Appunti Corso Topologia

October 7, 2017 | Author: 11113432 | Category: Metric Space, Empty Set, Set (Mathematics), Topology, Continuous Function

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by A. Loi, University di Cagliari...

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Appunti di Topologia Generale (Geometria 3, A.A. 2008-09) Andrea Loi Dipartimento di Matematica – Università di Cagliari – Italy e-mail address: [email protected] web-page: http://loi.sc.unica.it/

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Introduzione I prerequisiti per questo corso di Geometria 3 (Topologia Generale) sono gli argomenti svolti nei corsi di Algebra 1, Analisi 1, Analisi 2, Geometria 1 e Geometria 2 delle laurea triennale in Matematica. In particolare lo studente dovrà conoscere i concetti di base della teoria degli insiemi, il concetto di cardinalità (insiemi numerabili e non), il concetto di gruppo, funzioni continue in una variabile, le nozioni di base sugli spazi vettoriali e sulle matrici nonchè la teoria delle coniche e delle quadriche e delle loro forme canoniche. In ogni caso queste note cercheranno di essere le pi` u autocontenute possibile.

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Indice 1 Richiami 1.1 Insiemi e funzioni tra insiemi . 1.2 La completezza di R . . . . . 1.3 La topologia della retta . . . . 1.4 Funzioni continue da R in R . 1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . .

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6 6 9 12 17 20

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22 22 24 26 28 30

3 Topologie e spazi topologici 3.1 Definizioni e esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Interno, chiusura, frontiera and all that Jazz . . . . . . . . . . . . 3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 39 46

4 Basi 4.1 Definizioni e esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Topologie generate da basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 55 57

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2 Spazi metrici 2.1 Definizioni e esempi . . . . . . . . . . . 2.2 Applicazioni continue tra spazi metrici 2.3 Distanze topologicamente equivalenti . 2.4 Altre applicazioni tra spazi metrici . . 2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

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5 Numerabilit` a, propriet` a di separazione 5.1 Numerabilità . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Proprietà di separazione . . . . . . . . 5.3 Successioni in uno spazio topologico . . 5.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . .

e . . . .

successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Applicazioni tra spazi topologici 6.1 Applicazioni continue, aperte e chiuse . . . . . . 6.2 Costruzione di funzioni continue . . . . . . . . . 6.3 Continuità e continuità sequenziale . . . . . . . 6.4 Applicazioni continue e proprietà di separazione 6.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Omeomorfismi di Rn e variet` a n 7.1 Affinità e isometrie di R . . 7.2 Alcuni sottospazi di R e R2 7.3 Sottoinsiemi convessi di Rn . 7.4 Varietà topologiche . . . . . 7.5 Esercizi . . . . . . . . . . .

topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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59 59 63 66 72

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74 74 78 81 82 83

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87 87 89 93 94 100

8 Prodotti 103 8.1 La topologia prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9 Spazi connessi 9.1 Spazi connessi . . . . . 9.2 Connessione per archi . 9.3 Componenti connesse . 9.4 Esercizi . . . . . . . .

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114 114 120 124 125

10 Spazi compatti 129 10.1 Spazi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 10.2 Compattezza negli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4

10.3 Il lemma dell’applicazione chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 10.4 Spazi numerabilmente e sequenzialmente compatti . . . . . . . . . 139 10.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11 Quozienti 11.1 La topologia quoziente e le identificazioni . . 11.2 Spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Proprietà universale del quoziente . . . . . . 11.4 Dall’astratto al concreto . . . . . . . . . . . 11.5 Spazi quoziente, numerabilità e separabilità 11.6 Lo spazio proiettivo reale . . . . . . . . . . . 11.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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143 143 146 149 151 153 155 157

Capitolo 1 Richiami In questo capitolo fisseremo le notazioni e ricorderemo alcuni risultati sulla topologia delle retta e delle funzioni continue da R a R che verranno generalizzati nei capitoli successivi a “spazi” pi` u generali.

1.1

Insiemi e funzioni tra insiemi

Dati due insiemi X e Y , la notazione Y ⊂ X è usata per denotare che Y è un sottoinsieme di X. Con questo non escludiamo che X = Y . Se Y ⊂ X l’insieme degli elementi di X che non appartengono a Y è denotato con X \ Y , mentre l’insieme vuoto è denotato con ∅. Il prodotto cartesiano X ×Y di due insiemi X e Y è l’insieme delle coppie ordinate (x, y) con x ∈ X e y ∈ Y . Quindi X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. Il prodotto cartesiano di una famiglia finita {Xi | i = 1, 2, . . . , n} di insiemi è definito in modo analogo: X1 × X2 × · · · × . . . Xn = {(x1 , x2 , . . . xn ) | xi ∈ Xi , i = 1, 2, . . . , n}.

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Una funzione o applicazione f : X → Y tra due insiemi X e Y è una corrispondenza che associa ad ogni elemento x ∈ X un unico elemento f (x) ∈ Y. Siano X, Y, Z tre insiemi. Date due funzioni f : X → Y e g : Y → Z si definisce la composizione di g con f la funzione g ◦ f : X → Z definita come (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X. La funzione identità idX : X → X è definita da idX (x) = x per ogni x ∈ X. Chiaramente se f : X → Y è una funzione allora f ◦ idX = f, idY ◦ f = f. Una funzione f : X → Y è detta iniettiva se a elementi distinti di X corrispondono immagini diverse, cioè se: f (x) = f (y) ⇒ x = y. Una funzione f : X → Y è detta suriettiva se ogni y ∈ Y è immagine di qualche x ∈ X, cioè se: y ∈ Y ⇒ ∃ x ∈ X tale che f (x) = y. una funzione f : X → Y è detta bigettiva se è iniettiva e suriettiva. Equivalentemente f : X → Y è bigettiva se esiste g : Y → X tale che: g ◦ f = idX

(1.1)

f ◦ g = idY

(1.2)

La (1.1) si esprime anche dicendo che f ha un’inversa sinistra. Una funzione f : X → Y ha un’inversa a sinistra se e solo se è iniettiva. La (1.2) si esprime anche dicendo che f ha un’inversa destra. Una funzione f : X → Y ha un’inversa a destra se e solo se è suriettiva.

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L’immagine della funzione f : X → Y , denotata con f (X) oppure con Im(f ), è il sottoinsieme di Y definito da: Im(f ) = f (X) = {y ∈ Y | y = f (x) per qualche x ∈ X}. Sia f : X → Y una funzione. L’ immagine f (A) di un qualsiasi sottoinsieme A di X è l’insieme delle immagini dei punti di A. La controimmagine f −1 (B) di un qualsiasi sottoinsieme B ⊂ Y è l’insieme dei punti di X le cui immagini tramite f sono in B. In simboli f (A) = {f (x) | x ∈ A}, f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} Quindi una funzione f : X → Y induce una funzione, anch’essa denotata con f , dall’insieme della parti P(X) di X all’insieme delle parti P(Y ) di Y e una funzione denotata con f −1 dall’insieme P(Y ) a P(X). I tre teoremi che seguono sintetizzano le proprietà di queste funzioni (che per noi saranno di importanza vitale per tutto il corso). Le dimostrazioni sono lasciate per esercizio. Teorema 1 Sia f : X → Y una funzione. Allora, per ogni coppia di sottoinsiemi A, B ⊂ X valgono le seguenti relazioni: (a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). (b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B). (c) f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B). (d) A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B). Pi` u in generale per ogni famiglia di insiemi {Aj }j∈J in X (e) f (∪j∈J Aj ) = ∪j∈J f (Aj ). (f ) f (∩j∈J Aj ) ⊂ ∩j∈J f (Aj )

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Teorema 2 Sia f : X → Y una funzione. Allora, per ogni coppia di sottoinsiemi A, B ⊂ Y valgono le seguenti relazioni: (g) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). (h) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B). (i) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B). (l) A ⊂ B ⇒ f −1 (A) ⊂ f −1 (B). Pi` u in generale per ogni famiglia di insiemi {Aj }j∈J in Y (m) f −1 (∪j∈J Aj ) = ∪j∈J f −1 (Aj ). (n) f −1 (∩j∈J Aj ) = ∩j∈J f −1 (Aj ). Come corollario della (i) siccome f −1 (Y ) = X si ottiene Corollario 1 Sia f : X → Y una funzione e A ⊂ Y . Allora f −1 (Y \ A) = X \ f −1 (A). Teorema 3 Sia f : X → Y e sia A ⊂ X e B ⊂ Y . Allora: (o) A ⊂ f −1 (f (A)). (p) f (f −1 (B)) ⊂ B.

1.2

La completezza di R

Ricordiamo che l’insieme dei numeri reali è completo. La completezza di R è equivalente al seguente: Assioma dell’estremo superiore: Per ogni insieme A ⊂ R dei numeri reali superiormente limitato (cioè esiste b ∈ R tale che b ≥ a per ogni a ∈ A) esiste sup(A) = s ∈ R (cioè s ≥ a, ∀a ∈ A e se b ≥ a, ∀a ∈ A, allora s ≤ b).

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Un elemento b tale che b ≥ a, per ogni a ∈ A è detto maggiorante dell’ insieme A. Quindi l’assioma dell’estremo superiore si può enunciare dicendo che se un insieme ammette un maggiorante allora l’insieme dei maggioranti ha minimo (e questo minimo è esattamente sup(A)). Osservazione 1 Osserviamo che l’insieme dei numeri razionali razionale non è completo. Infatti il suo sottoinsieme A = {x ∈ Q | x > 0, x2 < 2} è limitato superiormente ma non esiste sup(A). Una conseguenza immediata di questo assioma è che l’insieme dei numeri naturali N = {1, 2, . . . } ⊂ R non è limitato superiormente. Infatti se lo fosse allora per l’assioma dell’estremo superiore esisterebbe b = sup({N}). Allora b − 1 non è un maggiorante per N e quindi esiste n0 ∈ N tale che b − 1 < n0 ossia b < n0 + 1. Ma n0 ∈ N implica che n0 + 1 ∈ N e quindi b non può essere un maggiorante per N. Altre due conseguenze importantissime dell’assioma dell’estremo superiore sono espresse nei teoremi che seguono. Teorema 4 (Q è denso in R) Dati due numeri reali distinti a e b esiste un numero razionale compreso tra di essi. Dimostrazione: Possiamo sempre supporre a < b. Se a è negativo e b positivo il numero zero è un numero razionale tale che a < 0 < b. Se a oppure b è zero si ragiona come segue. Supponiamo a = 0 (il caso b = 0 è simile), quindi 0 < b. Vogliamo far vedere che esiste un intero positivo n0 ∈ N tale che 0 < n10 < b. Se n0 non esistesse allora b ≤ n1 per ogni n ∈ N. Ossia n ≤ 1b per ogni numero naturale e questo contraddice il fatto che i numeri naturali non sono superiormente limitati. Consideriamo il caso in cui a < b con a e b positivi. Allora b − a è positivo e

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quindi con un ragionamento simile a quello appena fatto esiste n0 ∈ N tale che 0 < n10 < b − a cioè 1 a+ < b. n0 0 ≥ b (infatti esiste m ∈ N tale che Sia m0 il minimo intero positivo tale che m n0 m ≥ b altrimenti N sarebbe limitato superiormente). Ne segue che mn0 −1 < b. n0 0 Vogliamo dimostrare che m0 − 1 < b. a< n0

Resta quindi da mostrare che a <

m0 −1 . n0

Se per assurdo

m0 −1 n0

≤ a allora

m0 m0 − 1 1 1 = + ≤a+ n allora am < bm ≤ bn e se m ≤ n allora am ≤ an < bn . Questo significa che bn è un maggiorante per l’insieme A = {a1 , a2 , . . . } degli estremi sinistri. Per l’assioma dell’estremo superiore di R esiste sup(A) = s. Chiaramente an ≤ s ≤ bn per ogni n e quindi s ∈ In per ogni n.

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Osservazione 2 La proprietà degli intervalli nidificati non è valida se si considerano intervalli che non sono chiusi e limitati. Per esempio la famiglie di intervalli (0, k1 ] e [k, +∞), k ∈ N sono nidificate ma non soddisfano la tesi del Teorema 5. Osservazione 3 Il punto s descritto nel Teorema 5 potrebbe non essere unico. Si pensi al caso che tutti gli Ij siano uguali a I1 . In questo caso ∩j Ij = I1 è costituito da un numero infinito di punti (quelli di I1 ). Anzi il punto s è unico se e solo se limj |Ij | = 0, dove Ij denota la lunghezza dell’intervallo Ij , cioè Ij = bj − aj .

1.3

La topologia della retta

Insiemi aperti. Sia A ⊂ R un sottoinsieme dei numeri reali R. Si dice che x è interno ad A se e solo se esiste δ > 0 tale che l’ intervallo (x − δ , x + δ) è contenuto in A: x ∈ (x − δ , x + δ) ⊂ A. L’insieme A è aperto se e solo se ogni suo punto è interno. Esempio 1 L’intervallo (a, b) è aperto (cos`ı come R, (0, +∞) sono aperti). Esempio 2 L’intervallo [a, b] non è aperto (cos`ı come non sono aperti [0, +∞) e [0, 1)) Esempio 3 L’insieme vuoto ∅ è un insieme aperto (non vi è alcun punto in ∅ che non sia un punto interno). Valgono i seguenti fatti di facile verifica: (a) L’unione di insiemi aperti di R è aperto (b) L’intersezione di un numero finito di insiemi aperti di R è un aperto. Osservazione 4 La condizione (b) non può essere eliminata. Si pensi ad esempio alla famiglia di aperti An = (− n1 , n1 ) con n ∈ N. Allora ∩n An = {0} che non è aperto.

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Punti di accumulazione. Sia A un sottoinsieme di R. Un punto x ∈ R è un punto di accumulazione di A se ogni insieme aperto U contenente x contiene un punto di A differente da x. In altre parole, per ogni aperto U , x ∈ U , A ∩ (U \ {x}) 6= ∅. L’insieme dei punti di accunulazione sarà denotato con D(A). L’insieme D(A) è detto derivato di A. Si osservi che se x è di accumulazione per A allora ogni aperto (e quindi ogni intervallo) contenente x contiene infiniti punti di A. Esempio 4 Sia A = {1, 21 , 13 , . . . } allora 0 è un punto di accunulazione per A. Esempio 5 Ogni punto x ∈ R è un punto di accumulazione per l’insieme dei numeri razionali Q. Esempio 6 L’insieme degli interi Z non possiede punti di accumulazione. In altre parole D(Z) = ∅. L’ultimo esempio mostra che anche se un insieme è infinito non è detto che abbia un punto di accumulazione. Il seguente teorema fornisce una condizione generale affinché questo capiti. Teorema 6 (Bolzano–Weierstrass) Sia A un insieme infinito e limitato di numeri reali. Allora A possiede almeno un punto di accumulazione. Dimostrazione: Sia I1 un intervallo contenente A. Dividiamo I1 a met` a cioè c1 +d1 c1 +d1 se I1 = [c1 , d1 ] allora prendiamo i due intervalli [c1 , 2 ] e [ 2 , d1 ]. Almeno uno di questi due intervalli, chiamiamolo I2 , dovrà contenere infiniti punti di A. Dividiamo I2 a metà, cioè in due intervalli chiusi e limitati come sopra . Almeno uno di questi intervalli chiusi , chiamiamolo I3 , dovrà contenere infiniti punti di A. Iterando questo procedimento possiamo quindi trovare degli intervalli chiusi e nidificati I1 ⊃ I2 ⊃ · · · Ij ⊃ · · · ognuno dei quali contiene infiniti punti di A e la lunghezza di Ij tende a zero al crescere di j. Per il Teorema 5 esiste un punto p comune a tutti gli intervalli. Il punto p è ovviamente di accumulazione per l’insieme A. Infatti se (a, b) è un aperto che contiene p esisterà un j0 suffcientemente grande tale che p ∈ Ij0 ⊂ (a, b) e allora (a, b) contiene infiniti punti di A.

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Insiemi chiusi Un sottoinsieme C di R è detto un insieme chiuso se il suo complementare R \ C è aperto. Teorema 7 (caratterizzazione dei chiusi di R) Un sottoinsieme C ⊂ R è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Dimostrazione: lasciata per esercizio (senza consultare gli appunti di Analisi!) Esempio 7 L’intervallo [a, b] è chiuso visto che il suo complementare (−∞, a) ∪ (b, +∞) è aperto essendo l’unione di due insiemi aperti. Esempio 8 L’insieme A = {1, 21 , 13 , . . . } non è chiuso in quanto 0 è un punto di accumulazione per A, il quale non appartiene ad A. Esempio 9 L’insieme vuoto ∅ e R sono insiemi chiusi dal momento che i loro complementari e cioè R e ∅ sono aperti. Ricordiamo che una classe di insiemi A = {Ai } ricopre un insieme A se A è contenuto nell’unione degli elementi di A, cioè A ⊂ ∪i Ai . Equivalentemente A ricopre A se per ogni x ∈ A esiste un indice i0 tale che x ∈ Ai0 . Il seguente teorema è senza dubbio il teorema pi` u importante sugli intervalli chiusi e limitati. Teorema 8 (Heine–Borel) Sia A = [a, b] un intervallo di R chiuso e limitato e sia A = {Ai }i∈I una famiglia di sottoinsiemi aperti di R che ricopre A, cioè A ⊂ ∪i∈I Ai . Allora A contiene una sottofamiglia finita {Ai1 , . . . , Aim } che ricopre A, cioè A ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Aim . Dimostrazione: Supponiamo per assurdo non si possa estrarre da A un ricoprimento finito di [a, b]. Allora dividiamo A = I1 a met` a cioè prendiamo i due a+b a+b intervalli [a, 2 ] e [ 2 , b]. Almeno uno di questi due intervalli, diciamo I2 , non può essere ricoperto da un numero finito di elementi di A. Dividiamo I2 a metà, cioè in due intervalli chiusi e limitati come sopra . Almeno uno di questi due intervalli, diciamo I3 non può essere ricoperto da un numero finito di elementi di A.

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Iterando questo procedimento possiamo trovare degli intervalli chiusi e nidificati I1 ⊃ I2 ⊃ · · · Ij ⊃ · · · ognuno dei quali non può essere ricoperto da un numero finito di elementi di A e la lunghezza di Ij tende a zero al crescere di j. Per il Teorema 5 esiste un punto p comune a tutti gli intervalli. In particolare p ∈ I1 e quindi esiste un insieme aperto Ai0 ∈ A che contiene p. Ma allora esiste j0 tale che p ∈ Ij0 ⊂ Ai0 e quindi Ij0 può essere ricoperto da Ai0 e questo contraddice la costruzione degli Ij . Osservazione 5 Nel teorema precedente occorre che siano soddisfatte entrambe le condizioni, cioè che l’intervallo sia chiuso e limitato (si veda l’Esercizio 3). Successioni. Denotiamo con N+ l’insieme dei numeri naturali positivi. Un’applicazione f : N+ → R si chiama una successione di elementi di R. Per ogni n ∈ N+ l’immagine xn = f (n) si chiama n-esimo termine della successione f . L’usuale definizione di successione convergente è la seguente. La successione xn si dice convergente al punto x ∈ R e si scriverà lim xn = x,

n→∞

(e x si dice limite della successione) se per ogni > 0 esiste un intero positivo n0 tale che |xn − x| < per ogni n ≥ n0 . Possiamo anche enunciare la convergenza in modo equivalente in termini di aperti dicendo che limn→∞ xn = x se per ogni aperto U contenente x esiste n0 ∈ N+ tale che xn ∈ U per ogni n ≥ n0 . Una sottosuccesione di xn di R è una successione xnk , k = 1, 2 ottenuta in corrispondenza di una successione crescente di interi positivi n1 < n 2 < n 3 < . . . . Equivalentemente una sottosuccessione della successione f : N+ → R è una successione ottenuta come composizione f ◦ ρ : N+ → R dove ρ : N+ → N+ è un’applicazione crescente.

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Non è detto che una succesione sia convergente (per esempio?), è però molto importante capire quando esiste una sua sottosuccessione convergente. Osserviamo che se xn converge a x0 , allora x0 è un punto di accumulazione dell’insieme {xn }. Il viceversa non è vero (per esempio?). A questo riguardo abbiamo il seguente teorema e il suo fondamentale corollario. Teorema 9 Se l’insieme delle immagini {xn } di una successione xn contiene un punto di accumulazione x0 , allora xn contiene una sottosuccessione xnk convergente a x0 . Dimostrazione: Dato che x0 è un punto di accumulazione per {xn }, ognuno degli intervalli aperti 1 1 U1 = (x0 − 1, x0 + 1), U2 = (x0 − , x0 + ), . . . 2 2 contiene un numero infinito di elementi dell’insieme {xn } e quindi della successione xn . Costruiamo una sottosuccessione xnk come segue: • sia xn1 un punto qualunque di U1 ; • sia xn2 con n2 > n1 un punto che sta in U2 ; • sia xn3 con n3 > n2 un punto che sta in U3 . Si noti che possiamo sempre scegliere un elemento della successione xnj dato che in ogni Uj cadono infiniti punti della successione xn . Mostriamo che xnk converge a x0 . Chiaramente xnk è una sottosuccessione di xn . Sia U un insieme aperto contenente x0 . Allora U contiene un intervallo (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ U , per qualche δ > 0. Sia k0 ∈ N tale che k0 > 1δ . Allora Uk0 ⊂ (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ U. Perciò se k > k0 allora xnk ∈ Uk ⊂ Uk0 ⊂ (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ U , ossia limk→∞ xnk = x0 .

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Corollario 2 Ogni successione limitata di numeri reali contiene una sottosuccessione convergente. Equivalentemente una successione di punti di un intervallo [a, b] in R contiene una sottosuccessione convergente. Dimostrazione: Se l’insieme {xn } è finito allora la successione xn contiene una sottosuccessione convergente (fatta tutta di termini costanti). Se {xn } è infinito per il Teorema di Bolzano–Weierstrass l’insieme limitato {xn } contiene un punto di accumulazione. Ma allora per il Teorema 9 la successione xn contiene una sottosuccessione convergente. L’ultima affermazione segue del fatto che [a, b] è limitato (e quindi posso applicare il teorema) e chiuso (e quindi contiene i suoi punti di accumulazione).

1.4

Funzioni continue da R in R

La classica definizione di funzione continua si enuncia dicendo che una funzione f : R → R è continua in un punto x0 se per ogni > 0 esiste δ = δ > 0 tale che: se |x − x0 | < δ

allora |f (x) − f (x0 )| < .

(1.3)

Si dice poi che f : R → R è continua se è continua in ogni punto x ∈ R. Si osservi che |x − x0 | < δ significa x0 − δ < x < x0 + δ, ossia x appartiene all’intervallo aperto (x0 − δ, x0 + δ). Similmente |f (x) − f (x0 )| < significa che f (x) appartiene all’intervallo aperto (f (x0 ) − , f (x0 ) + ). Perciò dire che |x − x0 | < δ

implica |f (x) − f (x0 )| <

significa che x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) implica f (x) ∈ (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) che a sua volta è equivalente a f ((x0 − δ, x0 + δ)) ⊂ (f (x0 ) − , f (x0 ) + ).

17

Dal momento che un insieme aperto di R che contiene un punto contiene sempre un intervallo contenente quel punto possiamo riformulare la definizione di funzione continua come segue. Una funzione f : R → R è continua nel punto x0 ∈ R se per ogni insieme aperto Vf (x0 ) contenente f (x0 ) esiste un insieme aperto Ux0 contenente x0 tale che f (Ux0 ) ⊂ Vf (x0 ) . In effetti possiamo esprimere la continuità di una funzione usando solo aperti come mostra il seguente importante teorema. Teorema 10 Una funzione f : R → R è continua se e solo se la controimmagine di un insieme aperto è un insieme aperto. Dimostrazione: Sia f : R → R continua e sia V un sottoinsieme aperto di R. Vogliamo dimostrare che f −1 (V ) è aperto. Sia x ∈ f −1 (V ), allora f (x) ∈ V . Per definizione di funzione continua esiste Ux un aperto contenente x tale che f (Ux ) ⊂ V . Quindi si ottiene che: Ux ⊂ f −1 (f (Ux )) ⊂ f −1 (V ). Abbiamo quindi dimostrato che per ogni x ∈ f −1 (V ) esiste un aperto Ux tale che x ∈ Ux ⊂ f −1 (V ). Quindi f −1 (V ) = ∪x∈f −1 (V ) Ux . Perciò f −1 (V ) può essere scritto come unione di insiemi aperti e quindi è esso stesso un aperto. Viceversa, supponiamo che la controimmagine di un aperto sia un aperto. Vogliamo dimostrare che f è continua in ogni punto x ∈ R. Sia x ∈ R fissato e sia Vf (x) un insieme aperto contenente f (x). Allora Ux = f −1 (Vf (x) ) è un insieme aperto contenente x con la proprietà f (Ux ) = f (f −1 (Vf (x) )) ⊂ Vf (x) . Quindi f è continua in x, per l’arbitrarietà di x. Ricordiamo infine due importantissimi teoremi riguardanti funzioni definite in un intervallo limitato [a, b], a < b.

18

Teorema 11 (del valor medio) Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Allora f assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b). Dimostrazione: Possiamo supporre che f (a) sia minore di f (b). Sia y0 ∈ R tale che f (a) < y0 < f (b). Vogliamo trovare un punto p ∈ [a, b] tale che f (p) = y0 . Sia g : [a, b] → R la funzione continua definita da g(x) = f (x) − y0 . Questa funzione soddisfa g(a) < 0 < g(b) quindi stiamo cercando un punto p ∈ [a, b] tale che g(p) = 0. Quindi ci siamo ricondotti a dimostrare che se g è una funzione continua in ogni punto dell’intervallo [a, b] e se g(a) < 0 < g(b) allora, esiste p ∈ [a, b] tale che g(p) = 0. Sia A l’insieme dei punti di [a, b] per cui g è negativa, cioè A = {x ∈ [a, b] | g(x) < 0}. L’insieme A non è vuoto in quanto a ∈ A soddisfa g(a) < 0. Sia p = sup(A) (che esiste per l’assioma dell’estremo superiore). Chiaramente a ≤ p ≤ b (in quanto p è il pi` u piccolo dei maggioranti di A e g(b) > 0). Vogliamo dimostrare che g(p) = 0. Se g(p) < 0 allora per il Teorema della permanenza del segno (Esercizio 7) esiste δ > 0 tale che la funzione g è negativa in (p − δ, p + δ) ⊂ [a, b]. Quindi (p − δ, p + δ) ⊂ A e questo contraddice il fatto che p è un maggiorante. D’altra parte g(p) > 0 sempre per il Teorema della permanenza del segno esiste δ > 0 tale che la funzione g è positiva in (p − δ, p + δ) ⊂ [a, b]. Quindi (p − δ, p + δ) ∩ A = ∅ e questo contraddice il fatto che p è il pi` u piccolo dei maggioranti. Quindi g(p) = 0. Teorema 12 (Weierstrass) Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Allora f è limitata, cioè esistono due numeri reali m, M m < M tali che m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Dimostrazione: Sia p ∈ [a, b]. Allora esiste un intervallo aperto Sp contenente p tale che f sia limitata in Sp (perché?). Gli intervalli Sp sono un ricoprimento aperto di [a, b]. Per il Teorema di Heine–Borel questo ricoprimento ammette un sottoricoprimento finito, cioè esistono Sp1 , . . . , Spk tali che [a, b] ⊂ ∪kj=1 Spj e f è limitata in ognuno dei Spj . Quindi f è limitata in [a, b] (perché?).

19

Conclusione Tutti i concetti definiti in questo capitolo possono essere espressi usando la distanza Euclidea (|x−y|, x, y ∈ R) o addiritura usando solo gli insiemi aperti. Nel prossimo capitolo cercheremo di generalizzare questo fatti a spazi con una “distanza” i cosidetti spazi metrici. Dopo aver capito che molte cose (anche se non tutte) funzionano per gli spazi metrici ci dimenticheremo anche della distanza e passeremo, nel Capitolo 3, al mondo degli spazi topologici (che includono come caso molto particolare gli spazi metrici) e dove quello che conta veramente sono gli insiemi aperti!

1.5

Esercizi

Esercizio 1 Dimostrare i Teoremi 1, 2 e 3. Esercizio 2 Verificare con degli esempi che le inclusioni nei Teoremi 1, 2 e 3 possono essere strette e capire sotto quali condizioni (iniettività e suriettivita della f ). Esercizio 3 Si dimostri che il Teorema di Heine-Borel non è valido per intervalli aperti e limitati e per intervalli chiusi ma illimitati. Esercizio 4 Dimostrare il Teorema 7. Esercizio 5 Si dimostri che C ⊂ R è chiuso se e solo se per ogni successione xn ∈ C convergente ad un punto x, il punto x appartiene a C. Esercizio 6 Si dimostri che il Teorema 12 (di Weierstrass) non è valido per intervalli aperti (a, b). Esercizio 7 (Teorema della permanenza del segno) Sia f : R → R una funzione continua in un punto p ∈ R. Si dimostri che se f (p) > 0 (risp. f (p) < 0) allora esiste un intervallo aperto S contenente p tale che f è positiva (risp. negativa) per ogni punto di S.

20

Esercizio 8 Sia f : R → R una funzione continua tale che f (q) = 0 per ogni q ∈ Q. Si dimostri che f (x) = 0 per ogni x ∈ R. Esercizio 9 Si costruiscano due funzioni f : R → R e g : R → R che non siano continue in nessun punto e tali che la loro somma f + g sia continua in ogni punto di R. Esercizio 10 Si consideri una funzione f : R → R tale che f (x) = 0 se x è irrazionale e f (x) = 1b se x = ab è razionale (dove ab è l’unico modo per scrivere il numero razionale x come quoziente di numeri interi a e b primi fra loro). Si dimostri che f è continua in ogni punto irrazionale mentre è discontinua in ogni punto razionale.

21

Capitolo 2 Spazi metrici La nozione di continuità di una funzione reale richiamata alla fine del capitolo precedente si può generalizzare facilmente al caso di applicazioni f : Rn → Rm , dove Rp denota il prodotto cartesiano di R per se stesso p volte. Infatti basta sostituire il modulo con la norma nella (1.3) (come?). In effetti possiamo definire il concetto di continuità tra spazi molto pi` u generali, gli spazi metrici che sono l’argomento di questo capitolo.

2.1

Definizioni e esempi

Uno spazio metrico è un insieme non vuoto X su cui è definita una distanza o metrica, cioè un’applicazione d:X ×X →R tale che per ogni x, y, z ∈ X (d1) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se e solo se x = y (positività); (d2) d(x, y) = d(y, x) (simmetria); (d3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (disuguaglianza triangolare).

22

Uno spazio metrico è quindi una coppia (X, d). Se d e d0 sono distanze diverse allora gli spazi metrici (X, d) e (X, d0 ) sono da considerarsi diversi. Negli esempi che seguono descriviamo vari esempi di spazi metrici. Rinviamo lo studente agli esercizi alla fine del capitolo per la verifica che le distanze definite in questi esempi siano effettivamente distanze. Esempio 10 I numeri reali R con la metrica d(x, y) = |x − y| sono uno spazio metrico. Pi` u in generale Rn con la metrica Euclidea deucl (x, y) = kx − yk, dove

v uX u n kx − yk = t (xj − yj )2 . j=1

Esempio 11 Sempre in Rn definiamo la seguente metrica

d (x, y) =

n X

|xj − yj |.

j=1

Esempio 12 Un’altra metrica in Rn si ottiene ponendo d (x, y) = max{|xj − yj |}. j

Esempio 13 (metrica discreta) Sia X un insieme non vuoto arbitrario. Possiamo sempre definire una metrica su X ponendo: ( 0 se x = y ddis (x, y) = (2.1) 1 se x 6= y Questa si dice metrica discreta su X. Esempio 14 (metrica indotta) Sia X uno spazio metrico con metrica dX e Y un sottoinsieme non vuoto. Se poniamo dY (x, y) = dX (x, y), x, y ∈ Y

(2.2)

si definisce una metrica su Y detta restrizione di dX a Y . Lo spazio metrico (Y, dY ) si chiamerà sottospazio di (X, dX ), e questo è chiamato lo spazio ambiente.

23

Esempio 15 Per ogni spazio metrico X con metrica d e per ogni r > 0, ponendo dr (x, y) = rd(x, y) si ottiene una metrica su X.

