dt si ha una diminuzione anche di Φ. Da t = t1 é stato invertito il fattore di qualitá e dunque N comincia a diminuire. La larghezza della campana é ∆τp ≈ 1.5τc ÷5τc . Da notare il fatto che N (t) pare convergere verso un valore definito. In realtá non é vero: N decade con costante di tempo τ ma noi abbiamo fatto delle ipotesi all’inizio valide solo per tempi piccoli (in generale di 100ns).75 74 75

Extrafotone di emissione spontanea. Il tempo di switching deve essere molto minore di τd , ovvero il tempo tra t1 e il picco.

76

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

2

4

6

8

10

Figure 32: grafico temporale di Φ(t) (rosso) e N (t) (blu) durante il fast switching di γ (giallo).

7.3

Slow switching

Se il tempo di switching é paragonabile a τd (tempo che intercorre tra l’inizio dello switching ed il picco di switching), siamo in regime di slow-switching. In generale, nel regime di slow switching, si ha la formazione di impulsi satellite accanto all’impulso principale. 14

12

10

8

6

4

2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figure 33: grafico temporale di Φ(t) (rosso) e g(t) = σlN (t) (verde) durante lo slow switching di γ(t) = e−t/τd (blu). Da osservare che i punti di intersezione nel grafico, ovvero quando γ(t) = g(t) si hanno per N = Nth .

77

7.4

Metodi di Q-switching

Si definiscono attivi quei metodi che necessitano di un segnale esterno per funzionare. Viceversa, gli altri sono i metodi passivi. Noi studieremo i metodi attivi. • Metodi attivi: – Prisma rotante – Cella di Pockels – Modulatore acusto-ottico • Metodi passivi: – Assorbitore saturabile 7.4.1

Prisma rotante

Se si pone un prisma a forma di parallelepipedo a base triangolare di fronte ad uno specchio semiriflettente (lo specchio di uscita del laser), se il prisma é ben orientato si ottiene una cavitá risonante. Ma se il prisma é fuori asse per qualche milliradiante, il risonatore non é pi´ u allineato e dunque Q risulta molto basso. Se il prisma viene messo in rotazione ad una pulsazione ω ω ) si ottiene quindi una modulazione di (ovvero ad una frequenza di ν = 2π Q: tuttavia le frequenze di rotazioni meccaniche sono di circa 400Hz per un tempo di Q-switching di 400ns. Dunque, siamo nel regime di slow-switching. Il vantaggio del prisma rotante é la sua semplicitá e la sua economicitá. 7.4.2

Q-switching elettro-ottico

Il Q-switching elettro-ottico consiste nel porre all’interno del risonatore una cella di Pockels76 . Dunque, applicando un campo elettrico intenso alla cella, é possibile far variare gli indici di rifrazione e quindi modulare il fattore Q. Pi´ u precisamente, detti no e ne gli indici di rifrazione ordinario e straordinario, lo sfasamento subito dalle onde ordinaria e straordinaria risulta: 2πl ∆φ = (ne − no ) λ0 76

La cella di Pockels é costituita da un cristallo che presenta una polarizzabilitá non lineare (ovvero una polarizzabilit´ a dipendente dal campo elettrico incidente sul materiale) e da un polarizzatore per sfasare opportunamente i campi di riferimento e di uscita.

78

Dove λ0 é la lunghezza d’onda del campo nel vuoto e l la dimensione trasversale della cella. Dunque, applicando ai capi della cella la giusta tensione V , si puó ottenere, ad esempio, che il campo in ingresso sia linearmente polarizzato e quello in uscita sia polarizzato circolarmente (∆φ = π/2 o lamina a λ/4). Se analizziamo questa situazione, ricordando che ad ogni cambio della direzione della polarizzazione si hanno delle perdite di intensitá 77 , si nota come il fattore Q sia particolarmente basso. Se V = 0 non ho effetto elettro-ottico. Dunque, commutando V abbastanza rapidamente (non facile perché di solito V ∈ [1, 5]volt) si riesce ad ottenere un fast-switching. 7.4.3

Q-switching acusto-ottico

Il concetto consiste nello sfruttare il reticolo viaggiante che un’onda acustica crea propagandosi in un mezzo. Se prendiamo un trasduttore piezoelettrico e gli inviamo una tensione a radiofrequenza, esso si metterá in vibrazione. Se ad esso colleghiamo una certa lamina trasparente, quest’ultima comincerá a vibrare a sua volta. Inclinando opportunamente l’estremo opposto di questa lamina al fine di evitare riflessioni indesiderate, possiamo creare un reticolo viaggiante nella lamina. Infatti, l’onda sonora comporta compressioni e dilatazioni del materiale che corrispondono a variazioni di indice di rifrazione n. In ultima analisi, abbiamo creato un reticolo di diffrazione entro cui il campo elettrico incidente si propaga. La diffrazione, come é noto, comporta un allargamento del fascio e quindi una perdita di intensitá. Definiamo il regime di Bragg come: 2πλL0 >> 1 nλ2a Con L0 spessore della cella acustico-ottica. Una parte dell’onda viene trasmessa ed un’altra deviata a θb = λ/λa detto angolo di Bragg. La massima deviazione si ha per θin = θb /2.

77

La legge di Malus dice che Iout = Iin cos2 (α), con α angolo tra polarizzazione del mezzo e del campo; Dunque Iout ≤ Iin

79

8

Mode-locking

Il regime di mode-locking é un regime nel quale il laser é forzato ad oscillare su pi´ u modi longitudinali fra i quali esiste una precisa relazione di fase. In tale regime il laser emette degli impulsi di breve durata separati l’uno dall’altro dal tempo di transito della luce nel risonatore. La durata degli impulsi é approssimativamente l’inverso della banda oscillante dei modi longitudinali agganciati in fase. La banda é limitata dalla larghezza della riga di guadagno del mezzo attivo.78

8.1

Dinamiche del regime mode-locking

Si consideri un mezzo attivo con una larghezza della riga di guadagno pari a ∆ωgain , avente i modi longitudinali separati da ∆ω = 2π Lc con L lunghezza del risonatore. Se il laser oscilla su pi´ u modi, in approssimazione di onda piana, il campo sará dato da: X An eiφn eiωn (t−z/c) + c.c. E(t) = n

Essendo An eiφn l’ampiezza complessa del modo n-esimo e ωn = ω0 + ∆ωn la frequenza longitudinale. Si osservi che l’onda é viaggiante.79 Prendiamo adesso come riferimento un piano a z = 0. Avremo: X X E(t) = An eiφn eiωn t + c.c. = An eiφn eiω0 t+i∆ωnt + c.c. = A(t)eiω0 t + c.c. n

n

P Si noti che il termine A(t) = n An ei(φn +∆ωnt) ha frequenza molto minore di ω0 , ovvero E(t) é quasi monocromatico. L’intensitá I(t) é data da: 2 X 2 i(φn +∆ωnt) I(t) ∝ |A(t)| = An e n

Possiamo a questo punto distinguere due casi. 78

Esiste una differenza fondamentale rispetto al caso del Q-switching: quest’ultimo coinvolge un singolo modo, il mode-locking ne coinvolge pi´ u di uno. 79 Nell’esponenziale infatti abbiamo sia i termini di spazio che di tempo.

80

8.1.1

Regime free-running

In questo regime il laser tenderá ad oscillare spontaneamente su pi´ u modi80 e le sue φn saranno generate scorrelate. Inoltre An e φn potranno variare lentamente nel tempo. Poniamo di avere ad esempio un pettine con 2N + 1 modi (in frequenza) cos´ı fatto: A0 se |n| < N An = 0 altrimenti φn sia invece una variabile aleatoria. Un tipico grafico di I(t) é il seguente: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

Figure 34: grafico di I(t) in free-running. Questa sequenza molto disordinata in realtá si ripete continuamente con 2π = Lcc . I picchi di luce sono detti spikes e hanno la stessa periodicitá TR = ∆ω una larghezza di: 1 1 ∆τp ≈ = (2N + 1)∆ν ∆νosc Si osservi che ∆νosc é la banda totale dei modi oscillanti. 8.1.2

Regime mode-locking

Imponiamo una relazione di fase tra le varie φn : φn+1 − φn = φ = costante. Ovvero, φn = nφ. In questo caso vale che: X X 0 A(t) = An ein∆ωt+inφ = An ein∆ωt n 80

n

Questo causa lo spectral e/o spatial hole burning

81

φ . Abbiamo ottenuto una serie di Fourier a coefficienti An . Se Ove t0 = t + ∆ω ipotizziamo che stia oscillando un pettine con 2N + 1 modi, tutti di ampiezza A0 , avremo che: N X 0 A(t0 ) = A0 ein∆ωt n=−N 0

Abbiamo una serie geometrica con ragione α = eiθ = ein∆ωt .81 Scrivendo la somma esplicita possiamo ricavare che: 0 sin (2N +1)∆ωt 2 A(t0 ) = A0 ∆ωt0 sin 2 Da cui ricaviamo la relazione: 2

I(t) = A20

sin

(2N +1)∆ωt0 2

sin2

∆ωt0 2

2π e si vede bene Questa é ancora una funzione periodica di periodo TR = ∆ω come sia presente un impulso di grande intensitá seguito da altri pi´ u piccoli. La larghezza di questi impulsi principali vale circa:

∆τp ≈

1 2π = (2N + 1)∆ω ∆νosc

Con ∆νosc pari alla banda dei modi di oscillazione. Notare che l’intensitá di picco raggiunge massimi molto elevati. 81

La somma di una serie geometrica si puó ottenere con il seguente ragionamento: SN =

N X

αn =

n=−N

Poi si osservi che: αSN =

1 1 1 + N −1 + N −2 + . . . + αN −1 + αN N α α α

1 1 + N −2 + . . . + αN + αN +1 αN −1 α

Da cui: (α − 1)SN = −

1 + αN +1 = αN +1 − α−N αN

Dunque: SN =

αN +1 − α−N α−1

82

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Figure 35: grafico di I(t) in mode-locking. 8.1.3

Osservazioni

1. Distribuzione di An . Anche se la distribuzione di An non é uniforme i risultati continuano a valere. Realisticamente la distribuzione di An é circa e−|ω| : 0

A(t ) =

N X

0

A0 ein∆ωt

n=−N

A(t0 ) presenta un massimo per t0 = 0 (e per t0 = ±TR , ±2TR , . . .). Se ipotizziamo che ∆ωt0 → 0 e An variabile lentamente con n82 e che N → ∞, si ha: 0

A(t ) =

N X

in∆ωt0

A0 e

Z ≈

0

A(n)ein∆ωt dn

R

n=−N

Cioé, nell’intorno di t0 = 0, la forma temporale dell’impulso é data dalla trasformata di Fourier dell’inviluppo spettrale di A(n) dei modi oscillanti. 2. Limitazione per trasformata di Fourier. In alcuni casi, la relazione di fase del mode-locking é data da φn = 82

Ovvero An − An−1 ≈ 0.

83

1.5

1

0.5

0 −10

−5

0

5

10

Figure 36: grafico di An in mode-locking. n2 φ2 + nφ1 con φ2 = 6 0. In questo caso la durata ∆τp non é limitata per Trasformata di Fourier, ossia: ∆τp > 1/∆νosc . 3. Mode-locking nel dominio del tempo. Ricordiamo la relazione: X E(z, t) = An eiωn (t−z/c)+iφn + c.c. n

Se φn = nφ, allora si ha che: X X E(z, t) = An eiωn (t−z/c)+inφ +c.c. = eiω0 (t−z/c) An ein∆ω(t−z/c)+inφ +c.c. n

n

Ovvero E(z, t) = A(t−z/c)eiω0 (t−z/c) +c.c., dove A(t−z/c) = L’intensitá mediata sul ciclo ottico vale:

P

n

An ein∆ω(t−z/c)+inφ .