2.2

Applicazioni continue tra spazi metrici

Diamo ora la definizione di applicazione continua tra spazi metrici. Diremo che un’applicazione f : X → Y tra due spazi metrici, con distanze dX e dY rispettivamente, è continua nel punto x ∈ X se per ogni > 0 esiste δ tale che dY (f (x), f (y)) < per ogni y ∈ X tale che dX (x, y) < δ . La f verrà detta continua se è continua in ogni punto di X. Questa definizione è chiaramente una generalizzazione della nozione di continuità definita per funzioni da R in R dove sia nel dominio che nel codominio si utilizza la metrica Euclidea. Esempi di applicazioni continue sono le funzioni costanti, la funzione identità tra uno spazio metrico e se stesso e l’inclusione di un sottospazio metrico nel suo ambiente (perché?). Definiamo ora il concetto di insieme aperto. Sia X uno spazio metrico con metrica d. Siano x ∈ X e r > 0. Il disco aperto di centro x e raggio r è Dr (x) = {y ∈ X | d(x, y) < r}. Un sottoinsieme di X si dice aperto rispetto alla metrica d se è unione di dischi aperti, oppure e vuoto. Con questa definizione l’intero spazio X ed i dischi aperti sono insiemi aperti. Una definizione equivalente di insieme aperto è la seguente. Proposizione 1 Un sottoinsieme S ⊂ X è aperto se e solo se per ogni x ∈ S esiste r(x) > 0 tale che Dr(x) (x) sia contenuto in S. Dimostrazione: Se S è aperto, S = ∪i∈I Di , dove Di sono dischi aperti. Sia x ∈ S allora esiste i0 tale che x ∈ Di0 ⊂ S. Viceversa se per ogni x ∈ S esiste r(x) > 0 tale che Dr(x) (x) ⊂ S allora S = ∪x∈X Dr(x) (x).

24

Proposizione 2 Sia X uno spazio metrico. Valgono le seguenti propriet` a: • ∅ e X sono aperti; • l’unione di una qualunque famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto; • l’intersezione di due (e quindi di un numero finito) di insiemi aperti è aperto. Dimostrazione: lasciata per esercizio.

Come per il caso delle funzioni da R in R la continuità tra spazi metrici può essere espressa in termini di insiemi aperti. Teorema 13 Un’applicazione f : X → Y tra due spazi metrici è continua se e solo se per ogni aperto V di Y f −1 (V ) è aperto in X. Dimostrazione: Siano dX e dY le due distanze su X e Y rispettivamente. Supponiamo f continua, V un aperto non vuoto di Y e x ∈ f −1 (V ). Quindi f (x) ∈ V , essendo V aperto esiste > 0 tale che D (f (x)) ⊂ V . Per la continuità di f in x esiste δ > 0 tale che f (Dδ (x)) ⊂ D (f (x)). Ma allora Dδ (x) ⊂ f −1 (f (Dδ (x))) ⊂ f −1 (D (f (x))) ⊂ f −1 (V ). 0.5 è arbitrario ne segue che f −1 (V ) è aperto. Supponiamo viceversa che la controimmagine tramite f di qualsiasi aperto di Y sia un aperto di X. Allora per ogni > 0, D (f (x)) è un aperto di Y e quindi f −1 (D (f (x))) è aperto in X. Poichè x ∈ f −1 (D (f (x))) esiste δ > 0 tale che Dδ (x) ⊂ f −1 (D (f (x))), cioè per ogni y ∈ X tale che dX (x, y) < δ si ha dY (f (x), f (y)) < e quindi f è continua in x. Siccome x è arbitrario segue che f è continua.

25

2.3

Distanze topologicamente equivalenti

Può capitare che due distanze d1 e d2 diverse su uno spazio topologico X definiscano gli stessi insiemi aperti. In questo caso diremo che d1 e d2 sono topologicamente equivalenti. Un criterio molto utile per capire se due distanze sono topologicamente equivalenti è il seguente. Proposizione 3 Due distanze d1 e d2 su uno spazio metrico X sono topologicamente equivalenti se e solo se per ogni x ∈ X sono verificate le due condizioni seguenti: (a) Per ogni disco aperto Dr1 (x) rispetto alla metrica d1 esiste un disco aperto Ds2 (x) rispetto alla metrica d2 tale che Ds2 (x) ⊂ Dr1 (x); (b) Per ogni disco aperto Dr2 (x) rispetto alla metrica d2 esiste un disco aperto Ds1 (x) rispetto alla metrica d1 tale che Ds1 (x) ⊂ Dr2 (x). Dimostrazione: Sia U un aperto rispetto alla metrica d1 . Per la Proposizione 1 per ogni punto x ∈ X esiste Dr1 (x) tale che x ∈ Dr1 (x) ⊂ U . Per la (a) esiste un disco Ds2 (x) rispetto alla metrica d2 tale che Ds2 (x) ⊂ Dr1 (x) e quindi U è aperto anche rispetto alla metrica d2 . Se invece U è un aperto rispetto alla metrica d2 per la Proposizione 1 per ogni punto x ∈ X esiste Dr2 (x) tale che x ∈ Dr2 (x) ⊂ U . Per il punto (b) esiste un disco Ds1 (x) tale che Ds1 (x) ⊂ Dr2 (x) e quindi U è aperto anche rispetto alla metrica d2 . Esempio 16 La metrica dr definita nell’Esempio 15 è equivalente alla metrica d. Infatti per ogni > 0 si ha: r D (x) = {y ∈ X | d(y, x) < } = {y ∈ X | rd(y, x) < r} = Dr (x),

dove abbiamo denotato con D e Dr i dischi aperti rispetto a d ed a dr rispettivamente. Segue che la famiglia dei dischi aperti rispetto a d è la stessa di quella dei dischi aperti di dr . Quindi d e dr sono topologicamente equivalenti.

26

Esempio 17 Un altro esempio interessante è dato dalle distanze deucl , d e d su Rn degli Esempi 10, 11 e 12. Queste distanze sono topologicamente equivalenti. Usiamo le seguenti notazioni per i dischi di raggio r e centro x nelle tre distanze. Il disco di centro x e raggio r rispetto alla metrica Euclidea deucl verrà denotato con Br (x) e si chiamerà la n-palla Euclidea aperta di raggio r: Br (x) = {y ∈ Rn | deucl (x, y) = kx − yk < r} Il disco di centro x e raggio r rispetto alla metrica d verrà denotato con Rr (x) e si chiamerà l’ n-rombo Euclideo aperto di diagonali di lunghezza2r (parallele agli assi): n X n Rr (x) = {y ∈ R | d (x, y) = |xj − yj | < r} j=1

Il disco di centro x e raggio r rispetto alla metrica d verrà denotato con Qr (x) e si chiamerà l’ n-cubo Euclideo aperto di spigolo di lunghezza 2r: Qr (x) = {y ∈ Rn | d (x, y) = max{|xj − yj |} < r} = {y ∈ Rn | |xj − yj | < r}. j

Per dimostrare che le distanze deucl , d e d sono topologicamente equivalenti useremo la Proposizione 3. In effetti mostreremo che per ogni r > 0 e per ogni x ∈ Rn valgono le seguenti inclusioni. Q nr (x) ⊂ Rr (x) ⊂ Br (x) ⊂ Qr (x). Sia z ∈ Q nr (x) questo significa che maxj |xj − zj | < nr . Allora n X

|xj − zj | < n max |xj − zj | < n j

j=1

r =r n

e quindi z ∈ Rr (x). P Sia z ∈ Rr (x) questo significa che nj=1 |xj − zj | < r. Allora n X j=1

2

(xj − zj ) =

n X

n X |xj − zj | < ( |xj − zj |)2 < r2 , 2

j=1

j=1

27

qP n

− zj )2 < r e quindi z ∈ Br (x). P Infine sia z ∈ Br (x) questo significa che nj=1 (xj − zj )2 < r2 . Allora per ogni j = 1, . . . , n, n X 2 |xj − zj | ≤ (xj − zj )2 < r2 ossia

j=1 (xj

j=1

e dunque |xj − zj | < r. Ne segue che maxj |xj − zj | < r e quindi z ∈ Qr (x).

2.4

Altre applicazioni tra spazi metrici

Diremo un’applicazione f : X → Y tra spazi metrici è uniformemente continua se per ogni esiste δ tale che dY (f (x), f (y)) < per ogni dX (x, y) < δ . Diremo che f : X → Y è M -Lipschitziana se esiste una costante M > 0 (M si chiama costante di Lipschitz) dY (f (x), f (y)) ≤ M dX (x, y), ∀x, y ∈ X. Diremo che f è Lipschitiziana se è Lipschitiziana in ogni punto di X. Proposizione 4 Se f : X → Y è M -Lipschitiziana allora f è uniformemente continua. Se f è uniformemente continua allora f è continua. Dimostrazione: lasciata per esercizio.

Un’applicazione lineare L : Rn → Rm è continua rispetto alle distanze Euclidee. Per dimostrarlo possiamo usare invece la metrica Euclidea su Rn e Rm la metrica d in quanto questa è topologicamente equivalente a quella Euclidea. Possiamo anche supporre che L non sia identicamente nulla altrimenti la continuità di L è immediata essendo una funzione costante. Sia aij è la matrice che rappresenta L rispetto alla base canonica. Allora P P d (L(x), L(y)) = | nj=1 a1j (xj − yj )| + · · · + | nj=1 amj (xj − yj )| ≤ Pn Pn j=1 |a1j | |xj − yj | + · · · + j=1 |amj | |xj − yj | ≤ Pn P (maxj |a1j |) j=1 |xj − yj | + · · · + (maxj |amj |) nj=1 |xj − yj | ≤ M md (x, y),

28

dove M = max |aij | > 0 (L è strettamente positivo in quanto L non è l’applicazione nulla). Segue che L e M m-Lipschitziana e quindi L è continua. In particolare siano 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n. Allora la proiezione pi1 ,...,im : Rn → Rm , x 7→ (xi1 , . . . , xim ), essendo lineare è continua. Un’applicazione f : X → Y tra due spazi metrici è un’isometria se f è biunivoca e dY (f (x), f (y)) = dX (x, y). Chiaramente un’isometria è continua (essendo 1-Lipschitziana) e anche la sua inversa è continua. In particolare la traslazioni di Rn sono continue. Due spazi metrici si dicono isometrici se esiste un isometria f : X → Y . L’dentità di uno spazio metrico in se stesso, l’inversa di un’isometria, e la composizione di due isometrie sono altrettante isometrie. Quindi l’isometria è una relazione di equivalenza tra spazi metrici. Siano X e Y due spazi metrici. Un’applicazione bigettiva f : X → Y si dice un omeomorfismo se è continua e se anche la sua inversa f −1 : Y → X è continua. Ogni isometria è un omeomorfismo ma esistono omoeomorfismi che non sono isometrie. Per esempio l’applicazione esponenziale exp : R → (0, +∞), x 7→ ex è un omeomorfismo perché ha inversa continua log : (0, +∞) → R, y 7→ log(y). Ma exp non è un’isometria infatti manda l’intervallo illimitato (−∞, 0] nell’ intervallo limitato (0, 1]. Due spazi metrici X e Y si dicono omeomorfi se esiste un omeomorfismo f : X → Y . Non è difficile verificare che l’omeomorfismo è una relazione di equivalenza tra spazi metrici. Conclusione A questo punto potremo definire i concetti analoghi a quelli del caso di R come: insiemi chiusi, punti di accumulazione, punti interni, successioni,...

29

Faremo tutto questo (e molto di pi` u) nei prossimi capitoli per gli spazi topologici dei quali gli spazi metrici sono un caso particolare.

2.5

Esercizi

Esercizio 11 Dimostrare che le distanze definite negli Esempi 10, 11, 12, 13, 14, 15. sono effettivamente distanze. Esercizio 12 Dimostrare che i numeri razionali Q (con la metrica indotta da quella Euclidea) e i numeri reali R (con la metrica Euclidea) non sono omeomorfi. Esercizio 13 Dimostrare la Proposizione 4. Trovare esempi di funzioni continue ma non uniformemente continue e uniformemente ma non Lipschiziane. Esercizio 14 Dimostrare che ponendo d(x, y) = min{|xj − yj |} j

non si definisce una metrica in Rn . Esercizio 15 Sia (Y, d) uno spazio metrico ed f : X → Y un’applicazine iniettiva. Sia δ : X × X → R cos`ı definita: δ(x, y) = d(f (x), f (y)). Si dimostri che δ è una metrica su X e che f : (X, δ) → (f (X), df (X) ) è un’isometria, dove df (X) denota la metrica indotta su X dalla metrica d di Y . Esercizio 16 Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R2 e di R3 sono aperti rispetto alla metrica Euclidea. {(x, y) ∈ R2 | x = y}, {(x, y) ∈ R2 | xy 6= 0}, {(x, y) ∈ R2 | y 6= 0} {(x, y, z) ∈ R3 | x = y}, {(x, y) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < 1}.

30

Esercizio 17 Si dimostri che {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 < 1} {(x, y, z) ∈ R3 | 1 < x2 + y 2 + z 2 < 2} sono sottoinsiemi aperti di R3 (rispetto alla topologia Euclidea) Esercizio 18 Dimostrare che i seguenti insiemi di Rn non sono aperti. Zn , Qn , {x ∈ Rn | kxk ≤ 1}, {x ∈ Rn | kxk = 1} Esercizio 19 Siano A e B due sottospazi vettoriali di Rn entrambi di dimensione k. Dimostrare che A e B sono omeomorfi. Esercizio 20 Dimostrare la Proposizione 2. Esercizio 21 Sia (X, d) uno spazio metrico e y ∈ X. Dimostrare che l’applicazione d : X → R, x 7→ d(x, y) è continua. Esercizio 22 Sia (X, d) uno spazio metrico. Mostrare che in generale l’intersezione di una famiglia di insiemi aperti non è necessariamente un aperto. Esercizio 23 Siano d1 e d2 due distanze su un insieme X. Supponiamo che esistano due numeri positivi a e b tale che ad1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ bd1 (x, y), ∀x, y ∈ X. Dimostrare che le distanze d1 e d2 sono topologicamente equivalenti. Cosa si può affermare della funzione identità idX : X → X rispetto alle metriche d1 e d2 ? Esercizio 24 Dimostrare che le distanze degli Esercizi 10, 11 e 12 soddisfano le seguenti relazioni disuguaglianze d (x, y) ≤ deucl (x, y) ≤ d (x, y) ≤ nd (x, y), ∀x, y ∈ Rn . Dare una dimostrazione alternativa (a quella fornita nell’Esempio 17) del fatto che d , deucl e d sono topologicamente equivalenti.

31

Esercizio 25 Dimostrare che se X è uno spazio metrico con metrica d, anche δ :X ×X →R d(x, y) δ(x, y) = 1 + d(x, y) è una metrica su X. Verificare che δ è limitata, cioè δ(x, y) è sempre minore di una costante per ogni x, y ∈ X. Dimostrare inoltre che δ è topologicamente equivalente alla metrica d. Esercizio 26 Siano d1 e d2 distanze topologicamente equivalenti su un insieme X. Dimostrare che l’identità di X in se stesso è un omeomorfismo se si considera il dominio con la metrica d1 e il codominio con la metrica d2 . Esercizio 27 Descrivere i dischi di centro x ∈ X e raggio r > 0 per la metrica discreta (cfr. Esempio 13). Esercizio 28 Disegnare i dischi di centro x ∈ X e raggio r > 0 per le distanze degli Esempi 10, 11 e 12 nel caso n = 1 e n = 2. Esercizio 29 Un sottoinsieme S di uno spazio metrico (X, d) si dice limitato se esistono x ∈ X e r > 0 tali che S ⊂ Dr (x). Dopo aver descritto due esempi in Rn di insiemi limitati e non, dimostrare che: (a) ogni sottoinsieme finito di uno spazio metrico è limitato; (b) l’unione di una famiglia finita di sottoinsiemi limitati di uno spazio metrico X è un sottoinsieme limitato di X.

32

Capitolo 3 Topologie e spazi topologici 3.1

Definizioni e esempi

Sia X un insieme non vuoto. Una topologia su X è una classe non vuota T di sottoinsiemi di X, cioè T ⊂ P(X) (dove P(X) denota l’insieme delle parti di X) soddisfacenti le seguenti proprietà: Top1. ∅, X ∈ T ; Top2. L’unione di un numero qualsiasi di insiemi di T appartiene a T ; Top3. L’intersezione di due insiemi qualsiasi di T appartiene a T . Gli elementi di T si chiamano insiemi aperti o aperti della topologia T . Se la topologia T è chiara dal contesto parleremo di aperti senza specificare T . Le proprietà precedenti si esprimono quindi dicendo che l’insieme vuoto e X sono aperti, l’unione di una qualsiasi famiglia di aperti è un aperto e l’intersezione di due aperti (e quindi di un numero finito di aperti) è un aperto. Osservazione 6 Osserviamo che la proprietà ∅ ∈ T è superflua. Infatti, se Uj ∈ T allora ∪j∈∅ Uj = ∅, cioè l’unione sulla famiglia vuota è l’insieme vuoto.

33

Uno spazio topologico è un insieme X in cui è stata assegnata una topologia T , e sarà denotato con (X, T ) o semplicemente con X sottointendendo la topologia per comodità di notazione quando sarà chiara dal contesto. Gli elementi di X si diranno punti e l’insieme X supporto dello spazio topologico (X, T ). 0 Se T e T sono due topologie su un insieme non vuoto X, diremo che T è meno 0 0 0 fine di T o che T è pi` u fine di T se ogni aperto di T è anche aperto di T . In 0 questo caso scriveremo T < T . Può anche accadere che due topologie non siano confrontabili (cioè non è detto che una sia pi` u fine o meno fine dell’altra) come vedremo negli esempi che seguono. Quindi l’insieme delle topologie su uno spazio X è un insieme parzialmente ordinato dalla relazione d’ordine r}. Mostriamo che E = Est(Br (x)) e F = Fr(Br (x)). Ovviamente si ha Rn = Br (x) ∪ E ∪ F = Br (x) ∪ Est(Br (x)) ∪ Fr(Br (x)), dove le unioni sono disgiunte. Quindi basta dimostrare E ⊂ Est(Br (x)) e F ⊂ Fr(Br (x)). Verifichiamo che E ⊂ Est(Br (x)). Sia y ∈ E e s = kx − yk − r. Basta provare che Bs (y) ∩ Br (x) = ∅. Se per assurdo esistesse z ∈ Bs (y) ∩ Br (x) allora kx − yk ≤ kx − zk + kz − yk < r + s = kx − yk che è assurdo e quindi E ⊂ Est(Br (x)). Verifichiamo ora che F ⊂ Fr(Br (x)). Sia y ∈ F e sia Bα (y) una palla di raggio α > 0 e centro arbitrario y ∈ F . Vogliamo verficare che Bα (y) interseca sia punti

44

di Br (x) sia punti dell’esterno di Br (x). Sarà sufficiente verificare che esistono due punti z, w ∈ Bα (y) tali che z ∈ Br (x) (cioè kz − xk < r) e w ∈ E ⊂ Est(Br (x)) (cioè kw − xk > r). Per fare questo consideriamo ia retta che unisce x a y; le sue equazioni parametriche sono {zt = tx + (1 − t)y, t ∈ R}. Si ottiene kzt − xk = ktx + (1 − t)y − xk = |1 − t|ky − xk = |1 − t|r e kzt − yk = ktx + (1 − t)y − yk = |t|kx − yk = |t|r. Sia ora z = zs e w = z−s , dove s è un numero reale positivo pi` u piccolo del minimo tra 1 e αr , cioè 0 < s < min{1, αr }. Allora kz − xk = kzs − xk = (1 − s)r < r e kz − yk = kzs − yk = sr <

α r = α, r

cioè z ∈ Br (x) ∩ Bα (y). Analogamente kw − xk = kz−s − xk = (1 + s)r > r e kw − yk = kzs − yk = | − s|r = sr <

α r = α, r

cioè w ∈ E ∩ Bα (y) ⊂ Est(Br (x)) ∩ Bα (y). Segue che: B r (x) = Br (x) ∪ Fr(Br (x)) = Br (x) ∪ F = {y ∈ Rn | kx − yk ≤ r}. Infine si ha D(Br (x)) = B r (x). Infatti sia y ∈ B r (x) = Br (x) ∪ F . Allora, per ogni α > 0 e per t sufficientemente piccolo risulta zt ∈ (Bα (y) \ {y}) ∩ Br (x) (se y ∈ Br (x) questo è ovvio se y ∈ F segue dalla costruzione precedente). Di conseguenza B r (x) ⊂ D(Br (x)), cioè D(Br (x)) = B r (x).

45

Esempio 35 L’insieme dei numeri razionali soddisfa: Int(Q) = ∅, Est(Q) = ∅, Fr(Q) = R. Si osservi che Q è denso in R cioè Q = Q ∪ Fr(Q) = R e D(Q) = R. Esempio 36 Sia R con la topologia cofinita Tcof dove gli insiemi chiusi sono R e gli insiemi finiti. Allora se a < b si ha (a, b) = R, Int ((a, b)) = ∅, Fr ((a, b)) = D ((a, b)) = R.

3.3

Esercizi

Esercizio 30 Sia X = {a, b, c, d, e}. Si determinino le topologie su X generate da S1 = {{a}, {a, b, c}, {c, d}}, S2 = {{a, b, c}, {b, c, d}, {a, b, c, e}} S3 = {{b, c}, {a, b, c}, {b, c, d}}, S4 = {{b}, {b, c}, {b, c, d}} Esercizio 31 Sia X = {a, b, c, d, e}. Si determini per ognuna delle seguenti classi di sottoinsiemi di X se si tratta di una topologia su X: T1 = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c}} T2 = {X, ∅, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d}} T3 = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}} Esercizio 32 Sia T una topologia su un insieme X costituita da quattro insiemi: T = {X, ∅, A, B}, dove A e B sono sottoinsiemi propri distinti non vuoti di X. Quali condizioni devono soddisfare A e B. Esercizio 33 Si elenchino tutte le topologie su X = {a, b, c} costituite esattamente da quattro elementi (si confronti il risultato con l’esercizio precedente). Esercizio 34 Sia En la classe dei sottoinsiemi di N costituita da N da ∅ e da tutti i sottoinsiemi di N della forma En = {n, n + 1, n + 2, . . . }, n ∈ N. Si dimostri che En è una topologia e si elenchino gli aperti contenenti il numero 6 ∈ N.

46

Esercizio 35 Sia T ∗ la famiglia di sottoinsiemi di R2 costituita dall’insieme vuoto, da R2 e dagli insiemi il cui complementare è unione di un numero finito di punti e di un numero finito di rette. Dimostrare che T ∗ è una topologia su X. Dimostrare inoltre che Tcof < T ∗ < E, dove Tcof è la topologia cofinita e E è la topologia euclidea. Esercizio 36 Dimostrare che le seguenti famiglie di insiemi di R non sono topologie su R. T1 = {(q, +∞)| q ∈ Q)} ∪ {∅} ∪ {R} T2 = {(−∞, a]) | a ∈ R)} ∪ {∅} ∪ {R} T3 = {(a, b)| a < b, a, b ∈ R)} ∪ {∅} ∪ {R} Esercizio 37 Sia S = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x, y < 1}. Trovare un sottospazio X di R2 contenente S nel quale S, rispetto alla topologia indotta da X, sia: • aperto e chiuso; • chiuso ma non aperto; • aperto ma non chiuso. Esercizio 38 Dimostrare che la famiglia T = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} definisce una topologia su X = {a, b, c, d, e}. Trovare l’interno, l’esterno, la frontiera, la chiusura e il derivato del sottoinsieme S = {a, b, c} ⊂ X. Esercizio 39 In uno spazio topologico X siano E un sottoinsieme denso e U un aperto. Dimostrare che E ∩ U ⊃ U . Esercizio 40 Sia X uno spazio topologico. Dimostrare che la topologia su X è quella discreta se e solo se per ogni sottoinsieme A di X, D(A) = ∅.

47

Esercizio 41 Sia (X, = {x ∈ X| x < q} ∩ {x ∈ X| p < x}. Si noti che la topologia d’ordine su R coincide con quella Euclidea. Dimostrare che la relazione R su R2 definita da: (a, b)R(c, d) se e solo se a < c oppure a = c e b < d definisce un ordinamento totale su R2 chiamato ordine lessicografico. Sia T la topologia d’ordine su R2 generata da R. Siano P = (0, 0) e Q = (1, 1). Descrivere i punti dell’aperto < P, Q > nello spazio topologico (R2 , T ). Esercizio 42 Sia (X, d) uno spazio metrico e Dr (x) un suo disco. Si dimostri che valgono le seguenti inclusioni: Est(Dr (x)) ⊃ {y ∈ X| d(x, y) > r} Fr(Dr (x)) ⊂ {y ∈ X| d(x, y) = r} Dr (x) ⊂ {y ∈ X| d(x, y) ≤ r} e che possono essere strette. (Si confronti con l’Esempio 34). (Suggerimento: per mostrare che le inclusioni sono in generale strette si consideri il disco di centro l’origine e raggio unitario D1 (0) = B1 (0) ∩ X nello spazio metrico (X, d) dove X = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 1, y ≤ 0} e d è la metrica indotta da quella Euclidea di R2 ). Esercizio 43 Sia S un sottoinsieme di uno spazio metrico (X, d). Si dimostri che la chiusura S di S è l’insieme S = {x ∈ X| d(x, S) = 0}, dove d(x, S) è l’estremo inferiore delle distanze d(x, s) al variare di s ∈ S. Si deduca che un sottoinsieme C di uno spazio metrico (X, d) è chiuso se e solo se {x ∈ X| d(x, C) = 0} ⊂ C.

48

Esercizio 44 Si dimostri con un esempio esistono insiemi chiusi A, B disgiunti tali che d(A, B) = 0, dove d(A, B) è l’estremo inferiore delle distanze d(a, b) al variare di a ∈ A e b ∈ B. Esercizio 45 Si dimostri che dati comunque due sottoinsiemi A e B di uno spazio topologico X si ha: Fr(A ∪ B) ⊂ Fr(A) ∪ Fr(B) Int(A ∪ B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B), Int(A ∩ B) = Int(A) ∩ Int(B) Est(A ∪ B) = Est(A) ∩ Est(B), Est(A ∩ B) ⊃ Est(A) ∪ Est(B) D(A ∪ B) = D(A) ∪ D(B), D(A ∩ B) ⊂ D(A) ∩ D(B) A ∪ B = A ∪ B, A ∩ B ⊂ A ∩ B. Trovare inoltre esempi dove le inclusioni sono strette. (Suggerimento: provare con sottoinsiemi di R). Esercizio 46 Trovare esempi di sottoinsiemi A, B di uno spazio topologico X dove Fr(A ∩ B) non è incluso in Fr(A) ∩ Fr(B) e dove Fr(A) ∩ Fr(B) non è incluso Fr(A ∩ B). (Suggerimento: provare con sottoinsiemi di R). Esercizio 47 Sia S un sottospazio di uno spazio topologico (X, T ) e A ⊂ S. Indichiamo con TS la topologia su S (indotta da T ). Denotiamo con IntS (A), EstS (A), FrS (A), DS (A) rispettivamente, l’interno, l’esterno, la frontiera e il derivato di A rispetto a TS . Dimostrare che: (a) IntS (A) ⊃ S ∩ Int(A), (b) EstS (A) = S ∩ Est(A), (c) FrS (A) ⊂ S ∩ Fr(A),

(d) DS (A) = S ∩ D(A).

Trovare inoltre un esempio dove le inclusioni (a) e (c) sono strette. (Suggerimento: provare con S = A = Q). Esercizio 48 Sia X = {x ∈ R2 | x2 > 0, kxk ≤ 1}. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono chiusi in X con la topologia di sottospazio di R2 : 1 {x ∈ R2 | x2 > 0, kxk = 1}, {x ∈ R2 | x2 ≥ , kxk < 1}, 2

49

√ 2

2

{(0, t) ∈ R | 0 < t < 1}, {(t, t) ∈ R | 0 < t <

2 }. 2

Esercizio 49 Sia S = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y > 0}. Determinare interno, esterno, frontiera, chiusura e derivato di S rispetto alla topologia Euclidea di R2 . Esercizio 50 In R consideriamo il sottoinsieme S={

n , n = 0, 1, . . . }. n+1

Dimostrare che S = S ∪ {1} nella topologia Euclidea, mentre S = R nella topologia cofinita. Esercizio 51 Sia X uno spazio topologico. Un intorno di un punto x ∈ X è un insieme N che contiene un aperto U contenente x (x ∈ U ⊂ N ). Ovviamente ogni aperto è un intorno di ogni suo punto. Si dimostri il viceversa e cioè che se U ⊂ X è un intorno di ogni suo punto allora U è aperto. Esercizio 52 Sia x un punto di uno spazio topologico (X, T ) e N (x) l’insieme costituito da tutti gli intorni di x, che chiameremo il sistema di intorni di x rispetto a T . Dimostrare che valgono le seguenti proprietà: a) se N1 e N2 appartengono a N (x) allora N1 ∩ N2 ∈ N (x); b) se N ∈ N (x) e X ⊃ M ⊃ N , allora M ∈ N (x). Esercizio 53 Sia X un insieme non vuoto; supponiamo che per ogni x ∈ X sia assegnata una famiglia N (x) di sottoinsiemi di X con le seguenti proprietà: a) N (x) 6= ∅ e ogni N ∈ N (x) contiene x; b) se N1 e N2 appartengono a N (x) allora N1 ∩ N2 ∈ N (x); c) se N ∈ N (x) e X ⊃ M ⊃ N , allora M ∈ N (x)

50

d) se N ∈ N (x), esiste M ∈ N (x) tale che M ⊂ N ed M ∈ N (y) per ogni y ∈ M. Dimostrare che esiste una ed una sola topologia T su X tale che per ogni x ∈ X N (x) sia il sistema di intorni di x rispetto a T . Esercizio 54 Sia X un insieme non vuoto. Un operatore di chiusura su X è un’applicazione C : P(X) → P(X) tale che: • C(∅) = ∅ , • C(C(S)) = C(S), ∀S ∈ P(X), • C(A ∪ B) = C(A) ∪ C(B), ∀A, B ∈ P(X). Dimostrare che se C è un operatore di chiusura su X e se T denota la famiglia di tutti i sottoinsiemi C di X tali che C(X \ C) = X \ C, allora T è una topologia. Dimostrare inoltre che per ogni sottoinsieme S di X si ha: C(S) = S nella topologia T . Esercizio 55 Sia X un insieme non vuoto. Un operatore di interno su X è un’applicazione I : P(X) → P(X) tale che: • I(X) = X , • S ⊃ I(S), ∀S ∈ P(X), • I(I(S)) = I(S), ∀S ∈ P(X), • I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B), ∀A, B ∈ P(X). Dimostrare che se I è un operatore di interno su X e se T denota la famiglia di tutti i sottoinsiemi A di X tali che I(A) = A, allora T è una topologia. Dimostrare inoltre che per ogni sottoinsieme S di X si ha: I(S) = Int(S) nella topologia T .

51

Esercizio 56 Mostrare con un esempio che gli operatori di interno e di chiusura non commutano.

52

Capitolo 4 Basi In generale lavorare con tutti gli aperti di una topologia T può essere complicato . Descriveremo in questo capitolo alcune sottofamiglie pi` u semplici ma significative di insiemi aperti che vanno sotto il nome di basi della topologia T .

4.1

Definizioni e esempi

Sia T una topologia sull’insieme non vuoto X. Una base di T è una famiglia B di aperti B ⊂ T tale che ogni aperto di X sia unione di elementi di B, cioè per ogni A ∈ T esiste Bj ∈ B, j ∈ J tale che A = ∪j∈J Bj . Equivalentemente B ⊂ T è una base di T se per ogni A ∈ T e per ogni punto x ∈ A esiste Bx ∈ B tale che x ∈ Bx ⊂ A. Le due definizioni sono equivalenti. Infatti se x è un punto di un aperto A ∈ T siccome per ipotesi A = ∪j∈J Bj allora x deve appartenere a Bj0 ⊂ A per un qualche j0 ∈ J; viceversa dato A ∈ T se per ogni x ∈ A esiste Bx ∈ B, x ∈ Bx , allora A può esprimersi come unione di elementi di B, A = ∪x∈A Bx . Osservazione 9 (la base non è unica) Sia B una base per una topologia T su un insieme non vuoto X. Allora ogni famiglia di aperti C ⊂ T tale che B ⊂ C è ancora una base per T . Infatti C è una famiglia di aperti e ogni A ∈ T si può scrivere come A = ∪j∈J Bj con Bj ∈ B ⊂ C.

53

Proposizione 10 (unicità della topologia una volta scelta una base) Sia X un insieme non vuoto e siano T e T ∗ due topologie su X. Se B è una base sia per T che per T ∗ , allora T = T ∗ . Dimostrazione: Possiamo limitarci a dimostrare che T < T ∗ (infatti la relazione T ∗ < T seguirà scambiando il ruolo delle due topologie). Sia quindi A ∈ T . Siccome B è una base per T , A = ∪j Bj , Bj ∈ B. Ma B ⊂ T ⊂ T ∗ cioè i Bj sono aperti per T ∗ e quindi (per la Top2 che definisce la topologia T ∗ ) la loro unione A = ∪j Bj ∈ T ∗ . Esempio 37 (base per uno spazio metrico) Sia (X, d) uno spazio metrico. La famiglia di tutti i dischi aperti è una base per la topologia Td indotta dalla metrica d. Esempio 38 (basi per la topologia Euclidea) Le seguenti famiglie sono basi per la topologia Euclidea su Rn • Bn = {Br (x), x ∈ Rn , r > 0} le n-palle aperte; • Rn = {Rr (x), x ∈ Rn , r > 0} gli n-rombi aperti; • Qn = {Qr (x), x ∈ Rn , r > 0} gli n-cubi aperti. Esempio 39 (base per la topologia discreta) Sia (X, Tdis ) uno spazio topologico con la topologia discreta. Allora B = {{x}}x∈X è una base per la topologia Tdis . Osserviamo inoltre che se C è una base per Tdis allora B ⊂ C. Esempio 40 (base per la topologia indotta) Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico (X, T ) con la topologia indotta TS (cfr. Esempio 30). Sia B una base per la topologia T . Allora S = {S ∩ B, B ∈ B} è una base per la topologia TS .

54

4.2

Topologie generate da basi

Cerchiamo adesso di rispondere alla seguente importante domanda: data una famiglia di sottoinsiemi B di un insieme non vuoto X, esiste una topologia T su X che ha B come base? Chiaramente se una tale topologia esistesse allora X essendo un aperto deve essere unione di elementi di B, X = ∪B∈B B, cioè B è un ricoprimento di X. Inoltre se B1 , B2 ∈ B allora B1 ∩ B2 sarebbe un aperto e quindi unione di elementi di B. In effetti sono questi due ingredienti che ci permettono di rispondere alla domanda precedente. Proposizione 11 Sia B una famiglia di sottoinsiemi di un insieme non vuoto X tali che: • B è ricoprimento di X; • dati comunque B1 , B2 ∈ B allora B1 ∩ B2 è unione di elementi di B. Allora esiste un unica topologia TB su X che ha B come base. Inoltre TB =< B >, ossia TB è la topologia generata da B (cfr. Esempio 21). Dimostrazione: Definiamo TB ⊂ P(X) come A ∈ TB ⇔ A = ∪j Bj , Bj ∈ B. A parole gli elementi di TB sono quei sottoinsiemi di X che si possono scrivere come unione di elementi di B. Se dimostriamo che questa è effettivamente una topologia, ovviamente B sarà una base per TB e per la Proposizione 10, TB è univocamente determinata. Osserviamo che il vuoto appartiene a TB come unione della famiglia vuota di elementi di B (cfr. Osservazione 6), mentre X ∈ TB per il fatto che B è un ricoprimento di X. Per dimostrare la Top2, sia {Aj }j∈J una famiglia di sottoinsiemi di TB . Per definizione di TB , Aj = ∪k∈K Bjk con Bjk ∈ B. Quindi ∪j∈J Aj = ∪j∈J (∪k∈K Bjk ) = ∪j∈J,k∈K Bjk ,

55

ossia ∪j∈J Aj si scrive come unione di elementi di B e quindi appartiene a TB . Per dimostrare la Top3, siano A1 = ∪l∈L B1l , B1l ∈ B, A2 = ∪k∈K B2k , B2l ∈ B due elementi di TB allora A1 ∩ A2 = (∪l∈L B1l ) ∩ (∪k∈K B2k ) = ∪l∈L,k∈K (B1l ∩ B2k ). Per ipotesi B1l ∩ B2k è un elemento di B e quindi anche A1 ∩ A2 si esprime come unione di elementi di B. Per dimostrare l’ultima asserzione dobbiamo dimostrare che TB = ∩B⊂T T = hBi. Essendo TB una topologia che include B si ha evidentemente ∩B⊂T T < TB . Dimostriamo che TB < ∩B⊂T T . Sia A ∈ TB allora A = ∪j Bj , Bj ∈ B. Ma Bj ∈ B appartiene a ogni T che contiene B e quindi A = ∪j Bj appartiene a ogni T che contiene B perché tali T sono topologie. Conseguentemente A = ∪j Bj appartiene all’intersezione di tutte le topologie che contengono B ossia A = ∪j Bj < ∩B⊂T T . Esempio 41 (le topologie js e jd ) La famiglia degli intervalli della forma (a, b] ⊂ R, a < b è una base per una topologia js su R. Infatti soddisfa le condizioni della Proposizione 11. Osserviamo che gli elementi di js della forma (a, b] non sono aperti della topologia euclidea E. Quindi js 6= E. D’altra parte ogni intervallo (a, b) può scriversi come (a, b) = ∪m>

1 b−a

(a, b −

1 ], m

e quindi js è strettamente pi` u fine della topologia euclidea su R, E < js . Osserviamo inoltre che non solo gli insiemi (a, b] sono aperti in js ma anche i loro complementari R \ (a, b] sono aperti in js , quindi gli insiemi (a, b] sono contemporaneamente aperti e chiusi in (R, js ). Infatti R \ (a, b] = (−∞, a] ∪ (b, +∞) Il primo insieme appartiene a js in quanto (−∞, a] = ∪n∈Z,n 0} è una base per la topologia Euclidea di Rn . Esercizio 59 Dimostrare che la famiglia di insiemi B = {(−∞, a]| a ∈ R} è una base per una topologia T su R pi` u fine della topologia is , dove is è la topologia dell’Esempio 32. Esercizio 60 Dimostrare che la famiglia B = {[a, b]| a < b, a, b ∈ R} non è una base per alcuna topologia su R. Descrivere inoltre la topologia TB generata da B. Esercizio 61 Dimostrare che la famiglia B = {(−∞, 1), (a, b)| 0 < a < b, a, b ∈ R}

57

è una base per una topologia TB su R. Dimostrare che TB è meno fine della topologia euclidea E su R. Per quali valori di a l’insieme (−∞, a) è un aperto di TB ? Quale è la topologia che si ottiene se la condizione 0 < a < b viene sostituita con la condizione a < b? Esercizio 62 Sia B una famiglia di sottoinsiemi di un insieme non vuoto X totalmente ordinata dall’inclusione insiemistica. Si dimostri che se B è un ricoprimento di X allora è una base per una topologia su X. Esercizio 63 Sia B la famiglia di tutti i rettangoli semi aperti in R2 , cioè della forma {(x, y)| a ≤ x < b, c ≤ y < d, a, b, c, d ∈ R}. Si dimostri che: 1. B è una base per una topologia T su R2 ; 2. la topologia indotta da T sulle retta S = {x + y = 0} è la topologia discreta su S; 0

3. la toplogia indotta da T sulla retta S = {x − y = 0} non è la topologia discreta su R. Esercizio 64 Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico. Dimostrare che S è denso in X se e solo se esiste una base B per la topologia di X tale che S intersechi ogni aperto non vuoto appartenente a B.

58

Capitolo 5 Numerabilit` a, propriet` a di separazione e successioni 5.1

Numerabilit` a

Sia x un punto di uno spazio topologico (X, T ). Una famiglia Bx di sottoinsiemi aperti contenenti x è detta base locale in x se per ogni aperto A contenente x esiste Bx ∈ Bx tale che x ∈ Bx ⊂ A. Osservazione 10 (Basi e basi locali) Sia B una base per una topologia T su X e sia x ∈ X. Allora gli elementi della base B che contengono x ossia Bx = {B ∈ B| x ∈ B} formano una base locale nel punto x. Viceversa se per ogni punto x è assegnata una base locale Bx , allora B = ∪x∈X Bx è una base della topologia di X. Uno spazio topologico (X, T ) è detto uno spazio N1 o primo numerabile se soddisfa la seguente condizione (chiamata il primo assioma di numerabilit` a): per ogni x ∈ X esiste una base locale numerabile per la topologia T .

59

Uno spazio topologico (X, T ) è detto uno spazio N2 o secondo numerabile se soddisfa la seguente condizione (chiamata il secondo assioma di numerabilit` a): per ogni x ∈ X esiste una base numerabile per la topologia T . Uno spazio topologico (X, T ) è detto uno spazio N3 o terzo numerabile se soddisfa la seguente condizione (chiamata il t erzo assioma di numerabilit` a): esiste un sottoisieme S ⊂ X denso e numerabile. Osservazione 11 Solitamente uno spazio N3 è detto separabile. Non useremo questa terminologia che è (a mio modesto avviso) alquanto fuorviante visto che esistono in topologia altri importanti assiomi di separabilit` a dei quali parleremo nel prossimo paragrafo. Esempio 42 (esistono spazi che non sono N1 ) Lo spazio topologico (R, Tcof ) dove Tcof è la topologia cofinita (Esempio 31) non è N1 . Supponiamo infatti che (R, Tcof ) sia primo numerabile. Allora 1 ∈ R possiede una base locale numerabile B1 = {Bn | n ∈ N}. Siccome Bn è aperto R \ Bn è chiuso e quindi finito. Perciò A = ∪n∈N (R \ Bn ) è un unione numerabile di insiemi finiti e quindi numerabile. Ma R non è numerabile; quindi esiste p ∈ R, p 6= 1 tale che p ∈ R \ A. Quindi per la legge di De Morgan: p ∈ R \ A = ∩n∈N Bn . Quindi p appartiene a Bn per ogni n. D’altra parte R \ {p} è aperto e contiene 1 in quanto 1 6= p. Dato che B1 è una base locale intorno a 1 esiste un Bn0 ∈ B1 tale che 1 ∈ Bn0 ⊂ R \ {p}. Quindi p ∈ / Bn0 . Ma ciò contraddice l’asserzione secondo cui p ∈ Bn per ogni n ∈ N. Quindi è falsa l’ipotesi che (R, Tcof ) sia primo numerabile. Esempio 43 (ogni spazio metrico è N1 ) Sia (X, d) uno spazio metrico. Per ogni x ∈ X la famiglia dei dischi aperti Bx = {Dr (x), r ∈ R} definisce una base locale in x. In effetti ogni spazio metrico è N1 infatti la famiglia D 1 (x) costitutisce una n base locale numerabile per ogni x ∈ X.

60

Esempio 44 (esistono spazi N1 che non sono metrizzabili) Un qualunque insieme con almeno due elementi con la topologia banale è uno spazio N1 (in effetti anche N2 ) ma non è metrizzabile in quanto due elementi distinti non possono essere separati da nessuna coppia di aperti. Esempio 45 (Rn è N2 ) R con la topologia Euclidea è N2 . Infatti gli aperti della forma (x − δ, x + δ) con x, δ ∈ Q sono una base numerabile per R. Pi` u in generale n R è N2 (cfr. Corollario 3). Esempio 46 (ogni spazio N2 è N1 ) Sia X uno spazio topologico N2 e sia B una base numerabile per X. Dato x ∈ X, gli elementi della base B che contengono x ossia Bx = {B ∈ B| x ∈ B} formano una base locale numerabile intorno al punto x (cfr. Osservazione 10). Esempio 47 (esistono spazi N1 che non sono N2 ) La retta R con la topologia discreta è N1 (perché è uno spazio metrico) ma non è N2 . Infatti una qualunque base di (R, Tdis ) dovrebbe contenere gli insiemi {x}, x ∈ R e non sarebbe quindi numerabile in quanto la cardinalità di una tale base sarebbe maggiore di quella dei reali. Esempio 48 (esistono spazi metrizzabili che non sono N3 ) Sia (R, Tdis ) dove Tdis denota la topologia discreta. (R, Tdis ) è uno spazio metrico ma non N3 . Infatti ogni sottoinsieme di questo spazio è contemporaneamente aperto e chiuso. Quindi l’unico sottoinsieme denso in (R, Tdis ) è R stesso che non è numerabile. Proposizione 12 (N2 ⇒ N3 ) Sia X uno spazio N2 . Allora X è N3 . Dimostrazione: Sia B = {Bn | n ∈ N} una base numerabile di X. In ogni aperto non vuoto Bn ∈ B scegliamo un punto xBn e sia S = {xBn | Bn ∈ B}. Allora, per costruzione, S è un insieme numerabile che interseca ogni elemento della base B. Dall’Esercizio 64 segue che S = X e quindi X è N3 .

61

Esempio 49 (esistono spazi N3 che non sono N2 ) Sia jd la topologia su R dell’Esempio 41. Allora Q è denso in (R, jd ). Siccome Q è numerabile segue che (R, jd ) è N3 . D’altra parte (R, jd ) non è N2 . Sia infatti B una base qualunque per jd . Mostreremo che B non è numerabile. Infatti per ogni x ∈ R deve esistere Ax ∈ B tale che x ∈ Ax ⊂ [x, +∞) in quanto quest’ultimo è un aperto per jd . Consideriamo l’applicazione f : R → B che a x ∈ R associa f (x) = Ax . Quest’applicazione è iniettiva in quanto se x 6= y allora Ax 6= Ay . Conseguentemente la cardinalità di B sarà maggiore o uguale a quella dei reali che non sono numerabili. Quindi la base B non può essere numerabile. Proposizione 13 (N3 + metrizzabile ⇒ N2 ) Sia X uno spazio topologico N3 e metrizzabile allora X è secondo numerabile. Dimostrazione: La condizione N3 implica che esiste un sottoinsieme S denso e numerabile di X. Sia B = {Dq (x)| x ∈ S, q > 0, q ∈ Q} la famiglia dei dichi aperti di centro punti di S e raggio razionale. Ovviamente B è numerabile (in quanto Q e S sono numerabili). Se dimostriamo che B è una base seguirà che X è secondo numerabile. Per fare questo è sufficiente far vedere che per ogni y ∈ X e ogni aperto U , y ∈ U , esiste un elemento della base che si interpone tra y e U , cioè esiste un numero q ∈ Q e x ∈ S tale che y ∈ Dq (x) ⊂ U. Fissiamo un tale y e un tale aperto U . Siccome U e aperto esiste r > 0 (r ∈ R) tale che Dr (y) ⊂ U e siccome S è denso esiste un x ∈ D r3 (y) ∩ S (per la (c) della Proposizione 9 del Capitolo 3). Allora se q ∈ Q tale che 3r < q < 2r : 3 d(y, x) <

r 0. Consideriamo i dischi aperti Dp = D δp (p) e 3 Dq = D δq (q). Vogliamo dimostrare che i due insiemi 3

U = ∪p∈C1 Dp e V = ∪q∈C2 Dq sono aperti disgiunti e che contengono rispettivamente C1 e C2 . Il fatto che sono aperti deriva dal fatto che sono unione di aperti. Inoltre C1 ⊂ U e C2 ⊂ V per costruzione. Ci resta da mostrare che U ∩ V = ∅. Supponiamo il contrario e sia s ∈ U ∩ V . Allora esiste p0 ∈ C1 e q0 ∈ C2 tale che s ∈ Dp0 e s ∈ Dq0 . Sia d(p0 , q0 ) = . Allora d(p0 , C2 ) = δp0 ≤ e d(q0 , C1 ) = δq0 ≤ . Inoltre, siccome s ∈ Dp0 e s ∈ Dq0 d(p0 , s) <

δp0 3

e d(s, q0 ) <

δq0 . 3

Per la diguaglianza triangolare otteniamo allora: = d(p0 , q0 ) ≤ d(p0 , s) + d(s, q0 ) <

δp0 δq0 2 + ≤ + = . 3 3 3 3 3

che è la contraddizione cercata.

Osservazione 13 Esistono spazi topologici T2 che non sono T3 , spazi T3 che non sono T4 , sottospazi S di spazi T4 che non sono T4 (cfr. Proposizione 16) e spazi normali che non sono metrizzabili (cfr. Teorema 14). La costruzione di tali spazi (pur non essendo complicata) non fa parte di queste note.

5.3

Successioni in uno spazio topologico

Sia X uno spazio topologico. Denotiamo con N+ l’insieme dei numeri naturali positivi. Un’applicazione f : N+ → X si chiama una successione di elementi di X. Per ogni n ∈ N+ l’immagine xn = f (n) si chiama n-esimo termine della successione f .

66

La successione xn si dice convergente al punto x ∈ X (e x si dice limite della successione) se per ogni aperto U contenente x esiste n0 ∈ N+ tale che xn ∈ U per ogni n ≥ n0 e si scriverà lim xn = x. n→∞

Una sottosuccesione di xn è una successione xnk , k = 1, 2 ottenuta in corrispondenza di una successione crescente di interi positivi n1 < n2 < n3 < . . . . Equivalentemente una sottosuccessione della successione f : N+ → X è una successione ottenuta come composizione f ◦ ρ : N+ → X dove ρ : N+ → N+ è un’applicazione crescente. La seguente proposizione chiarisce i legami tra i punti di aderenza di un insieme e il concetto di successione. Proposizione 17 Sia S un sottoinsieme di un spazio topologico X e sia xn , xn ∈ S una successione tale che limn→∞ xn = x. Allora x ∈ S. Dimostrazione: Infatti la convergenza di xn a x implica che per qualunque aperto U contenente x esista xn ∈ U ∩ S e quindi xn ∈ S¯ per la seconda parte della Proposizione 8 del Capitolo 3. Vogliamo capire se vale il viceversa, cioè se dato un punto x ∈ S, S ⊂ X, esiste una successione di punti di S convergente a x. Chiaramente se x ∈ S allora la successione costante xn = x converge a x ma se x ∈ D(S) non possiamo affermare niente come mostra il seguente esempio. Esempio 52 (punti di accumulazione che non sono limiti di successioni) Sia X = R con la topologia conumerabile Tcon cioè un insieme è aperto se e solo se il suo complementare è numerabile o finito (Esempio 31 Capitolo 3). Osserviamo che una successione xn in (R, Tcon ) è convergente a un punto x ∈ R se e solo se è della forma x1 , x2 , . . . , xk , x, x, . . . x . . . cioè, a parte un numero finito k di termini, xj = x per ogni j > k. Sia infatti A l’insieme costituito dai punti di xn diversi da x allora X \ A è un aperto nella topologia Tcon contenente x (in quanto il complementare di un insieme numerabile o finito) e quindi contiene tutti

67

tranne un numero finito di punti della successione xn (in quanto la successione xn converge a x). Segue quindi che A è finito e quindi xn è della forma descritta. Per mostrare che esistono punti di accumulazione che non sono limiti di successioni consideriamo l’insieme S = R \ {0}. Allora 0 ∈ R è un punto di accumulazione per S, cioè ogni aperto U in (R, Tcon ) contenente 0 interseca S in un punto diverso da 0. (Infatti un tale aperto sarebbe della forma U = R \ N dove N è un insieme numerabile o finito e quindi U ∩ S = (R \ N ) ∩ R \ {0} = R \ (N ∪ {0}) 6= ∅.) Supponiamo per assurdo che esista una successione xn ∈ S = R \ {0} convergente a 0 allora dovrebbe essere della forma x1 , x2 , . . . , xk , 0, 0, . . . 0 . . . e quindi 0 ∈ S = R \ {0} che è assurdo. Cosa sta succedendo nell’Esempio 52? Il problema è che non si riesce a numerare l’insieme degli aperti del punto x in modo da costruire una successione convergente a x. Infatti (R, Tcon ) non è N1 (Esercizio 70). In effetti se lo spazio è N1 il viceversa della Proposizione 17 è valido, come mostra la Proposizione 18 seguente. Prima di enunciarla dimostriamo un lemma molto utile. Lemma 1 Sia X uno spazio topologico N1 e x ∈ X. • Esiste una base locale nidificata di x, cioè una base locale numerabile Bx = {B1 , . . . , Bn , . . . } tale che B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bn ⊃ · · · ; • se xn è una successione in X tale che xn ∈ Bn per ogni n allora xn converge a x. Dimostrazione: Per dimostrare la prima parte sia U1 , U2 , . . . Un , . . . è una base locale di x (che esiste in quanto X è N1 ) allora B1 = U1 , B2 = U1 ∩ U2 , Bn = U1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un

68

è una base locale nidificata. Che sia nidificata è ovvio per dimostrare che è una base sia U un aperto contenente x. Allora esiste n0 tale che x ∈ Un0 ⊂ U e quindi x ∈ Bn0 ⊂ Un0 ⊂ U . Per dimostrare la seconda parte sia U un aperto contenente x. Allora esiste n0 e Bn0 ∈ Bx tale che xn0 ∈ Bn0 ⊂ U (in quanto Bx è una base locale) e quindi xn ∈ Bn ⊂ Bn0 ⊂ U per ogni n ≥ n0 (in quanto Bx è nidificata). Questo mostra che limn→∞ xn = x. Proposizione 18 Sia S un sottoinsieme di un spazio topologico X primo nu¯ Allora esiste una successione xn ∈ S tale che limn→∞ xn = merabile e x ∈ S. x. Dimostrazione: Se x ∈ S \ D(S) allora la successione costante xn = x converge a x. Sia x ∈ D(S) e sia Bx = {B1 , . . . , Bn , . . . } una base locale nidificata di x. Allora esiste xn ∈ (Bn \ {x}) ∩ S per ogni n e quindi xn converge a x. Osservazione 14 La dimostrazione precedente mostra che quando x ∈ D(S) allora la successione xn convergente a x può essere scelta di elementi di S diversi da x. Ci poniamo adesso la domanda di capire se il Teorema 9 del Capitolo 1 sia valido in spazi topologici qualunque. Il seguente esempio mostra che anche in uno spazio N1 esistono punti di accumulazione di una successione xn che non sono limiti di nessuna sottosuccessione xnk di xn . Esempio 53 (punti di accumulazione che non sono limiti di sottocuccessioni) Sia X = {a, b, c} con la topologia T = {X, ∅, {a, b}}. Sia x1 = a, xn = c, n ≥ 2 una successione in X convergente a c. Si osservi che b è un punto di accumulazione di xn , cioè b ∈ D({xn }). Infatti qualunque sia l’aperto U che contiene b, U contiene a oppure c che sono punti di xn . D’altra parte se esistesse una sottosuccessione convergente xnk di xn questa non potrebbe convergere a b dovendo convergere a c.

69

Il Teorema 9 del Capitolo 1 si estende spazi che oltre a essere primo numerabili sono T1 . Proposizione 19 Sia X uno spazio topologico N1 e T1 . Sia xn una successione in X e sia x ∈ D({xn }) allora esiste una sottosuccessione xnk di xn convergente a x. Dimostrazione: Se esistesse un numero infinito di n tali che xn = x allora esisterebbe una sottosuccessione di xn convergente a x (fatta tutta di termini costanti). Possiamo quindi supporre, trascurando un numero finito di termini di xn , che xn 6= x per ogni n. Sia Bx = {B1 , . . . , Bn , . . . } una base locale nidificata di x, la cui esistenza è garantita dal Lemma 1. Siccome x è di accumulazione per xn esiste n1 ≥ 1 tale che xn1 ∈ B1 (in quanto B1 è aperto). Supponiamo per induzione di aver scelto n1 < n2 < · · · nm tali che xnk ∈ Bk , k = 1, . . . , m. Siccome lo spazio è T1 esiste un aperto U contenente x che non interseca l’insieme finito {xn | 1 ≤ n ≤ nm }. Essendo x è di accumulazione per xn esiste nm+1 (necessariamente maggiore di nm ) tale che xnm+1 ∈ Bm+1 ∩ U e quindi la sottosuccessione xnk converge a x, per la seconda parte del Lemma 1. . Infine vogliamo capire quando il limite di una successione è unico. L’esempio seguente mostra che in generale questo è falso. Esempio 54 (non unicità del limite) Sia X un insieme non vuoto e sia Tban la topologia banale su X. Sia xn una successione in X. Si osservi che X è l’unico insieme aperto contenente un qualsiasi x ∈ X e che inoltre X contiene ogni punto della successione xn . Perciò la successione converge a ogni punto x ∈ X. Quindi se X contiene almeno due punti il limite non è unico. Cosa sta succedendo in quest’esempio? Si tratta di un problema di separabilità. Infatti se lo spazio in questione è T2 si ha: Proposizione 20 Sia X uno spazio topologico di Hausdorff e sia xn una succesione in X. Se xn è convergente il suo limite è unico.

70

Dimostrazione: lasciata per esercizio.

Osservazione 15 Osserviamo che essere T1 è una condizione troppo debole per dedurre l’unicità del limite. Ad esempio sia (R, Tcof ) la topologia cofinita su R che, per l’Esempio 51 è T1 ma non T2 , e sia xn una successione con infiniti punti (per esempio xn = n) allora xn converge a ogni punto dello spazio (Esercizio 80, parte (i)). Dal momento che uno uno spazio metrizzabile (X, T ) è N1 (Esempio 43) e T2 dall’analisi svolta in questo paragrafo otteniamo il seguente teorema. Teorema 15 Sia (X, T ) uno spazio topologico metrizzabile. Allora: 1. un punto x appartiene a S, S ⊂ X, se e solo se esiste una successione xn , xn ∈ S convergente a x; 2. un punto x appartiene a D(S), S ⊂ X se e solo se esiste una successione xn , xn ∈ S ∩ (X \ x) convergente a x; 3. Sia xn una successione in X e sia x ∈ D({xn }) allora xn contiene una sottosuccessione xnk convergente a x; 4. ogni successione convergente ha un unico limite. Concludiamo il paragrafo descrivendo gli insiemi chiusi di spazi metrici in termini di successioni. Prima una definizione. Diremo che un sottoinsieme S di uno spazio metrico X è chiuso per successioni se il limite di una qualunque successione convergente costituita di elementi di S appartiene a S. Corollario 4 Un sottoinsieme di uno spazio metrico è chiuso se e solo se è chiuso per successioni. Dimostrazione: la dimostrazione è una conseguenza immediata del punto (a) della Proposizione 7 e del punto 1 del Teorema 15.

71

5.3.1

Esercizi

Esercizio 65 Esibire un esempio di spazio N1 che non sia N3 e un esempio di spazio N3 che non sia N1 . Esercizio 66 Dimostrare che (R, jd ) è N1 e non metrizzabile. Esercizio 67 Sia (X, T ) uno spazio topologico e sia Bx una base locale in x ∈ X. Si consideri un sottoinsieme S ⊂ X tale che x ∈ S ⊂ X. Si dimostri che Bx,S = {S ∩ B | B ∈ Bx } è una base locale in x di S rispetto alla topologia indotta TS . Esercizio 68 Si dimostri che un sottospazio S ⊂ X di uno spazio N1 (risp. N2 ) è ancora N1 (risp. N2 ). Esercizio 69 Si dimostri che un spazio discreto X è N3 se e solo se è numerabile. Esercizio 70 Dimostrare che (R, Tcon ) non è N1 . Esercizio 71 Si dimostri che uno spazio topologico (X, T ) è T1 se e solo se la topologia T è pi` u fine della topologia cofinita Tcof su X. Esercizio 72 Si dimostri che uno spazio topologico normale è regolare e che uno spazio regolare è di Haussdorff. Esercizio 73 Si dimostri la Proposizione 16. Esercizio 74 Si dimostri che un sottoinsieme finito di uno spazio topologico T1 non possiede punti di accumulazione. Esercizio 75 Siano T < T ∗ due topologie sull’insieme non vuoto X. Se T è T1 (risp. T2 ) allora T ∗ è T1 (risp. T2 ). Esercizio 76 Sia (X, T ) uno spazio topologico T1 finito. Si dimostri che T coincide con la topologia discreta su X, cioè T = Tdis .

72

Esercizio 77 Si dimostri che un sottospazio S ⊂ X di uno spazio N3 non è in generale N3 . (Suggerimento: utilizzare l’esercizio precedente e l’Esercizio 63 del Capitolo 4). Esercizio 78 Si consideri la topologia js su R ossia la topologia avente come base gli intervalli (a, b]. Si trovi se esiste il limite delle seguenti successioni nella topologia js : {an } = { n1 }, {bn } = {− n1 }, {cn } = {(−1)n+1 n1 }. Esercizio 79 Siano T e T ∗ due topologie su un insieme non vuoto X tali che T < T ∗ , sia xn una successione in X e siano L e L∗ gli insiemi costituiti dai limiti di xn rispetto alle topologie T e T ∗ . (i) Dimostrare che L∗ ⊂ L; (ii) Dedurre che se xn è una successione convergente in (R, jd ) allora xn converge ad un unico limite; (iii) determinare un esempio di successione convergente ad un unico limite in (X, T ) e non convergente in (X, T ∗ ) Esercizio 80 Sia X un insieme infinito e Tcof la topologia cofinita su X. (i) Dimostrare che una successione xn in X formata da elementi tutti diversi tra loro converge ad ogni elemento x ∈ X; (ii) sia T una topologia su X meno fine di Tcof . Dimostrare che (X, T ) non è metrizzabile. Esercizio 81 Dimostrare la Proposizione 20. Esercizio 82 Sia X uno spazio topologico N1 . Dimostrare che X è di Hausdorff se e solo se ogni successione convergente ha un unico limite. Si verifichi inoltre con un esempio che esistono spazi non di Hausdorff dove ogni successione convergente ha un unico limite.

73

Capitolo 6 Applicazioni tra spazi topologici 6.1

Applicazioni continue, aperte e chiuse

Siano X e Y due spazi topologici e f : X → Y un’applicazione. Diremo che f è continua nel punto x ∈ X se per ogni aperto A contenente f (x) ∈ Y esiste un aperto B contenente x tale che f (B) ⊂ A. Diremo che f è continua se è continua in ogni punto. La seguente proposizione descrive alcune condizioni equivalenti del concetto di continuità. Proposizione 21 Sia f : X → Y un’applicazione tra spazi topologici e sia B una base della topologia di Y . Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) f è continua; (ii) f −1 (V ) è aperto in X per ogni aperto V di Y ; (iii) f −1 (C) è chiuso in X per ogni chiuso C di Y ; (iv) f −1 (B) è aperto in X per ogni B ∈ B; ¯ ⊂ f (A) per ogni sottoinsieme A di X; (v) f (A) ¯ ⊃ f −1 (B) per ogni sottoinsieme B di Y ; (vi) f −1 (B) (vii) f −1 (Int B) ⊂ Int(f −1 (B)) per ogni sottoinsieme B di Y .

74

Dimostrazione: (nel corso della dimostrazione faremo uso implicito dei Teoremi 1, 2 e del Corollario 1 del Capitolo 1). (i) ⇒ (ii) Sia V un aperto di Y e sia x ∈ f −1 (V ) (se non esiste un tale x allora f −1 (V ) = ∅ che è aperto). Siccome f è continua in x allora esiste un aperto Ux ⊂ f −1 (V ) contenente x. Siccome x è arbitrario questo significa che f −1 (V ) è aperto, in quanto unione degli aperti Ux . (ii) ⇒ (i) sia V un aperto contenente f (x) allora f −1 (V ) è un aperto contenente x tale che f (f −1 (V )) ⊂ V . (iii) ⇒ (v) siccome f (A) è chiuso allora f −1 (f (A)) è chiuso. Inoltre A ⊂ f −1 (f (A)) ⊂ f −1 (f (A)) e quindi A¯ ⊂ f −1 (f (A)) (in quanto A¯ è il pi` u piccolo chiuso che contiene A) la quale implica ¯ ⊂ f (f −1 (f (A))) ⊂ f (A). f (A) (v) ⇒ (iii) sia C ⊂ Y un chiuso. Allora f f −1 (C) ⊂ f (f −1 (C)) ⊂ C¯ = C che implica f −1 (C) ⊂ f −1 (C) e quindi f −1 (C) = f −1 (C) è chiuso. Le altre implicazioni sono lasciate come esercizio.

Siano X e Y due spazi topologici. Un’applicazione f : X → Y si dice aperta (risp. chiusa) se per ogni sottoinsieme aperto (risp. chiuso) A ⊂ X (risp. C ⊂ X) l’insieme f (A) (risp. f (C)) è aperto (risp. chiuso) in Y . Osserviamo che se S ⊂ X è un sottoinsieme di uno spazio topologico con la topologia indotta allora l’applicazione inclusione i : S ,→ X : s 7→ s è continua. Inoltre S è aperto (risp. chiuso) in X se e solo se l’inclusione i : S ,→ X è aperta (risp. chiusa). L’applicazione f : X → Y si dice un omeomorfismo oppure equivalenza topologica se f è continua, biunivoca e l’inversa f −1 : Y → X è continua. Un’applicazione biunivoca e continua è un omeomorfismo se e solo se è anche aperta oppure chiusa. Un’applicazione f : X → Y si dice un omeomorfismo locale, se ogni x possiede un aperto che viene mandato da f omeomorficamente su un aperto di Y .