I(z, t) ∝ |A(t − z/c)|2 Se studiamo il grafico83 , osserveremo che nel tempo si ha solo un impulso di luce, di estensione spaziale ∆z = c∆τp , localizzato nel risonatore, viaggiante a velocitá c. Il treno di impulsi che si osserva in uscita é dovuto alla periodicitá del fenomeno. 83

Praticamente identico al grafico rosso della figura 36

84

8.2

Metodi di mode-locking

Come per il Q-switching, i metodi di mode locking si suddividono in metodi attivi e metodi passivi, a seconda che serva o meno un altro segnale da applicare all’apparato sperimentale. • I metodi attivi sono: – Modulazione di ampiezza (AM). – Modulazione di fase (FM). • I metodi passivi sono: – Assorbitore saturabile veloce. – Lente Kerr. – Assorbitore saturabile lento. 8.2.1

Metodi di modulazione di ampiezza

Il metodo consiste nell’inserire nel risonatore un modulatore di ampiezza, che moduli nel tempo le perdite logaritmiche. In questo modo il laser oscillerá in un regime non continuo. In particolare, vorremmo che l’impulso di mode locking attraversi il modulatore (supposto infinitesimo) negli istanti in cui le perdite sono minime. Definito Tm = 1/νm il periodo di modulazione di ampiezza, si ha che TR = Tm , dove TR é il tempo di transito della luce nel risonatore. Questo per evitare interferenze continue che impedirebbero ´ per questo che il mode-locking AM é detto il funzionamento del laser. E sincrono. Osserviamo inoltre che, al passaggio dell’impulso nel modulatore, abbiamo un accorciamento della ∆τ (e quindi un aumento di ∆ω)84 mentre al passaggio nel mezzo attivo si ha un aumento di ∆τ (e una diminuzione di ∆ω)85 . All’equilibrio i due fenomeni si compenseranno. Alla fine otterremo che: per allargamento omogeneo ∆τp = √ 0.45 ∆τp∗ =

νm ∆νgain 0.441 per ∗ ∆νgain

allargamento non omogeneo

84

Questo avviene poiché le code dell’impulso sono maggiormente modulate rispetto al centro dell’impulso. 85 Questo avviene a causa della limitatezza della banda di guadagno.

85

Dove νm = 1/TR se si tratta del modo fondamentale e ∆νgain é la larghezza della riga di guadagno. Si noti che una riga ad allargamento non omogeneo sfrutta tutta lap banda di guadagno, mentre una riga ad allargamento omogeneo presenta: νm ∆νgain ∆τp∗ . Ció é dovuto allo spectral hole burning per l’allargamento non omogeneo86 e allo spatial hole burning per l’allargamento omogeneo87 . OSSERVAZIONI • Nel Fabry-Perot il modulatore é posto in prossimitá degli specchi terminali. • Tipicamente, il modulatore é di tipo acusto-ottico in cui si genera un’onda acustica stazionaria. Quest’onda genera un reticolo di diffrazione nello spazio. I minimi saranno collocati nei nodi dell’onda stazionaria. Questo per la frequenza νm = 2νa , con νa frequenza dell’onda acustica. 8.2.2

Metodi con assorbitore saturabile veloce

Un assorbitore saturabile veloce é un sistema a due livelli non invertito (ovvero non pompato), con una elevata cross-section e tempo di decadimento τ piccolo (in genere, molto minore del tempo di durata dell’impulso ∆τp ). Le rate-equations dell’assorbitore sono: N2 dN2 =− + W (N1 − N2 ) dt τ ∆N = N2 − N1 Ntot = N1 + N2

Poniamo:

Sostituendo le nuove coordinate, otteniamo: d∆N Ntot ∆N = − − 2W ∆N dt τ τ Ovvero: τ

d∆N I = Ntot − ∆N − 2W ∆N = Ntot − ∆N (1 + ) dt Is

86

Il modulatore aggancia le fasi dei modi oscillanti e quindi é molto efficiente Il modulatore deve in primis mettere in oscillazione pi´ u modi e successivamente agganciarli in fase. Ci´ o comporta una minor banda sfruttabile 87

86

Dove Is = si ha che:

~ω 2στ

é l’intensitá di saturazione dell’assorbitore. Posto τ TR , la saturazione del guadagno nel mezzo attivo risente dell’intensitá media e non di quella istantanea. Di conseguenza, si generano delle finestre di guadagno, dette net gain windows 88 . Si osservi inoltre che gli impulsi di mode locking sono a secante iperbolica. 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

20

Figure 37: il profilo di I(t) (blu) e le net gain windows lungo il profilo di α(t) (rosso) al di sotto delle perdite (giallo). 88

Dal momento che l’assorbimento é al di sotto del livello delle perdite, vi puó essere amplificazione della luce.

87

8.2.3

Metodi con le Kerr-lens

In questo metodo, una lente Kerr é inserita nel risonatore seguita da una fenditura. L’effetto Kerr é un effetto ottico di alcuni mezzi non lineari, per cui l’indice di rifrazione varia al variare del campo stesso che attraversa il mezzo, ovvero n = n1 + In2 . Sfruttiamo dunque questo effetto (detto di self-focusing). Sappiamo che: r2 2 2 I = I(r) = I0 e−2r /W ≈ I0 + 2I0 2 W Sul fascio é introdotto uno sfasamento ∆φ causato dalla lente Kerr: ∆φ =

2π 2n2 2 I0 r l λ0 W 2

Dove l rappresenta lo spessore della lente Kerr. Osservando la formula si nota che l’effetto della lente Kerr é lo stesso che si avrebbe introducendo una lente sottile di focale W2 fKerr = 4n2 lI0 (t) ´ opportuno Dunque un fascio gaussiano con I0 grande sará ben focalizzato. E ricordare che spesso la lente Kerr é il mezzo attivo stesso.

88

9

Tipologie di laser

I laser sono classificati in base al tipo di materiale attivo; ne esistono quattro tipi principali: 1. Laser a stato solido: Il mezzo attivo é costituito da ioni di metallo di transizione o di terra rara immersi in una matrice dielettrica (cristallina o vetrosa). 2. Laser a gas: Il mezzo attivo é costituito da un atomo/ione/molecola di gas. 3. Laser a semiconduttore: Laser in cui la transizione avviene tra due bande di semiconduttore. 4. Laser a liquido: Laser in cui il mezzo attivo é costituito da molecole disciolte in una soluzione liquida.

9.1

Laser a stato solido

I laser a stato solido si ottengono introducendo degli ioni di metalli di transizione e di terre rare in matrici dielettriche. Le matrici dielettriche possono essere: • Cristalline: tipicamente cristalli ionici come: Al2 O3 (zaffiro), Y LiF4 , Y V O4 • Granati: strutture cristalline sintetiche come lo YAG89 : Y3 Al5 O12 = 21 (3Y2 O3 + 5Al2 O3 ) • Vetri: La peculiaritá dei vetri é che essi presentano dei campi elettrici interni che sono in grado di generare un allargamento di riga non omogeneo. 89

Lo YAG é un ottimo materiale perché al posto dell’Alluminio si possono sostituire i metalli di transizione e al posto dell’Ittrio si possono inserire le terre rare.

89

9.1.1

Caratteri generali

• Pompaggio: Sempre di tipo ottico. L’eccitazione avviene per assorbimento di fotoni. • Transizione proibita: La transizione di dipolo elettrico é proibita poiché il tempo di vita del livello energetico di arrivo é molto lungo. • Laser a terra rara: Le terre rare che vengono iniettate nel dielettrico contengono l’orbitale atomico 4f occupato. Ma allo stesso tempo questo orbitale é schermato dai livelli 5s e 5p. Avremo perció una debole interazione con i fononi del reticolo.90 • Laser a metallo di transizione: I metalli di transizione presentano l’orbitale 3d occupato che potrá interagire bene con i fononi del reticolo.91 9.1.2

Laser a neodimio

100

200

300

400

500

600 100

200

300

400

500

600

Figure 38: schema dei livelli del laser Nd:YAG. 90 Adotteremo la notazione di Russel-Sanders: (2S+1) LJ . 2S + 1 rappresenta la degenerazione di spin, L il momento angolare elettronico e J quello totale. 91 Adotteremo la notazione vibrazionale: .

90

Ricordiamo che N d = (Xe)4f 4 5d0 6s2 con matrici ospitanti tipo: YAG, YLF, YVO4 e vetro. Si osservi la figura che rappresenta lo schema di livelli del laser Nd:YAG. Le linee tratteggiate corrispondono a tempi brevissimi τ1 ∼ 100ps mentre le linee spesse corrispondono a τ2 ∼ 230µs. Dunque il laser puó funzionare in regime Cw . Si osservi che la transizione a 1064nm é solo una delle possibili transizioni permesse dall’effetto Stark.92 Il laser presenta un allargamento omogeneo di ∆ν ∼ 126GHz. Il laser puó funzionare nei seguenti regimi: 1. Continuo/Pulsed: • Pout ∼ 1kW , ηs ∼ 3% (pompaggio ottico) • Pout ∼ 15W , ηs ∼ 10% (pompaggio longitudinale) • Pout ∼ 100W , ηs ∼ 10% (pompaggio trasversale) 2. Q-switching 3. Mode-Locking (τp ∼ 5ps) Gli altri laser a neodimio sono: • Nd:YVO4 : maggiore cross section. • Nd:YLF: migliori proprietá opto-meccaniche (λ = 1053nm). • Nd:Glass: larghezza di riga non omogenea 40 volte maggiore rispetto allo YAG (λ = 1054nm). APPLICAZIONI: • Operazioni meccaniche; • Operazioni mediche; • Pompaggio per Ti:Al2 O3 92

Ci´ o causa una separazione dei livelli degeneri 4 F3/2 e 4 I11/2 . Si osservi anche che la separazione tra 4 I11/2 e 4 I9/2 ha una energia E >> Kb T e dunque il laser, riferito a questi due stati é ancora a 4 livelli.

91

9.1.3

Laser titanio-zaffiro

Questo laser é un laser vibronico, che presenta delle curve di energia variabili con la distanza fra gli ioni di Ti3+ e gli ioni O2− . Il mezzo attivo é costituito da atomi di zaffiro (Al2 O3 ), drogato con molecole di ossido di titanio T i2 O3 . L’assorbimento porta lo ione Ti3+ =(Ar)3d1 in uno stato eccitato e subito dopo si avrá un decadimento non radiativo dall’orbitale 3d, che comporta un moto oscillante smorzato. L’emissione subisce lo stesso smorzamento, a causa del forte allargamento di riga e di uno Stark-Shift.

50

100

150

200

250

300

350 50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Figure 39: bande di emissione e assorbimento del laser T i : Al2 O3 . Da questi shifts risulta che la larghezza di riga vale ∆λ ∼ 1nm. La lunghezza d’onda vale λ = 790nm in emissione e λ ≈ 500nm in assorbimento. Dal momento che τ ∼ 3µs il laser puó funzionare in regime Cw . Dato che il fascio di pompa deve avere λ ≈ 500nm, spesso si usa un laser Nd:YAG da cui si ricava la seconda armonica. APPLICAZIONI: • In regime Cw o impulsato é utilizzato come sorgente accordabile. • Generazione e amplificazione di impulsi ultracorti.

92

9.2 9.2.1

Laser a gas Caratteri generali

La principale caratteristica di questi laser é che l’allargamento di riga é piccolo (minore di 1 GHz) ed é di tipo doppler. Questi laser vengono utilizzati con gas a bassa pressione (plaser < 10torr) e dunque sono trascurabili gli allargamenti collisionali. Si fa uso di pompaggio elettrico perché le bande di assorbimento sono molto strette ed il pompaggio ottico risulterebbe inefficacie. 9.2.2

Pompaggio elettrico: caratteri generali

Il pompaggio elettrico consiste nel mettere all’interno della cavitá risonante (che contiene il gas), due elettrodi con una differenza di potenziale ∆V . Se ∆V é sufficientemente grande, si ha la rottura del dielettrico e la conseguente ionizzazione del gas e passaggio di corrente.93 L’eccitazione della specie X si ha dunque per impatto elettronico: X + (e− )∗ → X ∗ + e− La distribuzione delle velocitá degli elettroni sono descrivibili con la statistica di Boltzmann e dunque, definendo Te la temperatura degli elettroni, hEi = kb Te . √ − E 1 E = mv 2 f (E) ∝ Ee kb Te , 2 Sia F il flusso di elettroni ad una energia ben definita, e sia Ng la densitá del gas. Possiamo introdurre una cross-section σe ed ottenere: dF = −F σe Ng dz Dunque dF rappresenta la diminuzione del flusso elettronico nel tratto dz dovuta all’eccitazione di X.94 Dal momento che il processo non é risonante, σe (E) non presenta un picco di risonanza, bens´ı un’energia di soglia data da Ep = hνp e ∆Ep ≈ 1 ÷ 10Ep . Si cercherá una temperatura Te tale che il massimo di f (E) sia vicino al massimo di σe (E). Sia p la pressione del gas 93

Le placchette metalliche per generare la d.d.p. possono essere messe in modo trasversale o longitudinale rispetto ai modi principali di oscillazione. 94 ´ E importante sottolineare che la diminuzione del flusso F si ha non perché gli elettroni siano assorbiti, ma perché cedono energia agli atomi.

93

e D la larghezza della cavitá. Dalla termodinamica si ottiene che Te ∝ E/p. Svolgendo i calcoli, si ottiene che Te ∝ g(pD), ovvero é necessario ottimizzare g. 9.2.3

Tipi di laser a gas

Vi sono 3 tipologie di laser a gas: 1. Laser a gas di atomi neutri: Laser in cui il mezzo attivo é un gas neutro; in generale si tratta di un gas nobile, come per l’He-Ne. 2. Laser a gas di atomi ionizzati: Laser i cui il mezzo attivo é un gas ionizzato. Per far avvenire le transizioni elettroniche richieste servono spesso elevate correnti. Inoltre, questi laser emettono di solito nel visibile e nell’ultravioletto. 3. Laser a gas molecolari: Laser in cui il mezzo attivo é un gas molecolare; a sua volta possiamo distinguere tre sottocategorie: • Laser rotovibrazionali (IR: 5 ÷ 300µs). Ad esempio il laser a CO2 . • Laser vibrazionali puri (UV). Ad esempio i laser ad eccimeri. • Laser rotazionali puri (Mw: 25µs ÷ 1mm). 9.2.4

Laser a He-Ne

Questo é uno dei pi´ u importanti laser a gas nobili. Tale laser emette a diverse lunghezze d’onda (λ = 633nm, λ = 543nm, λ = 1.15µm, λ = 3.39µm). Le transizioni sfruttate per avere luce laser sono quelle del Ne, mentre l’He serve per facilitare il processo di pompaggio. Il laser opera a pressione p ∼ 0.5T orr. In figura sono mostrati i livelli elettronici di elio e neon. Si osservi come gli stati 21 s e 23 s sono metastabili. Osserviamo come i livelli 21 S1 e 23 S0 dell’elio sono quasi in risonanza con i livelli 3s e 2s del neon. Ció permette di avere un trasferimento risonante di energia tra elio e neon. Il trasferimento di energia é dunque efficiente95 e quindi i livelli 3s e 2s sono dei buoni livelli laser superiori. Possibili livelli 95

L’elio é inserito nel laser in quanto il pompaggio é pi´ u efficiente proprio per questa ragione.

94

Figure 40: schema dei livelli del laser He-Ne. inferiori sono il 3p e 2p. Se dunque si considerano tutti i possibili salti si spiegano i differenti colori dell’emisisone laser.96

Figure 41: schema di un laser He-Ne. I tempi di vita sono τs ∼ 100ns e τp ∼ 10ns che rendono possibile il funzionamento in regime Cw ma non quello in regime di Q-switching. L’allargamento di riga é di tipo doppler ∆ν0∗ ∼ 1.4GHz. La cavitá risonante é circa L < 10 ÷ 20cm che ne permette il funzionamento a singolo modo. L’efficienza quantica é bassa: ηs ∼ 10−3 . La potenza in uscita é di 96

Per selezionare un solo colore si fa uso di specchi multidielettrici che selezionino la λ.

95

circa 10mW, senza essere monotona crescente con la densitá di corrente ~j. Il motivo é legato alla saturazione di N2 al crescere di ~j: dN2 = k1 Nt j − k2 N2 − k3 jN2 dt Il termine k1 Nt j rappresenta il pompaggio per impatto elettronico, il termine k2 N2 rappresenta la diseccitazione alle pareti, dovuta alle collisioni superelastiche degli atomi con le pareti stesse e il termine k3 jN2 rappresenta la diseccitazione per impatto elettronico. L’equilibrio si ha per: N2 =

k1 Nt j k2 + k3 j

Se j é sufficientemente grande N2 ∼ kk31 Nt . Allo stesso modo si otterrá per N1 una saturazione per j molto grande. In questo laser si ha che l’ottimo della temperatura elettronica si ha per Te = g(pD) ∼ 3.6 ÷ 4torr · mm. Ma dato che il guadagno é proporzionale a p ∼ D1 , conviene utilizzare D piccoli. Ma per D troppo piccolo si presentano perdite diffrattive: la D ottimale vale 2mm. APPLICAZIONI: • Applicazioni metriche (legate alla misura); • Bar-code reader; • Olografia 9.2.5

Laser CO2

Questo é uno dei pi´ u potenti (fino a 100kW di potenza di picco) e uno dei pi´ u efficienti (ηs ∼ 20 − 25%) laser che sono oggi a disposizione. La transizione avviene tra livelli rotovibrazionali di un medesimo livello elettronico, alle lunghezze d’onda di λ1 = 10.6µm e di λ2 = 9.6µm. Sottilineiamo il fatto che λ1 sia pi´ u probabile di λ2 . Il laser contiene, all’interno del mezzo attivo, una miscela di He, N2 e CO2 nei rapporti molecolari di 8:1:1. In particolare: • L’azoto migliora il pompaggio mediante trasferimento risonante di energia.

96

• L’elio serve a depopolare il livello laser inferiore permettendo il funzionamento del laser in regime Cw . Inoltre l’elio permette un raffreddamento della miscela, aumentandone la conducibilitá termica. • La molecola di CO2 é lineare triatomica e dunque presenta 5 g.d.l. rototraslazionali e 4 g.d.l. vibrazionali. Avremo dunque 4 modi vibrazionali, di cui 2 degeneri di energie ν1 , ν3 , ν2 :97

Figure 42: schema dei modi normali della CO2 . Di seguito vi é un’immagine dei vari livelli energetici del laser a CO2 e delle loro transizioni. Si osservi che i livelli v = 0 e v = 1 di N2 sono praticamente uguali ai livelli (000) e (001) della CO2 . 98 9.2.6

Pompaggio elettrico: laser a CO2

Il pompaggio nel laser a CO2 é elettrico. Vi sono due fenomeni che comportano una promozione di elettroni: 1. Eccitazione per impatto elettronico diretto sulla CO2 : In questo caso avremo la seguente tranzione: CO2 (000) + (e− )∗ → CO2 (001) + e− 97

Il primo é un moto di stretching simmetrico, il secondo antisimmetrico e il terzo é un moto di bending 2 volte degenere. 98 La notazione (xyz) indica quale situazione rotovibrazionale stiamo considerando. Ad esempio, (001) é lo stretching antisimmetrico mentre (010) indica il bending.

97

Figure 43: schema dei livelli del laser a CO2 . La cross-section di questa transizione é superiore rispetto a quella per finire sugli altri livelli. Vi é un altro meccanismo, detto a cascata, che coinvolge dei livelli virtuali: CO2 (000) + (e− )∗ → CO2 (00n) + e− CO2 (00n) + CO2 (000) → CO2 (00(n − 1)) + CO2 (001) Si noti che l’equazione é valida solamente se si puó ipotizzare l’equispaziatura dei livelli energetici fino a n. Si raggiungerá una situazione di equilibrio descritta dalla statistica di Boltzmann con temperatura vibrazionale Tv . 2. Trasferimento risonante: In questo caso abbiamo che: CO2 (000) + N2 (1) → CO2 (001) + N2 (0) + ∆E Dal momento che ∆E τinf , permettendo il funzionamento in regime Cw . Inoltre l’elio, dal momento che é un buon conduttore termico, é utile per tenere bassa la temperatura del gas: dal momento che il livello (010) risulta superiore al livello (000) di pochi kb T , un aumento di temperatura potrebbe causare un popolamento di tale livello e di conseguenza anche degli altri per Boltzmann. 100

La termalizzazione consiste in un abbassamento generico dei livelli energetici degli atomi a seguito di urti con i vicini. La distribuzione dei livelli energetici d’equilibrio segue la statistica di Boltzmann. 101 Scambio energetico causato da urti vibrazionali. 102 Collisione superelastica.

99

9.2.7

Transizioni nel laser CO2

La transizione pi´ u probabile é quella per λ = 10.6µm (cioé (001) → (100)). Dato che peró si tratta di un gas, vi saranno anche delle righe rotazionali importanti. Sia P (l0 ) la probabilitá di trovare una molecola nello stato rotazionale a energia Bl0 (1 + l0 ). Si ha che: P (l0 ) ∝ (2l0 + 1)e

−

Bl0 (1+l0 ) kb T

Si osservi che la probabilitá segue la stastistica di Boltzmann, corretta dei livelli degeneri (2l0 + 1) che permettono di trovare il massimo: max(P (l0 )) ⇒ l0 = 21. La regola di selezione per la transizione rotovibrazionale richiede che ∆l0 = ±1. Dall’equazione si nota come ∆l0 = +1 sia favorita, la riga pi´ u frequente si ha per P (22). Per far oscillare altre righe, si fa uso del Laser Tuning. Per completezza, é opportuno sapere che la larghezza di riga é dovuta all’effetto doppler e vale circa 50MHz. 9.2.8

Tipi di laser a CO2

1. Laser a flusso assiale lento:

Figure 44: laser a flusso assiale lento. Come si vede dal disegno, il gas non é sigillato ma in continuo ricircolo. Lo scopo é di ripulire l’aria dalla CO, che impedirebbe il buon funzionamento del laser. Vi é scambio di calore con le pareti esterne, a loro volta collegate a un circuito di raffreddamento. Si aggiunge anche la limitazione in potenza a valori pari a 60W/m, infatti: Pout ∝

dN2 Va ∝ JNt Va ∝ JpD2 l = (JD)(pD)l dt 100

Ma per ottimizzare l’equazione devo minimizzare pD (temperatura elettronica) e massimizzare jD (dissipazione del calore per diffusione). La scarica é longitudinale e la pressione ottima p = 15T orr. 2. Laser a tubo sigillato: In questo laser il tubo é sigillato e non vi é ricircolo. Dunque é necessario impiegare dei catalizzatori per ridurre la formazione di CO. Si puó utilizzare: • Introduzione di piccole quantitá di H2 O: CO∗ + OH → CO2∗ + H • Utilizzare catodi di Nickel a 600K. Anche qui la potenza é limitata a 60W/m. 3. Laser in guida d’onda capillare:

Figure 45: laser in guida d’onda capillare. Come il nome suggerisce, la cavitá risonante é molto piccola (D ∼ 2 ÷ 4mm), in modo da ottenere una guida per il laser che riduca le perdite diffrattive (guide di BeO,SiO2 ,Al2 O3 ). La pressione é elevata (p ∼ 100÷200T orr) e di conseguenza anche il guadagno. Dunque é possibile costruire dei laser corti con questa tecnica. La potenza é comunque limitata a 60W/m. Dal momento che E/p = costante, si avranno campi elettrici elevati: quindi é opportuno usare scariche trasversali, che comportano un’emissione a radiofrequenza (ν = 30M Hz).