75

Ogni omeomorfismo è un omeomorfismo locale, ma non vale il viceversa. Per esempio ogni applicazione tra spazi topologici dotati della topologia discreta è un omeomorfismo locale ma è un omeomorfismo se e solo se è una bigezione. Due spazi topologici X e Y si dicono omeomorfi, oppure topologicamente equivalenti se esiste un omeomorfismo f : X → Y . Scriveremo X ' Y per indicare che X e Y sono omeomorfi. E’ facile verificare che: • l’identità di uno spazio in se stesso è un omeomorfismo; • se f : X → Y è un omeomorfismo, anche f −1 : Y → X è un omeomorfismo: • se f : X → Y e g : Y → Z sono omeomorfismi, la composizione g ◦ f : X → Z è un omeomorfismo. Quindi l’equivalenza topologica è una relazione di equivalenza tra spazi topologici. Una proprietà che una volta posseduta da uno spazio X è anche posseduta da ogni spazio ad esso omeomorfo a X si dice propriet` a topologica. Ovviamente ogni proprietà che si definisce solo in termini di insiemi aperti o di funzioni continue è una proprietà topologica. Esempio 55 (funzioni costanti) Siano X e Y due spazi topologici e y0 ∈ Y . L’applicazione cy0 : X → Y, x 7→ y0 è continua. Infatti la controimmagine di un aperto di Y tramite cy0 è l’insieme vuoto o X stesso. Esempio 56 (dominio discreto) Ogni applicazione da uno spazio discreto X in uno spazio Y è continua. Esempio 57 (codominio banale) Ogni applicazione da uno spazio X in uno spazio Y con la topologia banale è continua. Esempio 58 (composizione di funzioni continue) Siano X, Y, Z spazi topologici e f : X → Y , g : Y → Z due applicazioni continue. Se f è continua in x ∈ X e g è continua in f (x) ∈ Y allora g ◦ f : X → Z è continua in x.

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Esempio 59 (funzioni con codominio Rn ) Sia X uno spazio topologico. Un’applicazione f : X → Rn è continua in x ∈ X se e solo se sono continue in x le sue componenti cioè le applicazioni fj : X → R, fj = pj ◦ f , dove pj : Rn → R denota la j-esima proiezione di Rn in R. Siccome la composizione di applicazioni continue è continua allora se f è continua in x0 lo saranno anche le fj . Viceversa supponiamo che tutte le fj siano continue in x0 e prendiamo Qr (f (x0 )) = {y ∈ Rn | |yi − fi (x)| < r, i = 1, . . . , n} l’n-cubo di centro f (x) e spigolo di lunghezza 2r. Dal momento che la famiglia di insiemi Qr (f (x0 )) al variare di r costituisce un base locale di Rn intorno a f (x0 ) è sufficiente mostrare (per la (iv) della Proposizione 21) che f −1 (Qr (f (x0 ))) è un aperto di X contenente x0 . Ma f −1 (Qr (f (x0 ))) = {x ∈ X| |fi (x) − fi (x0 )| < r, i = 1, . . . , n} = ∩ni=1 Ai , dove Ai = {x ∈ X| |fi (x) − fi (x0 )| < r} = fi−1 ((fi (x0 ) − r, fi (x0 ) + r)) Sicccome le f1 , . . . , fn sono continue, allora gli insiemi Ai sono aperti e quindi lo è la loro intersezione finita. Esempio 60 (le proiezioni sono aperte) Sia pi : Rn → R la proiezione i-esima, i = 1, . . . , n. E’ immediato verificare che pi (Qr (x)) = (xi − r, xi + r). è quindi pi è aperta (cfr. Esercizio 88) e continua (in quanto lineare). Se n ≥ 2 la proiezione pi , i = 1, . . . , n non è chiusa. Infatti, per ogni j 6= i, l’immagine del chiuso C = {xi xj − 1 = 0} tramite pi è data da pi (C) = R \ {0} che è aperto. Esempio 61 (le inclusioni lineari sono chiuse) Sia m ≤ n i : Rm → Rn , (x1 , . . . , xm ) 7→ (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0) l’inclusione naturale. Allora i è continua (in quanto lineare) e chiusa. Per dimostrarlo sia C ⊂ Rm un chiuso e sia xn = (yn , 0), yn ∈ C, una successione in

77

i(C) convergente a un punto x = (y, 0) ∈ Rn . Per dimostrare che i(C) è chiuso è sufficiente mostrare che x ∈ i(C), ossia y ∈ C (cfr. Corollario 4 del Capitolo 5) ma questo segue in quanto C è chiuso. Se m < n l’applicazione i non è aperta. Infatti Int(i(Rm )) = ∅ (giustificare).

6.2

Costruzione di funzioni continue

Sia f : X → Y un’applicazione continua tra spazi topologici e sia T un sottospazio di Y tale che f (X) ⊂ T . Ponendo g(x) = f (x), x ∈ X, resta definita un’applicazione g : X → T che è continua. Infatti un aperto di T è della forma T ∩V , V aperto in Y , e g −1 (T ∩V ) = f −1 (V ) che è aperto in quanto f è continua. L’applicazione g si chiama applicazione indotta da f . Un’applicazione f : X → Y si chiama embedding topologico se l’applicazione X → f (X) indotta da f è un omeomorfismo (dove f (X) è dotato della topologia indotta da quella di Y ). In particolare un omeomorfismo f : X → Y è un embedding topologico. Esempio 62 Sia X un insieme diverso dal vuoto e siano T1 e T2 due topologie su X. Supponiamo che T1 sia strettamente pi` u fine di T2 . Allora l’identità id : X → X, x 7→ id(x) = x è un embedding topologico pur non essendo un omeomorfismo. Esempio 63 L’inclusione i : S → X, s 7→ i(s) = s, di un sottospazio nel suo ambiente è un embedding topologico. Esempio 64 Sia f : (X, δ) → (Y, d) un applicazione tra spazi metrici tale che δ(x, x0 ) = d(f (x), f (x0 )), ∀x, x0 ∈ X. Allora f è un embedding topologico rispetto alle topologie Tδ e Td su X e Y rispettivamente (cfr. Esercizio 15 Capitolo 2).

78

Sia f : X → Y un’applicazione continua tra spazi topologici, S un sottospazio di X ed i : S → X l’inclusione. La composizione f ◦ i : S → Y è un’applicazione continua che si chiama restrizione di f a S e si denota con f|S . Se viceversa g : S → Y è un’applicazione continua, ogni applicazione continua f : X → Y tale che f|S = g si chiama estensione continua di g su X. Vogliamo ora far vedere che sotto opportune ipotesi due funzioni continue possono essere “incollate” insieme. Supponiamo che F sia un ricoprimento di uno spazio topologico X, cioe X = ∪F ∈F F e sia f : X → Y un’applicazione continua. Per ogni F ∈ F consideriamo la restrizione f|F : F → Y . Allora la famiglia di applicazioni continue {f|F : F → Y | F ∈ F} soddisfa le condizioni di compatibilit` a (f|F1 )|F1 ∩F2 = (f|F2 )|F1 ∩F2 , ∀F1 , F2 ∈ F, in quanto sia il primo che il secondo membro sono uguali alla restrizione di f a F1 ∩ F2 . Supponiamo viceversa di avere un ricoprimento F dello spazio X è una famiglia di applicazioni continue {fF : F → Y | F ∈ F} soddisfacenti le condizioni di compatibilità (fF1 )|F1 ∩F2 = (fF2 )|F1 ∩F2 , ∀F1 , F2 ∈ F.

(6.1)

Possiamo allora definire l’incollamento delle applicazioni {fF } come l’applicazione f : X → Y data da f (x) = fF (x), x ∈ F. (6.2) Si ha ovviamente f|F = fF , ∀F ∈ F. Ci piacerebbe che l’applicazione f : X → Y ottenuta incollando le funzione fF fosse continua. Ma in generale questo è falso. Per esempio l’applicazione

79

f : R → R definita da f (x) = 0 per x ∈ (−∞, 0] e f (x) = 1 per x ∈ (0, +∞) non è continua anche se è l’incollamento delle funzioni costanti (e quindi continue) f1 : (−∞, 0] → R, x 7→ 0 e f2 : (0, +∞) → R, x 7→ 1. In quest’esempio la famiglia di F è costituita dai due insiemi F1 = (−∞, 0] e F2 = (0, +∞) uno dei quali, (−∞, 0] non né aperto né chiuso. La proposizione che segue mostra che se la famiglia F è costituita solo da aperti o solo da un numero finito di chiusi allora la funzione ottenuta incolllando le fF è continua. Proposizione 22 Sia F un ricoprimento di uno spazio topologico X, {fF : F → Y | F ∈ F} una famiglia di applicazioni continue a valori in uno spazio topologico Y , soddisfacenti alle condizioni di compatibilit` a (6.1) e sia f : X → Y l’incollamento delle fF da (6.2). Supponiamo che una delle seguenti condizioni sia soddisfatta: (a) tutti gli F ∈ F sono aperti (ossia F è un ricoprimento aperto); (b) F è una famiglia finita di insiemi chiusi (ossia F è un ricoprimento chiuso finito). Allora f è continua. Dimostrazione: Supponiamo che valga la (a). Sia V un aperto di Y . Vogliamo mostrare che f −1 (V ) è aperto. Poichè F è un ricoprimento di X, si ha f −1 (V ) = f −1 (V ) ∩ (∪F ∈F F ) = ∪F ∈F (f −1 (V ) ∩ F ) = ∪F ∈F fF−1 (V ), dove l’ultima uguaglianza segue da (6.2). Siccome le applicazioni fF sono continue ∪F ∈F fF−1 (V ) è unione di insiemi aperti e quindi aperto. Se invece è soddisfatta la (b), e C è un insieme chiuso in Y allora le stesse considerazioni portano a f −1 (C) = ∪F ∈F fF−1 (C) che è unione finita di insiemi chiusi e quindi chiuso.

80

Osservazione 16 L’ipotesi (b) delle proposizione precedente non si può estendere ad un numero arbitrario di insiemi chiusi. Per esempio sia X = [0, 1] ⊂ R e 1 F0 = {0}, Fi = [ i+1 , 1i ], for i = 1, 2, . . . . Definiamo funzioni costanti f0 : {0} → 1 , 1i ] → R, x 7→ 1. L’incollamento di queste funzioni è la funR, x 7→ 0 e fi : [ i+1 zione f : [0, 1] → R tale che f (0) = 0 e f (x) = 1, x ∈ (0, 1] che ovviamente non è continua.

6.3

Continuit` a e continuit` a sequenziale

Un’applicazione f : X → Y è detta sequenzialmente continua in x se per ogni successione xn tale che limn→∞ xn = x si ha che limn→∞ f (xn ) = f (x). Un’applicazione f : X → Y è detta sequenzialmente continua se è sequenzialmente continua per ogni x ∈ X. Proposizione 23 Sia f : X → Y un’applicazione continua tra spazi topologici. Allora f è sequenzialmente continua. Dimostrazione: Sia xn una successione in X convergente ad un punto x ∈ X e sia V un aperto contenente f (x). Allora, per la continuità di f , esiste un aperto U contenente x tale che f (U ) ⊂ V . Per la convergenza di xn a x esiste n0 ∈ N+ tale che xn ∈ U per ogni n ≥ n0 . Questo implica che f (xn ) ∈ f (U ) ⊂ V per ogni n ≥ n0 e quindi la successione f (xn ) converge a f (x). In generale non vale il viceversa della proposizione precedente come mostra il seguente esempio. Esempio 65 (una funzione sequenzialmente continua ma non continua) Sia (R, Tcon ) (Tcon la topologia conumerabile) e f = idR : (R, Tcon ) → R, dove nel codominio si considera la topologia Euclidea. La funzione f non è continua ((0, 1) non è aperto in (R, Tcon )) pur essendo sequenzialmente continua. Infatti se xn è una successione convergente a x in (R, Tcon ) esiste n0 ∈ N+ tali che

81

xn = x per n ≥ n0 (cfr. Esempio 52) e quindi f (xn ) converge a f (x) (dato che f (xn ) = f (x) per n ≥ n0 ). Se lo spazio X è N1 vale la conversa della proposizione precedente. Proposizione 24 Sia X uno spazio topologico N1 . Una funzione f : X → Y sequenzialmente continua è continua. Dimostrazione: Sia x ∈ X. Dimostreremo che se f non è continua in x allora esiste una successione xn in X convergente a x tale che la sua immagine f (xn ) non è convergente a f (x). Se f non è continua allora esiste un aperto V di Y contenente f (x) per il quale non può esistere alcun aperto U contenente x tale che f (U ) ⊂ V . In particolare se Bx = {Bn | n ∈ N} è una base locale nidificata di x allora, per ogni n, esiste xn ∈ Bn tale che xn ∈ / f −1 (V ). Per il Lemma 1 del Capitolo 5 la condizione xn ∈ Bn , ∀n ∈ N, implica che xn converge a x. D’altra parte xn ∈ / f −1 (V ), ∀n ∈ N, implica che f (xn ) non converge a f (x) (infatti V è un aperto di Y contenente f (x) che non contiene nessun punto di f (xn )). Dato che ogni spazio metrico è N1 otteniamo il seguente: Corollario 5 Sia X uno spazio metrico. Una funzione f : X → Y è continua se e solo se è sequenzialmente continua.

6.4

Applicazioni continue e propriet` a di separazione

Le proprietà di separazione di uno spazio topologico X hanno delle implicazioni forti sulle funzioni continue a valori reali definite sullo spazio topologico X. Per esempio in uno spazio con la topologia banale le uniche funzioni continue a valori reali sono le costanti; oppure se per ogni coppia di punti distinti x e y esiste una funzione continua f : X → R tale che f (x) 6= f (y) allora X è di Hausdorff. Infatti gli insiemi r r r r −1 −1 U =f (f (x) − , f (x) + ) , V = f (f (y) − , f (y) + ) 2 2 2 2

82

dove r = |f (x) − f (y)| sono due aperti disgiunti contenenti x e y rispettivamente. In effetti vale anche un qualcosa di analogo per gli spazi normali, come espresso dal seguente teorema dovuto a Urysohn (la cui dimostrazione non fa parte di queste note). Teorema 16 (Lemma di Urysohn) Siano C0 e C1 due sottoinsiemi chiusi non vuoti e disgiunti di uno spazio normale X. Allora esiste un’applicazione continua f : X → [0, 1] tale che f (x) = 0, per x ∈ C0 , e f (x) = 1, per x ∈ C1 . Il Lemma di Urysohn è un tassello importante per fornire una soluzione al problema della metrizzazione discusso nel Capitolo 3 (Osservazione 7). Infatti questo lemma è un ingrediente fondamentale per dimostrare il seguente: Teorema 17 Uno spazio topologico normale e N2 è metrizzabile. Enunciamo per completezza anche il seguente: Teorema 18 (lemma di estensione di Tietze) Sia C un sottoinsieme chiuso di uno spazio normale X e sia f : C → R una funzione reale continua. Allora f possiede un’estensione continua f˜ : X → R.

6.5

Esercizi

Esercizio 83 Si dimostrino le implicazioni lasciate senza dimostrazione della Proposizione 21. Esercizio 84 Sia X uno spazio topologico e siano f, g : X → R applicazioni continue e α ∈ R. Dimostrare che ognuna delle seguenti applicazioni è continua: • αf : X → R, (αf )(x) = αf (x), x ∈ X; • |f | : X → R, |f |(x) = |f (x)|, x ∈ X; • f + g : X → R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ X;

83

• f g : X → R, (f g)(x) = f (x)g(x), x ∈ X. Esercizio 85 Sia X uno spazio topologico e siano f, g : X → Rn applicazioni continue e α ∈ R. Dimostrare che ognuna delle seguenti applicazioni è continua: • αf : X → Rn , (αf )(x) = αf (x), x ∈ X; • kf k : X → R, kf k(x) = |f (x)|, x ∈ X; • f + g : X → R, (f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ X. Esercizio 86 Sia X uno spazio topologico e f : X → R un’applicazione continua tale che f (x) 6= 0, ∀x ∈ X. Dimostrare che l’applicazione 1 1 1 : X → R, ( )(x) = , x∈X f f f (x) è continua. Esercizio 87 Sia X uno spazio topologico tale che per ogni sottoinsieme S ⊂ X si abbia Int(S) = ∅. Dimostrare che ogni applicazione f : Y → X da uno spazio topologico Y in X è continua. Esercizio 88 Sia B una base di uno spazio topologico X e sia Y uno spazio topologico. Dimostrare che un’applicazione f : X → Y è aperta se f (B) è un aperto di Y per ogni B ∈ B. Esercizio 89 Dimostrare che un’applicazione lineare iniettiva (risp. suriettiva) tra spazi vettoriali è chiusa (risp. aperta). Esercizio 90 Si dimostri che un’applicazione aperta e iniettiva f : X → Y tra due spazi topologici è chiusa. Esercizio 91 Consideriamo le topologie js e jd su R definite nell’Esempio 41 del Capitolo 3. Dimostrare che l’applicazione f : R → R, x 7→ −x definisce un omeomorfismo tra (R, jd ) e (R, js ).

84

Esercizio 92 Dimostrare che un omeomorfismo locale è un’applicazione aperta. Esercizio 93 Dimostrare che l’applicazione f : R → R, x 7→ x2 non è un omeomorfismo locale. Posto S = R\{0}. Verificare che f|S : S → R è un omeomorfismo locale. Esercizio 94 Dimostrare che un embedding topologico f : X → Y è un omeomorfismo locale se e solo se è un’applicazione aperta. Esercizio 95 Siano X e Y due spazi topologici, f : X → Y un omeomorfismo ed S un sottospazio di X. Dimostrare che la restrizione f|S : S → Y è un embedding topologico. ¯ Esercizio 96 Sia f : A ⊂ X → Y un’applicazione continua che si estende a A. Dimostrare che se Y è T2 allora l’estensione è unica. Esercizio 97 Siano f, g : X → Y due applicazioni continue, con Y di Hausdorff. Dimostrare che se esiste un sottoinsieme denso D ⊂ X tale che f (x) = g(x), ∀x ∈ D, allora f = g. Esercizio 98 Sia f : X → Y un omeomorfismo e sia S un sottoinsieme di X. Verificare che f trasforma Int(S), Est(S), Fr(S), S e D(S) in Int(f (S)), Est(f (S)), Fr(f (S)), f (S)e D(f (S)). Esercizio 99 Dimostrare che essere N1 (risp. N2 , N3 ) è una proprietà topologica. Esercizio 100 Dimostrare che le proprietà di separazione T1 , T2 , T3 , T4 sono proprietà topologiche. Esercizio 101 Sia X uno spazio topologico dove per ogni coppia di sottoinsiemi chiusi e disgiunti C1 e C2 esiste una funzione continua f : X → [0, 1] tale che f (C1 ) = 0 e f (C2 ) = 1. Dimostrare che X è T4 . (Si confronti questo esercizio con il Lemma di Urysohn, Teorema 16).

85

Esercizio 102 Dimostrare, la seguente generalizzazione del Lemma di Urysohn. Siano C0 e C1 due sottoinsiemi chiusi non vuoti e disgiunti di uno spazio normale X. Allora esiste un’applicazione continua f : X → [a, b] tale che f (x) = a per x ∈ C0 e f (x) = b per x ∈ C1 . Esercizio 103 Verificare che il Teorema 18 non è valido se C non è un sottoinsieme chiuso di X.

86

Capitolo 7 Omeomorfismi di Rn e variet` a topologiche 7.1

Affinit` a e isometrie di Rn

Il gruppo degli omeomorfismi di Rn , denotato con Omeo(Rn ), possiede due sottogruppi notevoli: il gruppo delle affinità Aff(Rn ) e il gruppo delle isometrie Isom(Rn ). Un’affinità f ∈ Aff(Rn ) è un’applicazione f : Rn → Rn della forma f (x) = Ax + b dove A ∈ GL(n, R) è una matrice quadrata invertibile, x = (x1 , . . . xn )T , b = (b1 , . . . , bn )T ∈ Rn sono vettori colonna. Un’affinità f è continua in quanto composizione di un’applicazione lineare A, con la traslazione di vettore b. Inoltre f è invertibile e la sua inversa f −1 è data da f −1 (y) = A−1 y − A−1 b che è continua. Quindi Aff(Rn ) ⊂ Omeo(Rn ). In effetti è facile vedere che Aff(Rn ) è un sottogruppo di Omeo(Rn ). Due sottoinsiemi A e B di Rn si diranno affinemente equivalenti se esiste f ∈ Aff(Rn ) tale che f (A) = B. Due importanti proprietà di Aff(Rn ) sono espresse dalla seguente: Proposizione 25 Sia f ∈ Aff(Rn ) un’affinit` a di Rn .

87

• f porta insiemi limitati di Rn in insiemi limitati di Rn ; • f porta punti allineati di Rn in punti allineati di Rn . Dimostrazione: lasciata per esercizio.

La proposizione precedente ci permette di trovare facilmente insiemi A e B che non siano affinemente equivalenti. Per esempio due sottoinsiemi uno limitato e l’altro illimitato di Rn non sono affinemente equivalenti; un cerchio C è un quadrato Q non sono affinemente equivalenti pur essendo entrambi limitati (vedremo nel prossimo paragrafo che esiste f ∈ Omeo(R2 ) tale che f (C) = Q). Un’ isometria f ∈ Isom(Rn ) è un’applicazione f : Rn → Rn che sia un’isometria rispetto alla metrica Euclidea (cfr. Paragrafo 2.4 del Capitolo 2) e cioè kf (x) − f (y)k = kx − yk, ∀x, y ∈ Rn , dove k · k denota la norma Euclidea. Si può dimostrare (vedi corso di Geometria 2) che il gruppo delle isometrie è costituito da tutte e sole le applicazioni affini della forma f (x) = Ax + b dove A ∈ O(n) è una matrice ortogonale cioè una matrice tale che AAt = In . Segue che le isometrie di Rn sono un sottogruppo delle affinità di Rn . Abbiamo quindi le inclusioni tra gruppi: Isom(Rn ) ⊂ Aff(Rn ) ⊂ Omeo(Rn ). Due sottoinsiemi A e B di Rn si diranno congruenti se esiste f ∈ Isom(Rn ) tale che f (A) = B. E’ facile trovare esempi di sottoinsiemi di Rn che sono affinemente equivalenti ma non congruenti. Per esempio due intervalli (0, 1) e (0, a) sono affinemente equivalenti (cfr. prossimo paragrafo) ma non congruenti, se a 6= 1. Sia W ⊂ Rn un sottospazio vettoriale di Rn di dimensione k ≤ n e sia b ∈ Rn . L’insieme W + b = {w + b | w ∈ W } ⊂ Rn è chiamato sottospazio affine di dimensione k di Rn . Osserviamo che W + b = W se e solo se b ∈ W .

88

7.2

Alcuni sottospazi di R e R2

Cominciamo a descrivere gli omeomorfismi tra gli intervalli di R. Dati [a, b], a < b e [c, d], c < d due intervalli chiusi sia a destra che a sinistra è immediato verificare che l’applicazione d−c (x − a) (7.1) f : R → R, x 7→ c + b−a è un’affinità di R (quest’applicazione è ottenuta considerando la retta nel piano che passa per i punti P0 (a, c), P1 (b, d)). Inoltre la restrizione di f all’intervallo [a, b] ha immagine in [c, d] e quindi definisce un omeomorfismo tra [a, b] e [c, d] (cfr. Esercizio 47). Osserviamo che f (a) = c e f (b) = d e quindi la restrizione di f ad [a, b) induce un omeomorfismo tra [a, b) e [c, d) e tra (a, b) e (c, d). L’affinità di R c−d (x − a) (7.2) g : R → R, x 7→ d + b−a (ottenuta considerando la retta nel piano che passa per i punti P0 (a, d), P1 (b, c)) è un omeomorfismo da R in R e la sua restrizione ad [a, b] definisce un omeomorfismo tra [a, b] e [c, d] tale che f (a) = d e f (b) = c. Quindi la restrizione di g ad [a, b) induce un omeomorfismo tra [a, b) e (c, d]. In definitiva abbiamo dimostrato che se a < b, c < d: [a, b] ' [c, d] ' [0, 1] (a, b) ' (c, d) ' (0, 1) [a, b) ' [c, d) ' (c, d] ' [0, 1) ' (0, 1]. Passiamo ora al caso di intervalli illimitati. Osserviamo preliminarmente che [a, +∞) è omeomorfo a [c, +∞]. Infatti la restrizione della (7.1) a [a, +∞) induce un omeomorfismo tra [a, +∞) e [c, +∞). Inoltre la restrizione della (7.2) a [a, +∞) induce un omeomorfismo tra [a, +∞) e (−∞, d]. Conseguentemente abbiamo i seguenti omeomorfismi: [a, +∞) ' [c, +∞) ' (−∞, d] ' [0, +∞) ' (−∞, 0].

89

Vediamo ora se qualche intervallo limitato può essere omeomorfo a qualche intervallo illimitato. Il nostro talismano (Esempio 28, Capitolo 3) ci fa pensare che non c’è nessuna motivazione perché non esista un tale omeomorfismo. Sicuramente un tale omeomorfismo non potrà essere un’applicazione affine (come le applicazioni (7.1) e (7.2)) in quanto le applicazioni di questa forma portano insiemi limitati in insiemi limitati (cfr. Paragrafo 7.1). Proviamo con le funzioni fratte che “mandano punti al finito in punti all’infinito”. Sia x . (7.3) h : [0, 1) → R, x 7→ 1−x Quest’applicazione è un embedding topologico da [0, 1) in R. Restringendo il codominio a [0, +∞) otteniamo un omeomorfismo [0, 1) ' [0, +∞) la cui inversa è x h−1 : [0, +∞) → [0, 1) : x 7→ . x+1 Inoltre la restrizione di h all’intervallo aperto (0, 1) definisce un omeomorfismo (0, 1) ' (0, +∞). Infine osserviamo che (− π2 , π2 ) è omeomorfo a R tramite l’applicazione tan : (− π2 , π2 ) → R, x 7→ tan(x). Riassumendo abbiamo mostrato che: • due intervalli aperti limitati o no (compreso R) sono omeomorfi e possiamo quindi scegliere come rappresentante della classe di equivalenza topologica l’intervallo (0, 1); • due intervalli chiusi e limitati sono omeomorfi (in effetti affinemente equivalenti) e possiamo quindi scegliere come rappresentante della classe di equivalenza topologica l’intervallo [0, 1]; • due intervalli aperti da una parte e chiusi dall’altra, limitati o illimitati, sono omeomorfi e possiamo quindi scegliere come rappresentante della classe di equivalenza topologica l’intervallo [0, 1). Quindi la cardinalità delle classi di equivalenza topologica di intervalli di R è minore o uguale a 3. In effetti la cardinalità è proprio 3 in quanto valgono i seguenti fatti (vedi Corollario 6 del Capitolo 9):

90

• gli intervalli [0, 1] e (0, 1) non sono omeomorfi; • gli intervalli [0, 1] e [0, 1) non sono omeomorfi; • gli intervalli (0, 1) e [0, 1) non sono omeomorfi. Osservazione 17 Osserviamo che però valgono i seguenti fatti: • non esiste f ∈ Omeo(R) che induce un omeomorfismo tra [0, 1] e (0, 1) ; • non esiste f ∈ Omeo(R) che induce un omeomorfismo tra [0, 1] e [0, 1); • non esiste f ∈ Omeo(R) che induce un omeomorfismo tra (0, 1) e [0, 1). Passiamo ora a descrivere i sottoinsiemi di R2 costruiti a partire da intervalli. Siano P1 , P2 , . . . , Pm di R2 (m ≥ 2) con Pi 6= Pi+1 , 1 ≤ i ≤ m − 1. Si chiama poligonale Pol = Pol(P1 , . . . Pm ) (di vertici P1 , . . . Pm ) l’unione degli m − 1 segmenti chiusi P1 P2 , P2 P3 , . . . Pm−1 Pm . Pol è detta poligonale chiusa se Pm = P1 (osserviamo che una poligonale è un sottoinsieme chiuso di R2 ). Diremo che Pol è un poligonale semplice se i suoi segmenti non consecutivi sono a due a due disgiunti e se due segmenti consecutivi si intersecano solo nell’estremo comune. Si può dimostrare che ogni poligonale semplice e chiusa è omeomorfa a S 1 (il cerchio unitario) e che una poligonale semplice ma non chiusa è omeomorfa a [0, 1]. Negli Esercizi 107 e 108 viene richiesto di dimostrare questo in due casi particolari. La dimostrazione generale si può ottenere adattando le dimostrazioni di questi due esercizi al caso generale. Infine mostriamo che i quadrati e i dischi di R2 sono omeomorfi. In vista degli Esercizi 115 e 116 possiamo limitarci a dimostrare che Q1 (0) = {(x, y) ∈ R2 | |x| < 1, |y| < 1} (cioè il quadrato aperto di centro l’origine e raggio 1) è omeomorfo a B1 (0) = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1} (cioè il disco aperto di centro l’origine e raggio 1). In effetti costruiremo un omeomorfismo f ∈ Omeo(R2 ) tale che f (B1 (0)) = Q1 (0) (e quindi f (S 1 ) = Fr(Q1 (0))). Cominciamo a definire l’applicazione ϕ : R2 \ {0} → Fr(Q1 (0))

91

come ϕ(z) = Fr(Q1 (0)) ∩ rz dove rz è la semiretta di origine O = (0, 0) passante per il punto z. Mostriamo che ϕ è continua. Le due rette y − x = 0 e x + y = 0 suddividono R2 in quattro regioni chiuse: C1 = {(x, y) ∈ R2 | |y| ≤ x}, C2 = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ y}, C3 = {(x, y) ∈ R2 | |y| ≤ −x}, C4 = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ −y}. Si verifica facilmente che le restrizioni di ϕ a C1 \ {0}, C2 \ {0}, C3 \ {0} e C4 \ {0} sono date rispettivamente da y ϕ1 : C1 \ {0} → Fr(Q1 (0)), (x, y) 7→ (1, ), x x ϕ2 : C2 \ {0} → Fr(Q1 (0)), (x, y) 7→ ( , 1), y y ϕ3 : C3 \ {0} → Fr(Q1 (0)), (x, y) 7→ (−1, − ), x x ϕ4 : C4 \ {0} → Fr(Q1 (0)), (x, y) 7→ (− , 1), y che sono tutte applicazioni continue. Dal momento che C1 \{0}, C2 \{0}, C3 \{0} e C4 \ {0} è un ricoprimento chiuso e finito di R2 \ {0}, segue dalla Proposizione 22 che ϕ è continua. Sia ora f : R2 → R2 l’applicazione definita da: f (0) = 0, f (z) = kϕ(z)k z. Mostriamo che f è un omeomorfismo. La continuità di f nei punti di R2 \ {0} discende dal fatto che la norma k · k : R2 → R è continua e f è il prodotto di funzioni continue. Per dimostrare che f è continua nell’origine verifichiamo che per ogni > 0 e posto δ = √2 , f (Bδ (0)) ⊂ B (0). Sia infatti z ∈ Bδ (0), z 6= 0, √ allora, dal momento che kϕ(z)k ≤ 2, kf (z)k = kϕ(z)kkzk ≤

√

2kzk < .

Per verificare che f è una bigezione definiamo g : R2 → R2 , g(0) = 0, g(w) =

92

1 w, w ∈ R2 \ {0}. kϕ(w)k

L’applicazione g è continua. Infatti g nei punti di R2 \ {0} è prodotto di funzioni continue e inoltre per ogni > 0 si ha g(B (0)) ⊂ B (0). Quindi per concludere che f ∈ Omeo(R2 ) basta far vedere che g è l’inversa di f . Infatti per ogni z ∈ R2 \ {0} si ha g(f (z)) = g(kϕ(z)kz) = f (g(w)) = f (

kϕ(z)kz kϕ(z)kz = =z kϕ(kϕ(z)kz)k kϕ(z)k

w w w w ) = kϕ( )k = kϕ(w)k = w, kϕ(w)k kϕ(w)k kϕ(w)k kϕ(w)k

dove stiamo usando il fatto che per ogni t > 0 e z ∈ R2 \ {0} ϕ(tz) = ϕ(z). Infine, resta da verificare che f (B1 (0)) = Q1 (0) ossia che f (B1 (0)) ⊂ Q1 (0) e g(Q1 (0)) ⊂ B1 (0). La verifica è lasciata al lettore.

7.3

Sottoinsiemi convessi di Rn

Un sottoinsieme K ⊂ Rn è detto convesso se per ogni coppia di punti P e Q in K il segmento che li congiunge P Q = {(1 − t)P + tQ| t ∈ I} è interamente contenunto in K. Un solido convesso è un sottoinsieme convesso il cui interno è non vuoto. Gli esempi pi` u semplici di solidi convessi sono Dn e Rn , mentre un retta di Rn è convessa ma non è un solido convesso. Notiamo che la convessità può essere definita solo per sottoinsiemi di Rn e non è una proprietà topologica. Per esempio il grafico di y = x2 , x ∈ (0, 1) in R2 (che non è convesso) è omeomorfo a (0, 1) (che è convesso). Si verifica immediatamente che l’intersezione arbitraria di una famiglia di convessi di Rn e ancora un insieme convesso (se si considera l’insieme vuoto come convesso). Infatti, sia {Aj }j∈J , una famiglia di sottoinsiemi convessi di Rn con intersezione K = ∩j Aj diversa dal vuoto e siano P e Q due punti in K. Allora, siccome Aj è convesso e contiene sia P che Q, contiene anche P Q. Quindi il segmento che unisce P e Q appartiene a tutti gli Aj , e dunque alla loro intersezione K. Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di P e Q in K, segue che K è un insieme convesso.