101

Figure 46: laser a flusso assiale veloce. 4. Laser a flusso assiale veloce: La miscela viene esportata dalla cavitá ad alta velocitá (50m/s), purificata con opportuni catalizzatori e reinserita. La dissipazione di calore avviene mentre la miscela viene asportata, grazie a degli scambiatori di calore. In conclusione si riescono a generare grandi potenze (1 ÷ 3kW ): é questa la ragione per cui vengono impiegati in ambito meccanico. 5. Laser ad elettrodi ad area estesa:

Figure 47: laser ad elettrodi ad area estesa. Per superare le limitazioni di potenza dei laser a flusso assiale lento, si puó usare una scarica trasversale a radiofrequenza con elettrodi vicini ad una distanza d 100T orr a causa di instabilitá della scarica elettrica (formazione di archi). Tuttavia possono funzionare in regime pulsed (tpump < 1µs). Per evitare la formazione di archi é comunque opportuno pre-ionizzare il gas con raggi UV. ∆ν ∼ 4GHz a p = 1atm (allargamento collisionale). Gli impulsi hanno τ < 1ns in regime di mode-locking. Questi laser vengono applicati per la marchiatura di materiali plastici. 9.2.9

Laser a eccimeri

Gli eccimeri sono delle molecole A2 che esistono in uno stato legato solo per livelli energetici non fondamentali (A∗2 ). 7

6

5 Stato fondamentale Stato eccitato 4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

Figure 50: Stati legati e non legati degli eccimeri. Il livello laser superiore é il livello elettronico eccitato A∗2 e il livello laser inferiore é lo stato fondamentale in cui la molecola é dissociata. La luce emessa é di solito nell’ultravioletto: sicuramente non ci possono essere transizioni vibroniche che emettano nel visibile, in quanto la molecola si dissocia. Inoltre, dal momento che la dissociazione é rapidissima si ha che τinf é molto piccolo. Adottiamo dunque uno schema a quattro livelli. Gli eccimeri pi´ u tipici sono: ArF (λ = 193nm), KrF (λ = 248nm), XeF (λ = 351nm) e XeCe (λ = 309nm).103 103

I gas nobili, nel livello eccitato, presentano una struttura elettronica equivalente a quella di un metallo alcalino, che si lega bene con gli alogeni.

104

9.2.10

Laser a KrF

• Reazioni di formazione: Il pompaggio é di tipo elettrico e comporta i seguenti processi in cascata: Kr + (e− )∗ → Kr∗ + e− Kr∗ + F2 → (KrF )∗ + F Oppure Kr + e− → Kr+ + 2e− e− + F2 → F − + F Kr+ + F − + (M ) → (KrF )∗ + (M ) Si noti come l’ultima reazione non possa avvenire spontaneamente, in quanto non si conservano le grandezze fondamentali (momenti ed energia). Se peró nella reazione si introduce un terzo agente (M), ovvero un altro atomo (tipicamente si utilizzano gas nobili, come l’elio) che prenda parte al processo di urto, é possibile conservare tali grandezze. • Pressioni tipiche di operazione: In generale si hanno le seguenti pressioni parziali: p(Kr) = 120mbar, p(F2 ) = 6mbar e p(He) = 2400mbar. Il laser opera solamente in regime pulsed, onde evitare instabilitá elettrica (poiché le pressioni sono troppo alte). Gli impulsi di pompa sono dell’ordine di τp ≈ 10 ÷ 20ns. • Prestazioni: La potenza di uscita vale circa 100W, con repetition rate di 500Hz, ed efficienza ηs ∼ 2 ÷ 4%. • Applicazioni: Il laser trova impiego nell’ablazione di precisione di materiali plastici e organici, a causa dell’elevato assorbimento di tali materiali delle frequenze UV. Esso é anche utilizzato nella fotolitografia per applicazioni elettroniche.

9.3

Laser a semiconduttore

Cominciamo a studiare, con l’ausilio della meccanica quantistica, i materiali solidi. 105

9.3.1

Struttura elettronica dei solidi

Prendiamo l’equazione di Schroedinger e risolviamola nel caso di una buca di potenziale finita. Sia E1 l’energia al di sotto dell’energia minima della buca Emin ed E2 l’energia al di sopra di Emin . Si ha che: dψ(x) 2m = 2 (V (x) − E)ψ(x) 2 dx ~ Imponendo le condizioni di continuitá della funzione e della derivata prima e la condizione di normalizzazione, si ottengono le soluzioni classiche: sinusoide nella buca ed esponenziali decrescenti attraverso le barriere di potenziale. In generale si puó dire che: lim ψ(x) = 0 (4) x→±∞

Se poniamo che E = E1 otteniamo che V (x) − E > 0 ∀x e quindi non potremmo ottenere la condizione (4). Dunque E2 deve essere un autovalore. Consideriamo adesso due buche rettangolari finite affiancate ad una distanza a. Se a é grande a sufficienza, il risultato é il medesimo di quello di una buca singola. Se invece la distanza a é piccola, si osserverá una separazione delle energie, dovuta all’esistenza di una autofunzione pari ed una dispari. Se aumentiamo il numero di buche affiancate, per esempio per modellizzare un solido cristallino, otterremo una enorme separazione di tutti i livelli energetici delle N buche (che in questo caso modellizzano gli atomi). Se N → +∞ avremo le cos´ı dette bande continue di energia 104 . Si possono considerare tre tipologie di cristalli, a seconda della separazione tra i livelli occupati En e liberi En+1 : 1. Isolanti: Cristallo con En completamente occupato e con un energy gap tra En e En+1 pari a Eg >> kb T (gap HOMO-LUMO). 2. Semiconduttori: Cristallo in cui l’energy gap Eg tra En (completamente pieno) e En+1 vale Eg ∼ kb T . 3. Conduttori: In questo caso Eg = 0 e il livello En é riempito solo a metá circa. 104

Si osservi che una ”banda” con N livelli puó ospitare 2N elettroni.

106

2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

0

1

2

3

4

5

Figure 51: grafico dei livelli energetici in funzione della separazione tra le varie buche di potenziale. Si osservi che in un semiconduttore é sufficiente applicare un campo di piccola intensitá per promuovere gli elettroni in banda di conduzione e creare dunque una corrente. Un modello un po’ pi´ u raffinato di quello delle buche rettangolari é il modello proposto da Bloch. Per poter descrivere in modo pi´ u corretto le buche di potenziale centrate sui singoli atomi, trova una autofunzione elettronica siffatta: ψ(x, t) = u(x)ei(kx−ωt) k ∈ R, infatti l’elettrone puó muoversi in qualunque direzione nella buca. Dal momento che il cristallo é una struttura periodica infinita, si puó affermare che u(x) = u(x + an) ∀n ∈ Z dove a é la distanza tra i centri delle buche.105 Da sottolineare il fatto che la funzione di Bloch descrive un solo elettrone delocalizzato. Se imponiamo che la ψ sia nulla ai limiti del cristallo, avremo con i = x, y, z. Ció comporta che il vettore ~k risulta quantizzato: ki = ni 2π Li la presenza di nodi e antinodi. Sostituendo nella equazione di Schroedinger la funzione di Bloch, si ottiene che:106 ( 2 2 Ec = ~2mkc 2 2 Ev = ~2mkv 105 106

~

In tre dimensioni la funzione di Bloch vale ψ(~r, t) = u(~r)ei(k·~r−ωt) . Si noti come le energie ricalchino quelle della buca di potenziale infinita.

107

Figure 52: grafico delle buche di potenziale coulombiano, tutte a distanza a. Ove mv e mc sono le masse efficaci della banda di valenza e della banda di conduzione dell’elettrone definite da: mc,v =

~2 d2 E | dk2 c,v k=0

Di solito si utilizza il seguente grafico per discutere le masse efficaci: 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −5

0

5

Figure 53: grafico in funzione di k delle masse efficaci, tutte a distanza 2π/L. L’intervallo tra i due punti estremanti vale Eg ; Ev va verso il basso e Ec verso l’alto. Dal punto di vista delle occupazioni elettroniche, la curva di Ev rappresenta il limite degli stati occupati. Facciamo ora il seguente cambiamento di variabili: 108

Ec0 = Ec + Eg Ev0 = −Ev

Per gli elettroni in un semiconduttore si potrá utilizzare la statistica di FermiDirac107 , secondo cui: 1 f (E 0 ) = E 0 −E 0 F 1 + e kb T Dove EF0 é l’energia di Fermi. Questa energia dipende dal drogaggio del materiale. Possiamo infatti distinguere due tipi di drogaggio: • Drogaggio di tipo n: Un esempio di drogaggio n é dato dall’inserimento di atomi di fosforo P in un cristallo di GaAs (gli atomi di fosforo sostituiscono chimicamente le molecole di GaAs). Poiché il fosforo presenta 5 elettroni di valenza e le molecole di GaAs solamente 4, avremo un elettrone in eccesso che non si collocherá in banda di valenza ma in banda di conduzione. Ció causa un aumento dell’energia di Fermi Ej . • Drogaggio di tipo p: Un esempio di drogaggio p é dato dall’inserimento di atomi di boro B in un cristallo di GaAs (gli atomi di boro sostituisono chimicamente le molecole di GaAs). Poiché il boro presenta 3 elettroni di valenza e le molecole di GaAs solamente 4, avremo un difetto di elettroni. Ció causa una diminuzione dell’energia di Fermi Ej . Se il drogaggio é tale da far cadere il livello di Fermi dentro una banda, si parla di drogaggio degenere. Supponiamo di pompare un semiconduttore con un rate Rp . L’effetto sará quello di promuovere degli elettroni dalla banda di valenza in sé stessa (pompaggio intra-banda) o dalla banda di valenza alla banda di conduzione (pompaggio inter-banda). Al primo fenomeno corrisponde un decadimento interbanda con τp ≈ 1ps, mentre al secondo fenomeno corrisponde un decadimento con τs ≈ 1ns. Dunque si possono considerare gli elettroni in banda 107

Ricordiamo che questa distribuzione rappresenta la probabilitá di trovare un elettrone con una certa energia e non é dunque da considerare come una densitá di probabilitá. Se si vuole ottenere la densit´ a di probabilitá, si deve moltiplicare FD per la funzione densitá degli stati D(E 0 )

109

di conduzione come in uno stato metastabile. Quindi posso descrivere la popolazione di quest’ultima con la statistica di quasi-FD: 1

fc (E 0 ) = fv (E 0 ) =

E 0 −E 0 fc kb T

1+e 1 1+e

E 0 −E 0 fv kb T

Figure 54: grafico valido per ogni x in funzione di E della distribuzione degli elettroni in un cristallo drogato. Dove Ef0 v e Ef0 c si chiamano quasi-livelli di Fermi. Vediamo, qui di seguito, il motivo per cui un semiconduttore puó essere visto come un mezzo attivo

110

per un laser. Il rate di emissione sará proporzionale a:108 Wem ∝ fc (E20 )(1 − fv (E10 )) Il rate di assorbimento sará proporzionale a: Wabs ∝ fv (E20 )(1 − fc (E10 )) Se Wem > Wabs si potrá avere amplificazione laser. Svolti i conti si avrá che: e

0 −E 0 E1 fv kb T

>e

0 −E 0 E2 fc kb T

⇔ (E10 − E20 ) > (Ef0 v − Ef0 c ) ⇔ (E20 − E10 ) < (Ef0 c − Ef0 v )

Quest’ultima relazione prende il nome di Bernard-Duraffourg, e definisce la banda entro cui il semiconduttore si comporta da amplificatore ottico. L’amplificatore si caratterizza sia attraverso il rate di pompaggio Rp sia mediante il numero di elettroni nelle bande. Inoltre, i quasi-livelli di Fermi dipendono dal pompaggio. Si osservi come la condizione di trasparanza sia data da Eg = hν0 = Ef0 c − Ef0 v . A questa condizione é associato Rtr e una inversione Ntr , detta inversione di trasparenza. Si puó provare che il coefficiente di guadagno g(hν) presenta l’andamento in figura (55).

Figure 55: grafico del guadagno g(hν). Se chiamiamo γ = max(g(hν)) si ha che la soglia Nth la si ritrova per g = γ. 108

Il concetto é quello di dire che il rate di emissione dipende sia da quanti elettroni sono in banda di conduzione pronti a decadere fc (E20 ), sia quanti posti liberi ci sono in banda di valenza (1 − fv (E10 )) per accogliere questi elettroni.

111

9.3.2

Laser a omogiunzione

Questo laser fu uno dei primi ad essere costruiti. Lo si ottiene drogando fortemente una giunzione p-n (fino a portarla in uno stato degenere). Si noti che all’equilibrio termico il livello di Fermi é costante poiché tale configurazione é quella ad energia minima.

Figure 56: schema di una giunzione degenere all’equilibrio termico, in cui il livello di Fermi é dentro le bande. Se applichiamo una tensione Vbias , otteniamo una configurazione differente e un livello di Fermi differente tra le due parti della giunzione (infatti non siamo pi´ u all’equilibrio termodinamico).

Figure 57: schema di una giunzione degenere con un potenziale di bias ad essa applicato. 112

Si noti come nella zona al centro della zona svuotata della giunzione il materiale si comporti da mezzo attivo poiché viene rispettata la condizione di Bernard-Duraffourg (ovvero (E20 − E10 ) < (Ef0 c − Ef0 v )). Nelle altre zone, il materiale si comporta da assorbitore. In generale lo spessore della zona attiva vale ∆x ≈ 1µm. In particolare, il limite superiore é dato dalla ricombinazione di quei portatori minoritari che vanno nelle zone a loro opposte, la profonditá √ di penetrazione é data da d = DτR , con D coefficiente di diffusione e τR il tempo di ricombinazione. Un grosso problema dei laser a omogiunzione é legato alle forti correnti ~jth che si generano a causa del grande potenziale Vbias che vi viene applicato. Vi sono due motivi principali che spiegano quest’ultima affermazione: • Dal momento che la zona attiva é limitata e serve una grande inversione di popolazione Nth , serviranno grandi correnti. • Dal momento che sono molte le zone di assorbimento, le perdite nel laser sono assai elevate, di conseguenza serviranno grandi correnti per mantenere l’inversione. Questo fatto caratterizza una struttura a omogiunzione. I due specchi sono le interfacce tra il semiconduttore e l’aria. Essi presentano una riflettivitá pari a: nGaAs − 1 ≈ 0.3 R= nGaAs + 1 Con un guadagno sufficientemente alto potremmo avere luce laser in uscita: il fascio in uscita dipende dal guadagno interno e dalle perdite e ha uno spessore di circa 5µm. 9.3.3

Laser a doppia eterostruttura

Questo laser risolve tutti i problemi incontrati nel laser a omogiunzione. La giunzione p-n é costituita da GaAs al centro mentre gli strati esterni sono costituiti da (3AlAs+7GaAs)n . L’aggiunta di arseniuro di alluminio causa un forte aumento di Eg . Vi sono dei vantaggi notevoli ad aver introdotto l’arseniuro di alluminio: 1. L’effetto dell’aumento di Eg crea un carrier confinement, che inibisce la diffusione dei portatori in zona minoritaria riducendo la dimensione della zona attiva alla sola giunzione di GaAs. 113

Figure 58: Tipica struttura a omogiunzione.

Figure 59: Tipica struttura di una doppia eterogiunzione. 2. L’aggiunta di AlAs ha anche un altro vantaggio, detto photon confinement: in un materiale l’indice di rifrazione é inversamente proporzionale al gap tra la banda di conduzione e quella di valenza. Nella figura (59) si vede come il diverso indice di rifrazione comporti la creazione di una guida d’onda e di un fascio gaussiano in essa. 3. L’aumento di Eg comporta un minor assorbimento di fotoni. La corrente di soglia jth segue l’andamento in figura (60). Si noti come vi sia un minimo a dopt e che per d grandi, jth ∝ d. Infatti, per d elevati vale che: Rpth = η

jth Nth = ed τR

ovvero jth = 114

Nth ed ∝ d ητR

Per d → 0 sono dominanti gli effetti di diffusione che comportano un forte aumento di jth . In generale, dopt ≈ 0.1µm. 7

6

5

4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

Figure 60: curva di jth in funzione della larghezza della zona di GaAs. GAIN GUIDED LASERS La configurazione tipica del laser ad eterostruttura é quella in figura:

Figure 61: Tipica struttura di laser gain-guided. La presenza degli strati di ossido permette di avere una selezione delle zone in cui passa la corrente. Inoltre s ≈ 5 ÷ 10µm. La spot-size é circa: d// ≈ s ∧ d⊥ ≈ 1µm Il laser puó oscillare nei modi T EMl,0 . Riducendo il valore di s si arriva a selezionare solo il modo T EM0,0 (che é il caso dei valori di qui sopra). Nelle 115

zone non invertite, tuttavia, si hanno ancora delle perdite. Se si utilizza un’altra configurazione (trattata di seguito), si possono ridurre anche queste ultime. LASER A GUIDA D’INDICE DI RIFRAZIONE

Figure 62: Tipica struttura di un laser a eterogiunzione migliorato. Nelle regioni laterali viene inserito un semiconduttore: Al0.35 Ga0.65 As. Quest’ultimo presenta un gap maggiore rispetto all’Al0.3 Ga0.7 As e quindi un indice di rifrazione minore: abbiamo cos´ı generato una guida d’onda che tende a confinare il campo nella giunzione GaAs. Si osservi inoltre che le giunzioni laterali sono polarizzate in inversa e quindi si ha conduzione solo nella zona attiva. L’uscita di questo laser é un fascio TEM00 astigmatico109 con d⊥ = 1µm e d// = 5µm. 2λ λ = πd e Studiamo ora la divergenza del fascio laser. Si ha che θd = πw c dunque: ( θd// = πd2λ// 2λ θd⊥ = πd > θd// ⊥ Dal momento che d⊥ < d// , si avrá una dispersione pi´ u vistosa nella direzione di d⊥ : esisterá dunque uno zext tale che il fascio T EM00 subirá una rotazione di π/2. Sará dunque necessario correggere questo astigmatismo con lenti particolari. 109

L’astigmatismo é il fenomeno per cui il campo elettrico viene distorto in modo differente a seconda della direzione che si considera, stando sul piano perpendicolare alla propagazione del campo.

116

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

2

4

6

8

10

Figure 63: Tipico spettro in potenza di un laser a semiconduttore. La distanza tra i modi vale ∆ν = 2Lc c ≈ 10 ÷ 100GHz. Inoltre Lc = nL ≈ n100µm. Si osservi come vi sia un forte allargamento di riga. Vi sono parecchie applicazioni dei laser a semiconduttore: pompaggio per laser a stato solido, lettori ottici, applicazioni nelle telecomunicazioni. Inoltre i diodi laser sono molto economici. Un problema in pi´ u sorge nell’ambito delle telecomunicazioni: diventa fondamentale selezionare un singolo modo. Dal momento che non é possibile filtrare i modi all’interno del semiconduttore, si utilizza una cavitá DFB110 in cui si sfrutta la riflessione di Bragg per selezionare i modi opportuni. Infatti, si potranno propagare in cavitá solo i modi con λ = λB = 2Λ˜ n, ove Λ vale due volte lo spessore di un film dielettrico (vedere l’appendice F). Inoltre, se costruiamo un profilo sinusoidale111 nella z). giunzione pn, avremo che n ˜ = hnef f i = hn(x, z)ix = n0 + sin( 2π Λ

110 111

D.F.B. é l’acronimo per Distributed feed back. Solo nella variabile z. Lungo le x sia costante.

117

10

Propriet´ a del fascio laser

Un fascio laser gode delle seguenti proprietá: 1. Monocromaticitá; 2. Coerenza spaziale e temporale; 3. Direzionalitá; 4. Brillanza;

10.1

Monocromaticit´ a

Il fascio laser é un campo elettromagnetico che puó essere scritto nella forma: ˜ r, t) = E(~r, t) + c.c. E(~ Ove si é posto E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 t−iφ(~r,t) con ω0 pari alla frequenza centrale del campo-laser e A(~r, t) e φ(~r, t) lentamente variabili su un ciclo ottico di periodo T = ω2π0 . Per un laser a singolo modo sia longitudinale che trasversale, A(~r, t) é, con ottima approssimazione, costante; φ(~r, t) fluttua nel tempo a causa della emissione spontanea. Queste fluttuazioni, che sono ineliminabili, comportano un limite al grado di monocromaticitá della luce laser. Lo spettro in potenza di E(~r, t) é una lorentziana e la sua FWHM é data dalla relazione di Schawlow-Townes (riferirsi all’appendice G per maggiori dettagli): N2 2πhν0 (∆νc )2 N2 − N1 P Dove N1 e N2 sono le popolazioni dei livelli inferiore e superiore. P é la 1 potenza di uscita e ν0 = ω2π0 é la frequenza base del fascio. Infine, ∆νc = 2πτ c é la banda del risonatore ed é legata a τc , che é il tempo di vita dei fotoni nella cavitá. Nel caso di un laser a 4 livelli si ha: ∆νosc =

∆νosc ∝

2πhν0 (∆νc )2 P

ESEMPIO

118

• Se prendiamo il laser He-Ne, con λ = 633nm, Pout = 1mW e τc = 1 = 4.7 · 105 Hz. Svolgendo i conti si ricava 3.3 · 10−7 s, da cui ∆νc = 2πτ c che ∆νosc ≈ 0.43mHz.112 Calcoliamo adesso il valore delle fluttuazioni φ(~r, t) che causerebbe un allargamento di riga pari a ∆νosc del modo oscillante. Considerando la cavitá di Fabry-Perot si ottiene che νn = 2Lc c n. Differenziando avremo che: dνn = − Da cui ricaviamo che:

c dLc ndLc = −νn 2 2Lc Lc

dνn dLc = νn L c

Se imponiamo che dνn ∼ ∆νosc , otteniamo: ∆νosc Lc = 10−6 nm dLc ∼ ν0 Avendo posto Lc = 1m. Dal momento che questo valore, rispetto a 1m é trascurabile, la variazione di φ(~r, t) sará trascurabile a sua volta.

10.2

Coerenza

10.2.1

Grado complesso di coerenza del primo ordine

Riprendiamo il fatto che: ˜ r, t) = E(~r, t) + c.c. E(~ Ove si é posto E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 t−iφ(~r,t) con ω0 pari alla frequenza centrale del campo-laser e A(~r, t) e φ(~r, t) lentamente variabili su un ciclo ottico di periodo T = ω2π0 . Definiamo la funzione di autocorrelazione del primo ordine la funzione seguente: Γ(1) (~r1 , ~r2 , t1 , t2 ) = hE(~r1 , t1 )E ∗ (~r2 , t2 )i Dove, al solito, h·i indica la media di insieme. Per un processo stazionario (laser in regime Cw ) la relazione dipende da τ = t2 − t1 e non dai due tempi 112

Un laser a GaAs presenta all’incirca ∆νosc ≈ 3M Hz.