93

Sia S ⊂ Rn un qualunque sottoinsieme. L’inviluppo convesso K(S) di S è l’intersezione di tutti gli insiemi convessi contenenti S. Quindi K(S) è il pi` u piccolo sottoinsieme convesso che contiene S. Per esempio l’inviluppo convesso di S 1 = Fr(B1 (0)) è B1 (0). Nel Capitolo 10 dimostreremo il Teorema 34 che asserisce che un solido convesso K ⊂ Rn (cioè convesso con interno non vuoto) chiuso e limitato di Rn è omeomorfo a Dn = B1 (0) tramite un omeomorfismo che invia la frontiera di K nella frontiera di Dn cioè S n−1 (cfr. con i risultati del paragrafo precedente).

7.4

Variet` a topologiche

Prima di definire il concetto di varietà topologica abbiamo bisogno di una definizione che dia l’idea intuitiva di cosa significa che uno spazio topologico “assomigli localmente” allo spazio Euclideo. Diremo che uno spazio topologico X è localmente Euclideo di dimensione n se per ogni punto x ∈ X esiste un aperto contenente x omeomorfo ad un insieme aperto di Rn . In effetti possiamo anche essere pi` u n specifici su quali insiemi aperti di R considerare. Infatti vale il seguente: Lemma 2 Uno spazio topologico X è localmente Euclideo di dimensione n se e solo se una delle seguenti proprietà è verificata: (a) per ogni punto x ∈ X esiste un aperto contenente x omeomorfo ad una n-palla aperta di Rn ; (b) per ogni punto x ∈ X esiste un aperto contenente x omeomorfo a Rn . Dimostrazione: Ovviamente uno spazio che soddisfa (a) oppure (b) è localmente Euclideo di dimensione n. Viceversa, supponiamo che X sia localmente Euclideo di dimensione n. Dal momento che una palla aperta in Rn è omeomorfa a Rn (Esercizio 114), le proprietà (a) e (b) sono equivalenti, quindi possiamo limitarci a dimostrare la (a). Dato un qualunque punto x ∈ X, sia U un aperto contenente x che ammette un omeomorfismo ϕ : U → V , dove V è un sottoinsieme aperto di Rn . Il fatto che V sia aperto significa che esiste una qualche

94

palla aperta Br (ϕ(x)) intorno a ϕ(x) contenuta in V , e allora ϕ−1 (Br (ϕ(x)) è un aperto contenente x omeomorfo alla palla aperta Br (ϕ(x)). Se X è localmente Euclideo di dimensione n, un omeomorfismo da un insieme aperto U ⊂ X ad un sottoinsieme aperto di Rn è chiamato carta coordinata (o semplicemente carta). Chiameremo ogni aperto di X che è omeomorfo ad una palla aperta di Rn una palla Euclidea di X. Quindi il lemma precedente asserisce che in uno spazio localmente Euclideo ogni punto è contenuto in una palla Euclidea di X. Osservazione 18 La definizione di spazio localmente Euclideo ha senso anche quando n = 0. Siccome R0 è per convenzione un singolo punto, il lemma precedente implica che uno spazio topologico X è localmente Euclideo di dimensione 0 se e solo se ogni punto ha un intorno omeomorfo ad uno spazio con un solo punto, o in altre parole se e solo se lo spazio X ha la topologia discreta. Possiamo ora definire il concetto di varietà topologica. Una variet` a topologica di dimensione n (o n-varietà) è uno spazio topologico M che soddisfa le tre condizioni seguenti: (i) M è localmente Euclideo; (ii) M è di Hausdorff; (iii) M soddisfa il secondo assioma di numerabilità. Osservazione 19 Nessuna delle tre condizioni precedenti è ridondante. Esistono per esempio spazi topologici localmente Euclidei e di Hausdorff che non soddisfano il secondo assioma di numerablilità (si consideri, per esempio, l’unione non numerabile di varietà topologiche con la topologia definita nell’Esempio 24 del Capitolo 3), spazi topologici di Hausdorff e N2 che non sono localmente Euclidei (cfr. Corollario 7 del Capitolo 9) e spazi topologici localmente Euclidei e N2 che non sono di Hausdorff (cfr. Esercizio 164 del Capitolo 11).

95

Le varietà di dimensione uno si chiamano curve topologiche e quelle di dimensione due superficie topologiche. Una loro classificazione topologica richiede metodi pi` u avanzati di quelli sviluppati in queste note. Esempio 66 (lo spazio Euclideo) Rn è l’esempio pi` u semplice di varietà topologica di dimensione n. Infatti è N2 , T2 e l’applicazione identità id : Rn → Rn è una carta (globale) di ogni punto di Rn . Esempio 67 (aperti di una varietà) Qualunque insieme aperto A di una varietà topologica X di dimensione n è ancora una varietà topologica di dimensione n (con la topologia indotta). Infatti per ogni x ∈ A esiste un aperto in U ⊂ X omeomorfo ad un insieme aperto V di Rn e l’intersezione A ∩ U è un aperto che è ancora omeomorfo ad un aperto di Rn . Quindi A è localmente Euclideo di dimensione n. Le proprietà T2 e N2 seguono dal fatto che un sottospazio di uno spazio T2 (risp. N2 ) è T2 (risp. N2 ). Esempio 68 (grafici) Sia U ⊂ Rn un sottonsieme aperto di Rn e f : U → Rk un’applicazione continua. Vogliamo dimostrare che il grafico di f , cioè Γ(f ) = {(x, y) = (x1 , . . . xn , y1 , . . . yk ) ∈ Rn+k | x ∈ U, y = f (x)} è una varietà topologica di dimensione n (globalmente) omeomorfa a U . Per costruire un omeomorfismo esplicito tra U e Γ(f ) consideriamo l’applicazione Φf : U → Γ(f ), x 7→ (x, f (x)). Quest’applicazione è continua perché lo è f . La sua inversa è la restrizione Γ(f ) della proiezione π(x, y) = x che è continua perché la restrizione di un’applicazione continua. Segue che Φf : U → Rn+k è un embedding topologico e Φf (U ) ' U ' Γ(f ). Esempio 69 (la sfera) La sfera di centro l’origine e raggio 1 di Rn , n ≥ 1 ha equazione cartesiana S n−1 = {x ∈ Rn | kxk = 1}.

96

Con la topologia indotta da quella di Rn , S n−1 è una varietà topologica di dimensione n − 1. Per dimostrare questo osserviamo che S n−1 è N2 e T2 (perché sottospazio di Rn ). Quindi per dimostrare che S n−1 è una varietà topologica è sufficiente dimostrare che è localmente Euclidea. Nel caso n = 1, S 0 = {−1, +1} che è una varietà topologica di dimensione 0 (con la topologia discreta). Per n ≥ 1 mostreremo che ogni punto di S n−1 ha un intorno che è il grafico di una funzione continua e dall’Esempio 68 seguirà che la sfera è localmente Euclidea. Per ogni i = 1, 2, . . . , n, sia Ui+ il sottoinsieme di Rn dove xi > 0 e Ui− il sottoinsieme di Rn dove xi < 0. Se x è un punto in S n−1 , qualche sua coordinata xi dovrà ± essere diversa da zero e quindi gli insiemi U1± , . . . Un−1 sono un ricorpimento di ± n−1 n−1 S . Osserviamo che se x ∈ S ∩ Ui possiamo ricavare xi usando l’equazione kxk = 1. Infatti q xi = ± 1 − x21 − · · · − x2i−1 − x2i+1 − · · · − x2n . In altre parole la porzione di S n−1 in Ui± è il grafico di una funzione continua da un aperto di Rn−1 (omeomorfo a B1 (0)) a R e quindi S n−1 ∩ Ui± ' B1 (0). Qundi S n−1 è una varietà topologica di dimensione n − 1 che può essere ricoperta da 2n-carte. Un altro modo per mostrare che la sfera è localmente Euclidea, usando il minor numero possibile di carte, è quello delle proiezioni. Cominciamo a descrivere la proiezione da un punto su un iperpiano. Siano H e P0 rispettivamente un iperpiano e un punto di Rn tali che P0 ∈ / H. Sia H0 l’unico iperpiano per P0 n parallelo a H. Per ogni punto P ∈ R \ H0 , sia r la retta per i punti P0 e P e sia Q = r ∩ H. L’applicazione π : Rn \ H0 → H tale che π(P ) = Q si chiama la proiezione sull’iperpiano H dal punto P0 . Verifichiamo che π è continua. Per semplificarci i calcoli assumiamo che che P0 = (0, 0, . . . , d), d > 0 e H sia l’iperpiano xn = 0. L’iperpiano H0 passante per P0 e parallelo a H ha equazione xn = d. Sia P = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn \ H0 e sia r la retta per P0 e P che ha equazioni parametriche {x1 = ty1 , . . . , xn−1 = tyn−1 , xn = d + t(yn − d)}. Il punto π(P ) è ottenuto intersecando r con H, cioè ponendo xn = 0. Quindi

97

t=

d d−yn

e

dy1 dyn−1 ,..., , 0). (7.4) d − yn d − yn Le componenti di π sono quozienti di applicazioni continue e pertanto π è continua. π(P ) = (

Sia ora N = (0, . . . , 0, 1) il “polo nord ” della (n − 1)-sfera unitaria S n−1 di Rn . Proiettando dal punto N all’iperpiano H = {xn = 0} si ottiene l’applicazione πN : S n−1 \ {N } → H ' Rn−1 , chiamata proiezione stereografica dal polo nord. L’espressione analitica di πN si ottiene usando la (7.4) con d = 1: xn−1 x1 ,..., , 0), P = (x1 , . . . , xn−1 , xn ) ∈ S n−1 . πN (P ) = ( 1 − xn 1 − xn In effetti la proiezione stereografica dal polo nord è invertibile. Per calcolare la sua inversa sia y = (y1 , . . . , yn−1 , 0) ∈ H e sia r la retta per N e per y. Questa retta ha equazioni parametriche {x1 = ty1 , x2 = ty2 , . . . , xn−1 = tyn−1 , xn = 1 − t} e interseca la sfera S n−1 in N è in un ulteriore punto z che corrisponde alla radice non nulla dell’equazione (ty1 )2 + · · · (tyn−1 )2 + (1 − t)2 = 1. Risolvendo 2 l’equazione si ottiene t2 (1 + kyk2 ) = 2t, da cui t = 1+kyk o quindi definire 2 e si pu` un’applicazione continua f : H → S n−1 \ {N }, y 7→ z = (

2y1 2yn−1 kyk2 − 1 , . . . , , ). 1 + kyk2 1 + kyk2 1 + kyk2

Dalla costruzione geometrica risulta che f è l’inversa di πN (il lettore è invitato a verificare analiticamente che πN ◦ f = idH e f ◦ πN = idS n−1 ). Lo stesso ragionamento si può eseguire considerando il polo sud S = (0.0, . . . 0, −1). Con considerazioni del tutto analoghe si ottiene che πS : S n−1 → H si scrive come xn−1 x1 πS (P ) = ( ,..., , 0), P = (x1 , . . . , xn−1 , xn ) ∈ S n−1 . 1 + xn 1 + xn che è continua, la cui inversa è g : H → S n−1 \ {N }, y 7→ z = (

2y1 2yn−1 1 − kyk2 , . . . , , ). 1 + kyk2 1 + kyk2 1 + kyk2

98

Segue che πN e πS sono due carte che ricoprono S n−1 e quindi S n−1 è una varieta topologica. La domanda naturale e se sia possibile trovare una sola carta sulla sfera o, equivalentemente se la sfera S n sia omeomorfa a Rn . La risposta è no (cfr. Esempi 83 e 83 del Capitolo 10). Esempio 70 (la ciambella) Consideriamo la superficie di rotazione Ciamb (Ciamb sta per “ciambella”) ottenuta facendo ruotare il cerchio (y − R)2 + z 2 = r2 di centro (R, 0), R > r del piano yz intorno all’asse z. L’equazione cartesiana di tale superficie è data da p (7.5) ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 = r2 . Vogliamo mostrare che Ciamb è una varietà topologica di dimensione 2, cioè una superficie topologica. L’applicazione F : R2 → Ciamb definita da F (u, v) = ((R + r cos 2πu) cos 2πv, (R + r cos 2πu) sin 2πv, r sin 2πu))

(7.6)

è un’applicazione continua dal piano a Ciamb. L’applicazione F non è iniettiva in quanto F (u + m, v + n) = F (u, v) per ogni coppia di interi (m, n). Però esiste un aperto U0 di (u0 , v0 ) tale che la restrizione di F a U0 , F : U0 → F (U0 ), è invertibile con inversa continua (i dettagli sono lasciati come esercizio al lettore). Quindi Ciamb è una superficie topologica (le proprietà T2 e N2 sono immediate in quanto Ciamb ⊂ R3 ). Concludiamo questo capitolo con quattro importanti risultati (la cui dimostrazione non fa parte di queste note). Teorema 19 Se n 6= m allora Rm non è omeomorfo a Rn . Conseguentemente una varietà topologica non può essere contemporaneamente di dimensione m e n se m 6= n (cfr. Corollario 9 per il caso m = 1 e n ≥ 2). Teorema 20 Ogni varietà topologica è uno spazio topologico normale e quindi (per il Teorema 17 del Capitolo 6) metrizzabile.

99

Teorema 21 La palla chiusa n-dimensionale Dn = B1 (0) non è una variet` a topologica. Teorema 22 La sfera S 2 e Ciamb sono due superfici topologiche non omeomorfe.

7.5

Esercizi

Esercizio 104 Costruire un omeomorfismo esplicito tra (0, 1) e R. Esercizio 105 Descrivere le classi di congruenza degli intervalli di R. Esercizio 106 Siano I e J due intervalli di R, I limitato e J illimitato. Dimostrare che non esiste f ∈ Omeo(R) tale che f (I) = J (cfr. l’omeomorfismo (7.3)). Esercizio 107 Determinare un omeomorfismo tra la circonferenza e la poligonale chiusa (il triangolo) Pol = Pol(P1 , P2 , P3 , P1 ), con P1 (0, 0), P2 (1, 0), P3 (0, 1). (Suggerimento: suddividere la circonferenza S 1 in tre insiemi S1 = {(x, y) ∈ S 1 | y ≤ 0}, S2 = {(x, y) ∈ S 1 | x ≤ 0, y ≥ 0} e S3 = {(x, y) ∈ S 1 | x ≥ 0, y ≥ 0}. Definire poi i tre omeomorfismi h1 : S1 → P1 P2 : (x, y) 7→ (

x+1 , 0), 2

h2 : S2 → P1 P3 : (x, y) 7→ (0, y), h3 : S3 → P3 P2 : (x, y) 7→ (x, −x + 1), e usare il lemma di incollamento per dimostrare che si incollano ad un omeommorfismo h : S 1 → Pol). Esercizio 108 Siano P1 (−a, 0), P2 (0, c), P3 (b.0) tre punti di R2 con a, b, c > 0. Determinare un omeomorfismo di R2 che trasformi il segmento P1 P3 nella poligonale Pol(P1 , P2 , P3 ). (Suggerimento: si ragioni in modo simile all’eserczio precedente suddividendo la poligonale in due parti P1 P2 e P2 P3 , definendo gli omeomorfismi f1 : P1 0 → P1 P2 : (x, y) → (x, y + ac x + c) e f2 : 0P3 → P2 P3 : (x, y) → (x, y − cb x+c) e dimostrando che f1 e f2 si incollano ad un omeomorfismo f : P1 P2 → Pol(P1 , P2 , P3 )).

100

Esercizio 109 Sia n ≥ 1 un intero. Si identifichi l’insieme Mn (R) delle matrici 2 quadrate n×n a elementi reali allo spazio Euclideo Rn , associando a ogni matrice 2 A = (aij ) il punto (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n . . . , an1 , . . . , ann ) ∈ Rn . Dimostrare che l’applicazione determinante det : Mn (R) → R, A 7→ det A è continua. Esercizio 110 Dimostrare la Proposizione 25. Esercizio 111 Si dimostri che un sottospazio affine A di dimensione k in Rn , k ≤ n è omeomorfo a Rk . Si dimostri inoltre che A è convesso ma non è un solido convesso. Esercizio 112 Il sottoinsieme ∆n = {x ∈ Rn | x1 + · · · + xn ≤ 1, xi ≥ 0, i = 1, . . . , n} di Rn è chiamato l’n simplesso. Dimostrare che l’n simplesso ∆n è l’inviluppo convesso dell’insieme finito {0, e1 , . . . en } di Rn , dove 0 è l’origine di Rn e e1 , . . . en sono i vettori della base canonica di Rn . Dimostrare inoltre che ∆n è un solido convesso. Esercizio 113 Determinare un chiuso di R2 il cui inviluppo convesso non è chiuso. Esercizio 114 Si dimostri che l’applicazione f : B1 (0) → Rn , x 7→

x 1 − kxk

definisce un omeomorfismo tra B1 (0) e Rn . Dedurre che Br (x) ' Rn . Esercizio 115 Siamo r, s > 0 e x, y ∈ Rn . Dimostrare che Qr (x) e Qs (y) sono varietà topologiche omeomorfe. Esercizio 116 Siamo r, s > 0 e x, y ∈ Rn . Dimostrare che Br (x) e Bs (y) sono varietà topologiche omeomorfe.

101

Esercizio 117 Sia S+n−1 = {x ∈ S n−1 | xn ≥ 0} la (n − 1)-calotta superiore chiusa di S n−1 . Dimostrare, usando il Teorema 21, che S+n non è una varietà topologica. Dimostrare inoltre che S+n è omeomorfa alla (n − 1)-calotta inferiore chiusa S−n−1 = {x ∈ S n−1 | xn ≤ 0}. Esercizio 118 Dimostrare le asserzioni fatte alla fine dell’Esempio 70. Esercizio 119 Dimostrare che le coniche (risp. quadriche) non degeneri del piano (risp. spazio) Euclideo sono curve (risp. superfici) topologiche.

102

Capitolo 8 Prodotti In questo capitolo costruiremo una nuova topologia a partire da spazi toplogici noti: la topologia prodotto definita sul prodotto cartesiano di spazi topologici.

8.1

La topologia prodotto

Siano X1 , . . . , Xn spazi topologici. Definiamo la seguente famiglia di sottoinsiemi del prodotto cartesiano X1 × · · · × Xn B = {U1 × · · · × Un | Ui è aperto in Xi , i = 1, . . . n}. La famiglia B soddisfa le condizioni della Proposizione 11 del Capitolo 4. Infatti l’insieme X1 × · · · × Xn appartiene a B (in quanto Xi è aperto in Xi ) e quindi, in particolare B è un ricoprimento di X1 × · · · × Xn . Inoltre se B1 = U11 × · · · × Un1 e B2 = U12 × · · · × Un2 appartengono a B la loro intersezione B1 ∩ B2 = (U11 ∩ U12 ) × · · · × (Un1 ∩ Un2 ) appartiene a B (e quindi è ovviamente unione di elementi di B). La topologia che ha B come base è chiamata la topologia prodotto. Quindi un aperto della topologia prodotto è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X1 × · · · × Xn che si può scrivere come unioni degli elementi di B. Per esempio nel piano R2 = R × R, la topologia prodotto è generata dagli insiemi della forma I ×J, dove I e J sono insiemi aperti di R. Un tipico insieme aperto è un rettangolo aperto. Ma ovviamente esistono anche insiemi aperti che non sono rettangoli!

103

Proposizione 26 La topologia prodotto su Rn = R × · · · × R coincide con la topologia Euclidea. Dimostrazione: Consideriamo la famiglia C = {J1 × · · · × Jn | Ji = (ai , bi ), i = 1, . . . n}. Gli elementi di C sono aperti della topologia prodotto di Rn e ogni aperto della topologia prodotto di Rn è unione di elementi di C. Segue che C è una base per la topologia prodotto di Rn . D’altra parte C è anche una base per la topologia Euclidea di Rn (giustificare) e quindi, per la Proposizione 10 del Capitolo 4, le due topologie (quella prodotto e quella Euclidea) coincidono. Osservazione 20 La topologia prodotto può essere anche definita per prodotti infiniti con una definizione leggermente pi` u complicata. In queste note saremo interessati solo ai prodotti finiti. Nei capitoli precedenti abbiamo osservato che ciascuna prioiezione πi : Rn → R : (x1 , . . . xn ) 7→ xi , i = 1, . . . , n è continua (in quanto lineare) a aperta (cfr. Esempio 60). Questi fatti si generalizzano alla topologia prodotto: Proposizione 27 Siano X1 , . . . Xn spazi topologici, sia X1 × · · · × Xn lo spazio prodotto (cioè lo spazio topologico con la topologia prodotto). Allora le proiezioni πi : X1 × · · · × Xn → Xi , (x1 , . . . , xn ) 7→ xi , i = 1, . . . , n sono continue e aperte. Dimostrazione: Sia U un aperto di Xi . Allora πi−1 (U ) = X1 × · · · Xi−1 × U × Xi+1 × · · · × Xn

104

che (per la definizione della topologia prodotto) è un sottoinsieme aperto di X1 × · · · × Xn . Questo mostra che πi è continua. Sia ora U1 × · · · × Un un aperto di base per la topologia prodotto (cioè Ui ⊂ Xi è aperto in Xi per ogni i = 1, . . . , n). Per mostrare che ciascuna πi è aperta è suffciente mostrare (cfr. Esercizio 88 del Capitolo 6) che πi (U1 × · · · × Un ) è aperto in Xi . Ma questo è chiaro in quanto πi (U1 × · · · × Un ) = Ui il quale è un aperto di Xi . Sia T una topologia qualunque sul prodotto cartesiano X = X1 × · · · × Xn . Diremo che T soddisfa la proprietà universale del prodotto se per qualunque spazio topologico Y un’applicazione f : Y → X1 × · · · × Xn è continua se e solo se ognuna delle sue funzioni componenti fi = πi ◦ f : Y → Xi è continua. La seguente proposizione asserisce che la topologia prodotto soddisfa la proprietà universale del prodotto e generalizza quello che abbiamo visto nell’Esempio 59 del Capitolo 6 riguardo alle applicazioni da uno spazio topologico in Rn . Teorema 23 (proprietà universale della topologia prodotto) Siano X1 , . . . Xn spazi topologici. Allora la topologia prodotto su X1 × · · · × Xn soddisfa la propriet` a universale del prodotto. Dimostrazione: Sia Y uno spazio topologico qualunque e f : Y → X1 × · · · × Xn , y 7→ (f1 (y), . . . , fn (y)) un’applicazione. Se f è continua allora, per la Proposizione 27, fi = πi ◦ f : Y → Xi è continua in quanto composizione di funzioni continue. Viceversa supponiamo che ciascuna delle fi sia continua e mostriamo che f è continua in ogni punto y ∈ Y . Fissiamo y ∈ Y . Sia A un aperto di X1 × · · · × Xn che contiene x = (x1 , . . . xn ) = f (y) = (f1 (y), . . . , fn (y)).

105

Sia U1 × · · · × Un ⊂ A un aperto di base per la topologia prodotto (cioè Ui ⊂ Xi è aperto in Xi ) tale che xi ∈ Ui per ogni i = 1, . . . , n. Siccome ogni fi è continua in y e fi (y) = xi esiste un sottoinsieme aperto Vi ⊂ Y tale fi (Vi ) ⊂ Ui per i = 1, . . . , n. Allora l’aperto V = V1 ∩ · · · ∩ Vn di Y è tale che f (V ) ⊂ f1 (V ) × · · · × fn (V ) ⊂ U1 × · · · × Un ⊂ A e quindi f è continua in y.

La proposizione seguente mostra che la topologia prodotto è univocamente determinata dalla proprietà universale del prodotto. Teorema 24 (unicità della topologia prodotto) Siano X1 , . . . Xn spazi topologici. La topologia prodotto su X1 ×· · ·×Xn è l’unica topologia che soddisfa la propriet` a universale del prodotto. Dimostrazione: Sia T una topologia qualunque sul prodotto cartesiano X = X1 × · · · × Xn che soddisfa la proprietà universale del prodotto e indichiamo con Tprod la topologia prodotto su X. Siccome T soddisfa la proprietà universale del prodotto prendendo f = idX : Y = (X, T ) → (X, T ) l’identità di X (che è continua) si deduce che le proiezioni πi ◦ idX = πi : (X, T ) → Xi sono continue. Quindi, usando il fatto che Tprod soddisfa la proprietà universale del prodotto (Teorema 23) segue che f = idX : Y = (X, T ) → (X, Tprod ) è continua e quindi Tprod è meno fine di T . Infine usando ancora il fatto che T soddisfa la proprietà universale del prodotto e che le proiezioni πi : (X, Tprod ) → Xi sono continue (Proposizione 27) segue che f = idX : Y = (X, Tprod ) → (X, T ) è continua e quindi T è meno fine di Tprod . Conseguentemente T = Tprod .

106

Proposizione 28 (altre proprietà della topologia prodotto) Siano X1 , . . . , Xn spazi topologici. (a) La topologia prodotto è “associativa” nel senso che le tre topologie prodotto X1 × X2 × X3 , (X1 × X2 ) × X3 = X1 × (X2 × X3 ) nell’insieme X1 × X2 × X3 coincidono. (b) Per ogni i e ogni xj ∈ Xj , j 6= i, l’applicazione fi : Xi → X1 × · · · × Xn , x 7→ (x1 , . . . , xi−1 , x, xi+1 , . . . xn ) è un embedding topologico di Xi nello spazio prodotto X1 × · · · × Xn . (c) Se per ogni i, Bi è una base per la topologia di Xi , allora la famiglia di insiemi B = {B1 × · · · × Bn | Bi ∈ Bi } è una base per la topologia prodotto su X1 × · · · × Xn . (d) Se Si è un sottospazio di Xi , i = 1, . . . n. La topologia prodotto su S1 × · · · × Sn coincide con la topologia indotta sul prodotto cartesiano S1 × · · · × Sn dalla topologia prodotto di X1 × · · · × Xn . (e) Se ogni Xi è T1 (risp. T2 , T3 ) allora lo è anche X1 × · · · × Xn . (f ) Se ogni Xi è N1 (risp. N2 , N3 ) allora lo è anche X1 × · · · × Xn . Dimostrazione: Le dimostrazioni sono lasciate per esercizio.

Osservazione 21 Esistono spazi T4 tali che il loro prodotto non è T4 . In effetti si può dimostrare (noi non lo faremo) che il prodotto topologico (R, jd ) × (R, jd ), dove jd è definita nell’Esempio 41 del Capitolo 4 non è T4 nonostante (R, jd ) sia T4 . Se fi : Xi → Yi , i = 1, . . . , k son applicazioni qualunque (non necessariamente continue). L’applicazione f1 × · · · × fk : X1 × · · · × Xk → Y1 × · · · × Yk , (x1 , . . . xk ) 7→ (f1 (x1 ), . . . fk (xk ))

107

è chiamata l’applicazione prodotto associata alle applicazioni fi : Xi → Yi , i = 1, . . . , k. Proposizione 29 Il prodotto di applicazioni continue è continua e il prodotto tra omeomorfismi è un omeomorfismo. Dimostrazione: Sia U1 × · · · × Uk un aperto di base per la topologia prodotto (ogni Uj è aperto di Xj per j = 1, . . . , k). Allora (f1 × · · · × fk )−1 (U1 × · · · × Uk ) = f1−1 (U1 ) × · · · × fk−1 (Uk ) è un aperto in X1 × · · · × Xk , in quanto prodotto degli aperti fj−1 (Uj ). Segue allora (dalla (iv) della Proposizione 21 del Capitolo 6) che f1 × · · · × fk è continua La seconda affermazione segue dalla prima in quanto l’inversa dell’applicazione prodotto f1 × · · · × fk : X1 × · · · × Xk → Y1 × · · · × Yk dove fj : Xj → Yj sono bigezioni è data da g1 × · · · × gk : Y1 × · · · × Yk → X1 × · · · × Xk , dove le gj : Yj → Xj sono le inverse delle fj . Gli spazi prodotto ci permettono di costruire vari esempi di varietà come mostra la seguente proposizione. Proposizione 30 Siano M1 , . . . Mk variet` a topologiche di dimensione n1 , . . . , nk . Allora il prodotto M = M1 × · · · × Mk è una variet` a topologica di dimensione n1 + · · · + nk . Dimostrazione: Siccome ognuna delle Mj è di Hausdorff e soddisfa il secondo assioma di numerabilità segue dalle (f) e (g) della Proposizione 28 che anche il prodotto M è di Hausdorff e N2 . Quindi rimane da dimostrare che M è localmente Euclideo. Dato un punto x = (x1 , . . . xk ) ∈ M1 × · · · × Mk , per ogni j = 1, . . . , k esiste un aperto Uj contenente xj e un omeomorfismo ϕj da Uj ad un sottoinsieme aperto Vj di Rnj (questo perché ciascuna Mj è localmente Euclidea di dimensione nj ). Per la proposizione precedente l’applicazione prodotto ϕ1 × · · · × ϕk è un omeomorfismo dall’aperto U1 × · · · × Uk contenente x al sottoinsieme aperto V1 × · · · × Vk di Rn1 +···+nk .

108

Esempio 71 (il toro) Un esempio molto importante di varietà è il toro n-dimensionale Tn = S 1 × · · · × S 1 cioè il prodotto di n copie di S 1 con la topologia prodotto. Nel caso n = 2, T2 verrà chiamato semplicemente il toro. Siccome S 1 è un sottospazio di R2 , per le Proposizione 28 parte (d), T2 può essere considerato come un sottospazio di R4 con la topologia indotta da quella Euclidea. Infatti è semplicemente l’insieme dei punti di (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 tali che x21 + x22 = 1, x23 + x24 = 1.

(8.1)

D’altra parte facendo ruotare una circonferenza σ del piano xz avente centro nel punto C(R, 0, 0), R > 0 e raggio r < R intorno all’asse z si ottiene la superficie a ciambella Ciamb descritta nell’ Esempio 70 del Capitolo precedente. Dimostriamo che T2 e Ciamb sono omeomorfi. L’idea chiave per costruire un omeomorfismo è che la superficie Ciamb è parametrizzata da due angoli ϕ = 2πu e ψ = 2πv come mostra la (7.6). Potremo quindi cercare di usare questi angoli per parametrizzare i cerchi di T2 = S 1 × S 1 . Ispirati da queste considerazioni e da (8.1) definiamo l’applicazione continua F : T2 → Ciamb ⊂ R3 : F (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ((R + rx3 )x1 , (R + rx3 )x2 , rx4 ). Si verifica facilmente che l’applicazione continua G : Ciamb → T2 : p x2 + y 2 − R z y x ,p , , ) G(x, y, z) = ( p r r x2 + y 2 x2 + y 2 è l’inversa di F . (Il fatto che G(Ciamb) ⊂ T2 lo si può verificare usando p l’equazione cartesiana della ciambella e cioè ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 = r2 . Esempio 72 (Rn \ {0} ' S n−1 × R) Dimostriamo che Rn \ {0} e S n−1 × R sono omeomorfi per ogni n ≥ 1. Dal momento che l’intervallo (0, ∞) è omeomorfo ad R usando l’Esercizio 124 possiamo limitarci a dimostrare che Rn \{0} è omemorfo a S n−1 × (0, ∞). Definiamo l’applicazione x f : Rn \ {0} → S n−1 × (0, ∞), x 7→ ( , kxk). kxk

109

Quest’applicazione è continua (infatti ha componenti continue) e la sua inversa (anch’essa continua) è data da g : S n−1 × (0, ∞) → Rn \ {0}, (y, t) 7→ ty, come si verifica facilmente. Esempio 73 (S n−1 \ {N, S} ' S n−2 × R) Dimostriamo che, per n ≥ 2, B = S n−1 \ {N, S} = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x21 + · · · + x2n = 1, xn 6= ±1} la sfera S n−1 ⊂ Rn privata del polo nord N = (0, . . . , 0, 1) e del polo sud S = (0, . . . , 0, −1) è omeomorfa al cilindro C = S n−2 × R ⊂ Rn−1 × R = Rn , cioè 2 C = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn | y12 + y22 + · · · + yn−1 = 1}.

Guidati dalla visualizzazione di questi spazi in R2 (o in R3 ) definiamo le applicazioni: f : B → C, x 7→ f (x) = rx ∩ C (8.2) e g : C → B, y 7→ g(y) = ry ∩ B,

(8.3)

dove rx (risp. ry ) è la semiretta di origine 0 e passante per x ∈ B (risp. y ∈ C). Se dimostriamo che quest’applicazioni sono continue e l’una l’inversa dell’altra seguirà che gli spazi in questione sono effettivamente omeomorfi. Sia x = (x1 , . . . , xn ) ∈ B, cioè x21 + · · · + x2n = 1, xn 6= ±1. La semiretta rx ha equazione parametrica {(tx1 , . . . txn ), t ≥ 0} e interseca B per quei valori di t tali che t2 x21 + · · · t2 x2n−1 = 1 e cioè t=

1 (x21

1

+ · · · + x2n−1 ) 2

.