119

in modo indipendente. Supponendo che E(~r, t) sia un processo ergodico, le medie di insieme coincidono con le medie temporali. Potremmo scrivere che: Z 1 T (1) ∗ Γ (~r1 , ~r2 , τ ) = hE(~r1 , t + τ )E (~r2 , t)i = lim E(~r1 , t + τ )E ∗ (~r2 , t)dt T →+∞ T 0 Definiamo l’intensitá media nel tempo nel punto ~r come: I(~r) = Γ(1) (~r, ~r, 0) = hE(~r, t)E ∗ (~r, t)i = h|E(~r, t)|2 i = hA(~r, t)A∗ (~r, t)i Si definisce grado complesso di coerenza spazio-temporale la seguente grandezza: Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) hE(~r1 , t + τ )E ∗ (~r2 , t)i = p γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) := p h|E(~r1 , t)|2 ih|E ∗ (~r2 , t)|2 i I(~r1 )I(~r2 ) Dal momento che E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 t−iφ(~r,t) , si otterrá: Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) = hA(~r1 , t + τ )A(~r2 , t)eiω0 τ ei(φ(~r2 ,t)−φ(~r1 ,t+τ )) i = = hA(~r1 , t + τ )A(~r2 , t)ei(φ(~r2 ,t)−φ(~r1 ,t+τ )) ieiω0 τ Ove la funzione hA(~r1 , t + τ )A(~r2 , t)ei(φ(~r2 ,t)−φ(~r1 ,t+τ )) i risulta lentamente variabile sul ciclo di periodo T = ω2π0 . Analogamente avremo che: γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) = |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )|eiω0 τ −iφ(~r1 ,~r2 ,τ ) con i termini di modulo e fase, |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| e φ(~r1 , ~r2 , τ ), lentamente variabili rispetto a eiω0 τ . Per la disuguaglianza di Schwartz, ricordando la definizione di γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ), avremo che: |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| ≤ 1 Infine, é bene osservare che per un campo rigorosamente monocromatico, γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) e Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ ) risulteranno dipendenti da τ solo nel termine esponenziale eiω0 τ . 10.2.2

Coerenza temporale

Concentriamo l’attenzione su un punto fisso dello spazio ~r e studiamo la coerenza temporale del campo E(~r, t). In particolare, la funzione di autocorrelazione é data da: Z 1 T E(~r, t + τ )E ∗ (~r, t)dt lim T →+∞ T 0 120

Rimuoviamo la dipendenza da ~r per velocitá di scrittura. Il grado complesso di coerenza sará pari a: γ (1) (τ ) =

Γ(1) (~r, ~r, τ ) I(~r)

Dove I(~r) = Γ(1) (~r, ~r, 0) = h|E(~r, t)|2 i. La funzione γ (1) (τ ) é detta grado complesso di coerenza temporale e gode delle seguenti proprietá: 1. γ (1) (0) = 1 2. γ (1) (τ ) = (γ (1) )∗ (−τ ) 3. |γ (1) (τ )| ≤ 1 per la disuguaglianza di Schwartz. 4. Per un’onda rigorosamente monocromatica si ha che γ (1) (τ ) = eiω0 τ . Si noti che non é presente alcun termine di fase φ(~r, t) poiché φ(~r, t) = φ(~r, t + τ ) ∀τ . Dunque si ha che |γ (1) (τ )| = 1 solo per onde rigorosamente monocromatiche. 5. Le fluttuazioni della fase e/o ampiezza del campo E(~r, t) fanno si che dopo un tempo τ grande, si abbia che E(~r, t + τ ) sia scorrelato da E(~r, t). Dunque |γ (1) (τ )| → 0 per τ → +∞. Un campo E(~r, t) avrá una coerenza temporale perfetta se |γ (1) (τ )| = 1 ∀τ . Un campo E(~r, t) si dirá totalmente incoerente se |γ (1) (0)| = 1 e |γ (1) (τ )| = 0 ∀τ 6= 0. L’andamento di |γ (1) (τ )| é di tipo gaussiano. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −3

−2

−1

0

1

2

3

Figure 64: Tipico grado di correlazione complesso |γ (1) (τ )|. 121

Si definisce il tempo di coerenza τc della radiazione e.m. nel punto ~r il valore τc tale che: |γ (1) (τc )| = 1/2 Pi´ u in generale, τc é definita come la deviazione standard della distribuzione. Dunque: R 2 (1) τ |γ (τ )|2 dτ 2 R R τc = |γ (1) (τ )|2 dτ R Il prodotto lc = τc c é detto lunghezza di coerenza del campo E(~r, t). Si ricorda che un laser puó avere delle lunghezze di coerenza pari a lc = 104 m e superiori. 10.2.3

Osservazioni

• Misura del grado di coerenza temporale |γ (1) (τ )|. Per misurare |γ (1) (τc )| si usa un interferometro di Michelson. Chiamiamo la distanza tra M e M1 L1 e la distanza tra M e M2 L2 . Tali distanze possono essere variate. Siano l1 e l2 i cammini ottici corrispondenti ai tragitti passanti per L1 e L2 . E(t) il campo sorgente. Il campo elettrico che giunge nel rilevatore vale: EF (t) = K1 E(t − l1 /c) + K2 E(t − l2 /c) K1 e K2 dipendono dai coefficienti di riflessione e trasmissione degli oggetti ottici dell’interferometro.

Figure 65: interferometro di Michelson, utilizzato per misurare |γ (1) (τ )|.

122

Nel nostro caso |K1 | = |K2 |. Il fotorilevatore misura l’intensitá e dunque avremo: I = h|EF (t)|2 i = |K1 |2 h|E(t − l1 /c)|2 i + |k2 |h|E(t − l2 /c)|2 i+ +2Re(K1 K2∗ hE(t − l1 /c)E ∗ (t − l2 /c)i) Poniamo I0 = h|E(t)|2 i = h|E(t − l1 /c)|2 i = h|E(t − l2 /c)|2 i come l’intensitá della sorgente e poniamo altres´ı K1 = |K|eiφ1 e K2 = |K|eiφ2 . Osserviamo che: hE(t − l1 /c)E ∗ (t − l2 /c)i = Γ(1) (~r, ~r, τ ) = I0 γ (1) (τ ) Ove τ = niamo:

l2 −l1 c

1 = 2 L2 −L . Mettendo insieme tutte le relazioni, ottec

I = 2|K|2 I0 (1 + Re(γ (1) (τ )ei(φ1 −φ2 ) )) Se113 φ1 = φ2 , ricordando che γ (1) (τ ) = |γ (1) (τ )|ei(ω0 τ −φ(τ )) si avrá che: I = 2|K|2 I0 (1 + |γ (1) (τ )| cos(ω0 τ − φ(τ ))) 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

Figure 66: grafico di

5

6

I . 2|K|2 I0

Si ricorda che, dal momento che γ (1) (τ ) é lentamente variabile rispetto a T = ω2π0 , si puó considerare I(τ ) localmente come una sinusoide pura. Localmente, ovvero in un intorno di τ , il valore di visibilitá V: V = 113

Imax − Imin = |γ 1 (τ )| Imax + Imin

In realt´ a si pu´ o dimostrare che questa relazione é corretta.

123

Con Imax valore massimo di I nell’intorno. Lo stesso vale per Imin . • Relazione fra monocromaticitá e coerenza temporale. Lo spettro di E(~r, t) misurato da uno spettrometro é pari, per il teorema di Winer-Kintchin, alla trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione Γ(1) (~r, ~r, t). Per un teorema dell’analisi di Fourier (l’equivalente del principio di Heisenberg) si ha che la varianza di |Γ(1) (~r, ~r, t)|2 (ovvero τc2 ) e quella di S 2 (ν) = (F{Γ(1) (~r, ~r, t)})2 (ovvero ∆νosc ) devono sottostare alle legge seguente: τc ∆νosc ≥

1 4π

L’uguaglianza vale se si tratta di gaussiane. 10.2.4

Coerenza spaziale

Consideriamo la funzione Γ(1) in τ = 0. Avremo che: Γ(1) (~r1 , ~r2 , 0) = hE(~r1 , t)E ∗ (~r2 , t)i Il grado complesso di coerenza sará dato da: Γ(1) (~r1 , ~r2 , 0) γ (1) (~r1 , ~r2 , 0) = p I(~r1 )I(~r2 ) Per un campo E(~r, t) = A(~r, t)eiω0 τ −iφ(~r,τ ) quasi monocromatico, ricordiamo che: γ (1) (~r1 , ~r2 , τ ) = |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )|eiω0 τ e−iφ(~r1 ,~r2 ,τ ) Con |γ (1) (~r1 , ~r2 , τ )| e φ(~r1 , ~r2 , τ ) lentamente variabili nel ciclo ottico T = ω2π0 . Fissiamo ~r1 e facciamo variare ~r2 sul fronte d’onda passante per ~r1 e tracciamo il grafico di |γ (1) (~r1 , ~r2 )|. Tale grafico risulterá dipendente solo da ~r2 . Dunque, dato un fronte equifase piano avremo che il grafico di |γ (1) (~r1 , ~r2 )| risulta una gaussiana. Immaginiamo di secare la superficie con un piano orizzontale all’altezza 1/2. Chiameremo l’area circolare risultante area di coerenza Ac . Essa corrisponde a tutti i punti del piano equifase tali che |γ (1) (~r1 , ~r2 )| ≥ 1/2. Un fascio si dirá in perfetta coerenza spaziale se risulta che |γ (1) (~r1 , ~r2 )| = 1 ∀~r1 , ~r2 sul fronte equifase. Inoltre, Ac rappresenta la dimensione fisica del 124

Figure 67: grafico di |γ (1) (~r1 , ~r2 )|. fascio. A questo punto é bene osservare che la relazione θd ∼ β Dλ , utilizzata a pagina 46, vale solo per fascio con coerenza spaziale perfetta. Altrimenti bisogna utilizzare θd ∼ β √λAc . Vale sempre che il fronte sia piano. Il grado di coerenza spaziale lo si misura con l’interferometro di Young. Consideriamo un punto P sullo schermo pi´ u esterno, ad un certo istante 114 di tempo t il campo elettrico varrá: E(P, t) = K1 E(~r1 , t − l1 /c) − K2 E(~r2 , t − l2 /c) Ove l1 e l2 sono i cammini ottici che la luce compie al di lá delle fenditure, ~r1 e ~r2 sono le posizioni dei due fori dell’interferometro e K1 e K2 sono delle costanti immaginarie. Calcoliamo ora l’intensitá mediata nel tempo del campo nel punto P: I(P ) = hE(t)E ∗ (t)i = |K1 |2 h|E(~r1 , t − l1 /c)|2 i + |K2 |2 h|E(~r2 , t − l2 /c)|2 i+ +2Re(K1 K2∗ hE(~r1 , t − l1 /c)E ∗ (~r2 , t − l2 /c)i) Ovvero I(P ) = I1 + I2 + 2|K1 ||K2 |Re(Γ(1) (~r1 , ~r2 , τ )) 114

Si noti come, se il diametro del foro P’ vale d > β d D

Inoltre, per un fascio a parziale coerenza spaziale, si puó provare che: θd = β

λ dc

Ove il parametro β dipende da: 115

In generale, β ∼ 1. In questo modo,per studiare il problema del fascio a parziale coerenza spaziale ci si riduce a studiare molti problemi di fasci a coerenza perfetta. 116

130

Figure 70: rappresentazione pittoresca di un fascio a parziale coerenza spaziale con degli intorni coerenti al suo interno. 1. Definizione del diametro di coerenza dc . 2. Definizione dell’angolo di divergenza θD . Si noti che il profilo del campo non influenza direttamente il valore di β. I fasci perfettamente coerenti vengono definiti limitati per diffrazione. Viceversa i fasci non perfettamente coerenti vengono definiti non limitati per diffrazione.