(Si osservi che x21 + · · · + x2n−1 non si annulla in quanto xn = ±1). Segue che l’espressione analitica di (8.2) è data da: f (x) =

1 1

(x21 + · · · + x2n−1 ) 2

110

(x1 , . . . , xn ).

2 = 1. La semiretta ry ha equazione Sia y = (y1 , . . . , yn ) ∈ C, cioè y12 + · · · + yn−1 parametrica {(ty1 , . . . tyn ), t ≥ 0}. Quindi g(y) è individuato dai valori di t > 0 1 tali che t2 y12 + · · · t2 yn2 = 1, cioè t = 1+y 2 . Ne segue che l’espressione analitica di n (8.3) è data da: 1 g(y) = 1 (y1 , . . . , yn ). (1 + yn2 ) 2 Quindi f e g sono continue essendolo le loro componenti. Il fatto che f e g sono una l’inversa dell’altra è una semplice verifica lasciata al lettore.

Osservazione 22 Notiamo che nella costruzione degli omeomorfismi degli Esempi 72 e 73 stiamo implicitamente utlizzando la (d) della Proposizione 28. Concludiamo il capitolo con una risultato che mostra come le applicazioni continue possono avere dei comportamenti controintuitivi. Teorema 25 (curva di Peano) Sia I = [0, 1] e I 2 = I ×I. Esiste un applicazione continua e suriettiva f : I → I 2.

8.2

Esercizi

Esercizio 120 Sia f : X → Y un’applicazione continua tra spazi topologici, Y di Hausdorff. Dimostrare che il grafico Γf = {(x, f (x)) ∈ X × Y | x ∈ X} è chiuso in X × Y . Esercizio 121 Si dimostri che uno spazio X è di Hausdorff se e solo se la diagonale ∆ = {(x, x) x ∈ X} è sottoinsieme chiuso di X × X. Esercizio 122 Dimostrare che il prodotto di due spazi metrizzabili X1 e X2 è metrizzabile. (Suggerimento: se d1 e d2 sono due distanze su X1 e X2 dimostrare che d ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )} definisce una metrica su X1 × X2 che induce la topologia prodotto).

111

Esercizio 123 Dimostrare che se X1 e X2 sono due spazi topologici l’ applicazione: f : X1 × X2 → X2 × X1 , (x1 , x2 ) 7→ (x2 , x1 ) è un omeomorfismo rispetto alle topologie prodotto su X1 × X2 e X2 × X1 . Esercizio 124 Dimostrare che se X, Y e Z sono tre spazi topologici e X ' Y allora X × Z ' Y × Z. Esercizio 125 Siano S1 e S2 sottoinsiemi degli spazi topologici X1 e X2 rispettivamente. Dimostrare che nel prodotto topologico si ha: Int(S1 × S2 ) = Int(S1 ) × Int(S2 ), S1 × S2 = S 1 × S 2 , Est(S1 × S2 ) = (Est(S1 ) × X2 ) ∪ (X1 × Est(S2 )), Fr(S1 × S2 ) = (Fr(S1 ) × S2 ) ∪ (S1 × Fr(S2 )), D(S1 × S2 ) = (D(S1 ) × S2 ) ∪ (S1 × D(S2 )). Esercizio 126 Dimostrare che se X1 e X2 sono due spazi dotati della topologia discreta (risp. banale), allora la loro topologia prodotto è quella discreta (risp. banale). Esercizio 127 Dimostrare che se X è uno spazio topologico con la metrica discreta e Y uno spazio topologico qualunque allora la proiezione π : X × Y → Y, (x, y) 7→ y è un omeomorfismo locale. Esercizio 128 Siano f : X → Y e g : X → Z due applicazioni tra spazi topologici. e sia F : X → Y × Z : x 7→ (f (x), g(x)). Dimostrare che se F è aperta allora f e g sono aperte. Mostrare inoltre che se f e g sono aperte l’applicazione F non è necessariamente aperta.

112

Esercizio 129 Si dimostri la Proposizione 28. Esercizio 130 Si dimostri che una corona circolare chiusa (cioè la regione del piano che si trova tra da due cerchi concentrici di raggio diverso compresi i cerchi) è omeomorfa a S 1 × [0, 1].

113

Capitolo 9 Spazi connessi In questo capitolo parleremo di spazi connessi. La definizione di connessione è strutturata in modo tale che gli spazi connessi abbiano proprietà simili a quelle degli intervalli della retta reale i quali sono costituiti “da un solo pezzo”. Ricordiamo, per esempio, che uno dei fatti pi` u importanti sulle funzioni continue di una variabile è il Teorema del valor medio (Teorema 11 del Capitolo 1). In questo capitolo, tra le altre cose, vogliamo generalizzare questo teorema ad uno spazio topologico connesso qualunque (Teorema 26).

9.1

Spazi connessi

Sia X è uno spazio topologico. Una separazione {U, V } di X è una coppia di aperti non vuoti e disgiunti U e V di X tali che X = U ∪ V . Diremo che X è sconnesso se esiste una sua separazione, altrimenti X si dirà connesso. Sia S ⊂ X un sottoinsieme di X. Una separazione {U, V } di S è una coppia di aperti non vuoti (non necessariamente disgiunti) U e V di X tali che U ∩ S 6= ∅, V ∩ S 6= ∅, (U ∩ S) ∩ (V ∩ S) = ∅, S ⊂ U ∪ V.

(9.1)

Diremo che S è sconnesso se esiste una sua separazione altrimenti S si dirà connesso. Quindi un sottoinsieme S ⊂ X è connesso se e solo se S è connesso come spazio topologico dotato della topologia indotta da X.

114

La seguente proposizione mostra che il concetto di connessione non dipende dal sottospazio nel quale “vive” un insieme connesso. Proposizione 31 (proprietà assoluta dei connessi) Siano S e T , S ⊂ T , due sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Allora S è un sottoinsieme connesso di X se e solo se S è un sottoinsieme connesso di T (quest’ultimo dotato della topologia indotta da X). Dimostrazione: Supponiamo che S sia sconnesso in X cioè esistano U e V aperti di X tali che valga la (9.1). La quale è equivalente alla: U 0 ∩ S 6= ∅, V 0 ∩ S 6= ∅, (U 0 ∩ S) ∩ (V 0 ∩ S) = ∅, S ⊂ U 0 ∪ V 0 ,

(9.2)

dove U 0 = U ∩ T e V 0 = V ∩ T . Quindi U 0 = U ∩ T e V 0 = V ∩ T , che sono due aperti di T per la topologia indotta, sono una separazione di S in T e quindi S è sconnesso in T . Viceversa se S è sconnesso in T allora vale la (9.2) per opportuni aperti U 0 = U ∩ T e V 0 = V ∩ T di T . Segue allora la (9.1) e quindi S è sconnesso in X. Mentre è facile costruire esempi di spazi sconnessi (per esempio una retta meno un punto o due cerchi disgiunti) dimostrare che uno spazio topologico è connesso non è sempre facile. Per esempio Rn , n ≥ 0, e S n , n ≥ 1, sono spazi connessi, ma la dimostrazione non è immediata. Una definizione alternativa di insieme connesso, molto utile in pratica, è la seguente: Proposizione 32 Uno spazio topologico X è connesso se e solo se gli unici sottoinsiemi di X che sono sia aperti che chiusi in X sono l’insieme ∅ e X stesso. Dimostrazione: Supponiamo prima che X sia connesso, e assumiamo che U ⊂ X sia aperto e chiuso. Allora V = X \ U è aperto e chiuso in X. Essendo X connesso si hanno solo due possibilità: V = ∅, U = X oppure V = X, U = ∅, altrimenti {U, V } sarebbe una separazione di X. Viceversa supponimao che X

115

sia sconnesso. Allora possiamo scrivere X = U ∪ V , dove U e V sono due aperti non vuoti e disgiunti di X. Questo implica che U è un sottoinsieme non vuoto di X sia aperto che chiuso. Dimostriamo ora che i sottoinsiemi connessi di R (che non siano un punto o l’insieme vuoto) sono tutti e soli gli intervalli. Proposizione 33 Un sottonsieme di R con almeno due punti è connesso se e solo se è un intervallo. Dimostrazione: Assumiamo prima che J ⊂ R sia un intervallo. Se J non fosse connesso esisterebbero due sottoinsiemi aperti U, V ⊂ R che separano J, cioè U ∩ J 6= ∅, V ∩ J 6= ∅, (U ∩ J) ∩ (V ∩ J) = ∅, J ⊂ U ∪ V. Sia a ∈ U ∩ J e b ∈ V ∩ J con a < b (possiamo sempre assumere a < b altrimenti cambiamo il ruolo di U e V ). Allora [a, b] ⊂ J in quanto J è un intervallo. Siccome U e V sono aperti di R, esiste > 0 tale che [a, a + ) ⊂ U ∩ J e (b − , b] ⊂ V ∩ J. Sia c = sup(U ∩ [a, b]). Dal momento che U ∩ J e V ∩ J sono disgiunti segue che a + ≤ c ≤ b − . In particolare, a < c < b e quindi c ∈ J ⊂ U ∪ V . Ma se c ∈ U allora esisterebbe δ > 0 tale che (c − δ, c + δ) ⊂ U ∩ [a, b], che è in contrasto con la definizione di c (infatti c non sarebbe un maggiorante per l’insieme U ∩ [a, b]). In modo simile se c ∈ V allora esisterebbe µ > 0 tale che (c − µ, c + µ) ⊂ V ∩ [a, b] e c non sarebbe il pi` u piccolo dei maggioranti dell’insieme U ∩ [a, b]. Queste contraddizioni mostrano che J è connesso. Viceversa, supponiamo che J ⊂ R sia costituito dal almeno due punti e non sia un intervallo. Esistono quindi a, b, c ∈ R tali che a < c < b, a, b ∈ J e c ∈ / J. Allora gli insiemi (−∞, c) e (c, +∞) separano J e cos`ı J non è connesso. Una delle proprietà pi` u importanti della connessione e che è preservata da applicazioni continue:

116

Teorema 26 (teorema principale sulla connessione) Siano X e Y due spazi topologici e sia f : X → Y un’applicazione continua. Se X è connesso allora f (X) è connesso. In particolare la connessione è una propriet` a topologica. Dimostrazione: Se f (X) fosse sconnesso allora esisterebbero due insiemi aperti U, V ⊂ Y , la cui intersezioni con f (X) sono non vuote e disgiunte e la cui unione contiene f (X). Segue che {f −1 (U ), f −1 (V )} è una separazione di X, e quindi X è sconnesso. Alcune conseguenze del teorema precedente sono espresse dai tre corollari seguenti (le dimostrazioni dei primi due sono immediate e lasciate per esercizio). Corollario 6 L’intervallo [0, 1] non è omeomorfo a [0, 1), [0, 1] non è omeomorfo a (0, 1) e [0, 1) non è omeomorfo a (0, 1). Corollario 7 Sia X ⊂ R2 l’unione dell’asse x e dell’asse y. Allora X non è una variet` a topologica rispetto alla topologia indotta da R2 . Corollario 8 (teorema del valor medio per spazi topologici) Sia X uno spazio topologico connesso e f : X → R una funzione continua a valori reali. Se x, y ∈ X allora f assume tutti i valori compresi tra f (x) e f (y). Dimostrazione: Se f (x) = f (y) non c’è niente da dimostrare. Se f (x) 6= f (y) allora, per il Teorema 26, f (X) è un sottoinsieme connesso di R e quindi è un intervallo per la Proposizione 33. In particolare [f (x), f (y)] ⊂ f (X). Proposizione 34 (altre proprietà degli spazi connessi) (a) Siano S e T , S ⊂ T , due sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Supponiamo che S sia un sottoinsieme connesso di X e che {U, V } sia una separazione di T . Allora S ⊂ U oppure S ⊂ V . (b) Sia X uno spazio topologico e S ⊂ X connesso. Allora ogni sottoinsieme T tale che S ⊂ T ⊂ S è connesso (in particolare se S è connesso allora lo è anche S).

117

(c) Sia X uno spazio topologico e sia {Sj }j∈J una famiglia di sottospazi connessi di X con almeno un punto in comune. Allora ∪j∈J Sj è connesso. (d) Un prodotto finito X1 × · · · × Xk di spazi topologici è connesso se e solo ciascun Xj , j = 1, . . . k, è connesso. Dimostrazione: Per dimostrare la parte (a), supponiamo che {U, V } sia una separazione di T , cioè U e V sono due aperti di X tali che U ∩ T e V ∩ T sono due insiemi non vuoti e disgiunti e T ⊂ U ∪ V . Allora {U ∩ T, V ∩ T } è una separazione di S come sottoinsieme di T (quest’ultimo con la topologia indotta). Per il punto (a) S è connesso in T (essendo, per ipotesi connesso in X) e quindi S ⊂ U ∩ T oppure S ⊂ V ∩ T . Quindi S ⊂ U oppure S ⊂ V . Per dimostrare la (b) assumiamo che {U, V } sia una separazione di T , allora per il punto (a) (essendo S connesso), S ⊂ U oppure S ⊂ V . Supponiamo per esempio S ⊂ U (il caso S ⊂ V è analogo). Ossia V ∩ S = ∅. Dal momento che V è aperto segue che V ⊂ Est(S) = X \ S. Quindi V ∩ S = ∅ e quindi V ∩ T = ∅ (in quanto V ∩ T ⊂ V ∩ S) che è in contraddizione con il fatto che V ∩ T 6= ∅). Quindi non può esistere una separazione di T e quindi T è connesso. Per dimostrare la (c), sia x un punto contenuto in ogni Sj e supponiamo che {U, V } sia una separazione di ∪j∈J Sj . Possiamo supporre x ∈ U (altrimenti scambiamo il ruolo di U e V ). Per la parte (a) (essendo ciascun Sj connesso), Sj ⊂ U , ∀j ∈ J. Segue che ∪j∈J Sj ⊂ U . Quindi V ∩ (∪j∈J Sj ) = ∅ e non può esistere un separazione di ∪j∈J Sj , che è quindi connesso. Dal momento che X1 × · · · × Xk = (X1 × · · · × Xk−1 ) × Xk per dimostrare la (d) possiamo limitarci a dimostrare il risultato per due spazi X e Y e poi ragionare per induzione. Supponiamo quindi che X e Y siano connessi e che {U, V } sia una separazione di X × Y . Scegliamo un punto (x0 , y0 ) ∈ U . L’insieme {x0 } × Y è connesso perché omeomorfo a Y . Siccome {x0 } × Y contiene il punto (x0 , y0 ) ∈ U segue dalla (a) che {x0 } × Y ⊂ U . Allora, per ogni y ∈ Y , l’insieme X × {y} è connesso (in quanto omeomorfo a X) e contiene

118

(x0 , y) ∈ U . Ancora dalla (a) si deduce che X × {y} ⊂ U . Di conseguenza X × Y = ∪y∈Y (X × {y}) ⊂ U e quindi (X × Y ) ∩ V = ∅. Quindi non può esistere una separazione di X × Y che è quindi connesso. Viceversa se X × Y è connesso allora le proiezioni naturali π1 : X × Y → X (risp. π2 : X × Y → Y ) sono continue e suriettive (cfr. Proposizione 27 del Capitolo 8) e quindi X (risp. Y ) è connesso per il Teorema 26. Esempio 74 La sfera S n−1 , n ≥ 2, è l’unione dei due connessi non disgiunti S n−1 \ {N } ' Rn−1 e S n−1 \ {S} ' Rn−1 (cfr. Esempio 69 del Capitolo 7) e quindi per la (c) della Proposizione 34, S n−1 è connessa per n ≥ 2. Si osservi che S 0 = {−1, 1} non è connesso. Un altro modo per dimostare che S n−1 è connessa è di utilizzare il punto (b) della Proposizione 34 (come?). Esempio 75 Rn , n ≥ 1, è connesso per la (d) della Proposizione 34 in quanto prodotto di n copie di R. Esempio 76 Analogamente il toro n-dimensionale Tn (cfr, Esempio 71 del Capitolo 8) è connesso in quanto prodotto di n copie di S 1 . Come corollario dell’Esercizio 75 e del Teorema 26 otteniamo: Corollario 9 Rn , n ≥ 2, non è omeomorfo a R. Dimostrazione: lasciata per esercizio.

Esempio 77 Il gruppo lineare GLn (R) ⊂ Mn (R), ossia l’insieme delle matri2 ci quadrate n per n invertibili con la topologia indotta da Rn = Mn (R) (cfr. Esercizio 109) è una varietà topologica sconnessa di dimensione n2 . Infatti l’applicazione det : GLn (R) → R che ad una matrice A associa il suo determinante det A è continua e suriettiva. Se GLn (R) fosse connesso allora, per il Teorema 26, la sua immagine in R tramite l’applicazione determinante dovrebbe essere connessa mentre è uguale a R \ {0} che è sconnesso. Osserviamo infine che GLn (R) 2 è un sottoinsieme aperto di Rn = Mn (R) in quanto controimmagine dell’ aperto R \ {0} tramite l’applicazione determinante. Segue quindi dall’ Esempio 67 del Capitolo 7 che GLn (R) è una varietà topologica di dimensione n2 .

119

Esempio 78 Sia O(n) il gruppo ortogonale di ordine n cioè l’insieme delle matrici quadrate A ∈ Mn (R) tali che AAt = In , dove At denota la trasposta di A e In la matrice identità n per n. O(n) è uno spazio topologico disconnesso con la 2 topologia indotta da quella di Mn (R) = Rn . Infatti l’immagine di O(n) tramite l’applicazione determinante è l’insieme sconnesso {−1, 1} e per il Teorema 26 O(n) non è connesso. Chiaramente O(n) è di Hausdorff e ha una base numerabile 2 in quanto sottospazio di Rn = Mn (R). In effetti si può dimostrare (noi non lo faremo) che O(n) è una varietà topologica di dimensione n(n−1) 2 Concludiamo questo paragrafo con due importanti teoremi (le cui dimostrazioni non fanno parte di queste note). Il primo riguardante le applicazioni continue da Dn = B1 (0) a se stesso il secondo le applicazioni continue da S n a Rn . Questi risultati sono stati inseriti in questo paragrafo relativo alla connessione, in quanto nel caso n = 1 la loro dimostrazione si può ottenere usando il concetto di connessione (si vedano gli Esercizi 140 e 141). Teorema 27 (teorema del punto fisso di Brouwer) Ogni applicazione continua f : Dn → Dn , n ≥ 1, ha un punto di fisso cioè esiste un punto x ∈ Dn tale che f (x) = x. Teorema 28 Una funzione continua f : S n → Rn , n ≥ 1, manda nello stesso punto almeno una coppia di punti diametralmente opposti, cioè esiste x ∈ S n tale che f (x) = f (−x). Il teorema precedente. nel caso n = 2, ha un interpretazione “metereologica”: In ogni dato istante esistono due punti antipodali sulla terra (identificata con S 2 ) in cui si ha la stessa temperatura e pressione (supponendo che la temperatura e la pressione siano funzione continue da S 2 in R).

9.2

Connessione per archi

Esiste una condizione pi` u manegevole per verificare se uno spazio è connesso quella di connessione per archi. Sia X uno spazio topologico e siano x, y ∈ X.

120

Un arco in X da x a y è un’applicazione continua f : I = [0, 1] → X tale che f (0) = x e f (1) = y. Diremo che X è connesso per archi se per ogni x, y ∈ X esiste un arco in X tra x e y. Osserviamo che se f : I → X è un arco da x in y allora g : I → X definito da g(t) = f (1 − t) è un arco da y in x. Inoltre se f : I → X è un arco da x a y e g : I → X è un arco da y in z allora possiamo cotruire un arco tra x e z. Infatti l’applicazione h : I → X definita come h(t) = f (2t) se 0 ≤ t ≤ 21 e h(t) = g(2t − 1) se 12 ≤ t ≤ 1 è un’applicazione continua per la Proposizione 22 del Capitolo 6 e soddisfa h(0) = x e h(1) = z. Teorema 29 La connessione per archi implica la connessione. Dimostrazione: Supponiamo che X sia uno spazio topologico connesso per archi ma non connesso e sia {U, V } una sua separazione. Possiamo scegliere x ∈ U e y ∈ V (in quanto nessuno dei due è vuoto) e sia f : I → X un arco tra x e y in X. Allora f −1 (U ) e f −1 (V ) sono sottoinsiemi aperti e disgiunti di [0, 1] che ricoprono [0, 1]. In pi` u 0 ∈ f −1 (U ) e 1 ∈ f −1 (V ) quindi nessuno dei due è vuoto. Questo implica che [0, 1] è sconnesso in contrasto con la Proposizione 33. La connessione per archi soddisfa una proprietà analoga a quella della connessione (cfr. Teorema 26): Proposizione 35 Sia X uno spazio topologico connesso per archi e f : X → Y una funzione continua e suriettiva da X in uno spazio topologico Y . Allora Y è connesso per archi. Dimostrazione: Siano y1 e y2 due punti di Y . Per la suriettività di f esistono x1 , x2 ∈ X tali che y1 = f (x1 ) e y2 = f (x2 ). Siccome X è connesso esiste un arco c : I → X tra x1 e x2 . Allora f ◦ c : I → Y è un arco tra y1 e y2 . Esempio 79 (i convessi sono connessi per archi) Un sottoinsieme S ⊂ Rn convesso è connesso per archi e quindi connesso. Infatti presi due suoi punti P e Q il segmento di retta che li congiunge sta in S e quindi f : I → Rn , f (t) = tQ + (1 − t)P è un arco in S tra P e Q. In particolare Rn è connesso per archi.

121

Esempio 80 Rn \ {0}, n ≥ 2 è una varietà topologica connessa per archi (pur non essendo convessa). Esempio 81 (spazio connesso ma non connesso per archi) Per costruire un esempio di spazio connesso ma non sono connesso per archi consideriamo i seguenti sottoinsiemi del piano. 1 C = {( , y)| y ∈ [0, 1], n ≥ 1 intero}, Ix = {(x, 0)| x ∈ (0, 1]} n E’ immediato verificare che C ∪ Ix è connesso per archi e quindi connesso. Vogliamo mostrare che l’insieme X = {P0 } ∪ C ∪ Ix , P0 = (0, 1) è connesso ma non connesso per archi. Per mostrare che X è connesso notiamo che P0 ∈ D(C ∪ Ix ) e quindi C ∪ Ix ⊂ X ⊂ C ∪ Ix e la connessione di X segue dal punto (b) della Proposizione 34. La dimostrazione che X non sia connesso per archi è tecnicamente un pò pi` u complicata anche se intuitivamente chiara se si fa un disegno. In ogni caso, siccome non bisogna mai fidarsi dei disegni, ecco la dimostrazione. Sia f : I → X un arco che inizia in P0 cioè f (0) = P0 . Vogliamo mostrare che questo arco è costante cioè f (I) = {P0 } (questo infatti mostra che non può esistere un arco tra P0 e un qualunque punto di X). Osserviamo che f −1 (P0 ) ⊂ I è non vuoto (in quanto 0 ∈ f −1 (P0 )) e chiuso in I (in quanto controimmagine di un chiuso tramite un’applicazione continua). Se dimostrassimo che f −1 (P0 ) è anche aperto dal momento che I è connesso seguirebbe dalla Proposizione 32 che f −1 (P0 ) = I ossia f (I) = {P0 } e avremo finito. Per dimostrare che f −1 (P0 ) è aperto consideriamo l’aperto U di X (nella topologia indotta da R2 ) definito come 1 U = X ∩ {(x, y) ∈ R2 | y > }. 2 Si osservi che U è l’unione disgiunta di P0 e dei segmenti 1 1 {( , y) | < y ≤ 1}, n ≥ 1. n 2

122

Ognuno di questi segmenti è simultaneamente aperto e chiuso in U . Infatti ognuno di questi si può ottenere come intersezione di un opportuno rettangolo chiuso o aperto di R2 con U . Sia t0 ∈ f −1 (P0 ), per la continuità di f esiste un > 0 tale che f (J) ⊂ U , J = (t0 − , t0 + ) ∩ I. Vogliamo dimostrare che J ⊂ f −1 (P0 ) ossia che f (J) = {P0 } (e questo dimostrerebbe che f −1 (P0 ) è aperto in I). Se per assurdo esistesse un t1 ∈ J tale che f (t1 ) 6= P0 allora f (t1 ) dovrebbe appartenere ad uno dei segmenti che compongono U e quindi l’intersezione di tale segmento con f (J) sarebbe un sottoinsieme non vuoto simultaneamente aperto e chiuso di f (J) e strettamente contenuto in f (J). Questo è in contraddizione con la connessione di f (J) (il quale è connesso in quanto immagine del connesso J attraverso l’applicazione continua f : J → U ). L’esempio precedente è, per fortuna, “patologico”. Infatti per gli spazi localmente Euclidei vale il seguente: Teorema 30 Sia M uno spazio localmente Euclideo. Se M è connesso allora è connesso per archi. In particolare una variet` a topologica connessa è connessa per archi. Dimostrazione: Fissiamo x ∈ M e sia Cx l’insieme costituito dai punti di x che possono essere uniti a x con un arco,. Questo significa che y ∈ Cx se e solo se esiste un’applicazione continua f : I → M tale che f (0) = x e f (1) = y. Ovviamente Cx 6= ∅ in quanto x ∈ Cx (x può essere unito a se stesso attraverso l’arco costante). Inoltre Cx è un insieme aperto. Infatti per ogni y ∈ Cx sia U un aperto di M contenente y per il quale esiste un omeomorfismo ϕ : U → Rn (questo perché M è localmente Euclidea). Segue che per ogni punto z ∈ U esiste un arco in U che lo unisce a y e quindi ogni punto di U può essere unito tramite un arco a x. Quindi Cx è aperto. Esattamente con lo stesso ragionamento si dimostra che M \ Cx è aperto. Infatti M \ Cx è costituito dai punti di M che non possono essere uniti a x e usando ancora un intorno coordinato si trova un aperto di punti che non possono essere uniti a x. Risulta quindi che Cx è un insieme non vuoto contemporaneamente aperto e chiuso in M . Ma M è connesso e quindi

123

dalla Proposizione 32 segue che M = Cx , cioè ogni punto y ∈ M può essere unito a x tramite un arco. Essendo x arbitrario segue che M è connesso per archi.

9.3

Componenti connesse

Una componente connessa C ⊂ X di uno spazio topologico X è un sottoinsieme connesso massimale di X, cioè C è connesso e non è un sottoinsieme proprio di nessun sottoinsieme connesso di X. In particolare X è connesso se e solo se X è una componente connessa di X stesso. Proposizione 36 Sia X uno spazio topologico. Valgono i seguenti fatti: • ogni componente connessa di X è un insieme chiuso; • le componenti connesse di X formano una partizione di X; • qualunque sottoinsieme connesso di X è contenuto in qualche componente connessa. Dimostrazione: lasciata per esercizio

Concludiamo il capitolo con un famoso risultato (la cui dimostrazione non fa parte di queste note). Teorema 31 Sia S ⊂ Rn , n ≥ 1, uno spazio topologico omeomorfo alla sfera S n ⊂ Rn . Allora Rn \ S è costituito da due componenti connesse C1 e C2 una limitata è l’altra illimitata la cui frontiera comune è S. Nel caso n = 1 il teorema precedente è chiamato Teorema della curva di Jordan. In questo caso esiste una generalizzazione di questo teorema, chiamato Teorema di Jordan–Schönflies, che afferma che se uno spazio topologico S ⊂ R2 è omeomorfo a S 1 ⊂ R2 allora S è omeomorfo a S 1 tramite un omeomorfismo di R2 , cioè esiste f ∈ Omeo(R2 ) tale che f (S) = S 1 . Quest’enunicato non vale in dimensione pi` u alta, cioè per n ≥ 2. La sfera di Alexander ne è un esempio. Si tratta di uno spazio

124

topologico A ⊂ R3 omeomorfo a S 2 tale che la componente illimitata di R3 \ A (data dal Teorema 31) ha dei “buchi ” e quindi non può esistere f ∈ Omeo(R3 ) tale che f (A) = S 2 .

9.4

Esercizi

Esercizio 131 Riconoscere quali dei seguenti sottoinsiemi di R2 sono sconnessi. • A = R2 \ {(x, 0)| x 6= 0}. • B = P \ {(0, y)| y ∈ R \ Q}, dove P = {(x, y)| − 1 ≤ x, y ≤ 1}. • C = D1 (1, 0) ∪ D1 (−1, 0) • D = C. • E = C ∪ {(0, 0)}. Esercizio 132 Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R3 sono connessi. A = {(1, 0, t)| 0 ≤ t ≤ 1} ∪ {(x, y, 0)| x2 + y 2 = 1} ∪ {(x, y, 1)| x2 + y 2 = 1}. B = A \ {(1, 0, 1)}. C = A \ {(0, 1, 0)}. D = {(1, 0, t)| 0 < t < 1} ∪ {(x, y, 1)| x2 + y 2 = 1}. Esercizio 133 Dimostrare che l’insieme cosituito dalle circonferenze di centro l’origine e raggio razionale ≤ 1 è un sottoinsieme sconnesso di R2 . Esercizio 134 Dimostrare che per ogni t ∈ R il sottospazio di R2 Xt = {(x, y)| xy = t} non è omemorfo a R.

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Esercizio 135 Si dimostri che S 1 e [0, 1] non sono omeomorfi e che l’insieme X ⊂ R2 unione delle circonferenze di raggio 1 e centri (1, 0) e (−1, 0) non è omeomorfo né a S 1 né a [0, 1]. Esercizio 136 Sia SO(n) il gruppo delle matrici ortogonali speciali, cioè il sottogruppo di O(n) costituito dalle matrici di determinante uguale a 1. Si dimostri che SO(n) è una componente connessa di O(n). Si dimostri inoltre che SO(n) è una varietà topologica per n = 1 e per n = 2. Esercizio 137 Dimostrare i Corollari 6 e 9 e 7. Esercizio 138 Dire quali coniche (risp. quadriche) degeneri o non del piano (risp. spazio) Euclideo sono curve (risp. superfici) topologiche. Esercizio 139 Sia f : I → R una funzione continua tale che f (0)f (1) ≤ 0. Dimostrare, usando il Teorema 26, che esiste un punto x ∈ I tale che f (x) = 0 (cfr. Teorema 11 del Capitolo 1). Esercizio 140 Sia f : S 1 → R una funzione continua. Dimostrare che esiste x ∈ S 1 tale che f (x) = f (−x). (Suggerimento: si consideri la funzione g = h ◦ k : I → R composizione delle due funzioni continue h : S 1 → R, x 7→ f (x) − f (−x) e k : I → S 1 , x 7→ (cos x, sin x) e si utilizzi l’esercizio precedente). Esercizio 141 (teorema del punto fisso di Brouwer per n = 1) Ogni applicazione continua f : [a, b] → [a, b] di un intervallo [a, b], a < b, in se stesso ha un punto fisso, cioè esiste x ∈ [a, b] tale che f (x) = x. (Suggerimento: usare [a, b] ' [−1, 1] e il Teorema 26). Esercizio 142 Dimostrare con un esempio che il Teorema del punto fisso di Brouwer (Teorema 27) non è valido se si sostituisce il disco chiuso Dn con la palla aperta B1 (0). Esercizio 143 Si dimostri la Proposizione 36.

126

Esercizio 144 Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico connesso X. Diremo che S sconnette X se X \ S è sconnesso. Dimostrare che un iperpiano di Rn sconnette Rn . Dimostrare inoltre che un sottospazio affine di dimensione m ≤ n − 2 di Rn , n ≥ 2, non sconnette Rn . Esercizio 145 Uno spazio topologico è detto totalmente sconnesso se presi comunque due punti x, y ∈ X, esiste una separazione U ∪ V di X tale che x ∈ U e y ∈ V . Ovviamente uno spazio totalmente sconnesso non è connesso. Si dimostri che: • (R, jd ) e (R, js ) sono totalmente sconnessi (cfr. Esempio 41 Capitolo 4); • si dimostri che Q è totalmente sconnesso; • si dimostri che le componenti di uno spazio topologico X totalmente sconnesso sono i sottoinsiemi costituiti da un solo punto. Esercizio 146 Determinare un sottoinsieme S sconnesso di uno spazio topologico X tale che gli insiemi Fr(S), Int(S), Est(S), S e D(S) siano connessi. Esercizio 147 Uno spazio topologico X è localmente connesso in x ∈ X se ogni suo insieme aperto contenente x contiene un insieme aperto connesso contenente x. Si dimostri che: • ogni spazio X topologico con la topologia discreta è localmente connesso; • ogni varietà topologica è localmente connessa; • lo spazio dell’Esempio 81 non è localmente connesso (nonostante sia connesso). Si trovi inoltre un esempio di spazio localmente connesso ma non connesso per archi. Esercizio 148 Si considerino i sei punti A0 (0, 0), A1 (1, 0), A2 (2, 0), B0 (0, 1), B1 (1, 1), B2 (2, 1) in R2 e siano ìj : I → R2 , i, j = 0, 1, 2, archi in R2 tra Ai e Bj .