10.4

Brillanza

La brillanza si definisce come potenza emessa per unitá di angolo solido ed unitá di superficie della sorgente: B(θ, φ) =

dP dΣ cos(θ)dΩ

B(θ, φ) é la brillanza, dP é la potenza infinitesima irradiata nell’angolo solido117 dΩ e dΣ cos(θ) = dΣef f é detta superficie efficace118 . Gli angoli θ e φ 117

Ricordiamo che l’angolo solido é un ”angolo 3D” che sottende una certa area della sfera unitaria. Dunque dΩ ∝ dΣ, ed in particolare R2 dΩ = dΣ. 118 Rappresenta la proiezione della superficie di partenza in modo perpendicolare al fascio.

131

sono le coordinate sferiche. L’unitá di misura é dunque: [B] = m2Wsrad . Calcoliamo la brillanza in un fascio limitato per diffrazione (ovvero perfettamente coerente con θd = β λd ). Dato che la direzionalitá é elevata, [cos(θ ≈ 0)] ≈ 1 e dunque: P 4P B= = Ac Ω πD2 Ω Se consideriamo un insieme chiuso a simmetria circolare sulla superficie sferica, otteniamo che: ∆Σ = π∆l2 = πR2 (∆θ)2 = R2 ∆Ω Da cui ∆Ω = π(∆θ)2 . Poniamo θd = ∆θ. Otteniamo: Ω=

πθd2

2 λ =π β d

Da ció ricaviamo che: B=4

P 4P D2 = 2 2 2 2 2 2 πD πβ λ π λβ

ESEMPIO: • Un laser a ioni di Ar con P = 10W , λ = 500nm presenta una brillanza data da: W 4 · 10 13 = 4 · 10 BAr+ 2 π (2/π)2 (5 · 10−5 )2 m2 rads A titolo di confronto, per una lampadina di mercurio con P = 100W si ha: W BHg+ = 105 2 m rads Da questo esempio si capisce come in effetti l’intensitá non sia un buon parametro per descrivere la luce laser. Supponiamo di avere un sistema telescopico Il diametro del fascio in uscita sará D2 = ff12 D1 . Ma dato che la potenza é la stessa, nel caso in cui D2 < D1 , avremo: I2 =

P P > I1 = A2 A1 132

Figure 71: sistema telescopico con D2 < D1 . Si noti come l’intensitá non si conservi attraverso un passaggio per un sistema ottico. La brillanza invece é data da: 4P B1 = 2 2 2 = B2 π λβ E dunque, a differenza dell’intensitá, la brillanza é indipendente dal diametro del fascio. OSSERVAZIONE: • Prendiamo un fascio gaussiano che passa attraverso una lente. Nell’approssimazione dell’ottica geometrica si ottiene che r ≈ f θd . L’area del fascio sará pari a: λ2 A = πr2 ≈ πf 2 β 2 2 D L’intensitá alla focale, posto che il fascio abbia potenza P , sará: If =

P P D2 D2 = = π B A πf 2 β 2 λ2 4f 2

L’intensitá massima sará limitata dalle dimensioni fisiche della lente. In particolare: 2 π Dmax π If |max = B = B(N.A.)2 4 f 4 N.A. é l’apertura numerica di una lente e il suo valore risulta essere limitato (solitamente N.A. ∼ 10). 133

A

Calcoli sulla teoria perturbativa

Il problema che vogliamo studiare é il seguente: b r, t) = i~ ∂Ψ(~r, t) HΨ(~ ∂t Come giá specificato, compieremo le seguenti sostituzioni: b =H b0 + H bp H X Ψ(~r, t) = cl ψl (~r)eiωl t l

Dunque mettiamo le seguenti equazioni in quella originale e semplifichiamo il semplificabile: P X ∂( r)eiωl t ) iω t l cl ψl (~ b0 + H b p )( cl ψl (~r)e l ) = i~ (H ∂t l Che diventa: P X X ∂( l cl ψl (~r)eiωl t ) iωl t iωl t b b cl ψl (~r)e ) = i~ cl ψl (~r)e ) + Hp ( H0 ( ∂t l l E quindi: P X X ∂( r)eiωl t ) iω t iωl t l cl ψl (~ l b cl ψl (~r)e ) = i~ El cl ψl (~r)e ) + Hp ( ( ∂t l l Se si considera la derivata nel tempo e si svolgono i calcoli si ottiene: P X X ∂( l cl ψl (~r)eiωl t ) i~ = i~( c˙l ψl (~r)eiωl t ) + i~ iωl cl ψl (~r)eiωl t ∂t l l Ma sappiamo che ωl = E~l ; dunque, sostituendo nell’equazione iniziale, si P ottiene la semplificazione del termine l El cl ψl (~r)eiωl t . Abbiamo ottenuto quindi: X X bp( H cl ψl (~r)eiωl t ) = i~( c˙l ψl (~r)eiωl t ) l

l

134

Passando in notazione bra-ket: X X b p |ψl (~r)ieiωl t = i~( cl H c˙l |ψl (~r)ieiωl t ) l

l

Moltiplichiamo ora per hψn (~r)|e−iωn t ambo i membri e semplifichiamo: X X b p |ψl (~r)iei(ωl −ωn )t = i~( cl hψn (~r)|H c˙l hψn (~r)|ψl (~r)iei(ωl −ωn )t ) l

Ricordando che:

l

hψn (~r)|ψl (~r)i = 0 hψn (~r)|ψl (~r)i = 1

l 6= n l=n

Si ottiene: i~c˙l =

X

b p |ψl icl ei(ωl −ωn )t hψn |H

l

135

B

Approssimazione di dipolo magnetico

La prima approssimazione successiva a quella del dipolo elettrico é quella del dipolo mangnetico. Il termine di interazione classico vale:119 b p = −~µm · B ~ H La velocitá areolare é definita come l’area spazzata dal raggio-vettore nell’unitá di tempo: dS α= dt 1 Vale, come in un triangolo, che dS = 2 r(rdθ) e dunque si ha che: 1 dθ 1 α = r2 = r2 θ˙ 2 dt 2 ~ = ~r × p~ = mr2 θ˙ si ottiene che: Ricordando che il momento angolare vale L α=

~ |L| 2m

Sappiamo, dal teorema di Ampere che µ ~ m = IS~n dove I = − Te e S = αT . e~ Sostituendo tutto e definendo il magnetone di Bohr µB = 2m otteniamo: µm = −µB

~ L ~

Consideriamo il seguente caso semplice: un campo elettrico con ~k = k~ez polarizzato lungo ~x (e quindi un campo magnetico polarizzato lungo ~y ); otteniamo che ~ ·B ~ = µB L by By (t) = f (t)Pb b p = −~µm · B ~ = µB L H ~ ~ by . Svolgendo i soliti Abbiamo ottenuto che By (t) = f (t) e che Pb = µ~B L calcoli della teoria delle perturbazioni e risolvendo le EDO, si ottiene: mag mag W21 = W12 = 119

|P12 |2 πB02 gL (ω − ω0 ) 2~2

Stiamo considerando il modello di Bohr classico.

136

by |ψ1 i|2 . Con |P21 |2 = |P12 |2 = |hψ2 | µ~B L W mag Valutiamo adesso il rapporto W12elet per capire l’entita di questa migliore ap12 prossimazione. m 2 mag W12 B0 2 |P12y | 3 µB ) ' 10−5 = 3( ' 2 elet 2 E0 |µ12x | c erB W12

Dunque l’entitá delle interazioni magnetiche ha una valenza 10−5 volte pi´ u piccola rispetto al campo elettrico. Per questo motivo si trascura il dipolo magnetico.

137

C

Radiazione di Corpo Nero

Il corpo nero é un oggetto che assorbe tutta la radiazione che incide su di esso. Esso viene immaginato come una cavitá che mantiene costante la propria temperatura (termostato) con un piccolo foro da cui entra la radiazione. Su ogni singolo dS si deve avere che dE = 0 con dE = dEabs + dEem . Definiamo dt la densitá di energia elettromagnetica come: 1 1 ρ = h E 2 i + h B 2 i 2 2µ Dove h·i indica la media temporale su un ciclo ottico120 . Definiamo la densitá di energia spettrale ρν (ν) in modo che: Z +∞ ρν (ν)dν ρ= 0

Definiamo anche l’intensitá spettrale di energia Iν e troviamone la relazione con ρν . Si consideri il campo elettrico incidente su una superifcie dS. Si ha che: ~ =E ~ 0 cos (ωt − ky) E Dunque:

c Iν (ν)dSdt = ρν (ν) dSdt n Per ragioni statistiche si divide il termine a destra per 4 e dunque si ottiene: c Iν (ν) = ρν (ν) 4n Si noti come ρν non dipende né dalla forma della cavitá né dal materiale ma solo dalla radiazione incidente. Lo si puó dimostrare per assurdo: se avessi 2 corpi neri differenti posti uno di fronte all’altro con ρ1 > ρ2 e con in mezzo la sorgente, avrei una dissipazione di energia non giustificata. Dunque ρ1 = ρ2 . ~ ∂S = 0) e Dunque, cosidereremo la cavitá fatta di metallo (e dunque E| a forma di parallelepipedo di lati L, 2a e 2a. Ricordando le equazioni di Maxwell:  ~ =0  ∇·D    ~ = − ∂ B~ ∇×E ∂t ~ =0  ∇·B    ~ = µ0 ∂ D~ ∇×B ∂t 120

Tempo trascorso tra il fotone che entra e il fotone che esce.

138

Applicando il rotore alla seconda equazione si ottiene: ~− ∇2 E

~ 1 ∂ 2E =0 c2 ∂t2

~ r, t) = U ~ (~r)A(t). Dunque si ottiene: Separiamo le variabili: E(~ ~ (~r) − A(t)∇2 U

~ ~ (~r) ∂ 2 A(t) U =0 c2 ∂t2

~ (~r) = Ux (~r) + Uy (~r) + Uz (~r) si ottiene: Scomponendo U  2 2 ~ ~ x (~ ∇ U r) 1  = c12 ∂ ∂tA(t)  2 ~ x (~  A(t) U r )  2 2 ~ ~ y (~ ∇ U r) 1 = c12 ∂ ∂tA(t) 2 ~ y (~ A(t) U r )   ~  1  ∇2 U~ z (~r) = 12 ∂ 2 A(t) 2 ~ c ∂t A(t) U (~ r) z

2~

2~

2~

2

~

r) r) r) y (~ 1 z (~ x (~ = ∇U~ U(~ = ∇U~ U(~ = c12 ∂ ∂tA(t) = −k 2 . Dunque si ottenDunque ∇U~ U(~ 2 A(t) x r) y r) z r) gono due equazioni: l’equazione di Helmholtz e quella dell’oscillatore armonico. ∂A + ω2A = 0 ∇2 Ui + k 2 Ui = 0 e ∂t Con i = {x, y, z} e ω = kc. Risolvendo la prima si ottiene:

A(t) = A0 cos(ωt + φ) ~ r, t) = U ~ (~r) cos(ωt). Ponendo A0 = 1 e φ = 0 per semplicitá si ha: E(~ Risolvendo Helmholtz si ottiene:   Ux = ex cos(kx x) sin(ky y) sin(kz z) Uy = ey sin(kx x) cos(ky y) sin(kz z)  Uz = ez sin(kx x) sin(ky y) cos(kz z) Con kx = mπ ,ky = mπ ,kz = mπ e k 2 = kx2 + ky2 + kz2 . Definiamo quindi le 2a L 2a frequenze dei modi normali, che sono quantizzate, in cavitá: ! mπ 2 nπ 2 lπ 2 2 + + ωmln = c2 k 2 = c2 2a L 2a

139

Vogliamo ora trovare i vincoli di ~e = eˆx + eˆy + eˆz . Dalla prima equazione di Maxwell si ha che: ~ = 0 = ∂Ux + ∂Uy + ∂Uz = −ex kx sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)− ∇·U ∂x ∂y ∂z −ey ky sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) − ez kz sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) = = (~e · ~k) sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z) = 0 Dunque si ha che ~e·~k = 0 e dunque i due vettori sono perpendicolari. Dunque, fissato k esistono 2 modi perpendicolari indipendenti. Dal momento che k é quantizzato, possiamo calcolare il numero di modi in un certo intervallo di frequenze N (ν). Si ha che:121 N (ν) = 2

)3 (1/8)(4/3)π( 2πν volume ottante di sfera c = π π π volume parallelepipedo 2a L 2a

Definendo pν come il numero di modi per unitá di volume e per unitá di frequenza, si ha: 1 dN (ν) 8πν 2 pν = = (. . .) = 3 V dν c Con V = 2a · L · 2a e con ρν = pν hEi. Dobbiamo anche considerare lo scambio di energia con la parete del corpo nero. Possiamo dire che ogni fotone ecciti un elettrone che comincia ad oscillare. Dal momento che siamo all’equilibrio termodinamico Etot deve essere costante e finita. Ovvero: Z ∞ Etot = V ρν dν < +∞ 0

Dal momento che siamo nell’ensemble canonico, applicando Boltzmann si ha che hEi = kb T . Da qui ricaviamo dunque la formula di Rayleigh-Jeans: 8π 2 ν kb T c3 Ma chiaramente questa formula é errata perché Etot = +∞. Il problema venne risolto da Planck, il quale ipotizzó che l’energia fosse quantizzata. Se En = hνn si ha che: X 1 zc = e−βhνn = 1 − e−βhν n ρνRH =

121

Il 2 é dato appunto dai 2 modi indipendenti ∀k.