127

Dimostrare, usando il Teorema della curva di Jordan, che esistono due di questi archi le cui immagini in R2 si intersecano in almeno un punto diverso dai loro estremi.

128

Capitolo 10 Spazi compatti Questo capitolo è dedicato agli spazi topologici compatti. La compattezza è definita per far si che gli spazi compatti soddisfino proprietà simili a quelle degli insiemi chiusi e limitati di R come il Teorema di Heine–Borel, di Weierstrass e di Bolzano–Weierstrass (cfr. Capitolo 1).

10.1

Spazi compatti

Un ricoprimento aperto di uno spazio topologico X è una famiglia U di sottoinsiemi aperti di X la cui unione è X. Un sottoricoprimento di un ricoprimento U di X è una sottofamiglia di U che sia ancora un ricoprimento di X. Uno spazio topologico X è compatto se ogni ricoprimento aperto di X possiede un sottoricoprimento finito. In altre parole X è compatto se dato un qualsiasi ricoprimento U di X, esistono un numero finito di aperti U1 , . . . , Uk ∈ U tali che X = U1 ∪· · ·∪Uk . Sia S ⊂ X un sottoinsieme di X. un ricoprimento aperto di S è una famiglia U di sottoinsiemi aperti di X la cui unione contiene S mentre un sottoricoprimento di un ricoprimento U di S è una sottofamiglia di U che sia ancora un ricoprimento di S. Diremo che S ⊂ X è compatto se ogni ricoprimento aperto di K possiede un sottoricoprimento finito. Segue che S ⊂ X è compatto se e solo se è compatto rispetto alla topologia indotta.

129

La seguente proposizione (analoga alla Proposizione 31 del Capitolo 9 per gli spazi connessi) mostra che il concetto di compattezza non dipende dal sottospazio nel quale “vive” un insieme compatto. Proposizione 37 (proprietà assoluta dei compatti) Siano S e T , S ⊂ T , due sottoinsiemi di uno spazio topologico X. Allora S è un sottoinsieme compatto di X se e solo se S è un sottoinsieme compatto di T (quest’ultimo dotato della topologia indotta da X). Dimostrazione: lasciata per esercizio al lettore.

Dal Teorema 8 del Capitolo 1 sappiamo che qualunque intervallo [a, b] ⊂ R è compatto e che quindi un sottoinsieme di R è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Per capire quando uno spazio è compatto o per cotruire nuovi spazi compatti a partire da spazi noti, mostriamo alcune proprietà generali degli spazi topologici compatti. La proprietà pi` u importante rispetto alle funzioni continue è il seguente teorema con il suo corollario. Possiamo affermare, senza esagerare, che questo risultato sia il pi` u utilizzato in quelle discipline non solo matematiche dove si utilizza il concetto di continuità. Teorema 32 (teorema principale sulla compattezza) Siano X e Y spazi topologici e sia f : X → Y una funzione continua. Se X è compatto allora f (X) è compatto. In particolare la compattezza è una propriet` a topologica. Dimostrazione: Sia U un ricoprimento aperto di f (X), cioè U è costituito da aperti di Y la cui unione contiene f (X). Ogni f −1 (U ) è un insieme aperto di X in quanto f è continua. Siccome U ricopre f (X) ogni punto di x sta in qualche f −1 (U ), e quindi la famiglia {f −1 (U ) | U ∈ U} è un ricoprimento aperto di X. Siccome X è compatto, un numero finito di questi aperti, f −1 (U1 ), . . . , f −1 (Uk ) ricopre X, X ⊂ f −1 (U1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Uk ). Allora U1 , . . . , Uk è un ricoprimento aperto di f (X) in quanto f (X) ⊂ f f −1 (U1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (Uk ) = f (f −1 (U1 ))∪· · ·∪f (f −1 (Uk )) ⊂ U1 ∪· · ·∪Uk .

130

Il Teorema 12 del Capitolo 1 si estende a spazi topologici arbitrari. Corollario 10 Sia f : X → R una funzione continua. Se X è compatto allora f assume un valore minimo e un valore massimo su X. Dimostrazione: Per il Teorema 32 f (X) è un sottoinsieme compatto di R e quindi per la il Teorema di Heine-Borel è chiuso e limitato. Ne segue che f (X) contiene il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore. Proposizione 38 (altre proprietà degli spazi compatti) (a) Un sottoinsieme chiuso di uno spazio compatto è compatto; (b) In uno spazio di Hausdorff X gli insiemi compatti e disgiunti possono essere separati da insiemi aperti. Cioè, se K1 e K2 sono sottoinsiemi compatti di X allora esistono due insiemi aperti e disgiunti U e V tali che K1 ⊂ U e K2 ⊂ V ; (c) Ogni sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso; (d) Il prodotto finito X1 × · · · × Xk di spazi compatti è compatto se solo se ciascun Xj , j = 1, . . . , k è compatto. Dimostrazione: Sia C ⊂ X un sottoinsieme chiuso della spazio compatto X e sia U un ricoprimento aperto di C. Allora U ∪ {X \ C} è un ricoprimento aperto di X. Siccome X è compatto questo ricoprimento possiede un sottoricoprimento aperto e finito {U1 , . . . Uk , X \ C}, Uj ∈ U, j = 1, . . . , k di X. Quindi C ⊂ U1 ∪ · · · ∪ . . . Uk e questo mostra la (a). Per dimostrare la (b) consideriamo prima il caso nel quale K2 = {q} è un solo punto. Per ogni p ∈ K1 esistono insiemi aperti e disgiunti Up e Vp contenenti rispettivamente p e q (in quanto X è Hausdorff). La famiglia {Up | p ∈ K1 } è un ricoprimento aperto di K1 e quindi ha un sottoricoprimento finito {Up1 , . . . , Upk }. Sia U = Up1 ∪ · · · ∪ Upk e V = Vp1 ∩ · · · ∩ Vpk . Allora U e V sono insiemi

131

aperti e disguinti tali che K1 ⊂ U e {q} ⊂ V , e quindi questo caso è dimostrato. Consideriamo ora il caso generale, cioè quando K2 è costituito da pi` u punti. Ciò appena dimostrato ci dice che per ogni q ∈ K2 esistono due insiemi aperti e disgiunti di X, Uq e Vq , tali che K1 ⊂ Uq e q ∈ Vq . Per la compattezza di K2 , un numero finito di questi aperti {Vq1 , . . . , Vqm } ricoprono K2 . Allora U = Uq1 ∩ · · · ∩ Uqm e V = Vq1 ∪ · · · Vqm sono due aperti disgiunti che contengono K1 e K2 rispettivamente e questo conclude la dimostrazione della (b). Per dimostrare la (c) sia K un sottoinsieme compatto di uno spazio di Hausdorff X. Sia x ∈ X \ K. Per la parte (b), esistono insiemi aperti e disgiunti U e Vx tali che K ⊂ U e x ∈ Vx . In particolare Vx è un aperto contenente x e disgiunto da K. Segue che X \ K = ∪x∈X\K Vx è aperto e quindi K è chiuso. Per dimostrare la (d) è sufficiente considerare il prodotto X × Y di due spazi e poi usare l’induzione. Supponiamo che X e Y siano compatti e sia U un ricoprimento aperto di X × Y . Sia x ∈ X un punto arbitrario di X. Allora essendo Y ' {x} × Y compatto esiste un numero finito U1 , . . . , Uk di elementi di U tali che {x} × Y ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . Per definizione di topologia prodotto su X × Y per ogni y ∈ Y esistono due aperti V di X e W di Y tali che (x, y) ∈ V × W ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . Gli aperti della forma V × W ricoprono {x} × Y e quindi, usando ancora il fatto che Y è compatto, esistono V1 , . . . , Vm aperti di X contenenti x e W1 , . . . , Wm aperti di Y tali che {x} × Y ⊂ (V1 × W1 ) ∪ · · · ∪ (Vm × Wm ) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . Sia Zx = V1 ∩ · · · ∩ Vm . Allora la “striscia” Zx × Y è contenuta in U1 ∪ · · · ∪ Uk . In definitiva abbiamo dimostrato che per ogni x ∈ X esiste un sottoinsieme aperto Zx ⊂ X tale che Zx × Y può essere ricoperto da un numero finito di aperti di U. La famiglia di aperti {Zx | x ∈ X} è un ricoprimento aperto di X. Essendo X compatto esiste un numero finito di questi aperti, {Zx1 , . . . , Zxs }, che ricoprono ancora X e quindi X × Y = ∪si=1 Zxi × Y.

132

Siccome un numero finito di insiemi di U ricoprono ciascuna striscia Zxi ×Y segue che un numero finito di aperti di U ricopre X × Y e quindi X × Y è compatto. Viceversa se X ×Y è compatto allora le proiezioni naturali π1 : X ×Y → X (risp. π2 : X × Y → Y ) sono continue e suriettive (cfr. Proposizione 27 del Capitolo 8) e quindi X (risp. Y ) è compatto per il Teorema 32. Osservazione 23 Esistono sottoinsiemi di spazi topologici che sono compatti ma non chiusi. Questo mostra l’importanza di essere di Hausdorff nella parte (c) della proposizione precedente. Per esempio sia X = {a, b} con la topologia T = {∅, X, {a}}. Allora il punto a ∈ X è compatto ma non è chiuso. Osservazione 24 Il punto (d) della proposizione precedente vale anche per prodotti infiniti (con un’opportuna “topologia prodotto”) e va sotto il nome di Teorema di Tychonoff. Come conseguenza della proposizione precedente otteniamo i seguenti corollari, la cui dimostrazione è lasciata per esercizio al lettore. Corollario 11 Uno spazio compatto e di Hausdorff è normale. Corollario 12 Sia f : X → Y un’applicazione continua, chiusa e suriettiva. Se X è uno spazio compatto e di Hausdorff allora Y è compatto e di Hausdorff.

10.2

Compattezza negli spazi metrici

Ci piacerebbe capire se il Teorema di Heine–Borel (8 del del Capitolo 1) valido per intervalli chiusi e limitati di R possa essere esteso a spazi topologici pi` u generali dove ha senso parlare di insieme limitati ossia agli spazi metrici. Ricordiamo (cfr. Esercizio 29) del Capitolo 2 che un sottoinsieme S di uno spazio metrico (X, d) è limitato se esiste un punto x ∈ S e r > 0 tale che S ⊂ Dr (x) (ossia S è contenuto in qualche disco centrato in un suo punto). Equivalentemente S è

133

limitato se il suo diametro diam(S) è finito, dove diam(S) è l’estremo superiore delle distanze d(x, y) al variare di x e y in X. In effetti il Teorema di Heine–Borel si può estendere a sottoinsiemi di Rn (Teorema 33 sotto) ma, nel caso di spazi metrici, l’unica affermazione vera è che la compattezza implica la chiusura e la limitatezza, come mostrano la proposizione e l’esempio che seguono. Proposizione 39 Un sottoinsieme compatto di uno spazio metrico (X, d) è chiuso e limitato. Dimostrazione: Sia K un sottoinsieme compatto di uno spazio metrico (X, d). Possiamo limitarci a dimostrare che K è limitato infatti il fatto che K è chiuso segue dal punto (c) della Proposizione 38 in quanto uno spazio metrico è di Hausdorff. La famiglia {Dr (x) | x ∈ K, r > 0} è un ricoprimento aperto di K, che ha quindi un sottoricoprimento finito {Dr1 (x1 ), . . . , Drm (xm )}. Allora K è limitato in quanto contenuto nell’unione finita di insiemi limitsati (cfr. (b) dell’Esercizio 29 del Capitolo 2). Esempio 82 (insiemi chiusi e limitati ma non compatti in spazi metrici) Sia Z ⊂ R l’insieme degli interi con la metrica discreta. Ogni insieme infinito in (Z, Tdis ) (Tdis topologia discreta) è chiuso e limitato ma non compatto. Un altro esempio è costituito dall’intervallo (0, +∞) ⊂ R con la metrica indotta da quella Euclidea di R. Allora (0, 12 ] è chiuso e limitato in (0, +∞) ma dal suo ricoprimento aperto {( n1 , 1), n ∈ N} non è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. Quindi (0, 21 ] è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio metrico ma non è compatto. Teorema 33 (Heine-Borel per Rn ) Un sottoinsieme K di Rn è compatto se e solo se K è chiuso e limitato.

134

Dimostrazione: Se K è compatto allora è chiuso e limitato per la Proposizione 39. Viceversa supponiamo che K sia chiuso e limitato. Sia x ∈ K, essendo K limitato esiste r > 0 tale che K ⊂ Br (x). Quindi K ⊂ Br (x) ⊂ Br (x) ⊂ Qr (x) (cfr. Esempio 17 del Capitolo 2). Ma Qr (x) è omeomorfo a I n = I × · · · × I, I = [0, 1] (Esercizio 154). Essendo I compatto, per il Teorema di Heine–Borel (Teorema 8 del Capitolo 1), segue dalla (d) della Proposizione 38 che Qr (x) è compatto. Quindi K è un sottoinsieme chiuso del compatto Qr (x) e quindi compatto per il punto (a) della Proposizione 38. Esempio 83 La sfera S n ⊂ Rn+1 è compatta in quanto chiusa e limitata in Rn+1 . Osserviamo che, per ogni, n ∈ N S n e Rn non sono varietà topologiche omeomorfe. Infatti un tale omeomorfismo dovrebbe portare S n che è compatto in Rn che non è compatto, in contrasto con la Proposizione 32. Esempio 84 Il toro n-dimensionale Tn = S 1 × · · · × S 1 è compatto per la (d) della Proposizione 38. Esempio 85 Sia O(n) il gruppo ortogonale di ordine n (cfr. Esempio 78). Vogliamo mostrare che O(n) è uno spazio topologico compatto con la topologia 2 indotta da quella di Mn (R) = Rn . Per dimostrarlo sia 2

f : Mn (R) = Rn → Mn (R), A 7→ AAt l’applicazione continua che ad un matrice A associa AAt . Il punto In ∈ Mn (R) è un chiuso e quindi la sua controimmagine f −1 (In ) = O(n) è un chiuso. Inoltre dalla relazione AAt = In dove A = (aij ) si deduce che X aik ajk = δij , i, j = 1, . . . n. k

Segue che, per i = j X

a2ik = 1, i = 1, . . . n

k

135

e quindi n X

a2ik = n.

i,k=1

Conseguentemente O(n) si identifica con un sottoinsieme limitato in Mn (R) = 2 Rn , in quanto contenuto nel disco D√n (0), il disco di centro l’origine e raggio √ 2 n. Quindi O(n) è un sottoinsieme chiuso e limitato in Mn (R) ' Rn e quindi compatto per il Teorema 33.

10.3

Il lemma dell’applicazione chiusa

Questo paragrafo è dedicato ad un risultato utilissimo chiamato lemma dell’applicazione chiusa ed ad una sua interessante applicazione (Teorema 34). Altre importanti conseguenze di questo lemma verranno descritte nel prossimo capitolo. Lemma 3 (il lemma dell’applicazione chiusa) Supponiamo che f : X → Y sia un’applicazione continua da uno spazio compatto X ad uno spazio di Hausdorff Y . Valgono i seguenti fatti. (a) f è un’applicazione chiusa; (b) se f è una bigezione allora è un omeomorfismo; (c) se f è iniettiva allora è un embedding topologico. Dimostrazione: Sia C ⊂ X un sottoinsieme chiuso di X. Allora per la (a) della Proposizione 38 C è compatto. Quindi, segue dal Teorema 32 che f (C) è compatto e quindi chiuso per (c) della Proposizione 38. Questo mostra che f è un’applicazione chiusa e dimostra la (a). Se f è bigettiva allora essendo chiusa la sua inversa è continua e questo prova la (b). Infine se f è iniettiva allora f : X → f (X) è bigettiva. Segue dalla (b) che f : X → f (X) è un omeomorfismo e quindi f : X → Y è un embedding topologico. Teorema 34 Sia K un sottoinsieme compatto e convesso di Rn con interno non vuoto. Allora Dn = B1 (0) e K sono omeomorfi tramite un omeomorfismo G : Dn → K che manda S n−1 = Fr(Dn ) in Fr(K).

136

Per dimostrare questo teorema abbiamo bisogno del seguente lemma. Lemma 4 Sia x0 un punto di Rn e sia Cx0 = ∪y∈B1 (0) x0 y, l’insieme costituito da tutti segmenti di retta x0 y che uniscono x0 a y al variare di y ∈ B1 (0). Allora ogni punto tx0 , 0 ≤ t < 1, è interno a Cx0 . Dimostrazione: Sia 0 ≤ t0 < 1 e consideriamo la palla aperta B1−t0 (t0 x0 ) di centro t0 x0 e raggio 1 − t0 . Mostreremo che B1−t0 (t0 x0 ) ⊂ Cx0 e che quindi il punto t0 x0 ∈ Int(Cx0 ). Sia quindi z ∈ B1−t0 (t0 x0 ), cioè kz − t0 x0 k < 1 − t0 . Si 1 consideri il punto y0 = x0 + 1−t (z − x0 ). Calcolando la sua norma 0 ky0 k = kx0 +

1 1 (z − x0 )k = kz − t0 x0 k < 1 1 − t0 1 − t0

si deduce che y0 ∈ B1 (0). Quindi i punti del segmento di retta x0 y0 stanno in Cx0 (per definizione di Cx0 ). Questo segmento può essere parametrizzato da x0 y0 = {st = x0 + t(y0 − x0 ) = x0 +

t (z − x0 ), 0 ≤ t ≤ 1} 1 − t0

e quindi il punto z = s1−t0 ∈ x0 y0 ⊂ Cx0 che è ciò che volevamo dimostrare.

Dimostrazione del Teorema 34: Sia p un punto interno a K. La traslazione t−p : Rn → Rn , x 7→ x − p è un omeomorfismo di Rn che porta il punto p nell’origine 0 ∈ Rn e il sottoinsieme compatto e convesso K di Rn nel sottoinsieme compatto e convesso t−p (K) di Rn . Segue che 0 è interno a Int(t−p (K)) ed esiste quindi una palla aperta B (0) ⊂ t−p (K) per un opportuno > 0. Consideriamo inoltre l’applicazione lineare (multiplo dell’identità di Rn ) ϕ : Rn → Rn , x 7→ ϕ (x) =

x

che è un omeomorfismo (un’affinità di Rn ) che porta il sottoinsieme compatto e convesso t−p (K) di Rn nel sottoinsieme compatto e convesso H = ϕ (t−p (K)) di

137

Rn e B (0) in B1 (0) ⊂ H. Per dimostrare il teorema è allora sufficiente costruire un omeomorfismo F : H → Dn tale che F (Fr(H)) = S n−1 . Infatti G = F ◦ ϕ ◦ tp : K → Dn sarà l’omeomorfismo cercato. Cominciamo a costruire un omeomorfismo f : S n−1 → Fr(H) che sarà la restrizione a S n−1 dell’omeomorfismo F che vogliamo costruire. Sia x ∈ Rn , x 6= 0 e sia rx la semiretta di Rn passante per l’origine (compresa l’origine) e per il punto x. Questa semiretta è un sottoinsieme chiuso di Rn e quindi la sua intersezione con H, rx ∩ H, è un sottoinsieme compatto di Rn . Sia dx : rx ∩ H → R la funzione continua che ad un punto y ∈ rx ∩ H associa le sua distanza dall’origine, cioè dx (y) = kyk. Segue dal Corollario 10 che esiste almeno un punto x0 ∈ rx ∩ H tale che dx (x0 ) = kx0 k ≥ kyk per ogni y ∈ rx ∩ H. Il punto x0 è un punto di frontiera per H. Infatti H = Int(H) ∪ Fr(H) (in quanto H è chiuso) e se x0 ∈ Int(H) allora x0 + δ kxx00 k ∈ rx ∩ H, per un opportuno δ > 0 , e quindi kx0 + δ kxx00 k k > kx0 k che è in contrasto con la scelta di x0 . Vogliamo dimostrare che il punto x0 è unico, cioè la semiretta rx interseca Fr(H) in un unico punto x0 . Per fare ciò consideriamo l’insieme Cx0 = ∪y∈B1 (0) x0 y come nel Lemma 4. Siccome H è convesso e B1 (0) ⊂ H segue che B1 (0) ⊂ Cx0 ⊂ H. Dal Lemma 4 ogni punto tx0 , 0 ≤ t < 1 è interno a Cx0 e quindi interno a H. Conseguentemente ogni altro punto di (rx ∩ H) \ {x0 } è interno a H e questo mostra l’unicità di x0 . Risulta quindi ben definita l’applicazione

138

f : S n−1 → Fr(H) che ad un punto x ∈ S n−1 associa x0 = f (x) = rx ∩ Fr(H). Quest’applicazione è invertibile e la sua inversa f −1 : Fr(H) → S n−1 è data da f −1 (y) = ry ∩ S n−1 =

y , y ∈ Fr(H). kyk

Osserviamo che f −1 è continua in quanto restrizione a Fr(H) dell’applicazione y continua Rn \ {0} → S n−1 ⊂ Rn , y 7→ kyk . Segue quindi dal punto (b) del n−1 Lemma 3 che f : S → Fr(H) è un omeomorfismo in quanto Fr(H) è compatta (per il Teorema 33) e S n−1 è di Hausdorff. Estendiamo infine f all’applicazione F : Dn = B1 (0) → H ponendo F (x) = kxkf (

x ), x ∈ Dn \ {0}, F (0) = 0. kxk

(10.1)

Si verifica che F è continua, iniettiva e suriettiva (Esercizio 157). Segue, ancora dal punto (b) del Lemma 3 (Dn è compatto e H è di Hausdorff) che F : Dn → H è un omeomorfismo e questo conclude la dimostrazione del teorema. Un corollario immediato del teorema precedente è il seguente corollario (cfr. il Paragrafo 7.2 e gli Esercizi 115 e 116 del Capitolo 7). Corollario 13 Siano x, y ∈ Rn e r, s > 0. Allora Qr (x), Bs (y) sono omeomorfi. Pi` u precisamente esiste un omeomorfismo F : Qr (x) → Bs (y) che induce un omeomorfismo tra Qr (x) e Bs (y) e tra Int(Qr (x)) e Int(Bs (y)).

10.4

Spazi numerabilmente e sequenzialmente compatti

Concludiamo questo paragrafo mostrando come i Teoremi 6 e il Corollario 2 del Capitolo 1, validi per compatti in R, si possano estendere a spazi topologici compatti arbitrari. Per fare questo abbiamo bisogno di due definizioni.

139

Una spazio topologico X si dice numerabilmente compatto se ogni suo sottoinsieme infinito ha un punto di accumulazione in X. Una spazio topologico X si dice sequenzialmente compatto se ogni successione di punti in X contiene una sottosuccessione convergente ad un punto di X. Teorema 35 (teorema di Bolzano–Weierstrass per spazi topologici) Uno spazio topologico compatto è numerabilmente compatto. Dimostrazione: Sia X uno spazio compatto e S ⊂ X un suo sottoinsieme infinito. Supponiamo per assurdo che D(S) = ∅. Allora per ogni punto di x ∈ X esiste un aperto U , x ∈ U , tale che U ∩ S o è l’insieme vuoto o coincide con {x} (quest’ultimo caso si verifica quando x ∈ S). L’insieme di questi aperti è un ricoprimento aperto di X. Per la compattezza di X esiste quindi un numero finito di aperti che ricoprono X e che contengono al pi` u un punto di S. Questo implica che S è finito che è in contraddizione con l’ipotesi. Teorema 36 Sia X uno spazio topologico compatto, N1 e T1 . Allora X è sequenzialmente compatto. Dimostrazione: Sia xn una successione di punti di X. Se la successione è costituita da un numero finito di punti allora contiene una sottosuccessione (costante) convergente. Supponiamo quindi che xn sia costituita da un numero infinito di punti. Dato che X è compatto e quindi, per il Teorema 35, numerabilmente compatto, l’insieme {xn } ha un punto di accumulazione, cioè esiste x ∈ X tale che x ∈ D({xn }). Essendo X sia N1 che T1 segue dalla Proposizione 19 del Capitolo 5 che xn contiene una sottosuccessione xnk convergente al punto x. Otteniamo quindi il seguente importante corollario che mostra, per esempio, che per varietà topologiche e per spazi metrici il concetto di compattezza implica sia quello di compattezza numerabile che quello di compattezza sequenziale. Corollario 14 Sia X uno spazio compatto che soddisfi una delle due condizioni: • X è metrizzabile;

140

• X è di Hausdorff e N2 . Allora X è numerabilmente e sequenzialmente compatto. Osservazione 25 In effetti si può dimostrare (la dimostrazione non fa parte di queste note) che vale anche il viceversa del corollario precedente e cioè che per spazi metrici o per spazi di Hausdorff N2 i due concetti di compattezza appena introdotti (quello di numerabilmente compatto e sequenzialmente compatto) sono equivalenti a quello di compattezza. Osservazione 26 In questo corso non abbiamo (purtroppo) trattato il concetto di spazi metrici completi e della topologia degli spazi di funzioni. Questi argomenti verranno trattati nei corsi di Analisi delle Laurea Magistrale.

10.5

Esercizi

Esercizio 149 Dimostrare la Proposizione 37. Esercizio 150 Dimostrare che ogni spazio topologico con la topologia cofinita è compatto. Dimostrare inoltre che lo è ogni suo sottoinsieme. Esercizio 151 Sia [a, b], a < b l’intervallo chiuso di R. Dire se l’insieme [a, b] ⊂ R è compatto rispetto alle topologie is , id , js e jd su R (cfr. Esempio 32 del Capitolo 3 e Esempio 41 del Capitolo 4). Esercizio 152 Sia F una famiglia di sottoinsiemi di un insieme X. Si dice che F ha la proprietà dell’intersezione finita se per ogni sottofamiglia finita {F1 , . . . Fk } ⊂ F si ha che ∩kj=1 Fj 6= ∅. Verificare che la famiglia F = {(0, 1), (0, 21 ), (0, 13 ), . . . } di insiemi di R ha la proprietà dell’intersezione finita. Dimostrare inoltre che uno spazio topologico è compatto se e solo se per ogni famiglia F di insiemi chiusi di X che ha la proprietà dell’intersezione finita si ha ∩F ∈F F 6= ∅.

141

Esercizio 153 Sia S ⊂ Rn un sottoinsieme non compatto di Rn . Trovare una funzione continua e illimitata f : S → R. Esercizio 154 Dimostrare che QR (x) è omeomorfo a I n = I × · · · × I, I = [0, 1]. Esercizio 155 Dimostrare che l’unione di un numero finito di compatti è un compatto. Dimostare inoltre che un’unione numerabile di spazi compatti non è in generale uno spazio compatto. Esercizio 156 Dimostrare che in uno spazio metrico l’intersezione di un numero arbitrario di compatti è compatto. Esercizio 157 Si dimostri che l’applicazione F −1 definita da (10.1) è continua, iniettiva e suriettiva. Esercizio 158 Si suddividano le coniche (risp. quadriche) degeneri o non del piano (risp. spazio) Euclideo in classi di equivalenze topologiche. Esercizio 159 Dimostrare i Corollari 11 e 12. Esercizio 160 Un’applicazione continua f : X → Y tra spazi topologici è detta propria se f −1 (K) è un sottoinsieme compatto di X per ogni sottoinsieme compatto K ⊂ Y . Dimostrare che se X è compatto e Y è di Hausdorff allora un’applicazione continua f : X → Y è propria. Esercizio 161 Sia f : X → Y un’applicazione propria, B un sottospazio di Y e A = f −1 (B). Dimostrare che la restrizione f|A : A → B è un’applicazione propria. Esercizio 162 Dimostrare che ogni applicazione propria tra varietà topologiche è chiusa. Esercizio 163 Descrivere tutte le applicazioni proprie da R in R.

142

Capitolo 11 Quozienti In questo capitolo definiremo una nuova topologia: la topologia quoziente. Questa topologia è ottenuta “identificando” punti di uno spazio topologico e nasce dall’esigenza di rendere rigorose affermazioni come: “incollando i due estremi dell’intervallo [0, 1] ⊂ R si ottiene un cerchio”.

11.1

La topologia quoziente e le identificazioni

Sia X uno spazio topologico, Y un insieme arbitrario e f : X → Y un’applicazione suriettiva. Definiamo una topologia su Y , detta topologia quoziente, nel modo seguente. Un insieme V ⊂ Y è un aperto di Y nella topologia quoziente se e solo se f −1 (V ) è aperto in X. In effetti si tratta effettivamente di una topologia in quanto f −1 (∅) = ∅ e f −1 (Y ) = X. Inoltre dalle (g) e (h) del Teorema 2 del Capitolo 1 segue immediatamente che l’unione arbitraria di aperti di Y e l’intersezione di un numero finito di aperti di Y è ancora un aperto di Y . Osserviamo che un’ applicazione suriettiva f : X → Y è continua se Y è dotata della topologia quoziente. Inoltre se X è uno spazio topologico, Y un insieme e f : X → Y un’applicazione suriettiva allora la topologia quoziente su Y è la pi` u fine tra tutte le topologie su Y rispetto alla quali f è continua. Se X e Y sono spazi topologici, un’applicazione f : X → Y è detta un’identificazione

143

se è suriettiva e Y ha la topologia quoziente indotta da f , cioè V è aperto in Y se e solo se f −1 (V ) è aperto in X. Sia f : X → Y un’applicazione suriettiva tra insiemi qualunque. Diremo che un sottoinsieme U ⊂ X è saturo (rispetto a f ) se esiste V ⊂ Y tale che U = f −1 (V ). In effetti U ⊂ X è saturo se e solo se U = f −1 (f (U )). Infatti se vale quest’ultima uguaglianza allora posto V = f (U ) si ha U = f −1 (V ). Viceversa se U è saturo, cioè U = f −1 (V ) per un certo V ⊂ Y allora f −1 (f (U )) = f −1 (f (f −1 (V ))) = f −1 (V ) = U, dove nella terza uguaglianza si è usata la suriettività di f e cioè che f ammette un’inversa destra. Dato un sottoinsieme U ⊂ X l’insieme f −1 (f (U )) si chiamerà la saturazione di U . Il sottoinsieme f −1 (y), y ∈ Y è chiamata la fibra del punto y. Segue che un insieme è saturo se è l’unione di fibre di f . Pi` u precisamente U è saturo se e solo se U = ∪y∈f (U ) f −1 (y). Gli insiemi saturi ci permettono di caratterizzare le identificazioni. Proposizione 40 Un’applicazione continua e suriettiva f : X → Y tra spazi topologici è un’identificazione se e solo se porta insiemi aperti (risp. chiusi) saturi di X in insiemi aperti (risp. chiusi) di Y . Dimostrazione: Supponiamo che f sia un’identificazione e sia U ⊂ X un’insieme aperto e saturo di X, cioè f −1 (f (U )) = U . Vogliamo dimostrare che f (U ) è un aperto in Y rispetto alla topologia quoziente e cioè che f −1 (f (U )) è aperto in X; ma f −1 (f (U )) = U che è aperto per ipotesi. Viceversa supponiamo che f (U ) sia un aperto di Y per ogni aperto saturo U ⊂ X e mostriamo che f è un’identificazione. Sia V ⊂ Y un sottoinsieme di Y tale che f −1 (V ) sia aperto. Siccome f −1 (V ) è aperto e saturo di X segue dall’ipotesi che la sua immagine V = f (f −1 (V )) è un aperto di Y e questo mostra che f è un’identifcazione. L’affermazione relativa ai chiusi segue in modo simile come segue. Se f è un’identificazione e C ⊂ X un’insieme chiuso e saturo di X. Vogliamo mostrare che f (C)

144

è chiuso in Y ossia che Y \ f (C) è aperto in Y . Siccome f è un’identificazione Y \ f (C) è aperto in Y se e solo se f −1 (Y \ f (C)) = f −1 (Y ) \ f −1 (f (C)) = X \ C è aperto in X e questo segue dal fatto che C è chiuso. Viceversa supponiamo che f porti insiemi chiusi e saturi in insiemi chiusi e mostriamo che f è un’identifcazione. Sia dunque V ⊂ Y tale che f −1 (V ) sia aperto in X. Dalle uguaglianze X \ f −1 (V ) = f −1 (Y ) \ f −.1 (V ) = f −1 (Y \ V ) si deduce che f −1 (Y \ V ) è chiuso e saturo in X. Segue allora dall’ipotesi che f (f −1 (Y \ V )) = Y \ V è chiuso in Y e quindi V è aperto di Y . Non è sempre semplice capire quando un’applicazione tra spazi topologici è un’identificazione. Le seguente proposizione ci viene incontro. Proposizione 41 Sia f : X → Y un’applicazione continua e suriettiva che sia anche aperta o chiusa. Allora f è un’identificazione Dimostrazione: Se f è aperta (risp. chiusa) porta insiemi aperti (risp. chiusi) e saturi in insiemi aperti (risp. chiusi) (in quanto porta qualunque insieme aperto (risp. chiuso) in un insieme aperto (risp. chiuso)). Segue allora dalla Proposizione 40 che f è un’identificazione. Una proprietà importante delle identificazioni è che si comportano bene rispetto alla composizione. Proposizione 42 (composizione di identificazioni) Siano f : X → Y e g : Y → Z due identificazioni. Allora la composizione g ◦ f : X → Z è ancora un’identificazione. Dimostrazione: Un insieme W ⊂ Z è aperto in Z se e solo se g −1 (W ) è aperto in Y (in quanto g è un’identificazione) se e solo se f −1 (g −1 (W )) = (g ◦ f )−1 (W ) è aperto in X (in quanto f è un’identificazione).

145

Esempio 86 Gli esempi pi` u semplici di identificazioni sono le proiezioni πi : n R → R (cfr. Esempio 60 del Capitolo 6) o pi` u in generale le proiezioni naturali πi : X1 × · · · × Xk → Xi , i = 1, . . . k (cfr. Capitolo 8). Esempio 87 L’applicazione α : I = [0, 1] → S 1 ⊂ R2 , t 7→ (cos 2πt, sin 2πt) è chiusa e quindi un’identificazione per la Proposizione 41. Esempio 88 (un esempio di un’applicazione che non è un’ identificazione) L’applicazione α : I = [0, 1) → S 1 ⊂ R2 , t 7→ (cos 2πt, sin 2πt) è bigettiva e continua. Osserviamo che [0, 21 ) è un sottoinsieme aperto e saturo di I = [0, 1) ma la sua immagine non è un aperto in S 1 . Quindi α non è un’identificazione per la Proposizione 40.

11.2

Spazi quoziente

Un modo per costruire identificazioni è il seguente. Sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico X. Per ogni x ∈ X sia [x] la classe di equivalenza di x, cioè il sottoinsieme di X costituito da tutti gli y ∈ X tali che y ∼ x. Denotiamo con X/ ∼ l’insieme delle classi di equivalenza le quali formano una partizione di X, cioè X può essere scritto come unione disguinta X = ∪x∈X [x]. Sia π : X → X/ ∼ la proiezione naturale, cioè l’applicazione che manda ogni elemento di x ∈ X nella sua classe di equivalenza, π(x) = [x]. Siccome π è suriettiva possiamo definire la topologia quoziente su X/ ∼. In questo caso diremo che X/ ∼ è uno spazio quoziente relativo a ∼. Segue che π : X → X/ ∼ è un’identifcazione. Osserviamo che gli insiemi saturi di X rispetto a π sono i sottoinsiemi di X che sono unioni di classi di equivalenza. Osservazione 27 Data una qualunque identificazione f : X → Y , esiste una relazione di equivalenza ∼ su X tale che Y sia lo spazio quoziente rispetto a questa relazione di equivalenza cioè Y ' X/ ∼ (cfr. Esercizio 169).

146

Riguardo alla connessione e alla compattezza abbiamo il seguente importante risultato. Proposizione 43 Lo spazio quoziente di uno spazio connesso (risp. compatto) è connesso (risp. compatto) Dimostrazione: Il quoziente di uno spazio connesso (risp. compatto) è l’immagine di uno spazio connesso (risp. compatto) tramite un’applicazione continua. Quindi la proposizione segue immediatamente dal Teorema 26 del Capitolo 9 (risp. Teorema 32 del Capitolo 10). Esempio 89 (identificazioni che non sono né aperte né chiuse) Sia ∼ la seguente relazione di equivalenza in R: x ∼ y se e solo se x = y oppure x e y appartengono all’intervallo [0, 1). Sia R/ ∼ lo spazio quoziente e sia π : R → R/ ∼ la proiezione naturale sul quoziente (che è un’identificazione). Allora il punto π([0, 1)) in R/ ∼ non è né aperto né chiuso nonostante sia l’immagine tramite π dell’aperto (0, 1) ⊂ R e del chiuso [0, 21 ] ⊂ R. Esempio 90 (il cerchio astratto) Sia I = [0, 1] e sia ∼cer la relazione di equivalenza su I definita come: p ∼cer q ⇔ p = q oppure {p, q} = {0, 1}. Lo spazio quoziente I/ ∼cer sarà chiamato il cerchio astratto. Esempio 91 (il cilindro astratto) Consideriamo la relazione di equivalenza ∼cil su I 2 = I × I ⊂ R2 , I = [0, 1], definita come: p ∼cil q ⇔ p = q oppure {p, q} = {(0, t), (1, t)}. Se pensiamo a I 2 come ad un quadrato Q lo spazio quoziente I 2 / ∼cil si ottiene “incollando” i due lati verticali di Q. Per questo motivo chiameremo I 2 / ∼cil il cilindro astratto .

147

Esempio 92 (il toro astratto) Definiamo una relazione di equivalenza ∼t su I 2 : p ∼t q ⇔ p = q oppure {p, q} = {(0, t), (1, t)} oppure {p, q} = {(t, 0), (t, 1)}. Se pensiamo a I 2 come ad un quadrato Q lo spazio quoziente I 2 / ∼t si ottiene “incollando” i due lati verticali e i due lati orizzontali di Q. Lo spazio quoxiente I 2 / ∼t sarà chiamato il toro astratto Esempio 93 (il nastro di Möbius) Definiamo una relazione di equivalenza ∼m su I 2 : p ∼m q ⇔ p = q oppure {p, q} = {(t, 0), (1 − t, 1)}. Se pensiamo a I 2 come ad un quadrato Q lo spazio quoziente I 2 / ∼t si ottiene “incollando e torcendo” i due lati verticali di Q. Lo spazio quoziente I 2 / ∼m si chiama il nastro di Möbius astratto. Osserviamo che il nastro di Möbius astratto I 2 / ∼m può essere “visualizzato” come un sottonsieme N di R3 nel modo seguente. Sia AB il segmento del piano yz dato da y = R e |z| ≤ r, 0 < r < R e SR1 = {(x, y, 0) | x2 + y 2 = R2 }, il cerchio di centro l’origine e raggio R del piano xy. Muoviamo il centro c di AB lungo SR1 e ruotiamo il segmento AB intorno a c nel piano parallelo all’asse z e passante per c in modo tale che quando c descrive un angolo u, AB ruoti di un angolo u2 . Quando c completa un giro intorno al cerchio SR1 , il segmento AB torna nella sua posizione iniziale ma con gli estremi invertiti. Lo spazio topologico N ⊂ R3 , che chiameremo il nastro di Möbius, è l’insieme dei punti descritti dal segmento AB durante il suo percorso quando u varia da 0 a 2π. Esempio 94 (la bottiglia di Klein) Definiamo una relazione di equivalenza ∼k su I 2 : p ∼k q ⇔ p = q oppure {p, q} = {(0, t), (1, t)} oppure {p, q} = {(t, 0), (1 − t, 1)}. Lo spazio quoziente I 2 / ∼k si chiama la bottiglia di Klein. Se pensiamo a I 2 come ad un quadrato Q la bottiglia di Klein si ottiene prima “incollando” i due lati verticali di Q e poi “incollando e torcendo” i due lati orizzontali di Q.

148

Dimostreremo nel Paragrafo 11.4 (Teorema 39) che il cerchio astratto, il cilindro astratto, il toro astratto e il nastro di Möbius astratto degli Esempi 90, 91, 92 e 93 sono omeomorfi al loro corrispondente “concreto” . Pi` u precisamente mostreremo che I/ ∼cer ' S 1 , I 2 / ∼cil ' S 1 × [0, 1], I 2 / ∼t ' T2 , I 2 / ∼m ' N, dove T2 è il toro (cfr. Esempio 71 del Capitolo 8) e N il il nastro di Möbius descritto alla fine dell’Esempio 93. Per fare ciò abbiamo bisogno di una comprensione pi` u profonda delle identificazioni, degli spazi quozienti e della loro unicità che culmina nel Corollario 16 del prossimo paragrafo.

11.3

Propriet` a universale del quoziente

Sia f : X → Y un’applicazione continua e suriettiva tra due spazi topologici X e Y e sia T la topologia su Y . Diremo che T soddisfa la proprietà universale del quoziente se per ogni spazio topologico Z un’applicazione g˜ : Y → Z è continua se e solo se g˜ ◦ f è continua. I seguenti teoremi mostrano che la topologia quoziente soddisfa la proprietà universale del quoziente ed è è univocamente determinata da questa proprietà. Teorema 37 (la proprietà universale della topologia quoziente) Sia f : X → Y un’identificazione. Per ogni spazio topologico Z, un’applicazione g˜ : Y → Z è continua se e solo se g˜ ◦ f : X → Z è continua Dimostrazione: Se g˜ è continua allora g˜ ◦ f è continua in quanto composizione di funzioni continue. Viceversa, assumiamo g˜ ◦f continua e sia W ⊂ Z un aperto. Allora f −1 (˜ g −1 (W )) = (˜ g ◦ f )−1 (W ) è aperto in X. Questo implica che g˜−1 (W ) è aperto in Y (per la definizione della topologia quoziente) e quindi g˜ è continua. Teorema 38 (caratterizzazione delle identificazioni tramite la propriet` a universale) Siano X e Y due spazi topologici, sia f : X → Y un’applicazione suriettiva.

149

Allora f è un’identificazione se e solo se la topologia di Y soddisfa la propriet` a universale del quoziente. Dimostrazione: Se f è un’identificazione la proprietà universale del quoziente è soddisfatta per il Teorema 11.3. Viceversa, supponiamo che la topologia su Y , denotata con T soddisfi la proprietà universale del quoziente. Allora posto Z = (Y, T ) e g˜ = idY : (Y, T ) → Z = (Y, T ) si ottiene che g˜ ◦ f = f : X → (Y, T ) è continua. Per dimostrare che f è un’identificazione mostreremo che (Y, T ) e (Y, Tf ), dove Tf è la topologia quoziente su Y sono omeomorfi. Siccome, per ipotesi f : X → (Y, T ) soddisfa la proprietà universale del quoziente prendendo Z = (Y, Tf ) e g˜ = idY : (Y, T ) → Z = (Y, Tf ) si ottiene che idY : (Y, T ) → Z = (Y, Tf ) è continua. Applichiamo ora la proprietà universale all’identificazione f : X → (Y, Tf ) con Z = (Y, T ) e g˜ = idY : (Y, Tf ) → Z = (Y, T ). Essendo f : X → (Y, T ) continua si ottiene che idY : (Y, Tf ) → Z = (Y, T ) è continua. Conseguentemente (Y, T ) e (Y, Tf ) sono omeomorfi e la dimostrazione è completa. Corollario 15 (passando al quoziente) Sia f : X → Y un’identificazione, Z uno spazio topologico e g : X → Z un’applicazione continua che sia costante nelle fibre di f , cioè se f (x) = f (y) allora g(x) = g(y). Allora esiste un unica applicazione continua g˜ : Y → Z tale che g = g˜ ◦ f . Dimostrazione: L’esistenza e l’unicità dell’applicazione g˜ segue dalla teoria elementare delle funzioni tra insiemi: dato y ∈ Y esiste x ∈ X tale che f (x) = y, e possiamo definire g˜ : Y → Z, g˜(y) = g(x), y ∈ Y. Le ipotesi mostrano che se x0 ∈ X è un altro elemento di X tale che f (x0 ) = y allora g(x0 ) = g(x) e quindi g˜ è ben definita e tale che g = g˜ ◦ f . Inoltre g˜ è continua per la proprietà universale del quoziente. Nella situazione del corollario precedente si usa dire che l’applicazione g : X → Z passa al quoziente rispetto all’applicazione f : X → Y .

150

Corollario 16 (unicità degli spazi quoziente) Siano f1 : X → Y1 e f2 : X → Y2 due identificazioni tali che f1 (x) = f1 (y) se e solo se f2 (x) = f2 (y). Allora esiste un unico omeomorfismo ϕ : Y1 → Y2 tale che ϕ ◦ f1 = f2 . Dimostrazione: Per il Corollario 15 entrambe le applicazioni f1 e f2 passano al quoziente l’una rispetto all’altra. Pi` u precisamente esistono f˜1 : Y2 → Y1 e f˜2 : Y1 → Y2 tali che f1 = f˜1 ◦ f2 e f2 = f˜2 ◦ f1 . Vogliamo mostrare che f˜1 è un omeomorfismo con inversa f˜2 , ossia che: f˜2 ◦ f˜1 = idY2 e f˜1 ◦ f˜2 = idY1 . (Questo concluderà la dimostrazione del corollario ponendo f˜2 = ϕ). Chiaramente l’applicazione f1 : X → Y1 passa al quoziente rispetto a se stessa in quanto idY1 ◦ f1 = f1 . D’altra parte (f˜1 ◦ f˜2 ) ◦ f1 = f˜1 ◦ (f˜2 ◦ f1 ) = f˜1 ◦ f2 = f1 e quindi per il Corollario 15 f˜1 ◦ f˜2 = idY1 . Con un ragionamento analogo si ottiene f˜2 ◦ f˜1 = idY2 .

11.4

Dall’astratto al concreto

Teorema 39 Il cerchio astratto I/ ∼cer , il cilindro astratto I 2 / ∼cil , il toro astratto I 2 / ∼t e il nastro di Möbius astratto I 2 / ∼m sono omeomorfi rispettivamente al cerchio S 1 , al cilindro S 1 × I, al toro T2 e al nastro di M¨ obius N. Dimostrazione: Consideriamo l’identificazione α : I = [0, 1] → S 1 ⊂ R2 , t 7→ (cos 2πt, sin 2πt) (Esempio 87). Si verifica immediatamente che α(x) = α(y) se e solo se x = y oppure {x, y} = {0, 1} ossia se e solo se π(x) = π(y), dove π : I → I/ ∼cer è la

151

proiezione naturale. Segue allora dal che le due identificazioni α e π soddisfano le ipotesi del Corollario 16 e quindi gli spazi I/ ∼cer e S 1 sono omeomorfi. Consideriamo ora l’applicazione continua fcil : I 2 → S 1 × I ⊂ R3 , (t, s) 7→ (cos 2πt, sin 2πt, s). Siccome I 2 è compatto, segue dal Lemma 3 del Capitolo 10 che fcil è un’applicazione chiusa e suriettiva e quindi un’identificazione per la Proposizione 41. Inoltre è facile verificare che fcil (t1 , s1 ) = fcil (t2 , s2 ) se e solo se (t1 , s1 ) ∼cil (t2 , s2 ). Segue allora che fcil e π : I → I/ ∼cil soddisfano le ipotesi del Corollario 16 e quindi I 2 / ∼cil e S 1 × I sono omeomorfi. Per costruire un omeomorfismo tra I 2 / ∼t e T2 consideriamo l’applicazione continua e suriettiva. ft : I 2 → T2 ⊂ R4 , (u, v) 7→ (cos 2πu, sin 2πu, cos 2πv, sin 2πv).

(11.1)

Siccome I 2 è compatto, segue dal Lemma 3 del Capitolo 10 che ft è un’applicazione chiusa e quindi un’identificazione per la Proposizione 41. Inoltre si ha: ft (t1 , s1 ) = ft (t2 , s2 ) se e solo se (t1 , s1 ) ∼t (t2 , s2 ). Allora ft e π : I → I/ ∼t soddisfano le ipotesi del Corollario 16 e quindi R/ ∼t e S 1 × S 1 sono omeomorfi. Infine dimostriamo che I 2 / ∼m è omeomorfo al nastro di Möbius N . Consideriamo l’applicazione continua fm : I2π × Ir → R3 u u u (11.2) (u, v) 7→ (R − v sin ) sin u, (R − v sin ) cos u, v cos 2 2 2 dove I2π = {u ∈ R | 0 ≤ u ≤ 2π} e Ir = {r ∈ R| − r ≤ v ≤ r}. Segue dalla “visualizzazione” geometrica del nastro di Möbius dell’Esempio 93 che fm (I2π × Ir ) = N . Dal Lemma 3 e dalla Proposizione 41 del Capitolo 10 si deduce che fm : N → fm (N ) è un”identificazione. Consideriamo l’omeomorfismo h : I 2 → I2π × Ir , (t, s) 7→ (2πt, 2rs − r). Allora, per la Proposizione 42, l’applicazione f = fm ◦ h : I 2 → N è un’identificazione. Non è difficile verificare che f (s1 , t1 ) = f (s2 , t2 ) se e solo se

152

(t1 , s1 ) ∼m (t2 , s2 ). Allora le applicazioni fm e π : I → I/ ∼m soddisfano le ipotesi del Corollario 16 e quindi I 2 / ∼m ' N .

11.5

Spazi quoziente, numerabilit` a e separabilit` a

Lo spazio quoziente di uno spazio topologico X che sia N1 o N2 non è necessariamente N1 . Anzi il quoziente di uno spazio metrizzabile non è detto che sia ancora metrizzabile. Ad esempio è possibile definire una relazione di equivalenza ∼ su R in modo tale che R/ ∼ non sia N1 (e quindi neanche N2 o metrizzabile) (Esercizio 167). Proposizione 44 Sia f : X → Y un’applicazione continua e suriettiva tra spazi topologici. Se X è N3 allora Y è N3 . Dimostrazione: Sia D sottoinsieme denso e numerabile di X. Per dimostrare che Y è N3 dimostreremo che l’immagine f (D) è un sottoinsieme denso e numerabile di Y . La numerabilità di f (D) è immediata (l’immagine di un insieme numerabile tramite un’applicazione qualunque è numerabile o finito). Per dimostrare che f (D) è denso bisogna dimostrare che per ogni sottoinsieme aperto e non vuoto V di Y si ha f (D) ∩ V 6= ∅. Se per assurdo f (D) ∩ V = ∅ allora ∅ = f −1 (f (D) ∩ V ) = f −1 (f (D)) ∩ f −1 (V ) ⊃ D ∩ f −1 (V ). Quindi il sottoinsieme aperto e non vuoto f −1 (V ) di X non interseca D e questo contraddice il fatto che D è denso in X. Come conseguenza della proposizione precedente otteniamo il seguente: Corollario 17 Sia f : X → Y è un’identificazione. Se X è N3 allora Y è N3 . In particolare lo spazio quoziente di uno spazio topologico N3 è N3 . Osservazione 28 Osserviamo che non vale l’inverso del corollario precedente. Per esempio, sia X = (R, Tdis ) e Y = ({0, 1}, Tdis ) e sia f : X → Y tale che

153

f (x) = 0 se x ∈ Q e f (x) = 1 se x ∈ R \ Q. Allora f è un’identificazione aperta, Y è N3 (addiritura N2 ), ma X = (R, Tdis ) non è N3 (cfr. Esempio 48 del Capitolo 5). Riguardo alle proprietà di separazione osserviamo che è facile costruire spazi di Hausdorff il cui quoziente non sia T1 (e quindi non di Hausdorff) come mostra l’Esempio 88. In effetti esistono varietà topologiche il cui quoziente è localmente Euclideo, N2 ma non di Hausdorff (Esercizio 164). Nonostante gli esempi precedenti possiamo trovare criteri interessanti (espressi dai lemmi seguenti) affinché il quoziente di uno spazio N2 sia N2 e il quoziente di uno spazio di Hausdorff sia di Hausdorff. Sia ∼ una relazione di equivalenza su uno spazio topologico X. Diremo che ∼ è aperta se l’applicazione quoziente π : X → X/ ∼ è aperta. Equivalentemente ∼ è aperta se per ogni sottoinsieme aperto U ⊂ X, π −1 (π(U )) è ancora aperto in X. Lemma 5 Sia ∼ una relazione di equivalenza aperta su uno spazio topologico X. Se X è N2 allora anche lo spazio quoziente X/ ∼ è N2 . Dimostrazione: Sia {Bj }j∈J una base numerabile di X e sia W un insieme aperto di X/ ∼. Allora π −1 (W ) = ∪k∈K Bk per una sottofamiglia di indici K ⊂ J (in quanto π −1 (W ) è aperto in X). Allora W = π(π −1 (W )) = ∪k∈K π(Bk ). Siccome π è aperta {π(Bj )}j∈J è una base numerabile per lo spazio quoziente X/ ∼. Lemma 6 Sia ∼ una relazione di equivalenza aperta su uno spazio topologico X qualunque. Allora R = {(x, y) ∈ X × X | x ∼ y} ⊂ X × X è un sottoinsieme chiuso di X × X (con la toplogia prodotto) se e solo se lo spazio quoziente X/ ∼ è di Hausdorff.

154

Dimostrazione: Supponiamo che X/ ∼ sia di Hausdorff e che (x, y) ∈ (X ×X)\ R, cioè x non sia equivalente a y o, equivalentemente, π(x) 6= π(y). Esistono allora due aperti disgiunti U e V contenenti π(x) e π(y) rispettivamente. Segue che U˜ = π −1 (U ) e V˜ = π −1 (V ) sono due aperti contenenti x e y rispettivamente e che U˜ × V˜ è un insieme aperto (nella topologia prodotto) contenente il punto (x, y). Quest’insieme non interseca R altrimenti dovrebbe esistere un punto (x0 , y 0 ) ∈ U˜ × V˜ tale che π(x0 ) = π(y 0 ) che è in contraddizione con il fatto che U ∩ V = ∅. Questa contraddizione mostra che il complementare R in X ×X è aperto e quindi R è un sottoinsieme chiuso di X × X. Viceversa, supponiamo che R sia chiuso in X × X. Siano u e v due punti distinti di X/ ∼. Questo significa che esiste (x, y) ∈ X × X \ R tale che u = π(x) e v = π(y). Siccome R ⊂ X × X è chiuso devono esistere due aperti U˜ e V˜ di X tali che U˜ × V˜ contiene (x, y) e non ha punti in comune con R. Segue allora dall’ipotesi che ∼ sia aperta che U = π(U˜ ) e V = π(V˜ ) sono due sottoinsiemi aperti e disgiunti di X/ ∼ contenenti u e v rispettivamente e quindi X/ ∼ è di Hausdorff.

11.6

Lo spazio proiettivo reale

Lo spazio proiettivo reale RPn di dimensione n è l’insieme degli spazi vettoriali di dimensione 1 di Rn+1 . Sia X = Rn+1 \ {0}. Esiste un’applicazione suriettiva f : X → RPn

(11.3)

che associa al punto x ∈ X lo spazio generato da x. Possiamo quindi dotare RPn della topologia quoziente relativa a f . Alternativamente sia ∼pr la relazione di equivalenza su X rispetto alla quale x ∼pr y se e solo se esiste λ ∈ R, λ 6= 0, tale che x = λy. Allora le applicazioni f e π : X → RP n soddisfano le ipotesi del Corollario 16 e quindi RP n ' X/ ∼. Teorema 40 Lo spazio proiettivo reale RPn è una variet` a topologica compatta e connessa di dimensione n. Dimostrazione: Cominciamo a dimostrare che π : X → RPn è aperta. Sia t ∈ R, t 6= 0, e ϕt : X → X l’omeomorfismo definito da ϕt (x) = tx (la cui inversa è

155

ϕ−1 e un aperto in X si ottiene facilmente che π −1 (π(U )) = ∪t ϕt (U ) t = ϕ 1t ). Se U ` e siccome ognuno degli ϕt (U ) è aperto segue che π(U ) è aperto in RPn e quindi π è aperta. Segue quindi dal Lemma 5 che RPn è N2 (essendolo X). Per dimostrare che RPn è di Hausdorff consideriamo l’insieme R = {(x, y) ∈ X × X | x ∼pr y} ⊂ X × X e l’applicazione continua f : X × X → R, (x, y) 7→

X

(xi yj − xj yi )2 ,

i,j=1

dove x = (x1 , . . . , xn+1 ) e y = (y1 , . . . , yn+1 ). Notiamo che f (x, y) = 0 se e solo se x = λy, per qualche λ reale non nullo, cioè se e solo se x ∼pr y. Allora R = f −1 (0) è un sottoinsieme chiuso di X ×X in quanto controimmagine di un chiuso tramite un’applicazione continua e segue dal Lemma 6 che RPn è di Hausdorff. Mostriamo ora che RPn è localmente Euclideo e quindi una varietà topologica. Per ogni i = 1, . . . , n + 1 sia U˜i il sottoinsieme aperto di X definito da U˜i = {x ∈ X| xi 6= 0}. Siccome π è aperta segue che Ui = π(U˜i ) è sottoinsieme aperto di RPn . Osserviamo che, per ogni i = 1, . . . , n + 1, l’applicazione x1 xi−1 xi+1 xn+1 n ϕi : Ui → R , [x] 7→ ,..., , ,..., , π(x) = [x] xi xi xi xi è ben definita e continua (la continuita segue dalla proprietà universale del quoziente applicata all’identificazione aperta π|U˜i : U˜i → Ui ). Inoltre ϕi è invertibile n con inversa continua ϕ−1 i : R → Ui data da: ϕ−1 i (z) = π(z1 , . . . , zi−1 , +1, zi , . . . , zn ), z = (z1 , . . . zn ). Quindi RPn può essere ricoperto dalle n + 1 palle Euclidee Ui , i = 1, . . . , n + 1, con le relative carte ϕi : Ui → Rn e quindi è una varietà topologica di dimensione n.

156

Infine per dimostrare che RPn è compatto e connesso consideriamo la restrizione di π a S n . Segue dalla Proposizione 43 che π(S n ) = RPn è compatto e connesso in quanto la sfera è compatta e connessa (cfr. Esempio 74 del Capitolo 9 e Esempio 83 del Capitolo 10). Osservazione 29 L’ultima parte della dimostrazione precedente mostra che RPn può essere ottenuto come lo spazio quoziente S n / ∼ dove ∼ è la relazione di equivalenza su S n che identifica i punti antipodali e cioè x ∼ y se e solo se y = ±x.

11.7

Esercizi

Esercizio 164 Sia X = R × {0} ∪ R × {1} ⊂ R2 . Definiamo una relazione di equivalenza su X dichiarando (x, 0) ∼ (x, 1) se x 6= 0. Dimostrare che lo spazio quoziente è localmente Euclideo, soddisfa il secondo assioma di numerablità ma non è di Hausdorff. Esercizio 165 Sia ρ la relazione di equivalenza su R cos`ı definita: xρy ⇔ |x| = |y|. Dimostrare che R/ρ è omeomorfo alla semiretta chiusa [0, +∞). Esercizio 166 Siano ρ1 , ρ2 e ρ le seguenti relazioni d’equivalenza su R2 : (x1 , y1 )ρ1 (x2 , y2 ) ⇔ y1 = y2 e |x1 | = |x2 | (x1 , y1 )ρ2 (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 e |y1 | = |y2 | (x1 , y1 )ρ(x2 , y2 ) ⇔ |x1 | = |x2 | e |y1 | = |y2 | Dimostrare che R/ρ1 e R/ρ2 sono entrambi omeomorfi al semipiano chiuso {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 0} , e R2 /ρ è omeomorfo al quadrante chiuso {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}. Esercizio 167 Sia ∼ la relazione d’equivalenza in R definita da x ∼ y se e solo se x = y oppure x e y sono razionali. Dimostrare che lo spazio quoziente R/ ∼ non è né T1 né N1 .

157

Esercizio 168 Sia ft : I 2 → T2 l’identificazione chiusa definita dalla formula (11.1). Trovare la saturazione di un punto (u, v) ∈ I 2 rispetto all’applicazione ft . Trovare inoltre la saturazione rispetto a ft degli aperti di I 2 : 1 U = [0, ), V = I 2 ∩ {(u, v) ∈ R2 | u < v}. 2 Esercizio 169 Dimostrare l’affermazione fatta nell’Osservazione 27. (Suggerimento: usare il Corollario 16). Esercizio 170 Dimostrare che S 1 ' RP1 . Esercizio 171 Si consideri la seguente relazione di equivalenza ∼pr su I 2 : p ∼pr q ⇔ p = q oppure {p, q} = {(0, t), (1, 1−t)} oppure {p, q} = {(t, 0), (1−t, 1). Dimostrare che lo spazio quoziente I 2 / ∼pr è omeomorfo al proiettivo reale di dimensione 2, cioè I 2 / ∼pr ' RP2 . Esercizio 172 Definiamo la seguente applicazione dalla sfera S 2 ⊂ R3 in R4 f˜ : S 2 → R4 , (x, y, z) 7→ (x2 − y 2 , xy.xz, yz). Consideriamo lo spazio proiettivo RP2 come il quoziente di S 2 tramite la relazione di equivalenza ∼ che identifica due punti antipodali (cfr. Osservazione 29). Dimostrare che l’applicazione f˜ induce un embedding topologico f : RP2 = S 2 / ∼ → R4 . Esercizio 173 Siano r e R due numeri reali positivi tali che r < R. Definiamo un’applicazione 2 4 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ f : I → R , (x, y) 7→ f (x, y) = f1 (x, y), f2 (x, y), f3 (x, y), f4 (x, y) f˜1 (x, y) = (R + r cos 2πy) cos 2πx, f˜2 (x, y) = (R + r cos 2πy) sin 2πx f˜3 (x, y) = r sin 2πy cos πx, f˜4 (x, y) = r sin 2πy sin πx. Dimostrare che l’applicazione f˜ induce un embedding topologico f : I 2 / ∼k → R4 dalla bottiglia di Klein in R4 .

158

Esercizio 174 Una varietà topologica M è detta orientabile se non contiene un sottoinsieme omeomorfo ad un nastro di Möbius. Dimostrare che la sfera S 2 e il toro T2 sono orientabili mentre la bottiglia di Klein e RP2 non lo sono. Esercizio 175 Siano X e Y due spazi topologici e sia c : X → Y un’applicazione. Diremo che la coppia (Y, c) è una compattificazione di X se: (i) Y è compatto, (ii) c è un embedding topologico, (iii) c(X) è denso in Y . Diremo inoltre che due compattificazioni (Y1 , c1 ) e (Y2 , c2 ) sono equivalenti se esiste un omeomorfismo f : Y1 → Y2 tale che f ◦ h1 = h2 . Siano c1 e c2 le inclusioni di S n \ N in S n e di U1 in RPn dove N è il polo nord di S n e U1 = π(U˜1 ), U˜1 = {x ∈ X| x1 6= 0} (cfr. la dimostrazione del Teorema 40). Dimostrare che, per n ≥ 2, (S n , c1 ) e (RPn , c2 ) sono compattificazioni non equivalenti di Rn . Esercizio 176 Sia (X, T ) uno spazio topologico e definiamo X ∞ come X ∪{∞}, dove ∞ è un elemento non contenuto in X. Sia T ∞ la famiglia di insiemi costituita dagli U ∈ T e dagli insiemi della forma V ∪{∞}, dove V ⊂ X e X \V è compatto e chiuso in X. Dimostrare che T ∞ è una topologia su X ∞ . Dimostrare inoltre che (X ∞ , c) è una compattificazione di X, dove c denota l’inclusione di X in X ∞ . Esercizio 177 Sia X uno spazio topologico e A ⊂ X. Denotiamo con X/A lo spazio quoziente X/ ∼ dove x ∼ y se x = y oppure se x e y appartengono a A. Sia X uno spazio compatto e di Hausdorff e U un sottoinsieme aperto di X dimostrare che (U ∞ , c) ' X/(X \ U ), dove c denota l’inclusione U ⊂ U ∞ . Dedurre che Dn /S n−1 ' S n , dove Dn = B1 (0) è l’n-palla chiusa di centro l’origine e raggio unitario. (Suggerimento: sia π : X → X/(X \ U ) la proiezione naturale sul quoziente. Definire f : U ∞ → X/(X \ U ) come f (u) = π(u) se u ∈ U e f (∞) = π(X \ U )).

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Esercizio 178 Sia M una varietà topologica compatta. Dimostrare che esiste un numero naturale N e un embedding topologico f : M → RN . Dedurre che una varietà topologica compatta è metrizzabile (cfr. Teorema 20 del Capitolo 7). (Suggerimento: ricoprire M con un numero finito di palle Euclidee e usare l’esercizio precedente).

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Bibliografia [1] Boothby W., An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Second Edition, Academic Press 1986. [2] Campanella G., Esercizi di Topologia Generale, Aracne Roma 1992. [3] Kelley J. L., General Topology, Graduate Texts in Mathematics 27 Springer 1955. [4] Kosnioswski C., Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli 1989. [5] Lee J. M., Introduction to Topological Manifolds, Springer 2000. [6] Lipschutz S., Topologia, Collana Schaum 1979. [7] Munkres J. R., Topology, A First Course, Prentice Hall, Englewood Cliffs N.J. 1975. [8] Singer I.M., Thorpe J.A., Lezioni di Topologia elementare e di Geometria, trad. it. Boringhieri Torino 1980.

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