140

Da cui: hEi = −

hν ∂ ln(zc ) = (. . .) = βhν ∂β e −1

E dunque: ρν =

8π hν 3 c3 eβhν − 1

Facendo i calcoli si ottiene che h = 6.62681 · 10−34 Js.

141

D

Coefficienti di Einstein

Consideriamo un corpo nero in equilibrio termico al suo interno. I fenomeni che hanno luogo sono: • assorbimento; • emissione stimolata; • emissione spontanea; A causa dell’equilibrio N1 e N2 si devono conservare. Inoltre W12 = B12 ρν (ν0 ) e W21 = B21 ρν (ν0 ) e dunque: W12 N1eq = W21 N2eq + AN2eq Ricordando che N2eq = N1eq e−βhν0 , si ha: ρν (ν0 ) =

8π hν03 A = ρ = ν 12 βhν0 c3 eβhν0 − 1 B21 ( B e − 1) B21

Da cui si ricava che B12 = B21 = B e

A B

142

=

8πhν03 . c3

E

Ulteriori considerazioni sul Q-switching

Supponiamo che N e Φ, siano regolati dalle rate-equations seguenti: dN = Rp − BN Φ − τN2 dt dΦ = − τΦc + BN ΦVa dt In t = 0 si ha il Q-switching.

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 −5

0

5

0 −5

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 −5

0

5

0 −5

0

5

0

5

Figure 72: grafici di Rp (t), γ(t), N (t) e Φ(t).

1. Per t < 0 vi sono altissime perdite in cavitá, e quindi avremo che: dN N = Rp − dt τ2 143

La soluzione di questa equazione é: N (t) = Rp τ2 (1 − e−t/τ2 ) Posto t = Tp = 3 ÷ 4τ2 , avremo che Ni ≈ Rp τ2 . Definiamo l’energia dell’impulso di pompa come: Ep = Pp Tp =

Rp hνp V Tp ∝ Rp ηp

E dunque: Ni Rp Ep = = =x Nith Rpth Epth Con Nith = γl /σl, con γl fattore di perdita per Q elevato (cioé basse perdite). Dal momento che il valore di x viene fissato dall’esterno, conosciamo il valore di Ni = xNith . 2. Per t > 0 avremo perdite molto minori e dunque il termine τ2 sará molto elevato. Di conseguenza, N/τ2 ∼ 0. Inoltre, al cambio di Q, si ha anche che N1 > Nth . In conclusione otteniamo che le rate-equations sono: dN = −BN Φ − τN2 dt dΦ = − τΦc + BN ΦVa dt Osserviamo che dΦ = 0 quando N = BV1a τc = Nth = γl /σl. dt La potenza in uscita vale invece: P (t) = hν dΦ | = hνc γ22 Φ(t) . Dove dt 2 Lc dΦ | é la variazione del numero di fotoni causata dall’accoppiamento di dt 2 uscita. Definendo Φp come il numero di fotoni di picco, la potenza di picco sará: cγ2 Φp Pp = hν 2L Facendo il rapporto membro a membro tra le rate equations si ottiene: 1 Nth dΦ = Va − 1 = Va −1 dN BN τc Va N Separo le variabili e integro: Z

Φ(t)

Z

N (t)

dΦ = Φ(0)

N (0)

dN Va Nth − N

144

Z

N (t)

Va dN N (0)

Ordunque si ottiene: Φ(t) − Φ(0) = Va Nth ln

N (t) N (0)

− Va (N (t) − N (0))

Dove Φ(0) é l’extrafotone di emissione spontanea che é trascurabile rispetto a Φ(t). Quindi si ottiene: N (t) Φ(t) = Va Nth ln − Va (N (t) − Ni ) (5) Ni Dunque l’intensitá di picco sará data da: Nth Φp = Va Nth ln − Va (Nth − Ni ) Ni Ricordando che x =

Ni , Nth

otterremo:

Φp = Va Nth (x − 1 − ln(x)) Da cui ricaviamo la potenza di picco: Pp = hν

cγ2 cγ2 γ Va Nth (x − 1 − ln(x)) = hν Ab l (x − 1 − ln(x)) = 2Lc 2Lc σl =

hν Ab γ2 (x − 1 − ln(x)) τc σ 2

Dove τc = Lcγc . L’energia dell’impulso é data da: Z +∞ Z Z cγ2 +∞ cγ2 +∞ E(t) = P (t)dt = hν Φ(t)dt = hν dΦ 2Lc 0 2Lc 0 0 Ma dalla seconda delle rate-equation, sostituendo dΦ otteniamo: Z +∞ Z +∞ Z +∞ Φ dΦ = φ(+∞) − Φ(0) = BN ΦVa dt − dt τc 0 0 0 Sapendo che Φ(+∞) ∼ Φ(0), avremo che: Z +∞ Z +∞ Z +∞ Φ N dt = BN ΦVa dt = Φdt τc Nth 0 0 0 145

Dalla prima delle rate-equations otteniamo che: dN = −BΦN dt e dunque dt = −

dN BN Φ

Passando all’integrale si ottiene: Z

N (+∞)

Z

+∞

dN = − N (0)

0

1 BΦN dt = − Va τc

Z

+∞

0

N φdt = Va τc (N1 −Ng ) Nth

Dunque, l’energia dell’impulso é pari a: E = hν

cγ2 Va τc (N1 − Ng ) 2Lc

Definendo l’efficienza di transizione 122 ηE := E = hν

Ni −Ng , Ni

avremo che:

cγ2 Va τc Ni ηE 2Lc

Riprendendo l’equazione (5) si ottiene che: Ng Ng Ni Φ(+∞) = Va Nth (ln − + )≈0 Ni Nth Nth Da cui si ricava che:

Essendo 1 − ηE = 1 − ηE ) + xηE = 0.

ln

Ng Ni

Ni −Ng Ni

=

+ ηE Ng , Ni

Ni =0 Nth

risulterá valida la relazione: ln(1 −

Si osservi che per x ≥ 5 ηE ∼ 1. Dunque possiamo riscrivere l’energia dell’impulso come: E = hν

cγ2 cγ2 Lc cγ2 Lc σl Va τc Ni ηE = hν Ab l Ni ηE = hν Ab l Ni ηE = 2Lc 2Lc cγ 2Lc cγ σl = hνAb

γ2 1 Ni Ab γ2 ηE = hν ηE x 2 σ Nth σ 2

146

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

Figure 73: grafico di ηE (x). Per x ≥ 5 si ottiene: E = hν Aσb γ22 x. Calcoliamo adesso la durata dell’impulso di picco ∆τp . Per farlo, calcoliamo l’area del rettangolo intorno all’impulso: ∆τp =

E ηE x = τc Pp x − ln x − 1

E ancora, per x ≥ 5 avremo che τp ∼ ∆τp . Per concludere, calcoliamo il tempo di crescita (o build up time) dell’impulso. Definiamo il tempo di crescita td come il tempo tale che Φ(td ) = Φp /10, essendo Φp il valore del numero di fotoni di picco. Riprendiamo la seconda rate-equations: Φ dΦ = − + BN ΦVa dt τc Facciamo la seguente semplificazione: per t < td , si abbia N (t) ∼ N1 . Otteniamo: dΦ Φ Φ Ni Φ = (BNi τc Va − 1) = ( − 1) = (x − 1) dt τc τc Nth τc La soluzione di questa equazione differenziale é data da: Φ(t) = Φ(0)e(x−1)t/τc 122

Rappresenta il rapporto tra gli atomi diseccitati e quelli eccitati.

147

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 −5

0

5

Figure 74: grafico di P (t). Ponendo Φ(td ) = Φp /10 e invertendo l’equazione si ottiene: τc Φp td = ln x−1 10Φi OSSERVAZIONE Per x ≥ 50, ovvero per i laser a pompaggio molto elevato, si ha che l’impulso é fortemente asimmetrico con la salita rapidissima. 0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

2

4

6

8

10

Figure 75: grafico di Φ(t). La salita infatti, ha un andamento esponenziale, come abbiamo stimato prima: Φ(t) = Φ(0)e(x−1)t/τc . La parte decrescente ha ancora andamento esponenziale, ma decresce con costante τc : Φ(t) = Ae−t/τc . La 148

ragione di quest’ultima é data dal fatto che il materiale risulta trasparente (e quindi non vi é inversione di popolazione), e dunque si hanno dei decadimenti per emissione spontanea.

149

F

Riflessione di Bragg

Studiamo l’andamento di uno strato multidielettrico: una successione di film sottili spessi t a diverso indice di rifrazione. Nel nostro caso avremo nhigh e nlow . Prendiamo il piano di uscita γ e calcoliamo l’onda riflessa R. L’onda uscente é data dalla somma, con opportuni sfasamenti, delle onde riflesse all’interfaccia di ogni strato.

Figure 76: schema di uno strato multidielettrico. In particolare avremo che: 2 • Sia r1,2 = nn11 −n . Se r1,2 > 0 l’onda non si sfasa, ma se r1,2 < 0 allora +n2 l’onda subisce uno sfasamento di ∆φ = π.

• Al bordo esterno ∆φ1 = 0. • Tra uno strato e l’altro ∆φ1 = 2kt˜ n+π, avendo posto n ˜ = 1/2(nH −nL ). Per avere interferenza costruttiva in uscita, dovremmo imporre che: ∆φ1 + 2mπ = ∆φ2 , con m ∈ N Svolgendo i conti si ottiene che: λm = 4˜ nt/m 150

Sia Λ = 2t, avremo che λm = 2Λ˜ n/m. Si definisce lunghezza d’onda di Bragg la seguente quantitá: λB = 2Λ˜ n. Dunque uno specchio dielettrico permette la riflessione solo di onde con λ = λmB , con m ∈ N (ovvero la lunghezza d’onda di Bragg e le sue armoniche). Tutte le altre onde saranno trasmesse dallo specchio.

151

G

Relazione di Schawlow-Townes

Sia U l’energia e.m. del campo in questione immagazzinata in cavitá e sia ∆τ l’intervallo di tempo caratteristico fra l’emissione spontanea di un fotone e il successivo. Il principio di indeterminazione afferma che: ∆τ ∆U ≈ ~ Sia Φ il numero di fotoni in cavitá. Allora U = Φhν0 (ricordiamo che stiamo considerando un solo modo a frequenza ν0 ). Dunque: ∆U = ∆Φ(hν0 ) + Φh∆νosc Dato che ∆Φ

Appunti di Principi e Applicazioni dei Laser

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